ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

В предлагаемой вниманию советского читателя книге крупного французского ученого П. Пэнлеве «Лекции о трении» 1) делается попытка построения общей теории движения материальных систем с учетом трения. Исследования П. Пэнлеве и открытые им парадоксы сыграли важную роль в развитии теории движения систем с сухим трением. В своей работе Пэнлеве между прочим приходит к выводу, что законы трения Кулона применимы лишь в определенных границах, так как в тех случаях, когда трение становится весьма большим, применение законов Кулона приводит к неопределенности (при одних и тех же начальных условиях оказываются возможными два различных движения) или даже к невозможности движения. Данная Пэнлеве критика законов Кулона и возникшая из нее мысль о логической несовместимости этих законов с основными законами классической механики вызвали в свое время оживленную дискуссию, в которой приняли участие французские и немецкие ученые Л. Лекорню, де Спарр, Ф. Клейн, Р. Мизес, Г. Гамель, Л. Прандтль, а также сам Пэнлеве. В результате дискуссии выявилось, что противоречия, которые в некоторых случаях получаются при применении законов трения Кулона к системам твердых тел, отпадают, если рассматривать трущиеся тела не как абсолютно твердые, а как деформируемые. Из обнаруженных противоречий был намечен и другой выход ——принятие гипотезы о мгновенной остановке движения (гипотеза «скачка») при сохранении предположения об абсолютной твердости элементов системы.

Из работ последнего времени, посвященных затронутым Пэнлеве вопросам, отметим статью Н. В. Бутенина, Рассмо-

Р a inle ve Р., Lemons sur le frottement, Paris, 1895.

трение «вырожденных» динамических систем с помощью гипотезы «скачка» (Прикладная математика и механика, т. XII, 1948).

В конце книги, в Добавлении II, даны переводы всех выступлений во время дискуссии. Добавление I содержит перевод трех глав из книги П. Пэнлеве «Лекции об интегрировании дифференциальных уравнений механики» 】)，на которые автор часто ссылается в «Лекциях о трении».

Р a i 口 1 е V 6 Р., Lemons sur『integration des equations differen- tielles de la mecanique et applications, Paris, 1895.

ЛЕКЦИИ О ТРЕНИИ

ВВЕДЕНИЕ

Большая часть курсов теоретической механики посвящена исключительно системам без трения; последнее появляется только в некоторых частных приложениях. Можно ли создать для систем с трением общую теорию, аналогичную, например, той, которую дают уравнения Лагранжа в применении к системам без трения? Конечно, эмпирические законы трения имеют различные формы в зависимости от природы связей; тем не менее они имеют достаточно общих свойств; путь, которым приходится итти в отдельных случаях, трудности, которые при этом встречаются, представляют достаточно аналогий для того, чтобы подобная теория была бы достаточно полезной как с точки зрения чистой теории, так и с точки зрения приложений. Предметом этих лекций поэтому и является изучение движения любой системы, обладающей трением.

В первую очередь мы рассмотрим системы, состоящие из отдельных материальных точек, встречающих при своем движении некоторые препятствия. Затем можно без затруднений перейти к системам, включающим и сплошные тела, положение которых определяется, однако, конечным числом параметров (твердые тела, нерастяжимые нити, скользящие по кривой, и т. д.). Все системы этой категории, которые можно осуществить, мы можем рассматривать как состоящие из бесконечно малых элементов, которые все время остаются самим себе тождественными (или форма которых меняется со временем по заданному закону). Что касается сплошных систем, положение которых не определяется конечным числом параметров, то они будут предметом дальнейших работ; замечу только, что эти системы представляют два различных класса в зависимости от того, можно или нет рассматривать их как состоящие нз элементов, остающихся

тождественными самим себе: нерастяжимые нити и оболочки, несжимаемые жидкости принадлежат к первому классу; растяжимые нити и оболочки, сжимаемые жидкости относятся ко второму. Все общие теории, развитые в этих лекциях, могут быть непосредственно распространены на все системы первого класса, тогда как изучение систем второго класса представляет новые затруднения.

Прежде всего необходимо уточнить первые определения, касающиеся трения. Если дана система S, состоящая из п материальных точек, на которые наложены связи, то говорят, что система не имеет трения, если работа реакций связей равна нулю для всякого виртуального перемещения системы S (совместимого со связями, имеющими место в момент /); в таком случае для определения движения системы S и реакций вполне достаточно знать активные силы. Это определение во всех частных. случаях хорошо согласуется с обычными представлениями об отсутствии трения. Если виртуальная работа реакций не равна нулю, то пусть R будет реакция, действующая на данную точку М системы S, a R'——та реакция, которая действовала бы на М, если бы система была без трения; в таком случае силу R' называют силой связи, а геометрическую разность R — R'= р называют силой трения. При всяких законах трения эти векторы обладают интересными геометрическими свойствами, которые были разобраны в лекциях об интегрировании уравнений механики.

Если точки М системы S в некоторый момент t занимают заданные положения, обладают заданными скоростями и подвержены действию определенных активных сил, то опыт и наблюдение показывают, что движение, системы S определено; следовательно, будут определены и реакции, а также и силы связей и трения. Во всех случаях, когда нет излишних материальных связей, другими словами, когда материальные связи не могут быть упрощены без изменения геометрических связей, оказывается даже, что силы трения р зависят только от сил связей R'. Говорят, что закон трения системы S известен, если эмпирические данные позволяют вычислить выражения сил р в функции от R'・ Для некоторых начальных условий, соответствующих частным случаям, когда относительная скорость трущихся поверхностей равна нулю, предыдущий закон оказывается неверным,

и эмпирические данные выражаются другим законом, носящим название закона трения покоя или трения начала движе- ния 1). Знание активных сил системы и ее закона трения позволяет вычислить движение системы S, но иногда оставляет возможным выбор между несколькими возможными движениями, соответствующими одним и тем же начальным условиям; именно бывает, что в случае трения покоя реакции связей зависят от некоторых неопределенных величин. В этих лекциях я систематически отказываюсь от рассмотрения случая, когда имеются излишние материальные^ связи, например случай твердого тела, опирающегося на плоскость четырьмя точками. В этом' случае движение зависит вообще от внутренней структуры системы и его изучение связано с теорией упругости.

Различные комбинации материальных связей и определение суммарного закона трения, получающегося от соединения частных законов трения, составляют предмет детального исследования. Именно в большом количестве приложений бывает, что материальные связи разделяются на две группы, одна из которых содержит связи без трения; в этом случае полезно не вводить в уравнения движения системы реакции, соответствующие связям этой группы; для этого достаточно писать уравнения Лагранжа по отношению к / параметрам rt, . .., rj, определяющим положение системы при учете связей без трения. Это замечание очень существенно для изучения систем, заключающих сплошные твердые тела, или другие сплошные системы, положение которых определяется конечным числом параметров.

