Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие к русскому изданию
Первые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений изобрели еще Ньютон и Эйлер. К началу XX века были уже известны ставшие теперь классияесйими методы Адамса и Рунге—Кутты. Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники иг усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения резко расширяющегося круга задач. Изменение требований породило новую волну конструирования и исследования численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, не ослабевшую и сегодня. Ранее известные методы были детально изучены и обобщены, построены новые классы методов, созданы методы^ ориентированные на решение задач со специальными свойствами, например, так называемых жестких систем. Большой прогресс достигнут и в разработке удобных для пользователей, эффективных и надежных программ.
За последние 20—25 лет этим вопросам посвящено огромное число журнальных публикаций, множество монографий, как узкоспециальных, так и общего характера, а также учебных пособий (некоторые из них включены авторами в список литературы в конце книги). Однако почти все они изданы за рубежом. На русский язык были переведены лишь рассчитанная на математиков-профессионалов монография Штеттера (1973) и сборник обзорных лекций, прочитанных на летней школе в Англии (редакторы Холл и Уатт (1976) Х)), да еще две-три книги по весьма частным вопросам. Важнейшие сведения о численных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений можно, конечно, найти в любом учебном пособии по численным методам. Но систематического и доступного широкому кругу читателей изложения названных выше вопросов на русском языке до сих пор не было.
Предлагаемая вниманию читателей книга призвана восполнить этот пробел. Написана она специалистами, которые внесли значительный вклад в развитие излагаемых в книге вопросов и имеют большой педагогический опыт. Книга доступна студентам университетов и других вузов, специализирующимся в области прикладной математики, и она, несомненно, будет полезна широкому кругу специалистов, работающих в области численных методов, а также всем лицам, занимающимся приложением этих методов.
Я. С. Бахвалов
1)См. в конце книги список литературы, добавленной редактором перевода.
Предисловие
«Насколько я помню, я никогда не встречал авторского предисловия, которое имело бы какую-то иную цель, кроме одной ——оправдать публикацию Книги.» (Марк Твен)
«Афоризм Гаусса: «Когда здание закончено, никто не должен заметить какие-либо следы строительных лесов», —часто используется математиками для оправдания того, что они не уделяют внимания мотивировке своей работы и истории той области, в которой они работают. К счастью, крепнет противоположное отношение, и многочисленные авторские отступления в этом очерке показывают, на чьей стороне мои симпатии.» (Б. Б. Мандельброт, 1982)
«Это дает нам хороший повод закончить большую часть книги до нового года.»
(из письма авторов в издательство Шпрингер, датированного 29 октября 1980 г.)
Книга в двух томах: в законченном сейчас первом томе рассматриваются нежесткие уравнения, а жесткие — в готовящемся втором. Первый том содержит три главы, одна посвящена классической математической теории, вторая — методам Рунге—Кутты и экстраполяционным, третья — многошаговым методам. Приложение содержит несколько программ на фортране, написанных нами для расчетов примеров, приведенных в квиге.
Каждая глава делится на разделы, и нумерация формул, теорем, таблиц и рисунков в каждом разделе своя; она включает также номер раздела, но не главы. Ссылки на другие главы редки, они специально оговариваются. Конец каждого доказательства обозначен буквами «QED> (quod erat demonstrandum — что и требовалось доказать (лат.)). Поскольку это выглядит довольно нелепо, когда доказательство отсутствует, либо оно предшествует теореме, то мы писали «NED» (nihil erat demonstrandum) в таких случаях 力・ Библиографические ссылки даются указанием автора и (в скобках) года. Список литературы не претендует на полноту, он содержит, в основном, работы, которые обсуждаются в тексте.
В заключение мы хотим поблагодарить всех, кто нам помогал и поддерживал при подготовке этой книги. Первый импульс к написанию этой книги дал чудесный «минисимпозиумэ, который
■ 心 В русском переводе «QED> и «NED» в конце доказательств мн формулировок теорем заменены значком ■・—Прим. ред・
Г. Далквист организовал в Стокгольме в 1979 г. Всю рукопись очень тщательно прочли И. Стайниг и Хр. Любих, которым мы обязаны чрезвычайно ценными, математическими и лингвистическими советами. Мы благодарны также И. П. Экманну за превосходные программные средства, с помощью которых окончательно редактировалась и печаталась рукопись. На более ранней стадии мы пользовались программами для работы с текстами, которые написал Р. Менк. Благодарим за помощь также'персонал Женевского вычислительного центра. Все компьютерные графики были сделаны на их великолепном прецизионном плоттере. И последнее, хотя не менее важное обстоятельство — это приятное сотрудничество с группой планирования и выпуска издательства Шпрингер, которой мы хотим выразить свою признательность. 29 октября 1986 г. Авторы
Глава I
Классическая математическая теория
«... halte ich es immer fur besser, nicht mit dem Anfang anzufangen, der immer das Schwerste ist».
«...я всегда считал, что лучше начинать не с начала, так как оно самое трудное*.
(Выписка из Ф. Шиллера в записной книжке 5・ Римана)
Первая глава посвящена классической теории дифференциальных уравнений, которую мы считаем полезной и необходимой для глубокого понимания численных процессов и явлений. Кроме того, по ходу изложения удобно привести интересные примеры дифференциальных уравнений и их свойств.
Вначале в разд. 1.2—1.6 мы проследим историческое развитие классических методов интегрирования с помощью разложения в ряд, квадратур и элементарных функций с самого их зарождения (Ньютон и Лейбниц) и до эпохи Эйлера и Лагранжа. Затем (разд. 1.7—1.14) речь пойдет о теоретических свойствах существования, единственности, устойчивости, непрерывности и дифференцируемости решений. Начало этой теории положил Коши в 1824 г., а завершенный вид она приобрела в основном за последующие 100 лет. В конце главы мы дадим краткий обзор еще нескольких тем: краевых задач, периодических решений, предельных циклов и странных аттракторов (разд. 1.15 и 1.16).
Терминология
Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида
У =/(招加(LI)
о заданной функцией f (х, у). Функция у (х) называется решением этого уравнения, если при всех х выполняется равенство
/ W ^f(x,y(x)).(L2)
Еще Ньютон, Лейбниц и Эйлер заметили, что решение обычно содержит свободный параметр и поэтому определяется единственным образом только тогда, когда задано начальное значение
g (力о) %•(1・3)
В разд. 1.7 мы рассмотрим принадлежащее Коши доказательство существования и единственности такого решения. Дифференциальные уравнения возникают во многих приложениях.
В разд. 1.2 мы увидим, как первые такие уравнения появились в механике, а в разд. 1.3 будет показано, как некоторые из них можно решить в явном виде.
Дифференциальное уравнение второго порядка для у имеет вид 疗="招弘*)・(1.4)
Здесь решение обычно содержит два параметра и определяется однозначно только по двум начальным значениям:.
У(^У(%о) =姒 .(1.5)
Уравнения второго порядка редко допускают решение в явном виде (см. 1.3). Как при их численном решении, так и в теоретических исследованиях обычно вводят переменные у】 (％)：= У (х), у2 (%)：= у" (х) и приводят уравнение (1.4) к системе
价=№,力(我)=%，
笈=f (招 Уъ 勿)，У2(№)=妳(♦)
Это пример системы дифференциальных уравнений первого порядка размерности п (см. разд. 1.6 и 1.9):
我 А (%, %,…，％), У1 (的)=Укь
%=£(%，九…，%),%(%0)=川口・°')
Большая часть этой книги посвящена теории решения задачи Коши для системы (1.6). В конце XIX века [Пеано (1890) ] стало обычным введение векторных обозначений
У =(勿，• • •，Ул)', f = (Л，• • •, W,
при которых (1.6) принимает вид у' = f (х, у), что совпадает с (1.1), но теперь под у и f понимаются векторы.
Для уравнения второго порядка (1.4), помимо преобразования его к системе (1.4х), существует и другая возможность — построение методов, специально приспособленных к уравнениям второго порядка (методы Нюстрёма}. Этому будут посвящены специальные разделы книги. Конечно, ничто не мешает Нам рассматривать (1.4) как систему уравнений второго порядка размерности п, интерпретируя у и / в (1.4) как векторы.
• Если же начальные условия (1.5) заменены условиями типа у (%。) = а, у (%。= &, т. е. когда не все условия, определяющие частное решение, заданы в одной и той же точке %。，то говорят о краевой задаче. В этом случае теория существования решения и его численное нахождение значительно усложняются. В разд. 1.15 мы приведем ряд соответствующих примеров.
В заключение определим уравнение 6 частных производных как задачу типа
黑=(，〃，需，爵)
для неизвестной функции и (/, %) двух независимых переменных. Можно также рассматривать уравнения в частных производных более высокого порядка, задачи ;с тремя и четырьмя независимыми переменными или системы уравнений в частных производных. Очень часто задачу Коши для таких уравнений удобно привести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, например, используя конечные разности или конечные элементы для приближения по переменной х. Таким образом, уравнение
ди 2 严"
приняло бы вид
号"=*^F("i+工 一 2〃》+ 辽l)・
Данная процедура называется «методом прямых», или «методом частичной дискретизации» (по пространственной переменной). В разд. 1.6 мы увидим, что эта и обратная ей процедура весьма часто употребляется, начиная с работ Лагранжа и Фурье. Аналогичная идея лежит и в основе «метода дискретизации по времени» [Роте (1930)].
Наиболее ранние дифференциальные уравнения
«...Такова, например, задача обратного метода касательных; Декарт тоже признавался, что не смог одолеть ее». (Лейбниц, 27 августа 1676 г.)
«…а, как известно, все другие Изобретатели не имеют права на Изобретение.» (Ньютон, 29 йая 1716 г.)
«Вовсе не очевидно, что г-н Ньютон раньше, чем я, получил характеристику и алгоритм для бесконечно малых...» (Лейбниц)
<И этим он признал, что еще не нашел способа, кан свести задачи к дифференциальным уравнениям»» (Ньютон)
Ньютон
Дифференциальные уравнения так же стары, как дифференциальное исчисление. Ньютон рассмотрел их в своем труде о дифференциальном исчислении [Ньютон (1671)] и исследовал их решение о помощью интегрирования и разложения в ряд. Среди изученных Ньютоном уравнений первого порядка одним из самых
а)а)Ь)Ь)
а)
а)
Ь)
Ь)
Рис. 2.1. а) Точное решение и приближенное решение; б) векторное поле; в) раз- ,личные кривые, служащие решениями уравнения (2.1).
ранних был пример [см. работу Ньютона (1671), проблема II, решение второго случая II, пример I]
д1 — 1 — Зх + у + х^ + хд.(2.1)
Каждому значению хну такое уравнение ставит в соответствие производную решений у'・ Поэтому мы получаем векторное поле, которое для данного конкретного уравнения изображено на рис. 2.1. Итак, вопреки распространенному мнению, векторные
поля существовали задолго до Ван Гога. Решением являются кривые, которые всюду отвечают этим заданным направлениям.
Ньютон исследовал решение данного уравнения с помощью бесконечного ряда, члены которого он получал рекурсивно («...и они кидаются к рядам, где г-н Ньютон без труда опередил меня; но...», Лейбниц). Первый член ——это начальное значение при 力=0;
Р = 0 +・・・・
Подставляя его в дифференциальное уравнение (2.1), получим y = 1 + …，
что при интегрировании дает
g = % + ….
Теперь, снова используя (2.1), придем к соотношению
I/4 = 1 — Зх + х + ... «з 1 — 2х + ..., интегрируя которое, получим
g = % —炉+・・・・
На следующем этапе
『 = 1 -2% + 炉+.... g = * -炉 +告+....
Продолжая этот процесс, мы в итоге придем к приближенному решению
9 = k 一 хК т-^"炉 ^"/ Н-^"炉 ^"/ h 叽а" (2.2) график которого (при отбрасывании членов более высокого порядка) дан на рис. 2.1 вместе с точным решением. На графике можно увидеть, что приближенное решение близко к точному только при малых значениях х. Другие примеры приведены в упр. 11—13 из разд. 1.3.
Лейбниц
Второй изобретатель дифференциального исчисления, Лейбниц, пришел к дифференциальным уравнениям около 1676 г. при рассмотрении геометрических задач, таких как обратная задача о касательной [Лейбниц (1693)1: найти кривую у (х) по заданной длине касательной АВ, например, если она всюду равна постоянной о (рис. 2・2)・ Такая постановка приводит к дифференциальному уравнению первого порядка:
U = T = _ “七「(2・3)
Лейбниц натолкнулся на эту задачу благодаря серебряным карманным часам («horologio portatili suae thecae argentae》)В, которые тянут по столу за цепочку -АВ длины а. При этом он с гордостью заметил, что ни один из лучших ученых не мог раньше решить эту задачу. Отметим интересный факт: для обоснования
Рис. 2.2 и 2.3. Иллюстрации из работ Лейбница и Ковалевского.Рис. 2.2 и 2.3. Иллюстрации из работ Лейбница и Ковалевского.
Рис. 2.2 и 2.3. Иллюстрации из работ Лейбница и Ковалевского.
Рис. 2.2 и 2.3. Иллюстрации из работ Лейбница и Ковалевского.
ввоего дифференциального уравнения (2.3) для карманных часов Лейбниц представил их движение прямолинейным на очень малых участках (рис. 2.3), что сегодня можно интерпретировать как метод Эйлера для численного решения задачи (2.3). В истории часто встречается такое любопытное явление, как g дифференциальными уравнениями, которые первоначально были получены g помощью процедуры, «обратной» к «ломаным Эйлера». Другим примером этого явления служит вариационное исчисление.
Вариационное исчисление
В 1696 г. Иоганн Бернулли предложил самым выдающимся математикам мира («Profundioris in primis Mathesos cultori, Salu- temb) решить задачу о брахистохроне (задачу наискорейшего спуска), в основном с целью посрамить своего брата Якоба, решение которого, как он ожидал, будет неверным. Задача состоит в нахождении кривой у (х), соединяющей две точки Ро и Р^, такой, что точка, скользящая по ней под действием силы тяжести, достигнет Pi за возможно кратчайшее время. Для решения этой задачи Йог. Бернулли (1697b) воспользовался оптической аналогией: он представил себе стопку тонких слоев однородных материалов; он знал, что луч света, распространякмцийся со скоростью о, проходит такую стопку за кратчайшее время, если
выполняется закон Снеллиуса
sin а = Ки
(принцип Ферма). Поскольку скорость • пропорциональна корню квадратному из потери высоты, при переходе ко все более тонким слоям он получил дифференциальное уравнение первого порядка sin а = 7；±^=^г- = К /2g® i)・(2.4)
Можно показать, что решениями этого уравнения являются циклоиды (см. упр. 7 из разд. 1.3). Якоб в своем ответе также
Рис. 2.4« Решения вариационной задачи (Иоганн Б^иулли, Якоб Бернулли, Эйлер).
представил решение, значительно уступающее в изяществе, но при этом, к сожалению, правильное, и теперь уже сам предложил своему брату Иоганну решить пару новых задач. Метод Якоба (см. рис. 2.4) напоминает обращение современного метода «конечных элементов». Он привел к появлению знаменитой работы Эйлера (1744), где общее решение задачи
J f (х, g, д') dx = min «о
дано g помощью дифференциального уравнения второго порядка 加夕у + f^yUr + fy力一% =。(2.5)
и подробно рассмотрены 100 вариационных задач. В частном случае, когда / не зависит от х, проинтегрировав уравнение (2.5),
КлероКлеро открыл новый класс уравнений с интересными свойствами [см. работу Клеро (1734), задача III]. Изучая движение прямого угла (см. рис. 2.5),гКлеро получил дифференциальные уравнения видаКлероКлеро открыл новый класс уравнений с интересными свойствами [см. работу Клеро (1734), задача III]. Изучая движение прямого угла (см. рис. 2.5),гКлеро получил дифференциальные уравнения видаРис. 2.5. Иллюстрация из работы Клеро (1734).Рис. 2.5. Иллюстрация из работы Клеро (1734).
Клеро
Клеро открыл новый класс уравнений с интересными свойствами [см. работу Клеро (1734), задача III]. Изучая движение прямого угла (см. рис. 2.5),гКлеро получил дифференциальные уравнения вида
Клеро
Клеро открыл новый класс уравнений с интересными свойствами [см. работу Клеро (1734), задача III]. Изучая движение прямого угла (см. рис. 2.5),гКлеро получил дифференциальные уравнения вида
Рис. 2.5. Иллюстрация из работы Клеро (1734).
Рис. 2.5. Иллюстрация из работы Клеро (1734).
мы получим
/= к.(2.6)
В своем доказательстве для вывода уравнения (2.5) Эйлер использовал ломаные. И только и,цеи, высказанные, в 1755 г. 19-летним Лагранжем, позволили получить доказательство, которое в настоящее время является общепринятым [Функ (1962), Голдстайн (1980)]. Тогда Эйлер (1756) в честь Лагранжа назвал' всю эту область исследований «вариационным исчислением» (,z...tamen gloria primae inventionis acutissimo Geometrae Taurinensi La Grange erat reservata^)-
Рис. 2.6. Решения дифференциального уравнения Клеро.
ния. Их особенность состоит в том, что решениями служат не только прямые семейства у = С% — f (С), но также и огибающие это семейство кривые (см. упр. 10 из разд. 1.3). На рис. 2.6 показан пример с функцией f (С) = 5 (С3 — С)/2.
Поскольку уравнение имеет третью степень по у，, заданное начальное значение допускает три разных решения. Кроме того, в точке, где прямая касается огибающей, решение можно продолжить либо по прямой, либо по огибающей. Это дает огромное разнообразие кривых решения. Ныне мы объясняем это любо- пытное явление тем, что в этих точках не выполняется условие Липшица [см. также Айне (1944)].
1.3. Уравнения, разрешимые в квадратурах и элементарных функциях
Рассмотрим теперь некоторые простейшие типы уравнений, которые можно решить с помощью вычисления интегралов.
Уравнение с разделяющимися переменными
У' = f ⑺ g (4・(ЗЯ)
Поделив его на g ®) и проинтегрировав, получим решение
(Лейбниц, 1691, из письма Гюйгенсу.)
Частным случаем является линейное уравнение У，= / (%) У с решением
У (х) = CR (х), R (х) = exp (J/ (х) d%)・
Неоднородное линейное уравнение
Уг -f(^y + g (%)・(3.2)
Здесь подстановка у (%) = с (х) R (%) приводит к уравнению с' (%) = g (%)/R (%) [Йог. Бернулли (1697) 1. Таким образом, получим решение
9(力 = R(明瑞厶+(?).(3.3)
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида
Р (х, y) + Q (%, У) “ = 0(3.4)
можно, оказывается, сразу решить, если оно удовлетворяет условию
дР = dQ ду — "57 Для этого с помощью интегрирования находят такую функцию 尸(招 У), что
Тогда (3.4) преобразуется в уравнение 与尸(％, у (%)) = 0, решения которого выражаются формулой F (х, у (х)) = С. В случае когда (3.5) не выполняется, Клеро и Эйлер исследовали способ, который с помощью умножения (3.4) на подходящий множитель М (х, у) (интегрирующий множитель) позволяет иногда получить уравнение MP + MQy' = 0, удовлетворяющее условие (3.5).
Уравнения второго порядка
Уравнения второго порядка допускают решение с помощью интегрирования намного реже, чем уравнения первого порядка. Оно возможно в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами, что было известно еще Ньютону (для уравнений второго порядка). Кроме того существует несколько приемов понижения порядка, например следующий.
В линейное уравнение
Уп а (%) У + b (%) у подставим
у == ехр(| р (%) d%)・(3.6)
Производные этой функции содержат только производные р более низких порядков:
у = р.ехр (j р (х)財，夕=("2 + d) exp (J p (x) dx), а поэтому, подставив нх в дифференциальное уравнение, после деления на у получим уравнение более низкого порядка
Ра + Pz = а (х) р + 6 (х),(3.7)
которое, однако, является нелинейным [Риккати (1723), Эйлер (1728)].
Если уравнение не зависит от у, т. е. имеет вид у" = f (х, /), то естественно взять у' = и и перейти к уравнению и'=户(招 uj・
Важный случай представляют уравнения, не зависящие от х:
，"匂，力.
Здесь мы будем рассматривать у1 как функцию от 驴 д' = Р (у). Тогда по цепному правилу (дифференцирования сложной функции) придем к уравнению первого порядка уп = р'р = f (弘 р). После того как функция р (у) найдена, остается проинтегрировать уравнение у' = р (у), относящееся к типу、(3.1) (Риккати (1712): «Per liberate la premessa formula dalle seconde differenze, chiamo p la sunnormale BF ...», см. также работу Эйлера (1769), задача 96).
Эйлер положил начало изучению всего класса дифференциальных уравнений, допускающих интегрирование аналитическими методами. Эти результаты занимают более 800 страниц в томах XXII и XXIII его труда Opera Omnia. Более современное изложение можно найти в работе Айнса (1944). Незаменимым источником по этой теме является книга Камке (1942). Помимо описания методов решения и общих свойств решений, в ней содержится систематически уйорядоченный перечень более 1500 дифференциальных уравнений с решениями и ссылками на литературу.
Часто даже для простых на вид уравнений вычисления оказываются очень сложными, и весьма скоро стало ясно, что не всегда можно получить элементарное решение. Лиувилль (1841) первым доказал, что некоторые уравнения, как, например, д'= =%2 + у2, нельзя решить с помощью элементарных функций. Поэтому в XIX веке математиков стали все более интересовать общие теоремы существования и численные методы нахождения решений.
Упражнения
Найдите о помощью предложенного Ньютоном метода другие решения уравнения (2.1), например при у (0) = 0.1, у (0)= =0.2, у (0) = 0.3, и начертите их графики.
Решите уравнение Ньютона (2.1) в квадратурах.
Решите уравнение Лейбница (2.3) в терминах элементарных функций.
Указание. Вычисление интеграла по у может вызвать затруднения. Воспользуйтесь заменой а?—扌=〃* ——ydy = udu.
Решите уравнение yl ^ f (力 где
Ну) = KTTl，
и начертите график решения.
Решите задачу о хозяине и собаке: собака бежит со скоростью w к хозяину, идущему со скоростью и вдоль оси у. Задача сводится к дифференциальному уравнению
刘=w严.
Решите уравнение m夕=—々/此 описывающее падение тела в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона.
Проверьте, что циклоида
х —% = R (т—sin т), g — h = R (1 — cost), R = 霾及丁
удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.4) из задачи о брахистохроне. Решая задачу (2.4) прямым способом, после некоторых упрощений мы прйдем к интегралу ,(七№，
который вычисляется с помощью замены у «= (sin。宮.，
Покажите, что дифференциальное уравнение ” % + 沙=У，*// +，一 1
имеет решение 2ag = 炉 + 1 —炉 при любом а. Начертите эти кривые и найдите другое решение (данный пример привел Лагранж (1774) для объяснения «явления Клеро»).
Прйведите «уравнение Бернулли» [Як. Бернулли (1695)] Уг + f (х) У ^ g (%) Уп с по^ощыц преобразования координат 2(%) = &(*))。с соответствующим выбором q к линейному уравйению [Лейбниц, Acta Erud. (1696), Йог. Бернулли (1697)].
Проверьте, что огибающую решений g = С% — f (С) уравнения Клеро (2.7) можно задать параметрически:
% S)=尸 S),
У(Р)= РГ 而一f (р)・
Покажите, что эта огибающая также является ранением (2.7), и найдите ее при f (С) = 5 (С8 — С)/2 (см. рис. 2.6).
[Ньютон (1671), «РгоЫета II, Solutlo particulare»]. Решите уравнение в полных дифференциалах:.
3炉一2av + ay — Зу%' + axyf = 0.
Ньютон указал решение 炉—ох* + аху —歹=0・ Отметим, что он пропустил произвольную константу интегрирования С
[Ньютон (1671)1. Решите уравнения
а)"1+2 + * +岑+ %…，
у = -3% + 3冲 + g2 一讶 + 户—x" + "一
—W + 6x" — &x2 + 8炉沙一館 + Юх4^ —
—10/ + ....
Ньютон получил следующие результаты:
a) 5 =
(Ньютон). Решите уравнение (2.1) g другим начальным значением у (0) = 1.
Решение Ньютона: у = 1 + 2% + 炉 + ；炉 + "4~胪 +
Рис. 3・1・ Семейство решений примера Коши, приведенного в упр. 14»
(Коши (1824)). Покажите, что семейство д ^ С (х + С)2 удовлетворяет дифференциальному уравнению (?')嚣=8^2 — —4%уу'・ Найдите еще одно решение, которое не принадлежит указанному семейству (см. рив. 3.1).
ответ: g « —^"炉.
L4. Линейные дифференциальные уравнения
«Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maitre a tons». «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он- учитель для всех нас.»
(Лаплас)
Следуя за Эйлером (1743), мы хотим изучить общее решение линейного дифференциального уравнения порядка п. Уравнение
l(办=a0(%)屮)+ "1(%)*一D+ …+оП(%)y = 0 (4.1) G заданвдми функциями % (%), ・••,每(％) называется однородным. Если известно п решений 〃工(х), ..., ип (х) уравнения (4.1), то любая линейная комбинация
g (х) ^ G〃i (力)+ Спип (х)(4.2)
@ постоянными коэффициентами 5,…，Сп также будет решением, поскольку все производные у входят в (4.1) только линейно.
Уравнения с постоянными коэффициентами
Сначала рассмотрим частный случай
兴)(%) = 0.(4.3)
После однократного интегрирования получим у^п-^ (х) = С工, после двухкратного у(〃-2) (%) = Схх + С2 и т. д. Заменив произвольные константы Се на новые, в итоге придем к формуле
У (х) — C/I + G%~2 + ... + Сп.
Таким образом, в《общее решение» уравнения (4.3) входит п «свободных параметров». Рассмотрев еще ряд примеров, Эйлер интуитивно предположил, что этот же результат верен и для уравнения общего вида (4.1). Однако данный вопрос был полностью выяснен лишь много лет спустя.
Рассмотрим теперь уравнение общего вида g постоянными коэффициентами:
兴)+ А^^У + ... + Апу ^ 0.(4.4)
Нам нужно найти базис, состоящий из п линейно независимых решений % (%),…，〃几(х). Для этой цели Эйлер взял за основу преобразование (3.6), (3.7): если а (х) и Ь (х) — постоянные вели-
чины, предположим, что в (3.7) р также является константой и, следовательно, р" равно нулю, откуда получим квадратное уравнение р^ ^ ар + Ь. Тогда для любого корня этого уравнения выражение (3.6) принимает вид у = Таким образом, в общем случае мы предположим, что у = е。％, где р — неизвестная константа. Поэтому от (4.4) мы придем к характеристическому уравнению
рп + 41Pg工 + ・・・ + 4 = О.(4.5)
Если его корни "厶...,рп различны, то все решения уравнения (4.4) даются формулой
g (%) = &е* + ・・・ + С^.(4.6)
Интересно отметить, что «самые выдающиеся математики мира» многие десятилетия бились над нахождением этого решения, которое современным студентам кажется столь тривиальным.
Сложности при поиске решения (4.6) возникают в том случае, когда (4.5) не имеет п различных корней. Рассмотрим пример, предложенный Эйлером:
у 愿—2M + g" = 0.(4.7)
В нем р = g — это двукратный корень соответствующего характеристического уравнения. Если мы предположим, что
* у = е"〃，(4.8)
то (4.7) примет вид 〃％ = 0, н мы вернемся к уравнению (4.3). Следовательно, общее решение (4.7) имеет вид у (х) = е勿(С/ + С2) (см. также у пр. 5 ниже). После нескольких дополнительных примеров такого типа становится ясно, что преобразование (4.8) производит сдвиг характеристического многочлена, так что в том случае, когда g — корень кратности 6, для “ получается уравнение, оканчивающееся членами ... + 8〃伍+D + С〃伍)=0. Поэтому выражение
屮(C/I+…+心)
дает нам k независимых решений.
И наконец, для пары комплексных корней р ^ а ± ф решения е(а+т)弓 е(а-用)х можно заменить вещественными функциями
В (Ci cos 0% + Са sin ")・
Изучение неоднородного уравнения
L (加=/ (%)(4.9)
было начато в работе Эйлера (1750). Приведем из нее случай, когда / (х) является многочленом, как, например, в уравнении
Ау® + В* + Су = ах2 + Ьх + о.(4.10)
Здесь Эйлер представляет решение в виде у (%) = Е%2 十尸％ 十 + G + v (%). Подставляя это выражение в (4.10), из условия обращения в нуль всех встречающихся степеней % получим
СЕ = a, CF + 2ВЕ = Ь, CG + BF + 24Е = с, ,
+ Bvf + Cv Q.
Отсюда при условии, что С отлично от нуля, мы можем найти Е, F и G. Мы видим, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме его частного решения 〃 общего решения соответствующего однородного уравнения. Это утвержд не верно и в общем случае, что можно проверить с помощью простейших приемов линейной алгебры.
Описанный метод поиска частного решения с помощью неизвестных коэффициентов работает подобным образом и в том случае, когда / (х) состоит из экспонент, синусов и косинусов. Его часто называют «быстрым методом». Приятно отметить, что именно этот метод исторически был открыт первым.
Вариация постоянных
Исследование общего случая неоднородного уравнения
% (%)兴)+ ... + ctn(x)y = f (х)(4.11)
является заслугой Лагранжа (1775) (《...с помощью нового метода, простого, как можно только мечтать.» — См. также работу Лагранжа (1788), вторая часть, разд. V). Пусть нам известны п линейно независимых решений “^ (х), ..., мп (х) однородного уравнения. Тогда, распространяя на этот случай метод, примененный к уравнению (3.2), представим решение в виде [вместо (4.2)]
У (盼=G (%) м (х) + ... + сп (х) ип (х),(4.12)
где & (х) — неизвестные функции («метод вариации постоянных»). Нам надо подставить выражение (4.12) в (4.11). Для этого вычислим первую производную
У' = £ Clut + £ CiUi.
Если мы будем слепо продолжать дифференцирование, то скоро получим громоздкие и бесполезные формулы. Здесь Лагранж проявил проницательность, потребовав обращения в нуль первой суммы, т. е. выполнения равенств
S с；〃" = 0 при / = 0, а затем при / = 1,..п — 2. (4.13) Далее, повторяя дифференцирование у и исключая каждый раз
нежелательные члены (4.13), мы придем к формулам
，=§ С血，...е у{п^ = S CiU^%‘产7必尸+%："
Если подставить их в (4.11), то произойдет замечательное взаимное сокращение членов благодаря тому, что 〃± (х) удовлетворяют однородному уравнению. И с учетом (4.13) мы окончательно получим линейную систему
(4.14)(4.14)О О
(4.14)
(4.14)
О f(x)/a0 W
Ее определитель называется «определителем Вронского», а решением являются величины с； (%),・・・, С； (х), проинтегрировав которые, мы найдем q (%), ・・・，7 (%)・ Разд. 1.11 позволит намного глубже понять эту формулу.
Упражнения
Найдите решение «huius, aequationis differentialis quarti gra- dus》(уравнений четвертого порядка) c^y^ + у = 0, с^у^ — —У = 0；
решите уравнение «septimi gradus» у。)+ у(б)+ 加幻 + ^⑶十 + У⑵ + 力=0 [Эйлер (1743), примеры 4, 5, 6].
Решите с помощью предложенного Эйлером метода уравнения у" — 3旷一4у = cos х, у" + у = cos х.
Указание. В первом случае частное решение можно искать в виде Е coS % + 尸 sin х. Однако во втором случае это представление непригодно из-за резонанса. Тогда надо использовать выражение Ex cos х + Fx sin 修 как при решении уравнения (4・7)・
Найдите решение уравнения
(cosx 0 < х < -~-
/ - 3外 一 4у = g (х), g (%) =я
О X%
При УСЛОВИИ р (0) и у9 (0) = 0:
используя решение из упр. 2;
методом Лагранжа (вариации постоянных).
(Понижение порядка при одном известном решении). Предположим, что нам известно ненулевое решение 〃】(%) уравнения'
疗 + 生(x) у9 + 两(%) g = 0・，
Покажите, что второе линейно независимое решение можно найти с помощью представления 〃誓(х) = с (尤)〃i (%).
Исследуйте случай кратных характеристических корней уравнения (4.7), рассматривая их как предельный случай р2 f pi и используя решения
口1(X)=外叫 ％ (%) = Р%F二瓦，=и 叽 Д-
(Даламбер (1748): «И наконец, если значения р и ре равны, мы вместо этого будем считать, что р = а + % р° = а — % где а — бесконечно малая величина...».)
L5. Уравнения со слабыми особенностями
Многие встречающиеся в приложениях уравнения имеют особенности^ т. е. точки, в которых функция f (х, у) в дифференциальном уравнении обращается в бесконечность. Мы изучим
Рис. 5・1・ Решения уравнения (5.1) при b= 1, д = 3/2, д= 1/2, д= —1/2.Рис. 5・1・ Решения уравнения (5.1) при b= 1, д = 3/2, д= 1/2, д= —1/2.
Рис. 5・1・ Решения уравнения (5.1) при b= 1, д = 3/2, д= 1/2, д= —1/2.
Рис. 5・1・ Решения уравнения (5.1) при b= 1, д = 3/2, д= 1/2, д= —1/2.
некоторые вопросы классической теории таких уравнений, поскольку численные методы, о которых дальше пойдет речь, часто отказывают в особых точках и плохо работают вблизи от них.
В качестве первого примера рассмотрим уравнение
/ =丄¥-协g * 0з/ =丄¥-协g * 0з(5.1)(5.1)
/ =丄¥-协g * 0з
/ =丄¥-协g * 0з
(5.1)
(5.1)
с особой точкой при х = 0. Получим его решение с помощью метода разделения переменных (3.1):
у (Х) = Сх%ьх = С (心 + Ьх^ +・・・)•(5.2)
Эти решения изображены на рис. 5.1 для разных значений д. В их поведении наблюдаются фундаментальные различия, зависящие от q.
Линейные уравнения
Эйлер положил начало систематическому изучению уравнений с особенностями. Он поставил вопрос: какой тип уравнений второго порядка удобно решать с помощью рядов, как в случае (5.2)? [Эйлер (1769), РгоЫеша 122, р. 177 «...quas commode per series resolvere licet... •》]Он нашел уравнение
炉(а + bx) уп + x (о + ex) y^ + (f + gx) у = 0・(5.3)
Предположим, что у имеет вид
g =玄 4d乜 Ло #= 0,(5.4)
и подставим эту формулу в (5.3), что напоминает процедуру Ньютона (2.2). Мы обнаружим, что степенные множители 炉 и % при у" и yf соответственно в точности восстанавливают то, что утрачено в результате дифференцирования, и получим соотношения
g (д — 1) а + 如 + f = 0,(5.5а)
[(g + i) (g + £ - 1) а + (g + i) с + f ] 4 n
―Kg + i — 1)(9 + Z — 2) b + (g + £ — 1) e + g】Л^, (5.5b)
где / = 1, 2, 3, ... . Уравнение (5.5a) называется индексным и при а, отличном от нуля, определяет два характеристических корня q» и ,2 (расположенных в порядке убывания). Для каждого из них при произвольном Ло соотношение (5.5b) позволяет рекурсивно вычислять 41, А? и т. д. Радиус сходимости полученного ряда определяется далее в упр. 8. Таким образом, мы находим два линейно независимых решения 〃】(х) и 〃2 (%) дифференциального уравнения, что нам и требовалось (см. 1.4). Однако существует ситуация, когда определение второго решения вызывает затруднения, а именно: когда коэффициент /» в (5.5b) при некотором i обращается в «нуль, т. е. если 勺工—g2 есть целое число («Problems 123》).В этом случае в результате ряда акробатических приемов [Эйлер (1769):《...quod х°/0 aequivaleat ipsi log х …》】 Эйлер пришел к мысли, что второе решение надо искать с помощью
представления
以2 (*)= 〃工(*) log % + E A^xQt+l.(5.6)
• IT]
Подставив эту формулу в (5.3), он сумел вычислить коэффициента 4?). Пример такой ситуации приведен в у пр. 1.
Позднее Эйлер (1778) заметил, что рекуррентная формула (5.5b) становится особенно изящной, если вместо (5.3) брать в качестве исходного дифференциальное уравнение
х (1 — х) уа + (о — (а + b + 1) х) д6 — aby к 0.(5.7)
Тогда описанный метод дает соотношения
Q (Я — 1)： + % = 0. % =。，依=1 — R (5.8)
4“=伴娥|4 прн .0.(5.9)
Полученные решения, названные позднее гипергеометрическими функциями^ стали особенно знаменитыми в XIX веке в связи g работой Гаусса (1812).
Указанный метод применим и в более общем случае дифференциального уравнения
炉旷 + ха (%) / + Ь (%)“ = 3(5.10)
где а (х) и Ь (х) — регулярные аналитические функции. Тогда говорят, что 0 является регулярной (или слабой) особой точкой. Аналогично об уравнении (无一х0)2，+ (х — х0) а (х) уг + + b (无)у = 0 говорят, что оно обладает регулярной особой точкой 无°. В этом случае решения можно получить, используя алгебраические особенности (х — х0)^..
В завершение мн хотим еще изучить поведение решения на бесконечности для уравнения вида
а (%) У + b (%) Уг + с (х) у = 0.(5.10а)
Для этого проведем замену переменных f = 1/%, z (/) = у (х), при которой уравнение примет вид
/% (}) z" +(2/% (；) — fib (；)) z‘ + с (；) z = 0; *(5.ЮЬ) oo называется регулярной особой точкой уравнения (5.10а), если 0 является регулярной особой точкой для (5.10b). Соответствующие примеры приведены в у пр. 9.
Нелинейные уравнения
«Der Mathematiker weiss sich ohnedies beim Auftreten von singularen Stellen gegebenenfalls leicht zu helfen». «И если встречаются особенности, математик все равно легко умеет справляться с ними в каждом случае». (К. Хойн, 1900)
Описанный выше метод позволяет иногда получать и для решений нелинейных уравнений если не весь ряд, то по крайней мере пару его членов.
Пример. Посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся решить классическую задачу о брахистохроне (2.4) о помощью представления решения в виде ряда. Пусть Л = 0 и начальное значение у (0) = 0. Запишем уравнение следующим образом.
у'* = ^— 1 или ”'2 + д = L. (5.11)
В начальной точке у (0) = 0, а у' обращается в бесконечность В этом случае большинство численных методов потерпело бы неудачу. Будем искать решение в виде у'= А^. Подставив эту формулу в (5.11), придем к уравнению 924^30-2 * ｛。仆 = £ Из начального условия следует, что у (%) становится пренебрежимо малым при малых значениях х. Поэтому положим первый член равным L и получим равенства Зд — 2 = 0 и фА^ = L. Таким образом, формула
"(灯=(罕严 (5.12)
задает первое приближение к решению. Теперь идея состоит в использовании (5.12) для того, чтобы отойти от начальной точки на малую величину %, а затем продолжить решение с помощью одной из численных пошаговых процедур, описанных в следующих главах.
Попытаемся более точно аппроксимировать решение в помощью представления у = /財 + А^^. Подставив его в (5.11), получим уравнение
厂或产-2 + д(зд + 2г)“4产+22 + 4М + ・・・=L.
Используем второй член для нейтрализации третьего, что даст нам равенства Зд + 厂一2 = д, или г = д = 2/3, и 5даЛ0Ац = =—1. Таким образом, функция
〃(Х)= (3一((5岡
лучше аппроксимирует решение. Сравнение следующих чивленных результатов с точным решением у (х) из 1.3, у пр. 7 при L = 2,
показывает, что аппроксимации (5.12} и (5.13) являются полезными:
闖=0.10 у (%) = 0.342839 а (%) = 0.355689 и (项=0.343038
阖=0.01 у (х) = 0.076042 и (%) = 0.076631. и (%) = 0.076044 ・
Упражненияt
Найдите общее решение уравнения *"д" + ху‘ + g/g ^ 0 о постоянной g [Эйлер (1769), РгоЫеша 123, Exemplum 1].
Примените разработанный Эйлером метод к уравнению Бесселя 无2g" + xyf + (х2 — g2) у = О. Начертите решения, полученные при g = 2/3 и g = 10/3.
Найдите решения уравнений 炉，一2冲’ + у = 0,炉，一 —3xyf + 4g = 0. Уравнения такого типа часто называют уравнениями Эйлера или Ксипи： Однако еще Йог. Бернулли было известно их решение*
[Эйлер (1769), Problema 123, Exemplum 2]. Периметр эллипса g осями 1 и х < 1 равен
д(х) = (sin2 s + %2 cos2 s)1/2 ds.о
Проверьте, что у (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
慮(1 —炉)/ — (1 + 炉)у9 + ху = 0.(5.14)
Найдите решения этого уравнения.
Покажите, что замена переменных х^ = t9 у (%) = z (0 преобразует (5.14) в гипергеометрическое уравнение (5.7). Указание. В а) расчеты приводят к интегралу
1 —2 cos2 & + Ф cos4s
J (l—『COs2s)3/2 由，g2=l-*・ о
Надо показать, что он равен нулю. Разложите его в ряд по степеням gz.
Попытайтесь решить уравнение
炉旷 + (3% — 1)旷 + g = 0
е помощью ряда (5.4) и изучите его сходимость.
Найдите ряд вида
у = 4^ + 4/什"+4产升26 +...，
который в окрестности точки х = 0 служит решением нелиней" ного «уравнения Эмдена — Фаулера» из астрофизики:(炉у')' + + к 0.
Аппроксимируйте решение уравнения Лейбница (2.3) в окрестности сингулярного начального значения ^ (0) = а с помощью функции вида у (%) = « — Cd. Сравните результат о точным решением, полученным в упр. 3 из разд. 1.3.
Покажите, что радиус сходимости ряда (5.4) с коэффициентами, заданными в (5.5) и (5.9), равен соответственно
1"=|告1； h"=1.
Покажите, что для гипергеометрического уравнения (5.7) 8 является регулярной особоб точкой, а для уравнения Бесселя из упр. 2 не является.
Рассмотрим задачу Коши
B^^s + g^ g(0) = 0・(5.15)
Докажите, что для 九《0 задача (5.15) имеет единственное решение при х > 0.
Если g (х) дифференцируема k раз и 入《0, то решение у (х) при х > 0 дифференцируемо 也 + 1 раз и выполняется равенство
兴(0) = (1 — })т g(J) (0), /==1, 2,....
L6・ Системы уравнений
Лагранж
Первые системы уравнений появились в работе Лагранжа (1759). Одним из вопросов, интересовавших его в самом начале, было распространение звука. Считая подход Ньютона^недостаточным, Лагранж попытался объяснить это явление с помощью известных результатов теории упругости. Если мы будем рассма
тривать среду как последовательность материальных точек и обозначим через у^ (/), у2 (/), у3 (/),... их отклонения от положения
У1У1Рис. 6.1. Модели распространения звука, колеблющейся и висящей струныРис. 6.1. Модели распространения звука, колеблющейся и висящей струны
У1
У1
Рис. 6.1. Модели распространения звука, колеблющейся и висящей струны
Рис. 6.1. Модели распространения звука, колеблющейся и висящей струны
равновесия (рис. 6.1J, то по закону Гука из теории упругости получим
У1 = К? (—2 玖 + 鼓％
见=次跳一 2段+ %),(6.1)
Уп = № (yn^i 一 ^Уп^*
Это система 九 линейных дифференциальных уравнений. В данном разделе мы будем обозначать через f независимую переменную (время), чтобы не перепутать ее с пространственной переменной 为 в соответствующем уравнении в частных производных. Лагранж заметил, что такие же уравнения получаются из уравнения Далам- бера (1748)
02〃2 д2и
郁L°F
для колеблющейся струны (cordis vibrantibus), если ее моделировать с помощью конечного числа материальных точек, расположенных на струне, не имеющей массы (рис. 6.1).
В качестве другого примера Лагранж [(1762), № 36] рассмотрел материальные точки, присоединенные к висящей струне (рис. 6.1). В этом случае натяжение увеличивается в верхней части струны, и мы имеем следующие уравнения движения:
况=К2 (Т/1 + W,
У2 = К2 ® — 3^2 + 2рз),
Уз = № (2^2 - 5% + 3物)，(6.2)
УП =个((九 一 1)物一I - (2九-1) уп).
Конечно, во всех этих примерах предполагается, что отклонения yi «бесконечно» малы, и поэтому линейные модели реалистичны.
Используя обозначения, которые получили распространение лишь веком позже, запишем эти уравнения в виде
п
玖=£ ^аУз (f = i> • • •,九).(6.3)
a
Данные формулы представляют систему линейных уравнений 2・2。порядка с постоянными коэффициентами. Лагранж решил систему (6.3) с помощью подстановки у» = с^р/, которая приводит к уравнениям
p2q =，鼻^tfij (i = 1, • •九)・(6.4)
Таким образом, ра должно быть собственным значением матрица Л, а с = (q,・・・, сп)т —соответствующим собственным вектором. Здесь, как мы видим, впервые появляется задача на собственные значения; впервые используется также «метод прямых» для волнового уравнения.
Лагранж [(1762), №30] объясняет, что для решения (6.4) из п — 1 уравнений вычисляются величины с2/сх, ...» cn/q как функции от р, а затем полученный результат подставляется в последнее уравнение. Это приводит нас к многочлену степени п для величины р2 (характеристическому многочлену) для которого надо найти 九 различных корней. Таким образдм, мы получаем 2九 решений 川)=с^ ехр (士р/) и общее решение как их линейную комбинацию.
Ситуация усложняется, если характеристический многочлен имеет кратные корни. В этом случае Лагранж в своей знаменитой «Аналитической Механике» [(1788), вторая часть, разд. VI, № 71 утверждает, что в решение входят «вековые» члены, аналогичные
тем, которые получаются из формулы (4・8)・ Однако веком позже стало понятно, что это не совсем верно. (См., например, работу Вейерштрасса (1858): «...воспользуюсь случаем, чтобы устранить недоразумение, содержащееся в лагранжевой теории малых колебаний и во всех известных мне более поздних изложениях последней».) Поэтому отложим выяснение данного вопроса до разд. 1.12.
В завершение раздела рассмотрим подробное решение %уравнений (6.1), так как полученные при этом результаты чрезвычайно важны [Лагранж (1759) 1. Соответствующая задача на собственные значения (6.4) принимает в этом случае вид pq = № (—2cl + + с) рУ = К" (с2T — 2q + %。при i = 2,...,九一1 н р2сп = =К" (с*% — 2%). Введем обозначение р*/К* + 2 = д. Тогда
С/+1 — qcj + С/т = 0,的=0, Cjh-i = 0・(6・5)
Это означает, что с» являются решениями разностного уравнения, а поэтому а с；=力出 + В* где 0Hb — корни соответствующего характеристического уравнения z* — gz + 1 = 0, и9 следовательно, для них выполняются равенства
а + b = q, ab = 1.(6.6)
Условие % = 0 из (6.5), приводящее к равенству Л + В = 0, показывает, что 内=4 (# —加)при 4 =/= 0. Из второго условия Сп+1 = 0 или эквивалентного ему условия (a/b)〃+i — 1с учетом соотношения ab = 1 следует, что
а = ехp (等)，6 = exp
где k может иметь любое из значений 论=1» ・・・》九・ Таким образом, получим
傀==2cos ^ I £ , k = 1,・・・，九，(6・7а)
р； = 2K2 (cos 享 一 1) = - 42 (sin ^^уУ • (6.7b)
И наконец, формула Эйлера, открытая им в 1740 г., е〃 一 l*= =2i sin х («...такая привычная сегодня для геометров»), дает для собственных векторов (при Л = —//2) значения
吸)=sin —-"^| , /, ft = 1, .. •, п.(6.8)
Поскольку pk — чисто мнимые величины, мы используем «привычную» формулу также и для ехр (土р") и получим, наконец»
1)См., например: Н. С. Бахвалов, Численные методы.—М.: Наука, 1973, гл. II., § 7. — Прим. ред.
общее решение п
力(0 = 2 sln 咨Г 侬 cos г" + 玩 sln ft* rk = 2K sin 痂W . AT
(6.9)
В результате длительных расчетов Лагранж получил, что значения
=告! 2 sln #г力(①'/=i
п
瓦=Tr7rirtsi口伴pgi (0)/ei.
определяются начальными положениями и скоростями материальных точек. В настоящее время эти выражения получают с помощью соотношений ортогональности '
。，/，①
fsin 告1sm ITfsin 告1sm ITIknМИГIknМИГ厶也=1,・・・，n 屮，i厶也=1,・・・，n 屮，i
fsin 告1sm IT
fsin 告1sm IT
Ikn
МИГ
Ikn
МИГ
厶也=1,・・・，n 屮，i
厶也=1,・・・，n 屮，i
Он изучил также случай, когда число материальных точек п стремится к бесконечности (при этом в формуле для rh можно заменить sin х на х), и, опередив на 50 лет Фурье, оказался у порога открытия теории рядов Фурье. «Первую часть этого исследования он провел с большим умением, применяя много искусных аналитических приемов, однако переход от конечных сумм к бесконечным оставляет желать много лучшего...! [Риман (1854)].
Фурье
<J*ajouterai que le livre de Fourier a une importance capitals dans Phistoire des math6matiques».
«Добавлю, что книга Фурье имеет основополагающее значение в истории математики».
(А. Пуанкаре, 1893)
Первые системы первого порядка появились благодаря задаче о теплопроводности [Био (1804), Фурье (1807)1. Фурье представил стержень последовательностью молекул, температуру которых мы обозначим через у», и вывел из закона Ньютона, что энергия, передаваемая данной частицей соседним, пропорциональна раз-
ности их температур, т. е. у^ —协 для левой парн и ум —协— для правой. («Поскольку две молекулы одного тела расположены чрезвычайно близко друг к другу и имеют рааные температуры, более разогретая молекула сообщает менее разогретой количество тепла, которое точно выражается через произведение, образованное длительностью промежутка времени, очень малой разницей температур и некоторой функцией расстояния между молекулами».) На языке формул эта длинная фраза означает, что'полное приращение энергии молекулы i выражается следующим образом:
У\ = К* (勿一I — 2仍 + 勿+i),(6.10)
или, в более общем виде — системой первого порядка с постоянными коэффициентами:
п
д< = £ а±出厶，=1$ •・・,九.(6.11)
Подставив теперь выражение д» = q叫 получим задачу на собственные значения
п
рс±== ^J ciijCj, j == 1} «• • у 九.(6・12)
/=1
Если предположить, что стержень охлажден на обоих концах до нуля 仇=уп+1 = 0), то можно использовать введенные выше собственные векторы Лагранжа, с помощью которых мы получим решение
刃 «) = 2 sm*^r«A exp (―稣/), wk = ^(sin-^j^y)2. (6.13)
Неограниченно увеличивая п (и тем самым обращая «метод пря- мых》)，Фурье от (6.10) пришел к своему знаменитому уравнению теплопроводности
Так было положено начало теории рядов Фурье.
Упражнения
Проверьте, что для функции 〃 (х), дифференцируемой достаточное число раз, выполняется равенство
，色=0二3瞿七唸土叽=鹏⑴+乌沪 + 0 @).
Указание. Используйте разложение в ряд Тейлора для и (х + + б) и и (х — 6). Эго соотношение устанавливает связь между (6.10) и (6.14), а также между (6.1) и волновым уравнением.
Решите уравнение (6.2) при 九=2 н 九=3, следуя описанной выше схеме Лагранжа (1762). При этом естественным образом возникает характеристический многочлен матрицы.
Решите систему первого порядка (6.11) с начальнкгми значениями ух (0) = (—1尸 и той же матрицей Л, что и в упр. 2, и начертите решения. Физически такое уравнение могло бы описывать струну g грузами, висящую, например, в мёде.
Найдите перрые члены разложения в особой точке 歯=0 для следующей системы нелинейных уравнений:
户У” + 2%旷=2川 + 旣力①—1), у (0) = 0,
炉z" = z £ — 1) + %"乜 z (0) = 1,(6.15)
о постоянным параметром X. Это уравнение Эйлера для вариационной задачи
/=j(z" +弯2+后》+州+号炉伊一 I力 dx, Q
У(8)= 1, Z (оо) = 0, о массе «монополя» из ядерной физики [см. работу Хуфта (1974)1.
1.7. Общая теорема существования
«М. Cauchy annonce, que, pour se conformer au voeu du Conseil, il ne s*attachera plus 白 donner, comme il a fait jusqu'A present, des demonstrations parfaitement rigou- reuses>. (Conseil d* instruction de Г Ecole-poly technique, 24 nov. 1825)
«Г-н Коши объявляет о том, что, выполняя положение Совета, он больше не будет стремиться давать совершенно строгие доказательства, как он это делал до сих пор».
(Совет по обучению Политехнической школа, 24 ноября 1825 г.)
<У всех вас профессиональная деформация сознания; здесь сходимость совершенно не важна...» (П. Хенричи, 1985)
Теперь мы вступаем в новую эру развития предмета нашей книги, более теоретическую, чем предыдущая» Ее открывают исследования Коши, который не был столь очарован долгими численными расчетами, как, например, Эйлер, зато фанатично добивался безупречной математической строгости и точности. Он критиковал своих предшественников за использование в работе бесконечных рядов и других бесконечных процессов без должного внимания к оценкам погрешности или результатам о сходимости. Около 1820 г. Коши сформулировал теорему сходимости для метода ломаных Эйлера, а лет через 15 ——для метода степенных рядов Ньютона (см. разд. 1.8). Кроме оценки погрешности эти результаты позволяют также получить общие теоремы существо- вания решений произвольных дифференциальных уравнений («любого дифференциального уравнения»), для которых решения были известны только в весьма немногих случаях. Другим важным следствием стала возможность судить о единственности решения, позволяющей делать вывод о том, что только найденное нами (численно или аналитически) решение отвечает данному начальному значению и других таких решений не существует. Лишь в этом случае мы вправе сказать, что решили задачу.
Самое первое доказательство Коши было недавно найдено в отрывочных заметках [Коши (1824)], которые никогда при его жизни не публиковались (может быть, эти заметки не удовлетворили министра образования: «...что второй профессор г-н Коши представил только отдельные листки, которые не могли удовлетворите комиссию, и что до сих пор было невозможно заставить его подчиниться требованию Совета и выполнить постановление министра»).
Сходимость метода Эйлера
Приступим теперь, «обнажив голову и преклонив колени», к изложению идей этого исторического доказательства. Сформулируем его так, чтобы оно допускало прямое обобщение на системы большей размерности.
Начнем со скалярного дифференциального уравнения
д' = f (%,力 У (хо) = %, У (X) = ?(7.1)
и воспользуемся методом, который описан Эйлером (1768) в последнем разделе его работы «Institutiones Calculi Integral is» (Caput VII), т. e. рассмотрим разбиение отрезка интегрирования
力n-工，％n = X,(7.2)
и на каждом отрезке заменим решение первым членом его ряда Тейлора:
也一％ =(打—%) f (%, %).
场一力=(/—^f (^ъ加"(7.3)
Для указанного разбиения будем использовать также обозначение
厶=(瓦，Л1, ...» 6n-i),
где hi = 勺+i — х»・ Если соединить ^0 и уи 以 н f^ н т. д. прямыми, то получится ломаная Эйлера
Уъ (%) = ^ + (% —勺)/ (修，场)при 修《х《хм. (7.3а)
Лемма 7.1. Предположим^ что | /1 м превосходит А на множестве
D = {(х,力 I %《х《X, I д - % I《Ь].
Если X — %《b/4, то заданное формулами (7.3) численное решение (хь 班)останется в D при любом разбиении (7.2) и будут выполняться неравества
I 办(х) — % I《4 • I % — %/(7・4)
\ybix)-^ + ^-^f(x^ 勿))|《е|%-/|,(7.5)
если I / (х, у) — / (х0, %) I《в на D.
Доказательство. Оба неравенства получаются в результате суммирования строк (7.3) и использования неравенства треугольника. Из (7.4) сразу следует, что при 4(% —力J & b ломаная остается в D. ■
Наша следующая задача состоит в оценке изменения yh (х) при изменении %. Возьмем другое начальное значение z° и вы-
числим для него
马一^о = (%i — %o) f (%o, Z。).(7.6)
Нам надо оценить | z】一yt |. Вычитая (7.6) из первой формулы в (7.3), получим..
Z]—以=% — % + (%工一％) (/ (%, %) — f (x0, %))・
Отсюда видно, что нам нужна оценка для / (/, %)—尸係，％). Если предположить, что
|/(% z) — 〃x,加|《L|z —川，(7.7)
то мы придем к неравенству
14 —川《(1 + (%1 — % L) I % — gQ |.(7・8)
Лемма 7.2. Пусть при фиксированном разбиении h начальным значениям % и % отвечают ломаные- Эйлера у^ (х) u zh (%) соответственно. Если 8 выпуклой области^ содержащей (х, yh (х)) и (х,当(х)) при всех %0Vx《 X, выполняется соотношение
I醫(х，U)|《L(7.9)
то
(х)-办(х) I« 灰(*-*。)I % — % (.(7.10)
Доказательство. Из (7.9) следует (7.7), из (7.7) — (7.8), а из (7.8) — неравенство
—弘I《灰л。) I % — % I・
Если повторить те же рассуждения для г2 — у^ z8 — у3 и так далее, то в итоге мы получим (7.10). ■
Замечание. Условие (7.7) называется «условием Липшица». Именно Липшиц (1876) заново открыл эту теорию (примечание к статье Липшица: «Автор, очевидао, не знаком с работами Коши...») и отстаивал использование условия (7.7) вместо более сильного предположения (7.9). Доказательство Липшица излагается также в классическом труде Пикара [(1891—1896), том II, гл. XI, разд. I].
При переходе ко все более мелкому разбиению (7.2), т. е. при |Л|: = max ① f0,
мы надеемся, что ломаная Эйлера сойдется к решению задачи
И действительно, мы имеем следующий результат.
Теорема 7.3. Пусть на множестве
D={(x,力小《х《Х,历一%1《ь}
7 (%, “) — непрерывная функция, \ f\ne превосходит А и удовлетворено условие Липшица (7.7). Если X — х0 < ЫА, то: а) при I 才 I f 0 ломаные Эйлера % (х) охрятся равномерно к непрерывной функции <р (x)j
ф (х) непрерывно дифференцируема и является решением задачи (7./) на отрезке【/, X];
при X。& %《X задача (7./) не имеет других решений.
Доказательство. а) Выберем 8 > 0. Поскольку / равномерно ограничена на компактном множестве О» существует б > 0, такое что из условий
М —〃/《6 и [ Oi — иа I < Д8 следует неравенство
I/(〃工，oJ-fK,吟 |《а・(7.11)：
Теперь преположим, что разбиение (7.3) отвечает условию
|%i—х/《6, т・ е. |ft|<8.(7.12)
Сначала изучим, что произойдет при добавлении точек сетки. На первом шаге рассмотрим разбиение h (1), которое получается при добавлении новых точек только в первому отрезку разбиения. Из неравенства (7.5) (относящегося к этому первому отрезку) следует, что для нового уточненного решения 物 «)(х0 выполняется оценка | yh(i)(%0 — yb (xj |《e | %i —向 |. Поскольку разбиения А и h (1) совпадают на отрезке %工《х《 X, мы можем применить лемму 7.2, о помощью которой получим неравенство
I物⑴(х) 一如(明《外("7"(看—*0)8 при *1《*《X.
Затем добавим дополнительные точки на интервале 的，xj и обозначим новое разбиение через 6 (2). Тем же способом придем к оценкам
1“⑶(力2)—“(I)(^2)|<в|х2 —xj и
|g&(2) (х) —9в ⑴(х)|《關(*-*“ (％2 —Х1)8 При Х2<Х<Х.
Полностью вся ситуация представлена на рис. 7.1. Обозначив через 左 окончательное разбиение9 при 勺《％《хм мы получим
1"(%)一物(%)|《
《е (е“(*7工)(%1 — xj + ・・・ + с' ("—"О (х± —勺-i)) + в (% —修)《 《в f 决 ^ds^^(eL(*т。)一 1).(7.13)
Теперь, если мн имеем два различных разбиения Л и Я и они оба удовлетворяют условию (7.12), введем третье разбиение Л, которое получается измельчением каждого из них (как это обычно делается при доказательстве существования интеграла Римана), и дважды применим (7.13). Тогда из неравенства треугольника и из (7.13) следует, что
麻(х)-"(叫《2搭(*(1"一1).
При достаточно малых в > 0 эта величина становится сколь угодно малой, что говорит о равномерной сходимости ломаных Эйлера к некоторой непрерывной функции <р (х).
Введем модуль непрерывности
в(6)： = sup {|f (〃i,⑷一f 他？ va)|;
1"i一"/《第 ]01一叫《46，(〃" S)GD}.
Если 力 принадлежит разбиению 瓦 то из (7.5) [заменив (х0, yj на (х, yh (х)) и х на х + 6 ] мы получим
1%(% + 6)— 办(х)-6/(х, дь(х))|«в(6)6・(7.14)
Переходя к пределу при |Л| -> 0, мы придем к соотношению
IФ (х + б) — ф (х) — б/ (х, ф (x))J《
《в (6) б.(7・15)：
Поскольку 8 (6) -► 0 при 6 -► 0, отсюда следует, что (р (х) дифференцируема и q/ (х) = /(X, ф (х)).
Предположим, что задача (7.1) имеет второе решение р (х), и пусть разбиение Л отвечает условию (7.12). Обозначим через ,У)(х) ломаную Эйлера при начальном значении (х^,屮(尤《)) (она определена при 尤±《力《X). Из соотношения
2(X)=中(*)+jf(s, W(s))ds
и (7.11) следует, что lwa)-#)a)l《g|x —芍I при 々《％《修м・
Используя лемму 7.2, мы тем же способом, что и в части а), выведем оценку
仲(X) 一 %(叫《击(灰(I。)一 1).(7.16)
Переходя к пределу при |Л | -> 0 и в -► 0, получим неравенство IW (%) — Ф W I "С 0, доказывающее единственность. ■
Теорема 7.3 о существовании и единственности решения — это локальный результат. Однако если рассматривать конечную точку решения как новое начальное значение, то можно снова применить теорему 7.3 и продолжить решение. Повторяя эту процедуру, мы придем к следующему результату.
Теорема 7・4・ Пусть U является открытым множеством 6 R3, afudf/dy непрерывны 6 U. Тогда для любой точки (х0, %) £ U существует единственное решение задачи (7./), которое можно продолжить до границы U(6 обоих направлениях}.
Доказательство. Теорему 7.3, очевидно, можно переписать так, чтобы она утверждала существование и единственность решения для интервала (X, х0) слева от х0. Остальное следует из того факта, что любая точка в U имеет окрестность, удовлетворяющую условиям теоремы 7.3. ■
Интересно упомянуть о том, что формула (7.13) при |й| -► -► 0 дает оценку погрешности
’e⑴一%(叫《^(或(I。)一1)(7.17)
для ломаной Эйлера (［九|《 6). Здесь у (х) означает точное решение задачи (7.1). Следующая теорема уточняет приведенные выше оценки в случае, когда f (х, у) является также дифференцируемой по%.
Теорема 7.5. Предположим^ что в окрестности решения выполняются неравенства
Тогда для ломаных Эйлера при достаточно малых | А | справедлива следующая оценка погрешности^
I 以力一九(叫《 ^4^ (或(I。)一 1) •阳.(7.18)
Доказательство. При | at — ua[ < |Л| и | % — и" « <：Л IЛI в силу диффереццируемости / мы получим вместо (7.11) оценку
I f (〃“ ％)— 〃勺喲 I £ (М + 4厶)I A I- Подставив эту величину в качестве в в (7.16), мы придем к требуемому результату. ■
Оценка (7.18) показывает, что глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна максимальной длине шага | Л |. Тогда для достижения точности, например, в три десятичных знака нам понадобилось бы порядка тысячи шагов; точность в шесть десятичных знаков требует, как правило, миллиона шагов и т. д. Таким образом, мы видим, что данный метод нельзя рекомендовать для расчетов с высокой точностью. Поиск методов, которые сходятся быстрее, составит основное содержание гл. II.
Теорема существования Пеано
«Si a est un complexe d'ordre д, et Ь un nombre гёе!, alors on pent d6terminer b' et f, ой У est une quantity plus grande que b, et f est un signe de fonction qui a chaque nombre de rintervalle de b * bz fait correspon- dre un complexe (en d' autres mots, ft est un complexe fonction de la variable гёе11е f, dSfinie pour toutes les valeurs de rintervalle (b, b')); la valeure de ft pour f=b est a; et dans tout Pintervalle (bt У) cette fonction ft satisfait * liquation diff6rentielle donn6e>.
«Если а — комплексное число порядка д, а Ь — вещественное, тогда можно определить У и /, где У — величина, превосходящая b, a f обозначает функцию, которая каждому числу из интервала от Ь до У ставит в соответствие комплексное число (другими словами^ ft ——это комплексная функция вещественной переменной f, определенная для всех величин из интервала (Ь, Ь')); значение ft при f = b равно Q, и на всем интервале (6, У) эта функция /f удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению».
Первоначальная формулировка теоремн Пеано)
Условие Липшица (7.7) — это решающее средство при доказательстве соотношения (7.10), а в итоге и теоремы сходимости. Если мы полностью откажемся от условия (7.7) и потребуем только непрерывности / (х, у), то уже нельзя будет гарантировать сходимость ломаных Эйлера.
Пусть, например, задано уравнение
/ = 4(sign (у) |(/|V2 4-max(0,大一亨)・8s («^^»)) . (7・19)
равенстваравенстваОно подобрано таким образом, чтобы выполнялись
равенства
равенства
Рис. 7.2. Кривые решений и ломаные Эйлера для уравнения (7.19).Рис. 7.2. Кривые решений и ломаные Эйлера для уравнения (7.19).f(A,0) = 4ft(-l)<при h = 2Tgf (%, y) = 4 sign 匂)■|行偿при " I》炉.
Рис. 7.2. Кривые решений и ломаные Эйлера для уравнения (7.19).
Рис. 7.2. Кривые решений и ломаные Эйлера для уравнения (7.19).
Начальному значению у (0) = 0 соответствует бесконечное множество решений; часть из них изображена на рис. 7.2. Ломаные Эйлера сходятся при h = 2T и четных f к максимальному решению у = 4炉，а при нечетных 2 — к д = —4炉.При других последовательностях h можно получить и все промежуточные решения ・
Теорема 7.6. [Пеано (1890) 1 Пусть f (х, у) непрерывна, а |f| не превосходит А на множестве
D = {(*，〃)%О《Х， |д-%|《Ь}・
Если X — %《Ь1А、то существует подпоследовательность последовательности ломаных Эйлера^ сходящаяся & решению диффе・ ренциального уравнения.
Доказательство самого Пеано в главной части, касающейся сходимости, является очень кратким и неясным для неискушенных читателей. Арцела (1895), вернувшись к этому вопросу, объясняет свою идею более подробно и подчеркивает необходимость равностепенной непрерывности рассматриваемой последова- * тельности. Доказательство того, что называют теоремой Арцела—w Аскол и, которое обычно приводят в настоящее время, появилось
лишь позднее (см., например, работы Перрона (1918), Хана (1921)). Вкратце его можно изложить следующим образом.
Доказательство. Рассмотрим последовательность ломаных Эйлера при уменьшении длины шага:
и% (%),。普(%)” ％(%),••••(7.20J
Из (7.4J следует, что при фиксированном 力 она ограничена. Выберем последовательность чисел га, г8, ..., плотную на интервале % X). Тогда в (7.20) существует последовательность, сходящаяся при % =厶 (Больцано—Вейерштрасс). Обозначим ее через
*)(*),。屮(现 増)(*), ・・・・(7.21)
Далее выберем из (7.21J подпоследовательность, сходящуюся при 力=а：
。?)(х),喏)⑴，増)(》一...(7.22)
и w. д. Затем возьмем «диагональную» последовательность
唄(%),嚟(%),増)(现・・・，(7.23)
которая, за исключением конечного числа членов, является подпоследовательностью всех этих последовательностей и поэтому сходится при всех г；. В завершение о помощью оценки
I 噌)⑴一喑)(〃)[《4|х-〃|
[см. (7.4)1, которая выражает равностепенную непрерывность последовательности ,мы получим
1或03) 一。染)(%)|《
《I噌)(力一噌)(〃)I +1嚟)⑷一噌)(勺)I + + 1吧0修)一需)(*)1《
《24|X-"1 + 1 吸)(〃)一増)(〃)1.
Для фиксированного 8AoMsi выберем из {«, г#> ...} конечное подмножество R, отвечающее условию min {|х — о| | О € ^> %《％《X}《е/Д, а затем выберем такое М что
I喈)(〃)一°俨(")|《8 прн л,加WR и uWR・
Это неравенство указывает на равномерную сходимость (7.23). Таким же способом, как и в части Ь) доказательства теоремы 7.3, мы придем к выводу, что получаемая в пределе функция — это решение задачи (7.1). Надо только добавить в (7.14) член О (|Л|), если х не является точкой разбиения. ■
Упражнения
Примените метод Эйлера о постоянным шагом хм—х± = =1/п к дифференциальному уравнению д' ^ ky. у (0) = 1 и получите классическую аппроксимацию решения у (1)= =е&・ Оцените погрешность.
Примените метод Эйлера о постоянным шагом к задачам a)f/' = f^ g(0)=b ?(})=?
6)^ =炉 + 火 g(0)=0, g(}) = ?
С помощью теоремы 7.5 дайте строгие оценки погрешности и сравните их о истинными погрешностями. Основная трудность состоит в нахождении нужной области, в которой выполнялись бы оценки теоремы 7.5 и при этом постоянные Л, L и М не были бы слишком большими, но в то же время гарантировали, что графики решений останутся внутри области (см. также 1.8, упр. 3).
Докажите следующий результат: если дифференциальное уравнение У = f (ж, д), у (%) = % о непрерывной функцией / имеет единственное решение, то ломаные Эйлера сходятся к нему.
«Существует элементарное доказательство теоремы сущеегво- вания Пеано» [Уолтер (1971)1. Предположим, что |/1 не превосходит А. Тогда последовательность
Ум ^Hi^hmax {f (х,^)|xf <x<x<+1, gt — 3Ah< g< gt + Ah} сходится для всех непрерывных f к (максимальному) решению. Попытайтесь доказать это. К сожалению, такое доказательство нельзя распространить на системы уравнений, если они не являются «квазимонотонными» (см. разд. 1.10, упр. 3).
I・8. Теория существования решения, основанная на итерационных методах и рядах Тейлора
Возможен и другой подход к теории существования решения — на основе итерационного уточнения приближенных решений. К этой мысли пришли уже очень давно. В частности, много примеров такого типа можно найти в работе Лагранжа, главным образом в его астрономических расчетах. В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение Риккати
/ = ^ + У + 0.1^,夕(0) = 0・(8.1)：
Оно не имеет элементарного решения из-за вхождения в правую часть квадратичного члена. Поэтому совершенно естественно возникает мысль пренебречь Данным членом, который действительно вначале очень мал, и решать пока задачу
Р； = х2 + % 01 (0) = 0.(8.2)
С помощью формулы (3.3) mei получим отсюда первое решение 弘(х) = 2е* — (х2 + 2^ + 2).(8.3)
Благодаря ему мы теперь больше знаем о члене 0.1(/а, которым первоначально пренебрегли: он будет близок к 0.1 笳・ Поэтому напрашивается мысль о том, чтобы данное решение снова подставить в (8.1) и решать уже дифференциальное уравнение
g^^ + ^^QA^^ %(0) = 0.(8.4)
Можно еще раз использовать формулу (3.3), и после некоторых вычислений мы получим выражение
汲(x)=如(%) + ■!•以一糸。"(炉 + 3炉 + 6%- 54) 一一卷(/ + 8炉 + 32炉 + 72% + 76).
Оно уже намного ближе к точному решению, что видно из сравнения погрешностей 勺=у (х) — ух (х) и % (х) = у (х) — у$ (х):
% = 0.2 〃 = 0.228 Х10-07 g = 0.233 Х1(Г1а
х = 0.4 et = 0.327 Х10-06 еа = 0.566 хЮ*09
х = 0.8 4 = 0.534x10-8 内=0.165x102
Продолжение данного процесса выглядит многообещающим, но расчеты вскоре становятся чрезвычайно утомительными.
Метод последовательных приближений Пикара
Общая формулировка этого метода заключается в следующем: мы попытаемся, если это возможно, таким образом расщепить функцию / (х, у) из дифференциального уравнения
У = f Q, У) = А (%, У) + 启(%,办 У 俗)=物，(8.5) чтобы любое дифференциальное уравнение вида уг = “ (х, у) + + g (х) можно было решить аналитически, а (х, у) была мала. Тогда мы начнем с первого приближения % (х) и, решая уравнения
阮+1 = Ь(х,玖у) + /2(х, yi (х)), yw (х0) = yQi (8.6)
вычислим последовательно уг (х), ^2 (%),•••・ Самая примитивная разновидность этого процесса получается при выборе & = О, = /; тогда, проинтегрировав (8.6), мы сразу придем к формуле
队+1 (%) = % + J f (S, Pt (S)) ds.(8.7)
Она называется методом последовательных приближений Пикара. Этот метод появлялся в литературе несколько раз, в частности в работах Лиувилля (1838), Коши, Пеано (1888), Линделёфа (1894), Бендикссона (1893). Пикар (1890) считал его лишь побочным продуктом аналогичного процесса для уравнений в частных производных и досконально проанализировал его в своем знаменитом трактате [Пикар (1891—96), том IJ, гл. XI, разд. III].
Основной практический недостаток метода состоит в необходимости многократного вычисления интегралов, что обычно не очень удобно, если вообще возможно, и что быстро становится чрезвычайно утомительным занятием. С другой стороны, метод является хорошим инструментом для теоретических исследований.
Легко увидеть его быструю сходимость при малых | % — /1: если мы вычтем из (8.7) такую же формулу, но с заменой i на / — 1, то придем к выражению
0м (%) - ^ (%) = j (f (s, Pi (s))— f (s, PtT (s))) ds・ (8.8) *0
Теперь, применив условие Липшица (7.7J и неравенство треугольника, получим
л'
I 班+1 (» - Р» (%) I《L JI g, (s) - 01 (S) I ds. (8.9)
Положив у0 (х)三 ％ и применив неравенство треугольника к формуле (8.7) с индексом / = 0, выведем оценку
|勿(%) —%(%)|《4|%-%о|，
где Л, как и в разд. 1.7, ограничивает | /1. Далее, подставляя это выражение в правую часть (8.9) и многократно повторяв эту подстановку, окончательно придем к оценке
I 亚⑴ 一 ^-1(x)1《AL^ J^^ ・ (8.10)
Ее правая часть — это (с точностью до постоянного множителя Д/L) член ряда Тейлора для 衣1”-冷1, сходящегося при всех х. Отсюда следует, что | у^к — у» | становится сколь угодно малым при больших 厶 Погрешность ограничена остаточным членом данного ряда. Поэтому последовательность 协(х) равномерно сходится к решению у (х). Например, если L\ х —向| 《 1/10 и постоянная Л невелика (порядка * 1. — Ред), то 10 итераций дали бы численное решение примерно с 17 правильными знаками.
Метод рядов Тейлора
«Aprds avoir montr6 Pinsuffisance des methodes d*inU- gration fond6es sur le developpement en series, il me reste A dire en peu de mots ce gu'on pent leur substi- tuer>.
«После того как я показал недостаточность методов интегрирования, основанных на разложении в ряд, мне остается кратко сказать, чем их можно заменить». (Коши)
При доказательстве существования решения возможен и третий способ — на основе изучения сходимости рядов Тейлора для решений. О нем упоминает в примечании Лиувилль (1836), а свое окончательное развитие этот способ получил в работе Коши (1839—1842).
一 Мы уже встречались с рекурсивным вычислением коэффициентов ряда Тейлора в исследованиях Ньютона (см. разд. 1.2). Позднее Эйлер (1768) сформулировал общую процедуру для старших производных решения задачи
，=f (%, У), У М =物，(8・11)
которые получаются последовательным дифференцированием:
，= % + /" = % + "，伏］9、
й=彤+ 2/方+儿尸+笳内+ ")3丄)
и т. д. Тогда решение имеет вид
u(%o+a)= д(*о)+д'(&)% +，(%о)备 + •• ••(8.13)
Формулы (8.12) для старших производинх быстро становятся очень сложными. Поэтому Эйлер предложил использовать только несколько членов этого ряда при достаточно малом Л и повторить вычисления от точки х^ = х0 + 6 («аналитическое продолжение»).
Доказательство сходимости
Теперь мы наметим основные этапы принадлежащего Коши доказательства сходимости ряда (8.13). Предположим, что / (х, у) является аналитической в окрестности начального значения /, %, которое для простоты обозначений поместим в начало координат Xq =如0:
〃爲 g)= S %/%L(8.14)
где ац — кратные частных производных, входящих в (8.12). Если предположить, что ряд (8.14) сходится при | х | < г, IУI《г，то неравенства Коши из классического комплексного анализа дают оценку
I旬I《где М = max |f (х, g)|・(8.15)
产н|X|<G|₽I<F
Теперь идея состоит в следующем: поскольку в (8.12) все знаки положительны, мы получим наихудший из возможных результатов, если заменим в (8.14) все а^ на наибольшие возможные значения (8.15) («метод мажорант»):
/(*，9)"> е m書•= 匚諮厂而•
А мажорирующее дифференциальное уравнение
『=(1-/1-») ♦ 9(。)= °»
легко интегрируется о помощью разделения переменных (см. разд. 1.3) и имеет решение
g = г (1 - (1 + 2М log (1 —勺严).(8.16)
Это решение представляется степенным рядом, сходящимся при всех х, таких, что | 2М log (1 — x/r) | <3 1. Поэтому ряд (8.13) также сходится, по крайней мере при всех
固 Vr (1 — exp (—1/2 М))・■
Рекуррентное вычисление коэффициентов
ряда Тейлора
«...dieses VerTahren praktish nicht in Frage kommen kann».
«...об этом способе практически не может быть и. речи>. (Рунге—Кёниг, 1924)
«Если мы используем правильный подход,*то верным будет в точности обратное...». ;
(Р. Е. Мур, 1979)
«Правильный подход» в действительности является развитием подхода Ньютона. Его открывали заново несколько раз [см., например, работу Стеффенсена (1956) ], а программная реализация его общей формы была осуществлена Гиббонсом (I960) и Муром (1966). Более широко библиография представлена в работе Ваннера (1969).
Идея подхода состоит в следующем: пусть величины
Yt-^")(%，尸产今(f (招У⑶))⑴I i (8 .⑺
обозначают коэффициенты ряда Тейлора для у (х) и / (х, у (х)). Тогда (8.13) примет вид.
g(%)+ /0=玄限匕.
Из (8.11) получим равенство
匕+1 =击尸，-(8.18)
Теперь предположим, что f (х, у) состоит из последовательности алгебраических операций и элементарных функций. Это приводит нао к последовательности элементов
ж, у9 р, д, г, ... и, наконец, /.(8.19)
Для каждого из них найдем формулы для определения fro коэффициента ряда Тейлора по предыдущим:
а} г =^p±q:
Ri^= Pi± Q», f = 0, !>...>(8.20a)
r = pg：
Rt = ：£ P/Qt-/, £ = 0,..,(8.20b)
(произведение Коши).
г = plq: запишем р = гд, используем формулу bj и разрешим ее относительно R:
R，
Такие формулы существуют и для многих элементарных функций (по той причине, что в действительности эти функции сами являются решениями рациональных дифференциальных уравнений). Примеры:
г = ехр (р): используем равенство / = р'г и применим (8.20b). Отсюда получим (при 力=1> 2, ...}
(8.20d)(8.20d)Ro = exp (Ро)> ^t T^i^^ ^ RjPf
(8.20d)
(8.20d)
ej г = log (p): представим формулу как р == ехр (г) и проведем перестановку в d), откуда следует, что
R。 = log(P。),з=靑3一 穹(i -/)г限，.(&20e)
г = р®, с ^ 1 — постоянная. Используем соотношение 尸=сутр，,屮・ е. pr” = сгр\ и применим (8.20b):
R = P； R尸金岱 © _ (с + 1) J) &Pi} (8.20f)
r = cos (p), s = sin (p): как и в d), получим:
Ro = cos Po, R = —^ £ « — /)SjPf
(8.20g)(8.20g)/=о ст Sq = sin Ро> S» = } Е (£ — j) RjP"
(8.20g)
(8.20g)
Попеременное использование (8.20) и (8.18J позволяет нам очень экономичным способом вычислить коэффициенты ряда Тейлора для (8.17) до любого требуемого порядка. Нетрудно написать для приведенных формул подпрограммы, к которым надо обращаться в том же порядке, в каком элементарные операции входят в дифференциальное уравнение (8.11). Существуют и такие программы, которые для / (х, у) «компилируют» операторы Фортрана в список вызовов подпрограмм. Одну из них написали Т. Шиманский и Дж. X. Грей [см. работу Кнаппа—Ваннера (1969)1.
Пример. Дифференциальное уравнение у'= 炉 + у" приводит к рекуррентным соотношениям
где Pf = 1 при £ = 2 н Р» = 0 при 2 =# 2 — коэффициенты для №. Можно представить, насколько это проще, чем формулы (8.12).
Важное свойство данного подхода состоит в том, что его можно применять в интервальном анализе и получать с помощью остаточного члена ряда Тейлора в форме Лагранжа надежные оценки погрешности. Более подробно этот вопрос изложен в книгах Р. Е. Мура (1966) и (1979).
Упражнения
Получите из (8.10) оценку
修(%)一%1《^(外(1。)一1)4
и объясните, почему этот результат похож на соотношение
(7.16).
Примените метод Пикара к задаче if = Ку, ^ (0) = 1.
Выполните три последовательных приближения Пикара для задачи 旷=/ + у* у (0) = 0, у (1/2)= ? и дайте строгую оценку погрешности. Сравните результат с точным решением у (1/2)= =0.041791146154681863220768806849179.
Найдите о помощью метода последовательных приближений решение задачи
旷=Q Q у (0) = 0.
Обратите внимание, что метод может хорошо работать и для тех уравнений, которые у других методов вызывают серьезные затруднения. Еще большее различие возникает при решении уравнений
/ = /х + ^а, р(0) = 0 и 旷=今 +丸 у(0) = 0.
Определим / (х, у) следующим образом:
/a,力=
0
2%
-2х
при х<0,
при х>0, yVO,
при х>0, 0 < ^ < X8,
при х>0,炉<，
Покажите, что j (%, у) непрерывна, но не удовлетворяет условию Липшица.
Покажите, что для задачи У = j (х, у), у (0) = 0 метод последовательных приближений не сходится.
Покажите, что существует единственное решение и метод ломаных Эйлера сходится.
Используйте метод последовательных приближений Пикара для доказательства следующего утверждения:
если / (х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица (7.7) в бесконечной полосе D = {(х, у);无о《％《X}, то задача Коши 旷=f (х, у), у (%о) = у。имеет единственное решение при /《无之文.
Сравните этот общий результат о теоремой 7.3.
Определим функцию у (х) (обратную «интегралу ошибок») соотношением
Покажите, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению
8 =享也0(0) =о・
Получите рекуррентные формулы для ее коэффициентов ряда Тейлора.
Теория существования решения для систем уравнений
Первое обращение к теории существования решений дифференциальных уравнений, рассматриваемых совместно, содержится на последних сохранившихся страницах работы Коши (1824). Используя индексные обозначения, которые еще не были приняты в те времена, мы запишем уравнения в виде
班=九(%，敬，•・" 物)，уМ = У!^ % (X) = ?
・•・(9.1)
Sn = /«(%, % $ ・•，g) Уп («^o) = Uno, Уп (X) = ?
и поставим вопрос о существовании п решений 力(х), ...» 纵(％)・ Поскольку любым заданным функциям у19 ..., уп уравнения (9.1) ставят в соответствие производные этих функций, естественно снова рассмотреть по аналогии о (7.3) метод Эйлера
Sh, i+i = Ум + (勺+1一勺)力(勺，％±,•••，源0 (9.2) 左=1,...,九,4 = 0, 19 2,•
Здесь подразумевается, что ум аппроксимируют ^ (х。, где 力о V %i V %2 V ... — разбиение отрезка интегрированияу такое, как в (7.2).
Теперь попытаемся перенести все, что мы сделали в разд. 1.7, на новую ситуацию. Хотя при обобщении оценки (7.4) не возникает проблем, и мы получаем
\дм- yko\<Ah\xt — xq\9 если 13(%,勿，・・・，狐)|《4, (9.3) но положение несколько осложняется для (7.7). Нам надо оценить
3(%，Z]* . . ” 2П) —fh(X, 01, • • ” 0n)=
(9.4)
=粉(厶一力)+…+飴&一 %)，
г糜 лроизводные dfk/dyt взяты в подходящих промежуточных точках. Здесь Коши использовал неравенство, которое он открыл незадолго до этого и которое теперь называют неравенством Коши—Шварца 1У. («И наконец, из формулы (13) 11-го урока по дифференциальному исчислению следует ...>.) С его помощью
Или неравенством Коши—Буняковского. — Прим. ред.
получается соотношение
I fh(x, 4，. . ., 2П)—居(%, У19 • • м Уп) I《(9・5)
《((證 У Ь (■^■)2)'"(G1 - "1)2 + …+ (Zn -物)2)"〃
На этом этапе уже чувствуется, что для дальнейшего развития теории целесообразно ввести векторные обозначения.
Векторные обозначения
В интересующей нас области эти обозначения были введены в работах Пеано (1888) и (1890). Как он сам говорил, на него оказали влияние знаменитый трактат Грассмана «Учение о протяжённости» и исследования Гамильтона, Кели и Сильвестра. Введем векторы (Пеано называл их «комплексами»)
У = (j/i, • •・，Уп^Ui = (f/m • • Уп1)^*> z =(玄，• • ” zj' и т. д*
При этом мы надеемся, что читатель не будет путать компоненты у» вектора у с векторами, помеченными индексом. Рассмотрим «векторную функцию» 〃%,力=仇(%, / ・・・"п (%,力)勺 тогда уравнения (9.1) примут вид
“'=〃％, У), У (%)=物，У (X) = ?,(9.Г)
а метод Эйлера (9.2) будет задан формулой
协+1 =巩 + (勺+1一勺)/(修，山)，i = 0, 1, 2 и т. д. (9.2‘)
Теперь обозначения ничем не отличаются от одномерных случаев (7.1) и (7.3).
Принимая во внимание оценку (9.5), введем для вектора у = =仇，…，Уп)т норму (в оригинале «модуль»)
|回=便 + • • • + 成)"2,(9・6)
которая удовлетворяет всем обычным свойствам нормы, в частности неравенству треугольника
I
m П m
,斗 Di J卜 (67)
Теперь мы можем записать оценки (9.3) и (9.5) вполне аналогично (7.4) и (7.7).
Теорема 9.1. Предположим, что || / (х, у)J《 А| тогда для определенного с помощью (9・2‘) вектора yt выполняется оценка
|д± — %|《41修一*о]・(9・8)
Если I箫•|《％»，то
(9.9)(9.10)(9.9)(9.10)IfQ，z)-f(% g)|《L||z-亦ade L = (g ч!^12-
(9.9)
(9.10)
(9.9)
(9.10)
Доказательство. Оценка (9.9) получается в результате возведения в квадрат неравенства (9.5) и суммирования по А =
Оценка (9.9) называется «теоремой о среднем» х). Ее можно найти во многих книгах по математическому анализу.
Евклидова норма (9,6) — это не единственная возможная норма, мы будем также использовать норму
|g|| = max(3,・・” |%|)・(9・&)
(«Можно было бы также определить тх — наибольшее из абсолютных значений элементов х; для него свойства модулей почти очевидны» (Пеано).) В этом случае, чтобы установить соотношение (9.9), мы оценим (9.4) следующим образом:
|А(*，2)— fk(х, у)К (I證|+ ••* +|^|)，т：х(|4 — у/)・
Поэтому теорема 9.1 остается справедливой, если заменить (9.10) выражением
L = max(S |9м1).(9.10х)
И наконец, если мы хотим использовать норму
311 =岡+ ・・・ + 1%1，(96)
то в теореме 9.1 вместо (9.10) надо подставить
L=my(y|%")・(9.10Э
Во всех трех случаях мы установили полную аналогию с (7.6) и (7.7) из разд. 1.7. Остается только еще раз перечитать разд. 1.7 и 1.8: теоремы 7.2, 7.3, 7.4, 7 5 и 7.6 вместе с доказательствами и оценки(7・/0), (7./3), (7./5), (7./6), (7./7) и (7./8) переносятся на более общий случай с единственным изменением — вместо абсолютных величин надо подставить нормы.
“)В русскоязычной математической литературе этот термин используется в ином смысле, а соотношение (9.9) называют условием Липшица. — Прим. ред.
Подчиненные матричные нормы
Обозначим через Q матрицу с элементами qki. Определенная в (9.10х) константа, которую мы теперь обозначим через
называется матричной нормой^ подчиненной векторной норме (9・6‘). Это наименьшее число, при котором для всех векторов у справедлива оценка
IQ 川《IIQMM(9.12)
или, другими словамиу
3 =澗將・(9/3)
Аналогично в (9.10*) входит матричная норма, подчиненная норме (9.6*), т. е.
|Q| = max(§ |%/)・(9.1 Г)
Однако выражение (9.10) (которое называется «нормой Шура») не подчинено норме (9.6), так как оно, хотя и удовлетворяет (9.12), но не является наименьшей возможной оценкой, т. е. точной верхней гранью. В этом случае подчиненная норма задается формулой
|Ql = /^Z(9.11)
где 九№ — максимальное собственное значение произведения матриц Q7Q. Это можно усмотреть из равенства
DQy『 = UQ7Q 协
так как Q「Q всегда можно привести к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования.
Все указанные формулы остаются справедливыми и для комплексных матриц. Надо только заменить Q「на Q* (транспонированная и комплексно сопряженная матрица). Об этом можно прочитать, например, в книгах Уилкинсона (1965) или Бахвалова (1973), гл. VI, § 3.
Последовательные приближения Пикара для систем
Метод последовательных приближений Пикара также распространяется на системы, если в (8.7) ум (х), уои f (s, yt (s)) интерпретировать как векторы, интегрируемые покомпонентно. Результат о сходимости с оценкой (8.10) тоже остается в силе; для
его доказательства надо использовать после (8.8) и перед (8.9) неравенство
|jg(x)dx|< j||g(x)||dx(9.14)
для векторной функции g (х) = (gi (%), ...» gn (%))「• Соотношение (9.14) доказывается применением неравенства треугольника (9.7) к частичным суммам Римана, определяющим оба интеграла.
Метод рядов Тейлора, доказательство сходимости и рекуррентное вычисление коэффициентов ряда Тейлора также непосредственно обобщаются на системы уравнений.
Упражнения
Решите систему
俄=-g2,班(0)=1,
汲=+ %，2 (0) = 0
методами Эйлера и Пикара, установите точные оценки погрешности во всех трех упоминавшихся нормах. Проверьте результаты, используя точное решение уг (х) = cos %, у2 (%) = sin х.
Рассмотрим дифференциальные уравнения
阮=—100班 + ^2, 〃i (0) = L Pi (1) = ?
汲=玖一100^2,?2 (0) = 0,虑(1) = ?
Найдите точное решение у (х) g помощью метода, изложенного в разд. 1.6.
С помощью (7.10) найдите оценку погрешности для
Ь (%)— У (叫I，где z (%) = 0.
Примените к этому уравнению метод Эйлера с шагом А = =1/10.
Примените метод последовательных приближений Пикара.
Вычислите решение в виде ряда Тейлора для системы с постоянными коэффициентами у' = 4弘 у (0) = %. Докажите, что этот ряд сходится при всех %. Используйте его для уравнения из упр. 1.
Ответ:
8 ,
У (*) = e 齐 4%=：叁"%•
Дифференциальные неравенства
Дифференциальные неравенства — это изящный инструмент, который позволяет совершенно по-новому взглянуть на уравнения (7.10), (7.17) и лучше понять их. И в этой области начало исследованиям положила работа Пеано (1890), а затем они были продолжены Перроном (1915), Мюллером (1926), Камке (1930). Классическим трудом по этому предмету является книга Вальтера (1970).
Введение
Основная идея состоит в следующем: обозначим через и (%) ломаную Эйлера, определенную в (7.3) или в (9.2); тогда
u'(x) = f(修，у») при Xt<X<XM.(10.1)
В произвольно выбранной норме исследуем погрешность т (х) =[v (х) — у (х)||(10⑵
как функцию от % н, естественно, попытаемся оценить ее рост.
К сожалению, /и (х) не обязательно будет дифференцируемой из-за угловых точек, которые, во-первых, содержатся в ломаной Эйлера, а во-вторых, порождены нормами, особенно (9.6') и (9.6") • Поэтому рассмотрим так называемые производные Дини9 определенные следующим образом:
D+m (%) = lim sup 加"色±-^二 加 ⑺，
Dr (x) = lim sup乃*十冬一加⑴,
D+m(x) = lim inf 加(叶吋一加同， й>0Л
D.m (X) - lim inf 里.色±上；-加⑴一；й<0л
см., например, работы Шеффера (1884), Хобсона (1921), гл. V, § 260, § 280. Свойства
iwa+mii-iwa)n《iw(*+3-5(x)ii，
触(明一iwa+mii《他(*+九)一叫X)11.)
являются простым следствием неравенства • треугольника (9.7). Разделив (10.3) на Л > 0, мы получим оценки
D4w(x)l^ (x)^D^w(xn^ ^(Ю.4)
где wf(x) — правая производная вектор-функции w (х). Если мы применим их к /и (х) из (10.2), то придем к соотношению D+加(х) & Н (*) — 外(*) [ = Ц и' (х) - / (*, и W) + f (%。(x))l из которого, применяя неравенство треугольника и условие Липшица (9.9), получим, что
De (х)《6 ⑻ + Lm (力(10.5)
Здесь мт ввели функцию
6(» = |u(刁一/旧。a)儿(Ю. 6)
которая называется дефектом 2) приближенного решения и (%)• Эта фундаментальная величина служит мерой того, насколько функция V (%) не удовлетворяет ивходному дифференциальному уравнению. Неравенство (7.11) совместно с (10.1) указывает на, то, что 6 (%)& е, а поэтому мы можем продолжить оценку (10.5).
厶加(%)《Lm (х) + е, m (%) = 0.(10.7)
Соотношение (10.7) [или (10.5) ] называется дифференциальным неравенством. Вопрос заключается в том, допускается ли замена знака у» на «=», т. е. можно ли вместо (10.7) решить уравнение
〃'=L〃 + е, и (/) = 0,(10.8)
и сделать вывод, что т (х} ^ и (х)? С учетом формул из разд. 1.3 или 1.5 это означало бы, что
加(х)《艺(*(I。)一 1).(10.9)
Таким образом, мы получили бы оценку погрешности (7.17) есте" ственным способом н, кроме того, открыли бы изящное и мощное средство для новых оценок различного рода.
Фундаментальные теоремы
Общая теорема типа
D+m(x)^g(x9 т(х))\
D+〃(x)>g(x, 〃(х))今—(10.10)
/ 、/ / 、при / О
加(*0)《"(*。)
')В отечественной литературе 6 (х) принято называть нормой невязки исходного дифференциального уравнения для функции о (х). — Прим. ped・
не может быть верна. Контрпримером может служить любое дифференциальное уравнение с неединственным решением» скажем У = g (%, У)= /房 Для которого
т(х) = ^ 〃⑴=0.(10.11)
Пеано и Перрон сделали важное наблюдение, позволяющее нам преодолеть эту трудность. Оно заключается в том, что одно из первых двух неравенств надо сделать строгим (см. работу Пеано (1890), § 3, лемма 1).
Теорема 10.1. Предположимf что функции т (х) 〃 “(％) непрерывны и при %《力《X удовлетворяют условиям
Р+т (х)《g (%, /п (х)),
Ь)以〃⑴》g (芻〃 (%)),(10.12)
e) m (%)сй (向).
Тогда
m (х) < u (x) при %《x《X.(10.13)
Это утверждение справедливо и в том случае^ если в a) u b) D+ заменить на D+.
Доказательство. Чтобы можно было сравнивать производные D^m и D+〃 в (10.12), рассмотрим точки, в которых m (х) = и (%). В этом состоит основная идея доказательства.
Если бы (10.13) не выполнялось, мы могли бы выбрать точку xs> в которой т (修)> “ (％), и искать первую слева от х2 точку 厶, такую что т (xj = и (*0・ Тогда при малых Л > 0 будет выполняться неравенство
m (хх + Л) — m (*i)、и (xt + h)^ и (力)h 2 h •
Переходя в нем к пределу, получим соотношение D+m (х2) > 》D+〃 (%】). Однако оно противоречит условиям а) и Ь), в силу которых
D+m (%。《g (%i,加(/))=
=g 的，〃(/))V D+u (/).■
Эту теорему можно сформулировать многими способами, например с использованием левых производных Дини [Вальтер (1970), гл. II, § 8, теорема V]. Опираясь на рассуждения из введения, мы придем к следующему результату.
Теорема 10.2. («Фундаментальная лемма».) Предположим, что и (х) — приближенное решение системы дифференциальных урав-
нений yf ^ f (х, g), у (%) = %, которое удовлетворяет следующим условиям:
а)[火喲一у aJD《p,
I 丁(%) — / (х, V (х)) I《8,
||/ (х, S — f (%, У) I《厶丨 и—川・
Тогда при % > % справедлива оценка погрешности
3 (%) — и (х) И《Р* а-*。) + у.(灰(4*“ 一 1).(10.14)
Замечание. Два члена в (10.14) выражают влияние на погрешность приближенного решения погрешности р в начальных значениях и невязки е соответственно. Это соотношение означает непрерывную зависимость погрешности от обеих величин и единственность решения, поскольку у (%) = и (х) при р = в = 0.
Доказательство. Положив ' т (х)*= [ у (х) 一 и (х) Ц, как и в (10.7), -получим
D+m (х) < Lm (х) + 8, /и (х0)《р.
Попытаемся сравнить это неравенство о дифференциальным уравнением
〃'=L〃 + % и (：о) = р.(10.15)
Теорему 10.1 непосредственно применить к этому случаю нельзя. Поэтому в (10.15) заменим внав + а, а>0и решим другое уравнение:
〃‘ =L〃 + е + " > L〃 + % u (x0) = p.
Теперь теорема 10.1 дает оценку (10.14), где вместо е стоит 8 + т]. Поскольку эта оценка справедлива при всех а > 0, она выполняется и для ц = 0. ■
Другая формулировка теоремы 10.2. Из условий
I и (%) —，(х0) 1《р,
I『(%) — / (х, V ⑴)I < 6(%),
If(Xtv) — f (х, у) I《/ (%) р и — g| следует^ что при %》％ имеет место оценка
■ 曲1*
|g(x)—0(x)1《或的 p + JkA")6(s)ds , L(x) = j /(s)ds.
Доказательство. Достаточно применить формулы (3.3).■
Теорема 10.3. Если функция g (х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица^ то импликация (10.10) справедлива для непрерывных функций т (х) и и (х).
Доказательство. Определим функции wn (х), vn (х) как решения начальных задач
叫(%) = g(芻 外(%)) + ；, 5 (% =团(％),
嗚(%) = g (% % W) - ；, % (%) = 〃 (/)・
Тогда по теореме 10.1
т(х)<wn(х), vn(х)<u(x) при %《x《X・(10.16)
Из теоремы 10.2 следует, что функции wn (х) и vn (х) сходятся при 几 f 8 K решениям уравнений
⑪‘(%)=g (招5(%)),5(%) = m (Xo),
U ⑴=g (芻 и (х)), и (%) = 〃 (％),
так как дефект равен ±1/п. И наконец, вследствие неравенства т (х0)《и (х0) и единственности решений мы придем к соотношению 切(%) V и (х). Переходя в (10.16) к пределу при п оо, мы получим, что /п (%)《“ (х). ■
Можно еще больше обобщить теорему 10.2, если заменить условие Липшица Ь) некоторым нелинейным выражением типа
卄(х, u)-f(x, y)UV®a，Ци — уЦ)・
Тогда дифференциальное неравенство для погрешности т (%) надо сравнивать с решением уравнения
мг = ® (%, 〃)+ 6 (х) + & 〃(％ = р, 口 А 0・
Более подробно этот вопрос изложен в работе Вальтера (1970), гл. Ц, § 11.
Оценки с использованием односторонних условий Липшица
В упр. 2 из разд. 1.9 мы уже отметили давно известный факт, что при использовании в оценках (7.16), (7.17) или (7.18) положительных констант Липшица L (например (9.10), (9.10'), (9.10")) можно упустить мнбго информации о погрешностях. Все оценки растут экспоненциально по х, даже если решения и погрешности затухают. Поэтому было предпринято много усилий для улучшения оценок погрешности, как, например, в статьях Эльтерманна (1955), Ульманна (1957), Далквиста (1959) и в работах, на которые ссылаются эти авторы. Мы с большим удовольствием будем следовать особо ясному изложению этого вопроса в работе Далквиста.
Оценим производную функции m (%) = | и (%) — у (%) | более тщательно по сравнению с (10.5): при Л > 0 с использованием (10.6) и (9.7) мы получим .
加(* + 九)=1w(* + 3-姒x + 九))|
=И и (%) - 0 (%)下九 U (%) - У (*)) 1 +。⑺/ ] n ]力
《iiu(x)-ga)+九(/(片 и(х))т(*, ya)))i * •'
+九6a)+0(胪).
Теперь, применив к функции у + hf (х, у) формулу Коши для конечных приращений, придем к неравенству
m(* + 九)《&捣x。(J/+b第(*,叫б(X) + 九6(%) + 0(川)，
из которого окончательно получим для й > 0
F(x)y max卜+喘产)|7吟)+ 也候1"(幻,0a"a
+ 6(%) + 0(九).(10.18)
Выражение в правой части (10.18) приводит нао к следующему определению.'
Определение 10.4. Пусть Q является квадратной матрицей.
Назовем выражение
卩(Q)= lim屮 +制二 L(10.19)
логарифмической нормой Q・
Приведем далее формулы для ее вычисления [Далквист (1959),
Эльтерманн (1955)].
Теорема 10.5. Логарифмическая норма (10.19) получается по следующим формулам: для евклидовой нормы (9.6)
О (Q) = Хщдх = наибольшее собственное значение матрицы
Для max-нормы (9・6‘)p(Q) = n^x(g + 斗%,1).Для нормы (96)р (Q)亍ш产侬+卫I%/)・Для max-нормы (9・6‘)p(Q) = n^x(g + 斗%,1).Для нормы (96)р (Q)亍ш产侬+卫I%/)・(10.20)
Для max-нормы (9・6‘)
p(Q) = n^x(g + 斗%,1).
Для нормы (96)
р (Q)亍ш产侬+卫I%/)・
Для max-нормы (9・6‘)
p(Q) = n^x(g + 斗%,1).
Для нормы (96)
р (Q)亍ш产侬+卫I%/)・
(10・2(Г)
(10.20*)
3 XaSpep Э. и др・
Доказательство. Соотношения (10.20') и (10.20") являются почти тривиальным следствием формул (9.1Г), (9.1 Г) и определения (10.19). Дело в том, что присутствие единичной матрицы / подавляет при достаточно малых Л абсолютные величины диагональных элементов. (10.20) следует из того факта, что собственные значения матрицы
(Z + 九Q)「(/ + 即)=/ + 九(QT + Q) + 幣QTQ
при 九一> 0 сходятся к 1 + йХь где 笳一собственные значения матрицы QT +■
Замечание. Для комплекснозначных матриц приведенные выше формулы принимают вид；
卩(Q) = наибольшее собственное значение матрицы у (Q* + Q),
卩(Q) = max (Reqkk +^S Им1),
»(Q) = max (Re%»+ £ | %").
С помощью неравенства (10.18) можно весьма существенно усилить теорему 10.2.
Теорема 10.6. Предположим, что справедливы оценки
9 傷(％中)《"")пра "心⑴，。(灯1
|”(х)-〃х, и(*))||《6(*), Ци(/)-у(*о)||《Р・(10.21)
Тогда при х > х0 выполняется соотношение
Qу (х)—и (x)J《F(*)(р + |e-z ⑷6 (s)成)，(10.22)
где L (%) = J / (s) ds.
也
Доказательство. Поскольку при фиксированном % отрезок [а (х), у (%) ] является компактным, величина
К = max maxi [。(力" («)]К = max maxi [。(力" («)]
К = max max
i [。(力" («)]
К = max max
i [。(力" («)]
конечна. Тогда (см. доказательство теоремы 10.5) выполняется соотношение
j-%L = " 我 ④)+ Q 彻
где член О (Л) равномерно ограничен по т)・(Для норм (9.6‘) и (9.6") этот член в действительности равен нулю при h < 1/К・) Таким образом, подстановка условия (10.21) в (10.18) дает неравенство
D+m (х) ^ I (х) т (%) + 6 伪).
Теперь оценка (10.22) получается тем же способом, что и в теореме 10.2.*
Упражнения
Примените теорему 10.5 к примеру из упр. 2 в разд. 1.9. Обратите внимание на значительное улучшение оценок.
Докажите следующее утверждение (одна из формулировок знаменитой «леммы Гронуолла», Гронуолл (1919)): предположим, что положительная функция m 厶)удовлетворяет неравенству .
m (х)《р + 8 (х — %) + L J /и (s)由=三 w (х).(10.23)
Тогда имеет место оценка
т (х)《р〃(―九)+ -1 (Н а-%" - 1).(10.24)
Примените при доказательстве:
прямой способ, вычитая из (10.23) равенство
〃 (х) = р + е (* — *о)+ L J 〃 (s) ds；
дифференцирование w (х) в (10.23) и теорему 10.1.
Докажите теорему 10.2 с помощью приведенной выше леммы Гронуолла. Такие же взаимосвязи имеются, конечно, и в более общих случаях.
Воспользовавшись примером
У〔 = У2» 女=—Уъ установите, что распространение теоремы 10.1 на системы дифференциальных уравнений первого порядка при покомпонентной интерпретации неравенств в общем случае неверно [Мюллер {1926)]. Однако такого рода обобщение теоремы 10.1 можно доказать при дополнительном предположении о квазимонотонности функций gi (х, у】, ...,д/, т. е. при условии
gi (*，Уъ • • •> У/, • •・，f/n)《Si (%，Уъ • • •> 2力•・・，gjесли yj V z『при всех / * L
Попытайтесь доказать это.
Важно отметить, что многие системы, полученные из параболических дифференциальных уравнений, вроде (6.10), de小 ствительно квазимонотонны. Поэтому изложенные в данном разделе идеи допускают много интересных применений [см. работу Вальтера (1970), гл. IV].
Докажите следующие свойства логарифмической нормы:
р> (aQ) = ajji (Q) при a > 0,
-HQR《卩(Q)《RQ||,
卩(Q + p)《》(Q) + d(p), o(Jq(0^)<Jh(Q(0)^
Г) IMQ)-P(P)|《||Q —P|・
Для евклидовой нормы p (Q) (10.20) является наименьшим числом, удовлетворяющим неравенству
〈6 QS《卩(Q)切『・
Данное свойство справедливо для всех норм, порожденных скалярным произведением. Докажите это.
Покажите, что для эвклидовой нормы условие (10.21) эквивалентно неравенству
匂一z, 乂修 g)-f(修 zD^/OOUg-zF.
I.1L Системы линейных дифференциальных уравнений
Приобретенные знания о существовании и единственности решений и сведения из линейной алгебры помогут нам, каК и математикам XIX века, лучше понять многие вопросы, касающиеся линейных дифференциальных уравнений высокого порядка, которые остались не вполне выясненными в разд. 1.4 и 1上・
Уравнение (4.9) в результате деления на %(%) (%(%)*0 вне особых точек) принимает вид
严）+% а）"т+…+4（山=/а）・严）+% а）"т+…+4（山=/а）・⑴.1)⑴.1)переменные у = ^, / =%，・・・, У(п~п = Уп, мы полу-переменные у = ^, / =%，・・・, У(п~п = Уп, мы полу--%（X）-%T（X）.・・-%（X）-%（X）-%T（X）.・・-%（X）
严）+% а）"т+…+4（山=/а）・
严）+% а）"т+…+4（山=/а）・
⑴.1)
⑴.1)
переменные у = ^, / =%，・・・, У(п~п = Уп, мы полу-
переменные у = ^, / =%，・・・, У(п~п = Уп, мы полу-
-%（X）-%T（X）.・・-%（X）
-%（X）-%T（X）.・・-%（X）
Как и в разд. 1.9, обозначим через у вектор 匂】,..., уп)т § а через / (%) — неоднородную часть. Тогда (11.Г) будет частным случаем системы линейных дифференциальных уравнений общего вида
旷=4 (%)g + f(x), (11.2)
А (х)=(。廿(*)),『(%) = (ft (*)), /, j = L ・・・ * 九.
К ней можно непосредственно применить теоремы из разд. 1.9 и 1.10. Поскольку частные производные правой части (11.2) по yi равны aki (х), выполняется оценка Липшица (см. условие (с) из второй формулировки теоремы 10.2), где / (х) = || Л (%)[ в любой подчиненной матричной норме [(9.11), (9.1 Г), (9.1 Г)]. Применим теорему 7.4 и вторую формулировку теоремы 10.2, где в качестве «приближенного решения» возьмем и (х) = 0. Мы можем также выбрать Z (%)=卩(Л (%)) [см. (10.22), (16.22'), (10.22")] и использовать теорему 10.6.
Теорема 11.1. Пусть А (х) непрерывна на отрезке [х0, XI. Тогда при любых начальных значениях % = (i/10, ..., уп^Т существует единственное решение системы (11.2) для всех *《
《％《X, и оно удовлетворяет оценке
闻初42 11%1 + ""価由，(11.3)
L(x) = J /(s)ds, /(x) = j Л (x)| или "x) = a(4(x))・
При f (%)三 0 решение у (x) линейно зависит от начальных значений, т. е. существует матрица R (х, /) (^резольвента»}, такая что
у (х) = R (х,向)％.(11.4)
Доказательство. Поскольку I (%) непрерывна и поэтому ограничена на любом компактном отрезке [х0, XI, оценка (11.3) показывает, что решение можно продолжить до конца отрезка. Линейная зависимость следует из того факта, что при /三 0 линейные комбинации решений снова будут решениями, и из единственности решения. ■
В силу единственности решения с начальными условиями % в / н % = A (%i, х0) % в 石 должны совпадать. Поэтому при 力о « 尤工《 修 справедливо равенство
R (力а，力q) = R (修,*i) R (%i,力o)・(11・5)
И наконец, проинтегрировав назад от хх, у19 т. е. выполнив преобразование координат 尤=%i — /, 0 < / < хх — х0, мы должны прийти, снова вследствие единственности, к начальным значениям. Таким образом,
R (%о,石)=(R (%1, *о))т,(1L6)
так что (11.5) справедливо и в общем случае.
Матрица Вронского (вронскиан)
Рассмотрим yi (х) = (уи (х), ..., yni (%))「(/ = 1, ...» п) — множество 九 решений однородного дифференциального уравнения
/ =4 (%) У,(Н.7)
которые в точке % = % являются линейно независимыми (т. е. образуют фундаментальную систему). Составим матрицу Вронского [Вронский (1810)1
C
nW ••• Ут W\
：・
nl (%) • • • Упп (*)丿
Тогда
犷(%) = 4 (%) » (х), а любое решение можно записать в виде
с传1 (х) + …+ спуп (х)=取(х)・с, где с = (q,・・・，с^т. (11.8) Если это решение должно удовлетворять начальным условиям у (х0) = %, то мы получим с =唄(х0) yQ и формулу '
R (х, х0) = W (х) W-1 (х0). (11.9)
Таким образом, если найдено 九 линейно независимых решений, то “ все решения известны. Однако в общем случае при непостоянной матрице Л (х) почти ничего не известно о том, как их построить.
Тождество Абеля —Лиувилля —Якоби —Остроградского
Из (11.6) уже видно, что W (х) остается регулярным при всех х. Теперь покажем, что определитель W (%) можно задать явно следующим соотношением:
det W (х) = det (取(％))・ехр ( J Tr (4 (s)) ds,Тг (Л (x)) = % (%) + % (%) + …+
+ %(%), (11.10) которое связывает определитель W (х) со следом матрицы А [Абель (1827), Лиувилль (1838), Якоби (1845), § 17].
Для доказательства (см. также упр. 2) мы найдем производную 含 det (W (%))• Поскольку det (W (x)) — полилинейная форма, ее производная (по правилу Лейбница) является суммой п членов, первый из которых равен
Подставим сюда уц = а^уц + ... + a\nyni в соответствии с (11.7). Члены @12^2»， ・・•，Oin^nf исчезают, так как они кратны строкам со 2-й по n-ю. Поэтому Тх = аи det (W (%))・ Сложив все Ти мы окончательно получим формулу
套 det ” (%)) = (au ⑴ + …+ % ⑴)・ det ” ⑴)，(11.11)
проинтегрировав которую, придем к (11.10). ■
Неоднородные линейные уравнения
Обобщив идеи Йог. Бернулли для (3.2) и Лагранжа для (4.9), мы теперь найдем решение неоднородного уравнения (11.2) посредством «вариации» постоянной с, т. е. сделав с «переменной» в <общем решении» (11.8) однородного уравнения у (х) = W (х)х X с (%) [Лиувилль (1838)1. Точно так же, как в разд. 1.3 для (3.2), из (11.2) и (11.7) с помощью дифференцирования мы получим
д' = Wfo + Wof = AWо + Nd = AWo + f・
Следовательно, o' = W^f. В результате интегрирования, взяв постоянные интегрирования о, мы придем к равенству
g(x)^W(х) JIFT(s)f (s)ds + М^с.
Из начальных условий g (%) = % определим 6 = /т(*)%. Итак, мы получили следующий результат.
Теорема 11・2・ («Формула вариации постоянных».) Пусть А (х) и / (%) являются непрерывными. Тогда отвечающее начальным условиям у (%。) = % решение неоднородного дифференциального уравнения yf^A(xjy + f (%) вычисляется по формуле
JT W = ^ W W ^0 + j ^1 (s) f (S) ds =
=R(修 ％%+ §R(%, s)f(^ds.(11.12)
Упражнения
Найдите резольвентную матрицу R (х, х0) для систем
а)质=Уь Ь) у{=物，
У2 = 3^2,圾=—gi
и проверьте справедливость соотношений (11.5), (11.6), а также (11.10).
Восстановите оригинальное доказательство Абеля для (НЛО), которое относилось к случаю
而+"质 + 的1 = 0, g； + p痴 + 妆2 = 0；
для этого надо умножить уравнения на ^2 и % соответственно и вычесть одно из другого, чтобы исключить q. Затем проин-
тегрируйте полученное равенство и используйте результат для вывода тождества, связывающего два интеграла,
%⑷=(%⑷=(尸%一炉炉tdx и物（a） = jeY”T*炉"厶,
%⑷=(
%⑷=(
каждый из которых удовлетворяет уравнению
(11.13)(11.13)叫fl dyi上
(11.13)
(11.13)
2da F
Указание. Для проверки (11.13) проинтегрируйте от нуля до бесконечности выражение 会(exp (ах —炉)ха) [Абель (1827), случай IV].
[Куммер (1839)1 Покажитё, что* общее решение уравнения gw (х) хту (х)(11.14)
можно получить в квадратурах.
Указание. Дифференцирование (11.14) дает
勿*1) = %/у + м%.(11.15)
Для нахождения рекуррентного соотношения предположим что общее решение уравнения
旷⑴=%e也 T. е. ^^ ^(хи)=d7鹏*%(**(11.16) уже известно. Покажите, что тогда функция
У ⑴=,d" ехр (—詳^)屮(w) d〃 о
является общим решением уравнения (11.15), а при некоторых условиях на параметры — и (11.14). Для того чтобы упростить расчеты, рассмотрите функцию
g(〃) = 〃mexp (―^^)中(%〃)，
найдите производную по “，умножьте ее на 炉1 и проинтегрируйте от 0 до бесконечности.
(Слабые особенности в системах.) Покажите, что линейная система
U = ；(4o + 4/ + 4炉+・・・)9(11・17)
имеет решения вида
У (%) = " (% + 叩 + S炉 + ・・)(11.18)
где %, %, ... — векторы. Определите сначала р н %, а затем рекурсивно % 内 и т. д. (Убедитесь, что существует п независимых решений вида (11.18), если собственные значения Ло удовлетворяют условию %» 总 %； mod (Z)*"1) [Фукс (1866)].)
Найдите общее решение систем со слабой особенностью
Указание. Первую систему легко решить на основании упр. 4, а для второй требуются дополнительные приемы (см. формулу (5.6)). Возможен и другой способ: использовать преобразование % = * у (х) = z (0 н применить методы из разд. 1.12.
