Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие редактора перевода к томам 3 и 4
Завершающие два тома фундаментальной монография Хёрман- дера 4 содержат изложение той части теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными, которая была создана и бурно развивалась в последние два десятилетия и называется микролокальным анализом, хотя автор не пренебрегает и параллельным изложением классических вопросов. В этих томах нашли достаточно полное отражение наиболее существенные приложения микролокального анализа во всех разделах теории уравнений с частными производными, в том числе в теории краевых задач и в спектральной теории.
Подзаголовки томов 3 и 4 «Псевдодифференциальные операторы» и «Интегральные операторы Фурье» отражают не столько основное содержание томов, сколько отношение автора к роли объектов, указанных в этих подзаголовках (непосредственно этим объектам посвящено лишь по одной главе в каждом томе). Современная теория уравнений с частными производными немыслима без псевдодифференцйальных операторов и интегральных операторов Фурье, эффективно заменивших и многократно усиливших аппарат функций Грина, а также давших возможность геометризовать и глобализовать коротковолновые асимптотики содержательными и в то же время изящными идеями симплектической геометрии.
Эффективность развитого аппарата микролокального анализа автор демонстрирует огромным количеством приложений к задачам, формулируемым на абсолютно классическом языке и в то же время неприступным при их изучении классическими средствами. Таковы, например, изложенные в книге результаты о субэллиптических операторах, о единственности решения задачи Коши, о спектральных асимптотиках. Однако и ряд классических сюжетов с помощью этого аппарата удается изложить
Перевод на русский язык первых двух томов опубликован издательством «Мир» в 1986 г.
намного проще и более законченно. Это продемонстрировано в книге, в частности, на примерах теории эллиптических краевых задач и теории рассеяния.
В последнее время появилось несколько книг по микроло- кальному анализуJ). Однако книга Хёрмандера с ними удивительным образом почти не пересекается. Это связано прежде всего с тем, что Хёрмандер выбирает свои пути изложения почти всех вопросов и, даже следуя каким-то образцам, вносит существенные усовершенствования, ведущие, как правило, к прояснению и максимально возможной содержательности.
Нет сомнений, что долго ожидавшаяся специалистами монография Хёрмандера будет служить настольной книгой для специалистов по уравнениям с частными производными, а также учебником повышенного типа для всех, кто собирается серьезно изучить этот предмет, занимающий одно из центральных мест в современной математике.
Перевод тома 3 осуществлен В. И. Авербухом (предисловие, введение, главы 17—21 и добавления) и П. Е. Берхиным (главы 22—24). '
6 декабря 1986 г.
М. 4. Шубин
Например, Трев Ф. Введение в теорию псевдодяфференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Пер. с аигл. Т. 1, 2. — М.: Мир, ]984; Тейлор М. Псевдоднфференциальиые операторы. Пер. с англ.—М.: Мир, 1985; Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. — М.: Наука, 1984.
Предисловие к томам 3 и 4
Первые два тома этой монографии можно рассматривать как расширенный и модернизированный вариант моей книги «Линейные дифференциальные операторы с частными пронзводн融 мн》, вышедшей в серии Grundlehren der mathematischen Wissen- schaften в 1963 rJ). Тома же 3 и 4 — почти совершенно новые. Они посвящены в основном тем разделам теории линейных дифференциальных операторов, которые сложились после 1963 г. Главные темы здесь ——псевдодифференциальные операторы и интегральные операторы Фурье и необходимая для их понимания симплектическая геометрия. Содержание томов будет подробнее обсуждено во введении.
Я хочу выразить здесь свою признательность многим друзьям и коллегам, различными способами внесшим свой вклад в эту книгу. Прежде всего я хотел бы назвать Ричарда Мелроуза. Одно время мы планировали написать эти тома совместно и в декабре 1980 г. в течение недели обсуждали, что должно было бы в них войти. Хотя от идеи совместного написания мы потом отказались и содержание этих томов несколько видоизменилось и сократилось по сравнению с задуманным тогда, многое от тех наших обсуждений осталось. С. Агмон во время своего пребывания в Лунде (осенний семестр 1981 г.) не пожалел времени и объяснил мне во всех подробностях свои результаты по дальнодействующему рассеянию, изложенные в общих чертах в трудах семинара Гулауика — Шварца за 1978/79 гг. Его идеи играют решающую роль в гл. 30. Когда объем работы, необходимой для завершения книги, начал казаться мне непосильным, мой упавший дух поддержал Андерс Мелин, предложив прочитать всю рукопись. Его конкретная и конструктивная критика была неоценимой; я и читатели
Русский перевод опубликован издательством <Мир> в 1965 г. — Прим, ред.
этой книги очень многим ему обязаны. Богдан Земян тщательно прочитал все корректуры и выловил большое число опечаток. Помогали мне в работе и многие другие, я благодарен им всем.
Часть материала, который должен был войти в эти тома» уже публиковалась ранее в различных моих статьях. Обычно все приходилось заново переписывать, но некоторые куски статей я включил в книгу в неизменном виде. Мне хочется поблагодарить следующие издательства, любезно разрешившие это сделать:
Marcel Dekker, Inc. (куски из статьи [41], включенные в § 17.2);
Princeton University Press (куски из статьи [38], включенные в гл. 27);
D. Reidel Publishing Company (куски из статьи [40], включенные в § 26.4);
John Wiley & Sons Inc. (куски из статьи [39], включенные в гл. 18).
(Здесь [п] отсылает к работе Hormander [п] из помещенного в конце тома списка литературы.).
Наконец, хочу поблагодарить издательство «Шпрингер» за всю ту поддержку, которую оно оказывало мне во время работы над монографией.
Юрсхольм, ноябрь 1984 г.Ларс Хёрмандер
Введение к томам 3 и 4
За долгую историю теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в ней было развито большое количество различных методов. В этой книге мы сосредоточим внимание на тех из них, которые играли главенствующую роль на позднейшей фазе развития теории. Однако и другие, более ранние методы бывают иногда применимы, а порой оказываются и более предпочтительными; поэтому мы посвятили вводную главу 17 описанию таких методов для случая дифференциальных уравнений второго порядка. За исключением этой главы, тома 3 и 4 посвящены систематическому изложению трех основных средств, используемых в современной теории, с указанием типичных приложений. Это псевдодифференциальные операторы (гл. 18), интегральные операторы Фурье и лагранжевы распределения (гл. 25) и, наконец, лежащая в основе аналитических рассмотрений симплектическая геометрия (гл. 21). При выборе приложений мы руководствовались главным образом соображениями исторического плана. Кроме того, много места и внимания уделено вопросам, в которых эти средства в полной мере продемонстрировали свою мощь, поскольку с их помощью удалось получить достаточно полные ответы.
Теория псевдодиффереициальных операторов развилась из теории сингулярных интегральных операторов. Последние, несмотря на свою давнюю традицию» играли весьма скромную роль в теории дифференциальных уравнений, до тех пор пока не появились теорема Кальдерона о единственности (в конце 50-х годов) и теоремы Атьи — Зингера — Ботта об индексе (в начале 60-х). Соответственно мы посвящаем этим темам гл. 28 и 19—20. Предвестником теории псевдодиффереициальных операторов можно считать ранние результаты И. Г. Петровского по гиперболическим операторам. В гл. 23 мы рассматриваем задачу Коши, используя усовершенствованный вариант даже
еще более старого метода интеграла энергии, доставляемый ис* числением псевдодифференциальных операторов.
Использование связей между геометрической и волновой оптикой, классической и квантовой механикой, иногда в виде различных эвристических соображений,——давняя традиция. В 60-х и начале 70-х годов эти идеи более систематически были развиты рядом авторов. Родившейся из этих исследований теории интегральных операторов Фурье посвящена гл. 25. Одним из ее первых приложений было изучение асимптотических свойств собственных значений (и собственных функций) эллиптических операторов высших порядков. Соответственно мы обсуждаем этот вопрос в гл. 29 вместе с рядом более поздних результатов, ярко демонстрирующих мощь теории. Одним из ее предшественников было проведенное Лаксом исследование распространения особенностей решений задачи Коши. В гл. 23 мы доказываем такого рода результаты, используя лишь псевдо- дифференциальные операторы. В гл. 26 весьма обстоятельно обсуждается задача о распространении особенностей для операторов главного типа. Для таких операторов подход с привлечением интегральных операторов Фурье ——это единственный известный подход, позволяющий устанавливать общие теоремы существования. Одной из причин для включения в книгу этой главы, а также следующей главы о субэллиптических операторах послужила полнота полученных здесь результатов. Помимо теории интегральных операторов Фурье тут требуется еще довольно много симплектической геометрии. Этот предмет, обсу-* ждаемый в гл. 21, имеет глубокие корни в классической механике, но теперь он в равной мере необходим и в теории линейных дифференциальных операторов. Дополнительные сведения из симплектической геометрии сообщаются и используются при обсуждении смешанной задачи в гл. 24, которое в остальном основано лишь на теории псевдодифференциальных операторов. То же верно и в отношении гл. 30, посвященной дальнодей- ствующей теории рассеяния. И здесь геометрия оказывается превосходным советчиком при выборе аналитических конструкций.
Что касается материала, не вошедшего в эти тома, то, пожалуй, больше всего бросается в глаза отсутствие теории аналитических особенностей и теории существования решений-гиперфункций. Заполнение этого пробела потребовало бы еще одного тома — и другого автора. Если не считать обсуждения свойства гипоэллиптичности, проведенного в гл. 22, мало сказано об операторах с двойными характеристиками. Причина ——отчасти нехватка места, отчасти то обстоятельство, что на некоторые вопросы, касающиеся таких операторов, до сих пор не получено окончательных ответов, хотя суммарный объем ре-
зультатов в этой области весьма велик. Наконец, мы рассматривали в основном скалярные операторы, действующие на скалярные функции, и лишь иногда определенные системы операторов. Обширные результаты, полученные, например, для систем векторных полей первого порядка, не отражены здесь совсем 1).
9 По этому поводу см” например, Treves [9], т* 2. — Прим. ред.
17
Эллиптические операторы второго порядка
Краткое содержание главы
Изучение дифференциальных операторов с переменными коэффициентами привело к разработке весьма сложных методов, которые будут изложены в последующих главах. Однако в случае операторов второго порядка эффективными часто оказываются и намного более простые классические методы, а некоторые результаты только для этого случая и справедливы. К тому же операторы второго порядка (или, точнее, связанные с ними системы первого порядка) играют важную роль во многих геометричетких вопросах, поэтому вполне естественно воспользоваться той возможностью упрощений, которую предоставляет их рассмотрение. Одиако не нуждающийся в дополнительных мотивировках читатель, нацеленный на скорейшее освоение самого мощного аппарата, спокойно может пропустить эту главу.
Эллиптические операторы являются операторами постоянной силы, поэтому к ним применимы результаты гл. 13. Использованные в указанной главе методы теории возмущений напоминаются в § 17.1 для случая эллиптических операторов со слабыми условиями регулярности, налагаемыми на коэффициенты, и с условием ^-интегрируемости или гёльдеровости, налагаемым на решения. Правда, в дальнейшем мы не будем стремиться к таким тонким результатам, поскольку они представляют интерес в основном для теории нелинейных дифферен* циальных уравнений, а она выходит за рамки этой книги.
Параграф 17.2 посвящен в основном теореме Ароншайна — Кордеса о единственности, утверждающей, в частности, что у эллиптического уравнения
£ аа (х) = О)а|<2
с вещественнозначными коэффициентами а* (липшицевыми при |а| = 2 и ограниченными при |а] V2) решение и тождественно равно нулю, если оно имеет нуль бесконечного порядка в не-
которой точке. Для операторов более чем второго порядка никакой такой результат не верен, хотя для них и есть более слабые теоремы единственности, в которых речь идет о решениях, обращающихся в нуль на некотором открытом множестве （см. также гл. 28）. Кроме того, в § 17.2 мы возвращаемся к теоремам единственности § 14.7, допуская теперь возмущения первого порядка.
В § 17.3 изучается простейшая классическая краевая задача —задача Дирихле, состоящая в нахождении решения уравнения Au = f с заданными граничными значениями. В случае когда коэффициенты постоянные, а граница плоская, простые рассуждения с применением отражений сводят дело к результатам § 17.1. Как и там, используя затем методы теории возмущений, мы можем рассмотреть случай переменных коэффициентов и искривленной границы. А именно, в каждой фиксированной граничной точке мы «распрямляем* границу и «замораживаема коэффициенты, потом оцениваем норму привносимой тем самым ошибки и применяем ряд Неймана. Очевидно» что никакой нетривиальной информации об особенностях решений на таком пути получить нельзя. Поэтому в § 17.4 мы излагаем метод параметрикса Адамара, с помощью которого, используя простой вид оператора второго порядка в геодезических координатах, удается описать особенности фундаментального решения со сколь угодно высокой точностью. В действительности этот метод применим ко всем операторам второго порядка с невырожденным главным символом. Его можно применить и к задаче Дирихле, хотя здесь возникают существенные ограничения, связанные с возможным появлением касающиеся границы или многократно отраженных от границы геодезических.
В § 17.5, комбинируя результаты § 17.3 и 17.4, мы исследуем асимптотические свойства собственных функций и собственных значений задачи Дирихле. Прежде всего мы выводим принадлежащую Авакумовичу точную оценку ошибки вдали от границы. Затем дается точный аналог этой оценки на границе, но один шаг доказательства мы сможем выполнить лишь в гл. 24. Дальнейшие уточнения этих результатов будут даны в гл. 29.
Регулярность внутри области
и локальные теоремы существования
В отступление от названия главы мы рассмотрим здесь дифференциальный оператор
Р（Х, п）= £ 4（Х）加
произвольного порядка т на открытом множестве XuR". Предположим, что для некоторого р w(l, оо) выполнены условия:
функции аа с |а| = т непрерывны;
оператор Рт (О, D) = X аа(0)£)а эллиптичен;
I а |=т
аа принадлежит классу
上盟При 6 —|а|<〃р,
厶般 для некоторого е > 0 при m — | а | = п/р, AL при m —• I а I > п[р.
Тогда теорему 13.2.1 можно дополнить следующим образом?
Теорема 17.1.1. Если выполнены условия (i) — (iii) и X ——достаточно малая окрестность нуля, то существует линейный оператор Е в U(X), такой что
отображение L" (X) m f —> D“Ef 曰 U (X) непрерывно при p&q&8 и \/q ^ 1/р — (m —• I а I )/п, причем в случае g = оо последнее неравенство должно , быть строгим,
Р (居 Q)Ef = f,f е If (X),
ЕР (к, D)u = ut и^С^(Х).
Доказательство, Положим p(D)= Pm(0, D) и выберем Fg 巨 0’ в соответствии с теоремой 7.1.22, так что R)(E)= 1/р(&) при |Е| 力 1 и PQ ^ С°°, Из теорем 7.9.5 и 4.5.9 следует» что
I 仍吼* g|〃《Glgl»
при g^ Lp (]冒‘，1/g = 1/p — (zn — I a |)/n, g V oo.
Кроме того, DaF0 w U℃ при m — | a | > n(l — 1/r), поскольку DaFQ в существенном однородно степени m —\а\— п> —n/r.
Пусть Ео — фундаментальное решение для р(0)・ Тогда Fo — Eq^ С°°. Для всякой функции g е Lp(X) определим функ* цию go равенствами go=g на X, go = O на СХ и положим Eog = E0^g0\x. Из (17.1.4) и последующих наблюдений вытекает, что если X содержится в единичном шаре, то
^а£^|^(х)<С||ёг||дР(х)> g^Lp(X).
Здесь q выбирается так: \/q = 1/р — (m — |a| )/п при /п —|а[ V 九/р； д = Р(р + 8)/8 с в из условия (iii) при m — I a I = n/p;
д = 8 при /п — I а I > п/р (возьмем 1/г+1/р=1). Далее,
尸(х, D) E^g = р (D) £灌 + (尸(х, D) — p (D)) Eog = g + Rg, где
Rg= 2 (aa(x)-aa(O))Da£o5+ X。^)加后感・I a |=m) a |<m
В силу неравенства Гёльдера, оценки (17.1.5) и условий (i) и (iii),
lIRglb⑺《%1也叫疗 g^LPW,
если X — достаточно малая окрестность нуля. В таком случае оператор / + R обратим и оператор £* =瓦(/ + &尸 обладает свойствами (17.1.1) и (17.1.2) ввиду (17.1.5) и того факта, что
Р(X, О)牙=(/ + R) (/ + R)Tf = f.
Наконец, если f = Р(х, D)u, 〃巨 С/(Х), то единственным решением уравнения g + Ag = f будет функция g = p(D)u, ибо для нее Eog = «, а значит,
p ⑼〃 + Rp (0) 〃 = Р (0) "
+ X (aa(x)-aa(0))Da«+ Z aa(x)Dau I a |=mI a |<m
равно P(x, D)u в X, чем доказательство теоремы и завершено.
Заменяя Ар-условия условиями Гёльдера, получаем следующий вариант теоремы 17.1.1:
Теорема 17.1.Iх. Предположим, что для некоторого у е (0, 1) коэффициенты оператора Р (尤，力)принадлежат классу Су вблизи нуля и оператор Pm(0, D) эллиптичен. Если X — достаточно малый шар с центром в нуле、то существует линейный оператор Е в C^(X)t такой что
(17.L1)' отображение CY(X) з f t-^- D^Ef s CY(X) непрерывно
при I a I《％
(17.1.2ГР(х, D)Ef = f, f^C\X),
ЕР (х, D)u = u, “мСГ(Х).
Здесь Cv(X) обозначает множество всех непрерывных функ* ций g на X, для которых конечна норма
sup|g(x)|+ sup \g(x) — g(y)\/\x — у^.
*三 Xх, у u X
Если радиус шара X равен г, то такие функции допускают Cv-продолжение на всё пространство по формуле
“(%)при %wX,
goM^' g(r%/l%l)(2 —|%|/г) при г < I x К 2r,
.Опри I х I > 2г.
Доказательство теоремы 17.1.1’ идентично доказательству теоремы 17.1.1, за тем лишь исключением, что gQ определяется теперь по приведенной выше формуле, а оценка (17.1.4) заменяется оценкой, выражающей непрерывность соответствующего отображения в пространстве С» при |а| = т, которая вытекает из теоремы 7.9.6. Поскольку нигде далее этот результат использоваться не будет» подробности предоставим читателю.
Чуть видоизменив доказательство теоремы 17.1.1, можно получить теорему о логарифмической выпуклости для L^-норм производных, которая понадобится нам позднее. Чтобы сократить доказательство, исключим из дифференциального оператора все младшие члены. Сперва установим одну лемму.
Лемма 17.1.2. Пусть 尸(。)一однородный эллиптический дифференциальный оператор мор兄Ока т. Тогда для любого числа Л >0
m% ""I" I°% " & С(И 尸(°)° 切 + ”"1 и 修)
если Daf е Lp, |а| m.
Доказательство. Если принять Ах в качестве новой переменной (вместо х), то Л исчезнет из (17.1.6), поэтому при доказательстве можно считать, что Л = 1. Определим R), как в доказательстве теоремы 17.1.1. Таким образом, P(D)Fq = S + о, где (о Тогда
DaO =加尸° * Р (О) U -(0%) * О,
откуда и следует (17.1.6), ибо Dam е £\ a D^Fq удовлетворяет условиям теоремы 7.9.5.
Замечание. Из доказательства видно, что С можно выбрать общим для всех 尸,принадлежащих заданному компактному множеству эллиптических многочленов степени т.
Теорема 17.1.3. Предположим, что Pm(xt D) удовлетворяет приведенным выше условиям (i) и (ii) 8 некоторой компактной окрестности нуля К> и пусть X — открытое множество^ содержащееся в К. Обозначим через d(x) расстояние от точки хеХ
до СХ. Если Dau w "(X), |а| & 加，то
k(x)|alDa«Lp(z)<C(h(x)mPm(x,。)“以(X)
где С не зависит от X.
Доказательство, Пусть В = В® R)——шар радиуса R с qeiiTpoM в точке у^Х, причем d(y)N2A. Положим %3〃)="(尤一y)，R), где х — некоторая фиксированная функция из Cf (В (0, 1)), равная 1 в В (0, 1/2). Применяя (17.1.6) к P{D) — Pm (yt D) и & = %в〃，приходим к оценке
Е 4m g) , \Dau\Pdx ja|VmВ® R⑵
) |Pm(x, D)u\pdx + e(R) £ J \Dau\Pdx
十 Z R-P(mTal) , \Dau^ dx+^ , |M|Prfx'j l«l<mВ (У, Л)B(g. R)丿
(с другой постоянной С). Мы разложили здесь 尸(0)(%в〃) по формуле Лейбница и оценили xs (Pm (z/, D) — Рт (х, D)) и (х) через модуль непрерывности е коэффициентов дифференциального оператора. Таким образом, e(R)->0 при Rf 0、Теперь возьмем A=M/R, где М ——некоторая большая постоянная, и умножим обе части неравенства на Rpm. Это даст
£ М~Е我g J \Dau\pdx
$a| Vm8® ®2)
&c( , \RmPm(x, D)U\Pdx + e(R) £ J \RmDau\Pdx \B (У. /?)J a I *»m В (у, /?)
+ £ &3 ) \Dau |p dx + Mpm \ \u\pdx\.
I al<m 8(g, R)8(巩 R)/
Положим
R (у) = min (Ro, d®)/2)
{где Rq — малое число, которое будет выбрано позднее), умножим последнее неравенство на R(yL и проинтегрируем по уеХ. Поскольку \R(x) — R(y)\^\x — у\/2, то при \х — у{ < R ®) мы имеем | R (g) — R (х) | V А (у) /2, а значит,
А(9)/2 < А (х)< ЗА д)/2.
Если же \х — у\< 2R (х)/5, то |R(f/)—R(x) | V R(x)/5, а потому.
4R(x)/5<Rg)<6R(x)/5.
Следовательно,
\WR(9)"&(3/2)” J dy/R(x)n = 3n , dy,
X&B(y,R (I/П(X"|/)<2/? (x)［川 VI
J WR®“)(5/6)", dy/R(X)n = 3~n \ dy.
jcmB(g,R®)/2))'|x-y|<2^? (x)/5lyfvi
Отсюда вытекает, что
£ M°("a耳 Ь(Х)15С%|”Х |a|<m
^C(^\R(x)mPm(x, D)u\Pdx + e(R^ £ J|i?(x)mDa« ^ dx
、I a |=m
+ £ $ IR(x)1 °1 D°«［₽ dx + Mpm \\u |₽dx>.
I a Km/
где C — некоторая новая постоянная, не зависящая от R# Выберем & столь малым, чтобы Ce(Ro) V 1/2. Тогда при достаточно большом М, скажем М ^ MQi мы не нарушим неравенства, выбросив из правой части обе суммы, а левую уменьшив наполовину. Итак,
“"I。I J R (х)1。"％ |頂《С ( Ц R "尸 Рт (%,。) « 心 + ^ II « »)•
Полагая теперь М = М0, в случае если || R (x)m Рт (х, D) и ||Л₽ < ЛГо1 II и НдР, а в противном случае выбирая М так, чтобы выполнялось равенство
Мт^иу = \^(хГРт(х. D)〃［応
приходим к (17,1.7).
Следствие 17.L4. Пусть Рт удовлетворяет условиям (i), (ii) в некоторой окрестности нуля К. Если Dau е Lp в К \ {6} при \а\^т и
\\и^ dx = O(/?4 R->0,
RVl#|V2R
|Pm(x, D)a|《C X 2%||xfaf 8 K\{0},
Регулярность внутри области 19 то при |а|m
, |R|alQ%Fdx = O(RN), RfO.
RVI w|V2R
Доказательство. При достаточно малом R можно применить теорему 17.1.3 с Х = В(6, 2R)\B(0, R). На этом множестве
d(xT\Pm^ D)u\^C £ d(%)g|Q%|,
I aT<m
поскольку d(尤)VR《|%|* Поэтому из (17*1.7) вытекает, что
S= X |1户厅小也)《&S"吗1“11货 (a|<m'
Следовательно,
Z ,|(R/3)g£>%|"dx
I ai<m 4RV3|x|V5R
& £ IId1 a'Dau^lp.x <СГ[| и||^P (Л( = О (Rn\ 1 a |<m
Это доказывает оценку (17.1,10) при |a|Vm. Еще одно применение неравенства (17.1.7) дает оценку (17.1.10) и при |сс| =九
Имея в виду приложения к доказательству глобальных теорем существования, мы рассмотрим в § 17.2 вопрос, обязано ли быть нулевым решение и дифференциального уравнения с главным символом Pm, удовлетворяющее условию (17,1.8) при всех N (или, что равносильно, условию (17.1.10) при всех a с \а\< гп и всех ^). Нам придется при этом предположить, что коэффициенты Pm липшицевы, т. е. |aa(x)— а^(у) | WC|x —у|, \а\= т. В таком случае Рт (х, D)u определено (как распределение), если выполнены лишь условия D^u е Lp, |a| V 加，и теорему 17.1.3, равно как и следствие 17.1.4, можно усилить, используя следующую лемму Фридрихса:
Лемма 17Л.5, Пусть и е Lp (Rn) 〃 | a (х) — а (у) | ^ Л11 х — ^ | при х, у w Rn. Тогда для всех 屮 三 СГ
II (aQ/U)零％ — a (。产 * %)仙
^M^vy^^^lyWD^Ddy,
где фе (х)=屮(х/е) е"л. Для фиксированной функции и левая часть стремится к нулю при в f 0.
Доказательство. Поскольку СГ плотно в L", можно считать, что и w Cf. При этом условии достаточно установить справедливость неравенства (17.1.11), ибо утверждение о пределе тогда очевидно. Функция, норму которой надо оценить, равна
"(а (х — д) — а (х)) (DjV) (х — у)恥(9)dy |
=I，(а (х — У) — а (х)) v(x —у) D/Фе (у) dy
— ^Dfl}(x — y)v(x — y}^{y)dy^
&М JI о(х- у)|(|у ИD^y)\ + ^{y)\}dy.
Оценка (17.1.11) следует поэтому из неравенства Минковского, так как
\(1"®1+1川1分fj力)弘 не зависит от е.
Итак, возвратимся к теореме 17.1.3 и предположим лишь^ что £>% 巨 L'(X), I а [ < m, но зато коэффициенты аа липшицевы И Pm (%, £>)〃 巨 D(X). Пусть %о, %]WC7(X),左=1 в некоторой окрестности носителя %о・ Положим у = х0M. Ясно, что ив&'(Х) и Dav^ Lpt I а I < m, Pm (x, D)v ^ If. Выберем функцию <p w С/ с ^ ф dx = 1 и рассмотрим свертку %=и *(ре, где(ре (х)=ф(х/е)/вп. Тогда и® 巨 СГ и, полагая ba = ^aat мы имеем при малых е
Рт(х,。)％= X 6aD°oe->Pm(x, D)o в 厶"
I a(=m
в силу леммы 17.1.5, ибо Pm(xt Q)u = £ bQ%. Следовательно» можно применить (17.1.7) к и® — и^ н заключить, что 。仪。© сходится при е-^0 к некоторому пределу в U для |a| = /n. Значит, Da« е L^c(X) при |а| ^ /п. Таким образом, верна оценка (17.1.7) с X, замененным на {х е X; d(x) > р}. Устремляя р к нулю, получаем оценку (17.1.7) как она есть. Итак, теорема 17.1.3 и следствие 17.1.4 справедливы и в случае, когда коэффициенты aa липшицевы, а 方％ 巨 U, |a| < m.
172 Теоремы об однозначном продолжении
Мы начнем с теоремы об однозначном продолжении, в которой допускаются операторы высших порядков и которая представ* ляет собой аналог теоремы 8.6.5. Пусть
Pm(X, D)= £。£幻加)a l・m
—дифференциальный оператор на некотором открытом множестве 戈 и R". Предположим, что
⑴ функции аа липшицевы в X;
оператор Рт эллиптичен в X.
Обозначим через S замкнутое коническое множество
S = {(х, ^)e Т*(Х) \ 0; при некотором 自 w R" многочлен Рт (х,自 + tN) имеет нуль т кратности 》2, для которого Е + т2,0}・
Разумеется, такой нуль т не может быть вещественным.
Теорема 17.2.1. Если D“uw L；g(X) при | а | < m, Pm(x, D)u eAioc(X) и
|Pm(x, D)u\^C £ |D%| в X,
|a(<m
to 汽(supp〃)u£, где E ——множество, определенное формулой (17.2.1).
По поводу обозначения 汽 и глобальных результатов о единственности, вытекающих из теоремы 17.2.1, отсылаем читателя к § 8.5 и 8.6. Определения обоих множеств S и ^ локальны и инвариантны относительно локальных диффеоморфизмов, поэтому достаточно установить, что если 0 w X и (0, N)丈 W, ^ ={0, ..., 0, 1), то supp〃H{x； Хп》0}и{0} влечет 〃=0 в некоторой окрестности нуля. Мы установим это, оценив и через высокие степени некоторой весовой функции, имеющей на множестве supp и единственный максимум в точке 0.
Положим p(g) = Pm(0, g). Условие (0,2V) ^ S означает, что р 隽 + i%N) и
/)(占 + 九2) = dp (g + ixN)ldln
не имеют общих нулей (|, т) е Rn+l \{0}・ Следовательно,
£T2(m-Ia|)|ga|2<c(|p(|+ -еЛГ)(2
la|<m.
+ Т2| *)低 + 氏N) Г), е, т) е RB+*
поскольку обе части этого неравенства однородны степени 2т и могут обращаться в нуль, лишь когда т = 0 и p(g) = O, т. е. 1 = 0. Теперь нам понадобится одно тождество Трева, тесно связанное с коммутационными соотношениями.
Лемма 17.2.2. Пусть Q(x)= £。/々+ £ b阈2 — вещественный квадратичный многочлен на R" и Р(О)——дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами. Если « sCo°(Rn) u и = 〃eQ/2, то
^\P(D)uMdx=^\P(D+ iQf/2)v^dx
=\ 2 尸8 (Q — Q/2) ° Г badx/a\. a
Доказательство. Первое равенство очевидно» так как DfU = e~Q^{Di + idjQ/2)v. Сопряженным к оператору Qj + id/Q/2 является оператор О； — id/Q/2, поэтому нам достаточно показать, что
D — Q/2) Р (Q + Q/2)
=£ Pw (D + iQ'/2)戸a) (Q — Q/2) 6a/a!.
Далее, коммутаторы операторов Q『—idjQ/2 и D* + idkQ/2 [Df 一 i%Q/2, Dk +，旅Q/2] = d^ = %力在
совпадают с коммутаторами операторов О/ и Ь^★矗.В силу пра* вила Лейбница справедливо равенство (в котором обе части рассматриваются как операторы)、
Р (d) Р 3) = X S* (Ьх))^ (d)/a!,
з поскольку это—чисто алгебраическое следствие указанных коммутационных соотношений, то справедливо и равенство (1725)..-
Ключевую роль в доказательстве теоремы 17.2.1 играет следующая оценка:
Предложение 17.2.3. Пусть Pm(x, D) удовлетворяет приведенным выше условиям (i) u (ii) в некоторой окрестности нуля, и пусть (0, ^)^ S. Найдется такая окрестность нуля Xgu X, что при достаточно малых е >- 0 w достаточно больших т > О
£ т2(«-!«[)-i ^\D^e^dx
lal<m
《С，I Pm (вх, D)uf вЛф dx, 〃 w сг (Хо), zde Ф(х) = хл + x2/2.
Доказательство. Положим u(*) = 〃(％)夕①⑴.Тогда
Du = е~т屮(Q + гтфг) % Qu = е® (D — /тфх) 〃.
Поэтому с точностью до значения постоянной оценка (17.2.6) равносильна оценке
(17.2.6Г£ T2(m-la|)-l J|Da0|2dx
laym
《c j Pm (ex, Q + iB) и『dx, и w Cf (Xo)-
Допустим сначала, что коэффициенты оператора Рт постоянны, так что Pm = р. Из (17.2.4) с Р = р н Q = 2т(р вытекает, что
，I Q (。一氏<р') и F dx + 2т，I рб)(С -氏q/) и I2 dx
《，I р (D + ^^ v I2 dx.
В силу (17.2.3) и формулы Парсеваля, для всех о е Со°(RR) (17.2.3/2 12*3)，10%12办：《(?(，1广(0一九仞012 dx
|a|<m
+ 丁2 \|/S)(Q_ fTN)u|2dx).
Из (17.2.3/ следует, что если v е С* (Хо) и X。содержится в шаре [ х[ < й, то
£ T2(m-|a|) ^|дап|2^х
|a|<m
<2C(J|p(D- iB) и |2d* + 丁2 , I 赤)(°一 氏q/) ° 产厶) +e' (1+62Т2) 2 Т2Ml 明)\1c% 12 dx.
I ad V m
В случае когда 6 достаточно мало, а т достаточно велико» 0(1 + 62T2) V т2/2, так что в неравенстве (17.2.&) можно сократить сумму в правой части с половиной левой части. Искомая оценка (17.2.6)z вытекает из получающегося при этом неравенства и неравенства (17.2.7).
Для завершения доказательства нам нужна одна элементарная лемма, позволяющая управляться с переменными коэффициентами. Будем обозначать А2-норму просто через || [|.
Лемма 17.2.4. Пусть X — открытое множество 8 R〃 〃 А—лип- шицева функция на X с постоянной Липшица L:
\A(x) — A(y)\^L]x^y\ для х, у^Х.
Тогда.
IJ А(х)(Dau(х)D%(x) - 0%(х)0%⑴)dx|<|a+₽|LAf, если u, и w СГ (X) 〃
J Da/u|||| D^v |^Л1 для всех К 0', таких что
|а'+ Р'| V|a + р I, тах( ai,| pz ()< max ([a |, | ₽ |)
(8 случае |a|#：|P| последний знак《W》можно заменить на 《V》).
Доказательство. При a + р = 0 утверждение очевидно. При |a + Р|= 1 надо просто заметить, что
^ (^) (DjU (х) и (х) — 〃 (х)乌。(х)) dx = — \ DjA (х) и (х) и (х) dx.
Интегрирование по частям решает дело и при | a| = | р |= 1：
,4 (%) (Q产(х) Dkv (х) — Dku (x) Q/U (x)) dx
=—^ u{x){DfA (x) Dkv (x) — DkA (x)Q^u(x)) dx.
Эти и аналогичные равенства позволяют последовательно «сбрасывать» индексы с мультииндексов а и р, «затрачивая» по LM на каждое сбрасывание.
Завершение доказательства предложения 17.2.3. Положим r(x,D)= Pm(xtD) — p(D), где p(D) = Pm(0, D). В силу сделанных предположений коэффициенты оператора r(ex, D) и их постоянные Липшица суть 0(e) в X, Используя обозначения из первой части доказательства, образуем разность
，I Pm (ex, D + ix^v fdx—^\Pm (ex, D —反 <р') о Р dx.
Подставим сюда Рт = р + г и оценим различные получающиеся члены. Прежде всего,
\ I р (Q + К<Р‘)。|2 dx —，I 广(Q — itq/) v^dx
> 2т，I 力6)(О — /тфЭ и р dx.
Далее, члены, в которых ни одна производная не падает на ф\ имеют вид
d^T a IT ”、&х)да。(х) Q%(x) - Q% (Х) Dav (x)) dx,
|a|《m, I p |<m.
где А — липшицева функция с постоянной 0(e). Эти члены оцениваются с помощью леммы 17.2.4. Кроме того, есть еще члены вида
tv^ Л (х) 0% (х) О% (х) dx,
V +1 а I +1 ₽ [ < 2m, I а I《m,丨 0 I《S
где sup[ А\ = 0 (в). Таким образом,
II Рт (ex, D — гтф') ◎『+ т || 加“)(С — it^) о Ц2
《ЩЗ С + ”)。『 + сe ?/吁з)」0%f. I a|<m
Замечая теперь, что оценка (17.2.8) сохраняет силу, если в ней заменить p(D — /т(р,) на Рт(^х9 Q —反屮‘)с е <： 6, завершаем доказательство оценки (1726)，точно так же, как и в случае постоянных коэффициентов.
Доказательство теоремы 17.2.1. Напомним, нам достаточно установить, что если ОеХ и (0,^)^ 2, ^ = (0, ...» О, 1), то supp и П{х; %п》0}и{0} влечет и = 0 в некоторой окрестности нуля. С этой целью положим це(х)= ц(ех), где е выбрано столь малым, чтобы в некоторой окрестности нуля Х()и Х/е выполнялась оценка (17.2.6). Возьмем какую-нибудь функцию % е Со° (Хо), равную 1 в некоторой окрестности нуля V, и положим Ь = ум?. Если Pm(x, D)u = Д то
Р„, (ex, D) U = ет% (х) /(ех) + X Da%P^ (ex, Q) “Ja!,0<| a|
откуда следует, что Pm(^x,D)U e L2 и (в силу (17.2.2))
|Pm(ex, D)U\^C X &m~'a'\Dau\ в 匕|a(<m.
Согласно замечаниям, сделанным в конце § 17.1, DaU е L2 при |a|^ т, поэтому ясно, что оценка (17.2.6) применима к U. Если носитель % достаточно мал, то ф ^ ——с на supp U\V для некоторого с > 0, и, используя (17.2.6), мы получаем
^2 S y^Ul^Cle^P^x, D)Ul
《(У £ lexvDaul+ C,e~n.
I a |<m
Отсюда вытекает, что при достаточно больших т
|al<m
Следовательно, U=0 там, где q> > —с, чем теорема и дока* зана.
В случае операторов второго порядка, как показывает следующая лемма, множество 2 допускает очень простое описание.
Лемма 17.2.5. Пусть р — квадратичная форма на Rn с комплексными коэффициентами. Предположим, что эта форма эллиптична, г. е. p(W)，O при 0 =/= I е Rn. Если N 三 R"\0 u ge Rrt \RN, to 8 случае 〃，2 один из корней квадратного уравнения р(| + xN) = 0 имеет строго положительную, а другой — строго отрицательную мнимую часть. В случае л = 2 корни этого уравнения различны, если только р не является квадратом 4〃・ нейной формы.
Доказательство. В случае 孔>2 множество R尼\RN связно Поскольку p(g + т^) не имеет вещественных нулей при 己 w Rn\RNt число нулей с Im т > 0 не зависит от & Замена g на —g меняет и знак корня т, поэтому должно быть по одному корню в каждой полуплоскости. В случае л = 2 форма р допускает разложение p(g) = Li(g)L2(5) в произведение двух линейных сомножителей. Если у них есть общий нуль, то они должны быть пропорциональны, а тогда их можно выбрать равными.
Из этой леммы вытекает, что в случае m — 2 множество S при 〃 > 2 пусто, а при 孔=2 равно и(П \ 0)，где объединение берется по всем х w X, для которых Pm(%, g) представляет собой квадрат линейной формы. При этом, если X связно и при некотором х форма Рт(х, |) вещественная (т. е. имеет вещественные коэффициенты), то 2 пусто, поскольку два нуля квадратного трехчлена Рт(х, g + тА^) должны всё время оставаться в различных полуплоскостях по соображениям непрерывности.
Далее мы будем рассматривать лишь случай операторов второго порядка и будем писать р(火,О) вместо Pm(x, О). Докажем, что если и удовлетворяет некоторому ослабленному варианту условия (17.2.2) и имеет нуль бесконечного порядка в какой-либо точке, где коэффициенты дифференциального оператора р вещественны, то 〃 тождественно равняется нулю.
Теорема 17.2.6. Пусть р (х, D) = ^ aik (х) DjDk — эллиптический оператор s некоторой связной окрестности нуля X, коэффициенты которого удовлетворяют следующим условиям: числа 〃/兑(0) вещественныу функции ajk непрерывны в X и липшицевы $ Х\{0}, причем |а；/《С|х『т &力兄 некоторого б > 0. Если
Q% 胃 Lioc при [ а К 1 и
(1722У|р(х, D)u\^C £ |лг产MT|Q%|,
1а|<1
\ \иНх = О (е^) (е -> 0)
|Х|<8
для любого N, то и =0 в X.
Доказа тел ъст во. Поскольку (17.2.2)，влечет (17.1.9), из усиленного варианта следствия 17.1.4, отмеченного в конце § 17.1, вытекает, что при |а|2 и при всех ^
(17.2.9/,I。％ 12 dx = О(е"), …0.
8<| х |<2е
Следовательно, и представляет собой сумму функции из Н^{Х} и распределения с носителем в нуле. Но никакое распределение с носителем в нуле не принадлежит 厶;恥；значит, u w Н；；； (X). В силу теоремы 17.2.1 достаточно доказать, что и = 0 в некоторой окрестности нуля. Без ограничения общности можно считать, что р (0, D) = £ D*
Как и в доказательстве предложения 14.7.1, введем в R尼\{0} полярные координаты, записав х в виде х = е心，где fwR, (о 已 ST Тогда
d/dxf = 8p2t + ОД
где Q/ ——некоторое векторное поле на S"-* и поэтому наш оператор р(х, D) = Е а泣⑺DjDh выглядит в новых координатах так:
р (х, D) = — е-2t X ам (8з)(3/ (d/dt — 1) + &) (з必/О/ + %).
Положим U(tt ©)= и{е^). Тогда неравенство (\72^f перепи* шется в виде
I £ а/Ме%)(吗(d/出 一 1)十 &)®必例 + Q^U\
(a1<1
где U^ — (md/dt + Q)aU. По предположению, @汴(？心)=0信 + О(е") при ff——8, производные первого порядка от а/在 суть0(战)и,
£ (吗(d/dt 一 1) + Qj Q月/出 + 石)=02似2 + m 一 2) d例 + 2 峙， так как £s/Q/ = 0 и £= X 厂。吗/。々=£「。(%〃)
=м — 1. Оператор S ^/ — это оператор Лапласа ——Бельтрами
Ди на единичной сфере. Сопряженным к 0 как оператору в £2(s“i) служит оператор (л — 1)©/ — Q/. В самом деле,
,(Q产)vdx + ^ 〃Q/U d# = \ & (〃и) dx
=\ [ % [d也u)/d勺d# — g ®戸(〃喇Or 尸d®dr =—,8产0 dx + Ai、(o 产卅 Tdsdr
=(n — 1)，s产。dx・
Но оператор А®, конечно, самосопряжен; действительно,
£ ((п — 1)©/ 一 Qj)2 =仇一I)2 一 (л — 1) Z RjSj + £ 0= £ Q*
В доказательстве теоремы 17.2.1 при выводе важной оценки (17.2.7) из равенства (17.2.4) использовалась положительность коэффициентов 力 в соответствующем многочлене Q, т. е. выпуклость экспоненты от q>. С аналогичной целью введем вместо / новую переменную Г:
f = Т + 戸，dt/dT = 1 + еееГ > 0;
здесь £ — какое-либо число, удовлетворяющее условию 0 < в V 6. Заметим, что TVf 之亍+1VT/2 при Г V —2. После умножения на (1 + ее®7")2 оператор в левой части неравенства (1722)" принимает вид
Q = д2/дТ2 + с(Т)д/дТ + (1 + еееГ)2 X 储
+ X Са,/(Т, 3)(a/dT)ga.
|a[+/V2
Здесь с(Т)=(孔一2) (1 + ее®7") — e2^7' /(1 + ее8') близко к л — 2 при больших отрицательных Т и
%/ = О(е"), dc%/ = O(e“)при Г-> — оо.
(Отметим, что в исходных координатах эта замена переменных не является гладкой.) Докажем, что для некоторого То
2т3-2у+! а”，，I (&做)/STU I2『(КТ) Т ds dT
/+|а |<2
《С V IQU 打-州 ds dT, и ^ Со ((- со, То) х 5nТ).
(При |а| = 2 мы определяем Qa как, скажем, произведение QjQk с jW*・)Это оценка сослужит нам ту же службу, что и оценка (17.2.6) в доказательстве теоремы 17,2・1.
Доказательство оценки (17.2J1). Положим U = ё^У и Q^ = e^TQ^TVY
Таким образом, QT получается из Q заменой д/дТ на д/дТ + т. Ясно, что оценка (17.2.11) равносильна оценке
(17.2.11У 2 тз-2 «+1а I > JJ I (д/дТ)1 QV |2 евГ d(o dT /+lal<2
《CyiQdPdcodT, VeC~((-oo, ^XS"-1).
Пусть Q7"- оператор, получающийся из QT> если д/дТ и Q/ заменить на —д[6Т и —й/, а %,/ — на %,「(В сущности, это то же самое, что и переход к комплексно сопряженному оператору, использованный в доказательстве предложения 17.2.3, только записанный в наших новых обозначениях.) Рассмотрим разность
JJlQTVr^dr- JJlQrVl^odr.
По сравнению с доказательством предложения 17.2,3 нам надо теперь помимо степеней т и порядков дифференцирования принимать в расчет еще и экспоненциальное убывание на —оо. Как будет показано чуть ниже, ввиду (17.2.10) члены, содержащие са, /, не играют существенной роли, поэтому рассмотрим сперва другие члены в QT и Q7：
(士 д/дТ + тУ + с (Т) (± д/дТ + т) + (1 + еЕ)2 £ Q}
Отвечающий им вклад в (17.2.12) равен
4 Re (©/"2 + 者 + С (Т) т + (1 + 吆吟2 £ 僞)У, (2т + с) dV/дТ)==一 2 Re (с' (T)dV/dT, dV/dT)
-2 ((3d + 2ст) c'V, У) + 2 £ (无&匕 &У).
Мы учли здесь, что £ 8揑/ = 0 н h = ^r(\+^^x+c)
=((2т + с) 2紋声 + (1 + ее®т)с') (1 + ее®г) > 282T 声
для достаточно больших т. Все прочие члены в (17.2,12) имеют вид'
? JJa (Т, ©) {(dldT^^V (2/打严 aW
-((-d/dT产(-a)0 V (一a/07产(一i2)" У)d9 dT,
где / + <Хо + |а1 + ₽о + 1Р1<4, <Хо + |а|<2, ₽0 + 1₽1<2 и а = О(е6т), а7 = О(е6т). Их можно оценить, используя очевидную модификацию рассуждений, примененных в доказательстве леммы 17.2.4, а можно и прямо воспользоваться теми же самыми рассуждениями, разложив предварительно рассматриваемые операторы при помощи подходящего разбиения единицы. (Напомним, что сопряженный к Q； отличается от —Q； на опе^ ратор порядка 0.) Таким образом, справедлива оценка
I] Q”『+ 4е? т £ V I &丿『产 ds 订《|| QJ ||2
Ч-С £ тз-2 </+l а I > J J I ^дТ)1 Q« у |2 ^ _|_ т- ie«^ da dT^ /+|а|<2
Это — надлежащая замена оценки (17.2.7). Получим теперь надлежащую замену оценки (17.2.8), а именно докажем, что при некотором %
£ /-2(/+| а|) I ^/дт^ Qay |2 ^Т
/+1а|<2
《С М(IQM? + IQ”『+ Т? 21 &У I2) e^dQ 忆 VwC：((_8, To)XS"T)
для достаточно больших т. Вводя VeeT/2 в качестве новой переменной, замораживая коэффициенты на —оо и опуская члены низших порядков, видим, что достаточно установить оценку (17.2.⑸£ т4-2(/+|а 1 > J СI (д/дт)1 QaV I2 do dT
7+la|<2
《с V(I ((d/打 + Т)2 + Аз)川2 +1 (@做一疗 + &) d
+ т2^|Й;У I2) dadT.
Интеграл в правой части равен
JJ(2|(<32/№ + 丁2 + дш)丿 |2 + 8T21 dv/дт |2 + т2^| а/ |2“зат.
Далее,
II @/"2 + 丁2 + AJ у『=\1д2у/дТ2 ]|2 + 丁4 И U 炉 + Ц Д^у『
+ 2^.^д/дщу『一 2т2 (XII а/ II2+II ap/dT『)
В силу эллиптичности А®
余 J qM & с (II а и『+]系丿 qV |Г).
Сопоставляя эти оценки, получаем (17.2.15), а тем самым и (17.2.14). Оценивая правую часть (17.2.14) с помощью (17.2.13), заключаем, что для достаточно больших т
2 г4-2(/+| а I) j j I 付做)/ Q*『館门 _ с，.67 + 1一1尸)/『)dco dT /+|а|<2
^CtMQ.V^ В случае если т достаточно велико, а е’’ достаточно мало, это дает оценку (17.2.11)/. -
Завершение доказательства теоремы 1726. Прежде всего напомним, что функция и из формулировки теоремы, рассматриваемая как функция U от (a r tf удовлетворяет дифференциальному неравенству (17.2.2)". После замены переменной t = Т + е&т это неравенство принимает вид
IQUI&C Е e6TUa,
|а|<1
где UQ = \U\ и Ua = I dU/dT | + | Q^U | при |а|= 1. Выберем функцию ip w(?8(R), равную 1 на (— оо, ^― 1) и 0 на (То> °°)> и положим
URT, <о) = ф(Л^(Л со).
Из (1729)' вытекает, что производные от U* порядка《2, помноженные на e~Nt, принадлежат 厶® при любом М Гладко обрезая и при больших отрицательных Т, заключаем, что для U* выполняется оценка (17.2.11). Правая ее часть оценивается величиной
e"(e"(n)+ 2 «1(/中-2Г(-6)出打)，〈|О|<1/
где U* = |炉I и 破=|@и%Т| + |£Л/В при |а|=1. Поэтому оценка (17.2.11) дает (ибо в&2&)
2 Т3-2什111"口9做)g<1炉院一(21)%0)订《2(?冷h(7'()-1) /+|а|<2
при больших т. Полагая т-> оо, получаем, что U — 0 при Г < То — 1. Итак, функция 以,о которой идет речь в теореме, равна 0 в некоторой окрестности нуля, чем теорема и доказана*
Как мы видели в гл. 10 и 13, основная сфера приложения теорем об однозначном продолжении — доказательство глобальных теорем существования. Приведем еще один пример на эту тему, в котором используется теорема 17.2.1.
Теорема 17.2.7. Пусть 。,比(工)—липшицевы функции на открытом множестве Хи R" (или на многообразии класса С2). Пред-
положим, что матрица (Re a/*(x)) является положительно определенной, Тогда из равенства.
Y.D}(ajkDku) = f
вытекает, что 〃至 ”^：(Х), если u е Lfoc (X) (для таких и левая часть определена) и fwL^(X). Более того, уравнение (17.2.16) имеет решение и w Я^ для всякой функции f 三 £^с (X).
Доказательство. 1) Докажем утверждение о регулярности. С этой целью покажем сначала, что
"至国(X), X e(a!kDku)至用多(X)=>Иs "帑(X).
Это утверждение удобнее в том отношении, что левая часть импликации остается верной, если заменить и на у〃， где % е С~ (X). Поэтому при его доказательстве можно считать, что и е Sf(X}. Пусть КиХ ——какая-нибудь компактная окрестность носителя и. Для и w С： (К)
2 ОО/ирахЕСКе , ^ам (х) DkvD^vdx
=С Re j £ (。尹亦(х) Dkv)v dx.
Как и в конце § 17.1, возьмем v = иг — и^^гу где<р е Со°, ^qpdx = 1 и ф8(х)= ф(х/е)е_л. Из леммы 17.1.5 мы знаем, что разность
a}kDkue — (afkDku) ♦ %
ограничена в L2 при е ->0. Следовательно, семейство распределений
3 = X0/ (a拉0或 J = £ (0产拉0卢)* Фе
+ X。/ ( X a!kDkue - ( E a{kDku) * %)
ограничено в Я(_п при в->0. В силу (17,2.17)
II % % <С, Sil Dsuz II2 & С2II fe ll(T)ll % k)'
откуда следует, что норма ||ue||(i)W。2肝」1(-1)ограничена при е -> 0. Значит, и 三 Н⑴.Отсюда, как и в конце § 17.1, выводится, что если f е L2, то и е 瓦2»
Докажем теперь утверждение о существовании. Достаточно показать, что
(17218)1(厶叫《1|m20尹/也叫,，(peC^(X).
где М — некоторая положительная непрерывная функция. Действительно, тогда по теореме Хана — Банаха существует такой элемент g w L2, что
(f, ф) = (g, М X DjaikDk(p), qpeC~ (X),
а это означает, что 〃 = Mg удовлетворяет уравнению (17.2.16); в силу первой части доказательства и принадлежит ”;鋅.Из первой части доказательства мы также знаем, что для всякого компактного подмножества К в X
II ф 11ц)& с В Z。/@/论&① ki)‘ ф w с/ (Л}.
откуда, конечно, следует (17.2.18), при условии что М > С||/1(£г(7<) и suppqpuK. Как и в доказательстве теоремы 10.7.8, единственная проблема состоит в том, чтобы расширить компактное множество К, не увеличивая заметно функции М на чуть более узком множестве. Пусть Ki, ^2^ ...— последовательность компактных множеств, дающая в объединении всё X, причем каждое из этих множеств содержится во внутренности последующего, а дополнения X\Kf этих множеств не содержат связных компонент, предкомпактных в X. Пусть М — функция, такая что (17.2 18) выполнено для 屮三 °； (К) при некотором / > 2, и пусть е > 0. Мы утверждаем, что неравенство (17.2.18) сохраняет силу для ф eC~(/(z+1) при некоторой функции 必，удовлетворяющей условию Л? =(1 + е)М на К/_2・ Выбрав какую-нибудь последовательность 印，для которой П(1 + е；) < оо, мы очевидным образом получим функцию М, для которой выполнено (17.2.18).
Если бы сделанное утверждение было неверно, то (17.2.18) не выполнялось бы при функциях Л?> всюду мажорирующих (1 + е)М и сколь угодно больших на СК— Поэтому можно было бы выбрать последовательность функций ①“三 С；(К/+), удовлетворяющих условиям
(f, Фу) = 1，( 1 + е) IIМ 2 DfaiftDk(pN 〃2《1,II Z。/。№。在①м II*(CK/_ j《1/M
Из первой части доказательства следует, что последовательность ф// была бы ограничена в "㈠)при 乂一> 8 и, значит, у нее нашлась бы подпоследовательность, сходящаяся в Я(ц к некоторому пределу Ф, удовлетворяющему условиям
(Л Ф)=1, (l+^lA/SO/a/fe^LCl，supp<DuK/+i， ^ Dja^D^ = 0 в CK/一卜
2 Зак. 443
Но по предположению всякая связная компонента множества Х\К/т содержит точки, лежащие вне компактного множества Kj+i. Поэтому из теоремы 17.2.1 вытекает, что Ф = 0 на Х\К；т, т. е. supp(DuK/_i. В силу первого утверждения теоремы, Ф е //(2). Регуляризуя Ф, мы получили бы функцию из С： (К/), для которой, вопреки условию, нарушается (17.2.18). Тем самым теорема доказана.
Получим теперь одно обобщение теоремы 14.7.2, представляющее собой теорему об однозначном продолжении для оператора Лапласа, возмущенного на бесконечности, а не в нуле. Как мы увидим, после перехода к полярным координатам ситуация оказывается весьма близкой к ситуации, рассмотренной в теореме 17.2.6. Итак, предположим, что а；* липшицевы и
|а/6(х)-бм|<С/|х|,+6, |a；ft(х)| <С/| х[2+в
в некоторой окрестности бесконечности. Таким образом, оператор p(%, D)= ^ afk (х) DfDk стремится при %f 8 K оператору Лапласа, взятому с обратным знаком; разумеется, вместо оператора Лапласа можно было бы с тем же успехом взять любой однородный эллиптический оператор второго порядка с вещественными коэффициентами.
Теорема 17.2.8. Пусть X — связная окрестность бесконечности 8 Rn, s которой выполнено условие (17.2.19), и пусть (1 +|%|)。 。@以三 L'(X) для всех т при |ot| W 1. Если для некоторого X > О
|р(х, £>)ы-Ли|<С|хГ' £ |п%|, х^Х,
то и =0.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 17.2.6, введем полярные координаты: % = е'(о, где fwR,(owS"-L Тогда условие (17.2.20) перепишется в виде
(17.2.20Г I S alk (е^) (<й/ (d/dt - 1) + Й；) ^кд/д1 + Q^U + Xe^U |
где U (f,①)=e (支①)，九=Mldt + R)° U. По предположению, afk (^f®) — 6fk + O (e-f-6f) при / _> + oo, первые производные от cijh также суть О (в"^^), и при /-> + оо сумма в левой части (17220)' стремится, как и прежде, к
(严/@产 + S — 2) d/dt + Дш) и.
Поскольку теперь мы работаем с большими положительными /, положим t = T — e-打 для некоторого фиксированного ее(0, д); это законно, так как dt/dT = 1 + ге^ > 0. При / > 0 имеем Г > 0, а значит, | / — Г | < 1. После умножения на (dt/dTf оператор в левой части (17220)' примет вид
Q = 02/0Т2 + с (Т) д/дт +(1 + ее-%)2 А®
+ Е Са“(Т, 8)(0/dT)'QQ+以(7).
Ia|+/V2'
где
ca,j = O(e-T~6T), dca,{ = O{e-T~6T),
с (T) = (n-2)(l + ее-ЕГ) + ^-叫(1 十 ее-“)，
В (Т) = ^е~^{\ + ее-ЕГ)2.
Заметим, что с；(Т)》％尹 при больших Т. Докажем, что при больших То н 電
1azlI e'«+i ° I 力切『& c (产施 + Tp||e"QU『， u三瑞亿,8)XS"t).
Здесь Da обозначает произвольное произведение сомножителей й/ и д/дТ общим числом |а|. Применяя лемму Фридрихса, как и в доказательстве теоремы 14.7.2, мы заключим, что оценка (17.2.21) применима к функции U из (17.2.20)\ помноженной на некоторую срезающую функцию от Г, равную 0 при Т < То + 1 и 1 при Т > Г© + 2. Выбирая Г。достаточно боль-* шим и устремляя т к бесконечности, получим, как и прежде» что U = 0 при Т > То + 2, а следовательно, и = 0 в X по тео-* реме 17.2.1. Итак, остается только доказать оценку (17.2.21),
Пусть V = UexT и
QTP = eEQ(PefT).
Это оператор, получающийся из Q заменой д/дТ на д/дТ ——т* Ясно, что с точностью до значения постоянной оценка (17.2.21) вытекает из оценки
(17221)；厶丿(т + /)*■' aiDavf^C 丁费 + г"1) II QU 俨， 味俏(仇,oo)XSn-i).
Обозначив через Q； оператор, полученный из QT заменой д/дТ и Q； на —д]дТ и — Q『，a ca, z — на %, 〃 рассмотрим снова раз* ность IIQtPII2 — |Q；P『，с тем чтобы установить следующий
о*
аналог оценки (17.2.13): при достаточно больших Го
UQ”『+ 4爲 £ [e-^Q/Vf + Ат НН
WIIQMF + CRW) для всех VwC；((7o，°°) X Sn-1); здесь
R(Q= ^U~TDavf/x
Iа=2 + e ("6,叩
丨5V 1
Сначала разберем случай, когда все са>/ равны нулю. В этом случае Qx = Li + Л2, Q；=厶一厶2, где
4=02/0广+ F 一 e ©T+(1 +砲TТ产品+以(7)，
厶2 = -(2т-с(Т))@/0Т・
Оператор 厶 симметричен, а сопряженным к 厶 служит оператор —上2 — с'(Г). Следовательно,
HQtM『一||Q；T『h2(LU, L2V) + 2(L2V, ДЮ
=2([厶，L^V, V)-2№V, /).
Вычисляя коммутатор [Ль Л2] и используя определение оператора Li, находим, что правая часть последней цепочки равенств оценивается через CR (廿)с точностью до членов
(-4T战-口1 +£。7)4匕 V) + ^-с(Т))с[(Т)^ск(Т))У. V). Поскольку 匕；(丁)》入«2丁 ПрИ больших Г, мы заключаем, что неравенство (17.2.22) справедливо в разбираемом случае, даже если в последнем слагаемом его левой части заменить 入 на, скажем, 3入/2. В случае когда коэффициенты %, / не все равны нулю, нам нужно дополнительно рассмотреть еще три типа членов.
Члены, содержащие перекрестные произведения %,/ и 以(Т), дают'
2 Re £ ((% / (д/дТ - тУ "匕 с* (т) /)
一 & (ПУ, (~ д/дТ - тУ (-寸 V)).
Интегрируя по частям, как в доказательстве леммы 17.2.4, найдем, что эту сумму можно оценить величиной
с" "6Г(Т|”+ £ \DaV\W\^d^dT
^^^^ + ^ 2 产21 叫 g『.
laid
Последняя сумма оценивается через R, а первый член в правой части гасится тем 《избыточным》 членом %К^етУ^/2, который мы имели в левой части (17.2.22) в «невозмущенном» случае.
Аналогичным интегрированием по частям убеждаемся, что вклад от перекрестных произведений с& / с членами в невозмущенном операторе, отличными от с%(Т), оценивается величиной
С 2 \ e-ru+V I DaV 11 D^V I ds dT,
где сумма берется по / + |а| + | ₽ |<3, |а|<2, | ₽ |^2. При I a I = 2 подынтегральное выражение можно записать как z-',2\e-TDav\r!+ll2\e-6TD^v\, где / + |₽| <1, и, значит, интеграл оценивается через CR(V). То же, очевидно, верно и при I Р | = 2. В случае когда |а|《1 и| р |^ 1, подынтегральное выражение оценивается величиной тт1""10^"61] DaV \r^^^e~6T\D^V\ (6 можно считать меньшим 1), и, значит, интеграл снова оценивается через CR (V).
Членых в которые входят два коэффициента са, ；, прн больших Т меньше членов, рассмотренных в пункте Ь), поэтому для них верны те же оценки. Тем самым неравенство (17.2.22) доказано.
Теперь оценим производные от V по Г, отсутствующие в левой части (17.2.22). С этой целью заметим, что в случае, когда все са, / равны нулю,
(Qt - Q7)V/2 = L2V = - (2т — с (T))dV/dT;
в общем же случае могут появиться еще члены, которые оце-* виваются величиной £ ©一""。左"lail/yVl. Следовательно,
Т2 ||叩/打『& II QU II2 + II Q；u『+ q 杲 2II е-Г ^D^V *4-21 a 1.
Деля на т и складывая полученную оценку с (17.2.22), прнхот дим к следующей оценке (разумеется, с новой постоянной С):
е2т £ || е-^^ ^ + т || ^ГII2 + Ат || eTV『
《SIIQUIE + RW)).
Наконец, докажем аналог оценки (17.2.3)'. Дело усложняется тем обстоятельством, что Qx содержит экспоненциально растущий член Сл(Т), который надо срезать до таких размеров, чтобы с ним можно было управиться с помощью члена Хт|(егУ||2 в (17.2.24). В правую часть доказываемой в следующей лемме оценки входят также и другие члены нз (левой части) оценки (17.2.24), причем Л играет роль ег; в левую же часть входят члены, позволяющие учесть переменность коэффи-
циентов, оценить основной вклад в поправочный член R, фигурирующий в (17.2.24), и завершить доказательство оценки (17.2.21)/, Обозначим через А' оператор Лапласа по переменной х' =(,, ..., х”т)三 R"7
Лемма 17.2.9. Для 〃 w С；(R") и достаточно больших положительных А и X
TT；也2T4-2］叫0%『+ 4一%3||〃『
Л—1-ГЛ—1-Г+吗2卩%1伝2-2з+吗2卩%1伝2-2з
Л—1
-Г
Л—1
-Г
+吗2卩%1伝2-2з
+吗2卩%1伝2-2з
при условии что
/-%2 & f/k + д2工3伙 &+ Л2,
„,.
М"к. < тЛ2, л/<л1-е/2.
Доказательство. Ввиду формулы Парсеваля доказываемая оценка равносильна оценке
(17.2.25У (|打 + 严/К + MY + % (I 畠2 + 产)
<Cz(|g|2-T2+ 2it& 17K + M-eI у『+ 必2).
Рассмотрим отдельно два случая:
11 Г/т I2 — 11 ^ 1/2 или |言小|>1/2・ В этом случае величина
(1自产 + T2)/1图2一Y2 + 2w&| =(国Т(2+1)/||w)2 - 1+2脸/t|
ограничена и оценка первого слагаемого в левой части (17.2.25)' очевидна. Для второго слагаемого нужная оценка следует из того, что 力一气3《Y/K 4- тД2, а для третьего — из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим (ибо М2 W тА2//().
I |三7工|2 — 11 V 1/2 и \1п/х\ < 1/2. В этом случае |^|2 * х2/2 и оценка (17.2.25)z равносильна оценке
т4/^ + Д~Ч3 + Мт2 & С" (т3Л-8 + тЛ2).
Для первого слагаемого в левой части эта оценка вытекает из второго неравенства (17.2.26), для второго очевидна, для третьего следует из последнего неравенства (17.2.26). Лемма доказана.
Продолжение доказательства теоремы 77.2.8. Пусть <оь ... 一一 S/i-i ——координаты на единичной сфере в окрестности точки
(О, ...» О, 1). Тогда оператор QT отличается от оператора А)+ 0/8^ ——т){ во-первых, на с*(Т), во-вторых, на некоторый оператор с коэффициентами 0(|о,| + е-еГ) и, в-третьих, на некоторый оператор первого порядка по т и D. Из (17.2.25) следует, что если 1/е V |或/4] V е, Т*То, и на множестве supp V норма |с/| достаточно мала, то
! S2IIK~mDaVF + т3Je^Vf + M &JnW『p2-2U ° 2 < сч II к-^v I2 + г Е II e-^v F + г 1/v D.
при условии что выполнены неравенства (17.2.26), а, кроме того, еще и неравенство
的К《％
Л8тпри片+yj,т3/Л2при片《干а片+彳Д2/тприт2<Л2.первыедванеравенства(17.2.26), а велиЛ8тпри片+yj,т3/Л2при片《干а片+彳Д2/тприт2<Л2.первыедванеравенства(17.2.26), а велиК =К =* /2-е _ во вто-* /2-е _ во вто-(17229)(17229)Тогда выполнены __чипа тА'/К равна А— в первом случае,Тогда выполнены __чипа тА'/К равна А— в первом случае,гарантирующее, что член с^(Т) V в QXV поглощается последним членом в правой части (17.2.27). Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что другие два «возмущающих» члена в Q； можно сократить с половиной первой суммы в левой части (17.2.25). Преследуя цель добиться выполнения неравенства (17.2.28), а также неравенств (17.2.26) при минимальном возможном ^, положим
Л8т
при
片+yj,
т3/Л2
при
片《干а片+彳
Д2/т
при
т2<Л2.
первые
два
неравенства
(17.2.26), а вели
Л8т
при
片+yj,
т3/Л2
при
片《干а片+彳
Д2/т
при
т2<Л2.
первые
два
неравенства
(17.2.26), а вели
К =
К =
* /2-е _ во вто-
* /2-е _ во вто-
(17229)
(17229)
Тогда выполнены __
чипа тА'/К равна А— в первом случае,
Тогда выполнены __
чипа тА'/К равна А— в первом случае,
ром и 電2 — в третьем. Поэтому остальные два неравенства в (17.2.26) также будут удовлетворены, если М ^ min(AI-e/2> т). Выберем М = (е^2 + 1/т)-1. Так как во всех трех случаях К ^ Л, можно в правой части (17.2.27) заменить 弋^ на е~г/2, в левой же части, поскольку К~{^ ^ МА~хх~х^ в силу (17.2.26), мы заменим ^1/2 на Ме~т%-{^, Это дает оценку (с новой постоянной С)
(17.2.27У М( ZU~TDaV『/卄|厶]IDaVh2-22)+^5"2y『
& C (I ef 2q“『+ p X I e~tTl2QfV『+ 乖屮『)・
Точка (0, ...» О, 1) на единичной сфере ничем из других точек не выделяется. Поэтому можно выбрать такое разбиение единицы 1 = X Ф/ на единичной сфере и такое разбиение единицы 1 = Х*(亍一也)на R с supp*u(—1, I), что оценка (17227)，применима к 匕在=« <р/(о)*(Т —也)R(T, о) для всех /
и 瓦 при условии что UvC^Go, oo)XS”T). Суммируя эти оценки по j и kt заключаем, что (17.2.27)z выполняется с некоторой большей постоянной С и для самой функции У. При суммировании левых частей мы просто пользуемся тем фактом, что у функций V/й перекрываться может не больше некоторого фиксированного числа носителей, а при суммировании правых частей используем их последние члены, чтобы компенсировать те члены, в которых производные падают на ф/ или на电
Напомним, что фиксированное нами в начале доказательства е удовлетворяет условию 0 V е V 6. Поскольку
R⑺《 X修"閒Т+ 2 \d^^а'
I а|-2|а|<1
+ &評-26小 £ le-RTf2DaV^3-2^, |а|<1
из (17227)' вытекает, что если 70 и т достаточно велики, то член CR(Vj в правой части (17.2.24) не превосходит величины IIQtYIZ, сложенной с половиной левой части. Таким образом,
е2т £ II e-S2Q/1|2 + Ат || eTV 乎《2 (С + 1)|| Q|U R
Оценивая с помощью этого неравенства правую часть (17227)', получаем (17.2.21)', чем и завершается доказательство.
Задача Дирихле
При изучении субгармонических функций в § 16.1 мы рассмотрели задачу Дирихле для оператора Лапласа в полупространстве. Продолжая эти рассмотрения, мы приведем здесь некоторые 厶2-оценкн и некоторые результаты для случая переменных коэффициентов. Это позволит нам обрисовать с минимумом технических деталей различные методы, которые использовались при исследовании общих краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений, ио в этой книге не получат полного освещения.
Прежде всего рассмотрим саму задачу Дирихле для оператора Лапласа в
Ri = {xwR"; х„ > 0}.
Она состоит в нахождении для заданных f и ф решения и следующей краевой задачи:
&u = f в R+, и = Ф на OR，
Если функция ф задана в R+ и достаточно гладка, то, заменяя и ——ф на и и f — Д(р на f, можно свести задачу (17.3.1) к задаче
Дирихле с однородными граничными условиями
Ди = f в R+, и = 0 на @辟・
В этой форме мы и будем ее изучать.
Напомним, что 〃⑴(R；) обозначает множество ограничений на R+ функций из 〃⑴(R") (см. добавление В). Согласно следствию В.2.5,
瓦)(R+) = {〃 w 厶2 (R；); Q% e 厶 2 (R*), |a|=l).
В силу теоремы B.2.7, каждую функцию u е H^(R+) можно рассматривать как ограниченную непрерывную функцию от х„е R+ со значениями в Я(1/2)(₽п-1). Если uQ = u при хп^0 и ио = О при х„ < 0, то и0 L2 (R71) и
ди^дхп = 〃( •，0) ® 6 (今)+ (ди/дхп)Ог
ди&дх] — (Он/。％/。 при j п.
Поэтому 儿0 巨"(i)(R") тогда и только тогда, когда ц(•, 0) = 0.
Следующая теорема аналогична теореме 13.2.1 и доказывается сходным образом.
Теорема 17.ЗЛ. Пусть у оператора Р (招 Q)= £ aa (х) Da коэф-
IS《2
фициенты непрерывны в некоторой окрестности нуля, и пусть многочленр(Ю=Е &(o)f эллиптичен и имеет веществен-
I а|=2
ные коэффициенты. Если X — достаточно малая окрестность нуля в Rn и X+ = Xf]R，X0 = X(]dR+，то существует линейный оператор £ 6 厶2(Х+), такой что
если f 巨厶2(犬+), то р(х, D)Ef = f и Ef = O
на Хо；
(17.3Л) ЕР (х, D)u+ =и+ для всех функций 〃+, представляющих собой ограничение на Х+ некоторой функции 〃三 С/ (X), равней 0 на X。；
D°E есть ограниченный линейный оператор в Z? (Х+) при I a I《2.
Ввиду (17.3.5) для f ^ i2(-V+) мы имеем DaEf е L2 (Х+) при 1 a I《2. Таким образом^ %Ef 巨〃⑴(R；) для каждой функции % е С^° (X), и потому для функции Ef определены граничные значения на Хо.
Доказательство. Мы вправе считать, что р(^) = |g|2, поскольку этого всегда можно добиться линейной заменой переменных, со-
храняющей граничную плоскость. Пусть е — фундаментальное решение для оператора p(Q), четное по 厶，например ньютоново ядро (см. теорему 3.3.2). Для f^L2(Х+) положим: Tf = f в Х+； П(х\—Хп) =——f(x\ Хп)9 если (%',%“)巨 Х+; 7f = 0 в остальных точках. Ясно, ЧТО1) Tf е Lcomp(Rn), если наша окрестность нуля X ограничена, как мы и будем считать, и что функция Tf нечетна по 尤小 Поэтому свертка e*Tf 曰 Н[式(R") также нечетна по хл, а значит, ее ограничение на плоскость хп~0 должно быть нулевым. Обозначим через EQf ограничение этой свертки на “ Тогда
если fw/?(X+), то р(D)EQf = f в Х+ и Е" = 0 на %о>
EqP(D)u+ =и+ для всех функций и+, представляющих собой ограничение на Х+ некоторой функции 以 w С『(X), равной 0 на X。；
DaE0 есть ограниченный линейный оператор в Z?(X+) при |а|&2.
Утверждение (17.3.3)' мы уже доказали. Что касается (17.3.4)', то прежде всего заметим, что функция Ти+ непрерывна. Следовательно, Q^T〃+ представляет собой четное продолжение функции D〃〃+， которое непрерывно, a D^T〃+ есть нечетное продолжение 7D^〃+ функции Q^〃+・ Это означает, что Tp(D)u+ = p(D) Ти+) а потому е ^Тр (D)u+ —е*р (D) Ти+ =Т〃+，чем (17.3.4/ и доказано. (Здесь важно, что в р (力)не входят члены, нечетные по Dn.) Утверждение (17.3.5)' следует, например, из теоремы 10.3J.
Дальше мы просто копируем доказательство теоремы 13.2.1. Запишем
Р(*,0)=p(0)+ e 瓦⑴加，|a|《2
где ba(0) = 0 при ]a] = 2, и будем искать решение уравнения Р(х, D}u^p{D)u+^ba{x}^ = f^^^^
имеющее вид и = E°g, g е L2(X^. Тем самым ввиду (1733)' гарантировано, что и удовлетворяет однородному граничному условию Дирихле, так что нам надо только решить уравнение g + 4g = f, где 4g = X b^Eog.
】)Ниже L®omp « L2 f] ^7. — Прим, nepee.
Норма оператора А в Л2(Х+) меньше 1/2, если сумма 2 sup 也 | достаточно мала. Поэтому мы можем положить
£ = &(/ + /『•
Свойства (17.3.3) — (17.3.5) выводятся из свойств (1733)'— (17.3.5)' точно так же, как в доказательстве теоремы 13.2.1. В случае если коэффициенты 匕仪 недостаточно малы, можно применить полученный результат к оператору с 6а, замененными на ba(^x)z2~^t при условии что в достаточно мало. Выбирая ех в качестве новой переменной, получим утверждение теоремы с X, замененным на еХ. Доказательство завершено.
Замечания, L Применяя рассуждения из доказательства теоремы 13.3.3, можно показать, что в случае аа 巨 С°° существует линейное отображение Е: L2(R+) —► Я(2)(R+), такое что
f^L^^=^P(x, D)Ef = f в Х+ н Ef = O на X。;
ЕР{х. D)u+ — и+ в Х+ для всех функций 〃+, представляющих собой ограничение на Х+ некоторой функции 〃巨 СТ (X), равной 0 на 凡；
£)°f sL2(R；) npm\a\^s^DaEf ^1}(RT) при |a|《s + 2.
Здесь s — любое неотрицательное целое число.
Вещественность коэффициентов оператора p(D) мы предположили исключительно для того, чтобы иметь простое явное решение задачи Дирихле с постоянными коэффициентами (17.3.3)', получаемое с использованием отражения. На самом деле это предположение совершенно не существенно. В случае л > 2, а также в случае, когда п = 2 и нули многочлена р(1,т) лежат один в полуплоскости Im т > 0, другой — в полуплоскости Im т < 0, легко построить Ео, выполняя преобразование Фурье по 尤'и решая соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение. Фактически тот же самый подход пригоден и для эллиптических операторов или систем произвольного порядка с весьма общими краевыми условиями. При этом, чтобы обеспечить достаточный простор для применения метода возмущений, нужно предварительно решить краевую задачу с постоянными коэффициентами и для неоднородных краевых условий. Этот подход систематически использовался в гл. X моей книги «Линейные дифференциальные операторы с частными производными». При изучении краевых задач в гл. 20 данной книги мы применим другой, более конструктивный метод.
Утверждения (17.3,3) и (17.3.5) дают нам локальную теорему существования для решений задачи Дирихле (17.3.1)', удов* летворяющих условию Dau е L2, |а［《2, для случая f е L2.
К глобальной теореме существования можно прийти, привлекая, скажем, те же методы, что и в доказательстве теоремы 17.2.7. Мы не будем здесь этим заниматься, а покажем вместо этого, как, используя (17.3.4)' и (17.3.5)', получить теорему о регулярности, аналогичную варианту теоремы о внутренней регулярности, отмеченному в конце § 17.1,
Теорема 17.3.2. В дополнение к условиям теоремы 17.3.1 предположим, что коэффициенты аа липшицевы при |а| = 2. Если Dau 巨 L2 (Х+) при I а I《1 а
Р(х, D)u~f L2(X+), u = 0 на 几
то Dau е Л2 (У+) при |а|&2 для всякого УдХ 以
^Daul4Y+)^CY^P(x, »u||“(x+)
+医1出"以(x+)),
Доказательство, Выберем функцию %^СГ(Х), равную 1 на У, и положим V = %а. Тогда Р(х> D^v^g^^X^}, Dav е L2 (Х+) при I a |^ 1, и = 0 на X。и и = 0 вне некоторого компактного подмножества в Х・ Выберем, далее, функцию <peCS°(Rn~1), удовлетворяющую условиям ф ^ 0, ^(р(хЛ) dxz = 1, и положим .% (%) =，и (х' — е/, х„) <р ®') dy'.
В силу неравенства Минковского, 10电11《旧%1| при laid
(здесь и ниже ||・|| обозначает норму в 厶2"+)), и D©% ^ L2(X+), если в £)а входит не более чем один множитель Dn, поскольку остальные множители можно «перебросить» на <р. Поделив, если надо, Р(х, О) на коэффициент при 风 мы вправе считать, что этот коэффициент равен 1. Тогда
Р(%, Q)% —ge= £ (&。电一(&□%))%<2'
При |а| = 2 операторы 。气 фигурирующие в правой части, имеют вид Qa = DjDk с j 干几,н можно применить лемму Фрид- рихса (лемму 17.1.5) для каждого фиксированного хп. Это дает
II尸(爲 Q)% —gj|f 0 при 8->0.
Отсюда, в частности, следует, что 片％ w L2 (^+).
В силу (17.3.4) и (17.3.5)
£ ||£>%+||《С||Р(х, С)叫 И |а|<2
для всякой функции 酬+， представляющей собой ограничение на Х+ некоторой функции 5wC/(X), равной 0 на Ха Пусть Т% — нечетное продолжение функции % с R； на всё R% Тогда Q^Tue 巨厶2 при ал ^ 2 (см. доказательство теоремы 17.3.1). Применяя оценку (17.3.7) к регуляризациям w функции Tvet полученным посредством сверток с четными функциями, получаем, что эта оценка верна для w+ = ие. Устремляя е к 0, заключаем, что Dav е Л2 при |а| ^ 2 и справедливо (17.3.6). Теорема доказана.
Задача Дирихле с большой легкостью и в большой общности решается при помощи принципа Дирихле. Рассмотрим дифференциальный оператор в дивергентной форме
Р (%, С) u = Z D} (a]kDku),
где (а；й(х))——вещественная положительно определенная симметричная матрица, непрерывно зависящая от точки х, пробегающей замыкание некоторого открытого ограниченного подмножества X в R% Уравнение Р(х, D)и = f эквивалентно уравнению в «слабой» форме
(f, о) = ^ fo dx = ^ ^aikDkuD^v dx, и w С； (X).
Это условие имеет смысл, если D%wZ?(X) при 丨а|《1, и остается в таком случае справедливым для всех и из замыкания Н множества СГ(Х) в "⑴(R)Ясно, что, какова бы ни была функция %^ С^°(Rn), %〃w 方 для всех 〃至无 Если дХ принадлежит классу С1 в точке х0 ^ дХ, то можно выбрать С^отображение ф некоторой окрестности нуля в R" на некоторую окрестность XQ точки х0, переводящее R； в X, н заключить, что если и^ Ht то, какова бы ни была функция %^С^ (X。), 屮*(%〃) w "⑴(R[) и з*(%〃) = 0 на OR：. Обратно, если дХ w С1 и указанное выше условие выполнено во всякой граничной точке множества X, то 〃 w Н. (Заметим, что Н можно отождествить с пространством 方⑴(X) всех распределений из "⑴(R") с носителем в X, поскольку у таких функций носитель не может лежать на дХ.) Следовательно, условие и^ Н представляет собой обобщение однородного граничного условия Дирихле, как оно было сформулировано выше, на случай произвольной обла-
стн. Поэтому задачу Дирихле можно переформулировать следующим образом: найти элемент и е Я, удовлетворяющий уело* вию (17.3.8) для всех uw〃. В этом и состоит принцип Дирихле.
Решение так сформулированной задачи чрезвычайно просто. Запишем
Q («, U)= Е ajkD/UD^v dx, “,。w С/ (X);
это невырожденная эрмитова симметричная форма. Обозначая Л2-норму через || ||, имеем
Z||D/“『《CQ(“，“)，и^С^(Х).
Норма, квадрат которой задается левой частью последнего неравенства, эквивалентна норме ||u||(i), поскольку, например,
,[〃Fd% = —2Re\ %也黑 d%&^ ^ I u I2 dx + 2 ^ I xvDxu 12 d%,
откуда вытекает, что
II «II2 <411^0^ II2.
Следовательно, (Q(〃，汉))^2 есть норма, эквивалентная норме ||u||(i)на СГ(X), а значит, и на Я. Для всякой фиксированной функции f w L2(X)
丨亿 明&"Hiia&c'Qe)叱 v^H.
Отсюда следует, что существует единственный элемент ие Н, удовлетворяющий условию (17.3.8) для всех о w Н. Беря и ^Су, получаем Р(%, Q)〃 =厶 а включение и^ Н означает, что выполнено однородное граничное условие Дирихле. В случае когда дХ 巨 С2, а коэффициенты а,少 липшицевы, утверждение можно усилить. Действительно, тогда во всякой граничной точке в качестве указанного выше отображения, выпрямляющего границу в окрестности этой точки, можно выбрать диффеоморфизм класса С2. Применяя теорему 17.3.2, заключаем, что Dau е Л2(Х) при |а| ^ 2 и
I а^ 2'"“ "“*)忘 С " Ир(Х)'
Нетрудно показать, что если a；fe, f н дХ гладки, то и и гладко.
В заключение изложим в общих чертах еще один классический метод решения задачи Дирихле и укажем, как он будет модифицирован в гл. 20. Для разнообразия сделаем теперь упор на граничных данных. Итак, предположим, что X cr'Rrt— огра-
ниченное множество с границей дХ 巨 С00, и рассмотрим задачу Дирихле для однородного уравнения Лапласа
А〃 = 0 в X, и =(р на дХ.
Если бы X было полупространством, то решением служило бы (см. § 16.1)
u(x) = 2 J (ре)变穿3 dS匂)，дХ'
где Е — фундаментальное решение для оператора Лапласа, т. е. ньютоново ядро (теорема 3.3.2), п — внешняя единичная нормаль и dS ——элемент «площади» на ОХ. Это просто другой способ описания метода отражения, использованного при доказательстве теоремы 17.3.1. Поэтому в общем случае попытаемся найти функцию *ф, для которой потенциал двойного слоя
"(%) = 2 卜®)更与严•dS®)
удовлетворяет граничному условию задачи (17.3.9); и автоматически будет гармонической функцией в X. В результате мы приходим к уравнению вида
W + Кр =屮，
где К — компактный (фредгольмов) интегральный оператор. Дело в том, что в случае плоской границы К был бы равен О, поэтому К просто выражает меру отклонения от этого случая. Как раз для того, чтобы решать предыдущее уравнение, и была развита теория Фредгольма.
Если вместо задачи Дирихле рассмотреть задачу Неймана, т. е. задачу с граничным условием ди/дп =屮，то в случае полупространства мы получим решение
"(X)= — 2，<Р ® Е(х — у) dS (у).
В соответствии с этим в общем случае ищут решение в виде по* тенциала простого слоя
и(х) = — 2^(у)Е(х~ y)dS(y),
и дело снова сводится к решению уравнения Фредгольма 2 + Кф = Ф<
Перенести эти рассмотрения на случай общих операторов н граничных условий довольно затруднительно. Сначала нужно ре* шить задачи с постоянными коэффициентами во всех касательных полупространствах, с тем чтобы найти подходящие ядра для разбираемой задачи. Затем надо сделать такой же《анзан》》
как выше, выбрав предполагаемый вид решения, и показать, что сделанный выбор приводит к уравнению Фредгольма. Есть, правда, полезная модификация этого подхода. Согласно формуле Грина,
и(х)= \ и。®) *^_д)dS— J Ul(y)E(x~y)dS, dX ' дХ
где ио и ui — соответственно граничные значения функции и и ее нормальная производная на границе. Таким образом, мы знаем 〃,если нам известны 〃о и 〃i. Формула (17.3.10) определяет некоторую гармоническую функцию для произвольных 辽° и 辽卜 но эта функция не обязательно будет иметь граничные значения 〃о и нормальную производную иь В самом деле, гармонические функции, как известно, однозначно определяются своими граничными значениями, так что для гармонических функций граничные значения и0 и нормальная производная ui связаны между собой соотношением ut = Ди0, где А — некоторый опера” тор. Операторное исчисление, которое мы разовьем в гл. 18, позволяет дать вполне явное представление для операторов такого рода. Используя дифференциальное уравнение А〃 = 0, можно записать любое дифференциальное граничное условие в виде Во«о + B\U\ = ф, где 殳 и Bi — дифференциальные операторы на дХ. Тем самым решение исходной краевой задачи сводится к решению уравнения (Во + В1Д)а0 = Ф на многообразии без края дХ. Оператор Во + ^^ не является дифференциальным оператором, но он принадлежит к некоему классу операторов, который тесно связан с классом дифференциальных операторов и на который легко распространяется, скажем, теория эллиптических дифференциальных операторов.
Эти замечания, надо признать, туманны, и намеренно. Мы просто хотели убедить спектически настроенного читателя, что имеются веские основания для введения описываемого в гл. 18 весьма общего аппарата и что усилия, которых это потребует, окупятся, когда мы вернемся к рассмотрению краевых задач в гл. 20.
Конструкция параметрикса по Адамару
Мы видели в гл. 13 и еще раз в § 17.1 и 17.3, как распространять результаты об операторах с постоянными коэффициентами на операторы с переменными коэффициентами. Однако это дает лишь существование фундаментальных решений и некоторую информацию о непрерывности их как операторов. Часто бывает интересно знать точный вид их особенностей. В связи с этим мы опишем здесь одну замечательно простую и точную конструк-
цию, принадлежащую Ж. Адамару. Она позволяет определять особенности фундаментального решения с любой степенью точности. Эта конструкция применима также в неэллиптическом случае (где методы гл. 13 и § 17.1 и 17.3 совершенно бессильны). Во второй части параграфа мы продемонстрируем это на примере одного гиперболического уравнения, которое понадобится нам в § 17.5. Обобщение на случай общих гиперболических уравнений второго порядка не должно вызвать у читателя никаких затруднений. (См. также примечания к гл. 23.)
Пусть Р — дифференциальный оператор второго порядка вида
p=一 e(0/0/)(区給例/)+ е ь|д/dXi + e,
где 趾尼，6, с ——функции класса С90 на открытом множестве X cs кп и (g『左)——вещественная положительно определенная матрица. Мы хотим построить правый параметр икс для Р, а точнее для Р — z, где 2 е С \ R+, поскольку это позволит избежать некоторых не относящихся к делу трудностей в случае постоянных коэффициентов. Сначала предположим, что Р есть взятый с обратным знаком оператор Лапласа Д,
Обратное преобразование Фурье от функции (|^|2 — г)'1 является фундаментальным решением для оператора ——А — 2. Мы рассмотрим также степени этой функции, поскольку они неизбежно всплывают, когда мы производим возмущение (см. § 12.5). Итак, положим для V = 0, 1,.-.
Fv (х) = v! (2п)-“ \ е； * &> (I 自 |2 — z)-脅
(в смысле теории распределений). Из теоремы 7.1.22 следует, что Fv ^ С°°(КЛХО) и что Q^Fv при |а| ^ 2 локально интегрируемы и в 0, за исключением случая, когда v = 0, а |а| = 2; в этом случае возникает еще член, однородный степени ——п. Очевидно, что 尸V есть функция от| х | = (х| + ... + 比У*. Было бы нетрудно выразить 尸v через бесселевы функции, но это лишь удлинило бы вывод основных свойств функций 尸V, которые сразу видны из (17.4.1). К ним относятся в первую очередь следующие два:
(—Д — 2)Fv = vFv_b v > 0; (— А — 2)尸0 = 6°;
— 2 dFJdx = xFv_b v > 0.
Свойство (17.4.2) очевидно, a (17.4.3) следует из того факта, что преобразованием Фурье от ——2dFv/dxk служит
一 2吋以 W F — 2)-1 = (V- 1)1(-厶)(图2 一 2)T
В последующих рассмотрениях 2 остается фиксированным, и поэтому мы не будем указывать в записи, что 凡 зависит также
И ОТ 2.
В качестве первого шага на пути к обобщению тождеств (17.4.2) и (17,4.3) возьмем их обратный образ при линейной биекции Т пространства Rn. Если у = Тх, то 1Тд/ду = д/дх, а потому
m=z("0;)(£七/0办)，где ^к) = T-^T-\
Поскольку функции 尸V инвариантны относительно вращений, мы будем, допуская некоторую вольность обозначений, писать Fv(x) =凡(比|). Тогда 尸v(f/)= R(|x|g), гае
|x©= Zg/产忘
как обычно, (^；лг) обозначает матрицу, обратную к (g'"). Вспоминая пример 6.1.3 и учитывая равенство (det Т)-2 = det(^/ft), получаем
(1742)，
(一e次。-)a(山)=；寸掷 11PH
I (det g' ) 60 при v = 0, (17.4.3)' - 2 E gikdkF^ (I x |g) = X/Fv_! (I x |g) при v > 0.
Эти формулы верны при любой симметричной положительно определенной матрице (g/左)，но, что самое главное, они применимы и в случае оператора Р с переменными коэффициентами, если хорошо выбрать координаты. Напомним, что главный символ ^ gik(x)l^k оператора Р инвариантно определен в кока- сательном расслоении. Двойственная квадратичная форма У gik (х) dx； dxk в касательном расслоении задает некоторую риманову метрику. Как показано, например, в § С. 5, для всякой точки из X можно ввести геодезические нормальные координаты, которые равны нулю в этой точке и удовлетворяют условиям (17.4.4)£ gik (х) ^л = S gjk (0) xk, /=1, ...» n.
Это означает, что выходящие из 0 лучи являются геодезическими с длиной дуги, равной расстоянию от 0 в евклидовой метрике
I % Ig = I % lg・ о = ( Z Sik (0) XfX^2<
При этом gfk(x) — gjk(0) = O(|x|2), и аналогичное соотношение справедливо для g『走.Обычно требуют, чтобы ^м(О) = б/л, чего,
конечно, можно добиться дополнительной линейной заменой координат. Однако в дальнейшем окажется, что удобнее потребовать лишь выполнения условия (17.4.4).
Из (17.4.4) следует, что для f^C1
X g" (х)dj (I X 碌)=X g/气0)dJ (I X &), /=1n.
Это показывает, что соотношение (17.4.2)7 сохраняет силу при х =/= 0 с g/(0), замененным на g传⑺.То же верно в обобщен ном смысле и в 0, поскольку в результате замены gfk(0) /на gik(x) могут дополнительно появиться лишь локально интегрируемые члены: разность между значениями ^/Л в 0 и в х&сть О(|%|2). Используя правило дифференцирования произведения и соотношения (1742}', (1743)', заключаем, что для и/е С~ и V > 0
(p - z)("Jv) = V人尸vt + (P"v)% - Wv - 2(*, <5%/員〉)K-1/2, (17.4.5)'
也(x) = X g/MO) 〃 (x) / = X g扭(%)从(x)
Аналогично получаем, записывая 戶。в виде F0(x)= f(]х|2), (P-z)(uaF0) = u0 (O)(det g1^12 60 + (P“o)凡
—2 (力必一2 (x, duQ/dx))匕
Суммируя no v = 0, ..., М приходим к равенству
(Р — z) £ “咼=“。⑼(det/FM + Z^)%, о
при условии что uv выбраны так, что
2可〃у —也〃V + 2〈％, d〃v/d%〉+ 2P〃v_i =0， v = 0, ...» V, ибо тогда коэффициенты при ff и при 凡…，F“t в правых частях равенств (17.4.5) будут равны 0. (При v =0 функция 〃i в (17.4.7) считается нулевой.)
Теперь докажем, что уравнения (17.4.7) имеют единственное гладкое решение, удовлетворяющее условию 〃о(О)=1; на uv с V =/= 0 никаких граничных условий не налагается.
Лемма 17.4.1. Пусть X — открытое подмножество в R、звездное относительно точки 0 (г. е. к w X ★ tx w X при 0 & f & 1). Если А 三 С°°(Х) и 九(0) = 0, то уравнение
huQ = 2 (х, доо/дх)
имеет единственное решение u0^ С°°(Х) г u0(0)= 1. Если / 三 С°°(Х) 〃可 > 0, т。уравнение
(2v — h)uv + 2(х, dujdx) = t
имеет единственное решение щ,^ С°°(Х) для каждой функции / мС8(Х).
Доказательство. Введем полярные координаты: х = гсо, где cowSi, г > 0. Равенство (17.4.8) означает при %，0, что диа/дг = /i〃o/2r. Если u0{0)= 1, то мы получаем'
〃о (尤)=exp ° Л (s©) ds/2s) = exp ° h(tx) d〃2/) •
Поскольку A(0) = 0, частное h(tx)/t есть С°°-функция от (x, f) 三 XX[0,1]； поэтому «о s C°°(X) и uo ¥= 0 в X. Чтобы решить уравнение (17.4.9), положим uv = uqv. Получится уравнение
vv + r dv/dr = g, где g = f/2u0-
Таким образом, d(#u)/dr =「ig, откуда
rvu(r©)= \ sy~xg(s^ds = r ^ tv~lg(tray)dt.о0
Следовательно,
uv(x) = u0(x) \ t^f (tx) dt/2uQ(tx)0
—единственное решение уравнения (17.4.9). То что uve С°°(Х), очевидно.
Замечание. Описанная конструкция работает без существенных изменений и в случае, когда 加，с, а значит, и Л — квадратные матрицы. Только формула для 〃о становится не столь явной. Поэтому конструкция Адамара применима к системам с главным символом Xg/(x)&漑/, где /——единичная матрица. Это наблюдение весьма полезно, поскольку оператор Лапласа на формах, определенных на римановом многообразии, относится как раз к такому типу.
А теперь предположим просто, что нам задан оператор Р второго порядка на открытом множестве XuR" с С°°-коэффИ' циентами и положительно определенным главным символом р(х, *)= Eg"(x)自咼. В силу следствия С.5.2 существуют окрестность V множества {0}Х% в R^XX окрестность W диагонали в XXX и однозначно определенный диффеоморфизм
V m (х, у) 一 (丫 (х, у), у)三 W,
такие что у (0, у) = у, Y；(0, y) = id и главный символ нашего оператора, записанный в х-координатах:
X靜国g)自咼= P(Y®切，%(x,乡尸匀
удовлетворяет условию (17.4.4). Выберем V так, чтобы множество {无；(х, y)s V} было выпуклым для каждого ywX. Для (х, y)G W корректно определено риманово расстояние s (х, у): s(Y(R У), У)= (ЕР/е(。，Z/)无吊产
Его квадрат принадлежит классу C°°(1F). «Перенося» функции uv(x, у), определяемые уравнениями (17.4.7), с У на Wt получим однозначно определенные функции Uv^ C°°(W), такие что
(Р(х, D)-z)^VAx, y)F.{s{x, у))/
=(det glk(y^12 6^ (x) + (P (x, D) UN (x, y^F^six, J).
Это построение проходит, конечно, с равным успехом и；на многообразиях. Заметим, что 6乡(尤)—обобщенная плотность, на X, превращающаяся в распределение, если поделить ее на естественную риманову плотность (det g^)-I/2dx.
Так как Fn (s (х, у)) е c2NU~n, поправочный член в правой части (17.4.6)' можно сделать сколь угодно гладким, выбирая достаточно большое ^. Все члены соотношения (17.4.6)' принадлежат классу С°° вне диагонали. Если выбрать функцию % е С°°(ХХ ^) с носителем в Wt равную 1 в некоторой окрестности диагонали, и положить
尸(X, z/) = x(^, у)£и<х, д)尸v(s(x, у)),
О то мы получим
(Р(х, D)-z)F(x, y) = (detgmg»/2~(x) + R(x, у), где REC2""4-% Оператор
州⑺=\尸(工，y)f(y){^gik(y)Y'l2dy
отображает 咨，(X) в 勿，(X) и сохраняет волновые фронты. Если аналогичным образом определить оператор 例 (戶 заменяется на R), то справедливо равенство
(尸一2)歹=/ +例，
так что 歹 является правым параметриксом для 尸一z в том смысле, что 例 можно сделать сколь угодно сглаживающим, выбрав достаточно большое N. Взяв сопряженный к правому па- раметриксу для оператора, сопряженного к Р ——г, мы получим
и левый параметрикс для Р — z (Простое рассуждение, которое мы отложим до § 18.1, показывает, что правый и левый па- раметриксы имеют в сущности одинаковые особенности.) Из этих фактов легко вывести для оператора Р результаты о существовании и регулярности решений, доказанные в гл. 13 для общих эллиптических уравнений. (В том же § 18.1 мы изложим простой общий метод построения параметрикса для произвольного эллиптического оператора.)
Описанная выше конструкция применима и к волновому оператору
严似2 + p
в К"+* отвечающему оператору Р, и это обстоятельство будет существенно использовано в § 17.5. Если в (17.4.1) заменить z на т2 и взять не обратное преобразование Фурье, как там, а обратное преобразование Фурье — Лапласа, т. е. если определить Ev формулой
J(/, x) = v!(2ji)-i，
Im т=с<0
понимаемой в смысле теории распределений, то мы получим распределение с носителем в переднем световом конусе {(/, х); Z^|x|} (см. (7.4.7)). Имеем
(1742)" (d2/a/2-A)Ev = v£v,1> v>0;(严/芥一厶)旦=%加
(1743)"~2dEJdx = xEv_b v > 0.
В приводимой ниже лемме собраны некоторые другие свойства распределений 员，которые понадобятся нам в этом и следующем параграфах.
Лемма 17.4.2. Распределение Ev однородно степени 2v + 1—n, сосредоточено в переднем световом конусе и задается формулой (17.4.10) 旦=2~2vteif)/气壮"5)/2 (У _ [ % ⑶ / > 0;
Е” является функцией класса С°° от f со значениями в ЗУ(R") при 2》0, 〃
請J(+0, ・)= 0 для /j《2v,贫计1国(+0,・)= у!6о.
Далее,
(旦一瓦)= {(f,招% 自);产=|力汽
T2 = (gp,口+ 花=0},
u Ev — Ev, df (Ev — Ev) суть непрерывные функции от х со значениями в 勿’2*(R) для любого целого 也》(九一1)/2 —v. Если л
нечетно и k — (n~ 1)/2 — v, то
“(小一瓦) = 22在一计1歩-初2(一1)急必严)/(2也)[；
dt (旦一£0) есть преобразование Ф^рье от 2"1 (sgn T)d%(x, т2) % где
е0(х, т2) = (2лГп ,е1^ d^.
|£ 1<1т I
Доказательство. Для v = 0 формула U7.4.10) была доказана в § 6.2. Поскольку, согласно вычислениям, проведенным перед теоремой 6.2.1,/
(02/0/2 - А)浒(产 一 I % |2)=(4а + * 一 2) %『俨一I % [2), рекуррентная формула (1742)" следует из (17.4.10). По теореме 6.2.3 уравнение (17.4.2)<Л (с уже известным Ev-i) имеет единственное решение Ev с носителем в переднем световом конусе. Поэтому справедливость формулы (17.4.10) для произвольнога V устанавливается по индукции. Утверждение о волновом фронте при / #= 0 сразу вытекает из теоремы 8.2.4. В случае 尤= f = 0 надо просто заметить, что волновойчфронт замкнут и что
(02/" 一 А)+ (旦一瓦)=v!(60. о - б0,0) = 0;
отсюда по теореме 8.3.1 следует, что в точках волнового фронта выполнено равенство т2 = |§|2.
Из (17.4.11), в частности, следует, что Ev — £v есть С°°-функ- ция от х со значениями в 勿'.Положим а = v + (1—л) /2, и пусть 6 = |х|2>0・ Тогда &(& —员)кратно распределению
06“ = %l(产一6)21"=杳糸烂(*一6)・
Если <р ——нечетная пробная функция, то <еб( а, <р> = 0, а если четная, то.
〈％ а, ф) = — (ев,а+1> 吩，где 2 (/) = q>‘ (/)/2/.
Функция 屮 тоже является четной пробной функцией, и по формуле Тейлора
sup [ 2s I & у sup I <p(/+2> |.
Поскольку 女，° и %, 1/2,——очевидно, непрерывные функции от f со значениями в 勿①,то е^а представляет собой непрерывную функцию от f со значениями в gf если k и 2a ——целые числа, удовлетворяющие условию а + ^ ^ 0. Далее, во, -а = 2 (—1)国也！ 义6供)/(2也)L
】)Здесь производная d берется по т. —Прим, перев.
Распределение £0 есть предел при е->0 распределений Ео, &* задаваемых формулой
Eo,Ai, х) = (2лГп^ \е"<*，Е+Вт"У(|Е|2_т2)-%Е&т.
1ш Т = —1
Так как
，е"Пт(I Е|2 _ р2)т dT = 2nt2(-2)-l(e«l^ + е~" I&I), где интеграл в левой части берется от —i—оо до —i + оо и от i + оо до i — оо, мы видим, что d(EOte 一 £о, е)/dt представляет собой преобразование Фурье от 2"1 (sgn х}е^^г de0 (х, т2). Устремляя е к 0, получаем последнее утверждение леммы. Доказательство завершено.
Допуская некоторую вольность обозначений, будем в дальнейшем писать Ey(tt |х|) вместо EV(Z, х). При / = 0 это выражение понимается как соответствующий предел при ff+0・ Из (17.4.6) с uo(O)= 1 следует, что если наши координаты являются геодезическими координатами в выпуклой окрестности нуля Ло, то в этой окрестности
(17.4.6Г(<?2/切2 + р (х, D))£ 旬(х)旦 & b |g)
=(det 酬产2 M ° + (P ", £>)电(*))扁(f, I x |J
Поправочный член принадлежит классу Ск для k <N —(n—1)/2. Если \x\g<c влечет хе Хо> то Ev(/,х) = 0 при f Gc в некоторой окрестности множества {х; |%|g》c}； поэтому (1746)" остается верным в (—оо, с)ХХ для любого Хп Xq, если произвольным образом продолжить uv на X.
Как и в эллиптическом случае, описанную конструкцию можно распространить на координаты общего вида, «перенося» ее с геодезических координат при помощи отображения (/, х, у) 1-^-(/, v(x, у), у)> В результате мы получаем следующее
Предложение 17.4.3. Для любого открытого множества У@Х и К〃 найдутся такие О 0 и U/wCRXXV),切丁。 в (—8,с)ХХХУ
N
(17.4.6Г (#/<5产 + р (х, D)) X 〃 (％，У) J 仏 s (х, у))
О
=(detg我严*“ + (「(*, D)Un(x, y))EN(t, s(x, y)), где s(x, у) обозначает геодезическое расстояние- между точками х и у. При s(x, у)^с коэффициенты U/ определяются интегри-
рованием уравнений (17.4.7) в геодезических координатах, а при s(x, у)> с их можно определить как угодно.
Если коэффициенты оператора Р принадлежат 8(Х) и Р эллиптичен не только в X, но н в X, то можно продолжить его коэффициенты на некоторую окрестность X и затем принять У = X. Всё становится, однако, гораздо сложнее, если мы! хотим построить параметрикс смешанной задачи для волновога оператора d2/d/2 + Р в R X ^ с заданными граничными условиями Дирихле на дХ. Здесь предложение 17.4.3 можно ис1(ользовать лишь при t Vd(y), где d(y) — геодезическое расстояние от- у до dX. В случае когда Р = —А, а X — полупространство, «функция Грина» с полюсом в (0,у), введенная в теореме 12.9.12, есть просто Ео(厶尤 ——у)——Ео(Л х — ^*), где у*—— точка, в которую переходит точка у в результате отражения относительно дХ, Мы покажем сейчас, что эта конструкция допускает модификацию, совершенно аналогичную (1746)〃'， при условии / что i не превосходит некоторого фиксированного кратного расстояния d(y) от точки у до границы. В действительности эту конструкцию можно обобщить на все 厶 малые по сравнению с dI/2; это условие приходится наложить, чтобы гарантирова?гь, что световые лучи, выходящие из точки у, не подойдут к границе по касательной. Однако такое обобщение требует существенно больших усилий, а для приложений в § 17.5 оно нам не понадобится.
Прежде чем приступить к изучению смешанной задачи, полезно перефразировать утверждение о существовании геодезических нормальных координат как утверждение о существовании экспоненциального отображения. Для заданного оператора
戶=—X (d/dxf)(gikd/dxk) + X 从d/d勺 + с
в XuR" рассмотрим опять риманову метрику ^ gik (х) dxf dxk9 где (g法)一матрица, обратная к (g'^). Если pwX н s — касательный вектор в у малой нормы
I S I& у =丨 S Ij, = ( £ g/% (力 S/S J/2,
то expgs определяется как точка на геодезической, выходящей мз у в направлении вектора s, удаленная от у на расстояние |s|y. При введении геодезических нормальных координат в точке у экспоненциальное отображение сводится к тождественному. Поэтому
(у. S)f (g, expy s)
есть диффеоморфизм некоторой окрестности нулевого сечения касательного расслоения для X на некоторую окрестность диаго-
«али в XXX. («По-настоящему» это всё надо, конечно, определять для римановых многообразий.)
Рассмотрим теперь риманово многообразие с краем или, для простоты, открытое ограниченное подмножество X в Rn с С°°-гра- ■ницей дХ. Предположим, что gik е С°°(Х), и выберем какое-нибудь продолжение функций g№ на некоторую окрестность множества X. При условии что геодезическое расстояние d(y) от у до дХ достаточно мало и |s|y не превосходит, скажем, 4d(y), определим экспоненциальное отображение с отражением ехрг следующим образом. Выпустим из у геодезическую в направлении s. Если она встречается с границей dA" на расстоянии < | s | у, то, как мы покажем, их пересечение трансверсально, и дальше мы будем двигаться по геодезической, выходящей из точки пересечения в направлении, получаемом по обычному закону отражения. Продвинувшись по ней настолько, чтобы полное пройденное расстояние было равно |s|g, мы и получим точку •exp^s. Отображеине (у, s)» exp^s обладает стандартными свой- <твами экспоненциального отображения. (В обсуждавшемся в гл. 12 плоском случае экспоненциальное отображение с отражением дает точку (y + s)*.) В частности, при использовании геодезических нормальных координат метрика в X удовлетворяет соотношению (17.4.4)・ В случае когда |s|y = 2d(y) и s — направление геодезической, минимизирующей расстояние до гра・ нннн, мы имеем exp^s = у.
Чтобы упростить обсуждение экспоненциального отображения с отражением, предположим, что X задается в некоторой окрестности точки Ое Rrt условием х%^0 н что координаты в !₽я являются геодезическими нормальными по отношению к граничной плоскости ОХ, определяемой уравнением xrt = 0 (см. следствие С.5.3). Таким образом,
g/a = 0 При /¥= П, g„„=l.
Пусть Ко — компактное подмножество в дХ. Рассмотрим метрику задаваемую формулой
(|S|?2=Eg&(®‘，Q) + ynx)S/Sk.
Юна получается из метрики g растяжением и сдвигом. Если (/О)еКо, то эта метрика определена на любом желаемом ограниченном подмножестве в fR", при условии что уп достаточно мало, а при ул = 0 мы получаем плоскую метрику с нулевыми компонентами g/n при j^n. Прообразом точки у при отображении, индуцирующем метрику ◎, служит фиксированная точка П =(0, ..., 0, 1). Экспоненциальное отображение
¥ = {S 三 R"; [ S [п < 4} э S f exp&S,
отвечающее метрике G?, определяет С^-функцию от (S, у). При у冷=0 оно сводится к отображению S»—»S 4- П, поэтому при фиксированном малом уп оно_является диффеоморфизмом в некоторой окрестности шара № '叱 Обозначим n-ю координату точки exp^S через 尸(S, у)・ При уп = 0 она равна 1 +S公 Следовательно, ее множество нулей есть близкая к плоскости S〃 = —1 гиперповерхность класса С°°, делящая В" на звездообразный прообраз В+ области X и его дополнение 8乙=8以\8*, отображаемое в СХ. Для S 三 3匕 уравнение F(KSt у) — 0 имеет единственное решение 九(S, у) е [0, 1]; это С°°-функция, равная —1/5л при у% = 0・ Значит, точка отражения
尤(S, g) = exp& (九(S, y)S)
также является С°°-функцией от S и у, как и касательный вектор T(S, д) к нашей геодезической в этой точке. При 拠=0 она
совпадает с S. Пусть T(S, у) обозначает отражен'ие^ вектора Т(S, у) относительно касательной плоскости к dN в точке 尤(S, у); такое отражение получается просто заменой знака у п-й коордн* наты. Тогда наше экспоненциальное отображение с отражением задается формулой
expys = exp?(&g)((l —九(S у))亍(S, у)), SrB*.
При малых уп это отображение определяет С°°-функцию от (S, у); при yn — Q оно сводится к отображению
S (Si,…，5„_!, —1 — SJ Sn ^ —1» I S |п < 4.
Заметим, что экспоненциальное отображение с отражением задает еще одну систему координат в окрестности точки П (см. рис. 1).
Производная по S от полной длины | S |п геодезической ломаной, идущей из П в x(St у), а оттуда в точку У (S, у) = ехр#М, равна производной от длины геодезической» идущей из x(S, у) в Y(S, g), при фиксированной точке x(S, у), ибо закон отражения выражает тот факт, что эта полная длина стационарна относительно вариаций точки x(S, г/). Таким образом, поверхность {exp^^S; |S|^ = /?} ортогональна к геодезическим, идущим из x(St у) в У (S, у). Поэтому для метрики Gr*y в 8上,индуцированной метрикой G' в X при помощи экспоненциального отображения с отражением ехр^^, прямолинейные лучи, выходящие из 0, будут геодезическими с длиной дуги | S [п, и эти лучи ортогональны к сферам | S |д = const. Но это означает не что иное, как то, что Gr, ' удовлетворяет условию (17.4.4). Мы можем, следовательно, применить конструкцию Адамара с этими координатами в Qy = ех^у В-, с тем чтобы построить «отражение» параметрикса оператора Р в точке у.
Для этого прежде всего перепишем (17.4.6)〃' в «растянутых» координатах. Положим
Ру(х, £>)=— £ 9/<5x/)(g"((z/', 0) + упх) д/дх^
+ % Е 从((/. 0) + %х) д/дХ) + 襯с ((У, 0) + упх).
Равенство (17.4.6),/, означает, что
N
©仗2 + Ру ",⑨)盲 и、((/ 0) + упх, у)旦(/, Sy (х, 口)) у^ =(det 炉к匂)严%, П十Р内,D)Un ((/, 0)+^, y) Еm/, s^x, 口))此叫 где s*(%, И) есть G^-расстояние от П до х. Мы использовали тот факт, что мера Дирака в Rrt+i однородна степени ——п——1У а 反 однородно степени 2v + 1 —п. Пусть Qy — оператор, ннду・ цированный на BL оператором Ру при помощи экспоненциального отображения с отражением. Коэффициенты оператора Q^ суть С°°-функции от (х, у), и при 物=0
Qy=£g/(®'，^д^дХ1дХк.
Определим теперь функции uv 三 С°°(8匕)так, чтобы (17.4.7)'2v% - Hyvv + 2〈S, dvJdS) + 2Q“％t = 0,
где Ну задается формулой (17.4,5), отнесенной, разумеется, к оператору Qy. Чтобы выполнялись наши граничные условия Дирихле, надо наложить на vv граничные условия
Uv(S)= 9*v®'，°)+ %ехр公，力 S 三稣，
где Bq = Ву[\дВ~. Ясно, что все определенные так 网 будут С°°-функциями от (S, у). При уп = 0 получаем и。= 1 и uv == О для V =/= 0. Определим функции Vv(-,у) на 3 так, чтобы их обратными образами относительно отображения ехру служили %, и положим
& % 加=£ (а ((% 0) + упх,明豈EJt, Sy (х, П))
-Vv(x, y)Ev(t, s^y(x, П))), xwQV,
где 5詳#(%, П) обозначает бу-расстояние с отражением от П до х. Пусть Q — множество всех пар (%, у) с х s йу и у, лежащим в некоторой малой окрестности s множества КидХ. Тогда 冒"(f, %, yj = O (в смысле теории распределений) при хп = 0 и (17.4.15) (д^ + Р^х, D))^N(t, х, у)
=(detg* (д)严 б0> ,+居(х, D)Un ((% 0)+y„x, g)) y^EN (t, s"(x, П))
—(Ру(X, D) VN (x, y)) En (/, sr- У (x, П)), (x, у) e Q.
Отметим, что поправочный член делается сколь угодно гладким при больших М Итак, нами доказано
Предложение 17.4.4. У всякого компактного подмножества Ко границы дХ существует такая окрестность s 8 X, что для каждого N формула (17.4.14) задает параметрите 宕" смешанной задачи Дирихле — Коши в Q = {(х, у); у е о), sr>у(х, П) V 4} при f V 4; это означает, что 冒"(f, х,у) = 0 (в смысле теории распределений) при %推=6 〃
(。2/开 + 乙(%, D))晋n 亿 ％ y)
= (detg/ft(z/))1/2fio,n + /?y(/( x,加,
где Rn^C^ для ц < ^ — (n — 1)/2. Коэффициенты Vv(x, у) суть С°°-функции от (х, у)三 Q, причем У0(х, у)= 1, Vv (х, у) = 6 для V =/= 0 при уп == 0.
Поскольку коэффициенты падающей волны в (17.4.14) обращаются в нуль при ул = 0 и ведут себя вблизи ул = 0 как у^9 а дифференцирование по 尤 увеличивает порядок этого нуля, естественно возникает мысль, нельзя ли усилить последнее утверждение. Этого, однако, сделать нельзя. Чтобы убедиться
в этом, проведем доказательство предложения 1744 с точностью до первого порядка по 勿=6 для случая у' = 0. Можно считать, что метрика g евклидова в 0 и геодезическая внутри границы, а значит,
G° = Е dx； - 23х“Н (dx‘)
(曰 означает равенство по модулю О(62)), где квадратичная форма Н — это вторая квадратичная форма поверхности дХ в О (предполагается, что нормаль к этой поверхности направлена в сторону X). Поскольку только эта квадратичная форма и важна здесь, можно с тем же успехом выполнить все вычисления в R" с метрикой X dx； и множеством X, задаваемым неравенством хп > 6//(%')/2, ибо это приводит к метрике G" указанного выше вида, если взять геодезические нормальные координаты относительно дХ. Можно считать, что 〃(/) = £ Н啤 где Н] — главные кривизны, и мы будем писать "(£) = «', Нх> где Н — диагональная матрица.
Первый шаг состоит в нахождении X, такого что (XS\ 1 +1SQ 三 dXt т. е.
l + ZSn = 6//(XS')/2.
Таким образом, Х5Я = —1 4- 0(6) nAS^w—1 4- 8H(S,/Sn)/2. Отражение происходит в точке % =(入S', 6〃(入S')/2). Нормаль к границе в этой точке имеет вид (——6Нх\ 1)^(6Я575П, 1); ее длина si. При отражении относительно касательной плоскости в точке % вектор S переходит в вектор
S^s-2(fi// 8)/S" + S”) (6//S”n, 1)
』(S'-26//S', -Sa — 26H(S,)/Sn).
Значит,
exp『S=(S - 2(1 + 1/S“)6HS，, -1-Sn-6HS)(1/S： + 2/S„)).
Обратный образ Q оператора Д относительно этого отображения равен обратному образу оператора Д относительно отображения + 6i|)(S), где
巾(S) = (-2 (1 + 1/S„)"展，(l/s^ + 2/S“) H S)).
Следовательно,
где ipM (5) = d^k/dS} 4- d^j/dSk. Функция Л, задаваемая форму* лой (17.4.5), принимает вид
б Е Skd^j/dSjdSk = 26(Тг " + " (S7S„))/S„.
Первое из уравнений переноса (17.4.7)' в полярных координатах запишется так:
2r dvjdr — hv^
граничное условие для него имеет вид и。(入S)=L Таким образом, % 三 1 + dwo, где Irdw^/dr = 2(ТгЯ + 〃(S7szi))/S% g=0 при Sn = —1. Это дает
耽=一 (Tr 〃 + 〃 (S7s “)) (1 + 1/S J
Qu。三 6 A恤=6 (—2 Tr H (S„ + 2)闾-6" (S') (S“ + 2)/S)
Следующее уравнение переноса (2гд/дг + 2)s ——/is = —2Qti0 с граничным условием ci = 0 при S〃 =—1 имеет решение 0(6), поэтому можно опустить член hv\ и, выполнив явно интегрирование, получить
U| 三-2d (Tr Н + 3〃(S7S"))(1 + s2
По индукции заключаем, что для v > О
% 三一 62V (2v 一 1)!!(Тг Я
+ (2v + 1) 〃 (S7S„))(1 + s“)/sr L
Полагая, в частности, S' = 0, Sn = —2, получаем
Предложение 17.4.5. Для коэффициентов отражения Vvt фигурирующих 8 (17.4.14), при уп — О справедливо равенство
dVv (П, у)/дуп = -2-vT (2v — 1川尸(/),
где 尸(у‘)——средняя кривизна поверхности дХ 8 точке (у‘, 0). {Здесь (——1)!! понимается как 1.)
Асимптотические свойства собственных значений и собственных функций
Как и в § 17.4, мы обозначаем через Р (%,£)) дифференциальный оператор второго порядка вида
Р(х, D) = -Z 睜卩萨乖^ + Е b^/dXi + с
с коэффициентами из С°°(Х), где X — ограниченное открытое подмножество в Rn с С°°-границей, Предположим, что матрица (g/饱)является вещественной и положительно определенной в X и оператор 尸 симметричен относительно некоторой плотности Yd%,0 vYrL(X):
(Р(х, D)u, и)г = («» Р(л, D)o)r, %drC『(X),
где
(〃，и% =，〃UY dx.
(Использование плотности принципиального значения не имеет — оно освобождает от лишних замен координат, и только.) Пусть 夕一определяемый дифференциальным оператором Р(х, D) оператор в Лр (X) с граничными условиями Дирихле. Как объяснялось в § 17.3, 〃wR步 тогда и только тогда, когда P(xt D)u=f L2 и и принадлежит замыканию Н множества С/ (X) в "⑴(X). Для таких 〃
£ (glkDku, Dyu) + £ (从。产，и) + (си, о) = (/, и), и 三甫.
Используя (17.5.1), мы заключаем, что если t/w 勿夕,то (乡〃,и)г = (〃，乡и)广 Выбирая u = Y〃，получаем
£||£>/|F + I|〃||2&C|(0u, w)r + c2||w||2, 〃三勿#,
где И И обозначает £2-норму в X. Следовательно, оператор 夕 замкнут. Отсюда, как и в § 17.3, следует, что оператор Р + С2/С1 биективно отображает 生V на L2; этим доказано, что 夕 самосопряжен. Заменив Р(х, D) на Р(%, Z?)+Q/&, мы не нарушим справедливости ни одного из устанавливаемых ниже утверждений о собственных функциях и при этом будем иметь
|1"%&4(乡"，")，"r 勿#;
здесь использовано обозначение
Начиная с этого места будем считать условие (17.5.2) выполненным. Далее, обозначим через 月(饱)(Х) множество всех 〃, для которых Dau 三 £2(Х) при |a| W 加 наделенное определенной выше нормой. В силу неравенства Коши — Шварца и неравенства (17.5.2)
(17.5.2Y\\и\\^^С{\\^и\\9 〃三勿热
В § 17.3 была получена более сильная оценка (17.3.6), которую мы разовьем следующим образом:
Лемма 17.5.1. Если 〃三勿步 и gtie Hg(X)» где k — неотрицательное целое число, то « е //^+2)(Х) и
II и |& & М И 乡〃脸“三勿，
Доказательство. Для 々=0 это следует из теоремы 17.3.2. Пусть 也 > 0. Предположим, что утверждение леммы уже доказано при
Л, замененном на Л— 1. Тогда для <р еСо°(R")
II 乡(皎)心《sup I ф I |口" 必 + e II " Q+I)《 C'll 乡"%
Следовательно, достаточно доказать (17.5.3) для случая, когда носитель и лежит в какой-либо координатной окрестности. Можно считать, что координаты в этой окрестности выбраны так, что X совпадает с полупростраиством хя > 0. Для / < п имеем DjU е Я и PDjU = DjPu + 1Рц)и, где 尸(八一снова некоторый оператор второго порядка. Поэтому оценка (17.5.3) с 依 замененным на k— 1, дает
II Dtu Q+d & С— (II。偿 Q-d + II u|l(A+1)) & С，II 乡〃隔•
Отсюда следует желаемая оценка для всех Dau с |а| = Л + 2, за исключением £)f+%・ Но из вида нашего дифференциального оператора вытекает, что
屬=(g"")T (-/ ^п nDt(gikDku) + …+ 乡) где многоточие обозначает члены низшего порядка. Отсюда сразу получается желаемая оценка для Qf+^u, чем доказательство и завершено.
Одним из полезных следствий оценки (17.5.3) служит оценка (17.5.4)心心)玄e"1/"11, "三勿时
(с некоторой новой постоянной). Для 也=1 она очевидна. Если £> 1 н оценка (17.5.4) уже доказана для всех меньших значений 力，Tо
К〃Н(21) &GII 歹"II,"巨勿gib
так что (17.5.4) вытекает из (17.5.3).
Уже оценка (17.5.2)' показывает, что оператор 夕 имеет дискретный спектр, а из (17.5.2) видно, что 乡 положителен. Фактически, если Ел — спектральное семейство оператора 夕 и и — Е^и, то ||J〃||W 入 131, а значит, ||u||(1)^ CA||u||, в силу (17.5.2)/. Множество всех таких и с U〃||W 1 компактно в 厶2 по теореме 10.1.10. Поэтому Е辽？(Х)—конечномерное пространство (см., например, лемму 19.1.4). Пусть 屮卜 屮2，… ——ортонормиро- ванный базис в £р, состоящий из собственных функций, отвечающих собственным значениям 0 V 入i 《入2 W • • ■ • Тогда ф； е С°°(Х), поскольку ①产 Н⑺(X) для любого 力，и оператор Е* задается ядром, равным произведению функции Y(y) на функцию
е(х,9,九)= £ W(»W (办
а Зак 443
называемую спектральной функцией оператора 乡.Мы воспользовались здесь следующим дополнением к лемме Соболева (лемме 7.6.3), позволяющим также получить оценку спектральной функции е:
Лемма 17.5.2. Пусть v + n/2 < k. Тогда если 〃е"*)(Х), то 〃三 С" (X) и
]系「叩1D%12《0(11嗚)十/1|"『)，x>1.
Доказательство. Разлагая и с помощью разбиения единицы, убеждаемся, что достаточно доказать утверждение леммы для случая, когда и имеет носитель в какой-либо координатной окре* стности; поэтому можно считать, что X = R：h и имеет компактный носитель. В силу теоремы В.2.1 достаточно установить (17.5.6) для и е СГ(R+)- Для таких “ мы получим даже оценку (17.5.6/ 尸。i/2 sup I D«„ |2《С ( ? J °%『+ # II 〃『)，
|a|《v.
Беря 入"2% в качестве новой переменной, видим； что достаточно доказать последнюю оценку для X = 1. С этой целью покажем сначала, что
f ||o^F<C(|D^|2+[|u||2).
О
\ (I vff^-\v，r + \v\2)dt=\ |и〃 + и' + и|2 由+ |и(О) +『(О)Е, оо\ (I vff^-\v，r + \v\2)dt=\ |и〃 + и' + и|2 由+ |и(О) +『(О)Е, ооПри 也=1 эта оценка очевидна. Переходя к случаю 力=2, заметим, что справедливо тождество
\ (I vff^-\v，r + \v\2)dt=\ |и〃 + и' + и|2 由+ |и(О) +『(О)Е, оо
\ (I vff^-\v，r + \v\2)dt=\ |и〃 + и' + и|2 由+ |и(О) +『(О)Е, оо
о еС" (R+).
Действительно, достаточно проверить это для вещественнознач* ных и, а для таких и
“，2 — м2 + М _ в + у + 0)2 = е" + J)/ _ J —淤一『一2и)
=一2 (с^+сЭ (с + И-
(Более глубокое обоснование указанного тождества состоит в том, что 1 —守+1=因一疋一112, gwR, а у квадратного трехчлена 廿一疋一1 нули лежат в верхней полуплоскости.) Отсюда следует, что (17.5.7) выполняется для k = 2 с С = 2, Изменяя масштаб, получаем для Р-норм на (0, оо)
1"『《6心"『+6-屮川2,6>0.
откуда следует, что ||с,||2^ 211^11 ||v||. Если теперь (17.5.7) доказано для некоторого значения 也，то, применяя последнюю оценку к Dnu9 заключаем, что
£ IID〃『& С (Ц D^u |2 + И Dnu『)& С (I。汐“『+ 2II 〃 IID Dlu J).
Так как 2C|| и || || Д^и || < || D^u ^/2 + 2C21| и ||2, то после сокращения члена JD^u f/2 мы приходим к оценке (17.5.7) с 也,замененным на Л + L и некоторой новой постоянной С.
Далее, используя формулу Парсеваля при фиксированном хПг можно усилить (17.5.7) до оценки
(17.5.7/J 歪 J D% F & С (京 J D%『+ II 〃•
Очевидно, эта оценка верна, если в обеих суммах оставить лишь члены с 口匕=0, а чтобы получить ее в полном виде, надо затем воспользоваться (17.5.7). Доказательство оценки (17.5.6)， сводится теперь к проверке оценки
supo|u|2<C||u||^, “и 方伍)(R；),
для k > п/2. Ввиду следствия В.2.6 достаточно проверить эту оценку для 〃三〃(依(R"), так что остается просто сослаться на лемму 7.6.3. Доказательство завершено.
Теперь можно получить грубую, но полезную оценку спектральной функции.
Теорема 17.5.3. Существуют постоянные Са, такие что
I或“(х, у, Л)|<С<Д("+1 “叱 х, уеХ.
Доказательство, Возьмем f w L2 H применим к 〃 = £\/ оценку (17.5.6) с 2也 >|а| + %/2. Поскольку в силу (17.5.4)
мы получим, что
|Da£j(x)|2<C^|a|+n/2||f||2.
Здесь
"Ej (х) = (f, g)r = (Ej, g)「 @(У)= D*e (%, У，九)・
Следовательно, Е^ = д и ||g||2 ^ CaVa^2. Но ||纱gll & M||g||, поэтому (17.5.6) дает
I咖5)12《%尸1+10匕
чем и завершается доказательство.
Из (17.5.8) немедленно следует, что для числа ^(Л) собственных значений, не превосходящих X, считаемых с учетом кратности, справедливо равенство
^ (%) = tr £*х = 5 е(х> 芻九)丫(％)dx,
где tr обозначает след. (Надо просто проинтегрировать опреде* ляющее равенство (17.5.5).) Цель этого параграфа — получить весьма точное описание асимптотических свойств функции ^(X)I оценивая e(xt х, Л) сначала на компактных подмножествах в 匕 а затем на границе.
Замечание. Как показывает небольшая модификация доказательства теоремы 17.5.3, если предполагается лишь, что коэффициенты оператора Р(х, D) принадлежат С°°(Х), и 夕一какое- либо самосопряженное расширение оператора Р(х, D) с областью определения <Т, ограниченное снизу, то Е* задается С°°-ядром, которое удовлетворяет оценке (17.5.8) на компактных подмножествах в XXX В случае когда у границы дХ имеется гладкая часть со, причем коэффициенты оператора Р(х, D) остаются гладкими в XUо, и область определения оператора 夕 содержит все гладкие функции с носителем в XUs, равные нулю на оценка (17.5.8) сохраняет силу на компактных подмножествах в (XUsjX(xOs). В этой ситуации оператор может и не иметь дискретного спектра, так что формула (17.5.5) теряет смысл. Однако доказываемые ниже результаты о спектральной функции остаются верными.
Хотя наша цель — изучить ядро оператора £\, сначала мы исследуем ядро другой функции от оператора 况 к которой легче подступиться. В этом отношении одним из особенно удобных является косинус-преобразование спектральной меры
cos (/ V^) = \ cos (/ V^ ) d以о
Чтобы найти ядро этого оператора, возьмем 屮 w 夕(R) и j w С； (Х)・ Имеем
,(cos (f V^) f, f)Г 屮⑴ d/ = j w(o dt 卜os (/ 海)de (f, f, %),
где.
e(f, f,簿= (£j, %•=，，e(x, у, Л) f(x)f (y)Y(x) Y(y)dxdy
—неубывающая ограниченная (не превосходящая ||/||2) функция ст Л. Меняя порядок интегрирования, получаем j (cos (/ “尹)厶 f)г 屮(0 dt
=4 $ ^("^") + ® (— V^")) de (f,力九)
=y 5 (0 (Q + ® (—力)血(f, f, M 0
=V 兩 f (加 丫 (%) Y ® dx dy \ (® (t) + ® (— т)) d«e (x, y,的/2. 0
Последняя перемена порядка интегрирования, очевидно, законна, если ф е Со°. Следовательно, обобщенное ядро K(t, х, у) 三勿'(R XX XX) оператора f ь-> cos (/ V^ ) f представляет собой преобразование Фурье по т умеренной меры dtn(x, ^, т), где (17.5.9) m(xt у, т) = Г(у) (sgn т)е(х, у, т2)/2.
То, что это умеренная мера, выводится при помощи стандарт* ного рассуждения, основанного на использовании поляризационного тождества, из того факта, что для произвольных комплексных чисел а и 6
I а I2е(х, х, X) + abe(х, у,簿+ &Ье(у, х, Х) + |6|2е(^, у,九) есть 0(入厶/2) (в силу леммы 17.5.3) и неубывающая функция от 入.Если нам удастся получить достаточную информацию относительно cos (/V^)» т0 обращение этого преобразования Фурье позволит нам установить желаемые результаты относительно £(尤,У,入)._
Если fwC/, то функция 〃(/, %) = cos(/“0)f(;c) равна f при / = 0; далее, 0〃/0/ = 0 при ^ = 0 и
II (0/册/“II«1乡"2+用 для любых положительных целых j и ^. Следовательно, ввиду (17.5.4) и леммы 17.5.2, ue C°°(R Х^) и «= 0 на Rx@^・ Кроме того,
(Р + д2/д12)и = 0.
Поэтому, используя параметриксы, построенные в § 17.4, и начальные условия «= f и du/dt = 0 при / = 0, можно приближенно восстановить 〃. Прежде чем записать это приближенное решение, докажем одну лемму, которая позволит нам оценить погрешность приближения.
Лемма 17.5.4. Пусть с s С°°([0, Т)\Х) — решение смешанной задачи_
(P + d2/dt2)v = h в [0, Г] XX, (17.5.10) о = 0на [0, Г]ХдХ,
и = dv/dt = 0 при / = 0.
Предположим, что d^h/dV = 0 при / = 0 для /V 瓦 Тогда fe+i
(17.5.11) ZUM+F(/, •儿 О fe-1 1戍％(邑・)|1厶+21D尸"(/,.儿) о
Доказательство. При А = 0 это неравенство представляет собой стандартную энергетическую оценку, доказываемую следующим образом. Поскольку (Р dv/dtt и)г=0и/°厶戶口)。то
2 Re (Л, do/dt)T == (d/dt) (И dv/dt ||^. + (Po, u)J
Интегрирование от 0 до / дает, в силу (17.5.2),
II加倣R + IIиI匕)/&《2M 口|五(s, •)||rds, 0
Af2 = osup^||do (s, •%+ || и (s, •)%/&.
Та же оценка справедлива и при меньших значениях /; следовательно,,
M2《2M\||/i(s,・)卜曲， О
что и доказывает оценку (17.5.11) для 也=0. Пусть 也 > 0. Тогда d^v/dt2 = Л — Pv = 0 при £ = 0. Поэтому, если оценка (17.5.11) уже доказана для меньших значений Л, можно применить ее к dv/dt и получить неравенство (17.5.11), только без члена, отвечающего j = ^+l, в левой части. Но ввиду (17.5.3)
||С(/, -H{k+l}<C\\Pv(t, •)||(ft_1)
<С(||Л(^, •JI^d + IdIcCZ, -)1fe-n)>
чем и завершается доказательство.
Выберем с>0 так, чтобы (1746)〃' выполнялось для всех (х, у)三夫 X X, для которых геодезическое расстояние s (х, у) <； с・
Пусть d(g)' обозначает геодезическое расстояние от у до дХ. Положим Х(> ={у w X; d® > р} при некотором р V с. Если g 三 Х「 и / < р, то фигурирующий в (17.4.6)w параметрикс
甘(，，X, у) =^ Uv(x，у) ^v (^. s(x, у))
определен при хеХ и равен нулю вблизи ОХ. Для f 巨 С/(Хр) функция
〃(/, *)==，甘(/, X, ^)(det^/ft (y))~l/2 f (у) dy
принадлежит C°°( [0, p] X ^)> причем u = 0 на [0, р] X дХ и и = 0, O〃/Of = f при / = 0. Далее, и непрерывно зависит от f в С°°-топологии. Это сразу следует из леммы 17.4.2, если ввести вместо у новую переменную 2, определяемую соотношением ехр^ а = х, ибо мы получим тогда сумму членов, в которых Ev(/, 2)действует на С°°-фуикции от z н % как на функции от а. Таким образом, функция
V = cos (/ V^") f 一 du/dt
имеет нулевые начальные и граничные значения, и в силу (17.4.6)〃
Л (f, Х)= Р(X, D) +。2/山2) V (厶 х)
=一，*N (厶 X，9)倒(det g传匂))T/2 f (，)弘，
Rn«，%，9)= (P(x，D)Un(x, y}}EN(t, s(x, g)).
В силу леммы 17.4.2, RN e Ck^9 если k удовлетворяет условию ^ > Л + (n + 1) /2, и при I a I《％ мн имеем
I 阮 x.ydRN[t, x, №/1《e产-1叫
Поскольку s(x, y)《f на носителе функции RNt то
j|*(s,"圆+£|。m”(/, •儿)《С产+if|川“ оо
Поэтому лемма 17.5.4 дает
11。修・)*1)+ 10。(厶・)％《e产+Л||川" />0.
Здесь Л может принимать и значение 0. Используя лемму 17.5.2 с 九=广2, получаем, что если | а | + п/2 < Л + 1 и, в частности, если I а I + п + 1 <С Л^, то производная D：jA непрерывна и (17.5.12)1或向《揖"з一”"必，
при условии что дифференцирование по t выполняется максимум один раз. Это ограничение сразу снимается с помощыо уравнения d^v/dt2 = ft ——Pv.
Положим
К" (f, X, 9)=淪(х, g, /) — 貿(/, X, y) (det g旗匂))一叱 t > 0;
это непрерывная функция от t со значениями в 勿'(大义 X。). Если в доказательстве оценки (17.5.12) заменить f на 力峭 то мы придем к неравенству
|d3〈Kn(/, X, у), ^f(y^\<ct2N-'a+fi'-n\\f\\LI
при |а + ₽ I + n + 1 < ^. Выберем функцию % wС/(R") с，％dx=I и положим Хе(*) = %(х/е)/е". Взяв f (^) = Xe(z — у), получим
|&,ZJ 恤 & 招・)，ZeG— ・)〉|《c严 T5f, mi + ^+lCM
Устремляя в к 0, заключаем, что 驳“三 0V."一‘ и
\Dly%iKN^ х, у)|《С严Т°Т |aK^_n_3.
Поскольку dm — четная функция от 力 та же оценка справедлива и для определенной при всех f wR функции
笳(х, у, /) —&◎亿 х, 9)— 甘(一/, X, 9))(detg№(9)尸/2.
Здесь все члены — непрерывные функции от (х, у) со значениями в 纱(R), поэтому можно положить х = у и получить следующий результат:
Теорема 17.5.5. Пусть Q ={(»,%)已R XX； |^| < min(d(x), с)}.
Тогда функция
翕(％ х, Z)— £ & (Еу(/, 0)—瓦(力 0)) Uv (x, %) (det 必在(无)厂"2 2v<n
принадлежит C°°(Q) при четном п ——как она есть, а при нечетном——после деления на |"; все производные этой принадлежащей C°°(Q) функции ограничены в Q. При / ^ 0 разложение в ряд Тейлора по t в обоих случаях имеет вид
£ ОМЕ式t, 0)—瓦(f, 0))Uv(x，x)(detg/x))T/2. 2v>n
Здесь коэффициенты Uv(xf x) представляют собой ограничения на диагональ коэффициентов из предложения 17.4.3 и, значит, являются многочленами от коэффициентов оператора Р, 〃％ производных и (det ^/Л (х))-1.
Из леммы 17.4.2 следует, что для четных п
%(J (f, 0)-瓦(f, 0)) = 25公一”)/2产一"/r (v + (l-切/2)
(мы используем обозначение (3.2.10)，)； для нечетных п надо просто заменить / на |/|, за исключением случая, когда 2v = п
—1 — 2財 где k — целое ^ 0, а в этом случае
&(J(/, 0)一瓦亿 0)) = 25j一”)/2(-1)乜!63)/(2左)1.
При f，0 это очевидно, а при f = 0 верно, поскольку левая часть однородна степени 2v ——п и четна по /, так что распределение с носителем в 0 может появиться лишь в последнем случае, а он явно описан в лемме 17.4.2.
Если преобразование Фурье данной меры dy известно на каком-либо интервале /, то можно вычислить свертку меры 办 с любой функцией ф, для которой supp фсз /. Приводимая ниже лемма дает оценки для этой меры, которые можно получить В таком случае. Пусть 屮 обозначает какую-нибудь положительную функцию из ^(R) с 、屮(T)dt=l и supp@u(—1, 1); например» ГОДИТСЯ 屮=|屮产*|屮|2, где i|)— функция с Л2-нормой 1 и с 心巨 СГ((—1/2, 1/2)). Положим фа (т) = ф (т/а)/а, а > 0, так что фа (/) = ф (и/) имеет носитель в интервале (—1/а, 1/а).
Лемма 17.5.6. Пусть ц — неубывающая функция умеренного роста с(Л (0) = 0, a v ——функция локально ограниченной вариации с v(0) = 0. Если
@(т)уМо(|т| + ао)”-&,
'' I (dp — dv) * <Ра (т) I & Ml (I т I + %)", TWR, при некотором х е [0, п — 1] и некоторых а。》а, а{ ^ а, то <17.5.14) |n(T)-v(T)|<C(Moa(|T| + 陶一
+ М1(|тЦ-а)(|т| + а1)х),
£de С зависит лишь от и и п.
Доказательство. Выберем & > 0, такое что ф > с0 в интервале (—1/2, 1/2). Справедлива оценка
т+а/2'
^"' \ dg < dp. * фа (t) < Л11 (I т 1 + «0х + С,Л1о (1114- Оо/-1,
т—а/2
поскольку
，Фе(5)(1 т — $1 + ао)“т ds=，(p(s)(| т — as I + ОоГ"1 曲 &(Е + оо尸，屮(s)(l + |slL ds.
Разделив интервал (0, s) на интервалы длины &1 общим числом ^|s|+ 1 и используя на каждом из них эту оценку, заключаем, что
%l"(T)-N(T-as)Wa(|s|+ 1)(&М°(| т| + a。+ a| s 广】
+ Al1(|T| + a1 + a|s|)x).
Умножая на(p(s) и интегрируя, получаем оценку
|у(т)—N*(Pa(T)|《C2a(Mo(|T| + ao)i + M|(|T| + aH.
Первое из неравенств (17.5.13) дает такую же оценку с ц, заме* ненным на v, и М, замененным на 0, а интегрирование второго от 0 до т дает
I (ц — V)* <ра (т) —(Ц — V)* фа (0) К Л1! I Т I (I Т I + %)", откуда и следует (17.5.14).
Фигурирующее в следующей теореме ео(О, X) определяется по формуле (17.4.12) и, значит, равно объему единичного шара,, помноженному на (2л)一〃九"2.
Теорема 17.5.7. Для спектральной функции е(х, у, X) рассматриваемой задачи Дирихле в X справедлива оценка
|е(х, х, Л)Г(х)-ео(О, %)(det^ft(x))-1/2|
&G57(I + d(x)2?/2), где d(%)— расстояние от % до дХ.
Доказательство. Применим лемму 17.5.6 с a — l/min(d(x), с) л ц(х) = т(х, х, т)= Y(x)(sgnT)e(x, х, т2)/2,
V (т) = (sgn т) % (0, т2) (det g'k (х))-1/2/2.
В силу леммы 17.4.2, главный член в разложении преобразовав ния Фурье d出 меры dpi, даваемом теоремой 17.5.5, равен преобразованию Фурье меры dv； прочие сингулярные члены суть пре* образования Фурье произведений гладких функций от х на |^| л-1-2^ о vi&(m—1)/2. Следовательно, (d 出一dw)蕃屮^ есть сумма регуляризаций этих произведений и некоторой ограниченной функции, так что выполняются неравенства (17.5.13)： с х = шах(п — 3, 0). Значит, справедливо (17.5.14), что доказы*
вает оценку (17.5.15) для d{x)\{^> 1, а для d(%)九"2《1 эта оценка следует из (17,5.8). Теорема доказана.
Следствие 17.5.8. Пусть N (入)—число не превосходящих 入 собственных значений рассматриваемой задачи Дирихле в X. Тогда <17.5.16) IМ ⑷一(2л)-пQ vol (X) Г/2| & С/т)/2log %
где vol(X) — риманов объем области X, а Сл — евклидов объем единичного шара.
Доказательство. Поскольку
N (%) =，& (х, х,九)丫 (х) dx,
получается интегрированием (17.5.15).
Оценка (17.5.16) — громадный шаг вперед по сравнению с нашей прежней оценкой 宮 @)= 0(入鸣.Однако мы сейчас пойдем еще дальше и покажем, что множитель logX в правой части можно опустить. Важность этого уточнения объясняется тем, что, как показывает один из приводимых ниже примеров, оценка 0(%(gi)/2)дЛЯ погрешности иногда неулучшаема. Мы покажем также, что граница дХ оказывает на №(九)влияние, пропорциональное 九(а】)/2 и своему риманову объему.
Ключевой момент — обобщение теоремы 17.5.5, дающее больше информации на дХ. Чтобы его сформулировать, введем отображение
дХ 义［0, с］三(xz, 6) — % (f, 6)三冗
такое что бь-»х(х\ б) есть геодезическая с длиной дуги б, нормальная к dX в точке %’ при 6 = 0. Для малых с это отображение является диффеоморфизмом в некоторой окрестности Хс границы дХ в X. Обозначим обратное к нему через хь-»(у(х), d(%)). Таким образом, d(x) — это, как и прежде, геодезическое расстояние от х до дХ, а у(х) — точка на дХ, находящаяся от х на геодезическом расстоянии d(x).
Теорема 17・5・9・ Если с достаточно мало 〃 ％曰 Х^ 0 V f V с, то (17.5.17)尸余(%, x,。=厶(居0一/2(Y(以 d(%)"，f),
■ade 八 〃 /2 обладают следующими свойствами:
функция /1 принадлежит С°°(ХХ［^ с)), и ее разложение 6 ряд Тейлора по t в точке / = 0 имеет вид
£ 2-^а- м产(Г (v + (i-喇2)尸八(л, x)(det 成气力尸#
《U中一функции из предложения 17.4.3);
на носителе функции /2(х/, 0, /) выполняется условие 2Q ^1, а на ее носителе сингулярности 20 = 1; далее, 厶h，8, /)一 导乙(口，x(X'，8，))(det酬(х",田)))……旦(1, 20} ^Ck{dXX\^, 1]Х[0, е]), ^ < ц - (п - 1)/2, где V\ такие 宛е, как s предложении 17.4.4, а Е：(/, %> = 0£у (厶 ％)/。/; наконец.
厶(£, 0, 0) = ^(1, 28)(detg/x', 0))-1/2.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, завершить которое мы сможем лишь в гл. 24, извлечем из нее с помощью леммы 17.5.6 некоторые следствия, касающиеся спектральной функции задачи Дирихле.
Теорема 17.5.10. Спектральная функция e(xt у, X) рассматриваемой задачи Дирихле в X удовлетворяет оценкеJ)
|е(х, х, Л)Г(х)-(ео(О, %)-%(2d(x), X))(detg/ft(x))-1/2| 《e刘2(*/2 + 因х厂1)T2.
Доказательство. При d(尤)>с>0 это следует из теоремы 17.5.7, так как в силу следствия 7.7.15
|备(2义办入)|《052(1 +d(x) #/2)7计叫
а правая часть последнего неравенства есть О (l(n-1)/2/d (х)). При d(尤)《с применим лемму 17.5.6 с фиксированным a—1/c и И (т) = /и (%, х, т) = ^ Y (х) (sgn т) е (х, х, т),
v(T)= |(sgnT)(eo(O, T2)_eo(2d(x), т2)У0(П, x))(det^ (х))-,/2.
Из (17.4.12) вытекает, что
I ^о(^> т2)/йт I = (2л)~п\ 炉飙皆dS ,
15Мг|
где dS — евклидова поверхностная мера. Следовательно, l^o(^ T^KClTp-'dr,
где (2л) ЛС — площадь единичной сферы. Таким образом, выполнено первое из неравенств (17.5.13). Поэтому теорема будет
доказана, если мы установим, что
I (如 一 dv) * 必(т) I & С (111 + d (XL)"?
Действительно,匕(П, х)—1 = O(d(x)) и d(x)e0(2d(x), т2) =0(^!) в силу (17.5.19).
Из доказательства теоремы 17.5.7 вытекает, что обратное преобразование Фурье от
@(〃с)(笳(х, X, t) — rnI2 (у (х), d(x)〃，/)
一(稣(厶 0) + ^(-/, O))(det証后)-"2)
оценивается величиной C(l+|t|)〃-2. Остается оценить обрат* ное преобразование Фурье от
ф(//с)Гп(/2(У(х), d{x)/t, /) — %(!!, х)兄(1, 2d (x)//)(detg")T/2).
Если 0《8《1/3 и xn = d(х), то разность
产翕(х, Z, /)—(旦(1, О)-Уо(П, X)爲(1, 2»)(detg"®)"^
имеет равномерно ограниченные производные по (%', 0, i) при малых f и обращается в нуль, когда 0 = 0 или t = 0; значит» эта разность есть 0(0/) = O(d(x)). Поэтому
|/2« е, /)— 几(п, х)^(1,2е)^^(х))~'/2\^^ +(1,
0&8&1/3,
где d = d(x). Если 1/3 < 0 < 1, то в силу утверждения (ii>： теоремы 17.5.9 такая же оценка справедлива после вычитания достаточного числа сингулярных членов. Для функции, не превосходящей С| © (〃е) 1((» + 2)/(/+ d)“ + 1), обратное преобразование Фурье по t оценивается величиной
C^c + d\(t + dTndt+ % + 或2一"力)
<C(c + d2-"(l/(rt-i) + c)).
Выберем четную функцию 屮 w СГ ((—4, 4)), равную 1 на интервале (1, 3) и 0 на интервале (0, 1/2). Достаточно оценить обратное преобразование Фурье от сингулярных членов в разложении функции ，2 с V =/= 0, обрезанных с помощью множителя 2(f/d). Покажем сначала, что обратное преобразование Фурье по f от 屮(〃d)与(〃d, 2)/d" оценивается величиной
C/5(l+|T|d)(ft-i)/2-v. Вводя t/d в качестве новой переменной, сводим дело к случаю d = 1. Имеем
屮(/)E；(f, 2) = CR(/)f(/ + 2)v-(“+"2讣S+D/2(/_2)
Обратное преобразование Фурье от последнего сомножителя с точностью до числового коэффициента равно е?瓦(t + iO)(〃-D/2-v (пример 7.1.17), откуда и следует утверждаемая оценка, поскольку обратное преобразование Фурье от произведения всех остальных сомножителей принадлежит 夕.Напомним, что 匕=0(d). Далее,
d”" (1 + IТ I d)(”T)/27 & С (d2f + I т |”Т),
так как (п — 1)/2 — v ^ п — 2 при v * 0. Это доказывает оценку (17.5.20), а с ней и теорему.
Теперь покажем, что логарифм в (17.5.16) можно опустить. Подготавливая загодя одно уточнение этого результата, которое будет дано в гл. 29, мы на самом деле докажем несколько больше:
Следствие 17.5.11, Для 巾巨。(*)
1ШГ九(i)/21，w(»2(/ x,%)Y(x)dx
一%“/2 (2力-"C„ \ (det 恥(加尸/2 中(9)%
+ 4T严7仅(2к)f С.】卜dS|《С，121Y也
где dS — элемент риманова объема на ОХ, a Cv — объем единичного шара 8 Rv; постоянная С не зависит от 屮.
Доказательство, Пусть с выбрано столь малым, что отображение ОХХ [0, с] э (х\ б)н->х(х\ б) —диффеоморфизм. Если d(x) > с/2 на supp ф, то (17.5.21) следует из теоремы 17.5.7; поэтому можно считать, что d(x) < с на supp*. В силу (17.5.8) и (17.5.19) правую часть оценки (17.5.18) можно заменить на С%*, и в случае, если d(x)2~n > 九5-D", это дает более точную оценку. Умножим видоизмененную таким образом оценку (17.5.18) на Х(1"л)/2|ф(х) | и проинтегрируем по X. При и = 2 интеграл от правой части, очевидно, ограничен /-^нормой функции 屮.При и > 2 то же верно для интеграла, взятого по множеству, на котором d(x)V/2 > 1. Мера множества, на котором d(xj2f >九(1)/2 есть 0(%(1)/2(2一叫，н, следовательно, интеграл от 九以2 по этому множеству есть О(Х1/(4-2л)). Интеграл от 九(2-切”d(%) 2-〃 по множеству, на котором d(%)2f v %("Т)/2*
но d(x)%i/2 V 1, оценивается величиной того же вида, помноженной в случае п = 3 на log Л. Значит, интеграл по множеству, на котором d(%)*/2 V 1, есть О("/( J2〃)log 九)-> 0 при Af 8.
Остается показать, что
、"”)"(卜(х)е(,(2d(х), ^i)(A^gik{x^il2dx
_4~%sT"2(2ji)""C"_i\wdS)f 0 при Яг 8.
Для этого воспользуемся координатами (х7, б). В этих координатах элемент риманова объема (det gM(x))-1/2dx принимает вид a(xft &)dS d6, где а(х\ 0)= 1. Таким образом,
I 屮 а (М 6)口 (X，б 一 屮(К 0)| < С6,
и в силу (17.5.19)
I % (26, 1)1 & С产(1 + 6紹/2)Т"+叱
Имеем
сс*1/2
#/2,6(1 + 6»/2)Т"+"、6 = %та \ "1 + /尸”+^必->О, оо
поскольку последний интеграл есть。(九】*) (ибо п»2). Далее, %可(1+6#/2尸e、6= J (1 + 尸计~? =。(L4).
С从 1/2
Поэтому первый интеграл в (17.5.22) можно заменить на
卄-”虑 \ ds\ 屮(/, 0)%(26, 4)d6. dX 0
Ho
\ %(26,%)& = ； , %(6,簿也 0— оо
Так как
e。(6,笛=削广^通呜 \%
i 门2<Т
где *' = (&,••・> 8)，формула обращения Фурье дает
\ %(6, Qd6 = (2”f \ 恋' = (2兀厂"С"-#"-^.
-8”'|У
Это завершает доказательство соотношения (17.5.22), а с ним и всего следствия.
В частном случае ф = 1 оценка (17.5.21) дает
(17.5.16)， |М (簿一(2л)-" С„ vol (X)炉21 & с/Т/2.
Можно также взять функцию ф, равную 1 в некоторой окрестности границы дХ и такую, что правая часть (17.5.21) сколь угодно мала. Следовательно, если возможно определить е(尤，％，九)на компактных подмножествах в X с погрешностью о(入(《-D/2), т0 мн в состоянии определить н N(入)с той же погрешностью; при этом вклад границы в общее число собственных значений《九 равен
-4-'^п~1)12(2л)'-пСп_1уо\ (дХ).
Мы обсудим этот вопрос в § 29.3, после того как будет развит необходимый технический аппарат. Однако уже сейчас разберем некоторые примеры, показывающие, что какие-то дополнительные предположения нам придется сделать.
Наш первый пример —— оператор Лапласа —— Бельтрами на сфере S^uR"4. До сих пор мы ограничивались рассмотрением открытых множеств XuR叱 Но делалось это исключительно ради читателей, не слишком близко знакомых с римановой геометрией. Все наши рассуждения были локальными, и потому их можно перенести на случай произвольного компактного риманова многообразия с краем.
Рассмотрим единичную феру S〃 и введем в ₽л+! полярные координаты: х = гш, где г > 0, ш е Sn. В этих координатах оператор Лапласа принимает вид
А = г"^ + О?/。产 + (〃") д/дг
[(вне начала координат). Здесь А® — оператор Лапласа — Бель- трами на S叱 Если и(х)= r^w(ш)—однородная функция степени ц, то вне начала координат
Au =严一2(a户 + 代(К + 〃- 1)d).
Следовательно, Au = 0 при %R0 тогда и только тогда, когда V является собственной функцией оператора ——厶①，отвечающей собственному значению ^ =卩(卩 + 几一1). Поскольку % пробе* гает все неотрицательные значения, когда ц пробегает все значения 《1 — п, мы получим все собственные функции оператора —А© ограничив на S〃 все распределения и в R“+* гармони^ ческие и однородные степени ц ^ 1 — п вне нуля (см. § 3.2), Для таких и распределение А〃 должно быть линейной комбинацией производных от меры Дирака, сосредоточенной в 0, и
мы заключаем, что у = 1 ——п — Л, где k — неотрицательное целое число, и
и(х) = ^^aaDaE,
где Е — фундаментальное решение для оператора Д, а аа — некоторые постоянные. (В случае ^ = 0, п = 1 вместо логарифмического потенциала Е надо взять константу. При других значениях 卩 на R〃+i не существует гармонической функции, однородной степени ц.) Преобразованием Фурье от и служит У а^ I ^ Г2; отсюда следует, что и сосредоточено в начале координат тогда и только тогда, когда |g|2 делит многочлен Z 時上 Пусть Nk — размерность пространства всех однородных многочленов степени 6 от % + 1 переменных, так что
必= ("^，) =左"(1+0(1 信))/#•
Для 也 V 0 положим Nk = 0. Из сказанного выше следует, что кратность собственного значения X* = k(k + п — 1) оператора ——А® равна N卜一N卜_?, k — 0t 1, ... . Поэтому для числа ^(X) собственных значений оператора —Дш, не превосходящих X, справедливо соотношение
^(Aft + 0)-^& 一 0)=必一 Аг— = 2炉т (1 +。(1闱)/仞-I)!.
Таким образом,
九厂"”2 (“ (爲 + 0) — ％ & - 0)) ->2/(д- 1)1,左 f 8.
Это показывает, что для 2У(Л) не существует асимптотической формулы с непрерывным главным членом и оценкой остатка О®1)/2).
В случае когда X — полусфера в Snt на которой *〃+】> 0, собственными функциями задачи Дирихле в X служат собственные функции оператора Лапласа— Бельтрами на Snt нечетные по Хл+ь Пусть N『(соотв. ^йeт) — размерность пространства всех однородных многочленов степени от rt + 1 переменных, нечетных (соотв. четных) по х^+ь Очевидно, что
m=2产+ n片，N^ = N農"
ибо нечетные по хп+\ многочлены представляют собой произве* дення четных на 冗叶【・ Следовательно,
必-必-2=nt- т+“产-n 聲2
=W-必鸟)+(ад- n 吃).
Но ^feeч — ^fe!^г есть размерность собственного подпространства задачи Дирихле в X, отвечающего собственному значению Хь так что мы вновь получаем скачки, имеющие величину порядка 入S-D/2 Вывод отсюда такой же, как и в случае S", но теперь, очевидно, мы можем с помощью стереографической проекции реализовать X как шар в Rrt с римановой метрикой, которая является конформно-евклидовой.
Для доказательства теоремы 17.5.9 нам понадобятся два добавления к лемме 17.5.4. Первое из них — утверждение о конечной скорости распространения волн для смешанной задачи Дирихле — Коши:
Лемма 17.5.12. Пусть и w С°° ([О, 8)Х >) — решение смешанной задачи•
(@2/山2 + p^v=h 6[О, 0О)ХХ,
и = 0 на [0, оо) Х^> 0 = 0。 〃 dv/dt = vx при / = 0.
Положим
г|)(х) = min (min {t + s (xt g); (/, y)^supph}tmin {s(x, y); yssuppUoUsuppuJ),
где s(x, y) — геодезическое расстояние между точками х и у9 Тогда и (% *) = 0 при f V 2 (%) •
'Доказательство. В силу неравенства треугольника для метрн* ки s,_
12(*) —2®l&s(% У),修 ^胃冗
Для 0 V в V 1 мы можем выбрать такие функции 业已 С°°(>), приближающие (1—2)2, что 如->2 равномерно в X при 8 -> О, 皿 W 2 Н |te(x)— te(f/) 1=^(1 — e/2)s{x,y)t T. e.
2酬⑶第甯1e/2・
Таким образом, поверхности Sa ={(^, х); t==^9 (х)+ а, *нХ} являются нехарактернстическими и А, и0 и s равны нулю ниже So- Пусть А — точная верхняя грань всех а《0, для которых и = 0 ниже Sa. Если Д < 0, то в силу теоремы единственности для задачи Коши (теорема 23.2.7) или для смешанной задачи Дирихле — Коши (теорема 24.1.4) и — 0 в некоторой окрестности поверхности Sa- (Доказательства этих теорем единственности—просто модификация рассуждений с энергетическим тождеством, использованных при доказательстве леммы 17.5.4, но нам удобнее привести их попозже.) Значит, А должно равнять-
ся 0, и потому и = 0 при f V *(%)• Устремляя е к 0, получаем утверждение леммы.
Заметим, в частности, что если f 巨 С$°(Х) и s Q, у) <d (у) для zwsuppf, то s(x, у) V d(y)-j-f на носителе функции cos (/ V^) ft поскольку, в силу неравенства треугольника, функция $ из леммы 17.5.12 удовлетворяет неравенству s(x, 9)W 2 (*)+d(g). При t < 3d\y) мы получаем s(x, у) 之 4Z(y) на указанном носителе. Таким образом, функцию cos (/ д/尹)f можно изучать, «раздувая» окрестность точки yt имеющую диаметр, пропорциональный d(y), до некоторого фиксированного размера, как мы это делали в доказательстве предложения 17.4.4. Прежде чем приступить к этому, нам надо доказать второе дополнение к лемме 17.5.4, в котором допускается зависимость от параметра.
Будем обозначать через Рг(х, D) эллиптический оператор того же вида, что и выше, только еще зависящий от параметра 2 w Z, где Z — компактное выпуклое множество в R" для некоторого ^. Предположим, что коэффициенты оператора Рг принадлежат С°° (^ X 2) н оценка (17.5.2) выполняется равномерно для всех 尸а.
Лемма 17.5.13. Пусть иг е С°° ([О, Г] X ^ X ^) — решение смешанной задачи
(2 + 02/加)% =生 8 [0, rjX^XZ, (17.5.ЮГ% = 0 8 [0, T]XdXXZ9
% = dvjdt = 0 при / = 0・
Предположим, что d^Jdt1 = 0 при / = 0 для / < й. Тогда (17.5.11)'£ sup I Z)£ %. 2力(厶 *) I《С £ sup ID?, z hz (/,x)|,
I a |4-n/2<*|a |<fe
где верхняя грань берется по [О, Г] X ^ X Z.
Доказательство, Пусть сумма в правой части доказываемой оценки равна 1. Тогда в силу (17.5.11) нормы ||。广1%(力・)||(小 j W 也 + L ограничены равномерно по г. Дифференцируя по 厶 дифференциальное уравнение @/" + Р?)% = % получим
(//О 户 + PJ dv/dzv = dhjdz^ — (6P J0zJ“ — H.
Нормы |Э?~|-/Я [[(/), j《左——1, ограничены равномерно по z, и, снова используя (17.5.11), мы заключаем, что и нормы [Dt~f dv/dzy |(/), j《左，ограничены равномерно по z・ Продолжая таким же образом» найдем, что нормы
龙+IQ~刃。z& •儿” /<^ + l-|a|, |a|<fe,
ограничены равномерно по г. Поэтому утверждаемая оценка вытекает из леммы 17.5.2. Доказательство завершено.
Замечание, В этой лемме не обязательно предполагать, что X ограничено; достаточно предположить, что все 勿 равны нулю вне [О, Т]Х К для некоторого фиксированного компактного множества К и X.
Доказательство теоремы /7.59 Пусть, как и в предложении 17.4.4, К。一некоторое компактное подмножество границы дХ, задаваемой в локальных координатах уравнением хя = О, и пусть z w X — близкая к Ко точка. Из параметрикса 冒"， удовлетворяющего (17.4.15)1 при yt близких к П = (0, ..., 0, 1), можно получить параметрикс для оператора Рг. Действительно, «поднимая» уравнение (17.4.15)/ при помощи отображения, обратного к
(/, X, у)>~>(уп1, (д', 0) + упх, у),
т. е. при помощи отображения
(/, х, 9)i(//g“，(X — (/, 0))®,力
мы можем сначала построить параметрикс для 巾网仔 + Р с полюсом в (0,у), а последующее поднятие при помощи отображения
(/, х, g)i(zj, (z‘，0) + znx, (z‘，0) + zny)
даст параметрикс для З^/д^ + Pz с полюсом (0, у). Композицией указанных отображений служит отображение
(厶 X, g) f 他“，(х — (У, 0))/9“，(z‘，0) + z就.
Вводя обозначение уг —(2х, 0) + znyt приходим к выводу, что 第(到初2 + ?г(%> D)) ^(〃%, (х 一(/,0))%紋吗
= ^tg^(y^4^yy^ + RN^ (х-(/, 0))例，％)
для g, близких к П, |f|V 4 H sr» г(х, у) < 4. Теперь можно рассуждать, как при доказательстве теоремы 17.5.5, только с
Kn (/, х, у, z) = Zndm (хг, уг, г„0
一导”(〃％, (х-(У, 0))/%, %)(detg*(%)『％「
Для функций f е Со° (₽Л) с носителем, лежащим в достаточно малой окрестности точки П,
% (力 X)=，К"(厶 X, у, z) QBf(4)dy w С00,
функции v2 имеют нулевые начальные и граничные значения^ и у функции
九z(/, x) = (d2/dt2 + Pz)vz(t, х)
производные по 尤,f, z до порядка ^ — n — 2 —|Р| включительно равномерно ограничены, при условии что Ilf |£《1 и |f| V 3. В силу леммы 17.5.12, на носителе каждой из функций uz выполняется неравенство sz(x, П) < 7/2. Поэтому применима лемма 17.5.13 (см. замечание после ее доказательства), и мы заключаем, как и при доказательстве теоремы 17.5.5, что для г из некоторой окрестности множества Ко
Kn 也冗，У，г) е cN~n~4 при % н у, близких к П.
В частности, при х — у =П мы получаем функцию класса CN—i, а значит, разность
額 dm (z, z, z/) — 2 “ (z) zn^(厶 °) 0
一九(U, z)旦仏 2))(detg/(z))T/*
принадлежит C'-i при 0</<Зигиз некоторой окрестности множества К в X, н все ее производные (до порядка N — п — 4 включительно) равномерно ограничены.
Пусть М — функция, определенная аналогично т для случая, когда X заменено на некоторую окрестность У множества X, а коэффициенты оператора Р гладко продолжены на У. Тогда по теореме 17.5.5 при малых t
論(z, Z, /) — £ q (z)旦(/, O)(det g/ (z))-'/2e cN-i
и, следовательно,
然 dM(z, z,马/)一 ,4 ⑶ z弊;修 0)(det g% ⑵)Т2
принадлежит C^-i. Функция Л, определяемая равенством
Л (г, f) = tndM{z, г, о,
удовлетворяет условию (i) доказываемой теоремы, и для функ-* ции /г, определяемой равенством (17.5,17), разность
rnh(Z', 1//, /z“) 一 2 匕(口，z)与 а, 2) (det g^{zT112
имеет при f W 3 ограниченные производные до порядка N — п ——4 включительно. Из леммы 17.5.12 следует, что на носителе этой разности f > 2. Введем теперь новые переменные 0 = 1/f 三(1/3, 1) н s = tzn. Тогда t = 1/0 и zn = s0, откуда видно, что разность
厶啰，е, S) — £ 九(И, (/, sQ))^^ (1, 2e)(detg”(z',働* о
имеет ограниченные производные по 乙 0, s до порядка ^ — и — 4 включительно. Это показывает, что условие (ii) доказываемой теоремы выполнено при 8> 1/3. То же самое рассуждение применимо и в случае, когда 8 > 6 для некоторого фиксированного 6 > 0, но, чтобы охватить сколь угодно малые 0, требуется дополнительное рассуждение.
Функция /[3, /О, Z) есть С°°-функция, равная 线(1, 0)* <detg‘々(尤'，О))-1/2 при / = 0. Таким образом, для завершения доказательства достаточно установить, что tn dm (х, х, /) для хл = /0 и 0&8&2/5 есть С°°-функция от (У, 0, /) при малых 厶 равная
(稣(1, 0J-稣(1, 28))(detg我(炉，0))-1/2
при f = 0. С этой целью рассмотрим само ядро
К (/, X, у, z) = z^dm (%, Уг, Z/),
а не его аппроксимации, как мы делали раньше. Если функция fuC/(R") имеет носитель, на котором s?(x, П) меньше, скажем, 2, и 力-норму, не превосходящую 1, то
%(/, %)=，К(/, х, У，z) ЭР/ (у) dy
есть С°°-функция, удовлетворяющая уравнению (02/0/2 + Pz)vz(t, х) = 0, нулевым граничным условиям и начальным условиям vz = D^ff dvz/dt = 0 при f = 0. В силу леммы 17.5.12, при f V 2 на носителе функции иг выполняется неравенство 5«х, H)V4. Мы хотим доказать, что у vz(t, х) все производные по f, х, z равномерно ограничены при / == 1 и х, z, удовлетворяющих условию sr^z(x, у) < 4/5 для yusuppf. Предположив на минуту, что это уже сделано, мы заключаем, как при доказательстве теоремы 17.5.5, что ^ е С°°, и, взяв f = l? ^ ~ у' — хп — уп — ^ V 2/5,——что функция
z« dm (х, X, zn), где х = (zz, 0z„),
имеет равномерно ограниченные производные по，0, гл пра О W 8 之 2/5 и малых 2Л. При zn = 0 получим
К(/, X, у, г) = (^(/, «г(х, y))-E^(t, s^2(x, ^(det^fz))-1^ а при указанном выборе f, х, у первое выражение в скобках в правой части сводится к 统(1, 0)——耳(1, 20). Остается изменить обозначения — заменить гл на f—и теорема доказана,
Нетрудно показать, что для любого 论 отображение (f,之)^"-> %(厶•)， где 力——функция, определенная формулой (17.5.23),宜 раз .гшфференцируемо при f&2 как отображение- со значениями в 纱м, причем все его частные производные по* рядка &А равномерно ограничены в 2公，если 从>|0|+论+%/2* Действительно, поскольку оператор Pz самосопряжен по отношению к соответствующей плотности Тг, то
(%亿.)，屮)口 +(D峭 дфг(К о,「)/珀)q=0,
где ①z(f, 5, х) — решение смешанной задачи
(dW + Р^Ф^ s, *) = 0,
①z(厶 S，・)= 0,。①z (力 S, —Ids = 9 при s — tt
Фг (/, s, x) = 0 при x e dX.
Таким образом,
①式厶 s, x) = ((sin(s —/) “死)/“匐(p(x).
Из спектральной теоремы, оценки (17.5.4) и леммы 17.5.2 сразу следует, что производные по (х, /) от Фг порядка Vn+ 1 — n/2 равномерно ограничены, когда <р пробегает произвольное фик* сированное ограниченное множество в Cg. Как и в доказательстве леммы 17.5.13, выполняя последовательные дифференциро-* вания по z, мы заключаем, что то же верно и для всех про* изводных по (х, /, г) порядка <ц — п/ 2. Следовательно, если У >|В|+ 也 + 孔/2, то vz обладает указанными выше дифференциальными свойствами. Поэтому для завершения доказатель* ства остается только применить следующую лемму:
Лемма 17.5.14. Пусть иг(/, х) —решение уравнения
(02/0户 + Pz) % (f,上)=0
при |f|V3, являющееся С°°-функцией от (z, %尤)при z, близких /с некоторому компактному множеству Ло и {z 曰 R 弋 2^ = 0} “ удовлетворяющих условию 之〃 > 0. Предположим, 4Tо,
v2(tt x) = 0 при 尤〃 =0 (граничное условие Дирихле)； (ii) sz(y, (zz, 0)) < 2/5, если (0, t/)e supp vz (условие на начальные данные);
(iii) для всякого а найдется 卩,такое что D^Uz(f, •) принадлежит некоторому фиксированному ограниченному подмножеству в 方“(R+).
Тогда производные от vz(tt х) по z, f, * оцениваются фиксированными константами, при условии что z принадлежит некоторой окрестности « множества Ко, 1&/W2 и sz(x(z\ 0))' V 2/5. '
Заметим, что при zn = 0 это утверждение совершенно очевидно, поскольку тогда uz представляет собой решение задачи Коши с постоянными коэффициентами, у которой начальные данные удовлетворяют условию (ii) и продолжают удовлетворять ему после отражения относительно граничной плоскости хп = 0. В этом случае на рассматриваемом множестве не может быть никаких особенностей, так как световые лучи, выходящие из носителя начальных данных, не могут в него попасть. Доказательство леммы будет дано в § 24.7 после того, как мы проведем систематическое изучение вопроса о распространении особенностей решений смешанной задачи. Это доказательство покажет, что положение дел, которое мы имеем в случае по стоя иных коэффициентов, сохраняется при малых возмущениях,
Примечания
Как уже отмечалось в примечаниях к гл. 13, методы, использованные в § 17.1 и 17.3, имеют долгую историю. Что касается эллиптического случая, то к указанным в гл. 13 можно добавить еще работы: Agmon, Douglis, Nirenberg [1], Agmon [1, 51; Browder [1], Garding [2], Lions, Magenes [1], Schechter [1]9 хотя список этот далеко не полон. Лемма 17.1.5 восходит к Фридрихсу (Friedrichs [2]). Теоремы единственности типа теоремы 17.2.1 впервые были доказаны Карлеманом (Carleman [1]) в двумерном случае. Именно ему принадлежит идея использовать нормы, в определении которых фигурируют степени некоторой весовой функции. Эта идея играла ключевую роль во всех последующих исследованиях в данной области. Для операторов второго порядка в случае нескольких переменных теорему 17.2.6 для вещественных а^ доказывали во всё возрастающей общности: Мюллер (Aluller [1]), Хайнц (Heinz [1]), Ароншайн (Aronszajn ⑵)，Кордес (Cordes [1]), Ароншайн, Кшивицкий и Шарский (Aronszajn, Krzywicki, Szarski [1]), Агмон (Agmon [4]). Затем Алинак и Бауэнди (Alinhac, Baouendi [1]) выяснили, что достаточно предположить, что коэффициенты вещественны в одной выделенной точке. Контрпримеры, принадлежащие Алинаку (Alinhac [2]), показывают, что это условие по существу и необходимо; из них видно также,
что для операторш более высокого порядка столь сильные теоремы единственности уже не имеют места. Мы следовали здесь изложению, данному в работе Hormander [41], где рассмотрены также и более слабые условия на младшие члены (как показали Джерисон и Кениг (Jerison, Kenig [1]), и эти условия могут быть ослаблены). Первым, кто получил общие теоремы единственности типа теоремы 17.2.1 для операторов высших порядков в случае числа измерений, большего двух, был Кальдерон (Calderon [1]). Как раз его результат для эллиптического случая мы и включили в главу; в этом результате предполагается лишь, что коэффициенты липшицевы. Как показал Плись (Plis [3]), это условие нельзя заменить никаким более слабым условием гёльдеровости. По поводу «происхождения» теоремы 17.2.8 отсылаем читателя к примечаниям к гл. 14.
Конструкция параметрикса по Адамару, описанная в § 17.4, в сущности взята из книги Hadamard [1], хотя использованные здесь рассуждения в некоторых отношениях ближе к рассуждениям М. Рисса (М. Riesz [1]). Сили (Seeley [3]) изучал пара- метрикс E(tt х, у) с тремя членами для смешанной задачи Дирихле для волнового уравнения в R4, определенный при условии, что квадрат расстояния между хну мал по сравнению с расстоянием от у до границы. Применяя этот параметрикс, ов доказал следствие 17.5.1 для оператора Лапласа в XuR&. В статье Seeley [4] эти результаты распространены на случай более высоких размерностей, и примерно в то же время то же самое было сделано Фам Тхе Лаем (Pham The Lai [1]). В последней работе очевидно, что используется именно конструкция Адамара, и ясно, что то обстоятельство, что мы начинаем с оператора Лапласа с постоянными коэффициентами, несущественно. (Некоторые оценки в этой работе, по-видимому, некорректны, но конечные результаты верны.)
Карлеман (Carleman [3]) нашел способ определять асимптотическое поведение спектральной функции эллиптического дифференциального оператора второго порядка с граничными условиями Дирихле. (Соответствующие результаты о собственных значениях восходят к Г. Вейлю (Weyl [4]).) Его идея состояла в том, чтобы исследовать ядро, фигурирующее в интегральном представлении резольвенты рассматриваемого оператора, а затем применить одну из тауберовых теорем; этот подход был распространен на случай общих эллиптических операторов Гордингом (Garding [7]). Как показали Минакшисунда- рам и Плейель (Minakshisundaram, Pleijel [1]), таким же образом можно изучать преобразование Лапласа спектральной функции, поскольку оно связано с функцией Грина для оператора теплопроводности. Эти методы не дают точных оценок погрешности, но Левитан [1, 2] и Авакумович (Avakumovi^ [1])
обнаружили, что, применив косинус-преобразование, можно получить неулучшаемые результаты, используя свойства соответ- ■ствующего волнового уравнения. В частности, теорема 17.5.7 принадлежит Авакумовичу, но приведенное ее доказательство следует более или менее изложению, данному в работе Ног- mander [22], где эти результаты были распространены на случай операторов высших порядков (см. гл. 29). Как уже упоминалось выше, точные результаты о поведении спектральной функции вблизи границы были впервые получены Сили (Seeley [3, 4]) и Фам Тхе Лаем (Pham The Lai [1]). Они рассматривали лишь оператор Лапласа. Как показал совсем другим методом Иврий [3], асимптотическая формула для числа собственных значений справедлива и без этого ограничения, причем с той же оценкой остаточного члена, что у Сили и Фам Тхе Лая. Иврий показал также, что есть более точная асимптотическая формула со вторым членом, при условии что имеется не слишком много замкнутых геодезических с многократными отражениями. Его доказательство было существенно упрощено Мел* роузом (Melrose [7]), который вывел результат Иврия из основных фактов о распространении особенностей. Комбинируя этн идеи, мы получили в § 17.5 уточненные оценки для спектральной функции вблизи границы. Фигурирующая у Сили и Фам Тхе Лая конструкция адамаровского типа используется лишь в простейшей ситуации для аппроксимации E(f,匕 у) при 1 меньшнх, чем некоторое постоянное кратное расстояния от точки у до границы. Рассуждения в § 17.5 представлены так, чтобы подготовить полное доказательство результатов Иврия в § 29.3.
18
Псевдодифференциальные операторы
Краткое содержание главы
Проведенное в § 17.1 и 17.3 рассмотрение эллиптических one* раторов второго порядка без особых затруднений распространяется на операторы высших порядков. Из теоремы 7.1.22 мы знаем, что эллиптический оператор P(D) с постоянными коэффициентами обладает параметрнксом Е, задаваемым формулой
Ef (*) = (2力-"，eа 8a 位)f 位)/，f e 夕，
где。信)=1"信) при больших |g|. Поэтому, как и в гл. 13, эллиптический оператор Р(х, D) с переменными коэффициентами (см. § 8.3) можно рассматривать вблизи каждой данной точки %。как возмущение оператора с постоянными коэффициентами Р(%о, D), полученного замораживанием коэффициен* тов в х0. Доказательство теоремы 13.3.3 дает локальное фунда* ментальное решение £ оператора Р(х, D) в виде сходящегося по норме ряда. Однако гладкость членов этого ряда, вообще говоря, не возрастает, и поэтому он не пригоден для точного описания особенностей Е. Дело можно поправить» взяв в качестве первого приближения к Е оператор Д, заданный формулой (18.1)Af(x) = (2力-"，е*« 两(х, g) f (目倉，f 三夕，
где а(х, Е)= l/Р(招 Е) при больших |^|. Это значит, что мы полагаем Af(x) = Е，(х), где Ех ——параметрикс для оператора Р с коэффициентами, замороженными в точке х. Дифференци* руя под знаком интеграла в (18.1), получим
Р (х, D)At{x) = (2e)f , е，“•冲(х,占 + &) а (х, g) f 但)恋，f 三兑 Здесь
Р(х,占+ 2) а (%, S = P(x, Е)а(х, &) + £р®(х,日比 а(х, &)/а【
-14-0(1/1^1).
Это приводит к догадке, что Р(л, D)E = / + /?, где / — тождественный оператор, a R — оператор, улучшающий свойства гладкости, а именно повышающий порядок дифференцируемости на единицу. Правый параметрикс можно тогда построить по формуле £(/ + R)~x —Е — ER 4- ER2 — ... , и это уже ряд, гладкость членов которого неограниченно возрастает.
Изложенные выше весьма формальные соображения можно в действительности обосновать, но удобнее переместить процедуру последовательных приближений в конструкцию функции а, такой что
Р(хЛ + D^a^ |) = 1+6(х, Е),
где Ь быстро убывает при gf 8. Если
Р(& S = Pm(x, D + Pm^ 1)+
—разложение Р(х,匕)в сумму членов, однородных по g, то естественно ожидать, что а имеет асимптотическое разложение
“%,自)~4-m(居自)+。一m7(%自)+ ...»W-*8,
где ak однородно по 自 степени 比 Условие (18.2) дает тогда после приравнивания членов одинаковой однородности
Pm(X，自)。-m(%，^) == 1,
<18.4) Pm (x,目。一吁1(力，自)+ Ртт(%, W)a_m (修 I)
+ ^(^，^Dxa_m{X,^^
и дальнейшую последовательность уравнений, выражающих Pm(X, E)a-m-M(X, Е) ДЛЯ ЛЮбОГО 6 > 0 Через члены О-т,... _ . . , U—m—k+l' Поскольку Pm(xt Е)=/=0 при g #： 0, если оператор Р эллиптичен, последовательность 。一小, 。一⑺-卜...определяется однозначно и позволяет получить решение уравнения (18.2) с Ь, убывающим сколь угодно быстро (ср. с доказательством теоремы 8.3.1, основанным на том же принципе).
Проведенное выше рассуждение показывает, что всякий эллиптический оператор обладает параметриксом, задаваемым формулой (18.1) с функцией а, допускающей асимптотическое разложение вида (18.3). Такие операторы А называются псев- додифференциальными. Важная роль, которую играют эти операторы, объясняется тем, что они образуют алгебру, инвариантную относительно операций перехода к сопряженному оператору и замены переменных, а значит, эти операторы можно определить на С°°-многообразиях. Соответствие между опера-
тором 4 и функцией а в (18.1), называемой символом оператора А, позволяет дать формулы, выражающие указанные операции в терминах символов, столь же простые, как и в случае дифференциальных операторов. Мы разовьем эту тему в § 18.1.
Ядро (в смысле Л. Шварца) К (%, у) псевдодифференциаль- ного оператора сингулярно лишь на диагонали. Там оно сингулярно в существенном как однородная функция от х — у; поэтому применение дифференциального оператора первого порядка, касательного к диагонали, не делает К более сингулярным. В § 18.2 мы изучим пространство распределений /(X, У) и 勿，(X), ведущих себя аналогичным образом по отношению к некоторому С°°-подмногообразию У заданного С°°-многообра- зия X. Для этих распределений волновой фронт содержится в конормальном расслоении ^(У) подмногообразия У; по этой причине мы называем их конормальными распределениями для У. Они оказываются также весьма полезными при построении исчисления тотально характеристических псевдодифферен- циальных операторов на многообразии с краем, которым мы занимаемся в § 18.3. В частности, инвариантность таких one： раторов относительно замен координат вытекает из характеризации их ядер как конормальных распределений на некоторой модификации XXX. Цель § 18.3 — дать прочную основу для изучения краевых задач, в частности для рассмотрения пространств распределений на многообразии с краем и их волновых фронтов. Однако в последующих главах мы редко будем привлекать эти результаты, в основном же будем использовать более традиционную, хотя и неинвариантную технику. Всё же понятия, вводимые в § 18.3, настолько естественны, что им, на наш взгляд, суждено играть всё более важную роль.
Исчисление, которое строится в § 18.1—18.3, опирается на результаты § 7.6 о гауссовых свертках. В § 18.4 мы возобновляем изучение таких сверток в плане подготовки к построению в § 18.5 и 18.6 исчисления операторов с произвольными символами. Помимо исчисления операторов вида (18.1) с произвольными символами мы обсуждаем также исчисление Вейля, обладающее рядом существенных преимуществ, связанных с различными свойствами симметрии. Например, в исчислении Вейля вещественнозначные символы всегда порождают самосопряженные операторы； именно по этой причине оно первоначально и возникло в квантовой механике. Основные теоремы исчисления операторов с произвольными символами доказываются в § 18.5, а § 18.6 посвящен оценкам, для таких операторов. Эти результаты понадобятся нам в некоторых местах гл. 26 и 28, но в остальном для чтения последующих глав достаточно усвоить материал, изложенный в § 18.L
Основы исчисления
При изучении операторов вида (18.1) надо прежде всего уточ* нить условия, которым должны удовлетворять функции а. Мы заведомо хотим, чтобы допускались все гладкие функции а (х, g) однородные по 3 при больших |Е|, а также их линейные комбинации. По техническим причинам удобнее следующий несколько более широкий класс:
Определение 18.1.1. Для каждого вещественного числа т обозначим через Sm = Sm(RnX Rn) множество всех функций а е C°°(Rn X Rn), таких что при любых а, § производная а® (х, I) = dfd^a (х, В) удовлетворяет оценке
|а®(х, B)|<Co.₽(l+|g|)m-|ol, *尺三炉.
Оно называется пространством символов порядка т. Далее, мы полагаем
S~8= f)ST S°°= LIST
Это определение — глобальный вариант частного случая определения 7.8.1, отвечающего 6=0 и р = 1. Позже мы локализуем S济 и тоже рассмотрим произвольные р и б.
Ясно, что при наделении полунормами, определяемыми как наименьшие возможные значения постоянных в (18.1.1), Sm становится пространством Фреше. Одно из преимуществ нашего отказа от однородности состоит в том, что функции вида а(х, |)= х(5)» где %告9\ попадают в St Следующее предложение используется главным образом для таких функций, и в этом случае оно тесно связано с регуляризацией, уже обсуждавшейся в § 1.3.
Предложение 18.1.2. Пусть aeS°(RnXRn) u ае(х, g)=a(x, eg). Тогда множество функций ае> 0 ^ е ^ 1, ограничено s 3° 〃 Ое f。0 s Sm для любого m > 0 при е->0.
Доказательство. Так как。0三5°, достаточно показать, что для 0 W /и W 1
(1+国产…历阮@(х, E) — a(x, 0))|&C叩萨，0<е<1.
При а = 0 это так, поскольку, в силу формулы Тейлора,
I。他(％,陶一％(х, 0)|<Cp|eg『.
При а =/= 0 надо просто воспользоваться тем фактом, что (1+1^)la|-^(1+|^|)-|aJ8la|-<n<((1+1g1)/(B-I + 1||))l«l—<L
Работая с пространствами S% полезно иметь в виду, что (18.1.2) aeSm=>a^eSm-|a|; a^Sm и b^ Sm，=>ab^ Sm+m\ Доказательства очевидны. Из них следует, например, непрерывность билинейного отображения (a, b)^>ab.
Теперь установим один простой результат, позволяющий придать точный смысл асимптотическим разложениям типа (18.3).
Предложение 18.1.3. Пусть а产 SR /==0, 1,,・・, причем mf тоо при оо. Положим m^ = max m^ Существует функция
а в 5”°, обладающая следующими свойствами: supp а и U supp а/ и для каждого k,
а- £。产S飞
таком случае мы пишем
а ~ %
Функция а определена однозначно по модулю S~°° и обладает теми же свойствами по отношению к любой перестановке ряда
Доказательство. Утверждение о единственности сразу следует из (18.1.3), равно как и утверждение об инвариантности указанных свойств относительно перестановок ряда. Докажем утверждение о существовании. Выберем функцию %еСо°, равную 1 в некоторой окрестности нуля. Найдется последовательность положительных чисел е/, сходящаяся к нулю столь быстро, что
旧阮((1-х (曠))3 (х, 9) I < 27 (1 +1 ЕI )勺+1 “’ I а I I В I《j.
Действительно, согласно предложению 18.1.2, 1 — %(е-)->0 в S1 при £ — 0. Положим 4(%, Е) = (1 — %(哄))的(尤,Е)・ Сумма 4=£А/ локально конечна, так что а е С00. Для любых заданных а, Р, k можно подобрать N настолько большое, что N >|а| + |р| и m^ + 1 <т^. Тогда
I d胱(а (*,目一且"№)I &(1 + ©卄'“ I.
Поскольку 勺一4wS~8 и 力при j>6, то
d就(а(х,自)一息勺(х, 9)|《С啲(1 * ЕI)咸т。I.
Но это как раз и означает, что выполнено (18.1.3). Предложение доказано.
В случае когда имеется хороший кандидат на роль а, проверку условия (18.1.3)' часто упрощает следующее наблюдение, которое показывает, что производным можно ие уделять особого внимания.
Предложение 18.1.4. Пусть q/WS^1 厶 / =0, 1, ..., причем AH/f —оо при jf 8, w а е CTO(Rrt X Rn). Предположим, что. каковы бы ни были аир, при некоторых С и ^ зависящих от а а р, справедлива оценка
I豳(х, Е)|《С(1+1Е|)А, х, EwR".
Если существует последовательность ц* -*—оо, такая что
(18. L3)" 卜(х, § 一 /3 的(方，叫 V 以(1 +11)%
то a w Sm, где m = sup w a ~ £ 的.
Доказательство. Вычитая из а какую-нибудь функцию A w S^, удовлетворяющую условию Д 〜£。〃 сводим дело к случаю, когда все а； равны 0. Наши предположения означают в этом случае, что а быстро убывает при g -> оо и удовлетворяет условию (18,1.4), Надо показать, что и все производные от а быстро убывают при 8. Достаточно установить это для производных первого порядка — затем можно рассуждать по индукции. Используя формулу Тейлора и оценку (18.1.4), заключаем, что для произвольного единичного вектора q
1a(*,占+ еn) 一 a(*,自)一〈绘(招自)，用〉区^0+|自俨，
хе К, 0<в< lt
при некоторых С и ц. Следовательно,
|〈《(居?), П)|<Се(1+1^1)и + 1а(х> S — a(x,自 + 叩)恒
что даег |《(х, Е) | V С (1 十 IЕI )"一"，если взять е = (1 +1^1)-^ Таким же образом можно рассмотреть и производные по 居 чем и завершается доказательство.