В особенности деликатным является вопрос о совместимости связей. Две группы связей называются материально совместимыми, когда, во-первых, они геометрически совместимы и, кроме того, при любых начальных условиях системы и любых активных силах препятствия могут производить соответственно их закону трения конечные реакции, сохраняющие связи. В качестве типического образца представляющихся трудностей рассмотрим пример твердого тела

Этот закон всегда утверждает, что в зависимости от большей или меньшей величины трения относительная скорость v двух соприкасающихся элементов остается равной нулю, или наоборот, что в промежутке времени от t до t-\- dt относительная скорость о не равна нулю и, следовательно, приложим обычный закон трения.

S, скользящего с трением по неподвижной поверхности £. Если мы согласно опыту допустим, что тангенциальная составляющая R± реакции пропорциональна нормальной составляющей Rn:

Rt = fRn、

то легко можно видеть, что Rn кроме исключительных случаев тоже зависит от коэффициента /. Предположим, что тело S в момент t0 находится в определенном положении, и рассмотрим две системы начальных условий 夕；，夕? и ^?,——,?； если / превышает некоторый предел (который вообще зави・ •о

сит от 夕? и то окажется, что одной системе начальных условий, например 夕；,‘?, соответствуют два возможных движения, а для другой q?,—夕? невозможно никакое движение: связь и закон трения являются несовместимыми.

Заметим, кстати, что Rn, вообще говоря, не совпадает с силой связи R' (той реакцией, которая имела бы место при / = 0), но при помощи вполне элементарного расчета можно определить R' как линейную функцию от Rn (и коэффициента /) и, следовательно, можно определить R —— 丸' как линейную функцию R', иными словами, соответствующий общему определению закон трения легко может быть выведен из эмпирического закона трения тела S по поверхности £. Производить этот расчет почти всегда бывает бесполезно, но важно знать, что он является вполне возможным.

Я постарался разъяснить эти общие соображения на большом количестве простых примеров, для которых исследование может быть проведено полностью. Эти примеры одновременно показывают типичные образцы различных особенностей, с которыми приходится встречаться.

Эти лекции заканчиваются несколькими страницами, посвященными трению качения и верчения.

ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕНИЯ

В этой лекции мы займемся изучением движения системы, предполагая, что наложенные на нее материальные связи уже не лишены трения. Поэтому уместно прежде всего напомнить

общие определения, касающиеся трения, которые мы указали в первой части этих лекций (четвертая и пятая лекции):).

Пусть S есть система п материальных точек М с массой mt подчиненных связям, и мы изучаем движение этой системы по отношению к произвольно выбранной системе прямоугольных координатных осей Oxyz, В последующем изложении мы сохраним название виртуального перемещения для всякого бесконечно малого перемещения системы, совместимого с имеющими место в момент 力 связями. Если дана какая-нибудь совокупность сил 尸I， ..., Fn) приложенных к различным точкам М1} ..., Мп системы, то согласно определению виртуальной работой сил 尸力 будет называться виртуальная работа т этих сил при каком-нибудь виртуальном перемещении системы S; виртуальная работа сил 匕 будет равна нулю, если при любом виртуальном перемещении системы S работа т равна нулю.

С другой стороны, пусть 尸，или 加丫， будет полная сила (по отношению к осям Оху?), действующая в момент t на точку М нашей системы; 丫 обозначает ускорение точки М в момент / по отношению к упомянутым осям. Пусть, кроме того,尸’будет сила (по отношению к осям Oxyz), которая действовала бы на точку М, если бы мы, ничего в остальном не меняя, уничтожили материальные элементы, находящиеся непосредственно в соприкосновении с этой точкой и препятствующие ей занять произвольное положение вблизи ее действительного положения в данный момент. Наконец, пусть R будет абсолютная сила, с которой действуют на М упомянутые материальные элементы. Согласно принципу независимости действия сил и теореме Кориолиса мы имеем:

尸=尸+ /?.

Сила 尸/ называется активной силой, a R — реактивной силой или реакцией, которые действуют в момент / на точку М.

1) Под «первой частью лекций» автор здесь и в дальнейшем разумеет свои «Лекции об интегрировании дифференциальных уравнений механики с приложениями». (Р a i n 1 е v ё, Lemons sur Tintegration des equations differentielles de la mecanique et applications, Paris, Hermann, 1895). В Добавлении I дан перевод четвертой и пятой лекций, необходимых для понимания настоящей книги, а также первой лекции, носящей вводный характер. (Прим, переев)

Поскольку реакции являются абсолютными силами, всякое сделанное относительно них предположение не зависит от выбора осей Oxyz. После того как все это установлено, мы по определению называем данную систему S системой без трения, если виртуальная работа реакций связей равна нулю 】). В таком случае для определения движения системы и ее реакций вполне достаточно знания активных сил, действующих на систему (конечно, если даны начальные условия для момента /0). Для каждого момента & для заданных положений и скоростей точек системы S мн можем определить все реакции в функции активных сил без интегрирования. Далее, если угодно, определим положение системы S при помощи А независимых параметров 分；реакции будут даны в явной форме в зависимости от множителей Лагранжа 入「...,入如，а эти последние выразятся в виде линейной функции от составляющих X', % Z，активных сил 尸'，причем коэффициенты этих линейных функций будут определенным образом выражаться через параметры 分,их производные q$ и время / (см. лекции 4 и 5 первой части)).

Я добавляю, что в рассматриваемом нами случае знания виртуальной работы активных сил вполне достаточно для определения движения. Иными словами, если система S без трения, то при замене заданных активных сил другими с той же самой виртуальной работой движение системы остается тем же самым и меняются только реакции. Вот почему для заданной системы S без трения мы условимся называть эквивалентными две системы сил, имеющие соответственно равные виртуальные работы. Например, если система S есть твердое тело, то двумя эквивалентными системами сил будут две геометрически эквивалентные системы векторов.

Рассмотрим теперь систему S, не отвечающую предыдущему условию, иными словами, систему, для которой виртуальная работа реакций связей не будет постоянно равной нулю. Пусть 7? будет реакция, которая в момент / действует на точку М системы S, a R — реакция, которая действовала бы на ту же самую точку, если бы система S, находившаяся

】)Эго должно иметь место при всяких условиях, в которые поставлена система в момент £, и при всяких действующих на нее активных силах.

в момент /0 в тех же самых начальных условиях и подверженная действию тех же самых активных сил, была бы без трения. Согласно определению сила Л называется силой связи, а геометрическая разность

lR — R

называется силой трения, действующей на Л1 в момент t.