')Т. е. разность 儿一为 не равна целому числу. — Прим. ред.
L12・ Системы с постоянными коэффициентами
'«Техника интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами развита здесь на самом высоком уровне.ж
(Примечание Ф. Клейна в книге Рауса (1898))
Линеаризация
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами образуют класс уравнений, для которых резольвенту R (х, х0) можно вычислить явно. Обычно они встречаются при линеаризации негзависящих от времени (т. е. автономных- или перманентных) нелинейных дифференциальных уравнений
W = f®, ・・・，уа или 加=力仅，...，g/(12.1)
в окрестности стационарной точки [Лагранж (1788), см. также работы Рауса (I860), гл. IX, Томсона и Тейта (1879)]. Выберем координаты таким образом, чтобы эта стационарная точка попала в начало координат, т. е. выполнялось равенство ft (0, ...,0) = 0. Затем разложим 介 в ряд Тейлора, пренебрегая всеми нелинейными членами:
班=?熬⑼九1ym加=?器⑼板・(12・1') Эта система уравнений с постоянными коэффициентами, введенная в разд. 1.6 (см. (6.3), (6.11))з
if = Ay или у№ = Ад.(12.Г)
Автономные системы инвариантны относительно сдвига х-^х + С. Поэтому мы всегда можем предполагать, что х0 = 0. Для произвольного % резольвента задается формулой
R (х, х0) = R (х — х0, 0).(12.2)
Приведение к диагональному виду
В разд. 1.6 мы уже видели, что из предположения у (х)= =ие“* следует равенство
Аи = %и или Аи =炉。，(12.3)
и поэтому и*0 должен быть собственным вектором А, а % — соответствующим собственным числом (в первом случае, а во вто-
ром случае, который мы больше не будем рассматривать, — квадратным корнем из собственного числа). Из (12.3) следует, что такой вектор и /= 0 существует тогда и только тогда, когда определитель, который называется характеристическим многочленом матрицы Д, равен нулю:
%厶(%)： ==: det 仇/ —力)
=(Л — %)仇—斯)…仇—統)=0.(12.4)
Теперь предположим, что для п собственных значений %, можно выбрать п линейно независимых собственных векторов и±・ Тогда из (12.3) мы получим равенство
4 (。工。2 • • • %) = (。1。2 • • • %) diag (%i,斯，• • •, %n))
или
L4T = diag &, %,…，統)，(12.5)
если через Т обозначить матрицу, столбцами которой являются собственные векторы А. При сравнении (12.5) с (12.Г) мы видим, что дифференци аль ное уравнение значительно упрощается за счет использования преобразования координат
у (х) = Tz (х), /(х) = Т/(х),(12.6)
которое приводит систему к виду
z‘ (%) = diag &, %，…，“ z (x).(12.7)
Таким образом, исходная система дифференциальных уравнений распадается на п скалярных уравнений, для которых легко найти решение
z(*) = diag(exp(為斤),exp&*), ..., exp (統％)) %,
откуда о помощью (12.6) определяется
у (х) = Т diag (exp &х), exp (%х),…，
exp ^^у„(12.8)
Разложение Шура
«Der Beweis 1st leicht za erbringen.» «Эго легко доказать•> (Шур, 1909)
Предыдущая теория, какой ба красивой она ни казалась, имеет несколько недостатков!
не все nxn-матрицы имеют 九 линейно независимых собственных векторов;
даже если исходная матрица обратима, матрица Т может иметь очень плохое поведение (см. упр. 1).
Однако, как утверждает классическая теория, симметричные матрицы А всегда можно привести к диагональному виду с помощью ортогональных преобравований. Следуя работе Шура (1909), обобщим эту классическую теорию на несимметричные матрицы. Вещественная матрица Q называется ортогональной, если ее столбцы являются попарно ортогональными векторами с нормой 1, т. е. если Q"Q = I или Q? = Q-L Комплексная матрица Q называется унитарной, если Q*Q = I или Q* = Q-工， где Q* — сопряженная матрица для Q, т. е. транспонированная и комплексно сопряженная.
Теорема 12Л«
(Шур) Для каждой комплексной матрицу Л существует унитарная матрица Q, такая что
(12.9)(12.9)
(12.9)
(12.9)
Ь) [Уинтнер—Мурнаган (1931) ] Для вещественной матрицы А можно выбрать вещественную и ортогональную матрицу Q, если для каждой пары комплексно сопряженных собственных значений 儿 А = а 土 毋 можно заменить блок
Доказательство, а) Матрица А имеет по крайней мере один собственный вектор о собственным значением 九＞ Используем этот нормированный вектор в качестве первого столба матрицы Ее остальные столбцы выбираются произвольно среди векторов, дополняющих первый столбец до ортонормированного базиса. Тогда
/ %Х J ^2 • • •
AQi = Qi ( d ]•彳—丿.(12.10)
Далее применим тот же прием к (п — 1)-мерной матрице А и придем к соотношению
С помощью унитарной матрицы
получимполучимQ*AQlQ2 = Q2Q*AQlQ2 = Q2XXXXXX
получим
получим
Q*AQlQ2 = Q2
Q*AQlQ2 = Q2
X
X
X
X
X
X
、х... X
Продолжение этого процесса в итоге приведет нас к треугольной матрице типа (12.9), причем Q = (?乩 … Опт・
Пусть 4 — вещественная матрица. Если 1£ — вещественное число, то в качестве Q】можно выбрать вещественную и ортогональную матрицу. Теперь предположим, что £ = а + ip (В =# =/： 0) — невещественное собственное число с соответствующим собственным вектором и + 加，т. е.
4 (〃 士 加)=(a 土 币)(" 土 切)(12.11)
или
Au == аи —阿 Au = 0〃 + аи.(12.1Г)
Поскольку Р =/= 0, 〃 и и линейно независимы. Выберем ортогональный базис А, , в подпространстве, натянутом на ^ и &9 и возьмем S и 0 в качестве первых двух столбцов ортогональной матрицы Qi・ Тогда из (12.1Г) следует, что
(
X Х|Х ... Х\ 。1才丿
Сам Шур не придавал большого значения «своему» разложению, он просто вывел его как средство для доказательства интересных свойств собственных значений (см., например, упр. 2).
Ясно, что при вещественной и симметричной Л матрица QTAQ тоже будет симметричной, а поэтому диагональной (см. также упр. 3).
Численные расчеты
Приведенное выше теоретическое доказательство не слишком полезно практически: оно требует знания собственных значений, а их вычисление из характеристического многочлена является
одной из хорошо известных глупостей в численном анализе. При разумном применении численного анализа идут по другому пути:, вещественную матрицу А сразу приводят сначала к 4юрме Хессенберга, а затем с помощью последовательности ортогональных преобразований — вещественной форме Шура, предложенной Уинтнером — Мурнаганом (QR-алгоритм Фрэнсиса, реализованный в вйде программы Мартином, Петерсом и Уилкинсоном, алгоритм II/14 в книге Уилкинсона—Райнша (1970)). Тогда соб- ствецные значения получаются без дополнительных усилий. Однако программа, названная《HQR2》, не дает форму Шура для 4, так как она продолжает работу до нахождения собственных векторов. Поэтому надо произвести некоторые действия, чтобы прервать программу в нужный момент (например, в версии HQR2 на Фортране из сборника Эйспак (1974) в операторе с меткой 60 надо заменить «340» на «ЮОЬ). Счастливые обладатели пакета 《Matlab》просто вызывают процедуру SCHUR.
Когда форма Шура найдена, преобразование у (х) = Qz (х), уг(х) = Qzr(x) [см. (12.6)] приводит к системе
(12.12)(12.12)
(12.12)
(12.12)
Для ее последнего уравнения z； == %nzn можно найти решение Zr = exp (lnx) Zro. Далее, уравнение для z^t имеет вид
2〃—I = %n—l2/1—1 + Ьц—1. п 2〃，(12.12')
где zn известно. Это линейное уравнение (неоднородное, если Ьп^п =/= 0), которое можно решить с помощью метода Эйлера, изложенного в разд. L4. Здесь возможны два случая:
если 儿吋i #= 1П> то представим z" в виде ZrJ ^ =Е ехр (九пт%) + 尸 exp (1пх), подставим эту формулу в (12.12') и сравним коэффициенты. В результате получим: 尸= =^n~l, п2по/(^п — ^п-1) н Е = zn^ о —尸・
Если 九n—i = ln, то будем искать z^j в виде z^-i = (E + + Fx) exp (lnx) и получим 尸=bn^ nzn0 н E = Zl
На следующем этапе, действуя по той же схеме, найдем z^t и т. д. Для элементов резольвенты в случае 九»1； можно полу-
чить простые рекуррентные формулы [Парлетт (1976)1. Предположим, что
z» (%) = £ Е，> ехр (九户)，
и подставим это выражение в (12.12). Из сравнения коэффициентов мы получим для i = м, п — 1, п — 2 и т. д. следующие значения:
^^^^^(^^Л 也= / + Ь，+ 2, ・・・, (12.13)
д
Каноническая форма Жордана
«Проще, чем вн думали». (Американский математический журнал, 1980)
Если мы, как и многие математики, не будем чураться плохо обусловленных матриц (см. у пр. 1), то полученную выше форму Шура мы сможем и дальше преобразовать к знаменитой жордановой канонической форме.
Теорема 12.2. [Жордан (1870), книга вторая, § 5 и 6] Для любой матрицы А существует невырожденная матрица Т, такая* что
・(12.14)・(12.14)Т^АТТ^АТ
・(12.14)
・(12.14)
Т^АТ
Т^АТ
(Блоки могут иметь разную размерность, а 3 не обязательно различны.)
Доказательство. [Флетчер—Соренсен (1983)] Мы можем считать, что матрица уже имеет форму Шура. Можно, конечно, также считать, что одинаковые собственные значения располагаются рядом на главной диагонали.
Следующий шаг состоит в том, чтобы убрать все ненулевые элементы, не принадлежащие верхним треугольным блокам,
содержащим одинаковые собственные значения. Продемонстрируем эту процедуру на следующем примере: пусть A1H % и
Наша задача — найти такую матрицу преобразования, чтобы исчезли Ь, с, d н е・ Будем искать ее в виде
Все элементы с“ этих матриц уже совпадают, за исключением правого верхнего блока 2x2 (f == 1, 2 и / = 3, 4). Перемножая матрицы, получим A1P + ar + b = 12р,入j + d =九蟾 и аналогичные уравнения для g и s・ Матрицы этих систем имеют треугольную структуру, и, поскольку 九I =/=儿2, легко найти г и р, а затем s и д. Теперь ясно, что нужно делать в более общей ситуации (попытайтесь построить пример!).
На последующих шагах мы обрабатываем оставшиеся блоки раздельно. Таким образом, мы предполагаем, что все диагональные элементы блока равны, и рекурсивно преобразуем блок к форме, указанной в утверждении теоремы.
Будем считать, что матрица 4 имеет вид
и в качестве индуктивного предположения примем, что 4 можно привести к жордановой форме с помощью матрицы 7\・ Тогда выполняется равенство
2屮ц
014八017J \0 I Л
где вектор Ь имеет значение b = Т；а. Затем стоящую справа матрицу можно упростить следующим образом:
Здесь мы будем различать два случая:
а) &1 = 0. Тогда мы поменяем местами первую пару (блочных) строк и столбцов и снова получим индуктивное предположение.
Ь)瓦：/= 0・ В этом случае для замены & на 1 используем масштабирующую диагональную матрицу (упр. 4). Наша последняя задача — убрать Ь&, Ь《,....Эти члены выталкиваются вправо следующим образом:
и т. д. Чтобы с помощью такой процедуры окончательно избавиться от всех 瓦,мы должны предположить, что первый блок не меньше последующих. Это упорядочение надо провести в начале с помощью перестановок#
Произведением матриц всех этих преобразований и будет матрица Т из (12.14). ■
Следствие 12.3. Для любой 'матрицы А и любого числа а ^ О существует невырожденная матрица Т (зависящая от 8), такая что
Т^АТ = diagТ^АТ = diag・8М,・8М,・8к・8к(12・14‘)(12・14‘)
Т^АТ = diag
Т^АТ = diag
・8
М,
・8
М,
・8
к
・8
к
(12・14‘)
(12・14‘)
Доказательство. Умножьте уравнение (12.14) справа на матрицу D = diag (1, в, в8, в8, ...), а слева — на 力"・■
Численные трудности, возникающие при определении жордановой канонической формы, рпнсанн в работе Голуба—Уилкинсона (1976). Для этой цели создано несколько программ, например программа, описанная в статье Когстрёма—Руэ (1980).
Когда матрица Д приведена к жордановой канонической форме (12.14), решение дифференциального уравнения у' = Ау можно вычислить с помощью метода, изложенного в связи с (12.12х), случай Ь):
у(х) = TDT'%,(12.15)
где D — блочно-диагональная матрица с блоками вида
Это обобщение формулы (12.8).
Геометрическое представление
На рис. 12.1 представлены геометрические формы решений системы у' = 4д размерности п = 2. Они изображены в виде траекторий в фазовом пространстве 值厶 弘).Случаи а), Ь), с) и е) относятся к уравнениям, полученным при линеаризации (12.16) в четырех критических точках (см. рис. 12.2).
Многое в их структуре сохраняется и для нелинейных систем (12.1) в окрестности точек равновесия. Исключение могут составлять «структурно неустойчивые» случаи, как, например, при
Рис. 12.2. Поток решений система (12.16).
наличии комплексных собственных значений, у которых а = =Re (1) = 0. По этому вопросу написано много статей, где обсуждаются «критические» или «особые» точки (см., например, знаменитый труд Пуанкаре (1881, 1882, 1885)).
На рис. 12.2 мы покаэали решения квадратичной системы
贝=Wre［一步）（1 -玖一物）
(12.16)
У2 =玖(2 一分)，
которая имеет четыре критические точки всех четырех возможных структурно устойчивых типов (упр. 4).
Упражнения
а) С помощью решения уравнений (Д —£±/) и± = 0 найдите собственные векторы матрицы
—1 20
—2 20
—19 20
—20
Ответ.无=(1, 0, ...)т,内=(1, —1/20, 0, ...)т, % ^ (1, —2/20, 2/400, 0, ...)т, % = (1, —3/20, 6/400, —6/8000, 0,・・.尸 и т. д.
Численно найдите матрицу, обратную к Т = (s, v2, ..., un), и определите ее наибольший элемент (ответ: 4.5X 1012). Таким образом, матрица Т очень плохо обусловлена.
Найдите численно или аналитически из (12.13) решения системы
『н Ад, ух (0) н h f « 1, ..., 20.(12.18)
Обратите внимание на наличие «горба> [Молер и ван Лоан 1978) к хотя все собственные значения Л отрицательны, решения сначала очень сильно растут и только после этого затухают, стремясь к нулю. Это типично для несимметричных матриц и связано с плохой обусловленностью Т. (См. рис. 12.3, где решения показаны в логарифмическом масштабе (I).)
Ответ.
一 一/2以丝 I/出(1 +20)2018
-b 191 十尸18 1
.宀(1 十 20+ 202/2!) 20“ 土….
Рис. 12.3. Решения уравнения (12.18) с матрицей (12.17).
(Шур.) Докажите, что собственные значения матрицы А удовлетворяют оценке
пп
и равенство выполняется тогда и только тогда, когда 4 приводится к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования (см. также у пр. 3).
Указание. £ |а“『—это след матрицы Д*Л, т. е. инвариант унитарных1 преобразований Q^/Q.
Покажите, что разложение Шура S == Q*4Q имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда А*А = ЛД*. Такие матрицы называются нормальными.
Указание. Это условие эквивалентно равенству S*S = SS*. Покажите, что кососимметричные матрицы являются нормальными.
Пусть задано b * 0・ Определите такое а, при котором выпол* няется равенство
и жорданову каноническуюи жорданову каноническуюНайдите четыре критические точки системы (12.16) и для каждой из них — собственные значения и векторы матрицы df/dy. Сравните свои результаты с рис. 12.2 и 12.1.
и жорданову каноническую
и жорданову каноническую
Определите разложение Шура форму матрицы
/ 14 4 2\
А = -i-1 一2 20 1\—4 -4 20/
Ответ. Жорданова каноническая форма имеет вид
к жордановой канонической форме. Во втором случае рассмотрите две возможности: Ь + % = 0 и b + d ^ Q.
L13. Устойчивость
«Жюри конкурса извещает о том, что Премия 1877 года будет присуждаться за исследование по теме: Критерий динамической устойчивости.^
(С. Дж. Фир (вице-председатель), Дж. Каллис, Дж. Дж, Стокс, Дж. Клерк Максвелл)
Введение
«Чтобы проиллюстрировать значение данного вопроса, представим частицу, скользящую вниз внутри гладкого наклонного цилиндра вдоль его нижней образующей либо по внешней стороне цилиндра вдоль верхней образующей. В первом случае слабое нарушение движения вызвало бы лишь осцилляции частицы около образующей, а во втором случае частица совсем удалилась бы от образующей. В первом случае движение было бы устойчивым в смысле поставленного вопроса, а во втором — неустойчивым... желательно найти условие, позволяющее нам судить, когда движение системы, возможное с точки зрения динамики, отвечает требованию: при слабом нарушении движения оно продолжится лишь с малыми отклонениями^. («Жюри конкурса! в книге Рауса (1877)).
Всякий раз, когда аналитическое решение задачи неизвестно, численные решения можно получить только для заданных начальных значений. Но часто нам нужна информация об устойчивости решений при всех начальных значениях в окрестности некоторой точки равновесия. Как и в разд. 1.12, мы поместим точку равновесия в начало координат и дадим следующее определение.
Определение 13.1. Пусть имеется система уравнений
Ui = fl〈Ун …1 У J £ н 1» ・・・，九， (13.1)
в которой ft (0, ..., 0) ^ 0, f = 1,・・•,九.Тогда точка 0 (начало координат) называется устойчивой по Ляпунову^ если для любого а > 0 существует б > 0, такое, что для всех решений системы из неравенства ||у (х0)|| < 6 следует, дто・||у (%)|| < в при всех % > 的.
В своей знаменитой работе, получившей премию Адамса, Раус (1877) сделал первый шаг: он исследовал устойчивость линеаризованного уравнения
圻=j °n% W =岩(0)・ (13・2)
(«Будем говорить, что величины %, у, z н т. д. малы, если можно пренебречь их квадратами.》) Из вида полученного в разд. 1.12 общего решения (13.2) непосредственно вытекает следующий результат. ；
Теорема 13.1. Линеаризованное уравнение (13,2) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда^ когда все корни характеристического уравнения
det (*/ — А) = QqX" + мЛ/1*^ + • • • + @пт* + % = 0 (13.3) удовлетворяют условию Re (X) < 0, а для кратных корней, поро- ждающих жордановы клетки, выполняется неравенство Re 0) < 0.
Доказательство. Непосредственно усматривается из (12.12) и (12.15). Для жордановых клеток «вековой» член [т. е. Е + 尸力 в решении уравнения (12.12), случай Ь)], стремящийся к бесконечности с ростом х, должен быть <у6нт» о помощью экспоненты со стрсню отрицательным показателем. ■
Критерий Рауса — Гурвица
Следующим шагом, который привел к знаменитому критерию Рауса——Гурвица, была проверка условий Re (1) < 0 прямо по коэффициентам уравнения (13.3) без вычисления его корней. Для решения данной задачи Раус объединил две известные идеи; первая — это принцип аргумента (Коши), согласно которому число корней многочлена 方(z) = 〃(z) + iv (г) внутри замкнутого контура равно числу (положительных) оборотов вектора (u (z), V (z)) при обходе переменной z границы в положительном направлении (см・, например, книгу Хенричи (1974))・х)На рис. 13.1 представлен пример для многочлена
力 + &» + 1&4 + 25/ + 24^ + 14z + 4 =
=(z + 1) (z + 2) (d + z + 1)(户 + 2z + 2).、 (13.4)
На полуокружности z « Re?e (л/2 <0 < Зя/2, R достаточно велико) аргумент р (z) благодаря доминирующему члену z" делает п/2 положительных оборотов. Чтобы все нули р принадлежали отрицательной полуплоскости, дополнительно требуется п/2 поло< жительных оборотов вдоль мнимой оси. Отсюда вытекает
Лемма 13.2. Пусть р (z) является многочленом степени л “ пусть р (iy) * 0 при у ^R. В этом случае все корни р ⑵ лежат
а На русском яэнке см., например, М. А. Лаврентьев и Б. В・ Шабат, Методы теории функций комплексного переменного (изд. 3-е) — М.: Наука, 1965, с. 88. — Прим» ред・
6 отрицательной полуплоскости тогда и только тогда, когда вдоль мнимой оси arg (р (iy)) делает п/2 положительных оборотов при у, изменяющемся от —оо do +8. ■
Вторая идея состоит в использовании теоремы Штурма (Штурм (1829)], которая тесно связана с алгоритмом Евклида для многочленов. Штурм сделал открытие, что при делении многочлена
Рис. 13.1. Векторное поле функции arg (р (г)) для многочлена p(z), определенного формулой (13.4).
Рл (у) на р± (у) остаток рм (у) лучше брать с отрицательным знаком:
Pi-i (У) = Pi ® Я1 ® 一 "t+i (办(13・5)
Тогда в силу свойства «системы Штурма», состоящего в том, что sign (〃“ 匕))抬 sign (pt^ 3)), если 〃 &) = 0,(13.6)
величина
w (у) — число перемен знака s ряду чисел
(Pq (у), Р1 匂)，…，Pm 匂))(13.7)
не меняется в нулях многочленов р^ (у), ...» рт^ ®)・ Из этого вытекает следующий результат.
Лемма 13.3. Предположим^ что система вещественных многочленов "о (у), Pi G/), ..., Pm(У)удовлетворяет условиям:
deg (ро) > deg (丛)；.
ii)「о (у) и Pi (у) не обращаются одновременно 6 нуль;
iii)』®) ¥= 0 при всех у £ R;
iv) выполняется свойство (13.6) системы Штурма.
Тогда величина
w (оо) — w (—оо)(13.8)
2
равна отсчитываемому е положительном направлении числу оборотов вектора (р。(у), р工(у)) при у, стремящемся от —оо к +оо.
Доказательство. В силу свойства системы Штурма w @ не меняется в нулях pi (у),…,ртт(УХ По предположению iii),
Рнс. 13.2. Повороты вектора 仇 ®, Pi ®)) и соответствующая функция ш.
рт (у) также йе оказывает влияния. Поэтому w ®) может изменяться только в нулях ро 匂).Если 切 &) в точке , возрастает на единицу, то % (у) либо изменяет знак с《+》на <—» и рх (/) > О, либо с «—》на《+》и & (д) < 0 (по условию ii) равенство р» (,)= = 0 невозможно). В обоих случаях вектор (р° (у), рх ®)), поворачиваясь, пересекает мнимую ось в положительном направлении (см. рис. 13.2). Если w (у) уменьшается на единицу, то этот вектор пересекает мнимую ось в отрицательном направлении. Утверждение теоремы следует теперь из условия i), так как вектор (р。(у), Pi (у)) направлен горизонтально при у ~> —оо и у -* +оо. ■
Объединение двух предыдущих лемм дает нам требуемый критерий устойчивости: пусть задан характеристический многочлен (13.3)
р (z) = а^ + а^^ НF ^п == 0, % > 0・
Разделим р (iy) на in и отделим вещественную и мнимую части:р。(5)= Re^^ =初"一a或-2 + a#1± ・・・，
严•(13.9)
pi (у) = - Im 勺牲=Q切I - a8yl + q必I 士….
Благодаря специальной структуре этих многочленов алгоритм Евклида (13.5) для них чрезвычайно прост: запишем многочлен
Pi (У) = S电 J" + 勺传 л + 62ylт + ・・・,(13.10)
и для частного в (13.5) имеем формулу q〔(у) = &W J啕・у, при условии, что % * 0・ Теперь, подставив (13.10) в (13.5), придем к следующим рекуррентным формулам для вычисления коэффициентов с^
Q+1, J = % М Gt, j+i = — det I
(13.11)
Если при некотором, i % = 0, то частное % (у) будет многочленом степени выше первой и алгоритм Евклида будет оканчиваться на Рт &)，где т <п.
Очевидно, что полученная таким способом система многочленов (р» (у)) удовлетворяет условиям i) и iv) леммы 13.3. Условие ii) эквивалентно неравенству р (iy) + 0 при g € R, a iii) следует из ii), так как рт (у) — это наибольший общий делитель многочленов ро ®) н pi «)・
Теорема 13.4. [Раус (1877)] Все корни вещественного много^ члена (13.3) с коэффициентом % > 0 лежат 8 отрицательной полуплоскости Re X < 0 тогда и только тогда, когда
% > 0 при f = 0, 1, 2,…，п.(13.12)
Замечание. Благодаря условию q° > 0 деление на с” в формуле (13.11) можно опустить (общий положительный множитель в рм (у)), откуда следует та же теорема [Раус (1877)1: <...таким образом, вспомнив это простое правило перекрестного умножения, мы можем записать...»). Однако при больших п это не рекомендуется из-за возможного переполнения.
Доказательство. Системы координат (%, р。и (Re (р), Im (р)) имеют противоположную ориентацию. Поэтому 九/2 положительных оборотов р 的)соответствуют п/2 отрицательным оборотам (Ро (办 Pi (乡))・ Если все корни р (%) лежат в отрицательной полуплоскости Re % V 0, то из лемм 13.2 и 13.3 следует равенство w (оо) — w (—оо)= —九，которое возможно только в том случае, когда w (оо) = 0,切(—оо)= 九.Это означает, что у всех многочленов pi (у) коэффициенты при старших членах положительны.
С другой стороны, если выполнено условие (13.12), го рп (у)= =с* Следовательно, многочлены р0(У)и 厶(у) не могут иметь общих множителей к р (入)，0 на мнимой оси. Теперь, снова применяя леммы 13.2 и 13.3, мы придем к утверждению теоремы. ■
/=0/ = 1/ = 2 / = 3
i = 0
1—1624—4
i = 1
6—2514
/ = 2
11.83 —21.674
i = 3
14.01 —11.97
i = 4
11.56 —4 ,'
i = 5
7.12
i = 6
4
Таблица 13.1. Таблица Рауса для (13.4)Таблица 13.1. Таблица Рауса для (13.4)Эту теорему можно доказать и по-другому, используя «положительные функции» (см. том II).
Таблица 13.1. Таблица Рауса для (13.4)
Таблица 13.1. Таблица Рауса для (13.4)
Пример /. В табл. 13.1 приведена таблица коэффициентов Рауса (13.11) для многочлена (13.4). Ясно, что он удовлетворяет условиям устойчивости.
Пример 2. [Раус (1877)] Выразим условия устойчивости для уравнения четвертой степени
(13.13)(13.13)^ + р^ + q^ + rz + s ^ Q.
(13.13)
(13.13)
Значения с“ (без деления) приведены в табл. 13.2.
Телица 13.2. Таблица Рауса для (13.13)
/=0
”1 了 = 2
/ = 0
t = 1
1 P
-qs
j = 2
pq — re
—ps
/= 3 i = 4
(pq —，)r 一
— " /■—炉S) ps
Мы имеем устойчивость тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
р > 0, pq —г >0, (pq — г) г — р2s > Q, s > 0.
Вопросы численной реализации
Несмотря на большое историческое значение и математическое изящество критерия Рауса, при больших размерностях для его применения в вычислительной практике в настоящее время существует два препятствия:
для больших матриц нелегко вычислить характеристический многочлен;
этот многочлен очень опасно использовать при наличии погрешностей округления*
Таким образом, если мы не занимаемся точными символьными преобразованиями или не производим приближенные расчеты с высокой степенью точности, рекомендуется избегать характеристических многочленов и использовать численно устойчивые алгоритмы для задачи на собственные значения (см・, например, книгу Эйспака (1974)).
Численные эксперименты. 1. Матрица —0.5—1
-Л-Л—0.5 Л =— —
-Л
-Л
1 -—0.5
九
имеет характеристический многочлен
р (г) = П ⑵ + O.lz + 尸 + 0.0025).
Мы вычислили коэффициенты р с двойной точностью, а затем применили алгоритм Рауса с обычной точностью (которая у нашей машины равна 1.5 X 10~8). Результаты вычислений указывают на устойчивость только при м & 15, а при м》16 она не обнаружена, хотя собственные числа матрицы —0.05 士 ki всегда лежат в отрицательной полуплоскости. С другой стороны, при прямом вычислении собственных значений Л с помощью подпрограмм Эйспака осложнения не возникали ни при каких л.
Мы испытывали алгоритм Рауса также и на (масштабированных) числителях диагональных аппроксимаций Поде для ехр (г),
丄」LI 〃S—1)(闾* 丄 〃S—1)S —2) g)a丄 1 十"2Г ｛几引十(2九)(2〃一 D ТГ 十(2〃)(2/i—1)(2〃一2) 3!十 '
(13.14) у которых, как известно, все собственные значения принадлежат С-. В этом примере результаты были правильными лишь при п《21, а при больших п — неверными из-за погрешностей округления.
Функции Ляпунова
Продолжим рассмотрение вопроса об устойчивости нелинейной системы (13.1): «можно ли ее действительно определить, изучая только члены первого порядка?» [Раус (1877), гл. VII ]. Начало этой теории положили Раус и Пуанкаре, а свое завершение она получила в знаменитой работе Ляпунова (1892). В качестве общей ссылки на обширную теорию, которая была разработана с тех пор, приведем книги Руша, Хабетса и Лалуа (1977) и В. Хана (1967).
Ляпунову (и Раусу) основным инструментом служили так называемые функции Ляпунова V (у19 ..., уп), которые должны удовлетворять условиям .
V(У1> ...» Ул)》》。，
V &「・・・，У4 = 0 тогда и только тогда,
когда 弘 =・・・=Уп = °，(13.15)
и на решениях задачи (13.1)
备Р(力(х),…，狐"))《0.(13.16)
Обычно при малых у функция V &) имеет квадратичное поведение, и условие (13.15) означает, что
сЫ<У(У)<сМ С>с>0・(13.17)
Существование такой функции Ляпунова является достаточным условием устойчивости начала координат.
Начнем с построения функций Ляпунова в линейном случае: 『=Ау/(13.18)
Лучше всего это делать в базисе, который естественно задается собственными векторами (или жордановыми цепочками векторов) матрицы А. Поэтому введем преобразование у = Tz, z = Т^у, которое приводит 4 к жордановой канонической форме (12.14z) J = ТТ4Т, а систему (13.18) к виду
z' = Jz.(13.19)
Если мы положим
匕С) = ]z|F Н v ® = % (Т-М =匕⑵，(13.20)
то производная V (у (%)) будет вычисляться по формулам
^У(У(х)) =£%(z⑴)=2Re〈z(х), /(х))
=2 Re〈z (%), Jz (*)〉《2卩⑺ V 匂(*))・ (13.21)
Согласно формуле (10.20) для логарифмической нормы,
2卩(J) = наибольшее собственное значение матрицы J + J*. Матрица J + J* является блочно-диагональной и состоит из трехдиагональных блоков:
Re 儿 &
&2 Re If
•・・・(13.22)
8
& 2 Re 斯
Вычтя диагональ и применив формулу (6.7а), мы увидим, что собственные значения матрицы (13.22) размера m X m равны
(Reli + ecos^^j),论=1,加. (13.23)
Используя эту формулу или с помощью упр. 4 мы получим следующую лемму.
Лемма 13.5. Если все собственные значения Д удовлетворяют условию Re%» <—р < 0, то для уравнения (13.18) существует квадратичная функция Ляпунова^ удовлетворяющая неравенству
£ У & ⑴)《一 РР & (*))・■(13.24)
Последнее дифференциальное неравенство приводит к оценке (теорема 10.1)
У ® (%))《У 仇)・ ехр (—р (% — /))
и обеспечивает выполнение соотношения lim [^ (х)| = 0, т. е. «-►ОО
асимптотическую устойчивость.
Устойчивость нелинейных систем
Теперь легко распространить те же идеи на нелинейные уравнения. Примером служит следующая теорема.
Теорема 13・6・ Пусть задана нелинейная система у н 4у + g (%,办(13.25)
у которой все собственные значения матрицы А отвечают условию Re %» < —р < 0. Предположим Оалее, что для любого в > 0 существует такое S > 0, что
|g(*，加D《e||川 при [^|<б, х>/・(13.26)
Тогда начало координат асимптотически устойчиво по Ляпу* нову.
Доказательство, Используя построенную в лемме 13.5 функцию Ляпунова У 匂)，из (13.25) получим
4^®а))《-руда))+
+ 2Re〈T%(*), Lg(x, g (*))〉・ (13.27)
Из неравенства Коши о учетом (1&26) следует, что
备 У 匂(%))《(—Р+17Н L") У & (%))・(13.28)
При достаточно малых 8 выражение в правой части отрицательно, и мы получим асимптотическую устойчивость. ■.
Мы видим, что для нелинейных систем устойчивость обеспечивается только в окрестности начала координат. Это можно также заметить и на рис. 12.2. Другое отличие состоит в том, что может быть нарушена устойчивость для собственных значении, лежащих на мнимой ос〃. Примером служит система [Раус (1877)1
队=—,2 + 尤 й = Р卜(13.29)
Здесь, взяв функцию Ляпунова Y =(讨 + g；)/2, мы получим производную У' н 讨，которая положительна при 如県 0. Поэтому все решения с ненулевыми начальными значениями возрастают. В работе Ваннера (1983) дан обзор по этому вопросу («проблема центра* и ее связь с предельными циклами).
Устойчивость неавтономных систем
Если коэффициенты системы
у' = Л(х) у(13.30)
не являются постоянными, проверка условия устойчивости для собственных значений Д при каждом значении х становится недостаточной для утверждения об устойчивости.
Примеры: 1. [Раус (1877)] Системе
好=该，汲=*力(13.31)
удовлетворяет функция у】 (％) = а уПс.
Пример со строго отрицательными собственными значениями: начнем с задачи
Рассмотрение производной функции У =(讨 + 状)/2 показывает, что V возрастает в секторе
_1_<^<2 + /з.
4 Хайрер Э・ в др.
Идея состоит в том, чтобы взять начальные значения из этой области и с ростом % поворачивать систему координат с той же скоростью, с которой вращается решение:
,/cos ах —sing
^ = Т{Х)ВТ(-Х)у = АИд, T(x)=[sinax C0SJ.
(13.32)
При у (0) = (1, 1)т подходит выбор а = 2, н (13.32) имеет решение
у (*) = ((cos 2* — sin 2х)招 (cos 2* + sin 2*)吟丁 ・(13.33)
Ясно, что оно неустойчиво, хотя при всех х величина —1 остается двукратным собственным значением матрицы А (х).
Третий пример можно найти в приведенном ниже у пр. 6.
Мы видим, что для неавтономных систем теория устойчивости является более сложной. Отметим два частных случая, когда устойчивость может быть установлена:
ан (х) < 0 и Д (%) отвечает условию диагонального доминирования; тогда у (А (х))《0, и устойчивость следует из теоремы 10.5.
А (х) ^ В + С (%), где В — постоянная матрица, собственные значения которой отвечают неравенствам Re 儿 < —р < 0, а IIС (х) И < s, причем в настолько мало, что можно применить доказательство теоремы 13.6.
Упражнения
Напишите условия устойчивости для многочленов z2 + pz + д = 0 н ^ + р^ + qz + г = 0.
Ответ, а) р > 0 н д > 0; б) г >0 и pq — г > Q.
[Гурвиц (1895)] Проверьте, что условие (13.12) эквивалентно положительности главных миноров матрицы
=(«2 j)力?Т=(«2 j)力?Т
=(«2 j)力?Т
=(«2 j)力?Т
(源=0 при й < 0 и й > п). Убедитесь, что алгоритм Рауса (13.11) — это разновидность метода исключения Гаусса, преобразующего Я к треугольной форме.
Многочлен
+ 丁2+1+ 丁2+15・4・3，2・1 器丄5・4。3・2公.5-4-3泗丄5•4 ” 10-9-8-7.6 ТГ 十 10-9-8-7 1Г 十 10・9・8可十 TSTSF"
+ 丁2+1
+ 丁2+1
является числителем аппроксимации Паде 5—5 для exp z・ Проверьте, что все его корни удовлетворяют условию Re z < 0. Попытайтесь установить этот результат для произвольных 九 (см., например, работу Биркхофа и Варги (1965), лемма 7).
(Гершгорин) Докажите, что собственные значения матрицы % = (а”) лежат в объединении кругов
{z| I z — а〃 I «掰 "•
Указание. Запишите формулу А* = %х в координатах
£ aijXj = *%〃
перенесите диагональные элементы в правую часть и выберите такое /, чтобы | %/ был максимальным»
Определите устойчивость начала координат для системы
91 =一级一才一91929
У2 = У1 + 2yiy2.
Указание. Исходя из выражения У =(才 + 虚)/2 + ..., найдите такую функцию Ляпунова 4-й степени, чтобы выполнялось равенство『=К (诉 + ^)2 + ..., и определите знак К・
(Дж. Ламберт, 1986). Рассмотрите систему
11
у' ^А(х)-у9 где Л(х)=】〔•(13.34)
4*4х"
Покажитег что оба собственных значения матрицы А (%) при всех х > 0 удовлетворяют условию Re % V 0・
Вычислите ц ⑷ по формуле (10.20) и покажите, что ц (4)《 《0 тогда и только тогда, когда */5—1«%《/5+1・ с) Найдите общее решение системы (13.34).
Указание. Введите новые функции
% (%)=弘(%), Z] (%) = %% (х), с помощью которых вы придете ко второму уравнению из (11.19) (упр. 5 в разд. 1.11).
4»
Решение:
У1 (х) = %-з/4 (а + b log х),(13.35)
勿(X)= *"4 (^- + Ь ( 1^- log x))・
Определите такие а и b, чтобы функция ||у (х)||1 была возрастающей при 0 <х <уТ — 1.
Определите такие а и &, чтобы функция \у (%)攸 была возрастающей при /5 + 1 V * V 8・
Ответы: Ь = 1.8116035а для d) и Ь = 0.2462015а для е).
Помогите Джеймсу Уатту (см. копию оригинального чертежа 1788 г. на рис. 13.3) решить задачу устойчивости для регуля-
тора его паровой машины: если s — угловая скорость вращения вала двигателя, его ускорение зависит от подачи пара и внешней работы следующим образом:
s'=但 cos (屮 + а)—尸)，k. F >Q.
Здесь ф и а — углы, показанные на рис. 13.3. Вторая производная <р определяется через центробежную силу, вес *и трение по следующей формуле:
屮包=а)2 sin ф cos ф — g sin <р — 6<p\ g, & > 0.
Найдите точку равновесия <р" = q/ = с/ = 0 и определите, при каких условиях она устойчива (решение упрощается при а = 0).
Правильные решения следует посылать по адресу: Джеймсу Уатту, знаменитому изобретателю паровой машины, Вестминстерское аббатство, 6HQ, 1FX, Лондон.
Замечание. Статья Гурвица (1895) появилась благодаря изучению похожей практической задачи, а именно о «...регулировании турбин курорта на водах Давос».
1.14 Производные по параметрам и начальным значениям
«Для одного уравнения д-р Ритт решил указанную в заголовке задачу очень простым прямым методом... Доказательство д-ра Ригга нельзя непосредственно обобщить на системы уравнений».
(Т. X. Гронуолл (1919))
В данном разделе мн рассмотрим вопрос о том, являются ли решения дифференциальных уравнений дифференцируемыми i
по начальным значениям}
б) по постоянным параметрам, входящим в уравнение, и о том, как вычислить эти производные. Оба вопроса, конечно, чрезвычайно важны: если для заданных начальных значений решение уже найдено (численно), часто требуется узнать, как повлияют на него малые изменения этих начальных значений. Такой вопрос встает, например, в том случае, когда некоторые начальные значения не известны точно и должны быть определены из других условий, таких как фиксированные граничные условия. Кроме того, начальные значения могут содержать по грешности, влияние которых требуется изучить. Те же задачи возникают в том случае, когда в дифференциальные уравнения входят неизвестные или содержащие погрешности постоянные параметры.
Задачи а) и б> эквивалентны: пусть система дифференциальных уравнений
旷=f (%, У, Р), У (% = %(14.1)
содержит параметр р (или несколько параметров). Мы можем расширить исходную систему!
f(左弘 以/)=如
О 〉Р(/) = Р・В」)
Тогда параметр станет начальным значением для уравнения = « 0. И обратно: для системы
旷=f (%,办 У (%) = %(14.2)
можно записать равенство у (%) = z (х) + 物，из которого получим
zf ^f(x,z + %) н 尸(％, z, %), z (%。)= 0.(14・2‘)
В этом случае начальное значение становится параметром. Поэтому из двух задач а) и б) выберем сначала б) (как это сделал Гронуолл), так как она нам кажется более простой.
Производная по параметру
Обычно задача содержит несколько параметров. Но гГоскольку нас интересуют частные производные, мы можем рассматривать параметры по очереди, сохраняя остальные фиксированными. Поэтому в излагаемой теории достаточно считать, что f (х, у, р) зависит только от одного скалярного параметра р.
Заменив параметр р в (14Л) на д, мы получим другое решение. Обозначим его через z (х)：
z‘ = f (х, z, q), z (х0) = %.(14.3)
Тогда будет естественным вычесть (14.1) из (14.3) и линеаризовать разность!
z‘ 一 У = f (%, z, q) — f (%,弘 p)=
=-^ a,协 p) (z—у)+Pi(2—9)+
+務 a,协 me - p)+p® e -「)・(m.4)
Если ввести обозначение (z (x) — у (x))/(g — p)=屮(%) и or бросить остаточные члены, то мы придем к уравнению вида
W =晋(修 У{^ Р)屮+ *(% У(х)，Р)，屮(/)= 0・(14.5)
Оно является ключевым при решении поставленной задачи. Чтобы это уравнение имело смысл, нам необходимо сделать предположения о существовании входящих в него производных.
Теорема 14・1・ [Гронуолл (1919)] Предположим, что при х0《 《尤《X частные производные
существуют и являются непрерывными в окрестности решения у (х). Тогда существуют частные производные
縱…)，
причем они непрерывны 〃 удовлетворяют дифференциальному уравнению (14.5).
Доказательство. Эта теорема породила знаменитую лемму Гронуолла (см. 1.10, упр. 2). Докажем ее здесь с помощью эквивалентной теоремы 10.2. Введем обозначения
L = max|^|, 4 = max|*|,(14.6)
где max взят по всей рассматриваемой области. Если считать 2 (х) приближенным решением задачи (14.1), то, используя первый раз теорему 10.2, мы получим для нормы невязки соотношение
l|z‘(»-/(% z(x), p)Q = ||/(爲 z&), g)-f(x, z(x), p)||《
из которого следует оценка
卜(幻一1/(喇《^|0一川(或(1。)-1).(14.7)
Поэтому при достаточно малом значении \q — р\ и % « х《X мы можем сделать ||z (%) — у (%)|| сколь угодно малой. По определению дифференцируемости и в силу оценки (14.7) для любого в > 0 существует такое 6, при котором для остаточных членов в (14.4) выполняется неравенство
lPi(z-g) + p2e-p)||《e|g — p|, если |g-p|v6・ (14.8) (В действительности ситуация несколько сложнее: для оценок I Pill V 8 H II р2II V е величина 8 может зависеть от х, но в силу компактности и непрерывности ее можно заменить равномерной оценкой. Это небольшое препятствие можно было бы преодолеть и другим способом — ограничив вторые производные. Но почему мы должны заботиться о таких деталях? Сам Гронуолл их не упоминает.)
Рассмотрим теперь выражение (z (%) — у (%))/(g — р) как приближенное решение задачи (14.5) и применим теорему 10.2 во второй раз. В силу (14.8) и (14.4) норма невязки уравнения (14.5) ограничена величиной е, а константа Липшица линейного дифференциального уравнения (14.5) также равна L (см. (11.2)). Поэтому из (10.14) мы получим оценку
I 制二产)7 (*) I《+ (其 D - 1), которую можно сделать сколь угодно малой; этим доказывается тот факт, что 屮(х) — производная функции у (х) по р.
Непрерывность. Частные производные ду/др =屮(х) являются решениями дифференциального уравнения (14.5), которое мы запишем в виде
V = g (%, S Р),
где по предположению g непрерывно зависит от р・ Поэтому непрерывная зависимость 中 от р снова следует из теоремы 10.2. ■
Теорема 14.2. Пусть у (х) является решением уравнения (14.1); рассмотрим матрицу 兄的6〃
А^-^^ д(*)，办(14・9)
Предположим, что R (х, х0) является резольвентой уравнения * = 4 (х) у (см. (11.4)). Тогда решение уравнения .〃4・3) со слабо возмущенным параметром q задается формулой
я
z(» = ga)+ (g-p) j R (Х, s) ^ (s, y(s)9 p)ds + о (I q—p |). 貪。
(14.10)
Доказательство. Это соотношение — формула вариации постоянных (11.12), примененная к (14.5). ■
Итак, мы видим, что чувствительность решений к изменениям параметров зависит, во первых, от частных производных df/dp (что вполне естественно), а во-вторых, от величины R (х, sj, т. е. от устойчивости дифференциального уравнения с матрицей (14.9).
Производные по начальным значениям
Обозначения. Обозначим через у (х, х0, у。) решение у (х) в точке х, удовлетворяющее начальным значениям у (х0)=氏・ Мы надеемся, что использование одной и той же буквы у для двух различных функций не вызовет никаких недоразумений.
Следующие тождества являются тривиальными следствиями определения или вытекают из соображений единственности, как в случае (11.6):
鹏户 73 у(х9 %, %)),(14.11)
У (/, %, %) = %,(14.12)
У (&，力，У (/，/，％)) = У (内，/，％)・(14.13)
Теорема 14.3. Предположим, что частная производная f по у существует а непрерывна. Тогда решения у (х, х0» %) дифференцируемы по у。, “ производная задается матрицей
^^х0),(14.14)
где R — решение так называемого 《уравнения в вариациях»
—^ ^У(х, х0, %))・R@, х0),
R (х0, %о) = /・(14.15)
Доказательство. Формулы (14.2) и (14.2') показывают, что обе производные dF/dz и dF/dyQ равны df/ду, а поэтому в силу теоремы 14.1 производная dy/dyQ существует. Чтобы получить формулу (14.15), нам надо продифференцировать (14.11) и (14.12) по %. ■
В завершение мы вычислим производную у(х, х0,勿)по х0.
Теорема 14.4. При условиях теоремы 14.3 решения дифференцируемы также и по х0, а производная вычисляется 〃。формуле
”攵，證，力)‘ = _R(x, %・『(/,勿).(14.16)
Доказательство. Продифференцируем по х0 тождество
У 的,/, У (%0,/,%))=班，
которое следует из (14.13), и применим (14.14) и (14.11) (см. упр. 3). ■
Нелинейная формула вариации постоянных
Завершим данный раздел обобщением теоремы 11.2 на системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Теорема 14.5. [Алексеев (1961), Грёбнер (I960) ] Обозначим через у и z решения систем
Уг = / (%，办У (/) = %,(14.17а)
z ' = / (居 z) + g (х, z), z (%。)= %(14.17b)
соответственно и предположим, что df/dy существует и является непрерывной. Тогда решения уравнения (/4./7а) и возмущенного уравнения (14.17b) связаны соотношением
z(x)=y(x)+ J謂(х, S, z(s))g(s, Z(s))ds・ (14.18)
Доказательство. Выберем разбиение х0 = s° V s】 V S2 < ... ・・• V Sn = x (см. рис. 14.1). Ниспадающие кривые представляют решения невозмущенного уравнения (14.17а) с начальными значениями Sb z (Sj). Разности d», возникающие вследствие различных наклонов z (s) и у (s) [из (14.17b) надо вычесть (14.17а)], равны di = g ®, z (sD)・Ast +。(Asf). Эта «погрешность» в точке s^
«переносится» затем на конечное значение х, составляя в точке 力 величину, определенную теоремой 14.3. В итоге имеем
力=鲁(修 s力 z(“)・g(st, z⑸))・Asg + o(A”・(14.19)
Поскольку汽
z ⑴一g (x) = Z Dh
в результате подстановки (14.19) и перехода к пределу As*f 0 мы получим интеграл в (14.18). ■
Рис. 14.1. Веер леди Уиндермир, действие второе.
Если нам нужно учесть также возможное различие в начальных значениях, мы можем сформулировать
Следствие 14.6. Пусть у (х) и z (х) являются решениями уравнений
yf = f (%，力У (/)=物，
z‘ = / (%, z) + g (%, z), z (% = %.
Тогда выполняется соотношение
I
z(x) = ga)+ J备(%,丸，先+ s(Zq-%))・(％-勿)由 +
о
+，普(％ s, z(s))・g(s, z(s))ds・■(14.20)
Эти две теоремы позволяют получить множество оценок устойчивости общих нелинейных систем. В случае линейных систем -|~ (х, s, z) не зависит от z, и формулы (14.20), (14.17) сводятся к формуле вариации постоянных (11.12). Кроме того, оценивая сверху тривиальным образом интегралы в (14.20), мы придем к фундаментальной лемме (10.14), а также ко второй формулировке теоремы 10.2.
Упражнения
Изучите зависимость от начальных значений в задаче
yf =丸 / = 0,物=1, X = 0.999.(14.21)
2・ Решите численно уравнение (14.21), используя 999 шагов метода Эйлера (7.3) при %/+1 ——％» = 0.001. Оцените влияние на конечный результат погрешности на первом шаге (равной 10~в) и объясните низкую точность.
Докажите следующую лемму элементарного анализа, примененную в доказательстве теоремы 14.4. Если для функции F (х, у) существует dF/dyt а у (х) дифференцируема и отвечает условию
尸(%, У ⑴)=const,(14.22)
то в точке (х, у (х)) существует производная @尸/。尤,которая вычисляется по формуле
石-(х, у (х))-—-歹(％ У (х))・ У (办
Указание. Из (14.22) выведите тождество
尸(%i，У 的))—尸 ％ У 的))=尸(/，У (/))—尸(%о, У 的))・
IЛ 5. Краевые задачи и задачи на собственные значения
Хотя наша книга в основном посвящена задачам с начальными условиями, или задачам Коши, мы хотим в этой первой главе осветить также некоторые свойства краевых задач и задач на собственные значения.
Краевые задачи
Такие задачи возникают в системах дифференциальных уравнений, например:
М =力(%,劣，劣)，
У2 = f2 (х, ^, y^
когда нет начальной точки х0, в которой были бы известны одновременно Pi (х0) и у?(尤о)・ В этом случае вопросы существования и единственности становятся намного сложнее.
Пример /・ Рассмотрим дифференциальное уравнение
д" = ехр (у) или у[=段，yi = exp (w)(15.2a)
g граничными условиями
% (°) = @, Ух (1)=匕・(15.2b)
Чтобы применить доказанные нами теоремы существования или провести численные расчеты [например, с помощью метода Эйлера (7.3) ], мы можем поступить следующим образом: предположим, что недостающее начальное значение равно 力()・ Тогда можно вычислить решение и проверить, равно ли найденное значение для 况(1) числу Ь. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы определить, есть ли нуль у функции одной переменной
尸 &2оХ = У1 (1)—瓦(15.3)
Уравнение (15.2а) является квазимонотонным, что означает монотонную зависимость F (у2о) от у?。 (рис. 15.1а, см. упр. 3 в разд. 1.10). Кроме того, при очень малых или очень больших значениях у?。величина у* (1) сколь угодно мала или велика или даже обращается в бесконечность. Поэтому (15.2) пр〃 всех а, b имеет единственное решение (см. рис. 15.1b).
Корень уравнения F (у?。) = 0 можно вычислить итерационным методом (методом деления отрезка пополам, методом ложного положения и т・ д・；а если производную ^ (1) по y2Q найти из тео-
ремы 14.3 или определить численно о помощью конечных разностей, то также методом Ньютона). Тогда задачу Коши нужно решать несколько раз. Для небольших задач, таких, как в приведенном выше примере, это можно просто сделать на компьютере в диалоговом режиме. Более сложные задачи с ббльшим числом неизвестных начальных значений требуют более высокой техники программирования. Описанный метод принадлежит к наиболее широко распространенным методам и называется методом стрельбы (или пристрелки}.
Рис. 15.1. а) Решения уравнения (15.2а) при различных начальных значениях y20 = —1.7, …，--0.4.
Ь) Единственное решение уравнения (15.2а) при а= 1, 6 = 2, g20as =—0.476984656.
с) Решения уравнения (15.4а) при у (0) = 1 и 力о= 1, 2,・・・,8.
d) Два решения уравнения (15.4а), у (0) = 1, g (1) = 0.5, у^ = 7.93719, 姒=0.97084.•
Пример 2. Для дифференциального уравнения
/ = — ехр (у) или у[=物，№ = — exp ®)(15.4а)
с граничными условиями
弘(0) = а, У1 ⑴=瓦(15.4b)
尸仇＞)уже не удовлетворяет требованию монотонности, что осложняет ситуацию: на рис. 15.1с изображены решения при а = 1 и различных начальных значениях у?。. Из рисунка можно увидеть, что если b расположено выше некоторого значения (равного 1.499719998), то задача совсем не имеет решений, а при меньших 6 существует два решения (рис. 15. Id).
Пример 3.
夕；=92,乡2 =尤 ％ (0) = 1)% (100) == 2.
Это уравнение похоже на (15.2), и для него справедливо то же, что и прежде, утверждение о существовании и единственности решения. Однако если мы попытаемся найти решения методом стрельбы, то окажемся в затруднении из-за длины интервала- решение почти никогда не существует на всем интервале. В действительности правильное решение равно %。= —0.70710616655. Но уже при у?。= —0.7071061 ^i (х) стремится к +оо при х -> —98.2. С другой стороны, при 玖。=—0.70711 мы имеем 玄(§4.1)= =—оо. Таким образом, область существования 尸(z/20) из (15.3) по длине меньше чем 4х 10~в.
В подобных случаях используют метод параллельной стрельб”】 отрезок разбивают на несколько подотрезков, на каждом из которых находят решение при хорошем выборе начальных значений. В конечных точках подотрезков производится согласование решений. Таким образом, уравнение (15.3) превращается в систему большей размерности. Параллельной стрельбе посвящено множество публикаций. В качестве общей ссылки назовем работу Дойфлхарда (1980).
Задачи Штурма — Лиувилля на собственные значения
Начало изучению данного вопроса положила замечательная статья Штурма [Штурм (1836)] в журнале, незадолго до этого основанном Лиувиллем. Ее продолжил ряд статей Лиувилля и Штурма, опубликованных в последующих номерах. В настоящее время эти работы считаются отправной точкой «геометрической теории», где главные усилия направлены не на интегрирование уравнения, а только на получение прямо из дифференциального уравнения геометрических свойств решения, таких как его форма, осцилляции, изменения знака, нули, существование максимумов и минимумов и т. д. («Однако к этой цели можно прийти, рассматривая лишь сами дифференциальные уравнения, и нет никакой необходимости их интегрировать».)
Физические задачи, которые привели к такой постановке проблемы, как и в разд. 1.6, связаны с изучением теплоты и малых колебаний упругой среды. Рассмотрим уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности:
器=4г《⑺黯-2,也⑴>0， (15・6)
которое подробно изучено в «Теории теплоты» Пуассона. Этот автор предположил, что и (х, f) = у (%)小‘• Тогда (15.6) принимает вид
(也(%) — / (х) У =—切・ (15.7)
Перепишем (15.7) в виде
3 (%)『)'+ G (х) у = 0(15.8)
и сформулируем теорему сравнения Штурма.
Теорема 15.1. Рассмотрим дополнительно к (/5.5) дифференциальное уравнение
佰(х) УУ + G 仿)丿=0(15.9)
и предположим, что 財 В дифференцируемы, G, G непрерывны и и при всех х выполняются соотношения
О V 3 (x)<Jfe(x), G (х) > G (%)・(15.10)
Пусть g (х), 0 (х) являются линейно независимыми решениями уравнений (/5.5) и (75.9) соответственно. Тогда между любыми двумя нулями у (х) находится по крайней мере один нуль，(％), т. е. если у (х。= у (%J = 0 〃 无工 V 修,加о на открытом интервале ах,力J существует такое /, что，(/) = 0.
Доказательство. Доказательство самого Штурма основано на отношении
0⑴=工(調(方，
которое равно тангенсу угла наклона прямой, соединяющей начало координат с точкой решений на плоскости (也д', д), и удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка. Чтобы избежать сингулярностей, вызванных обращением у' (%) в нуль, мы предпочтем пользоваться полярными координатами [Прюфер (1926)]:
k (х) У (力)=р (х) cos ф (х), у (%) = р (х) sin ф (%).(15.11)
Дифференцируя (15.11), мы придем к следующему дифференциальному уравнению для ф：
ФЛ =cos2 <р + G (х) sin2 <p.(15.12)
Тем же способом мы введем функции 6 (х) и ф (х) для второго дифференциального уравнения (15.9) и получим
<Р‘<Р‘=-—cos®9 +© (х) §m*3・=-—cos®9 +© (х) §m*3・(15.13)(15.13)
<Р‘
<Р‘
=-—cos®9 +© (х) §m*3・
=-—cos®9 +© (х) §m*3・
(15.13)
(15.13)
Теперь предположим, что 无小力窑—Два последовательных нуля у (х). Тогда ф (%。и ф (х2) должны быть кратны л, так как р (%) всегда отлична от нуля (единственность в задаче Коши). В силу
х (%) положительна в %】н х2. Поэтому мы можем считать, что宀
ф (/) = 0, ф (修)=л> ф (/) £ [0, л).(15.14)
Вследствие того, что уравнения (15.12) и (15.13) имеют первый порядок, а также в силу неравенств (15.10) можно применить теорему 10.3, которая приведет к соотношению
Ф W > Ф (%) при ^1 < х < 修.
Равенство ф (х) = ф (%) не может выполняться всюду, так как в силу (15.12) и (15.13) мы получили бы тогда соотношения 左(%)=石(х), G (х) = G (%) и линейную зависимость решений у (х), 0 (х). Следовательно, существует такое х0 £ (/, х2), при котором ф (%。) > ф (/)・ В этом случае ф (х) > ф (%) при всех х》％, что обеспечивает существование точки х8 £ 的，х2), в которой ф (х8)=窮・■
Следующая теорема показывает, что у нашей задачи на собственные значения имеется бесконечное множество решений. Добавим к (15.7) граничные условия
У (%о) = У (%，=。・(15.15)
Теорема 15.2. Задача на собственные значения (/5.7), (/5.75) имеет бесконечную последовательность собственных значений %х < < %2 V %8 V ..., которым отвечают решения yi (х) «собственные функции^ с 0, 1, 2, ... нулями соответственно внутри интервала (х0,无J Нули yj (х) разделяются нулями 物+i (%). Если 0 V Ki《 《 々(%)《凡〃厶 V / (x) & 厶，то справедливо соотношение
g+ №总^《%《g+凡占产(15.16)
Доказательство. Пусть g (%,入) является решением (15.7) с начальными значениями у (/) = 0, / (%) = 1. Из теоремы 15.1 (при 工(%)=论(%), G (х) = G (%) + А® следует, что с ростом 九 нули у (х, %) перемещаются к х0, а поэтому число нулей на (х0, %。 представляет собой неубывающую функцию от %.
Сравнивая теперь (15.7) с решением
sin (/ (X — L0/K1 (% — %))
Уравнения KjJ/“ + (Л — LJ g = 0 при (X > LJ, мы увидим, что У (х, %) при 入 V 厶 + К»『喇(％ — /У имеет на (х0, %J не более / ——1 нулей. Подобным образом, сравнение у (х, %) с функцией
sin (/(入 一丄2)/%(* - %0))，
которая служит решением уравнения К?у" + (入—乙2)У = 0, показывает, что при X > L2 + 凡『砲区—х0)а функция у (х, 1)
чения) (15.17).чения) (15.17).
чения) (15.17).
чения) (15.17).
имеет по крайней мере / нулей на (%。，х。. Теперь утверждения теоремы получаются как простые следствия этих трех свойств. ■
Пример. На рис. 15.2 показаны 5 первых решений задачи
((1 — 0.8 sin2 х) уУ — (% —簡 у = 0, Р (0) = Р (冗)=0. (15.17)
Первые собственные значения равны 2.1224, 3.6078, 6.0016,9.3773,13.7298,19.053, 25.347, 32.609, 40.841,50.041 и т. д.
С этой теорией, представляющей очень важную страницу истории математики, более обстоятельно можно познакомиться в книге Рейда (1980).
Упражнения
Для уравнения
厶(%) уп + М (х) / ++% (%) У = 0
подберите такую функцию <р (х), чтобы полученное в результате умножения на нее уравнение имело вид (15.7) 1Штурм (1836)].
Докажите, что два решения задачи (15.7), (15.15) удовлетворяют условию ортогональности
j yj (力)Ук (%) d% = 0 при 入，#=入а・
Указание. Умножьте это соотношение на %；, замените Kjyj (%) выражением из левой части (15.7) и выполните интегрирование по частям [Лиувилль (1836)].
Найдите решение задачи (15.5) в элементарных функциях. Объясните, почему указанное для у?。значение столь близко к —/力 2.
(Коллатц) Покажите, что краевая задача
X = L У (0) = 0, у(А) ^В(15.18)
имеет бесконечно много решений для каждой пары (Л, В) при Л #= 0.
Указание. Получите решение у (х) задачи (15.18) при у (0) = 0, д' (0) = 1. Покажите, что для любой константы а функция z (х) = ау (ах) также будет решением.
1Л6. Периодические решения, предельные циклы, странные аттракторы
Явление предельных циклов впервые было теоретически описано Пуанкаре (1882) и Бендикссоном (1901) и с те? пор нашло много применений в физике, химии и биологии.
Уравнение Ван-дер-Поля
«У меня есть теория: если вы хотите какой-то метод скомпрометировать—ищите решение уравнения Вандер-Поля».
(П. Э. Задунайский, 1982)
Первые примеры такого типа из практики были изучены Ре- леем (1883), а позднее Ван-дер-Полем (1920—1926) в серии статей по нелинейным осцилляциям: решения уравнения
，+ 讶 + р = 0
являются затухающими при а > 0 и неустойчивыми при а < 0. Идея состоит в изменении а (например, с помощью включенного в цепь триода) таким образом, чтобы при малых у выполнялось а < 0, а при больших у — неравенство а > 0. В качестве простейшего выражения, описывающего физическую ситуацию в несколько идеализированной форме, можно взять а = в ®* — 1), е > 0. Тогда данное уравнение примет вид
У№ + ^^-\)yr +у = ^(16.1)
или, если записать его как систему,
式=物，(6?)
4 = Е(1 —或”2 — % е>о.
В этом уравнении малые колебания усиливаются, а большие — затухают. Поэтому можно ожидать, что существует устойчивое периодическое решение, к которому сходятся все остальные решения. Его называют предельным циклом. Иллюстрации из статьи Ван-дер-Поля в их первоначальном виде воспроизведены на рис. 16.1.
Рис. 16.1. Иллюстрации из работы Ван-дер-Поля (1926).
Доказательство существования
Существование предельных циклов изучается с помощью ме~ тода сечений Пуанкаре. Его идея состоит в том, чтобы пересечь решения гиперплоскостью Р и при начальном значении yQ^ Р рассмотреть первую точку Ф (%), в которой решение снова пересекает Р в том же направлении. .
Для нашего примера (16.2) выберем в качестве Р луч у? ^ О, % > 0 и исследуем знаки производных у{ и У2 ^ (16.2). Знак 见 меняется на кривой
及=号苏, (1б・3)
щимся на кривой (16.3)],щимся на кривой (16.3)],Рис. 16.2. Отображение Пуанкаре для урав-Рис. 16.2. Отображение Пуанкаре для урав-1.1.нения Ван-дер-Поля, енения Ван-дер-Поля, еТеорема 16.1. [Пуанкаре (1882), Бендикссон (1901)1 Любое ограниченное решение системы размерности 2Теорема 16.1. [Пуанкаре (1882), Бендикссон (1901)1 Любое ограниченное решение системы размерности 2
щимся на кривой (16.3)],
щимся на кривой (16.3)],
Рис. 16.2. Отображение Пуанкаре для урав-
Рис. 16.2. Отображение Пуанкаре для урав-
1.
1.
нения Ван-дер-Поля, е
нения Ван-дер-Поля, е
Теорема 16.1. [Пуанкаре (1882), Бендикссон (1901)1 Любое ограниченное решение системы размерности 2
Теорема 16.1. [Пуанкаре (1882), Бендикссон (1901)1 Любое ограниченное решение системы размерности 2
которая на рис. 16.2 изображена штриховой линией. Отсюда следует (см. рис. 16.2), что Ф (у。) существует для всех % £ Р・ Поскольку два различных решения не могут пересекаться вслед-
ствие единственности, отображение Ф является монотонным. Кроме того, Ф ограничено [например, любьГм решением, начинаю-
а поэтому Ф 仇)< yQ при больших %. И наконец, в силу неустойчивости начала координат Ф 仇)> yQ при малых у。. Следовательно, должна существовать неподвижная точка отображения Ф (у。), т. е. предельный цикл. ■
Замечание. На самом деле предельный цикл является единственным. Этот факт доказывается сложнее; идею доказательства мы укажем ниже, в упр. 8 [Льенар (1928)].
С помощью подобных рассуждений доказывается следующий общий результат. *
у{=力匂1, %), У2 = % (协，"2)(16・4)
должно*.
либо стремиться к критической точке “ = % =。。〃兄 бесконечного множества точек xt оо;
либо быть периодическим*,
либо стремиться к предельному циклу. ■
Замечание, Приводимое ниже упр. 1 объясняет, почему первая возможность записана в несколько более сложной форме, чем это кажется необходимым.
Стационарные приближения при больших е
Стационарные приближения представляют собой важное средство упрощения сложных нелинейных систем. Рассмотрим (16.2) при очень большом е. Тогда в окрестности кривой f2 (ух, у?) 。 производная у£ = /2 по ^2 имеет очень большое по модулю отри-
цательное значение. Поэтому решение будет очень быстро приближаться к положению равновесия в окрестности кривой у£ = = %®1，У2)= 0, которая в нашем примере задана формулой (16.3). Эту формулу можно подставить в (16.2), что даст нам уравнение более низкой размерности
——:10->——:10->—7—7衽П自广（16.5）
——
:10
->
——
:10
->
—
7
—
7
О 1020304050607080
Рис. 16.3. Решение уравнения Ван-дер-Поля при 8= 10 в сравнении со стационарными приближениями.
Оно легко решается с помощью формул из разд. 1.3» н в результате мн получаем
log 俄)一等=气& + const.
Эти кривые показаны пунктиром на р〃с・ 16.3 из работы Вандер-Поля, где они соответствуют значению 8 == 10 и дают, как видно, хорошее приближение к решению.
Асимптотические решения при малых &
Основы метода вычисления периодических решений при малых параметрах заложили астрономы, в частности Ньюкомб и Линд- стедт, а в работе Пуанкаре (1893) он был доведен до совершенства. Продемонстрируем метод малого параметра на примере уравнения Ван-дер-Поля (16.1). Идея состоит в том, чтобы искать решение в виде ряда по степеням в. Поскольку период также будет изменяться, сделаем замену переменной
и положими положимf = % (1 + %е + ?2е2 + …)(16.6)
и положим
и положим
9 (%) = Z ⑴=Z0(0 + % ⑴ + Е% (f) + …. (16.7) Теперь, подставив в (16.1) yr (х) = z‘(f) (1 + у/ + ...), у" (%)= =z" (0 (1 + у卢 + ・・・)2, мы получим уравнение
(z()+ ezi + в% +・・・)(1 + 2re + (2丫2 + 丫彳)巒 + ・・・)++ E ((Zq + BZi + ・・・)2 — 1)(2q + %+・・•)(1 + RE +・・・)+
+ <Zq + EZ] + Е®/ +・•・)= ()•(16.8)
Сравнивая коэффициенты при 8°, получим уравнение
% + 力=0.(16.8; 0)
Фиксируем произвольно начальное значение z‘ (0) = 0, тогда Z。= A cos f. Далее, для коэффициентов при е получим
Z1 + Z1 = —2^120 — (z： — 1) z()=
=b2Yp4cos/+(參一4)smf +岑 sin3f・ (16.8; 1)
Главная идея здесь в том, что, поскольку мы ищем периодические решения, из правой части (16.8; 1) надо удалить члены, содержащие cos f и sin f, чтобы избежать появления в % (0 членов вида /•cos t и f・sin t («...и таким образом убрать члены, называемые вековыми...»). Отсюда мы получим значения ух = 0 и Л = 2. Тогда можно найти решение (16.8; 1), которое при начальном условии z； (0)二 0 равно
(16.9)(16.9)31
(16.9)
(16.9)
Z] = 5 cos / -|—j- sin t —^- sin 3/.
Теперь ясно, как следует продолжить этот процесс: после подстановки (16.9) и упрощения члены при 82 в (16.8) дают уравнение
z； + z2 =(2丫2+})cosf+ 2Bsinf+ 3Bsin3f (16.8; 2) '
—g- cos 3f —± cos 5f.
Чтобы избежать вековых членов, надо взять В = 0 и у2 ^ —1/8, и тогда
35
г2 = С cos 14--TT-cos 3f —5f.
На следующем этапе будут определены значения С = —1/8 и У, = °, н т・ Д・ В итоге мы придем к следующему результату: периодическая траектория уравнения Ван-дер-Поля (16.1) 〃р〃 малых е задается формулами
у (%) = z (f), f = % (1 — е2/8 +••・)，
z(f) = 2 cos / 4- 8 ^-|- sin t—|-sin 3f) +(16.10)
+ E“( —cos t + 當 ” cos 3f —^~ cos 5f) + • • •
и имеет период 2乳(1 + 谴/8 + ...).
Химические реакции
Законы химической кинетики порождают дифференциальные уравнения, которые для реакций с участием двух и более молекул становятся нелинейными и обладают интересными свойствами. Некоторые из этих уравнений имеют периодические решения (например, в случае реакции Белоусова—Жаботинского), они находят также важные применения для объяснения биологических явлений (см., например, работу Пригожина, Лефевера (1969)).
Рассмотрим подробно модель Лефевера и Николиса (1971), так называемый «брюсселятор»: предположим, что шесть веществ, А, В, D, £, X, У, участвуют в следующих реакциях!
А^Х,(16Л1)
В + X f У + D, (бимолекулярная реакция)
2Х 十 У ЗХ, (автокаталитическая трехмолекулярная реакция) 即
Хт Е・
Если обозначить через Л (办 В (初... концентрации веществ Л, &, ... как функции времени х, то реакции (16.11), согласно закону действующих масс, описываются следующими дифференциальными уравнениями:
Аг = —М,
В，= —кВХ,
2У =岛ВХ, e‘ =论区 X’ = М —局 ВХ + Л8Х2У — АХ, У' = кВХ —岛 Х2У.
Теперь упростим эту систему: исключим из рассмотрения уравнения для D н Е, так как они не влияют на остальные; предположим, что А и В поддерживаются постоянными (положительными) и возьмем все скорости реакций 瓦 равными единице? Далее, введем обозначения X (%) =; ^工(％), У (%) =; у2 (х) и в результате получим систему
(16.1Г)(16.1Г)玖=4 + 血/2 — (5 +」)Уъ 质=Byi — /у?・
(16.1Г)
(16.1Г)
Она имеет одну особую точку yj ==见=0 при 弘=А, у? = В/А. В окрестности этой точки линеаризованное уравнение неустойчиво тогда и только тогда, когда В > А" + 1・ Далее, изучая об-
Рис. 16.4. Решения уравнений «брюс селятора», 4=1，В == 3.Рис. 16.4. Решения уравнений «брюс селятора», 4=1，В == 3.
Рис. 16.4. Решения уравнений «брюс селятора», 4=1，В == 3.
Рис. 16.4. Решения уравнений «брюс селятора», 4=1，В == 3.
ласти, где gf, gz или &〔 + gj' положительны или отрицательны, мы придем к выводу, что все решения остаются ограниченными. Таким образом, при В > Ла 4* 1 должен существовать предельный цикл, который, как видно из численных расчетов, является единственным (рис. 16.4).、
Когда В приближается к 4纟 + 1, наблюдается интересное явление (бифуркация Хопфа). Оно состоит в том, что предельный цикл становится все меньше и меньше и, наконец, исчезает в критическую точку. Другой пример такого типа приведен в упр. 2.
Предельные циклы в системах больших размерностей бифуркация Хопфа
Теорема Пуанкаре—Б ендикс- сона, очевидно, верна только в том случае, когда размерность системы равна двум. Контрпримером при большей размерности
может служить почти каждое
механическое движение без трения, как, например, сферический маятник (рис. 16.5), к изучению которого обращались многие ученые прошлого (см., например, работу Лагранжа (1788), вторая часть, разд. VIII, гл. II, § 1). В этом случае уравнения движения в сферических координатах принимают вид
(16.12)(16.12)屮修2欝±・(р'М
(16.12)
(16.12)
ф^ = sin 中 cos if (ср) — sin 也
а кривая решения представлена на рис. 16.5. Если увеличение 屮/(2冗)за одну осцилляцию — иррациональное число, то решение не является периодическим и не стремится к периодическому или стационарному решению.
Поэтому в случае больших размерностей предельные циклы обычно находят с помощью численного исследования определенного выше отображения Пуанкаре Ф в методе сечений. Периодическое решение (т. е. неподвижная точка отображения Ф) называется аттрактором, если все собственные значения Ф" ®J по модулю меньше 1. Все решения, начинающиеся в окрестности аттрактора, будут стремиться к нему.
Однако существует одна ситуация, в которой предельные Циклы возникают совершенно естественно [Хопф (1942) L а именно,
когда в особой точке системы У = f (у), у, f £ R", все собственные значения f (у。) имеют строго отрицательную вещественную часть, за исключением одной пары, пересекающей мнимую ось. При этом подпространство, натянутое на собственные векторы, отвечающие устойчивым собственным значениям, продолжается в двумерное аналитическое многообразие, внутри которого появляется предельный цикл. Это явление называется «бифуркацией Хопфа». Доказательство этого факта аналогично методу Пуанкаре разложения по малому параметру (16.7) [см. ниже упр. 6 и 7], и поэтому Хопф даже сомневался, стоит ли его публиковать («...мне трудно поверить, что в приведенном выше предложении содержится что-либо существенно новое...》).
Рис. 16.5. Одно из решений для сферического маятника: а) 0《％《20, Ь) 0 0 %《100・Рис. 16.5. Одно из решений для сферического маятника: а) 0《％《20, Ь) 0 0 %《100・
Рис. 16.5. Одно из решений для сферического маятника: а) 0《％《20, Ь) 0 0 %《100・
Рис. 16.5. Одно из решений для сферического маятника: а) 0《％《20, Ь) 0 0 %《100・
В качестве примера рассмотрим «полный брюсселятор» (16.11): мы больше не будем считать В постоянным, а предположим, что В добавляется к смеси с постоянной скоростью а. Введем обозначение 8 (х) =: у3 (х) и вместо (16.1Г) (при Л = 1) получим систему
玖=1 + 施/2 — @з + 1) Уп
质=玖%一血/2,(16.13)
Уз = —У1Уз + а.
Она имеет особую точку 协l = 1, % = % = а с производной
1
-11 •(16.14)
0 —1丿
Характеристический многочлен этой матрицы равен V + (3 — —а) X2 + (3 — 2а) % + 1 = 0 н удовлетворяет условию устойчивости (см. 1.13, упр. 1) тогда и только тогда, когда а < (9 — —*/17)/4 = 1.21922. Поэтомуэ если а возрастает сверх этого
значения, появляется предельный цикл, который существует вплоть до значения а, приблизительно равного 1.5 (см. рис. 16.6). Если а продолжает расти, то предельный цикл «взрывается»значения, появляется предельный цикл, который существует вплоть до значения а, приблизительно равного 1.5 (см. рис. 16.6). Если а продолжает расти, то предельный цикл «взрывается»
значения, появляется предельный цикл, который существует вплоть до значения а, приблизительно равного 1.5 (см. рис. 16.6). Если а продолжает расти, то предельный цикл «взрывается»
значения, появляется предельный цикл, который существует вплоть до значения а, приблизительно равного 1.5 (см. рис. 16.6). Если а продолжает расти, то предельный цикл «взрывается»
Знаменитой химической реакцией с предельным циклом в трехмерном случае является так называемый «орегонатор» — реакция между HBrO2, Bl и Се (IV) [Филд и Нойес (1974)], описываемая системой
虱=77.27 匂2 + 执(1 — 8.375 X 10^ 一 劣)),
(16.15)(16.15)灰=7?& & - (1 + у1)劣)，
(16.15)
(16.15)
质=0.161@1 -%),
решения которой показаны на рис. 16.7. Это пример «жесткого» дифференциального уравнения, решения которого быстро изменяются по величине на много порядков. Поэтому данный пример служит серьезным испытанием для программ численного интегрирования, и мы обратимся к нему еще раз во II томе нашей книги.
Рис. 16.7. Предельный цикл «орегонатора».Рис. 16.7. Предельный цикл «орегонатора».
Рис. 16.7. Предельный цикл «орегонатора».
Рис. 16.7. Предельный цикл «орегонатора».
Следующий пример мы взяли из теории сверхпроводимости: два перехода Джозефсона с емкостной связью между ними. Получаемые в этом случае уравнения имеют вид [см., например, работу Джиованнини—Вайса—Ульриха (1978)]:
(16.16)(16.16)e （员一а圾）="一sin 加一yie （圾一a员）=为一sin ®2）一汲.
(16.16)
(16.16)
Здесь 弘 и % — углы («разности квантовых фаз на переходах»), рассматриваемые по модулю 2л. Таким образом, уравнение
представляет собой систему на торе Т2 для (ух, у^ и в R2 для разностей потенциалов (//{, у；). Из численных расчетов видно, что система (16.16) имеет притягивающий предельный цикл, который описывает явление «запирания фаз» (см. рис. 16.8).
Рис. 16.8. Переходы Джозефсона (16.16) при с =2, а = 0.5, "==» 1.11, % = =1,08.
Странные аттрактора
<Г-н Далквист, когда наступит весна?> «Завтра в два часа».
(Прогноз погоды, Стокгольм, 1955}
<Мы были так наивны*.л
(X. О. Крайс, Стокгольм^ 1985}
Когда речь идет об открытии знаменитой «модели Лоренца》, лучше всего процитировать самого автора [Лоренц (1979)]:
«К середине 1950-х годов, несмотря на весьма низкое качество получаемых результатов, вошло в моду «численное предсказание погоды», т. е. прогноз на основании численного интегрирования доступных для обработки приближений к уравнениям, описывающим атмосферу. Маленькая, но решительная группа ученых поддерживала статистическое предсказание (...), вероятно, вследствие неправильного истолкования одной статьи Винера (•・・)• Я скептически относился к этой идее и решил проверить ее, применив статистический метод к множеству искусственных данных, полученных при численном решении некоторой системы уравнений (...). Первая задача состояла в нахождении подходящей для решения системы (...). Требовалось, чтобы она была достаточно простой и имела непериодическое общее решение, так как при выявлении периодичности статистическое предсказание периодического ряда
стало бы тривиальным делом. Возможность соединения этих условий была далеко не очевидной (...). Прорыв наступил во время моего посещения д-ра Барри Зальцмана, работающего теперь в Йельском университете. Во время наших бесед он показал мне одну работу по тепловой конвекции, где им использована система из семи обыкновенных дифференциальных уравнений. Большинство полученных им численных решений быстро приобретало периодический характер, но одно решение отказывалось устанавливаться. Кроме того, оказалось, что в этом решении четыре переменных приближаются к нулю. Можно было предположить, что уравнения, которые управляют остальными тремя неизвестными, при исключении из них членов, содержащих первые четыре переменные, также будут иметь непериодические решения. По возвращении я решил эти три уравнения на нашем компьютере и подтвердил непериодичность, на которую указывал Зальцман. В конце концов дело пошло».
В измененных обозначениях три уравнения с непер иодическими решениями имеют вид：
虱=—<4/1 + 旳2,
У2 = —У\Уз + 广协一У2» .(16.17)
Уз = У\У2 — Ьуз,
где а. г и b — положительные константы. Обозначим через фж: R3 т R3 отображение
<Рх (f/o) = У (х, о, %),(16.18)
которое является фазовым потоком дифференциального уравнения. Поскольку (16.17) —автономная система, выбор х0 = 0 не ограничивает общности, и тождество (14.13) принимает вид
屮厶+*• = %* ° Фх>.(16.19)
Из (16.17) следует, что
•у 会 (d + 诡 + (% - u -厂尸)一
=—(。加 + 成 + b (% — 普一2)2) + Ь (-у + у-)2 ・(16.20)
Поэтому шар
Ro = {回,鼓，％) I 笳 + У* + (% —。一 г)2《с'} отображается потоком фг в себя при условии, что с достаточно велико, так что R。полностью содержит эллипсоид, определяемый приравниванием нулю правой части (16.20). Следовательно, если * принимает возрастающие значения 1, 2, 3, ...» то 7?0 отображается в области % = б (R。)，& =(р2 (丸。)=w (&) [в силу (16.19)] и т. д・,причем R。 n Ri n R% п ・・・・
Область 以 имеет объем
% =『det (器电 0, y^\dy^
имеет постоянное значение — (и + b + 1), откуда следует, что
Vk = ef (叶+)%・
Таким образом, каждая траектория в конечном счете попадает в множество Rg = R。f] R Г) A2 rl …нулевого объема.
Система (16.17) имеет очевидную особую точку % = % = % = =0, которая становится неустойчивой при г > 1. В .этом случае есть еще две дополнительные особые точки С и С- задаваемые соответственно значениями
班=У2 = ±/Ь(Г— 1)，Р8 = Г— 1・
Они становятся неустойчивыми (например, в силу критерия Рауса, приведенного в упр. 1 из разд. 1.13) при а > & + 1 и
В первом примере мы используем значения Зальцмана Ь = 8/3, и = 10 и г = 28. («Здесь мы отметим еще одно счастливое обстоятельство: Зальцман использовал а = 10 в качестве грубого приближения числа Прандтля (около 6) для воды. Если бы он выбрал для изучения воздух, то, вероятно, взял бы а == 1, и непериодич-
iniiniII無II無^nwnnn^uH^nwnnn^uHnu#Sanu#Sa〃 ю〃 ю
ini
ini
II無
II無
^nwnnn^uH
^nwnnn^uH
nu#
Sa
nu#
Sa
〃 ю
〃 ю
ность не была бы открыта» [Лоренц (1979) ].) На рис. 16.9 представлена кривая решения системы (16.17) с начальными значениями Pi = —8, у2 = 8,乡額=г — 1, которая действительно выглядит довольно хаотической.
Чтобы яснее понять, что происходит, отметим следующий факт: любое решение, начинающееся на плоскости у8 = г — 1 между двумя особыми точками, окружает одну из них и возвращается с обратной стороны. Поэтому выберем указанную плоскость П
в качестве сечения и рассмотрим отображение Пуанкаре Pi П П. Численное изучение данного отображения показывает, что существует критическая линдя, выше которой решения идут вправо, а ниже — влево. Следовательно, образ 尸(П) состоит из двух множеств, как показано на рис. 16.10. Отсюда вытекает, что образ 尸2 включает 4 слоя, образ Р3 — 8 слоев и т. д., причем слои размещаются все ближе друг к другу. Поэтому аттрактор состоит из бесконечного множества листов, расположенных' наподобие точек канторова совершенного множества. Такие аттракторы называют теперь странными аттракторами. («Следовательно, аттрактор описанного типа нельзя отбрасывать как частный патологический случай». — Рюэлль—Такенс (1971).)
Каскады Фейгенбаума
Хотя начало статьи Лоренза (1979) написано очень хорошо, утверждения последнего ее раздела верны лишь отчасти. Следуя Лоренцу, будем теперь изменять в (16.17) параметр Ь, полагая одновременно г = гс (см. (16.21)) и
or = b + 1 + /2(b+D(b + 2)・ (16.22) При таком значении о параметр гс достигает минимума. Численное интегрирование показывает, что при очень малых b (точнее, Ь ＜： 0.139) решения (16.17), очевидно, сходятся к устойчивому предельному циклу, который дважды пересекает сечение Пуанкаре % = г — 1 в двух различных местах и окружает обе критические точки С и С\ При больших Ь (например, Ь = 8/3) коэффициенты и и г слабо отличаются от изученного выше случая и существует странный аттрактор. Но что происходит внутри интервала изменения Ь? Мы вычислили решения модели Лоренца (16.17) для 687 промежуточных значений Ь, расположенных от 0.138 до 0.148. Для каждого из них мы рассчитали 800 пересечений сечения Пуанкаре. На рис. 16.11 представлены значения у19 при которых решение пересекает плоскость Пуанкаре f/з = г — 1. При этом после каждого изменения Ь первые 40 итераций не показаны на рисунке, так что виден только аттрактор.
&+I =。(X/I — *)»&+I =。(X/I — *)»(16.23)(16.23)Для малых Ь существует одна периодическая траектория; потом при b = Ь* = 0.1397 она неожиданно расщепляется на траекторию с периодом два, которая в свою очередь расщепляется при Ь = & = 0.1433 на траекторию с периодом четыре^ затем восемь и т. д. Существует точка &те, после которой движение становится хаотическим. Но и за этим значением снова и снова встречаются интервалы устойчивых аттракторов периодов 5, 3,... и т. д. Полная картина напоминает результат вычислений по рекуррентной формуле
&+I =。(X/I — *)»
&+I =。(X/I — *)»
(16.23)
(16.23)
5 Хайрер Э. и др.
которая рассматривалась во многих статьях [см., например, Мей (1976), Фейгенбаум (1978), Колле—Экманн (1980)].
Рис. 16.12. Отображение Пуанкаре эллипса (16・24).
Но отчего возникает это сходство? С помощью рис. 16.12 изучим отображение Пуанкаре для системы (16.17) со значением 6 == 0.146. Мы выбрали эллипс
У1 = —0.084 + (и—0-0.7071,
勿=-0.077 + 他 + v)-0.7071,(16・24)
где “ = 0.012 cos 屮，и = 0.0015 sin ф, 0《屮《2m Что происходит с этим эллипсом после одной итерации? Он сожмется в тонкую линию, изогнутую в форме, буквы U и отображающуюся в себя.
Таким образом, отображение Пуанкаре — это, по существу, отображение отрезка [0, 1 ] в себя, подобное тому, которое описывается соотношением (16.23). Замечательное открытие Фейгенбаума состоит в том, что для всех отображений подобной формы всегда наблюдаются одни и те же явления, и, в частности, величина lim %—結=4.6692016091029906715...
gf ОО 力+1 一灰
является универсальной константой ——числом Фейгенбаума. Повторяющиеся удвоения периодов при значениях 匕工,Ь2» Ьз,・♦・ называются каскадами Фейгенбаума.
Упражнения
Уравнение Ван-дер-Поля (16.2) при е = 1 имеет предельный цикл с периодом 7 = 6.6632868593231301896996820305, проходящий через у2 = 0, Ui = 4, где А = 2.00861986087484313650940188.
Теперь замените (16.2) системой
У =勿(』一УЗ
J2 = ((1 —而 J/2 — J/i) (A — Pi),
у которой на предельном цикле появилась стационарная точка. Изучите поведение решения, начинающегося внутри него, например, со значения y1Q = 1, у验=0.
[Фроммер (1934)] Рассмотрите систему
协=,2 + 2yly2 一 у?,段=f/i + (1 + e)才 + 2уз 一 Z/W・ (16.25)
Исследуя устойчивость, как в у пр. 5 из разд. 1.13, либо с помощью численных расчетов покажите, что при е > 0 система (16.25) имеет предельный цикл асимптотического радиуса г = =■/ 6е/7. (См. также статью Ваннера (1983) и разд. 1.13, у пр. 5.)
Решите 16-ю проблему Гильберта: какое максимальное число предельных циклов может иметь квадратичная система
质=的 + a{yi + а2у2 + аз状 + а4у\У2 + «5^,物=Во + Р1У1 + В2g2 + ВзУ； + 04^3 + ^5 质？
Математическая общественность ждет Вас: более 80 лет никому не удается решить эту задачу. В настоящее время наибольшее 5*
известное число равно 4, как，например9 для системы
У1 = Mi — f/2 — 10或 + (5 + 6) yiyz + yh
У2 y1(-25 + 8ё - 96)"伊，
6 = —10-%& = _io 士,入= —10-200
(См. работы Ши Сонглина (1980), Ваннера (1983), Перко (1984).)
Найдите замену координат, при которой уравнение туя + (—А + В (у))外 + 匆=0
становится уравнением Ван-дер-Поля (16.2), см・ книгу Крылова—Боголюбова (1947)..
Примените к уравнению математического маятника
jT + siiif/ = jr + g-* +告士 ・・・=0,у(о)= s g (。)= о
метод асимптотических разложений (16.6) и (16.7) и изучите период как функцию от 8.
Ответ. Период равен 2n (1 + 名“/16 + …).
Вычислите предельный цикл (бифуркацию Хопфа) для уравнения
旷 + у = ^уг — (/)* 旷(0) = 0
при малых &, используя для этого метод Пуанкаре (16.6), (16.7) со значением % (/) = 0.
Аналогичным способом (как в упр. 6) изучите брюсселятор (6.1Г) при 4 = 1 и В=2 + ”.
Указание. Для упрощения расчетов перенесите особую точку (1,2) в начало координат, а затем выберите новые координаты, используя собственные векторы линеаризованного уравнения (см. (12.22) и (12.23)). В результате получится уравнение
У + У = т" “ — 1)—⑵)2 ^ +у^ + 2”-
Ответ, z (/) = &(2//W) cos / + ..., / = х (1 — е2/18 + ...), а поэтому период асимптотически равен 2л (1 + е2/18 + ...).
[Льенар (1928)] Докажите, что предельный цикл уравнения Ван-дер-Поля (16.1) для каждого 8 > 0 является единственным. Указание. Тождество
У + & ⑵一1) “ = "^ ("' + в (歹/3 - у))
подсказывает выбор координатной системы 力(х) = у (х), У2 (х) = У’ + & (д8/3 — у). Запишите соответствующую систему первого порядка, исследуйте знаки 虱，质 и рост функции
«энергии» V (%) = (g； + д；)/2. Кроме того, обобщите результат на уравнение вида д" + / (д) У + g(9)= 0. Подробнее этот вопрос изложен, например, в книге Симмонса (1972).
[Рэлей (1883)]. При малых хи% найдите периодическое решение уравнения
У +куг + к (у) + п^у = 0.
Ответ, у = Л sin (пх) + (ХпЛ8/32) cos (Зпх), где значение Л определяется из формулы 乂 + (3/4)入•九'А? = 0.
Ю. [Бендикссон (1901) ]. Если в некоторой области Й на плоскости выражение
机'财
всегда отрицательно или всегда положительно, система (16.4) не может иметь замкнутых решений в Q
Указание. Примените формулу Грина
J J (許+含)%姒7&姒一з分
Глава II
Методы Рунге — Кутты и экстраполяционные методы
Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений естественным образом разделяются на два класса. В один из них входят методы, использующие одно стартовое значение на каждом шаге («одношаговые методы»), а другой образуют методы, опирающиеся на несколько значений решения («многошаговые методы»). В этой главе изучаются одношаговые методы, а многошаговые методы рассмотрены в гл. III. Обе главы в значительной мере независимы, и каждую из них можно читать, по крайней мере их начальные разделы, не зная содержания другой.
Глава начинается с изложения теории методов Рунге—Кутты, включая вывод (с помощью помеченных деревьев) условий, определяющих порядок аппроксимации, оценки погрешностей, доказательства сходимости, вопросы программной реализации, методы высших порядков. В разд. II.7 вводятся неявные методы Рунге— Кутты. Им будет уделено больше внимания во втором томе, посвященном жестким дифференциальным уравнениям. Следующие несколько разделов посвящены элегантной идее экстраполяции (Ричардсон, Ромберг и др.) и ее использованию для построения программ, интегрирующих с высоким порядком точности. Затем рассматривается алгебраическая теория композиции методов, на основании которой- в дальнейших главах будут изучены свойства порядка аппроксимации для многих общих классов методов. Глава заканчивается специальными методами для дифференциальных уравнений второго порядка 乡"=f (х, у) и для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Для иллюстрации работы методов, описанных в этой главе, мы выбрали пример из небесной механики — ограниченную задачу трех тел. Рассматриваются два тела с массами 1 —卩 н 卩,участвующие в совместном круговом движении в некоторой плоскости, и движущееся вблизи них в той же плоскости третье тело пренебрежимо малой массы. Уравнения имеют вид
У1^У^У2-^(0.1)
见=92-2员一|/ /卩卷^,
2 = (® + рУ + 血叱。2 = (("I —『У + 向吟 !Л = 0.012277471, J = 1 —臥
Мн тщательно определили начальные условия!
玖(0) = 0.994,质(0) = 0,乡2 (0) = 0, 圾(0) = —2.00158510637908252240537862224,
X6nd = 17.0652165601579625588917206249,
чтобы решение получилось периодическим с периодом Xend. Такие периодические решения много десятилетий привлекали
Рис. 0.1. Орбита Аренсторфа, вычисленная эквидистантным методом Эйлера, эквидистантным методом Рунге — Кутты и методом Дормана и Принса с переменной длиной шага»
внимание астрономов и математиков (Пуанкаре). Теперь их часто называют «орбитами Аренсторфа» (см. Аренсторф (1963); этот автор также провел много расчетов на «быстродействующих электронных вычислительных машинах»). Задача принадлежит классу С°° (т. е. решения бесконечно дифференцируемы), за исключением двух особых точек:弘=—ц и ^ = 1 —卩，Ра =。・ Поэтому, как мы знаем из разд. L7, метод ломаных Эйлера сходится к решению. Но будет ли он действительно полезным для вычислений в нашем случае? Мы провели вычисления, взяв 24000 шагов длины
А = Xend/24000, и построили орбиту, приведенную на рис. 0.L Результат нельзя назвать замечательным.
Метод Рунге—Кутты (приведенный в табл. 1.2 слева) работает уже гораздо лучше, он быстрее сходится к решению. Мы взяли 6000 шагов длины £"6000, чтобы объем вычислительной работы остался прежним. Ясно, что точность теряется больше всего в тех частях орбиты, которые близки к особой точке. Поэтому программы с автоматическим выбором длины шага, описанные в разд. II.4, работают гораздо лучше, и программа DOPRI5 (табл. 4.6) вычисляет орбиту с точностью до Ю-3 за 75 шагов. На некоторых участках длина шага становится очень большой, и графическое представление результата в виде ломаной, соединяющей точки решения, становится неудовлетворительным. Сплошная кривая на рис. 0.1 —интерполированное решение (5.7), точное и для всех промежуточных значений. Оно полезно также во многих других случаях, например при решении дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, для вывода результатов в большом числе промежуточных точек («плотная выдача») или в точке, заранее не известной («неявная выдача»).
Для достижения еще более высокой точности нужны методы более высокого порядка. Например, программа DOPRI8 (табл. 6.4) вычисляет орбиту быстрее, чем DOPRI5, и при более строгих ограничениях на допустимую погрешность (скажем, не превосходящую 10^). Наивысший порядок точности достигается применением экстраполяционных методов (разд. II.9). Программа ODEX (при /Стах = 15) вычисляет орбиту с точностью до 10* делая около 25000 вычислений функций, стоящих в правых частях уравнений — как раз тот объем вычислений, что и в упомянутом выше решении методом Эйлера.
ПЛ. Первые методы Рунге『Кутты
«Численное определение какого-то решения заданного дифференциального уравнения, аналитическое решение которого неизвестно, кажется, до сих пор мало занимало внимание математиков...»
(К・ Рунге, 1895)
Метод Эйлера для решения начальной задачи
К = f (%,办 У М =%(Ы)
был описан Эйлером (1768) в его «Интегральном исчислении» (раздел второй, гл. VII). Метод прост для понимания и программирования. Мы подробно исследовали его сходимость в разд. 1.7 и убедились, что глобальная погрешность имеет вид С瓦 где С — постоянная, зависящая от задачи, ий—максимальная длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов, что не слишком удовлетворительно. С другой стороны, еще со времен Ньютона известно, что можно найти гораздо более точные методы, если f в (1.1) не зависит от у, т. е. если мы имеем задачу
У=/(* У W = У^(1・Г)
решаемую квадратурой!
я
g(x)= %+h“)dx・(1.2)
В качестве примера рассмотрим «правило средней точки» (или первую квадратурную формулу Гаусса)!
?(/ + 月)Q弘=% + ^ (/ +岑)，
g (*i+fti)» 敦=Bi+GJ (%i + 扌)，(i・3‘)
g (X) * y = %.] + 回 J (%пт + 孕)，
где 也=хм —勺 н х0) %м ・••，хп^ xn = X — граничные точки подынтервалов, на которые разбит интервал интегрирования. Известно, что оценка глобальной погрешности этой формулы У (X) — У имеет вид СЛ2. Таким образом, если желаемая точность составляет 6 десятичных знаков, ее обычно можно получить приблизительно за тысячу шагов, т. е. этот метод в тысячу раз быстрее. Поэтому Рунге (1895) поставил следующий вопрос: нельзя ли распространить метод (1・3‘)и на задачу (1.1)? Первый шаг длины 九=九。должен иметь вид
9(%+力)*%+力/(х0+£, 9 (*。+奋)).(L3)
Но какое значение взять для у (%。+ 九/2)? За неимением лучшего естественно использовать один малый шаг метода Эйлера длины h/2. Тогда из (1.3) получим
瓦=f (%о，%),
^2 = / ^о + "у > % + ?瓦)，(1・4)
力=% +九囱•
Может показаться странным, что для вычисления 局 мы предлагаем сделать шаг методом Эйлера, о неэффективности которого говорилось полстраницей выше. Однако решающим обстоятельством является умножение 月 в третьем выражении на 瓦 в результате чего влияние погрешности становится менее существенным. Точнее говоря, вычислим для yt в (1.4) разложение Тейлора по степеням hi
弘=% + 时(/ + 令，Уо + £ fo) =(1・5)
=% +九f(/,公 +』(fx + f力(％，%) +
+ % 仇R + 2%/ + %『)(％，％)+•・・•
Его можно сравнить с рядом Тейлора для точного решения, который получается из (1.1) повторным дифференцированием с заменой у' на f каждый раз, когда оно появляется [(Эйлер (1768), задача 86, пар. 656; см. также формулы (8.12) гл. I ]:
В (%о + 九)=% + 九f (%о, "о) + g~ (А» + fyf) (^о, %) +
+ *4" (fXX + 2fxyf+fуyf + fyfx + /才)(％, %)+・・・・(1・6)
Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим для погрешности первого шага выражение
д(/ +力)一Bi =
="^~&х+2f爾+九 J + 4 (fyfx + 赤))(xq, Во) + ・・・• (1・7)
Таким образом, если все частные производные f второго порядка ограничены, то || у (х0 + 九)一力 ||《№3・
Чтобы получить приближенное значение решения задачи (1.1) в конечной точке X, будем применять формулы (1.4) последовательно к интервалам (х0, /), (хг, л;2), ...,(占口 X), подобно тому как применялся метод Эйлера в разд. 1.7. По аналогии с доказательством сходимости в разд. 1.7, мы покажем в разд. II.3, что, как и в случае задачи (1.Г), погрешность численного решения ограничена величиной вида Ch2 (h —максимальная длина шага).
Таким образом, (1.4) является усовершенствованием метода Эйлера. Для вычислений с высокой точностью надо найти еще лучшие методы, и этим мы будем заниматься главным образом в следующих разделах.
Общая формулировка методов Рунге — Кутты
Рунге (1895) и Хойн (1900) построили новые методы, включив в (1.4) один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта (1901) сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге—Кутты.
Определение 1・1・ Пусть s — целое положительное число («число стаан*》, или «зтапов») и o^i，@3i, а&2，• • •, °81, °82, ^s, s—1» • • •, blt ...,儿，c2, ..., q ——вещественные коэффициенты. Тогда метод
財=f Ro, %),
月=f (/ + /儿 % +九%1R3
论8 = f (/ +e亦，УQ + h (a81 论i + %瓦))， (1.8) 论8 = f (/ +。8儿 ％ + 九(。81 瓦 +••・+% в-1^8-1)), 先=%+九(瓦生+.• • + &瓦)
называется s-стадийным (s-этапным) явным методом Рунге— Кутты (ЯМРК) для задачи (1.1).
Обычно коэффициенты с, удовлетворяют условиям
的=“21, 的=^3i + Ом* • • •，G =。81 + • • • +。8, 8T (1 ・9) или, короче,
q=岁%/.(19)
Эти условия были приняты Куттой без каких-либо комментариев. Смысл их в том, что все точки, в которых вычисляется/, являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации Для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения не являются необходимыми (см. упр. 6).
Определение 1.2. Метод Рунге—Кутты (1.8) имеет порядок Р, если для достаточно гладких задач (1.1)
m(%。+九)一%1《№叶*(1Л0)
т. е. если ряды Тейлора для точного решения у (х0 + ft) и для yi совпадают до члена hp включительно.
символически таблицы:символически таблицы:(18)(18)
символически таблицы:
символически таблицы:
(18)
(18)
После статьи Бутчера (1964b) вошло в обычай представлять метод (1.8) посредством следующей
q 41 厶窘• • • °8,8T
瓦瓦• • • b 8T b8
Примеры. Рассмотренный выше метод Рунге, а также методы Рунге и Хойна порядка 3 приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Методы Рунге—Кутты низших порядков
Рунге, порядок 2
Рунге, порядок 3
Хойн, порядок 3
0 1 т
1
丄
0 0
1 0 1
1 т
0
2 т
0
1
丄
2 о 1
1
*4
0 т
Обсуждение методов порядка 4
«Из более новых методов я считаю наилучшим следующий, предложенный г-ном Куттой».
(К. Рунге, 1905)
.Займемся теперь определением 4-стадийных методов Рунге— Кутты (1.8) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Выше мы видели, что надо делать: вычислить производные порядков 1, 2, 3 н 4 от % = % (А) при й = 0 и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. С использованием (1.9) получаются следующие условия:
(1.11a)(1.11b)(1.11a)(1.11b)工仇=bj + % +ь8 +瓦=L
(1.11a)
(1.11b)
(1.11a)
(1.11b)
匕臼—b2c2 + b“8 + 匕4。4 = F ,
(1.11c) (l.lld) (1.1le) (l.llf) (1.11g)(l.llh)(1.11c) (l.lld) (1.1le) (l.llf) (1.11g)(l.llh)
(1.11c) (l.lld) (1.1le) (l.llf) (1.11g)
(l.llh)
(1.11c) (l.lld) (1.1le) (l.llf) (1.11g)
(l.llh)
£ b/d = &2^2 + b孟 + 瓦成=-g-,
£ bl/jCj = b^a^z + 瓦(《42& + «48。8)= "g"，
£ Ь/С；=庆^ + Ьз4 + &с：=；, Е biCiOifij =瓦с8a82% + b4c4 (。4启 +。4恥8)=
S %«“d = ЬзОз2С； + &4 (^42^2 + @43^)= r. /
，a幫а熱5尸 b4a48082& = *24" • hi/
Эти вычисления, не приведенные в статье Кутты (они даны, однако, в работе Хойна (1900)), очень утомительны. И громоздкость их очень быстро растет для более высоких порядков. В разд. II.2 мы увидим, что при использовании соответствующих обозначений они могут стать очень изящными.
Кутта дал общее решение уравнений (1.11) без объяснений. Ясное изложение вывода решений приведено в книге Рунге и Кёнига (1924). Здесь мы будем следовать идеям Дж. К・ Бутчера, которые проясняют роль так называемых упрощающих предположений и применимы также в случае более высоких порядков.
Лемма 1.3. Если
§ 瓦郁=%(1 — с»,/ = 1, ..., 4,(1・12)
то уравнения d), g) u h) в (/.//) являются следствиями остальных.
Доказательство. Покажем это для g). С помощью уравнений с) и е) получим:
2 仇 a“J=2 勿力—2 а’；=4* 一 }=%•
Для уравнений d) и h) процедура аналогична. ■
А теперь мы покажем, что в нашем случае условие (1.12) является и необходимым.
Лемма 1.4. При s = 4 (/./2) следует из уравнений (/.//) и (/•9) •
При доказательстве этой леммы используется следующая
Лемма 1・5・ Пусть U и V суть 3 X 3-матрицы^ такие» что
UV=(c d 0L det (: J*。，(М3)
Тогда либо Уе3 = 0, либо UTe3 = 0, где & = (0, 0, 1)丁・
Доказательство леммы /・5. Если det U * 0, то из UVe3 = 0 следует Уе8 = 0. Если же det U = 0, то существует вектор х = =(xlt %2, %8)丁=/=0, такой, что UTx = 0, и поэтому VTUTx = 0. Но тогда из (1.13) следует, что % должен быть пропорционален вектору ■
Доказательство леммы /・4・ Введем величины
山=£ 瓦《〃一 ％(1 — с» для /=1, ・・・,4・
теперь матрицытеперь матрицыИтак, надо доказать, что dj = 0.
теперь матрицы
теперь матрицы
Перемножение даетПеремножение даетэтих матрицэтих матрицо использованием условий (1.11)о использованием условий (1.11)UV =UV =1 -41 一 31 -41 一 3ооооООООООпричем detпричем det¥=0.¥=0.
Перемножение дает
Перемножение дает
этих матриц
этих матриц
о использованием условий (1.11)
о использованием условий (1.11)
UV =
UV =
1 -4
1 一 3
1 -4
1 一 3
о
о
о
о
ООО
ООО
причем det
причем det
¥=0.
¥=0.
Далее, последний столбец V не может быть нулевым, так как из того, что q = 0, следует
»饱)&J" =2- :/= 0
в силу условия h). Таким образом, из леммы 1.5 следует, что d2 ^ =d& = d《=0. Последнее тождество 厶=0 вытекает из равенства dj. + da + d& + d《=0, которое является следствием (1.11а, Ь) и (1.9)..
Из лемм 1.3 и 1.4 получается следующая
Теорема 1・6・ Если выполнены предположения (/.9), mo уравнеТеорема 1・6・ Если выполнены предположения (/.9), mo уравне(1.15f)(1.15i) (l」5j) (1.15k)(1.15f)(1.15i) (l」5j) (1.15k)(Мб)(Мб)1-6 1-61-6 1-64 -64 -6
Теорема 1・6・ Если выполнены предположения (/.9), mo уравне
Теорема 1・6・ Если выполнены предположения (/.9), mo уравне
(1.15f)
(1.15i) (l」5j) (1.15k)
(1.15f)
(1.15i) (l」5j) (1.15k)
(Мб)
(Мб)
1-6 1-6
1-6 1-6
4 -6
4 -6
ния (/•〃)ния (/•〃)эквивалентны следующими&i + &2 + &8 + &<'
ния (/•〃)
ния (/•〃)
Ь2cz -|— 68c& + 64c4 =
&2^2 +6费+九成=
b“； + 63^3 + 瓦 с；=
b8c8a82As + 瓦04 (a4202 +043c8)^ 可，瓦。8含 + &4a42 = ^2 (1 — &),瓦a48 У &8 (1 - 08)，
0 ^ Ь4 (1 一 c)
Доказательство очевидно. ■ Из (L15j) и (l.llh) следует, что
4c* (1 — Сз) fs 0.
Отсюда, в частности, вытекает, что в силу (1.15k) с《=1.
Решение уравнений (/./5). Уравнения а)—е) и к) выражают тот факт, что коэффициенты Ь± и с± являются весами и узлами квадратурной формулы четвертого порядка при q = 0 и с4 = 1. В силу (1.16) возможны следующие четыре случая:
1)/ = % 的=и* причем 〃*и, 〃¥=4> 〃 и и*0, #1.
(1.17)
Тогда уравнения а)—е) образуют невырожденную линейную систему для определения &1Э Ь*,匕駅 %4・ Эта система имеет решение
<2。—• 1<1 — 2〃
2 — 12〃 (1 —〃)(и —〃) '812и (1 — и) (и —〃)'
t6〃。+ 3 — 4м — 4。厶 1&
瓦=12(1-w) (1—0，%=1 一瓦一瓦一瓦，
Остальные три случая о двойными узлами основаны на правиле
Cg = 0? S = "2" , & = 〃 :^:。？ 厶=-^*" —— 〃， & = "g~ ,
S =偽=扌， 瓦=g， & = 〃 =# 0, &2 = "g〃，
4)的=b偽=｝，坛="*0， &=4—% 瓦=4"，
После того как выбраны 仇 и с〃 получаем а48 из уравнения j), и тогда два уравнения f) и i) образуют линейную систему для определения «豌 и а^. Определитель этой системы
/ % 瓦\det\&3^a =
оогласно (1.16), не равен нулю. Наконец, из (1.9) находим 矶 «81 И %3
Особенно популярными стали два варианта, которые выбрал Кутта (1901). Это случай 3) при и == 2/6 и случай 1) при и = 1/3, и = 2/3. Они приведены в табл. 1.2. Оба метода обобщают классические квадратурные формулы, сохраняя их порядок. Первый из них более популярен, второй более точен (《Мн будем рассматривать это приближение как лучшее в общем случае...» —Кутта).
Таблица 1.2. Методы Кутты ^Классический»
«Оптимальные» формула
Предпринималось много исследований, чтобы выбрать возможно «лучшие» из множества различных формул РК 4-го порядка.
Первой попыткой в этом направлении был очень популярный метод, который предложил Гилл (1951). Он преследовал цель уменьшить, насколько возможно, количество требуемой машинной памяти («регистров»). Этот метод широко использовался на первых компьютерах в пятидесятых годах и представляет поэтому исторический интерес. Гилл заметил, что больше всего машинной памяти нужно при вычислении 也з, когда «требуются регистры для хранения в какой-либо форме» величин
у0 + %击局+ a82力々2, уa + а41力局+042力々2，
Уо +瓦也瓦+瓦源2,滋8・
«Ясно, что для третьей стадии будет достаточно трех регистров, если подлежащие хранению величины линейно зависимы, т. е. если»
(
1 ^81的習、 1 а” а<2 ) = 0・ 1瓦瓦/
Гилл заметил, что это условие удовлетворяется для методов типа 3), если 〃 =(1 + /0,5,)/3. Получающийся метод можно тогда переформулировать следующим образом («Каждая вычисленная величина засылается в регистр, ранее содержавший соответствующую величину предыдущей стадии, больше не нужную»):
д:= начальное значение, 论:= 出(у), g:= у + 0.5fe, g:= k,
々:=九/(/ У：= g + (1 —/О) (К—g),
g:= (2 —/2)fe+ (―2+ 3/0^) q,
削=时匂)，g：= g + (l +/^5)但一办(1.18)
g:=(2 + /^)也 + (-2-3/^)仇
咫= 亙@)3 g：= 5十-|乎, S переход & следующему шагу).
Ныне на больших компьютерах g высокой скоростью счета этот метод больше не употребляется, но он может все же представлять интерес для систем уравнений очень высокой размерности.
Делались и другие попытки: для случая 1) подобрать 〃 и и в (1.17) так, чтобы погрешность (члены порядка 九* см. разд. И.З) стала, насколько возможно, малой. Мы обсудим этот вопрос в разд. П.З.
Численный пример
aZu grossen Gewicht darf man natfirlich solchen Bels- pielen nicht beilegen...>
«Конечно, таким примерам нельзя придавать слишком большого веса...»
(В. Кутта, 1901)
Сравним результаты применения пяти различных методов к двум системам уравнений, которые возьмем в качестве тестов. Выберем решение вида
У1 = exp (sin (炉))，队 ^ exp (5sin (炉))，
Уз ^ sin (炉)+ 1,弘=cos (x2),
146 Гл» П. Метода Рунге—Кутты и экстраполяционные метода все компоненты которого удовлетворяют начальным условиям Hi (0) = 1. Можно построить несколько систем дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет это решение, например:
质=2хд4дъ 质=10也/4虛
妖=2*%,加=—2* 例一1),(1 • 19)
или более сложную систему:
质=2*虚％,质=Юх exp (5 例一1))・％,
，с， с 1、(1.20)
% = 2电4,队=-2%也(班).
Мы применили для их решения пять программ при нескольких различных фиксированных длинах шага. На рис. 1.1 по осям
Рис. 1.1. Зависимость максимальной глобальной погрешности от числа обращений к подпрограмме вычисления значения функции (обозначенного символом /с).
отложены в логарифмическом масштабе максимальные погрешности и число обращений к вычислению функций, стоящих в правых частях уравнений (которое для четырехстадийных методов в 4 раза больше числа шагов). Масштабы выбраны так, чтобы теоретический наклон графиков (который по теореме 3.4 равен 1/4) составлял 45°. Эти тесты обычно показывают для классической схемы РК слегка худшие результаты, чем для других схем РК,
но различия оказываются очень малыми. Здесь сравнивались следующие методы:
классический метод РК (в табл. 1.2 ——левая таблица)
правило 3/8 Кутты (в табл. 1.2 — правая таблица)
—— — оптимальная формула (см. упр. За из
разд. II.3), и = 0.3587, и = 0.6346
—・—・—・—w—・—・—・—Ральстон (1962), Халл (1967), и = 0.4, и = 0.45
—・・—・・—・・—・・—・・—..формула Гилла (1.18)
1.1.Упражнения
1.
1.
ная) даетная) дает弘=喑仆,弘=喑仆,м.м.Покажите, что любой s-стадийный явный метод РК порядка s при применении к задаче %’ = Пу (儿一комплексная постоян
ная) дает
ная) дает
弘=喑仆,
弘=喑仆,
м.
м.
Указание. Покажите сначала, что отношение yjy^ должно быть многочленом степени s от г, а затем определите его коэффициенты, сравнивая производные у^ по 力 с производными точного решения.
[Рунге (1895); см. также введение к методам Адамса в разд. III.1.] Теоретическая форма капель жидкости определяется дифференциальным уравнением Лапласа (1805):
(1.21)(1.21)7 (& + KJ
(1.21)
(1.21)
—з 2，
где а — постоянная, (Ki + KJ/2 — средняя кривизна и z — высота (см. рис. 1.2). Если подставим сюда l，Ki = r/sin <р и /Са = d^lds (кривизну меридиональной кривой), то получим
—2z = d(嘤 + 岩)， (1.22)
где мы положим а = 1. Добавив уравнения
嘗=cos ср,黑=—sin %(1.22‘)
получим систему трех дифференциальных уравнений для 屮(s), г (s), z (s), где s — длина дуги. С помощью метода Рунге (1.4) вычислите и постройте различные кривые, соответствующие начальным значениям ф (0) = 0, г (0) = 0 и z (0) = z。(％ < V 0 для лежащих капель; рассчитайте также форму висящих
капель, изменив соответствующим образом знаки в (1.22)). Проделайте вычисления с различными длинами шага и сравните результаты%
Указание. Не забудьте про особенность в начале: из (1.22) и (1.22‘)при малых $ имеем г « s, <р === Xs, где —Л ^ %, откуда (sin(p)/r f —%・
Найдите условия, при которых двухстадийный явный метод РК должен иметь порядок два, и определите все такие методы («...wozu eine weitere Erorterung nicht mehr n6tig isb(Kutta)))
Найдите все трехстадийные методы порядка три (т. е. решите уравнения (1.11, а—d) при Ь4 = 0).
Ответ, q = 〃, с8 = и, «醜 =。(и — 〃)/(〃 (2 — 3〃)), 厶=(2 — Зи)/(6〃(“ — и)), % = (2 — 3〃)/(6и (и — 〃))， % = i 瓦—b8, a81 =c8 482, &Ц = % [Кутта (1901)].
Постройте все методы порядка 2 вида 0 的 e* 内0 0
0 О 1
«... далее обсуждать ддесь больше нечего> (Кутта).—— Нем.
Такие методы «имеют свойство, заключающееся в том, что соответствующий процесс Рунге—Кутты требует относительно мало памяти в компьютере» [Ван дер Хаувен (1977), § 2.7.2]. Примените эти методы к уравнению д' = 2〃 н сравните о результатом упр. 1.
Определите условия, при которых двухстадийные метода РК, не удовлетворяющие условиям (1.9):
月=f (/ + 内瓦%)，
自=/ (加+e办g0 + %亦也i),先=% + % (Mi + %瓦)，
будут иметь порядок два. Обсудите возможности использовать эту дополнительную свободу выбора q и са [Оливер (1975)].
IL2. Условия порядка для методов Рунге—Кутты
*...я слБппал сообщение Мерсона...»* (первое знакомство Дж. Бутчера с методами Рунге—Кутты)
В этом разделе мы изучим общую структуру условий, определяющих порядок метода, или условий порядка, как их называют для краткости [Мерсон (1957), Бутчер (1963)]. Со времени появления этих первых работ способ вывода условий порядка прошел большую эволюцию. Он совершенствовался главным образом под влиянием более поздних работ Бутчера, с которым авторы много раз обсуждали эти вопросы. В нашем изложении использовано, кроме того, доказательство «теоремы 6» из работы Хайрера и Ваннера (1974); мы опирались также на наш опыт преподавания. В разд. 11.11 мы увидим, что те же самые идеи позволяют доказать общую теорему о композиции методов (В-рядов), открывающую подход к условиям порядка для гораздо более широкого класса методов.