Определение 18.1.5. Пусть m е С： и h — число, обратное к некоторому целому положительному числу. Всякую функцию a w SR® % такую что
ОО'
a(*, S~ §勺& 敏
где функция а； однородна степени m — j/i по g при [匕[> 1, будем называть пол иоднородной i) степени tn с шагом h и будем в таком случае писать
Q w S認『•
При h = 1 индекс, указывающий размер шага, будем опускать.
Фигурирующая в определении однородность означает, что а,(%,隹)=严т%(*, у, |g|>i, />1.
Отсюда следует однородность степени т — jh — \а\ производных а；7})， так что функция 。/ автоматически принадлежит SRem-/用,если он а принадлежит С°° и равна нулю при больших х. Вообще говоря, то что а/ 曰 С°°, исключает, конечно, что а/ однородна при всех 匕峻 6, но, поскольку соотношение Q 〜£勺 есть условие, в котором речь идет о поведении рассматриваемых функций при больших |^|, а доказательство предложения 18Л.З проходит и при наличии у функций 。/ особенностей при малых |Е|, мы будем использовать запись п 〜£а/ и в случае, когда а, принадлежат С°° лишь при Е，0 и однородны при всех g * 0.
Символы из 5йг — это как раз те символы, к которым нас привели рассмотрения, проведенные в «Кратком содержании главы», — если отвлечься от того факта, что эти рассмотрения были локальны по переменным х. Позднее мы локализуем S^ по переменным %, а при некоторых условиях и по переменным Е. Однако прежде чем делать это, обсудим псевдодиффе- ренциальные операторы в Rn с символами из Sm, поскольку результаты здесь сильнее, чем для локального случая, а доказательства яснее.
Теорема 18.1.6. Если а ^ Sm и У, то формула
а(х, D)u(x) = (2л)~п，終厶 в а (*, ±) А 低)成
определяет функцию а(х, D)u е ^, 〃 билинейное отображение (а, 〃)^~»а(x, D)〃 непрерывно. Коммутаторы оператора а(х, D) с операторами D/ и операторами умножения на х/ задаются формулами
【а(х, D), D^iaaAx, D),[а(х, D), X/]D).
')В оригинале polyhomogeneous. Отсюда индекс phg ниже. Полиодно- родные функции с 无==1 часто называются в литературе классическими символами.—Прим, перев.
4 Зак. 443
Оператор а (х, D) называется псевдодифференциалъ- нььм оператором порядка ш.
Обозначение а (к, D) оправдывается тем обстоятельством, что в случае, когда а — многочлен по 己,а (х, D) получается из а (力，Е) заменой 匕 на D = Тб/0к, при условии что коэффициенты многочлена пишутся слева. Это следует из формулы обращения Фурье. Иногда вместо а (х, D) мы будем писать
Ор а.
Доказательство. Так как @w 夕，ясно, что формула (18.1.5) определяет непрерывную функцию, причем
I а(х, О)〃 |《(2л)-п $ (1 +1 g I)mI й(g) IdgsupI а(х, g) I(I +1 g Гт-
Первое из равенств (18.1.6) означает в развернутом виде, чтоDfl (х, Z)) и (х) = а (х, D) D^ (х) —Za(/)(х, О)м(х),
а это равенство получается из (18.1.5), если выполнить дифференцирование под знаком интеграла, ибо “隽)есть преобразование Фурье от DfU. Далее, преобразованием Фурье от х；и(л) служит —£>/〃(Е), поэтому интегрирование по частям дает второе из равенств (18.1.6):
а(х, D)(x/u) = xia(х, D)u — i^(х, D)и.
Повторное использование (18.1.6) показывает, что x^D^a (х, D)« представляет собой линейную комбинацию функций
d財(х, D)产炉" M + a〃 = a,旷 + 旷=8.
Следовательно, x^D^a (x, D)u оценивается произведением некоторой полунормы 〃 в 夕 на некоторую полунорму а в Sm. До* казательство завершено.
Замечание, Если подставить в (18.1.5) явное выражение для преобразования Фурье @, то мы получим, что ядро К оператора a(x, D) задается равенством
К(*,乡) = (2#-" J е^~У^а(х, §庞，
где правая часть определена как осцилляторный интеграл (см. § 7.8). Правую часть (18.1.7) можно также понимать как й(х, у —х)/(2л)%, где d — преобразование Фурье от a(x, g) по переменной & определенное с помощью очевидной модификации определения 7.1.9. Тогда формула обращения Фурье дает (18.1.8) a(x, Е)=，К(х, х — у)е-^-^йу,
где правую часть снова следует понимать как преобразование Фурье по у от К(х,% —у). Формулы (18.1.7) и (18.1.8) устанавливают взаимно однозначное соответствие между распределениями из 9'(R2"). Далее, один из вариантов теоремы Шварца о ядре (теоремы 5.2.1), убедиться в справедливости которого мы предоставляем читателю, утверждает, что отображения с ядрами из 夕'(Re+"2)——это в точности непрерывные линейные отображения из 夕(К"?) в 歹(R")・ Для произвольного ае^( R^) можно поэтому интерпретировать оператор (18.1,5) как непрерывное линейное отображение а(х, D):夕保门)—夕'(R) Суть теоремы 18.1.6 в том, что для a w S^ это отображение переводит 夕(口门)в себя. Позднее мы докажем это при гораздо более слабых предположениях относительно а.
Определим теперь оператор, сопряженный к а(х, 0) относительно полуторалинейного скалярного произведения
(и, 。)=，uv dx, м, и w 夕.
Предположим сначала, что @ w 夕.Тогда ядро К оператора а(х, D), задаваемое формулой (18.1.7), принадлежит 夕，а потому принадлежит 9 и ядро К* его сопряженного, задаваемое формулой
К(Х, Р)= Ж^) = (2几厂，'ге^Г^М
Поскольку К* (х, х —д) = (2л)-“，е，5 冷 &(х —у, t])d% из (18.1.8) следует, что К* есть ядро оператора b(xt D), где функция Ь принадлежит 小 и определяется формулой
6(х, &) = (2：rt)-" \ /5"2а(х — у,叫dy 對
=(2л)-п ^e'^'^aix — у, ^ — v^dy dn.
Так как квадратичная форма (g, n)i>2(y, п〉на R2rt имеет сигнатуру 0, задается матрицей с определителем 1 и сопряжена самой себе, то по теореме 7.6.1 преобразование Фурье от (2冗)1“еТ"'" равно е'@節,где & fj — переменные, двойственные к 弘 я- Таким образом,
b(x, § = e'〈℃»d(x,専
в том смысле» что преобразование Фурье от Ь равно преобразованию Фурье от G умноженному на 储乂6 (см. § 7.6). Отображение а —瓦 задаваемое формулой (18.1.9)» непрерывно в 夕'，
поэтому для всех а 曰夕
(а(х, D)u, v) = (u, b(x, U)u),以，ow忆 где bw9‘ определяется формулой (18.1.9).
Теорема 18.1.7. Если а w S^, то 力(х,史)=Г〈与，"В а (х, Е) w S^1 〃
6(х, Е) ~ 玄(貿厶，4〉)七(*,目阳=£ dfDla{x, ±)/а!. 0а
Далее, справедливо равенство (18.1.10), которое показывает, что оператор а(х, D) можно продолжить до непрерывного отображения из 9，8 夕'—как оператор, сопряженный к Ь (х, D).
Доказательство, Выберем функцию % w Cf(R")， такую что %(&= 1 при|||< 1/2, %(g) = 0 при|g|> 1, и положим для целых 夕>0
% (х, Е) = %(B/2V) а(х, у,九(*, Е) = е«% 3 а，х, |).
Ввиду предложения 18.1.2, для всех v
I 圖0)(х, 9 I & С呻 а + I Е I )"Т а V С叩(1 + 2V)I m I
при (х,目 wsupp。”. Поэтому теорема 7.6.5 дает
(18丄⑵ 辰(/日一耳似%4〉)5(方,日/eVC用叫
Если |g|> 2v+1, то расстояние от точки (%, E) до suppav составляет самое меньшее | g | — 2V ^ | g |/2 ^ (1 -[-1 ^ 1)/4, так что сумма в левой части выпадает, а в правой части можно !) ввести множитель (1 +l?|)-ft. Для заданного 吕 обозначим через и наименьшее целое >0, для которого | ? К 2^+2. Если ц==0, то 1EI&4, а если и > 0, то 2^+1 <|g|^2^+2. В обоих случаях оценка (18.1.12) вместе с отмеченным ее уточнением дают
(X, E)-g(i〈% 4〉)4(招自)例<舊(1+@川-*.
Чтобы оценить
b(X, I) — 6И (х,目=® 仇+1 (х, I)—瓦(х, l))>
положим
Ду(X,自)=av+1 (х, I) — av (х, g), & (х,匕)=bv+ 】(x, g) — &v(x, g)
») В силу заключительного утверждения теоремы 7,6*5, — Прим, персе.
и заметим, что
一 \А^}(х, g)|<C^2v(ra-|e|),
поскольку 2”-'《I& |《2”+i на supp Лv. Следовательно,
Id就4(х, 2吨)|《％2m. Так как
&(*, ^ = е1^^А^. 2笛)，
мы заключаем на основании теоремы 7.6.5 (где множитель ||Л|| теперь существен), что
I & (х，2飞)一 £"〈％ О^УА. (х, 2飞)〃| I < с£2g)V, т. е.
|Bv(x, E)-/%(i〈&, 2〉)'4(招 l)//l|<C：2(ra-ft)v.
Пусть k^ т^\. Просуммируем последнюю оценку по v от ц до оо. Сумма правых частей не превосходит удвоенной правой части первой из складываемых оценок, и отношение (1 +111)/2^ всё время лежит между фиксированными границами. Поэтому мы приходим к оценке
£ (纥 а, ю- g а〈％ 4» 儿 а, м)卜 ％ а+1 & I)z, которая в сочетании с оценкой (18.1.12)' дает оценку
|Ь(х, *) —/2似厶，D^a{x, &)/耳《&(1 +IEI)gf
(с некоторой новой постоянной CQ. Так как
瞰招&)=J〈％ j端(*№),
аналогичные оценки справедливы и для производных от Ь, чем и завершается доказательство соотношения (18.1.11), а с ним и теоремы.
Замечание. Из доказательства видно, что постоянная С尼 в (18.1.11)/ зависит лишь от некоторого конечного числа полунорм функции а в Sm. (Поскольку такого рода «количественные» утверждения могут быть выведены из «качественного» утверждения теоремы 18.1.7 при помощи теоремы о замкнутом графике, в дальнейшем мы обычно будем опускать их.) Отсюда следует, что если последовательность av ограничена в Sm и стремится к 0 в С°°, то и последовательность еК"*’ °» а” (％,自) ограничена в S^ н стремится к 0 в 歹，а значит, и в С°°,
Теперь рассмотрим композиции псевдодифференциальных операторов.
Теорема 18.1.8. Если 勺已 Sm/, j= L 2, ro
(18Л.13)%(%, D)02(x, £>) = b(% D)
(обе части равенства рассматриваются как операторы 6 9 или
夕),где функция b w Smi+fn2 задается формулой
b (х, *) = е«%，旬 а】(х,吗出(％ *) 1пт …
〃 допускает асимптотическое разложение
6(*, *)〜£ (МП，，D^'adx,冷匆匂，*)1п=Вт〃！ =Е *8(х, ^Dh2(x, 日/al.
Доказательство. Предположим сначала, что a/三乡.Если 〃鼻乡，то н функция a2(x, D)u принадлежит 9, и ее преобразованием Фурье служит функция
n 1> (2n)-[ е« I% ®, Е) й 值)恋 dy.
Следовательно,
%(*, D)02(x, D)u(x)
=(2n)T，，e«а+i51>s (x,叫а(У, I)乙值)恋dyd%
так что справедливо (18.1.13) с
Ь (х, S = (2n)-[ \ е- “т，”ч> % (х, П)。2 匂，*) dy d%
а последнее равенство, как было показано перед формулировкой теоремы 18.1.7, равносильно (18.1.14).
Для произвольных а/ 三 Smi рассмотрим
5 (х, £ у, п) = е«%。山旬(х, 3 出 ® S・ Поскольку
I ^^(x, Tl)。2(9, W) I《CaMl + I n I严T a I (1 + I 己 |)^,
из теоремы 18.1.7 и замечания после ее доказательства следует, что
|б(х, &, У,叫一Rcav D^a^ (*,吗。2(外 D//II 《3(1+1川严一气1+国严.
Здесь С% оценивается некоторой конечной суммой произведений полунорм функции 。丄 в 5加1 на полунормы функции а? в
Sm\ Более общим образом, так как дифференцирования перестановочны с /〈％ 纯 то справедливо неравенство \д1д^д^ (В(х, g, у,叫一总(КA，D^adx, л)а2(弘 W)〃川
《以"а, ^.3.^(1+In |严一1 ат (1 + I E |严 T а I
с аналогично оцениваемой постоянной С*, а, а\ р, р*. Следовательно, Ь (х, Ю = В (х, I, х, Е)已 Se+叫 и билинейное отображение (аь а2) *—> Ь непрерывно как отображение из Smi XS" в Smi+ma. Остается проверить, что выполнено (18.1.13).
Выберем функцию %иСГ, равную 1 в некоторой окрестности нуля, и положим
%(#*) = % (х/V)X @喻 а7 (х,勖.
Поскольку %(^/v)az(x, ^)->az(x, g) в Зт^' при v-> оо (предложение 18.1,2), то а^ (х, D) u -> а2 (х, D) и в 力 при v->oo для "胃 乡.Поэтому
ay(х, О)%(爲 £>)〃一>%(#, D)a2(x, D)u в 乡.
Пусть функции b"(x, § определены формулой (18.1.14) с 。/, замененным на «；・ Последовательность Ь* ограничена в Sg+m， и сходится к b поточечно, а значит, и в 夕；следовательно, &v(х, D)u->b(xt D)ub 乡'при v-> 8. Так как dv(x, D)w=a* (x. D a；(%, D)u, отсюда вытекает (18,1.13). Доказательство завершено.
Теорема 18.1.8 позволяет придать строгость рассуждениям об обращении эллиптических операторов, проведенным в «Крит- ком содержании главы».
Теорема 18.1.9. Пусть а ^ Sm и b ^ S-m. Тогда условия
а(х, D)bgD)-Iw OpS^t
b (x, D) a (x, D) - Z e Op S^
равносильны (/ — это тождественный оператор, Ор 1). При заданной функции а функция Ь определяется этими условиями однозначно по модулю S*°°, Из условий (i), (ii) вытекает условие
a(%,E)ba№)-luST,
а из него в свою очередь следует, что для некоторых положительных постоянных с и С
|a(x, Ю1>Н1Г при |^|>С.
Обратно, если выполнено (iv), то существует функция 6 е S~mt удовлетворяющая условиям (i)——(iii).
Доказательство, Условие (iii) вытекает как из (i), так и из (ii) по теореме 18.1.8. Из (iii) следует, что |。(尤,l)b(xt 自)一11 V 1/2 при I I > С, а значит,
4 < I а(X, g) & (хЛ) I < Cz I а (х, g) 115 Г га при |&|>С,
т. е. выполнено (iv). Из (iii) следует также, что
а(х, D)b(x9 D) = I — г (х, D), где г w S"1.
Имея в виду обращение оператора / — r(x, D) с помощью ряда Неймана, положим
Ь (х, D)r(x, D)* =员(х, D), bk м S-mr.
Взяв br %, получим
a(x, D)b' (*, D)~ I
=a (*, n)(〃 (x, D)-启 bt", D)) - r (x, D)k w Op S~k для каждого 瓦 Этим доказано, что выполняется (i) с Ь, замененным на Ь'・ Тем же путем можно найти Ь,г w S^m9 такое что выполняется (ii) с 瓦 замененным на Ь". Раз
а (х, D) b‘ (х, D) — / w Op S-8 и b" (х, D) a (х, D) 一 / w Op S—00» то и
Ъ" (х, D) - b' (¥, 0) = b" a, Z>) (/ - a (x, D) b' a, D))
+ (b" a, D) a a, D) - /) b' (x, D)
принадлежит OpS-g, и, следовательно, каждый из символов % b" удовлетворяет обоим условиям (i) и (ii). Этим доказана равносильность условий (i) и (ii), а также тот факт, что a определяет b однозначно по модулю S"00. Остается проверить, что (iv)今(iii). Если ввести вместо а и & функции a(x, g) (1 +|§|2)~m/2 и b(x, Е) (1 + 圉2)m", то дело сведется к случаю /п = 0. Для рассмотрения этого случая нам понадобится Лемма 18.1.10. Если ai, ..., a^ е S° 〃 F е C°°(Cft), го 尸(@1, .…flfe)eSО.
Доказательство. Поскольку Re a”，Im av 三 S°, можно считать, что а/ вещественнозначны, a 尸 w C°°(R*). Имеем
dF (a)/5x/ = £ (dF/day) av(/), dF (a)/dg/ = £(0F/da J "L
причем av(/)^ S°, 源三 S~L Поэтому индукцией по |а| + |Р1 получаем, что производные от 尸(а) удовлетворяют оценке (18.1.1).
Завершение доказательства теоремы /5./.Р. Предположим, что m = 0 и выполнено (iv). Выберем функцию F е С°°(С)( равную 1/z при |з|> с. Тогда b = F(a)wS。и а(х, S)fe(x, ^)=1 при |g|> С, так что выполняется даже более сильное, чем (iii), условие
(iii)'а (#,&)》(#, Е)= 1 при 11 > С.
Теорема доказана.
Теоремы 18.1.7—18.1.9 составляют основу исчисления псев- додифференциальных операторов. С их помощью устанавли* ваются более тонкие свойства непрерывности.
Теорема 18.1.11. Если 。三 S* то оператор а (х, D) ограничен в 厶2(r%).
Для доказательства этой теоремы нам понадобится классик ческая лемма Шура:
Лемма 18.1J2. Если К — непрерывная функция на R“XR" и sup ^ I /с (х, y)\dx^ С, sup ^ I к (х, у) |dy &С,
то интегральный оператор с ядром К имеет в £2(₽я) норму
Доказательство. В силу неравенства Коши — Шварца, |/C«(x)|2<J|/<(*, y)\\u{y)tdy\\K{x, у)\dy.
Поскольку последний интеграл не превосходит С, интегриро-* ванне по х дает
JI К〃(х)『dx «С «I К(*, !/) II 〃®『dxdy «С?，I 〃(加『dg.
Доказательство теоремы 18,1.11. Предположим сперва, что qwS-aL Тогда ядро К оператора а(х, D) непрерывно и
|К(х,川&(2#)-“\|а(*,&)3《С.
Далее, ввиду (18.1.6) функция (х — у)^К(х, у) представляет собой ядро коммутатора !)
[*Ь [х,[*п, а(х, £>)]...]]==t|a'а^(х, D),
Q В левой части #】повторяется а： раз и т. л — Прим, ped*
а потому также ограничена. Следовательно,
(1+1 — 91 严 |К(х,"|《С,
и ^-непрерывность оператора а (*,£>) вытекает из леммы 18.1.12.
Далее, докажем по индукции, что оператор а (л, D) будет ^-непрерывным при owM匕 论 W——L С этой целью рассмотрим для 〃三乡
II。(招 D)u\^ = (a(x9 D)ut а(х, D)«) = (b (x, D)ut 矶
где b (x, D) — a (x, D)* a (x, D) w Op S2k. Поскольку
||а(招 D)u||2<ll&(x, D)u||||«IKI|b(x, D)Illi«II2,
для установления непрерывности оператора a (*,£>) достаточно установить непрерывность оператора Ь",£>). Поэтому с учетом первой части доказательства мы получаем непрерывность a(x, D) при всех а ^ Sk последовательно для fe ^ — (п + 1)/2, 论《―(九+ 1)/4, ,.., а значит, после конечного числа шагов, й для k W ——1.
Предположим теперь, что a е S0, и возьмем М > 2 sup I а (х,陰)|2. Тогда
С(х, E) =(M-|a(x, Е)『严三济
по лемме 18.1.10, ибо М/2 ^М —|а(х, §) |2, а мы можем выбрать функцию F е C°°(R), такую что F(f)= f/2 при f》M/2・ Из теорем 18.1.7 и 18.1.8 вытекает, что
с(х, D)* с(х, D) = M —а (х, D)*a (х, D) + r (х, D),
где г w ST Следовательно,
II a (х, D)u||2<M||u||2 +(r(x,D)u, u),
чем и завершается доказательство, ибо оператор r(x, D) в силу уже доказанного £2-непрерывен.
Из проведенного доказательства видно, что 厶2-норма оператора a(x, D) оценивается некоторой полунормой функции a в S0. Имеется очень простое доказательство ^-непрерывности а(х, D), в котором не требуется никаких предположений о гладкости символа по g, зато вводятся некоторые предположения об убывании по % (при 8).
Теорема 18.1.1Г. Пусть a(x, g) — измеримая функция,九 + 1 раз непрерывно дифференцируемая 九。х при фиксированном g. Если для некоторого М V 8
£。&a(AU)|dx《M,堂 wR",
|a|<n+l
то d(x, D)'— ограниченный оператор в L2(Rn) с нормой £СМ Доказательство. Если 〃三 Cf，то преобразованием Фуоье от а(х, D)u будет
"i \ 4(" 一 к日人碧)電， где
4 (% Ю = (2冗)f \ а (х, Е) е—《% "> dx.
По предположению,
(i+ini严 мт, е)［《&м,
а следовательно,
\ 14 (П — Е, Е) 15《CM, \ 14 (п — Е, Е) I d& W СМ・
В силу леммы 18.1.12 отсюда следует, что £2-норма преобразования Фурье от а(х. D)u не превосходит СМ^й^, чем и завершается доказательство.
Теперь вспомним о пространствах Н^ введенных в определении 7.9.1: ие H(s), если 〃已 0‘，dw/Joc и
II « М = ((2旷"，I 6 (Е)『(1 + I Е 疗恋严 V 8 .
Если положить Е$隽)= (1+代|2尸々 то E$wS$ и преобразованием Фурье от Es{D)u будет Es(E)0(g), так что включение 〃三"⑶ означает в точности, что Es(D)u е L2. Это придает точный смысл утверждению, что "⑺ состоит из распределений, у которых производные порядка s принадлежат L2, и справедлива
Теорема 18.1.13. Если a ^Sm4 то а(х, D) — непрерывный оператор из /f(s)в H(s-m)для каждого s.
Доказательство. Пусть 〃三"($). Тогда и — Es(D)u е L2 и
Es-m (D) О(X, D) 〃 = Es—m (D) а (х, D) E^s (D) и w L2,
в силу теоремы 18.1.11, поскольку Es-m (О) а (х, D)E^S (D) eOp 5°.
Замечание. Согласно следствию В.1.6, оператор а(х, D) осуществляет также непрерывное отображение рН^ -> рН^т^
Доказательство непрерывности оператора а (%, D), утверждаемой в теореме 18.1.11, было основано на соответствующей оценке для а (х, D)*a (х, D). Сейчас мы получим одну более сильную одностороннюю оценку, которая часто бывает полезна. Обычно ее называют точным неравенством Гординга. Позже
мы рассмотрим различные усиленные варианты этого неравенства и сможем дать более короткое его доказательство, после того как разовьем более мощный аппарат. Однако ради читателя, который не захочет пробиваться через § 18.4——18.6, дадим уже здесь прямое и в принципе элементарное доказательство.
Теорема 18.1.14. Если a w S2m+】〃 Re а 》0, то
Re (а (х, D)u, u)> — C||u||(mJ, 〃三夕.
Доказательство. Для а е S2m оценка (18.1.16) следует из теоремы 18.1.13. Поскольку
(а (х, D) + a (х, О)*)/2 - (Re。)(居 D) w Op S?%
достаточно доказать (18.1Л6) с а, замененным на Rea. Поэтому будем далее считать, что a 》0. При этом предположении мы получим (18.1.16), представив a(x, D) в виде некоторой суперпозиции положительных операторов с погрешностью порядка 2/п. Начнем с того, что выберем какую-нибудь четную функцию qp ^ Со°(R2n) единичной £2-нормы и определим 屮® 歹 равенством ф(х, D)= q)(x, D)*q)(x, D). Функция 而 четна в силу (18.1.14) и (18.1.9), и мы утверждаем, что
h中也叫也/办］=1•
Действительно, если К<р и Лф — ядра операторов <р(х, D) и 屮伉D), то
(2л)~п \ \ W (х, Е) dx 圖=,Кц, (х, х) dx = ,，I Kg, (х, у)『dx dy =(2a)-［口0)(招 ^dxd^,
(последнее равенство следует из (18.1.7) и равенства Парсе* валя).
Убедившись в справедливости равенства (18.1.17), положим теперь a = % + ой, где
(18.1.18)(18.1.18)。1(X, Е)=，卜((* — у)я(П), (& —哨/g(п))а(弘 П)^d%
(18.1.18)
(18.1.18)
〃(П)= (1+|Т1『产
Поскольку 帥(招 D) 〃“ 〃)= II屮(х,。)矶 2》0, то и (屮(f爲 D/t)u, 〃) >0 (заменяем 〃 иа 〃(％//)). Следовательно,
(W (/(х — у), (О — т］)/0 % 〃)> °, 〃已 * (У,叫三 В"
(заменяем 〃 на 〃(工 + у)е—2f. Отсюда ясно, что
(/ (尤，D) 〃，幻 > 0, " w ?.
Поэтому оценка (18.1.16) будет доказана, если мы установим, что а0 w S
Продифференцируем а] по х/. Производную по х/ от первого сомножителя под знаком интеграла можно заменить на его производную по у」，взятую с обратным знаком. После интегрирования по частям конечный результат будет такой, как если бы мы продифференцировали по ?/ второй сомножитель, а. Продифференцировать aj по |/ сложнее, поскольку
(d/d畐 + d/d')屮((£~У}Я(П), (I — n)/<7(n))
=屮，((x — y)q(疝(I — n)/g(n))尸/(联
где F, (n) = g (n)-1 dq (г))/^； е S-1, а функция 2', задаваемая формулой
X, e)=导屮(及,諸)|/_1 =〈X, д^дх) - & d屮词,
есть снова четная функция из 歹.Заметим, что \\W(%, ^) dx dg
=0. Следовательно, дифференцирование си по &/ дает член вида (18.1.18) с а, замененным на 。(力,и еще один член, получающийся заменой 屮 на 屮'н введением некоторого дополнительного сомножителя 尸/ w S-L По индукции заключаем, что a^j =礪一哨％ есть конечная сумма членов вида
х, Е)=，，屮i((x —y)g(n), й —n)/<7(n)) b(y, i})dydx}
где функция 5 M 9 четна, a b е S2fn+IH«L Теорема будет до-казана, если мы проверим импликацию b ^ S^ ^\b^xt ^) | ^где функция 5 M 9 четна, a b е S2fn+IH«L Теорема будет до-казана, если мы проверим импликацию b ^ S^ ^\b^xt ^) | ^—匕(居 Е) U 屮 1®, n) dy dn.
где функция 5 M 9 четна, a b е S2fn+IH«L Теорема будет до-казана, если мы проверим импликацию b ^ S^ ^\b^xt ^) | ^
где функция 5 M 9 четна, a b е S2fn+IH«L Теорема будет до-казана, если мы проверим импликацию b ^ S^ ^\b^xt ^) | ^
C(1+|E|)“T.
При II —T|I>(1 +1? 1)/2 имеем 1 +lnl<3|§ —ti| и (i+IID/a+lnDCi+l^-nl, (I+ln 1)/(1+I& 1)41+1 W-M Множитель 屮 1 в первом интеграле в правой части (18.1.20) оценивается величиной
备(1+1% 一 川9 ⑺+ IE-nl/g(n))-2n7(1+1自一n17g(叫 2)г
для любого М Ввиду того что 7(т))2 ^ 1+|n| W 3|自一п|, последний сомножитель в этом выражении можно заменить на (1 + |自 一 п1/3)т. Таким образом, подынтегральное выражение в упомянутом интеграле оценивается величиной
圆(1 +1 * 一川0⑹ + 化-nl/9(S))-2n_1(l +1 * 1卅+П+5
при |&一 n| (1 +1言1)/2 и ^ >|ц|+ n + 1. Интеграл от первого сомножителя по у, т|, взятый по всему R2/I, конечен и не зависит от х, |, так что мы получим искомую оценку для 6о (х, &), взяв достаточно большое N.
При |g-nl<(l+|ll)/2
l+|g|<2(l+|01)<3(l + |O
для любой точки 0 прямолинейного отрезка, соединяющего Е и ”. Поэтому формула Тейлора дает
В(х, у, ^, Г}) = \ь(у, п) — Е据的訳9 —*)В(Т| —F7a$!|
II а+В У 2I
&c(u-gm ⑹+I&-T1 i/?(g))3(i +也产-吗
'(Заметим, что, выбирая растяжения аргументов функции ф, мы имели в виду эту оценку.) Таким образом,
，\ В(х, у, Е, Т|)1 屮 1 ” — у) Я(11).位—力/g (v^\dydf\
2Ц-п1<1+Ц1
&С(1+1Е|)丁吗
Остается оценить интегралы
U 屮1 ((* — 9)g (n), (I — n)/g (叫)(9 — *)B (n — E『dy dx\. 211-riKl+ll)
При выполнении Этой оценки хотелось бы заменить д(т)) на д(Е)・ Используя обозначение 屮卩 аналогичное обозначению (18.1.19), имеем для любого ^
I 屮I (% e/f)—屮I ⑵ е)-(/ — 1)也⑵ a I《Cn(1 +1 z I +1 e 旷""一 M
при условии что значения t и 1// ограничены некоторой фиксированной постоянной. Предполагая еще, что |Е —r)|V V (1 +1 自］)/2, возьмем t = 9(т|)/^(В) • Тогда
g (Е)« — 1) = 0 (п) - 0 值)=⑷(Е), п — а + О (I п — & % (&))» 曲
и, заменяя (г, 0) на ((х — у) q (§), (I — r^lq (§)), мы заключаем, что
I屯((* — у)ч(力，R — n)/q(叫)—屮1" — y)q(Е), © — n)/g(目)
-〈0' 低)，5 -讷(自)〉中:((* 一公q 值)，值-n)/g (出)I
&&(1+1X一“0值)+ 1g一"%(出)2-弋1 + |e7.
Поскольку 2|^ —Т]|> 1+151 влечет 15 — П 1/9 (5) > (1 +1 ? D/2g (Е), получаем
V ^x — y)q (n), (Е — T])/g (叫)匂—%)В (П —自尸 dy dr\ 2 iE-ni< i + l И
=q 冲"I°‘[，卜1 匂，n)9fV % 办]
+，，К 匂,П) У%*% / 患)〉％ W +。((I + I & I)'1)] •
Первый интеграл в правой части равен нулю при |а+6|=1, а второй — при а+В = 0・ При |а+В| = 2 правая часть оценивается величиной Сд(口“Е" = Cq值产°Т, при |а + Р | = 1 —величиной Cq (g)1 а 1"*₽ 1-1 = Cq (^)21 а ^2, а при а + р = 0 правая часть равна Н 屯(9, n)d”Ti +。((1 +1Е|)Т). Умножая на 龙第(居己)加101 и суммируя, приходим после вычитания второго интеграла в (18.1.20) к оценке
血(招訓 《G ?I 碉(%,占)1(1+⑶)1 碱t + C2(1+I3W"2.
I а+р|<2
Доказательство завершено.
Замечание /. В § 223 мы получим некоторые уточнения теоремы 18.1.14. При этом будет существенно использован следующий факт, вытекающий из проведенного выше доказательства: если 0《 a w S?, то существует функция ao w S* такая что оператор a(x,D)— ao(x,D^ неотрицателен и
|a0(x, g)|<C^a+^2(l+|g|),aH，[a®(x, ?)|
+ (1 +国严)，
Это частный случай оценки для &о» которой завершается доказательство.
Замечание 2, Исчисление псевдодифференциальных операторов работает и в случае, когда допускаются символы a е Sm со значениями в S(B\, Вг), где Bi и В2 — рефлексивные банаховы пространства. В этом случае a (х, D) отображает 夕(R%8j в ?(©,&), а 夕‘便^丛)в 夕便工跳).Надо только в проведенных выше рассуждениях заменить абсолютные значения нормами. Если Bi и В2 — гильбертовы пространства, то остаются в силе результаты об ^-непрерывности, причем доказательства нуждаются лишь в незначительных видоизменениях. Также и точное неравенство Гординга (теорема 18.1.14) справедливо для случая, когда a е S2m+! принимает значения в S(H, Я), где "—гильбертово пространство, а функция 弘 фигурирующая в
(18.1.16), принимает значения в Н. Действительно, для любого положительного ограниченного оператора А в Н
仲((X — 9)〃，{D — n)/f) Ли, и)>0, 9, " w R”，/ > О,
если функция 也 определена, как в доказательстве теоремы 18.1.14, ибо спектральная теорема сводит дело к скалярному случаю. Таким образом, первая часть доказательства сохраняет силу, а вторая вообще не претерпевает заметных изменений.
Приводимое ниже простое следствие теоремы 18.1.14 пред^ ставляет собой уточнение теоремы 18.1.11, которое часто оказывается полезным.
Теорема 18.1.15. Для всякого ограниченного подмножества А в S0 существует постоянная С, такая что
Re(a(x, D)% u)>-СбЦиЦ2,以曰9,
если а е Л, а > 0, 0 < д < 1 и а (хД) = 0 при | 6^ | < 1. Кроме того,
И а(X, £>)||<8ир|а| + (С5)1/2, 〃曰夕，
если а^А, 0 <S < 1 w а(хЛ) = 0 при |6||< 1.
Доказательство. Положим Ах = {а/6; а е 4, 0 < d < 1 и а(х, Е)= О при 16g I < 1). Поскольку 6~1《1 +1 自 I на supp а, то А{ — ограниченное подмножество в S1. Следовательно, оценка (18.1,16) с т = 0 выполняется равномерно для всех ам4“ чем и доказано (18.1.22). Выберем функцию %wC°°(R"), удовлетворяющую условиям 0《％《1, %(^) = 1 при I ^ I > 1 и %(^) = 0 при Щ < 1/2. Тогда оценка (18.1.22) применима к
杯% (必 у-ма，»!2，
если а^ At M = sup|a| и а (х, ^) = 0 при 16^ | < 1 для некоторого 6 е (0, 1). Это дает
M2||〃『_Re(|a|2(%, D)Ui ^^-C^u^t 〃w0
(с другим С). Далее, а(х, D)*a(x, £>)= |а|2(х, D) + b(xt D), где 力(九，Е) принадлежит некоторому ограниченному множеству в S-i и равняется 0 при |6g| < 1. Значит, b(xt ^)/6 принадлежит некоторому ограниченному множеству в S°? Поэтому ||d(x,£))/6||< С в силу теоремы 18.1.11, н
М2|| и ||2 -；| а(X, D) «|!2>-(С + СМ И и |『，
чем доказана и оценка (18.1.23),
В следующей теореме собраны вместе некоторые свойства гладкости ядер псевдодифференциальных операторов, частично уже встречавшиеся нам выше.
Теорема 18.1Л6. Пусть a m S^ и К wWlR^X R"1)—ядро оператора а(х, D), определяемое формулой (18.1.7). Тогда К w C/(Rm >< R"), если m + / + л < 0,以 Kw C°°(Rn X R"\A), каково бы ни было т; здесь А обозначает диагональ {(х, х); % w R) Более точно,
旷尸(К) и {(%, %,«-»; х, OwR,
г. е. волновой фронт распределения 驳 содержится в конормаль- ном расслоении для А. Далее,
WF (а (х, D) и) и WF (〃)， и w 歹，
sing supp a (x, D)ucz sing supp u, uw 9'・
Если a w S», то a (x, D)夕 и C°°.
Доказательство. Интеграл (18,1.7) является абсолютно сходящимся и остается таковым и после / дифференцирований под знаком интеграла, если m + j + % V 0・ Этим доказано первое утверждение. Чтобы доказать второе, заметим, что если X, 2мС/, то х (%) К (%, у)也®) есть ядро оператора
и и-> х« U» D) ^и, 〃w9,
принадлежащего Op S~°° по теореме 18.1.8, при условии что supp % f| supp 也=0. Следовательно, это ядро при указанном условии принадлежит С°°. Более точный результат (18.1.24) сразу следует из теоремы 8.1.9 с ф(х, у, 0)=<х — у, 0>. Если 〃三舍1 то теорема 8.2.13 дает включение (18.1.25), из которого вытекает включение (18.1.26). (Для 〃 w 歩'нетрудно доказать (18.1.26) и непосредственно, поскольку sing supp а (х, D) и и supp 弘 раз Л е C°°(Rn X КЛ\Д), и можно записать 〃 в виде 〃 = 〃i + 以2, где и2 е Со° и, значит, а(х, D)U2 е С°°, a 〃i имеет носитель, близкий к sing supp и.) Если а е S*°° и й м то
D% (х, D) и (х) = (2力-"〈0, & (е‘ 8 生(%,目)〉，
так как это верно для 〃三 9, а правая часть задает непрерывное отображение из 9’ в С°. Следовательно, а (х, D)^ а: С°°. Если %, \|> е Со° и X = 1 в некоторой окрестности носителя 也
то
^а (%, D)u — ^a (х, О) (%〃)=屮а (х, £>) (1 — %) 〃 三 С°°,
Поэтому WF(^a(xt D)u)cz WF(%u), чем (18.1.25) доказано для любого 〃 w 歹.
Замечание. Соотношение (18.1.26) часто называют свойством псевдолокальности, а соотношение (18.1.25)——свойством микролокальности оператора а(х, D).
Прежде чем обсуждать, как ведет себя класс Op Sm при заменах переменных, заметим, что если а е S附,то, как показывает прямое вычисление,
а (х, D)(e*《％ 汕)=е£ * 沥(х, Z) + g) и, 〃曰 歹，自曰 R”.
Беря и(х)= v(8X), где в ——функция, для которой 6мСГ и в(6)= 1, и устремляя е к 0, получаем
а(х, О)е^^ = а(х,目風奴轧
Это дает удобный способ восстановления символа по оператору.
Теорема 18.1.17. Пусть X и X* — открытые подмножества 8 R" 〃 х: Х-> X* — диффеоморфизм. Если а ^ Sm и ядро оператора а (х, D) имеет компактный носитель в XXX, то формула (18.1.28)^(«(Д 力=6一阿以"@的 D)*x(“n>
(при g 吏 X* полагаем а* (у,自) = 0) задает функцию а* w S^, такую что ядро оператора а*(х,。) имеет компактный носитель 8 х 〃
(%(%, D)u)ox = a(х, D)(аом), 〃曰歹.
Функция а* допускает асимптотическое разложение
а“ (к (х), t])〜£ а⑺(х, V (х) т]) D版依(“ ％! |…，
где Рх(у) = 乂(办一乂 (%) —乂'(%) (у — %) имеет 8 точке х нуль второго порядка. Член ряда, отвечающий мультииндексу а, принадлежит S«-lai/2,
Доказательство, Если считать уже доказанным, что а* 曰 Sm, то (18.1.28) означает в точности то, что равенство (18.1.29) верно для 〃(片)=е*з，е. Но тогда это равенство верно для всех u м 歹，поскольку обе его части задают непрерывные отображения из 9’ в Sr (X), а линейные комбинации экспоненциальных функций плотны в 9'・ Прежде чем доказывать включение а* 胃 S^ и справедливость асимптотического разложения (18.1.30), заметим, что функция
中0(*1)=0歌〈m办叫7
есть многочлен от п степени《|а|/2 с С°°-коэффициентами. Действительно, всякое дифференцирование, приводящее к появлению множителя г|/, дает еще и производную от р*(у), обращающуюся в нуль в точке х, и если при образовании данного члена участвовали k дифференцирований, давших каждое по одной какой-то координате вектора ”，то этот член может быть ненулевым, только когда |а|—左》阮 т. е. 2ft ^|а|,—— только тогда останется достаточно много производных, чтобы «убить» эти нули. Это показывает, что члены ряда (18.1.30) в самом деле принадлежат S^^, и} значит, этот асимптотический ряд является корректно определенным. Выпишем значения нескольких первых многочленов фа:
Фо=1； фа = 0 при |а|=1;
фа(х, т|) = Dxi(м(х)» Т)) при |а| = 2 или 3.
Ввиду предложения 18.1.4 мы сможем заключить, что Лх(х(х), т])е Sm, а значит, а* 曰 S^ и что справедливо (18.1.30), если получим оценки вида (18.1.3),/. Действительно, дифференцирование выражения (18.1.28) дает конечную сумму одночленов по % помноженных на аналогичное выражение с другим а, откуда следует (18.1.4).
Выберем функцию ф w С/ (X), такую что ф(х)= ф (у) = 1 для всех точек (х, у) из некоторой окрестности носителя ядра оператора а (х, D). Тогда
(18.1.28/ ^(k(X),刀)=屮(%)e-"*("%方优(居0)@(%)絕华(项吟
откуда сразу видно, что ах 曰 С°°. Чтобы изучить поведение ах при больших % введем преобразование Фурье
①怎 Т])=卜 й/)е“" WET ®e>dg.
Производная по у от《巾азы》〈乂(у), "〉—〈У, &〉равна，х'(у)П —— &・ Если |/(у)|《С и I ^\уГ{ КС для у е supp ср, то
1^2при |^2>С|т]|,
С-^-^ (УГ^\>\л\!2С при С15КИ1/2.
Переписав фазу в нормализованном виде
〈К®, Т]〉一〈9, &〉= ®(〈Х®, п/а») — (у, I/®», ® = 1Х| + 1п1,
и воспользовавшись теоремой 7.7.1, заключаем, что для любого ^
|0)@叫1《嘉(1+1扌1+e!)一*
если I, Т)не удовлетворяют условию 11] |/2С < I ? I < 2С| Т)|, Теперь выберем функцию % е Со°(Rn), равную 1 при 1/2С < | ^ | < 2С и 0 при I & I V 1/4С. Тогда
а (х, D) (ф (%) с”"(冷 m) = Л (х, “) + 厶(招喧 где
八(*, n) = (2 力一”，" «•е> a (х, I) Ф ⑶ n) (1 - % 倒 nD)^
убывает быстрее любой степени 1/(1 +1 л I) при г|—► оо, а
/2 (居 п) = (®/2я)л J е® №7, а+《* 5,叽》а (居 喈)％ 位)ф (切 dy <
Здесь ш =|т)|. Интеграл /2 приводится к виду, рассмотренному в теореме 7.7.7» если принять g — % в качестве новой переменной (вместо у); при этом еще хну меняются ролями, а роль параметра играет т)/о>. Заметим, что %(自)=1 вблизи критической точки & = fx，(x)n/①.Поэтому мы получим для интеграла /а асимптотическое разложение
e"“⑺，" ё通,№〉份四映》a(х,阕""Т у/⑴次，
если учтем, что все производные от а(х,喷)на носителе подынтегрального выражения оцениваются через ①附,а(р(х)= 1 в некоторой окрестности носителя функции ах(х(х),т]). Доказательство завершено.
Простейшее следствие из (18.1.30) состоит ввиду (18.1.31)Л в том, что
^ (х (х), Т]) —а (х, V (%) n) М 5吁1
В частности, если а ——полиоднородный символ с главным сим* волом (т. е. однородным членом старшей степени) а0, то ах будет полиоднородным символом, главный символ а£ которого удовлетворяет соотношению
碍(X(X), П)= а0(X, м (%) п).
Следовательно, главный символ преобразуется как функция, инвариантно определенная на кокасателъном расслоении, точно так же как и в случае дифференциальных операторов, рассмотренном в § 6.4. Для следующего члена а! (соотв. а^) получаем (в предположении, что шаг, фигурирующий в определении полиоднородности, равен 1)
成(X(X), П)=『(％'/ (%) П)+ ]盲 2 а° ⑺(看友'(х) п) &〈加(尤)，n〉/aL
По более простому закону преобразуется субглавный символ, определяемый формулой
а^(х, Е)=屈(х, g) + iZ°冲(招 ®：
Чтобы вычислить субглавный символ для ан, воспользуемся тем, что
碍(弘 叫=a0 (x, V (x) n) При у = к (х),
где(х) г|)/ = д (у9 т])/5х/. Это дает
2嘅=e欝負*。(喘
6j/ дх1 丁乙 @У/ 〈 dxtdxk
Пусть J = det (dyf/dx^). Тогда HdXk/dyj} есть матрица алгебраических дополнений элементов матрицы (ду^дх^* поэтому /т@〃@修=£ (^yj/dxkdxi) dxjjdy^ Следовательно,
"依(х), T)) = a!s(x, V (x) Tj) — (1/2) E 产"(%, Sc' (%) 0(DiJ)ll.
Выглядит это ненамного проще, но во всяком случае символ а18 инвариантно определен в тех точках кокасательного расслоения, где а° имеет нуль второго порядка. Кроме того, он инвариантен относительно замен координат, сохраняющих меру, и, как мы увидим ниже, если слегка изменить точку зрения, мы получим полный инвариант. Более глубокая мотивировка понятия субглавного символа будет дана в § 18.5.
Наша очередная цель — определить псевдодифференциаль- ные операторы на многообразии. Прежде всего надо рассмотреть символы. Для произвольного открытого множества X в R# мы определяем S戏(XXR") как множество всех asC°° (XXRn), таких что <p(x)a(x, g)e Sm(Rn X Rn) для любой функции Ф w Cf (Х)・ Это означает, что для всякого компактного множества £ и X найдутся такие постоянные Саек, Мто
(18.1.1/ I 璃(X,3)1《6娜(1+1自厂5, Х三К, EeR"・
С помощью разбиения единицы предложение 18.1.3 немедленно распространяется на этот локальный случай.
Более общим образом, пусть Г с: Rn X Rrt — открытое множество, коническое по второй переменной^ т. е (尤，己)wF
今(光，华)三 F при всех f > О. Определим S悪(Г) как множество всех а 三 0(0 таких что для каждого компакта /С и Г оценка (18.1.1)л выполняется на множестве {(%,雋)；(％, g)wK‘, t ^ 1}. Выбирая ^Z = ^X{?; |自|《1}, видим, что в случае, когда Г = X X Rnt это определение согласуется с предыдущим. Обычно мы будем, упрощая обозначения, писать 5т(Г) вместо
SfSc (Г), поскольку при Г =/= R11 X R11 никаких недоразумений возникнуть не может. Символы из введенного класса хорошо ведут себя при заменах переменных:
Лемма 18.1.18. Пусть X】〃 Х2 — открытые множества в ^ и Ф： Х]-> К?, Ф: XifGLg R) (группа обратимых п^п-матриц^ — отображения класса С°°. Если r\uX]XR" и Г2 cz Х2Х₽П — открытые конические множества и (ф (х), Ф (х) |) w Г2 при (х,自) мГ\, то
a1的自)=&(9(戏①(m)
принадлежит S^fFJ для всякого 02 Msm 偽)・
Доказательство. Если 区—компакт в Гь то % = {(<₽(%),①(%)&)； (х, В) s /CJ — компакт в Г2. Поскольку отношение |Ф(х)||/|^1 ограничено сверху и снизу положительными константами при (%,出三& и
理=X源①処си⑺=Z @2*西施/+ 2或)(0①如/g々)自屮 требуемые оценки (18.L1)' устанавливаются по индукции.
Если X — открытое множество в Rn и а е Sm(XX Rrt), то формула (18.1.5) все еще определяет некоторый оператор
a(X, D):歹(曰)-> 妙(X),
ограничение которого дает операторы 歩，(Х)->处(X) и С](Х)-*
С°° (X). Действительно, если <р е Cj° (X), то ф(х)а(х, ^) ^ Sm, а такие операторы мы уже обсуждали. Отсюда следует также, что а (爲 D) осуществляет непрерывное отображение H(s)fH器 т)(Х). Однако пока нашим построениям недостает симметрии между умножениями справа и слева, и этот изъян надо устранить, чтобы можно было брать сопряженные. Ситуацию проясняет следующее
Предложение 18.1.19. Если А: С〕(Х)-»С°° (X) — непрерывное линейное отображение и для всех <р,屮 w СГ (X) оператор
0三〃 i> ^А^и
принадлежит Op ST то существует символ a w S附(XX Rn), такой что
力= а(% D) + До,
где Ло — оператор, ядро которого принадлежит С°° (XXX). При этом а определяется однозначно по модулю S--oo(XXRn).
раз- гдераз- гдеДоказательство, Пусть 1 = Z 电(у) — локально конечное биение единицы на Х・ Тогда */4±為〃 = Q/^(x, D)〃, 〃曰夕,
раз- где
раз- где
aJk eSm и a按(尤，&) = 0 при x^ supply. Положим a (居9=4a及(招自)，
где штрих означает, что сумма берется по таким / и fe, для которых supp 2/ U supp 屮总 * 0・ Число слагаемых в этой сумме локально конечно, поскольку любой компакт в X пересекается лишь с конечным числом множеств supp^,，а каждое из этих последних пересекается лишь с конечным числом supp 屮为.Следовательно, a е Sm (XX Rrt)- Пусть К — ядро оператора А. Тогда ядром оператора А — a (х, D) будет сумма
叨(х)к(х,加如匂).
Эта сумма принадлежит С°°(ХХ ^)> так как число слагаемых в ней локально конечно, а сами слагаемые принадлежат С°° по теореме 18.1.16. Далее, если b ^ Sm и ядро оператора Ор Ь принадлежит СТ (RrtXRn)> то
Ь(х, а = еТ®*% (招 £>)/"'*
быстро убывает при Е +8, а потому 匕曰 S-00. В случае Л = О мы можем применить это утверждение к символу Ь, задаваемому равенством 6(% D)〃 = q)a(x, D)屮〃，где ф = 4)= 1 вблизи произвольно заданной точки в X. Это показывает, что a м S~°°(XX R11), чем и завершается доказательство.
Теперь мы готовы к тому, чтобы определить псевдодиффе- ренциальные операторы на многообразиях:
Определение 18.1.20. Псевдодифференциальный оператор порядка m на С°°-многообразии X ——это непрерывное линейное отображение Л: С/(Х)->С°°(Х), такое что для всякой локальной координатной окрестности X* и X с координатами 爲三％
乂 (х) = (хь •・.，加)w X* и R^1H для всех ф,屮 w С} (XJ отображение
歹(R") э и н->(р (к~1)* 4с* (屮“)
принадлежит Op Sm. Мы пишем в таком случае А е Wm (X) и продолжаем А до отображения M'(X)f 勿'(X).
Из предложения 18.1.19 следует, что в случае, когда Хи Рл, псевдодифференциальный оператор А порядка m на X должен быть представим в виде суммы оператора а (х, D) с a ^Sm(X % Rn) и оператора с ядром из С°°(ХХ -^). Теорема 18.1.17 показывает, что, обратно, всякий оператор такого вида принадлежит Wm (X). Определение 18.1.20 означает просто, что ограничение оператора А на каждую координатную окрестность имеет в локальных координатах такой вид. Разумеется, достаточно знать, что это верно для множества координатных окрестностей Хх, обладающего тем свойством, что произведения Х*ХХ* образуют атлас для XXX. Годится любой атлас на X* если дополнительно потребовать, чтобы ядро оператора А было гладким вне диагонали. В частности, если ах е Sm и ядро оператора ах(х, D) имеет компактный носитель в &Х&, то можно определить А 三 Wm (X), положив
加=乳4(%, D)^yu в 儿，Aи^^(Х^.
Из теоремы 18.1.17 следует, что если оператор А полиодно- роден, то на Г*(Х)\0 (где 0 обозначает нулевое сечение) инвариантно определен его главный символ а°. Он получается просто поднятием главного символа с Т*(Хн)\0 на Т*(Хх)\0. Чтобы определить главный символ для произвольного оператора 4 м 中弋 мы сперва определим S^ (户(X)) как множество всех а е С°°(Т*(Х)), поднятие которых на Т*(Хх)= ХхХ^я принадлежит Sm(A%X Rn) для всякой координатной окрестности X*. Ввиду леммы 18.1.18 достаточно потребовать, чтобы это условие выполнялось для всех координатных окрестностей из какого-нибудь атласа, и ясно, что в случае, когда Хи Rn, это определение согласуется с нашим прежним определением. Для любого оператора Aw 4rm его ограничение на координатную окрестность X*, отождеств л я емую с X*, определяет в силу предложения 18.1.19 некоторый «символ» ——класс, принадлежащий Sm(^KX Rn)/S~°°(Xx X Rn)- Если a* w Sm(7*(XQ)—обратный образ какого-либо представителя этого класса, то, в силу теоремы 18.1.17, ая — а^ е Sm~{(Т*(Xxf| ХхО) Для любой пары координатных окрестностей. Выбрав разбиение единицы {р/}, подчиненное некоторому покрытию нашего многообразия координатными окрестностями Х*『положим
a=Et/ax/eSm(r(X)).
Тогда а —。乂 曰5怫-1(7*(\乂))] для всякого к. Это показывает, 耳工。символ а определен однозначно по модулю Sm~\ н мы по-
лучаем изоморфизм главного символа
W"1 ⑶/叩…(X) a S"(T*(X))/sZ (т*(х)).
Чтобы убедиться в сюръективности отображения из левой части в правую, выберем функции 屮厶 удовлетворяющие на этот раз условию £ 唠=1, и положим для заданного 〃三5加(7*(%))
//=巾产；勿(x,①(К尸)"停产)，u^Cw (X),
где 。/ — поднятие а на Г* (^). Тогда Л == ^ Л； будет оператором с главным символом а. Имеет место также изоморфизм между W-°°(X) и пространством операторов с С°°-ядрами, т. е. операторов, отображающих ^(Х) в С°°(Х),
Для того чтобы иметь возможность свободно брать композиции операторов, надо располагать некоторой информацией о носителях их обобщенных ядер, представляющих собой распределения в XX Л со значениями в 1区 R, т. е. обобщенные плотности по второй переменной.
Определение 18.1.21. Говорят, что псевдодифференциальный оператор А в X является собственным, если обе проекции носителя его ядра — подмножества произведения ХХХ — на сомножители этого произведения являются собственными отображениями, т. е. если для всякого компакта К и X существует такой компакт К' и X, что
suppiiuK=>supp4〃uK'; u = 0 на К'今 А«* = 0 на К・
Заметим, что Л можно продолжить до отображения 0X(X)f 纱(X) с сохранением последнего свойства.
Предложение 18.1.22. Каждый оператор А ^^т представим з виде А =Л1 + Ло, где оператор 4三田小 собственный, а у Ао ядро принадлежит классу С00.
Доказательство. Как и в доказательстве предложения 18.1.19, возьмем разбиение единицы 1K £ 巾,на X н положим
где штрих означает, что сумма берется по таким j и 电 для которых supp 屮/ П supp 屮论？ 0. То же самое доказательство показывает, что оператор А\ является собственным, а оператор 小=4 — 4 имеет С°°-ядро.
Используя разложение, даваемое предложением 18.1.22, н предложение 18.1.3, легко проверить, что если 4尸 Ч^(Х),
/п/4 — оо, то существует оператор Л w 4rm。，такой что
Л — X Я； е 4f央 для всякого k.
/<й
Детали этой проверки предоставим читателю.
Поскольку асимптотические формулы исчисления псевдодиф- ференциальных операторов позволяют определять их лишь по модулю 4f-°°, мы будем обычно работать с 通/1?*00，а не с 4f吗 При этом в силу предложения 18.1.22 всегда возможно выбрать для рассматриваемого класса собственный представитель. Поэтому то обстоятельство, что в приводимом ниже непосредственном следствии теоремы 18.1.8 речь идет о собственных операторах, не является существенным ограничением.
Теорема 18.L23. Если операторы 乙三叩吗侬)собственные. j = l, 2, то 〃 оператор А = AtA2 е ^m^m^(X) является собственным и его главный символ равен произведению главных символов операторов А\ 〃 Л2.
Доказательство. Пусть ф,也 w С/ (У), где У — произвольная координатная окрестность. Выберем функцию % е Со° (У), равную 1 в некоторой окрестности носителя 2・ Тогда
ф^1^ = 34%) (%&Ю + фЛ((1 — у?) 4 电
Первое слагаемое в правой части принадлежит 4fm по теореме 18.1.8, а второе имеет С°°-ядро.
Доказательство импликаций (iii)今(i), (ii) в теореме 18.1.9 без всяких изменений дает следующее обобщение теоремы 7.1.22:
Теорема 18.1.24. Если оператор 4 w 4fm — собственный и эллиптический 6 том смысле, что его главный символ а е Sm(T* (X))/Sm*! (Г* (X)) имеет обратный 8 S~m(r*(X)) /S-m"(T*(X)), то существует собственный оператор В е ^~mf удовлетворяющий условиям
В4 — / w T~w,АВ-Ie 屮・8.
Такой оператор В называется па раметриксом для 4.
В гл. 19 мы изложим теорию существования решений для эллиптических уравнений, основанную на существовании параметрикса для эллиптических операторов. А сейчас рассмотрим локальные варианты теоремы 18.1.24,
Определение 18Л.25. Пусть a w Se(7*(X)) — главный символ оператора 4 w 40n. Будем говорить, что 4 является нехарак-
теристическим в точке (尤о, Ео) w Г*(Х)\0, если найдется такой символ b w S~m, что ab ——1 w S-i в некоторой конической окрестности точки (尤о,品).Множество всех характеристических точек оператора А обозначается через Char Л.
Это определение, очевидно, не зависит от выбора а. Доказательство эквивалентности условий (iii) и (iv) теоремы 18.1.9 показывает, что в терминах локальных координат условие не- характеристичности оператора Л в точке (хо, Ео) эквивалентно условию, что |а(匕占)|> с|ЕК при больших III в некоторой конической окрестности этой точки. В случае когда 4 имеет однородный главный символ а, последнее условие равносильно тому, что а(%% Ео)#О, так что данное только что определение множества Char Л согласуется с (8.3.4) для дифференциальных операторов.
Пусть Л w 4rm и fe < m. Будем говорить, что 4 принадлежит классу 4M (или имеет порядок fe) в точке (хо, 5о) ^ Г* (А")\0, если для ограничения полного символа «(%,占)оператора Л на некоторую координатную окрестность точки хо выполнено включение a w S^ в некоторой конической окрестности точки (№, 5о). Ввиду предложения 18.1.19 и теоремы 18.1.17 это условие не зависит от выбора а и локальных координат. Особенно важен случай 论=—оо:
Предложение 18.1.26. Пусть А е ^ (X) и Г — некоторое замкнутое коническое подмножество в Г* (Х)\0. Следующие условия равносильны (ниже 必 обозначает ядро оператора Л)：
Л имеет порядок —оо на (Т*(Х)\0)\Г；
(ii)К尸、(两 u{(Y, Y)； Y三门；
WF (4①u】П卜尸3)，"w&(X).
Доказательство. Рассматриваемые условия локальны, поэтому можно считать, что XuR" и А = а(х, D), где a^Sm и а(х, ^) = 0 при |^|< 1. Если а быстро убывает в некоторой конической окрестности V точки (х0,贏)，то можно выбрать функцию ^eC°°(RnX(Rn \0)) с носителем в У, однородную степени 0 по второй переменной и равную 1 в некоторой окрестности точки (х0> 薪)・ Тогда оператор (aq) (г, D) имеет ядро класса С°°, и по теореме 8.1.9 точка (х0> 自°, х0> —U не принадлежит волновому фронту ядра оператора (а(1—«))(%, D). Таким образом, в силу (18.1.24), (i)=>(ii). То что (ii)今(iii), вытекает из теоремы 8.2.13. Наконец, предположим, что выполнено (iii), и пусть (х0> ёо) ^ Г. Выберем функцию gw 5°, у которой носитель лежит в замкнутом конусе Гь не пересекающемся с Г, и которая равна 1 на оо в некоторой конической
окрестности точки (力屮 瓦).Тогда WF (9(х, Z))“)uF] для всякого 〃w&‘，ибо ⑴今(iii). Следовательно,卜尸(а(% D}q(x9 D)u) cz Г ПГ! = 0. Значит, a(x, D)q(x, D) имеет С^-ядро K・ Выбе. рем функцию qpwCr, равную 1 в некоторой окрестности точки г0, и положим a(xt D) q (г, D)<^u = b (г, D) и. В силу (18.1.27) справедливо равенство
匕(%, S =厂 & % К (х, ^)Ф ® е1 % & dy,
правая часть которого быстро убывает при 3 f оо. То же верно и для производных от Ь, так что bwS-" вблизи точки х0. Но b — aw S-8 в некоторой конической окрестности точки (х0> 标).Отсюда вытекает, что a s S"00 в конической окрестности точки (х0, Ео)・ Таким образом, установлена импликация (iii)今(i), чем доказательство и завершено.
Поскольку множество WFf(^ содержится в диагонали произведения (Т* (X) \ 0)X(^* W \ 0), естественно отождествить его с соответствующим коническим подмножеством в Г* (X) \ 0. А именно, положим
WF(A) = {y^r(X)\Qt(Y, 丫)三步尸(必)}•
В силу предложения 18.1.26, WF(A)—наименьшее коническое множество, на дополнении к которому оператор Л имеет порядок —8. Далее,
卜尸(Ли) и 取尸(А) Л WF (и), ие^ (X),
и никакое меньшее множество не может заменить WF(A) в пра-^ вой части. Ясно, что WF(AB)cz WF(A)(] WF(B) для любых 力三4fBi (X), В三屮紋(X).
Теперь мы в состоянии сформулировать микролокальный вариант теоремы 18.1.24: .
Теорема 18・1・24'・ Если оператор А е Тт является собственным и (%о,屋)亥 Char Л, то существует собственный оператор В w Т-^, такой что(№, Wj 亥 К尸汨4 —/) и (х0,歸陆 WT(t4B —/); зт〃 условия равносильны.
Доказательство. В силу определения 18.1.25 найдется оператор Si w W~mt являющийся собственным (равно как и все другие появляющиеся ниже операторы) и такой, что оператор А瓦 ——/ имеет порядок —1 в точке (х0, &)・ Это означает, что 4® = / + А1 + 火2, где RwyT, a Q таков, что (х0,瓦) 亥 М尸低2)・ Согласно теореме 18.1.24, найдется оператор 舔 м 4f°,
ДЛЯ которого (/+ /?1)口2 一 / W 屮1°°・ Поскольку (хо, 5о)^ 历尸(兄当)，то (%, &)亥犷尸(/В —/), где В = В(В2- Аналогично, существует оператор В\ такой чтр (%,标)若卜尸(В'4 —/). Так как
& — В = (ЕА — /)8- В^АВ 一 /), мы заключаем, что (х0> Во) ^WF(B' — В). Значит, (х0, |q) ^ WF (ВА — /), чем и завершается доказательство.
Теорема 18.1.24’ позволяет дать новое описание волнового фронта распределения:
Теорема 18.1.27. Для всякого “三砂' (X) и всякого m 三 R
(18.L36)卜尸(“)=П Char Л,
где пересечение берется по всем собственным операторам А 白 4rm (X), для которых Аи^С°° (Х)・
Доказательство. Предположим, что (х0,自о)亥旷尸(〃)• Тогда можно подобрать оператор 4 w W^, удо влетво р я ющи й условиям Au е С00, WF(A)(] WF(u)— 0 и (х0, ^))^ Char Л» просто действуя в какой-нибудь координатной окрестности, содержащей х0. Этим доказано, что П Char А с WF(u). Обратно, пусть Л е W^, Ли е С°° и (л:。，自°)亥 Char 4. Нам надо показать, что (死> 瓦)话卜尸3). Опираясь на теорему 18.1.2#, выберем оператор 8三屮~、для которого (х0,薪)亥旷尸(ВА —/). Тогда
и = ВАи + (/ — ВА) и,
где ВАи е С°°, а (х0, ^о) ^ WF ((/ — В А) и) в силу предложения 18.1.26. Теорема доказана.,
С этого момента будем считать (18.1.36) нашим определением WF(u). При таком определении очевиден аналог теоремы 8.3.1:
Теорема 18.1.28. Для любого собственного оператора Aw^FRX) и любого u 三砂'(X)
WF Q) и WF (Ли) U Char А.
Доказательство. Если (х, ^)^.WF(Au), то найдется В е 4го, для которого ВАи е С°° и (х,自)亥 Char 8 Если к тому же (х, g) ^ Char Д, то (х, ^) ^ Char В А, а значит, (х, g) ^ WF(u).
Замечание. В § 8.2 мы ввели для всякого замкнутого конуса F иТ*(Х) \0 пространство
砂彳(X) = {〃三纱'(X), WF (ы) и г}.
Там же мы определили сходимость для последовательностей в 砂；(Х) (определение 8.2.2). Чуть видоизменив проведенные выше рассуждения, можно показать, что и^и в 0Х(Х) тогда и только тогда, когда и^и в ЗУ(X) и Auf-► Аи в С°°(Х) для каждого собственного оператора Л, удовлетворяющего условию Г П WF(A) = 0. Подробности предоставим читателю.
В добавлении В определено пространство ”；：；(Х) распределений и на X, таких что (х-1)*(Ф«)е -^(s)(Rn) для всякой локальной системы координат х: X^f 冗uR" и всякой функции <р 三 Cf (X。. Ключевой момент определения — инвариантность H^mp(N。относительно замен переменных, доказываемая в теореме В.1.8. Эта инвариантность непосредственно следует из теорем 18.1.13 и 18.1.17. Если AwW% то Лсрие С°° (X \supp(p) и (по теореме 18.1.13) Лфи е Я{°1т)(^х) для “w"［：；(X); поэтому, используя теорему 18.L24 для доказательства обратного утверждения, мы получаем следующий результат:
Теорема 18.1.29. Еслии^Н(^(Х) (соотв."窗"(X)) 〃 4 三屮扣一 собственный оператор^ то Au w Я(^5т)(X) (соотв. H；J^)(Х))・ Если оператор А эллиптичен, то верно и обратное.
Таким образом, 川洋(X) можно определить как множество всех 〃三 2 (X), отображаемых в 厶;ос(Х) каждым (некоторым эллиптическим) собственным оператором из 4fs (X). Проведенные выше рассмотрения допускают локализацию. Введем такую терминологию:
Определение 18.1.30. Пусть и^ЗУ (X). Будем говорить, что и принадлежит Н；姦 в точке хое X, если и — щ + и^. где 〃i м 川;：(X), a Uo w С°° вблизи х0. Далее, для (х0> 标)w Г* (Х)\0 будем говорить, что и принадлежит "；& в точке (г0,嬴),если и = «! + «о» где и( е Я(^ (X), а и0 таково, что (х0> “亥 WF(u^.
Очевидно, что u w 川：；в х0 тогда и только тогда, когда qp以三 Н|；；(Х) для некоторой функции ф е С00(X) с 屮(/)*0・ Условие “三川^ в (%,标)можно выразить сходным образом, используя вместо срезающих функций псевдодифференциальные операторы:
Теорема 18.1.31. Пусть “三先(X), Тогда для всякого собствен*
*оа。оператора А 三 4f7n (X)
u s H(sf 6 (xq,标)今 4/三川;上呐 6 (尤0,亙).
Оператор А можно выбрать так, чтобы Аи 三"；：士加)(X) u (ж0,坛)亥 Char 4 Обратно,
Ли м 〃器叫 в (标 恥 〃 (х0> go)陆 Char Л
今〃三川洋8(XО, Е0).
Если 〃三出::6 (X0,即 для всех 爲日t上、0，то 〃w"揶 6 x0. Доказательство. Если “ = 〃i + Ц), 〃i 三 Я^ (X), (х0> 标)陆 WF (“J, то 4“] w H器询(X), (по теореме 18.1.29) и (乃，^o) ^ WF(Au^). Этим доказана импликация (18,1.38), а также то, что 4〃三"；：士m)(X), если WF(u^ f] WF(A)= 0, Далее, пусть (х0, Io) ^ Char 4. Выбрав 8 三 4f.m(X) в соответствии с теоремой 18.L24', видим, что если Ли е Н^т} в (%,瓦)，то ВАи^ Я{?^ в (%,瓦)и WF(u — ВАи) с WF(I — 5Д), последний же волновой фронт не содержит (х0,瓦).Тем самым установлена импликация (18.1.39). Предположим теперь, что ие Н1^ в (х0, Е) для всех ^ е Гл \ 0. Поскольку единичная сфера в 樓 компактна, а множество Char А замкнуто, можно выбрать конечное множество операторов Л; е 4го (X), таких что A/Us Н^) (X) и rXOChar А( П ・・・ ПСЬаг Д^ = 0.
Пусть оператор 乙白 1Po имеет главный символ, комплексно сопряженный с главным символом оператора Л7. Положим / = Е 4/4/・ Ясно, что оператор 4 принадлежит 屮。и эллиптичен в некоторой окрестности точки х0. В силу теоремы 18.1.24 найдется оператор В 三 4f°, такой что В А — / имеет порядок —оо вблизи %о・ Следовательно, ВАи — и е С°° вблизи х0, и поскольку ВАи 三川；；(X), то ue 〃落 в х0.
Замечание. Проведенные выше рассмотрения справедливы и ДЛЯ PH{s) при любом р・
Иногда оказываются полезными следующие функции на X и на Г*(Х)\0, измеряющие гладкость распределения и в смысле их принадлежности пространствам //(»):
su (х) = sup {s; u s H^s} в x}, (18.1.41)s«(x, g) = sup{s; u e Я；^ в (爲 &)}.
Очевидно, что эти функции полунепрерывны снизу, причем %(x)《s：(x,己)・ Если s< si (х, 9 для всякого EwT；\0, то
и 三 Н；；； в точке (х, g) для всякого 占，а значит, 〃 w Н^ в точке х. Следовательно,
su (х) = inf s： (х,目・
В силу теоремы 18.1.31, $Z(%, E)>s：(x, W)—加 для AwW*, причем при (х, g)旨 Char % имеет место равенство.
До сих пор мы откладывали обсуждение вопроса о сопряженных к псевдодифференциальным операторам. Дело в том, что объектами, двойственными к функциям на многообразии» являются, как мы видели в § 6.3, плотности. Поэтому сопряженный к псевдодифференциальному оператору на функциях — это псевдодифференциальный оператор на плотностях, если только не выбрана какая-либо фиксированная положительная плотность, позволяющая отождествить плотности с функциями. В связи с этим нам нужно сделать ряд замечаний о псевдодиф- ференциальных операторах, действующих между сечениями векторных расслоений Е и F над X. Эти замечания будут играть важную роль также в гл. 19 и 20.
Определение 18.1.32. Пусть Е и 戶—комплексные векторные расслоения класса С°° над С°°-многообразием X. Псевдодифференциальный оператор порядка т из сечений расслоения Е в сечения расслоения 戶 ——это непрерывное линейное отображение
Л: С^(Х9 Е)-> б?8(х,尸)，
удов л етвор я юшее следующему условию： для всякого открытого множества У и X, над которым расслоения Е и F тривиали- зуются с помощью отображений
ф£： Е 1у f УХС* TF：尸 М f УХС', существует fX^-матрица псевдодифференциальных операторов /〃三 4rmтакая что
缶(Ли)» = 2 4/触吟，«еСГ(Г, Е).
В этом случае мы пишем Л 三 4fm (X;瓦 F).
Естественно, достаточно предполагать, что существует покрытие многообразия ХХ X координатными окрестностями УХУ, такими что в локальных координатах операторы Ац представляются по модулю операторов с С°°-ядрами как операторы из Op Sm. Предоставляем читателю проверить в качестве упражнения, что у Л корректно определен главный символ как элемент из
sm(T*(x)； Hom(E,尸))/smT(T*(X); Hom(E,尸))，
где Ногп(Е, F) обозначает векторное расслоение над Г*(Х), слой которого в точке (х,己)состоит из всех линейных отображений из Ех в Fx. (По поводу случая дифференциальных операторов см. также § 6.4.) Снова предоставим читателю самостоятельно убедиться, что пространства Я(^ (X, Е) сечений расслоения Е можно определить, как и в скалярном случае, и что если А е ^(Х; Е, F), то 4 осуществляет непрерывное отображение 诡;(X, £)-> 川農m)(X,尸)，при условии что оператор 4 собственный. Очевидное обобщение теоремы 18.1.23 на случай операторов между сечениями расслоений тоже предоставим читателю.
В § 6.4 мы определили расслоение плотностей Q на X: сечение расслоения R, выраженное в локальных координатах хь •・.,尤几,一это функция 〃, такая что мера u\dx\ не зависит от выбора локальных координат (\dx\ обозначает меру Лебега в локальных координатах). Таким образом, для функции представляющей рассматриваемое сечение в локальных координатах xrt мы имеем
“1 dx' \ = u\dx\.
Для любого a w С можно определить степень С расслоения R, просто заменив записанный выше закон преобразования на следующий:
более формально, расслоение йа строится по функциям перехода
g““，= |det(KoK'T)'F。鼠 в ХхПХ*,
где х и х7 ——произвольные локальные координаты в координатных окрестностях X* и Xw. Сейчас мы вычислим закон преобразования для второго члена в символе полиоднородного оператора, действующего на полуплотностях, т. е. на сечениях расслоения й1/2; таким образом, равенство (18.1.29) надо заменить равенством
(18.L29)'(&(% D)t^^\J^ = a{x, D)(他。乂)|川)
где J = det xz (х). Далее,
\JVma{x, D){v\J^) = b(X> D)v,
где
bkx,占)〜2|/「/%®(х, ю ^uHal
=a(X,占)+ 4" X 产 a，D(DkJ)/j mod Sm-\
5 Зак. 443
Последняя сумма сокращается с суммой в (18.1.33). Поэтому для субглавного символа мы получаем простой закон преобразования
(18.1.33Г&Г(к(х), “)=小(厶 7'(х)“).
Следовательно, субглавный символ есть функция, инвариантно определенная на Г*(Х)\0. Аналогичное вычисление можно провести для любого символа из S^. Повторяя рассуждения, проведенные при определении понятия главного символа, получим следующий результат:
Теорема 18.1.33・ Всякий оператор /w 4fm(X; £2叱 Q”?) обладает уточненным главным, символом ст (Л) е Sm(T*(X))/Sm~2(7*(X))L таким что если А задается в локальной системе координат как а (%, D), то
<т(4) —а-(〃2)?曲wST
В случае когда 4 полиоднороден, это означает, что субглавный символ (18.1.32) инвариантно определен на Г* (X) \ 0.
Произведение двух полуплотностей есть плотность, поэтому пространством, (анти) дуальным к С『(X, Q”?)，будет 勿(X, Q1/2). Следовательно, оператор, сопряженный к непрерывному линейному оператору С；(Х, Q^)-*С°°(Х, Q1/2), представляет собой отображение 旷(X, Q"')f 勿(X, R”'). Из теоремы 18.1.7 вытекает теперь
Теорема 18.1.34. Всякий оператор 4 0 4f^(Х; Й1/2,金枕)обладает сопряженным Л* w 4fm(X; Q1/2, Qt/2):
(Aut u) = (% /%), 〃，” мСГ(Х, Q1/2).
Если a——(уточненный) главный символ оператора 4, то а будет (уточненным) главным символом для Д*.
Расслоение, (анти) дуальное к комплексному векторному расслоению £ над X, определяется условием, что его слои представляют собой пространства, (анти)дуальные к слоям расслоения Е. Таким образом, матрицы перехода g仏 отвечающие расслоению Е, заменяются в случае дуального расслоения на 'g拼， а в случае антидуального — на §ц\ Определим еще Е ® Ql/2 как векторное расслоение с матрицами перехода, полученными перемножением матриц перехода для Е и для R"' (последние ■суть скаляры). Если u С°°(Х, E®Q,/2) и uwC°°(X, E*®Ql/2), то функция (〃(尤)，0(尤))принадлежит С?8(х, R) и ее можно дроинтегрировать по X, при условии что она обладает компакт，
ным носителем. Следующая теорема — очевидное обобщение теоремы 18.1.34:
Теорема 18J.34'. Пусть Е и F — комплексные векторные расслоения. Всякий оператор /I 三 4fm(X； £ ® QI/2, F ® QI/2) обладает сопряженным Д* 三 5m (X; F* ® QI/2, £* ® Q1/2):
(Au, u) = (〃，A*w); “三 СГ(Х, E®qU2), uwCr(X, F ^Q4i)- Если a ——главный символ для А, то а* будет главным символом для А*.
То что всегда имеет смысл выделять расслоение полуплот^ ностей в виде отдельного сомножителя, видно еще и из той формы, какую принимает для многообразий теорема Шварца о ядре (теорема 5.2.1): всякое непрерывное линейное отображение СТ(Х, EgQ^)-> 勿'(У,尸 gQ?) обладает ядром, принадлежащим 勿'(У XX, Hom(E,尸)㊁盘歹运)，где (Hom(E, F))y,x — пространство всех линейных отображений из Ех в Fy. Это утверждение легко проверить, убедившись сначала, что верно и обратное. Лишь для того, чтобы не вдаваться в подробные рассмотрения, мы сформулировали теорему 8.2.12 и дальнейшие результаты § 8.2 только для открытых подмножеств в R".
Установленные в этом параграфе результаты справедливы и для более общих пространств символов. В частности, полезны пространства S^6, получаемые, когда условие (18.1.1) заменяется условием
(18.1.1)〃 |a!₽iU，Ю|<Са>р(1+1иГ-₽1а1+6|₽1； х, 2爾.
Здесь О V р W 1, a О W 6 V 1. Эти пространства уже рассмат* ривались в § 7.8. Главная причина, по которой они бывают полезны, состоит в том, что в силу теоремы 11.1.3 в случае гн~ поэллиптических операторов Р мы как раз имеем оценки вида (18.1.l)/z для 1/戶(Е) при больших & Поскольку S^ б =>St о = Sm^ предложения 18.1.3 и 18.1.4 остаются верными без всяких изменений, а значит, то же можно сказать и о теореме 18.1.6. Асимптотический ряд в (18.1.11) определен только при 6 V р> но сама теорема 18.1.7 верна при 6 ^ р, с той лишь оговоркой» что асимптотическое разложение (18.1.11) не имеет места при 6 = р. То же верно и в отношении теоремы 18.1.8, в теореме же 18.1.9 надо предполагать, что 6 Vp. Теоремы 18.1.11 и 18.1.13 справедливы при 6 ^ р, но приведенные их доказательства годятся лишь при 6 之 р. В теореме 18.1.14 условие а м S^+i надо заменить условием a w S^V°~纟 Утверждение о замене переменных требует дополнительных предположений,, ибо лемма 18.1.18 справедлива только при 1 г р W 6, т. е. при.
р N 1 ——6. В случае 6 W р отсюда следует, что р N 1/2, причем р — 1/2, лишь когда и 6 = 1/2. Теорема 18.1.17 остается верной при 1 — р W 6 W р, с той оговоркой, что асимптотическое разложение (18.1.30) имеет место лишь при 6 Vp. Остальные результаты этого параграфа в действительности являются чисто формальными и не нуждаются ни в каких изменениях. Для пространства псевдодифференциальных операторов, построенного на основе S^ б, используется обозначение 屮^ @ (X; Е, F).
Мы не будем давать доказательства сделанных выше утверждений. Читателю, желающему прочно усвоить изложенный в этом параграфе материал, стоит доказать их самому. Классы S^6 можно также рассматривать как весьма частный случай общих классов псевдодифференциальных операторов, обсуждаемых далее в этой главе (см. конец § 18.4). Однако мы докажем один полезный результат технического характера, касающийся произведений псевдодифференциальных операторов в Rn и псевдодифференциальных операторов по x'=(xi, .・., x〃_i)三 R^, зависящих от параметра хл:
Теорема 18.1.35. Пусть а е Sm(Rn X Rn), & eSm/(RnX К^1)» и пусть для некоторого е > 0 выполнено условие
а(х, Е) = 0, если е | ^„ | > 1 u 1 ^ К е | ^ |.
Тогда операторы а (х, D)b(x, Dz) и & (х, Dz) а (х, D) принадлежат Op(Sm+m/) 〃 асимптотические разложения символов этих операторов можно получить по формуле (18.1.15).
Заметим, что в оценке
I。纪gb(X, F)|《Cap(l+|『|)ga|можно заменить |У| на |自 | на множестве, где £丨&内|《|『|, ибо
1 + 1Г1<1+1?К(1 + 1Г1)(1 + 1/е).
Таким образом, асимптотические ряды (18.1.15) для фигурирующих в теореме композиций корректно определены.
Доказательство. Выберем функцию %三。8(般“)，однородную степени 0 вне некоторого компакта и такую, что для 自 м supp% выполняются неравенства | е^л | > 1 и I 自'|V|£&〃|, причем %(自)=1, если I е^„ I> 2 и 21 ^ |<| egrt |. Тогда
瓦(%, &)=ь(х, g)(i—%0))msm
и Ь{ = Ь в некоторой окрестности носителя а. Следовательно, bi (х, D)a(x, D) е Op sm+m， и асимптотическое разложение этого символа совпадает с задаваемым обычной формулой
асимптотическим разложением для 6(%, D) а (х, D). В силу (18.1.43), %(D)a(x, 0) = с (尤，D), где с s S"00. Далее,
匕(х, n')c(x, D)eUx^ = b{x, D')e‘Hj(x, g)
= eix^b(x, Dz) c (x, Dz,匕)e“"'・S =卢%%(居日,
где r (x, £>', E“)=6(x, Dz) c (x, Dz, g„) — композиция псевдодиф- ференциальных операторов по n — 1 переменным, зависящих от 尤忆 и 自虱 как от параметров. Поскольку для любого j семейство производных Dx^(х7, хл, g‘), хп е R, равномерно ограничено в S^(R"T><R"T), а для любых /, fe и ^ семейство функ- ЦИЙ (1+Ig〃|)“ 〃“£>『/(/, х„,匕 £), (xn, &*)wR2, равномерно ограничено в S'^(Rn~!XRn'1), то г е S-OI，(RnXRn). Далее,
b(%, £>') с(х, D)u = r (х, D)и, 〃 w 歹，
так как это равенство верно для экспонент, а обе его части непрерывно зависят от 〃 w ?'• Следовательно,
b(x, Df)a{x, » =瓦(％, D)a(x, £>) + r(x, D) s Op Sm+m，
и символ этого оператора имеет обычное асимптотическое разложение. Поэтому &(х, /У)*а (х, D)* принадлежит Ор $相+二 откуда следует, что а (%, D) & (х, Dz) е Op Sm+m<； символ последнего оператора допускает обычное асимптотическое разложение.
Ядро оператора 6(%, £)') равно 6(хл — Уп)К(х, yf), где К задается осцилляторным интегралом
К (х, /) = (2n)i \ / “F % (х, Г) dr.
Даже если b имеет порядок —8, так что ^ е С°°, мы можем быть уверены лишь в том, что волновой фронт ядра оператора b(x, D) не выходит за пределы конормального расслоения многообразия {(尤,д); %п = У/(} (теорема 8.1.5). Однако это и все особенности, которые могут встретиться в дополнение к осо^ Ценностям рассматриваемых псевдодифференциальных операторов:
Теорема 18J.36. Если символ 6 三 Sm(Rn X R^"1) имеет порядок —8 вне замкнутого конуса Fu R^XlRJi、。)，то волновой фронт ядра оператора Ь (%, Df) содержится в объединении мно^
жесте {(х, X,自，一自);(х,『)е Г} н ((х, у, g, —Е); х” = уп, У = 0}. Таким образом, для и w &
WF(b (%, П')〃)и{(х, g)三/尸也)；(х, У)三门
U {(х, 0,自“)；(/, хп, 0, &*)wWT(〃)для некоторого /).
С другой стороны,
(〃)и 步尸0(%, O)〃)U {(匕 &)； Г = 0
или (х, &')三 Char 6}.
Доказательство. В силу теорем 8.1.9 и 8.1.5
取尸(к) u {(芻 у, &, 一自)；/=/%=0,(尤，Г) ^ r},'
眩尸(6(今一yJ = {① y, £ -Ю; / =痂，у = 0}.
Поэтому утверждение о волновом фронте ядра оператора b (х, Df) следует из теоремы 8.2.10, а включение (18.1.44)—из теоремы 8.2.13. Чтобы доказать (18.1.45), выберем символ а 曰 S^lR^X Rrt) с носителем в некотором компактно порожденном конусе, не пересекающемся с правой частью (18.1.45), Тогда а (х, D) b (х, Ь7) ц е С°° по предложению 18.1.26, и a(xt D)b(xt Dz) есть псевдодифференциальный оператор, нехарактеристический в тех точках, где оператор а нехарактеристичен. Следовательно, WF{u)cz Char а, чем (18.1.45) и доказано.
182 Конормальные распределения
Согласно (18.1.7), ядро оператора из OpSm задается осцилля- торным интегралом вида
К(х, г/) = (2/"，е'37Т%(х, g)d£ х, у ^ Rn,
где а м Sm(R〃 X R")・ Оно сингулярно лишь на диагонали в Rrt X R", а в точках диагонали его волновой фронт содержится в конормальном расслоении диагонали (теорема 18.1.16). В этом параграфе мы обсудим соответствующий класс распределений, отвечающий произвольному С°°-подмногообразию У многообразия X, отправляясь от случая векторного пространства и его линейного подпространства. Чтобы понять, что делать, введем в (18.2.1) новые переменные %' = % ——у, %" = %・ Тогда диагональ будет задаваться уравнением / = 0, а наше распределение примет вид
(2л)~п% (*",目 &
Правда, при другом выборе переменной Х', скажем, X’ = у, функция а зависела бы от обеих переменных xz и 尤".Изменим теперь обозначения и будем вместо R2” рассматривать R厶 с переменными л =(хь •一, хл), разбитыми на две группы г =(хь ••・,九)и 2=(尤计1, •.・,尤Q. Прежде всего покажем, что в действительности не имеет значения, зависит а в (18.2.2) от * или нет. В связи с этим заметим, что в определении 18.1.1 и последующих утверждениях о свойствах символов то обстоятельство, что переменных х ровно столько же} сколько переменных &, было совершенно несущественным.
Лемма 18.2.1. Пусть а е Sm(Rrt X R*)- Если распределение а задается осцилляторным интегралом
〃(х)=，е‘“'' ^а(х, Г)^Г,
то оно представимо также в виде
(18.2.3Г“(%) =，е1^' ^а (х", Г)<.
где символ а е Sm(Rn"ft X R*) определяется равенством
а^, F) = ei〈* ”％(%,『)j
и допускает асимптотическое разложение
a(x〃，1)〜£ (一叽,D^a(x, g)〃l ко.
Доказательство» Предположим сперва, что @三乡.Тогда “W? и (18.2.3)' просто означает, что (2笃)在行 есть преобразование Фурье от 〃口о V:
&(Х〃，^) =(2л)_* JJe<w，,e~^a(v, Q)dQdx'
= е~1^ ^а(х, Г) J.
Последнее равенство следует из сказанного перед теоремой 18.1.7. Но отображение
а 一 eт〈％ 支'%a，Г)
непрерывно в ?' н переводит ограниченные подмножества пространства Sm в такие же подмножества; это вытекает из теоремы 18.1.7, ибо наличие параметров Г здесь, очевидно, не играет роли. Для произвольного а ^ Sm можно выбрать последовательность av w 口，ограниченную в Sw и сходящуюся к а в ?', а значит, равномерно на каждом компакте, и заключить, что (1823)' верно с 仇 определенным формулой (18.2.4). Справедливость асимптотического разложения (18.2.5) также следует из теоремы 18.1.7.
Теперь займемся точным описанием свойств регулярности распределений вида (18.2.3)' с a w S^. Прежде всего, замечая, что всякую плотность на подпространстве» задаваемом условием 犬=0, можно записать в виде (1823)，с а, не зависящим от 匕 докажем следующее обобщение теоремы 7.1.28:
Предложение 18.2.2. Пусть функция ф е Cc(Rn) равна 0 в некоторой окрестности нуля, символ а (%", Е')м Sm(R«-* X R内) равен 0 для 尤",лежащих вне некоторого компакта, и распределение и определено как. осцилляторный интеграл
и(х)^=^е^х，-^а (xw, У)盟.
Тогда й 已 £葭〃
jM(|)|2|qpR/R)I公&CR『 火 > 1.
Если a w S^hg(Rn~k X R&) и a^ — главный символ соответствую^ щего оператора, то
lim R~k~2m，(2л)-п-Л й (g) I2 q> Ш dl
В,口面(小，汾12<₽(К 0)dx"龙 где m'uRezn.
Доказательство. Пусть d — преобразование Фурье от а по /・ Тогда 诊(自)=(2Л户2(&", г), а потому
Ji/i(§)r<p e/火)映=(2“产 Ji 4 倡〃，г) I2 ф (恥)恋
=(2n)* 内 \ 14 (匕，應')|2<р(匕 y/R) di.
Поскольку значения \х,г\ ограничены на носителе а, мы имеем для любого ^
Id (Г, 自')1《源(1 + 1『1)-"(1+虫1产.
Функцию ф можно записать в виде ф = Ф1 + 口2, где ф/ 三 Со(Кя) и |g|Nc на suppqh, IF'lNc на supp(p2 для некоторого с > 0. Если в последнем интеграле заменить <р на |q)2|, то на носителе подынтегрального выражения мы будем иметь |£"|> cR и интеграл будет быстро убывать при Qf 8； если же заменить ф на |q)i I，то на носителе подынтегрального выражения |g|N& Отсюдг следует (18.2.7). В случае когда символ а полиодно-
роден,
R-2ml и (Г,應')12中1(e F7R)恋
= \"(『，RF)/内沁/匕『/R)d&
-b叁(孔r)12?1(Г,①恋
=(2n)i V I a° ①，Г) P 叭匕 o)dx'r 阳
в силу теоремы о мажорированной сходимости и формулы Парсеваля. Этим доказано (18.2.8).
Особенности распределений и интересующего нас типа лежат в плоскости %7 =0：
Предложение 18.2.3. Пусть выполнены предположения предложения 18.2.2. Если функция % е С^°(RA) равна 1 8 некоторой окрестности нуля, то (1 — %(Z))u w ^(Rrt).
Доказательство. Если a =(ab &軌 0, ..., 0), то при лг — |a| < —k
/% ⑶=\ е’н ‘> (- D^)aa (%〃，Г)阳
есть ограниченная непрерывная функция (интеграл абсолютно сходится). Если m —— |ajv —k — v, то производные порядка W*v от этой функции также ограничены и непрерывны. Это доказывает наше утверждение, поскольку (1 — %(%')) |x/|-2v имеет ограниченные производные всех порядков при любом ^.
Из предложения 18.2.3 видно, что поведение 〃 на бесконечности, которое мы исследовали в предложении 18.2.2, зависит лишь от свойства регулярности и при 尤'=0. Используя описанные в добавлении В пространства Бесова 8H⑺(определение В.1.1), можно переписать (18.2.7) в виде
u s °°H(—m—k/2)(Rn)> если и s Sm,
(Отметим, в частности, что если и есть ядро оператора из 6Psm от 冷/2 переменных, то и е °°Н^_т_п/^ Свойство регулярности (1827)' сохраняется при некоторых дифференцированиях распределения 〃. А именно, если и определено формулой (18.2.3), то
DjU (х)=，级忙 ^DXja (х, g‘) d|'при j > k,
XiDjU (х) = ^ eiw，- S "吗—D^t) a (x, ^)留 при 厶 / & 论，
так что эти операции сохраняют вид осцилляторного интеграла (18.2.3) и порядок символа а. (В каком порядке берутся сомножители х и D, неважно, ибо х/Л/ — Л/Х/ = /6^.) Докажем теперь обратное утверждение:
Лемма 18.2.4. Пусть u 三咨и пусть
для всех а и pt удовлетворяющих условию |а'|》|0'|. Тогда и представимо в виде (1823)' с амплитудой Gw ^т^л-^рл) Доказательство. В силу предположений леммы преобразование Фурье й нашего распределения принадлежит классу С00 и выполняются оценки
JI 舉加■倡)|%Е《СавК加+) R》l, |a'|》Fl,
MV"IV2R
ибо, как мы только что указывали, порядок, в котором действуют ха и ОР, не играет роли. Беря |0'| = О, а |0"|>2 + 偷 + 应/2, заключаем, что для любого А
，也% (叫 2而《4川旷2", если iri^l^l.
Uivi
Ввиду, скажем, леммы 7.6.3, 1。a〃(自)|《с1川自「"，в случае когда |&"丨 >|&'|・ Чтобы рассмотреть противоположный случай^ введем
Ur(S = 〃(R匕 W и заметим, что
\ |&5а厶雋)『^《Са0, если |а'| = |0'|. Er
где £л — эллипсоидальный слой, определяемый неравенствами 1/4 V 丨 У р + 丨『/R F < 4. Поскольку для каждого Р‘ с ] g | = |(/ } максимум нормы |『* | на некоторой окрестности единичной сферы в Rfe отграничен от нуля, то, используя лемму 7.6.3, мы приходим при любых а и ^ к оценке
|加厶⑶反C〔N(l+|『|)f при |『|=1,置 |<R.
Возвращаясь к первоначальным масштабам, получаем оценку\Daa^)\^Ca,N(\ + \if \)т-]а1 (\ +\lff {)-N
для всех К. Следовательно,
а (х〃，Г) = (2力-[й 阳 е“м 蜉 〃Т
принадлежит Sm(^n~k X R*), как и утверждалось.
Векторные поля, рассмотренные в лемме 18.2.4, касательны к плоскости %7 = 0, и они порождают все такие векторные поля:
Лемма 18.2.5. Всякое векторное поле s Rn класса С00, касательное к подпространству, задаваемому условием 炉=0, представимо 8 виде
£ aif(x)x£d/dxf+ £ af(x)d/dxft i,i<k在+1
где а” и а, — функции класса 5.
Доказательство. Пусть ^ ау (х) d/dxt — векторное поле класса С°°, касательное к подпространству『=0. Это означает, что 口/(0,亡')=0 при jW&・ Поэтому из теоремы 1.1,9 (с параметрами) следует, что для некоторых а订 w С00
。/⑴=倉 а“(х)М при /《А, чем лемма и доказана.
Пусть X ——открытое множество в R" и 〃三②'(X) определено формулой (18.2.3) с a w SWX R*). Тогда в силу леммы 18.2.5 и замечаний, предшествовавших лемме 18.2.4, % …Ln^ 三 °°Н*欣—М2«Х) для любого конечного набора 乙卜... ...,Ln дифференциальных операторов первого порядка, касательных к плоскости 尤' = 0. Из леммы 18.2.4 вытекает, что верно и обратное. Действительно, если функции *ф,м Cf (X) таковы, что их носители образуют локально конечное семейство и £ ф/= 1, то лемма 18.2.4 дает
2/(行=，废3々>可(/,0恋〃，
где 引 三 Sm(Rni X R为)，откуда и следует (18.2.3) с а = £ 屮戸尸 Это подводит к следующему определению:
Определение 18.2.6. Пусть X — многообразие класса С°°, Е — (комплексное) векторное расслоение класса С00 над X и У — замкнутое подмногообразие класса С°° в X. Пространство /^(Х, У;Е) обобщенных сечений степени m расслоения £, ко- нормальных к 匕 определяется как множество всех и 三 砂(X, Е), таких что
(1829) % …丄曲已 8空^54)(%，Е)， W n = dimX, для всех ^ и всех дифференциальных операторов первого порядка 厶/ с С°°-коэффициентами, действующих в пространстве обобщенных сечений расслоения Е и касательных к У. Про-
странство /т(Х, У;Е) наделяется слабейшей топологией, в которой непрерывны отображения L i ... LNu w 8〃|2!^_ 闻旷
Напомним, что главный символ оператора £/ — это линейная функция на слоях 7；(Х) со значениями в линейных преобразованиях слоя Е#・ Условие касания с У, фигурирующее в определении 18.2.6, означает, что эта функция обращается в нуль н-а конормалях к подмногообразию У. Нормировка нижнего индекса в (18.2.9) выбрана так, чтобы ядро псевдодифференциаль- ного оператора, принадлежащего 4fm(X; Q"2®E, С”？ ® 尸)，принадлежало 产(XXX, A; a"?® Hom(E, Г)), где A — диагональ в XXX.
Достаточно, чтобы соотношение (18.2,9) выполнялось для операторов L/ из какой-либо системы образующих, т. е. из набора Afi, ..., Alv дифференциальных операторов первого порядка, касательных к У, такого что всякий касательный к У дифференциальный оператор первого порядка представим в виде
(18.2.10)(18.2.10)£= ?a/m/ + @0,£= ?a/m/ + @0,
(18.2.10)
(18.2.10)
£= ?a/m/ + @0,
£= ?a/m/ + @0,
где а； е C°°{Xt Hom(E, Е)). Действительно, подставив в (18.2.9) вместо Ln такую сумму и заменив 厶“—i на Lntq卜 мы получим сумму членов, в каждом из которых на один сомножитель Lj меньше. Продолжая таким же образом, в конце концов придем к сумме членов вида aMi} ...府％〃 с а е= С°° (X» Нош (£, F)). Заметим, что в качестве М『всегда можно взять операторы с главными символами, пропорциональными тождественному преобразованию.
Теорема 18.2.7. Если u^Im (X, У; Е) u A^Wmf (X; Е, F) — собственный оператор, то Аи^ ;m+m(%, у；尸).
Доказательство. Пусть 厶『——дифференциальные операторы пер* вого порядка, действующие на сечениях расслоения 尸，касательные к У и имеющие главные символы, пропорциональные тождественному преобразованию. Нам надо показать, что
L. LnAu е °°Н^т £「/“(К 尸).1 N i—тп—т —，
Для ^ = 0 это следует из того факта, что А непрерывно отображает "乩峠в "片喝一门,_矶「пУСть ^ > °- Выберем дифференциальный оператор первого порядка L} на сечениях расслоения Е, главный символ которого является точно таким же кратным тождественного преобразования, что и главный символ оператора Тогда
“А = AL^ + 4’
где 4 三屮"(X; Е,尸).Поскольку Lnu е Im (X, У; £), дело свелось к на единицу меньшему значению М и доказательство завершается применением индукции.
Мы можем теперь показать, что Im (Xt У;Е) в действительности состоит из распределений, локально устроенных так же, как те распределения, которые мы рассмотрели в начале параграфа.
Теорема 1828. Для справедливости включения 以三/用(冗 У；Е) необходимо и достаточно, чтобы ,/〃 w/^(Х, У; Е) для любого ■ф/ из произвольного разбиения единицы на X. Если X — открытое множество 8 Rn 〃 у задано условием xz = (xi, ..., хА) = 0, а Е = ХХ С% то любое и w lm(X, У; Е) с компактным носителем представимо в виде
и^^^е^^-^а^, g)dg,
где а 已 5用+储-2幻/4(Rn』义 口々；С“)Обратно, всякое и такого вида принадлежит /^(Х, У； Е).
Доказательство. Первое утверждение — немедленное следствие теоремы 18.2.7, второе вытекает из леммы 18.2.4, а последнее следует из предложения 18.2.2 и леммы 18.2.5. Теорема доказана.
Теперь введем понятие главного символа для элементов из Zm(X, У； Е). Для разгона начнем с простейшего случая £ = й1/2 (расслоение полуплотностей на X) и возьмем XuR% Если и имеет компактный носитель и представимо в виде (18.2.11) с символом 〃 м S；K^mJ泌"'(В”-* X R') и соответствующий главный символ равен а0, то, согласно (18.2,8),
(18.2.8/ lim(2")一" 卜2 售))4(恥)若
R">8J
=(2疗 Ji的(『，r)Fф律，о)dx”dg, где mf = Re m. Поскольку u — полуплотность на Rrt, из формулы Парсеваля следует, что й преобразуется при линейных заменах переменных как полуплотность. Следовательно, левая часть (18.2.8)' инвариантна относительно линейных замен переменных. Далее, нормальное расслоение к плоскости 尤'=0 параметризуется следующим образом:
(£', У) —(0, К 匕 0);
поэтому естественно ожидать, что % (*",&') инвариантно определяет там полуплотность, так что и правая часть (18.2.8)' ин*
вариантна. Так как коразмерность k не появляется в левой части, хочется изгнать ее и из правой, включив в главный символ множитель (2л)Л/2, а точнее, введя в (18.2.11) множитель (2л)-比/2 в случае когда и — ядро псевдодифференциального оператора порядка т от “2 переменных, это дает в (18.1.7) коэффициент, отличный от общепринятого (2л)-п, поэтому, что- 6bl все согласовать, введем еще дополнительный множитель (2л)~п/4. Таким образом, мы заменяем (18.2.11) на
(18211)' и(х) = (2п)Т"+2*)/4，е'З *% (/,『)噌，a w $т+(п-2А)/4
Наша цель — показать, что полуплотность
a(х", у)山〃产1留1叱
определенная на нормальном расслоении к плоскости х' = 0, параметризованном, как указано в (18.2.12), определена инвариантно по модулю символов на единицу меньшей степени.
Теорема 18.2.9. Пусть X и Хх — открытые множества в Rn и ■х: X f Хи—диффеоморфизм, сохраняющий плоскостьУ={х\ х'=0}. Пусть, далее, 〃乂 已&'(犬乂) и и = | det xz |t/2 х*их е ^z (X) — поднятие ик на X как полуплотности. Если 〃質 принадлежит Im (Хх, У) и имеет вид
《18.2.11)"ин (х) = (2л)_<п+2А)/4 J el <х，' ^ак (xff, ^d^,
то и принадлежит /”(Х, У) 〃 имеет вид (18.2.11/ с
《18.2.13) а (х〃，『)-% (% (О, F), % (0, х〃)т #)
X |det % (0, х〃)「"21 det % (0, х〃)产 w 5^+(1 初“i.
Здесь
X=(X|, Х2) иj)
——^расщепления» диффеоморфизма х и его производной 乂‘，отвечающие нашему расщеплению множества переменных на две частщ при этом х^2(0, %") = (), ибо и{ (0, х") = 0.
Доказательство. Поскольку 乂1(0, %") = 0, то в силу теоремы 1.1.9 можно выбрать такую С°°-функцию ф со значениями в 々ХА- матрицах, что
乂(£,%")=件(力)m，算2(%)).
Матрица 2(0,尤")=乂［(0, %") невырожденна. Так как wx и и принадлежат классу С°° при х'=#0, мы вправе сузить X так,
чтобы невырожденность матрицы р(х) имела место во всем X* Тогда
u(x) = | det к' (х) |1/2 (2л)"<л+2*,м ,产”⑴ 乂 脸 ％ 的(х), т)‘) drf
=(2"l+2初u / 9 %饱(力% (*尸R，) I det/(x)产
X|detW(x)「留
(мы произвели в осцилляторном интеграле замену 办'=纯(尤)-*')・ Из лемм 18.2.1 и 18.1.18 следует, что 〃 представимо в виде (18.2.11)' с
а (х", У) = е-〈％ 々也包(х), % (%尸 g) | det / (*)产
XI det 2 (x)厂1 lxz-=o*
По модулю Sm+("-2^”j】 это выражение задается первым чле* ном асимптотического разложения (1825), т. е. равно
ах(Х2(0, х"), 4(0» x〃)Ty)|det/(0, ^) |1/2| deti|)(O, %")「*
Поскольку I det хг(0, %") | = | det 屮(0,尤“)"det 弘(0, %")| (ибо матрица 乂，(0, %") треугольна), получаем (18.2.13).
Полуплотность а (%", У)| dW )1/2| dg 产на конормальном расслоении ^ (У) к У следует рассматривать как имеющую порядок 加+ 孔/4, когда а в $т+*-吗 Действительно, функция f на М(У) однородна степени 出，если M^f = fft / > 0, где Mt обозначает операцию умножения на / в слое, т. е. Mt(xff9 /) = “"，疋) Если определить однородность полуплотности f тем же условием, то полуплотность I dx" fl d±‘["Г отвечающая а= 1, будет* однородна степени 々/2, где k — число переменных К
Определение 18.2.10. Пусть V — вещественное векторное расслоение класса С°° со слоем размерности k над С°°-много- образием У. Пространство S"(V\ Q“?) символов-полуплотностей порядка у на U —это пространство всех полуплотностей, которые в каждой координатной окрестности Ух, х: 丫乂― %uRt с локальными координатами ywR" имеют вид а (у, ”)| dy 产| dr( |1/2 с а 三 S"f (户х 义 R*) (над рассматриваемой окрестностью пространство V отождествляется с g*XR')・
В этой терминологии теорема 18.2.9 означает, что соответствие а~^и> задаваемое формулой (18.2.11)', порождает изо*
морфизм ,
5加+硏(м(у)；喲y))/sm+n/J (N (У); Q%))
->/"(К, У; Q贤)〃тт(Х, У; Q%).
Этот результат без каких бы то ни было затруднений распространяется на распределения со значениями в векторных расслоениях, отличных от ◎¥?, поскольку умножение и на матрицу перехода приводит просто к тому, что и с соответствующим символом происходит то же самое. Таким образом, верна
Теорема 18.2.11. Пусть X — многообразие класса С°°, У — его замкнутое подмногообразие класса С°° u Е ——комплексное векторное расслоение класса С°° над X. Тогда имеет место изоморфизм
Sm+nli(N (У), Q^y)® E)/Sm+nli-} (^ (У), Й^(У)® 戶)
f/т(х, У; ^®E)hn-\X, У; Q磐® Е), локально определяемый формулой (18.2.11)/; здесь £ — поднятие расслоения Е на ^(У) (слоем расслоения £ в точке (у,") служит Еу). Для всякого элемента и из класса эквивалентности, принадлежащего последнему факторпространству, образ этого класса при обратном изоморфизме называется главным символом, отвечающим 〃.
Заметим, что мы имеем здесь расслоения полуплотностей на разных пространствах. Вот почему удобно с самого начала выделить расслоение полуплотностей в качестве отдельного сомножителя. Заметим, далее, что коразмерность подмногообразия У теперь исчезла. Наличие слагаемого п/4 в степени символа объясняется нашим стремлением к согласованности со случаем псевдодифференциальных операторов. В этом случае символы не были у нас полуплотностями. Однако нормальное расслоение к диагонали в X Х X изоморфно кокасательному расслоению к X, поэтому на нем существует естественная плотность, инвариантно определяемая симплектической формой и в локальных координатах имеющая вид |dx||d±|. Следовательно, на нем существует естественная полуплотность |dx| 1/2|d^|1/2 порядка (dim Х)/2 = dim(X X Х)/4. Когда функция, являющаяся главным символом в смысле определения § 18.1, умножается на эту полуплотность, порядок увеличивается точно так, как в теореме 18.2.11. В общем случае на ^(У) нет естественной плотности, которая позволила бы нам отождествить полуплот^ ности с функциями.
Из теоремы 18.2.7 мы знаем, как псевдодифференциальные операторы действуют на Im(Xt У; £). Сейчас мы более явно выразим это действие на языке символов. При этом, разумеется, можно рассуждать локально, т. е. считать, что мы имеем дело с тривиальным расслоением.
Итак, предположим, что 〃己犷(R〃)一распределение вида (18.2.11)z, и пусть р е Sm，(Rn X Rn)- Чтобы вычислить р(х, D)u, заметим прежде всего, что, согласно формуле обращения Фурье,
0(E) = (2力 л初4\ а(у〃，Г)е— 6сз〃.
Поэтому мы получаем, беря сперва р и а, принадлежащие 歹, р (х, С)凤(х) = (2л)а"п-<л+эд/4 内 М"，叩(х, В) а 匂〃，У)
X е-‘s D 恋内"=(2п)-(л+2А)м J d“'，^>а, (х, Г) dg, где
м (х, Г) = 3尸7 卜"F Г>р (х, Е) а (犷，У) d『dyr/
= el^D^p(x, ^а(у\ 自'儿"3s,
в силу вычислений, проведенных перед теоремой 18.1.7. Доказательство этой теоремы (с несущественными модификациями) показывает, что flj е 5m+m +«/<-*/2 и чт0
О,(X, Г)~ Е W. А"Ур(х, &а(у"，У)〃！ km』・
Следовательно, ввиду леммы 18.2.1,
р(х, £))〃(х) = (2к)-"+2е)/4\您"疋>匕(/'，WMF,
b (叫？) = e1^^-^' D^p (x,自)a (/',占'儿，“,Z-^o 〜工④D『,分〉一«”，，D^p(x, ^a(y\ У)/川Ut"」-、。.
Тем самым нами доказана
Теорема 18.2.12. Если и^Г (X, Y\ Е) и Р 屮"(X; £,尸)一 собственный оператор, то Ри е jm+m (х, Y^ F) и главный символ обобщенного сечения Ри равен главному символу обобщенного сечения и, умноженному на ограничение на ^(У) главного символа оператора Р. В случае когда и имеет компактный но- ситель, лежащий в координатной окрестности, в которой У задается условием xz = 0, a 〃 ——формулой (18.2.11)', полный символ обобщенного сечения Ри задается формулами (18.2,15), (18.2.16), где р — полный символ оператора Р.
До сих пор мы не делали никаких замечаний по поводу пол иоднородного случая. Однако из формул (18.2.14) и (18.2.16) совершенно ясно, что все сказанное выше применимо и к этому случаю, поскольку шаг, фигурирующий в определении полиоднородности, есть число, обратное к целому. Это замечание понадобится нам в дальнейшем.
В теории краевых задач мы встречаемся со следующей ситуацией: X ——многообразие класса С°°, У ——замыкание некоторого открытого подмножества в X с С°°-границей У. Пусть Е, 尸——векторные расслоения на X и Р ——собственный оператор» принадлежащий Ф^ (X; Е,尸).Хотелось бы, чтобы Р порождал отображение С°°(У, £)-> С°°(У, F), что далеко не всегда так.
Определение 18.2.13. Будем говорить, что Р обладает свойством трансмиссии относительно У, если для всякого и С°°(¥г Е) ограничение на внутренность У0 множества У результата Риа применения оператора Р к /〃 на у, и° = 1 о на X\Y
принадлежит C°°(Y°t E)t т. е. допускает С°°-продолжение на X.
Мы хотим найти условия на символ оператора R гарантирующие, что Р обладает, свойством трансмиссии. Вопрос этот, очевидно, локальный, поэтому рассмотрим случай, когда X и R\ У определено условием %i ^ 0, а Е, F — тривиальные расслоения. Предположим также, что носитель 〃 компактен в У. Тогда (18.2/7)ий(х) = (2лГ'\е1х^а(х,/, EJd玩
где %"=(+2，#Q и символ
оооо
а(х〃,畐)=\ и(х)е~1х^ dXi0『-”(0, x") Оо
принадлежит S誌(R"i X R1)- Написанное асимптотическое разложение получается, конечно, последовательным интегрированием по частям. Таким образом, 〃о 三 /謊十”"(X, @У). В символе а члены нечетного (соотв. четного) порядка нечетны (соотв. четны), и, подбирая подходящее и, можно получить по модулю S-°° любой символ a w S^g(R"f X В) с таким свойством и с компактным по / носителем. Предположим теперь, что Р 三屮靠中 где т — целое. Тогда Ри будет вида (18.2.17) с некоторой новой амплитудой bwS^l задаваемой формулой (18.2.16). Не изменяя асимптотического разложения символа.
можно умножить его на функцию из С/ (X), равную 1 в некоторой окрестности носителя и, с тем чтобы получить символ с компактным носителем. Докажем одну лемму, тесно связанную с теоремой Пэли — Винера — Шварца (теоремой 7.4.3).
Лемма 18.2.14. Пусть uw&'(X), X и 〃
и(х)=，е^&Ь (х", £)呜
с b wS%g(炉т XR) при некотором ув(С, т. е.
Ь~，м，G
где символ Ь/ однороден степени ц — /. Для того чтобы и |Х1>0 допускало С°°-продолжение на замкнутую полуплоскость х^О, необходимо 〃 достаточно, чтобы для каждого /
-1) = %(У, 1)那®Т)・
Это условие означает^ что Ь, есть ограничение «а R \ 0 функции %(х", 1)白厂‘，причем степень 白:一‘ считается равной 1 в точке 1 〃 аналитической в верхней полуплоскости.
Доказательство, а) Достаточность. Пусть Г ——кривая в С, получающаяся из вещественной оси заменой интервала (—1, 1) на часть единичной окружности, лежащую в верхней полуплоскости. Тогда
и _ 23'，1)寸‘呜三不
/<^ г
при ^ > Re ц + V + 1. Записывая члены этой суммы в виде
D^，六％ (叫1同一~吗Г
с Rep — / — й < —1 и применяя интегральную формулу Коши, находим, что они равны нулю при %i > 0. Следовательно, все производные от и ограничены при х\ > 0.
Ь) Необходимость. По теореме Бореля (теорема 1.2.6) найдется (Ьункция @wC/(X), равная о при хх > 0. Тогда для Ф^сг ({х w X; *1 = 0})-
% (&) = (2л)-1 (и — W, е-м，屮(х")>
есть целая функция, и по теореме Пэли ——Винера——Шварца (теорема 7.3.1)
1%(31《С(1+К|)м при 1т&>0.
На вещественной оси 外(隹卩广“"*心區)при /-> + оо, где 公陶)=,%(х"，叔)9(х")〃〃・
Поэтому функция
外倡爲F(，+ %)i-3T
стремится к 0 при J f 8 в верхней полуплоскости и ограничена по модулю на Г величиной, не зависящей от е. Значит, по принципу максимума модуля, она ограничена величиной не зависящей от % и в области, лежащей над кривой Г. Таким образом,
\ЬМ\^С\^^ при |：t|> 1, Im&>0.
Далее, можно выбрать последовательность /*-> 十8, такую что предел
8© = 1而九(囁)炉
существует и аналитичен в верхней полуплоскости. Граничные значения функции В на вещественной оси равны b^(£j ввиду, скажем, (3.1.13) с ^ = 0. Следовательно, 8(&)=成⑴普 при OWarggiWir. Этим доказано, что Ьо удовлетворяет условию (18.2.19). Используя часть а) доказательства, мы можем вычесть из b распределение, отвечающее &0 и равное нулю при *1 > 0, а затем проверить, что Ь\ удовлетворяет условию (18.2.19), и т. д. Лемма доказана.
Предположим теперь, ^тоР 巨屮兀(X) и символ этого one* ратора имеет асимптотическое разложение
где символ Pi однороден степени 加一/. Тогда Puq будет иметь вид (18.2.15) с Ь, задаваемым формулой (18.2.16), и а, определяемым формулой (18.2.18), Если Р удовлетворяет условию трансмиссии относительно полупространства %i》0, то в силу леммы 18.2.14 главная часть ро(6, х", Ei, 0)〃 (0, *")/iEi асимптотического разложения для 6 должна удовлетворять условию (18.2.19), т. е.
Ро(О, %", —1, О) = ^ро(О, /, 1, 0).
Заметим, что это условие по-прежнему выполнялось бы, даже если бы мы ослабили условие трансмиссии, потребовав в определении 18.2.13, чтобы и имело на dY нуль некоторого фиксированного порядка. Такое ослабленное условие трансмиссии со-
храняется при умножении Р справа или слева на любой дифференциальный оператор, поскольку D^uQ не будет содержать членов, сосредоточенных на плоскости Xj = 0, если и имеет на ней нуль порядка по меньшей мере k. В частности, коммутаторы Р с D/ и %/, взятые любое число раз, удовлетворяют указанному ослабленному условию трансмиссии, поэтому, ввиду (18.1.6), для произвольных аир
(18220) р%(0, /, -1, 0)=烈《1。呪％(0, /', 1, 0).
Обратно, (18.2.20) гарантирует ввиду (18.2.16) и леммы 18.2.14,. что оператор с символом ро удовлетворяет условию трансмиссии. Вычитая этот оператор из Р, заключаем, что pi обладаег тем же свойством, и т. д. Следовательно, условие
(18.2.20/ #%(0, /, -1, 0)-^<m-laН^ДО, /, 1, 0)
является необходимым и достаточным для того, чтобы опера* тор Р удовлетворял условию трансмиссии.
Чтобы представить (18.2.20)z в инвариантном виде, введем для каждого символа р w S^g(X X R"),
р ~ § Р/,
где символ р/ однороден степени m — /, новый символ 瓦 тако暂 что
р(х, &〜完 eEmfp^x, 一自).
Ясно, что p — e, поэтому соответствиеp
задает инволюцию в S晶(X х R")/S-8(x X R"). Эта инволюция порождает инволюцию в 明U(X)/旷8(х)для любого С°°-мно- гообразия X. В самом деле, поскольку q — q^ если q — много* член, то в обозначениях теоремы 18.1.17
(Рк)，х(х),哨〜£р”х, — ^(х)П)е-яЦт~(-^аI'фа(х, п)/а!,
а это разложение совпадает с разложением символа (户)*(乂(х), П)・ Аналогичное вычисление, использующее (18.1.15), показывает, что мы получаем инволюцию в алгебре Khg (X)1yу-00 (X), перестановочную со взятием сопряженных. Рас* смотрение более общей ситуации с расслоениями не требует никаких новых соображений. Тем самым нами доказана
Теорема 18.2.15. Собственный псевдодифференциалъный оператор PwW^g(X;E,F) удовлетворяет условию трансмиссии
относительно замыкания У открытого подмножества в X с С^-границей тогда и только тогда, когда
символ оператора А —Р имеет нуль бесконечного порядка на внутреннем конормальном расслоении к границе dY.
Проверять выполнение условия (18,2.22) надо, конечно, в локальных координатах, но какие брать координаты, совершенно все равно. Поскольку p = e~2nimP9 условие (18.2.22) равносильно условию
(18222)' символ оператора Р —。加皿户 имеет нуль бесконечного порядка на внешнем коиормальном расслоении к границе dY.
Следовательно, в случае, когда m ——целое, ориентация 5У как границы не играет роли..
Из доказательства достаточности условия (18220)' видно, что Ри допускает С°°-продолжение с У0 на У и тогда, когда и есть гладкий простой или кратный слой на dY. Сейчас мы изучим граничные значения Ри в этом случае. Снова можно рассуждать локально, поэтому предположим, что X = R", У задается условием Xi > 0, Р = р(х, D) нр 〜 £ Р/, где символ р/ для каждого / однороден степени m — / и удовлетворяет условию (18.2.20)Пусть 〃 = 6(%])@ и (%"), где и е СГ(R^1). Чтобы вычислить Ри, возьмем функцию <р s Со° ((—1, 1)) с
qp(Z)d/ = 1 и заметим, что Ри = lim Ри& при е->0, где и8 (х)= 9 (%1/е) и (%")/£• Очевидно, что
Р% (х) = (2")-[ е“х ^р (х, Е) ф (呜)6 (0 映，
и мы покажем сейчас, что интеграл по 前 от подынтегрального выражения имеет предел при е —► 0.
Лемма 18.2.16. Пусть g(f), fwR, — непрерывная функция. Предположим, что существует функция Q(/), аналитическая 8 iln —{t С; Imf》0, |f|2R} для некоторого R и такая, что Q(£)= 0(”)для некоторого N при f-> 8 в Qr 〃 «(f)—Q(f), =0(广2) при 8 на R. Тогда величина
R
J + 9(/) dt= \ (q(/) —Q(/))df+ \q{t)dt
"|>R-R
не зависит от выбора Q. Если функция 尸(厶 s) аналитична по £ при Im / ^ 0 для О W s W 1 и ограничена и непрерывна по совокупности переменных 厶 s, го ^+ </(/) F(/, s) dt является непре^ рывной функцией от $.
Доказательство, Если д = 0, то в силу принципа максимума модуля
sup |0Q (/)(1 —回厂 “т I & sup I /2Q(Q I,
ибо 11 ■— re/| ^ 1 + e Im ^ ^ 1 на OQr. Устремляя e к 0, заключаем, что функция f?Q(f) ограничена на Qr. Поэтому в силу интегральной формулы Коши
,Q df = 0 •威
Этим доказана однозначность определения величины ^ Q(t) dt. Последнее утверждение леммы получается применением теоремы о мажорированной сходимости после вычитания Q(f)尸(f, s) из q(t)F(tfs).
Замечание. В случае когда g — рациональная функция без ве* шественных полюсов, условие леммы выполняется для функции Q, равной сумме членов степени 力一1 в лорановском разложении функции g в точке оо. Поскольку g(f)— Q(0= О(/-2) на оо в С', из интегральной формулы Коши следует, что ，*g(/)dZ равняется умноженной на 2л/ сумме вычетов функции q в верхней полуплоскости.
Вернемся к вопросу о граничных значениях Ри. Для фиксированного Е" имеем при gif оо
"a，目一 ，殴"з刃(招I, 0)自〃%!=。(『)，
где сумма берется по всем / и а, таким что 5 = 0 и / + [ а I < 2 + Rem. Это получается, если записать "/(х, 6 =1 &尸~'"/(工,E1/I & I，&7I £ I)，разложить правую часть послед- него равенства по формуле Тейлора и применить (18.2.20)'. Далее,
1 е"& © (嗚)К I <р (/) IЛ при Im^>0,
•если 8 W хь Следовательно,
\ eix^'p （х,自）© （嗚）dh-^-^ eix^'p （%,目為
при e -> 0, так что интеграл слева оценивается некоторой степенью 1+|*"|, не зависящей от выбора е и Хь Устремляя те- лерь и Xi к 0, заключаем, что 戶以（尤）f g（L,八"）o（L） при M т 0, где
g（/‘，Г） = （2л）-1『р（0, У,嬴，丁）呜.
Мы утверждаем, что g 〜Ед〃 где символ
q} *、龄=（21t尸『Pj （0, х〃，£,『）吗
однороден степени m + I — /. Действительно, выберем N, большее чем Re /л + 2, н положим
Р = Z Pi + Rn。
Тогда RyvwSRe*" при, скажем, 11Л, | > L откуда следует, что j D?"D& , Rn （0, х〃, ©, У）竭 I & С。J （1 +1 館 +1『I 产 *NT。1 d^
Следовательно, q ~Eq卜 Подытожим доказанное:
Теорема 18.2.17. Пусть "〜£ р/w S寵（R" X R"）, и пусть выполнены условия трансмиссии （18.2.20）'. Если и = 6（尤J®и（尤”）, где uwC/（R"-i）, то р（х, D）u допускает （^-продолжение с полупространства {л w Rrt; Xj > 0} на его замыкание 〃
lim р （%, D）u — q О"） и （%"）,
где g ~ £ 外 w S睡I（R"T X R"） a q； задаются формул лой （18.2.24）.
Граничные значения распределений О?р（尤，O）（D；〃） также, конечно, даются соответствующими псевдодифференциальными операторами, действующими на и; надо просто применить теорему 18.2.17 к псевдодифференциальному оператору D^p （х, D）必 символ которого легко вычислить.
Ключевым моментом доказательства теоремы 18.2.15 было установление того факта, что функции на X с носителями в У и
с С^-ограничением на У допускают отождествление с элементами пространства /誌£+2"4(Х, ОУ; Е), имеющими носитель в У. Вообще, для любого комплексного числа 卩 можно рассмотреть- пространство
C"(Y, E) = {ue /線"-々Х, <ЭУ; Е), supp “ и У}
(мы не указываем явно X в обозначении этого пространства,, поскольку неважно, как именно многообразие с краем У расширяется до открытого многообразия X). Если и имеет носитель в координатной окрестности, в которой У задается условием Xi ^ 0 и над которой расслоение Е тривиально, то мы можем записать и в виде
〃(%)= J eix^a (х^, £)呜，
где
а~®а/(/,薪)，
О
а символ а/ однороден степени 卩Изменяя знаки у xj и 占> заключаем на основании леммы 18.2.14, что 叫/, &) можно продолжить в полуплоскость Im&iVO как однородную аналитическую функцию от Ei. Ввиду примера 7.1.17 отсюда следует, что в случае, когда 卩 не является целым числом, и допу* скает асимптотическое разложение
〜京 «/(/') ® 以}Т， где 〃产 С8(R"T). О
Здесь использовано обозначение, введенное в § 3.2, и асимптотическое разложение понимается в том смысле, что разность- между 〃 и частичными суммами достаточно высокого порядка является сколь угодно гладкой. В случае когда 卩 есть целое ^―1, мы получаем функции, при 修 V 0 равные нулю, а при %】N 6 равные О (х［让т) и принадлежащие классу С°°. Наконец, в случае когда 卩 есть целое ^0, и представляет собой сумму функции U, С°°-гладкой при %i > 0 н равной нулю при Xi < 0, и кратного слоя
где 〃/巨 C°°(Rm-i)・ Имеются краевые задачи, для которых есте* ственно ожидать, что их решения ведут себя, как в одном из этих случаев.
По-прежнему считая У замыканием некоторого открытого- подмножества С^-многообразия X с dY ^ С°°, мы можем теперь
обобщить теорему 18.2.15 следующим образом:
Теорема 18.2.18. Пусть РмЗ^/Х; В, F) — собственный опера» тор. Если для всякого 〃 м Cf (У, Е) ограничение Ри на внутренность У0 множества У принадлежит С°°(У°, F), то
символ оператора Р —日*“р имеет на внутреннем нормальном расслоении к границе ОУ нуль бесконечного порядка,
и верно обратное утверждение.
Доказательство. Мы можем близко следовать доказательству теоремы 18.2.15, снова работая в локальных координатах. Если “ имеет вид (18.2.26), (18.2.27) (с а/, однородными степени ♦а — /), то
勺(力"，1) = еЗ“т)勺(/, -1),
в силу леммы 18.2.14 с измененным знаком Xi (ибо и равно нулю при Xi < 0). Далее, Ри имеет вид (18.2.26) с а, замененным некоторым полиоднородным символом со старшим членом Ро(О, J, Ei, 0)。0(广」I). Поэтому из той же леммы вытекает, что если Ри е С°°(У°), то
ро(0. %", -1, 0)。0(%", 一1)=产"e+阳%(0,尤"，1, 0)的(%", 1)
=产，g+2阳死(0, #% i, 0)%("", -1).
Поскольку а0 можно выбрать так, чтобы 的3', —1) нигде в нуль не обращалось, заключаем, что
%(0, М, -1, 0)=产〃т+2д}%(0, М, 1, 0).
Следуя доказательству теоремы 18.2.15, мы можем теперь получить соответствующее условие для произвольных производных от ро» а также для членов младших порядков. Повторение деталей рассуждения предоставим читателю.
Замечание. Из теоремы 18.2.18 вытекает, что фигурирующее в ней модифицированное условие трансмиссии, отвечающее данному 读已 С, зависит от класса вычетов числа 卩 в C/Z. Если верно (18.2.28), то символ оператора
е-Ш(т+щр 一 р
имеет нуль бесконечного порядка на внешнем нормальном расслоении к 6У. Поэтому для
«18.2.29)加 + у + у' w Z
символ оператора
Р — e^fP
имеет нуль бесконечного порядка на указанном внешнем нормальном расслоении. Следовательно, можно заменить У на у‘ = СУ, заменив одновременно 读 на какое-либо цх, удовлетворяющее условию (18.2.29).
18.3. Тотально характеристические операторы
Этот параграф посвящен изучению одного класса псевдодифференциальных операторов на С°°-многообразии X с краем дХ. (Понятие многообразия с краем определено в § В.2 добавления В.) В § 18.2 мы ввели условие трансмиссии относительно X для псевдодифференциального оператора Р на открытом многообразии той же размерности, содержащем X. Это условие гарантирует, что Р задает отображение из Cf (X) в С°°(Х), но Р может не задавать оператор из С/(ОХ) в С°°(ОХ), а это иногда желательно при рассмотрении краевых задач. Дифференциальный оператор первого порядка L обладает этим свойством тогда и только тогда, когда он касателен к дХ (см. определение 18.2.6). Алгебра операторов, которую мы определим ниже, строится из таких дифференциальных операторов первого порядка точно тем же способом, каким стандартные псевдодифференциальные операторы строятся из произвольных дифференциальных операторов первого порядка.
В качестве модели многообразия с краем мы будем использовать замыкание R+ полупространства R+ = {х е Rn; хп > 0}. Для всякого пространства 户 распределений в R" будем обозначать через 尸(R*) пространство ограничений на R£ элементов из 尸， а через F(R+) — пространство распределений из 尸 с носителем в R； (подробнее об этих пространствах говорится в § В.2). Пространство_С°°(R+) в силу теоремы 1.2.6 совпадает с пространством С°° (R^) функций класса С°° на R， и мы будем использовать оба эти обозначения.
Согласно лемме 18.2.5, дифференциальные операторы первого порядка в R：, касательные к OR*, порождаются оператор рами dfdx^ / < п, и хпд/дхп. Эта лемма обобщается следующим образом:
Лемма 18.3.1. Алгебра Diff^(R+), порожденная касательными к OR* дифференциальными операторами первого порядка с коэффициентами из С°°(R；), состоит из всех операторов вида
_ 尸=2 %(%)%；叨°,
где аа еС°°(₽+).
Доказательство. Поскольку xnDn = Dnxn + Z, операторы (xnD^9 j&B, представимы в виде линейных комбинаций, операторов x^D^ j*/e, и наоборот. Поэтому доказываемое утверждение следует из леммы 18.2.5.
Операторы из Diff方(R；) будем называть тотально характеристическими. Лемма 18.3.1 наводит на мысль расширить подпространство Diff"(R；) пространства Diff6(R+), состоящее из операторов порядка ^ т, до класса операторов, задаваемых формулой
<18.3.1) m(*, 0)" = (28)一"、/"心а(*, ?〃低)恋，"三G(R"),
где
/1 貝 & 6。3при >О,
<18.3.2)«(招 &) =，
7(0при xn < О
代' = (&“.・•， Мт)). Поскольку нас интересует в первую очередь, что происходит при хп ->0, будем выбирать а из следующего класса символов, определенного так, чтобы функция а удовлетворяла условию (18.1.1) при xn > I:
Определение 18.3.2. Через Sf обозначается множество всех функций a ^ С°°(R+ X Rn)> таких что для всех мультииндексов % 0 и всех целых чисел у》0
《18.3.3) I嗡(х, g)|<Ca,3,v(l+|gir~|a|(l+x„rv>
х 三 R+，& w R"・
Ядром оператора (18.3.1) служит распределение
«18.3.4) К(х, 9)= (28)一"，/ат»&(х, Е)礁，(х, у) е R2n,
понимаемое как обратное преобразование Фурье в смысле теории распределений. При хп ^ 0 оно представляет собой непрерывную функцию от х со значениями в 夕’(R?), а при хп < О равно нулю. Мы хотим, чтобы значение оператора (18.3.1) на функции 〃 зависело лишь от ее ограничения на R；; поэтому надо потребовать, чтобы уп^0 на suppK・ Это означает, что юсцилляторный интеграл
корректно определенный при хл>0, уп < 0, должен равняться нулю при таких 力忆，уп. Выбирая х^п в качестве ново立 пере-
менной интегрирования для хп > 0, мы можем записать это условие в виде
e"itlna(x, g\ l^dln = Q при f& —1, хЛ>0,
т. е. преобразование Фурье от а(х,自)по gn должно равняться нулю при / < — 1.
Определение 18.3.3. Будем говорить, что символ awSf л-аку- нарен (или удовлетворяет условию лакунарности), если выполнено (1835). Множество S勿 всех лакунарных символов из Sf представляет собой замкнутое подпространство в S# и, следовательно, является пространством Фреше.
Условие лакунарности не слишком ограничительно, поскольку точно так же, как и условие собственности, касается лишь «остаточной» части символа:
Лемма 18.3.4. Пусть pqg(R), 0=1 в некоторой окрестности нуля 〃 supp0u(—1/2, 1). Если grS?, то функция
%(/ l)= J。(居匕 In —ОР(0
принадлежит S窓，а — a()wS工°°, отображение S? m ан->а — “qwS；00 непрерывно и на носителе ядра оператора dp(x, D) выполняются неравенства 尤"2 & у^ & 2хп.
Доказательство. Преобразованием Фурье по 自"от функции ар служит произведение р на преобразование Фурье от а, поэтому справедливо не только (18.3.5), но даже более сильное условие
k一叫叫住，匕舗% = 0 при (陆(T/2, I).
Отсюда следует, что 尤丿2&^"&2%门 на носителе ядра оператора йр(х, Q). Далее, из условий, наложенных на р, вытекает, что \pdf=l и ^ ?р d/ = 0 при / > 0. Следовательно/
%(招 0 —а", &)
匕，-')-Е ©а"，1Ж)(-^//!>(0^ /<лг/
для любого N. В силу формулы Тейлора подынтегральное выражение оценивается при |"<|自，2 величиной
Cv.Z(i + iair_w(i + xnriP(oi.
При 丨/丨>丨自[/2, оценивая каждый член подынтегрального выражения отдельно, находим, что все оно оценивается величиной Cv,n(i + i/i)ib+"(i + m 厂 V|p(/)|
《%N(1+1自|尸一"(1+分尸(i+21/1)2W+W>|p(/)|.
Поскольку p w 夕，a N произвольно, это показывает, что I ар (х, §) — а (х, В) I мажорируется любой степенью функции (I +|||)-1(1 + хп)_,, умноженной на соответствующую постоянную. Эти постоянные представляют собой полунормы разности ар — а в 5^. То же верно и для всех производных от ар — а, поскольку взятие свертки с р перестановочно со взятием производных. Лемма доказана.
Из леммы 18.3.4 следует, что
/о—/с»-00〉/а/〉/а =〉+/3+ •
Поэтому ограничение лакунарными символами не препятствует построению исчисления символов, которое мы сейчас и разовьем параллельно § 18.1. Прежде всего приведем аналог теоремы 18.1.6:
Теорема 18.3.5. Если ае S工 и 〃三俨(R*), то оператор (18.3.1), примененный к любому продолжению и до функции из 夕(R"j> дает функцию а(х, D)ue^(R+), и возникающее билинейное отображение (а, и) t—> а (х, D)u непрерывно как отображение указанных пространств. Далее,
[а(х, D), Dl] = ia(f}(xi D)+fdMa^(x,。)&, 伍(％, D), xf] = — ia^ (x, D) — idfnxna^(x, D).
Для любого целого В》О
(18-3-7)。沟D)u\Xn^ £少
где
%G',『) = £ ^D^Dlat^, 0,匕 0)eSm(Rn-1XRn-1).
Доказательство. Условие лакунарности гарантирует, что уп^0 на носителе ядра К оператора (18.3.1). Поэтому результат его
применения к продолжению функции и не зависит от выбора продолжения. Поскольку 〃м9, то очевидно, что а (х, D) и есть С^-функция, все производные которой ограничены. Дифференцирование под знаком интеграла или интегрирование по частям дает (18.3.6). Как и в доказательстве теоремы 18.1.6, отсюда следует, что S北 X 9(R+)三(а, “)—五(х, D) и есть непрерывное отображение со значениями в 0(R*). При дифференцировании по х门 под знаком интеграла в (I8.3.I) множитель |п появляется, когда производная падает на экспоненту или на последний аргумент функции а(х, g\ хп|л). Если таких производных имеется в общей сложности /, мы как раз получаем /-Й член в правой части (1837), поскольку
(2к)т，蜜俘,£)%
есть преобразование Фурье по Y от 必〃(匕 0).
Равенство (18.3.7) показывает, что цель, которую преследовало определение операторов а(х, D), достигнута: все нормальные производные от а(х, D)u на границе можно вычислить, зная, как соответствующие псевдодифференциальные операторы на границе действуют на нормальные производные от 〃 того же и меньшего порядка. Покажем теперь, что исчисление операторов а(х, D) строится в основном так же, как и исчисление стандартных псевдодифференциальных операторов, несмотря на тот факт, что функция а(х, |), определенная формулой (18.3.2), имеет довольно плохие по сравнению с «настоящими» символами свойства по 工小 Одно из главных отличий от случая настоящих символов состоит в том, что ядро К оператора a(xf D) может иметь особенности, даже когда а е S— Итак, приступим к изучению таких операторов. При этом будем использовать обозначения
Q = {(%,切 w К?"; хл > 0, z/„ > 0), d,Q = {(爲 у)曰 R2"; / = У“=0}
для 《четверти》， содержащей носитель ядра К, и особой части ее границы. Удобно ввести в Q вместо хп, уп симметричные сингулярные («полярные») координаты г, / (см. рис. 2), задаваемые формулами
/ = (х„ + 勿)/2, г = (х„ — 9“)〃 = 2(х„ —勿)/(% + 以)，
т. е. хп — t(l + г/2), У" = /(1——г/2)・ Заметим, что точкам (居 y)wQ отвечают f>0 и |г]&2・
Теорема 18.3.6. Если awS/, то ядро К оператора a(xt D) принадлежит одновременно L](R?") u С°°(R2rt\52Q), supp К и Q и функция
F(V, /,厶 г) = /К(Х"(1 + г/2), /,/(1 一 г/2))
С°°-гладка при />0 и равна 0 при |，|>2. Для всех а, 0, т, р, V справедлива оценка
成圮少&尸(/,，，厶 г) I & Ca₽Tpv(I + I X —川 + 0一” Обратно, если К ^ Lioc(R2n), supp《uQ и 戶 обладает указанными выше свойствами, то К является ядром оператора а (х, D), отвечающего некоторому а 三 S^°°'
Доказательство. Обратное преобразование Фурье по g от а(х, &) (18.3.10)А(х,у) = (21t)-[ е*% ◎ а (%,目片
С°°-гладко при хп^0. Из доказательства леммы 7.1.3 следует, что для всех а, р, У
I D^A (х, у) I CCaev (1 + I у |)-лг (1 + x„)'v при х„>0, и обратно, что всякая функция Л (х, у), удовлетворяющая оценкам (18.3.11) и равная 0 при уп > 1, представима в виде (18.3.10) с awSN°°. При лп^ 0 ядро К есть непрерывная функция от % со значениями в 0‘, и (18.3.4) дает
К (х, у) = А (招廿—К,(4 — УС伐鼎Кп при хл > 0. Следовательно, К w ^ioc(R2n), supp К и Q и К 三 С°° при хл > 0. Если /^0 и г > — 2, то
(18.3,13)
尸3, У,厶 г) = 24(£,/(1+ г/2),'/ - /, 2г/(2 + г))/(2 + г)・
Это С°°-функция. Для xn — t(l + г/2) и уп = 2г/(2 + г) выполняются неравенства
1+^"!>2/(2 + г),1+|%| + &>2"2.
Поэтому 尸 оценивается любой степенью величины (1 + г/2) >< (1 + I %’一 “'I +，)т. То же верно и для всех производных от 尸，поскольку они представляют собой суммы членов того же вида, что и 尸,только функция 4 заменяется на некоторую свою производную и появляются дополнительные множители —степени / и 1/(2 + г). Если положить £ (х\ “'，/, г) == О при「式一2, то 尸曰2°° при /》0 н справедливо (18.3.9).
Обратно, пусть K^Lloclf), supp К и Q, F е С°° при / ^ О и выполнено (18.3.9). Так как из равенств /(1 + г/2) = хП9 2〃(2 + г) = уп следует, что г = 2yM(2 — “J f = % (2 — у》2 при хп> 0 и уп < 2, положим
(18.3.13Г
/ 2尸*,/(2—y/2,2yJ(2—У"))/(2—y")npn%<2, при^>1.
Эти два определения согласованы друг с другом на общей области определения, ибо 2уп/(2 — уп)> 2 для 1 V 呢 V 2. При Уп & 1
2yM(2 - yj + 2 = 4/(2 一 以)《8/( 1 + I //" [), 1+/{2 j)/2》l+%/2.
Заметим, что поскольку 尸=0 при г V —2, то, используя формулу Тейлора, можно усилить оценку (18.3.9) следующим образом:
(18.3.9Y
I D^D^DlD^F (х\ /,厶 г) I《С呐з (1 + |х—yl + D v(「+ 2)”・
Поэтому из (18.3.9) вытекает (18.3.11), чем и завершается доказательство.
Замечания, 1. В терминах, введенных в § 18.2, условие F w С°° означает в точности то, что К 三/盡?(即,&Q). Несложную проверку этого утверждения предоставим читателю.
Из проведенного доказательства следует, что если а 三 S『,то
\К{х, г/)|<С(1+|х/-/Гге| хпуп |/(| хп\ + \уп |)3.
6 Зак. 443
Действительно, так как (1 +l/l)n(l +1 Уп I)214 (х,切 |《С, то (1 +1d — *|)Т К(х, 9)|《С(1 + & — % |/хл)-2/х„
=Cxjg + Уп — х^&8Схпуп/(хп + у了 при Q < х„^ уп
Далее, (1 + \yr\f\A(x, у) |<С| 1 — ^„|, ибо А (х, у) = 0 при уп > 1 и (1 +1д' |)"|04(%, у)/дуп I&С. Следовательно,
(1 + I / — 旷 D" IК ", У) I《Суп/Л & 8СхпУп/(хп + g“)3
при 0 <уп< х„.
Отсюда и следует оценка (18.3.14), которая послужит нам ниже удобным отправным пунктом при выводе £2-оценок для тотально характеристических операторов.
Из теоремы 18.3.6 вытекает, что если а е 5м°°, то й(х, DY = о (х, О), где 6 三 5禮°・ Подготавливаясь к доказательству аналогичного результата для S霓 дадим аналитическое выражение для b в случае, когда а е 5м°° и выполнено сильное условие лакунарности
<18.3.5)〃 卜％ а(х,КЕ〃)％ = 0 при Q(—1,1/2).
Это означает, что (мы используем обозначение (18.3.10)) 4(%, У)= 0 при 拆壬(一1,1/2), а следовательно, 1/2《 I Хп/Уп I ^ 2 при (х, у) е supp К. В силу (18.1.9) и (18.1.10),
(а(х, D)ut и) = (п, 6(х, D)v),以，uw?(R〃)，
где В = е® ”厉(x, E)三 У; ясно, что хп^0 на supp 6. Если функция ср е C°°(R) равна 0 на (— оо, 1) и 1 на (2, оо), то <p(xn/e)a(xl g) = ср (xje) а (х, F, х^п) принадлежит S~°° и сходится к а в ^' при e->G. Значит, 6 есть ^-предел при е->0 функций
(%, Е) i(2ji)-"\\eTa-""-n><p(g„/e)@(g, т/, у^ dy dt],
определенных согласно теореме 7.6.5; правую часть последней формулы можно также понимать как интеграл, взятый сначала по т|, а затем по у. В силу (18.3.5)" интеграл по т\п может быть отличен от нуля, лишь когда (уп — х^1уп 曰(一1, 1/2), т. & когда 1/2 V Уп/^п < 2. Выберем функцию % R С/ (1/3, 3), равную 1 на (1/2, 2). Не изменяя интеграла, можно ввести в подынтегральное выражение множитель %("/%%)• Устремляя е к 0,
получим при хп > О
ЪМ, x^ = b(x,^ = (2n)-n V еТ5a
X 且 а — у, у — rf, (/ —力)& — %)) X ((/ — %)/办)dy d^ Последний интеграл понимается как повторный. Заменяя ул иа хм，а п& на т\п/хп, заключаем, что
(18.3」6) 6(% Е) = (2л)-" J, е-""，п>
X &(£ — *, %〃 (1 — уп), У — % О — У^(1п — %)) xQ—yQdydn
=е‘〈％ 旬伍(/, хпуп, т]", упх\^ % (д/) 1”*, 1), ПТ*
Посмотрим теперь, что дает эта формула в случае, когда а 巨 S? при некотором конечном т.
Лемма 18.3.7. Если a^S^. и функция уиСГ(0, 8)равна 1 в некоторой окрестности точки 1, то формула (18.3.16) определяет символ 6 w S北，такой что
(18.3.17)
匕(招自)~ 2 不⑴中 tDQ & (у , ^пУп9 Л » %%)|у，・х*, %т 11T
=2不〈°勿 ^^^(^» "- УпЧп) \y^Xt rf^t ^n^n/xn *
Отображение S弋 men be S% непрерывно.
Записанный выше асимптотический ряд корректно определен в смысле предложения 18.1.3, поскольку при каждом дифференцировании по у, падающем иа аргумент у^п, степень символа понижается на единицу, что компенсирует появление множителя Т)п-
Доказательство. Существует постоянная М, такая что supp* и(ЛН,Л1)・ Введем функцию
^хп (Уу *п) = d(//, /Ул, л, УтЛп^ х (//«)•
На ее носителе 1/М^уп^М9 поэтому функции (1 +х^сх^ принадлежат некоторому ограниченному множеству в 5m ир施 всех V и всех xrt>0. В силу теоремы 18.1.7
с (у, % /) = е«°"项 С“ (g, Т])
есть С°°-функция от (у, 口) и для любых а, ₽, v
ID^C(у, п，_хл)I<Co₽v(1 +1 г] Г'1 °1 (1 十品)7-
Поскольку производные от сХп по хп — того же вида, С является С°°-функцией от всей совокупности переменных и
I 加/触С (//, Т), Х“)Н Са0V/ (1 + I n 1)1 a I (1 + x“)T.
Следовательно, функция 6(x, *)= С(л/, 1, g, хп) принадлежит Sf・ Утверждаемое асимптотическое разложение сразу следует из той же теоремы 18.1.7, ибо % = 1 в некоторой окрестности точки 1. В случае а е 57°°» используя первый вариант формулы (18.3.16) и принимая §л ——口〃 в качестве новой переменной интегрирования, получаем
\ь(х,Е)央％ =阿一
Х&(х' —д', х„(1 —0, ^ — n". (1 —О%)%" —^dy'dri，
Правая часть может быть отлична от нуля, только если Af-i《1 — Е《М, т. е. —1 — М&Е《1— М〕В случае произвольного awS^ приходим к тому же заключению, выбирая последовательность a； е S+°°, сходящуюся к а в S++l. Таким образом, b w S窗 чем доказательство и завершено.
Замечание. В том что для b выполнено условие лакунарности, нет ничего удивительного, ведь действие % сводится к «срезанию» ядра оператора а (х, D) посредством множителя ^{xjy^.
Теорема 18.3.8. Для всякого a 巨 S% оператор, сопряженный к а (х, Q), равен Ь (х, D) для некоторого b м S抬{сопряженность d(x, D) м b (х, D) понимается в том смысле, что выполнено (18.3.15)). Если а удовлетворяет сильному условию лакунарности (18.3.5)" и функция х ^ Со° (0, оо) равна 1 на (1/2, 2), то 6 задается формулой (18.3.16) и допускает асимптотическое разложение (18.3.17).
Доказательство. В частном случае a 三 S^°° первое утверждение следует из теоремы 18.3.6, поскольку функция (х, //)ь-^ К(弘 ％) обладает теми же свойствами, что и К・ Поэтому в общем случае первое утверждение следует из второго и леммы 18.3.4. Пусть a^S霏 и выполнено (18.3.5)". Выберем последовательность a/w S工°°, сходящуюся к а в S翠и определим а® как в лемме 18.3.4. Функции а；р принадлежат 5м°° и удовлетворяют условию (18.3.5)/Л, и a/р —> ар в S7+l при /—> со. Пусть bi ^ Sm°° и 尻三 S% определены формулой (18.3.16) с а, заме-
ненным на а/р и ар соответственно. Тогда
(а/р(х, D)ut v) = (ut b^x, D)v｝f 以，uw 处н д/->6о в S吃 при jf 8. Поэтому, в силу теоремы I&3.5,(5Р (х, D) и, V)=(修瓦(х, О)叫 и, и w %
Поскольку разность а — ар е Sm°° удовлетворяет условию (18.3.5)", то мы имеем также
(伍(爲 D)~ap (х, Q))〃，u) = (〃，(5(居 Q)—加(居 D))v)t и, и 三夕, причем b —瓦三5兀°°・ Отсюда следует (18.3.15), чем и завершается доказательство.
Ввиду теоремы 18.3.5, й(х, D) осуществляет непрерывное отображение 夕(R*)-> 夕(R*), и то же верно в отношении его сопряженного b (х, D). Поэтому формула (18.3.15) с 〃巨夕’(R：) и 。三 9(R*) определяет непрерывное отображение
左(后Q)：力(R*)f歹(辭).
Если продолжить 〃三夕(R*) до 以()w 夕’(R±), положив 〃о равным и иа множестве R； и нулю вне этого множества, то d(xt D)u0 будет совпадать с функцией й(х, D)u, заданной формулой (18.3.1). В силу теоремы Хана—Банаха отображение ограничения ^z (R^) -> ^ (R^) сюръективно. Его ядром служит (18.3.18)?‘低工亦；)=｛以巨9'(可)；supp〃uOR；｝
=U我便工0辟)，
где
(18318)'% 頂，dR?) = ｛以三歹(炉)；金〃 =0｝.
Мы воспользовались здесь теоремой 2.3.5 и тем фактом, что все умеренные распределения — конечного порядка. Далее,
(х*а (х, D) и, и) = (м, b (х, D)冠и) = О,
uw灾(Ri), 〃三弘便工OR2);
действительно, в силу (18.3.7) функция 6 (х, D) х„У при х„ = О имеет нуль порядка 瓦 поэтому можно выделить из нее множитель Хп» который, будучи переброшен налево, аннулирует 以， Следовательно,
а(х, D)^^, OR?) и 気便工 @辟) для любого fe.
Таким образом, a(xt D) индуцирует отображение 9‘(R；)f 俨'(Ri), по-прежнему задаваемое формулой (18.3.15), только теперь с 〃三夕’(R；) и и 三歹(R；). Ограничение этого_отобра- жения на Со°(R+) определяет оператор a(xf D) на 力'(F*), ибо t?r(R；) плотно там.
В исчислении стандартных псевдодифференциальных операторов пренебрегают С°°-функциями» поскольку именно из таких функций состоят образы операторов порядка — оо. В исчислении тотально характеристических операторов приходится пренебрегать несколько более широким классом распределений» Теорема_18-3,9. Если а е 5м°° и 〃三 6'(R*), то а(х, D)u ^ /饱(A\dR*) для некоторого 々 u supp й(х, Z>)〃uRj
Доказательство. Согласно определению 18.2.6, доказываемое утверждение означает, что порядок распределений Da，(хпО^п •М(%, D)〃 ограничен числом» не зависящим от а. Но для dr9(R：) справедливо равенство
3。'的，)%々(爲 D)«,。)=(",6的 £>)£>"(a/)%)
= (〃，5a(X, D)V), где
尻(х, W)=評& 一»一疋创央")"外招W)三S7广.
Это равенство достаточно проверить для случая оператора В (х, О) Dnxn = b (х, О) xnDn — ib (х, D), в каковом оно следует из (18.3.1), поскольку преобразованием Фурье от xnDnv служит
D^nS и
跣&" (е“爲 ° *(% Ю)=川爲 &%為(6 (х, Е)—而向(х, *))・
Поэтому из теоремы 18.3.5 вытекает, что для подходящих у, у「 не зависящих от а,
|(" (xnD^ а (х, О) 〃, и)|《С sup £| %如北(%, D)少[
Rrt I P+Y I <Ц
《CqSUP e |%00Y人
R[ I 6+y I < W
Мы использовали здесь следующую лемму:
Лемма 18.3.10. Фактортопология пространства 9(R*) задается полунормами
歹(RX)三 и — sup I x^D^v |・
Доказательство. To что эти функции суть непрерывные полунормы в 9(R*)，очевидно, ибо они непрерывны в g(R办)и постоянны на каждом классе эквивалентности. Обратно, пусть q ——непрерывная полунорма в 夕(R：). Тогда q будет и непрерывной полунормой в g(R"), так что
0(и)《С Е SUPl 仆。％ I,
причем д(ь)=0, если о = 0 в R*. Положим теперь для V s^(Rn)
「3при / >0,
о(х)= IX(x„) £ 专(М 0)弘〃I прн хя<0,
где %еCJ° и %=1 иа (—1,1). Выберем, далее, функцию
£ sup I xaD^v I, а+е У 2* Rn£ sup I xaD^v I, а+е У 2* RnФ е С*(R1) с ^ q)dx= 1, и пусть 恥(％) = ф(х/е)Lt Тогда 5 ♦(ре е ^, о *(ре = б ♦ фе в R； и V ♦ фе —> V в 9 при е —> 0. Следовательно,
£ sup I xaD^v I, а+е У 2* Rn
£ sup I xaD^v I, а+е У 2* Rn
q(V)= lim g (и *(ре) = lim ? (5 ♦(ре) ^ (/ е->0е->0
чем доказательство и закончено. (Используя метод доказательства теоремы 2.3.5, можно было бы> конечно, заменить здесь 2А на А.)
Напомним, что для фигурирующих в теореме 18.3.9 распределений 5(х, D)u волновой фронт содержится в конормальном расслоении к границе. Во многих ситуациях такие особенности можно по разным причинам исключить. Однако мы подождем с обсуждением этого и других относящихся сюда, вопросов, пока не завершим построение оставшихся разделов исчисления тотально характеристических операторов (формула произведения, инвариантность относительно замен переменных).
Теорема 18.3.11. Если 勿已5黑 /= 1, 2, то а( (х, D\ 出(х, D)= 6 (х, D), где b^S隽+侬 задается формулой
6(х, Е)= 1〈小'°位®а, П)О2(/> хпуп, g\ &“拆儿“』пт
~е а(1а)(х,自)或仍:%2(/, sXa,匕 s?„)/a! is-r
Доказательство, Предположим сперва, что а｛曰 Sm°° и a2 d g)==0 при больших I х |. Тогда для и е S^(Rn) преобразованием Фурье распределения &(%, D) ti w & будет
П — (2п)-л，球 w・ 1> й2 (у, Е) A ^)dy 珞
В случае символов а порядка 一 оо формула (18.3.1) остается по соображениям непрерывности справедливой при rrt > 0 и для 〃三窖'(R；), ибо функция gf б' " *% (招 Е) принадлежит тогда 夕 при фиксированном х и является С°°-фуикцией от х со значениями в 夕.Поэтому имеем, как и в доказательстве теоремы 18.1.8, что 6】(％, D)a2(xt D) и = В (х, D)u при хп > 0, где
5 (х, Е) = (2“)-" \ е~( "f &F> & (х J)& (弘 W) dy dn,
е. (заменяем &“ на ^/今，％ на ^Jx^ уп на хпуп)
(х, ^) = (2л)-п ,卜T37'Nfi(i")%f)
X 口1 (尤，И)^2(У » ХцУп, Е ,鼠^忆)dy di)”
Покажем теперь, что для произвольных m】，т2 формула (18.3.20)' определяет непрерывное билинейное отображение S望 X S 藍三(aj, a^^b ^ S^m\ Тогда уже нетрудно будет убедиться, что b (х, D) ~ ^! (х, D) 32 (х> ^) н в общем случае, без сделанных выше упрощающих предположений.
Выберем х^ Со0(R+)> как в лемме 18.3.7. Чтобы получить (18.3.20)' со срезающей функцией %(yQ, включенной в подынтегральное выражение, положим
Zg(/A 哨=a1(居 叫出(匕 xnyni r W^Rx(yJ
при любом V функции (协 п)1*(1+位|厂饱(1+/)”&g匂，叫 имеют равномерно ограниченные полунормы в 5叫 Действительно, на носителе любой из этих функций значения уп заключены между фиксированными положительными числами, всякое дифференцирование по д$ приводящее к появлению мно-
жителя gq, сопровождается уменьшением порядка символа о2, и 同|/(1+|F| + |g吆 j) W 1力勿|・ Поэтому на основании теоремы 18.1.7 мы заключаем, что определена функция
九(X, О =浦〈％■ %〉f*.式弘叽М D. пт
И что .
卩 1(X, У -昌〈5, D^^ (х, п)а2 (/, упхп,匕 ^Уп)^^ I), "\ I
《％v( 1 +今尸(1 + ®严+х“・
Отсюда вытекает, ввиду предложения 18.1.4» что Ь\ принадлежит S尸侬 н имеет указанное в формулировке теоремы асим^ птотическое разложение.
Положим теперь
4 (х, д) = (2л)-л(1-х(1 一弘))\ е«，& а«,目恋.
Поскольку *(1 —Уп)=1 вблизи нуля, рассуждение, использованное при выводе оценки (18.3.11), дает
(18.3.11 У I D^At (х, у) I & Саем (1+|г/ |厂"(1 + xj"
ДЛЯ любого N； постоянные CаЗ^ суть полунормы символа Q] в S^i. Так как А{ (х, //) = 0 при уп > 1 в силу условия лакунарности, то, используя формулу Тейлора, мы убеждаемся, что справедлива также оценка
(18.3.11)"
I。步纟4 (х, y)\\yn-i\~N< &附(1 +1 g IL" (1 + /)-"•
Далее, b = b{ + b2t где
62(X, В = \ еТ Л ST(F)% g а, у, g) %,
g (尤,Ут g) === 4 (居尤' У , 1 — Уп)。2(У，^пУп9 W，^n//n)*
Замечая вновь, что дифференцирования по у& дающие множитель 三小 сопровождаются понижением порядка аг» получаем
I。力2次(%, У，Ю|< CaBvN (1 + I * — у I + &)-" (1+16 严 Т V L
ввиду (18.3*11)" и того факта, что 1 +1 ^ 1 +1 ^rt |>|//п 1(1 + |^ |)/(1 + \уп [). Поскольку ДЛЯ ВСЯКОГО В
6^2 (х, W) =，е-"Н а (一“) j(_ £>/6 g у у, ^) dy,
отсюда сразу следует, что 62 s S+°°-
Итак, мы доказали, что в случае, когда aqS/*,做曰5證 и &(%, Е) = 0 при больших | х |, справедливо равенство 〃i(%, D) а2 (х, D)u = b (х, D) и в R* для 〃三 9, где b w S工" задается формулой (18.3.20). Поскольку левая часть этого равенства равна нулю, если 〃 = 0 в R，то b 三 S途. В случае когда & не равно нулю при больших | х |, положим a2V (%,&) = =%(尤/^)。2(%, W), где функция %wC/ равна 1 вблизи нуля. Тогда ах (х, D) й^ (^, D) = bv (х, D), где 九三 SJ^0 и bv^b в S7°° при v-> оо в силу доказанного выше, причем все 6V, а зна： чит, и 6 задаются формулой (18.3.20)'. Следовательно, Ь S^ и Й1 (х, D) а2(х> D) = b (х, D). Наконец, ограничение ^] = — оо снимается точно так же, как в доказательстве теоремы 18.3.8.
Модифицируя доказательство теоремы 18.1.11, нетрудно получить А2.Оценки для тотально характеристических операторов. Теорема 18.3J2. Если awS%, то а (х, D) — непрерывный оператор в L2 (₽+)•
Доказательство. В случае a s 5^л-2 ядро К оператора й (xtD) удовлетворяет оценке (18.3.14) и утверждаемая непрерывность следует из леммы 18.1.12. Для а е STa имеем
М (х, D) 〃 ||2 = (5 (х, D)a (х, О)以,и) = (с (х, Q)以,и), 〃三 g,
где Ь (х, D) — сопряженный к a(xt D) и с ^ S^k- Значит, если уже известно, что оператор с (х, D) непрерывен, то же верно и для оператора d (х, D), поэтому утверждение теоремы выполняется для всех а 曰 S〃* при А ^ — (п + 2)/2, а следова* тельно, при ^ =С — (л + 2)/4 и т. д. Доказательство завершается теперь взятием приближенного квадратного корня, удовле* творяющего условию лакунарности, точно так же, как в доказательстве теоремы 18.1.11. (Заметим, что(Д42 — | а |2)1/2 — Д4 е 財,если а е S+ и sup| а | V Л1 三 R.) Повторить это рассуждение предоставляется читателю в качестве упражнения.
Поскольку а (х, D) приближенно коммутирует с дифферент циальными операторами, теорему 18.3.12 можно распространить на пространства 77(s):
Теорема 18.3.13. Если а三S%, то для любого swR оператор й(х, D) непрерывен в 方⑻(R*) и в 7/(s)(R+)-
Доказательство. В случае s = 0 это просто теорема 18.3.12» Для 〃三夕(R〃)имеем по теореме 18.3.5
0拉(х, D)u=a (х, D) D/и — ibina{n)(x, D) Dnu —历⑺(％, D) и..
Если s — неотрицательное целое число, для которого теорема уже доказана, то для 〃三⑦(R+)
II &(X, D) “ 1%+D = I! й (x, D)« 隔 + £ lDfa (x, D)« 鳥
《cQ “係)+ * Ц 加 %)=cii " 脸+1).
Но 夕乐】)плотно в 方(s+i)(R*) по теореме В.2.1. Тем самым доказана непрерывность нашего оператора в 儿+»(R；). Используя (В.2.2), _точно таким же способом убеждаемся в его непрерывности в 7/(s+i)(R+). В силу теоремы 18.3.8, для каждого s сопряженным к оператору а(х, D) в H(s)(R+) будет оператор b(xtD) в Zf(-S)(R；), отвечающий некоторому b w S?fl- Поэтому по двойственности мы получаем непрерывность и при отрицательных s. Доказательство завершается следующим интерполяционным рассуждением (близким к доказательству следствия В.1.6), которое устанавливает непрерывность нашего оператора в H(s^}(R+) для |s|^ 1/2 и целых А.
Выберем функцию 屮 а С『(R+), для которой 0 位)=1 + О(| &F) при &-> 0・ Это можно сделать, взяв какую-либо функцию Ф е С* (₽+)> для которой а (0)=1, и положив 屮= 2qp — ф ♦ ф( ибо тогда Q = 1 — (1 — ф)2. Вводя фе(х) = е~"屮(尤/% имеем при |§[《1/2
，II ^е * tt ll^+l)B1-2s 血 + 卜| 〃 一也*〃 喉T)广”窃血《С||« 膽+励 оо
для и^^. Действительно, эта оценка равносильна двум элементарным неравенствам
\ I + (啕fё J 2s血工 e (1 + I自f广* о
\ I 1 一 ® (啕产 £-3毋 de<c(l+|6 什+L о
При IE|V1 оба они очевидны, поскольку величина | 1 — 0(啕『e-3f тогда ограничена, а при | В I > 1 они получаются, если заменить е на e/|g[ и сделать верхний предел интегрирования равным + оо. Положим
% == а (х, D)(也 * 〃)， g = а (х, D) (« — *фе ♦ «)<
Тогда ввиду непрерывности нашего оператора в H^k ± i)(R+)
\ (II。驱+产出血+ И叫忆产-3i)血忘а II "眩+粉， О
т. е.
(2/“ «(I 亀(9『(扌 + I 或『戶』I 叽(Ю I2(e2 + I eg |2)ft-') 0
Хг-^+^ dld^^C^U^ky
Полагая U = a(xt D)u, имеем 0 = бе-^ wet а значит,
1&(ЮР<С2(| бе 代)I2 (戒 + I eg Г 户」I 叽(Ю I2 (e2 + |^(2)ft"')>
если 1 < 2е(1 +1^1) < 2. Так как
，£-'-2^)de>C3(l+|g|2)s+\
1<28(1 + Ц|)<2-
получаем требуемую оценку || U ||^+*)^ С41| u fe+fe). Доказательство завершено.
Аналогичное интерполяционное рассуждение применимо и к пространствам Бесова; ограничимся случаем, представляющим для нас интерес:
Теорема 18.3.14. Если awS%, то для всякого s оператор а (%, D) непрерывен в ^Н^(R；)・
Доказательство. Покажем сначала, что для и е °°//(s+fe)(R+) н Is К 1/2, 0<е< 1
Не*« 喩+1) 2212s + [J 〃 一也* 〃 喩 7)£—2Ts < C °°|! U 唸十冷・
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что
£ sup(I ® (啕 I2 (呎)2 f +11-Ф (啕『(eR/)Tf) < 8； / xi
здесь использовано обозначение (В.1.2). Все члены, для которых выполнено условие eR『 V 1, оцениваются величиной (&R『)2-2s, поскольку При ЭТОМ условии I 1 —® (會)|2 W C|gg|4, а члены с gRj > 1 оцениваются величиной (e,Rj)~2~2st так как в этом случае | ^(е^) | ^ С/|е^|2. Но сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем W1/2 не превосходит удвоенного наибольшего ее члена, чем и доказано сделанное
выше утверждение. Далее, используя обозначения из доказательства теоремы 18.3.13, получаем
е2-& II % 唸+D + &7f II g 喩 7 忘 С 81|“ 腺+3), т. е.・
8-2…\(Ia⑹产(経+應『户口I也售)|2 (С2 + I或f)1)我
WC8||“^+s).
Сузив область интегрирования до Х『и взяв е = 1//?；, приходим к оценке
r产 0 i&a)N^^crwu^y
Доказательство завершено.
Теорему 18.3.14 можно применить к пространствам /Л из определения 18,2.6:
Следствие 18.3.15. Если a^S^ и “q/"(R",床*)f]#(Rj), то а (х, D)u^lk(R", @辟)П 力'(R；)-
Доказательство, Нам надо показать, что Р(х, D)a(xt £>) 〃三 8〃鴻一/4), если PeDiffb1'(R+). Выберем четное целое М > m + m! и положим Q(^) ==| ^ |м. Используя теорему 18.3.11 и рассуждения из доказательства теоремы 18.1.9, можно убе* диться» что
Р (х, D) а (%, D)J (%, D) Q (х, D) + G (%, D)
для некоторых 尸,G w 5?а, при условии что коэффициенты оператора Р имеют компактные носители. Поскольку Q(x, D) и и и по предположению принадлежатнаше утвержде
ние следует теперь из теоремы 18.3.14.
Позже мы воспользуемся дуальной версией следствия 18.3.15, чтобы установить непрерывность оператора й(х, D) в другом пространстве, появляющемся при изучении граничных задач (см, предложение 18.3.23).
Все операторы порядка —8 не могут отображать »(§)в H(s^ ни при каком s' > s. В самом деле, рассмотрим
(а (%, D) ие, %)= V К (х, у) %(У)% (*) dx dy
с %®) = ет/2“(у, уп/^,% (х) = еТ/2。(%', хя/е) и подходящими
u, V е Со°. Полагая е ->0, легко убеждаемся, что если а(х, D)
непрерывно отображает 方⑴ в 方《)и s' > s, то функция 戶 из теоремы 18.3.6 должна обращаться в нуль при f = 0. Однако операторы положительного порядка 《съедают》не больше производных, чем в случае стандартных псевдодифференциальных операторов:
Теорема 18.3.16. Если awS霏 u m^O, то оператор й(х, D) непрерывно отображает Я(5)(R+) в Я(5-т)(R+), « Я(5((R+) — в H(s^m)(R+) при любом s w R.
Доказательство. Второе утверждение вытекает из первого по двойственности. При доказательстве первого предположим сперва, что m — положительное целое и что утверждение уже установлено для меньших значений т. Символ а можно записать в виде
a(/ е)= ? %/(尤飞)+ 的a，g)
с a/wS*~L Действительно, полагая
切(Х, Е)=济(х, §)/(1 +1 自『)，/#=0,瓦(х, s = а (尤」)/(1 +1E I2), имеем а(х, E)= E 財好(尤，E) + 瓦(％, W), и можно взять
nn
@/ = (6『％, /* 0, % =瓦+ ?畠(％ —4)= а— ?3/
(в обозначениях леммы 18.3.4). Поскольку
а(х, D)u = ^ а,(х, D)Dfu + хпап(х, D)Dnu + й0(х, D)и, из предположения индукции следует, что а обладает утверждаемым свойством непрерывности. Кроме того, (a, u)i—>d(x, D)u есть непрерывное отображение из SJJX 方⑻(R】)в ЛГ(в-т)(₽+)*
В общем случае воспользуемся интерполяционным рассуждением, сходным с примененным при доказательстве теоремы 7.1.12. Положим
邑(х, ^) = а(х, ^)(1 + 1^ F产f 吟 4 = (&)р + а — ％・ Ясно, что Аг аналитично по z, Ат = а и Az wS需”；полунормы функций Аг оцениваются некоторой степенью величины l+|z|, при условии что вещественная часть г ограничена. Из первой части доказательства следует, что если М — целое число >гп, то при Цег — 0 или М мы имеем для некоторых Cs и ц
I(4 (х, С) “,(1 + ID『)一气)I &Cs (1 +1 z |)刁 “ Iks) II ◎ Up«e^(R；), ©w 夕(R")・
При OWRezWM Справедлива более слабая оценка с ||w||(s), замененным на |)а|)(5+м), поскольку функции Аг принадлежат S方 и их полунормы оцениваются некоторой степенью величины 1 + |z|. Так как 1 + |г| ^ |2z + 2| при Re г ^ 0, то в силу теоремы Фрагмена ——Линделёфа при О V Rez V М мы имеем для тех же « и и
I(4(х, D)u, (1+|D『尸气)丨忘CsI 2z + 2 厂И“hII" Wf
Это означает, что
14(X, D) « ks-Re z) W Cs I 2Z + 2 % “ ||(s), “至歹(R*)・
Беря z = m, получаем первое утверждение теоремы для /п > О, а значит, и второе для m V О. Доказательство завершается применением рассуждения, использованного в его начале.
Чтобы рассмотреть вопрос об инвариантности относительно замен переменных, продолжим изучение ядра К оператора 3(х, D) , начатое теоремой 18.3.6, предполагая теперь лишь, что a wS?J・ Обратное преобразование Фурье
Л (х, у) = (2冗厂“ \ е‘ 5 е 仪(х> 叫 W
будет тогда конормальным распределением из 6(R叫 {д = 0}) с главным символом а(х, q) |rfx|1/2|^|1/2 на нормальном расслоении {(%, О, О, п)} к плоскости у = 6. [Если уж быть совершенно точными, то следует заметить, что а, а следовательно, н Л определены только при х” 纟 0. Но это, очевидно, неважно, поскольку хп есть просто параметр, от которого Л зависит С°°-гладким образом. Вообще, данное в § 18.2 определение пространства /т(Х, У) можно распространить на случай, когда X — многообразие с краем и У — его подмногообразие, трансверсально пересекающее дХ; надо просто использовать вблизи границы локальные системы координат, в которых X задается, скажем, условием хп ^ 0, а У — условием Xi —...=尤在=0. Провести это несложное обобщение предоставим читателю.]* Ядро К оператора й(х, D) дается формулой (18.3.12):
К(X, у) = А (%, х' — /, (хл — Уп)/хп)/хп при х“ > 0.
В силу (18.3.1), это ядро К при xn ^ Q является непрерывной функцией от х со значениями в 夕',а при 尤n V 0 равно 0. Для того чтобы истолковать это, введем снова симметричные сингу* лярные координаты (18.3.8). Поскольку D (厶 г)/D (хп, уп) =—1/f, то, преобразуя К как полуплотность, получаем К (х, 6 "2 =月(/, У J, г), где
А(х\ у', /, г)
=л В, /(1+ 〃2), X — уг, 2г/(2 + г))(1 + 12『i.
Таким образом, f/2fe(xz, у', ^ г) есть С°°-фуикция при 0 < |г| < 2, / ^ 0. Все ее производные стремятся к 0 при |г|->2. Действительно, при『f——2 это следует из того, что для 1yzi|, отграниченных от 0, справедлива оценка (18.3.11), а при г^2 ——из той же оценки (18.3.11) и того, что Л (х, ^) — 0 при у门 > 1 в силу условия лакунарности. Полагая А = 0 при |г| ^ 2, получаем ^k ^ Im(R+, А), где R+1 определено условием / >0, а
А =={(%', У, л "; / = у‘，尸=о, f》o};
в исходных координатах множеству Д отвечает диагональ. При соответствующей параметризации {(х\ К /, 0,『 一匕 0, р)} конормального расслоения к Д главным символом респределе- ния f"2论 будет
а(х，，/,匕 р) |d/ 产 I dt 产 I <|,/2|ф 产
В самом деле, tm( \ + r/2)x^k есть прообраз А как полуплотности при диффеоморфизме
£ У* /, г)—(炉，f (1 + 〃2),炉一/, 2r/(2 + г)).
При г = 0 дифференциал этого диффеоморфизма равен
(d/, dy\ df, dr)i—>(dx\ dt + / dr/2, dx‘一 dy', dr).
Сопряженное к нему отображение переводит элемент (х, 0, 0, Е) нормального расслоения к R“X{0} в элемент (х\ х\ хп, 0; У,—『,0,蟲). Для и е С~ подстановка уп = sxn дает (ниже все интегралы представляют действие соответствующего распределения)
j К (х, y)u(y)dy=^k (*', /, х„(1 + s)/2, 2(1 — s)/(s + 1))
X((l+ s)/2)T2 „(% S&)xk dy' ds.
Если обозначить через Ао предел 夕兄论 при /->0, то при хп->0 последнее выражение стремится к
Н 6。(/, /, 2(1-s)/(s + 1))(2/(1 + s))«(匕 0)dy'ds.
Обратно, если нам дано распределение 产々三/“ (隣，Д)с компактным носителем, равное нулю при |尸|>2, то можно, обращая проведенное выше рассуждение, положить при 厶》0
(18321)' А(х, у) = Е“‘，/ — У, xrt(2-yrt)/2( 2у"(2 — ％))
ХхГ(1-%/2)-叱
Это распределение равно нулю при уп > 1, быстро убывает при yf оо н конормально к плоскости у = 0. 6т А мы возвращаемся к а е SK по формуле
а(х,叫=\ 4(%, У)е-'&п"у.
Таким образом, можно отождествить операторы й(х, D), отвечающие символам a w S北,с конормальными распределениями из /m(R+, Д), по крайней мере в случае, когда ядра этих операторов имеют компактные носители. Тем самым мы еще раз установили (локально) инвариантность класса таких операторов относительно перехода к сопряженным (теорема 18.3.8). Инвариантность относительно преобразований координат будет установлена, когда мы выясним инвариантный смысл новых координат (1838). '
По любым заданным С°°-многообразию X и его С^-подмно- гообразию У можно построить новое многообразие X—раздутие X вдоль У. Оно определяется как объединение разности X\Y и проективного нормального расслоения к У, т. е. нормального расслоения (7(X) | ?\Т(У))，Т(У), профакторизованного по умножению на ненулевые вещественные числа. Если fug — функции класса С°° на X, равные нулю на У, то частное f/g корректно определено на множестве
{xwX, g(x)=#0}U{fw£\X, 6 dg〉=#0}
(на втором из объединяемых множеств ——как соответствующий предел). Объявим такие множества открытыми, а частные f/g — функциями класса С°° на них. Вместе с С*-функциями на X, поднятыми на X, эти частные определяют С°°-структуру на X. Чтобы убедиться в этом, выберем в X локальные координаты х = (хь ..., хп), в которых У задается условием %'=(jq, ... .・.,xQ = 0. Тогда X можно отождествить с произведением R X S^-i X Rn-ft, профакторизованным по отношению эквивалентности, при котором точка (/, ш, ^) отождествляется с точкой
г(/, %") = (——％ — <о, %")•
Заметим, что на X определена проекция л: (f, со,尤")—>(心,х") 三 X, поскольку ni = л. Если функции 力 g принадлежат С°°(Х) и обе равны нулю на У, то
(f/g) (0, 3, X") =〈％，(О, X"), 3〉/〈八(О, X"), 3〉，
когда знаменатель отличен от нуля, и в этом случае g(fs, У) =# 0 при малых ненулевых |/|. Следовательно, частное f/g опре-*
делено и принадлежит классу С°° на некотором открытом подмножестве произведения R X S囱一】X R"* и четно относительно инволюции 厶 Там, где, скажем, з^ =# 0, все такие функции суть С°°-функции от Sj/s用(/<&), х* = /со* и х*+ь ..., хп, так что мы в самом деле получаем С°°-структуру. Конечно, понятие раздутия можно было бы определить и с помощью этих полярных координат, но тогда пришлось бы доказывать независимость определения от выбора координат.
Если X и У ——два многообразия с краем, то многообразие с углом XX У можно раздуть вдоль углового многообразия бХХОУ, имеющего коразмерность два. Без всякого вкладывания X н У в открытые многообразия мы получим тогда растянутое произведение X 又 У, представляющее собой объединение разности XX У\(5ХХ^^) и проективного внутреннего нормального расслоения к дХ X dY в ХХ У, определяемого как
((Тм (X) / + T^lYj^XTidXX dY))/T(dX X dY)
по модулю умножения на положительные вещественные числа. Выберем локальные координаты на многообразиях X н У, в которых эти многообразия задаются соответственно условиями xrt 0 и ут 0. Тогда X 又 У наделяется локальными координатами (V, /, f"), t》0, —2 W г & 2, причем проекция на XX У задается правилом
(m У* f, r) - (к г(1+〃2), /, /(1 -〃2)).
Таким образом, С°°-структура на X 又 У, определяемая этими координатами, не зависит от выбора координат, и эта конструкция согласована с использовавшимися нами ранее сингулярными координатами (см. рис. 2).
В частном случае X = У замыкание в X 又 X диагонали в (Х\0Х) X (Х\0Х) представляет собой С°°-многообразие ХиХ又X, не имеющее общих точек с углами растянутого произведения X 义 Х〔) и трансверсально пересекающееся с его границей. Действительно, в наших локальных координатах А задается условиями ^ = yf и г = 0. Ограничение на А естественного С°°-отображения X又 Xf Х*Х является диффеоморфизмом на диагональ Д в XXX. Напомним теперь, что нормальное и конормальное расслоения к А в XXX естественно изоморфны расслоениям Г(X) и Г*(Х), поднятым на А при помощи проекции на один из сомножителей. Более точно, кока- сательный вектор у w Г*о (X) отвечает вектору 冗；丫 — л：у 三
То есть точками, отвечающими в локальные координатах |г| == 2.— Прим, перев.
NXq Хо(Л), где я, и 冗2 一 проекции на сомножители, и если и — касательный вектор к XXX в точке (х0, х0),то nj#и — л2#о есть касательный вектор из ТХо(X), зависящий лишь от класса вычетов вектора о по модулю 7\储痂(厶). Далее, естественное С°°-отображение X又 Xf X* X определяет отображения
<18.3.23) Т(Х 又 X)f Т(ХХХ), T*(XXX)kf Т*(Х 又 X)|q
Пусть 7(Х) и f*(X) — двойственные друг другу векторные расслоения, получающиеся поднятием на X нормального и конор- мального расслоений к X в X 又X при помощи отображения, ■обратного к проекции Д-> X, которое является диффеоморфизмом как композиция двух диффеоморфизмов Д-> Д -^* х. Имеются естественные отображения
<18.3.24)Т(Х)-^Т(Х), Г(Х)->7^(Х).
Первое из них 一 это композиция
實X) -> 7 (X 又 X) h/r (Д) f 7 (X 义 X)/T (A) -> Т (X)
трех отображений, при построении которых в свою очередь используются определение расслоения 7, первое из отображений (18.3.23) и проведенное выше рассмотрение нормального расслоения к А. Аналогично» второе — это композиция
Т*(Х)-> N(A)f N(A)f 户(X),
где среднее отображение порождается вторым из отображений (18.3.23). В наших локальных координатах кокасательный вектор <g, dx> в точке %wX отвечает вектору〈自，dx — dy} в точке (%, x)wX><X и переходит в вектор <^, dxz — dyz>+ t^ndr. Таким образом, мы имеем в локальных координатах отображение
Г (X) m (х, &) — (К к х“，0,匕-匕 О, X為)еУ(Д)^ T*W-
Каждый элемент из нормального расслоения к А в точке (л/, х\ %п, 0) единственным образом представим в виде
W Vfd/dXf + v^ldr.
По соображениям двойственности первое из отображений (18.3.24) переводит его в вектор
п—1
W Vjd/dXf + xnvnd/dxn w Т (X).
На основании леммы 18.2.5 мы заключаем, что это отображение f (Х)->Т(Х) переводит сечения расслоения 7(Х) в векторные поля, касательные к дХ, Круг замкнулся. Именно от таких векторных полей мы отправлялись в начале параграфа, строя интересующую нас алгебру псевдодифференциальных операторов.
Подытожим проведенное выше обсуждение следующим определением:
Определение 18.3.17. Пусть X — произвольное С°°-многообразие с краем.
Растянутое произведение XXX — это С°°-многообразие с углом, получаемое из Х><Х заменой углового многообразия ОХХОХ на проективное внутреннее нормальное расслоение к нему. Имеется естественное С°°-отображение X 又 Х->X X X.
Диагональ А в XXX является диффеоморфным образом некоторого подмногообразия Д в X 又 X, пересекающего лишь новую часть границы растянутого произведения, и притом трансверсально.
Сжатое кокасательное расслоение Г* (X)—это прообраз конормального расслоения к А в X 又X при отображении, обратном к (являющейся диффеоморфизмом) проекции множества Д на X. Имеется естественное отображение Г*(Х)т Г*(Х), линейно отображающее Т：(Х) в 彳：(Х), причем для х е Х\дХ это отображение слоев биективно, а для х w дХ его ядром служит Nx(dX), а образом ——некоторая гиперплоскость. Поэтому этот образ можно отождествить с Г： (X)/此(ОХ)工 Т； (ОХ), так что Т*(дХ) становится подрасслоением в Т*(Х) \ дХ. Сечения двойственного расслоения Т(X) переходят при сопряженном отображении T(X)f Т(Х) в векторные поля, касательные к дХ.
Поднятие симплектической формы в Г* (X) (см. (6.4.8)) на Т*(Х), а тем самым на конормальное расслоение к А в X又 X будет симплектической формой с особенностью на дХ. Во введенных выше локальных координатах она запишется как
? % A dxi + Г1 dp л 山.
Таким образом, полуплотность | dg 产| dxf |I/2Z~1/2| dp |1/2| dt |1/2 является инвариантно определенной. Главный символ распределения 財 равный произведению (18.3.22) на 广以2, можно поэтому инвариантным образом отождествить с функцией а на N (Д) \ 0, т. е. на сжатом кокасательном расслоении Г* (X) с выброшенным нулевым сечением.
Теперь мы располагаем всем, что необходимо для построения глобального исчисления:
Определение 18.3.18. Пусть X — произвольное С°°-многообразие с краем. Пространство 4f夕(X; Q1/2, Q”？) тотально характеристических псевдодифференциальных операторов А порядка т на полуплотностях в X — это множество всех непрерывных линейных отображений Со°(X, Q”?) -> С°°(X, Q”?)， у которых ядро Шварца К получается как прямой образ некоторой обобщенной полуплотности k на растянутом произведении X 又 X, удовлетворяющей условию 班"2 已厂(X 又 X, А) и имеющей на О(Х><Х) \ (дХ\ дХ) нуль бесконечного порядка. Здесь f ——некоторая С°°-функция наХ 又 X, положительная на X X А"\ (дХ X дХ), а на dXXOX имеющая простой нуль.
Указанный выше прямой образ полуплотности k определяется так: если f: X 又 Х—>Х><Х — естественное С°°-отображение и ф ——полуплотность с компактным носителем в XXX, то /*ф будет полуплотностью с компактным носителем в X 又 X, и потому уравнение
(J8.3.26)КСрКПр)
задает обобщенную полуплотность К в XXX.
Локально оператор А можно определить формулой (18.3.1), Как мы только что видели, это приводит к изоморфизму главного символа
(X; Q叱砂2)/屮尸(X; Q1/2, 8〃)
三 S'" @* (X))W (X》,
где 尸(X)——сжатое кокасательное расслоение на X. Сопряженный к оператору из 4rL снова принадлежит Ф^, и его главный символ получается из главного символа исходного оператора комплексным сопряжением. Если операторы Я 已 4r『и 8 三 V^ — собственные, то и оператор АВ е цг^гп является собственным и его главный символ равен произведению главных символов операторов Л и В; изоморфизм (18.3.27) сохраняет силу и в случае, когда в левой части берутся лишь собственные операторы. Все эти основные факты исчисления тотально характеристических операторов, равно как и их обобщения на случай векторных расслоений, выводятся точно так же, как и в § 18.1. Надо просто заменить, например, теоремы 18.1.6—18.1.8 и 18.1.17 теоремами 18.3.5, 18.3.8, 18.3.11 и установленным выше утверждением о связи с конормальными распределениями на
X 义 X. Мы доказали также, что все операторы из ^ь* непрерывно отображают 方(^师侬)в »^т)(Х) при т^О.
Все пространстваZf^rap(X),妙(X),费(X), С*(Х), ... определяются без привлечения какого-либо расширения многообразия с краем X до открытого многообразия. То же относится и к подпространству в 勿(X)
《18.3.28)"(叫灯=尸侬，0Х)и^У(Х)
всех распределений, попадающих в 00方;^-削仇 n = dimX, под действием любого тотально характеристического дифференциального оператора. (Мы молчаливо допускаем и распределения со значениями в векторных расслоениях, но, чтобы не утяжелять обозначения, не отражаем этого в записи в тех случаях, когда это ие так существенно.) По теореме 18.3.9 всякий оператор из yU отображает ^(Х) в
以(х)= U(X),
а согласно следствию 18.3.15, любой оператор из 屮『= U 4r2 отображает 以唯р(Х) в 成(m)(X). В этом смысле 以(X) ведет себя по отношению к тотально характеристическим операторам аналогично тому, как ведет себя С°°(Х) по отношению к стандартным псевдодифференциальным операторам в случае открытого многообразия X. Поэтому естественно ожидать, что пространство, двойственное к 以，окажется полезным пространством распределений. Мы введем его после следующей подготовительной леммы:
Лемма 18.3.19. Существуют линейные сглаживающие операторы Q:步(Х)—><^8(х), такие что Q&UfU в 以⑺ при е—>0 для любого 〃 已 以恤‘)с mz < m. Для зсякого компакта К и X существует другой компакт К'иХ, такой что suppQeucz если supp〃uK и 0 < е < 1.
Доказательство. С помощью разбиения единицы дело сводится к случаю X = R+，Выберем функцию х е Со*(R+) с % (0) = 1 и положим Qeu = %е * и, Хе (&) = %(е&). Для так определенных операторов Q& утверждение о носителях очевидно. Беря %(%) =屮(％')*(&), где 尤'=(尤1, •••,尤“J, находим, что если
«= \a(xr, En)e""Sn%,
тотоQe«=(ae« 歸 е”禺％, где
то
то
ае (м а)=4 (吐")卜(*' - W,氤)中(/) W.
Если awS" и ц > ц\ то, ввиду предложения 18.1.2, %та в S" при в—>0.
Определение 18.3.20. Через У(Х) обозначается множество всех и^ЗУ(X), таких что для каждого компакта КиХ и каждого /п> —(〃 + 2)/4 форма С* (Ю ф w (ф) непрерывна в топологии пространства 加(叫,определенного формулой (18.3.28).
Напомним (см. сказанное после определения 18.2.13), что СГ(X)и工⑺ при т^ — (п + 2)/4, чем и объясняется появление этого условия в определении. Поскольку вложение 以(加) _>^(m)непрерывно при " V 加，фигурирующее в определении условие непрерывности становится с ростом т все сильнее и отображение <р н-> 〃 (ф) непрерывно в топологии пространства 加(加) для каждого т, если ограничиться функциями Ф е Со* (/С Г1 Х°), где Х°=Х \ ОХ—внутренность многообразия X* В силу леммы 18.3.19, по ограничению распределения 〃 на Со°(Х°) однозначно определяется его продолжение на 以加)f)此 В частности, отображение ограничения
*’(X)三江 -" к。三方(X。)
инъективно. Образ этого отображения и будет двойственным к 以 пространством, о чем стоит помнить в дальнейшем при проведении рассуждений по двойственности.
В качестве топологии в 直'мы будем использовать слабую- топологию, задаваемую полунормами и н->| и (qp) |, <ри 垓 f]&‘. Пространство 垓'содержит С°° (X), так как топология в 以(⑺ сильнее топологии в °°Н^т-п/^ и СГ (X) слабо плотно в У, ибо если Q)三点 f]每'，то 〃(屮)=0 для всех 〃三 СТ(Х) влечет q)= 0.
Предложеиие 18.3.21. Существует единственное непрерывное отображение ограничения 垓'(X)—> 勿'(GX), совпадающее на С°° (X) с обычным отображением ограничения.
Доказательство. Чтобы подчеркнуть инвариантный характер результата, рассмотрим распределения со значениями в век-
торном расслоении Е. Если 〃已 СГ(Х, Е), то
〈〃/, q)〉= 3, 丁屮〉，①巨 С/(ОХ, £@Q(dX)),
где Q ——расслоение плотностей и Тф = ф ® 6(хп); как обычно, хп — это локальная координата, обращающаяся в нуль на дХ. От выбора локальных. координат здесь ничего не зависит, так как 6(хп)——обобщенная плотность на R. Далее, отображение
c~ (dx, £ @ Q (6x))三① 一 Лp 已 以(2一初4(X, £ @ Q (X))
непрерывно, поэтому (18.3.29) задает слабо непрерывное отображение «ь-> и\дХ. Поскольку единственность очевидна, доказательство этим и завершено.
Операция дифференцирования непрерывно отображает 康询 в 以m+D. Отсюда следует, что пространство ограничений на Х° элементов из №' инвариантно относительно дифференцирований, н, таким образом, с помощью предложения 18.3.21 можно определить граничные значения произвольной производной от 〃. (Ввиду следствия 8.2.7 это означает, что, хотя пространство /，(Х) и содержит 格'(Х°), его элементы обладают определенными свойствами регулярности на N(dX).) Однако самого пространства №' операция дифференцирования не сохраняет, если только не вводить соответствующие граничные поправки, как мы это уже делали в теореме 3.1.9. Чтобы упростить формулировку приводимого ниже предложения, возьмем X = R；・
Предложение 18.3.22. Если 辽已加，(R*), то DjU + idJnu |х =0 0 д(хл) е ^(R+)； ограничение последнего распределения на R+ совпадает с результатом применения оператора Dj к ограничению распределения и.