При всяких законах трения векторы р н /?' обладают за- мечательными геометрическими свойствами. Прежде всего мы имеем;

厶 т ^U т ' т 9

Кроме того, если каждой точке М системы S мы сообщим геометрическое перемещение

т

то совокупность этих перемещений образует виртуальное перемещение системы S.

Далее можно легко показать, что для какой угодно заданной системы сил R, приложенных к различным точкам М системы S, можно всегда, и притом единственным способом, разложить силу R на два вектора р и /?', таких, что обе системы р и 7? удовлетворяют двум следующим условиям:

Виртуальная работа сил R равна нулю.

Перемещение системы S, при котором каждая точка М получает перемещение £- о/, есть виртуальное перемещение.

Таким образом, можно еще и так определить силы трения: реакции R мы разлагаем на две вышеупомянутые системы векторов р н R' н называем векторы р силами трения, а векторы К — силами связи.

Если мы примем это последнее определение, то можно вернуться к первому, показав, что при любых законах трения силы R выражаются. одинаковым образом через параметры 夕办 их производные время Z и составляющие X , У', активных сил' и совпадают с реакциями связей, которые действовали бы в системе, если бы последняя не имела трения.

ФОРМА ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ

В приложениях активные силы бывают заданы. Если, кроме того, известна виртуальная работа реакций связей ——работа, которая не отличается от работы сил трения, то нам будут известны правые части

Qj (q* ・•・，％, • • • * О

k уравнений Лагранжа, определяющих (в функции времени и начальных условий)尼 независимых параметров q^, .,., q^ от которых зависит положение системы S. Обратно, уравнения механики определят движение системы только в том случае, если у нас будет достаточно данных для окончательного вычисления коэффициентов Qj(q。д@, %), т. е. для вычисления виртуальной работы как активных сил, так и сил трения.%」. Рассмотрим сначала на нескольких частных случаях форму законов трения, а также выясним, каким образом при помощи этих законов можно исследовать движение.

Движение точки по кривой. В качестве первого примера разберем случай точки, которая движется внутри неподвижной материальной трубки. Если мы применим к этому частному случаю общее определение трения, то найдем, что сила трения и сила связи будут совпадать соответственно с касательной и нормальной составляющими реакции связи. Кроме того, нормальная составляющая будет такой же, как если бы трение и не существовало.

Какими будут в этом случае экспериментальные законы трения? Если точка М в момент / занимает определенное положение в трубке С и имеет заданную скорость, то опыт показывает, что сила трения Rt будет всегда направлена противоположно скорости точки М и пропорциональна нормальной реакции &:

Rt=f・Rn・

Коэффициент /, который a priori может зависеть и от % и от 04， практически является не зависящим от скорости. Высказанный закон предполагает, что скорость точки М не равНа нулю; если она равна нулю, то сила трения направлена прямо противоположно тангенциальной составляющей 尸；активной силы; она равна этой составляющей, если 尸:по абсолютной

величине меньше fRn, и равна fRn, если F； равна или больше fRn\ в первом случае она останавливает движение, а во втором его замедляет; соответствующая сила трения называется трением покоя или трением при начале движения.

Если материальная трубка С не является неподвижной, но с течением времени перемещается или деформируется, то силы трения и связи будут всегда тангенциальной и нормальной составляющими реакции. Далее, пусть Р будет материальный элемент трубки С, совпадающий в момент / с точкой 附； пусть 〃 будет его скорость, а “一скорость точки 附；наконец, назовем скоростью точки М по кривой геометрическую разность

% =空--M1）；

сила трения Rt будет направлена прямо противоположно % и равна

/@ 0- Rn・

Если скорость ② равна нулю, то пусть 丫‘ есть ускорение точки Р и пусть

① =尸—加y‘2）；

сила трения прямо противоположна касательной составляющей ①力 силы Ф и равна этой составляющей или fRn в зависимости от того, будет ли ①力 < fRn или ①才〉/R%; в первом случае сила трения удерживает точку М в постоянном сцеплении с одним и тем же элементом Р трубки С.

Каковы же в соответствии с этим будут уравнения движения? Если кривая С определяется уравнениями

/ （%，«У，N, *） —。，g （无,У） N, 0 ==。，（ 1）

Касательная к С величина 。^ представляет относительную скорость точки М по отношению к Р, иными словами, по отношению к любой системе координатных осей, начало которых постоянно совпадает с Р.

Пусть Ar1ylz1 будет какая-нибудь система осей, начало которых все время совпадает с Р; так как vr = 0, то ускорение точки М по отношению к этим осям в момент t равно 丫——丫- а действующая на М активная сила по отношению к осям Рх^у^ равна Ф.

2 Зак. 1628. П. Пзн/еве

то мы имеем:

m嗓=X +Р力+入夂+ 2案'

加嗡=『十Pz +入亲+2居，

где p%, pg, р? обозначают составляющие силы трения. Для того чтобы найти их выражения, воспользуемся уравнениями кривой и вычислим х, у, z в функции параметра q и времени, выбрав параметр q так, чтобы постоянному значению q соответствовал один и тот же материальный элемент трубки С】）； пусть выражения координат xt yt z в функции t и q таковы:

% =屮（9, %）， У =屮（夕，力，2 = % （亥 /）.（2）

Составляющие % выражаются так: дх • ду • dz •

Если в момент t точка M занимает в С какое-нибудь положение q и если q отлично от нуля, то положим дхду

一/（飘+（舒+（舒'-期+（舒+（舒‘

-/（舒+（舒+（舒‘.

тогда р况,卩夕,р? определятся формулами

Qb = efRn®、Pg =守R”3‘ Pz = e/R”I‘

где

+ J吃十喲4（嚼+嘴У+解十阕\

Для этого достаточно для некоторого значения /0 времени t выразить координаты %, у, z в функции какого-нибудь параметра q и написать уравнения （2）, определяющие движение материального элемента трубки С, который в момент 而 соответствует определенному значению q.

а г равно 十 1， если производная q отрицательна, и равно —1, если q положительна.

Из уравнений （А） можно вычислить 入 н 卩 в функции /, q н q; для этого достаточно умножить три эти уравнения соответственно на 箱,芻,g （или на 需,患'碧）и результаты сложить; таким образом, Лир определятся в виде линейных функций от X', Р, Z- коэффициенты которых будут зависеть от /, g, q. Если мы подставим соответствующие выражения в формулу для Rn и положим

+炉& J備Y+儔居У ' （В） то Q будет определенной функцией от X', Р, Z' н & д,万 и, следовательно, функцией от Л g, д, а движение точки М определится уравнением Лагранжа:

Предыдущие равенства применимы, если только q не равна нулю. Если q равна нулю, то г уже не будет определенным и нам придется^воспользоваться законом трения в состоянии покоя; пусть

②=（X'-礬）a 十（У' 一Ц）。十（Z' -貌不；

тогда в предположении

IRY/・R%

мы будем иметь:

Pg =—①卢，p4 = -①乱Р? = -①方丫， а если

隐l》@ то

Ра? = a/R%a，pg = a/R%P，Pz = a/R% 丫’

где e равно —1 или 十1 в соответствии с тем, будет ли q положительно или отрицательно.

