ОТ РЕДАКТОРА

Хорошего мастера отличает прежде всего забота об инструменте. Инструмент экономиста-исследователя — это методологические приемы построения, анализа и применения моделей. Качество этого инструмента в значительной степени предопределяет качество результатов работы экономиста.

Предлагаемая читателю монография Р. Л. Раяцкаса и М. К. Плакунова «Количественный анализ в экономике» посвящена именно инструментарию экономической науки, и прежде всего тех ее областей, в которых используются количественные методы анализа экономических процессов и явлений. Не будем пересказывать содержание книги, рекламировать достижения авторов и указывать наряду с ними на отдельные незначительные недостатки. Квалифицированный читатель сам проследит за логикой авторов и, несомненно, сделает это с интересом. Возможно, он согласится не со всеми выводами авторов, но, думается мне, оценит всю важность и сложность вопросов, разбираемых в этой книге. И в дальнейшем, разрабатывая количественную модель экономической системы или анализируя модель, он еще не раз вернется к этой книге — и не только потому, что работ по методологии количественных методов анализа в экономике до обидного мало. Нельзя не отметить также, что монография содержит целый ряд принципиально новых и важных решений проблем экономической науки.

Академик Н. П. Федоренко

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современная наука, в том числе и экономическая, немыслима без математики. Но применение математических методов, и в первую очередь количественных, в конкретной области знания требует решения ряда методологических проблем. В предлагаемой монографии делается попытка восполнить существующие в экономической литературе пробелы по этим вопросам.

Первая глава посвящена выяснению роли, которую математика может играть и играет в экономической науке. Экономико-метематические методы иногда обвиняют в абстрактности и в отрыве от жизни. Несомненно, экономико-математические модели должны быть нацелены на решение практических задач. Но практичность должна быть дальновидной. Например, занятия Г. Минковского абстрактной геометрической теорией чисел позволили ему сформулировать специальную теорию относительности, используя аппарат теории конусов в четырехмерном пространстве; позднее выяснилось, что результаты Г. Минковского являются фундаментальными для таких общепризнанных математических методов решения экономических задач, как линейное программирование, теория двойственности, линейные экономические модели производства и роста. Поэтому мы рассматриваем различные точки зрения на отношение математики к действительному миру. Наш вывод сводится к следующему: математика — это эффективное средство построения гипотез, согласованных с наличным знанием о действительном мире.

Построение теорий, моделей связано с идеализацией. Но идеализация не результат применения математики, а необходимый элемент любой науки. Отрыв от реальности при этом возможен,— это «издержки производства», и зачастую издержки слишком высокие. Контроль за этими издержками осуществляется с помощью правил соответствия между идеальными и эмпирическими объектами, и в частности благодаря операциональное™ определений.

Обсуждению этих вопросов посвящена остальная часть главы первой.

Математика не является наукой только о числах и операциях над ними. Математические методы в экономике не сводятся только к операциям с количествами. Но количественные методы занимают среди прочих математических методов первое место: в конце концов надо прийти к числам — объемам выпуска и спроса, ценам, срокам и т. п., т. е. к переменным, измеренным в количественной шкале. Вопросам теории измерения, и в первую очередь представлению экономических переменных в количественной шкале, посвящена вторая глава. Ключевой момент в теории измерений — проблема адекватности, т. е. выяснение, какие операции над числами, представляющими экономические величины, осмысленны. На теории шкал и решении проблемы адекватности основан анализ размерностей — мощное и простое средство построения и логической проверки количественных моделей — средство, которое незаслуженно мало используется в экономических исследованиях. Мы рассматриваем некоторые примеры, показывающие эффективность использования анализа размерностей, в частности, в решении проблемы идентификации функции спроса.

Третья глава, вероятно, вызовет у некоторых экономистов возражения. Дело в том, что в этой главе мы показываем, что традиционные методы анализа хозяйственной деятельности, такие, как, например, так называемый индексный метод, непригодны для анализа хозяйственной деятельности, поскольку они основаны на преобразовании одних тавтологий в другие. С помощью одних только определений и тождеств нельзя описать процессы производства, распределения, потребления, принятия решений и т. п. Нужны, как минимум, уравнения преобразования, которые описывают зависимости, существующие не только по определению, но и реально. Для построения таких зависимостей необходимо привлечение методов корреляционного и регрессионного анализа. Обсуждением проблемы ложной корреляции мы заканчиваем третью главу.

Заявление «математически точно доказано, что это так, а не иначе» либо не имеет смысла, либо имеет двойной смысл. Действительно, математически точно можно доказать, что сумма углов треугольника равна 180° и что сумма углов треугольника не равна 180°. Первое утверждение верно в геометрии Евклида, второе — в неевклидовых геометриях. Истинность в науках о природе и об-

ществе — соответствие теории реальному положению дел; истинность в математике — это соответствие исходным посылкам. Математика — лишь способ выдвижения гипотез, согласованных с наличным знанием. Поэтому трудно переоценить важность проверки выдвинутых гипотез в любом случае — и тогда, когда математика используется, и тогда, когда она не используется в экономической науке. Результаты наблюдений практически всегда подвержены случайным влияниям, поэтому проблема проверки гипотез не может быть решена (за редким исключением) без привлечения средств математической статистики. Вопросам измерения значений количественных переменных, в частности допустимости использования для этого экспертных оценок, и идентификации моделей посвящена глава четвертая.

В пятой главе мы рассматриваем проблему практического применения количественных моделей в планировании и прогнозировании экономических систем. Существенным отличием наук об обществе от наук о природе является необходимость учета в первых целенаправленного поведения. Эта проблема выходит за рамки экономической науки и служит объектом изучения в философии, психологии, биологии, кибернетике. Вопросы построения системы целей и описания их в виде некоторой целевой функции занимают центральное место в концепциях оптимального функционирования и управления социалистической экономикой. Математические методы незаменимы при анализе этих вопросов в таких областях, как перевод утверждений о целях с языка предпочтений на язык функции полезности, установление связи между функциями полезности и спроса, выяснение условий существования функций полезности и правил агрегирования этих функций, удовлетворяющих определенным условиям, выбор наилучших решений и т. п. Этим вопросам посвящена первая часть главы пятой.

Во второй части данной главы обсуждаются проблемы прогнозирования развития социально-экономических процессов. Принципиальная возможность прогнозирования обеспечивается существованием причинно-следственных связей социально-экономических процессов. Но расстояние между принципиальной возможностью и осуществлением этой возможности на практике может оказаться довольно большим, и для его преодоления обычно требуются большие затраты усилий экономистов на разработку, проверку, уточнение, отбрасывание и принятие mq-

делей социально-экономических объектов и систем. Было бы непростительным легкомыслием сводить эту работу к арифметическим операциям над экспертными оценками. Сравнительным анализом модельных и экспертных методов прогнозирования заканчивается эта глава.

Мы надеемся, что наша работа по крайней мере привлечет внимание экономистов — как практиков, так и тех, кто разрабатывает сложные теоретические модели,— к методологическим проблемам, обсуждаемым в этой книге.

Авторы выражают признательность В. Кондротене и Д. Бавер за помощь в подготовке рукописи к изданию.

Глава первая

РОЛЬ МАТЕМАТИКИ

В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКЕ

«За» и «против» математических методов

Математические методы в экономической науке

В области применения экономико-математических методов достигнуты большие результатых. Однако причин для закрытия вопросов о границах применения математических методов, о границах применения количественных методов в экономике нет. Включение понятия «оптимальность» в систему экономических категорий остается, скорее, программой исследований, чем достигнутым результатом. К этому следует добавить появление новых или актуализацию старых проблем экономической теории и практики социалистического хозяйствования. Так,; В. А. Медведев, анализируя основные вопросы экономической теории на современном этапе, отмечает: «Существенно продвинулась разработка ряда актуальных проблем в экономической литературе. Однако экономическая теория, в том числе политическая экономия, еще остается в серьезном долгу перед потребностями современного этапа развития страны. Она еще не дает достаточно полного и адекватного отражения качественных изменений в экономике, обоснования подходов, путей и методов решения задач перевода народного хозяйства на рельсы интенсивного развития» [283, с. 235]. В частности, нельзя считать вполне решенными вопросы определения эффективности производства, капитальных вложений, согласования интересов производителей, потребителей и всего народного хозяйства, включения в практику плановых расчетов характеристик потребительной стоимости и ряд др. Экономическая наука ощущает давление со стороны смежных

Применению математики в естественных науках посвящена довольно обширная литература, см., например, [46], [49], [50], [75], [82], [101], [119], [123], [205], [206], [237], [275], [493], [514], [303]. Краткие очерки истории проникновения математических методов в экономику см. в [138], [265].

дисциплин. Так, вес еще слабо исследованы многие экономические вопросы защиты окружающей среды.

Приведенный перечень проблем заведомо неполон, включает проблемы различной важности, но тем не менее он ясно показывает, что роль математических, в том чис-, ле количественных, методов в экономике должна возрасти. При этом нельзя сводить дело только к расчетам на ЭВМ. По словам С. С. Шаталина: «Математические методы — это не средство математической интерпретации экономических законов, а мощный инструмент их выявления и теоретического формулирования...» [476, с. 25].

Вопросы возможности и необходимости применения математики в экономике в 60-е годы были дискуссионными. В редакционном комментарии к материалам совещания «За круглым столом» математиков и экономистов, организованного в марте 1964 г. редакциями журнала «Soviet Life» (для США) и «Экономической газеты», по этому поводу было сказано следующее: «Хотя на совещании... не было ни одного выступления против принципиальной возможности применять математические методы в экономике, вопрос о практическом значении экономико-математических методов, о границах их применения и других жизненно важных проблемах развития социалистической экономики был предметом острой творческой дискуссии. Какие же аргументы выдвигаются сейчас против нового направления экономической науки? Первая группа возражений состоит в том, что экономико-математические методы по самому своему существу пригодны лишь для количественного анализа, а этот анализ якобы может играть только подсобную роль при исследовании экономических явлений. Поэтому, дескать, неправильно считать, что новые методы могут оказать значительную помощь в решении важных проблем экономической теории и содействовать созданию более совершенной системы управления народным хозяйством. Вторая группа возражений состоит в том, что существующие экономико-математические методы будто бы основываются не на теории трудовой стоимости, а на положениях, заимствованных из вульгарной политической экономии. В частности, утверждают, что последовательное проведение идей оптимального программирования ведет в лоно буржуазной школы предельной полезности. С этой позиции резко критикуются так называемые объективно обусловленные оценки, автором которых является Л. В. Канторович. Третья группа возражений относится к вопросам,

связанным с применением современной вычислительной техники. По мнению некоторых, эта техника нужна только для механизации существующих процессов учета и планирования, где она ускорит расчеты и сократит их трудоемкость, а следовательно, применение электронных вычислительных машин (ЭВМ) не ведет к коренному усовершенствованию методов руководства социалистическим производством» [488, с. 10—11].

Авторы цитируемого комментария к материалам совещания 1964 г. выдвинули ряд аргументов против этих возражений. В частности, они писали: «Однобокое развитие методологии экономической науки — пренебрежение количеством и гипертрофированный рост чисто качественных методов анализа — не осталось безнаказанным. До сих пор экономисты бьются над проблемами планового ценообразования, решить которые без применения современных экономико-математических методов вообще не представляется возможным. Не разработана система показателей, достижение которых удовлетворяло бы одновременно интересы потребителей, производителей и народного хозяйства в целом. Не найдены достоверные способы измерения эффективности общественного производства. Ждет приемлемого решения проблема материального стимулирования результатов труда» [488, с. 12—13]. При этом они отмечали, что «нельзя считать, что преодоление недостатков методологии экономической науки должно состоять в замене качественных методов количественными... Не противопоставление, а соединение качественных и количественных методов при разработке назревших проблем развития социалистического хозяйства — вот тот путь, на котором экономическая наука сможет добиться результатов, отвечающих современным требованиям» [488, с. 13].

С тех пор, когда были написаны эти слова, прошло много времени. Практически сменилось целое поколение экономистов. В целом прав С. С. Шаталин, считающий, что «споры о том, применять или не применять математические методы в научном анализе экономических отношений в социалистическом обществе, которые еще не так давно были предметом горячих дискуссий, ныне ушли в прошлое...» [476, с. 24]. И все-таки это утверждение нельзя признать полностью соответствующим положению дел. Многие моменты этих дискуссий не утратили актуальности и сегодня. Например, трудно переоценить роль тео рии игр в экономической науке и в других общественных

науках. Но в работе В. В. Потапова читаем: «С точки зрения изучения экономических процессов и явлений теория игр, а в ее рамках и теория ожидаемой «полезности», отражала процесс дальнейшего применения математических методов в экономике. Этому сопутствовало все большее обеднение содержания буржуазной политэкономии, ибо в рамках теории игр экономическая действительность изображалась в виде игры определенного числа субъектов капиталистического хозяйства. Следовательно, характерными для данной концепции чертами были рассмотрение капиталистической экономики только в плоскости ее функционирования, заключение экономических процессов и явлений в прокрустово ложе математического анализа и сведение их к игре, логику и результаты которой и исследует теория игр. Для нее характерно также изучение объективной хозяйственной деятельности лишь с точки зрения ее субъектов — участников игры» [355, с. 91].

В. В. Потапов пишет о применении теории игр к анализу только капиталистического хозяйства. Однако естественно возникает сомнение в плодотворности применения теории игр к анализу социалистического хозяйства — не будет ли это только игрой, имеющей целью втиснуть экономические процессы и явления в прокрустово ложе математического анализа? О том, что такая возможность не исключена, предупреждает, например, К. Рихтаржик: «Ошибочны и гносеологически сомнительны попытки абсолютизации некоторых особенностей математических и кибернетических методов так же, как и тенденция выдавать математику и кибернетику за всеобщий метод. Анализ любой общественной системы и поиски оптимальных условий ее существования не могут быть освобождены от понимания генезиса и причинных зависимостей данного явления» [384, с. 115]. Получается, что, с одной стороны,— понимание генезиса и причинных зависимостей, т. е. то, что надо, а с другой стороны,— математические и кибернетические методы.

Если это противопоставление справедливо, то справедлив и вынесенный В. В. Потаповым приговор теории полезности (и не только ей): «С середины 30-х годов XX века она (теория полезности.— Авт.) превращается в своеобразную лабораторию, в которой ведутся опыты по внедрению нового направления вульгаризации — формализация экономической теории, т. е. замене методов социально-экономической абстракции методами символической логики и математики. Поскольку для математики и логи-

ки не важна природа изучаемых явлений, главное, чтобы они поддавались количественному описанию, обе науки оказались поистине находкой для буржуазных апологетов. Логический позитивизм, сыгравший решающую роль в их распространении в экономической науке Запада, не только указал вульгарной политэкономии новое направление исследований, но и дал ему теоретическое обоснование» [355, с. 132—133].

Итак, логика и математика — находка для буржуазных апологетов. Может ли в таком случае идти речь о математике как мощном инструменте выявления и формулирования экономических законов!

Математическая школа и ее критики

И в дискуссиях 60-х годов о роли математики в экономике и сейчас неоднократно делались и делаются ссылки на западных экономистов, использующих в своих исследованиях математические методы. Существование так называемой «математической школы» служило основой для опасений, что математика несовместна с марксистско-ленинским экономическим учением. Наиболее отчетливо эти опасения были высказаны М. В. Колгановым: «Первый вопрос — о марксизме и математике. Марксизм, конечно, никогда не выступал против математики, но марксизм всегда выступал против математической школы политической экономии, которая, кстати говоря, возникла раньше марксизма и остается таковой по настоящий день. Есть ли опасность в том, что вместе с применением математики к нам проникнут и неправильные идеи, которые защищает эта математическая школа? Есть» [488, с. 163].

Что же такое, эта математическая школа? В последнем издании Большой советской энциклопедии читаем: «Математическая школа, одно из направлений в буржуазной политической экономии. Возникла во 2-й половине 19 в. Основатель М. ш.— Л. Вальрас, видные представители — В. Парето, У. Джевоне, Ф. Эджворт, И. Фишер, Г. Кассель, К. Викселль. Из предшественников М. ш. наиболее известны А. Курно и Г. Госсен. Специфич. особенность теоретических построений М. ш.— ориентация на марджинализм. Активное использование предельных категорий (предельная полезность, предельная эффективность, предельная производительность), прин-

ципа убывания полезности и принципа редкости роднит М. ш. с австрийской школой. Однако место М. ш. в истории экономической науки определено тем, что она придает решающее значение математике как методу изучения экономических явлений. Именно этот принцип объединил порой сильно отличавшихся по своим экономическим взглядам ученых в рамках М. ш. ...» [280, с. 485]. В сборнике «Математические методы анализа экономики», вышедшем в 1983 г. под ред. А. Я. Боярского и предназначенном для студентов экономических факультетов и экономистов — для их первого ознакомления с предметом, в статье М. Г. Щепинова о математической школе сказано следующее: «В буржуазной политической экономии XIX в. наряду с другими школами оформилось направление, получившее название ,,Математическая школа в буржуазной политической экономии44. Представители этой школы Курно, Джевоне, Эджворт, Вальрас, Кассель, Дмитриев, Парето и другие широко использовали в своих работах математические методы как средство описания своих теорий и как метод анализа экономических явлений и процессов. В поле зрения этих экономистов были главным образом вопросы рыночной конъюнктуры, они стремились в первую очередь познать и количественно описать законы движения товарных цен на стихийно складывающемся капиталистическом рынке, используя математику для поиска функциональных связей в изменениях цен, спроса и объемов производства и товарных запасов. В некоторых работах этих экономистов большое внимание уделялось проблеме поиска структурной устойчивости общественной производственно-экономической капиталистической системы хозяйства — решению так называемой проблемы ,,всеобщего равновесия44. Теоретической основой математических схем и построений представителейэтойшколыбыла в основном теория предельной полезности, количественные аспекты которой они пытались развивать. Вследствие порочности теоретической основы и ограниченности известных в то время математических средств в экономическом анализе успехи экономистов этой школы в решении экономико-математических задач и ее вклад в развитие буржуазных экономических теорий были весьма скромными...» [281, с. 9].

Итак, «математическая школа» повинна в том, что: 1) использовала математику;

пыталась решать актуальные проблемы управления капиталистическим производством, сбытом, потреб-

лением и т. д. и для этого строила количественные модели взаимосвязей между спросом, предложением, ценами и^т. п.;

в своих работах использовала такие понятия, как «полезность», «предельная полезность» и другие «предельные категории», а попросту говоря,— производные и частные производные функциональных зависимостей.

В какой степени все это противоречит марксизму?

Приведем еще две цитаты. «В будущем обществе... количество времени, которое будут посвящать производству того или другого предмета, будет определяться степенью общественной полезности этого предмета» [1, т. 4, с. 97]. Вторая: «...План будет определяться в конечном счете взвешиванием и сопоставлением полезных эффектов различных предметов потребления друг с другом и с необходимыми для их производства количествами труда. Люди сделают тогда все это очень просто, не прибегая к услугам прославленной ,,стоимости44» [1, т. 20, с. 321]. Первая из этих цитат взята из «Нищеты философии» К. Маркса, вторая — из «Анти-Дюринга» Ф. Энгельса.

Из воспоминаний П. Лафарга известно, что К. Маркс считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой» [102, с. 66]. Известно также, что К. Маркс неоднократно пытался — для анализа кризисов — вычислить эти «пр and downs» как неправильные кривые и думал математически вывести из этого главные законы кризисов [1, т. 33, с. 72].

Разумеется, по ряду основных, коренных вопросов марксизм и взгляды В. Парето. Л. Вальраса и других представителей так называемой математической школы несовместимы. Но это не вопросы о применении математики, использовании функции полезности и ее «несчастных» производных, об анализе циклов, спроса и т. п.— расхождение и непримиримое есть по вопросам, связанным с трудовой теорией стоимости, с теорией прибавочной стоимости, капиталистической эксплуатации, с классовым подходом к анализу социально-экономических систем, с анализом системы производственных отношений в их исторической и преходящей обусловленности и т. п. Нельзя не согласиться с А. Г. Гранбергом, который довольно высоко оценивает вклад «математической школы»

в разработку количественного аспекта многих экономических проблем, в частности: «В современную экономическую науку вошли и широко используются понятия кривых безразличия и ядра экономической системы Ф. Эджворта, понятие многоцелевого оптимума В. Парето, модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, формула исчисления полных затрат труда и других ресурсов В. Дмитриева» [138, с. 12]. В то же время А. Г. Гранберг отмечает, что «значение первых экономистов-математиков серьезно ограничивалось субъективистско-психологической трактовкой многих политэкономи- ческих категорий, статическим характером анализа... отказом от исследования системы производственных отношений» и тем, что «труды математической школы не имели практических приложений» [138, с. 12].

Нам представляется, что анализ работ представителей так называемой математической школы, сделанный И. Г. Блюминым в первой главе его фундаментального труда, и выводы из этого анализа, кочующие по кратким руководствам «для первого ознакомления» и энциклопедиям, несколько устарели. К представителям этой школы необходим объективный (т. е. учитывающий исторические условия, уровень развития математики и статистики и т. д.) и дифференцированный подход. Никто из перечисленных выше представителей «математической школы» не был марксистом, но они по разному относились к марксизму и испытали разное влияние марксизма. Для зачисления таких ученых с различной идеологической ориентацией, как В. К. Дмитриев, В. Парето, А. Курно и других, в одну «школу» нужны более серьезные основания, чем те, которые приведены в БСЭ: использование математики, теории полезности и г. д. На необходимости дифференцированного подхода к представителям «математической школы» настаивает, в частности, экономист из ГДР Г. Леманн: «Эта привлекавшая пока мало внимания разница между вульгарно-экономическим предельным анализом и подобным анализом, связанным с классической трудовой теорией стоимости, особенно важна теперь, когда в политической экономии социализма растущую роль играет связь между оптимизацией экономических явлений и марксистской теорией стоимости» (цит. по: [18, с. 299]).

Критика математических методов в западной экономической науке

Применение математических методов в экономических науках никак нельзя связывать с западной экономической наукой. Многие ведущие экономисты Запада крайне отрицательно относились к применению математики.

Так, Е. фон Бем-Ваверк, один из лидеров «субъективной школы», которого называют «буржуазным Марксом» [395, с. 174], полагал, что использование математики приводит к порочному кругу в рассуждениях [73]. Характеризуя работы близких ему по ряду теоретических представлений о стоимости, полезности и т. п. У» С. Джевон- са и Л. Вальраса, которые активно использовали математику в своих исследованиях, Бем-Ваверк писал: «Близко подходят к воззрениям Менгера остроумные руководители ,,математического направления11 в политической экономии, хотя их исследования по логической ясности и законченности и уступают исследованиям первого...» [73, с. 20—21]. «Основные идеи (теории предельной полезности.— Прим. авт.)... были развиты в немецкой экономической литературе задолго до Вальраса и Джевонса; правда, они не облечены здесь в математическую форму, но зато изложены с необычайною ясностью и вполне самостоятельно: мы говорим об ,,основаниях политической экономии1 ‘... Менгера» [74, с. 170]. Математика рассматривается Бем-Баверком только как один из способов изложения экономической теории, причем не самый лучший: теряется якобы «ясность и логическая строгость» изложения.

Еще более решительно выступал против математических методов в экономике такой видный представитель «австрийской школы», как Л. фон Мизес [505]. По его мнению, «...математический метод должен быть отвергнут не только потому, что он бесплоден. Это совершенно неправильный метод, исходящий из неверных предпосылок и ведущий к ошибочным выводам. Строящиеся в соответствии с этим методом силлогизмы не только лишены практической ценности, они отвлекают от изучения реальных проблем и искажают соотношения между различными явлениями» [395, с. 205]. Характеризуя взгляды Мизеса на математические методы в экономике, Б. Селигмен отмечает: «Когда задача заключается в том, чтобы опровергнуть социалистическую теорию всеобщего благосостояния, да и любую другую разновидность социализма, преследу-

ющую ту же цель, то при этом существенную роль играет отрицание математических расчетов» [395, с. 206].

Сам Б. Селигмен в своем обширном труде по истории экономической науки довольно холодно отзывается о применении математики в экономике. Основные упреки сводятся к тому, что язык математики не понятен и что математика не добавляет ничего нового к старым экономическим теориям. «В настоящее время многие теоретики, очарованные методами анализа, которые они создают и перекраивают, описывают эти проблемы (экономические.— Прим, авт.) совершенно непонятным языком, языком символов и формул, результаты которых мало что добавляют к тому, что может сказать ,, литературный11 экономист... Математика может оказать помощь в четкой постановке проблемы, но она не делает лучшим экономистом того, кто ее использует... Умение манипулировать символами не означает повышения квалификации экономиста как экономиста» [395, с. 534]. И далее Б. Селигмен с некоторой горечью констатирует: «...Тем не менее, математический аппарат принят на вооружение и его ничем нельзя заменить, даже если кто-либо и захотел бы сделать это» [395, с. 534]. Описывая взгляды институционалистов, которые, так же как и представители «исторической школы», считали применение математики в экономике бесполезным и даже вредным занятием, Б. Селигмен фактически солидаризируется с ними в этом вопросе. Он пишет: «Хотя точность математической формулы действительно изящна, она в то же время обманчива. Институционалисту новая политическая экономия представляется чем то вроде шахматной игры, и польза от нее — примерно такая же, как от шахмат. К сожалению, большинство экономистов ныне предпочитают эту игру в шахматы» [395, с. 75].

Традиция философской критики применения математики в естественных и социальных науках

Критика математики и ее приложений в других научных дисциплинах имеет, по-видимому, такую же длинную историю, как и сама математика. Античный мир в общем лояльно относился к занятиям математикой, хотя от нее не ожидали и не требовали серьезных практических приложений, с его упадком начался застой [412]. Когда же

интерес к науке возобновился, Р. Бэкону пришлось доказывать силу математики «в науках, мирских делах и занятиях» [71, с. 865]. Среди прочих аргументов в пользу математики Р. Бэкон приводил и такой: «...Для нас естествен путь от легкого к трудному. А эта наука самая легкая, что очевидно из того, что она доступна уму каждого. Ибо миряне и люди, вовсе не умеющие читать и писать, умеют чертить, и считать, и петь, а все это —математические занятия... даже самые грубые духовные лица способны изучить математику, хотя бы они и были непригодны к постижению иных наук» [71, с. 867].

Р. Бэкон указывал на то, что пренебрежение математикой «уже на протяжении 300 или 400 лет разрушило всякое знание у латинян» [71, с. 865], в то время как конкуренты — магометане — достигли заметных успехов в развитии науки и техники. Однако и у правоверных мусульман математика вызывала подозрения. Газали, живший примерно за два века до Р. Бэкона, отмечал, что «мало существует людей, занимающихся математикой и не становящихся при этом вероотступниками и не скидывающих ^ голов своих узд благочестия» [106, с. 745]. Однако Газали предостерегал «невежественных друзей ислама»: «Большое преступление перед религией совершают люди, решившие, что исламу можно помочь отрицанием математических наук» [106, с. 746].

Обзор критики математики как таковой и анализ этой критики выходят за рамки данной работы, которая посвящена поиску границ применения количественных методов в экономике. Однако интерес представляет хотя бы краткий обзор возражений против применения математики в различных областях знания.

Уже к началу прошлого столетия математические, и в частности количественные, методы позволили получить ряд фундаментальных результатов в естественных науках, в первую очередь в физике. Но эти успехи не устранили сомнений в необходимости и даже возможности применения математики в физике. Возражения, которые делались против применения математики в физике, в то время поучительны; кроме того, именно в то же время как реакция на успехи математики в физике возникло серьезное обоснование концепции, в соответствии с которой утверждалось, что даже если математика пригодна для решения физических проблем, то ее нельзя использовать для решения проблем социологических, психологических, экономических и т. д.

Сомнения в возможности применения математики в физике были четко и ясно сформулированы, в частности, профессором физики, минералогии и сельского хозяйства Московского университета М. Г. Павловым в 1837 г. в статье «О неуместности математики в физике». Его аргументация поучительна и сводится к следующему: «Истина есть сходство наших понятий с предметом понимаемым, а с тем вместе она есть и знание... Если каждая наука есть определение, т. е. изъятие из всего многоразличия определенного и неопределенного, то одна наука в другой быть не может: следовательно, и математики в физике быть не может... Употребление результатов одной науки в другой не есть слияние их пределов: ибо каждая наука, как определение, заключается в своих собственных границах; связь наук, как следствие сродства предметов, в них рассматриваемых, нисколько не служит тому противоречием. Слияние предметов в пауках возможно только в головах туманных, в которых, по недостатку логической настроенности, все путается и ничто с другим не вяжется. Если приложение математических вычислений к предметам наук не есть включение самой математики в науки (ибо приложение вычислений образует особую ветвь знания: прикладную математику) и если математика посему неуместна ни в одной науке, то почему главною жертвой насильственного ее вторжения сделалась именно физика?» [335, с. 155—156]. Итак, по М. Г. Павлову, знание, т. е. истина, есть сходство понятий с их предметами. Каждая наука — система понятий, сходных с определенной областью предметного мира. Физика — это система понятий, сходных с физическими предметами (объектами, процессами и т. д.). Математические понятия не сходны ни с какими физическими предметами. Следовательно, делает вывод М. Г. Павлов, математика в физике неуместна.

Отметим важное замечание М. Г. Павлова: «Математика... неуместна ни в одной науке». Это следует непосредственно из его аргументации, в которой физику всюду можно заменить химией, экономикой, историей, биологией и т. д., т. е. науками, имеющими свой прообраз в мире предметов понятий.

Однако математизация физики и других наук о неживой природе — это в настоящее время эмпирический факт. Можно смотреть «на чрезвычайную эффективность математики в естественных науках как на нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению» [84, с. 183], но игнорировать этот факт нельзя. Попытки развития

«физики без математики» (например, И.-В. Гете разрабатывал принципиально нематематическую теорию света, которую противопоставлял математизированной оптике И. Ньютона [114], [120], [121], [193], [199]) закончились неудачей. «Физика без математики» не выдержала конкуренции с «физикой с математикой».

Иначе обстоит пока дело в науках о живой природе. Здесь математизация встречается с серьезными затруднениями, и успехи ее по сравнению, например, с «биологией без математики» все еще довольно скромные. Это обстоятельство служит своего рода «эмпирическим базисом» для утверждений, что хотя математика возможно и эффективна в физике, в биологии она практически ничего не дает. Приведем высказывание Г. Г. Винберга: «...Многозначность, отражающая многообразие проявлений жизни и их зависимость от окружающей среды, затрудняет необходимую для применения математических методов формализацию биологических понятий без чрезмерного обеднения их содержания. Такое затруднение должно быть осознано и преодолено путем разработки адекватных биологическим объектам математических построений... Благодаря специфическим объектам биологии — каждый из которых неповторимый и уникальный итог деятельности адаптивной эволюции — своеобразию методов исследования, среди которых... видное место должно принадлежать дескриптивному методу, теория биологии существенно отличается от теорий физики и других наук о неживой природе... Упрощенное представление о методологии биологии, игнорирование ее отличий от методологии наук о неживой природе препятствуют должной организации биологических исследований и созданию новых методов, в их числе математических, адекватных специфической особенности живого мира — многообразию форм проявления жизни...» [88, с. 10—11].

Г. Г. Винберг пишет о применении математики в биологических науках, однако утверждение об отличии (и, видимо, существенном) методологии наук о живой природе от методологии наук о неживой природе дает возможность распространить эти выводы и на экономические науки, т. е. науки об обществе. Заявления Г. Г. Винберга о необходимости (или, по крайней мере, желательности) разработки новых методов, «в том числе и математических», вызваны, как нам представляется, только желанием подсластить пилюлю. Новые методы, в том числе и математические построения, должны бытье по Г. Г. Вин-

бергу, адекватны специфике объекта исследования, которая проявляется в неоднозначности, многозначности проявлений жизни и их зависимости от окружающей среды. Но для того чтобы применять математику, понятия математизируемой области знания должны быть однозначно определены, т. е. формализованы. А это, по мнению Г. Г. Винберга, существенно обедняет их содержание, что, конечно, недопустимо. Требование же создать математику, которая могла бы оперировать с нечеткими^ размытыми, неоднозначно определенными понятиями, равносильно требованию создать математику, которая не была бы математикой .

Возражения против применения математики в естественных науках о природе и обществе опираются на довольно устойчивые философские традиции. Так, А. Шопенгауэр ощущал в рациональности математики вызов своему воззрению о мире как о воле и представлении» А. Принсгейм приводит следующее высказывание А. Шопенгауэра: «Вычисления имеют ценность только для практики, но не для теории. Можно даже так сказать, что там,; где начинаются вычисления, понимание прекращается^ ибо тому, кто оперирует числами, причинная связь физических явлений остается во время его вычислений совершенно чуждой: он весь погружен в чисто абстрактные числа. Получаемый ими результат никогда не отвечает на вопрос что, а всегда только на вопрос сколько» [357^ с. 121].

Г. Гегель указывал на ограниченность «одностороннематематического» взгляда на мир, который «имеет своей задачей сравнивать привлеченные к рассмотрению предметы. Нельзя не признать, что таким путем были достигнуты некоторые очень значительные результаты, и в этом отношении следует в особенности напомнить о великих успехах новейшего времени в областях сравнительной анатомии и сравнительного языкознания. При этом ученые заходили слишком далеко, предполагая, что этот сравнительный метод можно применять с одинаковым успехом во всех областях познания... Одно лишь сравнение не может дать полного удовлетворения научной потребности... вышеуказанные достигнутые этим методом результаты должны рассматриваться лишь как... подго-

товительные работы для подлинно постигающего познания. Поскольку, впрочем, при сравнении дело идет о том, чтобы свести имеющиеся налицо различия к тождеству, математика должна рассматриваться как наука, в которой эта цель достигнута наиболее полно, и она достигла этого упеха именно потому, что количественное различие представляет собой лишь совершенно внешнее различие... Ни эмпирические науки, ни философия отнюдь не должны завидовать математике из-за этого ее преимущества» [21, т. 3, с. 313-314].

Наиболее развернутое обоснование невозможности (или, по крайней мере, малой эффективности применения математики в науках о живом (биология, психология, экономика, история и т. д.) содержится в работах В. Виндель- банда, Г. Риккерта и некоторых других представителей баденской школы неокантианства [90], [383], по воззрениям которых существует резкая граница между науками о живой и неживой природе. Исходным пунктом такого разграничения наук является кантовский тезис о различии теоретического и практического разума и о примате полезного [444], из которого неокантианцы сделали вывод о двух принципиально различных путях познания и двух принципиально различных группах наук: науки номотетические и идиографические (В. Виндельбанд [90]), или науки, основанные на генерализирующем методе познания,— естественноматематические науки — и науки, основанные на индивидуализирующем методе познания,— исторические (включая науку о хозяйстве — экономику) (Г. Риккерт [382], [383]). Номотетические науки — естествознание — отыскивают общее, повторяющееся, закономерное. Применение математики здесь естественно. Идиографические науки, пользуясь индивидуализирующим методом, изучают единичное, особенное, неповторимое. Математика здесь неприемлема, так как она абстрактна, по своей природе не может рассматривать единичные, абсолютно индивидуальные, неповторимые ни в пространстве, ни во времени явления. Номотетические науки «суть науки о законах, другие — науки о событиях» [90, с. 319—320]. При этом, как писал Г. Риккерт, «чем большее совершенство мы придаем нашим естественнонаучным теориям, тем более мы удаляемся от действительности» [383, с. 209], которая всегда индивидуальна, конкретна, неповторима, непосредственно переживаема.

Естественнонаучное познание мыслится таким образом как процесс последовательного абстрагирования от

действительности, а не как «восхождение от абстрактного к конкретному». Мы не будем останавливаться здесь на критическом анализе взглядов баденской школы неокантианства на предмет и теорию познания; эти взгляды подробно разобраны в марксистско-ленинской философии (см., например, [25], [26], [142], [444]). Отметим, однако, что оценка этих взглядов будет односторонней и, следовательно, некорректной, если не принимать во внимание, что во времена Виндельбанда и Риккерта понятие «закономерность явлений в социально-экономической сфере» трактовалось механистическим материализмом излишне упрощенно, что нашло отражение в известных «Тезисах о Фейербахе» К. Маркса: «Главный недостаток всего предшествующего материализма — включая и фейербахов- ский — заключается в том, что предмет, действительность, чувственность берется только в форме объекта, или в форме созерцания, а не как человеческая чувственная деятельность, практика, не субъективно. Отсюда и произошло, что деятельная сторона, в противоположность материализму, развивалась идеализмом...» [1, т. 3, с. 1].

Видное место в философской литературе занимал механистический вульгарный материализм. Один из представителей этого течения философской мысли,— В. А. Зайцев интерпретировал результаты статистических исследований А. Кетле [209] и его последователей следующим образом: «Человек во всех своих действиях, от самых важных, до самых ничтожных, повинуется статистическим законам... Если из 600 человек — а, Ь, с и т. д. — один должен совершить преступление, то можно ли сказать, что он совершил его добровольно? Люди, говорящие о свободе воли и смотрящие на человека с драматической точки зрения, думают, что человек может противиться с успехом влечению своей плоти. Но положительный факт говорит нам, что из этих 600 человек один непременно обязан совершить преступление. Где же тут свобода воли? Кто может осудить эту безличную единицу, пока она остается безличной? А между тем, как скоро сделается известным, что преступление совершено а, то его судят и обвиняют, забывая, что если бы а не совершил преступление, то его совершил бы b или с, что, следовательно, преступник должен непременно быть, что исключает совершенно возможность обвинения» [174, с. 76—78].

Такие взгляды не были исключением. Первые серьезные приложения методов естественных наук к социальной сфере произвели сильное впечатление: «Ничего подоб-

ного никто до сих пор себе не представлял при всей вере в то, что и человеческая жизнь управляется естественными законами. Весть об этом открытии разнеслась с быстротою молнии по всему цивилизованному миру. Материалистические воззрения на мир и людей находят в нем свое неопровержимое подтверждение,— думали с торжеством одни. Факты эти разрушают весь нравственный мир человека, превращают в прах все, что человек считал до сих пор святым и высоким,— говорят в унынии другие. Отрицать приведенные Кетле факты нельзя было: они были слишком очевидны для всякого» [374, с. 68]. Последовал ряд приложений, особенно теории вероятностей и статистики, многие из которых носили просто анекдотический характер (см., например, работы П. А. Некрасова [314], [315]). Первоначальный энтузиазм сменился глубоким разочарованием [128], выразившимся, в частности, в резком разграничении естественных и общественных наук, сферы «безличного» и индивидуального.

Некорректное, а зачастую и некомпетентное применение математического аппарата, особенно теоретико-вероятностного, к социальным, экономическим и т. п. «человеческим» проблемам породило соответствующие настроения и среди математиков — желание отстраниться от решения прикладных вопросов в этой области. Эта позиция, психологически вполне понятная, довольно четко была сформулирована А. А. Марковым в одном из его писем к А. А. Чупрову: «Конечно, очень интересно и важно, чтобы вопросы математического анализа находились в известном соответствии с требованиями практики. Но полного совпадения между требованиями практики и вопросами математического анализа не может быть... все опытные науки занимаются приближенным разысканием чисел, которые в строго математическом смысле не существуют... Я вообще стараюсь ничего не утверждать, кроме результатов своих вычислений... я отношусь к вопросу о применимости теории вероятностей безразлично, отмечая только, какие при этом надо сделать предположения, и выражая сомнения в осуществимости их. И я отмечаю, что доказать правильность такого приложения никак нельзя» [331, с. 46].

Это написано в 1910 г. А вот аналогичная точка зрения современного специалиста по математической статистике и теории планирования эксперимента В. В. Налимова: «...Необходимо, чтобы все независимые переменные, в том числе и скрытые или трудно измеримые, были

включены в модель. Иначе оценки коэффициентов регрессии (в неортогональном случае) будут смещенными (теорема Гаусса — Маркова становится неправомерной). При изучении экосистем это требование никогда не выполняется. Уравнение регрессии со смещенными оценками коэффициентов регрессии никакого смысла не имеет — это не более чем самообман, ложно подкрепленный авторитетом математики» [308, с. 41].

Доводы «за» и «против» применения математики в науках о природе и обществе всегда, явно или неявно, имеют в виду некоторую концепцию отношения между реальным миром и миром математических сущностей. Трудно даже перечислить все такие концепции, созданные за время существования математики (см., например, [11], [80], [214], [216], [339], [341], [375], [411], [465], [512] и библиографию в этих работах). Но можно, однако, выделить небольшое число образов этих концепций, отражающих их наиболее характерные черты, но не отделенных друг от друга резкими и четкими границами.

Отношение математики к действительному миру

Точка зрения, которую часто называют пифагорейско- платоновской. В соответствии с этой точкой зрения математические объекты существуют реально и в конечном счете только они и существуют реально. По словам Ш. Эрмита: «...Существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум,— точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба — творение господа бога и различны лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики — с другой» [214, с. 397]. Если принять этот тезис, то истинное знание — это математическое знание; математические же истины вечны и неизменны, поэтому наукой, строго говоря, может называться только математика.

Пифагорейско-платоновский тезис содержит, по крайней мере, три компоненты: а) истинная реальность — это мир идей — вечных неизменных сущностей вне пространства и времени; б) реально существуют математи-

ческие сущности; в) два эти мира тождественны. Вторая компонента играет большую роль в дискуссиях о возможности или невозможности применения математики в науках о природе и обществе; поэтому остановимся на ней подробнее. Вот как характеризует эту доктрину В. В. Це- лишев: «Реализм как философия математики представляет собой доктрину, в соответствии с которой законы математики суть точное описание объектов некоторого рода. Крайняя форма реализма — платонизм — состоит в приписывании этим объектам внепространственных, внекон- цептуальных, безвременных характеристик, а также в утверждении полной познаваемости этих абстрактных объектов неэмпирическими средствами. Согласно платонизму, значимость математических формул состоит в том, что они правильно описывают логические взаимоотношения абстрактных объектов, подобно тому, как в эмпирических науках типа географии и зоологии описываются реки, горы, животные. Неудовлетворительные аспекты платонизма вскрыты в имеющих долгую историю спорах реалистов с концептуалистами и номиналистами» [465, с. 24]. Отметим, что принятие реализма как философии математики не влечет за собой принятие пифагорейско-платоновского тезиса о тождестве мира математических сущностей и реального мира. Так, Г. Харди, будучи реалистом, считал, что настоящая, «чистая» математика не имеет никаких приложений [457].

Реальный мир и мир математических сущностей изоморфны. Г. Вейль следующим образом формулирует эту точку зрения: «Представим себе сеть проводников постоянного тока, состоящую из отдельных однородных проволок, разветвляющихся в узловых точках, и назовем «точкой», произвольное распределение тока, которое сообщает каждой проволоке I силу тока tv В такой системе имеют силу законы эвклидова пространства с центром в О и такого количества измерений, сколько есть проволок в сети... Эта изоморфия вовсе не носит характера игры, ибо благодаря ей простые и важные геометрические понятия становятся в соответствие с простыми и важными, касающимися распределения тока в сети, понятиями физики. Например, основная задача — при заданной величине напряжений в каждой проволоке определить получающиеся в сети проводников распределение сил тока — тождественна с геометрической задачей перпендикулярного проектирования точки на заданную плоскость. Очевидно, что математика немедленно гарантирует однозначную разре-

шимость этой задачи, а также дает в руки метод вычисления решения ее» [80, с. 55—56]. Следовательно, математические теоремы содержат сведения о реальном мире.

Радикальные выводы из этого следствия сделал в 1934 г. А. Эйнштейн: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов... Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность» [486, т. 4, с. 184]. В качестве эффектного подтверждения этого тезиса приводят обычно открытие планеты Нептун в результате вычислений А. Бувара и Д. Адамса [214], вычисление позитрона П. Дираком и т. п. Открытие «на кончике пера» — мечта многих теоретиков.

Однако из изоморфизма физического и математического миров следует также, что можно использовать знания о физических процессах для обоснования математических теорем. Так, в примере Г. Вейля задачу построения перпендикуляра из заданной точки на заданную плоскость можно решить, замерив силу тока it в каждой проволоке I. Далее, если реальные системы Sx и 52 изоморфны каждая математической системе 53, то они изоморфны и друг другу. Например, наблюдения за колебаниями пружины позволяют сделать вывод об изменении силы тока в электрическом контуре, а наблюдения за распределением сил тока — решить задачу об оптимальном распределении ресурсов в линейной модели экономики [155], [368]. Так как изоморфизм задает отношение эквивалентности, реальный мир + мир математики можно разбить на классы эквивалентности,— идея, лежащая в основе «общей теории систем» [42], [43] и ведущая в конечном счете к пифагорейско-платоновскому тезису, если считать мир математических сущностей реально, объективно существующим.

Математика — опытная наука, описывающая некоторую область реального мира. По словам Д. Стройка, «убеждение в вечной справедливости теоремы Пифагора или того, что 2x2 = 4, не основано на какой-либо априорной концепции. Равно его не может поколебать никакой умный математик, который по толстой книге с формулами заключает, что эти теоремы являются лишь общим

соглашением. Наше убеждение основано на том, что теоремы соответствуют свойствам действительного мира вне нашего сознания, которые можно проверить и которые поддаются проверке всех лиц с самого раннего возраста» [411, с. 277]. Убеждения, что математика, по крайней мере в своей основе, опытная наука, придерживался и В. Вундт [104], философ, по своим воззрениям далекий от материализма. Остается все еще не совсем ясным, как можно проверить опытным путем, например, простейшую теорему о сумме геометрической прогрессии

г—0

Остается неясным также, какую именно часть реального мира отражают математические теоремы.

Мир математических сущностей — это мир чистых форм реального бытия. А. Александров в Философской энциклопедии определяет математику как науку «о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания... То общее, что есть в изоформных системах, и есть ,,чистая “ форма. Соответственно (математика) рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений)... Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоятельных объектов, (математика) не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее... в ее абстрактности и точности заключается ее сила и ограниченность» [11, т. 3, с. 329—334].

Из этого можно сделать вывод о существовании двух типов наук о действительном мире — наук содержательных и наук формальных. Становится понятным вопрос, поставленный В. В. Потаповым: «Политическая экономия или экономическая математика?» [355, с. 81], некоторый смысл приобретает и ответ, который В. В. Потапов дает на свой вопрос: «...Теория ,,полезности/4 быстро начала превращаться в высокоабстрактную формально-логическую дисциплину. Математические символы заменили словесные определения категорий и описание законов, а методы формальной логики — методы социально-эконо-

мической абстракции... Математика привлекательна для буржуазных апологетов тем, что для нее не важна природа изучаемых явлений» [355, с. 101].

Математика — это язык. Этот афоризм приписывается Г. Галилею. И. Ньютону; еще И. Кеплер писал: «Я... осмеливаюсь думать, что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии» [207. с. 112]. Если математика — это наука о формах, то, вообще говоря, закономерны вопросы: о формах чего? от содержания чего отвлечены эти формы? В предыдущем тезисе речь шла о формах действительного мира и, следовательно, об отвлечении от содержания действительного мира. Меньшим насилием над языком было бы говорить не о содержании мира, а о содержании высказываний о мире и о форме высказываний о мире. Но это уже другой тезис об отношении между миром математических сущностей и действительным миром.

Вопросы построения идеального языка науки были в центре внимания участников Венского кружка [93], [198], [310], [319], [452], [454], [478]. Можно говорить, что логические позитивисты математизировали язык науки, если приписывать именно им создание математической логики. «Экономическая мысль Запада,— пишет В. В. Потапов,— при активном участии американского монетариста М. Фридмана восприняла многие идеи логического позитивизма, широко используя методы дифференциального и интегрального анализа, линейной алгебры, программирования, теории игр и т. п.» [355, с. 16]. Таким образом, получается, что описывать действительный мир на языке линейной алгебры и дифференциальных уравнений — это значит воспринять идеи логического позитивизма. Даже самый нескромный участник Венского кружка не позволил бы себе сделать такого заявления. К тому же трудно понять, как О. Курно, У. Джевоне, Л. Вальрас, В. Парето, А. Маршалл и др. экономисты сумели воспринять идеи логического позитивизма задолго до того, как он появился, мы не говорим уж о тех математиках и физиках, которые создали и использовали для описания физического мира в XVII — XIX вв. дифференциальное и интегральное исчисление, теорию матриц и т. п.

Вместе с тем Л. Витгенштейн, М. Шлик, Б. Рассел, О. Нейрат, Р. Карнап, а из экономистов Ф. Рамсей и др., причисляемые к логическим позитивистам философы внесли определенный вклад в развитие методологии науки,

яо, конечно, не в связи с тем, что побудили кого-то использовать математический анализ и линейную алгебру. Ю. Л. Ершов следующим образом характеризует их реальный вклад: «Исторически применение формальных языков для уточнения ряда чисто философских проблем связано с деятельностью неопозитивистов. Следует заметить, что речь идет об опыте применения технических средств логики, а не о мировоззренческих проблемах. Некоторое недоверие отдельных советских философов к математической логике и ее использованию в философии в настоящее время преодолено, и обсуждение философских проблем математической логики стало довольно привычным явлением среди философов» [169, с. 86]. К числу мировоззренческих проблем, о которых упоминает Ю. Л. Ершов, относится основной тезис логического позитивизма об изоморфизме языка и мира [220], ведущий к их отождествлению или, по словам А. Л. Никифорова, к онтологизации структуры языка пропозициональной логики [319, с. 11]. Этот тезис (а точнее, так и нереали зованная программа) был сформулирован Л. Витгенштейном следующим образом: «Предложение сообщает нам положение вещей, следовательно, оно должно быть существенно связано с этим положением вещей. И связь состоит именно в том, что оно является логическим образом этого положения вещей... Возможность предложения основывается на принципе замещения объектов знаками» [93, 4.03].

Математика — это грамматика (точнее — синтаксис) языка науки. Здесь основной упор делается на те функции, которые математика выполняет в развивающейся системе научных знаний. Прежде всего математика — это эффективное средство выдвижения гипотез, согласованных с наличным научным знанием. Пусть наличное научное знание — это некоторый научный закон, который в общем виде записывается следующим образом:

Nx^P^ ZD Q^Y (1.1)

Здесь Р(х) и Q^x) обозначают то обстоятельство, что объект х имеет свойства Р и Q соответственно, V — квантор общности: Nx—всея, zd—импликация: если ... то.

Выражение (1.1) означает, что все объекты, имеющие свойство Р, имеют свойство Q; например: свойство Р — быть товаром, свойство Q — иметь стоимость; тогда (1.1) — символическая запись утверждения: все товары имеют стоимость. Далее, математическая компонента знания —

логическое правило modus ponens: из истинности утверждений Л и Л d В следует истинность В.

Пусть известно, что некоторый объект а имеет свойство Р. Тогда математика позволяет сделать вывод, что объект имеет свойство Q. Действительно: из истинности Р(а) и Р(а) id Q(a) следует истинность (Да).

Но что это значит: «следует истинность Q^a)»*? А что, если после проверки окажется, что объект а не имеет свойства ^? Гарантирует ли правило modus ponens фактическую истинность Q^a) и если да, то в каком смысле?

Прежде всего отметим, что понятие истинности в логике и математике отличается от понятия истины в естественных науках [243], [284], [318], [419], [464]. По словам И. П. Меркулова, «в теоретической математике и логике понятие существования (и истинности) тождественно понятию выводимости из некоторого набора аксиом. Однако получаемые с помощью правил математического и логического выводов результаты... не влекут за собой никаких онтологических обязательств, т. е. непосредственно не свидетельствуют об объективном существовании и объективной истинности соответствующих сущностей, как это предполагается онтологией платоновского или наивно-материалистического типа» [284, с. 138— 139]. Таким образом, истины математики и логики хотя и непреложны, но всегда относительны. Так, утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно в геометрии Евклида и ложно в геометрии Лобачевского. В нашем примере утверждение, что Q^ истинно относительно наличного знания (1.1), но может оказаться ложным относительно результатов наблюдений.

По сравнению с пифагорейско-платоновской концепцией, с концепцией изоморфизма действительного мира и математики и представлением о математике как о науке о формах действительного мира это выглядит скромно. Но зато — это твердая почва.

3333Как же обстоит дело с открытиями «на кончике пера»? А. Бувар и Д. Адамс на основе своих расчетов выдвинули гипотезу о существовании планеты Нептун, согласованную с небесной механикой Ньютона—Лапласа, гипотезу, которая могла оказаться подтвержденной ре-

33

33

альными наблюдениями или же неподтвержденной и которая оказалась верной. Аналогично П. Дирак не вычислил позитрон, а выдвинул гипотезу, согласованную с наличным знанием о физике микромира, о существовании «электрона с положительным зарядом», которая затем была подтверждена экспериментами.

Необходимо также остановиться на «бытовой» концепции математизации знания, по которой математические методы используются, если используются какие-то математические символы. В общем, действительно, в математизированных текстах используется определенная символика, хотя в тексте по математике (например, по топологии) можно не встретить ни одной формулы. Речь в данном случае идет о том, что Б. В. Бирюков называет изобразительной математикой [49]: бессодержательные, тривиальные утверждения облачаются в математические одежды. Примеров такой псевдоматематизации, когда нечеткие словесные определения заменяются «четкими» символами, которые затем либо не участвуют ни в каких математических преобразованиях, либо (что очень часто встречается в работах, использующих всякого рода экспертные оценки) подвергаются совершенно бессмысленным и неоправданным преобразованиям, можно, к сожалению, привести довольно много. И на эти примеры часто ссылаются в обоснование тезиса о невозможности, бесплодности, неэффективности применения математики в конкретной области науки. Мы согласны с Б. В. Бирюковым, который считает «изобразительную математику» болезнью роста, вызванной объективными трудностями математизации знания, но вред от этой псевдоматематизации, на наш взгляд, несколько преувеличен. Плохая работа плоха не потому, что в ней есть «изобразительная математика», а потому, что в ней ничего нет: ни мыслей, ни фактов. Можно ли улучшить плохую работу, убрав из нее «изобразительную математику»? Если нет, то выбрасывать псевдоформулы незачем — надо сразу выбросить всю работу. Если же да, то, видимо, в работе были допущены какие-то ошибки при формализации модели, теории и т. п., ошибки, которые в принципе исправимы. В этом случае неадекватную формализацию надо заменить адекватной, а не отказываться от попытки точно и математически ясно изложить материал.

Можно даже утверждать, что «изобразительная» математика приносит некоторую пользу: использование символов хотя бы и в минимальной степени г но дисциплинц-

рует. Противоречия, бессмыслица, грубые ошибки, бессодержательность вылезают наружу, если, конечно, они имеются в тексте. Приведем пример.

В часто цитируемой в литературе по системному анализу книге С. Оптнера [38], которая не содержит никаких формул или символов, т. е. заведомо свободна от греха псевдоматематизации, читаем следующие определения терминов «система», «свойство», «связи», «параметры» и т. п.: «Объекты есть параметры системы; параметрами являются вход, процесс, выход, управление с помощью обратной связи и ограничение... Свойства есть качества параметров объектов. Качества это внешние проявления того способа (т. е. процесса. — Прим, пер.), с помощью которого получается знание об объекте» [328, с. 90]. На с. 105 читаем: «Параметрами системы являются объекты системы: вход, процесс, выход, обратная связь и ограничение». Подставляем определение параметров системы с. 105 в определение объектов на с. 90. Мы не будем вводить символизм, которого у С. Оптнера нет, однако результат подстановки определения термина будем отмечать круглыми скобками. Получаем: объекты есть (объекты системы). Еще интереснее получается, если подставить определения терминов в определение свойства. При этом надо знать: параметры системы и параметры объектов — это одно и то же или нет? Допустим, что нет. Тогда получаем: свойства есть внешнее проявление того способа, с помощью которого получается знание об (параметрах системы) параметров (параметров системы). Если же предположить, что параметры системы и параметры объекта одно и то же, то получаем такое четкое и ясное определение свойств: свойства есть внешнее проявление того способа, с помощью которого получается знание о параметрах параметров параметров. Минимальная символизация типа: А есть Б, Б есть В и т. п. позволила бы избежать всей этой бессмыслицы.

Приведем еще один пример пользы от «изобразительной» математики. На наш взгляд, почти все формулы, содержащиеся в интересной книге Р. Акофа и Ф. Эмери [9], на самом деле ничего не формулируют. Так, читаем: «Общее количество мотивации, сообщенной получателю yG:

--5-21

где Vi и Vj — удельные ценности результатов в конечном и начальном состояниях соответственно» [10, с. 159]

(здесь / — индекс результата, j — 1 ~ п). Пто такое удельные ценности? На с. 46 читаем: «Для удельной ценности того или другого результата, так же как и для эффективности, не существует одной общепринятой меры. Однако, к счастью, такого всеобщего согласия и не требуется для наших целей. Все же удобно по возможности пользоваться какой-нибудь стандартной мерой. Безразмерная величина удельной ценности представляет собой такой удобный стандарт. Если все ценности (yj, приписываемые различным результатам, положительны, то мера удельной ценности (Уу для каждого результата может быть получена так: V, = u^/^Vj [10, с. 46]. А что такое ценность результата? Ну, это попятно. Понятно также, что ценности Vj могут быть векторами, могут иметь разные размерности, могут измеряться не в количественной, а в порядковой шкале; могут, наконец, оказаться вообще неизмеримыми, так что по формулам для Vj и yG в общем случае ничего нельзя вычислить. Но что можно выиграть, убрав эти формулы? В литературном отношении книга [10], конечно, выиграет. Но, с другой стороны, у читателя может сложиться впечатление, что с вопросами мотивации все ясно и что решения этих вопросов настолько общеизвестны, что авторы не считают нужным распространяться на эту тему. Формула для yG сразу показывает, что дело обстоит иначе.

Таким образом, валидность математизации нельзя признать иррелевантной.

1.2. Структура описания: определения и объекты

1.2 Л. Абстракция и идеализация в научном познании

Математика и логика позволяют установить непротиворечивость научных теорий и, что самое главное, служат эффективным средством вывода гипотез, согласованных с наличным знанием. При этом необходимо, чтобы значения терминов были бы зафиксированы,— бессмысленно оперировать по определенным правилам с неопределенными терминами. Но фиксация одного какого-то значения термина означает отвлечение, абстрагирование от других возможных знаний, т. е. некоторую идеализацию. И дело здесь не в применении математики. Роль знаковой системы, фиксирующей наличное знание об экономике, может играть, например, сеть проводов постоянного тока, соеди-

пенная с источниками питания,— аналоговая модель. Но играть эту роль она может только в том случае, когда силам тока, напряжениям, сопротивлениям и т. д.— знакам в аналоговой модели — сопоставлены экономические объекты и процессы.

Необходимость фиксировать значения терминов — это не единственная причина абстрактности науки. Научные утверждения не сводятся только к утверждениям о единичных процессах и индивидах. Утверждение вида (1.1) : Vx(P(x) zd Q^x)) — это утверждение обо всех хх имеющих свойство Р, о классе объектов, обладающих свойством Р. Объединение объектов в классы, даже простая группировка невозможны без абстрагирования от некоторых свойств конкретных объектов, без их идеализации, в результате которой конкретные объекты замещаются идеальными. И здесь дело опять-таки не в применении математики, а в самой природе научного познания. В «Диалектике природы» Ф. Энгельс следующим образом освещает этот вопрос, говоря о работах С. Карно по термодинамике: «Он изучил паровую машину, проанализировал ее, нашел, что в ней основной процесс не выступает в чистом виде, а заслонен всякого рода побочными процессами, устранил эти безразличные для главного процесса побочные обстоятельства и сконструировал идеальную паровую машину (или газовую машину), которую, правда, так же нельзя осуществить, как нельзя, например, осуществить геометрическую линию или геометрическую плоскость, но которая оказывает, по-своему, такие же услуги, как эти математические абстракции: она представляет рассматриваемый процесс в чистом, независимом^ неискаженном виде» [1, т. 20, с. 543—544].

«Нематематизированная» наука так же, как и «математизированная», не обходится без абстракции и идеализации своих объектов. И «математизированные» и «немате- матизированные» науки — это знаковые системы; различие между ними только в природе знаков. Утверждения же, в которых используются неопределенные термины, ненаучны в силу своей бессодержательности.

Поэтому все обвинения экономико-математических моделей в абстрактности, оторванности от жизни и т. п. бьют мимо цели. Модели абстрактны не потому, что они математические, а потому, что без идеализации, абстрагирования невозможно фиксировать знание, формулировать научные законы. И экономика не исключение.

На абстрактность экономической теории К. Маркса недвусмысленно указывал В. И. Ленин. Так, характеризуя теорию реализации К. Маркса, он писал: «Необходимыми посылками этой абстрактной теории является, во- первых, абстрагирование внешней торговли, внешних рынков. Но, абстрагируя внешнюю торговлю, теория реализации отнюдь не утверждает, чтобы когда-либо существовало или могло существовать капиталистическое общество без внешней торговли. Во-вторых, абстрактная теория реализации предполагает и должна предполагать пропорциональное распределение продукта между различными отраслями капиталистического производства. Но, предполагая это, теория реализации отнюдь не утверждает, что в капиталистическом обществе продукты всегда распределяются или могут распределяться пропорционально... Теория стоимости предполагает и должна предполагать равенство спроса и предложения, но она отнюдь не утверждает, чтобы в капиталистическом обществе всегда наблюдалось и могло наблюдаться такое равенство» [3, т. 4, с. 70—71].

Идеализация, абстракция — необходимые элементы рациональной познавательной деятельности, в результате которой получаются идеальные объекты (вроде математического маятника или идеальной паровой машины С. Карно), математические или аналоговые модели, теории. Общих правил здесь не существует (во всяком случае, они неизвестны); есть более или менее полезные рекомендации, например, «Правила для руководства ума» Декарта [152], эвристические схемы Д. Пойа [347] или просто сводки хорошо подобранных примеров, иллюстрирующих принципы построения моделей [225].

В начале исследования практически всегда встает вопрос: в каких терминах описывать объект исследования (предмет, процесс, явление и т. п.)? Существует ли объект? Как отличить его от других? Все это не академические вопросы: «Рубрикация, группировка отнюдь не так безобидны, как может показаться на непосвященный взгляд. Они определяют процедуры планирования, от которых зависит его конечная эффективность. Нельзя, например, суммировать эффект от создания и развития объединений и от мероприятий по специализации объединений и предприятий; от концентрации, специализации и централизации вспомогательных и обслуживающих производств; от создания специализированных производств филиалов, так как это нередко приводит к дублированию эффекта и

двойному счету»,— пишет Л. Б. Декельман [153], анализируя Методические указания к разработке государственных планов экономического и социального развития (1980 г.) [289]. Все эти проблемы, проблемы отождествления и различения, определения допустимых границ идеализации, возможности абстрагирования от каких-то свойств объекта приходится решать при построении любой экономической модели, даже самой элементарной. В качестве примера рассмотрим одну из наиболее популярных экономических моделей — модель баланса «затраты-вы- пуск». В простейшем виде эта модель описывается системой равенств [6], [14], [34], [53], [138], [139], [148], [247], [410] и др.

^ = 2 + Утл М = П, (1.2)

где I. ] — номера (коды) продуктов и услуг (материальный баланс) или коды отраслей (баланс в отраслевом разрезе); будем рассматривать только материальный баланс, т. е. Z, / — коды продуктов; п — количество различных наименований продуктов и услуг; хг — валовое производство продукта i или услуги г; yt — потребление продукта или услуги I; а15 — технологический коэффициент, равный затратам продукта или услуги i на производство продукта или услуги /.

Мы не рассматриваем сейчас адекватна или неадекватна модель (1.2), так же как и не рассматриваем значение термина «адекватная модель». Наша цель — проследить шаг за шагом те предположения методологического характера, которые были сделаны для того, чтобы записать систему равенств (1.2). Эта система описывает связь валового производства продуктов и услуг с величинами их потребления. Следовательно, предполагается, что: 1) существует операциональное определение продукта; 2) существует операциональное определение услуги.

В СССР услуги как невещная форма труда, т. е. как форма непроизводительного труда и, следовательно, социально-экономическое отношение, выражающее потребление дохода, в национальном доходе не учитываются [482]. Но в систему равенств (1.2) их следует включить, так как оказание услуги может потребовать затрат некоторых продуктов. Вопрос о том, что считать оказанной услугой, весьма нетривиален: можно ли, например, считать услугой работу репетитора, которая не принесла ожидаемых результатов? Можно ли считать услугой ре-

монт телевизора, после которого телевизор не стал работать лучше, хотя счет за проведенную работу оплачен и учтен в конечном счете органами ЦСУ?

Ответы на эти вопросы могут быть различны, так как каждый из них дает некоторое операциональное определение услуги. Не будем выяснять, какие ответы верны, а какие — нет. Важно отметить, что операциональные определения могут быть различны и в результате различным будет содержание модели (1.2). Далее, предполагается также, что существует операциональный способ различения производства и потребления, в частности отграничения сферы производства от сферы услуг.

Специалисты по экономической статистике ведут дискуссии на эти и аналогичные темы, например на тему, следует ли включать пассажирский транспорт в сферу производства (точка зрения, которой придерживался, например, С. Г. Струмилин). И здесь нельзя не согласиться с Т. В. Рябушкиным, который писал по этому поводу: «Спор о пассажирском транспорте не является схоластическим спором, который не имеет ни практического, ни теоретического значения... по существу речь идет об отграничении сферы производства от сферы услуг, а от этого в свою очередь зависит определение величины национального дохода, общественного продукта и анализ их движения» [465, с. 35].

Проблема операционального определения потребления носит довольно общий характер. Как отмечает Л. Столе- рю, «даже простое понятие инвестиций в основные фонды коллективного пользования показывает, насколько деликатна эта проблема: что такое сооружение школы: инвестиции или потребление?» В любом случае равенства (1.2) содержат, явно или неявно, ответ на этот вопрос.

Следующее предположение: существует способ различения продуктов и услуг, т. е. имеется операциональная процедура, позволяющая отличить один продукт или услугу от другого продукта или услуги. Здесь уже речь идет о процедурах измерения в соответствии со стандартной теорией измерений Суппеса — Зинеса, об измерении в номинальной шкале. Подробнее проблемы кодирования, которые включают проблему отождествления и различения предметов, будут рассмотрены ниже. Здесь отметим только, что решение этих проблем в данном случае предполагает ответы на следующие вопросы. Проводится ли агрегирование продуктов и услуг? Допустим, что нет. Но тогда: считаются ли изделия одного и того же наиме-

йования, изготовленные на одном и том же оборудовании, по разными рабочими, или два предмета одного наименования, но выпущенные в разные дни месяца (одно — в начале, а другое — в конце месяца) одним и тем же изделием, т. е., точнее, различными экземплярами одного и того же изделия?

Практически агрегирование проводится всегда, даже на уровне моделей оперативно-производственного планирования, так как в противном случае количество различных продуктов и услуг было бы необозримым: в СССР различных наименований продукции производится не менее 20 млн — и это без учета типо-сорто-размеров. Это обстоятельство является очень серьезным доводом в пользу макроподхода к моделированию народного хозяйства и в пользу макроподхода к управлению народным хозяйством, но макромодели в явном виде агрегируют продукты и услуги. Существует много способов такого агрегирования, но сейчас важно отметить, что содержание модели (1.2) в этом случае существенно зависит от принятой процедуры отождествления и различения продуктов и услуг.

Далее предположим, что величины х^ yt и ац измеримы. Обычно это не вызывает сомнений по отношению к продуктам, если объемы производства продукции измеряются в натурально-вещественных показателях; но в случае агрегирования продукции возникают серьезные проблемы. Что же касается измеримости объема услуг или измеримости потребительной стоимости продукции, то это вопрос дискуссионный в каждом отдельном случае. Действительно, как измерить объем услуг, например, театра? Количеством спектаклей или количеством хороших спектаклей?

Предположим, что определены ответы на вопросы, связанные с периодом моделирования: измеряются ли хь yi в момент времени t или за период времени т. В последнем случае если т = 0, то модель (1.2) не вызывает никаких затруднений, но она бесполезна. Это обстоятельство подчеркивает различие между измерением выпуска и потребления в момент времени или за период времени, которое часто не учитывается в моделях балансового типа и которое существенно влияет как на содержание моделиг так и на результаты измерения величин х^ yt и особенно ац.

Важно отметить, что эти две версии одной теории по всегда сводимы друг к другу. Действительно, пусть х^ —

выпуск в момент t, Х^(т) — выпуск за период т:

АДт) = J ^iW dt. о

Имеем тт

J а^ (^) • Xj ^t^ dt _= J ai5 (£) • dX^ = <Zjj (т) Xj (t) о0

T

— сщ (0) Xj (0) — J x^da^0

откуда получаем, что

$Ardt = Л(Х(т)-Х(0)) О

только при ац = const для всех i и у.

В то же время пусть исходная модель

X = ВХ + Y.

Дифференцируя во времени, получаем

х = Вх + ВХ -|- у,

которая совпадает с (1.2), если Ъ13 = const для всех Z, у.

Мы указали здесь только на наиболее важные, с нашей точки зрения, методологические предпосылки модели (1.2). Простейшая экономико-математическая модель оказывается описанием очень идеализированного объекта. И эту идеализацию нельзя отнести на счет формальной логики и математики. Немного упрощая дело, можно сказать, что математика начинается уже после идеализации эмпирических объектов, после того как модель записана на языке математики, но не построена средствами математики. К математике относятся такие вопросы (в рамках рассматриваемой модели), как существование положительных решений, достижимости любого или какого-то определенного вектора потребления и т. д. Допустим, установлено средствами линейной алгебры, что вектор у' реализуем, т. е. вектор х = (I—А)-1у' неотрицателен. При заданных А и у' — это математическое утверждение. Будучи интерпретированным в терминах модели (1.2), оно становится экономической гипотезой^

согласованной с наличным знанием об экономике, которое зафиксировано в модели (1.2).

Отметим, что эта гипотеза может быть получена и иным путем, например в результате моделирования экономики с помощью сети проводников постоянного тока, которая будет играть в этом случае роль знаковой системы, фиксирующей наличное знание об экономике. Поэтому говорить о таких объектах, как я, у, А в (1.2), как о математических объектах некорректно. Дело в том, что вектор у, например, обозначает идеальный объект модели затраты-выпуск «конечное потребление», а нс тождествен ему. На недопустимость отождествления идеальных объектов математического знания с идеальными объектами естественнонаучной теории совершенно справедливо указывал Р. Карнап: «...Часто говорят об объектах теоретической физики как математических объектах. Они подразумевают под этим то, что эти объекты связываются друг с другом с помощью математических функций такого рода, что могут быть определены в чистой математике. В чистой математике можно определить разного рода числа, логарифмическую и показательную функции и т. д. Однако в ней невозможно определить такие термины, как «электрон» и «температура». Физические термины могут быть введены только с помощью внелогических констант, основанных на наблюдениях действительного мира. Здесь мы имеем существенное различие между аксиоматическими системами в математике и физике» [199, с. 316]. Аналогичным образом обстоит дело и с аксиоматическими системами в математике и в экономической науке.

Проблема операционалъности определений

Проблема определения исходных, базовых, первичных и т. д., не определяемых логически через другие термины,— терминов (понятий) это только часть более широкой проблемы установления соответствия между реальным, в частности эмпирическим данным, миром и результатами лингвистической и познавательной деятельности человека. Эта проблема является объектом пристального внимания философов практически всех направлений на протяжении всей истории философской мысли (см., например, [95], [96], [110], [183], [201], [224], [249], [312], [321], [336]). «Чтобы — истинно или ложно — говорить о свойствах и отношениях объектов мира, иными словами, чтобы нечто прецидировать относительно этих объектов, необходимо

располагать возможностью указания, или референции, на эти объекты» [334, с. 121].

Существует довольно много способов приписывания значения термину; логическое определение — только один из них [133], [135], [136], [256], [322], [351], [433], [584]. Наиболее простое (в операциональном смысле) — это остенсивное определение, которое сводится к непосредственной демонстрации характеризуемого данным термином предмета. Так, термин «стол» вводится просто указанием на конкретные, видимые столы, показом их фотографий и рисунков и т. д. Эффективность остенсивных определений достаточно высока — достаточно по отношению к реализации коммуникативной функции определения. Действительно, все мы, обучаясь родному языку, приобретаем способность приписывать словам значение именно в результате остенсивного определения слов. Такой способ не гарантирует успеха во всех случаях, в частности он ведет к некоторому однообразию использования термина только в рамках некоторой конкретной общности людей. В этом смысле сам термин произволен: то, что в русском языке имеет название «стол», в английском называется «the table», а в литовском — «stalas».

Естественные языки не знают жесткой фиксации значения термина и во времени: один и тот же объект в разное время обозначается разными словами (например, шуйца — старорусское обозначение левой руки и т. п.), либо одно и то же слово в разные периоды времени используется для обозначения существенно различных объектов. (Например: «Свобода, которой требует современный пролетариат, далеко не та, к которой стремились представители третьего сословия во Франции в 1789 г., и последняя в свою очередь коренным образом отличалась от той, за которую в начале реформации боролось немецкое имперское рыцарство» [204, с. 17].)

Развитием остенсивных определений являются операциональные определения. Достаточно четкую формулировку идеи операционального определения дает Л. Бриллюэн: «Любая теория содержит ряд величин, которые можно экспериментально измерять, и величины, которые экспериментально наблюдать нельзя. Первые называются наблюдаемыми, вторые — ненаблюдаемыми. Между ними не всегда делают четкое различие, и многие авторы, утверждая, что те или иные величины являются паблюдае- мыми, исходят из произвольных определений, которые не соответствуют никаким физическим экспериментам. Это

ведет к противоречиям и парадоксам, которые во что бы то ни стало следует избегать. В этом вопросе я придерживаюсь строгой точки зрения и предполагаю (следуя Бриджмену), что некоторая величина является наблюдаемой только тогда, когда для ее наблюдения можно указать метод и дать подробное описание экспериментальной установки» [61, с. 15]. •

Операциональные определения часто отождествляют с философией операционализма П. Бриджмена [58], [61], [70], согласно которому понятие (концепт) синонимично некоторому классу операций[58, с. 3]. Такое отождествление некорректно: хотя П. Бриджмен и внес существенный вклад в развитие теории и техники операциональных определений, вклад, который не может быть уничтожен его философскими ошибками, сама идея операционального определения отчетливо формулировалась уже Б. Спинозой. Спиноза связывал «адекватные идеи», выражаемые языком, терминами, со способностью воспроизводить заданную этими терминами объект идеи в реальном мире. Это нашло свое отражение в его учении о дефинициях [406, т. 1].

П. Бриджмен трактовал понятие «операциональное определение» довольно узко. По его мнению, каждая процедура измерения величины определяет эту величину и, следовательно, поскольку имеются различные процедуры измерения, например силы тока, нельзя говорить об одном каком-то понятии «сила тока», а следует говорить о многих понятиях силы тока, каждому из которых соответствует своя операциональная процедура измерения [70], [238], [498]. '

Однако неудачные, излишне резкие формулировки идеи операциональное™ определений базовых терминов теории не должны служить основанием для отказа от самой этой идеи. Как отмечает А. Мигдал, часто неясные вопросы, возникающие на первой стадии работы, исчезают или проясняются, если сформулировать вопрос в терминах наблюдаемых величин, т. е. в терминах операций над конкретными объектами [291]. Утверждение, что понятие, концепт, идеальный объект есть синонимы класса операций или процедуры измерения,— это, конечно, крайность. Но не следует впадать и в другую крайность, как это делает, например, М. Бунге: «Не существует никаких операциональных определений. Вера в их существование проистекает из элементарного смещения определения (чисто концептуальной операции, неприложимой, кроме

того, к основным понятиям) с измерением — операцией, которая является не только эмпирической, но также и концептуальной» [65, с. 29]. Аргументация М. Бунге сводится к следующему: «...Определяющим символом значение не может быть приписано с помощью дефиниции именно потому, что они являются определяющими, а не определяемыми. Следовательно, чтобы установить значение основного, но не определяемого физического символа, должны быть изысканы средства, отличные от определения» [65, с. 27].

Но остенсивные и операциональные определения как раз и являются таким средством, будучи операциями не над знаками только (т. е. дефинициями по терминологии М. Бунге), а над знаками и вещами. Фактически М. Бунге критикует терминологию, а не идею операционального определения, утверждая, что следует изыскивать средства приписывания значений основным терминам (символам) теории.

• В настоящее время для обозначения внелогических определений (т. е. определений, отличных от дефиниций М. Бунге) используют различные термийы: «правила соответствия» или «согласующие правила» [199, с. 315— 316],*«класс конечных интуитивных заключений, являющихся непременным связующим звеном между идеальным объектом и объектом, над которым проводят эксперимент» [304, с. 192] и т. п. Мы будем говорить об операциональных определениях в широком смысле в отличие от операциональных определений в узком смысле, которые имел в виду П. Бриджмен.

Требование операциональное™, по П. Бриджмену, является необходимым, а не достаточным условием корректности определения понятия, термина, идеального объекта. Здесь можно провести аналогию с необходимыми и достаточными условиями экстремума непрерывной дифференцируемой функции: равенство нулю производной необходимо, но недостаточно. Аналогия может быть усилена: часто в математике достаточные условия сформулировать значительно труднее, чем необходимые. Именно так, видимо, обстоит дело с достаточными условиями корректности определения термина, понятия, идеального объекта.

Можно сказать, что достаточным условием корректности определения значения знака является существование обозначаемого объекта. В простых случаях, когда речь идет об обозначении таких вещей, как стол, монета, стакан

и т. п., установить существование обозначаемого можно без особых затруднений. Но в более сложных случаях установления значений терминов, понятий, идеальных объектов может понадобиться уточнить значение самого термина «существование», так как существование значений сложных терминов, общих понятий, идеальных объектов далеко не всегда очевидно. Представления о значении термина «существование» сводятся в основном к трем точкам зрения: реализм, номинализм, концептуализм [48], [181], [182], [243], [311], [376], [427], [481].

С точки зрения реализма, видным представителем которого был Платон, значения терминов образуют особый мир универсалий. Последние отличаются как от знаков-терминов, так и от естественных явлений. Например, существует значение термина «голубой» вне зависимости от конкретного контекста и независимо от существования конкретных голубых предметов. Эти универсалии являются первичной и подлинной, истинной реальностью, которая искажена в восприятии, но которая может быть восстановлена в результате рационального умозрения. Обсуждение взглядов Платона, принятие их или полемика с ними, проходит через всю историю европейской философии вплоть до Нового времени.

. В XX в. различные версии реализма вновь получили распространение в связи с кризисом позитивистских догм. В частности, один из основателей квантовой механики — В. Гейзенберг в 50-е годы отказался в основном от традиционной «копенгагенской» интерпретации квантовой механики: «Элементарные частицы, о которых говорится в диалоге Платона ,,Тимей“, ведь это в конце концов не материя, а математические формы... В современной квантовой теории едва ли можно сомневаться в том, что элементарные частицы в конечном счете суть математические формы, только гораздо более сложной и абстрактной природы» [ИЗ, с. 48—49]. С реалистической точкой зрения трудно или невозможно согласовать фактически имеющееся изменение физических теорий и их объектов. Например, по одной из первых теорий строения атома, разработанной Дж. Дж. Томсоном, «атом состоял из положительно заряженной жидкости, в которой находились электроны, в количестве, достаточном, чтобы компенсировать положительный заряд. Атомная модель Томсона казалась

вполне приемлемой, так как в основу ее были/Положены экспериментальные факты» [426, с. 14]. По зйтем появилась планетарная модель Резерфорда, модель Н. Бора и т. д. Реализм абсолютизирует «последние»/научные результаты; онтологический статус ошибок, / также последовательных приближений в этой концепции неопределен и, по сути дела, весь процесс рационального познания не имеет в рамках реализма рационального объяснения.

Здесь уместно напомнить слова В. И. Ленина: «...Если вчера это углубление не шло дальше атома, сегодня — дальше электрона и эфира, то диалектический материализм настаивает на временном, относительном, приблизительном характере всех этих вех познания природы прогрессирующей наукой человека» [3, т. 18, с. 277].

Оппонентами реалистов в дискуссиях об универсалиях были номиналисты, по воззрениям которых общее не имеет никакого онтологического содержания; реально, объективно существуют только единичные, конкретные предметы. Понятия с этой точки зрения сводятся только к именам, которыми помечаются конкретные предметы либо конкретные совокупности конкретных предметов. В номиналистской критике реализма, в спорах об универсалиях проявлялись, как отмечал К. Маркс, материалистические тенденции [1, т. 2, с. 142]. В то же время номиналистская аргументация использовалась для нападков на претензии разума теми теологами, которые отдавали приоритет вере, мистике и непосредственному религиозному опыту. В этом смысле субъективно-идеалистическая доктрина Дж. Беркли [41 ] не что иное, как талантливая интеллектуальная провокация, имеющая целью показать, что разум не в состоянии строить общие понятия, такие, как «душа», «благодать», «бог» и т. п., но и такие, как «материя», «пространство», «время» и т. д. на основе чувственного опыта. По мнению Беркли, можно оперировать со знаком «голубой», но нельзя иметь представления о «голубизне» вне конкретных голубых предметов как о самостоятельной сущности; точно так же такие термины, как «субстанция», «причина»,— это лишь пустые знаки, не имеющие никакого конкретного значения. Номиналистские возражения против неограниченного введения и использования общих понятий имеют под собой некоторые реальные основания.

Активизация номинализма в новейшее время стимулировалась появлением канторовской теории множеств [67], [468] и открытием ряда парадоксов теории множеств,

причина которых, по-видимому, заключается ймейнб п неограниченном введении и употреблении общих понятий; так, например, к парадоксу приводит использование термина «множество всех множеств». Здесь следует отметить, что анализ этих математических проблем, обращение математики к выяснению своих собственных оснований существенно увеличили значение математики (в том числе и самых абстрактных ее разделов) для естествознания. Создалась возможность моделировать различные философские концепции и использовать весь арсенал математических методов для определения их реального содержания.

Различие между реалистической и номиналистической концепциями можно наглядно моделировать исходя из различных точек зрения на предмет и методы математической статистики (и ее приложений в экономике— эконометрии).

Аналогом сущности здесь служит случайная величина, полностью описываемая соответствующей функцией распределения или определенными моментами; аналог явления — это реализация случайной величины. С точки зрения реализма случайная величина находит выражение в своих конкретных реализациях; задача математической статистики заключается в том, чтобы, отсеяв случайные компоненты, выявить, найти неслучайные параметры. С позиций номинализма такая постановка задачи не имеет никакого смысла: за конкретными значениями случайной величины ничего не стоит. Имеется просто набор чисел, который можно обозначить одним символом и в дальнейшем использовать один этот символ вместо нескольких (по одному для каждого результата), но для утверждения, что этому общему символу соответствует некоторое значение, некоторая общая сущность, с точки зрения номинализма нет никаких оснований. Научная честность должна препятствовать измышлению гипотез.

Последовательное проведение номинализма наталкивается на серьезные препятствия. Приведем слова В. Ф. Асмуса, характеризующие номиналистскую позицию У. Джемса: «На место интеллектуального познания Джемс ставит молчание» [26, с. 294]. Фактически отход от радикальной позиции можно проследить всякий раз, когда уточняется значение терминов «конкретный объект», «конкретный предмет» и т. п. С трудностями проведения последовательно номиналистской точки зрения в свое время встретились неопозитивисты; их попытки решить

49494 Р. Л. Раяцкас, М К. Плакунов

49

49

возникающие проблемы довольно подробно освещены в литературе (см., например, [30], [46], [144], [243], [310], [319], [379], [396]).

В некотором смысле промежуточную позиДию в вопросе об онтологическом статусе идеальных объектов занимают представители концептуализма. Р. И. Павиленис отмечает, что «возможность указания объекта предполагает возможность построения определенного концепта об этом объекте» [334, с. 180]. Справедливо ли обратное? Номинализм категорически заявляет: нет. Все общие понятия, т. е. понятия, референтов которых нельзя предъявить простым указанием на конкретный объект, должны быть с точки зрения номинализма изгнаны из теории.

Концептуализм, так же как и номинализм, отрицает объективное, независимое от разума существование универсалий, но в отличие от номинализма считает, что универсалии реально существуют в сознании. Таким образом, значения терминов «голубой», «идеальный газ», «твердое тело» и т. д.— это идеальные объекты, рождающиеся в сознании в результате их операционального (в широком смысле) определения, в частности в результате абстрагирования от конкретных объектов или явлений, обладающих этими характеристиками.

Концептуализм, так же как и номинализм, можно обвинить в релятивизме и в конечном счете в субъективизме. Причем если для номинализма такие возражения в основном не существенны, то концептуализм должен ответить на вопрос, где гарантия тождественности употребления одного и того же термина, например термина «голубой», разными людьми. Ясно, что такой гарантии нет. В действительности люди часто придают одним и тем же терминам различные значения, но существенно и то обстоятельство, что это не обязательно ведет к полному релятивизму и субъективизму. Фактом является и то, что в процессе практической деятельности, обмена идеями люди способны сближать свои представления о значениях термина и вырабатывать по крайней мере локально общезначимые понятия. Последовательное уточнение, экспликация определения понятия, или идеального объекта, сопоставление различных способов его построения — это неотъемлемая часть процесса научного познания.

Водораздел между материализмом и идеализмом, как известно, не проходит по границам, отделяющим номинализм, концептуализм и реализм [89], [243], [376], [481]. Спор об универсалиях нельзя разрешить вообще. В каж-

дом конкретном случае необходима проверка истинности утверждения о существовании обозначаемого объекта.

Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий необходимость проверки существования исследуемого объекта.

Простейшая задача теории экономического роста — задача прогнозирования объема выпуска на длительную перспективу в зависимости от начального состояния экономической системы и выбранного управления на основе агрегированной модели вида (см., например, [403], [409], [489]).

Ч^ - Р^КП»(1.3)

К^ - 1П(1.4)

1^ - *1П(1.5)

где t — время, t ^ 0; q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов; I — объем капиталовложений в единицу времени; F(-) — производственная функция.

Кроме того, заданы начальные значения ^(0), К(0), I (0). Управляющей переменной является доля объема выпуска, направляемая на капиталовложения, а. Рассмотрим случай

а = const

Пусть для определенности

F^ = АК\

где А — отдача на единичные затраты; у — эластичность выпуска по фондам или, что в данном случае одно и то же,— параметр отдачи на масштаб. Экономический смысл этого параметра очевиден:

d In q

у = —;—рч т. е. рост объема основных производствен- 1 d In is.

ных фондов на 1% увеличивает объем выпуска на у%.

Нас будет интересовать только случай возрастающей отдачи на масштаб: у > 1. Учитывая сделанные допущения, получаем из (1.3) —(1.5) следующую систему уравнений:

q = АК\(1.6)

К = аАК\

Разделив переменные, имеем

— = аА dt.

Интегрируя последнее уравнение с учетом предположения, что у ^ 1, получаем

А_ = aAt + В,(1.7)

постоянную интегрирования В находим из начального условия

^^(о^-в,

откуда, подставляя это значение В (в 1.7), имеем

к (t) = [(1 - у) «At + [К (0)l^v]1^.(1.8)

Определим величину 6 равенством б — у — 1, так как, по предположению, у > 1, эта величина неотрицательна. Запишем теперь (1.8) в удобном для анализа виде

К ( t) = 7-77Т-.(1.9)

V 1[[^(0)]-6 — 6аЛ<]1/6'’

Подставив (1.9) в (1.5) и заменив у на 1 + 6, получаем

qW =iм’(1.Ю)

[[Я(0)]~б — 6аЛ(] 6

причем б> 0.

Переменная t возрастает от 0 до некоторого критического значения £кР, при котором выражение в квадратных скобках в (1.9) (или в (1.10)) обращается в 0, а объем фондов и объем выпуска становятся бесконечными. Величина £кР равна

t -1

кр 6аЛ \К (О)]6 ‘

Итак, если отдача на масштаб возрастает, т. е. у> 1 в (1.6), то при любом управлении а> 0 за конечное время имеет место бесконечный рост экономической системы — результат не столько оптимистичный, сколько парадоксальный.

Нетрудно видеть, что если у ^ 1 в (1.6), то ни объем основных производственных фондов, ни объем выпуска не обращаются в бесконечность за конечное время. Но это не может быть основанием для наложения априорного ограничения на эластичность производства по ресурсам у, 52

вопрос о возможных значениях этого параметра довольно подробно рассмотрен в теории производственных функций (см., например, [259], [345], [377]). Утверждение, что эластичность производства по ресурсам не может превышать единицу, эквивалентно утверждению, что всегда отсутствует экономия на масштабе (т. е. отсутствуют эффекты концентрации производства). В конечном счете конкретное значение параметра для конкретной экономической системы определяется на основе конкретной статистики и, как показывает эконометрическая практика, отдача на масштаб может быть как постоянной или убывающей, так и возрастающей.