Доказательство. При определении Djii распределение и рассматривается как элемент из ЗУ(R+):
{Dtu,(р> = — (и, £)兩，屮已 С： (₽+)•
Если ф0 — отвечающий 屮 элемент из 以，т. е. qp0 равняется 屮 при 尤口 ^0 и 0 при х„ < 0, то
О/Фо = (Оуф)о —浦/脚(•, 0)®6(xn).
Включение CT(R2)u<s^(g позволяет отождествить D^ с (乌屮％ Таким образом,-
{DjU, qp) = — (u, О；%) —i6/n<u,屮(・，0)@6(x»)〉.
Поскольку
〈“，ф(-, 0)® 6(¥“)〉=〈〃 l^n-o, <р(-, 0)) = (« 1гп=о®6(х„), <р〉 и отображение
^^^ (^э^^^ Dj^
непрерывно для всякого т и всякого компакта К, предложение доказано.
Предложение 18.3.23. Если В s 屮片(X) — собственный оператор 〃〃三加'(X), то и Ви ^ 加'(X).
Доказательство. Прежде всего, Ви 三 勿'(X). Если 屮已 Cf (К)， К 厘 X, то
(Виг ф)=(弘 B*qp)*
Здесь B*qp 巨 СГ (X) имеет носитель в некотором фиксированном компакте, и нужная непрерывность в si (т,-топологии вытекает из того факта, что отображение
冒‘ (К) П以g 三中 i 8*(p W 以g
непрерывно ввиду следствия 18.3.15.
Заметим, что формула (1837) обобщается теперь по непре* рывности на 〃巨以
Элементы из 直(X) гладки во внутренности многообразия X, а на его границе являются «касательно гладкими》, элементы же из 加'(X) обладают на дХ нормальными производными всех порядков. Это позволяет предположить справедливость следующего утверждения:
Предложение 18.3.24. Для любого С^-многообразия X с краем^(Х)П^*(Х) = С8(Х).
Доказательство. Очевидно, что С°° (X) и 加(X) П 或(R・ Чтобы установить обратное включение, достаточно показать, что если и^^(R+) П ^(R+) П ^ (ЙХ)> то 〃曰 Cr(R：)・ Поскольку 〃已成，то 〃三 С°°(R+). Из предложения 18.3.22 следует, что для всякого а найдется элемент 〃а‘*'，такой что Dau — ua имеет носитель в d₽X-
Выберем m так, чтобы " 已凶项 Тогда 0=*%!)a"巨凶6+*" т. е.
0$ (&〃)％ О 曰 °°方#-а「т-@4)и /? ДЛЯ ВСвХ 瓦
причем последнее включение выполняется, если ЛГ>а口+加+孔/4. Пусть %eC5°(R), O&y&l и х= 1 в некоторой окрестности нуля. Положим %е(х) = х(хп/е). Тогда
D^{xnD^^у% принадлежит некоторому ограниченному подмножеству в L2 и ”)при 0<е<1 и всех 0.
Действительно, [xnDnt %斗=讣 где Xi (0=^Х(0> поэтому можно <протащить» Xе влево, получив в результате сумму аналогичных членов с множителем %； слева, где %z(0 — {tD^xiPl^ а для них требуемая £2-оценка очевидна. Таким образом, семейство {1 — х8)у, 0 < е ^ 1, ограничено в 以(一闻汽 Поскольку % 曰 加'и /)а〃 = 〃а при х„ > 0, мы заключаем, что величина
(Dau, (1 — %8) о) = 5 10<1« I2 -^п (1 — Xе (%“)) dx ограничена при е->0, и, следовательно,
\ I £>% |2 Хп dx < оо при М > Q» + /п + %/4.
Напомним теперь неравенство Харди для функций V е C°°(R+), равных нулю на достаточном удалении от 0:
『luR/ZAd/W^^.，|и'|2 俨》+2力，N》0. оо
При его доказательстве можно предположить, что функция и гладка в 0, и проинтегрировать по частям. Это дает
|М『=_2(2ц + 1)т，Re vo^' diо
《2(2"+1尸产用产+%小
После сокращения приходим к неравенству Харди. Применяя это неравенство, получаем
,I。％12dx《4 , \Dan^u^x^dx<oo
для положительных целых v, таких что 2w > а；, + w + 加 + n/4, т. е. V > а„ + /п + м/4. Ввиду теоремы В.2^8 отсюда следует, что и== Ui -^ иъ где Ui — функция из Со° (R+), рассматриваемая как элемент пространства 垓 1 а “ 一 распределение, на носителе которого хп = 0. Таким образом,"三原】а значит»
5=0 в силу леммы 18.3.19, чем и завершается доказательство.
Для волнового фронта распределения на многообразии с краем мы можем теперь дать определение, параллельное характеризации волнового фронта для распределений на открытом многообразии, данной в теореме 18.1.27:
Определение 18.3.25. Для 〃三砂(X) определим 呼尸匕(〃) cz Г* (X) равенством
WFb(u)= Л Char В,
где пересечение берется по всем собственным операторам 吵(犬)，таким что 8〃 三以(Х)・
Здесь Char В и 尸(X)\0 — это множество всех точек (х, g) е f* (Х)\0, в которых необратим главный символ & оператора В (ср. с определением 18.1,25). Мы использовали пространство 加(X), а не С8(Х), поскольку именно оно ввиду теоремы 18.3.9 содержит те «остаточные» члены, которыми мы пренебрегаем в исчислении тотально характеристических псевдо- дифференциальных операторов. Так, из данного определения и теоремы 18.3.9 сразу следует, что WFb (Ли) с Г, если символ оператора 4 имеет порядок —8 вне замкнутого конического множества Г cz Г*(Х)\0. Однако, предположив больше относительно 〃，можно использовать и С°°(Х):
Предложение 18.3.26. Для 〃三加'(X) равенство (18.3.30) остается справедливым, если брать пересечение лишь по всем собственным операторам В s Ч^ (X), таким что Ви е С°°(Х).
Доказательство. Если 〃三 加，(X) и Ви 三 墟⑺* как в определении 18.3.25, то Ви е С°°(Х) в силу предложения 18324, ибо В〃 三屏'(X) по предложению 18.3.23.
Теорема 18.3.27. Пусть X — многообразие класса С°° с краем. дХ и внутренностью Х°, и пусть и 已必Z(X). Тогда
WFb(u) \x.= WF(u\x^
WF b(8〃)u 旷尸匕(〃)，если В является собственным оператором из Т? (X) или дифференциальным оператором с С^-коэф- фициентами;
(НО если WFb (u) = 0, то 〃曰"(X), а значит, 〃三 С® (X), 6 случае когда 〃三垓，(X);
(iv)羽尸(〃 £) ^WFb (〃) f］厂(dX)t 〃 и M (Х)・
Отметим, что 户(X) |彳。отождествляется с Г* (Х°) и что отображение Т* (X) \дХ f Г* (X) £ дает вложение Г* (OX) f Г* (X) \дХ
Доказательство. Утверждение (i) следует из того факта, что каждый оператор В ^WQ (Х°), ядро которого имеет компактный носитель в Х° >< Х°, принадлежит также 屮；(Х), и наоборот. Чтобы доказать (ii), предположим, что у 三(7*(Х)\0) \ 呼尸匕(〃), и выберем собственный оператор 8[已屮纟⑴，нехарактеристический в у, для которого 8]〃 已以.Найдется собственный оператор С, е ^Р®, такой что C^^ — 1 + R^ где R{ — оператор, символ которого (в локальных координатах) имеет порядок —8 в некоторой конической окрестности точки у. Таким образом,
СВи = CB&BiU — CBR^u 三 以
в силу следствия 18.3.15 и теоремы 18.3.9, если символ оператора С имеет порядок ——оо вне некоторой достаточно малой конической окрестности точки у. Следовательно^ у 法 WFb(Bu). Остается установить (ii) для случая, когда X = /?+, 〃三究’(R*), a B — Dj. Если а(х, Q)〃巨垓 и символ а нехарактеристичен в точке (0,耳％ то можно выбрать такой символ b(x, W), нехарактеристический в той же точке, что Ь(х, ^) = й(0, Е) для всех х из некоторой окрестности U точки 0, a supp b лежит в конусе, где символ а нехарактеристичен. Тогда b(x, D) = “x, D) а (х, D) + г (х, О), где crS% и г wS需,поэтому b(xt D)u^ s^, ввиду следствия 18.3.15 и теоремы 18.3.9. Возьмем функцию х е С* (CZ) с х(0)^=0. В силу (18.3.6)
%5(х, D)DjU = %DR(x, D)u + ^jnb(n\x, D)Dnu.
Поскольку %b и х (& — ib^) нехарактеристичны в точке (0, g0), получаем утверждение (ii). Чтобы доказать (iii), выберем для заданной функции qp е СГ (X) собственные операторы В/е^ь (Х\ j=L N, такие что 8产已工 и f] Char By пусто над supp qp. Найдутся такие собственные операторы Ср ..., CN е ^ (Х), что
С\В[ ++ СуВу = ф + /?,
где R 已屮^°°, а 屮 обозначает оператор умножения на qp. Так как C#产三以 и R〃巨 加，ввиду следствия 18.3.15 и теоремы 18.3.9, то (р〃 三垓.Вторая часть утверждения (iii) вытекает из предложения 18.3.24. Наконец, чтобы доказать (iv), предположим, что точка у ^ Т*(дХ) \ 0 не лежит в WFb (и). Тогда найдется собственный оператор В 巨屮£(Х), удовлетворяющий
условиям у ^ Char В и Ви т С°° (X). Имеем
Ви / =线(и £),
где Во 已屮°(0Х); главный символ оператора Во равен в силу (18.3.7) ограничению на Т*(дХ) главного символа оператора В. Таким образом, оператор & нехарактеристичен в точке у, а потому у 生 WF(u\dx)^ Доказательство завершено.
Из (18.3.30) сразу следует, что
WFb (〃)и WFb(Bu)U Char В, 〃 三妙(X),
если оператор Be 4fp (X) собственный. Предположим вместо этого, что Р — произвольный дифференциальный оператор порядка /и с коэффициентами из С°°(Х), и пусть 〃三 ^/(Х), Ри = f. Если qp ——функция класса С°°, имеющая на дХ простой нуль, то фбри Diff^H 屮冲〃=qpmf. Используя обычные локальные координаты вблизи границы, можно взять ср = хп и получить
ХпР(X, Q) = £ х^аа(х)Dau = £ х^аа(x)x^Dau, I а К m
откуда видно, что главный символ этого оператора при хп = 0 равен а^х)^, где а = (0, ..., 0, т). Таким образом, он тождественно равен 0 в некоторых слоях, за исключением случая, когда граница дХ является нехарактеристической для Р, а в этом случае он обращается в нуль в точности при gn= 0, т. е, на Т*(дХ). Тем самым доказано следующее
Предложение 18.3.28. Пусть Р ——дифференциальный оператор порядка /и с коэффициентами из С°°(Х) и функция ① 已 С°°(Х) имеет простой нуль на дХ. Если граница дХ является нехарактеристической для Р, то
WFb(u) |дх <= WFb(<pm Ри)дх U Г(дХ),〃已办(X).
Докажем теперь результат, тесно примыкающий к теореме 4.4.8х. Как и там, вместо нехарактеристичности границы будем предполагать лишь частичную гипоэллиптичность на границе. Пусть Хо — открытое множество в Ri. Рассмотрим множество Х = XqX [0, с)и R", представляющее собой многообразие с краем dX = Хо ><{0} и внутренностью Х° = XQ)>^ (0, с).
Предложение 18.3.29. Пусть 〃三勿'(Х°) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
Ри = D^u + am-iD^~lu + ... + 的〃 =f 8 X°,
где а/ — дифференциальные операторы, по 尤'=(尤1, ..., xn_]) с коэффициентами из С8(х), а / е 〃(Х). Тогда существует един-
ственное U 三 加'(X), ограничение которого на Х° совпадает с 〃. Это U удовлетворяет уравнению x^(PU — f) = 0 (равенство понимается как равенство в 劾'(X)), и не существует никакого другого U ^^f (X) с таким свойством. Здесь можно считать^ что и принимает значения в С" (коэффициентами оператора» а； будут в 尹ом случае N X N-матрицы).
Доказательство. Достаточно доказать предложение для m = L Действительно, если 〃/=。彳〃,0《jVm, то
Q/An-i + £ & 产/ = f, 4力=勺+卜 jVm—L /<m-l
Утверждение для m = 1 дает тогда продолжения U『已 У рас* пределений 〃力 удовлетворяющие тем же уравнениям, помноженным на хп. В частности, xn(DnUj — t//+i) = 0 для j V/п — 1> а значит,
x^U/=== XnDnfJ/—1=== •・• == xiiD% “ 1=== XfiDn^Qt / V m>
поскольку при k < j можно переписать x„D„ в виде суммы членов с множителем 尤口 справа. Таким образом, х« (PUQ — f) =0. Если V 三史(X), supp V и ОХ и x„PV = 0, то V = 0. В самом деле, на каждом компакте УеХ мы имеем по теореме 235
v=£u/®6(/)aj
Но°
^D^\X^ = cmki^+k-m\
причем cmml 耍 0 (при m>k + j правую часть следует понимать как 0). Поэтому уравнение ^PV = 0 дает % = 0, а следовательно, 〃让一1 = °，И т. д.
Итак, начиная с этого места будем считать m= I. Пусть Ко^Хи и K = KqX[0, 〃2]・ Ввиду леммы 18.3.19 достаточно доказать, что отображение СГ(К)т<Р*~^(Ц9 ф) непрерывно в топологии пространства N&)для каждого 也・ Напомним, что эта топология задается полунормами
中一О1 吟*0"叫-
По предположению, | и((р) KCHvlU для некоторого s, поэтому доказываемая непрерывность очевидна при fe < — s — п/4. Надо показать, что непрерывность в 加伏)следует из непрерывности
в 以伍т)・ С этой целью положим ф = /ф • (д ® Я (хп)), т. е.
Ф(х) = / \ <₽(/, t)dt.
Ясно, что D,^ = qp. Пусть х — функция из С〕(一％ с), равная 1, на (—с/2, с/2). Полагая XnW=zUn), имеем для <р е C~(7Q 3, $〉=〈〃，％”么“〉=-〈，〃，％“”〉一〈〃，2。必〉
=—С，%”"〉+〈〃，％о (%“")—"。品〉.
Записав Н (*”)в виде "(尤”)= %(x”) +他(*丄 где 饱 w С°°, а у Ло носитель близок к 0, можно оценить полунормы функции 2 в С°° (Х°) через полунормы (18.3.33) функции ф. Аналогичным образом можно оценить н
7乌力叫ХМ)]-Е-m4)
для произвольных / и а. Достаточно сделать это для / = «, ибо отсюда получится оценка для °°|| ^nDa (^„М5) |(__а-п/4)' ^ак как % = 1 вблизи 0, достаточно оценить
Но
DnXnnDnn^ =尤:叨:州—^n^-'D^ff
{при art = 0 последний член надо опустить), так что эта оценка проводится очевидным образом. Итак, полунормы <х>|х"«Оа(х^)|(1_4_п/4) функции 必屮 в 点伍7)оцениваются через полунормы (18.3.33) функции <р, чем и завершается доказательство.
Из (18.3.32) следует, что в случае нехарактеристической границы мы имеем WFb{u) \ дх cz Т*(дХ) для и е С°°(Х). Введем специальное обозначение для множества таких распределений:
Определение 18.3.30. Пусть X — многообразие класса С°° с краем дХ. Через “(X) обозначается множество всех 〃wM(X), для которых WFb(u) |м и Т* (дХ).
Из предложений 18.3.28 и 18.3.29 вытекает
Следствие 18.3.31. Пусть Р — дифференциальный оператор с С°°-коэффициентами на многообразии X, край дХ которого мс・ характеристичен для Р. Если fw“(X) и распределение 〃三勿，(Х°) удовлетворяет уравнению Ри = f во внутренности X。
многообразия X, то оно единственным образом продолжается до распределения uo w “(X).
В гл. 20 и 24 мы будем изучать волновые фронты в случае, когда распределение и удовлетворяет также определенным граничным условиям. В этом случае будет технически проще — по крайней мере при' тех средствах, которыми мы располагаем на данный момент, — не пускать в ход красивые инвариантные определения настоящего параграфа, а работать с псевдодиффе- ренциальными операторами вдоль границы. Мы видели в теореме 18.1.36, как действуют псевдодифференциальные операторы на волновые фронты распределений во внутренности многообразия, а теперь посмотрим, что происходит на границе.
Теорема 18.3.32. Пусть X — открытое подмножество в R*. Положим дХ~ X D5R+- Если и^Л (X) и символ b ^Sm (XXR^"1) задает собственный оператор Ь(х, /У) в X, то b(xt Dz)w sjf(X) и (18.3.34) WFb(b(xf DO и) \dx^WFb(u) |дЛПГ,
где Г ——замкнутый конус uGXXR"-4, такой что Ь имеет порядок ——оо в некоторой конической окрестности множества (dX X У') \ Г е X X RK. Обратно,
WFb (и) £ и 渺& g (х, О) и) |дЛ U Char 尻，
zdc 瓦(х‘，H) = bg 0, У).
Доказательство. Поскольку множество W Fb (и) замкнуто в7*(Х)\0 и его ограничение на дХ есть подмножество в T*(GX), множество
К = {х ^ X; / = 0 или 3X"J^| VI1 丨 при (х, g) ^ WF(и)} представляет собой открытую окрестность границы дХ в X. Если 巾 w С『(У), то % =屮〃 w # (X) П 歩'(X) и на X \ дХ волновой фронт распределения 屮〃 не содержит элементов (х,自) с ^ ==0, вызывавших затруднения в теореме 18.1.36. Возьмем символ fw 翼，такой что
=прн®〉|『|；
при этом /(х,自)можно выбрать не зависящим от переменных " Для о = ?р(х, О)%。имеем
WFb (u.-v)=WFb^~t.(X, D))询)=0,ввиду утверждения (ii) теоремы 18.3.27 и первого из равенств(18.3.36)* Следовательно, uQ — v ^ ^ (] ^ — С^(R+); из теоре-
мы 18.3.5 вытекает, что эта разность принадлежит 夕(R；)・ Если b^Sm (R” X R"-')，то
b (x, O') fp(x, D)u0 = a (x, 0) “°,
где a(x, ^ = b(x, ^)tQ(x, |) e Sm ввиду второго из равенств (18.3.36). Действительно, для 切三夕 преобразованием Фурье по X от Ер (%, D)w будет
(2П)t\ 产“**(%,自)t&低)映"，
поэтому (18.3.37) верно при u0, замененном на w. Полагая 切—>〃о в 夕‘，получаем (18,3.37) в общем случае. Поскольку fp(x, D)uq — uq^9^(R+)> заключаем, что b(xt Dz) u0 — a (х, D) u0 w0(R；), а значит, b(x, Dz) uQ^Jf (X) и
WFb(b a, J) % h и WFb 3。) n r, ибо a имеет порядок —оо в некоторой конической окрестности множества {(х, g); xrt = gn = 0, (х, ^)^ Г}. Этим доказано (18.3.34).*
Пусть теперь (/, rf) w Т* (GX) \ 0 — точка, не принадлежащая правой части (18.3.35). Тогда можно подобрать функцию WwCS°(y), равную 1 на столь большом множестве, что b(x, D^^Uq — и) равняется 0 в некоторой окрестности точки (/, 0) (как и выше, 〃o = “〃). Поэтому (у‘，т]Л)^ WFb (^ (х, D^u^ — WFb(a(xt £>)ц))> и символ а нехарактеристичен в точке (/, 0, т/, 0), поскольку символ &0 нехарактеристичен в (/ «)• Следовательно, (/, т)Э Ф WFb (u0), как и утверждалось.
Замечание, Из теоремы 18.1.36 вытекает, что на том открытом подмножестве в X, где b(xt /У)〃 определяется ограничением распределения и на {% w Х°; (х,自)审 S尸(〃)при g = 0}, справедливо включение WFb(b(xt Qf)u)a2WFb(u). Однако подмножество это зависит от и.
Следствие 18.3.33. Если 〃w”(X), то (%刀')色》尸〃〃)тогда и только тогда, когда b(x, Df)u е С°°(Х) для некоторого собственного касательного к дХ псевдодифференциального оператора Ь (х, £)'), не являющегося характеристическим в точке &,о,*)・
Доказательство. Это сразу следует из теоремы 18.3.32 ввиду предложения 18.3.24.
Наше определение волнового фронта WFbiu), очевидно, является инвариантным. Поэтому то же верно и в отношении дру-
гого возможного определения, даваемого следствием 18.3.33, которое, согласно следствию 18.3.31, применимо к решениям дифференциальных уравнений с правыми частями, удовлетворяющими некоторым естественным требованиям регулярности. Эта инвариантность — фактически все, что нам понадобится ниже, однако стоящая за результатами данного параграфа общая идеология также будет полезна при обсуждении вопросов регулярности на границе.
18.4. Еще раз о преобразованиях Гаусса
Читатель, должно быть, заметил, что развитое в § 18.1 и 18.3 исчисление существенно опиралось на результаты § 7.6 о преобразовании Гаусса exp (KDXt О^>) в R2n. Действительно, доказательство теоремы 18.1.7 было основано на теореме 7.6.5 и соображениях локализации, а утверждения о мультипликативных свойствах сводились затем к теореме 18.1.7. В данном параграфе мы проведем систематическое изучение локализационных свойств преобразования exp(М(D)) для случая, когда Л—вещественная квадратичная форма. Полученные результаты будут использованы в § 18.5 для того, чтобы распространить исчисление § 18.1 на случай более общих символов и построить другой вариант исчисления ——так называемое исчисление Вейля, во многих отношениях обладающее рядом преимуществ.
Чтобы мотивировать приводимые ниже определения, напомним сперва, что в соответствии с определением 18.1.1 класс S^ символов порядка m ——это множество всех С°°'функций а на таких что
|а俐(爲 S|《Ca(J(l+IEI)n*Tai при 居 EwR”.
Дадим другое толкование этому условию. А именно, рассмотрим в каждой точке (х, g) новый ортонормированный базис, отвечающий метрике
|rfx|2 + |dU7(i+RI2).
Тогда производные порядка а от а по новым переменным оцениваются величинами С*(1 +1^| )т с постоянными С& не зависящими от Е. Наше обобщение состоит в том, чтобы рассмотреть на конечномерном векторном пространстве V произвольную медленно меняющуюся метрику в смысле § 1.4. Ввиду леммы 1.4.3 без ограничения общности можно считать, что эта метрика риманова, т. е. для всякого % 三 У задана положительно определенная квадратичная форма g*(g) от у V.
Определение 18.4.L Будем говорить, что g ——медленно меняющаяся метрика, если существуют положительные постоянные с
и С, такие что
gx (z/X с => gx+y (/) < Cgx (/).
Это в точности условие из определения 1.4.7 для метрики \у\х =(gx {у)/с)х^- Поэтому, как было отмечено в § 1.4, уменьшая, если надо, с, можно придать условию (18.4.2) симметричный вид:
(18.4.2/gjy)《c 今 g J/)/C《g“g ⑴ & Cg J/)・
Примером медленно меняющейся метрики служит метрика (18.4.1) или, более общим образом, метрика
(18.4.1/ \dx I2(1+I^)6 + 1^)2(1+1^)-，>
при Р< 1. В самом деле, если g#,式у, т))《с, то | “ 产《с(1+| * F), а значит»
(1+|^|)/2<1+|| + т1|<2(14-|5|)>
при условии что с < 1/4, откуда сразу видно, что g — медленно меняющаяся метрика.
Пусть G — фиксированная квадратичная форма и и — функция класса С* в некоторой окрестности точки % 已 У. Введем следующую норму, отвечающую нормировке 々-го дифференциала в точке х при помощи G:
1"e(尤)=/❷1产(招4,")1/]烈("严.
При фиксированном k эквивалентной нормой будет, конечно, максимум частных производных порядка А, вычисленных по отношению к <?-ортонормированной системе координат. Правило Лейбница дает
I “и 6 ⑴《£ С )] 〃 if (х) I и £т (х).
Пусть для данной точки х мы имеем u (х) = 1. Если положить. и— 1 ——и, то fe-я производная от 1/〃 в точке х равна тогда fe-й производной в этой точке от суммы £ и', и ее можно оценить суммой произведений | v |^ ... I v |/v с /v^ 1 и £ j、= h. Таким образом,
I l/u|f(x)<Cft(|u|?(x)+ ... +|u|f(x),/ft)\
если и(х)= 1. Записав эту оценку в однородном виде, получим оценку для произвольных и.
В случае римановой метрики g будем через |〃 推(％) обозначать I и |а (х) для G = gx. Интересующий нас класс символов определяется следующим образом:
Определение 18.4.2. Пусть g — медленно меняющаяся метрика. Положительная вещественнозначная функция m на У назы・ вается ^-непрерывной, если существуют такие положительные постоянные с и С, что
gx (у) V с=^т (х)/С ^ m (х + у)^Ст(х).
Обозначим через S(m, g) множество всех u ^ С°° (V), для которых при каждом целом 论》О
sup I 〃 |£ (x)/m (х) V 8.
Очевидно, что S(m, g) с топологией, задаваемой полунормами в левых частях (18.4.6), является пространством Фреше. Стоит подчеркнуть, что эти полунормы нумеруются неотрицательными целыми числами А, и потому имеет смысл говорить о «тех же самнх》полунормах в пространстве S(?n, g) с другими mug.
В случае когда g есть метрика (18.4.1/, можно взять т = (1 H-lSI2)^ с любым вещественным % Тогда S(mt g) превращается в пространство Sp, б> введенное в § 7.8.
Из оценок (18.4.3) и (18.4.4) немедленно вытекает
Лемма 18.43 Если 〃wS(m, g) u v e S(m\ g), to uv ^ S(mw\ g). Если l/|u| < С/т при некотором С, то 1/u w S(l/m, g).
Ясно, что Cr(U)uS(/n, g), ибо gx и w(x) ограничены сверху и отграничены от нуля, когда % принадлежит заданному компакту. Считая всегда, что, выполнено (18.4.2)', можно при-, менить к \y\x = (gx(у)/с)}/2 лемму 1.4.9 и теорему 1.4.10 и получить следующий результат:
Лемма 18.4.4. Для всякого 0 < 8 <； 1 существует последовательность Xi, %2， 三 У, такая что шары
& = {х； g*v (Xv —х)< R2}
покрывают V, если ес V R{ и пересечение любого числа шаров &, большего, чем некоторое число 乂，пусто, если 戸之 & В случае когда 2ес V R? 之 ©, найдутся неотрицательные функ・ ции qpv е С~ (Bv), удовлетворяющие условию ^ q)v = 1 и такие9 что для всех v и k
lq)vlfCC*,e.
С помощью этого разбиения единицы можно регуляризовать метрику g и весовую функцию т. Действительно, полагая
叫(上)= £ %(上)m(八)
и замечая, что gXv (х — xv) < с там, где (pv (х) =^= 0, получаем в силу (18.4.5)
т (xv)/C < m (х)< Ст (八)на supp q)v, откуда
m (х)/С & g (х) & Cm (x).
Далее,
l?a)《C；m(x)・
Это означает, что g w S(m, g) = S(g, g). В частности, мы видим, что S(m, g)u S(m‘, g) тогда и только тогда, когда частное т[т' ограничено. Тем же способом можно, конечно, регуляризовать и метрику g.
Из (18.4.7), (18.4,3) и (18.4.5) следует, что если 〃wS(m, g), то функции Uv =(pvu удовлетворяют оценкам
(18.4.7/ I uv If (х) < С km (xv) для x^V и всех v, Л.
Здесь g можно заменить на gXv. Обратно, если задана последовательность функций Uv, у которых носители лежат в шарах Bv с квадратом радиуса R2 V с н которые удовлетворяют условию (1847)- то и = ^ uv ^ S (m, g). Поэтому ясно, что при получении оптимальных оценок для линейных функционалов на наших классах символов достаточно рассматривать функции, обладающие указанными свойствами функций 厶.Так мы и поступим при последующем изучении преобразований Гаусса.
Пусть Л — вещественнозначная квадратичная форма на пространстве Vх, двойственном к V. Тогда А (В) представляет собой дифференциальный оператор в У, характеризуемый равенством
A (D) ехр〈比 g> = Л (g) exp〈比 公 ％ 三匕
для каждого фиксированного 自三 V7. Следовательно, в случае когда и принадлежит 夕 или 夕‘,можно определить exp(f/4 (D))u как обратное преобразование Фурье от exp (М (g)) й (|), где й — преобразование Фурье от и. Пусть g — положительно определенная квадратичная форма на V и
К = “； g(x) V 1}
—соответствующий единичный шар. В силу оценки (7.6.7), примененной к некоторой ^-ортогональной системе координат,
имеем для 〃 w Со° (К)
|ехр (М (D)) u-^ (М (D)/ 电 11
& С sup sup I А (D)' u (y)/kl.
Здесь s ——любое целое число >dim Р/2. Вне К сумма в левой части равна нулю, и мы улучшим оценку (18.4.8) с помощью рассуждения, по существу совпадающего с рассуждением, использованным при доказательстве леммы 7.6.4. Однако оформим его иначе, с тем чтобы подготовиться к аналогичному доказательству в § 18.6.
Пусть L — вещественная линейная (не обязательно однородная) функция иа V. Тогда
[ехр (〃(/))),〃 = ехр 必(D))〈4 (D), Г>
(L в левой части обозначает оператор умножения на L), где L! е Vх — это (постоянная) производная от L. Это тождество представляет собой частный случай второго из тождеств (18.1.6), но, разумеется, совершенно элементарный: после преобразования Фурье оно принимает вид
[ехр(/Л(|)), L(-D)] = exp(iA^))(Af^9 £〉
Пусть 丄(')=〈"—х, п〉. Предположим, что 厶 *0 (нигде) на К・ Тогда <ЛЛ(О), т)>~ 2Д (D, т]) = 2<4ti» ^Х где А ( , )—отвечающая квадратичной форме А симметричная билинейная форма на Vх, а Д в правой части обозначает соответствующее линейное преобразование V^ V. Поэтому указанное выше тождество даёт
exp (М (D)) и (х)
=2 ехр(М (£>))(，％。〉厂％)(X), 〃 三 СГ (К),
и этот результат можно повторно применить любое число раз.
Лемма 18.4.5. Если функция L линейна и не обращается в 0 ни в одной точке шара {у; g(y) V R2} с R > 1, то
\L(0)/L^(y)^klR/(R-1)k+t, у^К.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что g&)= X 行 н L(y)= 1 — Wi, где 0&aR& 1. Поэтому (18.4Л0) вытекает из того факта, что а'(1 —的1厂'一‘《R/(R — 1)'^ при 3VL
Повторно применяя (18.4.9) н используя (18.4.10), (18.4.3) и (18.4.8) с 左=0, получаем после k шагов
I ехр (Ы (D)) и(х)|< 以.r (g (4呜倒 L(0|)* sup sup | u |f,
"吟(K).
Чтобы выяснить, насколько малым может быть сделан новый множитель g(At\)}/2/\ L(Q)\ = g(A^2/\(x, т)>|, введем форму gAt двойственную к форме >g(A|):
g*(%)= sup〈匕旷
gWXl
Разумеется, она равна + оо всюду вне подпространства, ортогонального к радикалу (нуль-пространству) {自;力自= 6} = {&；力雋) = 0}, т. е. всюду вне образа оператора А. Взяв х = Ат\ и заметив, что〈4% 自〉=〈АК П〉，получаем
gA(Ax\)= sup丨匂，唯产/g (力у e im4
т. е. gA есть композиция оператора А~} и формы, двойственной к ограничению формы g на образ оператора А. Отметим, что supX*上y/g" (%) = g (О-
Предположим теперь, что ^л-расстояние от х до RK не меньше а > 0. Тогда по теореме Хана — Банаха можно найти % такое что >
(г/, "〉<〈* + z, * если g (у) < R2 и gA (г) < а2.
Это означает, что
〈％ 唯 < а, 口〉— ag (Ат))1/2 при у w RK.
Отсюда следует, что для L{y) = (y — х, 口〉
L(0) = — (х, ib<—ag(Дт])1/2-
Тем самым мы доказали, что при ^ = 0, 1,...
(18.4.⑵ I exp(L4 (£>))〃(*) I
&&.r(1+ inf g"(x-и))*? sup sup|〃|f
для u s C~ (К). Подытожим полученные к данному моменту результаты:
Предложение 18.4.6. Пусть g — положительно определенная квадратичная форма на V и Л ——вещественная квадратичная форма на У'. Обозначим через К единичный шар относительно g и определим gA формулой (18.4.11). Тогда для всех и^СТ (К) 〃 всех А ^ 0 и R > 1 справедливы оценки (1848) и (18.4.12), при условии что 2s > dim У.
Поскольку оператор ехр (/Л(О)) перестановочен с дифференцированиями, нетрудно было бы дать соответств)7ющую оценку для производных от и. Важный момент, связанный с оценкой (18.4Л2), состоит в том, что ее правая часть становится очень малой на больших ^^расстояниях от некоторой окрестности множества К. Это свойство локализации позволяет получить оценки для оператора е действующего на подходящих классах символов; в частном случае это свойство уже использовалось при доказательстве теоремы 18.1.7. Требуемое условие на классы символов формулируется следующим образом:
Определение 18.4.7. Риманова метрика g (соотв. положительная функция т) на V называется Д-умеренной (соотв. (4, g) -умеренной) относительно точки х е У, если она является медленно меняющейся (соотв. ^-непрерывной) и существуют постоянные С и N, такие что для всех у, t 巨 V
gy(t)^Cgx(t)(l+g^x-y)y,
m (у) < Cm (x) (1 + ^ (x — y))N.
Заметим, что из (18.4.13) вытекает оценка
(18.4.13Гg^t)^Cg^t)(l+g^x-y))N.
Обратно, (18.4.13) вытекает из (18.4.13)\ если форма Л невы* рожденна. При f = % — у получаем, в частности,
(18413)"l+gA{x^y)^c(l+g^x-切严】•
Чтобы снять условие supp и и К, фигурирующее в предложении 18.4.6, воспользуемся разбиением единицы из леммы 18.4.4. Выберем Ro, такое что R V Ro V 炉启，и введем помима шаров Bv, содержащих носители функций q)v, шары
几={х； g〜(х — xv) & 砲，U； = {x; gXv(x — xv) & 办
В случае произвольной функции 〃 w С/ мы применим оценку (18.4.12) к функциям uv = q)vu, заменив всюду R н g на Rjh и gxjR. Для того чтобы просуммировать получающиеся оценки для exp(/4(D))uv, нам понадобится следующая лемма:
Лемма 18.4.8. Предположим, что g^WgS 〃 метрика g является A-умеренной относительно точки х. Тогда существуют такие постоянные С и N, зависящие лишь от постоянных С и N из оценки (18.4.13), что
£(1+厶(*))-"《& где 厶(*) = inf g外上一".
Доказательство. Можно считать, что gx есть квадрат евклидовой нормы I I，так что этот квадрат ограничивает снизу форму g，・ Положим для k》1
必={*%⑴《砾
Пусть v 三 Mh* Выберем точку yv 三 U、, такую что g^ (х—yv)^ fe.
В силу (18.4.13),v
gy^XC\t?k\
Далее, % + z w U：, если gXv (z) < (6冷一Rg и, поскольку g — медленно меняющаяся метрика, мы имеем фиксированные положительные верхнюю и нижнюю границы для gxJgy^ Отсюда следует, что евклидов шар Vv радиуса с^"^2 с центром в д* содержится в U：・ Ввиду (18.4.13)",
俨一% 12 = g* (*一%)《g? (%-%)4e^十1；
следовательно, шары Vv содержатся в некотором евклидовом шаре радиуса Crk^N+^2 с центром в х. Так как есть граница сверху для числа шаров U；, которые могут иметь непустое пересечение, а значит, и для числа шаров Vv, которые могут иметь непустое пересечение, мы заключаем, что
g % I G"/2 《 ? m仏)< e叫卩人)《 Cfkn(N+叱
где I Ma： I обозначает число элементов множества М^. Поэтому справедливо неравенство |Л4*| < CkN~x с некоторыми новыми постоянными С и X, Складывая последовательно члены ряда в (18.4.15) eve Mif М2 \ Mir ..., М2^ \ Л12^-Ь-получаем доказываемую оценку.
Применение оценки (18.4.12) к av = q)vu дает
I exp (М (О)) uv (х) I < Cft (1 + dv (x))~k,2
X sup sup|uv I/ v. /<5+A u
Поскольку g меняется медленно, мы можем заменить здесь g** на g. Для yv, определенных, как выше, имеем
m(У) 《 Cm (外)《 Cm (x)(l + 厶⑴)叱 у 三 t/v,
при условии что tn удовлетворяет (18.4.14). Если, кроме того, выполнены предположения леммы 18.4.8, то, в силу (18.4.16),
(18.4.15) и (18.4.7),
Z I exp (i4 (Q))人(％)丨 & Cm (%) sup sup| u |f/m,
Vy$+急
при условии что k достаточно велико.
Используя оценку (18.4.17), мы расширим область определения оператора exp(iA(D)) с Со° до S(m,g). Одиако произвольная непрерывная линейная форма на S(/n, g) не определяется своим ограничением на множество СТ, ибо последнее не плотно в S(m, g)・ Поэтому нам нужно более сильное понятие непрерывности:
Определение 18.4.9. Будем называть непрерывную линейную форму на S(/n, g) слабо непрерывной, если ее ограничение на каждое ограниченное подмножество непрерывно в С°°-топо- логии.
Слабо непрерывные формы уже определяются своими ограничениями на СТ, поскольку для всякой функции и w S(m, g) частичные суммы разбиения и — ^uv ограничены в S(m, g); эти суммы сходятся к 〃 в С00-топологии, ибо начиная с неко-* торого номера становятся равными и на каждом компакте.
Доказательство оценки (18.4.17) фактически дает сходящийся мажорирующий ряд для ряда в левой части (18.4.17), пригодный для всех и из произвольного ограниченного подмноже* ства в S(m, g). Отсюда следует, что формула
exp (М (D)) 〃(%) = Z exp(M (D)) uv (%)
V
определяет слабо непрерывную линейную форму на S(m, g). Тем самым доказана
Теорема 18.4.10. Отображение С^ э и ь-> exp (iA (D)) и(х)^С единственным образом продолжается до слабо непрерывной линейной формы на S(m, g) для каждого х, такого что метрика g является А刃меренной относительно х, gx ^ g^ и функция m является (Л, g)-умеренной относительно х. Справедливо нера* венство
I exp (М (О)) и(х)\^ш (х)|| 〃 ||,
где ||*|| — полунорма 8 S(m, g), зависящая лишь от постоян* пых, фигурирующих 8 (18.4.2)\ (18.4.5), (18.4.13) 〃 (18.4.14).
В условиях теоремы 18.4.10 можно оценить также произвол* ные от exp(L4 (/)))〃(％). Рассмотрим сперва случай «еС~> ко«
гда, как мы знаем, эти производные существуют. В этом случае мы имеем
|», /,)... (D, Zft) exp {iA (О))«(x) | < m (x) П gx(^'^H«||, где ||*|| — полунорма в S(m, g), зависящая помимо постоянных из (1842)', (18.4.5), (18.4.13) и (18.4.14) лишь от 瓦 Чтобы доказать это, положим
О = Ф,力•. • О 〃〉а, "(9)= т{у) П gy (厶严.
Функция mf тоже (4 g)-умеренна относительно х, причем соответствующие постоянные зависят помимо 左 лишь от постоянных для gum. Любая полунорма функции и в S(m‘，g) ограничена некоторой фиксированной полунормой функции и в S(丸 g). Поэтому применение неравенства (18.4.18) к и дает (18.4.18)\ (Иногда бывает полезным то наблюдение, что здесь достаточно, чтобы условие (18.4.6) выполнялось лишь для производных порядка ^sfe.) Из (18.4.18)/ немедленно вытекает следующая
Теорема 18.4・ 10'. Предположим, что условия теоремы 18.4.10 выполняются равномерно для всех х из некоторого линейного подпространства Vo 8 V. Тогда отображение
S(mt g)^u^ exp (г Л (О)) и | 匕
•слабо непрерывно как отображение со значениями в пространстве S(m9 g) |гв символов на 匕)，отвечающем ограничениям на Vo функции m и метрики g.
Для доказательства достаточно взять в (18418)' векторы fi,.・.,f々三 У。 и заметить, что пространство S(/n, gj обладает тем свойством, что на его ограниченных подмножествах С°°-то- пология совпадает с топологией поточечной сходимости.
Все предыдущие результаты допускают усиление в случае, когда величина
<18.4.19) 九(*尸=5?pg式/)/g金(/)
не просто не превосходит единицы, а мала. (Если координаты выбраны так, что gx есть евклидова метрика и 力(自)=工匕咼, то Л(х) = sup| &/1.) Прежде всего заметим, что функция й является (Л, g卜умеренно自 с теми же постоянными, что и в (18.4.13). Действительно, очевидно, что она ^-непрерывна. Далее, (18.4.13) можно записать в виде gu ^ Л4§х> откуда еле-
дует, что g/》g£/M и gy/g^ < M2gx/g^, а значит, h(y)^Mh(x\ Теперь обратимся к оценке (18.4.16). Напомним, что имеется верхняя граница для числа шаров U； с непустым пересечением и что
gxv(* —9)》(с"2 —Ro)2 = R > 0 при х^и^, уви、.
Отсюда вытекает, что
C2&gg(X — y)《h(疗 g„(x — y)^Ch (x)2 ( 1 + ^(X — g))N', а следовательно,
1 & C似灯2(1 + 4⑴产 при х若U)
Это означает, что можно усилить оценку (18.4.17), добавив в правой части в качестве множителя произвольную степень функции 力(х), если в левой части вести суммирование лишь по тем V, для которых 尤陆 U；. Оставшееся ограниченное число членов можно, как и выше, оценить при помощи (18.4.8) с операторами 力(力).Это показывает, что остаточный член
^ = ехр(/4 (D))u— ^ (iA(D)Yu/jl
допускает оценку k
|R 馭^ICftCxfmC^II^^Htl,
где II *11 一 некоторая фиксированная полунорма в S(/n, g). (Случай 々#=0 сводится к случаю 々=0, как в доказательстве теоремы 18.4.10Л) Итак, доказана
Теорема 18.4.11. Предположим, что условия теоремы 18.4.10 выполняются равномерно для всех х из некоторого линейного подпространства Vo пространства У. Тогда отображение
S (g g) m 〃 — R” м S (mhN, g) % .
где функция h определена формулой (18.4.19), a RN — формулой (18.4.20), слабо непрерывно. Фигурирующая s (18.4.21) полунорма II-|| зависит лишь от Nt k и постоянных из (18.4.2)(18.4.5), (18.4.13) и (18.4.14).
Тем самым обоснована возможность вычислять exp(iA(Z)))〃(x) с помощью формального разложения в ряд там, где функция h(x) мала. Примером может служить теорема 18.1.7. В этой теореме метрика g задается формулой (18.4.1), а А есть квадратичная форма (х,史)*~^■〈叉，己〉на R〃农R% так что соответствующий оператор / имеет вид (%&)—>(&、() и gA = (1 +1||2)I dx|2 -|- ИИ2- Таким образом, Л2 =(1 +|^|2)"\
и (18.1.11) следует из теоремы 18.4.11 с весовой функцией т(§) = (1 +1§|2)^2 (если в теореме 18.1.7 заменить т на ц). Действительно, (18.4.13) и (18.4.14) выполняются с Л^ = 1 и ^ = ц/2 соответственно, поскольку
(i + IIRAi+InncCl + dnl + l^-nlWa+lnl2)
<(1 + 15-п1Л
Более общо, метрика g, заданная формулой (18.4.1)', является медленно меняющейся при р《1, и
g" = (1 + I 自!2)Р| d* 产 + (1 + I Е 卩厂‘I 曲2,
так что 九2 = (1+1&产)"°《1 тогда и только тогда, когда 6&р・ Условие Л-умеренности g выглядит так:
(1 + 1ВРГв(1 +1 n I2)e + (1 +1 & 12)₽(1 +1 n E)f
<c(i + ig-nP(H-lnl2)~T
При I ^ I < IТ)1/2 оно справедливо тогда и только тогда, когда &VN(1 — 6), т. е. когда 6 ^^/(^ + 1). При I п 1/2 < I iI < 2 | Т)| оно верно для достаточно больших С, а при 111 > 21 т] | — для N>p. Когда оно выполнено, функция (1+11 Р)ц/2 является (Л, ^-умеренной. Следовательно, как отмечалось перед теоремой 18.1.35, теорема 18.1.7 сохраняет силу при 0《6&рМ1 и d < 1.
18・5. Исчисление Вейля
Пусть V — векторное пространство над R размерности п и 广一 двойственное пространство. В § 18.1 мы сопоставили каждой функции а е ^ (W),犷=1/㊉ 片，оператор
а(х, О)и(х) = (2л)~п JJafx,三)川*—飞>〃匂)dy國，〃三夕.
(Здесь dy — какая-либо мера Лебега (—Хаара) в У, a dg — двойственная мера в У', для которой формула обращения Фурье справедлива с обычной постоянной. При замене dy на с dy надо будет заменить dg на l"自，так что мера dy dg определена инвариантно.) Слабый вариант определения (18.5.1)
〈а (х, О) и,。〉= (2?t)i，，卜(尤，Е)标任一弘咼 〃(У)口(％)dg dx dg
=(2л)"п，，，а (%, *) ©У> 〃 (％ — f) и (x) dx dt 恋
имеет смысл для любого。三 乡‘飕)и задает непрерывный оператор из 夕”)в 夕，(Р)・ Сопряженным к а(х, D) служит оператор
а (х, D) w (х) = (2л厂Ц а (у,三)球《*一也 8〃 匂)dy 恋，
также понимаемый в слабом смысле. В случае когда а — многочлен по I，оператор а(х, D) получается, если в а (х, §) заменить & на оператор D = —id/dx, записанный справа от коэффициентов. Записав же коэффициенты справа, получим оператор &(%, D).
Согласно теореме 18 1.6, если а 三 S% то а(х, D) отображает 夕 в 9. В силу теоремы 18.1.7, класс операторов (18.5 1) с а ^ Sn совпадает с классом операторов (18.5.2) с a 曰 S^, так что их можно продолжить до непрерывных операторов из У в
В исчислении Вейля принимают симметричное компромиссное определение
aw",e) = (2犷"\卜((* + 9)/2, g)e"i•汕ё)初恋，
вновь понимаемое в слабом смысле. Ядро Шварца К так определенного оператора задается формулой
К(х, у) = (2яГп^а((х + у)/2,自)川*一木＞恋， т. е.
К(х + 〃2, х-//2) = (2лГп Ja(x, g)e«位龙
есть обратное преобразование Фурье по § от а, а потому
а(х, Е)=\к(х + 〃2, х — 〃2) е-，& ◎ 〃
(Эти формулы аналогичны формулам (18.1.7) и (18.1.8).) Если £ — линейная функция, то L(x, D) = £(х, D) — Lw(x, D). Чтобы пояснить определение (18.5.3), вычислим Lw(xf D)aw(x, D) для “三乡 и линейной функции L. Поскольку
a(х, 2)一£(a+外/2, g))a(a+y)/2,訴p一，5.
= (L(0, Dx)a((x + y)/2, ^ + a((x + y)/2, ^L{D^ 0))е«т吃 после интегрирования по частям по | получаем
Lw (х, D) aw(x, D) = bw (х» D), где b = La 十{厶 a}/2i.
Здесь
{厶 a} = (dL/dl, да/дх) — (dL/dx, да/д^)
—скобка Пуассона» введенная в § 6.4. Напомним, что это билинейная форма на W ® W\ двойственная к симплектической форме
О(х, g; у, П)= ^. У> —(х, ИХ (厶三)ей7, &, t|)ulF・
Отсюда уже ясна симплектическая инвариантность исчисления Вейля ——весьма важное свойство, к которому мы еще вернемся позже. Пока же просто заметим, что, хотя формула (18.5.5) выведена выше в предположении, что а 三夕，она справедлива по непрерывности для всех а 三 9‘. Пусть 厶一вещественная линейная форма и at = exp(z/L). Тогда из (18.5.5) следует, что
г£(х, D) а^(х, D) = daf (х, D))dt,
ибо ｛厶，aJ = 0. Далее, простое явное вычисление показывает» что а^(х, 1У)и^^9 если 〃三夕.Замыкание в L2 оператора L(x, D) с областью определения 夕 является самосопряженным оператором. Действительно, пусть и е Л2 и Л(х, D)u = f ^ U в смысле теории распределений. Выберем функцию % 三夕(1Г) с x(Q)= 1. Тогда 9mxe(招 D)u-^u и %貝招 D)f-^f в А2 при e->0, где ^(xt ^) = x(ex, eg), и
丄(匕 D)^(xt D)u —及(к, Q)f =—就｛厶 x) (ex, eD) u 0
при 0. Тем самым сделанное утверждение доказано. Из него вытекает, что 、
а? (% D) = exp(^L (х, Q))
в смысле теории операторов. Определение оператора а" дЛЯ общего случая получается из рассмотренного частного с помощью разложения Фурье символа а, поэтому указанное выше свойство является характеристическим для исчисления. Вейля.
Из (18.5.3) сразу следует, что сопряженный к оператору aw равен aw. В частности, а^ совпадает со своим сопряженным,, когда символ а вещественнозначен; в этом существенное пре* имущество исчисления Вейля и главная причина того, почему именно его ввел Герман Вейль для применений в квантовой ме* ханике.
Чтобы мотивировать условия, которые будут наложены на символ а, вывецем формулу для композиции операторов а^ (х, D) и а*(х, D) в случае, когда символы а【и а2 принадлежат 夕(取)• В силу (18.5.4) ядро оператора а： (%, D)a^ (х, Р) равно
(2л)-2п V \。| ((* + z)/2, £) a2((z + g)/2, т) М *-% ‘>+*”％ s 衣 dg dq
поэтому из (1854)" следует, что а^а* = aw, где
а (х, Е) = (2#)т” W 勿((* + z + //2)/2, ^)
Х^2((х + 2 — //2)/2, т)eiEdz典dtdr, £ = @一2+依 0 +〈n-% + 〃2, T〉一& 0
=〈％ — z + 〃2, U — g〉+〈z — % + Z/2, r — g〉.
Возьмем g —己，工一g, (z — % + //2)/2 и (г —x— //2)/2 в качестве новых переменных вместо ^, т, г и t. Якобиан этой замены равен 22л. Следовательно»
а(х, § = к-2" W % (х + z, & + 3)。2(* + 力 & + т)
Хе2'°& * 爲 ^dzd^dtdx.
Здесь мы рассматриваем сим плектическую форму как квадратичную форму на W ® W.
Для f R0(R2)
^ f (х, у)ё^иУ dxdy^^n^1 $$^^ ^e^^^d^d^
В случае f(xty) = g(x)h(y) это следует из формулы обращения Фурье. Поэтому приведенную в конце предыдущего абзаца формулу можно переписать в виде
а(%, g)
=exp(ic (DXr。&; Dyt。")/2)勿(修 g)的(у, n)Q&)・(g, w
Следовательно, для изучения символа а мы можем использовать результаты § 18.4, при условии что а\ и а2 принадлежат подходящим классам символов. Поскольку в правой части (18.5.6) стоит произведение @1(%,己)。2加，П), У нас появятся квадратичные формы на 1Г ㊉取 вида
G(厶，勾)=gl «1)+ g2(，2)，
где gi и ^—квадратичные формы на W. Пусть (х, &, у, п) 曰犷㊉取 и f, j, J> т] — двойственные переменные. Линейное отображение, ассоциированное с квадратичной формой
4 = 2и(招 £ yt Т1) = 2(|, у〉一 2〈犬，通
переводит (х, £ у, п) в (—% у, g, — х). Поэтому (см. (18.4.11))
GA(xt &, у、Y|) = sup|(x, £〉+ & &〉+ &,，〉+〈％ ⑴!2
Х(方(一亦，g)+g2甫，一f)尸・
Вводя обозначения (х, g) = @ и (盲, —^) = шх ^Wt имеем 3 £〉十代，е〉н u(叫5‘).Пусть
g；(5)= sup| и®, w^flg^)
——квадратичная форма на 1Г, двойственная к g『относительно и (пространство W отождествляется с двойственным к нему при помощи симплектической формы и). Тогда
G& (% 吗)=g； (%) + 鑑(吗)，
G & H2GA о g?& Ipg；令 gI & H2gl
так как второе и третье условия в (18.5.9) оба равносильны условию
(18.5.9/|и(叫 M)E《"2g：他)務®)
а первое равносильно совокупности второго и третьего.
Очевидно, что если gi и g2 — медленно меняющиеся римановы метрики в 取，то G = gi © g2 будет медленно меняющейся метрикой в W ® W. Чтобы исследовать символ (18.5.6), нам надо знать, является ли метрика G равномерно Д-умеренной относительно точек диагонали, т. е. верно ли, что для произвольных 3，@1, w2, Л,勾三囚
g% 仏)+ g就(%) & C (g〃 &) + g^ ⑷)М" где
M = 1 +雷叫(吗一5)+ g£,(吗-5)■
В частности, при gi = gz = g и 叫 =叫 из этой оценки следует, что для всех f w 1Г
^ (0 < С^ (/)(1+ g^ (W] - w)y, w, w{^W, или, что то же самое,
g叫(Q《Cg3(/)(l 十爲К%-⑫)尸，w,吗 w 呼.
Введем поэтому следующее определение, параллельное определению 18.4.7;
Определение 18.5.1. Метрика g в W = V ® Vf называется п-уме- ренной, если она является медленно меняющейся и выполнено (18.5.11)'. Положительная функция т на W называется (о,g)- умеренной, если она ^-непрерывна и
m(5)《Cm(5)(l+g^Q —吗))％ 明 ％ w 步・
Заметим, что в силу （18.5.11） функция 1/т будет （u,g）・ умеренной вместе
Предложение 18.52 Если метрика g в W — V ® Vf является ^-умеренной, а функции mi, т2 на W обе （а, §）~умеренны, то метрика G — g\® g2 в W ® Wt где gi = g? = g, % весовая функция tn — tn\® m2 будут соответственно А~умеренной и （%,g）・ умеренной равномерно относительно точек диагонали. Если 九他У= supgjg*, mo u supG^ JG^ w = h^-
Доказательство, Последнее утверждение следует из （18.5.9）. Чтобы установить первое, надо показать, что
g*,（g一3）+ 鑑2 （吗一5）《 CMN, где
m = 1 + g*,（吗一5）+ g^ （吗一w）.
Полагая te/ =叫 + д — w, имеем wf—w\ = w2 — w, wr — w^ =wi — Следовательно,
C-（吗一⑫）《 C爲（吗一5）（1 + g^ （如2 -叫"《 CMV + 1,
g 分®i — w）《CMN+*
爲,31 -⑫）《 C爲,（吗一⑫）（1 + g% （吗一w^y < C,M^, 為№-w）《C，M”
откуда и вытекает требуемая оценка с постоянными С и №*
Иногда бывает нужно рассматривать и общий случай, когда gi и g2 различны. Однако случается это редко, и при первом чтении следующий результат, пожалуй, лучше пропустить.
Предложение 18.5.3. Пусть gi и g2 — две ^-умеренные метрики 8 W. Метрика G=gi ㊉ g2 равномерно A-умеренна относительно диагонали в W® W тогда и только тогда, когда
g% （0 < Cg%, （/）（1 + g鼠（吗一5）严，/,叫吗三 «7, （18-5，13） g就⑺《C奧s（?）（l+g% （吗一⑫））"，力叫吗m呼.
В этом случае метрика g = （gi + g2）/2 также будет а-умерен- ной. Положим
Л/ （吟=sup g/Jg%, ” （山尸=sup giw/g^w = sup g2w/g^w.
Справедливы неравенства
max （九 1（5）2,色3）2, H （wf）
《 4 sup gj^, <%（5产+九2出产+ 2"（山汽
Если для j = L 2 функция т； является (о, ^/) -умеренной, то функция m — m\ ® m2 равномерно (Л, G)-умеренна относительно диагонали в W Ф W тогда и только тогда, когда
叫(吗《01](3)(1 +%(3 -%))", W, 3[三吃 "8.5.15)吗(吗)《(?/(山)(1+呢，3 一吗)严，^, w2 e W.
Эти условия равносильны тому, что функции mi обе (о( g)-умеренны.
Доказательство. Если выполнено (18.5.10), то, взяв t\ = t, /2 = 0, 52 = 5 или 厶=0, " = L w\ = w, получим (18.5.13). Обратно, пусть выполнены оценки (18.5.13). Покажем, что тогда для всех f, w. W\^W
&叫⑴ & Cgfw (/)(1+ ^, (s -叫))"•
Отсюда будет следовать, что метрика g является, о-умеренной, а значит (см. доказательство предложения 18.5.2), для некоторых других С и ^ верна оценка
g^ (4) + &3&)
《 e ⑨山(Q + ^2Ш (4))(1 + c,(吗一叫 + 院?(叫一 5))"，
даже более сильная, чем (18510), ибо g°《2G. Таким образом, при выполнении оценок (18.5.13) метрика G равномерно Л-умеренна относительно диагонали..
Чтобы доказать (18.5.16), заметим прежде всего, что если 尸 1 и 尸2—положительно определенные квадратичные формы на векторном пространстве У, то двойственной к 尸i + 尸2 формой на у будет inf (尸:(• 一 /) + 修(/)), где 尸:一форма на 匕 двойственная к 戸『.Одновременно диагонализуя 尸i и 尸2, заключаем, что достаточно установить это утверждение для случая форм F\(x) — х2/а и 尸2(尤)=@%2 на R, а в этом случае 户；=尸2> 尸;=尸1，н все проверяется элементарно. Таким образом»
8氣/)=厅2(爲,(/-/。) + 唸(就.
Следовательно, оценка (18.5.16) равносильна оценке
gj耽⑴《Cgj侬(DM* для всех 厶叫 g, w{ e Wt
где
M = 1 + 匿叫(w - %) + 鸥w, (% -吗)•
Поскольку gj являются о-умеренными и по предположению вы* полнены оценки (18.5.13), то для некоторых С н "
g/叫《Cg,叫(1 + ^(% —叫)尸 &CglwMN,
g/g & Cg/з (1 + 匿叫(3 -喲产
Снова используя (18.5.13) и о-умеренность метрики g?：
g%“ (з — g) & Cg；s (з — g) (1 + g踪(g — g))“ & CMN+lt
получаем (18.5.16)'. Тем же рассуждением устанавливается (5 g)-умеренность функций т/. Обратно, если эти функции (ст, gj-умеренны, то выполнены оценки (18.5.15), ибо 為/2&g%； если при этом функция /и, является ^-непрерывной, то она будет (о, ^*)-умеренной.
Поскольку ^/да<2^да, а значит, 爲 &2g%, имеем для /,月=1, 2
этим доказано левое неравенство (18.5.14). Чтобы доказать правое, заметим, что
2gB = &В + g2s & (瑯 + к)對s，
откуда2g仙 & (号 + "2)爲，/= 1, 2,
а следовательно, 4gle《(餾+ 偿 + 2严)g*,
что и требовалось проверить. Доказательство завершено.
Комбинируя теорему 18.4.11 и предложение 18.5.2, получаем основную теорему исчисления Вейля:
Теорема 18.5.4. Пусть g — произвольная а-умеренная риманова метрика 6 W — V 9 У\ удовлетворяющая условию g W g°, u ть 加2 — две (о, £)-умеренные весовые функции на W. Тогда отображение (аь a2)i—> а = дц # а2| задаваемое форм у лой композиции (18.5.6), можно продолжить до слабо непрерывного билинейного отображения из S(mi,g)X S(m2, gj s S(m\m^ g). Положим
(18.5•⑺h(x, F = sup gx Jg? w・
Отображение, переводящее пару (аь а2), aze S(mh g)f в оста* точный член
a1#a2(招 Ю- Z (2(4, 4； A，%)/2))%1(%,自)a2®,戒儿
вычисленный при (%, &) = (у, П)， непрерывно как отображение 8 пространство S (力*加1团2, g) для любого целого N. Оно является нулевым, если ai или аг — многочлен степени ниже ^.
У записанного выше ряда члены с (не)четными индексами (косо)симметричны по аь 匆・ Отсюда следует, что
а】#。2 —出 #。1 — {%,。2泳 е S (^т^, g),
a1 # a2 +a2 #a1 - 2%出 s S (^m^, g).
В обоих случаях в исчислении, развитом в § 18.1, мы имели бы на один множитель й меньше.
Применяя вместо предложения 18.5.2 предложение 18.5.3, получаем следующий более общий результат:
Теорема 18.5.5. Пусть gi, g? — две а-умеренные метрики в UZ = у ㊉忆 удовлетворяющие оценкам (18.5,13). Предположим, что функция
〃(х, E)2 = supgf в/吼「sup% Jg% &
не превосходит 1. Положим g=(gi+g2)/2, и пусть 吗 / = 1, 2, суть gj-непрерывные (о, g)-умеренные весовые функции. Тогда отображение (а】，а2)ь->а = а】# а?, задаваемое формулой композиции (18.5.6), можно продолжить до слабо непрерывного билинейного отображения из S(m\t ^1)Х 5(ги2, g2) в S(mi/n2, g). Отображение, переводящее пару (ai, а2) е №& остаточный член, указанный в теореме 18.5.4, непрерывно как отображение в пространство S(HNm\m^ g) для любого целого N.
Отметим, что за счет степеней функции ", которая может быть много меньше, чем функция й, задаваемая формулой (18 5.17), оценки поправочных членов в нашем исчислении существенно улучшаются.
Дадим теперь некоторые примеры. Прежде всего заметим» что если 8(%, 3 = 2〈х,立 то 戏三(у,叫=内」(弘一叫，ибо
{у,占〉+〈招 П〉=，3,—叫，一(居 I))-
Если V- и К-направления ^-ортогональны в каждой точке, то gB __ g&^ Из рассуждений, проведенных в конце § 18.4, вытекает поэтому, что метрика (18.4.1)' является о-умереннои при 0《6 W р W i и 6 < 1. Более общие о-умеренные метрики строятся с бедующим образом:
Предложение 18.5.6. Пусть метрика g является а-умеренной, а метрика G = mg, где m ^ 1,——медленно меняющейся, причем G《G°. Тогда G тоже о-умеренна.
Доказательство. Надо показать, что для некоторых С и ^ (18.5.18)G叫《CG£1 + G*, @ — 吗)产
Если величина Gw(w — wi) достаточно мала, это следует из предположения, что G — медленно меняющаяся метрика, поэтому можно считать, что (7屯(酬一 on)》％ Допустим, далее, что gw(w —叫)V с, где с столь мало, что при выполнении этого неравенства
Тогда оценка (18.5.18) с ^ = 1 будет доказана, если мы установим, что
m (吗)《 Cm (w)爲,(ay -叫)/m (吗).
Но
Q《m (w) gw (оу — tiy,) < Cm (ay) gs, (@ — g)
《 Cm (ay) h (%уg北他一吗), где Л — функция, задаваемая формулой (18.5.17), а поскольку G 0 G°, то h(w\)2m(w\)2 0 1. Отсюда следует требуемое утверждение, и остается только рассмотреть случай, когда gWt (w — w^^C2 для некоторого фиксированного & > 0. В этом случае
откуда
С2m (吗)2 & g^, (w -吗)，c典 з - %) < °w, (w - ®1)2«
Так как
gsK Ugw (1 + ^ (w -叫))"’
я m 1, мы получаем (18.5.18) с ^ = 2M + 1. Доказательство завершено.
Для конформных метрик gi и g? условие теоремы 18.5.5 упрощается：
Предложение 18.5.7. Пусть gi и ^2 — конформные а-умеренные метрики, для которых hf (wf = sup §/10/^ ^ !• Тогда справедлив вы оценки (18.5.13) и функция Ht задаваемая формулой (18.5.17)^ равна (力也)"％
Доказательство. По предположению, g2 = mgi для некоторой положительной функции т. Следовательно, А1 = т2Л? и
〃(ау)2 = sup 公山/纟力= m(w)h1 (да)2 =々他)Л2 (ay).
В случае giw(^\ ~ w)^ с первая оценка (18.5.13) следует из того факта, что gi — медленно меняющаяся метрика. Если же glw(Wi — 5)》с, то
g統(W —吗)2 = m (w)T 普s (w -吗)2
》tn(W)~2 % (皿厂2 glw(W —吗)费s (И» —吗) 》cg%3—叫),
поскольку m(w)hi(w) = h2(w) ^ L Отсюда ввиду о*умеренности метрики gi вытекает первая оценка (18.5.13). Вторая устанавливается аналогично.
Теоремы 18.5.4 и 18.5.5 дадут далеко идущее обобщение теоремы 18.1.8, как только мы получим аналог теоремы 18.1.6, позволяющий рассматривать а〕# а2 как символ композиции соответствующих операторов в 夕 или в 歹.Однако получить этот аналог не так просто, и мы отложим это до § 18.6. А сейчас обсудим вопрос об инвариантности исчисления Вейля относительно аффинных симплектических преобразований %, т. е. аффинных отображений % пространства 呼 в себя, удовлетворяющих условию %*，=，. При установлении этой инвариантности можно считать, что V = R". Примерами таких преобразо* ваний служат:
сдвиги %I—» х + хо в V; ■
сдвиги ±i * j & в Н;
отображение %(х, |), при котором %/, ^ заменяются на ±〃 —х/, а остальные координаты остаются неизменными;
отображение %(х, ±) = (7%,，丁一空)，где Т — линейная биекция пространства R〃；
отображение х(х, ^) = (х, g — Ах), где А — симметричная матрица.
Лемма 18.5.8. Всякое аффинное симплектическое отображение представимо в виде композиции отображений указанных выше типов а)—е).
Доказательство, Поскольку а) и Ь) доставляют все сдвиги, достаточно рассмотреть линейные отображения %. Группа G, порожденная отображениями типов с)——е), транзитивна. Действительно, базисный вектор е\ =(1, 0, ..., 0) переводится в вектор (1, 0, ..., 0, g) с каким угодно Е отображением типа е) с подходящей матрицей А, а значит, переводится в любой вектор (х, I) с х =# 0 — надо просто применить затем соответствующее отображение типа d). Все элементы вида (О, Е), | ^= 0, получаются, если использовать отображения типов d) и с). Следовательно, всякое у есть композиция некоторого элемента из
G и некоторого симплектического линейного отображения %ь удовлетворяющего условию %i«i — е^ Таким образом,
О (Xi(X, у, е1) = ст((х, 3,勺)=嬴，
т. е. xi сохраняет координату 史卜 Отсюда следует, что если положить Xх = (х2, -.-» хл) и У=(±2, •・•，％), то отображение %2(У, ?), определенное как 小(0,尤'，0,『)(«удаляем» координаты Xi и |1), также будет симплектическим. Если 九 > 1 н наше утверждение уже доказано для меньших значений 九，то 加 можно записать в виде 加=%з%2, где %2 принадлежит группе G, отвечающей переменным х\ £', а %з ——симплектическое отображение вида
Хз ("，占)==(*i + a需，.一，^п + ^л^ь &1，b2 + ^2В1( • • • > Bn + 6/l自1)・
Симплектичность %з означает, что ■п
Z (d畠 A G/ d£ + bj d±i A d勺)=0, 2
поэтому as = •… =@门=力2= • • • = bn — 0. Таким образом, %з есть отображение типа е) с Ях = (а1х1, 0, ..., 0), взятое в композиции с отображением типа с) для / == 1. Доказательство завершено.
Теорема 18.5.9. Для каждого аффинного симплектического преобразования % пространства W — V ® Vf существует унитарное преобразование U пространства /?(У), определенное однозначно с точностью до постоянного множителя, по модулю равного 1, такое что для всех линейных форм L на W
<18.5.19)U~xL{x, D)U = (Lo^(x, D).
Это преобразование U является автоморфизмом пространств 9 л歹，й
(18.5.19)'t/-1aw (х, D)U = (a^w(x, Q)
для всякого a ^^(W).
Доказательство, Утверждение о единственности достаточно установить для случая, когда % — тождественное преобразование. Итак, пусть U — унитарное преобразование, такое что
UL(x9 D) = L(x, D)U
для каждой линейной формы L. Тогда U коммутирует с однопараметрической группой, порожденной оператором L. В частности, U{fg)= f(Ug) для gwL2(V), если / — ограниченная экспонента, а значит, и если f — любая функция из 9, ибо ее можно разложить на экспоненты с помощью формулы обраще-
ния Фурье. Отсюда следует, что Ug = hg, где Л — некоторая функция, по модулю почти всюду равная 1. Поскольку U коммутирует и со сдвигами, ясно, что эта функция должна быть постоянной. (Отметим, что этот результат очень близок к лемме 7.1.4.)
Для доказательства существования преобразования U, удовлетворяющего условию (18.5.19), достаточно рассмотреть указанные выше случаи а)—е). В этих случаях в качестве U можно взять следующие операторы:
Uf (х) = f (х — х0);
Uf (х) = /(x)exp(ix,瓦〉；
оператор взятия преобразования Фурье по xz;
Uf (x) = f(7'-1x)|det7'r1/2；
Uf (x) = exp(— 1<Лх, x)/2) f (x).
Тем самым утверждение о существовании доказано. Если а (%, I) = ехр (江(х, g)) для некоторой вещественной линейной формы L, то aw (%, D) = exp {iL (х, D)) в смысле теории операторов и, следовательно, выполнено (18.5.19)'. Поскольку ограниченные экспоненты слабо плотны в то (18519)' верно и в общем случае. Доказательство завершено.
Теперь обсудим связь между исчислением Вейля и исчислением, развитым в § 18.1. Сначала предположим, что а 曰夕(犷). Тогда оператор а (х, D) имеет ядро Ке9, задаваемое форму* лой (18.1.7), поэтому а(х, D)= bw(x, D), где b ^^ задается формулой (18.5.4)":
b", 9 =，К(х + 〃2, x-tl^e-1^ ^dt
=(2л)~п H a (x + //2, я) е，«，『占 dr) dt
=n~n ^ a(x + /, g + n) e” & "> dt dr)
= e^-D^la{X,^.
Последнее равенство вытекает из рассуждений, использованных при выводе формулы (18.5.6). Из (18.1.9) следует, что если с(х, D) определено формулой (18.5.2), то c(xt D)— a(x, D), где a a, l) = e^Dl>c(x,自).
По соображениям непрерывности эти наблюдения сохраняют силу и для а, Ь, с ^ 9‘. Далее, как было отмечено после теоремы 18.5.5, всякая о-умеренная метрика g, удовлетворяющая условию gx, е (f, т) — gx, е (f, —т), будет и В-умеренной для B(xt g) = 2<х, |>, и для таких g функция m является (о, gfj-уме-
ренной тогда и только тогда, когда она (В, £)-умеренна. Мы приходим к следующему результату:
Теорема 18.5.10. Пусть о-умеренная метрика g удовлетворяет условию g W go, а функция m является (о, g)-умеренной. Если gx)6(/, t)s gXt £(/, —т), то exp<z«Dx, D0 — слабо непрерывный изоморфизм пространства S(m, g) для всякого 乂 三 R 〃
战〈％"»а (л, I) 一 /&〈配厶，D^a 仕，E)小 w S (hNm, g)
для каждого целого ^, где й ——функция, определенная формулой (18.5.17). Если a, b, с е S(m, g), то а(х, D)= 6w(x, D) =с(х, D) тогда 〃 только тогда, когда
Ь(х, Е) = еТ〈℃»/%а, Е) = /〈％"»/2c(х,目，
<18.5.20) а(х, ^ = ^^^D^2b(x, S = e«%・D»ca，±),
C a,目=e-‘〈％ ”〉a a，s = e-〈％ 磴“6 (x, E).
Если g%, t(0, t)W|t|{ to билинейные отображения (a, u) ^—^a(xtD)u, (b, u)h-> ^w(xt D)u 〃 (c, u)^—> c(xt D)u непрерывны как отображения из S(m, g) 乂 9 s 9, а также как отображения 〃з S (m, g) X 歹 8 尹，
Доказательство. Достаточно показать, что отображение (а, “) ь-^а(х, D)u непрерывно как отображение из S(m, g)义夕 в 俨. Поскольку
m(x, 5)CCm(0, 0)(1 + 爲。(工,目尸《ь (r+1 x F +1 自纱
для некоторых С, С и ^, оно непрерывно как отображение в пространство непрерывных функций f с sup|f(x) |/(1+|%户)“ < оо. Но, В силу (18.1.6), ДЛЯ некоторых ПОСТОЯННЫХ Са0
(1+[%[2)"а(л:, о)= ] +各v/邛小)(居0)讲，
и из наложенных на метрику условий вытекает, что аь-^а《а) при любом а есть непрерывное отображение пространства S(m，g) в себя. Следовательно, наше отображение непрерывно как отображение в пространство непрерывных ограниченных функций на R". Его непрерывность как отображения в пространство 9 вытекает теперь из доказательства теоремы 18.1.6, поскольку для любого f 三步
〈0, 0a wS(W, g),
где функция 心(匕 &)=加(招 W)g%,《⑴ и? тоже (о, g)-умеренна (см. также доказательство теоремы 18410'). Доказательство завершено.
Замечание. Приводимая ниже теорема 18.6.2 показывает, что ограничение на метрику, фигурирующее в утверждении о не* прерывности, излишне. Однако доказательство теоремы 18.6.2 уже далеко не так просто, а полученный выше легкий результат позволяет охватить большинство метрик, встречающихся в приложениях.
Из доказанной теоремы вытекает, что если, в ее предположениях, а/ е S {mi，g) н 〃 е 9, то
а： (х, D) а^ (х, D)u^ (% # %” (尤，°)и-
Действительно, возьмем для / = 1, 2 последовательность 。卜胃夕，ограниченную в S(mjt £), у которой все члены с достаточно большими номерами v совпадают с а； на любом компакте. Тогда а^(х, D)u-^a^(х, D)u з ^ при v-> оо, а потому (%#%广(%，0)" =啞(尤，0)唠(招0)〃 fa：(尤，D)畸(修0)〃 ве
Но a”# a2V слабо сходится к а\ # а^ откуда и следует сделанное утверждение.
Далее, используя полученные выше результаты, легко заново вывести, уже в предположениях теоремы 18.5.10, правила, ком* позиции для стандартных псевдодифференциальных операторов. Пусть, например, a^S{mit £)и а\(%, D)a2(xt D)=a3(xt D). Тогда af(xf D) = bj (x, D), где
%(居 ^^e-1^^^,目， и мы имеем
ь式X, l) = e1^ Dy^D- %〉)/2瓦(芻 е b2(y, n)|x g,寸
Поскольку
((Dx + Dg、% + DJ + (£>t, DF) — (Dxt Dn)
一〈&,叫_队 D谕［2 = R, Dj” заключаем, что
(18.5.21)。3(尤，E) = e'〈％ %% (x,目。2 匂，叫 1% g〃,寸
Это в точности формула (18.1.14), которая тем самым доказана в гораздо большей общности, чем в § 18.1.
Если а (х, D)—псевдодифференциальный оператор с поли- однородным символом
Q (尤，自) ~ ^Щ (%士)+ 0m-1 (尤，E) + • • •
(символ а； однороден по ± степени /), то, применяя теорему 18.5.10, можно записать этот псевдодифференциальный опера-
тор в виде а (х, D) = 6w(x, D), где Ь (х, &) ~ Е bg (х,占).При этом
Ьт (х, Е) = ат (х, ±),
6m-1a，e)=飭一e, I) + 4 Z ^ат ^, 自)/0々焚"
т. е. bm—i совпадает с субглавным символом оператора а (х, D) (см. (18.1.32)). Таким образом, исчисление Вейля объясняет роль субглавного символа, а формула композиции исчисления Вейля немедленно дает правила для вычисления субглавного символа.
18.6. Оценки для псевдодифференциальных операторов
В этом параграфе мы сначала доказываем, что оператор а^(X, D), отвечающий символу а е S(m9 g), непрерывен в 9 н в 0', если метрика g и весовая функция m являются соответственно о-умеренной и (о, g)-умеренно*. В частном, но важном случае это уже было установлено в теореме 18.5.10. Как и в этом частном случае, из указанного результата вытекает, что, когда выполнены предположения теоремы 18.5.4 или теоремы 18.5.5, оператор (ni # а?)^(х, £>) представляет собой композицию операторов а^ (х, О) и а* (х, D) в 9, а также и в 夕'• Затем мы доказываем, что если метрика g удовлетворяет у словило g W g* а весовая функция т ограничена (соотв. стремится к 0 на оо), то оператор aw(x, D) ограничен (соотв. компактен) в ZA Этот результат в сочетании с развитым в § 18.5 исчислением позволит нам получить эффективные оценки снизу для операторов с неотрицательным символом.
Как обычно, мы расщепляем символ на части с помощью разбиения единицы из леммы 18.4.4, Для рассмотрения же таких частей достаточно следующего простого результата:
Лемма 18,6.1. При любом а е ^(R2n) для 1?-нормы оператора aw(x, D) выполняется неравенство
II aw (х, D)||< 阿厂2" II4 ||д.三 II a ||心
Доказательство. Ядро Шварца К оператора aw(x, D) равно
к (%, у) = (2л)-п Ja((x + 9)/2,目然辑一“ “應
=(2л)-2" J d (0, г/ - х) e‘ «+»> °您 d6.
Следовательно,
，IK(x, y)|dx《l|a|l尸“ ，IK(x, £/)|di/<||a||fL„
и наше утверждение вытекает из леммы 18.1.12.
Замечание. При применении этой леммы нам понадобится тел очевидный факт» что 尸ZJ-норма символа а оценивается через конечное число его ^-полунорм. Важно также, что эта норма инвариантна относительно взятия композиций с аффинными преобразованиями,——факт тоже очевидный, ибо она представляет собой полную массу характеров, фигурирующих в разложении Фурье символа а.
Теорема 18.6.2. Если метрика g『умеренна, а весовая функция ш является (а, §)-умеренной> то aw(x, D) непрерывно отображает 9 в S、а 夕 в 6 для каждого a w S(zn, g) и слабо непрерывно зависит от а.
Доказательство. Достаточно установить непрерывность в 9, поскольку из непрерывности оператора dw в ^ следует непрерывность оператора aw в 9‘. Пусть {(pv} — разбиение единицы, введенное в лемме 18.4.4. Определим окрестности U” носителей функций(pv, как в лемме 18.4.8, и представим а в виде
Если обозначить центр шара U、через о\, ToS(m (叫)，й，«,^)-полу- нормы символов av ограничены постоянными, не зависящими от V. На основании леммы 18.6.1 и следующего за ней замечания заключаем, что
伸(招 D)^Cm(w^
ибо относительно произвольных линейных преобразований все положительно определенные квадратичные формы эквивалентны. Таким образом, мы имеем для 厶2-норм
II %(X, 0) 〃 II & Cm (wv)||« ||.
Чтобы получить лучшую оценку, воспользуемся рассуждением, аналогичным примененному в доказательстве предложения 18.4.6.
Пусть L — произвольная линейная форма на Wt положительная на U* В силу леммы 18.4.5, функции L(wv)/L имеют равномерно (по V) ограниченные полунормы в S(l, g%) над supp(pVi. Далее, теорема 18.5.4 (или просто (18.5.5)) дает (18.6.1) а；(х, D)u = (av/A)w(х, D)L(х, D)u
+ i{a4/L, £}w (х, 0)〃/2.
Символы av/L имеют равномерно ограниченные полунормы в S (加(o\j)/Z(o\), g酬J。 Запишем L в виде 厶(з) = о(о/, /), Z w Тогда■
{%/£, L} = — L"10, da)
Таким образом, мы имеем равномерные границы для полунорм скобок {av/L, L} в
S(m (о4) g% (f严/厶(叫)，gs)
Функция L(x, D)u есть линейная комбинация функций x/u и DjU с коэффициентами, ограниченными длиной вектора t в некоторой фиксированной метрике, скажем 欧.Повторно используя (18.6.1), получаем
|a*(x, D)u[^CNm(wv)R；N £ [xaD^ul “三乡，
Ia+PI《N
для всякого положительного целого ^, при условии что О V R~ & L (nyv), L =/= 0 в Uy, go (/) + g~ (/) & 1, L (з)=。(叫 /)• В силу теоремы Хана — Банаха в качестве R” можно взять- расстояние от 0 до t/v в норме» двойственной к (go + ga^)"25 относительно о. Эта норма задается равенством
113% =而0^(% + 為(吗))吗 wt + w2 = w
(см. доказательство предложения 18.5.3). Таким образом, мож* но взять'
R、= min II 叫
Чуть погодя мы докажем, что для некоторого ^
E(l + Ry)-*V8, а значит, 8»
go(叫)《C(1 + RJ匕
Считая это уже доказанным и используя оценку (18.6,2) для больших V, заключаем, что норма ||aw(x, D)u^ оценивается некоторой ^-полунормой функции и, при условии, что
m(wv)^C (1 + gQ(wv))N
для некоторого М это условие заведомо выполнено, когда функция т является (о, g)-умеренной. Пусть М (х, О) линейно по (х, D). Тогда оператору М (х, О) а： (%, О) отвечает символ
М/ + {М, aJ/2厶
Эти символы имеют равномерно ограниченные полунормы в пространствах S(/nj, gw ) для соответствующих /п； ограничен-
ных некоторой степенью величины 1 + goWJ. Следовательно, £2-норма функции М (х, О) а： (%, D)u оценивается некоторой полунормой функции 〃 в 9. Повторяя это рассуждение, приходим к выводу, что оператор aw(x, D) непрерывен в d
Итак, осталось только проверить выполнение оценок (18.6,3) и (18.6.4). Эта проверка проводится аналогично доказательству леммы 18.4.8. Пусть
M = {v；俏 &".
Для V ^Mk можно выбрать 侬;wU” и з； так, чтобы выполнялись неравенства
Переходя в первом из них к эквивалентной норме 内，и ио пользуя (18.5.11), заключаем, что
^z/«-O<Cfe\ 需(喝一吋)《С%V.
Следовательно,
g° & eg。，& C£ /М & C^k^, % 叫 %
g 《C'g , & c宙 〃d； & C；g°6 受
g。m -a)《点g»1Vm - о бmаc^统(а)/2 & g°« - о+g°(®v)& ср.
Отсюда сразу следует (18.6.4), а оценка (18.6,3) получается повторением рассуждения из доказательства леммы 18.4.8. Предоставим это читателю.
Теперь обратимся к вопросу о непрерывности в L2,
Теорема 18.6.3. Пусть g W g°, метрика g a-умеренна, а функция tn является (a, g-) -умеренной. Для того чтобы оператор aw(х,D) был [^-непрерывным при любом awS(/n,g), необходимо и достаточно, чтобы функция m была ограничена. В этом случае [7-норма оператора aw(x, D) представляет собой непре* рывную полунорму в S(m, g)t
При доказательстве необходимости нам понадобится следующая лемма:
Лемма 18.6.4. Для всякой положительно определенной квадратичной формы g на R2/I существует линейное симплектическое
преобразование х пространства R2%, такое что
g(X (х, 9) = Е % (х/ + 齋)，
Числа 1/ однозначно определяются по g, 〃
sup^/ga = maxA2.
Доказательство. Поскольку sup g/g° ——симплектический инвариант, последнее утверждение достаточно установить для случая, когда g (х, В) = Е ^/ (右 + 吕).Но тогда ge(х,自) = Е (%彳 +自彳)/入/， и все очевидно. Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим собственные значения и собственные векторы отображения
尸：(г, & — Hg (г,自)/2 = (dg/dt 一 dg/呪/2, которое определено симплектически инвариантным образом. Заметим, что в случае, когда g(%, g)= Z 九/ (播 + 协
F (%, В) ■ (%&,・••，入"g%，入 1%1，• • • ,^*n^n)»
поэтому вектор, у которого г/ = 1, & = ±i, а все прочие координаты равны 0, является собственным с собственным значением ±Л/. Следовательно, числа Xi, ..., Хп определяются формой g однозначно с точностью до порядка. В общем случае, если г — собственное значение с собственным вектором (у, пНС?* то
dg/g = 2?弘 dg/dy = — 227].
Полагая (仇切)=£%而/ для 9, w^ Сп, получаем
(dg/dy9 у) + (dg/O% П)= 2?((弘 n) — (% 力)・
В левой части мы имеем положительно определенную эрмитову форму, и
(у, п) — (% у) = 21 «1ш у, Re 力—<Re у, Im 力)=—2s (eb /), где £i и 81 — соответственно вещественная и мнимая части вектора ®, n)wC” Таким образом, число * = z/i вещественно и отлично от 0. Взяв, если надо, комплексно сопряженные к g, Т), z, можем считать, что 入 > 0. Тогда о®,刍)> 0, или, если умножить наш собственный вектор на соответствующую постоянную, a(Ei, 6i)= 1. Используя симплектические отображения типов с)— е) из леммы 18.5.8, легко построить линейное симплекти- ческое отображение 儿 переводящее единичные векторы вдоль осей Xi и gi в векторы а и ej соответственно (см. также предложение 21.1.3, где рассмотрена более общая ситуация). Заменяя g на g。％, получаем
g(x,自)=入(* + &；) + &(%, g),
где gi не зависит от xj и 航，ибо dg/dxf = dg/d^ = 0, / =/= 1, на собственных векторах (1, 0, ..., 0, 土i, 0, .,., 0) отображения F. Доказательство леммы завершается теперь применением индукции по л.
Замечание, В гл. 21 мы проведем более подробное обсуждение вопроса о симплектической эквивалентности квадратичных форм (см. теорему 21.5.3), используя аппарат, развитый в § 21.L Отметим, что в лемме 18.6.4 мы могли бы равным образом привести g к виду X (х； + 壊力.Эта лемма хорошо известна в классической механике, где X/ появляются как основные частоты малых колебаний механической системы около положения равновесия*
При доказательстве утверждения о достаточности в теореме 18.6.3 мы будем использовать то же разложение символа а» что и в доказательстве теоремы 18.6.2. При рассмотрении возникающих сумм нам понадобится следующая лемма Котлара, Кнаппа, Стейна, Кальдерона и Вайянкура о суммах почти ортогональных операторов, дополненная одним замечанием о компактности, подготавливающим теорему 18.6.6:
Лемма 18.6.5. Пусть Hi, Н2 — гильбертовы пространства и А^ i w /,——счетное семейство ограниченных операторов из Нх в 〃2, такое что
2|Л；Ла||1/2<Л4,工||4闻产《財
Тогда ряд
S〃= £ 4陷以三Н"
сходится в смысле сходимости по норме в Н? a IISII& М. Если сумма
является компактным оператором для каждого / и /, то ||Л/|)->0 при /-> оо в /.
Доказательство. Допустим сперва, что число элементов множества / конечно; обозначим его через М В силу спектральной теоремы, ||S||2 =||S*S|| и, более общо, l|S||2m =11 (S*S)m||. Члены разложения оператора (S*S)m в сумму произведений операторов Л； и их сопряженных допускают оценку
8 Зак. 443
Взяв среднее геометрическое этих двух границ и заметив, что ввиду наших предположений ||А/|)^ 2И, получаем
Il s产& М XI /ЕМУ…I %一①以产
где сумма берется по /1,…，j2m. Если, используя (18.6.5), последовательно оценить сумму по 衣用 …，/2, то останется только сумма по /1, и мы видим, что
||S产&ЛШ吋
Извлекая корень степени 2zn и устремляя zn к оо, заключаем, что ||S|| W М.
Пусть теперь / бесконечно. Из второго неравенства (18.6.5) следует, что ряд S〃 сходится, если 〃 = 4；и для некоторого j. (Заметим, что || Ак^ || = || А^ || < Л11| A^k J1/2.) Поскольку
係/№]《М11 WI，係/№]《М11 WI，з 三 Hi,з 三 Hi,
係/№]《М11 WI，
係/№]《М11 WI，
з 三 Hi,
з 三 Hi,
для любого конечного множества / и /, ряд S〃 сходится и для всех и из замкнутой линейной оболочки (объединения) образов всех операторов Л*. Если вектор w ортогонален к этому подпространству, то A^w = 0 для каждого /, т. е. все члены ряда Sw равны тогда нулю. Таким образом, наш ряд сходится всегда, и ||S]|WM, так как это верно для конечных сумм.
Чтобы установить последнее утверждение леммы, достаточно показать, что если ||Л/||^ с > 0, j 三/, то оператор £ Af не компактен для некоторого / и /. С этой целью докажем, что можно выбрать /ь /2,...三/ так, чтобы для'каждого 卩
Предположим, что 厶，…，加-i уже выбраны так, что это неравенство выполняется как строгое для всех 卩 V М при условии что суммирование ведется лишь по v V М Нам надо тогда подобрать 加=j так, чтобы
NJVU+№”I2加叩""N.
Но в силу второй оценки (18.6.5) первое из этих неравенств выполняется для всех /, за исключением конечного числа, а поскольку 产£ 尸：|4 ^/||» то *е верно по предположению индукции и в отношении второго неравенства. Положим теперь
J = {/1, /2, ...}. Для каждого / выберем вектор и产 Н?，такой что J] Uy И = 1 и I圏〃/> Ц 4力|/2 > с/2. Тогда % = 4冏 слабо скз дится к 0 в //р Действительно,
(Л^., A[v) = (AkA]uit u)f 0 при jf 8,
поэтому (4；〃卩 w)^->0 для каждого w мз замкнутой линейной оболочки образов операторов Л^. Так как Akw==Q для каждого 々, если w лежит в ортогональном дополнении к этому подпространству, то ⑷匕，ну) — 0 для всех./. Таким образом, % слабо сходится к 0. Если бы оператор S, был компактен^ та мы имели бы И S/О/II-> 0 при j —8. Но для /, fe е /
SJvt^AIAriuj + ^AkXjur
Норма суммы ряда в правой части не превосходит !//. Следовательно» J] AfA^u. J] 0, а потому
||4%『 = (勺4%, %f0,
что невозможно. Доказательство завершено.
Доказательство теоремы 18.6.3, Необходимость. Пусть оператор aw(x, D) является Л2-непрерывным для всех awS(zn, g). Поскольку функционал
歹 А а 一 0w (х, 0)以，и)
непрерывен для всех 以 и w 9, отображение
S (/п, g) m а — aw (х, D)三 2 (Л2, Л2)
(по предположению являющееся отображением между указанными пространствами) замкнуто. Следовательно, по теореме о замкнутом графике, оно непрерывно. Пусть 叽一стремящаяся к оо последовательность в W. Мы докажем, что у последовательности m(wv) есть ограниченная подпоследовательность. В силу леммы 18.6.4 найдется такое линейное симплектическое отображение 加 из пространства R2nf наделенного обычной симплектической структурой, в W, что квадратичная форма gwv(%v(ytT\)) имеет диагональный вид
x(*+喩吩
Поскольку g & g°, все X/v ограничены по модулю единицей. Поэтому можно считать, что у них существуют пределы при V -> оо. Возьмем ф е Со°(R2n) и положим
% (%, у = ф(х,九闾=瓦(队 + Zv (х,就
где 九уЕ =(九е±1，•一, Xnv§rt). Если носитель функции <р достаточно мал, то zn®Jbv будет ограниченной последовательностью в S(zn, g). Норма оператора b；(x, D) равна норме оператора еу (х, D), так как эти операторы по теореме 18.5,9 унитарно эквивалентны. Но
с (х，С) 〃 =(2л)-" Н <Р ((х + 4)/2,鹏)е〃А〃 М (у) dy 成
имеет при подходящем выборе и е С~ ненулевой предел при 屮 т 8. Отсюда вытекает, 'что нормы |呼(％, D)u^ отграничены от нуля при больших V. Следовательно,
II т (叭)6v (х, О) И > ст (оч),
откуда видно, что последовательность zn(g,) должна быть огра* ниченной. Этим завершено доказательство утверждения о необходимости.
Достаточность. Не уменьшая общности, можно считать, что m = 1. Записывая символ а в виде а= Z а^, как и в доказательстве теоремы 18.6.2, имеем, вновь по лемме 18.6.1,
2：(%, ОЦ^С.
Покажем, что для операторов Ду = а* (х, О) выполнены оценки (18.6.5). Для этого надо рассмотреть композиции
Разумеется, достаточно разобрать случай а^. Ввиду (18.5.6), %и (х, Е) = е'° ^DVDy> %% (Х, Е)〜(у, В & 6)“ 4f
Применим оценку (18.4.16) с dv, замененными на d；, получающиеся подстановкой g? вместо gj в определение (18.4.15) функций dv. Эта замена законна, поскольку 1 + d；《(/(1 + 厶产 в силу (18.4.13)". Таким образом, для любого положительного целого 应
1%"®)1&&(1+М(иО)т, где
m ®) = min 瑞侬-")+ min 瑞 ® - ").
51сно, что
g* (3'-3")< 2M (吼
если точки 侬'wUv и "'三 U让 выбраны так, чтобы достигались минимумы, фигурирующие в определении функции М. Далее, (1867)爲g(必一3")W0嘉，(涉-3")
< с舐(М - з") (1 + 為® — ”)尸 W C2 (1 + M W))"+I, (18.6.8) 1+g%® —叫)WC(1+g“(w—“))
《G( 1 + g^ ® — ")) & &( 1 + g^ ®—必))"+i <C3(1+A1 ®))"+1 Полагая
min 為(wr — u>w),
заключаем на основании (18.6.7), что для всех w справедлива оценка
\+dv^C(l + M(w))N
с некоторыми новыми постоянными С и ^. Учитывая (1868), получаем, что для всякого 左
I %" (w)\^Ck(i + %) j (1 + gw 侬一叫))-匕
Та же оценка выполняется для любой полунормы в S (1, gw). Действительно, если 且@*(/)&1, то, применив к ауц дифференциальный оператор 〈О, /〉, мы получим один член, где дифференцирование падает на о”，что никак не сказывается на оценках, и другой, где оно падает на 。屮 Это может привести к потере множителя (纟侬口(/)/g@v (Г))"? в нашей оценке. Но этот множитель ограничен некоторой степенью величины 1 + ^卄仕，откуда и следует высказанное утверждение. Поэтому лемма 18.6.1 в сочетании со следующим за ней замечанием дает.
11%(x,八)1|《以(1+%广
для любого М Чуть позже мы докажем, что для некоторых С и
Z(l+dQ-N《C, X(l+dvJ“WC. Vu
Используя эти оценки и лемму 1865, заключаем, что |鹏30)|y0.
Осталось доказать оценки (18.6.10), родственные оценке из леммы 18.4.8. Поскольку для wf ^ Uv и 侬"巨 U^
1 + g^v (s' — w") W C (1 + g% 侬'—"))
v 《C (1 + g队®' — "))" v C〃 (1 + g^~ “，))“',
ТО
1 + %《C〃(1 +厶严・
Следовательно, достаточно установить вторую из оценок (18,6.10). Выберем й'^-ортонормированные координаты с началом в точке wy. Тогда метрика g* не меньше евклидовой ме. трики gWv， Если d*u《K то найдется точка wff е U^, евклидово расстояние которой от 0 не превосходит С左叱 Метрика, отвечающая этой точке “，оценивается некоторой степенью взятой с коэффициентом k евклидовой метрики, поэтому шар радиуса k~N с центром в “ содержится в U；. Как и в доказательстве леммы 18.4.8, отсюда сразу следует, что число индексов 卩，для которых d”仕《財 ограничено некоторой степенью числа А, чем оценки (18.6.10) и доказаны.
Теорема 18.6.6. Пусть метрика g в-умеренна и удовлетворяет условию g W gc, а функция m является (о, §)-умеренной. Для того чтобы все операторы а^(х, D) с а е S(m, g) были компактными операторами в Л2, необходимо и достаточно, чтобы на оо.
Доказательство. Ясно, что (в обозначениях, использованных при доказательстве теоремы 18.6.3) все операторы » компактны. Если /п-> 0 на оо( то для всякого е > 0 найдется конечное множество ^(e), такое что функции
\ ve W (е)，/
остаются ограниченными в S(Lg), когда е->0. Следовательно, по теореме 18.6.3,
口(芻 0)一У2®a：(х,叫《金，
чем и доказана компактность оператора aw(x, D). Обратно, пусть все операторы а^(х, D) с а е S(mt g) компактны. Тогда, в силу теоремы 18.6,3, функция /и ограничена. Если 6V определены, как при доказательстве утверждения о необходимости в теореме 18.6.3, и my = m(wv)t то
X m4bv 三 S (m, g)VW/
для всякого подмножества / множества индексов v. Следовательно, оператор
Z /Лубу (х, Q)-
Оценки для псевдодифференциальных операторов 231 компактен по предположению, и, как следует из доказательства утверждения о достаточности в теореме 18.6.3, операторы Ь： удовлетворяют оценкам (18.6.5), а потому, ввиду леммы 18.6.5, mvIIbv (х, £))||->0. Поскольку нормы ||b；(%, D)|| отграничены от нуля, заключаем, что mv^Q при wf оо, а значит, т(х, *)-► О при (х, Е)-> оо. Доказательство завершено.
До сих пор мы рассматривали лишь скалярные псевдодиф- ференциальные операторы. Ясно, что в исчислении, развитом в § 18.5, ничего не изменится, если допустить функции и со значениями в банаховом пространстве В] и символы а со значениями в S(Вь Вг)> так что aw(x, D)u будет функцией со значениями в В2- Однако проведенный выше вывод £2-оценок опирается на лемму 18.6.5, в которой существенно используется структура гильбертова пространства. Поэтому теоремы 18.6.3 и 18.6.6 применимы только в случае, когда пространства 8】и В? гильбертовы, причем в случае второй из этих теорем они вообще должны быть конечномерными.
В качестве первого приложения изложенных выше результатов обобщим теорему 18.1.14. Заметим, что в обозначениях, которые в ней использовались, символ Вейля оператора (а (л, D)-\- а(х, D)*)/2 по модулю Sm~2 равен Re(a + (〃2) £。％/6勺奘)Мы рассмотрим лишь случай /п = 0, ибо аналоги пространств "(§) не были определены здесь в общей ситуации.
Теорема 18.6.7. Пусть метрика g является ^-умеренной,
Й(Х, b = supg£ Jg? &《1
〃 О^а е S(l/A, g)・ Тогда
(仆(看0)以，以)》一с心俨，以w0,
где скалярное произведение и норма берутся в 厶2(R").
Доказательство. Для метрики
G = (a+ ir^-'g имеем
sup GJG： = (a (w) + 1 )T 五(w)T sup g/g* = (a (w) + 1 厂《1.
Если показать, что метрика G ——медленно меняющаяся, то из предложения 18.5.6 будет следовать, что она a-умеренна, поскольку множитель Л (а + 1), которым различаются метрики G и g, можно заменить на min(l, h(a + 1)), ибо функция 九(仪+1)
ограничена. Таким образом, функция а + 1 является (a, G)- умеренной. Мы докажем также, что
а+ 1 wS(a+ 1, G),
т. е.
Im (叫厶，…，小 k
& Ck (a 侬)+ Ip』h 侬)f 及 П gw严.
При 々22 это вытекает из предположения а ^ S(l/h, g), поэтому достаточно установить, что
[h^a1 {w)t\^C{h 侬)а 侬)产2 g^ (/)1/2.
Введем ^w-ортонормированные координаты zi, ...» ^ с началом в точке w и рассмотрим Л(w)a как функцию F(z) от этих координат. Тогда
\0гГ(2)\^Са,|2|<С,
для всех а, так как awS(l//i, g), и F ^0. Следовательно, в силу леммы 7.7.2,
I 尸(0)1 《 "(0)叱
чем и доказано (18.6.13),/. Используя формулу Тейлора, получаем
尸⑶ + 力侬) > (f(0) + Л (砌/2 при \z^ <cl(F (0) + h 3))， t. e.
2h(w) (a(w{) + l)》Zr(5)(a(5)+ 1) при Gw (w — Wj) < q.
Таким образом, GWi ^CGW при Gw(w — Wi) < сь так что метрика G — медленно меняющаяся.
Если F — функция класса С°° на R, удовлетворяющая условию
I 〃尸⑺(/) I < &尸(/) при / > 0,
и meS(m, G), то, как немедленно проверяется,尸(m) w S(尸(m), G) (ср. с леммой 18.4.3). Беря F(/) = ?/2 и m —a + 1, получаем d = (a + 1)I/2 е S (6, G). Теорема 18.5.4 дает теперь
L (х, Q) + 1 =产(％, Q)2 + 薩(居。)，
где с w S((a + I)-* G)u S(l, G). Следовательно, оператор cw(x, D) ограничен, чем теорема и доказана, ибо оператор &w(x, D)2 положителен,
В последней части доказательства имеющаяся информация использовалась настолько расточительно, что можно предположить, что справедлив и более сильный результат. И действительно, мн докажем сейчас более сильное неравенство Феффер- мана ——Фонга\
Теорема 18.6.8. Если метрика g является ^-умеренной и выполнено (18.6.11), то оценка (18.6.12) верна для всех неотрицательных a w S (1 /Л2, g).
Решающим моментом доказательства теоремы 18.6.7 было применение леммы 7.7.2. Установим сходный результат, в котором принимаются в расчет производные порядка 《4. Будем обозначать через Вг шар {% w R” |%|vr}, где |х|2 = е — евклидова метрическая форма.
Лемма 18.6.9. Пусть 0 ^ f ^ С°° (В2)» 以 пусть
If £(%)&】 при х е В2>
max(f(0), |f|；(0))=l.
Тогда найдется такое г > 0, не зависящее от f, что
(18.6Д6) 1/2 < max(f(x), | f |；(%)) <2 при % w Вп
lfl；(%)V8 при / < 4,
fa)= fi(%) + g(%)2 при x^Brt
где fb g^C°°(Br)9 причем 3》0 и &, 6〉％(尤)=0 при х е Вг для некоторого у е Rv \ 0. Точные верхние грани модулей | Daf{ | и \Dag\ 8 шаре ВГ оцениваются через точные верхние грани моду” лей I Dpf I 6 Вг для |рК2 + |а|.
Доказательство. Прежде всего оценим |f|：(0) и 丨 fg(O). Пусть fi W — однородная часть степени / тейлорова разложения функции / в 0. Тогда в силу формулы Тейлора
O^fCxXl+fiW+Ixp/S + faW + lxm |х|<2.
Следовательно»
. IA(x) + f3(x)|<l +lx|2/2 + |x|4/24, UI&2.
Из этого неравенства и неравенства, получающегося заменой х на 2х, вытекает, что при |х| = 1
I “ (х)+，з (尤)I & 3/2 + 1/24, I 2厶(х) + 8fз (%) I & 3 + 2/3, откуда
61foy® 61fз(%)1&7・
Таким образом, If「(0)03 и lf|；(0)&7・ Из формулы Тейло* ра следует теперь, что для достаточно малого г выполняются оценки (18.6.16) и (18.6.17).
Переходя к доказательству справедливости представления (18.6.18), рассмотрим сперва случай, когда | /1^(0)= 1, a f(0) мало. Используя лемму 7.7.2, убеждаемся, что【"'(О)!2 《2/(0), если г < 1/2, поэтому производная f'(0) также мала. Квадратичная форма % (%) обладает собственным вектором у с собственным значением 士 1/2. Выполнив, если надо, соответствующее ортогональное преобразование, можно считать, что у = е} =(1, 0, ..., 0). Таким образом, d2f(G)/dxJ = ± 1 и d2f(0)/dx! дг7 = 0 при / #= 1. Поскольку
0 & f (хр 0,・•・，0)《f (3) + 占讨(0)/6/ 士 */2 + 7|xI |3/6 + 货/24, заключаем, беря 占=士 1/3, что если f (0) < 1/100, то 02f (0)/0旺=十 1, Ибо 1/100 - 1/18 + 7/162 + 3-4/24 < 0. Если IX)I = г и I Xх I < г, %'=(%2,…，％“)，то, как следует из оценки
I 行(х)/6%1 — df (0)/0/ — X] ] < 41 х I2 + I X Р/6,df/dXi имеет тот же знак, что и хь при условии чтоГ>|歹(0)/0修1 + 4产+产/6.
Выберем и зафиксируем г столь малое, что 4尸 + 尸2/6 V 1/2 и 1/2 < J2f (х)/дх^ < 2 для 左 w В2г 0- Если /(0) < г4/8, то 尸(0) < 〃2, так что уравнение
&〃/, /) = 0
имеет единственное решение 尤[=Х(%‘), удовлетворяющее условию I X] I < г при I xz 1 < г. Так как
ах/а% = — б@мх, /)階f(x, /), мы последовательно получаем, что все производные порядка k от X оцениваются через границы для производных порядка k + 1 от f, ибо 6；f(X,尤')》1/2. Используя формулу Тейлора и (18.6.19), заключаем, что f = fi + g2 в Вп где функция
f.M = f(X(x^ 犬) не зависит от хь а
g (х)2 = f ⑺ 一 f (X (犬)，/) = (x^X (£))2 Q (砧 i
Q (x) = \ 明{ % + / (X (%，) _ %), /) / d/.
Л также「‘/8 v 1/100. — Прим, перев.
Ясно, что Q》1/4 и производные порядка 々 от Q оцениваются через производные порядка 论+2 от 厶 поэтому функция g =(打—%(^))01/2 w C°°(Br) обладает требуемыми свойствами.
Осталось рассмотреть случай, когда f(0)》г4/8. В этом случае найдется Ло V г, такое что
f (х) > 产/9 при |х I < г0,
и если взять это г0 в качестве искомого г, то требуемыми свойствами обладает функция g(x) =/(х)】^. Доказательство завершено.
Следующая лемма ——частный случай теоремы 18.6.8, в котором метрика g постоянна； это важный шаг доказательства теоремы.
Лемма 18.6.10. Пусть g — положительно определенная квадратичная форма на R2% удовлетворяющая условию g/ga &入？ 0 1. Пусть, далее, 0 0 a w C°°(R2n)以
|а| 式 5)&%т при swR” 々&M
Если N достаточно велико, то
(仃(居 d)〃，〃)>-С|®俨，〃w夕，
где С не зависит от g и от а.
Доказательство, Не уменьшая общности, можно считать, что a wB{R2"). Далее, в силу леммы 18.6.4 и теоремы 18.5.9 мы не ограничим общности, если предположим» что g (х,自)=2 %⑷+盼
Здесь I； & 九.Поэтому условия леммы будут по-прежнему выполняться, если заменить %/ на X; условие (18.6.20) примет в этом случае вид
а8.6.20)' 2鼠3)&歴т)/2 при R&M з 三 R2n.
Здесь е снова обозначает евклидову метрическую форму. Рассуждая по индукции, предположим, что лемма уже доказана для размерностей, меньших 2п. Это значит, что оценка (18.6.21) справедлива в случае, когда, скажем, а не зависит от |i, ибо тогда &w (尤，Q) можно рассматривать как оператор по переменным xz = (х2, .. •, хл), зависящий от 尤i как от параметра, и этот оператор имеет нижнюю границу —С для каждого %ь Привлекая снова теорему 18.5.9, заключаем, что это верно и для символов 〃， постоянных в любом другом направлении. Это позволит нам оценить член 厶 из леммы 18.6.9.
Как и при доказательстве теоремы 18.6.7, заменим метрику 入е на метрику G, задаваемую равенством Gx, ^ = H(xt g)e, где функция Н W 1 такова, что а ^ S(l///2, G). Это требование означает, в частности, что
aw//-, \а^Н~1.
Чтобы гарантировать выполнение этих условий, положим (18.6.22)1/〃侬) = тах(1, а®严,|a|；(w)).
Теперь применим лемму 18.6.9 к
f ⑵= Н®)2 a (з + z/"侬产 В，zwR”
В силу (18.6.20)- I f |：& 1. Далее,
f (0)= 〃 侬)2 а (吼 I н； (0) = " (w) I а，侬)，
и в силу (18.6.22) эти величины 《1. Поэтому лемма 18.6.9 заведомо применима если не к самой функции 厶 то к функции /(z)十 1 — f(0)・ Из (18.6.16) вытекает теперь, что
1 ]Н 侬)& 2/"(吗)при \ w — w}^ Н (w) < г2, т. е.
G耽&2(7侬 при Gw(w — wi) < г2.
Таким образом, метрика G — медленно меняющаяся, и из предложения 18.5.6 следует, что она a-умеренна. Доказательство этого факта в рассматриваемой ситуации столь просто, что мы повторим его, с тем чтобы подчеркнуть равномерность получаемой оценки'). Мы хотим показать, что
GsSCGmi + 6以,(3一叫))，
или, эквивалентно, что
Н 侬 1) & СН ®) (1 + I ⑵一叱 I2/"(叫)).
Делая это, можно считать, что Gw(w — г^1)^ с, т. е. что H(w) \ w — Wi\2 ^ с, а тогда эта оценка выполняется очевидным образом при С = 1 /с.
Выберем вещественнозначную функцию % е Со°({2; | z | < г}), равную 1 в шаре {z; | 2 | < г/2]. Функция х (z) f (z) и все ее про-
9 То есть то, что в данном случае ^ — 1 (см. (18.5.11)'). — Прим, перев.
изводные порядка &N ограничены. Это следует из леммы 18.6.9 и того, что (18.6.20)' дает оценки для производных порядка >4 от 厶 В силу очевидной модификации леммы 18.4.4 существует последовательность wv w R2rt, такая что имеется фиксированная граница для числа шаров 8产{叫 GWv 侬一5jV产} с непустым пересечением, и последовательность вещественнозначных функций RWC；(B0,a={叫 %式5一%)V 产/4}» удовлетворяющая условиям | <pv |G ^ С* и
Z фу(5)2= L Положим
av (w) = х(// (叫产 2 (w — w^))2 a (w).
Тогда
Е q\ 侬)2 % (w) = a (w), % w С； (В) при ум
Чуть погодя мы докажем, что найдется постоянная С2, для которой
(а^(х, О)〃，〃)> —С?® 吟 〃已俨・
В предположении что это уже установлено, заменима на ф*(х, D)u и просуммируем полученные неравенства. Последовательность {<Pv(^, I)} можно рассматривать как символ из S(1,G) со значениями в /2^(С, /2), поскольку в каждой точке (х, |) мы
имеем дело лишь с конечным числом членов этой последовательности. Поэтому из теоремы 18.6.3 вытекает, что оператор
Ф:以—{ф；(居 Q)〃} w/?(R* 尸)
厶2-непрерывен, т. е.
Е 肿：(居 D)uf^C3\\u]?.
Сумму 2ф：(尤,D) а* (х, О)Ф：(尤,D) можно рассматривать как композицию оператора Ф, оператора 力 в L2(Rrt,尸)，символом которого служит диагональная матрица {а* (尤,^)6vlx}, и оператора, сопряженного к Ф. За счет выбора ^ мы можем обеспечить конечность сколь угодно большого числа S(//-2, б)-полу- норм символа Л. Поскольку q)v {av, q)v} + {q)v, av} q)v = 0, члены первого порядка в формуле композиции из теоремы 18.5,4 взаимно уничтожаются. Следовательно,
Еф；(х, D)a：(x, D)^(x, C) = aw(x, D) + № D,
причем сколь угодно много S(l, G)-полунорм символа R конечно. Из теоремы 18.6.3 и оценок (18.6.23), (18.6.24) вытекает поэтому, что
(aw (х, С)〃，«)= 2(а；(х, П)ф：(х,。)“，ф：3。)〃)
-(RW (%, D)〃，〃)》一С£зII“II2-C4||u俨, что и требовалось доказать.
Осталось убедиться в справедливости оценки (18.6.23). Ввиду леммы 18.6.9,
% (z)2 f(Z)= X 3)2 % ⑵ + (% (z) g (z))2,
где функция fa》0 получается умножением функции " на срезающую функцию» постоянную в направлении вектора у и равную 1 на supp %. Таким образом, у функции % все производные порядка &"——2 ограничены. Возвращаясь к исходным переменным, положим Hv = H(wv) и
爲= %((• 一%)”2)，Ьl%《•-%)h^m纸,% =(%笛((•-%)"；")//，
где 『2 н g получаются применением леммы 18.6.9 к %a (外 + 。/"?2). в силу (18.6.18)
% = *% +時，
причем за счет выбора ^ можно обеспечить, чтобы у функции 力” (СООТВ. Xv, cj было сколь угодно много конечных S(Н： Яve)-(соотв. S(l, Н®-，S (”，/7ve)-) полунорм. По предположению индукции
^(х, D)u, u)>-C5||u||2.
Применяя теорему 18.5.4, заключаем, как и выше, что при достаточно большом N у символа оператора
W (尤，。)一工(%，0)大(居。)5cz0)一 C：(居 0) C： (%，0)
имеется сколь угодно большое число конечных S(l, //ve)-полунорм, поэтому теорема 18.6.3 дает границу для Л2-нормы этого оператора. Тем самым оценка (18.6.23), а с ней и лемма доказаны.
Доказательство теоремы. 18.6.8. Надо просто повторить часть доказательства леммы 18.6.10. Возьмем функции <pv, такие же, как и в лемме 18.4.4, но только с £屮；=1・ Выбрать их можно так, чтобы q)v4)v =(pv для некоторых неотрицательных
функций i|)v е С~ (Bv), так же, как и 恥，образующих ограниченную последовательность в S(l, g). Положим av == ^уа, так что а=Хф№%・ Поэтому, как и прежде, мы заключаем, что
2<р：(х, С)а：(х, £>)%(%, D) — aw(K, D)
—ограниченный оператор. В силу леммы 18.6.10
(а：(居 D)ut и)>~СЫ,
где С не зависит от v. Следовательно,
Х(4(х, О)ф：(х, D)u, <р：(х, O)〃)》一C1W 俨，
ибо оценка (18.6.24) остается справедливой при нашем новом выборе функций фу. Доказательство завершено.
В частном случае метрики (18.4.1)' получаем
Следствие 18.6.11. Если 0&а w S^『*(R" X R")以 0&6 V p《1» то оператор aw (х, D) ограничен снизу и то же верно 6 отношении оператора а (尤,D) + а (х, D)*.
Заменить 入一纟 в лемме 18.6.10 более высокой степенью числа 1/Х нельзя:
Пример 18.6.12. Пусть b(xt &==%£ (х, g)wR2. Тогда
Ь*(х, 0)2 = @w(% »+ 1/4,
где а =&2» ибо — 8-1 (д£(Зу — дхд^ х^ут\ = 1/4. Следовательно^ gw(x, D)u, 〃)= /w(x, D)uf-^ul2^, 〃w9.
Уравнение &w(x, D)u = 0 можно записать в виде 2%〃' + 以=0; оно удовлетворяется при и(х) = х~'/2. Возьмем функцию ywCT, равную 1 в некоторой окрестности нуля, и положим для малых е > 0
% (%) = (% (ех) — % (х))/| х |1/2.
Тогда
bw (%,。) U8 (х) = I X г1/2 XD (х (ex) — % (х)),
а потому bw(x, D)uJ^C. В то же время ||ne||2/loge -> — 2 при 8->0. Таким образом, (aw (х, D)u&, ue) < 0, если е достаточно мало. Выберем теперь неотрицательную функцита 〃oWC/(R2), такую что а0 (х, g) = xV в некоторой окрестности нуля. При 0
(電("入修 «入0)%, %)/%2 f (d (%, D) ue,/)，
так как &()(«%%, “九 Е)/九？ слабо сходится к а в 5((1 + х2 + Е?)2, е) при Л-> 0. Поскольку правая часть последнего соотношения может быть неотрицательна, мы видим, что показатель —2 в оценке (18.6.20) или в теореме 18.6.8 неулучшаем.
Условие же а ^ 0 в теореме 18.6.8 и лемме 18.6.10 излишне сильное. Дело в том, что при доказательстве леммы 18.6.10 мы не использовали возможность учесть квадратичные члены, которые могут дать существенный вклад в сочетании с другими такими членами на последующих шагах индуктивного рассуждения. Мы вернемся к этому вопросу в § 22.3.
В векторнозначном случае теорема 18.6.7 остается верной, но уже не может быть усилена. Ключом к доказательству положительного результата служит следующий довольно слабый аналог леммы 18.6.10:
Лемма 18.6.13. Пусть g ——положительно определенная квадратичная форма на R2* удовлетворяющая условию g/g° W 炉 W 1. Пусть, далее, 0 ^ а е C°°(R2n, S(H, Я)), где Н — гильбертово пространство, и
|а|в(а>ХА-1 при w е R2", h&N.
Если ^ достаточно велико, то
gw (%, D)ut 以)》一С心俨，〃wB(R倖，Я).
Доказательство, Как и в доказательстве леммы 18.6.10, можно считать, что g = Ае, где е — евклидова метрическая форма. В этом случае условие (18.6.25) принимает вид 〈18.6.25)'|аГ(з)&А?т)/2.
Пусть А。+ Д1 (х, Е)——тейлорово разложение первого порядка функции а в точке 0. В силу (18.6.25)', для всех и w Н
(Л0о, о) + (Л1(х, 0)о, v) + \x^\\v^/2^Q,(4。，и) + (4 (0, Е) о, и) +1Е Н и『/2 > 0.
Если 〃已乡(口* 〃), то, применяя эти неравенства с % н 自,замененными на 2х и 2|, к у = и(х) н и = «(Е) соответственно, получаем
<18.6.27) (4/, и) + (4, (х, С)〃，〃)》一£ (llx/ulP + UD/Ull2),
где скалярные произведения берутся теперь в L2(Rrt, Н). (Это — замена леммы 7.7.2.) Докажем теперь, что
(aw(x, D)u,幻》一CZ(||x/〃||2 + ||%||2).
С этой целью, используя формулу Тейлора, запишем символ а в виде
а (*, 5) == Ло + 4(*, 9+£ XjXkRlk (х, J)
+ S次比% (%,三)+ 2 2破门拉(X,自),
где Rjk и S” симметричны по / и ^; за счет выбора N мы можем обеспечить конечность сколь угодно большого числа S{1, g)-полунорм функций R抬,S法 и Т汴.Тогда
aw (%。) = А。十 4 (х, О + Е х^П (х, О)力 + £ 5S% (х, О) Dk
+ 2 к(Г% (х, D)Dft+ £ Df (х, D) х/ - /Г(爲 °), где
4R = 2 g2RW呜殯 + 2 gddXjd底 一 2 2 初〃%d办
имеет сколь угодно много конечных S(k, g)-полунорм. Это получается несложной выкладкой, в которой используется тот факт, что умножение оператора слева (справа) на , или 力 соответствует умножению символа Вейля на #/ ± 2一"»/0畐 или |/ 4= 2~lid/dxj. Оценка (18.6.28) сразу следует отсюда, поско』ь・ ку м胪WB,〃尸+d力〃恥
Из (18.6.28) вытекает, что, более общим образом,
(18.6.28Г (а*(х,切“，“)》一 С £ (II (勺一力)“『+1| (力-山)м『)
для всех (^, т))е R2n. Чтобы убедиться в этом, надо просто применить (18.6.28) к a(% + g, g + n)，преобразовав и в соответствии с теоремой 18.5.9. Выберем теперь функцию
屮巨 С/(R"), такую что
£ ф(X — V)2 = 1,
где V пробегает все точки некоторой решетки в R*. Положим (pv(x) =(р(х — V)и применим (18.6.28)7 с ^ = v и и, замененным на q)w・ Получим
X^-v^^^CWu^.
Используя исчисление, основанное на метрике [dx|2 + ^|rf?l2. можно вычислить
£%(х, D)aw(x, D)^{x, D).
Главный член этой суммы равен а, а члены первого порядка взаимно уничтожаются, поэтому, как и в доказательстве леммы 18.6.10, мы заключаем, что этот символ равен а + Ь, причем мы имеем границы для сколь угодно большого числа 5(1, I cfx j2 + ЛI cfg 12) -полунорм символа Ь, а значит, и границу для нормы отвечающего ему оператора. Отсюда следует, что (18.6.28Г (а« (х, 3) 〃，〃)> — С (II 〃 俨 + £ II (С/ -力)〃『)•
Мы заменили здесь и на ф^ (Z>) и и л на v- Повторение предыдущего рассуждения дает теперь оценку (18.6.26). Доказательство завершено.
Используя эту лемму и соображения локализации из доказательства теоремы 18.6.8, немедленно получаем следующий результат:
Теорема 18.6.14. Пусть метрика g является (^-умеренной и выполнено (18.6.11). Если символ а со значениями в R(H, Н), где " — гильбертово пространство, принадлежит классу S(l//i, g)以 8се его значения суть неотрицательные операторы, то
俨(х, О) 〃，〃) > — С И 〃 ||2, 〃号夕(Rn,")・
Примечания
Теория псевдодифференциальных операторов выросла из теории сингулярных интегральных операторов. Последние — это, в сущности, псевдодиффереициальные операторы с однородным символом порядка 0. В теории сингулярных интегральных операторов рассматривается лишь главный символ. Его мультипликативные свойства выглядят весьма таинственно, поскольку преобразование Фурье не привлекается» и исторически именно этим, по-видимому, и объясняется название таких операторов (см. Seeley [5]). Сингулярные интегральные операторы были введены для изучения эллиптических задач, но в 50-х годах было осознано, что в действительности они не играют там важной роли. Работа Кальдерона (Calderon [1]) о единственности решения задачи Коши стала другим подтверждением их важности, но в книге, которая была предшественницей этой, результаты Кальдерона доказаны и обобщены прямым методом, основанным на интегрировании по частям, преобразовании Фурье и технике локализации. Воскрешение теории сингулярных интегральных операторов связано, пожалуй, с принадлежащим Атье и Зингеру (Atiyah, Singer [1]) решением проблемы индекса для эллиптических операторов. Во всяком случае,
вскоре после этого Кон и Ниренберг (Kohn, Nirenberg [1]) ввели псевдодифференциальные операторы с общими полиодно- родными символами. Они сняли искусственное ограничение — порядок 0 — и дали правила вычисления членов младших порядков, благодаря чему новый метод обрел высокую конкурентоспособность. Их доказательства и определения были основаны на использовании преобразования Фурье, за исключением результатов о заменах переменных, которые Кон и Ниренберг доказывали, возвращаясь к сингулярным интегральным операторам. Этот архаизм был через некоторое время устранен Хёрмандером (Hormander [16]). Стремление включить в теорию фундаментальные решения гипоэллиптических операторов постоянной силы привело к введению символов типа (р, 6) (Hormander [18]), которое многие рассматривали как широкое обобщение. В действительности, однако, обобщение оказалось недостаточным для изучения дифференциальных операторов главного типа, что побудило Билза и Феффермана (Beals, Fefferman [1], Beals [1]) еще больше расширить класс допустимых символов, с тем чтобы можно было приспособить класс символов к изучаемому оператору. Распространение их метода на исчисление Вейля, имеющее восходящую к Г. Вейлю традицию (Weyl [5]) в квантовой механике, представлено в § 18.4— 18.6. Здесь мы следуем в основном статье Hormander [39], но некоторые обобщения заимствованы из работы Dencker [2]. Одним из приложений общего исчисления, развитого Билзом и Фефферманом (Beals, Fefferman [1]), было《точное неравенство Гординга», впервые доказанное в работе Hormander [17] и распространенное затем на векторнозначный случай Лаксом и Ниренбергом (Lax, Nirenberg [1]). В § 18.1 дано элементарное доказательство исходного результата, часто используемого в последующих главах, а в § 18.6 представлено обобщение результата Лакса — Ниренберга, а также гораздо более точное утверждение для скалярного случая, принадлежащее Феффер- ману и Фонгу (Fefferman, Phong [1]). По поводу усилений этих результатов в других направлениях отсылаем к § 22.3 и примечаниям к гл. 22. Ключом к оценкам § 18.6 служит результат о суммах почти ортогональных операторов, часто называемый леммой Котлара и доказанный Котларом (Cotlar [1]) и Кнаппом и Стейном (Knapp, Stein [1]); более общий результат, представленный здесь, принадлежит Кальдерону и Вайянкуру (Calderon, Vaillancourt [1, 2]).
Конормальные распределения, обсуждаемые в § 18.2, были определены в работе Hormander [26]. Они представляют собой простейший частный случай лагранжевых распределений (интегральных распределений Фурье), которые будут подробно изучаться в гл. 25. Результаты, касающиеся условия трансмис-
сии, принадлежат Буте де Монвелю (Boutet de Monvel [1]); их обобщение, представленное в теореме 18.2.15, взято из старых записей лекций, вдохновленных исследованиями Вишика и Эскина [1—5]. Результаты § 18.3 почти целиком принадлежат Мелроузу (Melrose [1]). К этой статье мы отсылаем всех, кто пожелает ознакомиться с дальнейшим развитием этой темы* параллельным теории интегральных операторов Фурье, изла* гаемой в гл. 25.
19
Эллиптические операторы на компактных многообразиях без края
Краткое содержание главы
Из исчисления псевдодифференциальных операторов непосредственно следует, что у всякого эллиптического псевдодифферен- циального оператора на компактном многообразии и ядро, и коядро конечномерны. Таким образом, эллиптические операторы фредгольмовы. Главная тема этой главы ——изучение индекса оператора, т. е. разности между размерностями его ядра и коядра. Эта величина заслуживает изучения ввиду того, что она весьма устойчива относительно возмущений оператора; для многих операторов, встречающихся в геометрии, индекс дает важную топологическую информацию. Так, классическая теорема Римана — Роха, равно как и некоторые из ее современных аналогов для нескольких комплексных переменных, — частные случаи теоремы об индексе.
Мы начинаем с того, что даем в § 19.1 обзор абстрактной теории Фредгольма. При этом в изложение включен и ряд не совсем стандартных результатов. Это утверждения об устойчивости индекса сильно непрерывного семейства операторов, выражение индекса через следы для операторов в гильбертовом пространстве и, наконец, связанные с этим результаты об инвариантности эйлеровой характеристики относительно перехода к гомологиям. Затем в § 19.2 устанавливаются основные аналитические свойства индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов. В § 19.3 посредством вычисления некоторых следов выводится явная формула индекса для псевдодифференциальных операторов в Рл. Используя результаты § 19.2 и 19.3, можно, как это отмечается в конце § 19.2, получить формулы Атьи ——Зингера для индекса. Однако проблема эта относится главным образом к дифференциальной геометрии, а нам не хотелось бы отвлекаться на изложение необходимых для ее обсуждения предварительных сведений о характеристических классах, поэтому мы ограничиваемся совсем краткими замечаниями по поводу формул Атьи•—Зингера. Вместо этого в § 19.4 рассматривается принадлежащая Атье и Ботту формула Леф-
шеца, которую можно сформулировать и доказать без обширного геометрического реквизита. В § 19.5 мы обсуждаем вопрос, в какой степени условие эллиптичности необходимо для фред- гольмовости; в связи с этим обсуждением вводится более общее понятие эллиптичности.
Абстрактная теория Фредгольма
Если & и В2 — конечномерные векторные пространства (над С) и Т ——линейный оператор Bi -> В^ то ранг этого оператора равен, с одной стороны, коразмерности его ядра Ker Т, а с другой—размерности его образа, так что-
dim В】一dim Ker Т = dim В2 — dim Coker Г,
где Coker T = B^/TB^. Это означает, что разность
dim Ker Т — dim Coker 7 = dim By —- dim &
не зависит от T. В этом конечномерном факте кроется основная причина свойств устойчивости величины в левой части последнего равенства в бесконечномерном случае. Эта величина называется индексом оператора Т.
Если & и В2 — банаховы пространства и Ге ^(Вь В2), то КегТ = {/w&; 77 = 0}
не обязано быть конечномерным, но заведомо является замкнутым подпространством в Вь Образ ТВ\ оператора Т может быть и незамкнутым, однако справедлива
Лемма 19.1.1. Пусть Т е £{В\, В2) 〃 образ ТВ\ имеет конечную коразмерность в 52* Тогда он замкнут.
Доказательство. Оператор Т можно считать инъективным, потому что в противном случае можно вместо Т рассмотреть индуцированный им оператор из В】/Ке「Т в &. Если коразмерность образа ТЕ] равна п, то найдется линейный оператор
S: СЛ->В2,
образ которого SC" будет подпространством, дополнительным к ТВ\1 так что отображение
Т[： В( Ф Сп э (х, у)*—>Тх -\~ Sy s В2
будет биективно. По теореме Банаха оно является тогда гомеоморфизмом, откуда и следует, что множество ТВХ ~Т\ (В] Ф{0}) замкнуто.
Определение 19.1.2. Оператор Т 巨⑨(々，殳)называется фред-
гольмовым, если его ядро Кег Г конечномерно, а образ ТВ{ (замкнут и) имеет конечную коразмерность. В этом случае полагают
ind Т = dim Ker Т — dim Coker Г.
Иногда мы будем применять определение (19.1.1) и в случае, когда только размерность dim Кег Т конечна, а относительно образа ТВ[ известно лишь, что он замкнут. Эта ситуация может быть охарактеризована следующим образом:
Предложение 19.1.3. Пусть Г е S(B\, В2). Деа приводимых ниже условия равносильны： .
dim Кег Г < оо и образ ТВ\ замкнут;
каждая ограниченная последовательность 力 6 В】，для которой последовательность Т力 сходится, обладает сходящейся подпоследовательностью.
Для доказательства этого предложения нам понадобится классическая лемма Ф. Рисса:
Лемма 19.1.4. Ни в каком бесконечномерном банаховом пространстве В единичный шар не является компактным (в топологии, задаваемой нормой).
Доказательства, Существует поеледовательность ，了 它 В, такая ито 11力11=1《]力+西叫)
для всех ] и всех а* е С. Действительно, пусть элементы /ь ...,力у уже найдены. Возьмем какую-нибудь точку g, лежащую вне линейного подпространства 厶，натянутого на эти элементы. Найдется точка 良巨厶 минимизирующая ]|g ——川],, ибо 厶 конечномерно, а указанная норма f 8 при А-> оо. Тогда элемент 力=(g —— 九)/llg —— 川I обладает требуемыми свойствами. В частности, для последовательности fj имеем ||f/ — fk^》1 при j 耍良 поэтому у нее нет сходящихся подпоследовательностей. Доказательство предложения 19.1.3. Пусть выполнено условие (И). Из него следует, в частности, что единичный шар в Кег Г компактен, а значит, Ker Т конечномерно по лемме 19.1.4. В силу теоремы Хана — Банаха, для конечномерного подпространства КегТ существует топологическое дополнение B()uBi. Из условия (ii) следует, что
IIf lh КСII "b f®&・
В самом деле, в противном случае нашлась бы последовательность 力 w 殳 с llf/lh = 1 и ]|Т川卜 W 1/L Согласно условию (ii), у некоторой ее подпоследовательности существовал бы предел f, для которого мы имели бы f е Во, llfll= 1, Tf = 0, что невоз-
можно. Итак, (ii) влечет (19.1.2). Обратно, пусть выполнено (19.1.2) и ff — ограниченная последовательность в 8「такая что «тоследовательность Tf/ сходится. Последовательность 力 можно записать в виде h = gi + hj, где g,三 Кег 7, а последовательность ft； w Во тоже ограничена. Поскольку Thj = Т%, из (19.1.2) вытекает, что последовательность 也 сходится, а у ограниченной последовательности g『в конечномерном пространстве Ker Т найдется сходящаяся подпоследовательность. Таким образом, выполнено (ii). Но из теоремы Хана ——Банаха следует, что (19.1.2) справедливо тогда и только тогда, когда ограничение оператора Т на Во является инъективным оператором с замкнутым образом. Тем самым равносильность условий (i) и (ii) установлена.
Нашим первым результатом об устойчивости индекса будет
Теорема 19.1.5. Если Т удовлетворяет условиям предложения 19.1.3 и норма оператора S е ^(Вь В2) достаточно мала, то dim Ке「(丁 j S) W dim Ker Т, оператор Т + S имеет замкнутый образ и ind (Г + S) = ind Г.
Доказательство, Рассмотрим сначала случай, когда оператор Т •биективен. Тогда оператор
t + s = t(/ + Ls)
-тоже биективен, если l|T7H|S||V 1, поскольку оператор I-^-T~lS можно тогда обратить с помощью ряда Неймана. Таким образом, в этом случае теорема справедлива. Теперь предположим, что Г лишь инъективен. Тогда в силу (19.1.2)
HflliCCnflbCCIKT + ^flh + CIISIIIIflh.
Следовательно, llflh W 2cH(丁 + S)fk при C||S|]V 1/2. Это значит,. что для таких S оператор 7 + S является инъективным оператором с замкнутым образом. Если dim Coker Т < оо, то существует конечномерное подпространство W в В2, дополнительное к ТВ】. Пусть g — естественное отображение В2-^ B2/W. Тогда оператор qT биективен, а потому и оператор qT + qS биективен для всех S достаточно малой нормы, и для таких У
ind (Т + S) = — dim 犷=ind Г.
Если известно лишь, что dim Coker Т > п, то можно выбрать подпространство W размерности л + 1 с W Г) ТВХ ={0} и заключить, что ind(T + S) V ——п для всех S с достаточно малой нормой. Применяя этот результат с 7\ замененным на 7 + S, видим, что множества
{S; C||S|| V 1/2, ind(T + S) = -n},
{S; GSHV 1/2, ind (T + S)<-n}
открыты для любого п. Поскольку шар {S; C(|S](< 1/2} связен- отсюда следует, что ind(「+S) на самом деле должен быть постоянным для S из этого шара.
В общем случае, когда У = Кег Г #={0}, выберем какое-нибудь топологическое дополнение В。к N в Вь так что 8^ = 8。 Ф N. Из уже доказанного следует, что для всех S с достаточна малой нормой ограничение на Во оператора Т + S является инъективным оператором с замкнутым образом и
codim (Г + S) Во = codim ГВ()= codim ТВ{.
Если ЛГ = Кег (丁 + S), то ” f)氏={0} и Bi = A^z Ф Я?7 Ф Во для некоторого конечномерного 吃 Коразмерность образа (Т + S) & = (Т +S)呼㊉(Т +S，B()равна codim ТВ{ — dim W, поэтому
ind (Т + S) = dim N/ + dim W — codim ТВ】
=dim N ——dim Coker T — ind T,
чем и завершается доказательство.
Следствие 19.1.6. Множество всех фредгольмовых операторов 8 2 (Bi, Вг) открыто, dim Кег Т есть полунепрерывная сверху функция от Г, и индекс ind Г постоянен на каждой связкой ком* поненте множества всех фредгольмовых операторов.
Следствие 19.1.7. Если а02①h殳)u 乙 巨必(殳,员)— фредгольмовы операторы, то и Т^Гх е S (Вь Вз) —фредгольмов оператор, и справедлив ^логарифмический закона
ind (Т?") = ind Т】+ ind 厶・
Доказательство. Поскольку 7\ отображает Кег Т2ТХ в Кег 7г с ядром Кег Т1, то dim Ker 72Tl W dim Кег 八 + dim Ker 7V Ана* логично dim Coker Г2Г1 W dim Coker 7\ + dim Coker 厶 откуда видно, что оператор Т2Tl фредгольмов. В блочно-матричной записи оператор
//2 0 \/ /2 cos / б sin /、( Ti 0 \(0 Г?丿 I —厶 sin / /2 cos Z / \ 0 /2 /
где /2 ——тождественный оператор в В2, для всякого f является фредгольмовым оператором из 当㊉ & в В2® В3. При f = 0 это будет прямая сумма операторов Т\ и Г2, а при / = —л/2 — one* ратор (/i, /2)»—>(—/2, T^Tifi). В первом из этих случаев индекс, очевидно, равен ind Л + ind Г2, а во втором равен ind (ТгЛ)^ откуда и следует справедливость логарифмического закона.
Следствие 19.1.8. Если Т е ^(51, S2)——фредгольмов оператор» a K^Z (Вь В2)—компактный, то оператор 丁 + К фредголь* мое и ind (Т + К) = ind Т.
Доказательство. Пусть 力一ограниченная последовательность в 51, такая что (Т-р К)力 сходится. Компактность оператора К позволяет выбрать из нее подпоследовательность ，/比，для которой Kf〃 сходится. Значит, Т力比 сходится, и из условия (ii) предложения 19.1.3 вытекает, что последовательность fik о6』а^ дает сходящейся подпоследовательностью. Вновь применяя предложение 19.1.3, на этот раз к Т + К, заключаем, что Т + К имеет конечномерное ядро и замкнутый образ. Поэтому, согласно теореме 19,1.5, индекс оператора Т + zK является локально постоянной функцией от 2 е С, а следовательно, не зависит от 乙 Таким образом, Т + zK при всех z будет фредгольмовым оператором с индексом, равным ind Т.
Следствие 19.1.9. Если Т(Bi, В2) и для некоторых Sj 三必(В% В», j = 1, 2, выполняются равенства TS2 = /2 + К& SiT = /i + Ki, где операторы К/ компактны, то операторы 7\ Si и S2 фредгольмовы и ind Т = —ind S〃 / = 1,2.
Доказательство. Оператор Т фредгольмов, так как 「
dim Ker Т W dim Ker (Ц + &),
dim Coker T & dim Coker (/2 + KJ・ Поскольку
SZS2 = S+S& = S2 + K&
оператор S2—Si компактен. Следовательно, и операторы S2T—厶 и 7Si—/2 компактны, а потому Si и S2 фредгольмовы в силу первой части доказательства, и ind 7 + ind Sf = ind(// 4- K/) = 0 в силу следствий 19.1.7 и 19.1.8. Доказательство завершено.
На самом деле индекс обладает гораздо более сильными свойствами устойчивости, чем указано в следствии 19.1.6:
Теорема 19.1 ЛО. Пусть В{ и В^ — дза банаховых пространства и / — некоторое компактное пространство. Если Tt ^ 2 (ВЬ В2) и Stw ⑨(82, Bi) являются сильно непрерывными функциями от t ^1 и операторы
Кц — SfTf — /(, К2f = T/S 力一J?
равномерно компактны, 8 том смысле, что для / = 1> 2 множество
пред компактно 8 5/, то операторы 7\ 〃 S, фредгольмовы^ dimKerTt u dim KerSr суть полунепрерывные сверху функции от 厶 а индекс ind Л =——ind St как функция от £ локально постоянен w, следовательно, постоянен в случае, когда / связно.
Доказательство. Фредгольмовость операторов Tt и St вытекает из следствия 19.1.9. Положим
N = {亿 f)e/XBb llflli = I, Ttf = O}.
Это — замкнутое подмножество в / 义自，ибо TJ = 0 влечет f ~—Kuf е 2Hb Следовательно, N — компакт. Из доказательства леммы 19.1.4 следует, что
lk = {tG /; dim Ker Tt > 左} представляет собой множество всех /, для которых существуют /ь 扭，такие что (厶 f/)e^ и
при / = 1,・..,々 и любых а( е С. Таким образом» множества /& есть проекция на / некоторого компакта в Nk и, значит, компактно, откуда вытекает, что множество {/; dim Ker 7f < &} открыто. Следовательно, dim Ker Tt — полунепрерывная сверху функция от t> и то же самое, разумеется, верно в отношении dim Ker St.
Поскольку ind А + ind Sf = 0, теорема будет доказана, если мы покажем, что ind Л (а значит, и indS/)—полунепрерывная сверху функция от 厶 Пусть /о®/. Выберем в В{ какое-нибудь топологическое дополнение 殳 к Ker % Так как инъекция 殳->& имеет индекс dim Ker Ло> индекс ограничения оператора 兀 на 5。равен ind 7\ — dim Кег 7%. Поэтому нам надо показать, что codim Т/Во^ codim T^Si для всех f из некоторой окрестности точки h Выберем в & конечномерное подпространство 步 с dim W = dim Coker Т/0 и W П^0В1 = {0}. Множество
Мг = {& f) е 7 X So； "lh = L Ttf е W} компактно. Действительно, оно замкнуто. Для (厶 f、w Nw мьт имеем f = StTtf — Kuf, где Kuf ^Мг и
\\Ttf\^c\\f\\{ = c9
ибо Tt сильно непрерывно по f. Поэтому компактность Nw вытекает из того, что множество
{(/, g)w/X吃 IlglbWC}
—компакт и отображение (f, g)i-^Stg непрерывно на нем. Мы можем теперь заключить, что проекция
/% = {/；(厶 f) е Nw для некоторого /} множества ^щ на / — тоже компакт. Следовательно, ее дополнение открыто, и в силу выбора W оно содержит /0. Поэтому
для всех / из некоторой Окрестности точки /0
codimTtBQ^dim W = codimЛОВЬ чем доказательство и завершено.
Предположения теоремы 19.1.10 оказываются весьма естественными при изучении эллиптических псевдодифференциаль- ных операторов А; роль операторов S± играют их параметриксы.
Закончим на этом обсуждение свойств устойчивости индекса и перейдем к выводу следовой формулы для индекса фредгольмовых операторов в гильбертовых пространствах. С ее помощью мы получим в § 19.3 некоторые явные формулы для индекса. Прежде всего напомним основные факты об операторах Гильберта—Шмидта и ядерных операторах.
Определение 19.1.11. Пусть % и Н2 — гильбертовы пространства. Пространство В式Н、, ”2）операторов Гильберта — Шмидта из "1 в 灰 состоит из всех 丁三玄（"1,必），для которых конечна величина
1|Т||；=ЕН7е 卅，
где {ej——любая полная ортонормированная система в Нь
Уже самим определением предполагается, что указанная сумма не зависит от выбора рртонормированного базиса; это действительно так, поскольку для всякой полной ортонормиро- ванной системы {//} в Н2
Е II7/『=£ I （7%, /川2 = £ I （%, Т*%） F = Z II7力 IP.
Это показывает, что 厂已土式％, "J, причем Т* имеет ту же самую норму Гильберта — Шмидта, что и Г. Если S】w 2 （"[ "J и S2 е ^ （Я2, "；）, где "；,. Н\ — некоторые другие гильбертовы пространства, то S^S{ е^2（Н^ "；） и
11S2TS Jb《IIS2II〔171/511
（здесь II*|| обозначает обычную операторную норму）. Действительно,
IIS/S也《]邑и W岡II s;n《闷IS律IT*辰
Если Te2（"i, "2） — оператор конечного ранга, т. е. его ядро ^ имеет конечную коразмерность, то Т можно представить к水 композицию канонического оператора H\fHJN и некоторого оператора HJN fH* Поскольку пространство H{N конечномерно, второй оператор является оператором Гильберта—Шмидта, и мы заключаем, что Т 三土2（"1,凡）.Операторы конечного ранга образуют плотное подмножество в 2^（儿 Я2）,
поскольку любой оператор Те^2(^1, 〃2)можно аппроксимировать сколь угодно точно с помощью операторов, получающихся из Т, если положить 「⑦ равным 0 для всех индексов /, за исключением некоторого большого, но конечного множества. Отсюда, в частности, следует, что все операторы Гильберта — Шмидта компактны..
Если Т^^2{Н^ Н^ /=1, 2, то Т^Т^Г^^^^ Н^ но такое произведение обладает еще и некоторыми дополнительными свойствами. А именно, если ®} и {//}—ортонорми- рованные системы в /7)и "2, занумерованные с помощью одного и того же множества индексов, то
Z I (Те〃 //)!=!；( (丁円,TJ) Klin lbIIГ21|2-
Обратно, пусть Т wZ("i, "2), н пусть
<19.1.3)Е|(Те/,力)у 8
для любых ортонормированных систем {* и 奶)с одним и тем же множеством индексов. Положим А =(7'*/)^/2. Это ограниченный самосопряженный оператор в "卜 Если обозначить его ядро через N, то его образ плотен в ортогональном дополнении ^/ к М Поскольку
\\Tf\^(VTft f)^\\Af\^
отображение Afi—^ Tf является изометрией, поэтому его замыкание представляет собой изометрический оператор U: № f Е и Г = UА, Отсюда следует, что если {е/}—полная ортонорми- рованная система в М, то элементы 力=Uej образуют ортонор- мированную систему в "2, и мы имеем
El(7e/,力)1=e(友/,4).
Таким образом, оператор В = А"? является оператором Гильберта—Шмидта, и
1|3成=z(儿/,也
поскольку на N оператор В равен 0. Полагая Т{ = В» T； = UB, получаем「= 7胃]и (поскольку || UB ||2 < [| В l^)
ii^iij^i^iibii^Xk^,加.
Противоположное неравенство верно всегда, так что здесь должно иметь место равенство. Подводя итог проведенному обсуждению, введем следующее определение:
Определение 19.1.12. Пусть Н{ и Н2 — гильбертовы пространства. Пространство S\ (Hh 九)ядерных операторов из 弘 в 仇一это
множество всех Т 三 2("ь "2), таких что для любых ортонор- мированных систем {е；} и {/；} в Н{ п Н2 соответственно выполнено (19.1.3), или, эквивалентно, Т = Т^Тр где「三 ％(Н厶 儿) для некоторого другого гильбертова пространства HQ. Норма в 21 (/Л, "2) задается формулой
IIГ 加=sup £ I (Те〃 f川=inf И Г, ||2 ||Г21|2,
где sup (соотв. inf) берется по всем таким {е；}, {力} (соотв. Л, 72).
Справедливость неравенства треугольника для так определенной нормы и полнота в этой норме следуют из первого равенства (19.1.4). Из второго равенства (19.1.4) вытекает, что если Т 三 2] (/Л, "2) и S^^^ %), &三 2 ("2，怎)，то S/S产予(%，％) H
IIW ||I<||S2||||T||1||S1 II.
Следовательно, все операторы конечного ранга ядерны, и они образуют плотное подмножество пространства ядерных операторов, поскольку плотны в пространстве операторов Гильберта —Шмидта.
Для всякого оператора Т 三 2\(Н, Н) определим его след формулой
Тг(7)тТг(Т|")=Е(7е/, еД
где {в/}—любая полная ортонормированная система в Н. Это определение не зависит от выбора ®}. Действительно, если записать Т в виде Т = Т^Г{ с 乙三皆2(氏力о)，т0
2
а коэффициент при 他 не зависит от выбора е； и равен Тг(Т). Таким образом, след определен однозначно и является линейным функционалом единичной нормы на 2；(",")・
Предложение 19.1.13. Если Т w2i(//, Н) и "' — замкнутое подпространство в ", такое что ТН‘ и Н\ то ограничение 7V оператора Т на Hf и оператор Т" в Hff = Н/Н\ индуцированный оператором Т, оба ядерны и
Тг (Т|//) = Тг(Г I 〃') + Tr^l 〃")•
Если Tq 它 1(%, /Л) и S ——непрерывная биекция Нх-^ Я2> то
T^ST^S-' ^^{^2, Я2) и Тг(Г1|//1) = Тг(Г2|//2),
Доказательство, Ядерность оператора 7V следует из определения ядерных операторов, использующего (19.1.13). Далее, Н" можно отождествить с Н @ Н^ Обозначим через Р ортогональный проектор Н ~^Hrf. Очевидно, что Т" совпадает с ограничением оператора РТ на 〃〃，а следовательно, является ядерным. Если взять какой-нибудь ортонормированный базис ｛々｝ в 〃' и какой-нибудь ортонормированный базис ｛е?｝ в 〃"，то вместе они дадут ортонормированный базис в ", откуда сразу вытекает (19.1.5). Из (19.1.5) следует, что если Tw 2i(", Н) — оператор конечного ранга с ядром N, то Тг(Т) равен следу индуцированного оператором Г оператора в конечномерном векторном пространстве Н/N. Следовательно, он не зависит от выбора нормы в гильбертовом пространстве Н. Этим (19.1.6) доказано для случая, когда Т\—оператор конечного ранга. Поскольку опера* торы конечного ранга плотны в 团(方卜 /Л), а отображение Zi("i, d)m TiiSTiS" w 2[ (”2, ”2) непрерывно, заключаем, что (19.1.6) верно и в общем случае.
Мы а состоянии теперь доказать широко известную следовую формулу для индекса:
Предложение 19.1.14. Пусть 7 w 2(%,出2), S R 2(”2, "i)・ Положим
R]=A — ST, & = /2 — 7S,
zde ii ——тождественный оператор 8 〃人 Предположим, что для некоторого /V > 0 степени h, u R? являются ядерными операторами, Тогда оператор Т фредгольмов и
ind Т = Т『(R,) - Т1•侬｝
Доказательство. Рассмотрим сперва случай V = 1. В силу следствия 19.1.9 фредгольмовость оператора Т вытекает из компактности операторов /?；. Заметим, что
TR\ = R2T,
и представим пространства Hj в виде Н『N® Н；, где Nt — ядро оператора 7, а "： — образ оператора Т. Ясно, что Т индуцирует биекцию “：-> 方；Если обозначить через Р【ортогональный проектор "]->〃；，то TPR = TRi = R2T. Следовательно, /?2 отображает 〃； в себя, и из (19.1.6) следует, что
Тг(&М) = Тг(РЕ|%).
Поскольку R】 является на Ni тождественным оператором, то, в силу (19.1.5),
Tr R) = dim % + Tr (Р阳修).
Далее, I2 — R2 — TS отображает Н» в 〃；，так что & индуцирует тождественный оператор на HJ% Снова используя (19.1.5), получаем
Tr (/?2) = dim^2 + Tr(/?2|/7；), и, значит,
Tr (R) — Тг(/?2) = dim М — dim М = ind Г.
Таким образом, для случая, когда N = 1, предложение доказано. Если V > 1, то рассмотрим вместо 5 оператор
Sf = S(I2 + R2+ ・・・ +R"}
Ясно, что TSf = I2 — R^. Далее,
S'T = S(/2 + (/2-TS)+ ... +(I2-TS)N-l)T.
Поскольку S(7S『7 = (S7尸 и
X(l+(1-X)+ ... +(1 -Х)"Т)= 1 -(1 -X)N, мы заключаем, что
S7 = /] — & 一 ST)"=厶一R^.
Тем самым доказательство сведено к случаю ^ = 1 и потому завершено.
Результат, установленный в первой части доказательства предложения 19.1.14, есть частный случай следующего результата об инвариантности эйлеровой характеристики, который будет основой всех наших рассмотрений в § 19.4:
Теорема 19.1.15. Пусть
"т = {0} f % 马 ％ 工 ％ -> ...叱"n -* {0} =，"+1
—комплекс гильбертовых пространств, причем все 7\ — непрерывные отображения с замкнутым образом. Таким образом, мы предполагаем, что T/Tj-i =0, т. е.
TjH—uU 三 Hj； T/ = 6 = Nj, f=l, ・・・，M
Пусть, далее, операторы R产 Е\(Н『,Н) коммутируют с этим комплексом, т. е.
R/Т/二[=T/tR/t，/ = 1, ...» М
Тогда R；(Т —Н~、) и ТцН^ и RM и М，а потому Q индуци^ рует некоторый ядерный оператор ^/ в Hj = Nj/Tj^Hj^y Спра-
ведлива формула уn'
(19.1.Ю)£ (一 1У Tr (QI %)=审(一 1У Тг 隔旧》
Доказательство, В силу (19.1.9)
R/ (7/—1"/-1) = Tj-iRj-W/-1 и Т/т〃
a RNu N；, поскольку T/QM = Rah「/N/= {°}・ Из предложения 19.1.13 следует, что оператор Л/, а также индуцированный оператором R, оператор R； в HJNj являются ядерными и
Тг (& 也)=Тг 因困)十 Тг (К] 〃,/%)
=Тг (当 I %"_) + Tr (& I 百/) + Tr (巧岡/%).
Далее, Tf задает изоморфизм "//№/->「/"/, и ввиду (19.1.9) оператор R； преобразуется при этом изоморфизме в ограничение оператора на Т/"/. Таким образом,
Тг (& I HR = Tr (QI T~"~) + Tr (角历》+ Tr (R-117冋).
При образовании знакопеременной суммы левых частей все крайние члены в правых частях взаимно уничтожатся и получится формула (19.1.10).
Комплекс (19.1.8) называется фредгольмовым, если все Г/ суть операторы с замкнутым образом и все пространства 百/ ==Ker Tf/Tf^Hj-{ конечномерны. Всякий фредгольмов оператор задает фредгольмов комплекс с N = l・ Обратно, из всякого фредгольмова комплекса можно, «расщепляя» его на две части, получить фредгольмов оператор:
Предложение 19.1.16. Комплекс (19.1.8) фредгольмов тогда “ только тогда, когда фредгольмовым является оператор Д, задаваемый правилом
"Е = ® Я2/ э (fo，%,…)
(^о + ^2> ^2 + ^з. ...)®©^/+1 = ^Ве，-
Индекс оператора А равен эйлеровой характеристике
E(-l)/dim 瓦 комплекса (19.1.8).
Доказательство. Поскольку Tj-\H^\ с: Ker Tjt образ оператора Т『т ортогонален к образу оператора Т； Следовательно, (19.1.Н)М偽,％E(W"浦+%-/”『)•
Пусть наш комплекс фредгольмов. Тогда
Ilf 2卅《C И乙心卅
для，2/, ортогональных к Кег Т^, поскольку Т21 имеет замкнутый образ. Далее, из того, что Ат — оператор с замкнутым образом, следует, что и 丁；… имеет замкнутый образ, а потому
для f2/t ортогональных к КегТ；/_「Но H2i есть ортогональная сумма ортогонального дополнения к Кег Т2и ортогонального дополнения к КегГ；/_] и подпространства Я2/, которое мы отождествим с Kef Г?/А Кег Г；.. Следовательно,
同产《e(僞圖『+觴卜圖『)，
если &/ ортогонально к 品厶 поскольку %/ можно тогда представить в виде f2i = g2f + Л2/, где ^/ ортогонально к Ker T2i и, значит, лежит в КегТ；.[, а Л2/ ортогонально к КегТ；— и, значит, лежит в Кег Т2/. Записанное выше неравенство сводится поэтому к двум предыдущим, примененным к g2/ и h^. Используя (19.1.11), можно теперь заключить, что А имеет замкнутый образ и ядро ФЯ2/. Аналогичным образом устанавливается, что ядром оператора Л* служит ф^+ь откуда следует, что Л — фредгольмов оператор с индексом, равным эйлеровой характеристике рассматриваемого комплекса.
Обратно, пусть Л—фредгольмов оператор. Из (19.1.11) следует тогда, что 吃=Ker G/П Кег Г；, конечномерно и
И2/Г<С(Г2Л/НИ；/-Л/П
для ,2厶 ортогональных к 呼/. В случае когда f2/ ортогонально к Ker T2h мы имеем7)一办/=а а значит, II厉胪 WС11「2也了* откуда следует, что Т2/ имеет замкнутый образ. Рассматривая же случай, когда %/ ортогонально к Кег 7；—, приходим к заключению, что 「；/_], а потому и Т2/-1 имеют замкнутый образ. Доказательство завершено.
Применим описанный выше метод к комплексу, определенному как тензорное произведение двух комплексов, ассоциированных с фредгольмовыми операторами Ар Н^ -> Я{, / = 1, 2. Прежде всего напомним, что тензорное произведение Н\® Н? двух гильбертовых пространств Н{ и "2 определяется как множество всех непрерывных антилинейных форм на "1义〃2, отвечающих антилинейным отображениям "2 +"1, являющимся {в очевидном смысле) операторами Гильберта ——Шмидта. Таким образом, "i®〃2 = 22(冃2, ”t), где Я2 — это Н2 с умноже-
нием на скаляры, получающимся из исходного комплексным сопряжением скаляров. (Эквивалентное определение: если реализовать "/ как 厶2(х厶 ц；)( где ц/ — положительная мера в X/, то "i®>，2 естественно изоморфно L2(X{ Х^2)-) Копируя определение комплекса де Рама дифференциальных форм на R2f введем комплекс с пространствами
G° = 〃j® 用，С^Щ^Н^Н^Н^ G2 = H]8 片
и отображениями
г。依8用=(4外8用,％8 4制)，
Л(/1 ®帰外® ш = А肃㊁芹一* ® АД.
Здесь 片尸 Н}： Немедленно проверяется, что это действительно комплекс. Расщепляя его, как в предложении 19.1.16, получим оператор А: О0Ф G2->Gi, задаваемый в блочно-матричной записи формулой
(A^Il -Z}®4；\
"A'^Il)'
Если戶=(耳，尸])f用®筑㊉":®取，то
4尸=(⑷㊉喲尸。 - & ®6)F„ & 8甸尸。 + (若®"居)
и, значит,
IM 加 !2 = (](4®电尸。『+ 1(/:8 4)尸。『
+ Q(4®4)尸 I『+|(A；®/MJ・
Отсюда сразу следует, что
Кег Л = Ker А{ ® Кег Д2 ф Кег Д* ® Кег 4；・
Для всех F， ортогональных к Кег А, выполняется оценка
II FI^C И ДР II2,
если для fw"6，ортогональных к Кег Лр
"『《CIM/IR
а для ge Н* ортогональных к Кег Др iig『《cy；g|F.
Эти оценки равносильны, и мы видим, что образ Л замкнут, поскольку 4/ — операторы с замкнутым образом. Аналогично получаем, что Д* имеет замкнутый образ и
Кег Л* == Кег 4J ® Кег Л2 ф Кег Л1 ® Кег Л*.
Таким образом, А — фредгольмов оператор и
ind А = dim Кег 4 dim Ker 4 + dim Coker Ax dim Coker Л2
—dim Coker A{ dim Кег Д2 — dim Ker 4 dim Coker 4・
Тем самым мы доказали следующую теорему:
Теорема 19.L17. Пусть 4/ Н^->Н{, /= 1, 2, — фредгольмовы операторы. Тогда оператор Л 〃з Н[^ Щ® Н\^ Н\ в Н\ ® 皖 ф "j®〃；，заданный формулой (19.1.12), тоже фредгольмов м
ind Л = ind 4 ind Л2.
В заключение параграфа докажем одно усиление теоремы 19.1.15, которое иногда оказывается полезным, хотя в этой книге нигде не понадобится. Ключевой момент состоит в том, чтобы обобщить последнее утверждение предложения 19.1.13. Предложение 19.1.18. Пусть Hh / = 1, 2, — гильбертовы, пространства и Tjw2i("/, "『). Если существует замкнутый линейный оператор S с областью определения, плотной в "卜 и образом, плотным в "2, инъективный и удовлетворяющий уело- вию T2SST{, то Тг(7,1) = Тг(7,2).
Доказательство. Согласно классической теореме фон Неймдна, оператор 4=S*S самосопряжен и S совпадает с замыканием своего ограничения на область определения оператора А. Таким образом, 8 = 41/2 一 самосопряженный оператор в Я1 с той же областью определения, что и S, и на этой области ||Bf||i = IlS/b Пусть Р：——спектральный проектор для В, отвечающий интервалу (е, 1/е). Поскольку Bf * 0 для f，0, то P；f f f при е->0 для каждого fw"i・ Положим P| = SP；ST на множестве SHy по предположению плотном в Я2- Тогда для g = Sf
D 唾 D=Dsp：H=|B&f|QBHi=iisfiiTgn.
Таким образом, замыкание Q оператора Р® определено в "2 H имеет норму & 1. Далее, Q2 = Q, т. е. Q — проектор, и притом ортогональный, ибо II川IWllg +川I для всех ft и g, удовлетворяющих соответственно условиям Qft = й и Qg = O, так что подпространства, определяемые этими условиями, взаимно ортогональны. Будем обозначать это замыкание Q снова через Р；・ Если g = Sf, то P^g = SP；f, а поскольку
5&f = P：Bf f Bf при e->0,
SP行 также сходится, причем к Sf = g, Тем самым доказано, что Plgf g для каждого фиксированного gw "%
Так как образ оператора Р； содержится в области определения оператора S, то в силу сделанных предположений
△s& = STiPl
а значит, в области определения оператора S
T2P^S = STiP；・
Умножая это равенство слева на Р®> получаем
Р打2?第=5p:7е:.
Поскольку S — непрерывная биекция P；〃i на Р；〃2 (ее норма и норма ее обращения не превосходит в-1), мы заключаем на основании предложения 19.1.13, что
Тг(Р1Г2Р|) = Тг(Р1Г1Р?)-
Доказательство завершается теперь применением следующей леммы:
Лемма 19.1.19. Пусть Tw£i(H, Н» и S/, R/吕必(Н, Щ—две последовательности операторов, сильно сходящиеся Л тождественному оператору. Тогда Tr (S,TR；)f Тг(Г).
Доказательство. Поскольку
P/^j1<C2||7'||1,
где С ——верхняя граница для норм ||S/|| и ||7}||, достаточно установить наше утверждение для случая, когда Т — оператор конечного ранга. В этом случае N = Кег Г имеет конечную коразмерность, и мы можем записать Т в виде произведения Г = Т'Р, где Р: H，H]N и Т‘： H/N-^H — ограниченные отображения. Тогда S/T'f 什 в 纟1(〃/乂 〃)，ибо H/N конечномерно, и потому
IIV - Г lh < IIРIIII szr-Г Ih->O.
Аналогично
откуда вытекает, что
IS/TR； — ?!《амтк；-仆 + |学 一 u f 0.
Итак, Tr(S,7R；)f Tr(7), что и требовалось доказать.
Теорему 19.1.15 можно теперь обобщить следующим образом:
Теорема 19.1.20. Пусть (19.1.8) — комплекс гильбертовых пространств 4 raqthq определенных замкнуты^ линейных опери-
торов Г/. Тем самым мы предполагаем^ что для каждого / образ Wj оператора 7\т содержится в Кег Г/. (Мы считаем WQ = {0}, о Кег TN — HN^ Пусть, далее, операторы Q 巨 В1(Н/, %) ком- мутируют с этим комплексом 8 том смысле, что
Rj+(T i иТ ^Rj, j==0, N ■— I.
Тогда R///U/j, Rf Ker Tf cz Ker Г； » оператор R『индуцирует ядерный оператор Rf 8 гильбертовом пространстве //7=Ker T^Wp С так понимаемыми обозначениями формула инвариантности (19.140) остается справедливой.
Доказательство этой теоремы идентично доказательству теоремы 19.1.15, только вместо предложения 19.1.13 надо воспользоваться его усилением — предложением 19.1.18. Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в этом.
192 Индекс эллиптических операторов
Пусть X — компактное С°°-многообразие без края и Е,尸—два комплексных векторных расслоения класса С°° над X с одинаковой размерностью слоя. Антидуальные к ним расслоения будем обозначать через £* и 尸*. Напомним (см. § 18.1), что всякий псевдодифференциальный оператор Р w 4fm (X; Е ® Q】/2, 户® Ri/2), где R ——линейное расслоение плотностей на X, имеет главный символ
p^Sm (7* (X), Hom (冗石 冗.戶))，
однозначно определенный по модулю 5т*\ Здесь л — проекция Г*(X) -> X, и слой расслоения Нот(л*Е, л*Г) в точке у е Г* (X) состоит из всех линейных отображений Еяу -► F„v. Напомним также, что эллиптичность оператора Р означает, что существует символ g 巨 5~孤(7* (X), Hom (л*尸，я*£)), такой что
gp — /wST(T*(X), Нот(Л*£, яЕ)),pq-I^S~x (Г (X), Нот (n'F, лТ));
в случае когда £ и F имеют одинаковую размерность слоя, эти два условия равносильны. Через / будем обозначать тождественные отображения в лЕ и в л*尸.
Теорема 19.2.L Всякий эллиптический оператор Pw 4fm(丫； £ ® Q叱 尸 ® Q“2) задает фредгольмов оператор из H(s)(X; Е® Q”?) 8 从$-mj(X；尸 ® О”?)，ядро которого содержится 8 С°°(X;£®Q1/2) 〃,значит, не зависит от s, а образ совпадает с ортогональным дополнением к содержащемуся в C°°(X; F* ^^^ ядру сопря*
женного оператора Р* w Tm（X;尸* ® Q叱 £ ® Q”” Таким образом, индекс этого фредгольмова оператора не зависит от s и равен индексу Р как оператора С°°（X; £®Q“2）f С°°（Х;尸 ® Q1/2） или ^（X; E^^l2}^^f（X;戶® О”?）； он зависит лишь от класса вычетов оператора Р по модулю 屮^一】.Если Е = F* и Р —Р* 三屮т? то indP = 0.
Доказательство. Выберем Q w 十巾（X;尸 ® £2叱 Е ® Q“2） так, чтобы （19,2.1） выполнялось для главных символов операторов Р и Q. Тогда операторы
Р: Н（式X; Е ® 研2） f 〃（s-g （х；尸 ® Q,/2）»
Q: "（s-m）（x； F ® Q1/2） f 〃®（X; E ® Qi/2）,
Ki = QP — /： "（3）（X; E ® Q1/2） f "（3+d（X; E ® Q1/2）,
K2 = PQ - /：，（s-m）（x；尸 ® "/2） f Я（8_т+1）（X;尸 ® Q^）
непрерывны для каждого s. Тождественное отображение H（$+i） -> 方（§） компактно для всякого s （это следует из теоремы 10.1.10 или из характеризации пространств 日⑻，данной в теореме 18.1.29, и того наблюдения, что символы порядка —1 могут быть аппроксимированы в S° символами порядка —оо； см. также теорему 18.6.6, представляющую собой обобщение этого утверждения）. Поэтому из следствия 19.1.9 вытекает, что операторы Р： Н2fH（$—т）и Q. H（$—m）fH（s）фредгольмовы и ind Р + ind Q =0. Поскольку （19.2.1） есть условие лишь на главный символ оператора Р, выбор оператора Q зависит только от класса эквивалентности оператора Р по модулю Т^-1, так что ind Р один и тот же для всех Р из такого класса. Далее, если и 三 КегР, то
〃== — &〃= ... = （—К）" 〃 w Н（$+ло
для любого целого положительного N> так что и 曰 С00. Сопряженный Р* к оператору Р представляет собой эллиптический псевдодифференциальный оператор, отображающий Hgs）（X, Г* ® Q"2, в /f（_s）（Х（ E*®Q*/2）Если и принадлежит его ядру, то
и = _ К；и ==（- K；）N и 三"（…+N）
для всякого N, а значит,。已 С00. Поскольку образ Р как оператора из H（s）в H（s~m）замкнут, он совпадает с ортогональным дополнением к этому содержащемуся в С°° ядру оператора Р\ чем доказательство и завершено, ибо последнее утверждение теоремы очевидным образом следует из того факта, что indP =—ind Р*.
Из следствия 19.1.7 вытекает, что для произведения PR двух эллиптических операторов мы имеем
ind (RPJ = ind Pf + ind Р2.
В силу следствия 19,1.6, ind Pi = ind Р2)если операторы Р/ w Wm(X; Е ® и”?，尸® C"2j, / = i, 2, эллиптичны и главный символ их разности Di — Р2 достаточно мал в Sm. С помощью теоремы 19.1.10 можно получить более сильное свойство устойчи* вости индекса:
Теорема 19.2.2. Пусть / — интервал [0, 1] вещественной прямой R 〃
/m/f a(f)曰С8(7*(Х); Нот(л*£, £尸))，I^t^b(t)^C^ (尸(X); Нот (л/, я*£))
—непрерывные отображения, такие что а (/), f 已 /, образуют ограниченное (ло каждой полунорме) множество 8 Sm, b(f) образуют ограниченное множество в S"m, а (/) &(/) — / — ограниченное множество 8 S*1 (Г* (X); Нот (л*尸,几*尸))u b (/) а (/) — / — ограниченное множество 8 S*1 (Г* (X); Нот (nEt л*£)). Если операторы 力& 4 三 4fm(X; £ ㊁ Q叱 F ® Q1/2) имеют главные символы а(0) и а (I) соответственно, то ind X0 = indX1.
Доказательство. Сначала напомним, как получить оператор Л (/) с главным символом 〃(/) (см. обсуждение после определения 18.1.20), Выберем покрытие многообразия X координатными окрестностями X/ с локальными координатами xz： X/f 高uR", для которых существуют локальные тривиа- лизации
Ф/：£|и-Х/ХС 叱 电：戶 k/fX/XC 纥
Его можно выбрать столь мелким, чтобы для любой пары X/, X* с непустым пересечением множество X/UXfe тоже содержалось в некоторой такой координатной окрестности. Положим
а,(厶 ％ (*),自)=叨(х) a (f, х, % (х) &) Ф/ ⑴ Г х w X,, ge R";
это ^ ХЛГ-матрица с элементами из S^GY/XR"), где п — размерность многообразия X, а ^ — размерность слоя расслоений Е в F. Выберем теперь разбиение единицы 1 = £ %； на X c%/WC『(X/). Тогда значение оператора Л (/) на элементе 〃wC/(X, Е) можно определить формулой
Аналогично определяется оператор 5(f) с главным символом b(t). Чтобы применить теорему 19.1.10, надо вычислить A{t)B(t) и B(f)/l(f)・ Это вычисление можно провести в локальных координатах, используя теоремы 18.1.8 и 18.1.17. Мн получим, что
& (f) = 8(“ 4(/)-/, K2(f)i(f)8(/)-/
суть операторы порядка —1, равномерно ограниченные как операторы Я(5)->ЯСз+1)для любого s. Поэтому теорема 19.1.10 сразу дает
ind Ло = ind А ⑼=ind Л (1) = ind Ль
что и требовалось доказать.
Чтобы определить индекс произвольного эллиптического оператора, достаточно изучить операторы с полиоднородными символами порядка 0:
Теорема 1923. Пусть Р е Tm(X; Е ® Й-1/2, F ® Q1/2)—эллиптический оператор с главным символом р, и пусть h ——однородная функция степени 1 на 7*(Х), положительная и принадлежащая классу С®° вне нулевого сечения. Тогда для всех достаточно больших R операторы с главным символом pg RE/也)эллип^ тичны “ имеют тот хсе индекс, что и Р.
Доказательство. Рассмотрим сперва случай /п = 0. Выберем geS。так, чтобы qp — / и pq — / имели компактные носители, и положим для 0 £ е W 1
"貝修 *) = "(% ?Х(еЛ)), 4K% У = 9(修班(е力))，
где %—невозрастающая С°°-функция на R, удовлетворяющая условиям х(0= 1 при / < 1 и х(0— 1〃 при /> 2. В силу предположения относительно h найдется постоянная С, такая что pq = I и ^р = / там, где й > С. Отсюда следует, что
Р&% — l = pq — I, %& — I = qp — L
при условии что 九％(£九)》С там, где sft》1, т. е. при условии что eC^ min /х(0. Поскольку ро = р, наше утверждение будет следовать из теоремы 19.2.2, если мы докажем, что ре и д&, 0 We 0 1, образуют ограниченные множества в St При установлении этого факта достаточно рассмотреть множество, на котором 1 & е力盲 2, поскольку там,, где eft ^ 1, мы имеем ре =р и ^8 = 7, а там, где ей ^ 2, символы ре и 击 однородны степени 0. Если положить еЕ = п, то утверждение относительно р$ состоит в том, что функции
Р(Х, П%3(Х, П))/8),
0&е&1, образуют ограниченное множество в пространстве С" на том компактном подмножестве в Г*(Х)\0, где 1 W九(х,“) 0 2. Но это сразу следует из того, что, поскольку р — символ порядка 0, функции "(х, 0/s), 0&&W 1, образуют ограниченное множество в С00 на том множестве, где 1/2 ^ Л(х, 0) ^ 2. Тем самым для случая т = 0 все доказано.
Переходя к общему случаю, возьмем какую-нибудь положительную эрмитову метрику класса С°° в Е* и запишем ее в виде
(a (%) 0,叫。三星.
Таким образом, для каждого х отображение а(х): £*-► Ех биективно и совпадает со своим сопряженным. Выберем теперь псевдодифференциальный оператор Л 三 W~m(X; £♦ ® 6代 Е ® О#) с главным символом ah~m. В силу теоремы 19.2.1 индекс эллиптического оператора Л равен 0, следовательно, оператор РА е 4^(%; Е*®и〃2,尸® Q】/2)имеет тот же индекс, что и Р, и главный символ pah~m. Поэтому из первой части доказательства вытекает, что для достаточно больших R оператор Р имеет тот же индекс, что и PRat где а обозначает оператор умножения на a, a Pr — оператор с главным символом
р(% адл(х, да)"т=р(х, да)/?-т.
Тем самым доказательство завершено, ибо оператор а обратим.
Если символ р е Сто(7**(Х)\0, Нот(л*Е, л*尸))однороден степени 0 и эллиптичен, т. е. р(х,自)для каждой точки (х» В) wT*(X)\0 является обратимым отображением, то мы определим его индекс s-ind р !) как индекс эллиптических псевдодиф- ференциальных операторов с главным символом р. Из теоремы 19.2.2 или просто из следствия 19.1.6 вытекает, что s-ind pi = =s-ind р, если
su^)|p(x, If'pjx, |)-/|<1,
где норма берется по отношению к некоторой эрмитовой метрике в £. Действительно, fpi+(l—t)p будет тогда для каждого О & f W I главным символом некоторого эллиптического оператора с не зависящим от f индексом. Это наблюдение позволяет определить s-ind р даже в случае, когда символ р всего лишь непрерывен; мы полагаем s-ind р = s・ind 0, где 0 — любой однородный эллиптический С^-символ порядка 0, удов-
9 s — от symbol (символ). — Прим, перев.
летворяющий условию (19.2.3). Это определение не зависит от выбора °1, поскольку из (19.2.3) вытекает, что
寳 II Р2 (%, У Pi(X, Ю — /|| < 1
для некоторого 卩2 三 С00, сколь угодно близкого к р, а значит, s-ind pi — s-ind Ра- Для такого расширенного определения мы по-прежнему имеем s-ind р = s-ind рг для любых (уже просто) непрерывных эллиптических однородных символов степени О» удовлетворяющих условию (19.2,3).
Теорема 19.2.3 подсказывает дальнейшее расширение определения. Пусть символ pwC(T*(X), Hom(n*£, n*F)) обладает тем свойством, что множество точек (х, g), для которых отображение р(х, Е) является необратимым, компактно. Если выбрать ft, как в теореме 19.2.3, то при достаточно больших R
р&(х, Ю = Р(X,應/处
будет однородным эллиптическим символом, и мы положим
s・ind" = s-ind Pr；
это определение не зависит от выбора R. Не зависит оно и от выбора 瓦 Действительно, если hx ——другая положительная непрерывная функция, однородная степени 1, то при достаточно больших R
Р(М RQM + (1—/)%))
Обратимо для всех g，0 и OWf&L Поэтому s-indр не изменится, если заменить Л на Ль
Теорема 19.2.4. Существует единственная функция s-ind, определенная на множестве всех символов р 巨 С(Т*(Х), Нот(л*Е, л*尸))с обратимыми значениями вне некоторого компакта, та・ кая что
если Р — эллиптический псевдодифференциальный оператор порядка 0 с однородным главным символом р порядка 0, го s-ind р = ind Р;
если pt, О W f W 1,——непрерывная функция от f со зна・ чениями 8 С(7*(Х), Нот(л*£, л*尸))и отображение pt(х, g) обратимо для всех указанных / и всех точек (х, g), лежащих вне некоторого компакта, то s-ind pt &е зависит от £
Доказательство. Существование такой функции мы уже дока* зали, а ее единственность устанавливается с помощью гомото* пни, использованной при доказательстве теоремы 19.2.3. Заметим, что теорема 19.2.3 утверждает, что indP = s・indp для любого оператора PwWRX; Е ® Q1/2,尸® 6佟)с главным сим* ВОЛОМ "・
Прежде чем развивать дальше общую теорию, рассмотрим один элементарный пример, где X = R/2jiZ —единичная окружность и все наши расслоения представляют собой просто XX С. В этом случае достаточно изучить оператор с главным символом
а (% £)=а (% £)=а+ (х) при В> О,а一 (х) при Е V О,
а (% £)=
а (% £)=
где @+ и а~—функции со значениями в СХ{0}. Мы можем, не изменяя индекса, умножить наш оператор на оператор (умножения на) а二* имеющий индекс 0, в результате чего получим символ, равный 〃+(%)/〃_(%) при ^ > 0 и 1 при ^ < 0. Если т — вращение векторного поля о+(х)/а-(х) на единичной окружности, то
а+ (х)/а_ (х) = gtg+①叫
где ф ——периодическая функция с периодом 2n. Замена ф на /<р, 0 0/0 1, дает гомотопию, показывающую, что достаточно разобрать случай ф = 0,
Оператор Р, задаваемый формулой
Р(£ ukeikx) = £ ukeikx,
т. е. выделяющий аналитическую часть разложения функции и в ряд Фурье, представляет собой псевдодифференциальный оператор с символом, равным 1 при g > 0 и 0 при g V 0. В самом деле, если и — тригонометрический многочлен, то
Ри (х) = НтРи (х) = Нт(2л/)"1 § £ 以d/(z — re") dz
Ри (х) = Нт
Ри (х) = Нт
既。卜(9)/(1-既。卜(9)/(1-rd G-叫 dy/2 咒.rd G-叫 dy/2 咒.
既。卜(9)/(1-
既。卜(9)/(1-
rd G-叫 dy/2 咒.
rd G-叫 dy/2 咒.
Предел функций 1/(1—Le*") при e->+0 равен i/“ +，0) плюс некоторый член класса С°° на (——я, л). Поскольку i/(2n(% +，0)j есть обратное преобразование Фурье от функции Хевисайда, утверждение о символе оператора Р доказано. Теперь все, что осталось сделать, — это вычислить индекс оператора
и eimxPu + « — Ри.
Пусть 〃+ ——аналитическая функция в единичном круге с граничными значениями Ри, а и- — аналитическая ®ункцня во внешности единичного круга с граничными значениями и — Ри; на бесконечности функция и_ обращается в 0. Если и е С°°(Х) лежит в ядре рассматриваемого оператора, то 2тм+ (г)+ и-(г) =0 при |з|= I, поэтому функция, равная zmu+(z} при |zl& 1
и —и-(г) при |之|》1, представляет собой аналитическую функцию, обращающуюся в 0 на бесконечности н, значит, равную О, если 加》0. Если же mV 0, то, полагая 7 (г) — «+(2)при |г| &1 и g(z) = —z*m〃_(z) при |z|》l, мы получим аналитическую функцию, ведущую себя на бесконечности как 0(|之卩吁1). Следовательно, q есть многочлен степени |加|—1, и обратно, всякий такой многочлен определяет элемент из ядра нашего оператора. Таким образом, размерность этого ядра равна 0 при /и 0 и —m при m V 0.
Далее, пусть / е С°°(Х). Если записать 力 как и и, в виде f = f+ + f_, то в случае m W 0 уравнение
2也+⑵+ u. 3)=*⑵+ L⑵
удовлетворяется при 〃一 = f_ и и+ = 2гт/+(г). В случае 加 >0 оно равносильно паре уравнений «_ = /_ н 2т«+(г) = f+(2), а значит, ему можно удовлетворить, лишь когда /+(г)= 0(|2|т). Таким образом, размерность коядра нашего оператора равна в указанных двух случаях соответственно 0 и /п. В обоих случаях мы получаем, что индекс оператора равен —т. Итак, мы доказали, что если а(х9 g)—непрерывная функция на XXR со значениями в С, не обращающаяся в 0 при достаточно больших |g|, то s-ind а равен степени отображения, определенного на границе цилиндра {(х, &);尤иХ,図 VR} как а(匕陰)/|а(匕 В) | wS* при условии что R достаточно велико. Здесь мы ориентировали кокасательное расслоение к X условием dx Л JB > 0.
Распространение определения s-индекса на непрерывные символы было проведено по двум причинам. Во-первых, это подчеркивает топологический характер конструкции (который был также ясно виден в только что разобранйом примере). Во-вторых, обсуждаемая ниже операция произведения приводит к операторам, которые, хотя и не являются в полном смысле слова псевдодифференциальными, включаются в теорию таких операторов с помощью следующей теоремы:
Теорема 19.2.5. Пусть Р；已 4f亂(X; Е ® Q叱 尸 ® й1/2), « пусть Р/ f Р 8 2 (〃⑻(X; Е ® Q“2), H(s-m)(尸 ® а"?)) для некоторого s w R. Тогда однородные главные символы р； операторов Р/ сходятся к некоторому р ^С(Т*(Х) \ 0; Нот (л*£*,几*尸))равномерно на компактах 8 Г* (X) \ 0. Если р 8 каждой точке является изоморфизмом, то Р — фредгольмов оператор из Н($)(Х; E<SQ"2) 8 〃($-т)(尸 8>Q"2) с индексом, равным sTndp (здесь предполагается, что заменой значений на некотором компакте функция р сделана непрерывной всюду). Если указанное в начале формулировки теоремы ус^овме выполнено для всех
s w R, то Ker Р является , подпространством в С°°(X; Е ® Q”?), а образом оператора Р служит ортогональное дополнение в H(s^ (^；尸 ® а"') к некоторому подпространству пространства С°°(х； Г ® Q1/2).
Доказательство. Если а w S^Jig(R" X R") имеет главный символ 的 и и, и е Со°(Rn), то
L(a(尤, 0)(国C电)，бS电)
= (Гта(х, £)+港)％ u)f &(・，g)% и).
Но
/7“<・，由L = ((2к)-" , | а⑺『(广2 +1 g +哂『)飞严Т 〃 III盯,
где ||* || обозначает Ь2-иорму, и аналогичная оценка справедлива для V, поэтому
|(的(・，Е)〃，и)КМ||и||||и|| при |^|= 1,
где М — норма а(х, D) как оператора из 〃⑶ в H(s-m^ Таким образом, sup|ao|《M・ Применяя этот результат к оператору
9(Р,—Р在)®, где ф, \|з е С~(X) — функции, носители которых лежат в некоторой координатной окрестности, получаем, что Р/ — Рй->0 равномерно на компактных подмножествах в 7*(Х) \0 при /,饱->8； поэтому p = limp, существует и является непрерывной функцией, однородной степени т.
Предположим теперь, что р всюду обратимо. На время предположим также, что s = m = 0. Тогда при больших / функция ру1 ограничена на Т*(Х)\0. Из второго утверждения теоремы 18.1.15 следует, что можно выбрать псевдодифференци- альный оператор Q/ с главным символом ру1, имеющий конечную норму в 纟(〃2,日J, где % = L"X; £® Ri/2), % = 厶2(Х；尸® QU?). Далее
Q/P = / + Q/(P - Р/) + (Q/Р/ - /),
оператор / + Q/(P — Р/) обратим в 纟(〃1, 〃2)для больших /, а оператор Q/户,一/ компактен; поэтому Q/P — фредгольмов оператор. Следовательно, Ker Р конечномерно. По аналогичным причинам и PQj — фредгольмов оператор; значит, Р имеет замкнутый образ конечной коразмерности. Таким образом, оператор Р фредгольмов, и для больших /
ind Р — ind Р, = s-ind р, = s-ind р.
В случае произвольных she выберем эллиптические псев- додифференциальные операторы
Я е 屮7（X; £ ® Q1/2, £ ® Q1/2） и
В W 喂-m （х； F ® Q叱 F* ® 館/2）
с индексом 0, как в доказательстве теоремы 19.2.3. Тогда B{Pi — P）A^0 в ^（^（Х; E*®Q^）t L2（X;产® А"））, и из уже доказанного случая теоремы следует, что оператор ВРА фредгольмов. Пусть 4’ и 8’ — параметриксы операторов Д и В. Тогда
Р = В' （ВРА） ^ + {1- BfB）PAA, + Р （/ — 4《），
так что оператор Р представляет собой возмущение фредгольмова оператора B^BPAjA" компактным оператором, а значит, сам фредгольмов. Его индекс равен индексу оператора Р/ с достаточно большим / и, следовательно, равен s-ind р/= s-ind р.
В случае когда предположение о сходимости выполняется для всех s, ядро Кег Ри〃（$）（Х; Е 0 Q1/2） не возрастает с ростом s. Если
m "（吁S）（х；尸 ® d/2） f，（一s） （x； £ ® 爆/2）
—сопряженный к Р оператор, то dim Coker Р равняется размерности ядра KerP*u〃g-s）（X； Г* ® Й1/2）, которая не убывает с ростом s. Так как индекс оператора Р не зависит от s, мы заключаем, что Кег Р и Кег Р* не зависят от s, чем доказательство и завершено.
В излагаемом ниже приложении аппроксимирующая последовательность псевдодиффернциальных операторов строится при помощи следующей леммы:
Лемма 19.2.6. Пусть а（х,弘 E）wS^g（R计諺 XRn）, zde m> 0, и 。0 — соответствующий главный символ. Выберем функцию % е С°°（Rn+n，）, равную единице е точках & п） с 丨 П l《max（l, | 自 |）, нулю при lni》max（2» 2|Е|） и однородную степени 0 при IТ）I > 2. Тогда
&（% У, Е, п） = а（х, У, &）% 倡 eri）ES^g（Rn+n，XRn+n，）,
соответствующий главный символ при 8fo равномерно сходится к Oq на множестве, где |三|2 + |“|2=1, 〃 норма разности ае（х, у, Dx, Dy） — a（x9 у, 0左）как оператора из Н^в "（$_巾）стремится к 0 при е-^0 для каждого s 三 R.
Доказательство, Главный символ для символа ае равен ао（х, У，Е）%о（Е，eq），где х0 —главный символ для %. При |=#0
имеем хо(ё, erj)f %о(£ 0)=1 при е +0; поскольку а0(х,协 0) ===0, этим доказано утверждение о сходимости главных символов. Далее,
(а? (%, у, D* Dy) —а (%, g, Dx))u = a(x, у, DJve, где
% = %(А, е%)〃 —认
При фиксированном у можно оценить £2-норму по х функции а(х, g, D^v через /7(т)-норму по х функции и. Поэтому
Н(%(文,弘 % A) -a(%, y, 2))"%
<cJJ(14-||p)m|X(g, BT])-l|2|fi(g, n)F艰dT|
S||u%SUpC，(l+|&|2)m|%(&,阿)一ifa+IWf + ld)-".
Там, гне %(£ E") * 1, мы имеем 1+IE|2《2|enf, а следовательно,
(1+IEF)/(1+1&Р + |т| F)《2e21rll7(1+IEF + |tlE)&2e2.
Тем самым доказано, что
||仇(修払厶，2)—。(招 У. Ох))и\\^Сгт\\и^тГ Покажем теперь, что
(1924)' ||&(%,弘 ％ %) —。(招 у, D^u^C^Wu^
для любого целого положительного s. С этой целью заметим, что оператор % (% eDy) коммутирует с дифференцированиями, а коммутаторы операторов вида а(х, у, DQ и дифференцирований снова имеют тот же вид. Таким образом, Da(ac(x, у、Dx, DQ —a (%,弘 Dx))u есть сумма членов вида
仇(%, % Dx, D„)-b(x, у, D^D^u,
где |6|W|a| и b — символ того же вида, что и а. Это сразу дает оценку (19.2.4)' для целых положительных s. Если s — отрицательное целое число и u е H(m+s), то мы можем записать
“ =I哀/% Г恥I aS-J1 "a脸《m临s)・
«Протащив», как и выше, дифференцирования Da через а(х, у, Dx) и применив (19.2.4), получим (19.2.4)，также и для отрицательных целых s. Поэтому, согласно следствию В. 1.6, эта оценка справедлива для любых вещественных s. Доказательство завершено.
В следующей теореме через 匕図 ％, где 匕 и Vj — векторные расслоения на различных пространствах X、и Х2, обозначается
векторное расслоение на XiXA2 со слоем 匕勺 ㊉匕н в точке (/，x2).
Теорема 19.2.7. Пусть X и У — компактные С°°-многообразия^ Ех и Fx — эрмитовы векторные расслоения на X, Еу и Fy — эрмитовы векторные расслоения на У. Предположим, что значения функций
pwC(T*(X), Hom(哈後,呜勺))
g е С (Т* (У), Нот (冗；0,芯尸/)
являются изоморфизмами всюду вне некоторых компактов Кх и Ку соответственно. Toad。функция d, определенная равенством
t .(р(х, I)®/ —I®q(y, 11)*\
принадлежит
С (Т* (X X У), Нот (唳今図 ^Ey ф W尸X 図吋％,
唳尸x区^Ey㊉唳％区吨戶y))■
Ее значения вне Кх X Ку суть изоморфизмы, и
s-ind d = (s-ind р) (s-ind q).
Доказательство. В обозначениях теоремы 19.1.17, из (19.1.14) и (19.1.15) следует, что Л является изоморфизмом, если А^ или Лг — изоморфизм. Применительно к нашему конечномерному случаю этот результат показывает, что d(x, |, у, т|) есть изоморфизм, если (х, Е)柒 Кх илн (у, п)柒Ку・ Таким образом, значения символа i вне 火х X Ку суть изоморфизмы, и потому s-ind d определен.