Мы видим, что во всех случаях сила трения определена для момента /, если известны начальные значения 玄 g, q для точки М, а также активная сила 尸，действующая на нее jb момент £; следует заметить, что при q, отличном от нуля, р определяется в функции множителей Лагранжа 入 н ?, иными словами, р зависит только от нормальной к С, составляющей активной силы; напротив, если д = 0, то составляющие р (для заданных значений t и q) будут непрерывными функциями X', У', Z', имеющими различное аналитическое выражение в зависимости от того, удовлетворяют ли силы X', У, Z' некоторому неравенству Q < 0 или же противоположному неравенству: в первой области рш, р%, р2 выражаются в функции тангенциальной составляющей 尸力 силы 尸/ и имеют такое значение, что q равно нулю, во второй области они представляют такие же функции нормальной составляющей, как если бы относительная скорость vr не равнялась нулю, но имела бы направление, совпадающее с направлением движения М по С; на границе 0 = 0 обеих областей значения обоих выражений силы трения совпадаютг).

Движение точки по поверхности. Аналогичные замечания можно сделать и относительно движения точки по не совершенно гладкой поверхности. Мы уже рассматривали

Например, если С представляет прямолинейную неизменяемую трубку, направленную по оси х, то сила трения р^ будет функцией Ф (х, X', X, Z'), определяемой во всех случаях следующими формулами:

для х>0Ф (%, X', F, Z0三一/(%) M* + Z心,'

для х<0Ф (х, X- F, ZQ = +/(х) |/>2 + zT

'—/(%) J* + z心,если

для 匸=0 Ф(х, X- Г, Zz)= +f(x)M『2 + z^, если, X/< /(x) V 川 + z心

一X/, если

、*2V/2(%)(X2+2丿2).

(в конце пятой лекции первой части 1)) случаи, когда материальная поверхность была неизменяемой. Теперь мы разберем общий случай, когда поверхность £ может и изменяться с течением времени. Пусть Р будет материальный элемент поверхности S, который в момент t совпадает с движущейся точкой М; назовем скоростью точки по поверхности геометрическую разность % = ь —砂‘ скоростей ◊ и 砂'точки М и элемента Р; согласно общему определению сила трения совпадает с составляющей Rt реакции Л, касательной к S, а сила связи ——с ее нормальной составляющей R”； опыт показывает, что в каждой точке поверхности S и в каждый момент времени t составляющая Rt прямо противоположна относительной скорости % и величина ее прямо пропорциональна R%:

& = /(%‘ 02’ £) • R%’

где / не зависит ощутительным образом от скорости.

Если скорость vr равна нулю, то пусть 丫 есть ускорение точки Р и пусть

① =尸—加丫；

тогда Rt прямо противоположна касательной к £ составляющей Ф^ силы Ф и имеет величину, равную ①力 или fRn в зависимости от того, будет ли

® < fRn

или•

в первом случае трение удерживает М в постоянном сцеплении с Р, во втором оно замедляет относительное движение М по отношению к R

Пусть уравнение поверхности £ будет:

/(х, у, 2, £) = 0;

для каждого момента f будем определять положение точки М такими двумя параметрами ^, ^2, что для всякого момента времени t постоянным значениям %, ^2 соответствует один и тот же материальный элемент S. Тогда движение точки М

См. сноску на стр. 13

определится уравнениями:

加^ = Х' + Р" +人器，

где p力，py, pz ——составляющие силы трения, изображаемой вектором, касательным к Е в точке М; при любом законе трения мы имеем:

川舒+関4(舒Ь

=_薄修"芻3+案2十机2)一 _(х^+у嚼+z，粉,

где индекс (2) обозначает символическое возведение в квадрат; а так как

то Rn тоже известна в функции t, q, q н X', У, Z'.

Для того чтобы учесть закон трения, обозначим через а, р, т направляющие косинусы полупрямой

а через а, b, с и 〃‘，Ь\ сг — направляющие косинусы двух полупрямых:“

дх ду dz•

双dgi， 际

и

дх ду dz

0北，d敢'分7?.

Если 夕1 и 〃2 не равны одновременно нулю, то мы имеем:

Ра? = —а/&, Pu = — §fRn，Р? = —"R"・

Если же 分 и % равны одновременно нулю, то предыдущие выражения будут неопределенными; это соответствует случаю трения покоя. Введем обозначения:

①1（X，-■扭器）+6 （y-7n翳）+*醤），

①2 = a'（X'—加嘉）+ '（У' - m 繳 + d（Z，一權券），

①产 + /Ф1 + Фз + 2Ф,Ф2 （aaz + bbf + ссУ，

мы имеем:

p^ = - 3①1 + 4④2），P沙 =-（叁 1 + "中2），Pz=—（。a十 。02） при①t《『Rn И

P 力-①/， Py -海 ，

при①t》fRn・

Если виртуальную работу активных сил и сил трения представить в виде

Qi 泣 + Qz&q* 一

то ясно, что Q[ и Q2 суть определенные функции /,力，％， 01，〃2 н X', У', Z- если только известны поверхность £ и соответствующий закон тренмя. Достаточно в выражениях Qi и Q2 заменить X', X, Z，заданными функциями от %> %，%，％，/ и написать два уравнения Лагранжа:

чтобы определить движение.

Общая форма законов трения. Рассмотрим теперь произвольную систему S, состоящую из % материальных точек, на которую наложены некоторьье материальные связи; наблюдение и опыт учат нас, что если система S в некоторый

момент t поставлена в определенные начальные условия и подвергнута действию определенных активных сил, то ускорения 丫 ее различных точек для момента t будут определены; также будут определены реакции

& =留丫-尸一

а следовательно, и силы трения и силы связи; иными словами, в заданной системе S составляющие р%, р^, рг сил трения р будут функциями времени /, параметров q《,их производных qi и, наконец, составляющих активных сил Xх, У, Z'・ При любых начальных условиях на эти функции налагается следующее важное ограничение: они содержат X', У, Z' только в комбинациях, определяющих силы связей R'； иными словами, %, р夕 р? суть функции Z,當，応 и R；, R；, R】, причем эти последние переменные являются в свою оче^ редь функциями q力 g力 t и X', F, Z', не зависящими от закона движенияг).