В [345] рассмотрены различные модификации модели (1.3) — (1.5), позволяющие избежать неограниченного роста за ограниченное время. В частности, показано, что ни учет амортизации, ни включение в производственную функцию трудовых ресурсов не позволяют достигнуть этой цели. Не ведет к цели и учет материальных ресурсов как лимитирующего фактора (прием, который часто удачно работает в моделях физических, химических и биологических систем), так как хотя в каждый момент времени объем материальных ресурсов и ограничен, но ограничен он количеством освоенной, организованной, включенной к данному моменту времени в хозяйственный оборот материи. Поэтому ограничение сверху на объем материальных ресурсов не является величиной неизменной и, следовательно, на сколь угодно большом горизонте моделирования объем материальных ресурсов не является величиной, лимитирующей рост: вещества и энергии вокруг сколько угодно. В качестве выхода из этой парадоксальной ситуации в [345] было предложено «погрузить» модель (1.3) —(1.5) в модель развития эколого-экономической системы, учитывая, например, влияние загрязнения на параметры производственной функции. Этот подход ведет к желаемому результату, но в качестве альтернативы целесообразно рассмотреть субстанционные предпосылки, неявно включаемые в модель (1.2) —(1.4), а также практически в любую модель экономического роста.

Эти предпосылки сводятся в основном к одной: экономическая система существует как единое целое на всей временной полуоси t>* 0. Слова «как единое целое» в данном случае означают, что:

возможен сколь угодно интенсивный обмен продукцией и производственными ресурсами между всеми частями системы;

такой обмен осуществляется наилучшим (с точки зрения максимизации общего выпуска) образом.

В этом смысле модель (1.3) —(1.5) является ньютоновской, поскольку условие 1 эквивалентно условию неограниченного быстродействия в классической механике. Как известно, быстродействие ограниченно; данный, более общий принцип нашел отражение в специальной теории относительности. Обмен между различными частями экономической системы продукцией, ресурсами и информацией (последнее необходимо для рационального распределения) можно считать неограниченным только в первом приближении, при относительно небольших размерах экономической системы.

С ростом экономических показателей растут и пространственные размеры системы. В конце концов становится затруднительным не только обмен продукцией, ресурсами — веществом и энергией, но и информацией. В результате экономическая система перестает существовать как целое, она превращается в конгломерат экономических систем, многие из которых по чисто физическим причинам (большие расстояния, ограниченная скорость передачи информации), совершенно не связаны друг с другом . Это ведет к потере эффектов концентрации и специализации производства в конгломерате экономических систем, т. е. к уменьшению эластичности производства по ресурсам по крайней мере до единицы. Не трудно видеть, что в этом случае суммарный выпуск и суммарный объем основных производственных фондов всего конгломерата будет расти в лучшем случае по экспоненте. Таким образом, причиной парадоксального результата (неограниченный рост за ограниченное время) является неверное решение проблемы самотождественности экономической системы на всей полуоси времени t > 0. Количественный рост ведет к качественному изменению объекта: как неизменная субстанция, изменение модусов которой описывают уравнения (1.3) —(1.5), он перестает существовать, превратившись в конгломерат слабо взаимодействующих субстанций. Не будем останавливаться на технике моделирования этого превращения, заметим только, что проблемы определения момента времени превращения экономической системы в конгломерат экономических систем

Можно избежать, используя Для спецификации (1.3) гомо* тетические производственные функции (см., например, [175], [345]).

Следует отметить, что разобранный пример характеризует проблему субстанциализации не только в глобальном моделировании. Качественно новые характеристики больших экономических систем на уровне народного хозяйства и его отраслей отмечал, например, А. И. Павлюченко [336]; точно такие же проблемы превращения целостной системы в конгломерат частей возникают и при организации производственных бригад, так как нелинейный эффект кооперации членов бригады может быть утрачен с ростом ее численности в результате того, что с ростом бригады уменьшается интенсивность взаимодействия ее членов. ,

Выделение объекта, отграничение его от других объектов, его определение — это наиболее сложная и наименее формализуемая часть научной работы, которая является, скорее, искусством, чем наукой. В частности, в описании внелогических способов определения терминов существенную роль играют такие понятия, как опыт, функция (цель) определения, значение в данном контексте и т. д. Н. Мулуд отмечает, что «генетическая эпистемология Жана Пиаже развила анализ и аргументацию, которые убедительно показали, как практически операции, которые могут быть выполнимыми, переходят в операции, формулируемые и мыслимые» [304, с. 203]. Близкие результаты получены советскими психологами П. Я. Гальпериным [108], [109], Л. С. Выготским [105] и др. По словам В. И. Ленина, «вся человеческая практика должна войти в полное ,, определение “ предмета и как критерий истины и как практический определитель связи предмета с тем, что нужно человеку» [3, т. 42, с. 290].

Глава вторая,

ОПИСАНИЕ, КВАНТИФИКАЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЕ

Проблемы формального описания, шкалирования переменных и измерения их значений

Представление переменных

В общем случае описание экономической системы не становится количественным от того, что значения переменных представлены в виде чисел. Последние могут играть просто роль меток, таких, как, скажем, табельный номер рабочего, код детали или сборочной единицы и т. д. Описание будет количественным, если наряду со значениями переменной (или переменных) операционально определенные операции над объектами можно представить как операции над числами (в частности, как арифметические операции). Табельные номера рабочих не являются количественной характеристикой рабочей силы, поскольку нельзя указать никаких действий, соответствующих сложению или вычитанию табельных номеров.

Не менее важно при построении и анализе экономических моделей проводить различие между квантификацией, т. е. определением переменной как числовой, и измерением, т. е. приписыванием ей соответствующего числового значения. Так, переменная «жители города, желающие купить товар X» может быть описана как количественная, т. е. значения этой переменной можно представить в виде чисел, над которыми допустимо производить арифметические операции. Конкретное же числовое значение этой переменной устанавливается в результате выполнения ряда процедур измерения. В общем случае эти процедуры могут отсутствовать или оказаться технически невыполнимыми или же слишком трудоемкими. В нашем примере такой процедурой может служить опрос всех 'жителей города.

Однако имеются примеры переменных, которые можно представить как количественные1 но значения их нельзя

измерить. Такой переменной является, например, переменная «жители города, считающие себя способными к управлению промышленным предприятием». Опрос в данном случае не будет адекватной процедурой измерения значения этой переменной, так как люди, считающие себя способными к управлению предприятием, могут не признаться в этом из скромности, а люди, не чувствующие себя таковыми, могут тем не менее ответить на вопрос анкеты утвердительно.

Переменная «жители города, способные к управлению промышленным предприятием» может быть не только представлена как количественная, но и, по крайней мере в принципе, измерена. Для этого можно, например, назначить всех жителей города директорами промышленных предприятий и через некоторое время подсчитать, сколько из них справились со своими обязанностями. Ясно, однако, что это технически неосуществимо, поэтому процедура точного измерения должна быть заменена какой-то процедурой приближенного измерения. Такой процедурой может быть, например, одна из процедур выявления людей, обладающих качествами, необходимыми для руководства (см. например, [38], [196], [229] и др.). При этом, правда, приходится жертвовать точностью и надежностью оценок значений количественной переменной.

Номиналистский подход к построению моделей требует отказа от введения в модель переменных, значения которых не поддаются измерению. В данном случае такой подход обладает рядом достоинств, так как следование этому требованию предохраняет от построения фиктивных моделей, т. е. моделей, которые ничего не моделируют. В то же время, как это было отмечено в первой главе, номиналистская методология в целом неконструктивна. Вопрос о правомерности включения неизмеримых переменных в модели будет рассмотрен в четвертой главе.

Различие между формальным описанием, представлением в виде чисел и измерением не вызывает сомнений, но все же следует отметить, что в литературе по моделированию экономических систем, объектов, явлений, процессов и т. д. это различие не выступает достаточно отчетливо, о чем, в частности, свидетельствует некоторый разнобой в терминологии.

В наши цели не входит установление каких-то предписаний для использования общеупотребимых терминов. Однако для того чтобы избежать путаницы, необходимо согласовать терминологию, которая будет употребляться

в дальнейшем, с употреблением этих терминов в литературе.

В настоящее время под теорией измерений понимают обычно теорию, основы которой были изложены Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в их фундаментальном труде [313], а также в более формализованном виде в статье П. Суппеса и Дж. Зинеса [413]. Результаты развития этих идей и более современное состояние вопроса содержится, например, в [319], [366], [408], [445]. В этих работах рассматриваются в основном проблемы представления переменной в численном виде, проблемы определения численного значения переменной, т. е. проблемы измерения в том смысле, в каком этот термин используется в физике, технике и эконометрии [17], [274], [330], подробно не анализируются. При этом используются как термин «измерение», так и термин «представление в виде числовой информации» или аналогичный ему.

Суппес и Зинес под измерением фактически подразумевают решение следующих основных проблем теории измерения: проблемы представления эмпирической системы с отношениями, числовой системой с отношениями, проблемы единственности этого представления (определение типа шкалы) и проблемы адекватности такого представления [413]. В таком же значении эти термины использует Пфанцангль [366]. Фон Нейман и Моргенштерн в основном используют термин «измерение», имея в виду как решение проблемы представления, так и определение конкретного численного значения полезности; встречается у них и термин «описание физической величины числами» [313]. В работе [432] говорится об измеримости эмпирической системы в некоторой шкале, если существует решение проблемы представления [432, с. 9], такое же значение этому термину придает Фишберн [445]. В справочнике [8] проводится различие в терминах, когда речь идет о представлении переменной в виде чисел и об определении конкретного числового значения переменной; в первом случае используется термин «оцифровка» [8, с. 432 и др.], во втором, как правило,— «оценка».

В литературе по эконометрии и иногда по статистике в настоящее время для обозначения процедуры получения численного значения переменной используется термин «оценивание» [343]; [154], который соответствует термину «измерение» в технике [274], [479].

Даже краткий обзор использования терминов «измерение», «представление в виде чисел», «оценивание» пока-

зывает, что выбрать способ употребления этих термййой, который бы в максимальной степени приближался бы к употреблению их в литературе и в то же время позволил бы обозначить все процедуры, приводящие (или не приводящие) к исчислению значения переменной, не представляется возможным. В дальнейшем мы будем использовать эти термины в следующем значении:

«представление переменной в виде чисел», если решены проблемы «теории измерений» в смысле Суппеса и Зи- неса, т. е. найдена шкала, в которой такое представление адекватно;

«оценивание» — для процедуры определения конкретного значения переменной, при этом термин «оценивание» будет использоваться и в том случае, когда речь идет о конкретном значении нечисленной переменной;

«измерение» — для обозначения всего процесса измерения: представления переменной в виде чисел и оценивания ее значения, причем если этот процесс актуально возможен, то переменную будем называть измеримой;

«слабоизмеримая переменная», или «ненаблюдаемая переменная» — в тех случаях, когда задача представления разрешима, но оценивание значений переменной невозможно;

«неизмеримая переменная» — в тех случаях, когда решение задачи представления не существует; как правило, это значит, что в формальном словесном описании объекта есть ошибки (то, что считается единой переменной, на самом деле таковой не является);

«кодирование» — представление переменной в номинальной шкале, а также, если это не будет приводить к двусмысленности, оценивание значения переменной в поминальной шкале, присвоение значению некоторого кодового обозначения;

«квантификация» — представление переменной в количественной шкале; такую переменную будем считать квантифицированной, а остальные переменные — некван- тифицированными;

«квалификация» — представление переменных в шкалах, отличных от номинальной и количественной, например в порядковой шкале.

Термины «шкала», «порядковая шкала», «количественная шкала», «номинальная шкала» используются в обычном значении [366], [413], [432] и будут определены ниже.

Теория измерений*.

проблема представления переменной

Хотя основы теории измерений довольно подробно изложены в литературе, однако несколько замечаний сделать необходимо.

Представление переменной в числовой форме определяется с помощью понятия «система с отношениями» [413]. Система с отношениями — это кортеж

(2Л)(2Л)2 — <^> ^1> • • • > Яп>,

(2Л)

(2Л)

где А — некоторое непустое множество-область системы с отношениями; R^i = 1 ~ п) — ^-местные отношения в Л, (т ^ 2). Типом системы с отношениями 5 называется кортеж

(2.2)(2.2)5 = (тХ1 . . .тп\

(2.2)

(2.2)

если для каждого t = 1 ~ п системы 2 отношение Ri является ^/-местным. Системы с отношениями одного типа называются подобными.

Системы с отношениями одного типа ST и S2 называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение /, отображающее область Ах системы с отношениями 2Т в область Л2 системы с отношениями 52, что для каждого i = 1, п и каждой последовательности элементов множества Ах — ^аХ1 а^ . . ., апг.) отношение R^ (а1? ...,ат)^ имеет место тогда, и только тогда, когда имеется отношение R^ (/ (ах^ . .., / (ят^ j. Иными словами, немного упрощая, подобные системы с отношениями изоморфны, если они имеют одинаковую структуру.

Пример: пусть

Лг = {а, Ь, с, d}, R^ = «а, 6>, <с, d», R^ = {<«, ь, с»,Лг = {а, Ь, с, d}, R^ = «а, 6>, <с, d», R^ = {<«, ь, с»,Л2 = (2, 17, 38, 9},Л2 = (2, 17, 38, 9},7?i2) = «2, 9>, <17, 38», R^ = {<2, 9, 17».7?i2) = «2, 9>, <17, 38», R^ = {<2, 9, 17».

Лг = {а, Ь, с, d}, R^ = «а, 6>, <с, d», R^ = {<«, ь, с»,

Лг = {а, Ь, с, d}, R^ = «а, 6>, <с, d», R^ = {<«, ь, с»,

Л2 = (2, 17, 38, 9},

Л2 = (2, 17, 38, 9},

7?i2) = «2, 9>, <17, 38», R^ = {<2, 9, 17».

7?i2) = «2, 9>, <17, 38», R^ = {<2, 9, 17».

Типы этих систем с отношениями одинаковы: ^ = (2, 3 ) —

= 52 = (2, 3).

Определим отображение / следующим образом:

Ra) - 2, НЬ) - 9, Нс) - 17, Hd) - 38.

Системы с отношениями 2i = (A, ^i^i R^ и 2г =

= <И2, R^, R^} изоморфны, так как одновременно выполняются отношения:

^(а, Ъ) и R?4Ha)J(b» = R^M,

R^tM) и 7?12)(/(с),/(<7)) = Т?^(17, 38),

RW (а, b, с) и 7?<2> (/ (а), / (Ь), / (с)) = R^ (2, 9, 17).

В теории Суппеса—Зинеса важную роль играют эмпирическая и числовая системы с отношениями [413]. Числовой системой с отношениями называется система с отношениями, область которой является множеством вещественных чисел. Менее понятно определение эмпирической системы с отношениями: «Эмпирическими системами с отношениями называются такие системы, области которых являются множествами таких элементов, как веса, предметы, состояния. Если, например, область А системы (Лг/?2) состоит из весов, то отношение /?2 можно называть отношением «легче, чем», т. е. aR^b и указывает, что вес а меньше веса Ь» [413, с. 15]. Здесь не совсем ясно, чем же эмпирическая система отличается от числовой: только метками, которые позволяют отличать элементы областей этих систем? Но тогда причем здесь слово «эмпирическая»? Целесообразно рассмотреть эти вопросы после того, как дадим определение термина «представление переменной в виде чисел».

Будем говорить, что числовая система 2 представляет эмпирическую систему 2Э, если 2Э изоморфна (или по крайней мере гомоморфна) числовой системе 2. Так, в примере, рассмотренном выше, 22 представляет эмпирическую систему SP Мы можем рассматривать ST как эмпирическую систему, поскольку определение эмпирической системы Суппеса—Зинеса [413, с. 15] не содержит никаких запретов на этот счет.

Пусть в предыдущем примере элементы множества Ах — это материалы; отношение R^ — отношение взаимозаменяемости, отношение R^ — это отношение «из материалов... изготавливается изделие...» Тогда система Si может быть описана следующим образом: изделие изготавливается из материалов а, b и с; материалы а и 6, с ах d взаимозаменяемы. Отличие ST от числовой системы 52 заключается только в том, что элементы 5Г имеют содержательную интерпретацию, а элементы S2 — нет. Но мы можем интерпретировать более или менее произвольно

й элементы системы S2, например, так: элементы области Л2 — это производственные рабочие, отношение R^ — «быть сменщиками», отношение R^ — «изготавливать деталь определенного наименования». Теперь можно утверждать, что эмпирическая система S2 представляет эмпирическую систему 5Т (в принципе такое утверждение осмысленно; на этом и основано физическое моделирование, в частности, и экономических систем).

Но терминологии Суппеса—Зинеса, измерение — это изоморфное (или гомоморфное) представление мира эмпирических объектов и отношений между ними в виде числовой системы с отношениями, причем подразумевается, по-видимому, что эмпирическая система неформальна. Но тогда не ясно, что такое изоморфизм? Термин «изоморфизм» можно считать определенным, если речь идет об отображении одной формальной системы в другую. Конечно, никто не может запретить использовать слово «изоморфизм» неформально, но в данном случае речь идет о формализации теории измерений.

Таким образом возникает дилемма: либо эмпирическая система представляет собой на самом деле формальную систему и ее элементы — это концепты; либо определение Суппеса—Зинеса не является формальным, и их теория не может претендовать на строгость и точность, так как неясно, когда употребление термина «изоморфизм» обоснованно, а когда нет.

Отметим одно обстоятельство: определение эмпирической системы Суппеса и Зинеса [413, с. 15] не запрещает считать числовую систему эмпирической. Действительно, если элементами области эмпирической системы могут быть «веса, предметы, состояния», то почему ими не могут быть буквы некоторого конечного или бесконечного алфавита, цифры или числа? Не будет ли вернее полагать, что «эмпирическая система» Суппеса—Зинеса — это уже формальное описание некоторой совокупности эмпирических объектов, процессов и т. п.? Ведь все, что мы конкретно знаем об эмпирической системе, это то, что она система с отношениями. Дальше начинаются неясности: с одной стороны, для эмпирической системы с конечной или счетной областью «всегда можно найти изоморфную ей числовую систему» [413, с. 16], но, с другой стороны, «проблему представления нельзя решить правильно, устанавливая изоморфизм с числовыми системами, включающими непригодные отношения. . .». Следовательно, не так уж важно указать какую-нибудь числовую систему, 62

изоморфную эмпирической, значительно важнее выбрать ее так, чтобы она содержала некоторые простые и понятные отношения» [413, с. 15—16]. Но, по определению, эти отношения уже заданы в эмпирической системе и выбирать ее нельзя!

По сути дела, все эти объекты — «эмпирическая система с отношениями», «числовая система с отношениями», «представление системы» и т. п.— введены для того, чтобы формально описать сам процесс формализации знания о некотором фрагменте объективно существующей действительности. Но для достижения этой цели нужно формально определить по крайней мере: во-первых, исходное сырье для процесса формализации, во-вторых, результат, в-третьих, процедуру переработки сырья в результат.

А. Тарский, исследуя возможности адекватного определения истины в естественных и искусственных языках, отметил, что грань, отделяющая естественный язык от искусственного, условна, так как «не известны объективные основания, позволяющие провести ясную грань между этими группами терминов. Поэтому представляется возможным включить в число логических терминов и такие, которые обычно рассматриваются логиками как экстралогические, что не расходится с практикой употребления языка» [514, с. 418]. Проведение строгого различия между языком, посредством которого обсуждаются нелингвистические факты, и языком, о котором идет речь, является, по мнению М. Таубе [420, с. 110], основным в концепции Тарского [418], [514]. Установление такого различия при логическом анализе построения логикодедуктивной системы означает, что объектом анализа является формализованная аппроксимация содержательной теории.

Модель построения модели является по отношению к последней метамоделыо; причем ее элементы — это некоторые формальные системы и процедуры. Таким образом, в тройке: (эмпирическая система, отображение, числовая система) — все три элемента являются формальными объектами, т. е. результатами операционального (в широком смысле) определения, постольку, поскольку они являются объектами логического анализа. На практике, конечно, полностью формализованных теорий нет. Не являются исключением и математические теории (об их неформальном фоне см., например, [75]); поэтому в метатеориях рассматриваются их идеализированные образы.

Все это позволяет решить указанную выше дилемму (либо эмпирическая система — это идеальный объект, либо теория Суппеса—Зинеса неформальна) в пользу первой альтернативы. Вернемся к определению (а точнее, пояснению) термина «эмпирическая система» [413, с. 15].

Элементами области эмпирической системы могут быть веса, состояния и т. д. Состояние — это сложный операционально определяемый, причем различными авторами по-разному, идеальный объект, концепт (см., например, определения состояния в [171]; [202]; [286] и др.) Веса тоже не могут считаться «чисто эмпирическими» объектами, если, конечно, не принимать точку зрения реализма на онтологический статус значения термина «тяжесть». Таким образом, поясняющие примеры, приведенные Суп- песом и Зинесом, также позволяют сделать вывод: эмпирическая система в их определении — это формальный объект. Но тогда исчезают и трудности и противоречия, связанные с установлением изоморфизма с числовой системой, которая включает «непригодные отношения» [413, с. 15-16].

Дело в том, что в реальности, в фактически происходящем процессе измерения отношения, так же как, впрочем, и предметная область, не заданы. Задача как раз в том и заключается, чтобы определить элементы предметной области и найти отношения, которые существуют между ними, т. е. сформулировать некоторые высказывания об этих элементах и установить их истинность или ложность. Но при формальном описании этого процесса можно (а для некоторых целей анализа необходимо) считать данный процесс законченным и рассматривать его как законченное целое. Отметим также, что эмпирическая система с отношениями представляет собой формализованный фрагмент содержательного описания.

Действительно, в определении эмпирической системы как системы с отношениями не содержится никакой информации о содержательной интерпретации как элементов ее области, так и отношений. Поэтому одна и та же эмпирическая система допускает множество различных интерпретаций, что мы и показали, разбирая примеры систем 2Т и S2.

Полное описание должно включать и такие высказывания, как «...есть рабочий», «...есть деталь» и т. д. При представлении эмпирической системы числовой указанные содержательные интерпретации не играют роли, значит, их можно отбросить. Следовательно, в виде числовой

системы представляется только часть формального описания; в этом заключается отличие процедуры представления формальной переменной в виде числовой от простого перевода с одного формального языка на другой.

Шкалы и адекватность

Шкала определяется следующим образом [329], [413], [462]. Вводится определение полной числовой системы: числовая система с отношениями полна, если ее область — множество всех вещественных чисел. Шкала определяется как кортеж

Ш - (2Э, 2ч, /),

где 2 g — эмпирическая система с отношениями; Ич — полная числовая система с отношениями; / — изоморфизм (или гомоморфизм) 2Э, в Sq [413, с. 19].

Тип шкалы определяется свойствами единственности отображения /.

Пусть g — отображение такое, что (Sy, H4l g) тоже шкала. Преобразование ср называется допустимым для данной шкалы, если g = ф/. Множество допустимых преобразований является группой, в чем нетрудно убедиться.

Определение шкалы или группы допустимых преобразований необходимо для решения проблемы адекватности. Числовое утверждение является адекватным, если его истинность не изменяется при допустимом преобразовании числового представления переменной. Рассмотрим несколько примеров. Полезность различных наборов товаров может быть определена с точностью до произвольного монотонно возрастающего преобразования. Числа, характеризующие полезности различных наборов, выбраны так, что если набор а предпочтительнее набора 6, то полезность а больше полезности Ь:

U^ > (7(6), если а > 6;

полезности равны, если наборы являются одинаково полезными:

(7(a) = (7(6), если а ~ Ъ.

В порядковой шкале утверждение

(7(a) > (7(6)(2.3)

адекватно, так как истинность его не изменяется, если функцию полезности подвергнуть допустимому преобра-

6565^ Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов

65

65

зованию ф такому, что если х > у, то ф(а;) > ф(£/); если х = у, то фСг) = ^уУ

Действительно, утверждение

ф№)) > <Р(<Ж)

будет истинным, если (2.3) истинно, и ложным, если (2.3) ложно. Утверждение же

U^ + UW - Щс)(2.4)

пзадекватно, так как

Ч>№) + 17(b)) = ф(и(а)) + ф(ЩЬ))

j е выполняется в общем случае нелинейного преобразова- I ия (положим, например, ф(а;) = £2).

Все это значит, что вычисление арифметических средних, квадратичных отклонений, 2-статистик и т. п. полезностей, значимостей, весов и других величин, измеренных в порядковой шкале, не имеет никакого смысла.

Пусть, например, иА и и^ — значимости некоторой задачи АСУ, оцененные в 0—1 интервале двумя экспертами. Ясно, что если эти величины измерены в порядковой шкале, то в общем случае допустимого преобразования ф:

Нетрудно видеть, что равенство выполняется только при ф(.г) = ах, где а — константа, т. е. если их и и^ измерены в количественной шкале (причем в одинаковом масштабе). Как ни странно, но это обстоятельство зачастую упускается из виду при обработке различного рода экспертных оценок. Здесь можно привести довольно много конкретных примеров (известный метод Дельфи [126], [127], [163], [269], [423]), но ограничимся одним общего характера.

Оценка деятельности руководителя — важная задача. Желание получить количественную оценку вполне понятно. Но это желание и важность проблемы не служат достаточными основаниями такого упрощения проблемы, которое сводит применение количественных методов к абсурду. В ряде методик руководителя оценивают в баллах по ряду качеств его подчиненные, руководители такого же уровня и непосредственный начальник. В результате получаются числа а^ — «степень соответствия» или «качество» руководителя по признаку г с точки зрения эксперта /. Затем вычисляют «средние» оценки по

каждому качеству I, например, как:

«г =>

Z4Wi э

где wj — кем-то оцененный «вес» эксперта /. Далее вычисляется общая «интегральная» оценка руководителя:

a = 2 «г- г

В зависимости от этой оценки руководитель может быть повышен, понижен или оставлен на прежнем месте:

a > ^тах, крит — повышение;

^min, крит ^С # ^^ ^тах, крит остается на месте; (2.5)

Ct < ^min, КРИТ —" понижение.

Дискуссии о допустимости разложения личности на сумму качеств, об объективности или субъективности, о необходимой степени субъективности и т. д. (см. например, [196], [229]) обычно в применении к таким методикам не имеют никакого смысла, поскольку все оценки делаются в порядковой шкале (обратное надо доказывать, а таких доказательств авторы подобных методик не приводят) и утверждения (2.5) в порядковой шкале просто неадекватны. Ссылки на то, что подобные «пульсары» работают, не вносят ясности. Расчеты, подобные описанным выше, конечно, могут быть проведены в любой организации, так как при сложении числа с числом всегда получается число, но не доказательство утверждения, что аналогичная методика есть нечто, отличное от игры в цифры.

При измерениях в порядковой шкале в качестве средней можно использовать медиану

^ /(т + 1\\

и целая часть —— к \\

где и^ — вариационный ряд наблюдаемой переменной и (наблюдаемые значения перенумерованы в порядке возрастания); I = 1 т.

Действительно, пусть w(1), ы(2), . . ., и^— такой вариационный ряд. Нумерация этих значений переменной и не изменится, если подвергнуть их допустимому преобразованию ср: будет получен вариационный ряд ф(и(1)),

ф(м(2>), • • ‘, ф(^(т))> так как> по определению порядковой шкалы, из

^(0^(0^(i+i)^(i+i)

^(0

^(0

^(i+i)

^(i+i)

следует

ф(^)) < Ф “(i+i))-

В настоящее время средние, квантили (которые в случае порядковой шкалы также можно использовать в качестве средних), расстояния, показатели связи между квалифицированными переменными исследованы достаточно хорошо (см., например, [8], [295], [307], [329], [432]).

Количественные переменные

Количественная переменная*, формальный аспект

Польза от использования количественных переменных заключается в том, что с их значениями можно оперировать так же, как с вещественными числами, причем за этими операциями стоят реальные операции над реальными вещами. Это иногда позволяет заменить эксперимент над реальными вещами вычислениями. Например, если известен вес каждого контейнера с грузом, можно, используя то обстоятельство, что вес тела измеряется в количественной шкале, подсчитать общий вес груза и сравнить его с грузоподъемностью судна вместо того, чтобы загрузить судно и смотреть, что получится: потонет судно или нет.

Арифметические свойства количественных переменных описываются теоремой Гельдера об упорядоченных группах (см., например, [445]).

Множество G называется группой, если оно наделено внутренним законом ф, обладающим следующими свойствами:

х ф у г G, х, у е G;

(я ф у) ф 7 = х ф (у ф и) (ассоциативность);

х ® е — е ® х — х (существование нейтрального элемента е);

Всякий элемент х ^ G имеет симметричный элемент х* такой, что х ф х* = е,

х* ф х = е'.

Если закон ф коммутативен, т. е. если имеет место 5. х ф у = у ф х, то группа называется коммутативной, или абелевой.

Можно по-разному записывать групповой закон ф; мы будем использовать аддитивную запись:

вместо х ф у -> х + У*

Пусть тп — целое положительное число. Тогда

тх = х -V х -V ••• + я (ап раз).

Выбор аддитивной записи совершенно произволен в общем случае; можно было выбрать, например, мультипликативную запись, тогда

хт — х-х- ,.,-х (т раз).

Указание на произвольность записи группового закона означает, что запись х + у вместо х ф у ни в коем случае не означает интерпретации группового закона ф как арифметической операции суммирования и используется только из соображений удобства. Свойство, выделяющее архимедовы группы, удобнее записывать в мультипликативной или аддитивной форме.

Строго упорядоченной группой называется тройка (G, +, <( >, где (G, + ) — группа, а отношение <(, заданное на G, является строгим упорядочением, причем для любых ж, у, 2 е G выполняется

Х<<у=>х + 2<^у-\-2; И 2 + X <( 2 + у.

Строго упорядоченная группа называется архимедовой, если для любых х, y.^Gue^x, е <^ у найдется такое целое положительное число т, что у <( тх.

Архимедовыми группами являются, например, группы (А, +, <), (R, +, <), (R, • , <) и т. п., где N — множество целых чисел, R — множество выщественных чисел, + — «обычная» операция сложения; • — «обычная» операция умножения, < — «обычное» отношение «меньше, чем...».

Теорема Гельдера, содержащая основные формальные свойства количественной переменной, формулируется следующим образом.

Пусть (G, +, <) — строго упорядоченная группа. Она будет архимедовой тогда, и только тогда, когда существует такая функция / : G -> R (где R — множество

вещественных чисел), что для любых xj eG выполняется ^ < г/=>/W < Д'/),(2.6)

/(я + У) = № + М-^-^

Кроме того, если выполняются условия (2.6) и (2.7) и если для некоторой вещественно значной функции g, определенной на множестве G, также выполняются условия сохранения упорядочения (2.6) и аддитивности (2.7), то существует такое вещественное число с > 0, что для всех xeG

g^ = с-/(ж),

причем если существует такое ^ е С, что е <( х^ то константа с единственна.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [445, с. 93—96] и т. п. Значение теоремы Гельдера для теории измерений заключается в частности, в том, что она устанавливает эквивалентность между вопросами: «что значит: значение переменной х в т раз больше значения I/?» и «что означает суммирование значений х и у?» Если (G, ф, <() — эмпирическая система в определении измерения Суппеса — Зинеса [413], то теорема Гельдера — это теорема единственности для числового представления переменной в шкале отношений. Действительно, Суппес и Зинес используют аналогичные конструкции в своем изложении теории измерений (теоремы представления и единственности для экстенсивных систем [413, с. 42], при этом они совершенно справедливо подчеркивают, что групповой закон не обязательно интерпретировать как сложение.

В то же время Суппес и Зинес преувеличивают независимость адекватности числовых утверждений от природы реальных, «эмпирических» операций: «Одно из основных наших предположений... состоит в том, что знание теорем представления и единственности признается достаточным для ответа на вопрос об адекватности утвер- ждения» [413, с. 106]. Но справедливость этих теорем зависит все же от свойств отношений, с помощью которых задается эмпирическая система с отношениями. Далее, выбор самой эмпирической системы с отношениями (а такой выбор, конечно, делается, так как эмпирическая система с отношениями Суппеса — Зинеса — это формальная система — формальное описание реального объекта или процесса, но не сам объект) — выбор эмпирической

системы с отношениями не вполне произволен, так как отношения между элементами области системы должны соответствовать некоторым отношениям между реальными объектами. Это означает, что свести вопрос об адекватности конкретных числовых утверждений только к логико-математическому их анализу, только к доказательству теорем, нельзя: необходимо иметь операциональное определение групповой операции.

Обычно групповая операция в тех случаях, когда описание с помощью количественной шкалы оправданно и полезность такого описания подтверждена практикой, как это имеет место в физике, технике и т. п., имеет естественную интерпретацию в терминах эмпирических объектов и реально совершаемых действий. Например, масса физического тела измеряется в количественной шкале, так как групповой операции «сложение чисел» соответствует операция соединения физических тел. На вопрос, «что означает, что тело х в т раз массивнее тела у», может быть дан простой однозначный ответ: «если на одну чашу весов положить тело х. а на другую чашу положить т тел у, то весы будут уравновешены». В экономике используются физические величины,— например, натуральные измерители объема выпуска (тонны, метры, кв. метры и т. д.); но в общем случае представление «естественной операции» таким образом, чтобы удовлетворялись условия (2.6), (2.7),— это весьма нетривиальная задача. Так, суммарная стоимость двух половин разорванной книги не всегда будет равна стоимости объединения этих половин — стоимости целой книги.

Количественные шкалы

Значения переменных, измеряемых в количественной шкале, определяются с точностью до линейного преобразования

(2.8)(2.8)у = ах + Ъ.

(2.8)

(2.8)

Если а >0, а Ъ Ф 0, то (2.8) определяет шкалу интервалов. В такой шкале измеряется, например, температура (шкалы Цельсия, Реомюра, Фаренгейта), время. Параметр а в (2.9) называют масштабом, а параметр Ъ — началом отсчета. Если начало отсчета нельзя выбрать произвольно и если 6 = 0, то переменная измеряется в шкале отношений. Допустимым преобразованием в этом случае

будет преобразование подобия

у = ах, а >0.(2.9)

В такой шкале, т. е. с точностью до масштаба, который устанавливается произвольно, измеряются, например, цены, веса, длины и т. д. Из переменной, измеряемой в интервальной шкале (2.8), легко получить переменную, измеряемую в шкале отношений (2.9). Действительно, пусть у — переменная, измеряемая в шкале интервалов. Зафиксировав некоторое значение этой переменной у0, введем переменную z:

^ = У — По

переменная z измеряется в шкале отношений

az = ay + b — ау0 — b = а(у — у^.

Если в (2.9) зафиксирован масштаб, то переменная измеряется в абсолютной шкале с точностью до тождественно-

1 го преобразования

у = X.(2.10)

В абсолютной шкале измеряется, например, вероятность, число работающих на данном предприятии, число станков данного типа и т. д. К абсолютной шкале легко перейти из шкалы отношений. Действительно, путь у — переменная, измеряемая в шкале отношений. Введем переменную z, зафиксировав некоторое значение переменной у на уровне у0:

Z = у!уй.

Переменная z измеряется в абсолютной шкале

z = ау!ау6 = у!уй.

Поскольку от шкалы интервалов (2.8) можно перейти к шкале отношений (2.9), а от шкалы отношений — к абсолютной шкале (2.10), можно от шкалы интервалов перейти к абсолютной шкале! Для удобства в дальнейшем под измерением в количественной шкале мы будем иметь в виду измерение в одной из следующих шкал: интервалов, отношений или абсолютной.

Это не значит, конечно, что к абсолютной шкале нельзя перейти ни из какой другой, кроме перечисленных выше шкал. Так, если переменная измеряется с точностью до преобразования вида

у = Ъха1

то логарифм этой переменной измеряется в шкале интервалов

у' = In у; х' = In#; b' = In b;

у' = Ъ' + яя' •

В то же время если переменная измерена с точностью до преобразования вида

у = Ъе^(2.11)

то ее нельзя преобразовать в переменную, измеренную в количественной шкале, хотя встречаются противоположные утверждения [295, с. 21]. Действительно, пусть некоторая переменная измерена с точностью до некоторого преобразования ср:

= ф(ж).(2.12)

Мы хотим ввести с помощью некоторого преобразования переменную, которая измерялась бы в количественной шкале, например в интервальной. Это значит, что должно выполняться условие

/(у) = &М + 6

или, учитывая существующую шкалу (2.12),

/(ф(*)) = а/(х) + Ь.(2.13)

Нетрудно видеть, что (2.11) не удовлетворяет этому функциональному уравнению: логарифмируя (2.11), получаем

In у = In Ъ + ах,

но не требуемое

In у = In Ъ -j- a In х.

К количественной шкале нельзя с помощью преобразования переменных перейти ни от порядковой, ни от номинальной шкал. Последнее обстоятельство иногда упускается из виду при интерпретации результатов процедур «оцифровки» нечисловой информации [8], [295]. Например, утверждается, что «качественные дихотомические признаки одновременно являются количественными» [295, с. 25]. Дихотомическими (булевскими, бинарными) называются признаки, множество значений каждого из которых состоит всего из двух элементов. Приведенное выше утверждение о том, что дихотомические признаки являются количественными, В. Г. Миркин, например, обосновывает так: «Множество всех взаимно-однозначных

преобразований для дихотомических признаков Совпадает с множеством линейных преобразований. Действительно, Ъзаимно-однозначное соответствие двух конкретных значений ^t, ж2- вообще говоря, другим двум значениям — yv у2, может быть задано как линейное с параметрами а и Р, удовлетворяющим соотношениям yl = a,-xi + ^ (Z = 1, 2), которые при xt ^ х2 однозначно разрешимы относительно а и Р; причем из а ^ 0 следует yv ^ у2. Это означает, что номинальный дихотомический признак на самом деле измерен в ненаправленной шкале интервалов. Аналогично доказывается, что ранговый (по доминированию) дихотомический признак на самом деле измерен в направленной шкале интервалов» [295, с. 25].

Если эти утверждения верны, то говорить о границах применения количественных переменных не приходится, таких границ нет, так как ясно, что любая категоризированная переменная может быть представлена в виде набора дихотомических (конкретные процедуры такого представления см. в [295, с. 25—28], [8]). Но, к сожалению, эти утверждения неверны.

Прежде всего неверно утверждение о совпадении множества всех взаимно-однозначных преобразований для дихотомических признаков с множеством линейных преобразований. Рассмотрим, например, такое взаимно-однозначное преобразование, являющееся, конечно, допустимым для номинальной шкалы

= ^27 У2 = *1-

Очевидно, что это преобразование не удовлетворяет соотношениям

, = а-жг + р.■

Рассмотрим другое допустимое преобразование

. = exp ^i).

Ясно, что это преобразование взаимно-однозначно, но оно не является линейным. Можно утверждать: поскольку у и х принимают только по два значения, его можно аппроксимировать линейным, но это не то же самое, что совпадение множества линейных преобразований и множества допустимых преобразований для номинальной шкалы, которой описываются измерения дихотомических признаков. Перейти от номинальной или порядковой шкалы к количественной, используя только формальные преобразования переменной, нельзя; переход от шкалы, харак-

теризующейся допустимым преобразованием (р(^), к количественной возможен, если для этой функции ц(.г) существует решение функционального уравнения (2.13)е

Операциональные определения количественных шкал

Простейшим и наиболее распространенным, к тому же наиболее надежным, способом операционального определения шкалы отношений является указание на эталон (эталонный метр, эталонный грамм и т. д.). В случае шкалы интервалов надо указать два «эталона» — начало отсчета и масштаб (как построена, например, шкала температур Цельсия).

В экономических науках таким прямым способом операционального представления переменной в шкале отношений обычно исчисляются различные стоимостные показатели (например, объем основных производственных фондов, объем выпуска и т. п.), показатели, характеризующие объем привлекаемых трудовых ресурсов (например, плановый фонд времени производственных рабочих, численность и т. п.), показатели затрат труда (например, нормы времени, трудоемкость в нормо-часах и т. п.), индексы роста (с учетом сделанных выше оговорок) и др.

Особые проблемы, решение которых потребовало разработки нетривиальных методов, возникли в связи с развитием теории полезности. Получение количественной полезности из качественной исходя из заданных на множестве объектов предпочтений обычно базируется на сравнении интервалов или на введении средней точки. Практически оба эти подхода эквивалентны [86], [260], [261], [313], [445]. При сравнении интервалов отношения предпочтения задаются между парами объектов (я, у) е А ХА, где А — множество объектов. Стандартная интерпретация отношения

^х, У) ~ (2> ^) ПРИ х ^ У ^ 2 К w ■ (2-14) такова: у предпочтительнее х в такой же степени, в какой w предпочтительнее и, а отношение

^х, У) <( (2, ^) ПРИ х ^У ^ £ <( w (2.15)

интерпретируется следующим образом: ш предпочтительнее z в большей степени, чем у предпочтительнее х. В частности, отношение

(я, У) ~ (У. z) при х < у < z

означает, что объект у расположен не только между объектами х и z в ряду предпочтений я <( у <( z, но и по середине между ними.

Утверждение, что (2.14) или (2.15) можно сопоставить некоторую конкретную процедуру сравнения интервалов — пар (х, уУ таких, что х, у е А, х <✓ у — не является самоочевидным, и в конечном счете проверяется на практике.

Теоремы теории измерений (точнее, как мы отмечали, теории представлений) о представлении переменных в различных шкалах, устанавливают эквивалентность (точнее, изо- или гомоморфизм) различных описаний реальных объектов и процессов, например эквивалентности описаний в терминах «предпочтительнее, чем...» и «больше в п раз, чем ...» в случае количественных шкал. Но вопрос об адекватности самих этих описаний не входит в круг вопросов, разбираемых в теории представлений. Перефразируя М. Таубе, можно сказать, что теоремы о представлении переменных — это всего лишь вставка между неформальным началом и неформальным концом.

Операциональное определение переменной, особенно количественной переменной,—это, как правило, результат длительного процесса, в основе которого лежит общественная практика. Обычно можно указать, кто и когда ввел те или иные единицы измерений (метр, кг, секунда, джоуль и т. п.), но указать, кто «придумал» такие фундаментальные физические величины, как длина, сила, время, нельзя. Экономическая наука в этом смысле не исключение. Одной из фундаментальных величин в экономике является стоимость, измеряемая в количественной шкале. Процесс формирования стоимости, развития форм стоимости исследован К. Марксом в I томе «Капитала». Некоторые аспекты этого анализа были формализованы С. А. Яновской [494] и Д. П. Горским {134], [137] следующим образом.

Пусть А — множество товаров. На А определяется отношение непосредственной обмениваемости R: хН^хе еЛ, у е А) тогда, и только тогда, когда товар х непосредственно обменивается на товар у. Очевидно, что из xRx и из xRy следует yRx. В [155], [159], [584] предполагается также, что отношение транзитивно. Таким образом, отношение непосредственной обмениваемости — это отношение эквивалентности на А, разбивающее множество товаров А на непересекающиеся классы эквива-

лентности

л = иЛ; ^Л^=0» если i^j- г

Каждому множеству Аг можно сопоставить некоторый предикат Pt : Рг^ истинно, если х е Atl и ложно, если х ^ At. Каждый предикат Pt описывает то общее свойство элементов А^ в котором они оказываются приравненными друг к другу. Этим общим свойством и является стоимость. Д. П. Горский отмечает, что историческое развитие форм стоимости можно сопоставить с постепенным «увеличением общности» отношения R [137].

Работы С. А. Яновской и Д. П. Горского содержат формальное определение стоимости. Но стоимость имеет величину. которая измеряется в количественной шкале (в шкале отношений). Для определения величины стоимости одного отношения эквивалентности недостаточно, как это следует из теории измерений. Нужно отношение типа строгого или слабого упорядочения на А. Мы воспользуемся тем, что понятие о стоимости товара сформировалось не раньше, чем возникло понятие числа; хотя формирование этих понятий было, видимо, связано, и современного понятия о числе во времена примитивной меновой торговли, конечно, не было. Наше допущение оправданно по крайней мере в первом приближении, так как обменивались различные количества товаров, например «20 аршин холста обменивается на 1 сюртук или на 10 фунтов чаю» и т. д. Поэтому мы можем ввести различные количества экземпляров классов эквивалентности. Определим экземпляр [Az ] множества Аг- как один любой элемент множества Af.

1А^ = ^зсеА^ = (уеА^.

Определим и экземпляров п- [Л J множества Аг как множество, составленное из п любых (возможно, с повторами) элементов Af.

тг-[АА = {ж[Е4 1 = 1~ п}.

Так, если Аг— множество, в которое входит 1 фунт чаю, то 10- [A J — множество, в которое входит 10 раз по фунту чаю или же 10 любых товаров, которые пспосредственн ) обмениваются на 1 фунт чаю. Определим отношение Нс на множестве товаров А следующим образом: xRcy(x- ее ^ Аь у е Aj^ тогда, и только тогда, когда найдутся такие

ч исла т и п, что

(т[Аг-])Я(п[47]) • ' и

т «Сп.

Содержательно это означает, что товар х находится в отношении Rc к товару у, когда т экземпляров товара х непосредственно обмениваются на п экземпляров товара у и т < п\ при этом товары х и у могут быть заменены любыми, равными им по стоимости. Нетрудно видеть, что Rc (если оно существует) асимметрично и транзитивно и является строгим упорядочением. Товары х и у находятся в отношении НС1 если х имеет меньшую стоимость, чем у.

Приведенную схему формализации определения стоимости можно, конечно, уточнить; видимо, она и неединственна. Однако для нас важно отметить, что понятие о стоимости не является результатом только теоретического построения; понятие это развивалось в связи с развитием обмена. Отношения R и Rc не существовали (и не существуют) в готовом виде вне отношений производства и обмена. Свойства этих отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность для R и асимметричность и транзитивность для Rc) возникали в связи с развитием форм обмена. Исходным пунктом этого «наращивания» свойств можно считать отождествление объекта самому себе — рефлексивность отношения R. Ранней стадии обмена, когда обмен носил еще нерегулярный, случайный характер, соответствует простая форма стоимости; но поскольку из того, что товар х обменивается на товар ys следует, что у обменивается на х. отношение R (до возникновения обмена — только рефлексивное) приобретает свойство симметричности, т. е. становится толерантностью. Множество товаров этим отношением разбивается на классы толерантности, которые формально определяют полную или развернутую форму стоимости. С дальнейшим развитием товарного производства и обмена полная форма стоимости превратилась во всеобщую, или развернутую. Этому соответствует обогащение отношения R свойством транзитивности и т. д.

Величина стоимости определяется (выявляется) просто в процессе обмена — ив этом смысле определение стоимости операционально, так же как операциональны определения длины, веса и т. п. Но есть и существенное отличие определения стоимости от операциональных опре-

делений физических величин, которое нельзя, конечно, игнорировать. В практической деятельности людей возникали понятия о длине, массе, температуре, но*не длина, масса, температура. Стоимость же сама (а не только понятие о стоимости) возникла в связи с появлением товарного производства и обмена; с исчезновением товара исчезает и стоимость.

Операциональность определения стоимости выступает основой и операциональное™ определения абстрактного труда. Последний — это не просто результат отвлечения от свойств конкретных видов труда. Дело в том, что при эквивалентном обмене, как указывал К. Маркс, «известное количество труда в одной форме обменивается на равное количество труда в другой» [1, т. 19, с. 19]. В этом же смысле операциональна и редукция труда. К. Маркс неоднократно подчеркивал, что сведение сложного труда к простому реально совершается в реальных процессах обмена товарами: «Товар может быть продуктом самого сложного труда, но его стоимость делает его равным продукту простого труда» [1, т. 23, с. 53]. Не будет преувеличением сказать, что прибором, измеряющим стоимость товара, величину абстрактного труда и т. д., является рынок. Этот прибор далеко не идеален, так же как и физические приборы, что выражается, в частности, в отклонении цен (результатов измерений) от стоимости (измеряемой величины).

В связи с этим представляется справедливым мнение С. Р. Кириллова, что «и при социализме рынок призван выполнять важную функцию, состоящую в том, что именно здесь, на рынке, формируется производственный и потребительский спрос, который не может не учитываться при разработке народнохозяйственных планов... рынок с его законами спроса и предложения — важнейшая форма связи производства и потребления, инструмент окончательного общественного признания индивидуального и коллективного труда, затраченного на предприятии. Иными словами, социалистический рынок в данном случае выполняет ту же задачу, что и капиталистический (только в других условиях), и является не квазирынком, а настоящим рынком. Правда, социалистический рынок не играет такой всеобъемлющей роли, как при капитализме,

где основные пропорции общественного призводства складываются в результате действия стихийно-рыночного механизма» [211, с. 73—74].

Рассмотрим теперь вопрос, нельзя ли по аналогии с определениями стоимости товара и абстрактного труда определить исходя из эквивалентного обмена абстрактную полезность. Пусть U?(x) — полезность товара х для товаровладельца г (Z = 1, 2), и пусаь товар х, принадлежащий товаровладельцу 1, обменивается на товар у, принадлежащий товаровладельцу 2. Если товары х и // действительно обмениваются, то они находятся в отношении R : xRy, т. е. они эквивалентны по стоимости. Это исходный пункт формализации определения стоимости. Допустим, что обмен осуществлен: некоторое количество труда в одной форме (товар х) обменено на равное количество труда в другой форме (товар у). Но зачем это было нужно? Что товаровладельцы выиграли от такого обмена? Так как имеется в виду эквивалентный обмен, то выигрыша в стоимости нет. Остается выигрыш полезности. Если товаровладелец 1 обменял свой товар х на равный по стоимости товар у, то это значит, что t73(y) > Ux^xY а товаровладелец 2 оценил полезность товара х выше, чем полезность товара у : U^x) >U2(y). При этом никакого сравнения и тем более уравнивания индивидуальных полезностей не происходит. Из наблюдений за актами обмена можно получить только сведения об индивидуальных предпочтениях товаровладельцев. Таким образом, основы для абстрагирования от индивидуальных предпочтений нет и определить абстрактную полезность и ее величину, исходя из обмена, нельзя.

Количественные переменные и анализ размерностей

Проблема интерпретации операций над количественными переменными

Требование операциональности определения количественной переменной не сводится, конечно, к утверждению, что каждой операции над числами должна обязательно соответствовать некоторая естественная операция . Пусть,

например, t — время, X — константа, имеющая размерность, обратную времени, так что Xt — величина безразмерная. Какая «естественная» операция соответствует следующей операции над числами: ехр (Х^)? Экспоненты такого рода часто встречаются в физике, биологии, в теории экономического роста и т. д. Можно дать ответ: так как Xt безразмерно (а в правильно построенных моделях так обычно и бывает), то ехр (Xf) = у является адекватным утверждением, т. е. утверждением, адекватность которого не зависит от выбора единиц времени. Но можно записать

еМ = ^х,

тогда мы возвращаемся к вопросу, что это значит. Речь идет о том, что некоторое число возводится в степень, равную, например, 10 годам: ехр (t). Очень четко эта проблема была в свое время сформулирована Л. Сатуновским. Разбирая «методологические пороки» функции Кобба- Дугласа Y = АС°1\ где Y — объем национального дохода, С — основной капитал, L — затраты труда, Л, а, Р — параметры, Л. Сатуновский, в частности, отмечал: «Нельзя представить, каким образом перемножение стоимости основных производственных фондов и численности работников может давать показатель, соответствующий содержанию объема продукции. Смысл функции Кобба- Дугласа не становится вразумительнее и оттого, что факторы производства предварительно возводятся в степени а и Р, ибо показатели производственных фондов и рабочей силы имеют реальное содержание только в первой степени...» [392, с. 103]. «Нет также доказательств допустимости вообще возводить в степень такие экономические показатели, как производственные фонды, число работников и т. п. Какое экономическое содержание имеет, например, число работников народного хозяйства в квадрате, стоимость производственных фондов в квадрате или в какой- либо иной степени?» [392, с. 106].

Для того чтобы показать, что эта проблема носит общий характер, приведем еще один пример — вывод формулы Уилксона, или «закона квадратного корня» в теории управления запасами (см., например, [36], [360], [469]).

Пусть программа выпуска деталей обрабатывающим цехом в течение планово-учетного периода продолжительности Т равна N шт. деталей (одного наименования). Сборка потребляет эти детали равномерно; дефицит де-

81816 Р. Л. Раяцкас, М К. Плакунов

81

81

талей на сборке недопустим. Затраты производства складываются из следующих элементов:

с — затраты на запуск партии деталей (размерность — 1РУ6. [);

5 — себестоимость детали (] руб./шт.[);

т] — норматив платы за фонды и нормируемые оборотные средства (]1/год[).

Обозначим размер партии деталей как п. Общие затраты Z состоят из затрат на запуски партий деталей в производство

cN/n ]руб.[

и потерь от замораживания оборотных средств в запасах деталей:

s-y\Th/2 ]руб.[,

если Т имеет размерность ]год[, т. е.

Z = cN/n + 8чТп!2.'(2.16)

Дифференцируя по п и приравнивая производную к нулю, получаем

-cNIn2 + t\sT!2 = 0,(2.17)

откуда находим оптимальный размер партии деталей

«опт =(2.18)

Подставив этот результат в (2.16), получаем

ZOht = V2NTx\sc.(2.19)

Закону квадратного корня (2.18) в экономической литературе повезло значительно больше, чем функции Кобба — Дугласа, о которой можно встретить, например, такого рода высказывания: «Несмотря на обстоятельную и убедительную критику производственной функции, сконструированной буржуазными экономистами Коббом и Дугласом, в литературе еще встречаются высказывания отдельных ученых о полезности и возможности ее использования в практике социалистического планирования» [392, с. 101]. О формуле Уилксона так не говорят; но все вопросы, которые Л. Сатуновский задал по поводу экономического смысла арифметических операций над экономическими показателями (численность, фонды и т. п.), имеют точно такой же смысл и значение также в случае закона квадратного корня. Можно спросить, например! что

значит извлечение квадратного корпя из N — годовой программы выпуска деталей в (2.18)? Каков экономический смысл произведения затрат на запуск на себестоимость детали — cs — в (2.19)? Наконец, что означает показатель Мп в (2.16) или показатель т?2 в (2.17)?

Сведение вопроса к абсурду, конечно, не ответ на вопрос. Но в данном случае границу, за которой начинается абсурд, обозначить трудно. Действительно, (2.19) можно записать в виде, совпадающем формально с функцией Кобба — Дугласа:

ZonT = АсШ8Ш, (2.20)

где

Л = /17т1.

А теперь можно задать вопрос, каким образом произведение затрат дает в результате затраты, и сделать вывод, что смысл (2.20) не становится вразумительнее от того, что затраты с и s возводятся в степень 1/2.

Ответ на этот вопрос и на возражение такого типа может быть дан, как это уже отмечалось ранее, исходя из понятия адекватности числового утверждения и в результате анализа размерностей в случае количественной шкалы.

Анализ размерностей и адекватность

Количественное высказывание можно представить в одной из следующих форм:

(2.21)(2.22)(2.23)(2.21)(2.22)(2.23)F^xv ^2, ..., an а2, ...) = 0,

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

F^xv ^2, ..., ап а2, ...) >0,

F^xv х^ ..., а1? а2, ...)^0,

где хг — переменные, представленные в числовой форме (не обязательно в количественной шкале); aj — параметры (константы), также представленные в числовой форме; их численные значения определены с точностью до допустимых преобразований Т^.

Количественное выражение адекватно (т. е. функция F (.,.) имеет смысл), если его истинность не изменяется после допустимых преобразований аргументов, т. е. если истинным является одно из утверждений (2.21)—(2.23),

= О >0 >0,= О >0 >0,то истинным будет и соответствующее утверждение

= О >0 >0,

= О >0 >0,

^(фл(^1), Ф^М» •--^(ai)- ...)

где [<р,5} — множество допустимых преобразований соответствующих переменных; 1^] — множество допустимых преобразований параметров.

В [469, с. 123—130] излагается метод оценки значимости целей (предприятия, фирмы, ЛПР и т. д.), составной частью которого яляется сравнение важности некоторого результата с конъюнкцией некоторых других результатов, что приводит к неравенствам вида

W-1 4“ ^2 > ^3’

где Ut — важность (значимость, полезность) результата I.

Запишем это утверждение в форме (2.22):

^1 + ^2 — ^з >0.(2.24)

Пусть значимости измеряются в количественной шкале интервалов, т. е. с точностью до преобразования:

и' = аи + Ь, а > 0,

причем масштаб а и начало отсчета Ъ одинаковы для всех I. Подвергая в (2.24) переменные ut допустимому преобразованию, получаем

аи^ Ч~ Ь -[- ах^ ~Н ^ — л^з — ^ = ^(^i ~Н ^2 — ^з)^

— выражение, которое при некоторых значениях параметра Ъ не может быть приведено к виду (2.24); например, если

Ъ <Циг + ^2 — U^,

то получаем утверждение, противоположное (2.24):

^1 + ^2 — ^3 < °-

Следовательно, утверждение (2.24) неадекватно, а операции суммирования и вычитания бессмысленны, если ut измеряются в шкале интервалов. Если же ut измеряются в количественной шкале отношений, т. е. с точностью до преобразования

и' = аи,

го (2.24) адекватно, а суммирование осмысленно: аиг + ^^2 — аиз == a(ui + ^2 ™ из) >0.

Утверждение

ии11(2.25)(2.25)

и

и

1

1

(2.25)

(2.25)

az^ + & + аи^ + Ъ2az^ + & + аи^ + Ъ2адекватно и в количественной шкале интервалов

az^ + & + аи^ + Ъ

2

az^ + & + аи^ + Ъ

2

— аи3 — Ъ = а\—- — иа > 0.

Получаем вывод, который не так уж тривиален: несмотря на то что в шкале интервалов операции суммирования и вычитания бессмысленны, операция осреднения в этой шкале имеет смысл, а утверждения вида (2.25) в этой шкале адекватны. Собственно говоря, этот вывод и является решением проблемы Сатуновского: об осмысленности отдельной арифметической операции над отдельной переменной сказать ничего нельзя, следует оценивать осмысленность (адекватность) числового утверждения в целом, а не по частям.

Рассмотрим функцию Кобба — Дугласа

Y = ЛС7'/А‘

Переменные У, С, L определены каждая с точностью до преобразования подобия

У' = ауУ, С' = асС, L = aLL.

Записывая функцию Кобба — Дугласа в виде (2.19), получаем

AC^-Y = Q.(2.26)

Подвергая переменные С, L, У допустимым преобразованиям, имеем

A (acCf (aLbf -ay.Y = A/aya^al^ - Y.

Последнее равенство обращается в нуль, если допустимые преобразования связаны, а именно если

либо если значение параметра А зависит от конкретных значений параметров допустимых преобразований aYl ас и aLl т. е. если параметр А тоже размерная величина.

Первый случай имеет место, если aY — ас = aL = 1, т. е. если все переменные представлены как безразмерные величины, например как индексы роста. Однако это решение проблемы не является единственным и приемлемым во всех случаях (см. анализ размерностей в теории производственных функций в [345]).

Рассмотрим второй случай. Подберем константу Л, зависящую от параметров допустимых преобразований ayi aGl aLl но не от У, С, L, так чтобы (2.26) стало адекватным. Если такой подбор осуществим, то в переменных У', L', С' уравнение (2.26) будет записано в виде

Л- Y* = О,

причем А’ не обязательно равно А.

В результате допустимого преобразования (2.26) переходит в

A\acCf<aLL^ — ayY = 0.(2.27)

Если положить

то (2.27) будет эквивалентно (2.26) для всех неотрицательных значений aYl ас, aL. Получаем, что в данном случае допустимые преобразования ф переменных функции Кобба — Дугласа определяют допустимое преобразование ф параметра А:

^=-^А- aCaL

Истинность утверждения (2.26) не изменяется, если в (2.26) допустимым преобразованием aYY, <ьсС. aLL pi ^(Л) подвергнуты переменные Y, С, L и параметр Л, следовательно, утверждение (2.26) адекватно, т. е. все арифметические операции в (2.26) имеют смысл.

То обстоятельство, что допустимые преобразования переменных и параметров в числовых высказываниях (2.21) —(2.23) могут оказаться связанными, делает необходимым выделение так называемых фундаментальных размерностей.

Операции над размерностями

Термин «размерность» эквивалентен по значению термину «единица измерения». Строго говоря, эти термины можно использовать только в случаях шкал отношений и абсолютной. Однако практически их используют и в случае шкалы отношений (градусы Цельсия, например). Числовые величины, измеряемые в неколичественных шкалах, размерностей не имеют, так, например, порядковая полезность (значимость, важность и т. п.) не безразмерная величина, по отношению к которой термин «размерность» неприменим. Безразмерными, или имеющими размерность ]1[, называют величины, измеренные в абсолютной шкале, т. е. с точностью до тождественного преобразования. «Баллы» в экспертных оценках полезности, значимости и т. п., если эти величины измеряются в порядковой шкале, размерностями, единицами измерения не являются; в случае порядковой шкалы термин «балл» ничего не обозначает.

В шкале отношений названия единиц измерения, как правило, обозначают эталон, с которым сравнивается измеряемый объект. Так, утверждение «длина стержня равна 7 м» буквально означает, что длина стержня в 7 раз превышает длину, равную 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5d5 атома криптона 86. Допустимому преобразованию в этом смысле соответствует изменение эталона: длину, например, можно измерять не в метрах, а в сантиметрах, километрах и т. д.— допустимое преобразование подобия осуществляет переход от одного эталона к другому. Логически выбор эталона произволен, и в этом смысле следует отличать изменение выбора эталона от изменения самого эталона. Так, первоначально (в 1791 г.) метр определялся как 1,10"7 части четверти длины парижского меридиана. Замена «меридианного» эталона метра «криптоновым» эталоном не означает, конечно, изменение единицы измерения.

В теории размерностей с названиями единиц измерения оперируют так же, как с обычными величинами; при этом названия единиц измерения или размерности заключаются в вывернутые квадратные скобки. Например: размерность длины — ]м[; размерность стоимости — 1руб.[ и т. д. Теория адекватности числовых утверждений позволяет выделить допустимые операции над размерностями.

Рассмотрим утверждение

х + У - 2 - 0,(2.28)

где х, у, z измерены в шкалах отношений, т. е. с точностью до допустимых преобразований

х' = ахх, у' = ауу, z’ = a^z.

В общем случае эти шкалы могут быть одинаковы (ах = = ау = az1T. е. все величины имеют одну и ту же размерность) или различны (величины имеют разные размерности). Подвергнем переменные в (2.28) допустимому преобразованию. Тогда имеем

F(x\ у', z^ = ахх + ауу — а^.(2.29)

Если размерности всех переменных одинаковы, то (2.28) адекватно. Это означает, что суммирование величин одинаковой размерности допустимо

Ы + Ы = Ы.

Пусть будут размерности различны. Из (2.29) и (2.28) получаем

— х А—- у = х + у, аг аг

что неверно при ах Ф ау ^ аг. Следовательно, (2.28) неадекватно, если Ы =/= lyt^ Ы. Таким образом, получаем правило: суммировать величины, измеренные в разных единицах измерения (например, складывать метры и килограммы), нельзя.

Рассмотрим теперь утверждение

х-у - z = 0.(2.30)

Все переменные по-прежнему измерены в шкалах отношений. Подвергая (2.30) допустимому преобразованию, получаем

Л®', Zz) = ах-х-а„-у — аг-ъ.

Из (2.30) следует, что

F^x , у', z') = 0

только, если единицы измерения переменных хг у и z связаны

ах*ау ” ах

или, в терминах размерностей, если размерность величины z равна произведению размерностей величин j* и у:

М - И-И

Пусть, например, х и у —длины, тогда

]и[ = ]м[- ]м[ = ]м2[,

т. е. z имеет размерность площади. Пусть теперь к[ = = ]у[ = ]чел.[. Получаем, что ]и[ = ]чел.2[ — «человек в квадрате». Как можно интерпретировать переменную и? Каково ее экономическое содержание? Ответ на этот вопрос, т. е. решение проблемы Сатуновского был получен ранее: интерпретируемыми являются числовые утверждения, а не отдельные арифметические операции.

Рассмотрим, наконец, утверждение

х^ - z = О,(2.31)

где аир измерены в абсолютной шкале, х. у, z — в шкалах отношений.

Нетрудно видетьчто это утверждение адекватно, если размерности связаны соотношением

В общем случае размерностью величины z называют [47], [394] одночлен вида

(2.32)(2.32)Н-]^.]^2

(2.32)

(2.32)

где ]^Д — i-я фундаментальная размерность; аг- — ве- щественноз число, имеющее размерность единицы; ]аД = = ]1[, т. е. az измерены в абсолютной шкале.

Фундаментальная размерность — это размерность, которая не выражается через другие. Выбор фундаментальных размерностей и их числа в значительной степени произволен и определяется соображениями удобства. Так, в физике существует много различных систем единиц измерения: например, в СГС системе фундаментальными величинами являются длина, масса и время, а фундаментальными размерностями — см, грамм, сек.; в международной системе СИ — семь фундаментальных размерностей и т. д. [47], [274].

В экономике не существует стандартных систем единиц; высказываются мнения, что выделить раз и навсегда некоторый набор фундаментальных размерностей невозможно [47]. В принципе это верно. Например, в одних

случаях требуется различать тонны мяса и тонны стали, и, следовательно, это будут две различные единицы измерения, а в других — такого различия делать не требуется. Важно только, чтобы в рамках одной модели размерности количественных переменных были бы согласованы, т. е. необходимо использование не просто размерностных переменных, а систем единиц измерения.

В настоящее время предложено несколько более или менее различных систем единиц в экономике. С. М. Вишнев предлагает использовать в качестве фундаментальных следующие величины: живой труд, количество продукции, деньги, астрономическое время [34]. Г. Е. Эдельгауз несколько расширяет эту систему единиц, вводя такие величины, как живой труд определенной профессии, квалификации и интенсивности, выраженный в единицах рабочей силы (1 работник); потребительная стоимость данного назначения и качества, выраженная в натуральных единицах (киловатт, метр и т. п.), деньги в единицах валюты данной страны (руб., например) и астрономическое время [484]. В. А. Бинкин и В. И. Черняк предлагают использовать в расчетах эффективности управления систему физических единиц Бартини — Кузнецова, в которой две фундаментальные размерности — длина и время; ими получены важные и интересные результаты в анализе характеристик эффективности управления (в особенности транспортом) [47]. В целом же, однако, анализ размерностей используется в экономической науке явно недостаточно; а пренебрежение к уже описанной выше проблеме ведет к грубым ошибкам.

Г. Е. Эдельгауз приводит ряд примеров анализа размерностей для выявления ошибок в построении моделей, показателей и т. п. [484]. К сожалению, этот ряд можно продолжить.

В [399] приведен показатель «чистая продукция на 1 рубль производственных ресурсов» — ЭЧП) который «является одним из обобщающих показателей эффективности использования массы производственных ресурсов, участвующих в создании продукции в определенной отрасли промышленности:

Э Чп

Ф + оф + зф*

где Чп — сумма чистой продукции, получаемой в данном периоде в действующих (плановых) ценах4 тыс. руб.;

ф — среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб.; Оф — среднегодовая сумма нормируемых оборотных средств, тыс. руб.; Зф — фонд оплаты труда промышленно-производственного персонала, включая выплаты из фонда материального поощрения за данный период, тыс. руб.» [399, с. 85].

Показатель явно несостоятелен. Это становится ясным, как только исправляются ошибки в определении размерностей переменных и делается попытка уравнять размерности. Но проведем сначала содержательный анализ этого показателя.

Подозрение вызывает знаменатель, а именно то обстоятельство, что суммируются фонд зарплаты и среднегодовой уровень нормируемых оборотных средств: зарплата входит в нормируемые оборотные средства (незавершенное производство, готовая продукция на складе и т. п.). Получается что-то вроде повторного счета зарплаты («что-то вроде», а не просто двойной счет, так как это суммирование, как будет показано ниже, неадекватно).

Сделаем несколько допущений об изменении объема основных производственных фондов и уровня нормируемых оборотных средств. А именно пусть нет в течение года ни ввода, ни выбытия основных производственных фондов, так что их величина в течение года постоянна. Это значит, что Ф — средняя по времени величина основных производственных фондов не зависит от периода осреднения. Аналогичное допущение сделаем и относительно уровня нормируемых оборотных средств. Конкретно предположим, что объем выпуска (реализации) — величина постоянная в течение года (выпуск один и тот же каждый месяц, каждую декаду, каждый день и т. п.) и продолжительность оборота в течение года не изменяется. Третье предположение такого же рода сделаем относительно зарплаты, а именно предположим, что фонд месячной зарплаты — одна и та же величина для каждого месяца и т. д.

Вычислим теперь показатель Эчп для периода, равного месяцу, а не году. В соответствии со сделанными предположениями получаем, что Зф (месяц) = Зф/12, Чп (месяц) — Чп/12, Ф (месяц) = Ф, Оф (месяц) = Оф. Следовательно,

о / ’\Чп/12

Эчп (месяц) = Ф + Оф + 3ф/12 •

В общем случае показатель Эчп, вычисляемый на периоде

времени продолжительности Т, равен

Эчп(Т)Эчп(Т)чп/г

Эчп(Т)

Эчп(Т)

Ф+Оф + Зф/Т

и может быть установлен произвольным образом соответствующим выбором Т. Например

Эчп(Т) —^ ^ при Т —>- О,

Эчп(Т) 0 при Т оо.

Этот же результат можно получить значительно проще, в результате анализа размерностей. Имеем следующие размерности:

уровни — ]Ф[ = ]руб.[, ]ОФ[ = ]руб.[;

потоки — ]ЧП [ = ]руб./год[, ]3Ф[ = ]руб./год[.

В знаменателе суммируются разные размерности:

]Ф[ + ]ОФ[ + ]3Ф[ = ]руб. [ + ]руб./год[,

что недопустимо.'

Здесь может последовать возражение: размерности чистой продукции и фонда зарплаты — руб., как в [467, с. 85], а не руб./год. Поэтому остановимся на этом вопросе подробнее.

Размерность объема основных производственных фондов ]Ф[ = ]руб.[. Норма амортизации на реновацию па,р в соответствии с [467, с. 135] определяется равенством

_КП-Л + Лр

А,Т” КП.ТСЛ ’

где Кп — первоначальная стоимость основных производственных фондов; Л — ликвидационная стоимость; Лр — расходы, связанные с ликвидацией основных производственных фондов после окончания срока их службы; Тел — СРОК службы.

Имеем

]ф[ - ]КП[ = ]Л[ = ]Лр[ - ]руб.[,

]ТСЛ[ = ]год[.

Следе вательно,

\пА Р[ == ]1/год[.

J]год[-]руб.[ J 1

Норма амортизации равна сумме нормы амортизации на

реновацию и капитальный ремонт [399, с. 135], следовательно,

]пА[ = ]1/год[.

Сумма амортизационных отчислений А равна [399, с. 137]

А = пА-Ф.

Следовательно,

]А[ = ]1/год [ • ]руб. [ = ]руб./год[.

Чистая продукция определяется равенством [399, с. 28]

Ч = В - М - А,

где В — валовая продукция, М — материальные производственные затраты.

Вычитать, складывать и приравнивать друг к другу можно только величины одной размерности, следовательно,

]Ч[ = ]В[ = ]М[ = ]А[ - ]руб./год[.

Полная себестоимость продукции Сл равна [399, с. 328] сп = м + 3(1 + Зн/100) + сцр + сор + свр,

где М — затраты на материалы; 3 — основная и дополнительная зарплата производственных рабочих; Зл— продент отчислений на соцстрах; СцР, Сор, СвР — цеховые, общезаводские накладные и внепроизводственные расходы.

Исходя из требования: приравнивать, складывать и вычитать величины одной размерности, получаем

]3П[ = ]3[ - ]М[ = ]руб./год[,

что и требовалось доказать.

Таким образом, анализ размерности позволяет найти ошибку в формуле для величины Эчп-То обстоятельство, что размерности не уравнены в знаменателе и, следовательно, величине Эчп нельзя приписать никакую размерность, свидетельствует о бессодержательности этого показателя.

Анализ размерностей используется в физике и технике не только как средство контроля, но и как довольно эффективный эвристический метод построения моделей объектов, процессов и т. п. Здесь, правда, необходимо отметить существенное отличие условий применения анализа размерностей в экономических науках от физики и техни-

ки [58], [394], [479]. В экономических науках интервал абстракции не фиксирован; например, суммирование весов (кг) может в одних случаях иметь смысл, а в других — нет. Это отличие особенно наглядно проявляется при анализе размерностей индексов роста.

Рассмотрим для примера индекс Ласпейреса [15], [409]

2 ciOqit

СгАо

где citl ci0 — цены продукта I в году t и в году 0 соответственно; qitl qi0 — объемы производства продукта I в году I и в году 0 соответственно.

Каждое произведение cioqit имеет размерность ]руб.[, такую же размерность имеет и каждое произведение cioqio. Следовательно, iL — величина безразмерная. Пусть

где 1К — индекс роста основных производственных фондов; Ко — объем основных производственных фондов в году 0; Kt — объем основных производственных фондов в году t в ценах года 0.

Ясно, что ]А^[ = JA^I- Следовательно, величина 1К тоже безразмерная. Тогда, если некоторая величина х также измерена в абсолютной шкале, то выражение

^к + ^ь ~ х (2.34)

будет адекватно. Ясно, однако, что дело обстоит сложнее,— мы снова лицом к лицу сталкиваемся с проблемой, которую, как показано выше, поднял Л. М. Сату- новский. Суммирование индексов непонятно.

Что означает индекс /ь? Пусть он равен, например, 1,3. Это означает, что объем выпуска года t в ценах года 0 равен 1,3 объемов выпуска года 0. Последняя фраза полностью совпадает с ответом на вопрос: что такое 7 метров? (см. выше). А это, в свою очередь, означает, что объем выпуска года 0 является эталоном, с которым сравнивается объем выпуска года /, таким же эталоном, как платиновый метр в Палате мер и весов или длина волны определенного сорта излучения криптона, объем выпуска года 0 в данном случае не что иное, как единица измерения. Следовательно, утверждение «iL = 1,3» бук-

вальчо следует читать так: «объем выпуска года t равен 1,3 объемов выпуска басового года 0». Если базовый год изменится, то изменится, в общем случае и ZL:

^ = ^•

2j ciE9iB г

К сожалению, индекс Ласпейреса (и другие индексы такого же рода) в общем случае не транзитивен [15], поэтому нельзя утверждать, что он измеряется с точностью до преобразования подобия. Но все же приписать «размерность» индексу iL так, как это сделано выше, можно. Аналогичные рассуждения справедливы и для индекса ZK: ему тоже можно приписать размерность. В результате утверждение (2.34) оказывается неадекватным, так как его истинность изменяется при изменении базового года при вычислении iL и iK. Это обстоятельство необходимо учитывать при построении моделей, особенно в теории производственных функций. В целом же проблема сводится к проблеме адекватности числовых высказываний; при этом необходимо иметь не только формальное, но и операциональное определение шкалы, в которой представлена переменная.

Глава третья

УРАВНЕНИЯ

И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Уравнения в экономических моделях

Типы уравнений

Экономико-математические модели строятся для того, чтобы по значениям одних переменных можно было определять значения других переменных. Это кажется банально, но, как будет показано ниже, повторение некоторых банальных истин все еще необходимо. Определению и экспликации понятия «связь» посвящена достаточно обширная философская литература (см., например, [292], [362], [433], [458]), однако в экономической литературе существует все еще некоторая путаница с этим понятием. Например, определения используются для анализа причинно-следственных зависимостей, уравнения состава применяются для прогнозирования объема выпуска продукции и т. п.

Не претендуя на исчерпывающую классификацию, выделим некоторые основные типы уравнений в экономических моделях. Приводимая классификация отличается от классификации уравнений в экономических моделях, например Л. Йохансена [189, т. 1], тем, что здесь акцент сделан на методологическую сторону дела.

Уравнения-определения. Например, фондоотдача равна

/ = q/K,(3.1)

где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов;

производительность труда выражается как

Р = qlL,(3.2)

где L — численность занятых и т. д. Характерной особенностью таких уравнений является то, что искомая величина (например, / или Р) не может быть измерена неза-

висимо от определяющих величин (q, К и L в нашем случае).

Б. У равнения состава. К таким уравнениям относятся, например, известная формула

СТ = с + v + т.(3.3)

где СТ — стоимость продукта; с — перенесенная стоимость; и — стоимость необходимого продукта; т — стоимость прибавочного продукта.

Уравнение для численности промышленно-производственного персонала

L — Lnp -f- LB 4“ Z/HTp,

где Lnp — численность основных производственных рабочих; LB — численность вспомогательных рабочих; Литр — численность ИТР и служащих.

Уравнение состава описывает разложение некоторого объекта (СТ и L в наших примерах) на сумму компонент. Отметим, что в общем случае желательное разложение может не существовать. Например, пусть!/ — численность занятых в регионе; Lt — численность занятых в г-й от расли региона. Уравнение состава

Ь = ^ц(3.4)

г

может быть неверным, если допускается совместительство (например, в сфере обслуживания).

Уравнение распределения. В качестве примеров можно назвать такие уравнения, как

НД = ФП + ФН,

где нд — национальный доход; ФП — фонд потребления; ФН — фонд накопления;

П = В + Ппр,

где П — прибыль промышленного предприятия; В — взносы в госбюджет; Ппр — прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия.

9797Эти уравнения описывают распределение некоторого результата по различным направлениям. Формально они похожи на уравнения состава: и в Б и в В по одну сторону равенства — сумма переменных. Различие между уравнениями состава и уравнениями распределения иллюстрируется на рис. 3.1.

97

97

7 Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов

Z-X^YU = V*W

Рис. 3.1. Структурные схемы уравнений состава и уравнений распределения

В отличие от уравнений состава, которые могут выполняться или не выполняться, уравнения распределения являются тождествами, т. е. если учтены все направления распределения некоторого результата, они справедливы по определению. Отметим, что тождествами являются и уравнения-определения.

Г. Уравнения преобразования. Эти уравнения описывают связь между некоторым воздействием на объект и результатами этого воздействия, в частном случае — связь между затратами и результатами. Типичным примером уравнения преобразования является производственная функция

q = F^K, L\(3.5)

где К. L — объемы привлеченных ресурсов; К — объем основных производственных фондов; L — численность производственных рабочих; q — объем выпуска.

В качестве другого примера на первый взгляд быть может, менее типичного, назовем функцию полезности и = и^,(3.6)

где х — величина некоторого продукта; и — полезность, измеренная в порядковой или количественной шкале.

Уравнение (3.6) описывает преобразование стимула (некоторое количество продукта х^ в состояние субъекта (предпочтение или уровень полезности, если полезность измеряется в количественной шкале).

Отметим, что уравнения преобразования в отличие от всех ранее перечисленных типов уравнений описывают причинно-следственные связи, которые осуществляются посредством некоторого реально имеющегося механизма. Например, конкретная производственная функция описывает реальную абстрактную технологию.

Д. Уравнения поведения и/или принятия решений. Типичными примерами таких уравнений являются функции спроса и предложения. От уравнений преобразования они отличаются тем, что здесь на стимул реагирует со-

знающий субъект или группа субъектов (лицо, принимающее решение по терминологии системного анализа), которые имеют свободу выбора между различными вариантами действий. Фактически на решения могут оказывать влияние многие иррациональные факторы (мода, предрассудки и т. п.). Некоторые из них (традиции, например) делают решения относительно устойчивыми, что сближает уравнения, которые их описывают, с уравнениями преобразования. Однако существенно здесь то обстоятельство, что решения могут быть, по крайней мере в принципе, изменены мгновенно, в то время как, например, свойства абстрактной технологии не могут быть изменены произвольным образом.

Перечисленные типы уравнений не исчерпывают всех возможностей, но, как нам представляется, любое уравнение, являющееся частью некоторой экономико-математической модели, может быть приведено в результате соответствующих преобразований к уравнению одного, и только одного из перечисленных выше типов. Так, например, в [276] рассматривается зависимость вида

L = Ф(д, К),(3.7)

где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов; L — численность.

Назвать это уравнение уравнением преобразования, по- видимому, нельзя: вряд ли объем выпуска и фонды преобразуются в людей; однако объем фондов и объем выпуска могут быть преобразованы плановиком — лицом, принимающим решение, в желательную численность или в численность, необходимую для обеспечения заданного объема выпуска при заданных объемах фондов. Но поскольку в [276] переменная L определена как фактическая численность, такое определение типа уравнения (3.7) не годится. Нетрудно видеть, что, решая (3.7) относительно q, мы получаем производственную функцию (3.5), т. е. уравнение преобразования.

В качестве отдельного типа Л. Йохансен выделяет балансовые уравнения, которые практически являются комбинацией уравнений перечисленных выше типов. Балансовые уравнения часто встречаются в экономико-математических моделях, например объединение уравнений состава национального дохода

НД = W + D,

где W — сумма первичных доходов населения, занятого

в сфере материального производства; D — первичные доходы предприятий в сфере материального производства, и распределения национального дохода НД = ФП + ФП, позволяют получить балансовое уравнение

W + D = ФН + ФП. (3.8)

Балансовые уравнения отличаются от тождеств; например (3.8) может в общем случае не выполняться в силу различия между потребленным и произведенным национальным доходом, и для балансировки в (3.8) в этом случае необходимо ввести еще по крайней мере одну переменную, характеризующую изменение накопленных ресурсов.

Некоторую специфику имеет балансировка во времени. Например, динамика изменения основных производственных фондов описывается часто уравнением вида

К - -аК + /, (3.9)

где а — коэффициент, характеризующий скорость выбытия основных производственных фондов; I — интенсивность инвестиций, которое получено из балансового уравнения вида

K(t + AZ) = К^ - аК^М + ДОА^. (3.10)

Здесь аК^М — величина выбывших за время AZ основных производственных фондов; Z(OAZ — величина инвестиций за время АЛ

Балансировка в этом случае эквивалентна записи уравнения сохранения: объем основных производственных фондов в момент времени t + М равен их объему в некоторый предыдущий момент t минус выбытие фондов за промежуток времени величины А^ плюс ввод новых фондов за это время AL Согласно нашей классификации уравнение (3.10) будет уравнением состава (состава основных производственных фондов в момент времени t + А£).

Приведем в качестве иллюстрации простейшую модель поведения производственно-экономической системы. Введем следующие переменные:

q — объем выпуска продукции; К — объем основных производственных фондов; L — численность персонала; Р — производительность труда; w — средняя зарплата; П — прибыль; В — взносы в госбюджет; Ппр — прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия; М — объем материальных затрат; У — ввод в действие основных производственных фондов.

В этих переменных простейшая модель может быть записана, например, так:

q = F^K. L)(3.11)

производственная' функция — уравнение преобразования;

М = g^(3.12)

уравнение преобразования, описывающее расход материалов в зависимости от объема выпуска; в модели сделано не совсем реалистическое предположение о том, что система материально-технического снабжения работает бесперебойно;

П - q - wL - vK - М,(3.13)

здесь i — удельные капитальные издержки;

(3.13) — уравнение-определение;

К = -аК + V(3.14)

— уравнение, аналогичное (3.9), полученное, как показано ранее, из уравнения состава

7(0 = цг - т),(3.15)

где т — время освоения инвестиций Z, — уравнение преобразования;

Р - qiL(3.16)

— уравнение-определение;

П = В + Ппр(3.17)

уравнение распределения;

w — n-P(3.18)

уравнение поведения, здесь п — коэффициент, устанавливаемый (так же как и правило (3.18)) лицом, принимающим решение.

3.1.2. Графическое изображение уравнений и моделей

Часто (практически всегда, когда это возможно) полезным оказывается представление уравнений и систем уравнений модели в виде структурной схемы. Хотя способы такого представления довольно подробно описаны в литературе (см., например, [360], [449]), в экономической литературе

структурные схемы, к сожалению, встречаются все еще редко.

В основе структурных схем лежит символика операционного исчисления. Все переменные модели подвергаются преобразованию Лапласа (реже — Фурье), что позволяет представлять операции дифференцирования и интегрирования прообразов как алгебраические операции умножения и деления образов на некоторые константы.

Рис. 3.2. Структурная схема выражения (—аК + /)

Конкретно операция дифференцирования по времени х^ представляется как операция Dx, операция интегри- t

рования по времени J х dt представляется как операция о

x/D; задержка x^t — т)— как ^-ехр (—xD) ит. п. На структурной схеме переменные изображаются стрелками, а операторы помещаются в прямоугольники так, как это показано в табл. 3.1.

Построим для примера структурную схему уравнения (3.9). В пространстве образов оно выглядит следующим образом:

DK = -аКл-1.

Отсюда, оперируя с D как с обычной константой, находим

К = ^^-аКА- IY(3-19)

Структурная схема выражения в скобках приведена на рис. 3.2. Структурная схема правой части (3.19) приведена на рис. 3.3.

Дуга на рис. 3.3, соответствующая переменной К, встречается 2 раза. На правильно построенной структурной схеме каждой переменной соответствует только одна дуга, которая, однако, может ветвиться.

На рис. 3.4 показана структурная схема, соответствующая этому условию.

Дадим теперь начальное условие (оно необходимо, чтобы интегрировать уравнение (3.9)) ^(0) = Ко. Результат показан на рис. 3.5.

Таблица 3.1. Обозначения на структурных схемах

Операция

Содержание

Обозначение

Д7

z =

х + у

сложение переменных

У

X

Z =

х — у

вычитание переменных

У

-^*П

У =

У =

ах

X

умножение на константу ос

дифференцирование:

X

X

* |—^—727

D --* И

У =

У^

t

J xdt

0

= x(t — т)

интегрирование:

задержка на время т:

X

X

i!d

У г .

У =

фМ

нелинейность общего вида

X

X

у

у(0) и?

и =

ху

умножение переменных

У

Z =

»(0)

х/у

— хй

деление переменных

подача начальных условий

X

X

"у

^0

или

,X

®!у

JL —-^-7£7

Представление уравнения или системы уравнений в виде структурной схемы не единственно в силу неединственности записи уравнения или системы уравнений.

юз

=-аК + I

= —аК +1, К^ = Ко

Действительно, вместо

.19) можно записать

DK + аК = I,

откуда

К =К =(3.20)(3.20)

К =

К =

(3.20)

(3.20)

Структурная схема этого уравнения показана на рис. 3.6.

Однако при всех этих преобразованиях неизменным остается одно, как раз то, что делает структурные схемы особенно полезными для анализа экономико-математических моделей: наглядное различие между эндогенными и экзогенными переменными модели. Так, на рис. 3.4 и на рис. 3.6 переменная I — вход системы (3.9) преобразуется в переменную К — выход системы (3.9). В терминах струк-

Рис. 3.6. Структурная схема уравнения К = ^-аК +1

турных схем экзогенной является такая переменная, что дуга, соответствующая ей на структурной схеме, не выходит ни из какого прямоугольника, соответствующего некоторому оператору, остальные переменные являются эндогенными. Это различие между экзогенными и эндогенными переменными сохраняется при преобразовании схемы на рис. 3.4 в схему на рис. 3.6: экзогенная переменная — /, эндогенная переменная — К.

Приведем в заключение структурную схему системы (3.11)—(3.18), она показана на рис. 3.7. Ясно, что некоторые затруднения вызвало уравнение (3.18). Оно преобразовано следующим образом:

В = аП,

Ппр = П - В,

где а — доля прибыли, вносимой в госбюджет; принято, что а — постоянная величина (стабильный норматив).

Отметим, что в при нципе уравнение (3.18) можно изобразить так, как это сделано на рис. 3.8.

Однако такое представление будет ошибочным, поскольку переменная П уже определена уравнением (3.13).

Все приведенные выше структурные схемы представляют модели с непрерывным временем. В экономической

Рис. 3.8. Схема уравнения В + Ппр = П

литературе наряду с такими моделями используются системы конечно-разностных уравнений, т. е. модели с дискретным временем. Такие модели тоже можно изображать с помощью структурных схем, используя вместо оператора дифференцирования D оператор сдвига V или конечной разности А. В этом случае уравнение

^^V) = x^t — 1)

представляется как

= V^

а уравнение

У^ = х(^ — x(t — 1) —

как уравнение

у = х — V# = (1 — V)^

или

г/ = Ал.

Ясно, что А — 1 — V-

Операция А — взятие конечной разности — аналогична (но не совпадает) операции дифференцирования. Аналогом интегрирования будут операции

1

или

1 х = — д

Нетрудно видеть, что между операторами сдвига и за-

держки существует связь, а именно

V = e-D,

следовательно,

А = 1 - e~D.

Это делает единообразными способы представления уравнений с дискретным и непрерывным временем в виде структурных схем.

Язык структурных схем позволяет просто и наглядно представлять в графической форме сложные системы уравнений и тем самым значительно упрощает их анализ. Существуют и другие языки для графического представления уравнений, например, язык, разработанный Дж. Форрестером [449], [450].

Необходимость различения типов уравнений

Основная цель описанной здесь классификации уравнений экономико-математических моделей — установление критериев, позволяющих судить о том, что можно и что нельзя сделать с помощью данного уравнения.