При доказательстве равенства (19.2.5) можно считать р н g однородными степени 1 и С°°-гладкими вне нулевого сечения, поскольку р н g гомотопны таким функциям. Тогда символ d тоже будет однородным степени 1, но его С°°-гладкость гарантирована только в тех точках (л, |, у, т|), для которых и |, и т] отличны от 0. Аналитически это отвечает тому факту, что если выбрать псевдодифференциальные операторы с главными символами р и ^, то оператор
/®QР*®/丿
уже не будет псевдодифференциальным оператором. [Здесь Р* и Q* ——это? конечно, псевдодифференциальные операторы, сопря-
женные к Р н Q относительно скалярных произведений ) (и, и) н \ (и, и) для сечений и, и расслоений £ ® QV2 и 尸® R"2. Та・ ким образом, они не совпадают с гильбертовыми сопряженными, если рассматривать Р н Q как операторы в пространствах
Пусть 1 = £ ср； и 1 = £ 屮2 — разбиения единицы на многообразиях Л" и У, подчиненные покрытиям этих многообразий координатными окрестностями, над которыми расслоения Е и F тривиальны. Определим оператор Do как D с Р н Q, замененными на операторы
Ро= £ Ф/^Фл Qo = £ ^iQ^b
имеющие те же главные символы. В силу леммы 19.2.6, для любых j и А найдутся псевдодифференциальные операторы, аппроксимирующие оператор ^j^kD(Piifk, Умножая их слева и справа на ср/ н 中為 и суммируя, получим псевдодифференциальные операторы De порядка 1, сходящиеся к Do в В ("($), "($—】))для всякого s, главные символы которых сходятся к d. Следовательно, по теореме 19.2.5, ind D0 = 5-indd. Чтобы вычислить indDo, достаточно найти С°°-гладкие элементы ядра и коядра оператора Do. Но из вычисления, проведенного при выводе равенства (19.1.13), следует, что
Г
® / + / ® QoQo 0、
о p<X®/ + /®q°qM・
Аналогичная формула справедлива для 0% (все звездочки переносятся на другой сомножитель). Поэтому равенства (19.1.14) и (19.1.15) сохраняют силу, а значит, ind Do =ind Ро ind Qo =(5-ind p) (s-ind q) t чем доказательство и завершено.
Изложим теперь метод, который в принципе позволяет вычислить s-ind р за два шага:
(i)' упрощение рассматриваемого пространства — замена многообразия X евклидовым пространством;
явное вычисление индекса для эллиптических операторов в евклидовом пространстве.
При применении этого метода мы будем иметь дело лишь с эллиптическими операторами, тривиальными на бесконечности, Т. е. вне некоторого компактного множества определяемыми с
помощью умножения на обратимую матричную функцию. Шаг (ii) — тема § 19.3. Шаг (i) начинается с вложения многообразия X в евклидово пространство:
Лемма 19.2.8. Для всякого компактного С°°-многообразня X существует С°°-вложение Ф: Xf Rv, При условии что v достаточно велико.
Доказательство. Мы можем покрыть X компактными множествами К/, j= 1, ..., /, содержащимися в координатных окрестностях Xj с локальными координатами х/： X/f R", где п — размерность многообразия X. Выберем функции ①产俏(XR равные 1 в некоторой окрестности множества К/. Тогда
Ф: Хтх —@1(х), б(х)%(х), ..., <р;(х), <p;(x)x;(x))eR(n+1)z
будет С^-отображеннем с инъективной производной. Если х е ^ и Ф (х) = Ф (^), то ф/(^) = ф/(х)= 1, так что у^Х^ и К/(%) = Х/(у). Таким образом, Ф инъективно, чем лемма и доказана.
Беря композицию отображения Ф с некоторой проекцией общего положения на (2n + 1)-мерное подпространство, нетрудно понизить значение v до 2п+ 1> но нам здесь это неважно.
Пусть ^(X) — нормальное расслоение, отвечающее вложению многообразия X в Rv:
^(J)={(X, g)wxxRV; 4'々加=0}.
Его слои наследуют от евклидовой метрики в Rv евклидову структуру, и теорема о неявной функции показывает, что при достаточно малых р отображение
{(招 y)^N (X); I у ] < р} Э(X, у)^ф(х) + у
есть диффеоморфизм на некоторую трубчатую окрестность /7р образа Ф(Х). Чтобы осуществить шаг (i) намеченной выше программы, мы обобщим конструкцию произведения из теоремы 19.2.7 так, чтобы при применении к эллиптическому псевдоднф- ференциальному оператору в X она давала псевдодифферен- циальный оператор в 〃，который можно рассматривать как оператор в Rv, тривиальный вне (7Р. Для этого нам прежде всего надо иметь оператор индекса 1, который в слоях расслоения N(X) (компактификацией на бесконечности превращенных в сферы) можно определить в терминах одной лишь евклидовой структуры, независимо от выбора базиса. Таким образом, нам надо определить в Ra псевдодифференциальный оператор, инва-
риантныи относительно ортогональной группы, имеющий индекс 1 и, желательно, самые простые ядро и коядро.
Чтобы построить такой оператор, рассмотрим сперва для случая ц = 1 операторы
Р = х + »О:
где "a = Z?(R), a "i состоит из всех 〃三"°, для которых хи 三 ％ и Du е Но, и наделено нормой
(l|ulF + l|xu|F + ||Du||2)V2,
где ||*|| обозначает £2-норму. Если Ри = 0, т. е.(尤+ <?)〃 = О, то и(х) = Се~х2/2\ эта функция принадлежит Н{. Образ оператора Р плотен в Н(). Действительно, если вектор v 三％ ортогонален к этому образу, то (% —。) и = 0, а значит, v = C'e炉拉; эта функция может принадлежать Яо только при С' = 0・ Поскольку
II Ри If2 = |[ хи II2 +1) Du If2 + (хи, ди) + (du, хи)
= ||xu|p + ||Du||2-Hu|p,
из предложения 19.L3 следует, что образ оператора Р замкнут и, следовательно, совпадает со всем Яо. Действительно, если Uj — ограниченная последовательность в Н\, такая что Ри； сходится, то ||ли/|| и ||Du/|| ограничены, а потому у последовательности 〃/ найдется подпоследовательность “〃, которая сходится в L2. Применяя записанное выше тождество к “〃 ——〃厶，заключаем, что последовательности xu；ft и 0〃/在 также сходятся в С. Таким образом, Р — фредгольмов оператор с индексом 1.
Аналог этого примера для случая Rn получается, если рассмотреть внешнюю алгебру над С? как комплекс с отображениями А(з) внешнего умножения на вектор 齿= % +，£:
Л (да): О-^С-^Л^^.-.-^Л^-^О.
При 如=/=0 этот комплекс точен, т. е. образ каждого отображения совпадает с ядром следующего. Действительно, это достаточно проверить для случая, когда w — какой-нибудь базисный вектор, а в этом случае очевидно, что внешнее умножение на w аннулирует лишь те формы, из которых з можно выделить в качестве внешнего сомножителя. Расщепим указанный комплекс по образцу предложения 19.1.16, введя предварительно в NCF обычную эрмитову структуру. Таким образом, мы пишем
Л,ет = © А"(С"), 尸=㊉ л2/+1 (сп),
и для u = (uo> “2，• * •) ^ Ачет полагаем
p(w)u = (Л (w) 〃о + А (з)* 〃2，…)三 ЛН€Ч;
тогда p(w)*i Ане**тAs имеет аналогичный вид. Из конечномерного случая предложения 19.1.16 мы знаем, что отображение "(齿)биективно для всех ненулевых w е ,Сп. (В частности, Ам и Лнеч имеют одинаковую размерность, что, впрочем, следует уже из того факта, что (1 — 1)п = 0.) Пусть теперь Нх — пространство всех форм четной степени
u = Uo -j- и2 •・ *,
у которых каждый коэффициент f удовлетворяет условиям 厶 D/f, Xjf s U, j= I, ..., n, и пусть "° — пространство всех форм нечетной степени с коэффициентами из
Предложение 19.2.9. Дифференциальный оператор первого порядка р(х + iD) отображает Нх на Но и имеет одномерное ядро, порожденное скалярной функцией 1 * 円乙
Доказательство. Пусть <у е С00 (R2n, S(Лнеч, Лчет)) равняется "(% +疋)т вне некоторого компакта. Тогда gwS(R-* g), где
R& 5) = (1+|x|2 + l^l2)I/2, g = (l dx^ + \dlW.
Это следует из соображений однородности. Значит, g(x, D) непрерывно отображает HQ в 班 ибо д(х, О), х/^(х,力)и pg(匕 D) принадлежат OpS(l, g) и, следовательно, ^-непрерывны по теореме 18.6.3 или просто по теореме 18.1.11. Из общего исчисления псевдодифференцйальных операторов, развитого в § 18.5, вытекает, что для символа р(х, g) = p(x*，E)
9(居 D)p^ 0) = / + ^ (х, О),
где К 三S(l/R, g). Отсюда следует, что если 〃三歹 и р(х, D)u = 0, то 以=(—/<i(居 D))Nu для любого N, а значит, 〃三夕 Аналогично
р(М D)g(爲 /)) = / + %(%, D),
где К2三S(l/R, g). Таким образом, Kzg D), Х/Л2(х, О) и D&g D) непрерывно отображают 日。в А?。, а следовательно, К2(х, D)—компактный оператор из / в HQ. Поэтому образ оператора р(х, D): gf% замкнут и имеет конечную коразмерность. Если вектор и ортогонален к этому образу, то и = —К2(х, D)*v =(—K2(x, D)*)Nv для любого М а значит, и 三 В. Таким образом, осталось только доказать, что кратные функции ё~ I' I"? — это единственные формы с коэффициентами из 歹，аннулируемые оператором р(х, D), и что оператор р(х, О)* инъективен на В. Здесь уже требуются некоторые выкладки.
Для всякой ^-формы f на Rn с коэффициентами из 夕
Л（х + iD） f = & dxUf + df = e-'x md （е1 “ 喫丹
Форму f можно записать в виде
f^Zhdx7,
где Z = （/i,…，jq）—набор из q индексов, заключенных между 1 и п, функция f『антисимметрична по этим индексам, а штрих при знаке суммы означает, что суммирование ведется только по возрастающим наборам индексов. Тогда
Л （x + iD）f= ^ 多'（％ + X/）力 dx, Л dx7,
11Л（х + iD）/||2 = Д г（@ + 勺）力,（d4-圖左）詔， где числа s/［ отличны от нуля лишь в случае, когда /^/, Z亥 L и {j}U/ = {/}UL, а в этом случае равны знаку нереста- новки Ь 丄＞ Сгруппируем члены последней суммы по-другому. Сперва рассмотрим те из них, для которых / = /. Тогда, чтобы 詔，0, мы должны иметь / = Л и /陆厶 так что эти члены дают
ЕЕ'||9/ + %%『.
Теперь рассмотрим члены с /#/• Для того чтобы g%#=0, здесь надо, чтобы Z е /, / е L и после исключения / из / и / из Л получался один и тот же мультииндекс К. Поскольку
сумма этих членов равна
—Ri g‘ （（0/ + 々）力к, （& + 勺）力к）・
Несложное вычисление, провести которое предоставим читателю, показывает, что
IIА （% 十 iDYf\r=Z г 侶一 &） ftK，⑺一專力 Q Так как
［（勺 + %）,⑶ 一&）］ = 26"，
после интегрирования по частям получаем
11Л（х + iD） /『+ IIА а + iDyf\^Z^\\ （々 + 斗）Л IP + 2g II f『.
Используя (19.1.11), заключаем, что если 〃=£〃2勿 где % суть 2д-формы с коэффициентами из 忆 то
II р(X + /D) 〃『=多 4gli %『+ 多 II (勺 + %)«IF.
Отсюда видно, что равенство р(х + ID)и —0 возможно лишь тогда, когда и есть кратное функции е~ 1 ж ^. Аналогично получаем, что если 0=£。2#1, где v2g+1 суть (2q + 1)-формы с коэффициентами из 0 то
II р(X + ⑵.и IF = £ (4g + 2) Ц v2?+JI2 + £ II ⑴ + 0/) и『.
Отсюда вытекает, что оператор р(х+ iD)* инъективен, чем и завершается доказательство.
Замечание. Доказательство теоремы 15.1.1—это, по существу, частный случай q = 1 проведенного выше вычисления.
Продолжим реализацию нашей программы. Теперь нам надо преобразовать оператор р(х + ID) в псевдодифференциальный оператор порядка 0.
Лемма 19.2.10. Если Ге (х, У = (1 +1 ex f2 +1 е$ Р)-1/2, то для всех достаточно малых е > 0 оператор Ге (х, D) осуществляет изоморфизм пространства L2 на гильбертово пространство В всех 〃三厶2, таких что Dfu е Л2 и х；и е Л2 при /= 1, ..., л, и TJx, D)-' fff 8 厶2 при е->0 для любого fwB.
Доказательство. Положим R电=*% и введем метрики gc = e2(| dx? + \^)/RR(x9 熊
которые равномерно a-умеренны для 0 < е^ 1. Очевидно, что функции & и Гв равномерно ограничены (т. е. имеют равномерно ограниченные полунормы) в S(&, gj и S(T&, gj соответственно, поскольку это верно при &=1. Следовательно,
R式芻 D)Te(xf О) = / + &£® D),
где символы К：е равномерно ограничены в S(e*备 良). Поэтому Л2-норма оператора Ки(х>。)есть О (е2), так что оператор / + К1&(%, °) обратим в L2 при достаточно малых е. Аналогично
北(居 D)RJS D) = / + K2&(xt D),
где символы К22 равномерно ограничены в S(e2/R^, g^). Следовательно, £2-нормы операторов ^Б, [хЛ К?』и [D；, К2е] суть О (е2), а потому норма ^2e как оператора в В есть О (е2). Таким
образом, оператор / Ч- К2г обратим в В при достаточно малых е, так что Ге (х, Q) осуществляет изоморфизм 厶2 f В, а /?с(х,。)—— изоморфизм Bf Для f
几(招。厂lf=Re(%，О)(/ + К2е(Х,。)尸 f
и (/ + К2е(х, D))~' f->f в В при е->0. Далее, для gw夕 ие(х, с) g『=(&(*, 〃)* 凡 a, 〃)g, g)
= UlP + e2(S il*/gIF + 11 Dtg『)+ (必(%，。)g，g),
где символы Кз& равномерно ограничены в S(e2, g) а значит, /?-норма оператора ^зe (х, D) есть О (е2). Следовательно, операторы RJx, О) как операторы из В в L2 имеют равномерно ограниченные нормы. Если gwg, то &(%, D)g^g в 夕 при е->0, так как 冗fl в С8 H 凡 равномерно ограничены в S(Ri, gj・ Таким образом,
Те(%, Dr'f^R^x, D)f + Re(%，OG + KM%, D))Tf — f)f f
в Z? при е-> 0, чем доказательство и завершено.
Зафиксируем теперь е столь малое, что Ге (х, D) — изоморфизм и
(Те(х, D)TeT*M, е-1х,3/2)>0.
Тогда ре (х, D) = p(xt D) Те (х, D) есть сюръективный фредгольмов оператор из S(L2(Rn, A""), Z?(R", Лнеч)) с индексом 1, инъективныё на гиперплоскости, ортогональной к 巴一丨糞門?. Ясно, что
ре(*, e) = p(*, &)二(招用證也.
Чтобы продеформировать р& в псевдодифференциальный опт ратор, тривиальный на бесконечности, выберем функции Ф 三 С/(R") и ф е С00(R*) так, чтобы они были неубывающими функциями от радиуса и чтобы
Ф(х) = ^(х) = 1при |х|< 1,
ф(х) = о» ф(х)= 1/|х| при IхI > 2.
Лемма 19.2.11. Если awS(l, g), то для 0&6&1 символы
%(%, ?) = а(х, ф (бх) ф (д|) у
равномерно ограничены, в S(l, G), где
G = |dx |2/(1 + |х|2) + |^|2/(1+1512А
Отметим, что
_(。(力，0)при IdxI>2,
咏"目=[。(爲 <p(dx)g/| dg I) при I 熒 I > 2.
Доказательство. Утверждение леммы означает, что
I О^а6 (х, Ю1<СаЭ(1+|6|)-1а|(1+|х|)-|₽1-
Ввиду однородности символа 〃б по 自 при |6自|》2, можно считать, что 丨奘|《2・ Предположим сначала, что [6х|^ 1. Тогда 佝(居出=a(招9(6出出и при ay=0
I。帥阔 g I < Саб' а 1 (1 + 他 |厂 g《Са (1 + I 占 1)1 叫 достаточно установить первую из этих оценок для случая 6 = 1, а в этом случае она следует из того, что функция +(Е)Е гладка и однородна степени 0 при больших | 自 |. Поскольку 1 +1 х I + -ф (66) 161^ 1 +1 -^ I + с 161, те члены выражения DlD^a6 (х, Е), где а дифференцируется / +1 р | раз, оцениваются помноженной на некоторую не зависящую от 6 постоянную величиной
(1 4-|хЦ-^Г/-1е'(1 +^|/~1а|<С(1 +|х[Г,р|(1+|§|)-|а|,
как и требуется. Далее, при 16х | > 2 мы имеем аб (х,己)=а (х, 0), и доказываемое утверждение очевидно. Наконец, пусть 1《|6%|《2. Тогда производные порядка / от а оцениваются через С", а
I D^q>(dx) 2 (找)龍 I《Сар(1 + I х |)-WI(1 +1 g 旷 E, ибо это верно при 6 = 1 и справедливо неравенство 6/(1 +16% I) & 1/(1 +1 % 1). Отсюда непосредственно вытекает требуемая оценка.
Теперь мы подготовили все необходимое для построения оператора, который можно использовать в обобщенной формуле произведения:
Теорема 19.2.12・ Существует символ BeSUC^XR") со значениями 8 纟仕”仃依)AHe4(Rn)), тжой что ■
8 (х, g) = Л (х/| х I) 4- Л (х/| х I)* при всех достаточно больших |х I;.
разность между ядром Шварца оператора В(х, D) и распределением В(х, 0) д (х — у) имеет компактный коситесь;
оператор B(xt D) отображает L2(Rrt, Лчет(Rn)) «а Z?(R", днеч^рп^ и имеет одномерное ядро, состоящее из сферически симметричных скалярных функций класса ^Г；
для любого ортогонального преобразования О в Rn и любого 〃胃厶2(R", A4eT(Rft)) справедливо равенство О* В (xt D)u = В(х, Q)OZ・
Доказательство. Выбрав е столь малое, что выполнены заключения леммы 19.2.10 и ядро оператора pe (х, D) не ортогонально к 小“"，применим лемму 19.2.11 к а = р& и к 6, равному р^1 вне некоторого компактного подмножества М = ((х,目; |%|《С, |Е|《С} в R吗 Символ аб(х, &瓦(修自)равен тождественному преобразованию при (х, Е)吏 М и 26C&L Действительно, если (х, ф(дх)*ф(6^)S) е М, то |6%|《6С《1, следовательно, 屮(6g)I 6g IV6С V 1/2, а значит, ] 6^ [^ 1 н | 匕 |《С・ Далее, 瓦 а, о)% (修 о)=1+ых,。)，
询(%，0)仇(/£>) = / +凡6(/0)，
「де при достаточно малых 6 символы 《扣 ограничены в 5((1+|х[)-'(1+161Г', G) для метрики G, определенной, как в лемме 19.2.11. Из теоремы 19.1.10 следует поэтому, что ind аб (х, D)= 1 и dim Кегаб (х, £))=1, при условии что 6 достаточно мало. Если u6 三 Кег аб (х, D) и ||u6||= 1, то иб = — К1биб принадлежит некоторому фиксированному компактному подмножеству в £2. Всякая предельная точка 〃° таких иб при 6-*0 лежит в ядре оператора ре(х, Q) и имеет норму 1, а следовательно, не ортогональна к е'^х^. Пусть dO обозначает меру Хаара на ортогональной группе. Положим
q = \ О*% dO.
Тогда 〃б тоже лежит в ядре оператора ae (х, D) и имеет такое же скалярное произведение с е~ 'x^/2t что и 〃б，поэтому U^Q при малых 6. Итак, мы получили для указанного ядра образующую, которая инвариантна относительно ортогональной группы, т. е. является сферически симметричной функцией.
Ядро К оператора аб(х,力)равно аб(х, 0)6(х —у) при I dx I > 2. Далее,
К(X, g) = (2“)f，J "一，年6(X, S 恋
быстро убывает при //->оо и | 6х | ^ 2 (см. доказательство теоремы 7.1.22). Отсюда вытекает, что
(К(% 勿一的(尤，0)6(4 —у))(1 — <₽(Y//))f 0
в 9 при у->0 (здесь ф — та же функция, что и в лемм 19.2.11). Следовательно, оператор
Bq (X,0)=询(%，°)- @ (居 0)一秋(%，0))(1 - ф (yх)),
очевидно, удовлетворяющий условию (ii), при достаточно малых у удовлетворяет также условию (iii). Для | дх | > 2
60 (修 ^) = p (*, 0)几(%, 0) - i X 9p (X, 0)/6品)"式/ 0)/d々) = р(х, 0)Дех| + О(1/|л:|) при Xf оо.
Если положительное число 8 достаточно мало, то
8(х, В) = ф(бх)(1 + е2(Iлр4-Ф(ЬХт)^(IхI2 + ^ЬхГ)-^В0(х,出
+ (1 — <р(0х))р(х, 0)Дх| по-прежнему будет функцией с обратимыми при |бх| > 2 зна- чениями, так что символ А обладает свойством (i); кроме того, В наследует от & свойства (ii) и (iii). Сферическая симметрия соблюдалась в ходе всего нашего построения, поэтому для В выполнено и (iv). Доказательство завершено.
Заметим, что множитель при Во в приведенной выше формуле для символа В был выбран так, чтобы главный символ был равен
⑴‘Р (х + /Ф (6х) ^б^Ох^ + ф (Sx)2)-4
Оператор 8(%, D) удобен для аналитических применений, и его символ гомотопен символу р(% + ^) вне некоторого компакта. Будем называть этот оператор оператором Ботта, поскольку его символ выступает как некоторая образующая в тео- реме периодичности Ботта; саму эту теорему мн, впрочем, нигде использовать не будем. По техническим причинам предпочитают рассматривать В как оператор в S" = R"U{8} с локальными координатами x；/jxj2 на бесконечности. Он переводит сечения тривиального расслоения EB = Sny^ Ачет(С?) в сечения расслоения 尸& равного RnXAHe4(£Xft) над R" и (Srt\{0}) XЛчет(Сл) над S"\{0}, причем для хе Rrt\{0} и w е Лчет(Сп) точки (х, p(x/\x\)w) и (х, w) отождествляются между собой. В первом варианте представления оператора Ботта определение Ви сохраняет силу для 〃三否'(R"), а во втором оператор В действует как тождественный оператор, если supp и достаточно близок к оо. Согласованность этих двух вариантов определения вытекает из условия (ii) теоремы 19.2.12.
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать формулу индекса для расслоенных произведений, возникающих при рассмотрении вложений. Формулировка результата длинна, но аналогия с теоремой 19.2.7 очевидна.
Теорема 19.2.13. Пусть У — компактное С^-многообразие, Еу и Ру — два комплексных эрмитовых векторных расслоения класса
С°° над У и**
q 三 С(7* (У), Нош (лу£у,兀;尸у))
—функция, значения которой всюду вне некоторого компакта являются изоморфизмами. Пусть V — вещественное векторное расслоение с п-мерным слоем над У, наделенное евклидовой структурой. Пусть Vy ——сфера» получаемая добавлением /с Vy бесконечно удаленной точки, u V — соответствующее расслоение сфер над У. Таким образом,户=У U (У X {<»})，причем С^-струкг тура расслоения V на бесконечности определена так, чтобы инверсия Vy \ {0}三 и 1~> и/| V |2 продолжалась до диффеоморфизма И \ V0 —► К, где у° = У 义{0} — нулевое сечение расслоения V. Обозначим через Кс комплексификацию расслоения У, и пусть Ев — поднятие с Y на V векторного расслоения Лчет(Ус)« Пусть FB — векторное расслоение на 户,получаемое из поднятия расслоения Лнеч(Ус) на V и поднятия расслоения Лчет(Кс) на У \ У0 при помощи отождествления точек (и, р(и/|и|)з) и (и, w) для v^Vtt\ {0} и w е Лчет(К2/с). Здесь, как и выше9 р (о) = Л (и) + Л (и)*. Пусть 云у, Гу — расслоения Еу,尸у, поднят тые на 声.Выберем
9sC(r(K), Hom(而瓦“諸у)) так, чтобы
q(t, я*т1) = q (я/, t\) при t^V и rj 曰犧(У), где л (^означает проекцию V ~^Y. Положим теперь для & т)еГ(₽)
屮(х)р(* +店<р(х))®/—/®4«, т『 、
(，/@4(/, Т) ®(x)p(x +，E)(x))*®〃'
где 6 обозначает ограничение формы т на слой, х есть f, рассма^ триваемое как элемент из Ия/, а 屮(尤)，Ф М — невозрастающие непрерывные функции от |х|, которые в 0 равны 1, а в некоторой окрестности бесконечности равны соответственно 1/|х| и 0. Тогда
dwC(T*(》)，Hom(л^Ев®£уфFB®Fy> 兀諸в®瓦㊉廃®户у)), значения этой функции всюду вне некоторого компакта являются изоморфизмами и
s-ind d = s-ind q.
Доказательство. Прежде всего напомним, что (19.1.12) есть изоморфизм, если я| или Я?-изоморфизм. Далее,w(Х)Р(х+玲中(%))
является изоморфизмом всегда, за исключением случая, когда % = Е = 0, т. е. когда / е V0, а т ортогонально к слою Vnt. Но это последнее означает, что т = л*т)для некоторого цеТ^и (У); ввиду (19.2.7) отсюда следует, что вне некоторого компакта d — изоморфизм. Таким образом, индекс s-indd определен и не зависит от выбора символа q, удовлетворяющего (1927), равно как и от выбора функций 中 н р. При доказательстве равенства (19.2.8) можно принять, что символ q однороден степени 1 и С°°-гладок вне нулевого сечения расслоения Г*(У). Выберем Qwy；hg(K Ey®Q叱 &8Q"2) с главным символом q. Чтобы преобразовать оператор Ботта В в оператор первого порядка, выберем псевдодифференциальный оператор Т на Sn так, чтобы значение его главного символа на кокасательном векторе (х, Е) было равно длине этого вектора, вычисленной по отношению к стандартной длине дуги в Sn. (При отождествлении Sn\{oo} с Re элемент стандартной длины дуги в 5Л равен |dx|2/(l + |х|2)2, поэтому ограничение главного символа оператора Т на P(Rrt) равно |g|(l + |х|2).) Добавляя к оператору Т большую положительную константу, можно сделать его обратимым, а значит, имеющим индекс 0. Оператор Т действует также на сечениях тривиального расслоения Ев над S* и Bi = ВТ будет эллиптическим псевдодифференциальным оператором первого порядка, ядро которого порождается некоторой сферически симметричной скалярной функцией, если выбрать Т инвариантным относительно ортогональной группы. Ясно, что оператор В{ действует и на сечениях расслоения £в ® £у ® Qy2, поскольку последние можно рассматривать как форм^ на Rft, зависящие от параметра у и принимающие значения в Ёу 02^^ что он инвариантен относительно ортогональной группы, (На слоях-сферах мы отождествляем функции с плотностями.)
Как и в доказательстве теоремы 19.2.7, возьмем разбиение единицы 1 = ^^» подчиненное покрытию многообразия У координатными окрестностями У在,над которыми расслоения Еу и 尸у тривиальны, а расслоение V со своей евклидовой структурой эквивалентно У总 XR". В терминах этих тривиализаций операторы 2在Qp比 определяют некоторый оператор из сечений расслоения Ёв®£у®Qy2 в сечения расслоения 云в®戸丫告Qp, который может быть аппроксимирован с помощью леммы 19.2.6. После умножения слева и справа на 屮总 этот оператор можно поднять обратно на многообразие. Суммирование по k дает оператор Q = 2 Qfe из сечений расслоения £в® £у ®Qy2 в сечения расслоения £в ® Fy ® йУ2, такой что
Q(1 告九力)=1 ® nQ^u
для всех сечений и расслоения £y®Q 戸 на У. Здесь Qo= Z 巾^Q2^ ——другой псевдодифференциальный оператор на Y с главным символом д. Применяя лемму 19.2.6 к 2在Q2尼,получим сходящуюся к 5й последовательность псевдодифферен- циальных операторов с главными символами, сходящимися к символу, равному 喉g (兀厶 п) в точках вида (/, я*т|). (Последний символ продолжается с множества точек указанного вида так, что он постоянен в направлениях, конормальных к плоскости х = const, определенной в терминах локальных координат, но когда мы образуем Q, эта информация не сохраняется.) Таким образом, главные символы операторов, аппроксимирующих Q, сходятся к некоторому символу q, удовлетворяющему условию (19.2.7). Точно таким же способом можно поднять Q и до оператора Qi из сечений расслоения FB ® £у ® Q)/2 в сечения расслоения FB ® Fy ® Qp, и имеют место свойства сплетения
&& = &◎, В；& = @В；,
поскольку эти равенства выполняются для наших локальных конструкций.
Рассмотрим теперь оператор
〈Q bJ
из сечений расслоения £^ ® £у®оУ2ф^в ®Fy ®Q^2 в сечения расслоения FB ® £у ® Qy2®j&b ® Fy ® Qy2. Точно так же как и при доказательстве теоремы 1927, можно применить теорему 19.2.5 и заключить, что。一фредгольмов оператор, индекс которого можно вычислять на гладких сечениях, поскольку предельный главный символ
(19.2.11)(19.2.11)4用4用瓦瓦
(19.2.11)
(19.2.11)
4
用
4
用
瓦
瓦
является изоморфизмом вне нулевого сечения расслоения 7*(0). В самом деле, значение главного символа Ь\ оператора 8】в точке (厶 т) является изоморфизмом всегда, за исключением случая, когда форма т конормальна к Р#$, а в этом случае, в силу (19.2.7), @(f, т) будет изоморфизмом при т=/=0. Из свойств сплетения (19.2.10) вытекает, что
+0 )
〈06向十Q1Q丿
Здесь оператор В】В； инъективен, а элементы ядра оператора В；В] могут быть записаны в виде 〃o(|%|)®u(ny), где |・| обозначает евклидову метрику, ^о — некоторая скалярная функция и о — некоторое сечение расслоения £у ® Qy2. Но, как следует из доказательства равенства (19.2.9),
Q (〃о 告 л и) = 〃о ® 九 Qo%
поэтому ядро оператора。изоморфно ядру оператора Qo. Аналогично
DT&& + QQ 0)
\ О B1& + QQ 丿
Ввиду инъективности оператора B]Bi заключаем, как и выше, что ядро оператора D* состоит из всех элементов вида 〃о® 九*и, где V — сечение класса С°° расслоения FY ® Qy2, аннулируемое оператором Q*. Поскольку Q сохраняет степень форм на слоях расслоения V, это означает, что элемент «о®л*о должен быть ортогонален к Qw для каждого сечения w расслоения FY ® Qy2, рассматриваемого как подрасслоение в EB^FY® Qy2- Если \ обозначает интегрирование по слою, то
,«0^5 = Q0 5 ^>
в силу определения Q (см. (19.2.9)). Следовательно, указанное условие на и равносильно тому, что о ортогонально к образу оператора Qo, т. е. тому, что Q()o = 0. Поэтому
ind D = dim Ker Q° — dim Coker Qo = ind Qo = s-ind g.
Остается построить гомотопию между символом (19.2.11) оператора D и символом d(f, т). Из конструкции оператора Bi следует, что
b, = \l\xp(x + i^ (W) Ц 雄 1)/(1 хр + ф (")2)吟
здесь 5 — из леммы 19.2.11, a |g|x = (l + |х|2) |g| —длина вектора & относительно указанной выше римановой метрики на сфере. Ввиду однородности символа р последнее выражение равно
P(xЩх +绚8*1 +1%円聯)用X F +屮传*)2)0
В символе d на соответствующем месте стоит 屮(力)口(尤 + z(p (6х)|) Связывающая эти выражения гомотопия, значения которой при
5^=0 суть изоморфизмы,' записывается как”
Р (((1 -儿)I Е % + 九)X + ⑷(6x)貝(1 + I X |2)/6)"厶)
X (九3 (*) + (1 - A)/(| XР + ф 传*)2)"2),
0 W A W 1. Доказательство завершено.
Можно сделать d уже совсем тривиальным в окрестности бесконечности, рассмотрев гомотопию
diT (厶 6 =diT (厶 6 =р (х)"(尤 + ^Ф (х)) ®/ —ф (")/ ® q (/, т)* \ I Ф (") / ® 0 (厶叫 巾(х) р(х + /^ф (х))* ®/Л
diT (厶 6 =
diT (厶 6 =
0W6VL Это по-прежнему изоморфизм, когда х=/=0 или 5 =/=0, а при х = 0 ничего не изменяется. Таким образом, s-ind d = s-ind di = s-ind d0. Заметим, что в окрестности точки оо в Р, где ф (尤)= 0, мы имеем
&)(f, т) = (°р(х/|х|)*®/丿・
Как и в теореме 19.2.3, можно выбрать псевдодифференцналь- ный оператор порядка 0 с гомотопным главным символом, у которого ядро отличается от ядра некоторого оператора умножения лишь на распределение с компактным носителем в УХ V. Отсюда следует, что ядро и коядро этого оператора можно вычислять на сечениях с компактным носителем в V, и больше не нужно продолжать их до сечений, определенных и на бесконечности. Чтобы упростить наш оператор далее, тривиализуем рассматриваемые расслоения:
Лемма 19.2.14. Для всякого комплексного векторного расслоения Е класса С°° над компактным С^-многообразием X можно подобрать другое комплексное векторное расслоение G класса С8 над X так. чтобы расслоение Е® G было изоморфно ХХ СЛ при некотором ^-
Доказательство очень близко к доказательству леммы 19.2.8. Выберем покрытие многообразия X координатными окрестностями Х〃 / = 1, ..., /, такими что для всякого / существует тривиализация 切：Е|х/->X/Х Сл. Если ф/ w СГ(Х,)н 2ф/ = 1. то отображение
Emci(nc,屯6%加用心)日XX07,
где л — проекция EfX, вкладывает Е как подрасслоение в XX С,“, ^ = Jv. Остается просто взять в качестве G расслоение, слоями Gx которого служат ортогональные дополнения к образам слоев Ех в .СЛ. Лемма доказана.
Применяя эту лемму к ситуации, в которой роль X н Е играют Р и Ёв^ Ey® Рв^ Ру соответственно, заключаем, что прямая сумма Do тождественного оператора в С°°(Р, G) и оператора, построенного непосредственно перед леммой 19.2.14, представляет собой эллиптический оператор на сечениях тривиального расслоения Р X СЛ, в окрестности бесконечности являющийся просто умножением на некоторый изоморфизм векторных расслоений.
Предположим теперь, что V — нормальное расслоение, отвечающее вложению многообразия У в Rv для некоторого v. Как было отмечено после леммы 19.2.8, V можно тогда отождествить с некоторой трубчатой окрестностью Up многообразия У, и оператор Do определяет на Up эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом 厶，который для некоторого rVp является на U^\Ur просто изоморфизмом расслоений. Этот символ do (X, Е) при фиксированном ненулевом 日 м R、 дает изоморфизм пространства CN и слоя образа нашего тривиального расслоения при указанном отождествлени и, поэтому этот образ также будет тривиальным расслоением. Итак, оператор Ос представляется некоторой ^X Л^-матрицей псевдодиффе- ренциальных операторов, причем на q)\Or при некотором г 之 р он сводится к оператору умножения на обратимую матричную функцию. Чтобы продолжить его на всё Rv, нам понадобится следующая лемма:
Лемма 19.2.15. Пусть Uи Rv открыто и ограничено, Ku U компактно и а е C^(U\K, GL(M С)). Тогда найдутся такие
4 三 С” 0, GL (М С))> 人 е СТ (炉、к, GL (у с)),
что функция Дао равна аЛ0 в U\K и однородна степени 0 в некоторой окрестности бесконечности.
Доказательство. Выберем функцию ф 三 СТ (U), удовлетворяющую условию 0 & ф W 1 и равную 1 в некоторой окрестности компакта /С. Тогда
£ = {(*,々，z2)eRvX(CAr®CW); а(х)(1 — ф (х)) Zj = <р (х) г2
при Х^и. 21 = 0 При хфи}
будет векторным расслоением над Rv, а значит, тривиальным расслоением. Далее рассуждаем так. Если 1/2 V f V 1, то ортогональная проекция слоя Ех и C2^ на слой Etx является тождественным отображением при больших х, а также при f = l Н, следовательно, является изоморфизмом при всех х, если 1—f достаточно мало. Итак, мы имеем изоморфизм 戶(力)【
Ex^Etxt непрерывно зависящий от х. Зафиксируем какой-нибудь большой шар В, содержащий supp ф. Тогда отображение
Р (产一 ％)… Р (х): Ех f Etkx
тривиализует Е над В, если k столь велико, что Е тривиально над 俨В. Поэтому найдутся С°°-отображения 尸 н G шара В в множество ^X ^матриц, такие что ограничение расслоения £ на шар В имеет вид {(х, F(х) w, G(х) w);力 Е 8, w е C^}• Таким образом, a(%)(i — ср(х))F(х) = q>(х)G(х) там, где 0 < Ф(х) < 1. Положим
4 (х)=尸(х)/(р (х) при ф(х) > 0,Лоо (尤)=G (%)/(1 — Ф (%)) при (р(х)< 1.
Тогда а(х)А0(х) — Аоо(х) при 0 V<p (尤)V 1, так что можно продолжить Ло на всё U, положив Л0(х) = a(x)-Moo(x) там, где Ф(х) = 0, а Лоо一на всё СК, положив Аоо(х) = a(x)AQ(x) там, где ф(х)= 1. Ясно, что аЛ0 = 4® в U\K. Поскольку U ограничено, можно взять В = {х е Rv; |х| V 2R} со столь большим R, чтобы в U выполнялось неравенство | х| <； R/2. Наконец, видоизменяя Л»,, а именно переходя от 力8(力)к ^«(^(х//?) х), где функция 2 такая же, как в лемме 19.2.11, достигаем требуемой однородности, чем и завершается доказательство.
Теперь мы просто заменяем наш оператор D& на DqAq н получаем оператор, действующий на функции со значениями в ：СЛ, который вне некоторого компактного подмножества в U。является оператором умножения на 4^. Следовательно, его можно продолжить на всё Rv. Итак, отправляясь от эллиптического символа q на У, мы определили эллиптическую ^ X ^систему псевдодиффереициальных операторов в Rv, которая вне некоторого компакта в Rv действует просто как умножение на обратимую матричную функцию О(х), однородную степени 0. Для этого оператора, действующего на функции с компактным носителем, индекс равен s-ind q. В § 19.3 мы явно вычислим индекс таких операторов. В принципе это дает метод для вычисления s-ind q. Некоторые указания насчет совсем явных формул для s-ind 9 можно найти в примечаниях в конце главы; полное развитие этой темы увело бы нас слишком далеко в сторону от главной линии изложения.
Теорема об индексе в Rn
Как и в § 19.2, g будет обозначать『умеренную метрику в R2rl задаваемую формулами
^.6 = A(x, g)(|dxF + |曲2),似鸠 BNa+IxF + I^T.
Симметричность метрики g по переменным х и g и использование исчисления Вейля упрощают доказательство следующей теоремы:
Теорема 19.3.1. Если символ asS(l, g) со значениями в S' (С?, С?) таков, что функция а-1 определена и ограничена вне некоторого открытого шара Ви К2л, то aw(x, D) есть фредгольмов оператор в L2(Rrt, Cv) с индексом
indaw(x, £>) = — (—2加尸^Тт，行(尸〃)"； ЗВ
предполагается, что R” ориентировано условием dx^d^h ・・・ AdxnAdgn > О).
Здесь a~lda—один-форма с коэффициентами, значения которых являются vX v-матрицами и, следовательно, при v > 1 не коммутируют. В случае п = v = 1 символ а — это просто скалярная функция и правая часть формулы (19.3.1) равна
(2М)Т \ da/a,
т. е. вращению определяемого функцией а векторного поля на дВ — отображения окружности дВ в С\{0} (см. пример после теоремы 19.2.4). Для доказательства теоремы 19.3.1 мы воспользуемся следовой формулой из предложения 19.1.14. Прежде всего напомним, что оператор А в L2(Rn) является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда его ядро 必 квадратично-интегрируемо, и в этом случае
||Л|||= J|^(x, y)Nxdy.
Для Д = aw (х, D) это означает в силу равенства Парсеваля и (18.5.4), что а е L2 и
卜飞*, D)^ = (2n)-nJJ|a(x, 912dx公
(это верно и для а(х, D))・ Если *】,^2 ^ A2(R2rt), то ядро * композиции соответствующих операторов задается формулой
加(％ У) = Т 必 0 %)加2 ⑵ У) dz
и след оператора А равен ，，*i(%，z)*2(z, х) dx dz. Далее,
加(х, * + у)=，垓I (х, z)加2 (г, X + у) dz
как функция от х принадлежит L1 (по теореме Фубннн) и является непрерывной функцией от у со значениями в L' поскольку
\|出2(2, х +у) —^-2(z, x + y')^dxdz
стремится к 0 при у ——у'-> 0. Таким образом, след оператора А равен §*(%, х) dx, если его ядро 必 непрерывно. Это имеет место в случае, когда Л = aw(x, D)——ядерный оператор и символ а интегрируем; итак, в этом случае
Тг (Д) = (2л)"п ^ а (х, I) dx d|.
Если значения символа а суть vXv-матрицы, то А есть оператор в L2(Rn, С?) и приведенная выше формула остается справедливой, при условии что а в правой части заменено на след а как матрицы. Предоставим проверить это утверждение читателю в качестве упражнения и перейдем к доказательству одного совсем простого достаточного условия ядерности оператора:
Лемма 19.3.2. Оператор aw(x, D) является ядерным оператором 8 £Л (R» и удовлетворяет оценке
时住,。亦《с £h^₽^<aU
если сумма в правой части конечна.
Доказательство. Из операторного исчисления следует, что hv(x,D)(l+[xf+\D^ + cv(x,D)=l,
где с = ЛЛ/4 е S (Л2, g) — тоже функция от IxP + lgf2. Значит, 1 +1 х I2 + I D |2 коммутирует с Aw и с\ поскольку скобка Пуассона функций от IxF + IWI2 равна 0. Возводя записанное выше тождество в степень 在，такую что 2々》住+ 1, получим
玄疗(х, cMl+IxF + l。!2)」],о
где Ь『(х, D) есть сумма произведений взятых в некотором порядке / сомножителей hw (х, D) и k — / сомножителей cw(x, D), так что bqS(h*T, g). Умножая последнее тождество справа на aw (х, D) и подключая максимально возможное, но не пре«
восходящее 九+ 1 число множителей х и D к aw(x, D), а оставшиеся множители х и D — к b『(x, D), получим
а" (%, D) = £ 您,а", ЭЛ р* (х, D)硝,а*, у, 6" (%, D)，
где суммирование ведется по |а'|+ ... +|旷|&也+丨，
а* а*, а, у (%, ^) = ха ^D^D^a (х, &),
a b* а*,牝 г не зависят от а и принадлежат S(h^n^/2f g) , поскольку в качестве правых множителей для 6/ останется самое большее 2々一(九+ 1) множителей % к D, a bi е S(hkt g). Таким образом, b* а*.皆，少 являются операторами Гильберта — Шмидта, откуда и следует утверждение леммы.
Доказательство теоремы /9.3J..Выберем функцию ip е С°°(Р2я)\ такую что 1 —* имеет компактный носитель и символ а обратим на носителе ijj. Положим & = гра-\ считая это произведение равным 0 вне supp 也 Тогда bwS(l, gj п ba ^ab = ^1, где I — единичная матрица. Следовательно,
产① D)F& D) = I^1^^ D),
aw&, D) 6W (x, D) = /-R『(爲 D),
где теперь I — тождественное отображение в "nL^R”，С”)и RjWS(R g). Таким образом, символ оператора R；(%, D)" принадлежит S3, g), н нз леммы 19.3.2 вытекает, что этот оператор является ядерным, если 2》也+1・ На основании предложения 19,1.14заключаем, что aw(x, D) — фредгольмов оператор в /7 к
ind aw (х, D) = Тг(RT (х, £>产-席(х, £>)").
Чтобы вывести из (19.3.3) явную формулу типа (19.3.1), нам надо создать ситуацию, в которой асимптотические разложения исчисления псевдодифференциальных операторов дают точный результат во всем пространстве. Это можно сделать, рассмотрев для О V £ W 1 символы
%(% g) = a(£% eg), &е(х, g) = 6(ex,啕，
равномерно ограниченные (по каждой полунорме)' в S(l, gj* где
gt = ht(x, SQdxF + ldEI2), hB(x,领二产例^,啕.
Заметим, что gg《g, так как 九& & 九 Если, как и выше, положить
^ (х, £>) = /-増"，D)^(xt D),
咸(/ D) = / - W(X, D)崂(/ D),
то символы R» — (l—也)厶 где 肌(招己)=屮(&匕 eg), будут равномерно ограничены в S(R g) для 0 < 8 ^ 1. Если е отграничено от 0, то функции 1 —也 тоже равномерно ограничены в S(h, g). Отсюда следует, что символы операторов R当(％, D)N равномерно ограничены в S(hN, g) и определяют непрерывную функцию от е со значениями в С°°(₽2л). Поскольку
(19.3.3/ indW® D) = Tr(R/(x, O)N-R^(x,。严)
и правая часть этого равенства в силу леммы 19.3.2 непрерывно зависит от &, а левая есть целое число, операторы а； (х, D) и 炉(匕 D) имеют один и тот же индекс для всех & 三(6, 1) (это легко следует также из теоремы 19.1.10).
Положим теперь для 0 < е ^ 1
С(х, £>) = "(*, D)n-R^(x, 0)N.
Если вычислить правую часть с помощью асимптотической формулы из теоремы 18.5.4» обрывая асимптотическое разложение, когда поправочный член становится ограниченным в S(ft^, gj, то след поправочного члена будет ограничен величиной
С ^ h^ dxdl — C^{N~n} ^ hNdxdi-»-0 при gfO
(напомним, что ^ > п). Обозначим конечную сумму удержанных членов асимптотического разложения для С8 через Se. Тогда
ind aw (х, D) = lim (2n)~n J，Tr(Se(x, &)) dx dg,
где Tr — это уже обычный след матрицы. Каждый член в S8 есть произведение, в котором чередуются сомножители, представляющие собой производные (возможно, порядка 0) от ае или от 6е. Если ввести в (19.3.4) в качестве новых переменных ех и eg, то каждый член, содержащий в общей сложности у дифференцирований, превратится в некоторую константу, помноженную на 6从一2厶 Поэтому вклады в интеграл от членов с ц.<； 2п должны в сумме дать 0, и
(1934)， ind а'" (х, О) = (2я)"п J Тг (援(х,勖 dx 嗚 -
где Se состоит из тех членов суммы Se, в которых встречается ровно 2九 дифференцирований. Правая часть этой формулы фактически не зависит от е, поэтому можно взять е = 1 и в дальнейшем писать S° вместо 展.
Если Т е GL(2n, R) (группа обратимых линейных преобразований пространства R2n) и Ат = аоТ, то Лге5(1, g) и предыдущие рассмотрения применимы и к 4T. Отсюда вытекает, что индекс ind Ат(х, D) непрерывно зависит от 7, а значит» постоянен на каждой связной компоненте группы GL(2n, R)'. Таким образом,
ind Лт (х, D) = ind aw (х, D), если det Т > 0.
В частности, это верно для диагональных матриц 7 с положительными диагональными элементами вь ..., еп> бь ..., бл:
Т (% ё) ==(8|Х], • • ■ > влХя> 6囹，♦•・，°Ю
Заменив а и 6 их композициями с 7 и взяв затем е/Х/ и 節畠 в качестве новых переменных интегрирования, найдем, что вклад в indaw(x, D) от члена в S* содержащего дифференцирования порядков аь ..., ал, рь ..., 〉 по переменным хь ..х% Ei，•Е%, умножится на е^^1 ... б^"1. Следовательно,
ind aw (х, D) = (2п)~л，，Tr(S1 (х, §)) dx 厲，
где S1 обозначает сумму тех членов в S0, которые содержат ровно одну производную по каждой из переменных хь ...» хя> &I, • • ■ » Вл-
Из (19.3.5) немедленно следует, что для любой матрицы 7 е GL(2n, R) индекс рассмотренного выше оператора Аг (х, D) равен индексу оператора aw(х, D), помноженному на знак определителя det7. Действительно, формула (19.3.5) доказывает это утверждение для произвольных диагональных матриц, и оно уже было установлено для случая det Г > 0. В частности, мы можем применить этот результат к случаю, когда 7 есть матрица, отвечающая произвольной переста： новке переменных х, &・*
Переходя к переменным интегрирования Т(х, |), заключаем, что если S【(厶 х, Е) получается из Sl(xt Е)с помощью выполнения над дифференцированиями d/dxf и Н/ОЕ左 перестановки 力 то
(sgn 0 ind aw (х, D) = (2^~n Ц TrfS1 (/, х, I)) dx d?.
Отсюда следует, что
ind aw(x, D) = (2л)~п，，Tr(S2 (х, g)) dx d&(2砌，
где"*
s2(x, g)= E(sgn t)Sl (Л %, W).
При образовании этой знакопеременной суммы взаимно уничтожатся все члены, содержащие множитель» дифференцируемый более одного раза, поскольку при перестановке соответствующих дифференцирований изменяется только sgnf. Таким образом, S2 есть сумма произведений производных от а и 6 порядка не выше 1, причем производная по каждой переменной встречается ровно один раз. Чтобы вычислить S2, можно теперь воспользоваться формулами нашего исчисления, отбрасывая все члены, содержащие производные порядка выше 1. Итак, в разложении символа 6w(x, D)av{x, D) достаточно* удержать члены
ba — t {А 硏/2 = */ — £ {А а)/2,
а в разложении символа aw(x, D)b^(x, D)—члены ub — 2 {a, b}/2 =— i {a, 6)/2.
Заметим, что, поскольку матрицы не коммутируют, скобка Пуассона
{6, а} = Х(«-«)
отличается от- скобки {а, Ь} не просто знаком. В асимптотическом ряде для G мы можем не удерживать члены, где дифференцируется {Ь, а} или {а, Ь}. Следовательно, члены, которые надо удержать, это произведения множителей {6, а} или {а, 6} на члены из разложения символа некоторой степени оператора 屮屮(招 D), так как все множители, содержащие ф, можно свести вместе, ибо р — скалярный символ. Но поскольку {\pf 0}=О, таких членов, где ^ дифференцировалось бы только один раз, нет. Отсюда следует, что в 以 достаточно рассмотреть члены
((1 一 *) / + 耳瓦。}/2严 一 ((1 一 *) / 一 i {a, b}/2)&
Члены, в которых фигурирует 2n производных, дают
(：)(1 - *)“" (〃2)“ ({瓦 a}“ 一 {a,切n).
Используя явное определение (19.3.7) скобки Пуассона, находим, что {6, а}п содержит 2лп! членов, в которых встречается ровно одна производная по каждой переменной. Они появляются—и притом с теми же самыми знаками — как коэффициенты прн % 人 d“人...入&入 dKn в (db a da)n. Если мы выпол-
все указанные члены получатся по одному разу. Этим доказано, что
S2^! л dx{ л ... л й|л л dx„
=nlin (^)(1 -屮)“一"(侬 Л da)" - (da Л db/}.
Таким образом, мы получаем
ind aw у °)=岛面",2(1-理-"(：)Tr 終 Л da)",
где интегрирование ведется по R2n, ориентированному условием
dlx Л dXj Л …Л dln Л dxa > 0.
Мы воспользовались здесь тем, что
Tr (da Л db)n = — Tr(db Л da)\
поскольку след произведения матриц инвариантен относительно круговых перестановок сомножителей, а протаскивание внешней один-формы справа налево через 2п — 1 форм приводит к изменению знака.
Теперь вспомним, что 6 = W". Имеем
db = (d*)aT —巾厂(da)L,
db N da = (йф) Л a~l da — ф (a-1 da)2.
При образовании n-й степени от последнего выражения можно рассматривать лишь члены с одним сомножителем dtp, так как d2 (анти) коммутирует е другими сомножителями, а d$ 人 d*=®0・ Далее,
TrgTda 严 a。，
поскольку перемещение одного сомножителя Lda из крайнего правого положения в крайнее левое приводит к появлению множителя ——1 и в то же время не должно никак изменить рассматриваемую величину. Ввиду инвариантности следа четной внешней степени относительно круговых перестановок ее сомножителей мы заключаем, что
Тг (曲 л da)" = пфл-1 dip (-1)"-1 л Tr (a-1 dafn~l.
В силу (19.3.10) форма Tr(a-Ida)2n-1 замкнута. Полагая
(N、、
получаем F(l) = (也 I«В(Л^ — n + 1 > 力=1 (см. (3.4.9)), следовательно, по формуле Стокса,
nd aw (х, D) = 一 (2就尸 Q\ Tr (G da产”
где В — достаточно большой шар, вне которого символ a (% 訂 обратим. Напомним, что R2n было ориентировано условием (19.3.9). Переход к стандартной ориентации, использованной в (19.3.1), приводит к появлению множителя (—1)% так что формулы (19.3.1) и (19.3.1)' равносильны. Теорема доказана.
Из доказательства равенства (19.3.10) видно, что дифференциальная форма Тг(Л-1^)2" на GL(v, С) равна 0, а значит, форма Тг (Д-^Л)2^1 замкнута. Отсюда вытекает, что интеграл в (19.3.1) зависит лишь от гомотопического класса отображения дВ-> GL(V, С), определяемого символом а. Используя эту гомотопическую инвариантность в сочетании со свойствами устойчивости индекса, мы распространим теорему 19.3.1 на символы из S(l, G), где
(19Л11) GRdxF/a + lA^ + ldgp/a+IEI2).
Лемма 19・3・3・ Пусть * w С； (₽2я) — невозрастающая функция от r = (|x|2-|-|g|s)1/2> равная 1 при r&I и 1/г при г ^ 2, и пусть фе(х, &)=屮(8居 eg). Если awS(l, G), то символы
仆(爲 y = a(te(x, g)爲 te(X, g)g)
равномерно ограничены e S(l, G) для 0《e & 1 и принадлежат 5(1» g) для 0 V е & L
Доказательство. При г ^ 1/е мы имеем d(x, ^) = a(x, g), поэтому можно считать, что г > 1/е. Тогда справедливы оценка (19.3.12) (1 +|х|/ег)т|&£>泣(％ 目引
c^(1+1*1)-13|(1+11I)-101
и аналогичная оценка с заменой в левой части |х| на |g| и X/ на §/. Чтобы доказать эти оценки, заметим, что функции W* равномерно ограничены в S(l/(1 -J- er), g). Отсюда следует, что левая часть (19.3.12) оценивается величиной
Cap (1 + I * |/")Т (1 + "尸((1 + г)-' а+叫 * I + (1 + /Т °+Р ')
《。呻((1 + Г)Та+阳 + (1 + I I 尸(1 + "Ta+吗, причем при р = 0 второй член можно опустить. Это дает оценку Д9.3.12|. Утверждение леммы сразу следует из оценки (19.3.12)
и ее ^-аналога, поскольку “> 1/2" при ег ^ 1 и символ ае однороден степени 0 при ег 1.
Теорема 193К Заключение теоремы 19.3.1 остается справедливым для всякого символа а 三S(l, G) с。зкачекиями е 2 (С『，Сл), для которого функция а*1 определена а ограничена вне некоторого компакта.
Доказательство. Определим ав, как в лемме 19.3.3, и положим Ьъ = ^а~\ где функция W выбрана так же, как и при доказательстве теоремы 19.3.1. Тогда символы операторов а^ (х, £>)党(х, D) —/ и бе(х, D)а^(х, D) — Z ограничены в S((l d-lxl)-^! + |&|)~* G), и из теоремы 19.1.10 следует с учетом теоремы 18.6.6, что а^(х, D) есть фредгольмов оператор с индексом, не зависящим от е; Поскольку формула (19.3.1) верна для ав при е > 0 и обе ее 立астн не зависят от е при е ^ 0, мы заключаем, что она верна и при е = 0. Доказательство завершено.
Теорема 19.3.1' применима, в частности, к псевдодифферен- циальным операторам в R% с которыми мы имели дело в § 19.2. Именно по этой причине мы и ограничились в этой теореме метрикой такого специального вида. Короткое размышление показывает, что доказательство теоремы 19.3.1 непосредственно применимо и в случае значительно более общих метрик. Представляется правдоподобным, что теорема 19.3.1 верна для каждой о-умеренной метрики g, такой что supg# ^/g gf ° при (х, g)f 8, но, кажется, нет ни одного доказательства, пригодного в столь общей ситуации.
В теоремах 19.3.1 и 19.3.1х можно заменить aw (х, D) на а (居 D). Действительно, а(х, D) = а* (х, D), где
а1-аеЗ((Ц-|х|)-1(1.+ 111Г1, G).
Поэтому если шар В достаточно велик, то at — ta^ -}■ (1—t)a, 0《fW 1, будет гомотопией связывающей отображения дВ f f GL(v, С), определяемые символами а и аь Таким образом» правая часть формулы (19.3.1) не изменится от замены а на ai, что и доказывает сделанное утверждение. Тем самым задача вычисления индекса эллиптических операторов в принципе решена. •
19Л. Формула Лефшеца
В геометрии естественным образом возникают не эллиптические операторы, а эллиптические комплексы. Определим это понятие. Пусть нам даны компактное С°°-многообразие X» комплексные векторные расслоения £0, £卜・・•，卢n класса С°°
на X и полиоднородные псевдоднфференциальные операторы Do, ..., D^-l одного и того же порядка т:
(19.4.1) Of С8(Х, £0®Q1/2)-^C°°(Z, £!®Q1/2)A ...
С8(х, EN®Q"2)f о，、
образующие комплекс, т. е. удовлетворяющие условию D/D/-1 =0 для / == 1, ..., N — 1. Такой комплекс называется эллиптическим. если для всех (х,自)三 Т*(Х)\0 последовательность главных символов
(19.4.2)(19.4.2)do ЗЕ)d“T(R, Е)
(19.4.2)
(19.4.2)
0 f ^ох> Ei* f • • •> 0尤 f 0
точна, т. е. образ каждого из отображений этой последовательности совпадает с ядром следующего. Основной пример — это комплекс де Рама дифференциальных форм на X, в котором операторы D； — это операторы внешнего дифференцирования, переводящие /-формы в (/ + 1)-формы.
Вводя в каждом из расслоений Е/ какую-либо эрмитову структуру, получаем сопряженные операторы
Dy： С8(Х, £/+1®Q1/2)->C°°(Z, E/®Qi/2).
Точность комплекса (19.4.2) означает ровно то, что для всякого /
^(D^D^ + D^f
есть эллиптический оператор на сечениях расслоения Е/ ® Я1/2. Следовательно, его ядро
К/ = {f 三处(X, Е/ ® QU?);。力=0, D；_J = 0}
является конечномерным подпространством в С00(Xt Ej ® QI/2), и для каждого f^H{s), ортогонального к К/, найдется g三〃(§+如), такое 中го
(D；°j + D/-iQ_i)g = f・
(19.4.4)(19.4.4)Если D/f = 0, то f и D/_Q；_ig будут ортогональны к DjD；g, и из написанного выше равенства следует, что D；D/g = 0, а значит, f — Df-iU, где « = D^-\g е H{s+m). Таким образом, Ь/т отображает H(s+m) на множество таких / 三 "(§), что Djf = 0 и f ортогонально к К/. Следовательно, К/ можно отождествить с факторпространством ядра оператора D； по образу оператора D/-1, если Dj и Djf действуют на С°°-сечениях, а также если они действуют на обобщенных сечениях. Эйлерова характеристика
(19.4.4)
(19.4.4)
£(—I，dimK/
комплекса (19.4.1) равна индексу эллиптического оператора
(X, 6 / ® б,巨他,《2,…)
f (00"0 +0；"2,…)w C8 (x,㊉ E2/+1 ® d"), полученного расщеплением этого комплекса, поэтому ее можно вычислять с помощью методов, развитых в § 19.2 и 19.3.
Покажем теперь, что теорема 19.1.15 справедлива не только для ядерных операторов R〃 но и для любых операторов R〃 для которых исчисление волновых фронтов позволяет определить след посредством ограничения ядра Шварца на диагональ.
Теорема 19.4.1. Пусть (19.4.1) — эллиптический комплекс и К/ — конечномерные пространства когомологий Ker Z)//ImD/_b изоморфные пространствам (19.4.3). Пусть, далее, заданы операторы•
R/： С8(Х, E/®Q¥)f”(X, Ej®Q¥),
коммутирующие с комплексом (19.4.1), т. е. такие, что
以乌r=2一便~厶 )=1, ..., m
для всех f w С"(X, Е/т ® Q%).
Тогда эти операторы R/ индуцируют линейные отображения 昼：К/f К/. Предположим, что ядро 网曰勿'(XXX, (E/NE/) ® Qx^< х) оператора R/ имеет волновой фронт, не пересекающийся с конормальным расслоением к диагонали в XXX, 〃 обозначим через Tr(R/) интеграл по X от следа принадлежащего 勿，(X, Hom (Е/, Е/)® Qx) обратного образа распределения 现/ относительно диагонального отображения Х->XXX. Тогда справедливо равенство
Е(-1УТг(&) = Е(—1УТг (瓦 IK/),
оо
Доказательство. Пусть Ff—параметрикс 《оператора Лапласаэ Df-\D^\ + D；Dj. Ясно, что операторы
(D/tQt + D]Df) F/ — //, Fj(Dj-\D^i + D^Dj) — //, где // обозначает тождественный оператор на сечениях расслоения Ef ®》々 имеют С°°-ядра. Определим параметрикс комплекса (19.4.1) как набор операторов G；, задаваемых формулой
Gj = D；Fj+i,j = 0,…，УУ —L
Этот параметрикс обладает тем важным свойством, что операторы
" = // — DjfGjT — GjDj
имеют С°°-ядра. Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что
Далее,
A ^D'^ + 弓乌)=D/田=(QQ； + D'^D^D,.
Умножая это равенство слева на 尸计匕 а справа на F, и используя тот факт, что операторы (19.4.7) имеют С°°-ядра, заключаем, что Fj+D — DfFj имеет С°°-ядро. Поскольку
々=// - (Q/-Q；T + %D) Fi + C； (DIFI - FMD^,
то и /г, имеет С°°-ядро, как и утверждалось.
Операторы Л； также коммутируют с комплексом, т. е. D^hj =hj+Q; действительно, обе части этого соотношения равны D/ — DjGjDi，Если f е KerZ)/, то Л/f = f — Df^D^iFi， так что оператор ft； индуцирует тождественное отображение в фактор- пространстве К『.Следовательно, оператор hjRjhf индуцирует там отображение R/. Этот оператор 也储也 является непрерывным отображением из 纱 в С°°, а значит, ядерным оператором. Тем самым мы доказали, в силу теоремы 19.1.15, что
e(-1у тr (瓦因)=e (- 1у тг(勺吋方.
Далее, 瓦7?也/ — R/ есть сумма членов, в каждый из которых входит по крайней мере один множитель 尸了 или F/+i. Мы избавимся от всех этих членов, выбрав последовательность пар а метр иксов, сходящуюся к 0 в надлежащем смысле. В связи с этим нам придется кратко напомнить свойства волнового фронта, установленные в § 8.2, и конструкцию параметрикса, данную в § 18.1.
Прежде всего напомним (см. теорему 8.1.9, а также теорему 18.1.1.6), что если а е Sm( Rn X Rrt) и 必一ядро оператора а(х, D), то
步戶(加)иЛЧА)={", х, &, -&)；工曰炉，gwk\0}・
Если av — ограниченная последовательность в S^, сходящаяся к 0 в С°°-топологии, то последовательность ядер операторов av(x, D) сходится к 0 в 2‘，и из теоремы 8,1.9 и рассуждений, следующих за определением 8.2.2, вытекает, что она сходится к 0 в 勿卜⑷(R"XR")・ Например,, если %uC『(R") и %= 1 в единичном шаре, то сказанное выше относится к последовательности av(x, g) = (l —x(B/v))a(x, &), причем разности av(xf D) —а(х, D) е Op S^ будут иметь С°°-ядра. Записав произвольный параметрикс Т в виде суммы X Фа^Л，где 屮々,屮々——функции с носителями, лежащими в некоторой координатной окрестно-
сти, a Tk — псевдодифференциальный оператор в локальных координатах, можно применить это наблюдение к каждому члену суммы. Таким образом, возвращаясь к доказательству теоремы, мы можем выбрать последовательность 尸；параметриксов Fj с ядрами, сходящимися к 0 в ⑦}仏). Тогда последовательность ядер операторов R/ —/z；R//z； будет сходиться к 0 в 2УМ(Х X ^), где М = WF(Rj)\ мы воспользовались здесь теоремой 8.2.14. Но в таком случае, как следует из теоремы 8.2.4, прообразы этих ядер при диагональном отображении будут сходиться к 0 в ^(Х), чем доказательство и завершено.
В качестве примера применения теоремы 19.4.1 выведем классическую формулу Лефшеца для числа неподвижных точек. Рассмотрим комплекс де Рама
ОтС8(Х, А。)工 С8(х, А1)工 С~(Х, А2)巴 …
где А，— внешние степени комплексификации расслоения Т*(Х), a d — оператор внешнего дифференцирования. В этом случае пространства X/ суть группы когомологий де Рама, т. е. группы когомологий над Ci компактного многообразия X. Если Ф： Х + Х — заданное С®-отображение, то поднятие форм при помощи этого отображения определяет отображения
Ф；: С°°(Х, А，)-> С°°(Х, А)
коммутирующие с комплексом де Рама, поскольку dq)*f = q>*df для всякой дифференциальной формы Д Числом Лефшеца L((p) отображения <р называется знакопеременная сумма следов отображений, индуцированных отображением ф* в пространствах когомологий де Рама.
Далее, ядро оператора Ф/ представляет собой простой слой на графике {(х, <р (х)) е X X X} отображения <р (см. пример 5.2.5}. Согласно примеру 8.2.5, волновой фронт этого ядра есть конормальное расслоение
{(X, <PW，— V(X)1], Т])； xwX, T]BT；a)}
к графику отображения <р, пересекающееся с конормальным расслоением к диагонали, лишь когда х = ф(х) и ^(х)!] = т]. Таким образом, указанный волновой фронт и конормальное расслоение к диагонали не пересекаются тогда и только тогда, когда
ф (х) = х => det (/ —①‘(％)) =/= 0;
неподвижная точка х называется в таком случае невырожден* ной, (Здесь ср^х)： Tx{X)-^Tx(X\t а / — тождественный опера-
тор в Т式X), так что условие в правой части импликации (19.4.9) имеет смысл.) В силу теоремы о неявной функции невырожденные неподвижные точки изолированны, поэтому если у отображения ср все неподвижные точки невырожденны, то их имеется лишь конечное число. Выберем локальные координаты хь ..., xrt, обращающиеся в нуль в какой-либо невырожденной неподвижной точке. Тогда в некоторой ее окрестности ядро оператора Фо равно 6 (у ——(р(х)), а ядра остальных операторов Ф/ равны А/(х)8(у — ф(х)), где Z/“)= А"д/(х) — линейное преобразование пространства А/С^, переводящее /-форму в ее композицию с производной ф^х). Знакопеременная сумма следов обратных образов этих ядер при отображении хь->(х, х) равна
(£(-1)/Тг 4(X)) 6(х-ф(х)) =鑑%胃開 6(х).
Мы использовали здесь пример 6.1.3 и стандартное разложение определителя в знакопеременную сумму. Утверждение теоремы 19.4.1 сводится теперь к формуле Лефшеца для числа неподвижных точек: если все неподвижные точки отображения ф невы- рожденны, то для его числа Лефшеца справедливо равенство
1(ф)= X sgn det (/ —(₽'(%)),
(P(JC)T
т. е. число Лефшеца отображения <р равно числу его неподвижных точек, считаемых с соответствующими знаками.
19.5. Различные замечания об эллиптичности
Чтобы не усложнять изложения, мы не стали обсуждать в § 19.2 вопрос, необходима ли эллиптичность для фредгольмовости. Сейчас будет показано, что это в известном смысле так. Ниже X — компактное С°°-многообразие, а Е,尸一два комплексных векторных расслоения класса С°° на X* не обязательно с одинаковой размерностью слоя.
Теорема 19.5.1. Пусть Рм 4fm (X; E®Q"2,尸❷ Q】/2). Следующие условия равносильны.”
оператор Р: "(s)(X； Е ® Q"2)f//($_小)(丫；戶® Qi/2)UMeeT замкнутый образ и конечномерное ядро для всех s;
условие (i) выполнено для некоторого s;
/iii) главный символ р оператора Р имеет левый обратный, г. & существует символ q ^ S~m(X\ Hom (л*/7,冗*£)), такой что qp — idwS-i(N; Hom(n*£, л*£));
оператор P имеет левый параметрикс, г. е. существует one- ратор Qw 4ff(X; F®QV2, Е❷Qi"), такой что QP = / + R, где R — оператор с ядром, принадлежащим С°° (Нот (£, Е)❷ £2乂&犬).
Доказательство, Импликация (i)=>(ii) очевидна. Если выполнено (ii), то найдется постоянная С, такая что
II 吸)&С(||Р〃| j + || 叽一J
для и w "($)(X; £ ® Й|/2).
Действительно, в противном случае нашлась бы последовательность Щ С I|〃/||(s) = 1, для которой
\\P^[s-m}< 1/А II «/ll(s-i)<!///
В силу предложения 19.1.3 из этой последовательности можно было бы выбрать подпоследовательность, сходящуюся в "($)(Х; E®Qi/2), что невозможно, поскольку предельный элемент должен был бы иметь норму 1 и в то же время равняться 0. Без ограничения общности можно считать, что s — m, — иначе мы просто умножим 尸 слева на какой-нибудь эллиптический оператор порядка s ——m. Пусть У — координатная окрестность с локальными координатами хь хя, над которой расслоения Е и F можно отождествить с У X Су，и У X С^ соответственно. Выберем функцию ”®С；(У), равную 1 на некотором большом открытом подмножестве Z в У, и положим для(pwC/(Z), g w R" и w с I w I = 1
〃式 *)=屮(*)we'* 包
Тогда (1—2)Р收 быстро убывает при &-> 8, так как ядро оператора (1 ——”)Рср принадлежит классу С00. В локальных координатах имеем 屮尸①卫= а(л\ Q)〃, причем а(х,自)——р (х,自)(р wMm-】. Применяя (19.5.1) к 〃匕，получаем. (поскольку ipPut =q(x, ^)wei{X> ^)
(i + IBI)sll<pll<cziip(x, ю©фМН + сф(1+|В|Г1
(см. доказательство теоремы 19.2.5); здесь || • || обозначает £2-норму. Отсюда следует, что
lim inf inf |p(х,勖3|/(1+|自1尸》1/0.
仆鼻 I w 1-1 x^z
Действительно, предположим, что существуют последовательности wv с \wv\= 1, xv^Z и 扇f 8, такие что |p(xv, £)叫| /(1+|£|)m W С。V 1/С'・ Переходя, если надо, к подпоследовательностям, можно считать, что wv-^w, xv->х0. Тогда
\p(xt lv)w\<^(CQ+l/Cf)(l+\^\)m
для всех х из некоторой не зависящей от v окрестности U точки хо・ В случае <р w С/(Z ("](/) приходим к противоречию, ибо
s= т. Таким образом, для достаточно больших |&|
(р*а，±)Р(Х, &)叫如>(1+1&|产|@|72С'2 при xwZ.
Следовательно, принадлежащий S2mЛГ' как функция от х,自 определитель матрицы р*(х, &)卩(尤,自)ограничен снизу величиной (1 + 1自产7m2产, а значит, по теореме 18.1.9, для него существует обратный символ, принадлежащий S^2m"・ Произведение q этого обратного на матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы р*р и еще на матрицу р* будет левым обратным к р, принадлежащим S"m над Z. Собирая вместе эти локальные конструкции символа q при помощи разбиения единицы на X, получаем (iii). Если выполнено (iii) и Qi — оператор с главным символом д, то QiP = / + Ri, где R\ е Т-1. Значит, оператор / + Ri имеет параметрикс, и (iv) выполняется для произведения такого параметрикса на Qi. Из предложения 19.1.3 сразу следует, что (iv)=>(i), чем доказательство и завершено.
Справедлив также следующий, по существу, двойственный результат:
Теорема 19.5.2. Пусть Ре 4fm (X; Е ® й1/2,尸㊁ 口冷)Приводимые ниже условия равносильны:
образ оператора Р: "(s)(X； Е ® ◎★)-> "($_т)(Х；尸 ® ◎★) имеет конечную коразмерность для всех s;
условие (i) выполнено для некоторого s;
главный символ р оператора Р имеет правый обратный, т. е, существует символ gwS-用(X; Нот (л*/7, л*£)), такой что Р9 —ideS-1 (X; Нот(л*Т, n*F));
оператор Р имеет правый параметрите, т. е. существует оператор Q^^V^ (X;尸❷ Q"{ e®Q"2), такой что PQ = I ~\~ R, где R — оператор с ядром из С°° (Нот (F,尸)® q¥& *)•
Доказательство. То что (i)=>(ii), очевидно. В силу леммы 19.1.1, из (ii) вытекает, что образ оператора Р замкнут; следовательно, оператор
Р”： 〃(m-s)(X； Р*®^^Н^Х-, £®Q"2)
имеет замкнутый образ и конечномерное ядро. Поэтому, согласно теореме 19.5.1, символ р* имеет левый обратный д* м и q е S-m будет тогда правым обратным к р. То что (iii)今(iv), устанавливается точно так же, как и при доказательстве теоремы 19.5.1 (см. еще доказательство теоремы 18.1.9), а импликация (iv)=>(i) очевидна, поскольку оператор / + А фредгольмов. Доказательство завершено.
Замечание. В случае полиоднородного оператора Р условия теорем 19.5.1 и 19,5.2 равносильны, конечно, инъективности и сюръективности его главного символа.
Теоремы 19.5.1 и 19.5.2 в совокупности показывают, что оператор Р определяет фредгольмов оператор "(s)f "($-т)тогда и только тогда, когда он эллиптичен. Этим оправданы предпо* ложения, принятые нами в § 19.2. Однако следует сознавать, что класс фредгольмовых операторов изменится, если изменить нормы. Весьма простой пример такой ситуации, играющий важную роль в гл. 20, возникает, когда мы имеем дело с разложениями
Е =中以尸=中尸/•
Сечение и расслоения E®Ri/2 записывается тогда в виде (〃ь ..., 〃к), где uk — сечение расслоения Е* ® й1/2, а сечения расслоения F ® Q1/2 аналогичным образом записываются в виде (fb 力).Если Pw 4f8(Х; E®Qi/2,尸® Q"2), то уравнение Ри = / можно записать так:
к
§Р%7/，/= L ・・・，L
где Pjk ^ ^(X; Ek ® Ql/2, Fj ® QI/2). Пусть si,…，s 丿 и /ь ...,力к — вещественные числа. Тогда Р задает непрерывный оператор
Р: ф Я((4)(X; Ek ® Q"2) ㊉ &s/)(X;尸,® Q1/2),
если 屮〃т/(х； j®q叱尸/®qV2).
Теорема 1SL5.3. Пусть P/ft 三屮％』(X; Ek ® Q% F, ® "扑).Тогда P =(Руй) определяет непрерывный оператор (19.5.2) и следующие условия равносильны：
оператор (19.5.2) фредгольмов}
существуют q^ 三 S$厂％ (X; Hom (几*F〃 孔*&)), такие что (р) (g)—id u (9)(p)—id (zde блоки pjk матрицы (p)—это главные символы операторов Р^ принадлежат S"1;
существуют Q^ w 4fs厂片(X;戶『® Q叱丛® Q”?)，такие что для соответствующего оператора Q ядра операторов QP — id и PQ — id принадлежат С°°.
Доказательство. Возьмем какие-нибудь эллиптические операторы Ак е Т_/* U； Е*® Q1/2, Ек ® Й1/2) н В/w 联/(х；尸/OQi%
Fz ®Q1/2). Тогда (блочно)диагональные операторы Л =(^^/)'^ B=(B/6i/):
4 H(q)(X; Е ® £2罕 т ф "(%)(X;旦 ® d"),
В： © "(S/)(X；尸/ ® q|/2) f "(0)(x；尸 ® q|/2)
фредгольмовы. Поэтому если выполнено (i), то оператор ВРА фредгольмов в L2, а значит, эллиптичен, в силу теорем 19.5.1 и 19.5.2. Если 6； и ak — главные символы операторов В/ и 4巾,то символ (bjPjkak) имеет обратный (〃/)uS° и условие (ii) удовлетворяется при qkf = akfkibj. Доказательство импликации (ii).=>(iii) совершенно аналогично доказательству импликации (iii)今(iv) в теореме 19.5.1, а то, что (iii)=>(i), вытекает из следствия 19.1.9. Теорема доказана.
Операторы, удовлетворяющие условиям теоремы 19.5.3, называются эллиптическими 8 смысле Дугласа — Ниренберга^ матрицу (р/巾)называют главным символом такого оператора. Очевидно, что все результаты, полученные нами для стандартных эллиптических операторов, можно распространить * на операторы, эллиптические в смысле Дуг лиса ——Ниренберга, с помощью простого приема умножения слева и справа на соответствующие диагональные матрицы, использованного при доказательстве теоремы 19.5.3. Это верно и в отношении результатов об индексе; здесь в качестве Ak и В； надо взять операторы, главные символы которых представляют собой положительные кратные единичной матрицы. Ясно, что эти операторы имеют индекс О, и мы по-прежнему получаем ind Р = s-ind р. Поэтому мн, как правило, будем ограничиваться обсуждением стандартного эллиптического случая, а обобщения на случай систем Дутлиса—Ниренберга предоставлять читателю. Так, читателю предлагается сейчас сформулировать и доказать аналоги теорем 19.5.1 и 19.5.2 для таких систем.
Даже в скалярном случае существуют фредгольмовы операторы, задаваемые неэллиптическими псевдодифференциальными операторами (при условии что пространства "⑻ надлежащим образом модифицированы). Примером служат гнпоэллиптиче- ские операторы постоянной силы (см. теорему 13.4.1) или, более общо, операторы, изучаемые в § 22.1.
Примечания
Первый результат об индексе псевдодифференциальных (а точнее, сингулярных интегральных) операторов был, по-видимому, доказан Ф. Нетером (Noether [1])> которому и принадлежит пример, рассмотренный вслед за теоремой 19.2.4. После дан-
ного Аткинсоном [1] обобщения теории Фредгольма со случая компактных возмущений тождественного оператора на случай компактных возмущений произвольных «фредгольмовых операторов» стало ясно, что индекс представляет собой интересный гомотопический инвариант эллиптических операторов. В конце 50-х годов он был вычислен рядом авторов для различных специальных классов эллиптических операторов. Однако наиболее естественные и важные примеры вычисления индекса возникают в комплексном анализе и алгебраической геометрии, в теореме Римана — Роха (в высших размерностях) и теореме Хирцебруха об индексе (см. Hirzebruch [1]). Эти результаты наводили иа мысль, что индекс может быть выражен в терминах характеристических классов, и такая формула действительно была найдена Атьей и Зингером (Atiyah, Singer [1]). Мы не стали приводить их явную формулу, а только описали характеристические свойства индекса, установленные в части I работы Atiyah, Singer [2] (содержащееся в этой работе обсуждение ситуации, инвариантной относительно действия заданной группы, здесь опущено). По поводу чисто геометрического вывода формулы индекса из этих результатов см. часть III указанной выше работы. Формула индекса состоит в следующем. Если X — компактное С°°-многообразие, то главный символ эллиптического оператора Р определяет характер Чжэня, являющийся классом когомологий с компактным носителем в Т*(Х). Далее, на многообразии X имеется некий не зависящий от Р класс когомологий 歹(X)i), определенный в терминах классов Понтрягина. Формула гласит: ind Р равен интегралу по Т*(Х)' от произведения указанного характера Чжэня и поднятого на Т*(Х) класса 歹(X). Чтобы вывести эту формулу из результатов, доказанных здесь, надо прежде всего показать, что она совпадает с (19.3.1) для случая операторов в Rn, тривиальных на бесконечности. Это нетрудно, поскольку в таком случае 歹(Х)=1. Затем надо показать, что конструкция произведения, описанная в теореме 19.2.13, согласована с формулой индекса, по крайней мере для случая, когда V есть нормальное расслоение, отвечающее вложению некоторого многообразия в евклидово пространство. Именно здесь и появляется класс 歹(X) как интеграл от множителя при характере Чжэня, порожденного оператором Ботта.
Намеченный путь получения формулы индекса отличается от того, которым шли Атья и Зингер в работе Atiyah, Singer [2], лишь тем, что мы используем теорему 19.3.1 и конструкцию оператора Ботта из § 19.2 вместо теоремы периодичности Ботта и некоторых более простых условий нормализации. Приведен-
Класс Тодда. — Прим. ped.
ное доказательство теоремы 19.3.1 принадлежит Федосову [1].- Впоследствии Федосов рассмотрел тем же способом и случай более общих многообразий. Ричард Мелроуз сообщил автору, что в неопубликованной работе он дал доказательство полной формулы индекса для операторов» действующих между тривиальными расслоениями, с помощью рассуждений того же типа, что у Федосова, основанных на тщательном установлении соответствия между символами и операторами на римановом многообразии. Рассуждения Мелроуза приводят к довольно сложному индексному классу 歹沁. По поводу другого вывода формулы индекса отсылаем к работе Atiyah, Bott, Patodi [1].
Формула Лефшеца из § 19.4, по существу, принадлежит Атье и Ботту (Atiyah, Bott [2]). Правда, они рассматривали только операторы /?/, порождаемые оператором взятия композиции с некоторым диффеоморфизмом многообразия X с невырожденными неподвижными точками, но теперь, когда в нашем распоряжении имеется понятие волнового фронта, теорема 19.4.1 представляется более естественной оправой для их рассуждений. С менее классическими приложениями теоремы 19.4.1, чем данное нами, можно познакомиться по работе Atiyah, Bott [2].
В § 19.1 в основном представлен набор классических результатов теории Фредгольма. Мы добавили ряд более сильных результатов об устойчивости индекса, взятых из статьи Нбгтап- der [42]. (Читателя, который будет смотреть эту статью, предупреждаем, .что она изобилует опечатками, поскольку прошла без корректур.) В этой статье обсуждался также оператор Ботта. Более простое изложение теории этого оператора, данное в § 19.2 и следующее в большой мере работе Hormander [39], основано на позднейшем прогрессе теории псевдодифференциальных операторов. Укажем также, что в Hormander [42] дано доказательство того факта, что формула индекса сохраняет силу для весьма широкого класса гипоэллиптических операторов, которые с локальной точки зрения будут изучаться в § 22,1. Этот класс включает в себя эллиптические операторы в смысле Дуглиса — Ниренберга (Douglis, Nirenberg [1]), введенные в § 19.5. Недостаток места не позволил нам охватить тесно примыкающие сюда результаты о теплицевых операторах. Изложение этих результатов, в том числе и соответствующей теоремы об индексе, можно найти в статье Boutet de Monvel '[3].
20
Краевые задачи для эллиптических дифференциальных операторов
Краткое содержание главы
В гл. 17 мы обсудили некоторые из классических методов решения задачи Дирихле для эллиптических дифференциальных операторов второго порядка. Цель этой главы — используя теорию псевдодифференциальных операторов, изучить общие краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных операторов (см. также конец § 17.3).
Чтобы проиллюстрировать основную идею на простом примере, предположим, что нам надо решить краевую задачу
△и -— 0 в X, б/。+ 瓦“I / на ОХ,
где X — открытое множество в R" с гладкой границей дХ, А — оператор Лапласа, а б。н Ь{ — дифференциальные операторы на 0Х, действующие соответственно на граничные значения ио и нормальную производную ui = du/dn функции и. Если Е — фундаментальное решение для оператора Лапласа (см. теорему 3.3.2) и функция и гладкая, то, применяя формулу Грина, мы получаем
и (*)=，吟Fug)dS(y)-，Е(*-y)ul(y)dS(y)
для xw X. Таким образом, достаточно найти ио и ui. Однако, хотя формула (20.1) всегда определяет гармоническую функцию и, может оказаться, что ее граничные значения и нормальная производная не совпадают с «о, иь Чтобы выяснить, когда это все-таки имеет место, устремим в формуле (20.1) точку х к ОХ. Мы получим '
- 〃о =左оЦ)+ k\Uy
где 左о н 左I в силу теоремы 18.2.17 являются псевдодифферен- циальными операторами, поскольку свертка с Е есть псевдодифференциальный оператор, удовлетворяющий условию трансмиссии. Обратно, из (20.2J вытекает при п > 2, что существует
312 20. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных операторов гармоническая функция и с граничными значениями и нормальной производной “о и 〃1 соответственно. Действительно, если определить и формулой (20.1), то, ввиду (20.2), u = и0 на дХ. Вычитая из (20.1) формулу Грина для и, получим
£(x — y)(〃i (у) — du/dn) dS(y) = 0t х 三 X.
Этот^интеграл есть непрерывная функция от 尤,гармоническая вне > и обращающаяся в нуль на дХ и на бесконечности. Такая функция тождествейно равна нулю, откуда следует, что Ui = du/dn. Итак, решить нашу краевую задачу — это то же самое, что решить систему псевдодифференциальных уравнений
(1 —鳥)“о —月阳=0, b 乱 + Ьм = f ・
Здесь k\ — инъективный эллиптический псевдодифференциальный оператор, и, как нетрудно проверить, его индекс равен 0, а значит, оператор 財 обладает псевдодифференциальным обратным 月二 Таким образом, задача Дирихле решается сразу — берем “I =々I4 (1——月°) 〃о, для общей же смешанной задачи мы получаем псевдодифференциальное уравнение
(^о + b\k\ 1 (1 —左 о)) Uo = f.
В случае когда оператор в левой части эллиптичен, краевая задача называется эллиптической, и в этом случае можно просто применить результаты гл. 19.
Чтобы развить намеченные выше идеи, надо исследовать аналоги операторов ^0 и k\ для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений в X. Это потребует лишь.незначительных дополнений к результатам, полученным в § 18.2. Они даются в § 20.1, где мы устанавливаем свойства фредгольмо- вости общих эллиптических краевых задач.
Затем мы переходим к вопросу об индексе эллиптических краевых задач. В порядке подготовки в § 20.2 обсуждаются некоторые элементарные, но важные факты, относящиеся к системам обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. С их использованием данная краевая задача деформируется в § 20.3 в другую с тем же индексом, равным половине индекса некоторого естественного расширения нашего оператора на удвоение рассматриваемого многообразия, уже не имеющее края. Как и в гл. 19, мы не даем явных формул, а только описываем некую процедуру для их получения.
Наконец, в § 20.4 приводятся некоторые замечания по поводу неэллиптических краевых задач, Их цель — объяснить, по-
чему ми уделяем в последующих главах столь много внимания теории существования для неэллиптических псевдодифференциальных операторов.
20.L Эллиптические краевые задачи
Пусть X — компактное С°°-многообразие с краем дХ. Предположим, что задан эллиптический дифференциальный оператор Р порядка m из С°°(Х, Е) в С°°(Х,尸)，где Е и 尸一комплексные векторные расслоения класса ©8 на X с одинаковой размерностью слоя ". (Мы не упоминаем здесь о расслоениях полуплотностей, потому что это лишь усложнило бы запись.) Таким образом, главный символ р(х, Е) представляет собой биекцию ExfFx для всех 1^Тх\ {0}. Чтобы поставить краевую задачу, нам нужны еще граничные дифференциальные операторы В/：已8侬，E)f C°°(dX, Gj), /= 1» ...» /, где G/ —векторные расслоения класса С°° на дХ, (Для скалярного случая это понятие обсуждается в § Б. 2. Наличие расслоений локально ничего не меняет, и читатель, не привыкший к расслоениям, может не обращать на них внимания.) Краевая задача, которую мы будем изучать, состоит в нахождении u 三 С°°(Х, £), удовлетворяющего условиям
Ри = f в X, BjU — gf на ОХ, / = 1, ../,
где f е С°° (X,尸)н g/ w С8(ох, G；) заданы. Позже мы поставим краевую задачу и при более слабых предположениях о гладкости.
В координатной окрестности Хх, которая задается в локальных координатах условием хл ^ 0 и над которой расслоения Е и 尸 можно отождествить с Х^ХС 叱 уравнение Pu = f записывается в виде
HPa(x)Dau = f,
где коэффициенты Р« суть С°°-функции от 尤 со значениями в ^X ^-матрицах, причем коэффициент при Dn обратим, поскольку оператор Р эллиптичен. Таким образом, мы можем переписать это уравнение так:
D^u^P^...,n(f- Z Pa(x)Dau\ 4 %vm /
Если трансверсальный порядок оператора 8/ выше m——1, т. е. В/ содержит члены 8/度(尤)0°〃 с a% N 加,то его можно понизить, заменив во всех таких членах Dn « указанным выше выражением. Повторно применяя это соображение и собирая локаль-
ные конструкции воедино при помощи разбиения единицы, заключаем, что
B^B^ + CtP,
где В”) имеет трансверсальный порядок V 巾，а С/ — граничный дифференциальный оператор из C°°(F) в C°°(G/). Поэтому задача (20.1.1) равносильна задаче
Р〃 = f в X, В；и = gj — C}f на дХ9 j=l, ・・・，J.
Следовательно, не будет ограничением общности считать, что трансверсальный порядок операторов В/ ниже /и, и мы впредь так и будем считать. Однако на полный порядок гп/ операторов Bf не налагается никаких ограничений.
Для любого s N m можно продолжить Р с С°° до непрерывного отображения
Р: ^(Х°, E)f 瓦.m)(X©, F);
здесь Х° обозначает внутренность многообразия X, а 〃($)(Х°)— пространства, определенные в § В. 2. В силу теоремы В.2.10 имеются также непрерывные продолжения
8『：Н⑻(Х°, Е)-> 〃(s-m/-i/2)(dX, G^
поскольку трансверсальный порядок операторов В/ не превосходит /и — 1. Мы хотим выяснить, когда оператор
员s)(X°, E)mtif(P% 8也・・・，Bku)
W〃(s—m)(x°, £)㊉〃 (s・wii—l/2) (OX, G1)® * . . ® Я(5-т;-1/2) (дХ, Gy)
является фредгольмовым.『
Определение 20.1.1. Краевая задача (20.1.1) называется эллиптической, если
оператор P(xt D) эллиптичен;
граничные условия эллиптичны в том смысле, что для всякого х е дХ и всякого g w Т； (X), не пропорционального внутренней конормали пх к X, биективно отображение
М±, &三〃 一(瓦(х, I + Dtn^ u(0), ...» bi (x, g + A %) u (0))
wg㈠㊉…㊉G〃,
где A1J ? — множество всех ограниченных на R+ решений we C°°(R, EQ уравнения p(x, 自 +。m*)m(f) = 0.
Здесь 勿一это, конечно, главные символы операторов В/, а р ——главный символ оператора Р. В приведенном определении
1) Индекс г — от reduced (приведенный). — Прим, перев.
достаточно брать по одному g из каждого класса эквивалентности по модулю Rrtx, поскольку сдвиг на snx эквивалентен сопряжению при помощи eist. Из условия (i) мы знаем, что для g, не пропорциональных пх, матрица р (尤,Е + т%%) невырожденна при вещественных т, ибо тогда g -j- гл* * 0; поэтому все элементы из М± е в действительности экспоненциально убывают на R+ (см. также обсуждение систем обыкновенных дифференциальных операторов в § 20.2). Мы выбрали термин «эллиптический», поскольку, как будет показано ниже, эллиптичность краевой задачи в смысле данного определения равносильна эллиптичности некоторой ассоциированной с этой задачей системы псевдодиффереициальных операторов. В литературе встречается, однако, много других названий, например «условие Шапиро —— Лопатинского», «условие коэрцитивности», «условия накрывания». Главный результат настоящего параграфа — следующее обобщение результатов, полученных для задачи Дирихле в § 17.3:
Теорема 20.1.2. Если краевая задача (20.1.1) эллиптична и s^ mt то (20.1.2) — фредгольмов оператор.
Доказательство этой теоремы будет дано после некоторых приготовлений, которые позволят нам, следуя намеченным в «Кратком содержании главы» идеям, свести изучение рассматриваемой краевой задачи к изучению определенной системы псев- додифференциальных уравнений на дХ. Удобно отождествить некоторую окрестность X】границы dX в X с 0ХХ[0, 1), например введя в X риманову метрику и взяв геодезические нормальные координаты относительно дХ (см. § С.5). Далее, ограничения расслоений Е н F на Х【можно отождествить с поднятиями на X] их ограничений на дХ при помощи проекции л】：Х【тОХ, ибо, например, любой морфизм расслоений *) Е-*л；Е, являющийся изоморфизмом на ОХ, должен быть изоморфизмом и на дХ X [0» е) при достаточно малом е. Изменив масштаб, можно заменить Х【на дХX[0, е). Ниже мы обозначаем точки х из X】 через (叫 初)，где /едХ, а хле[0, 1). Поскольку Е* = Е*®, корректно определены нормальные производные D„w от сечений и расслоения £ Далее, мы можем продолжить X до открытого многообразия > = XU(5^X(—1, 0)) с очевидным образом определенной С^-структурой, а расслоения Е н 尸 можно продолжить на X так, чтобы их слои не зависели от & в ОХХ(—1, 1). Можно продолжить на X и дифференциальный оператор Р. Еще
')Напомним, что морфизм расслоений EfF с данной базой X — это С~-отображение f: EfF, линейно отображающее слой Е* в слой 尸* для лю， 8“ X 守 & — Прим.卩也
более сузив, если надо,爲，мы можем считать, что Р эллиптичен на X. Обозначим через Т собственный параметрикс оператора Р на X. Таким образом, Т е ^^(Х;尸，Е) и
ТР = % + Re, РТ = /尸 + Rf，
где /е, /尸 обозначают тождественные операторы на сечениях расслоений Е н 尸,a R畐 R尸一некоторые операторы с ,С°°-ядрами на этих сечениях.
/ Для всякого сечения и 三 См (X, £) пусть
Y〃 = (vowYm-卅) = ("，“，…，。丁％) lex s C°° (дХ, E")
обозначает его начальные данные. На множестве дХ X [0, 1) мы имеем
Р = Е PjM,о
где Р/ — дифференциальный оператор порядка m — / на dX, зависящий от параметра х%; обозначим его главный символ через Р/. Полагая ц° равным 〃 в X н 0 в Х\Х, получаем в М
(20Л.4)Pu° = (Ри)° + Рсуи9
где для U — (Uq, Um~\)^ C°°(dX, Em)
Рси = Г' E P/+1 E Sf 8 戍6
Ут k<l
(б обозначает меру Дирака по хл). Действительно, индукция по / дает
D^ = И+,Ы)° + Г1 f Nl_ku ® D*d.
Применяя к (20.1.4) оператор Т, получаем, ввиду (20.1.3J, «формулу Грина».
и° + & 必=Т (Pu)° + ТРеуи.
Отсюда» в частности, следует, что если Р〃 = 0 в X и Re = 0, то уи = уТРсуи (граничные значения в правой части существуют в силу теоремы 18.2.17, поскольку каждый член в символе пара- метрикса Т является рациональной функцией}. Введем поэтрму оператор Q, положив для U 已 C°°(dXt Em)
(20.1.7)(20.1.7)QU = yTpcu；
(20.1.7)
(20.1.7)
таким образом, QU — это начальные данные потенциала Грина TPCU. В явном виде
(QUk= Е QiaUh 左=0,…，1, где
Qm〃= S i^D^TP^U^D^-,
сужение на границу производится, конечно, со стороны X. Следовательно, Q&/ — это псевдодифференциальный оператор на дХ порядка k ——/ с главным символом
д“(%', У)
/П-/ —1
=(2就尸\ < 2 能+%(»', 0, &Tp/+/+|(W,0, g)d% /-0
(правая часть есть сумма вычетов подынтегрального выражения в полуплоскости Im gn > 0). Это означает, что (Qw) принадлежит к классу систем Дуглиса — Ниренберга, обсуждавшихся в § 19.5.
Теорема 20.1.3. Система Q псевдодифференциальных операторов, определенная формулой (20.1.7), является приближенным проектором на пространство начальных данных в том смысле, что Q2 — Q имеет С°°'Ядро. Если отождествить решения обыкновенного дифференциального уравнения р (V, 0, Е‘, Dn) и = 0 с их начальными данными (и(0),...,。片一%(0)), то значение g(x\『) главного символа q системы Q 8 точке (%', &') с &，，0 отождествляется с проектором на подпространство М+ решений, экспоненциально убывающих на R^..вдоль подпространства М~ решений, экспоненциально убывающих на R_. Систему Q, а иногда и ее главный символ % называют проектором Кальдерона,
Доказательство. Если и = ТРси, то ограничение сечения и на X принадлежит классу С°° и, в силу (20.1.3),
Ри = (1Р + Rp) PCU = RPPCU в Х°,
где Rf имеет С°°-ядро. По определению, у〃 = QU, поэтому, применяя (20.1.6) кии беря начальные данные со стороны л, приходим к равенству
QU + y& (TPcUf = 丫丁 (RFPeUf + QU.
Но отображение U^~>RfPcU непрерывно как отображение из 办(ЗХ, Em) в CRX,尸)，а поскольку Т удовлетворяет условию
трансмиссии, то и Ui>yT(RfPcU)Q непрерывно отображает 纱 в См и, значит, имеет С°°-ядро. Если(pwC°°(X, A*® Qx) и U 已 С00, то, приближая ср функциями, равными нулю вблизи дХ, получаем
((ТРси)°, ф) = (Р。。，7v)•
(Заметим, что Г*ф°е Ст-1(Х, £).) Так как Т* тоже удовлетворяет условию трансмиссии, заключаем, что 7*屮。w С°°(Х); этим доказано, что отображение U^^{TPCU)^ можно продолжить до непрерывного отображения из 2，(dX, Em) в 办，(N, Е). Следовательно, U^~>yR式ТРР)。также непрерывно отображает ЗУ в С°°, и тем самым доказано, что Q2 ——Q имеет С°°-ядро.
Чтобы получить указанную интерпретацию главного символа q, заметим, что если U = (Uo, •,・,Um-i)已 ^, о), то обратное преобразование Фурье
и(4) = (2 就尸，р(*', O,w 尸 2 Pl+l+l^，Q,^}^^^/+/<т
принадлежит 9’ н удовлетворяет уравнению
Р (М 0, F, D^v = L ^Pi+m “，0, Г)口卩步.
Таким образом, и совпадает при хп > 0 с некоторым элементом и+ е М+, а при хл < 0 — с некоторым элементом и-^ Л1*. При Xя = 0 мы имеем условия скачка
°f (и* — v~) = U电々=0,.・・,/п — 1.
Из (20.1.8) вытекает, что
q^, F)U = (u+(0),…，0厂%+(0)).
Следовательно, равенство qU = U означает, что 。一 = 0» т. е. что U— начальные данные некоторого решения из М+, a qU = 0 означает, что U — начальные данные решения из M~t Таким образом, q есть проектор на подпространство М十 вдоль дополнительного к нему подпространства Л1"; то что g — проектор, разумеется, следует из того факта, что символ оператора Q2 — Q имеет порядок —оо. Доказательство завершено.
Следствие 20.1.4. Отображение
С°° (X, F)三 f i QyTfQ м C°° (SX, b)
можно продолжить до непрерывного отображения из Л(о)(Х°,尸) в С8(ох, Е«).
Доказательство, Если / е С°°(X, F), то и = Т/°|х е С°°(Х, Е), так как 7 удовлетворяет условию трансмиссии. Из (20.1.3) сле・
дует, что Р〃 = /+ Rf/° в X. Таким образом, мы получаем с учетом (20.1.6)
Y〃 + Y&U0 = 丫炉 + yTkR^ + Qyu.
Отображение [^-^RfP непрерывно отображает /7(о)в С°°, поэтому ，〜丫丁依炉尸 непрерывно отображает 〃(?)в С°°, снова в силу условия трансмиссии. Далее, отображение fь—>Tf°\x непрерывно действует из Я(о)в П(т){х°), а потому fi-^yREi^ непрерывно как отображение из Н(о)в С00. По теореме В. 2.10 отображение > уи непрерывно отображает 卅о)(Х°,尸)в 〶 H(m_/_i/2)(dX, Е), и, поскольку оператор Q — Q2 непрерывен как отображение из ® Н{т-^у2)(дХ, Е) в ® C°°(dX, Е), наше утверждение доказано.
Согласно принятому нами предположению, операторы В； в (20.1.1) имеют трансверсальный порядок V т, поэтому их можно записать в виде В/ = 8；% где В/ — некоторый дифференциальный оператор из сечений расслоения Ет над дХ в сечения расслоения G/ над дХ. Если U = уи, то, как следует из (20.1.6), разность U— QU в существенном определяется значением f = Ри. Это наводит на мысль заменить (20.1.1) уравнениями вида
U = ^ + QU, B；U = gj, /=1,
На первый взгляд может показаться, что уравнении здесь слишком много. Например, уравнение Лапласа с граничными условиями Дирихле приводит к трем уравнениям с двумя неизвестными. Однако *ф не является произвольным, поскольку Q* в существенном равняется 0 согласно следствию 20.1.4. Так как Q — проектор, это эффективно понижает число уравнений, которые надо решать, как видно из следующего предложения, ради простоты сформулированного для случая стандартных эллиптических операторов, а не операторов типа Дуглиса — Ниренберга.
Предложение 20.1.5. Пусть Н u G — комплексные векторные расслоения класса С°° на компактном многообразии У без края, Q е 吧hg(У； Н, Н), В w 屮統(У; Н, G)u Q®-Q^ 0, т. е. 0-Q и цг-оо Обозначим главные символы операторов В и Q через b и д. Тогда
если сужение отображения Ь(у, п) на q(y, ")〃“ сюръективно для всех (у, т])е Т*(У)\0, то существует оператор S w 屮識(У； G, Н), такой ат。
(20.1.9)(20.1.9)BS 曰厶，QSmS;BS 曰厶，QSmS;
(20.1.9)
(20.1.9)
BS 曰厶，QSmS;
BS 曰厶，QSmS;
если сужение отображения Ь(у,刀)на д(у, 03 инъективно для всех (у, п)三 Т*(У)\0, то существуют операторы s'三屮謚(У; G, Н) и S"wy；hg(y； ”，〃)，такие что
S'B + S〃w/h， S〃Q』0;
если сужение отображения Ь(у, “) на д(у, г\)Ну биективно, то фигурирующие в (i) и (ii) операторы S, S', S〃 определены однозначно по модулю 4r-°° 〃 S'曰 S.
Доказательство. В случае (i) можно применить к BQ по- лиоднородный вариант теоремы 19.5.2【)и найти оператор Т е S曲(У; G, Я), такой что BQT 三 /G. Тогда оператор S = QT удовлетворяет условиям (20.1.9):
BS = BQT^I09 QS = (Q2-Q)r + QrEQT = S・
В случае (ii), применяя полиоднородный вариант теоремы 19.5.1 к системе Дуглиса — Ниренберга В®(1Н — Q), найдем операторы 7’w 4f謐(У; G, Н) и T^e^g (У; Н, Я), такие что
『B + T"Qh-Q) = 3・'
Тогда операторы S'=T' и S" = T"(储一Q) удовлетворяют условиям (20.1.10), поскольку S"Q = T"(Q — Q2) = 0. В случае (iii) выберем S, 6’ и S" так, чтобы выполнялись (20.1.9) и (20.1.10). Тогда
S'曰 S'BS 三 S'BS + S〃(S — QS)曰 S'BS + S〃S = S・
Следовательно, S = S', так что эти операторы, а значит, и оператор S" определены однозначно по модулю Т-00. Доказательство завершено;
В рассматриваемой -нами . ситуации Q = (Q取)， где Q&r w 4^号(dX; Е, Е), а В заменяется матрицей (绊京 определяемой соотношением
m—1
В；и= § В；№， B^^；k(dX; E,Gf).
С помощью рассуждений, использованных при доказательстве теоремы 19.5.3, из предложения 20.1.5 выводится, что если краевая задача эллиптична, то существуют операторы
Ski^^^^dX; Gh £),左=0,…，加 一1, /=1/,
Ski s У^ (dX; E, E),无，/ = 0m-1,
】)См. замечание после доказательства этой теоремы, -»Прим. перевЛ
такие что (20.1.9) и (20.1.10) выполнены для S' = S=(S加 и S” =(S*). Используя эти операторы, можно построить параметрике нашей краевой* задачи.
Сначала предположим, что “wCRX, Е) и выполнено (20.1.1). Из (20.1.6) следует, что для U — yu
U + yREu°==yTfQ + QU,
а граничные условия (20.1.1) дают 房U = g/. В силу (20.1.10), мы имеем в очевидной блочно-матричной записи
SBc + S/f(I-Q) = I-Rt
где Rw4r~°°(0Х; Emt Ет). Следовательно,
U = Sg + S 仆 TF — yR№。) + RU.
Воспользовавшись снова (20.1.6), получаем
u = (/ + ТР„) TF + TP°Sg + Ku,
где
K〃 = TPC (Ry〃 - S气Re冰)-Re必
—непрерывное отображение из R(m)(^°, Е) в С°°(Х» Е). Итак, отображение
(厶 g) —(/ + 7戶冶"丫)炉 + TP°Sg
является приближенным левым обратным к (20.1.2). Оно служит и приближенным правым обратным. Действительно, обозначая правую часть (20.1.12) через и, имеем в силу (20.1.3)
& - Uf + RQ ((/ + P'S〃yT)尸 + P©Sg)
=产 + R# + RFPhT + RFP%g;
второе равенство справедливо в Х°・ Поэтому
Р ((/ + TPcS^y)TP + TPcSg) = f + 驳 J + 驳 26
где & — непрерывное отображение из Л(о)(^0,戶)в С°°(Х, F), а 此一 непрерывное отображение из ЗУ(GX, ФО/) в С°°(Х, F)t Далее,
方丫〃 = & (/ + QS") 丫7尸 + ^QSg.
Оператор К4 nBeQS — / имеет ввиду (20J.9) порядок —оо, и (20.1.9), (20.1.10) дают
Вс (/ + QS〃)^Bcu + Q~ QSBC)』8’ + ¥Q - ^8ВС m BCQ.
На основании следствия 20.1.4 заключаем, что
В ((/ + TPS，)炉 + TPcSg) = g + af + 凡公
где Кз — непрерывное отображение из Я(о)(Х°, F) в C°°(X, ®О/)> а К& есть отображение пространства С°° (X, ФО/) в себя с С°°-яд- ром. Утверждение теоремы 20.1.2 будет следовать из равенств (20.1.11), (20.1.13), (20.1.14) и следствия 19.1.9, если мы установим некоторые свойства непрерывности отображения (20.1.12).
В приводимом ниже предложении ||и||(5)обозначает норму в 〃(s)(N°) для uw С°°(Х, Е), и аналогичное обозначение используется для сечений расслоения 尸 над Х°. Для ясности будем записывать ограничение сечения Т〃 на Х° как То.
Предложение 20.1.6. Если s^ т и f ^ С°° (X, F), то
II 矛卮&С"1Ь»
Если U = (U* …,Um-i)^ C°°(dX, Ет), то для любого s m—1
ИTPcUh)^CZ^U^i-i^
Доказательство. Оценку (20.1.15) достаточно установить для случая, когда f имеет носитель в некотором компактном подмножестве К координатной приграничной окрестности УХ[0,1), У и RJi. Выберем функцию ф е С~ (У X [0, 1)), равную 1 в некоторой окрестности компакта К, и пусть k ——целое число >s — m. Прежде всего оценим ||中7/°|&—也尼)(мы используем обозначения из § В.2). С этой целью заметим, что
II f° llf-m+s-ft, fe) ^ II f° 11(0, s—m) = II f 11(0, s-m) 4 II f №s—m}・
Здесь f° рассматривается как распределение в Rn. Можно записать
|^1<!а| Р
где Тр ——псевдодифференциальный оператор порядка ——m и Рп —0, если а^^О. Поскольку ||DPf°||(s-m-A)& 口产忆-加т,尼)，если 13 К * и рл = 0, то
если ал = 0 и |а|《М Это дает соответствующую оценку для ||<рГ/°||(5_л( ft), поэтому
I仰方0必-O«C"b-m)・
Далее, РТ^ = f + Rrf^ в Х°, ввиду (20.1.3). Выберем функцию i|)е С® (У X (0, 1)), равную 1 в некоторой окрестности компакта X и такую, что ф = 1 в некоторой окрестности ее носителя. Из теоремы В. 2.9 (а точнее, из ее доказательства) следует, что
II Mf° IS) & С ( II "sf + II "f。lks-崗 Q.
Так как (1—р)?7° — непрерывная функция от f е //(0) со значениями в C®(x), при условии что supp/и К, то оценка (20.1.15) установлена.
При доказательстве оценки (20.1.16) также можно считать, что supp U и К. В силу (20.1.5)
PCU = Е и」®”，где О/= Е Pf+i+iUi/L0/+/<т
Поскольку Р/+/+1 имеет порядок т — / — /—1, то
Е II °/ |b-m+/+l/2)&С 2 II Ui 1|(s-/-1/2).
Преобразование Фурье от vf ® Д^б равно 斗(1風 и
)戏/ (1 + 阳产 + 或)f 鹿" 《 e (1 + I ? 产)f+1/2
при j V 九 Таким образом,
I。/ ®。步&_m+sT,戲《|。/ ® 以州-m, $) &C||。/ L-m+/+i/2)，
если / < zn и k — целое число》max(s, 0) . Следовательно, m—1
^TPcu^-k> A)<c £ 电k/T/2),
0
ибо, как легко убедиться, переставляя оператор Т с дифференцированиями по Xх, он непрерывно отображает Hgg 比)в Н^> 比) для любого целого 左》0 (см. также лемму 21.1.9 ниже). Так как отображение Ui~^ PTPCU = RfPcU непрерывно действует из 勿，(0Х) в С00, мы можем усилить последнюю оценку до оценки (20.1.16) тем же способом, что и при выводе оценки (20.1.15).
Доказательство завершено.
Замечание. Оценки (20.1.15) и (20.1.16), доказанные здесь с помощью теоремы В. 2.9, фактически справедливы для всякого параметрикса Г, удовлетворяющего условию трансмиссии. Проверить это предоставим читателю.
Теорема 20.1.7. Отображение (20.1.12) непрерывно отображает
H(s-m)(^°* Р)® ^(s-m^l^idXf GJ ㊉-•.㊉"(s-m厂 1/2) (OX, "/)
операторомоператоромв Л(х)(Х°, Е) для всех s ^ zn. Оно является приближенным левым обратным к отображению (20.1.2) s том смысле, что справедливо (20.1.11) с К, непрерывным как отображение из 貝(向(％°, Е) 8 С°°(X, £), а также и приближенным правым обратным s том смысле, что справедливы (20.1.13) и (20.1.14) с
оператором
оператором
Ml%)
1% kJ
непрерывно отображающим H^)(XtF)® ^(дХ^ ФО/) s C°°(-X,FJ ® С°°(дХ9 ФО/).
Доказательство. В силу (20.1.15)
Е II Y/Tf° Ills-/-1/2) ^ С|| / lb-т)»
поэтому из (20.1.16) и того факта, что Ski w 田"厶 вытекает, чтоl|fpesWIU<cn/ii(s_m).
Непрерывность остальных членов в (20.1.12) очевидным образом следует из предложения 20.1.6, чем доказательство и завершено.
Как уже было отмечено выше, теорема 20.1.2 вытекает непосредственно из теоремы 20.1.7 и следствия 19.1.9. Используя теоремы 19.5.1 и 1952, нетрудно было бы также показать, что эллиптичность краевой задачи (20.1.1) необходима для справедливости теоремы 20.1.2.
Теорема 20.1.8. Если краевая задача (20.1.1) эллиптична, то ядро фредгольмова оператора (20.1.2) содержится s С°°(X, £), а образ является ортогональным дополнением к некоторому конечномерному подпространству пространства
С°° (X, F* ® R# ㊉ С° (dX, G； ® а@/ ㊉.••㊉ С°° (ОХ, G； ® R@x).
Таким образом, индекс оператора (20.1.2) не зависит от s. Кроме того,。左 не зависит от членов младших порядков s операторах Р и Bj и устойчив относительно произвольных малых возмущений коэффициентов этих операторов.
Доказательство. Из свойств указанного в теореме 20.1.7 приближенного левого обратного к оператору (20.1.2) следует, что если и ^H^m)(^°> Е) и для некоторого s ^ m выполнены условия (20.1.1) с /三H(s-m)(х°,尸)，gjW 力(s-mj72)(dX, G), TO U 三方(s)(X°, £). В частности, ядро оператора (20.1.2) содержится в С°° (X, Е), и достаточно доказать, что его образ задается С°°-соотношениями ортогональности в случае s = т. Итак, предположим, что
и W/7(»(Х, F ® Q〉% W Н(mj+12-m) рх, G；®R@Q,
н
(Р〃，о) + Е (B/U, %) = 0 для и е С°° (X, £)・
В частности, в качестве и можно взять правую часть (20.1.12), отвечающую / = 0:
u = TPcSg, где g/wC°°(dX, GJ
Тогда Ри = K?g, Bu = g + X4g, где 凡 и 驳4 — непрерывные отображения из 玄'в С°°. Таким образом,
£ (g/，%) = — («2g, и) — (К@ 丘)
есть непрерывная линейная форма от g, в топологии пространства распределений, а значит, Л； w С°°. Поскольку
(&, и) = - £ (8/, %), и 三 C~ (X, £),
то, беря сечение и равным 0 вблизи границы, мы заключаем, что Р*^ = 0 в Х°. Следовательно, у сечения о определены начальные данные (теоремы В. 2.9 и В. 2.8), и эти начальные данные принадлежат классу С°°, поскольку их можно выразить через Л. В силу теоремы 1.2.6 (теоремы Бореля) можно определить 少 в Х、Х° так, чтобы оно принадлежало С[(工、X。)и обладало на дХ теми же начальными данными и производными по хп более высоких порядков, подобранными так, что Р*р имеет на дХ нуль бесконечного порядка. После такого продолжения 0曰//薪呻(父)11 P*uwC°°(x). Значит, у е С°°(Х), чем и доказано, что образ оператора (20,1.2) определяется гладкими соотношениями, не зависящими от s. Устойчивость индекса этого оператора относительно возмущений младшего порядка внте“ кает из следствия 19.1.8, а устойчивость относительно произвольных малых возмущений коэффициентов — из следствия 19.1.6. Доказательство завершено.
Теорема 20.1.8 показывает, что индекс эллиптической краевой задачи определяется топологическими данными, связанными с фигурирующими в этой задаче операторами. В § 20.3 мы покажем, что проблему вычисления индекса краевой задачи можно свести к той же проблеме для многообразия без края. Доказательство этого результата потребует привлечения ряда элементарных фактов, касающихся обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами; мы изложим их в § 20.2. Кроме того, понадобятся обобщения результатов, полученных к этому моменту в данном параграфе. Прежде всего заметим, что вовсе не обязательно предполагать, что В： — дифференциальные операторы. Приведенные выше доказательства не изменятся, если В/ = В/у, где В/ — псевдодифференциальные операторы из сечений расслоения £т в сечения расслоений G/ над дХ, удовлетворяющие условию эллиптичности. Однако нам нужно будет допустить и более общие операторы Р, и здесь уже придется затратить больше усилий. Наиболее естественным было бы допустить в качестве Р любые псевдодифференциальные операторы, удовлетворяющие условию трансмиссии. Но тогда поставить граничные условия было бы
гораздо труднее (см. работы, указанные в примечаниях в конце главы), поэтому мы используем другой, не совсем инвариантный класс операторов, обладающий тем достоинством, что его элементы почти являются дифференциальными операторами на границе.
Будем, как и выше, считать, что некоторая окрестность границы дХ з X отождествлена с дХX[0> 1), а расслоения Е и F на этом «воротнике» отождествлены с поднятиями на него их ограничений на дХ. Положим Хб = 0ХХ1。, 6) и определим продолжение X многообразия X так же, как и раньше. Предположим, что 戶=曰 + 戶，где оператор Р принадлежит 屮晶(X。) и имеет ядро с носителем, скажем, в (X\Xi/2)X(X\X】/2), а
pb = t1PlM.
Здесь m — положительное целое число, а Р； — функция класса С°° от хп^(一1, 1) со значениями в 4f修'(ОХ), равная нулю, скажем, при %希> 2/3. Далее, предполагается, что Pm есть морфизм векторных расслоений E + F. По определению главный символ оператора Р равен сумме главных символов операторов рь и 尸.Как было сказано выше, мы допускаем операторы В/ вида
e 8/成，
где 8信三屮禽"(ОХ; Е, G0・ Определяемый очевидным образом главный символ оператора 8/ однороден степени т/ и является многочленом по g„ степени < т. Ясно, что определение 20.1.1 сохраняет смысл и в этой более общей ситуации и что мы по-прежнему имеем непрерывное отображение (20.1.2). Чтобы распространить теорему 20.1.2 на нашу новую ситуацию, нам надо заново рассмотреть определение и свойства параметрикса Г* поскольку теперь нельзя больше брать в качестве Т стандартный псевдодифференциальный оператор. Так как наша новая постановка задачи неинвариантна, воспользуемся локальным вариантом рассуждений, примененных при доказательстве теоремы 20.1.2.
В локальной системе координат иа дХ символ оператора Р в соответствующей части воротника записывается в виде суммы некоторого стандартного символа порядка m и некоторого многочлена степени m от 自门,у которого коэффициент при ^ представляет собой символ степени m — / от остальных переменных. Таким образом, символ оператора Р локально удовлетворяет
оценкам вида
(20丄⑺|о沙ba, ^)|<Са₽(1 + |МГ_ап(1+1Г1)_|а，1.
где ^ = (^1, ..., gn-i). В первый же раз, как мы продифференцируем символ оператора Р。по ?, член с 陰不 выпадет, поскольку Рт — это просто оператор умножения. Поэтому да/д^ удовлетворяет (20.1.17) с т, замененным на m—1, при всех /, а не только при / = л.
Прежде чем продолжать обсуждение краевой задачи, нам надо сделать ряд замечаний, касающихся исчисления псевдодифференциальных операторов. Обозначим через S^ m， множество всех。三(?8( R〃X R% таких что
(20.1.17Г I I^D^ (Х Л) I < Cap (1 + I g I )m-a" (1 + I ^ I Г'-' " I.
Лемма 20.1.9. Если awS", то оператор a (x, D) непрерывно отображает H(s+mt ^+mz)(Rn) s H(s, /)(Rrt) для всех & /е R. Если bwS*'匕 то a (%, D)b(x9 D) — c(x, £>), где c 已$用+际紋+叱 более точно, c-ab^sr^' т/+ц，-1. Если *) a<n е Sm~u m，, то c-ab WSm+»T・付+К.
Доказательство. Пространство S^ ” есть не что иное, как пространство символов веса (1 +1 ? I )m (1 +1 ^ I )т по отношению к a-умеренной метрике
I 厶 I + I &门2/( 1 + I 门尸 + I % |2/( 1 +⑶2).
Поэтому из теорем 18.5.10 и 18.5.4 вытекает, что，三 s"1"**'叫" и с — ab 三 Sm+“ т'+"'т. Следовательно, оператор
% Их, D) = (1+|D 卩产(1 +1 O'产产 a (x, О)
Х(1+|£>12)-Х(1+|£>12)-($+向/2($+向/2(1 +1 0'冷一"+"*饺(1 +1 0'冷一"+"*饺
Х(1+|£>12)-
Х(1+|£>12)-
($+向/2
($+向/2
(1 +1 0'冷一"+"*饺
(1 +1 0'冷一"+"*饺
принадлежит Op S0*0, а значит» Д2-непрерывен по теореме 18.6.3. Этим доказано утверждение о непрерывности.
Чтобы доказать последнее утверждение леммы, запишем
b (х, W) — b (弘 Е) = Е (л；—勿)б； (х, у, Е),
где
勿 a, 9, w)=，瓦/)(9+/ a—у), Е)力.
о
Ясно, что если рассматривать у 三 R" как параметр, то символы М，равно как и их производные по у, равномерно ограничены
в Si'. Далее,'
а(х, £>)Ь(х, £>) = &(*, D)b(g, О)
+ X(xt — yt)a(x,。)％(厶 у, D) + C(x, g, С), где
С (%, у, D) = -iZ^l}(x, D)bj(x, у, D).
Очевидно, что символ С(х, у,自)и его производные по у равномерно ограничены в sm+i, т+>. Взяв у = %, получаем
с (%, ^) = а(х, 1)Ь(х9 1) + С (х, х, Е), откуда и следует, что с — ab^ sm+^_I> мн*〔 Доказательство завершено.
Следующая лемма, в сущности,——частный случай леммы 18.4.3:
Лемма 20.1.10. Пусть %wCT(R"), а еSm, 0 и
I。(居 g)|》C(l +1 自 |产 При 自 WSllppd —%).
Тогда символ 6{х, g) = (l —х(^))/а(х, &) принадлежит S-叫* Если。(/У Sm-Ll то bU)wSf-Lq
Доказательство. Предположим, что оценки вида (20.1.17JZ уже доказаны для производных порядка V|a + B| от &. Тогда, дифференцируя равенство。6 = 1—%, получим
|a(%, 90沙%(*,自)1*0限(1+1日1)-%(1+盾1尸口
откуда вытекает, что
I 缝。融(%, &) I《С/ (1 + I Е I )fia (1 + I I 尸 Поскольку
*)(招目=一小(/ ^/а(X, ^
вне supp %, второе утверждение леммы следует из первого.
Замечание. Формулировка и доказательство леммы сохраняют силу в случае, когда символ а принимает значения в ^ X ^-мa- трицах и а(х, ^)-1 оценивается величиной (1 +|^|)"т-
Предполагая, как мы вправе делать, что оператор Р определен и эллиптичен на >, мы можем теперь доказать нужный нам результат о внутренней регулярности:
Предложение 20.1J1. Если u H(s+m-i)(X) и Ри s Н^ГР (-^)» то 〃 w Hfs?m)(灭% 〃力兄 всякого компакта К s X существует 〃。・・ стоянная С, такая что если supp и а. К. то
II 〃 U(s+g * С (II Р〃 U⑻ + II 〃 il(s4-m—!))•
Доказательство. Поскольку для любой функции qp s С*
II Pqpu ||(s) < II фРи ll(s)4-C||u||(s+m-l), достаточно установить наше утвержденуе для случая, когда и имеет компактный носитель в некоторой координатной окрестности. Можно считать, что эта координатная огурестность отвечает шару {х е Rn; |х| < 2} и suppucz {хекл; |х| < 1/2). Положим а(х,自)==р (*(%)%, 6), где р ——матричный символ оператора Р в локальных координатах, дл^ некоторых тривиализа- ций расслоений f и F, а функция 巾 выбрана, как в лемме 19.2.11. Тогда a w S^»* а⑴ w Sm-[>Q для всех /, а(х, &) = p(xf W) в некоторой окрестности носителя и и функция \^та(х, £)-' ограничена при больших |Е|. В силу леммы 20.1.10 найдется матричный символ & е S-m* °, такой что 6⑺(％, g)eS~m-1»° для всех / и b (丸 g) а (х,自)есть единичная матрица при больших |^|. На основании леммы 20.1.9 заключаем, что b(x, D)a(x, D) = / + R(尤，D), где RwS-L°, а значит, П(%, D) непрерывно отображает H^m-^ в H(s+m}. Таким образом,
II 〃 ll(s+m) & IIЬ (匕 D) a (x, D) u h+m)+ IIR (x, D) и ||(s+m)
&C(|[a(居。)〃||($)+11〃lks+m-1)), чем предложение и доказано.
Теперь обсудим вопрос о регулярности на границе. Будем вести рассмотрения в координатной окрестности, где Р = А°; тривиализуем там расслоение Е, а затем тривиализуем F, используя отождествление Е и Ft определяемое умножением на 唸. Продолжив символы операторов Р н В/ на все пространство, как в доказательстве предложения 20.1.11, получаем следующую ситуацию. Символ оператора Р имеет вид
где р/w $加-/( R*1 X Ra〔)，Pm есть единичная ^X ^матрица и величина 131mp(х,陰)一〔ограничена при больших Щ. Аналогично символ оператора В/ записывается в виде
5K i)= ЕF)鴻
где b状 н S»" R“t X К"】). Как и в лемме 20.1.10, положим Т(х, Е) = (1—%(&))「(％ 陰)-1 где функция %w。/ равна 1 на столь большом множестве, что т 三 S~m»0 и 七⑺ 三 S^m-!>0 для всех /. В соответствии с (20.1.3) имеем
Т(Х, 0)Р(/ D)^l+rE (х, О), pa, о)т(% D)k/ +「f (厶 О),
где 尸后,尸尸三$-1，°. Таким образом, операторы ге(х, D) и 尸尸(％, DJ непрерывно отображают "⑶》(Rп) в "“+「)(")для всех & 厶 а т(х, D) непрерывно отображает 瓦龜力(尺希)в Н^т, n(Rn)* Нам надо еще установить оценки, аналогичные оценкам из предложения 20.1.6. Как обычно, будем для fw9(R希)обозначать через 尸 функцию, равную / в 辟 и 0 в остальных точках. Пусть, далее, т(х, D)fQ обозначает ограничение т(х, D)f° на R* и операторы ге(х, £>),产尸(尤,D) определены аналогичным образом.
Лемма 20.1.12. Если /三忆 то
fl Т (Х, D) /° ||(s+m, /) + И Г£ (%, D)尸 ％+L f)
+ II 戸尸(厶。)f° 卜+1, /> 4 &, "I f IUn, S > о,
где И • Ц., .)обозначает норму пространства //(., .)(R+). Для любых f^H^m, o(Rn)> на носителе которых хл = 0,
|同尤，D)f h 一)+ %(%，D)f Ib+i-m, I)
+ 疗尸(Г, D) f Ik+i-g f-v) 4 C$, f, v" hrn. f), где нормы s левой части ——это нормы s Я(.( .)(R+), а норма a правой — это норма в Я(_т( o(Rn).
Доказательство. Решающий момент состоит в том, что р(х, &) обладает хорошим асимптотическим разложением при gn-> оо (так что в действительности мы используем не что иное, как условие трансмиссии). Вводя обозначение
区=% + "g产+1)吟
представим символ р в виде
р(х, &)=?Р/(芻 F)曰，о
где Рт = / и PjvSmT(R希 X Ri). Тогда можно последовательно подобрать т/ е S^R^X Rji) так, чтобы для N = I, 2….
^—1m—1
s^(x, В)z 耳(工，g)Rf 7=呼/ + £ PN〃a, 1)日I
где рм/ принадлежит S'+Z Действительно, для "= 1 это означает, что т0==/ и pi,/ = Pm—it・ Если утверждаемое равенство уже установлено для некоторого значения N, то
日"+"(上,自)2匕(*，F)L-/
『炉I 十 % Рм/(%У)Е1 + §Р*№，g)可飞a, g)
Это равенство будет иметь нужный вид, если взять ^(х, F) =一Рмо(%, F) и
PH+UI — PN.f+l + Pm-\-iXN(Х> 自‘)
для / = 0, ・••, т — 1. Умножив доказанное тем самым равенство на т(х, ^) = (1 一 х(^))р(х, Е，т и еще на 日一"，получим
АГ — 1
т(х, &)=审 Т/(*, У)Е—*/ + р“а,臥
где
Pw(*, &)=-%(&) £ Т/(х，HS-m-/
-(1 -%(&)”(％,旷I § Рм/(Х, У月-f.
Поскольку Ml(o, s+f)《||川(龜 f) при s ^ 0 и норма функции 尸 в "(a$+f)(R") равна норме функции f в Я(о, s+t)(R+), тот факт, что р^ 曰 S-mf, ^> дает при N》s
II P^ (х> D) f° Ib+m, О & II p^ (尤，D) f° ||(m+M s+t-N)
《6們h+)《C||fhf)・
Далее, из того что оператор p^ (х, D) непрерывно отображает Я(-т( о в "(V, £т)при V ^ ^, следует нужная оценка для члена l!p^(x> D)川(v,j)в (20.1.19).
Оператор S (D尸 действует по формуле
a(D)i «(*)=L f expC-^l^^+l)172)^-^ (/, x„ + f) dt/(k -1)1;
0
ограничение левой части этой формулы на полупространство ХпХ) определяется ограничением функции 〃 на это полупространство. Поскольку оператор Ор ①日-*/)непрерывно отображает "(§, f)(R") в H(s^m, /)(Rn), имеет место также непрерывность в соответствующих пространствах — сужениях на R* Отсюда вытекают нужные оценки для т(л, D)u в (20.1.18) и (20.1.19), ибо рассмотренные только что члены вообще не дают никакого вклада в (20.1.19).
Чтобы получить искомые оценки для членов ге(х, D) и rF(xtD)t рассмотрим р(х, D)t(x, D) —(рт) (х, D) и т(х, D)p(xt D) —(тр) (х, D), используя то же самое разложение символа т. Прежде всего заметим, что символы операторов р(х, D)p^(x, D) —(pp^) (х, D) и р“(匕 D)p(x, D) — (pNp) (х, С) принадлежат S-n, n-i для каждого N, поэтому для достаточно больших ^ мы
можем рассуждать точно, так же, как при проведении оценки члена т(х, D) и. Для всех / символы операторов
Т/(%, О) £(〃)-"— р(х, D)-(rlpS-m-1)(x, D)
и операторов, получающихся при обратном порядке сомножителей, принадлежат S-L& Следовательно, эти операторы непрерывно отображают "($, f)(R") в ”(叶「)(口")для всех s, f, откуда снова следует непрерывность в соответствующих пространствах—сужениях на R* Доказательство завершено.
Повторим теперь, заменив Р на р(х, D) и 7 на t(x, D), шаги, которые мы выполнили при доказательстве теоремы 20.1.2. Прежде всего, определим матрицу Q псевдодифференциальных операторов формулой (20.1,7). Теперь, однако, лишь главный символ оператора Q2 — Q равен 0; это означает, что оператор Q2 — Q повышает гладкость на единицу. Поэтому из доказательства следствия 20.1.4 вытекает, что отображение
"(& f)(R*)三 f |_>Qyt(%, Q)尸已㊉"(*+тт+1/2)
непрерывно при s N 0. В случае когда условие, наложенное на Q в предложении 20.1.5, выполняется лишь на уровне главных символов, т. е. в случае, когда Q2 — Qw 4f-* заключения этого следствия сохраняют силу, если интерпретировать знак 三 как равенство главных символов. Мы можем также обеспечить выполнение условия BQS一 A?w 4fвзяв S = Q7\ где В(^Т —Io е ф1*00. Для наших систем Дуглиса — Ниренберга мы получаем поэтому Skj — Skj^yVk~mi и S*w 4f尼-"• Поправочный член К в (20.1.11) является теперь оператором, непрерывно отображающим 77(s, n(R+) в H(s+\, n(R+) ПРИ s^ m. Для поправочных членов Ki, ..., К4 в (20.1.13) и (20.1.14) имеем:
& непрерывно отображает H{s,分(辟)в H(s^\, о(^+) при s>0;
驳2 непрерывно отображает "(什皿-皿厂1/2)(К11*1) в "佰+i, ”§)(R|) при любых S и /;
Кзнепрерывно отображает 〃(§,外(R") в фН(*+*т炉2)(Вп"!) При £>0；
驳4 обладает С°°-ядром.
При проверке этих утверждений, провести которую мы предоставим читателю, полезно вспомнить (см. доказательство предложения 20.1.6), что
Ц 尸4/hms)《С XII {/"(S-5
Допустим, что и 已 Н(т)(R*) и что 〃 равняется 0 вне некоторого большого шара. Мы утверждаем, что a w H{s)(R；), если р(X, С) 〃已员 S5)(辟)，％ (居 D)u^ H(s-m 厂1%(R“7)・
Действительно, при установлении этого факта можно считать уже доказанным, что и 已 Hg(R+) для некоторого s，》т, такого ЧТО S ^ sz + 1. Поскольку
〃 = (/ + "居 С) P°S"y) т(х, С) f° + т (х, D) P°Sg + К% сделанное утверждение следует из указанных выше свойств непрерывности операторов К и из свойств непрерывности других операторов, вытекающих из оценок леммы 20.142.
Предположим теперь, как и при доказательстве теоремы 20.1.8, что выполнено соотношение
0= \ (Р〃)иd% + 2 , В产(/)九/(f)" при 〃已Cf (R&),
где uw/f；ff)(R*) и % 三瓦?г勺+1/2-吗(R")
Докажем, что тогда последние два включения должны оставаться верными при замене / на < + .1, а значит, верны для всех f. С этой целью возьмем fwC/(R) н положим
и =(р((/ + т(х, D)P'S勺)т(/ D)P + t(%, D)尸Sg), где ф s С~(Rn) — фиксированная функция. Тогда
||Р“ 一屮〃 h 7)+ Sil В产—屮 g/|(T—my—!/2+m)
^^ С ( N f lh -f-D + £ I! g/ l!(-f-m广3/2+fll)) »
в силу приведенных выше оценок для операторов К/ и непрерывности операторов в правой части (20.1.20), вытекающей из леммы 20.1.12. Отсюда следует, что
I , (ffvdx-\-^^glhIdx,
|*Л>°
&С (ii f lh -fТ) +〉： II gj 11(-£-и>,-3/2+л>)) ♦
(R+) И фЛ/ ^ W(t+my+3/2-m)>(R+) И фЛ/ ^ W(t+my+3/2-m)>Тем самым доказано, что qpv w Н& f+i)
(R+) И фЛ/ ^ W(t+my+3/2-m)>
(R+) И фЛ/ ^ W(t+my+3/2-m)>
как и утверждалось. Таким образом, Л/ 已 5. Поскольку 'Ри е С°° и начальные данные функции и принадлежат классу С°°, то, как и в доказательстве теоремы 20.1.8, мы заключаем, что
。曰 С" (RQ.
Теорема 20.18. Пусть Р — Pb + Р1, где Р‘ 一 псевдодифферен-' циальный оператор порядка m с ядром, имеющим компактный носитель в Х°ХХ°, а Рь — дифференциальный оператор по хп, являющийся на воротнике псевдодифференциальным оператором вдоль dXt как это описано выше. Предположим, что оператор Р эллиптичен и граничные операторы В； эллиптичны относительно Р. Тогда заключения теоремы 20.1.8 сохраняют силу.
Доказательство, Сначала докажем, что оператор (20Л.21) Н(т}(Х°, E)m〃f (Р〃，Вм В」〃)
RHgGs尸)㊉中"(…厂1/2)(因GJ является фредгольмовым и его образ совпадает с аннулятором некоторого конечномерного подпространства в С8(Х, F*0 Qx) ®фС°° (дХ, G/ 0 Q@x)・ Пусть uv—слабо сходящаяся последовательность в a(m)(X°, Е), такая что последовательность Рщ сходится по норме в Z/(o)(X°, F) и для каждого j последовательность В网 сходится по норме в H(m-mj-n2)9X, G/). Тогда uv сходится по норме в Н(тт)(Х°, Е), поэтому для q)e С~ (X) тем же свойством будет обладать последовательность ф%. Из предложения 20.1.11 следует, что для <pwC/(X°) последовательность 屮〃V будет сходиться по норме и в Л(т)(А^, Е), и, выбирая Ф с носителем, достаточно близким к точке границы, и используя тот факт, что определенный выше Оператор К является компактным оператором из Н(т)в Н(т), заключаем, что и сама последовательность «у сходится по норме в Л(т)(Х°, Е). В силу предложения 19.1.3 этим доказано, что оператор (20.1.21) имеет конечномерное ядро и замкнутый образ. Далее, выше уже было доказано, что ортогональное дополнение к образу оператора (20.1.21) содержится в С°°(Х, F* ® Qx)ффС°° (5Х, G；® &х) (регулярность элементов этого ортогонального дополнения во внутренности многообразия X вытекает из предложения 20.1.11, примененного к оператору, сопряженному к Р). Ввиду леммы 19.1.4 и теоремы о замкнутом графике отсюда следует конечномерность указанного ортогонального дополнения. Мы знаем, что если s 0 и элемент
(f, gi,…，g/)曰瓦s)(X。，尸)㊉学"(s+i/T/2)(dX, Of) ортогонален к этому конечномерному дополнению, то краевая задача (20.1.1) имеет решение 〃三自(向(¥\ Е). Мы также доказали, что это решение в действительности принадлежит Н(叶小)(Х°, Е) в некоторой окрестности границы; в силу предло-
жения 20.1.11 то же верно во всей внутренности многообразия X. Доказательство завершено.
В теореме 20.1.8’ содержится глобальное утверждение о регулярности, которое полезно микролокализовать по аналогии с теоремой 8.3.1. На проводимом ниже подготовительном шаге к получению такого аналога мы сохраняем наши предположения относительно Р и В/.
Лемма 20.1.13. Пусть операторы Р и В^ обладают свойствами, указанными 8 теореме 20.1.8', и и f принадлежат #(Х) и
Pu — f в X,В；и = gj на дХ,/ = 1,/.
Тогда
WFb ® 以=WFb (f) £ U U (g/)・
Доказательство. Из теорем 18.3.32 и 18.3.27 следует, что левая часть (20.1.22) содержит правую. Докажем противоположное включение. Выберем 6>0 так, чтобы в WF(u) не входил ни один элемент (х, g) с g = 0 и 0 < хл ^ 6; это возможно, поскольку 〃三 #(Х) (см. доказательство теоремы 18.3.32). Пусть W — объединение правой части (20.1.22) и множества
{(х, У); 0 < хп<б, (х, Е)已旷尸(f) для некоторого &}・
Это объединение замкнуто, так как WFb (f) замкнуто. Назовем символ %е$8(Й+Х Т*(0Х)) допустимым, если % (%,『) = 0 для Хд ^ S и х имеет порядок —оо в некоторой конической окрестности множества W1. Таким образом, в силу теоремы 18.1.36, если символ у допустим, то % (%, ZX)f е С°°.—
Далее, можно выбрать s и t так, чтобы 〃已"龄)(g), а значит,
% (%, D)ur H(sj)для всякого допустимого ywS°・
В случае %wS口 справедлив тот же результат с 力 замененным на £ ——卩・ Из (20.1.23) вытекает, что для допустимых %wS° (20.1.24) Рх (乂 D、u = x (х, /У) / + [?,% (х, /У)] 〃 巨瓦s』+i,力 поскольку [Р, %(х, /У)] = £ D1^ (х, Df\ где символы 方w5吁"/ f<m
допустимы. Следовательно,
〃％(%, О')"已瓦sT+i.D
при j — tn. По индукции тот же результат верен и для / <С zn. Действительно, если включение (20.1.25) уже доказано для 厶
замененного на / + 1, то
〃+%(%, D) u w 戸(s-厶 I),D^(x, ZT) и 已员s-小)
в силу предположения индукции и (20.1.23). На основании теоремы В. 2.3 заключаем, что выполнено (20.1.25). При j = 0 получаем (20.1.23) с парой (s, f), замененной на (s+L /—1). После конечного числа шагов придем к (20.1.23) с некоторой новой парой (s, /), в которой s т. Тогда
В/(%, D')u = x{x', 0, O)g/ + [% %(х, D^u^H^+t-^+w), поэтому, учитывая (20.1.24) и используя теорему 20.L8', заключаем, что %(х, D')ug Л(5+1, о- Таким образом, (20.1.23) останется верным, если заменить s на s + 1, оставив / неизменным, откуда следует, что %(х, Dr)u е С°°(Х). Этим показано, что левая часть (20.1.22) содержится в правой. Доказательство завершено.
Лемме 20.1.13 можно придать более общий вид:
Теорема 20.1.14. Пусть X — многообразие класса С°° с краем дХ и Р — дифференциальный оператор из С°°(Х, Е) в С°°(Х,尸)， где Е u F — комплексные векторные расслоения класса С°° с одинаковой размерностью слоя. Предположим, что край дХ нехарактеристичен для Р. Пусть, далее, Bi, ..., Bj ——граничные дифференциальные операторы. Определим характеристическое множество Cha“P; В^ ..., В" и Т*(дХ)\0 краевой задачи (Р; 8卜...,В" как множество всех (х\ g) 已 7'*(дХ)\0, таких что для некоторой точки (х,占)已 T*(X)tпринадлежащей прообразу точки (х\ 『)при естественном отображении 7'*(Х)->T*(dX)t либо оператор Р характеристичен в (х, Е), либо отображение, фигурирующее в условии (ii) определения 20.1.1, оказывается неинъективным. Если 〃, fw4(X) и Ри = f в 2, BfU = g/ на OX, j = 1$ J, то
WFb(u) |дХс=СЬаг(Р;吕，•・・，В『)
UW&(f)l°xUU^F(g/)・
Доказательство. Можно считать, что X = ₽+• Нам надо показать, что (0, g^) ^ WFb(u)t если точка (0, ^) не принадлежит множеству в правой части (20.1.26). Опустив некоторые лишние В/, можно считать, что отображение, фигурирующее в условии (ii) определения 20.1.1, биективно в точке (0, ^). Запишем
p(尤,e)=? Р)(/1)%
И положим
m— 1
а а, ^=рт(^+ S(Р/(х, ?屮意))
+ 〃(0飞1门/岡)(1一叭У))*
где функция ф е С°°( Rn-1) однородна степени 0 по 『при |У|》1 и равна 1 в некоторой конической окрестности точки Е； Если носитель этой функции достаточно мал, то оператор 戶 эллиптичен в окрестности нуля, и краевая задача (戶；5Ь ,.., В」), где операторы 5/ определены аналогичным образом, тоже будет эллиптична. Далее,「〃 =『в X。н Bju = gj на дХ, где f и g/ таковы, что
(0,恥走WFb (f - f) u UК戶(当一豆)，
поэтому, в силу леммы 20.1.13, (0,恥史 IFQ(〃)・ Доказательство завершено.
Некоторые подготовительные результаты об обыкновенных дифференциальных операторах
Пусть Е — конечномерное векторное пространство над .С и А ^^(Е, Е) . Тогда дифференциальное уравнение
.2.1)Du — Au = 0t
где и е С°°( R, Е) и D = — id/di, имеет dimE линейно независимых решений. Решение с и (0) = и0 дается формулой
а (0 = (2就广 § (z/ - Л)-1 “" dz = £ Res (z/ - Л)'1 “匕,
где интеграл берется по границе какой-нибудь области, содержащей все собственные значения оператора Я. Если А не имеет вещественных собственных значений, то u(t)=耳(f) + u_(f), где 〃+ — сумма вычетов в верхней полуплоскости, а 〃一一 сумма вычетов в нижней; функция 〃+ ограничена на R+, а 〃-——на R_. Таким образом, если отождествлять решения уравнения (20.2.1) с их значениями в 0, то оператор
g= Е Res (zZ — Л)"1
есть проектор на пространство М+ решений, ограниченных на R+，аннулирующий пространство М- решений, ограниченных на R_.
Не нарушая «условия эллиптичности», т. е. условия отсутствия у оператора А вещественных собственных значений, можно продеформировать его к весьма специальному виду;
Предложение 20.2.1. Если оператор А не имеет вещественных собственных значений и оператор q определен формулой (20.2.2), то при X > 0 операторы
Ax = (\-%)A + x{ikq - /Л (/ - д))
не имеют вещественных собственных значений для 0《t《1 и
.2.2)， g= £ Res(z/-4，T,0《т&1.
Imz>0
Доказательство. Пусть qz — вычет функции (г/ —力尸 в точке 2. Тогда gz = 0, если только г не является собственным значением оператора Д, а в этом случае qz есть проектор на пространство корневых векторов, соответствующих собственному значению 2, вдоль пространства, натянутого на остальные корневые векторы. Таким образом, проекторы qz коммутируют и
9 = Z
Imz>0
Ограничение оператора 4 — zl на qzE есть нильпотентный оператор, а ограничение оператора q на qzE есть тождественный (соотв. нулевой) оператор, если Imz>0 (соотв. Imz V0). Поэтому ограничение оператора 4T на qzE представляет собой сумму некоторого нильпотентного оператора и тождественного оператора, взятого с коэффициентом
(1 — т)% + т/Л sgnlmz,
имеющим мнимую часть того же знака, что и Im г. Таким образом, At не может иметь вещественных собственных значений при 0&T&L Пространства корневых векторов оператора Ах не зависят от т, хотя собственные значения зависят. Доказательство завершено.
Ценность этого утверждения в том, что До一совершенно произвольный оператор без вещественных собственных значений, гомотопный же ему оператор Д i есть оператор весьма специальный. Решения уравнения Du — А{и = 0 можно записать в явном виде:
а (0 = ехр(—九/) да。+ ехр (Л/) (/ ——q) %•
Деформировать операторы высших порядков уже не так легко, как операторы первого порядка. Поэтому обсудим вопрос о сведении таких операторов к системам операторов первого порядка. Положим для данного /и > 1
(2024) P(z)=^P/z{
где р］巨纟 «Е、Е), причем рт = /. Каждое решение уравнения p(D)u = 0 можно представить в виде
и (0 = (2加尸 § р ⑵^ и ⑵产 dz = 2 Res (р(2尸 U (z) /*),
где U(n)——некоторый однозначно определенный многочлен степени 之 /и со значениями в Е. Он выражается через начальные данные решения по формуле
k^mp^D'~ku^ZK
(ср. с (20.1.5)).
При стандартном сведении операторов высших порядков к системам первого порядка просто вводят D^u{t)f OWjVm в качестве новых переменных. Однако нам надо избегать появления вещественных собственных значений, и поэтому приходится, как в предложении 20.2.1, использовать вместо D операторы О + /X и D — iX для некоторого 入 > 0・ Заметим прежде всего, что р можно записать в виде
Р ⑵=纟 & (z -儿)/ (z + 線产f. о 1
Если положить (г — li)/(2 + М = ^> т. е. г = Xi(w+1)/(1—да), то (20.2.4)/ перепишется так:
т
S afwf = ((1 — w)/2ki)m р (九"1 + з)/ (1 — да)), о
Отсюда видно, что
т
勺=§ cfkPk^k~mt
где с/在—некоторые постоянные. Таким образом, из уравнения p(D)u = 0, полагая
u^(D~ X//(D + 切〃，0《/ V 加，
мы получаем систему уравнений первого порядка
^m (D 一 ^)um~i + §。/ (。+ 九О 勺=0,
(D + Ai)勺一(Z) — 九£)〃/_1 = 0,0 V / V /п.
В сущности, это обычная процедура, модифицированная при помощи использованного выше преобразования Мёбиуса.
Чтобы обеспечить гладкий переход от полученной системы первого порядка к исходному уравнению, определим для 0《т《1
многочлен Рр(2)со значениями в ^(Emt £力)как блочную матрицу
(р⑶0...\
I0Мо(2)0I
°丿
X0此⑶丿
/ Ro (% 力 R《，2) RmT(T,力、
I — xMx(2)0……... I
+ [0 一 tMi (之)0...... I
'00・・・—tAf]⑶0 丿
Здесь
М° (z) = (z + 〃)"，М (z) = (г-統)(z + 雜尸т,
Ro(t, z)= — T”p(z) + тта0М0(z),
R/(* 2)= Tm-/a/Af0(2),0 < / < zn— 1,
R*1 (% Z) = ^„iMo^) + татм} (г).
Матричный коэффициент при zm в Рт(2) имеет определитель 1 и, как показывает несложное вычисление, опирающееся на тот факт, что а0 + .. • + ат = /, разлагается в произведение
Поэтому элементы матрицы, обратной к этому коэффициенту, будут просто линейными функциями от а0, ..., ат> и это остается верным, если заменить а0> ..., ат более общими операторами.
Заметим, что второе слагаемое в (20.2.6) обращается в 0 при т==0 и что в Pi(z) имеется множитель (乞 + 方)^-* после выделения которого остается многочлен первого порядка по 2. Определим теперь решения U = (UQt ..., Um-i) уравнения
Pt(Z))U = 0. В явном виде это уравнение расписывается так: (1 — Vй)" D)U0 + (£> + К1)т(айтти0 + •.. +。吁卩…)
+ T (£> + 九炉T(d 一 浦)ат [/…=0, (£> + Xi)m Uf = r(D + 凯尸 т (£> — g и/-,Q<j<m.
Если решение U этой системы ограничено на R+, то его производные тоже будут ограничены на R+, поэтому все уравнения системы, кроме первого, можно сократить на множитель (D + X/)т-1, ибо у уравнения (£> +儿)/ = 0 нет ненулевых решений, ограниченных на R+. Следовательно,
(D + X/) Uf = x(D-陳)U/_ i， а значит,
(£> + 九犷 U/ = ?(D- &У Uo.
Первое уравнение можно теперь переписать в виде р (D) Uo = 0.
Таким образом, если detp⑶耍 0 при zwR, то мы получим пространство AfJ решений уравнения Px(D) (7 = 0, ограниченных на R+) выбрав UQ из множества Л1+ решений уравнения p(D)u = 0, ограниченных на R+, а в качестве U/, /=1,... ,т——1, взяв экспоненциально убывающие решения уравнения
(D + 九『U, = «D — 簿У %.
Отсюда, в частности, следует, что det Рт(г)'^0 при zw R. Пусть теперь задан набор граничных операторов
Bj(D) = £ bikD\ j=l, /,
где b 质三 R(E、(?/) (Gf — некоторые другие конечномерные векторные пространства). Предположим, что отображение
М+эи^(&(£>)и(0), ..., B/D)u(0)) s©G； биективно. Тогда и отображение
MtsU(&(D)%⑼В,(D)Uo(0))三㊉G/
тоже биективно.
Считая, что т] V т для каждого /, мы можем записать операторы Bf в виде
8/ (z) = / p/ft(z -九讨(z + Ki)m~l~k.
Коэффициенты 帆 можно вычислить из равенства
X Р/Х = ((1- д)/2〃)*1 8/3(1 + д)/(1 -⑫)),
которое показывает, что
(20.2.10)где 糸一некоторые(20.2.10)где 糸一некоторыеВ注=上耳,或也“入"Jm,постоянные. Для U 三 Af?
(20.2.10)
где 糸一некоторые
(20.2.10)
где 糸一некоторые
/ (D 一 九炉(0 + 九旷ту U0 = (D + ki)m^ Uk.
Отсюда следует, что при т=/=0
tn— 1
.2.11) Bj{D)U0= Е x-h^tk{D + ki)m-lUk.
Подытожим полученные результаты для последующих ссылок в § 20.3:
Предложение 20.2.2. Пусть многочлен p(z) определен формулой (20.2.4), где 川三土⑵，£), причем рт = /. Предположим, что оператор p(z) обратим для всех вещественных z. Определим операторы а『е£ (旦 Е) формулой (20.2.4)，(или, что равносильно, формулой (20.2.5)) “ многочлен Рт(а) с коэффициентами 8 ^(Ет, Ет) формулой (20.2.6). Тогда матричный коэффициент при 2加 8 многочлене 戶工(2) имеет определитель 1 и блочные элементы обратной матрицы линейны по а0,...,。加； матрица Pt(z) обратима при вещественных z, 〃 проекция решений U — (Uq, U/пт) уравнения PX(D)U = 0 на первую компоненту является биекцией множества М^ решений этого уравнения, ограниченных на R+, на множество М+ решений уравнения р@)〃 = 0, ограниченных на R+. Если B/(D) — операторы порядка m( V m с коэффициентами в ^(Е, @『), то отображение (20.2.8) биективно тогда и только тогда, когда биективно отображение (20.2.9). При 丁耍0 для U е М^ справедливо равенство (20.2.11), где 卩信 определены формулой (20.2.7)' (или, что равносильно^ формулой (20.2.10)).
Замечание, Если обозначить коэффициент при zm в Рг через Ptm, то перечисленные выше заключения справедливы также и для оператора Р^Р^ Для этого оператора коэффициент при Dm будет единичной матрицей. При т = 0 описанное видоизменение никак не отражается на операторе Рх.
3. Индекс эллиптических краевых задач
В этом параграфе, как и в § 20.1, X обозначает компактное С°°-многообразие с краем дХ, а £* и F — два комплексных векторных расслоения класса С°° на X с одинаковой размерностью слоя. Мы предполагаем, что некоторая окрестность края дХ в
X отождествлена с 5ХX 10> 1)» и записываем точки этого воротника в виде (х； %), где х‘ wGX, 0 0 %1Vl. Кроме того, на воротнике выбирается некоторое отождествление слоев 々弘 ％), 尸(炉，％п) со слоями Е(х\ о),戶(力，о)・ Мы будем изучать индекс эллиптических краевых задач для операторов Р вида Р = R 十 Р\ где оператор P'w 屮加(Х°; Е,尸)имеет ядро с компактным носителем в Л° X Х°, а
р=£р，М.о
Здесь т ——положительное целое число, а Р/ — функции класса С°° от хп^(—1, 1) со значениями в Т^7 (dX), равные 0, скажем, при хп > 2/3, причем Р~ есть морфизм расслоений. Понятия главного символа и эллиптичности определяются для краевых задач, как объяснено в § 20.1. Вычислим теперь индекс эллиптических краевых задач для одного весьма специального случая:
Предложение 20.3.1. Пусть Е — F и задано некоторое разложение Е\дх — Е + ®Е'', Выберем функцию феС^°((—1» 1)), удов- летворяющую условию 0 W qp & 1 и равную 1 в некоторой окрестности нуля, и рассмотрим(p(xn) %ак функцию на X с носителем на указанном выше воротнике. Далее, выберем one- раторы
А± w 鼠hg ®Х, Е±, Е±),Л 三嶋hg (X。； Е, Е)
с главными символами, равными тождественному отображению, умноженному соответственно «а 入土 〃 на X, где 入± > 0 в T*(dX)\0, а 入>0 6 Т*(Х°)\0. Ограничение на воротник всякого сечения и е С8(Х, Е) представимо в виде 〃 = (〃+, и~), ede 以士 一 сечение расслоения 母,и мы положим
Рьи = ф (хл) ((Drt + /А‘)以+, (— Dn + iA~) 〃~)・
Далее, положим
Plu = i(\ — ф(хл))Л(1 — <p(x„)) и,
Р = Р& +卩〃
8以="%三08(竭 £").
Тогда краевая задача (Р, В) эллиптична и индекс соответствующего оператора /7《$)(л\ Е)->〃《$т)(Х°, Е)® H(s-i/2)(dX, £) равен 0 при s》1.
Доказательство. Если (协哨曰 7*(dX)\0, то решения уравнений (4+风+(外外))u+=0,(- %十犷(4,娥)и-=0, ■
ограниченные на R+, суть 〃+= 0, иГ = и^ ехр (— хпК" (yt rj)), поэтому утверждаемая эллиптичность очевидна. Чтобы определить ядро указанного оператора, которое, как мы знаем, содержится в С°°, выберем в Е какую-нибудь эрмитову структуру, относительно которой £+ и Е~ ортогональны на воротнике. Кроме того, выберем положительную плотность на X, которая на воротнике равна произведению некоторой положительной плотности на дХ и лебеговой плотности dxn. Тогда для 〃 三 С°°(Х, £) 2 Im (Р&и, и) = ((М〃，и) — (u, a〃))/f
= 2Re((<pA+u+, ы+) + (<pA~u-,厂))+ ((吵“小，u+)—С，<pD“〃+) — ((pD„u~, u") + (u-,(pD„u~))/i.
Перекидывая операторы Drt на другую сторону с помощью интегрирования по частям, получим ввиду положительности операторов Л+ и Л-
2 Im仍也，")》心+%-!!"% 一 С山豚
Поскольку для Re Р‘ тоже имеется оценка снизу, мы заключаем, что
2 Im (Ри, и) — С7 (и, 〃)，
если и е С°° (X, Е) и Ви = 0. Таким образом, ядро оператора (Р + itl, В) равно {0}, если 2£>СЛ Заменив Р на 户+ 〃/, можно в дальнейшем считать, что ядро оператора (Р, В) равно {0}.
Введенные выше эрмитова структура и плотности позволяют рассматривать сопряженные к А н А士 как операторы в тех же расслоениях. Предположим теперь, что и е С°°(Х, Е) и й е С°°(5Х, £-) ортогональны к образу оператора (Р, В), т. е.
(口，Р〃)х + (儿 厂％х = 0 для ueC°° (X, £).
Тогда Р*и = 0 и о+ = 0 на дХ, поскольку на 〃+ никаких граничных условий не налагается. Но —Р* — оператор того же вида, что и Р, только Е- и £+ меняются здесь ролями. Отсюда следует (если выше при замене Р на Р~\- itl выбрать число / до* статочно большим), что о = 0, а тогда и й = 0. Значит, индекс оператора (Р, В) равен 0, чем доказательство и завершено.
Заметим, что положительность мнимой части символа гарантирует, что все операторы (Р, В), охватываемые предложением 20.3.1 при фиксированных Е, £+ и Е~, гомотопны между собой. Покажем теперь, что теорема об индексе для многообразий без края позволяет рассмотреть символы общего вида во внутренности многообразия X. Предположение о наличии заданного
разложения Е]зх = Е+㊉Е~на границе мы сохраним. Далее, мы по-прежнему считаем, что Е отождествлено с 户 на воротнике дХ X [0, 1), но уже не требуем этого на всем X. Как и прежде, оператор Р匕 определяется формулой (20.3.1), но Р» теперь —— любой оператор из 屮;hg(X°; Е,戶)，имеющий ядро с компактным носителем в л X ^°, такой что оператор Р = Рь -]~ Р£ эллиптичен. Чтобы определить индекс нашей краевой задачи, образуем удвоение J многообразия X, состоящее из двух его копий Х【и Х2, отождествленных на dX; С°°-структуру на X зададим, отождествив воротник в Х[ с дХX10, 1), а воротник в Аз — с дХ Х(—1, 0] при помощи замены знака у координаты %小 На X мы имеем расслоение Ё, получающееся склеиванием расслоения Е на Х[ и того же расслоения на X?, и расслоение 户,получающееся склеиванием расслоения 尸 на Х【с расслоением Е на Х2. Это возможно (и структура векторного расслоения определяется при этом очевидным образом), поскольку на воротниках оба склеиваемых расслоения получаются поднятием одного и того же расслоения с GX. Определим Рь на удвоенном воротнике @片又(一1, 1)иХ той же формулой (20.3.1) и выберем Р；三叽hg(g； Е, Е), как в предложении 20.3.1. Если рассматривать Р； как оператор иа X, то оператор А = Р“ + Р‘+ Р； отображает сечения расслоения S на J в сечения расслоения 戶 и имеет эллиптический главный символ 户 в том смысле» как мы это здесь понимаем, хотя и не является псевдодифференциаль- ным оператором в собственном смысле слова.
Предложение 20.3.2. В указанных выше предположениях Р есть фредгольмов оператор 〃($)(X, Е)-> 〃($т)(X,户)для всякого s ^ I. Его индекс совпадает с индексом краевой задачи (Р, В) и равен s-ind р.
Доказательство. Запишем уравнение
Ри =方
где й е W(S)(J, Е)、м 7w//(sf(X,戶).Рассматривая ограничения сечений z7 и ^ на Xi и Х2 как сечения 心，〃2 三円")(Х, Е) и fiW&$-D(X,尸)，f2W&sT)(X, Е), уравнение можно переписать в виде
(20.3.2У 尸勺=/卩 「2% = % в X; и^ — и+9 up = u7 на дХ.
Здесь оператор Р? имеет тот же вид, что и в предложении 20.3.1, только £+ и Е^ меняются ролями, поскольку Dn заменяется на —Dn при перемене знака координаты %〃. Образуем граничный
оператор
约(％，%)=(%-T"，"「-吟)•
Граничные условия из (20.3.2)' получаются при т = 1. При любом т этот граничный оператор эллиптичен по отношению к системе уравнений из (20.3.2)'. Действительно, для ограниченных решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, фигурирующей в определении 20.1.1, мн, как и в начале доказательства предложения 20.3.1, получаем и^- — и~ — 0, а тогда граничные условия дают и~ = и+ = 0. Таким образом, индекс краевой задачи ((Р, Р2)» В【)не зависит от т. В силу предложения 20.3.1, при т==0 он равен ind(Л В), потому что в этом случае никакого «сцепления» между ut и и2 нет. Следовательно, индекс эллиптической краевой задачи ((Р, Р2)» Bi) равен индексу краевой задачи (Р, В).
Далее, индекс оператора (20.1.2) равен индексу оператора
{〃 三/7® (Х°, Е); В以=0} э u I> Ри s /7(§_向(Х°, F),
при условии что отдельно взятое уравнение Ви = g разрешимо при любом g е С00, поскольку наложение ограничения В〃 = 0 на область определения оператора не изменяет его ядра и дает при указанном условии изоморфное коядро. В нашей ситуации отображение (〃卜 〃2)*—>Bi(〃i,以2)очевидным образом сюръективно, поэтому это наблюдение применимо, и мы заключаем, что Р — фредгольмов оператор; его индекс равен индексу задачи (Р, В), так как мы можем вернуться от (20.3.2)' к (20.3.2).
В силу леммы 19.2.6 найдется последовательность операторов А寺三 4f小(兄 瓦戸)с главными символами, сходящимися к главному символу оператора А士, такая что А± —А扌一> 0 в 2^(НМ 月)，〃(i)(兄户))• При s > 1 мы заключаем, что для достаточно больших / псевдодифференциальный оператор Р/, получающийся из Р заменой А士 на А，，будет фредгольмовым оператором с тем же индексом, что и 2 Ввиду теоремы 19.2.4 отсюда следует, что ind Р = s-ind р, чем доказательство и завершено.
Может показаться, что краевые задачи, охватываемые предложением 20.3.2, имеют чересчур специальный вид, но гомотопическая инвариантность индекса позволяет поразительным образом расширить сферу действия этого предложения:
Предложение 20.3.3. Пусть (Р, В)——произвольная эллиптическая краевая задача первого порядка с граничным оператором В порядка 0. Тогда прямая сумма оператора (Р, В) с некоторым подходящим оператором s〃8a, рассмотренного 8 предложении
20.3,1, с Е = Е+ гомотопна оператору^ отвечающему краевой задаче, для которой индекс дается предложением 20.3.2.
Доказательство. Как обычно, можно считать, что на воротнике Ех = Е^ о). Коэффициент Р? при Dn в операторе Р& есть изоморфизм Е на 尸 над дХX [0, с} при некотором cw(0, 1). Отождествим Бирс его помощью. Таким образом, для 0 W х〃 W с
Pb = Dn-A(xn),
где А (х“)е 4r小(ЭХ; Е, Е). Заменяя 4 (х“)на
(1 - т^ (х„)) А (х„) + т屮(х“) Л (0), 0《т《1,
получим гомотопию эллиптических краевых задач, при условии что функция 屮 заключена между 0 и 1 и равна 1 в некоторой малой окрестности нуля и 0 вне некоторой другой малой окрестности нуля. Поэтому, уменьшив с, можно считать, что А не зависит от хп при 0 & х翔 W с. Можно также считать, что носитель ядра оператора Р1 не пересекается ни с X X (дХ X [0, с]), ни с (ЗХХ【0, с])ХХ.
Шаг 1. Пусть а — главный символ оператора А и
0 (У，П)= (2就尸 j+(z/ — а (у, п))т dz
есть соответствующий проектор Кальдерона. Он представляет собой С°°-проектор в Е, поднятый на T*(dX)\Ot и является однородным степени 0. Выберем оператор Q 三 屮;hg (dX; Е, Е) с главным символом q и оператор Aw 里hg(dX; Е, £), главный символ которого пропорционален с положительным коэффициентом пропорциональности тождественному отображению. Взяв функцию <р 三 СГ ((——с, с)), равную 1 в некоторой окрестности нуля и всюду заключенную между 0 и 1, положим
—при “》с,
т ~ { Ол — (1 — тф) 4 — тер (iAQ — iA (/ — Q)) при хп < с.
В силу предложения 20.2.1 оператор /\ = Р： + Р‘ эллиптичен, и отвечающий ему проектор Кальдерона равен q при всех 丁三[0, 1]. Отсюда следует, что если краевая задача (Р, В) эллиптическая, то и краевая задача (Р【, В) эллиптическая с тем же индексом. Заметим, что
Р；=尸 + (1 — ^Рь, где Р6 =(р(5 二 iAQ + /А (/ - Q))・
Ядро оператора (1—(р)Рь имеет компактный носитель в Х°ХХ°, поэтому, используя лемму 19.2.6, можно найти настоя-
щий псевдодифференциальный оператор 户厶 имеющий ядро с компактным носителем в Х° X Х° и символ, столь близкий к символу оператора (1—<р)Р力+ Р\ что оператор
(1一"1 + 值
где Р = РЬ + 戶，эллиптичен при 0 W т W 1. На границе эти операторы не зависят от т, следовательно, краевая задача (Р, В) эллиптична и имеет тот же индекс, что и (Р, В).
Шаг 2. Мы можем теперь начать с оператора с граничной частью
р6 = $(〃 一 iAQ + /Д (/ - Q)) = qp(D„ +，А(/ - 2Q)).
Различие между данной ситуацией и ситуацией предложения 20.3.2 заключается в том, что «проектор» Q в (20.3.3) является псевдодифференциальным оператором на дХ, а не просто морфизмом расслоений, как в предложении 20.3.2. Пусть В е ^phg (5Х; £, G) — наш граничный оператор (поскольку Р — первого порядка, этот граничный оператор действует лишь на граничные значения, т. е. не содержит DJ. То что краевая задача (Р, В) эллиптична, означает, что главный символ Ь(у, п) оператора В для всех (у, т])е Т*(дХ)\0 есть биективное отображение образа проектора д(у,⑴ на слой Gy. Напомним (см. доказательство предложения 20.1.5), что это равносильно существованию (единственного) отображения s(y, “)： Gy-^E^t0)> такого что
• ь (у, n) s (у, п) =/%, д(у, n)s(y, n) = s(y, п), (20.3.4)
s (у, л) ь (弘 п) д (у, 11) = 9 (у, п)・
Последнее равенство следует из того, что в силу первого sbs = s, а в силу второго об-раз отображения s содержится в образе проектора q и, значит, эти образы совпадают, ибо имеют одинаковую размерность. Положим теперь для 0 W 0 W л/2
阮(弘 n) = (coseb(y,哨，sine/久)： E(г/,o)㊉G^/fGg>
sb(У,叫=(sin 0 Jg 丿：Gg f E(y, o)Ф Gg,
—/ (cos6)2q(y,叫 sin0COS0S(y,叫、
% (弘哨—I sin 6 cos 6 ft (у, я) q (У, П) (sin 6)2 IGy 丿 *
Прямое вычисление показывает, что q^y, л) есть проектор в Еу,о㊉伉н
6被8 = /久，?ese = so, 5話旳8 =%；
последнее равенство устанавливается точно так же, как последнее равенство в (20.3.4), поскольку образ проектора qQ имеет размерность dim Gyt а следовательно, у s§ н де образы совпадают. Когда 6 меняется от 0 до л/2, мы получаем гомотопию, связывающую проектор д®,⑴㊉ 0 с проектором на второе слагаемое в прямой сумме 七必 о ㊉ Gy.
Чтобы воспользоваться этой гомотопией, надо сперва выбрать на X векторное расслоение ", такое что Н\дх — G® Gf для некоторого векторного расслоения G' на дХ. Это возможно в силу леммы 19.2.14, которая показывает, что можно взять /7 = X X 8 с достаточно большим М То же самое разложение Н в прямую сумму будет тогда иметь место и на воротнике. Далее, определим Рн, как в предложении 20.3.1, для случая, когда £, F, 2+ совпадают с Н, а Е- отсутствует. Тогда оператор Рн (граничных условий нет!) имеет индекс 0. Определим оператор Ро из сечений расслоения Е ㊉/7 в сечения расслоения F® Н формулой
Ро (% и) = (Р〃，％叫
где 〃 ——сечение расслоения Е> а и ——сечение расслоения Н, и положим'
Во (% V)= Ви.
Ясно, что краевая задача (Ро, Во) эллиптична и имеет тот же индекс, что и (Р, В). Докажем, что она гомотопна краевой задаче вида, рассмотренного в предложении 20.3.2.
Пусть qG — проектор /7-> G, корректно определенный на воротнике. Выберем невозрастающую функцию 0(хл), такую что ф(хп)= 1 на supp 6 и 0(хл)= 1 в некоторой окрестности нуля, и положим для 0 W т W л/2 и u е С°°(Х, E)t С°°(Х, И) 戌(％ и)=屮(3卢，Dnv) + i (А (〃一 2 (cos т0)2 Q〃 一 (sin 2т0) S%u),
Ля (口 一 (sin 2т0) BQu — 2 (sin т9)2 «/)))•
Здесь S е Tphg (^; G, £) — оператор с главным символом s и Are屮;皿(@*； 〃》")г оператор, главный символ которого равен взятому с коэффициентом X тождественному отображению, а именно оператор, который появляется в определении (20.3.1), записанном для оператора Р%・ Наконец, положим А равным прямой сумме внутренних псевдодифференциальных операторов, входящих в Р и в Рн, Рт=Р： + Р： И
Вт (以,口) = (cos т) Ви + (sin т) qGv.
При т = 0 эти определения совпадают с (20.3.5) и (20.3.6)', и краевая задача (Рх, Вт) эллиптична для каждого т ввиду
(20.3.4)'. Поэтому индекс этой задачи не зависит от т. Далее,Р統(％ 口) =(Dnu + iA〃, Dnv + /Ля (и — 2gc。))
в некоторой окрестности края дХ, и
%2(〃，U)= 02
Таким образом, при т = л/2 мы получаем краевую задачу типа, рассмотренного в предложении 20.3.2. (Когда, как это имеет место здесь, отождествление Е с F производится с помощью коэффициента при Dn в операторе 叫 во второй компоненте правой части (20.3.1) меняется знак и для разложения Е® Н = (Е® Gf)® G на дХ мы как раз получаем 医/2・)Дальше рассуждаем, как и в конце шага 1, обрезая оператор「^拉 и добавляя соответствующую аппроксимацию отрезанной части к внутреннему оператору. Доказательство завершено.
Замечание. Следует заметить, что на шаге 2 при построении гомотопии оператора Рь с оператором более простого вида использовалось то обстоятельство, что оператор Рь возникает из некоторой эллиптической краевой задачи. Вообще говоря, для построения такой гомотопии имеется некоторое топологическое препятствие, поэтому эллиптические краевые задачи существуют не для всякого эллиптического оператора Р. Предложение 20.3.3 можно, конечно, применять и в случае операторов В порядка ц =/= 0, умножая В слева иа какой-нибудь эллиптический оператор на дХ порядка —卩.
Теперь рассмотрим некоторые операторы Р порядка m > 1» весьма близкие к операторам первого порядка. Как обычно, мы отождествляем Ех с Е(^ о)на воротнике и при помощи коэффициента при Dn в операторе Рь отождествляем 尸 с Е в некоторой окрестности края дХ. Пусть Л+ и Л ——операторы из предложения 20.3.1, отвечающие случаю Е^ = Е, и пусть при достаточно малых хп
РЬи = (Dn 一 A)(Dn + ZA+f1
для некоторого 4 三 屮；返9无 Е, Е). Далее, предположим, что оператор Р эллиптичен и что каждый граничный оператор В/ допускает аналогичное разложение
Blu = Bi(Dn + iA+)m~lu,
где 瓦 в 呼謚f (dX; Е, G,)・
Предложение 20.3.4. Пусть Рь = ^(Оп — А}, где функция Ф е СГ (R) удовлетворяет условию OW tpW】，р^на 1 в неко
торой окрестности нуля и такова, что на ее носителе выполнено （20.3.7）. Выберем функцию 屮 w СГ （— 1, 1）, заключенную между 0 и 1 и равную 1 на supp ф. Пусть 户=方匕 + 户，где оператор 戶，принадлежит ^phg （Х°; £\ Е） и имеет ядро с компактным носителем s Х°ХХ°. Если главный символ оператора 户,помноженный на 仲（厶 4•认+） + »（1 —明疚）к", достаточно близок к главному символу оператора Р, то краевая задача （户,В） эллиптическая с тем же индексом, что и （Р, В）.
Доказательство. Эллиптичность оператора Р очевидна. Чтобы доказать эллиптичность граничных условий, заметим, что если а и 5/ — главные символы операторов Л и 3」，то решения обыкновенного дифференциального уравнения
仇-а （у,喇仇 + 1^{у,叫）"7 〃 = °, （g,叫三 т，（@х）\ 0,
являющиеся ограниченными на R+, по предположению биективно отображаются на ФО/ по формуле
И i （^1 {у,叫 и （О）, , & ® 吗 и （0））,
где V ~（Dn + i入+（g, т）））^-】％ удовлетворяет уравнению （Dn —矶！Л П））и = 0. Обратно, если и — решение последнего уравнения, ограниченное на R+, то и = （Dn + 认+回 1）））加7〃 для некоторого единственного и, ограниченного на R+. Таким образом, оператор （户,5） эллиптичен. В силу предложения 20.3.1 оператор Q, задаваемый формулой
Q口 = р （厶 + 込+） 〃 +，（1 —中）А （1 —屮）％
имеет индекс 0 как оператор из Я（5）в %—» при s ^ 1. Поэтому на основании следствия 19.1.7 мы заключаем, что для s m оператор
瓦s）（X。, Е）三口一的吁％,瓦QZ%・・・，BjQm^u）
W //（s-m）（X°,尸）㊉ //（$一仰-1/2） （OX, G［） ф • . . © H（s-m」7/2）（。工 Gy） имеет тот же индекс, что и （Р, 5）. Отвечающие этому оператору граничные операторы эквивалентны граничным операторам 瓦. В силу леммы 20.1.9 оператор PQm~l есть сумма компактного оператора и оператора из нашего стандартного класса с символом, близким к символу оператора Р. Следовательно, из свойств устойчивости индекса вытекает, что указанный выше индекс равен индексу краевой задачи （Р, В）. Доказательство завершено.
Используя предложение 2022, сведем, наконец, произвольную эллиптическую краевую задачу к задаче типа, рассмотренного в предложении 20.3.4. При этом заключительном сведении мы по-прежнему предполагаем, что Ех = Е（х\ о）на воротнике, и
отождествляем Е с 戶 в некоторой окрестности края дХ, так что
pb=£p,D\,
О
где Рт является тождественным отображением, скажем, при 0 W %〃 W с. Определим Q, как в доказательстве предложения 20.3.4, и положим для сечений U =((/о, ..., f/m-i) расслоения Ет
^U = (Р“, QmUb Q^U^, 缈U = BiUQ-
Эти формулы определяют фредгольмов оператор в наших обычных пространствах с тем же индексом, что у (Р, В). Правда, оператор Qm не совсем из нашего стандартного класса. Однако его можно заменить оператором Q^, который вблизи края сохраняет вид (Dn + iA+)m и столь мало отличается от Qm главным символом и нормой, что на индексе это никак не скажется. Продеформируем видоизмененный таким образом оператор 夕о, а также и граничные операторы так, чтобы получилась краевая задача, удовлетворяющая предположениям предложения 20.3.4.
Для 6 & %п《с положим
т
4 = Е 仇&尸W 联(ОХ; Е, £),о
где 5 — те же постоянные, что и в (20.2.5)* а 戶一некоторый параметрикс оператора Л+. Поскольку соотношения (20.2.4J, (20.24)/ равносильны соотношению (20.2.5), имеем
£ С/* = 6m*,
так что Ло 4?・・・ + 4m = /. Для 0 & &《с
Р〃 = £ 4 фп ТА+У (& + iA+)i，О
если отвлечься от членов порядка —оо на дХ и порядка V m по xrt. Не изменяя индекса краевой задачи (Р, В)» можно изменить определение оператора Р так, чтобы это равенство стало точным. Пусть функция % w С£ (— с, с) равна 1 в некоторой окрестности нуля и всюду заключена между 0 и 1. Определим 乡：как блочную матрицу (20.2.6), в которой t заменено на % р(г) — на PJ а； — на Л/, Мо — на (Dn + 1К^)т и Mi — на (Dn — ГАЛ) (〃 + iA+严". Как указывалось в § 20.2, коэффициент 夕黒 при Dn есть обратимая матрица и блочные элементы обратной матрицы представляют собой просто линейные ком-
бинации операторов 4/. Таким образом, можно, ничего не изменяя вне supp х, положить
劣=(夕*)т夕：при 0《&《с・
Поскольку там, где x(xrt) = 0, этот оператор равен 州，мы можем продолжить данное определение, положив 更=然 при хп > с. Наконец, определим 乳 как сумму оператора 夕:и прямой суммы внутреннего псевдодифференциального члена в Р и повторенного т— 1 раз такого же члена в Qm.
В силу предложения 20.2.2 краевая задача (夕工,寐)эллиптична при 0《т《L При т = 1 мы можем, используя (20.2.10), выбрать операторы Ру е yymi^l~m^x* £m, Gy), такие что оператор 缈 можно для любого 0 W к & 1 заменить оператором
缈 U = (1 — к) 8/“ + к0/ (厶 + 小+严7 U,
так как у всех этих операторов главные части действуют на функции, фигурирующие в определении 20.1.1, одним и тем же образом. Следовательно, индекс краевой задачи (Р, В) равен индексу задачи (夕厶例】)，а это задача типа, рассмотренного в предложении 20.3.4, поскольку множитель (Dn + iA+)m~I выделяется справа как в операторе 乡］,так и в граничном операторе 埶
В заключение этого параграфа соберем вместе все шаги, требуемые для вычисления индекса эллиптической краевой задачи:
Если т> I, берем прямую сумму исходного оператора с повторенной zn— 1 раз /n-й степенью оператора из предложения 20.3.1 с Е+ = Е, а затем деформируем эту прямую сумму к оператору и граничному условию, из которых выделяется правым множителем (т—1)-я степень такого оператора. Этот множитель можно отбросить (предложение 20.3.4), и в результате остается оператор первого порядка; порядок оператора В при этом понижается до 0.
При zn=l, используя предложение 20.2.1, находим гомотопию, приводящую к системе вида (20.3.3), где Q — некоторый псевдодифференциальный проектор (проектор Кальдерона). (Это шаг 1 доказательства предложения 20.3.3.)
(Ш) Взяв прямую сумму с некоторым оператором, доставляемым предложением 20.3.1 в ситуации, когда граничные условия отсутствуют и используются те расслоения, в которых принимают свои значения граничные операторы, с помощью подходящей гомотопии преобразуем проектор Кальдерона в морфизм расслоений и аналогичным образом преобразуем граничное условие. (Шаг 2 доказательства предложения 20.3.3.)
12 Зак. 443
(iv) Теперь удваиваем многообразие (предложение 20.3.2)' и находим индекс.
Мы избрали обратный порядок изложения, потому что при этом каждый шаг представляется более мотивированным.
Неэллиптические краевые задачи
В «Кратком содержании главы» было указано, как, используя решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, можно свести изучение общих краевых задач для этого уравнения к изучению псевдодифференциальных операторов на границе. Здесь мы кратко опишем соответствующую процедуру для общего случая.
Пусть X — многообразие класса С°° с краем, Е и 戶一два комплексных векторных расслоения класса С°° на X и Р: C<x(XtE)-^CQO(Xi F)——эллиптический дифференц-иальный оператор порядка т. Предположим, что операторы
分 С8(Х, E)f C°°(dX, d), j=l,…，J, вместе с оператором Р задают эллиптическую краевую задачу в смысле определения 20.1.1, и пусть
Cft: С°°(X, £)->С°°№ ЯД fe = l, .... К,
—некоторый другой набор граничных дифференциальных операторов, разумеется, трансверсального порядка V т. Мы хотим решить краевую задачу
Pu = f в X, 以〃=也 на дХ,左=1,К,
где f — заданное сечение расслоения 戶 на X, a hk — заданные сечения расслоений Hk на дХ, Допустим, что и — искомое решение, и положим
BjU = §■/,/ — 1, 丄
Тогда, в силу (20.1.11),
以〃=以(/ + TPcSffy) Tf° + CkTPcSg + CkKu.
Запишем каждый оператор Ck в виде Ck = C*v» где C工—дифференциальный оператор из С^ ^дХ, Ет) в С°°(5Х,"用).Тогда предыдущее равенство примет вид
以 QSg = hk-CkU + TP'S"y) "° -以 Кк,
где CkKu w С00, а все прочие члены в правой части известны. Добавив еще один член в правую часть, можно заменить в левой QS на S.
С другой стороны, мы можем попробовать искать решение задачи (20.4Л) в виде (20.1.12):
U = (Z + Tpcs“jTF + TPcSg.
Тогда выполнено равенство (20.1.13) и
CkU = Ск а + TP's"y)行° + CiQSg.■
Следовательно, решить краевую задачу (20.4.1)—это то же самое, что решить задачу
f + Kj + K2g = f,爲 QSg =无左一以(/ + TP’s'%) 7?°.
Первое уравнение дает f — f ^ С°° (X,尸)，поэтому правая часть второго уравнения по модулю С°° равна hk — С^(/ + TPcSffy) Tf°. Таким образом, изучение нашей краевой задачи по существу сводится к изучению псевдодифференциального оператора (WQS, C^QS) из сечений расслоения ®G； в сечения расслоения ㊉"々 на дХ. Приведем две реализации этой идеи; через rn； и 卩走 обозначаются порядки операторов В； и С用.
Теорема 20.4.1. Пусть /и < s0 ^ «ь Следующие свойства регулярности равносильны:
⑴ если 〃 告 Я(т)(Х°, £), Ри 告 Я(51-т)(Х°,尸)〃
С也〃 w》*т/2)(dX, НQ> k == 1, •.., К,
то в三月(翫)(Х。, e);
если g[R H(m-m厂П2)®Х, G/) u
C%QSg 三"($]—吃—i/2)(dX,"比)，左=1, К,
ТО gj 三 H(SQ-m厂 1/2) (OX, G/).
Доказательство, (i)=>(ii). Пусть g/ таковы, как предполагается в (ii). Положим 口 = TP^Sg. Тогда и е Л(т)(Х°, £), Ри еС°°(Х, F) h
CkU = ClQSg ^ //(§「^-1/2)(dX, Н〉
В силу (i) отсюда следует, что 〃^"(£°)(Х°, £), а значит, BfU 三 Н(s()-m/-i/2)(°Х> Gj).
Ho B/u —^/ 三 С°° ввиду (20.1.14), поэтому gi 巨"仰-由尸吟，чем (ii) и доказано.
(ii)今(i). Пусть и таково, как предполагается в ⑴.Положим gj =启個 j = 1, ...» /. Тогда в силу (20.4.2)
欧QSg 三"(£]—%т/2)(°Х，％)，左=1,・・・，К,
поэтому, ввиду (ii), g/ е H^m^\i2)^X, G/). Из (20.1.11) вытекает теперь, что u е H(So)(X°9 Г), чем доказательство и завершено.
Тем же путем доказывается
Теорема 20.4.2. Пусть wi《s()Wsi・ Следующие утверждения о существовании равносильны:
⑴ для любых f 曰 H^-my (Х°, F) и hk^ //(^.^«^)(OX, HQ, k—\, ..., К, существует u e H(s^ (X°, £), такое что Pu — f 三 C°° (X,尸)〃 Cku 一源 w L gx, HR, fe=lK；
для любых 〃启三/Z(q_以也一〃2)(OX, //Q существуют gt^H(J0_m/«i/2)(5X, G/)>
такие что ClQSg —阮 еС°°,左=1,・・・，К.
Доказательство предоставим читателю. По поводу связи между разрешимостью по модулю С°° и разрешимостью с конечномерным коядром см. теорему 26.4.2.
Примечания
Определение эллиптической краевой задачи впервые было сформулировано, по-видимому, Лопатинским [1], но широкий класс таких краевых задач для уравнений второго порядка изучал еще ранее Вишик [1]. Эллиптические краевые задачи весьма подробно исследовались в пятидесятых годах целым рядом авторов, в частности Агмоном, Дуглисом и Ниренбергом (Agmon, Douglis, Nirenberg [1] )f Агмоном (Agmon [1]), Браудером (Browder [1]), Петре (Peetre [I, 3]), Шехтером (Schechter [1]). Обстоятельное изложение теории было дано в книге, предшествовавшей этой. Оно было основано на методах,, примененных нами здесь в § 17.1 и 17.3; то же относится и к изложению, данному Лионсом и Мадженесом (Lions, Ma genes [1]).
Кальдерон (Calderon [3]) предложил другой подход к краевым задачам, основанный на использовании теории сингулярных интегральных операторов. Этот подход был развит далее Сили (Seeley [1]). Сходные идеи, касающиеся применения псевдодифференциальных операторов также и к изучению неэл-
липтических краевых задач для переопределенных эллиптических систем, развивались в статье Hormander [17]. В § 20.1 мы в большой мере следуем этой статье. Обсуждение параметрикса для проектора Кальдерона и граничного оператора (предложение 20.1.5) ближе, правда, к изложению, данному в работе Grubb J1], Также и при доказательстве теоремы 20.18 использованы в частном случае классы символов, изученные Грубб (Grubb [2]).
Проблема индекса для эллиптических краевых задач была решена Атьей и Боттом (Atiyah, Bott [1]). При помощи последовательности гомотопий главного символа, использующих заданные эллиптические граничные операторы, они определили некоторое виртуальное векторное расслоение на границе расслоения единичных шаров в Г*(Х) и наметили доказательство того факта, что индекс исходной эллиптической краевой задачи равен топологическому индексу для указанного виртуального расслоения. Тем самым они свели дело к проблеме индекса на многообразии без края, которая уже была решена. В § 20.3 мы в принципе близко следуем рассуждениям из работы Atiyah, Bott [1] (см. также Luke [1]). Однако эти рассуждения модифицированы так, чтобы каждый шаг допускал естественное аналитическое истолкование. Представляет интерес сравнить наше изложение с основанным на топологической мотивации изложением Атьи и Ботта, поэтому укажем примерное соответствие между их пятью гомотопиями и нашими действиями:
Первая гомотопия: изменение степени в предложении 20.3.4, использующее предложение 20.3.1 (последнее, впрочем, идет по существу от Буте де Монвеля (Boutet de Monvel [2])).
Вторая гомотопия: предложение 20.2.2 и его применение в конце § 20.3.
Третья и четвертая гомотопии: предложение 20.2.1 и его применение на шаге 1 доказательства предложения 20.3.3.
Пятая гомотопия: шаг 2 доказательства предложения 20.3.3.
Еще Вишик и Эскин. [1——5] установили свойства фредголь- мовости краевых задач для эллиптических сингулярных интегральных операторов 9 (см. также Eskin [1]). Буте де Мон- вель (Boutet de Monvel [1]) ввел условие трансмиссии) и (Boutet de Monvel [2]) развил теорию эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных операторов, удовлетворяющих этому условию, которая включала в себя и вычисление ин-
】)И более общих псевдодифференциальных операторов, в том числе не обладающих свойством трансмиссии.——Прим. ред.
декса. Более точно, он рассматривал операторы вида
(Т Q 丿:L (К Е) © С" (dX, G) f С00 (X, F) © С00 (дХ, Я),
где Q ——псевдодифференциальный оператор на ОХ, Т ——«следо- внй》 оператор, К ——оператор Пуассона, т. е. сопряженный к следовому, и Л, в существенном, — сумма псевдодифференци* ального оператора в Х° н произведения оператора Пуассона и следового оператора. (Здесь мы рассматривали лишь пару (т)・) Преимущества такой более общей постановки проблемы ——в лучшей мультипликативной структуре и лучших свойствах симметрии относительно перехода к сопряженным. Однако полное развитие этого подхода увело бы нас слишком далеко в сторону. Очень подробное его изложение дано недавно Ремпе- лем и Шульце (Rempel, Schulze [1]).
Изучение неэллиптических краевых задач было в значительной степени мотивировано тем, что они возникают в теории функций многих комплексных переменных (см. Kohn, Nirenberg [1]). Относящиеся сюда результаты о граничной регулярности для ^задачи Неймана доведены до высокой степени совершенства, но выходят за рамки данной книги.
2
Симплектическая геометрия
Краткое содержание главы
Как мы видели в § 6.4 и 18.1, главный символ (псевдо)'дифференциального оператора на С°°-многообразии X инвариантно определен на Г*(Х)\6——кокасательном расслоении к X с удаленным нулевым сечением. Далее, при обсуждении в § 6.4 теории интегрирования для дифференциальных уравнений первого порядка вида р(%, д^/дх) = 0 — к такого вида уравнениям относится, в частности, характеристическое уравнение для (псевдо) дифференциального оператора ——выяснилась важность определенных геометрических конструкций в Т*(Х), связанных с канонической один-формой(о, записываемой в локальных координатах как £畠(1勺,и с симплектической формой и = d© = 2 ^Kdx^ Теория интегрирования для указанных уравнений была фактически сведена к изучению содержащихся в Т*(Х) многообразий размерности dim X, обладающих тем свойством, что сужение на них формы о равно 0. Маслов [1] предложил называть такие многообразия лагранжевыми. Конормальные расслоения к подмногообразиям в X всегда лагранжевы. Обобщение теории конормальных расслоений, которое мы дадим в гл. 25, требует хорошего описания произвольных лагранжевых многообразий. Нам понадобится также знать, как устроены подмногообразия в Т*(Х), на которых ранг формы о постоянен или изменяется некоторым простым образом. При изучении этих вопросов удобно с самого начала принять инвариантную точку зрения.