Предыдущее замечание отпадает для некоторых особых начальных условий, то-есть для значений q(, g@ и 九 удовлетворяющих некоторым условиям; эти последние выражают, что по крайней мере два из трущихся друг о друга материальных элементов имеют относительную скорость, равную нулю.

В соответствии с этим напишем уравнения, определяющие движение. Связи системы S выражаются р различными соотношениями:

fj (%, %1，%，/，• • •， *^п, Уп^ 2%)^^。(丿==1，2，• • •, Р)； (1)

мы предположим (что всегда возможно), что по крайней мере один из функциональных определителей 力 по отношению к р нз 3〃 переменных х, у, N не будет равным нулю для всякого положения S. В таком случае мы можем воспользоваться уравнениями (1) для того, чтобы выразить все %,у, z в функции 3〃 一 p = k различных параметров q“ ..., дк и времени Л

Это, однако, предполагает, что среди материальных связей нет излишних. Излишними называются такие материальные связи, которые могут быть устранены без нзмененна геометрический связей.

Движение системы S удовлетворяет Зп уравнениям:

加將=X’ + % + & = X + 加 *11^+ • • • …+叫器+ %爲+ …n

加醤=X + p"十R； = ' +加向器+

… + 叫器符+%禦'

加舒 =z‘+ pz+& = z'+加户1募 + …• …十*源禦；

согласно предыдущему ^, ра,...,世〃 суть функции от g%, «о， t и от 入i，...,入&, причем вид этих функций должен быть найден эмпирически. Эти функции являются недостаточно определенными для начальных значений ^, q(, /, удовлетворяющих некоторым соотношениям:

g(%, %,«儿，％,9/с)==。，

• ••(2)

九("'％，• • • > 夕儿，4i，• • • j qQ 。・

Для таких значений g?, ^?, /°, которые соответствуют трению покоя, коэффициенты ^,卩纟，•••，卩兀 являются непрерывными функциями X- У- Z', имеющими, однако, различные аналитические выражения в зависимости от того, удовлетворяют ли X', У, Z' или нет некоторым неравенствам, которые зависят от рассматриваемых частных значений 歯， ^, /°. Если АЛ У- Zz заключаются в некоторой области, то силы трения таковы, что все время удовлетворяются равенства (2) или по крайней мере некоторые из них; если же X- У, Zz выходят из этой области, то в момент tg*dt соотношения (2) более уже не удовлетворяются и значения величин 也 氏，…，卩加 для момента tQ будут пределами (при d£=0) значений величин *「...,卩儿 для момента t^^dt в движении системы S, или, если угодно, пределами функций

М"，%л •・.・,* ”，и，..., %),

в которых все переменные выражены в функции t и где / стремится к /°.

Мы скажем, что закон трения системы S известен, если экспериментальные данные определяют коэффициенты 阿，…，氏 в функции 入［,...,入勿 при любых начальных значениях q, 夕,/ и в функции X', У', Z'——при особых начальных значениях, удовлетворяющих условиям (2).

Если закон трения системы S известен, то движение определяется уравнениями (А), взятыми вместе с уравнениями (1). Коэффициенты 入 вычисляются в функции X', У, Z' и переменных 夕,0, / независимо от закона трения; тогда в соответствии с законом трения коэффициенты 卩 будут определены в функции тех же самых переменных; следовательно, будет известна н работа 2 Q&h активных сил и сил

трения:трения:

трения:

трения:

Для заданной материальной системы с ее законом трения мы можем раз навсегда вычислить все функции G, и движение системы для заданных активных сил определится уравнениями Лагранжа: 、

В разобранных в начале двух частных случаях общее определение трения адэкватно нашему обычному представлению о трении. В более сложных случаях соотношение между ними уже не может быть получено так непосредственно, но вытекает из следующих замечаний относительно комбинирования связей. ,

О КОМБИНИРОВАНИИ СВЯЗЕЙ

Разберем сначала простой пример.

Пример. Рассматриваем две тяжелые материальные точки М и Мг с массой, равной единице, связанные жестким стержнем, не имеющим массы; точка М может скользить в горизонтальной прямолинейной не гладкой трубке Ох, имеющей коэффициент трения /, меньший единицы. Определить движение системы, если последняя брошена в вертикальной плоскости Оху.

Движение будет происходить в плоскости Оху. Действующая на точку М± реакция & есть реакция стержня; действующая на М реакция R представляет геометрическую сумму реакции стержня一R и реакции R' трубки Ох. Для того чтобы система S была без трения, необходимо и достаточно согласно общему опреде-州

лению, чтобы реакция /?' была пер- q - — —*■

пендикулярна к О%; если R на- клонна к Ох, то трение обязательно\

имеется.\

Рассмотрим соотношение между\

силами Ri, R；, R； и силами связи I и трения, если определять последние ” в этом частном случае, следуя об-фи「. i.

тему правилу. Если бы система S*

была без трения, то в заданных начальных условиях сила R^ имела бы некоторое значение р) которое мы будем считать положительным, если эта сила идет от Л! к Mlt а сила R' была бы перпендикулярна к Ох и имела бы некоторое значение У'. Таким образом, в рассматриваемом случае силы связи будут р； для точки Мх и р' = — р；+『 для точки М; силы же трения будут р] = /У】一р； для точки Л11Hp = — р】+ К'——Yf= =—Р1Т~Ь для точки М.

Далее мы знаем, что перемещения рЗ/ для точки М и pL 3^ для М± составляют виртуальное перемещение системы S; следовательно, вектор р должен иметь Ох в качестве линии действия; иными словами, если мы назовем 8 угол хММ1У то будем иметь:

—& sin8 + R；—Х = 0;—& sin8 + R；—Х = 0;(а)(а)

—& sin8 + R；—Х = 0;

—& sin8 + R；—Х = 0;

(а)

(а)

кроме того, в виртуальном перемещении системы S проекции на ММг перемещений точек М и Мх равны; отсюда получается соотношение

(—Pi cos 8 + R：) cos 9 = pi.(b)

Из уравнений (а) и (Ь) мы получаем: 7?]cos6// Rfx cos 6 sin 0

Pl = 1 + C0S2 6， У =&1 +cos2 0~ ；

таким образом, в данном случае силы трения будут: для точки М сила р⑦,направленная по Ох и равная

% — 1 十 COS? 6、

а для точки Мх сила, направленная по 加餌 и равная

R； cos 0

1 + COS2 0

(положительное направление считается от 7И к Mj).