Например, система, содержащая только уравнения- определения, уравнения состава и уравнения распределения непригодна для прогнозирования, т. е. для исчисления значений переменных в некоторый момент t + т по их значениям в момент времени t. Такая модель непригодна и для планирования на перспективу (горизонт планирования) т. Причиной этого является то обстоятельство, что уравнения указанных типов описывают связи между переменными в один и тот же момент времени. Казалось бы, ясно, что одни уравнения-определения не могут быть применены для анализа эффективности (хозяйственной деятельности, использования ресурсов, управления и т. п.), так как они не описывают реальные возможности экономических систем, для этого нужды уравнения преобразования. Однако в анализе хозяйственной деятельности, в теории индексов часто все моделирование ограничивается составлением уравнений-определений. Приведем пример.

В работе [22, с. 58—60] «представлены результаты анализа изменений общего уровня производительности труда в зависимости от изменения фондоотдачи и фондовооруженности труда работающих, проведенного по некоторым предприятиям автомобильной промышленности на основе

данных статистической отчетности за 1974—1975 гг. в сопоставлении с 1970—1971 гг. Приведенные данные показывают, что общее повышение производительности труда по абсолютному большинству предприятий обеспечено за счет роста вооруженности труда работающих. Прямо противоположно предыдущему действие фактора фондоотдачи... Этот фактор, за исключением предприятия № 1, отрицательно влияет на уровень выработки. То есть производительность труда и фондовооруженность труда рас- стут, в то время как фондоотдача падает». И далее делается вывод: «...Практически большая часть прироста производительности труда за счет увеличения его фондовооруженности... нереализована отрицательным влиянием интенсивного фактора производства — снижением фондоотдачи, ухудшением использования производственных фондов». Но действительно ли ухудшилось использование фондов? Анализ, проведенный в [22] и использующий только уравнения-определения и не использующий уравнения преобразования (производственные функции в данном случае), совершенно недостаточен для того, чтобы сделать такие неприятные выводы.

Посмотрим, каким образом в [22] специфицированы факторы, влияющие на рост производительности труда. Используя известное в теории анализа хозяйственной деятельности тождество

В - ФОхВТ, (3.21)

где В — производительность труда (выработка на одного работающего); ФО — фондоотдача (выработка продукции на единицу производственных фондов); ВТ — фондовооруженность труда (объем основных производственных фондов, приходящихся на одного работника), получаем аналогичное тождество для индексов

/в — 1фо Х1вт> (3.22)

где I х — индекс роста величины х — отношение значения этой величины в отчетном году к значению этой величины в базовом году.

«Отсюда общее изменение производительности труда выступает как следствие движения показателей, характеризующих как эффективность использования... производственных основных фондов, так и уровень развития этого материального фактора производства» [22, с. 58]. Конечно, хорошо, если оба индекса в левой части (3.22)

растут, но возможно ли это? Предполагая, что между ФО и ВТ нет связи и эти показатели могут изменяться произвольно, независимо друг от друга, т. е. предполагая, что нет связи между объемами привлеченных ресурсов и объемом выпуска продукции, можно, конечно, ожидать любых изменений показателей. На рис. 3.9 показана структурная схема уравнения (3.21). На этой схеме предположение о независимости ВТ от ФО, лежащее в основе анализа факторов роста производительности труда в [22], изображено в явном виде: В — эндогенная переменная, а ВТ и ФО — экзогенные переменные.

Рис. 3.9. Структурная схема уравнения В = ФОХВТ

Уравнение (3.21) записано исходя из определений производительности труда, фондоотдачи и фондовооруженности труда:

В = q/L = q/K-K/L, (3.23) где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов; L — численность.

На рис. 3.10 показана структурная схема определения производительности труда, а на рис. 3.11 — структурная схема уравнения (3.23).

Рис. ЗЛО. Структурная схема уравнения В = q/LРис. ЗЛО. Структурная схема уравнения В = q/L

Рис. ЗЛО. Структурная схема уравнения В = q/L

Рис. ЗЛО. Структурная схема уравнения В = q/L

На рисунках отчетливо видно, что переменная В эндогенная, и это понятно: цель построения модели — анализ факторов, влияющих на производительность труда В. В то же время и на рис. 3.10 и на рис. 3.11 переменная q — объем выпуска — экзогенная. В модели же, построенной для анализа факторов роста производительности труда, эта переменная должна быть внутренней, т. е. эндогенной. Для этого требуется ввести в модель по крайней

q к

Рис. ЗД1. Структурная схема уравнения В = -^ • -£• мере одно уравнение преобразования, например, так, как это сделано на рис. 3.12.

Теперь в рамках теории производственных функций можно установить взаимовлияния фондоотдачи, производительности труда и фондовооруженности (см., например, [177], [345], [424]).

Рассмотрим здесь только простейший случай. На рис. 3.13 показана изокванта производственной функции.

К01 Lo, q0 — значения переменных в базовом периоде, a Kv L^ дг — их значения в отчетном периоде, причем, как это видно из рис. 3.13,

^Ж» LX<LO.

Допустим, что объем выпуска и в базовом и отчетном

q К

Рис. 3.12. Структурная схема системы В = -g- -^ q = F (К, L^

периодах один и тот же — q0. Тогда В, = qJL^ > qJL^ = Во, ФО, = qJKx < qJK. = ФОо, ВТ, = Кг/Ьг > K0,L0 = ВТ0.

Это значит, что рост фондовооруженности привел к росту производительности труда, но фондоотдача при этом снизилась. Однако никакого снижения эффективности использования производственных фондов в этом случае нет:

Рис. 3.13. Изокванты производственной функции F^K, ЬУ g0 = const, g, = =const, qx > q0

снижение фондоотдачи здесь — результат замены живого труда овеществленным в рамках существующей технологии.

Что, однако, произойдет с фондоотдачей, если численность в базовом и отчетном периодах одинакова, а объем выпуска увеличился? Ответ на этот вопрос зависит от конкретных свойств абстрактной технологии, которая описывается производственной функцией

q = F(K, LY

Производительность труда и его фондовооруженность растут и в этом случае

®i ffi^o > ^о/^о®о»

ВТ, = KJL. > KJL. = ВТ0.

Посмотрим, при каких условиях фондоотдача снизится, т. е. при каких условиях выполняется неравенство

ФО1 = ^1<^0 = ФО0.

Имеем

qjKi + bq/K^ < q6lK0, где bq = Ч1— q0.

Отсюда получаем

б9 < q^/K^ ~q0 = q08K/K,(3.24)

где 8К = Кг - Ко.

При малых 8К можем записать (учитывая, что 8L = Lx — -^ = 0)

6q = дР!дК8К.(3.25)

Подставляя в (3.24), имеем

ЭЕ/дК < q0IK0.(3.26)

Это условие выполняется, например, для функции Кобба — Дугласа

q = АК^-0-

при 0 < а < 1. Можно показать, что это условие выполняется для любой однородной производственной функции с невозрастающей отдачей на масштаб.

Если 67^ достаточно велико, то ограничиваться первым приближением нельзя и (3.25) следует заменить на

условие падения фондоотдачи будет выглядеть в этом случае так:

9F , 1 d2^?0

ЭК + 2 М2 0Л кй

и т. д. Но для проверки выполнения этих условий уравнений-определений недостаточно, нужно строить производственную функцию, т. е. вводить в модель уравнение преобразования. В [22] уравнений преобразования нет, данные, необходимые для построения производственной функции, не приведены, поэтому выводы об эффективности или неэффективности производства, использования фондов и т. п., сделанные в [22], совершенно необоснованны.

Приведенный пример недопустимого использования уравнений-определений для анализа эффективности не является каким-то исключением из общего правила. До сих лор общее правило в традиционных методах анализа хозяйственной деятельности, индексного анализа — использование только уравнений-определений и уравнений состава.

Уравнения-определения и уравнения состава в традиционном экономическом анализе

Разберем типичную в этом отношении методику определения влияния различных факторов на фондоотдачу, которая содержится в «Методике экономического анализа деятельности производственного объединения» [287, с. 77 — 83], рекомендованной Научным советом АН СССР по комплексной проблеме «Научные основы хозяйственного расчета» в качестве типовой для производственных объединений и предприятий промышленности. В изложении этой методики большую роль играет численный пример, поэтому мы вынуждены привести его полностью. Исходные данные, необходимые (и достаточные), по мнению авторов методики, для анализа влияния различных факторов на фондоотдачу, приведены в табл. 3.2 (табл. 4.9 в [287, с. 79]).

В [287] материальные затраты (стр. 2 в табл. 3.2) и стоимость материалов (материальные затраты без стоимости покупных деталей и полуфабрикатов) обозначены одной и той же буквой М; для материальных затрат мы использовали обозначение М3, а для материалов (стр. 2—■ 3) — обозначение М. Имеем

Мо = 38 661 тыс. руб.; Мх = 39 089 тыс. руб.

Имеет место уравнение состава

N = М + Nn + N4.(3.27)

Фондоотдача рассчитывается в [287 ] по формуле

Х=ШЦ^1,(3.28)

где Ел — стоимость пассивной части основных фондов. рп = F — Fa.

Фондоотдача в базовом и отчетном периодах, рассчитанная в соответствии с (2.17), приведена в табл. 3.2. Отметим, что размерность фондоотдачи определена в [287] как рубль, а изменение фондоотдачи измерено в копейках (АХ - 1,18768 руб.- 1,23197 руб. = 0,04429 руб. - ~ 4,429 коп.). Это неверно, поскольку

- Ж — 1РУб-/год[ _ И[ “ ]руб.[

но мы в этом параграфе будем использовать размерности, установленные авторами методики [287].

Таблица 3.2. Исходные данные для анализа фондоотдачи

Показатель

ф У

Sg«

OaS

Период

Изменение

базовый (0)

отчетный (1)

1.

Валовая продукция в оптовых ценах на 1. I 1975, тыс. руб.

N^

108 149

115 651

+7502

2.

Материальные затраты в тех же ценах, тыс. руб.

М3

78 735

82 006

3271

3.

В том числе стоимость покупных деталей и полуфабрикатов, тыс. руб.

N4

40 074

42 917

2843

4.

Собственная продукция» тыс. руб.

N^

68 075

72 734

4659

5.

Чистая продукция, тыс. руб.

N4

29 414

33 645

4231

6.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб.

F

91 059

93 875

2816

7.

В том числе активная часть производственных фондов

Fa

49 682

51 988

2306

8.

Фондоотдача (1 : 6)

X

1,18768

1,23197

0,04429

9.

Основная продукция завода

№°

90 846

100 054

9208

10.

Удельный вес основной продукции (соответствующей профилю объединения) (9 : 1), %

84,0

86,5

2,5

И.

Среднегодовая производственная мощность

w

114 995

123 523

8528

12.

Коэффициент использования среднегодовой производственной мощности (9 : : И)

^мощ

0,79

0,81

0,02

13.

Фондоотдача активной части производственных фондов (И : 7)

xa

2,31462

2,37599

0,06137

14.

Удельный вес активной части в общем объеме фондов, %

^акт

54,56

55,38

0,82

Расчет влияния факторов на изменение фондоотдачи в [287] проводится двумя методами.

Анализ по первому методу заключается в следующем: «На фондоотдачу оказало влияние:

уменьшение материальных затрат дхм = 39 089 - 38 661 = 0)00456 руб.

увеличение доли покупных деталей и полуфабрикатов.

Д^П = 42 917 - 40 074 = 003()28 руб .

Уи О / и

изменение объема чистой продукции

аЛч 33 645 — 29 414 л л/кл7

АХ =93 875= °’04507 Руб-:

1pi _1_’

г а “ 1 п

(3.29)

0 ^+4’

АХ — Хх — Хо =

N®N®

(3.30)

п+^ п+^'

и (3.30) — это уравнения-определения, следовательно, они верны.

Теперь прибавим к (3.30) и отнимем от (3.30) величину

JVB _о pi -L р1 "

Получаем

П+4* 4 + ^n ^а + П’П+4* 4 + ^n ^а + П’(3.31)(3.31)

П+4* 4 + ^n ^а + П’

П+4* 4 + ^n ^а + П’

(3.31)

(3.31)

Теперь прибавим к (3.31) и отнимем от (3.31) величину

Получаем.

NB — NB NBNBNB

ДХ = 10 I 0О I 0

NBNB^ + ^ П + ^ П + ^^°a + ^

NB

NB

(3.32)

Это и есть расчетная схема первого метода анализа факторов, влияющих на фондоотдачу. Запишем все это чуть проще и прозрачнее. Есть два числа: а и 6. Мы можем записать их разность следующим образом:

а — Ъ = (а — с) + (с — d) + {d — 6),

т. е. промежуточных «факторов» может быть сколько угодно, порядок их произволен, значения чисел с, d не играют никакой роли — всегда а — b = а — Ь.

Проведем группировку членов (3.32). Имеем

=1— I /00I

F1 F1 У?1 F1 F° F1 /

/ NBNB \

+ —-°—.(3.33)

Здесь

NB — NB

—jизменение фондоотдачи за счет изменения Fa + Fn

материальных затрат, доли покупных деталей и полуфабрикатов и объема чистой продукции, разложенное в [185] на три отдельные компоненты в соответствии с (3.27);

/ W®Nn \

-—--— —- — изменение фондоотдачи вслед-

\ Fa Fn Fа + Fn )

ствие увеличения стоимости активной части основных фондов;

- — —-—— — изменение фондоотдачи вслед-

\ ^а +Fa + Fn )

ствие изменения стоимости пассивной части основных фондов, т. е.

а - b = а - b т с - с + d - d -'r= (^ — с) +

+ (с — d) + ... + (я — 6).

Все формулы (3.31)—(3.33) получены прибавлением нуля к исходной формуле (3.30); никакой дополнительной информации, кроме той, что содержится в (3.30), в них, следовательно, нет и все эти плюс и минус копейки — фиктивные прибыли и убытки. Действительно, к исходной формуле (3.30) прибавляется разность вида (х — х\ где х произвольно; желательно только, чтобы размерность х

совпадала с размерностью X. Прибавим к (3.31) не

ув7VB

оП+^п fI + fVкак это сделано в [287], а

^+^ ^а + П’

Получаем, что изменения в объемах активной и пассивной части фондов влияют теперь на фондоотдачу иначе:

/ ^вдгВ \/ ^ВуВ \

длСТ / __0О I । / ОО I

нов I pi _±_ pipi J- ро II pi 4. роро _i_ ро г

у г а I гпг а ‘ гп у\ г а ‘ гпг а \ г п у

Поскольку б первой скобке изменяется только Fni по аналогии с (3.33) идентифицируем ее как влияние изменения объема пассивной части основных фондов. Теперь это влияние оценивается в

= - 0,00683 руб.= - 0,00683 руб.108 149108 149

= - 0,00683 руб.

= - 0,00683 руб.

51 988 + 41 88751 988 + 41 337

Аналогичным образом меняется и величина влияния изменения объема активной части основных фондов. И дело в данном случае не в том, что изменение заметно в четвертом знаке после запятой (в [287 ] расчеты проведены с точностью до шестого знака после запятой, хотя ненадежен уже второй знак). Здесь обсуждается не точность и надежность результатов методики [287], хотя это и важная проблема, а приемлемость самой методики.

Обратимся теперь к исходной формуле (3.28). И в числителе и в знаменателе — уравнения состава. Именно это причина того, что рост материальных затрат ведет к росту фондоотдачи, что при игнорировании уравнений преобразования, описывающих (хотя бы и агрегированно) технологию, характеризуется как улучшение использования основных фондов. Порочен здесь не показатель, по которому рассчитывается фондоотдача, а сам принцип: использование уравнений состава без привлечения уравнений преобразования (в данном случае это производственная функция) для анализа эффективности. Валовую продукцию можно в конце концов заменить чистой, но и в этом случае такой подход будет давать фиктивный рост фондоотдачи (затем съедаемый фиктивными компонентами влияний изменений в структуре фондов и реальным измене-

нием фондов) за счет роста зарплаты, различного роста зарплаты различных категорий работников и т. д. Пусть фондоотдача постоянна, причем

мг + N't + NI = м. + Nq + ^оч;

^ + ^=П + П»

и изменилась только структура числителя и знаменателя, В этом случае

АХ = 0д

но компоненты в (3.33) могут оказаться отличными от нуля. Допустим, что величины в числителе (3.28) не меняются, меняется только соотношение между активной и пассивной частями основных фондов. В этом случае

АХ = 0 = АХГа + AXF",

т. е. любое изменение в структуре фондов будет одновременно увеличивать фондоотдачу и на ту же величину ее уменьшать:

AXFa = — AXF”.

Отметим еще одну особенность формулы (3.28). Фондоотдачу в соответствии с этой формулой можно существенно увеличить, положив Fn равным нулю, т. е. установив оборудование под открытым небом. Практически такая рационализация приведет к ликвидации управления производством, но (3.28), не будучи уравнением преобразования, а составленная из уравнений-определений и уравнений состава, этого учесть, конечно, не может.

Рассмотрим теперь второй метод анализа влияния различных факторов на фондоотдачу. «Чтобы установить взаимосвязь между фондоотдачей и уровнем использования производственной мощности, представим показатель фондоотдачи в следующем виде:

х = NB/F = NB/№° xN^W X WlF^xF^IF =

= 1/^0С-/$ГМ0Щ .aXnp-^a(3.34)

[287, с. 81]. Список обозначений приведен в табл. 3.2.

«Далее определяем влияние на изменение фондоотдачи отдельных факторов:

повышение отдачи активной части основных фондов

дЧпр (ахпр _ ахпр) J_ ,^МОЩ ^а == 0,032 руб ,

или 3,2 коп.;

сокращение непрофильной продукции, вследствие чего фондоотдача снизилась:

\Х1/\Х1/= — 0,036 руб.,= — 0,036 руб.,

\Х1/

\Х1/

= — 0,036 руб.,

= — 0,036 руб.,

или 3,6 коп,;

повышение коэффициента использования среднегодовой мощности увеличило фондоотдачу

ДХ^ош = ахпр J_ (£М0Щ_ ^мощ) ка = ко

...=0,031 руб.г или 3,1 коп.;

увеличение удельного веса активной части в общей стоимости основных фондов на 2306 тыс. руб. изменило фондоотдачу

ДЛКа = ахпр 1 ^мощ (^а _ ^) = . . . = 0,018 РУб.,

или 1,8 коп.

Общее изменение фондоотдачи составило

АХ = 0,032 + (-0,036) + 0,031 + 0,018 = 0,045 руб.,, или 4,5 коп.

Следовательно, второй метод расчета влияния факторов на уровень общей фондоотдачи дает такой же результат» [287, с. 81—83], такой же, как и первый метод.

В этом, конечно, нет ничего удивительного. В первом методе к тождественно истинной (истинной по определению) формуле прибавлялся нуль, а во втором методе тождественно истинная формула умножается на единицу. Поскольку формула одна и та же (определение фондоотдачи), то и результат должен быть одним и тем же. Точнее говоря, второй метод использует оба подхода к построению схем «анализа влияния факторов», исходящих из уравнений определений: мультипликативный (на этом подходе построен ранее разобранный пример с индексом производительности труда [22]) и аддитивный (первый

метод анализа факторов, влияющих на фондоотдачу в методике [287]). Умножением тождественно истинного выражения на единицу получена формула (3.34), а затем уже к этой формуле прибавляется нуль.

Запишем подробно вывод расчетной схемы второго метода в [287].

Исходная формула

алл л 1 г^мощ a^np^a 1 хгмощ аппр^аДА — Лх Ао — -— А! • Ку Ку — ——-Ао • Ао Ао.

(3.35)

Эта формула тождественно истинна, так как (3.34) получена из определения фондоотдачи в результате умножения этого определения на единицу. Далее анализ развивается по известной аддитивной схеме: к (3.35) последовательно прибавляются равные нулю величины:

1^-мощал пр^-а1у^-мощаХПР2£а (

^ос 2 1*01К0с 1°’

1у^моща^пру^-а1у^-моща^пру^а /q\

ос 2 101zzoc 2 1°1 '

у^-моща7пР/£а^^оща^пру^-а /q\

тгОС о01„ос 001 \/•

В результате после перегруппировки получается схема анализа, изложенная в [287] в виде числового примера

д^ (у^мощ а^пру£ау^мощ а^пРу^а!

^с 11 к°с °)

/ 1 у^мощ а^ ^£а^ у^ощ а^пру^-а \ .

1 ^ос 1^ос

/ 1 глмощ а« jrajv-мощ ал пр г^а А .

■ / 1 т^мощ а« пр1 рмощ а* пр тплЗ \

ИоКо/

Аддитивная схема была рассмотрена ранее в связи с первым методом анализа факторов, влияющих на фондоотдачу. Отметим здесь только такой любопытный результат: фондоотдача в численном примере [287, с. 82] снизилась в результате сокращения непрофильной продукции (на целых 3,6 коп.!),— результат, несколько противоречащий

здравому смыслу. На самом деле все эти прибыли и убытки, как и в первом методе (например, рост фондоотдачи в результате роста затрат материалов), фиктивны, так как конечный результат АХ совершенно не зависит от того, как и на какие компоненты была разложена исходная тождественно истинная формула.

z = х!уz = х!утаковатаковаAz = zx — z0 =Az = zx — z0 =либолибо(3.36)(3.36)Общая схема этого разложения в случае использования уравнения-определения вида

z = х!у

z = х!у

такова

такова

Az = zx — z0 =

Az = zx — z0 =

либо

либо

(3.36)

(3.36)

В первом случае прибавляется нуль в виде

—^/Ух + Жо/У1,

во втором — нуль в виде

—aVy0 + ^/.Уо-•

И самое печальное во всех этих аналитических построениях то, что ведутся даже дискуссии о том, какая из формул: (3.37) или (3.38) верна, какие факторы являются количественными, какие качественными и т. п.

Вернемся к исходной формуле второго метода (3.34).

Она получена из определения фондоотдачи вида (3.36) путем умножения на единицу:

х х а b с d е

у а b с d е у

причем числа а, 6, с,... вообще говоря, произвольны. Это делает мультипликахивный подход несколько более привлекательным, чем аддитивный: в последнем случае надо, по крайней мере, уравнивать размерности (что, конечно, не всегда делается на практике). Дополним формулу (3.34), т. е. расширим круг факторов, влияющих на фондоотдачу с тем, чтобы сделать анализ более полным, вскрывающим большее количество резервов производства и т. д. Пользуясь методом, которым получена формула (3-34), это сделать нетрудно. Введем переменные:

L — численность производственных рабочих; L* — численность производственных рабочих, занимающихся филателией; aZ$ — фондовооруженность рабочих-филателистов (из расчета активной части производственных фондов), К^ — доля рабочих-филателистов в общей численности производственных рабочих, U — трудовоору- женность фондов, причем

агф = ^, кф = ^ и=Л

Теперь умножим тождественно истинную формулу (3.34) на величину

Поскольку фактически (3.34) умножается на единицу, из истинности (3.34) следует истинность формулы

№с Ж Fa Л» £ _ 1 „мощ а«пр

Л F Л-ос' W * Fa* ЛФ* L* F КосХ

Х^-К^.и.(3.39)

Теперь мы можем подсчитать индексы (Хх/%0), как это сделано, например, в [22] или воспользоваться аддитивным разложением, как это сделано в разбираемой методике [287]. Установив (проведя по всем правилам специальное социологическое обследование), сколько рабочих собирают марки, можно узнать с точностью до тысячной доли копейки, как это невинное занятие влияет на фондоотдачу. Можно пойти дальше: умножив (3.39) на величину

^ф.НТП /^ф

где £/ф,нтп — количество рабочих, собирающих марки, посвященные научно-техническому прогрессу, установить влияние этого фактора на фондоотдачу.

Можно, конечно, сказать, что такой анализ — это театр абсурда. Но (3.39) формально ничем не отличается от (3.34). Обе эти формулы получены в результате использования двух истинных положений:

если число умножить на число, то в результате получится число;

если равенство умножить на единицу, то равенство сохранится.

Формула (3.39) верна, так как она получена из определения фондоотдачи умножением уравнения-определения на единицу, точно так же получена (3.34).

Можно возразить: формально (3.39) верна, но содержательно неверна. На первый взгляд это возражение может показаться серьезным. Но попытаемся понять, что оно значит: как можно из формально и содержательно верного утверждения (определение фондоотдачи), используя формально верные преобразования (умножение на единицу) в одном случае получить утверждение, верное и формально и содержательно, а в другом — утверждение, формально верное, но содержательно неверное.

Сомнение вызывает фактор Ьф — число рабочих-филателистов, но вместо этого фактора можно было взять любой другой: численность выпускников ПТУ, число пятен на солнце, количество посадочных мест в заводских столовых и т. п.

Остается еще один момент: по формулам вида (3.34) — (3.39) нельзя предсказать направление влияния фактора на исследуемый показатель. Действительно, хотя в (3.34) фондоотдача представлена как функция от пяти переменных (NB, Nx, W, F\ F), фактически (3.34) описывает зависимость % только от двух переменных (NB и F), так как остальные взаимно сокращаются и их изменение не оказывает никакого влияния на фондоотдачу %. Поэтому при расчете влияния L^ на % на основе (3.39) может оказаться, что рост доли филателистов ведет к падению фондоотдачи. Но так обстоит дело и с «правильными» показателями, например к падению фондоотдачи привело сокращение непрофильной продукции [287, с. 82], а к росту — рост материальных ресурсов [287, с. 80].

Таким образом, абсурдность получаемых результатов — это следствие самой методики, а не следствие неправильного выбора факторов. Сколько бы нулей не прибавлялось к исходным формулам-определениям

х = N^iF, АХ = Xt — Хо,

сколько бы раз они не умножались на единицу, в результате все-таки будет получаться зависимость % от двух переменных

X = ЦЛгв, Fy

Зависимость же от остальных переменных и в (3.28) и в

фиктивна. Поэтому фиктивны и все увеличения и уменьшения фондоотдачи в [287]. Отсюда вывод: уравнения-определения не описывают механизма влияния факторов на исследуемый показатель.

Трудность практического различения типов уравнений

Уравнения-определения всегда можно отличать от уравнений других типов. Сложнее обстоит дело с уравнениями состава и распределения. В дискуссии 1964 г. о применении математики в экономике [488], на материалы которой мы неоднократно-ссылались, Ш. Я. Турецкий отмечал, в частности, что недопустимой является попытка «количественного измерения стоимости отдельных товаров не прямым путем, на основе данных об общественно необходимых затратах на производство конкретного продукта в рабочем времени, а методом сложения отдельных элементов стоимости (с + v + т). Маркс и Энгельс бесспорно доказали, что стоимость не складывается из этих элементов, а только распадается на с, v, т... Конечно, определение стоимости на основе показателей, отражающих распределительные отношения, приводит, естественно, к практически неприемлемым выводам и предложениям...» [488, с. 44—45].

Авторы редакционного комментария обвинили Ш. Я. Турецкого в том, что здесь «оппонентам приписывается незнание элементарных истин, известных дджё студенту (в данном случае, что стоимость распадается на с, v, т, а не складывается из них)» [488, с. 45]. То, что уравнения преобразования нельзя смешивать с уравнениями состава и распределения так же, как и с уравнениями-определениями, действительно истина элементарная, но, как мы убедились уже на примерах анализа хозяйственной деятельности, анализа индексов, эта элементарная истина иногда забывается.

В сравнительно недавно вышедшей интересной работе по ценообразованию [352] читаем: «Цена продукции вида / как денежное выражение ее стоимости, распадаясь на составные части, имеет, следовательно, вид

Pi = Ci + Vi + ^>

где Cj — стоимость средств производства, потребленных при изготовлении единицы вида продукции /; Vj — стоимость необходимого продукта, выступающая в форме

оплаты труда на единицу продукции вида /; mj — чистый доход, включенный в цену единицы продукции вида /» [352, с. 30]. Следовательно, имеем уравнение состава; в матричном виде с учетом прочих затрат оно записывается в [352, с. 136] так

р = рА + и + d + т, (3.40) где d — вектор прочих элементов себестоимости (амортизация и т. п.); р — вектор цен; и — вектор зарплаты; т — вектор чистого дохода; А — матрица технологических коэффициентов; a^j — норматив затрат продукции г на единицу продукции у.

Уравнение (3.40) тоже уравнение состава. Зная матрицу А, вектор цен р, зарплату и и прочие элементы себестоимости d, можно найти чистый доход т. Но в [352, с. 135—138] уравнение (3.40) используется для определения уровня цен: итеративным методом ищется решение уравнения (3.40) относительно р в предположении, что известны векторы v, d и т. Но в таком случае (3.40) — это база для правила принятия решения:

р = ^ -]- d + т)(/ — Л)"1, (3.41) и использование уравнения состава как основы для построения уравнения поведения надо обосновывать. При этом необходимо, видимо, учитывать и следующее обстоятельство. Потребители конечной продукции (предметов потребления, в частности) не обязаны приобретать товары в количествах, равных планируемому выпуску, по ценам, вычисленным на основе правила принятия решения (3.41), и разъяснение, что таковы цены равновесия, вряд ли изменят поведение потребителей.

Приведенный пример не единичный. Так, в учебном пособии по математическим методам анализа экономики [281 ] тем же способом замены уравнения состава на уравнение преобразования или уравнение поведения определяются национальная себестоимость, стоимость и т. д. Исходным и здесь служит уравнение состава вида (3.40); например, для определения стоимости используется уравнение состава [281, с. 86]

W = (1 + у) И + WA, (3.42)

где W — вектор стоимостей; V — вектор удельной зарплаты; у = щ : и, причем принята гипотеза С. Г. Стру- милина о том, что у одинакова для всех работников всех

Отраслей и профессий; А — матрица технологических коэффициентов.

Решая (3.42) относительно W1 получаем уравнение для стоимости

ТУ = (1 + у) 7(7 - Ау\(3.43)

т. е. аналог (3.41).

Для правильной оценки экономического содержания этих преобразований необходимо иметь в виду различие между известными и неизвестными величинами, с одной стороны, и экзогенными и эндогенными переменными модели — с другой. По известным (заданным, оцененным, прогнозным и т. п.) значениям экзогенных переменных можно вычислить значения экзогенных переменных модели, но это означает, конечно, что эндогенные переменные становятся экзогенными, и наоборот. Например, используя уравнение состава

В = М + А + Ч,(3.44)

где В — валовая продукция; М — материальные затраты; А — амортизация; Ч — чистая продукция, можно по заданным значениям В, М, А вычислить величину чистой продукции. Практически (3.44) может быть использована для ретроспективного оценивания объема чистой продукции. Но для перспективных расчетов, для планирования объема чистой продукции одного уравнения сос1ава (3.44) недостаточно; именно для обеспечения возможности проведения перспективных расчетов и был в свое время введен показатель нормативная чистая продукция [402]. Точно так же обстоит дело с формулами (3.40) —(3.41) и (3.42) —(3.43). Например, в последнем случае, если заданы значения эндогенных переменных V и принято решение о величине у, то можно, конечно, вычислить соответствующее заданным 7 и у значение вектора стоимости W. Но утверждать, что вычисленное таким образом значение (т. е. прогноз или план) стоимости будет действительно совпадать с фактическим значением стоимости, нет никаких оснований, поскольку фактическая величина прибавочного продукта может отличаться от желаемой, а для перспективного расчета этой величины необходимо уравнение преобразования. Подмена уравнения преобразования уравнением состава приводит к довольно неожиданным и содержательно неверным результатам: так из (3.43) следует, что стоимость продукта, а сле-

(3.45)(3.45)довательно, и объем валового общественного продукта в стоимостном выражении могут быть сделаны сколь угодно большими: для этого нужно только задать величину у достаточно большой. Видимо, это слишком простой способ увеличения валового общественного продукта. В [281, с. 88] приведена формула для определения у:

(3.45)

(3.45)

V ~ Z'n ■*

где /' = (£- Л')-1^; П = У — F^X (см.: [281, с. 44]); Y — конечный продукт; F — матрица приростной фондоемкости; АХ — годовой прирост вектора валовой продукции; П — вектор, характеризующий объем непроизводственного потребления (личное потребление, непроизводственная сфера и т. п.).

Добавление (3.45) к (3.42) превращает у в эндогенную переменную, но не меняет суть дела. Задавая П сколь угодно близким к нулю (выбирая достаточно большие значения экзогенной переменной АХ), можно сделать сколько угодно большим значение у и, следовательно, валового общественного продукта. При этом получается, что чем меньше потребление (вектор П), тем больше валовой общественный продукт; при отказе от потребления (П = 0) валовой общественный продукт бесконечно велик (у = оо, следовательно, W = оо). Это утверждение непосредственно следует из (3.42) и (3.45) и свидетельствует о том, что где-то (не в расчетах, а при построении модели) была допущена ошибка: в данном случае не проведено различие между уравнениями состава, преобразования и поведения. В частности, из (3.42) и (3.45) следует, что величина стоимости зависит от принимаемых плановым органом решений о величинах конечного продукта и прироста валового продукта

W = W(Y, АХ),

что, конечно, неверно.

Матрица Леонтьева;

уравнения состава, распределения или преобразования? *

Матрица Леонтьева, встречающаяся в обоих разбираемых примерах, служит хорошей иллюстрацией трудностей различения уравнений состава, распределения и преобразо-

вания. Рассматривая уравнение

^г = 2 ^г.А* Н“ Утл(3.46)

3

где хi — валовой выпуск продукта Z; ац — константы;

yt — конечное потребление продукта Z, действительно трудно решить, является ли это уравнение уравнением состава или линейной производственной функцией. Решение существенно упрощается, если проанализировать способ, которым получено вызывающее сомнения уравнение.

Рассмотрим в качестве примера различные способы построения уравнения (3.46). В литературе модель Леонтьева «затраты-выпуск» часто выводится из уравнений межотраслевого баланса (см., например, [34], [185], [197], [239], [247], [289] и др.):

^=2^ + ^,(3.47)

3

где х15 — производственное потребление продукции отрасли I на производство продукции отрасли /.

Уравнение (3.47) — это уравнение распределения, и поэтому (если не учитывать изменение запасов или учитывать их неявно) тождественно истинно. Действительно, слева от равенства в (3.47) стоит валовой объем выпуска продукта 7, а справа суммируется потребление этого про дукта всеми отраслями производства и непроизводственной сферой. Далее вводятся величины

«tj = xulxj.(3.48)

Эти величины, согласно (3.48), можно интерпретировать как затраты продукта i на производство единицы продукта /. Здесь есть две возможности: 1) считать (3.48) определением коэффициентов прямых затрат, и тогда (3.48) — тождественно истинное уравнение-определение; 2) считать (3.48) постулатом (рабочей гипотезой), и тогда это уравнение будет уравнением преобразования, которое может быть в общем случае как истинным, так и ложным.

Рассмотрим сначала первую возможность. Подставляя (3.48) в (3.47), получаем уравнение (3.46), но полученное таким образом (из уравнения распределения и уравнения определения) уравнение не будет уравнением преобразования, т. е. не описывает никакую технологию и, сле-

довательно, не может быть использовано ни для прогнозирования, ни для планирования. Дело в том, что переменные xtj и "у г в (3.47) можно свободно варьировать или, что то же самое, можно свободно варьировать переменные atj и ^ в (3.46) (поскольку а^ определены равенством (3.48)) — разумеется, вариации переменных не должны нарушать балансов (3.47) и (3.46). Иными словами, при фиксированных хг уравнения (3.46), (3.47) описывают тождественно истинную связь между п свободными переменными, если п — количество отраслей; все эти п переменных могут быть определены как экзогенные. Все п уравнений (3.46) (или (3.47)) описывают, таким образом, связь между п свободно варьируемыми экзогенными переменными. Можно, конечно, строить прогнозы относительно фактических значений этих переменных (а^ или х^У но это будут прогнозы принимаемых решений о распределении ресурсов.

Фактически решения о распределении ресурсов не так уж произвольны, они ограничиваются свойствами технологии (которые, однако, в балансовой модели в явном виде не описаны). Действительно, хотя в реальной экономической системе и можно, по-видимому, наблюдать выделение избыточного или недостаточного количества продукта г в ту или иную отрасль, такие решения считаются ошибочными, и их стараются избежать, но модель, составленная из определений и уравнений распределения, для этих целей бесполезна.

Рассмотрим теперь вторую возможную интерпретацию уравнения (3.48), а именно: (3.48) является не определением величины аг^ а уравнением преобразования (см., например, [247], [345]). Точнее говоря, предполагается, что для всех отраслей абстрактная технология описывается производственной функцией

xj = min (3.49)

Это означает, что продукты, используемые для производства продукта / невзаимозаменяемы. Для производства единицы продукта / требуется затратить а^ продукта 1, #2j продукта 2, a3j продукта 3 и т. д. Далее предположим, что объемы всех затрат уравновешены. Другими словами, Для всех i и к выполняется

хц!аи == хм1аиь (3.50)

9 Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов 129

. е. что нет избыточных ресурсов, которые по условиям, накладываемым технологией (3.49), не могут быть использованы вследствие относительного дефицита других ресурсов.

Если (3.50) выполняется, то можно записать

ХИ = atjxj Для всех(3.51)

Теперь, суммируя все затраты (суммирование по /) и добавляя конечный продукт, получаем

Ху + Уг = 2 ОД + Угг(3.52)

3

откуда, учитывая балансовое уравнение (3.47), получаем (3.46). Хотя получено такое же уравнение, как и раньше, и интерпретация и возможности использования уравнения, полученного из уравнения преобразования (3.49), уравнения поведения (3.50) и уравнения распределения (3.47), будут совсем другими. Отметим прежде всего, что уравнение (3.46) в первом случае было тождественно истинным, а во втором оно таковым не является. Для того чтобы это уравнение было справедливым, во втором случае надо, чтобы справедливыми были две гипотезы: 1) производственные функции всех отраслей имеют вид (3.49); 2) решения о распределении ресурсов рациональны, т. е. для всех отраслей выполняется (3.50). А эти гипотезы могут быть как верными, так и неверными, и их справедливость может быть подтверждена или опровергнута в результате специального анализа.

Несмотря на серьезные трудности, связанные с определением типа уравнения, можно все-таки формулировать критерий, позволяющий отличать уравнения-определения, состава и распределения от уравнений преобразования и поведения. В последней группе уравнений присутствуют некоторые константы, значения которых определяются на основе анализа эмпирического материала. Так, в определении (3.48) а^ зависит от х^ и Xj, но в формуле (3.49) эти коэффициенты не изменяются при изменении Xj или х^.

Существование зависимостей

Псевдозависимости

Одна из задач, которая решается при построении экономико-математической модели,— это описание связей между выделенными переменными. Принтом предполагается, что такая связь существует. Для уравнений-определений такое предположение^ верно всегда, верно по определению. К сожалению, на^это^обстоятельство необходимо указать, так как в литературе можно встретить противоположные утверждения. Например, в работе, посвященной теории статистических индексов [17], говорится: «...Ни у кого не вызывает сомнения тот факт, что объем производимой продукции Q функционально зависит от численности работников Т и производительности их труда иг.

Q = Tw.(1.1)

О наличии прямой пропорциональной зависимости в таких случаях свидетельствует то обстоятельство, что чем выше производительность труда или больше количество работающих, тем больший объем продукции. Несмотря на некоторую упрощенность такого доказательства, оно все же является тем логическим критерием, по которому устанавливается наличие функциональной связи между явлениями. При этом в качестве обязательного атрибута присутствует ограничение „при прочих равных условиях66, которое является неотъемлемым элементом индексного метода в целом. Без него, в частности, невозможно доказать, что изменение объема продукции прямо пропорционально изменению численности работников и производительности труда, ибо такое утверждение справедливо только при уравновешивании всех прочих условий производства» [17, с. 21].

Это неверно. Равенство (1.1) в [17, с. 21] справедливо всегда, при всех условиях, «уравновешенных» или нет, так как оно является непосредственным следствием из определения величины производительности труда

w = QH\

Выше уже отмечалось, что уравнения-определения не описывают связи между явлениями, они только вводят пере* менные, и поэтому построить модель только из уравне-

ний-определений нельзя: нужны уравнения поведения и/или уравнения преобразования, именно они отражают экономическую сущность явления.

Непосвященному человеку может показаться, что построение таких зависимостей непростая задача. Но, познакомившись с методами «анализа хозяйственной деятельности» (см., например, цитированную выше методику [287], а также интересный обзор истории вопроса в [32] и др.) или «индексного анализа», он убедится в том, что нет ничего проще. Действительно: «Объектом индексного анализа является функциональная зависимость между явлениями. Ее традиционное определение в статистике сводится примерно к следующему: функциональная зависимость между явлениями имеет место тогда, когда одно явление, именуемое объемным показателем, можно представить в виде произведения двух других показателей, один из которых является количественным, второй — качественным. Классический пример такой зависимости: общая стоимость определенного продукта Q равна произведению количества данного продукта q на его цену: р : Q = рд» [17, с. 28—29].

Не будем придираться к тому, что явление вдруг стало показателем; не будем задаваться вопросом, как отличить качественный показатель от количественного, если они оба представлены в виде чисел, отметим только, что, действительно, можно указать слишком большое количество работ, в которых именно так и строятся модели и исследуются влияния факторов на различные показатели. Разумеется, результативность такого моделирования равна нулю, и это, по-видимому, вызывает некоторые сомнения у теоретиков индексного метода: «Приведенное определение, в принципе верное, но слишком абстрактное. В нем однозначно выражена лишь математическая сторона вопроса, но не раскрыто его материальное содержание, т. е. остается вне поля зрения сущность функциональной зависимости с ее причинно-следственными связями. Практика свидетельствует о том, что рассмотрение функциональных зависимостей только в математическом плане не может быть надежной основой индексного анализа. Без определения экономической сущности функциональных зависимостей индексный анализ из действенного статистического метода может превратиться в набор бесплодных математических упражнений» [17, с. 29].

Попробуем сначала разобраться с математикой индексного анализа. Нам представляется, что в набор бес-

плодных математических упражнении он превратиться не может, так как никакого отношения к математике, даже элементарнейшей, не имеет.

Прежде всего остановимся на терминах «функция» и «функциональная зависимость». Эти термины имеют в математике довольно большую и поучительную историю, тянущуюся от определения функции как формулы к определению в рамках теоретико-множественного языка через отношения (см., например, [66], [188], [255], [412]). Практически в экономических науках, как во многих случаях и в естественных науках, приходится иметь дело с числовыми функциями. Поэтому вполне приемлемым является определение функции, которое дается, например, в «Справочнике по математике для научных работников и инженеров» Г. и Т. Корнов: «Если дано правило соответствия, относящее каждому данному действительному или комплексному числу х из множества Sx действительное или комплексное число

У = /М,

то у называется (числовой) функцией

У = У^ = М

аргумента х ... при этом х называется независимым переменным, ay — зависимым переменным.

...Подобным же образом функция

У = /fo, ^2. • •^n)

п переменных хх, х2, . . ., хп относит упорядоченному множеству значений (независимых) переменных хг, х2, . . . . . ., хп значения (зависимого) переменного у» [223, с. 95-96].

Приведенное определение не накладывает никаких ограничений на соответствие между х и у. Можно, например, задать такое соответствие между переменной х, пробегающей множество всех вещественных чисел, и переменной у\ у — \ при любом значении х. Это соответствие — функция, так как величина у определена, но обычно в таких случаях говорят, что у не зависит от х или что между У и х нет функциональной зависимости. Обычно путаницы не возникает, но, следуя Г. и Т. Корнам, функциональную зависимость можно определить как функцию такую, что значения ее различны хотя бы для двух различных значений независимой переменной (независимых переменных). Все это, конечно, общеизвестно. Определения

функции, функциональной зависимости приведены здесь потому, что в индексном анализе мы встречаемся с чем-то иным: «Математическим элементом выражения функциональной зависимости между двумя явлениями выступает относительная величина, исчисленная из соотношения данных явлений. Например, чтобы совокупность А выразить функционально зависимой от совокупности Б, достаточно составить уравнение А = Б(А/Б)». [17, с. 29]. Только то и всего! И совсем непонятно, зачем придуманы корреляционный, регрессионный, факторный и т. п. анализы и прочие формально-математические ухищрения.

Является ли, однако, уравнение

А = Б(А/Б)(3.53)

функцией, которая ставит каждому значению переменной Б значение переменной А? Нет, так как с помощью уравнения (3.53) по известному значению переменной Б нельзя определить значение переменной А. Уравнение (3.53) — тавтология

А = А.

Описывает ли (3.53) функциональную зависимость между переменными А и Б? Нет, так как (3.53) не является функцией. Получено же (3.53) все тем же слишком широко используемым и совершенно бесплодным методом умножения тождества на единицу. Истинно ли уравнение (3.53)? Да, поскольку тождество не нарушается, если его умножить на единицу (или прибавить к нему нуль).

Введя с помощью уравнения-определения

В = А/Б(3.54)

переменную В, можно в (3.53) записать как функцию:

А - /(Б, В) = Б-В,(3.55)

поскольку, зная Б и В, можно вычислить значение переменной А. Но откуда взять значение переменной В? Все, что о ней известно,— это то, что она определена равенством (3.54); для того чтобы вычислить В надо знать значения величин А и Б. В таком смысле функциональная зависимость (3.55) — это псевдозависимость, поскольку она тождество.

Дело в том, что, как справедливо отметил А. Я. Боярский, «функциональную связь нельзя смешивать с причинно-следственной. Она сама по себе означает только

соответствие между переменными... При составлении плана можно вычислить, сколько потребуется рабочих для получения данной продукции при таком-то использовании времени и таком-то уровне производительности... Продукция — результат труда, а не наоборот. Но для расчета оказалось целесообразным представить число рабочих как функцию других величин, в том числе и продукции» [54, с. 21—23]. Другими словами, не следует смешивать различение переменных на экзогенные и эндогенные, с одной стороны, и на зависимые и независимые — с другой.

В качестве еще одного примера псевдозависимости приведем несуществующее уравнение состава, часто встречающееся в литературе по экономическому анализу. Речь идет о представлении произведения в виде суммы. Например, из определения фондоотдачи следует

N = F-X,(3.55 а)

где N — объем выпуска; F — объем основных производственных фондов, X — фондоотдача.

Сравнивая объем выпуска в отчетном году N\ с объемом выпуска в базовом году N01 из (3.55 а) получаем

bN = ^ - Мо = (Fo + ДЛ(Ч + АХ) - F0X6 =

= X0AF + AXF0 -I- kXkF.(3.56)

Задача заключается в том, чтобы представить A7V в виде суммы

A7V = А^р + AWX,

где ANF — влияние изменения объема фондов на выпуск; A7VX — влияние изменения фондоотдачи на выпуск.

Практически речь идет о том, чтобы разделить АХАТ^ между двумя факторами (изменение объема фондов и изменение фондоотдачи), т. е. найти такое число а, что

^NF = X0\F + a\X\F,

\NX - Ь\\Х + (1 - a^\X\F.

0<а<1.

Ясно, что эта задача имеет решение и не одно, а целый континуум, поэтому проблема сводится к содержательному обоснованию выбора конкретного значения параметра а. В литературе данная проблема известна под названием «проблемы неразложимого остатка». Предложено

много ее решении: от наивных — приписывать весь неразложимый остаток одному из факторов, что эквивалентно методу разложения влияния посредством прибавления нуля:

при а = 1: A/V = ^АХ 4- Х0А7^ = F-^i — ^1^0 +

4“ Л^ ^0^0 ’

а при а = 0: A7V = Р0^Х 4~ Х-ДР = -^i^i 4™ ^\Ai —

^0^1^0^01

до построения неких геодезических линий методами вариационного исчисления (см., например, [17],[252],

[287]). Методика [287] полагает а = 1/2. Изучая материалы дискуссии на эту тему, нельзя не согласиться с В. Е. Андриенко, который считает, что «приемлемого решения еще не найдено, поскольку нет четкого представления о том, что ищут» [17, с. 108]. А ищут описание раздельного влияния сомножителей на произведение, т. е. уравнение состава вида

АХА^ = ф(АХ) + ф(АГ),(3.57)

причем ф(0) + ф(0) = 0, поскольку оценивается влияние прироста значения переменной на результирующий показатель и если нет прироста (АХ = 0 или AF = 0), то нет и влияния соответствующего фактора. Но (3.57) выполняется только при АХ = AF = 0. Произведение разложить в сумму функций от сомножителей вида (3.57) нельзя. Попытки решить эту задачу приближенно бессмысленны, так как приближенное решение предполагает, что существует решение точное, раз задача не имеет решения, она не имеет и приближенного решения. Величина АХАТ? отражает совместное, неразложимое влияние изменения обоих факторов, и если один из факторов не изменился, то она равна нулю.

Корреляция и функциональная зависимость

Обычно взаимосвязи между переменными экономико-ма- мематической модели искажаются в результате воздействия различных факторов. Это искажение может быть настолько велико, что в результате анализа конкретного эмпирического материала можно прийти к неверному заключению об отсутствии связи в том случае, когда она имеется (связь «забита» шумом), или к выводу о суще-

ствовании зависимости в том случае, когда ее нет (ложная корреляция и т. п.). Конечно, все эти затруднения встречаются только при построении уравнений преобразования или уравнений поведения. В случае уравнений-определений, уравнений состава и распределения никаких проблем с существованием зависимостей или оцениванием параметров этих зависимостей нет.

Утверждение, что фондоотдача равна объему выпуска, деленному на объем фондов, справедливо не потому, что таков вывод из анализа экономико-статистических данных, а по определению. В этом существенное отличие уравнений преобразования и поведения от уравнений- определений, состава и распределения.

В принципе уравнения двух последних типов могут быть записаны ошибочно, но такая ошибка обнаруживается моментально и всегда может быть исправлена введением переменной вроде «прочие расходы» или «прибыль от прочей реализации» и т. п. Никаких параметров уравнения-определения, состава и распределения не содержат. Именно поэтому, как уже отмечалось ранее, модель, составленная только из таких уравнений, не пригодна ни для планирования, ни для прогнозирования, ни для анализа хозяйственной деятельности экономических систем. Реальные проблемы можно решать, только используя уравнения преобразования и поведения. А для этого необходимо решить проблемы существования зависимостей и оценивания их параметров на основе экономико-статистической информации.

В связи с указанной проблематикой используют термины: «независимость», «соответствие», «влияние», «причинная связь», «корреляция» и др. (см., например, [302, т. 2, с. 9 и далее], [8], [167], [309] и др.). Понятие «независимость» — одно из наиболее фундаментальных и используется в самых разнообразных дисциплинах (например, линейная независимость — чисел, векторов, функций и т. д.; независимость случайных величин; независимость прошлого от настоящего и т. д.). Наиболее ценно, конечно, установление причинной зависимости между событиями или явлениями. В этом случае говорят, что одна переменная (или несколько переменных) влияет на другую переменную. При детерминистском описании это означает, что между переменными есть функциональная зависимость, причем

dyldx ^ 0 (или dyldxi ^ 0),

Здесь у — зависимая переменная, на которую влияет независимая переменная х (или х^, если конечно, соответствующие производные существуют (обычно в экономике дело обстоит именно так, т. е. функции у = j^, или у = f(xv . . ., хп) достаточно гладкие). Можно говорить о более или менее сильной зависимости, например вполне осмысленно утверждение, что изменение температуры воздуха от 18 °C до 22 °C слабо влияет на производительность труда в цехе, а на уровень дисциплины влияет сильно. Силу зависимости можно оценивать величиной производной, но лучше устранить влияние единиц измерения, т. е. использовать для этой цели эластичности

еМ=1&Т или

Смысл эластичности прозрачен: если переменная х растет на 1 %, то переменная у растет на г^у, х) %. Переменная х не влияет на переменную у (они независимы), если при изменении х значение у не меняется; в этом случае е(у,я) = 0.

Эластичность нашла довольно широкое применение в качестве меры чувствительности или силы влияния в экономической науке (теория спроса, теория производственных функций и т. п.), но все же ее нельзя считать идеальной мерой влияния. Дело в том, что эластичность слишком сильно реагирует на разрывы функции у = f(x): ^у, ^о) = 00 ПРИ /(^0 + 0) — /(я0 — 0) #= 0, сколь угодно малой не была бы эта разность. Отметим также, что эластичность имеет смысл только при условии, что у и х (или все х^ измерены в количественной шкале. Действительно, пусть, например, у измерено с точностью до преобразования g:

и = #(*/)•

Имеем

' ’ ' dy dx и

и в(и, я) = е(у, х^ только если

du 1 dy dy "и —

т. е. если

du dy и — у *

Решая это уравнение, получаем, что должно выполняться условие

gW) = су,

где с — произвольная константа, откуда и следует, что переменная у должна быть измерена с точностью до линейного преобразования. Однако в любом случае зависимая переменная у, описывающая следствие (или какую- то компоненту следствия), должна «чувствовать» изменение одной или нескольких независимых переменных х.

Другим важным признаком причинной связи между переменными является наличие механизма причинения, связывающего причину со следствием. Причина не вызывает следствие мгновенно: в этом смысле известный постулат об ограниченности постоянства скорости света есть непосредственное следствие принципа причинности. На модельном уровне это означает, что идеальное описание причинной зависимости должно включать временные запаздывания. На практике для упрощения описания эти запаздывания можно в ряде случаев положить равными нулю, т. е. считать, что скорость взаимодействия бесконечна. Но такое упрощение не означает игнорирования запаздываний.

(3.58)(3.58)Причинно-следственные связи проявляются соответствующим образом при определенных условиях, неполная информация об этих условиях ведет к искажениям при описании указанных связей. На модельном уровне это означает включение в описание случайных величин, например, в виде случайной ошибки е, входящей в модель аддитивно:

(3.58)

(3.58)

У = /W + е.

Переменная у теперь тоже случайная величина, и одна из основных задач построения модели — очистка зависимой переменной у от случайного шума е для того, чтобы выявить функциональную зависимость. Обычно эта задача решается методами регрессионного анализа, которые будут обсуждаться в следующей главе. Отметим здесь только, что модель (3.58) не вводит никакой «статистической» или «вероятностной» и т. п. причинности. Просто в (3.58) независимые переменные разделяются на детерминированную (предсказуемую, контролируемую и т. д.) и стохастическую компоненты.

В том случае, когда детерминированная компонента отсутствует, используют такие термины, как «соответствие»,

«ассоциация», «корреляция» и т. п. Вообще говоря, эти термины не являются альтернативой причинной связи, хотя, конечно, наличие соответствия между значениями переменных не гарантирует наличия причинно-следственной связи между соответствующими явлениями или процессами. Не останавливаясь пока на содержательном обсуждении этих вопросов, рассмотрим некоторые формальные вопросы использования коэффициента корреляции при исследовании взаимодействия различных элементов экономической системы, которое выражается в наличии или отсутствии соответствия (корреляции) между переменными модели.

Коэффициент корреляции и линейная функциональная зависимость

Формальное определение независимости — одно из основных в теории вероятности. События А и В независимы, если

РгоЦАВ} = РгоЦАуРгоЦВУ (3.59)

Отсюда следует, что случайные величины е и ц независимы, если

РгоЪ^ <. х, ц < у} = РгоЦг < хуРгоЦт\ < у} или

Fw(x, у) = F^x>F^ (3.60) где РУ) — функция распределения соответствующей случайной величины.

Этот формализм позволяет охватить широкий круг явлений, включает даже вопросы чистой математики (см., например, развитие И. П. Кубилюсом теоретико-вероятностных методов в теории чисел [228]). Определения (3.59), (3.60) не накладывают никаких ограничений на шкалу, в которой измерены переменные е и ц; (3.59) вообще не требует числового представления переменных. Но количественные переменные есть в этих определениях: вероятности событий А, В или {е < хУ {ц < у}. Поэтому, строго говоря, все задачи исследования связи между неколичественными переменными решаются количественными методами. В число задач входят задачи оценивания силы связи между переменными (признаками и т. п.), которым посвящена общирная статистическая литература (см., например, [8], [81], [83], [92], [154], [190], [251])

и которые мы здесь по этой причине не будем рассматривать, ограничившись только несколькими замечаниями о коэффициенте корреляции.

Этот коэффициент часто встречается в экономико-математической литературе. Это неудивительно, так как коэффициент корреляции естественным образом появляется в связи с понятием независимости случайных величин; высказывания о нем адекватны, если переменные измерены в абсолютной, количественной шкалах и даже в шкале интервалов, и во многих случаях его оценивание оказывается полезным. В то же время сейчас практически любая серьезная работа по теории вероятностей или математической статистике содержит призывы к осторожности при использовании коэффициента корреляции (см., например, [167], [236], [277], [430]). Более того, в последнее время появились работы, в которых отрицается какая-либо польза от использования коэффициента корреляции (см. например, [12], [380]).

Рассмотрим дисперсию суммы случайных величин е + ц. Введем обозначения:

7)(-) — дисперсия случайной величины;

М(-) — математическое ожидание случайной величины. Имеем.

/)(8 + ц) = М(8 + ц - М(8 + ц))2 = м^е - МгУ + + М(ц - Мц)2 + 2М((8 - М8)(ц - М^у.

Введя обозначение для

coz2(8,T]) = М((е — М8)(ц — Мт])), получаем

В^ + ц) = Вг + Ок\ + 2еор(е, ц).(3.61)

Если 8 и ц независимые случайные величины, то и величины (8 — Me) и (ц — Мц) будут независимы; для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий . Следовательно, если е и ц — независимые случайные величины, их ковариация равна нулю:

е(ж(е, ц) = 0.

Коэффициент корреляции определяется в результате нормирования коэффициента ковариации (с тем чтобы получить безразмерную характеристику)

р = cor (е, ц)р = cor (е, ц)СОР (8, Т]) 3/5е75т] *СОР (8, Т]) 3/5е75т] *(3.62)(3.62)

р = cor (е, ц)

р = cor (е, ц)

СОР (8, Т]) 3/5е75т] *

СОР (8, Т]) 3/5е75т] *

(3.62)

(3.62)

/(я. у) =/(я. у) =яг2ояг2опри ж2 + у2 ^ г2при ж2 + у2 ^ г2

/(я. у) =

/(я. у) =

яг2о

яг2о

при ж2 + у2 ^ г2

при ж2 + у2 ^ г2

Таким образом, ковариация и корреляция не какие-то «придуманные» понятия, они вполне естественно появляются при определении дисперсии суммы случайных величин. Независимо от того, какие выводы делаются на основе вычисления коэффициента корреляции, он не может

Рис. 3.14. Равномерно распределенные в круге с случайные величины (е, Т|)

быть упразднен. Но возможности делать правильные выводы о зависимости между величинами, о «силе связи», о «тесноте линейной зависимости» и т. п. на основе корреляционного анализа весьма ограниченны.

Прежде всего понятия «некорреляционность» и «независимость» неэквивалентны. Для доказательства воспользуемся простым примером, приведенным Е. С. Вент- цель [81, с. 178—179]. Пусть система случайных величин (е, ц) равномерно распределена внутри круга с радиуса г (см. рис. 3.14):

где f^x, у) — совместная функция плотности системы случайных величин (е, ц).

Ясно, что эти случайные величины зависимы. Например:

Prob {г) Ф 01 е = г} = О

Prob {г) < у | е = 0} =Prob {г) < у | е = 0} =11 , 12г У + 2О11 , 12г У + 2ОприприприприприприУ>Г—7<у<гУ< — гУ>Г—7<у<гУ< — г

Prob {г) < у | е = 0} =

Prob {г) < у | е = 0} =

1

1 , 1

2г У + 2

О

1

1 , 1

2г У + 2

О

при

при

при

при

при

при

У>Г

—7<у<г

У< — г

У>Г

—7<у<г

У< — г

и т. д.

Вычислим ковариацию между е и т], Имеем

сои (ед т]) = У У xyf (х, у) dxdy = -Ц У У xydxdy = (с)лг (с)

= ^5 J J хуйхАу += ^5 J J хуйхАу +Лг'Лг'Кс1)Кс1)J J xydxdy + У У xydxdy + (С2>(сз)J J xydxdy + У У xydxdy + (С2>(сз)^xydxdy . (%):^xydxdy . (%):

= ^5 J J хуйхАу +

= ^5 J J хуйхАу +

Лг'

Лг'

Кс1)

Кс1)

J J xydxdy + У У xydxdy + (С2>(сз)

J J xydxdy + У У xydxdy + (С2>(сз)

^xydxdy . (%):

^xydxdy . (%):

(Разбиение области интегрирования с на сегменты cv с2, е3, с4 показано на рис. 3.14). Далее:

ху > 0 в секторах сг и с3;

ху < 0 в секторах с2 и с4, по абсолютной величине интегралы по этим областям одинаковы, следовательно:

J ^ xydxdy + J J xydxdy = 0,

(<)(сз)

J У xydxdy + У У xydxdy = 0. (с2)(%)

И С01?(8, Т|) = 0.

Это значит, что вывод о независимости случайных величин на основе их некоррелированности в общем случае неверен. Некоррелированность и независимость эквивалентны, если случайные величины имеют совместное нормальное распределение. Так, в случае двумерного нор

мального распределения:мального распределения:Ж У) =Ж У) =/■■■' ехРЗл^а^ У 1 — г2/■■■' ехРЗл^а^ У 1 — г21 Г (ж — тп^ 2/1 —г2 [^1 Г (ж — тп^ 2/1 —г2 [^

мального распределения:

мального распределения:

Ж У) =

Ж У) =

/■■■' ехР

Зл^а^ У 1 — г2

/■■■' ехР

Зл^а^ У 1 — г2

1 Г (ж — тп^ 2/1 —г2 [^

1 Г (ж — тп^ 2/1 —г2 [^

_ 2г(х-тж)(у-ту) (У-^У)2

где г — коэффициент корреляции,

тх1 ту — Ms и Мх\ соответственно;

Ох, о^ — De и Dt] соответственно,

при г — О (отсутствие корреляции) получаем непосредственно

/(*» 1Л = WYYMa

(^-^х)22(Тх(v-myf2^(^-^х)22(Тх(v-myf2^где

(^-^х)22(Тх

(v-myf2^

(^-^х)22(Тх

(v-myf2^

ЛИ-7^ЮР -W1'

От корреляции (а в случае совместного нормального распределения и от зависимости) можно избавиться заменой переменных. Введем переменную б:

6 = 8-^121) п.(3.63)

Найдем ковариацию между ц и б. Имеем

Mb = Me - £22^1211 Мх\ Dv\ 1

6 _ Mb = (е — Me) - cw^ n) (т) - Мт])-

Учитывая последнее равенство, получаем

сои (г), 6) = М ((г) — Мт]) (6 — МЬ^ = сои (е, т]) —

Используя (3.63), получаем

= _ «^П) ^ + 6>(3.64)

причем ц и б некоррелированпы, а в случае нормального распределения независимы.

Используя определение коэффициента корреляции, (3.64) можно записать в виде

(3.65)(3.65)e = r/w'n + 6s

(3.65)

(3.65)

или

е = Me + т ^-^(п —лг-п) + о,(3.66)

где 9 = 6 — 71/6.

Нетрудно видеть, что

coz;(9, ц) = еок(6, ц) = 0.

Найдем дисперсию случайной величины 9, пользуясь равенством (3.66). Имеем

Въ = г^Вг + D9 + cop(t], 9) = г^Вг + 2)9, откуда

2)9 = (1 - г^Вг.(3.67)

Отметим теперь некоторые важные обстоятельства, которые почему-то обычно упускаются из виду при изложении теории корреляции и линейной зависимости между случайными переменными.

Уравнения (3.64), (3.65), (3.66) устанавливают линейную зависимость между любыми двумя случайными величинами е и ц.

Эта линейная зависимость получена в разультате введения некоррелированной с ц случайной величины 6, которая независима от ц в случае нормального распределения.

Никаких предположений о виде зависимости е и ц, о существовании такой зависимости при построении линейного уравнения связи не делалось. Предполагалось только существование совместного распределения (любого), математических ожиданий, дисперсий и отличие от нуля 2)ц. Последнее предположение означает, что ц — существенно случайная величина, т. е. ее функция распределения не имеет вид

р ( = (1 при х>х0 = Мк\

г ( 0 при х < х0 = 71/т].

4/ Зависимости (3.64) —(3.66) линейны при любом значении коэффициента корреляции г (за исключением случая г = 0); зависимость остается линейной при любом сколь угодно малом значении коэффициента корреляции. Следовательно, коэффициент корреляции ни в коей степени не характеризует близость к линейной зависимости.

14514510 Р. Л. Раяцкас, М. К, Плакунов

145

145

Коэффициент корреляции характеризует рассеяние значений зависимой переменной вокруг линии линейной регрессии. Действительно, при фиксированном значении ц = ^ можно вычислить математическое ожидание величины е:

M(e|ri= х) = Мг + г У^-^х-Мч\У (3.68)

так как 71/9 = 0.

Варьируя я, получаем, что

7И(е|т] = х) = А + Вх,

где

А - Ми — г У ■^■ М»,

т. е. линию линейной регрессии. (Еще раз отметим, что линейная регрессия (3.68) — это результат преобразования координат, а не свойство описываемых явлений;

(3.68) верно для любой пары случайных величин, удовлетворяющих условию пункта 3.)

Фактическое значение величины е при условии ц = х будет отличаться от (3.68) на случайную величину 9:

е — 7И(е|т] — х) = 9,

причем 7)9 определяется (3.67). Если г = 1, то 7)9 = 0 и все значения е лежат на линии регрессии (3.68), если г близко к нулю, значения е рассеяны вокруг линии регрессии и

|е — 7Ие| ^ |е — М^г|ц = я)],

т. е. информация о значении ц ничего не дает для прогноза величины е. Линия регрессии при этом параллельна оси х\

М (е|т] = х) = 71/8 = const.

Отметим, что эти результаты не зависят от выполнения предположения о нормальности совместного распределения величин е и ц.

Ложная корреляция

На практике коэффициент корреляции определяется по выборочным данным

2(Жг-^)(У1-^)

г’“"<М9>

где х. у — средние арифметические вариационных рядов х^ Уг соответственно, т. е. оценки математических ожиданий случайных величин е и ц.

Если ввести обозначения:

= 2 to—^) to — F). г

Sxx = 2 Сч — ^)2i syy = 2 (z/i — у)2» гг

то (3.69) можно записать в виде

Г = Sxy

Поскольку Xt и yt —- случайные величины, rXIJ тоже случайная величина, распределение которой зависит от совместного распределения случайных величин 8 и ц. Это распределение можно получить исходя из гипотезы о совместном распределении величин е и ц; в литературе по математической статистике обычно приводятся таблицы распределения rxyi полученные в предположении, что е и т] имеют совместное нормальное распределение (см., например, [8], [81], [365], [429] и др.), хотя, конечно, распределение гхУ можно получить и для других распределений величин е и т].

Наряду со случайной ошибкой, значимость которой может быть оценена стандартными статистическими методами, возможно наличие систематической ошибки. Последняя появляется в результате нарушения условий применимости корреляционного анализа. Частным случаем систематической ошибки является так называемая ложная корреляция — ситуация, при которой гхУ существенно отклоняется от нуля, хотя величины 8 и ц некоррелированны.

Проблема ложной корреляции была поставлена К. Пирсоном [203], [510]. В частности, он заметил, что

из трех некоррелированных вариационных рядов можно в общем случае получить коррелированные ряды. Такая ситуация возникает, когда вычисляется коэффициент корреляции между индексами, построенными на основе переменных х. у, z: ж/z и y/z. Даже если попарная корреляция между переменными х, у, z отсутствует, коэффициент корреляции между переменными x/z и y/z отличен от нуля (если, конечно, z Ф const). Возражения против концепции ложной корреляции К. Пирсона были выдвинуты Э. Юлом, В. С. Ястремским и некоторыми другими статистиками [203], [470], [495].

Критики К. Пирсона указывали, что если задача заключается в определении связи между переменными х и у, а вместо этого вычислен коэффициент корреляции между x/z и y/z, то этот коэффициент ложный в том смысле, что не имеет отношения к исходной задаче.

Б. С. Ястремский связывал проблему ложной корреляции с информированностью исследователя о предмете исследования: «Пока его знания неполны, он имеет все основания полагать, что вычисленная корреляция неложна, т. е. истинна. Но вот открывается некоторый новый факт, углубляющий его знакомство с причинами возникновения корреляционной связи. И этот новый факт обращает ,, истинную4 ‘ корреляцию в ,,ложную44... Очевидно, что-то неладно в пирсоновском понятии ложной корреляции» [495, с. 264]. Решение проблемы ложной корреляции, как считал Б. С. Ястремский, дает опыт А. Д. Дербишира [156] и его теоретический анализ, проведенный Е. Е. Слуцким [397].

По мнению Б. С. Ястремского, «в основе дербиширско- го опыта лежит следующая организующая идея. Каждое из двух коррелятивно связанных явлений состоит из двоякого рода элементов. Одни элементы входят в состав только одного явления, другие же элементы входят в состав того и другого явления, общи тому и другому явлению. То или другое соотношение между общими и необщими элементами и порождает связь различной тесноты. Связь будет сильной, если доля общих элементов велика и, наоборот, будет слабой, если доля общих элементов мала... не существует никакой логической разницы между ,,ложной44 и ,щетинной44 корреляцией» [495, с. 266— 267].

Проблеме ложной корреляции посвящена довольно обширная литература (см., например, [156], [167], [470], [495]), причем многие специалисты занимают промежу- 148

точную между двумя крайними точками зрения позицию. Так, MJ С. Четвериков [470] признавал появление ложной корреляции в следующих случаях: произвольное (неслучайное) установление значений одной из переменных, наличие трендов, неоднородность выборки, ошибки наблюдений; в случае определения корреляции между относительными величинами, индексами (т. е. в случае как раз той ситуации, которая побудила К. Пирсона развить свою концепцию ложной корреляции) ложная корреляция, по Н. С. Четверикову, может как появляться, так и не появляться.

Практически в экономических исследованиях коэффициенты корреляции вычисляют довольно часто. Можно назвать ряд работ, где вычисляется корреляция между переменными «время» и «цена» (например, [31], [352]), и «балансовая стоимость основных производственных фондов» и «восстановительная стоимость основных производственных фондов», которые, конечно, имеют тенденцию (например, [456]), особенно часто этот коэффициент подсчитывают в множественном регрессионном анализе (см., например, [31] — связь рентабельности с другими технико-экономическими показателями, а также: [10], [122] и др.). Проблема запутывается еще и тем, что в дискуссии о ложной корреляции иногда противопоставляются «причинная зависимость» и «корреляционная зависимость», делаются ссылки на какую-то «вероятностную причинность», утверждается, что «противоречие между ,,истинной4 ‘ и ,,ложной44 корреляцией не может быть разрешено средствами одного математического анализа» [495, с. 268].

Между тем, если рассматривать ложную корреляцию как частный случай систематической ошибки оценивания коэффициента корреляции по наличному эмпирическому материалу, эта проблема может быть разрешена посредством привлечения теоретико-вероятностного определения ковариации и корреляции.

Рассмотрим, следуя аддитивной схеме Е. Е. Слуцкого [397], два случая.

Случай 1. Пусть х — неслучайная величина, а е — случайная величина с конечной дисперсией и Мг = 0. Справедливо тождество

х = х.

Это тождество — псевдоуравнение, по принятой нами ранее терминологии: оно не несет никакой информации о переменной х. Рассмотрим теперь корреляцию между пере-

менньтми х та и = х + е. В обе эти переменные входит общий элемент х, что, по Б. С. Ястремскому, вызывает связь между ними и эта связь тем теснее, чем меньше De. По К. Пирсону,— это ложная корреляция.

Вычислим ковариацию между х и и. Имеем

сои^х, и) = М((х — Мх^е — Ms)),

так как Мх = х.

Следовательно, корреляция между случайной (х + е) и неслучайной (я) переменными отсутствует.

Но пусть мы имеем несколько различных значений переменных ж и и: ^2, . . ., хь. . ., ип и2, . . ., Ut, . . . Поставим их в формулу выборочного коэффициента корреляции (3.70). Так как xt const,

S*x ф О, S$u = s (^i — #.+ 5 (^ — ж) (е{ — 8)^0. гг

Причем

MS^a = 2 (^i — ЖУ ^ сои (х, и) = 0, г

т. е. Sxu — смещенная оценка коэффициента ковариации между х и и. Следовательно, и выборочный коэффициент корреляции гхи будет смещенной оценкой коэффициента корреляции гхи = 0. Это смещение и есть ложная корреляция. Каким образом в этой ситуации выборочный коэффициент корреляции можно сделать сколь угодно близким к единице, показано, например, в курсе теории вероятностей В. Н. Тутубалина [429, с. 220—221]. Заметим, что ковариация между х и и равна нулю при любой дисперсии случайной величины в, в том числе и при De = = 0. В общем-то это очевидно, так как в последнем случае ковариация между х и и равна дисперсии неслучайной величины хе.

cov^x, я) = Dx = 0.

Ничего к сделанным выводам не добавляет анализ корреляции между х + в и х + т), где х — неслучайная величина, а в и ц случайны, и тому подобные обобщения.

Случай 2. Пусть теперь х — случайная величина.

В этом случае

Dx ^ 0 та cor (х, х) = 1.

Рассмотрим корреляцию между х и и = х + в, где в — случайная величина с Me = 0 та De < оо. По К. Пирсону,

здесь должна быть ложная корреляция, а, по В. С. Яст- ремскому, отличие коэффициента корреляции от нуля свидетельствует о связи между переменными. Иначе говоря, ни сторонники, ни противники концепции ложной корреляции не делают различия между двумя указанными случаями. Но различие есть, и очень существенное: в первом случае сои^ х) = 0, а во втором случае сои(х, х) = =Dx ^ 0.

Нетрудно видеть, что теперь

сои (я, и) = Dx,

г = сот (я, и) = ~-==^=г

или

Чем больше De, т. е. чем больше «мощность помехи», тем меньше корреляция между х и х + в. Выборочный коэффициент корреляции будет отличаться от единицы, а выборочная ковариация 8хи — от сои^х, и). Но это отличие случайно, результат ошибки выборки; причем

M(Sxu!n — 2) = Dx* (n — число наблюдений).

Следовательно, систематической ошибки нет и корреляция не является ложной.

Случай 3. Пусть х — неслучайная величина, а в — случайная величина. Рассмотрим корреляцию между в и и = в + х. Имеем

сои^е, в + ж) = М^е — Ме^е + х — Me — я)) = De. Следовательно t

г = 1

Однако выборочный коэффициент корреляции r8D будет смещен, если ^ ^ const:

'во Х®

так как

se» = 3 (8i — 8)2 + 3 (8i — 8) (xt — х} гг

И

MSav = 3 М (&i — е)2 Ф сои (ег р).

Таким образом, в этом случае имеется ложная некоррелированность (если геи « 0), а точнее, смещенная оценка геи. По К. Пирсону же, здесь ложная корреляция, а по Б. С. Ястремскому, проблемы по-прежнему нет.

Приведенные три случая практически исчерпывают все ситуации, в которых возникает ложная корреляция. Так, случайную величину в можно рассматривать как ошибку наблюдения, неоднородность рассмотреть, вычислив для случая 1 и случая 2’

COV^Xv 4# + (1 — г]М

где т] — случайная величина, принимающая значения 0 и 1, и т. д.

Ранговый коэффициент корреляции

В настоящее время существует много различных количественных мер тесноты связи между переменными (признаками, элементами, объектами и т. п.). Для продуктивного применения этих мер всегда необходим анализ предпосылок, на которых они построены, имея в виду, что всегда возможен эффект, аналогичный эффекту ложной корреляции. При этом решающее значение имеет теоретико-вероятностная модель, в рамках которой выводится функция распределения меры тесноты связи. В качестве примера рассмотрим ранговый коэффициент корреляции Спирмена ([8], [154], [295]), который по форме ничем не отличается от выборочного коэффициента корреляции (3.69), но выводится тем не менее из совершенно других теоретико-вероятностных предпосылок и, следовательно, имеет область применения, отличную от области применения выборочного коэффициента корреляции (3.69).

Пусть имеются два вариационных ряда: xv х^ . . . . . ..х^ . . ., xn, yv . . ., уь . . ., уп. Для простоты будем предполагать, что все числа хг различны и все числа уг различны. (Случай совпадающих рангов немного сложнее технически, а его рассмотрение ничего не добавляет в содержательном плане к результатам анализа теоретиковероятностной модели.)

Введем переменную иг следующим образом. Упорядочим элементы ряда ^х^ в порядке возрастания, тогда и. = ^ если xt занимает /-е место в этом ряду;

7 = 1 ~ п.

Аналогичным образом введем переменную vf.

Vt = jn если уг занимает /-е место по величине среди всех yi.

Теперь* подставим в (3.69) вместо Xt и yt их ранги иг

И Vi-

Нетрудно видеть, что

и = v - l/2(n + 1).

Вычисляя 8игИ SVD и SUT)1 получаем

п

Suu = SVv " ^^ (^г — ^)2"j2° ^ (^21)»

г=1

п

Suv = 2 (^ “ и) (^ “ ^) = Т2 п ^ — 1) " г=1 п

—42 (^—роа- г=1

Таким образом, коэффициент корреляции для рангов можно записать в виде

6 2 1иг-»г?

3.71)3.71)г = 1^^

3.71)

3.71)

п(п2-1)

Рассмотрим теперь, каким образом ранговый коэффициент корреляции (3.71) можно использовать для проверки вероятностной независимости рядов чисел {^} и {уг}. Интерес представляют два случая.

Случай 1. {^} и {уг} — случайные величины. Если они независимы, то

Prob^iit = 7, рг = к} = Probst = ПХ

X Probst = kY(3.72)

причем все значения и^ и иг равновозможные, т. е.

Prob^Ui = 7} = Prob^vj = /с) = 1/п.(3.73)

Вычислим M(itty М^у., M^ut-u^ и такие же характеристики для vt.

Учитывая (3.73), имеем

м^=^^1=^'

3=1

М (щ)2 = А у у2 = (” +1) (2" + !).(3.75)

п 3=1

Учитывая (3.73) и (3.72), имеем

М ^и^ = мЛлу 2 2 11 =42^ + ^ (Зп + 2).(3.76)

Найдем, учитывая сделанные предположения, Мг. Для этого сначала вычислим математическое ожидание квадрата разности рангов. Получаем

М^ - v^ - М(и^ + М^ - 2М^.

Подставляя в последнее равенство выражения (3.75) и (3.76), получаем

Теперь находим Мг:

6 2 -^ (Mi—uif

Можно показать, что Dr = 1/(п — 1). Более подробные сведения о распределении г при условии, что ряды {^} и {уг} независимы, приводятся в литературе по статистике (см., например, [8], [154], [251], [295] и др.). Теоретико-вероятностная модель, лежащая в основе случая 1, по сути дела ничем не отличается от обычных теоретико-вероятностных предпосылок корреляционного анализа.

Случай 2. Пусть {^} случайны, а {у;} — ряд неслучайных значений величины у. Для определенности положим у^ = г, следовательно, vt = г. Вычислим формально ранговый коэффициент корреляции (3.71). Получим

(3.77)(3.77)e2(i-Mi)2 г = 1—

(3.77)

(3.77)

п(п2-1)

Если изменение у не влияет на случайную величину я, то все ряды {и1? и^ ...} равновероятны и

Probst = )\у = Ц = Prob^Ut = ]\у = к} =

= Prob\ut = 7} = 1/n.(3.78)

Вычислим M^i — UtY- Имеем

M^i - иг)2 = i2 - 21М^ + M^f.

в силу (3.78) можем воспользоваться результатами вычисления

М^и^ и Л/(мг)2 (3.74) и (3.75). Получаем

М (i — Uj)2 = i2 — (n + 1) i + (fLi-lL^l+ll.

Теперь находим Mr в (3.77):

^и^ + цх

Дисперсия Dr так же, как и в случае 1, равна 1/(п — 1). Таким образом, для рангового коэффициента корреляции случаи 1 (обе переменные случайны) и 2 (только одна переменная случайна) совпадают и проблемы ложной корреляции, с точки зрения позиции К. Пирсона, здесь не возникает. Причиной этого является то, что теоретико-вероятностная модель случая 2 не содержит никаких предположений ни о совместном распределении (^, у^, ни о распределении величины х.

Отметим еще одно важное свойство рангового коэффициента корреляции: переменные х и у могут быть измерены в порядковой шкале, точнее, с точностью до произвольного монотонного преобразования.

В силу указанных свойств (независимость от конкретного вида функции распределения, допустимость ситуа-. ции, когда одна из переменных неслучайна, возможность измерения переменных в порядковой шкале и т. д.) ранговый коэффициент корреляции часто используется в экономических исследованиях. Приведем пример. В табл. 3.3 приведены технико-экономические показатели лесопильного производства в одном из регионов. Задача заключалась в том, чтобы на основе этих данных построить производственную функцию с постоянной эластичностью замены

9 =9 =4<т4<тлгр +лгр +11 + а11 + а5^,5^,(3.79)(3.79)

9 =

9 =

4<т

4<т

лгр +

лгр +

1

1 + а

1

1 + а

5^,

5^,

(3.79)

(3.79)

где q — объем выпуска; К — объем основных производственных фондов; L — численность, t — время, ехр (Х^) — кинетическая компонента, отражающая автономный на-

Таблица 3.3. Показатели лесопильного производства

Год

Валовая продукция, млн руб.

Среднегодовая стоимость О ПФ, млн. РУб.

Численность ППП, тыс. руб.

1

36,39

15,4

6,27

2

41,43

16,86

6,264

3

46,47

15,65

6,26

4

49,58

16,7

6,38

5

52,83

17,56

6,463

6

45,58

17,58

6,5

7

49,1

17,6

6,805

8

48,5

17,62

6,74

9

47,886

17,75

6,231

10

48,502

18,88

3,981

И

35,083

17,48

3,916

12

33,42

18,91

3,855

13

36,75

20,82

4,037

14

31,38

18,88

3,28

15

30,46

19,69

3,209

учно-технический прогресс, а, р, у, 6, X — параметры, причем 1/(1 + Р) — эластичность замены.

Можно показать [345], что для однородной производственной функции (в том числе и для (3.79)) выполняются неравенства

Tq T^L X > О, Tq уТк X < О при Тк > ТL (3.80)

Tq - ^TL - X <0, Tq - yTK - X >0 при Тк < TL1 где Тх — темп роста ж:

лр1 dx

хх dt *

Отрезки времени, на которых (3.80) выполняются при некоторых фиксированных X и у, являются технологически однородными периодами ([57,] [345], [363]). При оценивании предварительно выделялись технологически однородные периоды для моделей

qt - F^Kt. Lt)(3.81)

и

qt = F^Kt_v L^).(3.82)

Ограничения (3.80) в рассматриваемые пятнадцать лет не удовлетворяются ни для модели (3.81), ни для модели (3.82).

Ни для одной из этих моделей не удалось выделить технологически однородный период продолжительностью более 5 лет. Неоднородность временных рядов объясняется несколькими причинами. Во-первых, это — недостаточно четко оговоренные изменения методики учета технико-экономических показателей лесопильного производства в области, которое распределено между многими ведомствами. Второй причиной является большая сто- хастичность этой производственно-экономической системы, что свидетельствует не только о сильных колебаниях природных условий, но и о низкой эффективности руководства, не обеспечивающего относительного постоянства уровня организационно-технических условий производства.

Для выяснения возможности построения производственной функции лесопильного производства области были подсчитаны ранговые коэффициенты корреляции для пар чисел (qtl Kt) и (qtl Lt) отдельно для каждого из периодов: первый — девятый годы и десятый — пятнадцатый годы. Ранговый коэффициент корреляции использован в качестве статистики, характеризующей тесноту связи между переменными, вследствие того что распределения исследуемых случайных величин неизвестны и нет никаких оснований полагать, что они нормальны. Результаты расчетов и критические значения рангового коэффициента корреляции на 5-процентном уровне значимости для 9 и 6 наблюдений приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Ранговый коэффициент корреляции

Период, годы

Переменные

Ранговый коэффициент корреляции

Критические значения

Первый —- девятый

9, К

0,350

0,683

Десятый — пятнадцатый

9, К

—0,020

—0,886

Первый — девятый

9, L

0,400

0,683

Десятый — пятнадцатый

q, L

0,943

0,886

Ранговый коэффициент корреляции значимо отличен от нуля только для пары переменных ^q, L) в десятый — пятнадцатый годы. На основе результатов корреляционного анализа можно сделать вывод, что объем выпуска не зависит от объема основных фондов.

Объем фондов в период десятый — пятнадцатый годы случайным образом колеблется около некоторой постоянной величины. Для проверки этой гипотезы на основе ряда отклонений наблюдаемого объема основных производственных фондов (ОПФ) от медианы временного ряда, равной 18,89 млн. руб. (18,91+18,88) : 2 = 18,89), вычислена статистика Рамачандрана — Ранганатана (РР) [459, с. 166, 945]. Ее значение равно 10. Критическое значение этой статистики на уровне значимости 0,05 для 6 наблюдений равно 18, т. е. гипотеза об отсутствии тренда объема ОПФ в указанные годы не отклоняется.

Отсутствие корреляции между объемом выпуска и объемом ОПФ может быть объяснено как тем, что объем ОПФ фиксирован, так и тем, что производственно-экономическая система перенасыщена ОПФ. Отдать предпочтение одной из этих гипотез можно, оценив параметры ПФПЭЗ; однако временные ряды периода десятый — пятнадцатый годы слишком коротки для того, чтобы получить статистически надежные оценки этих параметров.

Корреляционный анализ, результаты которого приведены в табл. 3.4, показывает, что между объемом выпуска и численностью в десятый — пятнадцатый годы существует тесная связь. Для получения количественной зависимости между этими переменными были оценены параметры модели

In qt = а + у In Lt.

В результате оценивания получено регрессионное уравнение

In Qt = -0,229 + 1,125 In Lv (3.83)

Коэффициент детерминации равен 0,993. Критическое значение коэффициента детерминации на уровне значимости 0,05 для 2 параметров и 6 наблюдений равно 0,658. Следовательно, коэффициент детерминации значимо отличается от нуля. Статистика РР для остатков равна 14 при критическом значении этой статистики на уровне значимости 0,05 для 6 наблюдений равным 18. Следовательно, гипотеза об автокорреляции остатков отклоняется. Таким образом модель (3.83) объясняет 99,3% рассеяния зависимой переменной.

Предельная производительность труда в лесопильном производстве региона определяется в соответствии с (3.83) равенством

bq/bL = ^°.229/.l,128L°>128 = 1,128^.

Данные, приведенные в табл. 3.3, показывают, что фондовооруженность труда в лесопильном производстве в десятый — пятнадцатый годы росла, хотя и незначительно. Такой рост фондовооруженности приводит к росту производительности труда в том случае, когда эластичность замены высока. Поскольку рост производительности труда в анализируемом периоде не наблюдается, можно предположить, что эластичность замены мала и производственно-экономическая система перенасыщена морально устаревшей техникой. Действительно, производственную функцию лесопильного производства с учетом (3.83) можно записать в следующем виде:

q = е-° .229^1,128 [а5_Р + (1 - а)]-1»128/^, где S — фондовооруженность труда: KJL.

Так как (3.83) объясняет 99,3% рассеяния зависимой переменной, компонента, содержащая 5 и |3, примерно равна 1:

k5-P + (1 - я)] « 1.

Это возможно, если л ^ О и/или Р^> 0. Значение коэффициента распределения зависит от выбора базового периода и в этом смысле произвольно. Следовательно, Р^> 0, т. е. эластичность замены близка к нулю.

Глава четвертая

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

И ПРОВЕРЯЕМОСТЬ

Критерии качества модели

Практика — критерий истинности модели

Количественные экономико-математические модели в основном разрабатываются с целью принятия решений. Для этого переменным и параметрам модели необходимо приписать конкретные численные значения. Эти численные значения надо как-то обосновывать: они должны быть некоторым образом сопоставлены с истинными значениями параметров и переменных модели. Идеальная ситуация полного совпадения принятых в модели численных значений параметров и переменных может оказаться недостижимой вследствие ошибок наблюдения, регистрации, «шума» и т. п., но проблема оценки истинности измерений и оценок параметров и значений переменных модели существует. В конце концов сочинить модель не так трудно, но все же задача обычно состоит в построении не просто логически непротиворечивой модели, а модели, отражающей истинное положение дел.

Как известно, в общем плане вопрос о критерии истины решен марксистско-ленинской философией: «Вопрос о том, обладает ли человеческое мышление предметной истинностью,— вовсе не вопрос теории, а практический вопрос. В практике должен доказать человек истинность, т. е. действительность и мощь, посюсторонность своего мышления» [1, т. 3, с. 1].

Практика — емкое понятие ([7], [25], [108], [327] и др.). Проблеме практики как критерию истины посвящена довольно обширная философская литература (см., например, [30], [180]., [284], [310], [422] и др.). Здесь отметим только такой момент практической деятельности общественного развитого человека, как целесообразность: «В конце процесса труда получается результат, который уже в начале этого процесса имелся в представлении человека, т. е. идеально» [1, т. 23, с. 189]. В связи с этим представляется совершенно справедливым ут-

верждение В. И. Данилова-Данильяна и А. А. Рывкина: «Говорить об адекватности модели реальному объекту вообще, без указания возможного баланса между целями моделирования и средствами, привлекаемыми для их достижения, бессмысленно. Ничто не может быть более адекватно реальному объекту, нежели он сам, а наука не ставит перед собой задачи копировать реальность в ее индивидуальных проявлениях. Она призвана разрабатывать методы, обеспечивающие применение обобщающих результатов, справедливых для широкого круга условий» [150, с. 184].