Под симплектическим многообразием S понимается многообразие с заданной на нем невырожденной два-формой а, удовлетворяющей условию do = 0. Классическая теорема Дарбу, которую мы доказываем в § 21.1, утверждает, что всякое симп- лектическое многообразие S локально изоморфно открытому множеству в Т*( Rn). Если для элементов симплектического многообразия S определено умножение на положительные числа (свободное действие) и форма а однородна степени 1 относи-
тельно него, то S локально изоморфно открытому коническому подмножеству в 7*( Rn)\0, причем умножению на скаляры в S отвечает умножение на скаляры в слоях. Один-форма <о инвариантно определена на S и задает на S/R+ контактную структуру. Мы не будем здесь пользоваться этим термином, а будем говорить о «конических симплектических многообразиях», что больше подходит для приложений, которые мы имеем в виду.
Всякий диффеоморфизм, сохраняющий симплектическую форму, называется симплектическим или каноническим. В § 21.2 мы даем локальную симплектическую классификацию (однородных) лагранжевых многообразий, а также еще двух классов подмногообразий симплектического многообразия ——инволютивных и изотропных многообразий, которые можно представлять себе как многообразия, соответственно большие и меньшие, чем лагранжевы. Кроме того, дается классификация пар лагранжевых многообразий.
В § 21.3 мы занимаемся классификацией некоторых функций с точки зрения их поведения по отношению к симплектиче- ским преобразованиям и умножению на не обращающиеся в 0 функции. Это важно, поскольку, как мы увидим в гл. 25, такие преобразования главного символа псевдодифференциального оператора можно осуществить при помощи подходящего сопряжения и умножения оператора. Эти соображения будут играть существенную роль в гл. 26 при изучении особенностей решений.
В § 21.4, продолжая симплектическую классификацию геометрических объектов, мы изучаем симплектические преобразования, или, точнее, отношения, имеющие особенности типа складки и, значит, являющиеся, вообще говоря, двузначными соответствиями. Затем мы переходим к изучению пересекающихся трансверсальных гиперповерхностей в случае, когда ограничение симплектической формы на их пересечение имеет простой нуль на некотором подмногообразии коразмерности 1. Доказываемый здесь результат — теорема об эквивалентности всех пар гиперповерхностей со скользящим пересечением ——важен для более глубокого понимания смешанных задач. Однако в этой книге мы нигде не будем опираться ни на один из результатов, устанавливаемых в § 21.4.
Уже в § 21.1 представлена в небольших количествах симп- лектическая линейная алгебра. В § 21.6 в продолжение этой темы мы рассматриваем лагранжев грассманиан—многообразие всех лагранжевых плоскостей в симплектическом векторном пространстве. Главная цель этого рассмотрения состоит в изучении расслоения плотностей и расслоения Маслова, которые будут играть фундаментальную роль в глобальном аппарате, развиваемом в гл. 25. Другой аспект симплектической линейной алгебры обсуждается в § 2L5, где дана снмплектическая клас-
сификация квадратичных форм. Это в основном подготовка к изучению гипоэллиптических операторов, которым мы займемся в гл. 22.
21.1. Основная структура
Симплектическая форма а — ^ ^В/ A dxf на векторном пространстве T*(R厶)={(%, Е)； %, g e Rn}—это билинейная форма, задаваемая равенством
о ((匕 &),(/,&〉一а,『〉
(см. § 6.4). Если е； и в； — единичные векторы вдоль осей X/ и & соответственно, то для /, Л = 1,* п
(21.1.1)
U (%,勿)=(y(S，“)= 0,и(£/, %) = — (У (嗓，S)= 6汴，
где 6jk — символ Кронекера, равный 1 при / = А и 0 при /=#" Представим эту ситуацию в абстрактном виде:
Определение 21.1.1. Векторное пространство S над R (соотв. С) с заданной на нем невырожденной антисимметричной билинейной формой а называется вещественным (соотв. комплексным) симплектическим векторным пространством. Пусть Si и S?―■ симплектические векторные пространства с симплектическими формами(У1 и(у2. Линейная биекция 7： Si ->5г, удовлетворяющая условию 7*02 = 6, т. е. такая что
6(Y，Y')=⑥(7Y，7Y')， Y, Y'wSi, называется симплектическим изоморфизмом.
Невырожденность формы а означает, конечно, что o(Y, ¥‘) = 0 Wz ^ S => у = 0.
Покажем, что каждое симплектическое векторное пространство над R (соотв. над С) симплектически изоморфно T*(Rn) (соотв. 7'*(СП); начиная с этого места мы будем рассматривать лишь вещественный случай, но комплексный случай может быть разобран точно так же).
Предложение 21.1.2. Всякое конечномерное симплектическое векторное пространство S имеет четную размерность 2n u do- пускает линейный симплектический изоморфизм Т: Sf T*(R").
Доказательство. Достаточно показать, что S обладает симплек- тическим базисом, т. е. базисом, который удовлетворяет условиям (21.1.1). Выберем в S произвольный элемент s #= 0. Поскольку форма о невырожденна, найдется c^wS, для которого
и®, ei)=l. Пусть Si — подпространство, натянутое на ① и ei； оно двумерно, так как и®, ei) = 0. Поэтому подпространство
So = {Y wS;。(丫, S,) = 0}
в S имеет коразмерность 2 и является дополнительным к Si. Действительно, если у eSoHSi, то y = X0 + &s и
。=и(¥,电)==—%» 0 = с(Y)/)=畐.
Далее, So тоже симплектическое векторное пространство, ибо если у е So и о (у, So) = O, то о (% S) = 0, так как о (у, Si) = О по определению So. Предполагая, что предложение уже доказано для симплектических векторных пространств размерности < dimS, мы можем выбрать симплектический базис «2, £2,.… ...,е% еп для So и тем самым получить симплектический базис «1, еь ...» еП9 ^п для S. Доказательство завершено.
Неполный симплектический базис всегда можно расширить до полного:
Предложение 21.1.3. Пусть S — симплектическое векторное пространство размерности 2n и Л, В — два подмножества множества {1, ..., л}. Для любых наборов {е/}/еЛ, ^^к&в линейно независимых векторов 8 S, удовлетворяющих (21.1.1), можно подобрать {«/}『車小 {8*}&^в ™&，чтобы получился полный симп~ лексический базис в S.
Доказательство, Пусть, например, J е В\Л. Выберем с」= е так, чтобы
g®C/) = Q при /^ Л и(г(с,%) = —6/,左 при 々wB;
это возможно, поскольку система векторов {е；)/е л, {е*}й е в линейно независима и форма о невырожденна. Если
хe + § х円+耳康办三0,
то симплектическое скалярное произведение вектора в левой части этого равенства на вектор е/ (т. е. значение формы о на этой паре векторов) равно 0 и, следовательно, х = 0. Отсюда вытекает, что Xj — ^k — 0, так что для расширенной системы^ полученной добавлением вектора cj, сохраняется свойство линейной независимости. То же рассуждение применимо и в случае, когда разность А\В непуста. Наконец, если А — В 联(1, • • •，九} и Si — подпространство, натянутое на {с,}/ 鼻 д и {е/}у е л, то, как и в доказательстве предложения 21.1.2, мы находим, что подпространство
S。= {у w S; с (у, Si) = 0}
является дополнительным к Si и симплектическим, и, выбрав какой-либо симплектический базис в So, мн завершаем доказательство.
Система координат (х, ^)==(хь хя,臨,...,薪)в. S называется симплектической. если она задает симплектический изоморфизм S-> Т*( Rn). Для симплектических координат справедлив результат о расширении, аналогичный предложению 21.1.3. Чтобы доказать это утверждение, заметим, что если L — элемент из пространства S', двойственного к S, т. е. линейная форма на S, то существует единственный вектор "丄 wS, такой что
& £〉= о(厶"J f RS.
Он называется гамильтоновым зсктором, отвечающим линейной форме L. Отображение S，m L^~^ Hl 3 s является изоморфизмом, и формула
определяет некоторую симплектическую форму на S'. Она называется скобкой Пуассона. В случае S = 7*(R"), как показывает очевидное вычисление, уже проведенное в § 6.4,
L 乙呜0勺 乙％羡尸
{"}=2(奇券-崙掰-
Координаты X, ^ в T*( R") удовлетворяют так называемым коммутационным соотношениям
(2LL1)'
{々,/} = 0, {&, &} = 0, {!/> /} = — {/,歸=6卅
Применение предложения 21.1.3 к S' показывает теперь, что всякую систему линейно независимых форм на S, удовлетворяющих (2!.!.!)\ можно расширить до полной системы координат в S, удовлетворяющей соотношениям (2!.!.!),. Но эти соотношения означают в точности то, что координаты х,陰 определяют симплектический изоморфизм S-> 7*(R").
Мы продолжим это краткое введение в симплектическую линейную алгебру в § 21.2, а сейчас перейдем к аналогам введенных выше определений и результатов для многообразий.
Определение 21.1.4. Всякое С^-многообразие S с заданной иа нем невырожденной замкнутой два-формой о класса С°° называется симплектическим многообразием. Если Si, S2 — симплектические многообразия с симплектическими формами а】,а2»
то всякий диффеоморфизм %： S】f S2, такой что %*п2 = сть на* зывается симплектоморфизмом или каноническим преобразованием.
Примером симплектического многообразия служит Т*(Х) для любого С°°-многообразия X. Если У — другое С°°-многообразие и х:У — диффеоморфизм, то
厂(X) А (% ю i (х (х), “' (х)т Е) w Г (У)
—симплектоморфизм. Это просто другой способ выражения того факта, что симплектическая структура на 7*(Х) определена инвариантно.
Наша следующая цель — доказать, что каждое симплектиче- ское многообразие локально симплектоморфно 7*( R) Однако прежде чем приступить к этому, необходимо сделать некоторые важные предварительные замечания, касающиеся симплектиче- ской структуры. Симплектическая форма превращает касательное пространство 7\(S) к симплектическому многообразию S в любой точке yuS в симплектическое векторное пространство, поэтому, согласно предложению 21.1.2, S имеет четную размерность 2九.Если fwC*(S), ^ ^ 1, то df(y) есть линейная форма на TY(S), которая определяет некоторый гамильтонов вектор "『(у). Рассматривая ситуацию в локальных координатах, сразу видим, что Hf — векторное поле класса С1 на S. Оно называется гамильтоновым векторным полем, отвечающим (или порожденным) 厶 Скобка Пуассона функций f, g w С% как и в линейном случае, определяется равенством
"亿 g} = 〃fgwCJ.
Чтобы выразить условие d(r = 0 в терминах скобок Пуассона» нам понадобится следующая
Лемма 21.1.5. Для любой два-формы s класса С1 на ^-многообразии М и любых трех векторных полей X, У, Z класса О на М
(XaYaZ,恥
= X〈FaZ, ©) + r<ZAX, G)〉+ Z〈XAy, 9〉
-〈[К У] л Z,(0〉一〈[У, Z] л X,(0〉一 <[Z, X] л У, ©х
где использовано обозначение [X, У] = ХУ—УХ.
Доказательство. Обе части доказываемого равенства линейны по X, У, Z, ©. Если заменить X на Ц,『R С1, то обе они умно-
жатся на 力 поскольку
什匕 У] = НХ, У] — (")Х,
(")〈ZaX, s〉+ (Zf)〈XAy, 8〉
+(〃)〈xaz, ©>-(г/)(хлУ,砌=0・
Аналогичное замечание относится и к У и Z. Поэтому достаточно установить (21.1.2) для случая, когда М — некоторая окрестность нуля в R", X, У, Z — постоянные векторные поля и 3 =,闽2八矶3, где fi е С1, а 汝 Л — координатные функции. В этом случае левая часть (21,1.2) есть определитель матрицы со строками (X(f/), Y(f/), Z(f/)), / = 1, 2, 3, а правая — разложение этого определителя по первой строке.
Применим теперь (21.1.2) к симплектическому многообразию S, взяв о = о, X = 〃九 У = Hgt Z.= Ял, где 厶 g,力 w C2(S). Имеем
〈HgAHh，6 =人3, %) = {g, h} = Hght
〈[%, Hg] a Hkt a> = (HfHg - HgHf) Л == {/, {g, h}} 一 {g, {Л Л}}, поэтому правая часть (21.1.2) принимает вид
(1 - 2)({f, {g, А}} + {g,仇，/}} + 他{f, g}}).
Таким образом, фундаментальное тождество Якоби
{Л {g,外} + {g,他 f}} + 他亿 g}} = 0, f, g.h^C2(S), следует из предположения da^Q и в действительности равносильно ему. Заменяя в тождестве Якоби последний член на ——{{Д g}, Л}, мн можем переписать это тождество в виде
(21.1.ЗУЯ{Л^)= [ЯЬ %].
Это показывает, что левая часть (21.1.3) в любом случае определяет дифференциальный оператор первого порядка по 瓦 и аналогично по ^ и пр g. Следовательно, для S = T*(R") мы могли бы доказать тождество (21.1.3), заметив, что достаточно проверить его для случая, когда f, g, h ——координатные функции, а тогда оно верно очевидным образом, потому что скобка Пуассона любых двух координатных функций есть константа, так что взятие второй скобки Пуассона все три раза дает нуль. Однако, как уже подчеркивалось, в нашей общей ситуации тождество Якоби выражает предположение, что d(r = O.
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать» что всякое сим- плектическое многообразие локально симплектоморфно T*(R"). Для начала заметим, что если <р： Si~> S? — симплектомор- физм, то
⑵.1.4)<Р* {f, g} = {叫，Ф>}, f, g w С? (SJ
Действительно, если с помощью ф отождествить Si и S2, то эта формула просто утверждает, что скобка Пуассона определяется симплектической формой. Обратно, из (21.1.4) следует, что ф*(г2 и(У1 определяют одну и ту же скобку Пуассона, а значит,(р*(г2 =6, т. е. <р симплектично. Разумеется, достаточно, чтобы (21.1.4) выполнялось для системы координатных функций. Поэтому определить локальный симплектоморфизм из S в 7'*(Rn)— это значит выбрать локальные координаты, удовлетворяющие условиям (2!.!.l)z.
Теорема 21.1.6. Пусть S—симплектическое многообразие размерности 2n и Д, В — два подмножества множества {1, ... f п}. Если g『，j ^А, и pk, k^ Bt — функции класса С°° в некоторой окрестности заданной точки 丫口三* с линейно независимыми ■дифференциалами, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
{力，办} = 0, St，Ph} = Q, i, k^B,
< ){Pe,%} = 6/, Д
то вблизи точки 丫0 найдутся локальные координаты х,自,удовлетворяющие (21.1.1)’, такие что %/ = % при j三力 и &卜=р^ при k^B.
В частности, если отправляться от пустых множеств Л и В, теорема утверждает, что некоторая окрестность всякой точки уо из S симплектоморфна открытому множеству в T*(Rn). Это утверждение известно как теорема Дарбу.
Доказательство, Положим %/ = д『 при /мА и ^ = pk при 々мВ. Применение предложения 21.1.3 к касательному пространству в точке у。показывает, что эти функции можно дополнить до локальной системы координат, удовлетворяющей соотношениям (21.L1)’ в точке у0- Поэтому без ограничения общности можно считать, что S и R?〃 есть окрестность точки 丫。= 0, g/ = %j при / мА и 卩内=己内 при й е В; кроме того, в нуле выполнены соотношения (21.1.!)/, откуда следует, что в нуле "q =——0/0自/ и HPk = d/dxk. Пусть теперь, скажем, У^Д. Тогда найдется функция q； = q с dq = dxj в 0, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям
Hq.q={qt, ?} = 0, /У 4
„ z ,D
HOkq = {pk, ?} = 6w, k^B.
В самом деле, в силу тождества Якоби (21.1.3)’ и коммутационных соотношений (21.1.1)" векторные поля Hqj и HPk все коммутируют, ибо скобки Пуассона {д『,р少}, ... суть константы.
Поэтому из теоремы Фробениуса (см. добавление С, следствие С. 1.2) вытекает, что система (21.1.5) имеет вблизи нуля С°°-ре- шение д, удовлетворяющее условию
д(х, Е) = Х/ при & = 0, /е Л, / = 0,々三8;
действительно, мы знаем, что гамильтоновы векторы Hq. HPk в точке 0 линейно независимы и порождают подпространство касательного пространства к S в 0, дополнительное к плоскости, касательной в 0 к подмногообразию, задаваемому равенствами h = О, /^Л, X* = 0, Ае В. В точке 0 мы имеем dg = d%/, так как соотношения ⑵丄1)，там уже выполнены. Следовательно, мы можем заменить А на 4 U {/} с q$ = q. Продолжая подобным образом, получим полный набор симплектических координат.
Замечание. То что тождество Якоби играет важную роль в доказательстве, совершенно естественно, потому что при da^Q теорема неверна. Таким образом, тождество Якоби работает здесь в полную силу.
В симплектических локальных координатах о= £ 吗 Ad汇" а значит,
(уп = n! d^ a dxx л ... Л d氤 л dxn,
поскольку два-формы коммутируют. Следовательно, ая/п! есть форма объема, с помощью которой можно ориентировать S, а также отождествить расслоение а-плотностей Q° на S с тривиальным расслоением. Действительно, если 2： Si +S2 — симп^ лектоморфизм, то ^*^1п\ = о^/п\9 поэтому якобиан симплекти' ческой замены переменных равен 1. Таким образом, при использовании симплектических координат можно отождествлять сечения расслоения Qa с определяющими их функциями.
Заметим, далее, что невырожденность формы о в точке ywS равносильна тому, что(у«^= 0 в у (если dimS = 2n). Действительно, доказательство предложения 21.1.2 показывает, что и без предположения о невырожденности о всегда можно найти локальные координаты х, g, такие что
k
0 = ? d^AdXj в у;
просто построение само собой оборвется, когда будут получены такие начальные векторы е】,ei, ..., е*, е^ симплектического базиса, что форма а окажется равной 0 в плоскости, ортогональной к этим векторам относительно а. Аналогичным образом это верно и для пространств нечетной размерности. Значит, в точке
Т мы имеем ak = Al d^ л d%i А ... л d^k д dxk =0= 0, а М+】 = 0. Итак, ранг формы а равен 20, где k — наибольшее целое число, для которого 挑 * 0 в у.
В § 21.4 мн встретимся с вырожденными симплектическими структурами, для которых справедлив некий аналог теоремы Дарбу. Эти структуры будут иметь вид, рассматриваемый в следующей теореме, которая нам, правда, не понадобится, поскольку в ситуации § 21.4 имеется дополнительная, упрощающая дело структура..
Теорема 21.L7. Пусть S ——многообразие класса С°° размерности 2п и а ——замкнутая два-форма на S. Предположим, что М = /и©, где со ——нигде не равная нулю in-форма, а ш — функция、такая что /и = 0, dm^=0 в некоторой точке у。w S. Предположим, далее, что ограничение формы а^1 на поверхность So = /n-i(O) не равно 0 в yq. Тогда в окрестности точки 丫。можно выбрать такие локальные координаты х, g, что
Таким образом, мы имели бы обычную симплектическую форму, если бы могли взять 自；/2 в качестве новой локальной координаты вместо 氤.Это, конечно, недопустимо, поскольку при этом отождествлялись бы точки с противоположными знаками координаты 氤 и изменилась бы дифференцируемая структура в точках с 占I = 0.
Доказательство. Произведем сначала предварительный выбор локальных координат так, чтобы точка у° имела нулевые координаты и ш = 1ь Если обозначить через i отображение включения поверхности So, на которой gi = 0, в S, то форма oi = f*o имеет по предположению ранг 2п — 2, поэтому радикал
"w 7； (S。)； s 亿，)=0 V，w Ту (So)}
представляет собой прямую в TySq для каждой точки у е So, близкой к у。. Следовательно, локально мы можем выбрать ненулевое векторное поле класса С°°, состоящее из векторов, принадлежащих этим радикалам. Выбирая новые координаты так, чтобы интегральные кривые этого векторного поля стали параллельны оси %1, имеем
= I 具^j 拉 5 Л dxk +〔 <&岳 bfk 吗 A d蟲 +, % clk dx, л 嗚.
Так как ds = 0, ни один коэффициент здесь не может зависеть от хь ибо иначе при вычислении ds появились бы члены, содержащие dxi, которым не с чем взаимно уничтожиться. Значит,
по теореме Дарбу, найдутся новые координаты х?,陰2,・••, ％% %, такие что
п
0*1 —1 ^] ^^/ л dx卜
Отсюда следует, что
о == d& Л 2 + £ d" д dx； при & = О,
2.
где
巾=£旳(尤，l)d/+ e"(/ F)%.
Здесь мн положили &' = (&, •・•, |п). Таким образом,
о = £ d (& + 勺陰 1) л d (xz — b^ + @1 d& Л djq при & = 0.
Заменим для / > 1 координаты & и х； на 陰/ + 的陰1 и х,——勿& и заметим, что ai =0, ибо оп = 0 при ^ = 0.
Форма а приведена теперь к виду
o = je+?%Adj где 9 = 90 + </|1л(р + О(|1),
причем форма 0о не содержит ни &, ни 喝.Далее,
<p=E^(x, Г)〃, + ? 8/(х, У)為.
Следовательно,
л
О = § d 陶 + 厶得/2) a d (% _ В咼/2)
+ ^^^^^ + 00) + 0(12).
Взяв 耳 + 力咼/2 и % — В尚/2 в качестве новых координат, получаем
л
。=&I(д1 吗 Л q + е0)+ о 尚)+ ?呜人 dxr
Поскольку do = 0, имеем при ^ = 0
^11Л% = 0,
а значит,仇=0, ибо в эту форму не входят ни 玩 ни 喝.Таким образом,
N = п\А^х dg] д d%] д …л d% л dxn + О 圈｝
поэтому, в силу нашего предположения,力i 峻 0 при & = 0. Изменив, если надо, знак у координаты 修，можно считать, что Л1 > 0. Если теперь взять 陰 14y? в качестве новой координаты вместо то мн получим
b = b()+即2， г^е ст0 = ^ d^ л dX[ 4- S dgy л dx/t
а ст?一некоторая гладкая два-форма. Повторив то же рассуждение еще раз (предоставим проделать это читателю), приходим к координатам, в которых а =(г0 + ^а3, где (у3 снова — гладкая два-форма.
Если f ^ С°°, то при gj #= 0 определено гамильтоново векторное поле Hf относительно формы а. Относительно формы о。 мы получаем гамильтоново векторное поле
л
гт0_р-1 ( df дд[卫、丄 a ddf Э \
，_$ l珅】丽"-дхt 0鼠丿十gj 10 J dx ~d, d/丿，
что очевидно, если использовать 黑/2 в качестве одной из новых координат. Далее, можно записать
11^3 (Л %) = %(/, TH *
где Т — некоторое линейное преобразование пространства R?" с гладкими коэффициентами. Следовательно,
о。а(/+陰辑)仏 ％)=& #〉=%”, н»
откуда вытекает, что 〃『 = (/ +陰;Т)—"% Таким образом, % — Н； = &1&> где Q гладко.
Близко следуя доказательству теоремы 21.1.6, мы выберем сейчас локальные координатные функции дь ..., qnt pi, ..., ря> такие что
g = P>dp\ 人 dq、+ dp?人 dq? + ... + dpn Adgn,
t. e. выберем их так, чтобы выполнялись коммутационные соотношения
PiHp、pj = pW= °,/ > L
Hpph= Hqgh = Q Нр?к = Ь强,/, ^ > 1,"1h0]%=1, dp,% = ""% =。，j>L
Положим Pi = Ei и затем выберем в произвольном порядке Р2，Р小 夕2，・••, qn (отложив выбор 01 на самый конец). Мы утверждаем, что этот выбор можно произвести единственным
образом при наложении точно таких же граничных условий, как и в доказательстве теоремы 21.1.6, и что р, = &, д/ =勺 при ^1=0 для всех j. Предположим, что это уже доказано для некоторого числа координат и предстоит выполнить очередной шаг построения. Нам надо найти следующую координату, которая прежде всего должна удовлетворять дифференциальному уравнению
Р1"р山=ди/дх{ + ^RPiu = 0.
Этому уравнению удовлетворяют и все другие уже выбранные координатные функции 厶 так что d2f/dx}dh =0 при 創 =0. Следовательно,
f = fo + Pifi + ^2>
где f0 и 厶 не зависят от 为 и и
Hf = Hf° + Pi (% + Pi"f) + (A + 2卩力)"％
Уравнение HfU = с можно теперь заменить уравнением
("%+力(历十p因力〃 =&
из которого следует, что Н^и = с при ^ = 0. Это не сказывается на выполнении условия Фробениуса при gi =/= 0, а тогда оно будет выполняться и при gi=0 по соображениям линейной независимости. Следовательно, решение 〃 строится как и прежде, и, поскольку наши старые координаты удовлетворяют требуемым уравнениям при 己1=0, условия р； = ^,幻=勺 при 3=0 сохраняются при каждом очередном выборе новой координатной функции. Таким образом, построение можно продолжать, пока мы не получим нужную систему локальных координат.
Определение симплектического многообразия было мотивировано свойствами кокасательного расслоения Т*(Х), но значительная часть структуры Т*(Х) в этом определении опущена: Т*(Х) является также векторным расслоением, и симплектиче- ская форма равна 0 на его слоях. Для случая Г*(Х) мы имеем даже о = d(o, где(о — некоторая один-форма, тоже равная 0 на слоях. Форму(о можно восстановить по о, замечая, что для произвольного касательного векторного поля т
о(р, т) =(о(т),
где р — радиальное векторное поле^ задаваемое в локальных координатах формулой р=£&д[д%. Инвариантно оно определяется равенством
pf4
где Mt — оператор умножения на вещественное число f в слоях' расслоения Г*(Х), т. е. Mt(x,自)=(%,低).Отметим, что М” =/а. Хотя мы будем продолжать игнорировать значительную часть структуры векторного расслоения на Т*(Х), это умножение будет играть важную роль в наших приложениях, поэтому введем соответствующую терминологию:
Определение 21.1.8. С°°-многообразие S размерности ^ называется коническим, если
задано С°°-отображение Af: R+XSf S; мы пишем Mt (у) = М«, Y), % w R+, ywS;
для каждой точки ywS существуют открытая окрестность V этой точки, удовлетворяющая условию Л1 (R+ X У)=匕 и диффеоморфизм ср: У->Г, где Г — открытый конус в R*\0 (с вершиной в 0), такие что
/ср =(^Mt при / > 0.
Под коническим симплектическим многообразием мы будем понимать коническое многообразие, которое одновременно является симплектическим и для которого Mja = /а, где о — симплектическая форма.
Отметим, что из данного определения следует, что MtMf = Mtrt поскольку это верно в R*\0. Следовательно, наше предположение состоит в том, что на S задано свободное действие мультипликативной группы R+. Примером конического симплектического многообразия служит Г*(Х)\0 — кокасатель- ное расслоение к X с удаленным нулевым сечением. Требуемые определением отображения в R2n\0 задаются в локальных координатах формулой (х, g)i—>(x|g|,己).Докажем, что для всякого конического симплектического многообразия существует однородный степени 1 локальный симплектоморфизм <р этого многообразия на открытое коническое подмножество в T*(Rn)\0; указанная однородность означает, конечно, что ф коммутирует с умножением на положительные числа, как в пункте (ii) определения 21 J.8. Однако сперва мы должны сделать несколько замечаний по поводу этого определения.
Прежде всего заметим, что на всяком коническом многообразии можно определить радиальное векторное поле р равенством
В обозначениях определения 21.1.8 мы имеем ①&=£ ^也付力； действительно, для всех 尸 wCi(RN) *
4 М；尸®)ii=自尸(恤Т = 2%"/叫
Из приведенного определения радиального векторного поля сразу следует, что если функция / однородна степени ц, т. е. M；f = /“厶 то p/ = N『 (тождество Эйлера для однородных функций). Обратно, всякое решение этого уравнения в подходящей окрестности V данной точки многообразия S можно однозначно продолжить до функции, однородной степени 卩 в конической окрестности той же точки, порожденной V. Это совсем очевидно в случае, когда S и R", а окрестность V выпукла.
Пусть теперь S — коническое симплектическое многообразие. Из условия Mtо — to вытекает, что
ЕМ；亿〃} = {M；f, М；〃} для 厶〃曰。(S).
Чтобы доказать это, возьмем какую-нибудь функцию Т со значениями в R+, положительно-однородную степени 1, и положим 01 = 0/7； Тогда М；О[=紀/斤=о” поэтому для скобки Пуассона, отвечающей форме аь мы имеем (21.1.4) с ср, замененным на ЛЬ. Это означает, что
M；(7{f, u}) = T{M]ff М；〃},
откуда и следует (21.1.6). Дифференцируя (2LL6) по / при / = 1, получаем
(21.1.6/{f, &} + Р {f, “} = {pf, “} + 亿 P&},
т* е.
(2LL6)"Hf + [р, %] = %『•
В частности, если функция f однородна степени ц, то
(21.1.6Г[%, p] = (l — N)%・
Докажем теперь модификацию теоремы 21.1.6, в которой учитывается то обстоятельство, что локальные координаты %,己 в кокасательном расслоении однородны степеней 0 и 1 соответственно.
Теорема 21.1.9. Пусть S — коническое симплектическое многообразие размерности 2nt А и В ——два подмножества множества {lt .... п} и qh i^A, р齡 k^ В, — функции класса С°° в некоторой конической окрестности данной точки 丫 三 S, удовлетворяющие следующим условиям'.
(i)力〃"豆 однородны степеней 0 u 1 соответственно；
выполнены коммутационные соотношения (2Ll.i)“；
гамильтоновы векторные поля "勺，HPk, j ^А,々мВ, и радиальное векторное поле р линейно независимы в точке у.
Пусть, далее, аь ..., ап, 6卜...,bn — произвольные веществен^ ные числа, такие что '
(iv)分(Y)= a/ при j^A, pMy) = J «Р« ke В,
〃,кроме того, 6； =/= 0 для некоторого J ^А. Тогда в некоторой конической окрестности точки у найдутся С°°-функции 夕厶 /诒 4, и рь 尼亥 В, для которых условия (i), (ii) 〃 (iv) остаются верными, когда индексы, пробегают все значения от 1 до nt а условие (iii) остается верным^ когда допускаются все значения индексов. кроме j = J. В частности, функции q, р задают однородный симплектоморфизм конической окрестности точки у в S на коническую окрестность точки (a, 6)rT*(R“)\0.
Заметим, что, отправляясь, в частности, от пустых множеств А и В, мы приходим к заключению, что всякое коническое симплектическое многообразие локально изоморфно 7*( Rn)\0. Задание значений 夕/(丫) на самом деле не очень существенно, поскольку к функциям qj всегда можно добавить константы, не нарушая условий (i)——(iii). Из (i) следует, что
о(р, /) = 0, о(р, "%)=pjfe.
Так как。("力，//勺)=0 для i, / е Д, снмплектическая форма равна 0 в плоскости, натянутой на Я^, / ^ Л, и р, так что эта плоскость, в силу предложения 21.1.3, должна быть размерности W л. Поэтому из (iii) вытекает, что А может содержать самое большее 几——1 элементов. Для расширенной системы д, р мы должны иметь
р = g С/“口尸
где —с/ = <р,也〉=р/. Отсюда следует, что если выполнено (iii), то заключение теоремы может быть справедливым лишь при условии, что &/ =/= 0 для некоторого / ^ Д.
Доказательство теоремы 2/./.9. Достаточно построить в некоторой окрестности точки у функции д/, р*, удовлетворяющие требуемым условиям с (i), замененным на
(У Р0/ = °， РРа = Pfe»
поскольку тогда эти функции можно продолжить до однородных функций, определенных в некоторой конической окрестности точки у. По предположению гамильтоновы векторы в/ = — Ня^ (у), eft = HPk (у) из симплектического векторного пространства Ц7 = rY(S) удовлетворяют условиям
(iv) ст(р, е；) = 0 при jm4, ст (р, efe) = &* при 尼曰 В；
и®, е/) = 0 при /, }^At a(ez, e*) = 0 при i, hwB, и(в儿爭)= 6” при /еЛ,也еВ；
е/, /е А, е*, Ле£, и р линейно независимы.
В качестве первого шага покажем, что можно выбрать 切, f ^ Л (J {/}, и е饱，к / В, так, чтобы не нарушить этих условий. Это задача из чистой линейной алгебры, и мы решим ее, рассмотрев по отдельности ряд случаев.
Если Л е A\Bf то выберем е = с互,удовлетворяющее равенствам
о (р, е) = 6Л; о(а, е) = 0 при z е В; а(8/, е) = б/й при j е Д.
Это возможно, так как форма о невырожденна и выполнено (iii). Поскольку о(е^, е)=#0, а вектор е在 симплектически ортогонален к векторам р, е；, /三力，и е,, / е В, от добавления вектора е总 к нашей системе ее линейная независимость не нарушится.
Если Л е Л f| В, то рассмотрим разложение в прямую сумму S=%㊉呼1, где Wi — подпространство, натянутое на ek и е為，a Wq— подпространство, симплектически ортогональное к е為 и в*. Соответственно вектор р разложится в сумму р = ро + рь и те же самые условия будут выполнены для pi и остальных векторов £,, е( (из 弘).Наше утверждение следует поэтому из утверждения для случая меньшей размерности.
Если А пусто и 左亥 В, то нам надо выбрать e — ek так» чтобы'
о (р, е) = bk, о (еь е) = 0 при i w В.
Решения этих уравнений образуют аффинное подпространство размерности 2п —18|— 1, где |8| — число элементов множества В. Это аффинное подпространство должно содержать хотя бы один элемент, лежащий вне плоскости, натянутой на р и &, I е В, за исключением случая, когда |В| = п—1 и все элементы этой плоскости удовлетворяют написанным выше уравнениям. Но этот случай невозможен, поскольку тогда
О =玩=о (р,勺)=bt
для всех i е В, вопреки предположению, что некоторое Ь； отлично от 0, которое сохраняется при редукции, проведенной в случае Ь).
Если В = {1, ..,, n}, n > 1, и А пусто, то мы выберем для какого-нибудь / ^ / такое е = £/, что
и (р, 6)= 0, и (%, 8)= 一 6jk при 尼=1, •.., л.
Предположим, что выполняется соотношение линейной зависимости
е = ср+ £ Ckek.
Тогда
,6拉= о(% eft) = ca(p, е^ = cbk.
Взяв fe = /, находим, что с*0. Полагая затем 月=/, приходим к противоречию, поскольку bj =/= 0. Итак, линейная независимость нашей системы автоматически сохраняется.
Комбинация описанных выше шагов позволяет построить все е； с / =/= J и все е饱,а затем мы выбираем е； так, чтобы не нарушить условий (i)‘， (ii) и (iv). Остается модифицировать полученное инфинитезимальное решение, с тем чтобы построить настоящие координатные функции. Сделаем это. Начнем с того, что выберем локальные симплектические координаты в окрестности точки у так, чтобы х,=幻 при / е Д,己々=卩為 при 月三 В н 〃刁(Y)= —力，〃孔(Y)= e饱 при всех /,瓦 Тогда
р= £ 畠 <э/能/ + Pi， где Pi = £ 匕税為 + E gkd/dxk,
причем коэффициенты поля р【не зависят от 三厶 / е Л, и xs, Е w В, поскольку, в силу (21.1.6),,/, для указанных /■ и
т/熒/, pj = — [”q? p] 一 d/d畐=一"幻 + %/ = О,
[d/dxkf pj = [HPfti p] = 0.
Выбрать новую координатную функцию, скажем и = рк, К 壬 В, значит найти решение уравнений
d〃/况/ = 6仆 /三4 du/dxk = 0, k^ В, p〃 = 〃.
Если положить 〃 =自艮 + и, то из этих уравнений следует, что и не зависит от & и / для указанных /, ^ и
-p2v — V = ^ — £ 6/кМ，
где р2 получается из р【отбрасыванием членов с d/О务，/ е Л, и д/дх^ k^ В. Таким образом, для и мы имеем дифференциальное уравнение по остальным переменным, причем р2 =/= 0 ввиду (iii). Следовательно, это уравнение можно решить при произвольно заданных начальных значениях на любой поверхности в подпространстве переменных &, j ^ 4,力总，h / В, проходящей через точку у и трансверсальной к полю р2. Поэтому мы можем в точке 丫 придать d〃 любое значение, совместимое с нашими уравнениями, в частности можем взять d〃 =乙±艮 в у. Построение координатной функции 幻,/^Л U {/}, совершенно аналогично.
Наконец, когда все р* и все д, с /=/= / уже известны, мы получаем q〕、решая соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение по 扇.Доказательство завершено.
Координаты, построенные в теореме 21.1.9, задают однородный локальный симплектоморфизм многообразия S в кокаса- тельное расслоение Т*(Rn). На этом последнем радиальное векторное поле р есть гамильтоново поле, отвечающее один- форме(о = Z 畐 dq, которая тем самым инвариантно определена на любом коническом симплектическом многообразии. Действительно, для всякого касательного вектора f мы имеем (о(/) =а(р, f). Далее, d(o = o, поскольку это верно для Т*(Rn)\0; поэтому симплектическая форма на коническом симплектическом многообразии всегда точна. Условие (iii) теоремы 21J.9 часто формулируют в таком эквивалентном виде: формы dqj> j е Л, dpk,应三 8, и(о линейно независимы в точке у.
У теоремы 21.1.7 также имеется однородный вариант, который мы для полноты и приведем; в этой книге он нигде использоваться не будет.
Теорема 21.1.10. Пусть S ——коническое многообразие размерности 2л с заданной на нем два-формой о, удовлетворяющей предположениям теоремы 21.1.7, однородной степени 1 〃 такойг что радиальный вектор р(уо) не принадлежит радикалу ограничения формы о на С。. Тогда в некоторой конической окрестности точки у。можно так выбрать координаты 和,.一,己小 первая из которых однородна степени 1 /2, а остальные однородна степени 1, и хь ..., xnt однородные степени 0, что координатами точки у。будут х = 0,己=е% а симплектическая форма запишется 8 виде
о =畐嗚八 d%i + £ dlf л dxf.
Доказательство, В доказательстве теоремы 21.1.7 совсем немногое нуждается в изменениях, поэтому мы ограничимся тем, что кратко повторим его с соответствующими замечаниями. Поверхность S。, определенная условием т = 0, очевидно, коническая. По предположению радикал два-формы oi в So отличен от прямой, порожденной радиальным векторным полем, значит, мож* но выбрать проходящую через у。коническую гиперповерхность Si uS(j, трансверсальную к указанному радикалу. Следовательно, ограничение формы s на S〔 невырожденно и задает на Si структуру конического симплектического многообразия. Поэтому, в силу теоремы 21.1.9, можно выбрать в Si однородные симплектические координаты х2,..., 厶， 扇，.,.,%, такие что в точке у。координата 厶 равна 1, а остальные равны 0. Продол-
жим эти координатные функции на некоторую коническую окрестность гиперповерхности Si в So так, чтобы они были постоянны вдоль интегральных кривых радикала формы аь что не нарушает указанных свойств однородности, и выберем функцию 乱 однородную степени 0 и равную 0 в у0, ограничение которой на So имеет простой нуль на S】.Наконец, выберем функцию а, однородную степени 1/2 и имеющую простой нуль на So. Тогда ограничение формы о на So равно
Поскольку все последовательные редукции, фигурирующие в доказательстве теоремы 21.1.7, осуществляются единственным образом, совершенно очевидно, что они сохраняют свойства однородности. Проверку этого утверждения предоставим читателю.
Пример 21.1.11. Описанная в теореме 21.1.10 ситуация возникает, если в T*(Rn+i) образовать пересечение поверхностей, задаваемых соответственно уравнениями Xi = 0 и
自”嘀+自П+3・
Эти поверхности пересекаются при % > 0 трансверсально, и ограничение симплектической формы на их пересечение имеет вид
仃=呜人賜+ …+ dln л dxn + d (^/?rt) л dxn+v
Взяв &+I,冷，右，薪(2/%)1々 &, •••, % В качестве переменных на указанном пересечении, мы и получаем ситуацию из теоремы 21.1.10. Эквивалентная ее формулировка состоит, следовательно, в том, что всегда возможна редукция к этому примеру. Мы еще вернемся к нему в § 21.4.
21・2・ Подмногообразия симплектического многообразия
Как и в § 21.1, начнем с краткого изложения соответствующих результатов линейной алгебры в симплектическом векторном пространстве S с симплектической формой о. Точно так же, как и в евклидовом пространстве, всякое линейное подпространство V в S обладает аннулятором y°uS относительно симплекти-' ческой формы:
F = {ywS; o(y, Р) = 0},
и (g)° = y Однако, вообще говоря, V не является дополнительным к Н Поскольку dim V 4- dim V° = dim S, так будет
тогда и только тогда, когда У f) V°= {0}, т. е. когда V симплек- тично в том смысле, что ограничение на V симплектической формы невырожденно. В этом случае V0 тоже, конечно, симп- лектично, так что S представимо в виде прямой суммы симп- лектических подпространств V и У0. Это наблюдение уже было использовано при доказательстве предложения 21.1.2. В случае произвольных R имеется некий заменитель этой конструкции:
Предложение 21.2.1. Для всякого линейного подпространства Р симплектитескоао векторного пространства S факторпростран- ство
=(Р + Y)/(U П 尸)
является симплектическим векторным пространством, 〃
dim S' = dim S — 2 dim(V Л H = 2 dim(У + Р°) — dim S・
Доказательство, Подпространством, а-ортогональным к 昕=卜 + Н, служит Wa~ Von(Vo)o= V {\VG aW. Если w ^Wt то (r(5, o/) = 0 для всех wf ^W тогда и только тогда, когда w w Wa9 поэтому о индуцирует на S' невырожденную антисимметричную билинейную форму о^ Равенства (21.2.2) вытекают из равенств
dim W + dim W° = dim S, dim W — dim 肥=dim S'・
В частности, dim S'= dimS — 2dim V, если Hn 匕 и dims7 =2 dim V—dimS, если У^и У. Эти случаи встречаются столь часто, что им присвоены специальные названия:
Определение 21.2.2. Линейное подпространство V симплектиче- ского векторного пространства называется изотропным, лагранжевым или инволютивным, если соответственно Р и 叱 V = Vo, у о Н. Инволютивные подпространства иногда называют также коизотропными.
Таким образом, в этих трех случаях размерность подпространства V соответственно £ (dimS)/2, =(dimS)/2, 》(dimS)/2. Изотропное (или инволютивное^ подпространство является лагранжевым, если dimS = 2 dim 匕
Предложение 21.2.3. Подпространство V изотропно (соотв. ин- волютивно) тогда и только тогда, когда существует содержащее его (соотв. содержащееся в нем) лагранжево подпространство^
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда V изотропно. Выберем какой-нибудь базис вь ..., еА в V. Тогда о(е(, е；) =0 для /, j = l, ••・，％, поэтому, в силу предложения 21.1.3» можно расширить систему векторов е^ ..., &总 до симплектиче-
ского базиса &,…，е*, 5,…，％ в S. Ясно, что векторы ci, ..., еп порождают лагранжево подпространство, содержащее V. В случае когда V инволютивно, V0 изотропно, а значит, 1/。(=九 для некоторой лагранжевой плоскости X, откуда следует, что 九 и К
Пространство S', определяемое формулой (21.2.1), естественным образом расщепляется в прямую сумму двух ортогональных симплектических подпространств V/(V П Va) и V°/(V П V0). Симплектическая форма о обращается в 0 на V f| V0. Выберем теперь, как в доказательстве предложения 21.2.3, какой-нибудь базис ei, ..., е* для Vf] V° и добавим к нему элементы efe+i, ..., е為+，，8*+ь ..., е*+/, классы вычетов которых образуют симплектический базис для V/(V П Va). Затем присовокупим к нему элементы e^+/+i, ..., с^, 8*+ж, ..., е〃, представляющие симплектический базис в Vе/(V П Va). Мы получим тогда базис для V + V°t удовлетворяющий соотношениям (21.1.1). Поскольку dimS = dim(y + V°) + dim(Vn V°) = 2n, теперь можно воспользоваться предложением 21.1.3 и, добавив элементы вь... ,8^, получить симплектический базис для S. Поэтому в соответствующих симплектических координатах V задается условиями ^i = • • •=自兑=0, /+i+i= • • • — хп~ ^fe+/+i • • • = ±п = 0・
Его размерность равна Е + 2厶 а размерность пространства S' равна 2(п ——Е), так что в общем случае эта последняя не определяется размерностью подпространства V.
Проведенные выше рассмотрения распространяются на многообразия:
Теорема 21.2.4. Пусть S ——коническое симплектическое многообразие и V ——его коническое подмногообразие, такое что ограничение симплектической формы на V имеет постоянный ранг 2/ в некоторой окрестности точки у, обладающей тем свойством^ что каноническая один-форма (о не равна тождественно 0 на 7丫(У). Тогда в некоторой конической окрестности точки у в S существуют однородные симплектические координаты х, £ в которых V задается уравнениями
{21.2.3)费=• • • = & = °, /+Е+1 н • • • =
=^A+Z + l ~ -=% = 0,, где fe + 2/ = dim V.
Заметим, что /=/= 0, так как V не может быть изотропным, ибо касательный радиальный вектор р(у) по условию не ортогонален к Ту(Ю* Имеется очевидный неоднородный вариант теоремы 21.2.4, в котором(о не фигурирует и это условие опускается. Обычно такие варианты мы будем оставлять читателю.
Доказательство^ Можно так выбрать функции fb ..., fr е С°°, однородные степени 1 и равные 0 на V, чтобы dfi,…，dfr были линейно независимы в точке у и порождали TY(V). Здесь г — 2п — dim V, где 2几=dim S. Положим k = dim V ——2/.
Если k-^-Kn, то, как следует из рассмотрений, проведенных для линейного случая, некоторая скобка Пуассона, скажем {fi, f2}, отлична от 0 в у. Таким образом, вектор ", не может быть пропорционален радиальному вектору р, ибо р& = 0. Поэтому, согласно теореме 21.1.9, можно выбрать локальные однородные симплектические координаты, такие что % =耳 а точке 丫 отвечает, скажем, точка (0, ei), где 61 =(1, 0, ..., 0). Тогда уравнение f2 = 0 можно разрешить относительно хл, поскольку
б/г/б/= {f 。в у.
Следовательно, в достаточно малой конической окрестности точки у уравнение f2 = 0 может быть записано в виде
#/l==g (修，自1，••・，自/i—1，^n)>
где функция g однородна степени 0. Если положить Хп = хп 1 g(尤 1, &,**・，£—i, Вп), то B^ 0, Хп —— 0 на V и {&, X} = 1 в некоторой окрестности точки у. Снова применяя теорему 21.1.9, заключаем, что найдется новая система однородных симплекти- ческих координатг в которой последними координатами будут Хп и |л. Изменяя обозначения, мы можем поэтому считать, что хл = |л = 0 на У. Это означает, что V можно рассматривать как подмногообразие в 7*(R”")，откуда и следует утверждение теоремы, если считать ее уже доказанной для симплектических многообразий S меньшей размерности.
Если k-^l = n, но ^ #= 0, т. е. V#=S, то, согласно обсуждению, проведенному для линейного случая, {力，力} =0 на V для г, / = 1, ...» г и по предположению вектор р не является линейной комбинацией векторов Н&, ..., Ну Выберем однородные симплектические координаты, такие что 片=& н у получает, скажем, координаты (0, еп). Тогда & =0 на V и dff/dxi ={&,方} =6, / = 2,…，г, на V. Следовательно, V является цилиндрическим в направлении %j и определяется вблизи у условиями & = 0,力(0,也，…，0,坛• • •，ln) = 0, / = 2,...» 匚 Дифференциалы функций, фигурирующих в этих условиях, и форма(о линейно независимы. В предположении что теорема уже установлена для многообразий S меньшей размерности, можно выбрать новые координаты х2,хл, ±2，・••， |л так, чтобы V П {-^1 = Bi = 0} задавалось условиями g2 = .. • = = 0, и это завершает доказательство.
В части Ь) доказательства мы нашли, что V порождается некоторым семейством кривых. Это ——одно из проявлений существования важного слоения, к обсуждению которого мы сейчас и перейдем (по поводу используемой терминологии см. § С. 1). Определение 21.2.5. Подмногообразие V симплектического многообразия называется симплектическим, изотропным, лагранжевым или инволютивным, если в каждой его точке соответствующим свойством обладает касательное к нему пространство.
Замеч^ние^ Отметим, что условие постоянства ранга, фигурирующее в теореме 21.2.4, автоматически выполнено во всех этих случаях. .
Теорема 21.2.6. Если V удовлетворяет условиям теоремы 21.2.4, то задание в каждой точке 丫 巨 У подпространства Гу (У) ЦТ； (У) & Ту (У) определяет слоение многообразия V с изотропными слоями размерности dim V — ranka|v, трансверсальными к радиальному векторному полю.
Доказательство. В локальных координатах, существование которых утверждается в теореме 21.2.4, мы имеем слоение многообразия V плоскостями, параллельными плоскости %i ... xk.
Советуем читателю не относиться к этому важному результату с пренебрежением из-за краткости его доказательства; в действительности он опирается на все, что мы до сих пор сделали в этой главе, и указанное слоение очень часто будет использоваться в дальнейшем.
В соответствии со сказанным после формулировки теоремы 21.2.4 справедлив и неоднородный вариант теоремы 21.2.6, так что аналогичным слоением обладает любое подмногообразие V симплектического многообразия S, такое что ограничение на V симплектической формы имеет постоянный ранг. Если S и V являются коническими и радиальное векторное поле р касательно к некоторому слою В этого слоения в какой-нибудь точке Y，то слой В тоже будет коническим. Действительно, радиальный луч, проходящий через точку у, должен остаться в слое» поскольку по соображениям однородности всюду вдоль этого луча вектор р будет лежать в плоскости, задающей слоение. По тем же соображениям MtB (где Mt обозначает умножение на /) для любого f тоже будет слоем нашего слоения, а раз этот слой имеет на радиальном луче, проходящем через у, общие точки с В, он обязан совпадать с В. Тем самым доказано следующее дополнение к теореме 21.1.6:
Теорема 21.2.7. Если S — коническое симплектическое многообразие и V ——его коническое подмногообразие, такое что ограни-
чение на V симплектической формы имеет постоянный ранг, то 7丫 (Р) Г) 7； (Ю задает слоение подмногообразия V с изотропными слоями^ которые либо трансверсальны к радиальному векторному полЮу либо являются коническими,
В случае когда V инволютивно, условие постоянства ранга, как уже отмечалось, выполняется автоматически, и слои указанного в теореме слоения порождаются в этом случае интегральными кривыми гамильтоновых полей Hff отвечающих функциям, равным 0 на V. Действительно, тогда Hf(y)^Ty(V)=Ty(V) f] Гу(У) для у w V. По этой причине слоения, о которых идет речь, обычно называют гамильтоновыми.
Если V — подмногообразие симплектического многообразия S такое что ограничение на V симплектической формы имеет постоянный ранг, то на V можно рассмотреть естественное векторное расслоение Sy со слоем
(7\ (Q + Т； (Р))/(7\ (Q fl Т； (Q)
в точке у е У. Эти слои являются симплектическими векторными пространствами; в этом смысле Sy относится к классу симплектических векторных расслоений. В локальных координатах, существование которых утверждается в теореме 21.2.4, Sy есть произведение V на симплектическое векторное пространство T*(Re). Легко видеть, что с этими локальными тривиали- зациями мы действительно получаем векторное расслоение. Заметим, что ограничение расслоения Sy на слой В описанного выше слоения подмногообразия V совпадает с расслоением Sb, поэтому такая конструкция представляет интерес главным образом в изотропном случае, когда рассматриваемое слоение тривиально (слой совпадает со всем V). Для подмногообразий V, не являющихся ни изотропными, ни инволютивными, симплектическое расслоение Sy устроено нетривиально и представляет собой симплектически ортогональную прямую сумму двух симплектических векторных расслоений S) и S, со слоями
rY(n/(rv(nnr°(7)) н Т； ")/(%#) ПТ； (Q).
Имеется также аналог теоремы 21.2.4, в котором тождественно равно 0 ограничение на V формы(о. В этом случае ограничение на V формы а = dw равно 0, так что V изотропно. Обратно, если V является изотропным и коническим, то ограничение на V формы (о равно 0, поскольку для любого касательного вектора t к V мы имеем со(/) = а(р, /) = 0, ибо р тоже будет касательным вектором к V.
Теорема 21.2.8. Пусть S ——коническое симплектическое многообразие u V — его коническое изотропное подмногообразие. Тог-
да в некоторой конической окрестности любой точки у w Р су・ ществуют однородные симплектические координаты, в которых V задается уравнениями
Xj =・・・=xrt = 0, ёл+i = •••=占性=О,
где А — размерность подмногообразия V.
Доказательство, Сначала покажем, что можно выбрать такие координаты, в которых V задается уравнениями
%1 = 0, Вз= * • •= Ife = 0» 九+i = Ва+1 = • • • = xrt = |Л = 0.
Часть а) доказательства теоремы 21.2.4 применима к рассматриваемой ситуации без каких бы то ни было изменений и сводит дело к случаю, когда dim V = п, т. е. когда подмногообразие V лагранжево. Если n > 1, то мы можем к тому же выбрать одну из функций 力 равной 0 на V, так что на V поле "〃 не пропорционально р, а потому применима редукция из шага Ь) доказательства теоремы 2L2.4. Наконец, если п = 1, то из того факта, что форма gidxj равна 0 на V, вытекает, что функция Xi постоянна на И, и можно выбрать ее равной 0. Далее, существует локальный однородный симплектоморфизм, отображающий любое коническое изотропное подмногообразие V размерности 比 н в частности подмногообразие, задаваемое уравнениями (21.2.4), на такое же модельное подмногообразие, задаваемое уравнениями (21.2.5), так что можно взять в качестве модельного и подмногообразие (21.2.4).
В частности, всякое коническое лагранжево подмногообразие можно задать условием х = 0, т. е. представить в подходящей системе однородных симплектических координат как слой T；(R")\0・ Заметим, что если X — произвольное С°°-многообра- зие и У — его подмногообразие, то конормальяое расслоение ^(У) к У будет лагранжевым подмногообразием в Т*(Х), поскольку 〈dx,自〉=0 на Тх(У) для 孑三2*(丫)Таким образом, теорема 21.2.8 применима, в частности, ко всякому конормаль- ному расслоению. Следующая теорема показывает, что любое коническое лагранжево подмногообразие кокасательного расслоения содержит большие открытые подмножества такого типа. Теорема 21.2.9. Пусть X — многообразие класса С^, V一 коническое лагранжево С^-подмногообразие в Г*(Х)\0 и (хо, &。) 三 У. Если ограничение на V проекции л： Т*(Х)->X имеет постоянный ранг г вблизи точки (х0> Ео), т。существует С°°-подмногообразие У и X размерности г в некоторой окрестности точки #о, конормальное расслоение к которому совпадает с У в некоторой окрестности точки (х0> &)•
Отметим, что г V 几,поскольку для радиального векторного поля р, которое является касательным к V, мы имеем л#р = 0.
Доказательство. В силу предложения С.3.3 некоторая окрестность точки (х0, go) в V отображается проекцией л на некоторое /-мерное С°°-многообразие УиХ. Так как £畠壮勺=0 на V и л* отображает касательное пространство к V на касательное пространство к У, вектор 三 должен быть нормальным к У, т. е. I/uN*(V) в некоторой окрестности точки (х0, Е°). Но у левой и правой частей этого включения одна и та же размерность, поэтому они должны совпадать друг с другом.
Условие теоремы 21.2.9 всегда выполняется на некотором открытом плотном подмножестве в 匕 состоящем из точек, в которых указанный в формулировке теоремы ранг равен своему локальному максимуму на V. Однако проекция V на X в общем случае может быть весьма сингулярной. Простой пример доставляет лагранжево подмногообразие V в Г* (R2) \0, задаваемое условиями
⑵26) 修=3居店J，尤2= - 2回店2尸，Е2方0.
Его проекцией служит кривая (xi/3)3 — (%г/2)2 =0, и V совпадает с замыканием конормального расслоения к регулярной части этой кривой.
Теперь приведем к некоторому нормальному виду пару пересекающихся конических лагранжевых подмногообразий. Такие подмногообразия никогда не пересекаются трансверсально, поскольку каноническая один-форма равна 0 на обоих касательных плоскостях в точках пересечения. Поэтому здесь приходится привлечь понятие чистого пересечения, обсуждаемое в § С.З.
Теорема 21.2.10. Пусть S ——коническое симплектическое многообразие размерности 2孔 u Vb V2 一 пара конических лагранжевых подмногообразий в S, чисто пересекающихся в точке у S. Тогда можно выбрать однородные симплектические координаты х, Е 8 окрестности точки у, такие что эта точка получит коор- дмнаты (0, 6!), где ei =(1, 0, 0), и вблизи (0, ei)
匕={® Е)}, И2 = {(0, х",匕 0)},
где V = (хь ..., х*)( х"=(х走+〔, ,.., хл), a k — размерность пересечения 亿 П % («ли, что то же самое, эксцесс рассматриваемого пересечения}.
Таким образом, локально V\ представляется как конормаль- ное расслоение к некоторой точке, а Иг — как конормальное
1 Ч ?ак 443
расслоение к некоторому проходящему через эту точку многообразию коразмерности 々.Заметим, что конормальные расслое- 'ния к чисто пересекающимся многообразиям также должны пересекаться чисто, поскольку в координатах, в которых пересекающиеся многообразия представляются линейными пространствами, они тоже представляются линейными пространствами.
Доказательство. В силу теоремы 21.2.8 можно считать, что S есть коническая окрестность точки (0, ei) в Г* (Rn)\0 и Ri определяется уравнением х = 0. Рассмотрим для Vb V2 и V\ П Иг их пересечения Vf, У? и У； П с расслоением сфер Si={(x，E); |g|= 1}. Они имеют на 1 меньшие размерности, и прямые суммы их касательных пространств с одномерным пространством, порожденным радиальным вектором р, совпадают с касательными пространствами к 匕，％ и % П % в соответствующих точках из Si・ Следовательно, IZ； и Уг пересекаются чисто, причем их пересечение 伍一1)-мерно.
Предположим сначала, что fe = 1. Тогда только что упомянутое пересечение нульмерно. Это означает, что касательные пространства к 7? и 7г имеют единственной общей точкой 0. Поскольку Р； есть единичная сфера, отвечающая х = 0, отсюда следует, что дифференциал проекции л: ，£-> R" инъективен, а значит, имеет ранг п — 1. Следовательно, в силу теоремы 21.2.9, Уг в некоторой окрестности точки (0, ei) совпадает с конор- мальным расслоением к некоторой гиперповерхности, и после замены переменных в R" можно считать, что эта гиперповерхность задается уравнением Xi = 0.
Пусть теперь fe > 1. Тогда У； и % суть (几一1)-мерные подмногообразия (2м ——1)-мерного многообразия, имеющие (А—1)-мерное чистое пересечение, поэтому эксцесс этого пересечения равен k (см. (С.3.3)). Следовательно, можно найти 々》2 функций fb ..., fkt однородных степени 1, которые равны 0 на Vi U V2 и имеют в точке у линейно независимые дифференциалы. Поэтому вектор "号 и вектор р должны быть линейно независимы при некотором /, скажем при / = 1. Как и в части Ь) доказательства теоремы 21.2.4, можно выбрать новые однородные симплектические координаты, такие что % = %, и заключить, что локально и Vb и V2 равны произведению оси хп на соответствующее лагранжево подмногообразие многообразия хл = ?п = 0, причем эти лагранжевы подмногообразия имеют чистое пересечение размерности k — 1. Если теорема уже доказана для меньших значений ^ и п, то можно выбрать новые координаты %1,自卜-..,хп-ь 匕т так, чтобы 片 и Уг зада-
вались вблизи точки (0, ei) уравнениями
Vр Xj = . •, = xrt_| = 0, 占冷=О,
卜2： / = • • • = %在-i = 0? 寂=...=厶 =0*
Эти две плоскости пересекаются по плоскости, на которой все координаты, кроме хл, |ь ..., &一卜 равны 0. В частности, и пара (21.2.7) может быть представлена в таком виде, и доказательство завершается точно так же, как в случае теоремы 2128.
Справедлив, конечно, и неоднородный вариант теоремы 21.2.10. Очень прост, но поучителен линейный случай: каковы бы ни были лагранжевы подпространства 匕 и % симплектического векторного пространства S, можно выбрать симплекти- ческий базис @, ..., е% еь ..., е% такой что Vj порождается векторами еь ..., ел, а Уг — векторами 仇+卜...,ел, ei, ..., е*. Чтобы сделать это, мы прежде всего выберем базис еь ..・,еА для 匕 П У2 H расширим его до базиса s, ..., ел для Vb Ограничение симплектической формы на 匕 X 匕 задает двойственность между И1/(И1 П V2) и 1/г/(Vi П Й2). Поэтому мы можем выбрать векторы е左+〕，...，е„ е 廿2, образующие двойственный базис к e*+i, ..., еп в смысле этой двойственности, а затем просто дополнить полученную систему векторов до полного симплектического базиса, опираясь на предложение 21.1.3. Ниже нам будет полезно такое
Следствие 21.2.11. Пусть S — симплектическое векторное пространство. Для любых двух его лагранжевых подпространств Рь Va найдется третье лагранжево подпространство И, трансверсальное к ним обоим.
Доказательство. Если % и % представлены в виде (21.2.7), то можно взять
v = {(x,自)；尤"У = 0}・
Напомним, что если Si и S2 — симплектические многообразия, то симплектоморфизм, или каноническое преобразование, X： S2 fsi ——это диффеоморфизм, удовлетворяющий условию К*5 = S, где о； — симплектическая форма на S/ (см. определение 21.1.4). В частности, симплектоморфные многообразия Sr и S2 имеют одинаковую размерность. График.
G = {(X(Y), Y)； Y 三 S2} и Si X S2
симплектоморфизма % представляет собой лагранжево подмногообразие произведения Si X S2, снабженного симплектической формой*
%2 = /°1 —冗202，
где Л1 и 冗2 ——проекции Si X S2 на сомножители. (В дальней* тем, если не может возникнуть недоразумений, мы обычно пн- шем просто。/ вместо 冗;。广) При этом ограничение проекции л/ на G является диффеоморфизмом G на S/ для / = 1, 2. Отказ от этого последнего условия приводит к более широкому понятию канонического преобразования, уже не связанному, в частности, с требованием, чтобы Si и S2 имели одинаковую размерность.
Определение 21.2.12. Пусть Si, S2 — симплектические многообразия с симплектическими формами оь аг- Всякое лагранжево подмногообразие G произведения Si 义 S2, наделенного симплек- тической формой Ui —— ог, называется каноническим отношением из S2 в Si. В случае когда Si, S2 и G являются коническими многообразиями, мы говорим об однородных канонических отношениях.
Как отмечалось в § 5.2, любое отношение отображает множества Е и S2 в множества G(E)u Si：
G (Е) = {у】三 Si； (Yi, y2) w G для некоторого y2 w £}
=死1(G f) лГ1^)*
Как и в случае функций, можно брать композиции отношений: если Gi и Si >< S2 и G2 и S2 义 S3, то
Gi ° О2 = {(Yi> 丫з)；(Yi, Y2)三 Gi и (丫2, Y3)三 G2
для некоторого у2}.
Можно также интерпретировать Gi。G2 как проекцию на S1XS3 пересечения Gi X 02 с Si ХА(5г)Х S3, где A(S2) = {(y, у); Y 巨 S?} — диагональ в S2 义 S?・ Заметим, что многообразие A{Ss) изотропно относительно симплектической формы —砲％ + 冗%。2， me 冗2/ ——проекция произведения S2 X S2-> S2 на /-й сомножитель. Вообще говоря, нет, конечно, никаких оснований ожидать, что S。G? — гладкое отношение, но, как сейчас будет показано, для канонических отношений Gi и G2 мы всегда получаем гладкое каноническое отношение, если указанное выше пересечение является чистым и если наложить некоторые ограничения глобального характера. Сначала рассмотрим ситуацию для линейного случая, в несколько более общем контексте:
Предложение 21.2.13. Пусть S ——симплектическое векторное пространство с симплектической формой и и Д ——его изотропное подпространство. Обозначим через S' симплектическое векторное пространство Дст/Д. Если А — произвольное лагранжево
подпространство в S, то V = (X f] А。)/ (A f] А) — лагранжево подпространство в S'.
Доказательство. Изотропность * следует из изотропности 入 и определения симплектической формы на S'・ Далее,
dim А + dim Д° = dim (九 П Дст) + dim (九 + А°)
=dim(X П Д°) + dim S — dim (X П А), следовательно, в силу (21.2.2),
dim 入'=dim X — dim A = (dim S')/2.
Замечание. Хотя отображение X»—>V всегда определено, оно не будет непрерывным, если- X П Дст меняет размерность. Рассмотрим в качестве примера S = T*(R2),
А = {(0, х2, 0, 0)}, А° = {(/, х2> 玩 0)}.
Тогда многообразие X ={(а%2, -^2» ?ь —a|i)} для любого а является лагранжевым и непрерывно зависит от а; в то же время V равно {(хь 0)} при а 耍0 н {(0, &)} при а =0.
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать результат о композиции общих канонических отношений:
Теорема 21.2.14. Пусть S/ — симплектическое многообразие с симплектической формой a/t / = 1, 2, 3. Если многообразия Gi и Si X S2 〃 G2 и S2 X S3 лагранжевы относительно симплектических форм (Ъ — 02 〃 02 — сгз 〃 Gi X (?2 чисто пересекается с Si X А(^2)Х S3 no G, то проекция л этого пересечения G на Si X S3 имеет ранг (dim Si + dim S3)/2 u образ Gi。бг проекции л локально является лагранжевым многообразием относи^ тельно Gi — Оз-
При выполнении указанных в формулировке теоремы условий композицию канонических отношений называют чистой.
Доказательство. Пусть (丫匕 丫2, 丫2, 丫3)三 G. В силу определения чистого пересечения касательное пространство к G в этой точке равно
х n (Tv (S J X А (т* (SJ) X Туз (S3)), где
九=т», W 91) X 丁丫备 丫3 (G)；
X является лагранжевым подпространством симплектического векторного пространства
Т Yi (SJ ㊉ 丁丫2 (S?)㊉ 丁丫2 (S?)㊉ Tyj (S3)
с симплектической формой s — a2i + ^22 — 6・ Поэтому образ дифференциала проекции л получается с помощью конструкции предложения 21.2.13, примененной к изотропному подиростран. ству {0} X А (^y> (52)) X {^}； этим доказано утверждение о ранге. Из предложения С.3.3 следует теперь, что образ проекции л локально является лагранжевым подмногообразием в Si X S3.
Замечание. Если R — открытое множество в Si X S3 н отображение л:冗一1 (◎)->◎——собственное, то n(n~! (Q)) есть погруженное замкнутое лагранжево подмногообразие в R и л-1 (й) является расслоенным пространством над ним с компактными слоями. “
Описанная в теореме 21.2.14 конструкция применима, в частности, в случае, когда многообразие S3 сводится к точке. В этом случае она дает лагранжево подмногообразие в Si по заданным лагранжевым подмногообразиям в S2 н в Si 义 S?. Эта идея приводит к важному методу параметризации лагранжевых С°°-подмногообразий А кокасательного расслоения Т*(Х) к данному многообразию. Напомним (см. § 6.4), что если Л является сечением расслоения Г*(X), то его можно локально представить в виде {(х, <pz(^) )}> где ср принадлежит классу С°° на некотором открытом подмножестве в X. Если же Л сечением не является, то такое представление становится невозможным. В частности, оно заведомо неприменимо в случае, когда А — коническое подмногообразие, поскольку радиальное векторное поле р будет в этом случае касательным к Л. Пусть, однако, (р(х, 0)—функция класса С°° на произведении открытого подмножества в X и некоторого другого С°°-многообразия в. Тогда
G = {(% Фх(х> °)； е> — Фе (%，併)}
будет лангранжевым подмногообразием в Г*(Х)Х Г*(в) (знак минус связан с принятым выше определением симплектической формы на произведении двух симплектических многообразий). Нулевое сечение Go расслоения Г* (0) тоже является лагранжевым многообразием. Если Г*(Х)Х Д(Г*(0)) и GX Go пересекаются чисто, т. е.
{(Х，9)； &(х, 9) = 0}
есть подмногообразие в XX®, касательное пространство к которому в каждой точке задается уравнениями dtp] (%, 0) = 0, то
{(х, <р；(х, 0));壮(х, 0) = 0}
локально будет лагранжевым подмногообразием в Г* (X). Напомним, что эта конструкция уже встречалась нам в теореме 8.1,9 в естественном аналитическом контексте, Ясно* что под-
многообразие (21.2.8) является коническим, если функция ср однородна степени 1.
Определение 21.2.15. Пусть X ——многообразие класса С°° и Ф(х, 6)——вещественнозначна я С°°-функция на открытом коническом множестве FuXX(R"\0), однородная степени 1 по 0. Будем называть 屮 чистой фазовой функцией, если d(p，O и
С = {(х, е)еГ; % (*,8) = 0}
представляет собой С°°-многообразие, касательное пространство к которому в каждой точке задается уравнениями dtp： = 0. Число линейно независимых дифференциалов d(O(p/。®/), j = l, …，М на С равно N — е, где e = dimC —dimN； эта величина е называется эксцессом фазовой функции ф. Отображение С 三(х, 8) (х, <р；) локально является расслоением со слоями размерности с, базой которого служит некоторое коническое лагранжево многообразие Л; будем говорить, что Л параметризовано с помощью ф, а ф параметризует (определяет, задает) Л. В случае е = 0 фазовую • функцию называют невырожденной.
Теорема 21.2.16. Пусть X — произвольное С°°-многообразие размерности п. Всякое коническое лагранжево С°°-подмногообразие Л 8 Т*(Х)\0 локально можно параметризовать с помощью не* вырожденной фазовой функции ф, определенной на некотором открытом конусе в XXlRe^O). Если у0 ^ Л и хо — проекция точки у。на X, то можно так выбрать локальные координаты *1, ..., хп вблизи х0, чтобы 8 соответствующих координатах %ь ..., Хл, Ei,...,电 8 Т*(Х) лагранжева плоскость g = const, проходящая через у。，была транс ее реальна к Л. Тогда существует единственная фазовая функция вида
<р(х, е) = W 々％ — н ⑼，
параметризующая Л; функция Н принадлежит классу С°° и однородна степени 1, и вблизи ^0
Доказательство. Выберем локальные координаты у】,...,уя вблизи точки х0 так, чтобы все координаты этой точки равнялись 0, а у。= (0, dyi (0)). Используя эти координаты, будем рассматривать Л как подмножество в T*(R")\0. Касательная плоскость 入о к А в точке (0, ej), ei =(1, 0, ..., 0), является лагранжевой. Она может быть не трансверсальна к плоскости ё = б, служащей графиком дифференциала координаты 力.Од-
нако из следствия 21.2.11 мы знаем, что существует проходящая через точку (0, ei) лагранжева плоскость, которая трансвер- сальна и к ^о, и к слою Г； (R%). Следовательно, эта лагранжева плоскость есть сечение расслоения T*(R") вида
П = &(协+ %&))，
где А (у) — некоторая квадратичная форма. Перейдем теперь к новым локальным координатам Xi = yi + Л (у), х^ = У2хп =у^ Тогда касательная плоскость к Л в точке уо будет транс- версальна к проходящему через эту точку графику дифференциала dxi. Эта трансверсальность означает в стандартных локальных координатах, что отображение
Л ^(х, Е) — Е
имеет в точке ^0 биективный дифференциал. Поэтому локально можно взять 自 в качестве параметра на многообразии Л, которое будет, таким образом, задаваться уравнением № ^(ё)> где 巾—функция класса С°°, определенная в некоторой окрестности точки ei и принимающая значения в 4R". Так как эта функция однородна степени 0, у нее существует однородное продолжение на соответствующую коническую окрестность точки ei, по-прежнему задающее многообразие Л- Но это многообразие является коническим лагранжевым, поэтому £ 畐 d% = 0 на Л, так что
。 = e畐外/低)=dH (自)-E叨(1) d玩где "低)=Xe屮, (&).
Отсюда следует, что 屯隽) = d〃(&)/0玩 чем доказательство и завершено.
Хоть и не всегда, но часто при параметризации лагранжева многообразия можно обойтись меньшим числом переменных 0：
Теорема 21.2.17. Пусть выполнены те же предположения, что и 6 теореме 21216, и пусть k — размерность пересечения Гув (Л) П Г*о(Х). Тогда Л можно параметризовать вблизи 丫。с помощью невырожденной фазовой функции, определенной на XX(Rfe\0), «о нельзя параметризовать с помощью невырожденной фазовой функции, в которой фигурирует меньшее число параметров.
Доказательство. Сначала докажем последнее утверждение. Пусть Л параметризовано с помощью невырожденной фазовой функции (р(х, 0),где 0 е!₽\Тогда множество ц = Гуо(Л) Г) ^*0(^) является образом подмножества в TXQ (X) X Rx, задаваемого условиями ^Фе = 0, dx = 0, и потому его размерность равна самое большее к. Следовательно, х N 比
Чтобы доказать первое утверждение, выберем в X локальные координаты вблизи х0, такие что уо=(О, £i) и Л задается условием % = 〃'(Е). При помощи линейной замены, сохраняющей координату хь а значит, и координаты точки у0, можно добиться, чтобы ц задавалось условиями dx=0,映〃=0, где E"==(&+i,・一,自〃)・ Положим E'=(Ei, ..., В л). Лагранжева плоскость ТУа (Л) содержит м и потому содержится в ортогональной к 卩 плоскости ц°, задаваемой условием dxz = 0. Следовательно, отображение
Л三(居士)-①，g) w R"
имеет в точке уо биективный дифференциал. Действительно, на ядре этого дифференциала dxf = dxff = 0, так что оно содержится в ц и удовлетворяет условию d^ = 0. Наше утверждение вытекает поэтому из следующей теоремы:
Теорема 21.2.18. Пусть А и Г*(РЯ)\О является коническим лагранжевым многообразием в некоторой окрестности точки 丫必〃 пусть для некоторого расщепления координат х,自 на две части х == (х\ %"),自=(匕 Е〃)отображение
Лэ(х, Е)—①，『)wR”
биективно 8 этой окрестности. Тогда найдется функция S (尤”,g), такая что вблизи уо
N = *dS風,%";匕-dS/дх^,
Множество Л задается там фазовой функцией 屮(尤，『)=〈％', У» -S(/,g)・
Доказательство. На Л координаты £ и 自"можно рассматривать как функции от х",匕 и
0 = & d» = d(〈『, П)-« 留)+〈『，g
Отсюда следует, что если положить S (У, &') = <хЛ, &'〉, то dS/dx^ =——Е" и OS/dy = %‘. Последнее утверждение теоремы очевидно, поскольку из условия 0(р/0£' = 0 вытекает, что £ = dS/Og, а д^/дх =(匕一0S/0x〃).
Возможно, читатель уже задал себе вопрос, зачем нам понадобилось вводить понятие произвольной чистой фазовой функции, если всегда существует невырожденная такая функция, и сам нашел ответ на него. Ответ состоит в том, что рассмотренная в теореме 21.2.14 операция взятия композиции естественно приводит к чистой, но вырожденной фазовой функции, в случае когда фигурирующее там пересечение является всего лишь чистым, но не трансверсальным. Однако прежде чем подробно обсудить этот момент, нам надо сделать одно важное замечание, касающееся определения канонического отношения G в произве-
дении (Т*(Х)\0)Х(Т*(У)\0) при помощи фазовой функции. Напомним, что, согласно данному выше определению, G есть лагранжево многообразие по отношению к разности а% — gy симплектических форм на Т*(Х) и Г* (У), поднятых на Т* (X、 X Г*(У)= Т*(ХХ У). Эта разность отличается знаком при оу от стандартной симплектической формы ох + оу на Г*(XX У), так что лагранжевым по отношению к стандартной симплектической структуре на Г* (X X ^) будет скрученное каноническое отношение
G' = {(х, Е, у, — П)； (%, W, у, n) w G}.
(Напомним, что эта перемена знака уже встречалась нам в исчислении волновых фронтов в § 8.2, в частности в теореме 8.2.14.) Отсюда следует, что если взять чистую фазовую функцию ф, задающую G', то она будет задавать G по формуле (21.2.9) G = {(х, ^(х, у, 9), у, — фу (х, у, 8));喝(х, у, Э) = 0}.
В дальнейшем, говоря о каноническом отношении, задаваемом фазовой функцией, мы всегда имеем в виду эту формулу с измененным знаком при второй переменной слоя.
Предложение 21.2.19. Пусть X, У, Z — многообразия класса С00 и Gi, G2 — однородные канонические отношения s (Т*(Х)\0) Х(Т*(У)\°) 〃 (Г* (у) \0) X (Т* (Z) \ 0), локально задаваемые невырожденными фазовыми функциями ц)(х, у,0), 0^RV, и ^{у, 2, т), те ^^определенными внекоторых конических окрестностях точек, (Хо, Уо, 6о) “(％, Zo, То), в которых Фе = 0,屯=0, % + 弘=0. Если композиция Gi。G2 чиста в соответствующей точке, то
①(％, Z, у, е, т) = <р (х, у, 8)+ 2(9, z, т),
где у, 0, т рассматриваются теперь как параметры!), будет чистой фазовой функцией, задающей эту композицию. Эксцесс фазовой функции Ф равен эксцессу чистого пересечения Gi X G? и :Р(Х)ХА(Т*(У))Х 及(Z).
Заметим, что точка (у, 0, т) пробегает некоторое коническое многообразие, так что фигурирующее в определении фазовой функции условие однородности истолковывается в данной ситуации очевидным образом. Можно также, чтобы достичь буквальной согласованности с определением 21.2.15, взять в качестве параметра
G(iei2 + iT|2)I/2, в, т)三R“y+v+",
где nr = dim У.
】)То есть в определении 21.2Л5 роль л играют (л, г), а роль Q играют (У, 0, т), — Прим. ре&
Доказательство. То что <р и -ф невырожденны, означает, что (локально)
м = {(X, у, 0); Фе = 0} и N = {(у, г, т);屯=0}
являются многообразиями, касательные плоскости к которым задаются соответственно условиями d^Q — Q и d^ = 0, и что отображения
М э (х, у, 0) f (х, <₽；, у, — %) е G],
М э (г/, г, т) f (у, ^у> z,—电)м G2
суть локальные диффеоморфизмы. То что композиция Gi。G2 чиста, означает прежде всего, что
G = {(*,自，у,限，г, ^，z, G) w G1 х с2； д' = У, d = 1]"}
есть многообразие размерности пх + nY -\- ny+nz—2иу + е = 九力 + «z + е, где с — эксцесс указанного в формулировке предложения пересечения. Если параметризовать GiX ©2 c помощью (х, д', 0, у", z, т) е М X Л^, то G будет задаваться уравнениями
自=喔(%, д'，в), У = 9",限=-% (х，д', 8)，
М = п", n" = W (У, Z, т),甘=—电⑨〃，Z, т),
а касательные плоскости к G—условием обращения в нуль всех соответствующих дифференциалов, помимо дифференциалов от 力彳 и ㈠;，Уровне обращения в нуль которых задает касательные плоскости к МХМ Все это просто выражает чистоту упомянутого пересечения. Утверждение предложения состоит в том, что множество
{(X, г, у, 0, т); 4(х, у, 0) = 0,屯®, г, t) = 0,
% (%，У、6) + 弘回 ％ т) = 0}
представляет собой многообразие, касательные плоскости к которому задаются уравнениями
d吗=0,舛；=0, d((p； + 2；) = 0・
Но, полагая yr = yf/ = у и rf = —%(居 /» 0), т/' = 2](у", г, т), мы отождествляем упомянутые выше множества и касательные плоскости. Поскольку эксцесс фазовой функции Ф по определению равен dim G — dim(XXZ), предложение доказано.
В § 21.6 мы вернемся к рассмотрению композиции канонических отношений и, в частности, обсудим некоторые операции над
определенными на канонических отношениях полуплотностями. Как и в § 18.2, эти последние выступают в качестве символов распределений, ассоциированных с лагражевыми многообразиями (см. гл. 25).
21・3・ Нормальные формы функций
Теория псевдодифференциальных операторов, развитая в § 18Л, позволяет в вопросах, касающихся регулярности и существования решений псевдодифференциального уравнения
заменять главный символ р оператора Р произведением этого символа на любую не обращающуюся в нуль однородную функцию q. Действительно, всякую такую функцию q можно считать символом некоторого эллиптического и, значит, по существу обратимого оператора; уравнение Ри = j почти равносильно тогда уравнению QPu = Qf. Микролокальный подход, при котором интересуются лишь равенствами, справедливыми по модулю функций, волновой фронт которых не содержит данной точки (х% go) кокасательного расслоения, дает возможность локализовать это рассуждение, так что достаточно обратимости q в одной точке. В частности, точки, нехарактеристические для р, не представляют интереса при микролокальном подходе.
В гл. 25 мы расширим теорию псевдодифференциальных операторов, развив аппарат, позволяющий также изменять главный символ посредством его композиции с каким-либо локальным однородным каноническим преобразованием. Чтобы извлекать пользу из этого обстоятельства, нужно знать ряд простых нормальных форм, которые можно изучать в явном виде и к одной из которых можно свести любой главный символ с помощью двух основных операций:
умножение на множитель, не обращающийся в нуль,
взятие композиции с локальным однородным каноническим преобразованием.
Настоящий параграф посвящен геометрическому исследованию таких нормальных форм. Этот материал не понадобится нам вплоть до глав 26, 27, так что читатель вполне может повременить с его изучением, не потеряв нити изложения.
Пусть р — комплекснозначная С^-функция, однородная степени m в некоторой окрестности точки (0,瓦)w T*(Rrt)\0. Умножением на не обращающуюся в нуль функцию | 引帛一折 всегда можно сделать степень однородности равной любому удобному числу s; часто оказывается удобным выбор s = 1. Прежде всего
отметим одно немедленное следствие теоремы 21.1.9, где это как раз так:
Теорема 21.3.1. Пусть р ——вещественнозначная С°°~функция9 определенная s некоторой конической окрестности точки (0, |о) е 7*(Rn)\0, удовлетворяющая условию "(О, &о) = О, однородная степени 1 и такая, что направление отвечающего ей гамильтонова поля Нр 8 точке (О, |0) отлично от радиального. Тогда найдется однородное каноническое преобразование %, переводящее некоторую коническую окрестность точки (0, ел), ел =(0, ..., О, 1), 8 коническую окрестность точки (0, go),〃 та・ кое, что х*р = Вь
Доказательство. В силу сделанных предположений условия теоремы 21.1.9 выполнены для р* = р, a = Q, b = ел, поэтому можно дополнить pi до системы однородных симплектических координат 办,р* вблизи (0, go), удовлетворяющей условиям 分=О, Р* = 8пп в точке (О, Ы •
Для комплекснозначных р поставленная выше проблема эквивалентности гораздо сложнее, и мы ограничимся обсуждением ряда важных частных случаев. Будем при этом писать р — Р\ + ip2t где pi и 卩2 вещественнозначны. Если dp【и d/?2 линейно независимы в данной точке, то уравнение р =6 определяет в некоторой ее окрестности многообразие коразмерности 2. Разберем сперва случай, когда это многообразие инволютивно.
Теорема 21.3.2. Пусть р — однородная С^-функция, определенная 8 некоторой конической окрестности точки (0,瓦)三 T*(Rn)\0 и равная 0 s этой точке, и пусть
поля Re〃p, Im Нр “ радиальное векторное поле линейно независимы 8 точке (О, |0),
{〃,/} = —2i{Rep,Imp} = 0 so всех достаточно близких к (0, go) точках, в которых р = 0.
Тогда найдутся однородная не обращающаяся в нуль С°°-функция а(х, Е) 〃 однородное каноническое преобразование %, переводящее коническую окрестность точки (0, еп) 8 коническую окрестность точки (0,晶),такие что %* (ар) = & + 疋2・
Доказательство. Из условия (21.3.1) вытекает, что множество V = p-i(0) является вблизи (0, g0) коническим С°°-многообра- зием коразмерности 2/на касательной плоскости к которому в точке (0, go) каноническая один-форма не равна тождественно нулю. Условие (21.3.2) показывает, что на V мы имеем n(Re HPl Im Нр) = 0, т. е. V инволютивно. Поэтому, в силу теоремы 21.2.4, можно однородным каноническим преобразованием
привести V и |0 в требуемое положение, так что мы будем с этого момента считать, что go = е«, а V задается условиями 自i = & =0. Можно также считать, что степень однородности функции р равна 1. Далее, на V
Нр = О1 (х, b d/dxi + a?(x,自)д/дх2,
где комплексные числа а\ = др/д^ и а2 =др/д^2 порождают комплексную плоскость. Это эллиптический оператор по %i, х2 (по существу, оператор Коши — Римана), гладко зависящий от параметров х3, &з,...,自以,и функции а】,а2 однородны степени 0. (Вне V выражение для Нр может быть очень сложным, но мы обойдем это затруднение.) Следовательно, ввиду теоремы 13.3.3, у уравнения Нри = f на V для f е С°° существуют локальные С^-решения; если правая часть f однородна степени 卩，то н решение 〃 мы можем выбрать однородным степени ц. Покажем теперь, что можно сделать {亿 户} тождественно равным 0, умножив " на некоторую не обращающуюся в нуль функцию. Разобьем рассуждение на несколько шагов.
а) По предположению, {р,戸} = 0 на 匕 поэтому в силу формулы Тейлора (а точнее, теоремы 1.1,9) имеем вблизи (0, ert)
{р"} = f/ + f R,
где fi ^ С00. Далее, положим q = е^р, где w — функция, однородная степени 0. Тогда скобка Пуассона
m q} = e2Req{",孙+ {р, w}p + {w, Р}р+価，w} pp)
будет 0(炉)вблизи (0, go), если на V
%+{",侬} =0, G +{而，户} = 0.
Поскольку {р, р} = {р, р} = — {р, р), всегда можно заменить f0 на (fo — fi)/2, а 厶一на (厶一曲/2 и тем самым добиться, чтобы 『0 = —fi. Приведенные выше два уравнения будут тогда совпадать между собой, поэтому, выбрав w, удовлетворяющее на V уравнению Hpw =—瓜 получаем {g, q} = O (p2).
Предположим, что {p, p}= O(pk) вблизи (0, go) для некоторого Л > 1. Как и на шаге а), имеем
{", р}= Е fiPfPk~!, где fk-! = — ffо
Положим теперь q = №p, где
旧=W 吗p/g”/T.
Тогда последний член в правой части (21.3,3) есть О^2*-1) (а значит, 0(夕电+1)), поскольку, как только мы ^высвобождаем»
любые два из наших 2右 сомножителей р, р, так сразу появляется скобка Пуассона {р, р}= O(pk), В двух средних членах вклады, связанные с появлением скобки Пуассона от р и р, суть 0("2亳")， а значит, 0(加+〔)・ Таким образом, скобка Пуассона (21.3.3) будет 0("+1), если
ff + HpWj — Hpwk_j = 0 на V.
Так как fk-j =——//, то при замене / на А — /мы получим то же самое уравнение; поэтому достаточно решить уравнения с j & fe/2. Следовательно, можно взять 叫 =0 при / > 々/2, и мы получаем уравнения
-F/ при / < А/2,pW,~ \ — fz/2 при j =々/2,
ибо функция fj — чисто мнимая, когда j = k/2 является целым числом. Далее,力 можно выбрать однородными степени 1——k9 и, продолжая по однородности решения приведенных выше уравнений для случая |£|= 1, мы получим функции @/, однородные той же степени, а функция 侬 будет тогда однородна степени 0.
Повторно выполняя шаг Ь), найдем функции 侬厶 имеющие нуль порядка / на V и однородные степени 0, такие что для каждого k скобка Пуассона {qkt ?尼}, где
% = рехр(砂+ •.. + 而*),
имеет нуль порядка А + 2 в некоторой фиксированной окрестности точки (0, ел) на V. Взяв функцию w с тейлоровым разложением ”+加丄 …на V и однородную степени 0, решаем задачу 《с точностью до бесконечного порядка» — добиваемся, чтобы интересующая нас скобка Пуассона имела на V нуль бесконечного порядка.
Итак, дело свелось к случаю, когда
{pb р2)= CR1 + С2р2>
где функции С/ однородны степени 0 и имеют нуль бесконечного порядка на И* Можно считать, что 呪/。&声 0・ Выберем однородную степени 0 функцию 厶 так, чтобы
{&Р1，pj = ef、c2P2, т. е. Hjx = c{,
н чтобы fi = 0 при #2 = 0. Решение этого уравнения первого порядка единственно, а следовательно, однородно степени 0, и оно имеет на V нуль бесконечного порядка, так как поле ЯР2 касательно к 匕 чтобы убедиться в этом, надо просто последовательно дифференцировать уравнение. Теперь заметим, что
{ef'Pi，е%} = 0, если {е%, %} + ef,c2 = 0;
у последнего уравнения снова есть решение f2> имеющее на V нуль бесконечного порядка. Таким образом, функция
а = (е“％ + ie&pMpi + 取)
=1 + (®，一 1) 〃 + i 1) 〃)/(% + Ф2)
бесконечно дифференцируема и отличается от 1 на функцию, имеющую на V нуль бесконечного порядка. Наконец, функция q — ар обладает требуемым свойством (Re q, Im q) = 0. Ввиду теоремы 21.1.9 можно дополнить Reg = & и Im(? = |2 до некоторой новой однородной симплектической системы координат, чем и завершается доказательство.
Замечание. Отметим, что после описанной выше редукции наше гамильтоново поле превращается просто в оператор Коши——Римана по %i + 1X2- Эта простота весьма важна для нас, поскольку позволяет установить связи с классической теорией функций и, кроме того, удобно иметь дело с оператором, с которым мы умеем обращаться и вне V.
Теперь изучим противоположную ситуацию, когда {р, р} #= 0 в некотором нуле у функции р, В этом случае поля Re 方р, 1т Нр и радиальное векторное поле р линейно независимы в точке у, поскольку если выполнено линейное соотношение
a Re % 十 b Im % + ср = 0,
то, применяя его к Im〃p, мы заключаем, ввиду однородности р, что a {Re Яр, 1т Яр} = 0, а применяя его к Re/T*, — что b {1т Нр, Re〃j = 0. В частности, р-^О) вблизи у представляет собой многообразие коразмерности 2. Заметим, что там, где р = 0,
{叩,丽} = I а |2 {р, р},
поэтому знак скобки Пуассона {Rep, Imp} нельзя изменить с помощью допускаемых нами операций. Следующая теорема показывает, что это и единственный инвариант:
Теорема 21.3.3. Пусть р — функция класса С00, однородная в некоторой конической окрестности точки (0,瓦)，причем s этой точке р = 0, a {Rep, Imp}>0 (соотв. VO)・ Тогда существуют однородное каноническое преобразование х, переводящее коническую окрестность точки (0, ея) (соотв. (0,——£〃)) .8 коническую окрестность точки (0, ^о), “ С°°-функция а с а(0, Ео)*。, такие что
%*(w)=瓦+京自•
Для доказательства этой теоремы нам понадобится одна лемма, которую мы сформулируем в достаточно большой общности, рассчитанной на еще одно применение в дальнейшем.
Лемма 21.3.4. Пусть р и q — вещественнозначные функции класса С°° вблизи данной точки у симплектического многообразия S, в которой р = q = G, а {р, д} > 0, 〃 пусть а, b ——положительные числа, удовлетворяющие условию 〃十匕=1・ Тогда существует единственная положительная функция и класса С°° 8 некоторой окрестности точки у, такая что
{иар, ubq} = 1.
В случае когда многообразие S — коническое, а р и q однородны степеней m и mf соответственно, функции иар и ubq однородны степеней а(1——mz)+ bm 〃 amf + 6 (1——m) соответственно.
Доказательство, Равенство (21.3.4) можно записать в виде
(2134)'и {", q} + 3qHp 一 apHQ) 〃 = L
На многообразии V коразмерности 2, задаваемом условиями р = 9 = 0, оно сводится к уравнению u{pt g}= 1. Поэтому, полагая и0 = 1/{р, q}, Ро = р峭，％ = g% мы имеем {「о,仇} =1 на V. Чтобы не усложнять запись, предположим, что р и ^ с самого начала обладали этим Свойством. По теореме Дарбу (теорема 21.1.6) можно выбрать симплектические координаты так, чтобы Ei = р, у =(0, 0). Таким образом, dq/dx\ Ф 0 в точке (0, 0), и, следовательно, уравнение д = 0 можно разрешить относительно %】： Y] = X(犬，£), где 犬=(尤2,…，陶. Поскольку 偽，х\ —X (x\ I)} = 1, еще раз применяя теорему 21.1.6, заключаем, что можно взять 尤 1 — Х(х‘，Е) в качестве новой симплектической координаты вместо хь В этих координатах мы имеем р = &1, а q = Qxi, Qm С00. Уравнение (21.3.4У принимает теперь вид
1 \ дxх 1 дx^ 1 6，
где многоточие обозначает дифференциальный оператор, коэффициенты которого имеют нуль второго порядка при xi = ^ = 0. Деление на dq/dx\ приводит это уравнение к виду, рассматриваемому в теореме С.2.1, ссылкой на которую и завершается доказательство первого утверждения леммы.
Пусть теперь р и q однородны. Выберем и так, чтобы (21.3.4) выполнялось в некоторой окрестности точки у, и положим р = и@р, Q = ubq. Тогда {Р, Q}= 1. Положим, далее, М*Р = Рь M；Q = Qf и M^u = uft где Mt — оператор умножения на f в М. Тогда
{R, QJ
в силу (21.1.6), и, поскольку Pt = tittup, Qt =贡俨q, мы П0Лув чаем
{a*, a汨}=产一吁匕
Ввиду единственности решения уравнения (21.3.4) отсюда следует, что
в некоторой фиксированной окрестности точки у, при условии что / близко к 1. Значит, и можно продолжить до однородной функции степени 1 — т —忙 причем равенство (21.3.4) сохраняет силу на некотором коническом множестве. Тем самым доказано, что Р и Q обладают утверждаемыми свойствами однородности.
Доказательство теоремы 2/.3.3. Предположим, что {Re р, Im р} > 0. Применив к Rep, Imp лемму 21.3.4 с а = Ь — 1/2 и у = (0, to), получим функцию и, такую что произведение ui/2p = р однородно степени 1/2 и {Rep, Imр}= 1. Выберем теперь вещественнозначную однородную функцию й степени 1, удовлетворяющую уравнениям
{Re % 力} = {Im 瓦力} = 0
и условию h(y) = 1. Чтобы сделать это, просто найдем решение этих дифференциальных уравнений, ограничение которого на У = р-1 (0) равно какой-нибудь заданной функции класса С°°, принимающей значение 1 в точке у. Это возможно, поскольку [Яие 0, Him 力]=0 в силу тождества Якоби, так что применима теорема Фробениуса (см. следствие С.1.2). Заметим, что плоскость, натянутая на векторы Hr^ 吕 и ，im 广，трансверсальна к V. Из единственности решения следует его однородность. Далее, теорема 21.1.9 показывает, что вблизи (0,紛 можно найти однородные симплектические координаты, такие что
Т)1 = /i1/2Rep,2/1 = л~1/2 Imp,必=九
и у\ ==・• ♦ —- Уп — т] j — ... — т]л—1 — 0 в точке Тогда
九"2/ = Т)1 + Ф1П»>
что и доказывает теорему для случая {Rep, Imp}> 0. В случае противоположного знака применяем этот результат к Q и заключаем, что существуют симплектические координаты, такие что точка (0, Wo) получает координаты (0, е„), а произведение функции р на некоторую не обращающуюся в нуль функцию равно П1 — igin〃・ Теперь остается только заменить координаты д〃, т)〃 на ——уп,——т)п. Предложение доказано.
Множество нулей функции р может быть симплектическим многообразием коразмерности 2 даже в случае, когда скобка
Пуассона {Rep, Imр} тождественно равна 0 на нем. Примером служит
p = p] +他=К + ‘咪紋々> L
здесь {p,. P2} = M~,5n.3L0/0x1,"。= -^L自//隔
+ х^д/дхп, поэтому все составленные из р【，р2 скобки Пуассона, содержащие не более k сомножителей, равны нулю при & =%【 =0, но
"^% =仇，{%…，{%，必}…}} = «吒"，° при з*S
Инвариантное описание этой ситуации.дает
Теорема 21.3.5. Пусть р = pi + /Р2 — однородная С^-функция, определенная s некоторой конической окрестности точки у =(0, Ео), причем в этой точке р = 0, a HPl 声 0. Предположим, что "2 вблизи ? имеет нуль фиксированного порядка 月 > 1 ★〃 каждой интегральной кривой поля Нpi в р~[ (0) (т. е. на каждом слое гамильтонова слоения инволютивной поверхности р~!(0)). Тогда нули функции р, лежащие вблизи у, образуют некоторое многообразие V. На V выполнены следующие соотношения: Нр尸 bHPlt где Ь 三 С00, все скобки Пуассона от р* ti р2 c более чем k сомножителями равны нулю и для любой функции а s С00
н3 ао Im ар = I а |2 (Re (а + iba))k~' Н^е р Imp.
Существуют однородное каноническое преобразование %, переводящее коническую окрестность точки (0, еп) в коническую окре- стность точки (0, Ео), и С°°-функция а с а (0, go) W 0, такие что
%* (ар)=专+次相緑
за исключением случая, когда знак правой части (21.3.5) всегда отрицателен, т. е. когда k нечетно, a H^Q р Im р < 0; 8 этом случае Imp меняет знак с плюса на минус при движении вдоль интегральных кривых поля Нр、и высказанное утверждение справедливо при замене Епна —&小
Прежде чем доказывать эту теорему, докажем один общий результат о приведении к нормальному виду, вытекающий из подготовительной теоремы Мальгранжа. Хотя он и не дает настоящей нормальной формы, он будет играть важную роль в гл. 26 и 27.
Теорема 21.3.6. Пусть р = р〔 + 力卩2 — однородная С^-функция, определенная в некоторой конической окрестности точки (0, &), и пусть в этой точке р = 0, а вектор Нр линейно независим с радиальным вектором. Тогда существуют однородное симплектиче-
ское преобразование %, переводящее коническую окрестность точки (0, еп) в коническую окрестность точки (0, go), w однородная 3-функция а с а (0, &о)*О, такие что
X* (ар) = ^1 + 旷(X, У),
где ^ =(Ь, ..., &〃)• Таким образом, мнимая часть функции X* (ар) не зависит от 自入
Доказательство. Можно считать, что функция р однородна степени 1 и что направление поля Н^ер не совпадает с радиальным. По теореме 21.1.9 можно выбрать однородные симплектические координаты так, чтобы pi = ^ и g0 = е«. Тогда, в частности, °p/°WiW° и, согласно подготовительной теореме Мальгранжа (теорема 7.5.6), найдутся функции д, г класса С® вблизи (0, eft), такие что
h = qp +г,
где г не зависит от ^. Сужая наши функции на гиперплоскость grt = 1 и продолжая их с нее по однородности, можно сделать g и г однородными степеней 0 и 1 соответственно. Таким образом, записывая г в виде /■=/■】+ ir^ имеем
др =募—八一tr2,
и новое применение теоремы 21.1.9 дает однородные симплектические координаты с gi = %i и тц = ^i ——гь Тогда НУ1 — HXl — —O/dg[, а потому Я^/2=0. Следовательно, в этих новых координатах —г2 = ^(у, г)Э, а значит, qp = ^ + if(y, ПЭ ,где f не за' висит от 巾.Поэтому функция а = д н преобразование %: ®,п) i—>(x, g) обладают требуемыми свойствами.
Доказательство теоремы 21.3.5, На гиперповерхности Уь зада- ваемойусловием pi = 0, нули функции q = Н^ *р2 образуют гиперповерхность 丿2, на которой {pi,g}W0 и ^^2 = 0 при /V 削 Поэтому ограничение функции р? на 匕 делится на qk9 а следовательно,
Р2 = Ь"1 + cqky
{Ръ р2} = рЛРъ 6} + {%, с} qk + ck 3, q}沪】，
где bt cwC8. Таким образом, множество V нулей функции - р локально совпадает с У2, и там, где это совпадение имеет место, ЯРз = ЬНР1. Все скобки Пуассона с более чем k сомножителями Pi, Р2 равны нулю на V. Действительно, взятие скобки Пуассона от {рь р2} и cqk дает нуль порядка k—1, который нельзя убить последующими k ——2 скобками Пуассона, и скобка Пуассона от функций, делящихся на 口卜 снова делится на рь Поэтому поста*
точно доказать (21.3.5) для случая, когда а — константа. Но в этом случае
{Reap, Imap} = z {ар,而}/2 = |a F{R匕р, Imp},
а Н^ар можно заменить на (Re (а + iab)^x Н^р, Выберем теперь функцию а и новые симплектические координаты так, чтобы функция ар имела вид
4 = Ei + if (%, У)
и 7 = (0,еп) (теорема 21.3.6). Так как H^q — d/dx\ #=0, из уже доказанной части теоремы следует, что нули функции д, лежащие вблизи (0, ел), образуют многообразие коразмерности 2, на котором
瓦』0, @/f (%, Е')/。* = о при j<k и dkf (х, ^)/дх^ #= 0.
Уравнение дк~[1(х, ^)/дх^~[ = 0 определяет 尤1 как некоторую С°°-функцию Х(М, g), и производная 0» (尤,^)/^{ должна равняться нулю при Xi — Х(х\ ^)> поскольку множество нулей функции q есть многообразие коразмерности 2. Таким образом, частное f (%, &')/(%[—X(y‘, &，))* гладко и положительно, в случае если dkf(x9 ^)/дх^ > 0 в точке (О, £л), как мы сперва и предположим. Следовательно, из него можно извлечь положительный корень й-й степени, так что /(%, ?) = g(居 F)* где функция g принадлежит классу С00, однородна степени l/月 и удовлетворяет условию {Ei, g(x, &')}> 0 в точке (0, ert). Теперь можно применить лемму 21.3,4 с р, замененным на 尿 и q> замененным на gt при а — k/(k + I) и 方 =1/伍 + 1)• Это дает функцию 〃, такую что
{(pt ^)=1, где ①=//依+唱，屮= t?/信+Dg.
Функция ф однородна степени 月/(左 + 1), а * однородна степени 1/但+1). Как и при доказательстве теоремы 21.3.3, мы можем подобрать функцию й, однородную степени 1 и удовлетворяющую условию ft (0, ert)= 1, так, чтобы
{ф,力} = {也无} = 0.
По теореме 21.1.9 найдутся однородные симплектические координаты 弘 т| в окрестности точки (0, еп), такие что д = 0, г] = ел в этой точке и
Тогда
"砧 Щ川修”(瓦 + if) = % + S:%,
и тем самым в случае dkf/dx^ > 0 теорема доказана В случае противоположного знака можно применить это заключение к функции р и привести р к виду г\{ — /^т|л вблизи (0, ея). Если k четно, то, умножив на ——1 и взяв ——gi,——т)[ в качестве новых координат вместо д】,гц, приходим к нужной форме. Если k нечетно, то заменяем д〃，т]〃 на ——уп,——т]п и получаем эквивалентность с Л1 + Ф*т)п в некоторой окрестности точки (0, —еп). Знак выражения в правой части (21.3.5) в этом случае неизменяем, и потому добиться эквивалентности с Л1 + ^Лл вблизи точки (0,勛)нельзя.
Складки и гиперповерхности со скользящим пересечением
В предыдущих параграфах мы изучили ряд проблем симплектической классификации в невырожденных ситуациях. Теперь рассмотрим некоторые простейшие вырожденные случаи, отправляясь от лагранжевых подмногообразий А кокасательного расслоения Т* (X). Если А является сечением, т. е. проекция л: A f X есть диффеоморфизм, то, как мы знаем, А локально представляет собой график дифференциала некоторой функции на X; в действительности это наблюдение, сделанное в § 6.4, было как раз тем моментом, когда мы впервые соприкоснулись с теорией лагранжевых многообразий. Исследуем, далее, случай, когда л ——складывающее отображение (по поводу определения используемых в этом параграфе понятий и основных относящихся к ним фактов см. § С.4).
Теорема 2141. Пусть X — многообразие класса С°° 〃 А — лагранжево подмногообразие в Т*(Х), такое что проекция Af X имеет складку в точке (х0, Во)е Л. Тогда существуют локальные координаты 尤 8 X, обращающиеся в нуль в точке х0, и функция 巾(％) класса С00 вблизи 0, такие что вблизи точки (х0,1о) многообразие Л допускает следующую параметризацию:
Л = {(х, д^/дх\ 讣曲"士 喈)；xn>0).
Здесь xz = (хь .・・,хя-1).
То что (21.4.1) определяет многообразие со складывающей проекцией, становится очевидным, если положить хп = /^: рассматриваемое множество принимает тогда вид -
{(九焉"*(厶幻，…，%WY)+幻}■
При 61Ko мы имеем графики дифференциалов двух функций р (%) 士 (2/3) х^2, поэтому ясно, что Л ——лагранжево многообразие.
Доказательство. В силу теоремы С.4.2 можно выбрать локальные координаты /[, ..., ^ в Л и Хь ..., хл в X так, чтобы проекция точки из Л с координатами (f, /„) имела в X координаты (「，f*)・ Тогда Л представляется в виде
А = {(，，彳，КО)},
где E(f)——некоторая С°°-функция от f со значениями в <₽以；мы используем стандартные координаты в кокасательном расслоении. Из лагранжевости Л следует, что форма
?黑叫(幻
замкнута, а значит, является дифференциалом некотопой функции ф(/) с
。①/Of/ =畐 при / < n, d^/dtn = 2/„g„.
Следовательно, Л есть график (точнее, объединение графиков) дифференциалов двух функций 中(尤：± %??) при хп > 0. Чтобы представить его в нужной форме, запишем ф в виде ①=фчет + фнеч, где функция фчет(/) = (ф(^, М+ Ф(^\—^))/2 четна относительно определяемой складкой инволюции в Л, а фнеч нечетна. Из теоремы С.4.4 мы знаем, что ^чет(^) = ^^, /2) для некоторой функции W класса С°° вблизи 0. Поскольку 6, ••・,厶 служат параметрами на А, то 0&//06jW0 в 0 для некоторого /. Но d^j/dtn = d2<p/dijdtn = 0 в 0 при j V 孔，значит, мы должны иметь d^n/dtn =^ 0 в 0, т. е.
d\^/dtl-dWVd^
Изменив, если надо, знак у tn, можно считать, что эта производная положительна. Так как 。@宀/。以=0 при tn = 0 для / < 3, мы можем теперь записать фнеч в виде Фнеч(ч = ^ (0, где 尸—функция класса С00, удовлетворяющая условию 尸(0)>0 и четным образом зависящая от tn. Поэтому теорема С.4.4 показывает, что существует функция G класса С00 вблизи 0, такая что
((%%以⑴产=(3/2尸⑴产^ = G (匕%.
При хя =0 мы имеем G = 0 и dG/dxn > 0, а при хп > 0 имеем Фнеч(х/, ±хя1/2) = ±2/зС(^)3/2- Взяв 6(х) в качестве новой переменной вместо 尤小 получим утверждение теоремы.
Замечание. Функция 2 и координатная функция /л однозначно определены в области, где > 0, а в остальном произвольны, лишь бы они были гладкими. Прочие переменные ——это любые переменные, определяющие координатную систему. Поэтому другая формулировка теоремы состоит в том, что существуют две функции фнр класса С00 вблизи х0 с(р(хо) = 0, ф^Хо)^ 0, такие что проекция многообразия А на X локально задается условием Ф ^ 0 и Л представляет собой график дифференциалов функций 《±(2/3)(рЗ/2 Лагражевы многообразия такого вида часто возникают в теории дифракции.
Теперь рассмотрим складки над симплектическими многообразиями. Это приводит к вырожденным симплектическим структурам, которые мы уже обсуждали в § 21.1.
Теорема 21.4.2. Писть S — симплектическое Сж-многообразие9 Т ——произвольное С^-многообразие той же размерности 2п, что и S, и X Т f S — отображение класса С00, имеющее складку в точке f» Тогда существуют локальные симплектические координаты х,己 на S, обращающиеся в нуль в точке f{/0), 〃 локальные координаты у、笃 на 7, обращающиеся в нуль в i。，такие что
⑵.4.2) f (协"П)===(У[, • • •, %，П；/2，1n2，• • •, %)，
Поэтому поднятие с S на Т симплектической формы о задается формулой
f*a == т)1 dm Л d,i + £ d” Л d%
Обратно, пусть у, Т)— локальные координаты на Т, обращающиеся в нуль в /о, причем все они четны относительно инволюции, определяемой складкой, за исключением координаты т)ь которая нечетна. Тогда если поднятие /*а задается формулой (21.4.3), то существуют локальные симплектические координаты х,己 вблизи f(fo), такие что справедливо (21.4.2).
Доказательство. В силу теоремы С.4.2 можно выбрать локальные координаты fi,.,.,友幫 на Т, обращающиеся в нуль в точке /о, и локальные координаты s% ..., s2n на S, обращающиеся в нуль в точке /(%), такие что
"/)=&, • • •, &—N痂/2)・
По теореме Дарбу 21.1.6 найдутся локальные симплектические координаты х, g на S, обращающиеся в нуль в точке /(/о), такие что gi = §2小 Тогда
будут локальными координатами вблизи точки /0- Действительно, если производные от 切，тр в этой точке по направлению у равны нулю для всех /, то〈» dt^ = 0 и
(/7(^о)Y» d,〉= Co)Y，d|/) = 0, /= 1, 叫
поскольку〈『(%) у, dg) =〈％ d%/2〉= 0; следовательно, у = 0. Так как ^/2==/*^р имеет место (21.4.2), чем и доказано первое утверждение теоремы.
Чтобы доказать второе, выберем, опираясь на теорему С.4.4, функции ,/, pft класса С°° вблизи /(/0), такие что fq； = у】и Грл =Па при 论娱 1, а /%=т|：/2・ Из (21.4.3) следует, что а = J} dpi Л dq^ на образе отображения f; в частности, мы видим, что д, р служат локальными координатами вблизи точки f(to). Они являются симплектическими при р\ > 0, но при pi < 0 совершенно произвольны. Положим теперь ^ — р〃 X/ = gj в той области вблизи нуля, где р〔 > 0, и продолжим эти функции на некоторую полную окрестность нуля так, чтобы
Hq#j = 0, Н q^j = — 6屮
Эти уравнения выполняются при "i > 0, и,посколькуЯа = —(5/5^ при pi = 0, они однозначно определяют х, | в некоторой окрестности нуля. Для этих новых координат коммутационные соотношения справедливы и при 自】V 0, так как, в силу тождества Якоби,
”％ {々，％}=т, {х/,弘}}=-{办，{%, х/}} + {々，{%,融}}=о и аналогично для других скобок Пуассона. Итак, эти координаты симплектичны, и равенство (21.4.2) остается в них верным, чем доказательство и завершено.
Поднятие or = f*a формы <у с S на 7 является, конечно, замкнутой два-формой. Если обозначить через i инволюцию, определяемую складкой, то Гаг = ат, ибо "i = f. Это очевидно также из (21.4.3), поскольку / просто меняет знак у $. Эту ситуацию характеризует следующий вариант теоремы 21.1.7 для многообразий с инволюцией:
Теорема 21.4.3. Пусть S 以 а удовлетворяют условиям теоремы 21.1.7. Предположим, что на S задана С°°-инволюция，，для которой /*о = а, и пусть So ——множество неподвижных относительно этой инволюции точек. Тогда на S существуют локальные координаты у, н, такие что а задается правой частью (21.4.3) и инволюция £ лишь меняет знак у координаты т)ь
Доказательство. Дадим доказательство, совсем не использующее теорему 21.1.7, поскольку наличие инволюции в действительности
сильно упрощает дело. Пусть si, ・・.,s2« — локальные координаты вблизи некоторой точки so 三 So, такие что инволюция просто меняет знак у s^n- Запишем
а — ^^ а〃 cfs； л ds卜
Так как Га = а, то Гао равно а” при j*2mH ——а” при / = 2п. Отсюда следует ввиду теоремы С.4.4, что для подходящих Ац^С^
о = X (f 4/) df f Л df ”
где f(s)— (sp ..., s2rt_p s；〃/2), ибо это равенство означает просто, что f^Aij = ац при / < 2л и $2〃产4了=仪廿 при / = 2п. Форма
3= Е Ац (/) d^ Л dtj
замкнута при ^л N 0, поскольку замкнут ее прообраз при отображении Д и невырожденна в 0. Следовательно, по лемме Пуанкаре,
5 = d(XBl(t)dtl)
при %》0 и, скажем, |f|V6, где 8, — некоторые функции класса С00 в указанной области. Продолжая их до С°°-функций в шаре {/三 R2* |f|v6}, видим, что функции Ац можно выбрать так, чтобы форма а была невырожденной замкнутой два- формой в некоторой полной окрестности нуля. Так как ст = /*5, доказываемое утверждение немедленно следует теперь из теоремы 21.4.2.
Теорема 21.4.4. Пусть S 〃 а удовлетворяют условиям теоремы 21.1.7 и 力 g — две инволюции, для которых /*а = а, g*a == а. Предположим, что эти инволюции имеют общее множество неподвижных точек So 汉 определяемые ими векторы отражения линейно независимы,. Тогда существуют локальные координаты х, £ такие что
仃=& d&i Л d修 + § 恋『А 5,
⑵45) f(/自) = (工,一舟，汾，g(居自)=(修+ 金, k 一£7).
Доказательство. Опираясь на теорему 21.4.3, выберем координаты х, Е，в которых а и f имеют требуемый вид. Далее, опираясь на теорему С.4.6, построим другой набор локальных координат у, т], которые обращаются в нуль в той же точке и в которых требуемый вид имеют J и g. Нам надо увязать между собой эти две системы координат. Заметим, что в системе х, | векторное
поле д/дх\ при & =0 однозначно (с точностью до скалярного множителя) определено как поле, принадлежащее радикалу симплекгической формы о, а в системе 弘 п векторное поле д/ду} при г)】=0 однозначно задается с помощью линейной оболочки указанных в формулировке теоремы векторов отражения. Поэтому первый шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что эти векторные поля в действительности совпадают (с точностью до скалярного множителя). С этой целью докажем, что
%{%，幻} = %{%, П/} =。， / = 2, ..., 〃，
при П1 = 0, т. е. при & = 0
(отметим, что ^Н^ — гладкое векторное поле). Чтобы доказать это, положим и = у{ или п/ для некоторого / > 1 и заметим, что /*〃 = “, g*〃 = 〃, a f*g*y\ —，】=—т)ь Отсюда вытекает, что при m о
—{1Ъ，«} = {f*g%，f*gZ} - ® 〃} = j*g* 也” 〃}-也” «}.
Следовательно,
—nN%, 〃}=/*g*m{9i, 〃}) —” {，卜 u}=0 При т)| = 0,
чем (21,4.6) и доказано. Далее,
_ j■(丽0*,一丽若I丿+
где многоточие обозначает гладкое векторное поле, обращающееся в нуль при Ei = 0. Но т|1 = 0 при & = 0, поэтому
办园*1 = 0, dt|i/dEi*O и ^H^^^jdl^d/dxi
при ^ = 0, и (21.4.6) дает
@力/@*1 = а%/。/= 0, / = 2п, 0%/@*1 = О
при 對=0,
чем и доказано сделанное выше утверждение о совпадении полей д/дх\ и д/ду\.
Координаты х, Е можно выразить через координаты у, т)： х{ = <р/ (у,喑，<) Для всех /,
£ = %电(孙喧,吟，务=也(4,寸，0 Для /> 1.
Здесь мы учли, что все наши координаты, кроме 自i и rji, четны относительно инволюции /, а эти две нечетны. Дифференцирование по X] дает, с учетом соотношений (21.4.7) и того вытекающего Из них факта, что ду\/дх\ #= 0,
d^fldyx = 0,。屮//。〃] = 0 при / ^= 1,瓦=0・
Таким образом, функции
Ху — фу(0, у— О, Т)'} н I； = ^/(0, yf, 0, n‘)，j * 1, совпадают при & = 0 соответственно с х； и g/ и четны относительно fug. Положим 兄1 =修；это четная относительно / функция.
Если。三。8,,气=^ и ди/дху = 0 при Ei = 0, то 儿 есть гладкое векторное поле, равное при 3=0
容空 羯№ 呜％ м喝丿
Действительно, при gi * 0
du d、^7^I7Jdu d、^7^I7J忆=古俄言-爲舒)+e崗/
du d、^7^I7J
du d、^7^I7J
Поскольку и и du/dxt ——четные функции от &“ то dv/dx} = 0 (&；) m0〃0自1 =。隔)，а значит,0〃死］=日炉"碗;+ 。 (苫；).
Теперь можно завершить доказательство, весьма близко следуя доказательству теоремы Дарбу 21.1.6. Чтобы иметь возможность использовать (21.4.8), выберем симплектические координаты р, д с требуемыми свойствами в таком порядке: р?, 92, • • •, рл, qn, Рь 办 Положим 卩2 =亙 Тогда 小=& при & =0 н f*p2 = Ьр2 = р2・ Затем определим д? как решение краевой задачи
{卩2, %} = 〃Р02 = 1，^2 = 0 ПрИ Xg = 0,
Это решение единственно вблизи нуля, ибо в нуле dx2 = ^2- Далее, и само дифференциальное уравнение (условие на скобку Пуассона), и граничное условие инвариантны относительно / и g, поэтому f*^2 и g*02 тоже будут решениями, а следовательно, f*q? = g*q? = qz，При 自i = 0 указанным уравнению и граничному условию удовлетворяет д?=尤2, поскольку, как показывает (21.4.8),
〃P2=^~ прИ J = °；
0#2 竭0勺
значит,仇=工2 при gi=0. Поэтому (21.4.8) применимо к 仇，н мы можем выбрать функцию р3, удовлетворяющую условиям
Н ррЗ = Н qj)3 = °， Рз = & "РН 卩2 = 92 =。・
Продолжая таким же образом, получим функции 卩2, 92, ..., р小 令门,которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и все инвариантны относительно fug; следовательно, эти функции
равны 自2，工2，・・•， &小 ^л при gi =0. Теперь определим р； как решение задачи
Нр：Р1 = Hqjp[ = 3 j > 1, Pl = Л1 口PH 02 = • • • = ?n = 0.
Так как т]( нечетно относительно / и ^, то же верно и для р*. Наконец, решение q\ задачи
"о% = "др =。，j>l, Pi%i 仇=1,
91 = 0 при 02 ==% = £] = 0
четно относительно инволюции 厶 ибо таково х», но по отноше^ нию к инволюции g никакими простыми свойствами не обладает.
Введем теперь построенные функции g р в качестве новых координат 2, J. В этих координатах симплектическая форма о задается формулой вида (2i.4.4), / — формулой вида (21.4.5), а
g^ g) = Q】 + G(z, 0, " —
где G — некоторая пока неизвестная функция. Из симплектич- ности g следует, что
—&d (— б) Л d(2j + G (г, 0) = 0 典 Л dZ],
поэтому d* 人 dG = U, а значит, G есть функция от одного S Из того факта, что g ——инволюция, вытекает, что функция G нечетна; при этом Gz(0)#=0, поскольку векторы отражения у f и g разные. Выполним теперь заключительную замену переменных 21, G】,чтобы получить функцию G нужного вида. На этом шаге прочие переменные уже больше не участвуют, так что мы опустим их в записи и, чтобы избавиться от индексов, введем обозначения f = zi, т =
Положим х(^, т) = (М(т), В (т)). Тогда х。f = /。х, если функция В нечетна, а А четна, и х сохраняет симплектическую форму tdtAd厶 если
В (т) & (т) А (т) = т・
Наконец, х-1 о g о х == go, где go(f, т) = (f + 岳一т), если
gох(/, т) = (/Д(т) + G(В(т))» — В(т)) = хо§0(/, т)
= ((< + т)Л(-т), В(—т))・
Последнее условие означает, что
G (В (т)) = тЛ (т) = т2/В (т) Вх (т).
Это уравнение легко интегрируется и дает
В(т)
叫3 = ^ sG (s) ds・
Так как функция G нечетна и Gz(0) =И= 0, интеграл в правой части можно записать в виде 83Gl (В)，3, где Gi ——некиюрая четная функция с Gi(0)#=0. Таким образом, мы приходим к уравнению
t = BG](B)"3,
которое однозначно разрешимо по теореме о неявной функции. Теперь можно из (21.4.9) определить функцию А, которая будет четной и гладкой в 0, ибо В имеет в 0 простой нуль. Взяв х-1 (/, т) в качестве новых переменных, завершаем доказательство теоремы.
В качестве первого приложения теоремы 21.4.4 получим нормальную форму канонических отношений со складками:
Теорема 21.4.5. Пусть Si, S2 ——симплектические многообразия одинаковой размерности с симплектическими формами о】, аг и множество G и Si X S2 вблизи точки (s；, s, s St X S2 представляет собой каноническое отношение из S2 8 Si, г. е. лагранжево подмногообразие по отношению ко】 ——о2* Предположим, что обе проекции л；: G->S/ имеют складки в точке (s；,岡).Тогда можно выбрать локальные симплектические координаты х, g на Si, обращающиеся в нуль в Sp и у, т] на S2, обращающиеся в нуль в s®, такие что
G = {(х, &; у, т]); £ = “1 = 2 (尤]•— У\^^ 尤'—匕 F = "'}・
Доказательство. Положим а = л;*^! = ^^2* Согласно теореме 21.4.2, это вырожденная симплектическая форма на G вида (21.4.3). У инволюций 厶 и /2 многообразия G, порождаемых отображениями ли и 冗2, векторы отражения различны (линейно независимы), поскольку они лежат в ядрах дифференциалов dn“ а (ль лг) — инъекция G в S^XS?. Поэтому из теоремы 21.4.4 следует, что можно выбрать локальные координаты /ь ..,, tnj ть ..., тл на G, обращающиеся в нуль в точке (s?,第),такие что
о = Т1 dq А 山1 + ¥ d%! л d%
fl 亿 т) = (/1 + т“ 九— J, Y)， %(厶 t) = (厶一q, i), -
где / = (Z2, /л). Следовательно, /р ..厶,т；, т2, ..., тя инвариантны относительно % и, значит, по теореме 21.4.2, на S2 вблизи s° существуют локальные симплектические координаты у, г|, в которых
叱(0 = (厶片/2, У)・
Аналогично 厶 + %/2, tv ..., J 片,т2, ...» % инвариантны относительно ", поскольку 厶 + 豆 + (——q)/2 =厶 + j/2. Так как
о = j dq A d (厶 + q/2) + £ dt, A 力力 2
можно выбрать симплектические координаты х,己 на Si, в которых
冗 1(/, т) = (а + %/2, Г, %/2, т)
Таким образом,
G = {仏 + %/2,九寸/2, J; /р /,可/2, Y)}, откуда очевидным образом следует доказываемое утверждение. Отметим, что наше каноническое отношение воздействует лишь на одну из п пар симплектических координат.
Чтобы мотивировать следующее приложение теоремы 21.4.4, кратко обрисуем ситуацию, из которой оно возникло; это даст ключ к пониманию используемых в доказательстве конструкций. Рассмотрим гиперболическое уравнение (второго порядка) в X с главным символом р. Его бихарактеристики, т. е. кривые гамильтонова слоения множества р-1 (0), — это световые лучи в геометрической оптике. Когда такой луч достигает некоторой поверхности S, задаваемой уравнением s(尤) = 0, применяется закон отражения. Это означает, что точка (х, Е—)w Т*(Х), характеризующая положение падающего луча в момент встречи с S или, точнее, с Г*(Х)|$, заменяется на начальную точку (х, Е+) отраженного луча таким образом, чтобы вектор |+ —自一 был конор- мален к S и, конечно, выполнялось условие р(х, |+) = 0. Другим способом это можно выразить так: мы идем из |_ в 自+ вдоль гамильтонова слоения множества Т*(Х) |s, т. е. множества нулей функции s. Затем мы следуем вдоль гамильтонова слоения, порождаемого функцией 亿 до следующей встречи с Г*(Х) |s и т. д. При такой формулировке закона отражения обнаруживается замечательная симметрия между ролями, которые играют функции pus. Разумеется, для того чтобы эта процедура была выполнима для всех лучей, близких к некоторому данному лучу, касательному к отражающей поверхности, а точнее к Т*(Х) |s в точке, скажем,(尤о,自о),— а это в действительности наиболее интересный случай, — нужно наложить определенные ограничения. Во-первых, надо обеспечить, чтобы вблизи точки 自一в нормальном (к S) направлении от нее существовал ровно один другой нуль функции р(х, Е) (возможно, совпадающий с |_). Это гарантировано, если мы знаем, что вторая производная от р в указанном нормальном направлении отлична от нуля, т. е.
{s, {s, р}}=И= 0. Во-вторых^ нужно установить контроль над тем, как бихарактеристики функции р пересекаются с S. Простейший приемлемый случай ——это случай простого касания, когда порядок соприкосновения данного луча с S не выше первого, т. е. H^s = {р, {р, s}} * 0 в точке (хо,厶).В совокупности с очевидным требованием, чтобы dp и ds были линейно независимы, это и будут те ограничения, которые мы наложим:
Определение 21.4.6. Пусть S ——симплектнческое С°°-многообра- зие и 尸，G — две С°°-гиперповерхности в S, трансверсально пересекающиеся в точке s()wS. Будем говорить, что F и G имеют в So скользящее!) пересечение, если гамильтоново слоение гиперповерхности 尸(соотв. G) просто касается гиперповерхности G (соотв. F) в этой точке.
Если выбрать функции fug так, чтобы f = 0 на F, g = 0 на G и df #= 0, 2g* 0 в so, то условие трансверсальности пересечения означает, что df и dg линейно независимы в s0> а остальные условия можно записать так:
{f,g} = 0, {f, {f, g}}*0 и {g, {g,力} * 0 в s°. Таким образом, мы в точности имеем ситуацию из проведенного выше обсуждения. Положим J = F QG. Это ——многообразие коразмерности 2. Рассмотрим его подмножество
К = {Е；亿 g} = 0}, состоящее из тех точек, в которых пересечение гиперповерхностей 尸 н G не является симплектическим. Оно представляет собой многообразие коразмерности 3, поскольку df, dg и d{f, g} линейно независимы в точке s0, ибо Hf {/, ^} #= 0, a H^g = Hff = 0 и Hf, Hg линейно независимы. Чтобы сделать ясной геометрическую картину, введем локальные координаты, в которых поверхности F, J н К задаются удобным образом:
Лемма 21.4.7. Существуют окрестность U точки so в S и локальные симплектические координаты у, “ на S, обращающиеся в нуль 6 so, такие что
F Пи= {(д, т))е U; 4/1 = 0},
/пи = {(9, T])wU; % = 0, % =喻
КГ)и= {®, Т])е и；弘=5 = П” = 0}・
Доказательство. Выберем локальные симплектические координаты х, &, обращающиеся в нуль в s0, в которых 尸 задается
В оригинале glancing.—Прим, перев.
вблизи точки (0,0) уравнением xj = 0, a G — уравнением g(x, ^) = 0. Из (21.4.10) вытекает, что
dg/鸣=0, @2g/奘;*о в (0, 0).
Так как g(0, 0) = 0, мы видим, что g как функция от & имеет в 0 нуль второго порядка. Из подготовительной теоремы Маль- гранжа (теорема 7.5.6) следует, что существуют С°°-функции а, &, обращающиеся в нуле в нуль и не зависящие от 三】,и С°°-функция р с р(0, 0)=И= 0, такие что
g = p 圈 + 骑 + ь) = p (圈 + q/2)2 + & -出/4).
Опираясь на теорему 21.1.6, мы можем теперь выбрать новые симплектические координаты у, ”, обращающиеся в нуль в s0, с
П1 —^i +а/2> У\ = /•
Поскольку 6/01]1 = —Н趴=—Нх = 6/d&, то &(х, У)' —а(*,У)2/4=—с®,rf), где с не зависит от 巾.Очевидно, что с (0, 0) = 0. В новых координатах гиперповерхность G задается уравнением gi (弘“)= т)； — с(у, т|/) = 0. Линейная независимость dy} и dgi дает(
dy，《c (0, 0) * 0.
Симплектической заменой координат д', т/ можно сделать с (°，4‘，т/) ОДНОЙ из ннх, поэтому мы можем считать, что с (0, У, "') = "/(• Тогда 戶,J, К принимают вид, указанный в формулировке леммы.
Приведем некоторые простые, но важные следствия из доказанной леммы. В обозначениях леммы выберем окрестность U шаровой (в координатах у,刀)и положим
%® П)=(4, — П1，"'), (у, n)w/f]U・
Так как кривые гамильтонова слоения гиперповерхности 尸一 это просто прямые, параллельные оси &】,из леммы следует, что (9, П) и i尸(у, т])——единственные точки в /, лежащие на одной и той же кривой этого слоения; эти точки различны между собой, если (у, п)亥 К. Следовательно, С°°-инволюция iF многообразия J определена инвариантно-^не зависит от произведенного выбора локальных координат — и имеет множеством неподвижных точек К. Эта инволюция и есть реализация конструкции, обрисованной в данном выше вводном обсуждении с физическими мотивировками. Векторы отражения, отвечающие инволюции i尸，порождаются полем 〃/, поскольку в наших локальных координатах это поле записывается как д/дщ. Ограничение на J
14 Зак. 443
заданной на S симплектической формы равно
§ dt|/ Л dyt + 2т)1 dt|i Л dyn
и, значит, удовлетворяет условиям теоремы 21.1.7 с 九,замененным на п— 1. Наконец, для 屮 w C°°(U) поле Н^ касательно к / в «о тогда и только тогда, когда форма d^ равняется нулю на векторах, идущих в направлении Hf или в направлении радикала симплектической формы, суженной на К. Действительно, эти условия означают соответственно, что 徹)/0巾=0 или ^/дуп = 0 в (0, 0), а касательная плоскость к Z в s0 задается условиями dy\ = dr)rt = 0, так что поле % касательно к S в So в том и только том случае, если d^/Oni = д^/дуп = 0.
Мы готовы теперь к тому, чтобы доказать, что все пары гиперповерхностей со скользящим пересечением эквивалентны между собой:
Теорема 21.4.8. Пусть S — симплектическое С^-многообразие и F, G — две гиперповерхности в S с трансверсальным скользящим пересечением в точке s()eS・ Тогда «а S существуют локальные симплектические координаты х, &, обращающиеся е нуль е so, в которых F задается уравнением х\ = 0, а G — уравнением 畠一/Тп = 0.
В частности, размерность 2九 многообразия S, обладающего парой гиперповерхностей со скользящим пересечением, не меньше 4. То что п должно быть больше 1, ясно и так, поскольку из условия {厶 g}= о(Н『，〃g) = 0 вытекает в случае 孔=1, что Hf и Н8 пропорциональны.
Доказательство. Многообразие J с формой а|7 (ограничением на / симплектической формы на S) и инволюциями i% % (последняя определяется точно так же, как и if) удовлетворяет в силу предыдущих замечаний условиям теоремы 21.4.4. Следовательно, можно выбрать на / вблизи s° локальные координаты 力,•.., tn-h Ti,…，Tn-i так, чтобы
л— 1
о |/ = 2G d% A df[ + X dxj л df〃
2
i尸(力，^) (Л J, ^2» • • •» %—1),
G (Л Т)==(£1 + 2Т[, ^2> - • •, %—1，—巧，0，•・•，^л—!)•
Множитель 2 мы включили сюда, чтобы упростить последующие формулы. Это допустимо, поскольку из той же теоремы 21.4.4 вытекает эквивалентность этой модели со старой, что, впрочем, немедленно проверяется непосредственной заменой переменных.
Доказываемое утверждение состоит в том, что найдутся локаль* ные координаты х,盲 на S, такие что
/ = {(0, 4，・.・，хл> &[,••・，&п-1‘ &?)}‘
су |/2自]dg[ л dxn + X dg/ Л dx"
=(0» %, •♦•, %, —&[,自2，• * *，&n—口 E；)，
% (°，-^2* ' • •» X/p &[,・•・，自П—1，^1)
= (0, %,・•・，％+ 2畐，一瓦 ％,・・•，％T，给.
Действительно, гамильтоново векторное поле, определяемое функцией Xi, равно 0/0&, а поле, определяемое функцией 蜕一/ —J равно 2&0/0修一д/дхп + д/д^, поэтому функции %，•・・,弓т，&2, •・・，鼠一1，皆—4 = &е н & + а постоянны на кривых гамильтонова слоения гиперповерхности G.
Введем теперь локальные координаты у, “ из леммы 21.4.7» в результате чего 尸，J, * н К примут требуемый вид. Таким образом, J рассматривается как подмножество в T*(R“)：
/== {(。'уП> Л1» • • • > ЛП-1> 巧)} n
параметризованное с помощью ^2， ..., Уп, пь ...,刀门-卜 Определим наши новые координаты х, g сначала на J формулами
"/ = 5 К/ = % 1 V j V 〃， Х[=0,自尸％ Хп~1Р
где /, т рассматриваются как функции от у^ ..., уп,巾,...,“标 Тогда
dL ^dxi = o\J на /・
2
Нам надо теперь продолжить функции & и х； с J на некоторук? окрестность точки (0, 0) так, чтобы получить симплектическукх систему координат с Xi == 0 на F и ^ — Xj — |л == 0 на О.
Отображение
J э (0, у ^9 • ■ •» Упу Лр • • • > Ля—р П；) 1(%,**•‘ Уп> %,・♦•, %_1，刀；}
является складывающим отображением с инволюцией if, и, по* скольку *2, .. *» хл,自2, . • -» Еп четны относительно if, найдутся функции £2, хл, &, ...» 3 от д', % определенные в некото* рой окрестности нуля, ограничения которых на J совпадают
с *2, …，хд, &, …，品，если рассматривать их как функции на Р~{(У^)» У1=°}, не зависящие от тц. Из (21.4.12) вытекает, что
яп
(21.4.12/§ df； A dxj = £ dq 入 dyj на F
в тех точках, где т)п > 0; функции & и 无/ определены там однозначно. Как и в доказательстве теоремы 21.4.2, можно изменить определение функций £*, ...» 无小 g2, ••・,|п при т|л < 0 так, чтобы они стали симплектическими координатами в T*(Ri) в некоторой полной окрестности нуля. Далее, положим 无【=0, по-прежнему при у\ =0.
Чтобы продолжить функции X/, £, на полную окрестность нуля в T*(Rn)t заметим, что хп + gi есть функция на J, инвариантная относительно 必 Поэтому проведенное выше рассуждение, если поменять в нем ролями 尸 н G, показывает, что у этой функции существует С°°-продолжение Q на некоторую окрестность точки (0, 0), постоянное вдоль кривых гамильтонова слоения гиперповерхности G. Таким образом,
Q = хя + 5| на /.
Производная от Q по радикальному направлению формы 仃卜 отлична от нуля ввиду наличия члена хп. Следовательно, поле HQ касательно к G, но не касательно к J, и гиперповерхность G вблизи точки (0,0) получается «растеканием» поверхности / вдоль направлений поля "q・ Отсюда следует также, что Hq трансверсально к Е ибо J = F (]G. Поэтому можно однозначно определить Хь ...» х* 包,• • •, |rt вблизи нуля как решения уравнений
(21.4.14)(21.4.14)HqXf = 0, / = 2, ...» л, Hq& = 0,论=2,…，几一1, HqXi = T, Н 击值=—1,
(21.4.14)
(21.4.14)
равные X/, & на F. Мы утверждаем, что
_% **} = 6jk, {窗，If} = 0, {/, *м} = 0,
旷=2п,耳论' = 1,а.
Действительно, в силу тождества Якоби и уравнений (21.4.14) скобки Пуассона функций хь ％% 自為...» 自n с Q равны 0, так что достаточно проверить выполнение соотношений (21.4.15) на 尸.На этой гиперповерхности все производные по 巾 равны нулю, и наши скобки Пуассона сводятся к скобкам Пуассона по переменным ^2， ..., уп. "2，Ля, которые удовлетворяют соотношениям (21.4.15) ввиду (21412)， и того факта, что £1 = 0 на 尸.
Определим теперь, продолжение функции & формулой
(21.4.13Г& = Q-%,
что допустимо в силу (21.4.13). Тогда недостающие коммутационные соотношения {自卜 ^} = 0, {gb x^ = 6lkt jt k=lt ..., л, следуют из (21.4.14). Остается убедиться, что функция ^ — Xj —自门 равна нулю на G; мы пока знаем лишь, что она равна нулю на / в силу (21.4.11). Так как G получается растеканием поверхности / по полю Hq, достаточно проверить, что
Hq因一看一切=匾+ 4，钎一/一鴿=0，
а это следует из уже установленных коммутационных соотношении. Доказательство завершено.
При некоторых подходах к изучению дифрактивиых краевых задач бывают полезны аналоги теорем 21.4.5 и 21.4.8 для однородного случая (по поводу других подходов см. § 24.4). Чтобы получить эти аналоги, нужно пересмотреть приведенные выше теоремы, начиная с теоремы 21.4.3:
Теорема 21.4.9. Пусть S и а удовлетворяют условиям теоремы 21.1.10 и f ——однородная С^-инволюция с множеством неподвижных точек So, такая что /*а = а. Тогда на S существуют локальные координаты с указанными 8 теореме 21.1.10 свойствами^ в которых действие инволюции i сводится к перемене знака у координаты,自卜
Доказательство. Мы можем близко следовать доказательству теоремы 21.4.3. Как показывает доказательство теоремы С.4.5, для любой точки so 巨 So в некоторой ее конической окрестности существуют локальные координаты s^ ..., $2〃, такие что все s『, кроме $2%, однородны степени 1 и четны относительно /, а координата $2п однородна степени 1/2 и нечетна. По теореме 21.4.3 гамильтоново поле для s^/2 гладкое и его значение в s0 является ненулевым вектором, принадлежащим радикалу формы а, а значит, нерадиальным. Как и в доказательстве теоремы 21.4.3, имеем o = f*d, где f =(电，•・・，s^—i，蜀丿2)， a 5 —некоторая замкнутая невырожденная однородная два-форма на U+ = "三U; /гп ^ 0}; здесь U — некоторая коническая окрестность точки f(sQ). Таким образом, 5 = ^ю, где 5(-) = 5(d/dtt •) (ибо d/dt——радиальное векторное поле). Однородное продолжение один-формы ш дает однородное невырожденное продолжение формы б на некоторую полную коническую окрестность U' точки f(sQ). Поскольку функция 尸{&，u}a = {slnp^ Г^а отлична в s0 от нуля для всех однородных и, равных нулю в f(so), гамильтоново поле, отвечающее функции /2п» не является радиальным.
Следовательно, в силу однородной теоремы Дарбу 21.1.9, можно выбрать на Uf однородные симплектические координаты у, ” с Hi =友％ Тогда 制=广勿，gfe =产％,论=2, ...» п, н & =甄江 будут обладать требуемыми свойствами, ибо f*”】=s1n/2 =督/2. Доказательство завершено. Отметим, что теорема 21.1.10 в нем не использовалась.
Аналог теоремы 21.4.4 для однородного случая труднее и сформулировать, и доказать:
Теорема 21.4.10. Пусть S ——коническое многообразие размерности 2п с два-формой а, которая однородна степени 1 и удовлетворяет условиям теоремы 21.1.7. Пусть, далее, f и g ——две однородные С°°-инволюции многообразия S с общим множеством неподвижных точек So, такие что /*а = а, ^а = а. Предполо- жим^ что отвечающие этим инволюциям векторы отражения в точке у。и радиальный вектор р(у0) линейно независимы. Тогда п^2 и в некоторой конической окрестности точки у& можно выбрать координаты х, & однородные степеней G и \ соответственно и равные (0, е«) 8 у。，8 которых
o = d (gf/grt) A % + § 嗚 A dxp
f(%, W) == (%,-自I，自2，• • •，Bn)»
⑵417)g(x,?=d+2^宀…,
Bi, Вг» • • • > gj・
Эта нормальная форма в действительности отвечает гиперпо* верхностям со скользящим пересечением, рассмотренным в примере 21.1 Л1; мы еще вернемся к этому в теореме 21.4.12.
Доказательство. В качестве первого шага проверим, что а, / и g, заданные формулами (21.4.16), (21.4.17), удовлетворяют всем наложенным на них условиям. С этой целью заметим, что векторы отражения, отвечающие инволюциям f н g, пропорциональны соответственно векторам (0, ei) и (—/, grtei),a значит, линейно независимы с вектором (0, ел). То что f*o = о, очевидно, и ясно также, что формулы (21.4.17) задают инволюции. Наконец, g*a = 0, поскольку
"(V)А " СЮ - % 人 d 鳥⑶)
=2 ^ % А " (£Н ⑶ 2 % А "О = °*
Теорема С.4.8 утверждает, что иа самом деле все конические многообразия с заданной на них парой однородных инволюций, удовлетворяющих указанным выше условиям, эквивалентны между собой. Ввиду теоремы 21.4.4 радикал сужения на Хосимп- лектической формы о лежит в линейной оболочке упомянутых векторов отражения, поэтому выполнены условия теоремы 21.1.10, Следовательно, в силу теорем 21.4.9 и С.4.8, можно выбрать на S однородные координаты х, & в которых а и f имеют требуемый вид, а также однородные координаты 弘 ”，в которых нужный вид имеют f н g; в обоих случаях точка у° получает координаты (0, еп). Принимая |1(2Дп)1/2 в качестве новой переменной вместо £1, мы видим, что ситуация в сущности та же самая, что и в доказательстве теоремы 21.4.4. Единственное отличие состоит в том, что уп не инвариантно относительно g, но уп + ^yj^1^ уже инвариантно. Поэтому положим
Х/ = ф/(0, /, 0, <).己=2/(0, У*, 0, П‘)， /*1,
где 6 = (%%т，% + 喑％/3鳴)，а %., ty —те же, что и
в доказательстве теоремы 21.4.4. Ясно, что %/ и gyF инвариантны относительно f н g・ Определим р?,夕2, . ■ •, рп как и прежде, а с выбором qn пока повременим, потому что если определить qn как в доказательстве теоремы 21.4.4, соответствующее гамильтоново поле получится радиальным (см. также доказательство теоремы 21.1.9). Вместо этого определим координату pi, используя коммутационные соотношения между нею и р2> ・••, рп и граничное условие р1=т)1 при р2 == . - ■ = «n-i =充门=0. Затем определим q\ так, чтобы выполнялось условие «1=0 при р2 =・・• =^л-1 == хп = %] = 0. Наконец, qn получается интегрированием коммутационных соотношений с граничными условиями, заданными на множестве р〔 = q〔 = ... = ^„_i = xrt = 0. Координаты Р/, q； автоматически удовлетворяют требуемым условиям однородности ввиду однородности определяющих их уравнений и граничных условий. Однако при выборе последних двух координат gi и qn граничные условия не были инвариантны относительно g, поэтому мы не знаем, как они себя ведут по отношению к g.
Если взять q в р в качестве новых локальных координат и, изменяя обозначения, записывать их как х,三，то будет выполнено (21.4.16) и f будет задаваться первой из формул (21.4.17), a g ——формулой
g (元，B) ■ " (%1 + U (%自)，#2，. . ，，X/t -1，^n + 5(X, B)> Ei，自2，• • • > ^n)» где и и w — некоторые функции, однородные степени 0. Поскольку g сохраняет а, то
d (部睛 л du + % A d3 = 0,
откуда следует, что v и w могут зависеть лишь от переменных & и ^п. Прочие переменные больше уже не будут играть никакой роли, поэтому для упрощения записи примем, что и = 2. Мы можем записать функции и н 侬 в виде и(自)=Y(f),⑪隽)=呼(f), где gi = £&• Тогда уравнение (21.4.18) принимает более простой вид 必嗚 ^dV + 臂2 Л d% = 0, или
(21418)'G『(f)+ir(f) = O・
Из того факта, что g — инволюция, вытекает, что V и W 一 нечетные функции от /. Заметим, что если V(t) = 2/, то уравнение (21418)' дает W(t) = —2f3/3, ибо U7(0)== 0. Это объясняет вид второй из формул (21.4.17) и показывает, что достаточно добиться, чтобы Y(f) = 2t
Как и в конпе доказательства теоремы 21.4.4, выполним простую замену переменных, введя
乂(х, Е) = (х£(/), %2+ ##(/), WR(/),占2), f = £店》
Ясно, что х*а = а, если
d 僅2心)a d (/S) + 磽2 人 d (占了) = d^) a dx「
В явном виде это уравнение означает, что (полагаем U =戸＞ (21.4.19) US + T = ft US' +『 = 0, U'S = 2f.
Среднее уравнение следует из двух других. Ясно, что если выбрать в качестве R какую-нибудь нечетную функцию с простым нулем в 0, то, полагая
S = 2〃U‘， 7 =产一2心/СТ,
мы получим четные функции с S(0)#0, удовлетворяющие уравнениям (21.4.19). В этом случае х будет диффеоморфизмом. Далее, при указанных условиях 乂 коммутирует с f и
g”"，9 =(/S+P(R),物 + 修Т+/依)，一У?,金)■
Если определить gi так же, как g, только с V и Wt замененными на 匕 и Wi, то
k”1(*,自)=3+ %)s,冷 + /1 + (X1 + %)7,一“，自2)。
Поэтому g©« = Y©gi，если
匕 S = V (R), W. + VJ^W (R).
В частности, 匕(/) = 2f, если
y(R) = 2/S(f) = 2//R(f)R'(f), т. e・
2Q/3=，，(s)sds.
■0
Поскольку Р'(0)#=0 (ибо векторы отражения, отвечающие инволюциям f и g, различны), это определяет R как функцию от £ с простым нулем в 0 (см. доказательство теоремы 21.4.4), и тем самым мы получили замену переменных, приводящую а, / и g к нужному виду. Доказательство завершено.
Ниже при применениях теоремы 21.4.10 важна не сама явная нормальная форма, указанная в теореме, а то, что все наборы S, а,厶 g，удовлетворяющие условиям теоремы, эквивалентны между собой. Мы можем поэтому в зависимости от ситуации применять любую другую более удобную модель.
Перейдем теперь к однородному варианту теоремы 21.4.5. Нормальную форму для однородного канонического отношения из T*(R")\0 в T*(R")\O, которую мы будемиспользовать, лучше всего, пожалуй, описать при помощи фазовой функции
(р(х, у, s, |) = (х — у, В) + s陰 1 — 53tl/3,
х, у, &wR", In > 0> swR.
Условие q)g = q)j = 0 означает, что
% — 91 十 s = 0, хп —у п — ^/3 = 0, X! = yt, 1 </< п,_ В, = s2&“.
Следовательно, отвечающее этой фазовой функции каноническое отношение имеет вид
G = {(х, В, у, я); (хх — у^1п=1ь
3(Уп — хп) + (yt — х,)3 = 0, * = % 勺=勿，l<j<n, В„>0}.
С помощью параметров х, s,自，=(自2， ...» Ем) его можно записать так:
(21.4.21/
G = {(х, S%, 1, Xi + s, %2М-1,Хв —J/3, $2%,给；g„ > 0}.
Отсюда видно, что G представляет собой 2п-мерное многообразие. На основании симметрии между х и у мы заключаем, что проекция канонического отношения G на каждый сомножитель T*(R“)\0 является отображением со складкой, причем образы этих проекций задаются соответственно условиями gi》0 и П1 ^ 0. Ядра дифференциалов этих проекций при s = 0 представляют собой прямые, идущие соответственно в i/i-направле- нии и Xi-направлении. Отвечающие указанным двум складкам инволюции задаются в координатах, использованных в (21.4.21) J формулами si—>—s и si—>—s, x\^~^xi + 2s, Хп^—^хп — 2s3/3 соответственно, и поднятие симплектической формы с любого из
двух рассматриваемых экземпляров пространства T*(Rft) на G равно
d (s^J 人 d/ + § dli A dx卜
Теорема 21.4.11. Пусть Si u S? — конические симплектические 2п-мерные многообразия с симплектическими формами ai, аг» 以 пусть G и Si X S? вблизи точки (s?,明三 S] X S2ecTb однородное каноническое отношение из 5г в S【.Предположим, что проекции л/： Gf S/ имеют складки 8 точке (s?,岡)и что хотя бы одно из поднятий на G с S\ или S2 канонических один~форм со» ©2 &е равно нулю на касательной плоскости к G 8 точке (s；,風). Тогда л》2 以 можно выбрать локальные однородные симплектические координаты х, I на S\ и у, т] на 5г, равные (0, ел) соответственно в s?以 s^, 6 которых G локально задается формулой (21.4.21).
Доказательство. Радиальный вектор р в точке (碎,sg) не представим в виде суммы р【+ р2 касательных векторов к G с нулевыми компонентами в S? н в Si соответственно, поскольку по предположению хотя бы одна из компонент вектора р в Т$и (* J и 力$q (S2) не лежит в лагранжевой касательной плоскости к G. Следовательно, условия теоремы 21.4.10 выполнены для конического многообразия G, два-формы aG = n^! = л*а2 и инволюций fi, f2, определяемых проекциями 冗卜 лг- В частности, это верно для модели, к которой мы стремимся, поэтому можно выбрать на G такие локальные координаты /i, ..., /п, s, тг, ..., тп> из которых 厶,tn, s однородны степени 0, а т2, •.., тп однородны степени 1, причем в точке (sj, sg) координата тп равна 1, а все прочие равны 0, что л
a0 = d (s2xrt) Л d/j + X dr, Л d%
А 0, % S =(厶-£ 62
%(厶 s, V) = (4 + 2s, 5 •・・，％т，tn — 2sV3, — s, Y).
Далее, найдутся С°°-функции x,己 на Si н 弘 n на S2, однородные» как обычно, степеней 0 и 1, такие что
呜々="药/^ /% = % /#= Ь 几:设=冗;% = $%中
%勿=% j*l, %^y{ = /1 + S, ^п = ^ — s3/3.
Они образуют локальные однородные симплектические коорди* наты в той части окрестности точки (0,呪)，где соответственно |1 ^ 0 и т]1 ^ 0. Как и в доказательстве теоремы 21.4.2, их можно
единственым образом видоизменить при & V О, М V 0 так, чтобы получились симплектические координаты в некоторой полной окрестности точки (0, ея), причем %[ и ух при этом остаются неизменными. В силу указанной единственности эти координаты автоматически будут однородными. Доказательство завершено.
Наконец, докажем однородный вариант утверждения об эквивалентности пар гиперповерхностей со скользящим пересечением. Здесь в качестве модели возьмем поверхности из примера 21.1 Л 1:
尸={0 W)uT*(R")\0;修= 0},
G = ", g)er(Rn); %т >0,昂= x^t+E“_高}
(n > 2). Они пересекаются трансверсально, многообразие
6伸=/ = {(0, /,畐，…尺…自汽.J}
параметризуется с помощью 也，•••， xrt, &, ..., &т и ограничение на / стандартной симплектической формы равно
п-1
叫=d因胤Т) 人也+耳吗л dxf.
Гамильтоново слоение гиперповерхности 尸 состоит из прямых, параллельных оси &, поэтому отвечающая этому слоеиию инволюция »f многообразия / просто меняет знак координаты gb Так как
占2，• • •» Вп» %2，• • • > -^п—2» 尤 1(Bj/Bn—1)，
Х" +畐店И *п-1 —(瓦店 “-^/З + х 爲店 “т
постоянны на кривых гамильтонова слоения гиперповерхности G, мы находим, что отвечающая этому слоению инволюция i& многообразия / переводит 自1 в —氐 хп~\ в xn-i — 2(gi/gn_i)3/3, а хп в хп + 2gi/g„-i, прочие же координаты оставляет неизменными. Определяемые указанными инволюциями векторы отражения пропорциональны векторам (0, ej) и (——е^,自门-iEi) соответственно, и, поскольку 自门—1*0, они линейно независимы с радиальным вектором (0,1).
Теорема 21.4.12. Пусть S — коническое симплектическое много- образие размерности 2м》6 с симплектической формой о и F, G — две конические С°°-гиперповерхности в S с трансверсаль* ным скользящим пересечением в точке с。三 S. Предположим, что в этой точке касательные векторы, к кривым гамильтоновых слоений гиперповерхностей F и S и радиальный вектор линейно не・ зависимы. Тогда существуют локальные однородные симплектические координаты х,自，равные (0, ел_!)8 %, в которых £ задается уравнением 修=0, a G ——уравнением £； = /就_] + 己任龙_「
Доказательство. Для многообразия J = Ff]G с формой а|/ и инволюциями »戶，fG, определяемыми гамильтоновыми слоениями гиперповерхностей 尸 и G, выполнены все условия теоремы 21.4.10. Следовательно, п—1 ^ 2 и на / можно выбрать локальные координаты Л, ..., /л-1, ть ..., Tai, однородные степеней 0 и 1 соответственно, так, чтобы в точке So координата Тп-i равнялась 1, а все прочие — нулю и чтобы
п—1
叫=d (Q/т—) А 弘 + £ 也 A dtr
Инволюция i尸 меняет знак координаты tj, a ^g меняет знак у rt и заменяет 厶 на 6 + 2т"т〃一i, a ^-i — на tn^ — 2(т1/тл_1)3/3. Доказательство леммы 21.4.7 показывает, что можно выбрать на S однородные симплектические координаты 弘 ％ равные (0, en-i) в $0, в которых 尸 задается уравнением у^ = 0 н
/ = {(。，％ %,…，％т，研/%_J},
так что If имеет нужный вид. Действительно, мы можем следовать этому доказательству без каких бы то ни было изменений, пока не получим систему координат, в которой 尸 задается уравнением у】=0, a G — уравнением т]； —— с(у, т],) = 0, где функция с однородна степени 2 и в точке (0, ert_[) дифференциал dy^c не пропорционален dyr1f Положим &(旷,"')=。(0, “rf). Можно найти, функцию <р(у‘，rf), однородную степени 1, такую что {с。，(р} = 0 и ср = 1 в точке (0, ел_1); действительно, направление поля 夕/ отлично от радиального, так что мы можем задать однородные начальные данные на какой-нибудь конической поверхности, трансверсальной к ，鄧.Частное со/ф однородно степени 1, и выполняется соотношение {co/屮，屮} = 0, по* этому, в силу теоремы 21.1.9, на / существует система однородных симплектических координат z?, • • •,之小 ©2，. - -, Cn с = ф и g„ = с0/ф. Изменяя обозначения (заменяя </, } на у\ rf), при* ходим к (21.4.22).
Теперь можно определить наши новые координаты х,三 на 丿 формулами (21.4.11) с одной лишь поправкой ——последнюю из этих формул надо заменить на ^ =叮/%_「Тогда выполнено (21.4.12), и мы можем построить продолжения 自,...,总小 &,…，М этих координат на 尸，как и раньше. Определение (21.4.13) функции Q приходится изменить — складываемые там члены имеют теперь разные степени однородности. Однако функция Хп^п-\ + |i инвариантна относительно /G, однородна степени 1 и имеет в точке (0, en-i) тот же дифференциал, что в хп + |ь Следовательно, у нее существует С°°-продолжение Q:
(2L4.13)'Q^x^ + lx на J,
однородное степени 1 и постоянное на кривых гамильтонова слоения гиперповерхности G. Поле Hq по-прежнему трансверсально к 尸，поэтому можно определить продолжения функций xi, ..., х«, |2, …,|л как решения дифференциальных уравнений
4 ]4У “0х/ = 0, j * 1, Л — 1, "« — 1， HqXrt = хл>
) Hq畐=0, %
с начальными значениями х/,百 на 尸.Наконец, присоединяя к ним функцию & = Q — Xnln-u получаем, как и прежде, нужную систему координат.
Симплектическая эквивалентность квадратичных форм
Главная цель этого параграфа — изучить простейшие особенности гамильтоновых векторных полей. Напомним, что о векторном поле и на многообразии X говорят, что точка 尤三 X является особой точкой этого поля, если о = 0 в х; в этом случае правило
dqp (х) I—> d (и(р) (х), ф е С2 (X),определяет линейное отображение 北一> Т； с сопряженнымV: T*f 7\, задаваемым формулой
(W,恥=& d{v^. среС2(X), / w T*.
В локальных координатах матрицей оператора V служит, конечно, (dVf/dx^j йвв1 п. Воспользуемся этим инвариантным понятием в случае гамильтоновых векторных полей:
Определение 21.5.1. Пусть S — симплектическое многообразие и / 巨 C2(S)—вещественнозначная функция с Jf = 0 в точке s° 三 S・ Линейный оператор 尸 в T%(S), задаваемый полем Н『/2, будем называть гамильтоновым отображением в точке sOj отвечающим функции f..
Некоторые авторы употребляют термин «фундаментальная матрица», что выглядит довольно неприятно, когда желательно иметь инвариантный подход. Включение множителя 1/2 ——это просто традиционное соглашение, как мы увидим, весьма удобное. Гамильтоново отображение, отвечающее функции f, определяется, конечно, ее гессианом (второй производной) 厂 в точке so, поэтому мы ничего не потеряем в общности, предположив, что S — вещественное симплектическое векторное пространство, а f—вещественная квадратичная форма Q. Определение гамильтонова отображения Р (в точке 0) означает тогда, что для лю-
■бон? вектора Xw S н любой линейной функции ф
〈尸X, ф) = а, 〃оф/2〉=—〈Х, %Q/2〉
= -〈Х, Q(・，％)〉=-Q(X, %),
где Q(X, У) обозначает симметричную билинейную форму, полученную поляризацией квадратичной формы Q, т. е. Q(X, У) = Q(Y, X) и Q(X, X) = Q(X). Левая часть записанной выше цепочки равенств есть о(尸X,九)，поэтому определение гамильтонова отображения F для случая квадратичной формы Q равносильно определению при помощи равенства
《21.5.1)ст(匕尸X) = Q(Y, X), X, VrS
(множителя 2 здесь нет из-за наличия множителя 1/2 в нашем определении). В симплектических координатах xt 自 матрицей ■оператора 尸 служит «фундаментальная матрица»
®5" 小学一^・
Из симметричности билинейной формы Q вытекает, что
a(FX, У) = -о(Х, ГУ),
т. е. оператор 尸 кососимметричен по отношению к а. Заметим, что последнее определение гамильтонова отображения применимо и в случае комплекснозначных Q, если заменить пространство S его комплексификацией
Sc={X + g X,Y^S}
с очевидным образом определяемой комплексной снмплектиче- ской структурой. При проведении симплектической классификации квадратичных форм с помощью спектрального разложения гамильтонова отображения 尸 все равно приходится выполнять такое расширение пространства, даже когда форма Q вещественна. Пусть Vk обозначает пространство корневых векторов оператора F в Sc, отвечающих собственному значению Л三e
Лемма 21.5.2. o(V^ 丫出)=0 при 九 + 卩干 0.
Доказательство. При 入+ 卩干0 оператор 尸 + 卩 является биекцией на пространстве У%, и для достаточно больших N
0 ((尸+n严乙，乙)=a (%，(一 F +卩严乙)=0, чем лемма и доказана.
Из этой леммы следует, что р\ и Р_% двойственны друг другу относительно симплектической формы. Таким образом, R。и
Ух Ф V-i,厶华 0, суть симплектические векторные пространства» взаимно ортогональные относительно а и инвариантные относительно 尸，а значит, взаимно ортогональные и относительно Q. Используя эти наблюдения, выясним строение оператора F и формы Q в интересующих нас случаях, когда форма Q является вещественной и положительно полуопределенной или же гиперболической в том смысле, что ее отрицательный индекс инерции равен 1. В обоих случаях Q》0 в некоторой гиперплоскости, так что Q не может быть W0 ни в какрй двумерной плоскости» пересекающейся с
Rad Q = {X; Q （X, У） = 0 для всех У} = Кег 尸 и %
лишь в 0. Из леммы 21.5.2 вытекает, что если Re X #= 0, то Q равняется нулю на пространстве Re Их cz Vx + V^ поэтому размерность этого пространства самое большее 1. Значит, Л должно быть вещественным, и подпространство % одномерно, если оно нетривиально. Выберем в этом случае какой-нибудь вещественный базисный вектор & в V\ н двойственный базисный вектор &i в V-л, удовлетворяющий условию。（£1,3）=1・ Тогда Fe\ = Л^ь 尸Е1 =—九El И Q®, в1） = Q（E1, El） = 0, Q（«i,修）=九，так что
Q （%向+ IjeJ = 2入%居卜
Пусть теперь Л = /ц, ц > 0 и FX = fgX, X = Л\ + iX& #= 0. Тогда Q（Xt Х） = о（无尸Х） = и （冗 iyX）,
а потому
—2卩。（К, X* = Q （无 X） = Q （X） + Q （XJ,
Q （AX】+ UXJ = a （AR + 勾力，尸（/Д1 + %力））
=0（厶 X] + 勾&, -4"力+®%）
= — №（%, XJ 心 + 勤
Так как квадратичная форма Q не может быть《0 ни на какой двумерной плоскости, пересекающейся с ее радикалом лишь по 0, мы заключаем, что。（几先）V0; таким образом, мы имеем ин^ вариантную симплектическую двумерную плоскость. Нормировав Xi, X? так, чтобы о（Х1,Х2）= —1, можно считать их базисными векторами в этой плоскости в некоторой симплектической системе координат, так что Q равняется отвечающей этому базису евклидовой форме, взятой с коэффициентом 卩，и мы можем перейти к рассмотрению ортогонального относительно а и Q дополнения к указанной плоскости. Повторяя это рассуждение» найдем, что S представляет собой прямую сумму а- и Q-ортогональных подпространств, на которых Q задается выражением
卩(号 +財)，|i > 0, или 2Xx/g/, X > 0, и вещественной части Vq пространства У» Итак, остается только изучить Vo> поэтому начиная с этого места будем считать, что S = /$, т. е. что оператор 尸 нильпотентен.
Если существует вектор X w S, такой что
尸X = 0,Q (X) = и (X,尸X) * 0,
то X и FX порождают инвариантное относительно 尸 двумерное симплектическое пространство, на котором
Q (// + 吋X) = и &Х + УХ, //X)=彼(А),
и можно перейти к рассмотрению его а-ортогоналъного дополнения. Такая редукция возможна и в случае, когда Ker F содержит два элемента X н У с и(Х, У)#= 0. Дело тем самым сводится к изучению ситуации, когда
(а). Кег 尸 изотропно,
(Ь)尸Х = 0 今 Q(X) = 0.
В силу прнятых нами предположений из (Ь) вытекает, что Кег /^/Ker F имеет размерность самое большее 1. Запишем точную последовательность
0 -> Кег 尸 ~> Кег 产二 Ker F f] Im 尸 т 0.
Ввиду (а) справедливо равенство Im F =(Кег F)0 зэ Кег F, поэтому последовательность
0 -> Кег 尸一а Кег 尸？ 一^> Кег 尸 f 0
точна и, значит, Кег 尸 имеет размерность 1. Из рассмотрения жордановой нормальной формы оператора 戶 следует теперь, что существуют число N и элемент X, такие что X,尸X, ..., F*~iX образуют базис в S, a FNX = 0. Размерность N пространства S должна быть четной и большей двух. Далее,
Q(RX,尸尼Х) = (—1)%(Х, F^k^X)
равно нулю при / + А + 1 ^ ^, следовательно, если бы мы имели 2(^ — 3) + 1 ^ 此 то ф°Рма Q равнялась бы нулю на двумер， ном пространстве, порожденном векторами 戶“"Х,尸卅-叫 которое пересекается с Кег 尸 лишь по 0. Значит, 2(N — 2) ^ N, т. е. ^ ^ 4. Таким образом, N = 4. Кроме того, мы должны иметь и(Х,尸^) V 0, поскольку в противном случае Q £ 0 на двумерном пространстве, порожденном векторами FX и 尸X. Норми* руем X так, чтобы crfX^ F3X) = —1, и положим У = X + f尸X. Тогда а(У, FY)= о(Х, FX) — 2t = 0t если взять f = a(X, FX)/2・ Таким образом,векторы
£]= 一户匕 % =一尸元 e]=元 加=尸？
образуют симплектический базис в S. В соответствующих координатах Q = x* 2睛2・ Подытожим полученные результаты:
Теорема 21.5,3. Пусть Q — квадратичная форма на симплектическом векторном, пространстве S размерности 2/i. Если она является положительно полуопределенной, то на S можно выбрать симплектические координаты х, Е, в которых
Ak+l
QU，Е)=?匕⑷+ 寻)+g珞
где 从/ > 0. Если Q гиперболична, т. е. имеет отрицательный индекс инерции, равный 1, то симплектические координаты можно выбрать так, чтобы
Q(x,勖=沙/% +吩+£号+ g(x, E),
где Ц/ > 0 u либо k + К l9 а
4(/目=就一2%一际
либо k + К nt а
g(x, g) = —/ или g (居自)=2九乙片，X > 0.
Все перечисленные случаи, конечно, попарно не эквивалентны; числа ф/ суть собственные значения оператора F на положительной мнимой полуоси, считаемые с учетом кратности; случай (21.5.4) имеет место, когда в жордановом разложении оператора F встречается клетка размера 4 X 4, а во втором из случаев (21.5.5) число X является собственным значением оператора F.
Дадим теперь модифицированный вариант этого результата для случая, когда Q — комплекснозначная форма с положительно определенной вещественной частью ReQ. Более общим образом, результат для полуопределенного случая имеет аналог для комплекснозначных форм Q, удовлетворяющих условию
|ImQ(X)|<CReQ(X), X三 S,
которое мы и будем считать выполненным. Положим
r = ®wC； I Imtw I^CRew};
это выпуклая угловая область, содержащая значения формы Q. Можно было бы взять любую такую область, но выбранная нами удобнее для доказательства следующей теоремы:
Теорема 21.5.4. Пусть выполнено (21.5.6). Тогда一
Q(冗 X) = 0^FX = 0^>FReX = FlmX =0^>FX = 0, так что Kei•戶 порождается своими вещественными элементами;
F2% = 0, т. е.
X w V\)<=>Q(X, У) = 0 при a(KerF, У) = 0;
если 九一собственное значение оператора 尸,то 九〃三 Г или —Г.
Доказательство. Пусть Q(X, Х) = 0. Запишем X в виде Xi + iX^ где X/ вещественны. Тогда
Q (兄 X) = Q(M) + Q(X2)・
Поэтому, в силу (21.5.6), ReQ(X/) = 0, а значит, и ImQ(Xj) = O. Отсюда следует, что если z е jCj столь близко к 1, что форма RezQ является положительно полуопределенной, то
RezQ (匕 Х/) = 0, У wS,
а следовательно, Q (У, X,) = и(У, FXR = 0 и потому FXj = 0. Прочие импликации в а) очевидны. Чтобы доказать Ь), предположим, что X е Sc и 户зх = О. Тогда FF2X = 0 в силу а) и
Q(FX9 FX) = и (FX,尸х) = - и (冗 力2Х) = 0, поэтому F2X = 0 снова в силу а). Поскольку
с (Kerf, Г) = 0 Ф^> Y = FZ для некоторого Z,
равенство Q(X, У) = и(Х,尸У) = 0 тогда и только тогда выполняется для всех У, удовлетворяющих условию и(Кег 尸,У) = 0, когда F2% — 0. Наконец, с) вытекает из следующей цепочки равенств, справедливой, если FX =九X, X = Xi + i%2：
Q(Xi) + Q(XJ = Q (冗 X) = u(冗尸X) = %g(冗 X) = 2i%u(Xi, %)
(заметим что a(Xi, Х2) вещественно и нулю равно, только если FX = 0). Доказательство завершено.
Положим 1^ = S П Ker F и образуем новое симплектическое пространство S，= Wa/(Wf| Wa)t Тогда
S6 = ImF/(KerF0ImF)^ ㊉乙，
в силу утверждений а) и b) теоремы 21.5.4, и гамильтоново отображение, отвечающее квадратичной форме Q' на S', индуцированной формой Q, изоморфно ограничению оператора F на прямую сумму его корневых подпространств, принадлежащих йену- левым собственным значениям. Поэтому в дальнейшем можно считать, что форма ReQ является положительно определенной.
Определение 21.5.5. Комплексная лагранжева плоскость 九 и Sc называется положительной, если
iu(X, Х)》0 для всех X 三九.
Если для ненулевых Xw 九 имеет место строгое неравенство, то мы говорим, что 九 строго положительна.
Отметим, что 力（无 У）—эрмитова форма:
Iff （У, Е = -ЙГ （无 У）.
Теорема 21.5.6. Если форма ReQ является положительно определенной, то
s+ =也4
есть строго положительная лагранжева плоскость, инвариантная относительно F.
Доказательство. Лагранжевость S+ следует из леммы 21.5.2, а инвариантность относительно 尸 очевидна. Докажем строгую положительность. Предположим сперва, что форма Q вещественна. Тогда можно выбрать симплектические координаты, в котор ых
QH e） = e%（号+ 吩.
Следовательно,尸（匕 &） = （卩正卜...,—щхь ...）, так что S+ задается уравнениями & = ix；; но
。（爲 £； *, Е） = —2iZ|X/|2,
чем строгая положительность S+ для случая вещественных Q и доказана. Обращаясь к общему случаю, заметим прежде всего, что если плоскость S+ положительна и iu（＞, Х） = 0 для некоторого X 三 S+, то iu（乃,У） = 0 для всех У 三 S+ в силу неравенства Шварца. Взяв У — FX, получаем Q（＞,X） = 0, а значит, Х = 0, так что S+ строго положительна. Доказательство проводится теперь следующим рассуждением по непрерывности. Положим для X w S, О W f W 1
Q《X） = ReQ（X） + 〃ImQ（X）・
Лагранжева плоскость St, определяемая формой Q% непрерывно зависит от f, поскольку проектор из Sc на Sj задается формулой
（2ni）T，（& 一 z）T dz,
где Ft — гамильтоново отображение, отвечающее форме Qf, а у ——окружность в верхней полуплоскости, охватывающая все лежащие в этой полуплоскости собственные значения операторов
尸九 Пусть Т — точная верхняя грань всех / е [0, 1], для которых плоскость S扌 строго положительна. Тогда плоскость Sr положительна по соображениям непрерывности, а значит, как было показано выше, строго положительна. Отсюда вытекает, что Т= 1» и теорема доказана.
Замечание. Поскольку
沁(无尸X) = iQ (无 X)wiF,
численный образ ограничения оператора 尸 на плоскость S+ по отношению к положительно определенной эрмитовой форме fa(J, У) на S+ содержится в /Г. Отсюда следует, что все собственные значения указанного ограничения лежат в /Г, но утверждение о численном образе значительно сильнее.
Выделение какой-либо строго положительной лагранжевой плоскости снабжает S дополнительной структурой:
Предложение 21.5.7. Если S+ с Sc — строго положительная лагранжева плоскость, то отображение S+ m X —> Re X w S есть биекция, наделяющая S комплексной структурой. Существует единственная положительно определенная эрмитова по отпоив нию к этой структуре форма Н на S, такая что
Im"(X, У) = —и(Х, У) для всех X, YwS,
a Re" задает на S естественную евклидову структуру.
Доказательство. Если 0 * X 与 S+, то
О V 力(无 X) = 2а (Im X, Re X),
откуда видно, что отображение S+ э Хь-> ReX е S инъективно, а значит, и биективно, ибо вещественные размерности у S+ н S одинаковые. Эрмитову форму Я, существование которой нам надо доказать, можно рассматривать как форму на S+, так что мы должны иметь для X w S+
"(X, iX) = 〃m"(X, tX) = -fo(ReX, ^iX) = ic^X, ImX),
а следовательно,
H(X, X) = u(ImX, ReX) = K (无 X)/2・
Поляризация дает
"(X, Y) = io (У, X)/2,
чем теорема и доказана, поскольку это рассуждение можно обратить.
Используя предложение 21.5.7, можно доказать существование систем координат, «хорошо подогнанных» к данной строго положительной лагранжевой плоскости:
Следствие 21.5.8. Пусть S+—строго положительная лагранжева плоскость и Sc, а X — лагранжева плоскость uS. Существуют симплектические координаты х, ± &а S, 8 которых 入 задается уравнением х = 0, а S+ представляется в виде S+ ={(х, tx); х^Сп}.
Доказательство. Эрмитова форма Н из теоремы 21.5.7 вещественна на 九.Поэтому можно выбрать вещественный ортонормированный относительно этой формы базис si, ..., еп в Л. Далее, выберем X] w S так, чтобы е； — iX,wS+・ Тогда, в силу определения (21.5.9) формы Н,
2 (q + £Х/, ел — £XQ/2 = 6代，
т. е. и(Х/, XQ = 0 и с(Е" XQ +и(Е務 Xj) = 26汴.Поскольку плоскость S+ лагранжева, имеем также(г(е/ ——iX『,е少一iXk) = 0, a следовательно, а(Е/, Хй) = o(Ek. А；). Отсюда вытекает, что векторы Xi, .,., Хя, еь .. •, ел образуют симплектическнй базис для S, чем следствие и доказано.
Применяя это следствие к плоскости S+ из теоремы 21.5.6, заключаем, что в выбранных нами координатах Q(x, ix) = 0. Таким образом, квадратичная форма Q принадлежит идеалу, порожденному функциями X/ + ig/, / = 1, ..., п.
Строго положительные лагранжевы плоскости очень просто представляются и в произвольных симплектических координатах:
Предложение 21.5.9. Пусть 九иТ*(С") — строго положительная лагранжева плоскость. Тогда существует такая симметричная матрица A—Ai + М2, где 41 — вещественная матрица, а матрица А2 является положительно определенной, что %={(乙/之)； ге ,С?}. Обратно, всякая плоскость, представимая в таном s〃de, строго положительна.
Доказательство. Из определения 21.5.5 сразу следует, что Л П Го (Сл) — {0}. Таким образом,九 является графиком дифференциала некоторой квадратичной формы, т. е. K = {(z,Az);zg .С?}, где 4 — симметричная матрица. Записывая ее в виде 4=4 + /А2, где А\ и А2 вещественны, получаем '
/а((г, Az),⑵ Аг)) — 2{А2г, z),
чем предложение и доказано.
Строение произвольных положительных лагранжевых плоскостей проясняет следующий результат:
Предложение 21.5.10. Пусть X cz Sc — положительная лагранжева плоскость. Если X 三九 〃 и(Х, X) = 0, то и X w 儿 а значит, РеХ е Л u Im X е X.
Доказательство. В силу неравенства Коши — Шварца, io(^t У)' =0 для всех У w % Поскольку плоскость X лагранжева, отсюда следует, что X 三 九.
Следствие 21.5.11. Пусть 九 и Sc — положительная лагранжева .плоскость и Лр — изотропная плоскость Л П5. Положим S’ —^₽Ar. Тогда образ А/ плоскости Л в Sc будет строго положительной лагранжевой плоскостью ^.
Доказательство. Лагранжевость X следует из комплексного аналога предложения 21.2.13. Так как плоскость N не содержит вещественных элементов, из предложения 21.5.10 вытекает, что она ：строго положительна.
Другой способ доказательства состоит в том, чтобы записать •S в виде S = S】㊉ S2, где Si и S2 ——симплектически ортогональные друг другу симплектические подпространства, причем 九r является лагранжевой плоскостью в Si・ Тогда 入 представляет собой прямую сумму комплексификации плоскости Lr в Sic и некоторой строго положительной лагранжевой плоскости в S2c.
21・6・ Лагранжев грассманиан
В порядке подготовки к изучению лагранжевых распределений, которому будет посвящена гл. 25, мы довольно подробно нзло- ■жнлн в § 21.2 теорию лагранжевых многообразий. Чтобы построить глобальную теорию лагранжевых распределений, нам понадобится провести тщательный инвариантный анализ инфинитезимального случая, в котором важную роль играют лагранжевы плоскости в симплектических векторных пространствах. Этим мы и займемся в данном параграфе.
Определение 21.6.1. Пусть S ——конечномерное симплектическое векторное пространство с симплектической формой и. Лагранжевым грассманианом A(S) пространства S называется множество всех лагранжевых плоскостей в S.
Прежде всего покажем, что A(S) обладает естественной «структурой вещественно аналитического многообразия размер-
9 Здесь 乂 == % П (%&)с/% П (%r)c 一 〃”第.Ped・
ности п(л + 1)/2, где 2n = dim S. Для этого рассмотрим сначала его подмножество
Au(S) = {ЛеА(S);九П卩={0}}, “нА(S), состоящее из всех лагранжевых плоскостей, трансверсальных к некоторой данной лагранжевой плоскости.
Лемма 21.6.2. Множество A~(S) имеет естественную структуру аффинного пространства, для которого соответствующим векторным пространством служит симметричное тензорное произведение ц ® ц.
Доказательство. Билинейная форма и(Х, У) с Хе ц и У е S равна нулю для всех X 三 卩 в точности тогда, когда У е ц, поэтому она задает отождествление S/“一> 此 где 卩'обозначает пространство, двойственное к ц. Для всякого Ле A^(S) составное отображение
九-» S/卩—> n'
есть изоморфизм, и, значит, для него существует обратное отображение, которое мы будем рассматривать как отображение в S с образом Л. Оно обладает свойствами
<Х, Ф> = а(Х, ГФ), Хм% Фе<
а(Т(р, 7ф) = 0, qp,屮三卩'・
Обратно, всякое отображение Т: “'f S с такими свойствами определяет некоторый элемент из 入以(S). Если Т — какое-нибудь фиксированное решение уравнений (21.6.1), (21.6.2) и「+ R — любое другое решение, то в силу (21.6.1)
и(X, /?(р) = 0, Хм% qpe К
т. е. R есть отображение “'一>“，н (21.6.2) дает
О (Гф, RW) + Ст (Rq>, 72) = 0, <р, фе у',
ибо а(/?<р, /?^) = 0. Таким образом, R отвечает билинейной форме
4 (ф, 2) = о (R* 7屮)=。(R也 Г<р), <р,中 и Г,
которая симметрична. Обратно, всякая такая билинейная форма Л определяет решение уравнений (21.6.1), (21.6.2), откуда и еле* дует наше утверждение.
Для дальнейшего полезно перевести это доказательство на координатный язык. А именно, выберем симплектические координаты х, Е, в которых 卩 задается уравнением х == 0. Тогда 儿
как лагранжево сечение .расслоения 7'*(Rrt) служит графиком дифференциала некоторой квадратичной формы Л/2 на
入={(匕 4%); % 三 R"},
где Л обозначает симметричную матрицу, отвечающую квадратичной форме 4 Тем самым мы снова получаем отождествление Aa(S) с R仪5+D/2, поскольку в пХ n-матрице число элементов, стоящих на диагонали и над ней, равно 九(门 + 1)/2.
Если 卩1 и 卩2 — две различные лагранжевы плоскости, то можно выбрать симплектические координаты х, ±, в которых 阳 задается уравнением х = 0, и симплектические координаты y = L(x,^9 т] = Л1(х, 5), в которых 网 задается уравнением у = 0. Произвольная лагранжева плоскость 厶 w ЛИ1 (S) П Лц2 (S) задается в этих двух системах координат уравнениями х\=Ау и Е = Вх соответственно. Таким образом, уравнение М(х, 5) =Л£(х, g) может быть разрешено относительно 三 и дает g = Вх, поэтому коэффициенты матрицы В суть рациональные функции с не обращающимися в нуль знаменателями от коэффициентов матрицы Л. Следовательно, введенные нами локальные карты превращают A(S) в вещественно аналитическое многообразие размерности п(л + 1)/2. [Для сравнения напомним, что грас- сманиан G(^, А), состоящий из всех 々-мерных плоскостей в R* представляет собой многообразие, размерность которого равна k(N ——k) — числу коэффициентов, требующихся, чтобы выразить N ——k координат через остальные k. В частности, G (2п, п) = п2, что намного больше, чем dimA(S), за исключением случая, когда n = 1.]
Каждая из наших координатных окрестностей оставляет непокрытой довольно малую часть многообразия A(S):
Лемма 21.6.3. Для всякой фиксированной плоскости ywA(S£ множество
{X е Л(S); dim ЛПи = А}
есть подмногообразие размерности п(п + 1)/2 —论(论 + 1)/2.
Доказательство. Пересечение 丫 =九0 卩 есть элемент грассма- ниана 论-мерных плоскостей в 卩，имеющего размерность А (л — А). Для каждого данного V существует взаимно однозначное соответствие между лагранжевыми плоскостями 九 uS с X- П Ц = V и трансверсальными к ц/У лагранжевыми плоскостями N в S‘=M/K которые получаются при помощи конструкции из предложения 21.2.13: V = Л/V. Легко видеть, что это дает расслоение пространства (21.6.3), поэтому его размерность равна (л — А) (и ——ft + 1)/2 + fe(n — А), как и утверждалось.
В частности, A(S)\A口(S) — как объединение многообразий коразмерности А (А + 1)/2 для А = 1, 2, ..., п — есть «тощее» множество (множество первой категории Бэра). Следовательно, любое счетное пересечение П А門(S) непусто — утверждение, представляющее собой существенное усиление следствия 21.2.11.
В аналитическом контексте гл. 25 симплектнческое векторное пространство S появится как касательное пространство к кока- сательному расслоению в некоторой точке. В этой ситуации имеется выделенная лагранжева плоскость — касательное пространство к слою. Будем поэтому далее считать, что задан некий выделенный элемент Хо w A(S).
Простейшим прототипом конормальных распределений, изучавшихся в § 18.2, служит — для случая, когда рассматриваемое подмногообразие есть линейное подпространство V в R% ——простой слой на У, инвариантный относительно сдвигов вдоль V. Такой слой можно определить как распределение (полуплотность), удовлетворяющее уравнению
L{xt D)u = О
для всех линейных функций L(x, W), равных нулю на конормаль- ном к V расслоении VX V°, где V° — аннулятор подпространства У. Действительно, из того что Ц {х)и = 0 для всех Li, равных нулю на V, следует, что и ——простой слой на У, а из того что Lz{D)u = 0 для всех 厶2, равных нулю на V°, следует, что и инвариантно относительно сдвигов вдоль V. Сейчас мы распро* страним эту конструкцию на произвольные лагранжевы плоскости.
С этой целью выберем какую-нибудь плоскость Ai w А統(S)> т. е. лаграня<еву плоскость, трансверсальную к выделенной лагранжевой плоскости 从.Напомним, что для такой лагранжевой плоскости билинейное отображение
ХоХ^эСХ, Y)^a(Xt У)
является невырожденным и потому определяет изоморфизм 九］f 九6, с помощью которого можно отождествить полуплотности на Xi с полуплотностями на 九［• Введя симплектические координаты л, I, подогнанные к li в том смысле, что х = 0 на Хо и 己=0 на Xi, положим для всякой плоскости 入三 A(S)
/(儿儿) = {〃三俨'(脸 Ql/2); L(x, D)u = O
для всех линейных функций L(x,畠，равных нулю на X}.
Здесь QU? — расслоение полуплотностей. Отметим, что это опре* деление не зависит от выбора базиса в 入о, а значит, и от выбора двойственного базиса в М・ Покажем, что и от самого вы*
бора 九I пространство /(入，九» зависит очень слабо и что, используя /(X, Xi), можно определить слой в точке 入 некоторого линейного расслоения над Л(5). [Заметим, что если 0*“ с /(X,九 1) и L(xr D)u =0 для некоторой линейной функции L, то {L, Lf}u = i[L(x, D), U{xt D)]u = 0 для всех линейных функций U, равных нулю на 九.Поэтому 厶 равняется нулю на 九，так что фигурирующая в (21.6.4) система уравнений максимальна и % определяется по и.]
В симплектических координатах х,自 подогнанных к 九【，всякая другая плоскость Хг ^ Лл0 (S) может быть записана в виде 入2 = {(/")；*={尤},
где А —симметричная матрица. Следовательно, координаты у = х и т| = ? — Лхсимплектичны и подогнаны к Х2- Если L (х, ^)( =0 на X, то в координатах у, “ мы имеем L (у, “ + Ау) = 0 на X. Далее,
L(#, D)U[ = O0L(弘 D + Ay)zz2 = 0,
где и式у) = ti(y)gTAg* у，'. Значит, отображение ⑵.6.5)/(X, %户气一咻广?5・一＞/2 =散尸/(%%)
является изоморфизмом, что позволяет нам отождествить /(入，入 1) с /(1, Ха). Это отождествление не зависит от выбора координат, поскольку его можно описать, как в доказательстве леммы 21.6.2, и оно транзитивно. Получающееся множество /(X) классов эквивалентности можно представлять себе как множество всех отображений.
А斯(S) m % f勺尸/ (儿％), удовлетворяющих равенству из (21.6.5). Для каждого Ai е Axn (S) мы имеем, конечно, изоморфизм /(X, Xi)-^/(l).
Для всякой плоскости 九 w A(S) существует некоторая трансверсальная к ней плоскость 入iwA儿，S). При выполнении этого последнего условия нетрудно явно описать /(X, 1J:
Лемма 21.6.4, Пусть плоскость Xi трансверсальна к плоскостям 九 и 入％ Выберем симплектические координаты х, |, в которых Хо 〃 X] задаются соответственно равенствами х = 0 и 己=0. Тогда всякое 〃w/(九，九i) представимо в виде осцилляторного интеграла
и (х) = с (2е)Т"/4 \ ^ «% 8тВ£ 8/2)或，
где В — симметричная матрица, определяющая X：
九={(殡，E);EwR,
а с — некоторая постоянная.
Доказательство. Так как плоскость X трансверсальна к Хь ее можно задать уравнением % =筑，и матрица В симметрична ввиду лагранжевости 九.Уравнения, определяющие /(X, XJ, принимают тогда вид
尤/〃一(BQ)/〃 = 0, /= 1, n,
или, после преобразования Фурье, 04 + 5现=0.
Решением последнего уравнения служит й(|) = с ехр (—方〈筑》 自〉/2), где с ——некоторая постоянная, что и дает (21.6.6) с некоторой другой постоянной. (Множитель (2л) ^3^4 мы ввели в (21.6.6), чтобы обеспечить согласованность с (18.2.11)/ при fe = п. Вскоре будет дано более содержательное обоснование,)；
Замечание. Используя теорему 7.6.1, нетрудно вычислить интеграл (21.6.6); если <В|,己〉=〈В'£ gz> есть невырожденная квадратичная форма от ^ =(自1, ..., £々),то
(21.6.6/ и = с (2“)<"Т”〈в，т/. /〉饱(х〃)e-抵(sgnУ)/41 det ВТ叱
Ввиду (21.6.5) отсюда следует, что для произвольного 九 и для 儿 wA%(S) множество /(X, li) состоит из произведений простого слоя на некотором подпространстве, инвариантного относительно сдвигов вдоль этого подпространства, на гауссовы экспоненты постоянной абсолютной величины. Мы, однако, будем избегать такого рода представлений, поскольку они скрывают, как замечательно зависит (21.6.6) от В, т. е. от X.
Для фиксированного 九i w A&(S) и произвольного A w A^ (S> можно отождествить /(X) с С, отождествив сперва /(X) с /(X,入 1), а затем 〃 w /(儿入» с с 巨 С, фигурирующим в (21.6.6). Докажем, что это превращает
/ = {(% X); 〃曰/(%)}
в линейное расслоение над /'(S). Для этого надо определить функцию (1X 1-матрицу) перехода, на которую умножается коэффициент из (21.6.6), когда плоскость Xi заменяется другой лагранжевой плоскостью Л2 е Ла0 (S), такой что 九 нА統(S). Заметим прежде всего, что из (21.6.6) следует, что определен осцилляторный интеграл от и, а именно
^u(x)dx = (2n)a/ic.
Так как и — полуплотность, с преобразуется как (——1/2)-плотность на Хь следовательно, c|dW|"2 есть полуплотность на двойственном пространстве 入必 зависящая лишь от выбора Хь но не
от выбора координат х. Далее, проектор
叫,：
плоскости X на Хо вдоль Xi является биекцией, поскольку 九tf]九 ={0}, поэтому полуплотность c|dW|"2 можно поднять до полуплотности
на X. Для Х2 е Лх„ (S) элемент u е / (X, Xi), заданный формулой (21.6.6), отождествляется в соответствии с (21.6.5) с элементом vrS、入2), определяемым формулой
u ®) = С (2力-肌%-"心 s/2 , е1^' 81 皿，8⑵廡.