Для упрощения вывода целесообразно преобразовать уравнение (1.1) к автономной форме путем добавления х к зависимым переменным:
С)=(Ю (2.1)
Основная трудность вывода условий порядка, состоит в уяснении связи между формулами и соответствующими корневыми помеченными деревьями. Эта связь выявляется наиболее естественным образом, если воспользоваться удачно выбранной системой индексных и тензорных обозначений [как в работах Гилла (1951), Хенричи (1962), Гира (1971) ]. Как это принято в тензорной нотации, мы будем обозначать компоненты векторов верхними индексами, причем, чтобы избежать путаницы, будем использовать для этих индексов заглавные буквы. Тогда автономную систему общего вида можно записать так:
(yJY ==片匂*・・•，寸)，J = 1,・・・，九. (2.2)
Перепишем прежде всего формулы метода (1.8) для автономного дифференциального уравнения (2.2). Чтобы сделать запись всех
формул (1.8) более симметричной, мы перейдем от функций 財= =f (血)к их аргументам g±・ Тогда формулы (1.8) примут вид
SiУ о^j а〃М」(g：，gf)» f = Ь ♦ ♦ •• s,
T.(2.3)
加=成+ e勿九尸(g:, •…gf).
В частности, если система (2.2) происходит из (2.1), то при J = 1
£Т
g：=品 + 百 Q"九=*o + Cih.
Второе равенство вытекает из условия (1.9), которое, как видим, становится вполне естественным. Если оно удовлетворено, то для вывода условий порядка достаточно рассмотреть только автономное уравнение (2.2).
Как указывалось в разд. II.1, нам надо сравнить ряды Тейлора для р/ и для точного решения. Для этой цели вычислим сначала значения производных у{ н g/ по 力 при Л ^ 0. Ввиду сходства обеих формул достаточно проделать это для g；・ В правые части формул (2.3) входят выражения вида Л(р (Л), и мы воспользуемся формулой Лейбница:
(А<Р(А))(^ М =外3 (九))ST М.(2.4)
Теперь приглашаем читателя сделать глубокий вдох, вспомнить основные правила дифференциального исчисления, взять пяток листов машинных распечаток и на оборотной стороне их приступить к следующим вычислениям:
д = 0: согласно (2.3),
(g力叫1 = %(2.5; 0)
g = 1: нз (2.3) и (2.4) получим
(gJ)⑴ |и =岁 a"fJ|g=9o・(2・5; 1)
9 = 2: чтобы применить формулу (2.4), нам понадобится первая производная от * (gj):
(f^gdr^^f^)^^^(2.6; 1)
где, как это принято,足 означает dfJ/dyK. Подставим сюда выражение для (gf)⑴ из формулы (2.5; 1), заменив в ней индексы 厶 /, J на /,瓦 К・ Применяя теперь формулу (2.4) к правой части
152 Гл・ II. Методы Рунге-Кутты и экстраполяционнне метода равенства (2.3), найдем, что
(g/)⑶|х =圖的你§猿产J.(2.5; 2)
力=3: сначала продифференцируем выражение (2.6; 1), чтобы найти
(尸3))⑵=?丿儿(日)・(/严厨严+寸笈3)(d严•(2.6； 2)
Подставим сюда значения производных (gf)(I) и (gf)a)при 力=О, которые уже найдены (формулы (2.5; 1) и (2.5; 2)), затем опять из (2.3) с помощью (2.4) получим
(g?)⑶ |х = 3 £ аца1кац £ 儿产f—i +з瓦3к,厶
+ 3.2 2 §严№比郁/J好犷k"」(2.5； 3)
Для величин (次)“)|i (g = L 2, 3) справедливы те же формулы (2.5; 1—3), если в них заменить а〃 на %・
Производные точного решения
Производные точного решения получить гораздо легче. Для этого надо взять уравнение (2.2):
(gj)⑴=产匂)(2.7; 1)
и просто дифференцировать его, подставляя вместо производных правые части (2.2). Для второй производной получим
(yJr = S ^ ® ・(『9⑴=Е 辰 ® 产 ®・(2.7； 2)
Дифференцируя (2.7; 2) еще раз, найдем
(丁严=石儿®)产(加产(加+ k4辰g)乃&产(办(2.7； 3)
Условия для порядка 3
Чтобы порядок метода был равен 3, производные, определяемые выражениями (2.5; 1——3) с заменой а“ на 匕厶 должны быть равны производным (2.7; 1―3), причем для любого дифференци-
ального уравнения. Сопоставляя соответствующие выражения, убеждаемся, что имеет место
Теорема 2.1. Метод Рунге—Кутты (2.3) [или (/.S)] имеет порядок 3 тогда и только тогда^ если выполнены следующие равенства:
§ % = к
2 £匕/的丸=L
3 £ 6北冰01 = 1,3 £ 6北冰01 = 1,(2.8)(2.8)
3 £ 6北冰01 = 1,
3 £ 6北冰01 = 1,
(2.8)
(2.8)
6d断"1，■
Эти выражения можно ^ще более упростить, подставив в них 力出汽=б согласно (1.9), что приводит к формулам (1.11а — d)・
Деревья и элементарные дифференциалы
Теоретически ясно, как продолжать этот процесс, но на практике 。耳 скоро приводит к очень сложным формулам. Поэтому целесообразно перейти к графическому представлению. Для этого заметим, что в каждом члене формулы (2.5; 3) индексы /, k9 / связаны в пары в качестве нижних индексов в а^, а〃, aw, и точно таким же образом индексы J, К, L связаны попарно в качестве верхних и нижних индексов в выражениях 役& %,匠. Графически представить эти связи можно так:
(2.9)(2.9)I к
(2.9)
(2.9)
"L \/
(для первого и второго члена соответственно). Назовем эти объекты томеченными деревьями», потому что это связные графы (деревья), вершины которых помечены индексами суммирования. Их можно
представить и как отображения. Например, помеченным деревьям 仙 и /зз соответствуют отображения
ZtJ/tJ и Zf 財 4f/・(29)
Эти отображения каждой вершине графа (кроме одной) ставят в соответствие другую вершину, связанную о ней направленным вниз ребром*
Определение 2.2. Пусть Л — упорядоченное множество индексов: A^{j<k<l<m< ・・・}, и Aq — его подмножество, состоящее из первых q индексов. Назовем (корневылС) помеченным деревом порядка q (q > 1) отображение
厶 4 — {j} f 4»
такое, что f (z) V z для всех z QAq — {/}・ Множество ^всех помеченных деревьев порядка q обозначается LTq. Будем называть z “ином» / (г), а / (z) — wnmoM^ z (/ — отображение «сыновей» на 《отцов»). Вершина / («праотец» всей «династии») называется корнем /・ Порядок q помеченного Дерева равен числу всех его вершин и обычно обозначается р (/)・
Определение 2・3・ Назовем выражение
’戸⑴句底...e)乃・("・・@)..•
элементарным дифференциалом, соответствующим помеченному дереву igLTg. Здесь суммирование производится по g —1 индексам К, ь,・・・，(которые соответствуют множеству Aq — —{/}), и каждое слагаемое является произведением q символов /, верхние индексы которых пробегают все множество Aq вершин 力 а нижние индексы — множество соответствующих «сыновей».
Если множество Aq записано в виде
4q = {九 V j2V..・ V jqL② 10)
то определение 尸(0 можно переписать следующим образом:
f%) = , S(4)，②11)
поскольку «сыновья» индекса составляют его полный прообраз при отображении f.
Примерами элементарных дифференциалов являются
X fKLfKfL 'и £ ЖЛ，К, £К,£
соответствующие помеченным деревьям Z3i и /32 (2.9). Эти выражения входят в формулы (2.5; 3) и (2.7; 3).
Следующие три помеченных дерева
Iтт
m \ i \% \(212)
\/\/\/
jjj
имеют одинаковую топологическую • структуру; более того, их элементарные дифференциалы
е及М产削，£笈#庶产，£ fi^f^ (2.12) К, " M% & Мк. £, М
совпадают, поскольку они отличаются лишь обозначениями индексов суммирования. Этот пример подсказывает дать следующее.
Определение 2.4. Два помеченных дерева / и и назовем экви- валентными^ если они имеют одинаковый порядок q и существует подстановка и: Aq -► Лд, такая, что а (/) ^ / и /а = аа на.множестве Aq — {/}・
Легко видеть, что этим мы определили отношение эквивалентности на множестве
Определение 2.5. Класс эквивалентности помеченных деревьев порядка q называют (корневым} деревом порядка q. Множество всех деревьев порядка q обозначается Tq. Порядок дерева определяется как порядок его представителя из LTq и тоже обозначается р (/)• Обозначим, далее, через а (/) (для t £Tj число элементов в классе эквивалентности /, т. е. число различных возможных монотонных индексаций fl)
Геометрически дерево отличается от помеченного дерева тем, что у него опущены все индексы. Часто бывает целесообразно включить в рассмотрение пустое дерево 0 как единственное дерево порядка 0. Единственное дерево порядка 1 обозначают т. Представители всех деревьев порядка《5 приведены в табл. 2.1. Число деревьев для порядков 1, 2, ..., 10 представлено в табл. 2.2.
】)Речь идет о таких расстановках индексов, при которых сохраняется отношение порядка, заданное на множестве Лд, т. е. по существу о монотонных (нзо・ тонньц) отображениях.——Прим. реЭ.
Таблица 2.1. Деревья и элементарное Дифференциала вплоть до порядка пять
q
г
граф
7(0
a(,)
b(，)(y)
%a)
0
0
0
1
1
1
т
•丿
1
1
1
2
，21
2
1
к
3
Г31
/ к V
3
1
^f^iL
，32
丿
6
1
力沙
4
Z41
т 1 к 八
丫二
4
1
2 〃屮尸尸尸
K,L ,М
E ajkajlajm
，42
8
3
E fiMftfLfM 长丄,M
E ajkaklapn
，43
12
1 .
w ，〃£尸尸
К JLtM
2 ajkaklakm
24
1
E /"力力"
K,厶,M
£ ajkakla!m 七,5
5
Z51
丄6
5
1
^flLMpfKfLfMfP
^ajkajlajmaff
“2
10
6
工匕 MP^fLfMfP
%m以a如0"
Уз
15
4
^MLfLfMfP
^ajkaklakmajp
Г54
5 2/ 7
30
4
^MfMfp
£aR%严m0加
“5
Vk ml
20
3
2小少*
^ajkakla^amp
Г56
丿V
20
1
2匕尤мрТУк
^ajkaklakmakp
“7
40
3
飞匕山化产й
£。#%人%
Че
60
1
^ajkaklalmalp
‘59
< >
120
1
^MfP
^a^aklalmamp
Таблица 2.2. Число деревьев до Ю^го порядка
g
1 2 3
4
66
7
8910
card (Tq)
1 1 2
4
920
48
115 286 719
Разложение Тейлора для точного решения
Теперь мы можем для 力曲 производной точного решения сформулировать результат в общем- виде.
Теорема 2・6・ Для точное решения уравнения (2.2) справедлива формула
(旷)叫』=£ X(f)(，o)= S a(f)X(f)(W(2・7; g)
Доказательство. Теорема справедлива при g = 1, 2, 3 [см. формулы (2.7; 1—3)]. Чтобы вычислить, например, четвертую
(27；1)
Рис. 2・1・ Производные точного решения»Рис. 2・1・ Производные точного решения»(2.7；2)
Рис. 2・1・ Производные точного решения»
Рис. 2・1・ Производные точного решения»
(2・7;3)
(2・7；4)
производную, надо продифференцировать формулу (2.7; 3), в которой два члена соответствуют двум деревьям (2.9) и каждый из них содержит три множителя f二:,отвечающие трем вершинам этих деревьев. Дифференцирование этих членов по правилу Лейбница и подстановка правой части уравнения (2.2) вместо производных if геометрически интерпретируется как добавление к каждой вершине нового ребра с вершиной, помеченной новым индексом суммирования (рис. 2.1).
Очевидно, что в этом процессе для 力玄 производной появляются see помеченные деревья порядка д, и каждое из них только один раз.
Если сгруппировать теперь все члены с одинаковыми элементарными дифференциалами, мы получим второе выражение в формуле (2.7; д)・■
Формула Фаа ди Бруно
Займемся теперь вычислением д・й производной численного решения у* и величин gj. Для этого надо сначала получить обобщение формул (2.6; 1) («цепного правила») и (2.6; 2) на случай g-й производной от суперпозиции двух функций. На рис. 2.2 приведено представление этих формул в виде графов.
Рис. 2.2. Производные функции “(g)・
Формула (2.6; 2) состоит из двух членов, причем первый член содержит три множителя, а второй —только два, так что в его графе индекс / —《пустой》,в формуле он отсутствует, его назначение —показать, что надо взять вторую производную. Следовательно, дифференцируя выражение (2.6; 2), мы получим пять членов, которые выпишем здесь для удобства читателя (и невзирая на неудобства при их наборе!..):
俨 3严=к У м 也M(g)・(gK)⑴(/)(Г) (d)⑴ +
+ 273g)・(gK严(g£)⑴ + S 乩(g)・(gK)⑴(gL)⑵ +
К. 4К,£
+ £ 偈(g)・(gK严(厂严 + £ 足(g)・(gK)吗(2.6; 3) к. м&
Соответствующие деревья изображены в третьем ряду рис. 2.2. При каждом дифференцировании мы производим следующие операции：.
дифференцируем первый множитель f%..」ф. е. добавляем к дереву новую ветвь, идутцую от корня /;
увеличиваем на единицу порядок производной каждого из множителей g, что графически представляется удлинением соответствующей ветви.、'
Каждый раз мы добавляем новый индекс. Все получаемые при этом деревья имеют «специальный» вид: разветвления у них возможны только у корня.
Определение 2・7・ Обозначим LSq множество специальных помеченных деревьев порядка д, т. е. таких помеченных деревьев, у которых разветвления встречаются только у корня.
Лемма 2.8 (формула Фаа ди Бруно). При g》1 справедлива формула
俨(g))g; s Е^.•-/(办，唧…(g呵(%).
(2.6; 9-1)
Для каждого и g LSq здесь т — число выходящих из корня вет- вещ &, ..., 6т — числа вершин на этих ветвях, так что g = 1 + + 61 +…+ 6т・・
Замечание. Здесь отсутствуют привычные коэффициенты, указывающие кратности членов, поскольку мы пользуемся помеченными деревьями.
Производные численного решения «Трудно сохранить хладнокровие, когда обсуждаешь различные производные...» (С. Гилл, 1956)
Чтобы обобщить формулы (2.5; 1—3), нам потребуются следующие определения:
Определение 2.9. Пусть I — помеченное дерево о корнем /. Введем величину
①丁 0 = a S的ь@..
где суммирование производится по q — 1 индексам 也,/, ... (как в определении 2.3), каждое слагаемое является произведением g — 1 коэффициентов а, у каждого из которых индексы соста-
вляют одну из пар «отец» ——«сын» дерева /・ Если множество Ая записано в виде (2.10), то
①厶«) =£ 聞/加厶・・・а/(7)• 7・(2・13)
Определение 2.10. Для каждого f g LTg определим величину у (0 как произведение р (f) на порядки всех деревьев, которые получаются из /, если последовательно удалять их корни [вместе с инцидентными им ребрами, см. рис. 2.3 или формулу (2.17)].
Рнс・ 2.3・ Пример определения величины у (/).
Обе введенные величины, разумеется, не зависят от индексации, поэтому как Ф； (/), так и у (0 имеют смысл и для / g Tq. Примеры приведены в табл. 2.1.
Теорема 2.11. Для производных g； имеет место равенство
(^)(^U- X T(f)£wS ("7)(物).(2・5;g)
t£LTq /
Для производных определяемого методом (2.3) численного решения g справедлива формула
(M)®|i= X т⑴ £ье(/)Х«)(%) =
，£ ^ q 幺
=S a(/)?(f)巴勿伪(f)X(f)例).(2.14)
Доказательство. Благодаря сходству выражений (2.3) для у* и gi достаточно доказать первое равенство. Мы докажем его индукцией по q> следуя тем же путем, на котором были получены равенства (2.5; 1—3). Сначала применим к (2.3) формулу Лейбница (2.4), что дает
(g/)(叫х = д 5 au(fJ(g^\y^..(2.15)
Далее воспользуемся' формулой Фаа ди Бруно (лемма 2.8). Наконец, используем индуктивное предположение о справедливостй
формул (2.5; 1)—(2.5; 7—1) и подставим соответствующие выражения в формулу (2.6; д—1) вместо производных (gf®)"", приняв во внимание, что всегда 6$ < q. После несложных преобразований, изменив порядок суммирования, получим
(g/)'“ 1bss° = g X X • • •£ Y(幻・・・Т('т)Х
x е a? е的恒①也1 (纪• • • £的；11n①+ Cm) X
X S%…0匂。)2 (幻例)…尸小 (楠配).
小…，Km
(2.16)
Теперь мы подошли к самому трудному месту доказательства: надо уяснить себе, что каждой совокупности деревьев
(“，友，…，/щ), где “ C LSg, ts £ LT%，
соответствует определенное t £ LTqt такое, что
Y (0 = 0”(幻…Y (W,(2.17)
片(f) ®) = S氏・••••仆®)рК1^(У)--尸仆陶)®), (2.18)
①J (0 = X 的勺• • • @Л11n①占(幻• • •①％ (»m)・ (2・19)
Это помеченное дерево f получается заменой ветвей и деревьями fi，•••，fm, и соответствующие индексы переносятся с 〃 на f в естественном порядке, т. е. сохраняется их упорядоченность (примеры приведены на рис. 2.4). Таким способом оказываются построенными все деревья t £ LTqt причем каждое возникает только один раз. Итак, после подстановки (2.17), (2.18) и (2Л9) в формулу (2.16) последняя перейдет в формулу (2.5; д)・ ■
Описанное выше построение / можно использовать также для индуктивного определения деревьев. Заметим сначала, что класс эквивалентности f зависит только от классов эквивалентности 九 …，tm (это видно на рис. 2.4).
Определение 2Л2. Будем обозначать
t =比，…，fm】(2*20)
дерево, после удаления корня которого (вместе с инцидентными ему ребрами) останутся деревья 4, ..., tm (рис. 2.5).
С помощью (2.20) все деревья могут быть выражены в конечном счете через т・ Например, f^ = [т], %i =【％ т],幻 =[[т]], И Т. д.
Хайрер Э. и др.
Рис. 2.5・ Рекурсивное определение деревьев.
Условия порядка
Теперь, сопоставляя теоремы 2.6 и 2.11, мы получим оконча* тельный результат:
Теорема 2.13. Чтобы метод Рунге—Кутты (/.8) имел порядок р, необходимо и достаточно выполнения равенств
》№№)=击(2.21)
для есе% деревьев / порядка, меньшего или равного р.
Доказательство. Достаточность вытекает из проведенных выше рассуждений. Для доказательства необходимости нужно, чтобы
элементарные дифференциалы, соответствующие различным деревьям, были действительно независимыми (см. ниже у пр. 3 и 4). ■
Эта теорема позволяет легко Сосчитать число условий порядка для любого р. Результаты подсчета, сделанного с помощью табл. 2.2, приведены в табл. 2・3. Читателю, наверно, теперь понятно, что конструирование формул Рунге—Кутты высоких порядков — нелегкая задача. *
Таблица 2.3. Число условий порядка
Порядок R
123456789 10
Число условий
1 2 4 8 17 37 85 200 486 1205
Пример. Для дерева ^42 из табл. 2.1 имеем
£ bjCLjkajiakm = £ bjajkCjCh = +
л. /, m/, л
(второе выражение получено с помощью условия (1.9)). Получилась как раз формула (l.llf). Все остальные условия (1.11) соответствуют другим деревьям, у которых порядок р《4・
Упражнения
Найдите все деревья порядка 6 и порядка 7.
Указание. Рассмотрите все представления р — 1 в виде суммы положительных целых чисел и подставьте вместо каждого члена этих сумм все известные деревья соответствующих низших порядков. Вы можете также написать программу для произвольного порядка р и воспользоваться компьютером.
Обозначим число деревьев порядка q через ag. Докажите, что % + @М + а/? + 以心 + ••• = (1 — %)7,(1 — %2)у (1 —炉)7，・・・・ Сравните результат о табл. 2・2・
Вычислите элементарные дифференциалы из табл. 2.1 для случая скалярного неавтономного уравнения первого порядка, т. е. уравнения (2.1), где f1 = 1 и f2 = f (力,у). Это поможет вам понять трудности, с которыми встретились первые авторы (Кутта, Нюстрём, Гута) при поисках условий для высших порядков. Обратите внимание, что 卩 этом случае выражения для 匕4 и 4? совпадают, так что здесь условие теоремы 2.13 для порядка 5 является достаточным, но не необходимым.
Указание. Для 友^, к примеру, мы имеем ненулевые производи ные, если только К = L = 2. Заставляя индексы Л1 и Р про* бегать значения от 1 до 2, получим тогда
尸(О = (fs + ffy) (fvx + ffyy)fv
4.4.(см. также Бутчер (1963а)).
4.
4.
Покажите, что для любого t QTq существует дифференциаль* ная система, такая, что для нее 户 (f) (%) = 1, а для всех] остальных деревьев и выполняется равенство尸⑷仇)=0， Указание. Для дерева /Б4 такой системой будет
用=У?灰,yZ = %, Уз = %, У； = 1, У5 = 1
со всеми начальными значениями, равными нулю. Уяснит^ себе этот факт, а также общую формулу
д.отца，= П ^«сыновей»*
Кутта (1901) утверждал, что схема, приведенная в табл. 2.4, имеет порядок 5. Был ли он прав? Попытайтесь исправить приведенные значения.
Таблица 2.4.Таблица 2.4.ОдинОдиниз методов Куттыиз методов Кутты
Таблица 2.4.
Таблица 2.4.
Один
Один
из методов Кутты
из методов Кутты
48а125а 81100
Т9Г01920-I页Т9Г
Ответ. Значения коэффициентов а^ (/ = 1, ..., 5) должна быть (6, 36, 10, 8, 0)/75; правильные значения коэффициенте^ bj равны (23, 0, 125, 0, —81, 125)/192 [Нюстрем (1925)1.
Проверьте равенство
£ а(/) = (р-1)|p (分・0
.Докажите, что при применении метода РК к линейной системе
Уг А (х^у + g (%)(2.22)
локальная погрешность у (х0 + Л)—，工 будет величиной О (胪+1) в том и только том случае, если
для д《〃для д《〃^c^\kcrr1^^^c^\kcrr1^^для д +г《/ъдля д +г《/ъ
для д《〃
для д《〃
^c^\kcrr1^^
^c^\kcrr1^^
для д +г《/ъ
для д +г《/ъ
£ Ь^а^а^сГ1 == {q^r + \)(r^s)i ^nq + r + s^p,
ит・д・
Указание. Запишите систему (2.22) в автономной форме и исследуйте, какие элементарные дифференциалы равны нулю тождественно. [См. также Крузе (1975)].
IL3. Оценка погрешности и сходимость методов Рунге—Куттн
<Es fehlt indessen noch der Вeweis dass diese Naherungs- Verfahren convergent sind оder, was praktisch wichtigep ist, es fehlt ein Kriterium, um zu ermitteln, wie klein die Schritte gemacht werden miissen, um eine vorgesch- riebene Genauigkeit zu erreichen>.
«Между тем еще нет доказательства, что эти прибли женные методы сходятся, или, что практически важнее, нет критерия, определяющего, сколь малыми надо сделать шаги, чтобы достичь предписанной точности>.
(Рунге, 1905).
Со времен работы Лагранжа (1797) и особенно Коши всякий установленный численно результат принято сопровождать на^ дежной оценкой погрешности («...Геггеиг commise sera inferieure а...») I). Лагранж дал известные оценки погрешности много* членов Тейлора, а Коши вывел оценки для погрешности метода ломаных Эйлера (см. разд. L7). Через несколько лет после первых успехов методов Рунге—Кутты Рунге (1905) также пришел к заключению, что для * этих методов нужны оценки погрешностей.
Строгие оценки погрешности
Способ, которым Рунге получил оценку погрешности, делаемой на одном шаге («локальной погрешности»), может быть опи* сан в нескольких строках (далее следует свободный перевод):
«Для метода порядка р рассмотрим локальную погрешность 0(九)=!/(*。+九)一%(3.1)
и воспользуемся ее тейлоровским разложением!
e(т= ё(0) +加‘(0) +…+ 洋抄)(例)，(3.2)
где 0 V 8 V 1 и е (0) = е' (0)=…=е(°)(0) = 0.
Явное вычисление е(。)(А) дает выражение вида
е⑺(九)= J (Л) + 阻(h),(3.3)
где Е* (Л) и Е% (Л) содержат частные производные f до порядков р — 1 и р соответственно. Далее, поскольку е(")(0) = 0, имеем Ei (0) = 0. Таким образом, если ограничены все частные производные f до порядка р включительно, имеем Е* (й) = О (%) и £2 (&) = О (1). Следовательно, существует постоянная С, такая что I е(。)(九)I《Ch и
|е仇)|《С得」(3.4)
Бибербах (1923, разд. 1-й, гл. II, § 7) использовал несколько иной подход [более подробное объяснение см. Бибербах (1951)]. Запишем♦
8
е (九)=g (% + 厶)一弘=g (*о + m — % — A m bikt (3.5) и воспользуемся тейлоровскими разложениями
u(% + 3 = % +8(%0)A +旷偽)备+・・・+85(叫凿у"
①(九)=也(0) +税(0)厶+ ・ • ・ +右产(8向芹.(3.6)
Для векторных функций эти формулы справедливы покомпонентно (возможно, с различными 0). В силу условий порядка первые члены разложения (3.5) по степеням h обращаются в нуль. Таким образом, справедлива
Теорема 3.1. Если метод Рунге—Кутты (/.8) имеет порядок р и если все частные производные / (х, у) до порядка р включи- телъно существуют (и непрерывны), то локальная погрешность метода (1.8) допускает следующую строгую оценку:
IW(W + 用 一 91 [《胪+1 (舟ip t 器X[ Jy HD (*o +机)I +
+备S岡严产陷)(仇疝(3.7)
или
^(/ +九)一力|《0胪乜 ■(3.8)
Продемонстрируем этот результат, применяя к скалярному Дифференциальному уравнению первый метод Рунге (1.4), который имеет порядок р = 2. Дифференцируя (1.1), получим
严(*)=佑 + 2fM + W2 + /*Х + fyf))(^ ^ ⑴)・(3・9)
Вторая производная величины & (九)=f (%。+ 扌,Уо + g%) имеет вид
咫2)(Л) = -j~ @* 卜口 + ?，W + ?%) + 2/^(* • *)fo + fw(- • -)fo)
(3.10|
(здесь % означает f (x0, %))・ Если условия теоремы 3.1 выпол* йены, то легко видеть, что выражения (3.9) и (3.10) ограничены постоянной, которая не зависит от А, что и дает оценку (3・8)&
Главный член погрешности
Для методов высших порядков строгие оценки погрешностей^ подобные (3.7), становятся очень непрактичными. Поэтому го* раздо более реалистично рассматривать первый ненулевой дле修 в тейлоровском разложении погрешности. Для автономных систеш уравнений (2.2) член погрешности проще всего получить, вычи-^ тая друг из друга ряды Тейлора и пользуясь формулами (2.14). и (2.7; д)・
Теорема 3.2. Если метод Рунге—Кутты имеет порядок, р и если f непрерывно дифференцируема р + 1 раз, то для главного члена погрешности имеем: :
“(/ + »-" =“(/ + »-" =版+1版+1(P+叫(P+叫2 a(f)e⑴尸丿(9(%) +0(加+2).(3.18)2 a(f)e⑴尸丿(9(%) +0(加+2).(3.18)
“(/ + »-" =
“(/ + »-" =
版+1
版+1
(P+叫
(P+叫
2 a(f)e⑴尸丿(9(%) +0(加+2).(3.18)
2 a(f)e⑴尸丿(9(%) +0(加+2).(3.18)
где
0⑴=1一Y(吟%6(f). ■0⑴=1一Y(吟%6(f). ■(3.19%(3.19%
0⑴=1一Y(吟%6(f). ■
0⑴=1一Y(吟%6(f). ■
(3.19%
(3.19%
По поводу величин у (0 и Ф； (0 см. определения 2.9 и 2.10, а、 также формулы (2.17) и (2.19). Выражения е (/) называются. коэффициентами погрешности. .
ревьев из табл. 2.1 таковы (& = u, q=и):е 伍1) % + / (〃 + и) —1~ 〃и,〃、51е(〃)=五"U—7e (端)=4" " —|-，e (褊) f,15(瓦 + %(3-甸2)e (4e) = ~4е (4i)>е (4в) = ~4е (&),e (“7)= ~4^ (%), e (褊)=~—4e (fQ・ревьев из табл. 2.1 таковы (& = u, q=и):е 伍1) % + / (〃 + и) —1~ 〃и,〃、51е(〃)=五"U—7e (端)=4" " —|-，e (褊) f,15(瓦 + %(3-甸2)e (4e) = ~4е (4i)>е (4в) = ~4е (&),e (“7)= ~4^ (%), e (褊)=~—4e (fQ・(3.20)(3.20)Пример 3.3. Для двухпараметрического семейства методов РК* (1.17) 4-го порядка коэффициенты погрешности для девяти де-Пример 3.3. Для двухпараметрического семейства методов РК* (1.17) 4-го порядка коэффициенты погрешности для девяти де-
ревьев из табл. 2.1 таковы (& = u, q
=и):
е 伍1) % + / (〃 + и) —1~ 〃и,
〃、51
е(〃)=五"U—7
e (端)=4" " —|-，
e (褊) f,
15(瓦 + %(3-甸2)
e (4e) = ~4е (4i)>
е (4в) = ~4е (&),
e (“7)= ~4^ (%), e (褊)=~—4e (fQ・
ревьев из табл. 2.1 таковы (& = u, q
=и):
е 伍1) % + / (〃 + и) —1~ 〃и,
〃、51
е(〃)=五"U—7
e (端)=4" " —|-，
e (褊) f,
15(瓦 + %(3-甸2)
e (4e) = ~4е (4i)>
е (4в) = ~4е (&),
e (“7)= ~4^ (%), e (褊)=~—4e (fQ・
(3.20)
(3.20)
Пример 3.3. Для двухпараметрического семейства методов РК* (1.17) 4-го порядка коэффициенты погрешности для девяти де-
Пример 3.3. Для двухпараметрического семейства методов РК* (1.17) 4-го порядка коэффициенты погрешности для девяти де-
Доказательство. Последние четыре формулы следуют из (1.12). Выражение для e(fQ тривиально, а выражения для е (/58) и е (褊) следуют из (l.llh). Далее, •
1
е (/б1) = 5 J / (f — 1)« - 〃) (f 一 и) dt
выражает погрешность квадратуры. Для е (/б5) удобнее всего ввести величину d = £心小〃 тогда е (加)= 1—20 ^Ь^с^. Теперь из (l.lld, f) получаем;
瓦=成=°0心=成(：二。)，也或=2：不者犷■
Для «классического» метода 4-го порядка (табл. 1.2а) эти коэффициенты погрешности нашел Кутта (1901) [см. также Лот- кин (1951)]:,•
Кутта отметил, что для второго метода (табл. 1.2b) коэффициенты погрешности
/11111211—
таковы, что, за исключением 4-го и 9-го коэффициентов, все они меньше, чем у предыдущего метода («Ais besser noch erweist sich...»1)). Для определения оптимальных коэффициентов (1.17) Ральстоном (1962) (и многими другими авторами) были проведены весьма кропотливые вычисления. Решения, минимизирующие константы (3.20), рассматриваются в упр. 3 ниже.
Оценка глобальной погрешности
«Das war auch eine aufregende Zeit...> «Да, это было волнующее время...» (П. Хенричи, 1983)
Глобальной (накопленной) погрешностью называется погрешность численного решения после выполнения нескольких шагов. Пусть мы имеем некоторый одношаговый метод, с помощью которого при заданных начальных данных (х0, %) и длине шага Л мы определяем численное решение уъ аппроксимирующее у (х0 + + 九).Воспользуемся обозначениями Хенричи для этого процесса:
力=% + 4① ％ У^ Л)»(3.21)
и назовем Ф функцией приращения для данного метода.
х) «Но еще лучше оказывается ・•・»・—Нем.
Тогда численное решение в точке X > х0 получается с по-, мощью пошаговой процедуры'
yt+i = Ut + 九①(勺，Ut, Л/)> 瓦=修+1 —勺，*n = X, (3.22) и наша задача состоит в оценке глобальной погрешности
Е = У (X) — Un・(3.23)
Эта оценка находится простым способом, очень похожим на данное Коши доказательство теоремы сходимости (теорема 7.3 из гл. I): локальные погрешности переносятся в конечную точку xNЭта оценка находится простым способом, очень похожим на данное Коши доказательство теоремы сходимости (теорема 7.3 из гл. I): локальные погрешности переносятся в конечную точку xNРис. 3.1. Оценивание глобальной Рис. 3.2. Оценивание глобальной по- погрешности, метод а).грешности, метод Ь).Рис. 3.1. Оценивание глобальной Рис. 3.2. Оценивание глобальной по- погрешности, метод а).грешности, метод Ь).
Эта оценка находится простым способом, очень похожим на данное Коши доказательство теоремы сходимости (теорема 7.3 из гл. I): локальные погрешности переносятся в конечную точку xN
Эта оценка находится простым способом, очень похожим на данное Коши доказательство теоремы сходимости (теорема 7.3 из гл. I): локальные погрешности переносятся в конечную точку xN
Рис. 3.1. Оценивание глобальной Рис. 3.2. Оценивание глобальной по- погрешности, метод а).грешности, метод Ь).
Рис. 3.1. Оценивание глобальной Рис. 3.2. Оценивание глобальной по- погрешности, метод а).грешности, метод Ь).
и затем складываются. Этот «перенос погрешностей» можно выполнить двумя разными способами:
перенося погрешности вдоль кривых точных решений (см. рис. 3.1); этот способ может дать хорошие результаты, если известны хорошие оценки распространения погрешности для точных решений, например из теоремы 10.6 из гл. I, использующей понятие логарифмической нормы 卩(dfldy)\
перенося погрешность i-ro шага посредством выполнения ^ — i шагов численного метода (см. рис. 3.2); этот способ использовали в своих доказательствах Коши (1824) и Рунге (1905), он легко обобщается на многошаговые методы (см. гл. III) и будет для нас важным инструментом при доказательстве существования асимптотических разложений (см. разд. II.8).
В обоих случаях оценим сначала с помощью теоремы 3.1 локальные погрешности:
(3.24)(3.24)||е,|КС・”乜
(3.24)
(3.24)
Предупреждение: величины е» на рис. 3.1 и 3.2 при /*1 не совпадают, но они допускают сходные оценки.
Займемся теперь оценкой перенесенных погрешностей Е».
При первом способе переноса мы воспользуемся известными результатами из гл. I, в частности теоремами 1.10.6 и 1.10.2 или формулой (1.7.17).
Теорема 3.4. Обозначим U окрестность точки {(х, у (х)) | х0 《 《％《X}, где у (х) —точное решение уравнения (2.2). Пусть в U справедливы оценки локальных погрешностей (3.24) и выполнено одно из условий:
[%|《L или М器)《L.(3.25)
Тогда имеет место следующая оценка глобальной погрешности (3.23):
ц 引《胪* (exp (L 底 一 ％) - А(3.26)
где h = max hi9 .
| С при L>0,
—I C exp (— LA) при L V 0, и h достаточно мало для того, чтобы численное решение оставалось 6 U.
Замечание. При Z f 0 оценка (3.26) переходит в Л^С (xN —向).
Доказательство. Из теоремы 1.10.2 (при е = 0) или теоремы 1.10.6 (при 6 = 0) получаем
I Е" « exp (L (Xn -修))II 勺 Ц.(3.27)
Подставляя в неравенство
口引《£间
выражение (3.27) с учетом (3.24) и принимая во внимание, что 九f44《九"•九厶 приходим к такому неравенству：
IIЕ И« 胪 С [Ло exp (L (xN — х0) + 瓦 exp (L (^ — /)) +•・・]♦ Выражение в квадратных скобках мажорируется следующими интегралами:
*N
J exp (L (xN — x)) dxпри L>0,(3.28)
j exp (L (^ — h — x))dx при L<0(3.29)
*0
(см. рис. 3.3). Отсюда и получается оценка (3.26). ■
При втором способе переноса погрешностей рассмотрим кроме (3.22) еще одно численное решение, значения которого в соседних узлах связаны равенством
4+1 = 4 +①①(修，方,也).
Нам нужно оценить норму разности Ц zM — yi+1| через Ц Zj — yt |.
Для 々г формулы метода PK запишем в таких обозначениях:
А = /(%厶 z)
А = /(*« + °2也,厶 + 也％厶)И т. д.
Вычитая из этих формул соответствующие формулы (1.8), получим для норм разностей такие оценки:
и瓦一厶И《 LI力一4ц,
I后一心《l(1 + 1%ml)例一*и т.д.
Это приводит нас к следующему предложению.
Рис. 3.3. Оценивание римановых сумм.
Лемма 3・5・ Пусть L — постоянная Липшица для функции f 〃 пусть 九》《瓦 Тогда функция приращения Ф для метода (/.8) удовлетворяет неравенству
I ①(*厶 4，也)一Ф(X1,协，也)［《Aь1 - yi I，(3.30］
где
^^ L^b^hL^b^ + ^D^•・・).
'(3.31)
Из (3.30) мы получаем искомую оценку-
I厶+i — умК《(1 + 九》А)Q厶一玖［《exp (fttA)［li—yiЦ, (3.32) и с ее помощью оценку перенесенных погрешностей на рис. 3.2 旧［《exp(A(*N —勺川用(3.33)
вместо оценки (3.27), соответствующей рис. 3.1.
Повторяя доказательство теоремы 3.4, придем к следующему результату.
Теорема 3・6・ Предположим, что для начальных значений, лежащих на точном решении, локальная погрешность удовлетворяет оценке'
ga + M-yG)-%①® у^ 力)G《c胪+【(3.34)
“ что 6 окрестности решения функция приращения Ф удовлетворяет неравенству
2(Х, Z, Й)-Ф(х,协力)YA[z —".(3.35)
Тогда для глобальной погрешности (3.23) справедлива следующая сщенка:
1|£||<йр4(ехр (Л(小一砌-1),(3.36)
где h = max 瓦.■，•
Упражнения
[Рунге (1905)] Покажите, что для явных методов Рунге— Кутты порядка р = s, у которых bj》0, @廿》0 (для всех 厶 /), постоянная Л для Ф удовлетворяет неравенству
1 + ЛЛ < exp (Л£)
и что оценка (3.36) останется справедливой, если Л заменить на L.
Покажите, что формула (3.20) для в ("J после подстановки выражений для &8 и Ь4, приведенных ниже формулы (1.17), примет вид
〃、一1н(4”一15о + 9) — 〃(6№ —42^ + 27) —〃2(26и—18)
外%5)= ] — 312 (1 —2〃)(瓦w — 4 也 + о) + 3)*
Определите значения 〃 н и в (1.17) так, чтобы в формулах (3.20) было:
9
a) max I в ("01 = min, b) £ | е (艙)| = min, J5, 6. 7,8g=l
9
с) max а (/) I е (牆)]=min, d) £ a (f) | e (/б() I = min. f=5, 6, 7, 8，=1
Ответ:
a)
〃 =0.3587,
v = 0.6346,
min =
0.1033;
b)
и = 0.3995,
v = 0.6,
min =
1.55；
c)
〃 =0.3501,
v = 0.5839,
min =
0.1248;
d)
u = 0.3716,
v = 0.6,
min q
2.53.
Примените какой-либо явный метод Рунге—Кутты к задача * = /(%, У), У (0) = 0, где
/ (*，У)=/ (*，У)=— y + g(x) при *>0, (1 —九)т g (0) при * = 0,
/ (*，У)=
/ (*，У)=
причем %《 0 к g (%)—функция, дифференцируемая достаточное число раз (см. упр. 10 в разд. 1.5).
а) Покажите, что погрешность после первого шага имеет вид
y^-yi-W (0) + 0(Л»),
где С2 — постоянная, зависящая от коэффициентов метода. Вообще говоря, С2 =/= 0 и для методов высших порядков. Ь) Вычислите С2 для классического метода 4-го порядка (см. табл. 1.2).
ПЛ. Практическая оценка погрешности и выбор длины шага
«Ich glaube indessen, dass ein praktischer Rechner sich meistens mit der geringeren Sicherheit begniigen wird, die er aus der Uebereinstimmung seiner Resultate fur grossere und kleinere Schritte gewinnb.
«Между тем я верю, что вычислитель-практик в большинстве случаев будет довольствоваться меньшими гарантиями, которые он извлекает из совпадения своих результатов при больших и меньших шагах». (К・ Рунге, 1895)
Даже упрощенные оценки погрешностей из разд. II.3, которые довольствуются лишь главным членом погрешности, не представляют практического интереса, потому что они требуют вычисления и оценивания верхних границ ряда частных производных высоких порядков. Между тем главное преимущество методов Рунге—Кутты по сравнению с методом ряда Тейлора как раз в том и состоит, что они не требуют вычисления этих производных. Для практики, однако, оценки погрешностей необходимы,—— с одной стороны, чтобы обеспечить длину шага Яь достаточно малую для достижения требуемой точности вычисляемых результатов, а е другой стороны — чтобы гарантировать достаточно большую длину шага во избежание бесполезной вычислительной работы. Поэтому мы обсудим теперь альтернативные методы оценивания погрешностей.
Самый старый способ, который использовал Рунге в своих численных примерах, состоит в повторении вычислений с уменьшенной вдвое длиной шага и сравнении результатов： те десятичные знаки, которые не изменились, считаются правильными («...woraus ich schliessen zu diirfen glaube...》)).
Экстраполяция по Ричардсону
«...ее полезность при практических вычислениях вряд ли может бнть переоценена».
(Г. Биркгофф—Г. К. Рота)
Идея Ричардсона, которая была опубликована в его классической работе [Ричардсон (1910)], посвященной главным образом дифференциальным уравнениям в частных производных, и разъяснена во всех подробностях в более поздней работе [Ричард-
176176Гл. II. Методы Рунге«—Кутты и экстраполяционные методы сон (1927)], состоит в более осторожном использовании известного поведения погрешности как функции Л.
176
176
Предположим, что, пользуясь некоторым определенным методом Рунге—Кутты порядка р и исходя из заданной начальной точки (х0, у/, мы провели расчет для двух шагов при длине шага Л и получили при этом численные результаты 力 н %• Исходя из той же начальной точки (х0, у^у сделаем теперь расчет для одного большого шага длины 2Л и обозначим полученное численное решение w. Как мы знаем из теоремы 3.2, погрешность 以 представима в виде
G = 9 (/ + 九)一弘=C•加* +。侬+2),(4.1)
где С выражается через коэффициенты погрешности метода и эле* ментарные дифференциалы FJ (f) (pj порядка р + 1. Погрешность у2 состоит из двух частей: из перенесенной погрешности первого шага, имеющей вид
九*+Qb))G，
и локальной погрешности второго шага, тоже выражаемой формулой (4.1), но с элементарными дифференциалами, вычисленными при У1 ^ У9 + О (Л). Таким образом, получаем, что
勺=^ (*。+ 2九)一蚊=(/ +。®) Ch^ + (C +
+ О (Л))加* + 0 (胪+2),(4.2)
откуда
% = 2c胪* + 0 (胪+2).
.По аналогии с (4.1) для большого шага имеем
g (% + 2九)一з=c (2九)叶I + о ①叶2).(4.3)
Если пренебречь членами О (九叶?)，формулы (4.2) и (4.3) позволяют исключить неизвестную постоянную С и «экстраполировать» значение 旳，лучше аппроксимирующее у (х0 + 2Л). Итак, мы получили следующий результат.
Теорема 4・1・ Пусть некоторым методом РК порядка р 6 результате выполнения двух шагов длины Л найдено численное значение у?, 〃 6 результате выполнения одного большого шага длины 2h получено значение w. Тогда погрешность у? может быть оценена по формуле
У а。+ 2九)一敬=^5^ +。(胪+2),(4・4)
а выражение
金=敗+(4・5)
аппроксимирует величину у (х0 + 2Л) с порядком р + 1.■
Формула (4.4) дает очень простой способ оценки погрешности, а (4.5) позволяет дополнительно увеличить точность на один порядокх). «... Развиваемая в следующих разделах улучшенная теория сложна и наводит на мысль, что практика может быть столь же сложной, тогда как в действительности она проста》. (Ричардсон.)
Автоматическое управление длиной шага
«D^rdinaire, on se contente de multiplier ou de diviser par 2 la valeur du pas...>
«Обычно довольствуются умножением или делением длины шага на 2...»
(Ческино, 1961)
Мы хотим теперь написать программу, которая автоматически подбирала бы длину шага так, чтобы локальная погрешность не превышала предписанной допустимой величины (допуска).
Если начальная длина шага была выбрана равной Л, программа выполняет вычисление двух шагов длины Л и одного шага длины 2Л, как описано выше. Затем на основе формулы (4.4) вычисляется погрешность:
err — max 丨.(4.6)
2P一1 8n 山
Часто используют и другие нормы, например евклидову. В (4.6) dt — масштабируюп&й множитель. Для вычисления абсолютной погрешности полагают d± = 1, а для относительной d» = | j/2, i I- Часто используют и смешанное масштабирование типа
dt = max(@,，I%/, 1), или 山=max(@, J |%,4 1。书，
или что-нибудь еще в этом роде. Затем величина err сравнивается с заданной величиной допустимой погрешности %/, что позволяет, зная зависимость погрешности от длины шага Chp^, вычислить оптимальную длину шага («...le procedfe connu», Ceschino (1961)) 2)口
九•侬〃 "»/(叶 i).(4.7)
В отечественной литературе по численному анализу эти формулы рассматриваются как частный случай правила Рунге [см., напр., Бахвалов (1975)].— Прим. ред. 、
а) «Известный прием» Чески но (1961). — Франц.、
Далее, для получения хорошей программы требуется известная осторожность. Умножим (4.7) на гарантийный фактор fac. Обычно выбирают fac равным 0.8, 0.9, (0.2§)i/(p+D или (0.38)1/(₽+1), чтобы в ближайшее время погрешность была приемлемой с высокой вероятностью. Кроме того, нельзя допускать, чтобы длина шага h возрастала или убывала слишком быстро. Для этого можно выбирать новую длину шага, например следующим образом:
hnew =九・min (facmax, max (facmin, fac• (tollerf^1^1^. (47)
Тогда, если err & tol, два вычисленных шага считаются принятыми, и решение продолжается исходя из у2 или у? (в последнем случае говорят о методе «локальной экстраполяции»), причем в качестве длины нового шага берется hnew. В противном случае оба шага отбрасываются, и вычисления повторяются с новой длиной шага hnew. Максимальный коэффициент увеличения шага facmax обычно выбирают между 1.5 и 5. Он предотвращает слишком сильное увеличение длины шага программой и способствует ее надежности. Понятно, что, если его выбрать слишком малым, это может привести и к излишнему увеличению вычислительной работы. Наконец, для шагов, выполняемых непосредственно после отбрасывания забракованных шагов, рекомендуется положить facmax = 1 [Шампайн и Уоттс (1979)].
Вложенные формулы Рунге—Кутты
«Мне потребовалось много времени, чтобы понять это, но объяснение с трудом поддается описанию».
(Мерсон, 1957)
«Скрейтон правильно критикует процесс Мерсона: некоторые ожидали от него очень многого, хотя сам Мер- сон не претендовал на это».
(Р. Ингланд, 1969)
Идея их состоит в том, чтобы вместо пользования экстраполяцией Ричардсона построить такие формулы РК, которые сами содержали бы кроме численного приближенного значения 以 некоторое выражение ух более высокого порядка (или каким- либо иным образом более точное, чем 力).Последнее могло бы тогда служить для управления погрешностью и длиной шага на каждом шаге. В частности, это удешевило бы выбраковку шагов.
Итак, нам надо (1・8‘))Итак, нам надо (1・8‘))найти такую таблицу коэффициентов (см.найти такую таблицу коэффициентов (см.(4.8)(4.8)Таблица 4.1. Ческино 2 (4)Таблица 4.1. Ческино 2 (4)
Итак, нам надо (1・8‘))
Итак, нам надо (1・8‘))
найти такую таблицу коэффициентов (см.
найти такую таблицу коэффициентов (см.
(4.8)
(4.8)
Таблица 4.1. Ческино 2 (4)
Таблица 4.1. Ческино 2 (4)
чтобы величина
%=% +瓦(瓦々1 +…+ b&)
имела порядок р, а
% = % + 九(瓦瓦 + …+ b8k^(49)
—порядок q (обычно q = р — 1 или g = р + 1)・
Согласно теореме 2.13, мы должны удовлетворить условиям
£ &；Ф；(0 = ~7^у Зля всех деревьев порядка《р (4.10)
и ，
Е Еб ⑴=守；3- для всех деревьев порядка «д・(4.10')
Первые методы такого типа предложили Мерсон (1957), Ческино (1962) и Зонневельд (1963) (см. табл. 4.1, 4.2 и 4.3, в которых
заголовок вида «фамилия р (д)》 указывает, что порядок % равен р, а по-
рядок «оценщика погрешности» 力 равен q.
Однако эти методы еще не полностью удовлетворяют сформулированным нами выше требованиям. У Мер- сона уг имеет порядок 5 только для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому этот метод переоценивает погрешность при малых 瓦 но все же работает вполне хорошо и применяется весьма широко, особенно
пользователями библиотеки NAG («команда, приносящая результаты»). Точно так же у Зонневельда 弘 оценивает не погрешность аппроксимации, а «последний учтенный членэ. Метод
011111■・，，■366113q2881310213У1F020121力00011111■・，，■366113q2881310213У1F020121力00Таблица 4.2. Мер сон 4 («5»)Таблица 4.2. Мер сон 4 («5»)01ТJ_У1_3Т01ТJ_У1_3ТТаблица 4.3. Зонневельд 4(3)Таблица 4.3. Зонневельд 4(3)1оо51оо511о17131烹飞F _視о17131烹飞F _視Ческино не экономичен, потому что он оценивает погрешность со слишком высокой точностью (см. ниже упр. 1—3).
0
1
1
1
1
1
■・，，■
3
6
6
1
1
3
q
2
8
8
1
3
1
0
2
1
3
У1
F
0
2
0
1
2
1
力
0
0
0
1
1
1
1
1
■・，，■
3
6
6
1
1
3
q
2
8
8
1
3
1
0
2
1
3
У1
F
0
2
0
1
2
1
力
0
0
Таблица 4.2. Мер сон 4 («5»)
Таблица 4.2. Мер сон 4 («5»)
0
1
Т
J_
У
1
_3
Т
0
1
Т
J_
У
1
_3
Т
Таблица 4.3. Зонневельд 4(3)
Таблица 4.3. Зонневельд 4(3)
1
о
о
5
1
о
о
5
1
1
о1
7131
烹飞F _視
о1
7131
烹飞F _視
Формулы, которые удовлетворяют условиям (4.10) и (4.10'), вывели Сарафян (1966), Ингланд (1969) и Фельберг (1968“ 1969). Продемонстрируем вывод формулы Фельберга второго порядка:
0
&&〃21
&
&
〃31“32
瓦ь2 %
瓦氏 %
Согласно (4.10) и (4.10'), должны удовлетворяться уравнения瓦 + % + 厶=1,瓦 + 瓦 + Ьз = 1,
Ь2c2 + 厶。3 = ｝，52c2 + 瓦& = T ,
卧禽2c2 = + ■
Выбрав с? = 1 и Ь3 = 0, из первых двух уравнений получим % = 瓦 = %• Осталось 4 уравнения с 5 неизвестными. Если положить & = %, то 瓦=i/б, 52 = %, 53 = 4/в оказываются коэффициентами правила Симпсона и, наконец, &? = %• Получившийся метод приведен в табл. 4.4. Второй метод из табл. 4.4 тоже предложил Фельберг (1969). Он содержит одну дополни-
тельную стадию, но коэффициенты выбраны так, что а^ = bt для всех 厶 поэтому вычисленное последним значение / на текущем шаге может быть снова использовано, так как оно совпадает с первым значением /, которое надо вычислить на следующем шаге. Поскольку коэффициенты погрешности для у】у метода RKF2 (3)В в сто с лишним раз меньше, последний претендует на лучшее качество, чем метод RKF2 (3) (ниже мы увидимчто это, конечно, не совсем верно).
Таблица 4.4. Вложенные методы Рунге—Кутты
RKF 2(3)RKF 2(3)оо001 141 14RKF 2(3)В1189 729■~*8бб"8б0 2141650"55Г 而 *89ГRKF 2(3)В1189 729■~*8бб"8б0 2141650"55Г 而 *89ГУхУх2141650°2141650°如如533°J00, 丄21067053 ~ 78533°J00, 丄21067053 ~ 78
RKF 2(3)
RKF 2(3)
о
о
0
0
1 14
1 14
RKF 2(3)В
1
189 729
■~*8бб"8б0 2141650
"55Г 而 *89Г
RKF 2(3)В
1
189 729
■~*8бб"8б0 2141650
"55Г 而 *89Г
Ух
Ух
2141650°
2141650°
如
如
533°J00, 丄
21067053 ~ 78
533°J00, 丄
21067053 ~ 78
Фельберг вывел много других формул различных порядков. В табл. 4.5 приведен метод 4-го порядка с 6 стадиями — один из наиболее используемых в настоящее время.
1-4 3-812131-4 3-812133939Таблица 4.5. Фельберг 4(5) 0Таблица 4.5. Фельберг 4(5) 0193272962197* Пэ?193272962197* Пэ?
1-4 3-81213
1-4 3-81213
3
9
3
9
Таблица 4.5. Фельберг 4(5) 0
Таблица 4.5. Фельберг 4(5) 0
19327296
2197* Пэ?
19327296
2197* Пэ?
1
439
-8
3680
845
216
513
4104
3
8
2
3544
1859
11
—"27"
4104
25 n 140821971
2l625654104— "5
66562856192
1^5^56430 —毎同
Формула Дормана и Принса
Возникает естественный вопрос: а почему бы не использовать лучшее из полученных значений, т・ е. выражение старшего порядка ，т, в качестве численного результата и начального значения для следующего шага? Естественно ответить на этот вопрос так: но тогда наша «оценка погрешности» % —如 уже не будет оценивать погрешность, а ведь мы хотим оценивать погрешностиt не так ли? Однако на такой ответ имеются два естественных возражения:
поскольку обычно свойства устойчивости или неустойчивости решаемой дифференциальной системы неизвестны, локальные погрешности обычно имеют мало общего с глобальными погрешностями \
Фельберг, чтобы сделать свои методы оптимальными, пытался минимизировать коэффициенты погрешности для результата низшего порядка у» Как следствие этого возникает опасность, что разность ^工一0工,состоящая главным образом из минимизированных коэффициентов погрешности, недооценивает локальную погрешность.
Поэтому интересно вывести методы, у которых члены погрешности для результата старшего порядка были бы минимизированы, а результат младшего порядка вычислялся бы только для использования в механизме управления длиной шага. Такой
Таблица 4.6. Дорман—Принс 5(4) (DOPRI5)
0
1
3 而
4
8
1
39
445632
193722536064448212
6561— 21876561— 729
1
901735546732495103
3168—335247176— 18656
1
35Л500125218711
384и1ПЗ192678484
内
35°500125218711 Q
3841113192— 678484
勿
5179°757139392097187 1
5760016695640— 339200 2100 40
метод, в котором к тому же asi =瓦，так что результат последнего вычисления производной может снова использоваться на следующем шаге, построили Дорман* и Принс (1980). Он дает великолепные результаты. Коэффициенты этого метода приведены в табл. 4.6. '
Численное исследование механизма управления длиной шага
На рис. 4.1 и 4.2 представлены результаты действия описанного выше механизма управления длиной шага (4.7,). В качестве примера мы выбрали модель брюсселятора (см. разд. 1.16)
(4.15)(4.15)6=1+ 必 2 — 4 协,Уч =, 3yl —状火
(4.15)
(4.15)
Рис. 4.1. Метод RKF2(3) с управлением длиной шага, /о/ = 5 X 10~4, 178 шагов + 5 отброшенных.
с начальными значениями 勿(0) = 1.01, % (0) = 3, очень близкими к особой точке; интервал интегрирования взят 0《х《20・ На этих рисунках представлены следующие графики:
внизу — решение % (%) и % (%) с0 всеми принятыми шагами интегрирования；
Рнс. 42 Метод RKF2(3)B с управлением длиной шага, fo/ = 3 X 10* 101 шаг + 12 отброшенных*
выше — все длины шагов, как принятых, так и отброшен- ны弓
третий снизу график показывает оцененную погрешность —1g ("г)； желаемая точность (допуск погрешности tol) показана прерывистой горизонтальной линией;
вверху рисунков изображены глобальные погрешности обеих компонент численного решения. Видно, что из-за неустойчивости решений относительно возмущений начальных значений появ-
II.4. Практическая оценка погрешности и выбор длины шага 185 ляются довольно большие глобальные погрешности, хотя допускаемые локальные погрешности всюду малы.
Мы сравнивали здесь две формулы Фельберга RKF2(3) и RKF2(3)B из табл. 4.4. Можно заметить, что вторая формула требует много меньшего допуска на локальные погрешности, чтобы получаемые в действительности глобальные погрешности были сравнимыми. Этот метод с его малыми коэффициентами погрешности для 执 недооценивает действительные погрешности.
Можно заметить также, что гарантийный фактор в формуле (47) (здесь выбран fac = 0.8) обычно хорошо поддерживает локальную погрешность ниже желаемого уровня.
Численное сравневие методов 4-го порядка
Интересно посмотреть, как ведут себя различные методы 4-го порядка с управлением длийой шйга. Следующий пример мы выбрали из отчета Фельберга (1968)：
俄=2啄 In (max 创，10书)，队(0) = 1,灰=—2*y21n(max®, Ю'3)),勿(0)=当
правильнБйи решением которого является у】=exp (sin (x2)J, у$ = =exp (cos (х2)). В серии расчетов мы изменяли допустимую погрешность от 10-8 до 10-7, причем каждое следующее значение было в )/16 раз меньше предыдущего. Интегрирование производилось на интервале 0《х《5・ Все полученные результаты представлены на рис. 4.3, где по оси абсцисс отложены (со знаком минус) десятичные логарифмы максимальной глобальной погрешности («точность»), а по оси ординат — десятичные логарифмы количества обращений к вычиглению функций («работа»). Использовались те же методы, что и представленные на рис. 1.1, и им соответствуют такие же линии. К ним добавлены здесь метод Фельберга (табл. 4.5), метод Дормана и Принса (табл. 4.6) и метод Бутчера шестого порядка (табл. 6.1). Метод Фельберга RKF4(S) оказался лучше, чем классический без локальной экстраполяции. Однако имеющееся в работе Фельберга (1968) утверждение, что его метод якобы «...экономит от 40 до 60% машинного времени...», вряд ли правомерно. Как видим, и этот метод недооценивает локальную погрешность. Кроме того, применение ^жальной экстраполяции в значительной степени лишает метод RKF4(5) его преимущества.
Лучшим из всех этих методов, несомненно, является метод, использующий набор коэффициентов, предложенный Дорманом н Принсом.
*(/с)
Рис. 4.3. Диаграмма, «точность — объем вычислений» (последний оценивается числом обращений к подпрограмме вычисления функции).
Упражнения
Покажите, что метод Рунге (L4) можно интерпретировать как два шага методом Эйлера (длины Л/2), сопровождаемые экстраполяцией по Ричардсону.
Постройте вложенные формулы RK1(2) с двумя и тремя стадиями, удов л етвор яющи е условию a8i = 仇.(Фельберг: «Der Vollstandigkeit halber sei noch erwahnt...» ^З Примеры приведены в табл. 4.7 (второй из методов определяется, конечно, неоднозначно).
Таблица 4.7. Вложенные методы низкого порядка
RKF1 ⑵RKF1 ⑵ В
0
°4
11I
•丄
1255
"256^
% 1 о %
]255°
256256
221
]2551
"517" *"^ TTF
х) «Ради полноты следует еще упомянуть...，— Нем»
П.5. Дальнейшие вопросы практических вычислений
Плотная выдача
Механизм управления длиной шага, описанный в разд. II.4, выбирает точки, в которых вычисляется решение, в соответствии с требованиями к допустимой локальной погрешности. Часто, однако, требуется вычислить и выдать решение в заданных точках, которые к тому же могут быть расположены достаточно плотно. Одна из возможностей получения решения в таких заданных точках состоит в уменьшении длины шага всякий раз, когда это нужно. Такое повторное уменьшение длины шага от почти оптимальной величины нарушает управление длиной шага и может привести к очень сильному росту времени счета и погрешностей округления (Шампайн, Уоттс и Давенпорт (1976)). Поэтому представляет интерес вывод таких методов РК, которые были бы способны выдавать значения решения во всех промежуточных точках х* = х0 + 8九，где О V 8《1 (так называемые непрерывные методы РК). Разумеется, такие непрерывные методы представляют особенный интерес, если их коэффициенты а“ не зависят от 0: это позволяет на каждом шаге интегрирования вычислить решение в сотнях точек без особых дополнительных затрат.
Пример 5.1. В случае трехстадийного непрерывного метода РК третьего порядка условия порядка примут следующий вид:
瓦+ & +灰=0, 03 b2c2 + 匕8。3 = ~2~ ,
08032q =可.
Это следует из теоремы 2.1, если у (х0 + Л) заменить на у (х0 + + 0Л). Простые вычисления показывают, что эти уравнения неразрешимы, если требовать независимости q, с& и а^ от 0. Поэтому ослабим наше требование. Так как непрерывная формула используется только один раз для каждой выдаваемой величины, мы будем требовать, чтобы ее точность соответствовала глобаль^ ной погрешности формулы третьего порядка, а она является ве» личиной О (Л3). Итак, мы требуем второго порядка при всех О и третьего — при 0=1. Выбрав q = 1/2, с$ = 1 н решая пер-
вые три уравнения при произвольном 0, а последнее — при 0 = 1, мы получим схему (табл. 5.1), которая является расширением одного из методов Кутяы (1901).
Таблица 5.1. Непрерывный метод, Рунге—Кутты
0
1
1
1
—12
е(1+е(
~ 1 + Iе)) 02(2~ 1е) 02(1_4)
Пример 5.2. Однако существует простой и элегантный способ интерполяции третьего порядка, если добавить вычисление функции f 1 = f (%о + 九,у，, которая все равно будет нужна на следующем шаге. Мы имеем тогда два значения функции %, у* и два значения производной % =网，“ и можем, следовательно, сделать кубическую интерполяцию. Для этого случая схема с разделенными* разностями примет следующий вид:
打打勿%9i弘勿%9i弘(d — /о)/Лd&-2d + n/h2仇一d)伍(d — /о)/Лd&-2d + n/h2仇一d)伍(5.2)(5.2)
打
打
勿
%
9i
弘
勿
%
9i
弘
(d — /о)/Л
d&-2d + n/h2
仇一d)伍
(d — /о)/Л
d&-2d + n/h2
仇一d)伍
(5.2)
(5.2)
где
d =配一%）小£瓦①
и интерполяционная формула Ньютона дает
У(ХО + 倣)=勿 + 九8 伉 + e (d — /о) +
+ 0(0-1)： (ft-Sd + fo)!(5.3)
(см. также Абрамовиц и Стиган (1964), формула 25.2.26J.
Пример 5.3. Предыдущая идея допускает красивое расширение, если выполнить ричардсоновскую экстраполяцию на двух шагах, как описано в теореме 4.1. Для большей точности воспользуемся экстраполированным значением %： = % н сделаем вычисление производной f? = f (х0 + 2Л, уа), которая используется на следующем шаге. Далее, поскольку постоянная С
в (4.1) определяется из (4.3) и (4.4), мы можем найти экстраполяцией лучшее значение и для %:
=(5・4)
Однако без дополнительного вычисления в нашем распоряжении нет производной при новом значении ^工・ Существует две возможности для увеличения точности:
воспользоваться интерполяционным многочленом четвертой степени, опираясь на значения у。，/0, уи 沙力 /а；
использовать в качестве /\ производную при значении 协 до экстраполяции и интерполировать при помощи многочлена пятой степени, опирающегося на значения y^f^y^ fi> У2, % (пробные вычисления показали, что дополнительное вычисление функции при новом значении у】—это бесполезная трата сил).
Если обозначить d】= &】 ——y^lh и da = (у^ — У0/九，то аналогичная (5.3) интерполяционная формула Ньютона для случая А) дает
у 保 + М) ^ у.+ м 伉 + е(4 — % +(6 — 1)(№ -
-3dl + 2%)/4 +
+ ( е - 2)仇一2厶 + 2d]-浦/4)) 1, (5.5) а для случая В):
У (%о + 0А) = % + 五0 Ifo + 8 (厶一fo + (。一 1) (fi — 2dl + fo)+
+ (0 - 1) ((da - % + 5心一2fq)/4 +
+ (8 - 2) (2% - 6厶 + 明-6% + 2%)/8)) ].(5.6)
Численный пример. Для уравнений (4.16) с начальными значениями 力(3) = ехр (sin (9)), у2 (3) = ехр (cos (9)) мы произвели сравнение двух предыдущих методов. Мы рассчитали решение на 10 двойных шагах при h = 0.05 с помощью классического
Рис. 5.1. Погрешность интерполяции формулы (5.5) на 10 двойных шагах РК-метода четвертого порядка для уравнения (4.16) (квадратиками обозначены вычисленные РК-методом точки).
метода Рунге—Кутты и затем для каждого двойного шага произвели интерполяцию 10 промежуточных значений. Полученные погрешности представлены графиками на рис. 5.1 и 5.2. Отчетливо видно, что формула (5.6) п редпочтите л ь нее. Формула (5.5) достаточна только для методов третьего порядка.
Рис. 5.2・ Погрешность Интерполяции формулы (5.6) в сочетание с классическим РК-методом четвертого порядка для примера (4.16).Рис. 5.2・ Погрешность Интерполяции формулы (5.6) в сочетание с классическим РК-методом четвертого порядка для примера (4.16).
Рис. 5.2・ Погрешность Интерполяции формулы (5.6) в сочетание с классическим РК-методом четвертого порядка для примера (4.16).
Рис. 5.2・ Погрешность Интерполяции формулы (5.6) в сочетание с классическим РК-методом четвертого порядка для примера (4.16).
Непрерывные вложенные формулы
Непрерывные расширения методов Рунге—Кутты построили Хорн (1983) и Энрайт, Джексон, Нёрсетт и Томсен (1985). Хорн нашел, что формулу Фельберга (табл. 4.5) можно приспособить для получения глобального решения 4-го порядка точности, если добавить еще одно вычисление функции (правой части уравнения).
Для предпочтительного метода Дормана и Принса (табл. 4.6) непрерывное расширение 4-го порядка возможно даже без дополнительного вычисления функции. Это решение, при 0 = 1 переходящее в решение yt пятого порядка точности, определяется следующими формулами:
(e)⑼(0⑼⑵⑼瓦&2<Г瓦仇(e)⑼(0⑼⑵⑼瓦&2<Г瓦仇=0 (1 + 0 (—1337/480 + 0 (1039/360 + 0 (—1163/1152)))), =О,
(e)⑼(0⑼⑵⑼瓦&2<Г瓦仇
(e)⑼(0⑼⑵⑼瓦&2<Г瓦仇
=1ОО02 (1054/9275 + 8 (—4682/27825 + 0 (379/5565)))/3, =—502 (27/40 + 8 (—9/5 + 0 (83/96)))/2,
=1822502 (—3/250 + 0 (22/375 + 0 (—37/600)))/848,
=—2202 (—3/10 + 0 (29/30 + 0 (—17/24)))/7,
6
g (/ + Qh)^yQ^h^bj(Q) kj.(5.7)
/=i
Эти формулы вместе с коэффициентами из табл. 4.6 дают отлич- ннй инструмент для плотной выдачи результатов, графического представления решения, для решения уравнений с запаздыва- Ритм аргументом (см. разд. 11.15), для «неявной» выдачи и т. п.
«Неявная» выдача
Нередко значение xendy для которого желательно вычислить и выдать решение, заранее не известно: оно зависит от вьгаь сляемого решения неявным образом. Такие ситуации встречаютсж， очень часто. Примером может служить отыскание периодических решений и предельных циклов, обсуждавшихся в разд. 1.16: нам надо было узнать, когда решение достигнет сечения Пуанкаре в первый раз.
Такие задачи очень легко решаются методом Ньютона; производные решения по х известны из дифференциального уравне* ния. Пусть мы хотим определить х, которое удовлетворяет урав»' нению
尸(%, 9 (%)) = 0. (5.8)
Алгоритм 5.4. Вычисляйте решение дифференциального ура% нения шаг за шагом, пока знак 尸(“，yi+1) не станет отличны^ от знака 尸(修，协)[это, однако, не вполне надежно, так как 凋 может изменить знак дважды на интервале интегрирования^ для повышения надежности можно использовать формулы (5.3)； (5.5) или (5.6)]. Затем делайте итерации по Ньютону для отыска* ния решения уравнения (5.8):
где
尸a,力=笠仏а)+券а，у)•产a，力h—卜方(*'"А产a'圻"
После этого новое значение gi вычисляется с помощью одного шага методом РК с положительным или отрицательным зна?е| нием Л. Все численные примеры в разд. 1.16 были рассчитаны! этим способом.
Решение уравнения (5.8) можно рассчитать также с помощыа непрерывного метода РК. В случае метода 5-го порядка, предлсЯ женного Дорманом и Принсом, это делается с помощью 山ор」 мул (5.7).
、Уравнения с разрывными производными
«Если вы пишете программу, не рассчитанную любые ситуации, то рано или поздно найдется кто нибудь, кто станет решать задачу с разрывами. Ваш следует это учесть...> (А. Р. Кертис, 1986)
Функции, стоящие в правых частях дифференциальных ypatfjJ нений, нередко бывают не аналитическими; они могут быть дой статочно гладкими всюду, кроме некоторых поверхностей, на!
которых терпят разрыв ft (х, д) или их производные. Если разрывна сама 力 задача Коши может вообще не иметь решения. Например, решение уравнения •
— 1 (心 0), ‘一1 1 (У0)— 1 (心 0), ‘一1 1 (У0)(5.9)(5.9)
— 1 (心 0), ‘一1 1 (У0)
— 1 (心 0), ‘一1 1 (У0)
(5.9)
(5.9)
перестает существовать после достижения оси х, >ак что начальная задача при у (0) = 0 не имеет решения.
Однако обычно существует решение, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению во всех точках непрерывности /. Возможны следующее подходы к решению таких задач:
Способ 1. На поверхности разрыва остановить вычисление решения (используя алгоритм' 5.4, если необходимо) и возобновить его далее уже с новыми значениями /.
Способ 2. Игнорировать наличие разрыва и применять алгоритм с контролем локальной погрешности, автоматически управляющий длиной шага. Нет надобности говорить, что это может приводить к большим затратам времени счета и не дает особо надежных результатов.
Численный пример. Мы применили способ 2 с алгоритмом DOPRI5, описанным в разд. II.4, к следующему примеру:
1/(1 + 办 если 0《д《2,
(5.10)(5.10)1…
(5.10)
(5.10)
1/3, если 2Vg
(5-g)/9,
(У (°) = 1, У (5) = ?). Правильные ответы таковы: а) 4.5; Ь) 17/6; с) 5 — 3 ехр (—5/18).
Для каждого случая мы провели расчет 81 раз, изменяя допустимую погрешность (Ю*8》tol > 10~7), и результаты представили на рис. 5.3. По осям в логарифмических масштабах отложены погрешности вычисленных значений у (5) и число обращений к вычислению /・
Как видим, при изменении f。！ результаты ведут себя совершенно хаотично. Как правило, точность снижается на один — Два десятичных знака, а число шагов очень велико. Другой призер подобного рода будет рассмотрен в разд. II.9 и 11.10.
7 Хайрер 2. и др.
Рис. 5.3. Численные погрешности, полученные для (5.10) в случае игнорирова* ния наличия разрыва.
Длина начального шага
«Если все сделать с защитой от дураков, выведутся еще более замечательные дураки>.
(Услышано от д-ра Пиркля в Бадене.)
В течение многих лет было принято задавать программе длину начального шага. Считалось, что пользователи имеют приблизи* тельное представление о подходящей длине шага из математических соображений или из предшествующего опыта. Во всяком случае, плохой выбор начального Л быстро исправляется механизмом управления длиной шага. Тем не менее, если делается очень плохой выбор и это происходит слишком часто, можно потратить впустую много времени счета. Поэтому ряд авторов (напр., Уоттс (1983), Хайндмарш (1980)) предложил идеи, как заставить компьютер делать этот выбор. Эти идеи в большинстве случаев опираются на гипотезу, что элементарные дифференциалы для «высоких» деревьев /21> /82> f“,友。и т. д. (см. табл. 2.1) имеют поведение типа jf |卩,как это имеет место для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому достаточно вычислить / (х, у) в заданной начальной точке, чтобы получить представление о порядке величины || /1|. Несколько более трнкий подход воплощает следующий алгоритм.
Вычислите / (х, у) в начальной точке.
Положите
加=(max(M； *|%|) 丫+ +D『F+% где р — порядок метода.
Положите
『(黑尸+D.
Очень часто, однако, начальные условия находятся в особом положении, где большинство компонент 力 может оказаться нулями. Поэтому добавим еще два шага к нашему алгоритму:
Сделайте один шар методом Эйлера с длиной шага &, полученной в с).、
Повторите шаги а)—с) о новым начальным значением и выберите меньшую из двух полученных длин шага.
Алгоритм типа приведенного или другой, подобный ему, обычно хорошо угадывает длину начального шага или, по крайней мере, предотвращает очень плохой выбор его. Лишь в некоторых случаях имеется дополнительная информация для выбора начального Л, например из предыдущего опыта или решения аналогичных задач.
Численное определение производных по начальным условиям и параметрам
Для эффективного решения краевых задач методом стрельбы, о котором говорилось в разд. 1.15, нужны производные решений по (недостающим) начальным условиям. Аналогично, если мы хотим подобрать неизвестные параметры по имеющимся данным, скажем с помощью метода наименьших квадратов в нелинейном случае, нужны производные решений по параметрам, входящим в дифференциальное уравнение.
Однако результат численного определения этих производных ни в коем случае не будет гладкой функцией начальных условий или параметров из-за действия механизма управления погрешностью с его операторами условных переходов (IF ... THEN ...) и отбрасыванием забракованных шагов.
Пример. Для модели брюсселятора
6 = 1+就沙2 —(В +1)外 ^1 (0) = 1.3,(5U)
У2 = Byi —血％沙2 (0) = В
мн рассчитали численное решение при % = 20 как функцию 0T В при 2.9 < В < 3.1 с шагом АВ = 0.0001. Использовался метод Дормана и Принса с допустимой локальной погрешностью
7*
iol = 3 X 10"4. Графики разделенных разностей для дуг1дЙ и ду2/дВ при х = 20 представлены на рис. 5.4а и ясно показы/ вают отсутствие гладкости.；
Простой способ преодоления этой трудности состоит 6 зам^ раживании всей последовательности длин шагов: выбранные про^
Рис. 5.4・ Разделенные разности для численного решения системы (5.11): а) беэ замораживания длин шагов; Ь) с замораживанием длин шагов.
граммой в расчете с первым значением параметра В длины шагов заносятся в память и вновь используются во втором расчете для В + ДВ. Разделенные разности результатов таких двух расчетов будут гораздо лучше аппроксимировать ду/дВ. Эта процедура! при очень малых АВ идентична тому, что называют «внутренним дифференцированием», но программируется она намного проще. Результаты, полученные для задачи (5.11) с замораживаниея длин шагов, показаны на рис. 5.4b.
Упражнения
1. (Бутчер.) Испытайте вашу любимую программу на следующем примере:
У1 = А ®,级)，У1 (0) = 1,
уз =% g/h g2),g2 (0) = 0,
где f определяется так:
if(I弘I VWI) then
fl = 0» fa = sign Q/i)
else
fa = 0,右=—sign 仇)
end if»
Вычислите % (8),驭(8). риодично.2. Решите численно задачуВычислите % (8),驭(8). риодично.2. Решите численно задачуПокажите, что точное решение пе-
Вычислите % (8),驭(8). риодично.
2. Решите численно задачу
Вычислите % (8),驭(8). риодично.
2. Решите численно задачу
У" — f G/), У (°) = 1, У ⑶=?, где
丸 если 0<^<2,
/匂)=/匂)=1
/匂)=
/匂)=
4 если 2 Vg.
— 4 + 4у ,
Замечание. Правильный ответ: а) 4.5; Ь) 12; с) ехр (10) + 1.
Рассмотрите s-стадийный метод Рунге—Кутты. Обозначьте s* число различных значений q. Докажите, что порядок любого непрерывного расширения не превосходит s*.
Указание. Пусть g (%) — мйогочлён степени s*, удовлетворяющий условиям g (q) = 0 при j = 19 ..., s. Исследуйте выражение %瓦(6) g (q)・
П.в. Явные методы Рунге —Кутты высших порядков
«Мы теперь конструируем формулу РК 10-го пор яд* (Дж. Бутчер, 1969)
Барьеры Бутчера
Для методов порядка 5 надо удовлетворить 17 условиям па рядка (см. табл. 2.3). Выбрав s = 5, мы должны определи^ 15 параметров. Уже Кутта поднимал вопрос о том, что решение возможно, все-таки существует, но он не надеялся на это и обра тился прямо к случаю s = 6 (см. разд. II.2, упр. 5). Вопрое поставленный Куттой, оставался открытым в течение более 60 лет Около 1963 года ответ на него был найден независимо в тр@ работах (Ческино, Кунцман (1963), Шанкс (1966), Бутчер (1964匕 1965b)). Работы Бутчера являются наиболее глубокими, и в нашей изложении мы будем следовать в основном его идеям.
Теорема 6.1. При р > 5 не существует явных методов Р1 порядка р с числом стадий s = р.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай s = р = 5. Ввё^ дем (3, 3)・матрицы U n V:
ии& a?*& a?*£/ si£/ si? ?? ?L gagsL gagsbt^u瓦QmQ »ga -bt^u瓦QmQ »ga -
и
и
& a?*
& a?*
£/ si
£/ si
? ?
? ?
L gags
L gags
bt^u
瓦QmQ »
ga -
bt^u
瓦QmQ »
ga -
с； £ 砌仃一с；/ 2 с； £ аз/С/ — с；/2 с； £ 必/С/ — с：/2с； £ 砌仃一с；/ 2 с； £ аз/С/ — с；/2 с； £ 必/С/ — с：/2
с； £ 砌仃一с；/ 2 с； £ аз/С/ — с；/2 с； £ 必/С/ — с：/2
с； £ 砌仃一с；/ 2 с； £ аз/С/ — с；/2 с； £ 必/С/ — с：/2
(6.1)
где
(6.2)(6.2)8片=! 仇勿粗川 g-2 d/h(1 - %).
(6.2)
(6.2)
ООО 1121200ООО 1121200Из условий порядка для порядка 5 следует, чтог- 1
ООО 1121200
ООО 1121200
3)(6.3)(6.UV^ I
3)(6.
3)(6.
- 0
С помощью леммы 1.5 получаем отсюда, что g& = 0 н, следовательно, q = 1, как в лемме 1.4. Положим теперь в (6.1)
g/ = [ § 仇а订一办(1 —曲](勺—%)•(6.4)
点即f "g仰点即f "g仰(6.5)(6.5)Тривиальными вычислениями можно проверить, что матрица UV имеет снова вид (6.3). На этот раз отсюда следует, что с& = с&, т. е. с5 = 1. Следовательно, выражение
点即f "g仰
点即f "g仰
(6.5)
(6.5)
должно быть равно нулю (потому что 2 «也 V j V i)・ Однако, выполнив умножение под знаком суммы, т. е. представив ее как разность двух сумм, и применяя к каждой соответствующее условие порядка (определяемое из табл. 2.1), найдем, что выражение (6.5) должно быть равно 1/120. Получилось противоречие.
Для случая р = $ = 6 надо рассмотреть все «одноногие» деревья, т. е. деревья, у которых корню инцидентно только одно ребро, на которое «привиты» деревья пятого порядка. Соответствующие условия порядка имеют вид
£ Мм (а力•♦・・・ выражения для порядка 5)=彳*.
Если положить Ь； = X t Ъ^, эти условия будут иметь ту же структуру, что и в случае р = s = 5, н можно снова воспользоваться теми же идеями, что и выше. Но значения у (f) будут здесь уже другими, и поэтому произведение UV вместо (6.3) будет равно
L 11
21л-1
(S-2) 丁
7Г=тгг°
UV =
2!
旦 0
(s = 6)
(63)
(s—1) Г
siи
-0
00_
Далее, для р = s = 7 будем использовать деревья-«аисты», у ко-
торых условия порядка вида
£ 瓦饱投强(0机.・・・・ выражения для порядка 5) = у^у
и будем полагать bZ = 2ь/ Ь^и^л，и т. д. Мы надеемся, что общий случай р = s〉5 теперь ясен. ■
Шестистадийные процессы пятого порядка
Мы продемонстрируем во всех подробностях, как конструН руются такие процессы, следуя при этом идеям, которые позвсй лили Бутчеру (1964b) построить 7-стадийные формулы 6-го по* рядка. Такие же предположения, все более и более усложняясь^ использовались потом во всех последующих построениях явных методов Рунге—Кутты (ЯРК) высоких порядков.|
«Разыскивая такие процессы, мн, руководствуясь анализом^ проведенным в предыдущем разделе, сделаем следующие пред* положения:» 6
£ 瓦期=%(1 — с», / = 1, ..., 6,(6.®
6 J；
2 饱何=$ / = 3, ..., 6,(6.7)
ZsI
% = 0.(6.8?
С выгодами, которые дает условие (6.6), мы познакомились уже* в разд. II.1 (см. лемму 1.3): оно позволяет пренебречь всемй содноногими» деревьями, кроме %i・
Использование условия (6.7) вместе с условием (6.8) дает аналогичный эффект. Например, равенства
2瓦4/)%片以=5・；・2，
•
£加4=$
становятся эквивалентными. Каждая отходящая от корня ветвь» состоящая из двух ребер и двух вершин, заменяется двумя ветвями, несущими по одной вершине каждая. Условие (6.7) не может выполняться для всех /, потому что при / = 2 оно выглядит так:。216 = с^/2, откуда следует, что 6 = 0» а тогда и все остальные с» будут равны нулю.
После описанного выше приведения останутся только деревья, соответствующие квадратурным условиям порядка
斗加尸=十，g=l, 2, 3, 4, 5(6.9)
(которые выражают условия того, что квадратурная формула с- весами 瓦 и узлами % аппроксимирующая интеграл по отрезку
[0, 11, будет точной для многочленов меньше пятой степени) и еще двум уравнениям:
^^ь戌心力的公陳=5.3.2，(6.10)
2勿师“力=-уу •(6・11)
h /
Вычитая последнее уравнение из предыдущего, получим
2(£ ajkck —击)=°*
В силу (6.7) выражение в скобках не обращается в нуль только при / = 2, откуда
£瓦卅^』0・(6.12)
Упрощение можно продолжить. Из (6.6) следует, что 备 =1・ Рассмотрим теперь условия порядка, аналогичные (6.10) и (6.11), но без q в левой части, и проделаем с ними те же операции, которые мы выполнили над (6.10) и (6.11), а из результата вычтем равенство (6.12). Мы получим уравнение
£瓦(1-3例=0,(6.12‘)
где отличны от нуля только три члена суммы. Сделаем последнее упрощение. Вычитая и складывая (6.11) с другими условиями порядка, мы придем к равенству
£ 勿(1 — S)а订с/ © —偽)=~j^皆・(6・ 13)
(Здесь берется разность условий порядка, соответствующих деревьям /&з и "^ из табл. 2.1, и из нее вычитается умноженная на & разность условий, соответствующих деревьям f32 и t^.—— Прим, ред.) При этом опять число членов в сумме слева уменьшилось. Результатом проведенного рассмотрения является
Теорема 6.2. Следующий алгоритм дает 6-стадийные явные методы РК порядка 5 с пятью свободными параметрами:
с29 &, с4, сб могут быть выбраны 6 качестве свободных па- раметров9 подчиненных лишь некоторым очевидным ограничениям.
Сб = 1, что следует из (6.6) при / = 6.
瓦,%, &4,瓦,瓦 определяются из линейной системы (6.9)； а Ь$ == 0・
的2 находим из (6.7) при f = 3, а” = * выбираем произ- вольно^ а^ определяем из (6.7) при i = 4・
价2 находим из (6・/2‘), @“ — из (6・/3)・
а53 находим из(6.7) при / = 5.
@бз,的4，@66 определяем из линейной системы^ образованное уравнениями (6.6) при / = 3, 4, 5.
062 находим из (6.7) при i = 6.
ап (1 = 2, ..., 6) находятся из (/・9)・■
Примерами таких процессов являются метод Кутты—Нк> стрёма (разд. II.2, упр. 5), формула Фельберга (табл. 4.5) и фор| мула пятого порядка Дормана—Принса (табл. 4.6). Возмож^ и иной выбор свободных параметров (см. упр. 1).
Семистадийные процессы шестого порядка
Такие процессы вывел Бутчер (1964b), следуя описанным выш| путем. На этот раз, кроме уравнений (6.6)—(6.11), надо допо个 нительно учесть еще шесть уравнений, так что вычисления ста*; новятся более сложными. Бутчер пришел к алгоритму, где 。厶 &，。5，备 являются свободными параметрами. Среди множестве возможных примеров мы выбрали метод, представленный 鼻 табл. 6.1, потому что он обладает положительными весами %；
Таблица 6,1. Метод Бутчера 6-го порядка
49—9 3311一3 ^_^ 1229736需丄360-瞅一 一 一 о 122-31 一3 5 -6 16149—9 3311一3 ^_^ 1229736需丄360-瞅一 一 一 о 122-31 一3 5 -6 1611一无351511一可T43118156"_前1一无351511一可T43118156"_前3280195 "ЗГ3280195 "ЗГ
49—9 3311一3 ^_^ 1229736需丄360-瞅
一 一 一 о 122-31 一3 5 -6 161
49—9 3311一3 ^_^ 1229736需丄360-瞅
一 一 一 о 122-31 一3 5 -6 161
1
一无
3515
11
一可T
43118
156"_前
1
一无
3515
11
一可T
43118
156"_前
3280
195 "ЗГ
3280
195 "ЗГ
13*200*13*200*11114413
13*200*
13*200*
«нажат^мммм»«ммммш*камням*«а^^^
40*402525200
Дальнейшие барьеры Бутчера
Обратимся теперь к методам 7-го порядка. Оказывается, что существование таких методов с восемью стадиями невозможно — этому препятствует следующий барьер:
Теорема 6.3. [Бутчер (1965b)] При р》7 &е существует явных методов РК порядка р, имеющих s = р + 1 стадию. ■
Мы не воспроизводим здесь* доказательства, поскольку оно намного сложнее, чем у теоремы 6.1..
Что касается методов порядка 8, то Кёртис (1970), а также Купер и Вернер (1972) построили такие процессы с s = 11. Долгое время оставался открытым вопрос, существуют ли Такие методы с 10 стадиями. Мечте Джона Бутчера разрешить этот трудный вопрос до своего 50-летия не суждено было осуществиться. Но в конце концов ему удалось доказать, что такие методы не существуют, к 60-летию Далквиста.
Теорема 6・4・ [Бутчер (1985b)]. При р》8 他 существует явных методов РК порядка р, имеющих s = р + 2 стадии. ■
Доказательство этой теоремы еще более сложно, и мы снова отошлем читателя к оригинальной статье Бутчера.
Формула десятого порядка
Наивысший порядок, фактически достигнутый для явно построенных ЯРК-методов, равен десяти (Книга рекордов Гиннесса, с. 333). Кёртис (1975) сконструировал 18-стадийный метод порядка 10. Его построение было основано только на упрощающих предположениях типа (6.7), (6.8) и их расширениях. Позже Хайрер (1978) сконструировал 17-стадийный метод, используя полный арсенал идей упрощения. Коэффициенты не являются рациональными числами, поскольку они построены на базе квадратурной формулы Лобатто 10-го порядка. Как мы увидим далее, этот метод может быть полезен, если требуется точность выше чем примерно 10~16. Поэтому мы не воспроизводим здесь коэффициентов метода в виде десятичных дробей [они приведены с 21 десятичным знаком в работе Хайрера (1978) ]. Вместо этого мы представим их здесь в виде решений последовательности линейных уравнений, откуда их можно получить с любой желаемо屯 точностью (далее с. п. = свободный параметр):
С工=0, % = % = % (" 口•)，^17 = к% = % = 0.766654 (с. п.)9
.УТ 中门中Г]，
сп = 1 —的， Go = 1 — с1а (четыре узла квадратурной формулы Лобатто),
4 0 — %) — 3 (1 — /О /1 —「、 6(1一С18)-4(1-*2)I
23
С? = Cj4，(1 — С15)= -g- (1 — С]4), Св = С15，% = "^- Catс _ 4q —3q с с — 20c6c7—15с9(Сб + 5)+12$c
瓦8 = 0.13(G. 口工 瓦4 = 0.18 (G. 口工 瓦5 = 0.12 (0. 口・%
瓦6 = 1/30 (c. n.J,
瓦=0,瓦=0, bg =0, b& + b” = Of
& + 瓦5 = 0,瓦 + &18 н 0,匕7 + 瓦4 = 0,
瓦о =瓦& = -^- (14 — У^ТЭ,瓦=瓦工=~^~ (14 + */7").
瓦=瓦7 =击
(веса квадратурной формулы Лобатто).
Вычисление ненулевых коэффициентов а“ производится зате^ в четыре этапа, как показано в табл. 6.2.
Таблица в.2.
123456 789 10 И 12 13 14 15 16
Этап 1. Используются уравнения
12б136
£ Qi3"； = £ @6.2 圆 £ 内匂力=£ «74 力
#тЛутЕ
для 6《10. При Й = 2 имеется единственное условие 饱,工=q. При i = 3 имеем уже два условия:
饱,工+饱,2 =c89丄一名
% 1^1 ~Г 饱,2c2 — "2"・
Из этой линейной системы определяются 饱〃 н 饱.# Аналогичным образом все ненулевые «订 при，《10 вычисляются путем решения линейных систем g матрицами типа Вандермонда.
Этап 2. Здесь используются условия
17
£ 瓦4/ = %(1-с»,/ = 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17
2 %e也"=扌勿(1一片)，/= И, 12, 13, 14, 15, l+工
17
2 瓦с®=$а(1-с》，/=11，12, 13, 14,
1+工(6.15)
17
2 瓦c；W = "|•勿(1—咸)，/ = 11,12.
При / = 16 имеется единственное условие, которое дает
ant и=-^7 а - ％)•
Два условия при / = 15 дают коэффициенты а16,16 и。刀,i5, и т. д. Здесь опять приходится решать линейные системы с матрицей типа Вандермонда.
Этап 3・
Q* 6 = — Д15» 18，。工5, 7 = — @15, 14，。工6, 8 = — @1& 15，Д17> 2 = —^17, T6i
Q17, 8 = — Q17, 15，@154 = @6, 4，Д13, В = °6, 5，@14. 4 = @7, 4,
Ql% 6 = °7, 5。1瓦 2 = Q& 2・
Значения a^, t и 的& 工 вычисляются из первого уравнения (6.14) при i = 15 н £ = 16 соответственно.
Этап 4. Введем величины i-I
叫=£ w* £ = 11, 12, 13, 14, 17,(6.16]
и вычислим wi9 решая систему пяти уравнений
2 bfCiWi = /76£ 瓦 cf £q“c；‘ (6・17)
II, 12, 13, 14, 17I, 7, 9, 10/=1
где 也=0, 1, 2, 3, 4 (А = 4 добавлено произвольно). Затем воспользуемся уравнениями (6.16) вместе с (6.14) при / = 11, 12, 13, 14, 17, чтобы для этих значений i вычислить Q订 с / = 6, ...» 10. Наконец, для вычисления оставшихся аа воспользуемся первым уравнением (6.14).
Читателя, желающего глубже разобраться в проверке условий порядка, мы отошлем к оригинальной статье Хайрера (1978).
Дальнейшее повышение порядка методов теряет смысл, если нет особой нужды в них как в инструменте для вычислений с очень высокой точностью. Получение формул еще более высокого порядка превращается в сложную проблему, бросающую вызов математикам. Трудности растут быстрее, чем по экспоненте, а методы становятся громадными монстрами и делают к тому же управление длиной шага все более и более трудным.
Вложенные формулы высоких порядков
Фельбергу — гению манипуляций о формулами — по существу первому удалось построить вложенные формулы высоких порядков. Его крупнейшим успехом была формула 7-го порядка с оценкой погрешности о помощью формулы 8-го порядка. Этот его метод часто используется во всех вычислениях, требующих высокой точности, например в астрономии. Мы с большим удовольствием воспроизводим в табл. 6.3 оригинал страницы из
Таблица 6.3・ Метод Фельберга, порядок 7(8)
II・6・ Явные методы Рунге—Кутты ввспшх порядков 207
9
6
4
2
25-161Т
1- 8 ^- ^ о 112000 02271361^5Й 丄20
о 2-271-9 1-6 5-121-2
5
0
0
125
65
125
9
т
108
~27
"бТ
IT
1
0
0
0
61
13
9
300
225
9
900
*35~
8
2
2
0
0
53
704
_107
67
з
9
7
45
*9?
280
9
1
91
0
0
理
976 •
311
19
17
1
9
V
"108
108
~"Г35
~54~
"或
"12
280
2383
0
341
4496
301
2133
45
45
18
41
0
4100
"164
1025
~~82
4100
"82~
164
IT
840''
11
0
3 "205-
0
0
0
-0
6
3 ~ 205
41
3
IF
6 ~4?
0
•
41
840
1777
0
341
4496
289
2193
51
33
12
0
1
41 .
*4100
"164
1025
~~82
4100
82
164
41"
840
гл・=• Методы Рунге—Кутты нфкстраполяинонные методы
bi
bi
14005451
13451932
335480064
455176623
0
0
0
0
0
0
0
0
-59238493
-808719846
1068277825
976000145
181606767
1757004468
758867731
5645159321
561292985
656045339
797845732
265891186
1041891430
-3867574721
1371343529
1518517206
760417239
465885868
1151165299
322736535
118820643
53011238
751138087
667516719
-528747749
2
2220607170
ТГ
1
0
Таблица 6.4. Метод Дормана—Принса 8(7) (DOPRI8)
1
1
18
18
1
1
1
12
48
16
1
1
0
_3
8
32
32
_5
5
0
-21
75
16
16
64
64
3
.3
0
0
3
3
8
80
16
20
5?
29443841
0
0
77736538
-28693883
23124283
400
614563906
692538347
1125000000
1800000000
93
16016141
0
0
61564180
22789713
545815736
-180193667
200
946692911
158732637
633445777
2771057229
1043307555
5490023248
39632708
0
0 -
-433636366
-421739975
100302831
790204164
800635310
9719169821
573591083
683701615
2616292301
723423059
839813087
3)83071287
13
246121993
-37695042795
-309121744
-12992083
6005943493
393006217
123872331
20
1340847787
15268766246
1061227803
490766935
2108947869
1396673457
1001029789
1201146811
-1028468189
8478235783
1311729495
-10304129995
-48777925059
15336726248
-45442868181
3065993473
1299019798
846180014
S08512852
1432422823
1701304382
3047939560
1032824649
3398467696
597172653
1
185892177
-3185094517
-477755414
-703635378
5731566787
5232866602
-4093664535
3962137247
65686358
718116043
667107341
1098053517
230739211
1027545527
8S0066S63
808688257
1805957418
487910083
403363854
-5068492393
-411421997
652783627
11173962825
-13158990841
3936647629
-160528059
248638103
491063109
434740067
543043805
914296604
925320556
6184727034
1978049680
685178525
1413S31060
отчета Фельберга (1968), тем более что более поздняя журнальная публикация содержит опечатку.
Методы Фельберга страдают двумя недостатками:
как уже упоминалось, они задуманы для продолжения интегрирования по формуле р-го порядка с минимизированными коэффициентами погрешности и поэтому имеют тенденцию недооценивать погрешность;,
для задач вида у' = / (х), сводящихся к квадратурам, они дают оценки погрешностей, тождественно равные нулю.
Первые вложенные формулы высших порядков, свободные от второго недостатка, построил Вернер (1978). Его метод порядков 8 (9) включен нами в число тестируемых в приведенном ниже численном примере.
Прекрасные численные результаты дает метод порядков 8 (7), который предложил Принс Я Дорман (1981), приложившие много усилий/ чтобы минимизировать коэффициенты погрешности для аппроксимации 8-го порядка. Коэффициенты их формулы воспроизведены в табл. 6.4 (с разрешения авторов).
Реализующая этот метод подпрограмма DOPRI8, написанная на Фортране, включена в приложение к этой книге. В ней осуществлена минимизация требований к объему памяти (см. у пр. 5).
Численный пример
Все упомянутые выше методы были запрограммированы с несколько более сложным управлением длиной шага. Их испытание проводилось на ЭВМ Univac 1100/60 (машинная точность = =1.73 X 1О~18). Решался пример (4.16) при задании допустимой погрешности в интервале 10~e》tol > 10~17. Метод Бутчера 6-го порядка, который на рис. 4.3 был методом самого высокого порядка, здесь сравнивался с методами еще более высоких порядков. Из рис. 6.1 опять ясно, что формула Фельберга недооценивает погрешность. Отчетливо видно превосходство метода Дормана— Принса при tol》10~18; далее его превосходит метод 10-го порядка.
Коэффициенты в DOPRI8 не являются точными рациональными числами: это лишь аппроксимации непрерывными дробями с точностью до 18 десятичных знаков. Поэтому программа < D0PRI8 не должна использоваться при слишком высоких требованиях к точности (при tol < 10~1в). На рис. 6.2 показаны результаты, которые получены на дающей высокую точность машине CDC для задачи у；= 及/6, 质 = —协成/54,山(4) = 2, f/а (4) = 1.5, точное решение которой 沙】(9) = 3, у2 (9) = 1.
Рис. 6.1. Число обращений к подпрограмме вычисления функции (fc) в завися^ мости от глобальной погрешности для значений допустимой погрешности от 10"6 до 10-Н. Сплошная линия ——без локальной экстраполяции, штриховая — с локальной экстраполяцией; квадраты — метод Хайрера 10-го порядка, табл. 6.2; треугольники — метод Бутчера 6-го порядка, табл. 6.1; прямые крестики — метод Фельберга 7 (8), табл. 6.3; косые крестики — метод Вернера 8 (9), (1978)) штрих-пунктирная линия — программа D0PRI8, табл. 6.4.
Рис. 6.2. Результаты для метода Дормана — Принса (7) 8 при малых значениях допустимой погрешности.Рис. 6.2. Результаты для метода Дормана — Принса (7) 8 при малых значениях допустимой погрешности.
Рис. 6.2. Результаты для метода Дормана — Принса (7) 8 при малых значениях допустимой погрешности.
Рис. 6.2. Результаты для метода Дормана — Принса (7) 8 при малых значениях допустимой погрешности.
Упражнения
Найдите условия, которым надо подчинить свободные коэффициенты, чтобы метод, описанный в теореме 6.2, мог быть снабжен вложенной формулой 4-го порядка для оценки погрешности. Как выбрать коэффициенты, чтобы все Ь» были неотрицательны? Чтобы коэффициенты погрешности для 6-го порядка были минимальны?'
Постройте 6-стадийную формулу 5-го порядка, у которой & = 1/3, с4 = 1/2,分=2/3.
(Бутчер) Покажите, что для любого метода РК порядка 5
(следовательно, не существует методов ЯРК 5-го порядка, у которых все 瓦 > 0).'
Указание. Раскройте скобки и воспользуйтесь условиями порядка.
Напишите (или возьмите) программу с методом РК высокого порядка и рассчитайте орбиту Аренсторфа для ограниченной задачи трех тел (0.1) (см. введение к этой главе) с начальными условиями
勿(0) = 0.994,圻(0) =鼓(0) = 0,
疚(0) = —2.0317326295573368357302057924,
D = 0.012277471, у = 1 —屏
Вычислите решение при
% = 11.124340337266085134999734047.
Начальные условия выбраны так, чтобы решение было периодическим (с такой точностью). Если начертить орбиту, соответствующую решению, на ней будет на одну петлю меньше, чем на той, что приведена во введении (рис. 0.1).
(Шампайн, 1979.) Покажите, что метод Дормана—Принса 8 (7) (табл. 6.4) можно реализовать в программе таким образом, чтобы требуемая память зависела от размера и системы как 9и. Указание, а) Воспользуйтесь расположением нулей в таблице коэффициентов. Ь) (Метод Ш): вычислив величины 论！,论金,..., 岛[см. (1.8)], подсчитайте суммы
999
£。讨財 для / = 11, 12, 13, £ ЬМ， £ 5肉.
7 asi了=17=1
Тогда освободится место в памяти, занятое величинами 论薯, А3, ... и т. д., которые больше не нужны. См. программу DOPRI8 в приложении.
П.7. Неявные методы Рунге «Кутты
«Ббхло традицией рассматривать только явные про： цессы».
(Дж. К. Бутчер, 1964)
«Быстродействующие вычислительные машинн са* лали возможным использование преимуществ сложнбш методов>.
(П・ К. Хаммер и Дж« У. Холлингсуорт, 1955)
Введение
Первые неявные методы РК использовал Коши (1824) для ... (вы правильно угадали!) оценки погрешностей («MSthodes diverse» qui peuvent 3tre employfees au Calcul num6rique...> г), см. упр. 6). Коши применил теорему о среднем значении к интегралу, рассмотренному в разд. 1.8 и Н・1$
у ⑷=у aj + J f(打 g wj 也(7.1 j
и получил формулу
% = % + 九f (% + 8居 ％ + 8 (力—%)%(7.21
где 0 < 0, 6 < 1 (так называемый «0-метод>). Предельными случаями ее являются 0 = 6 = 0 (явный метод Эйлера) и 0 = 0 = 1:
% = % + hf (хь уд-(7.3)
Эту формулу называют неявным методом Эйлера.
Для повышения эффективности вычислительного процесса применим, как это мы сделали в разд. Н.1, «правило средней точки» (0 = 0= 1/2) % положив 瓦=仇一У^/h, получим из (7.2) формулу
鼠=f (*0+与 % +等■尼1)，(74)
.勿=，9十五忌
Этот метод называют неявным правилом средней точки.
®) «Различные методы, которне могут быть использованы в численннх расчетах*..> —Франц.
Есть еще и другая возможность: аппроксимируя интеграл (7・1) по правилу трапеций 9 получим
%=% +令[，係，%)+ f的，力)]-(7.5)
Рассмотрим еще квадратурную формулу Радо:
斤@+а
9(力)一以*。)= J f(x, g(x))dx^
^；(f(%，%) + 3,(/ + -|-儿 ^(х0 + -|-й)))*
Здесь надо как-то аппроксимировать значение у (х0 + 2九/3). Одна из возможностей состоит в использовании квадратичной интерполяции по значениям у。，yi ^ у (xi):
0(向+等五)8年g0+等^(%1)+等时(*0, g。).
Получающийся при этом метод предложили Хаммер и Холлингсуорт (1955):
瓦=f (/, %),
月=f (% + 等儿 ％ + ?•他 + 屈))，(7.6)
0Т = % + ；他 + 3也2).
Схемы (7・4) и (7.6) имеют такой же вид, как формулы (1.8), если суммирование в аргументах / распространить до з.
Определение 7.1. Пусть 瓦,《力(厶 / = 1, ..., s) — вещественные числа. Метод
(7.7)(7.7)財=f 卜。+ c»R % + G /[ «“&) J == 1, • • •,
(7.7)
(7.7)
弘=%+也 £ btkt
называется ^стадийным методом Рунге—Кутты. Если а“ = О при i《厶 имеем явный метод (ЯРК). Если «^ = 0 при / > / и хотя бы одно а“ * 0, имеем диагонально неявный метод РК (ДНРК). Если, кроме того, все диагональные коэффициенты одинаковы, а“ = у (i = 1,・•・，s), мы говорим об однократно диагонально неявном методе РК (ОДНРК-методе). Во всех остальных
случаях ма говорим о неявных методах Рунге—Кутты (НРК・м£ тодах) i)・■
Использованную выше запись коэффициентов ЯРК-методов в виде таблицы легко распространить на все случаи, включая, в таблицу все ненулевые 修力 в том числе лежащие на диагонали и выше. Такая запись для методов (7・4) и (7.6) приведена в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Неявные методы Рунге—Кутты
■Неявное правилосредней точки»11■Неявное правилосредней точки»11Метод Хаммера—Холлингсуорта
■Неявное правилосредней точки»
11
■Неявное правилосредней точки»
11
ООО
211
丁~~
13
4*~
Интерес к неявным методам РК возобновился и даже выроо в связи с проблемой жестких дифференциальных уравнений (см. том II).
Существование численного решения
Для неявных методов значения kt уже нельзя вычислять последовательно, так как (7.7) в этом случае представляет собой систему уравнений, определяющих величины kt неявным образом. В случае методов ДНРК имеем последовательность систем размерности п: для 儿т, затем для 儿？ и т. д. Для полностью неявных методов все sn неизвестных (自，i = 1, ..., s, й каждый вектор 自 имеет размерность п) должны определяться одновременно, что еще более увеличивает трудность задачи. В связи с этим естествен вопрос: а имеют ли вообще решение уравнения (7.7)? (На этом основании редакция журнала возвратила Бутчеру первую версию его статьи (1964а).)
Теорема 7.2. Пусть f — непрерывная и удовлетворяющая дело- вию Липшица о постоянной L функция в некоторой окрестности начальных условий. Если выполнено неравенство
——? (7.8) ь max 2 I Q" 1
я) В иностранной литетатуре стали традиционными следующие аббревиатуры: ERK, DIRK, SDIRK, IRK, которые соответствуют приведенным в определении ЯРК, ДНРК, ОДНРК, НРК. — Прим. ред.
加。существует единственное решение уравнений (7.7), которое может быть получено итерированием. Если / (х, у) р раз непрерывно дифференцируема, та бее kt как функции Л тоже принадлежат множеству 2・
Доказательство. Существование решения (7.7) будем доказывать с помощью итераций:
絵叶D = f (/ + С丸物+九耳。"用"))•
(«...on la resoudra facilement par des approximations successi- ves...» (Cauchy (1824)工).Определим К £ 卩〃 как К =(瓦，…，財)r и введем норму || К || = max (j 財 ||). Тогда (7.7) можно записать
в виде К =尸(К), где
Р i (Л) = f (*о + с 亦,.％ + 力 &。，丿尼丿｝ j=l, ・・.，S・
С помощью условия Липшица, повторно используя неравенство треугольника, легко показать> что
Р^О-Г^ЖЛЬ п)т у |%/・||К1-К，
Отсюда в силу (7.8) следует, что 尸(К)——сжимающее отображение. Принцип сжимающих отображений обеспечивает тогда существование и единственность решения, а также сходимость последовательных приближений к неподвижной точке.
Доказательство дифференцируемости опирается на теорему о неявных функциях из классического анализа. Запишем (7.7) в виде
①(А К) = К - F (К) = 0・
Матрица частных производных дФ[дК при ft = 0 является единичной матрицей. Поэтому решение уравнения Ф (Л, К) = О, которое при Л = 0 переходит в 財=f (/, %), непрерывно дифференцируемо в окрестности точки h = 0. ■
Для жестких дифференциальных уравнений (у которых L очень велико) неравенство (7.8) дает весьма сильное ограничение длины шага, неприемлемое на практике. Мы вернемся к этому вопросу во втором томе.
Определение порядка остается таким же, как и для явных методов, и условия, определяющие порядок метода («условия порядка»), выводятся точно тем же путем, что и в разд. П.2.
х) «... легко разрешить с помощью последовательных приближений ...» (Коши (1824)). — Франц.、
Пример 7・3・ Рассмотрим неявные двухстадийные методы по* рядка 3. Условия порядка принимают следующий вид (см. теорему 2.1):
瓦 + % = L
bg + %q = -у>瓦d+加；=-y,
% (%G + W2I + % (%g + %g) ^ V •(7.9]
Из первых трех уравнений вытекает следующее условие ортогональности (оно встречается в теории квадратурных формуд Гаусса):
J (х — С0(* — q)dx=0, откуда q =:二齋,(7.10)
а также
% = %^，%=齡 (q*V2，G*^)・
В четвертое уравнение подставим % = q — %,皿=勿 一 ％ и будем рассматривать % и 内 как свободные параметры. Это дает
6 _1/6 -瓦(^12 (4 一01) + 合)
Положив a12 = 0, мы получим однопараметрическое семейство методов ДНРК порядка 3. Метод ОД HP К получится, если потребовать еще аи = а^ [Нёрсетт (1974), см. табл. 7.21.
Таблица 7.2. ОДНРК-метод порядка 3
Коэффициенты методов четвертого порядка должны удовлетворять еще четырем условиям, хотя осталось только два свободных параметра. Тем не менее в 州ом случае существует единственное решение, приведенное в табл. 7.3.
Таблица 7.Э. Метод Хаммера—Холлингсуорта порядка 4
1 Уз
26
2 1 6
11 уу
T4 6
1 . УзI
"Г 1 6 '4
Методы Кунцмана и Бутчера порядка 2s
Рис. 7.2. Редукция с D (д)・Рис. 7.2. Редукция с D (д)・Ясно, что формула (7.4) н метод, приведенный в табл. 7.3, являются обобщениями соответственно одноточечной и двух-
Рис. 7.2. Редукция с D (д)・
Рис. 7.2. Редукция с D (д)・
Рис. 7・1・ Редукция с С (д)・
точечной квадратурных формул Гаусса. Кунцман (1961) [см. также Ческино и Кунцман (1963)1 и Бутчер (1964а) открыли, что при всех s существуют НРК-методы порядка 2s. Главным инструментом доказательства этого являются следующие упрощающие предположения:
1,・•・• s, g = L • • •, 5 (7.12)
(эти предположения аналогичны предположениям (6.7) и позволяют производить редукцию условий порядка, соответствующих тем или иным деревьям, как схематически показано на рис. 7.1),
а также
D(E)： *瓦4-% = 今(1 一 4)，j=l, ・・・，s, g=l, ・・・，E,
(ср. с предположениями (6.6) и леммой 1.3); эти предположения делают возможной окончательную редукцию всех деревьев, как показано на рис. 7.2 (попробуйте сделать это на каком-нибудь примере).
В результате, если Т)и £ достаточно велики, все деревья приводятся к деревьям, соответствующим квадратурным условиям порядка (ср. (6.9))
s
В(Р)： Е瓦尸=十，g=L・・・"・ (7.14)
Итак, установлена
Теорема 7・4 (Бутчер) Если удовлетворяются равенства (7.12), (7.13) “ (7.14), причем р<5 + т]+1, Р<2т)+ 2, то метод имеет порядок р. ■
Для получения формул порядка 2s Бутчер принял условия (7.14) с р = 2s (т. е. что q и bt являются узлами и весами квадратурной формулы Гаусса) и (7.12) с т] = s・ Как можно показать, тогда (7.13) тоже выполняется с Е = s・ Тогда применима теорема 7.4 с 方=2s. (Ниже будет дано простое объяснение полученного для порядка результата с помощью идеи коллокации.) Методы, соответствующие s = 3 н 4, приведены в табл. 7・4 и 7.5. При s = 5 коэффициенты метода могут быть еще выражены в радикалах. Они приведены в работе Бутчера (1964а). Первое сообщение о впечатляющих численных результатах, даваемых этими методами, появилось в диссертации Зоммера (1965) из области небесной механики.
Таблица 7.4. Метод Кунцмана—Бутчера порядка 6
2
V15 ПоГ
УТ5 1о~
536
536
5
,VT524"
30"
2
9"
2
9"
5函
IT"
2
536
536
УТ5 30~
УТб 24"
5
£
9"
5
18
Таблица 7.5. Метод Кунцмана—Бутчера порядка 8
— "Г— 144，3工一 8 т 144，
s = g(4"+ 臂),т^ш；^-~^) 1
(4当算)，或=叫(方-吟，
CD& № (Dg —勿万3①；^ S；—"勿M・
НРК-методы, основанные на квадратурной формуле Лобатто
Квадратурные правила Лобатто [Лобатто (1852), Радо (1880)] являются модификацией идеи квадратур Гаусса: они требуют, чтобы, первый и последний узлы совпадали с концами интервала интегрирования, т. е. Ст = 0, с8 = 1. С этими узлами удобнее обращаться, а в пошаговой процедуре их можно использовать дважды. Остальные с» выбираются затем так, чтобы оптимизировать квадратурную формулу. Для интервала интегрирования I—1, 1 ] они являются нулями ортогональных многочленов Якоби Р^2 (х) или производных многочленов Лежандра Р；_〔(%) (см・, напр., Абрамовиц и Стиган (1964), 25.4.32). В результате получаются квадратурные формулы порядка 2s— 2. Бутчер (1964а, с) обнаружил, что квадратурные правила Лобатто можно распространить на НРК-методы, у которых первая строка и последний столбец матрицы коэффициентов состоят из нулей. При этом первая и последняя стадии становятся явными, число неявных стадий понижается до s — 2, тогда как порядок метода остается равным 2s — 2. Эти методы характеризуются условиями B(2s—2) и С (s— 1) [см. (7.12), (7.14)1. Коэффициенты методов с s == 3 и 4 даны в табл. 7.6.
Таб
0
1 万
1
лица 7.6. Полученные Б 0
ооо AzJ^T 1 110
T不0 5 + VT 0 1 010
丄2丄1
утчером формулы Лобатто порядков 4 и 6 0000
5 + Уб"115 — 71/^°
~60~~60
5 —Т/丁 15 + Г|/Г1°
~60~60~
15 —УТ 5 + Т/Г°
丁~12~12~
6 3 6
1551
тг ИГпглг
Во втором томе будет показано, что эти методы, хотя и имеют преимущества с точки зрения соотношения между порядком и числом неявных стадий, но для жестких дифференциальных уравнений недостаточно устойчивы.
НРК как коллокационные методы
<Es ist erstaunlich, dass die Methode trotz ihrer Pri- mitivitat und der geringen Rechenarbeit in vielen Fallen... sogar gute Brgebnisse lief er t>.
«Удивительно, что этот метод, несмотря на свою при- митивность и малые вычислительные затраты, во мно гих случаях... дает даже хорошие результаты».
(Коллатц, 1951)
После 1970 года появилась серия работ [Райт (1970), Хулм (1972), де Боор и Шварц (1973), Нёрсетт и Ваннер (1979)1, которые мало-помалу выяснили, что многие методы НРК некоторым образом эквивалентны коллокационным методам и что свойства их порядков совершенно естественны. Позже, в главе о жестких уравнениях, мы познакомимся с обобщением этой идеи (так называемая «возмущенная коллокация»), которое охватывает все методы Рунге—Кутты.
Понятие коллокации является старым и общеупотребительным в численном анализе [см., например, многие страницы у Кол- латца (I960), или отчет Фрейзера, Джонса и Скана (1937)1. Для обыкновенных дифференциальных уравнений оно состоит в отыскании многочлена степени s, у которого в s заданных точках производные совпадают («коллоцируют») с векторным полем дифференциального уравнения.
Определение 7.5. Пусть s — положительное целое число и % ・・・，G — вещественные числа (как правило, выбираемые на
интервале [0, 1 ]). Определим коллокационный многочлен и (%) степени s следующим образом:
“(%о) = % (начальное условие),(7.18а)
(7.18с)(7.18с)〃'(/ + 6九)=f (%о + 片儿 “(4 + G九))，£ = 1,…，s・(7- 18b) Численное решение дифференциального уравнения задается при этом выражением”
(7.18с)
(7.18с)
以=〃(％ + AJ-
Если некоторые из узлов с» совпадают, условие коллокации (7.18b) будет содержать старшие производные. Тогда оно приводит к методам, использующим старшие производные (см. разд. 11.12). Поэтому мы будем пока считать все узлы различными.