Положение о том, что критерием истины является практика, носит общефилософский характер. Как указывал В. И. Ленин, «не надо забывать, что критерий практики никогда не может по самой сути дела подтвердить или опровергнуть полностью какого бы то ни было человеческого представления. Этот критерий тоже настолько «неопределенен», чтобы не позволять знаниям человека превратиться в «абсолют», и в то же время настолько определенен, чтобы вести беспощадную борьбу со всеми разновидностями идеализма и агностицизма» [3, т. 18, с. 145—146].

Таким образом, общая формулировка критерия истины адекватна для решения общефилософских, идеологических проблем, но для оценки качества конкретной научной теории, модели, количественного утверждения, критерий практики должен быть специфицирован.

Проблема спецификации критерия истины применительно к конкретным областям научного знания довольно сложна. Существует много более или менее различающихся подходов к решению этой проблемы, но все же нельзя утверждать, что в методологическом плане она вполне (достаточно) разработана. Так, А. Л. Никифоров, подводя итоги своего содержательного обзора и критического анализа современных работ по методологии науки [319], отмечает, что перед марксистской методологией науки стоит ряд проблем, которые нельзя рассматривать как решенные. Среди прочих А. Л. Никифоров называет следующие проблемы: демаркация между наукой и ненаукой, между эмпирическими (фактуальными) науками и науками, не являющимися таковыми (логика, математика и т. п.); что такое научный факт и какова его структура; анализ понятий «объяснение», «предсказание», «проверка», «подтверждение», «опровержение» («сейчас опять неясны ответы на такие, например, вопросы, как: ,,Какова цеп-

1G11G111 Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов

1G1

1G1

ность предсказания?44, „Что собой представляет проверка научной теории? 4 4, ,, Как понимать подтверждение теории?4 ‘, „Можно ли опровергнуть теорию?44 и т. п.» [319, с. 174]); проблема редукции (одних теорий к другим, высказываний на языке теории к высказываниям на языке наблюдений); сравнение и выбор теории (модели) и ряд других [319, с. 171—176]. Аналогичные проблемы в настоящее время находятся в центре внимания и других специалистов по методологии науки (см., например, [28], [30], [49], [422] и др.). Следует отметить, что в основном эти проблемы обсуждаются применительно к естественным наукам (физика, химия, реже биология, психология). Работ, посвященных анализу этой проблематики на материале экономико-матемагического моделирования, практически нет, хотя актуальность этой проблематики для экономико-математического моделирования несомненна: методологические ошибки в этой области более чувствительны, чем, например, в физике. В некоторой степени это обстоятельство элиминируется тем, что проблемы адекватности теории, подтверждаемости утверждений, обоснованности индукции, множественности информационных уровней теории и т. п.— это общие методологические проблемы, так или иначе решаемые в любой научной дисциплине,— это только в некоторой степени.

Критерии принятия модели

В настоящее время предложено много более или менее различных критериев выбора (принятия, качества) научных теорий и (в более общем плане) научных утверждений ([30], [61], [65], [319], [369] и др.). В наши цели не входят обзор и анализ этих предложений. Не претендуя на полноту, приведем минимальный список критериев, которым должны удовлетворять количественное высказывание, модель, теория. Наряду с логическими критериями (непротиворечивость, полнота и т. д.) в этот список должны, по нашему мнению, входить такие критерии, как: истинность (И) проверяемость (Пр), полезность ф), информативность (7), ценность (Ц). На рис. 4.1 показано соотношение между этими характеристиками. Рис. 4.1, конечно, упрощенно изображает это соотношение: слишком резко,

Рис. 4.1. Соотношение между истинностью, полезностью, проверяемостью, информативностью и ценностью высказываний

т. е. мы в данном случае не учитываем градации этих характеристик. Высказывание либо истинно либо ложно, либо полезно либо нет, либо проверяемо либо нет, либо информативно либо нет, либо ценно либо нет. В действительности грань между, например, информативными и неинформативными высказываниями очерчена не так резко, существуют градации, информативность можно, например, мерить количеством информации, которое может принимать значения между нулем и бесконечностью и т. д. Но для наших целей в первом приближении достаточно полагать, что переменные И, Пр, U, Z, Ц принимают только по два значения каждая .

Из рис. 4.1 ясно, что истинность, полезность и проверяемость не являются независимыми характеристиками высказываний; далее,

I cz И и и и Пр; Ц с Z,

т. е. ценным может быть только информативное высказывание, информативным высказывание выступает только в том случае, когда оно истинно и проверяемо (полезность не служит необходимым условием информативности).

В то же время ложное высказывание, например, может быть проверяемым и полезным, истинное — бесполезным и т. п. Рассмотрим эти характеристики и соотношения между ними подробнее.

Истинность. Включение этого критерия в минимальный список критериев не вызывает, ио-видимому, сомнений. Сам по себе этот критерий не является простым, выделяют, например, семантическую истинность, синтаксическую истинность, фактуальную истинность и т. д. (см., например, [284], [419], [427], [460], [464], [492] и др.). Не останавливаясь на подробном изложении этих вопросов, приведем высказывание Ф. Энгельса в «Анти- Дюринге»: «Истина и заблуждение, подобно всем логическим категориям, движущимся в полярных противоположностях, имеют абсолютное значение только в пределах чрезвычайно ограниченной области... Как только мы станем применять противоположность истины и заблуждения вне границ вышеуказанной узкой области, так эта противоположность сделается относительной и, следовательно, негодной для точного научного способа выражения. А если мы попытаемся применять эту противоположность вне пределов указанной области как абсолютную, то мы уже совсем потерпим фиаско...» [1, т. 20, с. 92].

Проверяемость. Утверждение является проверяемым, если можно установить его валентность, т. е. определить, истинно оно или ложно. Сама по себе валентность высказывания не зависит от наличия процедуры проверки. Утверждение о зависимости валентности от проверяемости ведет, как правило, к той или иной форме субъективного идеализма и в пределе к солипсизму. В этом, в частности, заключалась ошибка неопозитивизма, логического эмпиризма, логицизма и т. п.— в отождествлении проверяемости с осмысленностью или даже с адекватностью высказывания. Так, по Л. Витгенштейну: «Вместо: это предложение имеет такой-то и такой-то смысл можно просто говорить: это предложение просто изображает такое-то и такое-то положение вещей» [93]. Еще более определенно формулировал это положение Ф. Вайсман: «Если никаким способом невозможно проверить истинность утверждения, то оно вообще не имеет никакого смысла. Смысл утверждения есть метод его проверки» (цит. по: [220, с. 127]). Используя обозначения рис. 4.1, неопозитивистский тезис о соотношении между истинностью и проверяемостью можно изобразить так, как это сделано на рис. 4.2.

Неопозитивизму, логицизму, логическому эмпиризму и т. п. посвящена довольно обширная марксистская литература (см., например, [310], [319], [464], [478] и др,), 164

причем внимание, как правило, акцентировано на ошибках и неудачах. В частности, одной из проблем, которую пытались (и пытаются) решить неопозитивисты, была проблема разработки унифицированного «правильного» языка науки. Так же как логические исчисления исследуют вывод истинных следствий из истинных посылок,

Рис. 4.2. Истинность и проверяемость с точки зрения неопозитивизма

т. е. строят и анализируют процедуры вывода, замкнутые относительно множества истинных высказываний, неопозитивисты (М. Шлик, Р. Карнап, К. Поппер, Г. Рейхен- бахидр.) пытались построить процедуры вывода, замкнутые относительно множества осмысленных (проверяемых) высказываний. Эта задача оказалась более сложной, чем это представлялось, по-видимому, основателям «Венского кружка», и удовлетворительного ее решения нет до сих пор, что, однако, ни в коей степени не обесценивает саму задачу и частью проделанную работу.

Как отмечает А. Л. Никифоров, «можно спросить: быть может, развитие буржуазной методологии, ее проблемы и их решения никак не касаются марксистской методологии? Здесь возможны различные мнения, однако нам представляется, что между буржуазной и марксистской методологиями существуют определенные взаимосвязи и что обсуждение и критический анализ буржуазных методологических концепций не только позволяет нам уточнять и разрабатывать положения марксистской методологии, но и дает также позитивный материал для решения некоторых методологических проблем» [319, с. 171].

Несмотря на трудность формулировки и практического применения критерия проверяемости, которые будут рассмотрены в следующем пункте, значение этого критерия нельзя преуменьшить. Отказ от этого критерия является одним из наиболее характерных признаков псев-

донауки. Фактически отказ от этого критерия равнозначен запрету критиковать научные высказывания. Именно такая аргументация приводится, например, специалистами по экстрасенсорному восприятию (ЭСВ), т. е. по парапсихологии, телекинезу, ясновидению и т. п. Типичным является заявление Дж. Райна и Дж. Прэтта, многие годы занимавшихся ЭСВ: «...Серьезная трудность кроется в том, что некоторые экспериментаторы после первых успехов в пси-экспериментах перестают получать свои прежние сверхвероятные результаты. В подобных случаях, очевидно, утрачивается какой-то фактор, который ранее был весьма действенным. Элементом, легче всего подвергающимся изменению при длительных опытах, является, по-видимому, заразительный энтузиазм, сопутствующий первоначальным открытиям. Тот, кто вообще не смог добиться успеха, вероятнее всего, с самого начала никогда не испытывал этого заражающего, передающегося другим интереса, который помогает создать благоприятную обстановку для испытуемых» (цит. по: [463, с. 290]). Комментируя это высказывание, Ч. Хэн- зел справедливо замечает: «Другими словами, экспериментаторам не удается подтвердить собственные результаты. И возникает дополнительная характеристика: душевное состояние исследователя влияет на ЭСВ. Если каждый раз постулировать подобным способом все новые характеристики, то можно выдержать любую форму критики. Экспериментальный результат невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть, ибо ЭСВ не действует в присутствии критиков» [463, с. 290—291].

Полезность. Термин «полезность» имеет много значений. Анализ некоторых из них мы проведем позже: сейчас этот термин будет использоваться в его расплывчатом, бытовом значении, что, однако, не должно приводить к неясности. Наряду с полезностью рассматривается также ценность высказываний. Из рис. 4.1 видно, что ценность может совпадать или не совпадать с полезностью. Такие области значения этих терминов выбраны для того, чтобы учесть отличие материальных благ от духовных. Полезность, понимаемая в бытовом плане как выгодность, как материальная польза, бтносится, таким образом, преимущественно к материальным благам: утверждение полезно, если его можно использовать для увеличения объема материальных благ. Такое утверждение может быть и ценным, но в экспликацию понятия «ценность» может входить и мотив бескорыстия.

Например, решение проблемы Ферма или какого- нибудь космологического парадокса вряд ли приведет к росту производительности труда; тем не менее решение этих или других непосредственно неутилизируемых в народном хозяйстве проблем представляет собой определенную ценность.

Социально-экономическое развитие имеет целью удовлетворение как материальных, так и духовных потребностей общества [222]. Граница между высказываниями ценными, но бесполезными в экономическом плане и ценными и полезными не является, конечно, жесткой и неизменной. Например, исследования Г. Минковского по геометрии выпуклых тел до последнего времени не могли быть утилизированы, т. е. использованы для решения каких-то практических задач техники или экономики. Однако после появления линейного программирования выяснилось, что эти ценные в чисто научном плане работы имеют еще и практическую ценность. А именно, по принятой здесь терминологии, являются не только ценными, но и полезными, так как служат фундаментом аппарата линейной математической экономики.

Разграничение понятий «ценность» и «полезность» не абсолютно и в том смысле, что производство духовных благ требует хотя бы и минимальных, но вполне реальных материальных затрат. Игнорирование этого в общем-то тривиального обстоятельства характерно в некоторой степени для неокантианской теории ценностей, разрабатывающейся, в частности, В. Виндельбандом [90] и Г. Рик- кертом [383] (см. также: [26], [42], [306], [358], [444] и др.). Но недопустимым является и игнорирование относительной автономии духовных потребностей от материальных. Как отмечает А. Агг, «изначально неверной является такая постановка вопроса, которая рассматривает Марксову теорию стоимости как исключительно «экономическую» и пытается из неверно понятой или суживаемой «экономической» формы прийти к более широким обобщениям» [7, с. 115].

В то же время утверждение А. Агга, что «неокантианская постановка вопроса в области теории ценностей» нуждалась (и нуждается) в опровержении со стороны марксизма, а не в развитии [7, с. 116], представляется нам недостаточно обоснованным. Впрочем, точка зрения А. Агга не является общепринятой; как сам он замечает, «значительная часть марксистских авторов (явно или неявно) занимает такую позицию, будто в данном случае речь

идет по существу о правильной постановке вопросов и о неправильных ответах на них» [7, с. 115]. Во всяком случае проблема ценности и ее соотношения с полезностью существует и исследуется в марксистско-ленинской философии (см. работы О. Г. Дробницкого [165], А. П. Тугаринова [428], В. А. Василенко [77], А. А. Ивина [178], А. Агга [7] и др.).

Из рис. 4.1 следует, что ложное утверждение может быть тем не менее полезным. Например, геоцентрическая система Птолемея была ложной, но астрономические вычисления на основе этой ложной системы были долгое время полезны, так как на их основе можно было решить

Рис. 4.3. Соотношение между истинностью и полезностью с точки зрения прагматизма

ряд практических задач навигации; более того, в прикладном плане теория Птолемея некоторое время конкурировала с гелиоцентрической системой Коперника, так как результаты расчетов на ее основе были точнее [232]. Нетрудно привести и пример ситуации, когда истинное утверждение бесполезно или даже вредно: например, разглашение врачебной или юридической тайны. Отождествление истинности и полезности является центральным пунктом философии прагматизма: по мнению Ч. Пирса, истина состоит в будущей полезности для наших целей [509], а для У. Джемса истинное — это просто выгодное в образе нашего мышления [159]. На рис. 4.3 показано соотношение между истинностью и полезностью с точки зрения прагматизма.

Отказ от отождествления истинности и полезности не означает отказа от практики как критерия истины. В конечном счете научные утверждения оказываются полезными лишь постольку, поскольку они истинны. По словам В. И. Ленина, «господство над природой, проявляющее себя в практике человечества, есть результат объективно-верного отражения в голове человека явлений и процессов природы» [3, т. 18, с. 198].

Охарактеризовать высказывания, лежащие в области пересечения непроверяемых высказываний с полезными

й йстййнЫмй, сложйеё. Нельзя привести пример непроверяемого истинного полезного высказывания и непроверяемого ложного полезного высказывания, так как валентность непроверяемого высказывания не установлена. Мы не можем утверждать, что некоторое высказывание Р непроверяемо и истинно (хотя нет оснований отрицать существование таких высказываний или, как это принято в логическом позитивизме, объявлять их бессмысленными), так как истинность высказывания устанавливается в результате проверки справедливости Р, по определению, Р — непроверяемо. Однако можно привести ряд примеров непроверяемых и полезных высказываний. При этом необходимо учитывать, что полезность всегда субъективна, т. е. всегда правомерен вопрос: «кому это полезно?». В общем случае, конечно, субъектом полезности может быть не только индивид, отдельный конкретный человек, но и группа людей, класс, нация, все человечество.

Например, познание природы, несомненно, полезно для всего человечества.

Информативность. Информативным может быть только истинное, проверяемое и полезное, а также истинное, проверяемое, но бесполезное (в смысле материальной полезности) высказывание, причем возможны неинформативные истинные, проверяемые высказывания (см. рис. 4.1). Приведем примеры. Истинно высказывание «Вероятность события А есть число, лежащее в закрытом интервале 0,1». Однако никакой информации о вероятности события А это высказывание не несет. Другой пример: «Доля рабочих, перевыполняющих норму, не превышает 100%». Это тоже истинное, но не несущее никакой информации, высказывание. В силу своей неинформатив- ности такие высказывания бесполезны. Несколько сложнее привести конкретный пример информативных бесполезных высказываний. Эта сложность обусловлена отмеченной выше субъективностью полезности. Однако для каждого конкретного индивида легко привести множество примеров информативных, но бесполезных высказываний.

Ценность. Выше мы уже отмечали необходимость введения наряду с полезностью такого понятия, как «ценность». При этом проводилось различие между материальными и духовными благами. Есть еще, по крайней мере, один аспект проблемы различения ценности и полезности, Ценность общезначима^ т. е. интерсубъективна,.

йо крайней мере с точностью до класса. Научные выска* зывания в соответствии с принятой здесь терминологией — это не просто проверяемые, истинные и информативные высказывания, но высказывания, обладающие общезначимой ценностью и/или полезностью. За границами этой области высказываний остаются, например, непроверяемые, но для кого-то полезные высказывания многих специалистов по ЭСВ, а также некоторые другие высказывания. Так, в главе третьей мы отвергли некоторые приемы анализа хозяйственной деятельности как бесполезные, точнее, как не обладающие общезначимой полезностью. Например, равенство

А = Аб

ь

было отвергнуто не потому, что оно ложно, а потому, что оно совершенно неинформативно: оно выполняется для любых чисел А и Б. Вследствие неинформативности оно совершенно бесполезно при попытке определить значение А по известному значению Б.

Приведенный список характеристик или тестов, позволяющих выделить научное (в том числе научное количественное высказывание), видимо, не полон и весьма груб. Но он минимален, т. е. устранение хотя бы одного из этих тестов недопустимо. Обоснование этого утверждения выходит за рамки нашей работы, однако мы уже ссылались на обширную литературу по философии и методологии науки, в которой рассмотрены последствия (отрицательные) устранения одного или нескольких из этих тестов. Хотя в целом эти проблемы освещены довольно подробно, необходимо все же рассмотреть несколько подробнее вопросы проверяемости высказываний.

Проблемы проверяемости научных утверждений .

Суть этой проблематики сводится к следующему: как проверить истинность теории, модели, уравнения, высказывания? Ответ на этот вопрос находится в результате сравнения теории с опытом, с наблюдениями. Хотя этот ответ и справедлив, на практике все обстоит значительно сложнее. Как отмечалось в главе первой, научные высказывания (в том числе и особенно — количественные) — это высказывания об идеальных объектах. Но в опыте нам даны конкретные2 реальные объекты. Мы помещаем иде-

альный объект, о котором говорит теория, и реальный, который мы наблюдаем, в одно пространство признаков. При этом реальный объект идеализируется, а идеальный — реализируется в процедуре такого сопоставления. Нельзя, например, сравнить траекторию свободно падающего камня с теорией Галилея, если не решить заранее, что есть центр камня. Реальный камень прочерчивает не линию, а «жирный» след. В то же время вместо одной идеальной траектории необходимо рассматривать множество траекторий— некоторую доверительную область, так как невозможно абсолютно точно и надежно установить начальное положение камня. В результате сравнивается идеальная траектория центра реального камня с множеством реальных траекторий идеального объекта — математической точки.

Теория (модель, высказывание) проверяема, если возможна некоторая процедура сопоставления ее с опытом. Такова «наивная» формулировка принципа проверяемости, которая только на первый взгляд не таит никаких неприятных неожиданностей. Однако попытки эксплицитно сформулировать этот принцип натолкнулись на целый ряд серьезных затруднений.

Одна из первых попыток провести ясную и четкую демаркационную линию между научными и ненаучными утверждениями была предпринята М. Шликом [515], Л. Витгенштейном [93] и Р. Карнапом [198]. Проверяемость, или верифицируемость, была объявлена критерием его осмысленности. Научное высказывание может быть истинно или ложно, но если нельзя установить его валентность, оно бессмысленно и лежит вне науки. Истинность или ложность высказывания устанавливаются в результате наблюдения, следовательно, наука может (и должна) оперировать только с наблюдаемыми объектами. Венский кружок (Шлик, Рейхенбах, Витгенштейн, Карнап, Нейрат и др.) предпринял попытку разработать унифицированный «правильный» язык науки, в котором не допускались бы высказывания о ненаблюдаемых объектах.

Согласно Р. Карнапу, свойство, описываемое средствами некоторого формального языка (предикат P^Y является наблюдаемым для индивида 7V, если при некотором аргументе а индивид N может посредством наблюдения установить либо истинность P(aY либо истинность ^P^aY Далее, Р. Карнап различает физические и психологические предикаты. Физические предикаты — это

высказывания типа «эта вещь круглая», «этот предмет тяжелый» и т. п. Психологические предикаты — это высказывания о состоянии субъекта, например: «мне холодно», «Ивану весело», «я отчетливо представляю себе Северный полюс» и т. п. Психологические предикаты могут употребляться двумя различными способами: в феноменологическом и в физикалистском языке. В первом случае субъект высказывается о своем состоянии, например: «мне холодно», «эта вещь представляется мне весьма полезной» и т. п. Во втором случае субъект высказывается о состоянии чужого состояния либо о состоянии своего сознания, но как бы со стороны, извне, например: «Ивану холодно», «эта вещь полезна для Петра», «сейчас я вижу красный предмета и т. п.

Наблюдаемые психологические предикаты субъективно наблюдаемы, но в случае выражения их в физикалистском языке они интерсубъективно наблюдаемы. Это означает, как подчеркивал Р. Карнап, что психологические предикаты в физикалистском языке проверяемы: их истинность или ложность может быть установлена сторонним наблюдателем в отличие от психологических предикатов в феноменалистском языке. Верифицируемость высказывания эксплицируется Р. Карнапом в результате различения подтверждения и проверки высказывания. Последнее подтверждаемо, если известно, при каких условиях оно подтверждается; проверяемо, если известно, как создать эти условия, т. е. как провести соответствующие эксперименты и наблюдения [198], [199], [236], [248], см. также: [30], [319], [422], [427].

Были разработаны и другие версии определений проверяемости, верифицируемое™, наблюдаемости и т. п. При этом зачастую допускался целый ряд терминологических неточностей: отмеченное ранее смещение осмысленности с проверяемостью (см. рис. 4.2) и, что более существенно, недопустимое отождествление наблюдаемости с существованием объекта. Утверждение «существовать — значит быть наблюдаемым» эквивалентно, как показал это на примере эмпириокритицизма В. И. Ленин [3, т. 14], известному афоризму Дж. Беркли и ведет к солипсизму.

Однако неверным было бы утверждать, что вся методологическая концепция логического позитивизма неразрывно связана с ошибочными гносеологическими предпосылками участников Венского кружка, и на этом основании полностью отрицать результативность анализа

научного знания, методологии науки, проделанного логическими позитивистами. По мнению ряда советских специалистов, в частности А. А. Никифорова, такое отношение к методу логического анализа не вполне оправданно и в настоящее время практически невозможно: «Даже философы, отвергающие логический эмпиризм и его методологию, вынуждены сравнивать свою работу с тем, что и как было сделано логическим эмпирицизмом» [319, с. 43]. Казалось бы, что отождествлять естественное требование проверяемости научных высказываний с позитивизмом нет оснований. Однако такое отождествление иногда все же проводится.

Так, В. В. Потапов пишет: «...важное место в доктрине позитивистов отводится проблеме проверки (верификации) предпосылок и выводов (предсказаний по терминологии позитивистов) в экономической теории . Логический позитивизм позволяет неоклассикам совершить любопытный трюк. М. Фридман, видный теоретик экономического позитивизма в США, пишет, что задача экономической науки состоит в том, чтобы создать систему обобщений, которую можно было бы использовать для правильного предсказания последствий любых изменений,, происходящих в экономике... Закономерен вопрос: как проверить правильность полученных выводов? Фридман отвечает на него в духе неопозитивистской философии, что, дескать, единственный верный путь проверить обоснованность гипотезы — сравнить ее выводы с опытом. Так же закономерно, как и вопрос, возникает возражение: а нельзя ли проверить теорию, исследовав правильность ее предпосылок? Не будет ли правильнее начать с этого? На это Фридман отвечает отрицательно. Вопрос о реализме предпосылок теории, говорит он, бессмыслен, поскольку они всегда нереалистичны, ведь любая теория абстрагирует те или иные черты действительности. Поэтому-де следует ставить вопрос не о реалистичности предпосылок теории, а о том, являются ли они достаточными для осуществления поставленных целей. А на него можно ответить лишь

в том случае, если теория будет ,,работать1Г, т. е. давать верные оценки и предсказания» [355, с. 30].

Прежде всего остановимся на вопросе-возражении В. В. Потапова: не будет ли правильнее начать проверку теории с проверки ее предпосылок? В общем случае, как уже отмечалось, дилемма «проверка выводов или проверка предпосылок теории» — это ложная дилемма. Она не становится истинной только от того, что позитивисты отождествляют проверяемость и осмысленность научных высказываний. В ряде случаев ложность предпосылок теории может быть установлена без сравнения ее выводов с опытом, но с такими случаями иметь дело приходится сравнительно редко. В общем же случае проблема проверяемости предпосылок теории сложнее, так как предпосылки почти всегда результат идеализации. Последняя может быть удачной или неудачной; сама же идеализация не может служить основанием для отклонения теории. В. И. Ленин, разбирая теорию реализации К. Маркса, писал: «,,Конкретно невозможна1 ‘ не только представленная Марксом реализация, но и представленная им поземельная рента, и представленная им средняя прибыль, и равенство заработной платы стоимости рабочей силы, и многое другое. Но невозможность осуществления в чистом виде вовсе не есть возражение» [3, т. 46, с. 25].

Следовательно, проверять надо не изолированные «чистые» предпосылки, а сумму предпосылок общей теории со специальными предположениями о модификации этих предпосылок в конкретных обстоятельствах. Но тогда проверка научного высказывания — это процесс построения ги модификации теоретических моделей, т. е. как раз то, что не приемлемо для В. В. Потапова, который называет все это увертками: «а если вдруг обнаружится, что выводы теории не совпадают с реальными экономическими явлениями, что тогда? Тогда оказывается, что неверны данные статистики (ищут ошибку), или рынок оказывается несовершенным в результате внеэкономического вмешательства, или конкуренция несовершенной и т. п. Подобные увертки становятся возможными, потому что идет проверка соответствия выводов теории ее предпосылкам, т. е. проверка внутренней непротиворечивости гипотезы, а не соответствия ее реальной действительности» [355, с. 31-32].

Речь здесь идет о реально существующей проблеме ad hoc — гипотезе, выдвигаемых только для объяснения имеющегося рассогласования между выводами теории и

наблюдаемыми фактами [65], [179], [284], [422], о пределах их допустимости в рамках той или иной формулировки принципа проверяемости и об уточнении его формулировки. Проблемы возникают даже в простейших случаях. Так, утверждение «на экваторе круглый год жарко» непроверяемо для большинства жителей Северного полушария; утверждение «вчера шел дождь» нельзя проверить сегодня. Непроверяемым оказывается высказывание: «здесь стакан воды», так как в этом высказывании имеются универсалии, несопоставимые непосредственно ни с каким чувственным опытом.

В более общем случае вне науки в рамках наивных формулировок принципа верифицируемости остаются все утверждения о субстанциях, причем не только утверждения о боге, душе, жизненной силе, творческой эволюции и т. п., но и о материи, энергии, о стоимости и полезности. Именно на основе воззрений логического позитивизма Г. Кассель, например, полностью отвергал такие понятия, как стоимость и полезность. Наблюдаемы только сделки: обмен товаров на деньги и денег на товары. Следовательно, в основе экономической теории должна лежать теория цен, а не теория стоимости. Теория полезности, по Г. Касселю, также иллюзорна, так как нельзя наблюдать чувства удовольствия и неудовольствия. Стоимость и полезность изгоняются из экономической науки как ненаблюдаемые величины, о которых нельзя сформулировать проверяемые утверждения [200], [395]. Контрпримеры играют большую роль в любой науке. Они стимулируют дальнейшее уточнение формулировки принципа проверяемости.

Проблема верифицируемости утверждений, содержащих универсалии, в основном решается в результате их операционального (в широком смысле) определения названного Р. Карнапом правилами соответствия 5 [199]. Используя правила соответствия, можно из высказывания, содержащего теоретические термины (универсалии), их исключить. Соответствующая процедура была разработана Ф. Рамсеем [511] и усовершенствована В. Крейгом, Я. Хинтиккой и др. [460], [561], [319], см. также: [310], [478]).

6 При этом концепция операционального определения Р. Карнапа существенно отличается от «узкого» операционализма П. Бриджмена.

Идея перевода теорий на рамсеевский язык довольно проста: теоретические термины заменяются соответствующими переменными xt и к общей формуле теории (конъюнкции теоретических постулатов и правил соответствия) добавляются кванторы существования Эх^х^. В результате высказывание, содержащее универсалии, превращается в рамсеевское предложение — высказывание о существовании конкретных эмпирических объектов в конкретных условиях. Рамсеевское преобразование ничего не убавляет из его содержания. Это, однако, не является достаточным основанием для утверждений о ненужности теоретических терминов, они используются не только как инструмент для систематизации эмпирических данных, но и, по крайней мере, для их объяснения (ссылкой на теоретический закон), прогнозирования (выход за пределы накопленного опыта) и планирования действий. Но в данном случае важно отметить, что рамсеевские преобразования позволяют избежать затруднений, связанных с верификацией утверждений, содержащих универсалии.

Сложнее обстоит дело с общими высказываниями NxP^n где множество объектов х либо бесконечно, либо не определено заранее, либо настолько велико, что перебор всех х практически невозможен. Например, утверждение «все камни падают на Землю с одинаковым ускорением» никто никогда не проверит (и не будет проверять) для всех камней, хотя для любой пары камней оно проверяемо. Другой пример. Утверждение «коэффициент выполнения норм X зависит от стажа работы рабочих х1ч среднего разряда х^ удельного веса рабочих, стаж которых повысился на один год а^ и удельного веса рабочих, разряд которых повысился на единицу а2, следующим образом:

X = 95 + l^apTj + 9.3а2.г2», никто, конечно, не проверял для всех возможных значений (^i^i) и (а2я2).

Обоснование утверждений о всем множестве объектов на основе наблюдения над некоторым конечным подмножеством объектов является довольно сложной и все еще мало разработанной проблемой обоснования индукции (см., например, [30], [175], [192] и др.). В свое время предпринимались попытки решения этой проблемы в результате «лобовой атаки», например, так: общее утверждение (теоретический закон) считается подтвержденным, если подтверждаются дедуктивно выводимые из него

следствия (см., например, [72], [157], [292] и др., а также: [220], [319]). Но такая «лобовая атака» отбивается следующими аргументами: во-первых, количество дедуктивно выводимых следствий бесконечно в общем случае; во-вторых, из ложных посылок можно получить верный вывод, примером чего является, например, один из парадоксов, придуманных Б. Расселом: из посылок «хлеб сделан из камня» и «камень питателен» следует справедливый вывод: «хлеб питателен» [512]. К. Поппер обратил внимание на асимметрию подтверждаемости и опровер- гаемости общих утверждений. Для того чтобы подтвердить общее утверждение, надо провести бесконечное или, по крайней мере, неопределенное количество экспериментов. В то же время, чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одной его фальсификации, т. е. одного отрицательного результата. Это обстоятельство и было положено К. Поппером в основу его версии принципа проверяемости — принципа фальсифицируемости. С фальсифицируемостью тесно связана информативность утверждения. Тождественно истинные нефальсифицируемые утверждения (определения, аксиомы логики и т. п.) не несут информации о конкретных событиях и процессах, происходящих в мире. Нефальсифицируемые утверждения о мире также не содержат никакой о нем информации и лежат вне пределов науки [353], [236], см. также: [220], [318], [319]. По поводу принципа фальсифицируемости развернулась довольно оживленная дискуссия; в частности, этот принцип часто противопоставляется принципу верифицируемости. Но с точки зрения разбираемых нами здесь вопросов и фальсифицируемость и верифицируемость — это всего лишь разные версии принципа проверяемости.

Я. Хинтикка предложил способ приписывания ненулевых вероятностей общим высказываниям с кванторами ([192], [460]). Мы рассмотрим идею Я. Хинтикки на простейшем примере. Пусть множество высказываний Q описывает некоторый фрагмент мира на языке L. Язык L содержит две индивидные константы а, Ь; один одноместный предикат F и логические связки V (дизъюнкция), & (конъюнкция), ~ (отрицание). Например, F^V ~

F^b) читается: «объект а имеет свойство F или объект b не имеет свойства F», a ^F^ & F^ читается: «объект а не имеет свойства F и объект b имеет свойство F». Содержательно высказывания в языке L можно интерпретировать, например, так: в урне имеются два шара, обозна-

ценные как а й Ъ\ предикат характеризует цвет тара; в частности, F может означать «красный», тогда ^F означает «некрасный». В этой интерпретации F^a) & ~ F^b) читается: «шар а красный и шар b некрасный». Особо отмечаем, что ~ здесь обозначение логической связки — отрицания высказывания, а не эквивалентности. Описания возможных состояний — это ответы на вопросы: обладает ли а свойством F? обладает ли b свойством F? (и т. д. в общем случае). В рассматриваемом нами языке L можно описать четыре состояния:

cl. F^&F^Y с2. F^& ~F^Y сЗ. - F(a) & & F^

с4. ~ F^ & - F^bY

Пополним язык L кванторами существования Я, всеобщности V, пропозициональной переменной z и каким угодно числом индивидных констант aVl . . ., аь . . ,. В этом новом языке L есть, как и в языке L, только один одноместный предикат F; при этом мы не считаем его идентифицирующим. Идея Я. Хинтикки заключается в построении полного списка всех возможных миров, описание которых выразимо средствами языка L. Исходным пунктом является список всех высказываний о состояниях (cl —с4); в общем случае он может быть счетно-бесконечным. Однако число предикатов в языке L конечно, если это число равно п, то всего в языке L можно описать 2п различных видов индивидов. Такие описания называются ^-предикатами Карнапа. В нашем случае (т? = 1) имеются всего два ^-предиката, т. е. всего два возможных вида индивидов:

в1. F^Y в2.~ F^\

Отметим, что внутри видов индивиды неразличимы.

От списка видов индивидов (он всегда конечен) можно перейти к списку всех возможных миров. Список всех возможных миров может быть представлен в виде высказываний о существовании индивидов, имеющих определенные свойства — конституэнт. В нашем случае — это высказывания о существовании или не существовании индивидов, обладающих или не обладающих свойством F. Всего имеем четыре высказывания о возможных

мирах:

м1. 82^(2) &Эг ~ F^, м2. 32^(2) & ~3z~ F(z),

m4.~ 3zjF(z) &(4.1)m4.~ 3zjF(z) &(4.1)м3. ~ 82^(2) & 8z~ ^(2), &3 2 ~ F^.

m4.~ 3zjF(z) &

(4.1)

m4.~ 3zjF(z) &

(4.1)

Последнее высказывание из списка описаний возможных миров следует вычеркнуть, так как оно ложно. Логически невозможен мир, в котором не существует индивидов, имеющих свойство F, и не существует индивидов, не имеющих свойства F. (Конечно, здесь предполагается, что область индивидов непуста.) Таким образом, перечень всех возможных миров (выразимых в языке L) состоит из конституэнт: м1, м2 и м3. В общем случае п предикатов всего существует ^ — 1 конституэнт.

Я. Хинтикка предложил несколько способов приписывать вероятности конституэнтам. В нашем простом случае они совпадают: всем конституэнтам приписывается одинаковая вероятность. Будем обозначать вероятности, подсчитанные на основе подхода Я. Хинтикки, как РгХ. Имеем

РгХ(м1) - РД№ - РТХ^ = V3.

Эти вероятности не зависят от числа индивидных констант (т. е. от числа объектов в предметной области) языка L. Для подсчета вероятностей высказываний F^a), ~F^a?) по формуле полной вероятности применим принцип индифференции для вычисления условных вероятностей. Получаем

PrX^a^ = PrXVFkaWV>PrX^ + PrX^F^I^y

•PrX^ + РгХ(^(а))/мЗ)-РгХ(мЗ) = 1/2-1/3 + 1-1/3 + + 0-1/3 = 1/2.

Аналогичным образом PrX^F^y = 1/2.

Этот результат совпадает с результатом, полученным на основе «наивного» принципа Лапласа. Конституэнты м2 и м3 имеют форму законов природы, так как их можно записать в виде высказываний о свойствах всех предметов. Высказывание м2 можно представить в виде — все z обладают свойством F : VzF^, а высказывание м3 в виде —• все z не обладают свойством F : Vz ~ ^(z). Высказывание м1 законом природы не является, в нем утверж-

дается только, что некоторые z обладают свойством F. Формализм Я. Хиптикки позволяет строить процедуры байесовской переоценки вероятностей законов природы в зависимости от результатов наблюдений над эмпирическими объектами. Пусть, например, в результате эксперимента установлено, что F(a). Тогда по формуле Байеса получаем апостериорные оценки вероятностей конституэнт м1, м2, м3:

PrX (m!/F (а))PrX (m!/F (а))= РгХ(^(а)/м1)Р/-Х(м1) = 1/2-1/3

PrX (m!/F (а))

PrX (m!/F (а))

PrX (F (а))”1/2

= 4 = РгХ(м1),

РгХ(м2/Р (а)) =РгХ(м2/Р (а)) =PrX (F ^№УРгХ (м2)PrX^F^PrX (F ^№УРгХ (м2)PrX^F^11/31/2 “11/31/2 “PrX^F (а)) =PrX^F (а)) =2323>РгХ (м2),>РгХ (м2),PrX (Р (а)/мЗ) • РгХ (м3)PrX {F (а))PrX (Р (а)/мЗ) • РгХ (м3)PrX {F (а))0-1/31/20-1/31/2= 0<РгХ (м3).= 0<РгХ (м3).

РгХ(м2/Р (а)) =

РгХ(м2/Р (а)) =

PrX (F ^№УРгХ (м2)PrX^F^

PrX (F ^№УРгХ (м2)PrX^F^

11/3

1/2 “

11/3

1/2 “

PrX^F (а)) =

PrX^F (а)) =

2

3

2

3

>РгХ (м2),

>РгХ (м2),

PrX (Р (а)/мЗ) • РгХ (м3)PrX {F (а))

PrX (Р (а)/мЗ) • РгХ (м3)PrX {F (а))

0-1/31/2

0-1/31/2

= 0<РгХ (м3).

= 0<РгХ (м3).

В результате одного только эксперимента закон Vz ~ F^ оказывается опровергнутым (обстоятельство, которое К. Поппер положил в основу своей концепции методологии науки [416]). Осталось два конкурирующих высказывания о мире: м1 и м2. Пусть в результате второго эксперимента также установлено, что объект обладает свойством F. Мы будем записывать это как {Р^/Р^а)^, обозначив объект в первом эксперименте а, а объект во втором эксперименте Ъ. Этим мы не делаем объекты различными, так как, строго говоря, ярлыки а, b наклеиваются на результаты экспериментов. Новые вероятности обозначим РтХ*. Имеем

PrX* (F W/F (a)) = A.4 + l.^ = ^>PrX(F (а)),

РгХ* (м1/{^ W (а)}) = I44-3 = А < PrX (ul/F (а)), РгХ* (m2/{F ^F (а)}) = ^ = ±>PrX (м2/Г (а)).

Вероятность закона природы VzF^ при повторном появлении объекта в двух опытах со свойством F увеличилась. Существенно, однако, отметить, что никакая конечная серия экспериментов, в каждом из которых появляется объект со свойством F, не делает эту вероятность равной 1.

Измерение — приписывание переменной численного значения

Статистические модели*, точность и надежность

Рассмотрим утверждение: «значение переменной х равно а». Здесь возникают несколько вопросов. Прежде всего, «х = а — что это означает?» Этот вопрос преимущественно относится к экономической теории, точнее, к комплексу теорий, который включает и определение и обоснование операций приписывания переменной х некоторого значения. Второй вопрос, «почему х = а, а не 6, почему переменной х приписано именно это значение, а не какое- то другое»,— вопрос, который будет здесь обсуждаться.

Мы предполагаем, что переменная принимает одно, и только одно значение из множества возможных значений, причем в случае количественных переменных это множество либо вещественная прямая, либо некоторое ее подмножество. В результате процедуры измерения получается оценка (не обязательно единственная) единственного истинного значения переменной. Мы, однако, не можем просто записать

p.X-^R,

где X — множество значений переменной х\ а е X; R — множество оценок значения переменной х:ае R, R -— вещественная прямая; / — правило, устанавливающее соответствие между значениями переменной х = а и оценкой а. Дело в том, что истинные значения х неизвестны, и вместо

а = /(а) = а(4.2)

мы вынуждены использовать выражение

а = g(yv . . ., у^,(4.3)

где yt — это фактически наблюдаемые результаты измерения,

i = 1 ~ п, п ^ 1.

При этом предполагается, что результаты измерений как-то связаны с истинным значением переменной.

В общем случае можно записать

yt= a A- Ei,(4.4)

где в/ — ошибка измерения г.

Схема (4.4) описывает так называемые прямые измерения. В более общем случае связь между истинным и наблюдаемым значениями переменной будет сложнее:

А(уг, а, е, zn . . . zm) = 0.(4.5)

Здесь zz — некоторые константы, т. е. фиксированные значения других переменных.

В настоящее время различию между прямыми (4.4) и косвенными измерениями (4.5) не придается большого значения и (4.4) в литературе по методам обработки наблюдений рассматривается как частный вариант (4.5); в последнем случае усложняются проблемы вычисления и соответственно увеличиваются ошибки вычислений (округление и т. п.). Но ошибки вычислений могут встречаться и в простейшем случае (4.4), так как (4.3) не обязательно имеет простой вид

а - yv

Операции измерения формально характеризуются свойствами ошибок 8.

В физике утверждение, что абсолютно точные измерения невозможны, считается практически аксиомой. По расчетам Л. Бриллюэна, чтобы абсолютно точно измерить положение и скорость всех атомов во Вселенной, надо затратить бесконечно много энергии, что, конечно, невозможно [60]. Это имеет самое непосредственное отношение и к измерению значений экономических переменных. Нет четкой грани между физическими и экономическими величинами. В экономических расчетах постоянно используются метры, килограммы, киловатт-часы и т. п., и, следовательно, неизбежные ошибки физических измерений служат источником ошибок регистрации в экономике. Но это не единственный источник ошибок.

Так, существуют различные способы измерения прироста национального дохода. Взвешивание объемов выпуска по ценам текущего года (индекс Паате) и по ценам базового года (индекс Ласпейреса) дают обычно разные результаты. Хотя это различие обычно и не велико (5%),

все же мы приходйм к схеме ошибок регистрации (4.4):

Наблюдаемый (вычисленный по некоторой схеме построения индек- = Истинный+ Ошибка

са) рострострегистрации.

Можно сказать, что в этом случае имеется косвенное измерение: индекс роста вычисляется по непосредственно регистрируемым ценам и объемам выпуска. К ошибкам регистрации добавляется ошибка моделирования. Такого рода ошибки будут рассмотрены ниже.

Важными источниками ошибок регистрации в экономике является реакция на измерение, а также изменение условий регистрации. Пусть, например, регистрируются значения переменных, характеризующих трудовую дисциплину в некоторой организации. Одна из этих переменных — количество нарушений трудовой дисциплины за планово-учетный период. В организацию приходит новый директор. По истечении некоторого времени регистрируется заметное увеличение нарушений трудовой дисциплины. Означает ли это, что уровень дисциплины в организации понизился с приходом нового директора? На этот вопрос возможен как положительный, так и отрицательный ответ. Увеличение зарегистрированных нарушений трудовой дисциплины можно объяснить как падением дисциплины, так и повышением требовательности: возможно, что с приходом нового директора изменились условия регистрации в результате ужесточения требований к дисциплине. Здесь мы снова имеем дело со схемой (4.4):

Количество зарегистри- Количество пару- Ошибка ре- рованных нарушений шений трудовой гистрации. трудовой дисциплины = дисциплины +

Характерный пример ошибок регистрации такого рода приводит Н. И. Чешенко [471]. При оценке эффективности АСУ необходимо иметь данные об использовании производственных ресурсов до и после внедрения АСУ, в частности надо иметь данные о потерях рабочего времени. На предприятиях в соответствии с установленным порядком эти данные регистрируются в табельном учете (целодневные потери), в «Извещении о простое» — форма № 3, в «Листке на оплату простоя» — форма № 4 и в «Сводке простоев» (внутрисменные простои). «Казалось бы,— отмечает Н. И. Чешенко [471, с. 173—174],— при наличии... документов можно получить необходимые данные,

характеризующие использование труда основных рабочих. Однако это не так. Желая показать свою деятельность с выгодной стороны, предприятие порой не обеспечивает должного учета внутрисменных простоев рабочих... Нерешенным еще вопросом на предприятиях является установление минимальной величины продолжительности простоя, с которой начинается учет. В основном такая величина в практике принята равной 30 мин. Простои 29 мин и меньше не учитываются, несмотря на их многократность».

Аналогичные проблемы существуют и при оценке использования производственных фондов, анализе брака и т. п. [218], [300], [467]. Повысить точность и надежность измерений можно в данном случае в результате проведения специальных обследований, важную роль в планировании которых играют современные методы математической статистики. По сути дела, речь идет о необходимости организации экспериментов, позволяющих устанавливать точность и надежность результатов измерений. Отметим, что проблема влияния измерения на значение измеряемой величины не специфична для экономических измерений и носит общий характер. Аналогичные (и в общем решаемые) проблемы существуют, например, в квантовой механике, где утверждение, что результат измерения — это результат взаимодействия прибора и объема измерения, является одним из основных постулатов теории.

Точность и надежность измерений ограничена. Даже простой пересчет может содержать случайные ошибки [55]. Но это не значит, конечно, что от измерений следует отказаться. Необходимо контролировать и повышать их точность и надежность.

Контроль этих характеристик измерения представляет в общем случае довольно сложную задачу. Точность измерения h можно охарактеризовать длиной интервала, внутри которого находится, как утверждается, значение измеряемой величины

дн^я^яь; ^~ ——(4.6) аь ~ ан

В идеальном случае абсолютно точного измерения ан — аь — а.

Надежность Р — это вероятность того2 что доверительный

интервал (4.6) содержит истинное значение измеряемой величины

Р = Р rob {ац ^ а ^ аьУ(4.7)

Точность и надежность измерения связаны между собой, но в общем случае эта связь не однозначна. Так, возможно одновременное повышение и точности и надежности несмещенных измерений в результате их многократного повторения. Это известная теорема математической статистики. Пусть в схеме (4.4) Мгг = 0, Вгг < оо и 8; независимы. Тогда

•^(т5^ = Уп = а,

\ г /

где п — число наблюдений; уп — средняя арифметическая п наблюдений;

Dyn = Ог/п(4.8)

И

Вуп 0 (т. е. К —> оо) при п —> оо.

Эта теорема играет большую роль в теории измерений* Но может сложиться впечатление, что она противоречит основным законам природы. Например, из этой теоремы можно сделать вывод, что многократно повторяя измерение длины или веса некоторого объекта, можно измерить длину (или вес) со сколь угодно высокой точностью (1//а меньше размеров или веса молекулы), что противоречит атомно-молекулярной теории строения вещества. Противоречия, однако, нет. (4.8) имеет место только при условии, что все измерения (все ez) независимы. На практике же такое условие в полном объеме не выполняется, объект и прибор трансформируются в результате выполнения над ними операций измерения, и поэтому с ростом номера измерения i растет ковариация между ez и 8^, • • • 8г В результате Вуп>сс>0.

П-^оо

Непосредственно неизмеримые величины

Типичным примером непосредственно неизмеримой величины является вероятность. Можно наблюдать и регистрировать события, их частоту, значения, которые принимает случайная величина, но нельзя наблюдать и непосредственно измерять вероятность. Этот пример по-

называет не только сложность, но и важность проблемы непосредственно неизмеряемых величин. Требование отказа от таких величин означает также, что надо отказаться от теории вероятностей. А это уже серьезная потеря.

Вероятность не единственный пример непосредственно неизмеряемых величин, высказывания о которых тем не менее в ряде случаев оказываются осмысленными и проверяемыми. В настоящее время нет способа непосредственно измерить стоимость продукта. К. Маркс указывал, что из того обстоятельства, что «цена как показатель величины стоимости товара есть в то же время показатель его менового отношения к деньгам ... не вытекает обратного положения, что показатель менового отношения товара к деньгам неизбежно должен быть показателем величины стоимости... в этом меновом отношении может выразиться как величина стоимости товара, так и тот плюс или минус по сравнению с ней, которым сопровождается отчуждение товара при данных условиях» [1, т. 23, с. 111—112]. Здесь имеется прямое указание на схему (4.4):

Меновое отно- Стоимость Смещение, завы

шение — цена = +сящее от уело- (4.9) вий отчуждения

Смещение состоит по крайней мере из двух компонент: случайной (флуктуации цены вокруг стоимости) и детерминированной (например, как следствие монополии). Наличие систематической ошибки регистрации, детерминированной компоненты смещения, крайне затрудняет оценивание величины стоимости продукта. В связи с этим в течение многих лет осуществляются различные попытки непосредственного, прямого измерения стоимости.

Попытки прямого измерения стоимости обосновываются одним из основных положений марксистской политэкономии о различии между простым и сложным трудом и тем, что «в каждом процессе образования стоимости высший труд всегда должен сводиться к среднему общественному труду, например один день высшего труда к х дням простого труда» [1, т. 23, с. 209]. Попытки прямого решения проблемы редукции труда имеют довольно длинную историю (см., например, [131], [186], [234], [282], [37 7], [387] и др.).

В целом можно выделить два основных подхода; в соответствии с первым сложность труда оценивается

затратами на подготовку специалистов, в соответствии со вторым сложность труда характеризуется зарплатой специалистов. Практически все предложения по вычислению коэффициентов редукции сводятся в конечном счете к одному из этих двух подходов либо к их комбинации. Можно отметить как модификации указанных двух подходов пли их комбинации, методы, использующие различного рода экспертные оценки условий труда, сложности работы ит. п., но экспертные оценки значений переменных, описывающих объекты, мы рассмотрим в следующем пункте.

Несмотря на довольно долгую историю, ни к каким, сколь-нибудь приемлемым результатам попытки решения проблемы редукции труда не привели. И причина этому — равенство (4.9): стоимость продукта непосредственно не- измеряема. Попытки же решения этой проблемы постулированием определенных зависимостей между факторами, влияющими на квалификацию, на сложность труда, и сложностью труда могут привести к несколько неожиданным результатам.

Пусть, например, постулируется, что сложность труда тем выше, чем больше затраты на повышение квалификации. Из этого следует, что выпускник средней школы, который несколько раз оставался на второй год, более квалифицирован, чем отличник, на второй год не остававшийся ни разу.

Рассмотрим другой постулат: труд тем сложнее, чем выше зарплата трудящегося. Во-первых, этот постулат необходимо согласовать с утверждением Ф. Энгельса, что в социалистическом обществе расходы на рост квалификации «несет общество, поэтому ему принадлежат и плоды, т. е. большие стоимости, созданные сложным трудом. Сам работник не вправе претендовать на добавочную оплату» [1, т. 20, с. 207]. Во-вторых, надо доказать, что существующие тарифные ставки и оклады соответствуют сложности труда (и объяснить, зачем тогда постоянно проводится сложная и кропотливая работа по совершенствованию оплаты труда в народном хозяйстве). А для этого следует найти «коэффициенты редукции», т. е. получается замкнутый круг.

Важно отметить, что К. Маркс не только не занимался поиском решения проблемы вычисления коэффициентов редукции, но и не ставил ее в этом виде. В то же время он дал исчерпывающее, на наш взгляд, решение проблемы редукции труда: «Товар может быть продуктом самого

сложного труда, но его стоимость делает его равным продукту простого труда...» [1, т. 23, с. 53].

Непосредственно неизмеримые величины создают ряд серьезных методологических проблем. Теория, сформулированная в терминах непосредственно неизмеряемых величин, непроверяема и, следовательно, не имеет никакой ни научной, ни практической ценности. В основном методы решения проблемы непосредственно неизмеряемых величин сводятся к следующим альтернативам: 1 — элиминирование такой переменной; 2 — индикация.

Рассмотрим пример элиминирования непосредственно неизмеряемой величины. Последней является, например, полезность. Можно регистрировать предпочтения, поведение лиц, принимающих решения, но не значения функции полезности и^х^ где х — вектор количеств товаров Vx^ — количество товара /). В экономико-математических моделях функция полезности используется для того, чтобы описать реакцию потребителя на изменение цен и дохода. При этом предполагается, что потребитель выбирает такой набор товаров х. который удовлетворяет его бюджетному ограничению и максимизирует его функцию полезности

и(х) -> шах,(4.10)

сх = d, х ^ 0,

где с — вектор цен, d — доход потребителя.

В предположении, что верны законы Госсена

(4.11)

оптимальные значения х^ определяются системой уравнений

(4.12)

где X — множитель Лагранжа.

(4.13)(4.13)Чтобы решить систему (4.12), надо, хотя бы с точностью до произвольного монотонно возрастающего преобразования, знать значения функции полезности и\х\ Решение будет иметь вид

(4.13)

(4.13)

Я* = ^i (cb • • •, ^г» • • • > ^)-

Свойства решения (4.13) устанавливаются теоремой Слуцкого ([29], [138], [398] и др.). Но можно поступить иначе, сразу записать функцию спроса в виде (4.13) и найти ее параметры на основе наблюдений за спросом, ценами й доходами. В принципе оба подхода должны давать одинаковые результаты, но во втором случае нужно иметь дело только с непосредственно наблюдаемыми величинами. (Здесь, однако, есть довольно сложные технические проблемы регистрации фактического, реального спроса.) В конце концов цель построения функции полезности и решения задачи (4.10) — ответ па вопрос, каким будет спрос при таких-то ценах и таком- то доходе. Феноменологическое описание реакции потребителя на цены и доход (функции спроса Курно, Торнквиста и другие экономические модели [92], [273], [477]) дает ответ на этот вопрос, но ничего не говорит о том, почему спрос при данных ценах и доходе именно таков. Построение функции спроса в рамках теории полезности позволяет ответить на этот последний вопрос, но довольно двусмысленно: спрос таков, потому что потребитель максимизирует свою функцию полезности.

Какое объяснение будет дано резкому ухудшению прогнозов спроса (в случае, если это ухудшение произойдет)? В одном случае будет сказано, что произошло непредвиденное изменение функции спроса, а во втором — это изменение будет «объяснено» непредвиденным изменением вкусов потребителей. Утверждения о функции полезности практически ничего не добавляют к феноменологической теории спроса, даже если они проверяемы . В практических приложениях теории спроса функция полезности вполне элиминируема кривой спроса.

Рассмотрим теперь второй способ решения проблемы непосредственно неизмеряемых величин — индикацию. Речь идет о замене (а не устранение, как в первом способе) непосредственно неизмеряемой величины одной или несколькими величинами, значения которых можно непосредственно зарегистрировать. Например, математическое ожидание случайной величины заменяется такими индикаторами — оценками в данном случае, как средняя арифметическая, выборки, мода, медиана и т. п. Индикация может быть более или менее успешной.

(4.14)(4.14)

(4.14)

(4.14)

В математической статистйке разработаны приемлемые методы оценки эффективности индикации (Ф. Мостел- лер и Дж. Тьюки [302] подчеркивают ее неформальный характер и важность неформальной оценки эффективности). В общем случае оценить эффективность индикации довольно трудно. Индикация позволяет формулировать и проверять утверждения о зависимостях между переменными. В случае успешной индикации эти зависимости по крайней мере не опровергаются (не фальсифицируются) в результате эксперимента. Схема применения индикации включает элиминирование непосредственно неизмеряемой величины. Пусть, например, v и w — две непосредственно неизмеримые величины, которые связаны теоретической зависимостью

и = Kw).

Конкретный вид (форма, параметры) функции / неизвестен, но сделаны некоторые предположения общего характера, например, что существует единственный максимум этой функции в некоторой точке w0 (ее значение, конечно, неизвестно, так как w — непосредственно неизмеримая переменная). Пусть х и у — индикаторы и и w^ соответственно

х = <р(0, у = ф(ш). (4.15)

Вид функций ф и ф тоже, конечно, не может быть установлен, но предполагается, например, что это возрастающие функции своих аргументов. Если индикация эффективна, то получаем

ж = ср (/(ip-1 (у»),

dx 'dxdu dw e

dydvdw dy ’

d^x d^x/ dv dwVdx/dw \2d%dxdvd?1 w,,

dy1dv21\dw dU)dv\dy)^dvdw^''

Так как по предположению в точке w0 максимум р, получаем, что в некоторой точке у0 = ф(ш0):

т. е. в некоторой наблюдаемой точке у0 должен быть максимум. Если же индикация неудачна, то в эмпирической зависимости х от у максимума может не оказаться.

Индикацию можно, конечно, рассматривать как частный случай представления переменной в численном виде. Но здесь есть два важных отличия: во-первых, индикация неединственна (и в этом одна из причин существования множества одинаково хороших экономико-математических моделей одного и того же явления или процесса) и, во-вторых, эффективность индикации в экономике (в отличие от физики и технических наук) может изменяться с течением времени. Пусть ^ и гг2 — индикаторы одной и той же непосредственно неизмеримой величины и. В идеальном случае индикаторы линейно зависят от и:

xt = ktv; Z = 1, 2. (4.18) Элиминируя р, получаем

Ж1 = к^ -г- х^ (4.19) 2

т. е. в идеальном случае индикаторы линейно зависят друг от друга. (Для этого, конечно, необходимо, чтобы и была представлена в количественной шкале.) Линейная зависимость между индикаторами одной и той же величины проверяема; это дает в ряде случаев возможность оценить качество индикаторов. Например, стоимость основных производственных фондов не выступает непосредственно измеримой величиной. В технико-экономических расчетах используются такие индикаторы, как балансовая, восстановительная, остаточная и т. п. стоимость основных фондов. Ни один из таких показателей не является идеальным индикатором стоимости основных производственных фондов, так как они зависят от цен, отличающихся от стоимости; амортизации, затрат на транспортировку и наладку и т. д. Другим индикатором этой величины в промышленности может служить объем потребления электроэнергии: промышленное оборудование работает на электроприводе, здания освещаются и т. д. Чем больше величина стоимости основных производственных фондов, тем больше объем потребления электроэнергии.

Таким образом, хороший стоимостной индикатор должен быть сильно коррелирован с потреблением электроэнергии. Эмпирические исследования ([345], [456]) подтверждают такую корреляцию. Особенно сильный результат получен Г. Хауштейном для промышленности ГДР — зависимость между восстановительной стоимостью основных производственных фондов и потреблением электроэнергии почти линейна [456]. Это довольно

веское свидетельство эффективности восстановительной стоимости как индикатора стоимости основных фондов. Эффективным индикатором является и объем потребления электроэнергии, однако ясно, что эффективность этого индикатора носит временный характер.

Потребление электроэнергии как индикатор величины стоимости основных производственных фондов не имело никакого смысла по крайней мере до 20-х годов нашего века, поскольку использование электроэнергии в промышленности до этого времени носило ограниченный характер. Предпринимаемые в настоящее время меры по экономии электроэнергии, снижению электро-энергоемкости продукции, естественно, снижают эффективность данного индикатора. Эффективность индикатора непосредственно неизмеряемой величины нельзя установить априори, она может быть установлена только экспериментом.

Экспертные оценки как индикаторы и непосредственные измерители объективных характеристик

Последнее время все более широкое распространение получают экспертные оценки как индикаторы или как непосредственные измерители значений переменных, в том числе количественных. Хотя в ряде публикаций ([329], [346]) и отмечается, что достоверные результаты экспертного оценивания значений переменных можно получать, как правило, только в порядковой или даже только в номинальной шкале, экспертизы используются для получения оценок значений переменных в количественной шкале (см., например, [44], [45], [126], [127] и др.). Существенного различия между этими двумя подходами к определению множества допустимых преобразований результатов экспертизы нет, так как в общем случае, если эксперты смогли сравнить (проранжировать) объекты, то почему бы им не сделать то же самое с интервалами — «расстояниями» между объектами? А это как раз то, как отмечалось ранее, в главе второй, что нужно для представления переменной в количественной шкале.

Экспертные оценки не обязательно противопоставляются нормальным инструментальным измерениям. Но фактически такое противопоставление существует, так как экспертные оценки рекомендуется использовать именно в тех случаях, когда инструментальные измерения не_

возможны. Четко эта позиция выражена в обстоятельной монографии Е. П. Голубкова: «По нашему мнению, в связи с ограниченными возможностями применения точных математических методов в экономике, отсутствием во многих случаях достаточно полной статистической и другой информации, а также надежных методов определения соответствия экономико-математических моделей реальным объектам, экспертные оценки являются единственным средством решения многих экономических задач» ИЗО, с. 24].

Хотя никто, по-видимому, не описывал область применения экспертных оценок, из анализа литературы можно сделать вывод, что она неограниченна. Это — прогнозирование любых процессов и событий; построение функций полезности; определение важности (значимости) целей, степени влияния элементов системы (дерева целей и т. п.) друг на друга, вероятностей любых событий, компетентности самих экспертов, а также их начальников, подчиненных и коллег; построение функций принадлежности в теории размытых множеств и т. д. и т. п. (см., например, [44], [62], [127], [163], [253], [254], [269], [425] и др.). Экспертные оценки традиционно используются в педагогике (всем знакомые оценки по пятибалльной шкале), при установлении качества товаров (дегустации вин, духов и т. п.), в металлургии (определение температуры металла по его цвету), в спорте (шестибалльная шкала в фигурном катании) и в ряде других областей [166], [269], [373], [407].

Иногда (и все чаще) экспертные оценки используются, так сказать, скрыто: фактически используются, но без упоминания термина «экспертная оценка» в соответствующей методике. Наиболее характерными примерами такого использования являются: коэффициенты качества во многих версиях систем управления качеством; коэффициенты трудового участия, при аттестации рабочих мест.

Здесь мы не будем рассматривать применение экспертных оценок в прогнозировании, при описании предпочтений и построении функций полезности. Пока ограничимся наблюдаемыми в данный момент времени переменными, описывающими объективные характеристики.

193193Существуют различные процедуры получения экспертных оценок (см., например, [62], [127], [269], [407], [425] и др.). В наши задачи не входит их подробный разбор; для наших целей достаточно выделить следующие элементы этих процедур: 1) оценка одного эксперта —

193

193

13 р. л. Раяцкас, М. К. Плакунов

высказывание типа «я = а», «£>&», «я < у» и т. д.; 2) обобщение оценок отдельных экспертов:

а = /(ах, . . ., аъ . . ап^ (4.20) где аг — оценка f-го эксперта, ап — обобщенная оценка всей группы из п экспертов.

В некоторых методиках получения экспертных оценок предусматривается оценивание в несколько этапов, т. е. эксперты могут изменить свою оценку, получив некоторую дополнительную информацию (например, о результатах оценивания на предыдущем шаге). Такое последовательное уточнение оценок экспертами предусматривается в методике «Дельфи» [126], [127], [163], [269], [423]. Часто экспертам приписываются веса, характеризующие их компетентность, квалификацию и т. д. в данной области. С учетом весов (4.20) записывается в виде

« = /(«!, • • Ьи . . bn\ (4.21) где bt — вес i-ro эксперта, причем функция / такова, что

da/dat > 0, да/ЭЪ^ > 0. (4.22)

На практике (4.21) обычно специфицируется как средневзвешенная арифметическая оценок экспертов

2 "Л2 "Л

2 "Л

2 "Л

Часто обоснование применения именно (4.22), а не другой какой-нибудь функции вида (4.21), удовлетворяющей условиям (4.22), отсутствует. Совершенно неясно, почему бы не вычислять обобщенную оценку по формуле

а = Ц (aj\ Ьг выбраны так, что 2^ = 1, гг

ИЛИ

а = 2 ^г («)~Р Р»

которая при р = —1 переходит в (4.23); параметр Р характеризует компенсацию различных мнений экспертов. В теории статистической обработки наблюдений формула,

обобщающая отдельные наблюдения, строится исходя из предположений о распределении случайных ошибок наблюдения в (4.4). Статистическая методология постепенно распространяется и на обработку оценок экспертов, особенно на методы получения ранжировок (см.: [166], [407], [432]). В частности, агрегирование оценок общего вида (включая ранжировки) получается в результате обобщения таких понятий, как среднее, математическое ожидание и т. п. Как известно, среднее арифметическое чисел ^1? . . ., хп — это результат решения задачи

2 кхг — я)2 min>(4.24)

г

а математическое ожидание случайной величины ц — решение задачи

М(д — аУ -> min.(4.25)

Среднее и математическое ожидание в произвольных пространствах (например, в пространстве ранжировок) можно ввести по аналогии с (4.24) и (4.25). А именно: пусть X — произвольное пространство, а г X; ц — случайная величина, принимающая значения в X. Математическим ожиданием ц относительно функции g( • ,•) (#0ъ а) — заранее определенная непрерывная функция, заданная на X2) будет решение задачи (если оно существует)

Mg(v\, а) ->- min*(4.26)

Как показал А. И. Орлов, решение этой задачи существует, если X— бикомпакт [432]. Средним относительно g будет решение задачи (если оно существует)

S^hi, a)->min.(4.27)

г

Решение этой задачи также существует, если X — бикомпакт [503]. Вещественная прямая — неограниченное множество, поэтому для включения классических определений (4.24) и (4.26) в общую схему (4.26) и (4.27) требуется наложить некоторые ограничения на §(-, •) и сделать предположение о локальной бикомпактности X. В действительности эти гипотезы неограничительны. Так, достаточно предположить, чтоg^^ •) — метрика и 71/gO], а0) существует при некотором а0 е Х([329], [432]). Этот подход не устраняет произвола в выборе функции агрегирования оценок экспертов (4.20), но по крайней мере выявляет его и делает в некоторой степени контролируемым и скрывает

пути для распространения стандартных методов математической статистики. Так, если X — вещественная прямая, а

Ж «) = In - «I,

решением задачи (4.26) будет медиана, а решением задачи (4.27) — выборочная медиана; если

#(П> «) = (п — с)2,

то решениями этих задач будут математическое ожидание и выборочное среднее соответственно. Если X — пространство ранжировок, a ^(ц, а) — расстояние Кемени [208] между ранжировками , то решением задачи (4.27) будет медиана Кемени [432].

В распространении методов математической статистики на задачи анализ нечисловой информации (методы парных сравнений [166], [329] и др., многомерное шкалирование [210], [329], [407], [432] и др. и т. д.) достигнут определенный прогресс. Но здесь есть один существенный момент: специфика получения исходных данных несущественна; исходные данные могут быть «получены либо непосредственно измерением, либо экспертным путем, либо путем вычисления по совокупности описательных характеристик, либо как-то иначе» [432, с. 58]. С нашей точки зрения, именно это обстоятельство и придает ценность указанным выше работам вне зависимости от их использования или неиспользования в реальных процедурах экспертиз.

Что же касается реальных процедур экспертизы, то они часто строятся без излишних хитростей. Особенно непринужденно авторы некоторых таких процедур обращаются с числами. Например: «Чтобы придать вопросам анкет более конкретный характер, мы рекомендуем оценке

коэффициентов относительной важности по каждому оценочному критерию пользоваться таблицей значимости оцениваемого элемента для реализации элементов более высокого уровня» [130, с. 79—80]. И приводится рекомендуемая таблица значимости (табл. 4.1).

Таблица 4.1. Пример приписывания числовых значений коэффициентам относительной важности *

Словесная формулировка значения коэффициента относительной ва?ьнасти (возможный ответ гксперта)

Численное значение относительной важности

1. «Совсем не влияет на достижение цели»

0

2. «Нужен, но не обязателен»

0,25

3. «Реализация данного элемента существенно

способствует достижению ... цели (влияет)»

0,5

4. «Неосуществление ...во многом препятству

ет достижению цели (влияет достаточно силь

но)»

0,75

5. «Необходим»

1,0

* [130, с 79]

Другой пример. Во «Временных межотраслевых рекомендациях по аттестации рабочих мест в промышленности», в п. 6.2, читаем: «В зависимости от степени соответствия рабочего места прогрессивным решениям (нормативным требованиям) по каждому из критериев устанавливаются следующие оценки (коэффициенты):

— соответствует нормативному уровню — «1,0»;

— не соответствует, но может быть доведено до нормативного уровня — «0,5»;

— не соответствует и не может быть доведено до нормативного уровня — «0» [27, вкладыш, с. 4].

Ясно, что значения переменных в этих примерах («относительная важность элемента» — в первом, «соответствие нормативному уровню» — во втором) оцениваются в порядковой шкале, т. е. с точностью до произвольного монотонного преобразования. Следовательно, обращаться с этими переменными, как с количественными, недопустимо. Вычисления средних арифметических, различных «суммарных коэффициентов относительной важности» и т. п. не имеют никакого смысла, так как их результаты не адекватны (см. главу вторую). Рассмотрим, например, определение «коэффициентов относительной важности элементов I уровня дерева целей с учетом их взаимной

полезности» [130, с. 87]. Приводится формула

Kis — KjS-Kln js,(4.28)

где К1^ — коэффициент относительной важности с учетом взаимной полезности; Kjs — суммарный коэффициент относительной важности /-го элемента по всем критериям для 5-го эксперта; К^ n^s — коэффициент взаимной полезности /-го элемента для всех остальных элементов I уровня, по мнению эксперта 5 (по-видимому, так — см. [130, с. 84]).

Числа 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 в табл. 5.1 (табл. 3 на с. 79 в [130]) произвольны с точностью до порядка. Действительно вряд ли кто-нибудь станет утверждать, что элемент «влияющий на достижение цели» ровно в 2 раза важнее элемента «слабо влияющего на достижение цели» и ровно в 2 раза менее важен, чем «необходимый для достижения цели элемент». Эти числа можно заменить любыми другими, но так, чтобы порядок сохранился: допустимым здесь является монотонновозрастающее преобразование ф(.г), такое, что если xY > х^ то ф^) > ф(^2)- Сторонники неограниченного применения экспертиз почему-то любят работать с 0—1 шкалой. Ограниченность множества допустимых значений переменной целесообразно, конечно, доказывать. Но не будем требовать слишком много и введем соответствующие ограничения на х и ф(^):

0 < х < 1, ф(0) = 0, ф(1) = 1.(4.29)

Подвергнем теперь (4.28) допустимому преобразованию. В общем случае, даже при ограничениях (4.29) на ф(-) имеем

если ф(.г) ^ хч т. е. если переменные в (4.28) не измерены в количественной шкале, то выражение (4.28) (и другие такого же вида) неадекватно — бессмысленно.

Разбирая возражения против применения экспертных оценок, Е. И. Киссель приводит такой контраргумент общего характера : «Нередко смешиваются понятия: опираясь на несовершенство практических методик количественного измерения оценок, критикуют принцип» [213, с. 125].

Мы здесь разбираем именно принцип — использование экспертных оценок как оценок значений переменных, описывающих объективные характеристики. Приведенные примеры неадекватного использования оценок типичны. Сплошь и рядом, особенно в литературе по так называемому системному анализу, с переменными, измеренными в порядковой шкале, обращаются как с переменными, измеренными в количественной шкале. Вот еще один типичный пример: «...Если применительно к исследуемой системе финансовые затраты, время и безопасность по важности занимают соответственно первое, второе и третье места, то можно было бы принять, что wjw2 = 1,5 и w^w^ = 1,2, где wXl w2 и w3 — соответственно весовые множители для показателей затрат, времени и безопасности. Эти множители могут быть вычислены, если к принятым соотношениям добавить условие нормировки 2^i = 1- Тогда получим ^! = 0,45, ш2 = 0,30 и w3 = г = 0,25» [367, с. 50]. И сложнейшая проблема построения целевой функции решена: «Целевую функцию F можно, например, представить в виде

F = WU = 2 г=1 где иг — оценки полезности, связанные соответственно со всей системой и с t-м показателем, Wi — постоянные весовые множители» [367, с. 50].

Конечно, можно принять и?! = 0,45, а можно и wk = = 0,95 или wv = 0,05; можно, наконец, сначала придумать решение задачи, а потом подобрать соответствующие «обосновывающие» это решение весовые множители. Возникает настоятельная потребность в установлении какого-то предела для всех этих возможностей. Встает ряд вопросов, на которые необходимо иметь ответы, прежде чем к результатам любой экспертизы, независимо от конкретного способа получения ответов от экспертов, можно было бы относиться всерьез.

Проверяемы ли ответы экспертов инструментальными наблюдениями?

Если да, то почему используются экспертные оценки, а не инструментальные измерения? Вернемся к примеру с аттестацией рабочих мест [27]. Вербальные ответы экспертов здесь, по-видимому, проверяемы: реально ли довести рабочее место до нормативного уровня. Для этого целе-

сообразно провести соответствующие инженерные изыскания, возможно, экспериментальную проверку и т. д. Если такая работа на предприятии не велась постоянно, то в разовом порядке выполнить ее сложно и дорого. Дешевле создать из цеховых работников экспертные группы и провести экспертизу. Но надо сказать, что такая экономия обычно стоит дорого.

Если же ответ на первый вопрос отрицательный, то последующие вопросы становятся более острыми.

Существует ли объект измерения — экспертной оценки? Почему некоторая группа экспертов не сумеет определить численность населения и национальный доход Атлантиды?

Существование объекта измерения — переменной — надо доказывать. То, что эксперты дают какие-то ответы, не является доказательством существования переменной. Интеллект — это не то, что оценивается тестами на коэффициент интеллектуальности; и при этой оценке люди не отвечают на вопрос, чему равен ваш коэффициент интеллектуальности (НИ), а выполняют определенные местом задания (проблема валидизации тестов довольно сложна, см., например. [236], [258], [408]).

Понимает ли эксперт, о чем его спрашивают? Так, в работе по системно-психологической оценке руководящих кадров [229] отмечается, что «при оценке абстрактного авторитета излишне объяснять подчиненным, чем он отличается от функционального. Давая экспертную оценку, они будут квантифицировать свое целостное не- конкретизированное восприятие характера взаимоотношений со своим руководителем, то есть будут оценивать как раз абстрактный авторитет» [229, с. 104]. Что это значит? Что при хорошем отношении подчиненных к руководителю, он получит высокие баллы, а при плохом — низкие? Что же здесь измеряется — качества руководителя или отношение конкретных людей к этим качествам? Или это одно и то же? Можно ли описать «авторитет руководителя» одной переменной и т. д. Здесь опять уместно сравнение с тестами на КИ. Люди, отвечающие на вопросы теста, могут ничего не знать о КИ, об определениях интеллекта и т. д. Но они должны понимать вопросы, иначе тестирование невозможно.

Допустим, что эксперту попался вопрос о значении функции принадлежности: какова степень принадлежности Джона к классу высоких мужчин? [475, с. 174]. Дан ответ: 0,7. Что это значит? Способ получения терми-

нов «расплывчатое множество», «функция принадлежности» довольно прост. Характеристической функцией Х(4) множества A cz X называется функция, определенная на X и принимающая два значения:

% (а) = 1, если а г А,

% (а) = 0, если а ^ А.

Теперь определим на X функцию ц, удовлетворяющую следующим условиям:

О ^ ц(.г) ^ 1, х е X.

Далее, сопоставим этой функции множество А с X следующим образом:

А = {л:|р,(^) > 0}.

Множество А назовем носителем расплывчатого множества, пару (Л, ц(.г), х е X) — расплывчатым множеством, а функцию ц — функцией принадлежности. Математически объект «расплывчатое множество» введен корректно и вполне определен. Можно определить операции над этими множествами, доказывать разные более или менее интересные теоремы (см.: [39], [172], [173], и литература на эту тему растет). Если в практических приложениях ц(.г) элиминируется, то все в порядке. Если же нет, то ц(.г) — функцию принадлежности надо как-то интерпретировать. Для геометра неважно, что такое точки, прямые, плоскости и т. п. Но геометру показалось бы диким решать с помощью экспертных оценок вопрос, сколько параллельных данной прямой прямых можно провести через заданную точку. Почему же вопрос о степени принадлежности некого Джона классу высоких мужчин диким не кажется? Здесь может быть приведено следующее контрвозражение: в конце концов эксперты дают ответы на вопросы. Но тогда возникает следующий вопрос.

Как можно объяснить поведение экспертов? Объяснение, которое принимается как непреложное сторонниками неограниченного использования экспертных оценок таково: объект экспертизы существует, квалифицированный эксперт понимает, о чем идет речь, и в состоянии дать ответы на вопросы анкеты; неквалифицированный эксперт не понимает сути проблемы и поэтому либо не дает ответов на вопросы (отказывается от участия в экспертизе), либо дает плохие ответы. Согласно этой точке зрения основная проблема — подбор квалифицированных экспертов.

Такое объяснение, даже если в ряде случаев оно верно, дает возможность оказывать давление на кандидатов в эксперты и на экспертов. Отказ от участия в экспертизе в соответствии с этим объяснением интерпретируется как низкая квалификация. Поэтому наряду с «каноническим» объяснением поведения эксперта можно дать и альтернативные: объект экспертизы не существует и/или эксперт нс понимает вопросов анкеты, но дает на них ответы, опасаясь обвинений в некомпетентности, низкой квалификации, недисциплинированности, а также вследствие того, что участие в экспертизе престижно, потому что оно не требует больших усилий и затрат. Утверждать априори, что верно «каноническое» объяснение или, наоборот, верно неканоническое объяснение, нельзя. Но можно привести примеры поведения экспертов, где заведомо верным является неканоническое объяснение.

Г. Райфа приводит пример экспертной оценки вероятности того, что врачи пьют больше шотландского виски, чем американского [371]. Нас не должна смущать некоторая легкомысленность этого примера. Событие может быть в конце концов любым, существенным здесь является то, что эксперта просят оценить его вероятность. Ряд психологических исследований показал, что люди плохо справляются с оценкой вероятностей [219], [241], [242], [501]. В примере Г. Райфы эксперт тоже признается, что понятия не имеет, как следует правильно ответить на вопрос. Но тогда 0—1 интервал делится на две части и эксперта просят ответить, в какой из этих частей находится искомое число. После некоторых колебаний эксперт выбирает одну из частей отрезка. Ее опять делят на две части и процедура повторяется. В результате получается последовательность вложенных отрезков все меньшей и меньшей длины, пересечение этих отрезков дает искомую вероятность. Здесь важно отметить, что Г. Райфа иллюстрирует общий метод получения экспертных оценок, который работает независимо от содержания вопросов, объекта оценивания и, что важно, независимо от существования объекта оценивания. Самое главное — это побудить эксперта указывать на один из отрезков на каждом этапе разбиения области возможных значений переменной.

Приведенный Г. Райфой пример характерен не только тем, что из эксперта извлекается информация о вещах ему неизвестных, но и тем, что эксперт, как это видно из текста Г. Райфы, не может интерпретировать вопрос — он не знает5 что означает термин «вероятность». При этом

совершенно неясно, придает ли эксперт какое-то значение этому термину, и если придает, то какое. Есть, как известно, несколько различных интерпретаций вероятности, и в соответствии с некоторыми из них вопрос, на который отвечает эксперт у Г. Райфы, вообще не имеет смысла. В то же время какие-то элементарные знания по теории вероятностей считаются элементом культуры, и, возможно, эксперту просто неловко сознаться в том, что он не понимает вопросов, на которые дает ответ.

Давление на эксперта, побуждающее его давать ответы на вопросы, которые он не понимает, в том числе на вопросы заведомо бессмысленные,— это не академическая проблема. Экспертные оценки объективных характеристик рекомендуются к внедрению в практику управления в народном хозяйстве.

Что именно оценивает эксперт — характеристики объекта или свое состояние, свои ощущения? На эту проблему обратил внимание А. А. Ивин: «...Допустим, что в оценке „это яблоко хорошее “ яблоко оценивается со стороны его вкуса. Мыслимы два ответа на вопрос о том, чему именно приписывается в этом случае положительная ценность. С одной стороны, можно утверждать, что она приписывается самому яблоку или определенной совокупности его свойств, делающей это яблоко вкусным. Можно добавить, с другой стороны, что оценивается в данном случае в первую очередь вкус этого яблока, т. е. те ощущения, которые оно вызывает у нас, а уже затем само яблоко или отдельные его свойства» [178, с. 22]. Утверждения об ощущениях можно проверить только в результате инструментальных измерений. Именно здесь проходит граница между психофизическими измерениями и экспертными оценками «важности», «значимости», компетентности, вероятности, степени принадлежности к множеству и т. п. Когда Г. Фехнер, проверяя закон Вебера, сравнивал веса двух сосудов, истинный результат был известен. Закон Вебера описывает зависимость между ощутимым приращением сигнала AS (значение AS, которое обнаруживается с вероятностью = 1/2) и величиной этого сигнала 5:

AS = const-S.

Величина сигнала (шума, веса и т. п.) представлена в количественной шкале и измеряется инструментально. Закон Вебера сформулирован в наблюдаемых терминах: он проверяем и, как выяснилось, справедлив только в

ограниченной области изменения сигнала [170, [245], [359]. Испытуемый в этом случае (как и в случае с измерением КИ) не является экспертом, он только сообщает экспериментатору о своих ощущениях. Поэтому ссылки на работы по психофизике (и на работы по теории психофизических шкал), на работу дегустаторов, на определение температуры пламени по его цвету при обосновании экспертных оценок объективных характеристик неправомерны .

В тех же случаях, когда инструментальные измерения невозможны, отличить утверждения о внутреннем состоянии эксперта от утверждения о внешнем объекте нельзя. Таким образом, мы приходим к следующему вопросу.

Как проверить справедливость результатов экспертизы? Д. Кэмпбелл, анализируя проблемы оценивания программ, считает, что «групповое мнение, если существует полное согласие,— это упрямый факт» [236, с. 270]. Правда, Д. Кэмпбелл имеет в виду оценку мнения группы людей, но и в случае экспертного оценивания объективных характеристик совпадение мнений экспертов, если оно наблюдается, нельзя игнорировать.

«Каноническая» интерпретация совпадения (или близости) оценок различных экспертов такова: близость оценок — это свидетельство того, что эксперты оценивают значение одной и той же величины и делают это правильно. Иначе говоря, справедливость результатов экспертизы подтверждается близостью оценок экспертов.

Рассмотрим неканонические альтернативы. Каноническая интерпретация нэприемлема, если оценки экспертов не являются независимыми. Единогласие может быть следствием влияния авторитета, давления на экспертов, результатом методики. Так, в методике «Дельфи» эксперты могут пересматривать свои оценки, причем в некоторых версиях этой методики они должны объяснять, почему их оценки сильно отличаются от средних, а это — стимул к выравниванию оценок. В результате множество оценок на поверку оказывается одной, наиболее «авторитетной», либо следствием соглашения. Основы для различения этой ситуации от канонической интерпретации нет, и, следовательно, согласие экспертов в случае зависимых оценок

не дает ответа на вопрос о проверке справедливости результатов экспертизы.

Допустим, что оценки независимы. Это, в частности, значит, что они анонимны и нет так называемой регулируемой обратной связи, как в методе «Дельфи». (На отрицательные эффекты обратной связи в процедурах экспертизы при решении «задач уникального выбора» указывает и О. И. Ларичев [241, с. 122].) Совпадение оценок можно и в этом случае объяснить неканонически. Это совпадение может быть случайным. Обозначим возможные ответы экспертов на вопрос числами 7, ..., I, ..., т. Пусть имеется п экспертов: ЭХ1 .... 9j, ..., Эп. Будем обозначать событие: «эксперт 9j дал ответ I» следующим образом: ^9j = f}. Вероятность Р того, что все эксперты дадут один и тот же ответ равна

т

р = 5П Р rob v^^ty i=l J=1

Если эксперты выбирают свои ответы случайным образом, то

Prob ^9) = /} = 1/тп для всех г и у.

Следовательно,

Р = ТПг”п.

Если вопросов два и экспертов два, то вероятность полного совпадения равна lz2; но в общем эта вероятность быстро стремится к нулю при росте числа вопросов и экспертов. Распределение экспертов по вопросам, если ответы случайны и равновероятны, описывается полиномиальным распределением, что дает возможность по фактическому распределению проверить нулевую гипотезу о случайности совпадения ответов.

Допустим, что нулевая гипотеза отклоняется. Это не служит основанием для принятия канонического объяснения, так как не все возможные объяснения исчерпаны. Согласованность оценок может быть результатом неконтролируемого (и не поощряемого, как в методике «Дельфи») сговора. Эксперты могут вычислить «правильные» ответы, зная, как будут использованы результаты экспертизы; и тогда если целевые установки экспертов совпадают, то будут совпадать и их ответы. Анонимность, отсутствие контакта между экспертами при проведении экспертизы (что, кстати, трудно осуществить), запрет на пересмотр

оценок и т. п. еще не гарантируют независимости оценок. Согласованные отрицательные оценки качеств руководителя подчиненными могут быть результатом общего желания избавиться от него. Возможно, подчиненные правы в своем негативном отношении к руководителю, по какова реальная ценность этих оценок как измерителей объективных характеристик? Оценены не объективные характеристики, а отношение к ним.

Проблема зависимости экспертных оценок от целей экспертов обсуждается в литературе по экспертным оценкам. Так, Р. Пэнтл пишет по этому поводу: «Оценки эксперта зависят от его пристрастности. Например, человек, связанный с табачной кампанией, будет склонен не принимать во внимание мнение врачей о вреде курения. Аналогично значимость мнения эксперта по транспорту снижается до минимума, если его работодателя интересуют такие действия, которые могли бы привести к созданию заторов транспорта» [367, с. 37]. На эту проблему указывает Е. П. Голубков: «При нахождении оценок экспертным путем, помимо погрешности, вызванной недостатком информации о событиях и недостаточной компетентностью экспертов, возможна и погрешность, обусловленная возможной заинтересованностью экспертов в результатах оценки. Такая погрешность может значительно искажать оценки, и необходимо заранее предусмотреть меры для ее устранения» [130, с. 25]. Ключевыми словами в решении этой проблемы являются компетентность и беспристрастность экспертов. Но, как отмечает О. И. Ларичев, «эти два качества часто противоречивы и поэтому трудно осуществимы» [241, с. 143]. Но эта проблема носит более фундаментальный характер. Если измерение значения переменной строится как экспертная оценка, существуют две модели: первая — традиционная модель измерения вида

у = а + е,(4.30)

где а — истинное значение, 8 — смещение, у — результат измерения, и вторая, учитывающая заинтересованность эксперта:

Уi ^ ^гVy I | ^г (^It • • *1 Уг^ • • • #) ^^

^ max min иг (у^ ..., у^ ... а)1,(4.31)

Уг У^Уг)

где уг — оценка yi е D, t-ro эксперта^ и^.^ — функция

выигрыша Z-ro эксперта, зависящая от его экспертной оценки, от экспертных оценок других экспертов и от истинного значения переменной, D — множество допустимых оценок; уг — объявленная экспертом г оценка.

Во второй модели оценки — это стратегии эксперта, которые он выбирает с учетом (если это вообще возможно в конкретном случае оценивания) истинного значения переменной, возможных оценок своих коллег, решений, которые могут быть приняты на основе результатов экспертизы и своего выигрыша.

Если инструментальные измерения возможны, то можно провести серию экспериментов и выяснить на их основе, какой модели поведения придерживается эксперт. Но в тех случаях, когда инструментальные измерения невозможны, отличить модель (4.30) от модели (4.31) невозможно. Это обстоятельство определяет ответ на последний вопрос относительно валидности экспертных оценок объективных характеристик.

Как установить точность и надежность экспертных оценок объективных характеристик?

Если инструментальные измерения возможны, то контрольные замеры этими методами позволяют установить точность и надежность ответов экспертов (что, кстати, решает в принципе проблему установления компетентности экспертов). Но если инструментальные измерения невозможны, то экспертные оценки объективных характеристик непроверяемы и, следовательно, неприемлемы. Здесь мы еще раз подчеркиваем, что рассматривали экспертные оценки как измерители значений переменных, описывающих объективные характеристики, а не опросы общественного мнения или экспертизы для построения функций полезностей.

Идентификация экономико-математических моделей

Основные проблемы и методы идентификации

Под идентификацией модели подразумевается выбор из некоторого множества моделей такой, которая наилучшим образом согласуется с эмпирическими данными. В частном случае, когда множество моделей задано параметрически, идентификация — это приписывание конкретных численных значений параметрам модели, т. е.

идентификация совпадает с процедурой косвенного измерения. Здесь необходимо сделать одно замечание по поводу использования термина «модель». Например, запись производственной функции с постоянной эластичностью замены

q = 6 [а£~р + (1 — а) L~p] ^ем (4.32)

часто именуют просто моделью, хотя, строго говоря, (4.32) — это схема моделей, множество моделей, заданное параметрически. В конкретную модель (4.32) превращается, если указаны конкретные численные значения параметров а, 0, у, 6, %. Например:

In q = In 0.97 - J^ In (0.74^~°'58 + 0.26ZT0’58) —

— 0.02 (£ — И).