В случае когда 九三 А統(S), можно определить 磷 так же, как мы определили^, замечая, что если записать и в виде (21.6.6), то коэффициент с заменится на
& = (2л)-"/4 ^{y^dy^c (2л)-п J , е"5 "一稣 ^2~^' 办図 dg dy
=c戸s" det( ; _A).
где s — сигнатура матрицы ( : — j )，Эта матрица невы- рожденна, поскольку X и %2 трансверсальны и, значит, уравнения х — 5g = 0 и А — Дх = 0 имеют единственное решение х = g = 0. В ней 2л строк и 2k столбцов, поэтому ее сигнатура есть четное число, а следовательно, «訂“/彳 представляет собой некоторую степень мнимой единицы.
Сравним теперь плотности л；」〃Е| и л^21 d^ | на X. В системе координат %,己 координаты 自 параметризуют точку (8自，己)三 儿 Координаты 外 в системе 夕，口 параметризуют ту же самую точку, если т] = | — Ау = 1 ——АВ^ поэтому 冗入严册售= U —АВП и 2 '
WJ d川=I det(/— AB) E；Jd||.
получаемполучаемТак как | det (/ — ДВ) | = det( / 一 幺)}
получаем
получаем
磷=Е制切器 где s = sgn( : —^)・
мнимой единицы, Q (X)1/2 полуплот-мнимой единицы, Q (X)1/2 полуплот-Таким образом, если отвлечься от степеней мн смогли отождествить /(X) с множеством
мнимой единицы, Q (X)1/2 полуплот-
мнимой единицы, Q (X)1/2 полуплот-
ностей на плоскости X, инвариантных относительно сдвигов вдоль нее.
Итак, для любой четверки лагранжевых плоскостей (入％ X, 入2,入i), в которой каждая из первых двух трансверсальна к каждой из двух вторых, мы определили целое число (21.6.10)<т(Л0> X； Х2, X) = -lSgn(~^ _；)
при помощи симплектической системы координат, в которой эти плоскости задаются соответственно уравнениями
Ло: х = 0, X: х = В^> М： 5 = Ах9 %: д = о.
По соображениям непрерывности это число и остается постоянным, когда (入°, X,入2, Xi) пробегает любое связное открытое множество в A(S)*, на котором выполнены указанные условия трансверсальности. Для всякого 〃 w /(X) мы сопо^ ставили каждой лагранжевой плоскости Хь трансверсальной к Хо и к X, полуплотность и^ на 九，инвариантную относительно сдвигов вдоль X, так, что если 九2 — другая такая лагранжева плоскость, то
(21 .б.”uf^f^' м 脑，^и*.
Таким образом, по модулю 4 справедливы равенства
(2L6.12) 0(м，九；九2，两)== - 0 (九0,九；两，七)，
ст (Ло，九；％з，Xi) = CT (Xq, Л； %,九2)+ и (入0，入；九2,九l)s
при условии что все входящие в них члены определены. На самом деле эти равенства являются точными. Достаточно установить равенство (21.6.13), из которого при Х3 = Xi получается (21.6.12). Пусть Хо, %, Л2, 11 заданы уравнениями (21.6.11), а Х3 ——уравнением g = Azx- В координатах у = х, “ =己一Ах, подогнанных к Х2, имеем для Х3 уравнение п=(4‘ ——%)', а для 入一уравнение у = В% если Bg = Bz(g — ЛВ^), т. е. В，= В + BfAB (резольвентное уравнение!). Следовательно, нам нужно доказать» что
sgn(_： _；) = sgn(A74 _；) + sgn(_；
Прй этом можно считать, что В н 8’ обратимы, потому что доказываемое равенство устойчиво относительно малых возмущений. Далее,
(I в-1у-л 1 WZ оч^г-л + в-10)
[о / 丿I / -вДв-1 /丿О
поэтому доказываемое равенство принимает вид sgn (―力‘ + В"1) — sgn В = sgn(А —片 + В’т)
—sgn В’"' + sgn(— A + B-i) — sgn В
и, значит, верно, поскольку В-1 =В,~1 + А. Тем самым равенства (21.6.12), (21.6.13) установлены. Имеет место также свойство антисимметричности
・О"(入°,九；九2，九1)—。(九 1，九2；入，"о)・
Оно получается, если выполнить симплектическую замену переменных у =——己，н = х, в результате чего плоскость Хо станет задаваться уравнением “ = 0, плоскость А — уравнением “=—Вх,入2 ——уравнением у =——4H и Xi ——уравнением у = 0» и воспользоваться тем фактом, что
sgn(-： —；) = -sgn(:；).
Определение 21・6・5・ Комплексное линейное расслоение М над A(S), определяемое при помощи покрытия открытыми множествами А艙(S),入1 w A%(S) и функций перехода
gk2ki =f^ м "叫 1 曰 Лм (5)П А*”)，
называется расслоением Маслова над A(S).
Таким образом, мы отождествили / с тензорным произведением /И®QU2 расслоения Маслова и расслоения, слой которого в точке 入 состоит из всех полуплотностей на плоскости X, инвариантных относительно сдвигов вдоль нее. Элементы из М ® Q*/2 нужно представлять себе как символы элементов из /.
Применяя (21.6.5) в случае, когда Х2 ——некоторая плоскость, трансверсальная к X и Хо, и используя для представления 〃初 лемму 21.6.4, заключаем, что каждое u е /(X, Xi) можно записать в виде'
u(x) = (2nr3nli^eiQ{x-i}dl, *已从，
где Q(x, 5) = (х,自〉+ (〈4尤，х> — <Bg, g»/2, а Я и В — некоторые симметричные матрицы. Следовательно, мы имеем такое представление даже в случае, когда плоскость 九 не трансверсальна к Xi. Изучим теперь еще более общие представления вида (21.6.16)〃(х) = а(2л)7"+2")/4，е®*°)也 ％三从，
где Q—вещественная квадратичная форма на %i X R", а а пре- сбразуется при заменах координат х как полуплотность. Сначала
предположим, что Q невырожденна как фазовая функция, т. е. что dQ/061, ..., dQ/de^ имеют линейно независимые дифференциалы. Поскольку £ ^dQld® тождественно равняется нулю в точности тогда, когда (0； /) принадлежит радикалу квадратичной формы Q, эквивалентное условие состоит в том, что (0, /) R Rad Q влечет / = 0. Таким образом,
\QW(\dQ(xt Q)/dx\ + \dQ(xt 6)/d0|) при С|х|<|0|,
и, следовательно, интеграл в (21.6.16) определен как осцилля- торный интеграл. (Предположения об однородности здесь отличны от предположений § 7.8, но использованные там рассуждения применимы. Рассматриваемая как фазовая функция форма Q не удовлетворяет и предположениям однородности, которые были приняты в § 21.2.) Ясно, что
L (х, D) и (*) = a (2e)T"+2N)/4，L (*, dQ/dx) e'Q(% 0) d8 = 0,
если L(x, dQ/da) = £ f/dQ/50/ для некоторых 力，т. е. если 厶 равняется нулю на лагранжевой плоскости
А = {(л, OQ/d%); dQ/dQ = 0},
параметризованной при помощи Q. Таким образом, 〃巨/(%,九i).
В случае когда плоскость 九 принадлежит А稲(S), ее можно задать, как в (21.6.7), и и должно иметь вид (21.6.6) с
с = (2л)~п/4 ^u(x)dx=a 限尸”+^ \ \ 評(％ е)dx de.
Здесь квадратичная форма Q невырожденна, поскольку dQ/dO =dQ/dx == 0 влечет (х, 0)е X, а значит, х = 0 в силу (21.6.7). Поэтому последний интеграл можно вычислить с помощью теоремы 7.6.1, что дает
(21.6.17)с = ai м q I det«「吟
степень числа 2几 в (21.6.16) была выбрана с тем расчетом, чтобы здесь произошло полное взаимное сокращение. Равенство (21.6.17) допускает важную геометрическую интерпретацию. Отображение
R"+Nm(x, 0)—Q；(x, 0)wRN
сюръективно, следовательно, поднятие 5 (Q；) при помощи этого отображения 6-функции Дирака на 权拉 представляет собой некоторую плотность de на С = {(х, В)三 R"+n； Q，(y, 0) = 0}. Ввиду (6.1.1),
dc = \D(t, dQ/d0)/D(x, e)r'|d/|,
где /ь ..., tn — линейные- функции на Rhn, ограничение которых на плоскость С дает координаты на этой плоскости, a |d/| — лебегова плотность на С, отвечающая этим координатам. Так как отображение
С m (л, 0) н-> (х, dQ/dx)曰 Л
является биекцией для любой плоскости X, мы всегда можем рассматривать de как плотность на 儿 В случае когда 入 транс- версальна к Хь можно взять / = dQ/dx, поскольку dQ/dx и 自 совпадают на С. Таким образом,.
必2 = |detQT"2| 阳叱
где обе части рассматриваются как полуплотности на 九.Вспоминая, что u^ = c\d^ |1/2, выводим из (21.6.17), что
(21617/'磷=ad^^ 睜 Q.
Если мы имеем другое представление
й (х) = а (2зт)Т"+泌"，е®« &d@
того же самого элемента, что и в (21.6.16), то квадратичная форма Q должна параметризовать ту же лагранжеву плоскость, что и Q, и из (21.6.17)/ следует, что
(21.6.17Г^^(SgnQ-Sgn^^g^
Зависимость от х никак не сказывается на стоящей в показателе разности сигнатур, так как
sgnQ — sgnQ = sgnQ(0, •) —sgnQ(0, •).
(При определении сигнатуры вырожденной квадратичной формы в дополнение к соглашению sgn t = t/\t\t определяющему знак отличного от нуля вещественного числа, принимается соглашение sgn 0 = 0.) Чтобы доказать (2Е6.18), прежде всего произведем замену координат 0 так, чтобы Q(0,0) записывалось в виде невырожденной квадратичной формы Qo(8") для некоторого расщепления 8 = (% 8") координат 0 на две части. Тогда (21.6.19) Q (х, 6) = Q。(^ + L (х, g) + Qi (招 В),
где L ——некоторое линейное отображение и Qi(0, -) = 0, так что Sgn Q = sgn Qo + sgn Qi = Sgn Q(0,・)+ sgn Qi・
Поэтому достаточно доказать (21.6.18) для случая Q и Q, линейных по 0 и 0, в этом случае правая часть (21.6.18) равна 0. Итак, предположим, что
Q(x, е)^^(х) + <х, Г8>,
где отображение Т: R"-> R" инъективно, поскольку Q — невырожденная фазовая функция. Имеем
Х = {(х, д'(х) + Те);力= 0},
где q (х) = (q'(x), х>/2 = <g, х>/2 при Тх = 0,(居自)巨儿 Следовательно, ядро 方 оператора 'Т и ограничение q |# определяются плоскостью I Обратно, Jf ^q\^ определяют X, так как образом оператора Т служит ортогональное дополнение к 斤.Выбирая координаты %=(尤1尤")так, чтобы Л° задавалось уравнением Xх = 0, и выполняя соответствующую линейную замену переменных 0, мы, не изменив интересующей нас сигнатуры, получим <л, Т0) = <х\ 0>. Но сигнатура квадратичной формы 9(^, х77) + <х\ 0) равна сигнатуре ограничения этой формы на плоскость, на которой равны нулю все ее производные по переменным х‘，0, т. е. на плоскость, где 尤'=0 и 8 + dg(0,尤")/d%‘= 0. Таким образом, она равна сигнатуре ограничения q |^, которое зависит лишь от X. Тем самым (21.6.18) доказано.
Из (21.6.17)/л и (21.6.18) вытекает, что если выполнены (21.6.16) и (21.6.16)； то
(21.6.17尸 ВГ-adgVFgn Qe・・)7gn Ое.叫
Пока это доказано лишь для случая, когда плоскость 入 транс- версальна к 猫.Но из (21.6.18) следует, что множитель Маслова в правой части (21.6.17)'〃 не изменится, если немного возмутить Q н Q так, чтобы они по-прежнему параметризовали одну и ту же плоскость. Это заключение останется верным, даже если 九 не будет трансверсальна к М, а потому и (21.6.17),,z останется верным в этом случае. Действительно, всегда найдется плоскость 入2, трансверсальная к Хо и к X. Замена М на Х2 приводит к тому, что к формам Q н Q добавляется ——<Лх, л>/2, в результате чего они становятся невырожденными. Это никак не влияет ни на фигурирующую в (21.6.17),/, разность сигнатур, ни на определение плотностейна X. .
Мы можем теперь дать другое определение расслоения Маслова. А именно, фиксируем 储 и покроем A(S) открытыми множествами о, такими что 入 задается при помощи невырожденной квадратичной формы Q^, непрерывно зависящей от 九 при lew. Рассматривая пары(о, ю таких множеств с отвечающими им непрерывными функциями Qi и Qk мы получим локально постоянные функции перехода
^i (sgnQx(0. -)-sgnQ；(0. .))/^ 九 мзП$,
которые и определяют расслоение Маслова. (Если всегда брать одно и то же число переменных слоя ^, скажем ^ = п, то эти функции перехода будут равны степеням мнимой единицы.)
15 Зак. 443
Каждая вещественная, квадратичная форма Q(%, 0) на Xi X R" определяет лагранжеву плоскость
a)；
Положим
R = {8; Q；(0, B)=爲(0, 0) = 0}.
Это — пересечение радикала формы Q с плоскостью х = 0. Выберем расщепление 0 = (0/, 0Л,) переменных 0, такое что отображение R m 8ь~>8" биективно. Это значит, что R задается уравнением вида 8, = р(В"), а следовательно,
Q(x, 6； 0,,) = Q(x, ^-^(^), 0).
Квадратичная форма Q(x, 8‘, 0) есть невырожденная фазовая функция, задающая X, поэтому формулой
U = a(2е)Т"+2”)/4 \ IQ®0) de；х w 儿，
корректно определяется элемент из /(儿九i), не зависящий от 8"・ Мы можем теперь инвариантно интерпретировать (21.6.16) как инвариантную относительно сдвигов плотность на R со значениями в /(X, Xi), С этой целью возьмем какой-нибудь проектор 7: EfR и рассмотрим отображение
⑵.6.16)" Со (^) э % а (2л)-<п+2ЛГ)/4 ( eiQ(X10, % (Гб) d0.
Поскольку Q(x, 0)= Q(xt 0х —屮(8"), 0), заменим 6Лна 6’+ 2(У) и заметим, что
卜(те+W),吟)华=卜件(y),y)而〃
ввиду линейности Т и равенства Т传(В"), 8") = (*(8"), 8"). Следовательно, правая часть (21.6.16)" равна U，х(2(8"), B")d8" и, значит, представляет собой элемент из /(X,九», не зависящий от выбора 7. Таким образом, (21616)" позволяет интерпретировать (21.6.16) как элемент из /(X, Xi)® Q(R).
Пусть теперь А — изотропное подпространство в S. Тогда 5Д == Aff/A есть симплектическое векторное пространство (предложение 21.2.1). В силу предложения 21.2.13 каждая лагранжева плоскость 入三 A(S) определяет лагранжеву плоскость
Хд = иПЛа)/(ХЛА)^Л(5д).
В частности, ХОд определяет выделенную лагранжеву плоскость в Sa. Покажем, что имеется естественное отображение слоя расслоения М ® Q1/2 в точке 入 в слой в точке Хд соответствующего линейного расслоения Л1Д ® Йд2 над Л(5д), тензорно умножен-
ного на расслоение плотностей О(ХП А) и еще на один множитель, зависящий лишь от Д.
При доказательстве этого утверждения будем использовать симплектические координаты, в которых Д задается особенно удобным образом. Поскольку Д изотропно,
{0} и А (Но и А。П М и М.
Выберем какой-нибудь базис ei, ..., е* в Д П ^о и дополним его сначала до базиса еь ..., £也+/ в Да П Хо, а затем до базиса ев ..., ert в %» Симплектическая форма приводит в двойственность Д/ (Д П 兀о) И Хо/(Да П %。)，поэтому можно дополнить ei, ..., е* векторами £点+/十卜...,е„ до базиса в Д с выполнением коммутационных соотношений. Дополняя уже отобранные векторы до полного симплектического базиса в S, получим симплектические координаты х, £ х = (%', х",』〃)，Е = (У, В', F"), в которых Д представляет собой плоскость ££"、а Ло =={(0, |)}. Введем для соответствующих размерностей обозначения 九‘=力， 拉" = /, n^ = n — k — L
Определим плоскость 储 уравнением g = 0 и вспомним, что /(%) изоморфно пространству /(儿斯)，каждый элемент которого представим в виде (21.6.16), где квадратичная форма Q невы- рожденна как фазовая функция, задающая 入.Далее, возьмем от и интеграл по х'〃 и рассмотрим его ограничение на плоскость х‘ = 0:
% (х〃)= а(2п)-<«+^^ у /“а 叭 ^" в) dx'" d6.
Опять важна «параметрическая часть»
R = {(”，6); dQ/d^ = dQ/dxHf = dQ/dQ = 0、в (0, 0, ”，0)} радикала фигурирующей в показателе квадратичной формы. Биекция
{(х, 0); dQ/dG = 0} m (х, 0) f (%, dQ/dx)巨厶
переводит R в
{(х, W)巨九；xf = ^ = r = ^ = 0} = X0^
Лагранжева плоскость, параметризованная с помощью Q(0,x",/〃, 8), где параметром теперь служит (%〈 9), имеет вид
{(%J OQ(0, i,炉〃，9)/。%")； dQ/dx^=dQ/dG = O}
={(%",自")；(0, X, х'〃，匕 ^, 0)三九 для некоторых f", У}
Поскольку А° задается уравнениями х7 =己‘"=0, а Д представляет собой плоскость "〃'，координаты х", ±" индуцируют симплектические координаты на 5д, и указанная выше лагранжева плоскость есть в точности Хд. Таким образом, формула (21.6.20)
задает элемент из /(入& 九iA)® Q(入Г) А), а значит, и элемент из /(%д)® О(ХП А). Переходя к «символам》, получаем отображение из слоя расслоения М ® Q"? в точке X в слой в точке Хд расслоения Л!д ® йд2» тензорно умноженного на Q(X П Д)> но пока это отображение зависит от ряда произведенных в ходе построения выборов.
Прежде всего убедимся, что оно не зависит от выбора Q. Если записать Q в виде (21.6.19), то интегрирование по переменным 8" дает в (21.6.16) и в (21.6.20) один и тот же множитель. Следовательно, Q и Qi определяют одно и то же отображение. Поэтому можно считать, что квадратичная форма Q линейна по в:
Q(x, 0) = ^(х) + <х, Г8〉・
Здесь Т ——инъективный оператор и ядро Кег ‘7 определено однозначно, а потому однозначно определено и ограничение квадратичной формы q на Кег '「Добавление к q многочлена, равного нулю на Кегч, не изменяет ни (21.6.16), ни (21.6.20), чем утверждение о независимости от выбора Q и доказано.
Предположим теперь, что мы переменные х сохраняем, а £ заменяем на 己一Лх, где Л — симметричная матрица. При этом требуется, чтобы Д по-прежнему совпадало с плоскостью 『х'〃. Тогда вектор 4(0, 0, л/〃)должен иметь ^-направление, так что квадратичная форма <Л (0,尤",％'"), (0,尤",*〃j) не зависит от x"z. Переход к указанным новым координатам приводит в силу (21.6.5) к тому, что и умножается на e^i{AXt x}^t а это вызывает лишь то, что 〃а умножается на e"z ^(0- ^ °>* (0> ^ 0>>/2, в полном соответствии с заменой координат, индуцированной на 5д.
Наконец, если мы сохраняем плоскость 从 фиксированной, то возможны лишь такие замены переменных х и двойственных переменных £ при которых остаются на месте плоскости х7 = 0 и W = %" = 0, ибо эти плоскости служат ортогональными дополнениями к Д П ^о и А^П 入& Поскольку и преобразуется при заменах координат как | dx 产=| dxf |1/21 dxrf |^2| dp〃 |1/2, мы заключаем, что % преобразуется как
|d/121dx"产 W "「吗 т. е. как
I d『「叫dx"「々dx"产.
Так как Е‘, £" являются координатами в Д, отсюда следует, что мы действительно получили отображение
/(%)->/ Ga) ®Q(Xf|A)®Q (Д)"1/2.
Переходя к «символам》，приходим к отображению
М (%) ® Q (%)"2 f Ма(%а ® Q G 厶)1住 ® Q @ n А) ® Q (Д)~1/2.
Ясно, что это морфизм расслоений, в предположении что 九 изменяется лишь на подмногообразии, на котором X П Д имеет фиксированную размерность. Поскольку функции перехода для расслоений М и Л1д по абсолютной величине равны 1, а функции перехода для расслоений плотностей положительны, это отображение является тензорным произведением двух однозначно определенных отображений•
М (%) f М (%а) и Q (%)"2 f Q 仇 j/2 ® Q 3 П А) ® Q (Д)~1/2,
второе из которых сохраняет свойство положительности. Это второе отображение можно описать и намного более прямым и геометричиым образом. Действительно, так как 4A — факторпро- странство пространства X П Д° по X П Д, то
Q(建)"2 ^£2(ХПДа)1/2® Й(ХП А)%.
Симплектическая форма приводит 入/(九 П А^) и Д/(ХП Д) в двойственность, поэтому
Q (Х)1/2 ® Q (% П A。)-"? a Q (% П А)"? ® Q (Л)~1/2.
Комбинируя (21.6.21) и (21.6.22), получаем
Q (А)"2 & Q (% П Д°)1/2 ® Q (% П Д)1/2 ® Q (Д)'1/2
=Q (Лд)1/2 ® Q 6 fl А) ® Q (АГ"*
Докажем, что, если ие обращать внимания на степень числа 2л, этот изоморфизм совпадает с изоморфизмом, определенным выше при помощи формул (21.6.16), (21.6.20). Прежде всего заметим, чго переход от S к 5д можно выполнить за два шага: сначала перейти от S к Sas где Az = Л П Z, а затем от 5д，к 5д； во втором случае мы имеем 九а，ПАа，= {0}・ Поэтому достаточно рассмотреть по отдельности эти две ситуации.
Предположим, что Аи%, н выберем координаты так, чтобы Д, как и выше, представляло собой плоскость gx'". Тогда / =己〃'=0 на X. Произведя, если надо, замену переменных &", можно считать, что Хд задается уравнением вида ^ = В^\ Отсюда следует, что плоскость 九厶 параметризуется при помощи 〈%", F'〉一 ；8己",W"〉/2, а X —при помощи
QE ^) = « Г> +〈х", 丁〉一〈8『，『〉/2.
Таким образом, формулы (21.6.16) и (21.6.20) принимают с точ* ностью до множителя ——элемента объема |&『|]б/л/"| ——следую-
щий вид:
Ы(х) = а(2к)тп+2*+2“ 屮,е@" &)財噌'，
% (*〃)= a(21tl+2»'+2'/4 ,評班 8">一网"，C/2)朮"；
в Д = ЛрА используются координаты 匕 х'"・ Поскольку OQ/O(X, W") = (X, %"—魇”)，множество С = {(х, У, ?)； 0Q/0(匕歹) = 0} параметризуется с помощью У, WJ У", и % = I dg| I 恋"11 dx'〃 |. Ассоциированная с u положительная полуплотность на Л равна поэтому, в силу (21.6.17)',
|a||dXl"2|dU|"2|d/〃|"2.
Ассоциированная с ид полуплотность на Хд равна
1a1(2：1尸3"+"41d『产，
что отвечает в используемых координатах элементу
I а |(2к)тз"+""勺恋"产 I 嘴，| I1 盟 I』］dx^ Г1/2
已 Q(入a)"2 ® Q(%HA)®Q(AL吟
От отождествления Q(A)i" с й(Хд)1/2® Й(Д)1/2, задаваемого формулами (21.6.21), (21622), это отличается множителем
(2冗)一(Зп‘十紋")/4 ,_ (2jt)m‘m A—2 dim A f|A1n—2 dim Д(1А)/4
Если X f) Л ={0}, то можно выбрать координаты так* чтобы Д совпадало с плоскостью『х‘"，а плоскость % была транс- версальна к плоскости | = 0. Чтобы убедиться в этом, восполь* зуемся снова тем наблюдением, что
{0} и А П % и А° п %о и %.
Выберем какой-нибудь базис ei, ..., eft в Д П Хо и расширим его до базиса s, ...» е^, е也+什1,・・.,£希 в А, где 22 = dimS& В 5д найдутся векторы е^+Р ..., е^ порождающие плоскость, трансверсальную и к Аод, и к〈• Пусть е^+Р e^+z — базис в Ход.», образующий вместе с этим набором векторов биортогональнук> систему. Выберем %+】，・••，％+/wA° и s+i, eft+/е Даf)Х& из классов смежности 曉+卩・ ，.，吟+卜 тогдa 8h…，8点+上, £在+1,…，e通 составляют неполный симплектический базис в S, причем еь …，efe+z порождают Да П ^о- Если обозначить через g изотропную плоскость, порожденную векторами £在+1, ..., ел, то у］入иАП%={0} и цП九口 ={0}, поскольку 卩fl^uAfl儿 и Ei, ..., в*, e^+i, •♦.， en линейно независимы. Чтобы выбрать £： ..., £丛 заметим, что еь “ лежат в ца и линейно неза*
висимы по модулю |л. Поэтому найдутся е^,・・・,线 uS1v образующие биортогональную систему вместе с классами смежности, отвечающими элементам еь …，办，и порождающие лагранжеву плоскость в 5ц, трансверсальную к Хц и к ХОц- Далее, выберем из классов ef,..., 线 векторы е】,«左 三 卩°, образующие биортогональную систему с е*+1, ..., е*+/, что возможно, так как «々+1, ..., «左+上巨卩.Эти векторы можно добавить к нашему неполному симплектическому базису, и плоскость, порожденная векторами £卜..,,будет трансверсальна к X и к %® поскольку соответствующие пересечения содержатся в ц. Так как лагранжева плоскость, порожденная векторами £卜...,ел, трансверсальна к Ло, недостающие элементы ел+/+ь ...,加 симплектического базиса можно единственным образом выбрать в Хо
В построенных координатах плоскость 入 задается уравнением вида % =阮，а формула (21.6.6) принимает вид
и(х) = с(2пГ3，114\ец<х-^в^^.
Дзлее)
% (*") = с (2兀)一如4 , \ е，в. ?+“"• ”>-缔 8回"〃尚
Фазовая функция
Q(/, х'〃，Е) =〈х", &"〉+〈х〃'，『'〉一傑，Е〉/2
невырожденна, ибо плоскость
С={(х", /〃，自)；0Q/dX〃 = 0, OQ/OW = O}
a {(Bt 自)；У〃 = 0, (8丛= 0} = АПД°
имеет размерность п". На этой плоскости в качестве координат можно взять Г поэтому
dc=\dr\\D{dQidx,1. dQ/i,网鬼/。(*〃, ”, g)г1
=I d^ 11 det (Wr2) Г1.
Ассоциированная с 〃a полуплотность на 4A по абсолютной вели* чине равна
(2к)« j')/4| 阳，产 I det(02Q/a『2)”，
ибо —3拉/4 + 5" + 2拉 + 2拉〃‘)/4 =(献"—出)/4. Полуплотности 〃 мы сопоставили полуплотность
c\dl Г = с|с/Г ^\dlff^\d^,, |1/2
на плоскости X, записываемой в параметрическом виде как {(Bg, Е)}. Если мы, замечая, что |Dx7D|z| = |det(d2Q/d^2) |,
в качестве параметров вместо 自 возьмем 尤'，自"，К то получим
e I 恋产=e1 det ®2q/熒")]-1/2|dx,|1/2| 恋"|1/21 恋'"产.
Эти переменные удобны, потому что А° задается уравнениями х' = у〃 = 0； поэтому факторпространство Х/(Х П Да) параметра зуется переменными £ и К которые в (21.6.22) спарены с пе' ременными g и х‘" при помощи симплектической формы, что позволяет отождествить] dx'产| dH〃 产 c | d^ Г1/21 d尤'〃「“乙 Таким образом, в соответствии с (21.6.21), (21.6.22) полуплотность c\dl \1/2 отождествляется с полуплотностью
с |det(52Q/dDI~1/2| <Г1/21 dx〃z「勺座〃叱
где Е" — параметр на ХПД° ^ 入小 С точностью до множителя
(2冗) (2л)^*т А—?击111 a fl 福)/4
последняя совпадает с полуплотностью, полученной из 〃&• Подытожим доказанное:
Теорема 21.6.6. Пусть Д — изотропное подпространство симплектического векторного пространства S〃 Sa = А^/А с индуцированной симплектической структурой. Если 入 wA(S), то Хд = (Х П Аа)/(Л П A) s А (5д). Существует естественное отображение
Af(A)®Q б»" f МЗа) ® Q 仇厶严 ®Q(AHA)®Q (Д)-1/2,
которое в симплектических координатах *, %", х〈匕 К『〔 таких что А совпадает с плоскостью к，Е", переводит символ полуплотности (21.6.16) 8 символ полуплотности (21.6.20), помноженный «а J d^ I -1/21 dxfH\ "1/2. Это отображение является морфизмом расслоений там, где размерность пересечения X П Д постоянна, и оно индуцирует отображения
М &) f М 仏 А), Й 3)"2 f Q (%д)1/2 ® Q (厶厂"2 <э Q 仏 п Д).
Второе из них совпадает с изоморфизмом, определенным, формулами (21.6.21), (21.6.22), помноженным на
(21 6 23) (2冗)(dini А—2 dim Af)Xo—2 dim A f)儿)/4
Наше главное приложение теоремы 21.6.6 касается композн* ции линейных канонических отношений (композиция произвольных канонических отношений была определена в теореме 21.2.14) j
Теорема 21.6.7. Пусть 5/, / = 1, 2, 3, — симплектические векторные пространства с симплектическими формами а； и выделенными лагранжевыми плоскостями 九川，и пусть G^uSiXS?, GzuSzXSs — линейные канонические отношения из S2 8slM из S3 8 S2 соответственно, т. е. лагранжевы плоскости относи-
тельно s — Ga 〃 S — S・ Положим G = G】“ G& и Si >< S3 и N ={у е Sg； (0, v)e Gi, (у, О)е G2}. Тогда формулы ⑵616), 421.6.20) порождают естественные билинейные отображения
M(G^ X “ (G) -> М (G), Q (G!)1/2 X Q (&)1枕 f Q (G严® Q (M).
Последнее отображение равно отображению, порождаемому формулами (21.6.21), (21.6.22), умноженному на (2л)~е/2, где е = dim^ ——эксцесс нашей (чистой) композиции, a Q(A(S2))1/2 тривиализовано с помощью симплектической формы на S?・
Доказательство. Это частный случай теоремы 21.6.6, в котором в качестве Д выступает произведение диагонали в S? на нуль в Si и на нуль в S3. Мы отождествили Й(Д) с С при помощи естественной плотности, определяемой формой c^ln^ на S?工 А・ Отметим, что выражение (21.6.23) здесь сильно упростилось, поскольку dim Д = 2dim А П ^о-
Отображение плотностей в теореме 21.6.7 существенно упрощается, если одно из канонических отношений, скажем Gi, представляет собой график линейного канонического преобразования. В самом деле, для % = Gi X Gs и Д == Д(5а) мы имеем X П А = {0}, так что изоморфизм (21.6.21)——это просто отождествление Хд с X П Да = G?. Изоморфизм (21.6.22) выражает двойственность между А я %/(九 П А°), определяемую симплектической формой. Но
% = @Х{0}2(%ПА°)，
ибо(Yi，Y2, Y；, Уз) w % влечет (g£, 丫；，弘 Уз) e ^ П A°・ Поэтому эта двойственность дает двойственность S2 с самим собой, если и А, и Gi отождествить с S?. Таким образом, отождествление Q(A)U2 с ,С： означает, что мы производим отождествление Q(G[)〃2= с, используя поднятие на Gi естественной плотности, определяемой формой 02 на S2 (или формой Ui на S】). Умножение di е Q(Gi)1/2 на d2 w Q(G2) ^2 состоит, следовательно, в том, что мы отождествляем 山 с некоторой константой s и образуем произведение с^2 曰 Q ®2)“? = Q (G)"?.
Как и в обсуждении, предшествовавшем определению 21.2.15, общее представление (21.6.16) элементов из Л1(%)® й(%)1/2 можно рассматривать как частный случай отображения из теоремы 21.6.6. Однако такое рассуждение привело бы теперь к порочному кругу, потому что мы использовали (21.6.16), когда определяли отображение из теоремы 21,6.6.
Мы так упорно следили на протяжении всего параграфа за инвариантностью наших построений для того, чтобы иметь возможность немедленно распространить полученные результаты
на симплектические векторные расслоения. Итак, пусть У—некоторое многообразие и Е-> У — симплектическое векторное расслоение над У со слоем размерности 2п. Это означает, что у каждой точки многообразия У должна найтись окрестность I/, для которой существует изоморфизм векторных расслоений
UXL(X)f El。，
согласованный с симплектической структурой. Ясно, что множество Л(£) лагранжевых плоскостей в слоях расслоения Е образует другое расслоение над У со слоем Л(Г*(Кл)). Предположим теперь, что имеется какое-то выделенное сечение Хо расслоения А(Е). Тогда линейные расслоения Маслова М, определенные на слоях Ау(Е), дают линейное расслоение М (Е)-> \ (Е). Действительно, локально можно тривиализовать f так, чтобы плоскость 九口 отвечала слою расслоения T*(Rn) в 0, и это дает локальную тривиализацию для М (Е). При этом различные тривиализации, очевидно, согласованы друг с другом. Если теперь X — любое другое сечение расслоения А(Е), то мы можем образовать нз М(Е) линейное расслоение 入*M(E) над У; такие расслоения также будем называть расслоениями Маслова.
Типичная ситуация, которую мы имеем в виду, это ситуация, когда У — лагранжево подмногообразие в Т*(Х), где X ——некоторое С°°-многообразие. Тогда касательные пространства к Т*(Х) определяют симплектическое векторное расслоение Е над У и касательные плоскости к слоям расслоения Т*(Х) дают выделенное лагранжево сечение расслоения Е. Кроме того, имеется лагранжево сечение этого расслоения, задаваемое касательными плоскостями к У. Тем самым на У корректно определено линейное расслоение Маслова, разумеется, со структурной группой Z4. Оно понадобится нам при изложении инвариантных (и глобальных) результатов в гл. 25.
До сих пор в данном параграфе делался упор на аналитическое происхождение расслоения Маслова. Чтобы прояснить смысл этого понятия, дополним наше аналитическое изложение кратким чисто геометрическим обсуждением, хотя в дальнейшем это нам нигде не понадобится. При этом снова ограничимся случаем симплектического векторного пространства S. Можно взять S = T*(R以)с обычными симплектическими координатами х, ±.
Пусть 拉=1. Каждая прямая в 7*(R) лагранжева, поэтому А(5) представляет собой проективную прямую Pi(R)・ Следовательно, ni(A(S)) есть группа с одной образующей, получающейся вращением оси х в положительном направлении на угол л. Пусть %i ——прямая, задаваемая уравнением £ = 0, а 入2 — прямая, задаваемая уравнением | = х, и U/, j=l, 2>——множе-
ство всех прямых； трансверсальных к X/. Ясно, что U\ и U》покрывают A(S). Всяка5f прямая X е [/i П ^2 задается уравнением х = В|, где В #= 1. Целое число
а(М，А; %2, “ = 3 sgn
равно половине сигнатуры квадратичной формы —х2 + 2xg — Bg2, я значит, равно —1 при В > I и 0 при 8VL Таким образом, I-коцикл Маслова определяется коциклом
f —1 при 8 > 1,旬(8) = [ о при 8<]
Теперь можно вычислить, как изменяется элемент расслоения Маслова, когда мы один раз обходим проективную прямую Pi(R), следуя по указанной выше образующей группы ni(Pi(R)). Если в тривиализации, отвечающей U】，мы имеем значение с, то для 〃2 значение на прямой X, задаваемой уравнением х = В& равно c/i при больших положительных Вис при больших отрицательных 8; следовательно, когда 8 изменяется от +8 до ——оо, элемент расслоения Маслова умножается на 厶 Можно было бы проделать то же самое вычисление с когомологическим классом из "i(A(S)), определяемым коциклом о, и заключить, что его значение на образующей группы Л] (А(5)) равно 1.
Пусть теперь 拉 > L Докажем, что каждая замкнутая С】・крявая в А(5) гомотопна сумме замкнутых кривых вида 九i(f)X 九z где %i(/)cz A(7*(R))—путь, описанный в (i), а Х2 — некоторая фиксированная лагранжева плоскость в ^(R"-1)- Выбор %2 с гомотопической точки зрения несуществен, поскольку, как следует из леммы 21.6.2, Л(Г*(РП~1)) связно. Пусть /*—>%(/), Х(/ -|- 1)= %(/),——данная С!-кривая в A(S). Покажем сначала, что она гомотопна некоторой кривой, «точки》 которой пересекаются с %о очень простым образом. Для любого /о можно выбрать е > 0 и симплектические координаты так, чтобы плоскость 九口 по-прежнему задавалась уравнением х = 0 и
1(/) = {(А(ОВ,粉 при |f — fo|《&,
где Л — симметричная матрица, С】тладко зависящая от f. Рассмотрим пересечения плоскостей Х(/) с лагранжевой плоскостью х = В^, где 8 — симметричная матрица. Эти пересечения задаются уравнением (8 — A(f))E = 6, поэтому нас интересует, представима ли матрица В в виде В = Л (0-j- Bftj где Bk — матрица ранга 月 V 拉.Размерность многообразия М点 всех симметричных матриц Вк ранга k по существу была определена в лемме 21.6.3. Выбрать такую матрицу — значит сперва выбрать ка-
кое-нибудь подпространство коразмерности А, а затем каку то- либо невырожденную квадратичную форму на ортогональном дополнении к нему; следовательно, размерность многообразия равна
月血一月)+月优+ 1)/2 =拉(拉+ 1)/2-(九一月)(九一月+ 1)/2.
Из теоремы Морса — Сарда вытекает» что образ отображения
他一6, 4 + 6］义也三亿 B^A(t)^Bk
имеет меру 0 при 月 V 拉一1, а при k — n——1 нулевую меру имеет множество всех критических точек этого отображения. Отсюда следует, что если В не содержится в этих множествах и det (В — Д (/)) = 0 для некоторого t с 11—力］W 6, то ранг матрицы В ——Л (/) равен п——1, а производная 本«) не касательна к М〃7 в В — Л (/), т. е. производная по f от det (В — Л (/) ) отлична от 0. Далее, отображения
(X, У —(х — Е嗨 Е), 0&Е&1,
симплектичны. Деформируя %(/) с их помощью, получаем желаемый простой вид пересечений с %。при |/——力|《3, а выбирая В достаточно малым, мы ничего не испортим на том замкнутом множестве, где уже добились выполнения этого свойства* После конечного числа таких деформаций получим, что каждый гомотопический класс содержит кривую, удовлетворяющую следующим двум условиям:
%(/)П %口 ={0} для всех / mod 1, исключая некоторое конечное число точек 介，…，％, н в окрестности каждой из этих то* чек 入(f) можно записать в виде
x^A{t)l.
Если матрица А (/) вырожденна, то она имеет ранг 拉——1» a det 4(f) имеет простой нуль.
Действительно, для того чтобы обеспечить выполнение вто* рого из указанных в а) свойств, достаточно в качестве плоскости Е = 0 выбрать лагранжеву плоскость, трансверсальную к Хо и к некоторому конечному числу других лагранжевых плоскостей.
Всюду, за исключением некоторых окрестностей точек 厶，...,f“modl, плоскость 九(Z) представима в виде 自= 8(f)x. Выберем функции %уе С°°, заключенные между 0 и 1, периоди* ческие с периодом 1, имеющие попарно непересекающиеся носители и удовлетворяющие условию %/ = 1 вблизи 力，и положим % = £ %「Тогда кривые 九右，0 & е & 1, задаваемые формулой
戸(f) = I戸(f) = I{(X,(耿《) + (1 — е))8(，)х)} при z(o#= 1,
戸(f) = I
戸(f) = I
4(f)при х(0= 1»
дают гомотопию, связывающую кривую /ь->1(/) с кривой, состоящей из конечного числа петель, начинающихся н заканчивающихся в точке Xi ={(xf 0)}, причем на каждой из этих петель имеется лишь одна точка (лагранжева плоскость), не трансверсальная к Хо- Тем самым дело свелось к рассмотрению кривой с единственной такой точкой.
Пусть, как в b), det Л (/) имеет простой нуль в точке t = t^ и пусть 力(%) & = 6. Можно выбрать координаты так, чтобы вектор go был первым базисным вектором. Тогда
/"0) = (0 4)' det 4 #=0,
где Aq — симметричная (п — 1) X (^ в 1)-матрица. Производная от det4(f) при t = t0 равна 4ц偽)det/。，поэтому 4i〃())*0・ Знак последней величины допускает симплектически инвариантную интерпретацию. Действительно, если g(/)s С1 и g(/0) = (1, 0, …，0), то выражение
a((0, "幻)，①⑴自⑴，自(，))) =(/⑴陰(f), g&)〉
имеет в точке /0 производную 4厶(4)・ Следовательно, ⑵.6.24)sgn Au (/0) = sgn -^- ст (у (f0). Y (0) l<-«..
где /*—>Y(0 — любая кривая c y(f)w%(f), удовлетворяющая условию 6，у (力)w Хо.
Теперь можно произвести дальнейшую гомотопию матрицы Л вблизи точки f = fo так, чтобы в некоторой окрестности этой точки получить
/(/)= (《係%-幻 оу
Тогда описанную выше деформацию можно выполнить по переменным §2, ..., & для всех / и получить гомотопию с кривой 1(f), заданной формулой
А (/) = ；(*, 11 > о)； Ei (/—•幻从二(/o) = %(/)%J
при |f —备 IV 1/2 н продолженной на всё К по периодичности. Это случай, разобранный в пункте (i), быть может, с переменой знака. Тем самым нами доказана
Теорема 21.6.8. Фундаментальная группа щ (A(S)) изоморфна Z. Каждый класс гомотопий замкнутых кривых на A(S) содержит кривую fi*(f), такую что 1(/) П%о={О} для всех f, кроме конечного числа; для этих исключительных значений t записанное выше пересечение является простым, и каждому из них ножно
приписать знак, корректно определенный формулой (21.6.24). Сумма V этих знаков и задает изоморфизм с Z. Значение когомологического класса Маслова^ определенного формулой (21.6.10), на соответствующем гомологическом классе равно этому целому числу v. Обход указанной кривой приводит к умножению элементов линейного расслоения Маслова на 汴.
Примечания
Большая часть результатов § 21.1 идет от классической механики и может быть найдена в другой форме, например, у Кара- теодори (Caratheodory [1]). Новый интерес к этой тематике пробудила теория интегральных операторов Фурье. Частный случай теоремы 21.1.9 получен в статье Duistermaat, Hormander [1], а более общий вариант дан Мелроузом (Melrose [2]). В литературе имеется очень много результатов о вырожденных симплектических структурах, но мы включили в книгу лишь те из них, которые непосредственно связаны с теоремой Мелроуза об эквивалентности (Melrose [2]). Также и § 21.2 начинается с классических результатов. Важность допущения чистых пересечений была подчеркнута Дёйстермаатом и Гийемином (Duister- maat, Guillemin [1]) н Вейнстейном (Weinstein [3]). Наше обсуждение чистых фазовых функций заимствовано из их статей. Невырожденный случай был рассмотрен в статье Hormander [26]; соответствующие результаты восходят к классическим результатам о производящих функциях канонических преобразований.
Нормальная форма из теоремы 21.3.2 была найдена Дёйстермаатом и Хёрмандером (Duistermaat, Hormander [1]). Нормальная форма из теоремы 21.3.3 получена Сато, Каваи и Касиварой (Sato, Kawai, Kashiwara [1]) в аналитическом случае и Дёйстермаатом и Шёстрандом (Duistermaat, Sjostrand [1]) в <?°°-случае. По поводу обобщения, данного в теореме 21.3.5, см. также Yamamoto [1]. Теорема 21.3.6 — ключевой результат статьи Nirenberg, Treves [2].
Утверждение об эквивалентности пар гиперповерхностей со скользящим пересечением было высказано в качестве гипотезы Сато, причем Сато предполагал, что эта эквивалентность имеет место в аналитическом случае, но Осима (Oshima [1]) построил контрпример. Справедливость этой гипотезы для С°°-случая была доказана Мелроузом (Melrose [2]), и в § 21.4 мы в основном следуем его статье. Результаты о канонических отношениях со складками принадлежат Мелроузу и Тейлору (см. Taylor [3]); эти результаты играют важную роль также при рассмотрении смешанных задач.
Симплектическая редукция квадратичных форм — старая тема в механике, поскольку эта проблема возникает при исследовании гамильтоновых систем в положении равновесия. Наше изложение опирается на работы: Melin [1], Boutet de Monvel [4], Sjostrand [3], Иврий, Петков [1] и Hormander [36].
Индекс Маслова, изученный нами в § 21.6, был определен Масловым [1] в связи с его каноническими операторами. В этом понятии находит выражение классическое наблюдение геометрической оптики, состоящее в том, что в каустике имеет место сдвиг фазы на л/2 (см. § 12.2), что было явно сформулировано уже Келлером (Keller [1]). Ясное изложение теории индекса Маслова дал Арнольд [1]; это изложение было представлено в несколько ином виде в работе Hormander [26]. Данное здесь изложение модифицировано, с тем чтобы оио лучше отвечало случаю лагранжевых многообразий с чистыми пересечениями. Относительно случая комплексных лагранжевых многообразий см. Melin, Sjostrand [1] и Wang, Tsui [1].
22
Некоторые классы микрогипоэллиптических операторов
Краткое содержание главы
В гл. 11 было доказано, что дифференциальный оператор P(D) с постоянными коэффициентами гипоэллиптичен тогда и только тогда, когда при некотором р > О
Р⑷(自)/Р(陰)=0(I 陰「*g) для каждого а при 陰 f оо в R"・
Напомним, что оператор P(Q) называется гипоэллиптическим, если
sing supp u = sing supp P (£>) u, 〃 三妙.
Для операторов с постоянными коэффициентами равенство (22.2) эквивалентно микрогипоэллиптичности:
WF (u) = WF (Р(D) u), u w 勿一
Из микрогипоэллиптичности следует гипоэллиптичность, но обратное верно не всегда. Ниже в основном обсуждается микрогипоэллиптичность.
В гл. 13 только что упомянутые результаты были обобщены на операторы постоянной силы. Это дифференциальные операторы, для которых
|D|D?P(x, |)|<Сар|Р(х, |)||1Гр1а| при большом |||.
Однако методы теории возмущений, основанные на теории псевдодифференциальных операторов, намного сильнее методов гл. 13. Это будет видно в § 22.1, где с помощью изучения псевдодифференциальных операторов (типа р, 6), имеющих псевдодифференциальные параметриксы, улучшены результаты § 13.4. Полученные результаты все еще имеют существенные недостатки. Один из них заключается в том, что классы псевдодифференциальных операторов типа р, 6 не всегда инвариантны при заменах переменных, и поэтому классы получаемых гипоэллип-
тических операторов также не инвариантно определены. Приведен удивительный пример того, что гипоэллиптичность уравнения теплопроводности может быть некоторой заменой переменных замаскирована с точки зрения критерия § 22.1. Другой недостаток состоит в том, что результаты, доказанные в § 22Л, не охватывают некоторых простых типов гипоэллиптических операторов, встречающихся в теории вероятностей, например оператор из уравнения Колмогорова (7.6.13), элементарное доказательство гипоэллиптичности которого было уже дано.
Поэтому § 22.2 посвящен изучению «обобщенных операторов Колмогорова» вида
£ # + Хо,
где X/ — вещественные векторные поля. Доказано, что такие операторы гипоэллиптичны, если алгебра Ли, порожденная всеми X/, содержит базис пространства всех векторных полей в любой точке. Использованные в доказательстве методы могут быть также применены к псевдодифференциальным операторам с неотрицательным главным символом рт при похожих симплекти- чески инвариантных условиях на рт и на субглавный символ 端一1・ Показано, что если в некоторой точке Р〃 w //⑻，то там же 〃三//(叶“2+&)при некотором е е (0, 1]. В этом случае принято говорить, что оператор обладает свойством гипоэллиптичности с потерей 2 — е производных, так как именно таков дефицит по сравнению с эллиптическим случаем. В доказательстве использована принадлежащая Фефферману и Фонгу оценка снизу псевдодифференциальных операторов, доказанная в § 18.6, но в остальном мы будем основываться лишь на относящихся к псевдодифференциальным операторам фактах, содержащихся в § 18.1, вплоть до § 22.4, где будет широко использована общая теория, развитая в § 18.5 и 18.6.
Оценка снизу для псевдодифференциальных операторов, принадлежащая Фефферману ——Фонгу, в некоторых отношениях очень точна, но в других очень слаба. Поэтому в § 22.3 доказана другая оценка снизу, принадлежащая Мелину, дающая необходимые и достаточные условия того, чтобы оператор первого порядка мажорировал положительный скалярный оператор. Эта оценка позволяет распространить теоремы о гипоэллиптичности из § 22.2 на случай потери ровно одной производной. Полные результаты о таких операторах с главным символом, принимающим значения из некоторого выпуклого угла в С, доказаны в § 22.4. Как уже отмечалось, доказательства здесь менее элементарны и в остальных главах на § 22.4 мы ссылаться не будем. Однако использованные методы представляют интерес и вновь появятся в главах 26 и 27 в сходных контекстах.
Операторы с псевдодифференциальным параметриксом
Пусть X — открытое множество в R" н Р = (Р向八总т n — матрица собственных псевдодифференцйальных операторов Р/饱三屮^6, те 0 & 6 V р W 1 (см. конец § 18.1). В предположениях, аналогичных (22.1), мы хотим доказать гипоэллиптнчность оператора Р, т. е. гладкость решений и системы
N
Ei р汴以~fft /=м
там, где гладкой является ее правая часть /, Чтобы сформулировать условие на символ р(х,自)w S^ б оператора Р, введем понятие умеренной нормы на СЛ, параметризованной точками пространства 7*(Х): норма [I ^x,t на Л", определенная для каждой точки (х,自)三 Т*(Х), будет называться умеренной, если для каждого компакта КиХ существуют такие постоянные С п М9 что при ||z||=(£|Z/|2)"2
CT(l+ig|)-M||z||&||zM&C(l+|E|)M||z||； хм%
ge Rn, 2eCv.
Определение 22.1.1. Символ p(x, SuS^KxXR") co значениями в L(_C", С") называется гипоэллиптическим, если существуют две такие умеренные нормы || • ||х, g н II •心 g, параметризованные точками пространства 7'*(Х), что для каждого компакта КиХ существуют такие постоянные С, Сар, что
||z広.е&СМ(尤，出2<& xwK, |Е|>С, 2Е{/;
II成)(х,切1匕a&%(1+化尸з + ”叫01；"xwK.
На самом деле не было необходимости предполагать, что pwS卷 6, так как это является следствием неравенства (22.1,3). Чтобы прояснить смысл этих условий, предположим сначала, что ^= 1. Тогда IIzЦх, ^ = Л1 (х,自)||之II工占 и сформулированные условия принимают вид
М (%, у & СI р (%, Е) I, I 隔(х,陰)I & Са^М (Х, 9 (1 + I 自 |)-р 囘 + 5叫
Поэтому функция М (х, g) должна быть эквивалентна |"(看陰)| прн большом |g| и
|р(₽!(х, |)1<са₽|р(х, g)|(l+|g|)-p,a, + e,el, ХЕК, ®>с.
Эта ослабленная форма неравенства (22.1)' вместе с полиномиальными оценками на " н 1/" при большом |g| эквивалентна гипоэллиптичности в определении 22.1.1.
Если выбрать
心心6 = (1+|自心2|1，1|2|1：尺=(1+|自*3,
то условие (22.1.3) принимает вид р wS鼠 и (22.1..2) означает, что 1/р е 5^7б при большом |自|, Более общим образом, переменные г можно было бы расщепить на несколько групп переменных и для каждой из них использовать свои показатели s и1 L Такое разделение приводит к системам, эллиптическим по Аг- мону — Дуглису — Ниренбергу, для которых понятие главного символа зависит от положения в матричном символе (см. § 19.5). Здесь молчаливо предполагалась справедливость следующей простой, но важной леммы:
Лемма 22.1.2. При выполнении условий определения 22.1.1
II。出厉(%,旷展 £&&《в(1+|Е|)еа| + б ⑴牀県，
力 W К, I g I > С.
Доказательство. Неравенство (22.1.4) совпадает с (22.1.2) при а = Р = 0, а в общем случае будет доказано индукцией по возрастанию |а + р|. Дифференцирование уравнения
p(X, 9""，自尸=/
приводит прн 111 > С к равенству
р(х,目久戍"(х,旷| = 一 2 %，w戍'"(%, g)Dfn5(x,旷*
где of + az/ = a, g + B" = B и |a" + 卩〃| V|a + 卩| под знаком суммы. Ввиду предположения индукции и неравенства (22.1.3) получаем
||р(х,陰)。沙历(%, g)-1 г|£ ^ < С：₽ (1 + I S 1)-р 1 a 1 + 613 'll г ||：v
Поэтому неравенство (22.1.4) вытекает из условия (22.1.2).
Теперь мы в состоянии доказать обобщение теоремы 18.1.9: Теорема 22・1.3・ Предположим, что Pw4^6(X； С”，С”)一 собственный оператор с символом, удовлетворяющим условиям определения 22.1.1 при О W 6 V р W L Тогда найдется оператор Q, для которого выполнены те же условия^ если поменять местами нормы в определении 22.1.1, и
PQ = / + R, QP = / + &,
где Ri и /?2 — операторы порядка ——оо.
Доказательство. Как при доказательстве теоремы 18.1.9, доста* точно построить операторы Qi и Q2, для которых PQi — I + Ru Q2P = I + R? н операторы & и & имеют порядок —оо, так как тогда оператор Qi — Q? автоматически имеет порядок —оо. По лемме 22.1.2 можно выбрать собственный оператор Qo с символом, равным р(х, g)-1 при большом |g|. Символ оператора
Ro = PQo — /
имеет асимптотическое разложение
分 (% 9~ £«5)ар(х,目0%(%,旷%1,aQO
откуда, используя (22.1.3), (22.1.4), получаем
II 闱卜 & У Z |匕 &《Qfj (1 + I Е l)6f Г W + "叫I z 心 &.
Символ оператора R§ удовлетворяет тому же условию, но в показателе число 6 — р заменяется на k(6 — р). Так как|| • [&g — умеренная норма, то R，w 4r片乎"屮 при некотором фиксированном М9 по крайней мере на произвольном компакте. Поэтому существует оператор Т, для которого
7- 2(-%)餐屮爲
при каждом ^. Тогда PQ()T = / + Ri, где оператор Ri имеет по рядок —оо. Символ оператора Qi = QoT удовлетворяет оценкам вида (22.1.4). Аналогично строим Q2, замечая, что QqP = / + /?о» где /?о обладает теми же свойствами, что и /?拆 но с заменой II ■ Их. $ на 11-llx.v Это завершает доказательство теоремы.
Конструкция оператора Q? может быть получена из конструкции оператора Qi переходом к сопряженным операторам. Дей* ствительно, если Р удовлетворяет условиям теоремы 22.1.3, то Р* также удовлетворяет им относительно норм, двойственных к нормам II • ||х, ^ и II • ||х, &• Соответствующую простую проверку предоставляем читателю. Вместо этого мы приведем основное приложение теоремы 22.1.3.
Теорема 22.1.4. Предположим, что Pw 屮^6(Х； С*, Т) — собственный оператор с символом, гипоэллиптическим 6 смысле определения 22.1.1. Тогда оператор Р микрогипоэллиптичен, т.е.
WF(u)=WF(Pu), 〃w 勿(X, С”).
Доказательство. Включение
旷尸(р〃)u旷尸(幻
является глобальным (р,6)-вариантом включения (18.1.25), из которого также следует, что
WF(QPu)^WF(Pu)9
если Q — параметрикс из теоремы 22.1.3. Так как QPu — 〃wC°°, то это доказывает равенство (22.1.5).
Конечно, утверждение теоремы 22.1.4 можно микролокализо- вать и далее; если условия (22.1.2), (22.1.3) выполнены в открытом конусе ГиТ*(Х)\0, то равенство (22.1.5) справедливо в Г. С другой стороны, при 1 —р & 6 V р & 1 результатам данного параграфа можно придать глобальную форму, в которой X — многообразие,戶三屮^б(Х; £*,尸)для двух векторных расслоений Е,戶 на X со слоями одинаковой размерности. Прн этом нормы |] •心,g н II ♦位 g интерпретируются как эрмитовы нормы в расслоениях Е н 户，поднятых на Т*(Х). Нужно лишь доказать инвариантность условий теоремы 22.1.1 при замене переменных. Предоставляем читателю проверить, что это следует из (р, 6)- варианта теоремы 18.1.17. Отметим, что такие инвариантные классы гипоэллиптических операторов получаются только, если р > 1/2. Оператор теплопроводности ^/дх\ — д1дх2 удовлетворяет условию (22.1) при р = 1/2. Если ввести
91 = %i, У2 = ”2 + %；/2, то
д2/дх] — д/дх2 = (д/ду{ + ухд!ду^ — д/ду2
=d2/dyl + y^/dyl + 2у^1дух ду2.
Символ этого оператора —(тп+угп?)? не удовлетворяет уело* виям определения 22.1.1. Это показывает, что ограничение р > 1/2 существенно и что простое сравнение символа оператора и его производных не всегда является удовлетворительным методом для определения того, является ли оператор гипоэллип- тическим.
С другой стороны, теорема 22.1.4 доказывает гипоэллиптичность многих операторов, весьма далеких от операторов постоянной силы, обсуждавшихся в гл. 13, Примером служит символ
"(%, Ь = с + |х 門&产，
где с > 0. Условия теоремы 22.1.4 выполнены при р = 1 и 6 =卩/% если у V V. Так как
dx^\D^6t(р) = -Д|х|2(р(0) = -2пф(0), то оператор 2孔 + |%|2|。|2 не гипоэллиптичен( и поэтому условие |д V V нельзя опустить.
Обобщенные уравнения Колмогорова
В качестве примера преобразований Фурье гауссовых функций в § 7.6 было построено фундаментальное решение уравнения Колмогорова
д2и/дх2 + х ди/ду — du/dt = f,
описывающего броуновское движение в R; х обозначает скорость, а у — положение частицы. Его фундаментальное решение является гладким вне диагонали, и легко убедиться в гипоэллиптичности уравнения Колмогорова. Ясно, что условия определения 22.1.1 для него не выполнены ни при каком выборе координат.
В настоящем параграфе будут изучаться более общие уравнения вида
+ 〃 + ," = /,
где Lj — вещественные С°°-векторные поля на п~мерном многообразии X и cwC°°(X). Легко видеть, что уравнение (22.2.1) не может быть гипоэллиптическим, если с = 0 и ранг алгебры Ли, порожденной векторными полями Lo,...,厶门 меньше п в открытом множестве У, т. е. если система векторных полей
£/,厶，L/J, [Ад, [Lflt L^ ...
имеет ранг V孔 в каждой точке множества У. Действительно, в окрестности точки, где этот ранг й максимален, по теореме Фробениуса (теорема С.1.1) можно так выбрать локальные координаты, что
k
£/= £ &枝d/d^v， /= h
Тогда все функции переменной хп являются решениями однородного уравнения (22.2.1). С другой стороны, будет доказано, что это уравнение микрогипоэллиптично, если ранг всюду совпадает с п:
Теорема 22.2.1. Пусть £/, / = 0, …，г, — вещественные вектор^ ные поля на многообразии X, порождающие алгебру Ли ранга dimX в каждой точке. Тогда уравнение (22.2.1) микрогипоэллиптично.
п
Пример. Оператор ^/дх^ + £%Т‘0/0х/ микрогипоэллиптичен, если 0 & m2Vmз V • • • < mn — целые числа.
Утверждение теоремы локально, и поэтому при его ноказа， тельстве можно считать, что X и R©. Положим
p = - S 一及一C
Если L/(x, I) — символ оператора L/Д являющийся вещественной линейной формой по & то главным символом оператора 2 будет
Р2(Х，1)=2^(Х,济.
Можно представить оператор Р в виде
Р=^^ + Т + с9
где L/ =—L/— С/— оператор, сопряженный к L/( и T = —L^ + £ C/厶尸 Тогда Т н 厶，•・.，£「снова порождают алгебру Ли ранга п. Обозначим £2-норму через || -||.
Лемма 22.2.2・ Если К ——компакт в X, то
*|&〃『&1?е(Р“，“)+ 备||“『，“еСГ(К), nn
21储(%,d)巡+工"2⑴(居0)"1仁)
& c} Re (Ри, u) + C仙〃 II2, u w Cf (К)*
Доказательство, Оценка (22.2.3) следует из тождества
Re (Р«, “) = £ II 屮『+ (((Г + Г)/2 + с)«, и),
поскольку оператор Т + Т* представляет собой просто умноже* ние на функцию. Далее,
戒=2 卒("//為)%, p2(W = 2 4 (叫/0/)%,
и поэтому оператор рГ°(%, Q) является линейной комбинацией операторов Lj(x, D) с ^-коэффициентами, в то время как
Р2(v)(x, D) — 2 £ £『《)(%, D)Lj(x, D)
есть оператор порядка 1. Это доказывает оценку (2224).
Теорема 22.2.1 будет Доказана лишь на основании оценок леммы 22.2.2 и вещественности 勿 Это позволит нам в конце параграфа обобщить теорему, не повторяя ее доказательство. Итак, обозначим через Р — р(х, D) собственный псевдодифференциальный оператор порядка 2 с вещественным главным символом р2， удовлетворяющим оценкам (22.2.4). Через Qi обозначим множество всех собственных операторов первого порядка q(x, D) с вещественным главным символом, таких что для каждого компакта ^
Iq(X, D)“||2&以Re(P“，и) + С^и『，u^C^(K).
Ясно, что Qi содержит все операторы порядка 0, и, следовательно, данное условие является ограничением лишь на главный символ. Пусть Es ——собственный самосопряженный псевдодифференциальный оператор с символом (1 +|||2)s/2. Тогда предположение (22.2.4) означает^ что операторы. Р” = рГ'(л\ D) л Pv = E^p2(v)(х, D) принадлежат множеству Q「Пусть Q2 — множество, состоящее из оператора (Р —P*)ji и всех коммутаторов [q, ^] Д где q, ^ е Qb При 月 >2 последовательно определим Qk как множество всех [仇。]/応 где «三 Q^t н q，MQi или qqQy и дУ Q2. В силу тождества Якоби
[% “，g"D = Ug, S, g'1 + 旧"，д], д']
из множества Q? достаточно использовать только элемент (Р — P*)/i. Теперь основным шагом доказательства теоремы 22.2.1 является следующая
Лемма 22.2.3. Если qk^Qk и е^ 2!~\ то для каждого компакта
加 ||(8-n< С (И Р〃 ]] + 心]]),“ w СГ (К)・
Доказательство. Оценка (22.2.5) следует из (22.2.3)' при k — \. Доказывая ее при 也 > 1, удобно считать, что Re (Ри, и) ^ 0. Этого всегда можно добиться прибавлением к Р большой постоянной, так как действие происходит на компакте. Обозначим через
р =(戶 + р%2, р" = (Р — Р*)/2х
вещественную и мнимую части оператора Р. Таким образом, оператор 尸 предполагается положительным. Чтобы доказать (22.2.5) при й = 2 и ^а = Р", нужно оценить
I! Е_п彼％ IP = (Р"〃，Ли) = ((Р - Р')и, 4〃)"，
где 4 =吃|/2「" 一 оператор порядка 0. Ясно, что
|(Р〃，ЛИ)|^С||Ри||||и||,
и ввиду положительности оператора Р‘ неравенство Коши — Шварца дает
|(尸勿，Au)\^(Pfu, 〃产2(PS"，4"”《(Re(P〃，u) + Re(P4〃，4u))/2.
На основании правил исчисления
[P,用=工(4匕 + 川P‘) + Ло,
где операторы %, /； н 4 имеют порядок 0. Следовательно, Ие(РЛи, Аи) = Re (ЛPu, Аи)+ Re([P, Л] и, Ли)
<с(цри||+ ZiiP/«n+ E|p%ll + iMi)ii〃必
что доказывает оценку (22.2.5) для оператора Р".
Перед общим доказательством этой оценки по индукции заметим, что она влечет неравенство
(22.2.5Г[|BqkAu心 &С^ Р〃|| + l[u ID, “ w С〕(К),
s + ord Л + ord В W е ——1. Действительно, порядок оператора B[qk,A} не превосходит е— 1——s«—& а требуемая оценка нормы ИBAqku^(s) справедлива благодаря (22.2.5). Полезно- также заметить, что
|[ВРАи履 + IIВ[Р, А]«心 <С(||Р〃|| + ||〃|[), 〃 wС汽К), при $ + ord Л + ord В ^ 0. Для коммутатора это очевидно, так как верно тождество вида (22.2.6) с операторами Л/, Л/, А^ того же порядка, что и 4. Поскольку для ^BAPu^(s) нужная оценка справедлива, это доказывает (22.2.7). В слагаемом, содержащем коммутатор, можно заменить Р на Р, так как оператор В [PJ 4] имеет порядок《一$.
Предположим теперь, что оценка (22.2.5) верна при некотором й. Для ее доказательства при больших значениях k нужно показать, что если q q Q】，то
IIm 办]“|)(e/2-i)<C(||Pu!| + l|uII), и^СТ(К).
Это означает, что нужно оценить величину
(Е 仇]% Ли) = (qkut qAu) — (qu,，諸〃)，
где А — £^/2-i [?» ?а] ~ оператор порядка а—1 (операторы д, qk можно считать самосопряженными, так как важен лишь их главный символ). Но вследствие неравенства (22.2.5)'
II %〃 ]|(_1)И qAu ку +1! qu ||(0)|]g 以口 h & С (|| Ри || + 1!« НЛ
Поэтому для [q, qk\u верна требуемая оценка.
Докажем, наконец, что из (2225) следует неравенство
IIIP", ^и^ь<С(ЯРи\\ + \\и^ 以三俏(К)・
Это означает, что нужно оценить
([Q,依]弘 Au) = i((P^Pf)qkut Au} + i(qk(P-Pf}^ Ли),
где Л — оператор порядка е/2—1. Слагаемое
I (尋弘 РАи) КII м ||(e-i)II РАи ]|(i удовлетворяет требуемому неравенству ввиду предполагаемой оценки (22.2.5) и неравенства (22.2.7), и то же верно для слагаемого (Ри, qkAu). Остается оценить выражения (q^u, Р'Аи) и (Р”, q^Au). В первом из ннх операторы Р‘ н 若 можно поменять местами, так как для
нужная оценка справедлива, поскольку 1 — е + ord Л < 0. Применение неравенства Коши — Шварца, как это делалось выше при оценивании Р", показывает, что теперь осталось лишь оценить через (||Pu|]+||u||)2 выражения
^qkAu, qkAu) = Re(PqkAu, qkAu),(^A'qkU, /*%〃)= Re (P4*g*〃，A*qku).
Эти оценки верны потому, что в силу индуктивного предположения (22.2.5)z и оценки (22.2.7) имеем
Ц Pq^ti ||(-е/2)+ II PA*qku ||(-g/2)+ II q^Aa 口佰⑵ +1| 川仇〃 ll(e/2)
^C QI Ри Ц.+И и fj)t 〃三 C/(K)・
Доказательство леммы закончено.,
Предположение о том, что система векторных полей (22.2.2) имеет ранг п в каждой точке, означает, что у операторов 厶厶 (L；,, L/J, [£厶，[厶/?,厶倉]],...нет общих характеристических точек. В следующей лемме используется обобщенный вариант такого допущения.
Лемма 22.2.4. Предположим, что при некотором целом N операторы из Qi U …U Q“ не имеют общих характеристических точек. Если 8 & 2一", то для каждого компакта Ku X и каждого 5 е R
II и ||(s+2e) + £ II PiU Ь+8)+ X II 川“ ll(s+el
<Cs,K(\\Pu^} +UUIU 〃wC/(K)・
Доказательство. Выберем операторы gb …，g」MQiU …UQ“, у которых нет общих характеристических точек над компактом
К. По лемме 22.2.3
£||%(х, DJulb-n^CdlPull + Hull), 〃wC『(K), откуда вытекает, что
II“％&С(II Р〃!l + ||uII), 〃 w С/(К)・
По предположению множество Qj содержит операторы 匕 и Р厶 Поэтому в силу (22.2.3)z при каждом 启 > О
S (И P/UII + II Pzu D < С (ВII Р« ||(_е) + В"1 И«||(е)+||«lko)),
uwC式 К*
Так как эти оценки верны для каждого компакта К, то можно заменить % на Esu в (22.2.9) и на Es^u в (22.2.10). Поскольку символ оператора £$ modS~°° равен (1 +|^|2)s/2, получаем
II 〃 !h+2e) & II Esu ll(2e)+ С |] 〃 Iks), II 戶/以 lks+剧 & II P/Es+川 lb + СII 〃 !l(s+e)>
и то же самое верно для Р/, так как [Р/,Е$+/ — оператор порядка s + е. В соответствии с правилами исчисления
EfPEs+e = EsP + i (s + £)£ DjEs-F] + R,
где R — оператор порядка s. Поэтому
11峭+訓 И) & II Р«1Ь) +Cf|| PfU 心 + СII “ Iks).
Комбинируя эти оценки, получаем, что при достаточно боль- шом В
II U ||(s+28) + Е II P/U Iks+e) + £ II а и Iks+e) 《с (и & h + £ и р* 1Ь)+ 2 и р'〃 心)+и«u(s+e)).
Из неравенства Гёльдера следует, что нормы в //($)представ* ляют собой логарифмически выпуклые функции переменной s> Поэтому, например,
卄心《II川阳『I⑺即甘>《6"ь+时+ 6一勺*67， б > 0.
Если в (22.2.11) оценить CHP/ulb через || Pfu ^s+eJ2 + Cf^u ||(s)> a C||“lks+e)через ||u|b+2e)/2 + C^lulks), то получим (22.2.8).
Лемма 22.2.5. Пусть выполнены условия леммы 22.2.4. Если
Pu = f Я(^ в точке (л：。，Ео)曰 Т* (X) \ 0, то
〃W〃(*2e),戸产已用：;е), р'и S Я(°+е) в ТОЧКв(Хо, Iq).
Доказательство. При доказательстве леммы можно считать, что (22.2.13) и е Я(°Х«), Р产 w〃；；；，PJu е Я(°)с в точке (х01 у.
Действительно, такое предположение заведомо выполняется, если заменить число s на s — ^e при достаточно большом М Если утверждение леммы при таком дополнительном предположении доказано, то можно последовательно заключать, что (22.2.13) справедливо с параметром s, замененным на s — fee, k = N, N — 1, ..., 0. Кроме того, можно считать, что 〃三 /， (X), и тогда оператор Р можно так изменить вне окрестности Л множества supp〃， для которой верно неравенство (22.2.8), что Ре OpS2(RnX R^). Выберем такой символ 而 q S。， что 1/*mS° в некоторой конической окрестности точки (х0> Во), а вне некоторой другой конической окрестности точки (Хо, |о)» для которой выполняется (22.2.13), символ 屮 имеет порядок ——оо. Собственный оператор ф(х, D) можно в действительности выбрать так, что supp ф(х, Z))u с= ^ для всех функций и, сосредоточенных вблизи supp и. Выберем % w С/(Rn) с 虱0)= 1 и положим
S (х, Е) = W (х, Е) х (陶，К 恥(居 D)・
Тогда символ фй ограничен в S0 и Т^а е С*(К) при малом б. Ясно, что величина [|%口 1%)равномерно ограничена при 6 fo. Так как
р屮招=%Р〃 一》£ 屯6 (居 D) M〃 + i £ М (х, D) Р/ - & (& D) и, где символы R&,屮抬 и фд ограничены в S° н имеют порядок —оо вне конуса, в котором выполнено условие (22213), то, применяя (22.2.8) к функции ^и, заключаем, что величина
II 屮6〃 h+2e) + Е II P^6U h+e>+ £ II W%“ h+e
ограничена при 6fo. Это доказывает (22.2.12).
Лемма 22.2.5 завершает доказательство теоремы 22.2.1. Доказано даже, что из включения Ри 三 Н($、в точке (х, |) следует, что и 三 Я(5+2е)в точке (х, &) при некотором 8 > 0. Теперь рассмотрим более общие результаты, по существу содержащиеся в приведенных выше леммах. Пусть X есть С°°-многообразие и 戶一собственный псевдодифференциальный оператор из 4fm(X) с уточненным главным символом и(Р) (ср. с теоремой 18.1.33), удовлетворяющим условию
Imo(P)eSm~1, Reo(P)+r>0
при некотором /"wS^q. Если Xu R" и р(%, *) — полный символ оператора Р, то это означает, что
(22.2.14УImpeS™-1, Rep + r》0
при некотором г е S*，Из соображений простоты будем в дальнейшем считать, что X и Rn, но, поскольку все результаты будут локальными, они сохраняют силу для произвольного многообразия. Как и выше, через Es обозначим собственный псевдоднф- ференциальный оператор с символом (l + |^|2)s/2. Тогда включения и и Нд и Esu е л(ц_в)эквивалентны и оператор ESP удовлетворяет после замены m на 加 + s условию (22.2.14) \ так как вещественная часть его символа есть (1 +|屮产2!?£夕(居 Е) modSm+s-2. Выбирая s = 2 — m, сводим изучение к случаю операторов с m = 2, что и предполагается в дальнейшем. По не* равенству Феффермана ——Фонга (следствие 18.6.11) для любого компакта К и X имеем
Re(P«, «)>-Ск||«||2, “三瑞(К).
Более общим образом, пусть Qi — множество всех таких собственных операторов q 三 4n (X) с вещественным главным символом, что на каждом компакте К 短 X
|g(x, Е)『& С% Re р (%,自)+ 或，xw.K.
Применяя неравенство Феффермана — Фонга к оператору Р ——6qK D『q(x, D) при бС^ < 1, убеждаемся, что неравенство (22.2.3)' справедливо для каждого q s Qi, так как вещественная часть символа оператора ^(х, D) *^(xt D) равна \q(x, g) I2 cnodS。, а мнимая часть принадлежит S1.
Неравенство (22.2.15) выполняется для операторов Р； и Р< имеющих главные символы (1 +|5|2)-,/2р(/)(х,日 и р⑺(居己) соответственно. Действительно, если 丸》1, то производные порядка W2 функции
〃(居 l) = Rep(x, &)/R2
ограничены равномерно по R, когда 1/2 < |^| < 2 и точка х лежит в окрестности компакта К. Добавляя к р постоянную, можем считать, что /&》0. Тогда по лемме 7.7.2
①/鼠招 5)/5(хЛ)|2<С^(х,亂 |g|=l.
Так }как ImpeS1, то отсюда вытекает неравенство (22.2.15) для главных символов операторов Р/ и PL
С помощью лемм 2223— 22.2.5 теперь получается
Теорема 22.2.6. Пусть Р w Y^1 (X) — собственный оператор с уточненным главным символом, удовлетворяющим в конической ок-
рестности точки (砧 品)口 Т*(Х)\0 условию (22.2.14) при неко* тором г 三 S»2. Положим Qi равным множеству всех операторов Q 至 1Pm-1 с вещественным главным символом д, для которого е конической окрестности точки (х0, Ео)
I q (х, Е)『& С' Re р (х, Е) (1 +1Е『)("Т/2 + с" (1 +1Е『尸？
Предположим, что (%。，&о)——нехарактеристическая точка некоторого коммутатора из Vj множителей, принадлежащих Qb u v2 множителей Р — Р*, причем , + 2V2 W N. Тогда если е = А", то (22.2.16)以三勿(X), Ри w 础;в точке (х0> 自J
=>U е Я(^т-2+2в) 8 ТОЧКе (%, &)•
Отметим, что коммутатор [gi(x,Q), [^2(х, D),[…，仇(居 Q)・・.]]]из k операторов порядка /и— 1 является оператором порядка k(m ——1)—左 + I с главным символом
{%(Х,出，{«2(х, Е), {...,仇(X, Е)…}}}尸匕
Таким образом, предполагается, что какая-то из таких повтор* ных скобок Пуассона, включающих символы д〃 удовлетворяю* щие условию (22.2.15), или qi = Im pm-ъ обратима в конической окрестности точки (х0> Во). Мы доказали искомый результат при локальных условиях на символ оператора Р. Требуемое усиление немедленно получается, если прибавить к 戶 оператор с символом |g|ma(x, |), где символ awS° неотрицателен, равен 0 в конической окрестности точки (хо,恥 и положителен вне другой такой окрестности, в которой выполнены условия теоремы.
Неравенство Мелина
Неравенство Феффермана — Фонга играло важную роль в до* казательстве теоремы 22.2.6. Оно представляет собой результат очень точный в том смысле, что возможен случай, когда самосо* пряженный оператор р(л\力)порядка >2 не ограничен снизу в I?, хотя функция Rep(x, |) ограничена снизу. Однако этот ре* зулыат слаб в том отношении, что оператор р(х, D) порядка 2 может быть ограниченным снизу в L2, хотя его символ по не* которым направлениям стремится к —оо так же быстро, как |g|. Причина этого состоит в том, что гармонический осциллятор D2 + 炉 имеет на R нижнюю грань 1, так как
^ + ^)ut u) = ||(Z)-/x)u||2 + ||u[|2, ueC«(R).
С помощью аналогов данного тождества нами будут установи лены некоторые оценки снизу для псевдодифференциальных
операторов с полиоднородными символами. В качестве приложения из них получится дополнение к теореме 22.2.6. Начнем с алгебраической леммы.
Лемма 22.3.1. Пусть Q — положительно полуопределенная квадратичная форма е R2rl и Vk — пространство корневых векторов 6 С2n 048 гамильтонова отображения F формы Q, соответствующих собственному значению %. Выберем унитарный базис Uh vk 8 пространстве V+= ф Vf„ с эрмитовой формой н>о
Q(vt и)/2 〃 ортогональный базис t^+ь ..., ищ е вещественной части пространства Vo/Кег F с квадратичной формой, индуцированной формой Q. Если L/(х, |) = Q(u/, (х,曰)，то
(Q(x, £>) + Q(x, D)・)/2= £ 厶,(х, D/L^x, D) + Tr+Q,
или, что эквивалентно,
£|丄声，&)F = Q(x, 3,
£ {Re 匕，Im “ + Tr+Q = 0, (x, |) e R2".
k
Здесь Tr+Q =£ 卩/, где 力卩/— собственные значения ограничения отображения F на пространство V+.
Доказательство. Символом оператора L；(x,D)* является функция L；(x, I), поэтому символом самосопряженного оператора £ 厶/(尤，Of Lf(x9 D) будет
2丨乙声，W)『 + L £9Е7ёП)/т)(05х, *)/axJ.
Оператор (Q(x, Z>)+ Q(x, D)*)/2 имеет символ Qa, ^)+imdxM/2i.
Взяв вещественную часть этих символов, мы видим, что из (22.3.1) следует (22.3.2). Так как два самосопряженных оператора не могут отличаться на чисто мнимую постоянную 声0, то обратное очевидно.
Ясно, что условие (22.3.2) симплектически инвариантно, а условие (22.3.1) инвариантно при унитарных преобразованиях векторов гм, 0々 и ортогональных преобразованиях векторов Vk+ъ ..., ип. Следовательно, по теореме 21.5.3 достаточно проверить одно из условий (22.3.1), (22.3.2) в случае, когда
Q(x,目=£ М/ (х/ + 吕)+ £ /；1ь+l
"="”2(立 + ®), I</<*； " = e/, *</<* + /.
Здесь в/ и 8/ — единичные векторы вдоль осей 修 и &. Тогда (22.3.2) очевидно, так как
Q(v" (х,e))=?2("+ ’汕
Для операторов с полиоднородными символами мы теперь в состоянии существенно улучшить точное неравенство Гординга (теорема 18.1.14).
Теорема 22.3.2. Предположим, что Р w 4f縞(X, R”?) — собственный самосопряженный оператор с главным символом р2m 以 субглавным символом 卩：加_1, удовлетворяющими условиям (22.3.3)p2m(x, 5)>0 8 Г(Х)\0,
/41T (居 g) + Tr+Qx，&》0, если (х, |) w Т* (X) \ 0,
р?加 (尤，目=。.
Здесь Q*,匕—гессиан функции /?2力/2 е точке (х, |). Предположим, наконец, что характеристическое множество S={(x, g) е Г*(Х)\0, р2т (х, I) = 0} является С°°-многообразием, причем Та,匕)(£) совпадает с радикалом формы Q(*,匕 при (х,日三工 и симплектическая форма имеет на £ постоянный ранг. Тогда для любого компакта К и X существует такая постоянная Ск, что
(Ри, u)^-CK\\u^m-lh uwC/(K)・
Перед доказательством сделаем некоторые замечания по поводу сформулированного утверждения. Самосопряженность оператора 戶 влечет вещественность символов р2m и "観т・ Из условия (22.3.3) следует, что dpg力=0 на S, и потому гессиан инвариантно определен на S. Он автоматически полуопределен и обращается в 0 на Т*,*(Е). Условие, наложенное на радикал формы Q”,匕 означает, таким образом, что форма Q% 弋 положительно определена в плоскости, трансверсальной к 7\, *(£); это условие часто называется трансверсальной эллиптичностью.
Доказательство теоремы 22.32 Пусть Es — собственный оператор с главным символом (1 +1?|2)5/2 (определенным по некоторой римановой метрике). Тогда достаточно доказать, что
(PE_mU,畐_„»“) > -Ск II « 唸，“三 С： (К),
так как отсюда следует оценка (22.3.5), если заменить и на Ли, где Л — параметрикс оператора Е^т. Главный символ оператора Ei-mPEx_m равен ^^pzmtx, |), а субглавный равен I 己『一2Мр：тт (尤，у, поскольку он должен быть вещественным.
Поэтому условия теоремы выполнены для оператора Ё\^тРЕ^т. Следовательно, доказывая ее, можно считать, что m = 1.
К квадратичной форме Q*, $ 日а %е(Т*(Х)), (х,自)曰工，применима лемма 22.3.1. Ее радикал совпадает с пространством 7\,&(Е), и ранг симплектической формы на нем постоянен. В обозначениях леммы 22.3.1 это означает постоянство чисел 2п — 2也——/ и 2(п —— 左一/), поэтому & н / постоянны. Следовательно, пространства У+ и % гладко зависят от точки (х, g)e S, хотя, разумеется, для отдельных пространств Vt^ это неверно. Для всех (х, Е)三工 из окрестности любой заданной точки (хо, ?о) ^ 2 можно выбрать С°°-комплексные касательные векторы 01(*,&), ..., и总(х,Е), образующие унитарный базис в V+, и вещественные векторы vA+1 (х, ^),…，v*+/ (х, g), образующие ортогональный базис в вещественной части пространства Pomod TXlt(S). Тогда
厶/(u) = Qx，M“，и), uwT(T*(X)),
есть (комплексный) кокасательный вектор к Г* (X) в точке (х, ^): конормальный к S. Полагая Ах, t = (ReL], ImLi, ..., ReL*, ImL% 厶芹+i, ・.・》Lft+Z), в силу (22.3.2) имеем
2比+1
QXi5(u)= £ A*「9)2,。三乙 e*(X)).
Как показывает лемма Морса (лемма С.6.1), вблизи точки (%о, ^о) справедливо представление
2А+/
р2(х. 1)= £ 6/(о, ?)2.
где bj 曰 С00. Действительно, если координаты 弘 z выбраны так, что 2 определяется уравнением 2 = 0, то матрица 学岡^言 по условию невырожденна. Поэтому по лемме Морса р2 является квадратичной формой от z в некоторых других локальных координатах. Если ограничить 6/ на поверхность |g| = [g0| и затем продолжить их как функции, однородные степени 1, то равенство (22.3.7) останется справедливым, bj 三 С°° и функции' 6/ будут однородными степени 1.
На S имеем Qx w308£h竹, откуда
А*, & »= J。〃 (х, Е) dbj (х, В)»
где О есть С°°-функция и матрица (О“) ортогональна. Ограничим О на |^| = ||о| и продолжим ее до однородной степени О С°°-функции переменных (х, Е) в некоторой полной конической
окрестности точки (n, go)- Положим
а(х, &) = Ео“(х, &)Ь/(х, &).
Тогда
(22.3.7ГР2(% » = £小招 Ь
и dd(xt ?) = АХ( 5, / в окрестности точки (х0) go) на Е при |自［ = |go|. Положим
У ,自、一(旬.1 (居Е)+ 心/(X, 自),/== 1, k9
勺也8 = 1%"，9，j =左+1,a + /, и пусть X/三亚力⑴一собственный оператор с таким главным символом в конической окрестности точки (х0, go) • Тогда
Q = P_£X；%
есть самосопряженный оператор первого порядка в конической окрестности точки (хо, ^о). Его главный символ gi там веще* ствен. На S имеем
% (Х，9 = Pl (Х，W) - L Е (喝(爲勖％) (dXj (x, &)/d*v)и, взяв вещественную часть, ввиду вещественности gi получаем
% (*, g) = ReP1 (х, |)+ Е {Im % Re XJ = р^х, g) + Tr+ Q*』，
если точка (x, g)三 S близка к точке (%。,自。)・ Равенство является следствием второго из условий (22.3.2).
Предположение (22.3.4) состоит в том, что ?i ^ 0 на Е. Поэтому можно выбрать однородную степени 1 и всюду неотрицательную функцию 电 совпадающую с д( на S в окрестности точки (хо, &)* Тогда
g心,日=切("，g)+SMn)X/(x,e)+e方(%,自)^1)
в окрестности точки (Хо, 5о), где г/ — функции, однородные степени 0. Выберем операторы Q и /?； с главными символами Qi и г/. Тогда символ оператора
P-S^-Q-S^-J；^
имеет порядок 0 в конической окрестности точки (хо, ^о)\ и, следовательно, то же справедливо для символа оператора
р-£(%+/?/)*(%+R/)-Q.
Поэтому, если символ * в S° сосредоточен в достаточно малой конической окрестности точки (%口，晶)，то верна микролокальная
форма неравенства (22.3.5)
(22.3.5У (曰(/ D) % 2 (招 О) 〃)》一СII 〃 II2,〃曰喏(К),
так как оператор Q ограничен снизу по теореме 18.1.14. Тот же результат совершенно очевиден, если символ *ф сосредоточен в малой окрестности нехарактеристической точки (*о, Ео). Действительно, если символ оператора Qw 亚;hg равен ?i + ?о + ..., то оператор Р — Q*Q имеет порядок 0 в конической окрестности ТОЧКИ(Хо, go), если?2 = р2 и 2д^ = р；, т. е. если %=咄 g° = =叩”2/2・
Для завершения доказательства оценки (22.3.5) выберем такие вещественнозначные функции */(#,a)wS° с достаточно малыми носителями, что для каждой из них верна оценка (22.3.5)z и
不 1Mх,曾=1для точек х, близких к К.
Тогда, предполагая операторы 呼了 =屮了 (х, D) собственными, имеем
(Р«. а)=£(РЧ>,屮")
+ [((1-，浬/) р〃, 〃)+£([，/, Р] 〃，屮产)卜
Здесь [屮厶 Р]——оператор первого порядка с чисто мнимым главным символом, и поэтому самосопряженная часть оператора Ч^Тр Р] имеет порядок 0. Кроме того, оператор £亚；*—1 имеет порядок —1 в окрестности компакта Kt самосопряжен и его символ порядка —1 чисто мнимый. Следовательно, данная разность является на самом деле оператором порядка —2, и поэтому оценка (22.3.5) следует из оценки (22.3.5)'・ Доказательство теоремы закончено.
Если предположить строгое неравенство (22.3.4), то другие условия теоремы 22.3.2 можно ослабить, и мы получаем неравенство Мелина:
Теорема 22.3.3. Предположим^ что Р 旺 4f録(X) — собственный самосопряженный оператор. Пусть его главный и субглавный символы p2m « ₽2m-i Удовлетворяют условию (22.3,3) и
(22.3.4/ р^ (#, 5) + Tr+ Q*,匕 > 0,勿人(х,占)е Г (Х)\ 0,
/Ы(*, 6) = 0.
Тогда для любого компакта К и X существуют такие постоянные Ск > 0 〃 Ск, что
(Р〃，〃)》ск11 〃爲т/2)-Ск11〃協-1),“wCr(K).
Доказательство. Точно так же, как в теореме 22.3.2, доказательство можно свести к случаю m = Г и показать, что оценка (22.3.8) следует из аналогичных микролокальных оценок, подобных (22.3.5)\ Пусть (хо, Ео)—характеристическая точка. Вблизи нее можно выбрать такие локальные координаты, что форма Q%卞备 равняется |z|2. Тогда лемма Морса (лемма С.6.2) показывает, что в некоторой конической окрестности точки (х0,1о)
р2(х, Е)》Еб/(х,評.
Здесь функции 仇 однородны степени 1 и ^ ^^/ = QXo & 6 точке (хо, go). Кроме того, можно выбрать такие функции
Ci (^> 9 = 2。,也(鳩自)，
что матрица О ортогональна, da(x, § = А#,匕,^ в точке (х0> ^о). и
k .
Tr+Q%, 8 = ¥ {%/，C2/-l}(X0' %)•
Здесь использованы обозначения из доказательства теоремы 22.3.2 и тот факт, что использованные в нем аргументы справедливы для фиксированной точки (х0, So)-
Теперь символ оператора Р можно расщепить следующим образом: 3
р2(х，Е)+ 肉(х，自)=鼻 8(х，S,
?'(*. W) = p2(x, Е)-,/+//(%, Р,
д2(х, ?= £ с『(х, I)2 - Z {甸，味}
/<2Л+：/-1
93(X, &) = /£] {甸,旬-1} + Pl (x, W).
Слагаемое q\ неотрицательно в конической окрестности точки (%о, ^о) и имеет нуль третьего порядка в точке (х0, go)- Поэтому из теоремы 18.1.14 и первого замечания, следующего за ее доказательством, вытекает существование такого 44 Msi с глав^ ным символом, обращающимся в 0 в точке (хо, Ео), что для оператора 4f =屮1%方)с символом 屮巨 5°, сосредоточенным в ма-
лой конической окрестности точки (хо, ?о) > верно неравенство Re (Г (х, О) ЧЧ 屮〃)> Re (?4(х, D)屮〃，W)- Ск || 〃『，ы е С/(К). (Неравенство Феффермана — Фонга позволяет выбрать q4 曰 S；”, но такое уточнение здесь не требуется.) Если XjVS；hg— собственный оператор с главным символом &/_i + ie?/ при j W А и eg/ при / > й, то
Re(?2(х, D)〃，〃)一£(Х；Х产，и)^-С^и||2.
Действительно, (?2(х, D) + q2(xt D)*)/2 — £ Х；Х/ — самосопряженный оператор порядка 0, так как его главный символ равен О, а символ первого порядка чисто мнимый (эти вычисления значительно более наглядны, если использовать исчисление Вейля, однако нам не хотелось обращаться здесь к этому дополнительному средству). Наконец, вещественная часть главного символа оператора q4-]- q3 положительна в точке (хо, ^о)- Поэтому
Re((/ + ?3)(х, D) Wu, Wu) > 奴 II ▼〃 曲一源 II 〃 临 〃三 С/ (К), если ек достаточно мало. Суммируя предыдущие оценки, получаем искомый локальный вариант неравенства (22.3.8).
Замечание. В § 22.4 будет доказано, что и обратно, из (22.3.8) следует р2m 0 и (22.3.4) \
В качестве приложения ниже приведен более сильный вариант теоремы 22.2.6, справедливый в тех точках, где Тг+ Q%,匕 > О (см. предложение 22.4.L).
Теорема 22.3.4. Предположим^ что Р е Ч^^ (X) — собственный оператор с главным символом pm, неотрицательным в конической окрестности точки (х0, g0)^ Г*(Х)\0, но равным 0 в этой точке. Пусть Q — гессиан функции 口加/2 в точке (хо, ^)), и будем считать, что для субглавного символа р1m_〔 выполнено соотношение
端т (%,瓦)+ Tr+ Q 陆冃_ ="三 R, У 0}.
Тогда если 〃三勿'(X), Ри е Я(5) в точке (х0, go), то 〃三 H(s+m-i)в точке(Хо, go).
Доказательство. Как обычно, можно считать, что m = 2. Ввиду предположения (22.3.9) найдется комплексное число 2, для которого
Rez>0, Rez(p；(%,瓦)+ Tr+Q) > 0. 一
Тогда оператор Pz = (zP + zP*)/2 имеет главный символ Re zpm ^ 0 и субглавный символ Rez"；. Если символ ф е S0 сосредоточен в малой коническом окрестности точки (хо, go), то для оператора 4f =р(х,D) и компакта КиХ по теореме 22.3.3 имеем
II WI^C С Re (zPWu,屮“)+ 改 II 〃『，〃已 СГ (К).
Поэтому
ОWu||?1/2)<СЦzPWu 11^ 1/2)4- 2СкII«II2,〃wCT(K)・
Пусть Р/ и Р/ — собственные операторы с символами 汕/。& и I gj^dp^dx/ соответственно. Тогда, как отмечалось в доказательстве теоремы 22.2.6, главный символ оператора
Pz-sEprj -б£р；Р]
неотрицателен вблизи точки (х0, ^о) при малом 6. Снова применяя теорему 22.3.3, при малом б получаем
£ II PZu № + £ IIР浬и I卩《С7 Re (zPW,屮。)+ С" || u|P
& Gl zP^U hl/2)ll 屮〃 lh/2) + C〃 IIM, u w 琛(К).
Неравенства (22.3.11), (22.3.12) являются микролокальными вариантами оценок (22.2.9), (22.2.10) при е = 1/2, откуда, анализируя доказательства лемм 22.2.4 и 22.2.5, получаем окончание доказательства теоремы.
Даже условие (22.3.9) не является вполне оптимальным. В § 22.4 будет точно определено то множество, значения из которого не должен принимать символ р工](%, £), чтобы утверждение теоремы сохраняло силу.
22・4・ Гипоэллиптичность с потерей одной производной
В этом параграфе будут определены условия на оператор Р, необходимые н достаточные для справедливости заключения теоремы 22.3.4 в случае, когда предположение Re рт > 0 ослаблено до условия
рт(х, ^)еГ = {геС； I Imz|《YRez}・
(Можно было бы использовать любой другой выпуклый угол раствора <л, но наш выбор удобен.) Однако сначала приведем доказательство обращения теоремы 22.3.3, которое было отложено из-за того, что технически оно ближе к рассуждениям настоящего параграфа.
Предложение 22.4.1. Предположим, что оператор PvW靠您(X) самосопряжен и что для каждого компакта К и X
(Р〃，и)^-Сх II и llU-1), ыеСГ(К).
Тогда главный символ рт такого оператора неотрицателен и
吃т (х, 5)4- Tr+ Q* & > О, если (х, 5)еГ(Х)\0
〃 Рт (招 Ю == 0・
Здесь Pm-i(x, &)— субглавный символ оператора и Q#,匕— гессиан функции рт/2 в точке (х, g).
Доказательство, Достаточно доказать (22.4.3), когда Хи R， х=0 н 0 — внутренняя точка компакта К. Выберем функцию X е С~ (X), равную 1 в окрестности компакта К н на supp Ри для любой функции 〃曰瑞(К)・ Тогда Ри =炉炉=Р (х, D) и, 〃已 С『(К), где р 三 SjLg и р ~ pm + Pm-i + ・.・ в К. Применим оценку (22.4.2) к функции
u(y) = e^y^^(yim
где ф е Со°(Rn). Тогда 〃巨 СТ(К) при большом |Е[・ Так как й(п) = Ф((т]-?)/1§Г)11Гп/2, то
1自产勺确=
Т g「"ех дХ，(1 +1 т] I2)" I $ 他一9代円 F dr1n
= (2л)-[ (|g「2 + 倒 g I + M 自产 Г)、•⑺ I2 dr] - II 屮 II2
при gf 8. Простое вычисление показывает, что
р(у, D)u(g)=球5现®I自 J限
<p* ®)=詰г 卜з, № ®/| I 产,g + nl^«)t(n)對.
По формуле Тейлора имеем
0(勿!Е|吟ё+ n1分/2)
=[а+^<216Г|а|ЧР,)/2^(0, Е)"1Г/а161 十 R^y, n), C(MI + lnl)K『一叱1mV1E产/2,
e I C(i+lf/l + lnl)2(l + lnl户叫 51>情产/2・
В первом случае неравенство верно, так как |g + n|g|"2| > | g | /2 при | т] | < 1511/2/2, во втором каждое слагаемое оце-
|<РЕ 匂）一I &+否v J E ” 旧"2幽（°，§，D飞网61 j|<РЕ 匂）一I &+否v J E ” 旧"2幽（°，§，D飞网61 jнено по отдельности н использовано неравенство |g + п15||/2| V 6|п|2 Итак,
|<РЕ 匂）一I &+否v J E ” 旧"2幽（°，§，D飞网61 j
|<РЕ 匂）一I &+否v J E ” 旧"2幽（°，§，D飞网61 j
(22・4・8)
откуда по теореме Лебега о мажорированной сходимости вытекает оценка
⑶吁 m(P〃, «) = |grm(q)v *) = Pm(0, 9®』屮『+。(化「"2).
Ввиду (22.4.5) из (22.4.2) получаем, что「小(0, Е)》0，Если pm(0, go) = O, то 暇6)(о, ^) = 0, |а 4- р|= 1, и, полагая Е = &, имеем
情产ГР", 〃)
THS毎，^)^((Q(y, D) + PmT(0, Eo))2, lO + Od&lT，，
где Q = Qou Поэтому из оценки (22.4.2) следует, что (而® D) + p*i(0,瓦))也 2)>0,2日若.
Теперь удобно прибегнуть к исчислению Вейля, заметив, что Q(y, 0) + Ртт(О, &)=QW®,力)+ 再7(0, &),
так как Qw(弘 Q) получается из Q(y, D) в. результате замены yR на (切О/ + D,y ,)/2 = yiDt — 〃2. Полагая с = Р^т (0,瓦), имеем
(QW (у, О) *,*) +，仲，叨 > 0,* 已俨，
так как С『плотно в 守.Воспользуемся теперь важным свойством исчисления Вейля, состоящим в том, что такие неравенства инвариантны относительно композиции оператора Q с линейными симплектическими отображениями (теорема 18.5.9). Следовательно, при анализе неравенства (22.4,9) можно счи< тать, что Q имеет вид (21.5.3):
Q®0)=?出期+喻+区密.
Тогда неравенство (22.4.9) принимает вид
кh+l/ 走、
Е 出 II ®/ + iD,) Ф1Р+ Ell y^ II2 + « + ?阳丿 II* !l2> o,
как в лемме 22.3.1. Напомним, что Tr+Q = g 卩八 Взяв
巾(9)=2鼠寸/*以+他n矶门
и перейдя к пределу при е ->0, получим (c + Tr+Q)||%『》0・
Следовательно, как и утверждалось, с + Tr+Q ^ 0.
Доказательство предложения 22.4.1 также приводит к необходимым условиям гипоэллиптичности с потерей одной производной, как в теореме 22.3.4. Сначало нужно доказать лемму.
Лемма 22.4.2. Пусть 戶三 4fm(X)—собственный оператор, X с: Rn. Предположим, что из включений 〃三 ^Г'(Х), Ри е H{s} следует, что 〃三 ％+*1). Тогда для любого компакта КиХ существует такая постоянная Ск, что
II 〃 卜+吁и & 盡(II Ри ||® + II 〃 |匾吁2)),〃曰 СГ (K)・
Доказательство, Множество всех и w 〃($+例_2)П 甘'(К) с 戶〃三 H(s} является банаховым пространством, нормой которого служит правая часть (22.4.10). Так как оно вложено в 冒，(长)(1 "(s+m-n и это вложение замкнуто, то утверждение вытекает из теоремы о замкнутом графике.
Пусть Es ——собственный псевдодифференциальный оператор с символом (1 + 图2)s/2. Заменяя в (22.4.10) функцию и на E_s〃, заключаем, что оценка (22.4.10) эквивалентна такой же оценке с EsPE-s вместо Р и 0 вместо s. Если символ оператора Р есть Pm + р«-1 + •••, то символ оператора ESPE-S будет равен
pm + pm-i—isl^r2'Z^dpm/dxl+...,
и, значит, первые два слагаемых асимптотической суммы не меняются там, где^р^х = 0. Имея это в виду, в следующем предложении будем считать s = 0.
Предложение 22.4.3, Предположим^ что оператор PwW%(X) собственный и что для каждого компакта KuXuR"
(22.4. ЮГ II 〃 IU-1)《备(II Р〃 ll(o)+ II 〃 U-2)),〃胃 СТ (К)・
Пусть Q (у, л) — какой-либо предел функ陋й (у, “)ь-> рт (х + f/|ir1/2, E + nlF^lpf при Xf x°wX, gf 8 〃初&|f 艮 Тогда "倒勖(屮，F)= °, I a + ₽ I < 2, Q — многочлен второй степени с главной частью
iNi噌(в)(х°, Е°)"限/岬1,
и справедлива оценка
р Мdg《С , I (Г ®, О)巾 + 吸_| (х°,黔 212 dg, 屮巨 <?r(R").
Здесь постоянная С оценивается через Ск из (22.4.10)', если точка х° принадлежи! внутренности компакта К・ Можно заменить Q на однородный многочлен y^Q (у/у» iVf/0).
Доказательство. Пусть Q получается переходом к пределу по последовательности xv ->х°,品力氐1 +Е°, и предположим, что х° принадлежит внутренности компакта К Применим оценку (22.4.10)/ к функции
(22.4.4У 义(У + /) = /〈"' ％№ ® Ev 产)，
где if е С~(Rn), являющейся просто сдвигом функции (22.4.4). Тогда получим
(22.4.5ГIUIn/2_2sll«vllu)->ll^ir,
(22.4.6УРщ 匂 4- %) = е«"' Чру (у I % |罕，
(22.4.7)' <pv 匂)==蟲，紋5 ~р(厶 + УЛ UI吟 Wv + П& M)书⑺dr].
Мы утверждаем, что при любом ^
(22.4.8Г I<pv(f/) -(а Ё(^J gv I*1 а 1-1Р1 il2p^](xv.歸典飞/а叫
WC(1+IW)T&『F.
При N = —3 это в точности оценка (22,4.8). Так как
уЕ(У)—(2% 卜"'"(一％)" Р (八+9/1 ^ I 叱 U+ПIU f 序)$(П)d%
то доказательство оценки (22.4.8) приводит также к неравенству (22.4.8)‘ при N — —3 для любой степени 夕 в его левой части. Последнее эквивалентно (22.4.8)'• По условию и по формуле Тейлора
间Г/q同 ("向姆端)(%歸婀a-Q®, П), откуда 阍s(xv, &/I % I) =7。( I % y+a^T) f。при I a I + 161V 2, н I & 产2(i)Ц p% 临=nEv |'-m * 広
f IIQ(JG Q)* + p*l(* &°№『， v->oo.
Поэтому из (22.4.10)，и (22.4.5)，следует, что
HIK ск II Q(y, D)t + Р吁 I (* F) 2II.
Как и при доказательстве предложения 22.4.1, имеем
Q®, £>) + pm-.(x°, E°)=QW(g, Q) + *t(х°,印，
что доказывает (22.4.11). Если заменить gv на f2gv при f > 0, то Q®, П) заменится на 出Q (y/f,刀〃).Подстановка 2(——у) вместо 2 (у) меняет знак f, что доказывает последнее утверждение.
К сожалению, предложение не дает информации о младших членах многочлена Q. Однако они легко определяются, если символ рт имеет нуль в точности второго порядка на характеристическом множестве 2 символа рт, т. е. если для некоторых положительных постоянных Ci и С?
С2d(%, Ю20Pm(%, E)|&&d(x,济，xwK, |E|=1, где через d обозначено расстояние до 2. Действительно, пусть
IWv|f Pm(*v + y®「叱自v + n&『2)f Q(fA П).
Тогда последовательность | gv | x~mpm (xv, gv) = | gv | pm (a，, gv/1 gv|) ограничена, и поэтому (22.4.12) дает
d(/, M^vi)=o(iev г,/2).
Выберем такие (%,匕)wE c|^| = |gv|, что|xv — x* |=O (|gv|-1/2) и |&v —自：丨 nOllEvl'，)。 Переходя к подпоследовательности, получаем
限「入((+9围「叱М+切叮/”Q。е, n),
где Qq — однородный многочлен. Если (xv —弘)| 自卄 |1/2 -> % и (& —岗)国「'"f %, TO Q(y, n) = Qo(f/ + f/i，n + z).
Рассматривая сдвиги функции ^ и ее преобразование Фурье $, убеждаемся в том, что вещественный сдвиг многочлена Q не влияет на справедливость (22.4.11). При выполнении (22.4.12) условия предложения 22.4.3 не изменятся, если положить младшие члены многочлена Q равными нулю.
Нашей следующей задачей будет выяснение того, когда при некоторой постоянной С верна оценка вида (22.4.11) и когда одна и та же постоянная может быть использована для семейства пар (Q, х), х = р^_1(х°, ^°). При этом будем иметь в виду, что Q получается из рт как описано в предложении 22.4.3, откуда
(22.4.1 ГQ(x, ^)еГ,(х, W)wR叫
если символ рт удовлетворяет условию (22.4.1). Но сначала предположим даже, что Re Q имеет положительно определенную главную часть.
Лемма 22.4Л. Пусть Q — комплекснозначный многочлен второй степени в IR2" с главной частью Q2, причем форма ReQ2 положительно определена. Пусть 卩卜...,ц„ — собственные значения гамильтонова отображения формы Q2/i, лежащие в полуплоскости Re Л > 0, и пусть с ——значение многочлена Q в единственной точке (z,自)w С2л, где dQ(z,自)=0. Тогда оценка (22.4.13) HII<C|Qw(x, D)i|)|, 2已夕，
выполнена с некоторой постоянной С в том и только том случае, если
с+?(2<х/+1)因 *0,0《a/wZ.
Кроме того, в этом случае с некоторой другой постоянной С
(22.4.13У£ b₽^4RciQw(x, Д)фЦ, 2已夕.
|а+ГГ<2
Доказательство. Пусть В — гильбертово пространство всех функций ® w 厶2 c y^D^ w L\ |а + В| & 2, снабженное нормой
Оператор Qw из В в L2(Rn) является фредгольмовым. Действительно, е(х, g) = Q(x,自)/(1 + |Q(л:, &)『)一 символ веса (1 +|工| +1&|)-2 относительно метрики
(gF + l 恋 |2)/(1+"卩+|e|2).
Следовательно, отображение ew (x, D) непрерывно из L2 в В. Справедливы равенства
ew(r = I + l^9 QWgW = / + R?,
где Ri и R2 также имеют символы веса (1 +|^| + |?|)-2, и поэтому операторы R『и 紘 вполне непрерывны в L2HB 民 что доказывает фредгольмовость. Заметим еще, что Qwu = 0 влечет 〃 =—R；u = (—R；)"u при всех М откуда 〃三 9. Если им У ортогонально Q^, то и = —Rfu, откуда и 三 9. Так как отображение
(居 &)—攵(看 y + d-OU + kP+lgl2)
удовлетворяет условиям леммы при 0 & f & 1, то индекс оператора Q такой же, как у оператора |х|2 4-|D|2-j- 1, действующего из В в I?, а его индекс равен 0 в силу его инъективности в g н плотности его области значений в L2. Таким образом, индекс всегда равен 0 и, значит, (22.4」3)' справедливо, если множество Qw", £))货 плотно в L2.
Для изучения ядра и коядра оператора Qw используем теорему 21.5.6 и следствие 21.5.8, чтобы выбрать такие симплекти- чёские координаты, что Q2(x, /х) = 0. Пока не фиксируя t еСл, положим
Е = е〃х, h-i х руг
и заметим, что Е w 9 и
ETqW£u = и。， где функция .
Q(x, S = QG，Е +京+ f)
линейна по х. Если s ——другой вектор из Сл, а и — целая функция, то
6_s * U (и * б§)= R%,
где V * 6s(x) = v(x — s) н
RG，S = QG + & 自+ « + s) + /)・
Так как радикал формы Q2 равен {0} (ср. с теоремой 21.5.4), то уравнение dQ(z, ? = 0 имеет единственное решение, характеризующееся соотношением
QU + z, E + D = Q2(/ S + Q⑵)
При s = z, f = g —iz и c = Q(z, С) получаем
R” = qP (x, D + 2 и + cs
Тот факт, что Q2 (x, ix) = 0, означает, что Rw отображает в себя пространство многочленов степени Wy при каждом ц. Возможны два случая:
R^v = 0 для некоторого многочлена и，0. Тогда
QW(E(u* 4)) = 0, и, следовательно, оценка (22.4.13) неверна.
Rw^ ^ О для каждого многочлена и 耍 0. Тогда R сюръективно на пространстве многочленов степени 《卩.Произведения функции ES=E ^6S на многочлены плотны в L2. Действительно, если f 胃 L2 H для каждого многочлена и
fEsv dx = 0,
то производные целой аналитической функции fEs в нуле равны 0, откуда fEs == 0, а значит, и / == 0. Следовательно, выполняется оценка (22.4.IS)7.
Осталось лишь доказать эквивалентность (22.4.14) инъективности оператора Rw на пространстве многочленов. Используя
поляризованный вид Q2 и гамильтоново отображение F, определенное равенством (21.5.1), получаем
Q2(X, & +友"，E + m)= 2Q2(0,自；修:x) + Q2(0, &)
=2。((0, &),戶伉 ix)) + Q2(0, &)・
Пространство {(х, ix)} натянуто на корневые векторы отображения 凡 соответствующие собственным значениям i阳.Поэтому f (х, fx) = {Mx. iMx), где M имеет те же собственные значения. Следовательно,
/Г = 2〈Мх, D) + TrM/x + c + Q2(0, D).
Первые три слагаемых сохраняют степень однородного многочлена, в то время как последнее понижает ее на две единицы. Так как собственные значения треугольной матрицы определяются ее диагональными элементами, то слагаемое Qz(0, °) не влияет на собственные значения оператора Rw, действующего в пространстве многочленов. По лемме С.2.2 собственные значения оператора 2〈М月,Z)〉+ TrAl/i + c иа пространстве однородных многочленов степени 卩 в точности равны суммам
2 £ ауЦу + Tr M/i + с,|а| = и.
Поэтому (22.4.14) в точности означает отсутствие нулевого собственного значения, что завершает доказательство леммы.
Предложение 22.4.5. Пусть Q — квадратичная форма в К2я, удовлетворяющая (22.4.1)'. Через g/ обозначим собственные значения гамильтонова отображения формы Q/i, лежащие в Г\0. Пусть еще Vo — пространство корневых векторов^ соответствующих значению 0. Тогда оценка
|2ll&C|(QW(x, £>) + %)М，巾三夕(R"),
справедлива при некоторой постоянной С 6 том и только том случае, если
乂 +Q(" и) + Е(2(х/+ 1)固沪 0 при ое Vo
и 0《gwZ.
Доказательство, Так как форма ReQ полуопределена, то с помощью теоремы 21.5.3 можно выбрать такие симплектические координаты, что
*k+i
ReQ= ?唄号+ 号)+ &砾 % > 0.
Тогда по теореме 21.5.4 Q является квадратичной формой переменных £=(修一・・,хл), ?=(&, ・・•,蟲)и /=(/+“・・・■
Xk+t). Поэтому оператор Qw(x, D) содержит лишь дифференцирования по Xх и его можно рассматривать как дифференциальный оператор по д/, зависящий от параметров У7. Следовательно, оценка (22.4.15) справедлива тогда и только тогда, когда лри любом фиксированном 月"
HII<Cj(Qw3,少)+ 乂)也 屮三夕(R*).
Как отмечалось после теоремы 21.5.4,
Sc = Im F/(Ker 尸 П Im f)三㊉%；
здесь 戶一гамильтоново отображение формы Q, Im 戶 =(Кег尸)c — комплексная (л/, g, g/z)-плоскость, a Ker F(]lmF есть ^^-плоскость и, значит,(尤‘,自')—симплектические координаты в Sc- Отображение R индуцированное отображением 尸 в Sc> есть гамильтоново отображение квадратичной формы Q(V, 0, &'), являющейся, таким образом, невырожденной. В силу теоремы 21.5.4 b), Vo есть Q-ортогональное пространство к пространству ImF, т. е. Vo определяется соотношением dx*Q (х* %「 自') = 0・ Поэтому из леммы 22.4.4 следует, что оценка
II 如《С (%〃州(Qw (/, х", О') + х)明I, 2 е 夕 R),
имеет место тогда и только тогда, когда
х+ <?(/,< }) + X (2а, + 1)打 * 0, 0<a/SZ,
при (，匕}) S %・
Любой вектор о 三 Уо может быть представлен в виде и = s + is, где сц, 02 ^ Vo и нх координаты У вещественны, так как (л/,『j линейно зависит от %"• Следовательно, ^-координаты вектора v — s + 加2 равны 0, откуда
Q(" U)= Q(Ui —也，0i + ^2)===Q(01)+Q(02)-
Поэтому значения формы Q(6, и) при v s Vo принадлежат тому же выпуклому углу, что й значения формы Q(u) на векторах о е Vo с вещественными координатами W. Тем самым доказаны необходимость и достаточность условия (22.4Л6) для выполнения оценки (22.4.15)" с С(^) < оо при каждом дг". Однако тот факт, что оценки (22.4.13) и (22.4.13)' эквивалентны, показывает локальную ограниченность наилучшей постоянной. Постоянную C(f) можно также выбрать ограниченной при больших %". Действительно, имеем
Re(Q(x, g)4-x)> 1, если |/'|〉例.
Отсюда в силу леммы 22.3.1 немедленно получаем
121Г & Re ((①(*,。) + x)也 2), 2 三夕(R*), I x〃 | > M, если сдвигом функций фиф избавиться от членов первого порядка по х\ D'・ Поэтому
НФ1КII (Qwа, о)+ X)屮II, 2 w 0(R生 I %" I > M что заканчивает доказательство предложения.
Легко видеть, что с точностью до малого изменения постоянной С оценка (22.4.15) остается справедивой, если число х и форму Q заменить на 乂‘，Q[ причем х — 乂‘, Q — Q' достаточно малы, rank Q = rank Q' и размерность собственного подпространства с нулевым собственным значением фиксирована. Однако малые возмущения формы Q могут увеличить ее ранг и уменьшить собственное подпространство с нулевым собственным значением. Поэтому, чтобы получить точные условия, при которых верно неравенство (22.4.11), нужно изучить семейства оценок (22.4.15).
Предложение 22.4.6. Пусть М — некоторое множество пар вида (Q, х), где х е С u Q — квадратичная форма в R2* удовлетворяющая (22.4.1)'. Предположим, что х и собственные значения гамильтонова отображения формы ReQ равномерно ограничены при (Q, х)еМ, Тогда с некоторой постоянной С оценка (22.4.15) справедлива для всех (Q, х)м 附 тогда 〃 только тогда, когда существуют такие постоянные е, 6, что
d<|x + Q(6, v)+ E(2a/4-l)H/k
если (Q, 乂)三 М, 0《a,三 Z,卩』—собственные значения гамильтонова отображения формы Q/i, лежащие в Г\0, и и ——вектор пространства, натянутого на корневые векторы гамильтонова отображения формы Q, соответствующие собственным значе- ниям^ по модулю меньшим е.
Ввиду симплектической инвариантности и теоремы 21.5.3 в доказательстве можно считать, что вещественная часть формы Q каждой пары (Q, м)мЛ1 имеет вид (22.4J7). Разбивая М на конечное число множеств, можно считать, что Ан/ фиксированы и fe + / = п. По предположению 九/ равномерно ограничены. Достаточно показать, что каждая последовательность (Q*Xv)wM, удовлетворяющая одному из условий предложения, содержит подпоследовательность, для которой выполняются оба условия.
Запишем
在n
(22.4.17/ Re Qv = ^ % ⑵ + 眾)+ Е /
Так как X/v равномерно ограничены, то можно считать, что для каждого / существует предел lim 九卜=九/. Координаты можно Vf оо
упорядочить так, чтобы 笳声 0 при / W 几‘ и 九/ = 0 при / > п\ Обозначим
^ == (-^1» • • • > Xn^t尤"^35 (尤言'+[,・• •, *尼),^1，== (-^A4-I> • • • > %n)・
По условию I Im Qv| ^ у Re Qv. Поэтому, если обозначить через %"/尤 вектор с координатами x//X/v, nf <Z j ^ kf то
|ImQv« М/爲，Х〃，匕『7爲)l《YReQv(H产侬，廿〃，匕『％)・
Выражение в правой части сходится к
Y ( * 维 ® + 財)+ 1 门2 + I门2 + 产〃[2),
поэтому после такой дилатации коэффициенты формы Im Qv становятся равномерно ограниченными. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, получаем
Qv(W,『％, Х〃, у, F7k)f Q(* х, /〃, Г, Г),
где форма Q эллиптична по указанным переменным. Заметим, что здесь произведено несимплектическое изменение масштаба. Оправдание этому будет дано в следующих леммах, в которых также фигурирует предел
Qs(x，E) = Q(x‘，О, %〃'，匕 0),
отвечающий случаю неизмененного масштаба. Гамильтоново отображение формы Qoo имеет п‘ ненулевых собственных значений в /Г, и его корневое подпространство, отвечающее собственному значению 0, задается уравнением (%',自')=”8 (%〃')， где 〃8 ——линейное отображение. Для любой сходящейся последовательности линейных отображений в конечномерном пространстве линейная оболочка корневых векторов, соответствующих сходящимся к 0 собственным значениям, сходится к корневому подпространству предельного оператора, соответствующему собственному значению 0. Следовательно, пространство 必,натянутое на обобщенные собственные векторы гамильтонова отображения формы Qv, соответствующие сходящимся к 0 собственным значениям, при большом v может быть задано уравнением (М ^ = Н^\占).
Лемма 22・4・7. Отображения "式尤“/九”，W, &"/厶J 叩〃 v->oo цц0Ют предел Н (%"? %'〃，『％ и равенство (х\ §') = "Ц %〃； &")
эквивалентно условию
Q(X, g; у,п) = о при ^ = 1/" = Ц№ = ^ = О, (22.4.19)7 е dQ«, 0/0(/,『) =0.
(Если F и 戶8 — гамильтоновы отображения форм Q u Qg, то это означает, что 尸8尸(居 g) = 0.)
Доказательство. Форма Qv(W, W/脑，尤"'，К 統&") отличается от формы Qv симплектической дилатацией, и поэтому пространство, натянутое на корневые векторы с малыми собственными значениями соответствующего гамильтонова отображения, задается уравнением
(/*)=仇，/爲,",^").
Следовательно, в пределе из него должно получаться уравнение отвечающего нулю корневого подпространства гамильтонова отображения формы Q(%,自'，0). Здесь переменные %" и 自"можно поменять местами, что доказывает существование указанного предела Н. Кроме того, из части Ь) теоремы 21.5.4 следует, что условие (22.4.19) выполнено, если (а/, &，) = 〃(％", %"',自")и либо Е", либо #" равно нулю. Ввиду линейности последнее условие можно немедленно опустить. Так как из (22.4.19) переменные (х7, ^) однозначно определяются через другие переменные, то лемма доказана.
Лемма 22.4.8. Предел области значений формы Qv(o, о) при и 三 №у равен области значений формы Q(0, и) при о =(%,&) 〃 ^9 gz) = Н (V^ x,f\ g^). То же зерно, если потребовать вещественности 广 к
Доказательство. Область значений рассматриваемой формы Qv совпадает с множеством значений
Qv(X 产小", f 〃，Г,%/儿；f, *7爲，公",Г, r/Ч)
при (Xх, У) = Hv(x"/lv, х"\ 自"/Ху)• Здесь квадратичная форма имеет пределом форму Q, ограничение на (月，g) в пределе дает уравнение (xz, ^) = ^(^, ^\ ^) и форма Q эллиптична по переменным 3,月", С, g‘, &"), что доказывает первое утверждение леммы. Для доказательства оставшегося утверждения достаточно повторить рассуждения из доказательства предложения 22.4.5, используя на этот раз (22.4.19). Предоставляем это читателю.
Доказательство предложения 22.4.6 в одну сторону получается нз леммы 22.4.8 и следующей леммы;
Лемма 22.4.9. Предположим^ что оценка (22.4.15) выполнена для последовательности nap (Qv, Xv) 〃 что xyf sc. Тогда, пользуясь введенными выше обозначениями, имеем
(22.4.16/ x + Q(v, «)+ S(2a/+l)!*/^0,
если pi/ — собственные значения гамильтонова отображения формы Qs/i, лежащие в Г, 0 ^ а/ е Z и вектор v = (x,自)удовлетворяет условию У) = //(%", £"、&").
Доказательство. Как показывает последнее утверждение леммы 22.4.8, переменные х",亡",Е" можно считать вещественными. Вращением в плоскости переменных X/,日，出 V / & 瓦 можно добиться того, что Е" = 0. Симплектическое изменение масштаба показывает, что оценка (22.4.15) эквивалентна оценке
IW VC|Q：(/, %7м, %'", о',統")2 + XvW，* w 0 (R*), где постоянная С не зависит от v. Устремляя v к бесконечности, заключаем, что
12IVСIIQw(х, D\ 0)屮 + *||,屮 w 0(Rft).
Отвечающее нулевому собственному значению собственное подпространство соответствующего гамильтонова отображения определяется уравнением (л/, &，) = "(j, У, 0), и поэтому (22.4.16)/ следует из (22.4.16) при Е" = 0.
Замечание. Все положительные кратные малых собственных значений, встречающиеся в (22.4.16), содержатся в множестве значений формы Q на соответствующем собственном подпространстве. Поэтому из (22.4.16)，следует, что (22.4.16) выполнено равномерно по V при х = Xv, Q = Qv при большом V. Вместе с тем простые примеры показывают, что (22.4.16)' в значительной степени сильнее последнего утверждения.
Доказывая достаточность (22.4.16)', будем рассматривать Qw как (псевдо) дифференциальный оператор по переменным %", д/" со значениями в пространстве операторов, действующих на функциях от Xх. Для сокращения обозначений положим t =(尤“，У,『')・ Из доказательства леммы 22.4.4 нам известно, что (22.4.16)，влечет существование при каждом вещественном f обратного к Qw(x\ D\ t) + ^ оператора E(t), непрерывно действующего из L2 в гильбертово пространство В всех 以 已厶2(代总), для которых
II叫e|1/晒'%『2 Vg.
Х|а+6|《2丿
Следовательно, оператор E(f) существует и является аналитической функцией переменной t для t из некоторой малой комплексной окрестности пространства Rft+i"2n，. В частности, £ s С°°.
Лемма 22.4.10. Для всех мультииндексов а, 0, у, таких что |а + р| & 2, имеем
(22.4.20)
(1 +1 /» Y1+2-1 STR I[D7/aD/₽£«|<CY||«||, u w cr(R">
Доказательство. Достаточно доказать (22.4.20) при большом |f|. Предположим сначала, что у = 0. Существует такая постоянная с > 0, что при большом |/|
c(*|2 + l『|2 + l№)《Re(Q(x',匕 /) + 叫・
Поэтому, как показывает конец доказательства предложения 22.4.5,
cJCO^^ + ^Olvr + l^^dx^ReaQ-^, D\0 + x)o.。)
& I /「2II (Qw + 叫。1172c + c|"心 |Г/2, 。w 歹(R“).
Следовательно,
С21 /『，((I /『+1 力2) I U『+1 с'и『)d*y II (QW H, D； /) + 田 и II2.
откуда получаем неравенство
(22.4.20)，
£ 佟Т »1-131 у x，aD^v II《СII (Qw (匕 ZT, 0 + x)«II. I a+6 I V2
В справедливости (22,4.20) при у = 0 убеждаемся, комбинируя этот результат с оценкой
ZII 小。峠 и IK С (II QW (V, /У, 0)011 +Цо II).
I а+6 1-2
вытекающей из леммы 22.4.4. Так как DtE = —E(DtQ)E, то (22.4.20) получается по индукции последовательными дифференцированиями.
Ясно, что в (22.4.20)1 а значит, и в (22.4.20) мы можем заменить Q + х на любое не зависящее от g//z достаточно малое возмущение. В частности, при большом v можно заменить Q + 乂 на
Qv(W,X/儿，/〃，e『/爲)+ %
и получить оператор E、3y”, &"),для которого оценка (22.4.20) выполнена равномерно и
(Qv (У, %7統,/", Dr, ^Ду) + Xv)Ev(У, X，r,『)=/.
Положим
EK/,/",r)=Evav/,『'，мо-
Для функции 〃三 Cf(R") через й(х\ ^, x,,z) обозначим ее преобразование Фурье по переменным %" и положим
冒山(х) _(2 1 产,/n良(%",犬"，Г) й (厶匕%‘")於".
Из (22.4.20) следует, что норма оператора 0%乍〃良 в пространстве 厶2(R〃l ограничена величиной П(1+]%"| + |g"尸，и поэтому векторнозначный вариант теоремы I8.1.I1 доказывает равномерную ограниченность операторов 灰 в пространстве /^(R"). Прямое вычисление дает
(Q：(x, Z)) + xv)Ev = / + &
где 缀 определяются так же, как 爲，но вместо 良 надо взять
К(『,/', ◎ = 3(*,。', 〃+ 门-Q：(х,О',Г))К(х〃,”, Г)
= Rv(hx", Xvr).
&(/,『) =(Q：(/,"爲,力‘,(沏" +『)/爲)
-Qv (/, %'7脑,*'", 0',『/統))Ev・
Из (22.4.20) немедленно следует оценка
|力闻〃К С金伊vF(1 +1 /1)-1 vlll«ll, 〃 e cr(R"')・
Поэтому заключаем, что норма 缀 как оператора в L2(Rrt) стремится к 0 при v-> оо. Поскольку известно, что оператор Q： + xv обратим, то обратным к нему является оператор ^v(/ + SZv)"1» имеющий норму, равномерно ограниченную при v+8. Ввиду лемм 22.4.8, 22.4.9 и замечаний, следующих за формулировкой предложения 22.4.6, его доказательство теперь закончено.
Предложение 22.4.6 значительно упрощается, если мы имеем дело с компактным семейством, причем ранг формы Q постоянен. Это единственный случай, встречающийся в наших приложениях, когда характеристическое множество является многообразием и символ рт трансверсально эллиптичен.
Следствие 22.4.11. Пусть М — компактное множество пар (Q, х), состоящих из комплексных чисел к и квадратичных форм Q 8 R叫 удовлетворяющих условию (22.4.1)，и имеющих одинако-- вый ранг 厂 Тогда оценка (22.4.15) справедлива равномерно по (Q, x)wM 8 том и только том случае, если условие (22.4.16) выполнено для каждой пары (Q, х) w М•
Доказательство, Пусть Q“f Q н предположим> что все формы
Qv имеют тот же ранг, что и форма Q. Обозначим через Nq пространство отвечающих нулевому собственному значению корневых векторов гамильтонова отображения формы Q, а через 必一 пространство, натянутое на корневые векторы гамильтонова отображения формы Qv, отвечающие собственным значениям, стремящимся к 0. По предложению 22.4.6 достаточно показать, что область значений формы Q(也 и) при uwNo является пределом области значений формы Qv(p, и) при и w N* v-> оо. Очевидно, что dim Nv = dim Д^о при больших v и что пространства Nv и Уо содержат ядра ^v и N； гамильтоновых отображений форм Qv и Q. Так как по предположению пространства Nq и М имеют одинаковую размерность, то Л\-> М)・ Можно выбрать такую линейную биекцию Tv： NQfN$ сходящуюся при vf оо к тождественному отображению, что Т、n\ = N、Тогда форма Qyo7\ индуцирует на пространстве N^Nq эрмитову форму Q〉 имеющую пределом эллиптическую форму Q', индуцированную в нем формой Q. Отсюда следует сходимость области значений формы Qv к области значений формы Q.
В предложении 22.4.6 даны необходимые и достаточные условия равномерной справедливости оценки (22.4.11). Нашей следующей целью будет доказательство утверждения, обратного к предложению 22.4.3. При этом удобно считать т= I, что не является существенным ограничением.
Лемма 22Л.12. Пусть「已屮；施侬)一собственный оператор с главным символом р】,удовлетворяющим (22.4.1). Предположим. что для каждого компакта К и X найдется такая постоянная С, что оценка (22.4.11) верна для всех пределов, определен- «их в предложении 22.4.3 при 8rK. Тогда существует такая функция E(g)f 0, Е~> 8, что для каждой точки хе К
产旳
《(e+ D，J 2 端)G，01W " h, В D及附%/呻!+"。(居 В) 12dy Il а+р I < 2
+ e⑹，2 "加叫%9, WwCTK).
|а+р|<3
Доказательст во. Достаточно доказать, что если заменить функцию Mg) на фиксированное число е, то оценка (22.4.21) выполнена при большом |^|. Предположим, что это не так. Тогда при
некотором е > 0 найдутся последовательности 勺巨 К, &f 8 и 叨三 Со°, для которых
1 =，1电％9
>(C+1)U 2 p協)(打阊同产f吗5%//呻！
Il a+0[«2
+ % (勺,&)叨『dy + с,£ I 勿。。电 I2 dy.
I|a+p|<3
Таким образом, последовательности ^^^/ при |a + ₽| ^ 2 предкомпактны в L2, и поэтому можно считать, что они сходятся в L2 к пределам 川。。^ 三「2 для некоторой функции фе L2. Так как по лемме 7.7.2 из (22.4.1) при |a-|-р|= 1 следует, что
I 端々,УI & F а 10 D/2 & с (Re 6(X, S” * 三 к,
то поеледов а тел ьность 〃(,,&) должна быть равномерно ограниченной, поскольку в противном случае правая часть неравенства (22.4.22) была бы асимптотически равна (С+ 1) |р《/, &) |2. Следовательно, получаем предельную форму Q, как в предложении 22.4.3, и функцию 屮 с x^D^ е L2 при | ос + р | ^ 3, для которых оценка (22.4.11) нарушена. Аппроксимируя ф функциями из Со°, приходим к противоречию, доказывающему лемму.
Используя оценку (22.4.21), удобно изменить масштаб, подставив у|&|"2 вместо у и затем у — % вместо у н D —自 вместо D (что равносильно сдвигу функций 巾 н @). Это приводит к эквивалентной оценке:
(22.4.21Г，|屮|2 dg
<(С+ 1)( У 風％(%,目®-*)°(力-ГФ/а!р!+ро(хД)^dy
」ia+pi <2'I
+ e(W), 2 IWN0iD 也-""(0一旷wГ吻
f a+0 i<3
* w夕(R)亢wK・
Лемма 22.4.13. Будем, считать выполненными предположения леммы 22.4.12, и пусть Р‘，尸/ — собственные операторы с главными символами dpi/d^j и |Е|"@Р1/。％』 соответственно. Тогда для каждого компакта £ и X существует такая постоянная С《?
что для произвольных числа 6 > 0 〃 функции и е С(Г (К) (22.4.23) II и h) & Ск II Р〃 М + й(||« lko)
П以、
+ £ II m〃 1^)+ 审 II Р“ к/2)丿 + Cell и ||(_1/2).
Доказательство. Если функция %UC『(X) равна 1 в окрестности К】 компакта К, то Ри = Ру〃 = р (х, £>)〃,〃 w С/ (К), где символ pwS；hg (Rn) имеет компактный носитель по х и равен вК【 символу оператора Р mod S-00. Выберем функцию 为三俏，равную 1 в /С и сосредоточенную во внутренности множества R. При некоторой функции е(|)->0, g->оо оценка (22421)，справедлива для всех % w К.
Локализуем теперь рассмотрения относительно метрики . g6 = \dx |2(й2| 11 + 1) + й4| ^ |2/(62| ^ 1+1), o<d< 1.
Отношение этой метрики к двойственной метрике равно б4. Так как эта метрика при б = 1 медленно меняется и является а-уме- ренной, то же самое имеет место равномерно при О v 6 V 1. Выберем такие вещественнозначные функции % w Cq(R2ft) й точки (х/, &)三 supp 屮厶 что
Z 唠=i»
функции -ф/ равномерно ограничены в S(l, g^f и число их перекрывающихся носителей, как и расстояния в метрике g^ от (х/, &) до любых точек множества supp ф/, ограничены. Тогда {ф/}—символ из S(l,gJ со значениями в пространстве Р = 2" (С, Р) = ^(Z2, JC). Поэтому в соответствии с правилами исчисления
2 II 叨(%, D) и ||2 = (〃,") + (，(%, D) u, и),
где символ г равномерно ограничен в S(62, ge). Следовательно, (22.4.24) ||«|Г<21Ф/(х, Р)и||2 + Сд2||«||2, и^С^
Доказательство оценки (22.4.23) будет закончено, если показать, что сумма в правой части полученного неравенства оценивается через правую часть (22.4.23).
Если supp《/ и supp %i не пересекаются, то по теореме 18.5.4 ф/(х, D)u = ipi(xt ^)%iu =(p/(x> D)ut 〃三Со (К),
где символ {фу} ограничен в S(6{ gj・ Следовательно» (22.4.25) ^hi(x, D)«|2<CS2||«||2, 〃wCS°(K),
где через £' обозначена сумма по таким индексам. Для лю« бой конечной суммы имеем
(22.4.25У(22.4.25УЕ"II电(尤,D)〃『&CM『t).Е"II电(尤,D)〃『&CM『t).
(22.4.25У
(22.4.25У
Е"II电(尤,D)〃『&CM『t).
Е"II电(尤,D)〃『&CM『t).
Поэтому далее можно считать, что 勺 w& и что | 窃| больше некоторого подходящего числа, зависящего от 6. Тогда в силу (22.4.21)'
|2/(х, D)«||2<(C+l)||T/(x,。)由(%,。)〃『
+呐)计否册呐(尤,e)"『，
где
Л (х, О) = N pi%)(X/, |/)(X-XZ)₽ (D -务)％般! + Po (xz, &), |a+p|<2,
畑仆,自)=(I国产(* -尤/)y (国尸及(5 +自一ь))a电(X,以
Теперь символ (| ^ r^D^f" ф/ при большом j ограничен в S(&ai,g6)н компоненты векторов I & 产(％ —勺)и 丨&尸气&―勾) ограничены в S(6~{t ge) на множестве supply； значит, символы %/ принадлежат ограниченному множеству в S (М a+° L g6)・ Поэтому
ggv3/?je川他附(%, D)«II2 = (/?«, uX^Hull2.
так как символ оператора R ограничен в S储 gj，если / достаточно велико.
Чтобы оценить первое слагаемое в правой части (22426), заметим сначала, что символ оператора 7/(%, 0)屮/(亢,О) равен
£ Т (%, &)。帥/(X, S/al = R/ (%, В) + S/(X, S, I a|《2
R/(X,自)= E(7?)(%自)一产依,自))0帥/(尤,自)/砧 I a|<l
S/(*,A £ p⑷(*，90纱/(*, 9/a!- E 理(尤/,眾)m内,汕!. ]a |<1|a| - 2
Здесь символ Т/(х, g) —pg g) ограничен в S(в-2(1+б21 g D 厂叱gj на множестве supp ^f в силу формулы Тейлора, так как й-й дифференциал символа р ограничен относительно метрики 尋 величиной (1+1^1) ((б215 I + 1)/й4(1 +1W Г产2&. Поэтому семейство символов операторов R,ограничено в S (б"2 (1 +б2| 11)-1/2, gj откуда вытекает, что
e//『《0尸"(1+6210()1/2〃俨《5仙心図・
Наконец,
Sj(% D)=屮/(*, D)p(x, D)4-j S 屮俨(%, Q)p(v)(X, о)
—i E 切(v) (x,。) N)(x, D) + 匕(％ D),
где семейство символов операторов V/ ограничено в S(62 + (l + 62|W|)-*g6). Действительно, символ, скажем, оператора ^/(х, D)p(x, D) имеет асимптотическое разложение, члены которого последовательно улучшаются по крайней мере на множитель (1+62図产2(1+代1)и h (I+62|g])(l+|g))-l<62 + + 1/(1 + б2|11)• Поэтому погрешность, получающаяся после отбрасывания всех слагаемых, кроме двух, имеет нужный вес. Для последнего слагаемого в S/ верна аналогичная оценка. Следовательно,
Е IIV, (х, D) 〃『& Сб4 II 〃『+ Q И« %)•
Замечая, что символы ^^ и ф/(у)ограничены в S(62(62|^|+ 1)*1/2( gj и в S((62|g|4-1)1/2> gj соответственно, приходим к оценке (22.4.29) £ И S,"『& С (И р (х,力)“ ||2 + 炉 £ || 巾(招 0) “ |^/2)
+ Й22 IIP(v)(X,0)"1忆/2)+ 附"『)+ е6||и|ft•
Комбинируя ее с оценками (22.4.28), (22.4.27), (22.4.26), (22Л.25) и (22.4.24), получаем (22.4.23).
Из условия (22.4.1) вытекает, что RepiA。и что yRep】 —Imp】》0. Поэтому
IWI £ I p*(%, & F + 楕「£ IP1 wG，S F
<CxRep! (x, g), xwK,
что, как уже отмечалось, следует из леммы 7.7.2. По теореме 18.1.14
£ II р^ (х, D) и 1%)+ £ Hp(v)(x, D) и Jk-i/2)
《Ск Re (р (*, О) % «) + & 仙 II2,"巨 G (Q
Значит, с другими постоянными верна оценка
SIIPWI а⑵ + Е Н Р» 卜⑵《以 0 Р〃 В + В 〃 ID, которая в сочетании с (22.4.23) приводит при малом б к неравенству
IIUb WСк(IIР〃 11 +Ни 1кт/2))，〃三呢(公
Как показывает логарифмическая выпуклость по s нормы ||и||(5), величину CkIIu||(-i/2)можно оценить через I岡匾/2 + с4||〃|кт), и
поэтому ||u||(-1/2)в правой части можно заменить на ||川|(_口・ В итоге получаем
II"% + Z II卩吸/2)+ Е 11^11(1/2)
& &(II Ри||(о)+ И “ lit-»), 〃 в СГ(К).
Эта оценка — точный аналог (2229), (22.2.10) при е= 1/2, хотя она и содержит небольшое отличие в индексах норм, связанное с тем, что теперь Р — оператор первого порядка. Однако в доказательстве того, что из (22.4.31) следует микрогипоэллиптичность оператора Р с потерей одной производной, ничего менять не нужно. Подводя итог результатам данного параграфа, мы видим, что доказана
Теорема 22.4.14. Пусть 「三屮北旦一собственный оператор с главным символом, удовлетворяющим условию (22.4.1). Если при некотором s е₽ верна импликация
〃曰冒‘(X), Ри е Н(з)=^и^ Я(s+m-lb
го для каждого компакта К и X существует такая постоянная б > 0, что
й<I^_, (х°, ё°) + Q(б, Р) + Е(2а； + 1)М/1，O&a/wZ, где х°е К, |g°|= 1, Q(y, Уо» Л> Ло)—любой предел величины
^рт а+川自и尿&+n la产/%)I自厂门
при 4fx°, gf 8, g/|&|->g°・ Здесь числа 岗—собственные значения гамильтонова отображения формы 0/厶 принадлежащие Г, “ и — элемент пространства, натянутого на корневые векторы^ соответствующие собственным значениям, по модулю меньшим 6. Обратно, если это условие выполнено, то
иейУ (X), Ри w Н⑻ 8 точке (х°, g°)=>u е "(§+^-1)в точке (х°, &°)
при любых s w R 〃 (х°, g°)e Т*(Х)\0, г. е・ оператор Р микро- гипозллиптичен.
Условие теоремы имеет, к сожалению, сложный вид, но его можно упростить, сделав более сильные геометрические предпо ложения:
Теорема 22.4.15. В дополнение к (22.4.1) будем считать, что нули символа рт образуют С^-многообразие, на котором р^
трансверсально эллиптичен. Тогда условия теоремы 22.4.14 эквивалентны соотношению
编 T(dY) + Q©u)+ Е(2а/+1)阳，0, O&a/wZ,刷=1,
где рот(х°, ^°) = 0, Q — гессиан функции р彼/2 8 точке (х°, g°), ц;——собственные значения гамильтонова отображения формы Q//, лежащие в Г, и и — корневой вектор, отвечающий нулевому собственному значению.
Доказательство. Из замечания после доказательства предложения 22.4.3 вытекает, что достаточно рассмотреть фигурирующую здесь предельную форму Q, и следствие 22.4.11 показывает, что оценка (22.4.11) автоматически выполняется равномерно.
Примечания
В 50-е годы результаты о гипоэллиптических операторах постоянной силы, доказанные в § 13.4, казались совершенно общими, но Трев (Treves [4]) построил пример, гипоэллиптиче- ского оператора, не удовлетворяющего соответствующим условиям ни при каком выборе координат. -Такие примеры можно теперь найти в классе гипоэллиптических операторов постоянной силы, обсуждавшемся в § 22.1. Он был введен Хёрмандером (Hormander [18]) и определен по-другому в работе Hormander [42]» которой мы здесь следуем. Для дифференциальных операторов второго порядка никакой такой класс операторов не инвариантен при замене координат. Это побудило Хёрмандера (Hormander [20]) изучить гипоэллиптическне операторы, связанные с уравнением Колмогорова [1] (первоначальное изложение см. в § 7.6). Более простые доказательства несколько менее точных, но более общих результатов были позднее даны Коном (Kohn [2]), а также Олейник и Радкевичем [1], изложению которых мы следуем в § 22.2.
Точная оценка снизу, доказанная в теореме 22.3.3, принадлежит Мелину (Melin [1]). Хёрмандером (Hormander [36]) было замечено, что при дополнительных предположениях верна более сильная теорема 22.3.2. Доказательство теоремы 22.3.3, приведенное здесь, использует этот факт. См. также работы Hormander [37, 39] и, в особенности, Fefferman — Phong [1, 2] по поводу более сильных вариантов без таких дополнительных условий, что частично обсуждалось выше в § 18.6.
Мелин (Melin [1]) доказал, что из его неравенства вытекает ряд случаев теоремы 22.4.14, принадлежащей Радкевичу [1]. Шёстранд (Sjostrand [3]) продвинулся значительно дальше, и
основная часть методов § 22.4 восходит к его работе; до этого некоторые специальные модельные случаи обсуждались Грушиным [2]. Общность еще более возросла в работе Буте де Мон- веля (Boutet de Monvel [4]), и в полной общности теорема 22.4.14 была доказана Хёрмандером (Hormander [35]). Независимое доказательство теоремы 22.4.15 было дано в работе Boutet de Monvel — Grigis —Helffer [1].
Изучение гипоэллиптических операторов с двойными характеристиками повлекло интенсивное изучение гипоэллиптических операторов на нильпотентных группах Ли. Мн не будем обсуждать здесь эти интересные результаты, а отошлем читателя к работам: Helffer — Nourrigat [I], Melin [2], Rothschild [1J и приведенной в этих работах библиографии.
23
Строго гиперболическая задача Коши
Краткое содержание главы
Для дифференциального оператора Р, имеющего постоянные коэффициенты, задача Коши с данными на нехарактеристической плоскости корректно поставлена при любых младших членах тогда и только тогда, когда оператор Р строго гиперболичен (следствие 12.4.10 и определение 12.4.11). Если эта плоскость задается уравнением хп = 0, то сказанное означает, что главный символ Pm (У, &Q имеет т различных вещественных корней gn прн каждом%t)wRi\0. В § 23.2 будет доказано, что для случая переменных коэффициентов это условие также гарантирует корректность задачи Коши в очень сильном смысле. Утверждения, обратные к этому, будут обсуждаться в § 23.3 и в примечаниях.
Доказательства § 23.2 опираются на разложение оператора Р(х, D) в произведение множителей первого порядка вида Da — а(х, Dz), где главный символ оператора а равен одному из корней многочлена Pm(x, gz, ^rt). Поэтому такие операторы первого порядка будут изучаться в § 23.1. Основным инструментом здесь является метод интеграла энергии. Его можно применить непосредственно к оператору Р(х, D), но он более нагляден и прост в случае операторов первого порядка.
В § 23.3 показано, что для корректности задачи Кошн в случае операторов главного типа требуется строгая гиперболичность вне плоскости, несущей данные Коши. Однако определенные типы двойных корней на самой плоскости могут встречаться. Такая ситуация довольно подробно изучается в § 23.4, так как она имеет место для важного уравнения Трикоми. Мы также встретимся с такими операторами в § 246
Операторы первого порядка
В данном параграфе будет изучаться задача Кошн в 欢叶七 (23.1.1) du/dt + а(/, х, D)u~f, 0 < / < Т» 〃 =(р прн /=»0・
Будем предполагать, что
символ а((х, |) = а (f, х, Е) принадлежит ограниченному множеству в S】(R〃 X R") ПРИ 6《f W Т；
отображение t^^at непрерывно как отображение [О, Т] в 纱 俨〃)(или, что эквивалентно, в C°°(R2n));
Rea(^х,^)> —С, 0<^Т.
Предположение (iii) естественно, поскольку если а постоянно и f = 0, то решение задачи (23.1.1) имеет вид 〃 = 6-°'屮・
Из (i), (ii) следует, что отображение /ь->а(/, х, D)u со значениями в 9 непрерывно при 〃巨忆 так как ограниченность a(f, х, D)u в ? вытекает из теоремы 18.1.6, а непрерывность со значениями в С°° очевидна. Ввиду теоремы 18.1.13 функция at (х, D) при каждом s сильно непрерывна по f со значениями в множестве ограниченных операторов, действующих из ”⑷便”) в "g)(R〃)・
Следующая основная оценка доказана с помощью встречавшегося ранее в доказательстве леммы 17.5.4 метода интеграла энергии.
Лемма 23.1.1. Если swR, а 入wR больше некоторого числа, зависящего от s, то для каждой функции uе С1 ([О, Т]; //($)) ПСо([О, T];H(SW)以 рЩ, 8}
(«「％(/,・)|齡成/2)
《II 〃 (0, •) IL)+ 2 \е-j 翁 + а(f, х, D) и" df
О
с очевидной интерпретацией левой части пр〃 р = оо.
Доказательство. Предположим сначала, что s = 0. По теореме 18.1.14 из условий (i) и (iii) следует, что с некоторой постоянной с верно неравенство Re (а^ (х, D)vt о) ^ — с (о, о), ин"⑴.
Положив f = du/dt 4- a (f, х, D) и и взяв скалярные произведения при фиксированном t、получаем
Re (f ⑴，и (/)) е-纨』弟(е田 || а (/)『)+ 2Re ((的(*, D)
+ 九)а (/), и (/)) е-加 > 系(е-叫I “ (/)『)，
если только * > с. Интегрируя от 0 до т《/《7, получаем
M(f)2= sup 0-^IIи(т)II2<IIа(0)Ц2 + 2М(/) ( е-^||/(т)||dr. о<т<<g
Следовательно,
(м (/) - , е-м II f(T)H dir)《(II u (0)11+ , е-^|| f (т)|| drj ,
откуда при 九=с получаем
LII«(/, -)||<||«(0)II + 2 卜疗(т)IIdT.
О умножая на etc~x)\ находим, что
「1也⑺II《e(i‘IIа(0)II + 2 ,е*||f (т)||e(D “一"以
• о
Если Л > 2с, то (с — %) < — %/2, а норма функции в Lp (0, оо) не превосходит (2/九产 при % > 0, откуда вытекает оценка (23.1.2) при s = 0.
Чтобы доказать оценку (23.1.2) при произвольном s, положим 国(D) = (1 +1D12) "Г Ь (厶 х, D) = ES(D) a (f, х, D) Е一 (D)・ Так как символ b(f,・)—а(/, •) ограничен в 5°, то для символа Ь свойства (i)——(iii) сохраняют силу. Оценка (23.1.2) следует из аналогичной оценки, в которой символ а заменен на b, s за* менено на 0 и функция и заменена на Es(D)u. Доказательство леммы закончено.
Следующая теорема существования и единственности подсказана оценкой (23.1.2) и расширяет область применимости этой оценки.
Теорема 23.1.2. Предположим, что выполнены условия (!)—(iii), сформулированные выше, « s е R. Для каждых /в %((0, 7,; Н"» u Ф е H(s)существует единственное решение це С([0, Т]; Я(5)) задачи Коши, и для него справедлива оценка (23.1.2).
Доказательство. Единственность. Предположим, что / = 0, <р = 0. Так как функция а(/, х, D)u непрерывна по f со значениями в 〃(§Т), то не С1 ([О, Т]; "(s-D)f]C°([O$ Т]; HiS^. Поэтому применима оценка (23.1.2) с s—1 вместо s и, значит, « = 0.
Существование. Если решение и задачи Коши (23.1.1) существует и и q С『({& х); f < 7}), то
гг
5(«» — dv/dt + а (/, х, D)*。)出=，(/, о) dt + (<р, о (0)).
Оо
Если заменить / на Т — / и а(/, х, D) иа а(厶招 Q)*, то из леммы 23.1.1 вытекает, что при некотором С
г
sup 丿|。(/) Ms) V С 卜| g (/) II(一s)出，g = — dv/dt + a (/, x, D)* и.
Следовательно,卜九 о)df + (屮，о(0))《С，IIg(0||(_對力.Поль- 0о
зуясь теоремой Хана —Банаха, чтобы продолжить антилиней- ную форму
г
gi*，(厶 и)力+ 3, U(O)),О
заключаем, что существует некоторая функция и е ^((О, Г); "“))，для которой
гг
，(и, — dv/dt + а (/, X, D)* v)dt = ^ (/, о) dt + (<р, о (0)), оо
если и 三 С/ и f V 7 на supp и. Поэтому
du/dt + a(t9 х, D)u — f
в смысле теории распределений при 0 V f V 7. Временно предполагая, что fw?, получаем du/dt е L°°((0, Т); 〃(§т)), и поэтому 〃®С([0, 7]; Я(5-о). Снова используя уравнение, находим, что и е С1 ({О, Т]; "(D)и «(0)= <р. Если /巨乡 и 屮三忆 то, заменяя в наших рассуждениях s на s + 2, получаем, что существует решение задачи (23.1.1), к которому применима оценка (23.1.2). Теперь для произвольных f и qp, удовлетворяющих предположениям теоремы 23.1.2, выберем такие последовательности 屮vW?(R”)и fve^(Rn+1)> что
I! Ф ~ <Pv “§)f а ，"(/) — % (f)Q)d/ f 0. о
Найдем 〃丫^。([0, 7]; "($+i)), для которых uv(0) =(pv и
duv/dt + а (厶 х, D) uv = fv.
Тогда из (23.1.2) следует, что 网—последовательность Коши в С( [0, Т]; 〃(§))• Ее предел при v -> оо является искомым решением задачи (23.1.1). Это завершает доказательство теоремы.
Следствие 23.1.3. Пусть распределение “ удовлетворяет (23.1.1), где f = 0 u qpw〃(§)(R”)при каждом s; тогда и е С!( [0, Т]; ”(s)(Rn))孔Р〃 каждом s, если это имеет место при каком-нибудь s. В частности, u(tt - )е С°°(₽л) при каждом фиксированном t.
Теперь займемся исследованием волнового фронта распределения 〃& •) в случае негладкого qpеЯ(_а>)= UЯ(5). При этом предположение (iii) заменим на более сильное:
(iv) а е Sphg и главный символ чисто мнимый.
Тогда направление времени в теореме 23.1.2 можно обратить. Предположим, что (х0,為)巨 Г* (Rn) \0\ WF(qp). Тогда
17 RaK 443
можно так выбрать g~ Xg/uS^hg，что 夕式向,Ео)'# 0, но q обращается в 0 вне настолько малой конической окрестности точки (хо, Ео), что q(x, D) ф е С~• Мы получим информацию о решении и задачи Коши
du/dt + а (厶力，D) 〃 = 0, “(0, •) = ф,
если нам удастся найти такой оператор Q(f,力,D), что Q(0, х, D) = g(%, D) и Q коммутирует с оператором iDt -|- a(Z, х, D). Действительно, имеем
{iDt + о (Л х, D)) Qu = 0, Q〃mCT при / = 0
и ввиду следствия 23.1.3 получаем, что Qu(tt - )е С00. Поэтому волновой фронт распределения 〃&•) содержится в характеристическом множестве оператора Q(/, х, D).
Имеет место асимптотическое разложение a(t, х, D)/i^^bf(t, х,^), в котором символы bj однородны степени 1 — J и &о веществен. Символ Q будем искать в виде асимптотической суммы EQ*, х,以 где символы Q/ однородны степени —/. Главным символом коммутатора [iDt + а(工 х, D), Q(厶 х, D)] является выражение
{т + 瓦(厶 х,日，Qo (f, x, E)} = (d/由 + "Q Q。，
и слагаемое порядка —/ равно
(д/df+HQQi + Rf,
где Rf выражается через Qo, ・•・, Q/-i. Итак, нам нужно сна* чала решить задачу Коши.
9/。/ +"QQo = 0, Qo = 9o при f = 0,
а затем решить неоднородные задачи Коши для Q； того же вида. Уравнение (23.1.4) означает, что символ Qq постоянен на ор6н・ тах гамильтонова поля
dx/dt = db^./&// 同dt = 一 0瓦仏X,訓0大.
Условие равномерной ограниченности (i) гарантирует существо- ванне решения с начальными значениями
# =弘 &н=П при / = 0
на некотором фиксированном интервале О W » W h если |叫=1, и при этом производные решения (尤,Е) по (у, nj ограничены. Вследствие однородности символа &0 это решение существует при всех п娱0 и OWfW%, причем функции х,己 однородны по П степени 0 и 1 соответственно. Из / = 0 до любого t V 7 можно дойти максимум за |7/%|+1 шагов, что доказывает существование решения при 6 W fW 7. Обозначая (%, Е) = %/(д, п), из (6.4.12) заключаем, что 左一однородное каноническое преобразование. Интегрируя уравнения в сторону убывания /, находим, что %< обратимо. Теперь решение уравнения (23.1.4) дается формулой
Qo(/, х, g) = 9о (%?1 (х, g))-
Последующие уравнения
@Ot + H 疝Qf + Ri = Q
можно записать в виде
GQ/亿及,(g，嘲攸+ R/ (也回叫)=0.
Поэтому решение, равное 勿 при f = 0, имеет вид
Q/ (厶及(4,喃=分(协n) 一 ) R/仇(协叫)ds.0
Все производные по %,己 функций Q〃 получаемых таким образом, равномерно ограничены. Если выбрать Q(f,力,Е)〜Z Q；(厶 修鼠то
Q(0,爲己)一 g (x,日巨 S^9 [iDt + a 仏 x, D), Q (厶 x, D)]=R (/, x, D), где символ R(f, •) ограничен в S" и непрерывен как функция от t со значениями в C°°(R2rt). Если распределение и удовлетворяет (23.1.3) при ф 已 //(y)(R”)，то заключаем, что
(iDt + a (厶 х, D)) Q (厶 xt D) и ^C ([0, 7]; HQ
при любом s и что Q(t, x, D)u e H(s)при любом s, когда f = 0. По теореме 23.1.2 последнее остается справедливым при любом f. Так как Qo(厶招与)*о при (尤，S=打(% 為)，то %^(x0, go) ^ WF(u(it •)). Направление времени можно обратить, поэтому нами доказана
Теорема 23.1.4. Если символ а удовлетворяет условиям (i) — (iv) , 〃wC([0, Т]; H^)(Rrt)) есть решение задачи Kotuu (23.1.3) и ф е Я(-оо)(₽я), то WF(u(t, •)) = XfU7F(qp), где 川一каноническое преобразование, получаемое интегрированием от 0 до i уравнений Гамильтона (23.1.5) с функцией б。, равной главному символу а/厶
До сих пор нами рассматривались особенности распределения и лишь при фиксированном t. Если a w Si(R〃+i X R"), то возможен анализ особенностей “，рассматриваемого как распределение в R叶1. Действительно, хотя оператор Dt + а(/, х, D) /i не является псевдодифференциальным, он становится таковым после умножения на псевдодифференциальныи оператор по (厶 ％) с символом, равным 0 в конической окрестности множества, где 5 = 0 (теорема 18Л.35). Действуя таким оператором на уравнение (力f + a(f, х, D)/i)〃 = 0, заключаем, что при 0 之 f V 7 справедливо включение
WF («) u {(厶 x; 一 瓦(厶 X, g),?} U {(厶爲 * 0)}.
Из доказательства теоремы 23.1.4 получаем, что (/, х, т, |) ^ WF(u)9 если Е*0 н Qo(Z, х, |)¥= 0. Если почему-либо известно, что ^=/=0 при (/, х, т, j)e WF(u)t то, следовательно, ввиду теоремы 8.2,4
WF (a & •)) = {(%,日；(厶 х; 一 瓦(厶 х,日，5) e WF ⑷}.
Поэтому теорема 23.1.4 означает, что WF(u) представляет собой объединение бихарактеристик символа т + bo(f, х,匕).Это результат того же вида, что и теорема 8.3.3'. Мы вернемся к нему в гл. 26.
Решение задачи Коши (23.1.3) определяет отображение
Ff：屮 f 〃(f, •),
для которого по теореме 23.1.4
WF(F^)^tWF^).
Аналитическая структура отображения Ft будет выяснена в гл.25; оно является эллиптическим интегральным оператором Фурье, ассоциированным с каноническим преобразованием 讣 Можно было бы и в данном параграфе использовать теорию интегральных операторов Фурье, Однако это было бы менее элементарно, и приведенное обсуждение дает конкретное основание для изучения интегральных операторов Фурье в гл. 25.
Операторы высшего порядка 工
Начнем с обобщения леммы 23.1.1 и теоремы 23.1.2 на операторы вида
т
Р=£Р/& *，D^D't
О
в R“+L Будем предполагать, что
Pm = 1 н Pj WSmT (R”+l X R") нрн / .< /П；
оператор Р； имеет главный символ "/",%,⑶，однородный по ± степени m — j; следовательно, Р/(/, х, g)—(1 — —%(己))刁& %E)mSm7T, если функция % е Cj°(Rn) равна 1 в окрестности нуля;
корни т главного символа.
p(f, %,叫 &)= £ Р/(/, *, X)d
оператора Р вещественны при Е*耍 0 и являются равномерно простыми в том смысле, что при некоторой положительной постоянной с
др(/, х, т, ^д% |>с I g Iя*"1, если р (/, х, т» 5)« 0.
Обозначим корни т многочлена р(/, х, % g) через % (/, х, g) < V М", %, 9 V …V 入m(f, %, g)・ Они однородны по g степени 1, н
10出3%(厶招ё)]《0邮1ё尸叫
так как при ||| = 1 это верно ввиду теоремы о неявной функции и (23.2.1). Пусть Л/ = (1 —%(»)%«,匕 I). Переставляя в операторе Р дифференцирования Dt так, чтобы они оказались слева от других множителей, и пользуясь тождеством Dt = (Dt — Л/ (/, х, D)) 4- Л/ (/, х, D)» можно найти такие операторы
Q/ = X Q/总(厶招 ^x) Dp
что Q^eS1n.i н
P — (Q — А/ (厶 x, Dx)) Q』=R,(厶 x, Dx).
Ясно, что R/wS^. Его главный символ р ——(т —入/)幻 не зависит от т, поэтому он равен 0. Это доказывает, что в действительности Ru Sm-i. Ниже грубое разложение (23.2.2) будет усовершенствовано, но для обобщения леммы 23.1.1 его достаточно.
Лемма 23.2.1. Если s е R и Г > 0, то для каждого распределе
ния 〃“з f] С7([0, Т]; //(s+m-i-/))> для которого Р〃巨厶"(0,77;
о
Я(5)), верна оценка
sup S iDluit, .)Um-i-n
0<^<Т/<т
《C“r( 2 II ^/w (0, • )L+mTT)+，II 尸〃(力•)lk$)df)・
Доказательство. По теореме 23.1.2 к распределению Qiu применима оценка (23.1.2), в которой а = —(Л/. При большом X и р s [1, оо] это дает
(ре』'Qm& •)%九力/2)'"
Г
VIIQ卅(0, Olb + aJe-^diPuff, ・)||(S)+ CW(/, ・)кт-2成.
О
Если q] — главный символ оператора Q〃 то х, т, g) = П (т — %),
и поэтому в силу интерполяционной формулы Лагранжа
干=Z 9/ (/, *, т, & 九〃 П (为-%) k<m.
2/
Положим
Му(/, *, Е) = (1 - % 值))％(/, X,訥 П 的(/, х，己)一爲(/，*,就
так что Alft/eSfe+I~m(Rn+，XR")- Тогда
m— 1
Dtu= £ Mk! (/,招 D)Q/u+ £ Rkl(t, x, 0)0^,
0
где Rkf w S比тт Поэтому
^J^t ^m^<C^\\QfU(t. ・)lb
+ £ iDfu (/, •瓜+rn-2i))・ k<m/
В последней сумме можно опустить слагаемое с индексом А = m — 1, поскольку норма ||Qi〃——。片一％卜一и оценивается через остальные слагаемые. Таким образом,
+ £ @е』國& DiS+mT-^d/)).
Опять используя (23.1.2), можно оценить последнюю сумму через
2 2 ЦА〃(0, ' )H(s+m-2-ft)
Л<т-1 г
4-4 £ ,5力产〃(/, .)L+i©由, k<m -1 о
так что
22Dfu(t9 ')^+m-l-A)Dfu(t9 ')^+m-l-A)〃(0,・)J($+mTT)〃(0,・)J($+mTT)
2
2
Dfu(t9 ')^+m-l-A)
Dfu(t9 ')^+m-l-A)
〃(0,・)J($+mTT)
〃(0,・)J($+mTT)
+ \le^Pu(t9，儿)由+ e 口l如(厶・)5(….I)力).
k<,m О
Если p= 1 и % велико, то последняя сумма меньше половины левой части. Поэтому мы получаем, сначала для р = 1, а потом и для произвольного р, с новой постоянной С, не зависящей от s, р и Л при большом Л, что выполнена оценка (23.2.4)' 20h一冲打(1,仙+吁1)大山)"
《с( 2 IDtU (0, *) js+m—l-fe 'fe<m0丿
намного более сильная, чем (23.2.3).
Теперь докажем аналог теоремы 23.1.2:
Теорема 23.2.2. Предположим, что выполнены условия (TJ— (iii), сформулированные выше. Для любых f 三 〃((0, Т); АГ⑹) « Ф/ w H(s+m-i-/)» j V m, существует единственное решение 1Я—1
ue П С‘([0, Г]; H(s+m-i-n) задачи Коши
Pu — f при 0 < / < Т; Dtu =(pf при j <mt / = 0. Доказательство. Единственность немедленно следует из леммы 23.2.1, показывающей, что а = 0, если f = 0 и <ро = ・・・== фт-i =0. Для доказательства существования заметим, что если распределение и достаточно гладкое, о еС~(Rn+1) и / < Г на supp5 то гг
\ (и, РР)力 \ (Р/ и)力
оо
Т X(D{U(0), D^Pt^it, х, D)-v(0)). /+А<т
Если теперь применить оценку (23.2.3) к оператору Р*, заменив / на 7 — /, то при g = Р*и имеем
2 I龙。(加-A间 Ve，IIg(/)lhf -司成. fe<m0
Отсюда следует неравенство
Н(Л о)Л-/ Z (ф/, D4pi+k+1(t, х, D)-v(O))
/+Л<т гГ
II g(f) ||(1-…成.II g(f) ||(1-…成.《b j "临 Л+£ИФ/lks+m-f) j
II g(f) ||(1-…成.
II g(f) ||(1-…成.
Пользуясь теоремой Хана — Банаха, чтобы продолжить анти- линейную форму по g, стоящую в левой части неравенства, заключаем, что найдется некоторая функция ue £°°((0, Т); Я(5+т_1)), такая что
(2326)， гг
，(厶 v)dt-i^ (w，DfP/+E+i (/,招 D『и (0)) = J («, P*。)dt, 00
если о еСо°и t <Z T на supp и. Отсюда, взяв такие функции о, что 0 V f V Т на supp у, получаем, что Ри = f; выполнение начальных условий (23.2.5) явится следствием сравнения с (232.6) после того, как будет установлена достаточная регулярность функции 〃.
Как и при доказательстве теоремы 23.1.2, ввиду оценки (23.2.3) достаточно доказать существование в случае, когда f и ф/ содержатся в?・ Из того факта, что не £2((0, Т); Я(5+т_п) и Р〃巨忆 будет выведено, что D/usL2((0, /); Я(5+т-1-/))' при 0 W j W/п (на самом деле это верно при каждом /). Доказательство является незначительной модификацией доказательства теоремы В.2.9. Сначала заметим, что теорема В.2.3 остается справедливой, если определить Н(т, $)как пространство сужений элементов из Htm, s)(Rn+1) на (О, Т)Х Rn- Действительно, если функция %s С°°(К) равна 1 на (—8,1/3) и 0 на (2/3, оо), то теорема В.2.3 применима как к %〃，так и к (1—%)〃，если в последнем случае заменить t на Т — t. Относительно решения уравнения Ри = f, построенного выше, известно, что
D% W Я(й-д j+m_i-fe), j《g
при Л «= 0. Считая это известным при некотором 也 V/п, получаем включение
DTu = Pu—工 Р/(厶力，Dx) DfU e H(ft-in+i, e+m-2-Лр
С помощью только что обсуждавшейся модификации теоремы В.2.3 индукцией по убывающему / получаем, что
Последнее означает, что в сделанном допущении k заменено на 也 + 1. Поэтому оно верно при А = /и, т. е.
D山三瓦/<т,
откуда по теореме В.2.7 следует, что £)|〃三С([О, Т]; Н($+т_/—з/2). Этого достаточно, чтобы придать смысл равенству (23.2.6). Сравнивая равенства (23.2.6) и (2326), в случае, когда D/и = 0 при / = 0 и j V т — 1, получаем
(u(о)-то> 0T-%(0)) = 0,
откуда и(О) = фо« Взяв Dtv — 0 лишь при / < m — 2, получим Dtu(0) = ф1 и т. д., пока все условия Коши не будут проверены. Из уже установленной единственности следует, что задача Коши (23.2.5) для fug и 屮/三乡 имеет решение и& f| С™"1 ([О, Т]; /?(,)).Последовательно используя уравнение Ри = f, получаем, что ue П С* ([О, Г]; "($)) и С°°. Это завершает доказательство существования.
Основной задачей данного параграфа является изучение строго гиперболических операторов.
Определение 23.2.3. Дифференциальный оператор порядка m на С°°-многообразии X с главным символом р называется строго гиперболическим относительно поверхностей уровня функции q>e С°°(Х, R), если р(尤，q/(尤))*0 и характеристическое уравнение р(х,^ + тф7(х)) = 0 имеет /и различных вещественных корней т при любых хе X и ge Т* \Rq>,(х).
Задача Коши для строго гиперболического оператора всегда имеет полуглобальные решения:
Теорема 23.2.4. Пусть Р ——дифференциальный оператор порядка m с С^-коэффициентами на С°°-многообразии X, и пусть У ©X — открытое подмножество. Предположим, что оператор Р строго гиперболичен относительно поверхностей уровня функции фа С°°(Х, R), и положим
Х+ = {#вХ;(р(х)>0}, Х()= {大wX;(р(х) = 0}.
Если носитель распределения f 三"署(X) лежит е замыкании множества X十，то существует такое распределение и w H；；h)(X)
с носителем в замыкании множества Х+，что P〃 = f в У. Если s>0・ и — векторное поле, для которого и(р=1, и je 砒;(X+), 屮/в/哇ттт)(Хс), j <mt то существует такое распределение 〃曰斤|；；m-D(X+), что Pu = f в X+(]Y и u'〃 = W «а /ПУ при j<m.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим сначала случай, когда X и R" и ф(х) = хп. По условию коэффициент при Dn нигде не обращается в 0, поэтому, поделив иа него, можно впредь считать» что он равен 1. Пусть Xj (х, g) V …V Xm(x, g), F = (Ei, ••., Ii), суть корни уравнения р(х, F,4) = 0. Выберем такую функцию у w 瑞(X), что 0&%《1н%=1вУ, н положим
0(X,三)=叮隔一3(居 g)),
Л/(х, У) = %(х)&& У) + 0 —%(%))jlllA
Тогда можно так определить оператор Р с главным символом р, что 戶(％ Е)= Р(% Е) при хе У и Р『(х, У) не зависит от х вне компактного подмножества множества X. В этом случае очевидно выполняются предположения теоремы 2322, если роль переменных f и х играют хл и (%ь ・.・,xn_i).
Предложение 23.2.5. Предположим, что оператор Р строго гиперболичен относительно плоскостей хл = const е X и R% и пусть Y^X. Если s>0, f^H{St f)(R+) « 吻三小叱+ett)(R“t), j < mt то существует такое распределение м w 〃(s+xh f)(R&), что Dn« — непрерывная функция от хп со значениями в 〃(s+f+AiT〉(RAij при Хп^О и j < m и что
Ри = f в КП₽+>。〃 =电 £ y(l(Ri><{0}) при jVm.
Доказательство. Выберем такое Т>0, что Т>хп при 尤三У. Условие на / показывает, что f^Ll((O, Т); 〃<s+f)(Ri)), откуда по теореме 23.2.2 следует существование такого распределения aw П С‘([0, Т]； "(s+f+m-i-/)), что Pu = f при 0 < xn < Т и 1<т
Дп« = -ф/ при хп = 0» j < т. Так как u^R(m^s^ Рм三"”# в слое {尤；0 < хп < Т}, то точно так же, как в доказательстве теоремы 23.2.2, отсюда следует, что и 三 n(m^Si». Доказательство предложения закончено.
Предложение 23.2.5 дает локальный вариант второй части теоремы 23.2.4; теперь докажем локальный вариант первой части,
Предложение 23 2.6. Предположим, что оператор Р строго гиперболичен относительно плоскостей хп — const 8 X и Rrt, и пусть Y ^Х. Если f е H[S, f）（R+）> го существует такое распределение М W *（s+m-L f}（R；）, что Ри = f в У. Здесь число s （или Г） может равняться +оо.
Доказательство. При s ^ 0 из теоремы 23.2.2, в которой переменная хп заменена, скажем, на хп — 1, следует существование такого ие/?（«-!, s+z）, что Ри = f при Хп < Т. Как и в доказательстве теоремы 23.2.2, из аналога теоремы В.2.9 вытекает, что 〃巨％s+m-i,力 Теперь, доказывая теорему при s V 0, можно считать, что она уже установлена при параметре s, замененном на s +1. В соответствии с замечанием после теоремы В 2.4 справедливо представление
』%+0工，
где % w.»（s+i, I）и fne Hs+L 小 Выберем такие «о w H{s+m, «_!） и «яе 方（s+九 о> что
A必=% и Pu„ = fn.
Тогда и = ий + Dnun е H{s+m-i, <）и
PU-f^[P, 0“]%w 凤s+Lf—1）,
так как оператор m-го порядка [Р, Ол] имеет по Ол лишь порядок m——1. По индуктивному предположению найдется такое распределение и 三 &储十加，г-i）, что Pv = [Р, Dn] un, и тогда распределение и = U — и является искомым решением.
Чтобы доказать теорему 23.2.4 с помощью склеивания локальных решений, нам понадобится теорема единственности:
Теорема 23.2.7. Если оператор Р строго гиперболичен в X от- носителъно поверхностей уровня функции ф, т。у каждой точки 尤о 三 X существует фундаментальная система окрестностей V, таких что из условий 〃已纱'（У）, <р》<₽（№）на suppu и Ри=0 е V следует равенство и = 0 в 口.
Доказательство. Можно выбрать такую локальную систему координат в точке к。，что х0 = 0 и（р（х）=（р（0） + хп — |公产・ Положим
几={х； 1^пк * I / I V e}.
Так как степень многочлена р（0,『,晶）по % равна m и при 『rRi\0 он имеет m различных вещественных корней, то
же справедливо для многочлена "(尤，三'，己口)， если xwPg> О <； е <： е0, поскольку многочлен р(х, ?) по существу вещественный (ср. с леммой 8.7.3). Если g ^С^ (У^ то из предложения 23.2.6, примененного к оператору Р*, следует существование такой функции им С°°(Уе)> что Р*и = g в 廿右 и и(尤)=О, если хп > е2 —б и число 6 настолько мало, что g (尤)=0 при хп > 82 — 6. Но тогда
0 = (Р〃，и) = (% Fu) = (% g)
и, следовательно,以=0 в Р&. Итак, окрестности Уе обладают нужным свойством. .
Доказательство теоремы 23.2А. Можно найти конечное число таких координатных окрестностей Х^иХ и открытых множеств УvеXv, что Уи U У*・ Чтобы доказать первое утверждение теоремы 23.2.4, найдем с помощью предложения 23.2.6 при каждом V некоторое распределение 人 w 〃；；；吁［)(爲)，обращающееся в 0 при ф < 0 и такое, что》и^ = f в Уу. Выберем покрытие множества Xof| Р открытыми множествами 九，обладающими тем свойством, что из условий Ру = 0вУ^иу = 0 при ф < 0 следует, что и = 0 в 丫屮 Множества У丛 выберем столь малыми, чтобы для всех индексов ц,卩‘，для которых %(1%峻0, при некотором v имело место включение 乙 U%u}\・ Теперь определим и = uv в 九，если 九 и У» По теореме 23.2.7 в Уц справедливо равенство 1^ = 0^, если У» и У^ПУ", поэтому выбор V не имеет значения. Распределения и, построенные таким образом в открытых множествах 九 и 卩心 совпадают в их пересечении, так как если оно не пусто, то Уц и Уу содержатся в Yv при некотором v. Ясно, что Pu = f в 展叭
Выберем функцию %е Со° (V)> равную 1 в окрестности W множества Х0П ?■ Тогда f = P(%u) в W, Поэтому найдутся такие g 三晟訳X) и е > 0, что g = 0 при(р(х) < 8 и f=P(%〃) + g в У. Следовательно, достаточно доказать утверждение теоремы в случае, когда распределение f заменено на g и функция ф заменена на ф — е. Геометрический характер доказательства теоремы 23.2.7 убеждает нас, что то же е может быть вы* брано, если функция <р заменена на <р ——f при f > 0. Утверждение теоремы тривиально, если ф < 0 в У, и получается конечным числом итераций с помощью построенных выше локальных решений. Для доказательства второго утверждения теоремы 23.2.4 достаточно воспользоваться предложением 23.2.5 вместо предложения 23.2.6. Затем приведенное выше построение сохраняется без изменения. Доказательство теоремы закончено.
Ниже обсуждаются особенности решений задачи Коши (23.2.5). В качестве подготовки к доказательствам усовершенствуем разложение (23.2.2).
Лемма 23.2.8. Если оператор Р удовлетворяет условиям (i)— (iii), сформулированным s начале параграфа, то операторы Л/ u Qik можно так изменить на члены порядка 0 〃 m — 2 — А, что^ правая часть R/ тождества (23.2.2) станет элементом S-b(r叶］xR“)・
Доказательство. Предположим, что тождество (23.2.2) уже установлено, причем R/ w Sm~^ при некотором ц > 0, как это было при ц — 1. Можно выбрать такой символ 九三 Sif,(R计〔 X Rn), что
%((, X,目+ %仏X,e)g Q鼠t, X, Уa,亿居e产wsm-i,
где по предположению Rj wS*» и в соответствии с (23.2.1) сумма является эллиптическим символом порядка m — 1, так как ее главный символ равен "；«, х,九〃 &)• Теперь, как и выше при выводе тождества (23.2.2), можно найти такие символы qk е S^-i-m-*( что в обозначениях X, = А/+ 九 символ оператора
m—1
R，(厶招 Q/ +九(力/ ")Z Q/Mf,大，^x) Dt
m—2
—(Q — Л/(/, х, Dx)) £ 仇(力尤，Dx)Dt
не зависит от т и принадлежит 5*1. Если заменить Л/ на Л； и Q/й на Q/左 + 9亳 при k<Lm ——1, то получим новое тождество вида (23.2.2), но теперь Е wSm-X. Повторяя эти рассуждения при n= 1, 2, ... и добавляя к Л/, Q/* асимптотические суммы последовательных невязок 入也 g^ (см. предложение 18.1.3), получим тождество (23.2.2), в котором RjWS~°°・
Теперь обсудим особенности решений задачи Коши (23.2.5), начав с результата о внутренней регулярности, подобного теореме 8*3.3'. Не ограничивая общности, главный символ гиперболического оператора будем считать вещественным.
Теорема 23.2・9・ Пусть Р — дифференциальный оператор порядка m с С°°-коэффициентами на С°°-многообразии X. Предположим, что оператор Р строго гиперболичен относительно поверхностей уровня функции <ре C°°(Xt R). Если P〃 = f, то WF(u)^\WF(f) есть подмножество 6 р'1 (0), инвариантное от・
носительно потока гамильтонова векторного поля главного символа р.
Доказательство. Уже из теоремы 8.3.1 следует, что WF(u) \WF(f)cz р~1(0). Так как множество WF(u) замкнуто, то достаточно показать, что его пересечение с любой бихарактеристикой у символа р открыто в дополнении множества WF(j). Это чисто локальный результат, и поэтому можно считать, что ХиМ, ф(х) = хп и уо = (О, go)^ WF{u)\WF(f), Нужно доказать, что WF(u) содержит окрестность точки у。на бихарактеристике у символа р, проходящей через точку 丫併 Так как точка (х,N) при 尤wX и N = (0,1) нехарактеристична, то
g； * 0. Поэтому можно выбрать символ а ^ 5u(Kn X Rn)\ равный 1 в конической окрестности точки у。и равный 0 на бесконечности в конической окрестности множества X X RM а также во всех точках х вне некоторого компакта из X. Положим V = а(х, D) и и g = P(xtD)vt Тогда и 三冒'(X), у0^ WF(v) XWF(g) и*
(Rn X R") П 旷尸(S = 0・
На основании этого нужно доказать, что множество WF(v} содержит окрестность точки у。на бихарактеристике у.
Заметим сначала, что если R е S~°°(Rn X Rn-1)» то R/爲 2У)и 三 С00. Действительно, имеет место разложение
R(% ZT)u = R(爲 Df)q(D)v + R^ Dz)(/-?(£>))и,
где символ g(g)wSQ равен 1 на бесконечности в конической окрестности вектора ^ и сосредоточен в другой столь малой конической окрестности этого вектора, что ^(О)и е С°°, и поэтому R(x, Df)q(D)v^C°°. По теореме 18.1.35, R(xt Df){I—g(D))： 三 OpS~°°, и поэтому R(x, D) (I—q(D))v е С00. В частности, R(x, D')v е С°°, если R = 0 в окрестности множества supp и.
Выберем оператор 戶 так же, как в доказательстве предложения 23.2.5. Тогда Ри — Ру е С°°. На основании леммы 23.2.8 оператор 户 допускает разложение
p(X, 0) = (4 一乙① O))Q的0)+亲",D')，
где оператор Dn — Л/ характеристичен в точке 丫金 а оператор Q нехарактеристичен в этой точке; ©三5~°°・ Положим 侬=匕/(尤,D)u. Ввиду теоремы 18.1.35 имеем yos WF(w)t и поскольку, как доказано выше,旦"w С°°, то уо诺 WF((Dn —Л/(х,Df))w), Из обсуждения, следовавшего за теоремой 23.1.4, вытекает, что WF(w) содержит окрестность 屮 точки 枚 на бихарактеристике у. Снова с помощью теоремы 18.1.35 заключаем, что 71 е WF(v)cz WF(u). Это завершает доказательство теоремы.
Замечание, Функция (р не играет никакой роли в заключении теоремы 23.2.9. Это подсказывает, что гиперболичность не существенна, и впоследствии будет доказано (теорема 26.1.1), что достаточно предполагать вещественность рассматриваемого главного символа.
Теперь обсудим регулярность решения задачи Коши, считая, что Р — дифференциальный оператор порядка т с "-ко эффициентами на С°°-многообразии X, строго гиперболический относительно поверхностей уровня функции <р w ^(Х, R). Пусть множества Х+ и Хо определены так же, как в теореме 23.2.4, и С°°-векторное поле и выбрано так, что v<P =J. Предположим, что /е Л°(^+) (определение 18.3.30), 〃三纱'(簿)и Pu — / в Х+. Тогда на основании следствия 18.3.31 распределение 〃 является сужением на Х+ единственного элемента 〃三“(Х*)： и то же самое верно для и'〃. Поэтому граничные значения ф/ распределений и% корректно определены. Из теоремы 18.3.27 (ii) и (iv) следует, что WFb(f)a WFb(u) и WF((pj)c:WFb(u) ЛГ*(Хо).
Теорема 23.2.10. При сделанных предпо ложениях
WFb (〃)％ =叫⑴ k U (口 呼尸(叫)，
“,следовательно, WF(u) содержится в объединении направлен* ных вперед бихарактеристик, начинающихся в точках множества WF (^f 1х+) или е точках прообраза правой части равенства (23.2.9) при естественном отображении
T*(X)|%f Т*(Х°).
Доказательство. Последнее утверждение вытекает из первого, если заметить, что множество WFb замкнуто, и применить теорему 23.2.9. Итак, достаточно проверить, что левая часть равенства (23.2.9) содержится в правой. Это утверждение локально. Следовательно, умножив й на подходящую срезающую функцию, можно считать, что X и Rn,屮(x) = xn, v—d/dxnt zi 三石«Х+) и что &*0 для точек (爲自)三 WF(u), для которых хп > 0 (см. доказательство теоремы 18.3.32).
Определим оператор P(xf D), как в доказательстве предложения 23.2.5, и рассмотрим разложение
(Dn-Af(x, D^Q^x,d)=户(/D)+ 无(居》),
где 衣/ w S-glRn X Rn'), как в доказательстве теоремы 23.2,9. Пусть ywT*(Xo)\O, и предположим, что точка у не со дер-
жится в правой части равенства (23.2.9). Нужно показать, что у ^ WFb(u) |Хо<Из доказательства теоремы 23.1.4 нам известно, что можно выбрать такой символ ①,(芻 g)wS°, иехарактери- стический в точке у, что
[^-АДх, D9, Ф/(х, D^T^x, ОЭ,
где Т/ — символ порядка —оо, и символ ①/ имеет порядок —оо вне любой заданной окрестности бихарактеристики символа % — 加(х, F), проходящей через точку у. Теперь вне Хо имеем
(0“一&(х, /У))①"，80/(х, D)u
= Т"х, O)Q/(x, О)и + Ф1(х, Dz)f+ Ф/(х, D,)^/(x, D^u,
где распределение f — P{x,D)u равно f в окрестности множества supp й вне Хо. Все слагаемые в правой части этого равенства принадлежат пространству “ по теореме 18.3.32. Так как операторы ①/ (х, О') Л/ (х, О7) и Т&к、О') & (х, D) имеют порядок ——8, то правая часть равенства принадлежит С°°, к примеру при 0 & 尤以 V £, если носитель символа ①/(尤',0,己‘)содержится в достаточно малой конической окрестности точки ? Граничные значения распределения Q『 (x, Q)我 задаются псев- додифференциальными операторами, примененными к элементам фо, ..., q)m-i. Поэтому граничные значения распределения Ф；(х,Df)Qj(x,D)u принадлежат С°°, если носитель символа Ф； сосредоточен в достаточно малой конической окрестности бихарактеристики, проходящей через точку » Следовательно, в силу теоремы 23.1.4 и замечаний после ее доказательства распределение Ф/(х, D^Q^x, D) принадлежит С00 при 0 ^ хп < е. Но
m—1
операторы 0/(%, Q)= £ Qfk (^»。')。宾 / = 1, ..., m, можно о
рассматривать как композицию системы Дуглиса — Ниренберга и оператора (1, Dn, ..., D„ ~!) (см. § 19.5). Следовательно, найдутся такие псевдоднфференциальные операторы 吃 и %, что
mm—1
£ 吃 а, ДЭФ/^, D^Q^x, D)u= S 乙(x, DO ok
где символ Уо(尤',0, g‘) нехарактеристичен в точке у, но У论(尤,g‘) wS-8 при /г =/= 0. Поэтому V0(x, Df)u е С°° при малом хп > О, и из теоремы 18.3.32 следует, что у 比呼尸匕(〃).Доказательство теоремы закончено?
Необходимые условия корректности задачи Коши
Давая определение 23.2.3, мы руководствовались лишь теорией, развитой в гл. 12 для случая постоянных коэффициентов. Поэтому может возникнуть подозрение, что оно излишне ограничительно. Однако теперь будет доказано, что некоторое более слабое условие гиперболичности необходимо для справедливости теоремы существования, подобной теореме 23.2.4.
Теорема 23.3.L Пусть Р — дифференциальный оператор порядка m с С°°~коэффициентами на С°°-многообразии X, и пусть У 售X — открытое подмножество. Пусть <р 巨 С8(Х, R), фЛ #= О в X и
X+ = {*wX; <р(х)> 0}, Хо = {*еХ; ф(х) = 0}.
Предположим, что для каждой функции f w СГ (X), для которой supp f и Х+, существует такое распределение и 三 勿'(X), что supp〃uX+ и Pu = f в Y, Если y^XQ[]Y и l^T*y(X), то характеристическое уравнение р(уЛ + ^Г(У))~ 0 имеет по т лишь вещественные корни, кроме случая^ когда оно выполнено при каждом т.
Доказательство. Условия сохраняют силу, если уменьшить X и У. Поэтому без ограничения общности можно считать, что XuR", ф(х) = хп и у = 0. Повторяя рассуждения доказательства теоремы 10.6.6, докажем» что если К^У — компактная окрестность нуля» то найдется такое целое N, что с некоторой постоянной С верна оценка
|(Л о)|<С £ sup|Daf| У sup |орР*и|,
|a|<^I BT<^ лл>0
feC°°(RU и^(К}.
Здесь (厶 v)=^fvdx^P* — оператор, сопряженный к Р относительно этого скалярного произведения. Для доказательства оценки (23.3.1) рассмотрим (% и) как полуторалинейную форму на всех функциях f е С°°, имеющих ограниченные производные, для которых suppfuR；, в то время как иеСТ(К). Такие функции f образуют пространство Фреше, топология которого задается полунормами sup|Daf|, а функции и образуют метри- зуемое пространство с полунормами sup jopP*u|. Если / =尸〃 в
ато
亿 и) = (〃? Ри).
Если 尤〃№ на supp и, то ввиду теоремы 2.3.10 это доказывает непрерывность по и при фиксированном f. Итак, форма (厶 и) раздельно непрерывна и, следовательно, непрерывна, что доказывает (23.3.1).
Предположим теперь, что для некоторого ^ = (gi, ...» ^n-il 三 Ri уравнение
"(0, У, т) = 0
не выполняется тождественно, но имеет корень, для которого Imt*0. Тогда『=й=0 и, заменяя (g,t) на —(|\т)/1шт, можно считать, что 1шт — —1. Выбирая <х\ Е'〉+ 尤希 Re т в качестве новой переменной хЛ-ь но оставляя переменную хп без изменения, можем считать, что т = —i и Е， = (0, ..., 0» 1). Итак,
"(0, ・・・，0, Un 辅=& + 走一)气(自1，歸，
где г — кратность корня —厶 и, таким образом, Q(l,—i)耍0.
Чтобы показать невозможность оценки (23.3.1), выберем функции f и у сосредоточенными вблизи 0. При целом v > г и большом параметре р введем поэтому новые координаты 勿=*户，/<п —2, у/ = /р叫 / = п— 1, п.
Это так раздувает любую окрестность нуля, что при большом р она содержит любой заданный компакт. Оператор Р* переходит в оператор
p；^%)=1%仅一..，现一"，%Т/р丝 9Я/p吗
pvDp Pv/)n_2> Р^^л-1» Р^^л)*
Из оценки (23.3.1) следует, что при x==v(m + 2+4^
(23.3.1)，|(f,明《Срх £ sup I Daf I £ sup |D₽P；u|,
если /曰乙°°依*) и urCT(M), где M — фиксированный компакт. При р —8 имеем
р-мр；® %) —力(0,0, 4т 2) = 0(рт),
где через О(р-") обозначено выражение, являющееся после умножения на pv дифференциальным оператором с коэффициентами, ограниченными в С°° при р->оо. Множитель Ол — zDn-i =—(d/dyn^i + id/dyn) в главном члене, задаваемом формулой (23.3.2), по существу является оператором Коши ——Римана по переменной уп^\ + iyn. Выберем аналитическую функцию V(yi 土畋亂 обращающуюся в нуль в точке 0 и имеющую по-
ложительную мнимую часть при уп^0 и 0V|g|《l. Можно взять
2 = 2 仇7 + iyn) + i(yn_l + 力 J.