Мы видим, что эти силы не сводятся к тангенциальной составляющей R； реакции R’ трубки Ох; причина этого заключается в том, что шероховатость трубки не только дает горизонтальную составляющую, но и изменяет реакцию стержня ММг и нормальную реакцию R； трубки.

Что касается сил связи, то для точки 加工 они сводятся к направленной по ММ± единственной силе

,cos 6Pl —1 + COS2 0,

а для точки М к двум силам:

—Р； и X = R；—Р； и X = R；% cos 6 sin 81 + cos2 6% cos 6 sin 81 + cos2 6

—Р； и X = R；

—Р； и X = R；

% cos 6 sin 8

1 + cos2 6

% cos 6 sin 8

1 + cos2 6

(последняя считается положительной в направлении Оу). Если мы положим

У'=入，Р； = ＜， 匸F盡Г§ =向

то видно, что составляющие сил связи и трения могут быть написаны в таком виде:

для точки М

p:=一入Jos 8,Р勿=出，

P；=—入I sin 8 十入，p》= 0,

а для точки Mt

(P；)⑦=入I C0S 仇(Р1)ж =出 COS2 6,

(%)〃 = % sin 8, (Pj% =世 COS 6 sin 8.

Что касается связывающего R； и R； экспериментального закона трения, то последний выражает, что 世 имеет знак, противоположный х, и удовлетворяет равенству

I 世 I = /| 入十世 sin 8 cos 6 I；

это последнее равенство распадается на два других:

^ ^ 1 + COS2 0 + /sin 6 cos 6 или 出=1 + cos2 8Tsin 6 cos G • “J

Мы видим, что знание закона трения точки М о трубку позволяет нам вычислить закон трения системы S, полученный в результате комбинирования упомянутой связи со связью без трения, удерживающей Ж и 関 на неизменном расстоянии.

Движение системы S определится уравнениями:

需 f —hcosB, 罂=8 —%sin6 +入， ] ■^^==acos2 0 十 ％ cos 6, ^^ =g+|x cos 9 sin 0+人 sin 6

(под 0 подразумевается угол, тангенс которого будет , а также присоединенными к ним двумя уравнениями связи: у = 0 н (% —%/十(《У —М)2 =产，(е)

где г == ММХ.

Если по формулам (е) мы выразим координаты точек 附 и 也 в функции обоих параметров х и 0 и подставим в уравнение (d), то после исключения % н 6 получим:

—(沔2 + g sin 3), — — (2g + 厂的 gin 6)

人]=1 + COS2 6， 人=1 +COS2 3

—величины, не зависящие от 世，как и требовала теория (см. Добавление I, стр. 215); они будут такими же, как если бы система была без трения.

В более общем случае, когда точки М и Мг вместо тяжести подвержены действию каких-нибудь активных сил

(X У) и (X], У】)，МН получаем:

.川 2 + (Х[ —Х)С09б +%sin0

人工=1 + СОЗЙ，'

入=入1 sin 8 — У = — (У + 匕)十1(h)

I 2 cos 0 (Уг cos 0 — Xi sin 6) + (X + X[) sin 6 cos 6 —广®2 sin 6

十1 + cos 6，

оба уравнения, определяющие движение, будут:

(1 + cos2 6 + е/ sin 0 cos 8)=

= "(cos8十e/sinO)十X十乂十叭У十匕)+

十(匕 cos 0 —X] sin 6) (sin 8 — e/cos 6),

гб — * sin 8 =匕 cos 0 — A1sin 6,.

где а равняется + 1 или — 1 в зависимости от того, будут ли даваемые формулами (h) выражения для 入 иметь одинаковый или противоположный знак с х.

Мы видим, что в уравнения (i) входят только X+乂, У 十 ％ н 匕 cos 8—% sin 8 1), иными словами, движение не изменится, если мы заменим активные силы другой системой сил, геометрически им эквивалентной. Мы могли бы предвидеть этот результат при помощи следующих соображений.

Воспользуемся уравнением связи без трения

(х — %/ + (『一％)2 = г^

чтобы определить положения точек Л4 H 饵 в функции трех параметров х, у» 8, и напишем для этих параметров три уравнения Лагранжа. Тогда реакции & и —R、исключатся, так как их работа равна нулю на всяком перемещении при постоянном г; кроме того, работа сил X, У и Xv У\ зависит только от их геометрической суммы и их момента. Тогда, учитывая уравнение связи у = 0, мы получим:

2% — rB sin 0 = г 62 cos 8 十 X + % + R；,丨

rO cos 0 = r^ sin 0 + У 4- Kz -|- R^ > (dz)

rO — * sin9 = % cos 8 —X* sin O.

Если мы выразим, что R； равно 区/R；, где е равно + 1 или ——Г в зависимости от того, будет ли xRy отрицательным или положительным, то увидим, что уравнения (d‘) определяют сразу и движение (при заданных начальных условиях) и величины R； и R；, причем последние в функции только

У 十 ％, rt cos 6 —^ sin 0.

Во всем предыдущем мы оставили в стороне случай трения покоя, иными словами, случай, когда % равняется нулю. В этом случае эмпирический закон трения потребует введения тангенциальных составляющих других сил, кроме реакции трубки Ох, т. е. составляющей X—A】 cos 0; a priori кажется, что движение может измениться,[если мы, например, к активным силам добавим две равные и прямо противоположные силы, приложенные в Л4 и Mv Однако в действительности это не так. Закон трения покоя выражает, что мы имеем:

или R[ = R1cos 9—X, если | & cos 8—X|W/|R；|， или R： = e/R；,если I R± cos 6—X|> f\Ry\^

где e равно + 1 или — 1 в зависимости от того, будет ли Ri cos 9—X отрицательным или положительным.

Но

& cos 0 — X = (м cos 9 十入i) cos 0 — X =

=卩 COS2 О + l£os9+y*s：_X sin 6 ,

R；=入 + 世 c°s 8 sin 6, R；=出(1 十 cos? 0),

a 入 определится вторым из равенств (h). Таким образом, мы можем написать равенство

"Icos 6 + У cos 6 — X sin 6с 亦

世 COS2 0-]丁 sin 8= №(] +cos2»,

то есть-

世 sin 0 = У cos 8 ——X sin 8 十入 cos 6,

где 入 заменяется своим выражением (h), и нужно будет определить, удовлетворяет ли найденное таким образом значение 出 условию

| 世| (1 十 cos?6)《/I 入十卩 cos 8 sin 8 |.

Если это имеет место, то х остается постоянным, а 0 определяется в функций от t из второго уравнения (i). Если, наоборот, предыдущее неравенство не будет удовлетворяться, то полагают

卜 1 + cos2 6 zt/sin 0 cos 0 '

где знак перед / должен быть выбран так, чтобы 出 имело знак, противоположный знаку выражения

cos2 о I 入 cosB + Ycosb — XsinO

•产sin 6，

и чтобы, кроме того, это последнее выражение по абсолютной величине было больше/| 入 + 出 cos 8 sin 8 |; одним словом, знак перед / должен быть выбран так, чтобы * имело знак, противоположный знаку х.