Обычно это не приводит к путанице, но в данном случае различие между моделью и схемой моделей (множеством моделей) существенно.

В общем случае, если Xt (i = 1 ~ п) переменные, а

s С П ^»(4.33)

г

— система зависимостей между этими переменными (необязательно функциональная), то задача идентификации заключается в следующем. По эмпирическим данным, Хц eXi (J = 1 ~ m h mi — мощность множества зарегистрированных значений переменной Хь / — индекс зарегистрированного значения переменной Х^ требуется найти систему S ^ D ф — множество моделей, не обязательно заданное параметрически), такую, что

р(£, 5) < р(5, 5), S eD,(4.34)

где р(.,.) расстояние между моделями (метрика в D, либо математическое ожидание метрики в D\ Обычно истинное значение S неизвестно и условие (4.34) не- проверяемо. Поэтому первоначальная задача заменяется следующей (необязательно эквивалентной исходной): подобрать S такое, что

р (5, 5*) < р (5, 5*), S^D, Se D,(4.35)

где 5* — множество п оценок зарегистрированных значений переменных Xf.

8* = {(^11» ^21’ •••' ^ilf •••> ^nl)» •*•1 ^lb

Xtj, ..., &nj)i ^1пи ••♦> ^1тл •••! ^nm)^ причем здесь

mt = m для всех i = 1 ~ n.

Таким образом, модель идентифицируется относительно конкретных эмпирических данных. В этом отличие идентифицируемости от проверяемости.

В некоторых случаях переменные удобно разделить на части: входные, выходные переменные и переменные состояния. Если выделены только входные и выходные переменные, то исследуемую систему (4.33) можно иногда представить в форме, которая в эконометрии называется приведенной 10:

Y = АХ,(4.36)

где Y — переменные, описывающие выход системы, X — переменные входа, А — оператор, преобразующий вход в выход.

Задача идентификации в этом случае заключается в поиске оператора, наилучшим образом связывающего наблюдаемый вход системы с ее наблюдаемым выходом. Частный случай, когда Y и X — функции от времени, подробно рассматривается в теории автоматического регулирования ([160], [218], [360], [479] и др.). Иногда идентификация понимается в этом узком смысле [370], [572]. Если оператор в (4.36) может быть представлен в виде простой функциональной зависимости, a Y и X — как множества вещественных чисел, получаем обычную модель (точнее, схему моделей) типа (4.32):

. У = М а),(4.37)

где а — параметры.

Если модель автономна, т. е. вход отсутствует, то получаем случай прямого измерения значения переменной

У = /(а).

10 Это значит, что нет пропусков в наблюдениях; в настоящее время существуют методы идентификации в условиях пропуска части данных (см., например, [140], [273], [477]).■

В эконометрии часто приходится иметь дело с моделями (схемами моделей) в структурной ферме

(4.38)(4.38)Ф(у, ^ а) = О

(4.38)

(4.38)

или

Ф(^, а) = О, если нельзя разделить переменные на входные и выходные.

С формальной точки зрения существуют большие различия между приведенными и структурными уравнениями, идентификация последних оказывается часто более сложной задачей, чем идентификация модели в приведенной форме [273], [446].

Рассмотрим простейший пример. Случайная ошибка отсутствует, множество моделей в приведенной форме задано параметрически:

у = а + р^, причем D — {а, 0|а ^ О, 0 ^ 0}. (4.39)

Пусть зарегистрировано по одному значению переменных у и х\ уг и хх соответственно. Идентифицировать схему моделей (4.39) нельзя, так как через точку (ук1. хг) можно провести сколько угодно прямые, удовлетворяющих условию

У1 = а + 0^, а ^ 0, 0^0.

Пусть для определенности уг > 0 и хг > 0. Нужно по крайней мере два наблюдения, чтобы идентифицировать одну из этих прямых как соответствующую исходным данным. Допустим, что еще одно наблюдение сделано и в неотрицательном ортанте получена точка (у2, х2).

Тогда, решая систему уравнений

а + 0^1 = Уг а + ^2 = Ун

можно вычислить а и 0:

Если полученные а и 0 принадлежат множеству D, т. е. если а ^ 0, 0^0, то модель (4.39) идентифицирована относительно эмпирических данных (уп я^), (у21 х2). В данном случае мы обходимся без проверки выполнения условий (4.34) или (4.35), поскольку рассматриваем строго детерминированную модель. В стохастическом случае

(а именно он и имеет место на практике) надо задавать меру согласованности модели и эмпирических данных в явном виде, причем для различных мер в общем случае получаются различные* решения; задача выбора функции р(5, 5*) весьма нетривиальна. Мы остановимся на этой задаче позже, а пока вернемся к модели (4.39). Приведенный пример иллюстрирует то положение, что идентифицируемость существенно зависит от эмпирических данных. При некоторых наборах данных задача идентификации не имеет решения в том смысле, что решение задачи

р(5, 5*)-^ min; S^D,(4.40)

неединственно. Так, в нашем примере (при любой р (...), удовлетворяющей условиям метрики) при одном наблюдении решением этой задачи было множество D* = — (а, Р1У1 = а + Р^, а ^ 0, р ^ 0}; D* cz D (мы предполагали, что yt и ^ неотрицательны). Следующее наблюдение еще более сужает первоначальное множество моделей D. Решением задачи (4.40) при двух наблюдениях оказалось множество, состоящее из одной точки: {а, Р1Уг = ^ + P^i, / = 1, 2, а ^ 0, р ^ 0}, т. е. при новом наборе данных задача идентификации решена. Если некоторая модель (схема моделей) неидентифици- руема при любых наборах данных, то она непроверяема и, как об этом уже говорилось ранее, должна быть отброшена. Например, модель

У = Ф1 + р2)ж;(4.41)

Р = (Pl, р2 — вещественные числа}

неидентифицируема ни при каких эмпирических данных. При любых 5* множество решений задачи идентификации (4.40) будет иметь вид D* = {рп рзЦ^ + р2 = р*}, где Р* — решение задачи (4.40) для модели

У = Р^,

если это решение существует.

Отметим, что существованию решения задачи (4.40) не всегда уделяется должное внимание. Между тем задача (4.40) может не иметь решения [35], [154]. Например, если в примере (4.39) ^ > 0 и гг2 > 0, но уг < 0 и у2 < 0, то множества D* и D** пусты. Другой пример: модель

у = еи\ X — вещественное число.

Если у(^ << 0 при некоторых £, то эта модель неиденти-

14*211

фицируема (относительно зарегистрированных значений переменных у и I). Например, если X ищется методом наименьших квадратов, то минимум

2Q/i~ exP(^i))2 г

не существует:

lim 5 (Уг - ехР (^i))2 = 2 уХ С 2 кУг - exp (^i))2;

Х^ — оо ггг

ц > — сю.

Обычно множество моделей D строится так, что искомый минимум меры согласования модели и данных существует при любых наборах данных, хотя быть может решение задачи (4.40) и не единственно. Отсутствие решения задачи (4.40) — это признак грубой ошибки при построении схемы моделей D.

В идеальном случае множество моделей D задается экономической теорией. В случае конкурирования нескольких теорий идентификация в некоторой степени совпадает с проверкой теорий. Модель идентифицируется в объединенном множестве Л = U DXl т — индекс теории. Если оказывается, что S ф Dx, то такие теории оказываются фальсифицированными, но относительно набора данных 5*. Последнее замечание существенно. Оно означает, например, что, если для какого-то набора данных об объеме выпуска, основных фондов и трудовых ресурсов функция Кобба— Дугласа оказывается неприемлемой, то это еще не означает, что функция Кобба — Дугласа неприемлема вообще, для любых производственно экономических систем. Альтернативой, а иногда и единственно возможным способом построения D, является так называемый эмпирический подход: неизвестная зависимость между переменными представляется в виде следующего ряда:

У = / М = 2 «гФг(4.42)

г

где ^t^ — заданные функции, а^ — параметры модели.

Наиболее простое (но не всегда наиболее эффективное и не всегда возможное) представление такого вида — это разложение неизвестной зависимости в ряд Тейлора в

окрестности некоторой точки ж0:

/ W = /М + ^ (ж ~ zo) + 4 ^ ^ ~ жо)2 + • • •

По теореме Вейерштрасса любая аналитическая функция- заданная на компакте, может быть представлена в вид, степенного ряда. Фактически при описании экономив ческих процессов приходится иметь дело именно с такими функциями; аппроксимизация неизвестных зависимостей полиномами довольно часто используется в экономикостатистических исследованиях.

В более общем плане параметры az- в (4.42) можно рассматривать как координаты функции в некотором абстрактном (обычно гильбертовом) пространстве. Задача идентификации, таким образом, становится эквивалентной задаче определения координат функции /(•) по регистрированным значениям переменных. Формально нет различия между представлением искомой зависимости в виде (4.42) и в замкнутой форме (типа (4.32), например). На практике, однако, это различие проявляется в различии количества параметров, подлежащих оцениванию. Например, в (4.32) всего 5 параметров, и можно их оценивать, если число наблюдений не меньше 7; если же эту функцию представить в виде (4.42), например, в виде степенного ряда, то количество параметров, подлежащих оцениванию, оказывается бесконечным (можно сделать это количество конечным, если наложить соответствующие априорные ограничения на параметры; но этих ограничений должно быть бесконечно много). Следовательно, при эмпирическом подходе приходится вместо бесконечного ряда (4.42) использовать только сумму нескольких первых его членов; появляется ошибка усечения е^ху

N

2=1

Поскольку ошибка усечения е(х) зависит от х^ ее нельзя рассматривать как систематическую и просто включить в модель. Если ряд (4.42) сходится медленно, то ошибка усечения может оказаться значительной. Таким образом, элиминирование теории оказывается непрактичным. Но сравнение теоретической модели с эмпирической вида (4.42) представляет большой интерес; поэтому нельзя не согласиться с Е. 3. Демиденко, считающим, что качество теоретической модели следует определять по результатам ее сравнения с эмпирической вида (4.42) [154].

4.3.2. Сравнение, подгонка и идентификация моделей

Правомерен вопрос, зачем сравнивать модели, если в процессе решения задачи (4.40) такое сравнение производится автоматически. Действительно, решение задачи (4.40) (если оно существует) удовлетворяет условию (4.35), т. е. оно является наилучшим относительно выбранного критерия р(5\ S*\ Если же критерий неадекватен, то почему бы не заменить его сразу адекватным? Но дело в том, что в предыдущем пункте была сделана подмена задач. Вместо задачи идентификации

р (S, S')min, S^D,(4.43)

т. е. вместо поиска S, удовлетворяющей условию (4.34), рассматривалась задача (4.40) — задача подгонки модели под эмпирические данные. Эта подмена задач — подгонка вместо идентификации — и вынуждает решать задачу проверки, сравнения моделей.

Задача идентификации может быть решена, если все Xt — конечные множества. Зарегистрировав все допустимые, т. е. удовлетворяющие (4.33), значения переменных Xi, можно получить информацию о множестве 8; если просмотрены все значения переменных, то будет просто

Г 5 - 5*.

Простейший пример — это идентификация модели в множестве допустимых моделей, которое состоит из всех мат- риц вида || Ь1Д:

' 1, если предприятие i поставляет продукцию ^ . = . предприятию у;

0, в противном случае.

Матрица || ^Д — описание хозяйственных связей между промышленными предприятиями; индексы i и у пробегают примерно 43 тысячи значений. Положим в (4.33) п = Х\ где N — количество предприятий, пронумеруем все элементы матрицы || Ь(Д по схеме

z - G - i)W +7,

так что

Z = entier (J/N) + 1,

у = I — TV-entier (Z|TV),

где entier (l/N) — целая часть от деления I на N; и, таким образом, каждому Ъ^ сопоставим переменную Х1т которая принимает одно из двух значений: 0 или 1. Множество допустимых моделей D — все произведение JJ Х^ i

его мощность 2^. Множество 8 состоит из одного элемента — истинной структуры хозяйственных связей. Просмотрев все пары предприятий, получаем п оценку

s* = К^п •^п)!,

где Хх — зарегистрированное значение переменной Xt. Далее, решаем задачу идентификации, просто положив

£ = 5*.

Если ошибок регистрации нет, то

8 = 8,

так как при отсутствии ошибок регистрации

8* = 8.

В данном случае задача идентификации полностью совпадает с задачей описания фактического положения дел. Но все становится значительно сложнее (в методологическом плане), если множество значений одной или нескольких переменных Xf бесконечно. Теперь по выборке конечного объема нельзя так просто идентифицировать модель. Ситуация значительно усложняется и в том случае, когда есть ошибки регистрации. Идентификация сводится к простому описанию, если только, и только если множество переменных и множества значений всех переменных конечны и нет ошибок регистрации. Мы можем, таким образом, дать определение довольно расплывчатому термину «описательная наука». Речь идет о науке, которая идентифицирует модели в конечном множестве допустимых моделей; множества переменных конечно, и все переменные принимают конечное множество значений, причем ошибки регистрации отсутствуют (или могут быть элиминированы). Описательными науками были: география во времена Великих географических открытий, астрономия во времена Коперника и Галилея. В экономической науке есть описательные фрагменты, вроде приведенного выше, которые играли и играют важную роль. Но вся экономическая наука описательной быть не может; точ-

ность и надежность регистрации ограниченна, хотя бы даже все модели строились без использования переменных, принимающих бесконечное количество значений (эффективность таких моделей была бы крайне низкой в силу их громоздкости — в связи с этим замена инфинито- земальных описаний фреймами, хотя и любопытна, но, видимо, неосуществима).

Здесь необходимо сделать одно замечание. В любом случае существует тривиальное решение задачи идентификации. Дело в том, что на выбор множества допустимых моделей D трудно наложить разумные ограничения: но множество D можно, конечно, варьировать. Тривиальная идентификация (в силу своей тривиальности не такая уж редкая) сводится к следующему. Регистрируются значения переменных модели Xf, таким образом получается множество 5*. После этого определяется множество допустимых моделей D:

D = {5*}, (4.44) так как множество допустимых моделей состоит только из одного элемента 5*, сразу имеем

5 = S*.

Формально здесь нет никакой ошибки, но модель (теория) сводится к простой констатации фактов. Установление фактов может быть важным делом, но только если на основе этих факторов делаются выводы, строятся прогнозы, планы и т. д. Схема (4.44), напоминающая описательную науку, этого сделать не позволяет.

Схема (4.44) позволяет строить наилучшую подгонку относительно конкретных данных S*, но желательно, чтобы модель была бы валидной при разнообразных данных, в идеальном случае — при любых эмпирических данных. А для этого необходимо расширить множество D^ вводить стохастику, т. е. надо идти на риск построения фальсифицируемых моделей.

Введение стохастики формально мало что изменяет в схеме (4.33—4.35), но в содержательном плане это означает, что следует идентифицировать функцию распределения или же оператор преобразования функций распределения. Разделим переменные в (4.33) на контролируемые, т. е. на такие, которым можно придавать произвольные значения, и на неконтролируемые. Здесь есть аналогия (но не более) с входными и выходными переменными,

так как входные переменные могут быть только частично контролируемы и т. д. Пусть неконтролируемые пт первых переменных; задав соответствующим образом сигма- алгебру на JJX2, введем множество функций распределе- г

ния наЦХ\; обозначим его 9. Совместную функцию распределения случайных переменных обозначим как

Мы получаем схему (4.33), записав

S а9 X ХП1+1, ... X Хп.(4.45)

Если пх = п, то получаем схему корреляционного анализа или так называемую регрессию I [459], [343]. При пг = 0 возвращаемся к детерминированной модели.

Если множество допустимых моделей параметризиро- ванно, то задача заключается в том, чтобы по конечному числу наблюдений сделать вывод о значении параметров модели. Но практически параметризация D возможна только в редких случаях (например, пг = п = 1 и заведомо известно, что 9 — множество нормальных распределений). Поэтому задача решается в несколько этапов. Выбирается некоторое подмножество D' cD, причем D не обязательно задавать в явном виде. По эмпирическим данным 5* решается задача подгонки в D'. Случайность 5* обусловливает случайность 5; случайным, следовательно, является и значение меры соответствия р(5, 5*). Неравенство (4.35) выполняется с некоторой вероятностью

Р rob {р (5, 5*) < р (5, 5*)} = а ф'),(4.46)

S, S е D', 5* может принадлежать или не принадлежать D'. аф') указывает на то, что эта вероятность зависит от выбора множества D'. Так, в случае тривиальной идентификации D' = {S'*} эта вероятность равна 1.

Аналогичным образом неравенство (4.34) выполняется с некоторой вероятностью, зависящей от D' ф' здесь играет роль априорной информации).

Определение паилучшего S (в среднем или с заданной вероятностью и т. п.) не является, как уже отмечалось, конечной целью: нужна не подгонка1 а идентификация.

Абсолютно точно и надежно эту задачу в случаях, не сводящихся к простому описанию, решить, как уже отмечалось, нельзя. Но на основе решения задачи подгонки, т. е. на основе сведений о 5, можно проверить гипотезу

S cz 5.

По определению, ScS*X ^n +i> X ... X ХП1 следовательно,

Prob^S а 9" X ^+1 X ... X Хп] = 1.

Надежность абсолютная, но точность равна нулю. В то же время

Prob{SczS*^0;

точность здесь максимальная, но надежность совершенно отсутствует. S является компромиссом между этими крайними случаями. Если вероятность того, что «вычисленное» множество S накрывает истинную систему 5, достаточно велика, то задача идентификации решена.

Таким образом, подгонка и проверка результатов подгонки — это две последовательные процедуры идентификации в нетривиальном случае, когда множество значений хотя бы одной переменной модели бесконечно и возможны ошибки регистрации. Вырожденным случаем этой схемы является проверка произвольной гипотезы. Результат подгонки — это гипотеза {5 cz 5}, которая должна быть проверена. Но проверять можно не только гипотезу {Sc3}, но и сколь угодно большое количество других гипотез, например {5 cz 5}, где SgD". В конце концов откуда появилась гипотеза, как она выдвинута, неважно; история гипотезы не влияет (не должна влиять, точнее) на результаты проверки — в этом смысле проверка должна быть беспристрастной. Но это не означает, что этап подгонки бесполезен. На этом этапе отсеиваются гипотезы с малой конкурентоспособностью.

Если результат подгонки (предполагая, что он существует) определен однозначно, то о результате проверки этого сказать нельзя. Теория статистической проверки гипотез — один из важнейших разделов математической статистики. Ключевыми словами в ней являются: «ошибка первого рода» и «ошибка второго рода».

Ошибка первого рода допускается, когда отвергается истинная гипотеза; ошибка второго рода — не отвергнута

ложная гипотеза. При конечном числе наблюдений вероятности этих ошибок нельзя сделать равными (или сколь угодно близкими нулю) одновременно. По даже в том случае, когда вероятность события равна нулю, нельзя утверждать, что это событие невозможно. Справедливо только обратное утверждение: вероятность невозможного события равна нулю. Поэтому то, что гипотеза не отвергнута, не означает, что она истина, и наоборот: то, что гипотеза отвергнута, не обязательно отвержение проверяемой гипотезы. Но не означает, следовательно, что следует принять ее отрицание (обстоятельство, на котором К. Поппер построил свой принцип фальсифицируемости). Логика статистической проверки гипотез в этом плане похожа на интуиционистскую логику, отрицающую закон исключенного третьего: либо Но — истина, либо отрицание Но — истина [112]. Привлечение интуиционистской логики к анализу методологических проблем теории статистической проверки гипотез представляется весьма интересным, но необходимым оно не является. Противоречия не возникает и в рамках традиционной логики, признающей закон исключенного третьего: отрицанием гипотезы Но является дизъюнкция простых гипотез Hv\/ Н2 У .... Поэтому непринятие гипотезы {5 cz 5} не влечет за собой принятие конкурирующей гипотезы {5 cz 5} (здесь, конечно, имеется в виду, что 5 Q S = 0).

Процедуры идентификации выполнены тем лучше, чем больше информации «выжато» из эмпирических данных S* [78]. Существуют различные мнения о допустимости повторного использования эмпирических данных: первый раз — для подгонки модели, второй — для проверки. В ряде методов идентификации эмпирические данные делятся на две части — «обучающую» и проверочную ([63], [161], [380] и др.). Теоретико-вероятностное обоснование этой процедуры в схемах эволюционного (адаптивного и т. п.) моделирования не приводится. Существует, конечно, естественное разделение данных на две части: 1 — данные, имеющиеся к моменту идентификации, и 2 — данные, полученные после идентификации. Нет сомнений, что модели следует адаптировать к новым данным. Но данные, имеющиеся к моменту идентификации модели, следует, видимо, использовать полностью. Ни точность, ни надежность идентификации не снижаются от того, что одни и те же эмпирические данные используются и для подгонки и для проверки ее результатов, так

как проверка модели должна основываться только на эмпирических данных, а не на истории построения модели.

Переход от схемы (4.33) к схеме (4.45) требует выдвижения гипотезы о множестве распределений 3" или выдвижения дополнительных гипотез о множестве D, если З7 — просто множество всех функций распределения на Хг X Х2 X ... X Хп. Например, часто предполагают, что случайные величины Xt (i = 1, /г) независимы в совокупности

9" = {^1> ^п)!^, .... Хп) =

= ^1(^1)-^2(^2) ... F пх^хп^.

В любом случае какие-то гипотезы о свойствах случайных величин, введенных в модель, делать необходимо. Часто эти гипотезы выдвигаются в форме гипотез о распределении случайных ошибок в схемах моделей вида

У = <р(х, а) + е, (4.47) где х — независимые переменные, у — зависимая переменная, а — параметры модели, ф(.,.) — заданная схема функций, параметризированная а, 8—случайная ошибка.

Если нет никакой информации о случайных ошибках 8, выдвижение гипотезы о законе их распределения вызывает затруднения. Отметим, что, учитывая допустимость вырождения двухшаговой процедуры идентификации, гипотезы можно выдвигать любые; важно, чтобы они затем были подвергнуты проверке на эмпирическом материале. Решение задачи идентификации не заканчивается вычислением оценок параметра а в (4.47); процедура проверки неустранима. Существуют, однако, подходы к выдвижению гипотез о распределении случайных ошибок. Наибольшее внимание этим вопросам уделяется в рамках теоретико-информационных и байесовских методов оценивания и идентификации, где требуется вводить в модель априорную функцию распределения ([41], [175], [499] и др.).

Альтернативой методам, основанным на функции правдоподобия, и в более общем плане — альтернативой идентификации является прагматическое оценивание параметров модели, в явном виде учитывающее потери от ошибок оценивания. Эти методы, развиваемые в рамках теории статистических решений ([141], [371], [372] и др.) и теории статистических игр [141], [261], весьма

перспективны. Правда, серьезной проблемой становится проверяемость выбора решения; при таком подходе она возможна только после реализации решения, так как оценки оптимального решения в общем случае могут оказаться смещенными. В ряде случаев прагматическое оценивание позволяет сформулировать требования к характеристикам оценок, в частности к их точности и надежности. В простейшем, но достаточно важном случае получаются традиционные требования классических стандартов математической статистики. Пусть, например, зависимость эффективности решения от оцениваемого, по эмпирическим данным, параметра а описывается непрерывной, по крайней мере дважды дифференцируемой по а функцией, а потери — вследствие неточного оценивания аналогичной функцией Ж (а — а), причем Ж(0) = 0 (а — оценка параметра а). Разлагая функцию потерь в окрестности точки А = (а — а) = 0 в ряд Тейлора и отбрасывая члены высшего порядка малости, получаем

Л dW ,. 1 d2W ,

Ж(а-а)»-^-(а-а) + т^-(а —а)2.

Пусть а — несмещенная оценка параметра а : Ма = а. Тогда математическое ожидание потерь вследствие неточности оценивания будет в первом приближении равно

MW (а — а) « -л- (^ —9 Da^

х ' аь- х '2 а^

где Da — дисперсия оценки а.

Из этого следует, что наилучшей в первом приближении оценкой параметра а будет та, дисперсия которой минимальна. В случае линейной регрессии дисперсии оценок параметров пропорциональны дисперсии случайной ошибки, которая оценивается суммой квадратов остатков; прагматический подход, таким образом, совпадает в этом случае с оцениванием методом наименьших квадратов.

4.3.3. Проблемы идентификации модели

межотраслевого баланса и матрицы Леонтьева

Учитывая различие между схемой моделей и моделью, мы можем сказать, что количественная модель, имеющая практическую ценность,— это прежде всего идентифицированная модель. Если модель нельзя идентифицировать

ни при каких эмпирических данных, то вся схема моделей непроверяема и, вообще говоря, должна быть отвергнута. Если модель непдентифицируема только при определенных, конкретных эмпирических данных, то это еще не основание для отбрасывания всей схемы; но в данном конкретном случае ее следует видоизменить так, чтобы отдельные элементы множества (схемы) моделей оказались различными относительно имеющихся эмпирических данных. Таким образом, на идентифицируемость влияют два основных фактора: качество моделирования и природа моделируемых объектов и процессов. Как мы покажем ниже, эти факторы не всегда различны.

Рассмотрим несколько примеров. Прежде всего обратимся к популярным в экономической литературе моделям «затраты-выпуск» и межотраслевому балансу. Популярность этих моделей объясняется в основном их математической простотой и на первый взгляд наглядностью, почти очевидностью уравнений этих моделей. Правда, ранее мы уже отмечали, что есть некоторые сложности с этими уравнениями: только по этим уравнениям нельзя отличить модель преобразования — «затраты-выпуск» — от модели состава — межотраслевого баланса. Между тем, как уже отмечалось, свойства этих моделей и области их возможного использования весьма различны. Можно ожидать, что это различие проявится и в их различной идентифицируемости.

Рассмотрим сначала эту модель в замкнутой форме в виде структурных уравнений

X - АХх (4.48)

где X — объем выпуска, А — матрица прямых затрат.

Вектор выпуска наблюдаем. Задача идентификации модели (4.48) заключается в определении конкретных числовых значений коэффициентов матрицы А. Если (4.48) — это модель преобразования, т. е. если А не матрица состава продукта, а матрица Леонтьева, то, как было ранее показано, нельзя просто положить

ац = хц!х},(4.49)

где хц — поток продукции отрасли I в отрасль /.

Рассмотрим сначала идентифицируемость матрицы Леонтьева. Ограничимся идентификацией первого уравнения; причем для того чтобы не приводить громоздкие выкладки, будем рассматривать простейший случай двух-

отраслевой модели. Прежде всего попробуем идентифицировать матрицу А по наблюдениям за несколько периодов времени

Xt = AXt, t = 1 ~ТXt = AXt, t = 1 ~Т(4.50)(4.50)

Xt = AXt, t = 1 ~Т

Xt = AXt, t = 1 ~Т

(4.50)

(4.50)

(4.51)(4.51)или для первого уравнения

(4.51)

(4.51)

^lt ^ll^lt ~Н ^12^2^

(4.52)(4.52)В литературе обычно указывается, что таким образом оцепить коэффициенты матрицы А практически невозможно, так как количество наблюдений Т должно быть очень большим, а такой статистики за много лет не имеется; кроме того, матрица А изменяется с течением времени и т. д. В общем это все верно, но не в этом суть дела. Предположим, что Т достаточно велико (в нашем примере с двумя отраслями достаточно, чтобы Т ^ 3), что статистика о выпуске есть и что А = const в этом периоде. Запишем (4.51) в виде статистической модели

(4.52)

(4.52)

*^lt ^ll^lt ~F ^12^2^ + ^lt,

где elf— случайная ошибка; предполагая, что Мг^ = 0 и Dslt < оо будем считать 8xt — нормально распределенной случайной величиной.

Используя метод максимального правдоподобия в предположении, что случайная ошибка нормально распределена, приходим к оцениванию параметров уравнения (4.52) методом наименьших квадратов. Получаем

Нетрудно видеть, что для второго уравнения будет получен аналогичный результат: а21 = О, а22 = 1. Подставляя эти результаты в (4.52) и во второе уравнение, получаем, что 8^ = 0 и 82t = 0, т. е. остатки — оценки значений случайных ошибок равны нулю для всех периодов наблюдения. Это значит, что результаты абсолютно «точные и надежные»; статистическая проверка не отвергнет эти результаты при любом, сколь угодно малом уровне значимости. И действительно, после идентификации получена модель

^f — 1 • x^t %2t — I'^t*(4.53)

Эти уравнения верны при любых зарегистрированных значениях объемов выпуска.

Абсурдность этого результата нельзя объяснить неверным выбором метода подгонки модели. Использование любой целевой функции, зависящей от остатков

W (..., eib • • •) = W (..., хи — ^аухь ...

такой, что

WA ... 0)< Ж(..., еи, ...); еи>0,

приведет к такому же результату. Модель «затраты-вы- пуск» в замкнутой форме (4.50) неидентифицируема ни при каких наборах эмпирических данных.

Рассмотрим теперь открытую модель «затраты-вы- пуск»

X = АХ + У,(4.54)

где У — вектор, описывающий объемы потребления; предполагается, что значения этого вектора за ряд периодов наблюдения t = 1 ~ Т известны.

Перенося объем потребления в левую часть (4.54), получаем обычную на первый взгляд линейную регрес-

сионную модель. Так для первого уравнения имеем следующую статистическую модель:

vlt = Дц^т + a^t + 8it;(4.55)

здесь V = X — Y или vit = xit — уи-

Теперь оценки параметров ап и а12, полученные, например, методом наименьших квадратов, зависят от зарегистрированных значений переменных xln yie Так, оценка аи равна

22 Ж21УИ “ 2 Ж21 2 Ж11уи

t t \/

При этом не обязательно бц = &ц = 0.

Оценки элементов матрицы Леонтьева будут обладать всеми свойствами оценок метода наименьших квадратов, в частности будут несмещенными, если, конечно, выполняются стандартные предположения метода наименьших квадратов о законе распределения случайных ошибок 8^. Но эти предположения не выполняются; в частности, можно показать, что ошибки e1t, 82t, ... e^t, ••• зависимы в совокупности для каждого момента времени t. Для этого обратимся к выводу системы (4.54).

Исходным пунктом построения модели «затраты-вы- пуск» являются производственные функции с нулевой эластичностью замены и постоянной отдачей на масштаб

х, = min гх, = min гагэагэ(4.56)(4.56)

х, = min г

х, = min г

агэ

агэ

(4.56)

(4.56)

Мы уже отмечали ранее, что производственная функция (4.56) в модели «затраты-выпуск» постулируется; но ничто не обязывает конкретную экономику выполнять этот постулат; поэтому его совершенно необходимо проверять на конкретном эмпирическом материале, например, сравнивая с производственной функцией более общего вида, где отдача на масштаб и эластичность замены не зафиксированы априори.

х^ = min гх^ = min г+ Sj-+ Sj-Введем в (4.56) случайную ошибку. Если сделать это аддитивным способом, то получаем следующую статистическую модель:

х^ = min г

х^ = min г

+ Sj-

+ Sj-

225225(4.57)

225

225

15 р. л. Раяцкас, М. К. Плакунов

При выводе модели «затраты-выпуск» делается предположение, что объемы ресурсов сбалансированы, т. е. объемы хи используются полностью:

Х^/ац — хкз!аМ для всех ^’ /•(4.58)

Если условие (4.58) выполняется, то для любого г можно, исходя из (4.57), записать

аи^з = хи + а13бр(4.59)

Суммируя (4.59) по всем видам продуктов ] и учитывая

конечное потребление ресурса г — уг, получаем статисти-

ческую модель уравнений (4.54):

^J Q/^Xj^J X^j -{- ^J d[j&j ,

333

(4.60)

x.-^ + Угч 3 откуда

(4.61)

хг = 2 &гзх3 “1“ У г 2 ^ij^j' 33

или в матричной форме

(4.62)

X - АХ + У - Л0;

0 — вектор случайных ошибок 87-.

(4.63)

Уравнение (4.62) нельзя оценить методом наименьших квадратов, так как распределение случайной ошибки зависит от неизвестных, подлежащих оценке параметров ац. Это значит, что оценивать надо сразу всю систему (4.63); но предварительно ее необходимо разрешить относительно 9:'

0 - X - Л-ХХ + А~гУ = X - В(Х - У) =

= X - BV,(4.64)

где В = Л"1.

Для перехода от (4.63) к (4.64) необходимо наложить априорное ограничение на матрицу А:

det А Ф 0.(4.65)

Кроме того, обычно полагают, что det (Л — /) =/= 0.

Ограничения (4.65), вообще говоря, не вытекают из экономической теории; в условии (4.58) предполагается, что согласованы объемы х^р но не накладывается никаких ограничений на технологические коэффициенты ац. Кроме того, статистическая модель (4.64) отличается от (4.55),

она позволяет оценить пе элементы матрицы Л, а элементы обратной матрицы. Например, первое уравнение системы (4.64) записывается в виде

^it = bnvlt + 6i2z?2t + ^ь (4.66)

Модель (4.55) некорректна, так как для ее справедливости необходимо выполнение условия

2 ^гЗ^З ~ ^31 3

что возможно либо при 8; = 0, либо при условии, противоречащем (4.65): det (Л — /) = 0. Предположение, что в; = 0 аналогично предположению

Xt - AXt + Yt (4.67)

для всех t, что необязательно выполняется. Если вклю чить (4.67) в описание множества матриц, в котором проводится идентификация, то это множество может оказаться пустым.

Если оценена матрица, обратная матрице технологических коэффициентов, то возникает ряд технических проблем перехода к оценке матрицы А, так как в общем случае необязательно А = (В)-1 будет сколь-нибудь удовлетворительной оценкой матрицы А. Эти проблемы рас* сматриваются в литературе по идентификации эконометрических моделей (см. например, [273], [343], [446] и др.).

Поскольку источником многих проблем идентификации является неудачная форма модели, рассмотрим еще один способ введения случайной ошибки в модель «затраты- выпуск». Предположим, что случайная ошибка входит в производственную функцию (4.56) не аддитивно (4.57), а следующим образом:

ж, = mink ^ }• (4.68)

Условия сбалансированности затрат приобретают теперь вид

—■ = ... = —= ...(4.69)

fllj + eV »2j + 62j"ij + 6ti

Если эти условия выполняются, то для всех t и ] можно записать

(4.70)(4.70)^гЗ^З "к гМХ3 — Хгр

(4.70)

(4.70)

Суммируя по / и учитывая (4.61), получаем следующую статистическую форму модели «затраты-выпуск»:

^i = S«iA + 2eiA + Уг-(4.71)

зз

Эта модель не может быть идентифицирована методом наименьших квадратов (или некоторым аналогичным), так как единственным образом разрешить ее относительно матрицы случайных ошибок Це^-Ц нельзя. Кроме того, отметим, что здесь, если Вг^ ^ 0, то М&ц ^ 0? распределение случайной величины гг5 зависит от неизвестного параметра а^:

Р rob (ег, > —а,;} = 1.

(Это следует из (4.68) в силу неотрицательности выпуска XjY

Представляется разумным использовать для оценивания а^ и параметров распределения гц уравнения (4.70). Действительно, эти уравнения можно записать в виде

=(4.72)

хз

Для этого наблюдения получаем сразу оценку

^=^.(4.73)

Этим способом, по сути дела, и пользовался В. Леонтьев [247], но, конечно, ясно, что оценка (4.73) совершенно ненадежна: ее дисперсия либо бесконечна, либо неопределенна. В общем случае ищется оценка, минимизирующая некоторую функцию ИД..., гц^-У

w=w( ...Y \)

На первый взгляд при таком подходе проблема идентификации модели «затраты-выпуск» решается довольно просто; причем поскольку в (4.73) входит только один параметр а^ реально имеющейся статистики за Т (544-10) лет должно хватить для получения достаточно точных и надежных оценок. Дело, однако, и здесь обстоит сложнее. В условия сбалансированности затрат входят случайные ошибки; из этого следует, что г^ зависимы в совокупности и, следовательно, нельзя оценивать парамет-

ры а и по отдельности.ры а и по отдельности.Действительно, из (4.69) получаем

ры а и по отдельности.

ры а и по отдельности.

Щ = ^-ау — <ц5 + -г-еу для всех i>l, (4.74)

Х13

или

где

^ij ^ijk^ib ^Ab ^ih ^1j) ~ ^i^^ij&lj^ih

^ij ^ij^ib ^Tj) ^zV^ij.

Подстановка (4.74) в (4.72) для i 5^ 1 приводит к равенству

жа ха хи

ТТагз + 1Г^=1Г' х1зхз

которое не содержит а^. Таким образом, линейная зависимость между г^ для каждого фиксированного / позволяет оценить только одну строку матрицы А. Этот результат остается справедливым, как нетрудно заметить, и в том случае, когда коэффициенты матрицы оценивают на основе некоторой факторной модели ([208], [477] и др.)

^гз "" ~~ агЗ (^ WV Х3

где t — время, w — вектор факторов, влияющих на технологический коэффициент а^, например удельный вес основного продукта в выпуске отрасли, цены, энерговооруженности труда, фонд времени производственных рабочих и т. д. (см., например, [298, с. 182 и далее]).

В этом, как и в предыдущем, случае причина затруднений — условие сбалансированности затрат (4.58), которое накладывает связи на оценки коэффициентов матрицы Л, в то время как на сами коэффициенты матрицы А это ограничение не наложено (оно описывает балансировку не alh а х^. Отказ от этого условия, видимо, необходимый для идентификации матрицы А, ведет к существенному изменению модели Леонтьева.

Все эти проблемы не существуют для уравнений межотраслевого баланса, так как здесь, по определению:

^zj = ^ijl^j*

Но уравнения межотраслевого баланса — это уравнения состава, и их, как это уже отмечалось, нельзя использовать как уравнения преобразования для прогнозирования и планирования. В этом смысле совершенно бессмысленно выяснять, изменяются ли а13 с течением времени: в уравнениях межотраслевого баланса эти коэффициенты отражают не технологию, а решения по распределению валового продукта. Уравнения состава и распределение находят основное применение в экономическом анализе, например, для выявления замкнутых циклов потоков продукции между отраслями, для определения народнохозяйственной в отличие от непосредственной структуры стоимости продукции [476], для определения коэффициентов косвенных и полных затрат (см., например, [6], [138], [247] и др.) и т. д.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ

В ПЛАНИРОВАНИИ

И ПРОГНОЗИРОВАНИИ

Цели и поведение

Целенаправленное поведение

В своей экономической деятельности человек, как отмечал К. Маркс, «осуществляет ...свою сознательную цель, которая как закон определяет способ и характер его действий и которой он должен подчинить свою волю» [1, т. 23, с. 189]. Цель при этом выступает как «идеальный, внутренне побуждающий мотив производства» [1, т. 12, с. 717]. Из этого с очевидностью следует, что проблемы моделирования (и, в частности, количественного описания) целей и целенаправленного поведения являются ключевыми при построении экономико-математических моделей. Целенаправленность поведения отличает элементы экономической системы от элементов физических, химических и т. п. систем [7], [10], [68], [69], [99], [111], [118], [147], [354], [455].

Проблематика телеологии обширна и имеет довольно длинную историю (см., например, [7], [24], [306], [361], [393], [435] и др.). В наши задачи входит разбор только таких методологических вопросов, как: каким образом можно отличить целенаправленное поведение от поведения, которое таковым не выступает; можно ли выявить цель экономического агента (индивида, бригады рабочих, промышленного предприятия, базы оптовой торговли, экономики страны в целом), наблюдая достаточное время за его поведением; каковы возможности измерения значений функции полезности экономического агента Искакова та минимальная информация о ней, без которой нельзя обойтись при планировании; существуют ли функции полезности, обладающие некоторыми определенными свойствами, и как можно интерпретировать положительный и отрицательный ответы на эти вопросы?

Несмотря на то что телеология — одна из старейших научных дисциплин (она возникла еще в досократические времена, когда наука еще не была отделена от мифа),

единого мнения о том, каковы должны быть ответы на эти вопросы, нет. Галилеевско-бэконовская традиция естествознания отказывалась включать телеологические высказывания в число «законных» научных высказываний, третируя их как пережитки мифологического сознания, которые противостоят «стандартному» причинноследственному описанию явлений. Под стандартным научно-следственным описанием понимается такое, при котором причины настоящего находятся в прошлом, и ни в коем случае не в будущем [60], [64], [198], [458]. Утверждение, что будущее может воздействовать на прошлое логически противоречиво х. Но как идея о финальных причинах телеологическое объяснение явлений и процессов в живой и неживой природе долгое время было господствующим.

Термины «целенаправленное поведение» имеют по крайней мере два значения: «к цели направленное поведение» и «целью направленное поведение». Утверждение, что объект движется к цели, направлен к цели и т. п., не содержит никакой телеологии; в данном случае речь идет просто об ответе на вопрос, куда движется этот объект. Иначе обстоит дело с утверждением, что объект направлен целью. Цель здесь выступает как некая внешняя по отношению к объекту причина его движения. Так, в физике Аристотеля камень, брошенный вверх, падает на Землю потому, что стремится занять свое естественное положение. Основной вопрос при таком подходе, зачем или ради чего? Этот вопрос эквивалентен вопросу, какова функция объекта, явления, процесса и т. п. По Аристотелю, все «делается... ради чего-нибудь, следовательно, и по природе существует ради этого» [21, т. 1, 1, с. 445].

Таким образом, телеология выступает как основа функционального подхода к описанию действительности. При этом все явления, объекты, процессы оказываются пронизанными взаимной полезностью: «одно возникает ради другого» [21, т. 1, 1, с. 445]. Например, «в растениях полезные им части возникают ввиду определенной цели ... листья ради защиты плода ... корни растут не вверх, а вниз ради питания» [21, т. 1, 1, с. 445] и т. д.

Все эти объяснения на основе аппеляции к цели и пользе были отвергнуты наукой Нового времени как, по

И тем не менее в эвристических целях такое утверждение иногда обсуждается даже физиками, например электроны Р. Фейнмана, летящие из будущего в прошлое и кажущиеся поэтому протонами [440].

сути дела, ничего не объясняющие, поскольку в -телеологических и функциональных объяснениях не содержится ничего, кроме констатации факта и непроверяемых утверждений о цели [72], [107], [257], [490].

Бесплодность телеологии внешних целей была ясно показана в пародийном афоризме Ф. Энгельса: «кошки были созданы для того, чтобы пожирать мышей, мыши, чтобы быть пожираемыми кошками, а вся природа, чтобы доказывать мудрость творца» [1, т. 20, с. 350].

Особую позицию по рассматриваемому (как и по многим другим) вопросу занимал Г. Лейбниц, не считавший необходимым порывать с научным наследием Аристотеля и средневековых схоластов. Одной из основных тем в творчестве Лейбница была идея о гармонии мира: существующий мир есть наилучший из возможных миров [244]. Выражаясь в более современных терминах, это значит, что объект ведет себя оптимально, наилучшим в некотором смысле образом. Например, падающий камень падает оптимально в том смысле, что из множества возможных траекторий падения он выбирает ту, на которой достигается минимум действия [271], [432], [433]. Эта фраза имеет ощутимый оттенок антропоморфизма: объект «просматривает» возможные варианты своего поведения и «выбирает» тот, который в наибольшей степени соответствует цели; либо кто-то или что-то вне объекта просматривает его возможные траектории и выбирает ту, которая экономит действие. Возможность выбора, свобода воли приписываются не только разумным существам, но и неживой материи, например камню или электрону Тезис Лейбница о предустановленной гармонии применительно к миру в целом и к социально-экономическим явлениям в частности в основном не встретил поддержки; известна, например, уничтожающая критика этого тезиса Вольтером.

Совершенно неприемлем антропоморфизм был и для механики, физики и других наук о неживой природе. Кроме того, утверждение, что реально наблюдаемая траектория наилучшая из возможных, нельзя проверить, так как реальную траекторию нельзя сравнивать с возможными, но ненаблюдаемыми. Тем не менее вариационные принципы интенсивно разрабатывали (Мопертюи, Гамильтон, Якоби, Лагранж, Ферма и др. [225], [368], [369]). В конечном счете на основе этих принципов получались те же траектории, что и в результате решения каузальных уравнений (например, уравнений Ньютона),

прйчем в ряде случаев вариационные принципы приводили к более простой и изящной математической формулировке задачи, чем построение каузальных уравнений. Это обстоятельство узаконило их существование, но в основном только в качестве эвристической процедуры, удобного математического приема.

В более широком аспекте точка зрения на телеологию как на хороший в ряде случаев эвристический принцип была сформулирована И. Кантом [194, т. 5]. В соответствии с этой точкой зрения финальные причины изгонялись из онтологии, но в методологическом плане было допустимым проводить аналогию между поведением организмов, сообществ, организаций — систем различной природы — и сознательным целенаправленным поведением человека. В результате утверждение, что объект (например, камень) движется по наилучшей из возможных траекторий воспринималось не буквально, а как своего рода метафора.

Необходимость даже слабой методологической телеологии в духе И. Канта была затем поставлена под сомнение результатами Ч. Дарвина по теории эволюции [151]. Используя два ключевых термина «слепые вариации» и «селективный отбор», он описал кажущуюся целенаправленной эволюцию живой материи без обращения не только к онтологической телеологии (финальные причины,, функционализм), но и без обращения к методологической онтологии. Приспособленность (целенаправленность) реально существующих систем объясняется просто тем,, что неприспособленные системы элиминируются, вымирают. Устремленность к некоторой цели оказывается иллюзорной.

В биологии теория Ч. Дарвина в настоящее время уточняется и дополняется [386]; но в общенаучном плане схема описания изменений как результата случайных, ненаправленных воздействий и селективного отбора их результатов стала общепризнанной (виртуальные частицы, системы авторегулирования, включающие случайные поисковые действия и т. д.).

В экономической науке и более широко — в социально-экономических науках эта схема нашла отражение в теориях конкуренции: неэффективные экономические агенты (социально-экономические системы) неконкурентноспособны и элиминируются более сильными соперниками. В наиболее крайних формах эти идеи нашли отражение в доктринах так называемого социал-дарвинизмаг которые вызвали критику К. Маркса и Ф. Энгельса.

Оттеснение телеологии на задний план и даже полное ее вытеснение из многих областей науки, преобладание стандартных причинно-следственных описаний, базирующихся на тезисе о тотальной закономерности в мире, вели, однако, к ряду затруднений и ко многим спекуляциям на этих затруднениях. Так, Р. Штаммлер усматривал противоречие между марксистским тезисом об исторической необходимости и закономерности социалистической революции и тезисом о необходимости сознательной деятельности в этом направлении: зачем помогать свершению события, которое неизбежно наступит? кому придет в голову организовывать партию для содействия лунному затмению? [482, т. 2, с. 97—99].

В рамках механистического материализма, механистической каузальности такого рода парадоксы действительно неразрешимы. Существенным моментом является осознание человеком своего места в мире, активное его изменение в своих целях на основе познания управляющих им законов; своего рода отстранение человека от существующего мира. «Животное,— по словам К. Маркса,— непосредственно тождественно со своей жизнедеятельностью. Оно не отличает себя от своей жизнедеятельности. Оно есть эта жизнедеятельность. Человек же делает самое свою жизнедеятельность предметом своей воли и своего сознания... Это не есть такая определенность, с которой он непосредственно сливается воедино» [2, с. 565]. В этом смысле и следует понимать слова В. И. Ленина: «Сознание человека не только отражает объективный мир, но и творит его» [3, т. 29, с. 194].

Деятельность общественного человека — преобразование природного материала и общественных отношений — целенаправлена. Даже «самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове,— говорит в 1-м томе «Капитала» К. Маркс.— В конце процесса труда получается результат, который уже в начале этого процесса имелся в представлении работника, т. е. идеально» [1, т. 23, с. 189]. Анализ экономической деятельности не имеет смысла без оценки целенаправленности этой деятельности, даже если речь идет об отдельном, индивидуальном хозяйстве. Тем более важны проблемы установления реальных целей, количественного их описания, измерения степени их достижения и т. п. в плановой экономике.

Целенаправленное поведение и описание цели

Телеологическая проблематика выдвинулась на передний план научных исследований в связи с появлением кибернетики, общей теории систем, системного подхода и целого ряда других научных и квазинаучных дисциплин, имеющих в своем названии слово «система». Основная задача, которая решалась в пионерной работе Н. Винера, А. Розенблюта и Д. Бигелоу 1943 г. «Поведение, целенаправленность и телеология» (см. в [191], с. 285—294), заключалась не столько в указании на важность понятия целенаправленности и в классификации поведения на основе этого понятия, сколько в формулировке (хотя бы и неточной) операционального определения целенаправленности и целенаправленного поведения. Это определение содержится в следующей фразе: «Можно считать, что всякое целенаправленное действие требует отрицательной обратной связи» [91, с. 288]. Из этого следует, что для ответа на вопрос, ведет ли себя данная система целенаправленно, надо установить, во-первых, наличие или отсутствие канала обратной связи в системе и, во-вторых, используется ли обратная связь для корректировки поведения.

Приведенное определение, действительно, очень неточное, но оно не содержит никаких ссылок на финальные причины и предустановленную гармонию. Цель же характеризуется как некоторое конечное состояние, при котором объект вступает в соответствующую связь в пространстве или во времени с некоторым другим объектом или событием [91, с. 286].

Определения Н. Винера, А. Розенблюта и Д. Бигелоу содержат ощутимый привкус физикализма; но дело здесь, видимо, только в форме изложения. Менее физикалистское определение Э. Нагеля [386], [507] представляется, по сути дела, эквивалентным. По Э. Нагелю, система, состоящая из нескольких независимых элементов (процессов, предметов, подсистем, индивидов и т. п.), находящаяся в некотором состоянии G (проявляющая свойство G, осуществляющая способ поведения бит. п.), целенаправленна, если она, будучи выведена из состояния G в результате произвольного или вследствие действия внесистемной причины изменения одного из элементов системы, будет изменяться в направлении G в результате компенсирующего воздействия остальных элементов системы. При

этом не предполагается, что система обязательно вернется в состояние G (достигнет цели G). Произвольное изменение одного из элементов системы или воздействие среды на один из элементов может оказаться настолько сильным, что остальные элементы не смогут вернуть систему в состояние G. Наконец, совершенно лишено физикализма определение М. Месаровича [285]). Целенаправленная система задается отношением 5:

(5.1)(5.1)ScXxY,

(5.1)

(5.1)

где X — вход системы, Y — ее выход (множества входных и выходных процессов).

Введем обозначения:

М — множество допустимых решений, V — множество ценностей, причем V таково, что каждое его подмножество имеет минимальный элемент: для любого V* cz V существует р е У*, такое, что v ^ и для всех р е К* (^> — в общем случае отношение слабого предпочтения; если V — множество или подмножество множества вещественных чисел, то это отношение^).

Определим отображения Р и G следующим образом:

Р : X X М -> Y — описание результата принятия решения т е М при условии, что на входе имеется процесс (сигнал, ситуация и т. п.) х г Х\

G \ MxY V — описание эффекта решения т е М в ситуации на входе х е X и приводящее к ситуации на выходе у е Y.

Целенаправленная система (5.1) существует, если S непусто: (ж, у) е 5, если, и только если для всех х ^ X и у е У существует такое т е М, что для всех т е М выполняется

G(m, Р(х, т)) =^ G(in, Р^х. m\); Р^х, т) = у. (5.2)

Целью системы является минимизация G^m, у). Минимизация целевой функции может быть, конечно, заменена максимизацией при соответствующей переформулировке свойств V и отображения G.

Определение М. Месаровича более «жестко», чем определение Э. Нагеля: для того чтобы систему можно было считать целенаправленной, требуется достижение цели при любых входных сигналах. Но отличие это непринципиально. Можно, в случае необходимости, определить целенаправленность относительно некоторого подмножества X и т. п. Но в этих определениях есть нечто об-

щее, имеющее большое принципиальное значение. Они описывают, по сути дела, устойчивую (или асимптотически устойчивую) систему. Конечное состояние, по Н. Винеру, А. Розенблюту и Д. Бигелоу, состояние G, по Э. Нагелю,— это устойчивое состояние системы. Целенаправленность — это способность системы возвращаться или сколь угодно близко приближаться к некоторому состоянию в том случае, когда под воздействием среды (случайных возмущений, в частности) система выходит из этого состояния . Целенаправленная система М. Месаро- вича также может быть интерпретирована как устойчивая система, хотя в силу большой абстрактности определения М. Месаровича такая интерпретация неединственна.

Действительно, устойчива система, находящаяся в «потенциальной яме», т. е. система, находящаяся в состоянии, соответствующем минимуму потенциальной энергии или в более общем случае — минимуму некоторой потенциальной функции [33], [225]. Особенно отчетливо эта связь между устойчивостью и минимизацией некоторой потенциальной функции выступает в методе функций Ляпунова, а также в том направлении теории устойчивости, которое берет свое начало из теоремы Пуанкаре [33], [176], [225], [271], [362].

Со стохастическими системами дело обстоит несколько сложнее, так как в силу больших математических трудностей теории устойчивости и оптимальности таких систем развиты пока значительно слабее, чем в случае детерминированных систем.

Приведем, однако, очень простое, но тем не менее весьма эффективное операциональное определение целесообразного поведения, принадлежащее М. Л. Цетлину, которое в равной степени пригодно и для детерминированных и для стохастических систем. По М. Л. Цетлину, система ведет себя целесообразно, если в ситуациях выбора она обеспечивает меньший в среднем штраф за «неадекватное» поведение, чем средний штраф, получаемый в случае равновероятного выбора действий ([466], см. также [79], [235]). В определении также нет ссылки на «поведение, целью направленное»; оно операционально в том

смысле, что установить, является ли поведёниех целенаправленным, можно на основе наблюдения за реальным поведением системы. Утверждения о целенаправленности в смысле М. Л. Цетлина вполне проверяемо.

Еще одна характерная черта приведенных выше более или менее операциональных «квазителеологических» определений целенаправленности состоит в том, что по этим (и аналогичным) определениям интуитивно очень простые системы обладают целенаправленным поведением. Целенаправленными оказываются различного рода сервомеханизмы, гомеостат Р. Эшби, автоматы с линейной тактикой и т. п. Например, с помощью автоматов с линейной тактикой моделировали поведение крыс в лабиринте в опытах Торндайка [13], [79] и очень несложные автоматы (с небольшой глубиной памяти) быстро обучались вести себя в стационарной случайной среде не менее эффективно^ чем крысы, и даже более эффективно, чем люди .

Проблемы устойчивости экономических систем находятся в центре внимания экономистов со времен Ф. Кэне [18] и А. Смита. Хотя А. Смит формулировал свой тезис об устойчивости экономического равновесия в условиях свободной конкуренции в телеологических выражениях («невидимая рука Проведения») [401], фактически он имел в виду квазителеологическую интерпретацию целесообразности в духе Э. Нагеля и И. Винера, А. Розенб- люта и Д. Бигелоу.

Поведение экономики в целом целесообразно, если экономика, будучи выведена из состояния равновесия (в силу действия внеэкономических причин, таких, как войны, эпидемии, неверная фискальная политика правительства и т. п.), способна, по крайней мере асимптотически, снова вернуться в это состояние.

Устойчивость является, по-видимому, важным частным случаем целенаправленности, но не исчерпывает этого понятия полностью. И дело здесь не столько в том, что в ряде случаев можно изменять положение устойчивого равновесия, например, в результате параметрической настройки системы, изменения ее структуры, правил принятия решения в системе и т. п. ([202], [225], [360] и др.), сколько в «бессознательности» систем, целенаправленных

в смысле Э. Нагеля, Н. Винера, А. Розенблюта и Д. Бигелоу, М. Л. Цетлина и других представителей «квази- телеологических» определений целенаправленности. Параметрическая, структурная и т. п. настройка — все это может быть включено в общую схему слепых вариаций и селективного отбора [235]. Но эта схема слишком примитивна для описания сознательного поведения [164], [420] (см. также доводы против этого тезиса в [10], [79]). Исчезает, в частности, относительно свободное отношение человека к своим целям, их этическая оценка, основа которой четко сформулирована К. Марксом: «Цель, для которой требуются неправые средства, не есть правая цель» [1, т. 1, с. 65].

Здесь приходится констатировать, что операционально сформулированной и достаточно общей альтернативы определению целенаправленности как слепого, бессознательного стремления к устойчивости в настоящее время нет. Определение М. Месаровича, например, достаточно абстрактно для того, чтобы сформулировать такую альтернативу, но на языке математики можно обсуждать проблему в том случае, когда есть достаточно четкое представление о содержании обсуждаемых утверждений.

Если не решением проблемы, то по крайней мере указанием на направление, в котором можно искать ее решения, являются принципы усложняющегося поведения,сформулированные Б. С. Флейшманом в его концепции систе- мологии [448]. Устойчивость в этой концепции — «первичное свойство системы, так как без него системы как таковые не могут существовать» [447, с. 90],— не выдерживает естественного отбора. Более сложным является индуктивное поведение (на наш взгляд,— это целенаправленность, как ее трактует М. Л. Цетлин); самое высокое место на шкале сложности занимает рефлексия. В принципе Б. С. Флейшман не отрицает возможности поведения, более сложного, чем рефлексия, и строит открытый перечень системных характеристик [447]. Но нас сейчас интересует именно рефлексия, возможность ее формального описания. Наращивание сложности может вести к потере эффективности [75], и, во всяком случае, оно имеет свои границы, устанавливаемые теоремой К. Геделя о неполноте [437], [483]. Рефлексия — это утверждения типа: «я думаю, что я думаю... ит. д.»; рефлексировал Т. Шэнди, когда начал описывать свою жизнь; рефлексирует человек, говорящий: «я лгу». Назовем рефлексирующей программой для ЭВМ программу, которая составляет

свой собственный текст. Программа для ЭВМ — формальная система с позиции А. Тарского. Из теоремы К. Геделя следует, что рефлексирующие программы не существуют.

М. Месарович доказал теорему, которая в общей теории систем является аналогом теоремы К. Геделя о неполноте. Пусть имеется система (5.1). Введем обозначения: Хо cz X — множество допустимых входов системы; Yo a Y — множество желательных выходов и YT cz Y — множество нежелательных выходов. Назовем систему (5.1) непротиворечивой, если выполняется

КоПЛ= 0, (5.3) и полной, если выполняется

KoUKi Y. (5.4)

Теорема М. Месаровича гласит: система, для которой указаны множества YT и Хо (множество нежелательных выходов и множество допустимых входов) либо неполна, либо противоречива [504].

Эта теорема накладывает, в частности, ограничения на наблюдаемость целей и возможности описания (а также и создания) целенаправленных систем, поведение которых нельзя адекватно описать в терминах слепых вариаций и селективного отбора. Ограничение это носит тотальный характер. В этом смысле противопоставление ограниченного формального мышления некоему неформальному, человеческому мышлению неправомерно. Т. Шэнди так и не смог полностью описать свою жизнь — ему не хватило на это времени. Тот, кто заявляет «я лгу», создает проблему не только для логиков —- он и сам не может приписать валентность своему утверждению. Полная рефлексия о целях вида: «цель выбора цели выбора цели... и т. д.» неосуществима так же, как программа для ЭВМ, составляющая свой текст.

Но невозможность решения массовой проблемы не означает, что безнадежны попытки решения менее глобальных проблем. Т. Шэнди смог описать фрагмент своей жизни; «лжец» знает, истинно или ложно его утверждение: «я лгу», если только речь не идет о самом этом утверждении. То обстоятельство, что нет программ, составляющих свой собственный текст, не означает, что программирование на ЭВМ — безнадежное дело. Телеологическая рефлексия невозможна, но это не значит, что невозможно осознание целей и сознательное к ним стремление.

16 р. л. Раяцкас, М. К. Плакунов 241

В связи с проблемой телеологической рефлексии остановимся на одном из «системных парадоксов», сформулированных В. Н. Садовским [390, с. 232—246],— парадоксе иерархичности. В некоторой степени в этом парадоксе находит отражение невозможность полной рефлексии, но все же его содержание не совпадает с содержанием теоремы К. Геделя о неполноте. Для нас парадокс иерархичности В. Н. Садовского интересен, в частности, тем, что В. Н. Садовский интерпретирует его в рамках проблемы описания цели системы: «...Из практики хорошо известно, сколь сильно могут ошибаться члены той или иной организации (промышленного предприятия, административного учреждения и т. д.) относительно реальных целей своей организации. Адекватное задание целей данной организации требует предварительного определения целей более широкой системы, в которую входит данная... Вместе с тем выделение такой совокупности целей более широкой системы не может быть получено без предварительного знания о целях ее подсистем, в частности о цели системы, которую мы приняли за данную... Налицо, таким образом, парадокс иерархичности» [390, с. с. 241-242].

На наш взгляд, здесь имеет место смешение проблемы телеологической рефлексии с проблемой иерархичности В. Н. Садовского, а именно его интерпретация в терминах адекватного описания цели системы. Парадокс иерархичности возникает вследствие того, что каждая система, с одной стороны, служит подсистемой некоторой системы более высокого уровня, а с другой стороны,; сама состоит из подсистем, являющихся, в свою очередь,, системами низшего по отношению к данной системе уровня, и что этот последовательный ряд систем бесконечен в обе стороны. В данном случае последняя посылка вызывает сомнения. Можно говорить о целях отдельного человека, коллектива, класса, общества, наконец, о целях человечества в целом^ но утверждения о целях неких надчеловеческих систем (например, о целях биосферы) сомнительны. О целях биосферы если и можно говорить, то только в квазителеологических терминах, причем такие утверждения вряд ли проверяемы в настоящее время. Еще больше оснований утверждать, что последовательный ряд целенаправленных систем ограничен снизу. Хотя человека и можно рассматривать как сложное образование различных подсистем, этим подсистемам вряд ли можно приписывать целенаправленное поведение^ существенно

отличное от целенаправленности по Э. Нагелю; в любом случае этим подсистемам нельзя приписать цели социально-экономического характера. Человек — минимальный элемент цепи социально-экономических систем. Наличие минимального элемента уничтожает ситуацию, на которой базируется парадокс иерархичности. Начав с описания цели (и в более общем контексте — системы) минимального элемента иерархии, можно затем перейти к описанию цели системы высшего уровня и т. д. Действительно, В. Н. Садовский описывает ситуацию парадокса иерархичности следующей системой формальных уравнений [390, с. 244]:

... Sn=1 = M\Sni

S п = MH—iS i,

5n = M^SrL^(5.5)

5n+1 = MnSni

5/t+i = ТИ^г^п+г,

где ...5n_!, 5n, 5n+!,...—последовательный ряд систем, причем 5П входит в систему 5п+1 и включает в себя систему 5^; М\ — преобразование над системой уровня гц такое, что в результате преобразования из знания о системе уровня п + 1 получается знание о системе уровня п; Мп — преобразование над системой уровня п, такое, что в результате преобразования над системой уровня п получается знание о системе уровня п + 1.

Если п пробегает множество всех целых чисел (как положительных, так й отрицательных), то система (5.5) содержит бесконечное число уравнений относительно бесконечного числа неизвестных и, вообще говоря, решена быть не может; ссылка В. Н. Садовского на итеративные методы решения систем уравнений в данном случае необоснованна. Кстати, из формальных уравнений В. Н. Садовского (5.5) следует, что операторы М\ и M^-i связаны соотношением

МЖ-1 = /п,(5.6)

где Iк — оператор «тождественного» преобразования, что позволяет «сократить» систему (5.5), вычеркнув избыточные уравнения (по одному для каждого п\ например, по второму уравнению в каждой паре для 5П=...). Урав-

нение (5.6) интерпретируется просто: результат дезагрегирования и последующего агрегирования описания оставляет описание неизменным.

Нас интересует случай п ^ 0, т. е. случай, когда последовательный ряд систем бесконечен только в одну сторону (когда существует минимальный элемент этого ряда). Обозначив этот минимальный элемент — индивида в случае описания социально-экономических целей —- как 50, можно, исходя из (5.5), формально записать

5П = Мп-Хг_^ ... Мо 50 для всех п ^ 0. (5.7)

Если ряд систем все же бесконечен, т. е. если цели приписываются системам более высокого уровня, чем биосфера, то уравнений (5.7) будет бесконечно много, но для каждого конечного nSn (цели Sп) выражается через 50 (через цели 50) в результате конечного числа преобразований над SV Таким образом, все системы (все цели) описываются с точностью до описания минимального элемента (цели минимального элемента). В принципе в качестве базисного можно взять любой элемент, например 57, и выразить через него 56, ..., 50. Таким образом, вся цепочка систем Sn описывается с точностью до описания одной из систем (целей) цепочки.

В. Н. Садовский, записывая уравнения (5.5), имел в виду одну только цель: указать на взаимозависимость описаний систем разных уровней. Разумеется, система (5.5) должна быть дополнена: описания систем зависят от наблюдений над ними. Формально эту зависимость можно записать как систему ограничений на описания систем (точнее, на их идентификацию,— вопрос, который рассматривался нами ранее). В случае бесконечного п такая информация (дополнительные уравнения) не гарантирует существования решения, хотя решение может существовать, и, если существует, может быть найдено. В случае же конечного п (конечная цепочка систем) эта дополнительная информация позволяет идентифицировать базисную систему с некоторой, правда, в общем случае ограниченной точностью и надежностью. Но это ограничение точности и надежности не следует теперь из иерархичности систем.

Итак, парадокс иерархичности не имеет места при описании целей социально-экономических систем. Проблемы, которые здесь возникают,— это проблемы идентификации; спецификой являются ограничения на полную

рефлексию, сформулированные применительно к целенаправленным системам М. Месаровичем. Выше мы уже отмечали, что определение целенаправленной системы М. Месаровича (5.2) в силу своей большой абстрактности шире, чем определения в стиле Ч. Дарвина,— в терминах случайных вариаций и отбора. Целенаправленная социально-экономическая система, сознательно выбирающая свои цели (и рефлексирующая о них до некоторого конечного уровня рефлексии), может быть, таким образом, описана в рамках этого формализма. Конкретно, требуется описать отображение G в (5.2), которое в экономической литературе называется функцией полезности. Первый уровень рефлексии здесь—это задание предпочтений на множестве функций полезности, т. е. утверждений, что одни функции полезности хороши, а другие плохи. Такая рефлексия естественно возникает в задачах управления социально-экономическими системами; но, прежде чем перейти к этим вопросам, рассмотрим проблемы, возникающие при идентификации функции полезности.

Целенаправленное поведение

и управление социалистическим хозяйством

Трудно переоценить роль установления цели в управлении социалистическим хозяйством. Как справедливо отмечает С. С. Шаталин, «категория оптимальности является стержнем развития экономической теории социализма, производственные отношения которого реализуются планомерно» [476, с. 30]. Цель социалистической экономики сформулирована в работах К. Маркса, Ф. Энгельса и В. И. Ленина и в настоящее время закреплена в Конституции СССР (ст. 15): «Высшая цель общественного производства при социализме — наиболее полное удовлетворение растущих материальных и духовных потребностей людей» [222].

Проблема количественного представления цели социалистической экономики весьма сложна и с начала 60-х годов находится в центре экономических дискуссий. Проблема эта многоаспектна. Одним из аспектов этой проблемы является тезис о том, что оптимальное планирование и в более широком плане — оптимальное функционирование социалистической экономики есть инструментальная реализация основного экономического закона социализма. Этого тезиса придерживаются все сторонники концепции СОФЭ — системы оптимального функционирования эко-

номики([5], [6], [20], [76], [98], [139], [148], [149], [195], [264], [316], [320], [400], [438], [439], [441], [476], [491] и др.). Сторонники противоположной точки зрения, которую наиболее четко выражал Я. А. Кронрод, утверждают, что экономический оптимум «абсолютно неправомерно связывать... с действием какого-либо одного закона социализма. Экономический оптимум есть результативное выражение субординированного действия и взаимодействия всей системы законов развития экономики» [226, с. 50—51]. Из этого делается вывод, что единой целевой функции социалистической экономики не существует. Например, А. Еремин формулирует этот вывод следующим образом: «Должен ли или может ли существовать такой критерий, как единственный количественный показатель, с помощью которого можно было бы сознательно запрограммировать развитие общественного богатства? Может ли существовать единственный показатель, достижение определенного уровня которого автоматически определяет экономическую деятельность общества? Скорее всего нет» [168, с. 42].

Я. А. Кронрод обосновывает свою позицию тем, что сторонники СОФЭ «отдают себе отчет в том, что необходим длительный процесс вызревания социально-экономических условий для полной реализации народнохозяйственного оптимума. Но поскольку в СОФЭ оптимум отождествляется с основным экономическим законом, то получилось, что последнему ныне еще далеко не полностью подчиняются отношения и процессы экономики развитого социализма, что это — дело будущего, что производственные отношения лишь развиваются по пути «подчинения... требованиям основного закона». Странная экономика, в которой не полностью или вовсе не реализуется ее основной закон» [226, с. 95].

Один из сторонников концепции СОФЭ — С. С. Шаталин считает странной такую критику [476, с. 42]. Отметим, что контраргументы, приводимые им, представляются убедительными.

По мнению С. С. Шаталина, а данном случае Я. А. Кронрод смешивает логический и исторический моменты в анализе производственных отношений социализма: «Экономическая реальность социализма в каждый момент ее развития подчиняется объективному требованию движения в сторону оптимальности... в этом развитии производственные отношения становятся все более зрелыми, адекватными теоретической модели социализма» [476, 246

с. 42]. По сути дела, здесь речь идет о том, что план ос *$ выбираемый в некоторой допустимой области X, должен удовлетворять некоторому критерию оптимальности

Цх*) ^ и^ для всех х g X.

Но фактический план Хф в силу ряда объективных и субъективных причин отличается от оптимального

^(^ф) < Цх*^ Хф е X.

Наличие реально существующего рассогласования Хф — —х* не может служить доказательством того, что не существует и самой задачи оптимального планирования

Цх^тах, х е X. (5.8)

Среди сторонников концепции СОФЭ нет единого мнения о том, что именно подлежит оптимизации в (5.8). Предложения по этому вопросу разнообразны, но можно выделить по крайней мере три группы таких предложений (внутри групп также наблюдается довольно большое разнообразие мнений).

В первую группу отнесем предложения, в которых целевой функцией является объем производства (с некоторыми модификациями)

q(x") max, х г X. (5.9)

Разногласия внутри этой группы имеются по вопросу,, какой именно показатель объема производства подлежит максимизации. В основном здесь предлагаются такие показатели, как конечный продукт, национальный доход и фонд потребления.

Во вторую группу входят предложения минимизировать затраты, связанные с достижением заданного результата:

z^ mins х е X. (5.10) Предложения внутри группы отличаются спецификацией затрат: предлагается минимизация трудовых затрат, приведенных затрат и т. п.

Наконец, в третью группу входят предложения по максимизации функции полезности. В традиционном варианте функция полезности задается на множестве товаров и услуг или на множестве значений экономических показателей (фонд потребления, национальный доход и т. д.); существуют предложения (как нам представляется, обоснованные) расширить область определения функции по-

лезности, включив в нее характеристики окружающей среды.

В наши задачи не входит оценка этих предложений, так как мы здесь рассматриваем только возможности количественного представления целевой функции и техническую реализацию такого представления, если оно существует. Отметим только некоторые аспекты проблемы, связанные непосредственно с обсуждаемыми здесь вопросами.

Формально между первой и третьей группами предложений нет различия; достаточно положить функцию полезности, равной национальному доходу или фонду потребления. Термин «полезность» в настоящее время в экономической литературе используется широко: полезность часто понимается как нечто, подлежащее максимизации [317], [435], [436]. Однако существует и традиционная узкая интерпретация этого термина, которой мы в основном придерживаемся в этой работе. Третья группа предложений была отделена от первой именно потому, что в этих предложениях имеется в виду традиционное значение термина «полезность». Но сейчас нам важно отметить, что в одних предложениях некоторая целевая функция максимизируется; пусть для определенности это будет задача (5.8), а в других предложениях некоторая целевая функция минимизируется (5.10); причем множество допустимых решений X одинаково во всех этих задачах.

Несмотря на противоположность постановок (шах и (х) в одном случае, min ^х^ — в другом), эти задачи связаны х

друг с другом, что, по-видимому, дает реальную основу для сближения различных точек зрения. Связь между задачами (5.8) и (5.10) устанавливается теоремой взаимности [6], [138]. Рассмотрим задачу 1:

и^ ->• max, х е X, к^ ^ и0.(5.11)

Здесь имеется в виду, что множество допустимых решений X не содержит ограничения по затратам г^х); z0 — лимит затрат. Рассмотрим также задачу 2:

(5.12)(5.12)z(^) -> minf х г X, и(х) ^ и0

(5.12)

(5.12)

где и0 — заданный уровень целевой функции (план должен быть не хуже, чем и0).

Задачи (5.11) и (5.12) называют взаимными (не смешивать с двойственными задачами математического программирования). По теореме взаимности эти задачи эквивалентны (их решения хх и ^2 совпадают), если при оптимальном решении задачи 1 выполняется

z^) = z0,

а при оптимальном решении задачи 2 —

и^ = и0.

Теорема взаимности в формальном плане слабее теорем двойственности математического программирования, но из нее следует, что если некоторые затраты можно варьировать в достаточно широких пределах (т. е. если реальное наличие ресурса позволяет сделать z0 достаточно большим) или если границу множества приемлемых планов и^ ^ ^ Uq можно варьировать в достаточно широких пределах (т. е. если можно без катастрофических последствий для населения сделать и0 достаточно малым), то задачи минимизации затрат и максимизации некоторой функции полезности эквивалентны. В этом смысле возражение С. С. Шаталина, что минимизация затрат — это не то же самое, что максимизация удовлетворения потребностей населения [476], отпадает.

В качестве ресурса, затраты которого следует минимизировать в задаче 2 (5.12), обычно выступает труд. Обоснование этого приведено, например, А. Г. Гранбергом: «...Особым ресурсом является труд... Во-первых, количество трудовых ресурсов в каждый данный момент ограничено, и их увеличение сравнительно мало зависит от развития экономики (почти не зависит в пределах 15летнего планового периода). Во-вторых, трудовые ресурсы являются наиболее универсальными ресурсами... В-третьих, в социалистическом обществе одним из важнейших факторов повышения благосостояния и всестороннего развития членов общества является увеличение свободного времени трудящихся за счет сокращения рабочего времени» [138, с. 114].

Первые два аргумента не представляются нам убедительными. Действительно, в каждый момент времени ограничены не только трудовые ресурсы; не только их увеличение мало зависит от экономического развития — для воспроизводства леса, например, нужны десятки и даже сотни лет [472]. Наибольшая универсальность трудовых ресурсов, трактуемая как их наибольшая подвижность,

также сомнительна. Верно, что «относительный избыток трудовых ресурсов в одной какой-нибудь сфере деятельности может быть направлен в другие сферы деятельности» [138, с. 114], но для этого сейчас, когда квалификация — это, в частности, специализация, требуются большие затраты и время, сравнимое с реконструкцией техники. Универсален простой, неквалифицированный труд; универсалом был разнорабочий в период, предшествовавший первой промышленной революции. Но третий аргумент убедителен и вполне достаточен для того, чтобы выделить труд из всех остальных ресурсов. Действительно, свободное время является значимой ценностью [7], [165], [428]. По словам К. Маркса, время «остается свободным для удовольствий, для досуга, в результате чего откроется простор для свободной деятельности и развития. Время — это простор для развитая способностей...» [1, т. 26, ч. 3, с. 264].

Собственное свободное время является специфически человеческой ценностью, а рабочее время — специфически человеческим наиболее дефицитным ресурсом, что признается практически всеми экономистами. Важным, однако, является различие между своим и чужим временем. Именно в связи с проблемой отчуждения труда в эксплуататорских, антагонистических обществах К. Маркс отмечал, что предшествующие ему «политико-экономы рабский труд наемных рабочих оправдывают тем, что он создает досуг, свободное время для других. для другой части общества, а тем самым — и для общества наемных рабочих [в целом] [1, т. 26, ч. 3, с. 264].

С внешней, абсолютизированно объективной точки зрения чужой труд яляется таким же ресурсом, как и все прочие. Задача минимизации затрат своего труда, своего рабочего времени с абсолютизированно субъективной точки зрения вполне разумна, в то время как задача 'минимизации чужого труда имеет смысл только в связи с задачей минимизации затрат всех ресурсов. К. Маркс всесторонне исследовал отчуждение труда в антагонистическом обществе [1, т. 26, ч. 2, с. 560, ч. 3, с. 132, 268, 498]. Преодоление отчуждения в результате ликвидации эксплуатации человека человеком восстанавливает истинные цели человека. В результате замена «царства необходимости царством свободы» [1, т. 19, с. 228], «само рабочее время— тем, что оно будет ограничено нормальной мерой, далее, что оно будет затрачиваться уже не для другого, а для меня самого^— вместе с уничтожением социальных апта- 250

гонизмов между хозяевами и рабочими и t. д. получит, как действительно социальных труд и, наконец, как базис для свободного времени, совершенно другой, более свободный характер и что рабочее время такого человека, который вместе с тем есть человек, располагающий свободным временем, должно будет обладать гораздо более высоким качеством, чем рабочее время рабочего скота» [1, т. 26, ч. 3, с. 266]. Именно это, а не дефицитность, универсальность (мобильность) и тому подобные «опред- меченные» обстоятельства обосновывает минимизацию затрат труда как формализацию цели социалистической экономики.

Вернемся теперь к задаче 1, в которой некоторая целевая функция максимизируется на допустимом множестве при ограничении на трудовые ресурсы. Как уже отмечалось ранее, в качестве претендентов на роль целевой функции в этой задаче выступают либо функция полезности, либо некоторые стоимостные показатели объема производства или потребления (конечный продукт, национальный доход, фонд потребления и т. п.). Рассмотрим сначала последнюю возможность. Целевая функция в этом случае записывает в общем виде как

д^-Цс^, (5.13) г _

где i —• наименование товара (продукта) или услуги, с^ — цена t-ro товара или услуги, xt — объем производства г-го товара или услуги.

(Формально мы рассматриваем статическую задачу, но в данном случае это несущественно, так как всегда можно ввести темпоральные индексы.)

Максимизация целевой функции (5.13) предполагает, что известны цены и, что самое главное, эти цены в некотором смысле оптимальны. Поэтому большинство версий концепции СОФЭ неразрывно связаны с концепциями цен оптимального плана [6], [98], [139], [162], [340], [352],; [400], [404], [438]. Не останавливаясь на более или менее различных подходах к построению цен оптимального плана, отметим только, что при таких ценах спрос должен быть сбалансирован с предложением.

В ситуации дефицита далеко не всегда следует повышать цену на дефицитный товар: при определенных условиях оптимальной реакцией может быть увеличение объема производства [345]. (В этом смысле «стимулирующие надбавки» к цепам могут оказывать дестимулирующее воз-

действие на производителя; с несколько других позиции, но к этому выводу пришел, например, А. Еремин [168, с. 29]).

Вряд ли можно назвать оптимальной (и даже просто разумной) цену, при которой спрос превышает предложение либо при которой потребитель отказывается закупать предложенный товар. Но из этого следует, что в модели СОФЭ обязательно должна учитываться функция спроса. Учет же функции спроса означает, что в модели явно или неявно, но обязательно присутствует функция полезности, т. е. явно или неявно реализуется первая возможность. Существенным отличием между первой и третьей группами предложений о целевой функции яляется то, что в некоторых версиях концепций СОФЭ, использующих в качестве целевой функции функцию полезности, необходимость введения стоимостных показателей отрицается.

Рассмотрим еще один вопрос в связи с общей постановкой задачи оптимального планирования социалистической экономики. На некоторых экономистов слова «функция полезности» производят такое же сильное впечатление, как слово «жупел» на замоскворецких купчих во времена А. Н. Островского. Действительно, функция полезности создает довольно много сложных проблем, которые удачно формулируются в [281]: «Оптимизация по максимуму полезности всех благ, обращаемых на удовлетворение потребностей общества, наталкивается на отсутствие путей соизмерения и суммирования удовлетворения разных групп населения и удовлетворения от благ, получаемых немедленно или в будущем» [281, с. 123]. С. С. Шаталин считает, что тезис о невозможности измерения полезности является сейчас наиболее сильным аргументом против теории полезности [476г с. 54]. На наш взгляд, этот аргумент стоит любого другого. Поэтому вполне естественным и оправданным является желание обойтись в оптимальном планировании без функции полезности. Такой подход [48], [281] сводится к следующему. Требуется найти вектор выпуска, минимизирующий суммарные затраты труда

ra->min (5.14) при ограничениях

х = Ах + у, (5.15)

Вх^Нг ^>0, (5.16)

где т — вектор удельных затрат труда, у — вектор конечного потребления (задан), А — матрица межотраслевого баланса (иногда с некоторыми модификациями; например, учет транспортировки продукции), R — заданный объем ресурсов, В — матрица затрат ресурсов.

Другими словами, имеем спецификацию задачи (5.10), функции полезности нет. Сразу возникает вопрос: а как задать у-вектор конечного потребления? В принципе по крайней мере формально ответ на этот вопрос можно дать. Вектор у задается на основе рациональных норм потребления; такие нормы действительно рассчитываются (см., например, [288]). Не следует, однако, ни преувеличивать, ни преуменьшать возможности такого подхода, и мы еще вернемся к этому вопросу. Вопрос, как задать вектор конечного потребления, не единственный, который возникает при содержательном анализе модели (5.14)—(5.16). Есть еще по крайней мере два вопроса: Что делать, если задача (5.14) —(5.16) не имеет решения? Необходимо уменьшить некоторые компоненты вектора конечного потребления. Но какие и насколько? Что делать, если минимизация трудовых затрат при заданном у приводит к неполной занятости? Следует увеличить некоторые компоненты вектора конечного потребления? Но какие и насколько?

Эти вопросы в некотором смысле эквивалентны первому, но на них нельзя дать ответа даже формальной ссылкой на нормы потребления. Для ответа на них целесообразно сравнить, что лучше, предпочтительнее: сокращение производства рыбных консервов или лимонада, увеличение производства табачных изделий или трикотажа и т. п. А задание предпочтений на множестве векторов конечного потребления эквивалентно построению функции полезности на этом множестве. Альтернативой функции полезности на первый взгляд можно считать следующее: «оптимизация по максимуму полезности всех благ... наталкивается на отсутствие путей соизмерения и суммирования удовлетворения разных групп населения и удовлетворения от благ, получаемых немедленно или в будущем. Практические выводы... состоят в том, что предложение по объему и структуре должно балансироваться со спросом» [281, с. 123].

В целом это утверждение представляется верным, но необходимо сделать несколько замечаний. Во-первых, спрос в моделях, используемых для планирования, не может быть

представлен как койстанта — фиксированный (кем, как?) вектор конечного потребления. В модели народнохозяйственного, регионального, отраслевого планирования (и далее в модели более низких уровней управления) спрос может включаться только как функция спроса, т. е. как зависимость спроса от влияющих на него факторов. Во- вторых, в настоящее время речь может идти только о платежеспособном спросе, причем наличие общественных фондов потребления ни в коей степени не уничтожает проблему «обслеживания» платежеспособного спроса населения; величины общественных фондов потребления могут (и должны) быть включены в функции спроса. Из этого следует, что среди факторов, влияющих на спрос, обязательно следует учитывать цены и доходы. А это означает, что в модель должна быть включена обычная «классическая» функция спроса. В-третьих, противопоставлять функцию спроса функции полезности нельзя. Теория полезности не совпадает с теорией спроса, однако между функцией полезности и функцией спроса существует, как известно, тесная взаимосвязь.

Таким образом, функция полезности в модели оптимального планирования присутствует всегда — явно или неявно. Отказ от функции полезности — это отказ от сравнения планов, т. е. это отказ от оптимизации планов. Действительно, о каком оптимальном планировании можно говорить, если ничего нельзя сказать о том, какие из допустимых планов лучше, а какие — хуже?

Эволюция теории полезности

Хотя использование термина «полезность» можно найти еще в работах А. Тюрго [431], А. Смита [401], ввел этот термин в научный оборот Г. Госсен [18], см. также: [260], [408]. Со времен Г. Госсена теория полезности и сам этот термин претерпели некоторые изменения. Наивная теория полезности строилась на основе теории потребностей и была в значительной степени проникнута психологизмом. «Мы принимаем, что полезность соотносительна „желанию44 или „потребности44» [278, т. 1, с. 155]. Впрочем, четкого определения значения этого термина наивная теория полезности не выработала. Так, Е. Бем-Баверк различает ценность и полезность: «Общее свойство всех материальных благ без исключения... состоит в том, что они имеют такое или иное отношение к человеческому благополучию. Но отношение это выражается в двух совершен-

но различных формах. Низшую форму мы имеем тогда, когда данная вещь обладает вообще способностью служить для человеческого благополучия. Напротив, для высшей формы требуется, чтобы данная вещь являлась не только причиной, но вместе с тем и необходимым условием человеческого благополучия, чтобы, значит, обладание вещью доставляло какое-нибудь жизненное наслаждение, а ее лишение вело к утрате этого наслаждения. Наш язык, богатый и гибкий, выработал особое название для каждого из указанных видов пригодности вещей с точки зрения человеческого благополучия: низшая форма называется полезностью, высшая — цэнностью» [73, с. 15].

По-видимому, Е. Бем-Баверк устанавливает здесь различие между заменяемыми и незаменяемыми благами: полезную вещь можно заменить другой вещью, ценную — нельзя. Введено также неопределенное понятие «пригодность», частными видами которого являются «полезность» и «ценность». Вообще, богатство и гибкость языка порождали и в этом случае целый ряд терминологических проблем и дискуссий. Как писал как раз по этому поводу К. Маркс, «...словесное наименование лишь выражает в виде представления то, что повторяющаяся деятельность превратила в опыт, а именно, что людям, уже живущим в определенной общественной связи (это — предположение, необходимо вытекающее из наличия речи), определенные внешние предметы служат для удовлетворения их потребностей. Люди только дают этим предметам особое (родовое) название, ибо они уже знают способность этих предметов служить удовлетворению их потребностей, ибо они стараются при помощи более или менее часто повторяющейся деятельности овладеть ими и таким образом также сохранить их в своем владении; они, возможно, называют эти предметы ,,благами” или еще как-либо, что обозначает, что они практически употребляют эти продукты, что последние им полезны; они приписывают предмету характер полезности, как будто присущий самому предмету, хотя овце едва ли представлялось бы одним из ее ,,полезных” свойств то, что она годится в пищу человеку» [1, т. 19, с. 377—378].

Важно отметить, что, по К. Марксу, полезность как свойство вещи есть результат процесса объективации. Это исключает разрыв и противопоставление субъективной и объективной полезности. Наивная теория полезности подчеркивала субъективный момент, но объективно существующие и детерминированные объективной реальностью

ощущения субъекта действительно субъективны. Определение полезности как интенсивности удовольствия, которое использовал Г. Госсен,'не операционально в том смысле, как мы это понимаем, но оно, по крайней мере, намечало программу дальнейших исследований в этом направлении; программу, которая, надо сказать, не была реализована и от которой современная теория полезности, определяющая фактически функцию полезности как индикатор предпочтений, практически отказалась. Во времена Г. Госсена теория потребностей практически не существовала; были более или менее умозрительные построения (например, Д. С. Милля [293], [294], И. Бентама [40] и др.). Но и сейчас такой теории нет.

Так, К. Обуховский насчитывает более сотни различных классификаций конкретных потребностей [325], что свидетельствует о недостаточной разработанности этих вопросов. Однако вопросы эти разрабатываются; изучению потребностей, как биологических, так и социальных, посвящен ряд работ [7], [246], [325], [342] и др.

Утверждение В. В. Потапова, что «главные пороки теории ,,полезности44: индивидуализм, психологизм и однобокий потребительский подход к экономической действительности» [355, с. 21], по нашему мнению, бьет мимо цели. Однобокий подход к экономической действительности, разумеется, недопустим ни в каком виде: будь то однобокий потребительский подход или однобокий производственный подход. Пороки однобокого производственного подхода достаточно четко и ясно обрисованы С. С. Шаталиным [476]. Отметим, что отказ от однобокого потребительского подхода не означает,что анализ потребления, потребностей — дело второстепенное. В. В. Потапов совершенно неправ, приписывая тезис, что «в основе всей экономической деятельности лежало стремление к удовлетворению человеческих потребностей» [355, с. 21], неоклассикам (А. Маршаллу, В. Парето, И. Фишеру и т. д.). Чьи же потребности должна удовлетворять экономическая деятетьность?

Выведение экономических отношений из индивидуальной психологии также недопустимо, как и однобокий потребительский или однобокий производственный подход к экономической действительности, но из этого не следует, что экономическая наука должна игнорировать психологические аспекты поведения индивидов, совершенно незачем отдавать эти вопросы на откуп западной экономической науке. По вопросу о роли потребностей в*человеческой

деятельности К. Маркс высказывался вполне определенно: «Никто не может сделать что-нибудь, не делая этого вместе с тем ради какой-либо из своих потребностей и ради органа этой потребности...» [1, т. 3, с. 245].