Если положить
п—2
▽(9)=4 崂+*(%Т+力")，
ТО (Dn — iDn-i)W(y) = 0 и ImY^Xf/J2 при |g|W 1 н %》0. Теперь построим формальный ряд
叫® = ?糜呼①"® PR
в котором Vf^Co,。()(0)=1 и для которого Р：〃р = 0 в окрестности точки 0. Так как v > г, то слагаемое наименьшей степени в Р/о имеет вид p2mv+m-ra (р^ _ iDn_^vb. Поэтому потребуем, чтобы
a(Dn — iDn^rvQ = 0f
где ci — Qid^ldyn^ d^/dy^^Q в окрестности % точки 0. Выберем функцию % 巨 优(匕))，равную 1 в другой окрестности 71 точки 0, и положим ио = х・ Последующие уравнения имеют вид
a{Dn^iDn^v^Fif
где функции F/ выражаются через предыдущие амплитуды Vo, , Р/-ь Последовательно решая уравнения Кошн ——Римана, получаем решение уравнения (23.3.3), которое затем умножим на срезающую функцию %. При этом уравнение останется выполненным в Vi и о；三 С/ (%).
Если теперь выбрать в качестве функции и частичную сумму «р ряда Up высокого порядка, то ясно, что вторая сумма в правой части оценки (гз^.!)7 стремится к 0 при р->оо как любая наперед заданная степень от 1/р. Выберем функцию F вС：(R+) и положим
fp(g) = F(PJ/W・
Тогда правая часть оценки (23.3.1)' стремится к 0 при р-> оо, если ц достаточно велико, и
，部5吟(f/)dy f \ F(y)е?‘(％-巾％)dy.
Если F выбрано так, что интеграл в правой части не равен 0, то оценка (23.3.1)' не может выполняться. Это заканчивает доказательство теоремы.
Из случая постоянных коэффициентов (см. § 12.8) известно, что в теореме 23.3.1 более сильное заключение относительно главного символа оператора в точке множества Хо было бы неверным. В частности, многообразие 凡 может быть характеристическим. Однако в строго гиперболическом случае из теоремы 23.2.7 следует конечность скорости распространения для носителя решения задачи Коши, как в теореме 12.5.6. Докажем, что это возможно лишь в нехарактеристическом случае. Для упрощения сразу ограничимся случаем Rn и обозначим V = (xi,... ♦ ♦ • , %п—1) •
Теорема 23.3.2. Пусть Р — дифференциальный оператор порядка m с С°°-коэффициентами в области X и Rn, 6 V 占 W 力 〃 У и X — открытое подмножество, содержащее 0. Предположим, что для каждой функции f ^С^ (X), для которой хп'^А\х,\ на suppД существует такое распределение и^ЗУ(X), что хп > 8[/| на supp и и Ри — f в У. Тогда плоскость хп = 0 нехарактерастична в нуле, если только символ р(0,自)не есть тождественный 0.
Доказательство. Пусть R = {%; хп^ 1\^\}. Если К負У — компактная окрестность нуля, то из условия теоремы вытекает оценка
КА D)KC £ sup|£>7| £ sup|£)3u|
I a|<^I3| <^
для uw(?r(K) и feCS°(Rn), supp f и К』. Она получается очевидной модификацией доказательства оценки (23.3.1). Оставляем это читателю в качестве упражнения. Если р(0, ..., 0, 1) =0, то
m
р(0,自)=e分居奘”，
где многочлены q； однородны степени 厶夕尸 # 0 и г > 0. Теперь введем новые координаты у = x/pv, где v > г. Имеем
р-Ер；也 А) =£ % ⑺。丁/ + о (рГ),
и оценка (23.3.4) заменяется на аналогичную оценку для оператора Р*, содержащую степень параметра р в правой части. Выбирая теперь ^(1/)= iynt определим формальное решение
«р(у)= 2 е"田® U/(f/)pT
уравнения Р*ир = 0 в окрестности точки 0. Главный член уравнения имеет вид
分(0)% = 0,
поэтому функцию v0 е С^ (Уо) можно положить равной 1 в окрестности % точки 0. Последующие уравнения имеют вид
Яг (Q‘)Vj — F р
где Fj выражается через предыдущие амплитуды. Эти уравнения могут быть последовательно решены в V\ так, чтобы V/ е С^ (Уо). Далее доказательство заканчивается точно так же, как в теореме 23.3.1, но, конечно, с F ^Cq (Лл).
Теперь мы в состоянии лучше обосновать определение 23.2.3 строгой гиперболичности. Напомним сначала, что, согласно теореме 10.4.10, сила дифференциального оператора с постоянными коэффициентами не зависит от его младших членов тогда и только тогда, когда он является оператором главного типа в том смысле, что дифференциал его главного символа не обращается в 0 вне начала координат. Главы 26 и 27 будут полностью посвящены таким операторам. В следующем предложении изучается, к чему приводит комбинация этого условия главного типа и необходимого условия из теоремы 23.3.1, наложенного всюду в；
Предложение 23・3.3・ Пусть X есть С^многообразие, q> е С°° (X) 〃 функция ре С°°(Т*(Х)) полиномиальна вдоль слоев, причем:
dp(x, 1)^0вТ*(Х)\0;
при(р(х) ^ 0 уравнение р(х, В + т(р,(х)) = О имеет по т лишь вещественные корни, кроме случая, когда оно выполняется при каждом т.
Тогда при (р(х)^ 0 уравнение р(х, |+ тфЛ(х)) = 0 не может иметь корня т конечной кратности 后 > 1, за исключением случая, когда й = 2,(р(х) = 0 и
(Н^(хЛ + ^М)>0.
Доказательство. В случае ф; (х) = 0 доказывать нечего. Поэтому можно так выбрать локальные координаты, что ф (х) = хп. Если ф(х) > 0, то, как показывает лемма 8.7.2 при 0 = (0, ...» 0,1), из наличия у функции р(х, Ц-тф^х)) нуля т порядка k следует, что все производные функции р порядка < k равны 0 в точке (х, g + тф^х)) (заметим, что для доказательства леммы 8.7.2 требуется лишь аналитичность в 0-направлении). Поэтому k = 1 вследствие условия (i). Если(р(х) = 0, то можно лишь заключить, что производные функции р порядка <Л по всем переменным, кроме хп» равны 0 в точке
(爲 Е + т屮'(％))• Если 々*1, то из (i) следует, что др/дхп =^ 0. При (s, 6fo имеем
p(/, S,r自" + t + 1)=處 + 犷 +。6+|叫 + 1/产)，
где a = pw(x, g + тфЛ (х)), b = (дкр (х, 1 +r^ (x))/d^)/kl. По условию (ii) при всех малых s/О должны существовать k малых вещественных корней f. Заменяя s на елх и / на е/, как и в доказательстве леммы 8.7.2, при 8fo заключаем, что уравнение а$ +力芦=0 имеет k вещественных корней для каждого s N 0. Итак,々=2 н ab V 0. Теперь
"/” = др/д1п, Н}хп = — (др/дхп) д，р 囲
一в точке (х, В + В (х)),
что заканчивает доказательство предложения.
В § 23.4 будет доказано, что результаты § 23.2 с незначительными изменениями остаются справедливыми, если условие строгой гиперболичности ослаблено, как в предложении 23.3.3, на многообразии, на котором задаются условия Коши. Тем не меиее в случае настоящих двойных характеристик, когда dPm = 0, обычно можно получить необходимые условия на субглавный символ оператора, аналогичные следствию 12.4.9. Имеется также обширная литература относительно их достаточности. Быть может, особенно интересно, что для некоторых гиперболических операторов с двойными характеристиками задача Коши разрешима при произвольных младших членах. Однако изложение здесь этих результатов увело бы нас слишком далеко, и мы ограничимся ссылками в примечаниях.
Гиперболические операторы главного типа
В этом параграфе результаты § 23.2 будут обобщены на операторы Р, удовлетворяющие условиям теоремы 23.3.2 и предложен ния 23.3.3. Если ф (х) = хп и X — окрестность нуля в Rn, то это означает, что для главного символа оператора предполагаются выполненными следующие условия:
р(X, Е)= 5j Р/(х> У)必 Pm= 1；
при х е X,打 > 0 и gwRAi\0 уравнение р(х,自)=0 имеет лишь простые вещественные корни |п；
при хе X,力=0 и FrRaI'O уравнение р(х,自)=0 имеет лишь вещественные корни и в двойных корнях (dpjdxn)% ^Pld^ < 0.
Предположим, что % = т — двойной корень при %’ = Хо> хл = 0 и Е' = Е) Тогда из подготовительной теоремы Вейер- штрасса и соображений однородности следует, что в конической окрестности точки (%, 0,『)
p(居自)=(&一a(% ^-b(xt y))0(%, Е),
где функции q, b w 5 однородны по g степеней 1, 2, b(xt g) > 0 при хп ^ 0 и q — многочлен по gn степени т — 2. Кроме того, 方=0, а =т и db/дхп > 0 в точке (%, 0,畐)и, следовательно, 力(х, g)N c%/g|2. Начнем с параллельного § 23.1 изучения операторов второго порядка, являющихся дифференциальными по хп и псевдодифференциальными по £. Затем, как в лемме 23.2.1, мы вернемся к исходным операторам.
Прежде чем идти дальше, приведем важный пример дифференциального оператора, удовлетворяющего предыдущим условиям, который полезно иметь в виду.
Пример 23.4.1. Оператор Трикоми
строго гиперболичен при %“ > 0 н удовлетворяет вышеприведенным условиям (i)——(iii) при xrt = 0. При xn < 0 он эллиптичен.
Лемма 23.42 Пусть a 巨 S】(R" X R") bwSY^XR») Ima е S°(Rn X R^1)» Im6 e S1(Rn X Rn-I)> u предположим,, что (23.4.1) хп\1У<С{^Ь(х9 Г) + С2(1+|^|), 0&修&1・
Положим Р = (Dn — а (%, D” — b (х, D) Если 0 & Z V 7《1 и 〃wCl(R“)，u = Dnu = 0 при xn — t, то при каждом swR
A J (II u |£+1) + II Dnu |fc)) e-^*» dx„< C J е-ш~ || Pu |fe)dxn.
Здесь ||*||(s)— норма пространства 〃($)e R^1 при фиксированном хп 〃 постоянная С не зависит or s, если 入 > А$.
Доказательство. При изменении младших членов оператора правая часть оценки меняется на величину О(1/Х), умноженную на ее левую часть. Поэтому утверждение леммы не зависит от младших членов оператора. Их удобно выбрать так, чтобы операторы A —a(xt Df) и В — b(x, Df) были самосопряженными. На основании строгого неравенства Гординга (теорема 18.1.14) можно также считать, что 6 (xz, xrt, Df) > Опри каждом хде |0,1],
и условие (23.4.1) можно усилить до условия (2341)' хп(|Г |2+1ХС( Re6(x, &) 0&/&L
Как в доказательстве леммы 23,1.1, независимость утверждения от младших членов оператора показывает, что достаточно доказать оценку (23.4.2) при s = 0・
Используя функцию 2 = £一加“％, составим в L2(G), G ={х w R"; / < хп < 7}, скалярное произведение
2 Im (屮(Dn — 4) % P〃) = 2 Im (屮(Dn — 4) u, (Dn — Л)2 〃)
—2 Im (屮(Dn — A) % Bu).
При и =(，一А)и первое слагаемое можно преобразовать к виду
2 Im (飢，(％ — 4) и) = 2 Im (屮и, Dnv)— \ 呢以 | v^dx
-口小& + 0u(M,T)|4(T)df.
Оба слагаемых неотрицательны, и второе из них будет опущено. Далее заметим, что
—2 Im(\|)(Dn — Л) и, Ви) = /([B^t {Dn — Л)] и, и)
+ (^Ви^9 П 〃(・,「))・
В силу неотрицательности оператора В второе слагаемое неотрицательно. Символ оператора i[B^t Dn — А] с точностью до членов порядка 1, умноженных на функцию 也 равен
—д (Ь^)/дхп + {а,力巾=2入” + 巾(b — хп(дЬ/дха — {а, 6}))/%載
Применяя формулу Тейлора к функции Re(l — sH“ReQb(x, g),
О ^ s ^ хп> и вспоминая, что на основании (23.4.1)' Re6(x,, О, У) > 0, получаем
Re (6 - Xn(db/dxn - {а, Ь}))》一С (1 +1У 步碌-Сх„ (1 +1 门).
Поэтому условие (23.4.1)' приводит к оценке
Re2(2%Ь + (Ь — хп(дЬ/дхп - {а, 6}))/х„)
》е-2Ч.(I + 闺『)(2%/& -С)-С(1+|^|)ф.
Если 入 > С&, то 2入/& 一 С ^ Х/Сь Из точного неравенства Гординга, примененного при фиксированном х« к частному от
деления на \|/, следует, что
Re i ([В也(厶—Л)]«,«)--A-je-^H “ |曲 dxn
> —с, 2111〃 lla)ll 叫)电.
Оценим здесь правую часть с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим. В итоге нами доказано, что
\ 厂宀(XU + 2klx^\{Dn-^ dx
Г
+ ^С.\е-^и{-,х^йха
《2 р-№п|(О„-Л)и||РиМх/хя
+ 4 , (Х/х„ + х；2)2 е田“ I 〃 12 dx.
Оценим первый интеграл в правой части с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим, так что половина первого слагаемого в левой части сократится. Теперь интегрирование по частям, подобное имевшему место выше, дает
/2 = f e-加“(2a3// -|_ 炉/冠 + 24闻 + 3開)\u^dx
《Im —，6一2吃出/%п + 1/喲(4 — 4) ий dx G
《/(卜"("/ + 1 储)|(a - A)utd^>
где использовано неравенство Коши — Шварца. Поэтому 户 оценивается через левую часть неравенства (23.4.4). Следовательно, при s = 0 доказана более сильная, чем (23.4.2), оценка
\ 产MGkn + 1/疝)II u 喻 + 九 13臣
+ GL + "/) II{Dn -Я)«『)4/《C 卜-""IIРи临厶“
(аналогичная оценка верна, конечно, и при $*0). Доказатель* ство леммы закончено.
Нам также понадобится оценка решения задачи Коши в слу* чае, когда хл убывает.
Лемма 23.4.3. Пусть Р^ t и Т те же, что 8 лемме 23.4.2. Тогда если 以 w СГ(Rn) « « = Dnu = 0 при хя = Т, то
г
J (V|| и 脸 + А.хИ(| “ 掠+D + II Dnu 掠)))е加“ dXn
CcJ^nx^llPul^dx,,
при % > A$・
Доказательство. По существу нужно повторить доказательство леммы 23.4.2, взяв теперь 巾=—%住Независимость от младших членов снова очевидна, и поэтому можно взять s = 0 и оператора А, В самосопряженными, В N 0. Теперь
2 Im 仲力(Dn — /!)?) = —2 Im 仲力(Dn — /!)?) = —,|и|ЧРх—，|и(х',G,|и|ЧРх—，|и(х',G0^(/)rf<0^(/)rf<
2 Im 仲力(Dn — /!)?) = —
2 Im 仲力(Dn — /!)?) = —
,|и|ЧРх—，|и(х',
G
,|и|ЧРх—，|и(х',
G
0^(/)rf<
0^(/)rf<
где —2’= (2入％n 午 1)е臥*仪 и второе слагаемое также положительно. Последующее интегрирование по частям выполняется, как и выше, а символ оператора [r'Bt|?, Dn ——А] с точностью до членов порядка 1, умноженных на функцию 通 равен
—2kb^ —巾(b + / (db/dxn — {a, &}))/xn.
С помощью формулы Тейлора, как и выше, находим, что его вещественная часть ограничена снизу выражением
户“ ((2"& — С)言(1 +1F 卩)一Cxn(l +1 Г|)).
При X > CCi из неравенства Феффермана — Фонга (теорема 18.6.8) следует, что
(23Л.7)(23Л.7)产"(2統+力(0"一用皿*产"(2統+力(0"一用皿*
(23Л.7)
(23Л.7)
产"(2統+力(0"一用皿*
产"(2統+力(0"一用皿*
《2,《2,(Dn~A)u\\ Pu|x/%d* + 6 口〃喻产“dx”
《2,
《2,
Далее, имеем
/ = 2% \ е^"||ы 唸dx《2 Im，е认”也(D„ - A)udx 《(2/小严(，I (厶—A)〃 f e* dx)1/2,
и поэтому
d《2 口(4-A)“『e%dx“.
Используя неравенство Коши — Шварца для оценки правой части неравенства (23.4.7) и оценивая его левую часть снизу посредством оценки, установленной для /, получаем (23.4.6). Доказательство леммы закончено.
Теперь вернемся к дифференциальному оператору Р порядка т в открытом множестве X и R" с главным символом р, удовлетворяющим условиям (i) — (iii), обсуждавшимся в начале параграфа. Пусть Y^X.
Лемма 23.4.4. Пусть OWfVTWl 〃 “wCl(У)・ Для каждого s 曰 R справедливы оценки:
Т m— IТ
J 2/丁"%林+A)"/《c5\1俨〃脸)厶“，.
『оf
если DnU = 0 при xn — t 〃 j
Г m-l
\ 2 lDrx~kul^k^ndXn
г m-2Г
+ , 2 I D^2~ku『s+“)&《С$，II P〃 ％忌 ％ /0f
если DnU = 0 при xn — T u i<m.
Доказательство. Оценки доказываются совершенно одинаково, исходя из лемм 23.4.2 и 23.4.3 соответственно в случае оценок (23.4.8) и (23.4.9). Поэтому остановимся лишь на оценке (23.4.8). В силу леммы 23.2.1 ее достаточно доказать при малых ^ и Г. Поэтому можно считать, что X, У являются декартовыми пронз^ ведениями открытых множеств Хо, Уо в Ri и интервалов Л, /? на оси хп. Можно выбрать такое конечное покрытие множества %X(RJi\0) открытыми конусами Г/, что
р(х, У = 11^(х, §, з, ?) е Гр хп s /п
где каждый множитель ^ есть либо |п — Л (х, &'), либо (己以— 。(爲自'))'一&(х, ^)» Функции а, Ь вещественнозначны, 6(х, |z) > схп I ^ 12- Множители 或 не имеют общих нулей по |п. Функции Л, а и 6 сначала определены локально, но затем их можно доопределить на все пространство. Для соответствующих операторов получаем априорные оценки: в случае оператора первого порядка из леммы 23.1.1, в случае оператора второго порядка из леммы 2342. Выберем такие функции 力 wC00, сосредоточенные в Г/ и однородные степени О по g при |日> 1, что
Е %/(%',『)=1 при |Е1>1.
На множестве supp %/ многочлены
1„ П g，x, I), xvdegj, ц=1N,
образуют базис в пространстве многочленов степени т—1 по 乐.Воспользовавшись уравнением P%j 3, Df) u = %j (/, Dz) (P〃) 4"仍,％/(壮。‘)j〃 и разложением оператора P на уровне главного символа в конусе Г/, просуммировав оценки для функций %/(xf9 D^u, по существу так же, как в доказательстве леммы 23.2.1, получаем
Г ш— 1
(—С)； £ lDrl-kut+k}e-^ndXn Г о
ТТ т-1
《с \ ll р喟)е-2% dxn+Ck{ £ 5 Drl~ku 匕+i)e-叫 dx„, // о
если D^u = 0 при xn~t и j V/п. Последняя сумма оценивается через
t о
В слагаемом с 々=0 напишем D"« = Pu +(D?-P)« и замеТИМ, что
Если % достаточно велико, то теперь получается оценка (23.4.6). Прочие детали доказательства предоставляем читателю во избежание излишнего повторения доказательства леммы 23.2.1 (см. также доказательство теоремы 28.1.8).
Предыдущие леммы позволяют следующим образом обобщить теоремы 23.2.4 и 23.2.7:
Теорема 23.4.5. Пусть Р ——дифференциальный оператор порядка m с С°°-коэффициентами на С^-многообразии X, и пусть У0Х— открытое подмножество. Предположим, что оператор Р строго гиперболичен относительно поверхностей уровня функции ф е С°°(Х, R) 8
Х+ = {х^ X;(р(х) > 0}, что Р остается оператором главного типа на 凡={% 三 X; ф (х) = 0}.
и что многообразие X。не характеристично относительно оператора Р. Если носитель распределения fw〃］：；(X) содержится в замыкании множества Х+, то существует распределение 〃三〃器тт)(Х)，имеющее носитель в замыкании множества 大十， для которого Pu = f в У. Этим требованием распределение и однозначно определяется в окрестности множества Хо П У.
Доказательство. Достаточно дополнить теоремы 2324 и 2327 локальными теоремами существования и единственности вблизи Хо. Поэтому, как и выше, можно считать, что X с ₽я и 9(%) = %〃. Пусть Y ^Х и число М настолько велико, что
р“，Е)*0 при хеУ и |^|>М|П У*0・
Если К — компактное подмножество в У f| Хо, то множество
Кт = 3 OWI^IWT, I炉一“&MI/I при некотором /еК} содержится в У, когда Т достаточно мало. Пусть f 三 СГ н R* f) suppf и Кт・ Если 0 V f V Т, то из теоремы существования 23.2.4. и теоремы единственности 23.2.7 следует, что существует решение щ е С/ (У) уравнения P〃f = f при f V 尤门 V Т, для ко・ торого D^ = 0 при хп = /, jVm (здесь использовано то обстоятельство, что опорные плоскости конусов {尤；М (хп — g〃) V|%‘ — g'|} нехарактеристичны в У). Для решения ut равномерно при f —0 выполняется оценка (23.4.6). Следовательно, при ff 6 существует предельное распределение и, удовлетворяющее уравнению Pu = f при О W 尤门 W Т и имеющее нулевые данные Коши при f = 0. Для него выполнена оценка (23.4.8) при f = 0. Поэтому решение и е Л(от-1, $) существует для всех fw〃(o, s), имеющих носитель, содержащийся в。 внутренности множества Кт. Доказательство локального существования теперь завершается повторением доказательства предложения 23.2.6.•
Аналогичными рассуждениями доказывается локальная единственность. Положи м
必={尤；0&М&Т； *-У1《М(Т —必)
для некоторого / 巨 К}・
При малом Г имеем Мт и У. На основании теорем 23.2.4 и 23.2.7 для любых g^CT (Л4Т) и fw(0, Т) найдется решение и уравнения Р*и = g при t < хп^Т. имеющее нулевые данные Коши при хл = Г и такое, что suppuuM^ Применяя к решению и оценку (23.4.9), в которой оператор Р заменен на Р*, заключаем, что все производные решения непрерывны вплоть до граничной плоскости Х°» поскольку также P*u = gwC°°. Если Рм = 0 в У и supp 〃 и Х+ U X。，то
3, g) = (P〃，口) = 0・
Поэтому « = 0 во внутренности множества М% что доказывает единственность решения.
Замечание. Изучение задачи Коши с неоднородными данными Коши вида (23.2.7) не представляет трудности. Однако для того, чтобы свести доказательство к теореме 23.4.5, нужно потребовать от данных 中/ лишней половины производной по сравне* нию с предложением 23.2.5.
Докажем теперь обобщение теоремы 23.2.10. Основным этапом доказательства является микролокальный вариант леммы 23.4.2.
Лемма 23.4.6. Пусть % 瓦 Р те же, что 8 лемме 23.4.2, 〃 пусть Q = q(x, D), где символ gwS° вещественнозначный u д(х, F) =0 при хп > Г. Предположим, что
\dq/dxf\ + ①〃酉 |(1 十宕 |)《—6 dq/dxn.
Если Т 〃 6 достаточно малы, то для каждого числа s w R 〃 всякой функции и 三歹(Rn), удовлетворяющей условию и = Dnu = 0 при хп = 0, имеем при X > Лд
г
A \ (IIQ〃心+i)+ IIQ4〃%)e-*d% О
т
& G \ (IlQPU心什 II Ри 心т/2)e-^n dxa.
О
Доказательство. Из леммы 23.4.2 известно, что гг
А,(5"($+1 ⑵ + IID”ullUi/2))e-明小《С £ II「阳3仅)e田“dxn. оо
Поэтому при большом X младшие члены операторов Р н Q могут сказаться лишь на постоянной в (23.4.11). Если заменить функцию “ на (1 + |DZ|2) ~s^u и заметить, что операторы
(1 + I ZT 卩严Р(1 + I О『)7/2 - р, (] + I Q，|2严q(i +1 /у F)-s/2_q
имеют порядок 1 и —1 соответственно, то ясно, что (23.4,11) достаточно доказать при s = 0. Также можно считать, что операторы А — а(х, Dr) и В— Ь (х, D') самосопряжены, выполнено условие (23.4.1)Л и В ^ 0. Пусть Q = (^(х, D7) 4- 9 (х, Df) *)/2- Используя функцию 中(х) = e^Xn/xat составим в пространстве L2(R+) скалярное произведение
2Im(WQ2(Dn — Л)«, Р〃) = 2Im(^Q2©, (Dn — A)и)
—2 Im (^Q2(Dn — 4) u, Bu),
где v=(Dn — A)u. Интегрируя сначала no xn>t>0 и затем переходя к пределу при ff 6, получаем
2 Im ^Q2vt (Dn - Л) и) = Z((Dn - Л) ut ^巧)
-i^Q2vt (Dn-A)v) = (-^fQv9 Qv) + i(Wt Dn-A\vt o).
Так как — ^7 = e-2Xxn(2Л/хп + x^2), то первое из полученных слагаемых позволяет контролировать величину Qu. Далее заметим, что
-2lm(^(Da-A)ut В〃)
二:"取次4一川心 Bu)-i(But ^(dл-a)и)
=i" ® (И vtu) + i([^ 4 一 Л]屮 8〃, u)+ i Q 仲 В, Dn-A]弘 u).
В (23.4.12) и (23.4.13) входят следующие члены, содержащие коммутаторы с оператором Q2:
f((* [Q2,.，一 А] о,。) + (屮出“2]。，u)
+ 件[Q2, Dn-A]Bu9 «)).
При U ^(vt (1 +|D,|2)l/2u) это выражение принимает вид («М(乐 D')U, U), где W — матричный оператор порядка 0 с главным символом
"帮匕一研 {瓦炉}/2h1\
\{b,q2}№\ {q2,ln-a}b/\lfN'
Этот символ положительно полуопределен, если
I {瓦不}/21 = I 夕{b,夕} I & {q,自“ —а} б"? = 2式—dq/dxn — {q, a}) b'at т. e. если
I 仍，q}\^2bu4-dq/dxn-{q, a}).
Последнее неравенство следует из условия (23.4.10), если применить к символу b лемму 7.7.2. Поэтому точное неравенство Гординга для систем показывает, что
Re他К(х, Q'W, S》一C 卜(||u|Q® + ||〃％2))d/о
^-(Cl^Pu^e-^dx,.
о
Вторая из этих оценок следует из (23.4.5) (где порядок норм понижен на 1/2).
Последнее слагаемое в (23.4.13) представляется в виде
МО2 仲в, 4 — 4]/ 圻=*仲凡 Z\ —4]Q% Q〃)
+ MQ【Q,件в, Dn^A]]ut u), где оператор iQ[Q, [^Bt Dn — А]] имеет чисто мнимый главный символ порядка 1, и поэтому его самосопряженная часть имеет порядок 0 и
|Rei(Q, [Q,仲В, 3, — * “, Qu) I &С，12'11|哪声“.
Так как || и Н^ < || и ||(1/2)|| и ||(_1/2),то ввиду оценки (23.4.5), в которой порядок норм понижен на 1/2, получаем
г
АЛ?，WIИ〃 % dx“《С , II Ри||^1/2)е-2^ dx„.
О
Слагаемое Re i( [рВ, Dn 一 A] Qu, Q〃) оценивается снизу с помощью оценки (23.4.3), в которой функция 〃 заменена на Q〃. В результате получаем, что
Т-г
口 2' 1IIQ (% - %) "『dx" + 等 eI,L打 II Qu *小 Оо
& 2 J e~^Q (4 一 4) 〃 收 QP“ у dxJX"
T°T
+ CA~1/2 J ИPu|^_1/2)e-2^dxn^C^ 卜〃/+匕2)2「％%〃『〃“.
Первое слагаемое в правой части оценим посредством неравенства Коши — Шварца таким образом, чтобы один из получающихся членов не превосходил половины первого слагаемого в левой части. В той половине, которая остается после сокращения, воспользуемся соотношениями Q(Dn — А) — QDn — /Q + И» Q] — (Dn — X)Q + {Q, Dn — /], где коммутаторы имеют порядок 0, и поэтому функции [Л, Q]u и [Дл —Л, Q]u можно оценить с помощью (23.4.16). Теперь можно повторить последний этап доказательства леммы 23.4.2, что завершает доказательство.
Лемма 23.4.7. Если a, b, Р те 宛е, что 8 лемме 23.4.2, и f 三也艮 $)(R*), то уравнение Pu~f имеет единственное решение и е /7(2, s-1)и 〃(i, $)при хл V I/2, для которого и = Dnu = 0 при хп = 0. Если Q удовлетворяет условию леммы 23.4.6 при Г = 1/2 〃 Qf W //(о, s+i/2), ТО Qu 三 瓦 1, s+l/2).
Доказательство, (а) Существование.Так как оценка (23.4.2) при / = 0_ и Т = 1 продолжается по непрерывности на все и е Я(2, S)(RX)>TO достаточно доказать существование для правых частей / из какого-нибудь плотного подмножества пространства 片о, §), например для всех fw%,叶】).Уравнение Pu = f с однородными граничными условиями Коши означает, что
(23.4J7) 3, P”)= (f, и), dwC；(X)
где скалярное произведение взято в L‘(R；), и X j = {хе Rff; хя < 1}. Если fe〃(o,叶 1), то из леммы 23.4.3 следует, что
I (厶 и) I 忘疗 h s+1) II ” h -S-D & " f 11(0, s+D "尸。"(0,-s-1)»
где норма функции P*v взята относительно полупространства R+，Поэтому, как показывает теорема Хана — Банаха, равенство (23.4.17) выполняется при некотором и е Яю, s+n(R+)- По теореме В.2.9 распределение %〃 имеет требуемые свойства, если Х^СГ(-1, 1) Н%=1 на (-1/2, 1/2).
Оценка (23.4.2)^ в которой s заменено на s—1, справедлива для всех 〃三后(2, $-1), что немедленно дает единственность решения.
Предположим, что Qf^H^ s+1/2). Выберем функцию %mC；(R“T), для которой %dxz= I, и определим^ —^(^D^f как свертку с е1-лх(^7е)- Тогда fe& H(Ot а) при каждом о и, следовательно, задача Коши Ри^ =；е с нулевыми данными Коши на %п = 0 имеет при хп V 1/2 решение, удовлетворяющее оценке (23.4.11) с s + 1/2 вместо s. Так как
QfE = ^GD)Qf + IQ，乳g')H
и коммутатор, действующий на 力 ограничен в Op S"1 при О V 8 V I, то распределение Qfe ограничено в ^(Of s+i/2)при 0 < е < 1. Поэтому оценка (23.4.11) показывает, что Que ограничено в Я(1, s+1/2). Поскольку 〃gf 〃 В "(1, $)при Rf О, ТО Q〃e "(1, $+1/2), что завершает доказательство леммы.
Теперь мы в состоянии доказать обобщение теоремы 23.2.10.
Теорема 23.4.8. Пусть оператор Р удовлетворяет условиям теоремы 23.4.5, и пусть fw#(?+), 口三杀'(XQ, Pu — f 8 X+ и Ми1х© = В“ j V m, где и есть Селекторное поле, трансверсальное многообразию Хо- Тогда расширение 〃三 4(攵十)распределен ния и удовлетворяет соотношению
(23.4.18) 旷兄(")lx° = K&(f)lx°U(U 旷尸⑷)
Доказателъство. Как в доказательстве теоремы 23210, доста* точно проверить, что левая часть формулы (23.4.18) содержится в правой. Доказывая это локальное утверждение, можно считать, что Хи R%(р(х) = хя, и = 5/дхл> й е ^(Х+) и что g =/=(), если (х, |)е WF(u), хп > 0. Сначала предположим также, что m = 2 н что для оператора Р выполнены предположения леммы 2342, так что он может быть псевдодифференциальным вдоль границы.
Пусть точка (g',rf) w T*(Ri)\0 принадлежит дополнению к правой части формулы (23.4.18). Выберем такую коническую окрестность 取и R"又(RJi'O) точки (/0, *), что множество {(%',『)；(х\ 0Дл)е W} не пересекается с правой частью формулы (23.4.18) и из соотношений (х,『)三 取，尤门 > 0 следует, что (^ 1\ ^^ WF(f)t &wR. Незначительное изменение доказательства теоремы В.2.9 (см. доказательство леммы 24.4.6) пока* зывает, что из уравнения Pu — f вытекает существование такого % ЧТО —
%(х, zr)u w 员 1.S)
для всех у е S0, для которых cone supp % и 取. Пусть U = х(х, D')и. Тогда
F = PU = x5 Df) f + [P, х (居》)]厶三 Я(о. $)
и %(х, Dz)q)/ е С^, Если оператор Q удовлетворяет условиям леммы_23.4.6 н у=1 в окрестности множества supp q, то QF 三 Нс,% при всех о, так как оператор QP^(x, D') — Q%(% D')P имеет порядок —оо по касательным переменным. Поэтому на основании леммы 23.4.7 QU 三 〃&, s+i/2) и, следовательно, Q"三 ^(1, s+l/2).
Условие (23.4.10) выполнено для функции
0(Х, Г) = 2(8 — х„/8 _ I £ - 9, Е + I У(1 + I у『)72 —巾 “，I |2),
если 8 достаточно мало и 屮 wC；(—1, 1). При большом |^| ее носитель лежит в 取.Если повторять проведенные рассуждения лишь для функций х(х, gz) такого вида, то по индук* ции найдем, что ^(х, Dr)u^ H^s} для всех таких q и всех s. Снова пользуясь частичной гипоэллиптичностью (см. теорему В.2.9 или лемму 24.4.6), заключаем, что q(xt Df)u^ С°°, и поэтому (/*)陆 WFb(u).
В случае произвольного m можно, как в доказательстве теоремы 23.2.10, разложить оператор Р в произведение множителеб первого и второго порядка с точностью до погрешности порядка —оо по касательным переменным. Строго говоря, такое разложение имеется у нас лишь в малой конической окрестности точки (“О, п‘)，но этого достаточно, чтобы применить предыдущие рассуждения для последовательного отщепления множите^ лей. Соответствующее доказательство не требует никаких новых идей, и поэтому мы оставляем эти детали читателю.
Примечания
Задача Коши для строго гиперболических уравнений второго порядка впервые была решена Адамаром (Hadamard [1]) с по* мощью его метода параметрикса. (См. § 17.4 по поводу операторов вида D? — а (х, D), где оператор а эллиптичен. Общий слу* чай аналогичен, поскольку, как объяснено в § С.6, геодезические нормальные координаты можно ввести в общем случае.) Вариант этого метода был развит М. Риссом (М. Riesz [1]). Другой подход, связанный с Л2-оценками, был предложен Фридрих- сом и Леви (Friedrichs, Lewy [1]), перенесшими идею энергетических оценок из теории уравнений Максвелла. Таким образом, эти оценки были доказаны интегрированием по частям. Однако распространение этих оценок на гиперболические уравнения высокого порядка, найденное Петровским [1, 5], основывалось на довольно сложной технике, связанной с анализом Фурье. Более простой метод энергетических оценок был распространен на операторы высшего порядка намного позднее Лере (Leray [1]) и Гордингом (Garding [3]). Вскоре после этого подход Петровского, связанный с анализом Фурье, появился вновь под видом сингулярных интегральных операторов (см., например, работы Calderdn [2], Mizohata [2, 3]). Мы здесь следовали промежуточным курсом, пользуясь энергетическими оценками для операто* ров первого порядка в § 23.1 и затем разлагая операторы выс-
шего порядка на псевдодифференциальные множители первого порядка в § 232
Как в § 23.1, так и в § 23.2 подробно изучаются особенности решений задачи Коши. Подобные исследования впервые были проделаны в работах: Courant, Lax [1], Lax [3] и Ludwig [1] до появления понятия волнового фронта; соответствующие результаты были менее точными и доказывались сложнее, так как они имели нелокальный характер. В гл. 26 с помощью более систематического метода будут доказаны более общие результаты о внутренних особенностях.
Необходимость слабой гиперболичности, доказанная в теореме 23.3.0, была установлена в случае простых корней Лаксом (Lax [3]) и в общем случаеМидзохатой (Mizohata [5]).Простое доказательство, приведенное здесь, по существу принадлежит Иврию и Петкову [1]; см. также Hormander [36]. Теорема23.3.2 также взята из работы Иврия и Петкова [1]. В этих работах речь идет в основном об условиях на субглавный символ в двойных характеристических точках, т. е. в тех точках, где Рт = dPm =0. На основании теоремы 23.3.1 и лемм 8.7.2, 8.7.3 гессиан функции Рт/2 является в этих точках гиперболической квадратичной формой Q. В теореме 21.5.3 приведена поэтому симплектическая классификация. Если вещественные собственные значения отсутствуют, то для разрешимости задачи Коши для оператора Р требуется, чтобы его субглавный символ был заключен между — X Н/ и Е》/， где ф； — собственные значения отображения Гамильтона, лежащие на положительной мнимой полуоси. Доказательство частично дано Иврием и Петковым [1] и завершено Хёрмандером (Hormander [36]). С другой стороны, если характеристики не более чем двойные и у гамильтонова отображения в каждой двойной характеристической точке существуют вещественные собственные значения (эффективно гипер* болический случай), то задача Коши разрешима при любых младших членах (см. Иврий [1], Melrose [6], Iwasaki [1], Nishitani [1]). Большие усилия также были затрачены на изучение двойных характеристик в случае неэффективной гиперболичности (см. работу Lascar and Lascar [1] и приведенную в ней библиографию). Однако полных результатов в случае двойных характеристик пока нет.
24
Смешанная задача Дирихле—Коши для операторов второго порядка
Краткое содержание главы
В § 23.1 энергетические интегральные, оценки введены нами лишь для операторов первого порядка. Переход к операторам высшего порядка был осуществлен в § 23.2 с помощью их разложения на множители Однако, как мы видели в § 23.4, метод интегралов энергии также непосредственно применим в случае операторов высшего порядка, и первоначально он был предложен для операторов второго порядка. Мы обсудим его в этом случае в § 24.1 с целью вывода оценок решений смешанных задач. Для простоты в этой главе будет обсуждаться лишь смешанная задача Дирихле — Коши. Ссылки на работы, посвященные более общим смешанным задачам, будут даны в примечаниях. Вместе с тем распространение особенностей на границе является сложным вопросом также и в этом специальном случае. Он будет рассматриваться в § 24.2—24.5 с помощью микроло- кального варианта энергетических оценок § 24.1. Параграф 24.3 посвящен геометрическим свойствам потока особенностей. Некоторые вопросы, связанные с бихарактеристиками, имеющими бесконечный порядок касания с границей Дирихле, остаются открытыми. Таким образом, в окончательных результатах о распространении особенностей в § 24.5 имеются пробелы. Два других случая, когда этими результатами нельзя воспользоваться, обсуждаются в § 24.6. Оба они связаны с уравнениями Трикоми. Наконец, в § 24.7 изучаются оценки для операторов, зависящих от параметра, с тем чтобы завершить проведенное в § 17.5 исследование асимптотических свойств спектральной функции задачи Дирихле. '
Энергетические оценки и теоремы существования в гиперболическом случае
Пусть Р — дифференциальный оператор второго порядка с С°°・ коэффициентами на С°°-многообразии X размерности п с внутренностью Х° и границей дХ. Предположим, что
Р строго гиперболичен относительно поверхностей уровня функции ф е C°°(Xt R).
(См. определение 23.2,3.) Пусть р ——его главный символ. Так как оператор Р можно умножить слева на р(尤，屮‘(尤))-* то, не ограничивая общности» можно считать, что р(х,(р,(х))> 0 при каждом 尤三 X. Квадратичная форма "(#,&) при фиксированном х допускает поляризацию до симметрической билинейной формы р(х, g, т]), I, “ е Т；・ Плоскость, ортогональная ковектору ф7(х) относительно этой формы, является дополнительной к прямой R(pr(x), и гиперболичность означает, что форма р(х, g) на этой плоскости отрицательно определена. Поэтому форма р (尤，£) имеет сигнатуру Лоренца: ее индексы инерции суть 1, п一 1.
В терминах обычных локальных координат 尤卜...,хЛг Ei, ..., Е〃 будем пользоваться записью
P^,^ = ^g,kM^k,
согласующейся с обычными обозначениями (псевдо) римановой геометрий. Ковектор 己三 Т； отождествим с вектором f w TXt если 。(尤，己，П)=〈力 “〉，t) e Txt t, e., в локальных координатах,
"=E g*(x)露
При этом форма р переходит в определенную на Тх(Х) двойственную квадратичную форму
Y.gikMtjtk,
где (gfk)—матрица, обратная матрице (g‘少).Эта форма определяет в X псевдориманову геометрию. Касательный вектор в точке х называется времениподобным, если 工目扭⑺中卜 > 0. Так как 〈&(pz(х))—р(х,自，(рх(尤)),если & ——кокасательный вектор, соответствующий вектору f, то обязательно </, <pz(x)> Ф 0. Поэтому времениподобные векторы касательного пространства в точке х образуют двойной конус. Те из них, для которых 〈/,</(%)〉>0, будут называться направленными вперед. Замыкание множества всех таких векторов является выпуклым конусом, в котором псевдориманово скалярное произведение любых двух ненулевых векторов положительно, за исключением случая двух линейно зависимых векторов, принадлежащих границе. Эти граничные векторы изотропны, т. е. £纟/在(尤)/~在=0・ Наконец,, векторы, для которых Zg/少(尤)f/f少 V 0, называются пространственноподобными. Гиперповерхности классифицируются по своим конормалям v: гиперповерхность пространственноподобна (времениподобна), если р(у) > 0 (р(v) < 0).
Будем предполагать, что
Отображение Х^хь->(р(х) собственное.
Гиперповерхность дХ времениподобна.
Таким образом, множество Хаь—{х^Х; а&<₽(%)《6} компактно при произвольных вещественных а V Ь・ Его граница состоит из двух простраиствеииоподобных поверхностей ф-1 (а) и <p-i(b) и той части границы ОХ, где а &(р &Ь. Последняя пересекает пространствеиноподобные куски границы трансверсально. Условие (iii) означает, что ограничение псевдоримановой метрики иа дХ сохраняет лореицеву сигнатуру.
Одной из основных целей данного параграфа является доказательство следующей теоремы существования:
Теорема 24.1.1. Пусть fw 晟;;(Х°), 〃()三 川髭i)(dX), 20e s>0, u предположим, что f и ио обращаются в 0 при 屮 V а. Если выполнены сформулированные выше условия (i)——(iii), то существует единственное распределение а е //(^+0(^°), обращающееся 6 0 при 屮 V а, для которого Ри = f в Х° и и = uQ на ОХ.
Замечание. Сделанное утверждение касается лишь случая нулевых данных Коши. Это ограничение не является существенным, поскольку нам уже известно, как решать задачу Коши. Однако без него рассмотрение условий согласования между u0, / и данными Коши на их общей области определения является довольно сложным.
Как и доказательство теоремы 23.2.4» доказательство теоремы 24.1.1 получится, как только будет доказана локальная теорема существования, аналогичная предложению 23.2.6, и локальная теорема единственности, аналогичная теореме 23.2.7. Поэтому доказательство теоремы 24.1.1 мы отложим до тех пор, пока не будут установлены эти локальные результаты.
Итак, ниже мы будем предполагать, что
р (%, 0) = £ * (%) D/5 + £ % (%)力 + с (х),
где коэффициенты являются функциями из ^(R^J, постоянными вне некоторого компакта, (gik)—вещественная матрица, задающая форму с лоренцевой сигнатурой, и gnn > 0, g” =—1. Тогда у нас имеется гиперболичность относительно плоскостей / = const, если /(х) = хл, н плоскость Xi =0 времениподобна. Для получения энергетической оценки в лемме 23.1.1 бралось скалярное произведение функций Ри и й, умноженное на Здесь будем рассуждать аналогично, ио в качестве сомножителя выберем производную первого порядка функции 区 Заме-
тим вначале, что если g‘載历 尸——вещественные постоянные, то
Re Е f^fi 2 g*d偿〃 =2 <3/(2 Re £ glkdku £ 尸d必)
—E & E f^d/u dku^ £ ①(X (м)尸), где для кокасательного вектора v и fm = X Smtf1 (24.1.1)£ Т〃“)尸V/ = 2 Re £ glkdkuvf £ gimdfifm
— Eg畑и dku^gtl{tvt.
В случае переменных 尸 и g信 нужно лишь добавить к правой части равенства полуторалинейную форму от производных функции и. Так как 2目'就。或 + & есть выражение первого порядка, то получаем основное энергетическое тождество (24.1.2)2 д, (е「"(Е %® 尸 + 户I 〃 I2))
+ % £ е-“ (£ Т{(м)侬 + I 〃 f〈fQ)
=—2Ree-*(/, й*) Ри + е"х^(«), где R — полуторалинейная форма по (〃,〃'), не зависящая от %. Напоминаем, что f = %〃 н, значит, f = (0, ..., 0, 1). Проинтегрируем это тождество по четверти пространства xi > 0, %门 V Т・ Первое слагаемое можно проинтегрировать по формуле Грина, что дает поверхностный интеграл по каждой из граничных плоскостей. Теперь важно установить, когда форма, включающая Г{, положительно определена； нами сохранены обозначения несколько более общие, чем это необходимо, чтобы сделать данные рассуждения яснее.
Лемма 24.1.2. Пусть L — вещественная квадратичная форма с лоренцевой сигнатурой на конечномерном векторном пространстве V и времениподобные векторы а, Ь лежат в одной и той %е полости конуса, определяемого формой L. Таким образом,厶(а), L(b) 〃 L(a, b) положительны, если 厶(Е,“)一 симметрическая билинейная форма, для которой L(|, g) = L(g). Тогда квадратичная форма
V^^2L^ d)L^ b)-L^ 自)厶(& b)
положительно определена.
Доказательство. Правая часть формулы (24.1.3) представима в виде £(а,т|), где 刀=2己厶(& 力)一方厶(g, {) и, следовательно, 厶(Н,П)=厶(友 b)L怎 g)2 N 0・ Если g =#0 и 自=紡*8, L(b, 0) =6, то
厶(巾 b) = 2L& b¥ — LQ b)L& 自)
=俨L© b)-厶(斗 8))£(b, b) > 0.
Поэтому вектор 刀 лежит в том же, что и 瓦 замкнутом лоренце- вом конусе; это доказывает неравенство L(% а)3о.
Замечание. Обратно, если форма (24.1.3) положительно определена, то одна нз форм L илн —L имеет лоренцеву сигнатуру и а, Ь — времениподобные векторы, лежащие в одном и том же лоренцевом конусе. Действительно, взяв g = а или Е = Ь, получаем L(a, a)L(at 6) > 0 и L(bt b)L{a, b) > 0. Поменяв, если это необходимо, знак, получаем, что L(a), L(b), L(a”)положительны и что L^ g) < 0, если L^ а) = 0 и g=#0. Тем самым доказано, что индексы инерции рассматриваемой формы равны 1 и /I — 1.
Если вектор f времениподобен и направлен вперед, то второе слагаемое тождества (24.1.2) является положительно определенной формой от (〃，〃')* Тогда подынтегральное выражение в получающемся на плоскости хп — Т поверхностном интеграле также является положительно определенной формой от (〃,〃')• Члены первого порядка подынтегрального выражения поверхностного интеграла по плоскости Xi = 0 равны умноженной на ©f' величине
Zr{(u)f/v/ = 2Rep(u,, чУр^, f^ — pi^, 〃')p(v,觴，
где v =(——1,0, ..., 0) и % — кокасательный вектор, соответствующий вектору f. Если и равно 0 при #i = 0, то 〃‘ = fv, и потому эта величина равна величине |/|2p(v, v)p(v, ^с) = |/|2^, которая положительна, если вектор f направлен внутрь полупространства 力 > 0. В этом случае если 〃‘= fv + & где функция 〃 е О произвольна, и р (v,己)=0, то
ЕМ",
= 2Rep(/v + E, v)p(tv + l,储一p(/v + E, % + £)p(v, fc)
=| 产申一2Re力雋,fc) + p% t)f
>|/H*/2-2|p(L Ш11 + р(1, ЮГ-
С помощью разбиения единицы легко, конечно, выбрать такой вектор 力 что 尸 > 0 на @Х н f всюду лежит в переднем конусе; вектор f можно выбрать из Сж и постоянным вне некоторого компакта. Интегрируя тождество (24.1.2) по Qt={x;%i>0, хп V Т}, оценивая интеграл от первого слагаемого в правой части тождества по неравенству Коши — Шварца и сокращая умноженный на постоянную объемный интеграл от функции
I以，|” + |以|2, при достаточно большом Л получаем для 〃三鑑(R") оценку
J A(|«,|2 + lM|2)e-iXndx+ J (l^f + luDe^dS
&C『(\Pufe^ndx + C ((iH + fld/l2)产“dS.
QtX^O, хп<Л 2 丿
В качестве первого приложения докажем теорему единственности.
Лемма 24.1,3. Пусть Dau е L2(QT) при |a| ^ 1, Ри = 0 в Q『 и и = 0 на множестве {х; %)== 0, хп < Г}. Тогда если и = 0 вне компактного подмножества в QT, то и— 0 в Qy,
Доказательство. Выберем такое а, что а 4- 1 < хппри % w supp 以. Из (24.1.4) следует, что
(21.1.4)'\ (|и'Е + |ир)а&Са，|Ри『厶:，
QtQt
если и s C2(Qr) н о = 0 при хп <； а, при xj = 0 и при большом |х|. Пусть 9eCr(R"T),、巾 d%=L Положим
仆/日)6(修).
Так как плоскость xi = 0 нехарактеристическая, то из теоремы В.2.9 вытекает, что функция и при каждом m локально принадлежит я(т, 1-т) относительно ПОЛупрОСТраНСТВЯ X] > 0. Если хя >_0 на supp 2 и е мало, то функция Dg = 〃* 2g принадлежит C°°(Qr) и равна 0 при хп V а Ее носитель компактен, и поэтому можно воспользоваться оценкой (24.14)'. Так как Р〃 = 0, то
Р% = Р(и* 2е) — (Р〃) * 2е = Е (g"(DQ卢 * Ifre) — (glkDtDku) * 丸)
+ E (% (。卅 * 2e) — (Ь/DjU)*%)+“〃* 2e) — (cu) * %.
Здесь слагаемое первой суммы с индексами j = k — i равно О, поскольку g" = —1. К остальным ее слагаемым сначала при фиксированном Xi применима лемма Фридрихса (лемма 17.1.5), позволяющая заключить, что их А2-норма по области Q「 стремится к 0 вместе с е. Для других слагаемых это очевидно, так как DauеL2 прн |a| W 1. Следовательно, £2-норма по области Qt функции Ро& стремится к 0 при 8->0, и так как ve-^u в £2-норме, то из (24.1.4)/ следует, что 〃 = 0 в Qn Доказательство леммы закончено.
Из леммы 24.1.3 можно вывести локальную теорему единственности, которая в сочетании с теоремой 23.2.7 влечет единственность в теореме 24.1.1.
Теорема 24.1.4. Пусть в окрестности точки х^^дХ выполнены условия (i), (iii) теоремы 24.1.1. Тогда существует такая фундаментальная система окрестностей V точки х0 в X, что из соотношений U^H^(V(\X°\ и = 0 в Vf]^° при ср <(р(хо), 尸〃 =0 е А("]Х° и 〃 = 0 на V(]dX следует^ что и = 0 в V.
Доказательство. Можно так выбрать локальные координаты в точке х0» что х0 = 0, xi — 0 на дХ и ф(х) =(р(0) + xrt —lx7!2. Определим окрестность 匕，как в доказательстве теоремы 2327. Если коэффициенты оператора Р гладко продолжены на полную окрестность нуля, то ясно, что в ней оператор Р строго гиперболичен. Также очевидно, что еслихеС~(Rn), 0 WxW 1 и % = 1 в окрестности нуля, то оператор
X(%/Y)P(%, D) + (l —x(x/y))P(0, D)
удовлетворяет условию леммы 24.1.3 при достаточно малом у. Если е настолько мало, что %(%/?)= I в 1/е, то из леммы 24.1.3 следует справедливость утверждения о единственности доказываемой теоремы. 、
Наша следующая задача — вывести из оценки (24.1.4) теорему существования. Поэтому вернемся к предположениям относительно Р, сделанным при доказательстве оценки (24.1.4). Если Р* — оператор, формально сопряженный к Р, Pu = f в области Qr н 〃 = 〃о при 修=0, то
^ (Pev) й dx = ) ufd%— ) Oi%odS
QT Xj «о.хл<г
для тех функций ueC；(R"), для которых %%VT на supp о и 口 = 0 при 力=0 (напоминаем, что g" = —1). Обратно, если равенство (24,1,5) справедливо при u, f s L2 для всех таких функций и, то сначала, взяв и в С； (Q/ получаем, что Р〃 = /. Таким образом, локально uw Н%_2)и, значит, граничные значения элемента и при Xi = 0 корректно определены. Из (24.1.5), где функции и равны 0 при к = 0, но в остальном произвольны, следует, что 〃 = 〃о при Xj = 0.
Предполагая, например, что хп ^ 0 на supp f и на supp 〃о, мы хотим найтн такое и, что xrt ^ 0 на supp и и выполняется равенство (24.1.5). Ввиду доказанной в теореме В.2.1 двойственности, это можно сделать на основании теоремы Хана — Банаха, если нам удастся оценить правую часть (24.1.5) через ограничение функции Р*и на полупространство R；・
Оператор Р* удовлетворяет тем же предположениям, что и Р. Заменяя Р на Р* н меняя знак %小 из (24.1.4) при 7 = 0 получаем, что
(24.1.4)" % ,(11/f+ |0|2)门”〃+\ ©ufe%dS
Q4=°v%
JlP'ul2^ dx,
если v ^С^(Rn) и и = 0 при 打=0. Здесь Q = {x;%i>0, хп > 0} и X — большой параметр. Если x^vT на supp” и положительное Т мало, то можно взять 九=1/7 и получить оценку
； ,("|2 + |u|2)dx+ , Id。12ds
QA=。气
《Ce7 JlP^pdx.
<2
Эта оценка уже имеет требуемый вид. Но чтобы установить истинные свойства гладкости решения и, указанные в теореме 24.1.1, нужно сначала перейти в (24.1.6) к подходящим //(5)-нор- мам. Положим
瓦(0')=((1+谈+ ... +f>L)"2- 以 У.
Если w (х2> ..., %希)wC；(R”t), то /Лнорма [(• |(+ функции Es(D')5 в полупространстве R^T1 = {(х2, ...» хп), хп > 0} по теореме В.2.4 равна норме в Я(5)(RV1) ограничения функции ш на это полупространство.
Лемма 24.1.5. При каждом вещественном s для функции V ^С^(Rrt), обращающейся в 0 при х^ = 0 и при хп > Т, где 0 V 7 W Ts, верна оценка
^WE^iD^vix^ -)112.^ + II £s (//)3^(0, J^ о
《С7口|国产0(修，.)11：“.
О
Доказательство. Функция ш — Esv принадлежит пространству 歹(RQ н 侬=0 при хп > Г. Поэтому очевидно, что к ней при-
менима оценка (24.1.6). Поскольку
11旦⑫(/,・)111《2|1(1+或+ ... +0乙产山(修，北
+ 2||Dnw(xb •)l|^ = 2(i||D/w(x1+ 2||Dnw(xb •)l|^ = 2(i||D/w(x1，•川：+ 1血(修，•)1厚)，
+ 2||Dnw(xb •)l|^ = 2(i||D/w(x1
+ 2||Dnw(xb •)l|^ = 2(i||D/w(x1
то левая часть (24.1.7) не превосходит удвоенной левой части оценки (24.1.6), в которой функция и заменена на ш. Теперь
P*w = EsP*v — Es [Р*, E_s]叫
Напомним, что коэффициент g" в главной части ^ glkDjDk оператора Р* постоянен. Соответствующее слагаемое в коммутаторе отсутствует, а в другие слагаемые входит не более одного множителя 力入 Поэтому
Es Р, E_J = £ & (х, Q') Dk + R。(x, Dz),
где /?о, ..., Rn принадлежат S°(Rrt X^^1)- Операторы R式x, D° являются суммами произведений операторов Es, Е-$ и дифференциальных операторов. Следовательно, & (х, Dz) DkW=Rk (х, ТУ) wk при хп > 0, если wk = DkW при %〃 > 0 и 3々=0 в противном случае. Поэтому из (24.1.6) при некоторой постоянной Cs следует, что“
(L — Cs?) j(eП0阿/，•州；+ 1|g(/, •加)义+1@叫0, •)降
<2Ce7'[||£sP,v(x1, -)^dXl.
о
Основываясь на сделанных в начале доказательства замечаниях, при Т2cs V 1/2 получаем оценку (24.1.7).
Теперь, используя двойственность, можно доказать локальную теорему существования.
Лемма 24.16 Пусть s 0 и распределения fw"(s)(R"), u0 w H(s+i)( R"-i) оба имеют носители е полупространстве хп ^ 0. Тогда существует такое распределение u е //(s+i)(Qr5) (относительно пол уп рост ран ства Hf ={х; Xi > 0}), что Pu — fe QTsf Хп^О на supp и и и = Uq на той части границы, где 修=0.
Доказательство. По теореме В.2.4
u%)》i闾(小•)『叫|闯咼)=生+闷， 0
где через ||-|| обозначена А2-норма. Применяя оценку (24.1.7) с параметром —s—1 вместо s и с Т = Т«, убеждаемся, что при некотором С
\ vfdx— \“啦odS <С| { (IE^s^P*v(xb
Qr«t-о. хп<т\o
если и e С： и и = 0 при x】=0 н при хп > Г. По теореме Хана ——Банаха найдется такая линейная форма L, заданная на
5 w с/.5 w с/.С/, что
5 w с/.
5 w с/.
厶(р*и)= vfdx— \ Oj^odS,QTXt*O. xn<T
если owC； и и = 0 при %! = 0 и при хп > Г. Ее непрерывность означает, что
厶 ®)=，3(%1，•), 〃(修，•))<//,
О
где и ^ ^2((0, оо)； He+nlR^-i)). Следовательно, и определяет такой элемент пространства Rg $+»"), что хп ^ 0 на supp и и Ри = f в Qr, u = ио при Xi = 0. Так как _f w &$)(//')' u&(st)(牙)，то из теоремы В.2.9 следует, что 〃三"(爲)(Q『) (относительно полупространства Н‘). Это завершает доказательство леммы.
Доказательство теоремы 24.1.1. Можно повторить доказательство теоремы 23.2.4, заменив ссылку на теорему 23.2.7 (предложение 23.2.6) ссылкой иа теорему 24,1.4 (лемму 24.1.5). Детали мы предоставляем читателю.
Доказательство основной оценки (24.1.4) может быть также приспособлено к граничным условиям примера 12.9.14b), когда все требуемые в нем неравенства для £ и F выполнены в сильном смысле. Главное отличие заключается в том, что требуется еще одно интегрирование по частям на граничной плоскости Xi = 0, и в том, что выбор векторного поля f требует большого внимания. По поводу деталей сошлемся на работу Гординга (Garding [6]). Случай высшего порядка будет обсуждаться лишь в примечаниях. Рассуждения, приведенные здесь в связи с использованием энергетических оценок, очевидно, применимы и в общем случае.
Особенности в эллиптической и гиперболической областях
Начиная с этого момента, будем рассматривать произвольный дифференциальный оператор Р второго порядка с веществен- иы.м символом рис С°°-коэффициентами, определенный на С°°-многообразии X размерности п с границей дХ, Предположим, что граница дХ нехарактеристична относительно оператора Р, и введем обозначение Х°= Х\дХ. Наша цель — изучить особенности решения 〃wH(X) смешанной задачи
.2.1)Р〃 = / в X。， и = и0 на дХ,
где f三^(Х). В Х° нам известно, что множество WF(u) \WF(f) содержится в характеристическом множестве L(0) и по теореме 23.2.9 инвариантно относительно потока, определяемого гамильтоновым векторным полем "卩,связанным с главным символом р, если р строго гиперболичен. Поскольку существенны лишь мнкролокальные свойства символа р, то легко видеть, что гиперболичность можно заменить на условие "占* О (ср. с доказательством теоремы 20.1.14). Мы предоставляем доказательство читателю, так как даже такое условие будет устранено в § 26.1.
Целью этого и следующих параграфов является доказательство аналогичных результатов на границе. На основании следствия С.5.3 можно ввести такие локальные координаты (X),… ...,xrt), что многообразие X определяется условием xj ^ О и что, возможно после смены знака,
.2.2) р (х, ?=白 一 г (х, " У = &段).
Напомним, что ограничение кокасательных векторов многообразия X на векторы, касательные к ОХ, задает проекцию 7*(Х)|зх на Т*(дХ), ядром которой является конормальное расслоение к границе. Множество тех точек Еи7*(0Х), для которых р =# 0 на их прообразах, называется областью эллиптичности смешанной задачи; в локальных координатах
£ = {“，Г)； г (0, К Г) < 0}.
По теореме 20.1.14 из (24.2.1) следует, что
Е Л WFb («) = ЕЛ (呼& (f) U 取尸(陶))，
и, таким образом, мы имеем полную информацию об особенностях в области эллиптичности. Областью гиперболичности ” называется множество тех точек из Т*(дХ), для которых сим-
вол р имеет два различных корня на их прообразе, т. е. в локальных координатах
〃 = {(К Г)； г (0, х； Г) > 0}.
Соответствующие корни характеристического уравнения задаются соотношениями %】=6 и gi = 士r(x, V)1/2- Гамильтоново векторное поле
Нр = 2Е] д/дх{ 一 (0〃酉)0/0/ + (дг/дх)。/宛 направлено внутрь X (вне X) для положительного (отрицательного) корня. Итак, положительный корень определяет бихарактеристику, трансверсально выходящую из дХ в Х°, а отрица* тельный корень является концом трансверсально приходящей бихарактеристики.
Теорема 24.2.1. Если и — решение задачи (24.2.1) и
(/, &') w (〃 f] WFb (〃))\ (К& (f) U WF (“°)),
м。уходящая и приходящая бихарактеристики, соответствующие этой точке, обе содержатся в WF(u) над окрестностью точки (0, £)•
С другой стороны, если (/, g)若呼尸&(〃), то эти характеристики не имеют общих точек с WF(u) вблизи точек, проекции которых лежат вблизи (0, xz), так как 呼尸》(〃)замкнут. Следовательно, они не пересекаются с WF(u), пока не встретятся с WF(f) (или не возвратятся на границу). Эта теорема является микролокальным вариантом закона отражения в оптике. Доказательство теоремы 24.2.1. Нужно показать, что если точка (0, К)三 〃 \(呼尸b(f)U К尸也о)) и, например, выходящая из нее бихарактеристика не содержится в WF(u) вблизи нуля, то (0, go) ^ WFb(u). Умножая и иа подходящую срезающую функцию, можно считать, что и имеет компактный носитель и что У =# 0, если (х, g)e WF(u)t %i > 0. Тогда применима теорема 18.1.36. Воспользуемся разложением из леммы 23.2.8
.2.5) Р(х, D) = (D1-A+(x, ^(^-Л. (х, Df)) + ^(x9 ZT), где ① w Sr° и главный символ оператора Л± совпадает с 士戸父 в конической окрестности точки(0, Ео)・ Имеется и другое такое же разложение:
Р(X, D) = (П - Л_ (х, О)) (2 - Л+(X, О)) + 6 (*, Df), где главный символ 底 равен 土М в конической окрестности точки (0, go)- Теперь предположим, что открытый интервал 丫十 на рассматриваемой уходящей бихарактеристике, одним из кон-
广
цов которого служит точка(0, 0, г(0, go)弋 go), содержится в T*(X)\WF(u). Из доказательства теоремы 23.1.4 известно, что можно найти оператор Q(x, О'), нехарактеристический в точке (0,自彳)и порядка ——оо вне любой заданной окрестности множества {(х, ^); (х, г(х, ^)1/2>『)三斤+}，а〃х которого коммутатор [Q(x, Dz), 5 — Л+(х, Df)] имеет порядок —оо. Так как (DJ-A+ (х, OQ(^ Df)(D{^^^ ⑺川
==Q(x, D') / — Q(x, Df)^(x, Df)u
-[Q(x, Q) 5 — 八+(居 zr)](S — A_a, O))% то по теореме 18.3.32 имеем (Di—Л+(х, Dr))v e C°° при малом Xi >0, если v—Q(xt ZX)(5 —A一 (x, D))e и носитель сим вола Q достаточно мал. Поэтому Ei = r(%,E')"2 на WF(v) при достаточно малом 修 > 0. Если выбрать Q подходящим образом, то это доказывает, что множество WF(v) расположено сколь угодно близко к у+. Так как lFF(u)c WF(u)t то ?мС°° при малом положительном %i. Поэтому из следствия 23.1.3 (см. также обсуждение после теоремы 23.1：4) вытекает, что и е С°° при малом Xi N 0.
Оператор @“,£)') выберем аналогичным образом коммутирующим с оператором D^ — Л_(х, Df) и таким, что Q(0, %', У) =Q(0,К У). Положим b = $(%, Df) (£)i — Л+ (х, О'))弘 При Xi = 0 имеем и — и = Q(0, х7, Df) (Л_(0, х\Df)—Л+(0, х7, Df))UQ 巨 С°°, если носитель символа Q достаточно мал. Как и выше при обсуждении 力 заключаем, что (Q】一Л-(х, Df))v е С°° при малом %i》0. Поэтому, в силу следствия 23.1.3, 8三。8 при малом Xi》0. Теперь уравнения
Q (х, О) (0】一 Л_ (х, D)) 〃 = и, Q(x, О) (0 - Л+ (х, D7)) ы = б могут рассматриваться как эллиптическая система относительно D\u и и. Точнее, если WF(a(x, D7)) содержится в множестве, где Q и <5 нехарактеристичны, то снова по теореме 18.3.32 получаем, что а(х, Ьх) (Di—Л_(х, D/))u и а(х, Df) (Z)i—Л+ (х,Df))u принадлежат С°° при малом Xi》0. Следовательно, а (х, Df) (Л+(х, Ол) — Л-(х, Df))u^ С°° при малом 也》0. Здесь главный символ 2г(х, ^У/2 оператора Л+ — Л_ не равен 0 в точке(0,自о)・ Выбирая оператор а (х, Dz) нехарактеристическим в этой точке, снова из теоремы 18.3.32 заключаем, что (0, К)若羽尸力(〃)・ Доказательство теоремы закончено.
Замечание. Для получения желаемого результата недостаточно доказать, что (0, К) ^ WF (О^ Ьх) (см. замечание в конце § 9.6).
Теорема 24.2.1 подсказывает введение терминологии:
Определение 2422. Ломаной бихарактеристикой оператора Р называется такое отображение
/ \ 3 m f f Y«) в T*(X°) \ О,
где / — интервал в R и В — дискретное подмножество, что
Если / — интервал, содержащийся в /\В, то кривая J т 11» у (0 есть бихарактеристика оператора Р, лежащая над Х°.
Если / е В, то существуют пределы у« — 0) и у. + О), принадлежащие Т；(Х) \ 0 при некотором xwOX, и их проекции на Тх (дХ) \ 0 являются одной и той же гиперболической точкой.
Таким образом, у нас имеется одна бихарактеристика, трансверсально приходящая на границу дХ в точке у(/ — 0), и другая, трансверсально уходящая из отраженной точки у« + 0)； имеющей ту же проекцию на 7*(。戈)\0. Поэтому кривая у имеет корректно определенный образ у в Т*(Х)\0, который является непрерывным также в точках множества В. Когда нужно различить между собой и у, будем называть у сжатой ломаной бихарактеристикой.
Теорема 24.2.1 показывает, что сжатая ломаная бихарактеристика, не пересекающаяся с WFb(f)ti WF(uQ)9 либо содержится в множестве WFb(u), либо не имеет с ним общих точек. Оставшуюся часть параграфа посвятим построению примера, в котором реализуется первый случай и никаких других особенностей нет. Это построение связано с доказательством теоремы 8.3.8, но оно требует изменений из-за наличия границы и переменных коэффициентов.
Сначала проделаем лишь локальное построение в точке границы. Выберем вблизи нее такие локальные координаты, что главный символ оператора имеет вид (24.2,2). Через(0, Во) обозначим гиперболическую точку. Затем в окрестности нуля в X, определяемой неравенством %i》0, построим такую функцию и, что и = 0 на ОХ, Рем С8(Х) и 历尸匕(〃)есть сжатая ломаная бихарактеристика, проходящая через точку(0, Е；)・ Напомним, что она определяется уходящей бихарактеристикой у+, начинающейся в точке (0, 0,尸(0, Во)") &), и бихарактеристикой у_, приходящей в точку(0, 0, —г(0, В$)%, Во)- Сначала ищем осциллирующее асимптотическое решение уравнения Р〃 = 0 в виде формального ряда
耿a)=产("，勺(x)L,
где д<р(0, 0)/0/ =畠.Главным членом рядаР 以入 будет
炉р(х, qp'(%))% и поэтому наше первое уравнение имеет вид (24.2.7)р(х, ф'(%)) = 0・
По теореме 6.4.5 оно разрешимо вблизи нуля при заданных начальных условиях
ф (0, Xх) = ф0 (/), фо (0)=鼠 фо(0) = 0.
Уравнение р(0, 0, £, К) = 0 имеет два решения ^ = ± г(0, 0, 互)叱 которым отвечают два решения ф± (х). Для них имеем 9；(%)=自，если (х, g)e у±. Затем получаем уравнение переноса для старшего члена а^ в амплитуде, соответствующей решению ф±：
.2.9)£ 产(х,(p±(X)) С" (х) + с(х)若(х) = 0,
где коэффициент с зависит также от младших членов символа р. Далее, (/ + 1)-е уравнение представляет собой аналогичное уравнение, но с дополнительной правой частью, выражающейся через а^, ..., а^_Р Все эти уравнения разрешимы в фиксированной окрестности нуля относительно af, значения которых заданы при %i = 0. Разность между полученными рядами к* можно затем использовать, как в доказательстве теоремы 8.3.8, если выбрать амплитуды а户 сосредоточенными вблизи нуля при %! = 0 и взять большое число слагаемых.
Однако мы хотим доказать глобальный результат. Очевидная трудность состоит в том, что задолго до того, как бихарактеристики у± покинут координатную окрестность или вернутся на границу, функции ф± могут перестать существовать. Геометрические решения в виде лагранжевых многообразий, получаемые в теореме 6.4.3, все же существуют; проблема в том, что у их проекции на X может не быть биективного дифференциала. Мы обойдем эту трудность, используя тот факт, что строго положительная лагранжева плоскость в комплексифика- ции симплектического векторного пространства S всегда имеет биективную проекцию на комплексификацию некоторого лагранжева подпространства в S (ср. с предложением 21.5.7).
Сначала напомним детали, связанные с решением задачи (24.2.7), (24.2.8), приведенным в § 6.4. Обозначим через Х±(^ь у\ лЭ решение уравнений Гамильтона
dx'/d/ =千力(x,自'产/能'，dF/g = 士 dr (x,?产历/
с гамильтонианом Ei 干 r(x,自')“？ и начальными значениями (х7, gz) = (^, ^f) при Xi = 0. Отображения x±(%i,・)корректно
определены и являются симплектическими отображениями окрестности точки(0, %) в окрестность точки %土 (хь 0» 自;)м Y土 при фиксированном х{ (координата & опущена). Решение задачи (24.2.7), (24.2.8) равно 0 на у土， и множество G*[ = {(а/, 0ф(%1, х，)/。％7)} является образом множества Go = {(£,。9()(£)/。炉)} относительно отображения х±(м,・). Это решение продолжает существовать вдоль у土 до тех пор, пока проекция ©占 三(л/, ^) t—>xz имеет биективный дифференциал.
До сих пор функция q)o была вещественной, но теперь позволим фо принимать комплексные значения с положительно определенным гессианом Im фо (0). Тогда из предложения 21.5.9 вытекает, что комплексифицированная касательная плоскость к Go есть строго положительная лагранжева плоскость. Строго говоря, отображение %±(xi, у\ ^Фо(/)/dyf) не определено при у'耍 0. Но разложение Тейлора в точке у' = 0 имеет смысл и определяет формальный лагранжиан в точке %±(%i，0,及)・ Касательная плоскость в этой точке является образом комплек- сифицированной касательной плоскости к Go в точке(0, К) относительно комплексификации вещественного линейного сим- плектического отображения, и поэтому она строго положительна. Пусть кривые у土 определены при О W %i W с. Ввиду предложения 21.5.9 найдется такая функция ф± е С°°, что
Ф± W = 0, д^± ®д£ & 匕
гессиан Imд2^±/дх，2 положительно определен, если (х,自)му土， 0《修《с, и кроме того, д^±/дх\ 干 г (х, dqp±/5xz)1/2 имеет нуль бесконечного порядка на у土. Аналогично можно решить уравнение переноса (24.2.9) и последующие уравнения, так что 0卡耍 0 на y土，а
N 威N(X)=产±⑺S竣⑶『 о
при каждом ^ удовлетворяет соотношению
DaPu^N(x) = O^la'-N).
Если взять асимптотическую сумму а±(%, А)м S°(R〃 义 R), то P 储'м± ⑴a±(招笛)3 S-8(R" x R).
Эти асимптотические суммы можно выбрать так, чтобы а+(х, %) =а~(х, ^) при X! = 0 и носители амплитуд а土 находились настолько близко к проекциям лу+ кривых у±, чтобы функции Im ф± (х) в них были строго положительны всюду, за исключением u±.
Теперь рассмотрим абсолютно сходящийся интеграл (24.2.10)(х)= ^^^(х,笛如/仇2+1).
о
По теореме 8.1.9,取尸(U士)uRyp土 при 力 >0 и PU士 rC°° при 尤1 N 0. Следовательно, U土 W 4. Граничные значения этих функций совпадают при Xi = 0, и поэтому U = U+—U~ обращается в 0 при %1 = 0. Если b(x, D') — псевдодифференциальный оператор с символом порядка ——8 в канонической окрестности точки(0, 0, К), то из теорем 8.1.9 и 18.1.36 вытекает, что Ь(м D)U± w С°° при малом 尤i》0. Поэтому 羽尸“〃土)и R+$土. Теперь докажем, что(0, К) является точкой волнового фронта функции
D0(U+~U~)(0, ■У^е^^Ых^ X)d%/(^2+ О；о
6(/,簿= 2г(0, х', d<po/dx')"2 Аа± (0, /, Л)
+ 5(а+(0, х； Х)-а-(0, V,储).
Здесь 匕 wS，и старший член 2г(0, х', д(ро/дхг)1/2%ао(О, xz) не равен 0 в нуле.
При Im z > 0
JxertW(V+ l) + log|z| = О(1) при z->0. о
Действительно, этот интеграл равен
j 熠力厶/(片 + | Z О， Z‘ = 2/| 2 |. 0
Разность между ним и интегралом
"dMA2 + |zF)=}10g(l+|zF)-10g|z| о
ограничена при z f 0, поскольку | 产—1 | W 丨厶丨 и соответствующий интеграл от 1 до оо ограничен, что видно после интегрирования по частям. Поэтому величина
口(。+—。-)(0, /) + 2г(0,为о (0)/。*'严 а。(0, O)log|<p0(/)|
ограничена при Х->0, и, следовательно, функция Di(U+ ——U~) (0, •) не является даже непрерывной. В частности,(0, К)
есть точка ее волнового фронта, поскольку по теореме 8.1.9 последний может содержать лишь точки вдоль этого луча. Этим завершается доказательство того, что 1F尸匕(以)содержит точку (0, g) и поэтому также содержит приходящую в нее и уходящую из нее бихарактеристики.
Теперь мы подготовлены к доказательству следующей теоремы:
Теорема 24.2.3. Пусть [a, b]m £^~>+«) — сжатая ломаная бихарактеристика, инъективно проектирующаяся в сжатое ко- сферическое расслоение 7*(X)/R+ и имеющая концевые точки q(a), q(b), лежащие над Х°. Предположим, что проекция вектора 兑(+(£)) на Т(Х°) не обращается в 0 при у(/)е Г*(Х°). Тогда существует такое 以 мН(Х)，что WFb(u) есть конус, порожденный кривой у([а,&]), 呼А^(Р以) порождается точками у({а, Ь}) и и = 0 на дХ.
Доказательство. Предполагая, что кривая у содержит некоторую точку, лежащую над ОХ, введем в ней локальные координаты и начнем с построения, проделанного выше. (Только что проведенные рассуждения могут быть также использованы для непосредственного доказательства того, что у+ с: WF^^ при О V Xi V с. Поэтому можно было бы также начать прямо с построения U+ или U~ вблизи какой-нибудь точки в Х°, где координата Xj может служить локальным параметром на соответствующей бихарактеристике.) Это построение можно продолжить из xi = % выбрав другой набор локальных координат, в котором %1 является хорошим параметром вдоль бихарактери- стической полоски. Действительно, заменяя координаты в фазах ф и в амплитудах а〃 мы получаем начальные данные для использования их в новой координатной окрестности. Если би- характеристическая полоска выходит на границу, то мы получаем начальные данные для построения отраженной волны. Между различными участками построенного решения никогда не будет интерференции, так как волновые фронты на них различны в силу предполагаемой инъективности проекции на сжатое косферическое расслоение.
Осталось только показать, как данную конструкцию можно срезать при xj = с, если это значение соответствует концевой точке кривой у. Для этого выберем функцию х е Со°(R), равную 1 иа (—8,—2) н 0 на (——1, оо), и заменим а+ (х, X) на амплитуду а+(%, А)х((%1——с)з%), принадлежащую S] уз (ср. с примером 18.1.2). Это не сказывается на особенностях при X! < с, но приводит к равенству U+ = 0 при 打 > с. Теорема 8.1.9 применима всюду, и поэтому WF(U^) все еще порождается
кривой у+ при Xi > 0. Теперь 呼尸(PU+) может содержать лишь- луч, определяемый граничной точкой кривой у+, для которой 也=% и эта точка не может быть опущена ввиду того, что- иначе по теореме о распространении внутренних особенностей кривая у+ не пересекалась бы с WF(U^). Доказательство теоремы закончено.
Замечание. Меняя порядок амплитуды а±(х, X) умножением ее на степень параметра % + 1, можно построить распределение и, имеющее любую желаемую регулярность, как это будет сделано в аналогичной теореме 26.1.5 ниже.
Функционально-аналитическими рассуждениями из доказательства теоремы 8.3.8 можно воспользоваться для того, чтобы показать, что также пределы кривых у из теоремы 24.2.3 могут являться носителями особенностей. Это будет сделано ниже в теореме 24.5.3. Однако сначала мы изучим в § 24.3 свойства таких пределов, а в § 24.4, 24.5 докажем обратные результаты^ аналогичные теореме 24.2.1.
В теореме 24.2.3 предполагалось, что векторное поле Нр не касается слоя расслоения Т*(Х), но это несущественно. Чтобы избавиться от этого условия, нужно воспользоваться теорией интегральных операторов Фурье, как в доказательстве теоремы 26.1.5. Можно действовать и иначе, рассматривая U как лагранжево распределение, ассоциированное с положительным лагранжевым многообразием. Для любого из этих подходок требуются методы и понятия гл. 25.
24・3・ Обобщенный бихарактеристический поток
В § 24.2 было показано, что особенности решений задачи Дирихле, приходящие на границу области по трансверсальной бихарактеристике, снова покидают ее по отраженной бихарактеристике. С целью подготовки к изучению особенностей, приходящих по касательным, ближе познакомимся теперь с геометрическими свойствами ломаных бихарактеристик. При этом естественно начать с общего симплектически инвариантнога описания данной ситуации и затем ввести подходящие локальные координаты.
Поэтому начнем с симплектического многообразия S размерности 2п с краем dS и выберем такую функцию <р三G(S), чта ср = 0 на OS, ср > 0 в S\0S н d(p =/= 0 на OS. Пусть р w О ”) > Где V — открытая окрестность в S точки so w dS, и предположим, что
р =(Ф，р} = 0, {<р, {年，р}} * 0 в точке s0.
Обычно мы будем также требовать, чтобы
dp\ds 啖 0 в точке «о.
Условие (i) означает, что ограничение функции р на слой естественного слоения границы OS (интегральными кривыми векторного поля /7(р) имеет нуль второго порядка в точке s0. Другая интерпретация условия {ф, р} = 0 состоит в том, что бихарактеристика гамильтониана р, начинающаяся в точке so, ка- сательна к OS в этой точке. Мы будем изучать бихарактеристи- ческое слоение множества р-1 (0) с изломами при отражении на границе 0S, как в определении 2422.
Уменьшая при необходимости окрестность 匕 можно считать, что V и T*(R：), s0 = (0, 0), qp = Xi. Тогда в соответствии с подготовительной теоремой Мальгранжа условие (i) означает, что
p(X,自)= g"，自)(稿+。(居自»一Г"，m))，1 =(费，…，自J
где g 耍 0 и а = г — 0 в точке 0. Можно перейти к новым сим- плектическим координатам, в которых у\ = x^t 巾 = & + а(х, У)・ Так как 0 = HXlr = Hyirt то в новых координатах р имеет тот же вид, но с а = 0, что и будет предполагаться в дальнейшем. Множитель g не влияет ни на само множество p-i(0), ни на его слоение, а лишь на параметр вдоль бихарактеристик. Поэтому предположим, что g = 1, откуда
р(х,自)=曾一乂爲 F), Г = (^2, .... U
где d%, gr(0, 0)抬 0, если выполнено условие (ii). Функция р имеет тот же вид, который был получен для главного символа оператора второго порядка на многообразии X с нехарактеристической границей dX в § 24.2.
Определение 24.2.2 имеет симплектически инвариантный смысл в окрестности точки so： кривая y(f) должна быть бихарактеристикой гамильтониана р, содержащейся в S\0S при ? ^ В, а при / е В ее пределы ?(f 土 6) должны существовать и принадлежать одному и тому же слою естественного слоения границы 0S.
Введем обозначение W для характеристического множества р-1 (0) и обозначение S для его сжатия, получаемого отождествлением точек одного и того же слоя слоения границы 0S. Итак, х,自一непрерывные функции на W, определяющие его топологию, в то время как топология множества S определяется непрерывными на нем функциями х,雜卜 匕 Подмножество в S, где Xi = 0, обозначим через So； оно является образом всех точек (х, g) с 修=0 и 自;=「(％,『)》0・ Множество GuW, на котором xi = ^ = 0, называется множеством каса-
ния!) ； это множество всех тех точек из ф-Ч^Пр-1 (0), в которых Нр касается границы dS. Оно отображается топологически в So, и поэтому может быть отождествлено со своим образом в этом множестве. Множество Н = So\G есть область гиперболичности в терминах § 24.2. Множество Gk касания порядка, не меньшего k,论=2, 3, ,.., также можно инвариантно определить уравнениями
р = 0 и Яр(р = 0 при 0&/V瓦
Поэтому G = G2z^ G3 zd … n G8 — замкнутые множества. Это определение зависит только от р-1 (0) и 0S, поскольку функции р и ф определяются множествами р~! (0) и 5S с точностью до гладких множителей, не равных 0, влияющих лишь на параметризацию бихарактеристик, а не на порядок нуля функции ф. Если ф(х) = X] и р имеет вид (24.3.1), то положим г；(х\ У)= d'r(O, X, У)/。乂，j = 0, 1, и докажем следующую лемму:
Лемма 24.3.1. Пусть А ^ 0 — целое число. Тогда у0 == (0, х7,0, E')w G^+2 в том и только том случае, если
% = 0 а Нг Г\ = 0, 0 ^ / < fe,
в точке у。，и в этом случае в этой точке
爲+2qp=2(-"j-.
Доказательство. Обозначая через Я? гамильтоново поле (дг/д'^)д/дх, — (дг/дх^д/д^, соответствующее г при фиксированном Xi, имеем
Нр = 2& d]dxi + 厂⑴ d/墙 一 Я?, г⑴=力/№・
Следовательно, Нрхх = 2gb "次】=2г⑴，что доказывает лемму при й = 0. Ввиду очевидного индуктивного рассуждения, остается лишь доказать справедливость (24.3.4), если й > 0» Yo м G^+2 и выполнено (24.3.3). По предположению Н4tф = 0 в точке у。при j V 论 + 1, если 屮=0 при 尤]=0. Тогда в точке Yo имеем
窮+2<р = Н^гх = 2 (2自| д/дх, + г,勿羯一方 j г】，
так как, двигаясь справа налево, можно последовательно полагать Xi = 0 в каждом из множителей r(i)и "р, поскольку не более k множителей Нр действуют слева. Теперь можно опустить дифференцирования д/дх^ и 0/0自卜 так как от Xi ничто не зависит, а 自i более в выражение не входит. Это заканчивает доказательство равенства (24.3.4) и леммы в целом.
В оригинале «glancing set>. — Прим. ped.
Проколотая окрестность начальной точки у。на бихарактеристике гамильтониана р с началом в точке уо, в которой <р = р = 〃р(р = 0, но /7р(р > 0, целиком будет лежать во внутренности области ф > 0. С другой стороны, если продолжить р на отрицательные значения Xi, то бихарактеристика немедленно покинет полупространство ф ^ 0, если Н^ < 0, Такая выпуклость (вогнутость) границы дХ относительно касательных бихарактеристик приводит к большим различиям в поведении ломаного бихарактеристического потока. Начнем обсуждение с подведения итогов и расширения нашей терминологии.
Определение 24.3.2. Множество G^ касания порядка, не меньшего 左》2, определяется условием (24.3.2); G = G2 называется просто множеством касания. Множество G2\G3 касания в точности порядка 2 является объединением GdU Gg множества дифракции】)Ga, где Я^ф > 0, и множества скольжения2) q, где Ярф < 0.
В обозначениях леммы 24.3.1 множество дифракции (соотв. скольжения) определяется условиями X! = ^ = г0 = 0 и п>0 (соотв. г】 V0). Для исследования ломаных бихарактеристик вблизи множеств Gd и Gg по теореме 21.4.8 достаточно изучить следующий пример в случае, когда выполнены условия (i) и (ii).
Пример 24.3.3* Если р(х, ^) = ё?±х1 + ^п, Ф(х) = хь то множество касания определяется условиями X! = ^ = g„ = 0, причем Яр(р= =р 2. Поэтому для верхнего знака имеет место скольжение, а для ним;него — дифракция. Инвариантами гамильтонова потока являются функции
尤2， ■ • • > -^я—1» 昌2， • • • > 昌尼,自 1 土 ^п Н & 土 ％[♦
Для случаев дифракции и скольжения ломаные бихарактеристики изображены в плоскости переменных 大匕 хл на рис. 3 и 4. Если dx\/dt = 0, то ^ = 0. В случае дифракции единственными пределами ломаных бихарактеристик служат касательные параболы, задаваемые уравнениями ^ = хь 己尼=0, Ei—%尼,尤2, •••, Хп-ь 三2，•••，Ел-i все постоянны. В случае скольжения величина 自彳 + хх равна максимальному значению с2 координаты м. Поэтому I & У с, 0 W М W 成，矗=—с2 и различные параболы на рис. 4 отличаются лишь сдвигом.
При 0 ломаные бихарактеристики вырождаются в прямую dx/dt = (0, …，0, 1), d^/dt = 0, лежащую в множестве
Л В оригинале «diffractive set>. — Прим: ped. [)В оригинале «gliding set>, — Прин ред.
24.3. Обобщенный бихарактеристнческнй поток 571 скольжения и определяемую гамильтоновым потоком гамильтониана gn. Она называется скользящим лучом 9-
Вместо использования весьма глубокого результата из теоремы 21.4.8 и с целью избежать обращения к условию (ii) покажем непосредственно, что выводы данного примера справедливы в совершенно общей ситуации. Как обычно, V_—такое открытое множество в полупространстве Xi ^ 0, что V — компакт, и функция р определена в окрестности компакта 0 в этом полупространстве.
Лемма 24.3.4. Предположим, что дг/дхх ^ с > 0 в 0 〃 что кривая ffy(f), 0 < |f| < Г, является ломаной бихарактеристик кой. отражающейся при f = 0・ Тогда Xi > ct?, 〃 поэтому^ будучи, максимально продолженной), бихарактеристика у не может вернуться на границу dS.
Доказательство. Так как dh/dt = дг/дгх{ ^ с и ±|i(±0) > 0г то gi(/) > cf при t > 0 и Bi(0 < ct при f V 0. Теперь ввиду того, что dx\/dt = 2|1 и xi(0) = 0, заключаем, что Xi(/)^ ct\
Из леммы следует, что предел ломаных бихарактеристик есть либо ломаная бихарактеристика, либо бихарактеристика^
выходящая из точки касания (являющейся поэтому точкой дифракции).
Лемма 2435. Предположим, что дг/дх\ ^—с < 0 в V и что ?(/) — ломаная бихарактеристика. Тогда существуют такие постоянные Со и С, что
£ (炉 + / ⑺ & Соес| st I (务®? + 修(s))
для любых двух точек на у.
Доказательство. Для функции g(%, &) — 5? — х{ дг/дх{ имеем 督+c/《g(招а《&；+с%,
если также дг/дх\ 力一С'. В точках отражения функция g(力,Е) непрерывна, а вне этих точек имеем
dg (х (/), & «))/由=2^ dr/dx( — 2薪 дг/дхх —力同(dr/dx()/dt
Поэтому
ldg(x(t)f E«))/d/|《Cga(f), Ш， откуда следует, что
g(x(/), l^Xe^^'gixis), &(s)).
Если с V 1 V С', то при Со = С7c немедленно получается неравенство (24.3.5).
Если |Bi(0)|< е, xi(0)< е2, то Ei(f)=O(g), Xi(/)= О(е2) для значений параметра t, принадлежащих ограниченному интервалу. Поэтому
d^, g)/出=-Я? = -”г. + 0 (е2), откуда следует, что
(W(f), “f)) = exp(THQ(V(O), g(0)) +。(喲.
Последовательность таких ломаных бихарактеристик у"/)； определенных при |f|VT н сходящихся при / = 0 к точке (0, Хо, 0, К), для которой г0 (хо, К) = 0, будет, следовательно, равномерно сходиться при |f|《 Г к скользящему лучу, являющемуся интегральной кривой гамильтонова поля ——方仆 (эти кривые образуют слоение множества касания, задаваемого уравнениями 尤i = gi = г。= 0 там, где "仆 * Ь; при "小=0 скользящий луч неподвижен). В силу дифференциального уравнения для (xv (0» Bv (0) эти функции на самом деле сходятся в С1.
На множестве касания имеем
3 = q d/d瓦一 h小 "学=-0/况卜
Поэтому —Нг、= Нр + ^Нз где функция % такова, что это векторное поле касается множества касания Xi = ^\ = го — 0. Инвариантно данное множество задается уравнениями р = ф ={р, <р} = 0, и поэтому функция X должна удовлетворять условию 明р + 入％Нр(р = 0, т. е. Л —Ярф/ЯфР.
Определение 24.3.6. Векторное поле
"： = / + ("帥/屬р)%,
касательное к G, называется скользящим векторным полем.
Альтернативная интерпретация состоит в том, что Нр есть гамильтоново векторное поле ограничения функции р на сим- плектическое пространство, в котором ф = {р, <р} = 0. Действительно, в наших локальных координатах это пространство определяется условиями х( = ^ = 0, и ограничением функции р является —го- Заметим также, что Нр =НР в G3, и поэтому векторное поле, совпадающее с Нр в G\Gd н с % в G* непрерывно. Векторное поле Нр, как подсказывает его обозначение, не зависит от выбора функции qp, и если заменить функцию р на gp, то Hpt как и "小 лишь умножится на g. Это приводит к согласованному изменению параметризации в следующем определении, подсказанном леммами 24,3.4 и 24.3.5.
Определение 24.3.7. Обобщенной бихарактеристикой гамильтониана р называется такое отображение
/ \ В э /1> у (/) w (S \ dS) (J G,.
где / — интервал в R и В — подмножество в /, что р,? = 0 и
y(f) дифференцируемо и */(/) = %(?(/)), если y(f) w S\dS или у (0 三 仇；
y(f) дифференцируемо и у7 (/) = Нр (у (/)), если у (/) w G \ G;
каждая точка fwB изолирована, y(s)wS\dS, если s*f и \s — f| достаточно мало, и существуют пределы у (/±0), являющиеся различными точками одного и того же (гиперболического) слоя границы dS.
Непрерывная кривая у, получаемая при отображении у в 2, называется сжатой обобщенной бихарактеристикой.
Это определение дано в инвариантной форме, но в условии (iii) молчаливо предполагается, что функция р может быть представлена в виде (24.3.1). Начиная с этого места, предположим, что координаты именно такие, и положим ?(/) = (%(/),
?(/))- Тогда функции /(f), F(f) непрерывно дифференцируемы в /,
dxf/dt = —Gr/d 匕 恋7 成=дг/дх\
Функция Xi непрерывна и имеет левую и правую производные 2gl (/干 0) также при / е В. Даже в этом случае правая и левая производные
lim 偽(f ± 8)—费(/ 土 0))/(±е)2+0
существуют и равны дг/дх^ всюду, кроме множества Gg, где эти производные равны 0. В частности, функции 工⑴，尤i(f)&(/) и g'(2) удовлетворяют равномерному условию Липшица, если кривая y(f) остается в фиксированном компакте. Так как ^ = г (х, У), то функция В? также удовлетворяет равномерному условию Липшица, а функция | 自i| условию Гёльдера порядка 1/2.
Если у(0)三(S\dS)U Gd, то бихарактеристика y(f) остается в этом множестве при малом f. Действительно, если у(0)е Gdr то вследствие леммы 24.3.4 при малом f не может быть отражения и y(f)在 G\Gd, поскольку данное множество замкнуто. Поэтому из условия (i) следует, что кривая /»—>у(/) при малом £ является просто орбитой поля "力 проходящей через точку Т(0)・
Если у(0)三 Gg, то кривая y(f) является при малом f скользящим лучом, проходящим через точку у (0). Действительно, существует окрестность точки т(0), в которой выполнено неравенство (2435). Если 尤i(f) и gi(f) не обращаются в 0 тождественно при малом f, то т«) есть ломаная бихарактеристика и при f->0 получается противоречие. Следовательно, т(/)е Gg и утверждение вытекает из условия (ii) определения 24.3.7.
Теперь займемся изучением обобщенной бихарактеристики в случае, когда точка у(0) близка к множеству G3. Пусть &⑴，刀‘⑴)-решение задачи
d (/, «)/力=一从。(/,限)；* (0)=犬(0), т/ (0) - g (0);
т. е. орбита скользящего векторного поля с указанными начальными данными. Вычитая эти уравнения из уравнений Гамильтона для компонент х\ g бихарактеристики у"), содержащейся в фиксированном компакте, при 0《 f《 Т получаем
Id(V — /, F - т/)/必|<Со(|х,-/| + |Г-т1/0 + Si.
При f (/) = Iх'(0 -/(01 + 1 F(0 -限⑺ I имеем
df(t)/dt^Cof(t) + ClXl(t), f(0) = 0.
Положим е(/)=А(у«), п'(/)) = г(1)(0, 9‘«), *(》，где «)= =力/d无卜Тогда
I U (%⑴，f(0) 一 e (力忌e2f⑴+ ез修⑴.
Это означает, что как для левой, так и для правой производных
d\ J (/) ydt^\e(t)\ + С2f (В + С3 修(/)・
Кроме того, имеем d%i(/)/dt ^ 2|gi(/) |.
Теперь рассмотрим решение л, Е, F дифференциальных уравнений
dX/dt = 23, d^/dt = I с (f) I + С?? + СзХ
也出=C0F +
при X(0) > %i(0), S (0) > |Ei(0) I, F⑼ > 0. Мы утверждаем, что Xi < X, |gi| < S и f V F на отрезке [0, Т]. Действительно, если s — наибольшее число《7, для которого эти неравенства выполнены на полуинтервале [0, sJ,to функции X —尤【，3—| 自」尸一/ возрастают на [0, s) и поэтому положительны в точке s. Итак, s = 7 н эти неравенства верны на отрезке [0, Т]. Следовательно, функции Xi, |gi|, f также оцениваются через решение уравнений (24.3.6) с начальными данными Х(0) = %1(0), 3 (0) = |gi(0) |, 尸(0) = 0.
Пусть 尸,X, S —решение уравнений ()
dX/dt = 23, d3/dt = С2Г + С3Х, dF/dt = С/ + &Х
с начальными данными Х(0) =尸(0) = 0 и S(0)= 1. Тогда Х«) =2/ +。(产)，F(t) = C^ + O^) при 0 и (X(f), 3(0, F(f)) = О(е") при оо. Дифференцирование дает решение этой же системы с начальными данными (2, 0, 0). Эти два решения позволяют нам решить уравнения (24.3.6) с начальными дан* ными xi(0), |gi(0) I，0. Это доказывает, что при 0《f《Г
修(/)《C*(\(/-s)|e(s)|ds + X|(0) + /|£(0)|),
I 瓦(/)区次(\ I е ⑻ I ds + 酬(0) +1 £ (0) |丿，
f (0<C^^(/-s)2|e(s) \ds + % (0) + 产隔(0) I
Это однородная система линейных дифференциальных уравнений £ постоянными коэффициентами. Решив ее, можно решить систему (24.3*6) с помощью вариации постоянных. — Прим. ред.
Теперь предположим, что у(0)е G*,々>2. В силу леммы 24.3.1 это означает, что е(0 = О(^*-2) при /->0. Из (24.3.7) получаем тогда соотношения 尤1(f) = 0(f在)и е1(/) = 0(f在一1), точно такие же, как для орбиты поля Нр, начинающейся в точке у(0), в случае, когда ей не препятствует никакая граница. Это значительно больше, чем дифференцируемость функций 修(f) и ^(0 в нуле.
Предположим временно, что у(0)е GA\G*+I при некотором ^ > 2. Тогда из леммы 24.3.1 следует, что
e (/) =。+。(匕) 或(/)=。他 一 2)/T(1 +。⑴)，
где 2а ="氣(丫(0))/(々一2)! * 0. Следовательно, функция е монотонна при достаточно малых f 5^ 0. Одной этой монотонности достаточно для определения y(f):
Предложение 24.3.8. Если у(0)е G3 и функция e(f) возрастает при малых f > 0, то для таких t кривая у (0 является траекторией поля Нр、начинающейся в точке у(0). Если у(0)е G3 и функция е(/) убывает при 0《f《7, то кривая ?(/) есть скользящий луч при 0《/《Т.
Доказательство. Предположим, что функция в(0 возрастает при 0 W f W Т・ Пользуясь введенными обозначениями, при 0 W f W Т получаем
修")=。(阳⑴)，j⑴=0径⑺)，/ (/)=。(因(/)),「⑴(%⑴，№) —外£)=。(得(/)).
Поэтому d^\/di = r(i)(x(0,自'(分)>0 (для левой и правой производных), если t достаточно мало. Поскольку скачки функции gi при отражениях должны быть положительными, то она возрастает. Если функция е равна 0 при 0 W f W 7, то никаких скачков быть не может и x\ — h— 0. Следовательно, у нас имеется скользящий луч в G3, являющийся также траекторией поля Нр. С другой стороны, если функция е не равна 0 тождественно при всех малых / > 0, то *(/) > 0 при / > 0, и поэтому функция %1 (/) строго возрастает. Итак, y(f)wS\dS и, следовательно, кривая y(f) должна быть траекторией поля Нр.
Теперь предположим, что функция e(f) убывает при 0《/ 《Т. Ввиду рассуждений, проведенных выше, можно считать, что е(/) не обращается в 0 тождественно при всех малых /, и, следовательно, e(f) V 0 при 0 V f W 厂 Тогда
「⑴(％ ⑴，У 〃)) = e(t) + O^e ⑺)< 0,
если Z достаточно мало. Как в доказательстве леммы 24.3.5, введем функцию
g (0 = £ (/)2 — *1 ⑺ r(D(X (/), &'(/))
и заметим, что
r(»)=-.%(/)"⑴(尤⑴，} ⑴)/国
Так как ввиду уравнений Гамильтона
d(f) = d”)(0, У), "'(/))/由，
Xi (/) = o (产с (/)), f (1) = 0 (Ре (/)), d/ (/)/由=2费(/) = О (勿(/)),d H (f) — / (О, Г (/) 一 М (/))/必=。(尸£ (/)),
то получаем, что
公⑴任(О, F (切/由 一 £‘ (0 = O(te (f))・
В силу очевидной оценки g(t) ^ —%i (0 r(i)(х(/), В7(0) имеем / W W g ⑴(一〃 (0 +。径《)))/(—£ (0 + О (阳(/))) 《g(t)(2ep)/£(D + a),
если f настолько мало, что |О(/2е(/)) |<|е(/) |/2. Поэтому
d (g (/)/е (們/山=(Н (/) — 2g (/) / (/)/“/))/£ ⑴ 2 < C tg (必e (济・
Так как g{t)/e{t)2 = О(/2)->0 при /->0, то, интегрируя это неравенство, получаем, что g(f)/e(f)2 = 0 тождественно. Доказательство предложения закончено.
Конечно, таким же образом можно действовать при / < 0. Поэтому, в частности, доказана
Теорема 24.3.9. Пусть f^—»y(f) — обобщенная бихарактеристика и у"。)三 G\G°°. Обозначим через ?g скользящий луч, для кото- 卩02。丫8(力)=Y(fo). Тогда в односторонней проколотой окрестности точки /о 力〃6о yg(f)wGg “ Y(f) = ¥g(f), либо yg(t)^ Gd “ у(О = ехр(/Яр)т(/о).
Следствие 24.3.10. Обобщенная бихарактеристика, не пересекающаяся с множеством G°°, однозначно определяется любой из своих точек. Обобщенная бихарактеристика постоянна, если она содержит точку множества G\G% в которой Яр — 0.
Следующий пример показывает, что однозначность не всегда имеет место, если монотонность в предложении 24.3.8 нарушена.
Пример 24.3.11. Ниже построен пример выпуклой С°°-кривой у = f(x) В R2, для которой f(x) — O при х < 0, и вписанной в нее ломаной с вершинами, сходящимися к нулю, удовлетворяющей закону отражения. Это условие означает, что если 夕={(力,у, f)w R3； у/(尤)}, то наша ломаная с переменной С определяемой как длина дуги, и двойственными переменными
1Q Зак. 443
&, г], т, определяемыми равенствами т =—1 и(|, “)=(dx/df, dy/dt)\ есть ломаная бихарактеристика дифференциального оператора D? — jD^ — D^, приближающаяся к некоторой точке (0,0, /,—1, О,—1) и не являющаяся скользящим лучом. Чтобы построить кривую и ломаную с такими свойствами, выберем сначала ломаную с вершинами
(办，九)= £ Л2 (cos ар sin а；),
где последовательность а/ убывает и tg((а/ — a/+i)/2) = 2T. Итак, тангенсы половин внешних углов равны 2T. Выберем такую выпуклую С°°-функцию g(x), что g(尤)=—х при 尤V。и
g(x) — 2(x— 1) при 尤 >L Тогда график функции (0, ^~2)э х i-^^g^x)/^ после поворота на угол ак и сдвига в точку (^а+ьУа+1) определяет искомую кривую при 论 > 论о. Справа от первого из таких интервалов можно воспользоваться линейной экстраполяцией. Тогда такая кривая принадлежит С°° при 尤 > О и все производные функции f стремятся к 0 при х->0. Поэтому, если определить f(%) = 0 при х ^ 0, то f е C°°(R).
Для мотивировки определения обобщенных бихарактеристик мн изучали пределы ломаных бихарактеристик на множествах Ga и Gg. Теперь будет доказано, что пределы ломаных бихарактеристик на самом деле являются обобщенными бихарактеристиками. Более общим образом, предположим, что у нас имеется последовательность обобщенных бихарактеристик [a, b] m f 1炉«)三/(, где компакт kuS. Если Y”(f) = (х”«), £(/)), то уже было замечено, что функции £(£),力：")&«),自："户 и F'(f) равномерно липшицевы. Поэтому некоторая подпоследователь* ность этих функций равномерно сходится.
Предложение 24.3.12. Пусть [a, b]m f —¥”(/) = (х*(£), F(f)) — такие обобщенные бихарактеристики^ что функции х*(/)', 灯(/)&；«)，g：(f)2 以 H'(f) равномерно сходятся при v—8・ Тогда
существует и единственна такая обобщенная бихарактеристика [а, Ь] э /|-^у(0> 4To yv(f)fY(f) равномерно для значений 厶 принадлежащих любому компакту s [a9b]t на котором нет точек отражения бихарактеристики y(f).
Доказательство. Пусть ^о — такая точка, что предел последовательности £(幻 не равен 0. Тогда y(f)= Umyv(t)^S\dS существует равномерно в окрестности точки 力.Из уравнений Гамильтона следует, что имеет место С^сходимость и что кривая Y(f) также есть траектория поля %. Теперь пусть /0 — такая точка, что х? (/0) -> 0, но предел последовательности /(幻？ не равен 0. Так как dxi (/)/df = 2^?(/), то в силу теоремы о неявной функции существует такая последовательность % f 尿 что х? (/v) = 0. Тогда в не зависящей от v окрестности точки % кривая 丫~(/) есть траектория поля Яр, приходящая в точку 丫寸(/” 一 0) при f V А? н уходящая из точки у"(£” + 0) при f > t* Это доказывает, что предел 丫(力 + f) = 1皿炉仏 +/) существует при малом фиксированном /=й=0, и поэтому при малых / > 0 или f V 0 сходимость имеет место в С1. В пределе получается ломаная бихарактеристика.
Пусть Т — замкнутое множество всех тех t 三[а, b], для которых £ (/)->0 и g；(f)->0・ Тогда предел y(f) = Нт炉«) существует равномерно по t ^Т, причем y(f)w G. Существование предела уже доказано для всех точек множества [а, Ь]\Т9 кроме счетного числа точек отражения. Если у (/о)三 G$ (или Gg) при некотором 力三 7, то из лемм 24.3,4 и 24.3.5 вытекает, что последовательность yv(Z) равномерно сходится в окрестности точки f() к траектории поля Нр (соотв. к скользящему лyчy)j проходящей через точку 丫(力).Если 7(f0)^ G3, то, применяя оценки (24.3.7) к функциям 丫寸(£ — f0) и устремляя v к бесконечности, получаем, что 力i(f) = 0((f — fo)§), Ei (f)= O((f — to)?). Поэтому функции ;q(f) и gi(0 дифференцируемы и их производные равны 0 в точке 力.Из уравнений Гамильтона для £', £* следует, что функции W(f), E'(f) всюду дифференцируемы и что их производная равна —"% (力(％ g(f))・ Это доказывает, что кривая 7 является обобщенной б их ар актер истиной.
При любом е > 0 имеем |yv(0 — T(f)|V& УТ, если V > v(e). В силу равномерной непрерывности функций 力;,|&；|, Ь‘ при V > v(e) получаем, что |炉«) — у(0 I < 2е для всех точек f из окрестности V множества Т, не зависящей от v. На любом компакте, содержащемся в [а, 6] W и не содержащем точек отражения кривой ?(/), имеет место равномерная сходимость, что завершает доказательство утверждения о равномерной сходимости бихарактеристик 汜
Наша следующая цель —показать, что через каждую точку множества 2 проходит обобщенная бихарактеристика, являющаяся пределом ломаных бихарактеристик. Для этого нужно сделать некоторые предварительные замечания, касающиеся би- характеристического потока. Пусть р^Сж(S), где S — симплектическое многообразие, и пусть s0, si — точки из S, для ко* торых p(Sq) = p(si) = 0 и exp(/o/7#)s()= si. Тогда существуют такие окрестности So и Si точек 团 и si, что множество
{(% s")rSdXSi； p(s') = p(『) = 0, s〃 = exp(f%)s‘
для некоторого /, близкого к %}
является каноническим отношением. Действительно, можно так выбрать симплектические координаты у, ”, обращающиеся в 0 в точке si, что р = r)i в некоторой окрестности. Обратный образ (力,Е) координат (弘 т|) при отображении exp(foHp) задает симплектические координаты вблизи 团，равные 0 в этой точке, и равенство р = 0 эквивалентно здесь условию 兔=0 (см. § 6.4). Тогда рассмотренное отношение принимает вид
{(%, Е； У> П)； J = П1 = 0, ^f — Уj и 畐=П/ при j*l*
откуда очевидна его каноничность (см. также предложение 26.1.3).
Теперь вернемся к рассмотрению гамильтониана (24.3.1) в выпуклой окрестности точки 0 w 7*(R+), где предположим, что др/д^п > 0. Из этого следует, что dxn/dt > 0 для его (обобщен* ннх) бихарактеристик, а также что отображение
{(% 9； p(/ 自) = 0}m(/ S
&т,以，…，Ji)wT (R“t)
инъективно и имеет биективный дифференциал при фиксированном хд. Обратный образ симплектической формы в T*(Rn) при отображении, обратном к этому, есть симплектическая форма в T*(Ri)・ При фиксированных s, f 三 R рассмотрим отображе* ние £ переводящее (хь .... |ь ...» Е“т) в (执
"h ..., т)л-1), если существуют такие 匕帛 и т)л, что гамильтониан р обращается в 0 в точке (хь ..., хл«ь s, gb ..., £以)w S и на* чинающаяся в ней траектория гамильтонова поля Яр приходит в точку (уь …勿т,厶 т)ь •・・，％)，не выходя по пути на гра^ ницу многообразия S. Данное отображение является каноническим преобразованием, так как оно получается ограничением ка- ионического отношения, описанного выше, на фиксированные хл и уд. По этой же причине отображение %$(尤ь ...» 尤％_卜 gi, •…,En-i) = (/, г)7), определяемое первой точкой (0, /, ^/lagln')"} П)трансверсального пересечения соответствую”
щей бихарактеристики и границы многообразия, также есть каноническое преобразование. Взяв композиции таких приходящих и уходящих канонических преобразований, получаем:
Предложение 24.3.13. Пусть р имеет вид (24.3.1) в выпуклой окрестности S точки OrT (R+), где др/д^п > 0. При s, / е R определим
Х« (*^1> • * •» ^л—1> 自1，• ' • > ^л—1)== (i/b * • • > Уп~Ъ П1，• • • > П修—1)， если существуют такие % и “小 что точки (хь ...,无修一卜 s, gl, ...» 匕)W Jh・・・, 玖一l, f, m, •••,小)Являются нулями функции р в 5, связанными ломаной бихарактеристикой, лежащей в S. Если s и t достаточно малы, то Xs есть симплектическое пре- образование^ определенное в открытой окрестности точки 0 6 夕YRJi) всюду, за исключением некоторого множества меры 0.
Доказательство. Если отображение Xs(^ь .・・,xn_b Е】,...,自修-卩 определено, то рассматриваемая бихарактеристика имеет конечное число ^ точек (трансверсального) отражения. По теореме о неявной функции такие же ломаные бихарактеристики найдутся для всех точек(Xi, ・・・, K-i) из некоторой окрестности точки (хь ..., Ел-i)； являясь композицией N + 1 симплектиче- ских С°°-отображений в /«RaI), отображение х? определено, симплектично и принадлежит С°°. В силу того что на обобщенных бихар актер истиках функции х, |gi|, Е，равномерно непрерывны, найдется такое 6 > 0, что при |sf+|f| V 6 отображение 弘 определено и равномерно ограничено на множестве А всех точек (jq, .,., &т), для которых |xi|+ ... +|E”-i|V6, если только начинающиеся в этой точке ломаные бихарактеристики не подходят произвольно близко к точкам множества G до того, как x” = L Выберем е так, что (/ — s)/e — большое полежи тельное целое, и пусть Ле — множество тех точек из Л, для которых к】 We2 H |^i| < е в некоторой точке у(т). Тогда из оценок (24.3.7) следует, что х{ ^ Се2, ||i| ^ Се в точке у (vs), где V — наибольшее целое, для которого vs ^ т. Множество точек (Xi, ...»gn-i), для которых 0 &м VC* |Ei]&Ce и 也,・・・,%т ограничены фиксированными величинами, имеет меру О (в3), равную мере его обратного образа при симплектическом отображении хГ- Суммируя по целым положительным v W(f — s)/e, заключаем, что мера множества Ле есть О (в2). Поэтому множество П 4 имеет меру 0, что завершает доказательство пред^ е>о
ложения.
Следствие 24.3.14. При выполнении условий предложения 24^. 13 найдутся такие число 6>0 〃 окрестность V точки 0 в Т(R*).
что для каждой точки уо ^ V(] Р-1(0) существует обобщенная бихарактеристика (—б, 6)э /н->у(/)е S, для которой у(0) = у0 (если бихарактеристика у«) имеет при / = 0 точку отражения^ то это означает, что у(+0) = у。или 丫(一0) = 丫。).
Доказательство. На основании предложения 24.3.13 найдутся окрестность V и число 6, для которых такая ломаная бихарактеристика существует для каждой точки у。® V ПР-1 (0) вне множества нулевой меры на многообразии р~】(0) даже при фиксированном 无小 Поскольку эти ломаные бихарактеристики равномерно непрерывны, то из предложения 24.3.12 следует, что обобщенная бихарактеристика существует для каждой точки 丫“
Замечание. Это следствие и стандартная теорема существования для векторного поля Нр во внутренности многообразия S позволяют доказать справедливость такой же глобальной теоремы существования для обобщенных бихарактеристик, как для бихарактеристик на открытом многообразии. Данное доказательство может быть также использовано для получения обобщенных бихарактеристик, глобально являющихся пределами ломаных бихарактеристик. Ввиду следствия 24.3.10 каждая обобщенная бихарактеристика, не пересекающаяся с множеством G00, есть предел ломаных бихарактеристик. Но вопрос о том, может ли каждая обобщенная бихарактеристика быть получена как такой предел, является открытым.
Теперь докажем более сильную теорему существования для обобщенных бихарактеристик, которая понадобится при доказательстве обобщения теоремы 24.2.3.
Лемма 24.3.15. Пусть выполнены условия предложения 24.3.13, и пусть р — такое замкнутое подмножество в S П Р* (°), что:
Если Y®F\(GgUG3), то множество F содержит окрестность точки у на ломаной или имеющей точку дифракции бихарактеристике, проходящей через у.
Для каждого компакта Ku^niGgUG3)以 любого 8> 0 существуют такие 6 > 0 а уе (/, 丫。)三尸，一6《f《，Yo®K, что (24.3.8) I (Ye(/, Yo) - Yo)// -成(Yo) I' V % 0 V | f | & 6.
Здесь Яр (y0) — касательный вектор скользящего луча, и для вектора и w T*(^n) = R2n через |u|z обозначена евклидова длина вектора, получающегося, если опустить у v компоненту &. Тогда для каждой точки 丫。三戶 существует обобщенная бихарактеристика y(f), f_ V f V f+, для которой f_ V 0 V 4, Y(°) = Yo, Y( (L, f+))u 尸1 “ кривая y(f) покидает каждый компакт с 尸 при 口餐
Доказательство. Так как на обобщенной бихарактеристике dxn/dt =др/д^л > 0, то достаточно показать, что для каждой точки 丫0 компакта К и 尸 существует содержащая ее обобщенная характеристика, концы которой принадлежат границе компакта К в F. Для этого сначала выберем 6 в соответствии с условием (ii) при некотором малом 8 > 0, а затем определим приближенную обобщенную бихарактеристику следующим образом. Если у。浜 GgUG* то определим уе(0 как (ломаную) бихарактеристику для 戸 с уе (0) = уо» продолженную на максимальный интервал, где она существует и содержится в /С Тогда либо этот интервал содержит все положительные f, либо полученная бихарактеристика определена лишь при О W f V т・ Предел кривой Ye(f) при f —t должен тогда существовать и принадлежать множеству Gg U G3. Теперь определим уе(/) при tVf《t + 6 по формуле
Ve(0 = Ye (力 + (Ye (6, Ye (Q) — Ye (D) G —幻/，
где использована функция из условия (Н). Действуя аналогично при отрицательных /, за конечное время t мы выйдем на границу компакта К в F, так как на полученной кривой [f-M)： f+(e)]э /ь-»уе(^) производная dxn/dt имеет положительную нижнюю грань. Поэтому концевые точки построенной кривой принадлежат границе компакта К в 尸.Поскольку координаты, отличные от gi, равномерно липшицевы, найдется такая последовательность е/ ->0, что для нее, как в предложении 24.3.12. существует предел y(f)wE Так как множество Gg U G3 зам* кнуто, то, как и там, кривая 丫 兄в』#етсн ломаной бихарактеристикой всюду вне этого множества. Если y(f)wGg, то при малом \s — f| кривая y(s) должна быть скользящим лучом, проходящим через y(f)・ Действительно, если y(s)陆 Gg при некотором s в любой окрестности точки /, то из леммы 24.3.5 следует, что здесь мы имеем дело с ломаной бихарактеристикой. Итак, y(s)wGg при малом \s — f|・ Поэтому %i(s) = Ei (s) = 0 и
d(/(s), l(s))/ds = -〃a(/(s),门s)),
так как производная этих- компонент на кривой уе равна —Яг(уе(5)) или — “г。(yJs) +0(6)) вне конечного числа точек. Наконец, если у (0 е G3, то таким же образом получаем, что компоненты (尤(s),*，(s)) дифференцируемы в точке f и имеют в ней производную (0, —ЯГо (^ (0> ?")»• Остается доказать, что компонента K(s) дифференцируема и имеет производную 0 в точке 匕 т. е. что ^(s)2 = r(x(s), ^z(5)) = 0((s — £产).Теперь
IГ(X (s), F (s)) 1 +1 r⑴ a (s), У (s))\ = O(s-t)9
так как левая часть равенства липшицева и равна 0 в точке 厶 Левая и правая производные функции r(x(s), g，(s)) совпадают с r(i)(x(s), g(s))d#i/ds, так как в силу равенства d(Z(s), g(s))/ ds = — Я? (л (s),自，(s)) остальные слагаемые сокращаются. Здесь левая и правая производные dxi/ds равны 土三i(s) = ±r(x(s), V(5))I/2» н поэтому производные функции r(x(s), F(s)) являются величинами O(|s —叶嚣履).Итак,
r(x(s), У (s)) = о(| ST『2),
что завершает доказательство леммы.
В § 24.4 и 24.5 будут соответственно проверены условия ⑴' и (ii) леммы 24.3.15 для множества WFb(u) в случае, когда и есть решение дифференциального уравнения второго порядка с гладкой правой частью, имеющее гладкие граничные значения; условие (i) в этом случае уже частично доказано в теореме 24.2.1.
24.4. Случай дифракции
Как в § 24.2, предположим, что Р — дифференциальный оператор второго порядка с вещественным главным символом р и С°°-коэффициентами, определенный на С°°-многообразии X размерности л с нехарактеристической границей дХ. Настоящий параграф посвящен доказательству следующего аналога теоремы 24.2,L Напомним, что множество дифракции G^u T*(dX) можно отождествить с подмножеством множества Т*(Х) |ах.
Теорема 24.4.L Пусть u, fwH(X), uow2X(dX), и предположим, что
、24・4・1) Pu = f 8 X\dXt u = uQ на дХ.
Если у 曰(WFb(u)(\ G)\ (呼凡(f)U WF(u0)), то окрестность точки у на траектории поля %, проходящей через точку у, содержится 8 WFb(u).
В доказательстве можно снова считать, что X и R* = = {xwR"; Х!>0)и р(х, &)=目一г(х, ?). Итак,
P = Q：-r(x, ^-tut^Df-RoM.
Если с есть С°°-функция, то оператор и ь-> е-^Р (еск) имеет тот же главный символ, а коэффициент R】 заменяется на Ri ——2Dit. Поэтому от члена с D\ можно избавиться и в дальнейшем счи* тать, что
P = Dl^R(x, /У),
где R ——дифференциальный оператор по переменным /=(尤2, -.., хл) с главным символом 尸(居 У). Можно считать, что его коэффициенты имеют компактный носитель.
Первый шаг доказательства состоит теперь в обобщении энергетического тождества (24.1.2) путем подстановки вместо оператора первого порядка £ 产。工 оператора, являющегося псевдодифференциальным вдоль границы, но дифференциальным первого порядка по %1. В дальнейшем удобно» чтобы общий порядок этого оператора равнялся 0. Поэтому положим
Q(/ D) = Q《，D^D. + Q.^。，
где Q/ — псевдодифференциальный оператор по переменным х‘ порядка —j с главным символом %. Предположим, что Q самосопряжен:
Q* = Q, т. е. Q； = Qi и Qo = QO""lDi> QiL
Из этого следует вещественность символов % и 仆 Пусть 〃 ® С/(X), и положим Uj = D〈u. Обозначая через (・，・)х и (•, -)5л обычные полуторалинейные скалярные произведения в X и Зх, докажем, что верна
Лемма 24.4.2. Пусть операторы Р, Q имеют вид (24.4.2% (24.4.3) и выполнено условие (24.4.4). Для ugCq (R+) верно тождество1
2 Im(P«, Qtt)x = £ (Я/*« /У) «*,勺)ах
+ £ (а，爲 iy)uki 勺)х・
Здесь В〕】==Q(, Boi ^ Вю 5= Qg，Boo== Qi(R + R )/2 fipu X)= 0, главный символ с及(порядка 1 — j—々)оператора С^ веществен, q)i = С]。и
£ cjk(x, ?)学"={р, g} + 2q Im p“
冰
. nn
p,(x,『)£ 咫 a,『)一Z R№)&
—субглавный символ оператора Р.
^Доказательство, Сначала подсчитаем вклад, который вносит слагаемое D?:
((D泣 Q〃)x —(Q% I^ij^ll^iP^ Q〃)dx + (Q% Q晞x 十((£>M Q0i〃)4+(0m [。卜 Q]〃)x—(Q4〃, 4〃)x—([4，Q]〃, D®4Ml.
Ввиду условия (24.4.4) еще одно интегрирование по частям приводит к равенству
((DM QDiU)x — (QDjU, £>i〃)x)/i = —(QA〃，Dj«bx.
Сумма получившихся граничных членов равна граничным слагаемым в (24.4.5) с / * 饱 *0. Оператор [£h,Q)/i самосопряжен и имеет главный символ —dq/dx^ что дает вклад 2^! dqldxx — {吕，g} в сумму (24.4.6) от слагаемых второй суммы в тождестве (24.4.5).
Остается изучить выражение
((Q〃，R% — (R〃，Q%)//・
Для этого положим R = R' + iR", где операторы R' и R" самосопряжены. Оба они действуют по переменным х\ и оператор/?" имеет порядок 1. Теперь
((Q% RS)x-(RZ Q幻x)" = (AZ Qi〃)dx + (【R‘，Q]〃，％小
-(R"〃，Q〃)x — (Q〃，R"价x = — (Q/"% D间x
—(R"QDu, “)x — ((Qo/?' + R Qo) % 〃)x,
что дает член Boo = QiR' в тождестве (24.4.5) и вносит в сумму (24.4.6) вклад—{г, q} —2q严,где 尸=―Imps — главный символ оператора R"・ Доказательство леммы закончено.
Теорема 24.4.1 будет доказана с помощью оценки, которая выводится из тождества (24.4.5). Чтобы увидеть, какие условия следует наложить на Q, заметим сначала, что если и = 0 на @Х, то (BnUi,u\)dx есть единственный граничный член тождества (24.4.5). По строгому неравенству Гординга (теорема 18.1.14) его можно оценить сверху величиной С|| ut (0,-)||^_i), если % & 0. Если £。№ (%, F) *+启 & 0, то
Е 3 а,『)z飼 < о,偽，zj 三 с2,
так как матрица (с,倉)вещественна и симметрична. Поэтому строгое неравенство Гординга для систем (см. замечания после теорем 18.L14 или 18.6.14) показывает, что вещественную часть второй суммы в (24.4.5) можно оценить сверху через С X ||«；||(0, -/), т. е. в силу теоремы В.2.3 черезС||м|Й, -i). (В добавлении В полупространство R+ определяется неравенством 尤“》0, в то время как здесь оно определяется неравенством %】^ 0; это изменение обозначений не должно приводить к путанице.) Фактически мы используем несколько видоизмененный вариант точного неравенства Гординга с разными степенями, приписываемыми компонентам 勿 и 〃q, точно как в теореме 19.5.3.
Он следует из обычного варианта как в доказательстве этой теоремы..
Для вывода оценки из тождества (24.4.5) нам, конечно, понадобится сделать сумму £ 勿(к,自')自/十无 строго отрицательной в некоторой важной области. Это будет достигнуто таким выбором символа д, что HPq V 0 н что в некоторой важной области неравенство строгое. Однако это удается сделать лишь на множестве, где р (х, g) = g? — г (х, р) = 0, т, е. q будет убывать вдоль (ломаного) бихарактеристического потока. Следующая лемма позволит нам воспользоваться этим более слабым условием положительности.
Лемма 24.4.3. Пусть У — открытое подмножество 8 R* = {у 曰 R"; yi ^ 0} и г е С°°(У). Предположим, что функция г вещественнозначна, dr при г = 0 и что дг/ду\ > 0, если г = у\ =dr/dyj = 0 при / * L Пусть
о
—такой многочлен второй степени по t с коэффициентами из С°° (У), что
А& 加=—屮(厶亦 при ^ = r(y),
где ф еС°° (R XУ)・ Тогда найдутся функции 我，фь g еС°°(К), для которых Ф0(^) = Ф(°.力 屯(9)=外(0, 9)/0/ при r(g) = O u
А (/, g) + 他(g) + 屯(g")2 & g ®)俨-г®),
/s R, g 三 У.
Доказательство. Если r\y\> 0, то положим，3 = s2 H заметим, что
to(y) + ti(y)( = t(t. У) при f=±s
в том случае, если
2o® = (2(s, 9)+ W(—s,加)/2,屯(乡)=(2(s,加一2(—s, g))/2s・
Ввиду теоремы С.4.4 можно выбрать такие функции Т/ е C°°(R X У), ЧТО
伸(s, y) + ^i-s,9))/2 =唯(炉，办2(s,切一2(—s, 9))/2s =用(s?, y)
в R X У. Поэтому 屯(9)=屮/(，(乡)，9)u С8(У) и функция
8 (/, g) = 4 (厶9)+ (фо е)+ 5 (y) О2 一 (饱(G + 屯®产)們-г (力)
линейна по / и обращается в 0 при 尸=г(у] (здесь также можно было бы применить подготовительную теорему Маль- гранжа). Представляя ее в виде
В(/, y) = bl(y)t + b0(y),
заключаем, что &/({/) = 0 при r(g) ^ 0. Далее,
В& 9)《f 匂)(户一r(g)),если f(y) = O при г (у) > 0 н f(g)扌尸(g), гдеF{y) = \bx (g) Wr(f/)产 +1 b°(圻 |/| r ® |.
Здесь F = О(|гр) при любом ^ на любом компакте КиУ. Действительно, по теореме о неявной функции для любой точки gw К, в которой г (у) отрицательно и достаточно мало, можно найти такую точку у^У9 что г(у) = 0 и \у —у\ ^ С\г(у) |. Поэтому лемма 24.4.3 является следствием такого утверждения:
Лемма 24.4.4. Пусть Y и г удовлетворяют условиям леммы 24.4.3 u F—такая неотрицательная функция, обращающаяся 6 0 при г > 0, что F = О(|гР) при любом ^ на любом компактном подмножестве множества У. Тогда существует такая функция f 三 С00(У), что F ^f и f = 0 при г》0.
Доказательство. Локальные решения этой задачи могут быть склеены воедино с помощью разбиения единицы. Поэтому можно вести рассмотрение на компакте К, в некоторой точке которого 尸 V 6. Положим
尸1 (0 = sup {尸(无)；г (尤)> —f} при 7 > 0;尸](/) = 0 при /《0・ Тогда функция 尸i возрастает и имеет нуль бесконечного порядка при / = 0. Пусть еще
fi (/) 士，F^ts) % (s) ds/s =，尸 1 (s) % (s/f) ds/s, где функция %wC〕((l, 2)) неотрицательна и ，％(s)ds/s=l. Тогда 九》尸i, так как функция 尸】возрастает,方=0 при /《Он 仰般(0 « ,尸 1 (s) Xfe (s/f) ds/s = J 尸 1 (sf) Xft (s) ds/s, где Xo = x и 箍+i«) = —々加(/) — /%[(/)三 С；. Правая часть последнего равенства оценивается величиной
巴⑵),1 器(s)|ds/s = o 俨+1),
и поэтому все производные функции 厶 стремятся к 0 при ff 0. Это доказывает, что 厶 w С°°, и, следовательно, функция
f = А (—г) имеет требуемые свойства. Доказательство леммы закончено.
Лемма 24.4.5. Пусть 4/左三 STt(R"X Ri), /,々 = 0, 1, имеют вещественные однородные главные символы а『左(х, Е'), равные 0 при большом |х|, и Ooi = аю. Предположим, что
Х^(х, У居产=—2(х,孑 при ^г(х, П,
где функция 巾 w С°° (R“ X (Rn \ 0)) однородна степени 1/2. Далее предположим, что dr/dx, > 0 или что dr/d(x\ g) =/= 0 на U supp а抬. Тогда существуют такие ^(х, g)三 S“2(R" X R"】)〃 ^(х,自‘) uSi2(R“XRZ) с главными символами, равными 屮(％, Е) 〃 6屮(2自)/焚1 при ^ = г(х,自‘)= 0, что для любой функции и^С^(R+) и любого к 三 R
Re £ (厶筑(х, 〃')D^u, 0®)х + || % (х, О) а
+ 照(居 Dr)D^x
《JU1cт + Н%(°，)l(-f IM。，)脇+ 产哦一))・ Доказательство. Выберем такие С°°-функции % (х, g) и 屮【(％,『)， однородные степени 1/2 и —1/2 соответственно, что фДх, ^) =d仲(х, E)/d§ при ^ = г (х, У) = 0 и что
£ а加(х,『闱+е + (ф0 (х,『)+ % (х, Г)畐)？
&ga, У)隅一，а,『)),
где g — некоторая С°°-функция, однородная степени —1. Это можно сделать на основании леммы 24.4.3, положив у=(х, g)： и / = gi. Требуемая однородность получается взятием ограничения на множество, где |У| = L и последующим продолжением по однородности. Функции -ф/ и g можно выбрать равными 0 при большом |х|. Для операторов Т/ и G с главными символами ф/ и g рассмотрим выражение
Re £(4/(х, £>')/, а,%
+ X (^(Х, О)雪(х, /У)乙，〃/)х —(G(x, О)/, %)х
+ (G(x, 8R(x,⑺必,％.
Главный символ суммы всех входящих в него операторов отрицательно полуопределен в силу (24.4.10), и поэтому из строгого неравенства Гординга, как отмечалось выше, следует, что оно может быть оценено сверху величиной CQ〃o雷 °)+j〃i£ _[)•
Положим uk = D^u и заметим, что сумма двух последних слагаемых в (24.4.11) отличается от (—G(x, Df}Put и)л на (G(x, ZT)Z)衿 〃)x-(G(x,犷)£>产,Ri/%
= i(G(0, x； ZT)3a(O, •), 〃(0,・))ox — (【3, Gg Df)]DlU, %.
Так как оператор [Di, G(x,Df)] имеет порядок —1, то последнее слагаемое оценивается через C[|u||(o, o)!l^i«ll(ot-i)； граничный член можно оценить через Сх||О]«(0, •)||(-x_i)||u(0, -)||(4)- Ввиду теоремы В.2.3 доказательство леммы закончено.
Замечание. Иногда мы будем называть выражение £ а^^к главным символом формы £(力後(匕 D') D^u, 片〃)『
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы начать доказательство теоремы 24.4.1. Как и выше, предположим, что Хи R， оператор Р имеет вид (24.4.2) с коэффициентами из Со(R+) и что у = (0, go), So =(0,由・ Заменяя X на меньшую окрестность X = ХоX [0» с) точки 0, можно считать, что WF(f), а поэтому и WF(u), не содержат над ХоХ(О, с) элементов (х, ^) с *'= 0. Эти предположения не нарушатся, если умножить и на срезающую функцию, равную 1 вблизи точки 0. По этому будем считать, что 〃三參(>).Отметим, что, в силу теорем 18.1.36 и 18.3.32, а(х, Df)u е С00^) (соотв. а(х, D')f wC°°(X)), если символ а е 5°°(Rn X Rn-1) имеет порядок —оо в проекции конической окрестности множества WFb(u) (соотв. WFb(f}) на R%X(Rz\0)・
Выберем теперь такую открытую коническую окрестность точки (0,匐 в X X (Ri \0), что
(/ Г) w №,片 *。今(X, Е)陆 WF (f);
(0, f, g)w№今(k 1)柒№&⑺ 1]№尸他)；
(x, У)三 № 今力(％, 1)/0%1 > 0.
Это возможно, так как множества WFb (f) и WF(u^ замкнуты и условие у w Gd означает, что г = 0, дг/дх\ > 0 в точке у. Предполагая, что на бихарактеристике гамильтониана р, проходящей через точку у, существует такая точка у。*у, что би- характеристический интервал [у0> у] лежит над W и 丫。幾犷戶(〃), мы должны доказать, что (0, &J)^ WFb(u). Пусть на этой бихарактеристике точка у лежит после точки уо； когда точка уо лежит после точки у, доказательство совершенно аналогично. Выберем открытую коническую окрестность Го точки уо в Т*(Х°)\0, для которой ГоП WF(u) = 0. Пусть Fo — множество всех таких (х. g')w», что если 尸(无,g')》0, то суще-
ствуют бихарактеристические интервалы, возможно, ломаные, с одной точкой отражения или касания на 0Х, лежащие над W и имеющие начальную точку в Го и конечную точку (xt ±г(х, ^)1/2> ^)- По соображениям непрерывности Wq — открытое подмножество в W. Ясно, что множество Wq коническое и содержит точку (О, Е0・ Мы докажем, что х(х» Df)ue С°°, если ywS。и conesuppxcz Wq. По теореме 18.3.32 из этого следует, что (0, ^)若历^^(卫)(П°Д cone supp% понимается наименьшее замкнутое коническое множество, содержащее supp%).
Из теоремы 24.2.1 и из (2424) известно, что
{(』，Г)； (0, х； У) w К。，(/, Г) е 呼&(〃)} и G*
если рассматривать Gd как подмножество в Т*(<5Х0)> и что множество
{(居目 w KF (吟修 > 0, (х, Г) а V。}
содержится в лежащей над WQ части образа множества Gd при движении вперед под действием потока поля Нр. Поэтому на нем & > 0 (напомним, что & строго возрастает на (ломаных) бихарактеристиках, так как дг/дх\ > 0, и что на них dx\/dt =2^i). Действительно, если точка (х, ^) не содержится в этом образе, то определение 呼。показывает, что при движении назад из точки (х, &) бихарактеристика обязательно попадает в Го не более чем после одного трансверсального отражения и при этом ее проекция остается в W.
Более того, теорема 24.2.1 приводит к включению
% (%, Df) (4 - Л+ (х, D”"三 С® (X),
если %wSQ и г > 0 на cone supp %cz Wo, Здесь оператор Di — Л+(х, Df) в разложении (24.2.6) определен на уровне символов при г > 0, и поэтому его композиция с %(尤,О') определена с точностью до оператора порядка —8. Для доказательства достаточно заметить, что, двигаясь назад из точки (х, —r(x, Е‘) "2, Е‘) с (х, Е‘) w cone supp х，бихарактеристика остается над W до тех пор, пока она не попадает в Го> и что на ней г (х, ^) = ^2 > 0, так как при движении по бихарактеристике назад координата gi убывает.
Нам также понадобится микролокальиая форма теоремы В.29
Лемма 24・4.6・ Если при сделанных предположениях %(х, Dz)a wfJ(m>s> для всех % е 5°, для которых cone supple: Wq, то ^(х, D)и w Я(т+ь s-i)для всех таких символов %.
Доказательство, Поскольку
D^ Z/)u = x(x, O)f + R(尤，“у(%。)〃 + 俨，х(匕 D^u
и R Х(х,少)]=左(尤，/У)5 + хо0 D) где символы X/ порядка 1 — j имеют порядок — оо вне cone supp х» то %х (尤，。')〃 е Я(т-1, s-ir Теперь из теоремы В.2.3 получаем^ сначала, что D^(x, Df)u^H(mtS-\v и затем, что у(匕 ГУ)и^Н{т+[, s_ir
Так как и е Л(т, ®)при некоторых zn, s, то, повторно пользуясь леммой 24.4.6, заключаем, что при некотором s
%(*, //)〃曰％心，％(*, О)?%.产片st)(R”t)
для всех символов у R S°, для которых cone supp у и WQ. Доказательство теоремы 24.4.1 будет закончено, если доказать импликацию (24.4.15) s => (24,4.15) 5 +1/2, поскольку в силу леммы 24.4.6 тогда можно будет заключить, что %(х, Df)u е С°° для всех символов у 曰 S° с cone supp % и %. Решающим этапом этих индуктивных рассуждений является
Лемма 24.4.7. Предположим, ”。g (修 &) = qx (х, ^) ^ + qQ (х, g), где коэффициенты 分三 С"(R" х (爾т \ 0)) сосредоточены в 咻 и однородны степени —厶〃 пусть ^ (0, х\ у)= —f(X, g)2 для некоторой функции / е С°°. Далее9 предположим, что при неко- торой постоянной М
{", «} + дМ| У 1 =—外 + р居1 — i) uq — v2 при р = 0, где функции 也 о е С°°(Rn X (R^1"1 \ 0)) имеют носители над множествам 呼° и однородны степеней 1/2 и 0, а функция реС00(Rn X(R"i \ 0)) однородна степени 0 и г>0 на множестве suppp, содержащемся е Wo. Если 〃 удовлетворяет уело- виям (24,4.1) и (24.4.15)s, М больше некоторого числа, зависящего от Р и st а Т — оператор с главным символом 厶 то Т (%', О')。坦 |Xi<e0 e"(8)(R“t)и 屮о(尤，。')江 + 屮1(匕 D') D{u e H^, s)для некоторых 屮/RS"2T c conesuppV/ c WQ и с главными символами, рае* ними @W(0, xz, 0, ?)/方耳 при Xj = r(x, g) = 0・
Доказательство. Заметим сначала, что по соображениям непрерывности энергетическое тождество (24.4.5) справедливо для всех 〃三月(2). Выберем такой однородный степени 0 при |^|> 1 символ %^ С°°, что cone supp х с 步0Hx равен 1 в окрестности множества supp 例 при j = 0, 1. Применим тождество (24.4.5) к
(1 + ё2 ]0产尸([十I 0?严%(叫0”
взяв Q = Q18 85+ Qoa, /У), где Q』(居『)=吆修『)при Н >1. Вследствие (24415)$ и леммы 24.4.6 имеем ие^Я(3( т)и瓦2) при е > 0 и элемент ие ограничен в 后(i,-i) при е->0. Лемма получится предельным переходом при 8->0 после того* как будут даны подходящие оценки для членов, входящих в тождество (24.4.5).
Начнем с изучения Pue. Обозначая
AB = (l+e2|Dz|2)-1(l+|Zr|2)s/2, имеем
p/ = /8 + r а 口(爲”]m
Здесь слагаемое fe = Aex (^> D')f ограничено в Я(о. «), так как Х(х, Df)f е Я(о, <ю), и второе слагаемое ограничено в Н^ _ц в силу (24.4.15)s, Для изучения Im(Pue> Qu^ нужно проделать более детальный анализ. Поэтому воспользуемся равенством
([Р, АвХ(х,。')]〃，Q%) = (AJP х(/ D^ut Que)
+ ([Р, А』А〕％&, QtiJ・
Первое слагаемое в нем ограничено при е->0, так как оператор Q；A」P, %(х, О')] имеет порядок —8 по О'. Чтобы справиться со вторым слагаемым, рассмотрим оператор
Ge(X, О) = [Р, Ае] Л-1 = Ае [А丁，р]
=(1+10吓严[(1+|少产)7/2,网
.+ е2 ([ + * 0'『)-1(1 + 12yp严 и о р, р] (1 +1 D |2)7/2.
Символ Ge(x, gz) ограничен в S1, так как символ(8-2+|己'|2)1 ограничен в S~2 при 0 < е < 1. Его старшая часть чисто мнимая. Пусть
М + 21m 匕(%, П-炉(％ У)) (1 +1F E)T/2> 1
при 0 < е < 1 для всех (х,己‘)，и положим
及(%, F) = (1 +1 В『产4 (м + 2 Im(Ge (х,⑦
-PSU, r))(l+|g,|2)-I/2)1/2.
Этот символ ограничен в S1/2 при 0 < е <： 1. Так как символ оператора
М (1 +1 О 斤/2 + 2G。(%, D'W - 2 Im // (x, Df) - Se(x, D7 S° (芻 O')
ограничен в S0, то ,
2 Im(Ge (х, ZT) ue> Que) > Re ((2 Im ps (x, IT)
-M (1 + 1。『У % Q拠)+ Re (S8 (x, O') %, QS'(招 O') %) - &
при некотором Ci・ Здесь также использовано то, что семейство операторов [Se(x, Df)9 Q] ограничено в классе операторов порядка —1/2. Полагая ие = (1 +|D,|2)-l/4Se(x, Df)u^ слагаемое, содержащее оператор S®, можно представить в виде
Re £ (4优(%, D)DM,。血)， где
Дц = 0, Л00 = (1+|О，12)1/4(?0(х, 0)(1+|ОР)竺
4。= 4-%(1 + I0'产严Qi (上,0') (I +10『产
Главный символ этой формы равен |Е'|М при р = 0, и поэтому применима лемма 24.4.5. Как уже отмечалось, величина IIие||(1 у + IIР%hf ограничена при е->0. Поэтому величина 11%必 _0+ 11 ^е Н(о, -1)ограничена, и то же верно в отношении других слагаемых в правой части (24.4.9), если и заменено на ге, а х достаточно велико. Действительно, элемент Ug(O, •) ограничен в 7/(g)・ В итоге нами доказано, что
2 Im (Р%, Q"J > Re ((2 Im // (%, О)
-M(l+]Df?)ll2)ue,QUe)-C2.
Далее выведем оценку сверху для правой части тождества (24Л.5), примененного к ие, используя лемму 2445, чтобы оценить
Re £(C；ft (х, О') О® Р{и)
+ Re ((М (1 + I /У РУ" — 2 Im ^ ® ⑺)％, Que)
-Re(<p(x, 0)(4— 云+(%,。'))以，P°(x, £>')〃)
Здесь операторы С/ взяты из леммы 24.4.2, функция р°(%,『)： 曰 С°° равна р(х,『)при |gz| > 1, символ ф е S0 равен 1 в окрестности множества supp р°, cone supp ф и % и г > 0 на cone supp ср. При р(х, ^) = 0 соответствующий главный символ, определенный, как в лемме 24.4.5, равен
{〃 g} + дМ| У I — p(Ei — г% =—中2.
Поэтому оценки для и8 и Ри^ уже использованные в доказательстве неравенства (24.4.17), показывают, что (24.4.18) можно оценить сверху через
Сз -II w9 (х, /У) ие + W, (х, /У) DM 喙
где 中/ связаны с 屮 так же, как в лемме 24.45 Пользуясь (24Л.14) и тем фактом, что символ оператора [<р(х, Dz) (Di —A+住,/У)), А®%(尤,£)')] ограничен в Xs, заключаем, что (24.4.19) Re @ (%, D^D, - Л+ (х, /У)) %, Р° (х, О') %)《С*
Следовательно, в итоге доказано, что (24.4.20) И % (х, /У) % + К (% О') ?% 111
<C2 + C3 + C4 + ReZ(B/ft« ZT)出％(0, •),。仇(0,
Так как Ви + T(x\D/)*T(x/9D/)—оператор порядка —2, то
Re(Bn« Df)uel, aQex+HT%芯х&С||%(0,・)储)&。5・
Прочие граничные члены в (24.4.5) ограничены при е->0, поскольку функция ие (0, ♦) ограничена даже в С°° вследствие второго из свойств (24.4.12). Поэтому
II % (%, ” «е + 照(X, Df) Dtue 废 + II Tue^x & Сб, и лемма получается переходом к пределу при е->0.
Из леммы 24.4.7 следует, что Dxu |Х1_0 принадлежит пространству "(s—i/2)в точке (尤',Е‘), если /(尤-±')*0. Если, по- разному выбирая_ функцию q, мы получим %(尤，О)〃 + 屮I (工,Dz) Dxu 三 H(o.幻 для двух разных пар операторов %, 4rl порядка 1/2, — 1/2, образующих эллиптическую систему на множестве cone suppx, где х^ S°, то у (%, Df)u^ H^t s+i/2), %(尤,Z/JDjU w H(o, s-i/2), что представляет собой локальную форму соотношений (24.4.15) s+1/2. Поэтому основным, что нам осталось сделать, является построение операторов, удовлетворяющих условиям леммы 24.4.7. Это довольно просто, так как равенство (24.4.16) является условием лишь на ограничение функции q на поверхность р(х, ^) = 0. Поэтому сначала условие линейности функции g по £1 можно отбросить. Прежде чем привести построение, докажем две технические леммы, которые позволят нам извлечь квадратный корень t.
Лемма 24.4.8. Если функция ^е C°°(RN) неотрицательна и
\О\\^С[а1,к^
для всех мультииндексов а и всех 々 V 1, то х"? е C^fR*). Множество всех %, удовлетворяющих условию (24.4.21) при фиксированных постоянных С [а|,店,выпукло 〃 содержит нулевой элемент. Произведение двух таких функций обладает этим же свойством с постоянными 21ale[а，為 вместо С^,^
Доказательство. На множестве, где %R0, производная Da7x1/2) представляется в виде линейной комбинации членов
产2一力呪DW,
что доказывается по индукции. Поэтому
Ie屮721*a. l段ji)=侖/产*
где 斤=1—2j(l — A)>0, если k > 1 — l/(2j). Ввиду следствия 1.1.2 это доказывает, что 严^е С°°; в действительности оценки вида (24.4.21) с другими постоянными справедливы для функции у"，Если % = ^xi + Х2%2, где функции 左 удовлетворяют (24.4.21) и X/ — вещественные неотрицательные числа, сумма которых равна 1, то
I 加％ I & Cg,丘 Gd + ^)<C|a,.fc (%% + W = Cla|. M
вследствие неравенства Гёльдера. Это доказывает выпуклость рассматриваемого множества функций. Последнее утверждение леммы следует из формулы Лейбница.
Лемма 24.4.9. Если 2eC°°(R") и функция y = d№ удовлетворяет оценкам (24.4.21), го
(Ф (% + % %,♦♦♦,勿)一屮(％ — %，%'••・‘ ％))/%
=屮(6, 4，・.•, 6Vy"
zde 9三00°(R川+1).;
Доказательство. Указанное разностное отношение можно представить в виде
F (瓜♦・・，^):= \ X (f 1 + $h ^2» • • ■ > Z“) ds/2.
Подынтегральное выражение, очевидно, удовлетворяет (24.4.21) при фиксированном s с теми же самыми постоянными, так как при дифференцировании выносятся лишь степени параметра s. Вследствие выпуклости, доказанной в лемме 24.4.8, функция 戶 обладает теми же свойствами, и поэтому 户分曰 с°°. В силу след* ствия С.4.4 эта четная по /0 функция представима в виде <р(/о,厶,・•・,加),где ср е С°°(Ry+I). Доказательство леммы закончено.
Примером функции, удовлетворяющей оценкам (24.4.21), является функция
Хо(/) = ехр(—1//) при />0; Хо(/) = О при /&0,
Используемая ниже В качестве срезающей. Функция у； также удовлетворяет оценкам (24.4.21).
Доказа тел ъ ст во теоремы 24.4./. Теперь построим функции q, удовлетворяющие условиям леммы 24.4.7. Пусть (0,/т/)®%, (，П‘)胃 &d, |n1 = L Положим
9 (%,自)=①1(尤，g‘)务+ 90(% D,
X, F) = 1/( Г I, то (% 口 =咛 + * 一 У F
+ 1У力门一n'R
Тогда функция <р возрастает по переменной & и
%9 ^ {院一门 幅 + Фо}=以{2d牝/0巧一", Ф1})
+ {际「}①:~ {G Фо}-
В конической окрестности Wy^ с= Wo точки (0, у',т/) благодаря (24.4.12) при некоторых положительных постоянных с и С имеем (24 4 24)偽，r} = "/d/》4c|?F,
；{г, Ф0}<с|П 12 5ф0/5х1 - {，，срJ К С
Поэтому Ярф > 0 при |Е/С《с|У]・
Выберем число б настолько малым, что (х, g‘) w Wy\ ^, если ①о (尤，У) & 36, и в качестве предварительного выбора для q рассмотрим функцию
/ = Х2(Фо/б)2Хо(1 -ф/б),
где функция Хо определена выше и функция %2已^° ((—3, 3)) неотрицательна и равна 1 на интервале (—2, 2). Позже нам также понадобится срезающая функция X]WC： ((—2, 2)), равная 1 на интервале (—1, 1). На множестве suppf имеем ①《8, и поэтому &《6|У|・ На множестве supp f f) supp dX2 (ф/^) имеем Фо + Ф111 ^6> Фо ^26, и поэтому Е1& —61gl. Из этого следует, что г ^ б21 ^ р, если, кроме того, р(х, 5) = 0. Поэтому
Hpf + fM\^\=-^ + 9^~r^) при р(х, ?) = 0,
где функции
巾= %】(印6|У|)ЛП/2,
(24426) — 2“р = —(1 一左因传 I『I 炉)ЛГ +笈(1 -硒)"р%2 ®/6)2
вычислены при Ei =——z4启,если г > 0, и р = 0, если г <0. Здесь (24.4.27) ЛГ = Х2(Фо/6)2(Х；(1 -<Р/б)ЯрФ/б-Х0(1 -Ф/6)ЛЦ^|).
На носителе функции 屮 имеем |ср&|《26 и(р0 ^ 38. Следова-тельно, 1 —(р/б《3. Ясно, что при f & 3 н I lOajw 1 выражение(1一恥(/)/%0)严= (1-a行/2
является С°°-функцией 6 (а, /)• Из формулы
Nm = %2(фо/б)(X；(I ™ Ф/S)Яоф/б)»/2G(Л41 Пд/н^ 1—9/6)
заключаем, что г|)s С°° при малом 6. На носителе функции (1 — X；) 2 имеем ^ < — 61 ^ |, и поэтому г》61 У『・ Из этого сразу следует, что функция р также принадлежит С°° и что /■》严| У рнаее носителе. Полагая u=Xi (&i/l『1)%2(Фо/6)Хо(1—cp/b?% имеем и е С°° и и2 = / при р = 0, если 6 достаточно мало.
Теперь с помощью подготовительной теоремы Мальгранжа определим g“, Е) как остаток от деления f на р:
/ (& Е) = " (х,自)g (х, Е) + % (х, ?) £ + * (х, У).
Так как {"」} = {", д} при р(х, ^) = 0, то условие (24.4.16) выполняется. При г(х,『)> 0 имеем
q® F) = (f (居韜，^)-f(^ -Ip F))/2昴 если 联=「(匕 У)・
Так как — дЦд^ = ^ (фо/б)2%J (1 — ф/&) ^/^ то из леммы 2449 следует, что правая часть этого равенства равна —戶隅 ％, У)?, где F е С°°. Поэтому ^i (х, ^г)=—尸(乙尤，Е')2при г > 0. Не нарушая (24.4.16), можно заменить<71 на—拦,где Е =尸(厂(*疋),％, gj, и тогда нами проверены все предположения леммы 24.4.7. Если 屮了 ——главный символ оператора 4f厶 то в точке (p；rf) (соотв. (0, % т/)) имеем
』(%⑴%/6)吟 咻=注1)(力/№)恥/6 - х式1)m，
2%电=-X；⑴(力/№)喲廿 一 % ⑴{，,%}/6 + % ⑴ Mq"6.
Поэтому символ t нехарактеристичен в точке (yft ^^) и отношение 屮 1/2о близко к функции—Ф^(1)/2%^(1)6 в точке (0, %т]'), если 6 мало. При двух различных малых 6 эти отношения различны. Поэтому, как показывают рассуждения, предшествовавшие лемме 24.4.8, нами доказаны включения (24.4.15) s+i/2, если носитель символа % лежит достаточно близко к точке (у',"').
Для завершения доказательства нужно установить аналогичный результат для образа множества &П% в % при движении вперед под действием потока поля Нр. Это можно сделать снова с помощью теоремы 24.2.1. Сначала для бихарактеристики Г, выходящей из точки множества Gaf]%, выберем такой оператор Q(x, О') порядка 0, что носитель его символа лежит вблизи
Г и что он почти коммутирует там с оператором » — Л+，кроме множества, где Xi настолько мало, что оно уже контролируется нами. Затем на нем оператор Q срезается до нуля. Ввиду уже доказанного результата, имеем
、(О1-А+(/ D9)(Q(x, D9(Pi~A_ (х, О))味月…/2)・
Поэтому из теоремы 23.1.2 следует, что Q (х, /У) О — Л_(х, »))〃 s Я(о, s-i/2). Вместе с уже установленным фактом, что Х(х, 0)(01 —&+(右 ZX))uеС°° при xeS° и г > 0 на cone supp у и WQt это в силу обычной эллиптической теории влечет справедливость (24.4.15)s+i/2, если supp х содержится в достаточно малой конической окрестности некоторой точки на Г. Доказательство теоремы теперь закончено.,
Замечание. Ясно, что из доказательства теоремы можно извлечь более точный результат о микролокальной //(^-регулярности. Он опущен для краткости (ср. с теоремой 26.1.4 по поводу соответствующей ему теоремы о внутренней регулярности).
Распространение особенностей в общем случае
Мы начнем с доказательства свойства (ii) леммы 24.3.15 для множества 呼凡(〃)в случае, когда и есть решение задачи Дирихле. Заметим, что на множестве дифракции (ii) следует из (i). Поэтому можно действовать на всем множестве касания, опуская подмножество, на котором скользящий вектор равен 0, так как обобщенная бихарактеристика, проходящая через такую точку, не являющуюся точкой дифракции, тривиальна ввиду следствия 24.3.10.
Как в § 24.4, будем считать, что оператор Р имеет вид (24.4.2), причем носители коэффициентов оператора R ком- пактны. Пусть u^Jf(X) — решение граничной задачи
P〃 = f в X \дХ, 〃 = % на ОХ,
где X — открытое подмножество в R+ и dX = Xf]dR* Можно предполагать, что и имеет компактный носитель в X и что F*0, если (х, g)s WF(u), Xi > 0. Пусть 叱一такое открытое коническое множество в X乂 (良1\0), что
(х, У)е 吃 修 *0今(尤，^^WF(f)t
(0, x； F)三取今(M У)吏卜先(f) U WF («о).
Обозначим через К компактное подмножество в {“, F) е 6, (О, X,『)三 呼}, на котором
поле 〃几(尤'，В) не радиально нрн (%', 口еД\
Будет удобно считать, что |g|= 1 на К. Для каждой точки компакта К найдется такая однородная степени 0 функция N 三 C°°(Ri X(Ra'\°) ), что H^N =|^| в конической окре* стности. Разбивая К на конечное число компактных множеств, можем поэтому считать, что
{с, 2}=1Е'| в конической окрестности компакта К・
Из леммы 24.4.6 следует, что при подходящем s
у(尤,。‘)〃三"@ $), если у w S°, cone suppx^zW.
Наша цель — улучшить это соотношение в точке, куда приходит скользящий луч, вблизи которого имеется меньше особенностей, чем это утверждается условием (ii) леммы 24.3.15. Доказательство для уходящего скользящего луча аналогично и предоставляется читателю в качестве упражнения. (Напоминаем, что скользящий луч есть траектория поля — Нг^ где % (У, &)= г (0, хЛ, Е')・)В следующем предложении используется обозначение
杯尸(и) = {(%, У)； (х\『)е WFb (〃)， если Xi = 0, и
(х, Е“ ^) ^WF (и) при некотором 玩 если 尤i>0}・
Предложение 24.5.1. Предположим, что выполнены условия (24.5.1) —(24.5.4) и что |n'|=L если (%п')^К・ Для z>Q существует такое бв >0, что если (у',п‘)戶& и при некотором б 三(0, бе)
V еб, №1『)一(匕限)一 f>Hr^9 П‘) I V ед
то (匕 nf)^WFb(u).
Так как ехр(бЯГо) (/> 限)=(匕 П‘)+ бЯг0 (/, п9 + О (б2), то из (24.5.6) следует, что при достаточно малом 6
< ед, |« g) — ехр(дЯГо)(/, пЭК еб/2
今(修B)陆取尸(〃)•
Такая форма этого условия будет удобнее ниже.
Основным моментом в доказательстве предложения является небольшая модификация леммы 24,4.7:
Лемма 24.5.2. Пусть q, и, &, е е С°° (Rn X (R^^O)) — однород^ ные функции степеней 0, 0, 1/2, 1/2 соответственно^ все с яос〃・ телями в W, для которых
{р, g} + gM|g| = —屮2—歩+ 招 ^ = о2 при р = 0.
Здесь, функция г|)е С°°(РлХ(Кл\0)) однородна степени 1/2, ее носитель лежит над 眩 u М = постоянная. Выберем 力^&长斗〃“
Bt Е ^ С°°, равные 6, е вне некоторого компакта. Если условия (24.5.1) — (24.5.4), (2455) $ выполнены, М больше некоторой постоянной, зависящей от Р и st и Е (х,方‘)и м /7(0,5), то В (х, D') и 三 ^(о, $)•
Доказательство. Мы близко следуем доказательству леммы 24.4.7, но функция q теперь не зависит от 自卜 Сначала, как и там, определим и8< Доказательство неравенства (24.4.17) не требует изменений. Вместо формы (24.4,18) рассмотрим форму
Re X (% (%, О)。泣，D{u^ + Re ((М (1 +1 ZX 限
一 2 Im //(%, D^u&j qu^ + у В (x, DO % 俨一|| E (x, Df) % % имеющую главный символ —屮(力，&)2 при р(х, ^) = 0. Так как функция ие(0, •) ограничена в Н(н} при каждом х, то, как и выше, заключаем, что данная форма ограничена при е->0 (мы отбрасываем положительные вклады, которые можно получить из ф, как в лемме 24.4.7, поскольку теперь существенным является член, содержащий оператор В). Все граничные члены ограничены, так как Qi = 0. Новый момент заключается в том, что выражение
Е(/ Dr)u. = \^ D^)E(x, ^)« + [£(х, »), ЛеХ(х, ”]〃
ограничено в £2 при е->0, так как по предположению £(х, Dr)u е Я(о> «)и символ оператора [Е(х, D7),人以(爲 D')] ограничен в S$t/2 при е->0. Итак, нами доказано, что норма |[В(х, Df)u^ ограничена, откуда на основании тех же соображений вытекает ограниченность ||Лех(х, Df)B(xt D^ull при в + О. Поэтому X(х, Dz) В (х, Dz) и е Я(о, «), что доказывает лемму, если взять символ % равным 1 на множестве supp В.
Доказательство предложения 24.5,1. Для каждой точки (д*т|‘)： wK выберем функцию(о (xz, gz) = со (х\ ^, у\ т,7) в конической окрестности этой точки, решая задачу Коши
①①=0; 8(』, ？) = |Х-/|2 + |У/]У|-пТ
при 2з,^) = y (/,瞰).
Ввиду (24.5.4) существует единственное решение этой задачи, если I)— УТ j|?/|F| — Ml? достаточно мало. Оно имеет нуль второго порядка на бихарактеристике гамильтониана г0» проходящей через точку (yl rfi， и, следовательно, на порождаемом ею конусе, но его гессиан в трансверсальных этому ко* нусу направлениях положителен, поскольку это справедливо в точке (д', rf)・ Так как г0 на бихарактеристике обращается в 0, то получаем, что
|го1<^/2|^|2.
Аналогично имеем
I ds/d/ F +1 ds/dl ^?^С^
что также является следствием леммы 7.7.2, так как о ^ 0. При (24.5.11) Ф(х, ?) = 2(/ <)-Л^« 1) +力侦+ s(K『)/6紋 получаем
ЯРФ = HrN + 2^/е - Hr^.
Вследствие (24.5.8) и (24.5.10)
"q = (Нг - Яго) ffl = O 8)。( IГ l®,/2),
и на характеристическом множестве имеем
肾=f《％ +0(川 Г^ноЗ^ + ^нуе.
Если "(%', У) —N(yl т/)《26 и ф(х, У)《26, то Xj < 4 бе и со(Xх, У) V Хб2^. Следовательно, при малом б
ЯрФ = {г, N} + 0 ((б/8)1/2)| Г I, если р (х, g) = 0,
Ф(х, П<26 и %(*',『)一%(/п')《26.
Здесь первое слагаемое больше |^|/2 в силу (24.5.4), если 6 мало. Поэтому в этом случае оно является основным.
Как в доказательстве теоремы 24.4.1, положим
%о(/) = ехр(— 1/Z) при />0; %о(/) = О при /<0.
Пусть %1 (/) = 0 при / < 0, %! (f) = 1 при / > 1 и 0 < %1 ^ С* ((0, 1))・ Выберем функцию %卩 удовлетворяющую условию (24.4.21). Тогда оно верно и для функции %ь При (/, ^Э е ^, малых & 6《gH()WfWl введем теперь функцию
% (х, ¥) = &([+£-(p/б) % ((% (/,限)一 ^ М У) + 6)/е6 + П.
Ясно, что функция qt однородна степени 0. Носитель функции qt содержится во внутренности носителя функции qr при f V 7, так как * и xi возрастают. На носителе первого множества имеем ср W 6(1 4 f) W 26, а на носителе второго 2(“"*)—N(x\ |z) *6三—饱& Этот множитель равен 1 при N(y\ ti')— N(xft gz) + 6^(1 — f)8& Поэтому ои постоянен вне узкой полосы. Определим функцию
е^(1+1-^)^((Ы(у\ g
-N(£, У) + 6)/е6 + /) {г, %}/86)吗
Она является С°°-функцией, однородной степени 1/2, так как 崙/2 и (匕严 суть С°°-функции и {г, ^} > 0 благодаря (24.5.4).
Если (х, ВЭ^ suppеь то |2(匕 n') —N(匕 Е') + 6|《е，и поэтому N (х\ В7) — N (/, цг) ^ 26, а значит, Xj < 4е6 и ® (х\ ^) & 4е262. Если (/ (6), т/ (6)) = ехр (6Яга) (/, т/), то из условия (24.5.4) следует, что
' IN (/(6),限⑹)一 N (x； niCeS + O (S2).
При достаточно малом 6 получаем
+ М - у，⑹ |2 + I 门限 © |/| 引一限(6)p < О (ебЕ
так как величина |М(/,『)一N(y'(6), Г⑹)产 +<о“, F) эквивалентна квадрату расстояния от точки (尤'，陰'，|陰()до луча, проходящего через точку (^(6), т|Л(6)). Предполагая справедливость (24.5.6)，при в, замененном на 2Св, заключаем, что supp et h 渺尸(北)=0, и поэтому Et(xt Df)u 三 C°°.
Чтобы применить лемму 24.5.2, нужно еще выбрать такие функции bf И ф/, что
Здесь аргумент функции %】 тот же, что в (24.5.13). Вспоминая (24.5.12* положим
bt (х, Г) = (Х^(1 + / - Ф/б)| &' 1/26产
*, &) = %产(*1 + /-<р/б)(ЯрФ-|Г|/2)/б
-Хо(1 + /-Ф/6)Л4|Г|)1/2-
Ясно, что 6/ 曰 С°°. На носителе функции qt имеем 1 + f —屮/6《4 и Ярф ^ 2||Л|/3 в его пересечении с характеристическим множеством благодаря (24.5.12). Так как X0(s)/%(s) = s2, то при малом 6 получаем, что *』w С°° в конической окрестности характеристического множества, поскольку можно сначала отщепить гладкий множитель %(1 +，—①/“勺 У/6 产，Можно умножить функцию iff на срезающую функцию с носителем в этой окрестности, равную 1 на характеристическом множестве.
Проверив все условия леммы 24.5.2, заключаем, что Bt(x, Df)u w Я(в+1/2). Рассмотрим множество
% = {(#,『)； &0U')>0},
являющееся конической окрестностью множества supp %， при ? V t Если cone supp % и 屯ь то выполнено (25.5.5) J+i/2. Для любого / < 1 и любого целого k эти рассуждения можно применить 左 раз, заменяя f на 力,•・•, tk, где f V 〃 V V 介 V L Тогда получаем (24.5.5) 4+л/2, если cone supp % и/% и поэтому
Х(х, Df)u ^ С°° ввиду леммы 24.4.6. Из теоремы 18.3.32 следует, что (/, ^)ф WFb(u), Это заканчивает доказательство предложения.
С помощью леммы 24.3.15 равенство (2424), теоремы 24.2.1 и 24.4.1 и предложение 24.5.1 можно теперь резюмировать так:
Теорема 24.5.3. Пусть Р — дифференциальный оператор второго порядка с вещественным главным символом р и С°°-коэффициен- тами, определенный на С°°-многообразии X с нехарактеристической границей ОХ. Пусть 〃三 Л^Х) — решение граничной задачи (24.5.1) с данными fwH^(X) и ц0 ^ ^(дХ). Тогда каждая точка у。曰 呼尸&(〃)\(呼尸b(/)U 呼尸(以о)) есть либо характеристическая точка оператора Р во внутренности множества Х,либо точка области гиперболичности или множества касания, содержащихся в 7*(dX). Открытый интервал (—Г, Т)э >у(0» У(О) = уо» на сжатой обобщенной бихарактеристике содержится 6 WFb{u).
Заметим, что последнее утверждение тривиально, если поле "р(уо) радиально или если поле "，(Yo) радиально и у。не является точкой дифракции. Соответствующая обобщенная бихарактеристика является тогда просто лучом. В противном случае особенности продолжают распространяться вдоль обобщенной бихарактеристики до тех пор, пока последняя остается в компактном множестве, не достигает особенностей данных 厶 u0 и не стремится к особой точке только что описанного типа. Чтобы показать неулучшаемость этого результата, нужно распростра- нить теорему 24.2.3 на обобщенные бихарактеристики. Однако известен лишь более слабый результат:
Теорема 24.5.4. Пусть Р — дифференциальный оператор второго порядка с вещественным главным символом р и С°°-коэффициентами. определенный на С°°-многообразии X с нехарактеристической границей дХ. Пусть [а, 6]э fb->yv(0 — сжатые ломаные бихарактеристики, нигде не касающиеся слоев кокасательного расслоения 7*(Х), сходящиеся при v-> оо /с сжатой обобщенной бихарактеристике [а, 6]э /ь-»у(/), инъективно проектирующейся на сжатое косферическое расслоение и имеющей концевые точки у(а) и у(6), лежащие над Х°. Тогда существует такое 〃三 三片(X), что WFb(u) есть конус, порожденный множеством у([а, &]), WFb(Pu) порождено точками у({а, Ь}) и 〃 = 0 на дХ.
Доказател 6 ст во. Достаточно найти такую функцию 〃三 С(Х), обращающуюся в 0 на дХ, что множество WFb(Pu) содержится в конусе Г\ порожденном точками у(а) и 0(b), в то время как множество 吆尸式〃)содержится в конусе Г, порожденном точ-
ками кривой у( [а, Ь]), но не содержится в конусе Г\ Действительно, тогда 北三斤(火)благодаря следствию 18.3.31, и из теоремы 24.5.3 вытекает, что WFb(u) — Г, WFb(Pu) = r\ Здесь по- прежнему может быть использован функционально-аналитический' подход из доказательства теоремы 8.3.8. Поэтому обозначим через 歹 пространство Фреше всех функций и ^ Со(К), обращающихся в 0 на dX, для которых IFF* (Ри) с Г7 и WFb(u) и Г, где КиХ — компактная окрестность проекции множества у([а,6]) в X. Его топологию можно определить полунормами следующего вида:
ut—>sup|u|;
ut~>sup|5P以 I, где оператор 5已屮°°乐工)собственный и у ({а, 6})П^ (Я)= 0;
и н-> sup I Au I, где оператор Л 曰 屮00(R") собственный и Y([«, Ь])П^(Я)-0;
и t—> sup I DaPu |, где а — любой мультииндекс н К' — компакт, содержащийся в множестве, получаемом удалением из К проекций точек 、(а) и y(6);
ut—>sup|a(x, D')u\t где символ а ^ 5°°(Рл X Rra"x) равен 0 при большом | х | и имеет порядок — оо в конической окрестности проекции множества、([а,加 в R^XRf
Пусть К。и К — замкнутый шар, не пересекающийся с проекцией конуса Г", с центром в точке х。，принадлежащей проекции конуса Г. Теорема будет доказана, если мы покажем, что суще^ ствует некоторая функция 北三 歹,не принадлежащая Ci(Ko)・ Если каждая функция 北三歹 принадлежит Ci(Ko), то из теоремы о замкнутом графике следует, что при |а|= 1
5
sup|Dau|<cS ^；(ы), 〃至歹，
где М — полунормы в пространстве ST вида (24.5.18 4- /)• Мы завершим доказательство теоремы, показав невозможность выполнения оценки (24.5,24).
Выберем целое v настолько большим, что условия, наложен* ные на полунормы вида (24.5.20) — (24.5.23), входящие в оценку (24.5.24), остаются справедливыми, если заменить、на 汴 Применим оценку (24.5.24) к функциям Uet построенным по кривой YV так же, как в доказательстве теоремы 24.2.3, но с множителем ef вставленным в (24.2.10). (Можно считать, что носитель функции а士(х,九)содержится в К при любом %.) Этот но*
вый множитель ограничен в 5° при е-> 0. Поэтому из доказательства теоремы 24.2.3 следует равномерная ограниченность полунорм Nj(Ue) при е->0 и 2 & j & 5. Также очевидна равномерная ограниченность величины sup| Uz\. Предполагая, что точка 尤о является проекцией единственной точки множества Yv( [а, Ь]), из рассуждений доказательства теоремы 24.2.3, касавшихся Z)i(U+—U~) и предшествовавших ее формулировке, для некоторого а с |а|=1 получаем, что \DaUE(xQ) |-> оо при е->0. Поэтому оценка (24.5.24) не может выполняться, и теорема доказана.
Не каждая обобщенная бихарактеристика является пределом ломаных бихарактеристик. Действительно, если г0 = 0 в окрестности точки (у\ лЭ^ Gd, то вблизи нее не может быть точек отражения. Так как r(x, gj> 0 при 制 > 0 в окрестности точки (0,У’,*), то gi #= 0 на бихарактеристике, и поэтому координата Xi не может иметь на бихарактеристике минимума, отличного от 0. В § 24.6 специальными рассуждениями будет доказано, что тем не менее существует решение с особенностями на заданной бихарактеристике такого типа. Неизвестно, существуют ли другие обобщенные бихарактеристики, не являющиеся пределами ломаных бихарактеристик. Это создает зазор между теоремами 24.5.3 и 24.5.4. Однако ясно, что в примере 24.3.11 как ломаная, так и скользящая бихарактеристики, проходящие через точку множества G°°, являются пределами ломаных бихарактеристик. Поэтому нет определенного способа предсказать последующий путь особенности в общем случае.
Операторы микролокального типа Трикоми
В этом параграфе будут обсуждаться две ситуации, в которых результаты § 24.5 неадекватны. Обе они связаны с оператором Трикоми
。；一尤 1(D； + ・•・ + Dn)
в гиперболическом и эллиптическом полупространствах, соответственно определяемых условиями Xi > 0 и Xi < 0. В первом случае теорема 24.5.4 неприменима, так как все бихарактери* стики имеют при 尤1=0 точки возврата (см. рис. 6). Во вто・ ром — теорема 24.5.3 о распространении особенностей ничего не дает, но мы увидим, что в этом случае имеет место гипоэллип- тичиость. Рассмотрим сначала второй случай.
Определение 24.6.1. Множеством гипоэллиптичности НЕ и 7*(dX) \0 называется пересечение множества скольжения и дополнения к замыканию области гиперболичности.
Если X определяется, как обычно, условием Xi ^ 0 и главный символ р оператора Р имеет вид 目一r(x, g‘)，то
Я£={« Г)； dr (0, х；孑川修 V 0, г (0, /, ^)<0
в окрестности точки Н,『)}.
Введенная терминология оправдывается следующим аналогом соотношения (24.2.4):
Теорема 24.6.2. Пусть м, f w“(X), Ри =储 и = и° на дХ. Тогда
НЕ П WFb (а) = "Е fl (WFb (f) U WF (%))•
Для доказательства оценок, приводящих к теореме 24.6.2, потребуется следующая
Лемма 24.6.3. Если uwCf(R+) и а>09 то
||о||<9[[ хао ||1/(а+1)|| 卩」瞰叶"，
где II • II — норма в пространстве ZA
Доказательство. Пусть %(%)= 1 при х&1, %(尤)=2 — л при 1 W х《2 и х(х) = 0 при х ^ 2. Положим w = %и. Тогда М —侬II W ll^ull и
II ^1! < II %'и 11 + II %叫《I! #% 11 + IISL
ТакТаккаккак
Так
Так
как
как
II5『=\ 15『山=—2 Re，，5而'由 & 4 В 侬 ИЦ wr И, со
то
||5||《4||з1|《4。％% 11+411『II, !|о||<5||х^ ||+4||^||.
Заменим теперь функцию' о на и(・〃)，где / > 0. Тогда 1!»11<5||х^||/а + 4||^|^
Если t выбрано так, что ||公0||£“+1 = ||и‘||, то получается оценка (24.6.3).
Немедленным следствием (24.6.3) является оценка
||Nk,)<9hivK1)|^K1\ 〃已駕(辟)，
где s/wR и s = (sq + qsi)/(q+1〉. Действительно, если У — частичное преобразование Фурье функции и по #‘ =(尤2，・•・
・，.，Хп) , ТО
m •，力 у 9 ь”( •，？)产。+个 ар(.,片)『/s+d
благодаря (24.6.3). После возведения в квадрат, умножения на
(1 + I 口2)s = (] +〔у |2)So/(a+1)(l + I g『尸 a/(a+l)
и интегрирования no『оценка (24.6.4) следует из неравенства Гёльдера. Неравенство
И о (0, •)H(s)<2||O||(0,s,)||D1O|| (S1), s = (s° + s)/2,
получается аналогично, если начать с оценки
I и[0)『=-2 Re I 汨山 & 2||。1111 叫，。三制(R+)・ о
Лемма 24.6.4. Пусть р(х,自)=寻一厂(％, У), ede г ^S2 и
г(х, Г)& - 51g『，0 V 修 V 1,
гри некотором с > 0. Если и^С^(R*) 〃尤i V 1 на supp«, то (24.6.7)
2
£В。； Z иЦ(0, 2//3) ^ С(II р(X, D) и Цо, 0) + II W 11(0, 0) + II U (0, • ) ||(5/3))*
Доказательство. Интегрирование по частям приводит к равенству
(р(X, о)", о?ц) =出打 II2 — (г (х, £>')。岡,D1M)
+ (Г (% 少)，D J и,。间-(г (0, К ZT) “，况и),
где последнее скалярное произведение взято в пространстве L2 на граничной плоскости, определяемой уравнением Х] = 0. Так как из (24.6.5) следует, что величину ||^iU(0, -)||(1/з) можно оценить в терминах левой части (24.6.7), то оценим это скалярное произведение через ||и(0, •) |1(5/з)Н^1«(0, -)11(1/з). Порядок коммутатора [r(xtDr)yD\\ = C(x,Df) равен двум, а оператор Re С имеет первый порядок； Поэтому
(С (%, О) и,。岡 + (0也 С(х, О) u)=([儿 С (х, О)] % u)
+ (С (Х, О) + С(х, DT) 0M 〃)一 i (С (0, X； /У)«, и),
где последнее скалярное произведение взято по границе. Так как оператор [Di, С] имеет второй порядок, а С + С* ——оператор порядка 1, то, взяв вещественные части, получаем
J D；u ||2 - 2 Re (г (%, £)') D.u, DlU)
& II p (x, D) a『+ С ((II a 心】)十 || 加 ||(0. o))|| a ||(。,办
•+ll«(0, -)||(5/3) 11^(0, .)||(1/3)).
Теперь воспользуемся предположением (24.6.6). Применяя строгое неравенство Гординга (теорема 18.1.14) при фиксированном хь имеем
сII 力产。班睑 1)& 一 Re (r (x, D ) Qu, D\ii) + C|d〃临【⑵，
Следовательно,
10阳12 + 小产%<1)，
&“(尤,D)u\^-[-C(\\u\^Qt i)+l|DiU||o), 1/2)+||u(0, • )||(5/з)||Dtu(0, *)||1/3)*
Теперь (24.6.4) показывает, что \\D{u^o, 2/з) можно оценить с помощью левой части (24.6.9), и (24.6.6) позволяет нам оценить ||Diu(0, •) ||(1/з)через |D?u|| + Ц/)^^, 2/зг Поэтому с новой постоянной С получаем, что
I %『+1 А〃 隘 2/3)& С (И р (х, D)u ||2
+ II 以唸,о + II Ju ||2 + [| u (0, •) ||?5/3))-
Чтобы оценить слагаемое с / = 2 в левой части (24.6.7), воспользуемся уравнением г (х, Дл) u = Dfu — р (х, D) и. Если те-
перь рассматривать Xi как параметр, то ввиду (24.6.6) точное неравенство Гординга приводит к оценке
с II %『％『2)忘 Re (一 г (xt D ) ut\D |2u) + C|| u 脇).
Если умножить ее на Xi, а также проинтегрировать по %】и воспользоваться неравенством ab & % (са2 + 62/с), то получаем
С 尤1嘛0, 2) & Т II 厂(/ D’)〃 龈 О) + 2С 1 力产以临 3/2)'
В силу неравенства Коши — Шварца
Ц R囹愉,3/2) & II 尤禺[(0,2) If 〃 11(0, 1)>
и поэтому с другой постоянной С имеем
II “ 唸,2) & С(II 厂(X, О) U I 向 0) + ||U 協[))・
Так как г (х, Df) « = D?u — р (х, D) и, то к левой части оценки (24.6.10) можно добавить слагаемое || х{и ||^, 2)> подходящим образом изменив постоянную С. Поскольку вследствие (24.6.4)
II 〃 1而 4/3) & С (li “и 鳳 2/3) + I! X]U 協 2))>
то окончательно нами доказано, что
Е II D^fu IF& 2//з)& С(II" (х, D) 〃『+ II 以隘 d + IIDi〃『+ 〃 (0, •)唸/з))・ о
Но из доказательства леммы 17.5.2 вытекает, что ||«1^ п <II«11(0^0)II«1^4/3)И |D|u||2<2|D?uj||u||. Поэтому средние ела- гаемые в правой части можно заменить на сумму левой части, умноженной на малую постоянную, и величины ||и[|2, умноженной на большую постоянную. Этим заканчивается доказательство леммы 24.6.4.
Более общим образом, для любого sw R имеем
2
Х^Г1^(0, S+2//3)&С(||р(х, D) и ||(с, S)
о
+ 11^||(0,з) + !!^ (0, • ) ||(s+5/3))*
Действительно, применяя к (14-|^z|2)s/2u оценку (2467) и пользуясь тем, что оператор
[р (х, D), (1 +1)『严2] = [ _ у, о), (1 + I О『严]
имеет порядок s + 1, получаем (24.6.7)' с дополнительным слагаемым ||и||(о, $+1)в правой части. Так как
.II 瓦 11(0. s+l)《11〃 鳳升4/3) II 瓦版$)，
то из такой оценки следует оценка (24.6.7)'.
Доказательство теоремы 24.62 Если (хо, g) w НЕ, то главны» символ р(х, 1) = ^ —г(х, ^) оператора Р удовлетворяет уело- вию (24.6.6) в окрестности точки(0, хо, &：)・ Временно предположим, что условие (24.6.6) выполняется при 0 V %i V 1 с г w S2 H что »о е С00,
〃日月遇吃1)(Ri), ри е后遇胃(R*)■
Пусть <р 三 СГ(Rn-1), \ <р dxf = 1 и Ле = ф (е。)一 оператор свертки с функцией <p(x'/e)gi-n по переменным %'. Тогда распределение 4〃 сосредоточено в фиксированном компакте при малом 8 и Леи е Я^%(R+). Поэтому оценка (24.6.7/ применима к и по соображениям непрерывности. Имеем р(х, 0)〃 三〃仔7T (R：) и
P a, D)(Azu} = 4P a, D)« — [r (%, D), Ле] % где коммутатор равномерно ограничен в OpS1. Значит, элемент р(х, D)(Деи) равномерно ограничен в Н@$), и при е->0 иа (24.6.7)' следует, что и 三〃图^Еа/з” Это улучшает первоначальное предположение относительно и.
Теперь для окончания доказательства теоремы можно без изменения скопировать рассуждения, использованные при доказательстве леммы 20.1.13 и теоремы 20.1.14. Эти повторения мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Теорема 24.5.3 показывает, что из точек дифракции особенности всегда распространяются. Теорема 24.5.4 дает решение с особенностями на бихарактеристике, проходящей через точку (0, KF)wGd, если точка (х\ g) принадлежит замыканию области гиперболичности или эллиптичности. Действительно, если точка (у\ лО^ ^ близка к (х‘，『)，то найдется малое ух > 0> для которого г (у, т)9 — 0, так как dr(0, х‘，g)/d%i > 0 球 r(0, у', rf) V 0. Бихарактеристика, проходящая через точку (у, 0, лЭ» лежит в полупространстве %i》у】 на протяжении фиксированного отрезка времени и сходится к бихарактеристике, проходящей через точку (0, V, 0,『), при (д', rf ] f (М У) (ср. с леммой 24.3.4).
Однако в случае, когда точка (х\ g) не принадлежит замыканию множества 〃U^, т. е. когда r(0, у\ r|z) = 0 в окрестности точки (x-自‘), все бихарактеристики, проходящие вбли*
зи (0,匕 0,『)，имеют на плоскости xi = 0 точку возврата, как отмечалось в начале параграфа. Теперь покажем, что тем не менее существует решение, имеющее особенности в точности на заданной бихарактеристике.
Теорема 24.6.5. Если (у\ т)/) ^ Gd П С£> то найдется такая функция и 三 С (X), что и== 0 на дХ, Ри е С°° в окрестности точки (0,yf)以 множество WFb(u) порождено в точности сжатой бихарактеристикой, проходящей через точку (у‘,/')・
Доказательство. Можно считать, что XuR" н что оператор Р имеет обычный вид (24.4.2). По условию для главного символа г в окрестности точки (/*) имеем г(0, КУ)》0 и дг(0, У, ^)/^1 > 0・ Следовательно,
в конической окрестности точки (0, у\ т|,). Выберем символ Ь е S2, равный R в конической окрестности точки (О, У, т/) и удовлетворяющий (23.4.1). Положим В — b(x, Df).
Тогда по лемме 23.4.7 найдется такое и е Н(\, л-1)(₽+), что D； — В (х, О’))以==0 при Xi V % н 〃 = 0, Dnu = <р при хл=0, где <р 三 Hs-i/2)(RJi) задано. Действительно, нужно лишь выбрать некоторое 〃。三国?, ю，имеющее такие данные Коши (теорема В.1.9), и затем найти решение и —的三后(”т)иС° уравнения
(0? 一 В)(以一以о) =(В —。：) uq w 〃(o, n-n
с нулевыми данными Коши. Если взять функцию <р, для которой 犷尸(<р) порождается точкой (у‘，т/), то из (доказательства^ теоремы 23.4.8 и теоремы о распространении внутренних особенностей следует, что WF(u) при 0 < хп < */2 содержится в конусе Г, порожденном бихарактеристикой, проходящей через точку (0, /, 0, ^). Следовательно, Ри е С°° в окрестности точки (0,у'). Волновой фронт распределения и должен совпадать в ней с конусом Г, так как в противном случае (у‘，rf)语 WFb(u) по теореме 24.5.3 и, следовательно, (у\ ^)^ WF(^) . Доказательство закончено.
Замечание. Для самого уравнения Трикоми с помощью функций Эйри легко получается явная конструкция.
Операторы, зависящие от параметров
В этом параграфе мы завершим рассмотрения § 17.5, доказав лемму 17.5.14. Чтобы это сделать, нужно иначе взглянуть на теорему 24.5.3 для операторов, зависящих от параметров. Сначала переформулируем теорему 24.5.3 в виде оценки.
Предложение 24.7.1. Пусть Р 〃 X ——те же, что в теореме 24.5.3, а Г, Гь R ——такие открытые конусы, в 亍*(Х)\0, что каждая сжатая обобщенная бихарактеристика и Г, пересекающая конус Гь будучи максимально продолженной в Г, обязательно пересекает Гз. Пусть В—банахово пространство, содержащее СГ (X) в качестве плотного подмножества и непрерывно вложенное & 勿，(X), причем ограничение на дХ продолжается сС/(Х) до непрерывного отображения Bf 勿'(ОХ). Для каждого оператора Ai 三屮Г (X), имеющего ядро с компактным носителем и порядок ——оо вне порожденного компактом конуса, содержащегося в Гь найдутся такие операторы А,力2三屮龍(犬),имею- щие ядра с компактными носителями и порядок, —оо вне порожденных компактами конусов^ содержащихся в Г и Га соответственно, что
II Ли II & II АРи Ц + И 4〃 ll + СЦи 血
если 〃三 СТ (X) и и = 0 на дХ (через || • || обозначена lJ-норма).
Доказательство. Пространство
歹={〃已 В; Г fl WFb(Ри) =0, и = 0 на dXt Г2 [] WFb(и) = 0}
является пространством Фреше, топология которого определяется нормой Il-Ив и полунормами 114P以|| и НЛз^Н, где операторы Л и Л2 — те же, что в предложении. Вследствие условия и теоремы 24.5.3 имеем Г1 f| WFb(u)= 0, если 〃三歹.Поэтому отображение
всюду определено и замкнуто, так как оно непрерывно в топологии пространства 勿' для 4〃. Следовательно, по теореме о замкнутом графике это отображение непрерывно, что доказывает предложение.
Теперь позволим оператору Р зависеть от параметра z, принадлежащего окрестности Z нуля в R* Предположим, что его коэффициенты принадлежат С°°(Х X 2) и что 也 удовлетворяет условиям предложения 24.7.1. Сначала докажем устойчивость этих условий.
Лемма 24.7.2. Предположим, что условия предложения 24.7.1 выполнены для оператора А。. Тогда для каждого компакта Ki и Г1 существуют такие компакты К? и Г?， К и Г и окрестность Zo и 2 точки 0, что если г 三 Z°, то на каждой максимально продолженной сжатой обобщенной бихарактеристике оператора Рг, пересекающей Кi, имеется интервал, содержащийся в К, один из концов которого лежит в ^l, а другой в /<2・
Доказательство. Выберем. возрастающие последовательности компактов К； и 1\ и К" и Г, каждый из которых содержится во внутренности следующего, и пусть их объединение совпадает с Га и Г соответственно. Если утверждение ложно, то найдется последовательность точек 乞”三2, сходящаяся к точке 0, и такие сжатые обобщенные бихарактеристики 4т£ь~>%«) операторов Рг^ что
/v — связная окрестность точки 0 в R и 0V (O)wKi；
^npv(/v)=0；
BJ/Ju^v；
если Z e /vn dIVf to 0V (/) w dK”；
если / e C7V f) dlvr то бихарактеристика pv не продолжается за точку t.
Изучая предельный случай при v-> оо, мы придем к противоречию.
Исследуя Bv(0 при f》0, мы различаем два случая:
0V (/у П 卜十)и К" при фиксированном ц для бесконечного множества индексов v. Можно так перейти к подпоследовательности, что правый конец av интервала /v имеет предел а > О при v-> ею, и в силу равномерного условия Липшица, отмечавшегося после определения 24.3.7, существует р(/) = lim pv(0> если 0&fVa. Доказательство предложения 24.3.12 показывает, что кривая 0(f) есть сжатая обобщенная бихарактеристика оператора Ро- Имеем 0(0)三凡 в силу ⑴，В ⑺諾 П при 0《fVa в силу (ii). Мы утверждаем, что 0(+) нельзя продолжить за точку а. В противном случае существует предел 6(а — о), попе，从не радиально в этой точке, и если 0(а — 0)' есть точка касания, не являющаяся точкой дифракции, то скользящий вектор в ней ие равен 0. Но тогда из следствия 243.14 вытекает, что pv(s) можно продолжить на s ^ а + е при некотором е > 0 и всех достаточно больших v, что является
противоречием.