Теорема 7・6・ Коллокационный метод (7.18) эквивалентен s-стадийному методу НРК, у которого •
%I
S/ = J "(f)成,％ = J"(f)df (3=1…・•, ％ (7.19)
где 厶(s) являются многочленами Лагранжа
0(0 = 口a一%)/口(。,一4).(7.20)
Доказательство. Обозначим 〃‘(％。+ q九)=kl9 тогда в
〃'(*о + 紡)=Е kj4j (0 (Лагранж).
Теперь проинтегрируем это выражение：
“ (％ +。岡= Bo + b\ 〃' (％ + 仇)dt
и подставим в (7.18b), учитывая также (7.19). При этом получается НРК-метод (7.7). ■
Теорема 7.7. НРК-метод, у которого все ci различны и порядок больше или равен & является коллокационным методом тогда 〃 только тогда, если предположения (7./2) выполнены для 口 = s・
Доказательство. Условия (7.12) однозначно определяют коэффициенты а力.Запишем их в виде равенства
S аиР^=\ p(s)&,(7.21)
ао
справедливого для всех многочленов р степени, меньшей чем 胃 Даваемые формулой (7.19) а” удовлетворяют этому соотношению^ подставив (7.19) в (7.21), мы получим интерполяционную формулу Лагранжа. ■
Теорема 7.8. Пусть М(х) = 口 (х — с J 〃 М ортогональна многочленам степени г— 1, т. е.
J М (s)胛一i ds = 0, g = 1,・・・$ г.(7.22)
Тогда метод (7./S) имеет порядок р = s + г・
Доказательство. Предлагаемое доказательство использует формулу Грёбнера—Алексеева, которая позволяет хорошо понять подоплеку результата. Другое доказательство указано ни*% в упр. 7. Соотношение (7.22) означает, что квадратурная формула
J g(s)ds=h Е bjgGo + c 亦)+ w(g) (7.23) %。z=l
имеет порядок s + г = р^ и для ее погрешности справедлива оценка
I "г (g) I《Ch^- max I g⑺(叫.(7.24)
Далее основная идея доказательства состоит в следующем. Будем рассматривать равенство
〃'(%) = /(%,〃(%)) + ("'(%) — f^9 и (%)))
как возмущенное уравнение
8(%) = / (х, f/ (%))
и применим квадратурную формулу (7.23) для приближенного интегрирования формулы Грёбнера—Алексеева (1.14.18). Согласно (7.18b), результат тождественно равен нулю, так как в точках коллокации возмущение обращается в нуль. Таким образом, из (7.23) и (7.24) следует оценка
IW (х) - 〃 (%) И = II err (g) II《С ・加+1 ・ max || g「(s)||,(7.25)
где
g (s) = D3y (x, s, и ⑼•(“ (s) — f (s', “(s)))
и D8 — символ частной производной по третьему аргументу у, т. е. по начальному условию u (s). Итак, мы видим, что локальная погрешность ведет себя как О (九。+1).
Остается, однако, маленькая техническая деталь： показать, что производные g (х) остаются ограниченными при ft -> 0. Эти
IL7. Неявные методы Рунге—-КуттыIL7. Неявные методы Рунге—-Кутты223
IL7. Неявные методы Рунге—-Кутты
IL7. Неявные методы Рунге—-Кутты
производные выражаются через частные производные / (х, у) и производные и (х). Эти последние остаются ограниченными при % + 0, как показывает следующая теорема. ■
Теорема 7・9・ [Хулм (1972)1 Коллокационный многочлен и(х) порождает непрерывный НРК-метод порядка s, т. е. для всех х, 加《к《％ + % имеем,
5(%) 一〃(献《С加乜'(7.26)
Более то叫 и для производных и (%) справедливы оценки
Ц屮)(х)— 〃同(%) И《СЦ 也=0,・・・,s・ (7.27)
Доказательство. Точное решение у (%) удовлетворяет условиям коллокации всюду, следовательно, также и в точках х0 + + ah. Поэтому, точно так же, как это делалось при доказательстве теоремы 7.6, применим йнтерноляционную формулу Лагранжа к if (%):
8
/W = ^f^ + cjh, y(xQ+Cjh)) lj(t) + q(x)9 x = % +仇， /=i
где погрешность интерполяции g (%) = О 仇$), если у (%) достаточно гладкая. Учитывая, что х = х0 + 仇,и интегрируя эту формулу, получим
8£
№) = %+ £八/ +内"y(*0 +内砌九「八5)由+/?(幻， /=1о
где R (xj == О (加+i). Вычтем отсюда соответствующее выражение для “ (х):
s
у(X)一"(%)=九e(八/ +C拘 g(% + e亦))一
一 f 偽 + e办 " (/ + g3)) J 0 (s) ds + R(X). (7.28) о
Далее наша задача сводится к очевидным оценкам. Положим t
В。= шах У I Zj(s)ds ,yyi 丁《
Bh = maxХ|"1)«)|ДЛА』1, 2,
и воспользуемся условием Липшица для /• Для величины
М = шах 以(")一〃а)[
*о《*《*о+А
224 Гл. П. Методы Рунге—Кутты и экстр ап оляционные метода получается неравенство
М《hLBQM + max || R (x) Ц.
Из него следует оценка (7.26). Дифференцируя (7.28) k раз и дела*| оценки с учетом того, что 箱伍)(%) = Ополучим
max J 严(х)- 〃仅)(x) 0《h^kLBkM +。(加+】т), откуда следует (7.27), потому что 2И = О ("$+【)・■
Упражнения
Постройте одноточечный коллокационный метод (s = 1) с с, f =0 и сравните его с формулой (7.2). Определите его порядсж в зависимости от 0.口
Рассчитайте все коллокационные методы второго порядк|1 С S = 2 При Произвольных С] Н С$・q
Рассмотрите методы из упр. 2, соответствующие выбору q 刁 =1/3,。2 = 1, а также ^ = 0, с? = 2/3. Определите порядкч
полученных методов и объясните результат.
Интерпретируйте неявное правило средней точки (7.4) и явн% метод Эйлера как коллокационные методы. Является ли мет喇 (7.5) коллокационным? А метод (7.6)?
Определите порядки методов из табл. 7.7.
4— Т/б88 — 7}/^296 ~ 169Д/6—2 + 3 l/ 6~10~36018002254 + Уб296 + 169 Уб88 + 7 УТ—2 — 3 "|/ 6~Гб~180036022516 —Уб*16 + ут136~3616-16 + "亨13636■ 94— Т/б88 — 7}/^296 ~ 169Д/6—2 + 3 l/ 6~10~36018002254 + Уб296 + 169 Уб88 + 7 УТ—2 — 3 "|/ 6~Гб~180036022516 —Уб*16 + ут136~3616-16 + "亨13636■ 9Таблица 7.7. Методы ЭлеТаблица 7.7. Методы ЭлеМетод Эле Пд, порядок 5Метод Эле Пд, порядок 50000I5 I1T24 ~ 一Я"1211Г ~ 飞~丄12-g甘丁0000I5 I1T24 ~ 一Я"1211Г ~ 飞~丄12-g甘丁Метод Эле Шд, порядок 4Метод Эле Шд, порядок 4
4— Т/б
88 — 7}/^
296 ~ 169Д/6
—2 + 3 l/ 6
~10~
360
1800
225
4 + Уб
296 + 169 Уб
88 + 7 УТ
—2 — 3 "|/ 6
~Гб~
1800
360
225
16 —Уб*
16 + ут
1
36~
36
16-
16 + "亨
1
36
36
■ 9
4— Т/б
88 — 7}/^
296 ~ 169Д/6
—2 + 3 l/ 6
~10~
360
1800
225
4 + Уб
296 + 169 Уб
88 + 7 УТ
—2 — 3 "|/ 6
~Гб~
1800
360
225
16 —Уб*
16 + ут
1
36~
36
16-
16 + "亨
1
36
36
■ 9
Таблица 7.7. Методы Эле
Таблица 7.7. Методы Эле
Метод Эле Пд, порядок 5
Метод Эле Пд, порядок 5
0
000
I
5 I1
T
24 ~ 一Я"
121
1
Г ~ 飞~
丄
12-
g甘丁
0
000
I
5 I1
T
24 ~ 一Я"
121
1
Г ~ 飞~
丄
12-
g甘丁
Метод Эле Шд, порядок 4
Метод Эле Шд, порядок 4
Указание. Воспользуйтесь теоремами 7.7 и 7・8・
Обобщите на произвольные s [Эле (1968)1.
[Коши (1824)]. Из уравнения (7.2) найдите условия, которыЩ следует подчинить функцию /•(%, у), чтобы для скалярного диффер енци ального уравнения выполнялись неравенств*
力(ЯЭ) > у (%。》协(НЭ), где ух (ЯЗ) (% (НЭ)) означает численное решение, полученное на одном шаге с помощью явного (неявного) метода Эйлера. Для задачи
У = cos *{ у (0) = О,
рассчитайте обоими методами пять шагов с А == 0.2, чтобы оценить верхнюю и нижнюю границы решения у (1).
Результат Коши: 0.9659 《У (1)《0.9810. Для одного шага с Л = 1 он получил 0.926《у (1)《1・
Вычислите точное решение элементарным интегрированием уравнения.
[Бутчер (1964а)] Дайте алгебраическое доказательство теоремы 7.8.
Указание. Из теоремы 7.7 • следует (7.12J для щ = s・ Далее, условия (7.14) с p = s+r (теория квадратурных формул Гаусса) имеют следствием (7.13) для Е = г. Чтобы убедиться в этом, умножьте два вектора 〃/ = X 也4一％〃 м 力=勿(1 — —d)/g (/ = 1Э ・••$ s) на матрицу Вандермонда
1 1 ... 1
сГ1 с；т …с；т
Наконец, примените теорему 7.4.
8 X айрер Э. а др.
II.8. Асимптотическое разложение глобальной погрешности
«Mein Yszicht auf das Restglied wav lelchtsinnig..«> «Мой откав от остаточного члена бал дегкошагаК ныЫ …》
(В. Ромберг, 1979)
Нашей следующей целью будет усовершенствование ричардс(|| новского метода экстраполяции (см. разд. II.4) посредством вш полнения повторных экстраполяций и исключения все большей числа членов С応+& погрешности. Хорошую теоретическую осноя' для этой процедуры дает изучение асимптотического поведен^ глобальной погрешности. Для задач типа у，= f Q), сводящихся к интегрированию функций, решение этой проблемы дает форму* Эйлера—Маклорена^ и дальнейшее развитие связано в работам Ромберга (1955) и его последователей. Первые строгие результат для дифференциальных уравнений связаны в именами Хенричв (1962) и Грэгга (1964) [см. также Штеттер (1973)]. Последователе ное исключение членов погрешности мя изложим здесь, следу| работе Хайрера и Любиха (1984)а которая допускает обобщенЦ и на многошаговые метода.
Локальная погрешность
Пусть имеется одношаговнв метод, котор&й 皿 вапишо! в виде4
%41 = Ри + &①(*а Ра 也).(8・1*
Если метод имеет порядок р, то в каждой точке решения он обл彳 дает локальной погрешностью вида
У (x^hi — y(xj — &Ф (修 у (圖 &J = =dP+iW 也叶з + • • • + 盡+i (х)砂+i + 0 (产 +2),(8, если правая часть дифференциального уравнения дифферент^ руема достаточное число раз. Для методов Рунге—Кутты первьй члены погрешности были вычислены в разд. Ц.З (см・ теорему 3.2)(
Глобальная погрешность
Численное решение в точке х = х0 + нА обозначим тепер! ^п=: Uh (%)• Из теоремы 3.6 известно, что глобальная погрешности ведет себя как 勿.Мы будем искать функцию 勺(х) такуюэ q" 九(%) — В (%)=勺(х)加 +。(И-(8風
Основная идея состоит в том, чтобы рассматривать величину 处(х) - % (%)加=:力(х)(8.4)
как численное решение, даваемое другим методом:
風+1=a>+砒ам前ь).
Сравнивая о (8.1J, мы &нанмд что функция приращения этого нового метода есть'
①(％ 0, й) = Ф(х, д+ер (х)6^,&) — (ер (х + Л) — ер (х))h^k (8.5)
Наша задача состЪи! в нахождении такой функции е「(％) о условием ер (%J 三 Оу чтобы метод о функцией приращения Ф имел порядок р + L , :二
■ Разлагая ：локальную погрешность одношагового метода Ф по степеням А мы получрм ，
g (% +力)- У (4 -历® (向У (力项=
=(备+件)「亲(修？8)%(%) +映冷)胪+1 +。依+2).(8.6)
Здесь использовано равенство
需■(%,协。)=嗡■(/？)•(8・7)
Член, содержащий 九叶匕 исчезнет, если определить е> (%) кан решение задачи Коши _
成(%)=亲(芻 0(*))0 ⑴-gi О % (砧=°-(8・8)
Применяя теорему 3.6 к методу g имеем теперь
%(X) 一 U (%)=勺⑴"+。仲中)・(8.9)
Первый член искомого асимптотического разложения определен. Повторим теперь эту процедуру t отправляясь от метода с функцией приращения Ф. Этот метод имеет порядок р + 1> и равенство (8.7) тоже удовлетворяется. В конечном результате на этом пути получается следующая
Теорема 8・1・ [Грэгг (1964) ] Пусть имеется метод с достаточно гладкой функцией приращения Ф, удовлетворяющий условию согласованности Ф (%,斗 6) = f (х, у) и обладающий разложением (8.2) для локальной погрешности. Тогда глобальная погрешность имеет 必имтпотичёскЬе разлоэюение вида
如(х) — ？(灯=£p(4)制+■・・+節(分№ +反a)口+、(8.10)
228 Гл. II. Методы Рунге—-Кутты и экстраполяцноннне метода где е, (%) — решения неоднородных дифференциальных уравненш вида (8.8) о начальными условиями е； (%。) = 0$ а Е» (х) ограниче^ 〃Р〃 ％。X ^end “ 0 用 *^ 九Q・■
Свойства дифференцируемости функций е，(％) зависят от гла^ кости / и Ф (см. (8.8) и (8・2))• Разложение (8.10) будет служи用 теоретическим основанием во всех обсуждениях экстрапол#； ционных методов.
Примеря
Для уравнения у' = у, У (0) = 1 и метода Эйлера ир» ft = 1/п и х = 1 с помощью биномиальной теоремы получим:
bN1) = (1 +；)" = 1 + 】 + (1 - ；)} +
Отсюда, раскрывая скобки, можно получить
%⑴一以1)=e九‘纟77^7 = -1・359/1 + 1.246"±…
где Sp — числа Стирлинга первого рода [1730 г.; см. Абрамовну и Стиган (1964), разд. 24.1.31. Мы получили, очевидно^ ряд Те* лора для функции
(1 + й)1/л — е = ехр (1 —± — е =
Радиус сходимости этого ряда равен единице.
Для дифференциального уравнения у" = f (xj и правил* трапеции (7.5) разложение (8.10) примет вид известной формула Эйлера—Маклорена (1736):诈
IN2也
%⑴ 一 y (Х) А =n 綜 B褪(pi)⑴一产I)(0)) + Err. 1
При N f 8 ряд обычно расходится из-за быстрого роста чисаЦ Бернулли при больших k. Однако формула может быть полезно при небольших значениях ^.Формулы такого рода называют acuj^ птотическими разложениями [Пуанкаре (1893)1. '
Переменная длина шага
Теорема 8.1 справедлива не только при постоянной длине Шага. Для случая переменной длйны шага разумно предположить^ ЧТо существует функция в (%) > 0, такая что длины шагов зависят от параметра b следующим образом:
*n+i-Xn = e(*n)瓦，(8.П)
Тогда разложение локальной погрешности (8.2J примет вид
у(х^г^(^К1 — у (х)—版(х) ф (х, у (%), в (%) ftj=
=dp+1 (%) ▼+【(％)九叶工+….
а вместо (8.5J получим
Ф(х, £ ф(х)й) = Ф(х, y + ep(x)hp, в(*)» —
'—йг 瓦 а+% а)用-勿 wi-
Поэтому вместо (8.6) разложение локальной погрешности нового метода будет иметь вид
У (х + 41 (xj tij — у (х) — hu (х) Ф (%, у (%), в (%) ft)= =а (%)［加1 (х)炉(х)-晋(X, у (х)) ер (х) + е； (х)］渺+【+。侬+?), и доказательство обобщенной теоремы 8.1 требует лишь небольших изменений.
Отрицательные значения h
Наиболее важные экстраполяционные алгоритмы используют асимптотические разложения с четными степенями h. Чтобы дать теоретическое обоснование для этих методов, надо объяснить смысл yh (%) при h отрицательных.
Обоснование. Запишем (8.1) в виде
Уь (% + 3 = Уь (%) + 九① а, Уь (圖九)(8. Г)
и заменим А на —Л:
У-h(X — ЛJ = %А (%)—也①(х,九厶(圖—ftj.
Теперь заменим здесь х на х + й:
心(%) = Уг (% + 也)一ЛФ (% + 儿 У-h (% + 矶一舟・(8.12)
Для определения у^ (无 + ft) мы получили уравнение, которое при достаточно малых А имеет единственное решение (по теореме 。неявных функциях). Запишем это решение в виде
，-а (* + 3 = %а (%) + АФ* (%，％а (%)，九)・(8.13J
Сравнивая (8.12) и (8.13) и обозначая Л = y^h (х *Ь &L Be =У-ь (%)， мы приходим к следующему определению.
Определение. Пусть Ф (х, у, ft) — функция приращения н& которого метода. Определим тогда функцию приращения Ф* (х у, &) присоединенного метода следующей парой формул:『
В = A 一 ЬФ (力 + 瓦 Л, —Ab
(8.14
4 = В -Ь АФ* (л, В9 &J.
Пример: Для явного метода Эйлера присоединенным методо^ является неявный метод Эйлера.
Теорема 8.2. Пусть ①一метод Рунге—Кутты (7.7) о коэф^ фициентами а〃， %, & (L j = 1, •••, §)• Тогда присоединенный мет(^ Ф* эквивалентен s-стадийному методу Рунге—Кутт^ о коэффициентами
e； = 1 —0中i
а 力=b 叶 it — &+it・ б+1-Ф
% =匕s+it・
Доказательство. Формулы (8.14) показывают, что для опре деления присоединенного метода надо в (7.7)поменять местами 为 и г/1, Л и —й и затем вместо х0 подставить / + Е・ В результат^ получается
ki = t (^о + (1 - q)儿 Jo + 厶 £ (%一0订)M,
么=% +厶工ь肉.
Чтобы сохранить упорядоченность % ・・•$ & (обычно естестве», ную), сделаем перестановку значений kt в обратном порядку для чего заменим все индексы i на s + 1 —£・■
Свойства присоединенного метода
Теорема 8.3. Ф** = Ф.
Доказательство. Это свойство (давшее повод к названнкк «присоединенный^) доказывается заменой А на —& и затем х н* а; 4- h, В на 4 и 4 на В в формулах (8.14). ■
Теорема 8.4. Присоединенный метод, имеет тот же порядок^ что и исходный. Его главный член погрешности отличается главного члена погрешности исходного метода множителем (—1)「\
Доказательство. Заменим в (8.2) А на —А, затем подставий/ 团 + h вместо х и упорядочим заново члена по степеням 氏 Пр憲才
этом получается
g(%) + dPMh^(- IF +。(й^2)=
0 g (力 * 厶］—&Ф(% + 瓦 g (% + bj, —b).
(Здесь учтено, что dp+i (x + Л) = dp+i (xj +。(也)J Теперь обозначим 3 левую часть этого тождества, положим А = у (х ^г Ь) и применим (8.14). Это приводит к равенству，
0(% + ь) = 0a)+ 分"a)ь叶Y-iy+ьФ♦(/ 9(X),ь)+。(ь叶7 выражающему утверждение теорема. ■
Теорема 8.5. Присоединенный метод имеет такое же асимпто тическое разложение глобальной погрешности (8.10), что и исход ный методу но о заменой h на —h.
Доказательство. Повторим в отрицательным Л ту процедуру, которая привела к доказательству теоремы 8・1・ Первый отделенный член, соответствующий (8.9), будет
Вг (%) — 0 (%) = ер (%) (—№ +。侬+叮・(89)
Справедливость этого выражения вБгтекает ив того факта, что решение (8.8) при начальном условии % (х0) = 0 изменяет знак вместе а неоднородным членом dp+1 (х). ИтЙк, первый член разложения установлен. Чтобы иметь возможность продолжить процедуру определения дальнейших членов разложения, надо показать, что преобразование (8.4) перестановочно в операцией перехода к присоединенному методу, т・ е. что имеет место равенство
(ф)« = ((D*f.(8.15)
Для доказательства (8.15J ваметнм$ что ив (8.4J и определения Ф вытекает равенство
九(х +五)一eр(х +力)加=
=»ьW — ер(х)h^ + ft®(x,孤⑴一Cp(x)胪，Л)- Здесь опять подставим —Л вместо h, а затем заменим х на х + Л. Наконец, положив В = у』(х) — ер (%)(―也)「и 4 = у_& (% + + ft) — ер (х + ft)(—耽，применим (8.14) и получим
0-ь (х + 九)一勺(х + Л)( — Л)р =
=%厶(*)-勺(%)(—»「+®(х, 0“ (%)-%(%)(—力)％ 力)・(8・16)
С другой стороны, если выполнить преобразование
公卜)=八(x) - ер⑴(一妒184)
(см. теорему 8.4J и подставить в (8.13J, мы получим опять равен ство (8.16), но на этот раз о (①*厂 вместо Ф*, что и доказываем формулу (8.15). ■
Симметричные методы
Определение 8・6・ Метод называют симметричным^ если Ф J =Ф*.
Пример. Правило трапеции (7.5) и неявное правило средне# точки (7.4) симметричны: перестановки 力—％/ 一 一Л н % Т —“о + ^ оставляют эти методы инвариантными.*
Следующие две теоремы принадлежат Ваннеру (1973).
Теорема 8・7・ Если
4т+ь 8T+1 +。〃 = b—7+i =瓦、(8.17J
то соответствующий метод РК симметричен.
Доказательство: см. теорему 8.2. Условие & = 1 — ^+一 叩5 веряется суммированием равенств (8.17) по / от 1 до s. ■
Теорема 8.8. Ко儿локационный метод о симметрично распре деленными точками коллокаций симметричен.
Доказательство. Если & = 1 — ci^ii то многочлены ЛаМ ранжа обладают свойством 匕(f) = ls^i (1 — £)• Условия (8.1/ тогда легко получаются из (7.19). ■
Эти результаты позволяют теперь доказать следующее важноц свойство симметричных методов, подмеченное уже давно:
Теорема 8・9・ Если метод симметричен и выполнены условий теоремы 8.1, то асимптотическое разложение (8.10) содержит только четные степени 五：.
九⑴一 У (%)=旬(％)俨 + %q+2 (*)胪。+2 + ・・・{8.18J
“ &〃%(>) = 0-
Доказательство. Если Ф* = Ф, то в силу (8.13} у^ (%)= = Ук (%) и утверждение следует из теоремы 8・5・■
Пример. Самый старый пример такого разложения —формула' Эйлера―Маклорена.，
Упражнения
Пусть одношаговый метод (8.1) имеет порядок р > 2 и кроме% условия Ф (х, у, 0) = f (х, у) выполняется еще равенство
嗡•(%, g, о)= ；(备(％加+器仇力〃％力)・(8.191
Покажите, что тогда главный член локальной погрешности метода Ф, определяемого формулой (8.5), будет иметь вид
源+2 (%) = dp+z ⑺一* 器(x, у (х))备+i (%) - 3 d；+i(X).
Проверьте, что (8.19) выполняется для всех методов РК ср》2.
Рассмотрите применение метода второго порядка ”
к задаче У = у, у (0) = L, Покажите, что
厶(*) = + е*, 4 (х)=击Y, & (*) ^犬吟 J4 (x) = —у-.
Рассмотрите метод второго порядка
0
11
10 1
丄丄丄
Покажите, что для этого метода
厶(%) = 4•(尸他2)&⑴)一 4•尸(加)з(初)，
“4 ⑺="^Г (尸(歸刨”))+ ；尸(厶 8)(9 (%)^•尸(〃)® (%)))
(обозначения соответствуют табл. 2.1). Покажите, что отсюда вытекают равенства
d《(%) = 0 н % (%) = 0,
так что один шаг экстраполяции по Ричардсону повышает порядок метода на 2. (Установите связь между этим методом и алгоритмом ГБШ из разд. II.9.)
Обе удите симметрию других классов методов НРК из разд. II.7. (Ответ: они не симметричны.)
IL9. Экстраполяционные методы
«Следующий метод аппроксимации можно считать nq・ не считать новым, но я считаю, что он важен для практики...»
(С. А. Кори, 1906)
«Открытие Ла-экстраполяции бяло навеяно теорией,, подсказавшей арифметические эксперименты, которые, дали желаемые результаты».
(Л. Ф. Ричардсон, 1927)
«Экстраполяция является мощнбш средством.»»! (Р. Бу- лирш — И. Штер, 1966) 4 «Экстраполяция, по-видимому, не является особен即 эффективным способом ・・・, наши исследования поста* вили вопрос, есть ли вообще смясл заниматься ею как отдельнБШ методом»»
(Л» Ф. Шампайн и Л. О. Бака, 1984)
Определение метода
Пусть имеется задача Коши 才=f 3 必 У (x0J = %• Задавшись базовой длиной шага " > 0, выберем последовательность положительных целых чисел
«1 V % V % V …(9.1J
и определим соответствующие длины шагов 九工 > 力分 > 友 > ・・・ как ht = Я/пр Возьмем теперь численный метод порядка р и9. выполняя П| шагов длины Ь* вычислим приближенное решение нашей начальной задачи
FatUo + Я) = г 7\|(9.2)
(это установившееся обозначение; первоначально буква Т символизировала правило трапеций). Выполнив вычисления для ряда последовательных значений L исключим из асимптотического разложения (8.10) возможно большее число членов। вычисляя интерполирующий многочлен
Р (й) = % + Мр + %，亦叶'+ • • • + 旬4拡叶1，(9・3)
для которого
"(儿)= T，R 6 = ?,J-h ・・・"一也+ 1・(9.4)
И в заключение сделаем ^экстраполяцию м пределу^ 厶今 0, т. е. будем рассматривать значение
"(0) = %=：7力6，(9.5)
как численное решение, даваемое методом экстраполяции.
Условия (9.4) дают систему k линейных уравнений для определения k неизвестных е。, ер> ...9 вр+м.
Пример. Для 6 = 2, % = 1, / = 2 приведенное выше определение совпадает о процедурой, описанной в начале разд. II.4.
Теорема 9.1. Точность аппроксимации решения задачи Коши величиной 7\а соответствует численному методу порядка р + + G — 1・
Доказательство. Сравним (9.3), (9.4) g асимптотическим разложением (8.10), которое перепишем в форме
П“ = 4 (%а + ") + % (大口 + Н)力? + • • •
• ♦ • + еР+^2 (^о + ")能"У + А”(9・4‘)
где взято N = р + h — 1 и
% =С叶1 (加 + Я)財+1 + Ehi (/ + 切麻+& = 0 (日中)
(потому что ep+k^ (x0) = 0 и A±《Я)・ Формула (9・4‘) представляет линейную систему уравнений с неизвестными у (х0 + Я), HPep(xQ+
+ "),・・・,班+在12勺+*2 (х0 + Я) и с матрицей
碎
похожей на матрицу Вандермонда. Она отличается от (9.4) только возмущающим членом А» в правой части, имеющим порядок 。(Н 叶吼 Матрица А обратима (см. у пр. 6). Вычтя эти формулы Друг из друга, легко получить, в частности, оценку
Iу(/ + 〃)一％I《D4Tli8・max I 匾 I =。(印+尼)・■
Замечание. Случай р = 1 (а также р = 2 для разложений m степеням 九纟)можно рассмотреть и иначе, интерпретируя разност^ у (х0 + Н) —е。 как погрешность интерполяции [см. (9.21)1.；
Большое достоинство рассматриваемого метода состоит в тоК что он дает полную таблицу результатов вычислений
岂工
7|21 T22
которые образуют последовательность вложенных методов и поз* воляют легко оценить локальную погрешность и выбрать страту гии для методов переменного порядка.“
Несколько числовых последовательностей используются в к占* честве (9.1):
последовательность Ромбергам [Ромберг (1955)11
2, 4, 8, 16, 32, ...(9.0)
последовательность Булирша» (также упомянутую Ромбергом^ (1955)):•
2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32,…(9・7>,
в которой чередуются степени 2cl.5x2% Для этой последователь-^ ности в высших порядках требуется меньшее число вычислений функции, чем для предыдущей, и она стала известной благодаря успеху «алгоритма Грэгга—Булирша—Штёра [Булирш—Штёр* (1966)].
Приведенные выше последовательности обладают тем свойством, что при интегрировании задачи * = f (%) многие значения： функции можно запомнить и заново использовать для меньших 瓦:, Кроме того, lim inf (ni+1ln^ для этих последовательностей у до влетворяет «условию Теплица», т. е. он строго больше единицы, что позволяет доказывать сходимость при / = 48 [Бауэр
Рутисхаузер, Штифель (1963)]. Однако при работе с дифференциальными уравнениями с фиксированным или ограниченным порядком, как показал Дойфлхард (1983), наиболее экономичной является ^гармоническая последовательностью
，1,2, 3, 4, 5, 6,7, ...(9.8)：
Алгоритм Эйткена—Невилла
При р = 1 формулы (9.3) и (9.4) переходят в классическую задачу интерполяции, и можно экономно вычислять значения Т；,左， пользуясь классическими методами. Поскольку нам нужны значения интерполяционных многочленов только при 无=0, наиболее экономичным будет основанный на идеях Жордана (1928) «алгоритм Эйткена—Невилла» [Эйткен (1932), Невйлл (1934)], который приводит к формуле
7…(9.9)
Рациональная экстраполяция
Многие авторы в 60-х го举х считали, что вместо полиномов в (9.3) лучше использовать рациональные функции. В этом случае формулу (9.9) нужно заменить другой:
Т…Т 空— Туе~=—(9.10)
九i L以左一Tjf аt」
[Булирш и Штёр (1964)], где
Tj, о = 0・
В случае систем дифференциальных уравнений деление векторных величин следует понимать покомпонентно.
Позже численные эксперименты [Дойфлхард (1983)] показали, что рациональная экстраполяция почти никогда не является более выгодной, чем полиномиальная.
Вычислительный пример
Мы решали задачу
旷=(—g smx + 2 tgх) д, д (专)=爲， (9.11) ° точным решением у (%) = 1/cos %. Использовался метод Эйлера, был взят базовый шаг Я = 0.2. На рис. 9.1 для трех последовательностей чисел шагов (9.6), (9.7) и (9.8) сопоставлены в двойном логарифмическом масштабе объем вычислительной работы lg (1 + + 九丿—1 + 九— 1 + ・・・ + — 1) и получаемая точность Tg (I TJth — у (х0 + Я) I).
1 叫 о(/с)1 叫 о(/с)Рис. 9；1・ Точность экстраполя<^ дни метода Эйлера для пример^ (9.11). Вверху — гармонически последовательность, посереди^ не — последовательность Бу^ лирша, внизу ~ 1гюследователф^ ность Ромберга. ‘
1 叫 о(/с)
1 叫 о(/с)
Экстраполяция с помощью симметричных методов
Если опорный метод является симметричным, то, как мы знаем, он имеет асимптотическое разложение по степеням ft2 (теорема 8.%： и каждая экстраполяция исключает две степени h. Поэтому 遡; можем просто заменить в (9.3) h на ft2 н для р = 2 [т. е. g = 1 в формуле (8.18)] тоже воспользоваться алгоритмом Э^ткена—, Невилла о такой модификацией. Вместо формулы (9.9) мы по лучим :
Т吋：("2)
Вычислительный пример. На этот раз мы решали задачу (9川 с помощью неявного правила средней точки (7.4). Хотя этот ме^碌 неявный, но благодаря простой структуре Анффереициа“ь耳9瓏 уравнения его применение требует решения лишь квадратного уравнения. Мы использовали ту же длину базового шага Я = 0・2 и те же последовательности чисел шагов (9・6)$ (9.7) и (9.8), что
Рис. 9.2. Точность экстраполяции неявного правила средней точки. Вверху — гармоническая последовательность, посередине — последовательность Булирша, внизу — последовательность Ромберга.
ТТ(9.7)(9.7)”3 一”3 一3.5.7,9. t I. 13.15.17.3.5.7,9. t I. 13.15.17.и выше. Аналогичным образом представлены и погрешности на рис. 9.2.
Т
Т
(9.7)
(9.7)
”3 一
”3 一
3.5.7,9. t I. 13.15.17.
3.5.7,9. t I. 13.15.17.
Метод Грэггая или ГБШ
«Будучи полностью явнбш, алгоритм Грэгга столь идеально приспособлен в качестве опорного для экстраполяции по Ричардсону, что никакой другой симметричный двухшаговый алгоритм не может конкурировать а вин». (X. И. Штеттер, 1970)
Здесь лучше всего привести цитату из работы Штеттера (1970)1 «Разложения по степеням 力'крабне важны для эффективного применения ричардсоновской экстраполяции. Поэтому, когда Грэгг доказал в 1963 F., что величина S» (х), получаемая с помощью алгоритма.
先=% +用(/•%),(9.13а)
Ум = Un + 2hf (х〃 g±)9 力=1, 2,・・・.2%(9.13b)
Sb (%) = -j- (%пт + 2y2n + g2n+3 (9.13с) где х = х0 + 2九九，xf = х0 + ih9 обладает асимптотическим разложением по четным степеням h и имеет удов летвор ительные свойства устойчивости, это явилось большим достижением. Это
Рис. 9.3. Симметричность метода Грэгга.Рис. 9.3. Симметричность метода Грэгга.
Рис. 9.3. Симметричность метода Грэгга.
Рис. 9.3. Симметричность метода Грэгга.
привело к построению очень мощного экстраполяционного алгоритма ГБШ (Грэгга—Булирша—Штёра)х) ...»
Данное Грэггом доказательство этого свойства было очень длинным и сложным, и опять-таки «большим достижением» явилась элегантная идея Штеттера интерпретировать (9.13b) как одношаговый алгоритм, для чего переписать (9.13), введя нечетные и четные индексы. Введем для этого следующие величины:
(9.14)(9.14)h* = 2ft, xj = Xq + 々九北 〃口 = “ = yQt
(9.14)
(9.14)
"丸=Уш—川(*2打 yQ =万 ®2Hl + g眦Т).
Тогда метод (9.13) можно переписать в виде (см. рис. 9.3)
(黑)=(;:)+胪(黑)=(;:)+胪/(^4/(^4■у [/(*2 +九，〃左+i) + f(%2,■у [/(*2 +九，〃左+i) + f(%2,公 n丄胪f A -2-，" I 2~ / (*在，公 n丄胪f A -2-，" I 2~ / (*在，・(9.15)・(9.15)
(黑)=(;:)+胪
(黑)=(;:)+胪
/(^4
/(^4
■у [/(*2 +九，〃左+i) + f(%2,
■у [/(*2 +九，〃左+i) + f(%2,
公 n丄胪f A -2-，" I 2~ / (*在，
公 n丄胪f A -2-，" I 2~ / (*在，
・(9.15)
・(9.15)
Как видно из рис. 9.3, этот метод, отображающий пару (〃^ 。左) в (〃左+工，^л+i), является симметричным. Симметрию можно проверить
")В иностранной литературе принята аббревиатура GBS (Gragg ——Bu。 lirsch — Stoer). — Прим. ред.
л аналитически (см. определение 8.6), сделав перестановки 〃左+1 —以，％+i 一 ％ /Г — —Л\ Xk^xl + Л*. Простые вычисления показывают, что при этом формула (9.15) не изменяется. Метод (9.15) согласован о дифференциальным уравнением (системой!)
〃'=f (修办 〃(％=%,
= f (х, «),。佝)=%、’()
(это видно, если в функции приращения устремить h* к нулю). Точным решением этой системы является просто 〃 (％) = и (х) ^ =у (х). Поэтому из теоремы 8.9 следует, что
b (%) - "s (%) = ea/ (Х)仇.产 + (九・)2什2 4(X,公)，(9.17a) 2T
夕(X) — 味(X) = £ 好(*)(犷部 + (犷产+2 В(X, Л*)(9.17b)
и aj (х0) = bj (х0) = 0. Мы видим из (9.14), что yh (х) обладает разложением по четным степеням h при условии, что число ша・ гов — четное.
Сглаживающий шаг
«Предупреждаем читателя о возможной неустойчивости, особенно при применении формул 25.5.2...» (Дж.П. Дэвис и И. Полански в «Справочнике» под ред. Абрамо- вица и Стиган)
«Явное правило средней точки» (9.13b), использованное в рассмотренной выше конструкции, имеет все же плохую репутацию «слабо неустойчивого». Мы обсудим подробно это свойство во введении к гл. IV (том II). Зигзагообразное поведение погрешности подсказало идею заменить 弘办 взвешенным средним из трех величин
S& (/ + 2 九九)=} &2nT + 2%п + ^2п+1) = } (% + %)
(см. (9.13с) и (9.14)). Теперь из (9.17) вытекает следующий результат, полученный Грэггом.*
Теорема 9.2. Пусть f (х, у) £。"+2. Тогда численное решение^ определяемое формулами (PJ3), обладает асимптотическим разложением вида
'(*) — Sh (х) = £ е/ (x)九27 + 胆+2c (爲九)，(9.18)
з0е 6/ (A:0) = 0, a е(X,九)ограничена при Х()《大《0"0《五《闻.
Доказательство. Разложение (9.18) получится, если сложить равенства (9.17а) и (9.17b) и подставить й* = 2h, причем 内(х)= =(。丿(%) + % (%)) 221T. ■
Вычислительный алгоритм и пример
Итак, этот метод может быть использован для ричардсоновской экстраполяции тем же способом, что и рассмотренные выше симметричные методы. Последовательности чисел шагов выбираются, однако^ о условием, что 九/ должны быть четными, т. е.
4, 8, 16, 32, 64, ...,(9.6‘)
4, 6, 8, 12, 16, ...,(9・7‘)
4, 6, 8, 10, 12,...,・(9・8‘)
Далее полагаем
7\а 1= S^ (% + Я) и вычисляем основанные на разложении по степеням h® экстраполированные значения 7\, по формуле Эйткена—Невилла (9.12).
Пример вычислений. Ми применили этот алгоритм опять к задаче (9.11), взяли длину базового шага Н = 0.2 и，вычислив погрешноо- тщ сопоставили их о объемом вычислительной работы (измеряемой количеством вычислений значений f, которое равно теперь 1 + Пу + +九г +…+九н+力 из-за дополнительного вычисления функции для сглаживающего шага). Результаты показаны на рио. 9・4・
Эти результаты почти такие же, как для неявного правила сред-
3.5.7. S. 11.13.15.17.3.5.7. S. 11.13.15.17./T22(97)Т И4ogw(norp)/T22(97)Т И4ogw(norp)Рис. 9.4. Точность экстраполяции метода Грэгга для примера (9.11).
3.5.7. S. 11.13.15.17.
3.5.7. S. 11.13.15.17.
/T22(97)
Т И4ogw(norp)
/T22(97)
Т И4ogw(norp)
ней точки, но теперь опорный метод — явный, и это намного ценнее. Для всех трех последовательностей ясно видно превосходство над экстраполяцией, -опирающейся на метод Эйлера, особенно в диагональных Thh для больших значений 论.
Асимптотическое разложение для нечетных индексов
Для полноты мы хотим еще вывести из (9.17b) существование разложения по степеням Ла у 92儿+工,хотя это не имеет практического значения для описанного выше вычислительного алгоритма.
Теорема 9.3. (Грэгг) Для 力=向 + (2论 + l)h имеет место разложение
0 W 一处(%) = Е 6 (х)胆 + 衿+2月(占班(9.19)
где коэффициенты 5；, вообще говоря, отличны от соответствующих коэффициентов для четных индексов и 5； (х0)千 0.
Доказательство. Значение у%^+1 можно вычислить (см. рис. 9.3) либо делая шаг вперед от vh9 либо шаг назад от vM. Для симметрии возьмем среднее из этих двух выражений и запишем
02在+1 = 3 (% + %+i) +"!*(f (x工/)一f (*2+口 〃/ж))・(9.20)
Вычитая отсюда точное решение, мы получим
2(^а)-У(%)) = %а(х—@—0(%—九)+
+ %а (% + 八)一У (% + 九)+ У (无一Л) 一 2y (x) + у (% + 九)+
+ 八[f(x — h, 〃2a (% —九))—f (x + h9 ^(x + 九))]・
Все полученное выражение симметрично по Л благодаря симметрии 必八&) («з九(Е) = 〃т九(I)) и v2h (х). Поэтому асимптотическое разложение для у2М не содержит нечетных степеней Л. ■
Оба выражения, как для четных индексов, так и для нечетных, можно по-прежнему скомбинировать в одну формулу (см. упр. 2).
Существование явных методов Рунге—Кутты произвольного порядка
Легко видеть, что каждое из выражений 7力儿 представляет некоторый явный метод РК (см. упр. 1). Если применить к (9.18) известную формулу для погрешности полиномиальной интерполяции (см., например» Абрамовиц и Стиган (1964), формула 25.2.27), мы получим
В 5 + Н) - 7八=F< J % (/ + Я)环& +。(环计2).(9.21) 以…勺一计1
Так как eh (х0) = 0, то
y (向 + ") 一 乃,在=tн—或(砌"2 计‘+。(Е叶)(9・22) "…J+i
Это показывает, что 7力儿 представляет некоторый метод ЯРК порядка 2论.
В качестве приложения этого результата может быть указана
Теорема 9.4. (Грэгг.) Для четных р существуют явные методы, РК порядка р, имеющие s = р2/4 + 1 стадию.
Доказательство. Этот результат получается путем подсчета числа вычислений функции 厶 необходимых в алгоритме ГБШ при использовании гармонической последовательности и без завершающего сглаживающего шага. ■
Замечание. Экстраполяция, опирающаяся на метод Эйлера, приводит к ЯРК-методам с s = р (р — 1)/2 + 1 стадиями. Это лишний раз показывает важность разложения по степеням &а.
Управление порядком и длиной шага
Экстраполяционные методы имеют то преимущество, что у них на каждом шаге можно менять не только длину шага, но и порядок метода (т. е. число столбцов в таблице Т^ ft). Благодаря этой двойной свободе их оптимальная практическая реализация в виде программы более сложна, чем для методов РК фиксированного порядка. Первые программы были разработаны Булир- шем и Штером (1966) и их студентами. Очень успешные экстраполяционные программы, разработанные П. Дойфлхардом и его сотрудниками, описаны в работе Дойфлхарда (1983).
Выбор длины шага может быть сделан точно таким же способом, как и для вложенных методов фиксированного порядка (см. разд. IL4). Если вычислены первые 也 строк экстраполяционной таблицы, то мы имеем Tkh в качестве аппроксимации наивысшего порядка (согласно (§・22)； равного 2也)и» кроме того, Т坛 I порядка 2论一2. Поэтому для управления длиной шага естественно использовать выражение
е/ = I 丁舫 ml — 7% * 1・(9.23)
Как в разд. II.4, для оптимальной длины шага получаем формулу
Hh = Я-0.94 ・(0・65/о〃е"»/(2&т)・(9.24)
Заметим, что здесь гарантийный фактор отчасти зависит от порядка.
Для выбора оптимального порядка нам необходима мера вычислительной работы, которая позволила бы сравнивать различ-
ные методы. Работа, затрачиваемая на вычисление Tkk9 может измеряться числом Ah вычислений функции /. Для алгоритма ГБШ это число определяется рекуррентной формулой
(9.25)(9.25)& = 〃工 + 1,
(9.25)
(9.25)
4 = 4T +仆・
Однако большое число вычислений функции может быть компенсировано большой длиной шага ЯЛ, даваемой формулой (9.24). Поэтому рассмотрим в качестве меры вычислительной работы работу на единичный шаг\
(9.26)
Теперь идея оптимального вйбора Порядка (т. е. индекса 论)состоит в том, чтобы минимизировать Wk.
Опишем теперь комбинированное управление выбором порядка и длины шага несколько подробнее. Допустим, что в некоторой точке интегрирования длина шага Н и индекс Л (Л > 2) уже выбраны. Тогда шаг реализуется -следующим образом. Сначала вычисляется k — 1 строка экстраполяционной таблицы, а также величины Н— №rt, ег〃т，”ат，
Сходимость в строке k — 1. Если errM <： tol, то значение 7\т, ат принимается в качестве вычисленного результата, и интегрирование продолжается с новыми значениями
"new"newесли Wh^ V 0.9 • иначе;если Wh^ V 0.9 • иначе;I ”АТ (А"厶-03I ”АТ (А"厶-03если 也…《论一L если 也皿=k.если 也…《论一L если 也皿=k.(9.27)(9.27)
"new
"new
если Wh^ V 0.9 • иначе;
если Wh^ V 0.9 • иначе;
I ”АТ (А"厶-03
I ”АТ (А"厶-03
если 也…《论一L если 也皿=k.
если 也…《论一L если 也皿=k.
(9.27)
(9.27)
В (9.27) единственная нетривиальная формула — это выбор длины шага 方…в случае увеличения порядка (月皿=也)• В этом случае мы хотим избежать вычисления егг^ так что Н& и Wh остаются неизвестными. Но так как мы предположили, что значение 论 близко к оптимальному, то имеем Wh ^ /ат，что и ведет к предлагаемой формуле увеличения длины шага.
Монитор сходимости. Если errh.t > tol9 надо сначала решить, можно ли ожидать сходимости по крайней мере в строке & + 1・ Из равенства (9.22) следует, что в асимптотическом пределе
|7\,х—7\, ат| Q (盜)|7\,х—7\, ат| Q (盜)(9.28)(9.28)
|7\,х—7\, ат| Q (盜)
|7\,х—7\, ат| Q (盜)
(9.28)
(9.28)
где еггм ВБгаиаляегая по формуле (9.23). К сожалению, errh нельзя сравнить о (9.28), так как в асимптотической формуле сказывается влияние различных факторов, зависящих от решаемого дифференциального уравнения (ср. (9.22)). Если же тем не менее предположить, что еггк в 侬/石卜 раз меньше чем (9.28), то мы получим, что errk а ("i/仆尸 е，％т・ Поэтому уже на данном этапе шаг отбрасывается, если
叫т> (空*)2•劭(9-29)
и пересчитывается заново g 倉…《6 — 1 и Нпвт в соответствии с (9.27). Если же выполнено противоположное (9.29) неравенство, то рассчитывается следующая строка экстраполяционной таблицы, т. е. errk9 Wh.
Сходимость в строке k. Если errh《tol, то значение 7\庆 принимается в качестве вычисленного решения, и интегрирование продолжается о новыми значениями 6 и Hi
'6 — L если W\t V、9・ IFm
j=倉+b если %vO・9Wf(9.30)
,倉 во всех других случаях;
8_ , “Apj8ЛН ^пда,《瓦
、Нь (Aft+ifА) если %^ = & + 1 ・
Второй монитор сходимости. Если errh > foZ, то, как и в пункте Ь), проверяется соотношение
errh>^^^tol.(9.31)
Если оно удовлетворено, то шаг отбрасывается и пересчитывается заново с k^《论 и /в® из (9.30). В противном случае продолжаем счет:
В надежде на сходимость в строке fe + 1 вычисляются Гньнм 勿%+1， ”“1， WM. Если 叭一《tol, то значение TMt м принимается в качестве вычисленного решения, и интегрирование продолжается после нового выбора порядка:
也…i=岛
if ”^т V 0.9 •外)论皿：=论一1»(9.32)
* (囚л+1Vo.9・//削)也twid：=也+1•
Если errM > tol9 то шаг отбрасывается и пересчитывается заново с knew V 应 н "пт», выбранным по формуле (9.24).
Рекомендуются следующие небольшие изменения приведенного алгоритма:
Ограниченность памяти машины приводит к ограничению максимального числа столбцов 也皿 экстраполяционной таблицы .(например,论 1Mx = 9). Поэтому на вновь назначаемый индекс knew надо наложить ограничения 2《 也…《 也皿 ——1. Это обеспечивает возможность активизации пункта е) на каждом mare.
После отбрасывания шага ни длина шага, ни порядок не должны увеличиваться.
Норму в (9.23) следует понимать, как масштабированную норму (ср. (4.6)). Например, компоненты погрешности могут быть отнесены к брльшей из двух величин: 1()т (к примеру) и f-й компоненты численного решения в начале и конце рассматриваемого интервала.
Численное исследование комбинированного управления длиной шага и порядком
В нижеследующих примерах мы покажем, как изменяются длина шага и порядок для приведенного выше алгоритма. Для этой цели нами была написана на Фортране подпрограмма ODEX, текст которой приведен в приложении.
В качестве первого примера снова возьмем модель брюсселяг тора (4.15). В нижней части рис. 9.5 показаны обе компоненты решения (ср. рис. 4.1 и 4.2 в разд. II.4). В средней и верхней части рисунка приведены графики изменения длин шагов (冃皿= =1.7) и порядков при трех значениях Ы: 10-8 (пунктир), 10"* (штриховая линия) и 10~® (сплошная линия). Легко заметить, что программа ODEX автоматически выбирает подходящий порядок (который существенно зависит от значения to/). Вертикальные участки на графиках длин шагов указывают на отбраковку и пересчет соответствующего шага.
Рассмотрим теперь поведение механизма управления порядком метода вблизи разрывов. В следующем примере:
/ = -sign(х)11 — I%Н・认 д(-2)=等， -2<х<2, (9.33) имеется разрыв первой производной у (%) при х = 0 и два разрыва второй производной (при % == ±1). Результаты расчетов показаны на рис. 9.6. При вычислениях о tol = Ю-8 разрывы при % = 土 1 не были распознаны. В остальных случаях видно, как порядок
Рис. 9.5. Решение, изменения длины шага и порядка для подпрограммы ODEX.
понижается до 4-го (наименьшего возможного) в окрестности точек разрыва, так что эти точки проходятся довольно эффективно.
Упражнения
Покажите, что экстра пол ирова иные методы Эйлера Т8Д, Т»© 北用【с последовательностью чисел шагов (9.8) ] эквивалентны методам Рунге—Кутты из табл. 9.1. Найдите также схемы РК, соответствующие первым элементам алгоритма ГБШ.
Рис. 9.6. Решение, изменения длины шага и порядка для подпрограммы ODEX, полученные на примере с разрывной функцией (§.33)・
Комбинируя формулы (9.17а) и (9.19), получите формулу
g ⑴ 一 % = X g (X) + (-1户 S(X)］伊 + 胆+2%(X, Л) /SI
для асимптотического разложения, соответствующего методу Грэгга в той его части, которая определяется формулами (9.13а и Ь).
Таблица 9.1. Экстраполяционные методн как методы Рунге—Кутты
Твн порядка 17乐3 порядка 2Т9Л порядка 3
1 -3о о1 一 2 1 -3 1 一 3 о 1 -2 1 -3 2 -31 -3о о1 一 2 1 -3 1 一 3 о 1 -2 1 -3 2 -3о 1 -2 1 -3 2 -3о 1 -2 1 -3 2 -31 一 2 1 一 3 131 一 2 1 一 3 13
1 -3
о о
1 一 2 1 -3 1 一 3 о 1 -2 1 -3 2 -3
1 -3
о о
1 一 2 1 -3 1 一 3 о 1 -2 1 -3 2 -3
о 1 -2 1 -3 2 -3
о 1 -2 1 -3 2 -3
1 一 2 1 一 3 13
1 一 2 1 一 3 13
[Штеттер (1970)]. Докажите, что для любого вещественного Ь (обычно заключенного между 0 и 1) метод
% = % + 八[bf ^ %) + (1 一力)f (而勿)1
Ум =队т + & [(1 —匕)/ (%т 玖-i) + 2bf (х〃，D +
+ (1 —匕)『(力+d 9ui)l> j = 1. 2$ ・・・.
обладает разложением по степеням ft8. Покажите, что это свойство сохраняется и для сглаживающего шага
Sa (%) = -у 伍2» + Umi + &(1 — Ь)Цх2п^19 Umi) + hbj (хаа> 砍/]・
[Штеттер (1970)]. Является ли шаг методом Эйлера (9.1 За) существенным для существования разложения по степеням 九冷 Докажите# что если заменить (9.13а) стартовой процедурой
力=% +加d (/，%，九)
первого порядка, то разложение по степеням Ла получится при ^условии, что величины у^ = ^0 — ЛФ (х0, %, —Л), % и д» удовлетворяют (9.13b) при i = 0.
Указание. Штеттер в своем доказательстве опирался на сообра* жения о возмущении начальных условий. Более естественная- возможность состоит в замене шагов по Эйлеру в (9.15) ново# стартовой процедурой.
Получите численные решения системы дифференциальных урав* нений
旷=z,у (0) = 30,
z， = 0.032—0・4z\ z(0) = 0
при длинах шагов Л = 0.5 и Л == 0.25, пользуясь методом из упр. 3 разд. II.8. Вычислите погрешности решения и экстраполированного результата. Проверьте вычислениями утверждение, содержащееся в указанном упражнении.
Замечание. Точное решение имеет вид!
у (х) = 30 + 2.5 In (ch (/0.0128 х)),
z (х) = /б灰 th (/5^1死 ％)・
Покажите, что определитель матрицы
при 0 V 。1 V & V ・・• V «п строго положителен.
Указание. Вычтите из столбца п столбец п — 1； умноженный на ах, затем из столбца 九一1 столбец и — 2, умноженный на。灯 и т. д. и, наконец, вычтите из столбца 2 столбец 1, умноженный на а?. Затем вынесите положительные множители (% — %), (а§ — ах), ... (ап — а。 и покажите, что определитель А можно представить в виде суммы определителей аналогичных матриц меньшей размерности, умноженных на положительные коэффициенты.
П.10. Сравнение вычислительных качеств
«По-видимому, программа DIFEX1 является воплощением современного состояния экстраполяционныл методов...»
(Л. Ф. Шампайн, Л. С. Бака, 1984)
Теперь уместно представить некоторые результаты сравнения вычислительных качеств описанных выше программ ODEX (метод экстраполяции) и DOPRI8 (метод Дормана и Принса порядка 8). Тексты обеих программ приведены в приложении. Мы сочли интересным включить в число сравниваемых еще и широко известную программу DIFEX1 [Дойфлхард (1983)]. Хотя эта программа воплощает точно тот же математический метод, что и ODEX, она отличается многими деталями стратегии выбора порядка, основанной на некоторой информационно-теоретической модели.
Из большого числа использованных нами для тестирования примеров дифференциальных уравнений мы отобрали здесь следующие шесть систем [первый пример приобрел известность благодаря статье Булирша и Штёра (1966), а следующие два взяты из знаменитого набора Detest set, Халл, Энрайт^ Феллен и Седжвик (1972)].
JACB: дифференциальные уравнения для эллиптических функций Якоби [см. Абрамовиц и Стиган (1964), 16.16]:
У，= У2Уз, У1 (0) = 0,У2 =—乡1禽，，2 (0) = к
У3 = -0.519传2, У3 (0) = 190 < х < 20.
TWOB: уравнения задачи двух тел!
У\ (0) = 0・5$ 勿(0) = 0,為(0) = 0,，4 (0) == Т^ЗУ\ (0) = 0・5$ 勿(0) = 0,為(0) = 0,，4 (0) == Т^З阮=%，
У\ (0) = 0・5$ 勿(0) = 0,
為(0) = 0,
，4 (0) == Т^З
У\ (0) = 0・5$ 勿(0) = 0,
為(0) = 0,
，4 (0) == Т^З
成一评彘严 以=_（必；%产‘
0 < х < 20.
VDPL1 уравнение Ван-дер-Поля (см. разд. 1.16)】
У； = Уъ в У: (。)= 2,
打=(1 —状)У1 — Уъ У2 (0) .= 0,О < х < 20.
BRUS1 «брюсселятор» (см. разд. 1.16):
У； = 2 + уху2 — 9.533九 力(0) = 1,
У1 = 8.533力一yly2i У2 (0) = 4.2665,
О < х < 20.
LAGRr уравнение Лагранжа для висящей струны (уравнение (6.2) из разд. 1.6 при 九 =10； К = 1). Начальные условия: все yi (0) — 0, за исключением у6 (0) = 1. Интервал интегрирования: 0<х< 10.
PLEI: задача небесной механики, которую мы назвали «Плеяды»! семь звезд с координатами х», yt и массами 加工=j (i r =1, ..., 7) движутся В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ!
芯=X加m々一方)"小 加=£吋(班一玖)万切 где
3 =((勺一打)2+⑨一幻)2)叫 /, /= 1,7.
Начальные условия!
Xj. (0)==3,修(0)=3,力8 (0) = "~1,%(。)=="~~3j
力6 (°)=2,力6(0)=—2,%?(0)=2|
%l (°)=3,弘(0)=—3,%(0)=2,y^(0)^0$
Уъ (0)=°,丸(°)=—4,%(0)=4,
%i (0) = yi (0) = 0 для всех i> за исключением:
珞(0) = 1.75; х? (0) ^ —1.5;弘(0) = —1.25; yi (0) = 1.
Интервал интегрирования [0, 3].
Точные решения этих задач представлены графиками на рис. 10.1 как функции х. Исключение сделано для задачи PLEI, решение которой представлено в виде траекторий в плоскости х, у.
TWOB
Рис. 10.1. Численные решения приведенная внше шести вадач.
Чтобы дать лучшее представление о вычислительных трудностях, встретившихся в задаче PLEI, мы привели на рис. 10.2 графики решений 勺，力 и их производных 珞 勿 как функции независимой переменной. *
Рис. 10.2. Точнне решения вадачи PLEL
Результаты расчетов
Каждый из указанных выше примеров решался со следующими значениями допусков локальной погрешности! tol = 10*8, Ю~в, 10_®, 10~1а и 10~16. На конце интервала интегрирования вычисленное решение сравнивалось с точным решением (которое вычислялось на компьютере CDC с tol = 10~22). В качестве меры эффективности мы сопоставляем на графиках рис. 10.3 в двойном логарифмическом масштабе полученную точность — lg (| err |) и число обращений к вычислению функций. Видно, что обе экстраполяционные программы (ODEX и DIFEX1) дают почти равноценные результаты. Программа DOPRI8 с ее фиксированным порядком точности явно превосходит их при Ю-8 之 foZ W 10*la, и только при самых высоких требованиях к точности начинает сказываться высокий порядок точности экстраполяционных программ.
4.4.DIFEX1DIFEX1JACBJACB1 叫 О”)1 叫 О”)1ODEX1ODEX二1叫w0中)О 3.6.9.12.15.LAGR二1叫w0中)О 3.6.9.12.15.LAGR叫伙）叫伙）4.4.DOPRI8DOPRI8-togdE)-togdE)а 12. 15.а 12. 15.DOPRI87呜?(n(吋)О. 3.69.12.15.TWOBDOPRI87呜?(n(吋)О. 3.69.12.15.TWOB"叫(户)二 DIFEX1"叫(户)二 DIFEX1О. 3.6.912.15О. 3.6.912.154.4.DOPRI8DOPRI8о.о.-log10(norp.)6.9.12.15.-log10(norp.)6.9.12.15.' VDPLT 」叫0(%)DIFEX1' VDPLT 」叫0(%)DIFEX1ODEXODEXPLEIPLEIТ*(поп1)o. 3.6.9. 12. 15.Т*(поп1)o. 3.6.9. 12. 15.
4.
4.
DIFEX1
DIFEX1
JACB
JACB
1 叫 О”)
1 叫 О”)
1ODEX
1ODEX
二1叫w0中)
О 3.6.9.12.15.
LAGR
二1叫w0中)
О 3.6.9.12.15.
LAGR
叫伙）
叫伙）
4.
4.
DOPRI8
DOPRI8
-togdE)
-togdE)
а 12. 15.
а 12. 15.
DOPRI8
7呜?(n(吋)
О. 3.69.12.15.
TWOB
DOPRI8
7呜?(n(吋)
О. 3.69.12.15.
TWOB
"叫(户)
二 DIFEX1
"叫(户)
二 DIFEX1
О. 3.6.912.15
О. 3.6.912.15
4.
4.
DOPRI8
DOPRI8
о.
о.
-log10(norp.)
6.9.12.15.
-log10(norp.)
6.9.12.15.
' VDPLT 」叫0(%)
DIFEX1
' VDPLT 」叫0(%)
DIFEX1
ODEX
ODEX
PLEI
PLEI
Т*(поп1)
o. 3.6.9. 12. 15.
Т*(поп1)
o. 3.6.9. 12. 15.
Рис. 10.3. Диаграммы «точность — объем вычислений! для приведенных выше примеров.
Пример с негладким решением
Уравнение (9.33) содержит в интервале интегрирования трй. точки, в которых терпят разрыв первая или вторая производные^ В этом случае получаемая точность — вопрос удачи： как рас/ положатся границы шагов интегрирования относительно точе^ разрыва. Этот пример мы решили для очень большого числа зна^ чений допустимой погрешности (/о/= 10-3-〃叫 f = 0, 1, 90М Полученные значения погрешностей и числа обращений к вы^ числению функций ведут себя совершенно хаотически. Для все* трех сравниваемых программ они' представлены на рис. 10.4.
1 2. 3.4 5. 6.7. 8. 9. 10.11.12.13.1 2. 3.4 5. 6.7. 8. 9. 10.11.12.13.
1 2. 3.4 5. 6.7. 8. 9. 10.11.12.13.
1 2. 3.4 5. 6.7. 8. 9. 10.11.12.13.
Рис. 10.4・ Диаграммы «точность ——объем вычислений» для уравнения (9.33)*
Можно заметить, что DIFEX1 делает приблизительно вдвое больше： вычислений функции, чем две другие программы, из которых ODEX слегка выигрывает благодаря понижению порядка в окрестности точек нарушения гладкости.
Заключение
Для гладких задач и допустимой локальной погрешности от 10~3 до 10-1а предпочтительнее программа DOPRI8, имеющая фиксированный порядок точности. Экстраполяционные программы превосходят ее при очень малых значениях допустимой погрешности благодаря автоматическому увеличению порядка точности. Программа ODEX превосходит две другие при решении задач g негладкой функцией благодаря предусмотренному в ней автоматическому понижению порядка.
9 Хайрер Э. в др.
IL1L Композиция В-p ядов
Теперь мы установим центральную теорему о композиции объектов, которые мы назвали В-рядами (в честь Бутчера). Эта теорема будет иметь много приложений к более общим методам, например к методам со старшими производными (разд. 11.12), методам Розенброка (том II) и др. Она заменит также теорию условий порядка, развитую в разд. IL2.
Композиция методов РК
Пятистадийных методов ЯРК пятого порядка не существует (см. разд. П.6). Бутчеру (1969) принадлежит идея подыскать такие различные пятистадийные методы, определенная композиция которых давала бы результат пятого порядка точности («эффективный порядок»). Это послужило отправной точкой очень красивой алгебраической теории численных методов, хотя сама идея большого практического интереса не представляет, главным образом из-за проблемы изменения длины шага.
Пусть имеется два метода, например трехстадийных!.
0
0
«81&32°8
/21
Йз1 "за•("J)
瓦瓦瓦
瓦方2瓦
Отправляясь от начального условия у。, применим их один за другим, сделав по одному шагу одинаковой длины 九(ср. формулы (2.3)):
gi = yo + h J 6讲也拼 % = % + 力y bjf(g0, (П.2)
乙=%+力§育陋(切，勿=先+力多财(分 (Н.3) Если подставить у工 из (11.2) в (11.3) и собрать все gb /» вместе, то легко видеть, что композицию можно интерпретировать как большой метод РК с коэффициентами
Теперь интересно посмотреть условия порядка нового метода. Для этого надо вычислить выражения
х仇，2 S 加* 3 e"弱，6 S bia^ci и t. д.
(см. табл. 2.1). Если подстарить сюда выражения из первой таблицы (11.4), то не слишком трудные для низких порядков вычисления показывают, что эти величины могут быть вцражены через соответствующие величины для двух методов (11.1). Для первого метода мы обозначим эти выражения а (/), для второго метода b (/), а для композитного метода — через ab (/):
а(т) = Jj 5/> a«2i) = 2X 瓦％, а(/зх) = 3*2 ®^/, • • • (11.5а) Ь(т)=£ 瓦，b«2i) = 2£ 瓦① Ь(/з1) = 3・£ 万就・・・(11.5b) ab(т) = £ b订 ab(勾1) = 2 £ b/Q, ab(旬)=3・ £ 加欧・.・(11.5c) Здесь ф, tu—деревья из табл. 2.1.-В этих обозначениях упомянутые формулы будут иметь такой вид:
аЬ(т) = a (t) + b (т),
ab (3) = а (%) + 2Ь (т) а (т) + b (&),
ab (41) = a (褊)+ 3b (T) а (牙 + 3b ⑸J a 日) + b (出)，⑴例
ab (%2)= a (友2)+ 3b (t) a &i) + 3b (4i) a (*r) + b (fQ
и т. Д.
Интересно, конечно, понять теперь общую структуру этих формул для произвольных деревьев. Однако, пользуясь старыми средствами, это сделать нелегко («...громоздкие, утомительные вычисления показывают^ что...»). Наряду с этим существует проблема идентификации различных методов, дающих одинаковые численные результаты (см. у пр. 1 ниже). Кроме того, мы хотим, чтобы теория включала процессы более общие, чем методы Рунге— Кутты, например точное решение или методы со старшими производными.
В-ряды
Разрешить все эти проблемы можно, непосредственно рассматривая композицию рядов Тейлора из разд. IL2. Определим множество всех деревьев
T = {0}U&UAU・・・，
в которое включено и «пустое» дерево 0 порядка О, представляющее начальные условия; соответствующим ему элементарным дифференциалом является тождественное отображение:尸(0) (g)= =у. Аналогично определим множество всех помеченных деревьев:
ы = {0}иьтхиьтаи....
Определение 11.1. [Хайрер и Ваннер (1974)] Пусть а (0% а (т)(, а «21)，а (/31), ... — последовательность вещественных коэф*, фициентов, определенных для всех деревьев, т. е・ а; Г f R. Назовем В-рядом следующий ряд>
^(0)yJ + h^)f4y) + ^^fK{y)^^
=£ J^L^^F^^iyl-B^ (а, у) (П.7) А Р (f) I
(см. определения 2.2, 2.3 и теорему 2.11).
Согласно теореме 2.11, приближенное (численное) решение, даваемое методом РК, является В-рядом, а в силу теоремы 2.6 это верно и для точного решения, у которого все коэффициенты В-ряда равны единице.
Обычно представляет интерес только конечное число членов таких рядов, не превосходящее порядков рассматриваемых методов или степени гладкости функции f. Поэтому все наши дальнейшие результаты будут верны с точностью до членов погрешности О 侬+1).
Определение 11.2. Пусть t & LT — какое-то помеченное дерево порядка g = р (0, и фиксировано некоторое целое число j (0 W i V Обозначим тогда sf (/) = s субдерево, образованное первыми i индексами, и dt (/) множество субдеревьев, образованных индексами j + 1, ..., q (разностное множество). На графах мы будем выделять субдерево s, обозначая его вершины кружками, а ребра — двойными линиями.
Пример 11.3.
§о ⑴=0， S〔(?)=T, §2 ⑴ Fl， §3⑴』31' §4⑴=以2， S5(力立气52,§о ⑴=0， S〔(?)=T, §2 ⑴ Fl， §3⑴』31' §4⑴=以2， S5(力立气52,т
§о ⑴=0， S〔(?)=T, §2 ⑴ Fl， §3⑴』31' §4⑴=以2， S5(力立气52,
§о ⑴=0， S〔(?)=T, §2 ⑴ Fl， §3⑴』31' §4⑴=以2， S5(力立气52,
d()="52} %={т，Т“21} 廿上,…} ^з={т, т} 〃={т} 〃о=0
«И был свет» (Гайдн).
Определение 11.4. Пусть a,iT^Rnb：T^R суть две последовательности коэффициентов, такие что а (0) = 1. Определим тогда для дерева f порядка ^ == р (/) композицию
ab(f)= ^£ 2 ( b (sf (0) П а ⑵’(11.8) где первая сумма берется по всем а (/) различным возможным индексациям дерева t (см. определение 2.5).
Пример 11.5. Легко видеть, что формулы (11.6) являются частными случаями (11.8). Дерево f из примера 11.3 допускает шесть различных индексаций, что дает в результате
ab 伍 2)= b (0) a (G) + 5Ь ⑴ а ⑺纟 а 佑0 +
+ 10 [} b %) а (т) а %) + 扌力 ％) а (т)3 ] +
+ 10 ["I" b %) а %) + -у b (褊)а (工户 + 亲 b (Z32) a (t)2J +
+ 5 [4 b(W а (т) + 4 b (/42) a (t)] + b (Z62)(11.9)
(обозначения деревьев соответствуют табл. 2.1).
Докажем теперь основную теорему этого раздела.
Теорема 11.6. [Хайрер и Ваннер (1974) ] Пусть, как и выше, a: T->R〃b: T->R — две последовательности коэффициентов, такие что а (0) = 1. Тогда композиция двух соответствующих им В-рядов является тоже В-рядом:
В(Ь, В (а, у)) = В^Ъ9 д),(И.Ю)
где троизведение^ ab: Т f R приведено s определении ПА.
Доказательство. Введем следующее обозначение для внутреннего ряда:
В (а, у) = g (ft).(Н.П)
Тогда доказательство становится очень похожим на рассуждения, приведенные в разд. II.2 (см. рис. 2.2), с той лишь разницей, что вместо fJ (g) мы отправляемся теперь от
B(b，g)= £ 體b(s)尸(s)(g)(11.12)
и должны вычислить производные этой функции. Выберем для примера член s = /82 из этого ряда:
器力(3)份(g)%(g)片(g)・(1L13)
По формуле Лейбница g-я производная этого выражения приЛ = О равна
(3)Ь 偽2)[任(g)也(g)六(g)](i)J (11.14)
Пользуясь классическими правилами дифференциального исчисления, вычислим теперь, как это делалось в лемме 2.8, производные выражения
fL(g)fM(g)fM(g).(11.15)
Для первой производной это дает
fM・(gN)'齒М +方統.(g》fM +件齒M(gN)，
и т. д. Воспользуемся опять графическим представлением этого процесса дифференцирования (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Производные формулы (11.15).
Мы видим, что получаются деревья и порядка д, у которых s§ (“)= s (где 3 = р (s)) и элементы множеств 厶(и) не имеют разветвлений. Соответствующие выражения аналогичны выражениям (2.6; 9 — 1) из леммы 2.8. Наконец, надо подставить выражения для производных g (см. (11.11)) и произвести перегруппировку членов. Тогда, как и на рис. 2.3, длинные ветви из 厶(〃) заменятся деревьями z порядка б, умноженными на а (г). Таким образом, для каждого данного дерева / получаются как раз коэффициенты, описываемые формулой (11.8).
Множитель 1/а (/) обязан своим происхождением тому обстоятельству, что в В (ab, у) член с ab (/) F (/) появляется а (/) раз. ■
Поскольку hf (у) = В (Ь, у\ является В-рядом частного вида, у которого b (т) = 1, а все остальные b (0 = 0, то из доказанной теоремы вытекает.
Следствие 11.7. Если а: 7 f R — последовательность коэффициентов, такая, что а (0) = 1, то•
М(В (а, у)) = В (а； у), причем
а' (0) = 0, а，(т) =1,
а'((А； •・・,fmD = Р(')а&)・・・ а(/щ),(11.16)
где t = [^, ..., tm] означаем что d工(力)={&, & …，4n}('初・ определение 2./2).
Доказательство. Формулы (11.16) получаются из (11.8) при 力=1, g = Р ") с учетом того факта, что выражение в скобках не зависит от индексации дерева 厶 ■
Условия порйдка для методов Рунге—Кутты
В качестве приложения следствия 11.7 продемонстрируем вывод условий порядка. Запишем метод РК (2.3) в виде
叁=% +尸《订々力財=九f(gi)・(11.17)
Допустим, что gi и kt являются В-рядами, коэффициенты которых обозначим gt, k^
gt = В 価，％),饱=В (к», %).
Тогда следствие 11.7 позволяет нам непосредственно переписать формулы (11.17) в виде
gt (0) = b gi (0 = Е ^ijkj (0>
к,⑺=b k»(f) = p⑴图⑷... &i(t^("•"')
откуда легко получаются формулы (2.17), (2.19) и теорема 2.11.
Аналогично, если мы положим у (fi) == В (у, у。) для точного решения дифференциального уравнения и сравним (умноженную на ft) производную hyr (ft) ряда (11.7) с выражением hf (у) из следствия 11.7, мы сразу же получим, что у (f) = 1 для всех 力 так что теорема 2.13 становится ненужной..
«Эффективный порядок» Бутчера
Разобравшись в том, что такое композиция методов, будем теперь искать такие методы а и d, что da = ed вплоть до членов, соответствующих порядку 5 (здесь е — некоторый метод пятого порядка). Кроме того, построим еще методы b и с, такие, что
Рис. 11.2.Рис. 11.3.Рис. 11.2.Рис. 11.3.
Рис. 11.2.Рис. 11.3.
Рис. 11.2.Рис. 11.3.
eid = b и de = е2, где е】и 修一тоже методы пятого порядка (см. рис. 11.2). Тогда композиция методов ba&-2c по своим вычислительным свойствам соответствует результату выполнения k шагов методом пятого порядка (рис. 11.3). Один из возможных наборов коэффициентов, вычисленный Бутчером (1969), приведен в табл. 11.1.
Таблица 11.1 Метод Бутчера с эффективным порядком 5. Вверху слева — метод а, справа ——метод Ь, внизу — метод %
4-9
岩3_4 2-5 9-4 7-3 1~5 о »0-м ^~^
015 2-5 3-4 1
1-8
2-9 5-8 2-4
1-6
2 2-3
5165-4 0
2- 5 о о о
1- 5 о 3161-4 1-6
о 1-5 2-5 1-2 1
3649
2-5 ^~и—7
772 2-7 謂
748 015 2-5 3-4 1 -
Упражнения
1. Покажите, что пары методой, приведенные в табл. 11.2—11.4, дают идентичные численные результаты (по крайней мере для достаточно малых й).
Ответ. Эквивалентность методов а) очевидна, если в одном из них переставить стадии; в случае Ь) достаточно отбросить
лишние стадии [Далквист и Йелч (1979)]; в с) надо отождествить равные стадии [Штеттер (1973), Хун- дсдорфер и Спейкер(1981)]. См. также обзор Бутчера (1984) о «пространстве Рунге—Кутты».
Таблица 11.2. Эквивалентные методы а) 00101
110000
1331
丁丁~ ~
2. Продолжите формулы (11.6), вычислив композицию ab (f) для всех деревьев порядков 4 и 5.
Проверьте, что методы, приведенные в табл. 11.1, действительно удовлетворяют свойствам точности, о которых говорилось выше.
Таблица 11.3 Эквивалентные методы Ь)
3723722—12—1200—1012003401001200—1012003401001Таблица 11.4. Эквивалентные методы с)Таблица 11.4. Эквивалентные методы с)
3
7
2
3
7
2
2—1
2—1
200—1
0120
0340
1001
200—1
0120
0340
1001
Таблица 11.4. Эквивалентные методы с)
Таблица 11.4. Эквивалентные методы с)
Докажите, что множество
G={a:7fR; а(0)=1}
с законом композиции из определения 11.4 является группой (некоммутативной).
Указание. Воспользуйтесь теоремой 11.6.
11.12. Методы, использующие старшие производные
В разд. 1.8 уже рассматривалось вычисление старших производных решений дифференциального уравнения
仍)’=*(匕少，歹)，J=l, ...，九.(12.1)
«Цепное правило» (правило дифференцирования суперпозиции функций) дает
&')"=先(修 У)+"S^(% у)•产(修力 + • • • +
+景(/办产(修办(12.2)
Поэтому введем дифференциальный оператор D, действие которого на функцию 中(х, у) определяется равенством
(^)(х,幻=需8加+卷(%，/产(% y)++ ・・・+器t修办产®办
Поскольку DyJ = Z7, формулы, обобщающие (12.2), будут иметь вид;
(〃)《)= (0唄)(修办 z = 0, b 2»・・・・(12.3)
Эти обозначения удобны для определения нового класса методов, сочетающих в себе черты как методов Рунге—Кутты, так и методов, использующих ряды Тейлора.
Определение 12.L Пусть заданы вещественные коэффициенты
“%)‘ 匕У)(i, / = L • • s; г = L • • •, g)・
Метод, определяемый формулами
財"=%(0") (工。 + С也 % + e е /，
'г=1 /==1 丿
玖=勿+虫 £b"P，(12.4)
г=1 /===1 называют s-стадийным методом РК с использованием производных q-го порядка, явным, если все а£? равны нулю при i《厶 н неявным —в противном случае.
Так как D% = 1, Dzx = О (/ > 2), то естественным обобщением условий (1.9) здесь будет
q=£明(12.5)
Определение 12Л взято из работы Кастлюнгера и Ваннера (1972), но конкретные методы этого типа публиковались и ранее. В частности, такую структуру имеют очень удачные методы Фельберга (1958, 1964).
Коллокационные методы
Естественным способом получения s-стадийных методов с производными до g・ro порядка является использование идеи коллокации с кратными узлами. Другими словами, соотношение (7.18b) надо заменить на'*
〃⑷(*о + с也)=(0仞(向 + с九 и(х0 + Cifl)),/= 1, s,
』，・・・，％,(12.6)
где и (х) —это многочлен степени gi + д? + ••• + 0$， а заданные целые числа д( ..., д& —«кратности» узлов съ ..., с&・ Например, при 91 = /и, ^2 =・•• = 9s = 1 получаются методы типа Фельберга.
Для обобщения результатов и идей разд. II.7 надо заменить использованную в теореме 7.6 интерполяцию по Лагранжу интерполированием с кратными узлами [Эрмит (1878):《Je me suis propose de trouver un polynome...» х)]. Дело в том, что формулу (12.6) можно интерпретировать как обычное условие коллокации, где узлы собраны в s групп, причем，я группа содержит q» «бесконечно» близких друг к другу узлов (теорема Ролля). Запишем формулу для интерполяционного многочлена Эрмита р (/) степени 2 9/ — 1 в таком виде:
s
Р(0 = 2 2也(f)pf S)・(12.7)
/=1 Г=1
Здесь «базисные» многочлены /力(/) степени 工力一1 должны удовлетворять условиям
г!, если Z = / и А = г — 1,
л(12.8)
О в остальных случаях.
Их лучше всего получать из интерполяционной формулы Ньютона (с кратными узлами)2). Как и в разд. IL7, применим теперь
I) <Я поставил себе целью найти многочлен...».——Франц.
См・, например, Бахвалов (1975), гл. II. § 6. — Прим. ред・
к многочлену р (f) = hur (х0 + f九)нашу интерполяционную формулу；
砧хо + 统)=£ S /" (0 疗厶(12.9)
?=1 г=1
где
kV-^^^ + ^h).(12.10)
Подставляя в (12.6) выражение
и (%)+ Cih) = % + J huf (х0 + 仇)dt
о учетом (12.9), легко убедиться, что доказана
Теорема 12.2. Коллокационный метод (72.6) эквивалентен "РК методу (/2.4) с s стадиями и использованием q-x производных, у которого
%)= j 3 ⑴必，b^ = J 3(f) dt. ■(12.11)
QD
Теоремы 7.7, 7.8 и 7.9 непосредственно обобщаются на случай «конфлюентных» (т. е. с совпадающими узлами) квадратурных формул. Таким образом, метод РК с 力ми производными имеет такой же порядок, как и соответствующая ему квадратурная формула
"⑴出©)・ 0/=1 г=1
«Алгебраическое» доказательство этого результата более сложно (ср. упр. 7 из разд. II.7). Для случая qj = q оно дано у Кастлюн- гера и Ваннера (1972b).
Предположениям (7.12)、соответствуют теперь следующие формулы:
2S词(:卜尸=咽p=1, 2,…，Ё伙.(12.12)
После того как выбраны q, эти уравнения однозначно определяют значения а，?，так как они образуют линейную систему с «кон- флюентной» матрицей Вандермонда [см., например, Гаучи (1962)]. Формула (12.12) получается, если в (12.7) положить р ⑴=步一匕 а затем проинтегрировать от 0 до q.
Примеры методов. Квадратурные формулы «гауссовского» типа с кратными узлами существуют при нечетных q [Струд и Станку (1965)]. Им соответствуют неявные методы Рунге—Кутты с использованием производных q-ro порядка [Кастлюнгер и Ваннер (1972b) ]. При s = 1, конечно, % = 1/2, что дает
Ь^ = 0, Ь^ = 2-2论,或)=-(一及 2f
Приведем также коэффициенты для случая s = 2 и g^ = q? = 3・ Узлы q и веса Ь^ нашли Струд и Станку. Метод имеет восьмой порядок*
q = 0.185394435825045,
瓦 D = 0.5,
旗/21 = 0.0240729420844974, b^ = —b产$
瓦 з)/з! = 0.00366264960671727, 唠)=b^}.
(1/ 0.201854115831005 —0.0164596800059598 \
(a* ) = I 0.5164596800059590.298145884168994 丿'
(2/ —0.02234665690805410.00868878773082417 \
0.0568346718998190 —0.0704925410770490 丿'
(3/ 0.0116739668400997 —0.00215351251065784 \
(“偿)=[0.02412941015096150.0103019308002039 丿.
Методы Обрешкова
Мы рассмотрим теперь частный случай коллокационных методов с s = 2, q = 0, с? = 1・ Эти методы называются методами Обрешкова. Их коэффициенты могут быть получены в замкнутой форме посредством повторного интегрирования по частям [Нёр- сетт (1974а)].
Лемма 12.3. Пусть задано целое положительное число 加“ многочлен F (f) степени т. Тогда равенство
e 3 (»力(/，贝)戶ET) (0) = e 3 (»勿(/，%)f⑺一7)⑴(12.13)
определяет метод со старшими производными, имеющий порядок т.
Доказательство. Обозначив у (х) точное решение дифференциального уравнения, будем исходить из соотношения
Преобразуем этот интеграл, применяя повторно интегрирование по частям до тех пор, пока не будут использованы все производи ные многочлена F (1 — /)・ Мы получим
еt)⑴+0(力6+1).
Вычитая это равенство из (12.13), мы найдем, что разность левых частей — величина порядка О (Я^+1). В силу теоремы о неявной функции это показывает, что равенство (12.13) определяет значение ух с таким порядком точности, если (постоянное) значение F^ отлично от нуля. ■
Замечание. Мы взяли здесь для 尸 аргумент 1 — / (вместо более естественного /), чтобы избежать чередования знаков.
При удачном выборе многочлена F (/) большинство его производных при / = 0 н 2 = 1 должно, конечно, обращаться в нуль. Тогда метод (12.13), сохраняя порядок /и, будет наиболее экономичным. Взяв
мы получим методы, имеющие порядок m =々 + Z, которые обычно и называют методами Обрешкова:
以一ть■•齐(°y)(不，以)+ 7ТПнтн^ • Tr(D")的，班)± ± ・•・=% + ТТ7"・ТГ(°力("°' %)+
+ 他 +1)'з 十? — 1)• "ST*(°U)("о, %)+••••(12.14)
Здесь после члена Z-й степени в левой части и после члена й-й степени —в правой все коэффициенты автоматически обращаются в нуль. Частными случаями этих методов являются:
也=1, Z = 0 ——явный метод Эйлера,
尼=0, / = 1 一 неявный метод Эйлера, 々=1, Z = 1 — правило трапеций.
Методы Фельберга
Другой класс методов с высшими производными предложил Фельберг (1958, 1964). Его идея состояла в том, чтобы из решения задачи у' = f (х, у), у (%q) = у。вычесть /и членов ряда Тейлора (см. разд. 1.8)
9(» ：= У(х)- £ 匕(х-/У9(» ：= У(х)- £ 匕(х-/У(12.15)(12.15)
9(» ：= У(х)- £ 匕(х-/У
9(» ：= У(х)- £ 匕(х-/У
(12.15)
(12.15)
и получившееся дифференциальное уравнение 0’ (х)=『(％,，(х)), где
修乡 + £ 匕(X — /У — Е 匕i а-%』，(12.16)
решать методом Рунге—Кутты. Зная, что решение уравнения (12.16) и его первые /и производных обращаются в нуль при начальных условиях, можно надеяться достичь бодее высоких порядков.
Постараемся пояснить эту идею. Для упрощения обозначений уберем шляпки над буквами и будем считать, что преобразование (12.15) выполнено заранее. Разложим в ряд Тейлора решение неавтономного уравнения, как это сделано в разд. IL1. Тогда из (1.6) мы получим, что
f = о,
山+崎=0,
% + 2片力+品产+ %(%+力力=0 и т. д.
(см. также у пр. 3 из разд. II.2). Из этих формул следует, в свою очередь, что / = 0,片=0,・・・，dm^f!dxm^1 = 0. Поэтому обращаются в нуль все элементарные дифференциалы порядков и большинство из них для более высоких порядков. Соответствующие условия порядка могут быть опущены. Первыми ненулевыми членами будут
飞才 для порядка m + 1,
尹+1///
И 加誌 ^ порядка m + 2,
и т. д. Им соответствуют условия порядка!
2&с『 = *Т
— для порядка m + 1,
eь片+‘=^у и еь也"峭=(九+1)\ + 2)
—для порядка m + 2, и т. д.
Условие 2 口卄=。厶 которое обычно позволяет сгруппировать некоторые члены в (1.6), становится ненужным, потому что все эти члены равны нулю.
Для полного понимания вопроса надо рассмотреть его с точки зрения применения разделяющегося метода к разделяющейся системе уравнений д' = / (х, р), %’ = 1. Эти понятия разъясняются в разд. 11.14 (см. рис. 14.4).
Пример 12.4. Для 3-стадийного метода решение системы уравнений, образованной четырьмя условиями для порядка /и + 3, указал Фельберг (1964). Выбор q = q = i максимально упрощает вычисление выражения (12.16); при этом остальные коэффициенты определяются однозначно (см. табл. 12.1).
Таблица 12.1. Метод Фельберга порядка т + 3
加+ 3
F + 厂 (/n + 1)严
/и + 3 ]
°(加 + 1)(加 + 2) 28m2加 + 4
В этой же работе Фельберга (1964) был выведен вложенный метод с двумя добавочными стадиями порядков 加 + 3 (加 + 4). Все эти методы широко применялись для проведения научных расчетов в 60-х годах.
Общая теория условий порядка
Из тех же соображений, что и в разд. II.2, мы предположим, что система (12.1) является автономной. Общая форма условий порядка для метода (12.4) была найдена в диссертации Кастлюн- гера [Кастлюнгер и Ваннер (1972)]. Позже она была получена как простое следствие теоремы о композиции В-рядов [Хайрер и Ваннер (1974)]. Суть здесь в том, что, согласно теореме 2.6, выражение
与(°%)配)=2^ТГР^^-В^ 先)(12.17)
t^LT, p(f) = K
является В-рядом с коэффициентами
(1, если р = if
&(/) =《二'(12.18)
I 0 в остальных случаях.
Таким образом, мы получим обобщение следствия 11.7
与(0%) (В (а, %)) = В (а(3 у^(12.19)
где, согласно формуле (11.8) с g = р (/),
a⑶g)=壶(：)e П a(z) 、 (12.20)
(здесь сумма берется по всем а (/) различным индексациям дерева /)・ Это дает нам рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов В-рядов, появляющихся в (12.4).
Рис. 12.1. Различные способы индексации дерева 〃2・
Пример 12.5. Изображенное на рис. 12.1 дерево /42 допускает три различные индексации, из которых две порождают одно и то же разностное множество d? (/), так что формула (12.20) принимает вид
а" (〃) = 2 (2 (а (т))2 + а %))・(12.21)
Для всех остальных деревьев до четвертого порядка включительно а «) = 1. Итак, для вторых производных с помощью формулы (12.20) можно составить следующую таблицу:
а" (т) = 0,
а" &) = 1,
а" (/31) = За (т),
а"(加)=За (т),
а" (^41) = 6 (а (х))2,
а"(畑)=4 (а (т))2 + 2а (%),
а" (%з) = 6 (а (т))*
а" &) = 6а (М)(12.22)
(обозначения деревьев см. в табл. 2.1).
Итак, пусть вид выражений а(" (/) установлен. Перепишем теперь формулы (12.4) в виде
Г=1 /==1
班=加 + £ £ ь^Г
и предположим, что выражения 財",gg, у】 являются В-рядами!
財"=В (kp, go), gt = В (gb 次)，班=В (уь уо)・
Тогда коэффициенты этих рядов определяются по рекуррентным формулам；
kfDa)= p(f)gf(fi) ... gf(U), к£У) = 1 (см. (11.17%
k*(/) = g：(/) (см. (12.22)),
kf)(f) = g； (0 (см. упр. 1 или упр. 2), и т. д.;
gf(f)=£ 工词kf)(f)
r=[ j=I к, наконец,
山(/)=白&瓦”f)(/)・
Метод (12.4), удовлетворяющий условиям (12.5), имеет порядок р, если, как обычно,
У! (0 = 1 для всех 力 у которых р (/)《р.
Дальнейшие подробности и конкретные методы приведены в статье Кастлюнгера и Ваннера (1972); см. также упр. 3.
Упражнения
Обобщите пример 12.5 и получите формулы для а(3)(/) для всех деревьев до четвертого порядка включительно.
(Кастлюнгер.) Докажите следующий вариант формулы (12.20), который позволяет обобщить соотношения (11.17') более не-
посредственным образом, а также может быть использован для получения формул из примера 12.5:
a⑴⑴=+2a(%)(幻…a(%&),
%+…+%ТТ
если f "1» •••9，m】・
Указание: см. статью Хайрера и Ваннера (1973), раздел 5.
Покажите, что следующие условия；
e夕=1,
22瓦%,+ 巴瓦2)Пb
3方瓦气+3£，瓦2江=1,
6 £瓦%伊е + 3 £瓦%+ 3 £瓦久/ =1, 力»Xf
где
自Н£ a弘勺=£ "弘
обеспечивают третий порядок метода (12.4).
[Цурмюль (1952), Альбрехт (1955)]. Продифференцируйте систему дифференциальных уравнений первого порядка д'= =f & 办 Вы придете к задаче Коши
Уп = (D2y) (х, у), у (% = %, уг (х0) = %•
Примените к этой задаче специальный метод для систем дифференциальных уравнений высших порядков (см. следующий раздел). Вы получите метод, использующий высшие производные. Покажите, что нижеследующий метод имеет шестой порядок:
瓦=h"g (%h %),
自=胪8(向+?，% + ；/。+ $瓦)，
岛=胪gg。+?，9o + ? % + *(-瓦+ 然2)), 总=九%3 +学，%+粤％ +$(3瓦+ 4局+2自))，
%=% +砥+春"(7月+ 2% + 6岛+ 8瓦).
Здесь
g (x, g) = (D2y) (x, у) = Df(x9 у) = fx (x, g) + 后(％ у) f(xt 力
11.13. Численные методы для дифференциальных уравнений второго порядка
«Mutationem motus proportionalem esse vi mo trici impressae».
«Изменение движения пропорционально приложенной силе».
(Ньютон, 1687)
Многие встречающиеся на практике дифференциальные уравнения представляют собой системы уравнений второго порядка:
У = 〃％,〃/•(13.1)
Главным образом это связано с тем, что силы пропорциональны ускорениям, т. е. вторым производным. Как уже упоминалось в разд. 1.1, такая система может быть преобразована в систему дифференциальных уравнений первого порядка, но удвоенной размерности; для этого в качестве новой зависимой переменной рассматривают вектор (у, у')/
(13.2)(13.2)можно(13.2).можно(13.2).(13.3)(13.3)= (\9 (/) = %，
(13.2)
(13.2)
можно(13.2).
можно(13.2).
(13.3)
(13.3)
У / f (%，协 /) /， У СМ =质・
Чтобы получить численное решение уравнения (13.1), применить, например, метод Рунге—Кутты к системе Это дает
財=质+用工4闱，
/•
財=/ (m+ e也次+用J atikhm+九岁 ""財),
力=% +九e九也, yi = У^-^-h^ 九財・
Подставив первую формулу (13.3) в остальные, мы получим
財=/ (★ + e加,j/a + Q切6 + A2 S两財，质+用y Q"財》
打=圾 + 限+ *%(13.4)
gi = W +力£加風
где
夕订=E ^ihakj9 瓦=E bjdji・(13.5)
Для программирования представление (13.4) предпочтительнее, чем (13.3), потому что оно требует почти вдвое меньше машинной памяти. Это может оказаться важным преимуществом, в частности если система уравнений (13.1) имеет большую размерность.
Методы Нюстрёма
Р. X. Мерсон: «...Я не видел статьи Нюстрёма. Была она на английском?»
Дж. Беннетт: «Нет, нет, не на финском, а на немецком».
(1957)
Э. И. Нюстрём (1925) был первым, кто рассмотрел методы вида (13.4), в которых коэффициенты не обязательно удовлетворяют соотношениям (13.5) («Da bis*jetzt die direkte Anwendung der Rungeschen Methode auf den wichtigen Fall von Differential- gleichungen zweiter Ordnung nicht behandelt war, ...» Nystrom, 1925.) I) Прямые методы подобного рода получили название методов Нюстрёма.
Определение 13.1. Метод Нюстрёма (13.4) имеет порядок р, если для достаточно гладких задач вида (13.1)
y(xQ + h)-yi = O(hP+^(13.6)
y{x. + K}-yi = O^).(13.7)
Пример метода Нюстрёма, где условия (13.5) не выполняются, приведен в табл. 13.1. Нюстрём утверждал, что этот метод применять проще, чем «метод Рунге—Кутты», и что он уменьшает
Таблица 13.1. Метод Нюстрёма четвертого порядка
0
~г
・1
1
1
0
0
—而
1
0
0
1 Т
0
+ 0"
1
0
1
1 Т
1
0
1
2 石
2 "6
4~
1) «Так как до сих пор прямое применение метода Рунге к важному случаю дифференциальных уравнений второго порядка не рассматривалось ...».——Нюстрём, 1925. - Нем.
объем вычислений примерно на 25 %. Это, конечно, неверно, если метод Рунге—Кутты применяется в виде (13.4) (см. также у пр. 2).
Действительное улучшение может быть получено в том случае, когда правая часть уравнения (13.1) не зависит от у"
(13.8)(13.8)(13.9)(13.9)，=f (%, У)-
(13.8)
(13.8)
(13.9)
(13.9)
Тогда метод Нюстрёма принимает вид
財=f (%□ + R五，Уа + C[hy^ + 无2 y @"財＞ 班=现+用灰i +胪S瓦財，
好=J/d +五鼻仇財,
и коэффициенты @订 больше не нужны. Примеры приведены в табл. 13.2. Обратите внимание, что метод пятого порядка здесь
0
1
Т
1
1
. 1
0
1
2
1
1 而
-1 方
3 而
7
—2 而
9 毎
и
1
1
0
&
14
*336*
100
136
54
*336
0
1
4
1
勿
14
336
125 162
336 *336
35 砲
Таблица 13.2. Методы для уравнения fiT = f (%, 9)
Нюстрём, порядок 5
Нюстрём, порядок 4
требует только четырех вычислений f・ Это — существенное улучшение по сравнению с методами Рунге—Кутты, которые требуют не менее шести вычислений f (теорема 6.1).
Нашей ближайшей целью будет вывод условий порядка для методов Нюстрёма. Для этого мы обобщим теорию, развитую в разд. II.2, на дифференциальные уравнения второго порядка [Хайрер и Ваннер (1976)].
Производные точного решения
Как и для уравнений первого.порядка, мы можем ограничиться системами автономных дифференциальных уравнений
(yjr-tj^ ...» Л ^\ ^^згп) (13.11)
(добавив, если надо, уравнение %" = 0). Верхний индекс J обозначает Лю компоненту соответствующего вектора; Вычислим теперь производные точного решения уравнения (13.11). Вторую производную дает само уравнение (13.11)j
3戶= fJ® 力..(13.12; 2)
Повторное дифференцирование этого уравнения с использованием (13.11) дает
(旷严=?缺例力厂+ 工薪例式严⑨ 办 (13」2； 3) @少4) = 2 誤%■(分力*历+(13.12; 4)
+ E 3爲尸3 g')・9‘&产⑨/)+
+ E"^"⑨旷)步⑨矿)+
* E石室获з旷产⑨力•产+
+2 毋万例刃严例勿护①力+
к, в，，
+ "题⑨力联例力产(协力.
Продолжение этого процесса становится еще более сложным, чем для дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому графическое представление приведенных выше формул будет очень полезным. Чтобы различать производные по у и по “ нам понадобятся два рода вершин: «тонкие» и «толстые». На рис. 13.1 показаны графы, соответствующие приведенным выше формулам.
Дадим теперь точное определение этих графов.
Определение 13・2. Помеченным N-деревом порядка q назовем пару ", f), состоящую из помеченного дерева
厶 4q— {/}f 4
(см. определение 2.2) и отображения
fi Aq -> {«тонкая», «толстая» (вершина)}, которая удовлетворяет следующим условиям!
корень t — всегда «толстая» вершина, т. е.
(/) = «толстая»;
Рис. 13.1. Производные точного решения»Рис. 13.1. Производные точного решения»(13.12;2)
Рис. 13.1. Производные точного решения»
Рис. 13.1. Производные точного решения»
(13.12；3)
(13.12:4)
(13.12；5)
любая «тонкая» вершина может иметь не более одного «сына», который должен быть «толстым».
Множество всех помеченных N-деревьев порядка q будем обозначать LNTq.
Условие Ь) в определении 13.2 мотивируется тем, что все производные функции g ® у') = уг тождественно обращаются в нуль, за исключением первой производной по уг.
В дальнейшем мы будем называть конечной вершиной всякую вершину, не имеющую «сыновей», и там, где не может возникнуть недоразумения, будем обозначать помеченное N-дерево просто i вместо (/, f).
Определение 13.3. Для помеченного N-дерева f будем обозначать через
尸j⑴®，力
выражение, которое представляет собой сумму по всем индексам «толстых» вершин 力 кроме / (индекса корня), и по всем индексам «тонких» конечных вершин. Общий член этой суммы является произведением выражений
ц—® /) и /Я-
Множитель первого типа соответствует каждой толстой вершине 爲 толстые «сыновья» которой имеют индексы т, •••, а индексы Z, ... принадлежат либо ее тонким «сыновьям» (если они являются конечными вершинами), либо (толстым) «сыновьям» этих тонких «сыновей» вершены k (и тогда индекс промежуточной тонкой вершины исчезает из формулы); случаю г = 0 соответствуют, очевидно, конечные толстые вершины. Множитель у'к соответствует тонкой конечной вершине с индексом 尼：Вектор F (0 (у, мы опять будем называть элементарным дифференциалом.
Примеры можно найти в табл. 13.3. Еще раз подчеркнем, что индексы тонких вершин, не являющихся конечными, не играют никакой роли в предыдущем определении. Далее, по аналогии с определением 2.4 дадим
Таблица 13.3. SN-деревья, элементарные дифференциалы и условия порядка
Г
р(о
а")
7(0
尸丿")6，‘)
ф/о
•j
1
1
1
1
，2
、
2
1
2
弓
?3
к /
3
1
3
Ё儿宀丄
寸
%
<
3
1
6
咨
仆
к 1 т
4
1
4
Е f^KyfLy'M К tL ,М
3 ci
气
m7
4
3
8
厶附
gc产к
勺
七
4
1
24
丄財
咨q
Z8
5
1
5
2 fKLMpy у у у к,厶
4
&
Z9
5
6
10
L,M^
p
Чо
5
3
20
^f[PfLfP
浄％
41
5
4
30
e必什户产
,Cj 弓 q
Z12
Г т/Р
5
1
60
2山加 丄"
干》/
Чз
<
5
1
120
2/力" 丄尸
然
Определение 13.4. Два помеченных N-дерева (/, /') и (〃，便) эквивалентны, если они отличаются только перестановкой их индексов, т. е. если они имеют одинаковый порядок д, и существует взаимно однозначное отображение a: Aq -^ Лд, такое что и (/) — /,纪=皿 на Aq — {/} и fa = 〃二
Например, второе и четвертое помеченные N-деревья в формуле (13.12; 4) на рис. 13.1 эквивалентны; эквивалентны также второе и пятое деревья в формуле (13.12; 5).
Определение 13.5. Класс эквивалентности помеченных N-деревьев ^-го порядка называется N-deревом порядка q. Множество всех N-деревьев порядка g обозначается NTq. Далее, будем обозначать через a (/) число элементов в классе эквивалентности 右 т. е. число различных возможных монотонных индексаций t (ср. определение 2.5).
Представители N-деревьев до пятого порядка включительно приведены в табл. 13.3. Теперь мы в состоянии записать в замкнутом виде формулу для производных точного решения системы (13.11).
Теорема 13.6. Для точного решения уравнения (13.11) справедлива формула
(〃)(。)= £ 尸⑴(у, у') = £ a (0 尸(f) (у, g')・ (13.12; g) tWLNTqr tWNTqy
Доказательство. Общая формула здесь получается, как и в разд. II.2, путем продолжения вычислений, которые привели к формулам (13.12; 2—4). ■
Производные численного решения
Запишем формулы метода (13.4) несколько иначе!
gw =加 + с加质 + Е @〃九2f (gj, g6
gi = ya+ E %也/(g〃 й)> * l(13.13)
玖=物+力庆+ S方用2f (g/, gi),
阮=У& + £ b闻(gi, g；)・i
Теперь уравнения для промежуточных величин g厶 gj имеют такой же вид, как и для 力,у{. В (13.13) входят выражения вида, 力2屮(九)и 九屮(ft). Поэтому, кроме формулы (2.4), нам понадобится еще формула
(歩中(初(叫a…=90一 1)@(九))"一2)|『。.(13.14)
Будем теперь последовательным дифференцированием вычислять значения производных gf н g'f при А == 0s
(g/)⑴ lx = Е疗，(13.15; 1)
(fif/)(1)k=o~ S anfJ\yQ» 9^(13.16; 1)
(&2 )(2) |й=а = 2 S 弍"尸|%,昭(13.15; 2)
Теперь для дальнейшего дифференцирования нужна формула 俨3,山)严=e景•(a，而^严+£嗡k®,曲(靖严,
(13.17) с помощью которой получаем
(g7)⑵ |ь=о = 2 ? а'цС1 £% +
+ 2e傅冏尼e，产必,唯(13.16; 2)
(§/)⑶ |ь_о = 3・2 Е &“с/』:*"“к L，% +
+ 3.22函0信2薪俨%唯(13.15; 3)
Чтобы записать общую формулу, нам потребуется
Определение 13・7・ Для помеченного N-дерева / обозначим через Ф； (0 выражение, являющееся суммой по индексам всех толстых вершин 力 кроме / (индекса корня); общий член этой суммы представляет собой произведение множителей следующего вида:.
а^, если толстая вершина А имеет толстого «сына» /;
%i, если толстая вершина k соединена с / через своего тонкого «сына», и
с^, если толстая вершина k соединена с m тонкими конечными вершинами.
Теорема 13・8・ Для производных функций g«, gj из формул метода (73./3) имеют место равенства
(g/严“к =(9 + 1) S 7(0 S岡⑨⑴尸」似州而，t^LNTq /
(13.15;什1)
(阮屮)|х=S ?(OS®/(O^(OGo,加)，(13.16； g)
tgLNTq /
где величина ? (f) вычисляется согласно определению 2.10.
Доказательство. Для небольших значений q эти формулы получены выше; в общем случае они доказываются, как в теореме 2.11. Система уравнений (13.2) является частным случаем так называемых разделяющихся систем (см. разд. 11.14, где теорема 13.8 получает новое освещение). ■
Ввиду подобия формул для уь у{ формулам для g,, gj справедлива также следующая
Теорема 13.9. Производные определяемого методом (73./3) численного решения 勿,у{ удовлетворяют следующим равенствам:
(必严 |『=g S Y (/) Е 瓦①/ (0 FJ 似缈加)，(13.18; g) tWLNTqf'
(川)ST k=0 = E Y G) £ b^dt) X 似物，而・(13.19; g-1) tgLNTqf i
Условия порядка
Порядок метода Нюстрёма (определение 13.1) исследуется путем сравнения разложений Тейлора для у\. у{ с такими же разложениями для точного решения у (%。+ у'(尤° + й).
Теорема 13.10. Чтобы метод Нюстрёма (73.4) имел порядок р, необходимы и достаточны следующие условия: £ 瓦①》(0 = (р а吊归而 для “/ем比约 f с р (/)《р —1, (13.20)
£ 丛①》(/) = р；/[ для N-деревьев f о р (f)《р・(13.21)
Здесь р (/) обозначает порядок N-дерева 力 величина ①》(/) задана определением /3.7, а т (/) —формулой (2.17).
Доказательство. Достаточность вытекает непосредственно из теорем 13.6 и 13.9. Необходимость может быть доказана тем же способом, что и для уравнений первого порядка (ср. у пр. 4 из разд. II.2). ■
Обсудим вкратце вопрос, может ли дополнительная свободд выбора параметров метода (13.4) (полученная отказом от предположений (13.5)) привести к его существенному улучшению. По*； скольку условия порядка для методов РК (теорема 2.13) являются： подмножеством условий (13.21) (см. ниже упр. 3), то увеличить*
порядок метода эта дополнительная свобода не позволяет. Можно лишь уменьшить некоторые (но не все) коэффициенты погрешности. Поэтому мы обратимся к методам Нюстрёма (13.9) для дифференциальных уравнений второго порядка специального вида (13.8).
Чтобы исследовать условия порядка для методов (13.9), запишем уравнение (13.8) в автономной форма
夕=f ®)・’(13.22)
Специальный вид этого уравнения имеет следствием тождественное обращение в нуль тех элементарных дифференциалов, которые содержат производные по уг. Следовательно, надо рассмотреть лишь подмножество N-деревьев, имеющих следующий специальный ВИД!
Определение 13.11. N-дерево t * называется специальным №• деревом. (SN-деревом), если его толстые вершины имеют только тонких «сыновей».
Теорема 13.12. Метод Нюстрёма (/3.9) для дифференциального уравнения специального вида (73.8) имеет порядок р в том и только том случае, если
2 瓦①》⑴=(р«)； i)y (J @“兄 SN-деревьев / с р (f)《p —1, (13.23)
Е &①i (Q = у ；厂 для SN-деревьев f с р (f)《р. (13.24)
Все SN-деревья до пятого порядка включительно вместе с соответствующими элементарными дифференциалами, а также необходимыми для записи условий порядка выражениями Ф； и значениями р, а н 丫 представлены в табл. 13.3.
О конструировании методов Нюстрема
При конструировании методов Нюстрёма полезно использовать рассмотренные ниже упрощающие предположения.
Лемма 13.13. Условие (13.23) становится следствием (73.24), если предположить, что выполнены равенства
灰=瓦(1 — 6)， / = 1, • • •$ s.(13.25)
Доказательство. Пусть t является ЗА/'-деревом порядка не выше р — 1. Обозначим и ХА/'-дерево порядка р (0 + 1, которое
получается из / добавлением новой ветви с тонкой вершиной, исходящей от корня t Согласно определению 13.7,①± (〃) = с»®» “), а из формулы (2.17) следует, что у (“)= (р (0 + 1) у (/)/р (/). Заключение леммы следует из того, что
孑瓦①i (0 = ?"б(9 -孑b^i ® =击一志=砌九y«),
где мы воспользовались предположением (13.25).■
Лемма 13.14. Пусть t и и—два S N-дерева, изображенные на рис. 13.2 (предполагается, что очерченные кругами их части идентичный). Условия порядка для / н 〃 одинаковы^ если предполо^ жить выполнение равенств
2兩=，<,i=b ・・・，s・(13.26)
Рис. 13.2. Деревья из леммн 13.14.
Доказательство, Из определения 13.7 и формулы (13.26) следует, что ①》(/)=①》(“)/2, а из формулы (2.17) получаем, что Y(/)= 2丫 (“)・ Таким образом, условия порядка для f н 〃 совпадают. ■
Условия (13.25) позволяют нам освободиться от уравнений (13.23), а роль условий (13.26) аналогична той роли, которую условия (1.9) играли для методов Рунге—Кутты. Условия (13.26) выражают то обстоятельство, что величины gt в формулах (13.13} аппроксимируют у (х0 + &历 с точностью до членов О (Я8). Из леммы 13.14 следует, что могут быть опущены все SN-деревья, имеющие хотя бы одну толстую конечную вершину (т. е. деревья Q, /б, 4’ ^ю> ^1з в табл. 13.3).
С помощью упрощающих предположений (13.25) и (13.26) теперь легко построить явные методы Нюстрёма пятого порядка при s = 4. Условия порядка для деревьев 友,4, %，% и /8 показывают, что квадратурная формула с узлами q = 0, %，&, с《и весами 瓦，瓦，%,瓦 имеет пятый порядок. Следовательно, узлы q должны удовлетворять соотношению ортогональности
I
^х (х — q) (% — q) (% — cj dx = 0,
Q
и мы видим, что при выборе квадратурной формулы все еще остаются две степени свободы. После этого выбора коэффициенты М订 определяются уже однозначно, и их можно вычислить следующим образом. Значение а21 определяется из (13.26) при i = 2. Условия порядка для 方 и /и образуют систему из двух линейных уравнений о неизвестными
agjC, и ^J a&jCj.*
Затем с помощью (13.26) при i = 3 находим й31 и а32. Наконец, условие порядка для 九 позволяет определить величину Xj^ich и оставшиеся коэффициенты й41, %, % могут быть вычислены из линейной системы уравнений с матрицей типа матрицы Вандермонда. Метод из табл. 13.2 был получен именно таким путем.
При конструировании методов еще более высоких порядков полезно использовать дальнейшие упрощающие предположения, например равенство
£ 电力=(g + ；)'(g+l)，(13.27)
которое при g = 0 сводится к (13.26), а также равенство
2瓦饵尸bj丽爲k缶吟
которое можно рассматривать как обобщение условия (1.12). Дальнейшие подробности читатель найдет в ряде работ, где представлены методы Нюстрёма высших порядков [Хайрер и Ваннер (1976), а также Альбрехт (1955), Баттин (1976), Беентьес и Герритсен (1976), Хайрер (1977, 1982)1.
Глобальная сходимость
Вводя переменную zn = (yn, у；)7*, метод Нюстрёма (13.4) можно записать в такой форме:
Z] н Z。+ й>①(Xq, z°, Л),(13.29)
где
/ yo^h^j 瓦財 \
①偽，z(), й) = I p “ I.
、у
Формула (13.29) представляет специальный одношаговый метод для дифференциального уравнения (13.2). Для метода Нюстрёма
р-го порядка локальная погрешность (у (х0 + 九)一,i，/ (/ + + й) — yj)T может быть оценена сверху величиной Chp^1 (см. определение 13.1), что согласуется с формулой (3.24). Следовательно, теоремы о сходимости из разд. II.3, а также полученные в разд. II.8 результаты об асимптотических разложениях глобальной погрешности и здесь остаются в силе.
Программная реализация методов Нюстрема
Для того, чтобы программа была эффективной, необходим механизм управления длиной шага. Его можно организовать так же, как и для методов РК (см. разд. II.4). Для оценки ло кальной погрешности можно применять экстраполяцию по Ри* чардсону или конструировать вложенные методы Нюстрёма.
Ряд вложенных методов Нюстрёма построил Фельберг (1972). В этих методах для управления длиной шага используется аппро ксимация у (% + й) с (р + 1)-м порядком точности. Аппроксимация у'(尤° + й) с точностью до (р + 1)-го порядка не требуется, так как для пошагового продолжения решения применяется аппроксимация более низкого порядка.
Как и для дифференциальных уравнений первого порядка, здесь оказалась лучше другая стратегия — использовать аппро* ксимацию более высокого порядка для пошагового продолжения решения. Дорман и Принс (1978) сконструировали метод порядков 7 (6), коэффициенты которого приведены в табл. 13.4. Методы^ такого же типа, но более высоких порядков опубликовали недавно Филиппи и Грэф (1986).
Экстраполяционный метод для уравнения g"=『(х,力.
Les calculs originaux, comprenant environt 3.000 page#: in-folio avec 358 grandes planches, et encore 3.800 pages de developpements mathematiques correspondants, ap・ partiennent maintenant A la collection de manuscrito： de la Bibliothdque de PUniversite, Christiania.
Оригинальные вычисления, содержащие около 3000 страниц ин-фолио с 358 большими таблицами, и еще 3800 страниц соответствующих математических вы* кладок принадлежат теперь коллекции рукописей библиотеки университета Христиании.
(Штёрмер, 1921)
Переписав дифференциальное уравнение (13.8) в виде система, уравнений первого порядка . ■ ,
С) =(Ю (；)(% = (；；｝ (13.30)
Y +
09G
0 0 ^r p
舞息2 ^——^
^—^к>+^^ ^н>+^^
о
09G
(K>E+
969Х
(J^& + _8g )1 yw+wf
969Xj£ASX— 一 M
LUA8I + 二6b
082 к>£^ +
8ZII ^F>^— 3d
8SI
669
(к>2 +9电(K>GZ +I啃к>^7X9碓
匕9IT
^/чи—三)к ₽>^|ио—
^^>2 7 ^P>P7
NSS06
8寸WkA 叵+C6C
8 mzi
2— KASOOOOI
8 a 7F
02т
(9) Z BMBBdon BOHHdcIBHBXdoRvoles ・y6I ellseb
10 Хайрер Э. ■ др.
можно применить алгоритм ГБШ (9.13) прямо к системе (13.30)$ что дает
J/1 =次 + 切 6,(13.31а)
质=质 + 九f (*о, %)，
玖+i = У t—\ + 2®,(13.31b)
见* =疚一1 + 2出(勺，у) ，= 1, 2,・・・，2/z,
Sh (%) = ®2n-i + 2y2n + %n+i)/4,(13.31c)
Sj (x)=例〃—i + 2y嘉 + 见〃+i)/4.
Здесь Sh (无)и Sh (х) аппроксимируют у (х) и 旷(х) при х = х0 + + Н, причем Н = 2пй и х^ = х0 + й. Сделаем теперь следующее важное замечание: для вычисления значений yQi y2t у4, ..., у2п (с четными индексами) и 冗,孤，…,见〃+i (с нечетными индексами) нужно вычислить только значения функции f (х0, yj,f (ха, %),•・・ …J (无2п, %7i)・ Мы знаем, далее, что как %п, так и (汲〃т + 汲“+i)/2 обладают асимптотическими разложениями погрешности по четным степеням Л (см. формулы (9.17)). Поэтому понятно, что формулы (13.31с) следует заменить на
Sh (%)=%n.
S6 (х) = 3“т + 如+D/2(13.31cz)
[Грэгг (1965) ]. При использовании этого конечного шага число вычислений функции уменьшается в два раза. Вычисленные приближенные значения можно теперь использовать для экстраполяции. Взяв гармоническую последовательность (9.8'), положим
hi = Sh (ха + ”)，Th = Si (xfl + Я)
и рассчитаем экстраполированные выражения Т», у и Т/./ с помощью формулы Эйткена—Невилла (9.12).
Замечание. Исключая в (13.31b) значения у% мы получим эквивалентную формулу
УМ - 2协 + 劣T = (2九)2 〃巧，协)，(13.32)
часто называемую правилом Штёрмера. Но для программирования предпочтительнее формулировка (13.31b), потому что она более устойчива по отношению к погрешностям округления (см. разд. III.10).
Численные эксперименты
Этот раздел мы завершим сравнением вычислительных свойств разных методов, для чего нами написаны следующие три программы:
ODEX2 — программа, основанная на описанном выше экстраполяционном методе. Она организована так же, как и ODEX (экстраполяционная программа для дифференциальных уравнений первого порядка). В частности, стратегия выбора порядка и длины шага описана в разд. II.9.
DOPRIN основана на вложенных методах Нюстрёма фиксированного порядка с коэффициентами из табл. 13.4. Выбор длины шага делается как в программе DOPRI8 и был описан в разд. II.4.
FILGR9 использует вложенные методы Нюстрёма порядков 9(8), которые предложили Филиппи и Грэф (1986). Она организована так же, как и DOPRIN.
4.04.0о.48. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16.о.48. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16.Рис. 13.3. Диаграммы «точность — объем вычислений» для приведенных внше примеров»Рис. 13.3. Диаграммы «точность — объем вычислений» для приведенных внше примеров»з.оз.о［喻伊) PLEI Л［喻伊) PLEI Л『二--loglo(norp)『二--loglo(norp)10DE\er10DE\erFILGR 0DEX2FILGR 0DEX2
4.0
4.0
о.48. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16.
о.48. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16. 0.4. 8. 12. 16.