В настоящее время теория полезности практически выделилась в самостоятельную научную дисциплину (см., например, [39], [85], [86], [313], [195], [445]). Современная теория полезности ушла далеко вперед с тех времен, когда Г. Госсен формулировал свои законы. В частности, вполне удовлетворительно решены вопросы-парадоксы теории полезности, которые так занимали экономистов прошлого века, например, вопрос: почему бриллианты менее полезны, чем вода, а стоят дороже? [73], [278], [294]. Но при чтении некоторых современных работ создается впечатление, что никакого прогресса в этой области нет.

Так, читаем: «Нет единого показателя, существует система показателей народного благосостояния. Вся трудность в том, что эти показатели разнокачественны и надо оставить бесплодные попытки решить задачу соизмерения: скольким килограммам мяса равняется лишний день отпуска пли какому количеству дней отпуска психологически эквивалентна уверенность в завтрашнем дне или удовольствие, которое мы получаем от осуществления в нашей стране космических полетов» [162, с. 75]. Первое из этих утверждений можно обсуждать, второе же основано на игнорировании современной теории полезности. Дело в том, что проблемы соизмерения полезности мяса и сапог для современной теории полезности просто не существует. Функция полезности задается на декартовом произведении ХгХХ2Х ...ХХп;

и : Л'1ХХ2Х...ХЛ'П -> Я,

где Xt — переменная, измеряющая количество Z-ro продукта в натуральном выражении (например, кг мяса, пары сапог, литры воды, караты бриллиантов и т. д.), R — вещественная прямая.

Следовательно, сопоставляются по полезности не мясо и сапоги, а наборы товаров, состоящие из определенных количеств мяса, сапог, воды, бриллиантов и т. д. При этом вопрос, что полезнее, вода или бриллианты, просто не возникает.

257257Рассмотрим еще один часто встречающийся, но давно устаревший довод против теории полезности: «Ряды пред-

257

257

17 р. л. раяцкас, М. К. Плакунов

почтений показывают, что один товар для данного потребителя или группы потребителей предпочтительней другого, но они не в состоянии показать, насколько, на какую величину он предпочтительней. А когда речь идет о максимизации потребления, и тем более в масштабе общества, необходимо знать не только факт предпочтения, но и количественную меру этого предпочтения... спрашивается, какой же может быть оптимум без количественного выражения и измерения содержащихся в нем категорий, без единицы измерения тех элементов, которые включаются в оптимум?» [162, с. 80]. Ответ на этот вопрос был дан еще В. Парето [508]. Задача максимизации функции полезности и^ может быть решена и в том случае, когда и(я) измерена в порядковой шкале, т. е. с точностью до произвольного монотонно возрастающего преобразования ф(-). Действительно, пусть х* — решение задачи (4.10):

и^ -> шах

х е X = {х^сх = d, х ^ 0}.

Для х* выполняется

и(х*) ^ и(х) для всех х е X.(5.17)

Подвергнем и допустимому преобразованию ф. По- прежнему будет

ф(и(я*)) ^ ф(?ф;)) для всех х е X, так как ф(-)1 такое, что из и' ^ и" следует ф(и') ^ ^u”Y Утверждение (5.17) адекватно в порядковой шкале.

Допустим, что и^ каким-то образом удалось измерить в количественной шкале, т. е. с точностью до линейного преобразования ф(и) = оси, где а — масштабный множитель. Такое повышение точности измерения функции полезности (замена ординарной полезности кардинальной полезностью) равным счетом ничего не дает. Поэтому в теории потребительного выбора, в теории принятия решений без риска и т. п.— порядковая полезность — это все, что нужно.

Многие западные экономисты (К. Менгер, Е. Бем- Баверк и др.) пытались и пытаются использовать теорию полезности в апологетических средствах, противопоставить полезность стоимости и т. д. Эти попытки служат одной из главных причин критики теории полезности ([7], [16], [51], [337] и др.) и это вполне оправданно; неоправданно то, что вместе с водой часто выплескивается и ребе-

йок — сами понятий «полезность», «функция полезности»,; «предпочтение» и т. п.

К. Маркс считал, что «человек, накладывая на известные предметы внешнего мира ... штемпель „благ”., все более и более сравнивает эти „блага” между собой и ставит их в известный ряд сообразно иерархии своих потребностей, т. е., если угодно, „измеряет” их... здесь речь идет не о том, что вообще понимается под „измерением стоимости”» [1,т. 19, с. 382]. Как явствует из этого высказывания, попытки противопоставить теорию полезности марксистской политэкономии совершенно не основательны.

Не следует верить на слово Е. Бем-Баверку, например, утверждающему, что из теории полезности выводится логически опровержение трудовой теории стоимости [73],; [74]. Между тем некоторые критики теории полезности (например, [7], [16], [51]) принимают утверждения адептов «австрийской школы» без доказательств, на веру, как нечто неопровержимое и сосредотачивают свою критику не на доказательстве неверности утверждения, а на некоторых исходных посылках: на полезности, предпочтении, стремлении индивида к максимизации полезности и т. д. Не следует принимать на веру и утверждения, что из теории полезности следует теория трудовой стоимости, что делал, например, С. Франк [451]. Нужно анализировать доказательства, а анализ показывает, что из теории полезности доказательство или опровержение трудовой теории стоимости можно вывести с таким же успехом, как доказательство или опровержение гелиоцентрической системы Коперника.

Приведем пример. Определение меновой стоимости — цены предельной полезностью сводится к следующему: «если Q есть количество закупленного товара X и если u(Q) есть общая полезность товара (выраженная в долларах), потребитель, по-видимому, попытается максимизировать разницу между общей полезностью товара и своими расходами (Р0, т. е. он попытается максимизировать и^ — PQ. Дифференцируя по Q и приравняв полученный результат нулю, мы получим duldQ — Р = 0, т. е. Р = duldQ — предельную полезность ^-й единицы товара» [36, с. 168]. (Здесь Р — цена единицы товара). Не будем останавливаться на измерении полезности деньгами (это проблематично, но в данном случае значения не имеет) и проанализируем задачу. Выясним прежде всего, что считается известным^ а что требуется найти. Известны

функция полезности и^ и цепа за единицу товара Р. Найти требуется оптимальное количество закупаемого товара (?*:

(5.18)(5.18)(5.19)(5.19)max и ((2) — PQ.

(5.18)

(5.18)

(5.19)

(5.19)

Q

= Р= РУравнение du I dQ |q=q*

= Р

= Р

определяет не меновую стоимость — цену (она по предположению уже известная), а оптимальный объем покупки. Таким образом определения цены предельной полезностью не получается, хотя при оптимальном количестве закупаемого товара предельная полезность ^*-й единицы товара равна его цепе.

Рассмотрим несколько иную постановку задачи: известны функция полезности и^ и объем покупки Q* — требуется получить информацию о Р. Такая задача рассматривалась Менгером, Бем-Баверком и другими экономистами «австрийской школы» [51], [73], [395]. Информации для того, чтобы установить цену в этих условиях, недостаточно, но установить верхний предел для цены можно:

^)j_) du I

~ dQ |Q=Q* *

так как если цена выше Р, то потребитель может увеличить разницу между своей полезностью и расходами, сократив объем покупки Q*. Вообще, как мы уже отмечали в главе первой, «теоретики полезности», особенно представители «австрийской школы», не использовавшие математический аппарат, выражались крайне туманно и речь может идти только о реконструкции их взглядов. Корректный анализ доказательств можно проводить тогда, когда доказательства сформулированы явно. Этому требованию отвечают работы современников «австрийцев» У. Джевон- са [500] и В. Парето [508]. У. Джевоне, например, рассмотрел^ задачу о двухсторонней сделке. Как известно, полученный им результат — кривая Джевонса — множество Парето-оптимальных сделок (см., например, [185], [487]), т. е. меновая стоимость — цепа — однозначно не определяется в этой модели и, следовательно, решение не противоречит трудовой теории стоимости.

Задачу объединения теории субъективной полезности и трудовой теории стоимости одним из первых пытался

решить С. Франк [451]. Эта попытка во многих отношениях поучительна, и мы рассмотрим ее подробнее.

С. Франк не использовал математический аппарат, и это затрудняет анализ его попытки, так как многие термины фактически остались неопределенными, а логические переходы обозначены нечетко. В частности, в соответствии с традицией своего времени (см., например, первый перевод «Капитала» К. Маркса на русский язык), С. Франк вместо термина «стоимость» использует термин «ценность»; термин «хозяйственная ценность» он использует в смысле «полезность» и т. д. Тем не менее приводимое им доказательство тезиса: трудовая ценность (стоимость) есть субъективная ценность (полезность) общественного дохода — может быть реконструировано.

С. Франк рассматривает «изолированное хозяйство» — индивида (Робинзона), семьи, ассоциации, общества. Подход довольно абстрактный. При этом он исходит из того, что «субъективная г^ель производства заключается в удовлетворении человеческих потребностей и что для субъекта хозяйства труд является универсальным средством к этой цели» [45, с. 235]. Для производства определенного количества каждого блага субъект хозяйства должен жертвовать соответствующим количеством труда, т. е., во-первых, имеет место равенство

2тА = 7, (5.20) г

где х^ — количество блага /, тг — затраты труда на производство единицы блага i, Т — общие затраты труда, и, во-вторых, затраты труда входят в функцию полезности:

и = и^х, Т^ причем duldT << 0.

Далее С. Франк, используя устаревшие уже к его временам методы рассуждений «австрийской школы», пытается фактически доказать равенство типа (5.19): «Так как обладание каждым из этих благ зависит для человека от затраты определенного количества труда, то при потере каждого из них он может обеспечить себе удовлетворение соответствующей потребности, затрачивая на производство данного блага требуемое количество труда, т. е. теряя при этом наименее полезный продукт труда. Пожертвование определенным количеством труда, необходимое для создания блага, равносильно поэтому для человека пожертвованию предельной полезностью наименее полез-

ного продукта этого труда» [456, с. 234]. Проще, конечно,; рассмотреть задачу ’

Цх, Т) ->• max (5.21)

при ограничении (5.20). Не останавливаясь на математических проблемах, которые во времена С. Франка экономистами даже не обсуждались (непрерывность, дифференцируемость и вогнутость целевой функции), имеем в стационарной точке

du/dXi + ди/дТ -dTldxt = 0

или с учетом (5.20)

du/dxt = — ди/дТхц (5.22) duldxt — «субъективная ценность» блага /-предельная полезность его; т^ — трудоемкость блага /, ди/дТ — предельная полезность труда.

Получаем, следовательно, что «субъективная ценность продуктов труда совпадает, таким образом, с их трудовой ценностью, т. е. является результатом оценки благ пропорционально затраченному на их производство труду» [451, с. 234], причем коэффициент пропорциональности равен ди/дТ.

Отметим, что здесь не требуется измерения полезности деньгами, и что устанавливается пропорциональность между предельной полезностью и стоимостью, а не ценой; денег, цен в модели С. Франка нет. Но реконструкция и анализ этой модели не стоили бы затраченного на них труда, если бы С. Франк не попытался расширить свою модель, включив в нее невоспроизводимые ресурсы. С. Франк такую попытку сделал: «Для того чтобы производить, человеку необходимо иметь в своем обладании некоторые средства производства, напр. силы природы, создать которые он трудом не может. Наличность этих средств есть, следовательно, вообще conditio sine qua non производства... в зависимости от нее стоит общее количество возможного производства» [451, с. 235].

Следовательно, надо выяснить, как ограничения на ресурсы влияют на решение задачи (5.20), будут ли в этих условиях выполняться равенства (5.21). С. Франк полагал, что будут: «... На... свободном выборе между благами... покоится связь между их ценностью и трудом, затраченным на их производство. Если человек имеет возможность, изменяя направление своей деятельности^ заме-

нять одно благо другим, т. е. качественно и количественно определять состав благ, общая сумма которых находится в зависимости от условий природы, то субъективная ценность всех этих благ будет одинаковой: она будет равняться ценности общего «средства производства», т. е. будет пропорциональной затрате труда... каковы бы ни были границы, которые ставят производству независимые от человеческой воли условия природы, в их пределах управляет производством воля человека, и, следовательно, результат производства определяется направлением человеческой деятельности, что и приводит ценность производимых благ в зависимость от затраты человеческого труда» [451, с. 236-237].

Иначе говоря, С. Франк считает, что введение ограничения на ресурсы х е X может изменить решение задачи (5.20), но и внутри допустимой области X равенства (5.21) сохраняется. Это неверно, и здесь еще раз видна полезность математического анализа экономических проблем. Запишем туманную «общую сумму благ» в виде ограничений на природные ресурсы

^т^-К,,(5.23)

г

где Rj — наличие ресурса /, г^ — затраты ресурса / на единицу блага Z, для простоты ограничимся случаем, когда ограничения заданы в виде равенств. Дифференцируя функцию Лагранжа задачи (5.21) с учетом (5.23), получаем вместо (5.21)

ди диап

"аГ + "ат т*—— ®>

где Xj — множители Лагранжа, или

(5.24) 13

причем не все множители Лагранжа Xj равны нулю Из (5.24) следует, что предельные полезности благ непропорциональны затратам труда. Попытку С. Франка (как и последующие аналогичные попытки) вывести трудовую теорию стоимости из теории полезности следует признать неудачной.

Теория стоимости и теория полезности работают в разных плоскостях, находятся на разных уровнях социально

экономического знания. По из этого не следует, что зада* чи, решаемые в рамках теории полезности, бесполезны. Результатов в теории полезности, действительно, не так уж много, но это должно быть стимулом к продолжению исследований, а не к отказу от них. К тому же следует учитывать, что теория полезности начала развиваться сравнительно недавно. Было бы, однако, неверным представлять историю теории полезности как сплошную цепь ошибок, неудач и бесплодных умствований, как это делает, например, В. В. Потапов [355]. Ошибки и неудачи есть в истории любой науки. Возьмем, например, теорию гравитации. Создал ли Ньютон «настоящую» теорию гравитации? К теории гравитации Ньютона вполне применимы те обвинения, которые В. В. Потапов выдвигает против теории полезности: «Во-первых, теория приобрела сильно формализованный характер. Этому во многом способствовали переход от причинно-следственного к функциональному методу исследования, т. е. к анализу исключительно количественных взаимосвязей, и распространение логического позитивизма как общей методологии буржуазной науки» [355, с. 16].

Действительно, Ньютон ничего не смог сказать о причинах, по которым Земля и Луна взаимно притягиваются, и ограничился только количественным описанием этого притяжения: Ньютон отказался рассматривать непроверяемые гипотезы, а это, как мы уже видели, и есть, по В. В. Потапову, логический позитивизм 5. Кроме того, теория гравитации Ньютона признавала мгновенное дальнодействие, абсолютное пространство, не объясняла некоторые тонкости движения Меркурия и т. п., содержала целый ряд совершенно неприемлемых вещей. Доэйнштей- новские попытки исправить «ошибки» Ньютона или разработать альтернативу его теории оказались бесплодными, если придерживаться при их оценке строгих критериев В. В. Потапова. Создал ли А. Эйнштейн теорию гравитации? Таковой должна была стать общая теория относительности, но «на самом деле» только лишь усложнился математический аппарат (что, как мы знаем, по В. В. Потапову, само по себе является недостатком), появились новые переменные проблемы и т. д. (см. например, Л. Бриллюэна [61]). Здесь уместно привести слова

ф. Энгельса: «...Прилагать мерку подлинной, неизменной, окончательной истины в последней инстанции к таким знаниям, которые по самой природе вещей либо должны оставаться относительными для длинного ряда поколений и могут лишь постепенно достигать частичного завершения, либо даже (как dtq имеет место в космогонии, геологии и истории человечества) навсегда останутся неполными и незавершенными уже вследствие недостаточности исторического материала,— прилагать подобную мерку к таким знаниям значит доказывать лишь свое собственное невежество и непонимание» [1, т. 20, с. 92].

Можно сказать, что работа В. В. Потапова [355] посвящена критическому анализу работ только западных специалистов по теории полезности. Дело обстоит, однако, не так просто. Работы марксистских авторов по теории полезности, действительно, не упоминаются, но в результате создается впечатление,, что для марксиста теория полезности может представлять интерес только как объект критики и нужна эта теория только монополиям. Именно так и пишет В. В. Потапов: «Что же поддерживает существование теории „полезности"" в наши дни? Безусловно, потребность монополий в изучении спроса. Развитие теории „полезности"" как буржуазной микроэкономической теории потребительского спроса необходимо не обществу или потребителям, а именно монополиям» [355, с. 13]. А что поддерживает существование ядерной физики в капиталистических странах в наши дни? Кто использует результаты этой науки: общество или монополии? Следует ли из этого, что в условиях социализма ядерная физика не нужна?

Безусловно, критический анализ современных буржуазных экономических теорий необходим, причем многоаспектный анализ. Но безусловно также и то, что анализ этот должен быть последователен, логичен и обоснован. Вряд ли полезна логически противоречивая критика «полезности». Например, в работе В. В. Потапова, с одной стороны, заявляется, что теория полезности полезна (пусть хотя бы и монополиям) при изучении потребительского спроса, как это делает В. В. Потапов [355, с. 13], а с другой стороны, он утверждает: «Без всякого обращения к теории ,,полезности"" ясно, что обе величины, как правило, изменяются в одном направлении: чем больше доход, тем больше спрос, и наоборот» [355, с. 63]. Выражение «как правило» характерно. Без всякого обращения к газодинамике, например, ясно, что предметы тяжелее

воздуха летать не могут (птицы и самолеты — исключение). Вывод: не нужна газодинамика. Аналогия с приведенным суждением В. В. Потапова полная; буквально за несколько строк до приведенного высказывания он пишет как раз об исключении из «правила», «Кривая „доход-потребление” может иметь и отрицательный наклон, если один из товаров окажется „плохого качества”, т. е. таким, покупка которого уменьшается с ростом дохода» [355, с. 63]. Но именно для того нужны научные исследования, чтобы не ограничиваться гадательным и неопределенным «как правило», «в общем и целом», а строить возможно более точные и надежные прогнозы и принимать на их основе эффективные решения. Завершением «классической» теории полезности как раз и является теорема Слуцкого (см., например, [185], [197], [398]), устанавливающая изменение спроса в зависимости от изменения дохода и цен.

Разумеется, построение функции полезности — дело сложное. Аксиомы, которые кладутся в основу той или иной версии теории полезности, не могут приниматься на веру; опытная проверка справедливости этих аксиом необходима. Наибольшие затруднения связаны с аксиомой транзитивности предпочтений [262], [288], [513]:

изж^уиу^я следует ж ^ 2.

На практике в соответствии с имеющимися экспериментальными данными о поведении людей далеко не всегда выполняется х ^ к. Нетранзитивными оказываются и отношения строгого предпочтения и даже отношение эквивалентности ~ (часто существует порог различимости альтернатив) [219], [260], [408]. Здесь имеются два пути: первый — выяснение причин, по которым транзитивность предпочтений нарушается; второй — элиминирование этого эффекта в результате соответствующей модификации определения полезности. Например, на хХх всегда можно найти функцию и(х, у), такую, что из х ^= у следует Цх, У) >0. Такое обобщение позволяет построить теорию потребительского выбора (в частности, теорию спроса) и при нетранзитивном предпочтении (см.: [166], [195], [513], особенно [212]).

^ Вопросы теории полезности, включение этой категории в систему категорий политической экономии социализма, тесно связанные с этими проблемами проблемы теории

потребительной стоимости, ее оценки и измерения являются в настоящее время одним из’наиболее важных и актуальных вопросов экономической теории.

51.5. Общественная функция полезности и теорема Эрроу

Вопросы построения общественной функции полезности занимают видное место в экономико-математических исследованиях. Хотя их анализ имеет сравнительно небольшую историю, получен ряд важных результатов (см., например, [86], [146], [261], [416], [496]). Но иногда некоторые из этих результатов интерпретируются слишком упрощенно. Так. И. Экланд пишет о теореме Эрроу о невозможности следующее: «Эта теорема утверждает, что для общества, которое должно выбирать одно из нескольких решений, единственный способ выбора, приемлемый при всех обстоятельствах, состоит в передаче права выбора ,,диктатору”. Важность этого результата, очевидно, далеко выходит за рамки математической экономики. Однако его нужно как следует осмыслить» [487, с. 8]. Этим мы и займемся.

Задача агрегирования индивидуальных порядковых, подчеркиваем, порядковых, полезностей, которую исследовал К. Эрроу, формулируется следующим образом.

Обозначим через А — множество альтернатив или объектов: А = {а, 6, с, ...}, количество этих объектовт ^ 3, в общем случае оно может быть бесконечным. Пусть в обществе имеется т индивидов: 1, 2, . . . I, . . . т; т ^ 2. Обозначим слабое предпочтение «а не предпочтительнее, чем 6», как обычно: b ^ а; сильное предпочтение: «Ь предпочтительнее, чем а» как Ъ ^> а и эквивалентность как а ~ Ь. Предположим далее, что каждый индивид г {I = = 1 ~т) относительно любых двух альтернатив aJ)G е А имеет только одно мнение из следующих трех: а ^ tb, либо b )> ta, либо a ^Ь, где индекс г у значков ^, )>, ~ означает, что речь идет о предпочтениях i-ro индивида. Для каждого г отношение слабого предпочтения ^t рефлексивно и транзитивно. В дальнейшем мы будем говорить просто о предпочтении индивида i; или, что то же самое, о порядковой функции полезности ut индивида I.

Множество А в конкретных приложениях может быть множеством различных вариантов экономического развития, множеством систем оплаты труда и т. п. В частности, если обозначить объем продукта /, получаемого при рас-

пределении национального дохода индивидом г как х^ то множеством альтернатив А будет множество всех возможных таких распределений

I 2 ^ij ” ^t *^15 ^ ®

где Xj — общий объем продукта /.

Множество альтернатив А можно упорядочить многими способами. Обозначим множество всех этих способов как U, а элементы этого множества как Rj. Например, если А состоит из трех альтернатив: А = {а, Ь, с}, то

и = {Ru R2, . . ., R13},

где R^ ci )> b )> c; R2: а^ с ^ b; R3: b )> а )> с,... ...Rlo: b ^ с, b ^ а, а ~ с; R13: а ~ Ъ ~ с.

Таким образом, U — это множество всех возможных порядковых функций полезности; если ut — функция полезности индивида I, то ut е U. Обозначим как и0 функцию порядковой полезности общества, определенную на А.

Проблема агрегирования функций полезности индивидов может быть теперь сформулирована как задача выбора (или построения) функции F:

и0 = F(uv . . . иь . . . и^;и0, ut г U,

или

F : Um -> U.

Иначе говоря, задача заключается в выборе некоторой разумной функции F, которая описывала бы некоторое разумное правило упорядочения альтернатив из А на основе индивидуальных предпочтений членов общества.

Рассмотрим простейший пример, когда имеется всего два индивида, две альтернативы: А = {а, 6}, и эти альтернативы для обоих индивидов и для общества заведомо неэквивалентны. Последнее условие означает, что может выполняться либо а )> Ь, либо Ъ )> а для обоих индивидов и общества. Для удобства будем обозначать первую возможность знаком «+» (индивид ответил на вопрос «предпочитаете ли Вы а» положительно), а ситуацию Ъ^ а — знаком «—» (индивид ответил на вопрос «предпочитаете ли Вы а» отрицательно). Множество U в этом случае состоит только из двух элементов: U = {+, —}. Всего имеется 4 возможных сочетания индивидуальных полезностей их и и2. их = +, ^2 = +, ^i = +, м2 — —>

Таблица 5.1. Правила агрегирования для двух индивидов и двух альтернатив, когда эквивалентность альтер- тив исключена

ZZiН2ZZiН2^3^3Коллективное предпочтениеКоллективное предпочтениеF5 F» F, F„ F» Fi» Fh ^12 Fi3 Fu Fi» Fi»F5 F» F, F„ F» Fi» Fh ^12 Fi3 Fu Fi» Fi»+ ++ + + +++ ++ + + ++Индивидуальные предпочтения

ZZi

Н2

ZZi

Н2

^3

^3

Коллективное предпочтение

Коллективное предпочтение

F5 F» F, F„ F» Fi» Fh ^12 Fi3 Fu Fi» Fi»

F5 F» F, F„ F» Fi» Fh ^12 Fi3 Fu Fi» Fi»

+ +

+ + + +

+

+ +

+ + + +

+

ut = —, u2 = +, u, = —, u2 = —. Задача заключается в том, чтобы каждую пару индивидуальных мнений сопоставить с некоторым «общим» мнением. Таким правилом будет, например, F4(uv и2):

f4(+, +) = +; W, -) = -; F^-, +) = +; f4(- -) = +.

Всего таких функций — правил агрегирования — будет 16. Все они перечислены в табл. 5.1.

Задача заключается в выборе одной функции Fj из 16 возможных, и эта функция должна отражать разумное коллективное правило выбора альтернатив.

Функции Рг и F16 должны быть отброшены, так как они игнорируют индивидуальные предпочтения: независимо от того, что предпочитают индивиды, общество, состоящее из них, всегда предпочитает а (правило Рг) либо всегда предпочитает b (правило F^Y

Правило Р1г описывает диктатуру индивида 1: независимо от того, что предпочитает второй индивид, общество всегда предпочитает то, что предпочитает индивид 1. По правилу Р7 диктатором является индивид 2. Эти два правила также неприемлемы.

По правилу F9 общество всегда противоречит/индивиду 1, при этом предпочтения индивида 2 во мйимание не принимаются. По правилу FB общество всегда предпочитает то, что не нравится индивиду 2. Вряд ли такие правила можно считать разумными.

По правилу F^ если индивиды согласны, то общество (состоящее из них) принимает их мнение; в противном случае общее решение: а ^> Ъ независимо от мнения индивидов. Правило F12 отличается от F2 только тем, что в случае несогласия индивидов общество принимает b ^ а. Оба эти правила одинаково неразумны в случае несогласия индивидов между собой.

Правило Т^ также неразумно: в случае согласия индивидов общество принимает а )> Ъ даже тогда, когда оба индивида предпочитают 6, а не a. F^ отличается от Flo только тем, что при согласии индивидов общество принимает b ^ а.

По правилам F^ и Fw если оба индивида предпочитают а, но не 6, то общество предпочитает Ь, но не а; если же оба индивида считают, что Ъ )> а, то общество (из них состоящее) им противоречит: F^—^ —)=^i5(—,—)= — +•

Правила F3l F4l F13, F14 также игнорируют совпадение предпочтений индивидов.

В результате получаем, что ни одно из правил агрегирования в случае двух индивидов и двух альтернатив нельзя считать разумным. Функции общественной порядковой полезности не существует.

Вообще говоря, ничего удивительного в этом* нет. Ситуации иг = и2 = +) иг = и2 = — тривиальны. Разумеется, в этих случаях надо положить Fo(+, +) = +; Fo(—, —) = —. Затруднение вызывают ситуации иг = +, и2 — — и иг — —, и2 = +. Но и эта ситуация тривиальна — она соответствует конфликту. Ясно, что в случае антагонизма между членами общества общественный интерес в том смысле, как его понимал Ж.-Ж. Руссо, отсутствует. Можно, конечно, предложить какую-нибудь функцию Fj и в этом случае, например F^u^ и2) = uv Но почему второй индивид должен соглашаться с таким правилом принятия общего решения? Или, переформулируя вопрос: что может побудить его к соглашению? Только какие-то действия первого индивида, которым он ничего не может, или не умеет, или не хочет противопоставить. А это значит, что в случае рассогласования предпочтений i^ и u2 в анализ надо включить возможные действия членов общества^ т* е, рассматривать эту

сйтуацшо в рамках теории антагонистических игр (но не обязательно в рамках теории игр с нулевой суммой, как это неоднократно подчеркивает Н. Н. Воробьев [99], [100]).

Мы вернемся к этому вопросу, а пока откажемся от ограничительных условий нашего примера (п = 2, т = = 2). К. Эрроу сформулировал свою теорему о невозможности для общего случая т ^ 2; последнее неравенство существенно в том смысле, что надо следить за транзитивностью предпочтений. Возможность нетранзитивно- сти предпочтений, полученных по правилу большинства, была установлена еще Кондорсэ [146], [261].

Просмотр всех правил выбора в общем случае невозможен. Даже в случае одной альтернативы и исключения эквивалентности количество возможных функций выбора 17^^ быстро растет с ростом количества индивидов в обществе т:

|F|m = 2am; |74mH = 22?n+1 = (m2.

Для т = 2 имеем 16 правил, для т = 3 получается 162 = 256 правил Fj; для т = 4 будет уже 2562 = 65 536 правил выбора и с^4-106 дляти = 5. Желательно поэтому формулировать сравнительно небольшое число условий, которым должны удовлетворять правила агрегирования индивидуальных предпочтений. К. Эрроу сформулировал следующие условия [496].

Условие 1 — полнота. Правило агрегирования и0 = = F^u-^ . . ., и^ должно быть определено для всех возможных индивидуальных функций полезности, т. е. на Um. Это означает, что на индивидуальные предпочтения не накладывается никаких ограничений, кроме требования непротиворечивости и полноты: ^^ — рефлексивное, транзитивное отношение, определенное для всех пар элементов множества А. Требуется также, чтобы и0 е U. Ни на индивидов, ни на общество в целом не накладываются никакие обязательства, по которым а следует предпочесть Ь, или наоборот; кроме того, все индивиды независимы и самостоятельны в своих предпочтениях. Условие 1 нарушается многими правилами агрегирования, в частности правилом большинства. Пусть, например, общество из трех индивидов упорядочивает по предпочтению три альтернативы: а, Ь, с. Допустим, что индивидуальные предпочтения таковы:

а ^>! Ъ ^>х с; с ^>2 а )>2 Ь; b )>3 с )>3 а. (5.25)

ОтношенияОтношения)>; транзитивные для всех /; т. е. ив (5.25))>; транзитивные для всех /; т. е. ив (5.25)следует:следует:а Xа Xс»с»с ^>2 b; Ь >3 а.с ^>2 b; Ь >3 а.

Отношения

Отношения

)>; транзитивные для всех /; т. е. ив (5.25)

)>; транзитивные для всех /; т. е. ив (5.25)

следует:

следует:

а X

а X

с»

с»

с ^>2 b; Ь >3 а.

с ^>2 b; Ь >3 а.

Решение о выборе между возможностями а ^> Ъ и Ъ )> а

принимается обществом по правилу большинства. Имеем

(5.26)(5.27)(5.28)(5.26)(5.27)(5.28)за а )>0 b — 2 голоса против 1;

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

за b ^>0 с — 2 голоса против 1;

за с ^>0 а — 2 голоса против 1.

Но тогда либо получаем из (5.26) и (5.27), что за а ^>0 с — 2 голоса против 1, что противоречит (5.28), либо отношение нетранзитивно. Эта дилемма получила название парадокса Кондорсэ.

Условие 2 — положительная связь общественных и индивидуальных предпочтений. Если индивидуальные предпочтения изменяются так, что альтернатива а поднимается в шкалах индивидуальных предпочтений, то эта альтернатива не должна опуститься и в общественной шкале предпочтений. Например, если индивиды изменили свои предпочтения так, что стало а ^ Ь, то общественное предпочтение должно либо оставить а ^ 6 в силе, либо заменить b ^ а па а ^ Ь.

Условие 3 — независимость несвязанных альтернатив, или независимость от внешних альтернатив. Если индивид или общество предпочитают альтернативу а альтернативе 6, то добавление к множеству всех альтернатив А еще одной альтернативы, например с, не должно приводить к изменению этого предпочтения. Другими словами, если сравниваются объекты а и 6, то достоинства и недостатки любого другого объекта не должны влиять на результаты сравнения. Некоторые правила агрегирования предпочтений нарушают это условие. Приведем пример. Пусть три эксперта оценивают предпочтительность проектов технико-экономического развития региона; обозначим эти проекты как а и 6. Допустим, что индивидуальные предпочтения оказались следующими:

а ^1 6? а ^*2 ^а ^1 6? а ^*2 ^6 >3 а.6 >3 а.

а ^1 6? а ^*2 ^

а ^1 6? а ^*2 ^

6 >3 а.

6 >3 а.

Правило агрегирования заключается в следующем. Каждый эксперт упорядочивает проекты по предпочтению, затем нумерует проекты по порядку возрастания их предпочтительности для него и дает каждому проекту чис_

ло баллов, равное его номеру в упорядочении. Если объектов п, то наиболее предпочтительный проект получает п баллов, а наименее предпочтительный — 1 балл. После этого суммируются баллы, набранные каждым проектом; более предпочтительным считается тот проект, который набрал большее число баллов. 13 нашем примере

и^а) = 2;и2(я) ~ 2;ыа(я) “ 1;

uL(b) = 1;и^Ъ^) — 1;u^b) = 2;

^оМ = ui№ + ^2М + ^з(^) = 5;

w0W ^iW + utW + u^b) = 4, следовательно, для общества

& >о ь-

Допустим теперь, что экспертам предъявляют третий проект —с — и индивидуальные предпочтения экспертов не зависят от внешней альтернативы. Пусть, например, индивидуальные предпочтения на новом множестве альтернатив {а, Ь, с} таковы:

b ^^^ с; с ^*2/^*2 ^>^ Хз ^ ^^з ^*

Для индивидуальных предпочтений условие 3 не нарушено, но общественное предпочтение изменяется. Действительно:

и^а) = 3 + 24-1=6; и^Ь) = 2 + 1 + 3 = 6;

и^с) = 1 + 3 + 2 = 6, следовательно, теперь

а ~0 Ь.

Получается, что, хотя каждый индивид, сравнивая альтернативы, принимает во внимание только их свойства, общество в целом этого не делает. Условие 3 запрещает такие правила агрегирования.

Условие 4 — суверенитет граждан — заключается в том, что общественные предпочтения должны зависеть от индивидуальных, а не быть навязаны обществу. В частности, если все предпочитают альтернативу а альтернативе 6, то и общество предпочитает альтернативу а альтернативе Ь. В общем случае правило агрегирования не должно приводить к а ^>0 b независимо от индивидуальных н редпочтеппй.

2732731$ Р. Л Ралцкас, М К Плакунов

273

273

Условйе 5 — отсутствие диктатуры: общественное предпочтение не должно быть идентично предпочтениям некоторого индивида независимо от предпочтений всех остальных членов общества. Иными словами, функция агрегирования не должна быть такой, что всегда и0 = иг для некоторого г независимо от предпочтений Uj (7 ^ i). Можно сформулировать это условие иначе: правило выбора должно быть симметрично относительно индивидов

F^, . . . Ui, . . ., Uj, . . .) = F^, . . ., Uj, . . . Ut,. . .).

Общество считает всех индивидов равно правомочными принимать участие в выработке общего решения.

Вернемся к нашему примеру с двумя альтернативами и двумя индивидами (табл. 5.1). Условие 1 в этом случае выполняется тривиальным образом, так как транзитивность предпочтений имеет смысл только для числа альтернатив не меньшего чем 3. По этой же причине в нашем упрощенном примере нет необходимости требовать выполнения условия 3. Останутся, следовательно, условия 2, 4 и 5. Ранее мы пришли к выводу, что разумного правила агрегирования нет даже в этом простейшем случае. Теперь мы можем более четко ответить на вопрос, в чем именно неразумность 16 функций агрегирования в табл. 5.1. Функции F7 и F1t не удовлетворяют условию 5 — это правило диктаторского выбора общего решения. Функции

^h ^3> ^4, ^5’ ^6> ^7» ^8» ^9» ^10» ^111 ^121 ^13» ^14% ^15» ^16

не удовлетворяют условию 2: отсутствует положительная связь между общественным и индивидуальным предпочтениями. Все функции, за исключением диктаторских F^ и Р1г, не удовлетворяют условию 4, нарушая суверенитет индивидов.

Общее решение проблемы агрегирования индивидуальных предпочтений дается известной теоремой К. Эрроу о невозможности: функции F : Um ->- U, удовлетворяющей условиям 1—5, не существует [146], [261], [487], [496].

Этот результат иногда называют неожиданным и удивительным. Но было бы более удивительно, если бы такая функция агрегирования индивидуальных предпочтений существовала. Интересы различных людей, групп, классов могут быть настолько различны и даже противополож-

ны, что конфликт тогда разрешается не в результате ап- пеляции к общему благу, а только в борьбе, исход которой определяется объемами располагаемых ресурсов, выбором стратегии — и случаем. Теорема Эрроу кажется удивительной только в свете старой, восходящей, по крайней мере, к Г. Лейбницу рационалистической догме, в соответствии с которой реальную борьбу антагонисты могут заменить вычислениями.

В чем же тогда значение теоремы Эрроу? Значение теоремы Эрроу и заключается в уточнении обстоятельств, в которых отсутствует общий интерес и в выяснении условий, при которых может существовать общественная функция полезности. Этот анализ заключается прежде всего в выяснении роли, которую играет каждое из условий 1—5 в формулировке теоремы Эрроу о невозможности.

Остановимся прежде всего на условии 5 — на требовании, чтобы общественные предпочтения не устанавливались диктатором. Можно привести высказывавия, по которым устранение условия 5 позволяет решить проблему построения общественной функции полезности положительно. Такова, например, точка зрения И. Экланда, судя по цитированному выше высказыванию. Но из теоремы Эрроу не следует, что «единственный способ выбора, приемлемый при всех обстоятельствах, состоит в передаче права выбора ,,диктатору”» [487, с. 8]. И. Экланд приводит несколько эквивалентных формулировок теоремы Эрроу. Эту теорему можно сформулировать так: «т правил диктатора, соответствующие т участникам, являются единственными правилами определения коллективного выбора, удовлетворяющими аксиоме единогласия и аксиоме независимости» [487, с. 35]. Эта формулировка действительно эквивалентна приведенной выше формулировке теоремы Эрроу о невозможности (теорема 1а у И. Экланда).

Отметим, что речь в этой формулировке идет не о единственном правиле определения коллективного выбора, а о т различных диктаторских правилах; в приведенной И. Экландом формулировке теоремы Эрроу ничего не говорится о том, кто именно из т индивидов должен стать диктатором. Но далее в изложении И. Экланда следует скачок: «Теорема Эрроу по существу утверждает, что единственный универсальный способ сделать коллективный выбор, при котором индивидуальные выборы согласуются друг с другом, состоит в том, чтобы положиться

на диктатора» [487, с. 39]. Это уже новая формулировка, и она не эквивалентна предыдущим. Действительно, если раньше речь шла об т правилах диктатора, то теперь И. Экланд утверждает, что единственным решением проблемы агрегирования является диктатура. Эту последнюю формулировку И. Экланд и не доказывает; она у него фигурирует только как разъяснение существа правильно сформулированной теоремы Эрроу. Но разъяснение это неудачно.*

Откажемся от условия 5. Обозначим множество т диктаторских правил выбора Fj как Д; ^ Е Д. Ясно, что Fj(u11 . . ., и^ -ф. F^u^ . . ., и^ при г Ф ]. Следовательно, отказ от условия 5 не позволяет решить проблему агрегирования индивидуальных предпочтений. Предложим обществу новую задачу: каждый индивидуум упорядочивает «кандидатов в диктаторы» и все общество на основе некоторого правила, удовлетворяющего условиям 1—4, агрегирует эти индивидуальные предпочтения. Получаем исходную проблему, но с другим множеством альтернатив; теперь это множество Д. Решением этой задачи будет опять множество Д — тп диктаторских правил. Отказ от условия 5 не позволяет сдвинуться с места в попытках найти обход теоремы Эрроу о невозможности.

Прежде чем рассмотреть другие пути решения проблемы агрегирования, отметим один важный практический вывод, касающийся методов агрегирования экспертных оценок. Если эксперты оценивают некоторую характеристику (полезность, важность, привлекательность, значимость и т. п.) в порядковой шкале, то в общем случае коллективного мнения экспертов не существует. К сожалению, в литературе по экспертным оценкам и в прикладных работах этот вывод часто игнорируется.

Рассмотрим теперь остальные условия теоремы Эрроу о невозможности.

Вряд ли что-нибудь дает отказ от условий 2 и 4: должна существовать положительная связь между индивидуальными предпочтениями и предпочтениями общества; трудно объяснить, что может означать ситуация, при которой все без исключения члены общества предпочитают альтернативу а альтернативе Ь, а общество, состоящее из тех же самых индивидов, тем не менее отдает предпочтение альтернативе 6, но не альтернативе а.

Остаются условия 1 — полнота несвязанных альтернатив и условие 3 — их независимость. В сответствии с условием 1 требуется, чтобы: a) U — было множеством 276

всех возможных упорядочений, причем б) ^= рефлексивное и транзитивное отношение; чтобы в) правило F было определено на всем произведении Um и чтобы г) функция F принимала значения в множестве U.

Отказ от некоторых частей условия 1, по существу, изменяет условие задачи. Можно, например, отказаться от условий 16 и 1г и искать не общественное упорядочение альтернатив, а правило G, ставящее в соответствие индивидуальным упорядочениям наиболее предпочтительную альтернативу

G : Um -> А или G : Um -> Р(А^

где Р(Л) — множество подмножеств множества А. Такая задача означает поиск совместного, приемлемого для всех индивидов (или для некоторой их части) решения без построения функции общественной полезности. Для двух альтернатив и нечетного числа индивидов таким правилом может быть правило большинства . Если имеются три альтернативы и три индивида и их предпочтения имеют вид (5.26)—(5.28), то разумного правила выбора, видимо, нет: в общем случае имеется аналогия с теоремой Эрроу. Различные процедуры согласования индивидуальных решений и действий давно представляют собой предмет исследования в экономической кибернетике; условия существования таких процедур анализируются в моделях экономического равновесия [29], [348], [349], [350]. Наиболее важными результатами в этой области являются понятие оптимальности по Парето, теорема Эрроу— Дебре и ее модификации и обобщения.

Этот подход не связан непосредственно с проблемой агрегирования индивидуальных предпочтений. И в тех случаях, когда функция общественной полезности не только существует, но и известна, анализ процедур согласования индивидуальных решений позволяет строить системы управления, в которых оптимум для всей экономической системы не вычисляется в некотором центральном органе, а находится всеми экономическими агентами самостоятельно по правилам, установленным центральными органами. Управление деятельностью экономических агентов осуществляется не посредством выдачи директив, а посредством изменения правил принятия решений.

Здесь есть, однако, сложная проблема устойчивости совместных решений; анализ этой проблемы связан с условием независимости несвязанных альтернатив — с условием 3 теоремы Эрроу. Поэтому сейчас мы не будем затрагивать этот вопрос.

Рассмотрим, что означает отказ от условий 1а и 1Ь теоремы Эрроу. Пусть V — некоторое подмножество U. Это подмножество может состоять, например, только из одного упорядочения (а )> b )> с )> ...). Ясно, что для некоторых сужений множества можно построить правило агрегирования

р ; Vm V,

удовлетворяющее всем условиям. Это можно сделать, когда V состоит из одного элемента. Сужение множества U равносильно наложению ограничений на индивидуальные предпочтения. Кондорсэ, оценивая обнаруженный им парадокс правила большинства, считал, что правило большинства не работает в тех случаях, когда индивидуальные предпочтения слишком различны, и что такая ситуация служит признаком глубокого заболевания общества. Вообще говоря, это верно. В антагонистическом обществе интересы и предпочтения людей, групп, классов существенно различны и могут быть противоположны. Никакое усовершенствование процедур голосования не устраняет антагонизма.

Что может «стягивать» индивидуальные предпочтения в некоторое достаточно «малое» множество V? Индивидуальные предпочтения ограничиваются традицией (и это, видимо, вносит немалый вклад в обеспечение устойчивости традиционных обществ), модой, авторитетом. Наиболее существенны, конечно, материальные причины появления общественного интереса и прежде всего — это наличие общественной собственности. Наряду с непосредственным влиянием этой причины на индивидуальные предпочтения, необходимо отметить и влияние, опосредованное внешней к первоначальному множеству альтернатив А альтернативы — потери в результате несогласованности интересов. Это означает невыполнение условия 3 теоремы Эрроу — условие независимости от внешних альтернатив. Отказ от этого условия рассмотрим позднее.

Есть еще одна ситуация, эквивалентная сужению множества всех предпочтений U. Пусть множество А — это множество значений некоторой переменной (не обязатель-

йо количественной, но, как минимум, измеряемой в порядковой шкале). Каждая альтернатива из множества Л, таким образом,— некоторое значение этой переменной, т. е. альтернативы а, Ь, с... имеют естественный, объективный порядок. Пусть, например, выбирается величина затрат на охрану окружающей среды в долях национального дохода и альтернатива а — 0 % национального дохода на защиту окружающей среды, альтернатива Ъ — 0,5%, альтернатива с — 10% и т. д. Альтернативы имеют естественный, объективный порядок (обозначим его )>е): а & <(е с Й И Т. Д.

Теперь на индивидуальные предпочтения, помимо условия транзитивности, накладывается еще одно условие непротиворечивости. Индивидуальные предпочтения должны быть последовательными. Так, если индивид г считает, что Ъ ^t d, то значит, что он считает наилучшей альтернативу, лежащую между b и d (значение слова «между» определяется объективным упорядочением альтернатив ^е, так же как и значение слов «лежащая перед» и т. п.), либо альтернативу Ь, либо альтернативу, лежащую перед Ь. Поэтому в его индивидуальном предпочтении не появляется отношение d^i а. А это значит, что множество возможных упорядочений U сужено и правило агрегирования надо определять не на £7™, а наД V/, V; cz 77.

г

Если индивид Z последователен, то его предпочтение ut имеет один пик. Предпочтение ReU имеет один пик, если альтернативы объективно упорядочены, и индивид, переходя в порядке объективного упорядочения от одной альтернативы к следующей (в объективном упорядочении), сначала монотонно поднимается к пику своих предпочтений, а затем монотонно опускается.

Для этого случая Д. Блэк и К. Эрроу показали, что если число индивидов нечетно, то правило простого большинства является правилом агрегирования индивидуальных предпочтений, удовлетворяющим условиям 2—5 [146], [261], [497]. Этот результат оправдывает агрегирование оценок экспертов, но только в том случае, если установлено естественное объективное упорядочение объектов (а это надо каждый раз специально проверять) и если индивидуальные упорядочения экспертов имеют по одному пику. Важно также отметить, что доказательство существования правила агрегирования, удовлетворяющего разумным условиям, решает только логическую часть проблемы агрегирования индивидуальных предпочтений и

йе означает, что общество действительно имеет функцию полезности . Остается еще «стратегическая часть» проблемы агрегирования: каковы мотивы, по которым меньшинство или певыигрывающая коалиция и т. п. принимают разумное правило агрегирования? Иными словами, необходимо оценить устойчивость решений, соглашений и т. п., принятых на основе разумного правила агрегирования.

Некоторые из этих вопросов имеют непосредственное отношение к условию 3 теоремы Эрроу — условию независимости несвязанных альтернатив или независимости от внешних альтернатив. По этому условию если сравнивается альтернатива а с альтернативой 6, то никакая третья альтернатива не может приниматься во внимание и ее характеристики не оказывают никакого влияния па исход сравнения альтернатив а и Ъ. Это требование представляется естественным. Пусть некто должен выбирать между квасом и кофе и выбрал кофе. Но тут оказывается, что есть еще одна альтернатива: чай. Было бы удивительно, если бы некто, узнав о возможности попить чаю, отказался бы от кофе в пользу кваса. Естественно ожидать, что появление чая не меняет отношения к квасу и кофе.

По условию 3 теоремы Эрроу независимы от внешних альтернатив должны быть как индивидуальные, так и общественное предпочтения. То, что это условие кажется естественным для индивидуальных предпочтений, не означает, что оно так же естественно для общественного предпочтения. Р. Льюис и X. Райфа приводят следующий пример [261, с. 433]. Рассматриваются два индивида и две альтернативы: а и Ъ. Предпочтения индивидов таковы:

a )>j b; b )>2 а.

Допустим, что по правилу агрегирования Fo эти альтернативы равноценны для общества:

^({а >i Ц, (Ь >2 а}) = {а ~0 6}.

Добавим следующие альтернативы: 1000 долларов каждому, 1 доллар каждому, 1 доллар каждому, 1000 долларов каждому. Теперь индивидуальные предпочтения выглядят так:

X (1) >! а >! Ъ >х (—l»^—1000),

Ъ >2 (1000) >2 (1) >2 (-1) >2 (-1000) >2 а.

Для индивидуальных предпочтений условие независимости от внешних альтернатив выполняется. Обязательно ли в этом случае требовать его выполнения для общественного предпочтения? Ясно, что второй индивид много интенсивнее предпочитает альтернативу b альтернативе а (различие не менее чем в 2000 долл.), чем первый предпочитает альтернативу а альтернативе Ъ (они для него различаются менее чем в 2 долл.). Представляется справедливым, чтобы общественное предпочтение теперь выглядело так: Ъ >0 а. Но это значит, что дополнительные альтернативы теперь нельзя считать не относящимися к делу; их появление повлияло на общественный выбор; условие 3 теоремы Эрроу нарушено.

В приведенном примере нарушено еще одно отдельно не формулируемое условие теоремы Эрроу. По этому условию предполагается известным, что, например, а Ь, но не известна сила этого предпочтения — все полезности в теореме Эрроу измеряются в порядковой шкале. Но индивиды могут оказаться достаточно разумными для того, чтобы измерять свои индивидуальные полезности в какой- нибудь количественной шкале и, кроме того, (хотя это и не обязательно) могут сопоставить свои шкалы. Л это, как показывает пример Р. Льюиса и X. Райфы, меняет дело.

Для индивидуальных предпочтений условие независимости от внешних альтернатив выглядит, как уже отмечалось, вполне правдоподобным. Однако и в этом случае независимость индивидуальных предпочтений от внешних альтернатив нельзя считать естественным законом человеческой природы. В каждом конкретном случае условие 3 следует, конечно, брать под сомнение и проверять его выполнение. Можно указать на большой класс ситуаций, когда индивиды, сравнивая альтернативы а и Ь, имеют в виду «гештальт» всего множества альтернатив или некоторой его части, например учитывают нулевую альтернативу,— согласие не достигнуто. Если последствием реализации нулевой альтернативы будет конфликт, сопряженный с риском проигрыша, взаимного разорения или уничтожения, то естественно предположить, что хотя бы некоторые индивиды изменят свои предпочтения, т. е. будет сужено множество U™. Но все эти обстоятельства существенно изменяют задачу, о решении которой идет речь в теореме Эрроу о невозможности. Анализ послед-

ствий принятия или непринятия совместного решения, устойчивости достигнутого соглашения и т. п.— все эти проблемы не сводятся к задаче агрегирования индивидуальных предпочтений и рассматриваются в более широком аспекте теории кооперативных игр.

Общественная функция полезности и теорема Нэша

Утверждение, что в кооперативной игре существует равновесное решение, является своего рода контраналогом теоремы Эрроу о невозможности, так как если это утверждение справедливо, то обычно можно построить и функцию общественной полезности. Основополагающей здесь служит теорема Дж. Нэша [87], [261], [324], [332], [388], [506].

Обозначим множество всех соглашений как А = {а, Ъ, с...}. Элементы этого множества — это, например, различные распределения продукции (5.24) или же а = = {«х, . . ., а^ — это доли дохода, приходящиеся каждому индивиду и т. д. Индивидуальные полезности, как и раньше, определены на альтернативных соглашениях из а; если Ut^ )> u^b^ то индивид предпочитает соглашение а соглашению Ь. Каждому соглашению а г А сопоставляется вектор индивидуальных полезностей и^ = = \u^a\ . . ., um(a)}. Множество всех таких векторов, определенных для каждого соглашения из Л, обозначим как 8:

8 = {и(а)|а е Л}.

Обозначим через и^, максимальный выигрыш, который индивид г может получить, действуя в одиночку, будем называть этот выигрыш предпосылкой. Предпосылке и = = ^uv . . ., ит^ соответствует некоторая альтернатива из А, например а. (Для простоты считаем альтернативы, доставляющие одинаковые полезности, неразличимыми.) Предпосылке и может соответствовать, например, начальное распределение некоторого продукта, имеющегося в объеме Xе.

а : 2 ^i = ха: и(а) = (ых (я®), ит (жУ]. г=1

Пусть индивиды пришли к некоторому другому соглаше- 282

пито, например Ы

b-.^x\ = Xb- u(b) = {U1. г=1

При переходе от соглашения а к соглашению Ъ происходит перераспределение продукта, а также, быть может, изменение его объема, например увеличение: Хъ > Ха. Таким образом, предпосылка и может соответствовать вектору индивидуальных полезностей при status quo. Но это не обязательно. Возможна ситуация, в которой никто ничего не получает, если индивиды не сумели договориться о распределении благ. Предпосылка — это максимально возможный выигрыш индивида г в том случае, когда он действует в одиночку, причем не исключена возможность того, что все остальные играют против него. В общем случае этот выигрыш может оказаться и положением status quo и уничтожением и перераспределением всех ресурсов в свою пользу. Выяснение, каково u-t — это специальная и часто очень сложная задача, поиск решения которой ведется методами теории игр. Пусть, например, общество состоит из двух индивидов; у каждого есть набор чистых стратегий ^ и с2 и смешанные стратегии yv и у2; исходы описываются платежными матрицами Вг и В2 — для первого и второго индивида соответственно. Имеем, таким образом, биматричную игру с матрицами By и В2. Самое большое, на что могут рассчитывать индивиды, действуя в одиночку, это предпосылки uf.

Uy = max min УуВуу^

u^ = max min УуВ^у^

Ч Уу

где у' обозначает транспонирование вектора у.

Приведем еще один простой пример, иллюстрирующий понятие предпосылки. Пусть двое рабочих работают в две смены на одном станке. Организация труда индивидуальная; существуют потери времени на пересмену. При такой организации труда месячная зарплата первого и второго рабочих равна я” и ^ соответственно, а суммарная зарплата равна ХИ = Ху + х2. Допустим теперь, что эти рабочие объединились в бригаду нового типа: работают на один наряд, получают единое производственное задание. Если объединение в бригаду оказалось эффективным,

то выросла производительность труда (в частности, в результате исчезновения потерь времени на пересменку) и соответственно выросла суммарная зарплата Хб > Хи. Ситуация, соответствующая индивидуальной организации труда, и будет предпосылкой при решении задачи распределения зарплаты Хб: самое меньшее, на что следует соглашаться каждому рабочему,— это его зарплата при индивидуальной организации труда: ^. Полезность этого распределения и будет предпосылкой

^ = (^(^1), ^2(^2))*

Допустим теперь, что известны множество 5 и предпо” сылки и ^ S. Задача заключается в поиске правила, которое каждой паре (5, и?) ставило бы в соответствие некоторое соглашение, при котором индивиды получали бы полезность и*:

и* - F^S, и).

Если S непусто, то такое правило (в отличие от задачи агрегирования индивидуальных предпочтений) всегда существует: можно просто положить и* = и — каждый «остается при своих». Речь идет, конечно, о правиле, которое улучшило бы положение индивидов. В общем случае и таких правил может оказаться слишком много. Так, в примере с бригадой производственных рабочих любое распределение бригадой зарплаты Хб, такое, что

^i = ^ + А/, Ах + А2 = Х6 — Хи, Ai > О

увеличит индивидуальные полезности рабочих (если, конечно, Хб — Хи > 0).

Необходимо поэтому сформулировать условия, которым должно удовлетворять разумное правило заключения соглашения. Дж. Нэш сформулировал ряд таких условий; одни из них уточняют понятие разумности соглашения, другие являются гипотезами о функциях полезности.

Условие 1. Все индивидуальные полезности измерены в шкале интервалов, т. е. с точностью до начала отсчета о^ и масштаба ^: преобразование полезности az -|- рг at является допустимым.

Условие 2. Решение — действительное соглашение — не должно зависеть от допустимых преобразований шкал индивидуальных полезностей, т. е. от чисел a;, Pf. Пусть

S' получено из S с помощью допустимых преобразований:

S' = (и' | и\ = a^ut-V Pt, (“i, • • •, “т) eS1.

Тогда, если и* = F(S, и\ то условие 2 содержит требование, чтобы

F (iS'iCXjUj + Pi, . . . , OCmZZm + Ртп) — (cXiiZi + Pi, . . .

. . . , CXmZZm + Pm)»

Условие 3. Индивидуальная разумность: для всех г должно выполняться

М* ^ uv

Условие 4. Допустимость:

и* е S.

Условие 5. Оптимальность по Парето: в 5 не существует элемента и**, отличного от и*, такого, что й^ ^ щ . Иными словами: после заключения соглашения никто не может улучшить свое положение, не ухудшив при этом положение остальных индивидов.

Условие 6 — независимость от внешних альтернатив: пусть Z cl S. Тогда, если и* е Z и и* = F(ST и), должно выполняться и* = F(Z, и).

Иными словами, при добавлении новых альтернатив (соглашений) старая альтернатива не должна стать решением, если она не была им ранее, при условии, что предпосылки не изменились.

Хотя, так же как и в случае теоремы Эрроу, независимость несвязанных альтернатив не является законом природы, следует все же отметить различие содержания этого условия в формулировках теоремы Эрроу и теоремы Нэша. В последнем случае в модели учитываются результаты отказа от достижения соглашения. Общество из несговорчивых индивидов наказывается тем, что получает только свои предпосылки.

Условие 7 — симметрия: при одинаковом положении в S индивиды должны получать одинаковые выигрыши.

Дж. Нэш доказал теорему, которая действительно удивительна: существует единственная функция F, определенная для всех пар (S, и^ удовлетворяющая уело впям 1 — 7; при этом решением и* = F(S, и) является со-

глатеяйе, которое максимизирует функцию общественной полезности и0:

т

м0 = П (^ — и^ при и^ > ъц для всех I. г=1

Вернемся к нашему примеру с производственной бригадой. Допустим, что функция полезности денег первого рабочего — это функция Г. Крамера [219, с. 111]:

а также любая функция вида о^ Vхх + рх при ^ > 0 и любых рь функция полезности второго рабочего линейна и определяется с точностью до констант а2 и р2 (а2 > 0):

И2 = ^2 (ИЛИ = «2^2 + Рг)-

Введем обозначения:

А = Х6 — ХИ — прирост суммарной зарплаты при переходе на бригадную организацию труда; z2 — доля рабочего г в этом приросте; х^ — зарплата рабочего г при индивидуальной организации труда.

Запишем функцию полезности Нэша

и0 = а^ (jZхх + zxA — |/хх ) (^2 + z2A — ^2). (5.29)

Решением, т. е. распределением приработка А, которое удовлетворяет условиям 1—7, будет вектор (z1? z2), максимизирующий (5.29) и удовлетворяющий условиям

2i + z2 = 1, zz- ^ 0 для i = 1, 2.(5.30)

Перепишем (5.29) в виде

и0 = аха2 V^i-ж^ "^1 + -^[ zi ~ ^ Az2-

Ясно, что решение не зависит от произвольных постоянных аг-, Pf, в данном случае оно не зависит также от х^. Если отношение А/^1 невелико (чаще всего дело обстоит именно так и МХИ ^ 0.05—0.15), то целевую функцию можно упростить. Имеем

Максимизация этой целевой функции при ограничениях (5.30) эквивалентна задаче: найти zv и z2, такие, что

и0 = 2^2 -> max, ^ + 22 = 1, ^ ^ 0, Z = 1, 2.

Сразу получаем, что Zt = 1/2. Значит, в первом приближении приработок А следует делить поровну, если дележ должен удовлетворять условиям 1—7. Сразу возникает вопрос: где же здесь личный трудовой вклад каждого рабочего? Личный трудовой вклад каждого рабочего — это предпосылки; приработок, величина которого должна зависеть от величины дополнительно производимой продукции,— это нелинейный эффект кооперации, эффект, который нельзя разложить на сумму индивидуальных эффектов. Попытки разложить этот нелинейный эффект заканчивается неудачей: теория вменения не работает не только на макроуровне, но и на микроуровне.

Можно несколько обобщить полученный результат. Функция Нэша для бригады из т рабочих имеет вид

т

“о = П («I (4 + AzJ — Ui (л-)) i=l

ИЛИ

Оценим отношения А/^. Если А = аХи, где а — процент прироста зарплаты при переходе на бригадную организацию труда, а жи — средняя зарплата при индивидуальной организации, то А = атп^и; полагая, что разброс зарплаты невелик, получаем А/^ « ост. Рост зарплаты на 100-4-150%, конечно, возможен, но все-таки эта ситуация встречается редко (и вызывает сомнения в напряженности норм и эффективности профориентации и расстановки рабочих). Реально в основном а ^ 0,1. Таким образом, если численность бригады не велика (а она должна быть ограничена сверху, так как неосвобожденный бригадир не имеет управленческого аппарата), то ат<<1. Допустим, что это так. Тогда

и- (х- /1 4- — 2-^ — 77- (г") ~ г” — — г-х \ г ))Жг

Это дает возможность записать задачу поиска распреде-

ления зарплаты, удовлетворяющего условиям!—7, в виде тj . тт

П $" 57 П —Zi = сопзЬЦя^тах,

i=l“ г i=l ^jг=1

2 zi = 17 zi ^ 0 при i = 1, m. г

Отсюда следует, что в первом приближении, независимо от формы индивидуальных функций полезности, z* = = Мт. Можно показать, что для конкретных индивидуальных функций полезности точка соглашения мало отличается от точки z* = 1/яг.

Разумеется, теорему Нэша нельзя интерпретировать как гарантию существования функции общественной полезности. Выполнение условий 1—7 необходимо проверять в каждом конкретном случае. Сильным является условие 1, по которому все индивиды способны измерить свои индивидуальные полезности в шкале интервалов. В этом, кстати, одно из существенных отличий условий теоремы Нэша от условий теоремы Эрроу. В последней предполагается, что полезность измеряется в порядковой шкале. Если считать способность формулировать свои предпочтения нс только в порядковой, но и в количественной шкале признаком разумности, то в теореме Нэша фигурируют более разумные индивиды, чем в теореме Эрроу. Однако в общем случае такой высокой степени разумности для того, чтобы найти приемлемое решение, не требуется. В формулировках основных теорем экономического равновесия (например, в теореме Эрроу-Дебре, в модели В. Л. Макарова) предполагается только, что экономические агенты оценивают свои полезности в порядковой шкале.

Важный результат теории экономического равновесия — установление того факта, что при определенных условиях (например, при отсутствии монополии) оптимальные траектории роста совпадают с равновесными [29], [268], [317], [385]. Этим в значительной степени уменьшается острота проблемы построения единой целевой функции экономики: экономическая система, в которой права принятия решений не сконцентрированы у какой- то группы экономических агентов, а распределены между всеми участниками, способна развиваться оптимально.

Ясная и четкая формулировка условий, при которых существуют пли не существуют функции полезности, пз-

меряемые в определенных шкалах, является необходимой предпосылкой для построения функции полезности. Именно поэтому абстрактные аксиомы теории полезности (Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, Л. Сэвиджа, К. Эрроу и др.) имеют непосредственно практическое значение. Противопоставление аксиоматических методов построения функции полезности прямым, эмпирическим, лишено смысла. Получить достаточно адекватную модель целей и поведения экономических агентов можно только на основе сопоставления результатов, получаемых различными путями. По-видимому, единственная область, где обосновано использование экспертных оценок,— это построение функции полезности, но только в том случае, когда эксперты оценивают свои, а не чьи-то, предпочтения. Методы построения функций полезности на основе опросов в настоящее время интенсивно разрабатываются [86], [97], [221], [263], [297], [405], [415], [417], [480]. Получен ряд интересных и имеющих практическую значимость результатов. Но в конечном счете о предпочтениях и целях надо судить не только и не столько по декларациям о намерениях, а по наблюдаемому поведению.

Методы построения функции полезности

Коротко остановимся на прямых методах построения функции полезности. Простейший подход заключается в следующем. Постулируется существование функции полезности, измеряемой в количественной шкале, и предполагается, что потребитель выбирает тот набор товаров, который лежит на его бюджетной прямой и максимизирует его функцию полезности, т. е. он решает задачу (4.10), Условия оптимальности потребительского выбора преобразуются в статистическую модель

Ои^ дх^Ои^ дх^^C^t — S^, Ч =4t^C^t — S^, Ч =4t(5.31)(5.31)

Ои^ дх^

Ои^ дх^

^C^t — S^, Ч =4t

^C^t — S^, Ч =4t

(5.31)

(5.31)

где у it — фактически купленное потребителем количество товара i в момент наблюдения t, ец — случайные ошибки.

По теореме Вейерштрасса любую гладкую ограниченную в ограниченной области функцию можно представить в виде степенного ряда: и^х) = а0+ а11х1 + а12^2 • • • ... + си^х^ + .... Практически надо, конечно, ограничиться конечным количеством членов этого степенного ряда, обеспечивающим достаточно хорошую аппрокси-

мацию функции u^xY Например, можно выбрать представление функции полезности в виде квадратичной функции

и^ 2^1 + SS^ij^A'»(5.32)

iг з

Подстановка в (5.31) дает статистическую модель

^г "1" ^^гШ■it’V 2 ^гзУ]1 ^it ~ ^Un

З^г

в которой оцениваются параметры а^ Ъи и %.

В СССР впервые функция полезности для описания поведения потребителя была построена В. А. Волконским в 1963 г. [97]. Используя представление (5.32), он получил функцию полезности для средней семьи

к (я) = (1 — 1,84m) ^ + (1 —2,05m) ^2 + (1 —2,12m) ^3 + + OJ-MT4^ + 1,2.10"4^2 + l,2.10“4^3 + 0,5.10’М + + 1Д.10"4^3 + 0,5.10"4^г

где m — количество детей в семье, хг — потребление продуктов питания, ^2 — потребление промышленных товаров, ^з — потребление платных услуг; все ^ — в стоимостном выражении.

Разумеется, что любое монотонно возрастающее преобразование функции Цх) в (5.31) также будет функцией полезности, соответствующей эмпирическим данным yitl сit. Однозначно можно определить только кривые безразличия — изокванты функции u^xY Можно сразу исключить лишний параметр % из (5.31Д записав статистическую модель в виде

^Mt^L^L =

ui Ш * еИ ci‘ *

где u^ (y^) = ди/дх^ хг = yit, но при этом может быть потеряна линейность по параметрам и, что более важно( ухудшены статистические характеристики модели: например, если £it распределены по нормальному закону, то их отношение будет иметь распределение Коши с бесконечной дисперсией; кроме того, исчезает некоррелированность случайных ошибок и т. д.

Другой подход основан на использовании функции спроса для построения функции полезности [415], [462]. Рассмотрим простейший случай двух товаров. Пусть

известны функции спроса

^1 = /1(^1» ^. d), ж2 = /2(сп с2, а\

где с^ — цена товара I, Xt — величина спроса на товар i при цене Ct, d — доход потребителей.

Функции спроса, как уже отмечалось ранее, однородны в нулевой степени, поэтому запишем их в виде зависимостей от относительных цен л^ = cjd*.

xt == Л(лп •••» ла •••)> г = V п.(5.33)

Если систему зависимостей (5.33) можно разрешить относительно л^, то получаем

л/ = фИ^п • хь •••)•(5.34)

Пусть, например, функции спроса равны

Xt = atdlct = dj^h £ = 1> 2.

Разрешая эту систему относительно л^, получаем

Л/ = аг!хг> t = 1, 2.(5.35)

Если потребитель выбирает наиболее полезный товар из доступных ему товаров, то имеет место система соотношений (5.31)

g- = Xcti = №, '(5.36)

г

где р = hid.

Сравнивая (5.36) с (5.34), получаем систему уравнений

duldxt = лгр = РфгСгН ..., Xt, ...).

В нашем простом примере имеем

duldxt = Vtajxt.

На изокванте и^ — const имеем

Эх. 1 г г

Подставляя (5.36) в последнее равенство и освобождаясь от р (р ^ 0), получаем искомое дифференциальное уравнение изокванты функции полезности

2 л, dxt = 0.(5.37)

В нашем примере получаем

a1dx1!x1 + a2dx2lx2 = 0.

Интегрируя, получаем уравнение изокванты — кривой безразличия

ajn хх + a2ln х2 = const, или

х^х^ = const.

Функцией полезности будет любая монотонно возрастающая функция м(-) от ж"1, ^2

и(ж) = и^"», х^,

напримерI

и (х) = const • Х®1 • Х^2

или

и (х) = const • р^^1 • ^2 И Т. Д.

В общем случае для интегрируемости уравнения (5.37) необходимо выполнение условий [279]:

(

дл.длД /дл. длД/ 5л.5л Д

дх^ ^хз]\^ ^xl)*

Если на параметры функций спроса не накладываются специальные условия (выполнение которых, например, гарантирует отрицательную определенность матрицы Гессе функции полезности), то полученные результаты надо проверить на выполнение ряда обычных условий, которым удовлетворяют функции полезности.

Отметим одно важное обстоятельство. Если функции (5.33) — это функции совокупного, а не индивидуального спроса, то построенная на их основе функция полезности будет общественной функцией полезности. Прямой макроподход иногда позволяет решить проблемы, которые трудно или даже невозможно решить на основе агрегирования микроописаний.

В настоящее время вполне определенно установлено, что цели экономических агентов можно описывать на языке предпочтений, или на языке функции полезности, или на языке функции спроса — и описания на различных

языках эквивалентны. Существенный вклад в разработку методов перевода описания целей с одного языка на другой внесла теория выявленного предпочтения П. Самуэльсона [185], [197], [415]. Допустим, что в рамках своего бюджетного ограничения

2j ^il^i == ^ г

потребитель может выбрать набор товаров хх или набор товаров х2.

г г

Допустим, что он выбрал набор xv Тем самым потребитель выявил свое предпочтение набора товаров хх набору товаров я2.

Обозначим отношение выявленного предпочтения символом -^; хх -> ^2 обозначает, что набор товаров хг предпочитается набору товаров х2. Более точно отношение -> задается следующим операциональным определением: хг ->- х^ если, и только если сххг ^ схх2. Можно ли отношение слабого упорядочения -> считать просто упорядочением )>? В общем случае отношение -> может оказаться и неантисимметричным и нетранзитивным.

Допустим, что цены изменились и равны теперь е2. При новых ценах потребитель выбирает набор х^ а не прежний свой набор xv Здесь есть две возможнсти: 1) набор хх доступен потребителю и в ценах е2:

e2#i ^ d.

В этом случае можно сделать вывод, что у потребителя нет четкой системы предпочтений либо его предпочтения существенно изменились за то время, пока цены менялись от сх до с2. Возможно, что, вводя вероятности, частоты, какие-то другие переменные, удастся описать цели и поведение этого потребителя, но уже вне рамок теории выявленного предпочтения. Вторая возможность: набор хх не доступен потребителю при новых ценах с2.

Теперь отказ от набора хх можно объяснить не изменением или отсутствием предпочтений, а тем, что хх стал слишком дорог. С этим вторым случаем и имеет дело теория выявленного предпочтения. Антисимметричность отношения -> формулируется слабой аксиомой выявленного предпочте-

ния: если хх —> гг2, то х2 -> хх не выполняется, или, иными словами: из сххх ^ схх2 следует с2х2 <; c2xv Оказалось, что для доказательства почти всех результатов теории спроса достаточно выполнения слабой аксиомы выявленного предпочтения. Важность этого результата трудно переоценить: отношение выявленного предпочтения действительно можно выявить, наблюдая за тем, что и по каким ценам покупают потребители; утверждение «хх -> х^ таким образом, проверяемо. Однако для построения функции полезности слабой аксиомы выявленного предпочтения недостаточно. Условия интегрируемости выполняются, если выполняется сильная аксиома выявленного предпочтения: если хх -> х2 -> ...хп, то для любых п неверно хп -> хх.

Ни слабая, ни сильная аксиомы выявленного предпочтения не запрещают исследовать и разрабатывать альтернативные методы описания поведения потребителя. Но если эти аксиомы выполняются (а их выполнение проверяемо), то они служат простым и эффективным правилом установления соответствия между сложными абстрактными моделями теории полезности и реально наблюдаемыми фактами покупки одних наборов товаров и оставлением на прилавках других наборов. Вопрос о приемлемости этих аксиом нельзя решать a priori; выполнение этих аксиом проверяется в каждом конкретном случае. Сомневаться же в безупречности логической схемы, казалось бы, не приходится.

Однако у В. В. Потапова читаем: «...Концепция выявленных предпочтений не претендует на оригинальное объяснение законов формирования и динамики потребительского спроса на капиталистическом рынке... ее тесная связь с теорией „полезности” предопределила эволюцию концепции: она пошла пе по пути сближения с действительностью, а по пути формализации, совершенствования математической техники анализа. Попытка создать действующую модель потребительского спроса не удалась» [355, с. 89—90]. То, что, по В. В. Потапову, «путь формализации, совершенствования математической техники анализа» ведет в «геенну огненную», мы уже знаем. Но «каковы же основные недостатки теории выявленных предпочтений?» — спросим мы вслед за В. В. Потаповым. Ответ: «...Система определения предпочтений на основе сравнения наборов различной стоимости возможна лишь в условиях строго соблюдаемой статичности... Поэтому неизменность системы предпочтений является главным усло-

вием теории выявленного предпочтения и одновременно главным препятствием к исследованию реальных процессов формирования и изменения структуры и объема потребительского спроса» [355, с. 87—88].

Сами посылки В. В. Потапова вызывают сомнение. Противоречит ли теория выявленного предпочтения какой-нибудь динамической теории потребительского спроса? В. В. Потапов не рассматривает такой вопрос. Но вряд ли найдется такая теория, потому что для того, чтобы разработать динамическую теорию спроса (а не написать только слова о ней), надо каким-то образом фиксировать, описывать, моделировать спрос в каждый момент времени. А именно на это и нацелена теория выявленного предпочтения.

В. В. Потапов допускает некоторые неточности, излагая теорию выявленного предпочтения. «Как можно заметить, Самуэльсон нигде не вводит функцию полезности и тем не менее приходит почти к тождественным результатам теории кривых безразличия. Это происходит по двум причинам (по одной — таково было намерение Самуэльсона.— Авт.)». «Как можно было заметить, модель поведения потребителя в теории выявленных предпочтений является также двухтоварной моделью, как и в теории кривых безразличия» [355, с. 84]. На следующей странице В. В. Потапов пишет: «Эту проблему разрешил американский экономист X. Хаутэккер, доказав теорему транзитивности для любого числа товаров» [355, с. 85]. Далее читаем: «Ведь набор с большей стоимостью одновременно является и набором с большим количеством товаров». Так и написано: из 22> 2 следует ^^^ для

гг

всех г.

Вообще, с «больше» — «меньше» разобраться трудно. Выясняя смысл формулы с^ ^ с^^ В. В. Потапов задает вопрос: «Почему более дешевые товары отвергаются? Потому что у Самуэльсона рост стоимости товаров и их „полезности” происходит параллельно. Буржуазный экономист сохраняет старую предпосылку кардинализма: большее, а следовательно, стоящее дороже количество товара всегда предпочитается меньшему, а следовательно, более дешевому» [355, с. 83].

Здесь все неверно. Во-первых, В. В. Потапов постоянно смешивает товар с набором товаров. В современной теории полезности (без кавычек) сравниваются не товары^

а наборы товаров. Во-вторых, из 2сЛ>2сг^не следу* г г

ет все-таки, что x-t>Xi для всех I. В более дорогом наборе товаров одного товараАможет быть больше, другого меньше, чем в дешевом. Неверно, что ^Самуэльсон сохраняет предпосылки кардинализма: в теории выявленных предпочтений ничего не говорится о силе, интенсивности предпочтений. Неверно, что рост стоимости и полезности происходит параллельно. Они независимы. Один набор может быть предпочтен другому и при равной стоимости наборов.

Причин, по которым теория полезности имеет самостоятельное значение наряду с теорией спроса, по крайней мере четыре.

Торговая статистика оперирует данными реализованного спроса. Наблюдаемой величиной является не спрос, а объем продаж, который в условиях неравновесия может оказаться ниже спроса. 2. Наблюдаемой величиной является объем продажи уже имеющихся в торговле товаров. Желательно получить оценку величины спроса на товары, производство которых еще только проектируется; для этого надо как-то выявлять и описывать предпочтения потребителей. 3. Сравнение функций спроса, полученных прямыми методами и на основе теории полезности позволяет повышать точность и надежность моделей. 4. Теория полезности предназначена для описания более широкого круга явлений, чем теория спроса. Так, вне области пересечения этих теорий лежит целый ряд проблем принятия решений^ проблемы поиска разумных соглашений и т. п.

5.2. Предельная полезность и цены

Двойственные оценки

в задачах математического программирования

Как уже отмечалось ранее, проблема оптимизации народнохозяйственных планов тесно связана с проблемами ценообразования. В научной литературе есть мнение, настолько распространенное, что его излагают как трюизм: цены оптимального плана — это двойственные оценки, полученные в результате решения задачи, двойственной к задаче оптимального планирования (см., например, [185], [197], [317], [438], [476] и др.). Двойственные оценки совпадают с предельной эффективностью (или предельной

полезностью) ресурсов. В результате получается, что цены оптимального плана определяются предельными полезностями ресурсов. Мы уже касались этого вопроса, когда разбирали неверное утверждение некоторых сторонников наивной теории полезности, что теория полезности позволяет определить цены. Теперь рассмотрим экономический смысл двойственных оценок в задачах математического программирования.

В простейшей постановке задача оптимального планирования выглядит, как известно, следующим образом.

Прямая задача:

найти вектор выпуска х, такой, что

2^j~^max(5.38)

з

при ограничениях

(5.39)(5.40)(5.39)(5.40)(5.42)(5.43)(5.42)(5.43)xj ^ о

(5.39)

(5.40)

(5.39)

(5.40)

(5.42)

(5.43)

(5.42)

(5.43)

2 ^гЗ^З ^^ ^г*

3

Двойственная задача: найти вектор у, такой, что 2^г/г"^тш г

при ограничениях

yj > 0, 2 аИУг ^ С>1

где Xj — объем выпуска продукта /; а13 — затраты ресурса i на единицу выпуска продукта /; bt — наличный объем ресурса Z; Cj — цена продукта /; у^ — двойственная оценка ресурса I.

Обозначим оптимальные решения прямой и двойственной задачи как х^ и у*. Если эти решения существуют, то имеют место следующие соотношения:

2^4 = 2^г, (5.44) 3 г

г j

Найдем размерность элементов вектора yt. Предпола-

гая, что (5.43) адекватно, получаем, что

]^zj[ X Jt/J = кД (для всех I и /), т. е.

Н/Д = кД/]а^Д.

или

, г денежная ед.ед. измерения продукта

Ji/iLед измерения продукта ед. измерения ресурса

ед. измерения ресурса J j г l

Преобразовывая (5.44) или (5.45), также получаем, что размерность двойственной оценки некоторого ресурса равна размерности цены на этот ресурс. Этот факт побуждает серьезно отнестись к гипотезе: двойственные оценки — это цены на ресурсы. Если принять эту гипотезу, то из (5.44) следует, что оптимальная прибыль равна нулю. (5.44) интерпретируется тогда как «закон сохранения стоимости», а из (5.45) — что оптимальные цены ресурсов равны их предельным эффективностям. Совпадение размерностей цен и двойственных оценок, заманчивая аналогия с законами сохранения в физике, а также совпадение утверждения «двойственная оценка предельной эффективности» с часто принимаемыми на веру догмами наивной теории полезности — все это психологически объясняет (и даже в некоторой степени оправдывает) появление теории, в соответствии с которой цены на ресурсы равны их оптимальным двойственным оценкам. Однако единственным аргументом в пользу этой теории является совпадение размерностей цен и двойственных оценок. Это совпадение необходимо, но недостаточно для обоснования этой теории.

Действительно, вернемся к прямой задаче оптимального планирования. К моменту решения этой задачи ресурсы уже имеются в количествах Ъ^ т. е. эти ресурсы уже приобретены по некоторым ценам zb которые не имеют никакого отношения к рассматриваемой задаче. Фактическая прибыль, получаемая от использования этих ресурсов (оптимального или неоптимального), прибыль, которая отражается в бухгалтерских документах, будет, следовательно, равна

2 CjXj — 2 (5.46) 2 г

(5.47)(5.47)а не

(5.47)

(5.47)

3i

так как ресурсы уже приобретены; величину 2 Ьа изменить нельзя; это — константа, которую поэтому можно исключить из рассмотрения в задаче оптимального распределения наличных ресурсов: задачи

2 с^ max и 2 сзхз — 2 ^г тах з 3 I

эквивалентны при ограничениях (5.39), (5.40). При оптимальном решении прямой и двойственной задач разность (5.47) равна нулю; о знаке (5.46) ничего сказать нельзя. Отметим, что если ct в (5.38) интерпретируется как «общественная полезность продукта у» (см., например, [116]), измеренная в количественной шкале, то двойственные оценки не имеют размерности цены и тем самым отпадает вопрос об их интерпретации как цен.

Из всего сказанного выше не следует, что в рамках системы оптимального планирования нельзя построить оптимальные цены, соответствующие оптимальным объемам выпуска; мы здесь рассматриваем только связь между предельной полезностью и ценами на ресурсы. Доказательство равенства цен на ресурсы их предельным полезностям в рамках модели оптимального распределения ресурсов (типа (5.38)—(5.40)) отсутствует, а анализ содержания этой задачи показывает, что цены на ресурсы в этой модели не определяются, так как ресурсы уже приобретены к моменту их распределения.

Каков же экономический смысл двойственных оценок в задаче распределения ресурсов? Ответ на этот вопрос дает соотношение (5.45): при увеличении объема ресурса i на единицу значение целевой функции (5.38) (объема производства в принятых здесь обозначениях) вырастет на у^ единиц, прибыль при этом изменится на величину yt — zf. Если yt >%ь то целесообразно расширение производства за счет приобретения дополнительного количества ресурса i, максимально допустимая цена, которую можно уплатить за дополнйтельное количество ресурса /, не должна превышать yt. Если же yi < zb то целесообразно (с точки зрения максимизации дохода) продать некоторое количество ресурса I по цене, не меньшей чем уг.

Эти рассуждения часто выдают за обоснование тезиса.

что двойственные оценки равны ценам в условиях чистой конкуренции ([116], [185], [197] и др.). Но модель (5.38)— (5.40) не содержит описания рынка, торгов и т. п. и не является описанием ситуации рыночного равновесия. Еще раз подчеркиваем: ресурсы Ъг уже имеются в наличии, и в модели (5.40) нет ни слова о возможности приобретения дополнительных объемов ресурсов. Анализ ситуации, когда объемы ресурсов не фиксированы (так же как и цены на конечную продукцию), можно провести только на базе изучения моделей более общего характера, чем модели распределения фиксированных объемов ресурсов. Здесь при определенных условиях имеет место равенство цен предельным производительностям, но это не означает, что цены определяются предельными производительностями (и тем более замыкающими затратами). Важнее значение для верной интерпретации соотношения между ценами и предельными производительностями имеет равенство (5.44), которое и при анализе моделей экономического равновесия часто интерпретируют как равенство оптимальной прибыли нулю.

5 2.2. Прибыль в моделях экономического равновесия

Утверждение, что оптимальная прибыль равна нулю, стало чем-то вроде общего места. Например, В. Ф. Пугачев считает установленным, что «при оптимальном режиме функционирования экономики прибыль каждого хозяйственного объекта равна нулю» [364, с. 25]. По мнению С. С. Шаталина, «нулевая прибыль всех включенных в оптимальный народнохозяйственный план производственных способов является его важнейшей внутренней характеристикой» [476, с. 260]. Аналогичные утверждения можно встретить и у других авторов (см., например, [116], [185], [197], [409] и др.).

Рассмотрим сначала простую модель обмена [116, с. 327—329]. Пусть имеется п производителей и п продуктов, причем каждый производитель производит только один продукт. Каждому производителю и его продукту припишем индекс г (i = 1 ~ п). Единицы измерения выбраны так, что в течение года каждый производитель производит ровно одну единицу продукта. Наряду с производством продукта I каждый производитель потребляет некоторые количества других продуктов; обозначим ко-

личество продукта /, потребляемое производителем I, как ац. Очевидно,

аи > 0(5.48)

для всех I и /.

Предположим, что экономика замкнутая, т. е. нет притока продуктов извне и нет потока продуктов из экономики. Из этого следует, что суммарное производство каждого продукта равно его суммарному потреблению

Sati = l.(5.49)

г

Обозначим цену продукта i как лг*. Годовой доход г-oro производителя, учитывая, что за год он производит и продает ровно одну единицу продукта, равен л,. Расходы за год равны

2 ^ij^i»

причем i-й производитель «продает» себе аи продукции, если аи ^= 0. Расходы каждого производителя не могут превышать его доходов

2^л;О1 Для всех ^(5.50)

3

Суммируя (5.50) по г, получаем, учитывая (5.49)

Л$‘л^‘ ^хзЛ j,

гг 33 i3

т. е.

2 лi = 2 2 ^гз^зг гг з

откуда

2 ^ — 2^Л = 0.(5.51)

г \3/

В силу (5.50) все слагаемые в круглых скобках в (5.51) — неотрицательные величины, следовательно, из (5.51) следует

л^2^ил>(5.52)

Д. Гейл, приведя это доказательство, далее пишет «Этот алгебраический факт эквивалентен следующему прос-

тому экономическому утверждению: если при ценах р некоторый производитель обогащается, что по крайней мере один из оставшихся производителей терпит убыток» [116, с. 328]. Действительно, из (5.51) следует, что при честном обмене разность между доходами и расходами равна нулю:

Лг ~ 2 a13^j = 0. (5.53) 3

f Рассмотрим теперь экономический смысл равенства (5.53). Прежде всего отметим, что модель (5.48)—(5.50) можно рассматривать как описание только процесса обмена или перераспределения фиксированных количеств продуктов. При такой интерпретации модели (5.48)—(5.50) равенство (5.53) означает, что на честном обмене никто не наживается,— факт, хорошо известный в марксистской политэкономии: прибавочный продукт (а следовательно, и прибыль) не могут быть созданы в процессе обмена или распределения в замкнутой экономике.

Но наряду с интерпретацией уравнений (5.48)—(5.50) как уравнений обмена допустима и интерпретация их как уравнений производства и обмена. Такой интерпретации придерживался, например, А. Я. Боярский при разработке своего известного алгоритма установления цен [53] (см. также: [239], [281]). Из (5.52) тогда следует, что производители (отрасли) должны поставлять друг другу продукцию по себестоимости, а прибыль равна нулю, что вызывает целый ряд проблем как практического, так и теоретического характера. Если в экономике производятся только производственные ресурсы (как это было в первоначальной модели А. Я. Боярского, например), то действительно прибыль равна нулю, а цена равна себестоимости, что и находит отражение в уравнении (5.52). Но такая экономика никому не нужна и существовать не может. Среди п продуктов обычно есть несколько наименований, которые нельзя отнести к производственным ресурсам; так, Д. Гейл полагает, что в модели, которую он описывает, каждый индивид «тратит долю ап своего дохода на пищу, а0 — на одежду, ау — на увеселения» [116, с. 329]. Так как в выводе (5.52) свойства продуктов не играют никакой роли, мы можем рассматривать экономику, в которой наряду с пр продуктами — производственными ресурсами производятся т?п наименований предметов потребления и услуг (пр + пп = пу Но тогда (5.52) можно

записать следующим образом: ^рп

Л{ = 2 w + 2 ^(5.54)

j=lj=np+l

(полагая, что продукты перенумерованы так, что пр первых продуктов — это производственные ресурсы), или

Л г = Si + Pt,(5.55)

где sL — себестоимость производимой г-м производителем продукций; pt — непроизводственные расходы i-ro потребителя.

Так как а^ ^ 0 и л7- ^ О, из (5.55) получаем, что Pl > о.

Доказать, что pt >0 для некоторых г или pi = 0 для некоторых i в рамках разбираемой модели, конечно, нельзя. Уточним теперь экономическую интерпретацию переменных Pi. Как известно, прибыль от производственной деятельности равна разнице между доходом от произвоствен- ной деятельности и себестоимостью продукции (см., например, [399]), т. е.

Л^ Si.

Таким образом, pt — это прибыль от производственной деятельности, а затраты в размере

п

^гз^З

3=пр+1

финансируются за счет прибыли. Для промышленных предприятий и объединений сейчас — это платежи в госбюджет, плата за фонды, отчисления в фонды экономического стимулирования и т. д. Для любого промышленного предприятия, для любого хозяйственного объекта сумма всех его расходов (включая и непроизводственные) не может превышать сумму его доходов (если в модели не рассматриваются запасы). Никто не может тратить больше, чем имеет, именно таков смысл неравенств (5.50). В то же время (5.52) означает, что существуют цены, при которых суммарные расходы равны суммарным доходам, т. е. (5.52),— это балансовое равенство расходов и доходов. Если ввести такую статью расходов, как «отложенное потребление» или «прирост запасов» и т. п., то балансовое соотношение вида (5.52) превращается в тождество

общие расходы = общим доходам.