Мы видим, что во всем этом рассуждении мы имеем дело только с геометрической суммой и моментом активных сил X К и X], У「

К последнему результату мы могли бы притти более прямым путем, если бы закон трения покоя формулировали таким образом: или х остается постоянным (и в этом случае R； по абсолютной величине меньше, чем /| Ry |), или же % изменяется с возрастанием времени, начиная от' рассматриваемого момента £; тогда в промежутке от 力 “о Е-(-А/ сила Rx всегда имеет знак, противоположный знаку х, и по абсолютной величине равна f\Ry\-

Для того чтобы учесть этот закон, воспользуемся уравнениями (d‘), положив в них х = 0; мы получим:

R； = (Х[ sin 8 — K1 cos 6) — (X+XJ —为2 cos О,

Rfy =(匕 cos 8 —司 sin 8) — (У 十匕)—/^ sin о；

если первое выражение по абсолютной* величине меньше второго, то х остается постоянным (если выполняется упомянутое неравенство). Если же это неравенство не выполняется, то в уравнениях (d‘)мы заменяем R； через 土/%, выбирая знак перед / так, чтобы R】 имело знак, противоположный знаку приращения х; иными словами, в первом уравнении (i), где а = 土 1, знак при а должен быть выбран так, чтобы

Второй член этого уравнения и произведение &入 имели бы одинаковые знаки 】).Итак, знание коэффициента трения / трубки Ох позволяет нам определить и движение, и закон трения системы S. Это движение как в случае трения покоя, так и в случае трения движения не изменяется, если действующие на тело ММГ активные силы мы заменим другими геометрически им эквивалентными силами.

Чтобы привести пример исследовайия, к которому мы таким образом приходим, допустим, что наша система, на которую не действуют никакие активные силы, поставлена в момент 归 в следующие начальные условия:

х = “°, 6 = 6q, % = 0, 6 = 6。V О,

причем 0О заключается между 0 и 专.Положив х = 0, мы получим:

% = — г02 cos 6, g =—你 sin 0;

если cos в0 меньше / sin 0О, то х останется постоянным и 0 будет уменьшаться пропорционально времени, пока не достигнет значения 比, тангенс которого равен у • Но закон трения точно так же совместим с предположением

2(1+ cos2 6 + sfsin 6 cos 0) = rd2 (cos 0 + sfsin 6), если только имеет место неравенство

—е sin 0о (cos 0О + 歹 sin 00) > 0.

В соответствии с этим, если мы имеем

cos %> efsin 0о,

то движение системы вполне определено и соответствует второму предположению: е = — 1; если, наоборот, мы имеем

cos 6q< e/sin 00,

то х остается равйым %。н 6 уменьшается пропорционально времени в промежутке от /0 до 办十 %不 °。・・

В дальнейшем мы приведем еще один пример, когда уравнения позволяют делать выбор между несколькими различными движениями.

В этом исследовании закона трения системы S мы предпола- гали /С 1; если бы коэффициент / был больше 1, то возникли бы новые трудности, касающиеся совместности обоих уравнений связей. К этому пункту мы еще вернемся в дальнейшем.

3 Зак. 1628. П. Пэнлеве

§4§4ЛЕкн"Н о ТЛЕНИЙ

§4

§4

Наконец, заметим, что в уравнениях Лагранжа (d‘)можно силы R： и 7?； выразить в зависимости от сил связи и сил трения системы $. При каком-нибудь перемещении системы ММ± (если расстояние MMt остается постоянным) виртуальная работа сил трения равна

у (1 十 cos 9) Вх + 卩 sin В cos 8 By

а виртуальная работа сил связи равна 入Еу.

Уравнения (d‘) в таком случае перепишутся в виде

2х — гб sin 8 =内2 cos 8 +*十％ + * (1 + cos^),

г6 cos 8 = г @ sin 8 十 У】+ У + 世 sin 8 cos 0 + 入， (D) гО —х sin 6 =匕 cos 8 —X* sin 6;

к этим уравнениям надо добавить закон трения:

1 + cos2 0 + е/sin 0 cos 0

Ясно, что в предыдущих уравнениях ничего не изменится, если мы силы трения (а также и силы связи) заменим системой сил им геометрически эквивалентных; например, в рассматриваемом случае можно силы трения и связи привести соответственно к одной силе и назвать силой связи реакцию 】) У7 = А, с которой действовала бы на М идеально гладкая трубка Ох, а силой трения назвать разность

ь = /Г —У;

равенравенсила трения геометрически эквивалентна некоторой системе виртуальных скоростей при определенном виртуальном перемещении системы S. Она имеет горизонтальную составляющую Rx и образует с осью Ох угол о), тангенс которого

равен

равен

. cos 6 sin 6

'g ①=1 + COS2 0 ・

Вследствие шероховатости трубки нормальная реакция R； уже не будет более равна У- но

у г1 + cos? 9

1 + cOS2 6 + e/ Sill『COS 6 •

Общий случай. Рассмотрим теперь какую-нибудь систему S из п материальных точек М, на которые наложены любые связи, и вообразим, что препятствующие свободному движению каждой точки материальные препятствия G можно разделить на две группы G* и G2. Реакция R, действующая на точку М системы S, представляет равнодействующую двух реакций R】и /?2, которые соответственно представляют действия на эту точку элементов С^ и О2, на которых в данный момент находится точка М. Допустим, что нам известен закон трения связей Gv иными словами, закон трения системы S「 составленной из всех /г точек М, свобода движения которой стеснена одними лишь материальными препятствиями группы О】1); допустим также, что нам известен и закон трения связей О2. Из этих двух законов мы выведем закон трения системы S.

В дальнейшем мы предполагаем, что связи Gx и G2 являются аналитически и материально совместимыми. Под этим я подразумеваю, что:

Если связи G] и G2 оставляют системе соответственно 3〃 一& и 3〃 一/?2 степеней свободы ), то связи 必十仇

3636Лекции о трений

36

36

оставят системе По меньшей мере 3〃一(Р1+Р2) степеней свободы.

Если система S в момент / находится в любых начальных условиях и подвержена действию любых активных сил, то препятствия Gt и О2 могут производить конечные реакции, в соответствии с их законом трения и обладающие тем свойством, что соблюдаются все связи G】и G?.

Если бы эти условия не были выполнены, то было бы невозможно реально совместить обе группы материальных связей О】и О2. Впрочем, в дальнейшем мы еще вернемся к вопросу о несовместимости связей.