Рис. 13.3. Диаграммы «точность — объем вычислений» для приведенных внше примеров»
Рис. 13.3. Диаграммы «точность — объем вычислений» для приведенных внше примеров»
з.о
з.о
［喻伊) PLEI Л
［喻伊) PLEI Л
『二--loglo(norp)
『二--loglo(norp)
10DE\er
10DE\er
FILGR 0DEX2
FILGR 0DEX2
Листинги программ ODEX2 и DOPRIN приведены в приложении.
С помощью этих программ решались три системы дифференциальных уравнений вида ^ = f (х, у) из разд. 11,10 (задачи TWOB, LAGR и PLEI). Каждая из задач решалась при следующих задаваемых значениях допустимой локальной погрешности! tol = 10~8, 10-* юз, 10~12, 10~16. На рис. 13.3, как и ранее, по осям отложены в логарифмических масштабах точность (величина погрешности err) и число fc вызовов подпрограммы вычисления функции. Чтобы продемонстрировать превосходство специальных методов для уравнения у" = f (х, у), мы включили также результаты расчетов по программе ODEX, предназначенной для решения дифференциальных уравнений первого порядка (см. разд. II.9).
Видно, что ODEX2 действительно считает лучше, чем ODEX. Эта программа считает почти вдвое быстрее, в согласии с теоретическими соображениями. При больших требованиях к точности (tol《10~10) она дает наилучшие результаты. Действительно, экстраполяционная программа позволяет доходить до очень высоких порядков точности. При требованиях к точности 10"8 >
10*
》tol》10"8 более предпочтительны программы DOPRIN и FILGR9, использующие методы фиксированных порядков. Однако при решении этих задач не заметно их преимуществ перед программой DOPRI8, рассчитанной на системы уравнений первого порядка (ср. рис. 10.3).
Испытывалась также программа DIFEX2, написанная Дойфл- хардом и Бауэром (см. Дойфлхард (1985)). Она показала результаты, аналогичные полученным для ODEX2.
Системы высших порядков
Обобщение идей этого раздела на системы уравнений более высоких порядков
У" = f (% У, У一…小2%(13.33)
представляется теперь более или менее непосредственным. И в этом случае действительное улучшение возможно только когда правая часть уравнения (13.33) зависит лишь от % н у. Этой теме посвятил свою замечательную работу Цурмюль (1948). Таблицы условий порядка и методов приведены у Хебзаккера (1982).
Упражнения
Убедитесь,' что методы из табл. 13.2 имеют, соответственно, четвертый и пятый порядки.
Коэффициенты погрешности метода Нюстрёма р-го порядка определяются формулами
е (/) = 1 - (р (0 + 1) ? (0 £ 灰①》(0 для р ⑴=р,
,。'(13.34)
ez (0 = 1 - ? (0 S b^t (0 для р(0 = р4-1. ''
Покажите, что упрощающее предположение (13.25) имеет следствием соотношение
е (0 = —Р (0 d (〃)при р (0 = р,
где "• дерево и получается из t добавлением ветви в тонкой вершиной, исходящей из корня t・
Для метода Нюстрёма из табл. 13.1 вычислите коэффициентв погрешности и сравните их в таковыми для классического метода Рунге—Кутты.
Покажите, что условия порядка для методов РК (теорема 2.13) составляют подмножество условий (13.21). Они соответствуют тем У-деревьям, у которых все вершины толстые.
Иногда порядок р метода Нюстрёма (13.9) определяют смягченными требованиями
(13.35)(13.35)У {xQ + h) — y1 = О 侬+i), У' Go + 九)一况=。(加)
(13.35)
(13.35)
(см. Нюстрём (1925)). Покажите, что условия (13.35) не достаточны для получения глобальной сходимости порядка р. Указание. Исследуйте асимптотическое разложение глобальной погрешности с помощью теоремы 8.1 и формулы (8.8).
Покажите, что вычисляемые описанным в этом разделе экстраполяционным методом приближения 7月片 н 7}左 эквивалентны приближенным решениям, которые дает некоторый метод Нюстрёма порядка р = 2论，имеющий s =耳 + F + 1 стадий.
Р-р яды для разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений
Divide ut regnes Разделяй и властвуй (Макиавелли)
В разд. II.2 и 11.11 мы развили теорию В-рядов, позволяющую найти условия порядка для методов Рунге—Кутты, ориентированных на решение автономных дифференциальных уравнений. Это предполагает, что интегрирование хну производится одинаковым образом, т. е. что выполнены условия (1.9). Мы уже встречались, однако, с некоторыми ситуациями, в которых эта теория оказывалась недостаточной.
Если х и у интегрируются различным образом, т. е. уело вия (1.9) не выполнены, то, как мы видели (см. упр. 6 в разд, возникают дополнительные условия порядка. Чтобы разобраться в их структуре, надо обобщить теорию В-рядов на разделяющееся обыкновенное дифференциальное уравнение (2.1).
Рассмотренный в разд. 11.12 подход Фельберга требует изучения методов РК, не удовлетворяющих условию (1.9), причем в точке (х0,加 производные 厶 fx, fxx, ... равны нулю.
В разд. 11.13 рассматривались прямые методы для дифференциального уравнения второго порядка у" = f ®, у')・ Чтобы найти общую структуру условий порядка для этих методов, мы обобщили теорию В-рядов на разделяющееся обыкновенное дифференциальное уравнение
(/)=(『(:/))•”4.1)
Для таких ситуаций желательно, конечно, иметь единую теорию. С этой целью Хайрер (1981) предложил обобщение теории В-рядов на общий случай разделяющегося обыкновенного дифференциального уравнения:
(М・2)
который включает все перечисленные выше ситуации, так чта для них условия порядка получаются как частные случаи.
Другие важные приложения этой теории встретятся при изучении условий порядка для методов, в которых к разным
частям системы обыкновенных дифференциальных уравнений применяются различные вычислительные схемы. Такими частями могут быть, например, линейная и нелинейная части (на эту ситуацию ориентированы 1Г-методы, см. том II), или «нежесткая» и «жесткая» компоненты дифференциального уравнения (соответствующие методы называют разделяющимися, или составными).
Для простоты обозначений мы будем рассматривать систему (М.2) как разделяющуюся на две компоненты. Обобщение на большее число компонент не представляет трудностей. Чтобы лучше понять, как должны быть в этом случае определены элементарные дифференциалы и соответствующие им деревья, мы рассмотрим сначала производные точного решения уравнения (14.2).
Производные точного решения; Р-деревья
Чтобы не выписывать суммы и лишние индексы, предположим, что Уа в % в (14.2) являются скалярными величинами. Все дальнейшие формулы останутся справедливыми и для векторов, если производные интерпретировать как полилинейные отображения. Дифференцируя (14.2) и подставляя вместо производных снова (14.2), для первой компоненты, т. е. %, получим：
砂)=%(14.3.1)
或)=般厶+竊"(14.3.2)
+器卷• /；+記卷■ %+таг俏，曲+(м・з.з)
+③f仇，lb) +丽祐厶十
Аналогичные формулы получаются и для производных уь.
Для графического представления этих формул нам потребуются вершины двух сортов. Как и в разд. 11.13, мы будем пользоваться «тонкими» и «толстыми» вершинами, отвечающими fa и %, соответственно. Тогда формулы (14.3) можно графически представить так, как показано на рис. 14.1.
Дадим теперь формальное определение этих графов.
Определение 14.1. Помеченным Р-деревом порядка q назовем пару (/, f), где / — помеченное дерево
力儿一{/} f Aq(см. определение 2.2) и Г — отображение
Aq-^ {«тонкая», «толстая» (вершина)}.
Обозначим L7P； множество всех помеченных P-деревьев порядка g G «тонким» корнем (т. е. f (/) = «тонкая»). Аналогично, LTPq — множество всех помеченных P-деревьев g-ro порядка о «толстым» корнем.
(14.3.1)
(14.3.2)(14.3.3)(14.3.2)(14.3.3)Рис. 14.1. Производные точного решения уаРис. 14.1. Производные точного решения уа
(14.3.2)
(14.3.3)
(14.3.2)
(14.3.3)
Рис. 14.1. Производные точного решения уа
Рис. 14.1. Производные точного решения уа
В (14.3.3) второй и пятый члены равны. В связи с этим дадим
Определение 14.2. Два помеченных Р-дерева g-го порядка (/, f) и (и, 〃') эквивалентны, если существует такое взаимно однозначное отображение a: Aq Лд, что о ①=/ и выполняются перестановочные соотношения, представленные следующей диаграммой；
Определение 14.3. Класс эквивалентности помеченных Р-де* ревьев <7-го порядка называется Вдеревом порядка q. Множество всех P-деревьев порядка q с «тонким» корнем обозначается Т爲, а с «толстым» корнем — ГР；. Порядок P-дерева f будем обозначать через р (0, а число элементов в классе эквивалентности f — через a (f).
Ниже, в табл. 14.1, приведены примеры P-деревьев и числа р (/) и а (0 для них. Мы обсудим сначала рекурсивное пред*! ставление Р-деревьев, играющее фундаментальную роль в изла- гаемой теории (оно обобщает индуктивное определение деревьев 2.12).
V
±2
^а^Р^ 以
Рис. 14.2. Рекуррентное определение Р-деревьев.
Определение 14.4. Пусть 友,・・・，tm — P-деревья. Будем обозначать
(14.4)
(единственное) P-дерево с «тонким»* корнем, такое что после удаления корня и инцидентных ему ребер остаются Р-деревья 九・••，統・ Совершенно аналогично обозначим через 44,…，褊 P-дерево, получаемое объединением 4, ..., tm на одном новом «толстом» корне. Наконец, введем обозначения % и ть для «тонкого» и «толстого» P-деревьев порядка 1. Рис. 14.2 иллюстрирует это определение.
Займемся теперь уточнением связи между P-деревьями и * отдельными членами в формулах (14.3). Введем еще обозначение
(14.5)(14.5)f а, если корень t《тонкий》,g (f)= < 厶，„
(14.5)
(14.5)
' 丿 I b, если корень f «толстый».
Определение 14.5. Элементарные дифференциалы, соответствующие системе (14.2), определяются индуктивно следующим образом;
尸&）（加=fa协尸（Y）①）=fb ®）
ии
и
и
戶⑴（g）=戶⑴（g）=
戶⑴（g）=
戶⑴（g）=
где у = (%,九)Н f = a"l, ・・・,〃1 ИЛИ t = bU"…，fml・
Элементарные дифференциалы для P-деревьев до третьего порядка включительно выписаны в табл. 14.1.
Вернемся теперь к началу раздела и продолжим дифференцирование формул (14.3). Легко видеть, что в терминах помеченных P-деревьев дифференцирование 尸(0 (%, %) можно интерпретировать как добавление новой ветви с «тонкой» или «толстой» вершиной и новым индексом суммирования поочередно к каждой
Таблица 14.1. P-деревья и их элементарные дифференциалы
Р-Эерево
(М.4)
p(O
a")
элементарный дифференциал
-
1
1
4
\
2
1
円。
\
」、】
2
1
出
\/
3
1
2®
#Л，九）
7
3
2
d2/
7
」％，】
3
1
э2г
<
丄k/1
3
1
忘％
<
丄%"
3
1
叽弘"
<
flUkj]
3
1
<
abbj]
3
1
0力 8”/
г
1
1
fb
、
m
2
1
马
4 е
从”
2
1
*
из вершин помеченного P-дерева t. Тем же способом, каким мн доказывали теорему 2.6 для неразделяющихся дифференциальных уравнений, может быть докидана
Теорема 14.6. Производные точного решения уравнения (/4.方 выражаются формулами
加"= X 尸 «)(%，%)= S a(t)F{t)(yaiy^
。。(14.3 .研
£ 尸(£)(%，力)=£ a ⑴尸(/)(%,力)・■
t^LTP^fC"；
р-ряды
Мы уже видели в разд. 11.11, какую важную роль играет ключевая лемма ——следствие 11：7 — при выводе условий порядка для методов Рунге—Кутты. Поэтому обобщим данный результат и на разделяющиеся обыкновенные дифференциальные уравнения.
Прежде всего, удобно ввести два новых P-дерева 0aH 0ъ порядка 0, которым соответствуют элементарные дифференциалы 尸(0а) (у) = У а и 尸(0 b)(协=块.Далее, положим
7PQ = {0a}UTPfUTP/U・・・,川= {0b}UTHUT&U・・・，
LTPa = {0а} и LT& U LTPI и...,LTPb={0b\l)LTPtDLTPlu ....
Определение 14.7. Пусть с (0)с (0Ь), с (%), с (»), ...— система вещественных коэффициентов, определенных для всех Р・деревьев】 с; ТРа U TPb R.
Тогда ряд
Р (с,勿=(乙(с, у), А (с, у))% где
РаСУ)= 2尸⑴(力
t^LTPa
Pb© у)= 2 V(7jrc(0^(0 (У)， t^LTPb
называется P-рядом.
Теорема 14.6 просто утверждает, что точное решение уравнения (14.2) является Р-рядом
(% (% + А), Уь (尤о 十九У =尸(У，(% (/), Уь (%))), у которого у (f) = 1 для всех Р-деревьев /.
Теорема 14.8. Пусть a TPa U TPb -> R — такая последовательность коэффициентов, у которой с (0а) = с (0匕)=1. Тогда
匕(fa (Р (с, (Уа，Уь))) \ — D
гдегде(14.7)(14.7)(14.8)(14.8)h\fb(P (С, G/a，勿))))=尸(С 仇'力》'
где
где
(14.7)
(14.7)
(14.8)
(14.8)
С (0а) = С (0ь) = О,С‘ (％) = 1(») = 1,c'(f) = p(f)c (幻・・•<：(*),eCAU f = а[&，・• •, trrA 〃4〃 f = b['l，• • 'ml，
Доказательство этой теоремы родственно доказательству теоремы 11.6. Более подробно оно приведено в работе Хайрера (1981). ■
Применим теперь теорему 14.8 к случаям, указанным в начале этого раздела.
Методы РК с нарушением условия (1.9)
Рассмотрим применение метода РК (1.8) к неавтономному дифференци аль ному уравнению yf = f (х, у). Мы не предполагаем условие (1.9) выполненным, так что х- и {/-компоненты интегрируются по-разному. Поэтому добавим к нашему дифференциальному уравнению еще уравнение %’ = 1 и получим систему
/ = fa,力 娟=1.
Она имеет вид (14.2), если положить уа ==,,% = х, fa 仇，％)= =f (х, у) и fk 匂а, Уь) = 1. Поскольку fb — постоянная, все содержащие производные fb элементарные дифференциалы тождественно обращаются в нуль. Следовательно, те Р-деревья, у которых хотя бы одна толстая вершина не является конечной, рассматривать не надо. Остается рассмотреть множество
北 = "£ ТРа； все толстые вершины конечные}. (14.10)
Для вывода условий порядка метода РК
^ = ftf (Хо + ^Д &),
gi =% + У «п岛，(14.11)
01 = % + £ ^i^i
юля предположим, что ki и gi являются перВБШИ компонентами Р-рядов:
阮=Ра (М 仇，％。))，g± = Ра (g厶仇，％))•
Кроме того, положим
*0 + C±h =^ Pb (gi> 仇，/)),
так что g, (0ь) = 1, gt (叱)=S н gt (f) = 0 для остальных P-деревьев с «толстым» корнем. Теперь из (14.11) на основе теоремы 14.8 получаем, что для всех t QTa
&昨用⑴，(14.12)
(f) = £ %两(f).
Мы получили рекуррентные соотношения для определения коэффициентов к» (f). Условия того, что метод будет иметь порядок р, принимают вид•
£ Ь^ (0 = 1 при f £ 乙，Р (0《"•(14.13)
Мы видим, что обычные условия порядка (типа (1.11)) исчезают, за тем исключением, что для толстых вершин вместо £)а“ подставляются с».
На рис. 14.3 представлены первые элементы множества Тв.
Рис. 14.3. Элементы множества Тв, •
Пример. Условие (14.13) для пятого, восьмого и последнего деревьев рис. 14.3 принимает соответственно вид
3 еЬ卢心廿=L八/
3・2 £ bidijCj = 1$厶力
6*3*2i^ij^j^jh,^il^l ~^ 1 •
LL齡I
Методы Фельберга
Если для точного решения уравнения jf = f (х, g) значения
У (%), У (х), ..., у(")(%) обращаются в нуль при х = х0, то и f,df/dx, ..., дт^1/дхт^1 равны нулю в точке (х0, у0) (см. разд. 11.12,
mm +1 m
Рис. 14.4. P-деревья, которые следует рассмотреть для метода Фельберга (разд. 11.12).
методы Фельберга). Для этого случая на рис. 14.4 мн привели элементы множества Тв, для которых элементарные дифференциалы в общем случае не обращаются в нуль в точке (х0, %).
Методы Нюстрёма
В качестве последнего приложения теоремы 14.8 представим новый вывод условий порядка для методов Нюстрёма (разд. 11.13). Дифференциальное уравнение второго порядка у" = f (у, у') может быть записано в форме разделяющейся системы:
(/) = (；(//) )•。単4)
В обозначениях (14.2) мы имеем уа = у, Уь = у\ fa (Уа^ Уь) = Уь fb (%, %) = f (%, %)• Вследствие специального вида % должны быть рассмотрены только те P-деревья, которые удовлетворяют условию
《тонкие вершины могут иметь не более одного сына, который должен быть толстыми(14.15)
(см. определение 13.2). Следовательно, существенными Р-де- ревьями являются.
7W； = {/ £ ТР* / удовлетворяет (14.15)},
TNq = {/£ ТР* / удовлетворяет (14.15)}.
Отсюда вытекает, что каждый элемент 7W>j может быть записан в виде f = о[и], где и £ TN、. Поэтому существует взаимно однозначное отображение TN；z на 7W* которое не изменяет элементарные дифференциалы；
Р (а[«1) (f/а，力)=翁•尸(〃)(％，兆)=尸(〃)(％，%)•
Из этого свойства следует, что
九尸Ь(С, ©а，Уъ)) = Ра (CZ, (%,先))，(14.16)
где с' (f) = р (f) с (〃)，если f = а[и].(14.17)
Эти обозначения согласуются с (14.8).
Условия порядка для метода (13.13) можно теперь вывести следующим образом. Предположим, что g» и gj представляют Р-ряд:
gi = Р&(S,(物，质))，gi = Рь ©,(物，挑))・
Тогда из теоремы 14.8 следует, что
川1 (gi，gi) = Рь (E,仇，质))•(14.18)
Умножив это соотношение на й, с помощью (14.16) получим:
九2f (gi，g；) = Pa (吟 例，质))・(14.19)
Здесь с? = (с；)\ т. е.
С/ (/) = 0 для f = 0а н f = %,
e/ (/圖)-1>
С； (0 = р (0 (р ⑴一1)6 (幻・・и),
еслн f =小[九• • •，4п]]・.
Если подставить выражения (14.18) и (14.19) в (13.13), мы получим, как обычно, рекуррентные соотношения
q (%) ― %
q (0 =工 @3 (0, если корень стонкий»,
“ (0 = £ ^ijCi (f), если корень «толстый».
Точно таким же способом получают и условия порядка (для р-го порядка)
Е 瓦с； (f) = 1 для f £ TN\, g = 2,・・・.р;
二，А(14.20)
Е bq (f) = 1 для t € TNqt g = 1,・・・,p.
Упражнения
Обозначим через ag число элементов множества ТР； (число P-деревьев порядка g с «тонким» корнем, см. табл. 14.2). Дока
0
1
1
6
458
2
2
7
2 058
3
7
8
9 498
4
26
9
44 947
5
107
10
216 598
Таблица 14.2. Число элементов множества ТР；Таблица 14.2. Число элементов множества ТР；жите, что
Таблица 14.2. Число элементов множества ТР；
Таблица 14.2. Число элементов множества ТР；
«1 + «з^ + а/2 + ・・・=
=(1 — Х)^2а^ (1 — X2)-2at *
X (1 —炉)-25...
Вычислите несколько первых чисел 〜и сравните их с числами
Qq = card (Tq) из табл. 2.2.
Докажите, что не существует явного 4-стадийного
метода РК порядка 4, который не удовлетворял бы условию (1.9).
Указание. Воспользуйтесь техникой доказательства леммы 1.4.
Покажите, что условия порядка (14.20) совпадают с теми, которые дает теорема 13.10.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
«Детальное изучение реального мира вынуждает нас принимать в расчет, хотя и с неохотой, тот факт, что скорость изменения физических систем зависит не только от их состояния в настоящий момент, но также и от их истории в прошлом.»
(Беллман и Кук, 1963)
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом — это такие уравнения, как
У (%) = ММ У (%), У (% —叫)，(15.1)
или
к &)=『а, у(X), у (х — %), у(х—%)).(15.2)
или даже еще более общего вида. Здесь производная решения зависит также от его значений в предыдущих точках.
Запаздывание встречается во многих моделях прикладной математики. Запаздывание (в более общем случае—отклонения аргумента) может быть также источником интересных математических явлений, таких как неустойчивости, предельные циклы# периодический характер решений.
Существование
Для уравнений типа (15.1) или (15.2), если величина запаздывания ф ограничена снизу положительной постоянной, вопрос о существовании решения решается легко. Предположим, что на отрезке / — в《力《尤q решение известно:
У 3 = Ф (»・
Тогда на отрезке х0 < х <； х0 + ф функция у.(% — © является известной функцией х и (15.1) становится обыкновенным дифференциальным уравнением, к которому применимы известные теоремы существования. Определив у (%) при х0 < х < х0 + ^, мы можем затем перейти к вычислению решения при 尤° 斗 е《 《尤《% + 2р и т. д. Этот «метод шагов», таким образом, для всех х позволяет получить результаты о существовании и единственности решения. Заинтересованному читателю мы рекомен-
дуем книги Беллмана и Кука (1963) и Драйвера (1977, особенно гл. V).
Пример 1. Рассмотрим уравнение
*&) = —у(%—1), У(%) = 1 при —1 < х < 0. (15.3)
Применяя описанный выше «метод шагов», получим * у (%) = 1 —务 при 0《力《1,
g (х) = 1 — % +(“7^" ПРИ 1《％《2,
д(х)=1т+卫評-与组прн2《*《3,
и т. д. Решение представлено на рис： 15.1. Заметим, что решение имеет разрывные производные, несмотря на то, что правая часть
дифференциального уравнения и начальная функция принадлежат классу С°°. Это происходит оттого, что начальная функция не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако с каждым шагом в эти разрывы все более сглаживаются.
Пример 2. Этот пример ясно показывает, что решения уравнения с запаздывающим аргументом зависят не только от начального условия, но и от всей истории процесса от 尤° ——в до /・
/(х) = -1.4^(х-1), (15.4)
а) Ф⑴
= 0.8
при —1 < х < 0,
Ь) Ф (%)
=0.8 + %
при —1 < х < 0,
с) Ф (%)
=0.8 + 2х
при —1《х《0.
1) На русском языке можно рекомендовать книги Эльсгольца (1951) и Эльс- гольца и Норкина (1963), указанные в списке дополнительной литературы в конце книги. — Прим. ред.
Решения показаны на рис. 15.2. Объяснение колебательного nd ведения решений будет дано ниже.
Рис. 15.2. Решения задач (15.4).Рис. 15.2. Решения задач (15.4).
Рис. 15.2. Решения задач (15.4).
Рис. 15.2. Решения задач (15.4).
Методы с постоянной длиной шага для постоянного запаздывания
Применяя метод Рунге—Кутты (1.8) к уравнению G запазд^ вающим аргументом (15.1), мы получим5
gP = 5П + 九 §a济(公 + с拘 gP，^ (今 + Cjh-^
^+i^^n + ftS bjf(xn + Cjh, g，Z у (左 + cjh 一 &))・
Сразу возникает вопрос, как задавать значения у (力兀 + 内九——< Но если запаздывание постоянное и длина шага выбрана так, ч в = khf где k — некоторое целое число, то естественно испольй вать уже вычисленные k шагов назад значения решения:
#)= 5n +九岁 4力匾+e亦,g产，材⑴)，
где
[Ф (-^n + 仃九—©, если 九 V 瓦唄一если九》也.
6 2 4 /2/4/81 3 6 и 11 11 11 fl «i fi6 2 4 /2/4/81 3 6 и 11 11 11 fl «i fi1020408016032064010204080160320640оюююооо 7 4 8 62 4 8 12 5 12 4124оюююооо 7 4 8 62 4 8 12 5 12 41241.69X10-24.76Х IO"4.76Х ЮГ7.80Х 10Y8.90Х КГ" 2.14Х10-11 3.41X10^1.69X10-24.76Х IO"4.76Х ЮГ7.80Х 10Y8.90Х КГ" 2.14Х10-11 3.41X10^
6 2 4 /2/4/81 3 6 и 11 11 11 fl «i fi
6 2 4 /2/4/81 3 6 и 11 11 11 fl «i fi
10204080160320640
10204080160320640
оюююооо 7 4 8 62 4 8 12 5 12 4
124
оюююооо 7 4 8 62 4 8 12 5 12 4
124
1.69X10-2
4.76Х IO"
4.76Х ЮГ
7.80Х 10Y
8.90Х КГ" 2.14Х10-11 3.41X10^
1.69X10-2
4.76Х IO"
4.76Х ЮГ
7.80Х 10Y
8.90Х КГ" 2.14Х10-11 3.41X10^
Это можно интерпретировать как последовательное решение
уравнения
旷(%) = f (%, у ⑴，Ф (Х — т))
(15.1a)
для интервала
(х0, / + 叫 затем уравнений
У
(%) = f (% У (%), z (х)),
(х) = f (尤一5 z (X), ф (x — 2т)),
.(15.1b)
для интервала
【％ + “ 尤о + 2т 1, затем
У (%) = f (%, У (%), z &)), /(%)= f(% — в, z(%), о(%)), и (%) = f а — 2q и (х), <р (х — 3©)
(15.1с)
для интервала
[х0 + 2ф, х0 + Зт1, и т. д. Это точный численный
аналог упомянутого выше «метода шагов».
Теорема 15.1. Если q, 勿厶 bj — коэффициенты метода Рунге—Кутты р-го порядка, то процесс (15.5) сходится с поряд- ком р.
Доказательство. Последовательность (15.1а), (15.,1Ь),,・•％—竽о последовательность систем обыкновенных днффер^цц^альвдх уравнений, нормально решаемых методом РК р-го порядка. Поэтому результат непосредственно вытекает из теоремы 3.6. ■
Замечание. Для коллокационного метода, основанного на гауссовой квадратурной формуле, из теоремы 15.1 вытекает сверхсходимость — результат, который получил Беллен (1984).
Численный пример. Мы интегрировали уравнение (15.12) (см. ниже) на интервале 0 «尤《10 при а = 1.4 с начальными условиями у (%) = 0 при —1 < х < 0 и у(0) = 0.1, взяв следующие длины шага: Л = 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... Использовался метод Бутчера шестого порядка (см. табл. 6.1). Результаты вычислений представлены в табл. 15.1. Хорошо виден 6-й порядок сходимости.
Таблица 15.1. Результаты расчетов для метода (15.5)
Методы с переменной длиной шага
К сожалению, метод (15.5) не позволяет произвольно менят^ длину шага, и применение его к уравнениям с переменной велцЗ чиной запаздывания не столь просто. Если мы желаем достиг полной гибкости, нам необходима глобальная аппроксимация рей шения. Бесполезно иметь приближения только на некоторой последовательности точек. Поэтому подходящими методами дллв таких задач явлйются многошаговые методы типа Адамса или ФДН (см. разд. III.1), или же непрерывные методы Рунге—Куттв^ Ввиду легкости программирования мы выбрали метод Дорм刍整 и Принса порядка 5 (4), присоединив к нему формулы (5.7) ш разд. II.5. Превосходство этой процедуры над многими другим! интерполяционными методами показал Готтвальд (1985), провед обширное численное тестирование их. Для каждого интервад интегрирования решение в целом представляется многочленов 4-й степени. Поэтому после каждого успешного шага интегрирс вания подпрограмма RETARD (незначительная модификацК подпрограммы DOPRI5) вызывает подпрограмму STORE, котд рая записывает в память (в общий блок COEF) коэффициент! этцх многочленов вместе о соответствующими значениями i Тогда при вызове вещественной функции YLAG (I, X) прои| водится поиск нужного интервала для х и вычисляется соотве1 ствующий многочлен для I-го решения. Поэтому, чтобы подпр。 грамма RETARD решала уравнение о запаздывающим аргуме* том, скажем (15.4), надо, чтобы подпрограмма FCN включал такой оператор!
F (1) = —1.4 • YLAG (1, X — 1., PHI).
Тексты подпрограмм RETARD, STORE и YLAG вместе g пр: мером вызывающей программы приведены в приложении. С 或 помощью были получены результаты, представленные на рио. 15《 и 15.2.:
Как мы видели, решение имеет раэрнвя производных в не賦 торых точках, например, для уравнения (15.1) в точках / + q R。+ 2и, х0 -Ь 3^9 ... и т. д. Поэтому точность улучшится, а врем счета сократится, если эти точки выделить и возобновлять в нН вызов подпрограммы RETARD.
При конструировании усложненных программ для решен» дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом & лее общего чем (15.1) вида возникает ряд трудностей, в частност! нахождение всех точек разрыва производных до определенной порядка, а также экономное распоряжение памятью для храиЛ ния всех коэффициентов, представляющих запомненное решеня! и своевременное освобождение от того, что больше не понадс бится.
Характеристические значения экспоненциальных решений.
На рис. 15.1 и 15.2 можно заметить, что решения после начальной фазы как будто приближаются к функциям, похожим на 尹* cos р (х — S). Попытаемся определить значения а н 0. Рассмотрим уравнение
/ (力=財⑴ + цу (х — 1).(15.6)
Выбор запаздывания в == 1 не означает потери общности, так как любое запаздывание в * 1 можно свести к © = 1 заменой переменных.
Будем искать решение вида
g (х)=屮.где у = а, + ф.(15.7)
Подставляя (15.7) в уравнение (15.6), получим следующее «характеристическое уравнение» для 軍
Т — % — yL = 0.(15.8)
При р * 0 оно имеет бесконечное множество решений. В самом деле, если | у | становится большим, то из (15.8) видно, что pL тоже должно быть большим, поскольку X фиксировано:
Т * »L.(158)
Отсюда внггекает, что т = а + i0 расположено вблизи мяимрй оси. Следовательно, I V I ^ | Р |» а из (15.8‘)находим, что
I Р I а ] D I<
Поэтому корни уравнения (15.8) асимптотически располагаются на кривых —а = In | р | — In | р |. Из (158) видно также, что характеристическое уравнение имеет корень, когда аргумент выражения рк'В близок и 窮偿(при Р > 0), т. е. когда
Р q arg 卩—j- + 2А/ А = 1, 2，.・・・
Таким образом, имеется две последовательности характеристических значений, уходящих в бесконечность по логарифмическим кривым слева от мнимой оси, и расстояние между двумя последовательными значениями асимптотически приближается к 2л.
Итак, «общее решение» уравнения (15.6) — это похожая на ряд Фурье суперпозиция решений типа (15.7) [Райт (1946), см. также Беллман и Кук (1963), гл. 4]. Чем меньше величина Re % тем быстрее эти решения затухают при х f 8. Поэтому домини*
рующими решениями (при условии, что соответствующие коэффициенты не равны нулю) являются те, у которых наибольшие значения Re у, т. е. наиболее близкие к началу координат. Уравнению (15.3) соответствует характеристическое уравнение у + + L = 0 с решением у = —0.31813 士 1.33724厶 а для (15.4) характеристическое уравнение у + 1.4L = 0 имеет решение Т = —0.08170 士 1.51699/. Это очень хорошо объясняет асимптотическое поведение решений на рис. 15.1 и 15.2.
Для случая матричных уравнений
У (%) = Ау ⑴ + By (х— 1),
где матрицы Л и В не приводятся одновременно к диагональном! виду, полагаем у (х)=。勿3 где и 幺 0 — некоторый постоянны! вектор, н$ подставляя в уравнение, получаем
Y。= Ad + BLu.
Это уравнение имеет нетривиальные решения только при усло| вии, что 7 удовлетворяет характеристическому уравнению ду этого более общего случая!;
det (7Z — Д — В「)= 0.(15.8口
Решения уравнения (15.8") расположены в комплексной плоскости подобно решениям уравнения (15.8), только теперь в каждо| полосе шириною 2л вместо одной точки будут находиться г W =rank (В) точек.
Устойчивость
Все решения уравнения (15.6) устойчивы при х -> оо, еслц все характеристические корни уравнения (15.8) имеют отрицг^ тельную вещественную часть. Этот результат можно получит! как из указанной выше теоремы о разложении, так и из теория преобразования Лапласа 1см., например, Беллман и Кук (1963, гл. 1 ], между которыми, впрочем, имеется тесная связь. 』
Чтобы найти границу области устойчивости, будем иска1| такие значения (X,卩)，при которых первое решение у переходив через мнимую ось, т. е. ? = i0, где 0 вещественно. Подставлн* в (15.8), получим
九=—D при 0 = 0 (вещественное ?),
% =沔一pL^e при 8，0・.
Во втором случае, разделяя вещественную и мнимую части, д/Ц вещественных 入 н р имеем:
n _ 0COS0_0
л = sine 1m
Эти линии нанесены на рис. 15.3. Они разделяют плоскость (X,卩) на область устойчивости и область неустойчивости решений уравнения (15.6). Этот результат получил Хейес (1950).
Положив 0 = л/2, мы найдем, что решения уравнения / (х)= =НУ (х — 1) будут устойчивыми при
—^~《В«0(15.9а)
и неустойчивыми при
|л <—у и при а>0・(15.9b)
Пример из динамики популяций
«Лорд Черуэлл привлек мое внимание к одному уравнению, эквивалентному уравнению (8) [здесь уравнение (15.12)] с а « In 2, которое он встретил, занимаясь приложением вероятностных методов к задаче о распределении простых чисел. Я признателен ему за то, что таким образом он познакомил меня с интересной проблемой.» (Э. М. Райт, 1945)
Мы хотим теперь продемонстрировать обсуждавшиеся выше явления, а также возможности наших программ на нескольких примерах прикладных задач. Впечатляющий список различных
приложений дифференциальных уравнений о запаздывающим' аргументом во всевозможных областях науки приведен в книге Драйвера (1977).
Пусть у (%) представляет численность популяции некоторого^ вида, и рассматривается ее изменение во времени. Простейшая модель неограниченного экспоненциального роста 式=%у была， уже давно заменена гипотезой, что темп роста уменьшается с уве* личением количества особей у из-за болезней и недостатка пищж< и места, что приводит к следующей модели:
旷伊)^k(a-y^^y(A(15.10*
[Верхюльст (1845), Перл (1922)]. «Nous donnerons le nom logll stique a la courbe caracterisee par Fequation precedente»') (Bepf хюльст). Это уравнение решается в элементарных функциям (упр. 1). Все решения с начальными условиями у0 > 0 при 尢-> х асимптотически стремятся к а. Если предположить, что скороЕ роста зависит от численности предыдущего поколения, уравнен»! (15.10) переходит в уравнение о запаздывающим аргументом
&г (行=论(a - J (% - ^)Уу 的(15.14
[Каннингем (1954), Райт (1955), Какутани и Маркус (1958)： Подставляя в (15.11) новую функцию z (%) = kxy (тх) и nocd преобразований переобозначив снова z через у и km через 4 получим уравнение'
y(灯=(2 一gа一1))少(灯.(153
Оно имеет точку равновесия у (х) = а. Подстановкой у (х) « =а + z (%) и последующей линеаризацией можно получи! уравнение z，(х) = —az (х — 1), и условие (15.9) показывает, f эта точка равновесия локально устойчива при 0 <3 а«л/ Следовательно, характеристическое уравнение (в данном ел* Т + ое-У = 0) имеет два вещественных решения тогда и толь! тогда, если а V 1/е = 0,368. При этом возможны монотонно решения уравнения (15.12); в противном случае они носят ко» бательный характер. При а А л/2 равновесное решение неусто чиво: рождается периодический предельный цикл.
Представленные на рис. 15.4 решения рассчитаны тоже с п мощью приведенных в приложении программ RETARD, STOR' YLAG с подпрограммой FCN вида
F (1) =(А — YLAG (1, X — L, PHI))・ Y (1)
для значений А =0.35, 0.5, 1・,1.4 и 1.6.
х)«Мы назвали логистической кривую, характеризуемую предыдущим ypaR нием»* — Франц.
Рис. 15・4・ Решение задачи популяционной динамики (15.12).
Моделирование эпидемии
«De tons ceux qui ont traits cette mautid, c'est sans contredit M. de la Condamine qui Га fait avec plus de succds. Il est dej^ venu 至 bout de persuader la meil- leure partie du monde raisonnable de la grand utility de P inoculation: quant aux autres, il serait inutil de vouloir employer la raison avec eux: puisqu'ils n'agissent pas par principes. Il faut les conduire comme des enfants vers leur mieux...>
«Из всех, кто занимался этим предметом, наибольшего успеха, бесспорно, добился г-н де ля Кондамин» Он уже окончательно убедил большинство здравомыслящих людей в большой пользе прививок; что до остальных, то бесполезно надеяться повлиять на них доводами рассудка, потому что они в принципе непоколебимы. Их следует, как детей, вести к их благу.;.» (Даниил Бернуллщ 1760)
Даниил Бернулли («Docteur еп medicine, Professeur de Physique en rilniversite'de Bale, Associe etranger de FAcademie des Sciences» % был первым, кто применил дифференциальное исчисление для моделирования развития инфекционных заболеваний в своей статье о вакцинации против оспы (1760). В начале нашего столетия математическое моделирование эпидемий вновь привлекло интерес ученых. В конечном счете это привело к появлению классической модели Кермака—Макендрика (1927). Пусть {/1 (х) является мерой восприимчивой части населения, у2 (х)—
■)«Доктор медицинн, профессор физики Базельского университета, ино странный член Академии наук» — Франц.
зараженной, и у3 (х) — невосприимчивой (например, приобретшей5 иммунитет) части. Естественно предположить, что число вновь： заражаемых в единицу времени людей пропорционально произве* дению 乡I (х) у2 (х), как в бимолекулярных химических реакция北 (см. разд. 1.16). Если, кроме того, предположить, что скорость； роста числа невоспримчивых людей пропорциональна числу за*; раженных, мы придем к следующей модели:
у! = —У1У2, У2 = У02 —圾，贝=У2 (15.13У
(для простоты мы выбрали все константы скоростей равными, единице). Эту систему можно проинтегрировать элементарным^
методами (разделите второе уравнение на первое и решите dy2/dy1 烹 =—1 + 1历1)・ На рис. 15.5 показано численное решение с на чальными условиями 弘(0) =5,弘(0) = 0.1, % (0) = 0. Видна как вспыхивает и разражается эпидемия, но в конце концо! каждый приобретает иммунитет, и далее ничего не происходит
Но если допустить, что приобретенный иммунитет через оц ределенное время в теряется, и люди становятся вновь восприим чивыми к заболеванию, мы получим периодические вспышй болезни. Если ввести еще инкубационный период т2, то вмеси (15.13) мы получим следующую модель:
城(х) = —yi (х) у2 (х— 1) +垃(х— 10),
灰(X)= У[(х)吸 а — 1) — У2 W，(15・ L
质(X)= У2 W —物(％ — 10)
(здесь взято 巾 =10,①分 =1). Решение системы (15.14) для началу ных значений % (%) = 5, у2 (х)= 0.1,弘(х) = 1 при %《0 пока зано на рис. 15.6 и описывает периодические вспышки 6олезн#|
Рис. 15.6. Периодические вспышки ваболевания9 модель (15.14).Рис. 15.6. Периодические вспышки ваболевания9 модель (15.14).
Рис. 15.6. Периодические вспышки ваболевания9 модель (15.14).
Рис. 15.6. Периодические вспышки ваболевания9 модель (15.14).
Пример из кинетики ферментативных реакций
Следующий пример более сложен, чем предыдущие. Он описывает кинетику реакций, где катализатором служит фермент (энзим) [Окамото и Хаяси (1984) ]. Рассмотрим следующую цепочку реакций:
(15Л5)(15Л5)
(15Л5)
(15Л5)
Здесь 7 — внешний субстрат, запас которого поддерживается постоянным; совместное действие п молекул конечного продукта У4 ингибирует стадию реакции 匕 т У2, так что ее константа скорости имеет вид
z Ь.
1+a(丸(%))" *
Обычно считают, что молекула ингибитора должна перемещаться в место нахождения регулирующего энзима посредством таких процессов, как диффузия или активный перенос. Рассматривая эти медленные процессы как причину запаздывания по времени, можно получить следующую модель:
gi (%) = / — zyi (х),
(15.16)(15.16)汲(х) = zgi (х) — y2 (x),
(15.16)
(15.16)
找(*)=劣(x) — % (%),〃(%) = % (%) — 0・5物(%),
=1 +0.0005 仇(％ —4)戸.
Эта система имеет точку равновесия zg】 =у* = р& = 0.5у< = L Линеаризация ее в окрестности равновесной точки дает
(15.17)(15.17)质(х) = —с呦(%) + &物(х — 4), 汲(х) = 6玖(*)—必(%) — c2y^(X — 4), 成(%)=鼓(X)- %(X),
(15.17)
(15.17)
妳(X)= % (%) — 0.5% (%).
Здесь введено обозначение q: = ^i « / (1 + 0.004Z8) для равно* весного значения g】и положено с& = q-/8-0.006. Подставляя?
-Рис. 15.7. Решения задачи ферментативной кинетики (15.16), / = 10.5. Началом ные значения близки к равновесному состоянию.-Рис. 15.7. Решения задачи ферментативной кинетики (15.16), / = 10.5. Началом ные значения близки к равновесному состоянию.
-Рис. 15.7. Решения задачи ферментативной кинетики (15.16), / = 10.5. Началом ные значения близки к равновесному состоянию.
-Рис. 15.7. Решения задачи ферментативной кинетики (15.16), / = 10.5. Началом ные значения близки к равновесному состоянию.
сюда вектор g (*) =。•吟 мы придем к характеристическом| уравнению (см. уравнение (15.8')), которое после некоторы! преобразований примет вид
(& + у) (1 + у)? (0.5 + ?) + “?i= 0. (15.1Й
Как и в статье Окамото—Хаяси, положим / = 10.5. Тогда урац нение (15.18) имеет одну пару комплексных корней, лежащи! в С+, а именно, 事
▼ = 0.04246 士 0.47666% :
и равновесное решение неустойчиво (Wm. рис. 15.7). Период к. лебаний решения линеаризованного уравнения равен, такн, образом, Т = 2л/0.47666 = 13.18. Поэтому решения уравнений (15.16) стремятся к предельному циклу с приблизительно тем ж^| периодом. j
Одна математическая модель в иммунологии
Нашу серию примеров мы завершим рассмотрением модели, которую предложил Марчук (1975) для описания борьбы вирусов V (0, антител 尸(/) и плазматических клеток С (f) в человеческом организме, пораженном вирусным заболеванием. Уравнения модели таковы:、
黑•=(比一ha尸)匕
警=E (zn) V7 (f — ⑦ P (f — w) — 友(С- 1),(15.19)
警=友9一尸)一也尸К
Первое уравнение — такое же, как в модели Лотки—Вольтерры для системы хищник—жертва/ Второе уравнение описывает рождение новых плазматических клеток с запаздыванием по времени, вызванное инфекцией, в отсутствие которой второй член порождает равновесие при С = 1. Третье уравнение моделирует синтез антител плазматическими клетками (Л4С) и их убыль в результате старения (—h&F) и в результате связывания антигенов (—hQFV). Наконец, множитель Е (т) имеет вид
если /и《0.1,
8 ⑺=(1 —⑴ если 0・1《/п《1
и выражает факт замедления процесса образования плазматических клеток, когда организм ослаблен вирусной инфекцией. Характеристика степени ослабления т (f) определяется четвертым уравнением
等"=%y - аm)
где первый член выражает ослабление, а второй — восстановление.
Эта модель позволяет, меняя коэффициенты 九仙 九财...» 九8, моделировать все состояния организма: устойчивое здоровье, неустойчивое здоровье, острые формы заболевания, хронический формы и т. д. (подробнее см. гл. 2 в книге Марчука (1983)). На рис. 15.8 показаны решения, рассчитанные нами по этой модели Для следующих значений параметров: о = 0・5, hx = 2,无署=0.8, 九з = 104,九4 = 0.17, Ль = 0.5, Л7 = 0.12, Л8 = 8 и при начальных Условиях V (/) = шах (0,彳 + 10"в), если / < 0, С (0) = 1, Р (0 = 1, если t ^G9 т (0) = 0. Получаемая картина зависит от
величины Лв. При Лв == 10 мы видим полное выздоровление (ош ределяемое условием V (/) < 10~1в), а при Лв = 300 наблюдаются периодические вспышки болезни, связанные с ослаблением орга] низма: /и (/) достигает значений, близких к единице.
Рис. 15.8. Решения иммунологической модели Марчука*Рис. 15.8. Решения иммунологической модели Марчука*
Рис. 15.8. Решения иммунологической модели Марчука*
Рис. 15.8. Решения иммунологической модели Марчука*
Интегро-дифференциальные уравнения
Нередко оказывается, что предполагать поведение систев в момент 尢 зависящим от ее состояния в какой-то определений предыдущий момент х —守 не очень реалистично: правильней 6叫 бы считать, что система испытывает влияние предшествующ состояний, имевших место в течение некоторого периода времен В таком случае уравнение (15.1) следует заменить, наприме
(15<(15<уравнением
(15<
(15<
，'⑴=/ %，У^ J К(х, 3 g(E))dg ・
4T
Численное решение таких задач обходится намного дорож Если К (%, Si У)обращается в нуль в окрестности диагонм х = Е, то можно, в конце концов, использовать програш RETARD, где при каждом обращении к вычислению функ碱 придется вызывать подпрограмму, вычисляющую интеграл.
К счастью, многие интегро-дифференциальные уравнения удается свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнедиям с запаздывающим аргументом, вводя вместо интеграла новые переменные.
Пример. [Вольтерра (1934) ] Рассмотрим уравнение
д' (х) = (в — ад (х) — j д (g) k(x-^ d^y (x),(15.21)
описывающее динамику популяции. Здесь интегральный член описывает уменьшение скорости размножения вследствие загрязнения среды. Пусть теперь, например, k (х) = с. Тогда, положив
\ у (^)dl=^v (х), р (%) = У (%), о••
мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение
и" (%) = [в — at/ (%) — си (х)] и' (%)・
Такой же метод можно применить и к уравнению (15.20) с «вырожденным ядром», т. е. когда
т
К (爲 Е, У)= £%(%)瓦倡办(15.22)
Подставляя (15.22) в (15.20) и вводя
S(%) = J瓦售，学(励喝(15.23)
мы получим дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом:
т
У(%)= /(%, у (х), £ q (%) Vi (*)),
5 (%)=力(看 У (%)) -&(% — %?(% — С)),(15.20z)
£1,.・・，/и.
Упражнения
Найдите решение уравнения Верхюльста—Пёрла (15.10).
Найдите точки равновесия для уравнения Марчука (15.19) и исследуйте их устойчивость.
Пусть ядро 右(％) в уравнении Вольтерры (15.21) имеет вид А (х) = р (х) f,
где р (х) — некоторый многочлен. Покажите, что эта зад|| может быть преобразована в обыкновенное дифференциал^ уравнение.
Рассмотрите интегро-дифференциальное уравнение
『(Х) = f (*，9 (х)，j к (х, Е，g (£))嘴) (15~
и покажите, что:
Для вырожденного ядра (15.22) задача (15.24) эквивалента обыкновенному дифференциальному уравнению
W = f ((^> У О 占的(%) Uj (х)}(15 彳
W (%) = bj (x, g (*))・
Применение явного метода Рунге—Кутты р-ro поря』 к задаче (15.25) приводит к формулам
%+i = % +九S "/3 +叫嘅叫"小
ё^^Уп+h^ 嗝(左 + 叩,g『)，吋))，(15・*
гдегде吋)=f「& + c也)+ A Sa"K 因 + e^ хп + e^ g产Ь
где
где
8⑴=0,
尸叶工⑴=рп(»+ft £ 〃4 (%，/+q瓦设叫
(эти формулы получил Пузе (1963)).
При применении метода (15.26) к задаче (15.24) сходимо4| порядка р получается и в том случае, если ядро не удовлет^ ряет требованию (15.22).
Указание. Аппроксимируйте ядро вырожденным ядром.
[Дзеннаро (1986)]. Для дифференциального уравнения с 1 паздывающим аргументом (15.1) • рассмотрите метод (15J в котором формула (15.5с) замейена на|
к /屮恤+ e亦一明если п < й,」
* = t 01 ©)， если 〃》岛 *
где qn (0) — многочлен, даваемый непрерывным методом Рунге—Кутты (см. разд. II.5):
猴(0) = ^п + ЛЕ 6 (0)/(хЛ + с九向？疗))・ Zel
Докажите, что:
Из условий ортогональности*
(8~1 Y ⑴ j bj (0) ФЛО -切⑴ de = 0(15.27)
при ? + p (0《р
следует сходимость порядка р, если исходный метод Рунге— Кутты имеет порядок р для обыкновенных дифференциальных уравнений.'*
Указание. Воспользуйтесь теорией В-рядов и формулой Грёб- нера—Алексеева (14.18) из разд. 1.14.
Если для данного метода Рунге—Кутты многочлены bj (0) степени не выше [(р + 1)/21 таковы, что
J efj (8)曲=十 ％ (1 -第(15.28)
о
при g = 1,・・・,[(р — 1)/2] и % (0) = 0, bj (1) = bj,
то условия (15.27) удовлетворяются. Кроме того, имеют место условия порядка
2 & (6) ®(f) = при р ⑴《[(р + 1)/2]. /=1
Условия (15.28) однозначно определяют вид многочленов bj (0) степени [(р + 1)/2].
Решите уравнение Вольтерры (15.21) с й (х) = с и сравните решение с решением задачи «без загрязнения среды» (15.10). Какой популяции живется лучше: при наличии загрязнения или без него?
11 Хайрер Э. в др.
Глава III
Многошаговые методы и общие линейные методы
Эта глава посвящена изучению многошаговых и общих многозначных методов. После прослеживания их исторического развития (Адамс, Нюстрём, Милн, БДФ) мы изучаем в последующих разделах порядок, устойчивость и свойства сходимости этих методов. Сходимость наиболее удобно исследовать в форме одношаговых методов в пространствах высших размерностей. Разделы Ш.5 и III.6 посвящены методам с переменной длиной шага и ме* тодам Нордсика. Затем мы обсуждаем различные имеющиеся, программы и сравниваем их характеристики на численных примерах из разд. 11.10, а также на некоторых уравнениях высокой размерности. Прежде чем закончить главу разделом о спецналь」 ных методах для уравнений второго порядка, мы обсудим две! темы, для которых развита обширная теория: первая из них — общие линейные методы, включая методы Рунге—Кутты, много^ шаговые методы и многие их обобщения, а другая — асимптотик ческое разложение глобальной погрешности таких методов.
Классические линейные многошаговые формулы
«... и если бы я располагал только своими собственными возможностями, то мне пришлось бы прервать начатое. Но в этот момент профессор Дж. К. Адамс предоставил мне вполне удов летвор итель ный метод решения с помощью квадратур дифференциального уравнения Лапласа, теоретически описывающего формы капель жидкости...»
(Ф. Башфорт, 1883)
Еще раньше, чем методы Рунге—Кутты, был рассмотрен другой способ усовершенствования метода Эйлера — методы Адамса. Джон Куч Адамс разработал их для решения задачи, с которой столкнулся Ф. Башфорт при исследовании капиллярных процессов. И задача, и схемы численного интегрирования опубликованы в работе Башфорта (1883). В действительности появление этих методов должно датироваться не позднее чем 1855 годом, так как в этом году Ф. Башфорт обратился в Королевское общество с просьбой о предоставлении государственной субсидии. Он писал: «...но я обязан г-ну Адамсу, предложившему метод решения дифференциального уравнения
1 dz"и Зи"1 dz"и Зи"硕一2az =等硕一2az =等
1 dz"и Зи"
1 dz"и Зи"
硕一2az =等
硕一2az =等
представленного в виде
-^—(- -^- sin ф = 2 + 2ab® -^- = 2 + 0 -^-,
поскольку это уравнение описывает теоретическую форму капли с точностью, превосходящей наиболее тонкие измерения».
В отличие от одношаговых методов, в которых численное решение получают только из дифференциального уравнения и начального условия, алгоритм Адамса состоит из двух частей: первая из них — это стартовая процедура для определения Уъ ...» Уа“ (приближенных значений точного решения в точках % + •・.，ди。+ (也一1) Л), а вторая ——многошаговая формула Для получения приближенного значения точного решения У (%о + 々力).Затем эта формула применяется рекурсивно для того, чтобы по численному решению на k последовательных шагах вычислить у (х0 + (fe + 1) Л) и т. д.
Стартовые значения можно получить несколькими способами. Дж. К. Адамс вычислял их с помощью разложения точного решения в ряд Тейлора (как описано в разд. L8, см. также у пр. 2). Другой способ состоит в использовании какого-либо одношагового метода, например метода Рунге—Кутты (см. гл. II). Стартовые значения часто также вычисляют методами Адамса низкого порядка с очень малым шагом.
Явные методы Адамса
Теперь тем же способом, что и Адамс, выведем первую группу явных многошаговых формул. Для точек сетки введем обозначение *» = xQ + ih и предположим, что нам известны численные приближенные значения уП9 уп^, ..., уп^+± точного решения у (%/, ..., у(Хп-fe+i) дифференциального уравнения
Уг = f (^, у\ У (х0) =%・(1.1)
Адамс рассматривает (L1) в интегральной форме:
歹(2 =皿+ J fG p(f))df・(1.2)
В правую часть (1.2) входит искомое решение у (灯.Но поскольку нам известны его приближенные значения уп-к+ъ ・••, Уп,①。叩 располагаем также и величинами扌
力=f (修，^) при Z =九一也 + 1,…，九， (1.3J а поэтому естественно заменить функцию f & у (/)) в (1.2) интер^ поляционным многочленом, проходящим через точки |(хь /0 | i W 8= п — fe + 1, ..., п}. Его можно выразить через разности наза^ вида
v°fn = /n, vwfn = v7n-v7n-i следующим образом:
р (О = р(xn+sh)=k^(-1)/ (~s.) V7n a# [интерполяционная формула Ньютона; см., например, pa6oR Хенричи (1962) ]. Тогда численный аналог (1.2) задается формуле»
жп+1
Уп+1 = Уп + j Р (t) dt,
или после подстановки (1.4)
论一I
уп+1 = Уп + 力 Е Yjv7n>(1-Ч
где коэффициенты 力 удовлетворяют равенству
(1.6)(1.6)
(1.6)
(1.6)
(их числовые значения см. в табл. I.I). Далее для этих коэффициентов будет выведено простое рекуррентное соотношение (формула (1.11)).
Таблица 1.1.
Коэффициенты явных методов Адамса
/
0
1 2 34
б
6
7
8
力
1
丄亘且至1 万五"7 "720
95 丽
19 087
60.480
5257
17 280
1 070 017
3 628 800
Частные случаи (1.5). Для fe = 1, 2, 3, 4, выразив разности назад через /几一力 получим следующие формулы:
也=1： Pn+l = Уп + h，M
(15)(15)々=2: уп+1 = у” + 九Ai/пт],
(15)
(15)
々=з： уп+1 = 9п + 九[-yj-fn拼 〃T + fn^ ,
也=4： yn+1 = Уп + 力[-Ц~ fn1|- fn-1 + -f^- /п-2^~ Ait] • Замечание. Для ^ = 1 мы имеем явный метод Эйлера.
Неявные методы Адамса
Формулы (1.5) получены при интегрировании интерполяционного многочлена (1.4) от хп до хп+1, т. е. вне интервала интерполяции (xn_ft+1,无п). Хорошо известно, что вне этого интервала интерполяционный многочлен обычно дает довольно плохое приближение. Таким образом, явные методы Адамса не очень точны. Поэтому Адамс исследовал также методы, где (1.4) заменен на интерполяционный многочлен, дополнительно использующий то^ку (力+L £+1), т. е. на
"♦ (f) = p・(/ + sh)= Д (一1)《7 广 1 卜伟+1.(1.7)
Подставляя этот многочлен в (1.2), получим следующий неявны^ метод:夕
gn+i = yn+h S 哺v仇+i,(1 ・&
где коэффициентыу； удовлетворяютравенствуj
£=(一1)，「厂)由，(l.《
а для /《8приведены в табл. 1.2.Для этих коэффициента!
также можно вывести простое рекуррентное соотношение (упр. 3^
Таблица
1.2. Коэффициенты неявных
методов
Адамса
/
0 1 2 345
6
7
8
V
[1 —1 —1 —19 —3
-863
—275
—33 953
2 12 24 720160
60 480
24 192
3 628 800
вид:(1・8вид:(1・8Полученные таким образом формулы имеют общий
вид:
(1・8
вид:
(1・8
Уп+1 = Уп + 力[₽/Jn+l + ・・・ + ₽(/п-А+11*
Первые из них суть
а = о： %+i = %+时п+1.
1： Уп+工1： Уп+工=%+力[} /п+i + 4*7 J
1： Уп+工
1： Уп+工
=Уп + h ["^ fn+i + q^~ fn古* fn-ij,
也=3： Уп+1 = Уп + 也["^ 左+l + "24~ fn24"片7 + ~24~ 片“]・
В частных случаях 也=0 н 也=1 мн имеем неявный метод ЭМ лера и правило трапеций соответственно. В действительности 扌 одношаговые методы, и они уже рассмотрены в гл. II.7. R
Вся группа методов (1.8) более точно, чем (1.5), аппроксимя рует решение дифференциального уравнения. Мы подробно осп новимся на этом вопросе после введения понятий порядка й коя станты погрешности (разд. III.2). Повышение точности получем за счет того, что формула (1.8) определяет уп+1 только неявга Таким образом, в общем случае на каждом шаге требуется м шать нелинейное уравнение. Это можно сделать с помощью *
тода простой итерации. Пусть 必¥i аппроксимирует уп^ определим
44 = % +力巾/(*叶卩 0犀)) + Bx%+・・・+BJi+J (LIO)
Тогда, если шар Л достаточно мал, то при /—8 у爲 сходится к численному решению (1.8)协中.На практике в качестве д冷 используют значение, полученное по явной формуле ,(1.9) («предиктор»), а затем выполняют одну итерацию формулы (1.10) («корректор»). Этот метод использован в работах Мултона (1926) и Милна (1926). Дж. К. Адамс решал неявное уравнение (1.8) методом Ньютона, как это принято теперь в случае жестких уравнений (см. т. П).
Замечание. Формулу (1.5) часто приписывают Адамсу и Баш- форту, а (1.8) — Адамсу и Мултону [Мултон (1926) ]. В действительности обе формулы принадлежат- Адамсу.
Рекуррентные соотношения для %
Используя эйлеров метод производящих функций [см., например, работу Хенричи (1962) ], можно вывести простые рекуррентные соотношения для у». Обозначим через G (0 ряд
G(/) = £M
Из определения 丫丿 и биномиальной теоремы получим
= J(l_f尸由=_丁1二 f)K(l_f)・ о
Это равенство можно записать в виде
log(l-f)log(l-f)G⑴=占G⑴=占
log(l-f)
log(l-f)
G⑴=占
G⑴=占
или
】+f +尸+…】+f +尸+…(1 + } f + g /2 + • • • )(Yo + 丫" + 丫2濟 +•••) =
】+f +尸+…
】+f +尸+…
Сравнивая коэффициенты при /т, получим требуемое рекуррентное соотношение
Tm + 4-YmT + : утt+ …+ 加；广 次 = L (1.") Аналогичная формула для неявных методов Адамса рассматривается в упр. 3.
Явные методы Нюстрёмаi
«Приближенное интегрирование нашло, особенно в noci леднее время, обширную область применения в то<* ных науках и в технике».|
(Е・ Дж. Нюстрём, 1925)j
В своей обзорной статье по численному интегрированию дн亦 ференциальных уравнений (на которую мы уже ссылались f в разд. 11.13) Нюстрём (1925) также представил новый к〃а& многошаговых методов. Вместо (1.2) он рассматривает интегралу ное уравнение ]
g (%“)= g (/т) + J f(f,g(f))d/・(1.Ц
Точно так же, как Адамс, он заменяет неизвестную функций f «，У (0) многочленом р (/), заданным с помощью (1.4), и пол% чает формулу一；
乡用=%т +九Е ^fn(1 •叫
/3《
с коэффициентами
出=(—1)7出=(—1)7
出=(—1)7
出=(—1)7
Первые шесть из этих коэффициентов приведены в табл. 1.& Е. Дж. Нюстрём рекомендовал формулы (1.13) по той причин^ что коэффициенты 乂丿 больше подходили ему для расчетов, чем 胃 из (1.5). Этот, несомненно, разумный при ручном счете совет N ряет смысл в случае вычислений на ЭВМ. ；；
Таблица 1.3. Коэффициенты явных методов Нюстрёма
/
01234б6
201129141139
3390453780
Частные случаи. При А == 1 имеем формулу
Уп^х = У п-1 + 2Л/п・
Этот простейший двухшаговый метод называется правилом ср( ней точки. Его симметричность оказалась крайне полезным свс
ством для экстраполяционных схем из разд. П.9. Случай 饱 =2 не дает ничего нового, поскольку 出=0・ Для 儿=3 получим
(1.13*)(1.13*)Вп+1 = 9nT + А [ W /п 1~ %Т + } fl] •
(1.13*)
(1.13*)
Методы Милна—Симпсона >
Снова рассмотрим интегральное уравнение (1.12J. Но теперь заменим подынтегр аль ное выражение на многочлен р* (/) из (1.7), в котором дополнительно к fn, ..., fn^M при интерполяции используется также значение f1Hl. Действуя, как обычно, получим на этот раз неявные формулы
(1.15)(1.15)(1.16)(1.16)，叶 1 = "I + 力 Е X/V7n+1-
(1.15)
(1.15)
(1.16)
(1.16)
Коэффициенты к； определяются формулой
時=(—1)2 I ( $ j 1 )办‘
а числовые значения для первых из них приведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4. Коэффициенты методов Милна—Симпсона
/
0123486
纣
2 Т *。$ 謐
Запишем методы для нескольких значений 財 выразив разности назад в (1.15) через fn^
也=0： Уп+i = Упт + 2ftfn+i>
也=1:也=2:也=1:也=2:Уп+i = Упт + 2/i/n,
也=1:
也=2:
也=1:
也=2:
(1・15‘)(1・15‘)Уп+1 = Уп-1 + Л [-у /п+1 + 扌片 + 扌 /п-1 J > 〃М = УпТ + Л ["§5~/»+1 + 4^-片 + "^Г，пТ +
(1・15‘)
(1・15‘)
+ 书片 /пт go" %т].
В частном случае 也 =0 мы имеем в точности неявный метод Эйлера с шагом 2Л. Для k = 1 получим выведенное ранее правило средней точки. Частный случай % = 2 дает интересный метод,
известный как метод Милна [см. работы Милна (1926), (1970) Это прямое обобщение правила Симпсона.
Было исследовано и много других подобных методов. В( они основаны на интегральном уравнении вида
(1.17)(1.17)"п+1
(1.17)
(1.17)
У (Хп+1) = У (Xi) + \ f(i, У (0) dt,ХП-1
в котором f (f, у (0) заменяется интерполяционным многочлен ном р ") [формула (1.4)] или р* (f) [формула (1.7) ]. Например для / = 3 получим ;
Данную формулу Милн (1926) использовал в качестве «предик тора» для своего метода: для решения неявного уравнения (1.15^ он применяет одну или две итерации метода простой итераций о начальным приближением, вычисленным по формуле (1.18)
Методы^ основанные на дифференцированииj
«Моя фамилия Gear. — Как? — Gear, dshii, il, a?
are. — Jiea?》■
(В парижской гостинице.)
Все рассмотренные до сих пор многошаговые формулы ocHq ваны на численном интегрировании, т. е. интеграл в (1.17) ап проксимируется с помощью какой-либо квадратурной формулы Теперь перейдем к многошаговым методам, воплотившим совсе! другую идею — численного дифференцирования искомой фунЦ Дии.；
Предположим, что известны приближенные значения %_“* ・； уп решения дифференциального уравнения (1.1). Чтобы вывеси формулу для уп+ъ рассмотрим интерполяционный многочлен q (х( проходящий через точки |(хь y^\i = n -k-\-\, ..., n + 1}. Как многочлен (1.7), его можно выразить через разности назад,, именно
g(x) = g(x“ + s/i)= £ (—1)(• V^n+i- (1*
/=o\//；
Определим теперь неизвестное значение уп+1 таким образом чтобы многочлен q (х) удовлетворял дифференциальному уравн( нию по крайней мере в одном узле сетки, т. е.1
g(Xn+i-г) = f (хп+1т, Уп+i-r)»(1・2《
Для г = 1 получим явные формулы. При 也=1 н 也=2 они эквивалентны явному методу Эйлера и правилу средней точки соответственно. В случае & = 3 формула имеет вид
g 9n+i + } % —+ + Упт = Wn*(1 ・21)
Однако она неустойчива, как и все остальные формулы при й > 3 (см・ разд. III.3), и поэтому непригодна для расчетов.
Значительно интереснее формулы, получаемые из (1.20) при г = 0. Это неявные формулы
在
»6»д计［=財叶］(1.22)
с коэффициентами
б；=(т)闺丁)L
которые после дифференцирования биномиального коэффициента(-l)7「jl)=*(s-l)s(s+l)・・・(s + /-2)
приводятся к виду
85 = 0, 6； = + при /> 1.(1.23)
Поэтому (1.22J сводится к формуле
二十屮外以=时^.(1.22)
Эти многошаговые методы, известные как формулы дифференцирования назад (ФДН- или BDF-методы), широко используются для интегрирования жестких дифференциальных уравнений (см. т. II). Они введены в работе Кёртиса и Хиршфельдера (1952); Митчелл и Крэгге (1953) называют их «стандартными пошаговыми методами».
Для полноты изложения приведем эти формулы, выразив в них разности назад через 拆―：
厶=1 ： Уп+i —= Л/п+1,
厶=2: -|" уп+1 — 2уп + -у- f/n-i =明+1，
厶=3： -^- Уп+1 — 3% + 等 УпТ1~ Уп-2 = hfn+lt
厶=4: -у|- уп+1 — 45n + Зупт1- Уп-2 + ； Упт = hfn+u
332 Гл. Ш. Многошаговые методы и общие линейные методы
也=5: -^-уп+1 — 5уп + 5外ту-Ума + -|"Уст —""2 :
5~ У п-4 =九fn+I，
厶 公 147c . 1520. 15
尼=6・-gQ- Уп+i ——6pn + -^- Уп—i^- yn^ + -j~ Уп^з —
6. 1
5~ Уп~4 I Pn-5 =n+1*
При Л > 6 BDF-методы неустойчивы (см. разд. III.3).
Упражнения
Пусть заданы дифференциальное уравнение уг = у* у (0) =| и точные стартовые значения у, = 1/(1 —xj при i = 0, 1,.,
Рис. 1.1. Решение дифференциального уравнения (1.24) и иллюстрация из Башфорта.Рис. 1.1. Решение дифференциального уравнения (1.24) и иллюстрация из Башфорта.
Рис. 1.1. Решение дифференциального уравнения (1.24) и иллюстрация из Башфорта.
Рис. 1.1. Решение дифференциального уравнения (1.24) и иллюстрация из Башфорта.
…，k — 1. Применить методы у (%片)一у； при малых шагах.…，k — 1. Применить методы у (%片)一у； при малых шагах.Адамса и изучить выражен^Адамса и изучить выражен^
…，k — 1. Применить методы у (%片)一у； при малых шагах.
…，k — 1. Применить методы у (%片)一у； при малых шагах.
Адамса и изучить выражен^
Адамса и изучить выражен^
Рассмотрим дифференциальное уравнение из начала данноп раздела. Оно описывает форму капли и может быть задана в виде {Ф. Башфорт (1883); та же задача, что и в упр. 2 у разд. П.1, но в другой системе координат]:
dxdz ,八
再=р cos ф, 石=Р sin ф,(l.・24
где3
专+¥=2 +限(1且
Можно считать р функцией координат % н z н понимать ней радиус кривизны. Через <р обозначен угол между нормаль! к кривой и осью z (рис. 1.1). Заданы следующие начальные уЦ
ловил: х (0) = 0, z (0) = 0, р (0) = 1. Решить это уравнение с помощью предложенного Адамсом способа:
Предположим, что р можно представить в виде
p = 1 + "№ + 瓦94+ ….
Подставив это выражение в (1.24), в результате интегрирования получим первые члены разложения х (<р) и z <(р) в ряд Тейлора о коэффициентами, зависящими от Ь2, %,…,и т. д. Эти параметры можно вычислить из (1.25), приравняв коэффициенты при(рт. Таким образом, получают решение при малых значениях <р (стартовые значения).
с помощью одной из предложенных многошаговых формул вычислить решение для заданного 卩(например, Р = 3) на интервале [0, я].
Доказать, что определенные в (1.9) коэффициенты у； удовлетворяют соотношениям
?о = Ь
?т + -у* ?m—I + "У" ?т—2 + . . . + "m ^Jjj" То = 0 ПрИ /И > 1・
Пусть коэффициенты 乂力 х；, у力 у； определены в (1.14), (1.16), (1.6), (1.9) соответственно. Показать, что выполняются равенства
旳=2力一力Т,若=2若一y/-i при / > 0
(где 7-i =忆=0).
Указание: разбив интеграл в (1.14) на два слагаемых, можно установить равенство х； =打 + у；. Соотношение у； = 丫丁 一 —Yj-i получается с помощью известного тождества для биномиальных коэффициентов.
Ш・2・ Локальная погрешность и условия порядка
<Вы знаете, я ведь многошаговый человек... и никому не говорите, что моей первой программой для первой шведской ЭВМ была реализация метода Рунге— Кутты...»
(Г. Далквист, 1982, после нескольких бокалов вина; печатается с его разрешения)
Исследования Далквиста (1956, 1959) положили начало общей теории многошаговых методов, а широкую известность она приобрела благодаря книге Хенричи (1962). Для всех многошаговых формул из предыдущего раздела общим является линейное вхождение в них значений численного решения уь а также 厶・ Поэтому рассмотрим разностное уравнение общего вида
ал9п+л + °^_传n+RT + ・・・ + а电п = Л (PJn+儿 + ・・・ + BJQ，(2・1)
включающее все эти формулы как частные случаи. В (2.1) пара* метры аь 孤一вещественные числа, Л обозначает величину шага» а
h = f 8, %，Xi=-xQ + ih.
В этой главе мы будем считать, что выполнены следующие уело* вия:
纭，0, lool + IPol>0. (2效
Первое предположение означает, что неявное уравнение (2.1$ разрешимо относительно yn+h по крайней мере при достаточна! малых Л. Второе соотношение из (2.2) всегда можно получить>；| уменьшив при необходимости индекс k. 《
Формула (2.1) называется линейным многошаговым, а точнее,^ линейным ^шаговым методом. Будем различать явные (卩片 =件 и неявные (pft 力 0) многошаговые методы. J
Локальная погрешность многошагового метода ]
Поскольку численное решение, полученное многошаговый методом, зависит не только от задачи Коши (1.1), но и от выбора стартовых значений, определение локальной погрешности в этой случае будет не таким простым, как для одношаговых методой (сравнить с разд. П.2 и II.3).
Определение 2.1. Локальной погрешностью многошагового метода (2.1) называется величина
у (右)-%，
где g (%) — точное решение задачи / = f (х, у), у (/) = у09 a yh — численное решение, полученное по формуле (2.1) при точных стартовых значениях у* = у (%) f = 0, 1, •••, k — I.
у
Рис. 2.L Иллюстрация локальной погрешности.
В случае k = 1 это определение совпадает с определением локальной погрешности для одношаговых методов. Чтобы показать связь с другими ее возможными определениями, сопоставим формуле (2.1) линейный разностный оператор k
厶 ® *,力)=总 口中(х + 访)一h^ (* + 彻. (2.3) Здесь у (%) — какая-либо дифференцируемая функция, которая задана на интервале, включающем значения х + /й, i =0, 1, ..., Л.
Лемма 2.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1.1) с непрерывно дифференцируемой функцией f (х, у) и решением у (%)・ Тогда для локальной погрешности выполняется равенство
У (/)-九=(a〃 一力％%(△, "))т 厶(弘 x0, й).
Здесь Т)6 скалярном случае является некоторым промежуточным значением между у (%片)u yh. Если f — векторная функция, то -|~- (xh9 т|) — матрица Нкоби, строки которой вычислены, еоз・ можно, при разных значениях, принадлежащих отрезку между У (办)u%.
Доказательство. По определению 2.1, yh задается в неявном виде уравнением
鼻 口切(左)一h^tf (xh у (打))]+ a^ - h^(4,办)=0.
Подставляя в него (2.3), получим
L 匂，/, *)=外[у (/)一yh] - Й?Л 炉(九，у (%))一 / %, ")], откуда по теореме о среднем следует утверждение леммы. ■
Эта лемма показывает равенство локальной погрешности и главного члена выражения a『L (у, %。，Л), которое иногда также называют локальной погрешностью (Далквиот 1956, 1959). Для явных методов оба определения совпадают.
Порядок многошагового метода
Определив локальную погрешность многошагового метода, для него таким же образом, как для одношаговых методов, можно ввести понятие порядка.
Определение 2.3. Говорят, что многошаговый метод (2.1) имеет порядок р, если выполняется одно из следующих двух условий:
L (巩 ％, ftj =0(加+叮 для всех достаточно гладких функций у (%);
локальная погрешность формулы (2.1) равна О (九"+【) для всех достаточно гладких дифференциальных уравнений (1.1).
Отметим, что по лемме 2.2 условия i) и ii) эквивалентны. Следующая 工наша задача — выразить порядок многошагового метода через Ъго свободные параметры % н 阮 Далквист (1956) первым указал на фундаментальную роль многочленов
Р (U) = а^У + 味＜1 + ... + %,0售)=阮计+膝Tу~ +...+阮.
Назовем их производящими многочленами многошагового метода, (2.1).,扌
Теорема 2.4. Многошаговый метод (2./) имеет порядок д； тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующи^\ эквивалентных условий:
在A在
£ а, = 0 н £ а严=g £ М°т при g = 1,・・・，р;
81f«=0f=Q
р (眇)一Ла (叫=О 侬+i) при 力 f 0;
比)偎一。© = О (G - 1)") при С f 1.
Доказательство. Подставляя в (2.3) разложение в ряд Тейлор! (при необходимости усеченное) для у (% + 仇)и у' (х + 访)，по-
лучимL (弘 X, й) = £ j«=QлучимL (弘 X, й) = £ j«=Q" 2击朋兴）（*）一'м е片川"+"" 2击朋兴）（*）一'м е片川"+"д(х)Е%+Е5м(х)д(х)Е%+Е5м(х)w]w]
лучим
L (弘 X, й) = £ j«=Q
лучим
L (弘 X, й) = £ j«=Q
" 2击朋兴）（*）一'м е片川"+"
" 2击朋兴）（*）一'м е片川"+"
д(х)Е%+Е5м(х)
д(х)Е%+Е5м(х)
w]
w]
(2.5) откуда следует эквивалентность условия i) равенству L (弘 ％, й)= =0 (九叶1) для всех достаточно гладких функций у (%).
Остается доказать эквивалентность всех трех условий теоремы 2.4. Эквивалентность условий i) и ii) следует из тождества
L (ехр, 0, Л)\=р ©) — Ла (еЛ),
в котором через ехр обозначена экспоненциальная функция, и полученного из (2.5) равенства
а- кл -
L (ехр, О, Л)=E% + £方е®严-02昵1.
J«О0aI _，=Q/=0-
С помощью преобразования g = S (или Л = log 扌)условие ii) можно записать в виде
Р «) — log 8 © = О ((log W+i) при U f 1, что эквивалентно условию iii), поскольку
log С = (С - 1) +。((U - В) при С f L ■
Замечание. Для многошаговых методов условия первого порядка, называемые обычно условиями согласованности, можно также записать в виде
р ⑴=0, р^ (1) = а (1).(2.6)
Если читателю понятно доказательство приведенных выше условий порядка, то и более общий случай неравномерных сеток не представит для него трудностей [см. разд. Ш.5 и книгу Штет- тера (1973)1.
Пример 2.5. Порядок явных методов Адамса. Сначала определим, для каких дифференциальных уравнений явные методы Адамса теоретически дают точное решение. Это происходит в том случае, когда многочлен р (/) в (1.4) равен f (f, у (f)). Предположим теперь, что / (/, у) ^f (0 не зависит от у и является многочленом, степень которого меньше k. Тогда с помощью явных ме-
тодов Адамса получается точное решение дифференциальнв| уравнений:
矿=咨т при g = 0, 1,・・•，瓦
Это означает, что локальная погрешность равна нулю, а, следо: тельно, по лемме 2.2
О = L (炉$ 0,五)=加 £ а严一g £ В严т при g = 0$ ・・”瓦 |h=Q f=Q J
Эти равенства совпадают с условием i) из теоремы 2.4 при р ==^| а поэтому явные методы Адамса имеют порядок не ниже k.用 лее показано, что он и не превосходит k (пример 2.7). 1
Пример 2.6. В неявных методах Адамса вместо р (f) испал зуется многочлен р* (f), заданный в (1.7). Поскольку степень р* на единицу выше, чем у р (/), такие же, как в примере 2.5, раВ ждения показывают, что неявные методы Адамса имеют поряД не ниже 々 + 1.
Аналогично можно рассмотреть все остальные методы разд. III.1 (см. у пр. 2 и табл. 2.1). &
Константа погрешности многошаговых методов
Порядок многошагового метода показывает, насколько d стро погрешность стремится к нулю при Л -＞ 0. Однако метб| одного порядка могут иметь разные погрешности; они различают константой погрешности. Из формулы (2.5) видно, что разно! ный оператор L, соответствующий многошаговому методу поряд р, для всех достаточно гладких функций у (х) удовлетвори
равенству
L (弘 х, Л) = Ср+/叶I屮+D (%) +。(2+2), где константа Ср+1 вычисляется по формуле
-hл ~
&+1=市』＞＞严+-("+1)E0产•
Эта константа не подходит в качестве меры точности, поскол耳 для нее можно получить любое числовое значение, умножив М мулу (2.1) на соответствующую постоянную, что не изменит 圖 ленного решения \уп]. Для этого больше подошла бы конста! a^iCp+i, так как локальная погрешность многошагового меЛ удовлетворяет соотношению (см. лемму 2.2 и формулу (2《
У (力)一力=^Ср^у{р^ (хо) + О (М+2).
Но такое определение тоже не может нас удовлетворить по нескольким причинам, которые станут понятны из следующего объяснения. Обозначим через еп глобальную погрешность, масштабированную на Лр:
° 一 Уп — У(хп)
Вычитая (2.1) из (2.3) и учитывая (2.7), получим kk
e %/川=力f£ 也 с (%m，力Q - / (Х2，У (%2))) /«0JO
-Cp^hy^Hx^ + O^).(2.10)
Теперь, чтобы в (2.10) ртносящийся к погрешности член внести под знак суммы с коэффициентами 阮 используем равенство
gS+D (厶)=击 2 ^У^^ +。仇)・⑵ 11)
Линеаризуем выражение
f (^n+b Уп+t) — f (*n+t，" (%ти4)) = "^" (^n+i> У (%тн4)) A”n+t +。(五?")
и подставим его, а также (2.11), в (2.10). Пренебрегая членами О (й2) и О (九2「), мы можем рассматривать полученную формулу как многошаговый метод, примененный к задаче
£' ® =亲(%，У W) © ⑴一禽s+d (х), е (х0) = 0, (2.12) где
6 =箫(2.13)
является естественной мерой глобальной погрешности и поэтому называется константой погрешности.
Другой вывод определения (2.13) будет указан в разделе, посвященном глобальной сходимости (см. у пр. 2 из разд. IIL4). Кроме того, решение задачи (2.12) дает первый член асимптотического разложения глобальной погрешности (см. разд. III.9).
Пример 2.7. Константа погрешности явных методов Адамса. Рассмотрим дифференциальное уравнение 外=f (力)с функцией f (%) = * + 1) х尼 и точным решением у (х) =%/+L Поскольку зт。уравнение интегрируется точно явным методом Адамса (см. пример 2.5), имеет место равенство
У %) - У %т)=九 £ Y/V 偽т・
Поэтому локальную погрешность й-шагового явного метода Адамса (1.5) можно записать в виде
У %)—力=九Y/%t = hk+^kf^ (% =胪+%屮+D (/)・
В силу неравенства ^Л ^： 0 из этой формулы следует, что порядок ^-шагового метода не превосходит 々(сравните с примером 2.5). Кроме того, учитывая, что аЛ = 1, при сопоставлении последнего соотношения с формулой (2.9) придем к равенству См = 丫肌 И наконец, для методов Адамса р 隽)=目一『т и pz (1) == 1, а поэтому с помощью (2.6) получим значение константы погрешности c = 7片.
В табл. 2.1 приведены константы погрешности всех рассмо тренных выше многошаговых методов (отметим, что для явного метода Нюстрёма и метода Милна—Симпсона и (I) = 2).
Таблица 2.1. Порядок и константа погрешности многошаговых методов
Метод
Номер формулы
Порядок
Константа погрешности
явный Адамса
35)
Ya
неявный Адамса
(L8)
k + 1
правило средней точки
（1」3‘）
1/6
Нюстрёма, & > 2
(1ЛЗ)
乂 "2
Милна, Л = 2
(1・15‘)
—1/180
Милна—Симпсонй,也>3
(1.⑸
k + 1
峭л/2
-1/但 + 1)
ФДН
(1.22z)
Неприводимые методы
Пусть производящие заданы формулами (2.4), множитель ф (С). ТогдаПусть производящие заданы формулами (2.4), множитель ф (С). Тогдамногочлены р (^) и a (g) метода (2~ и предположим, что они имеют общ| определим многочлены ♦
Пусть производящие заданы формулами (2.4), множитель ф (С). Тогда
Пусть производящие заданы формулами (2.4), множитель ф (С). Тогда
p*(С)=耨。*© =符，
которые являются производящими многочленами нового, боЛ простого многошагового метода. С помощью оператора сдвига . заданного соотношением:
Еуп = Уп+1 или Еу (%) == у (х + Л),:
этот многошаговый метод можно записать в компактной фо, р* (Е) уп = S (Е) 〃・1
Умножив обе части формулы на <р (Е), мы увидим, что люЯ ее решение {уп\ будет также и решением исходного мета|
р (Е) уп = Ла (Е) fn. Таким образом, оба метода в сущности совпадают. Обозначим через L* разностный оператор, сопоставленный новому приведенному методу, а через С；+【一его константу из (2.7). Из равенства
L (协 *,九)=<р (Е) Z/ 匂，х, Л) = C；+W+i(p (£) у^ (х) +。(勿+2)=C；+i(p(l)加+切(叶1)(х) + 0 (加+2)，
сразу получим C°+i = <р (1) С；十】,и поэтому также выполняется соотношение Cp+Ju (1) = d；+丿о* (1). Итак, оба метода имеют одинаковые константы погрешности.
Проведенный анализ показывает, что многошаговые методы, у которых производящие многочлены имеют общий множитель, не представляют интереса. Поэтому обычно мы будем предполагать, что
р (£) и а (0 не имеют общих множителей. (2.13)
Многошаговые методы, удовлетворяющие этому свойству, называются неприводимыми.
Ядро Пеано многошаговых методов
Порядок и константа погрешности не дают полного описания погрешности, так как в ее разложении последующие члены ряда могут значительно превосходить Ср+1. Поэтому было предпринято несколько попыток — первоначально для квадратурных формул — получить полное описание погрешности. Следующие результаты опираются на идеи Пеано (1913):
Теорема 2.8. Пусть многошаговый метод (2./) имеет порядок р, a q — некоторое целое число (1《g《р)・ Тогда для любой функции у (х), непрерывно дифференцируемой q + 1 раз, выполняется равенство
L ® х, Л) = ”+i J 相(s)兴+D (% + sft) ds, (2.14) где
называется q-м ядром Пеано многошагового метода (2./).
Замечание. В определении ядра Пеано использовано обозна* чение
”/(i-s)「npn'-s>0,
"—s* - ( 0 при f — s《0・
Поэтому Kq (s) является кусочно-полиномиальной функцией и удовлетворяет равенству
Kq (s)=击 £ % G 一 s)o -世D ! £ 氏"-s)li при s GI/—I, /)•
II(2.15)
Доказательство. По теореме Тейлора о интегральным представлением остаточного члена
0(¥ +仇)=£ 分加沙⑺(х) +加* J "哥上兴+D (% + sft) ds,
r=QQ；
А/ (x + ^) = 2 -F^T 时(%)+ 加+J ^E^ 屮 *)(* + ^
r==0D?
Подставив эти два выражения в (2.3), о помощью таких же paq, суждений, как в доказательстве теоремы 2.4, получим, что пр| g《р стоящие перед интегралом многочлены сокращаются. Тог而 из равенства q
Г (f-s)°Г (f-s)°g«+D (% + gft) rfSg«+D (% + gft) rfSf 支 7*± .*+D(x + s/i)dsf 支 7*± .*+D(x + s/i)ds
Г (f-s)°
Г (f-s)°
g«+D (% + gft) rfS
g«+D (% + gft) rfS
f 支 7*± .*+D(x + s/i)ds
f 支 7*± .*+D(x + s/i)ds
оо
следует утверждение теоремы. ■ Кроме представления (2.15J, ядро Пеано Kq (s) обладает дующими свойствами:
Kq (s) = 0 при S С (— OO, 0)U 回 OO) н g = 1» .・・，pj
Kq (s) — непрерывно дифференцируемая q — 2 раза функцет и К； (s) = —Ку (s) при д = 2,・・・,р (при д = 2 в обобщея ном смысле); (2.1?
К】(s) — кусочно-линейная функция с разрывами в точках 0 1, ..., k. В точке / она имеет скачок 卩力 а на интервал (/ — 1, /) ее угловой коэффициент равен — (а； + а；+1 +・・・ 4 + %); (2 •円 константа Ср^ из (2.8) вычисляется по формуле j
Приведем доказательство утверждений (2.16) и (2.19). Равея ство Kq (s) = 0 при s》4 и 0《р вытекает прямо из определ!
ния ядра Пеано. Чтобы доказать это равенство и для s < 0, рассмотрим многочлен у (%) = (х — s)% где s является параметром. Тогда из теоремы 2.8 следует, что
L(y, 0, 1) = £ % « — s)。一 g £ pf(4 — s)i = о при q《p,
Рис* 2・2・ Ядра Пеано трехшагового метода Нюстрёма.
а поэтому Kq (sj = 0 при s < 0, что и завершает доказательство свойства (2.16). Соотношение (2.17) устанавливается о помощью интегрирования по частям выражения (2.14). В качестве примера на рис. 2.2 изображены ядра Пеано для 3-шагового метода Нюстрёма (1.13^.
Упражнения
Построение многошаговых методов.
Для любого многочлена р (0 степени 瓦 удовлетворяющего условию р (1) = 0, существует единственный многочлен а (Р, степень которого не превосходит такой что соответствующий многошаговый метод имеет порядок не ниже А + 1;
При условии а) существует единственный многочлен и (0 、 степени <Л, такой что соответствующий многошаговый метод (который в этом случае будет явным) имеет порядок не ниже 也. Указание. Используйте условие iii) из теоремы 2.4.
Найдите многошаговый метод вида
协1+2 + а场i+i + %狐=h (Pifn+i + PJJ
имеющий максимально возможный порядок. Изучите полученную формулу на примере у'=弘 у (0) = 1, й = 0.1.
Проверьте приведенные в табл. 2.1 значения порядка и константы погрешности для формул дифференцирования назад.
Покажите, что в явных и неявных методах Адамса, а также в формулах дифференцирования назад ядро Пеано Кр (s)
не меняет знака. Выведите из этого свойства соотношение
L® х, K)^h^Cp^^^
где & £ (力,第 + khjf а Ср^ 一 константа из (2.8J.
Пусть у (х) — точное решение уравнения у，= f (х, у), а стартовые значения равны yt = у (х<), f = 0, 1, ..., Л — 1. Предположим, что f непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по у (необязательно, чтобы f была дифференцируемой). Докажите, что для локальной погрешности согласованного многошагового метода (для которого верны равенства (2.6)) выполняется соотношение
Ь(^)~ ^1<^(й)>
рде ю (Л)0 при 厶 f 0.
III.3. Устойчивость и первый барьер Далквиста
«... с тех пор автору не раз приходилось встречаться с такими методами численного интегрирования диф> ференциальных уравнений, которые QблaДaли подку- пающе малой погрешностью аппроксимации, но тем не менее таили в себе большую опасность вычислительной неустойчивости*.
(Х・ Рутисхаузер, 1952)
В своей знаменитой статье Рутисхаузер отметил, что высокого порядка и малой локальной погрешности еще недостаточно для того, чтобы многошаговый метод был пригодным для практических расчетов. Численное решение может быть «неустойчивым» даже при очень малом шаге h. На этот же факт указал Тодд (1950), применив ряд разностных методов к дифференциальным уравнениям второго порядка. При изложении мы будем опираться в основном на работу Далквиста (1956), в которой этот эффект изучен систематически. История развития понятий численной устойчивости интересно представлена в статье Далквиста (1985) «33 года численной неустойчивости, часть 1>.
Начнем с примера из работы Далквиста (1956) (см. упр. 2 из разд. IIL2). Среди всех явных 2-шаговых методов выберем формулу максимально возможного порядка. С помощью теоремы 2.4 легко определить, что это метод 3-го порядка, имеющий вид
狐+2 + 4 妳+1 — 5^n =九(编+1 + 2fJ(3.1)
Его применение к дифференциальной задаче
уг У^ У (0) = 1(3.2)
дает линейное разностное уравнение
Ум + 4 (1 — Л) Уп+1 — (5 + 2Л) уп = 0.(3.3)
В качестве стартовых возьмем значения точного решения 执=1 н у】=ехр (Л). На рис. 3.1 изображены точное решение ехр (х) и численное решение для шагов Л = 1/10, Л = 1/20, Л = 1/40 и т. д. Несмотря на малую локальную погрешность, результаты являются неудовлетворительными. Из рис. 3.1 видно, что о уменьшением шага они все ухудшаются.
Этот факт легко объяснить. Подставим в (3.3)勿=R, как это обычно делается для линейных разностных уравнений 1Ла-
гранж (1775)]. В результате получим характеристическое уравнение
^ + 4(1-&)£-(5 + 23 = 0.(3.4》
Общее решение (3.3) вычисляется по формуле
队=4我(九)+ В盘 ®,(3.5)
где Si (Я) = 1 + А + О (A2), G ⑶=一5 +。(成
—корни уравнения (3.4), а коэффициенты А и В определяются по стартовым значениям у0 и % Поскольку 0 (Я) аппроксимирует
Рис. 3.1. Численное решение, полученное неустой чивым методом (3.1).Рис. 3.1. Численное решение, полученное неустой чивым методом (3.1).
Рис. 3.1. Численное решение, полученное неустой чивым методом (3.1).
Рис. 3.1. Численное решение, полученное неустой чивым методом (3.1).
ехр (й), первый член в (3.5) аппроксимирует значение точного решения ехр (х) в точке 无=пй. Возмущение в наш метод вносит второй член из (3.5), называемый часто паразитным решением*. так как при 九 f 0 备(九)по абсолютному значению превосходит единицу, это паразитное решение с ростом п становится очень большим и начинает преобладать в решении уп.
Теперь обратимся к вопросу об устойчивости метода общего вида (2.1). Важную роль играет поведение решения при п оо (или Л -> 0) и фиксированном пЛ. Очевидно, что (2.1) при Л 0 сводится к формуле
a)J/n+h + а%з/п+Ат + • • • + aof/n =。・ (3・6)
Ее можно рассматривать как численный метод (2.1), примененный к решению дифференциального уравнения
(3.7)(3.7)U = 0・
(3.7)
(3.7)
Подставив в формулу (3.6)勿=У и разделив ее на р, получим, что С должно быть корнем уравнения
Р (匚)=а 宕 + ；纤 + …+ % = 0. (3.8)
Как и в разд. 1.5, здесь снова возникают трудности, когда (3.8) имеет корень кратности /и〉1. В этом случае [Лаградж (1792), см. далее упр. 11 решениями (3.6) являются величины уп = =〃/-%" (/ = 1, ..., m), и суперпозиция приводит к следующему результату.
Лемма 3・1・ Пусть многочлен р (Q имеет корни J, ...» 0 кратностей /п^,…,加(соответственно. Тогда общее решение ($.6) задается формулой
熱= 〃®q+・・・+〃(%)*；, (3.9)
где р； (п) — многочлены степеней m； — 1. ■
Из формулы (3.9) видно, что для ограниченности уп при 九 f f оо требуется, чтобы корни (3.8) лежали в круге единичного радиуса, а корни, принадлежащие единичной окружности, были простыми.
Определение 3.2. Многошаговый метод (2.1) называется устойчивым, если его производящий многочлен р (0 [формула
] удовлетворяет корневому условию, т. е.
корни р (О лежат на (или внутри) единичной окружности;
корни, принадлежащие единичной окружности, являются простыми.
Замечание. Чтобы отличать это понятие устойчивости от остальных, его иногда называют нуль-устойчивостью или D-устойчиво- стъю в честь Далквиста.
Примеры. Для явного и неявного методов Адамса р (С)= =白也一偉-i. Кроме простого корня, равного 1, этот многочлен имеет нулевой корень кратности k— 1. Поэтому методы Адамса устойчивы. “
Это утверждение верно также для явного метода Нюстрёма и методов Милна—Симпсона, для которых р (g) •= С^ —也一？. Заметим, что в этом случае имеется еще простой корень — 1, который может представлять опасность при решении некоторых дифференциальных уравнений (см. т. II).
Устойчивость формул дифференцирования назад
Для ФДН-формул исследовать устойчивость сложнее. Поскольку характеристический многочлен выражения V’ у^п = 0 равен 學Т (С — I)' = 0, из представления (1.22') следует, что эти
(3.10)(3.10)(З.П)(З.П)Рис. 3.2. Корни многочлена р (z), определенного формулой (3.11).Рис. 3.2. Корни многочлена р (z), определенного формулой (3.11).
(3.10)
(3.10)
(З.П)
(З.П)
Рис. 3.2. Корни многочлена р (z), определенного формулой (3.11).
Рис. 3.2. Корни многочлена р (z), определенного формулой (3.11).
методы имеют производящий многочлен р (0 вида
k
p(c)= £+ci(&T)'・，=1
При изучении его нулей удобнее рассматривать многочлен
P(z) = (1 — z)& р (тУ = Е4"，/в1
полученный с помощью преобразования 《=1/(1 —z). Он равен G-й частичной сумме ряда Тейлора для функции — log (1 —z).
Лемма 3.3. к-шаговая ФДН-формула (/.22‘)устойчива тогдаЛемма 3.3. к-шаговая ФДН-формула (/.22‘)устойчива тогдаПоскольку корни р (z) и р (0 связаны указанным преобразованием, выполняется следующая лемма.
Лемма 3.3. к-шаговая ФДН-формула (/.22‘)устойчива тогда
Лемма 3.3. к-шаговая ФДН-формула (/.22‘)устойчива тогда
〃 только тогда^ когда все корни многочлена (3.//) лежат вне круга
{z; I z — 1 I《1}, а корни на его границе являются простыми. ■ Корни многочлена (3.11) для различных значений k изобра
жены на рис. 3.2.
Теорема 3・4・ k-шаговая ФДН-формула (1・22‘) устойчива прй 也《6 〃 неустойчива при 也》7・
Доказательство. Первое утверждение легко проверить простым перебором конечного числа случаев [см. рис. 3.2. Впервые^ это отметили Митчелл и Крэгге (1953)]. Однако вторую часть"
теоремы доказать сложнее, так как она относится к бесконечному числу случаев. Ее первое полное доказательство содержится в техническом отчете Крайера. (1971), а сокращенный вариант опубликован в его же статье (1972). Другое доказательство, основанное на критерии Шура—Кона, дано в работе Кридона и Миллера (1975) [см. также книгу Григорьева (1977) ]. Схема этого доказательства приведена ниже в упр. 4. Мы изложим доказательство из статьи Хайрера и Ваннера (1983), где используется представление в k
P(z) = je尸/ О /=1 в котором
=j yEj 火=J (1 -决々卽左)ф (s) ds, (3.12) о0JOz = "%①6)=不』-плоскость на « сектооов:=j yEj 火=J (1 -决々卽左)ф (s) ds, (3.12) о0JOz = "%①6)=不』-плоскость на « сектооов:Разобьем комплексную
=j yEj 火=J (1 -决々卽左)ф (s) ds, (3.12) о0
JO
z = "%①6)=不』-
плоскость на « сектооов:
=j yEj 火=J (1 -决々卽左)ф (s) ds, (3.12) о0
JO
z = "%①6)=不』-
плоскость на « сектооов:
5尸卜；4~) Varg(z)V 警(j + 扌)},
/ == 0, 1, ..., k — 1.
На лучах, ограничивающих S力 выполняется равенство е乳° = = —1» а поэтому (3.12) сводится к интегралу
"Q)= j(l+№)(p(s)ds
о положительной весовой р ⑵ всегда принадлежит Ф (s), т. е. углу между е’е и е/л = —1. Таким образом, на этих лучах arg (p(z)) не может совершить полный оборот, а поскольку arg (z&) делает один полный оборот на бесконечности между 0 = =2л (/ — 1/2)/也 и 8 = =2л (/ + 1/2)偽 то в силу принципа аргумента [см・, например, книгу
функцией. Следовательно, аргумент углу, который . покрывает функцияфункцией. Следовательно, аргумент углу, который . покрывает функцияРис. 3.3. Аргумент многочлена р (z), определенного формулой (3.11).
функцией. Следовательно, аргумент углу, который . покрывает функция
функцией. Следовательно, аргумент углу, который . покрывает функция
Хенричи (1974) I каждому сектору Sj (/ = 1, •••,々一1, случав j = 0 исключается) принадлежит ровно один корень р (zj (см. рис. 3.3).
Для завершения доказательства нам остается только ограничить область, где расположены нули р (z). Сделаем это следующий образом. Заметим, что в (3.12) член ◎ становится большим нрМ s > 1. Поэтому разобьем (3.12) на два интеграла: р (z)= 乙一厶, где
Из неравенства | 屮(s) |《В (8), в котором ет п₽и ove《 1 При -~<0< л, получим оценку
|/】1《(г + т4т)в(е)<гв⑼串，&>1). (3.13) Затем из положительности s^ выведем соотношение
1
где Ф принадлежит выпуклой оболочке множества {ср (s); 1《 々 s《г}. Любой ее элемент можно представить в виде
Ф = aT (玩)+ а - a)①闯=弋%叫
где § = а«2 + (1 — а) Si, 0《а《1, 1《s】，se《г. Поскольку I Ф (s) I монотонно убывает при s> 1, выполняется неравенств^ I Ф I > I Ф 0 I- Элементарные геометрические соображения при-*1 водят к соотношению | Ф | > 1/2г, и в результате получим оценку,
I 厶 I》2^(* + 1) > "2 + 2 "，& > D・ ©•可
Из (3.13) и (3•⑷ следует, что приГ
г》R ⑼=((2 论 + 4) В (0) + 1)〔/《л)(3.15У
верно соотношение | 厶 | > | / J а поэтому р (z) не может обращаться в нуль. Кривая 我(0), также нанесенная на рис. 3.2, отделяет от секторов Sj область» которую мы назовем «пирогом^ с сыром мадам Имхоф». Каждый его кусок (при / у= 0) должен； содержать корень многочлена р (z). Как показывает простой ана, лиз, принадлежащая Sx часть «пирога» при 左=12 настолько мала, что обеспечивает наличие нулей р (г) внутри круга {zj
I z — 1 I《 1}・ Поскольку R (0) при фиксированном 0 монотонно убывает с ростом 力,как и R (几/力)，то же утверждение верно для всех k > 12. При 6 < й < 12 на неустойчивость методов указывают и численные расчеты (см. рио. 3.2 или упр. 4). ■
Наивысший достижимый порядок устойчивых многошаговых методов .
Вполне естественно возникает вопрос об устойчивости многошаговых методов максимально возможного порядка. Далквист (1956) провел его исследование, результатом которого стал знаменитый «первый барьер Далквиста». .
Как следует из подсчета условий порядка (теорема 2.4), для того чтобы линейный многошаговый метод имел порядок р, его параметры должны удовлетворять р + 1 линейным уравнением. Поскольку метод содержит 2勺 + 1 .свободных параметров (без ограничения общности можно считать ak = 1), его наивысший достижимый порядок равен 2瓦 Это утверждение можно действительно проверить (см. упр. 5). Однако, как показывает следующая теорема, такие методы не имеют практического значения.
Теорема 3.5. (Первый барьер Далквиста) Порядок р устойчивого линейного ^шагового метода подчиняется следующим ограничениям
р ^ k + 2 при четных k,
р《也 + 1 при нечетных kf
р《« при pft/afe《0 (б маетности» для явных методов].
Отложим доказательство теоремы, чтобы дать ряд необходимых для него обозначений и лемм. Сначала введем «греко-римское преобразование»
или z =или z =С + 1С + 1(3.16)(3.16)
или z =
или z =
С + 1
С + 1
(3.16)
(3.16)
Оно отображает круг | ^ | < 1 в полуплоскость Re г <? О, верхнюю полуплоскость Im z〉0 — в нижнюю, окружность I С I = 1 — в мнимую ось, точку С=1 в г = оо, а С = —1 в z = 0. Теперь рассмотрим многочлены
r 6)= (^^"у p 售)=e 的",
(3.17)
Поскольку нули R (z) н р (С) связаны преобразованием (3.16： условие устойчивости многошагового метода можно выразит) в терминах R (z) следующим образом: все нули R (z) лежат в вой полуплоскости Re z 々 0, и на мнимой оси нет кратных нуле旣
Лемма 3.6. Пусть многошаговый метод является устойчивы^ и имеет по крайней мере нулевой порядок. Тогда-
ak = 0 и ay = 2ip‘ ⑴ * 0;?
все ненулевые коэффициенты 丸(z) имеют один и тот ж» знак.；
Доказательство. Разделив формулу (3.17) на * и подставш в нее z = 8, найдем значение коэффициента ak = 2Tp (1). Эи выражение должно быть равным нулю вследствие условия нул^ вого порядка. Тем же способом получим коэффициент а^х у =21~^p, (1), который отличен от нуля, так как в силу устойчива) сти корень 1 многочлена р (0 не может быть кратным. Втора утверждение леммы доказывается с помощью разложения ш множители1
R ⑵=*_j Г! (z + X/) П ((z + “/У + и；),J
где —勺—вещественные корни, а —щ 士 加/ — пары комплекс琳 сопряженных корней. По условию устойчивости %/ 〉0 н и； > ( откуда следует, что все коэффициенты R (z) имеют один и тот 耳 знак. ■
Далее выразим условия порядка из теоремы 2.4 в термина] многочленов R (z) и S (z)・
Лемма 3.7. Многошаговый метод имеет порядок р тогда { только тогда, когда выполняется равенство
R (z) (log 1^4)7 - S (z) = ср+1 (告尸 + о ((告)1+) !
при z-> 8・(3・М
Доказательство. Сначала заметим, что член О (隽 一 1)。)в yt ловии iii) теоремы 2.4 по формуле (2.7) равен Ср+1 (С — 1)。《 +。((С—l)°+i)・ Применяя преобразование (3.16), получим (3.18), так как £ — 1 = 2/(z — 1) = 2/z + О ((2/z)&) при z f 8・
Лемма 3.8. Для коэффициентов разложения в ряд Лоран
(log 1^)T =告一"L _"尸一同舞一… (3.1|
при всех j〉0 выполняется неравенство jxaJ+1 > 0.中
Доказательство. Рассмотрим ту ветвь функции log * котор! является аналитической на комплексной плоскости ； с разрезе вдоль отрицательной части вещественной оси и удовлетвори
равенству log 1 = 0. Преобразование (3.16) отображает этот раз- рез в отрезок вещественной оси [—1У +11・ Поэтому функция log ((z + l)/(z — 1)) — аналитическая на комплексной плоскости с разрезом вдоль этого отрезка (см. рис. 3.4). Формула
log吿=年（1+年+告+今+…）（320）
показывает существование разложения* (3.19). Чтобы доказать
——-;)3——
Рис. 3.4. Разрез на плоскости а с кривой у・ положительность его коэффициентов, используем формулу Коши для коэффициентов функции / (z) = £ % (z —加：
备!g,2)可出;
они в данном случае имеют вид
-备 J 鼻(kg Й})Т 虑
[Коши (1831J, см. также работу Бенке—Зоммера (1962)]. Здесь Т — произвольная кривая вокруг отрезка [—lf 119 например, такая, как на рис. 3.4.
Заметиму что log ((z + l)/(z — 1)) = log ((1 + x)/(l — x))— —№, если z стремится к вещественному значению %€(—1, 1) сверху, и log ((z + l)/(z — 1)) = log ((1 + *)/(1 — x)) + /я, если z стремится к х снизу. Отсюда следует, что
网川=-击产[(log 吿 + E)T - (log 告 - E)“ №
个J叫(log告丫+ "丁厶＞0・■
Другое доказательство этой леммы, без использования теории функций комплексного леременного9 описано в упр. 10,
12 ХМрер Э. ■ др.
Доказательство теоремы 3.5. Подставив в (3.18) ряд (3.19J^ получим
R (z) (log 注｝) 1 - S (z) =s
=многочлен ⑵ + 山丁1 + d^r1 + О (z。3), (3.21)6 где
df = 一Pi^o 一 卩皿一РбД4 "-■• •••
d* = —卩8al — 05a8 — ^7«61 ・・・(3.22J
Из леммы 3.6 и положительности 同(лемма 3.8) следует, что в формулах для 厶 н 厶 все слагаемые имеют один и тот же знак. По： скольку ak^ 耍 0, для четных k выполняется неравенство da =/= О, а для k нечетных 4 =# 0・ Тогда первые два ограничения теоремнг 3.5 — это прямое следствие формулы (3.18).
И наконец, при рЛ/аЛ《0 докажем неравенство "《厄 пред-1 положим противное, т. е. что порядок больше k. Тогда по формул国 (3.18) многочлен S (z) равен главному члену разложения R (г) Xi X (log ((z + l)/(z — l)))"1, что можно записать (подставив 因==Q при четных /) в виде соотношения
Л—I\ А—I /Л—I\
S(z) = R⑵S(z) = R⑵2 卩尸)+2(5 мт) г
S(z) = R⑵
S(z) = R⑵
№丿 Z«1 \s=i丿
S⑴таS⑴таПри z = 1 получим
S⑴та
S⑴та
(3.23%
В силу формулы (3.17) и равенств S (1) = g, R (1) = % доста* точно доказать, что S (1)//? (1) > 0. Формула (3.19) при Zf 1 дает соотношение
8
а поэтому первое слагаемое в (3.23) строго положительно. Н簡 отрицательность второго слагаемого следует из лемм 3.6 и 3.8.К Устойчивые многошаговые методы, достигающие максимально
возможного порядка G + 2, имеют особую структуру.1
Теорема 3：9・ Устойчивые многошаговые (Ьша吻眦吟 метод^ порядка А + 2 являются симметричными^ т. с・
。」=—%f В = Рат при всех j・
Замечание. Для симметричных многошаговых методов из о吗 ределения следует равенство р (Q =—曾р (1/Q. Поскольку вея
личина 1/0 — нуль многочлена р (0, ках и 0, все корни устойчивых симметричных многощагов^х методов лежат на единичной окружности и являются простыми.
Доказательство. При сравнении формул (3.18) н (3.21) видно, что d1Ho — необходимое услогае порядка G + 2・ При предположении об устойчивости метода из леммы 3.6 следует, что все четные коэффициенты R (z) равны нулю. Поэтому k нетйо, a R (z) удовлетворяет соотношению R «) н —R (—г). По определению R (z) оно эквивалентно равенству р (С) = —9р (1© которое и дает первое условие из (3.24). С помощью указанного соотношения для R (z) из формулы (ЗЛ8) получим равенство S ⑵一 —S z) == О ((2/z)% которое означает, что S (z) = S (т)・ Преобразовав последнее соотношение к эквивалентному виду в терминах а (С), придем ко второму условию из (3.24)・ ■
Упражнения
Рассмотрим линейное разностное уравнение (3.6) о характеристическим многочленом .
Р (С)严磔产 + aiC*T + • • • + %・
Пусть р (0 имеет различные корни Сь ・・・9 &, а 吗》1 — кратность корня ®・ Покажите, что при 1 < / < ^> 1 < f < ш/ — 1 последовательности
{ML
образуют систему А линейно яезависимнх решений уравнения (3-6).
Покажите, что все корни многочлена р (z)； заданного формулой (3.11), за Исключением простого нулевого корня, принадлежат кольцу
5^4<|«|<2.*
Указание. Используйте лемму, которую можно найти в работе Мардена (1966): если все коэф^шциенты многочлена а^ + + 。％.1亦-1 + ・・・+ % — вещественные и положительные, то его корни лежат в кольце Pi« I z |《Ра, где р% = = min (的/的"),а 小 н max (%/的+J.
Примените лемму из предыдущего примера к многочлену р (С)/(С — 1) и покажите, что ФДН-формулы устойчивы при 论 》= 1, 2» 3, 4・
12*
Дайте отличное от приведенного выше доказательство теорема
применив к многочлену
『⑵="p (；)=e十(1 -z尸Г-i『⑵="p (；)=e十(1 -z尸Г-i(3.25)(3.25)
『⑵="p (；)=e十(1 -z尸Г-i
『⑵="p (；)=e十(1 -z尸Г-i
(3.25)
(3.25)
критерий Шура—Кона [см., например, книгу Мардена (1966% гл. X ]. Для заданного многочлена с вещественными коэффициентами
f (z) = % + @/ + ... + а%"
рассмотрим коэффициенты af'L определяемые формулами
。产=а〃 I == 0, 1,・・・$自@产)=或%7)-42*1 при/ = 0>2•而)
а также произведения
Pi = *), Pw = Р圈计【)при f=l,・・ 7 G — 1; (3.27)
Затем обозначим через п число отрицательных, а через р — положительных элементов среди Рх,・・.,Pr・ Тогда f (z) имеет не менее 九 нулей внутри круга единичного радиуса и йе ме* нее р нулей вне этого круга.
Докажите следующие формулы для коэффициентов много* члена (3.25):
% = Е；$ 的=—匐 % =论0丁 1),,I
у(3 2®
%« =(- 1户疑三:)，4T = (-1)1 占，
4 = (—1)，.
Проверьте, что коэффициенты 喇 из (3.26J имеют такие знаки* как в табл. 3.1. Для й < 13 эти громоздкие расчеты можно в#
Таблица ЗЛ. Знаки а$‘)
о
8
++I ++ - +++ +++ +++ •+++ +++
++++1 +++++
+ + + +О + + +О + +О
+о
2345
полнить на ЭВМ, используя при этом язык символьных преобразований, чтобы избежать погрешностей округления. Для всех 々 > 2 легко проверить неравенства 碍)> 0 и 碍)> 0. Чтобы установить соотношение 碎)=(4"У — (^1-2)2 < 0 для 々〉13 рассмотрите выражение
冲一(一1)%也=碍'[^о — a* — flo I 欤―21 + & 141] —
—14% I (ao +1 a |)(| «II + ai), которое можно записать в виде (a0 + | a% |) <p (儿)，где
Ф (й) = (до — I ал I) (ag — a* — Oo| 4—21 +。2141)—
—I@211Q +1@л I)= =w-w(4"+4•十占 + +)+
+% (•?•+4■+壯1-占-壮ip - *)- -(尼-4--占一方-*)•
Покажите, что 屮(13) < 0, а с ростом h 电> 13) <р монотонно убывает (заметим, что а0 = а0 杀)действительно зависит от k и a。3 + 1) = % (舟 + 1/3 + 1)). И наконец, из отрицательности (3.29) выведите неравенство W" <0 при 也〉13・ с) Используйте табл. 3.1 и критерий Шура—Кона для проверки теоремы 3.4.
(Многошаговые методв! максимального порядка.} Проверьте следующие утверждения:
не существует ^-шаговых методов порядка 2^+1;
существует единственный (неявный^ Д-шаговый метод порядка 2G;
существует единственный явный ^-шаговый метод порядка 2也一1.
Докажите, что симметричные многошаговые методн всегда имеют четный порядок. Уточним формулировку: если симметричный многошаговый метод имеет порядок 2s — 1, то в действительности это также метод порядка 2s.
Покажите, что следующие многочлены описывают все устойчивые 4-шаговые методы 6-го порядка:
Р(С) = (>—1)(Р + 2М+1), |и|< 1,。(0 Н亲(14一囚*+1) + 击(64 + 34*©+1) ++ 亡(8 + 388 巳
Подсчитайте константу погрешности и убедитесь, что ее нельзя сделать произвольно малой.
Ответ. С = — (16 — 5卩)/(7560 (1 + р))・
Докажите следующие оценки для константа погрешности:
для устойчивых методов порядка G + 2
С《一2-1%〃；
для устойчивых методов порядка 论 + 1 при нечетных Л
С《一2-*а；
С >2【тС >2【тдля устойчивых явных методов порядка 论(р, = 0 при четных /)
С >2【т
С >2【т
/-1/
Покажите, что все эти оценки оптимальны. Указание. Сравните формулы (3.18) и (3.21) и используйте соотношение о (1) = ^^ak^ из леммы 3.6.
Коэффициенты р^ из формулы (3.19) удовлетворяют рекуррентному соотношению
Р"“ + -у* 0”т + ・・・ + 2/； 1 Pi = ?Г^5 *(3.30)
Первые из этих коэффициентов имеют следующие числовые^ значения:'
[•222214
Другой способ доказательства леммы 3・8・ Умножив равенство (3.30) на (2/ + 3) и вычитая из него такую же формулу, нб g заменой / на /— 1, получим ，
⑵ + 3)|h w + 5 Р“+】(2/?拈丁 -②"占)=0-
Покажите, что выражение в скобках является отрицатель-^ ным, и по индукции докажите утверждение лемьш 3.8.
Сходимость многошаговых методов
«...Метод Адамса значительно превосходит любой другой метод. И если применение его не стало в достаточной мере всеобщим (особенно в Германии, где более популярны методы, которые развили Рунге, Хойн и Кутта), то причина этого, возможно, в том, что до сих пор отсутствовало дельное исследование точности интегрирования по Адамсу. Этот пробел мы хотим здесь восполнить...»
(Р. фон Мизес, 1930)
Сходимость методов Адамса иссл.едована фон Мизесом (1930) в его основополагающей статье, за которой последовал целый поток публикаций, где улучшались оценки погрешности или изложенные в этой статье идеи применялись к другим отдельным многошаговым методам, как, например, в работах Толлмина (1938), Фрике (1949), Вайсингера (1950), Виториса (1953). Однако в общем случае сходимость методов (2.1) первым доказал Далквист (1956), сформулировав ее необходимые и достаточные условия. Подлинное изящество внесли в доказательство идеи Бутчера (1966), основанные на представлении многошаговых методов в форме одношаговых, но в пространстве большей размерности. Кроме того, такое представление можно легко распространить на более общий класс методов численного интегрирования (см. разд. Ш.8).
Мы не можем надеяться на разумные результаты по сходимости численных методов, если задача
* = 〃%,!/), !/(/) = %(4・1)
не будет иметь единственное решение. Поэтому сделаем следующие предположения, естественные в нашем случае, как это видно из разд. 1.7 и 1.9:
функция f непрерывна на множестве
D = ｛",力力 €【％, £L М(6 —У1《小 где через у(х) обозначено точное решение задачи (4.1), а Ь — некоторое положительное число.(4.2а)
Кроме того, / удовлетворяет условию Липшица | f (х, у)— —f (%，z) DI Ц при (%,力(％, z) £ D・(4.2b)
Если мы применйм к • задаче (4.1) многошаговый метод (2.1) с шагом Л, то получим последовательность ｛勿｝・ Для заданных х
и А, таких что (х — х0)/Л = 九 一целое число, введем следующее обозначение численного решения:
九(%) = %, если х — х0 = пЛ.(4.3)
Предполагается, что многошаговый метод — «хороший* в смысле сходимости численного решения yh (%) к точному решению у (%) при A f 0. Кроме того, мы надеемся на быструю сходимость в случае, когда функция / является более гладкой, чем предусмотрено условиями (4.2).