Обратимся теперь к более общей модели экономического равновесия, которую рассматривал еще Вальд. Эта модель имеет несколько незначительно отличающихся друг от друга модификаций ([29], [115], [185], [197], [267], [317] и др.). Мы воспользуемся изложением М. Интрили- гатора [185, с. 290—299]. Введем обозначения:

х — вектор валового выпуска, и — вектор конечного потребления, А — матрица Леонтьева, В — вектор производственных ресурсов, D — матрица удельных затрат производственных ресурсов, с — вектор цен на конечную продукцию, у — вектор цен на ресурсы.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим две задачи оптимального планирования.

Задача 1: Найти вектор х, такой, что

си max

(5.56)

при условиях х = Ах + р,

(5.57)

Dx ^ В,

(5.58)

х^ 0-

(5.59)

или, исключая р, задача 1': Найти х^ такой, что сУ — А^х -> max, Dx^B, х^

г 0.(5.60)

Задача 2: Найти вектор цен на

ресурсы у, такой, что

уВ min,

(5.61)

yD > сЦ - Л),

(5.62)

у > о.

(5.63)

Получаем с небольшим изменением (введена матрица Леонтьева) прямую и двойственную задачи (5.38)—(5.40) и (5.41)—(5.43). Однако теперь откажемся от предположения, что цены на конечную продукцию с и объемы производственных ресурсов В заданы. Замкнем модель уравнениями спроса на конечную продукцию

Vj = и Ас, у)(5.64)

и уравнениями предложения ресурсов

bl = ЬАс, у).(5.65)

Теперь все цены и все объемы продуктов должны быть определены из модели, т. е. требуется составить план производства продукции и потребления ресурсов х*. и* и В* и установить цены с*, z/*, такие, что

(5.66)(5.67)(5.68)(5.69)(5.70)(5.66)(5.67)(5.68)(5.69)(5.70)х* = Ах* + ^*,

(5.66)

(5.67)

(5.68)

(5.69)

(5.70)

(5.66)

(5.67)

(5.68)

(5.69)

(5.70)

Dx* ^ В*,,

с* А + y*D ^ с*, V* = и^с*, у*), В* = В^с*, у*).

Для доказательства существования такого плана используется теорема Какутани о неподвижной точке [267] (см., также: [239], [317]); векторы х*. и*, В*, с*, у*, удовлетворяющие (5.66)—(5.70), имеются и единственны,, если функции спроса удовлетворяют слабой аксиоме выявленного предпочтения. Заметим, что в модели неявно присутствует функция полезности, которую «совокупный потребитель» максимизирует в рамках своего бюджетного ограничения,— она «спрятана» в функции спроса. Из существования векторов х*, v*, В*, с*, у* следует соотношение между оптимальными решениями задач 1 и 2:*

с*Ц - А^х* = у*В* ' (5.71)

или

(5.72)(5.72)с*у* = у*В*

(5.72)

(5.72)

В этом случае, т. е. в рамках модели, в которой учитывается спрос, а цены на предметы потребления не задаются извне произвольным образом, двойственные оценки ресурсов не только имеют размерность цен на ресурсы, но и являются таковыми. Равенство (5.71) (или (5.72)) выполняется только в масштабах всей замкнутой экономики и интерпретируется как баланс всех расходов и всех доходов.

5.2.3. Двойственные оценки и функции цен

Мы рассмотрели соотношения между ценами и двойственными оценками в задачах оптимального планирования с точки зрения выводимости интерпретации двойственных оценок как цеп из содержания моделей. При этом цена рассматривалась в узко утилитарном плане: как количество денег, которое покупатель передает продавцу за единицу

покупаемого продукта. Наши доводы сводились, коротко говоря, к следующему.

В локальных моделях типа (5.38)—(5.40), в которых не описываются акты купли-продажи ресурсов, цены на ресурсы и не вычисляются. Появление цен на ресурсы в таких моделях является неявной, скрытой переформулированной первоначальной моделью, причем переформулированная модель невыводима из первоначальной. То обстоятельство, что двойственные оценки имеют (при соответствующей формулировке первоначальной модели) размерности цен, ничего не доказывает: размерность цены имеют себестоимость и показатели средняя и предельная эффективность использования ресурса. Из наших выводов не следует, что значения двойственных оценок не содержат никакой полезной информации; не следует из них также и отрицание возможности равенства цен предельным эффективностям ресурсов в замкнутых экономических моделях, т. е. в моделях, учитывающих спрос па продукцию и ресурсы типа (5.56)—(5.65).

Рассмотрим теперь соотношение между ценами и двойственными оценками в более широком плане, выясним, совпадают ли функции цен с функциями, которые можно возложить на двойственные оценки, в задачах экономического планирования. Вопрос о ценах — один из наиболее важных вопросов как экономической политики, так и политической экономии и его нельзя рассматривать изолированно, в отрыве от таких проблем, как существование и характер товарного производства при социализме, действие закона стоимости и его отношение к закону планомерного и пропорционального развития социалистической экономики, роль и границы хозрасчетных методов управления социалистическим производством и т. д.

Обратимся прежде всего к истории вопроса. Известно, что длительное время, с 30-х годов, многие советские экономисты отрицали действие закона стоимости при социализме. А. Н. Малафеев следующим образом характеризует эти взгляды и их влияние на представления о роли цен: «Господствовало убеждение, что социализм представляет собой разновидность безденежного, натурального хозяйства. И вот в 30-х годах социализм в нашей стране победил. В соответствии с тогдашними представлениями многих экономистов советская экономика должна была превратиться из товарной в натуральную, в которой нет й не могло быть места закону стоимости, являющемуся законом товарного производства... Но ограничиться одной

негативной характеристикой закона стоимости было нельзя. Ведь в советском хозяйстве цены-то продолжали существовать. А цена в соответствии с элементарными положениями марксистской политической экономии есть «денежное выражение стоимости». Если она таковым перестала быть, то что же она такое? На этот естественный вопрос обычно давался такой ответ: цена—орудие планового сознательного руководства. Эта лаконичная формула, отнюдь не безгрешная с точки зрения марксистколенинской экономической теории, была весьма емкой по содержанию. Она отражала реальную роль цены в советском хозяйстве: ее плановое сознательное использование Советским государством преимущественно для перераспределения национального дохода, осуществления социалистической индустриализации страны, внедрения хозяйственного расчета, укрепления социалистической системы во всем народном хозяйстве и подъема благосостояния народа, для полной победы социализма» [272, с. 74—75].

В настоящее время отрицательное отношение к роли закона стоимости в плановом хозяйстве в основном изжито. Признается, что цены должны выполнять следующие функции: планово-учетную, распределительную и перераспределительную, а также стимулирующую. Хотя и существуют некоторые различия в трактовке сущности этих функций между отдельными авторами, в основном они сходятся в том, что цена должна отражать стоимость, т. е. общественно-необходимые затраты труда на производство продукта.

Так, в учебном пособии по ценообразованию А. Г. Савченко и А. Г. Яремчука говорится: «Первая из функций, предопределяемая сущностью цены как формы стоимости, заключается в отражении в ценах уровней и динамики общественно необходимых затрат труда на производство разных видов продукции. Эта функция называется планово-учетной и является основной функцией цены при социализме... Вторая функция цены заключается в том, что она используется в качестве инструмента распределения и перераспределения национального дохода между отраслями и секторами народного хозяйства, между фондами накопления и потребления... Большое значение имеет функция стимулирования производства, основанная на том, что в акте купли-продажи всегда участвует не менее двух сторон, каждая из которых имеет определенные материальные интересы... С этим связан и механизм стимулирования производства

с помощью цен, которые должны максимально обеспечивать соответствие между выгодностью того или другого вида продукции ддй каждого хозрасчетного звена и ее наибольшей эффективностью для народного хозяйства в целом» [389, с. 12—13].

На наш взгляд, с этими формулировками можно в целом согласиться, однако все же следует сделать несколько уточнений. Неясно, почему надо стимулировать только производителя, если каждая из сторон, участвующих в акте купли-продажи, имеет определенные материальные интересы? По-видимому, цены должны стимулировать и потребителя. Далее, в формулировке распределительной и перераспределительной функции цены следует, видимо, учитывать не только отрасли и фонды потребления и накопления, но и конкретных людей, участвующих в процессах производства и потребления. Распределение национального дохода не самоцель; в конце концов он должен быть распределен между всеми членами общества (включая и тех членов общества, которые в процессе производства не участвуют: дети, инвалиды, государственные служащие и т. п.).

Указанный выше перечень функций цен можно считать общепринятым. Например, Л. Йохансен приводит похожий перечень функций цен: «1. Цены служат для соизмерения физически различных товаров, обеспечивая тем самым возможность их агрегирования... Эту роль цен можно назвать функцией учета, агрегирования и контроля. 2. Практически, цены определяют платежи, производимые разнообразными экономическими агентами, так как обыденное понятие цены означает количество денег, которое покупатель обязан уплатить продавцу, чтобы приобрести единицу какого-либо товара. Если в число товаров включается рабочая сила . . . капитальные услуги и т. д., то цены определяют доход, получаемый различными экономическими агентами, который соответствует определенному уровню и содержанию материального производства и торговых операций. Эту функцию цен можно назвать платежной и «доходообразующей»... 3. Цены служат важными элементами информационной системы любой экономики... Цены можно использовать как показатели ценности различных товаров при решении оптимизационных задач. Такую функцию цен правомерно назвать информационной или индикаторной. Она часто испопьзуется как функция распределения ресурсов... 4. Цены служат средством стиму-

лирования различных контрагентов экономической системы. Эта функция, конечно, тесно связана с рассмотренной в пункте 2 «доходообразующей» и платежной функцией, но целиком с ней не совпадает. При различных целях личные доходы и доходы предприятий, не имеющих возможности менять свои решения в силу естественных ограничений или организационных условий, введенных высшими звеньями управления, также изменяются. В этом случае стимулирующая роль цен отсутствует. Однако в условиях, когда существует некоторая свобода выбора в принятии экономических решений, «доходообразующая» и платежная функции цен оказывают более или менее автоматическое влияние на стимулы, независимо от роли центрального государственного аппарата. 5. Цены могут выполнять функцию обеспечения сбалансированности спроса и предложения на различных рынках; благодаря действию механизма цен обеспечивается ликвидация очередей и неудовлетворенного спроса на различные товары, а также не образуются излишние запасы» [189, т. 2, 67—69].

Отметим одно существенное отличие формулировок Л. Йохансена от приведенных ранее формулировок А. Г. Савченко и А. Г. Яремчука, Л. Йохансен даже не упоминает о том, что цены должны отражать стоимость. Именно это позволяет Л. Йохансену анализировать различные функции цен поодиночке, в отрыве друг от друга, а также устанавливать наличие противоречий между различными функциями цен. Мы вернемся к этому вопросу позже, а пока рассмотрим распределительную функцию цен.

В этом случае говорят обычно не о ценах просто, а о вмененных или расчетных ценах, о рентах и т. п. [36, 317 и др.]. Формальной основой для отождествления двойственных оценок yt и цен (вмененных) является равенство (5.44):

г

309309Это равенство интерпретируется как уравнение распределения дохода ^CjXj между владельцами ресурсов: га единицу каждого i-ro ресурса приходится у^ Рублей дохода. Рассмотрим прежде всего чисто натуральное хозяйство, где нет товара, стоимости и цен в узко прак-

309

309

21 Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов

тическом смысле, но могут быть вмененные цены. Целью производства является максимизация общественной функции полезности zz(^) при ограничениях на ресурсы:

и (ж) max,(5.73)

S^i^6,.(5.74)

3

^>0.(5.75)

В общем случае функция и^ нелинейна, так как, во- первых, возможно замещение продуктов, во-вторых, полезность измеряется, как правило, в порядковой шкале. Будем для простоты предполагать вогнутость функции и^ и существование оптимального решения задачи планирования.

Для того чтобы ввести множители Лагранжа, построим функцию Лагранжа L:

L = и^х) + ^уДЬ^ —^а^Л.(5.76)

i \3/

Пусть существует седловая точка (я*, у*):

max L (х, у*) = min L (ж*, у) = L (я*4 у*) = и ^х*у х-у

Если и^ нелинейна, то вопрос даже о формальной записи уравнения распределения

ы(ж*) = 2у*Ь{

не встает, хотя и в этом случае * ди (х*\

Поэтому интерпретация множителей Лагранжа yt как вмененных цен в общем случае отпадает. Собственно на этом история интерпретации множителей Лагранжа как цен должна закончиться: экономическая интерпретация переменных не может зависеть от линейности или нелинейности зависимостей. Но предположим, что и(х) линейна. (Это означает, что, во-первых, существует неограниченная возможность замещения продуктов: воду можно заменить сыром, а сыр — полотенцами; во-вторых, полезность измерена в количественной шкале.)

Теперь задача (5.73) —(5.75) становится задачей ли-

ийного программирования. Записывая условия Куна— Танкера для (5.76), получаем, полагая, что и^ =

3

дУдх = с — уА ^ 0;dLldxx = (с — уА)х = 0;дУдх = с — уА ^ 0;dLldxx = (с — уА)х = 0;х >х >0; у0; у0;0;дУду = В — Ах>0* удУду = уф — Ах^ = 0.дУду = В — Ах>0* удУду = уф — Ах^ = 0.(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)(5.81)(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)(5.81)

дУдх = с — уА ^ 0;

dLldxx = (с — уА)х = 0;

дУдх = с — уА ^ 0;

dLldxx = (с — уА)х = 0;

х >

х >

0; у

0; у

0;

0;

дУду = В — Ах>0* удУду = уф — Ах^ = 0.

дУду = В — Ах>0* удУду = уф — Ах^ = 0.

(5.77)

(5.78)

(5.79)

(5.80)

(5.81)

(5.77)

(5.78)

(5.79)

(5.80)

(5.81)

Из (5.78) и (5.81) получаем для седловой точки ф*, у*) аналог уравнения распределения:

(5.82)(5.82)сх* = у*В.

(5.82)

(5.82)

Но сразу встает вопрос, а что, собственно говоря, распределяется. Если cjb в (5.44) — это цены продуктов, то тогда распределяется величина дохода сх*, например величина национального дохода в стоимостном выражении. Мы рассматриваем натуральное хозяйство; продукты цен не имеют. Что же распределяется в этом случае? Величина полезности Ух*\ Понятно, как можно распределить сумму денег сх*, если с — это вектор цен. Совершенно непонятно, как можно распределить величину полезности Ух*\ В конечном счете распределен должен быть сам вектор выпуска продукции в натуральном выражении, при этом в натуральном хозяйстве воспользоваться посредничеством денег, зарплаты, премий из прибыли нельзя. Обозначив величину продукта /, приходящуюся ресурсу i как х-^ и записав ограничения

ХгЗ = ХЬ ХгЗ ^ ®» г

мы приходим к задаче максимизации функции полезности Цхф при ограничениях (5.74), (5.75) или к задаче векторной оптимизации целевых функций и^хф при тех же ограничениях, т. е. к существенно другой задаче.

Рассмотрим теперь не натуральное, а' товарное хозяйство. Здесь вектор с в (5.38) — это вектор цен на продукты. Целевую функцию в задаче оптимального планирования объемов производства можно считать линейной. Но нет оснований априори полагать, что линейны ограничения. Как уже отмечалось, вопрос об интерпретации

множителей Лагранжа как вмененных цен в этом общем, нелинейном случае даже не возникает. Действительно. Пусть коэффициенты матрицы А зависят от объема производства А = А(я:). Это значит, что есть экономия на расширении масштабов производства, экономия в результате совместного производства нескольких продуктов и т. п.

Возьмем простейший случай такой зависимости:

а^ = а^ (^); da^/dxj^O; da^dxj ^0.(5.83)

Таким может быть, например, эффект обучения [345, с. 79—80]: рабочий тратит на производство 100-тысячного изделия меньше времени, чем на производство 10-тысячного, а на производство 10-тысячного — меньше, чем на производство первого.

Получаем следующую задачу:

(5.84)

(5.85)

(5.86)

Функция Лагранжа имеет вид

^ 2 ^j^j + 2 Уг [ ^г 2М^Л(5.87)

jг \3J

Эх. “ С3 ^Уг^гА^Й 2^i dx-3гг 3Эх. “ С3 ^Уг^гА^Й 2^i dx-3гг 3Запишем условия Куна-Таккера:

Эх. “ С3 ^Уг^гА^Й 2^i dx-

3гг 3

Эх. “ С3 ^Уг^гА^Й 2^i dx-

3гг 3

(5.88)

(5.89)

х3>0; у^О;(5.90)

= bt— ^ау^-х^О;(5.91)

Сравним теперь величины сх* и у*В. Из (5.98J следует, что для оптимальных значений х * и у * выполняется равенство:

jj**33у йаИ * ах- з 3у йаИ * ах- з 3УчитываяУчитывая(5.83), получаем:(5.83), получаем:(5.93)(5.93)

j

j

*

*

3

3

у йаИ * ах- з 3

у йаИ * ах- з 3

Учитывая

Учитывая

(5.83), получаем:

(5.83), получаем:

(5.93)

(5.93)

(5.94)(5.94)каккак

(5.94)

(5.94)

как

как

г з

Поскольку при выполнении ограничения (5.85)

строгого неравенства соответствующий множитель Лагранжа равен нулю, можно записать:

(5.95)(5.95)2»Г2<-«М)^ = 2Д.

(5.95)

(5.95)

г зг

Подставляя (5.95) в (5.94), имеем:

(5.96)

что отличается от уравнения распределения (5.44). Причем это отличие очень серьезно: стоимости производственного продукта сх может не хватить для распределения ее между факторами по вмененным ценам у*. В том случае, когда зависимость удельных затрат от объема производства существенно нелинейна, т. е. когда

для всех Xj, принадлежащих допустимой области, неравенство (5.94) выполняется как строгое. А из этого следует, что и неравенство (5.96) тоже выполняется как строгое:

2cA*<Sz/X (5.97) 3 г

т. е. распределение сх* по ценам вменения невозможно.

Рассмотрим теперь частный случай, когда в рамках задачи (5.84) —(5.86) все же выполняется (5.44). Это возможно тогда, когда целевая функция и функции потребности в ресурсах ^а^^Ух^ как функции от ^-линейно 3 однородны и, в частности, когда они линейны.

Обозначим через g^x^ .., х^ ...) — потребность в ресурсах на плановый выпуск xv ..., х^ ... Функция g(x)

линейно однородна, если выполняется

g^ = Xg^xY

Для линейно однородных функций имеет место теорема Эйлера

g (ж) = 2 xi*(-98)

Перепишем ограничения (5.84) в более общем виде

gA^, xj, ...)< bb(5.99)

но будем предполагать, что все функции gt^ — линейно однородны. Условия Куна—Таккера теперь имеют следующий вид:

^ 0; ^ > 0;

bi — gi (ж) > 0;

5 Уг (^ — gi (ж)) = 0. г

(5.100)(5.101)(5.102)(5.103)(5.104)(5.100)(5.101)(5.102)(5.103)(5.104)Мы по-прежнему для простоты предполагаем, что седловая точка существует. Тогда из (5.101) получаем

(5.100)

(5.101)

(5.102)

(5.103)

(5.104)

(5.100)

(5.101)

(5.102)

(5.103)

(5.104)

Используя теорему Эйлера (5.98), последнее равенство запишем в виде

Последнее равенство может служить формальным основанием для интерпретации множителей Лагранжа как вмененных цен. Однако формального основания для этого недостаточно. Назовем вектор у вменяющим, если выполняется

У» ^ 0; 2 уА = 2 с,®*. (5.107) г 3

Ясно, что вменяющих векторов может быть сколько угодно; вменяющим является любой вектор

У = у* + А,

где А ортогонален вектору 5 иу* + А^О. Вектор множителей Лагранжа — это только один из множества вменяющих векторов, и надо обосновать утверждение, что именно этот вектор следует рассматривать как вектор вмененных цен. Формально нетрудно записать двойственную задачу к задаче (5.84), (5.86), (5.99):

(5.108)(5.108)min 2 Уг^гг

(5.108)

(5.108)

УгУг0.0.при ограничениях

Уг

Уг

0.

0.

(5.109)

(5.110)

Ограничения (5.110) сомнений не вызывают, но что означает (5.109) и почему надо минимизировать целевую функцию (5.108)? Какой во всем этом экономический смысл? Нельзя просто ответить, что в этом случае вектор у оказывается вменяющим, так как вменяющих векторов много.

Минимизацию целевой функции в двойственной задаче можно более или менее хорошо обосновать следующим образом. Умножим (5.109) на xj и просуммируем по /. Получаем

2^25? ^>2 саг 3 3 3

или, учитывая теорему Эйлера (5.98):

(5.111)(5.111)2 Уг^» М > 2 CjXj. гj

(5.111)

(5.111)

Одновременно умножим (5.99) на yt и просуммируем по I.

Получаем

2^г(«Х2уД-(5.112)

гг

Сравнивая (5.111) и (5.112), имеем ji

для любых допустимых у^ и Xj, в частности, будет

2 С)Х* < 2 У^г- 3г

Для того чтобы допустимый вектор у* стал вменяющим, необходимо выполнение

М - 2-/Х 3г

а для этого необходимо, чтобы

^У^г^^аУг^г гг

для всех допустимых векторов у. Таким образом, приходим к задаче минимизации функции у5.

Остается обосновать ограничение (5.109), причем необходимо отметить, что это ограничение уже было использовано для обоснования минимизации уВ, поэтому минимизацию уВ в качестве обоснования (5.109) использовать нельзя.

Запишем gt в виде (5.83):

gi^ = <iH^3>xi

(5.109) превращается в (5.88):

^^ Уг^гЗ (^j) + je^i ^"7 ^3^3*(5.113)

гг 3

Можно сказать, что первое слагаемое в (5.113) — это «затраты, исчисленные по ценам вменения». На это сразу можно возразить, что то, что yt — это вмененная цена, еще только предстоит доказать, но не будем придираться. Все равно неясно, какой экономический смысл имеет второе слагаемое. В общем случае неясно, почему сумма произведений вмененных цен ресурсов на предельные потребности должна быть не меньше цены продукта. При анализе замкнутой экономической модели типа (5.56)—(5.65), в которой учитывается спрос и цены cj не фиксированы

априори, может быть обнаружено, что выполняется равенство

V 9gi

2^4^97 = с)

г J

и его можно интерпретировать. В нашем же случае «чисто производственного подхода» обосновать (5.109) не представляется возможным.

Упростим задачу. Будем предполагать, что функции g^x^ линейны

§г (#) = 2 агзжЬ Э

причем ац = const. Получаем обычную задачу линейного программирования. Условие (5.109) в этом случае записывается в виде

(5.114) г

Интерпретируется оно теперь довольно просто: стоимость единицы каждого продукта должна быть полностью, без остатка распределена между ресурсами. Интерпретация здесь ясна, но требование (5.114) надо все-таки обосновывать. Конкретно речь идет о задании отношения предпочтения на множестве вменяющих векторов у. Можно предполагать, что такое отношение существует, но оно не определяется задачей оптимального планирования производства. Введем, например, в (5.38)—(5.40) еще один ресурс и дадим ему номер 0, при этом

^oj = 0 для всех у,

т. е. этот ресурс в производстве не используется. Ясно, что у* = 0, но распределим тем не менее доход сх* так» что у; = 0 для i > 0.

У» = cx*lb0,

т. е. весь доход передадим владельцу ресурса 0. Вектор у0 будет вменяющим, при этом для всех /

2 BiM = 0 < Ср г

Нет никаких оснований предпочесть этому распределению дохода распределение |z/*6j, если, конечно, не расширить модель, включив в нее в явном виде предпочтения

на множестве вменяющих векторов или функции спроса ит. п., т. е. если не отказаться от решения задачи распределения на основе «чисто производственного подхода».

Есть, однако, более тонкое обоснование отождествления двойственных оценок и цен вменения, основанное на восходящей еще к Дж. Б. Кларку [215] теории вменения. Мы не будем останавливаться на подробном разборе этой теории. Апологетическая ее направленность ясна (см., например, [5], [16], [51], [395]); ее несовместимость с теорией производственных функций рассмотрена в [345]. Суть же доказательства, что у* —это вмененные цены, сводится к следующему. Предполагается, что функции потребности в ресурсах gt^ линейно однородны. Если исключить из модели (5.84), (5.86), (5.99) продукты /, такие, что ж* = 0, то выполняется

■у* = 8сх*!дЪг.(5.115)

Подставляя (5.115) в (5.106), получаем

СЖ*(5.116)

г

Далее утверждается, что вклад каждого ресурса в общий доход сх* равен соответственно

dcx^ldbfbi.

Если теперь общий доход распределяется по вмененным ценам, равным двойственным оценкам, то, учитывая (5.115), выходит, что каждый ресурс (каждый собственник ресурса) получает то, что произвел, так как

у*Ь: = 8cx*!8bvbv(5.117)

Этот вывод основан на смешении уравнений производства и распределения, на неточной интерпретации термина «вклад», а также на постулате, что такое распределение предпочтительнее любого другого (справедливее). Сумму (5.116) нельзя интерпретировать как сумму вкладов ресурсов, так как в общем, нелинейном случае общий вклад ресурсов неаддитивен. Действительно, положим для некоторого используемого ресурса (dgjdxj ^ 0 для всех /) bi = 0, т. е. уберем этот ресурс. Если общий вклад аддитивен, то убранный ресурс заберет с собой только свой вклад; но в действительности он заберет весь доход: величина сх* станет равной нулю. Иными словами, dcx*!dbi зависит от всех величин Ьг, Ь21 ..., Ь^ ... (подробнее см.

в [345]). Далее, нет оснований считать распределение (5.117) более справедливым, чем любое другое, так как в антагонистических обществах это распределение определяется в конечном счете правом собственности на ресурсы; в общем же случае при таком распределении ничего не получают лица, непосредственно неучаствующие в общественном производстве, но имеющие право на некоторую долю национального дохода (дети, инвалиды и т. д.).

Существует еще одно обоснование распределения (5.117), не аппелирующее к «производственной справедливости» и не вменяющее, по словам У. Баумоля, «добродетель частным производным». Исходным пунктом также является равенство (5.116). Допустим для простоты, что bi — это число рабочих профессиями что bt ^> 1 для всех I. Пронумеруем рабочих к-и профессии от 1 до Ък. Ьк-й. рабочий к-й профессии, отказавшись от участия в общественном производстве, уменьшит национальный доход на величину ук:

сх* ^... Ък1 ...) — сх* (... Ък — 1, ...) =

V 9сх* ,дох* , (дсх* ,,,ч\ дсх* ♦

г гi^h г\

(5.118)

Обозначим через уг — вмененную цену ресурса г. (Так как мы рассматриваем, хотя, как мы пытаемся показать, этого делать нельзя, распределительную функцию цены в отрыве от остальных функций, то здесь не получается ни «цены труда», ни «цепы рабочей силы».) Вмененные цепы yt должны удовлетворять уравнению распределения

сх* = 'У^(5Л19)

кроме того, они неотрицательны:

> 0.(5.120)

Обратимся теперь к равенству (5.118). Нет смысла платить Ьг-мУ рабочему М-й профессии сумму большую, чем ущерб, который он может нанести производству, отказавшись от сотрудничества. Следовательно,

(5.121)

Поскольку нумерация рабочих произвольна, все рабочие одной профессии должны получать одинаковую зарплату,

т. е. уг. Из (5.119), (5.120) и (5.121) следует, что ^ = у*. Примерно так формулировал свои доводы Дж. Б. Кларк. Только на первый взгляд здесь нет апелляции к «производственной справедливости». В действительности постулируется, что сложившаяся ситуация с наймом рабочей силы является справедливой. Но дело не только в этом. Обосновать неравенство (5.121) можно, только просмотрев все альтернативы поведения рабочего. Что будет делать ^-й рабочий f-й профессии, отказавшись от участия в общественном производстве? Допустим, что в этом случае он может получить доход h^ Если hi меньше предложенной ему суммы у^ то следует согласиться на любую сумму yt > ht; если же hi> yt и, более того, hi^y*, то следует настаивать на получении hi. Таким образом получаем условие

Ь-г<Уг<У*>

которое вполне может оказаться несовместимым. Пусть не для всех г h^ > у* . Для простоты и определенности положим, что только для f = l Ьг > у* : hx > у*, ht < у\ для г > 1. Положим yt = ht для г > 1,

г>1

Рабочие Дж. Б.Рабочие Дж. Б.первой профессии должны (следуя логике Кларка) согласиться на такое распределение,

Рабочие Дж. Б.

Рабочие Дж. Б.

если У1 > hr. При этом вмененные цены yt отличаются от предельных производительностей dcx*!dbi и двойственных оценок у*. Но суть дела даже не в этом, а в том, что первоначальная локальная модель оптимизации выпуска оказалась и в этом случае непригодной для решения задачи распределения дохода: потребовалось ввести альтернативные возможности поведения, т. е. расширять первоначальную модель.

Проблемы, которые мы рассмотрели, вызваны тем, что вмененные цены, будучи оторваны от цен, выполняющих планово-учетную и стимулирующую функции, ничего не оценивают. Цены, не отражающие стоимость, не могут эффективно выполнять никакие функции. Л. Йохансен пишет по поводу учетной функции и функции уравно-

вешивания спроса: «Если цены должны выполнять прежде всего первую 8 функцию, то важно, чтобы они сохранялись неизмененными в течение довольно длительного времени. Именно это и наблюдалось в СССР и отчасти в остальных странах Восточной Европы. Если цены предназначены для выполнения функции уравновешивания спроса и предложения, то они должны быть гибкими и меняться при изменении экономических условий. Это пример противоречия между различными функциями, которые призваны выполнять цены» [189, т. 2, с. 70].

В действительности противоречие возникает из-за того, что Л. Йохансен среди перечисленных им функций цен не указал на то, что цены должны отражать стоимость. Изоляция учетной функции цен от остальных может привести к тому, что стоимость продукции автомобилестроения, например, будет учитываться по ценам начала века; практически такой учет бесполезен и не имеет никакого отношения к реалиям хозяйственной деятельности. Желательно иметь некоторый индикатор, оценивающий, насколько хорошо или плохо цены выполняют свои функции. Сейчас еще не вполне ясно, как построить такой индикатор, но ясно, что цены тем хуже, чем больше они отклоняются от общественно необходимых затрат труда, чем больше они отклоняются от стоимости. Трудности заключаются в том, что сами стоимости непосредственно неизмеримы, и в том, что сравнивать надо не элементы, а сразу векторы. В любом случае цены не должны тормозить экономическое развитие, снижать способность производства, удовлетворять потребности общества. Это значит, в частности, что цены должны стимулировать производителя устанавливать объем производства на уровне, соответствующем платежеспособному спросу при данных ценах и стимулировать покупателя определять свой спрос на уровне, соответствующем производству продукции при данных ценах.

Итак, цены должны быть ценами равновесия. Это требование невозможно противопоставить (хотя это иногда и делается) требованию соответствия цен общественно необходимым затратам труда. Стоимость продукта пропорциональна не любым затратам труда, а именно общественно необходимым. Признание же общественной необходимости данных, в том числе плановых, затрат в конеч-

6 По Л. Йохансену, учетную функцию.

ном счете выражается в потреблении. В свое время К. Маркс специально подчеркивал, что «только в потреблении продукт становится действительно продуктом. Например, платье становится действительно платьем лишь тогда, когда его носят; дом, в котором не живут, фактически не является действительным домом. Таким образом, продукт, в отличие от простого предмета природы, проявляет себя как таковой, становится продуктом только в потреблении» [1, т. 12, с. 717]. Простейший пример показывает, к чему ведет игнорирование этого обстоятельства при установлении цен.

Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех взаимосвязанных и взаимодействующих экономических агентов: производственной системы (ПС), совокупного потребителя (СП) и планирующего органа (ПО). Для простоты не будем вводить в модель промежуточный продукт. Возможности производственной системы будем описывать системой неравенств

g^<.B\ ^>0,(5.122)

где х — вектор выпуска продукции, В — вектор имеющихся в наличии ресурсов, g^x) — вектор потребности в ресурсах при объеме выпуска продукции х.

Будем предполагать, что множество (5.122) ограниченно и выпукло,— это предположение обычно делается в теории оптимального планирования.

Планирующий орган устанавливает цены с и планирует такой объем выпуска, который максимизирует доход

сх —> max(5.123)

при ограничениях (5.122).

Производственная система реализует этот план и в обмен на вектор продукции х* получает от планирующего органа сумму денег, равную сх*. Теперь работники, занятые в производственной системе, выступают как совокупный потребитель. Последний, имея в своем распоряжении сумму денег сх*, определяет вектор спроса на продукцию s*, стремясь максимизировать свою функцию полезности и^у

u(s) ->- max(5.124)

cs^cx*, s^O.(5.125)

Будем предполагать, что функция полезности существует, измеряется полезность по крайней мере в порядковой шка-

ле и выполнены обычные предположения о свойствах функции полезности, в частности:

из s' ^ s" следует Цз'^ ^ u(s")из s' ^ s" следует Цз'^ ^ u(s")(условие ненасыщенности).(условие ненасыщенности).(5.126)(5.126)

из s' ^ s" следует Цз'^ ^ u(s")

из s' ^ s" следует Цз'^ ^ u(s")

(условие ненасыщенности).

(условие ненасыщенности).

(5.126)

(5.126)

Для простоты мы отвлекаемся от вопросов распределения дохода сх*, заменяя индивидуальные функции полезности членов общества (работников в ПС) агрегированной функцией полезности u\s\ При этом вектор потребления 5 описывает в общем случае как производственное, так и непроизводственное потребление, что позволяет не рассматривать в первом приближении распределение дохода сх на фонд потребления и фонд накопления.

Решая задачу (5.124) при ограничениях (5.125), совокупный потребитель определяет свой спрос s* на продукцию. Любой конкретный потребитель, делая свой выбор, не располагает полной информацией о производственных возможностях, об объемах производства всех товаров и т. п. В нашей элементарной модели «информационная ограниченность» потребителей находит свое отражение в том, что совокупный потребитель, принимая решение, знает только свои предпочтения (свою функцию полезности), цены с и величину суммы денег, которую он может потратить, сх*. Ни вектор выпуска х*, ни лимиты ресурсов В, ни технология g^x) совокупному потребителю неизвестны.

• Аналогичным образом в модели учитывается «информационная ограниченность» планирующего органа. Ему неизвестны ни функция полезности u^s), ни функции спроса. Это означает, что при установлении цен планирующая система не учитывает предпочтения потребителя (и, возможно, обосновывает это ссылкой на «примат производства, на необходимость обеспечить плановую рентабельность производства и т. п.).

Пусть некоторые цены с установлены и определены векторы х* и 5*. Из обычных предположений об u(sY в частности, из (5.126) следует, что

CS* = сх*.

На бюджетной прямой cs = сх* для всех s выполняется u^s) ^ ^(s*),

т. е. имеем

(5.127)(5.127)и^х*^ ^ u\s*Y

(5.127)

(5.127)

Рассмотрим случай А: zz(^*) = u(s*).

В силу единственности решения задачи (5.124) это означает, что

я* — s*e

дидиОптимальный с точки зрения потребителя набор товаров 5* определяется равенствами

ди

ди

= \съ(5.128)

8^=3*

где X — множитель Лагранжа.

Подставляя в (5.128) ж* вместо s* и освобождаясь от множителя Лагранжа, получаем, что равенство спроса и предложения возможно, если цены пропорциональны предельным полезностям в точке s х*\

*♦^i »sj=xj*♦^i »sj=xj(5.129)(5.129)du/ds^ dufds-

*♦

^i »sj=xj

*♦

^i »sj=xj

(5.129)

(5.129)

ч

Равенство (5.129) означает, что соответствующим выбором цен можно побудить потребителя купить любой набор товаров. Вообще говоря, именно в этом и заключается смысл утверждения, что цена — орудие планового сознательного руководства потребителем. По для того чтобы использовать это орудие, надо каким-то образом учитывать предпочтения потребителей.

Мы предположили, что планирующий орган не делает этого. Тогда (5.129) выполняется только случайно, с вероятностью, практически равной нулю. Но это значит, что (5.127) выполняется как строгое неравенство, т. е. имеет место случай Б:

и(х*) < 1Дз*\

Последнее неравенство возможно только в том случае, когда

х* ^ s*.

На рис. 5.1 показана эта ситуация для случая двух продуктов. Контур 0 — b — В — А — о — 0 ограничивает производственное множество g(x) ^ В, х ^ 0. На этом же графике показаны изокванты функции полезности: и(Г) < zz(B) < u(B) < и . Нетрудно видеть, что

максимум полезности достигается в точке В; вектор цен, который ориентирует и потребителя и производителя на эту точку и обеспечивает равновесие спроса и предложения, ортогонален прямой И—В — К. Однако планирующей орган выбрал вектор цен (^, c2^ поэтому оптимальный выпуск х* соответствует точке А. Этот вектор определяет положение бюджетной прямой cs = сх*, которая

проходит через точки А, Б. Максимизируя свою полезность на бюджетной прямой cs = - сх*, совокупный потребитель выбирает точку Б.

Из рис. 5.1 видно, что эта точка для него предпочтительнее, чем точка В, по опа находится за пределами множества производственных возможностей 0 — b — В — А — о — 0.

Поведение потребите

ля в условиях неравнове- рас 5р Ситуация неравновесия сия изучено недостаточно.

Предположим, что потре

бители, не зная точного значения вектора х*^ будут настойчиво пытаться удовлетворить свой спрос s*; в результате объем продаж каждого продукта vt будет равен

i^ = min \х*, 5*}.

сисисх*сх*Это значит, что вместо точки Б совокупный потребитель попадает в точку Г: первый продукт оказывается избыточным, второй — дефицитным. В результате фактическая выручка планирующего органа оказывается меньше запланированной:

си

си

сх*

сх*

величина сх*—си характеризует неудовлетворенный спрос. Кроме того, потребитель, попав внутрь производственного множества, плохо использует производственные возможности: п(Г) < и(В); и\Г) < ы(А).

Из рис. 5.1 видно, что для того, чтобы не допускать ни дефицита, ни перепроизводства, планирующий орган

должен повысить цену на дефицитный второй товар и снизить цену на неходовой первый товар. В соответствии с (5.129) цены равновесия должны быть пропорциональны предельным полезностям продуктов в точке В. Общественно необходимыми затратами труда являются в данной случае9 лишь те затраты труда, которые обеспечивают объемы выпуска продукции, соответствующие точке В. Индикатором общественной необходимости затрат являет* ся равенство спроса и предложения.

Здесь уместно напомнить слова К. Маркса, исключающие возможность противопоставления трудовой теории стоимости ценам равновесия: «Закон стоимости в действительности проявляется не по отношению к отдельным товарам или предметам, но каждый раз по отношению ко всей совокупности продуктов отдельных обособившихся благодаря разделению труда общественных сфер производства; так что не только на каждый отдельный товар употреблено лишь необходимое рабочее время, но и из всего общественного рабочего времени на различные группы употреблено лишь необходимое пропорциональное количество. Ибо условием остается, чтобы товар представлял собой потребительную стоимость. Но если потребительная стоимость отдельного товара зависит от того, удовлетворяет ли он сам по себе какую-либо потребность, то потребительная стоимость известной массы общественных продуктов зависит от того, адекватна ли она количественно определенной общественной потребности в продукте каждого особого рода и, следовательно, от того, пропорционально ли, в соответствии ли с этой общественной, количественно определенной потребностью распределен труд между различными сферами производства... Общественная потребность, то есть потребительная стоимость в общественном масштабе,— вот что определяет здесь долю всего общественного рабочего времени, которая приходится на различные особые сферы производства. Но это — все тот же закон, который обнаруживается уже по отношению к отдельному товару, а именно: что потребительная стоимость товара есть предпосылка его меновой стоимости, а потому и его стоимости» [1, т. 25, ч< II, с. 185—186].

Словно опасаясь, что эти предельно ясные формулировки все-таки могут быть поняты неправильно, К. Маркс

8 В 'общем случае проблема, конечно, сложнее. Так, цены равво- весия могут оказаться неединственными.

приводит следующий простой пример, иллюстрацией которого может служить рис. 5.1: «Пусть, например, хлопчатобумажных тканей произведено непропорционально много, хотя во всем этом продукте, в этих тканях реализовано лишь необходимое для этого при данных условиях рабочее время. Но вообще-то на эту особую отрасль затрачено слишком много общественного труда, то есть часть продукта бесполезна. Поэтому весь продукт удастся продать лишь так, как если бы он был произведен в необходимой пропорции» [1, т. 25, ч. II, с. 186]. Сказано яснее ясного: цена на неходовой товар должна быть снижена; цены должны быть гибкими.

Что получается, если управление экономикой ведется при негибких ценах, т. е. посредством установления квот на производство и потребление, тоеоретически рассмотрено в монографии Э. М. Бравермана и М. И. Левина [56]. О том, к чему это приводит на практике, пишет К. А. Улы- бин: «Ежегодно в розничной торговле оседает неходовых товаров на 3—4 млрд. руб. Товарные запасы в ней достигли в 1982 г. 68 млрд, руб., превысив уровень 1970 г. почти в два раза... В 1983 г. торговые организации отказались закупить на ярмарках у промышленности текстильных изделий на 1,2 млрд, руб., швейных —- на 600 млн., обуви — на 200 млн. и товаров длительного пользования — более чем на 2 млрд. руб. ...На 15—17 млрд. руб. недовыпускается ежегодно продукции производственного назначения в соответствии с договорами. В то же время незаказанной продукции производится, пожалуй, на неменьшую сумму. Но это только видимая часть айсберга... Подобные ситуации не спишешь на нехватку ресурсов или производственных мощностей. Дело здесь в другом, на наш взгляд,— в неотлаженности механизма взаимодействия производителей и потребителей» [436, с. 22—23]. С этим выводом нельзя не согласиться. И, хотя проблемы совершенствования хозяйственного механизма не сводятся целиком к совершенствованию механизма ценообразования, значение этой проблемы трудно переоценить. Цена тем эффективнее выполняет свои функции, чем ближе она к стоимости, к общественно необходимым затратам труда.

5.3. Прогнозирование значений количественных переменных

Определение прогноза

Роль хороших прогнозов для повышения качества планов трудно переоценить. Поэтому понятны и в значительной степени оправданны работы, направленные на создание теории прогностики. Оценки перспективности этих работ в экономике изменяются в широком диапазоне—от оптимистических («все необходимые предпосылки для создания АСПОТ уже имеются» [253, с. 216]) до пессимистических. Последняя точка зрения была недавно четко сформулирована известным специалистом по теории планирования эксперимента В. В. Налимовым (см. [308], [309]) по отношению к экологическим прогнозам в работе [308]: «В плане философском наш основной вывод сводится к утверждению о том, что нетривиальный прогноз — это прерогатива нашего бессознательного. Он не формализуем и заранее не верифицируем. Формализованный прогноз, если и возможен, то только в своем ослабленном варианте — когда он сводится скорее к тщательному и сопоставимому наблюдению за тем, что происходит в системе» [308, с. 47].

Хотя работа [308] посвящена анализу оснований экологического прогноза, вопросы, которые в ней рассматриваются, имеют прямое и непосредственное отношение к экономическому прогнозированию. И дело здесь не только в том, что сейчас народнохозяйственное планирование невозможно без учета экологических факторов [299], [333], [378]. Проведенное В. В. Налимовым «провоцирующее рассмотрение относящихся к теме прогноза проблем» [308, с. 47] носит достаточно общий характер и серьезное обсуждение этих проблем невозможно без анализа аргументации В. В. Налимова.

Прежде всего остановимся на значении термина «прогноз». Справедливость тех или иных утверждений о методологических основаниях прогноза существенно зависит от того, как определен прогноз. В литературе же по про-

гнозированию имеется несколько более или менее различных определений прогноза. Буквальный перевод слова prognosis на русский язык — предзнание (pro — впереди, пред- и gnosis — знание). В любом случае прогноз — это утверждение о будущем, которое сделано в настоящем:

Ut, S(t + т)),

где t — момент времени, в котором сделано утверждение L, S — переменная, о значении которой утверждается в L, т — период времени, на который сделан прогноз.

Характеристика прогноза, как утверждение о будущем, недостаточна для определения термина «прогноз». Рассмотрим следующие утверждения о будущем, которые сделаны в момент времени I:

удельный расход проката черных металлов в машиностроении и металлообработке снизится в году £ + т по сравнению с годом t не менее чем на 18%;

в будущем возможно снижение удельного расхода проката черных металлов в машиностроении и металлообработке не менее чем на 18% по сравнению с годом t;

желательно снизить удельный расход проката черных металлов в машиностроении и металлообработке в году ^ + т по сравнению с годом t не менее чем на 18%;

удельный расход проката черных металлов в машиностроении и металлообработке должен быть снижен в году t + т по сравнению с годом t не менее чем на 18%;

плановое задание по снижению расхода проката черных металлов в машиностроении и металлообработке в году t + т на 18% по сравнению с годом t будет выполнено.

Все эти утверждения — утверждения о будущем значении переменной 5, т. е. процента снижения расхода проката черных металлов в машиностроении и металлообработке. Отметим сразу, что утверждение (5) эквивалентно утверждению (1), если рассматривать (5) только как утверждение о будущем значении переменной S. Однако (5) более информативно, чем (1), поскольку в (5) содержится утверждение о выполнении плана. Введя переменную х. которая принимает одно из двух значений 0 или 1 в зависимости от значения переменной S

М, если S (^ + т) ^ 0,18,

^^^ = 1о, если S(# + T)<0,18x

22 р. д. раяцкас, М. К. Плакунов 329

мы можем выразить утверждение (5) через утверждение (1):

L^t. S(t + т)) : S^t + т) > 0,18;

Lb (t^ х (^ + т)): х (5 (£ + т)) = 1.

Оба эти утверждения, (J) и (5),— это утверждения о том, что переменная в момент £ + т примет некоторое значение.

Утверждение (2) — это утверждение о возможности. Мы не будем здесь останавливаться на анализе категории возможности, для нас сейчас важно только заметить, что (2) утверждение такого же типа, как и утверждения (1) и (5), т. е. это утверждение о положении дел в будущем. От (1) утверждение (2) отличается только меньшей точностью: в (2) не указывается момент времени, когда наступит событие (5(£ + т) ^ 0,18}, но утверждается только, что это событие наступит. Таким образом, утверждения Ьъ L2, Lb — это утверждения не о желательном или должном, а о том, что произойдет.

Утверждение (3) — это утверждение не о положении дел в будущем, а о желательном положении дел в будущем. Допустим, что в момент £ + т переменная S принимает значение 0,15:

S(t + т) = 0,15.

Зная это значение, можно определить истинность или ложность утверждений (1) и (5): они ложны. Истинность или ложность утверждения (2), если оно непротиворечиво (а видимо, так оно и есть), нельзя установить ни при каком конечном значении т. Что же касается утверждения (3), то его истинность или ложность совершенно не зависит от того, какое значение в момент времени t + т принимает переменная S. Если S^t + т) = 0,15, т. е. меньше желательного уровня снижения удельного расхода проката, то это не значит, что 18% снижение удельного расхода в момент ^ + т перестало быть желательным. В этом, т. е. в независимости валентности утверждения о будущем значении переменной от значения этой переменной, и заключается отличие утверждения (3) от утверждений (1), (2) и (5).

Аналогичным образом, анализируя утверждение (4) —- утверждение о должном положении дел в будущем, мы приходим к выводу, что валентность и этого утверждения не зависит от того, какие значения прогнозируемая переменная примет в будущем. Следовательно, утверждения о будущем можно разбить на два класса, ВЪервый отнесем

ззо

утверждения £(£, S^t + т)), истинность или ложность которых зависит от того, какие значения примет переменная 8 (даже в том случае, если валентность утверждения нельзя установить ни при каких конечных значениях т). Утверждения, относящиеся к этому классу, мы в дальнейшем будем называть прогнозами. Ко второму классу отнесем утверждения, истинность или ложность которых не зависит от значения, которое примет переменная 8 в будущем (утверждения о должном и желательном, например). Утверждения этого класса прогнозами не являются.

Итак, прогноз мы определяем, как утверждение о будущем значении переменной, истинность или ложность которого зависит от значений прогнозируемой переменной. Это определение не противоречит традиционной интерпретации термина «прогноз». Однако существуют определения прогноза более широкие, чем то, которого придерживаемся мы. Например, С. Д. Бешелев и Ф. Г. Гурвич считают, что «многочисленные разновидности научных прогнозов, используемые в наше время, можно разделить на три основные группы:

Прогнозы, характеризующие тенденции и перспективы развития... Такие прогнозы отвечают на вопрос: в каком направлении идет развитие?

Прогнозы, характеризующие наиболее вероятное состояние явления на какую-то определенную дату в будущем. Прогнозы этой группы отвечают на вопрос: что возможно?

Прогнозы, характеризующие желательное состояние явления в будущем. Они отвечают на вопрос: что желательно?» [44, с. 23].

С нашей точки зрения, к прогнозам относится только первая группа; вторая имеет смысл в зависимости от того, как интерпретируется вероятность, при этом в рамках статистического определения вторая группа прогнозов не имеет смысла, а в рамках логического и субъективного определения вероятностей утверждения второй группы непроверяемы; третья группа — утверждения о желательных состояниях характеризуют цель, а не состояние объекта, процесса, явления в будущем.

В тех случаях, когда определение целей или построение функции полезности называют прогнозированием, обычно различают два типа прогнозов: дескриптивный (генетический, поисковый, пассивный) и нормативный (целевой, активный) (см. например, [44], [45], [231]), хотя ряд авторов размывают различие между дескриптивным

(генетическим) и нормативным (целевым) прогнозами. Например, Н. К. Кульбовская считает, что «генетический подход вовсе не исключает принятие во внимание управляющих воздействий на объект прогнозирования... Говоря о генетическом и целевом подходах к прогнозированию, нельзя упускать из виду их диалектическое единство... В каждом из двух подходов к прогнозированию присутствуют элементы и предпосылки другого. Так, при генетическом подходе, когда, исходя из сложившихся и складываю- щихсятенденций, анализируются возможные пути развития объекта, в явном или неявном виде обязательно имеется модель желательных результатов этого развития» [231, с. 39—40]. Обосновывается это положение следующим образом: «Наличие заранее поставленной цели... выступает непосредственным мотивом для развертывания генетических процедур» [231, с. 40].

Итак, по мнению Кульбовской, при прогнозе обязательно явно или неявно присутствует модель желательных результатов. Здесь смешано все, что можно и нельзя: прогноз (в обычном смысле), желательное состояние, мотив прогнозирования, подход к решению задачи прогнозирования. Что означает утверждение о присутствии в модели желательного результата при прогнозировании? Может быть то, что результат прогнозирования зависит от того, какие будущие состояния считаются желательными? Означает ли это, что, попросту говоря, неприятные прогнозы (в будущем объект попадет в нежелательное состояние) отбрасываются, а приятные (объект попадает в желательное состояние) принимаются? Или же задача прогнозирования всегда формулируется как вопрос, попадет ли объект в желательное состояние? На данный вопрос также нельзя дать положительный ответ: хотя в ряде случаев задача прогнозирования формулируется именно так, нельзя утверждать, что она формулируется так всегда. Например, в задачу прогнозирования погоды никоим образом не входят желательные и нежелательные состояния природы.

Далее, Н. К. Кульбовская продолжает смешение различий между определением будущих состояний объекта и желательных состояний: «Что касается целевого подхода, то сами цели, служащие отправным моментом исследования, формируются только на основе тщательного изучения прошлого и настоящего» [231, с. 40]. Но из этого не следует, что в нормативном подходе «присутствуют элементы и предпосылки другого», дескриптивного под- ходад поскольку не утверждается^ что цели определяются

на основе изучения будущего. В связи с этим совершенно непонятно, каким образом II. К. Кульбовская согласна с В. И. Павлюченко, который придерживается того взгляда, что прогноз будущего и определение целей, целевой функции суть различные фазы управления [336, с. 59]. В. И. Павлюченко считает, что «критерий выбора (или система критериев) не может быть выведен из самого прогноза» [336, с. 148]. Н. К. Кульбовская же замечает: «Однако отсюда не следует, что выбор «предпочтительных стратегий» выходит за рамки прогнозной деятельности» [231, с. 59]. Конечно, «не следует», если рамки прогнозной деятельности ничем не ограничивать.

Может показаться, что мы излишне подробно останавливаемся на терминологических спорах. В конце концов и те, кто называют прогнозом будущие состояния объектов, и те, кто говорит о желательных будущих состояниях, различают эти два класса утверждений. Можно было бы просто заявить, что мы под прогнозом подразумеваем то,что называют дескриптивным (генетическим, поисковым) прогнозом. Однако дело обстоит не так просто. Во-первых, известны попытки подмены планирования прогнозированием (так называемое индикативное планирование на Западе ([189], [409] и др.)), с одной стороны, и попытки представить соотношение между планом и прогнозом в виде дилеммы «либо план — либо прогноз» — с другой. Если, как это считает В. А. Лисичкин, «прогноз практически приобретает функции инструмента выбора стратегии экономического, научно-технического и социального развития» [253, с. 6] или если считать, как это делает Н. К. Кульбовская, прогнозом «деятельность, включающую наряду с предвидением элементы непосредственной подготовки решения (оценка желательности будущего, разработки вариантов путей достижения цели и т. п.) [231, с. 33—34], то такие попытки оправданны.

Во-вторых, если нет принципиального различия между определением будущего состояния объекта и желательным состоянием в будущем, обосновано применение одних и тех же методов для решения этих двух задач, например различных методов получения экспертных оценок: «Разве нельзя, определив с помощью синтеза целевого и генетического подходов основные проблемы перспективного периода и средства их решения, провести ранжирование или нормирование целей? Думается, можно, тем более что методы, которые предполагается применять в двух

последних процедурах, суть методы прогнопйрованйй («Дельфи», «сценарии» и др.)» [231, с. 46].

В-третьих, при достаточно широком толковании термина «прогноз» неясно, как понимать утверждения типа «Все необходимые предпосылки для создания АСПОТ уже имеются» [253, с. 216]. Чем конкретно будут заниматься эти АСПОТ: выдвигать цели, строить функции полезности или выводить утверждения о состоянии объектов в будущем? Это не праздный вопрос. Если АСПОТ будут строить функции полезности (исчислять желательное состояние объектов прогноза в будущем) и определять цели и если эти же АСПОТ (или АСПНХ — автоматизированная система прогнозирования народного хозяйства и т. п.) будут искать пути достижения этих целей, то люди, работающие в этих АСПОТ, должны быть наделены фантастическими полномочиями и фактически приобретут неограниченную власть. Будет создана система если и не электронной, то человеко-машинной бюрократии, причем будут утрачены все предпосылки для оценки эффективности ее деятельности, так как проверка правильности утверждений о том, что произойдет в будущем, и о том, что, желательно, имеет принципиально различный характер и.

Поэтому представляется справедливым требование авторов коллективной монографии [37]: «Прогноз нельзя смешивать с другими формами отношения к будущему, какими являются, например, идеалы, планы, программы, проекты и т. д.» [37, с. 53].

Концепции времени и прогнозирование

Прогноз — высказывание о состоянии объекта в будущем, сделанное в определенный момент времени, т. е. высказывание, явным образом связанное со временем. Потому методологические концепции прогнозирования связаны с концепциями времени. Например, если время — это всего лишь субъективное переживание, то ни о каком прогнозировании не может быть и речи. По мнению

11 Ранее мы отмечали трудность проверки утверждений о желательности. Ясно, что чем труднее проверка справедливости утверждения, тем меньше реальная ответственность лица, делающего это утверждение. Так, трудно придумать способ возложения ответственности на прогнозиста, который делает обычный прогноз состояния некоторой системы через 100 лет. Фактически никто не несет ответственности за прогнозы на 20— 30 лет вперед.

В. В. Налимова, анализ методологических оснований прогноза «требует философского понимания того, что есть время в представлении человека о прошлом, настоящем и будущем. Хорошо известен парадокс Витгенштейна: «События будущего не могут выводиться из событий настоящего. Вера в причинную связь есть предрассудок» [308, с. 31].

По Д. Э. Мак-Таггарту, время — иррациональная видимость, скрывающая истинную реальность [503] (см. также: [37], [308]). Д. Э. Мак-Таггарт выделяет две серии базовых понятий, на которых строятся представления о времени: серия А (прошлое — настоящее — будущее) и серия В (раньше — одновременно — позже).

В серии А прошлое, настоящее и будущее - взаимно- несовместимые предикаты приписываются одному и тому же объекту — это недопустимо. Таким образом, серия базисных понятий А противоречит логике, и на ней строить концепцию времени нельзя. Серия же В не отражает «течения времени», и поэтому не имеет к нему отношения. Вывод: термин «время» не имеет референта; время нереально.

Может быть, и не стоило приводить эти парадоксы, сформулированные почти 80 лет назад, но они обсуждаются в современной литературе, в том числе в литературе по прогностике (см., например, [37], [191], [308]). Кроме того, понимание — дитя парадоксов; парадоксы Мак-Таггарта дают некоторое представление о сложности этой проблемы.

Логическое противоречие появляется в парадоксе Мак- Таггарта в результате субстанциализации времени. Можно сказать,что субстанциализация времени недопустима, так как это ведет к противоречию. Против субстанциализации времени (и пространства) возражал еще Г. Лейбниц: «...Пространство и время представляют собой лишь порядок вещей, а не абсолютную сущность» [244, т. 1, с.456]. С этой точки зрения элементы серии А не есть атрибуты некой субстанции, и поэтому первая часть парадокса просто лишена смысла. Что же касается второй части парадокса, то утверждение, что серия В не отражает «течения времени», верно, так как время не субстанция, которая может течь или покоиться. Без потери содержания парадокс Мак-Таггарта можно преобразовать в банальное утверждение: «время— не субстанция». Ничего противоречивого в этом утверждении^нет.

Современные концепции времени в физике базируются на анализе понятий серии В, особенно понятия одновременности [52], [103], [143], [199], [381]. Часто в экономике достаточно использовать обыденные (обычно явно не формулируемые) концепции времени. Однако некоторые обыденные концепции весьма архаичны и уходят корнями в далекое прошлое. Их можно было бы игнорировать, если бы они не привлекались (так же, как правило, неявно) для обоснования некоторых методов прогнозирования, особенно тех методов, в которых важную роль играют экспертные оценки. По мнению ряда специалистов ([187], [453] и др.), наиболее древним представлением о времени было представление о его цикличности. У Гомера время — это круг времен [132, с. 20]. Комментируя Платона, А. Ф. Лосев пишет: «...Человек и его история все время трактовались как находящиеся в движении, но это движение всегда возвращалось к исходной точке. Таким образом, вся человеческая жизнь как бы топталась на месте... исконно проповедуемое в античности круговращение вещества и перевоплощение душ, то ниспадающих с небес на землю, то восходящих с земли на небо, так же есть циклический процесс» [344, т. 3, ч. 1, с. 660].'

Представление о цикличности времени в архаические времена имеет место и далеко за пределами хронотопа античности. Анализируя народную культуру родоплеменных и раннеклассовых обществ тропической Африки, В. Б. Иорданский приходит к следующему заключению: «Повторяемость одних и тех же повседневных событий ... во многом определяла общее в старой африканской культуре представление о движении времени. Оно шло по нескольким равнопротяженным кругам, в которых и замыкалось все существование человека. В аграрном цикле из года в год воспроизводились одни и те же сельскохозяйственные операции сева, обработки земли, сбора урожая. Многолетний „социальный год“ включал извечно существующие ритуальные обряды, обеспечивая их повторение в предопределенный момент» [187, с. 98].

Концепцию циклического времени можно считать, невидимому, общей для архаических обществ. Характеризуя эту концепцию, Г. Франкфорт и Г. А. Франкфорт писали: «Мифопоэтическая концепция времени, подобно концепции пространства, не количественна и абстрактна, но качественна и конкретна. Мифопоэтическое мышление не знает времени как однородной продолжительности или как последовательности качественно индифферентных 336

мгновений... Первобытный человек не абстрагирует йДею времени от своего переживания времени... даже самые примитивные народы глубоко и тонко чувствуют время. Оно переживается как в периодичности и ритме человеческой жизни, так и в жизни природы. Каждая стадия человеческой жизни — детство, юность, зрелость, старость — это особое время со своими особыми качествами... Кассирер называл этот специфический взгляд па время как на последовательность существенно различных периодов жизни ,,биологическим временем,,» [453, с. 41—42].

Концепция циклического — биологического времени (применительно к архаическим обществам людей было бы точнее говорить о биосоциальном времени) уходит корнями в предысторию человечества. «У животных способность к сознательным, планомерным действиям развивается в соответствии с развитием нервной системы и достигает у млекопитающих уже достаточно высокой ступени» [1, т. 20, с. 495]. Определяющим в развитии этой способности является повторяемость одних и тех же состояний средыд отражением этой повторяемости и является концепция циклического времени.

По мнению П. К. Анохина, «основой развития жизни и ее отношений к неорганическому внешнему миру являлись повторяющиеся воздействия этого внешнего мира на организм» [19, с. 101].

Таким образом, фантастическая мифопоэтическая концепция циклического времени имеет под собой вполне реальную основу — конкретную общественную, хозяйственную практику в условиях периодических изменений состояния среды. Такое представление о времени могло долго сохраняться только в медленно эволюционирующих обществах (например, почти до нашего времени — в традиционных обществах тропической Африки). Но как составная часть эта концепция может присутствовать (как фон) и в обыденных представлениях о времени современного человека.

В рамках концепции циклического времени прогнозирование — это воспоминание о будущем, причем техническая возможность такого воспоминания гарантировалась концепцией переселения душ. Этот вывод непосредственно следует из концепции времени как круга времен, что достаточно четко формулировал еще Августин Блаженный: «Положим, примера ради, что как в этом круге времен философ Платон говорил перед учениками в городе Афинах и в той же школе, что зовется Академия,—

так й сйоьа по прошествий весьма протяжных, йо твердо отмеренных промежутков во множестве кругов времен будут повторяться неисчислимые разы этот же самый Платон, этот же город, эта же школа, эти же ученики» [9, с. 270]. В каждом круге один и тот же Платон, так же как в Древнем Египте каждый год умирал и воскресал один и тот же Озирис. Августин рвет с концепцией циклического времени. «Круг времени» рвется и превращается в «стрелу времени», что соответствует современным воззрениям на топологическую структуру времени. Согласно этим воззрениям топологическая структура времени аналогична топологической структуре вещественной прямой (открытое время), а не топологической структуре окружности (архаическая концепция замкнутого времени)* [143], [381], [434].

Коротко остановимся на причинах, по которым концепция открытого времени предпочитается концепции замкнутого времени. Представление о времени как о свойстве объективного мира, отражающего его способность к движению, а не как о субстанции, восходит к Августину: «Времен не было бы, если бы не было творения, которое изменило нечто некоторым движением» [20, с. 1, ч. 2, с. 589]. Мы можем считать это представление обоснованным, так как субстанция времен ведет к противоречиям (парадокс Мак-Таггарта). Рассмотрим теперь вслед за А. Грюнбауманом [143, с. 249—263] две Вселенные.

Первая состоит из плоскости и частицы, которая движется по окружности на плоскости. Состояние этой Вселенной характеризуется местоположением частицы на окружности х и моментом времени t. В каждую точку окружности, например в точку А, частица попадает много раз. Сравним два состояния Вселенной: (х = А, ^ = тА) и (х = A, t = Тд). В первом состоянии частица находится в точке А в момент времени тА, во втором — частица находится в точке А в момент времени тА. Каким образом можно отличить состояние (А, тА) от состояния (А, тА)? Наблюдаема только переменная—местоположение частицы на окружности. В обоих случаях это местоположение одно и то же. Согласно принципу Лейбница о тождестве неразличимых, состояния (А,та) и (А, та)тождественны, так как неразличимы. Следовательно, тА = тА. Время оказывается замкнутым; его топологическая структура подобна топологической структуре окружности.

Рассмотрим вторую Вселенную, которая состоит из

плоскости, двух частиц и часов (это может быть третья частица, вращающаяся по окружности). Часы нужны для фиксации одновременности событий. Обе частицы вращаются, каждая по своей окружности, причем периоды вращения несоизмеримы. Пусть в некоторый момент времени частицы находятся на своих окружностях в точках Ах и А2. Вследствие несоизмеримости периодов вращения частиц они больше никогда не окажутся в этих точках одновременно. Таким образом, исходя из принципа не- тождественности различимых Лейбница, все состояния этой Вселенной различны, что ведет к открытому времени.

Концепция открытого времени предпочитается концепции замкнутого времени вследствие того, что в реальной Вселенной достаточно много различных объектов и существуют несоизмеримые периоды колебаний,; вращений и т. п.

Методологические основания прогнозирования

В анализе оснований прогноза В. В. Налимов [308] выделяет три яруса предпосылок прогноза:

содержательные предпосылки методологического характера;

выбор математического аппарата;

возможность измерения величин в модели.

Проблемы третьего яруса в более общем плане (не только по отношению к прогнозам) мы рассматривали ранее. Проблемы второго яруса мы рассмотрим позднее^ а сейчас остановимся на проблемах первого яруса. В. В. Налимов указывает на три основные предпосылки первого яруса.

«Уверенность в том, что можно опираться па экспертные оценки» [308, с. 36].

«Отрицание потенциальной возможности омнипо- тентности тех факторов, которые оказались не включенными в модель в силу их весьма малой значимости в прошлом» [308, с. 36].

«Редукция представления о биологическом эксперименте к представлению об эксперименте в физике... Биологический эксперимент в отличие от физического не

инвариантен к изменению пространственно-временной протяженности» [308, с. 37].

«Все три указанных выше посылки (а последние две из них присущи, кажется, любому экологическому прогнозу) делают сам прогноз «авгуровским» в силу своей полной обращенности в прошлое» [308, с. 37]. Что значит «авгуровский прогноз»? «В логическом плане прогноз есть взгляд в будущее, исходя из прошлого. В данном смысле — это деятельность авгуров» [308, с. 34]. Оставим пока экспертные оценки и экстраполяцию результатов эксперимента за пределы лаборатории (вопрос, который в экономике разработан значительно хуже, чем в биологии) и остановимся на второй предпосылке: отрицание потенциальной возможности омнипотентных факторов.

Рассмотрим простой пример задачи прогнозирования будущего хода процесса на основе полной информации о его прошлом.

Обозначим через W(T) множество 0—1 последовательностей длины Т.

Рассмотрим задачу: по первым Цк << Т) числам w^iy.. ... w(k) найти w(k + 1).

Поскольку практически любой процесс можно представить в виде 0—1 последовательности, мы получаем достаточно общую, но простую (Т — конечно) модель задачи прогнозирования.

Ясно, что в такой общей постановке задача решения не имеет: полная омнипотентность. Пусть, например, к = 3 и наблюдалась последовательность {1 1 0}. Так как и {1 1 0 1} и {1 1 0 0 } е РИ(4), нельзя на основе знаний о первых трех членах этой последовательности указать четвертый.

Отметим, что мы исключили из рассмотрения весьма сложные вопросы, связанные со случайностью: все последовательности можно получить с помощью конечных детерминированных автоматов. Задача может быть, сле- следовательно, сформулирована следующим образом: по первым к членам последовательности указать автомат (или класс эквивалентных в некотором смысле автоматов), породивший последовательность длины к + 1.

Поскольку эта задача эквивалентна предыдущей, она также не имеет решения.

Практически это означает, что надо либо как-то сузить множество возможных последовательностей, либо уменьшить требования к точности прогнозов, либо и то и дру-

гое вместе. Принципиальное значение имеет первый путь: сужение W.

Рассмотрим этот подход подробнее.

Пусть W* (Т) cz W(T). По первым к членам последовательности х е PF^T1) найти w^k + 1).

В условии задачи содержится следующая априорная информация: во-первых, определено подмножество Ж*(Т) cz W (71), во-вторых, известно, что (zz^(l)... ^(Т1)} е е И7*^). Задача может не иметь решения (например, если РИ* (Г) = W(T)^ но в ряде случаев решение найти можно.

Пусть, например, РИ*(Г) определено следующим образом:

№*(7) = <w(l), ..., w(T)№*(7) = <w(l), ..., w(T)S^W = 2t-=lS^W = 2t-=l

№*(7) = <w(l), ..., w(T)

№*(7) = <w(l), ..., w(T)

S^W = 2

t-=l

S^W = 2

t-=l

Если наблюдалась последовательность {1 1 0}, то при условии, что

5^№ = 2\,t/5^№ = 2\,t/{110z^ (4)} ^ /w^, ..., и; (4)

5^№ = 2\,t/

5^№ = 2\,t/

ш(4) может быть равно только 0. Но что означает условие

2ip(0 = 2?

или что такое множество РИ^Т1)? В общем случае ответ на этот вопрос, наверное, не удастся получить никогда. Но есть несколько важных частных случаев, в которых РИ* (Г) имеет определенный смысл. Продолжим рассмотрение нашего простого примера.

Пусть РИ*(71) определено следующим образом:

W* (Г) = <w (1), ..., w (Т) I g ^ (0) + g W +1)) = 0>,

(5.130)

где

(5.131)(5.131)( — 1, если w (t) = 0 ^(^(0) | если = 1

(5.131)

(5.131)

Пусть наблюдалась последовательность ж = {010}.

Если х е W*(7*), то нетрудно видеть, что

Ц4) = 1.

Что такое условие (5.84)? Запишем его в более общей форме G(w(t), w(t + 1)) = const = О,

т. е. получаем закон сохранения. Комбинируя (5.130) и (5.131), можно определить И^Т) иначе: это все те последовательности, для которых справедливо •

w^t + 1) = w^t) + 1г(5.132)

(Здесь + от обычной операции сложения отличается тем, что 1 + 1=0).

Уравнение (5.132) — это динамический закон, описывающий поведение системы.

Таким образом, сужение множества возможностей — это не что иное, как выявление объективных закономерностей, построение теории процесса. При этом различие между законом сохранения: для всех моментов t выполняется

G^f), x^t + т), . . .) = const(5.133)

и динамическим законом

x^t) = H(x(t — т)...)

в методологическом плане несущественно. В (5.130) будущее не выводится из прошлого, как в (5.132), но эти выражения эквивалентны. Существенно выражение: «для всех моментов t» в (5.133). Поэтому заявление «в прогнозе будущее выводится из прошлого» некорректно. Корректно же это формулируется так: утверждение о будущем — прогноз — выводится из знания о прошлом, а не из прошлого.

Вывод прогноза именно из знания подчеркивают и авторы монографии [37]. В [37] логическая структура прогноза выражается схемой вывода от высказываний о закономерностях G и высказываний об условиях их проявления В к предположению о неизвестном Р [37, с. 23]

G & В -> Р.(5.134)'

На наш взгляд, (5.134) следует уточнить следующим образом:

G^ & 5(0 & ut, S^ -> Ц1. S(t + т)).(5.135)

В (5.135) в явном виде введено утверждение о состоянии 5(0 в момент t.

Например$ в случае (5.130) й наблюдавшейся последовательности {0 10} прогноз имеет следующую логическую структуру:

Vi(g(ip(f)) + gW + 1)) = 0) & (iy(l) = 0) &(w(2) = = 1)&

& № = 0) ^ = 1).

Прогноз и опережающее отражение

Вернемся к омнипотентности. Исходя из изложенного выше, следует различать два вида омнипотентности: информационную и онтологическую. Информационная омнипотентность — это ошибки, неточность, ненадежность G, В, L в (5.91); и в этом смысле она тривиальна. Оптологическая омнипотентность — это отсутствие закономерности в мире.

Рассмотрим сначала проблемы информационной омнипотентности. Утверждению «знание о Gv В, L получается из прошлого опыта» можно противопоставить следующие альтернативы: 1) знание априорно; 2) источник знания — откровение; 3) знание может быть получено из будущего.

Первая альтернатива — врожденные идеи и т. п.—* практически не играет никакой роли в прогностической деятельности. Со второй альтернативой дело обстоит сложнее: откровение в какой-то степени пересекается с ясновидением, и прогнозы такого рода фактически имеют место. Мы рассмотрим эту альтернативу позже, в связи с анализом возможностей экспертных оценок в прогнозировании. Третья альтернатива, хотя и не формулируется четко, обсуждается в литературе по прогнозированию в рамках концепции опережающего отражения.

Термин «опережающее отражение» введен известным нейрофизиологом П. К. Анохиным [19]. В [19] П. К. Анохин интерпретирует этот термин следующим образом: «Вся история развития животного мира есть демонстративный пример усовершенствования этой универсальной и самой древней закономерности, которую можно было бы назвать опережающим отражением действительности, т. е. ускоренным в миллион раз развитием цепей химических реакций, которые в прошлом отражали последовательные преобразования этой действительности» [19Л с. 175].

В таком контексте опережающее отражение —• это метафора; об отражении будущих процессов, событий в настоящем здесь нет ни слова: опережающее отражение — это быстрое (в цепных химических реакциях) отражение медленно развивающихся событий внешнего мира. Однако метафора начала разрастаться: «У мышления нет границ для такого опережающего отражения действительности. Оно обладает возможностью опережать в микроинтервалах времени цепь событий, которые могут длиться годы» [19]. Здесь выражение «опережать в микроинтервалах времени цепь событий, которые могут длиться годы» выглядит двусмысленным.

Более определенно высказывается В. А. Лисичкин: «... Отражение приобретает функцию опережать действительность... Само слово ,,предвидение4 4 означает отношение между настоящим и будущим» [253, с. 13]. Все точки над I ставятся, когда метафора заменяется формализацией. В [253] читаем: «Рассмотрим некоторую сложную систему, состоящую из источника информации я, канала связи К и приемника у. Источник информации ... представляет систему, состояние которой в общем случае описывается несколькими случайными величинами хи я2, . . ., х8 с плотностью распределения ^хи х^ . . ., х^. Пусть состояние приемника описывается случайной величиной у с плотностью распределения j^VY Предположим теперь, что канал связи К расположен не в пространственном, а во временном континууме, т. е. что источник информации х^ состояния которого, предположим, определяются с некоторыми вероятностями и передаются демоном, расположен от нас, если мы занимаемся прогнозом этих состояний, во времени па некотором расстоянии t. Состояние приемника у суть прогноз состояния источника х. Таким образом, время, на которое делается прогноз, соответствует длине канала связи. Используя эту аналогию и ряд результатов теории информации, можно получить несколько соотношений, связывающих прогностические параметры» [253, с. 45—46].

Это концепция получения прогнозов не на основе информации о прошлом и настоящем, а прямо из будущего. Следствия из данной концепции чрезвычайно оптимистичны. Источником ошибок прогноза являются помехи в канале К. В теории информации разработаны методы уменьшения ошибок при передаче информации, например использование кодов, исправляющих ошибки. В. А. Ли- сичкищ рассматривая пример предсказания следующего

события, пишет «откроют ли природу гравитации в 2000 году? Присвоим событию ,,не откроют44 символ 0, событию ,,откроют44—символ 1. Пусть некий гипотетический демон измерил эти события с вероятностями р и 1 — р и передает нам, закодировав их символами 0 и 1, но в процессе передачи этого сообщения каждый символ может быть искажен (т. е. заменен противоположным) с вероятностью рф, £), и поэтому мы предсказали, что событие ,,не откроют44 произойдет с вероятностью г и событие ,,откроют44—с вероятностью 1 — г. Тогда подобный прогноз можно представить как передачу элементарных символов 0 и 1 от источника ос к приемнику у через канал связи К с помехами» т. д. [253, с. 47].

Как же установить численные значения р, г и ц? Максимум информации на один символ достигается при р — 1/2, г = 1/2, т. е. при отсутствии априорной информации, это ясно, хотя и не совсем ясно, что значит «демон замеряет события». Но не будем останавливаться на деталях; рассмотрим вероятность искажения р. «Определить зависимость ц от р и t — дело сложное, в этой работе мы примем ее в виде

рф, 0 - (1 - e~^Y(5.136)

Тогда при t = 0 вероятность искажения прогноза равна 0, а при t ~> оо вероятность искажения стремится к вероятности достоверного события, т. е. ц —> 1» [302, с. 48].

Итак, при достаточно большом периоде прогнозирования (£ —> оо) вероятность искажения близка к единице, т. е. вместо 0 будет принят сигнал 1, и наоборот. Но знание этого обстоятельства позволяет почти полностью элиминировать помехи. Достаточно перекодировать принятый приемником сигнал: приняв «0», заменить его на «1», приняв «1», заменить его на «0». Для получения прогноза теперь (когда шум в канале К устранен) надо только знать: будет ли открыта природа гравитации в 2000 г.

Разумеется, эту ошибку можно исправить, учитывая, что наибольшая потеря информации в канале происходит тогда, когда р=0,5. Для этого достаточно записать цф, 0 в виде рф, 0 = 0,5(1—е—^).(5.137)

(Мы можем это сделать с чистой совестью, так как зависимость (5.136), принятая В. А. Лисичкиным в его работе, тоже совершенно произвольна.) Однако пока вернемся к работе [253] и посмотрим, как концепция получения прогнозной информации от «демона», наблюдающего буду-

Щёё, «пдЗЁоЛяет йдлучиТъ несколько соотношений, связывающих прогностические параметры». Поскольку максимум потери информации в канале (в случае двух состояний источника и приемника) достигается при ц = 0,5, В. А. Лисичкин для определения прогностического горизонта tg приравнивает (5.136) к 0,5:

и(р, tg) = 1-?-^ = 1/2, откуда получается

tg = pin2.

«Коэффициент р, вообще говоря, можно связать с негэн- тропией. . . Напишем соотношение для Р без вывода:

р - tos/K,

где S — прирост термодинамической энтропии, который получается при производстве прогноза; К — 1,38-10~16 — постоянная Больцмана. Тогда

L5 In 2

/ — J - к >

т. е. чем больше негентропии затратили мы при производстве прогноза, тем больше будет максимальное время упреждения» [253, с. 49].

Мы уже отметили, что даже в рамках «рассмотренного теоретико-информационного подхода» задача получения «нескольких соотношений, связывающих прогностические параметры», решена неудовлетворительно. Величина tg — прогностический горизонт — это максимальное значение горизонта прогнозирования. Но мы видим, что (5.136) позволяет в результате перекодировки получать прогнозы тем более надежные, чем больше горизонт прогнозирования, т. е. при равенстве длины горизонта прогноза tg получается наихудший прогноз. Освободимся от этого эффекта перекодировки. Примем для этого для ц(Р, t) зависимость (5.137), а не (5.136). Выражение (5.137) означает, что чем больше горизонт прогнозирования, тем больше искажение в канале К; при t -> оо в канале теряется вся информация ц = 1/2.

Теперь, используя (5.137), получим результат, имеющий теоретический интерес. Вслед за В. А. Лисичкиным, найдем tgl приравняв (5.137) к 1/2:

И(Р, tg) = 0^5(1—е —tg/^ = 0,5.

Получаем, что

tg = оо,

т. е. максимальное время упреждения равно бесконечности и при этом никакой негэнтропии тратить не надо.

Приведенные выше выкладки, позволяющие найти несколько соотношений между прогностическими параметрами, В. А. Лисичкин характеризует так: «Рассмотренный теоретико-множественный подход к прогнозированию позволяет по-новому сформулировать и решать задачу оценки точности и времени упреждения прогнозирования» [253, с. 50].

В действительности эта новая формулировка базируется на весьма древних представлениях о времени. Получение информации из будущего вполне уместно в рамках концепции циклического времени: если в каждом цикле один и тот же Платон в одной и той же Академии читает одну и ту же лекцию, то можно вполне представить, как где-то в уголке притулился незаконнорожденный брат максвелловского демона и транслирует эту лекцию в другой (но такой же?) цикл. Возможно, некоторый смысл вся эта «демонология» имеет в рамках некоторой концепции линейного времени-субстанции, в которой будущее, так же как настоящее и прошлое, существует актуально. Нам незачем рассматривать такую концепцию, во-первых, потому, что субстанциализация времени ведет к логическим противоречиям (парадокс Мак-Таггарта), во-вторых, потому, что именно сторонники концепции опережающего отражения должны сформулировать свои представления о времени и актуальном существовании будущего.

Затрагивая методологические основы своей концепции, В. А. Лисичкин пишет: «...Понятие ,,отражение1 ‘ охватывает отношение между предметами в настоящем или прошлом. А как же отражать будущее, если его нет в действительности? ... Имеет ли смысл тогда утверждение, что ,,отражение как свойство материи лежит в основе способности мозга предвидеть будущее11? Да, имеет!» [253, с. 13]. Отражение как свойство материи действительно лежит в основе способности мозга познавать мир и, в частности, предсказывать будущие события. Но из этого утверждения не следует тезис В. А. Лисичкина: «Но отражение приобретает функцию опережать действительность» [253, с. 13]. Вместо того чтобы доказывать свой тезис, В. А. Лисичкин декларирует: «Свойство, опережа-

юще отражать действительность, наиболее ярко проявляется в сознательной деятельности человека» [253, с. 13].

Это похоже на аргументацию указанием на факт: опережающее отражение — основа прогноза; прогнозы делаются, следовательно, опережающее отражение несуществующего еще будущего уже существует. Но здесь посылкой является как раз то утверждение, которое требуется доказать: материя способна отражать несуществующее еще будущее. [Доказать это невозможно. Те абсурдные связи между прогностическими параметрами, которые были установлены выше, нельзя, конечно, отнести только за счет концепции опережающего отражения. Произвольность результатов выкладок (5.136), (5.137) и т. д. объясняется также и произвольностью исходных допущений, в частности произвольностью выражений для ц(|3, £). Но характерно, что ядро концепции опережающего отражения вполне совместимо с любыми гипотезами о характеристиках источника, канала и т. п., так как эти гипотезы непроверяемы. Действительно, как проверить справедливость гипотезы (5.136) или (5.137) в рамках концепции опережающего отражения? Как «договориться» с «демоном» о способе кодирования информации или же как узнать, какие коды он использует? Без ответа на эти вопросы аналогия с теорией информации несостоятельна. Практически нет даже чисто формальной аналогии, так как в теории информации К. Шеннона большую роль играет скорость передачи информации. О какой скорости передачи прогнозной информации может идти речь, если канал связи расположен «не в пространственном, а во временном континууме»?

Мы подробно останавливаемся на опережающем отражении потому, что это наряду с откровением и ясновидением (или проскопической телестезией) является альтернативой «тривиальной» схеме прогноза (5.135):

G(t) & В^ & Цг, S^ -> Ц^ S(t + т)).

Математические модели причинно-следственных связей

Теперь рассмотрим онтологическую омнипотентность. Методологически возможность прогноза обосновывается объективным существованием причинно-следственных связей. Онтологически омнипотентные факторы — это, таким об-

разом, события, выпадающие из цепочек причинно-следственных связей.

Прежде всего еще раз подчеркнем необходимость различения информационной и онтологической омнипотент- ности. Утверждения: «Будущие события зависят от событий в настоящем и прошлом» и «прогноз будущих событий выводится из знания о настоящем и прошлом» — это утверждения о разных объектах. Игнорирование этого различия ведет к отождествлению причинности и предсказуемости, причем непредсказуемость в этом случае является обоснованием индетерминизма. Такое смешение причинности предсказуемости характерно, в частности, для неопозитивизма и прагматизма. М. Шлик, например, полагал, что нет различия между утверждениями: «прошлое определяет будущее» и «будущее определяет прошлое», вследствие чего каузальность и телеология неразличимы [516]. Основанием для такого рода утверждений служит формальное, действительно имеющее место подобие утверждений о прошлом и будущем. Если в высказывании о состоянии системы в момент времени t + т, которое делается в момент времени t

LW S(t + т)),

положить т < 0, то получаем высказывание о прошлом. Полагая т = — 9 в (5.91), получаем, что

Ц1, S^t-^

выводится из

^(0 & B(t) & LW S^y.

GW & BW & Ж SW) Ж S^y.

Но выведено из «настоящего» (точнее из утверждений,; которые сделаны в момент времени У не прошлое, а высказывание о прошлом. Логическая связь не тождественна каузальной, хотя и существует благодаря наличию причинно-следственных связей.

В связи с этим нельзя согласиться с Р. Карнапом, считающим, что в утверждении «из Р с необходимостью следует Q» слова «с необходимостью» излишни, не несут никакой информации [198, с. 267—269]. Добавка «с необходимостью» — это отграничение причинно-следственной связи от простой ассоциации событий во времени. Например, «после лета всегда следует осень»; из этого положения можно сделать «вывод», что лето — причина осени.

Основное отличие каузальной связи между событиями от простой ассоциации является то, что причинно-следственная связь между событиями есть результат взаимодействия между объектами, предметами. По словам Ф. Энгельса, «только исходя из этого универсального взаимодействия, мы приходим к действительному каузальному отношению» [1, т. 20, с. 546]. Такой подход исключает субстанциализацию причины и следствия и делает бессмысленными утверждения об активности причин и пассивности следствий, о резком отличии объектов-причин как действующих сил от объектов-следствий, о равенстве причины следствию и т. п.

Категория причинности занимает ведущее место в марксистской философии, и ей посвящена обширная литература (см., например, [37], [326], [422], [435] и т. д.). При этом, как правило, возможность отображения причинно-следственных связей в количественных теориях и моделях не подвергается сомнению. Тем не менее в экономической литературе можно встретить заявление о поверхностности количественных методов, не вскрывающих глубинные причинно-следственные связи в экономике. Так, В. В. Потапов, уничтожая теорию полезности, пишет, в частности: «Теория приобрела сильно формализованный характер. Этому во многом способствовали переход от причинно-следственного к функциональному методу исследования, т. е. к анализу исключительно количественных взаимосвязей, и распространение логического позитивизма как общей методологии буржуазной науки» [355, с. 37].

И дело не только в том, что для В. В. Потапова существует проблема: «политическая экономия или экономическая математика?» [355, с. 81]. На некоторую своего рода вторичность количественных методов в экономике указывают зачастую и экономисты, являющиеся принципиальными сторонниками применения математики в экономике. Например, Л. М. Гатовский, заявляя, что «неверно было бы утверждать, что количественная сторона играет лишь подсобную, пассивную роль в экономической теории» [488, с. 29], в то же время полагая, что «количественный анализ, применение математических методов в экономических исследованиях и в планировании не могут заменить анализа качественного, отражающего суть

й взаимосвязи экономических законов и категорий и являющегося предпосылкой, фундаментом количественных расчетов. Но количественный анализ, математические методы служат, в свою очередь, необходимым условием и обязательной формой конкретного выражения и развития, а следовательно, практического применения выводов качественного анализа» [488, с. 28]. Что количественный анализ не заменяет анализа качественного 34,— это бесспорно. Но в приведенном высказывании Л. М. Гатовско- го содержится менее бесспорная мысль: суть дела, взаимосвязи экономических законов и категорий отражает качественный анализ; он является фундаментом, предпосылкой количественных расчетов. Задача же количественных методов — служить передаточным устройством между качественным фундаментом и практикой. «Познание экономических законов социализма далеко не сводится к определению их сути, основных черт» [488, с. 29]. То, что вне сути — не основные черты, — это и есть область для применения количественных методов. Дальше можно сделать вывод: поскольку причинно-следственные связи в экономике — это суть, количественными методами причинно-следственные связи отобразить нельзя.

Достаточно четко высказывает эту точку зрения В. И. Карпенко: «Причинное действие необратимо, ибо изменение одного явления есть результат изменения другого; изменившись, явление не может возвратиться к прежнему состоянию: изменение происходит во времени, и каждый новый момент несет в себе новые условия течения данного явления... В этом смысле причинные отношения отличаются от абстрактных математических. Математические отношения, как правило, обратимы: если Y —|/(Х), можно принять также X = Л(^). То, что Y есть функция от X, ничего не говорит о качественном содержании изменений явления; оно говорит нам лишь о форме изменения; Что же касается причинно-следственного отношения, то это феномен, явление конкретной действительности; оно говорит нам о происшедшем качественном или количественном изменении явления... И если мы подыщем для него подходящее математическое уравнение, то можем

Но качественный анализ всерьез можно проводить только математическими методами, включающими, в частности, решение ряда задач специальными количественными методами (например, качественная теория дифференциальных уравнений, теория катастроф, дисперсионный анализ и т. д.).

сказать, что его формула выражает причинное отношение; но эта формула становится необратимой» [203, с. 266— 267]. Примера «необратимой формулы» Б. И. Карпенко не привел 15. Мы попробуем выяснить, возможен ли такой пример.

Во-первых, причинные отношения отличаются от абстрактных математических, но не в том смысле, который придает этому отличию Б. И. Карпенко. Это отличие знака от обозначаемого. Слово «красный» само цвета не имеет и, следовательно, отличается от красного. Под «обратимостью» и «необратимостью» формул понимается, видимо, следующее: «Можно вычислить момент времени в прошлом, когда произошло некоторое событие, но нельзя фактически вернуться в этот момент времени в прошлом». Это действительно так; по ведь в формуле X = = Л(У) это и не утверждается. Пусть, например, У — национальный доход, измеряемый индексом роста по сравнению с 1913 г., а X — время; пусть, далеех эта зависимость — экспонента:

Y = /(X) = YA (5.138) где У0,Х — параметры.

Обратная зависимость

X = /,(У) = 1/МпУ/У0.