Предположим теперь, что при каждом 卩 для больших V выполняется соотношение dK^ (] 0v(/v (] R+) * 0・ При фиксированном ц для ограничений^ бихарактеристик 0V на связную компоненту нуля в {/ е /v П R+; 8V (/)已《以} выполняется равномерное условие Липшица. Поэтому, переходя к подпоследовательности, получаем предельную кривую 0(f), определенную при 0 & f V а, для которой В(0)е Ki, 3(»)话 Г2 при 0 & f V а и ₽([0, а))(}дК^ =^ 0 для всех “. Поэтому В максимально продолжена до а как сжатая обобщенная бихарактеристика в Г-
Действуя таким же образом при f V 0, получаем максимально продолженную в Г сжатую обобщенную бихарактери-
стику оператора Р°, пересекающую 4, но не пересекающую Г2. Это противоречие и доказывает лемму.
Аналитическое утверждение предложения 24.7.1 также имеет аналог для случая оператора с параметрами:
Предложение 24.7.1'・ Пусть операторы Рг имеют С^-коэффи- циенты в X X 2. Предположим, что оператор Ро удовлетворяет условиям предложения 24.7.1. Для каждого Го(^ Г| найдется та* кое б > 0, что если оператор 4i w 屮Г (X) имеет ядро с компактным носителем и порядок —оо вне Го, то существуют операторы Л, А2 ^ 'F? (А") порядка —оо вне порожденных компактами конусов, содержащихся е Г 以「2 соответственно, такие что оценка (24.7.1) с А вместо Р справедлива при neZ, 121V 6.
Доказательство предложения 24.7.1 было получено с помощью теоремы о замкнутом графике, позволившей перейти от качественного утверждения теоремы 24,5.3 к количественному. Однако с тем же успехом можно было бы проследить за всеми шагами доказательства теоремы 24.5.3 с целью доказать оценку, которой затем был бы придан более точный вид. Кроме того, подобное доказательство остается в силе при настолько малом параметре г, что применима лемма 24.72 Предоставляем читателю убедиться, что это так, и вернемся к нашему приложению предложения 24.7. Г — доказательству леммы 17.5.14.
В качестве подготовки дадим явную интерпретацию геометрического условия предложения 24.7.1 в простейшем случае. Итак, рассмотрим волновой оператор ¥]3已—А с постоянными коэффициентами в полупространстве {(/, х)е Rn+t; %i》0} и определим образ обобщенного бихарактеристического потока при движении назад из точек переднего светового конуса {(/, х); f > |х|, Xi》0}・ Он совпадает с образом бихарактеристического потока при движении назад по времени из полного открытого переднего светового конуса в Rn^t т. е. с объединением W ко- нормальных расслоений к задним световым конусам с вершинами в этом множестве. Мы утверждаем, что (/, х, т, g) е W при — I х I V f《I % I тогда и только тогда, когда
т(〈х,Е〉+ ")>0・
Для доказательства сначала заметим, что (/, х, т,自)一точка конормального расслоения к световому конусу с вершиной в (加％。)，если
(/ —/о)2 = |х —%!2, Т(х — % + (/ —幻士 = 0
(ср. с (17.4.11)). Отсюда следует, что |т| = |±|*0. Наше условие можно переписать в виде
(6 + 低)〃о Т =怎
и так как хо — произвольная точка в R" с |хо| < 6, то оно эквивалентно неравенству \у ——E|V|t|, если у = (т% + /Е)//@ при некотором ^о > 0. Поскольку |^| = |т|, то последнее верно тогда и только тогда, когда 〈тх + ^,己〉> 0, что совпадает с условием (24.7.2).
Доказательство леммы 17,5.14. Установим требуемые оценки при г, близких к точке го е Ко, где можно считать, что Ргй = — А. Поэтому рассмотрим сначала решения волнового уравнения
(>/d产一А)и = 0 в Q = {(/, х);丨"V 3,占》0}, обращающиеся в 0 при xi = 0 и на множестве
% = {«,%)； |x|>|f|+l/2, IHV3, xt>0).
Если |^| < 1/2 для точек (0, у) носителя данных Коши, то последнее условие следует из леммы 17.5.12 (то же верно для решений уравнения (d2/dt2 + Pz) vz = 0, удовлетворяющих условиям (i), (ii) леммы 17.5.14, при достаточно малом \z — го|). Ядро Грина с полюсом в такой точке имеет особенность лишь на объединении конусов {(/,х);俘=|х —川} ПрИ |y|vl/2. Поэтому оно принадлежит С°° на множестве
Qi = {(/, х); / > I х I + 1/2, /<3, ^>0}.
Пусть Гу = Г*(й/) \0 при /— 1, 2, и пусть Г — объединение конуса Г】，дополнения к сжатому характеристическому множеству S в Г (й3) \ 0 и лежащего над Q образа сжатого бихарак- теристического потока при движении назад из ГР Здесь
Q3 = {(Л %)； f > % — 丨 ％ I,丨"V 3, %] > 0}.
Ясно, что Г с: Г* (й3) и что пересечение Г с S определяется над 0з\С1 условием (24.7.2), в котором t заменено на /— 1/2. Следовательно, Г — открытый конус. Заметим, что Q2 и Q3 и что £2зП{«, %)； fWOjuQ?. Поэтому условия предложения 24.7.1 выполнены для волнового оператора и конусов Г, Г1, Г2； конус Г1 может быть также заменен на Г.
Пусть Al® Q1 — компактная окрестность множества
М° = {(/,х); 1&/&2, |х|《計.
Наша задача — оценить производные функций % из леммы 17.5.14 равномерно на М. Пусть К—ограничение на М сферического расслоения единичных векторов из 7*. Выберем с по-
мощью леммы 24.7.2 компактную окрестность Z()uZ точки го и такие открытые конусы
'「；厘口， Гг^{(/, х)еГ2; / < — 1}, 「'負 Г,
что Ki и Г； и условия предложения 24.7.1 выполнены для этих конусов и любых операторов Рг, zeZq. Теперь зафиксируем произвольное z из Z。н обозначим через К： объединение множества К и сжатых обобщенных бихарактеристик оператора Рг>
идущих назад из К】и доходящих до плоскости / = —1. Пусть Кг есть пересечение такого объединения с этой плоскостью. Тогда можно выбрать такие открытые конические окрестности Г(т) множества Kj, что
「'当 Г(|)当 Г⑵当...п к；
и условия предложения 24.7.1 выполняются для оператора Р^ и конусов r(v+1) и r(v) в качестве Г1 и Г при v = 1, 2, ... . Действительно, если конус Г“)уже выбран, то из леммы 24.7.2 следует, что сжатые обобщенные бихарактеристики, идущие назад из достаточно малой окрестности множества К；, должны с。- .держаться в F")вплоть до t = —1 ——е при достаточно малом 8.
Из предложения 24.7.1’ при g, достаточно близких к г, получаем равномерную ограниченность ЦЛ^1)^ || для любого one-
ратора 4⑴三屮Г (Q), имеющего ядро с компактным носителем и порядок ——оо вне порожденного компактом конуса, содержащегося в 「(D； конечно, постоянная, оценивающая норму, зависит от А。). Дифференцирование уравнения (@2/@户土 戶匚)^匕=0 по параметру £,/ дает
(//" + 々)о%/隔 _ 一 д&/呜)女=f ・
Так как 4⑴/ уже контролируется нами, то из предложения 24.7.1, получаем теперь ограниченность ||/⑶du"d*U, если 以 принадлежит некоторой, возможно меньшей, окрестности точки z, ие зависящей от 4(幻，и оператор 从程)имеет порядок —оо вне порожденного компактом конуса, содержащегося в F” Продолжая таким же образом, получим ограниченность jX(v)D^J|> если I а I < V, оператор 4⑺ имеет порядок —оо вне порожденного компактом конуса, содержащегося в F(v), и g достаточно близко к г. В частности, получаем равномерную ограниченность любых производных。£*」％(厶％) для (£, %)еМ и для 匕 из окрестности точки г е Zo> зависящей от а. По лемме Бореля — Лебега отсюда следует равномерная ограниченность при всех zwZ。, что завершает доказательство.
Замечание. Отметим, что на множество йз проектируется много особенностей функций Грина. Лишь благодаря микролокальной точке зрения нам удалось избежать связанных с ними трудностей. Именно поэтому было невозможно доказать лемму 17.5.14 в § 17.5.
Примечания
Уже Кшижаньский и Шаудер (Krzyzanski — Schauder [1]) ис* пользовали метод интеграла энергии для вывода оценок решений смешанной задачи Дирихле—Коши для операторов второго порядка. Много позже Гординг (Garding [6]) определил общие граничные условия первого порядка, которые можно использовать вместо условия Дирихле для вывода довольно слабых оценок. Для операторов высшего порядка энергетические оценки были впервые даны Агмоном (Agmon [6])・ В дополнение к условию, позже получившему название равномерного условия Лопатинского, он требовал, чтобы вещественные корни характеристического многочлена в направлении нормали были не более чем двойными. Это условие было снято Сакамото (Sakamoto [2]); похожие результаты для систем были доказаны Крайсом (Kreiss [1]) (см. также работу Chazarain — Piriou [1]). По поводу обсуждения корректности в пространстве 厶2 также сошлемся на работу Sakamoto [2].
Здесь мы ограничились смешанной задачей Дирихле — Коши для операторов второго порядка, чтобы иметь в этом случае возможность полностью охватить теорию регулярности вблизи границы. Как видно из § 24.2, обсуждения областей эллиптич* ности и гиперболичности являются по существу микролокаль* ными вариантами теории эллиптических граничных задач и строго гиперболической задачи Коши (по поводу гиперболического случая см. также Chazarain [1]). Однако случай каса* ния ставит существенно новые проблемы. Впервые они были преодолены в случае дифракции Мелроузом (Melrose [3]) и Тейлором (Taylor [2]) с помощью построения параметриксов (см. также Eskin [2]). Поводом для работы Мелроуза послужило явное решение, данное Фридлендером (Friedlander [1]) для волнового уравнения в слоистой среде. Его пример есть модельный оператор в теореме 21.4.12. С другой стороны, Тей' лор руководствовался асимптотическими разложениями геомет< рической оптики, аналогичными полученным Людвигом (Lud* wig [2]). Затем случай скольжения был разобран в работе Anderson — Melrose [1] с использованием эквивалентности пар гиперповерхностей со скользящим пересечением, доказанной Мелроузом (Melrose [2]). Другое доказательство, основанное на построении параметрикса, было дано в работе Eskin [2]. Впоследствии Мелроуз и Шестранд (Melrose — Sjostrand [1]) провели геометрическое рассмотрение обобщенных бихарактеристик, которому мы следуем в § 24.3 с небольшими изменениями. Используя лишь соображения, связанные с интегралами энергии и не зависящие от теоремы эквивалентности Мелроуза, они доказали теорему 24.5.3 во всех случаях, кроме случая дифракции. Для этого случая Иврий [2] вывел теорему о распространении особенностей с помощью метода интеграла энергии, тем самым исключив необходимость построения параметриксов по Мелроузу и Тейлору. Мы следовали его статье до тех пор, пока это было возможно. Новым, быть может, является то наблюдение, что в случае множества дифракции не обязательно предполагать, что скользящий вектор не обращается в нуль. По поводу более общих граничных условий читателю следует обратиться к работам Melrose — Sjostrand [1J и E§kin [3, 4].
Интересный пример 24.3.11 взят из статьи Taylor [2]. Дальнейшую информацию относительно неединственности обобщенных бихарактеристик, проходящих через точки множества G00, можно найти в работе Melrose ——Sjostrand [1]. Для вещественно аналитических границ такой вопрос не встает. Однако если интересоваться аналитическими особенностями, то распространение особенностей вдоль скользящего луча имеет место также в случае дифракции, и, следовательно, особенности, вообще говоря, распространяются с бихарактеристик на мно-
жества более высокой размерности (см. специальный случай в работе Friedlander — Melrose [1] и общие результаты в работе Sjostrand [4]).
Конструкция решений с заданными особенностями в § 24.2 и 24.5 является модификацией конструкций для внутреннего случая, видимо, впервые приведенных Ралстоном (Ralston [1]). Данное здесь упрощение с помощью положительных лагранжианов было использовано многими авторами в аналогичных задачах, связанных с внутренними особенностями (см., например, Hormander [29]). В контексте нашего изложения оно было недавно использовано Ралстоном (Ralston [2]).
Результаты § 24.7 взяты из статьи Melrose [7], где упрощена работа Иврия [3] об асимптотических свойствах собственных значений задачи Дирихле. Мелроуз также использовал идею выделить качественную часть теоремы 17.5.5 и с тем же успехом применил ее к аналогичным вопросам для систем.
Добавление В
Некоторые пространства распределений
В этом добавлении собраны определения и основные свойства пространств распределений, используемых в тексте. По большей части эти пространства — частный случай пространств, обсуждавшихся в § 10.1 и 14.1. Однако мы дадим здесь по существу независимое изложение, поскольку это потребует лишь незначительных повторений.
Распределения в Rn и на открытых многообразиях
Еще в § 7.9 мы ввели важное пространство Соболева H（$）（Rn）, состоящее из всех 〃曰 0’（R"） с й е 厶К и
（в.1.1） ii”心=（（2力一"\i@e）|2（i +igi2）sdi）I/2<°°.
В случае, когда s — неотрицательное целое, Я（5）состоит из всех и, для которых D^ub L2（r）|а| ^ s. （Используя псевдодифференциальные операторы, введенные в гл. 18, можно для любого s определить Я（5）как множество всех распределений, которые переводятся в £2 каждым псевдодифференциальным оператором I） порядка s.） Итак, Н（$）——это образ пространства £2（₽я, （1+图2）蹴/（2冗尸） при обратном преобразовании Фурье. В § 14.1 мы ввели модификации этих ^-пространств. Рассмотрим теперь обратные преобразования Фурье этих модификаций, которые будут модифицированными Я（5）-простран- ствами. Как и в （14.1.2）, введем множества
（В Л.2）
X, = {gwR";R/_i VIWI VR/}, где Ro = O, Rj = 2— при / > 0.
Напомним （см. （14.1.8））, что
（В. 1.3）₽//4<（l+|g|2）<2^,自 WX/.
*） С символом, удовлетворяющим оценкам （18.1.1） с /п = s. — Прим. ped.
Для любого и^^ С 0 W Lh)c положим
%〃 (х) = (2力f，gp，Q "⑹恋，
丁. е. перед взятием обратного преобразования Фурье мы умножаем преобразование Фурье распределения и на характеристическую функцию множества X/. Из (В.1.3) следует, что
<В.1.4)2-1's 11 Я/и к) < й л/Ы L R7S<^S'l"/«й(о)-
Далее,
II 〃 lks)= ZII 冗产 11и)'
Этим подсказывается следующее определение более общих пространств Бесова:
Определение В.1.1. При 1《р《8 и swR через PH(S)обозначается банахово пространство всех u w 0[ для которых 4 三 Lioc и норма
<B.1.5)北小=(£15川%产
конечна. (При р = оо правую часть следует понимать как sup II л;и ||(s).)
Очевидно, что 哨⑷一банахово пространство и что 2H(S) ="”)• В силу (В.1.4),
<в.1.6)尸屮I а к) <(Е11 RK/峨)严 & 2旧。II 〃 心，
что позволяет описать пространства pH(s)и их нормы, используя ЛИШЬ 厶2-норму 1141(0). Поскольку /Ри/0 при р & q, из (В.1.6) сразу следует, что пространства PH(S)расширяются с ростом ". Далее,
(В.1.7)8&机)и 】"(&*)при Si > s2.
В самом деле,
'll« h)《2"” £ I R：%〃 ％)& 21 s,l+l Sl1 £ R『f 8II „ ||(S1).
Тем самым установлено
Предложение В.1.2. Включение т"(§])и 中”值力 имеет место тогда (и только тогда) ^ когда $i > s2 или sj = s2 u Pi V Pa
Для p < oo
]?冗声.一"| f 0 пРи "f 8, 〃三"h⑶.
Так как Со° плотно в £?Отр, отсюда вытекает, что Со° плотно в образе пространства PH(S)при преобразовании Фурье. Значит, 0 плотно в PH(s)t откуда следует, что С™ плотно в РН^ нбо С/ плотно в 夕.При 1/р+1/р'=1 имеем
1(", v)| = |ag)|&勺alk-s)加ll(s),』Hs ”wC£；
это показывает, что p'H.s》 непрерывно вложено в пространство, антидуальное к pH(sy Из обращения неравенства Гёль- дера вытекает, что это вложение есть изоморфизм:
Предложение В.1.3. Для 1 W р V 8 пространство, антидуальное к pH(s), совпадает с р'Нц, где 1/р 三 1/р‘ = 1.
Пример. Пространства В и В*, определенные условиями (14.1.1} и (14.1.3),——это преобразования Фурье пространств 1^(1/2) и 8//(т”)соответственно.
Теперь обсудим вопрос, как представить pH(s)в виде интерполяционного пространства, что удобно для получения различных оценок (см. также леммы 14.1.3 и 14.1.4). Если и spH(s) и u* =冗月〃,то, как мы знаем, 〃 = £ 汉斤(сходимость в 0‘) и
11"加)忘出21‘也，yR,
где Мл = || n^ulko), так что
(e(Rm)少/y 2"勺1"鼠)■
Обращение этого результата дается следующим предложением:
Предложение В.1.4. Пусть Uk е Я(5в)Q Я(^о,尼=1, 2, ..., и
(ВЛ.8)||〃Лз)《R^Mh> v — 1> 2, ^ = 1, 2,
Если SoVsVsi и последовательность R%M^ принадлежит /р» то ряд 2汉点 сходится в 0〔 его сумма принадлежит 卩”務)и
(В. 1.9)1L “* L)& С (s) (£(R；M/)")|色
При р < оо этот ряд сходится в норме пространства PH(S).
Доказательство. Достаточно установить оценку (В. 1.9) для случая, когда число слагаемых конечно, а затем применить ее к разности двух частичных сумм рассматриваемого ряда (при р = оо заменив s некоторым меньшим числом). В этом случае
£ 冗产％ и оценка (В.1.8) дает
Rivn/Uk |(о)《С 応底)& Rk 也・
Взяв v = 0 при k^ j и v= 1 при /г < /, получаем
где
口 =Д R厂/Г"* при *>/,а/4==1 Rk~sRsrs' при k<j.
Поскольку числа Rk образуют геометрическую прогрессию, 多4在《e (s), §勺也《 C (s), где C(s) = (l-2S~尸 +(2次7一］尸.
Оценка (В.1.9) вытекает теперь из классической леммы Шура:
Лемма ВЛ.5. Если £|а”|《С и £丨勺月|《。для всех k и j соответственно, то
(多择勺叫p)"yc(El/F)吗1《P&8,方三出
Доказательство, В случае р = 1 или оо это очевидно. В остальных случаях, используя неравенство Гёльдера, получаем
择 a/х"у (口彻 1产岁咽I / 1у CW' § амI / Г.
где 1/р + 1/р,= 1. Следовательно,
У I § alkxk『& Cl+P,p，^\xk ^ = cp^\xk『， чем доказательство и завершено.
Следствие ВЛ.6. Пусть Т — непрерывное линейное отображение "(SQ)f "(slea Ес<〃 ограничение этого отображения дает непрерывное линейное отображение "(&)f ”(衝一团)при некотором $1 > s0, то оно дает непрерывное линейное отображение pH(s) f P"(s-E) при любых So V s V S1 〃 1 W р W 8.
Доказательство. Для всякого u^pH(s)мы имеем Та— £ Т冗也〃, где ряд сходится в Н^-т)9 и при v = 0, 1
П Tit点汉 ||($广团)《С И 冗在汉 ||(sj &С Rh II ^k^ 11(0)»(Zllfcufe)iz₽<2|s|p||ul|(s).
Поэтому доказываемое утверждение следует из предложения В.1.4.
Теорема В.1.7. Если ф е С°° и производная 。&中 ограничена при каждом а, то отображение и н->фи есть непрерывный оператор в *//(s)для see% sup.
Доказательство. Очевидно, что это отображение является непрерывным оператором в "⑹ при всяком неотрицательном целом s. В случае отрицательных целых s отображение H(s) 巨〃г qp〃w"(s) служит сопряженным к отображению "(_$) m 汉^—>@汉三 H(-s) и потому также непрерывно. Теперь утверждение теоремы вытекает из следствия В.1.6.
Теорема ВЛ.8. Пусть 屮—диффеоморфизм некоторого открытого множества Х\ с Кл на другое открытое множество X2czRnt и пусть % е С? (Х2). Тогда для всякого v ^pH{s)(Rn) обратный образ 屮YytOw&YXDu^YRk) тоже принадлежит 卩H(s)(R") “₽H*(XV)||(s)<C(s)p||vU
Доказательство, Ввиду следствия B.L6 достаточно показать, что для целых s
l2(%u)k)《C(s)H“(s)・
В случае когда s — положительное целое, эта оценка немедленно получается, если продифференцировать равенство
巾 *(%") = % (2)。(2)
(определение обратного образа) и принять г|)(х) в качестве новой переменной. В случае когда s ——отрицательное целое, воспользуемся соображениями двойственности. Выберем функцию %1 三 Cf (X】), равную 1 вблизи supp 屮*左 Тогда для 〃三 C〕(R")
1(2*(%。),明=1仲*(如，X1Й)I
=I (I det (巾т)' I %и,(巾т)* 仇〃))I《С|| и b) II 〃lk-s),
в силу теоремы В.1.7 и первой части доказательства. Следовательно,
ll^(XV)lb)<C||v||(s),
чем теорема и доказана.
Замечание. Для пространств H(s)= 2Я(5) с произвольным .seR теорему В.1.8 можно также доказать, используя (7.9.3), (7.9.4).
Ввиду теоремы В.1.7 мы можем, опираясь на теорему 10.1.19» определить пространство РН[°)(X) для любого открытого подмножества X в кл как множество всех 〃胃勿'(制，таких что 中〃三卩"(s^Rn) для каждой функции ср еС^(А'). Более об-
щим образом, пусть X — произвольное С°°-многообразие. Будем говорить, что распределение и 三勿，(X) принадлежит 。〃；；： (X), если
(X7)*" = &三。"等(4)
для всякой системы координат х： XK~^XHcz Rn класса C°°t Топология в пространстве р//{^ (X) задается полунормами
ин^₽||фих||^,
где ф ——произвольный элемент из Со° (Хх), а х — любая система координат класса С00. Из теоремы В. 1.8 следует, как и при доказательстве теоремы 6.3.4, что можно ограничиться картами х из некоторого атласа для X и функциями 中 = 中乂，при условии что множества {%三犬乂； <рх (хх) =/= 0} покрывают X. В частности, если XuR" и множество К — компакт в X, то 。础;(Х)п 家(К)и"%)(К), и топология, индуцированная на этом пересечении, совпадает с топологией, задаваемой нормой
Р||・|&)・
Обсудим теперь вопрос об ограничении рассматриваемых распределений на подмногообразия. Начнем со случая гиперплоскостей в R". Для всякой функции 〃三 0(R") обозначим через у〃 ее ограничение на гиперплоскость хп = 0, отождествленную с Ri：
(Y〃)(x') = a(x', 0) x'wRf
Теорема В.1.9. Введенное выше отображение у продолжается до непрерывного отображения из {Н(\/2)(^п)- в ”(o)(Ri) =i L2(Rn-1), которое мы снова обозначим через у. Для всякого s > 0 ограничение отображения 丫 на ₽W(s+i/2)(Rn) непрерывно отображает это пространство на рЯ(^)(₽п-1) 〃 обладает непрерывным правым обратным (〃з 卩”⑻值"")в рЯ(5+1/2)(₽л)).
，a^di^，a^di^II 丫电"1b)= (2л)1II 丫电"1b)= (2л)1Доказательство. Пусть 冗/〃 определено так же, как в начале параграфа (перед оценкой (В.1.4)). Тогда л；и е С00 и
，a^di^
，a^di^
II 丫电"1b)= (2л)1
II 丫电"1b)= (2л)1
《（2靠）-1 2R八|6（三）产恋=尸%/15卅%.
Если "巨 С『,то 汉=£ 冗/〃, причем лишь конечное число членов в этой сумме отлично от нуля, и неравенство треугольника дает
II Y«ll(o)& X IIY电a lko)《С 1II a Ik®.
Поскольку такие функции и плотны bI〃(i/2), этим доказаны первое утверждение теоремы и тот факт, что уи= ^ Y"/〃 для всех 〃 w 1”0/2)・
Если и w р"”+1/2)(R"), то для t ^ О
IIY出alk)《2‘局||Y口产||(0)
0UR；YK/uM)《IIR：+%/疝).
Правая часть последнего неравенства при / = 1, 2, ... образует последовательность из /р. Поэтому предложение В.1.4, примененное к соответствующим частичным суммам, показывает, что при s > 0.
胃阿®《С (s)P ||〃 к*玲
Таким образом, у непрерывно как отображение рЯ(5+1/2)(1?п) f R"(s)(Rai). Для построения правого обратного к этому отображению выберем какую-нибудь функциюг|)三 С/ (R) с 屮(0)= 1 и положим для и w"77(s)(R"-D
人(*)=勿(*')巾(&二),、
где 力‘=(%i, ...» хл-1), a Vk = л*и определено, как и прежде, только при Рл, замененном на Ri. Тогда
II4 曲=(2л)-"，I 必(Г) I21 ® (&"&)/& |2 (1 +1 & * W 4&心I，1办(『)『10(赢)|2(1 +卷)‘恋 《旅尸|1咿11机
Это дает оценку (В. 1.8) с Мк = CtRkm^ nkv ||(о). Так как для v^pH(s)
R^ll2Mk = c7Rsk\\nkv\\w^lp,
из предложения В.1.4 вытекает, что отображение
непрерывно действует из PH{S)в p//(s+l/2). Очевидно, что при s > 0 оно служит правым обратным к у. Доказательство завершено.
Замечание, Как было показано в гл. 14, у сюръективно и как отображение из 1Я(1/2)(*Rn) в //(o)(Rrt-1), но указанное выше правое обратное отображение не является непрерывным отображением из "(0)(R*1) b 1^1/2)(Rn).
В теореме В.1.9 рассмотрен лишь случай ограничения на гиперплоскость. Однако, повторно применяя полученный результат 良 раз, мы заключаем, что существует непрерывное отображение ограничения, действующее из 1//(й/2)(Кя) в "(o)(RJ在) (подразумевается, что л/w 頁门一尼 отождествляется с (х\ 6)е Рл). Его ограничение дает непрерывное отображение из pH(s^k/2}(^n) в pH{s}(Rn^k) при любых s > 0 и целых & > 0.
Поскольку мы определили отображение ограничения у при помощи непрерывного продолжения, отправляясь от гладкого случая, ясно, что это определение инвариантно относительно замен переменных. Следовательно, если У — произвольное С°°-под- многообразие коразмерности k заданного С°°-многообразия X, то при s > 尼/2 для любого распределения и 三》Н；：；(Х) можно определить его ограничение у?〃 на У, причем yyu w рЯ(^&/2).
Внимательный читатель, должно быть, заметил, что правое обратное отображение, построенное при доказательстве теоремы В.1.9, было определено для всех s, хотя мы не могли утверждать, что оно будет правым обратным для у при $《0, так как у не определено на pH(s+\/2)при таких s. Это наводит на мысль, что отображение у следует определить на несколько более широких пространствах. Мы сейчас введем соответствующие модификации пространств 〃(s” (Аналоги пространств Бесова мы для краткости уже не будем рассматривать.) В приводимом ниже определении особая роль отведена гиперплоскости хп = 0; отметим, что первые п—1 координат g = ®, …，grt-i) вектора 自 w R" суть координаты двойственного к ней пространства.
Определение В.1.10. Для любых m, s е R обозначим через Н(т, s)(R") множество всех и 三 0«R"), таких что 0 巨 厶証 и (В.1Л0)
II « b, s) = ((2л厂"]I А (&)『(1 + I & |2严(1 + I Г ГУ 恋严 V 8.
Это частный случай пространств В2, л из определения 10.1.6, отвечающий функции
^(g) = (l + l&l2)m/2(l + iri2)s/2.
Поэтому, согласно теореме 10.1.15, операция умножения задает непрерывное билинейное отображение
0 X H(m, s> Э (ф, a) f(Р〃 W Hg S),
и по теореме 10.1.8
(ВЛ.11)
"(F, s» (R") и Н(Е, S2)(R") <=>/П,</П1 И /П2 + S2 & /П1 + S1.
Пространство Со°(R") является плотным подмножеством в Н(т, $) при любых m, s. В случае когда т ——положительное целое, ^H[mt s) состоит из всех и, для которых £>〃 三 Я(о, s+m-n при O^j^m, а включение и s Я(о, ^ означает, что и можно рассматривать как £2-функцию от хп со значениями в H(s)(Ri).
Как и в теореме В. 1.9, мы обозначаем через у отображение ограничения
(уи)(хЛ) = и(х\ 0), 〃巨0(R")・
Теорема В.1.11. При m > 1/2 отображение ограничения у продолжается до непрерывного отображения H(m, s)(₽я) -> //(m+s-i/2) (Ra】). Кроме того, существует отображение продолжения £ из I)"⑻(R"-】)8 0彳R"), непрерывно действующее из "⑻(R”") в Я(т, s-m+i/2)(Rn) при всех s, m и такое, что ус есть тождественное отображение. Далее, в можно выбрать так, чтобы уО*е = 0 для каждого положительного целого 比 а х„е было непрерывным отображением из H(s)(R"-i) в H(m, s^k-m+\/2)(^n) для всех s, /п.
Из последнего утверждения вытекает следствие, аналогичное следствию 1.3.4:
Следствие B.1.I2. Пусть /п ——положительное целое число. Если fk 巨 "(s+mTT/zNRJi), Л =0, . . . , m — 1, то найдется 〃三"<小勺便门)，такое что yDnU — fkf 尼=0,・••，/п — 1.
Доказательство. Можно просто взять
/м—1
«= Е x„efk/k\.
Доказательство теоремы В.1.11. Если uw 0 H и = yu, то
10低')12 = |\ 0(出喉/2靠『
《，I 0 (出产(1 + I 评严恋"，(1 + 包 (2)-m %/(21t了
<^J|fi(|)|2(l+ll |2)т(1+1Г|2)1/2_/П 恋 J2k.
Чтобы получить последнее неравенство, надо принять £ =工厶/(1 + 代〔2)1/2 в качестве новой переменной вместо 息.Для сходимости интеграла здесь существенно, что /п > 1/2. Умножая на (1 +|g|2)叶”1/2 и интегрируя, получаем.
При построении оператора продолжения е рассуждаем по существу так же, как в доказательстве теоремы В. 1.9, выбирая на этот раз функцию г|）е Со° равной 1 в некоторой окрестности нуля. Полагая X = （l H-I^l2）172, определим ev = и для。三歹 формулой
М&,二）=2（版。）6偿）.
Здесь йп обозначает преобразование Фурье по переменным х\ Ясно, что 汉三歹，汉（•, 0）= и и DnU = Q при хп — 0 для /，0. Далее,
DnXnU 隘 s+fe—/+1/2）
=（2л）1-" J I U g）『严 “+"/）+，dg, I D1n^ （Xx„）|2 dx„ = （2л）*-п，I 6 （Г） I2 产虑 J I D^ （x„）|2 dx„.
Если m — положительное целое число, то, складывая соответствующие оценки для 0 V / V /п, получаем
II Xn6V %m, s+fe—m+1/2）《以,仙0心），
чем доказательство и завершено.
2. Распределения в полупространстве и на многообразии с краем
Мы обозначаем через R】 открытое полупространство в R", задаваемое условием хп > 0, и через R1 — дополнение к его замыканию R；. Для всякого пространства 戶 распределений в R" будем обозначать через 尸（R；） пространство ограничений на R* элементов из F и через F（R±） — пространство всех распределений из F, у которых носитель лежит в R±. Таким образом, F（R+） — подпространство в 勿（RX）, и его можно рассматривать как факторпространство F/F（R1）; оно содержит факторпространство пространства 户（R；） по подпространству элементов с носителем в dR* = {xwR"; хп = 0）. Выбранные обозначения призваны напоминать об этих фактах.
Пример. Пространство Со°（R+） состоит из ограничений на R* функций из С/（R"）. Из теоремы 1.2.6 следует, что его можно отождествить с пространством всех функций из С00（R+）, равных нулю вне некоторого компакта. Пространство Со（R+） об-
разует в нем подпространство, состоящее из функций, имеющих нуль бесконечного порядка при х„ = 0. Пространство, двой* ственнОе к СГ（R+）, совпадает （ввиду теоремы 2.3.3） с пространством办'依I） всех распределении^ с носителем в R，а пространство, двойственное к Со°（R+） — с пространством 2>'（R*） распределений на R：, обладающих продолжением на всё R" （в силу теоремы Хана — Банаха и теоремы 2.3.3）.
Ниже будут р ассм атр и в аться в основном пространства Н（/п, s）（R+） н Н（т, s）（R+）, наделенные соответственно факторто- пологией и индуцированной топологией. Таким образом, мы полагаем_
l|uhs）==inf||U||gs）, u^H[m,s}（RX\
где точная нижняя грань берется по всем U w 修办 &）（R“），равным и на R；・
Теорема В.2.1. СГ（R+） плотно в^Н{т^（^.）9 а 已鼠依1） —6 Н^т, s>（RT）, и пространства H（m, $）（R"）,疗（_九 _s>（R*） двойственны друг другу относительно продолжения полуторалинейной формы
\uUdx, u^Cq（RX）, у е СГ（RX）.
Доказательство. Поскольку СГ плотно в Н（^ ®）（КЛ）, ясно, что СГ（R+） плотно в Н^ «）（₽+）. Плотность Со° （R+） в Я（5）（R+） следует нз теорем 10.1Л6 и 10-1.17 （в последней берем ф с носителем в R；）・ Далее, Я（т, s）（R+） — замкнутое подпространство в 〃（m, s）（R"）, поэтому двойственное к нему пространство представляет собой фактор пространства "（一团，一$）（R"） по аннулятору плотного в 方（m, s）（R*） множества Со（R+）, т. е. по подпространству элементов, равных нулю на R*. Но по определению этот фактор и есть H（-mt -S）（R+）.
Из теоремы 10.1.8 вытекает, что
—
员叫 s,）（R+） и 员m. s" （Ri）今 /П2《％ И ГП2-}- S2<tni + Si.
Используя теорему 10.1.10, докажем следующий результат:
Теорема В.2.2. Пусть К — компакт в R；・ Тогда множество
{修以巨%gg）（Ri）, ll^lUb ^）<1, supp 口 и к}является компактным подмножеством в Я（т：（色）（R+）, если/и2 Vmi и /иг + 52 < /Hi 4- si. 8 случае когда у & есть внутрен^
ние точки, эти условия также и необходимы для компактности указанного множества.
Доказательство, Утверждение о необходимости немедленно следует из теоремы 10.1.10, если сузить К до компакта, содержащегося в R+- Чтобы доказать утверждение о достаточности, возьмем какую-нибудь последовательность U^ е Я（ть Sl）（R+） с supp % и К и И uv ||（mi, so《L Найдется такая последовательность UvW"g・st）（R"）, что Uv = uv в R+ и ||t/vlkmb so <2. Выберем какую-нибудь функцию ①三 C『（R"）, равную 1 в некоторой окрестности компакта К, и положим U^ = Ф（/у. Ясно, что
где С — подходящая постоянная. Поскольку supp Uv cz supp ф для всех V, из теоремы 10.1.10 вытекает, что существует подпоследовательность （/（, сходящаяся в Я（ть s2>（Rrt） к некоторому пределу Uv е H（mit so（Rrt）. Но тогда последовательность Uv, ограничений элементов % на R； будет сходиться в //（仙,北）（R*） к ограничению на R* элемента U. Доказательство завершено.
Установим теперь некоторые результаты, позволяющие дать более прямое описание пространства "（悔，s）（R*） в случае неотрицательных целых /и.
Теорема В,2.3・ Для того_чтобы 口三 〃«塩，s）（R】）, необходимо u достаточно, чтобы u w 〃（悔一i, $十0（R+）以 D^U 巨 H（mT, s）（R+）； справедливы неравенства
}|| 〃 lion, s） & II DrII ||（m-L s） + II ^||（m-l, s+i） & II 以陈,s）・
Кроме того, и 巨”（塩，$）（R+） тогда и только тогда, когда 〃巨 H（m $-i）（R*） и Q产巨 H（gsT）（R：） при / < п; при этом
II 口 lion, s） = II w 喩,s-l） + § II DjU 踪 ST）.
Доказательство. Пусть и ^ H（m, s）（R+）. Выберем U е H{mt s）（Rrt） так, чтобы U = 口 в RX н || U ||{m, s）= || и ||（m, s）. Тогда
II DrU 脸-L s） + II U 協7, s+1） = II U %, s） = II 口 临,s）・
Этим доказано, что Dnu^H{m-\, S）（R+）, u^H[m^ s+i>（R+） и справедливо второе из неравенств （В.2.2）. Остальные утверждения теоремы сразу вытекают из следующего результата:
Теорема В.2.4. Пусть &'=隔，％_i）,〈冷匸^ +1У 产产 ц （B.2.4）Ag $ （g） = «^ + i% 严〈力$・
Тоеда оператор Am, s （D）, задаваемый равенством А^,厚（Q）q> =尸-|（厶*©）, <pe ^（R+）, есть изоморфизм пространства 8（R：） на себя, продолжающийся по непрерывности до топологического изоморфизма L2（R+）—>Я（-.ОТ, -S）（R+）. Сопряженный Лт（ s （D） к этому оператору продолжается по непрерывности с СГ（К*） do изоморфизма из Я（«, «）（₽+） в L2（R+）. Таким образом,
II 口 Ik九 ，尸 II 底,5 （D 以 （!д2 （喲，"巨瓦…）（Ri）,
“ H（m. s）（R+） состоит из всех 以已夕’（R*）, для которых Лот, su 三炉（R*）・
Доказательство. Согласно примеру 7.1.17, обратное преобразование Фурье от Лт, s （соотв. ЛОТ1 s） имеет носитель в R+ （соотв. Rt* Следовательно, Am, s（О） есть непрерывный оператор в 力（R；） с обратным А_* _$（£））, чем доказано первое утверждение теоремы, ибо I 八办$低）卩=（1+ |&产严（1+IBP）* Второе утверждение получается по двойственности.
Замечание. Записывая А%$ в виде Amt s = ^D^ + ^п）Лт_1（ s> заключаем на основании доказанной теоремы* что каждый элемент и w Н^т, -$）^R；） можно записать в^виде u — Uq + Dnunr где Uq 巨 H（\~mt —s—D（R；） и 口r w 方（1-g-$）（R；）・ Этот дуальный вариант теоремы В.2.3 будет нам иногда полезен.
Следствие JB.2.5. Если m u s — неотрицательные целые, то пространство Н（т, s）（R；） состоит из всех 口 wZ?（R：）, для которых Daи е Л2（₽+） при |a|《/n + s 口 ％《/л. Норма в этом пространстве удовлетворяет оценкам
CJ|u|hs）& X UzA<《ll〃lhs）, и 三瓦m,s）（Ri），
где Ci — положительная постоянная, зависящая от s и mt но не зависящая от 以.
Это немедленно следует из теоремы В.2.3 и того очевидного факта, что H^t 0）（R+） = ^2（R+）. Точно таким же образом получаем, что для любых m и s
II D 以 s+%—lal） & II 〃 11（% 6），и^ H（m, s）（R+）-
Поскольку элементы из 夕⑴ $）（R"） можно рассматривать как /^-функции от хп со значениями в H（s）（Rn"!）» ясно, что //（о, S）（R+） = L2（R+> "⑻（R°t））. Поэтому из теоремы В23 вытекает также такое
Следствие В.2.6. Для неотрицательных целых m пространство ^（«. s>（R+） состоит из всех 口 w?'（R；）, таких что D；u при O^j^m есть D-функция от хп е R+ со значениями в //（s+m-力（R"~i）, 口 норма ||〃 11（加，s） эквивалентна норме
\/-00/
Следующая теорема — немедленное следствие теоремы ВЛ.11:
Теорема В.2.7. Если / — неотрицательное целое и m> j + 1/2, то для каждого фиксированного %帛》0 отображение
Со°（R；） m и *—>• DnU （•, хл）
ложно продолжить до непрерывного отображения из 〃（理，$）（辟） е Я（5+т-/-1/2）（Rn-1）. Для всякого и^ H（mt s）（R+） получаемое таким образом отображение
R+ m хп ь-> Dfnu （•,尤帛）巨 H（s+m-f^i{2）（R。i） непрерывно,以
sup\D'nu（-, xn）|（s+m—1/2） & Cm. /II 〃 Il（m, s）," W H（m, S）依+）・
%>°
Поскольку 〃（s）（R"T） и Cv（Rrt~l） прн s > （n — 1）/2 + v （след- <ствие 7.9.4）, отсюда вытекает
Теорема В.2.8. Если и е Я（т> s）（R+）, то производные Dau непрерывны в R+ при I а I < m + s — п/2 и ал < m — 1/2.
При изучении краевых задач для дифференциальных операторов теорема В.2.7 в сочетании с приводимой ниже теоремой, близкой к теореме 4.4.8', часто позволяет дать точную интерпретацию граничных условий. Пусть X — открытое подмножество в R+ 丄 X° = XHR， Так как u е H{mt S）（R+）, ^^CQ（Rn）^^uH{m, s）（R+）, можно, как в теореме 10.1.19, ввести локальное пространство "|^ $）（Х°）, состоящее из всех 必巨疗（Х°）, таких что qpu е Я（т# S）（R+） для всех ①巨 С〕（Х）・
Теорема В.2.9. Пусть Р — дифференциальный оператор порядка 禺
с 〃awL(X) “ коэффициентом при 代,равным I. Если
«巨万盘,si) (X。)и рйй月器f敏)(X) то ue H^t s)(X°) при m<m2 口 m + s^mj + Sj, /= 1, 2.
Доказательство. Выберем какую-нибудь функцию ф е Со° (Х> и положим о =①口. Предположим сначала, что /и《/И] + L Тогда
Ро 三瓦吁…)("■)•
(B.2.9)(B.2.9)Действительно, <pPu 三 H(m?-% s2)= Я(т_ц, s>,上 силу (В.2Л), поскольку 加《力2 н zn + s《力2 + S2, н Daue百貶+i, s、)u方器•麻s> при I a| < p, поскольку 加《g + l н m + s《恤 + £卜 Заметим» далее, что
(B.2.9)
(B.2.9)
D% 三 H(mi-art, ”-| a」)’
ибо и w 〃(m,由).ибо и w 〃(m,由).Следовательно, Dao w 〃(悔亠％ $) при art < p.
ибо и w 〃(m,由).
ибо и w 〃(m,由).
н |a|《N, поэтому из (В.2,8) вытекает, что 戍看曰"恤—限协 так как это верно для всех прочих членов в Ри. Мы утверждаем, что D„v е Я(т-/, S)» 0《j《卩. Поскольку это уже доказано __для / = ц, можно принять, что / < ц и чта 戌Fw HgT-i, S). Но тогда наше утверждение следует из теоремы В.2.3, нб匕 Dhv w Hgi sF ^(m-/-!, s+i). При j = 0 мы получаем 看 w 〃(热* $), т. e. 口 w 〃；^ $), поэтому для случая /л《/и】+ 1 теорема доказана. Переходя к общему случаю, мы можем, очевидно, считать, что tn{ + Si — m2 + s^ и mj = m2 — й для некоторого целого fe > 1. Тогда по уже доказанному 〃三晟紹1,吁1)，н повторное применение этого рассуждения дает последовательно
□ W h舐+2 S1-2h < • • 9 口三"麻+h,SL在) ="器町.
Доказательство завершено.
Замечание. В этой теореме можно было бы допустить и распре* деления ц, принимающие значения в С", при условии что коэф* фициенты рассматриваемого оператора суть %ХМматрнны,
причем коэффициент при Dn есть обратимая матрица. После умножения оператора на обратную к ней матрицу данное выше доказательство проходит без каких бы то ни было изменений.
Понятие С^~многообразия с краем определяется точно так же, как и понятие «открытого» С°°-многообразия (определение 6.3.1), только в качестве множеств 彳乂 допускаются открытые подмножества замкнутого полупространства R，Поскольку R" диффеоморфно открытому полупространству R，ясно, что многообразия—частный случай многообразий с краем. Далее, для всякого n-мерного многообразия X с краем множество Х° всех точек 尤巨 X, таких что хх е R* для некоторой (а значит, и для любой) системы координат к, удовлетворяющей условию хеХх, будет n-мерным многообразием, называемым внутренностью X. Множество всех % 三 X, таких что хх принадлежит границе полупространства R+ для некоторой (а значит, и для любой) системы координат х с хмХх, образует многообразие размерности п——1, называемое краем (или границей) X и обозначаемое дХ. (Системы координат на Х° н дХ — это, конечно, ограничения систем координат на X.) —
Если X и У — открытые подмножества в R* и р: Yf X — диффеоморфизм класса О, т0> опираясь на теорему 1.2.6, можно продолжить 屮 до С°°-отображения $: Yf X между окрестностями множеств У н X в Rn. Это отображение 屮 будет диффео* морфизмом, в случае когда окрестность Г выбрана достаточно малой и М = GV). Если 〃三勿'(X) и supp 〃 и X, то $*口 w 纱(У) и supp ^*и cz У. Множества таких распределений, отвечающие различным выборам X, очевидным образом отождествляются друг с другом. Обозначим получающееся в результате такого отождествления множество через 办(X). Из теоремы 2.3.3 следует, что $* определяет отображение ”*: ^X(X)f 玄<У), не зависящее от выбора X, F, <р- Аналогично определим 勿，(X。)как множество ограничений на Х° распределений, заданных в некоторой окрестности множества X в Кп. Отображение гр* переводит ^(Х°) в .勿'(У°), поскольку ±* переводит продолжения на 片 в продолжения на Р.
Очевидным образом видоизменяя определение 6.3.3, мы можем теперь для_всякого С°°-многообразия с краем X определить пространство 勿'(Х°) продолжаемых распределений в Х° и пространство 历'(X) распределений, сосредоточенных в X. Ввиду теоремы В.1.8 можно, далее, определить пространства /f(ff (Х°)с 砂(X。)h 方幣(Х)u^/(Х) точно так же； как и в случае открытых многообразий.
Понятие дифференциального оператора на С°°-многообразии X с краем определяется совершенно так же, как и в случае многообразий без края (см. § 6.4). Ясно, что если порядок дифференциального оператора ^т, то он задает непрерывное отображение из 〃|：)с(Х°) в Н^~т)(^°) для любого s. Чтобы поставить краевую задачу на 尤 нужно помимо дифференциального оператора на X задать еще определенное число граничных условий на границе дХ. Каждое из них задается некоторым граничным дифференциальным оператором, т. е. линейным отображением "из С°°(Х) в (?8(dX), таким что для всякой системы координат х класса С°°
(рц) о X"1 = pH (〃 о 乂一1) в ХкПКл, 〃三 С°° (X).
Здесь использовано обозначение Ro = {х е Rn; хп = 0}, а рх — это некоторый дифференциальный оператор
рх (х, D) = S ^S(x)Daа
с коэффициентами из С°°(R? П Х«)・ Для граничного дифференциального оператора р мы наряду с его порядком, который был инвариантно определен в § 6.4, будем рассматривать еще и трансверсальный порядок, определяемый как наименьшее число f, такое что Q^ = 0 для всех х прн ал > /. Эквивалентно, это наименьшее /, такое что ри = 0 в X для всякого и, имеющего на дХ нуль порядка / + 1. (Трансверсальный порядок может, как и обычный, равняться + оо, если край дХ некомпактен.) Отметим, что граничные дифференциальные операторы трансверсального порядка 0 можно также рассматривать как дифференциальные операторы на многообразии дХ.
Пусть теперь р ——граничный дифференциальный оператор порядка ц < оо с С°°-коэффициентами. Если его трансверсальный порядок <加一1/2, то, как следует из теоремы В.2.7, отобра* жение.
С°° (К) m и 一 "％ 三 С8(R彳 П 底) единственным образом продолжается до непрерывного отображения ИЗ Н(^(Х«) В Я(т-ц-1/2) (Ro П ^к)； ОбОЗНЭЧИМ ЭТО продолжение снова через р*. Ясно, что если и 巨 Н%(Х。), то распределения рхих в Ro П-^х определяют некоторое распределение на многообразии дХ, Обозначая его через ри, получаем следующий результат:
Теорема В.2.10. Всякий граничный дифференциальный оператор р порядка ц с С00-коэффициентами задает непрерывное линейное отображение
豆牖 Ю m u f p" W ^,,_1/2)(^,
при условии что трансверсальный порядок оператора р меньше /и—1/2.
Как н в § 6.4, не составляет никакого труда обобщить проведенные выше рассмотрения на случай распределений со значениями в векторных расслоениях и дифференциальных операторов, определенных на сечениях соответствующих расслоений. Мы будем свободно пользоваться такими обобщениями без осо* бых оговорок.
Добавление С
Некоторые факты из дифференциальной геометрии
В этом добавлении дана подборка используемых в основном тексте фактов об отображениях и векторных полях. Для большинства затронутых тем более подробное изложение можно найти в многочисленных руководствах по дифференциальной геометрии.
С. 1. Теорема Фробениуса и слоения
Основную теорему существования для систем дифференциальных уравнений первого порядка можно сформулировать следующим образом: если
0= S 看/(%)6/d々
—векторное поле класса С°° вблизи нуля в Rrt, удовлетворяющее условию V (0) =# 0, то найдутся новые локальные координаты "1， •.., у% такие что v = д/ду{ в некоторой окрестности нуля. Мы рассмотрим сейчас сходный результат, в котором задано несколько векторных полей. Напомним, что коммутатор [и, w] векторных полей и и ⑪ определяется формулой
®, w\u = v (wa) — w (ou), 〃 w C 8.
В координатах это означает, что
Е 5】=X (% G吗/а“ 一 g 加//d%Q d/dxh
если 5= £ Wj(x)d/dxp
Теорема С.1.1 (Фробениус). Пусть vb ..., vr — векторные поля класса C°° вблизи нуля в ;Rn. Если выполнены условия
(С.1.1)^! (0), .,. , vr (0) линейно независимы.
(С・1・2)【S, и,] == X
то существуют новые локальные координаты 况，...» уп> такие что
d/办尸 ?方订方" i=l, …，Г,
где (力仃)——некоторая обратимая матрица ).
Доказательство. Прежде всего заметим, что векторные поля V/ = ^ aij^b i=l, ・..,「, тоже удовлетворяют условиям (С.1.1), (С.1.2), если det(ац) =#0, поскольку
[X.aikVk，S a)iv^
=X aikafl [04, vz] + е4后 (0屮")s - £a"(0也储 vk.
Далее, эти условия инвариантны относительно замен переменных. (Отсюда, между прочим, следует, что выполнение условий (С.1.1), (С.1.2) необходимо для справедливости заключения теоремы.) Предположим теперь, что теорема уже доказана для меньших значений п; это допустимо, так как при п = 1 теорема верна тривиальным образом. Выполнив замену переменных, мы вправе тогда считать, что ui = д/дх^ и, вычитая из остальных полей подходящие кратные поля tn, можно также добиться, чтобы
и, = § 力“d/O%z, j = 2, ♦・・，г.
При %i = 0 эти векторные поля в К*1-】 удовлетворяют нашим условиям, поэтому, произведя замену координат Ха, ..., хл, мы можем по предположению индукции считать, что 力〃 =0 при Xi = 0 для / = 2, ..., г и Z > г. Но
db“/d%i = 5°产z = [°i> и」]尤I = Z C"卢在勺=£ J/在6在厶 fe=2A—2
I —— 2,, ti9 j —-2,, r.
Из единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вытекает поэтому, что Ь“ = 0 в некоторой окрестности нуля для / > г, чем доказательство и завершено.
Следствие С.1.2. Пусть uj, ..., ог удовлетворяют условиям те。- ремы, С. 1.1, и пусть fi, ..., frs Cw. Уравнения
(С. 1.3)VfU = fy, / = 1, г,
G 1. Теорема Фробениуса н слоення 641
имеют C°°-peiuettue 8 некоторой окрестности нуля тогда и только тогда, когда
(CJ.4)и/, — Vjfi = ^cijkfk> »* j=l,r.
Если С°°-многообразие S uR" коразмерности k, содержащее точку 0, обладает тем свойством, что касательная плоскость к нему в 0 дополнительна к плоскости, натянутой на векторы ^1(0), ..., Ог(0), то у системы (С.1.3) существует единственное решение в некоторой окрестности нуля, принимающее на S любое заданное значение и0 三 С00 (S).
Доказательство, Условие (С.1.4) немедленно вытекает из (С.1.3) и (С.1.2), и ясно, что оно инвариантно относительно замен переменных, а также относительно взятия линейных комбинаций уравнений из нашей системы. Следовательно, в силу теоремы С.1.1, можно считать, что vi = d/dxjt / = 1,・•・, г. Тогда с(/А = О и (С.1.4) сводится к условию
(СЛ.4)zdff/dxi — dfi/dxi = 0,. Z, /= 1, ... , г.
Если положить хл =(хь ..., хг) и х" = (%中，...,хл), то S задается в некоторой окрестности нуля уравнением 汇'=九(产)，и из (С.1.3) следует, что при фиксированном дифференциал от 〃 1Ю 炉 равен форме 2力例，которая ввиду (C.L4)，замкнута. Таким образом, 力
〃(%)=，£f/dx/ + «o(/i(』)，公)Hk") 1
есть единственное решение системы (С.1.3), равное “о на S・
Координаты у в теореме С.1.1 определяются, конечно, не единственным образом. Если 况，•・•，/〃一другие координаты с теми же свойствами, то при каждом j《г поле
должно быть линейной комбинацией полей д/ду^ ..., д/дуг. Следовательно, ду^/ду^ = 0 при j《r и k> г, так что (локально) (勿+h ・旅)есть функция от (圻十厶・・・,价).Это подводит к следующему общему понятию:
1/.91 Зак. 443
Определение С.1.3. Говорят, что на С°°-многообразии X задано слоение со слоями размерности г (или что X расслоено на г-мер- ные слои), если на X выделен некоторый атлас 歹，такой что для любых 乂，乂'三歹 у отображения
ф = /°хТ：兌(ХхПХ“)->/(ХЕХт компоненты фг+1 (х),...,中〃(％) являются функциями лишь от %Г+1, ♦ • ♦ , ^П'
Здесь использованы обозначения из определения 6.3.1. Задание слоения на X выделяет для каждой точки хе X некоторую плоскость лх с= Тх(Х) размерности г, а именно плоскость, определяемую уравнениями 厶宀=…=dxn = 0. В силу теоремы С.1 Л, дополнительное свойство, характеризующее слоение, состоит в том, что для всех точек х из некоторой окрестности любой заданной точки можно так выбрать базис Vi(х), ..,, vr(х) в л*, что получатся векторные поля Vi, ..., и「 класса С00, удовлетворяющие условию Фробениуса (С.1.2). (Чтобы убедиться в том, что этого достаточно для получения слоения, следует заметить, что каждый атлас допускает измельчение, у которого пересечение любого числа координатных окрестностей связно.) Для каждой точки x()wX локально существует единственное r-мерное многообразие Е и X, называемое слоем (или листом) слоения, проходящим через х0, такое что 7x(2) = лх при всех х е S. В локальных координатах нз выделенного атласа слой 工 задается уравнениями xr+i = const, ..., хл = const. Другим способом можно описать S как множество точек, в которые можно попасть из точки хо, двигаясь вдоль интегральных кривых векторных полей ⑦，…，vr и не выходя при этом за пределы некоторой подходящей окрестности точки хо. Множество всех точек, в которые можно попасть, идя (сколь угодно далеко) вдоль таких кривых, образует глобальный слой слоения. Вместе со всякой своей точкой он содержит локальный слой, проходящий через нее, но в любой ее окрестности может найтись счетное число других локальных слоев, содержащихся в рассматриваемом глобальном и отвечающих почти замкнутым интегральным кривым. За дальнейшими подробностями отсылаем читателя к работе Haefliger [1].
С・2. Одно сингулярное дифференциальное уравнение
Пусть V — вещественное векторное поле класса С°°, определенное вблизи нуля в R". Допустим, что задано разбиение * = (%1#") координат в R" на две части, х'^[хь ..., xk)t
/ Xn)t и V = vq + wt где
(C.2.1)v0 = (Лх\ d/d/>,
(C.2.2)
oi = § 吗(x) d/dxh причем 吗=0, dwj/dxf = 0 при л/ = 0.
Таким образом, для поля и особыми точками служат точки плоскости X = 0 и только они, если вещественная 方义 й-матрица 4 невырожденна и норма |/| достаточно мала.
Теорема С.2.1. Пусть v = vq + w — векторное поле класса С00 вблизи нуля в Rk, vQ и w удовлетворяют условиям (С.2.1), (С.2.2)瓦 Re%>0 для всякого собственного значения Л матрицы 4. Пусть, далее, g и й ——функции класса С°°, причем g(0) > 0. Тогда уравнение
(С.2.3)gu + vu = h
имеет единственное С^-решение в некоторой окрестности нуля.
При доказательстве этой теоремы мы сначала построим 〃, такое что gu + vu — ft имеет при %' = 0 нуль бесконечного порядка. Для этого нам понадобится следующая
Лемма С.2.2. Пусть А ——комплексная k X k-матрица с собственными значениями Хь .一,入肌 Тогда собственными значениями оператора <Лг, д]д力、рассматриваемого как линейное преобразование в пространстве лт однородных многочленов от (21, ..., Zjfe) степени /п, служат суммы вида
еде «у — неотрицательные целые с £а； = ш.
Доказательство. Матрицей оператора <Лг, d/dz〉，действующего на 冗卜 является матрица, транспонированная к Л, поэтому ясно, что ее собственными значениями будут Хь ...,九飢 Линейной заменой переменных z можно привести Л к верхнетреугольной форме, поэтому мы вправе считать, что Л/* = 0 при / > й, а 4〃 = L・ Тогда
(Аг, д]д公力=«、J^)za + Rzat где R ™ ^AJkzk d/dzf.
Мономы z® с |а|= m образуют базис в лот. Если упорядочить их лексикографически, то, очевидно, оператор R повышает лексикографический порядок, следовательно, <Лз, д/dz)как опера-
тор в Пт задается матрицей верхнетреугольного вида с диагональными элементами <а, Х>. Доказательство завершено. ；
Эта лемма показывает, в частности, что оператор {Az, d/dz} биективен на лт для каждого /п, если выпуклая оболочка собственных значений матрицы Л не содержит О,
Когда мы будем переходить от формальных решений уравнения (С.2.3) к настоящим, нам при рассмотрении траекторий поля V понадобится следующая
Лемма С.2.3. Пусть Л——линейное преобразование k-мерного ее- щественного векторного пространства V. Если все его собственные значения лежат s открытой правой полуплоскости, то можно ввести в V евклидово скалярное произведение (•, •), такое что для некоторого с > О
(Ах, х)^с (х, х), х V.
Доказательство. Пусть | • |— какая-нибудь евклидова норма в У. Положим
^X^^^\e-Atx^dtt %®匕.О
Этот интеграл сходится, поскольку |е~л#х| экспоненциально убывает, и ясно, что ||・||—евклидова норма. Далее,
IIeAsxf~ \ \e~Atx^dt^^x^+ ^\e~Atx^dt.
Взяв производную по s при s = 0, получаем
2(4х, х) = 1х^2с^х\?,
где (•, •) — скалярное произведение, отвечающее норме || Лемма доказана.
Доказательство теоремы С.2./. Сперва найдем формальный степенной ряд
纟 х〃)，
где цн — однородный многочлен степени 卩 от х\ коэффициенты которого суть С°°-функции от %", удовлетворяющий уравнению (С.2.3) с точностью до бесконечного порядка при xf = 0. Для членов степени ц получаем уравнение
(g(0, %") +〈/%', д/дхг))и^(х\ x^ + R^. ^) = 0,
где /?ц определяется по данным задачи н по 〃°, ..., и^~\ Поскольку g>0, из леммы С.2.2 следует, что эти линейные уравнения чдля коэффициентов многочленов и^ имеют единственное решение. В силу теоремы 1.2.6 найдется функция и0 ^ С°° с тей- лоровым разложением £ 〃鸣(％', х") по х‘ при xz = 0. Уравнение (С.2.3) можно тогда переписать в виде
g(u — u^ + v(u — u^ = h — g% — vu0>
где правая часть имеет нуль бесконечного порядка при %' = 0. Следовательно, дело свелось к тому, чтобы доказать утверждение теоремы для случая, когда h имеет нуль бесконечного порядка при Xх = 0, и мы знаем, что если решение для этого случая существует, то оно должно иметь нуль бесконечного порядка при %，= 0.
Чтобы решить уравнение (С.2.3) точно, надо рассмотреть траектории векторного поля v, т. е. решения уравнений
(С.2,4)d%7山=力炉 + 加，dxff!dt =
Ввиду леммы С.2.3 можно считать, что (Ах^^)^ с(х\У). Следовательно, при достаточно малых | У | +1 川
(dxfldt. f) > & II %守，II dx"/山【I & % II 屮 Ц,
если 0 < Со < с. Таким образом, dIWII/df 3 &11*11, поэтому при любом достаточно малом у существует траектория %(/), Z&0, с х(0) = д, и
II*(川|《II/II夕叱 II/(/)11 + II^(0П<11/11 + IIР"II при /<0.
Обозначим эту траекторию через %(玄р) и заметим, что уравнение (С.2.3) можно записать в виде
(С.2.3/(g圻(х& y)) + du (х(/, y^ldt^h{x(t.切)・
Положим
G(^. y)=\g(x(s, y))ds} /VO.
0
Ясно, что I G(f, g) I 忘 C|f|. Как было отмечено выше, если функция й в правой части уравнения (С,2.3) имеет нуль бесконечного порядка при %' = 0 и у этого уравнения существует С°°-реши1ие и, то это решение также должно иметь нуль бесконечного порядка при xz»0. Отсюда следует, что и должно задаваться .формулой
о •
(С.2.5)и(у)^ \ h(x(t, y))e°^^dt.
—8
Этот интеграл сходится, так как 无(％(f), f/) = O (1У I" е"*叫 при любом М и ясно, что формула (С.2.5) дает решение уравнения (С.2.3)'. Дифференцируя уравнения (С.2.4) по параметрам у, последовательно заключаем, что производные от х(/, у) по у растут с ростом f не более чем экспоненциально. Следовательно, и w С00, чем доказательство и завершено.
Замечание. Хотя в проведенном выше доказательстве возмущение w играет малозаметную роль, избавиться от него заменой переменных в общем случае нельзя из-за возможности резонансов собственных значений матрицы 4
С. 3. Чистые пересечения
и отображения постоянного ранга
Прежде всего напомним, что о С°°-подмногообразиях У и Z данного С°°-многообразия X говорят, что они пересекаются в точке %о ^ У П 2 трансверсально, если 7\(У)+M(Z) = 7\(Х) при х = хо. Равносильное условие состоит, конечно, в том, что 必(y)nM(Z)={0} при х = х0. Отсюда следует, что если У локально определяется уравнениями 厶= ... =f* = 0； где d〃, ...,dfk линейно независимы в точке х0, a Z аналогичным образом задается уравнениями gi = ... =g/ = 0, то все дифференциалы dfi, ..., df^ dgh ..., dgi линейно независимы в точке хо. Таким образом, пересечение Y(]Z, локально определяемое уравнениями fi = ... =fk — g{ = ... = g； = 0, является С°°- многообразием в некоторой окрестности точки хо и
(С.3.1) codim (К n2)==codimK + codim Z,
(С.3.2) 兀(У fl Z) = 7\ (У) П 7\ (Z), % w У П Z.
Но пересечение Y(]Z вполне может быть многообразием, для которого выполнено (С.3.2), и тогда, когда У и Z пересекаются не трансверсально. Примером служат любые два линейных подпространства У н Z векторного пространства Х・ Здесь вместо (С.3.1) выполняется равенство
(С.3.3)codim У + codim Z = codim (У f] Z) + %
где е = codim(y+ Z). В действительности этот пример совершенно общи 京：
Предложение С.3.1. Пусть У, Z и УП Z — подмногообразия класса С°° заданного С^-многообразия X. Предположим, что выполнено условие (С.3.2). Тогда для любой точки x()wyf|Z можно выбрать в некоторой ее окрестности локальные коорди- нать^ 6 которых У a Z задаются линейными уравнениями. Т*
С. 3, Чистые пересечения и отображения постоянного ранга
ким образом, при указанном предположении справедливо равенство (С.3.3), где е — некоторое неотрицательное целое число^ равное-нулю в точности тогда, когда рассматриваемое пересечение трансверсально.
Доказательство. Выберем локальные координаты, в которых Хо = 0, У задается уравнениями xi = ... = xv = 0, а Ур^ — уравнениями xj = ... = xv+u = 0, где v = codim У, a v + ц =codim(Yf|Z). Подмногообразие 2 определяется в выбранных координатах некоторыми ^ = codim Z уравнениями 戶/(х)=0 с линейно независимыми дифференциалами d戶〃 Поскольку 尸/ = 0 при Xi = ... = xv+u = 0, можно (по теореме 1.1.9) записать 戶/ в виде
V+|A
尸/(x)=Z 尸"(х)4,
где Ffk eC°°. Следовательно,
v+н
dFi(x)=^Ftk(x)dxk
в УП^* В силу сделанного предположения эти уравнения вместе с уравнениями dx\ = ... = d& = 0 задают касательную плоскость к У П Z, поэтому матрица
(戶/М%))/т^: jk-v+lv+g
имеет ранг ц. Пусть, скажем, отличен от нуля минор, отвечающий / = 1, ..., ц. Тогда методом последовательного исключения переменных можно найти в некоторой окрестности нуля С°°-матрицу (а〃), такую что
G, (х) = Ft (х) — ^ ац (х) F, (х) = g( GM (х) хк, i = "+l, ...,М
В достаточно малой окрестности нуля уравнения G/(x) = О, i = li+L …，М определяют некоторое многообразие W коразмерности e—N — ц, содержащее У и Z. Коразмерности многообразий У, ХиУП^вТГ равны соответственно v — % ^ — с и v + ц — е = v — е + ^ — е, так что для них выполнено (С.3.1), т. е. У и Z как подмногообразия в W пересекаются трансверсально. Если теперь выбрать новые локальные координаты у = (у\ yff) так, чтобы W задавалось уравнением 旷=0, то дело сведется к трансверсальному случаю, для которого, как мы уже видели, наше утверждение верно.
Определение С.3.2, Если пересечение УП2 двух С°°-подмного- образий данного С°°-многообразия X тоже является С°°-под-
многообразием в X и выполнено (С.3.2), то говорят, что У и Z пересекаются чисто. Неотрицательное целое число е из (С.3.3) называется эксцессом этого чистого пересечения.
Имея дело с чистыми пересечениями, полезно выбирать координаты в соответствии с предложением С.3.1, что позволяет применять результаты линейной алгебры.
Рассмотрим теперь два С°°-многообразия X и У н С°°-ото- бражение f: Y^X. Если в некоторой точке 次曰丫 производная Г®о) инъективна, то некоторая окрестность этой точки переводится отображением f в некоторое подмногообразие в X размерности dim У. В случае когда производная 尸班)сюръективна, мы получаем локальное расслоение У над X со слоями f"1 (х). Это следует из теоремы о неявной функции. Обсудим более общую ситуацию, когда 尸 имеет постоянный, но произвольный ранг.
Предложение С.3.3. Пусть У u X — многообразия класса С°® и f: Yf X ——отображение класса С°°, такое что 尸 имеет постоянный ранг г в некоторой окрестности точки р()®У・ Тогда можно так выбрать локальные координаты Xi, .,., xm и gi, ••., уп вблизи точек f(^0) и yQ соответственно, чтобы f(y) =(fA,…•，协,0,・• •，0)・ Таким образом, локально f определяет расслоение многообразия У над некоторым подмногообразием
Доказательство. Можно считать, что Хи R% ^(^оу= о и для f = (fi , .»., fm) дифференциалы функций 〃, •・.,f$ линейно независимы в %. Тогда можно так выбрать координаты в У, чтобы до = О и fj(y) = у^ / = 1, ..., г. Следовательно, dfj/dyk = 0 при / >г и k> г — в противном случае ранг матрицы df/dy был бы больше г. Значит,,叶卜...,fm зависят лишь 'т ух, •・.，处，откуда вытекает, что f(y)= f(y\, у^ О,…，0). Поэтому образ отображения f является подмногообразием в X размерности г. Теперь заменим координаты в X так, чтобы это подмногообразие задавалось …уравнениями Xr+i = .., = хт = 0, и повторим все доказательство заново. В результате получим fr+i = •・・=fm = 0, чем наше утверждение и доказано.
С. 4. Складки и инволюции
Если У и X — многообразия класса С00 и f: Y fX — отображение класса С°°, то для каждого y^Y инвариантно определено некоторое отображение из Кег『®)и Т“(У) в Coker f(^) =Тf{y)(X)/ff(y)Ty(Y). Действительно, пусть ф： Rf У — отображение класса С°° с 中(0)=д и 屮彳0)=刀 w Kerf 匂).Тогда
в локальных координатах..
f3(s))pf®
=厂(у) (ф ⑹ 一 у) +〈产(у) (ф(S)— у),①(£)— У〉/2 +。(S3) =s? (Г (У) Ф" (0) +〈 Г (У) % П ))/2 + О ©〉•
При образовании соответствующего класса смежности из Coker f«p) член 广® ф"(0) «пропадает», откуда видно, что
Кег片(д) m п f〈f"(у)",五〉三 Cokerf'(у)
есть инвариантно определенная квадратичная форма. Ее называют гессианом отображения f в точке у.
Следующим определением вводится класс отображений, которые, хотя и не являются диффеоморфизмами, отличаются от них простейшим возможным образом:
Определение С.4.1. Пусть У и X ——многообразия класса С00 и f: Vf X — отображение класса С°°. Говорят, что f имеет складку (или является складывающим) в точке yQ е У, если dim Ker f (f/o) =dim Coker 厂(勿)=1 и гессиан f в 勿 отличен от 0.
Отметим, что в таком случае У и X должны иметь одинаковую размерность.
Теорема С.4.2. Если f: Yf X имеет складку s у。, то можно так выбрать локальные координаты у、、…，у我 в У, равные нулю 6 до, и локальные координаты. хь ..., хп в X, равные нулю в f®o), чтобы f задавалось формулой
/(%，•・•，％) п (%，♦・•' Уп-у 确)•
Доказательство. Выберем в X локальные координаты, обращающиеся в нуль в f (^о). так, чтобы для отвечающего этим координатам представления f=(fi, /л) мы имелиdfn(y0) = 0.Тогда 力 1, ..., dfn-i будут линейно независимы в yQi поэтому можно выбрать локальные координаты в 匕 такие что 劣=力 при / < п. В выбранных таким образом координатах
f(^) = (^l» ••• > Уп-Ъ fn (^))>
dfn (0) = 0 и dfn (0)/(5^ ^ 0, в силу определения складывающего отображения. Из теоремы о неявной функции вытекает,
что уравнение
dfn/dyn = 0
имеет единственное локальное решение уп = g(У)； yf = (f/i, …，9i), такое что g(0) = 0・ Заменяя переменную уп на
уп — g (川,получаем новне координаты, для которых dfn/dyn = 0 при ^л = 0, а значит,
九® = f〃(%0)+光尸®，
где 尸 w С00 и 尸(0)*0 (формула Тейлора). Принимая хл — %(%', 0) в качестве новой координаты вместо хл, имеем в этих новых координатах
f(y) = (y!%т，篮尸 ®)・
Изменяя, если надо, знак координаты хл, можно считать, что 尸 > 0, и для завершения доказательства остается только взять у nF (у)1/2 в качестве новой координаты вместо р%.
Эта теорема объясняет происхождение термина «складка»: при л = 1 график {(f(y),f/)}u XX У отображения f представляет собой параболу, которая «складывается пополам» вокруг оси х.
Следствие С.4.3. Если f: Y-^X имеет складку в точке р°, то в некоторой окрестности V этой точки существует единственное С°°отображение /: У f У, отличное от тождественного, такое что
Доказательство. В локальных координатах из теоремы С.4.2 существует ровно одно отображение с указанными свойствами, а именно (“!M)i(“一JM)・
Отображение £ из следствия С.4.3 является инволюцией, т. е. i。》есть тождественное отображение. Это следует из данного выше явного представления отображения i или же из утверждения о его единственности: если joi = f, то f ° j °i = f ° i =卜 поэтому iо/ = id, ибо i。》耍厶 Мы будем называть i инволюцией, определяемой складывающим отображением f (или просто инволюцией, определяемой складкой). Множество неподвижных точек инволюции i представляет собой гиперповерхность, на которой производная『не биективна; в локальных координатах она задается уравнением уп = 0. Важность понятия инволюции, определяемой складкой, выявляется следующим результатом:
Теорема С.4.4. Пусть и — функция класса С00 вблизи точки Ро w У, в которой отображение f: Y -^Х имеет складку. Для тоги чтобы нашлась функция и класса С°° в некоторой окрестности точки /(у。), удовлетворяющая условию /*и=以,необходимо и достаточно, чтобы Ги = и.
Доказательство. Если 〃 = f*u, то i^u =(f о i)*v — f*u = и, так что с необходимостью все ясно. Чтобы доказать утверждение о достаточности, воспользуемся локальными координатами из
теоремы С.4.2, Тогда функция и четна по уп, и потому в ее фор* мальном тейлоровом разложении
'Е^«(/, o)^//i
члены с нечетными / должны отсутствовать. Опираясь на теорему 1.2.6, выберем функцию sjwL с тейлоровым разложением
£6沙(У, 0)%/(2/)!・
Тогда функция 口i (у) = 〃(у) — % (у- 喲 имеет нуль бесконечного порядка при уп = 0. Поэтому функция
麼)прнх.>。， (0при 力押《0
принадлежит классу С00; действительно, все ее производные стремятся к нулю при хл->0, поскольку
。％1 (*'，得/2)汇"f 0 при % f + 0
для всех а и N. Наконец, функция и = и。+ см обладает требуемым свойством.
Локально всякая инволюция, неподвижные точки которой образуют гиперповерхность, может быть задана прн помощи некоторого складывающего отображения:
Теорема С.4,5. Пусть У — многообразие класса С°° и г: У-> У — инволюция класса С°°, множество неподвижных точек которой представляет собой гиперповерхность, содержащую точку yQ 三 У. Тогда в некоторой окрестности этой точки можно выбрать локальные координаты у、,..., 〃小 равные нулю в у^ в которых i задается формулой
，(i/i, • • • » Уп) ^^(У1，• • • » Ул—ъ 一 Уп)*
Доказательство. Из всякой функции и е С°°(У) можно образовать функции /*〃 + 〃 н 尸〃——％ первая из которых четна, а вторая нечетна относительно инволюцин i. Когда 〃 пробегает некоторую систему локальных координат, из получающейся таким образом системы функций можно отобрать систему локальных координат у】, ..,,уп, в которой каждая координата либо четна, либо нечетна относительно 厶 т. е. i*yf = ±у/. Коразмерность множества неподвижных точек инволюции i равна числу нечетных координат, поэтому оно должно равняться 1.
На гиперповерхности своих неподвижных точек инволюция i определяет некоторое линейное расслоение, содержащееся в ка-
сательном расслоении к многообразию, на котором действует инволюция, и состоящее нз собственных векторов «матрицы Якоби» 兀 отвечающих собственному значению —1. Такие векторы, разумеется, трансверсальны к гиперповерхности неподвижных точек. Мы будем называть это линейное расслоение расслоением отражения !), порожденным инволюцией L В случае когда i определяется складывающим отображением f, расслоение отражения, порожденное i, совпадает с ядром дифференциала /.
Теперь рассмотрим вопрос о возможности одновременного приведения к простой форме двух инволюций с общей гиперповерхностью неподвижных точек.
Теорема С.4.6. Пусть f и g — нетривиальные С°°-инволюции на У с общей гиперповерхностью S неподвижных точек 〃 с линейно независимыми в точке %wS векторами отражения. Существуют локальные координаты ^卜...,ynt равные нулю в у。, в которых /〃 g задаются формулами
(С.4.1) /(/, «/„) = (/, -^„), g(% 婚=〃匕 ％) + “i, где е\ —(1,0, ...» 0).
Вместо © можно, конечно, взять любой другой ненулевой вектор, у которого последняя компонента равна 0. Заметим, что расслоения отражения для инволюций fug порождаются соответственно векторами еп и еп — ei/2, где ert = (0,,. <, 0, 1).
Доказательство. Выберем локальные координаты 乡卜...,ул, равные нулю в у^ в которых / имеет желаемый вид. Поскольку g — инволюция, оставляющая на месте каждую точку плоскости уп = 0, матрица Якоби g‘ в точке (/, 0) должна совпадать с единичной матрицей, за исключением последнего столбца, который у gf имеет вид (勿®‘), ..., a„-i(〃'),—1). Эта матрица gz переводит вектор (if,%) в вектор (т/,0)+山(勿(У),…，o«-i(/). —1), откуда видно, что расслоение отражения, отвечающее инволюции g, порождается вектором (aj (/), ..., an-i(yf),—2). Следовательно, ввиду предположения о линейной независимости векторов отражения, хотя бы одна из компонент а； отлична от нуля. Мы хотим ввести новые координаты, в которых / сохраняет свой простой вид, a g принимает вид, более близкий к желаемому виду
go(У1> • • • • Уп) ==(У1 + Уп» Уъ " ' > Ул—ь — %)♦ Пока мы знаем лишь, что
g(y) = "G + 9"。(力 协14(*)) +。2,
где а —(01, ...» ая_1), а Л — некоторая функция класса С°°. Здесь и ниже символ О左 обозначает вектор, у которого первые п— 1 компонент суть О (z/*), а последняя О (^+1)- Такая классификация ошибок окажется удобной при заменах координат, сохраняющих плоскость уп = 0. Итак, введем новые координаты
«(У)= («1 (/). • • • > "“-№'), Упип (/))•
Вид инволюции f при этом не изменяется, и мы имеем
go»«(!/) = («1 (/) + ^«ип(f/9. «2(/)., «л-1 (/), —упиа(у,)),
"。8匂)=31(y + !/箇(力)ип_1(у,+ упа(уг)),
(~Уп + У1А(/>)«»(/ + %。(/))) +。2・
Эти композиции совпадают между собой с точностью до члена 02, если
〈％, а) = «„, 〈%, а) = 0, / = 2, ...» п— 1, 〈％, а) = Л«л.
Эти дифференциальные уравнения можно локально решить, задав на какой-нибудь трансверсальной к а гиперповерхности в плоскости уп = 0 следующие начальные данные: 〃i = 0, ил = 1, а «2, ••・,〃〃一1 равняются функциям, образующим некоторую систему локальных координат на этой гиперповерхности. (Это означает, в частности, что слои слоения поверхности S, определяемого пересечениями касательных пространств к S с двумерными плоскостями, натянутыми на наши векторы отражения, представляются прямыми, параллельными оси //).) Взяв ць ...» 〃门—1, упип в качестве новых локальных координат, мы достигнем того, что g = go +。2・
Вообще, предположим, что мы уже нашли локальные координаты, в которых / принимает простой вид (С.4.1), а
(С.4.2)g(l/) = go(y)+Ok
для некоторого 论 N 2. Запишем g(y) в виде
(С.4.3)g® = g()(у) +'碎(А (旷),уп Я (/)) +。*+1，
где h имеет п — 1 компонент, а Н — одну. Рассмотрим по отдельности два случая.
k четно. Поскольку g ——инволюцня, несложное вычисление дает
y = g°g(y) = go°go(y) + 2璃(Л(/), - УпН(旷))+。左+1，
откуда следует, что А = 0 и Я = 0.
k нечетно. Положим
и(у) = у + 號т (и (У), У„У (/))•
Тогда
и~'(У)= У —硝Т (и (У), %и (/)) +。21，
причем 2尼一2》饱 + 1, так как ft >3. Непосредственным вычислением получаем
gou~l(y) = gQ(y) - Уп~' (°(/)+ y^(y')ev - 9* (У))
+ 成(无(У), ynH(yf)) + ok+l,
“。g。“7 (у) = go (у)-鎊 т (и (/) + ynV (/) С], - ynV (旷))
+硝а(у), улн(/))+^-1(°<^+у^ - ^(/+yneM+°k+l =go 匂)+ 璃(无(/) + 而(9')/d% - v 匂')与，
yntH^-dVd/j/dy^ + O^.
Здесь ei обозначает первый базисный вектор в К*1-】. Последнее выражение равно go + Oft+b если
dv/dyx = Vex — A, dV/dy{ = Я,
а эти уравнения легко решаются.
Повторно применяя проведенное выше рассуждение, приходим к степенному ряду по ynt дающему формальное решение задачи нахождения такой замены переменных 〃(у), что
〃。f。〃т = f и 〃 о g ° L = g(j.
В силу теоремы 1.2.6 можно выбрать С°°-функцию и, для которой этот ряд служит тейлоровым разложением. Вводя новые
координаты и, сводим дело к случаю, когда / — в точности вида (С.4.1), ag отличается от go лишь на функцию, имеющую нуль бесконечного порядка при уп = 0.
перейдем теперь ко избавиться от этойперейдем теперь ко избавиться от этойКак и при доказательстве теоремы С.2.1, второй части рассуждения, цель которой ——
перейдем теперь ко избавиться от этой
перейдем теперь ко избавиться от этой
(С.4.4)(С.4.4)малой ошибки. Прежде всего заметим, что если w — какая-нибудь из искомых координатных функций, отличная от у\, то она должна быть четной (или, если это уП9 нечетной) как относи- тёйьно 厶 так и относительно g, а значит,
(С.4.4)
(С.4.4)
W о f = W g.
Обратно, если у нас есть функция w, удовлетворяющая этому уравнению, то функция
wj~wof = w]~wog (СООТВ. W — W^ f = W — Wog)
будет четной (соотв. нечетной) относительно fug одновременно. Поэтому займемся решением уравнения (С.4.4), а точнее, равносильного ему уравнения
(С44y
си о 6 =叫 где 6 = /。g.
Из первой части доказательства мы знаем, что ^(y) = y + ynei + p(y),
где р имеет нуль бесконечного порядка при уп =0. Положим зо =劣 для некоторого / =/= 1 и w = wo —叫・ Тогда (С.4.4)' равносильно уравнению-
wi = w{od = hr где h — wQ — “об.
Здесь А имеет нуль бесконечного порядка при ^修=0. Выберем функцию 无］е С~, равную й в некоторой окрестности нуля. Достаточно решить уравнение
吗一吗06 =瓦
Формально его решение дается рядом
(С.4.5)31 =无I + 无I о 6 + %。6。6 + • • •・
Ниже мы докажем, что ряд этот сходится и определяет С°°-функ- цию, имеющую при уп — 0 нуль бесконечного порядка, для всякой функции 无I w С；, имеющей нуль бесконечного порядка при уп = 0. Приняв это пока на веру, заменим координатные функции у?，•••, Уп только что построенными их модификациями, которые обладают нужной четностью относительно fug одновременно. В этих новых координатах f по-прежнему будет иметь вид (С.4.1) (поскольку координатная функция ух тоже четна относительно /), а
g(y) = go(y) + elR(y),
где R имеет нуль бесконечного порядка при уп = 0. Положим теперь 叫=勿・ Тогда .
д — 铀。6 = — % + 饱(у),
где Лд имеет нуль бесконечного порядка при уп ==0. Поэтому, как и прежде, можно решить уравнение
叫一吗0 6 =友
в некоторой окрестности нуля. Функция w — wo — w\ будет удовлетворять уравнению w — з。6 = —%, a w — у、будет иметь нуль бесконечного порядка при уп = 0. Но уравнение w — w of 。g = —yn можно переписать в виде ajog — w of = уп^ Следовательно, функция w — (w w о f) /2 относительно f четна, а под действием инволюции g преобразуется в ⑥。g =而 + д小 Если взять 而 в качестве новой координаты 山，то и f, и примут желаемый вид.
Осталось убедиться в сходимости ряда (С.4.6). Положим 6* =6虫••・ об (А «сомножителей»). Тогда
^@ = у + kynex + ek(y),
8ft+1 = S + £飼 + P ® + 切 “б + e*), где Ek обозначает л-ю компоненту вектор-функции е*. Таким образом, во = 0 и для некоторой постоянной С
I %+ i — % — &，I < С(I I 1Е* |)<
Взяв л-ю компоненту вектора в левой части, заключаем, что если |£/|<| z/„l при j^kt то
|E/+i —々|& 16С心 при /《也，
I4+J = l 线+I-/I&16C 左碎&^&|%|
при 论 V(16C确)Т, («/П) < 1.
Отсюда следует, что
l^-ejc^+iec^ при j<(lQCyl)~l, поэтому
2 ®) — У -蜘& I =闻《就(1 + 16ЭД< 2
при fe<(16C^)-',
если 16С > 1 и \ у п\< I- Таким образом, итерации отображения 6 ведут себя почти так, как если бы «невязки» р вовсе не было.
Положим
8 = {g；旧”1 V % 1川e 1},
где т] мало, и пусть |д|《М на supp 財.Для yws мн имеем |6ft(y)|> Л1, если А удовлетворяет условиям | kyn | > М + 3 и k < (I6C//2)"1; такое 也 найдется, если
^+{М + ^1\Уп\<^Су^-\
Последнее неравенство будет выполняться для всех у е ш, если выбрать “ столь малым, чтобы
(M + ^n + n^ciec)-1.
Обрывая ряд (С.4.5) на члене, номер которого равен первому такому целому числу kt мы все еще получим С°°-решение уравнения (С.4.4)' в ш при уп =/= 0. Число удержанных членов ряда равно О(1/|^л|). Остается только получить оценки, гарантирую-
щие, что все производные гак полученного решения стремятся к нулю при 0.
Пусть ^ — произвольное целое положительное число. Положим
lfl“= Е 1^71.
Ia| <W
Тогда.
\^k+i\N<\^\N + \Ek\N + CN\yJ(l+\Qk |Л l^il^CI^U + ^li/^Cl+led^,
где Cn — некоторая постоянная, зависящая от ^. Покажем, что I е/|у *^ ^л ПРИ j W 也，если уп мало и k ——число удерживаемых членов ряда (С.4.5), которое, как было отмечено, оценивается как О(1/|^я|). Отсюда будет следовать, что |te»i|№О(^я), а значит, w\ е С°°(®), причем все производные этой функции равны 0 при уп— 0. Предположим, уже доказано, что [е^д^ < ^ для всех j W J V 瓦 Тогда если уп достаточно мало, то
I Е/+Jy《I £/1" + 2备 |у〃 卩 при /《/・
Складывая эти неравенства и учитывая, что £0 = 0, получаем \E!\f/^2CNk\yn^<C,Ny^ при /<74-1.
Но отсюда следует, что
le/+ik<|e/k + cX при у/,
и, складывая эти неравенства, мы приходим к выводу, что для достаточно малых уп
1斗1"《C你碎<鳍при /<^+ b
По индукции заключаем, что | е; ^ < 碎，если / W 尼 н у〃 достаточно мало, чем доказательство теоремы и завершено.
Отметим, что при выводе всех этих оценок мы действовали по следующему простому принципу: сперва надо оценить у наших итераций n-ю компоненту, поскольку она вообще почти не изменяется, а затем уже нетрудно оценить и прочие.
Следствие С.4.7. Пусть выполнены условия теоремы, С.4.6, 〃 пусть и ——касательный вектор к S е точке yQt не принадлежащий линейной оболочке фигурирующих в формулировке теоремы С.4.6 векторов отражения. Тогда существует проходящая через yQ гиперповерхность У】и У, трансверсальная к и 〃 инвариантная относительно fug, так что они индуцируют на Y\ инволюции, обладающие теми же самыми свойствами, которые предполагались выполненными на У.
Доказательство. В локальных координатах из теоремы С.4.6 наложенное на и условие означает, что v =(vi, vn-b 0), причем 力千 0 при некотором / =/= 1. Тогда поверхность
п—1
у, S y^t = о
трансверсальна к и, н ясно, что инволюции fug задаются на этой поверхности по существу теми же самыми формулами.
Теперь легко дать однородный вариант теоремы С.4.6:
Теорема С.4.8. Пусть f и g — нетривиальные однородные степени 1 инволюции класса С°° конического С^-многообразия У, имеющие общую гиперповерхность неподвижных точек У о. Предположим, что отвечающие этим инволюциям векторы отражения и радиальный вектор линейно независимы в точке у° w Уо. Тогда n = dim У》3 〃 8 некоторой конической окрестности точки у0 можно так выбрать локальные координаты у、, ..., ynt из которых уи ..., уп-\ однородны степени 0, а уп однородна степени 1, чтобы、
f(У1，• • •, уВ = (一 У1, У2, • • -, у)
g (纟1，• • • , Уп)=== (— У1，Уъ • • • , Уп—1 + У1, Уп)*
Доказательство. Поверхность Уо является конической, поэтому вектор р касателен к ней в точке у。. По предположению он не лежит в линейной оболочке векторов отражения для fug; значит, в силу следствия С.4.7 и теоремы С.4.6, можно так выбрать гиперповерхность Уь проходящую через yQ трансверсально к p(z/o), и локальные координаты у】,...,уп-\ на У1, равные нулю в уо, чтобы точка (yi, ..., уп-\) переводилась инволюцией f В точку (—У1,У2, У п-i), а инволюцией g —в точку (―物，勿， ..,,уп-\ + yi). Продолжим эти координаты до полярных координат, взятых относительно Уь т. е. положим у〃 = 1 на У1 н продолжим все у/ до однородных функций указанных в формули* ровке теоремы степеней однородности. Наше утверждение вытекает теперь из однородности инволюций fug.
С. 5. Геодезические нормальные координаты
Пусть X — многообразие класса Bug (х, |) — вещественная квадратичная форма класса С°° на Т*(Х). Если форма g невы- рожденна, то двойственная к ней квадратичная форма на Т(Х) будет (псевдо) римановой метрикой, и, как хорошо известно, в этом случае можно ввести на X геодезические нормальные координаты относительно данного подмногообразия в X. Мы да*
дим сейчас симплектический вывод одного результата такого рода, налагая на g более слабое условие.
Пусть У—такое С°°-подмногообразие в X, что ограничение формы g на конормальное расслоение N*(Y) невырожденно. Тогда
U = {(//, dg(y, т))/5т))；(协 r))wN*(y)}・
будет подрасслоением в Ту(Х) полной размерности dimX. Его аннулятором в Т；(Х) служит g-ортогональное дополнение к М*(У). Таким образом, этот аннулятор не пересекается с №(У)\0, поэтому У есть расслоение, двойственное к ^*(У)> и, следовательно, изоморфно нормальному к У расслоению 7\(Х)/7(У). Мы построим сейчас естественный диффеоморфизм между некоторой окрестностью нулевого сечения расслоения V и некоторой окрестностью подмногообразия У в X, нспользуя это отождествление и «растекаясь» с лагранжева многообразия М*(У) вдоль гамильтонова поля, отвечающего функции g(x, g)/2, которое в локальных координатах задается формулой
„1 (dg дdg д \
〃 一2 I兆дx dx四丿，
Будем далее обозначать exp tH через ①九
Теорема С.5.1. Если U — достаточно малая окрестность нулевого сечения в ^*(У), то лагранжево подмногообразие q)iU расслоения 7*(Х) представляет собой некоторое сечение S этого расслоения над подходящей окрестностью Ux многообразия Y в X. Если its： SfUx — ограничение на S проекции л: Т*(Х)->Х, то S ={(% d尸(％)),% w 办}, где F = (q)U唁i)*g/2・ Вблизи всякой точки из У можно выбрать локальные координаты (х\ х") в X так, чтобы У задавалось уравнением %' = 0 〃 для некоторой фиксированной невырожденной квадратичной формы go(『) выполнялось условие
(С.5.1) dg(xt g)傑= %ъ(У)偿，
если Е" = 0 и У == /dg。(F)/d『 при некотором / 三 R,
В частности,
g(0, X, S = go(y)+ g№", F),
где gi — некоторая квадратичная форма.
Следствие С.5.2. В случае когда У — точка, мы получаем координаты с началом в У, для которых выполняется соотношение
dg(%, В/况= dg(0, m,
если x~tdg(0,占)/6占 при некотором /wR・
Если записать g(x, Е) в виде g(xf g)= (g(x)t |>, где g(%) — симметричная матрица, то это соотношение означает, что (С.5.2)* = g(*)g(0)Tx・
Следствие С.5.3. В случае когда У ——нехарактеристическая относительно g гиперповерхность, переменная『одномерна и
g(%, Е) = ±м +《，Г);
мы патем здесь & вместо к а 自"=(&2,&小.
Для случая положительно определенной формы g следствие С.5.2 дает стандартные нормальные координаты, если только взять g(O)=id. Заметим, что в следствии С.5.3 невырожденность формы g не предполагается.
Доказательство теоремы C.5J. Ввиду однородности g, из уравнений Гамильтона
(С.5.3) 2dx/dt = dg/dlt 2dg/df — — dg/дх
для траекторий гамильтонова поля Н вытекает, что при фиксированном s =/= О
2dx/d (st) = gj (х, |/s), d R/s)/d (sf) = — g； (x, g/s).
Следовательно,
(C.5.4) ф4 (*, g) == (x (0, 5 (/)) => Ф«4 (*,聲s) = (x (0, & (О/s)-
Выберем вблизи заданной точки локальные координаты л/, W так, чтобы эта точка находилась в начале координат и У задавалось вблизи этого начала уравнением х^ = 0. В силу (С・5,4)
ЛФ1 (*,噫)=呷е (*, 9 = * + (е/2) dg/ag + о (в2), откуда
(С.5.5)叫心，9 = % + 0(g/2)傑+ O(|g I2) (Ef 0).
По предположению отображение gz»—> dg (0, gz, 0) /д^ сюръективно, поэтому теорема о неявной функции позволяет заключить, что лф1 ——локальный диффеоморфизм в точках нулевого сечения расслоения N*(Y) = {(6, %", Е',0)}・ Выберем окрестность U этого сечения, имеющую выпуклые слои и столь малую, что Лф1 является на ней диффеоморфизмом. Поскольку © ——каноническое преобразование, многообразие S =(piU будет лагранжевым. Вычислим ограничение на S формы gdx в координатах на U. С этой целью подсчитаем производную
4 Ф；(^ dx) = Ф； -^ Ф； (I dx) |4_о = Ф； {{dUdt) dx + ld(dx/dt)).
Выражение в наружных скобках в правой части равно
(—(刃川 #)d% + *d(dg傑))/2
=(值 @2g/鹤 dx 一 dg/dx) dx + 自(0暫/瓏 2)恋)/2 =((dg/狗 dx + (dg傑)阑/2 = dg/2,
ввиду тождества Эйлера для однородных функций. Но форма g постоянна на траекториях гамильтонова поля Н, поэтому мы заключаем, что <р； (g d#) = dg/2, так как ф^ (g dx) = 0 (ибо Edx = O на “*(У))・ Таким образом, S служит графиком дифференциала dF, как и утверждалось.
Наши локальные координаты £, X можно выбрать так, чтобы слои векторного расслоения V были касательны к поверхностям x/z = const при xz =0. Действительно, поскольку V трансверсально к Т(У), оно задается уравнением вида dx^ = f(xf,)dx\ где / — некоторая гладкая матрица. Заменяя координаты лг" на ”"—f(Y)#1 добиваемся выполнения желаемого свойства. Из него следует, что d2g/d^d^ = 0 на N*(Y).
В наших локальных координатах ограничение квадратичной формы g на "(У) есть невырожденная квадратичная форма от 『,зависящая от параметра /'• Используя метод дополнения до полного квадрата, можно найти локальную замену переменных 旷==T(f)K Г = х", приводящую это ограничение к виду, в котором зависимости от %" уже нет. Таким образом, существует невырожденная квадратичная форма go(rf), такая что g(0, у", п) —go，"') есть квадратичная форма от переменных п"・ Рассмотрим теперь диффеоморфизм
(& 6)/2,广)—叫(0, у",м,0),(匕 n')е u,
из V в X. В силу (С.5.5) матрица Якоби этого отображения при ^ = 0 равна единичной матрице. Поэтому можно заменить координаты в X так, чтобы это отображение стало тождественным, не нарушив при этом условий, наложенных ранее на координаты на У. Тогда функция 尸 будет определяться равенством
尸(&(П‘)/2, y") = go(n')/2・
Если Go — квадратичная форма, двойственная к ^0, то соотношение y = g；6f)/2 равносильно соотношению 1/ =母(力/2, поэтому Fz (у) = (Gq (/)/2, 0), или
(С.5.6)尸碌(咱/2»") = (п'，0)・
Ввиду (С.5.4), в наших последних координатах
"Ф/(0, У, п', 0) = пф](0, у", 1х{, 0) = (，g；(rf)/2, /').
Таким образом, решением уравнений Гамильтона (С.5.3) с начальными значениями (0, у", rf， Р) при / = 0 служит * = ('4(П‘)/2,/)，н при /= 1 мы имеем Е =尸(%)=(咆 0). Поскольку уравнение Гамильтона для dx/dt дает при / = 1
(&”)/2, 0) = %dg(g；B)/2,匕自)偿，
доказательство теоремы завершено.
С.6. Лемма Морса с параметрами
Значение леммы Морса состоит в том, что оиа показывает, что С°°-функция вблизи всякой своей невырожденной критической точки эквивалентна некоторому многочлену. Нам нужен тот же результат при наличии параметров:
Лемма С.6.1. Пусть f(x, у) (хе Rn, у^ RN)—вещественнозначная функция класса C°° вблизи точки (0, 0). Предположим, htq f；(0, 0) = 0 〃 матрица Л = /^(0, 0) невырожденна. Тогда уравнение /；(#, ^) = 0 определяет в некоторой окрестности точки 0 функцию х(у) класса С°° с *(0) = 0, 〃 в некоторой окрестности точки (0,0)
f (招 y) = f(x(y), у) + (Az, z)/2,
где z = x — x(y)+ O^x — x^y) | (|x| + |^|)) — некоторая функция от (х, у) класса С°° вблизи (0, 0).
Доказательство. По теореме о неявной функции уравнение f；(鸠 f/) = 0 имеет вблизи нуля единственное решение х(у). Введя к — х(у) в качестве новой переменной вместо х, можно считать, что f；(0, ^) = 0 при малых у. Согласно формуле Тейлора,
/(#, f/)-f(0, y)=£b鼠х, у)лт*典 где
6/М*, д) = 2,(1—/)0您〃/%, у)dt.О
Ясно, что В =(6/а) есть С°°-функция от (х, у) со значениями в конечномерном векторном пространстве симметричных n X «• матриц, причем В(0, 0) = Д. Положим z = R(尤,у)%, где R ——подлежащая определению и X n-матрица. Потребуем, чтобы /?(0, 0) =/, и определим R из уравнения
(С61)(С61)R9AR==B.
(С61)
(С61)
Это уравнение выполнено в точке х = ^ = 0, где /? = /, В =А. Производная отображения R^—>R*AR при R = / равна
RiR*A + AR.
Она сюръективна, поскольку для всякой симметричной матрицы С мы имеем R*A + AR = С, если R =Л-1С/2. Следовательно, по теореме об обратной функции, уравнение (С.6.1) выполняется для R = F(B) при некоторой С°°-функции 户，определенной на симметричных n X п-матрицах, близких к Д, и принимающей значения в произвольных и X n-матрицах, такой что F(A) = L Таким образом, утверждение леммы справедливо для z = F(B(x,y))x.
С помощью леммы С.6.1 можно было бы вывести теорему 7,7.6 из леммы 7.7.3, хотя вычислить в явном виде фигурирующие в указанной теореме операторы Lft /, у на этом пути трудно. Другое приложение леммы С.6.1 —следующий результат, использованный в § 22.3:
Лемма С.6.2. Пусть f — неотрицательная С°°-функция, определенная в некоторой окрестности нуля в RA и удовлетворяющая условию /(0) = 0, 〃 пусть ранг матрицы f"(0) равен и. Тогда найдутся С°°~функции S, с；:〃 g, равные нулю 8 0, такие что dci, ..., dcn линейно независимы 8 0, g》0, g"(0) = 0 〃
(С.6.2) f=¥ 片+ g・
Доказательство. Так как /(0) = 0 0 厶 то fz(0) = 0. Линейной заменой координат можно добиться, чтобы был отличен от нуля определитель detf^x(O), где х = (хь ..., хп)—первые п координат. Обозначим остальные координаты через у=(уь ..., уА-л). Применяя лемму С6.1 и вводя г, у в качестве новых переменных, получаем
f(x) = g(y) + {Az, z〉，
где А — положительно определенная матрица, а ^ ^ 0. Матрица Гессе функции f в этих координатах есть прямая сумма матрицы Л и матрицы g"(0), поэтому ?(0) = 0 (иначе ранг матрицы 产(0) был бы выше п). Для завершения доказательства остается только записать <4z, 2〉в виде суммы квадратов и вернуться к исходным переменным.
Примечания
Результаты о пространствах Соболева "⑷，приведенные в § ВЛ, настолько общеизвестны, что мы и не будем пытаться проследить их источники. Для того чтобы в следующем томе при определении лагранжевых распределений иметь в своем распоряжении нужные пространства, мы также включили в § В.1 очень краткое обсуждение пространств Бесова; более систематическое изложение, можно найти в Peetre [4]. Результаты § В.2, касающиеся многообразий с краем, первоначально взяты из Peetre [1], а непосредственно попали сюда из книги, предшествовавшей этой.
Мы также воздержимся от исторических замечаний по поводу большинства разрозненных тем, затронутых в добавлении С. Здесь единственный результат, относящийся к последнему времени, — это теорема С.4.6. Она выделена из доказательства утверждения теоремы 21.4.12, данного в работе Melrose [2]f как несимплектическая часть рассуждений Мелроуза. Остальная часть его рассуждений была приведена в § 21.4.
Литература
Агранович М. С. [1] Об уравнениях в частных производных с постоянными коэффициентами. — УМН, 1961, т. 16, № 2, с. 27—93.
Арнольд В. И. [1] О характеристическом классе, входящем в условия квантования.—Фуикц. анализ и прил., 1967, т. 1, № 1, с. 1—14.
Аткинсон Ф. В. [1] Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах. — Матем. сб.» 1951, т. 28 (70), с. 3—14.
Бернштейн И. Н. [1] Модули над кольцом дифференциальных операторов. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами. —Функц. анализ и прил., 1971, т. 5, № 2, с. 1—16.
Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И. [1] Мероморфность функции Р . — Фуикц. анализ и прнл.» 1969, т. 3, № 1, с. 84—85.
Буслаев В. С., Матвеев В. Б. [1] Волновые операторы для уравнения Шрёдингера с медленно убывающим потенциалом. — ЖЭТФ, 1970, т. 2, с. 266— 274.
Векуа И. Н. [1] Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung vom ellip- tischen Typus und Randwertaufgaben mit einer Anwendung in der Theorie der Schalen. — Berlin 1956. [Перевод статьи: Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. — Матем. сб., 1952, т. 31, № 2, с. 217—314.]
Вишнк М. И. [1] Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. — Труды ММО, 1952, т. 1, с. 187—246.
Вншик М. И., Эскин Г. И. [1] Уравнения в свертках в ограниченной области. -УМН, 1965, т. 20, № 3, с. 89-152.
Уравнения в свертках в ограниченной области в пространствах с весовыми нормами. — Матем. сб., 1966, т. 69, № 1, с. 65—110.
Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их приложения. —УМН, 1967, т. 22, № 1, с. 15—76.-
Уравнения в свертках переменного порядка. — Труды ММО, 1967, т. 16, с. 25—50.
Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в свертках. — Матем. сб., 1967, т. 74, № 3, с. 326—356.
Габриэлов А. М. [1] Об одной теореме Хёрмаидера.——Функц. анализ и прил., 1970, т. 4, № 2, с. 18-22.
Гельфанд И. М” Шилов Г. Е. [1] Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Кошн. — УМН, 1953, т. 8, № 6, с, 3—54,
Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними. 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959. Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958.
Горин Е. А. [1] Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических
23 Зак. 443
функций от нескольких переменных. — УМН, 1961, т. 16, № 1, с. 91 — 118.
Грушии В. В. [1] Распространение гладкости решений дифференциальных уравнений главного типа. — ДАН СССР, 1963, т, 148, № 6, с. 1241—1244. [2] Об одном классе гипоэллиптических операторов. — Матем. сб., 1970, т. 83, № 3, с. 456—473.
Гуревич Д. И. [1] Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. — Функц. анализ и прил., 1975, т. 9, № 2, с. 29—35.
Дейч В. Г., Коротаев Е. Л., Яфаев Д. Р. [1] Теория потенциального рассеяния при учете простраиствеииой анизотропии. — Записки иаучн. сем. ЛОМИ, 1977, т. 73, с. 35—51.
Егоров Ю. В. [1] О канонических преобразованиях псевдодифференциальных операторов. — УМН, 1969, т. 24, № 5, с. 235—236.
О субэллиптнческих псевдодифференциальных операторах. — ДАН СССР, 1969, т. 188, № 1, с. 20-22.
ГЗ] О субэллиптических операторах. — УМН, 1975, т. 30, № 2, с. 57—114; № 3, с. 57-104.
Иврнй В. Я. [1] Достаточные условия регулярной и вполне регулярной гиперболичности. —Труды ММО, 1976, т. 33, с. 3—65.
Волновые френты решений краевых задач для одного класса симметрических гиперболических систем. — Снб, матем. ж., 1980, т. 21, № 4, с. 62— 71.
О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с краем. — Фуикц. анализ и прнл., 1980, т. 14, № 2, с. 25-34.
Иврий В. Я., Петков В. [1] Необходимые условия корректности задачи Кошн для нестрого гиперболических уравнений. — УМН, 1974, т. 29, № 5, с. 3——70.
Колмогоров А. Н. [1] Zufallige Bewegungen. — Ann. of Math. 35 (1934), 116— 117.
Левитан Б. М. [1] Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. — ИАН СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 325—352.
Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. II. — ИАН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, с. 33—58. Лопатннский Я. Б. [1] Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям.—Укр. матем. ж., 1953, т. 5, с. 123—151.
Маслов В. П. [1] Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: МГУ, 1965.
Михлин С. Г. [1] О мультипликаторах интегралов Фурье. — ДАН СССР, 1956, т. 109, с. 701-703.
Олейник О. А. [1] On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations.— Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 569—586.
Олейник О. А., Радкевич E. В. [1] Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В сб.: Матем. анализ 1969 (Итоги иау* ки). —М.: ВИНИТИ, 1971, с. 7—252.
Паламодов В. П. fl] Лииейиые дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. — М.: Наука, 1967.
Петровский И. Г. [1] Ober das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen Differentialgleidiungen. — Матем, сб., 1937, т. 2 (44), с. 815—870.■
О проблеме Cauchy для системы линейных уравиеинй с частными производными в области неаналитическнх функций. — Бюлл. Моск, ун-та (А), 1938, № 7, с. 1—72.
Sur ranalyticit6 des solutions des systemes d*equations differentielles.— Матем. сб.( 1937, т. 5 (47), с. 3—70.
On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations.— Матем. сб., 1945, т. 17 (59), с. 289—370.
Некоторые замечания к моим работам о задаче Коши. — Матем. сб., 1956, т. 39 (81), с. 267-272.
Повзиер А. Я- [1] О разложении произвольных функций по собственным характеристическим функциям оператора —Ди + си. — Матем. сб., 1953, т. 32 (74), с. 109-156.
Радкевич Е. В. [1] Априорные оценки и гнпоэллиптнческие операторы с кратными характеристиками. — ДАН СССР, 1969, т. 187, с. 274—277.
Соболев С. Л. [1] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales. — Матем. сб., 1936, т. 1 (43), с. 39—72.
Об одной теореме функционального анализа. — Матем. сб., 1938, т. 4 (46), с. 471—498.
Федосов Б. В. [1] Непосредственное доказательство формулы для индекса эллиптической системы в евклидовом пространстве. — Фуикц. анализ и прил., 1970, т. 4, № 4, с. 83—84.
Agmon S. [1] The coerciveness problem for integro-differential forms.— J. Analyse Math. 6 (1958), 183—223.
Spectral properties of Schrodinger operators. — Actes Congr. Int. Math. Nice 2 (1970), 679—683.
Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 2, (1975), 151—218.
Unicite et convexitG dans les problemes differentiels. — Sem. Math. Sup. No 13, Les Presses de FUniv. de Montreal, 1966.
Lectures on elliptic boundary value problems. — Van Nostrand Math. Studies 2, Princeton, N. J., 1965.
Problemes mixtes pour les equations hyperboliques d'ordre superieur.— Coll. Int. CHRS 117, Paris 1962, 13—18.
Some new results in spectral and scattering theory of differential operators on Rn — Sem. Goulaouic—Schwartz 1978—1979. Exp. II, 1—11.
Agmon S., Douglis A.t Nirenberg L. [1] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. — Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623—727; II. — Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964), 35—92. [Имеется перевод части 1: Агмои С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. — М.: ИЛ, 1962.]
Agmon S., Hormander L. [1] Asymptotic properties of solutions of differential equations with simple characteristics. — J. Analyse Math. 30 (1976), 1—38.
Ahlfors L., Heins M. [1] Questions of regularity connected with the Phragmen- Lindelof principle. — Ann. of Math. 50 (1949), 341—346.
Airy G. В. [1] On the intensity of light in a neighborhood of a caustic.— Trans. Cambr. Phil. Soc. 6 (1838), 379—402.
AHnhac S. [1] Non-unicite du probleme de Cauchy. — Ann. of Math. 117 (1983), 77—108.
Non-unicite pour des operaterus differentiels a caractenstiques complexes simples. — Ann. Sci. Ecole. Norm. Sup. 13 (1980), 385—393.
Uniqueness and поп-uniqueness in the Cauchy problem. — Contemporary Mathematics (to appear).
Alinhac S., Baouendi M. S. [1] Uniqueness for the characteristic Cauchy problem and strong unique continuation for higher order partial differential inequalities. — Amer. J. Math. 102 (1980), 179—217.
Alinhac S., Zuily C. [1] Unicite et non-unicite du probleme de Cauchy pour des operateurs huperbaliques a caractenstiques doubles. — Comm. Partial Differential Equations 6 (1981), 799—828.
Alsholm P. k. [1] Wave operators for long range scattering. — Mimeographed report, Danmarks Tekniske Hojskole 1975,
Alsholm Р. К., Kato Т. [1] Scattering with long range potentials. In: Partial Diff. Eq. — Proc, of Symp. in Pure Math. 23, pp. 393—399. Amer. Math. Soc. Providence, R. I., 1973.
Amrein W. О.» Martin Ph. A., Misra P. [1] On the asymptotic condition of scattering theory. — Helv. Phys. Acta 43 (1970), 313—344.
Andersson K. G. [1] Propagation of analyticity of solutions of partial differential equations with constant coefficients. — Ark. Mat. 8 (1971), 277—302.
Andersson K. G., Melrose R. В. [1] The propagation of singularities along gliding rays. — Invent. Math. 41 (1977), 197—232.
Aronszajn N. [1] Boundary values of functions with a finite Dirichlet integral.—Conference on Partial Differential Equations 1954, University of Kansas, pp. 77—94.
A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order.——J. Math. Pares Appl. 36 (1957), 235—249.
Aronszajn N., Krzywicki A., Szarski J. [1] A unique continuation theorem for exterior differential forms on Riemannian manifolds. — Ark. Mat. 4 (1962), 417—453.
Asgeirsson L. [1] Uber eine Mittelwerteigenschaft von Losungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koef- fizienten. — Math. Ann. 113 (1937), 321—346.
Atiyah M. F. [1] Resolution of singularities and division of distributions.— Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 145—150.
Atiyah M. F., Bott R. [1] The index theorem for manifolds with boundary.— Proc. Symp. on Differential Analysis, Oxford, 1964, pp. 175—186.
A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I. — Ann. of Math. 86 (1967), 374-407.•
Atiyah M. F., Bott R., Garding L. [1] Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients. I. — Acta Math. 124 (1970), 109—189. [Имеется перевод: Атья М., Ботт Р., Гордииг Л. Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. I. — УМН, 1971, т. 26, № 2, с. 25-100.]
Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients. II. — Acta Math. 131 (1973), 145—206. [Имеется перевод: Атья М” Ботт Р., Гордннг Л. Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. П. — УМН, 1984, т. 39, № 3, с. 171—224] Atiyah М. F.( Bott R., Patodi V. К. [1] On the heat equations and the index theorem. — Invent. Math. 19 (1973), 279—330. [Имеется перевод: Атья М.* Ботт Р., Патодн В. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе.— Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 3—48.]
Atiyah М. F., Singer I. М. [1] The index of elliptic operators on compact manifolds.—Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 422—433. [Имеется перевод: Атья М., Зингер И. Индекс эллиптических операторов на компактных многообразиях.—Математика, 1966, т. 10, № 3, с. 29—38.]
The index of elliptic operators. I, Ш. — Ann. of Math. 87 (1968), 484— 530, 546—604. [Имеется перевод: Атья М., Зингер И. Индекс эллиптических операторов. I, Ш. — УМН, 1968, т. 23, № 5, с. 99—142; 1969, т. 24, № 1, с. 127—182.]
AvakumoviE V. G. [1] Uber die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riemann- schen Mannigfaltigkeiten. — Math. Z. 65 (1956), 327—344.
Bang T. [1] Om quasi-analytiske funktioner. Thesis, Copenhagen 1946.
Baouendi M. S., Goulaouic Ch. [1] Nonanalytic-hypoellipticity for some degenerate elliptic operators. — Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 483—486.
Beals R. [1] A general calculus of pseudo-differential operators.——Duke Math. J. 42 (1975), 1—42.
Beals R., Fefferman C. [1] On local solvability of Hnear partial differential equations. — Ann. of Math. 97 (1973), 482—498.
Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators I.——Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 1—24.
Beckner W. [1] Inequalities in Fourier analysis. — Ann. of Math. 102 (1975), 159—182.
Berenstein C. A., Dostal M. A. [1] On convolution equations I. In： L'anal. harm, dans le domain complexe. — Springer Lecture Notes in Math. 336 (1973), 79—94.
Bernstein S. [1] Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles du second ordre. — Math. Ann. 59 (1904), 20—76.
Beurling A. [1] Quasi-ahalyticity and general distributions. Lectures 4 and 5, Amer. Math. Soc. Summer Inst. Stanford 1961 (Mimeographed).
Sur les spectres des fonctions. — Anal. Harm. Nancy 1947, Coll. Int. XV, pp. 9—29.
Analytic continuation across a linear boundary. — Acta Math. 128 (1972), 153—182.
Bjorck G. [1] Linear partial differential operators and generalized distributions.—Ark. Mat. 6 (1966), 351—407.
Bjork J. E. [1] Rings of differential operators. — North-Holland Publ. Co. Math. Library series 21 (1979).
Bochner S. [1] Vorlesungen fiber Fouriersche Integrale. — Leipzig 1932. [Имеется перевод: Бохиер С, Лекции об интегралах Фурье. — М.： Физматгиз, 1962.]
Boman j. [1] On the intersection of classes of infinitely differentiable functions.—Ark. Mat. 5 (1963), 301—309.
Bonnesen T., Fenchel W. [1] Theorie der konvexen Кбгрег. — Erg. der Math, und ihrer Grenzgeb. 3, Springer-Verlag, 1934.
Bony J. M. [1] Une extension du theoreme de Holmgren sur I'uuicit包 du pro- bleme de Cauchy. — C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), 1103—1106.
Extensions du theoreme de Holmgren. — Sem. Goulaouic—.Schwartz 1975—1976, Expose no. XVII.
Equivalence des diverses notions de spectre singulier analytique. — Sem. Goulaouic — Schwartz 1976—1977, Expose no. III.
Bony J. M., Schapira P. [1] Existence et prolongement des. solutions holo- morphes des equations aux derivees partielles. — Invent. Math. 17 (1972), 95-^105. [Имеется перевод: Бони Ж--М., Шапира П. Существование и продолжение голоморфных решений уравнений с частными производными.—— Математика, 1973, т. 17, № 1, с. 162—171.]
Borel Е. [1] Sur quelques points de la theorie des fonctions. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 12 (3) (1895), 9—55.
Boutet de Monvel L. [1] Comportement d'un operateur pseudo-differentiel sur une variety a bord.—J. Analysis Math. 17 (1966), 241—304.
Boundary problems for pseudo-differential operators. — Acta Math. 126 (1971), 11—51.
On the index of Toeplitz operators of several complex variables, — Invent. Math. 50 (1979), 249—272.
Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo- differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 585—639.
Boutet de Monvel L, Guillemin V. [1] The spectral theory of Toeplitz operators.—An. of Math. Studies 99 (1981).
Boutet de Monvel L., Grigis A., Helffer В. [1] Parametrixes d*operateurs pseudo-differentiels 专 caracteristiques multiples. — Asterisque 34—35 (1976), 93—121.
Brezis H. [1] On a characterization of flow-invariant sets, — Comm. Pure Appl, Math. 23 (1970), 261—263.
Brodda В. [11 On uniqueness theorems for differential equations with constant coefficients. — Math. Scand 9 (1961), 55—68.
Browder F. [1] Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems. — Proc. Nat Acad. Sci. 45 (1959), 365—372.
Calaer6n A. P. fl] Uniqueness in the Cauchy problem for partial differential equations.—Amer. J. Math. 80 (1958), 16—36.
Existence and uniqueness theorems for systems of partial differential equations. Fluid Dynamics and Applied Mathematics (Proc. Symp. Univ, of Maryland 1961). — New York 1962, pp. 147—195.
Boundary value problems for elliptic equations. Outlines of the joint Soviet-American Symposium on partial differential equations, Novosibirsk 1963, pp. 303—304.
Calderon A. P„ Vaillancourt R. [1] On the boundedness of pseudo-differential operators. — J. Math. Soc. Japan 23 (1972), 374—378.
A class of bounded pseudo-differential operators. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 69 (1972), 1185—1187.
Calderdn A. P., Zygmund A. [1] On the existence of certain singular integrals. —Acta Math. 88 (1952), 85—139.
Caratheodory C. [1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung. — Berlin: Teubner, 1935.
Carleman T. [1] Sur un probleme d*unicite pour les systemes d'equations aux derivees partielles a deux variables independentes. — Ark. Mat Astr. Fys. 26B No 17 (1939), 1—9.
L'integrale de Fourier et les questions qui s'y rattachent. — Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler, Uppsala 1944.
Proprilt6s asymprotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes. — C. R. Congr. des Math. Scand. Stockholm 1934 (Lund 1935), pp. 34—44.
Catlin D. [1] Necessary conditions for subellipticity and hypoellipticity for the 0 Neumann problem on pseudoconvex domains. In: Recent developments in several complex variables. — Ann. of Math. Studies 100 (1981), 93— 100.
Cauchy A. [1] Memoire sur Fintegration des equations lineaires. — C. R. Acad. Sci. Paris 8 (1839). In: (Euvres IV, pp. 369~426. — Paris: Gauthier-Villars, 1884.
Cerezo A., Ch azarain J., Piriou A. [1] Introduction aux hyperfonctions. Springer Lecture Notes in Math. 449 (1975), 1—53.
Chaillou J. [1] Hyperbolic differential polynomials and their singular perturbations. —D. Reidel Publ. Co. Dordrecht, Boston, London, 1979.
Chazarain J. [1] Construction de la parametrix du probleme mixte hyperbolique pour「Equation des ondes. — C. R. Acad. Sci. Paris 276 (1973), 1213—1215.
Formulas de Poisson pour les varietes riemanniennes. — Invent. Math. 24 (1974), 65—82.
Chazarain J. Piriou A. [1] Introduction A la theorie des Equations aux derivees partielles lineaires.—Gauthier-Villars, 1981.
Chester С.» Friedman B„ Ursell F. [1] An extension of the method of steepest descent. — Proc. Cambr. Phil. Soc. 53 (1957), 599—611.
Cohen P, [1] The non-uniqueness of the Cauchy problem. — О. N. R. Techn. Report 93, Stanford 1960.
A simple proof of the Denjoy — Carleman theorem. — Amer. Math. Monthly 75 (1968), 26—31.
A simple proof of the Denjoy — Carleman theorem.—Amer. Math. Monthly phed manuscript — Stanford University 1967.
Colin de Verdiere Y. [1] Sur le spectre des operateurs elliptiques a bicaracte- ristiques toutes p6riodiques. — Comment. Math. Helv. 54 (1979), 508—522.
Cook J. [1] Convergence to the Mflller wave matrix,— J. Mathematical Physics 36 (1957)，82—87.
Cordes Н. О. [1] Uber die eindeutige Bestimmheit der Losungen elliptischer Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben. — Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. KI. Ila, No. 11 (1956), 239—258.
Cot!ar M. [1] A combinatorial inequality and its application to L2 spaces.— Rev. Math. Guyana 1 (1955), 41—55.
Courant R, Hilbert D. [1] Methoden der Mathematischen Physik IL — Berlin, 1937. [Имеется перевод: Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2.-М.: ГГТИ, 1951.]
Cotlar М. [1] A combinatorial inequality and its application to " spaces.— Proc. Nat Acad. Sci. 42 (1956), 872—876.
De Giorgi E. [1] Un esempio di non-unicita della soluzione del problems di Cauchy relativo ad una equazione differenziale lineare a derivate parziali ti tipo parabolico. — Rend. Mat. 14 (1955), 382—387.
Solutions analytiques des dquations aux dSrivSes partielles 立 coefficients constants. — Sem. Goulaouic — Schwartz 1971—1972, ExposS 29.
Dencker N. [1] On the propagation of singularities for pseudo-differential operators of principal type. — Ark. Mat. 20 (1982), 23—60.
The Weyl calculus .with locally temperate metrics and weights.— Ark. Mat 24 (1986), 59—79.
Dieudonne J. [1] Sur les fonctions continus num^riques definies dans un pro- duit de deux espaces compacts. — C. R. Acad. Sci. Paris 205 (1937), 593— 595.
Dieudonne J., Schwartz L. [1] La dualite dans les espaces (夕)et (纟笋).一 Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1 (1949), 61—101. [Имеется перевод: Дьё- донне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (夕)и (纟夕).一 Математика, 1958, т. 2, № 2, с. 77—117.]
Dollard J. D. [1] Asymptotic convergence and the Coulomb interaction. — J. Math. Phys. 5 (1964), 729—738.
Quantum mechanical scattering .theory for short-range and Coulomb interactions.—Rocky Mountain J. Math. 1 (1971), 5—88.
Douglis A., Nirenberg L. [1] Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations. — Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 503— 538.
Duistermaat J. J. [1] Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities. — Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 207—281.
Duistermaat J. J., Giiillemin V. W. (1] The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics. Invent Math. 29 (1975), 39—79.
Duistermaat J. J., Hormander L. [1] Fourier integral operators П. — Acta Math. 128 (1972), 183—269.
Duistermaat J. J., Sjdstrand J. [1] A global construction for pseudo-differential operators with non-involutive characteristics. — Invent. Math. 20 (1973), 209-225.
DuPlessis N. [1] Some theorems about the Riesz fractional integral. — Trans. Amer. Math. Soc. 80 (1955), 124—134.
Ehrenpreis L. [I] Solutions of some problems of division L — Amer. J. Math. 76 (1954), 883—903.
Solutions of some problems of division HI. — Amer. J. Math. 78 (1956), 685—715.
Solutions of some problems of division IV. — Amer. J. Math. 82 (I960), 522—588.
On the theory of kernels of Schwartz. — Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 713—718.
A fundamental principle for systems of linear differential equations with constant coefficients, and some of its applications.——Proc. Intern. Symp. on Linear Spaces, Jerusalem 1961, pp. 161 —174.
Fourier analysis in several complex variables. — Wiley-Interscience PubL, New York, London, Sydney, Toronto 1970.
Analytically uniform spaces and some applications.—Trans. Amer. Math. Soc. 101 (1961), 52—74.
Solutions of some problems of division V. Hyperbolic operators. — Amen J. Math. 84 (1962), 324—348.
Enqvist A. [1] On fundamental solutions supported by a convex cone. — Ark. Mat 12 (1974), 1—40.
Enss V. [1] Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scattering. I. Short range potentials. — Comm. Math. Phys. 61 (1978), 285—291. [2П Geometric methods in spectral and scattering theory of Schrodinger operators. In: Rigorous Atomic and Molecular Physics, G. Velo and A. Wightman ed. — Plenum, New York, 1980—1981 (Proc. Erice School of Mathematical Physics 1980).
ESkin G. I. (Эскин Г. И.) [1] Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. ~- М.: Наука, 1973.
Parametrix and propagation of singularities for the interior mixed hyperbolic problem. — J. Analyse Math. 32 (1977), 17—62.
General initial-boundary problems for second order hyperbolic equations. In: Sing, in Boundary Value Problems. — D. Reidel Publ. So., Dordrecht, Boston, London 1981, pp. 19—54..
Initial boundary value problem for second order hyperbolic equations with general boundary conditions I. — J. Analyse Math. 40 (1981), 43—89. Fefferman C. L. [11 The uncertainty principle. — Bull. Amer. Math. Soc. 9 (1983), 129—206.
Fefferman C., Phong D. H. [1] On positivity of pseudo-differential operators. — Proc. Nat. Acad. Sci. 75 (1978), 4673—4674.
The uncertainty principle and sharp Garding inequalities. — Comm. Pure Appl. Math. 34 (198!), 285—331.
Fredholm I. [1] Sur Tintegrale fondamentale d'une equation differentielle elHp- tique a coefficients constants. — Rend. Circ. Mat. Palermo 25 (1908), 346-— 351.
Friedlander F. G. [1] The wave front set of the solution of a simple initial* boundary value problem with glancing rays.——Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 79 (1976), 145—159.
Friedlander F. G., Melrose R. В. [1] The wave front set of the solution of a simple initial-boundary value problem with glancing rays. II. — Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 81 (1977), 97—120.
Friedrichs К. [1] On differentia! operators in Hilbert spaces. — Amer. J. Math. 61 (1939), 523—544.
The identity of weak and strong extensions of differential operators. — Trans. Amer. Math. Soc. 55 (1944), 132—151.
On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations. — Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 299—326.
On the perturbation of continuous spectra. — Comm. Pure Appl. Math. 1 (1948), 361—406.
Friedrichs K.( Lewy H. [1] Uber die Eindeutigkeit und das Abhangigkeitsgebiet der Losungen beim Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differential- gleichungen. — Math. Ann. 98 (1928), 192—204.
Froman N., Froman P. O. [1] JWKB approximation. Contributions to the theory. — North-Holland Pub1. Co. Amsterdam 1965.
Fuglede В. [1] A priori inequalities connected with systems of partial dlfferen- lial equations. — Acta Math. 105 (1961), 177—195.
Garding L. [1] Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients. — Acta Math. 85 (1951), 1—62.
Dirichlet's problem for linear elliptic partial differentia! equations.— Math. Scand. 1 (1953), 55—72.
Solution directe du probleme de Cauchy pour les equations hyperboll- ques. — Coll. Int. CNRS, Nancy 1956, pp. 71—90. [Имеется перевод: Гор-
динг Л. Прямое решение задачи Коши для гиперболических уравнений. — Математика, 1958, т. 2, № 1, с. 81—96.]
Transformation de Fourier des distributions homogGnes. — Bull. Soq Math. France 89 (1961), 381—428.
Local hyperbolicity. — Israel J. Math. 13 (1972), 65—81.
Le probleme de la derivee oblique pour Fequation des ondes. — C. R. Acad. Sei, Paris 285 (1977), 773—775. Rectification C. R. Acad. Sci. Paris 286 (1978), 1199.
a
On the asymptotic distribution of the eigenvalues and eigenfunctions of ipUc differential operators. — Math. Scand. 1 (1953), 237—255.
Garding L., Lions J. L. [1] Functional analysis. — Nuovo Cimento N. 1 del Suppl. al Vol. (10)14 (1959), 9—66.
Garding L., Malgrange В. [Ц Operateurs diff^rentiels partiellement hypoellip- tiques et partiellement elliptiques. — Math. Scand. 9 (1961), 5—21.
Gask H. [1] A proof of Schwartz* kernel theorem. — Math. Scand. 8 (I960), 327—332.
Gevrey M. [1] Demonstration du theoreme de Picard — Bernstein par la mb・ thode des contours successifs; prolongement analytfque. — Bull. Sci. Math 50 (1936), 113—128.
Glaeser G. [1] Etude de quelques algebres Tayloriennes. — J. Analyse Math. 6 (1958), 1—124.
Godin P. [1] Propagation des singularites pour les operateurs pseudo-(liff6ren- tiels de type principal a partie principal analytlque vbrifiant la condition，P), en dimension 2. — C. R. Acad. Sci. Paris 284 (1977), 1137—1138.
Grubb G. [1] Boundary problems for systems of partial differential operators of mixed order. —J. Functional Analysis 26 (1977), 131—165.
Problemes aux limites pseudo-differentiels dependant d'u口 parametre. — C. R. Acad. Sci. Paris 292 (1981), 581—583.
Gudmundsdottir G. [1] Global properties of differential operators of constant strength. — Ark. Mat. 15 (1977), 169—198.
Guillemin V. [1] The Radon transform on Zoll surfaces. — Adv. in Math. 22 (1976), 85—119.
Some classical theorems in spectral theory revisited. Sem. on sing, of sol. of diff. eq. — Princeton University Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 219—259.
Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere. — Adv. in Math. 27 (1978), 273—286.
Guillemin V., Schaeffer D. [1] Remarks on a paper of D. Ludwig. — Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 382—385.
Guillemin V., Sternberg S. [1] Geometrical asymptotics. — Amer. Math. 3o& Surv艾s 14, Providence, R. I. 1977. [Имеется перевод: Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1980.]
Hack М. N. [I] On covergence to the Moller wave operators. — Nuovo Cimento (10) 13 (1959), 231—236.
Hadamard J. [1] Le probleme de Cauchy et les Squations aux d^rivees partielles HuSaires hyperboliques, — Paris 1932.
Haefliger A. [1] Varietes feuilletees. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16 (1962), 367—397.
Hanges N. [1] Propagation of singularities for a class of operators with double characteristics. Sem. on sing, of sol. of linear partial diff. eq. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 113—126.
Hardy G. H„ Littlewood J. E. [1] Some properties Qf fractional integrals. (1) Math. 27 (1928). 565—606; (II) Math. Z. 34 (1931—32), 403— 439.
Hausdorff F. [1]. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes iiber Fourierreb hen.— Math. Z, 16《1923), 163—169,
Hayman W. К.» Kennedy P. В. [1] Subharmonic functions I. — Academic Press, London, New York, San Francisco 1976. [Имеется перевод： Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980J
Hedberg L. I. [1] On certain convolution inequalities. — Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), 505—510.
Heinz E. [1] Uber die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem einer ' elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. — Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. KI. Ila No. 1 (1955), 1—12.
Helffer В. [1] Addition de variables et applications a la regularity. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 28 : 2 (1978), 221—231.
Helffer B., Nourrigat J. [1] Caracterisation des operateurs hypoelliptiques homogenes invariants a gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradue. — Comm. Partial Differential Equations 4 : 8 (1979), 899—958.
Herglotz G. [1] Uber die Integration linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten I—П1. — Berichte Sachs. Akad. d. Wiss. 78 (1926}, 93—126, 287—318; 80 (1928), 69—114.
Hersh R. [1] Boundary conditions for equations of evolution. — Arch. Rational Meeh. Anal. 16 (1964), 242—264.
On surface waves with finite and infinite speed of propagation, — Arch. Rational Meeh. Anal. 19 (1965), 308—316.
Hirzebruch F. [1] Neue Topologische Methoden in der algebraischen Geomet- rie. — Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1956. [Имеется перевод (аигл. изд. 1966 г.): Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М・：Мир, 1973.]
Hlawka Е. [1] Uber Integrals auf konvexen Кбгрегп. I. — Monatsh. Math. 54 (1950), 1—36.
Holmgren E. [1] Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichun- gen. — Ofversigt af KongL Vetenskaps-Akad. Forh. 58 (1901), 91—103. [2] Sur Г extension de la methode d'integration de Riemann. — Ark. Mat. Astr. Fys. 1, No 22 (1904), 317—326.
Hormander L. [1] On the theory of general partial differential operators.— Acta Math. 94 (1955), 161—248. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. — М.: ИЛ, 1959.]
[21 Local and global properties of fundamental solutions. — Math. Scand. 5 :(1957),27—39.,'
On the regularity of the solutions of boundary problems. — Acta Math. 99 (1958), 22^—264. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О регулярности решений граничных задач. — Математика, 1960, т. 4, № 4, с. 37—73.]
On interior regularity of the solutions of partial differential equations.— ' Comm. Pure Appl. Math. 11 (1958), 197—218.
On the division of distributions by polynomials. — Ark. Mat 3 (1958), 555—568. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О делении обобщенных функций на полиномы. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117—130.]
Differentiability properties of solutions of systems of differential equations. —Ark. Mat. 3 (1958), 527—535.
Definitions of maximal differential operators, — Ark. Mat. 3 (1958), 501—504.
On the uniqueness of the Cauchy problem I, II. — Math. Scand. 6 (1958), 213—225; 7 (1959), 177—190.
К
)] Null solutions of partial differential equations. — Arch. Rational Meeh, nal. 4 (I960), 255—261.
Differential operators of principal type. — Math. Ann. 140 (I960), 124—
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные операторы главного типа. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 89—114.]
[И] Differential equations without solutions. — Math. Ann. }40 /I960),
169—173. [Имеется перевод: Хермандер Л. Дифференциальные уравнения без решений. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 115—120.)
Hypoelliptic differential operators. — Ann. Inst Fourier (Grenoble) 11 (19ol), 477—492. [Имеется перевод: Хермандер Л. Гипоэллиптическиедифференциальные операторы. — Математика, 1963, т. 7, № 1, с. 66—78.1
Estimates for translation invariant operators in 厶尸 spaces. — Acta Math. 104 (I960), 93—140. [Имеется перевод: Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. — М.: ИЛ, 1962.]
On the range of convolution operators. — Ann. of Math. 76 (1962), 148—170. [Имеется перевод: Хермандер Л. Об области значений дифференциальных операторов и операторов свертки. — Математика, 1962, т. 6, № 3, с. 37-66.]
Supports and singular supports of convolutions. — Acta Math. 110 {1963), 279—302.
П6] Pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965)'» 501—517. [Имеется перевод: Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы. В сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967, с. 63—87.]
Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems.— Ann. of Math. 83 (1966), 129—209. [Имеется перевод： Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптнческие краевые задачи. В том же сб., с. 166—296.]
Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. — Amer. Math. Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 138—183. [Имеется перевод: Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и гипоэллиптические уравнения. В том же сб., с. 297—367.]
An introduction to complex analysis in several variables. — D. van Nostrand Publ. Co., Princeton, N. J. 1966. [Имеется перевод: Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968.]
[20| Hypoelliptic second order differential equations. — Acta Math. 119 '(1967), 147—171. (Имеется перевод: Хермандер Л. Гипоэллиптические дифференциальные уравнения второго порядка. — Математика, 1968, т. 12, № 2, с. 88—109.]
On the characteristic Cauchy problem. — Ann. of Math. 88 (1968), 341—370. [Имеется перевод: Хермандер Л. О характеристической задаче Коши. — Математика, 1969, т. 13, № 1, с. 83—110.]
The spectral function of an elliptic operator. — Acta Math. 121 (1968), 193—218. [Имеется перевод: Хермандер Л. Спектральная функция эллиптического оператора. — Математика, 1969, т. 13, № 6, с. 114—137.]
Convolution equations in convex domains. — Invent. Math. 4 (1968), 306—317.
On the singularities of solutions of partial differential equations.— Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 329—358. [Имеется перевод: Хёрман- дер Л. Об особенностях решений дифференциальных уравнений в частных производных. — Математика, 1972, т, 16, № 6, с. 33—59.]
Linear differential operators. — Actes Congr. Int Math. Nice 1970, 1, pp. 121—133.
] The Calculus of Fourier integral operators. — Prospects in math. Ann. of Math. Studies 70 (1971)” 33—57.
[26b] Fourier integral operators I. — Acta Math. 127 (1971), 79—183. [Имеется перевод: Хермандер Л. Интегральные операторы Фурье. I. — Математика, 1972, т. 16, № 1, с. 17—61.]
Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear differential equations with analytic coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 24 (1971), 671—704. [Имеется перевод: Хермандер Л. Теоремы единственности и волновые фронты для решений линейных дифференциальных уравне-
ний с аналитическими коэффициентами. — Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 82—110.]
A remark on Holmgren's uniqueness theorem.— J. Diff. Geom. 6 (1971), 129—134.
On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-differential equations. — Ens. Math. 17 (1971), 99—163. [Имеется перевод: Хёр- мандер Л. О существовании и регулярности решений линейных псевдодиф- ференциальных уравнений. — УМН, 1973, т. 28, № 6, с. 109—164.]
On the singularities of solutions of partial differential equations with constant coefficients.— Israel J. Math. 13 (1972), 82—105.
On the existence of real analytic solutions of partial differential equations with constant coefficients. — Invent. Math. 21 (1973), 151—182.
Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with constant coefficients. — Israel J. Math. 16 (1973), 103—116.
a
Non-uniqueness for the Cauchy problem. — Springer Lecture Notes in 459 (1975), 36—72.
The existence of wave operators in scattering theory.— Math. Z. 146 (1976), 69—91.
A class of hypoelliptic pseudo-differential operators with double characteristics.—Math. Ann. 217 (1975), 165—188.
The Cauchy problem for differential equations with double characteristics. —J. Analyse Math. 32 (1977), 118—196.
Propagation of singularities and semiglobal existence theorems for (pseudo-) differential operators of principal type. — Ann. of Math. 108 (1978), 569—609.
Subelliptic operators. Seminar on sing, of sol. of diff. eq. — Princeton Jniv. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 127—208.
ТЪе Weyl calculus of pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 32 (1979), 359—443.
Pseudo-differential operators of principal type. Nato Adv. Study Inst on Sing, in Bound. Value Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 69—96.
Uniqueness theorems for second order elliptic differential equations.— Comm. Partial Differential Equations 8 (1983), 21—64.
On the index of pseudo-differential operators. In: Elliptische Differen- tialgleichungen. Band П. — Akademie-Veriag, Berlin 1971, S. 127—146. [Имеется перевод: Хёрмаидер Л. Об индексе псевдоднфференцнальиых операторов.—Математика, 1970, т. 14, № 4, с. 78—97J
L2 estimates for Fourier integral operators with complex phase. — Ark. Mat. 21 (1983), 294—313.
On the subelliptic test estimates. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980), 339-363.
Hurwitz A. [1] Uber die Nullstellen der Bessefschen Funktion. — Math. Ann. 33 (1889). 246—266.
lagolnitzer D. [1] Microlocal essential support of a distribution and decomposition theorems — an introduction. In: Hyperfunctions and theoretical physics. —Springer Lecture Notes in Math. 449 (1975), 121—132.
Ikebe T. [1] Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger operator and their applications to scattering theory.——Arch. Rational Meeh. Anal. 5 (I960), 1—34.
Ikebe T., Saito Y. [1] Limiting absorption method and absolute continuity for the Schrodinger operator. — J. Math. Kyoto Univ. 12 (1972), 513—542.
Iwasaki N. [1] The Cauchy problem for effectively hyperbolic equations (a special case). — J. Math. Kyoto Univ. 23 (1983), 503—562; (a standart type).— Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20 (1984), 543—584.
Jauch J. M., Zinnes I. I. [1] The asymptotic condition for simple scattering systems. — Nuovo Cimento (10) 11 (1959), 553—567.
Jerison D., Kenig С. E. [1] Unique continuation and absence of positive eigenvalues for Schrodinger operators — Univ, of Minnesota Math. Report 83— 160.
John F. [1] On linear differential equations with analytic coefficients. Unique continuation of data. — Comm. Pure Appl. Math. 2 (1949), 209—253.
Plane waves and spherical means applied to partial differential equations.——New York 1955. [Имеется перевод: Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. — М.： ИЛ, 1958.]
Non-admissible data for differential equations with constant coefficients.—Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 391—398.
Continuous dependence on data for solutions of partial differential equations with a prescribed bound. — Comm. Pure Appl. Math. 13 (I960), 551 — 585.
Linear partial differential equations with analytic coefficients. — Proc. Nat Acad. Sci. 29 (1943), 98—104.
Jorgens K., Weidmann J. [1] Zur Existenz der Wellenoperatoren. — Math. Z, 131 (1973), 141—151.
Kashiwara M. [1] Introduction to the theory of hyperfunctions. In: Sem.. on microlocal analysis. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 3— 38.
Kashiwara M” Kawai T. [1] Microhyperbolic pseudo-differential operators. I.— J. Math. Soc. Japan 27 (1975), 359—404.
Kato [1] Growth properties of the reduced wave equation with a variable coefficient. — Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 403—42 5.
Keller J. В. [1] Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for nonseparable systems. — Ann. Phys. 4 (1958), 180—188.
Kitada H. [1] Scattering theory for Schrodinger operators with long-range potentials. I: Abstract theory. — J. Math. Soc. Japan 29 (1977), 665—691; II： Spectral and scattering theory. — J. Math. Soc. Japan 30 (1978), 603—632.
Knapp A. W., Stein E. M. [1] Singular integrals and the principal series.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA 63 (1969), 281—284.
Kohn J, J. [1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds I, IL— Ann. of Math. 78 (1963), 112—148; 79 (1964), 450—472.
Pseudo-differential operators and non-elliptic problems. In: Pseudo-differential operators. CIME conference, Stresa 1968. — Edizione Cremonese, Roma 1969, pp. 157—165.
Kohn J. J., Nirenberg L. [1] On the algebra of pseudo-differential operators.—Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269—305. [Имеется перевод: Кон Дж., Ниренберг Л. Алгебра псевдоднфференциальных операторов. В сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.： Мир, 1967, с. 9—62,] [2] Non-coercive boundary value problems. — Comm. Pure Appl. Math, 18 (1965), 443—492,
Komatsu H. [1] A local version of Bochnefs tube theorem. — J. Fac. Sci. Tokyo Sect I-A Math. 19 (1972), 201—214.
Boundary values for solutions of elliptic equations. Proc. Int. Conf, runct. Anal. Rei. Topics. — Univ, of Tokyo Press, Tokyo 1970, pp. 107—121. Kreiss H. О. [1] Initial boundary value problems for hyperbolic systems.— Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 277—298. [Имеется перевод： Крайс X.-O. Смешанная задача для гиперболических систем. — Математика, 1970, т. 14, № 4, с. 98—111.]
Krzyzanski М., Schauder J. [1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randwertaufgaben. — Studia Math. 6 (1936), 162—189.
Kumano-go H. [1] Factorizations and fundamental solutions for differential operators of elliptic-hyperbolic type. — Proc. Japan Acad. 52 (1976), 480—
Kuroda S. T. [1] On the existence and the unitary property of the scattering operator—Nuovo Cimento (10) 12 (1959), 431—454.
Lascar B., Lascar R. [1] Propagation des singulantes pour des equations hy- perboliques a caracieristiques de multiplicite au plus double et singularites Masloviennes II. — J. Analyse Math. 41 (1982), 1—38.
Lax А. П] On Cauchy's problems for partial differential equations with multiple characteristics. — Comm. Pure Appl. Math 9 (1956), 135—169.
Lax P. D. [2] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiability of solutions of elliptic equations.——Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 615—633.
Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems. — Duke Math. J. 24 (1957), 627—646.
Lax P. D., Nirenberg L. [1] On stability for difference schemes: a sharp form of G百rding's inequality. — Comm. Pure Appl. Math. 19 (1966), 473—492. [Имеется перевод: Лакс П., Ниренберг Л. Об устойчивости разностных схем; точная форма неравенства Гординга.—Математика, 1967, т. 11, № 6, с. 3—20.]
Lebeau G. [1] Fonctions harmoniques et spectre singulier. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 13 (1980), 269—291.
belong P. [!] Plurisubharmonic functions and positive differential forms.— Gordon and Breach, New York, London, Paris 1969.
S
Propri^tes metriques des varietes definies par une equation. — Ann. ScL )le Norm. Sup. 67 (1950), 22—40.
Leray J. [1] Hyperbolic differential equations. — The Institute for Advanced Study, Princeton, N. J., 1953. [Имеется перевод: Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.]
Uniformisation de la solution du probleme lineaire analytique de Cauchy pres de la varibtb qui porte les donnees de Cauchy. — Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 389—429. [Имеется перевод: Лере Ж. Уннформизация решений линейной аналитической задачи Коши в окрестности многообразия, несущего начальные данные. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 57—89.] Lerner N. [1] Unicitb du probleme de Cauchy pour des operateus elliptiques.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ser. 4, 17 (1984), 469—505.
Lerner N., Robbiano L. [1] Unicite de Cauchy pour des op6rateurs de type principal. —J. Analyse Math. 44 (1984/85), 32—66.
Levi E. E. [1] Caratterische multiple e problema di Cauchy. — Ann. Mat Рига Appl. (3) 16 (1909), 161—201.
Levinson N. [1] Transformation of analytic function of several variables to a canonical rorrn. — Duke Math. J. 28 (1961), 345—353.
Levy H. [1] An example of a smooth linear partial differential equation without solution. — Ann. of Math. 66 (1957), 155—158.
Extention of Huyghens* principle to the ultrahyperbolic equation. — Ann. Mat. Рига Appl. (4) 39 (1955), 63—64.
Lions J. L. [1] Supports dans la transformation de Laplace. — J. Analyse Math. 2 (1952—53), 369—380.
Lions J. L., Mageues E. [1] Problemes aux limites non homogenes et applications I—HL — Dunod, Paris, 1968—1970. [Имеется перевод: Лионе ЛС.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.——М.: Мир, 1971.]
Lojasiewicz S. [1] Sur le probleme de division.— Studia Math. 18 (1959), 87—136.
Ludwig D. [1] Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem. — Comm. Pure Appl. Math. 13 (I960), 473—508.
Unitorm asymptotic expansions at a caustic. — Comm. Pure Appl. Math. 19 (1966), 215—250.
Luke d. [1] Pseudodifferential operators on Hilbert bundles. J. Differential Equations 12 (1972), 566—589.
Malgrange В. [1] Existence et approximation des solutions des equations aux d^rivees partielles et des equations de convolution. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 6 (1955—56), 271—355.
Sur une class d'opSrateurs differentiels hypoelliptiques. — Bull. Math. France 85 (1957), 283—306.
Sur la propagation de la regularit6 des solutions des equations 否 coefficients constants. — Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie 3 (53) (1959), 433—440.
Sur les ouverts convexes par rapport a une op^rateur differentiel.— C. R. Acad. Sci. Paris 254 (1962), 614—615.
Sur les systemes. differentiels 否 coefficients constants. — Coll. CNRS, Paris 1963, pp. 113 —122.
Ideals of differentiable Functions. — Tata Institute, Bombay, and Oxford University Press 1966. [Имеется перевод: Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.]
Mandelbrojt S. [1] Analytic functions and classes of infinitely differentiable functions. — Rice Inst. Pamphlet 29 (1942), 1—142.
g
l] Series adh^rentes, regularisations des suites, applications. — Coll. Borel, authier-Villars, Paris 1952.
Martineau A. [1] Les hyperfonctions de M. Sato. — S6m. Bourbaki 1960—1961, ExposW No 214.
Le «edge of the wedge theorem» en theorie des hyperfonctions de Sato. Proc. Int Conf. Funct. AnaL Rei. Topics. — Univ, oi Tokyo Press, Tokyo 1970, pp. 95—106.
Mather J. [1] Stability of C°° mappings: I. The division theorem. — Ann. of Math. 87 (1968), 89—104.
MeHn A. [1] Lower bounds for pseudo-differential operators. — Ark. Mat 9 (1971), 117—140.■
Parametrix constructions for right invariant differential operators on nilpotent groups. — Ann. Global Analysis and Geometry 1 (1983), 79—130. Melin A., Sjostrand J. [1] Fourier integral operators with complex-valued phase functions. — Springer Lecture Notes in Math. 459 (1974), 120—223.
Fourier integral operators with complex phase functions and parametrix tor an interior boundary value problem. — Comm. Partial Differential Equations 1 :4 (1976), 313—400.
Melrose R. В. [1] Transformation of boundary problems. — Acta Math. 147 1981), 149—236.
Equivalence of glancing hypersurfaces. — Invent. Math. 37 (1976), 165— 91.
Microlocal parametrices for diffractive boundary value problems. — Duke Math. J. 42 (1975), 605—635.
Local Fourier-Airy integral operators. — Duke Math. J. 42 (1975), 583— p] Airy operators. — Comm. Partial Differential Equations 3: 1 (1978), E] The Cauchy problem for effectively hyperbolic operators. — Hokkaido ath. J. 12 (1983), 371—391. ■
The trace of the wave group. — Contemporary Math., AMS, 27 (1984). 127—167.
Melrose R. B., Sjostrand J. [1] Singularities of boundary value problems I, IL —Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), 593—617; 35 (1982), 129—168.
MikusiAski J. [1] Une simple demonstration du theorems de Titchmarsh sur la convolution. — Bull. Acad. Pol. ScL 7 (1959), 715—717.
The Bochner Integral. — Birkhauser-Verlag, Basel, Stuttgart 1978.
Minakshisundaran S., Pleijel A. [1] Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds, — Canad. J. Math. 1 (1949), 24§-256,
Mizohata S. [1] UnlclU du prolongement des solutions des equations ellipti- goes du quatridme ordre. — Proc. Jap. Acad. 34 (1958), 687—692.
[21 Systemes hyperboliques. — J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 205—233.
Note sur le traitement par les operateurs d'intGgrale singuliere du prob- Гёте de Cauchy. — J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 234—240.
Solutions nulles et solutions non a*»alytiques. — J. Math. Kyoto Univ. 1 (1962), 271—302.
Some remarks on the Cauchy problem. — J. Math. Kyoto Univ. 1 (1961), 109—127.
Moller C. [1] General properties of the characteristic matrix in the theory of elementary particles. I. — Kongl. Dansk. Vidensk. Selsk. Mat-Fys. Medd. 23 (1945), 2—48.
Morrey С. В. [1] The analytic embedding of abstract real-analytic manifolds.— Ann. of Math. 68 (1958), 159—201.
Morrey С. B.( Nirenberg L. [1] On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations. — Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 271—290.
Moyer R. D. [11 Local solvability in two dimensions: Necessary conditions for the principal-type case. Mimeographed manuscript. — Univ, of Kansas 1978.
MIHler C. [1] On the behaviour of the solutions of the differential equation Au = F(x, U) in the neighborhood of a point. — Comm. Pure Appl. Math. 7 (1954), 505—515.
Munster M. [1] On A. Lax's condition of hyperbolicity. — Rocky Mountain J. Math, 8 (1978), 443—446.
On hyperbolic polynomials with constant coefficients. — Rocky Mountain J. Math. 8 (1978), 653—673.■
von Neumann J., Wigner E. [1] Uber merkwiirdige diskrete Eigenwerte.— Phys. Z. 30 (1929), 465-467.
Nirenberg L. [1] Remarks on strongly elliptic partial differential equations.— Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 648—675.
Uniqueness in Cauchy problems for differential equations with constant coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 89—105.
A proof of the Malgrange preparation theorem. Liverpool singularities I —Springer Lecture Notes in Math. 192 (1971), 97—105.
On elliptic partial differential equations. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 13 (1959), 115—162.
Lectures on linear partial differential equations. — Amer. Math. Soc. Regional Conf, in Math. 17 (1972), 1—58. [Имеется перевод: Ниренберг Л. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях в частных производных. -УМН, 1975, т. 30, № 4, с. 147-204.]
Nirenberg L., Treves F. [1] Solvability of a first order linear partial differential equation. — Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963), 331—351.
On local solvability of linear partial differential equations. I. Necessary conditions. II. Sufficient conditions. Correction. — Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 1 —38, 459—509; 24 (1971), 279—288. [Имеется перевод: Ниренберг Л., Трев Ф. О локальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений в частных производных. I. Необходимые условия. П. Достаточные условия. Поправка к статье «О локальной разрешимости...».— Математика, 1971, т. 15, № 3, с. 142—172; № 4, с. 68—110; 1972, т. 16, № 4, с. 149—152.]、
Nishitani Т. [1] Local energy integrals for effectively hyperbolic operators. I. — J. Math. Kyoto Univ. 24 (1984), 623—658.
Noether F. [1] Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen. — Math. Ann. 82 (1921), 42—63.
Oshima T. [1] On analytic equivalence of glancing hypersurfaces, — Sci. Papers College Gen, Ed. Univ, Tokyo 28 (1978), 51—57s
Paley R. E. A. C., Wiener N. [1] Fourier transforms in the complex domain.— Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XIX, New York 1934. [Имеется перевод: Винер H., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Наука, 1964.]
Pederson R. [1] On the unique continuation theorem for certain second and forth order elliptic equations. — Comm. Pure Appl. Math. 11 (1958), 67—80. [2] Uniqueness in the Cauchy problem for elliptic equations with double characteristics. — Ark. Mat. 6 (1966), 535—549.
Peetre J. [1] Theoremes de regularite pour quelques classes d'operateurs diffe* rentiels. Thesis. — Lund 1959.
Rectification a Particle «Une caracterisation abstraite des operateurs dif- ferentiels>. - Math. Scand. 8 (I960), 116-120.
Another approach to elliptic boundary problems. — Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 711—731.
New thoughts on Besov spaces. Duke Univ. Math. Series. I. — Durham, N. C., 1976.
Persson J. [1] The wave operator and P-convexity. — Boll. Un. Mat Itai. (5) 18-B (1981，591-604.
Pham The Lai [1] Meilieurs estimations asymptotiques des restes de la fonction spectrale et des valeurs propres relatifs au laplacien. — Math. Scand. 48 (1981), 5—31.
Piccinini L. C. [1] Non surjectivity of the Cauchy — Riemann operator on the space of the analytic functions onK". Generalization to the parabolic operators. —Bull. Un. Mat Itai. (4) 7 (1973), 12—28.
Plis A. [1J A smooth linear elliptic differential equation without any solution in a spnere. — Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 599—617.
The problem of uniqueness for the solution of a system of partial differential equations. — Bull. Acad. Pol. Sci. 2 (1954), 55—57.
On non-uniqueness in Cauchy problem for an elliptic second order differential equation. — Bull. Acad. Pol. Sci. 11 (1963), 95—100.
Poincare H. [1] Sur les proprietes du potentiel et les fonctions abeliennes.— Acta Math. 22 (1899), 89—178.
Ralston J. [1] Solutions of the wave equation with localized energy. — Comm. Pure Appl. Math. 22 (1969), 807—823.
Gaussian beams and the propagation of singularities. — MAA Studies in Math. 23 (1983), 206—248.
Reed M., Simon В. [1] Methods of modern mathematical physics. III. Scattering theory. — Academic Press 1979, [Имеется перевод: Рид. M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния.——М.: Мир, 1982.1
Rempel S., Schulze B.-W. [1] Index theory of elliptic boundary problems.— AJcademie-Verlag, Berlin 1982. [Имеется перевод: Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1986.]
de Rham G. [1] Varietes differentiables. — Hermann, Paris 1955. [Имеется перевод: Де Рам Ж- Дифференцируемые многообразия.—М.: ИЛ, 1956.]
Riesz F. [1] Sur Texistence de la derivee des fonctions d'une variable reelle et des fonctions d^ntervalle. — Verh. Int. Math. Kongr. Zurich 1932. I. S. 258— 269.
Riesz M. [1] L*integraie de Riemann — Liouville et ie probieme de Cauchy.— Acta Math. 81 (1949), 1—223.
Sur les maxima des formes bilin6aires et sur les fonctionneles lineaires,— Acta Math, 49 (1926), 465—497.
Sur Jes fonctions conjuguees.—Math. Z. 27 (1928), 218—244.
Problems related to characteristic surfaces. — Proc. Conf. Diff. Eq. Univ. Maryland 1955, pp. 57—71.
Rothschild L. P. [i] A criterion for hypoelHpticity of operators constructed froin vector fields. — Comm. Partial Diff. Equations 4:6 (1979), 645—69%
Saito Y. [1] On the asymptotic behavior of the solutions of the Schrodinger equation (—A + Q(y) — Аг) V = F. — Osaka J. Math. 14 (1977), H—35. [2] Eigenfunction expansions for the Schrodinger operators with long-range potentials Q(y) = O( \ у |**e), e > 0. — Osaka J. Math. 14 (1977), 37—53.
Sakamoto R. [1] E-well posedness for hyperbolic mixed problems with constant coefficients. — J. Math. Kyoto Univ. 14 (1974), 93—118.
Mixed problems for hyperbolic equations I. — J. Math. Kyoto Univ. 10 (1970), 375—401; II ibid. 403—417.
Sato M. [1] Theory of hyperfunctions I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 (1959), —193
Theory of hyperfunctions II. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 (I960), 387—437.
Hyperfunctions and partial differential equations. — Proc. Int. Conf, on Funct. Anal and Rei. Topics, Tokyo Univ. Press, Tokyo 1969, pp. 91—94.
Regularity of hyperfunction solutions of partial differential equations.— Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 2, pp. 785—794.
Sato M., Kawai T., Kashiwara M. [1] Hyperfunctions and pseudodifferential equations.— Springer Lecture Notes in Math. 287 (1973), 265—529.
Schaefer H. H. [1] Topological vector spaces. — Springer-Verlag, New York, Heidelberg, BerMn 1970. [Имеется перевод: Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.]
Schapira Р. [1] Hyperfonctions et problemes aux limites elliptiques. — Bull. Soc. Math. France 99 (1971), 113—141.
Propagation at the boundary of analytic singularities. — Nato Adv. Study Inst, on Sing, in Bound. Value Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 185—212.
Propagation at the boundary and reflection of analytic singularities of solutions of linear partial differential equations. — Publ. RIMS, Kyoto Univ., 12 Suppl. 1977, pp. 441—453.
Schechter M. [1] Various types of boundary conditions for elliptic equations.— Comm. Pure Appl. Math. 13 (I960), 407—425.
A generalization of the problem of transmission, — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 14 (I960), 207—236.
Schwartz L. [1] Theorie des distributions I, II. — Hermann, Paris, 1950—51.
Theorie des noyaux,— Proc. Int. Congr. Math. Cambridge 1950, I, pp. 220—230.
Sur fimpossibilite de la multiplication des distributions. — C, R. Acad. Sci. Paris 239 (1954), 847—848.
Theorie des distributions i valeurs vectorielles I. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 7 (1957), 1—141.
Transformation de Laplace des distributions. — Comm. Sem. Math. Univ. Lund, Tome suppl. dedi6 a Marcel Riesz, 1952, pp. 196—206.
Theorie g6nerale des fonctions moyenne-periodiques. — Ann. of Math. 48 (1947), 857—929.
Seeley R. T. [1] Singular integrals and boundary problems. — Amer. J. Math. 88 (1966), 781—809.
Extensions of 5 functions defined in a half space. — Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 625—626.
A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of R3. — Advances in Math. 29 (1978), 244—269.
An estimate near the boundary for the spectral function of the Laplace operator. — Amer. J. Math. 102 (1980), 869—902.
Elliptic singular integral equations. — Amer. Math. Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 308—315.
Seidenberg A. [1] A new decision method for elementary algebra. — Ann. of Math. 60 (1954), 365-374,
Shibata Y. [1] f-well posedness of mixed Initial boundary value problems constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 (1980), 45.Shibata Y. [1] f-well posedness of mixed Initial boundary value problems constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 (1980), 45.with32—with32—Siegel C. L. [1] Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass. In: Abhandl. aus Zahlenth. u. Anal. — Plenum Press, New York 1968, pp. 299— 306.
Shibata Y. [1] f-well posedness of mixed Initial boundary value problems constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 (1980), 45.
Shibata Y. [1] f-well posedness of mixed Initial boundary value problems constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 (1980), 45.
with
32—
with
32—
Sjostrand J. [1] Singulantes analytiques microlocales. — Prepublications UniversitS de Paris-Sud 82—03.
Analytic singularities of solutions of boundary value problems. — Nato Adv. Study Inst, on Sing, in Bound. Value Prob., Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 235—269.
Parametricies for pseudodifferential operators with multiple characteristics. —Ark. Mat. 12 (1974), 85—130.
Propagation of analytic singularities for second order Dirichlet problems I, II, III. — Comm. Partial Differential Equations 5 : 1 (1980), 41—94; 5:2 (1980), 187—207; 6:5 (1981), 499—567.
Operators of principal type with interior boundary conditions.——Acta Math. 130 (1973), 1—51.
Sommerfeld A. [1| Optics. Lectures on theoretical physics IV. — Academic Press, New York 1969. [Имеется перевод: Зоммерфельд А. Оптика. — M.: ИЛ, 1953.]
Stein Е. М. [1] Singular integrals and differentiability properties of functions.—Princeton Univ. Press 1970. [Имеется перевод: Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, — Мл Мир, 1973.]
Sternberg S. [1] Lectures on differential geometry. — Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1964. [Имеется перевод: Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1964.]
Stokes G. В. [1] On the numerical calculation of a class of definite integrals and infinite series. — Trans. Cambridge Philos. Soc. 9 (1850), 166—187.
Svensson L. [1] Necessary and sufficient conditions for the hyperbolicity of polynomials with hyperbolic principal part—Ark. Mat. 8 (1968), 145— 162.
Sweeney W. J. [1] The D-Neumann problem. — Acta Math. 120 (1968), 223— 277.
Szego G. [1] Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen. — Math. Z. 6 (1920), 167—202.
TackHnd S. [1] Sur les classes quasianalytiques des solutions des equations aux d6rivfees partielles du type parabolique. — Nova Acta Soc. Sci. Upsaliensis (4) 10 (1936), 1—57.
Tarski A< [1] A decision method for elementary algebra and geometry. Manuscript, Berkeley 1951, 63 pp.
■ Taylor M. [1] Gelfand theory of pseudodifferential operators and hypoelliptic operators. — Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 495—510.
Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equations. —Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), 1—38.
Diffraction effects in the scattering of waves. In: Sing, in Bound. Value Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 271—316.
Pseudodifferential operators. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1981. [Имеется перевод: Тейлор M. Псевдодифференциальные операторы.— М.: Мир, 1985.]
Thorin О. [1] Ап extension of a convexity theorem due to M. Riesz. — Kungl. Fys. Sallsk. Lund. Forh. 8 (1939), No 14.
Titchmarsh E. С. [1] The zeros of certain integral functions. — Proc. London Math Soc. 25 (1926), 283—302.
Treves F. [1] Solution elementaire d'Wquations aux d6riv6es partielles dependant d*un parametre. — C. R. Acad. Sci. Paris 242 (1956), 1250—1252.
These d'Hormander II. — S6m. Bourbaki 135, 2® 6d. (Mai 1956).
Relations de domination entre operateurs differentiels. — Acta Math. 101 (1959), 1—139.
Operateurs differentiels hypoelliptiques. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 9 (1959), 1—73.
Local solvability in U of first order linear PDEs. — Amer. J. Math. 92 (1970), 369—380.
Fundamental solutions of linear partial differential equations with constant coefficients depending on parameters. — Amer. J. Math. 84 (1962), 561—577.
Un theoreme sur les equations aux derivees partielles 4 coefficients constants dependant de parametres. — Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 473— 486.
A new method of proof of the subelliptic estimates. — Comm. Pure Appk Math. 24 (1971), 71—115.
Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Volume 1: Pseudodifferential operators. Volume 2: Fourier integral operators.— Plenum Press, New York and London 1980. [Имеется перевод: Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. В 2-х томах. — М..: Мнр, 1984.]
Tsuji М. [1] Singularities of elementary solutions of hyperbolic equations with constant coefficients. — Nato Adv. Study Inst, on Sing, in Bound. Value Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 317—326.
Vauthier J. [1] Comportement asymptotique des fonctions entieres de type exponentiel dans C言 et bornees dans le domaine reel.—J. Funct. Analysis 12 (1973), 290—306.
Veseli6 K., Weidmann J. [1] Existenz der Wellenoperatoren fur eine allgemeine Klasse von Operatoren. — Math. Z. 134 (1973), 255—274.
Asymptotic estimates of wave functions and the existence of wave operators.—J. Funct. Analysis 17 (1974), 61—77.
van der Waerden B. L. [1] Einfuhrung in die algebraische Geometric. — Berlin 1939.
Algebra I—II. 4. Aufl. — Springer Verlag, Berlin — Gottingen — Heidelberg 1959. [Имеется перевод: Ван дер Варден Б. Алгебра. 2-е изд. — М..: Наука, 1979.]
Wang Rou-hwai, Tsui Chih-yung [1] Generalized Leray formula on positive complex Lagrange ——Grassmann manifolds — Res. Report, Inst, of Math., Jilin Univ. 8209, 1982.
Warner F. W. [1] Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups.— Scott Foresman and Co” Glenview, Ilk, London 1971.
Weinstein A. [1] The order and symbol of a distribution. ~ Trans. Amer. Math. Soc. 241 (1978), 1—54.
Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential.— Duke Math. J. 44 (1977), 883—892.
On Maslov's quantization condition. In: Fourier integral operators and partial differential equations. — Springer Lecture Notes in Math. 459 (1974), 341—372.
Weyl H. [1] The method of orthogonal projection in potential theory.— Duke Math. J. 7 (1940), 411 —444. [Имеется перевод: Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала. В кн.: Вейль Г. Избранные труды. Математика. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1984, с. 275—307.] [2] Die Idee der Riemannschen Flache. 3. Aufl. — Teubner, Stuttgart 1955. [3] Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen. — Math. Ann. 68 (1910), 220—269.
Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie Hohlraums- trahlung). — Math, Ann. 71 (1912), 441—"9.
Whitney Н. [1] Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets. — Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 63—89.
Widom H. [1] Eigenvalue distribution in certain homogeneous spaces.— J. Funct. Analysis 32 (1979), 139—147.
• Yamamoto К. [1] On the reduction of certain pseudo-differential operators with non-involution characteristics. — J. Differential Equations 26《1977), 435— 442.
Zeilon N. [1] Das Fundamentalintegral der allgemeinen linearen Differentiab gleichung mit konstanten Koeffizienten. — Ark. Mat, Astr. Fys. 6 (1911), No 38, 1—32.
Zerner M. [1] Solutions de l'6quation des ondes pr6sentant des singularites sur une droite. — C. R. Acad. Sei. Paris 250 (I960), 2980—2982.
Solutions singulieres ^equations aux derivees partielles. — Bull. Soc. Math. France 91 (1963), 203—226.
Domaine d^holomorphie des fonctions verifiant une equation aux d6rivees partielles. —C. R. Acad. Sci. Paris 171 (1971), 1646—1648.
Zuily C. [1] Uniqueness and поп-uniqueness in the Cauchy problem. — Progress in Math. 33. Birkhauser, Boston, Basel, Stuttgart 1983.
Zygmund A. [1] On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operators. — J. Math. Pures Appl. 35 (1956), 223—248.
653 D> sJ J u(-ЮTDD653 D> sJ J u(-ЮTDD462462
6
5
3 D> s
J J u(-ЮTDD
6
5
3 D> s
J J u(-ЮTDD
462
462
Авакумович (V. G. AvakumoviC) 13, 89, 90
Авербух В. И. 6
Агмон (S. Agmon) 7, 88, 356, 618
Адамар (J. Hadamard) 13, 49, 89,
547
Алинак (S. Alinhac) 88
Арнольд В. И. 463
Ароишайи (N. Aronszajn) 88
Аткинсон (F. V. Atkinson) 309
Атья (М. F・ Atiyah) 9, 242, 245, 309, 310, 357
Бауэиди (М. S. Baouendi) 88
Берхин П. Е. 6
Билз (R. Beals) 243
Ботт (R. Bott) 9, 245, 310, 357
Браудер (F. Browder) 356
Буте де Монвель (L. Boutet de Mon- vel) 244, 357, 509
Вайянкур (R. Vaillancourt) 225, 243
Вейль (H. Weyl) 89, 93, 207, 243
Вейнстейн (A. Weinstein) 462
Вишик M. И. 244, 356, 357
Гийемии (V. W. Guillemin) 462
Гординг (G. Garding) 89, 5仆 558, 618
Грубб (G. Grubb) 357
Грушин В. В. 509
Егоров Ю. В. 6
Земян (В. Ziemian) 8
Зингер (I. М. Singer) 9, 242, 309
Иврий В. Я. 90, 463, 548, 619, 620
Каваи (Т. Kawai)) 462
Кальдерой (А. Р. Calderdn) 9, 89,
225, 242, 243, 356
Каратеодори (С. Caratheodory) 462
Карлемаи (Т. Carleman) 88, 89
Касивара (М. Kashiwara) 462
Келлер (J. В. Keller) 463
Кениг (С. Е. Kenig) 89
Кнапп (A. W. Кпарр) 225, 243
Колмогоров А. Н. 508
Кон (J. J. Kohn) 243, 508
Кордес (Н. О. Cordes) 88
Котлар (М. Cotlar) 225, 243
Крайс (N. О. Kreiss) 618
Кшивицкий (A. Krzywicki) 88
Кшнжаньский (М.. Krzyzanski) 618
Лакс (Р. D. Lax) 10, 243, 548
Леви (Н. Lewy) 547
Левитан Б. М. 89
Лере (J. Leray) 547
Лионс (J.-L. Lions) 356
Лопатннский Я. Б. 356, 618
Людвиг (D. Ludwig) 619
Мадженес (Е. Magenes) 356
Маслов В.П. 359, 463
Мелии (A. Melinj 7, 465, 508
Мелроуз (R. Melrose) 7, 90, 244, 310,
462, 619, 620, 664
Мндзохата (S. Mizohata) 548
Мииакшисундарам (S Minakshisunda- ram) 89
Мюллер (С. Muller) 88
Нетер (F. Noether) 308
Ниренберг (L. Nirenberg) 243, 310,
356
Олейник О. А. 508
Осима (Т. Oshima) 462
Сили (R. Т. Seeley) Стейн (Е, М. Stein)
в353 а2в353 а2Тейлор (М. Е. Taylor) 6, 462, 619
в
353 а2
в
353 а2
Трев (F. Treves) 6, 508
Фам Тхе Лай (Pham The Lai) 89, 90
Федосов Б. В. 310
Фефферман (Ch. Fefferman) 243,465
Фоиг (D. Н. Phong) 243, 465
Фридлендер (F. G. Friedlander) 619
Фридрихе (К. Friedrichs) 88, 547
Петков В. 463, 548
Петре (J. Peetre) 356
Петровский И. Г. 547
Плейель (A. Pleijel) 89
Плись (А. РН§) 89
Радкевич Е. В. 508
Ралстои (J. Ralston) 620
Ремпель (S. Rempel) 358
Рисе М. (М. Riesz) 89, 547
Рисе Ф. (F. Riesz) 247 .
Сакамото (R. Sakamoto) 618
Сато (М. Sato) 462
Хайиц (Е. Heinz) 88
Хёрмандер (L. Hormander) 5, 6, 8,
243, 462, 508, 509, 548
Хирцебрух (F. Hirzebruch) 309
Шарскиб (J. Szarski) 88
Шаудер (J. Schauder) 618
Шварц (L. Schwartz) 93
Шехтер CM. Schechter) 356
Шёстранд (J. Sjostrand) 462. 508.
619
Шубин М. А. 6
Шульце (B.-W. Schulze) 358
Эскин Г. И. 244, 357
Предметный указатель
Ароншайна — Кордеса теорема 12
Асимптотическое разложение 95
Атьи — Зингера — Ботта теорема 9
Бесова пространства 622
Бихарактеристика 415
—ломаная 562
—обобщенная 573
Ботта оператор 283
Внутренность многообразия 636
Воротник 326
—удвоенный 345
Времениподобный вектор 650 направленный вперед 550
Гамильтонов вектор 363
Гамильтоново векторное поле 364
—отображение 429
—слоенне 383
Геодезические нормальные координаты 658
Гессиан 649
Гильберта — Шмидта оператор 252
Гиперболическая квадратичная форма 431
Гиперболнчности область 559
Гиперболичность слабая 529, 548
—эффективная 548
Гипоэл ли птический оператор 464
—символ 466
Гипоэллнптнчности множество 606
Главного символа изоморфизм 121, 181
Главный символ 116, 144, 308, 326
уточненный 130
Гординга неравенство точное 107, 242
Граница многообразия см. Край
Граничный дифференциальный оператор 637
Грассманиан 440
—лагранжев 438
Грина потенциал 317
—формула 316
Дарбу теорема 359, 366, 373
Де Рама комплекс 300, 303
Дирихле задача 13» 40
—принцип 46
Дифракция 570
Дугласа — Ниренберга система 308
Звездное множество 51
Изотропное подмногообразие 382
—подпространство 379
Изотропный вектор 550
Инволютивное подмногообразие 382
— подпространство 379
Инволюция 650
——определяемая складкой 650
Индекс 246
Индекса формула 309
Кальдерона проектор 317
—теорема 9
Каноническое отношение 388
однородное 388
скрученное 394
—преобразование 364
Касание 568—569, 570
Коизотропиое подпространство 379
Колмогорова уравнение 470
обобщенное 470
Коммутатор 639
Коммутационные соотношения 363
Комплекс 256, 300
—точный 276, 300
Комплекс Фредгольмов 257
—эллиптически^ 3°°
Композиция пч；евдодифференциаль-
ных операторов 102 212
Конечного ранга оператор 252
Коническое м呼^б&не 372 — множество 11
Конормальное Распределение 93, 139
Контактная赤а 360
Косииус-преобра^ов^нне 68
Коши задача 51Q
Коэрцитивности Условие 315
Краевая задача ^о7
Край 636°
Кронекера симво^ 3g|
Лагранжев грасс Маииан 438
"般^“мево("%!)многообразие 359,
—подпространеьво 379
Лакунарности ^00116 157
сильное 16》
Лапласа оператор 3°]
Лапласа [5ё4"刃a期〃 оператор 27
Лефшеца форму% зо1 304
—число 303'
Лист см. Слой
“?^?""”"116cx哈 закон для индекса 249
Лоренца (лоренцева) сигнатура 550
依规加倣 расслое^ие 446, 458
Медленно менян^щаяся метрика 194
Мелина иеравеис>в0 483”
^^ с5|тегРал^ энергии 70, 511, gl, ЭоЭ
Мёбиуса преобра3ование 339
МикрогипоэллиЩ'нчность 464
Микролокальност^ ц4
Многообразие отЧ ое 636
—с краем 636『
—с углом 178
Мноя^ство гипо^ллиптичности 605
—дифракции 57b
—касания 568^69, 570
—скольжения 5>°
抬ор廿 лемма с Параметрами 662 Морфизм рассло^Нд^ з】§
^^)3Р0ЖАеННаЯ иеподвижная точка
-护"B%中叫На 391
—форма 361
Непрерывность п^евдоднфференциаль.
ннх операторов 105 221, 223, 230
Нехарактернстнч*кан точка 123
Особая точка векторного поля 429
Отражения вектор 652
—'расслоение 652
Параметризация с помощью фазовой функции 391
Параметрикс дифференциального оператора с переменными коэффициентами 53, 54
—комплекса 301
—краевой задачи 321
—псевдоднфференцнального оператора 103, 122, 124
— смешанной задачи Дирихле — Коши 61
Подогнанные координаты 441
Полноднородная функция 97
Положительная лагранжева плоскость 434
Порядок псевдодифференциальиого оператора в точке (х, |) 123
Продолжаемое распределение 636
Проективное нормальное расслоение 177
внутреннее 178
Простое касание 416
Пространствениоподобный вектор 550
Прямой образ 181
Псевдодифференциальный оператор
иа многообразии 119
иа сечениях векторного расслоения 128
— —собственный 121
Псевдолокальиость 114
Пуассона оператор 358
—скобка 363, 364
Радиальное векторное поле 371, 372
Радикал 199, 368
Раздутие 177
Растянутое произведение 178, 180
Рисса Ф. лемма 247
Сжатая ломаная характеристика 562
—обобщенная характеристика 573
Сжатое кокасательное расслоение 180
—косферическое расслоение 604
Символ 93, 94
—главный 116
—классический 97
—лакунарный 157
—субглавный 117, 220
Символ-полуплотность 143
Си мплектнческая система координат 363
—форма 361, 363
Симплектический базис 361
—диффеоморфизм 360, 364
—изоморфизм 361
Симплектическое векторное пространство 361
расслоение 383) 458
—коническое многообразие 278
—многообразие 363
—подмногообразие 382
—подпростра нство 379
—преобразование 215, 364
Симплектоморфнзм 364
Складка 649
Складывающее отображение 649
Скольжение 570
Скользящее векторное поле 573
—пересечение 416
Скользящий луч 571, 572
След 254
Следовая формула для индекса 255
Следовый оператор 358
Слоение 642
Слой 642
—глобальный 642
Соболева пространства 621
Собственное отображение 121
Сопряженный кпсевдодифф ерен -
цнальному оператору 99
Сосредоточенное распределение 636
Спектральная функция 66
Строго гиперболический оператор 521■
—положительная лагранжева пло* скость 435
Тодда класс 309
Тотально характеристический дифференциальный оператор 113
псевдоднффереициальный оператор 181
Трансверсальная эллиптичность 480
Трансверсальное пересечение 646
Трансверсальный порядок 637
Трансмиссий условие (свойство) 146
модифицированное 154
ослабленное 148
Трикоми оператор 535, 606
Угловое многообразие 178, 180
Удвоение многообразия с краем 345
Умеренная метрика 200, 209
—функция 200, 209
Уравнение переноса 63
Условия накрывания 315
Фазовая функция 391
Феффермана — Фонга неравенство 233
Фредгольмов оператор 246
Фридрихса лемма 19
Фробениуса теорема 639
—условие 639
Фундаментальная матрица 429
Характеристическая точка 123
двойная 548
Характеристическое множество краевой задачи 336
Харди неравенство 186
Чистая композиция канонических отношений 389
—фазовая функция 391
Чистое пересечение 647
Шапиро — Лопатинского условие 315
Шура лемма 105, 624
Эйлера тождество для однородных функций 373
Эйлерова характеристика комплекса 257, 300
Экспоненциальное отображение 57
тс отражением 58
Эксцесс фазовой функции 391
—чистого пересечения 647
Эллиптическая квадратичная форма
26.
—краевая задача 314
Эллиптический оператор 122
в смысле Дугласа — Ниренберг 2a 308
—символ 266
Эллиптичности область 559
Энергетическая оценка 70
Энергетическое тождество 552, 585
Ядерный оператор 253
Якоби тождество 365
а-плотность 129, 367
A-умеренная метрика 200
(A, g) -умеренная функоди 20С
КП-норма 220
^-непрерывная функция 196
s-нндекс 266
о-умеренная метрика 209
(a, g)-умеренная функция 209
S(m, g) 196S(m, g) 196V^e 132 屮f18。Dif 力(R*) 155Char A 123, 187 Char (P; Bi,..., WF(u) 125 WF(A) 124 WFb(u) 187 s„ 127 s； 127 亍(X) 179T*(X) 179 exp 57 exp1" 58 Яр 364 〃，573 Ker 246 Coker 246 ind 246 s-ind 266, 267 cone supp 591A(S) 438 M 446, 458Tr+Q 479 小117Mt 143, 372Qa 129, 367RI,殷 478R? 637Rad 431[•, •] 364{•» • } 363, 364 ~ 95区I 272V^e 132 屮f18。Dif 力(R*) 155Char A 123, 187 Char (P; Bi,..., WF(u) 125 WF(A) 124 WFb(u) 187 s„ 127 s； 127 亍(X) 179T*(X) 179 exp 57 exp1" 58 Яр 364 〃，573 Ker 246 Coker 246 ind 246 s-ind 266, 267 cone supp 591A(S) 438 M 446, 458Tr+Q 479 小117Mt 143, 372Qa 129, 367RI,殷 478R? 637Rad 431[•, •] 364{•» • } 363, 364 ~ 95区I 272
S(m, g) 196
S(m, g) 196
V^e 132 屮f18。
Dif 力(R*) 155
Char A 123, 187 Char (P; Bi,..., WF(u) 125 WF(A) 124 WFb(u) 187 s„ 127 s； 127 亍(X) 179
T*(X) 179 exp 57 exp1" 58 Яр 364 〃，573 Ker 246 Coker 246 ind 246 s-ind 266, 267 cone supp 591
A(S) 438 M 446, 458
Tr+Q 479 小117
Mt 143, 372
Qa 129, 367
RI,殷 478
R? 637
Rad 431
[•, •] 364
{•» • } 363, 364 ~ 95
区I 272
V^e 132 屮f18。
Dif 力(R*) 155
Char A 123, 187 Char (P; Bi,..., WF(u) 125 WF(A) 124 WFb(u) 187 s„ 127 s； 127 亍(X) 179
T*(X) 179 exp 57 exp1" 58 Яр 364 〃，573 Ker 246 Coker 246 ind 246 s-ind 266, 267 cone supp 591
A(S) 438 M 446, 458
Tr+Q 479 小117
Mt 143, 372
Qa 129, 367
RI,殷 478
R? 637
Rad 431
[•, •] 364
{•» • } 363, 364 ~ 95
区I 272
Указатель обозначений
Пространства функций и распределений и их нормы
"⑻，II •h 621
Р"⑻，印• 1協622
Him. s)> I) * lkm>s) 628
F, F 155, 630
以(叫以182
*T83
N 191
/m(X, У; £) 139
l-l*, l-li 195, 196
Пространства символов
Stn 94
Qphg, Dphg ”
5m(D, S^(D 118
S"(匕 Q%) 143
S? 156
S小57
131 327
Некоторые специальные обозначения
a(x, D) 97
Ора 98
а(в)加
aw(居 D) 206
a(xt 自)156
Wm 120, 123
呼m(X; £,尸)128
5 7 9 “援圾观招 ^^ 勿 ^1341551942052202422452452462622905 7 9 “援圾观招 ^^ 勿 ^134155194205220242245245246262290
5 7 9 “援圾观招 ^^ 勿 ^134155194205220242245245246262290
5 7 9 “援圾观招 ^^ 勿 ^134155194205220242245245246262290
Оглавление
Предисловие редактора перевода к томам 3 н 4 ・•・•
Предисловие к томам 3 и 4
Введение к томам 3 и 4
Эллиптические операторы второго порядка • * ・・•
Краткое содержание главы
Регулярность внутри области и локальные тео* ремы существования ・
Теоремы об однозначном продолжении
Задача Дирихле
Конструкция параметрикса по Адамару • • •・
Асимптотические свойства собственных значений и собственных функций
Примечания
Псевдодифференциальные операторы
Краткое содержание главы
Основы исчисления
Конормальные распределения
Тотально характеристические операторы ・• • •
Еще раз о преобразованиях Гаусса
Исчисление Вейля
Оценки для псевдодифференциальных операторов
Примечания ..
Эллиптические операторы на компактных многообразиях без края
Краткое содержание главы
Абстрактная теория Фредгольма
Индекс эллиптических операторов
Теорема об индексе в Rn
9 4 89 0 02 3 39 4 89 0 02 3 3Формула Лефшеца •
9 4 8
9 0 0
2 3 3
9 4 8
9 0 0
2 3 3
Различные замечания об эллиптичности . . •.
Примечания
1133 3 31133 3 3Краевые задачи для эллиптических дифференциальных операторов--..
113
3 3 3
113
3 3 3
Краткое содержание главы
Эллиптические краевые задачи •
7 2 4 63 4 5 53 3 3 37 2 4 63 4 5 53 3 3 3202 Некоторые подготовительные результаты об обыкновенных дифференциальных операторах • •
7 2 4 6
3 4 5 5
3 3 3 3
7 2 4 6
3 4 5 5
3 3 3 3
Индекс эллиптических краевых задач
Неэллиптические краевые задачи Примечания
3 3 33 3 3Симплектическая геометрия
3 3 3
3 3 3
Краткое содержание главы
Основная структура• •
3 33 378967896Подмногообразия симплектического многообразия
3 3
3 3
7896
7896
Нормальные формы функций
44Складки и гиперповерхности со скользящим пересечением
4
4
9-8 22 7 64 4 49-8 22 7 64 4 4Симплектическая эквивалентность квадратичных форм
9-8 2
2 7 6
4 4 4
9-8 2
2 7 6
4 4 4
Лагранжев грассманиан
Примечания
46^46474746^4647474 44 4Некоторые классы микрогипоэллиптических операторов • ■
46^464747
46^464747
4 4
4 4
Краткое содержание главы
6 0 86 0 8Операторы с псевдодифференциальным парамет- риксом
6 0 8
6 0 8
Обобщенные уравнения Колмогорова
Неравенство Мелина
6 88 о4 56 88 о4 5Гипоэллиптичность с потерей одной производной
6 8
8 о
4 5
6 8
8 о
4 5
Примечания ：• •
о 0 0 6 9 4 71 i 1* 1- 2 3 45 555555о 0 0 6 9 4 71 i 1* 1- 2 3 45 555555Строго гиперболическая задача Коши
о 0 0 6 9 4 7
1 i 1* 1- 2 3 4
5 555555
о 0 0 6 9 4 7
1 i 1* 1- 2 3 4
5 555555
Краткое содержание главы
Операторы первого порядка
Операторы высшего порядка
. Необходимые условия корректности задачи Коши
Гиперболические операторы главного типа ・.• Примечания
Смешанная задача Дирихле ——Коши для операторов второго порядка '■
Краткое содержание главы
Энергетические оценки и теоремы существования в гиперболическом случае
Особенности в эллиптической и гиперболической областях
Обобщенный бихарактеристический поток * • ■
Случай дифракции
Распространение особенностей в общем случае
Операторы микролокального типа Трикоми ，• •
Операторы, зависящие от параметров
Примечания
Добавление В. Некоторые пространства распределений
Распределения в Rn и на открытых многообразиях
Распределения в полупространстве и на многообразии с краем ■ •
Добавление С. Некоторые факты из дифференциальной геометрии
С.1. Теорема Фробениуса и слоения
С.2. Одно сингулярное дифференциальное уравнение
С.З. Чистые пересечения и отображения постоянного ранга
С.4. Складки и инволюции С.5. Геодезические нормальные координаты С.6. Лемма Морса с параметрами - Примечания
Литература
Именной указатель
Предметный указатель
9 9 9 9749628 1 14 4 4 5689011 2 25 5 5 5555666 6 69 9 9 9749628 1 14 4 4 5689011 2 25 5 5 5555666 6 6630630992 68824 5681334 44566 68896 6 6 66666 6666992 68824 5681334 44566 68896 6 6 66666 6666Указатель обозначений
9 9 9 9749628 1 1
4 4 4 5689011 2 2
5 5 5 5555666 6 6
9 9 9 9749628 1 1
4 4 4 5689011 2 2
5 5 5 5555666 6 6
630
630
992 68824 5681
334 44566 6889
6 6 6 66666 6666
992 68824 5681
334 44566 6889
6 6 6 66666 6666
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство <Мир>.
Монография
Ларс Хёрмандер
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Том 3. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Ст. научный редактор Н. И. Плужникова
Мл. научный редактор Т. А. Денисова
Художник В. А. Медников
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. В. Алехина
Корректор Н. А. Гиря
ИБ № 6213
Сдано в набор 19.01.87. Подписано к печати 27.07.87. Формат 60Х90%в. Бумага кннжно-журиальная. Печать высокая- Гарнитура литературная. Объем 21,75 бум. л. Усл. печ. л. 43,50. Усл. кр.-отт. 43,50. Уч.-изд. л. 40.79. Изд. № 1/4802. Тираж 6500 экз. Зак. 443. Цена 4 р. 70 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-Н0( Ьй Рижский пер,, 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
I) Здесь и ниже е°(6, X) означает ео(бх, X), где х — любой вектор дли
4) В оригинале «gliding гау>. — Прим. ped.
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 274
Lars Hormander
The Analysis of Linear Partial
Differential Operators III
Pseudo-Differential Operators
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo 1985
Л.Хёрмандер
Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными
В четырех томах
Том 3
Псевдодифференциальные операторы
Перевод с английского под редакцией М. А. Шубина
Москва《Мнр》1987
ББК 22.162 X 39
УДК 517.9
Херм ан дер Л.
X 39 Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. Т・ 3. Псевдодифферен- циальные операторы. Пер. с англ. — М.: Мир» 1987. —696 с., ил.
Третий том фундаментальной монографкн крупного шведского математика* знакомого советским читателям по переводам его книг и статей, посвящен теории псевдодифференцнальных операторов и отражает современное состояние исследований в данной области. Первые два тома в русской переводе вышли в 1986 г< Том 4 планируется к выпуску в 1988 г.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов униаерснте- тов.
XX1702050000—435041(01)—871702050000—435041(01)—8723—87, ч. I23—87, ч. IББК 22.162ББК 22.162
X
X
1702050000—435041(01)—87
1702050000—435041(01)—87
23—87, ч. I
23—87, ч. I
ББК 22.162
ББК 22.162
Редакция литературы по математическим наукам
Н81213Н81213
Н81213
Н81213
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985 All rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Springer* Verlag Berlin Heidelberg New York
© перевод на русский язык, <Мир>, 1987