Определение 4・1・ (Сходимость)
Линейный многошаговый метод (2.1) называется сходящимся, если для всех задач Коши (4.1), удовлетворяющих требованиям (4.2),
У (%) — Уь (%) + 0 при A f 0, % £ 1х0,幺 L при условии, что для стартовых значений выполняется соотно« шение
У (х0 + ih)—九(％ + 的 f 0 при A f 0, f = 0, 1,...,也一1・
Метод (2.1) сходится с порядком р, если для любой задачи (4.1) с достаточно гладкой функцией f существует положительное Ао# такое, что
|д(х)-九(х)||《СМ при Л<Ло и стартовых значениях! отвечающих неравенству
旧(/ +仇)一办(/ +创[《С府
при А《九” f = 0, 1,...,也—1.
Очевидно, что в этом определении мы предполагаем существование решения задачи (4.1) на [х0, £]・’
В данном разделе мы ставим цель доказать, что устойчивость совместно с согласованностью являются необходимым и достаточ* ным условием сходимости многошагового метода. Это выражается* знаменитой формулой'
сходимость = устойчивость + согласованность [сравните также с работой Лакса—Рихтмайера (1956)]. Начнем с изучения необходимых условий сходимости.
Теорема 4.2. Если многошаговый метод (2./J сходится, 加。 он обязательно является:
устойчивым “
согласованным (m. е・ имеет первый порядок:
Р ⑴=0, р‘(1) = а (1)).
Доказательство. Применение многошагового метода (2.1) к ди(1х|)еренциальному уравнению / = 0, у (0) = 0 дает разностное уравнение (3.6). Предположим * противное, т. е. что р (С) имеет корень J, модуль которого |Q|>1, или кратный корень ^ на единичной окружности. Тогда &，и пЦ будут расходящимися решениями (3.6). Умножив стартовые значения на /瓦.мн добьемся их сходимости к у。= 0 при Л -> 0. Решения yh (%) = j/Tg"^ и yh (%)=(%/j/^) С^/& останутся при этом расходящимися при любом фиксированном х, что противоречит предположению о сходимости. Поэтому метод (2.1) должен быть устойчивым.
Теперь рассмотрим задачу Коши д' = 0, у (0) = 1 с точным решением у (х) = 1. Ей также соответствует разностное уравнение (3.6), которое в новых обозначениях имеет вид
а^А(х + М) + %-1^(х+ (也—i)3+ ・・・ +а^Л(х) = 0.
При подстановке А -> 0 из сходимости сразу следует, что р (1) = 0.
И наконец, применим метод (2.1) к задаче у9 = 19 у (0) = 0. Ее точное решение у (%) = х. Поскольку мы уже установили равенство р (1) = 0, легко проверить, что частное решение разностного уравнения имеет вид уп = nftK, или yh (%) = %К, где К = о (l)/pz (1). Для сходимости необходимо, чтобы выполнялось равенство К = L ■
Примечательно, что, хотя теорема 4.2 доказывается с помощью почти тривиальных дифференциальных уравнений, условия i) и ii) окажутся не только необходимыми, но и достаточными для сходимости.
Представление в виде одношагового метода
Для дальнейшего изложения полезно переписать многошаговый метод как одношаговый, но в пространстве большей размерности [см. работы Бутчера (1966),Скила (1976)]. Для этого введем величину 屮=中(勺，勿，...» 弘+Ат, й), неявно определяемую уравнением
Л—I/fc—I\
中=Е 削(芻 + /Л,勿+/) + 闻 勺 + kh9 Н-S 咖什/ , (4.4)
где а/ = а；/аЛ, р；= 卩"％. Тогда многошаговую формулу (2.1) можно представить в виде
Л—1
У 屮==—& а汕+1 + Аф.(4.5)
Введем векторы размерности mk (/и — размерность системы дифференциальных уравнений)
^{ (yt+h-li &UI1-2* • • • •，i)T，，>。，(4・6)
и
и, добавив ряд тривиальных тождеств, запишем многошаговый метод (4.5) в компактной форме
匕+1 = (А ® /)匕 + 九①(修，匕，Л), /》0,(4.8)
где
①(不，匕，力)=("®/)中(勺，匕，а).(4.83)
Здесь через А ® / обозначено тензорное произведение Кронекера, т. е. блочная матрица размерности mk, с (т, т)-блоками а^1. Читатели, не знакомые с обозначением и свойствами этого произведения, могут для простоты считать (4.1) скалярным уравнением (т=1) и А 0 I = А.,
Следующие леммы показывают, как в этих новых обозначениях； выражаются понятия порядка и устойчивости.]
Лемма 4・3・ Пусть у (%) — точное решение задачи (4./). Дл4 f = 0, 1, ... определим вектор YM численного решения noc^i одного шага"
YM^(A®I)Y(/)+ 力①% ?(修),Л)
с точными стартовыми значениями
У (*i) =(У (修+АТ)，У (*i+h-2)，・• •，У (*»))'•
Если многошаговый метод (2.7) имеет первый порядок, а | удовлетворяет условиям (4 2), то существует й0 > 0, такое чтл для Л < й0
I y (*而一 K+1 [《力矶», 0《f《力九一也，
где со (Л)0 при Л 0.
Если многошаговый метод (2./) имеет порядок р, а f ди珊 ференцируема достаточное число раз、то существует постоянна^ М9 такая что для всех достаточно малых h
IУ (%1) — ?U1K М加+1，0《W《£/〃 一 瓦
Доказательство. По определению 2.1 первая компонента вектора У (无4。一 YM и является локальной погрешностью. Поскольку остальные компоненты' равны нулю, из упражнения 5 в разд. Ш.2 и определения 2.3 следует утверждение теоремы. ■
Лемма 4.4. Предположим, что многошаговый метод (2./) ус~ тойчив. Тогда существует векторная норма (в РтЛ), такая что матрица А из (4.7) удовлетворяет соотношению
|4®/|《1 в подчиненной матричной норме.
Доказательство. Если X — корень многочлена р (g), то (入论〕* %尼一2, ..., 1) является собственным вектором матрицы 4, соответствующим собственному числу X. Поэтому собственные числа матрицы А (т. е. корни р, (0) удовлетворяют корневому условию из определения 3.2. Следовательно, ее каноническая жорданова форма имеет вид (см. разд. 1.12):
О
Т^ДТ 三 J =%+i 8[+工，(4.9)
где М, ..., Х{—собственные числа, которые равны по модулю единице и должны быть простыми. Теперь, умножив столбцы матрицы Т на соответствующие числа, установим, что | в； I < < 1 — I Л； I при / = / + 1,…，k — 1. Тогда в силу (9.1 Г) из гл. I выполняется неравенство | J ® / ||оо <； 1. С помощью преобразования Т из (4.9) определим норму |х|： = Q(L ® /) %|в・ Итак, получим
|(4 ® /»[ = |(Т-1 ®/)(Л ® 1)х^ = |(J ® /)(「т ® /)*8
《D(L® /)%|8 = 11 打，
а следовательно, 14 ® / ]《1. ■
Доказательство сходимости
Теперь можно доказать теорему о сходимости Многошаговых методов.
Теорема 4.5. Если многошаговый метод (2.1) устойчив и имеет первый порядок, то он сходится. Если метод (2.1) устойчив и имеет порядок р, то он сходится о порядком р.
Доказательство. Как и в теореме о сходимости одношаговых методов (разд. II.3), мы можем считать без ограничения общности# что функция / (х, у) определена для всех у £ R^, х € [х0> £】и удовлетворяет на этом множестве (глобальному) условию Лип* шица. Отсюда следует, что при достаточно малых Л для функций W (修，У», Л) и Ф (хь Уь Л) выполняется условие Липшица по второму аргументу (с константой Липшица L*). Поэтому для G —
функции перехода от вектора У± к YMi заданной формулой (4.8) из леммы 4.4 получим
Ц G (匕)一G (Z01《(1 + AL*) D 匕一Z, |.(4.1C
Далее доказательство проводится так же, как для одношаговьс методов, а его иллюстрация представлена на рис. 4.1. Здесь стрел ки указывают на действие G. Из леммы 4.3 известно, что | У (х<+1 — —G (У(Х|)) I《九①(Л). Это соотношение совместно с (4.10) п(э называет, что локальная погрешность У (х<+1) — G (У (%»)) этащ / + 1 на этапе m дает погрешность, не превосходящую Асо (Л) X X (1 + hL*)m^+l. Таким образом,
城(^)-У"《产(%-儿1(1-^*严+
+ 九s (Л)[(1 + 九厶*产一1 + (1 + AL* 尸т +•.. + !]<
<jF(х0) — Уо||exp (mhL*) + ・*)“(exp (mhL*) — 1)・
(4-llj
Сходимость метода (2.1) является прямым следствием формул (4.11). Если многошаговый метод имеет порядок р, то сходимосп с порядком р доказывается точно так же, но с заменой со (ft) ш Mh^..
Упражнения
Рассмотрим функцию (при .%》。) 2х, д《0» 『(%») = <2% — ?, ovgv 炉,
— 2%, g》炉.
Покажите, что у (х)=炉/3 — единственное решение задачи у，= f (х, у), у (" = 0, хотя ^ и не удовлетворяет условию Липшица в окрестности начала координат.
Примените к этой задаче правило средней точки (2.2') со стартовыми значениями % = 0, % = —Ла и проверьте, что численное решение в точке % =晶 имеет вид у& (%) = (—1)лха (см. книгу Григорьева (1977)). *
Другое обоснование выбора константы погрешности: предполо- жим，что 1 — единственное собственное значение матрицы А из (4.7), равное по модулю единице. Покажите, что ему соответствуют правый собственный вектор (1, 1, ..., 1)т и левый собственный вектор (1, 1 + а/т, 1 + а，т + Мт,…)• Тогда глобальный вклад локальной погрешности после большого числа шагов равен
Умножив это уравнение слева на левый собственный вектор, покажите, что с учетом (2.6) С будет константой погрешности, определенной с помощью (2.13).
Замечание. Для многошаговых методов с несколькими собственными значениями, равными по модулю 1„ формула (4.12) также верна, но с заменой Д* на Е (см. разд. III.8).
IIL5. Многошаговые методы с переменным шагом
«Это бал крепкий орешек •・》 (Тирольское присловье)
Из разд. II.4 становится понятно, что в эффективной программе численного интегрирования должно быть предусмотрено изменение величины шага. Однако в случае многошаговых методов эта про*, цедура вызывает затруднения, так как формулы из предыдущих： разделов требуют значений численного решения в равноотстоящих， точках. Принципиально существуют две возможности преодоле*： ния этого затруднения:'
i) воспроизведение стартовых значений на новой (равномер-J ной) сетке с помощью интерполяции многочленами； ii) построение методов, приведенных в соответствие узлам неравномерной сетки.
Данный раздел посвящен второму подходу. Исследуем для этого согласованность, устойчивость и сходамость. Его современная； реализация (стратегия выбора порядка и шага) будет рассмотрена： в разд. III.7.
Методы Адамса с переменным шагом
Вероятно, Ф. Ческино (1961) первБШ предложил «гладкиfl| переход от шага Л к новому шагу ®h・ Его идеи развили Форринг^ тон (1961), а позднее Крох (1969): рассмотрим произвольную сет® (%Q и обозначим величины шагов через hn = хп+х — хЛ. Вуде^ считать величины у；, аппроксимируклцие у (%/), известными пр* / = 〃一也 + 1,・・・.д и введем обозначение 方 =f 3力 物)・ Точи, так же, как в разд. Ш・1, обозначим через р (А интерполяционнь^ многочлен, проходящий через то#ки (%力 力)，/ = 〃 —也 + 1.・・・，諸 Используя интерполяционную формулу Ньютона, запишем
I ут
"(f) = 2 口(f 一%1)『[&, %nT9 ・••• ％iL
рекуИрекуИгде разделенные разности f [xB ...# 川＞,]определяются сивно:
рекуИ
рекуИ
『[/]=储
F『./ 1%п,…，£n・/+J — f кпт，…，Xn-j]
Z l“s • • •• Хц-jJ =」・
Для практических расчетов формулу (5.1) удобно переписать в виде [см. статью Кроха (1969)1 и ”
呼2口詰三回(叫 В‘) 2=0，sssfl
где
①》(九)Н 口(*n+工—*!>-，)•/1%3 • • ♦, %пТ】・(5.3)
Теперь определим значение! приближающее у (xn+1J:
*П+1
₽»+1 = ^+ J p(f)df・(5.4)
Подставляя в (5.4) формулу (5.4'} получим
物+工= 5Гп + Лл2й(л)Ф/ (п)>(5.5)
где
"п+1 ZT
幻(〃F J 口詣名％(5.6)
Формула (5.5) — это обобщение явного метода Адамса (1.5) на случай переменного шага. Отметим, что при постоянном шаге приведенные выше выражения сводятся к следующим (упр. 1):
g/ (九)=w，①i(〃)=V%.
Подобным образом можно вывести неявные методы Адамса с переменным шагом. По аналогии с разд. Ш.1 обозначим через р* (/) интерполяционный многочлен степени 6, проходящий через точки (勺， 力)，/=〃 —6+1, •••,〃, n + 1. (Значение %+i = =f (%"i, Уп^ содержит неизвестное решение %+>) Снова используя интерполяционную формулу Ньютона, получим:
А—I
Р* (0 = Р (f) + 口(f — %nT)f I-^n+l* #m ♦ • • 9 ^n-fc+11*
Численное решение, определяемое формулой
Уп+i =，n + J P* (0 山，
теперь можно представить в виде
Ум = Рп “ + Ма(л) Фл(л + 1).(5.7)
Здесь рп+1 — приближенное значение решения 9 полученное с помощью явного метода Адамса
Pn+i = yn^hn^gi (л) Ф； (п),
/7
а
Л—I
①А (〃 + 1) = Е (*п+1 — ^n-i) f I^n+X> %n，• • •，^n-fc+ll* (5・8) I
Рекуррентные соотношения для g/ (n), Ф/ (n) и Ф/ (n)
«Если допустить произвольное изменение шага, тс наибольшим недостатком будут затраты на подочв коэффициентов метода интегрирования».
(Ф. Т. Крох, 1973)
Значения ①;(п) (/ = 0, ..., k — 1) н ①在(九 + 1) можно эффективно вычислять с помощью рекуррентных соотношений
Фо (九)=Фо (九)=%,
Ф/4-i (п)=①/ (九)一 Ф/ (я — 1),(5.9]
①;(九)=p/ (九)①, (九)，
которые сразу следуют из определений (5.3) и (5.8). КоэффициеШ
• М九)=6器記
можно вычислить по формулам
Ро S) = 1,
M3 = km)*S手
Сложнее подсчитать коэффициенты gj (и) [Ф. Т. Крох (1974) L Введем g-кратный интеграл
%口^^7源。...武ё(5.10) n *n 4 &I
и заметим, что
gj (九)=% (左+1)。
Лемма 5.1. Верны следующие равенства:
% (Х”1)=『％ (*П〃) = g.(g+l)，
Cjq (%n.l) = Cjf q (%n.l) — С/т, q〃 (%n.l) ^"" _<
Доказательство. Первые два соотношения следуют непосредственно из (5.10). Для доказательства рекуррентного соотношения введем разность
d(x) = c%a)-C/T,qa)d(x) = c%a)-C/T,qa)^п+1 — %n-"i^п+1 — %n-"i+ *'"】（*） Хп缶W+ *'"】（*） Хп缶W
d(x) = c%a)-C/T,qa)
d(x) = c%a)-C/T,qa)
^п+1 — %n-"i
^п+1 — %n-"i
+ *'"】（*） Хп缶W
+ *'"】（*） Хп缶W
Ясно, что d“)(％п) = 0 при t = 0,・1, ・•・，g— 1. Кроме того, равна нулю 力я производная d (х), так как по правилу Лейбница
备[%,*)・；〃 2^7〕
=必・（力:二二就+0七?*）=必・（力:二二就+0七?*）11^П+1 — ^П->+1^П+1 — ^П->+1=力％ (%) + 力”1.叶1(¥)=力％ (%) + 力”1.叶1(¥)^n+l — ^n-/+l^n+l — ^n-/+l
=必・（力:二二就+0七?*）
=必・（力:二二就+0七?*）
1
1
^П+1 — ^П->+1
^П+1 — ^П->+1
=力％ (%) + 力”1.叶1(¥)
=力％ (%) + 力”1.叶1(¥)
^n+l — ^n-/+l
^n+l — ^n-/+l
Итак, выполняется тождество d (х) = 0, и, подставив в него * = %n+i, мы придем к утверждению леммы. ■
С помощью последнего рекуррентного соотношения можно последовательно вычислять cgg (хп+1) при ^ = 1, ..., k— 1； с“(%п“)при g= 1,…，左一％ …；chq (хп+1) при g = L Эта процедура позволяет эффективно определять коэффициенты gj (п) = Сд 仇叶。методов Адамса.
Формулы дифференцирования назад с переменным шагом
ФДН-формулы (1.22) также можно обобщить естественным образом на случай переменного шага. Обозначим через q (/) ин・ терполяц^онный многочлен степени Л, проходящий через точки (勺，％), i = 〃+ 1, n九一k + 1. Его можно выразить через разделенные разности
* I
0 (f) = £ Г1 (/ — «^n+1-f) У [«^П+1» ^П» • • • » #”/+J(5.11)
/7 J。
Требование
д' (*н1) = f (-^п+1>，几+1)
сразу приводит и ФДН-формуле о переменным шагом
£ 九几 П (*п+工一今+lT)，［*^n+I> • • •» %n-j+ll =力nf (%n+“ &»+!)• (5.12) JI MT
Вычисление ее коэффициентов намного проще, чем в методах Адамса.
Многошаговые методы общего вида с переменным шагом и их порядок согласованности
В теоретических исследованиях методов удобно использовать их форму записи о линейным вхождением у, и 力.Например, неявный метод Адамса (5.7) принимает вид
В叶t = Уп^г 6(1 聂叫((3 + 2%) %+】+
+ (3 + ®п) (1 + %) fn — ®2 fn«l)>(5.13)
где для отношения шагов введено обозначение con = hn/hn^. Или 2-шаговую ФДН-формулу (5.12) можно записать в форме
9м —(1+Х 9” + T+fc '"Т - А» 疗嚣”厶+工・(5.14)
Чтобы дать единую теорию для всех этих многошаговых методов о переменным шагом, рассмотрим формулы следующего вида:
л-iА
ffn+k + Е ^Jn9n+j ==力п+АТ £ ^jnfn+J-(5・15)
утЛ=о
Коэффициенты а加 н р加 в действительности зависят от отношений 郁=也/儿т, t = и + 1, …,п + k — 1. По аналогии со случаем постоянного шага дадим следующее определение.
Определение 5・2・ Метод (5.15) согласован с порядком р, если для всех многочленов g (х), степень которых не превосходит р, и всех сеток (%,) выполняется равенство
л-i左
0 (-^n+л) + Е a,ng (^n+>)=力п+ат £ P/n9 (*n.j)・I—o/«о
По определению явный метод АдамСа (5.5) имеет порядок 瓦 неявный метод Адамса (5.7) — порядок fe + 1, а ФДН-формула (5.12) — порядок k.
Понятие согласованности надо, конечно, связать с локальной погрешностью. Действительно, если метод имеет порядок р, от-
ношения hj/hn ограничены при / = л + 1, ..., п + k — 1 и коэффициенты
叫，Р/п ограничены,(5.16)
то для достаточно гладких функций у (%) разложение в ряд Тейлора приводит к соотношению
Л—IЛ
g(&+0+ Е ^ny^i)-hn^ £ Ы^й^о^^). (5.17) /«о/==0
Считая у (х) решением дифференциального уравнения, из тривиального обобщения леммы 2.2 на переменный шаг получим, что локальная погрешность в точке хп+к (см. определение 2.1) также равна о 8泞).
По этой причине необходимо изучить условие (5.16). Очевидно, что методы (5.13) и (5.14) удовлетворяют ему всегда, когда отношение шагов Лп/ftn-i ограничено* сверху. В общем случае мы имеем следующий результат..
Лемма 5.3. Для явных и неявных методов Адамса, а также для ФДН-формул коэффициенты а加 и 卩加 ограничены ^ если для некоторого Q выполняется соотношение
Доказательство. Приведем доказательство только для явных методов Адамса. Для остальных методов оно мало отличается от данного, и поэтому опытам его. Из формулы (5.5) видно, что коэффициенты а；п не зависят от и, а поэтому ограничены. Значения 卩丿^ состоят из произведений g, (п) на коэффициенты выражения Ф/ (п), записанного в виде линейной комбинации величин &, Из формулы (5.6) следует соотношение ]g/ (九)|《1・ В силу неравенства 力X — %吋"1《max (1, 6) £ —无nJ по индукции получим, что коэффициенты выражения Ф/ (и) также ограничены. Поэтому и р；п ограничены, что и доказывает лемму. ■
Условие hn/hn^《Q — это вполне разумное требование, которое легко предусмотреть в программе.
Устойчивость
«Это тая просто...>
(Р. Д. Григорьев, семинар в Халле, 1983)
Для методов с переменнкш шагом изучение устойчивости было йачато в статьях Гира—Ту (1974) и Гира—Ватанабе (1974). Дальнейшие исследования проведены Григорьевым (1983) и Крузе —Лисбоной (1984).
В разд. Ш. 3 мы увидели, что на равномерных сетках устойчивость эквивалентна ограниченности численного решения, полученного для скалярного дифференциального уравнения у' = 0. Сделаем и теперь то же самое, но для более общего случая. Применение метода (5.15) к задаче у' = 0 дает разностное уравнение о переменными коэффициентами
尼т
%+а + У а加，*，= 0.
Вводя вектор Уп = 也喜十一 ...} у^т9 перейдем к эквивалентному уравнению
G сопровождающей матрицей
Определение 5・4・ Метод (5.15J называется устойчивым^ если для всех 九 н /》0 выполняется неравенство
В "n+Mn+ZT，• • 4n+i4n I《М・(5.19)
Отметим, что в общем случае Ап зависит от отношений шагов (on+i, ...» ®мт・ Поэтому условие (5.19) обычно будет приводите к ограничениям на эти величины.
Поскольку у методов Адамса (5.5) и (5.7) коэффициенты % не зависят от п, они устойчивы при любой последовательности шагов.
В следующих трех теоремах мн представим результаты об устойчивости методов общего вида с переменным шагом. Первая теорема взята из работы Крузе—Лисбоны (1984) и основана в# теории возмущений:, метод с переменным шагом считается воВ* мущением сильно устойчивого метода с фиксированным шагом»
Теорема 5.5. Пусть метод (5.75) обладает следующими свой* ствами:
л-1
порядок р 0$ т. е. 1 Е а% = 0/
коэффициенты а加 = а, (®п+1,…,(0^^ — непрерывна в окрестности точки (1,・・” 1) функции^
соответствующая формула с постоянным шагом сильно устойчива, т. е. все корни многочлена
f+；£(11)У= 0
лежат в открытом круге единичного радиуса | С | V 1； за исключением корня Q = 1.
Тогда существуют вещественные числа ш, Q (со < 1 < Q), такие что при выполнении условия
со《九J九пт《R при всех п(5.20)
метод устойчив.
Доказательство. Пусть Л — сопровождающая матрица формулы с постоянным шагом. .Как н в доказательстве леммы 4.4, приведем к канонической жордановой форме
J ;丿
где по предположению с) [ 4 卜 V 1・ Отметим, что стоящий в последнем столбце матрицы Т собственный вектор матрицы Л, соответствующий ее собственному числу 1, равен & = (1,1)丁・
Из предположения а) следует, что th является также собственным вектором и для всех матриц Лп. Поэтому верно равенство
Г-МПТ= ЛЛ 1 ,
и в силу непрерывности 11471nl《1 при достаточно близких к 1 значениях(оЛ+1, ・・・, со^.х. Теперь устойчивость следует из соотношения
\Т^АпТ^^тах(1Ап^ 1)=1,
которое приводит к неравенству
|4…••小M《|71・|L||・■
Следующий результат [Григорьев (1983) ] основан на сокращении размера матриц ЛЛ на единицу. Идея заключается в исполь-
1 1 1 ... Г1 1 ... 11 ... 11 1 1 ... Г1 1 ... 11 ... 11 —11 - 11 ...1 —11 - 11 ...
1 1 1 ... Г
1 1 ... 1
1 ... 1
1 1 1 ... Г
1 1 ... 1
1 ... 1
1 —1
1 - 1
1 ...
1 —1
1 - 1
1 ...
зовании преобразования
гдегде
где
где
・—1
1
Отметим, что в последнем столбце матрицы Т стоит вектор % из предыдущего доказательства. С помощью простых вычислений получим
Здесь eL = (0, ..., О, 1), а матрица 4： имеет вид
-哦一2. a 一峨7. n • • • - a% — aon
10.... О
a?f2. /1=1 + ац. п» о^оя = — %и
а：тт. п —或т. п = а在т. п при j = 2，•.・，& ■— 1.
Заметим, что а；, 〃 совпадают с коэффициентами многочлена> опр呻 деляемого следующей формулой:
(У + %т. QT +•••+«!#«€+«0< я)=
=© - 1) (3-】+ a J* 〃1-2 + •. • + af, к + W・ j
Теорема 5.6. Пусть метод (5.15) имеет порядок р》0・： В этом случае метод устойчив тогда и только тогда 9 когда дм всех п и l^Q выполняются условия
а) 142-м ••• Ап^.\АпJ^Afi>
b3 = e&g"Mb3 = e&g"Mв"9П !■用в"9П !■用Доказательство. С помощью индукции легко показать, Е
b3 = e&g"M
b3 = e&g"M
в"9П !■用
в"9П !■用
Поскольку в данной теореме размер рассматриваемых матриц уменьшается на единицу, она особенно полезна для исследования устойчивости двухшаговых методов.
Пример. Рассмотрим двухшагрвый ФДН-метод (5.14). Здесь
«о» = TT2sg J % = —1 —%・
Матрица (5.21) в этом случае имеет вид
a：=(-唯)，-aon =г鼠二，
При I ajn I《g V 1 выполняются условия теоремы 5.6, из которых следует устойчивость. Данное соотношение верно, если имеет место неравенство
0V%%VQVl+"・
Интересным следствием сформулированной теоремы является неустойчивость двухшаговых ФДН-формул в случае, когда величина шага растет не медленнее, чем определено соотношением 九п+1/%》1 + /^・
Исследовать устойчивость ^-шаговых 信 > 3) методов значительно сложнее, так как в них входит несколько отношений шагов ®П+1, ®п+2, ••• •
Для ФДН-методов высокого порядка Григорьев (1983) нашел следующие оценки вида (5.20), обеспечивающие устойчивость:
Таблица 5.1. Оценки (5.20) для 耻шаговых ФДН-формул
А
2
3
45
(0
0
0.836
0.979
0.997
Q
2.414
1.127
1.019
1.003
Эти ограничения, конечно, нереалистичны, так как они включают все патологические изменения шага.
Менее пессимистичные оценки можно получить, предположив, что шаг изменяется более гладко [Гир—Ту (1974)1： известно, что локальная погрешность имеет вид d (xrtJ 发+^ +。(&S+2)> где d (x)——ее главный член. G помощью управления величиной шага эта погрешность сохраняется равной значению TOL. Поэтому, если d (х) находится вне некоторой окрестности нуля, то выполняется равенство
ftn = |TOL/d(xn)|V(p+i)+ O(ftn),
из которого следует (при условии hn+Jhn《 Q), что
ЛпЛ = I d (&)/d (%х) №叶° + О (%)・
Если d (%) дифференцируема> то получим
|%+1/%一11《c%・(5.22)
На этом предположении основано несколько результатов Гира—Ту об устойчивости. («Следовательно, мы можем рассчитывать, что метод будет устойчивым, если устойчив метод с фиксированным шагом ...>). Суммируя неравенства (5.22), получим условие
ЕI %+“％ — 11« с (兑一力°))
содержащее только отношения шагов. Имеем следующую теорему.
Теорема 5.7. Пусть коэффициенты а加 метода (5.75) являются непрерывно дифференцируемыми функциями от (оп+1, ..., (on+ft»i в окрестности {(соп+1, ・.., (on+h-i); со « ®/ « Q}, “ предположимf что метод устойчив при постоянных шагах (/и. £・ при со； = 1). Тогда из условия
中
£也+1询—1|《С при всех п и l^Q (5.23)
совместно о со《％+J%《 Q следует условие устойчивости (5.19).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5.5, обозначим через Л сопровождающую матрицу формулы с постоянным шагом, а через Т соответствующее преобразование, такое что [Т-1% ||=1. Применяя теорему о среднем к выражению а； (®п+1,…,о)мт) — а； (1,・••, 1), придем к соотношению
叶I1Т^АпТ^Т^АТ^К £ |吋"・
Следовательно,
IIL4TII« 1 + К/2J电一 11《ехр {,旦丿仰-11)•
Из этого неравенства выведем, что
II Ап+1 …4〃4 II《IIТ Н Г-】»• ехр (К•但一 1) С). ■
Сходимость
Для методов Адамса с переменным шагом сходимость впервые изучил Пиотровски (1969). Для доказательства сходимости в об* щем виде введем вектор Уп =(外+”山…，уп^ ^尸・ По ана* логин с (4.8) метод (5.15) приводится к эквивалентному виду^
Уп+i = (^п ® /) У«> + Лп+^-1Фп (xn, Yn> hn)f (5.24)
где матрица Ап задана в (5.18), а
①71 (-^П， У71，Лд) = (^1 ® 7) Yn(Хл, У” 力п)・
Значение Y = Yn (xnj У^，八口) неявно задается соотношением
Л—I/Л—I\
屮=£ ^jnf (^»+J> gn+D + ^knf I ^n+ht 五▽ — X «加Pg/ )•
/=a\Z=o w /
Далее обозначим через
У (%n) =(У (Хп+к-З • • •，U (^П+1)» У (*71))'
точные значения, аппроксимируемые вектором Yn. Теперь теорему о сходимости можно сформулировать следующим образом.
Теорема 5.8. Предположим, что
а) метод (5.15) у стопчи% имеет порядок р, а его коэффициенты а加, 卩加 ограничены^
匕)для стартовых значений выполняется условие
11%)一九 11 = 0(%)；
с) отношения шагов ограничены (ftn/ftn-1《 QJ.
Тогда метод сходится с порядком р, т. е, для любого дифференциального уравнения * = / (х, у), у (х0) = % с достаточно гладкой функцией / глобальная погрешность удовлетворяет соотношению
k(^n)~fZnB<c*p 叩〃 *n《？，
где h = max 为.
Доказательство. Поскольку метод имеет порядок р, а коэффициенты и отношения шагов ограничены, из формулы (5.17) видно, что для локальной погрешности
б»】=У (*几+1) — (^п ® /) У (^п) 一 Лп+^-1Фп (xn> Y (xj 九л) (5.25) верно соотношение
^ = 0^).(5.26)
Вычитая (5.24) из (5.25), придем к равенству
У (Ю —厶=(4 ® /) (У (%) — 匕)+
+ Лп+fe-l {Фд (^П» У (^п)> 九п)—①71 (%7М У»，Лп)} + Sn+l* откуда по индукции следует
У (&Q - Yn+1 = ((4 ・・・ 4。) ® /)(У (% - У。) +
+ £ %бт((4...Лм) ®/){Ф/(^> Y^ %)-
—6(办 у力办)} + Е ((^n- • ^/+1) ® /)б」+1・
Как и в доказательстве теоремы 4.5, получим, что Фп удовлетворяет равномерному условию Липшица по Уп. С учетом устойчивости и равенства (5.26) выведем отсюда оценку
1У (^n+i) — Уп+i I《£ 九 j+atL IУ (勺)—匕 D + G 九р.
Для решения этого неравенства введем последовательность {еп}, определенную следующим образом:
% = D У (х。)一匕1，п(5.27)
%+1 = e Aj+fe-iLej + &也Р.
По индукции легко показать, что |У(хп)^Уп|<вп.(5.28)
Из (5.27) при п》1 получим соотношение
&n+i = % + Лп+ь-1£вп《exp (hn+^iL) вп,
а поэтому и неравенство、
сп《ехр ((£ — /) L)厶=
=exp ((£ — x0) L).{hMLIУ 偽)一匕口 +。也％
которое совместно с (5.28) и завершает доказательство теоремы 5.8. ■
Упражнения
Докажите, что при постоянном шаге выражения g/ (п) и ①;(л) [формулы (5.3) и (5.6) ] сводятся к виду
Я/ S) = ?/> Ф/ (九)=V%，
где Yj определены в (1.6).
[Григорьев (1983)1. Для fe-шаговых ФДН-методов рассмотрим сетки с постоянным отношением шагов <о, т. е. hn = ©Лп^ при всех п. В этом случае элементы матрицы А\ (см. (5.21)/. не зависят от п. Покажите с помощью численных расчетов, что все собственные значения 4； но модулю меньше единицы при 0 < со < “, где Rh имеют следующие значения:
也
2 ,
3
4
5
6
Rh
2.414
1.618
1.280
1.127
1.044
IIL6. Методы Н орденка
Важные результата представлены в статье Нордсика (1962), где для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается класс методов, позволяющих изменять шаг удобным способом (см. разд. Ш.7). Уже сам автор указал на то, что его методы эквивалентны в некотором смысле неявным методам Адамса. Сначала мы изложим его вывод методов)а затем изучим их связь в линейными многошаговыми методами.
Нордсик (1962) отметил, что «...все методы численного интегрирования эквивалентны нахождению многочлена, аппроксимирующего у (%)...>. Его идея состоит в том, чтобы представить этот многочлен через производныё от нулевого до fe-ro порядка вклю- чительяо, т. е. в помощью вектора («вектора Нордсикаэ)
2п = ^я> 五Jhi, 5y 0м ・••■ ■'%' [" 0豊)•(6.1)
Величины у9)имеют смысл приближенных значений для у"> (хя), где у (%) — точное решение дифференциального уравнения
У 7 k 办(6.2)
Чтобы определить процедуру интегрирования, необходимо задать правило нахождения zn+1 по известным zn и дифференциальному уравнению (6.2). При использовании разложения в ряд Тейлора (например# при fe = 3) такое правило имеет вид
g叶I = 0〃 + 也，；+ "|т °： + 击物 + 先&
hyn^i = hyn + 2 备-物 + 3 等-gm + 4 先 e，
(6.3)
亓物+1=IT% + 4 彳
где значение е выбирается таким образом，чтобы выполнялось равенство-
城+1 = f (&+1，0叶i)■(6・4)
Подставляя (6.4) во второе соотношение из (6.3), получим
4 弁 е = й (/ (хп^ъ д*)—阅，(6・5)
где
破=hyn + 2 ур 场 + 3 弁 уп-
С учетом этого выражения для е метод принимает вид
Уп^\ =物 + hyn + -|у Уп + "^Уп +； G (&+I,乡叶 1) — /л)> 初叶1 = hyn + 2 yp 以 + 3 ^~ 乡〃 + 万(f (^п+ь JM+D — /：),
(6.6)
yp5叶1 ="!^物 + 3 ^ууn + 条е(/ (&+h，叶i)一阅，
ур5叶1 =-^"уh + hG(&+i,g叶1) - fn)-
Первое уравнение 一 неявное относительно 以口+工,а остальные — явные. Отметим, что если величины у9) достаточно точно аппроксимируют у⑴ 伪 J то значение е [формула (6.6) 1 аппроксимирует У“)(％п)・ С точки зрения точности это свойство выглядит привлекательно. Но, к сожалению, метод (6.6), является неустойчивым. Чтобы показать это, подставим в (6.6) f (х, у) = 0・ В этом случае метод обращается в линейное преобразование
%i 匸 М% (6.71
о матрицей
(0 1 2 3).(0 1 2 3)./1111 10 12 3 М= 0 0 1 3 \0 0 0 1/1111 10 12 3 М= 0 0 1 3 \0 0 0 1
(0 1 2 3).
(0 1 2 3).
/1111 10 12 3 М= 0 0 1 3 \0 0 0 1
/1111 10 12 3 М= 0 0 1 3 \0 0 0 1
Видно, что собственные значения М равна 1, 0, — (2 + /3)胃 —1/(2 + -/3), откуда следует неустойчивость метода (6.6), * поэтому и его практическая непригодность. С часто встречающим^ ся явлением неустойчивости методов высокой точности мы уж^ столкнулись в разд. III.3.可
Чтобы преодолеть указанную трудность, Нордсик предложи^ заменить постоянные 1/4, 1, 3/2, 1, стоящие в (6.6) перед скобкам#| на произвольные значения (/0, /х, ", и использовать эту полнительную степень свободы для достижения устойчивости! Такую модификацию можно записать в компактной форме:扌
z叶I = (Р ® /) 丁 + (/ ® /) (й/ (%«+「物+1) — (efP ® /) NJ
Здесь zn задано в (6.1), Р — треугольная матрица Паскаля,
деляемая формулойделяемая формулойпри 0 < / < / < Л, в противном случае,при 0 < / < / < Л, в противном случае,
деляемая формулой
деляемая формулой
при 0 < / < / < Л, в противном случае,
при 0 < / < / < Л, в противном случае,
I = (4，&,•••,友)& а 勺=(0, 1, О,...., О)7*. Отметим, что индексы векторов и матриц начинаются с нуля. 一 '
Для простоты обозначений в следующих теоремах будем далее рассматривать только скалярные диффер енци а льные уравнения, для которых метод (6.8) принимает вид
2п+1 -P^+lLhfn^-ef PzJ(68)
Конечно, все результаты остаются верными и для систем уравнений. Условие (6.4), связывающее этот метод о дифференциальным уравнением, фиксирует значение
% = L (6.9)
Анализируя описанным выше способом устойчивость метода общего вида (6.8), мы придем к разностному уравнению (6.7) с матрицей
M = P-lefP・(6.10)
Например, при fe == 3 эта матрица имеет вид
ММ1 — /о 1 — 2/q 1 — 3/q\
М
М
000 I
-~ %1 — 2/з 3 — 3/g I *
-Zs - 2/s 1 - 3(丿
Заметим, что 1 и 0 являются собственными значениями матрицы М, а ее характеристический многочлен не зависит от ". Нордсик определил %, ..., lk таким образом, чтобы остальные собственные значения М были равны нулю. В случае 々=3 это выполняется при /分=3/4, % = 1/6. Коэффициент /0 можно выбрать из условия обращения в нуль константы погрешности метода (см. далее теорему 6.2). В нашем случае получается /0 = 3/8, а весь метод задается вектором
Интересно отметить, что этот метод эквивалентен неявному 3-шаговому методу Адамса. Действительно, исключая с помощью формулы (6.8) о уменьшенными индексами члены (h3/31) д； и (fta/2i) yZ придем к методу [см. формулу (1.8")]
вп+i = У» + 金，[^Уп+i + 19у； — 5加т + gЛ ・(6.11)
Эквивалентность многошаговым методам
Работы Деклу (1963), Осборна (1966) и Скила (1978) позволяю глубже понять связь между методами Нордсика и многошаговым^ методами. Следующие две теоремы показывают, что любой метс^ Нордсика эквивалентен некоторой многошаговой формуле и нм* порядок не ниже 也.j
Теорема 6.1. Рассмотрим метод Нордсика (6.8) с коэффициш том 厶 =1 ・ Тогда первые две компоненты вектора / удовлетворит линейной многошаговой формуле (при п》0)g
kkI
где производящие многочлены имеют вид鼻
р 隽)=det © — Р)或(J 一 P尸 I,g
。(0 = det (J 一 P)制(" 一 P尸 (.
Доказательство, Приведенное в самих указанных стат1Й доказательство значительно упрощается при использовании и* водящих функций (дискретное преобразование Лапласа):
Z © = £ znp, У © = £ у^.尸© = £ /пУ,п>0п>0п>0
Умножив формулу (6.8х) на С叶【и проведя суммирование, полуяЙ
Z (0 = CPZ © + / 伍尸 © -屋Р J (С)) + (% -峭.(6・, Подобным образом линейный многошаговый метод можно пеМ сать в виде
Р (0 У (0 = Лд (С) F ④ + hT«), Й где
Р (С)=偉Р (1/0, 6 (0 = У。(1/6:/
а рг — многочлен степени k — 1, зависящий от стартовых W чений. Для доказательства теоремы надо показать, что первым компоненты Z (С) удовлетворяют соотношению вида (6.15). чала перепишем уравнение (6.14):
'Z © = (/ — *尸 / 仇尸 © — efPN (0) ++ (/- CP)T 偽-削。).
При этом первые две компоненты Z (0 примут вид
У @ =結(/ 一 СР)т /仇尸⑹一eW (0) + ej (/ - 8尸 & 一 hF © = * (/ — ZPYll(hF ©- ef P J ©) + ef (/ — 壮尸(％ -
Теперь, сокращая стоящие в скобках члены и умножая равенство на det (/ — СР), мы придем к формуле (6.15) с многочленами
0 (0 = det (Z - *)或(/ -⑺-％
6 © = det (/「СР)國(/ - СР)Т,/
以Т © = det (/-8)(理(/ 一 y>)7 里(/ 一 沙尸一 一*(/-b尸坛(/一8尸)2。.’
С помощью (6.16) мы сразу получим формулы (6.13). Итак, остается показать, что многочлен pi в (6.17) имеет степень k— 1. Поскольку Р ——матрица размера (论 + 1) X (左 + 1), многочлен Рл .при I С I -> 8 ведет себя как #"・ И наконец, из соотношения (6.15) следует, что ряд Лорана для р^т не может содержать членов с отрицательными степенями. ■
Подставляя в (6.13) (g/—*Р)~Ч = 〃 н применяя к линейной системе^/ — Р) 〃 = / правило Крамера, из (6.13) получим изящное выражение
С — 1 Z@ — 1 ・.・—1
0 厶—2・・・—k
012 t — 1 • • •・
p (g) = det •• > (6ЛЗа)
u© = detu© = det(6.13b)(6.13b)C - 1C - 1
u© = det
u© = det
(6.13b)
(6.13b)
C - 1
C - 1
Заметим, что p (С) не зависит от %. Кроме того, Со = 1 является простым корнем р (g) тогда и только тогда, когда 人 * 0. Выполняется соотношение
р，(1) =。(1)=舰 ％р，(1) =。(1)=舰 ％(6.18)(6.18)
р，(1) =。(1)=舰 ％
р，(1) =。(1)=舰 ％
(6.18)
(6.18)
Условие (6.9) эквивалентно равенству а% = 1.
Теорема 6・2・ Пусть lh * 0. Определенный в (6.13) многошаговый метод имеет порядок не ниже 財 а его константа погрешности
(си. (2./3)) вычисляется по формуле
Здесь компоненты вектора
ЬТ = (В。, ％ …,BQ = (1，g-» J, 0, —^, 0, %，…)
являются числами Бернулли.
Доказательство. По теореме 2.4 порядок равен 论 тогда и только тогда, когда「
Р © - log С ・。© = См^1) +^ + О 儻 一 1)*+2)・ j
С учетом равенства det (U — Р)=(匚一1)л+х это условие эш Бивалентно условию习
*偉一Р厂"一 log С•威(и - Р厂I / = еm +。偉 一 1)),1
а в силу (6.18) достаточно показать, чтоЯ
(logС•或一屋)(U — РГ1^ЬТ + О((С - 1)).(6.1|
Обозначив левую часть равенства (6.19) через bT (С), получм
(U 一 РУЬ (0 = (log "% - ej.(6.2fl
В этой системе те уравнение (д > 2)
出。@一机力%© = 0 эквивалентно уравнению
С办 售)+力(0_10
~4 丁(L 川 i
которое является произведением Коши. Поэтому формулу (6•叫 можно переписать в виде
С £ 普 % © — м Е 早% (0 == l°g С — f， откуда следует, что
Если в эту формулу подставить С н 1, то получим равенств
£^%(1)= т£7，
которое означает, что 坛(1) = В@, где В9 — те число Бернулли (см. книгу Абрамовица и Стиган, гл. 23).
Таким образом, мы показали, что любому методу Нордсика
соответствует линейный многошаговые метод, имеющий порядок не ниже k. Следующая наша задача — установить соответствие в обратном направлении.
Теорема 6.3. Пусть (р, а) являются производящими многочленами k-шагового метода (6.72), имеющего порядок не ниже 財 и предположим, что аЛ = 1. Тогда:
существует единственный вектор /, такой *то рас определяются формулами (6J3);
если, кроме того, многошаговый метод неприводим, то существ вует невырожденное преобразование Т, при котором решения с〃・ стем (68) а (6・/2) связаны соотношением
/ н(6.21)
где j■兄 компонента вектора % вычисляется по формулам У
〃产= < 总也2+婚n+L 晒T+dn+t} ПРИ 0 «/《论一1, (6.22) hfnпри l = h・
Доказательство. а) Для любого многошагового метода порядка k многочлен р (U) однозначно определяется по и (С) (см. теорему 2.4). Разлагая определитель из (6.13b) по первому столбцу, получим
。© =厶(С — 1 )* + 厶(С 一 1 )i &©+•••+ Kh ©
где г； (С) — многочлен степени /, отвечающий условию г； (1)娱 0. Следовательно, / можно найти из о (Q.
Ь) Пусть 如勿т и %, ..., &т заданы. Тогда многочлен Pi (0 в (6.15) удовлетворяет равенству
Pi (0 = 口俨+壮七+ • • • +心2也1.
С другой стороны, если для метода Нордсика известен стартовый вектор Z。，вычисленный при значении I из утверждения а), то PhT (Е) определяется формулой (6.17). Приравнивая оба выражения, получим
占公叱=(0 © 宮 一 6 © 幻(/ ТР)-%・(6.23)
Теперь обозначим через ff (j = 0,・・・，论一1) коэффициенты векторного многочлена
Л—I
(МО 風 一 6 © 屋)(/ — СР厂=£ 色z(6.24)
13 Хайрер а. И др.
и возьмем 以=е『・ Затем выберем в качестве Т квадратную матрицу, у которой /-й столбец равен 牙，а поэтому 〃° = % вследствие (6.23) и hfn = hyn- Проводя для %, ・・・,勿+时1 и fn,... ・・•，fn+h—工 те же рассуждения, что и для у0, ..., ^汽一好 придем к равенству ип = Tzn для всех п.
Для завершения доказательства остается лишь проверить невырожденность Т. Пусть вектор и = (%, %, ..., %)「отличен от нулевого и удовлетворяет равенству Ти = 0. По определению ff имеет место равенство и】=6, н из (6.24) следует (с учетом преобразования (6.16)), что
Р (0 % ④=。(0 Фх (d (6.25)
где s 隽)=det (9 — Р)屋(J - P厂％ —многочлены, степень которых не превосходит 宙.Более того, из правила Крамера ел、 дует, что степень ^ (g) не превосходит k— 1, ^ = 0. Поэтому в силу (6.25) по крайней мере один из корней р (Q должен быть ко% нем о (С), что противоречит предположению о неприводимости мег； тода. &
В таблицах 6.1 и 6.2 даны векторы Z, соответствующие неяв^ ным методам Адамса и ФДН-методам. Для этих двух классов ме^ тодов мы более подробно исследуем их эквивалентность.
Таблица 6.1. Коэффициенты "屏таговвга неявных методов Адамса
Го厶"厶ь厶&
6=1 6=2 6=3 6=4 6=5 ^ = 6
1/21
5/1211/2
3/813/41/6
251/720111/121/31/24
95/288125/2435/725/481/120
19 087/60 4801137/1205/817/961/401/720
Таблица в.2. Коэффициенты 7/ ^шаговых ФДН-методов
Го к “hhh%
6=1 6=2 6=3 从=4
6=6
11
2/311/3
6/1116/111/11
12/2517/101/51/50
60/137 1 225/27485/274 15/274 1/274
20/49158/635/1225/2521/841/1764
Неявные методы Адамса
Следующие результаты принадлежат Бирну и Хайндмаршу (1975). Поскольку их «эффективный пакет» EPISODE основан на представлении Нордсика для методов с переменным шагом, мы включили в рассмотрение и этот случай. Методы Адамса естественным образом определяют многочлен, аппроксимирующий неизвестное решение уравнения (6.2), а именно: при заданных уп и %, ...» fn-fe+i ^-шаговый метод Адамса эквивалентен построению многочлена рп〃(%) степени G } 1$ удовлетворяющего следующим условиям:
Рп+1 (*^п) =，7И Рп+1 (^П+1) = &П+1>
成+1(打)=力при / =九一也+1一..,九+1・(.)
Условие (6.26) определяет 丸― неявно. Заметим, что разность между двумя последовательными многочленами рп+1 (х) — рп (х) обращается в нуль в точке хп> а ее производная — в точках Xn-fe+ь •・・，*п・ Поэтому, вводя обозначение еп^ = ^х — —Рп (Хд+1), мы можем записать эту 'разность в. виде
РпМ-厶 G) = А%”(6.27)
где Л ——единственный многочлен степени А + 1. определяемый следующими условиями:
Л(0) = 1, Л(—1) « О,
* (g^^) а 0 при / в 九 一 А + L ・・・,п. (6・28)
Подставив в производную выражения (6.27) значение х =抬^ мы увидим, что при %“ = %n+i — хп выполняется соотношение
Ап/п+1 — ЛпР« (%П+1) в А' (0) ©п+1・
Если ввести вектор Нордсика
/炉+1
乏口 = ^Pn (^п)> 力nP〃(*n)，信 + ])!
и коэффициенты 口】
A(f)=为 Г#,(6.29)
то (6.27) становится эквивалентным формуле
%〃 =叫 + ГП1 lhfn^-e{PZ^9(6.30)
в которой Г = «о,厶，•・・，Г“1)т. Это метод вида (68)・ Однако он имеет размерность 也 + 2, а не G + 1, как следовало ожидать 13*
на основании теоремы 6.3. Причина этого заключается в следующем: пусть многошаговый метод, соответствующий методу (6.30), имеет производящие многочлены р (^) и б (0. Тогда из условий Л (——1)= =0 н А' (—I) = 0 следуют равенства а (0) = р (0) = 0, означаю* щие, что метод приводим. Тем не менее метод (6.30) применим н& практике, так как последнюю компоненту вектора 2П можно использовать для контроля величины шага.
Замечание. При 々 > 2 определенные в (6.29) коэффициенты Г, зависят от отношений шагов hj/hj^, / =九一G + 2, ...» 〃• Их можно вычислить из формулы
]П(5_切或
А(/) = Т^,(6.31)
(П(з-^)Л，
J 7T
в которой tj = (/т+1 —今+1)/(左“ —xn) (см. также ynp. 1)：
ФДН-методыJ
Один шаг ^-шагового ФДН^метода заключается в построения! многочлена g^+i (%) степени 也,удовлетворяющего условиям : qnNMUj пРи / = л~-&+1,..„л+1>з
*也+1)=/…
и в нахождении значения уп^ при котором это возможно. Кая и для методов Адамса, в данном случае верно равенство 1 强(》_%a) = a (^^).仇"一^%)),(6.3现
где Л (f) — многочлен степени k9 определяемый условиями
А 俘一空= 0 при / = 〃一G+L …,л, Л(0)= 1.
Вводя вектор
=卜n (xj 九п0；(Хп)，才礎'(*п))
и коэффициенты【力 задаваемые формулой k
A(f)=E3，/«о
преобразуем (6.33) к виду
(6.34)(6.34)2л+1 =+ ГГи [hfn+1- efP2」・
(6.34)
(6.34)
Вектор Г = (Го,厶，…，^h)T можно вычислить из формулы
Л(О = П(1+-^),
в которой tj = (»nT+i ——力n+i)/(%n+i ——力п)・ При постоянном шаге формула (6.34) соответствует формуле из теоремы 6.3, а коэффициенты 2/ = 1也 совпадают а приведенными в табл. 6.2.
Упражнения
Пусть 炉 (/ = 0, ..., А) являются коэффициентами Нордсика для fe-шаговых неявных методов Адамса (они определены с помощью теоремы 6.3, а их числовые значения даны в табл. 6.1). Обозначим через【产 (/ = 0, ...» 也 + I) коэффициенты, введенные с помощью (6.29) и (6.31), в случае постоянного шага. Покажите, что выполняются соотношения
炉2产при / = О,
部=[产D прн/=Ь・・・, 々+1.
Используйте их для проверки табл. 6.1.
а) Найдите матрицу Т из теоремы 6.3 для 3-шагового неяв* ного метода Адамса.
Ответ:
‘1 О О О О 6 04‘1 О О О О 6 04О 3/8\
‘1 О О О О 6 04
‘1 О О О О 6 04
0 1
6 3/4 Г
12 1/6/
Покажите, что вектор Нордсика zn имеет вид
Z。= О/» hfnt (3hfn — 4九/吁1 + 九『吁2)/4,(九左 一 2出пт + 財пт)/6)「・
Вектор zn для двухшагового неявного метода Адамса (6.30) (при постоянном шаге) также задается формулой
盍=仇,hfn3 (ЗЛ/П 一 4%т + 砧н)/4, (% - 2%т + 砧т)/6)г, но теперь уп менее точно аппроксимирует у (хп).
III.7. Реализация и численное сравнение
При реализации многошаговых методов существует большая свобода выбора (даже если ограничиться рассмотрением методов Адамса). Можно непосредственно использовать методы с перемен-, ным шагом из разд: 111.5 либо применять метод с постоянным та" гом, определяя при этом с помощью интерполяции значения вн* узлов сетки, необходимые при изменении шага. Кроме того, воз” можен выбор между формулировкой в разделенных разностям (5.7) и представлением Нордсика (6.30).J
Исторически первый подход состоял в использовании формул^ (1.8), дополненной интерполяцией (Дж. С. Адамс (1883): «Конечной мы всегда можем изменить значение о (величину шага), есл^ ббльшая или меньшая скорость убывания последовательных раэ* ностей указывает на целесообразность увеличения или уменьшени! интервала. Только при этом необходимо, выбрав одно из уже вый численных значений или применив интерполяцию через ннх, найти координаты нескольких новых значений ср, разделенньп новым интервалом»). С точки зрения теории метод (5.7) с перемен： ным шагом выглядит более подходящим и красивым. Для обоиз подходов изменение шага является достаточно дорогой ироне дурой, тогда как изменить порядок очень просто — надо толый прибавить следующий член разложения (1.8). Если же реализу) ется представление Нордсика (6.30), то мы имеем обратную ситуа цию. Теперь изменение порядка не является таким же естестве^ ным, как прежде, зато можно легко изменить шаг, умножи! вектор Нордсика (6.1) на диагональную матрицу diag (I, со, &* ・・・) где ю = hn&Jhoid ——отношение шагов. Это и послужило основной причиной введения такого представления.
Выбор шага и порядка|
В литературе 60-х годов многое было сделано по вопрос； о начале многошаговых вычислений и необходимости для этого м< тодов Рунге—Кутты [см., например, работу Ралстона (1962)1 В настоящее время основанные на многошаговых методах пре граммы в начале счета просто используют методы первого порядк и очень малый шаг и поэтому являются самостоятельно стартуй ющими.；
Теперь предположим, что до точки хп численное ннтегрир< ванне протекало успешно, а для нахождения yn+lt аппроксимируй щего у (хп+1), мы выбрали величину шага hn и порядок k + : Чтобы решить, подходит ли yn+lt мы должны иметь оценку локал|
ной погрешности обрывания ряда. Такую оценку дает, например, формула
®+i (и + 1)=场+1 — уп+ъ
где значение y；+i вычислено по неявной формуле Адамса порядка 々 + 2. Вычитая формулу (5.7) из нее же, но с заменой 々 на 月 + 1， получим- *
历用(〃 + 1)=九n (ggi S) — gM〃))①用 S + 1)・(7.1)
Главный член этого выражения не изменится, если вместо Oft+i (n + 1) мы поставим
论
①左+i (九 + 1) = 口 (*n+i — *пт) /叫*n+i, *n,…,厶］.(7.2)
г «о
Верхний индекс р у / обозначает- замену fn+1 = f (xn+x, 11nq на f (%用，Pn+i) при образовании разделенных разностей. Если решать неявное уравнение (5.7) итерационным методом с начальным приближением p^+i, то ①2+【(п + 1) придется вычислять в любом случае. Поэтому единственной затратой при подсчете оценки
L日+I (九 + 1) = /1n (g 尼 m (九)一gA(力)① 2+i (九 + 1) (7.3) будет нахождение g^i (九)• После того как вычислено выражение (7.3), мы требуем выполнения (в некоторой подходящей норме) неравенства
MExm+3《T0L,(7.4)
означающего, что данный шаг был успешным.
Если вместо (5.7) рассматривать представление Нордсика (6.30) то оценка локальной погрешности будет уже не такой простой, так как векторы I в (б.30) полностью различаются при разных порядках. Одну из возможных оценок погрешности можно найти в статье Бирна—Хиндмарша (1975).
Предположим теперь, что значение уп^ принято. Далее мы должны выбрать новые шаг и порядок. Идея выбора шага состоит в нахождении наибольшего %и, при котором предсказанная локальная погрешность является допустимой, т. е. выполняется соотношение
九叶「1 Sk+i (л + 1) — gh(〃+ 1) I *11 Фл-f-i (^ + 2) II •< TOL.
Однако эта процедура на практике не используется из-за сложной зависимости величин gj (〃 + 1) и ①2+1 (九 + 2) от шага Лп+1. Кроме того, слишком дорого обходится подсчет коэффициентов gft+i (九 + О и gfe (n + 1). Чтобы преодолеть эту трудность, пред-
положим, что сетка равномерная (это необоснованное предположение, но из него следует простая формула для нового шага). Тогда локальная погрешность (для метода порядка 论 + 1) имеет вид С (%п+2)胪+2 + О (胪+з); Где с — гладкая функция от %. Поэтому локальную погрешность в точке хп+а можно приблизить ее значением в хп+1, и так же, как в случае одношаговых методов (см. формулу (4.7) из разд. II.4), мы получим в качестве оптимальной величину шага
亿5)
Локальная погрешность LEk+1 (n + 1) вычисляется по формуле (7.3) или, снова при предположении о равномерности сетки, по формуле
L&+i S + 1)=也唯+1 触-S + 1),(7.6)
где значения y2+i приведены в таблице 1.2 (см. у пр. 1 из разд^ III.5 и упр. 4 из разд. IIL1).
Теперь опишем, как можно определить оптимальный порядок^ Поскольку при всех порядках необходимо одинаковое количестве) вычислений функции, для выбора нового порядка в основном применяются две стратегии. Можно выбирать порядок fe + 1 из усл& вия либо минимальности оценки локальной погрешности, лнбЙ максимальности нового оптимального шага. Эти две стратегии ШЦ всегда эквивалентны, так как в формулу (7.5) входит показатели! степени 1/3 + 2). Более подробно этот вопрос будет рассмотрев ниже при описании программы DEABM. Необходимо отметить, что в каждой из реализаций методов Адамса — а их существу^ множество — описанный алгоритм усовершенствован и дополнея| еще рядом процедур. Например, шаг сохраняется постоянным! если отношение hneaf/hoia близко к 1, что упрощает вычислений коэффициентов gj (n)..g
Некоторые распространенные программы,j
Для демонстрации стратегий выбора порядка и шага в мнс| гошаговых методах мы выбрали три программы: DEABAU EPISODE и LSODE.J
DEABM ——это модификация программы DE, описанной в книга Шампайна—Гордона (1975). Она датируется 1980 годом, а ее торы ——Шампайн и Уатте. При численном тестировании мы пр團 меняли переработанную версию программы, относящуюся к фея| ралю 1984 г. Европейские пользователи могут ее получить Л адресу «Rechenzentrum der RWTH Aachen, Seffenter Weg 2Я D — 5100 Aachen, West-Germany».中
В этой программе реализовано представление (5.7) в разделен-* ннх разностях для формул Адамса о переменным шагом. При решении уравнения (5.7), нелинейного относительно уп^ в качестве предиктора (Р) принимают значение рп+1, затем вычисляется (Е),耳+i = / (力n+u Pn+i) и выполняется одна итерация корректора (С), которая и определяет уп+1. В конце, если шаг оказался успешным, то вычисляется значение fn+1 =J (;un+1, g^+i) для следующего шага. В этой реализации РЕСЕ на каждом успешном шаге требуется дважды вычислять значение функции. Теперь кратко опишем стратегию выбора порядка из этой программы! после выполнения шага методом 左 + 1-го порядка с помощью несколько модифицированной формулы (7.6) вычисляются LEkf (п + 1), LEh (九 + 1) н LEM (n + 1). Затем# если верно неравенство
maxQL£^(n + 1)[, ||LEh(n + 1)||)《JLEM{n + 1», (7.7) то порядок понижается на единицу. Повышение порядка рассматривается только в том случае, когда принят результат последнего шага, не нарушено соотношение (7.7) и примененный метод соответствовал сетке о постоянным шагом. Тогда вычисляется оценка
LE尼+2 (几 + 1)=力联+2①计2 (几+ 1)>
в которой используется новое значение fn+1 == f (xn+1, ^a+1)j н, если имеет место неравенство
lLEM(n+iH<lLEM(n+l)l
порядок увеличивается на единицу. На рис. 7.1 показано изменение шага и порядка для примера из разд. II.4 (см. рис. 4.1, а также рис. 9.5 из разд. II.9). На графике нанесены решение, шаг и порядок для уровней точности IO"3, 10~® и 10*"9. По поведению выбираемой величины порядка видно сильное отличие от основанной на экстраполяции программы ODEX (разд. II.9). На участках наиболее быстрого изменения решения значительно меняется только шаг, но не порядок. Отметим также, что на больших интервалах шаг остается постоянным, а порядок меняется довольно часто (особенно при TOL = 10~9)» Это согласуется с замечанием из книги Шампайна—Гордона (1975): «... слабое уменьшение оцениваемой погрешности может вызвать колебания порядка^ что в свою очередь помогает программе продолжать счет g постоянным шагом».
EPISODE при значении параметра МР = 10 реализует пред- втавление Нордсика (6.30) переменного порядка для методов Адамса. Авторами этой программы являются Бирн и Хайндмарш (1975), а для ее получения вледует обратиться по следуют
щим адресам； «National Energy Software Center, Build. 221, Argonne Nat. Lab., 9700 South Cass Avenue, Argonne IL 60439, USA》или «NEA Data Bank, В. P. No. 9 (Bat. 45), F91190 GIF-sur-YVETTE, France».
Мы использовали версию от 5 апреля 1977 г. У этой программы есть несколько отличий от DEABM. Нелинейное уравнение, первое в системе (6.30), решается методом простой итерации до сходимости. Пересчет f в конце не производится. Поэтому такой метод можно рассматривать как Р (Е^^-метод, где число итераций М
может меняться от шага к шагу. Например, в тесте на рис. 7.2 (TOL = 10~®) при 340 шагах требуется только 410 вычислений функции. Отсюда видно, что для большинства шагов достаточно одной итерации. Выбор порядка в программе EPISODE основав на поиске максимального шага среди 阮(п + 1), hM (孔 + 1》 и 九女+2 (n + 1). На рис. 7.2 представлено изменение шага и порядка при использовании этой программы для того же примера, что *： раньше: заметим, что здесь выбирается Намного более низкий по* рядок, чем в DEABM. Кроме того, порядок остается почти постоянным почти на всем интервале. Такое поведение оправданно, ng скольку для представления Нордсика смена порядка не являете# естественной процедурой. ：
Рис. 7.3. Размер шага и изменение порядка для программы LSODE.
LSODE (с параметром MF = 10) — это еще одна реализация методов Адамса. Ее предшественником является программа GEAR (Хайндмарш, 1972), которая в свою очередь представляет модернизированный и улучшенный вариант на основе программы DIFSUB (Гир, 1971). Мы использовали версию от 17 июня 1980 г* Ее можно получить из тех же источников, что и EPISODE. LSODE основана на представлении Нордсика для методов Адамса с постоянным шагом. По алгоритму изменения шага и порядка она близка к программе EPISODE (см. рис. 7.3).
Сравнение численных результатов
«...Среди трех семейств методов метод Рунге—Кутта постоянного порядка наиболее прост, понятен в ряде аспектов и наименее эффективен».
(Шампайн и Гордон, 1975)
Интересной проблемой является, конечно, сравнение разных реализаций одного и того же численного метода. Помимо программ DEABM, EPISODE и LSODE мы рассмотрим подпрограмму D02CAF из библиотеки NAG (библиотека NAG, Mark 10), которая представляет собой версию программы Хайндмарша GEAR， Еще мы включили в сравнение результаты счета по программ® DOPRI8, основанной на методе Рунге—Кутты фиксированного! порядка (разд. П.6), чтобы показать различие в поведении одно шаговых и многошаговых методов.
Таблица 7.1. Используемые при сравнении программы
Название программы
Линия на рисунке
Объем памятв при больших ^
DEABM
22 •"
EPISODE
18・N
LSODE
17・N
DO2CAF
19 •"
DOPRI8
9 •"
Все эти методы мы применили к численному решению шес!1| задач из разд. 11.10: JACB, TWOB, VDPL, BRUS, LAGR, PLE| (при пяти уровнях точности 10~3, 10~®, 10~9,10*1а, 10~15). На рис. 7.1 нанесена в двойной логарифмической шкале зависимость числ вызовов функции от достигнутой точности. DEABM кажете! лучше других программ (по крайней, мере при TOL《 DOPRI8 и EPISODE требуют наибольшего количества вычисли ний функции. Авторы программы EPISODE рекомендуют пр| менять ее «для задач, у которых сильно изменяется характер 或 ведения решения». Основанная на методе Рунге—Кутты программ DOPRI8 требует намного меньших дополнительных затрат (вра
Рис. 7.4. Число обращений к подпрограммам вычисления функций (fc) для различных программ при решении для шести задач из раздела 11.10.
Рис. 7.5. Время работы центрального процессора (в секундах) для различна программ при решении шести задач из раздела UJ0.
мени счета на операции, не входящие в подпрограмму вычисления функции) по сравнению с многошаговыми методами. Это видно из рис. 7.5, на котором для тех же шести задач указана зависимость времени счета (на ЭВМ UNIVAC 1100/60) от достигнутой точности (в двойной логарифмической шкале).
Отметим, что в задачах, где вычисление функции обходится дешево (как в первых пяти примерах), программа с методом Рунге— Кутты затрачивает намного меньше времени, чем основанная на многошаговых методах, хотя в общем она должна повторить эти вычисления большее число раз. Для задачи PLEI, в которой вычисление правой части достаточно дорого, эта разница уже не столь велика.
Теперь обратимся к изучению случая, когда задача имеет очень большую размерность, а отдельные ее компоненты не очень сложны.
Уравнения в частных производных.
Рассмотрим уравнение реакции g диффузией (брюсселятор g диффузией)
符=]+ 〃%_4.4〃 +u簪+參)，
需=3.4一询+。(察+器)68)
при。《见《1, 0 < jr < 1, I > 0, а = 2-Ю"8 совместно g граничными условиями Неймана
需=0,署=0(7.9)
и начальными условиями
» (修协 °) = 0.5 + g.
。(招 g, 0) = 1 + 5%.U」5
С помощью метода прямых (см. разд. 1.6) эту задачу можно привести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем обозначения
%，= “ у(=[,・••, М R/ = / ], /=[,••“ м
и определим функции
U” (')“ (修，9ь 0*
%/⑴=。(修，力，力()
Дискретизация в (7.8) производных по пространственным переменным дает систему ОДУ размерности 2^, состоящую из уравнений
UZ = 1 + UliVtj^ 4・4[/廿 + а(М — I)?(t/皿 + к, +
+ U к ；+1 + 力厶 /т —彳。订)，(7・ 12)
Рис. 7.6. Решение а （修 yt 0 для t== 0, 0.5, “・,11.5.
Рис. 7・7. Решение。（х,弘 0 для t = 0, 0・5, •・”Рис. 7・7. Решение。（х,弘 0 для t = 0, 0・5, •・”11.5.11.5.
Рис. 7・7. Решение。（х,弘 0 для t = 0, 0・5, •・”
Рис. 7・7. Решение。（х,弘 0 для t = 0, 0・5, •・”
11.5.
11.5.
吗/ = 3.4U" — U^Vu + a (N — l)2 (匕+13 + 匕 т" + + %,"i + %, /т — 4 匕»,
где i, / = 1# ..., N. В (7.12) еще не определены значения U。力 U加,....В силу граничных условий (7.9) их надо выбирать следующим образом:
U°j = U^j，^^+l, j = Unt,力 и“ = 17及，U& ^+l = U“ nt・
To же относится и к величинам У”.
Решение системы (7.12) как функция от (%», у» (при N = 21) представлено на рис. 7.6 и 7.7 через равные промежутки времени! f = 0, 0.5, 1, 1.5}11.5.
Рис. 7.8. Число вызовов функций fc й время работы центрального процессора для задачи (7.12) при ^ == 21 в зависимости от достигнутого уровня точности^： По оси абсцисс отложен взятый с обратным знаком десятичный логарифм допустимой погрешности.
Применим теперь различные программы я задаче (7.12) пре ^ = 21. Ее размерность уже равна 882. Как и при сравнении ре* зультатов счета предыдущих задач, на рис. 7.8 показана завися* мость количества обращений к вычислению правой части и вре*1 мени счета от достигнутой точности. Мы использовали уровн耳 точности 10"2, 10~4, 10~6для всех методов, за исключением D^ABM* для которого они равны 10°, 10"а, 10м. Это необходимо из-з< применения в программах разных норм. Из сопоставления двум； графиков на рис. 7.8 видно, что основанная на экстраполяционных методах программа ODEX (разд. II.9) вычисляет функцию наибольшее число раз, но при этом требует наименьших дополнител!г； ных затрат и сравнима по времени счета g программой DOPRI&
Ш.8. Общие линейные методы
«...методы, достаточно общие для того, чтобы включить как частные случаи линейные многошаговые метода и методы Рунге—Кутты...» *
(К・ Барридж и Дж. С. Бутчер, 1980)
В примечательно короткое время (1964—1966) независимо друг от друга появилось множество работ, где предприняты попытки обобщить либо методы Рунге—Кутты в направлении многошаговых, либо, наоборот, последние в направлении первых. Это вызвано стремлением сделать преимущества многошаговых методов доступными для методов Рунге—Кутты либо «разрушить барьер Далквиста^, модифицируя многошаговые формулы. Грэгг и Штеттер (1964) ввели «обобщенные многошаговые методы», Бутчер (1965а) — «модифицированные многошаговые методы», и в том же году появилась работа Гира (1965) по «гибридным методам». Годом позже Бирн и Ламберт (1966) опубликовали работу по «псевдометодам Рунге—Кутты». Все эти методы входят в класс «общих линейных методов», которому и посвящен данный раздел.
Приведем пример такого метода [Бутчер (1965а), порядок равен пяти!:
%+i/2 = Уп^1 + 奋(9/п + 3fn—i),
%+т = 4(28% - 23Mт) + 4(32“W2 - 60厶 一 26kl)，(8・D
%+工=击(32% — 9n-i) + 备(64fn+i/2 + 15fn+1 + 12fn — fn-i).
Теперь можно сделать выбор, для каких методов развивать теорию —для «обобщенных» многошаговых или «обобщенных» методов Рунге—Кутты. На основании разд. III.4, где показано,
что теория сходимости становится красивее, если многошаговые методы рассматривать как одношаговые в пространстве большей размерности, мы выберем вторую возможность: поскольку в формуле (8.1) предыдущая информация представлена значениями Ум Упт，введем вектор ип = ®, Уп^т и преобразуем последнюю строку в (8.1) к виду
hf (^л+1/2)\出(%加I
которая теперь будет иметь форму
〃n+i = Sun + 九①(х7n ип, ft).(8・2)
Свойства таких общих методов исследованы в работах Бутчера (1966), Хайрера—Ваннера (1973), Скила (1976), Купера (1978) и других авторов. Очевидно, что ничто нам не мешает считать S и Ф произвольными или по-другому интерпретировать un.
Общая процедура интегрирования
Рассмотрим систему
旷=f(%, g), д (х0) = %,(8.3)
где f удовлетворяет условию регулярности (4.2). Пусть система дифференциальных уравнений (8.3) имеет размерность т, а разностное уравнение (8.2) — размерность ^ > т, и хп = х0 + пЛ являются точками разбиения равномерной сетки. Рассматривав* мый метод состоит из трех частей*
,(I) процедура продвижения на исаг, т. е. формула (8.2), где квадратная матрица S не зависит от задачи (8.3);
(П) функция точных значений z (х, Л), которая служит для интерпретации величины “几； 恤 должно быть приближенным значением z^ = z (хл, Л), и тогда глобальная погрешность будет вычисляться как разность 〃几一zn. Предполагается, qTG по z (х, Л) можно восстановить точное решение у (х) задачж (8・3);
стартовая процедура ф (Л), которая определяет стартовое значение «о = Ф (Л). Ф (Л) приближает величину z。= z (х0,九" Таким образом, соответствующая (8.3) дискретная задач# описывается формулами£
%)=屮(Л),(8.4а|
〃n+i = S/ + 力① «л，〃ш 为),九==0, 1, 2,…,(8.4bj которые дают численное решение u0> 〃i,码,・・•・ Отметим, чта функция приращения Ф (х, 〃，九)，стартовая процедура <р (理 и функция точных значений z (х, Л) зависят от дифференциального уравнения (8.3), хотя это явно и не указано.斗
Примеры метода (8Л)j
Пример 8・1・ Наиболее простой случай представляют одм^ шаговые методы. Их характерная особенность состоит в том, чтЯ размерности дифференциальной и разностной задач совпадают (т. е.加=g), a S — единичная матрица. Кроме того, <р (九)=词 и z (х, Л) = у (х). Эти методы уже изучены в гл. II. d Пример 8・2・ В разд. III.4 показано, что линейные жнот шаговые методы также относятся к классу (8.4). Для &-шаговй|
методов размерность разностной задачи равна g = km. а процедура продвижения на шаг задается формулой (4.8). Стартовая процедура определяет вектор- <р (й) = (у^т, ・••，i/工，у。)" и, наконец, функция точных значений имеет вид z @,无)=& (% + + ^-1)九)，…,ya+九)，可3尸.
Наиболее распространенный способ реализации неявного многошагового метода — это процесс предиктор — корректор Сравнить с (1.10) и разд. Ш.71: у露—приближенное значение для yn+k — «предсказывают» с помощью явного многошагового метода, скажем,
a% 露 + 嚏一1场+1 + ・ ・ ■ + «о^n = A(0£-炉叶1 + ■ ■ ■ + Pofn)*
(8.5;Р)
а затем «исправляют» (обычно один или два раза):
/п+К = f(Х"М，成\)))，(8・5;Е)
a加/% + 4一口叶也一］+ . . . + aQyn =
=Л (РЛ+л + Рл-ifn+fc—t + • • • + %fn)・ (8.5；С)
Если итерации (8.5) выполняются до сходимости, то этот процесс совпадает с примером 8.2. Однако на практике проводится лишь фиксированное число итераций (пусть их число равно М), и теоретически метод уже не является «чисто> многошаговым. Мы различаем два вида методов предиктор—корректор (PC) в зависимости от того, оканчивается ли шаг коррекцией (8.5; С). Первый алгоритм символически обозначается Р (ЕС)М, а второй, когда /п+а дополнительно вычисляется еще один раз для дальнейшего использования на последующих шагах, как Р (ЕС)МЕ. Теперь рассмотрим, как эти две процедуры можно выразить в форме методов (8.4).
Пример 8・2а・ Р (£С)м£-методы. Стартовая процедура и функция точных значений остаются теми же, что и для многошаговых методов, и так же g = km. Кроме того, S == 4 & где матрица 4 задана в (4.7), а I — единичная матрица размера mxm. Заметим, что S зависит только от формулы корректора и не зависит от формулы предиктора. Функция приращения имеет вид
ф(X, и, Л) = & ® /)屮(х, % Л),
где 勺 =(1, 0,・・・, О)7*. Для вектора и = (и1, ..., ")" у которого компоненты 〃/ g Rm, функция ф (%, 〃, Л) определяется следующим образом!
屮(х, % Л) = а?1 (₽ J (* + АЛ,产))+
+рл/ а+з — 1)儿 〃‘)+•••+pj (爲〃'))，
где значение 产)вычисляется из формул 嘘勿口)+ 噱т〃" + • • • + agd =
=й(02т『(х + (倉一1)儿 J) + • • • + Pof (x, d)), а^«)+ o^t" +•••+ % 办=й (PJ (% + M,，(』))+
+ 阮-J(力 + 值一1)加")+ ••• + PJ(%,沙)) (при Z = 1,…，M).
Пример 8・2Ь・ Для Р (ЕС)м-методов формулировка в виде ме* тода тапа (8.4) усложняется, так как информация, которую следует перенести на следующий шаг, определяется не только значениями Цп-м，•…Уп, но зависит еще и от hh+k-i……ftfn, где hfn+j = Л/ (力л+力 У黑厂))・ Таким образом, размерность разностной задачи становится равной q = 2km. Обычная стартовая процедура (как для многошаговых методов) дает
屮(力)=(界-d%，力/(/T,д后-1))…，力/ (%0, %))、
Если определить функцию точных значений как
на шаг будет задана следующимна шаг будет задана следующимz (х, Л) = (д (乃 + (也一1) Л), ..., g (х),й/ (% + 焦一 1) Й), ...?初‘(行居
на шаг будет задана следующим
на шаг будет задана следующим
то процедура продвижения образом!
(А 8
00. . .00
1 0. . . 0 0
0
•♦••
••••
0 01 0
Здесь А — матрица из (4.7), а В — матрица размера 右X 財 ранр которой равен единице!
(L 0,0)(В%т,Ро)^> Р/ = 0〃5・
Для а =(小一・”叫也吟…，hvk}T функция 屮(修 〃，А) £ R。 имеет вид
屮(％ uf h) = f (х^г Ай, g(M-D), где д(мт)определяется из соотношений .
a 紡")+ 或-1a’ + • . . + (Xqu^ = Л (02.1。' + • ■ ， + 储。')Ё а&у")+ aft-iUl + • • • + а。冰=
=Л (0"(力 + *Л, д(』))+ 阮 т炉+ Pq№)・
Еще раз отметим, что S зависит только от формулы корректора..
Пример 8・3・ Методы Нордсика также относятся к типу （8.4）. Это следует непосредственно из представления （6.8）. В этом случае функция точных значений
2（爲 Й） = G（x），初‘（x），罢，a），…, "（*）『
состоит не только из значений точного решения, но содержит также и его производные.
Пример 8.4. Циклические многошаговые методы. Донельсон и Хансен （1971） исследовали возможность построения схемы дискретизации на основе нескольких отличных друг от друга й-шаговых методов, используемых циклически. Пусть S； и Ф； определяют процедуру продвижения на шаг для /-го многошагового метода; тогда численное решение ц>, и19 ... вычисляется по следующим формулам!
Яо = Ф 仇），
an+i = S// + 也①/（尤П，%，也），если n = （/ - 1） mod 加.
Чтобы получить метод （8.4） о не зависящей от номера шага матрицей S, рассмотрим один цикл как один шаг нового метода
必=屮（露，
呜+i = S% + /i・<D（x\,a：,公）
о шагом Л* = /ий. Здесь %： = %（）+ пЛ*, S = S^ …S2Si, а Ф выбирается соответственно. Например, в случае 加=2
ф （炉,u•, Л*） = } S"6 （л "*,导）+
+ }a（炉+泉S3 +笠6（炉,公,导）,号）.
Интересно отметить, что на основе циклически используемых А-шаговых методов можно получить сходящиеся методы порядка 2々一1 （или 2也 при четных 也）.Таким способом можно разрушить «первый барьер Далквиста» （теорема 3.5）. Для более подробного ознакомления см. книгу Штеттера （1973） и упр. 2.
Пример 8・5・ Общие линейные методы.
«Следуя совету Аристотеля...» (оригинал на греческом языке можно найти в работе Бутчера) «...мы ищем ваилучшее кав среднее между крайностями».
(Дж. С. Бутчер, 1985а)
Эти методы введены в работе Барриджа—Бутчера (1980) и являются настолько общими, что включают все предыдущие примеры как частные случаи, но в то же время в них функция приращения выражается явно через дифференциальное уравнение и несколько свободных параметров. Методы задаются формулами 论8
公中)=S修川步+厶Е btjf(xn + с办of)), i= 1,・・・,瓦(8.7a) £=4E
k8
。产=£ МГ + ЛЕ瓦才(占+ c亦,疗，j = b・・・,s・(8.7b)
Этапы (и，* Z = 1,・・・,也)называются внешними этапами, так каж они содержат всю необходимую информацию с предыдущего шага, которая используется при выполнении текущего шага. Этапы (^n), f = 1, ..., s) являются внутренними и остаются в «черном ящике» текущего шага. Очень часто некоторые внутренние этапа совпадают с внешними, как, например, в методе (8.1), где
% = (%+1/2,，叶 1, 外，物-1)■
Одношаговые методы Рунге—Кутты характеризуются условие# 左=1. В конце данного раздела мы обсудим алгебраические условия, при которых линейные методы имеют порядок р.
Пример 8.6. Покажем, что проведенный、в данном разделе анализ применим не только к численным методам дискретизации дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого рассмотрим задачу Коши второго порядка
L = g (х,办 g (%) = %, U (%q) =，q,，(8•期
которую, очевидно, можно также записать и как систему первого порядка (8.3). Заменив tf (х) центральной разностной произвол* ной, получим метод
Рп+工一2pn + 狐т = Mg (今，5 J который при введении дополнительной переменной 力g； = %41 - дD можно представить в виде
(£)=(о 3 (；：)+& (&(*」：+碉卜
Теперь он имеет форму (8.4) в функцией точных значений z (х, А)=匂(%),①(％ + 五)一У W)/A)r- Здесь у (х) обозначает точное решение задачи (8.8).“
Все методы Нюстрёма (разд. 11.13), конечно, попадают в этот класс, как и многошаговые методы для дифференциальных уравнений второго порядка. Более подробно они будут изучены в разд. ШЛО.*
Пример 8.7. Многошаговые многоэтапные методы со старшими производными представляют, видимо, наиболее широкий класс задаваемых в явном виде линейных методов и являются обобщением методов из разд. 11.12. В обозначениях данного раздела их можно записать следующим образом!
〃产D = £ atfl^ + 2тг2 b}?D，g(xD + Cjh,。}司)，i = Ъ 瓦
也С " ・
。『‘ =2 %*)+ £ ТГ Е 瓦沙‘9 G + c血 и}”)，f = b …，s・ 2*1~1 |T
Такие метода изучена в работе Хайрера—Ваннера (1973).
Устойчивость и порядок
Далее при изучении устойчивости, порядка и сходимости мы в основном будем опираться на работу Скила (1976). Для устойчивости численного метода требуется, чтобы полученное с его помощью решение оставалось ограниченным при b f 0・ Этим обосновано следующее определение.
Определение 8・8・ Метод (8.4) называется устойчивым^ если матрица S" равномерно ограничена при всех 九〉0・
Локальная погрешность метода (8.4) определяется точно так же, как для одношаговых (разд. П.З) и многошаговых (разд. III.2) методов»
Определение 8.9. Пусть z (х, й) является функцией точных значений метода (8.4) н z^ = z (хп> 力).Тогда локальная погрешность имеет вид (см. рис. 8.1)
山=%_9他)，
^n+l = Z*] SZn —"力①(%а 2“ 也)，Л = 0, 1,….
Порядок нельзя определить столь же просто. Требование, чтобы локальная погрешность имела величину О (加+】)(как
для одношаговых и многошаговых методов), оказывается достаточным, но в общем случае .не является необходимым для сходимости порядка р. Для формулировки соответствующего определения нам потребуется спектральное разложение матрицы S.
Во-первых, отметим, что если локальная погрешность (8.9) стремится к нулю при й -> 0 (и фиксированном пЛ = х — х0)> то выполняется равенство
0 = z (х, 0) —Sz(%, 0), (8.10)
и поэтому 1 является собственным значением матрицы S, а z (х, 0) — соответствующим собственным вектором. Кроме того,
вследствие устойчивости S не может иметь собственных значений вне единичной окружности, а собственные значения, равные пр модулю единице, не могут порождать жордановы цепочки. Обозначим собственные значения, равные по модулю единице, через *1(=1),备，.・・，*• Тогда жорданова каноническая форма S (см. (1.12.14)) будет блочно-диагональной матрицей:
Если мы разложим ее на члены, соответствующие еди ничным собственным значениям, то получим
S = Е + 备 Ев + …+ 0Е[ + Ё,(8.11)
где
Е = Т diag {/, 0, 0,•
Е% = Т diag {0, /, 0, ...} Т*1,(8 ⑵
E = Tdiag{0, 0, 0,…，了} Т+
Теперь все готово для следующего определения.
Определение 8.10. Метод (8.4) имеет порядок р (согласован с порядком р), если для всех задач (8.3) с функцией /, непрерывно дифференцируемой р раз, локальная погрешность удовлетворяет соотношениям
d° ==。(九")，
e (d0 ^d^ ... + 盡)+ dx =0依)
при。《泌《const.(8.13)
Замечание. В работе Скила (1976) это свойство названо квазисогласованностью порядка р.
Если правая часть дифференциального уравнения (8.3) р раз непрерывно дифференцируема, то в общем случае ф (Л), Ф (х, 〃，Л) и z (х, Л) также являются гладкими, а поэтому локальную погрешность (8.9) можно разложить в ряд Тейлора по степеням 加
do = % + Y协 + • • • + Ypt 加 т +。侬％
dn+i = do (%) + di (%) h+^.+dp(x^h^ + O(h^).
Тогда функции 心(x) непрерывно дифференцируемы р — / + 1 раз. Следующая лемма дает более практичное описание порядка методов (8.4).
Лемма 8.11. Пусть локальная погрешность метода (8.4) удое- летворяет соотношениям (8./4) с непрерывными функциями d； (х). В этом случае метод имеет порядок р тогда 〃 только тогда, когда
厶=О (胪)при 0 < пЛ < const и Edp (х) = 0.(8Л5)
Доказательство. Условие (8.15) эквивалентно равенствам
dn = О 3。)，Edn+i = О (加т) при 0<пЛ< const, (8Л 6) которые, очевидно, являются достаточными для порядка р. Покажем теперь, что они также и необходимы. Поскольку 严=Е
[см. (8.12)1, из условий порядка р следует, что；
厶=。(川)，e (由 + • • • + 厶)=。(九。)при 0<пЛ< const. (8.17) Лучше всего это видно при умножении (8.13) на Е. Рассмотрим теперь пары (п, Л), для которых пЛ = х — %。 при некоторое фиксированном %. Подставим (8.14) (заметим, что dn = О (М» в выражение Е (厶 + …+ dn) и аппроксимируем полученну#： сумму с помощью соответствующего интеграла Римана:
п
e (厶+ • • • +曲=也喈e dp (/J + 0侬)=
=REE J dp (s) ds + О 侬)・ Хе
Из (8.17) следует равенство Е | dp (s) ds = 0, при дифферешШ ровании которого придем к соотношению Е dp (%) = 0. ■
Сходимость
В дополнение к численному решению, заданному формп лами (8.4), рассмотрим возмущенное численное решение (〃п),
% =屮(也)+ г。,К
厶川=S点 + ЛФ (&, % Л) + гп+1> 〃 = 0, 1,…，N — 1 ( 寸 при некотором возмущении R = (r0, q, ...» 厂户).Например, «тем ное> решение zn = z (%п, Л) можно считать возмущенным возмущении, равном локальной погрешности. Следующая лемм дает наилучшую из возможных качественных оценок разносЯ Од — йп> выраженную через возмущение R. Нам надо предпо^Л жить, что функция приращения Ф (х, Ъ, Л) удовлетворяет ydM вию Липшица по и (в компактной окрестности решения). ЭИ выполняется для всех разумных методов.•Я
Лемма 8.12. Предположим, что метод (8.4) устойчив, Я последовательности (〃п) “(〃п) заданы формулами (3.4) и (8・/^ соответственно. Тогда существуют положительные постоянй^ с и С» такие что при любом возмущении R “ hN《 const
c|Rb《max ||〃n—〃n||《C||R||s,0<n<^
где
13黑丄加f l・
Замечание. Норма Ц R 必 задана в RF+D。. Ее положительность объясняется следующим образом! если ||R ||s = 0, то при и = 0, 1, 2, ... мы получим последовательно г0 = 0, гх = О, и т. д. .
Доказательство. Введем обозначение 6办 = @办 — ав. Тогда fin+l = S6n + 五8n + rn+i>' (8.19)
где
^п =①(%п，@п，厶)①(%п，〃п，历・
По предположению существует константа L, такая что 118nll《 «< L II бп ||. Решая разностное уравнение (8.19), придем к равенствам 6。= % н
л”1
6z =百 s^b^j + A S3T/>(8.20)
В силу устойчивости существует постоянная В. для которой |SnJL<B при всех п > 0.(8.21)
Таким образом, из (8.20) следует соотношение
С помощью индукции по 九 получим
рп||<(1 + hB)nIIRlb《exp (const• 5)RR际
что и доказывает второе неравенство леммы. Из (8.20) и (8.21)
О £ 5п^г； |<(1 + nhB) max |бп 卜
а поэтому при Nh《с onst выполняется соотношение К /? [а < (1 4- const-B) max |厶一〃"・■
Замечание. Норму, которая, подобно || • Цд, позволяет оценить сверху и снизу через возмущение величину max 口 〃п — йп ], называют минимальным функционалом устойчивости для метода. Эти идеи более подробно изложены в работах Спейкера (1971) и Штеттера (1973).
С помощью данной леммы можно доказать следующую теорему.
Теорема 8.13. Рассмотрим устойчивый метод (8.4) и предположим, что 它а。локальная погрешность удовлетворяет соотношению (8・/4) с непрерывно дифференцируемой функцией dp (%)・
В этом случае метод сходится с порядком р, т. е. для его глобальной погрешности ип — zn выполняется равенство
un — zn = О (川)при 0 < пЛ < const
тогда и только тогда, когда。尤 согласован о порядком р.
Доказательство. В силу равенства ES = Е [см. (8.11) и (8.12)] выполняется тождество
叶1n
Е(力 + •・・ + 厶)+ dn+1 = £ S^dj - (S - E) S SI d力 /=о/=о
из которого следует, что при 九《“ —1 и D = (d0> ..., d# ЦЕ&+…+ 厶) + 4〃||《(l+l|S-E||)||D||s・(8.22)
Оценка снизу из леммы (8.12), но с заменой гп и 0n на dn и zn соответственно доказывает вторую часть утверждения, т. е. «только тогда》.
Для доказательства первой части утверждения, т. е. «тогда», используем оценку сверху из этой же леммы. Нам надо показать, что из согласованности порядка р следует соотношение
黑履SI小。(硏.(8.23)
В силу (8.11) и (8.12) выполняется тождество
S"T = Е + ^Е% + ・•・ + 置7Ei + 后"Г которое вместе с леммой (8.11) приводит к равенству
пп .
£ SI心=胪/ S薦Т dp (%『)+…
+ 状吕 S C；T dp St) +^Е-1^ + 0 (M)・ /=1/=о
Последний член этого выражения равен О ⑺，так как в соответствующей норме J Е И < 1, а поэтому
п
Остальное следует из того, что сумма £ ^^d (%/-i) равномерно /в1
ограничена по 九，если Щ| = 1, С * 1 nd имеет ограниченную вариацию. Проще всего это увидеть при суммировании по частям [Абель (1826)]:
пп.
2 F" d (%jT)= 77ZT d(Xo) + Е 2--Л. . (d (*j) — d (%jt))・■ £7.Z®1
Условия порядка для общих линейных методов
Условия (8.15) не очень удобны для построения общего линейного метода (8.7) порядка р. Вместо них нам хотелось бы иметь алгебраические условия на свободные параметры, как в случае методов Рунге—Кутты. Мы покажем, как этого можно добиться с помощью теории В-рядов из разд. 11.11 (см. также работу Барриджа и Мосса, 1980). Чтобы избежать тензорных произведений, в дальнейшем будем считать рассматриваемое дифференциальное уравнение скалярным. При этом все результаты верны и для систем. Далее предположим, что дифференци аль ное уравнение является автономным, а поэтому можно прямо применить теорию из разд. 11.11. Это будет обосновано ниже в замечании 8.17.
Теперь предположим, что компоненты функции точных значений 2 ft) =(Zi (х, Л), ...,湿(х,也)尸 можно разложить в В-ряд
方(招五)=8 (к у (X)),и тогда, введя обозначение z (/)=侈工(力.・・,跣(。)厶 запишем
z (%,田=z (0) g (%) + ftz ⑺ f ①(*)) + • • •・(8.24)
Прежде чем вывести условия порядка, отметим, что соотношение (8.7b) имеет смысл, только если 严-> у (%п) при Л -> 0. В противном случае нельзя определить / (и)"))・ Поскольку 〃/") аппроксимирует Zj (хп, Л), мы приходим к условию J б^ z； (0) = 1. Совместно о (8.10) оно дает так называемые условия предсогласо- ванностих
Az(0) = z(0), Az (0) = е.(8.25)
Здесь А и А — матрицы о элементами а” и 5ц соответственно, а е = (1, ..., I)，. Напомним, что локальная погрешность (8.9) для общего линейного метода (8.7) задается формулой
在в
d"D =勿(%n + Л, Л)—尸产用 а” Л)—内瓦亦f (Uj),(8.26а)
где
也8
S = E &g (%” Л) + £ ^ijhf 电)・(8.26b)
Чтобы вывести условия порядка； запишем и» и df"+D в виде В-рядов:
Vt^B^gix^ ^^B{AiiB(x^.
По теореме о композиции В-рядов и по формуле (11.10) из разд. 11.11 получим
勿(力 + 儿力)=В & у Gn + 3) = В(2ь В (р, у (%п)))=
= B(pZt, у(х^).
Подставив все эти ряды в (8.26) и приравняв коэффициенты! придем к соотношениям
(8.27)(8.27)d,(f)= (pz,)(f) — Да,^(0- £/W(f) v① 第g⑴+辱山(f).
(8.27)
(8.27)
Применение леммы (8.11) дает следующий результат.
Теорема 8.14. Рассмотрим вектор d (/) = (d工⑴，・・・，4 ⑴)# с компонентами d± (。，заданными формулой (8.27). Общий линеА ный метод (8.7) имеет порядок р тогда и только тогда, ях>вМ
d (0 = 0 при tQT, р (0 < Р — 1,J
Ed (f) = 0 при / € Т, р (0 = р.
[Матрица Е определена в (8.12)].■
Следствие 8・15・ Условия
d (0 = 0 при f £ Т, р (f)《р(8.2Я
являются достаточными для того, чтобы общий линейный мепм имел порядок Р・■1
Замечание 8.16. Выражение (pz») (f) в (8.27) можно наЙТЙ с помощью формулы (11.8) из разд. 11.11. Поскольку р (/)工 | для всех деревьев 厶 имеет место равенствоQ
3)(f) = 2 (у )詣е窮的⑼， (8.吋
где вторая сумма взята по всем возможным индексациям поММ ценного дерева t. Эта довольно сложная формула значительш упрощается при предположении, что все коэффициенты z, (Я функции точных значений зависят только от порядка f, т. Я
z± (f) = z± (吸 если р (/)；= р (и).
В этом случае формула (8.30) принимает вид
(pZj)(0= 2 ”卜(叫.(8.J
Здесь d представляет некоторое дерево порядка /, например, d = h,...,叫 ⑥=5 哦=0・ (8.33)
Обычно компоненты z (%, й) состоят из у (*)$ g (% + /й), hyf (х), AV (%),・・・,а в этом случае предположение (8.31) выполняется.
Замечание 8Л7. Покажем, как надо определить в, (8.7) коэффициенты %, чтобы результаты, полученные выше для автономных систем, были верны и в общем случае. Для дифференциального уравнения f = 1 формула (8.7b) принимает вид
% = А/ + "Ве.
Предполагая, что уравнение х‘ = 1 интегрируется точно, т. е. 〃п == г (0) хп + hz (т), мы получим % = % + he, где вектор о = (%・・・，力丁 задается формулой
о = 4? (%) + Be. (8.34)
При таком определении с± численные результаты для задачи У = / (х, у) и для расширенной автономной системы дифференциальных уравнений совпадают.
В заключение приведем в табл. 8.1 условия порядка до третьего включительно [при предположении (8.31)]. Заметим, что условия (8.25) всегда считаются выполненными, а с задано в (8.34). Через d обозначен вектор (乩・・”《尸.
Построение общих линейных методов
Покажем на примере, как можно построить методы низкого порядка: возьмем 々=s = 2 и фиксируем функцию точных значений
z (%,力)=® (%), У (х —九)尸・
Этот выбор удовлетворяет условиям (8.24) и (8.31) при
5片,5片,
5片,
5片,
Поскольку вторая компонента в z (* + 力，ft) равна первой в z (х, Л), вполне естественно искать методы с матрицами
Кроме того, наложим требование, чтобы матрица В имела вид
н* следовательно, метод был явным.
14 Хайрер Э. в др.
Условие предсогласованности (8.25), формула (8.34) и условия порядка из табл. 8.1 дают следующие уравнения:
% + 4, = Ь(8.35а)
% + / = 1, / + 2» = 1.(8.35b)
以 n —512f 0分=s ^ii""-ag](8.35c)
-^1分 + Ьц + Ьц = 1)(8.35d)
Оха + 2 (bjiG + %д) = 1,(8.35c)
—Оц + 3 (ЬцС； + b/；) == L(8.35f)
f + 3(姑％ + %(aM + 2%疝=1.(8.35g)
Таблица 8.1. Условия порядка для общих линейных методов
Система содержит 9 уравнений и 11 неизвестных. Выбрав в к舐 честве свободных параметров q и q, мы получим решение сл牝 дующим образом: найдем &分，b^ и Ь“ из линейной системы (8.3即 е, f), затем 左“，厶分 и 瓦工 из (8.35с, g), и, наконец,抬，衣и н % из (8.35а, Ь). у
Частное решение при % ^ 1/2, q = —2/5 имеет вид
Этот устойчивый явный 2-шаговый, 2-этапныб метод 3-го порядку принадлежит Бутчеру (1984). .А
Построение методов более высокого порядка быстро становится очень сложным, и в этом случае большую помощь окажет исполлй зование упрощающих предположений.中
Теорема 8・18・ Пусть для функции точных значений вымЛ няется условие (5.3/). Тогда из упрощающих предположена
&(硝 + /方с“ =科 / = 1,・・・，р - 1(8.3Я
вместе о соотношениями предсогласованности (8.25) а условиями порядка для ^разветвленных деревьев»
d (祖)=0, / « 1, ...» Pt
следует, что метод (8.7) имеет порядок р.
Доказательство. Используя формулы (8.27), по Индукции получим:
V «) = V (叫 при р (f)=厶 J == 1, ..., Р — 1
% следовательно^
d (f) = d (d) при p (/) = /,/ = 1,…，p. ■
Упрощающие предположения (8.37) допускают интересную интерпретацию: они эквивалентны тому, что внутренние этапы d“)совпадают до порядка р — 1 включительно о точным решением в точках хп + с血,т. е.
严)一5 (Х» + e 也)=。(к)■
В случае методов Рунге—Кутты (8.37) сводится к условиям (7.12) из разд. II.7.
Другие примеры общих линейных методов, удовлетворяющих соотношениям (8.37), можно найти в работах Барриджа—Мосса (1980) и Бутчера (1981). Советуем посмотреть также более поздние статьи Барриджа (1985) и Бутчера (1985а).
Упражнения
Рассмотрите композиции (см. пример 8・5)〔
1 а) явного и неявного методов Эйлера}
неявного и явного методов Эйлера..
Каким методам они эквивалентны? Каков порядок имеют эти , составные методы?
а) Предположим, что каждый из т многошаговых методов (рь о0, / = 1, ...» т, имеет порядок р. Докажите, что порядок соответствующего циклического метода не ниже р.
б) Постройте устойчивый 2-циклический, 3-шаговый линейный многошаговый метод 5-го порядка: сначала найдите однопараметрическое семейство линейных 3-шаговых методов 5-го порядка (которые обязательно будут неустойчивыми).
Ответ.
；：Рс(0 = с1+(^-с)『_ (^ + с)с+(с-^)，
「%售)=(扌-多用+g+勘『+骗一巾+信一表)，
14*
Затем определите с】н с?, при которых собственные значения матрицы S составного метода будут равны 1, 0, 0.彳
Докажите, что композиция двух разных общих линейныЖ методов (с одной и той же функцией точных значений) ено* даст общий линейный метод. Вследствие этого циклический методы из примера 8.4 относятся к общим линейным.
Предположим, что все собственные значения S (за исключу нием £ = 1) лежат внутри единичной окружности. Тогда минимальный функционал устойчивости равен,
ИЬ= max +工
Проверьте для линейных многошаговых методов, что условш| согласованности (2.6) эквивалентны согласованности первой порядка в смысле леммы 8.11.J
Запишите метод (8.1) в виде общего линейного метода (8.7| и определите его порядок (ответ: р = 5).
Ш・9・ Асимптотическое разложение глобальной погрешности
Асимптотическое разложение глобальной погрешности многошаговых методов изучено в знаменитой диссертации Грэгга (1964). Там приведено очень громоздкое доказательство, которое в измененном варианте можно найти также в книге Штеттера (1973). Скил (1976) высказал предположение о существовании асимптотических разложений для общих линейных методов. Ниже мы дадим доказательство (Хайрер и Любич (1984)), основанное на идеях из разд. II.8.
Поучительный пример
Чтобы понять, каким может быть ожидаемое асимптотическое разложение, начнем с примера. Рассмотрим простое дифференциальное уравнение
/ = f 9(0) = 1,
выберем постоянный шаг Л и применим 3-шаговую формулу дифференцирования назад (1.22) с одной из следующих трех стартовых процедур:.
Уо = 1, Ух = ехр (—й), у2 = ехр (—2Л) (точные значения); (9.1а) %=1,贝=1 -也 + ^%, У2 = 1-2九 + 2胪一萼；(9.1b)
%=1,玄=1 -也 H 2"> ?a = \ 一 2Л + 2用.(9.1c)
Три левых графика на рис. 9.1 (расположенные в том же порядке, что и соответствующие стартовые процедуры) показывают глобальную погрешность, деленную на Л8, при пяти величинах шага: Л = 1/5, 1/10, 1/20, 1/40, 1/80.
Для первых двух стартовых процедур можно отметить равномерную сходимость к функции % (х) = %ет/4 [см. формулу (2.12)1, а поэтому соотношение
yn — y(Xn) = G(Xn)胪+ 0(們(9.2)
выполняется равномерно при 0《九九《const. В третьем случае имеет место сходимость к / (%) = (9 + %) L/4 (упр. 2), но она уже не является равномерной. Поэтому (9.2) выполняется только для значений хп, расположенных на некотором расстоянии от нуля, т. е. при 6 之 а《九九《 const. На трех правых графиках рис. 9.1 нанесены функции
仇一以厶)一4(厶)們卅(9.3)
Рис. 9.1. Значения величин ®п — у (xn))/h8 (слева) и (^п —^ (%п) —% (%п) (справа) для трехшагового ФДН-метода и для трех различных стартовых 砒 педур.
Сходимость к функции q (х) можно наблюдать во всех случаях. Поскольку для третьей стартовой процедуры (9.1с) % (%о) ¥= О, последовательность (9.3) в 9ToM случае, очевидно, расходится как О (1/Л).
Из этого примера следует вывод о том, что для линейных многошаговых методов в общем случае не существует асимптотического разложения вида*
Уп = У (*п)=旬(*п)勿 + Ср+н (%)九叶1 + •••, которое было бы равномерным при 0《 пЛ《 const. В него необходимо еще добавить отвечающие возмущению члены
Зп — g (Xn) = & (Xn) + 喲"+ ®u (Xn) + е汐)#+』•••，(9.4) которые будут компенсировать нерегулярность вблизи х0. Если возмущения &L затухают экспоненциально (при 九 т оо), то на некотором расстоянии от х0 они не влияют на асимптотическое разложение в 力・
Асимптотическое разложение для сильно устойчивых методов (8.4)
Для распространения методики из разд. II.8 на многошаговые методы полезно записать их как «одношаговый» метод в пространстве большей размерности [см. (4.8) и пример (8.2)]. Это означает, что мы изучаем асимптотическое разложение сразу для общего метода (8.4). Поскольку в (9.4) входят члены в%', при итерационном доказательстве приведенной далее теоремы 9.1 мы придем к функциям приращения, которые также зависят от 九 и имеют вид
Фп(X, 〃，G)=① а，“ + ton (Л), А) + ₽п (А). (9.5) Поэтому рассмотрим на равномерной сетке (хп) следующую численную процедуру!
% =屮 ®' /а
^n+i = Sun + AOn(xn, иП9К)9
где Фп задана формулой (9.5), а функция точных значений снова обозначена через z (х, Л). Изучение асимптотического разложения упрощается при дополнительных предположениях:
А1) Метод (9.6) сильно устойчив, т. е. он устойчив (определение 8.8) и 1 является единственным собственным значением S, равным по модулю единице. В этом случае спектральный радиус матрицы S—E (см. формулу (8.11)) меньше единицы;
А2) ап (Л) и рп (Л) — многочлены, коэффициенты которых при 九-> 8 экспоненциально убывают как О (р5). Здесь р0 обо-
значает некоторое число между спектральным радиусом S—£ и единицей, т. е. р (S——E) < р0 < 1；
АЗ) функции <р, г и Ф дифференцируемы достаточное число раз.
Предположение АЗ позволяет нам разложить локальную погрешность, заданную формулами (8.9), в ряд Тейлора:
dn+i ^z{xn + h, Л) — Sz(*n, Л)—力①(*м z(*m Л) +
+ Лап(Л),Л)-Л₽Л(Л) =
=do (*n) + dMh+.^ + dNM ^+ !=
=時(A，z (a, 0), 0)аа(Л)ЛРП (Л) +。佃屮・
Выражения, содержащие an (й), можно еще больше упростить. Действительно, для гладкой функции G (х) выполняется равенство
G (*п) «п (ft) = G (х0) an (Л) + 九G' (х0) пап (九)+ • • • + hN+lR (% G)・
Отметим, что 九'ап (Л) снова является многочленом по Л, а его коэффициенты затухают как О (р“)，где р удовлетворяет уело вию ро < р < 1. С помощью тех же рассуждений можно показать ограниченность остаточного члена R (п, й) при 0《九九《const. Вследствие этого запишем локальную погрешность в виде
力=% + 丫也 + • • • + Tn丘* +。(й^+1),
加1 = (do (Xn) + 6：) + …+ (dNM + 6")个 +。(，+2)
при 0 « nA《const.(9.7)
Функции dj (х) являются гладкими, а возмущения 6* отвечают условию б/ = О (р")・ Разложение (9.7) единственно, так как f 0 при п оо.
Метод (9.6) называется согласованным с порядком р, если локальная погрешность (9.7) удовлетворяет соотношениям (лем> ма 8.11)
厶=。侬)при 0< лЛ< const и Ed「(*) = 0.(9・8)
Отметим, что в силу этого определения возмущения 6彳 должны равняться нулю при / = 0,・・・,р — 1, но на 62 не наложен^ никаких условий. Из экспоненциального убывания этих членов* следует, что по-прежнему в согласии о определением 8.10,:
dn+i + Е (厶+・・・+厶)=О侬)при 0《泌《const.*
Теперь можно легко проверить, что для метода (8.6) остаютсй справедливыми лемма (8.12) (ФЛ удовлетворяет условию Лип* шица с той же константой, что и Ф) и теорема сходимости (8.13)；
В следующей теореме мы используем то же обозначение, что и для одношаговых методов, а именно uh (%)= 〃门 при х = хп.
Теорема 9・1・ (Хайрер, Любид, 1984) Пусть для метода (9.6) выполняются предположения А1—АЗ и он согласован с порядком 方 ("》/). Тогда глобальная погрешность имеет асимптотическое разложение вида
九h(*)一2(¥, @ = eР(X)勿+...+®(*)胪+ e(*,砂2也(9.9)
где величины е『(х) даны в доказательстве (см. формулу (9・/8)), а Е (х,九)равномерно ограничена 〃。九 G [0,九о ] при значениях 方 из компактных отрезков, не содержащих /・ Имеет место более точный, чем (9.9), результат:
"〃 -z〃 = (% (*燈)+ 或)也"+ ・ ・ ・ + (cn g6 + 8*) h^ E (n,九)九用+* (9.10)
еде ^^ О (рл), p (S — £) < p < 1 и E (n, ft) ограничена при 0 < лЛ < const.
Замечание. Из (9.10) и (9.9) получается формула
上飙，九)=方 (n, h) + /TМ +g鼻尸+…+尸2%
а поэтому остаточный член £ (х, ft) в общем случае не является равномерно ограниченным по й при значениях х из отрезка [х0> 尤 I. Однако если х находится на некотором расстоянии от х0> например 无》/ + 6 (6 > 0 фиксировано), то последовательность d стремится к нулю быстрее, чем любая степень 6/九《h.
Доказательство. а) Как и в случае одношаговых методов (см・ доказательство теоремы 8.1 из гл. II), построим новый метод, который для заданных гладкой функции е (%) и последовательности 8П, отвечающей условию % =。3"), имеет численное решение
〃п =必一(е (*J + %) Лр.(9.11)
Такой метод определяется формулами
弓=3吵宀 с(9.12)
^n+i = S〃n + АФП (*办,〃n, ft)>
где ф (ft) » ф (Л) — (e (x0) + e0)眇 и
оП(^ "，用=①几(X，" +(6(*) + /)九%力)一
一(е & + @ - Se (*))加一1 -(%+] - s%)勿т.
Поскольку Фп, а также Фп имеют вид (9.5), локальную погрешность можно разложить в ряд (9.7). Определим теперь е (х) и
еп таким образом, чтобы метод (9.12) был согласован о порядком р + 1・
Локальную погрешность dn метода (9.12) можно разложить следующим образом:
調=% - А。= (% + е (的)+ %)胪 + О S叶％
厶+i = 2n+i — Sz» —九①n (*n，zn, ft)=
=九 1 + ((/ — S) e (xn) +(8n+x — Ssn))力。+
+ (-G (%) (e (*n) + %) + e' (*n))勿 * +。(胪+)
Здесь функция
询二芻㈢ z(*, 0), 0)
в силу (9.5) не зависит от п. Метод (9.12) согласован о порядком р, если [см. (9.8)]
е0 = -То — е (%)
dp (х) + (/ — S) е (x) + 6* + •叶I — S% = 0 при x = %»
Ed (x) ^ EG (x) e (x) — Edp^ (x).
В настоящий момент предположим, что систему (i) — (iii) можно решить относительно е (х) и вп. В части г) доказательства будет показано, что это действительно так. По теореме сходимости 8.13 метод (9.12) сходится с порядком р + 1・ Следовательно, равенство
йп ——Zq = О (九р+1) выполняется равномерно
при 0《nA《const,
откуда следует утверждение (9.10) при N = р.
Метод (9.12) удовлетворяет предположениям теоремы с заменой р на р + 1 и р0 на р. Как и в теореме 8.1 (разд. II.8), с помощью индукции мы придем к утверждению теоремы.
Остается найти решение системы (i)—(iii). Условие (ii) выполняется, если для некоторой константы о
iia) % (х) = (S - /) (е (%) + с),
iib) 8叶1 - 0 ^ S(8人 一0)一 6g.
С помощью соотношения (/ — S + £尸(/ — S) = / — Е, которое следует из равенств s£ = Е* = Е [см. (8.11)]у формула (iia) приводится к эквивалентному виду
(/ _ S + Е尸 % (力=-(/ - Е) (е (» + с)・(9.13) Из (i) мы получим е0 — о = —^7р — (е (%。)+ с), а поэтому в силу (9.13)
(/ - Е)(8о - с) « - (7 - Е) Тр + (Z - S + E)^dp (丸)・
Поскольку Edp (х0) = 0, это соотношение выполняется, в частности при условии
^-0^-Ц-Е) ^P+(I-S + E^dp &о)・(9Л4)
Числа еп — о определяются теперь рекуррентно соотношением
(iib)：〃
8/1 - e = S" (m - е) - 2 5"一‘6厶[= /«I
=E(8q — c) + (S — Е)"(8q — c) — E E 6? + E £ 6?—
_£(S — E)“T6厶I,
при выводе которого использовано равенство S" = Е + (S — Е)〃. Если выбрать
，со •
с = Е,3%(9.15)
то указанная выше последовательность {еп} будет отвечать условию в〃 = О (рЛ), так как в силу (9.14) Ё(8о — с) = 0 и 62 = =。(Р")・.
Для нахождения е (х) определим и (х) =： Ее (х).
С помощью формул (9.15) и (9.13) мы можем по и (%) восстановить е (х):
е (х) = и (х) — (/ — S + Е尸 ％ (»・(9.16)
Теперь перепишем уравнение (iii) как дифференциальное
и，(х) = EG (%) (и (х) - (/ - S + Е尸 dp (х)) - Ed^ (х), (9.17)
а условие (i) дает для него начальное значение и (х0) = —Е(7Р + + ej・ Такую задачу Коши можно решить относительно и (х), а затем с помощью (9.16) получить из него е &)・ Эта функция и определенное выше 8П являются решением системы (i) — (iii). ■
Замечания, а) Из (9.16)—(9.17) следует, что для главного члена погрешности выполняются соотношения
е； (*) = EG (х) % ⑴一Ed.* (*) — (/ 一 S + £尸 ％ (*)
8(У» loj
% (*о) = —Е?р — Е / 6? — (/ — S + Е) 1 dp (%())・
б) Поскольку функция Cp+i (х) — это й есть главный член по- г]решности для метода (9.12), она удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению (9.18) с заменой dj на dM. Поэтому по индукции для / ^ р мы получаем
ej (%) = EG (%) е/ (х) + неоднородная функция (х).
Слабо устойчивые методы
Теперь изучим асимптотическое разложение для устойчивых методов, которые не обладают сильной устойчивостью. К этому типу относится, например, явное правило средней точки (1.13‘), к которому мы обратились в связи с GBS-алгоритмом (разд. II.9). Как и в начале данного раздела, применим правило средней точки к задаче у' = —у, у (0) = 1 и рассмотрим следующие три стартовые процедуры:
Уо — 1,班=exp (—ft),(9.19а)
%=1,勿=1 一九+ 号，(9.19b)
yQ ==s 1, % = 1 —h・(9.19c)
На рис. 9.2 на трех левых графиках представлена глобальная погрешность, деленная на Л2. Для первых двух стартовых процедур мы имеем сходимость к функции xe~*/6, а для (9.19с) отношение погрешности к Л2, т. е. (уп — у (xn))/ft2, сходится к
при четных п,при нечетных п.при четных п,при нечетных п.
при четных п,
при нечетных п.
при четных п,
при нечетных п.
Теперь вычтем из глобальной погрешности члены порядка 力* и разделим остаток на 九3 в случае (9.19а) и на й4 для Ь) и с). Ре* зультат показан в правой части рис. 9.2.
Приведенный пример прекрасно иллюстрирует тот факт,, что асимптотического разложения вида (9.9) или (9.10) больше； нет, но оно существует, если рассматривать хп только с четными п,: а при нечетных п оно тоже существует, но будет уже другие (см. также у пр. 2 из разд. II.9). Далее мы получим подобный результат для более общих методов. ：
Будем говорить, что метод вида (8.4) слабо устойчив, если о耳 устойчив, но матрица S кроме 0 = 1 имеет и другие собственные значения, равные по модулю 1; обозначим их через g?，•••，已！， Тогда S можно представить в виде [см. (8.11)] ]
S = JE] +養马+・・・+寸闽+ R, (9.19^
Рис. 9.2. Асимптотическое разложение правила средней (точки три различные стартовые процедуры).
где Ej — проекторы (соответствующие собственным значениям С，， а спектральный радиус R удовлетворяет неравенству р (R) < 1.
При последующем изложении мы ограничимся случаем, когда все ^ (/ = 1, ..., /) являются корнями из единицы. Это позволяет просто доказать существование асимптотического разложения и в то же время представляет наиболее важный частный случай. Общая ситуация рассмотрена в работе Хайрера и Любича (1984).
Теорема 9・2・ Пусть метод (9.6) с не зависящей от п функ- цией Фл является устойчивым, согласованным с порядком р и удовлетворяет условию АЗ. Если для всех собственных значений (матрицы S), равных по модулю единице, при некотором положительном целом q выполняется равенство 吕=1 (/ ^ 1, ..., Z), то существует асимптотическое разложение вида (со = е2M何
〃》— /= £ ®ns(^p# 3 J M + ・・・ + Ст (%) hN) + E (л, Л) hN+\
I(9.20)
где % (x) — гладкие функции, а Е (n, Л) равномерно ограничена при 0 V 6《пЛ《const.