Зная параметры % и Уо, можно вычислить X, такое, что У = 2; но речи о путешествии во времени в «обратимой» формуле (5.133), конечно, нет.

Здесь мы опять имеем дело с широко распространенным (а логическим позитивизмом возведенным в догму) отождествлением знака (формулы) и обозначаемого (причинно-следственной связи). Разумеется, по виду формулы У = /(X) нельзя заключить, описывает ли она причинноследственную или какую-то другую связь. Ясно, например, что (5.133) описывает связь между национальным доходом и временем, но это не причинно-следственная связь. Постановка проблемы расширения выразительных средств формального языка, такого, что по внешнему виду формулы можно было бы «механически» установить, является ли она описанием причинно-следственных связей или нет, представляется вполне правомерной.

Сложным и еще не решенным вопросом считают «проблему обратимости» п некоторые другие экономисты, например В. Е. Апд- риенко [17, с. 26 и далее].

Заметим, что соответствующий символизм уже используется в модальной логике. Это позволяет считать данную проблему в каком-то смысле разрешимой. Но для нас здесь важно заметить, что, хотя обычный математический символизм, используемый в экономической науке, не различает разные виды связи, он все же не выступает препятствием для такого различения. Здесь уместно напомнить, что для построения термодинамики необратимых процессов не требуется никакого нового математического аппарата, отличного от математического аппарата, который используется в термодинамике обратимых процессов. Обратимость процесса и существование обратной функции настолько различные понятия, что трудно даже говорить об их различии,— они несопоставимы. Отрицание этого утверждения, вытекающее из условия изоморфности (если не тождественности) знака обозначаемому, влечет за собой требование: слово «короткий» должно быть короче слова «длинный» — и вывод: поскольку это не так, то слова «длинный» и «короткий» не являются подходящими словами для характеристики длины.

Не требуя ни тождественности (все-таки конец XX в.), ни изоморфизма, остановимся на одной (не специфической) особенности причинно-следственной зависимости, которая в ряде случаев должна быть отражена в уравнении, описывающем эту зависимость, и возможность отражения которой неоспорима, если речь идет об описании именно причинно-следственной зависимости. Современное представление о причинности предполагает существование механизма причинения следствия. В частности, это означает, что следствие не следует за причиной мгновенно. Следовательно, функциональная зависимость, описывающая причинно-следственную связь, должна быть в общем случае уравнением с запаздыванием, например, вида

У^ = /(Х(^т)), (5.139)

где X — переменная, описывающая причину, Y — переменная, описывающая следствие, т — величина запаздывания.

Роль запаздываний в описании экономической динамики неоднократно подчеркивал Дж. Форрестер [449], [450]. Количество моделей экономических систем, в уравнении которых введены запаздывания, постоянно растет (см., например, [360], [449]). Запаздывание в уравнении систе-

мы может быть введено несколькими способами. Например, записав (5.139) в эквивалентной форме

Y^t + т) = fTO)

и, разлагая левую часть в ряд Тейлора по величине запаздывания т, получаем

Y^ + YW + 1/2У(^)т2 +

(5.140)(5.140)+ 1/бУ(г)т3 + ... = i^Y

(5.140)

(5.140)

f(X(n)f(X(n)При малых т члены с высокими степенями т во многих

f(X(n)

f(X(n)

Пхт)

Рис. 5.2. Реакция системы У^ = f^t — т)) на единичный скачок

Рис. 5.3. Реакция системы первого порядка (5.142) на единичный скачок

важных случаях можно отбросить. Тогда получаем приближенное описание запаздывания с помощью линейного дифференциального уравнения, например:

Y^ + YW + Y№ « /(Х№).Y^ + YW + Y№ « /(Х№).(5.141)(5.141)

Y^ + YW + Y№ « /(Х№).

Y^ + YW + Y№ « /(Х№).

(5.141)

(5.141)

Пусть КХ^У) — функция единичного скачка в точке t = = 0, т. е.

На рис. 5.2 показана реакция системы (5.139) на единичный скачок.

На рис. 5.3 показана реакция системы

(5.142)(5.142)к(0 + у^х = КХ^

(5.142)

(5.142)

на единичный скачок.

На рис. 5.4 показана реакция системы (5.141) на единичный скачок.

Чем выше Порядок дифферейцйального уравнения, ФёМ ближе переходной процесс к «идеальной» характеристике, показанной на рис. 5.4. Так, если в левой части (5.140) оставлено пять — шесть членов, то такое приближение только немного «размывает» идеальную характеристику,— см. рис. 5.5.

Практически же совпадение с «идеальной» характеристикой не всегда и нужно. Реальный переходной процесс может оказаться фактически размытым, как на рис. 5.5, и для его адекватного описания требуется не уравнение запаздывания типа (5.139), а линейное дифференциальное уравнение достаточно высокого порядка.

Рис. 5.4. Реакция системы второго порядка (5.141) на единичный скачок

Рис. 5.5. Реакция системы высокого порядка на единичный скачок

Все это, конечно, не значит, что причинно-следственные зависимости всегда нужно описывать с помощью уравнений запаздывания, дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений. Абсолютно точных описаний нет; при очень малых запаздываниях т (5.139) практически обращаются в

(5.142а)(5.142а)Y^ ~1TOY

(5.142а)

(5.142а)

Однако очень важно отметить, что в случае причинноследственной зависимости уравнение типа (5.142а) всегда можно уточнить посредством введения запаздывания. Для связей же, которые не являются причинно-следственными, такое уточнение не всегда возможно.

В частности, такое уточнение невозможно для уравнений-определений, например для уравнения

(5.143)(5.143)л(0 = ^(0/^(0»

(5.143)

(5.143)

где л — производительность труда, q — объем выпуска, L — численность, занятость.

Определение производительности труда (5.101) — одновременное уравнение и уточнить его введением запаздывания в правую часть нельзя, так как оно точно. Хотя это и ясно, все же некоторые разъяснения оказываются (как мы увидим ниже) нелишними. Введем в (5.143) запаздывание т. Нельзя просто написать

"(0-^=4 (5-144)

так как (5.144) будет совместимо с (5.143) только в частном случае

—- = const,

а мы предполагаем, что (5.143) справедливо для любых q и L. Следовательно, вводя в (5.143) запаздывание, мы тем самым вводим новый показатель

"-W-T^r (5Л45)

Экономического смысла этот показатель не имеет; т в (5.145) произвольно. (Время же запаздывания следствия — это величина, которая не может быть установлена произвольно или выведена априорно.)

Разобранный тривиальный пример позволяет разобраться в «очень сложном и еще не решенном вопросе» индексного моделирования. «Речь идет об установлении однозначной субординации между взаимосвязанными объектными и качественными показателями в смысле разграничения их на результативные и факторные (в нашем примере между показателями объема производства и производительности труда). Какой из них является причиной, а какой — следствием, допустима ли между ними .обратимость причинно-следственной зависимости?» [17, с. 26].

Вообще говоря, различение причины и следствия — внелогическая и, более того, внемодельная процедура. Для такого различения нужен эксперимент, опыт. Но в «индексном моделировании» все это — проблемы, решаемые рассуждениями. И В. Е. Андриенко продолжает:

«Исходя их общетеоретического положения, суть которого заключается в том, что причина во времени должна предшествовать следствию, некоторые экономисты считают, что в таких случаях невозможно установить временную субординацию между объемными и исчисляемыми на их основе средними показателями, а поэтому связь между ними следует считать обратимой. В качестве доказательства приводится следующий аргумент. Численность работников как фактор во времени действительно предшествует объему продукции, но в отношении второго фактора (производительности труда) этого якобы сказать нельзя , поскольку он появляется одновременно с результативным показателем (объемом продукции) или даже позже него. Так, показатель производительности труда нельзя определить до тех пор, пока не сформируется показатель объема продукции. При таком подходе причинно-следственная зависимость развивается как бы по замкнутому кругу: производительность труда увеличивается или уменьшается, потому что производится больше или меньше продукции, и наоборот. На этом основании в качестве результативного показателя избирается любой из данных и аналогичных им взаимосвязанных показателей, что противоречит философскому тезису о необратимости причинно-следственных связей» [17, с. 26—27].

Парадокс этот объясняется в действительности просто: ни уравнение (5.143), ни эквивалентные ему уравнения

q(t) = л(0*Ц0 ЦТ) = q(tyji$

не описывают причинно-следственных связей; все эти уравнения — определения показателя «производительность труда». Они тождества, и ни одно из них нельзя уточнить, введя запаздывание следствия по отношению к причине. Но В. Е. Андриенко «представляется, что подход к пониманию сущности причинно-следственных связей должен быть иным. Поскольку результативный показатель, например продукция, создается работниками производства, логически возникает вопрос: каким образом происходит процесс создания продукции? Естественно, при помощи труда , для которого характерен определенный

уровень производительности. Правда, на протяжении коротких отрезков времени уровень производительности труда не регистрируется, но он объективно существует, и при необходимости его можно было бы измерить» [17,. с. 27].

Логически возникает вопрос: каким образом? Ведь всего несколькими строками выше В. Е. Андриенко совершенно справедливо утверждал: «...Показатель производительности труда нельзя определить до тех пор, пока не сформируется показатель объема продукции» [17, с. 26]. Вместо ответа на этот вопрос В. Е. Андриенко просто декларирует: «Следовательно, наряду с количественным фактором существует имманентно присущий ему качественный фактор. Их соединение ведет к образованию результативного показателя. Происходит это в виде непрерывного процесса, но направленность и очередность возникновения причинно-следственной связи очевидны. Причем причинно-следственная связь имеет характер созидательной деятельности одного явления по отношению к другому» [17, с. 27]. Но будем пытаться разгадать тайну слов: очередность причинно-следственной связи; поверим В. Е. Андриенко на слово, что она очевидна.

Обратимся снова к уравнению (5.139):

Г(0 = № - т)).

Это уравнение обратимо (в разбираемом здесь смысле), т. е. с его помощью можно решать как прямую задачу вычисления значения переменной Y в момент времени t по значению переменной X в момент t — т, так и обратную: вычисление значения (или, в случае неоднозначности обратного преобразования, множества значений) переменной X в момент t по значению переменной Y в момент £ + т.

Таким образом, введение запаздывания в описание процесса не решает проблему механического опознания причинно-следственных зависимостей. Однако проблема обратимости уравнений, описывающих необратимые процессы, с нашей точки зрения, не является значимой методологической проблемой, так как нет никаких оснований требовать изоморфизма описаний описываемым процессам.

Если продукт создается при помощи труда, то труд — помощник. Логически возникает вопрос: чей?

Проблемы описания причинно-следственных связей были бы существенно проще, если бы уравнения с запаздываниями (или их эквиваленты) были пригодны только для описания причинно-следственных связей. Но это не так. Достаточно привести в качестве примера известный Гарвардский барометр (см., например, [138]). Уравнения этой модели — это уравнения с запаздываниями:

D^ « T(t - 4), 7(0 « F^t - 8),

где D —• индекс денежного рынка, Т — индекс товарного рынка, F — индекс фондового рынка, t — время, измеренное в месяцах.

Эти уравнения не описывают причинно-следственных связей, хотя причинно-следственные связи между процессами на денежном, товарном и фондовом рынках существуют.

В то же время напрашивается аналогия между уравнениями с запаздыванием и уравнениями индикации. Величина-индикатор заменяет непосредственно неизмеряемую величину. Будущее значение некоторой переменной в настоящий момент времени тоже непосредственно неизмеримо. Так же как с помощью одной (или нескольких) переменных-индикаторов можно в ряде случаев приписать численное значение непосредственно-неизмеряемой переменной, уравнения с запаздываниями позволяют приписать (вычислить) в настоящий момент времени будущее значение «индицируемой» переменной.

Индикация — это, конечно, не описание причинно- следственной связи.Но наряду с каузальными уравнениями уравнение индикации укладывается в общую логическую схему прогноза (5.135). А именно если между переменнымиX и Y существует какая-то (не обязательно каузальная) зависимость типа (5.139), то эта схема специфицируется следующим образом:

<WW = fwt - т)) Л (ХМ =

= а) (Y(tn + т) = /(а))',

где tn — момент времени, в котором делается прогноз.

Проблемы проверяемости прогнозов

Один из важнейших критериев приемлемости научного утверждения — проверяемость. Нет оснований делать исключение для прогнозов. Но при проверке прогнозов появляются принципиально новые проблемы. Валентность утверждения L(t, S(t + т)) определяется в результате сравнения прогноза с фактическим положением дел в момент времени t + т. Будем называть такую проверку сильной. Если прогноз не является сильно проверяемым, то его следует отвергнуть как непроверяемое утверждение. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь в виду сильно проверяемые прогнозы. Но здесь есть одно обстоятельство: в момент времени t + т прогноз уже не нужен. Требуется установить его валентность в момент времени £, в момент времени прогнозирования. Поскольку будущее ненаблюдаемо, такую проверку будем называть слабой. Всякий слабо проверяемый прогноз сильно проверяем. Каким же образом можно осуществить слабую проверку? Можно привести много случаев, когда установление валентности прогноза в момент прогнозирования не вызывает затруднений. Например, чтобы установить истинность или ложность утверждения «в 1990 г. в центре Солнца будет создана исследовательская лаборатория», не надо ждать наступления 1990 г. Ясно, что это утверждение ложно. Но, собственно, почему — ясно? Только потому, что это утверждение противоречит имеющимся знаниям о Солнце и о материалах, из которых могла бы быть изготовлена исследовательская лаборатория. Решающее значение при слабой проверке прогноза имеет его отношение к имеющимся наличным знаниям.

Когда проверяется научное утверждение общего характера, в принципе неважно его происхождение: является ли оно следствием какой-либо теории или просто догадкой. Значение имеет только соответствие утверждения фактам. Иное дело прогнозы. Поскольку при слабой проверке сравнивать прогнозы с фактами невозможно, остается только сравнивать их между собой. Выбирается тот прогноз, который более правдоподобен, ближе к истине. Это значит, что прогнозы сравниваются по их вероятности. Логика прогнозов — это вероятностная логика. Вероятность при этом интерпретируется в соответствие с логической концепцией вероятности как численное значение валентности высказывания [192], [198], [233], [240]. Слабая проверка таким образом сводится к вычислению веро-

ятности прогноза. Здесь мы должны обратиться к схеме дедуктивного вывода прогнозного утверждения (5.135), которую теперь запишем в виде

(3„) П,

где Зп = G^ & В(^ & L^t, S^t)) — наличное знание в момент t, П = L^t, S(t + т)) — прогноз.

Если прогноз П выводится из знания Зн, то

Prob {П} = Prob {П | Зн} -Prob {Зя} + Prob {П | ~ Зн} •

• Prob Зн},

где ~ Зп — множество утверждений, отрицающих утверждения, содержащиеся в знании Зп, Р^оЬ^*^ — вероятность высказывания {•}.

Если же прогноз выводится из пустых посылок, т. е. если прогноз — догадка, не выведенная дедуктивно из какого-нибудь знания Зн, то для подсчета вероятности прогноза в соответствии с логической концепцией вероятности используется принцип индифферентности Лапласа или его уточненные версии Карнапа, Джеффриса, Хин- тикки [175], [198], [460], [499]. Таким образом, и здесь мы имеем дело со схемой сравнения моделей, которая была рассмотрена в 4.3.2.

Вернемся теперь к сильной проверке прогноза. Социально-экономические прогнозы в ряде случаев существенно отличаются от прогнозов в физике, технике, метеорологии и т. п. Погода на завтра не зависит от того, каков сегодня прогноз погоды на завтра. С объектами социально-экономического прогнозирования дело может обстоять иначе, так как поведение такого объекта может зависеть от прогноза его поведения. Такие ситуации называют ситуациями самоосуществления и самоуничтожения прогнозов [37], [189, т. 2], [442].

Стандартным примером самоосуществляющегося прогноза является разорение частного банка в результате паники, охватившей вкладчиков, поверивших авторитетному прогнозу о разорении банка. Самоуничтожающийся прогноз является прямо противоположной ситуацией: поверив прогнозу об ухудшении состояния дел в будущем, люди изменяют свою политику и направляют усилия на преодоление и устранение нежелательных тенденций развития; в результате прогноз не осуществляется. Вопрос, был ли прогноз правильным, остается открытым. Прямое сопоставление фактического положения дел с прогнозом

36136124 рг л, Раяциас, М. К. Плакунов

361

361

здесь ничего не дает: в случае самоуничтожающегося прогноза фактическое положение дел отличается от прогноза и следует признать, что прогноз был неверным; продолжая эти рассуждения, приходится сделать вывод, что люди напрасно предпринимали какие-то усилия, так как опасности не было. Ситуация самоподтверждающегося прогноза выглядит менее парадоксальной: прогноз соответствует фактам, но остается ощущение, что факты подтасованы.

Предложено три основных направления решения этой проблемы.

Оценивать не прогноз, а поведение всей системы прогноз — действия. Основное внимание здесь уделяется проблеме обеспечения устойчивости социально-экономической (и экологической) системы. Эту точку зрения четко сформулировал К. Фёль: «Стремление теоретиков и практиков объяснить фактический ход экономического развития за некоторый прошедший период времени и сделать прогнозы относительно будущего развития вполне понятно; однако оно, по-моему, проходит мимо существа подлежащей разрешению задачи. ...при исследовании народнохозяйственных процессов регулирования на первом плане должен был бы стоять вопрос об их устойчивости и о факторах, при помощи которых она может быть улучшена. Если нам удастся при помощи организационных мероприятий, которые в экономической области соответствовали бы конструктивным мерам, принимаемым инженерами при решении технических задач, создать свободные от колебаний или сильно демпфированные переходные процессы при ступенчатых изменениях задаваемых извне параметров, то не будет более ни неоправданного бума, ни депрессий. Сделать прогноз экономического развития тогда не составит труда, но он не будет представлять и никакого интереса. Я убежден, что такие организационные мероприятия возможны» [442, с. 119-120].

За неимением лучшего такой подход к решению проблемы сильной проверки прогнозов, влияющих на свое осуществление, вполне приемлем. По, учитывая, что оптимизм К. Феля оказался несколько преувеличенным (приведенное высказывание относится к 1955 г.), имеет смысл рассмотреть и другие возможности.

Прогнозы, влияющие на свое осуществление (будем называть их рефлексивными),— это условные прогно-

Зы. В какой-то степёнй псе прогнозы условны, что и нЯшЛО отражение в общих схемах дедукции прогноза (5.134) и (5.135). Но можно различать иерархию условий. Так, безусловным обычно считают прогноз, построенный на основе зависимости х = /(^); если функция от времени t установлена, то в такой модели (в теории временных рядов) значение прогнозируемой переменной зависит только от времени; при этом под зависимостью не понимается в данном случае каузальная зависимость. Прогноз же на основе модели

у*А = ф^^))

считается условным, так как событие у = ф(а) наступит при условии, что наступит событие х = а.

Сильная проверка рефлексивного прогноза заключается в проверке истинности условного высказывания (х ->- -> у). Или, иными словами, переменной в (5.135) является пара (х, ф(я)):

5 = (х, ф(^))

и проверяется истинность прогноза: «х и у связаны соотношением ф, а не соотношением фп или ф2, или ф3 и т. д.».

При таком обобщении понятия проверяемости прогноза проверка рефлексивного прогноза ничем не отличается принципиально от проверки обычного «одномерного» прогноза; х и у могут быть, конечно, числами, векторами, матрицами и т. д. Так, например, если у — объем выпуска, х — вектор объемов привлеченных ресурсов, а ф — производственная функция, то проверка условного прогноза: «если хх^1 + т) = К. x^t + т) = L, то уЦ + т) = = д», то обобщенная сильная проверка этого прогноза сводится к ответу на вопрос, «находились ли в момент t + т значения переменных у, хх и х2 в соотношении у = ф^, х2)», причем ответ на этот вопрос не зависит от выполнения или невыполнения условий хх = К, х2 = = L. Если эти условия оказались выполненными, то обобщенная проверка свелась к обычной.

Важным частным случаем рассмотренной выше схемы является ситуация, когда все или часть прогнозируемых переменных инструментальпы, т. е. значения этих переменных устанавливаются (в рамках каких-то ограничений) лицами, принимающими решения. Так, в рамках государственно-монополистического регулирования экономики инструментальной переменной может быть учетная ставка. Прогнозирование учетной ставки означает

прогноз решений, которые будут приняты оргайом, существенно влияющим на величину учетной ставки или имеющим право устанавливать ее величину (например, центральным банком). -

Эти решения не могут быть, конечно, произвольными, но изменчивость их часто весьма велика. В тех случаях, когда решения не носят рутинного характера, т. е. когда они не обязательно автоматически принимаются по установленным правилам, инструментальные переменные, описывающие эти решения, называют контролируемыми. Прогноз контролируемых переменных может оказаться рефлексивным. -

Задача прогнозирования в данном случае, а также во многих других случаях прогнозирования контролируемых переменных, особенно когда контролируемые переменные соответствуют возможным стратегиям конфликтующих сторон, становится неотличимой от задачи выбора наилучшей стратегии, причем стратегии смешанной в общем случае. Иногда, и это не так уж мало, можно определить гарантированные выигрыши (точнее, математические ожидания гарантированных выигрышей) и тем самым определить предпосылки для принятия согласованных решений. Эта ситуация характерна тем, что схема дедуктивного вывода прогноза (5.135) здесь не работает. Проблема еще больше усложняется, если неизвестны намерения и предпочтения лица, принимающего решения. Авторы монографии [37 ] относят эту ситуацию к сфере прогнозов с функциональной обратной связью и считают, что «мнение об абсолютной предсказуемости, в особенности в сфере прогнозов с функциональной обратной связью, ведет к логической бессмыслице» [37, с. 400].

Существует континуум ситуаций от прогноза контролируемых переменных до прогноза естественных процессов. Крайними точками этого континуума являются, с одной стороны, ситуации, аналогичные той, в которую попали Холмс и Мориарти, а с другой стороны, жестко детерминированные физико-химические, а также демографические и т. п. процессы. Например, в демографии можно довольно надежно предсказывать прирост населения на 10—15 лет вперед.

5.3Л. Основные методы прогнозирования

Теперь, когда внесена некоторая ясность в проверяемость прогнозов, рассмотрим методы их построения. В. В. На-

лимов относит эти вопросы ко второму ярусу методологических предпосылок прогнозирования. Он выделяет здесь три группы предпосылок, которые, по его мнению, не выполняются в экологических системах (и, следовательно, в социально-экономических, так как последние не менее сложны, чем экологические). 1. «Построение прогностических моделей в экологии с помощью дифференциальных уравнений выглядит как пародирование физики» [308, с. 38]; в физике в дифференциальные уравнения, описывающие поведение объектов, входят различные стабильные постоянные (скорость света, число Авогадро, гравитационная постоянная и т. п.). В биосфере, в экономике, в социологии констант нет.

Это действительно так. Но в ряде случаев социальноэкономические объекты обладают некоторой инерцией, позволяющей описывать их поведение. Например, период оборота основных производственных фондов составляет несколько лет (8—15 лет в некоторых отраслях); это позволяет использовать для прогнозирования динамики характеристик основных производственных фондов модели, аналогичные тем, которые используются в демографических прогнозах, [281], [391]. В более общем случае пусть переменные связаны зависимостью вида

ук^ = «МЖ

которая непрерывна вместе со своими производными. Разлагая эту зависимость в ряд Тейлора в окрестности точки t, получаем

y^t -1- т) = 1/(0 + (ср^)т + т2/2^Ф"л: + т2/2(ср'^) + ...,

(5.146)

где х = dx/dt, ср' — вектор, состоящий из компонент O^ldxf, Ф"— матрица, состоящая из элементов d^ldx^Xj.

В случае когда х^ = О получаем простейшую мидель временного ряда:

ykt + т) = у(0 + ут + 1/2^ + ...(5.147)

Для получения прогноза о значении величины у в момент времени t -И т пет необходимости выявлять систему констант (хотя это и желательно); достаточно знать текущие значения величин Ф", ср', скорости х^ ускорения х и т. д. в момент времени t.

Выше было сказано: «Пусть ф(ж) непрерывна вместе со своими производными». Конечно, социально-экономическая система не обязана выполнять это пожелание или требование, но и в физике константы не даются даром. В каждом конкретном случае это предположение следует подвергать сомнению и стараться проверить. Инерционность системы (которая здесь выступает как гладкость ф(х;, x(t) и их производных) резко падает, когда часть или все переменные ^^ являются контролируемыми. Но и в этом случае можно пытаться от условных прогнозов перейти к безусловным:

У = J(y = 6 k = a^dF^, где F(a) — функция распределения мешающего параметра а.

Такой прием широко используется в байесовом подходе к прогнозированию [175], [485]. Разумеется, речь здесь идет о логической интерпретации вероятностей.

Таким образом, существование констант хотя и желательно, но не необходимо для построения прогнозов, так же как и недостаточно: например, в квантовой механике константы есть, но прогнозируемость поведения квантомеханических систем ограниченна.

Текущие значения скоростей, ускорений, частных производных в (5.146), (5.147) в эконометрии оценивают по наблюдениям на основе различных методов регрессионного анализа; либо же непосредственно используют для прогноза некоторую регрессионную модель — чисто эмпирическую, например представление функции ф(д;) в виде полинома или построенную на основе экономической теории, например теории спроса или теории производственных функций и т. п. Методы регрессионного анализа в социально-экономическом прогнозировании используются довольно широко и постоянно совершенствуются [23], [124], [125], [190], [256], [270], [273], [421]. В. В. Налимов указывает на два принципиальных момента, на две группы предпосылок, выполнение которых делает возможным обоснованное использование регрессионных моделей. «Приступая к регрессионному анализу,— пишет он,— ученый ... произвольно разбивает модель на зависимые и независимые переменные. Поскольку те и другие — случайные величины, он нарушает и ту предпосылку, на которой базируется сам регрессионный анализ» [308, с. 41]. Это не совсем так: регрессионный анализ

охватывает более широкий круг вопросов, чем теория планирования эксперимента. Разделения переменных на зависимые и независимые в общем случае не требуется, хотя, конечно, модели со случайными ошибками в переменных дают результаты худшие, чем классические схемы регрессионного анализа.

Второе замечание В. В. Налимова по поводу допустимости регрессионного анализа в прогнозировании более существенно. Он пишет: «Необходимо, чтобы все независимые переменные, в том числе и скрытые или трудно измеряемые, были включены в модель. Иначе оценки коэффициентов регрессии (в неортогональном случае) будут смещенными (теорема Гаусса — Маркова становится неправомерной). При изучении экосистем это требование никогда не выполняется. Уравнение регрессии со смещенными оценками коэффициентов регрессии никакого смысла не имеет — это не более чем самообман, подкрепленный авторитетом математики» [308, с. 42].

Вопрос об авторитете математики и о выполнении или невыполнении условий математических теорем в реальном мире приобретает совершенно различный характер в зависимости от того, какой образ отношения математика — реальный мир имеется в виду (см. главу первую). Концепция изоморфизма между математикой и миром, будучи проводима последовательно, действительно, приводит к выводу, что условия теорем не выполняются или непрове- ряемы и т. д. и что эмпирическое знание резко отличается от теоретического. Но эта концепция ведет и к другим противоречиям и незачем ее принимать. Если же математика — это система правил вывода гипотез из наличного знания, то вопрос о выполнении или невыполнении условий теорем переносится в чисто практическую область. Условия теорем описывают идеальные объекты, соответствие идеальных и эмпирических объектов может быть более или менее хорошим, поэтому надо проверять выводы на устойчивость по отношению к посылкам (и соответствующие методы разрабатываются в математической статистике); поэтому даже почти любой сколь угодно хороший вывод может быть улучшен — и т. п. в общем-то известные вещи. Если прогнозы и теории, из которых они выведены, не 0—1-валентные утверждения, а вероятностные утверждения, то дилемма «либо необходимо учесть факторы, которые учесть невозможно — омшшотентные факторы — либо невозможен прогноз» исчезает.

В. К. Носов, отвечая В. В. Налимову по поводу омни-

потентности, которую он считает проявлением малой устойчивости систем, пишет: «Свойство омнипотентности некоторых экологических факторов служит препятствием не только для математического моделирования, но и вообще для любого исследования экосистемы» [323, с. 99]. Перейдем теперь к анализу альтернатив дедуктивной схеме прогноза (5.135). Получение прогнозов от «демонов» мы уже рассмотрели; остаются экспертные оценки и ясновидение.

Основной вывод В. В. Налимова из анализа предпосылок прогноза сводится к следующему: «... Нетривиальный прогноз — это прерогатива нашего бессознательного. Он не формализуем и заранее не верифицируем» [308, с. 47]. Эта концепция уходит корнями в далекое прошлое. Так, Платон полагал: «... То, что бог уделил пророческий дар человеческому умопомрачению, может быть бесспорно доказано: никто, находясь в своем уме, не бывает причастен боговдохновленному и истинному пророчеству, но лишь тогда, когда мыслительная способность связана сном, недугом либо каким бы то ни было приступом одержимости» [344, т. 3, ч. 1, с. 517]. В античные и в еще более архаичные времена в жизни общества большую роль играли различные методы гадания, прорицания, оракулы. Все это было нераздельно связано с архаичным мышлением, важной частью которого, как мы отмечали ранее, были архаичные концепции времени (но, конечно, не только они служили основанием для веры в нетривиальный прогноз). В частности, воспоминание о будущем могло, по общему мнению, осуществляться в бессознательном состоянии или, выражаясь более современным языком, нетривиальные прогнозы появляются в подсознании.

Платон настаивал на различение собственно прорицателей и толкователей прорицаний. Последние должны действовать осознанно и разумно. Здесь аналогия с некоторыми современными концепциями прогнозирования не просто напрашивается; она существует: прорицатели — эксперты, не сознающие, что от них в конце концов требуется, и толкователи — системные аналитики. Эта аналогия даже подчеркивается (в хороших шутках всегда есть второй, а то и третий план), что находит отражение в названиях некоторых экспертных процедур — например, метод Дельфи.

Но в целом толкователи — разработчики процедур экспертных оценок — не озабочены обоснованием своих методов. В описаниях процедур экспертизы редко можно

найти ответ на войросЫ, Почему можно доверять прогнозам, полученным по данной методике, как осуществляется слабая проверка и т. д. Редким исключением из этого правила является работа С. Д. Бешелева и Ф. Г. Гурвича [44]. Там читаем: «Экспертные оценки чаще всего используются к ситуациях, когда достоверность информации, необходимой для принятия решения, невелика. Они являются вероятностными, основанными на способности личности давать полезную информацию в условиях неопределенности. Неизвестная нам количественная характеристика исследуемого явления рассматривается в таких условиях, как случайная величина. отражением закона распределения которой является индивидуальная оценка специалиста — эксперта о достоверности или значимости того или иного события» [44, с. 67].

Выделенные С. Д. Бетелевым и Ф. Г. Гурвичем слова означают, видимо, что выполняется равенство

W - ЭД, (5.148) где Р^х) — функция распределения количественной характеристики х. Р^ — функция распределения оценки эксперта е величины х.

Если это равенство выполняется, то можно всерьез обсуждать различные методы экспертизы. Но выполнение этого равенства надо как-то обосновать. В частотной концепции вероятности для того, чтобы выяснить равны или нет две случайные величины, надо провести серию опытов и сравнить их результаты. При этом сравнивать следует не ответы различных экспертов (мало ли по каким причинам они дадут одинаковые или разные ответы), а ответы эксперта с результатами инструментальных измерений величины х. Мы уже рассматривали эту ситуацию в 4.2.3. Если инструментальными методами нельзя выяснить, каково- значение х. то все утверждения об этих значениях должны быть отвергнуты. Применительно к прогнозу это значит, что несколько раз должна быть осуществлена сильная проверка утверждения L^t. S^t + т)). По событие S е Л происходит или не происходит в момент времени t + т только один раз (здесь пригодилась бы архаичная концепция циклического времени, по — увы!), поэтому проверка выполнения (5.148) невозможна, и это утверждение должно быть отвергнуто как непроверяемое.

Однако частотная концепция вероятности Ф. Мизеса [290], [192], [266] сама уязвима. С. Д. Бешелев и

Ф. Г. Гурвич придерживаются субъективной концепций вероятности [192], [301]. Но и в этом случае ничего не получается. Ясно, к какому субъекту привязана функция распределения F^x) — это субъективные вероятности эксперта 8. Но чьи субъективные вероятности описывает F^xP В субъективной концепции вероятности «объективная» ^(.г) не имеет референта. Аналогично и в концепции логической вероятности не ясно, чьи знания о значении величины х описывает функция распределения Fn(^). Но из всего этого следует, что (5.148) не имеет никакого смысла и не может поэтому служить обоснованием экспертных методов прогноза.

Отметим некоторые стратегические аспекты экспертных прогнозов. В известном Дельфи-методе итерации прекращаются, когда мнения экспертов различаются мало. Допустим, что эксперты ничего не знают о событии (5 еЛ}, но хотят как можно быстрее выйти с честью из этого положения. Для того чтобы получить сходные оценки, им не надо даже сговариваться. Как показано в работе [79], достаточно случайного парного взаимодействия экспертов, чтобы они пришли к согласованному результату. Что может означать согласованный таким образом результат? Ничего.

Критика различных процедур экспертного прогнозирования ведется и внутри группы толкователей прорицаний. Так, например, В. М. Глушков предложил способ усовершенствования Дельфи-метода [127L В. М. Глушков широко использовал технику математической статистики, теории графов и т. п. для построения процедур экспертиз, но совершенно неверно интерпретировал получаемые результаты, так же как и другие сторонники экспертного прогнозирования. Например, имеются экспертные оценки срока наступления некоторого события t^ £ = 1 ~ п. Строится эмпирическая кривая распределения этих оценок Р — /(0, где /(£) = m^ln; m(t) — количество экспертов, оценки ^-, которых меньше t. В. М. Глушков полагал, что получена «экспериментальная кривая Р = = /(£) распределения вероятности того, что рассматриваемая цель будет достигнута за время от 0 до t» [127, с. 36— 37]. Это совершенно неверно. Кривую Р — f(t) в вероятностных терминах можно интерпретировать только так: /(£) равна вероятности того, что произвольно выбранный из группы п экспертов человек считает, что цель будет достигнута за время от 0 до t. Никакой информации о времени достижения цели кривая Р = /(^) не содержит;

она содержит информацию о распределении мнений экспертов (правильных или неправильных, обоснованных или нет — неизвестно).

В. М. Глушков указывал на следующие недостатки метода Дельфи: 1. «оценка срока достижения целей обычно делается экспертами на основании общих соображений, а не реального просмотра различных путей достижения цели. Работа такого рода, как правило, не под силу одному человеку» [127, с. 37]. Если имеется в виду, что оценки экспертов произвольны, а не являются результатом дедуктивного вывода из наличного знания, то это верно; но тогда усовершенствование метода Дельфи на этом и заканчивается: он неприемлем во всех версиях. Но В. М. Глушков, видимо, считал иначе. «Второй недостаток состоит в том, что попытка уточнить прогноз за счет увеличения числа экспертов наталкивается на противоречие с тем очевидным обстоятельством, что по любому конкретному вопросу число по настоящему квалифицированных экспертов достаточно ограниченно... Преодоление указанных недостатков возможно лишь по пути специализации экспертов и создания комплексной непрерывно действующей системы научно-технического прогнозирования — своеобразного „коллективного мозга44 страны...» [127, с. 37]. Чем же должен заниматься комплексный непрерывно действующий коллективный мозг страны? «Исходным пунктом для применения метода является некоторая система ранжированных научно-технических целей... Для каждой из целей ... привлекается группа экспертов. В их число должны входить лишь лучшие специалисты, способные... сами взяться за решение этой проблемы... Каждый из отобранных экспертов дает оценку времени t^ достижения цели St либо безусловную, либо условную... Условные оценки... приводят к следующей формуле для вычисления вероятностей достижения цели St к моменту времени V.

i

^г (О = ~ ^ rij^ijl ^ ^ij) ^ij2 (^ ^u) • • •

где I — число экспертов в группе; rtj — весовой коэффициент, характеризующий относительный вес оценки эксперта / по цели I...

^ = 2 т^ [127, с. 37-39]. (5.149) j=i

Как мы уже видели, функции Pi(t) характеризуют экспертов, а не время достижения цели. Но мцения экспертов иногда представляют интерес (если не/бчитать их прогнозами), например, для социологии нцуки; на их основе (но, конечно, не только на этом) можно попытаться описать поведение «лучшего специалиста» в различных условиях. Тем более что процедура отбора экспертов, предложенная В. М. Глушковым, затрагивает некоторые важные аспекты их поведения. Если эксперт / заявляет, что цель I будет достигнута за время 1151 то он должен быть способен сам взяться за решение этой проблемы. Здесь может появиться стратегический аспект экспертизы: эксперт считает цель быстро достижимой, но не хочет сам браться за решение проблемы и поэтому заявляет, что цель недостижима. Такого рода стратегические эффекты экспертизы являются доводами против использования экспертных оценок. Все это не значит, что мы не придаем никакого значения мнениям экспертов. Результаты экспертиз могут содержать полезные и интересные сведения об экспертах, например выявлять их фактические цели, группы специалистов с согласованными мнениями, склонность к риску и т. п.,— все это важно знать для эффективного управления наукой. Желательно поэтому не искажать мнения экспертов обработкой. Посмотрим, как определяются г^ в (5.149). «Далее эксперты ранжируются по сумме полученных или в оценках других экспертов мест...» [127, с. 40], т. е. числа, измеренные в порядковой шкале (сумма мест), складываются. Все дальнейшие численные результаты становятся неадекватными.

Сравнивая традиционные методы прогнозирования на основе моделей с методами прогнозирования на основе экспертных оценок, можно сделать следующие выводы. И те и другие методы не гарантируют 100-процентной надежности. Но в модельных методах прогнозы выводятся из наличного знания и можно делать осмысленные утверждения о большей или меньшей их обоснованности. Прогнозы же, получаемые экспертными методами, необоснованны (и в принципе не могут быть обоснованны, если не считать обоснованием ссылку на авторитет экспертов).

ЛИТЕРАТУРА

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд.

Маркс К., Энгельс Ф. Из ранних произведений. М.: Политиздат, 1956.

Ленин В. И. Поли. собр. соч.

Материалы XXVII съезда Коммунистической партии Советского Союза. М.: Политиздат, 1986.

Аганбегян А. Г. Управление социалистическими предприятиями. М.: Экономика, 1979.

Аганбегян А. Г., Багриновский К. А., Гранберг А- Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Мысль, 1972.

Агг А. Мир человека как субъекта производства. М.: Прогресс, 1984.

Айвазян С. А., Енюков И. С.^ Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

Аверинцев С. С. Порядок космоса и порядок истории в мировоззрении раннего Средневековья И Античность и Византия. М.: Наука, 1975.

Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах. М.: Сов. радио, 1974.

Александров А. Математика И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1964.

Ал1мов Ю. I. Про застосуваныя метод! в математично! статистики до обробовки експериментальных данних И АиТ, 1974. № 2.

Алексеев М. А., Залкинд М. С.. Кушнарев В. М. Решение человеком задачи выбора при вероятностном подкреплении двигательных реакций И Биологические аспекты кибернетики. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ 1963.

Аллен Р. Экономические индексы. М.: Статистика, 1980.

Альтер Л. Б. Критика современной буржуазной политической экономии. М.: Наука, 1972.

Андриенко В. Е. Статистические индексы в экономических исследованиях. Киев: Наук, думка, 1983.

Аникин А. В. Юность науки: Жизнь и идеи мыслителей-экономистов до Маркса. М.: Политиздат, 1979.

А нохин П. К. Опережающее отражение действительности // Вопр. философии. 1962. № 7.

Антанавичюс К. А. Многоуровневое стохастическое моделирование отраслевых плановых решении. Вильнюс: Мокслас, 1977.

Антология мировой философии. М.: Мысль, 1969—1972. Т. 1—4.

Антюфриева 3. А. Производительность труда как показатель оценки деятельности И Показатели оценки деятельности промышленных предприятий. Минск: Наука и техника, 1977.

Анчишкин А. И. Прогнозирование роста социалистической экономики. М.: Экономика, 1973.

А рис то тель. Соч. М.: Мысль, 1975—1978. Т. 1—4.

Асмус В. Ф. Маркс и буржуазный историзм. М.; Л.: Госиздат, 1933.

Асмус В. Ф. Историко-философские этюды. М.: Мысль, 1984.

Аттестация рабочих мест И Эконом, газ. 1984. № 20. Май.

Афанасьев В. Г. Моделирование как метод исследования социальных систем И Системные исследования: Методол. проблемы. М.: Наука, 1982.

Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

Баженов Л. Б. Теория и опыт в научном познании И Теоретическое и эмпирическое в современном научном познании. М.: Наука, 1984.

Байер А., Вальтер Э. Экономический анализ на социалистическом предприятии. М.: Экономика, 1979.

Баханов М. И., Камаев А. Н., Шеремет А. Д. Экономический анализ: Теория, история, современное состояние, перспективы. М.: Финансы, 1976.

Барабаш Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

Баранов Э. Проблемы разработки схемы экономической модели межотраслевого баланса И Экономика и мат. методы. 1968. № 1.

Бард И. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979.

Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. М.: Прогресс, 1965.

Бауэр А., Эйхгорн В., К ребер Г., Шульце Г.^ Сегет В., Вюст- нек К.-Д. Философия и прогностика. М.: Прогресс, 1971.

Бахарева Н. В. Значение количественных характеристик в исследовании управленческих коллективов И Человек и общество. М.: ЛГУ, 1972. Вып. 10.

Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях И Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976.

Бентам И. Избр. соч. СПб: Изд-во Русской книжной торговли, 1867. Т. 1.

Беркли Дж. Три разговора между Гиласом и Филонусом. М.: Соцэкгиз, 1937.

Берталанфи Л. фон. Общая теория систем: Крит, обзор И Исследования по общей теории систем. М.: Прогресс, 1969.

Берталанфи Л. Общая теория систем — обзор проблем и результатов И Системные исследования. М.: Наука, 1969.

Бешелев С. Г., Гурвич Ф. Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973.

Бешелев С. Д., Гурвич Ф. Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980.

Библер В. С. Галилей и логика нового времени // Механика и цивилизация. XVII—XIX вв. М.: Наука, 1979.

Бинкин Б. А., Черняк. В. И. Эффективность управления: наука и практика. М.: Наука, 1982.

Бирюку Б. В. Крушение метафизической концепции универ- сальностк предметной области в логике. М.: Высш, шк., 1963.

Бирюков Х-В. Кибернетика и методология науки. М.: Наука, 1974.

Блехман И\ И., Мышкис А. Д^ Пановко Я. Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев: Наук, думка, 1976.

Блюмин И. Г. Критика буржуазной политической экономии. М.: Изд-во АН СССР, 1962. Т. 1-3.

Борисов Ю. Ф. Механический детерминизм и структура числовой прямой П Методологические проблемы математики. Новосибирск: Наука, 1979.

Боярский А. Я. Стоимость и себестоимость И Вопросы экономики, планирования и статистики: К 80-летию академика С. Г. Струмилина. М.: Наука, 1967.

Боярский А. Я. Математика для экономистов. М.: Госстатиз- дат, 1961.

Боярский А. Я. Экономика и мера точности И Статистика и электронно-вычислительная техника в экономике. М.: Статистика, 1968.

Браверман Э. М., Левин М. И. Неравновесные модели экономических систем. М.: Наука, 1981.

Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика, 1971.

Бриджмен П. В. Анализ размерностей. М.; Л.: Гостехпздат, 1934.

Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Физматгиз, 1960.

Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М.: Мир, 1966.

Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности. М.: Мир, 1972.

Бруяцкий Е. В., Смирнов Л. П. Математические методы в задачах управления наукой. Киев: Наук, думка, 1973.

Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения. М.: Наука, 1979.

Бунге М. Причинность: (Место принципа причинности в современной науке). М.: ИЛ, 1962.

Бунге М. Философия физики. М.: Прогресс, 1975.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1963.

Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

Бурков В. Учет субъективного фактора при анализе экономических систем И Роль объективного и субъективного в управлении производством. М.: Экономика, 1972.

Бурков В. Н. Основы математической теории активных систем. М.: Наука, 1977.

Быховский Б. Э. Оиерационалпзм Бриджмена И Вопр. философии. 1958. № 2.

Бэкон Р. Большое сочинение И Антология мировой философии. М.: Мысль, 1969. Т. 1, ч. 2.

Бэкон Ф. Соч. М.: Мысль, 1972. Т. 1—2.

Бэм-Баверк Е. Основы теории ценности хозяйственных благ. СПб.: Изд-во О. Н. Поповой, 1903.

Чк. Бэм-Баверк Е. Капитал и прибыль: История и т^итика теории процента на капитал. СПб., 1909.

Вальков К. И. Геометрические аспекты принципа инвариантной неопределенности. Л., 1975./

Вальтух Л. Л. Удовлетворение потребностей/общества и моделирование народного хозяйства. М.: Hawa, 1973.

Василенко В. А. Ценность и оценка. Киев: Наук, думка, 1964.

Василяускас Л. Л. О количественной оценке свойств экономической информации И Экономика и мат./методы. 1985. № 1.

Варшавский В. И., Поспелов Д. А. Оркестр играет без дирижера. М.: Наука, 1984.

Вейль Г. О. О философии математики. М.; Л.: Гостехиздат, 1934.

Венцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969.

Венцель Е. С. Выступление в дискуссии И Исследование операций: Методол. аспекты. М.: Наука, 1972.

Венцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.

Вилкас Э. Теория полезности и принятие решений И Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1971.

Вилкас Э. Теория полезности И Теория вероятностей: Математическая статистика: Теоретическая кибернетика. М., 1977. Т. 14.

Вилкас Э. И., Майминас Е. 3. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981.

Винберг Г. Г. Многообразие и единство жизненных явлений и количественные методы в биологии И Журн. общ. биологии. 1981. № 1.

Виндельбанд В. История философии. СПб., 1894.

Виндельбанд В. История и естествознание: Прелюдии: Философские статьи и речи. СПб., 1904.

Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. М.: Сов. радио, 1968.

Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. М.: Финансы и статистика, 1981.

Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: ИЛ, 1958.

Вишнев С. М. Экономические параметры. М.: Наука, 1968.

Войшвилло Е. К. Понятие. М.: Наука, 1967.

Войшвилло Е. Понятие И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1967. Т. 4.

Волконский В. А. Об объективной математической характеристике народного потребления И Экономико-математические методы. М.: Изд-во АН СССР, 1963. Вып. 1.

Волконский В. А. Проблемы совершенствования хозяйственного механизма. М.: Наука, 1983.

Воробьев Н. Н. Некоторые методологические проблемы теории игр. И Вопр. философии. 1966. № 1.

Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний И Методологические проблемы кибернетики. М.: 1970. Т. 1.

Воробьев Н. И. Развитие науки и теория игр: Доклад и выступления в дискуссии И Исследования операций: Методол. аспекты. М.: Наука, 1971.

Воспоминания о Марксе и Энгельсе. М.: Госполитиздат, 1956.

Время и современная физика. М.: Мир, 1970.

Вунд^ В. Числа и их символы И Новые идей в Математике. Сб. № 4. Учение о числе. СПб: Образование, 1913.

Выготский Л. С. Развитие высших психических функций. М.: Медгиз, 1960.

Газали. Избавляющий от заблуждения И Антология мировой философий. М.: Мысль, 1969. Т. 1, ч. 2.

Галилей Г.'Избр. труды. М.: Мысль, 1964. Т. 1,2.

Гальперин П. Я. Умственные действия как основа формирования мысли и образа.— Воир. психологии. 1957. № 6.

Гальперин II. Я. Введение в психологию. М.: Мысль, 1976.

НО. Гастев Ю. Тождества проблемы И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия. М.: 1970. Т. 5.

Гвишиани Д. М. Организация и управление. М.: Наука, 1972.

Гейтинг А. Интуиционизм: Введение. М.: Мир, 1965.

Гейзенберг В. Философские проблемы атомной физики. М.: Гостехиздат 1953.

Гейзенберг В. Физика и философия. М.: Госатомиздат, 1963.

Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: ИЛ, 1959.

Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.

Гельмгольц Г. Счет и измерение. Казань, 1893.

Гермейер IO. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

Герчук Я. П. Границы применения линейного программирования. М.: Экономика, 1965.

Гете И.-В. Избр. соч. по естествознанию. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1957.

Гете И.-В. Избр. филос. пропзв. М.: Мысль, 1964.

Гибсон В. Факторный, латентно-структурный и латентно-профильный анализ И Математические методы в социальных науках. М.: Прогресс, 1973.

Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: • ИЛ, 1947.

Гладышевский А. И. Методы и модели отраслевого экономического прогнозирования. М.: Экономика, 1977.

Гликман II. Эконометрический анализ региональных систем. М.: Прогресс. 1980.

Глушков В. М. О прогнозировании на основе метода экспертных оценок // Кибернетика. 1969. № 2.

Глушков В. М. Макроэкономические модели и принципы построения О ГАС. М.: Статистика, 1975.

Гнеденко Б. В. Теория вероятностей и познание реального мира // Успехи мат. наук. 1950. 5. Вып. 1.

Голицын Г. А., Петров В. М. О влиянии социально-личностных факторов на зрительные иллюзии // Психол. жури. 1981. Т. 3. № 4.

Голубков Е. П. Использование системного анализа в отраслевом планировании. М.: Экономика, 1977.

Гомберг Я. Квалифицированный труд и методы его измерения. М.: Экономика, 1972.

Гомер. Одиссея. М.: Худ. лит-ра, 1959.

Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

Горский Д. П. О видах определений и их значении в науке И

37737725 р. л. Раяцкас, М. К. Плакунов

377

377

//Проблемы логики научного познания. М.: Изд-во АН СССР, 1964.

Горский Д. П., Петров Ю. А. Об определениях формальной и диалектической логики и их взаимосвязи И Философ, науки. 1967. № 4.

Горский Д., Частев Ю. Определение И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1967. Т. 4.

Горский Д. Обобщение и познание. М.: Мысль, 1985.

Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики. М.: Экономика, 1978.

Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

Грененджер К.^ Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972.

Гренъ Е. Статистические игры и их применение. М.: Статистика, 1975.

Григорьян В. Т. Неокантианство: Крит, очерки. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М.: Прогресс, 1969.

Грязнов Б. С. О номиналистическом истолковании проблем существования и абстракций в современной математике И // Методологические проблемы современной науки. М.: 1964.

Гурьев В. А. Классификация отраслей народного хозяйства СССР. М.: Экономика, 1971.

Гюйбо Д. Т. Теории общего интереса и логическая проблема агрегирования И Математические методы в социальных науках. М.: Прогресс, 1973.

Гэлбрейт Д. К. Экономические теории и цели общества. М.: Прогресс, 1976.

Дадаян В. С. Экономические законы социализма и оптимальные решения. М.: Мысль, 1970.

Данилов-Данильян В. И. Методологические аспекты социально-экономического оптимума // Экономика и мат. методы. 1980. № 1.

Данилов-Данильян В. И., Рывкин А. А. Моделирование: системно-методологический аспект И Системные исследования: Методол. проблемы. М.: Наука, 1982.

Дарвин Ч. Происхождение видов путем естественного отбора // Дарвин Ч. Соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1939. Т. 3.

Декарт Р. Избр. произв. М.: Госполитиздат, 1950.

Декельм ан Л. Б. Совершенствование отраслевого управления: эффективно ли оно планируется И Экономика и орг. пром, пр-ва. 1984. № 3.

Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.

Деннис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. М.: ИЛ, 1961.

Дербишир А. Д. Некоторые таблицы, иллюстрирующие статистическую корреляцию Н Применение методов корреляции в экономических исследованиях. М.: Наука, 1969.

Джевоне У. Основы науки. СПб., 1881.

Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. М.: Прогресс, 1967.

Джемс У. Прагматизм. СПб., 1910.

Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. Вып. 1.

Джордж Ф. Основы кибернетики. М.: Радио и связь, 1984.

Дискуссия об оптимальном планировании. М.: Экономика, 1968.

Добров Г. М. Типология прогнозов и анализ метода Дельфи И И Анализ тенденций и прогнозирование научно-технического прогресса. Киев: Наук, думка, 1974.

Дрейфус X. Чего не могут вычислительные машины. М.: Прогресс, 1978.

Дробницкий О. Г. Мир оживших предметов: Проблема ценности и марксистская философия. М.: Политиздат, 1967.

Дэвид Г. Метод парных сравнений. М.: Статистика, 1978.

Елисеева И. И., Рукавишников В. О. Логика прикладного статистического анализа. М.: Финансы и статистика, 1982.

Еремин А. Соотношение объективного и субъективного и проблема «автоматизма» в управлении социалистической экономикой И Роль объективного и субъективного в управлении производством. М.: Экономика, 1972.

Ершов Ю. Л. Некоторые вопросы применения формализован’ ных языков для исследования философских проблем И Методологические проблемы математики. Новосибирск: Наука, 1979.

Журавлев Г. Е. Системные проблемы развития математической психологии. М.: Наука, 1983.

Заде Л. Понятие состояния в теории систем И Общая теория систем. М.: Мир, 1966.

Заде Л. А* Основы нового подхода к анализу сложных систем и процедуры принятия решений И Математика сегодня. М.: Знание, 1974.

Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

Зайцев В. А. Избр. соч. М., 1934. Т. 1.

Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии М.: Статистика, 1980.

Зубов В. И. Лекции по теории управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. Вып. 1.

Иванилов Ю. И., Лотов А. В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

Ивин А. А. Основания логики оценок. М.: Наука, 1970.

Илларионов С* В., Мамчур Е. А. Эмпирическая проверяемость гипотез и критерии модификации И Теоретическое и эмпирическое в современном научном познании. М.: Наука, 1984.

Ильенков Э. В. Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» Маркса. М.: Госполитиздат, 1960.

Ильенков Э. Идеальное И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1962. Т. 2.

Ильенков Э. Субстанция И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1970. Т. 5.

Ильенков Э., Горский Д.^ Спиркин А*, Шенкман Б. Абстракция И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1960. Т. 1..

Инельдер Б., Пиаже Ж. Генезис элементарных логических структур. М.: ИЛ, 1963.

Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1972.

Иоффе М. К вопросу о редукции сложного труда к простому в

промышленности СССР И Методологические вопросы промышленной статистики. М.: Статистика, 1967./

Иорданский В. Б. Хаос и гармония. М.: Наука/1982.

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. Т. 3: Математика XVIII столетия.

Йохансен Л. Очерки макроэкономического планирования. М.: Прогресс, 1982. Т. 1, 2.'

Кади Дж. Количественные методы в экономике. М.: Прогресс, 1977.

Казарян В. П. Понятие времени в структуре научного знания. М.: Изд-во МГУ, 1980.

Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М.: Прогресс, 1978.

Канаев Н. И. Гете как естествоиспытатель. Л.: Наука, 1970.

Кант И. Соч. М.: Мысль, 1963-1966. Т. 1-6.

Канторович Л. В., Катышев П. К., Кирута А. Я., Полтеро- вич В. М. О некоторых направлениях исследований в математической экономике И Современные проблемы математики. М.: 1982. Т. 19.

Кара-Мурза С. О формализации оценки деятельности исследователя И Вести. АН СССР, 1975, № И.

Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

Карнап Р. Значение и необходимость: Исследования по семантике и модальной логике. М.: ИЛ, 1959.

Карнап Р. Философские основания физики: Введение в философию пауки. М.: Прогресс, 1971.

Кассель Г. Основные цели теоретической экономики. М.; Л.: 1929.

Кассирер. Познание и действительность. СПб., 1912.

Касти Дж. Большие системы: Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

Карпенко Б. И. Развитие идей и категорий математической статистики. М.: Наука, 1979.

Каутский К. Античный мир, иудейство и христианство. СПб.: Шиповник, 1909.

Кац М., У гам С. Математика и логика: Ретроспектива и перспектива. М.: Мир, 1971.

Кедров Б. М. О количественных и качественных изменениях в природе. М.: Изд-во АН СССР, 1946.

Кеплер И. И Математика в современном мире. М.: Мысль, 1967.

Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. М.: Сов. радио, 1972.

Кетле А. Человек и развитие его способностей, или Опыт общественной физики. СПб.: 1865. Т. 1.

Кини Р. Функции полезности многомерных альтернатив И // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976.

Кириллов С. Р. Учет потребительской стоимости продукции как фактор повышения эффективности общественного производства. М.: Наука, 1969.

Кирута А. Я., Рубинов А. М., Яновская Е. Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах: (Вероятностный подход). Л.: Наука, 1980.

Киссслъ Е. И. Организация труда и управления в НИИ и КБ в условиях ИТР. М.: Экономика, 1979.

Клайн ХМ. Математика: Утрата определенности. М.: Мир, 1984.

Кларк Дж. Б. Распределение богатства. М.; Л.: ОГИЗ; Соцэкгиз, 1934.•

Клейн Ф., Гефлер А. Пограничные вопросы математики и философии И Сб. 8: Новые идеи в математике. СПб.: Образование, 1914.

Клиланд Д., Кинг В. Системный анализ и целевое управление. М.: Сов. радио, 1974.

Кобринский Н. Е., Кузьмин В. И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981.

Козелецкий Ю. Психологическая теория решений. М.: Прогресс, 1979.

Козлова М. С. Философия и язык. М.: Мысль, 1972.

Колосницын И. В., Макарчук И. И. О построении целевой функции потребления И Экономика и мат. методы, 1982, № 4.

Конституция СССР. М.: Политиздат, 1977.

Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Кравченко А., Лазарев В., Войшвилло Е. Понятие И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1967. Т. 4.

Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983.

Кронрод Я. А. Экономический оптимум и некоторые вопросы методологии оптимизации народнохозяйственных планов П //Вопр. экономики. 1968, № 1.

Кронрод Я. А. Об экономическом оптимуме в свете методологических принципов политэкономии социализма И План, хоз- во. 1975. № 10.

Кубилюс И. П. Вероятностные методы в теории чисел. Вильнюс, 1962.

Кудряшова Л. Д. Системно-психологическая оценка кадров руководителей и управленческих систем. Кишинев: Штиница, 1983.

Кузнецов И. В. В чем прав и в чем ошибается В. Гейзенберг И //Вопр. философии, 1958, № 1.

Кульбовская И. К. Прогнозирование и измерение научно-технического прогресса. М.: Наука, 1976.

Кун Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1977.

Курно О. Основы теории шансов и вероятностей. М.: Наука, 1970.

Куровский К. И. Вопросы редукции труда И Изв. АН СССР. Сер. эконом., 1973, № 1."

Кэмпбелл Д. Слепые вариации и селективный отбор как главная стратегия процессов познания И Самоорганизующиеся системы. М.: Мир, 1964.

Кэмпбелл Д. Модели экспериментов в социальной психологии и прикладных исследованиях. М.: Прогресс, 1980.

Ладенко И. С. Логические методы построения математических моделей: Опыт формализации в системном анализе воспроизводства трудовых ресурсов. Новосибирск: Паука, 1980.

Лазарев Ф., Новоселов М. Операционализм И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1967. Т. 4.

Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Сбв. радио, 1973.7

Лаплас П. Опыт философии теории вероятностен. М.: 1908ч

Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979.

Ларичев О. И. Принятие решений как научное направление: методологические проблемы И Системные исследования: Ме- тодол. проблемы. М.: Наука, 1982.

Ледников Е. Е. Критический анализ номиналистических и платонистских тенденций в современной логике. Киев: Наук, думка, 1973.

Лейбниц Г. Соч. М.: Мысль, 1982. Т. 1—3.

Леонов Ю. П. Теория статистических решений и психофизика. М.: Наука, 1977.

Леонтьев Л. Н. Потребности, мотивы и эмоции. М.: Наука, 1971.

Леонтьев В. В. Исследование структуры американской экономики. М.: Госстатиздат, 1958.

Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты И США: Экономика, политика, идеология. 1972. № 9.

Леонтьев Л. Л. Проблема равенства в «Капитале» Маркса. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. М.: Гостех- издат, 1962.

Линкин М. И. Анализ предпосылок и выводов теории корреляции И Применение методов корреляции в экономических исследованиях. М.: Наука, 1969.

Липовицкий С. С. Вариационный анализ распределения прироста по факторам И Экономика и мат. методы. 1983. № 1.

Лисичкин В. А. Теория и практика прогностики. М.: Наука, 1972.

Лисичкин В. Л., Голынкер Е* И. Принятие решений на основе прогнозирования в АСУ. М.: Финансы и статистика, 1981.

Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1978.

Логические исследования. М.: АН СССР, 1959.

Локк Д. Избр. филос. произв. М.: Соцэкгиз, 1960. Т. 1, 2.

Лорд Ф. М. Отношение между тестовым баллом и исследуемой способностью И Математические методы в социальных науках. М.: Прогресс, 1973.

Лурье Л. Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М.: Наука, 1973.

Льюс Р., Галантер Е. Психофизические шкалы И Психологические измерения. М.: Мир, 1967.

Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961.

Любинская Л. Н. Категория времени и системный анализ. М.: Наука, 1966.

Майер В. Ф., Суворов В. В. Некоторые аспекты применения рационального потребительского бюджета И Экономика и мат. методы 1980, № 3.

Майминас Е. 3. Процессы планирования в экономике: информационный аспект. М.: Экономика, 1971.

Майминас Е. 3. К истории и перспективам развития экономико-математических исследований в СССР И Проблемы планирования и прогнозирования. М.: Наука, 1974.

Майстров А. Е. Теорйя вероятностей: Истор. очерк. М.: Наука, 1967.

Макаров В. Л. Экономическое равновесие: существование и экстремальное свойство // Современные проблемы математики. М.: 1982. Т. 19.

Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

Макаров И. М.^ Виноградская Т. М., Рубчинский A. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982.

Макроэкономические модели планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1970.

Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1949.

Малафеев А. Н. Прошлое и настоящее теории товарного производства при социализме. М.: Политиздат, 1975.

Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1, 2. М.: Статистика, 1975.

Маликов М. Основы метрологии: Учение об измерениях. М.: Гостехиздат, 1949. Ч. 1.

Мариничев Э. А. Математика — язык науки. Л.: Знание, 1969.

Марк Д. Е. Концепция и измерители производительности И Ц Вопросы измерения эффективности производства: (Экономика промышленности за рубежом). М.: Экономика, 1979.

Марков А. А. Избр. произв. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

Маршалл А. Принципы политической экономии. М.: Прогресс, 1983. Т. 1-3.

Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш, шк., 1963.

Математическая школа И Большая советская энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1974. Т. 15.

Математические методы анализа экономики. М.: Изд-во МГУ, 1983.

Машинский А. К вопросу редукции труда.— Экономика и мат. методы. 1967. № 3.

Медведев В. А. Управление социалистическим производством: проблемы теории и практики. М.: Политиздат, 1983.

Меркулов И. П. Метод гипотез в истории научного познания. М.: Наука, 1984.

Месарович М. Основания общей теории^ систем И Общая теория систем. М.: Мир, 1966.

Месарович М.^ Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. М.: Мир, 1978.

Методика экономического анализа деятельности производственного объединения. М.: Финансы, 1978.

Методические рекомендации по разработке и использованию норм рационального потребления важнейших изделий легкой промышленности и нормативов обеспеченности населения предметами культурно-бытового назначения и хозяйственного обихода. М.: ВНИИКС, 1973.

Методические указания к разработке государственных планов экономического и социального развития. М., 1980.

Мизес Р. фон. Вероятность и статистика. М.; Л.: ОПТИ, 1930.

Мигдал А. Б. Поиски истины. М.: Мол. гвардия, 1983.

Милль Д. С. Система Логйкй Силлогической и индуктивной. М.: 1914.

Миллъ Д. С. Утилитаризм. СПб., 1869.

Милл^ Дж. С. Основы политической экономии. М.: Прогресс, 1980. Т. 1, 2.

Миркин Б. Г. Анализ качественных признаков и структур. М.: Статистика, 1980.

Мисюнас А., Раяцкас Р. Анализ и прогноз непроизводственного потребления. Вильнюс: Минтис, 1984.

Мовшович С. М. Аксиома выявленного предпочтения и процессы установления равновесия.— Экономика и мат. методы. 1985. № 2.

Моделирование народнохозяйственных процессов. М.: Экономика, 1973.

Моисеев Н. Н. Кибернетическое описание экологоэкономических систем И Кибернетика, 1977, № 3.

Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. М.: Статистика, 1968.

Моррис У. Наука об управлении: Байесовский подход. М.: Мир, 1971.

Мостеллер Ф., Тъюки Дж. Анализ данных и регрессия. М.: Финансы и статистика, 1982. Т. 1, 2.

Мостепаненко М. В. О соотношении формализма и содержа- тельности'в методах логики, математики и конкретных науках // // Современная физика и проблемы марксистско-ленинской теории познания. М.: 1972.

Му луд Н. Современный структурализм: Размышления о методе и философии точных наук. М.: Прогресс, 1973.

Му луд Н. Анализ и смысл. М.: Прогресс, 1979.

Мур Дж. Принципы этики. М.: Прогресс, 1984.

Найтингейл М. Е. Формальное определение ценности признаков И Статистическое измерение качественных характеристик. М.: Статистика, 1972.

Налимов В. В. Анализ оснований экологического прогноза: Паттерн-анализ как ослабленный вариант энологического прогноза // Человек и биосфера: Экологический прогноз. М.: Изд-во МГУ, 1983. Вып. 8.

Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1981.

Нарский И. С. Современный позитивизм. М.: Госполнтиздат, 1961.

Нарский И. С. Проблема значения «значения» в теории познания И Проблема знака и значения. М.: Мысль, 1969.

Народнохозяйственные модели: Теоретические вопросы потребления. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Пейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

Некрасов П. А. Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой деятельности. М., 1902.

Некрасов П. А. Теория вероятностей. СПб., 1912.

Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. М.: Мысль, 1965.

Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

Никитин Е. П. Природа обоснования: Субстрактный анализ. М.: Наука, 1981.

Никифоров А. Л. От формальной логики к истории науки: Критический анализ буржуазной методологии науки. М.: Наука, 1983.

Новожилов В. В. О применении математики при оптимальном планировании народного хозяйства И Общие вопросы применений математики в экономике и планировании. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

Новоселов М. Тождество И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1970. Т. 5.

Новоселов М., Лазарев Ф. Сравнение И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1970. Т. 5.

Носов В. К. Что мы ждем от метода математического моделирования и изучения проблем Каспийского моря И Человек и биосфера: Экологический прогноз. М.: Изд-во МГУ, 1983. Вып. 8.

Нэш Дж. Бескоалиционные игры И Матричные игры. М.: Физматгиз, 1961.

Обуховский К. Психология влечений человека. М.: Прогресс, 1971.

Овчинников В. Ф. Принципы сохранения. М.: Наука, 1966.

Огурцов А. Практика И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1967. Т. 4.

Оптнер С. Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем. М.: Сов. радио, 1969.

Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.: Наука, 1979.

Оствальд В. Очерк натур-философии. СПб.: Образование, 1909.

О теории вероятностей и математической статистике: (Переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова). М.: Наука, 1977.

Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

Охрана окружающей среды*. Модели управления чистотой природной среды. М.: Экономика, 1977.

Павиленис Р. И. Проблема смысла. М.: Мысль, 1983.

Павлов М. Г. О неуместности математики в физике И Русский инвалид: Литературное прибавление. 1837. № 16.

Павлюченко В. И. Экономические проблемы управления научно-техническим прогрессом. М.: Наука, 1973.

Пазенти. Очерки политической экономии капитализма. М.: Прогресс, 1976. Т. 2.

Перельман Я. И. Обманы зрения, 1924.

Петров В. В. Эмпирическое содержание теории и открытые теоретические понятия И Методол. проблемы математики. Новосибирск: Наука, 1979.

Петраков Н* Я. Об отражении плановых материально-вещественных пропорций в системе цен И Экономика и мат. методы. 1983, № 2.

Печенкин А. А. Математическое обоснование в развитии физики. М.: Наука, 1984.

Пиаже Ж. Избранные психологические труды: Психология интеллекта: Генезис числа у ребенка: Логика и психология. М.: Прогресс, 1969.

Пирогов Г. Г., Федоровский Ю. П. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. М.: Статистика, 1979.

Платон. Соч. М.: Мысль, 1968 — 1972. Т. 1—3.

Плакунов М. К., Раяцкас Р. Л. Производственные функции в экономическом анализе. Вильнюс: Минтис, 1984.

Подиновский В. В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений: Порядковые или ординальные коэффициенты важности // АиТ. 1978. №10.

Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.

Полтерович В. М. Об устойчивости некоторых процессов распределения фондов и регулирования цен//Математическая экономика и функциональный анализ. М.: Наука, 1974.

Полтерович В. М. Рационирование ресурсов и вторичное равновесие // Экономика и мат. методы. 1982. № 4.

Полтерович В. М., Спивак В. А. Бюджетный парадокс в модели экономического равновесия И Экономика и мат. методы. 1979. № 1.

Попа К. Теория определения. М.: Мысль, 1976.

Попов В. А. Экономико-математические методы и модели в плановом ценообразовании. М.: Экономика, 1982.

Поппер К. Логика и рост научных знаний. М.: Прогресс, 1983.

Поспелов Г. С. Системно-программное планирование. М.: Сов. радио, 1974.

Потапов В. В. Модификации теории «полезности». М.: Мысль, 1984.

Применение логики в пауке и технике. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

Принсгейм А. Ценность и мнимая не-ценность математики И Uto. № 1: Новые идеи в математике. СПб.: Образование. 1913.

Проблема ценности в философии. М.; Л.: Наука, 1966.

Проблемы и методы психофизики. М.: Изд-во МГУ. 1975.

Процессы регулирования в моделях экономических систем. М.: ИЛ, 1961.

Психологические механизмы целеобразования. М.: Наука, 1977.

Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

Пуарье Д. Эконометрия структурных изменений. М.: Финансы и статистика, 1981.

Пугачев В. Ф. Оптимизация планирования. М.: Экономика, 1968.

Пустыльник Е. И. Статистические модели анализа и обработки наблюдений. М.: Наука, 1968.

Пфанцангль И. Теория измерений. М.: Мир, 1976.

Пэнтл Р. Методы системного анализа окружающей среды. М.: Мир, 1979.

Разумихин Б. С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике. М.: Наука, 1975.

Разумовский О. С. От конкурирования к альтернативам: Экстремальные принципы и проблема единства научного знания. Новосибирск: Наука, 1983.

Райбман И. С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970.

Райфа Г. Анализ решений. М.: Наука, 1977.

Райфа Г., Шлейфер Р. Прикладная теория статистических решений. М.: Статистика, 1977.

Райхман Э. П., Азгалъдов Г. Г. Экспертные методы в оценке качества товаров. М.: Экономика, 1974.

Райхесберг Н. М. Адольф Кетле, его жизнь и научная деятельность. СПб., 1894.

Рассел Б. Новейшие работы о началах математики И Сб. 1: Новые идеи в математике. СПб.: Образование, 1917.

Рассел Б. История западной философии. М.: ИЛ, 1959.

Раяцкас Р., Бальсас О. Анализ экономического роста и оценка долгосрочных прогнозов. Вильнюс: Минтис, 1979.

Раяцкас Р. Л., Суткайтис В. П. Окружающая среда и проблемы планирования. М.: Наука, 1981.

Рвачев Л. А. Математика и семантика: Номинализм как интерпретация математики. Киев: Наук, думка, 1966.

Резников А. П. Обработка накопленной информации в затрудненных условиях. М.: Наука, 1976.

Рейхенбах Г. Р. Направление времени. М.: ИЛ, 1962.

Риккерт Г. Границы естественно-научного образования понятий. СПб., 1903.

Риккерт Г. Науки о природе и науки о культуре. СПб., 1911.

Рихтаржик К. Социология на путях познания. М.: Прогресс, 1981.

Рубинов А. М. Экономическая динамика И Современные проблемы математики. М.: 1982. Т. 19.

Рьюз М. Философия биологии. М.: Прогресс, 1977.

Рябушкин Т, В. Проблемы экономической статистики. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. М.: Сов. радио, 1977.

Савченко А. Т., Яремчук А. Г. Цены и ценообразование в СССР. Киев: Высш, шк., 1978.

Садовский В. Н. Основания общей теории систем. М.: Наука, 1974.

Садохин Ю., Седелов Б. Вероятностная модель воспроизводства физического объема основных фондов.— Экономика и мат. методы, 1969, № 1.

Сатуновский Л. По поводу производственной функции Кобба — Дугласа И План, хоз-во, 1976, № 1.

Свинцицкий В. Н. Биокибернетический подход к проблеме органической целесообразности И Взаимодействие методов естественных наук в познании жизни. М.: Наука, 1976.

Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1967.

Селигмен Б. Основные течения современной экономической мысли. М.: Прогресс, 1968.

Скиба М. Ф., Фигурновская В. М. Индивиды и абстрактные объекты И Методологические проблемы математики. Новосибирск: Наука, 1977.

Слуцкий Е. Е. Избр. труды: Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребления И Народнохозяйственные модели: Теорет. вопросы потребления. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Смирницкий Е. К. Экономические показатели промышленности. М.: Экономика, 1974.

Смирнов А. Д. Некоторые проблемы совершенствования централизованного управления экономикой И Экономика и мат.

■ методы. 1985. № 1.

Смит, А. Исследование о природе и причинах богатства народов. М.: Соцэкгиз, 1962.

Совершенствование хозяйственного механизма: Сб. док. М.: Правда, 1982.

Соколовский Л. В. Модели оптимального функционирования предприятия. М.: Наука, 1980.

Соколцаи Д., Лошонци С., Мусели Д. Использование классических моделей анализа потребления для обоснования политики розничного ценообразования в Венгрии И Экономика и мат. методы. 1983. № 3.

Соловьев Ю. П., Друкер С. Г. Моделирование потребительского спроса.— Экономика и мат. методы. 1975. № 1.

Спиноза Б. Избр. произведения. М.: Соцэкгиз, 1957.

Статистические методы анализа экспертных оценок. М.: Наука, 1977.

Стивенс С. С. Экспериментальная психология. М.: ИЛ, 1960. Т. 1.

С толе рю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974.

Стоун Р. Метод затраты-выпуск и национальные счета. М.: Статистика, 1966.

Стройк Д. Математика И Прогрессивные деятели США в борьбе за передовую идеологию. М.: ИЛ, 1955.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978.

Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений И Психологические измерения. М.: Мир, 1967.

Сфера обслуживания при социализме. М.: Экономика, 1968.

Тангян А. С. Модель выявления потребительского предпочтения И Экономика и мат. методы. 1979. № 1.

Тангян А. С. О теореме Эрроу для алгебры коалиций И Экономика и мат. методы. 1981. № 4.

Тангян А. С. Построение сепарабельной целевой функции. Экономика и мат. методы. 1982. № 5.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: ИЛ, 1948.

Тарский А. Истина и доказательство: И Вопр. философии. 1972. № 8.

Таубе М. Вычислительные машины и здравый смысл. М.: Прогресс, 1964.

Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971.

Теоретическое и эмпирическое в современном научном познании. М.: Наука, 1984.

Теория прогнозирования и принятия решений. М.: Высш, шк., 1977.

Терехов Л. Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974.

Толкачев В., Чулков Ю. Опросы специалистов — действенный метод изучения конъюнктуры И Сов. торговля. 1971. № 3.

Томсон Д. Дух науки. М.: Знание, 1970.

Тондл Л. Проблемы семантики. М.: Прогресс, 1975.

Тугаринов В. П. Теория ценностей в марксизме. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.

Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1972.

Тутубалин В. Н. Границы применимости: (Вероятнобтйд- статистические методы и их возможности). М.: Знание, 1977.

Тюрго Л. Р. Ж. Избр. эконом, произв. М.: Соцэкгиз, 1961.

Тюрин Ю. Н., Литвак Б. Г., Орлов А. И., Сатаров Г. А., Шмерлинг Д. С. Анализ нечисловой информации. М. 1981. Препр.

Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. М.: Госиздат, 1963.

Уитроу Дж. Естественная философия времени. М.: Прогресс, 1964.

Украинцев Б. С. Самоуправляемые системы и причинность. М.: Наука, 1972.

Улыбин К. А. Дефицит и взаимодействие партнеров П Экономика и орг. пром, пр-ва. 1984. № 12.

Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1981.

Федоренко Н. П. Некоторые вопросы теории и практики планирования и управления. М.: Наука, 1979.

Федоренко Н. П., Гофман К. Г. Проблемы оптимизации планирования и управления окружающей средой И Вопр. экономики. 1972. № 10.

Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, 1968.

Фельдман Г. А. К теории темпов народного дохода И План, хоз-во. 1928. № И, 12.

Фёлъ К. Модель экономических систем регулирования более высоких порядков И Процессы регулирования в моделях экономических систем. М.: ИЛ, 1961.

Феофанов О. А. США: реклама и общество. М.: Мысль, 1974.

Философия Канта и современность. М.: Мысль, 1974.

Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.

Фишер Ф. Проблемы идентификации в эконометрии. М.: Статистика, 1978.

Флейшман Б. С. Элементы теории потенциальной эффективности сложных систем. М.: Сов. радио, 1971.

Флейшман Б. С. Основы системологии. М.: Радио и связь, 1982.

Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия. М.: Прогресс, 1971.

Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978.

Франк С. Теория ценности Маркса и ее значение. СПб.: изд-во М. И. Водовозовой, 1900.

Франк Ф. Философия науки. М.: ИЛ, 1960.

Франкфорт Г., Франкфорт Г. А., Уилсон Дж., Якобсен Т. В предверии философии. М.: Наука, 1984.

Фришейзен-Кёлер М. Учение о субъективности чувственных

. качеств и его противники // Новые идеи в философии. СПб.: Образование, 1913. Вып. 5.

Хабакук М. Я. Управление на основе целей: Организация управления. М.: Экономика, 1975.

Хауштейн Г. Д. Методы прогнозирования в социалистической экономике. М.: Прогресс, 1971.

Харди Г. Г. Исповедь математика И Математики о математике. М.: Знание, 1967.

Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. М.: Финансы и статистика, 1981.

Химмелъблау Д. Анализ Процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.

Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М.: Прогресс, 1980.

Хинтикка Я., Ниинилуото И. Теоретические термины и их Рамсей — элиминация: Очерк по логике науки И Фнлос. науки, 1973, № 1.

Холл А. Д. Опыт методологии для системотехники. М.: Сов. радио, 1975.

Хэнзел Ч. Парапсихология. М.: Мир, 1970.

Целищев В. В. Логическая истина и эмпиризм. Новосибирск: Наука, 1974.

Целищев В. В. Природа объектов математики и формальные модели И Методологические проблемы математики. Новосибирск: Наука, 1979.

Цетлин М. Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969.

Чернявский А. М. Пути улучшения использования рабочего времени. М.: Экономика, 1972.

Черч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960. Т. 1.

Черчмен У., Акоф Р., Арноф Д. Введение в исследование операций. М., 1968.

Четвериков Н. С. О ложной корреляции И Применение методов корреляции в экономических исследованиях. М.: Наука, 1969.

Чешенко Н. И. Оценка эффективности создания АСУ. М.: Статистика, 1978.

Шалабин Г. В. Экономические вопросы охраны природы в регионе. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

Шалютин С. М. Искусственный интеллект. М.: Мысль, 1985.

Шамбадаль П. Развитие и приложения понятия энтропии. М.: Наука, 1967.

Шапиро Д. И. Принятие решений в системах организационного управления: Использование расплывчатых категорий. М.: Энергоатомиздат, 1983.

Шаталин С. С. Функционирование экономики развитого социализма. М.: Изд-во МГУ, 1982.

Шаттелес Т. Современные эконометрические методы. М.: Статистика, 1975.

Шевырев В. С. Неопозитивизм и проблемы эмпирического обоснования науки. М.: Наука, 1966.

Шенк X. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир, 1972.

Шерменев А. М. Построение функции полезности по кривым безразличия И Экономика и мат. методы. 1982. № 5.

Шрейдер Ю. А. Сложные системы и космологические принципы И Системные исследования. 1975. М.: Наука, 1976.

Штаммлер Р. Хозяйство и право с точки зрения материалистического понимания истории. СПб., 1907.

Эббинхауз Г.-Д^ Якобс К.^ Ман Ф.-К.^ Хермес Г. Машины Тьюринга и рекурсивные функции. М.: Мир, 1972.

Эделъгауз Г. Е. Достоверность статистических показателей. М.: Статистика, 1977.

Эйкхофф П., Ванечек А., Савараги Е. и др. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983.

Эйнштейн А. Собр. научных трудов. М.: Мысль, 1966. Т. 3.

Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.

Экономисты и математики за круглым столом. М.: Экономика, 1965.

Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту И Математическая экономика. М.: Мир, 1974.

Юм Д. Соч. М.: Мысль, 1966. Т. 1,2.

Ясин Е. Г. Проблемы увязки планирования и экономического механизма реализации плана И Экономика и мат. методы. 1985. № 2.

Языковые универсалии и лингвистическая типология. М.: Наука, 1969.

Яновская С. Количество (в математике) И Философская энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1962. Т. 2.

Яновская С. А. О так называемых определениях через абстракцию И Сборник статей по философии математики. М.: ОНТИ, 1936.

Ястремский Б. С. Труды по статистике. М., 1937.

Arrow К. Social choice and individual value. N. Y.: Wiley, 1963..

Black D. The decisions of a committee using a special majority П Econometrica. 1948. N 16.

Bridgman P. The nature of physical theory. N. Y.: Wiley, 1949.

Jeffreys H. Theory of probability. Oxford: Clarendon, 1961.

Jevons W. S. Theory of political economy. N. Y.: Wiley, 1957.

Irwin F. W. Stated expectations as functions of probability and desirability of outcomes П J. Person. 1953. N 21.

Lakatos I. Falsification and the methodology of scientific research programmes !I Criticism and the grouth of knowledge. Cambridge, 1970.

McTaggart D. The unreality of time П Mind. 1908. Vol. 17, * N 68.

Mesarovic M. On Some Metamathematical Results as Properties of General Systems // Mathematical Systems Theary. 1968. V. 11. N 4.

Mises L. von. Epistemological problems of economics. Princeton, 1960.

Nash J. E. The bargaining problem// Econometrica. 1950. N 18.

Nagel E. The structure of science. L.: Routledge and Kogan Paul, 1961.

Pareto W. On the economic phenomenon // Intern. Econ. Pap. 1953. N 3.

Peirce C. Chance, love and logic. N. Y., 1949.

Pearson K. The fundamental problem of practical statistics// // Biometrica. 1920. Vol. XIII.

Ramsey F. P. The foundations of mathematics and other logical essays. L., 1931.

Russel. Logic and knowledge: Essays. 1901 — 1905. L., 1956.

Tversky A. Utility theory and additivity analysis П J. Exp. Psychol. 1976. N 75.

Tarski A. Logic, semantic and metamathematics. Oxford: Oxford Univ, press, 1956.

Schlick M. Meaning and, verification П Philos. Rev. 1936. Vol. 45.

Schlick M. Causality in everyday life and in recent science, leading and philosophical analysis. N. Y.: Philos. Libr., 1949.

Раймундас Ляонович Раяцкас

Михаил Константинович Плакунов

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ

АНАЛИЗ

В ЭКОНОМИКЕ

Утверждено к печати

Центральным экономико-математическим институтом АН СССР

Редактор издательства Т. Е. Филиппова

Художник Ф. Н. Буданов

Художественный редактор В. Ю. Кученков Технический редактор Н. Н. Плохое а

Корректоры Н. Б. Габасова, Р. 3. Землянская

ИБ № 31766

Сдано в набор 15.08.86

Подписано к печати 4.01.87

А-04601. Формат 84xlO8V32

Бумага типографская № 1

Гарнитура обыкновенная Печать высокая

Усл. печ. л. 20,58. Усл. кр.-отт. 20,58. Уч.-изд. л. 21.4

Тираж 2700 экз* Тип. зак. 351

Цена 3 р. 50 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»

117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90

4-я типография издательства «Наука»

630077 г. Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25

риальные затраты и стоимость материалов М увеличились; сле

дует, следовательно, читать: «увеличение материальных затрат».

• Величины е и т) некоррелированны, если сот (е, гр = 0.

14 р. л. Раяцкас, М, К. Плакунов.209

6 См., например, историю понятия «масса» [154] или понятия «энтропия» [474].

V 1 +1жи 11

Г1

откуда

А

ио ~ и Z1Z2-

РЛ.РаяцкасМ.К.ПлакуновКоличественныйАНАЛИЗВ ЭКОНОМИКЕРЛ.РаяцкасМ.К.ПлакуновКоличественныйАНАЛИЗВ ЭКОНОМИКЕ

РЛ.Раяцкас

М.К.Плакунов

Количественный

АНАЛИЗ

В ЭКОНОМИКЕ

РЛ.Раяцкас

М.К.Плакунов

Количественный

АНАЛИЗ

В ЭКОНОМИКЕ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

Центральный

э кономико-математический институт

РЛ.Раяикас

М. К. Плакунов

Количественный

АНАЛИЗ

В ЭКОНОМИКЕ

Ответственный редактор академик АН СССР Н. П. ФЕДОРЕНКО

в

МОСКВА «НАУКА» 1987

Книга посвящена методологическим вопросам применения количественных методов в экономическом анализе, прогнозировании и планировании экономических систем. В ней рассматриваются вопросы измерения величин при построении экономико-математических моделей, возможность проверки результатов измерения, целесообразность и возможность применения экспертных оценок в экономическом анализе, прогнозировании и планировании. Большое внимание уделяется вопросам существования зависимостей между экономическими переменными, их выявлению и построению.

Для научных работников, экономистов-практиков, а также всех, кто интересуется вопросами применения количественных методов в экономике.

Рецензенты:

K# АНТАНАВИЧЮС, Ю. В. ОВСИЕНКО

^Ь^^)^—~ 58-87-1(6) Издательство «Наука», 1987

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОТ РЕДАКТОРА 5

ПРЕДИСЛОВИЕ 6

Глава первая

РОЛЬ МАТЕМАТИКИВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙНАУКЕ10

«За» и «против»математическихметодов 10

Математические методы в экономической науке . .10

Математическая школа и ее критики 14

Критика математических методов в западной экономической науке 18

Традиция философской критики применения математики в естественных и социальных науках 19

Отношение математики к действительному миру...27

Структура описания: определения и объекты..,36

Абстракция и идеализация в научном познании..36

Проблемы операциональнссти определений 43

Глава вторая

ОПИСАНИЕ, КВАНТИФИКАЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЕ56

Проблемы формального описания, шкалирования переменных и измерения их значений 56

Представление переменных 56

Теория измерений: проблема представления переменной 60

Шкалы и адекватность 65

Количественные переменные 68

Количественная переменная: формальный аспект . .68

Количественные шкалы 71

Операциональные определения количественных шкал75

Количественные переменные и анализразмерностей80

Проблема интерпретации операций надколичественными переменными 80

Анализ размерностей и адекватность 83

Операции над размерностями 87

Глава третья

УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ96

Уравнения в экономических моделях 96

Типы уравнений 96

Графическое изображение уравнений и моделей . .101

Необходимость различения типов уравнений107

Уравнения-определения и уравнения состава в традиционном экономическом анализе ИЗ

Трудность практического различения типов уравнений 124

Матрица Леонтьева: уравнения состава, распределения или преобразования? 127

Существование зависимостей 131

Псевдозависимости 131

Корреляция и функциональная зависимость....136

Коэффициент корреляции и линейнаяфункциональная зависимость 140

Ложная корреляция 147

Ранговый коэффициент корреляции 152

Глава четвертая

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ПРОВЕРЯЕМОСТЬ160

Критерии качества модели 160

Практика — критерий истинности модели 160

Критерии принятия модели 162

Проблемы проверяемости научных утверждений . . .170

Измерение — приписывание переменной численного значения 181

Статистические модели: точность и надежность . . .181

Непосредственно неизмеримые величины 185

Экспертные оценки как индикаторы и непосредственные измерители объективных характеристик . . . .192

Идентификация экономико-математических моделей 207

Основные проблемы и методы идентификации . . . 207

Сравнение, подгонка и идентификация моделей . . 214

Проблема идентификации модели межотраслевого баланса и матрицы Леонтьева 221

Глава пятая

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ В ПЛАНИРОВАНИИ

И ПРОГНОЗИРОВАНИИ231

Цели и поведение 231

Целенаправленное поведение 231

Целенаправленное поведение и описание цели . . .236

Целенаправленное поведение и управление социалистическим хозяйством 245

Эволюция теории полезности 254

Общественная функция полезностиитеоремаЭрроу267

Общественная функция полезностиитеоремаНэша282

Методы построения функции полезности 289

Предельная полезность и цены 296

Двойственные оценки в задачах математического программирования 296

Прибыль в моделях экономического равновесия . .300

Двойственные оценки и функции цен 305

Прогнозирование значений количественных переменных 328

Определение прогноза 328

Концепции времени и прогнозирование 334

Методологические основания прогнозирования . . . .339

Прогноз и опережающее отражение 343

Математические модели причинно-следственных связей 348

Проблемы проверяемости прогнозов 360

Основные методы прогнозирования 365

Литература 373