Доказательство. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы рассматривать q последовательных шагов метода (9.6) как один метод с ббльшим шагом. Введем обозначения Sn = =unq+i (0 < Z < 9 — 1, I фиксировано), Я = g瓦 編=々 + 成・ Тогда метод примет вцд
^n+i н S，〃n + 九①(*n, 〃/р - Л),(9.21)
где функция Ф подобрана соответствующим образом. Например, при д = 2
Ф (7, и, Л) = -g- 5Ф (х, и,扌)+ ^•①(％ + 扌，Si +
+ ^<D(£J, -у)» 善)・
Из предположения о собственных значениях следует равенство
S。= & + …+ 且 + R、
из которого видно, что метод (9.21) сильно устойчив. Прямой подсчет дает для локальной погрешности метода (9.21) формулы
盡=。侬)，
厶“ =(/ + S + ・・・ + S^) dp (in)加 +。(»+】)・
С помощью подстановки (9.19) и равенства 寻=1 при £ = =Ei + ・・・ + Ei получим выражение
E(/ + S+・・・+Si)dp(x)='
£ /一殳+泪+£ /一殳+泪+dp (*) = qE*dp (x),dp (*) = qE*dp (x),
£ /一殳+泪+
£ /一殳+泪+
dp (*) = qE*dp (x),
dp (*) = qE*dp (x),
которое в силу (8.15) равно нулю. Следовательно, метод (9.21) также согласован о порядком р・ Таким образом, мы проверили, что метод (9.21) отвечает всем предположениям теоремы 9.1. Поэтому получим
wnq+i — Znq+i = *加(xnq+l) »+・••+ %, (%nqH)犷 + / (% 也)也用+'
где Et (л, ft) обладает требуемыми свойствами ограниченности. Если мы определим е“ (х) к2к решение системы Вандермонда
卫》%"(» = %(%),
то придем к (9.20). ■
Сопряженный метод
Для метода (8.4) функция точных значений z (х, ft), стартовая процедура <р (Л) и функция приращения Ф (х, “, Л) обычно определяются и при отрицательных Л (см. примеры из разд. III.8). Как и в случае одношаговых методов (разд*. II.8), мы укажем точный смысл численного решения 〃八(х) при отрицательных h. Это естественным образом приводит нас к изучению асимптотических разложений по четным степеням 力.
Введем обозначение 耿(х) = иа при х = / + /Л (Л > 0). Тогда метод (8.4) примет вид
«ь (х0) - <Р (А),
〃厶(* + 也)=S"M*) + G①(X，〃厶 ")，А) при x^ xQ+ nh.'.'
Сначала в (9.22) заменим 6 на —6:
% (%) = Ф (—А)>
〃f (* -五)=S"f (*) - AФ (% 〃-a (~一力)， а затем х на х + й, что даст нам формулы
〃г (%о) ^ Ф (—Л),
〃г (х) = S〃f (х + А) — ЙФ (х + %, “f (х + Л),—力)・
При достаточно малых Л это уравнение можно решить относительно 〃_厶(х + ft) (теорема о неявной функции). Тогда мы получим "f係)=①(一九)，
〃№ (% + 九)=S・】j (%) + ЛФ*(х, 〃』(%)，Л). (丿
Метод (9.23), который снова относится к типу (8.4), называется сопряженным методом для (9.22). Его функция точных значений равна z* (х, h) = z (х,—九).Отметим, что при заданных S и Ф новая функция приращения Ф* определяется парой формул
0 н S" -九①(% + 九，"，一ft),
и = S“u + ЛФ* (х, и,九).(924)
Пример 9・3・ Рассмотрим линейный многошаговый метод с производящими функциями
p@ = £a#,0(0 = wВ居.
Тогда
—ал-17ал —%_"% ・・・一《о/%
10...О
с 一1.О
1 о
①(X, 〃，/0=?卜(/ U, h),
\67где 屮=屮(х, “，ft) — решение уравнения (“ =(以т,・・・，〃。尸)：饱亠I/л-i\
aЛ^ = 2昵(* + /，"»+ m х +也儿力屮一e 品"力, 7=0\/=0/
Прямо из формулы (9.24) получается, что (01 00
ST =^・I ,
—a/а。 —/-“«о ..・ —а，%
6(%, и, Л)=
屮* (爲 и, Л)»
IIL9. Асимптотическое разложение глобальной погрешности 433 где ”* =屮* (х, о, й) (при и = (%,・・・，限г)7*) задается следующим образом:
л •
—а 評* = 2 阮 т/ (% + 0 —也 + 1)務吟 +
+ PJ (* + 九,九w* - 2 ~^ 力).
Отсюда видно, что сопряженный метод снова является линейным многошаговым. Его производ51щие многочлены равны
Р* (С) = -УР (+)，厂⑹=У。(七)-(9・25)
Нашей следующей целью будет доказательство того факта, что сопряженный метод имеет точно такое же асимптотическое разложение, что и исходный метод, но с заменой Л на —h. Для этого необходимо, чтобы матрица S-工 также была устойчивой. Поэтому все собственные значения S должны лежать на единичной окружности.
Теорема 9.4. Пусть метод (9・22) является устойчивым, согласованным с порядком р, “ предположим, что для всех собственных знамений S при некотором целом положительном q выпал- няется равенство 弓=1 ・ Тогда глобальная погрешность имеет асимптотическое разложение вида (со =孑内片)
"A(%n)-Zan，九)=国8"(ew(%6九"+ ..- +%$(**九N) +
+ E(%, »*+L(9.26)
которое справедливо и для положительных, и для отрицательных Л. Остаточный член Е (х, Л) равномерно ограничен при | 九］《瓦 и х0 < х < Jf.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.2, рассмотрим q последовательных шагов метода (9.22) в качестве одного нового метода. Из предположения о собственных значениях следует, что S。= / = единичной матрице. Поэтому новый метод по существу является одношаговым. Единственное отличие состоит в том, что его стартовая процедура и функция точных значений могут зависеть от h. Простое распространение на этот случай теоремы 8.5 из гл. II (упр. 3) дает существование разложения
〃h (%nqM)一 Z (Хпд+|, Л) = Spi(Xnq+t)九"+ …•
+ ^Nl (%nq+,) RN + E, (*nq+C，厶)力N+L
Оно справедливо и для положительных, и для отрицательных h, а остаточный член Е» (х, Л) ограничен при | h |<й0 и х0 < х^£. Те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 9.2, приводят нао к требуемому разложению. ■
Симметричные методы
Для общих линейных методов определить симметрию не так просто, как в случае одношаговых методов. В примере 9.3 мы увидели, что компоненты численного решения сопряженного метода имеют обратный порядок. Поэтому требования 屮(ft)= =Ф (—ft), S = S' и ①=&* являются слишком ограничительными.
Однако во многих методах, представляющих практический интерес, функция точных значений удовлетворяет отношению симметрии вида
z (х, Л) н Qz (% + qh, —Л)(9.27)
где Q — квадратная матрица, ад — целое число. Оно выполняется, например, в случае линейных многошаговых методов, у которых функция точных значений равна
z a,力)пе й + (也一1)矶…，g ay； такие методы отвечают условию (9.27) при
Q= . и 9 =也一1.(9.28)
Определение 9.5. Пусть функция точных значений удовлетворяет условию (9.27k Метод (9.22) называется симметричным [относительно (9.27) I, если для численного решения выполняется условие, аналогичное (9.27):
〃ь (%) ^ Q〃e (% + 轨)・(9.29)
Пример 9.6. Рассмотрим линейный многошаговый метод и предположим, что для производящих многочленов сопряженного метода (9.25) справедливо равенство
р* ④=р (0, о* (0 ^。(0.(9.30)
Это эквивалентно требованию [см. (3.24)1
а&т = —а力 ₽ft-y = Р/・
Прямой подсчет (а использованием формул из примера 9.3) показывает, что если отношение симметрии (9.29) выполняется при
х н %о, то оно справедливо и для всех х = х0 + 九九.Это налагает дополнительное условие на стартовую процедуру ср (Л).
В завершение продемонстрируем, как можно использовать теорему 9.4 для доказательства асимптотических разложений по четным степеням 九・ Обозначим через 〃{ (х) /-ю компоненту 〃а (х). Из отношения симметрии (9.29) для многошаговых методов следует、
"院(%)=區(%-3-1)m.
Кроме того, для любого многошагового метода 或 a)=北(%一但一 1)Л), а поэтому для симметричных методов выполняется равенство 威⑴= £；(%)・
Если многошаговый метод симметричен в смысле определения 9.5, то, как следует из теоремы 9.4, в асимптотическое разложение глобальной погрешности входят только четные степени й.
Упражнения
Рассмотрим сильно устойчивый линейный многошаговый метод порядка р, записанный в форме (9.6) (см. пример 9.3), и введем обозначение
G(x)= ^(%' z(x, 0), 0).
а) Докажите равенство
EG(x)l = 】%(%/(%))，
где матрица £ взята из формулы (8.11), а I = (1, ..., 1)г. Ь) Покажите, что в разложении (9.9) функция % (х) = 1Ср (х), где
*(*)=普① У(%))&р(%)- 為Е (%),
а С — константа погрешности [см. (2.13)]. Определите также (%о)・
Найдите функцию 终(％) и возмущения (в^)п>о в разложении (9.4) при использовании 3-шагового ФДН-метода для решения задачи yf = —у, у (0) = 1 со стартовой процедурой (9.1 с). Сравните ваш результат с рис. 9Л.
Рассмотрим метод
"用=% +九①(/,2П,九)时j"
с функцией точных значений z (х, Л).
Докажите, что глобальная погрешность имеет асимптотическое разложение вида
〃n-4 = ep(%)*+・・・ + eN (xn) hN + E (хп, й) й^+т,
где Е (х, Л) равномерно ограничена при 0《 才《九о и х0 < * *^ £•
Покажите, что для метода (9.31) остается справедливой теорема 8.5 из гл. II.
Пусть многочлены р* (0 и о* (0 заданы с помощью (9.25). При предположении
р* © = Ср (0, а* (0 = Ст ©
отношение симметрии (9.29) выполняется для всех % = %()+ + nhi если оно верно при х = х0. По какой причине в (9.30) С = 1?
ШЛО. Многошаговые методы для дифференциальных уравнений второго порядка
«В 1904 г. мне потребовался подобный метод для вычисления траекторий заряженных частиц 耳 магнитном поле; перепробовав различные уже известные методы и не найдя среди них удобного для моей задачи, я сам разработал достаточно простой метод, которьщ сразу и воспользовался».
(С. Штёрмер, 1921)
Дифференциальные уравнения второго порядка заслуживают дополнительного внимания вследствие своей значимости. В разд. 11.13 мы уже видели, что для отдельных дифференциальных уравнений второго порядка прямое* применение некоторых одношаговых методов более эффективно, чем использование классических методов Рунге—Кутты. Исследуем теперь, сохраняется ли эта ситуация и в случае многошаговых методов.
(ЮЛ)(ЮЛ)Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
(ЮЛ)
(ЮЛ)
歹Нf （%,物力,
где у может быть вектором. Обычным способом перепишем (10.1) в виде системы первого порядка и применим многошаговый метод
(10.2)(10.2)hk
(10.2)
(10.2)
kk
£ ^Уп+i =丘 £ ₽ j (-^n+h 以+z,矶+D・
$==Q，=Q
Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от /,
Уа = 〃芻力(Ю.З)
то естественно обратиться к численным методам, не содержащим первой производной у1. Исключая {у；} из уравнений (10.2), получим
2々2Л а
£ ^1Уп+1 = Й2 S Pif (*n+i，Уп+1)9(1°・4)
2=0/=0
где новые коэффициенты &〃 6» определяются из формул
9占/ Ь4 9 夕方/*\9
出*=（昌飼，昌紹=（总喇•（Ю.5）
Далее мы исследуем методы (10.4), коэффициенты которых не обязательно удовлетворяют (10.5). При этом мы надеемся добиться того же порядка при меньшем числе шагов.
Первые методы
«Мы сосчитали более 120 различных траекторий; эта огромная работа потребовала более 4500 часов...! (С. Штёрмер, 1907)
«Кроме того, его доклад довольно сух и скучен...» (Мнение В. Римана об Энке, 1847)
Поскольку большинство дифференциальных уравнений небесной механики имеет вид (10.3), неудивительно, что первые по* пытки построения специальных методов для таких уравнений были сделаны астрономами.
В своем трактате о северном сиянии С. Штёрмер (1907) вывел дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение заряженных частиц в магнитном поле Земли. Для обширных численных расчетов этих траекторий (см. приведенную выше цитату!) он построил точный и простой метод: сложив ряды Тейлора для у (力〃 + 九)и у (%几 ——А)» мы получим
У (厶 + 用 一 2g (厶)+ g (% 一切=Л2/ (XЛ) + 匿m4)(占)+
+ 360 и"'(* J+• • • •
Подставив сюда g〃 (xn) из дифференциального уравнения (10.3) и пренебрегая членами более высокого порядка, придем к формуле д"1-2% + g吋1=*/2
которая дает первый простой и точный метод, называемый иногда методом Штёрмера или Энке. Чтобы увеличить точность, заменим производные у более высокого порядка на центральные разности /:
部加4) (хп) = А2%т — . А4%т + ・・・，
胪*)(/) = А4/м+・・・； получим формулу
Рм - 2% + %т =胪[左 + 击^-^^^ +・・・]・ (10.6) Она пока не очень практична, поскольку разделенные разности в правой части содержат неизвестные значения fn^ и /п+а. Прз небрегая разностями пятого порядка (т. е. полагая А»пт R
=Д4/п-4 и А%.] = А%т + а%т + А%.) придем к формуле («...формула, которая лежит в основе нашего метода...», Штёрмер, 1907)•
Уп+工一29n+ дпт =
=九％ + 4 [А%т + А%т + А%т -击 А%/ ・(10.7)
«Если бы Очерки Астрономического общества были полностью свободны от грубых численных ошибок...» (П* X. Кауэлл и А. С. Д. Кроммелин, 1910)
Через несколько лет Кауэлл и Кроммелин (1910) использовали те же идеи для исследования движения кометы Галлея. Они рассмотрели один дополнительный член в разложении (10.6), а именно:
60 480 А%т 比 1951 Дв/п-в«
Прямое использование формулы (10.6) в ее варианте четвертого порядка
狐+1 — 2уп 4~ Упт = Ла ^Jn + "^" А%т] (10.8)
обосновал Б. Нумеров (1924, 1927): вместо того, чтобы заменить Д7п-х на какое-то явное выражение, он попытался решить прямо это неявное нелинейное уравнение относительно ^п+1.
Задача Штёрмера
«При достаточном навыке вычисляют около трех точек (丸，z) в чао.
(С. Штёрмер, 1907)
Предположим, что элементарный магнит помещен в начало координат, а его ось соответствует оси z. Тогда траектория (х (s), у (s), z (s)) заряженной частицы в этом магнитном поле является решением системы (Штермер, 1907)
*"=%(3炉‘一(3炉一円力，
y п % (他2 一円* 一 3&z)(10.9)
z" = % (3xqf — З/х)
где ，'=炉 + у* + z*・ При введении полярных координат х « /? cos ф, g = R sin <р(10.10)
система (10.9) принимает вид
w=(餐+制(普+警一%)，
'=(登+ ')"^"，(10.11а)
屮，=(餐+，)％，(10.11b)
где т — некоторая константа, появляющаяся при интегрировании ф*. Два уравнения (10.11а) образуют дифференциальное
Рис. 10.1. Решения система (10.11а) в плоскости (R, z)・
уравнение второго порядка типа (10.3) (отметим, что г" = R" + + z) которое можно решить численнр с помощью методов из4 данного раздела. Тогда ф получается простым интегрированием равенства (10.11b). На рис. 10.1 показано два решения подсистемы (10.11а) о начальными условиями, поставленными самим Штермером: R。= 0.257453, % = 0.314687, , = —0.5, г° =
н /& + 笳，Qq R 1 —(2»Rq + Rq/г^2. R； h т/^сз /右= HJ^^sin" при и С {0, л/4, ог 5л/4}. На рис. 10.2 представлено трехмерное изображение в пространстве (х, у9 z) для решения с начальными условиями u r ®/4 и 5®/4.
Методы более высокого порядка
Формулу Штёрмера можно обобщить следующим образом: дважды проинтегрировав уравнение (10.3), мы получим
g(x + h) = u(x) + h『 8 + M，Q — s)t(x + sh, g(x + sK^yds.
(10.12)
Чтобы исключить первую производную g (х), запишем ту же формулу, заменив в ней Л на —А и сложив два выражения:
，(％ + @ —2д(х) +，(* —用=
=胪 J。—® 炉(*+就，у("+财》+'*—就'^(х—^))1^-
(10.13)
(10.14)(10.14)Так же как при выводе формул Адамса (разд. III.1), заменим неизвестную функцию / (厶 у (/)) интерполяционным многочленом р (0, заданным формулой (1.4). Это даст нам явный метод
(10.14)
(10.14)
Уп+i - 2уп + Упт = Л2Д 4 V^n с коэффициентами
Их числовые значения даны в табл. 10.1, а способ вычисления описан в упр. 2.
Таблица 10.1. Коэффициенты метода (10.14)
0
1
2
3
4
5
6
7
1
0
1
1
19
140
3
863
275
ЧГ
TF
F
12 096
4032
Приведем частные случаи формулы (10.14):
也=2:也=3:也=2:也=3:也=4:也=4:纵+1 — 2gn + упт = Л7п,
也=2:
也=3:
也=2:
也=3:
也=4:
也=4:
Уп+i — 2gn + “пт = Л2^-[Г 片—j" /п-i + ♦ /пт], (10・ 14)
Ум+1 ——2^^ + уп^г = Л2 [善 А» —12" fn-i + у /п-a^ /п-в] •
При 也=5 метод (10.14) эквивалентен формуле (10.7), которая задает метод, использованный Штёрмером (1907, 1921), а при 也=6 получается метод из работы Кауэлла и Кроммелина (1910). Простейший из этих методов 伍 =1) был успешно применен в качестве основы при построении экстраполяционного метода (разд. 11.13, формула (13.32)).
Для повышения точности можно также использовать интер* поляционный многочлен р* (/) из (1.7), который проходит через дополнительную точку (хп+1, /п+1). Заменив в (10.13) f (/, у (0) на р* (0, мы придем к неявному методу:
(10.16)(10.16)叶叶场+1 - 2场 + уп-\ = л2 Е ^/ V‘力
(10.16)
(10.16)
叶
叶
Коэффициенты и； определяются формулой
歹=（-小7）［（丁） + 3屮歹=（-小7）［（丁） + 3屮(Ю.17>；(Ю.17>；
歹=（-小7）［（丁） + 3屮
歹=（-小7）［（丁） + 3屮
(Ю.17>；
(Ю.17>；
а их числовые значения для / < 6 приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2. Коэффициенты неявного метода (10.16)
0
12
8*4б
6
7
1
"240* "240
—221
60 480
—19 6048
При 6 = 2 (а также 也=3) получается интересный метод 夕川—2gli + Рпт =胪[% /п+1 + 患 fn + * %т}(10・ 16，)
который обычно приписывают Нумерову.
Используя идеи Нюстрёма и Милна для уравнений первого порядка, можно вывести и другие методы. При заменах &、f 25, 2s-*s и %f% —b формула* (10.13) примет вид
2
g (% + &) — 2g (% — » + g (% — 3&) к 犀 J (2 — s),
[/(x + (s— 1)瓦 g(* + (s— 1)3)今(10.18)
+ f (x-(s + 1)瓦 g(x— (s + 1)Л))]ds.
Замена f & g (f)) на многочлен p (/) (или 卩* (/)) даст нам новые классы явных и неявных методов.
Общая формулировка
Следующая наша цель — изучить устойчивость, согласованность и сходимость общих линейных многошаговых методов для задачи (10.3). Запишем их в виде
^^ atffn+i ="、鼻 °" (&♦" ffn+i)*(10.19)
Производящие многочлены g коэффициентами а» и 氏 снова обозначим через
(10.20)(10.20)(10.21)(10.21)Р⑹= £%М а(С)= 2₽^.
(10.20)
(10.20)
(10.21)
(10.21)
Если метод (10.19) применить к задаче Коши 夕=f (%, У). У (хо)=物，旷(№)=质,
то будет естественно потребовать согласованности стартовых (значений с обоими начальными условиями, т. е.
卫吟二期—0 при h^09 f «0, 1, й—1. (10.22)
Условие устойчивости
Чтобы получить представление о том, какое условие устойчивости необходимо для сходимости, рассмотрим простую задачу:
夕=0, у()= 0, % = 0.
Ее численное решение удовлетворяет линейному разностному уравнению с характеристическим многочленом р (С). Те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 4.2, показывают, что необходимым для сходимости является следующее условие.
Определение 10.1. Метод (10.19) называется устойчивым, если для производящего многочлена р (С) выполняются условия:
Корни р (С) лежат на (или внутри) единичной окружности;
Кратность корней на единичной окружности не превосходит двух.
Одношаговое представление метода (10.19)
Для рассматриваемых методов можно построить теорию по аналогии с разд. II 1.2—IIL4. Такой подход разработан Далкви- стом (1959) и описан также в книге Хенричи (1962). Мы предпочитаем переписать (10.19) в форме (8.4) и прямо применить результаты из разд. III.8 и III.9 (см. пример 8.7). Для этого мы могли* бы ввести вектор ип =(Уп+k-u •••，УгУ^ что кажется вполне естественным. Но тогда соответствующая матрица S не будет удовлетворять условию устойчивости из определения 8.8 из-за двукратных корней, равных по модулю единице. Чтобы преодо* леть это препятствие, мы отделим такие корни. Представим характеристический многочлен в виде произведения
P(9 = Pi(》p2(0(10.23)；
так,чтобыкаждыйизмногочленов
Im
Pi©=£yG， Р2@=£х© a + m = a) (10.24) f=0f=0•.
имел толькопростыекорнис модулем 1. Без ограничения общно*
сти в дальнейшем будем считать, что т ^ I и ak = yt = кт = 1г С помощью оператора сдвига £, определенного в (2.10), метод： (10.19) можно записать в виде'
Р (Е) Уп =胪。(Е) /；•；
Основная идея заключается в том, чтобы ввести новую перемен% ную р2 (£) уп (обозначим ее через ton). Тогда многошаговая фор^ мула будет эквивалентна системе
Pi (Е) % = Ла (Е) /п,р2 (Е) уп =九％.(10.25,
Если ввести вектор
“и = (^n+Z-l> • • •, 。7>, Уп+m-li • • •, Уп)^9
то формулу (10.25) можно записать в виде
〃n+i = S〃兀 + 九①(Хд., “п.,九)，(10.26а)
где,
о
=(:=(:о \k )，①(^п> "П,也)=о \k )，①(^п> "П,也)=0%00%0(10.27)(10.27)00Матрицы G н КМатрицы G н Кявляются сопровождающими:являются сопровождающими:
=(:
=(:
о \
k )，①(^п> "П,也)=
о \
k )，①(^п> "П,也)=
0
%0
0
%0
(10.27)
(10.27)
0
0
Матрицы G н К
Матрицы G н К
являются сопровождающими:
являются сопровождающими:
a W = W (xn, uny &) задается неявно формулой
论一1/论一I、
W = 2耳昵(冗+ /Л, %+" +昵(厶+或也绅一昌电g2).
(10.28)
В ней 中 записана как функция от хп,也田-1，・・・, Ум) и Л. Но из второго соотношения в (10.25) видно, что каждое из значений Уп+кт, ・・•，Уп+т можно выразить в виде линейной комбинации элементов мп. Поэтому в действительности 中 является функцией переменных (хп, 〃兀,й).
(10.26b)(10.26b)Формула (10.26) задает процедуру продвижения на шаг. Соответствующая стартовая процедура имеет вид
(10.26b)
(10.26b)
屮(九)=(St，• • •, % Ут-19 • • •, %)「
и в силу (10.25) определяется по значениям (^1э ..., у^Т единственным образом. Функцией точных значений является z(Y 九)=(4^(E心(* +(Z- 1)九)，・・•，4"p2(Еm(大)，
у(х + (т — l)K)t ...9у(х)У， (10.26с)
При нашем выборе многочленов рх (0 и р2 (U) (оба имеют только простые корни с модулем 1) матрицы G н К ограничены при возведении в любую степень. Следовательно, это справедливо также и для S, и метод (10.26) устойчив в смысле определения 8.8.
Согласованность и сходимость
Найдем условия на параметры а» и 0力 при которых метод (10.26) согласован с порядком р (в смысле леммы 8.11). Начнем о погрешности в начальных условиях:
% = z (%, А) — <р (А).
Первые / компонент этого вектора имеют вид
4«Р2(Е)д(*»-力ТЕ修匂(勺+j)-玖+»，/ = 01-1, ^о
а последние /и компонент равны
乡(勺)—Ю， / = 0, .. о m — 1.
Мы видим, что условие, достаточное для выполнения соотношения % = О (Ар), состоит в следующем:
叭х» — ^ = О(Ю при / == 0, 1, ..., А—1・(10.29)
Затем рассмотрим локальную погрешность в точке хп, d兀+т = z (хп + Л, Л) Sz (*兀,九)~~* 九①(*пл z (хп)九),A)*
Она имеет все нулевые компоненты, за исключением первойt которая равна
4!].i = ^р(Е)у(хп) — Н(xn, z(&, Л),叫.
Так же9 как в разд. Ш.2, введем линейный разностный оператор L® х, /i) = p(E)g(*) —"и(Е)У(*) =
=e (砌(х +，九)一胪也й (* +砌.
Используя формулу (10.28), по теореме о среднем получим
4% = «回 &, Л) + 飾炉'伪…，")・&%,(10.30)
где и имеет то же значение, что и в лемме 2.2. Отсюда следует, что dn+i =0侬+1) 0 L ® &,九)=。(九叶2).
Применяя теперь теорему сходимости 8.13, придем к следующему результату.
Теорема 10.2. Предположим, что метод (10.19) устойчив, стартовые знамения отвечают условию (/0.29) и для всех достаточно гладких функций у (х) выполняется равенство
丄匂，"力=0(加+2].(10.31)
Тогда метод (10.19) сходится с порядком р, т.仇 ，
|р (%) —0nl《СМ при 0<nft<const. ■
Следующая теорема дает полезный критерий для проверки соотношения (10.31).
Теорема 10.3. Многошааовый метод (10.19) удовлетворяет равенству (10.31) тогда и только тогда9 когда выполняются эквивалентные условиях
I)自％ = 0, ^iat =0
и £ a#。= g (g — 1) £。刑т при g = 2,・・” 〃
pd) 一胪。(次)=o(m+2j при ft —0,
出)7^一。(0 =。他一1再 при @fi・
Доказательство опускается, так как оно повторяет доказательство теоремы 2.4 ・■
Замечания. 1. Многочлен р (0 обязательно имеет двукратный корень £х = 1. Поэтому многочлены plt р2 из (10.24) отвечают равенствам pi (1) = 0 и р2 (1) ^ 0. Таким образом, функция точных значений z (х, 6) имеет предел при 0.,
Как и в случае методов Адамсау легко проверить, что метод (10.14) имеет порядок 瓦 а (10.16) — порядок b + 1.
Асимптотическая формула для глобальной погрешности
Предположим, что метод (10.19) устойчив и согласован о порядком р. Тогда локальная погрешность для (10.26) равна
九1 = е 亦鹏С*圖 е+2)(厶)+ О^).(10.32)
где.
k
См = ^^ 2 3 严+2 一(Р + 2) (р + 1)昵。)・
Формулу (10.32) можно проверить, разложив в (10.30) L ® &, AJ в ряд Тейлора. Применяя теорему 9.1 (если среди корней р (0 только один имеет модуль 1) или теорему 9.2, получим, что глобальная погрешность метода (10.26) имеет вид
4(*) -z(*, R) = 6(%)加 +0(九叶)
где е (%) — решение уравнения
d(*)= E雾区 z(%, 0), Q)e(x)^EevCp^^(x). (10.33)
Здесь E — это матрица, определенная в (8.12). Поскольку в локальной погрешности (10.32) нет членов порядка Лр, из (9.16) еле* дует равенство е (х) ^ Ее (х). Тогда (см. упр. 4а) эту функцию можно записать в виде
е(*)=ка)
Вычислив -^ (х, z (х, 0), 0) и Еех (подробное описание см. в упр. 4), мы увидим, что (10.33) преобразуется в эквивалентную систему
?’⑴=磊 w(*，g⑻)*(6 一磊取+"⑴'(1°.3甸
力⑴=而戸(现Дифференцируя (10.34b) и подставляя в полученное 『(х) из (10.34а), мы, наконец, придем к уравнению%"(*)=^^ у(*))*(%)- су{1^2} w>力⑴=而戸(现Дифференцируя (10.34b) и подставляя в полученное 『(х) из (10.34а), мы, наконец, придем к уравнению%"(*)=^^ у(*))*(%)- су{1^2} w>(10.34b)(10.34b)уравнениеуравнение(10.35)(10.35)
力⑴=而戸(现
Дифференцируя (10.34b) и подставляя в полученное 『(х) из (10.34а), мы, наконец, придем к уравнению
%"(*)=^^ у(*))*(%)- су{1^2} w>
力⑴=而戸(现
Дифференцируя (10.34b) и подставляя в полученное 『(х) из (10.34а), мы, наконец, придем к уравнению
%"(*)=^^ у(*))*(%)- су{1^2} w>
(10.34b)
(10.34b)
уравнение
уравнение
(10.35)
(10.35)
“■и吃к“■и吃кгде
“■и
吃к
“■и
吃к
(10.36)
Здесь мы использовали соотношение а (1) = pi (1)-р2 (1), которое является прямым следствием равенства (10.23) и предположения о том, что порядок метода не ниже первого. Постоянная С в (10.3S) называется константой погрешности метода (10.19). Она играет ту же роль, что и (2.13) для уравнений первого порядка.
Поскольку последняя компонента вектора ип равна уП9 皿 приходим к требуемому результату
Уп-У W = * (*п)加 +。侬+>
где к (х) отвечает (10.35). Применяя результаты из разд. III.9, можно получить ■ последующие члены асимптотического раэло жеввя глобальво* иогрешвостн%
Порядковый барьер для устойчивых методов (10.19)
Вполяе естественно встает вопрос о поиске среди устойчивых многошаговых методов (10.19) метода максимально возможного порядка.
Теорема 10.4. Порядок р устойчивого линейного иногоша- нового метода (10.19} удовлетворяет ограничениями
Р《А + 2 при четных 瓦
р《© + I при нечетных 瓦
Теорема 10.5. Устойчивый многошаговый яетод (10.19) порядка & + 2 является симметричным, т. е.
W = 4т， В = hr при всех，・
Эти две теоремы доказываются подобно теореме 3.5 и 3.9. Здесь мы опускаем доказательства, которые читатель может найти в ^ч^гинальной статье Далквиста (1959) или в книге Хенричи
Погрешности округления
Обсудим кратко еще одно преимущество представления (10.26). Среди множества способов реализации многошагового метода остановимся на следующих двух:
хранение значений (ул+*т,・・・• У，и вычисление уп^ прямо по формуле (10.19);
хранение 〃兀 и использование формула (10.26). Назовем это стабилизацией (10.19).
Оба процесса математически эквивалентны. Однако о вычислительной точки зрения они различаются. При малых 力 рекуррентное соотношение (10.19) неустойчиво (из-за двукратных корней на единичной окружности), а рекуррентная формула (10.26) устойчива (матрица S ограничена при возведении в любую степень). Чтобы проиллюстрировать эту разницу, применим формулу Штёрмера (10・14‘)，отвечающую значению 论 = 4, к задаче у" н —^ с точным решением у (х) = sin х. В качестве стартовых возьмем значения точного решения и выберем шаг h « 0.01, чтобы погреш- 15XNpep Э. в др.
ность обрывания ряда сохранялась меньшей, чем погрешности округления (одинарная точность при EPSMACH = 1.5£ — 8). На рио. 10.3 показано абсолютное значение глобальной погреш-
Phc. 10.3. Погрешности округления для дву>а реализаций формулы Штермера (10.14') при ^ = 4.Phc. 10.3. Погрешности округления для дву>а реализаций формулы Штермера (10.14') при ^ = 4.
Phc. 10.3. Погрешности округления для дву>а реализаций формулы Штермера (10.14') при ^ = 4.
Phc. 10.3. Погрешности округления для дву>а реализаций формулы Штермера (10.14') при ^ = 4.
ности для обеих реализаций. Видно, что погрешность стабилизированного варианта меньше в 100 раз. Направленные вниз пики соответствуют смене знака глобальной погрешности.
Упражнения
L Найдите решение задачи Штёрмера (10.11а) g помощью одного из методов данного раздела.
а) Покажите, что производящие функции коэффициентов ст, и 虱[определенных в (10.15) и (10.17)]
s ⑴=R °*" удовлетворяют формулам
s⑴=(log(/-о)2Т=Т，S*⑴=J(；一/)) •
Подсчитайте коэффициенты d； ряда
£3=(出户"=(]+Af+今+.・J
и выведите рекуррентное соотношение для а/ и а/.
Докажите равенство
寸=S — °zt・
Пусть р (0 является многочленом степени k с двукратным корнем 1. Тогда существует единственный многочлен и (Е), такой что соответствующий. метод имеет порядок 论 + 1.
Рассмотрим метод (10.26) и для простоты предположим, что дифференциальное уравнение является скалярным.
а) Для любого вектора w QRk его образ Ew о матрицей £ из (8.12) удовлетворяет равенству，
где % х — вещественные числа, а I — вектор, у которого все элементы равны 1. Векторы 丫1 и х1 имеют размерности / и mгде % х — вещественные числа, а I — вектор, у которого все элементы равны 1. Векторы 丫1 и х1 имеют размерности / и mсоответственно.соответственно.Ь) Проверьте, что при ех « (1, 0, ..., 0}г справедливо соотношениеЬ) Проверьте, что при ех « (1, 0, ..., 0}г справедливо соотношениес)с)Покажитё9 чтоПокажитё9 что/ав!\/(а/р1(1)) 1\旧广S/p式1))1丿./ав!\/(а/р1(1)) 1\旧广S/p式1))1丿.Е 罂(修 z& 0), 0)Е 罂(修 z& 0), 0)。⑴W。⑴W^ x I^ x I备＞"备＞"
где % х — вещественные числа, а I — вектор, у которого все элементы равны 1. Векторы 丫1 и х1 имеют размерности / и m
где % х — вещественные числа, а I — вектор, у которого все элементы равны 1. Векторы 丫1 и х1 имеют размерности / и m
соответственно.
соответственно.
Ь) Проверьте, что при ех « (1, 0, ..., 0}г справедливо соотношение
Ь) Проверьте, что при ех « (1, 0, ..., 0}г справедливо соотношение
с)
с)
Покажитё9 что
Покажитё9 что
/ав!\/(а/р1(1)) 1\
旧广S/p式1))1丿.
/ав!\/(а/р1(1)) 1\
旧广S/p式1))1丿.
Е 罂(修 z& 0), 0)
Е 罂(修 z& 0), 0)
。⑴
W
。⑴
W
^ x I
^ x I
备＞"
备＞"
Указание. Если ввести Уп ^ (yn+k^ ・•・， У^т. то по формуле (10.28)屮 можно представить функцией от (хв, Ув, ft). Векторы Уп и 〃п связаны соотношением
КУ。=以 +。(й), где
•・[0 о
К =；・・№ ,厶=1
,01
1
5.5.Для вычисления «|^- (х, z (%, 0), 0) используйте цепное правило (дифференцирования сложной функции). См. также У пр. 2 из разд. III.4 и упр. 1 из разд. III.9.
5.
5.
Определите константу погрешности (10.36) для методов (10.14) и (10.16).
Ответ. о& и 。2+【соответственно.
15*
Приложение. Программы на Фортране
・・・ но программные продукты находятся на разнсш стадиях разработки, от экспериментальных (эвфемизм для плохо написанных) до того, что мы можем на- ввэть •••
(Ч. Гир, 1985)
Следующие программн на Фортране были разработаны для наших численных расчетов. Они могут быть получены от авторов (Section de Mathematiques, Case Postale 240, CH—1211 GenSve 24, Switzerland) на дискете фирмы ИБМ. Пожалуйста, пришлите 15 швейцарских франков.
Dopri5
Это программа явного метода Рунге—Кутты, основанная на формулах Дормана и Принса (см. табл. 4.6 в разд. II.4) с автоматическим управлением длиной шага. Наилучший метод, еслн допустима невысокая точность (от 10~4 до 10~7).
SUBROUTINE DOPBI5(N,FCN,X,Y.XBND^EPS.HMAX.H)
С — с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с с —
NUMBBICAL SOLUTION OF A SYSTEM OF FIRST ORDER ORDINARY DIFFBBKNTIAL EQUATIONS Y'=F(X,Y).
THIS IS AN BMBBDDBD RUNG8-KUTTA METHOD OF ORDER (4)5 DUB TO DOBMAND & PRINCE (WITH STEPSIZE CONTBOL).
C.F. SECTION II.4
INPUT PARAMETERS
NDIMENSION OF THE SYSTEM (N.LE.51)
FCNNAMB (EXTERNAL) OF SUBROUTINE COMPUTING THE
FIRST DBBIVATIVE F(X,Y)： SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F) RBAL*4 X,Y(N),F(N) F(l) =… 8TC.
XINITIAL X-VALUB
XBNDFINAL X-VALUR (XBND-XPOSITIVE OR NEGATIVE)
Y(N)INITIAL VALUES FOB Y
BPSLOCAL TOLBRANCE
HMAXMAXIMAL STBPSIZE
ВINITIAL STBPSIZB GUBSS
OUTPUT PARAMBTBRS
Y(N)SOLUTIOM AT XEND
EXTERNAL SUBBOUTINB (TO BB SUPPLIED BY THB USER)
SOLOUS
THIS SUBROUTINE IS CALLED AFTER BVBRY SUCCBSSFULLY COMPUTED STBP (AND THB INITIAL VALUB):
SUBROUTINB SOLOUS (NR,X,Y,N)
RBAL*4 X,Y(N).
FURNISHBS THB SOLUTI6N Y AT THB MR-TH GRID-POINT X (THB INITIAL VALUB IS CON- SIDBBBD AS TBB FIRST GRID-POINT).
SUPPLY A DUMMY SUBROUTINB, IF THB SOLUTION IS NOT DBSIRBD AT THB INTBRMBDIATB POINTS.
Приложение. Программа на Фортране453
RBAL，4 К1(51),К2(61),КЗ(61),К4(51),К5(51),Y1(51),Y(N) LOGICAL BBJBCT
CONMON/STAT/NFCN.NSTBP,MACCPT,NRBJCT
c c c
c
COMMON STAT CAN BB USBD FOR STATISTICS NFCNNUMBBROFFUNCTIONEVALUATIONS
NSTBPNUMBKBОГCOMPUTKDSTEPS
NACCPTNUMBKBOFACCBPTBDSTEPS
NRBJCTNUMBKBOFBBJBCTBDSTEPS
DATA NMAX/ЗООО/,UBOUND/5.8-8/
c c c
NMAXMAXIMAL NUMBBR OF STEPS
UROUND SMALLEST NUMBBR SATISFYING 1.+UROUND〉1. (TO BB ADAPTBD BY THB USSR)
POSNBG=SIGN(1..XBMD-X)
c
INITIAL PBBPABATIONS HMAX^ABS(HMAX)
B=AMIN1(AMAX1(1.B-4,ABS(H)),HMAX) B=SIGN(H,POSNBG)
BPS=ANAX1(BPS,7.*UROUND) RBJBCT=.FALSE.
NACCPT=0
NRRJCT=0
NFCN=1
NSTBP=0
CALL SOLOUS(NACCPT+1.X,Y,N) CALL FCN(N.X.Y.Kl)
C 1
BASIC INTEGRATION STEP IF(NSTBP.GT.NMAX.OB.X*.1*H.BQ.X)GOTO 79 IF((X-XEND)«POSNKG+UBOUND.GT.0.) BBTURN IF((X*H-XEND)*POSNBG.GT.O.)H=XBND-X NSTBP=NSTBP+1
c
THB EST 6 STAGBS DO 22 1=1,M
22
Y1(I)=Y(I)+H*.2*K1(I) CALL FCN(N(X+.2*H(Y1>K2) DO 23 1=1,N
23
Yl(I)=Y(I)+H*((3./40.)»Kl(I)+(9./40.)*K2(I)) CALL FCN(N,X+.3*H.Y1,K3) DO 24 1=1,N
24
Tl(I)=Y(I)+H*((44./45.)*Kl(I)-(56./15.)»K2(I)+(32./9.)*K3(I)) CALL FCN(N,X*.8*H,Y1.K4) DO 25 1=1,N
25 1
Y1(I)=Y(I)+H*((19372./6561.)»K1(I)-(25360./2187. )*K2( I)
It *(64448./6661. )*K3(I)-(212./729. )»K4(I))
CALL FCN(N,X+(8./9.)*H.Y1,K5) DO 26 1=1,N
26
Yl(I)=Y(I)+H»((9017./3168. )*Kl(I)-(355./33. )“2(D
&+(46732./5247.)»K3(I)+(49./176.)*K4(1)-(5103./18656.)#K5(I))
27
1
XPH=X+H
CALL FCN(N,XPH,Y1>K2)
DO 27 1=1,M
Y1(I)=Y(I)+H*((35./384.)«1(I)+(500./1113.)*K3(I) k +(126./192.)*K4(1)-(2187./6784.)*Ж5(I)+(11./84.)#K2(I))
C ——COMPUTB INTEBMBDIATB SUM TO SAVB MEMORY
61
DO 61 I=1.N
K2(I)=(71./67600.)*K1(I)-(71./16695.”K3⑴
&+(71./1920.)*K4(I)-(17253./339200.)»K5(I)+(22./525.)»K2(I)
C
THB LAST STAGS CALL FCN(N,XPH,Y1*K3) DO 28 1=1,M
28
K4(I)=(K2(I)-(l./40.)*K3(I))»H
NFCM=NFCN+6
C
ВЯВОВ BSTIMATION
BRR=O.
DO 41 1=1,N
DENOM=AMAXl(l.B-5,ABS(Yl(I))tABS(Y(I)),2.*UROUND/RPS)
41
BRR=BRR*(K4(I)/DBNOM)**2 ERR=SQBT(BBB/FLOAT(N))
С ——COMPUTATION OF HNBW C —— WB REQUIRE .2<=HNBW/H<=10.
FAC=AMAX1(.1,AMIN1(5.,(BRR/BPS)♦♦(1./5.)/.9)) HNEW=H/FAC IF(ERR.LK.EPS)THKN C ——STEP IS ACCEPTED
NACCPT=NACCPT+l DO 44 1=1,N K1(I)=K3(I)
44Y(I)=Y1(I)
X = XPH CALL SOLOUS(NACCPT+1,X,Y.N) IF(ABS(HNKW).GT.HMAX)HN8W=POSNBG«HMAX IF(RBJBCT)HNEW=POSNBG«AMIN1(ABS(HNBW)tABS(H)) RBJ8CT=.FALSB.
ELSE C ——STEP IS RBJBCTBD RBJBCT=.TRUB.
IF(NACCPT.QE.1)NRBJCT=NRKJCT+1 BND IF H=HNRW GOTO 1 C ——FAIL EXIT
79 WRITB(6,979)X
979 FORMAT(* BXIT OF DOPRI5 AT X=',B11.4) RETURN BND
C SUBROUTINE SOLOUS(NRPNTS,X,Y,N) RRAL*4 Y(N) RETURN BND
g Dopri8
Эго программа явного метода Рунге—Кутты, основанная на формулах Дорманда и Принса с автоматическим управлением длиной шага (табл. 4.6 из раздела II.6). Она написана для расчетов с двойной точностью и предпочтительна, если допустимая погрешность находится в пределах примерно от lb? до 10"18. Не применяйте ее, если нужна точность выше 10~"・
SUBROUTINB D0PRI8(N,FCN,X,YtXBND.BPS.HMAX.H) c
С NUMBRICAL SOLUTION OF A SYSTEM OF FIRST ORDER
C ORDINARY DIFFBRBN7IAL EQUATIONS Y*=F(X,Y)•
C THIS IS AN BMBBDDBD RUNGB-KUTTA MBTHOD OF ORDER (7)8
C DUB TO DORNAND & PBINCB (WITH STEPSIZB CONTROL).
CC.F. SBCTION II.6
C
CINPUT PARAMETERS
C
c
N
DIMENSION OF THB SYSTEM (N.LE.51)
c
FCN
NAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINE COMPUTING THE
c
FIRST DBRIVATIVE F(X,Y):
c
SUBROUTINB FCN(N,X,Y» F)
c
RRAL*8 X,Y(N),F(N)
c
F(l)=... ETC.
c
X
INITIAL X-VALUB
c
XBND
FINAL X-VALUB (XBND-X POSITIVE OR NBGATIVB)
c
Y(N)
INITIAL VALUES FOR Y
c
BPS
LOCAL TOLERANCB
c
HMAX
MAXIMAL STEPSIZB
c
H
INITIAL STBPSIZB GUBSS
C
ccccccccccccccccccccccccccccccccccOUTPUT PABAMBTBRSOUTPUT PABAMBTBRS
ccccccccccccccccc
ccccccccccccccccc
OUTPUT PABAMBTBRS
OUTPUT PABAMBTBRS
Y(N)SOLUTION AT XBND
BXTBBNAL SUBBOUTINB (TO BB SUPPLIBD BY THS USBR)
SOLOUT THIS SUBBOUTINB IS CALLBD AFTBB BVERY SUCCESSFULLY COMPUTED STEP (AND THB INITIAL VALUE): SUBROUTINE SOLOUT (NR,X,Y,N) RRAL*8 X.Y(N) FURNISHES THB SOLUTION Y AT THB NR-TH GRID-POINT X (THB INITIAL VALUE IS CON- SIDBBBD AS THB FIRST GRID-POINT).
SUPPLY A DUMMY SUBROUTINB, IF THB SOLUTION IS NOT DBSIBBD AT THB INTBRMBDIATB POINTS.
IMPLICIT RBAL*8 (A-H.O-Z)
RBAL*8 Kl(51)fK2(51)(K3(51)tK4(51)#K5(51)tK6(51)tK7(51) ♦,Y(M),Y1(51)
LOGICAL REJECT，•
COMMON/STAT/NFCN,NSTEP,MACCPT,NREJCT C — COMMON STAT CAN BB USBD FOR STATISTICS
Q —
MFCM
NUMBER ОГ FUNCTION EVALUATIONS
c
NSTBP
NUMBBR OF COMPUTBD STBPS
c
МЛССРТ
NUMBBR OF ACCBPTBD STEPS
c
NRBJCT
NUMBBR ОГ BBJKCTBD STBPS
COMMOM/COBF/C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,CIO,C11,С12,С13, &A21,A31,A32,A41,A43,A51,A53,A54,A61>A64.A65,A71,A74,A75.A76, &A81,A84tA85,A86.A87.A91.A94.A95.A96(A97,A98,A101,A104(A105,A106( &A1O7,A1O8,A1O9,A11I, A114,A116.A116,A117,A118, A119,Am%A121, &А124,А126,А126.А127・А128,А129,А1210,А12И.А131,А134,А135,А136, &A137,A138.A139.A1310,A1311,Bl・B6,B7,B8,B9,in0,Bll,IH2,B13, &BHl,BH6,BH7>BH8,BH9>BH10>BHlltBH12
DATA NMAX/2000/,UROUND/1.73D-18/
C …NMAX MAXIMAL MUMBBB OF STEPS
C … UBOUND SMALLBST NUMBBR SATISFYING 1.DO+UROUND>1.DO
C (TO BB ADAPTED BY THB USBR)
CALL COBFST
POSNBG=DSIGN(1.DO,XBND-X)
C INITIAL PRBPABATIONS
HMAX^DABS(HMAX)
H=DMIN1(DMAX1(1.D>1O,DABS(H)),HMAX) H=DSIGN(H,POSNBG)
RPS=DMAX1(BPS,13.DO*UROUND)
RBJECT-.FALSB.
NACCPT=0
NRBJCT=0
NFCN=0
NSTBP=O
CALL SOLOUT(MACCPT+1,X»Y,1*)
C ——BASIC INTBGRATION STBP 1 IF(NSTBP.GT.NMAX.OR.X*.03DO*H.BQ.X)GOTO 79 IF((X-XBND)*POSNBG*UROUND.GT.0.DO) RETURN , IF(( X+HTBND ) "POSNRG .GT.O.DO) H=X8ND-X CALL FCN(N,X.Y,K1)
2 CONTINUB
NSTBP^NSTBP^l
C THB FIRST 9 STAGES
DO 22 1=1,N
22 Y1(I)=Y(I)+H#A21*K1(I)
CALL FCN(N,X+C2*H,Y1,K2) DO 23 1=1,M'
23Y1(I)«Y(I)+H*(A31#K1(I)+A32»K2(I))
CALL FCN(N.X+C3*H.Y1,K3) DO 24 1=1,M
24Y1(I)=Y(I)+H*(A41»I1(I)+A43*K3(I))
CALL FCN(N,X+C4*H,Y1,K4) DO 25 1=1,N
25 Yl(I)=Y(I)-»-H«(A51*Kl(I)-»-A53»K3(I)-»-A54»K4(I)) CALL FCN(N,X+C5*H,Y1,K5)
DO 26 1=1,N
26 Y1 ( I ) = Y(I) +H*( A61 “1 ( I ) +A64*K4 (工)+ A65*K5 ( I)) CALL FCN(N,X+C6*H,Y1,K6)
DO 27 1=1,N
27 Yl(I)=Y(I)-»-H*(A71*Kl(I) + A74»K4(I)-»-A75»K5(I)-»-A76*K6(I)) CALL FCN(N,X+C7*H,Y1,K7)
DO 28 1=1,N
28 Yl(I)=Y(I)+H*(A81»Kl(I)-»-A84»K4(I)+A85*K5(I)-»-A86*K6(I)*A87»K7(I)) CALL FCN(N,X+C8*H,Y1,K2)
DO 29 1=1,N
29 Yl(I)=Y(I)+H«(A91»Kl(I)+A94*K4(I)+A95*K5(I)-»-A96»K6(I)+A97*K7(I) &+A98*K2(I))
CALL FCN(N,X+C9*H,Y1,K3) DO 30 1=1,N
30 Yl(I)=Y(I)+H*(A101*Kl(I)+A104*K4(I)+A105*K5(I)+A106«K6(I)
&+A107*K7(I)+A108»K2(I)+A109#K3(I))
C — COMPUTE INTBRMBDIATB SUMS TO SAVE MEMORY DO 61 1=1,N
Y11S=A111*K1(I)4-A114»K4(I)*A115*K5(I)*A116«K6(I)*A117*K7(I)
&*A118*K2(I)*A119*K3(I)
Y12S=A121«1(I)+A124*K4(I)+A125*K6(I)+A126»K6(I)+A127*K7(I) &*A128»K2(I)*A129*K3(I)
K4(I)=A131*Kl(I)*A134»K4(I)-bA135*K5(I)*A136»K6(I)-bA137»K7(I)
&+A138*K2(I)+A139*K3(I)
K5(I)-Bl»Kl(I)-bB6«K6(I)*B7»K7(I)*B8»K2(I)*B9»K3(I) Кв(1)=ВН1*К1(1)4-ВН6*Кв(1)«ВН7«К7(1)*ВН8*К2(1)^ВН9*КЗ(1) K2(I)=Y11S
61K3(I)=Y12S
C THB LAST 4 STAGES
CALL FCN(N,X+C1O*H,Y1.K7) DO 31 1=1,N
31 Yl(I)=Y(I)+H»(K2(I)+A1110*I7(I)) CALL FCN(N,X+C11*H,Y1,K2)
XPH=X+H
DO 32 1=1,N
32 Yl(I) = Y(I)-»-H»(K3(I)+A1210»K7(I)+A1211*K2(I)) CALL FCM(M,XPH,Y1.K3) DO 33 1=1,N
33 Yl(I)=Y(I)+H*(K4(I)+A1310*K7(I)+A1311*K2(I)) CALL FCN(N,XPH,Y1.K4)
NFCN=NFCN+13
DO 35 1=1,N
K5(I)=Y(I)+H*(K5(I)-»-B1O*K7(I)4-B11«2(I)+B12»K3(I)+B13*K4(I))
35 K6(I)=Y(I)*H»(K6(I)*BH10»K7(I)^BHll«K2(I)*BH12»K3(I)) C -— BRROB ESTIMATION
BRR=0.D0
DO 41 1=1,N
DBNOM=DMAXl(l.D-e,DABS(K5(I)),DABS(Y(I)),2.DO«UROUND/BPS)
41KRR=：BRR*((K5(I)-Ke(I))/DBNON)**2
BRR=DSQRT(BRR/DFLOAT(N))
C — COMPUTATION OF RNRW
C WB RBQUIRB .333<=HNBW/W<^6.
FAC=DMAXl((l.D0/6.D0),DMIN1(3.DO,(BRR/BPS)«*(1.DO/8.DO)/.9D0)) HNBW = H"AC
IF(BRR.GT.BPS)GOTO 51
C STBP IS ACCBPTBD
NACCPT=NACCPT+1 DO 44 1 = 1,M
44 Y(I)=K5(I) X = XPH
CALL SOLOUT(NACCPT+1,X,Y.N)
IF(DABS(HNBW).GT.HMAX)HNBW=POSNBG»HNAX IF(RBJBCT)HNBW=POSNKG*DMIN1(DABS(KNEW),DABS(H))
RBJBCT=.FALSB. H=HNKW GOTO 1 С ——STEP IS RBJKCTBD 51 REJ8CT=.TRUB.
H=HNBW
IF(NACCPT.GB.1)NBBJCT=NREJCT+1 NFC№NFCN-1 GOTO 2 C ——FAIL BXIT 79 WRITB(6,979)X 979 FORMAT(* BXIT OF D0PBI8 AT X=',D16.7) 9BTUBN BND C SUBROUTINB COBFST C ——THIS SUBROUTINB SBTS TBB COEFFICIENTS FOB THB DORMAND-PRINCB C ——MBTHOD OF ORDBR 8 WITH BRROR BSTIMATOR OF ORDBR 7 AND 13 STAGBS IMPLICIT RBAL*8 (A-H.O-Z) COMMON/COBF/C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11,C12,C13, & Л21.А31,A32,A41,A43,A61,$63,A54„А61,Л64,A65,A71,A74,A76,A76, & A81 ・ A84, A85. A86, A87, A91. A94, A95 a A96, A97, A98, A101, АЮ4, АЮ5, A106, & A107>A108>A109,A111.A114(A115>A116(A117>A118>A119>A1110iA121, & A124tA125tA126,A127> A128,A129, A121O,A121 1,^131^134, A135.A136, & А137,А138,А139,А1310,А1311,В1,В6,В7,В8,В9,В10,В11,В12,В13, & внх.внб.ввт.внв.внэ.вню.вви.внхг
C2=l.D0/18.D0 C3=l.D0/12.D0 C4=l.D0/8.D0 C5=6.D0/16.D0 C6=3.D0/8.D0 C7=59.D0/400.D0 C8=93.D0/200.D0 C9=5490023248.DO/9719169821.DO C10=13.D0/20.D0.
Cll=1201146811.DO/1299019798.DO C12=l.D0 C13—.D0 A21=C2 A31=l.D0/48.D0 A32-1.D0/16.D0 A41=l.D0/32.D0 A43=3.D0/32.D0 A51=5.D0/16.D0 A53=-75.D0/64.D0 A54=-A53 A61=3.D0/80.D0 A64=3.D0/16.D0 A65=3.D0/20.D0 A71x29443841.D0/614563906.D0 A74=77736538.D0/692538347.D0 A75=-28693883.D0/1125.D6 A76=23124283.D0/18.D8 A81=16016141.D0/946692911.D0 A84=61564180•D0/158732637.DO A85=22789713.D0/633445777.D0 A86=545816736.D0/2771067229.D0 A87=~180193667.DO/1043307555.DO A91=39632708.D0/573591083.D0 A94=-433636366.D0/e83701615.D0 A95=-421739975.D0/2616292301.DO A96=100302831.D0/723423059.D0 A97=790204164.D0/839813087.D0 A98=800635310.D0/3783071287.D0 A101=246121993.D0/1340847787.D0 A104=-37695042796.D0/16268766246.D0 A105=-309121744.DO/1061227803.DO
A106=-12992083.D0/490766935.D0 A107 = 6005943493.D0/2108947869. DO Л108=393006217.DO/1396673457.DO Al09=123872331.DO/1001029789.DO Al11=-1028468189.D0/846180014.DO A114 = 8478235783.D0/508512852. DO Al15=1311729495.DO/1432422823.DO A116=-10304129995.DO/1701304382.DO A117=-48777925059.D0/3047939560.D0 Al18=15336726248.D0/1032824649.DO A119=-45442868181.D0/3398467696.D0 Al110 = 3065993473.DO/597172653. DO A121=185892177.D0/718116043.DO A124=-3185094517.D0/667107341.D0 A125=-477755414.DO/1098053517.DO A126=-703635378.D0/230739211.D0 A127 = 5731566787.DO/1027645527. DO A128=5232866602.D0/850066563.D0 A129=-4093664535.D0/808688257.D0 A1210=3962137247.DO/1805957418.DO A1211=65686358.D0/487910083.D0 A131=403863854.D0/491063109.D0 A134 = -5068492393.D0/434740067. DO A135=-411421997.D0/543043805.D0 A136=652783627.D0/914296604.D0 A137=11173962825.D0/925320556.DO A138=-13158990841.D0/6184727034.D0 A139=3936647629.DO/1978049680.DO A1310 = -160528059.D0/685178525： DO A1311 = 248638103.DO/1413531060. DO 81=14005451.D0/335480064.DO B6=-59238493.DO/1068277825.DO B7=181606767.D0/758867731.D0 B8=561292985.D0/797845732.D0 B9=-1041891430.DO/1371343529.DO B10=760417239.D0/l151165299.DO В 11 = 118820643.DO/751138087.DO B12=-528747749.D0/2220607170.D0 B13=l.D0/4.D0
BH1=13451932.DO/455176623.DO BH6=-808719846.D0/976000145.D0 BH7=1757004468.D0/5645159321.DO BH8=656045339.D0/265891186.D0 BH9=-386757472^1.D0/1518517206.D0 BH10=465885868.D0/322736535.DO BHll=53011238.D0/667516719.DO BH12=2.D0/45：D0
RETURN BND
SUBROUTINE SOLOUT(NSTRP,X,Y,N) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.O-Z) DIMENSION Y(N) RBTURN
END
Odes
Программа основана на методе экстраполягши (см. разд. И .9) о переменным порядком и переменной длиной шага. Хороша при всех уровнях точности, превосходна для очень высокой точности (например, 10~80 или 10"80).
SUBROUTINE ODEX (N,FCN*XbY,XBND,EPS,НМАХ,Н)
ccccccccccccccccccccccccccccdcccccccccccccccccccccccccccccdcccccccccccccccccccccc c c c cc c c c cc cc cNUMERICAL SOLUTION OF Л SYSTEM OF FIRST ORDBR ORDINARY DIFFBRBNTIAL BQUATIONS Y'=F(X,Y). THIS IS AN EXTRAPOLATION-ALGORITHM, BASED ON THE EXPLICIT lMIDPOINTi RULE (WITH STEPSIZE CONTROL AND ORDBRSUBCTION).
ccccccccccccccccccccccccccccdc
ccccccccccccccccccccccccccccdc
cccccccccc
cccccccccc
c c c c c
c c c c c
c c
c c
C.F. SBCTION II.9
NDIMENSION OF THB SYSTRM (N.LK.51)FCNX XBND Y(N) BPS HNAXNAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINB FIRST DBRIVATIVK F(X,Y)：SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F) RRAL*8 X,Y(N),F(N) F(1) = .. . BTC.INITIAL X-VALUB FINAL X-VALUB (XBND.GT.X) INITIAL VALUBS FOR Y LOCAL TOLBRANCB •MAXIMAL STBPSIZE7工~COMPUTING THEHINITIAL STBPSIZB GURSSQtZ T Q2 22ogOUTPUTY(N)PARAMBTBRS SOLUTION AT XBND4>xg以wA今e泠NDIMENSION OF THB SYSTRM (N.LK.51)FCNX XBND Y(N) BPS HNAXNAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINB FIRST DBRIVATIVK F(X,Y)：SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F) RRAL*8 X,Y(N),F(N) F(1) = .. . BTC.INITIAL X-VALUB FINAL X-VALUB (XBND.GT.X) INITIAL VALUBS FOR Y LOCAL TOLBRANCB •MAXIMAL STBPSIZE7工~COMPUTING THEHINITIAL STBPSIZB GURSSQtZ T Q2 22ogOUTPUTY(N)PARAMBTBRS SOLUTION AT XBND4>xg以wA今e泠INPUT PARAMETERSINPUT PARAMETERSBXTRRNAL SUBROUTINE (TO BB SUPPLIBD BY THB USER)BXTRRNAL SUBROUTINE (TO BB SUPPLIBD BY THB USER)SOLOUT THIS SUBROUTINE IS CALLED AFTER EVERY SUCCBSSFULLY COMPUTBD STBP (AND THE INITIAL VALUB): SUBROUTINB SOLOUT (NR,X,Y,N) RRAL*8 X,Y(N) FURNISHBS THB SOLUTION Y AT THB NR-TH vGRID-POINTyX (THE INITIAL VALUB IS CON- c SIDEliBb AS THB FIRST GRID-POINT). SUPPLY A DUMMY SUBROUTINE, IF THB SOLUTION IS NOT DBSIRBD AT THE JNTBRMRDIATB POINTS.
N
DIMENSION OF THB SYSTRM (N.LK.51)
FCN
X XBND Y(N) BPS HNAX
NAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINB FIRST DBRIVATIVK F(X,Y)：
SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F) RRAL*8 X,Y(N),F(N) F(1) = .. . BTC.
INITIAL X-VALUB FINAL X-VALUB (XBND.GT.X) INITIAL VALUBS FOR Y LOCAL TOLBRANCB •
MAXIMAL STBPSIZE7工~
COMPUTING THE
H
INITIAL STBPSIZB GURSS
QtZ T Q2 2
2og
OUTPUT
Y(N)
PARAMBTBRS SOLUTION AT XBND
4>xg以wA今
e泠
N
DIMENSION OF THB SYSTRM (N.LK.51)
FCN
X XBND Y(N) BPS HNAX
NAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINB FIRST DBRIVATIVK F(X,Y)：
SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F) RRAL*8 X,Y(N),F(N) F(1) = .. . BTC.
INITIAL X-VALUB FINAL X-VALUB (XBND.GT.X) INITIAL VALUBS FOR Y LOCAL TOLBRANCB •
MAXIMAL STBPSIZE7工~
COMPUTING THE
H
INITIAL STBPSIZB GURSS
QtZ T Q2 2
2og
OUTPUT
Y(N)
PARAMBTBRS SOLUTION AT XBND
4>xg以wA今
e泠
INPUT PARAMETERS
INPUT PARAMETERS
BXTRRNAL SUBROUTINE (TO BB SUPPLIBD BY THB USER)
BXTRRNAL SUBROUTINE (TO BB SUPPLIBD BY THB USER)
IMPLICIT RBAL*8 (A-H.O-Z) LOGICAL REJECT,LAST RRAL*8 Y(N) BXTRRNAL FCN COMMON /STAT/NFCN,NSTEP,NACCPT,NRBJCT ——COMMON STAT CAN BB USBD FOR STATISTICS NFCNNUMBEROFFUNCTIONEVALUATIONS NSTBPNUMBEROFCOMPUTBDSTRPS NACCPTNUMBEROFACCBPTBDSTRPS —— NRBJCTNUMBBROFREJBCTBDSTEPS
COMMON /EXTABL/ DZ(51),T(9.51),NJ(9),HH(9),W(9),ERR,FAC,
A(9),BPSD4,UROUND,FAC1,FAC2,SAFR2
DATA NJ/2,4,6,8,10,12,14,16,18/ DATA A/3.DO,7.DO,13.DO,21.DO,31.DO,43.DO,57.DO,73.DO,91.DO/ DATA NMAX/800/,КМ/9/,UROUND/1.73D-18/
—NMAX MAXIMAL NUMBER OF STEPS
— UROUND bSMALLlTST NUMBER SATISFYING 1. DO+UROUND> 1. DO
С ——(ТО BE ADAPTED BY THE USER)
DATA FACl/2.D-2/,FAC2/4.D0/,FAC3/.9D0/,FAC4/.8D0/ DATA SAFB1/.65DO/,SAFE2/.94D0/
C —— INITIAL PREPARATIONS
BPSD4=EPS«SAFB1 NSTRP=0 NRBJCT=O NACCPT=0 NFCN=O
K=MAX0(3tMIN0(8tINT(-DLOG10(BPS)«.6D0+1.5D0))) H^DMINKH.RMAX, (XBND - X)/2.D0) CALL SOLOUT (NACCPT+1,X,Y,N) BRR=O.DO W(l)=0.D0 RBJBCT=.FALSB.
LAST=.FALSE.
C ——IS XBND RBACHBD IN THS NBXT STEP?
10 H1=XRND-X
IF (Hl.LE.UROUND) GO TO 110
H^DMINKH^Hl.HMAX) IF (H.GE.H1-UROUND) LAST=.TRUE. CALL FCN](N,X, Y,DZ) NFCN=NFCW+1 C ——THB FIRST AND LAST STEP IF (NSTBP.EQ.O.OR.LAST) THBN
NSTRP=NSTBP+1 q DO 20 J=1,K '.-KC=J
CALL MIDBX(J,X.Y,H,HMAX,N,FCN»
20 IF (J.GT.l.AND.BRR.LB.BPSf QO TO 60 GO TO 55
BND IF C ——BASIC INTEGRATION STBP 30 CONTINUB
NSTEP=NSTEP+1 IF (NSTBP.GB.NMAX) QO TO 120 KC=K-1 DO 40 J=1,KC
40 CALL MIDEX(J,X,Y.H.HMAX.N.FCNp C ——CONVERQBNCB MONITOR~
IF (К. BQ. 2 . OR.@EJEC1() GO TO 50
IF (BRR. LE. EPS) ОСГЛО 60
IF (ERR/EPS.GT. (DFLOAT(NJ(K-bl)*NJ(K) )/4.D0)*«2) QO TO 100 50 CALL MIDKX(K,X,Y,H,HMAX,N,FCN)
KC = K
IF (BBR.LB.BPS) GO TO 60
C ——НОРК FOR CONVBRGBNCB IN LINK K+l
55 IF (ERR/BPS.GT.(DFLOAT(NJ(K+1))/2.D0)**2) GO TO 100 KC = "1
CALL MIDBX(KC,X, Y,%HMAX,N,FCN) IF (BRR.GT.BPS) GO TO 100 C — STEP IS ACCBPTBD 60 X=X+H DO 70 1=1,N
70Y(I)=T(1,I)
NACCPT=NACCPT+1
CALL SOLOUT (NACCPT+1, X, Y. 1*)
C ——COMPUTE OPTIMAL ORDER IF (КС.BQ.2) THBN
K0PT=3L
IF flBBJgCTI) KOPT = 2 GO «5 80
BND IF IF (KC.LB.K) THBN KOPEC IF (W(KC-1).LT.W(KC)*FAC3) KOPT=KC-1 IF (W(KC).LT.W(KC-1)»FAC3) KOPT=MINO(KC+1,KM-1)
BLSB.
КОРТ=КС-1 IF (KC.GT.3・AND.W(KC-2).LT.W(KC-1)*FAC3》 КОРТ=КС-2
IF (W(KC).LT.W(KOPT)»FAC3) KOPT=MINO(КС,КМ-1) BND IF C ——AFTRR A RBJBCTBD STEP /
80 IF VREJEfiTH THBN KAMINO(КОРТ,КС)
LMJeCI^TALSy СОТОГО BND IF C ——COMPUTE STBPSIZB FOR NEXT STEP IF (КОРТ.LB.КС) THBN H=HR(KOPT) BLSB IF (KC.LT.K.AND.W(KC).LT.W(КС-1)tFAC4) THBN
B=HH(KC)»A(KOPT*1)/A(KC) ELSB
H=HH(KC)«A(KOPT)/A(KC) BND IF•
BND IF K=KOPT GO TO 10 C ——STBP IS RBJBCTBD
100 K=MIN0(%KC) IF (K.GT.2.AND.W(K-1).LT.W(K)*FAC3) K=K-1 NRBJCT^NRBJCT*!
H=HH(K)
1 RBJBCT=；TRUB.t GO TO 316 C SOLUTION BXIT
110 CONTINUE
RETURN CFAIL BXIT 120 WRITS (6,*) * MORE THAN ・,NMAX,' STBPS '
RBTURN BND
\ SUBBQUTINK MIDKX《J,X,Y,%HMAX,N,FCN) C ——TRIS SUBROUTINB CONPUTKS TUB J-TH LINK OF THK C ——BXTBAPOLATION TABLB AND PROVIDES AN KSTINATION C — OF THB OPTIMAL STBPSIZB IMPLICIT RRAL*8 (A-H.O-Z) BXTBRNAL FCN RRAL*8 Y(M),DY(51),YH1(61),YH2(51) COMMON /stat/mfcm.mstbp.naccpt.nrbjct
COMMON /BXTABL/ DZ(51),T(9,51)>NJ(9),HH(9)fW(9).BRR,FAC, 1A(9),BPSD4,UROUND,FAC1,FAC2,SAFB2
HJ^H/JDFLOAT(NJ(J)) C ——BULBB STARTING STBP DO 30 I=1.N YH1(I)SY(I) 3b YH2(I)=Y(I)+HJ*DZ(I) C -— . XPLICIT MIDPOINT BULB M=MJ(J)-1 DO 36 M№1,M CALL FCN(M,X+HJ»DFLOAT(MM),YH2,DY) DO 35 1=1,N YS=YH1(I) TH1(I)=YH2(I) 35 YH2(I)=YS+2.D0#HJ*DY(I) C ——FINAL SMOOTHING STBP CALL FCN(N.X+H,YH2,DY) DO 40 1=1,N 40T(J,I)=(YH1(I)+YH2(I)+HJ*DY(I))/2.DQ
NFCN=NFCN+NJ(J)
С ——POLYNOMIAL EXTRAPOLATION
IF (J.EQ.1) RETURN DO 60 L=J,2,-1
FAC=(DFLOAT(NJ(J))/DFLOAT(NJ(L-】)))**2-l.D0
DO 60 1=1,N
T(L-1,I)=T(L,I)+(T(L,I)-T(L-1,I))/FAC 60 CONTINUB RRR=0.D0 DO 65 1=1,N C ——SCALING
SiCAL=DMAXl(DABS(Y(I)),DABS(T(1,I)).1.D-6.UROUND/EPSD4) 65 BRR=BRR+((T(1,I)-T(2,I))/SCAL)**2
BRRxDSQRT(BRR/DFLOAT(N)) C COMPUTE OPTIMAL ST8PSIZBS
BXPO=1.DO/DFLOAT(2*J-1)
FACMIN=FAC1**BXPO ,
FAC=DMIN1(FAC2/FACMIN,DMAX1(FACMIN,(ERR/EPSD4)♦♦BXP0/SAFE2))
FAC=1.DO/FAC
HH(J)=DMIN1(H*FAC,HMAX)
W(J)=A(J)/HH(J) RBLTURN END
-SUBROUTINE SOLOUT (NRPNTS,X,Y,N)
IMPLICIT RBAL*8^ (A-H.O-Z)
RBAL*8 Y(N) RRTURN / BND
Odex2
Программа основана на методе экстраполяции (см. разд. И.13) с переменным порядком и переменной длиной шага. Предназначена для интегрирования дифференциальных систем второго порядка вида д" = / (х, д)・ Хороша для всех уровней точности.
SUBHOUTINB ODBX2 (N.FCNfX»Y.YP.XBND,BPS,НМЛХ,Н)
С
NUMERICAL
SOLUTION OF A SYSTEM OF SECOND ORDBR
С
ORDINARY
DIFFBRBNTIAL BQUATIONS Y**F(X,Y)・
С
THIS IS AN EXTRAPOLATION-ALGORITHM, BASBD ON THB
С
EXPLICIT
MIDPOINT RULB (WITH STKPSIZK CONTROL
С
AND ORDBR
SBLBCTION).
С
С.Г. SBCTION 11.13
С
С
INPUT PARAMBTBRS
С
С
N
DIMBNSIOM OF THB SYSTEM (N.LB.51)
С
ГСМ
NAMB (BXTKRNAL) OF SUBROUTINB COMPUTING
С
SBCOND DBRIVATIVK F(X,Y):
С
SUBROUTINE FCN(N,X,Y,F)
С
RKAL*8 X.Y(M)(F(N)
с
F(l)=... BTC.
с
X
INITIAL X-VALUB
с
XBND
FINAL X-VALUB (XBND.GT.X)
с
Y(N)
INITIAL VALUBS FOR Y
с
YP(N)
INITIAL VALUBS FOR Y'
с
BPS
LOCAL TOLBRANCB.
с
HMAX
MAXIMAL STBPSIZK
с
H
INITIAL 5TRPSIZR GUBS8
с
с
OUTPUT PARAMBTBRS
с
с
Y(N)
SOLUTION AT XBND
с
YP(N)
DBRIVATIVK OF SOLUTION AT XRND
ccccccccccccccccccccccccccc c cc c c
ccccccccccccc
ccccccccccccc
c c c
c c c
EXTERNAL SUBROUTINB (ТО ВВ SUPPLIED BY ТНВ USBR)
SOLUT2 THIS SUBROUTINB IS CALLED AFTBR BVBRY SUCCBSSFULLY COMPUTED STEP (AND THB INITIAL VALOK): SUBROUTINB SOLUT2 (NR,X,Y,YP,N) RBAL*8 X,Y(N),YP(N) FURNISHBS THB SOLUTION (Y,YP) AT THB NR-TH GRID-POINT X (THB INITIAL VALUB IS CON- SIBKRBD AS THB FIRST GRID-POINT).
SUPPLY A DUMMY SUBROUTINE, IF THB SOLUTION IS NOT DBSIRBD AT THB INTBRMBDIATB POINTS.
IMPLICIT RRAL*8 (A-H.O-Z) LOGICAL RKJBCT.LAST RBAL*8 Y(N),YP(M)
,BXTBRNAL FCN
COMMON /STAT/NFCN,NSTBP,NACCPT,NRBJCT COMMON STAT САК BB USKD FOR STATISTICS NFCNNUMBEROFFUNCTIONBVALUATXONS
NSTBPNUMBBROFCONPUTKDSTRPS
NACCPTNUMBBROFACCEPTEDSTEPS
NRBJCTNUMBBROFRBJBCTBDSTEPS
COMMON /ВХТАВ1/ DZ(51),T(9,6D,TP(9,51),NJ(9),HH(9),W(9).BBR.FAC, 1 A(9),BPSD4,UROUND,ГАС1,FAC2,SAFB2
DATA MJ/2,4,6,8,10,12,14,16,18/
DATA Л/2.DO,4.DO,7.DO 111.DO,16.DO,22.DO,29.DO,37.DO,46.DO/
DATA NMAX/800/fKM/9/,UROUND/1.73D-18/
NMAX MAXIMAL NUMBBR OF STEPS
UROUND SMALLBST NUMBBR SATISFYING 1.DO+UROUND>1.DO (TO BB ADAPTKD BY THB USBR)
DATA FAC1/2.D-2/,FAC2/4.DO/,FAC3/.9D0/,FAC4/.8D0/ DATA SAFBl/.65D0/,SAFB2/.94D0/
INITIAL PREPARATIONS BPSD4=BPS*SAFB1 NSTRP=0
NRBJCT=0
NACCPT=0 NFCN=O
K=MAX0(3tMIN0(8,INT(-DLOG10(BPS)*.6D0+1.5D0)))
H^DMINKH.HMAX, (XBND-X)/2.D0)
CALL SOLUT2 (NACCPT+1,X,Y,YP,N) RRR=Q.DQ
W(1)=O.DO
RBJBCT^.FALSE.
LAST=.FALSR.
IS XBKD REACHED IN THB NKXT STBP? H1=XBND-X
IF (Hl.LB.UROUND) GO TO 110
H^DMIN1(H,H1,HMAX) IF (H.aB.Hl-UROUND) LAST=.TRUE.
CALL FCM(N,X,Y.DZ)
NFCN=NFCN-«-l
THB FIRST AND LAST STBP
IF (MSTBP.BQ.O.OR.LAST) THEN NSTKP-NSTBP*!
DO 20 J=1,K KC=J
CALL STOBRM(J,X,Y,YP,H,HMAX,N,FCN) IF (J.GT.l.AND.BRR.LK.BPS) GO TO 60 GO TO 55
BND 1Г
BASIC INTKGRATION STBP
CONTINUB
NSTBP=NSTBP-i>1
IF (NSTBP.QK.NMAX) 00 TO 120 KC=K-1
DO 40 J=1,KC
40 CALL STOBRM(J,X,Y» YP» Н» HMAX,N» FCN) C ——CONVBRGBNCB MONITOR
IF (K.BQ.2.OR.REJECT) GO TO 50
IF (BRR.LB.BPS) GO TO 60
IF (RRR/BPS.GT.(DFLOAT(NJ(K+l)*NJ(K))/4.DO)**2),G。 TO 100 \ 50 CALL STOBRM(K,X.Y,YP.H.HMAX.N.FCN)
KC = K
IF (ERR.LB.BPS) GO TO 60
C ——HOPB FOR CONVBRGBNCB IN LINK K+l
65 IF (BRR/RPS.GT.(DFLOAT(NJ(K+1))/2.DO)**2) GO TO 100 KC=K+1
CALL STOBRMC КС,X t Y,YP.H,HMAX,N# FCN) IF (BRR.GT.BPS) GO TO 100
C —- STEP IS ACCKPTRD 60 X=X*H
DO 70 I=1,N YP(I)sTP(l,I) 70Y(I)=T(1,I)
NACCPT=NACCPT+1 CALL S0LUT2 (NACCPT+1,X,Y,YP,N) C ——COMPUTE OPTIMAL ORDBR
IF (KC.RQ.2) THEN
K0PT=3
IF (RBJBCT) KOPT=2
GO TO 8.0 BND IF IF (KC.LR.K) THRN KOPT=KC
IF (W(KC-l).LT.W(KC)*FAC3) KOPT=KC-1
IF (W(KC).LT.W(KC-1)*FAC3) KOPT=MINO(KC+1,KM-1) BLSB
KOPT=KC-1
IF (KC.GT.3.AND.W(KC-2).LT.W(NC-1)*FAC3) KOPT=KC-2
IF (W(KC).LT.W(K0PT)*FAC3) KOPT=MINO(КС,KM-1) BND IF C ——AFTBR A REJBCTBD STEP
80 IF (RBJBCT) THBN
K=MINO(KOPT,KC)
H=DMIN1(H,HH(K)) RBJBCT=.FALSB. GO TO 10 BND IF C ——COMPUTB STRPSJLZR FOR NKXT STEP IF (КОРТ.LB.КС) THBN
H=HH(KOPT) KLSB
IF (KC.LT.K.AND.W(KC).LT.W(KC-1)*FAC4) THEN H=HH(KC)*A(KOPT+1)/A(KC)
ELSE H=HH(KC)»A(KOPT)/A(KC) BND IF KND IF K=KOPT GO TO 10 C ——STBP IS RBJBCTBD
100 K=MIN0(K,KC}
IF (K.GT.2.AND.W(K-1).LT.W(K)*FAC3) K=K-1 NREJCT=NRBJCT>1 H=HH(X) RBJBCT-.TRUK, ao to 30
C ——SOLUTION EXIT 110 CONTINUE
RETURN ' C —- FAIL BXIT
120 WRITE (6,#) * MORE THAN *,NMAX,* STEPS ' RBTURN BND
SUBROUTINB STOBRM(J,X, Y,YP，SMAX,N,FCN) С —- THIS SUBROUTINB COMPUTBS TUB J-TH LINK OF THE C -— BXTRAPOLATION TABLB AND PROVIDES AN ESTIMATION C --- OF TUB OPTIMAL STBPSIZB IMPLICIT RRAL*8 (A-H,O-Z) BXTBRNAL FCM RBAL*8 Y(N),YP(N),DY(51),YH1(51),ZH1(51),
COMMON /STAT/NFCN.NSTBP.NACCPT^NRRJCT
COMMON /BXTABL/ DZ(61),T(9,51),TP(9,61),NJ(9),HH(9),W(9),RRR,FAC, 1 A(9),BPSD4,UROUND,FAC 1,FAC2,SAFB2
HJ-H/DFLOAT(NJ(J)) HJ2=HJ*2.DO C BULBR STARTING STEP
DO 30 1=1,X
YH1(I)=Y(I)
30 ZH1(I)=YP(I)*HJ*DZ(I) C ——EXPLICIT MIDPOINT (STOBRMER) RULB
M=NJ(J)/2-l IF (J.BQ.1) GO TO 37 DO 36 MM=1,M DO 33 1=1,N••
33YH1(I)=YH1(I)*HJ2*ZH1(I)
CALL FCN(N»X+HJ2*DFLOAT(MM),YH1,DY) DO 35 1=1,N 36ZH1(I)=ZH1(I)+HJ2*DY(I)
C ——FINAL STBP 37 CONTINUK DO 40 1=1,N 40YH1(I)=YH1(I)+HJ2*ZH1(I)
CALL rCN(M,X+H,YHl,DY) DO 43 1=1,N T(J,I)=YH1(I).
43 TP(J,I)=ZH1(I)+HJ»DY(I) NFCN=NFCN+M+1 C ——POLYNOMIAL KXTRAPOLATION IF (J.BQ.1) RETURN DO 60 L=J,2,-1 FAC=(DFLOAT(NJ(J))/DFLOAT(NJ(L-1)))**2-1.DO DO 60 1=1,N T(L-1,I)=T(L,I)+(T(L,I)-T(L-1,I))/FAC TP(L-1,I)STP(L,I)*(TP(L,I)-TP(L-1,I))/FAC 60 CONTINUE BRR=O.DO DO 65 1=1,N C SCALING
SCAL^DMAX1(DABS(Y(I)),DABS(T(1,1)),1.D-6,UROUND/BPSD4)
SCALP=DMAX1(DABS(YP(I)).DABSCTPCl,!)),l.D-6,UR0UND/BPSD4) 65BRR=BBR+((T(1,I)-T(2,I))/SCAL)**2+((TP(1,I)-TP(2,I))/SCALP)»*2
BRR=DSQRT(KRR/DFLOAT(N*2)) C — COMPUH OPTIMAL STBPSIZBS
BXPO=l.DO/DFbOAT(2*J-l) FACMIN=FAC1**BXPO
FAC=DMIN1(FAC2/FACMIN,DMAX1(FACMIN,(RRR/BPSD4)**BXPO/SAFB2)) rAC=l.DO/FAC
HH(J)-DMINl(H*FACtHMAX)
W(J)=A(J)/HH(J) RBTURN BND
C
SUBROUTINE S0LUT2 (NRPNTS,X,Y,YP,N)
IMPLICIT RRAL*8 (A-H.O-Z)'
RBAL*8 Y(N),YP(N) RETURN BND
Doprin
Программа явного метода Рунге—Кутти—Нюстрёма, основанная на формулах Дормана и Принса о автоматическим управлением длиной шага. Предназначена для интегрирования (см. табл. 13.4 из разд. 2.13) дифференциальных систем вида N = f (/ /
SUBROUTINB DOPRIN(N,FCN,X,Y«YPtXRND,BPS,HMAX,H)
c
NUMBRICAL SOLUTION OF A SYSTBM OF SBCOND ORDBR
c
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS YH=F(X,Y).
c
THIS IS AN BMBBDDBD NYSTROBM METHOD OF ORDBR (6)7
c
DUB TO DORMAND & PRINCB (WITH STBPSIZB CONTROL)
c
C.F. SRCTION 11.13
c
c
INPUT PARAMETERS
c
c
NDIMENSION OF THB SYSTBM (N.LB.61)
c
FCNNAMB (BXTBRNAL) OF SUBROUTINB COMPUTING THB
c
SBCOND DBRIVATIVB F(X,Y):
c
SUBROUTINB FCN(N,X,Y,F)
c
RBAL*8 X,Y(N),F(N)
c
F(l) =… ETC.
c
XINITIAL X-VALUB
c
XBNDFINAL X-VALUB (XBND.GT.X)
c
Y(N)INITIAL VALUES FOR Y
c
YP(N)«INITIAL VALUES FOR Y'
c
BPSLOCAL TOLBRANCB
c
HMAXMAXIMAL STBPSIZB
c
HINITIAL STBPSIZB GUBSS
c
c
OUTPUT PARAMBTBRS
c
c
Y(M)SOLUTION AT XBND
c
YP(N)DBRIVATIVB OF SOLUTION AT XBND
c
c
BXTBRNAL SUBROUTINB (TO BK SUPPLIED BY THB USBR)
c
c
SOLUT2THIS SUBROUTINB IS CALLED AFTER BVBRY
c
SUCCBSSFULLY COMPUTED STBP (AND THB
c
INITIAL VALUB):■
c
SUBROUTINB SOLUT2 (NR,X,Y,YP,N)
c
RBAL«8 X,Y(N),YP(N)
c
FURNISHES THB SOLUTION (Y,YP) AT THB NR-TH
c
GRID-POINT X (THB INITIAL VALUB IS CON-
c
SIDBRBD AS THB FIRST GRID-POIMT).
c
SUPPLY Л DUMMY SUBROUTINB, IF THB SOLUTION
c
IS NOT DKSIRBD AT THB INTBRMBDIATB POINTS.
IMPLICIT RBAL*8 (A-H.O-Z)
RBAL*8 KO(51),K1(61),K2(51),K3(51),K4(61),Y1(51),Y(N),YP(N) LOGICAL RBJBCT
ССССNFCNМАССРТNRBJCTNFCNМАССРТNRBJCTCOMMON/STAT/NFCN,NSTBP,NACCPT,NRBJCT —COMMON STAT CAN BB USBD FOR STATISTICS
С
С
С
С
NFCN
МАССРТ
NRBJCT
NFCN
МАССРТ
NRBJCT
NUMBER OF FUNCTION EVALUATIONS NUMBBR OF COMPUTED STEPS NUMBBR OF ACCBPTBD STBFS NUMBBR OF RBJBCTBD STBPS
DATA NMAX/2000/,UROUND/1.73D-18/
NMAX MAXIMAL NUMBBR OF STBPS
UROUND SMALLEST NUMBBR SATISFYING 1.DO+UROUMD》1.DO (TO BB ADAPTRD BY THB USBR)
ALPHl^.lDO ALPH2=・2D0
ALPH3=3.D0/8.D0・
ALPH4=.6D0 SQ21=DSQRT(21.D0) ALPH5=(7.D0-SQ21)/14.DO ALPH6=(7.D0+SQ21)/14.D0 C0=.05D0
C4=16.D0/45.D0 C5-49.D0/180.D0 G10=l.D0/200.D0 G20-1.D0/L50.D0 G21=l.D0/75.D0 G30>171.D0/8192.D0 G31=46.D0/4096.D0 G32=316.D0/8192.D0 040-5.DO/288.DO G41-25.D0/528.D0 G42=26.D0/672.D0 G43=16.D0/693.D0 G50=(1003.D0-205.D0*SQ21)/12348.DO 651-(-18775.D0^4325.D0*SQ21)/90552.DO G52=( 15600. DO-3425'. D0*SQ21 )/43218. DO G63-(-46208.D0+10112.D0*SQ21)/237699.DO G54-(3411.DO-745.D0*SQ21)/24696.DO G60-(793.D0-i*187.D0*SQ21 )/12348. DO G61=(-8275.DO-2825.D0*SQ21)/90552.DO G62=(26100.D0+6175.D0*SQ21)/43218.DO G63=-(J905280.DO+483712.D0*SQ21)/9745659.DO G64=(3327.D0+797.D0*SQ21)/24696.DO G65=-(681.D0+127.D0*SQ2】)/1722.DO G70=(-157.D0+3.D0*SQ21)/378.DO G71=(3575.D0-250.D0*SQ21)/2772.DO G72=-(21900.DO^1375.D0»SQ21)/3969.DO ©73=(1168640.D0+23040.D0»SQ21)/596673.DO G74 = -( 1353. D0-i>26.D0*SQ21 )/2268. DO G75=(12439.D0+2639.D0*SQ21)/4428.DO G76=(36.DO-7.D0*SQ21)/36.DO
G80-.05D0
G84=8.D0/45.D0
G85=(49.D0+7.D0*SQ21)/360.D0 G86=(49.DO-7.D0*SQ21)/360.DO POSNBO=DSIGN(1.DO,XBND-X) C …INITIAL PREPARATIONS
HMAX-DABS(HMAX)
H=DMIN1(DMAX1(1.D-8,DABS(H)),HMAX) H=DSIGN(H,POSNEG)
BPSxDMAXKBPS , 9. DOtUROUND) RBJBCT=.FALSE.
NACCPT=0 NRRJCT=O NFCN=1 NSTBP=O CALL SOLUT2(NACCPT+1,X,Y,YP,N) CALL FCN(N,X.Y,KO)
C BASIC INTEGRATION STRP
IF(NSTEP.GT.NMAX.OR.X+.05D0*H.BQ.X)GOTO 79
IF((X-XBND)*POSNBG+UROUND.GT.O.DO) RETURN IF((X+H-XBND)*POSNBG.GT.O.DO)H=XEND-X HP2=H*H
NSTBP=NSTBP+1
C THB FIRST 5 STAGES
DO 21 1=1,M
21 Yl(I)=Y(I)+ALPHl*H*YP(I)+HP2*G10*K0(I) CALL ГСМ(М,Х + АЬРН1*НЛ1»К1)
DO 22 1=1,N
22Yl(I)=Y(I)+ALPH2*H*YP(I)+HP2*(G20»K0(I)+G21»K1(I))
CALL FCM(N,X+ALPH2*H,Y1.K2)
DO 23 1 = 1,N
23Yl(I)=Y(I)+ALPH3*H*YP(I)+HP2*(G30*K0(I)+G31*Kl(I)+G32*K2(I))
CALL FCN(N,X+ALPH3*H,Y1,K3) DO 24 1=1,N
24Yl(I)=Y(I)+ALPH4*H*YP(I)+HP2*(G40*K0(I)+G41#Kl(I)+G42*K2(I)+
&G43*K3(I))
CALL FCN(N,X+ALPH4*H,Y1,K4) DO 25 I=1,N
25Yl(I)=Y(I)+ALPH5*H*YP(I)+HP2*(G50*K0(I)+G51*Kl(I)+G52«K2(I)+
&G63*K3(I)-«-G54*K4(I))
C ——COMPUTE INTERMEDIATE SUM TO SAVB MEMORY DO 61 1=1,N YlS=G60*K0(I)+G61*Kl(I)+G62*K2(I)+G63*K3(I)+G64*K4(I) K3(I)=G7O*KO(I)+G71*K1(I)4-G72»K2(I)+G73*K3(I)+G74*K4(I) 61K2(I)=Y1S
C ——THE LAST 4 STAGBS
CALL FCN(N.X*ALPH5*H,Y1.KI) DO 26 1=1,N 26 Y1(I)=Y(I)+ALPH6*H*YP(I)+HP2*(K2(I)+G65»K1(I)) CALL FCN(N,X+ALPH6*H,Y1,K2) DO 27 1=1,N 27Y1(I)=Y(I)+H*YP(I)+HP2*(K3(I)+G75*K1(I)+G76*K2(I))
XPH=X+H CALL FCN(N,XPH,Y1,K3) DO 28 N
2 8 Yl(I)=Y(I)+H*YP(I)-»-HP2*(G80*K0(I)+G84*K4(I)+G85»Kl(I)+G86*K2(I)) DO 30 1=1,N
30K4(I)=YP(I)+H*(C0*(K0(I)+K3(I))+C4*K4(I)+C5*(Kl(I)+K2(I)))
CALL FCN(N,XPH,Y1,K1) DO 33 1=1,N
33K2(I)=HP2*(»l(I)-K3(I))/20.D0
NFCN=NFCN+8
C ——8RROR 8STIMATION BRR=0.D0 DO 41 1=1,N DBNOM=DMAX1(1.D-6.DABS(Y1(I))tDABS(Y(I)).2.D04UROUND/BPS) 41 BRR=RRR+(K2(I)/DBNOM)**2 RRR=DSQRT(BRR/DFLOAT(N)) C ——COMPUTATION OF HNBW C —— WB REQUIRE .2<=HMBW/H<=10.
FAC=DMAX1(.1DO,DMIN1(5.DO,(BRR/BPS)»♦(1.DO/7.DO)/.9D0)) HNEW=H/FAC
IF(KRR.LB.BPS)THBN C ——STEP IS ACCEPTED NACCPT=NACCPT+1 DO 44 1=1,N YP(I)=K4(I) K0(I)=K】(I) 44Y(I)=Y1(I)
X = XPH CALL SOLUT2(NACCPT+1,X,Y,YP,N) IF(DABS(KNEW).GT.HMAX)HNBW-POSNBG»HMAX IF(REJECT)HNBW=POSNEG*DMIN1(DABS(KNEW).DABS(H)) RBJBCT=.FALSE.
C —— STEP IS RBJKCTED RBJRCT=.TRUR. IF(NACCPT.GB.1)NRBJCT=NRBJCT+1 END IF H=HNEW GOTO 1 C ——FAIL BXIT 79 WRITB(6,979)X 979 FORMAT(* BXIT OF DOPRIN AT X=',D16.7) RETURN END
SUBROUTINE SOUJT2 (NRPNTS,X,Y,YP,N) IMPLICIT RBAL*8 (A-H.O-Z) RBAL*8 Y(N),YP(N) RETURN END
Retard
Модификация программы DOPRI5 для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (см. разд. 11.15). Включен пример головной программы, вызывающей RETARD. Подпрограммы STORE и YLAG также полезны для «плотного» вывода и построения графиков. С SAMPLE CALLING PROGRAM FOR RETARD
C SOLVING PROBLEM (15.12) WITH SAMK INITIAL CONDITIONS C AS FOR TABLE 15.1. DIMENSION Y(l) COMHON/POSITS/IFIRST,LAST,XO,XLXST,IPOS,DISC COMMON/STAT/NFCN,NSTBP,NACCPT,NRBJCT RXTRRNAL FCN X0-0. LAST-0 H=0.5 Y(l)=0.1 DO I 1=1,10 X=FLOAT(I-1) XKND^FLOAT(I) BPS=l.R-6 HMAX-1. CALL RRTARD(1,FCN,X,Y,XBND,EPS,HMAX,H) WRITE(6,»)X, Yd) WRITB.(6,*) * COMMON STAT: ' ,NFCN,NSTBP,NACCPT,NRRJCT 1 CONTINUE'
STOP KND SUBROUTINE FCN(N,X,Y,F) DIMENSION Y(N),F(N) KXTERNAL PHI A=1.4 F(1)=(A-YLAG(1,X-l.,PHI))*Y(1) RKTURN BND BBAL FUNCTION PHI(I,X) IF(I.BQ.1)PHI=O. RETURN BND SUBROUTINE RETARD(N,FCN,X,Y,XBNDtKPS»HMAX,H) C C NUMERICAL SOLUTION OF A SYSTEM OF FIRST ORDKR C RETARDED DIFFBBBNTIAL EQUATIONS Y*=F( X, Y(X), Y(X-TAU),..). C THIS IS BASBD ON AN EMBEDDED HUNG8-KUTTA METHOD OF ORDER (4)5 C DUB TO DORMAND & PRINCK '(WITH STEPSIZB CONTROL). CC.F. SECTIONS II.5 AND 11.15
C CINPUT PARAMBTBRS
CNDIMENSION OF THK SYSTEM (N.LB.51)
CFCNNAMK (EXTBRNAL) OF SUBROUTINK COMPUTING THK
CFIRST DERIVATIVE F(X,Y)：
CSUBROUTINE FCN(N,X,Y,F)
CRBAL*4 X,Y(N),F(N)
CKXTKRNAL PHI
F(1)=-YLAG(1,X-1.,PHI)+...
F(2) =… BTC.
WHERE *PHIM IS THB (EXTERNAL) NAMB OF A BEAL FUNCTION COMPUTING THK
I-TH COMPONENT OF THB INITIAL FUNCTION PHI(X) REAL FUNCTION PHI(I,X) IF (I.KQ.1) PHI=... BTC.
XINITIAL X-VALUK
XBNDFINAL X-VALUB (XEND>X)
Y(N)INITIAL VALUES FOR Y
BPSLOCAL TOLERANCE
BMAXMAXIMAL STEP SIZE
HINITIAL STBP SIZB GUESS
OUTPUT PAftAMBTRRS
Y(M)SOLUTION AT XBND
RBAL*4 K1(51),K2(51),K3(51),K4(51).K5(51),K6(61),K7(51)
RBAL*4 Y1(51),Y(N)
LOGICAL RBJRCT,DISC
сссссссссссс с с с с с с ссссссссссссс с с с с с с сCOMNOM/POSITS/IFIliST, LAST, XO, XLAST, IPOS .DISC
сссссссссссс с с с с с с с
сссссссссссс с с с с с с с
NBAMING OF THBSB VABIABLBS:
IFIBST LOWEST STEP NUMBER STILL IN MEMORY COEF；
LAST ADDRESS OF LAST DATA WRITTEN BY STORE ON COMMON BLOCK CORP MUST BE SBT TO 0 IN THB CALLING PBOORAM BBFORB THB FIHST CALL.
XOINITIAL POINT, MUST BE SET IN TBE CALLING FBOOBAM
BBFORB TBB FIRST CALL.
XLAST =X+H OP LAST WRITTEN STBP；
IPOS POSITION OF LAST SUCCESSFUL SRARCH IN FUNCTIOM YLAG;.
DISC LOOICAL VARIABLB, MECBSSARY FOR THB DISTINCTION OF K7 AND KI OF THB FOLLOWING STBP IN THB CASK WHBN Y(XO) IS DIPPRRBNT FROM PHI(XO).
COMNOM/STAT/NFCN,NSTBP,MACCPT,NBEJCT
COMMON STAY CONTAINS STATISTICAL INFORMATION:
NFCNNUMBBBOFFUNCTIONEVALUATIONS
NSTEPNUMBBBOFCOMPUTEDSTEPS
NACCPTNUNB8ROFACCEPTEDSTEPS
NREJCTNUMBEROFRKJKCTEDSTEPS
CONNOM/UROUND/UROUND
UROUND SMALLEST NUMBER SATISFYING 】.+UROUND>l.
(TO BB ADAPTED BY THB USSR)
DATA UROUND/6.B-8/
DATA NMAX/3000/
NNAX MAXIMAL NUNBKR OF STEPS
INITIAL PREPARATIONS
HNAXsABS(HMAX)
B-ANIN1(AMAX1(1.B-4,ABS(H)),HMAX)
B-SIGN(H,1.)
EPS-AMAX1(BPS,7.*UROUND)
REJECT».FALSB.
NACCPT-0
NREJCTxO
NFCM^l
NSTBP*0
D】SC=.TRUR.
CALL FCM(N,X.Y,K1)
IF (.NOT.DISC) CALL FCN(N,X,Y,KI)
BASIC INTEGRATION STEP
DISC-.TRUB.
IF(NSTBP.6T.AMAX.0R.X+.1*H.RQ.X)GOTO 79
ir((X-XEND)4-UBOUND^OT.O. ) RBTURN
IF((X-i*B>XEND).GT.O. )H=XBND>X
NSTEP>NSTEP*1
TBB 7 RUMOB-KUTTA STAGES
DO 22 1=1,N
Y1(I) = Y(I)4-H#.2«1(I)
CALL FCN(N,X+.2*H,Y1,K2)
DO 23 1=1,M
Yl(I)=Y(I)+H*((3./40.)*Kl(I)+(9./40.)*K2(I))
CALL rCM(N,X*.3*H.Y1.K3)
DO 24 1=1,N.
24 Yl(I)=Y(I)+H#((44./45.)*К1(1)-(56.415.)*К2(1)+(32./9.)»КЗ(1)) CALL FCN(N,X*.e«H,Yl.K4)«
DO 25 1=1,N
25 Y1(I)=Y(I)+H»((19372./6561.)«K1(I)-(25360./2187.)#K2(I)
+(64448./6561.)*K3(I)-(212./729.)»K4(I))
CALL FCN(N,X*(B./9.)#H,Y1,K6) DO 26 1=1,N'
26 Yl(I)=Y(I)+H#((9017./3168. )*KKD-(355./33. )*K2(I)
*(4в732./б247.)#I3(I)*(49./176.)*K4(I)-(5103./18656.)*K5(I))
XPH=X+H
CALL FCM(N,XPB.Y1,K6) DO 27 1=1,N
27 Yl(I)=Y(I)+B*((35./384.)*K1(I)+(500./1113.)*K3(I)
*(125./192.)#14(I)-(2187./6784.)*15(1) + (11./84.)*16( I))
DISC-.TRUE.
CALL FCN(M,XPH,Y1»K7) DO 28 1=1,M
28 K2(I)s((71»/67600.)#K1(I )-(71./16695.)#K3(I) + (71./1920.)*K4(I) &-(17253./339200.)#K5(I)*(22./526.)*K6(I)-(1./40.)»K7(I))*H
NFCN=NPCN+6
C — ERROR BSTINATION,
BRR=0.
DO 41 1=1,M
DBNOM»AMAX1(1.B-5,ABS(Y1(I)),ABS(Y(I)),2.*UROUND/BPS)
41 BRR-KRR*(K2(I)/BBNON)*»2 BBR=SQBT(BRB/FLOAT(N)) C — COMPUTATIOW OF HNBW C ― WB BBQUIRB .2<-HN8W/H<-10.
FAC-ANAX1(.1,ANIN1(5.,(EBB/EPS)*»(l./5.)/.9)) HNBW^H/FAC
IF(ERR.LB.EPS)TBBM C — STBP IS ACCEPTBD
NACCFT-NACCPT*1
CALL STORR(X,XPH,Y,%K1,K3,K4,K5,K6) DO 44 1=1.N I1(I)=K7(I)
44 Y(I)rYl(I) C — BBCONPUTE KI IN THB CASE ОГ DISCONTINUOUS INITIAL PHASE IF(.NOT.DISC) CALL FCN(N,XPB,Y»KI)
X = XPH ir(ABS(BNBW);QT.HMAX)HNBW-HMAX ir(BEJKCT)HNEW-ANINl(ABS(HNEW),ABS(B)) BBJBCT^.FALSK.
C STBP IS RBJBCT8D
RKJECT^.TRUE.
IF(NACCPT.GB.l)NBBJCTsNBBJCT*1 END IF H^HNKW OOTO 1 C ——FAIL BXIT
79 WBITE(6,979)X
979 FORNAT(* EXtT OP RBTABD AT X=»,B11.4) RETURN
END
C
SUBBOUTINB 8TORB(X,XPH,Y,N,FG1,М3,FG4,PG6,ГО6) PABANETBB (NNs4,MXST-800)
DINBNSION Y(N),Fal(M),F63(N),FG4(N),r<35(N)lF66(N) CONNON/COEF/XSTOa(NXST),YSTOR(NN,NXST),
C1(NN^NXST)>C2(MN,MXST),C3(NN>MXST),C4(NN,NXST)
C — COEFFICIENTS FOR GLOBAL SOLUTION ARK STORED IN COBF COMMON/POSITS/IFIRST,LAST,XO,XEAST.IPOS.DISC LAST=LAST*1
IFIBSTxMAIOCl,LAST-MXST>1) IADR=NOD(LAST-1,NXST)*1 XLAST-XPH XSTOR(IADR)：X DO 2 1=1,NN YSTOB(I,iADR)=Y(I) C1(I,IADR)=FG1(I)
С2(I,IADR)=-(1337./480.)»FG1(1)+(105400./27825.)»FG3(I)- &(135./80.)»FG4(1)-(54675./212000.)»FG5(I)*(66./70.)*FG6(I)
C3(I,IADR)=(1039./360.)»FG1(I)-(468200./83475.)»FG3(I)*
&(9./2. )»FG4( 1)*(400950./318000. )»FG5( I)-(638./210. )”G6(I)
C4(I,IADR)^>(1163./1162.)»rGl(I)4(37900./16695.)»FG3(I)-
&(415./192.)»FG4(I)-(674325./508800.)»FG5(I)*(374./168.)»FG6(I)
2 CONTINUE RBTURM END
C RKAL FUNCTION YLAG(I,X>PHI) PARAMETER (NN=4,NXST=800) LOGICAL DISC CONMOM/COBF/XSTORCNXST),YSTOR(NN.MXST), I. C1(#N>NXST)>C2(NN,MXST),C3(NN,MXST).СДСМИ.МХЗТ)
COMMOJf/POSITS/IFIRST,LAST,xo,XLAST,IPOS,DISC CONMON/UROUND/UROUND C INITIAL PHASE 1Г (DISC) THEN
IF(ABS(X-XO).LB.(3.»UBOUND»ABS(X)))DISC=.FALSE. IF(X.LB.XO)THBN
YLAG=PHI(I,X) RETURN RND IF BND IF C — COMPUTE THE POSITION OF X IF (X.tT.XSTOB(IFIBST)) THBM WRITE (6,«) * NBNORY FULL, NXST = »,MXST STOP BND IF IPOS<MAXO(IFIRST,NINO(LAST,IPOS))
1 IADR»NOD(IPOS>1,NXST)*1 IF (X.LT.XSTOR(IADR).AND.IPOS.GT.IFIRST) THEM IPOS=IPOS-1 GOTO 1
BND、1Г 2 IADRsMOD(IPOS(NXST)*1 IT (IPOS.LT.LAST) THKN IF (X.GT.XSTOB(IADB)) THEN IPOS^IPOS*! GOTO 2 BND IF BND IF C COMPUTB TBB DBSIBBD APPROXIMATION
IADRsMOD(IPOS-l(ИХ8Т)♦1 IF (IPOS.BQ.LAST) THEN HsXLAST-XSTOB(IADR)
BLSB
H»1STOR(NOD(IPOS(NXST)*1)-XSTOR(IADR) BND 1Г
S=(X-XSTOR(IADR))/H
YLAQ-YSTOR(I,IPOS)+H»S»(C1(I,IPOS)+St(C2(I, IPOS) &7*(C3( I, IP0S)+S#C4(I,IP0S))))
BBTURN BND
Литература
Абель (N. Н. Abel)
(1826): Untersuchungen fiber die Relhe：
w(m—1) . m(m—l)(m —2) «
[+下方 + -П—炉+ГГз炉 + Q 亂%
Crelle J. f. d. r. u. angew. Math, (in zwanglosen Heften), vol. ly p.311—339. Я: Ueber einige bestimmte Integral* Crelle L L d・ r. u. angev. Math., ,p. 2230.
Абрамовип, Стиган (M. Abramowitz and I・ A. Stegun)
(1964): Handbook of mathematical functions, Dover, 1000 pages. (Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с фсфмулами, графиками и математическими таблнцамн. под ред. М・ А・ Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.]
Адамс (J. С. Adams)
(1883): см. Башфорт (1883).
Айне (Е. L. Ince)
П944): Ordinary differential equations, Dover Publications, New York, 558 pp・ вИмеегся перевод предыдущего издания: Айне Э. Л. Обыкновевиые диффй> ренцнальные уравнения. — Харьков: Гостехиэдат Украины, 1939. — 717 с.] Алексеев В. М. (1961): Об одной оценке возмущеви* решений обыкнавеввьа д^ференциальню уравнений. — Вествкж МГУ, рия I (мат&сатнка, механика), № 2, с・ 28—36. Альбрехт (J. Albrecht)
(1955): Beitrage zum Runge-Kutta-Verfahren, ZAMM. vol. 35v p. 100—110. Аревсторф (R. F. Arenstorf)
(1963): Periodic solutions of the restricted three body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions, Amer.』・ 2^ath.v vol. LXXXV, p. 27—35.
Арцела (C. AiGelA)
(1895): Sulk funzioni di linee, Memorie dell. R. Accad. delle Sc. di Bologna, oe serie, vol. V, p. 225—244, see also: vol. V, p. 257"—270, vol. VI, (1 埶). p. 131—140.
Барридж (К. Burrage)
(1985): Order and stability properties of explicit multiuvalue methods. Appl. Numer. Anal., vol. 1; pp. 363—379.
Варрндж, Бутчер (К. Burrage and J. C. Butcher)
(1980: Non-linear stability of a general class of differential equation methods, BIT, vol. 20, pp. 185-203.
Барридж, Мосс (К. Burrage and P. Moss)
(1980): Simplifying assumptions for the order of partitioned multivalue methods. BIT, vol. 20, pp. 452—465.
Баттин (R. H. Battin)
(1976): Resolution of Runge-Kutta-Nystr6m condition equations through eightn order, AIAA J” vol. 14, pp・ 161”1021・
Бауэр, Рутисхаузер, Штифель (F. L. Bauer, Н. Rutishauser and Е. Stiefel) (1963): New aspects in numerical quadrature. Proc, of Symposia in Appl. Math. vol. 15, p. 199—218, Am. Math. Soc.
Бахвалов H. С. Численные методы.—M.: Наука, 1973 и 1975.
Башфорт (F. Bashforth)
(1883): An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluid. With an explanation of the method of integration employed in constructing the tables which give the theoretical form of such dreys, by J. C. Adams, Cambridge Univ. Press.
Беентьес, Герритсен (P. A. Beentjes and W. J. Gerritsen)
(1976): Higher order Runge-Kutta methods for the numerical solution of second order differential equations without first derivatives, Report NW 34/76, Math. Centrum, Amsterdam.
Беллен (A. Bellen)
(1984): One-step collocation for delay differential equations, L Comput. Appl. Math. Vol. 10, p. 27J283.
Беллман, Кук (R・ Bellman and K. L. Cooke)
(1963): Difierential-Difference equations, Academic Press, 482 p. [Имеется nq)eBOA： Беллман P., Кук K・ Л. Дифференциальноразностные уравнения. —M.: M1967.]
Бендикссон (I. Bendixson)
(1893): Sur le calcul des int^grales d*un syst^me d^quations diff6rentielles par des approximations successives, Stock. Akad. Forh., Vol. 51, p. 599「612・ (1901): Sur les courbes d6finies par des Equations diff匠entielles, Acta Mathe- matica, vol. 24, p. 1—88.
Венке, Зоммер (H. Behnke and F. Sommer)
(1962): Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen.
Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg.
Бернулли Даниил (D. Bernoulli)
(1760): Essai d'une nouvelle analyse de la mortalitb саизёе par la petite v&ole, et des avantages de Г inoculation pour la pr^venir, Hist. еГМёт. de Г Acad. Roy. Sciences, Paris, 1760, p. 1—45; Werke Band 2, p. 235—267.
Бернулли Иоганн (Joh. Bernoulli)
(1696): Problema novum Mathematicis propositorum. Acta Erud. Lips MDCXCVI, p. 269, Opera Omnia vol. 1, p. 161 and 165, Lausannae & Ge- nevae 1742.
(1697): De Conoidibus et Sphaeroidibus quaedam. Solutio analytics Acqua- tionis in Actis A. 1695, pag. 553 propositae, Acta Erud. Lips.v MDCXCVII, p. 113—118.
(1697b): Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, pfoposit, de invenienda Linea Brachystochrona, Acta Erud. Lips. MDCaCVII, p. 206, Орегд Omnia vol. 1, p. 187—193.
Б^)нулли Якоб (Jac. Bernoulli)
(1695): Explicationes, Annotationes & Additiones ad eat quae in Actis sup* anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata* &partim controversa legundur: ubi de Linea mediarum directionum, aliisqui novis, Acta Erudit. Lipsiae, Anno MDCXCV, p. 537—553. •
(1697): Solutio Problematum Fraternorum, Peculiari Programmate Cal. Jan* 1697 Groningae, nec non Actorum Lips, mense Jun. & Dec. 1696, & Febr* 1697 propositorum: una cum Propositione reciproca aliorum. Acta Erud.
Lips. MDCXCVII; p. 211—217.；
Бибербах (L. Bieberbach)沔
(1923): Theorie der Differentialgleichungen, Grundlehren Bd. VI, Springer* Verlag.$
(1951): On the remainder of the Runge-Kutta formula in the theory of ordl* nary differential aquations, Zeitschr. angew. Math. Phys. (ZAMP), vol. 2f p. 233—248.
Биркгофф, Варга (G. Birkhoff and R. S. Varga)
(196o): Discretization errors for well-set Cauchy problems I, journal of Math, and Physics, vol. XLIV, p. 1—23.
Бирн, Ламберт (G. D・ Byrne and R. -J. Lambert)
(1966): Pseudo-Runge-Kutta methods involwing two points, 1. Assoc. Comput. Mach., vol. 13, p. 114—123.
Бирн, Хайцдмарш (G. D. Byrne and A. C. Hindmarsh)
H975): A polyalgorithm for the numerical solution of ordinary differential equations, ACM Trans, on Math. Software, vol. g No. 1)p・ 71—96.
де Боор, Шварц (С. de Boor apd В. Swartz)
(1973): Collocation at Gaussian points, SIAM L Numer. Anal. vol. 10, p・ 582—
Булирш, Штёр (R. Bulirsch and J. Stoer)
(1964): Fehlerabschatzungen und Extrapolation mit rationalen Funktionen bei Verfahren vom Richardson-Typus, Num. Math. Vol. 6, p. 413—427.
(1966): Numerical treatment of ordinary differential equations by extrapolation methods, Num. Math. vol. 8, p・ 1—13.
Бутчер (J. C. Butcher)
(1963): Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes, L Austral. Math. Soc., vol. 3, p. 185—201.
(1963a): On the integration process of A・ Huta, I. Austral. Math. Soc. vol. 3, p. 202—206.
(1964a); Implicit Runge-Kutta Processes. Math. Сотриt. vol. 18, p・ 50—64. (1964b): On Runge-Kutta processes of high order, L Austral. Math. Soc. vol. IV, Part 2, p. 179—194.
(1964c): Int审ation processes based on Radau quadrature formulas, Math. Coinput., Vol. 18, p. 233—244.
(1965a): A modifed multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations. J. ACM, vol. 12, p. 124—135.
(1965b): On the attainable order of Runge-Kutta methods, Math, of Comp, vol. 19, p. 408—417.
(1966): On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations, Math. Comput., vol. 20, p. 1—10.
(1967): A multister generalization of Runge-Kutta methods with four or five stages. J. ACM, vol. 14, p. 84—99.
(1969): The effective order of Runge-Kutta methods, in: Conference on the numerical solution of differential equations, Lecture notes in Math., Vol. 109, p・ 133—139.
(1972): An algebraic theory of integration methods, Math. Compute Vol. 26,
р. 79—106.
(1975): An order bound for Runge-Kutta methods, SIAM L Num. Anal. vol. 12, p. 304—315.
(1981): A generalization of singly-implicit methods, BIT, vol. 21, p. 175—189. (1984): An application of the Runge-Kutta space, BIT, vol. 24, p. 425—440・ ,985a): General linear method: a survey, Appl. Num. Math., vol. 1, p. 273—
(1985b): The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge^Kutta methods, BIT, vol. 25, p・ 521—540・
Вайсингер (J. Weissinger)
(1950): Eine verscharfte Fehlerabschatzung zum Extrapolationsverfahren von Adams, ZAMM, vol. 30, p. 356—363.
Ван-дер-Поль (В. Van der Pol)
(1926): On «Relaxation Oscillations», Phil. Mag., vol. 2, p. 978992; repro
. duced in: B. van der Pol, Selected Scientific Papers, vol. 1, North-Holland Publ. Comp. Amsterdam (I960).
Ваннер (G・ Wanner)
(1969): Integration gewohnlicher Differentialgleichungen. Lie Reihen, Runge- Ku tta-Methoden, BI Mannheim Htb. 831/831a, 182 p.
(1973): Runge-Kutta methods with expansions in even powers of ht Computing vol. 11, p. 81—85.
(1983): On Shi's counter example for the 16th Hilbert problem, Internal Rep. Sect, de Math., Univ. Geneve. 1982; in german in: Jahrbuch Ueberblicke Mathe- matik 1983, ed. Chatterji, Fenyo, Kulisch, Laugwitz, Liedl, BI Mannheim, p. 9*—24.
Вейерштрасс (К. Weierstrass)
(1858): Ueber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem, nebst Anwendung desselben auf die Theorie der kleinep Schwingungen, Monatsber. der Konigl. Akad. der Wiss., 4. Marz 1858, Werke Bd. 1, p. 233— 246・
Вернер (J. H. Verner)
(1978): Explicit Runge-Kutta methods with estimates of the local truncation error, SIAM J. Numer. Anal., vol. 15, p. 772—790.
Верхюльст (P. F. Verhulst)
(1845): Recherches mathfematiques sur la loi d*accroissement de la population, Nuov. Mem. Acad. Roy. Bruxelles, vol. 18, p. 3—38.
Вольтерра (V. Volterra)
(1934): Remarques sur la Note de M. Regnier et M-lle Lambin. C. R. Acad. Sc.
t. CXCIX, p. 1682. See also: V. Volterra — U. d*Ancona, Les associations biologiques au point de vue math6matique, Paris 1936.
Вронский (H. Wronski)
(1810): Premier princlpe des methodes algorithmiques comme base de la technique algorithmiaue, publication refused by the Acad, de Paris (for more details see: S. Dickstein, Int. Math. Congress 1904, p. 517).
Гаусс (C. F. Gauss)
(1812): Disquisitiones generales circa seriem infinitam
aQ+l)0(P + l)
I工十［,・y(y+i) * +
上 a(a+l)(a + 2)P(B+l)(0 + 2)
十 1•2・3・Y(Y+1)(Y + 2)"+叫
Werke vol. 3, p. 123—162.
Гаучи (W. Gautschi)
(1962): On inverses of Vandermonde and confluent Vandennonde matrices, Numer. Math. vol. 4, p. 117—123.
Гиббонс (A. Gibbons)
S
960): А ргоотат for the automatic integration of differential equations using e method of Taylor series, Computer J. vol. 3, p. 108—111.
Гилл Q・ Gill)
(1951): A process for the step-by-stq)integration of differential equations in an automatic digital computing madiine. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 47, p. 95—108.
Гир (C. W. Gear)
(1965): Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations, SIAM J. Numer. Anal. ser. B, Vol.幺 p. 69—86.
(1971): Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
Prentice-Hall, 253 p.*
Гир» Ватанабе (C. W. Gear and D. S. Watanabe)
(1974): Stability and convergence of variable order multistep methods, SIAM J. Num. Anal. 11, p. 1044—1058.
Гир, Ту (C. W. Gear and K・ W. Tu)"
(1974): The effects of variable mesh sizepn the stability of multistep methods, SIAM J・ Num. Anal. 11, p. 1025--1043.
Гобсон (Е. W. Hobson)
(1921): The theory of functions of a real variable, vol. 1, Cambridge, 670 p. Голдстайн (H. H. Goldstine)
(1980): A History of the Calculus of- Variations, Springer-Verlag, 410 p. Голуб, Уилкинсон (G. H. Golub and J. H. Wilkinson)
(1976): Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan canonical form, SIAM Review, vol. 18, p. 578—619.
Готтвальд (В. A. Gottwald)
(1985): Zur Modellierung zeitverzogerter biologischer Proresse, Informatik Fachberichte, vol. 109, p. 350—354, Springer*Verlag.
Грёбнер (W. Grobner)
^60): Die Liereihen und ihre Anwendungen, D. Verl. d・ Wies. Berlin, 2nd ed.
Григориефф (R. D. GrigoriefH
(1977): Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen 2・ Teubner Studien- bucher, Stuttgart.
(1983): Stability of multistep*methods on variable grids, Numer. Math., 42, p. 359—377.
Гронуолл (T. H. Gronwall),.
(1919): Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. Math. Vol. 20, p. 292—296.
Грэгг (W. B. Gragg)
(1964): Repeated extrapolation to the limit in the numerical solution of ordinary differential equations, Thesis, Univ, of California; see also SIAM J. Numer. Anal. vol. 2, p. 384—403 (1965)
(1965): On extrapolation algorithms for ordinary initial value problems, SIAM J. Num. Anal. ser. B, vol. 2, p. 384—403.
Грэгг, Штеттер (W. В. Gragg and H. J. Stetter)
(1964): Generalized multistep predictor-corrector methods. L ACM, vol. 11;
p. 188—209.
Гурвиц (A. Hurwitz)
(1895): Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reelen Theilen besitzt. Math. Ann., vol. 46, p. 273"—284; Werke vol. 2, p. 533ff.•
Даламбер (J. Ie Rond d*Alembert)
(1748): Suite des recherches sur le calcul integral, quatrieme partie: Methodes pour integrer quelques Squations diff6rentielles, Hist. Acad. Berlin, Tom IV, p. 275-291.
Далквист (G. Dahlquist)
(1956): Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand., vol. 4, p. 33—53.
(1959): Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations. Trans, of the Royal Inst, of Techn., Stockholm, Sweden, Nr. 130, 87 p.
(1985): 33 years of numerical instability, part 1, BIT, vol. 25, p. 188—204. Далквист, Йелч (G. Dahlquist and R. Jeltsch)
)(1979): Generalized disks of contractivity for explicit and implicit Runge- Kutta methods. Report TRITA-NA-7906, NADA, Roy. Inst. Techn. Stockholm.
Деклу (J. Descloux)
(1963): A note on a paper by A. Nordsieck, Report No. 131, Dept, of Comp.
, Sci.,.Univ. of Illinois at Urbana-Champaign.
Джованнини, Beficc-Пармеджиани, Ульрих (В. Giovannini, L. Weiss-Parmeggiani and В. T. Ulrich)
(1978): Phase locking in coupled Josephson weak links, Helvet. Physica Acta, * vol. 61, p. 69-74.“
Дзеннаро (М. Zennaro)
(1986): Natural continuous extensions of Runge—Kutta methods. Math. Com- put. Vol. 46, p. 119—133.
Дойфлхард (P. Deuflhard)
(1980): Recent advances in multiple shooting techniques. In: Computational techniques for ordinary differential equations (Gladwell-Sayers, ed.)t Section 10v p. 217—272, Academic Press.
(1983): Order and stepsize control in extrapolation methods, Num. Math.
vol. 41, p. 399—422.
(1985): Recent progress in extrapolation methods for ordinary differential equations, SIAM Rev., vol. 27, p. 505—535.
Дойфлхард, Бадер (F. Deuflhard and G. Bader)
(1982): Multiple shooting techniques revisited. Preprint Nr. 163, Univ. Heidel
berg, Inst. Angew. Math., D-6900 Heidelberg 19 Summary published in:
P. Deufhard, E. Hairer, (1983) p. 7494.
Дойфлхард, Хайрер (P. Deuflhard and E. Hairer ed.)
(1983): Numerical treatment of inverse problems in differential and integral equations, Birkhauser, Boston, Basel, 357 p.
Донельсон, Хансен (J. Donelson and E. Hansen)
(1971): Cyclic composite multistep predictor-corrector methods, SIAM J. Nu- mer. Anal., vol. 8, p. 137157.
Дорман, Принс (J. R・ Dormand, and P. J. Prince)
(1978): New Runge-Kutta algorithms for numerical simulation in dynamical , astronomy, Celestial Mechanics, vol. 18, p. 223—232.
(1980): A family of embedded Runge*Kutta formulae, J. Comp. Appl. Math.
vol. 6t p. 19—26.
Драйвер (R. D. Driver)
(1977): Ordinary and delay differential equations. Applied Math. Sciences 20, Springer Verlag, 501 p・
Жордан (C. Jordan)
H870): Traits aes Substitutions et des Equations alg6briquest Paris, 667 p.
(1928): Sur uneformuled*interpolation, Atti Congresso Bologna, vol. 6, p. 157—
Зоммер (D. Sommer)
(196o): Numerische Anwendung impliziter Runge-Kutta-Formeln, ZAMM, vol. 45. Sonderheft, p. T77—T79.
Зонневельд (J. A. Zonneveld)
(1963): Automatic integration of ordinary differential equations, Report R743, Mathematisch Centrum, Postbus 4079, 1009AB Amsterdam. Appeared in book form 1964.
Ингланд (R・ England)
(1969): Error estimates for Runge-Kutta typesolutions to systems of ord， nary differential equations: The Computer J. vol. 12t p. 16o«-170.
Йосс, Джозеф (G. looss and D. D. Joseph)
(1980): Elementary stability and bifurcation theory, Springer-Verlag, 286 p； (see chapter VII).
[Имеется перевод: Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивое!# и бифуркаций. —М.: Мир, 1983.]
Какутани, Маркус (S. Kakutani and L. Marcus)
(1958): On the non-linear difference-differential equation 旷(f) = [Л — В X X у (/ — т)] у (0, in: Contributions to the theory of nonlinear oscillation^ Ed. by S. Lefsdietz, Princeton, vol. IV, p. 1—18.
Камке (E. Kamke)
(1930): Ueber die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differential* gleichungen II,Sitz.Ber. Heidelberg Akad. Wiss. Math. Naturw. KL, 17. AA handl.t see also Math. Zeitschr., vol. 32, p. 101—107.
(1942): Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losungen, Becker & Erler, Leipzig, 642 p.
(Имеется перевод: Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —М.: ИЛ. 1951.亠 828 с., а также перевод 6-го немецкого издания (1959): изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1961; изд. 3-е, 4-е, 5-е.— М.: Наука, 1965, 1971, 1976.1
Каннингэм (W. J. Cunningham)
(1954): A nonlinear differential-difference equation of growth, Proc. Math.
Acad. Sci., USA, vol. 40, p. 708"—713.，
Кастлюнгер, Ваннер (К. Н. Kastlunger and G. Wanner)
(1972): Runge-Kutta processes with multiple nodes, Computing vol. 9, p. 9—24 (1972b): On Turan type implicit Runge-Kutta methods, Computing vol. 9, p • 317—325.
Кауэлл, Кроммелин (P. H. Cowell and A. C. D. Crommelin)
(1910): Investigation of the motion of Halley's comet from 1759 to 1910.
Appendix to Greenwich Observations for 1909, Edinburgh, p・ 1―84・
Кейли (A. Cayley)
(1858): A memoir on the theory of matrices, Phil. Trans, of Royal Soc. of London, vol. CXLVIII, p・ 17-—37, Mathematical Papers vol. 2, Nr. 152, p. 475・
Келлер (H. B. Keller)••
(196o): Numerical methods for two-point boundary*value problems, Blaisdell Publ. Comp., 184 p. (see section 2.4).
Кермак, Макендрик (W. О. Kermack and A. G. McKendrick)
(192刀：Contributions to the mathematical theory of epidemics (Part 1), Proc. Roy. Soc., A., vol. 115, p. 700—721.
Кертис (A. R. Curtis)
(1970): An eighth order Runge-Kutta process with eleven function evaluations per step, Numer. Math. Vol. 16, p. 268—277.
(1975): High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses, and limitations, J. Inst. Maths. Applies, vol. 16, p. 3555.
Кертис, Хиршфельдер (C. F. Curtiss and J. O. Hirschfelder)
(1952): Integration of stiff equations. Proc, of the National Academy of Sciences of U. S., vol. 38, p. 235—243.
Кинг (R. King)
(1966): Runge-Kutta methods with constrained minimum error bounds, Math. Comput., vol. 20, p. 386一391.
Клеро (A. C. Clairaut)
H734): Solution de plusieurs probl^mes ой il s'agit de trouver des courbes dont la propri6ts consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprim^e par une Equation donn6e. Memoires de Math, et de Phys, de Г Acad. Roy ale des Sciences, Paris, Аппёе MDCCXXXIV, p. 196—215.
Кнапп, Ваннер (H. Knapp and G. Wanner)
(1969): LIESE II, A program for ordinary differential equations using Lieseries, MRC Report No. 1008, Math. Research Center, Univ. Wisconsin. Madison, Wise. 53706.
Ковалевский (G. Kowalewski)
(1908): см! Лейбниц (1693).
Когстрем, Руэ (В. Kaogstrom and A. Ruhe)
(1980): An algorithm for numerical computation of the Jordan normal form ofva complex matrix: ACM Trans. Math. Software, vol. 6, p. 398419 (Received May 1975, revised Aug. 1977, accepted May 1979).
Коллатц (L. Collatz)
O
: Numerische В ehandlung von Differentialgleichungen, Grundlehren
IX, Springer Verlag, 458 p., second edition 1955; third edition and english translation 1960.'
[Имеется перевод: Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.——М.: ИЛ, 1953.]
Коллег, Экмани (Р. Collet and J. Р. Eckmann)
(1980): Iterated maps on the interval as dynamical systems. Birkhftuser9 248 p・ Кори (S. A. Corey)
(1906): A method of approximation» Amer. Math. Monthly Vol. 15, p* 137—140. Коши (A. L. Cauchy)
(1824): R6sum6 des Lecons donn^es * 1'Ecole Royale Polytechnique. Suite du Calcul InfiniUsimal; published: Equations diffirentiel les ordinaires, ed・ Chr. Gilain, Johnson 1981.
0831): Sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul арре1ё calcul des limites, lu M Facad. de Turin le 11 oct. 1831; also: exerc. d'anal. et de physique math., 2, Paris 1841; Oeuvres ⑵,12.
(1839~»42): Several articles in Comptes Rendus de Г Acad, des Sciences de Paris. (Aug. 5. Nov. 21, 1839. June 29, Oct. 26, 1840, etc).
Крайер (C. W. Cryer)
(1971): A proof of the instability of backward-difference multistep methode tor the numerical integration of ordinary differential equations. Teeth Rq)・ No. 117. Comp. Sci. Dept.t Univ, of Wisconsin, p. 1 —52.
(1972): On the instability of high order backward-difference multistep methods, BIT, vol. 1Г 17-25.
Кридон, Миллер M. Creedcm and J. J. H. Miller)
(1975): The lity properties of q-step backward-difference schemes, BITV vol. 16, p. 244—249.
Kpox (F. T. Krogh)
0969): A variable step variable order multistep method for the numerical solution of ordinary differential equations. Information Processing 68, North- Holland, Amsterdam, p. 194—199.
(1973): Algorithms for changing the stq> size. SIAM L Num. Anal., 10, p. 949—965.
(1974): Changing step size in the integration of differential eauations using modified divideS differences. Proceedings of the Conference on the Num. Sol. of ODE, Lecture Notes in Math. No.362, Springer-Verlag, New York, p. 2271. Крузе (M. Crouzeix)
(1975): Sur Г approximation des Equations diff^entielles operationnelles li- n^aires par des m6thodes de Runge-Kutta, Th^se d4tat, Univ. Paris 6, 192 p. Крузе, Лисбона (M. Crouzeix and F. J. Lisbona)
(1984): The convergence of variable-stepsize, variable formula, multistep methods, SIAM J. Num. Anal. 21, p. 512—634.
Крылов H. М.» Боголюбов H. H. Введение в нелинейцую механику. — Киев:
Изд-во АН УССР, 1937.
Куммер (Е. Е. Kummer)
(1839): Note sur Tint^gration de l^uation d^y/M =产 у par des integrates d€finiee.Crelle J. f. d. r. u. angew. Math. vol. 19, p. 286—288.
Кунцманн (J. Kuntzmann)
(1959): I)eux formules optimales du typq de Runge-Kutta, Chiffres, vol. 2,
(1961): Neuere Entwickelungen der Methode von Runge-Kutta, ZAMM, vol. 41. p. 28—31.
Купер (G. J. Cooper)
(1978): The order of convergence of general linear methods for ordinary differential equations. SIAM J. Numer. Anal.t vol. 16, p. 643—661.
Купер, Вернер (G. J. Cooper and J. H. Verner)'
(1972): Some explicit Runge-Kutta methods Aof high order, SIAM J. Numer, Anal., vol. 9, p. 389一405.
Кутта (W. gtta)
(1901): Beitrag zur nAheru喳weh&i Integration totaler Differentialgleichun- gen, Zeftschr. fur Math. u. Phys., vol. 46, p・ 435—453.
Лагранж (J. L. de Lagrange)
(1759): Recherches sur la nature et la propagation du son, MiscelL Taurinen- sia t. I, Oeuvres t. 1, p. 39—148.
(1762): Solution de diff6rents problfines de Calcul Integral, MiscelL Tauri- nensa, t. Ill, Oeuvres t. lt p. 471―668.
(1774): Sur les Int6grales particulidres des Equations diff6rentiellesy Oeuvres, tom. 4, p. 5—108.
(1775): Recherche pur les Suites R^currentes, Nouveaux M6m. de L'Acad. royale des Sciences et Belles-Lettres, Berlin, Oeuvres vol. 4, p. 159宀'
(1788): M6canique analytique, Paris, Oeuvres t. 11, et 12
(Имеется перевод: Лагранж Ж. Аналитическая механика. — М.—Л.: Гос- техиздат, 1950, т. 1 и 2.]
(1792): M6moire sur Г expression du terme бёпега! des series r^currentes, lors- que ^equation gbnSratrice a des racines 6gMes・ Nouv. Мёш. de Г Acad, royale des Sciences de Berlin, Oeuvres t. 5, p. 627641.
(1797): Thtorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul 'diffCrentiel, d电哼6s de toute consideration d4nfiniment petits, d^vanouissants,
de limites et de fluxions, et rbduits * V analyse algebrique des quantity finies9 Paris, 1797, nouv. ed. 1813, Oeuvres Tome 9.
Лакс, Рихтмайер (P. D. Lax and R・ D： Richtmyer)
(1956): Survey of the stability of linear limite difference equations. Comm. Pure Appl. Math., vol. 9, p. 267—293.
Лаплас (P. S. Laplace)
(An XIII = 1805): Supplement au dixi^me livre du Traits de тёсап1дие celeste sur Taction capillaire, Paris chez Courcier, 65 + 78 p.
Лейбниц (G. W. Leibniz)
(1691): Methodus, qua innummerarum linearum construction ex data proprie- tate tangentium seu aequatio inter abscissam et ordinatam ex dato volore subtangentialls, exhibetur. Letter to Huygens, in: С. I. Gerhardt, Leibnizens math. Schriften, 1850, Band II, p. 116--121.
(1693): (Gothofredi Guilirlmi Leibnitzii): Suppiementum Geometriae Dimen- soriae seugeneralissima omnium tetra gonismorum effectio per motum: Si- militerque multiplex constructio linea ex data tangentium conditione, Acta Bruditorum; Lipsiae, p. 385—392; german translation: G. Kowalewski, Leibniz fiber die Analysis des Unendlichen, Ostwalds Klassiker, Nr. 162 (1908), p. 24——34.
Лефевер, Николис (R・ Lefever and G. Nicolls)
Лин;Лин;desdes)(Е. Lindelof)):Sur Г application des mbthode ^approximation successives a I'Stude ales r€elles des Equations diff^rencielles ordinaires, J. de Math., 4e s€ria 117—128.)(Е. Lindelof)):Sur Г application des mbthode ^approximation successives a I'Stude ales r€elles des Equations diff^rencielles ordinaires, J. de Math., 4e s€ria 117—128.(1971): Chemical Instabilities and sustained oscillations, J. theor. Biol.y vol. 30, p. 267—284.
Лин;
Лин;
des
des
)(Е. Lindelof)
):Sur Г application des mbthode ^approximation successives a I'Stude ales r€elles des Equations diff^rencielles ordinaires, J. de Math., 4e s€ria 117—128.
)(Е. Lindelof)
):Sur Г application des mbthode ^approximation successives a I'Stude ales r€elles des Equations diff^rencielles ordinaires, J. de Math., 4e s€ria 117—128.
Липшиц (R schitz)
(1876):la possibility d*int6grer completement un syst^me donnfe d'6qua・
tions diff6rentielles, Bulletin des Sciences Math, et Astr., Paris, vol. 10, p. 149—169.
Лиувилль (J. Liouville)
(1836): Sur le dGveloppement des fonctions ou parties de fonctions en series dont les divers termes sont assuj€tis 6 satisfaire 台 une meme Equation diffd rentielle du second ordre, contenant un param^tre variable, Journ. de Math・ pures et appl.t vol. 1, p. 253—265.
(1838): Sur la Th€orie de la variation des constantes arbitraires, Liouville J. de Math. vol. 3, p. 342—349.』
(1841): Remarques nouvelles sur r^quation de Riccati, J. des Math, pures et appl., vol. 6, p. 1—13.
16 Хайрер Э. И др.
Лобатто (R. Lobatto)
(1852): Lessen over Differential- en Integraal-Rekening, 2 voL, La Haye 1851— 1852.
Лоренц (E. N. Lorenz)
S
: On the prevalence of aperiodicity in simple systems, Global Analysis, 一 у 1978, by M. Grmela and J. E. Marsden, Lecture Notes in Mathematics, vol. 755, p. 53—75.
Лоткин (M. Lotkiu)
(1951): On the accuracy of Runge-Kutta methods, MTAC vol.瓦 p. 128— 132.
Льенар (A. M. LiSnard)
(1928): Etude des oscillations entretenues. Revue g6n6rale de rEleotriciW, tome XXIII, p. 901—912, et 946—954.
Ляпунов (A. M. Liapunov)
(1892): Probleme gSn&al de la stability du mouvement, russ. trad, en fran- cais 1907 (Annales de la Faculty des Sciences de Toulouse), reprinted 1947 Princeton Univ. Press, 474 p・
Ляпунов A. M.
(1892): Общая проблема устойчивости движения. — В кн«: Собрание сочинений, т. II, с・ 7—263. — М.—Л.: Изд-во АН СССР.
Марден (М. Marden)
(1966): Geometrv of polynomials, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2nd edition
Марсден, Мак-Кракен (J. E. Marsden and M. McCracken)
The Hopf bifurcation and its applications, Springer, New York, p. 408.
jtch перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.]
Марчук Г. И.
(1975): Простейшая математическая модель вирусного заболевания* 一 Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, препринт.
(1980),: Математические модели в иммунологии. — М•: Наука.
Мерсон (R. Н. Merson)
(1957): An operational method for the study of integration processes, Proc. Symp. Data Processing, Weapons Research Establishment, Salisbury, Australia, p. 110—1 to 110—25.
Мизес, фон (R. von Mises)
(1930): Zur numeriscien Integration von Differentialgleichungen, ZAMM, vol. 10, p. 81—92.
Милн (W. E. Milne)
(1926): Numerical integration of ordinary differential equation, Amer. Math.
Monthly, vol. 33, p. 455—460.
И
: Numerical solution of differential equations. Dover Publications, Few York, second edition. [Имеется перевод первого издания: Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1955.]
Митчелл, Крэгге (A. R・ Mitchell and J. W. Craggs)
(1953): Stability of difference relations in the solution of ordinary differential equations, Math. Tables Aids Сотриt., vol. 7, p. 127—129.
Молер, ван Лоан (C. Moler and C. Van Loan)
(1978): Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix: SIAM Review, Vol. 20, p. 801—836.
Мултон (F. R. Moulton)
(1926): New methods in exterior ballistics. Univ. Chicago Press
Myp (R. E. Moore)
(1966)： Interval Analysis, Prentice-Hall, Inc., 145 p.
(1979)： Methods and applications of interval analysis, SIAM studies in Appl.
Math., p・ 190.
Мюллер (М. Mflller)
К
: Oeber das Fundamentalltheorem in der Theorle der gewohnlichen entialgleichungen, Math. Zeitschr.y vol. 26, p. 619—645. (Кар. III). Мэй (R. M. May)
(1976): Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature, vol. 261, p. 459―467.
Невилл (E. H. Neville)
(1934): Iterative interpolation, Ind. Math. Soc. L Vol. 20,87—120.
Нёрсетт (S. P. Norsett)
(1974a)： One-step methods of Hennite tupe for numerical integration of stiff systems, BIT, vol, 14, p. 63—77.
И
: Semi explicit Runge-Kutta methods, Report No. 6/74, ISBN [-009-6, De©t. Math. Univ. Trondheim, Norway, 68+ 7Pp.
Нёрсетт, Ваннер (S. P. Norsett and G. Wanner)
(1979): The real-pole sandvich for rational approximations and oscillation equations, BTT voL 19, p・ 79—94.
Нордсик (A. Nordsieck)
П962): On numerical integration of ordinary differential equations, Math. Comp., vol. 16, p. 22—49.
Нумеров (В. Numerov (В. V. Noumerowi))
(1924): A method of extrapolation of perturbations. Monthly notices of the Royal Astronomical Society of WWdf' =，(x,，)Astron. Nachrichten, vol. 230.
p. 359-364.
Ньютон (I. Newton)
(1671): Methodus Fluxionum et Serienum Infinitarum, edita Londini 1736, Opuscula mathematica vol. 1. Traduit en francais par M. de Buffon, Paris MDCCXL. [Имеется перевод: Ньютон И. Математические работы. — М.—Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937, с. 25-—166; Метод флюксий и бесконечных рядов.]
(1687): Philosophiae naturalis principia mathematica, Imprimatur S. Pepys. Reg. Soc. Praeses, julii 5, 1686t Londini anno MDCLXXXVII. [Имеется перевод: Ис. Ньютон, Математические начала натуральной философии/Пере- вод с латинского с примечаниями и пояснениями А. Н. Крылова. — В кн.: Собрание трудов академика А・ Н・ Крылова, т. VII. — М.—Л.; Изд-во АН СССР, 1936.]
Нюстрём (Н. J. Nystrom)
0925): Ueber die numerische Integration von Differentialgleichungen, Acta ooc. Sci. Fenn., vol. 50, No. 13, p. 1—54,
Окамото, Хаяси (M. Okamoto and К. Hayashi)
(1984)： Frequency conversion mechanism in enzymatic feedback systems, J. Theor. Biol., vol. 108, p. 529—537.
Оливер (J. Oliver)
(1975): A curioxity of low-order explicit Runge-Kutta methods, Math. CompM vol. 29, p. 1032—1036.
Осборн CM. R. Osborne^
(1966): On Nordsieck's method for the numerical solution of ordinary differential equations, BTT, vol. 6, p. 51—57.
Парлетт (В. N. Parlett)
(1976)： A recurrence among the elements of functions of triangular matrices. Linear Algebra Appl., voL 14, p. 117—121.
Пеано (G. Peano)
(1888): Integration par series des Equations diffdrentielles lin^aires. Math. An- nalen, vol. 32, p. 450—456.и
(1890): Demonstration de rint^grablliU des Equations diff^rentielles ordinaires, Math. Annalen vol. 37, p. 182—228; see also the german translation and commentation: G. Mie, Math. Annalen vol. 43 (1893), p. 653—568.
(1913): Resto nelle formule di quadratura, espresso can un integrate definite Atti Della Reale Accad. Dei Lincei, Rendiconti, vol. 22, № 9, p. 562»569» Roma.
Перл, Рид (R・ Pearl and L. J. Reed)
(1922): A further note on the mathematical theory of population growth. Proceedings of the National Acad, of Sciences, vol. 8, No. 12* p. 365~-368. Перко (L. M. Perko)
(1984): Limit cycles of quadratic systems in the plane. Rocky Mountain J. of Math., vol. 14, p. 619—645.
Перрон (О. Perron)
(1915): Ein neuer Existenzbeweis fur die Integrals der Differentialgleichung 〃' =『(％, g), Math. Annalen, vol, 76. p. 471—-484.
(1918): zur Zeit in Felde): Ein neuer Existenzbeweis fflr die Integrale einen Systems gewohlicher Differentialgheichungen, Math. Annalen, vol. 78, p. 378.
(1929): Oeber Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Dif- ferentialgleichungssystemen, Math. Z.y vol. 29, p. 129—160 (see par. 3). Пикар (E. Picard)
(1890): Mfemoire sur la thWorie des Equations aux d6riv6es partielles et la methode des approximations successives, L de Math, pures et appl., 4e s&ie, vol. 6, p. 145—210.
(1891—1896): Traits d*Analyse, 3 vols, Paris.
Пиотровски (P. Piotrowsky)
(1969): Stability, consistency and convergence of variable 也-step methods for numerical integration of large systems of ordinary differential equations, Lecture Notes in Math. 109, Dundee 1969, p. 221—227.
Пригожин, Лефевер и др. (I. Prigogine, R. Lefever, A. Goldbeter, M. Hersch- kowitz)
(1969): Nature, vol. 223, p. 913.
Принс, Дорман (P. J. Prince and J. R. Dormand)
(1981): High order embedded Runge-Kutta formulae, L Comp. Appl. Math.» vol. 7, p. 67—75.
Прюфер (H. Prufer)
(1926): Neue Herleitung der Sturm-Liouvillschen Reihenentwicklung stetiger Funktionen. Math. Annalen vol. 95, p. 489—518.
Пуанкаре (H. Poincare)
(1881, 82, 85): Sur les courbes dbfinies par les Equations diff^rentielles, J・ de Math., 3e serie, t. 7, p. 375422, t. 8, p. 251—296, 4e sSrie, t. 1, p. 167— 244. [Имеется перевод: Пуанкаре А. О. кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — М.—Л.: Гостехиздат, 1947,]
(1893): Les methodes nouvelles de la m^canique c61este, Tome II, 480 p., Gauthier-Villars Paris. [Имеется перевод: Пуанкаре А. Избранные труды, т. I, II.— М.: Наука, 1971.1
Пуассон (S. D. Poisson)
(1835): Theorie mathdmatique de la chaleur, Paris, Buchelier, 532 p. Supplement 1837, p. 72.
Пузе (F. Pouzet)
(1963): Etude en vue de leur traitement numSHgue des Equations int电rales de type Volterra. Rev. Francais Traitement Information (Qiiffres), vol. 6, p. 79—112.
Радо (R. Radau)
(1880): Etude sur les formes ^approximation qui servent A calculer la valeur num^rique d'une integrale difinite, Lioville J. de Math^m. pures et appl・, Zeser., tome VI, p. 283—336. (Vofr p. 307).
Райт Э. (E. M. Wright)
(1945): On a sequence defined by a non-linear recurrence formula, J. of London Math. Soc” vol. 20, p. 68—73.
(1946): The non-linear difference-differential equation, Quart.』• of Math», vol. 17, p. 245—252.
(1955): A non-linear difference-differential equation, J・ f・ d. r・ u. angew. Math” vol. 194, p. 66—87.
Райт К. (К. Wright)
(1970): Spme relationsships between implicit Runge-Kutta collocation and Lancross т methods, and their stability properties, BTT vol. 10, p. 217—227. Ральстон (A. Ralston)、
(1962): Runge-Kutta methods with minimum error bounds, Math. CompuL vol. 16, p. 431437, corr. vol. 17, p・ 488.
Раус (H. J. Routh)
(1877)： A Treatise on the stabilistate of motions, being the essay
to which the Adams prize was1877* in the University of Cam
bridge, London, p. 108；
(1884): A Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, part A and IIV 4th edition (1 st ed. 1860, 6th ed. 1897, german translation with remarks of F. Klein 1898). [Имеется перевод: Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. — М.: Наука, 1983. — т. I9 Н.]
Рейд (W. Т. Red)，•
(1980): Sturmian theory for ordinary differential equations, Springer-Verlag, Appl. Math., Serie 31, p. 559.
Риккати (J. Riccati)
(1712): Soluzione generale del Problema inverse intorno A raggi oscilatori ... determinar la curva, a cui consengs una tafespressione, Giornale deTetterati d'ltalia, vol. 11, p. 204—220.
(1723)： Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradius, Acta Erud. Lips, anno MDCCXXIII, p. 502—510.
Риман (В. Riemann)
(1854): Ueber die Darstellbarheit einer Function dutch eine trigonometrische Reihe, von dem Verfasser behufs seiner Habilitation an der Universitat zu Gottingen der philosophischen Facultat eingereicht; collected works, p. 227— 265. [Имеется перевод: Риман Б. Сочинения. —М.—Л.: Гостехиздат, 1948, с. 225*-261: О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда.].
Ричардсон (L. F. Richardson)
(1910)： The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems including differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam, Phil. Trans., A, vol. 210, p. 307—357.
(Ю27)： The deferred approach to the limit, Phil. Trans., A, vol. 226, p. 299—
Ромберг (W. Romberg)
(1955): Vereinfachte numerische Integration, Nomke Vid. Selsk Forhdl, vol. 28, p. 30—36.
Роте (E. Rothe)
(1930): Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindi- mensionaler Randvertaufgaben, Math. Annalen, vol. 102; p. 650—670. Рунге (C. Runge)
(1895): Oeber die numerische Auflosung von Differentialgleichungen, Math. Ann., vol. 46, p. 167—178.
(1905): Oeber die numerische Auflosung totaler Differentialgleichungen, Gdttin- ger Nachr., p. 252—257.
Рунге, Кёниг (C. Runge and H. Konig)
(1924): Vorlesungen uber numerisches Rechnen, Grundlehren XI, Springer
Verlag, p. 372.田
Рутисхаузер (H. Rutishauser)
(19Й): Oeber die instabllitat von Methoden zur Integration gew6hnlicher D ifferentialgleichungen, ZAMP, vol. 3, p. 6574.
Руш, Абетс, Лалуа (N. Rouche, Р. Habets and М. Laloy)
(1977): Stability theory by Liapunov's direct method, Appl. Math. ScL, 22, Springer-Verlag, p. 396. |Имеется перевод: Руш H., Абетс П., Лалуа М.
Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости* — М.: Мир, 1980.J
Рэлей (Lord Rayleigh)
(1883): On maintained vibrations, Phil. Mag. Ser. 5f vol. 15, p・ 229—235. Рюэль, Такенс (D. Ruelle and F. Takens)
f^l): On the nature of turbulence, Commun» Math. Physics, vol. 20, p. 167—
Сарафян (D. Sarafyan)
H966): Error estimation for Runge-Kutta methods thlrough pseudo-iterative formulas; Techn. Rep. No. 14, Lousiana State Univ., New Orleans, May 1966. Симмонс (D. F. Simmons)
^1SJT2): Ditterential equations with applications and historical notes, McGrav- Скил (R： Bkeel)
(1976): Analysis of fixed-stepsize methods, SIAM 2. Numer. Anal” vol. 13y p. 664—685.
(1978): Equivalent forms of multister formulas, Report R-78»*940, Dept, of Comp. Sci., Univ, of Illinois at Urbana-Champaign
Спейкер (M. N. Spijker)
(1971): On the structure of error estimates for finite difference methods; Numer» Math., vol. 18, p. 73—100.
Стеффенсен (J. F. Steffensen)
(1956): On the restriced problem of three bodies, K. danske Vidensk. Selsk” Mat-fys. Medd. 30 Nr. 18.
Струд, Станку (A. H. Stroud and D. D. Stancu)
(1965): Quadrature formules with multiple Gaussian nodes, SIAM J. Numer.
Anal.» ser. B, vol. 2, p. 129—143.
Тодд (J. Todd)
(1950): Notes on modern numerical analysis, Iy Math. Tables Aids Compute vol* 4, p» 39—44.
Толлмин (W. Tollmien)
(1938): Oeber die Fehle abschfittung beim Adamsschen Verfabren zur Integration gewohnuher Differentialgleichungen, ZAMM, vol. 18, p. 83—90.
Томсои, Тэйт (W. Tomson (Lord Kelvin and P. G. Tait)
(1879): Treatise on natural philosophy (Vol. 1, Part I)，Cambridge; New edilion 1890, p. 508.
Уайльд (О. Wilde)
(1892): Lady Windermere's Fan, Comedy in four acts Имеется перевод: Оскар
Уайльд, Избранные произведения в двух томах. — М.: ГИХЛ# 1960. — т. 2, с. 7—68; Веер леди Уиндермир.]
Уилкинсон (J. Н. Wilkinson)
(1965): The elgebraic eigenvalue problem, Monographs on numerical analysis, Oxford, p. 662. [Имеется перевод: Уилкинсон Дж< Х・ Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.1
Уилкинсон, Райнш (J. Н. Willkinson and С. Reinsch)
Linear Algebra, Grundlehren Band 186, Springer-Verlag, p. 439.
{тся перевод: Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976.1
Уинтнер, Мурнаган (A. Wintner and F. D. Murnaghan)
(1931): A canonical form for real matrices tinder orthogonal transformations. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 17, p. 417—420.
Ульманн (W. Uhlmann)
П957): Fehlerabschutzungen bei Anfangswertaufgaben gewohnfleher Differen* tialgleichungssysteme I. Ordnung, ZAMM (Zeihchr. Angew. Math. Meeh.) vol. 37, p. 88—99.
Уолтер (W. Walter)
(1970): Differential and integral Inequallities, Springer-Verlag p・ 352, german edition 1964.
(1971): There is an elementary proof of Peano's theorem, Amer. Math. Monthly, vol. 78, p. 170—173.
Уоттс (H. A. Watts)
(1983): Starting stepsize for an ODE solver, L Comp. AppL Math. vol. 9, p. 177—191.,
Фейгенбаум (M. Feigenbaum)
(1978): Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. vol. 19, p. 25—52, vol. 21 (1979), p. 669—706.
Фельберг (E. Fehlberg)
(1958): Eine Methode zur Fehlerverkleinerung bein Runge-Kutta Verfahren, ZAMM, vol. 38, p. 421—426.
(1964): New high-order Runge-Kutta formulas with step size control for systems of first and second order differential equations, ZAMM, vol. 44, Son- derheft T17-T19.
(1968): Classical fifth-, sixth-, seventh-» and eighth order Runge-Kutta formulas with step size control; NASA Technical Report 287 (1968); extract published in Computing vol. 4., p. 93—106 (1969).
(1969): Low-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to somei heat transfer problems, NASA Technical Report 315 (1969), extract published in Computing vol. 6, p. 61—71 (1970).
(1972): Classical eighth-and lower-order Runge-Kutta-Nystrom formulas with stepsize control for special second-order differential equations, NASA Technical .Report R-381.
Филд, Нойес (J. R. Field and R. M. Noyes)
(1974): Oscillations in chemical systems. IV, Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction, J. Chem. Physics, vol. 60, p. 1877—1884.
Филиппи, Грэф (S. Filippi and J. Graf)
(1986): New Runge- Kutta-Nystrom formula-pairs of order 8 (7), 9 (8), 10 (9) and 11 (10) for differential equations of the form y* = f (x, y), J. Compute, and Applied Math., vol. 14, p. 361—370.
Фиторис (L. Vietoris)
(1953): Der Richtungsfehler einer durch das Adamssche Interpolationsverfahren gewonnenen Naherungslosung einer Gleichung- / = f (x, y). Oesterr. Akad. Wiss., Math.-naturw. KI., Abt. Па, vol. 162, p. 157—167 and p. 293—299.
Флетчер, Соренсен (R. Fletcher and D. C. Sorensen)
(1983): An algorithmic derivation of the Jordan canonical form, Amer. Math.
Monthly, vol. 90, No. 1, p. 12—16.
Форрингтон (С. V. D. Forrington).♦
(1961—1962): Extensions of the predictor-corrector method for the solution of systems of ordinary differential equations, Comput. J. 4, p. 80——84.
Франческини (V. Franceschini)
(1980): Feigenbaum sequence of bifurcations in the Lorenz model, J. Stat.
Phys., vol. 22, p. 397—406.
Фрейзер, Джонс, Скан (R. A. Franzer, W. P. Jones and S. W. Skan)
(1937): Approximations to functions and to the solutions of differential equations, Reports and Memoranda Nr. 1799 (2913): Aeronautical Research Committee, p. 33.
Фрике (A. Fricke)
(1949): Oeber die Fehlerabschfltzung des Adamsschen Verfahrens zur Integration gewohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, ZAMM, vol. 29, p. 165--178.
Фроммер (M. Frommer)
И
: Oeber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener ^und . Iger Integralkurven) Inder U mgebung rational er Unbestimmtheitsstellen,
Math. Ann., vol. 109, p. 395—424.
Фукс (L. Fuchs)
(1866): Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten, Crelle J. f. d. r. u. angew. Math., vol. 66.» p. 121—160. (prepublished in *Programm der stadtischen Gewerbeschule zu Berlin, Ostern 1865»)
Функ (P. Funk)
(1962): Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik, Sprin- ger-Verlag, Grundlehren Bd. 94, 676 p.
Фурье (J. B. J. Fourier)
(1807): Sur la propagation de la chaleur, unpublished manuscript; published： La theorie analytique de la chaleur, Paris 1822.
Хайндмарш (A. C. Hindmarsh)
(1972): GEAR: ordinary differential equation system solver UCID-30001, Rev. 2, LLL, Livermore, Calif.
(1980): LSODE and LSODI, two new initial value ordinary differential equation solvers, ACM Signum Newsletter 15, 4・
Хайрер (E. Haired
(1977): Methodes de Nystrom pour liquation diff6rentielle ，=(/(%, g), Numer. Math., vol. 27, p. 283—300.
(1978): A Runge-Kutta method of order 10, J. Inst. Maths. Applies, vol. 21, p. 47—59.
(1981): Order conditions for numerical methods for partitioned ordinary differential equations, Numer. Math., vol. 36, p. 431—445.
(1982): A one—step method of order 10 for =『(％, g), IMA J・ Num. Anal” vol. 2, p. 83—94.
Xa加ер, Ваннер (H. Hairer and G. Wanner)
(1973): Multistep-multistage-multidervative methods for ordinary differential equations, Computing, Vol. 11, p. 287—303.
(1974): On the Butcher group and General multi-value methods, Computing
Vol. 13, p. 1—15・
(1976): A theory for Nystrom methods, Numer. Math. vol. 25, p. 383400. (1983): On the instability of the BDF formulas, SIAM J. Numer. Anal., vol. 20, No. 6, p. 1206—1209.
Хайрер, Любих (E. Hairer and Ch. Lubich)
(1984): Asymptotic expansions of the global error of fixed stepsize methods,
Numer. Math., vol. 4o,345—360・
Халл (T. H. Hull)
(1967): A search for optimum methods for the numerical integration of ordinary differential equations, SIAM Rev., vol. 9.» p. 647—654.
Халл, Джонстон (T. H. Hull and R. L. Johnston)
(1964): Optimum Runge-Kutta methods, Math. Comput., vol. 18, p. 306—310. Халл, Энрайт и др. (Т, Е. Hull, W. Н. Enright, В. М. Fellen and А. Е. Sedgwick)
(1972): Computing numerical methods fon ordinary differential equations, SIAM, J. Numer. Anal., vol. 9, p. 603—637.
Хаммер, Холлингсуорт (P. C. Hammer and J. W. Hollingsworth)
(1955): Trapezoidal methods of approximating solutions of differential equalions, MTAC-vol. 9, p. 92—96.
Хан В. (W. Hahn)
(1967): Stability of motion, Springer, Verlag, p. 446.
Хан Г. (H・ Hahn)
(1921): Theorie der reellen Funktionen, Springer-Verlag, Berlin, p. 600.
X ay вен, ван дер (P. J. van der Houwen)
(1977): Construction of integration formulas for initial value problems, North- Holland Amsterdam, p. 269.
Хебзаккер (Н. М・ Hebsacker)
(1982): Conditions for the coefficients of Runge-Kutta method for systems
of n-th order differential equations,. J. Сотриt. Appl. Math., vol. 8, p. 3—14. Хейес (N. D. Hayes)
(1950): Roots of the transzendental equation associated with a certain difference differential equation, J. of London Math. Soc., vol. 25, p. 226—232, Хенричи (P. Henrici),
Й
2): Discrete variable methods in ordinary differential equations, John 》& Sons, Inc., New York-London-Sydney.
(1974): Applied and computational complex analysis, Volume I, John Wiley & Sons, New York, p. 682.
Хирш, Смейл (M. W. Hirsch and S. Smale)
(1974): Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Acad.
Press, p. 358.
Хобсон (E. W. Hobson)
(1921): The theory of functions of a real variable, vol. I, Cambridge, 670 pp・ Хойн (K. Heun)
(1900): Neue Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichun-
gen einer unabhangigen Verunderlichen,' Zeitschr. fur Math. u. Phys., vol. 45, 23—38.
G/t Hooft)
>74): Magnetic monopoles in unified gauge theories, Nucl. Phys. vol. B79,
p. 276—284.
Хопф (В. Hopf)
(1942): Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren L6sun- geines Differenti alsystems, В er. math, physik. KL. Akad. a. Wiss. Leipzig, Bd. XCIV, p. 3—22・
Хорн (M・ K・ Horn)
(1983): Fourth and fifth-order scaled Runge-Kutta algorithms for treating dence output, SIAM J. Numer. Anal. vol.无,p. 558—568.
Хулм (В L. Hulme)
(1972): One-step piecewise polynomial Galerkin methods for initial value problems, Math, of Comput, vol. 26, p. 415—426.
Хундсдорфер, Спейкер (W. H. Hundsdorfer and M. N. Spijker)
(1981): A note on В-stability of Runge-Kutta methods, Num. Math. Vol. 36# p. 319-331.
Цурвиоль (R. Zurmiihl)
(1948): Runge-Kutta Verfahren zur numerischen Integration von Differen- tialgleichungen n-ter Ordnung, ZAMM, vol. 28, p. 173—182.
(1952): Runge-Kutta Verfahren unter Verwendung hoherer Ableitungen, Z.angew.
Math. Meeh., vol. 32, p. 153—154.
Ческино (F. Ceschino)
(1961): Modification de la longueur du pas dans Г integration numferique par les methodes A pas lies, Chiffres 2, p. 101—106.
(1962): Evaluation de Геггеиг par pas dans les problemes diff^rentiels, Chiffres
vol. 5, p. 223—229.J
Ческино, Кунцман (F. Ceschino and J. Kuntzmann)
(1963): Problemes differentiels de conditions initials (methodes numferiques), Dunod Paris, p. 372.
(1963): Problemes differentiels de cond出ons initiales, Dunod Paris; english translation: Numerical solutions of initial value problems, Prentice Hall, 1966.
Шампабн (L. F. Shampine)
(1979): Storage reduction for Runge-Kutta codes, ACM Trans. Math» Software, Vol. 5, p. 245—250.
Шампайн, Бака (L« F. Shampine and L. S. Baca)
(1984): Fixed versus variable order Runge-Kutta, Rept. SAND84-1410, Sandia Nafl Labs” Albuquerque, New Mexico, p, 57. see also ACM Trans. Math. Softw.» vol. 12. pp. 1—23, 1986.
Шампайн, Гордон (L. F. Shampine and M. K. Gordon)
(1975): Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial
Value Problem, Freeman and Company, San Francisco, p. 318.
Шампайн, Уоттс (L. F. Shampine and H. A. Watts)
(1979): The art of writting a Runge-Kutta code, IIV Appl. Math. Compute vol., 5, p. 93—121.
Шампайн, Уоттс, Давенпорт (L. F. Shampine, H. A. Watts andS. M. Davenport) (1976): Solving nonstiff ordinary differential equations — The state oi the art, SIAM Rev., vol. 18, p. 376410.
Шанкс (H. B. Shanks)
(1966): Solutions of Differential equations by evaluations of functions,Math.
of Comp., vol. 20, p. 21—38.
Шеффер (L. Scheffer)
(1884): Zur Theorie der stetigen Funktionen einer reellen Veranderlichen, Acta Mathematica, vol. 5, p. 183—194.
Ши Сонлин (Shi Songling)
(1980): A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quad。' ratic systems, Sci Sinica, vol. 23, p. 153«-158.
Штёр, Булирш (J. Stoer and R. Bulirsch)
(1973): Einfuhrung in die numerische Mathematik, Springer Verlag, 1 st ed.
1973, English translation 1980 (see section 7.3.5.).
(1980): Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, 609 p” german edition 1973.
Штёрмер (C. Stormer (C. Stoermer)
(1907): Sur les trajectoires des corpuscules ilectrisfes. Arch. sci. phys. nat,, Geneve, vol. 24, p. 5—18, 113—156, 221—247.
(1921): Methodes d*integration numSrique des Equations differntielles ordi- naires. C. R. congr. intern, math., Strasbourg, p. 243257.
Штеттер (H. J. Stetter)
(1970): Symmetric two-step algorithms for ordinary differential equations, Computing vol. 5, p. 267—280.
(1973): Analysis of discretization methods for ordinary differential equatibns, Springer-Verlag, Berlin—-Heidelberg—New York. [Имеется перевод: Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир., 1978. — 451 с.]
Штурм (Ch. Sturm)
(1829): Bulletin des Sciences de Fdrussac, tome XI, p. 419, see also: Algdbre de Choquet et Mayer (1832).
(1836): Sur les Equations diff^rentielles lin6ares du second ordre, Journal de Math., pures et appl. (Liouville), voL 1, p> 106—186. (see also p. 253, p. 269, p. 373 of this volume).
Шур (L. Schur)
(1909): Oeber die characteristischen Warzein einer Hnearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen, Math. Ann., vol. 66, p. 488—510.
Эйлер /L. Euler)
(1728): Nova methodus innumerabiles acquations differential es secund! grad us reducendi ad aequationes differentials prim! gradus, Comm. acad. sclent. Petrop. vol. 3. p. 124—137.; Opera Omnia vol. XXII, p. 1—14.
(1743): De integratione aequationum differential}um altiorum graduum, Miscellanea Berolinensia vol. 7, p. 193—242; Opera Omnia vol. XXII, p. ЮЗ- 149. See also: Letter from Euler to J oh. Bernoulli, 15, Sept. 1739.
(1744): Methodus inveniendi lineas curvas maxim! minimive proprietate gauden- tes..., Lausannae & Genevae, Opera Omnia (intr. by Caratheodory) vol. XXIV, p. 1—308. [Имеется перевод: Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума.—М.—Л.: Гостех- нздат, 1934, 600 с.]
(1750): Methodus aequationes differentiales altiorum gradium integrand! ulterius promota, Novi Comment, acad. scient. Petrop. vol. 3, p. 3—35; Opera Omnia vol. XXII, p. 181—213.
(1756): Elementa calculi variationum, presented September 16, 1756 at the Acad, of Science, Berlin; printed 1766, Opera Omnia vol. XXV. p. 141—176. (1768): Institutionum Calculi Integ^Hs, Volumen Primum, Opera Omnia vol. Al. [Имеется перевод: Эдлер Л. Интегральное исчисление, т. I. —М.: Гостехиздат, 1956, 415 с.]
(1769): Institutionum Calculi Integralis, Volumen Secandum, Opera Omnia vol. XII. [Имеется перевод: Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. II.— М.: Гостехиздат, 1957, 368 с.]
(1778): Specimen transformationis singularis serienum, Nova acta. acad. Petrop., vol. 12 (1794): p. 68—70, Opera Omnia vol. XVI, p. 41—55.
Эбспак (N. F. Eispack)
(1974): В. T. Smith, J・ M. Boyle, B. S. Garbow, Y. Jkebe, V. C. Klema, С. B. Moler: Matrix Eigenesystem Routines, (Fortrantranslations of algorithms published in Reinsch and Wilkinson), Lecture Notes in Computer Science, vol. 6, Springer-Verlag.
Эйткен (A. C. Aitken)
(1932): On interpolation by iteration of proportional parts, without the use of differences; Proc. Edinburgh Math. Soc. Second ser. Vol. 3, p. 56—76.
Эле (В. L. Ehle)
(1968): High order A*stable methods for the numerical solution of systems of D. E/s BIT vol. 8, p. 276—278.
Эльтерманн (H. Eltermann)
(1955): Fehlerabschatzung bei nfiherungsweiser L6sung von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung Math. Zeitschr. vol. 62, p. 469—501. Энрайт, Халл, Линдберг (W. Н. Enright, Т. Е. Hull and В. Lindberg)
(1975): Computing numerical methods for stiff systems of O. S. O. D. E. s, BIT, vol. 15, p. 10—48.
/Энрайт и др. (W. H. Enright, К. R・ Jackson, S. P. Norsett and P. G. Thomson) (1985): Interpolants for Runge-Kutta formulas, Technical Report 180/85, Dept. Comput. Science, Toronto, Canada M55 1A5, p. 36.
Эрмит (Ch. Hermite)
(1878): Extrait aune lettre de M. Ch. Hermite A M. Borchardt sur la fonnule a interpolation de Lagrange, L de Crelle, vol. 84, p. 70; Oeuvres, tome IIIy p. 432—443.
Якоби (C. G. L Jacobi)
(1846): Theoria novi multiplicatoris systemati acquationum differentialum vulgarium applicandi, Crelle L f・ d・ r. u. angew. Math., vol. 29, p. 213279, 333—376*/'
Дополнительная литература)
Бахвалов Н. С.
(1955): Некоторые замечания к вопросу о численном интегрировании дифференциальных уравнений методом конечных разностей. Доклады АН СССР, т. 104, № 6, с. 805—808.
Бахвалов Н. С., видков Н. П., Кобельков Г. М.
(1987): Численные методы.—М.: Наука. — 600 с.
Бордовицина Т. В.
(1984): Современные численные методы в задачах небесной механики.— М.: Наука. — 136 с.
Бутчер (J. Ch. Butcher)
The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge— and general linear methods, Wiley, Qiichester, 512 pp.
Горбунов А. Д.
(1967): Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мл Изд. ВЦ МГУ.
Крылов В. И., Бобков В. В・,Монастырный П. И.
(1982): Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. — Минск: Наука и техника. — 286 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.
(岁73): Методы теории функций комплексного переменного. —М.: Наука.— Ламберт (J. D. Lambert)
И
: Computational methods in ordinary differential equations, Wiley, )n—New York—Sidney—Toronto, 278 pp.
Лапидус, Зайнфельд (L. Lapidus, J. H. Seinfeld)
(1971): Numerical solution of ordinary differential equations, Academic Press, New York—London, 299 pp.
Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А.
(1949): Теория автоматического регулирования.—М.: Гостехиздат. Самарский А. А., Гулин А. В.
(1989): численные методы.—М.: Наука. — 432 с.
Холл, Уатт (G. Hall and J. М. Watt, editors)
(1976): Modern numerical methods for ordinary differential equations, Clarendon Hress, Oxford. {Имеется перевод: Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, редакторы Дж. Холл и Дж. Уатт. — М.: Мир, 1979. — 312 с.]
Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.
(1971): Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. —М.: Наука. — 296 с. .
Указатель обозначений
А ® I а (О В」(а,筑
В(р) %⑼ * % 力 bj Ср+м С(п)
DD DA-Е ^.
W
f l^n> …1 无n—I 1 尸，(f) ®
g/ S)
Kq®
/ =偏，%…)
L (协 ％, A) LNTq LSq LTq, LT LTP；, LTPa NTq 尸(c,加 P (EC)M P (EC)ME
R U喲 s *(f)
тензорное произведение 362
коэффициенты В-ряда 259, 260
В-ряд 260
квадратурные условия поряда 218
непрерывный метод 191
коэффициенты метода РК 139, 213
константа погрешности 339, 383, 448
константа локальной погрешности 338
упрощающие предположения 217
дифференциальный оператор 266
производные Дини 60
упрощающие предположения 218
разностное множество 260
главная часть S 411
коэффициенты разложения глобальной по
грешности 226, 227
разделенные разности 336
элементарный дифференциал 154, 156, 280,
281, 297
коэффициенты методов Адамса g переменным шагом 367
длина шага 135, 136
ядро Пеано 341
коэффициенты Нордсика 380, 386
постоянная Липшица 39, 57
линейный разностный оператор 335, 446
помеченные ^деревья 280
специальные помеченные деревья 159
помеченные деревья 154, 259
помеченные Р-деревья 296, 299
“•деревья 282
Р-ряд 299
предиктор—корректор 394, 406
предиктор—корректор 393, 405
матричная норма 58
резольвента 70
матрица общего линейного метода 404
субдерево 260
，81，…，81，…Tq, TТР& ТраV （f/i> •••> у）步（%）\\У IITq, TТР& ТраV （f/i> •••> у）步（%）\\У IIУ （%，%Q, %）% = Z （今，A）® （ОУ （%，%Q, %）% = Z （今，A）® （О₽/⑷?（0₽/⑷?（0力,?1V7n 卩（Q） Ф（Л）9 （О6（力⑵⑺ ф 係，％, Л） Ф* （х, у, й）P（f）Р © a （0力,?1V7n 卩（Q） Ф（Л）9 （О6（力⑵⑺ ф 係，％, Л） Ф* （х, у, й）P（f）Р © a （0
，81，…
，81，…
Tq, T
ТР& Тра
V （f/i> •••> у）
步（%）
\\У II
Tq, T
ТР& Тра
V （f/i> •••> у）
步（%）
\\У II
У （%，%Q, %）
% = Z （今，A）
® （О
У （%，%Q, %）
% = Z （今，A）
® （О
₽/⑷
?（0
₽/⑷
?（0
力,?1
V7n 卩（Q） Ф（Л）
9 （О
6（力
⑵⑺ ф 係，％, Л） Ф* （х, у, й）
P（f）
Р © a （0
力,?1
V7n 卩（Q） Ф（Л）
9 （О
6（力
⑵⑺ ф 係，％, Л） Ф* （х, у, й）
P（f）
Р © a （0
деревья 156
корневые деревья 155, 259
экстраполяционная таблица 234, 235, 290
Р-деревья 296, 299
функция Ляпунова 95
матрица Вронского 70
норма вектора 56
ломаная Эйлера 38
решение задачи Коши 105
функция точных значений 404
коэффициенты многошагового метода 334,370 число элементов в классе эквивалентности 155, 156, 281, 282, 298
коэффициенты методов Адамса с переменным шагом 368
произведения порядков деревьев 156, 160, 281
коэффициенты явных, неявных методов Адамса 325, 326
разности назад 324
логарифмическая норма 65
стартовая процедура 404
весовые коэффициенты 156, 159, 281, 283
разделенные разности 368
разделенные разности 367
функция приращения 169, 362, 404
функция приращения сопряженного метода
230'
порядок дерева 154, 155, 281, 296, 298.
производящие многочлены 336
деревья порядка 1 155, 156, 297
Абеля—Лиувилля—兄коби—Остроградского тождество (Abel—Liouville— Jacobi—Ostrogradskii identity) 71
Автоматическое управление длиной шага (automatic step size control) 177 Автономные системы (autonomous systems) 75, 150
Адамса методы (Adams methods) 323
неявные (implicit 〜) 325
——с переменным шагом (variable step size 〜〜)366
в представлении Нордсика ( as Nordsieck methods) 379, 381. 386, 387
,рекуррентные соотношения для коэффициентов (^ ^, recurrence»relations for the p) 327, 333
явные (explicit 〜 〜)324
Алгоритм ГБШ (GBS algorithm) 240, 290
—Евклида (Euclid*s 〜)90, 92
—Рауса (Routh 〜)94, 98
— Эйткена—Невилла (Aitken—Neville 〜)237
Аренсторфа орбиты (Arenstorf orbits) 135, 211
Аргумента запаздывание (time lags, retarded arguments) 304
—принцип (principle of the argument) 89, 349
Арцела—Асколи теорема (theorem of Arzela—Ascoli) 44
Асимптотическая устойчивость (asymptotic stability) 96
Асимптотические решения при малых 8 (〜 solutions for small parameters) 118
Асимптотическое разложение глобальной погрешности (〜expansion of the global error) 226, 288, 421, 447 симметричного метода (〜〜〜,symmetric method) 232
сопряженного метода (〜 〜 〜 〜，adjoint〜)231
по четным степеням h
(in 胪)232, 238, 435
локальной погрешности (〜〜of the local error) 226
Барьеры порядковые Бутчера (order barriers of Butcher) 198, 202
Далквиста (〜^〜of Dahlquist) 351, 449
Бернулли уравнение (Bernoulli equa
tion) 19
—числа (〜numbers) 228, 384
Бесселя уравнения (Bessel equation) 29
Бифуркация рождения цикла (Hopf bifurcation) 121*
Брахистохрона (brachystochrone) 13, 19, 28
Брюсселятор (Brusselator) 120, 132, 183, 253
—с диффузией (〜with diffusion) 399
—«полный» (full ) 122
Булирша последовательность (Bulirsch sequence) 236
Бутлера барьеры (Butcher barriers) 198, 202
—метод 6-го порядка (*s 6-th order method) 202
— методы порядка 2s (〜's methods of order 2s) 217
—ряды (В-series) 258
— формулы Лобатто (Butcher's Lo- batto formulas) 220
Ван-дер-Поля уравнение (Van der Pol's equation) 115, 131, 132, 253
Вариационная задача (variational problem) 14, 36
Вариационное исчисление (〜callus) 13
— уравнение (equation) 106
Вариация постоянных (variation о1ш- stants) 23, 72'
нелинейная (nonlinear 〜Т 106
Веер леди Уиндермир (Lady mere's fan) 41, 107, 170, 364 串3区
Вековые члены («secular> terms)
Вектор Нордсика (Nordsieck 379, 387, 389t整
Векторное поле (〜field) 11<蟋 丁
Векторные обозначения (〜noM|M 10,56
Верхюльста—Перла ур авненв» hulst—Pearl equation) 312
Вершина конечная (end-vertex^M&
—толстая, тонкая («fat>, «теайЙМДТ
Висящая струна (hanging strin^|^^
Вложенные формулы Rmbeddedl las) 178, 206
Вольтерры уравнение (Уокегга*адИ<4 tion) 319, 321
Вронского матрица (вронскиан) skian) 70
— определитель (〜)24
Выбор порядка (order selection) 390
Выдача неявная (implicit output) 192
—плотная (dense 〜)188, 191, 469
Вырожденное ядро (degenerate kernel) 319, 320
Вычислительные примеры (numerical examples)
,методы РК 4-го порядка (〜〜, 4th order RK methods) 145, 185
ВЫСШИХ порядков (〜'〜, high order methods) 209
,многошаговые метода (<** 〜, multistep methods) 396
,сравнение программ (^ 〜，comparisons of codes) 252, 396
,уравнения 2-го порядка (*■** ^1*^у 2nd order equations) 290
,экстр аполяционные методы (〜〜,extrapolation methods) 237
Г армоническая последовательность (harmonic sequence) 237
Гаусса квадратурные формулы (Gaussian quadrature formulas) 137, 217
ГБШ-алгоритм (GBS algoritiim) 240, 290
Гершгорина теорема (Gerschgorin*s theorem) 99
Гилла метод (GilFs method) 145
Гильберта 16-я проблема (Hilberfs 16th problem) 131
Гипергеометрические функции (hypergeometric functions) 27
Главный член погрешности (principal error term) 168
Глобальная погрешность (global error) 169, 226, 421
Граничные условия (boundary conditions) ПО
Графы (graphs) 153
Гребнера—Алексеева теорема (формула) (Grobner—Alekseev theorem (formula)) 106, 222
Греко-латинское преобразование (Greek-Roman transformation) 351
Грина формула (Green、formula) 133
Гронуодла лемма (Gronwall lemma) 67
Грэгга метод (Gragg*s method) 239
Даламбера уравнение (d'Alembert's equation) 31
Далквиста барьеры (Dahlquist barriers) 351, 449
Дерево (tree) 155
—помеченное (labelled ) 154
—специальное (special 〜) 159
Дефект (см. тж. норма невязки) (de-
Джозефсона перехода (Josephson junctions) 124, 125
Диаграммы «точность—объем вычисле* ний» (work—precision diagrams) 146, 186, 194, 210, 238, 239, 242, 256, 257, 291, 397, 398, 402
Динамика популяций (population dynamics) 311, 319
Дини производные (Dini derivatives) 60
Дискретное преобразование Лапласа (discrete Laplace transformation) 362
Дифференциальные неравенства (differential inequalities) 60, 96
для систем (〜'〜for systems) 67 — уравнения (differential equations) второго порядка (second order 〜〜)9, 17, 276, 437
жесткие (stiff 〜 〜)124, 214, 331
с запаздывающим аргументом (delay 〜〜)304
линейные (linear 〜〜)16, 17, 21,26,69,75
неявные (implicit 〜^~) 15
первого порядка (first orders ^) 9
в частных производных (partial )10, 399
ДНРК (DIRK) 213
Дормйна—Принса метод (Dormand and
Prince method) 182
,непрерывное расширение (^ ^ ^, continuous extension) 191
для. уравнения 2-го порядка (<*^ <*>^ 〜for 2nd order equations) 289
Евклида алгоритм (Euclid*s algorithm) 90, 92
Жесткие дифференциальные уравнения (stiff differential equations) 124, 214, 331
Жорданова каноническая форма (Jordan canonical form) 80, 87, 95
—клетка (block) 89
—цепочка векторов (^ chain) 95
Задача о брахистохроне (brachysto- chrone problem) 13, 19, 28
—двух тел (two body ) 252
—о касательной обратная (inverse tangent 〜)12
—Kotuu (initial value ) 10, 109
—краевая (boundary value 〜)10, 109
—начальная (с начальными условиями) (ifiitial value ^) 10, 109
—на собственные значения (eigenvalue 〜)32, 93, Ш
—трех тел ограниченная (restricted three body 〜)134
—Штурма—Лиувилля (Sturm—Liouville eigenvalue 〜)Ш
Замораживание длин шагов (step size freeze) 196
Запаздывающий аргумент (time lag, retarded argument) 304
Зонневельда метод (Zonneveld*s method) 180
Иммунология (immunology) 317
Интегрирующий множитель (factor M (x, y)) 17
Интегро-дифференциальные уравнения (integro-differential equations) 318, 320
Интервальный анализ (interval analysis) 53
Интерполяционная форв<ула Лагранжа： (Lagrange interpolation formula) 222 Ньютона (Newton's ^〜)324, 366
L с кратными узлами (〜 〜〜 with multiple nodes) 267
Интерполяционный многочлен Эрмита (Hermite's polynomial) 267
Каноническая форма Жордана (Jordan canonical form) 80, 87, 95
Капли (drops) 147, 323, 332
Кауэлла—Кроммелина метод (Cowell and Crommelin*s method) 439, 442
Квадратурные формулы Гаусса (Gaussian quadrature formulas) 137, 217 Лобатто (Lob at to 〜■^) 219 Радо (Radau 〜〜)213 Квазимонотонность (quasimonotone) 46, 47, 109
Кинетика ферментативных реакций (enzyme kinetics) 315
—химическая (chemical 〜)120 Классический метод Рунге——Кутты
(«The» Runge—Kutta method) 144
Клеро уравнение (Clairaut differential equation) 15y 19
Коллокация (collocation) 220
—с кратными узлами (〜with multiple nodes) 267
Комбинированное управление выбором порядка и длины шага (combined order- and step size control) 245, 247
Композиция методов (composition of RK methods) 258
—В-рядов (〜of В-series) 261
Константа погрешности методов Нордсика (error constant of Nordsieck methods) 383
многошаговых методов (of multistep methods) 338, 339
.для уравнений 2-го поряд
ка (〜'^ for 2nd order equations) 448
Корень дерева (root of a tree) 154
Корневое условие (^ condition) 347
Корни характеристического уравнения
(roots of characteristic equation) 22
кратные (multiple)25
Корректор (corrector) 327, 393, 405
Kotuu—Буняковского—Шварцанера
венство (Cauchy—Schwarz, inequality) 55
Kotuu задача (initial value problem) 10, 109
—произведение (Cauchy product) 51, 384
Коэффициенты погрешности (error coefficients) 168
Краевая задача (boundary value problem) 10, 109
Кратные хар актер истические корни (multiple characteristic values) 25
—узлы интерполяционной формулы (nodes of interpolation formula) 267
Критерий Рауса—Гурвица (Routh-
Hurwitz criterion) 89
—Шура—Кона (Schur—Cohn) 356
Критические точки (critical points) 83, 85, 87, 117
Кронекера тензорное произведение (Kronecker tensor product) 362
Кунцмана методы порядка 2s (Kuntz- mann*s methods of order 2s) 217, 218, 219
Кутты методы (Kutta's ) 144
Лагранжа интерполяционная формула (Lagrange interpolation formula) 222 —метод (вариации постоянных) (method of 〜(variation of constants) 23, 25
—многочлены (polynomials) 221
Лапласа дискретное преобразование (discrete Laplace transformation) 382
—уравнение (формы капель) (differential equation of 〜(forms of drops)) 147, 323
Лейбница формула (Leibniz* formula) 151
Лемма Гронуолла (Gronwall lemma) 67
—фундаментальная (fundamental 〜) 62, 108
Линеаризация (linearization) 75
Линейные дифференциальные уравнения (linear differential equations) 16, 17,21
неоднородные (inhomogeneous 〜〜〜)16, 22, 72
однородные (homogeneous
〜〜〜)16, 21
с постоянными коэффициентами (^*■*■*^ with constant coefficients) 21, 75
со слабыми особенностями
(^ ^ ^ with weak singularities) 26
—многошаговые (^-шаговые) методы (^ multistep (Л-step) methods 334
формулы (〜 〜 formulas) 323
,сходимость порядка р
(^— *■*■*, convergence of order p) 360
Липшица условие (Lipschitz condition)
15, 39, 57, 359
одностороннее (one-sided ^ ^) 64
Лобатто квадратурные формулы (Lo- batto quadrature formulas) 219
Логарифмическая норма (logarithmic norm) 65, 68, 95
Логистическая кривая (la courbe lo- gistique) 312
Локальная погрешность (local error) 170, 226, 334, 409
—экстраполяция (extrapolation) 210
Лоренца модель (Lorenz model) 125
Ляпунова функции (Liapunov functions) 94, 99
Марчука модель (Marchuk's model) 317, 318
Матрица Вронского (вронскиан) (Wronskian) 70x
—комплексная (complex matrix) 58, 77
—нормальная (normal ) 86
—ортогональная (orthogonal 〜)77
—симметричная (symmetric 〜)77
—сопряженная (adjoint 〜)77
—унитарная (unitary 〜)77
—Якоби (Jacobian) 105
Маятник математический (pendulum) 132
—сферический (spherical 〜)122
Мерсона метод (Merson's method) 180
Метод (method)
—вариации постоянных (〜of variation of constants) 23, 25
—Гилла (Gill*$ ~) 145
—Грэгга (Gragg冶〜)239
—дискретизации по времени (^ of discretization in time) 10
—ДормАна—Принса (Dormand and Prince 〜)182
,непрерывное расширение
(^ ^ ^, continuous extension) 191 для уравнений 2-го порядка
(^ *■*■*for 2nd order equations) 289
—Зонневельда (Zonneveld*s ) 180
—Кауэлла—Кроммелина (Cowell and
Crommelin*s ) 439, 442
—композитный (composite 〜)259
—Лагранжа (of Lagrange) 23, 25
— мажорант (majorant 〜)50
—малого параметра (Newcomb—Lind- stedt—Poincar6〜)118
—Мерсона (Merson*s ) 180
—Милна (Milne 〜)330
—Нумерова (Numerov's 〜)439, 443
—Ньютона (Newton*s 〜)192
—опорный (basic ) 238
— параллельной стрельбы (multiple shooting technique) 111
—последовательных приближений
Пикара (Picard iteration ^) 48, 58 — Принса—Дормйна (Prince and Dor- mand*s ^) 208, 210
—прямых (〜of lines) 10, 32, 399
—разделяющийся (partitioned ) 272
—рядов Тейлора (Taylor series —) 49
—сечений Пуанкаре (〜of Poincar6 sections) 116
—симметричный (symmetric 〜)232, 434
—сопряженный (adjoint ) 230, 431
—стрельбы (пристрелки) (shooting *■*■*) 110
—Хойна (Heun*s 〜)140
—частичной дискретизации (〜of lines, or ^ of discretization in 印ace) 10
—Ческино (Ceschino^ method) 179
—Эйлера (Euler's ) 13, 38, 56, 135, 137, 325
неявный (implicit (backward) )212, 326
,оценка погрешности (error estimate for 〜) 42, 43
,сходимость (convergence of ) 38
—Энке (Encke's 〜)438
Методы (methods)
—Адамса (Adams 〜)323
неявные (implicit 〜〜)325
с переменным шагом (variable step size 〜〜)366
явные (explicit 〜〜)324—Бутчера (Butcher^ ) 202, 217, 220—гибридные (hybrid ^) 403явные (explicit 〜〜)324—Бутчера (Butcher^ ) 202, 217, 220—гибридные (hybrid ^) 403в представлении Нордсика ( as4Qordsieck methods) 379, 381, 386, 387
явные (explicit 〜〜)324
—Бутчера (Butcher^ ) 202, 217, 220
—гибридные (hybrid ^) 403
явные (explicit 〜〜)324
—Бутчера (Butcher^ ) 202, 217, 220
—гибридные (hybrid ^) 403
—для уравнений 2-го порядка (〜for 2nd order equations) 2/6, 277, 288,. 437—коллокационные (collocation ^) 220, 267—Кунцмана (Kuntzmann's ^) 217, 218, 219—Кутты (Kutta's ^) 144—линейные многошаговые 信・шаго вые) (Linear multistep (Л-step)〜)334—Милна—Симпсона(Milne一Simpson ) 329—многошаговые (multistep ^ (formulas)) 134, 322как общие линейные методя(^ ^ as general linear methods) 404 многоэтапные со старшими производными (multi<step multi-stage multi-derivative 〜)409модифицированные (modified〜〜)403—^―^ неприводимые (irreducible 〜)обобщенные (generalized 〜〜) 403,паразитные решения (parasitic solutions of 〜〜)346симметричные (symmetric ^ ^) 354с переменным шагом (variable step size ^ ^) 366—345 产。加0800Tb (stability of 〜 〜)характеристическое уравнение acteristic equation of a 〜〜)—для уравнений 2-го порядка (〜for 2nd order equations) 2/6, 277, 288,. 437—коллокационные (collocation ^) 220, 267—Кунцмана (Kuntzmann's ^) 217, 218, 219—Кутты (Kutta's ^) 144—линейные многошаговые 信・шаго вые) (Linear multistep (Л-step)〜)334—Милна—Симпсона(Milne一Simpson ) 329—многошаговые (multistep ^ (formulas)) 134, 322как общие линейные методя(^ ^ as general linear methods) 404 многоэтапные со старшими производными (multi<step multi-stage multi-derivative 〜)409модифицированные (modified〜〜)403—^―^ неприводимые (irreducible 〜)обобщенные (generalized 〜〜) 403,паразитные решения (parasitic solutions of 〜〜)346симметричные (symmetric ^ ^) 354с переменным шагом (variable step size ^ ^) 366—345 产。加0800Tb (stability of 〜 〜)характеристическое уравнение acteristic equation of a 〜〜)циклические
—для уравнений 2-го порядка (〜for 2nd order equations) 2/6, 277, 288,. 437
—коллокационные (collocation ^) 220, 267
—Кунцмана (Kuntzmann's ^) 217, 218, 219
—Кутты (Kutta's ^) 144
—линейные многошаговые 信・шаго вые) (Linear multistep (Л-step)〜)334
—Милна—Симпсона(Milne一Simp
son ) 329
—многошаговые (multistep ^ (formulas)) 134, 322
как общие линейные методя
(^ ^ as general linear methods) 404 многоэтапные со старшими про
изводными (multi<step multi-stage multi-derivative 〜)409
модифицированные (modified
〜〜)403
—^―^ неприводимые (irreducible 〜)
обобщенные (generalized 〜〜) 403
,паразитные решения (parasitic solutions of 〜〜)346
симметричные (symmetric ^ ^) 354
с переменным шагом (variable step size ^ ^) 366
—345 产。加0800Tb (stability of 〜 〜)
характеристическое уравнение acteristic equation of a 〜〜)
—для уравнений 2-го порядка (〜for 2nd order equations) 2/6, 277, 288,. 437
—коллокационные (collocation ^) 220, 267
—Кунцмана (Kuntzmann's ^) 217, 218, 219
—Кутты (Kutta's ^) 144
—линейные многошаговые 信・шаго вые) (Linear multistep (Л-step)〜)334
—Милна—Симпсона(Milne一Simp
son ) 329
—многошаговые (multistep ^ (formulas)) 134, 322
как общие линейные методя
(^ ^ as general linear methods) 404 многоэтапные со старшими про
изводными (multi<step multi-stage multi-derivative 〜)409
модифицированные (modified
〜〜)403
—^―^ неприводимые (irreducible 〜)
обобщенные (generalized 〜〜) 403
,паразитные решения (parasitic solutions of 〜〜)346
симметричные (symmetric ^ ^) 354
с переменным шагом (variable step size ^ ^) 366
—345 产。加0800Tb (stability of 〜 〜)
характеристическое уравнение acteristic equation of a 〜〜)
,ядро Пеано
〜^^) 341
)407 kernel of a)407 kernel of a—иепрерывнне (continuous 〜)188,
)407 kernel of a
)407 kernel of a
—неприводимые (irreducible 心 340
—Нордсика (Nordsieck 〜)379
как осЯцие линейные метода
(〜—as general linear methods) 407
,эквивалентность многошаговым методам (^ ^, equivalence with multistep methods) 382
как общие линейные методы ,(^^〜as general linear methods) 409 — Хаммера—Холлингсуорта (Hammev ,конструирование (construction of * and Hollingsworth's 〜)213, 214, 217〜) 285— Штёрмера (Stoermer's ^) 438, 439,многошаговне явнне (explicit 442multistep 〜^^) 328— экстраполяционные (extrapolation,сходимость (convergence of *^*^)〜)，234, 288287как ЯРК・ммода (〜〜as ERKкак общие линейные методы ,(^^〜as general linear methods) 409 — Хаммера—Холлингсуорта (Hammev ,конструирование (construction of * and Hollingsworth's 〜)213, 214, 217〜) 285— Штёрмера (Stoermer's ^) 438, 439,многошаговне явнне (explicit 442multistep 〜^^) 328— экстраполяционные (extrapolation,сходимость (convergence of *^*^)〜)，234, 288287как ЯРК・ммода (〜〜as ERK—Нюстрёма (Nystrdm 〜)277, 328
как общие линейные методы ,
(^^〜as general linear methods) 409 — Хаммера—Холлингсуорта (Hammev ,конструирование (construction of * and Hollingsworth's 〜)213, 214, 217
〜) 285— Штёрмера (Stoermer's ^) 438, 439,
многошаговне явнне (explicit 442
multistep 〜^^) 328— экстраполяционные (extrapolation
,сходимость (convergence of *^*^)〜)，234, 288
287как ЯРК・ммода (〜〜as ERK
как общие линейные методы ,
(^^〜as general linear methods) 409 — Хаммера—Холлингсуорта (Hammev ,конструирование (construction of * and Hollingsworth's 〜)213, 214, 217
〜) 285— Штёрмера (Stoermer's ^) 438, 439,
многошаговне явнне (explicit 442
multistep 〜^^) 328— экстраполяционные (extrapolation
,сходимость (convergence of *^*^)〜)，234, 288
287как ЯРК・ммода (〜〜as ERK
,условия порядка (order condi- tions for 〜 〜)284y 302
—Обрешкова (Obreschkoff J 269
— общие линейные (general linear ^*) 403, 408
—одношаговые (one-step 〜)134, 226
—предиктор—корректор (predictor— corrector process) 405*
— PK (см. методы
(RK)
—Рунге—Кутты (Runge—Kutta methods) 134, 139, 213
вложенные (embedded ^ 〜 〜)178, 206
диагонально неявные (diagonal implicit 〜〜〜)213
для уравнений с запаздывающим аргументом ( *^ ^ for delay .equation) 306
непрерывные (continuous 〜 )188, 308, 321
неявные (implicit 〜 〜〜) 212, 214
однократно диагонально неявные (singly diagonal implicit 〜〜 〜)213
с нарушением условия (1.9)
(^ ^violating (1.9)) 300
со старшими производными
(higher derivative ^ ^^〜)266
явные (explicit ) 139, 151, 213
4-го порядка (4th order
*^*^^) 140
——сильно устойчивые (strictly stable 〜)423
—симметричные (symmetric ) 232, 354, 434
—слабо устойчивые (Weakly stable ^) 428
—ФДН (BDF-〜)308, 331
в представлении Нордсика (〜〜
as Nordsieck methods) 386, 388
с переменным шагом (variable step size 〜〜)369, 375, 378
,устойчивость (stability of 〜 〜) 347
—Фельберга (Fehlberg*s 〜)181, 207
с высшими производными (mdL tiderivative) 270, 301
methods) 243, 250
—3〃(Ehle's 勺 224
Милна метод (Mime method) 330
Милна—Симпсона метода (Milne Simpson methods) 329
Многочлен интерполяционннй Эрмита (Hermite interpolation polynomial) 267
— коллокационный (collocation 〜)221
—характеристический (characteristic 〜)22, 32, 76, 91, 93, 122
Многочлены Лагранжа (Lagrange polynomials) 221
—производящие (generating ) 336
Моделирование эпидемии (infectious disease modelling) 313
Модель Лоренца (Lorenz model) 125
Монитор сходимости (convergence monitor) 245
Начального шага длина (starting step size) 194
Начальное условие (значение) (initial value) 9, 109
Невязка (defect) 61, 63
Нелинейная формула вариации постоянных (nonlinear variation-of-con- stants formula) 106
Неоднородное линейное уравнение (inhomogeneous linear equation) 16, 22, 72
Непрерывные вложенные формулы (continuous embedded formulas) 191
—методы РК (RK methods) 188, '308,321
Неприводимые метода (irreducible methods) 340
Неравенства дифференциальные (differential inequalities) 60, 96
для систем (for systems) 67
Неустойчивость численная (numerical instability) 345
Неявные методы Адамса (implicit Adams methods) 325
в представлении Нордсика (〜 ■〜'〜as Nordsieck methods) 379, 381, 386, 387
Рунге—Кутты (〜RK 〜)212
как коллокационные методы ( as collocation ^) 220
основанные на квадратурной формуле Гаусса (^ ^ ^ based on Gaussian formulas) 217
Лобатто (〜 〜〜〜-〜Lobatto quadature) 219 ,существование решения
(existence of solution of ^1*■*■*) 214
Нордсика вектор (Nordsieck vector) 379, 387, 389
—методы (〜methods) 379, 382,. 407 Норма вектора (vector norm) 56, 57 евклидова (Euclidean ■) 56, 65
—матричная (matrix 〜1 58
логарифмическая (logarithmic
〜)65, 68, 95
подчиненная (subordinate 〜'〜) 58
—невязки (defect) 61
—Шура (Schur norm) 58
Нормальные матрицы (normal matrices) 86
HPK (IRK) 214
Нуль-устойчивость (zero-stability) 347
Нумерова метод (Numerov's method) 439, 443
Ньютона интерполяционная формула (Newton*s interpolation formula) 324, 366
с кратннми узлами (
with multiple nodes) 267
—метод (〜method) 192
Нюстрёма методы (Nystrdm methods) 277, 328
как общие линейные методы (as general linear methods) 409 ,конструирование (construction of
)285
многошаговые явные (explicit multistep 〜〜)328
,сходимость (convergence of ■) 287
,условия порядка (order condi* tions for ^ ^) 284, 302
Обратная задача о касательной (inverse tangent problem) 12
Обрешкова методы (Obreschkoff methods) 269
Общие линейные методы (general linear ) 403, 408
Ограниченная задача трех тел (restricted three body problem) 134
Одностороннее условие Липшица (onesided Lipschite condition) 67
ОДНРК (SDIRK) 213
Оптимальная длина шага (optimal step size) 177
Оптимальные формулы (optimal formulas) 144
Оптимальный порядок многошагового метода (optimal order (multistep)) 392 акстр апол яционного метода (〜〜 (extrapolation)) 244
Орегонатор (Oregonator) 123, 124
Ортогональная матрица (orthogonal matrix) 77
Ортогональное преобразование (〜 transformation) 77
Особая точка (critical point) 122
регулярная (слабая) (regulav (weak) singular point) 27
Особенность уравнения (singuiarity) 25
«Отец» («father») 154
Отношение симметрии (symmetry relation) 434
—шагов (step size ratio) 371, 390
Отображение Пуанкаре (Poincar6 map) 117, 121, 129, 131
—«сыновей» на «отцов» (son-father mapping) 154
Оценка погрешности (error estimate) 60
для ломаной Эйлера ('〜for
Euler polygon) 42, 43
надежная (reliable error bounds) 53;
строгая (rigorous ^ ^) 166
Даде аппроксимация экспоненты (Радё approximation to exp (z)) 94, 99
Паразитные решения (parasitic solu* tions) 346
Пеано теорема существования (existence theorem of Peano) 43, 46, 56
—ядро (Peano kernel) 341
Периметр эллипса (perimeter of the ellipse) 29
Периодические решения (periodic solu* tions) 118, 133, 135
Пикара метод последовательных при* ближений (Picard iteration method) 48, 53, 58
для систем (〜〜〜 for systems) 58
«Пирог с сыром мадам Имхоф> (Madam
Imhof*s cheese pie) 350
«Плеяды» («the Pleiades>) 253
Плотная выдача (dense output) 136, 188, 191, 469
Погрешность глобальная (накоплен* ная) (global error) 169, 226, 421
—локальная (local 〜)170, 226, 334, 409
,численная оценка (numerical es* timation of ^〜)390, 391
—округления (rounding 〜)449
Погрешности главный член (principal term) 168
—константа (〜constant) 33& 339, 383, 448
— коэффициенты (〜 coefficients) 168
—оценка (〜estimate) 63t 166
для метода Эйлера (〜〜 of Euler's method) 42, 43
практическая (practical 〜〜) 175, 390
Помеченное дерево (labelled tree) 153, 154
специальное (special ^ ^) 159
-^-дepeвo (〜N♦〜)280
—Р-дерево (〜P) 295
Порядок дерева (order of a tree) 155
помеченного (〜of a labelled 〜) 154
—методов Адамса (〜of Adams methods) 337, 338
многошаговых (^ of multistep ^) 336
с переменным шагом (〜of variable step size) 370
общих линейных (〜of genial linear 〜)411
Рунге—Кутты (of RK ) 139
экстраполяционных (^ of extra* polation 〜)235
—оптимальный (optimal 〜)244, 392
—эффективный (effective 〜)264
Последовательность Булирша (Bu- lirsch sequence) 236
—гармоническая (harmonic 〜)236
—Ромберга (Romberg ) 236 Правило «3/8» (3/8-rule) 144
—Симпсона (Simpson 〜)143
—средней точки (midpoint 〜)137, 328
неявное (implicit 〜〜)212, 214
—трапеций (trapezoidal 〜)213, 326
—цепное (chain 〜)17
—Штермера (Stoermer*s 〜)290 Предельный цикл (limit cycle) 115, 131 Предиктор (predictor) 327, 393, 405 Предсогласованности условия (precon
sistency conditions) 415
Преобразование«гр еко-л атинское*
(Greek-Roman transformation) 351
— Лапласа дискретное (discrete Laplace 〜)362
—ортогональное (orthogonal ) 77 Приведение матрицы к диагональному
виду (diagonalization) 75
Примеры вычислений (numerical exam-
,методы РК 4-го порядка (〜〜， 4th order RK methods) 145, 185
высших порядков (〜，〜， high〜〜〜)209
,многошаговые методы (〜〜， multistep methods) 396
,сравнение программ (〜，com-
parame-parame-
parame-
parame-
parisons of codes) 252, 396 ,уравнения 2-po порядка (〜<^,
2nd order equations) 290
,экстр аполяционные методы (〜 〜,extrapolation methods) 237
Принса—Дормйна метод (Prince and
Dormand^s method) 208, 210
Принцип аргумента (principle of the argument) 89, 349
Произведение Коши (Cauchy product) 51, 384
—Кронекера (тензорное) (Kronecker tensor product) 362
Производные Дики (Dini derivatives) 60
—по начальным значениям respect to initial values) 105
- по параметру (〜^
ters) 103
,численное определение (numerical computation of 〜^^*-* ^ ^*, ^*-*) 195
Производящие многочлена многошагового метода (generating polynomials of a multistep method) 336
—функции коэффициентов методов Адамса (^ functions for the 也)327 Процедура продвижения на шаг (forward step procedure) 404
—стартовая (starting 〜)323, 404
Процесс предиктор—корректор (predictor—corrector process) 405
Псевдометоды Рунге—Кутты (pseudo Runge—Kutta methods) 403
Пуанкаре—Бендикссона теорема (theorem of Poincar6—Bendixson) 117, 121
—отображение (map) 117, 121, 129, 131
—метод малого параметра (method of ^ for в small) 118, 132
сечений (〜 〜 〜 sections) 116, 129, 192
Равностепенная непрерБШность (equicontinuity) 44, 45
Радо квадратурная формула (Radau scheme) 213
Разделенные разности (divided differences) 366, 390, 393
Разделяющаяся система уравнений (partitioned system) 272, 294
Разделяющийся метод (method) 272
Разложение Тейлора точного решения (Taylor expansion of exact solution) 138, 157
решения методом РК (〜^〜〜 RK 〜)138
Разности назад (backward differences) 324
—разделенные (divided ) 366, 390,
Разностное уравнение (difference equation) 33
Распространение звука (propagation of sound) 31
Рауса алгоритм (Routh algorithm) 94, 98
—таблица (〜tableau) 93
Рауса—Гурвица критерий (〜一Hurwitz criterion) 89
Рациональная экстраполяция (rational extrapolation) 237
Реализация многошаговых методов (im- glementation of multistep methods) Регулярная особая точка (regulaf singular point) 27
Регулятор паровой машина (steam engine governor) 100, 101
Резольвента (resolvent) 70, 72, 75, 79, 105
Решение с помощью разложения в ряд (solution by series expansion) 11
— паразитное (parasitic 〜)346
Риккати уравнение (Riccati equation) 17, 47
Ричардсоновская экстраполяция (Richardson extrapolation) 175, 189, 233
PK (RK) — см. Рунге—Кутты метода
Ромберга последовательность (Romberg sequence) 236
Рунге методы (Runge's methods) 140
—правило 177
Рунге—Кутты метода (Runge—Kutta methods) 134, 139, 213
вложенные (embedded 〜 〜)178, 206
диагонально неявные (diagonal implicit 〜^〜^〜)213
для уравнений с вапаздава- ющим аргументом (^ 〜^^ for delay equations) 306
непрерывные (continuous )188, 191, 308, 321
неявные (implicit 〜〜^〜) 212, 214
однократно диагонально неявные (singly diagonal 〜*^ 〜 〜)> 213 ,
с нарушением условия (1.9р (〜^^ z^^z violating (1.9)) 300,
———co старшими производным») (higher derivatives 〜〜〜)266
эквивалентные (equivalent
)265
явные (explicit 〜〜〜)139, 151, 198, 213, 228, 243•
4-го порядка (4th order
/z*^j 140
псевдометоды (pseudo ^ <^~) 403
Сечения Пуанкаре (Ро1псагё sections) 116, 129
Сильно устойчивые методы (strictly stable methods) 423
Симметричные методы (symmetric ^*) 232, 364, 434
Симпсона правило (Simpson rule) 143
Система автономная (autonomous system) 75
—дифференциальных уравнений 1-го порядка (first order 〜of differential equations) 9, 34'
—2-ro порядка (second 〜 〜^〜 )10, 276
квазимонотонная (quasimonotone ^, ^〜〜)46, 67
линейных 1-го порядка (1st order linear 〜〜〜〜)34, 69, 75
,геометрическое представление (〜〜〜〜〜〜〜，geo- metric representation) 83
2-го порядка (2nd ^* ^ ^
— разделяющаяся (partitioned ) 272,
—многочленов Штурма (Sturm sequence) 90
Слабая особая точка (weak singulaf point) 27
Слабые особенности (〜singularities) 25
в системах (^ ^ for systems) 73
Слабо устойчивые методы (weakly stable methods) 428
След матрицы (trace of a matrix) 71
Собственная функция (eigenfunction) ИЗ
Собственное значение (число) (eigenvalue) 32, 75, 86, 99
устойчивое (stable 〜)122
Собственный вектор (eigenvector) 32, 75, 95
Согласованность (snsist&icy) 337, 411, 446
Соотношения ортогональности (orthogonality relations) 34
Специальное помеченное дерево (special labelled tree) 159
Сравнение вычислительных свойств методов и программ (numerical compa-
烹吧用眼唾endcita)]*，g 209у 237, 252. 290, ЭМ .
Стабилизация (stabillzatlcm) 440 Стартов^г щюцедура (starting procedu- Стационарная точка (stationary point)
Стационарные приближения при больших в (steady-state** approximations for в large) 117
Странные аттракторы (strange attractors) 125
Струна (string) 32
Существование решения дифференциального уравнения (existence of а solution oi a differential equation) 37, 47, 55
численного (of a numerical—■) 214
Сферический маятник (spherical pendulum) 122
Сходимость метода Эйлера (convergence of Euler's method) 38
—в строке (экстр аполяционного метода (〜in line k) 245
—методов многошаговых (' of multistep methods) 359
для уравнений 2-го порядка (〜〜〜〜for 2nd order equations) 446
с переменным шагом ( variable st^> size 〜〜)376
Нюстрема (Nystr6m ) 287
общих линейннх (〜^general linear—) 412
Рунге—Кутты (Runge— Kutta 〜)166
«Сын» (<son>) 154
Тейлора ряд (Taylor series) 49, 138, 151
,доказательство сходимости (〜 〜 convergence proof) 50
,рекуррентное вычисление коэффициентов (recursive computation of
Taylor coefficients) 51
Тензорное проиаведение Кронекера (Kronecker tensor product) 362
Теорема Арцелаг^Асколи (theorem of Arzel^-Ascoli) 44
—Гершгорина (Gerschgorin^ 〜)99
—Грёбнера—Ам用“a(Grobner—
Alekseev 〜)166
—о среднем («mean value 〜》) 57
—Пуанкаре—Ббндикссона (〜of Poin- сагё—Bendixson) 117, 121
—сравнения Штурма (Sturm's comp а-
rison 〜)112
—существования общая (general existence 〜)37
Пеано (〜〜of Peano) 43
для систем уравнений (〜^〜 for systems of equations) 55
,доказательство методом Пикара (proof using Picard iteration) 48
,рядов Тейлора (〜 〜〜〜 Taylor series) 49
—Штурма (Sturm's 〜)90
Точка критическая (critical point) 83, 85, 117, 121
—особая (singulaf 〜,singularity) 26, 85
регулярная (слабая) (regular (weak)〜〜)27
—равновесия (equilibrium 〜)83
—стационарная (stationary 〜)75
Уатта регулятор (Watt's steam engine governor) 100
Унитарная матрица (unitary matrix) 77
Управление длиной шага для методов многошаговых (step size control for multistep methods) 390
Рунге—Кутты (^
Runge—Kutta 〜)177, 183
экстраполяционных (〜 〜〜^^*-* extrapolation 〜)244, 245, 247
—порядком методов многошаговых (order control for multistep methods) 390
экстраполяционных (〜 〜 〜 extrapolation 〜)244, 247, 248
Упрощающие предположения (simplifying assumptions) 141, 217, 418
Уравнение Бернулли (Bernoulli equation) 19
—Бесселя (Bessel ) 29
—Ван-дер-Поля (Van der Pol*s 〜)115, 131, 132, 253
—в вариациях (вариационное) (variational 〜)106
—Вольтерры (Volterra's ) 319, 321
——гипер геометр ическое (hypergeometric 〜)27, 29
—Даламбера (d'Alembert's 〜)31
—индексное (index 〜)26
—Клеро (Clairaut 〜)15, 19
—колеблющейся стуны (〜for the vibrating string) 32
—Лапласа (формы капель) (differential 〜of Laplace (describing the form of drops)) 147, 323
—математического маятника (pendu
lum 〜)132
—неоднородное линейное (inhomogeneous linear 〜)16, 22, 72
—разностное (difference 〜)33
——Риккати (Riccati 〜)17, 47
—теплопроводности (heat 〜)35, 111
—характер истическое(characteri
stic 〜)22, 33, 89, 309, 346
—Эйлера для вариационной задачи (Ей图〜for a variational problem)
Уравнения автономнне (autonomous equations) 75
—в полных дифференциалах (total differential 〜)16
—в частных производная (partial )10, 399
—второго порядка (second order 〜)9, 10, 17
не зависящие от 九(〜^ independent of х) 17
—дифференциальные, см. Дифференциальные уравнения (differential equations)
с вапаздавающим аргументом (delay 〜〜)304
—жесткие (stiff 〜〜)124, 214, 331
— интегро-дифф^енциальные (inte- gro•〜~) 318, 320
— линейные, см. Линейные дифференциальные уравнения (linear 〜〜)
—перманентные (permanent ) 75
—с особенностями (〜with singularities) 25
—с разделяющимися переменными
(〜^〜 separable variables) 16
—с разрывными производными (discontinuous ^) 192, 197, 247
—Эйлера (Euler*s 〜)29
Условие корневое (root condition) 347
—Липшица (Lipschitz 〜)15, 39, 57, 359
одностороннее (one-sided 〜〜) 64
—ортогональности (orthogonality relation) 114
Условия граничные (boundary conditions) 110
—начальные (initial value) 9, 109
—предсогласованности (preconsisten* су conditions) 415
—согласованности (consistency 〜)337
для уравнений 2-го порядка (^ 〜for 2nd order equations) 446 .
общих линейных методов (^〜 for general linear methods) 411,
—порядка методов многошаговых (о^-
der 〜for multistep methods) 334, 336
Нюстрёма ( Nystrom 〜)281, 284
общих линейных (〜〜〜general linear 〜)415
Рунге—Кутты (〜^ 〜Runge—Kutta —)150, 152, 162, 163, 263
со старшими производными (〜^〜〜 multiderivative 〜) 272
Устойчивость асимптотическая (asymptotic stability) 96
—дифференциального уравнения (см. — решений) (stability of a differential equation)
—линеаризованного уравнения (〜of a linearized 〜)88
—многошаговых методов (〜〜mul-, .tistep' formulas) 347
для уравнений 2-го порядка (〜〜 〜 〜for 2nd order equations) 444
с переменным шагом (^ variable step size 〜 〜)371
—неавтономных систем (〜^〜non- autonomous systems) 97
— нелинейных систем (〜^^ nonlinear 〜)96
—общих линейных методов (〜〜general linear methods) 409
—по Ляпунову (^ in the sense of Liapunov) 88
—сильная (strict 〜)423
—слабая (weak 〜)428
—решений дифференциального уравнения (〜 of a aifferential equation) 88, 105.
с вапаздавающим аргументом (〜^ delay 〜^^) 310
—формул дифференцирования назад (〜^the BDF-formulas) 347
—численная (numerical 〜)93, 345
Фаа ди Бруно формула (Faa di Bruno's formula) 159
Фазовое пространство (phase-space) 83
Фазовый поток (flow of the differential equation) 126
ФДН-методы (формулы) (BDF-methods (-formulas)) 308, 331
в представлении Нордсика (
as Norasieck methods) 386, 388
с переменным шагом (〜variable step size 〜)369, 375, 378
,устойчивость (stability of BDF-formulas) 347
Фейгенбаума каскады (Feigenbaum cas
cades) 129
▼ число (〜number) 131
Фельберга методы (Fehlberg's methods) 181, 207
с высшими производными (〜multiderivative ) 270, 301
Форма капель (form of drops) 147, 323, 332
Формула вариации постоянных (variation of constants formula) 72, 105, 108
нелинейная (nonlinear ^〜)106
—Грёбнера—Алексеева(Grobner—
Alekseev 〜)106, 222
—Грина (Green*s 〜)133
—десятого порядка (10-th order 〜) 203 •
—Дормана—Принса (Dormand and Prince 〜)182
—интерполяционная Лагранжа (Lagrange interpolation 〜)222
Ньютона (Newton*s 〜〜)324, 366
с кратными узлами (〜 〜 〜 with multiple nodes) 267
—Лейбница (Leibniz'〜)151
—Эйлера (Euler's 〜)33
—Эйлера—Маклорена(Euler—Mac
laurin 〜)228, 232
Формулы вложенные высоких порядков (embedded formulas of nigh order) 206
—而 непрерывнне (continuous )
Рунге—Кутты (^ RK 〜)178
—дифференцирования назад, см・ ФДН-методы (backward differentiation 〜)
—квадратурные Гаусса (Gaussian quadrature 〜)137, 217
Лобатто (Lobatto 〜〜)219
Радо (Radau 〜〜)213
— линейные многошаговые (linear multistep 〜)323
— оптимальные (optimal ) 144
—Пузе (Pouzet 〜)320
—Фельберга (Fehlberg 〜)180, 206
Фундаментальная лемма (fundamental lemma) 62, 108
—система решений (〜system of solutions) 70
Функции гипергеометрические (hypergeometric functions) 27
—Ляпунова (Liapunov 〜)94, 99
—собственные (eigenfunctions) 113
—Якоби эллиптические (Jacobian el
liptic functions) 252
Функция приращения (increment function) 169
общих линейных методов (*"«^ for general linear methods) 404
—точных значений (correct value 〜) 404
Фурье ряды (Fourier series) 34, 35
Хаммера—Холлингсуорта метод (Hammer and Hollingsworth's method) 213, 214, 217
Характеристические значения (characteristic values) 309
Характеристический многочлен (〜polynomial) 22, 32, 76, 91, 93, 122
Характеристическое уравнение (〜 equation) 22, 33, 89, 309, 346
Химическая кинетика (chemical kinetics) 120
Хойна метод (Heuifs method) 140
Хопфа бифуркация (Hopf bifurcation) 121
Цепное правило (chain rule) 17, 158 Цикл предельный (limit cycle) 115, 131 Циклические многошаговые методы (cyclic multistep methods) 407
Ческино метод (Ceschino's method) 179 Числа Бернулли (Bernoulli numbers) 228, 384
—Стирлинга (Stirling ) 228 Численные примеры, см. Вычислительные примеры (numerical exampls) Число деревьев (number of trees) 156 — условий порядка (<^ order conditions) 163
—Фейгенбаума (Feigenbaum 〜)131 Чувствительность решений (sensitivity of the solutions) 105
Штёрмера методы (Stoermer's methods) 438, 439, 442
—правило (〜rule) 290
Штурма—Лиувилля задача (Sturm— Liouville eigenvalue problem) 111
—система многочленов (Sturm sequence) 90
— теорема (Sturm's theorem) 90
сравнения (〜comparison 〜)112 Шура—Кона критерий (Schur—Cohn criterion) 356
—норма' (Schur norm) 58
—разложение (〜decomposition) 76, 87
—форма матрицы (^ form) 79
Эйлера ломаная (Euler polygon) 13, 38 —метод (〜*s method) 13, 38, 56, 135, 137, 325
неявный (implicit (backward)〜 〜)212, 326
,оценка погрешности (error estimate of ^ ^) 42, 43
,сходимость (convergence of ) 38
——уравнение для вариационной задачи (〜equation for a variational problem) 14, 36
—уравнения (〜's equations) 29
—формула (〜's formula) 33
Эйлера—Маклорена формула (Euler- Maclaurin 〜)228, 232
ЭйткенаНевилла алгоритм (Aitken—
Neville algorithm) 237
Эквивалентность методов PK (equivalence of RK methods) 265
—помеченных деревьев (〜〜labelled trees) 155
ЛГ-деревьев (〜〜〜^-trees) 282
Р-деревьев (〜^Р-trees) 296
Эксперименты численные 290 (см. тж.
Вычислительные примеры)
Экстраполяционные методы (extrapolation methods) 234
для уравнений 2-го порядка (^ 〜for 2nd order equations) 288
Экстраполяция к пределу 力 f 0 (to the limit 九 f 0) 234
—локальная (local ) 210
—по Ричардсону (Ricnardson 〜)175, 189, 233
—рациональная (rational 〜)237
Эле методы (Ehle's methods) 224
Элементарный дифференциал (elementary differential) 154, 156, 281, 297, 298
Эмдена—Фаулера уравнение (Emden— Fowler equation) 30
Энке метод (Encke's method) 438
Эпидемии моделирование (infectious disease modelling) 313
Эрмита интерполяционный многочлеи (Hermite*s interpolation polynomial) 267
Этапы внешние, внутренние (external, internal stages) 408
Ядро вырожденное (degenerate kernel) 319, 320
—Пеане (Peano 〜)341
Якоби матрица (Jacobian) 105
—эллиптические функции (〜elliptic functions) 252
ЯРК (ERK) 139, 213
56 891111121315ww^wn^^^MW^^M^^^M»^^^^ s^ss^s^^56 891111121315ww^wn^^^MW^^M^^^M»^^^^ s^ss^s^^
56 891111121315ww^wn^^^MW^^M^^^M»^^^^ s^ss^s^^
56 891111121315ww^wn^^^MW^^M^^^M»^^^^ s^ss^s^^
Оглавление
Предисловие к руссиому изданию Предисловие
Рлава I. Классическая математическая теория
1.1. Терминология
L2. Наиболее ранние дифференциальные уравнения Ньютон Лейбниц
* Вариационное исчисление Клеро
Уравнения, разрешимые в квадратурах и элементарных фуни- циях Уравнение с разделяющимися переменными Неоднородное линейное уравнение Уравнения в полных дифференциалах Уравнения второго порядка Упражнения
Линейные дифференциальные уравнения Уравнения с постоянными коэффициентами Вариация постоянных Упражнения
Уравнения со слабыми особенностями Линейные уравнения Нелинейные уравнения Упражнения
Системы уравнений Лагранж Фурье Упражнения
Общая теорема существования Сходимость метода Эйлера
Теорема существования Пеано Упражнения
Теория существования решения, основанная на итерационных методах и рядах Тейлора Метод последовательных приближений Пикара Метод рядов Тейлора Доказательство сходимости Рекурсивное вычисление коэффициентов ряда Тейлора..・ Упражнения
Теория существования решения для систем уравнений...・ Векторные обозначения Подчиненные матричные нормы Последовательные приближения Пикара для систем Упражнения
Дифференциальные неравенства Введение
:Фундаментальные теоремы
Оценки с использованием односторонних условий Липшица Упражнения
69707172727575767678808385888889939496979802030506080909U14^^^212125293169707172727575767678808385888889939496979802030506080909U14^^^212125293134373739404445475052525357583437373940444547505252535758
69707172727575767678808385888889939496979802030506080909U14^^^2121252931
69707172727575767678808385888889939496979802030506080909U14^^^2121252931
3437373940444547505252535758
3437373940444547505252535758
Системы линейных дифференциальных уравнений Матрица Вронского (вронскиан) Т ождествоАбеля—Лиувилля——Я коби—Острогр адского
Неоднородные линейные уравнения Упражнения
Системы с постоянными коэффициентами Линеаризация Приведение к диагональному виду Разложение Шура Численные расчеты Каноническая форма Жордана Геометрическое представление Упражнения
Устойчивость:
Введение Критерий Рауса—Гурвица Вопросы численной реализации Функции Ляпунова Устойчивость нелинейных систем Устойчивость неавтономных систем Упражнения
Производные по параметрам и начальным значениям.... Производная по параметру Производные по начальным значениям Нелинейная формула вариации постоянных Упражнения
Краевые задачи и задачи на собственные значения Краевые задачи Задачи Штурма—Лиувилля на собственные значения .... Упражнения
Периодические решения, дредельные циклы, странные аттракторы Доказательство существования Стационарные приближения при 8 Асимптотические решения при малых в Химические реакции Предельные циклы в системах больших размерностей, бифуркация Хопфа Странные аттракторы Каскады Фейгенбаума Упражнения
Глава IL Методы Рунге—Кутты и экстраполяционные методы ....
Первые методы Рунге—Кутты Метод Эйлера для решения начальной задачи Общая формулировка методов Рунге—Кутты
Обсуждение методов порядка 4 «Оптимальные» формулы
Численный пример
Упражнения
Условия порядка для методов Рунге—«утты Производные точного решения
Условия для порядка 3
Деревья и элементарные дифференциалы Разложение Тейлора для точного решения Формула Фаа ди Бруно
Производные численного решения Условия порядка-
Упражнения
П.З. Оценка погрешности и сходимость методов Рунге—Кутты.. Строгие оценки погрешности Главный член погрешности
Оценка глобальной погрешности Упражнения
Практическая оценка погрешности и выбор длины шага... Экстраполяция по Ричардсону
/ Автоматическое управление длиной шага Вложение формулы Рунге—Кутты Формула Дормана и Принса Численное исследование механизма управления длиной шага Численное сравнение методов 4-го порядка Упражнения
Дальнейшие вопросы практических вычислений Плотная выдача Непрерывные вложенные формулы «Неявная» выдача Уравнения с разрывными производными Длина начального шага Численное определение производных по начальным условиям и параметрам Упражнения
Явные методы Рунге—Кутты высших порядков Барьеры Бутчера Шестистадийные процессы пятого порядка Семистадийные процессы шестого порядка Дальнейшие барьеры Бутчера Формула десятого порядка Вложенные формулы высоких порядков Численный пример Упражнения
Неявные методы Рунге—Кутты Введение Существование численного решения
Методы Кунцмана и Бутчера порядка 2s НРК-методы, основанные на квадратурной формуле Лобатто НРК как коллокационные методы Упражнения
П.8. Асимптотическое разложение глобальной погрешности..・ Локальная погрешность Глобальная погрешность Примеры
Переменная длина шага Отрицательные значения А
Свойства присоединенного метода Симметричные методы
Упражнения
П.9. Экстраполяционные методы Определение методы::.
Алгоритм Эйткена—Невилла
^^^^^^^ — ^^^183185187188188⑼192192194195196198198200202202203206209211212212214217219220224226縱228229229230232232234234237237237^^^^^^^ — ^^^183185187188188⑼192192194195196198198200202202203206209211212212214217219220224226縱228229229230232232234234237237237Рациональная экстраполяция Вычислительный пример:.
^^^^^^^ — ^^^183185187188188⑼192192194195196198198200202202203206209211212212214217219220224226縱228229229230232232234234237237237
^^^^^^^ — ^^^183185187188188⑼192192194195196198198200202202203206209211212212214217219220224226縱228229229230232232234234237237237
238 239 241 242 243243 244247 248252 255 256 257 258258 259 263 264 265238 239 241 242 243243 244247 248252 255 256 257 258258 259 263 264 265270272274270272274276 277279 282 284 285287 288 290 292292276 277279 282 284 285287 288 290 292292306308309310311313315317306308309310311313315317
238 239 241 242 243
243 244
247 248
252 255 256 257 258
258 259 263 264 265
238 239 241 242 243
243 244
247 248
252 255 256 257 258
258 259 263 264 265
270
272
274
270
272
274
276 277
279 282 284 285
287 288 290 292
292
276 277
279 282 284 285
287 288 290 292
292
306
308
309
310
311
313
315
317
306
308
309
310
311
313
315
317
Экстраполяция с помощью симметричных методов Метод Грэгга, нли ГБШ Сглаживающий шаг Вычислительный алгоритм и пример Асимптотическое разложение для нечетных индексов Существование явных методов Рунге—Кутты произвольного порядка Управление порядком и длиной шага Численное исследование комбинированного управления длиной шага и порядком
Упражнения
Сравнение вычислительных качеств Результаты расчетов
Пример с негладким решением Заключение
Композиция В-рядов
Композиция методов Рунге—Кутты В-ряды Условия порядка для методов Рунге—Кутты «Эффектный порядок» Бутчера Упражнения П.12. Методы, использующие старшие прои^рдные
Коллокационные методы Методы Фельберга Общая теория условий порядка Упражнения
Численные методы для дифференциальных уравнений второго порядка Методы Нюстрема Производные точного решения Производные численного решения
Условия порядка
/ О конструировании методов Нюстрема Глобальная сходимость Программная реализация методов Нюстрема Численные эксперименты Система высших порядков Упражнения П.14. P-ряды для разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений Производные точного решения; Р-деревья Р-ряды
Методы Рунге—Кутты с нарушением условия (1・9)・・・・ Методы Фельберна Методы Нюстрема Упражнения П.15. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
Существование Методы с постоянной длиной шага для прстоянного запаздывания Методы с переменной длиной шага Характеристические значения экспоненциальных решений Устойчивость
Пример из динамики популяций Моделирование эпидемии Пример из кинетики ферментативных реакций Одна математическая модель в иммунологии
318319322323324325327328329330332334334336338340341343345347351355359361363365366366^^33 33э 3 333 333 33 33 3 333 3 33333 33 3 3318319322323324325327328329330332334334336338340341343345347351355359361363365366366^^33 33э 3 333 333 33 33 3 333 3 33333 33 3 37071767879»2^7№8)899090929699юз0404ю91215171 92121 ззззз&®&@3333344444444447071767879»2^7№8)899090929699юз0404ю91215171 92121 ззззз&®&@333334444444444
318319322323324325327328329330332334334336338340341343345347351355359361363365366366^^
33 33э 3 333 333 33 33 3 333 3 33333 33 3 3
318319322323324325327328329330332334334336338340341343345347351355359361363365366366^^
33 33э 3 333 333 33 33 3 333 3 33333 33 3 3
7071767879»2^7№8)899090929699юз0404ю91215171 92121 ззззз&®&@333334444444444
7071767879»2^7№8)899090929699юз0404ю91215171 92121 ззззз&®&@333334444444444
Интегро-дифференциальные уравнения Упражнения
Глава III. Многошаговые методы и общие линейные методы
III.1. Классические линейные многошаговые формулы Явные методы Адамса
, Неявные методы Адамса Рекуррентные соотношения для у»；..
Явные методы Нютрема Методы Милна—Симпсона Методы, основанные на дифференцировании Упражнения
III.2. Локальная погрешность и условия порядка Локальная погрешность многошагового метода Порядок многошагового метода Константа погрешности многошаговых методов Неприводимые методы Ядро Пеано многошаговых методов Упражнения
Ш.З. Устойчивость и первый барьер Далквиста Устойчивость формул дифференцирования назад Наивысший достижимый порядок устойчивых многошаговых методов Упражнения
IIL4. Сходимость многошаговых методов Представление в виде одношагового метода Доказательство сходимооти Упражнения
III.5. Многошаговые методы с переменным шагом Методы Адамса с переменным шагом Рекуррентные соотношения для g» (л), Ф； (л) и Ф/ (л).... Формулы дифференцирования назад с переменным шагом... Многошаговые методы общего вида с переменным шагом и их порядок согласованности Устойчивость Сходимость Упражнения
III.6. Методы Нордсика
Эквивалентность многошаговым методом Неявные методы Адамса ФДН-методы Упражнения
П1.7. Реализация и численное сравнение Выбор шага и порядка Некоторые распространенные программы Сравнение численных результатов Уравнения в частных производных
III.8. Общие линейные методы Общая процедура интегрирования Примеры метода (8.4) Устойчивость и порядок Сходимость Условия порядка для общих линейных методов Построение общих линейных методов Упражнения
П1.9. Асимптотическое разложение глобальной погрешности... Поучительный пример
дов (8.4) 423Слабо устойчивые методы 428Сопряженный метод 431Симметричные методы 434Упражнения 435дов (8.4) 423Слабо устойчивые методы 428Сопряженный метод 431Симметричные методы 434Упражнения 435Асимптотическое разложение для сильно устойчивых мето
дов (8.4) 423
Слабо устойчивые методы 428
Сопряженный метод 431
Симметричные методы 434
Упражнения 435
дов (8.4) 423
Слабо устойчивые методы 428
Сопряженный метод 431
Симметричные методы 434
Упражнения 435
J72S怜и13им1617юю)0)2^ю^ю^ю ^^^^0-^^-^^^^^ ^47494949J72S怜и13им1617юю)0)2^ю^ю^ю ^^^^0-^^-^^^^^ ^47494949III. 10. Многошаговые методы для дифференциальных уравнений второго порядка Первые методы Задача Штермера Методы более высокого порядка Общая формулировка Условия устойчивости Одношаговое представление метода (10.19) •Согласованность и сходимость Асимптотическая формула для глобальной погрешности... Порядковый барьер для устойчивых методов (10.19). .... Погрешности округления Упражнения
J72S怜и13им1617юю)0)2^ю^ю^ю ^^^^0-^^-^^^^^ ^47494949
J72S怜и13им1617юю)0)2^ю^ю^ю ^^^^0-^^-^^^^^ ^47494949
Приложение. Программы на Фортране，
Литература Дополнительная литература Указатель обозначений Предметный указатель
Научное взданне
Эрнст Хайрер, Сиверт Пауль Нбрсетт, Герхард Ваннер - РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕ РЕ НЦИА ЛЬ Н Ы X УРАВНЕНИИ
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. ПоповНаучн. редактор С. В. ЧудовМл. научи, редактор Т. Ю. ДехтяреваХудожник Г. М. ЧеховскийХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор А. Л. ГулинаКорректор Т. И. Стнфеева
ИБ № 7026
Сдано в набор 20.02.89. Подписано к печати 16.11.89.
Формат 60 X 90*/«. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Гарнитура литературная. Объем бум. л. 16,00.
Усл. печ. л. 32,00. Усл. кр.-отт. 32,00. Уч.-изд. л. 27,38.
Изд. № 1/6445. Тираж 14 000 эка. Зак. 736. Цена 2 р. 20 к.
Издательство «Мир»В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССРпо печати,
129820, ГСП, Москва, Рижской пер., 2.
Типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени издательства «Машиностроение»при Государственном комитете СССР по печатн,193144. г. Ленннград, ул. Моисеенко, 10.
числочисло вычисле*максимальная
шаговний функциипогрешность
Э.Хайрер С.Нёрсетт Г Ваннер
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Нежесткие задачи
Издательство «Мир»
F. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner
SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS I Nonstiff Problems
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Э. Хайрер
С. Нёрсетт Г Ваннер
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Нежесткие задачи
Перевод с английского
И. А. Кульчицкой и С. С. Филиппова под редакцией С. С. Филиппова
Москва <Мир> 1990
ББК 22.193 + 22.161.6
Х15
УДК 517.91
Хайрер Э.у Нёрсетт С・，Ваннер Г.
Х15 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. —М.: Мир, 1990. —512 с., ил.
ISBN 5-03-001179-Х
Книга известных математиков (Швейцария, Норвегия), дающая картину современного состояния теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложены основные теоретические результаты, приведены наиболее употребительные численные методы, дано большое число примеров практических применений в физике и прикладных науках. Представлены тексты программ на Фортране.
Для математиков-прикладников и всех, кто в своей работе встречается с решением дифференциальных уравнений, для аспирантов и студентов вузов.
X31 31-90ББК 22.193 + 22.161.6
041 (01)-90
Редакция литературы по математическая гадкая
ISBN 5г03-00П79-Х (русск.) © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987.
ISBN 3-540-17145-2 (англ,)All rights reserved. Authorized translation
from English language edition published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
© перевод на русский сю叫 <Аир», 1990