Однако мы, кроме того, делаем еще одно существенное предположение, а именно, что совокупность связей Gi + G? не имеет излишних связей (иными словами, что система S имеет как раз 3〃一(夕i+夕2)степеней свободы 】)). Заметим, что в таком случае Pj+Pa должно быть меньше 3〃.

Покажем, исходя из этих предположений, что для определения закона трения системы S достаточно знания законов трения каждой из групп связей G] и G?.,

Если бы существовали одни только связи G[, то координаты точек М должны были бы удовлетворять 夕^ соотношениям:

仇(％1，Уtt 2], . •., xw, уп, Zn, /) = О С = 1, 2, . . ., Pi)，(а) которые мы можем предполагать разрешенными относительно 夕】 переменных х, у z; таким образом, эти последние выражены в функции каких-нибудь 3〃 ——рх из них, которые я обозначу через 广 1，广2, • • •，гзп-р • “т° касается сил трения р〔 и сил связи р；, действующих на каждую точку М (%, у, г) системы S^, то

тически выражаются 夕】различными соотношениями:

屮％ ("1，У1，勺，• • •，"加歹案，z加 /) =。(z = 1, 2, ...,，i),(a)

которые могут быть решены по отношению к р^ из переменных %, у, z・

Если связи С?2 выражаются р2 различными соотношениями: 屮7("1，Уъ 2]_, • • •, "”，Уп^ z,2，/) = 0 (j = 1, 2, ..., Р2),(Р)

которые могут быть разрешены по отношению к р% переменным х, у, z, то сказать, что совместимые связи О^ + О^ не имеют излишних, значит сказать, что р^ + р2 уравнений (а) и 偉)，взятых вместе, являются различными и могут быть разрешены по отношению к & + 〃2 переменным %, у，z.

согласно общему определению они соответственно будут иметь составляющие следующего вида:

在此业此匹阳 阳 出 ==‘==厶在此业此匹阳 阳 出 ==‘==厶. ■・十23"一弘步 ，. ■・十23"一弘步 ，十俨2 歹 + • • • + ^п-р,十俨2 歹 + • • • + ^п-р,0广3%一用1 ^Г3п-р10广3%一用1 ^Г3п-р1⑺⑺• • • ' I '出3%—夠• • • ' I '出3%—夠⑸⑸

在此业此匹阳 阳 出 =

=‘==厶

在此业此匹阳 阳 出 =

=‘==厶

. ■・十23"一弘步 ，

. ■・十23"一弘步 ，

十俨2 歹 + • • • + ^п-р,

十俨2 歹 + • • • + ^п-р,

0广3%一用1 ^Г3п-р1

0广3%一用1 ^Г3п-р1

⑺

⑺

• • • ' I '出3%—夠

• • • ' I '出3%—夠

⑸

⑸

Закон трения системы S[ позволяет нам определить ^, 出2，•••， Аз%-#】в функции 入i，入&, а также х, у, z, %, у, z и t (см. стр. 24).

Те же самые замечания могут быть сделаны и относительно системы $2，образованной из п точек М, на которые наложены одни лишь связи О2; составляющие сил трения р9 и сил связи р； могут быть выражены равенствами вида ⑺ и (8). Пусть № соотношений, выражающих аналитически связи 仇，будут:

% (%1，%，2], • • • , %%, %, 2%, £) =。 (У =. 1 , 2,・.•，02)； (р) мы предполагаем, что эти уравнения разрешены относительно р2 переменных из общего числа 3〃； таким образом, если эти 3〃 переменных %, у 2 выражены при помощи 3〃一р2 из них, положим S[, Sg, ..., S3%-•网,то мы будем иметь:

禦=匕籌十• •・+ 證^/，] ")

Р第一:翁+…+入z" 丨 （*）

и при помощи закона трения системы S? мы можем определить »；, ..., »；%_力* в функции 入二•.・,入/屮 координат х, у z, их производных %, у z н времени Л

Действующая на точку М системы S (со связями Gt 十 Ga) сила трения р, вообще говоря, не будет результирующей сил р〔 и ра. Мы только будем иметь:

R = R*十仆， иными словами,

Р + PZ = Р1 + Р^ + Р2 + ₽2-

Но если силы р】и р2 нам известны, то мы можем легко получить отсюда и силы р. Достаточно будет разложить векторы pi + pz на такие векторы р м ь, чтобы, с одной стороны, работа сил а была равна нулю на всякрм виртуальном перемещении системы S (допускаемом связями 。[斗^纟)и чтобы, с другой стороны, перемещение ^ 弘 каждой точки М системы S было одним из вышеупомянутых виртуальных перемещений. Как мы знаем, подобное разложение может быть выполнено только одним единственным способом; полученные таким образом силы р будут силами трения, а силы р； + + Р； + ь будут силами связи, действующими на систему S согласно общему определению ).

Связи G + Gq выражаются 网十必 различными соотношениями между х9 у9 z и 力 которые мы можем написать в виде

力(％i，%，Z], . • ., %%, %, 2%, £) = 0 (Z = 1, 2, ..., Р[+ Pg) (1) и которые мы можем считать разрешенными относительно Р1+「2 переменных х, у, 2. Эти соотношения, которые эквивалентны соотношениям (а) и (0), позволяют, таким образом, выразить Зп переменных х, у, z в функции Зп —网一p2 = k

параметров qv %, ..., g空.Силы р м р' имеют составляющие, определяемые выражениями вида

(就，I(D)

P：=厶翁£+ … +L^+^ 粵浄，｝ (A)

Для заданных начальных условий системы S составляющие СИЛ р И р' ВЫЧИСЛЯЮТСЯ В функции составляющих Р1， р；, р2, р；, иными словами, в функции коэффициентов 入，入'и 卩，К причем последние коэффициенты могут быть согласно законам трения систем S〔 и S? вычислены в функции 入 и 入'.Отсюда следует, что коэффициенты М м L известны соответственно в функции 入1 .・. кр、,入;・・.入彳2. Если относительно 入,入'решить д + о? Уравнений, определяющих Lv ..., %】+夕2， и подставить полученные выражения в уравнения, определяющие Mv ..., Mki то видно, что коэффициенты М будут, таким образом, определены в функции L (а также х, у 2, х, у, 2 и /), иными словами, что закон трения системы S известен.

Это, однако, предполагает, что уравнения, дающие L в функции от 入，入'，могут быть действительно разрешены по отношению к этим последним. Покажем, что всегда так именно и бывает. Для этого напишем Зп уравнений движения системы S:

⑵

/醤=2 +p¥十Р2什Р、+p^=…

Если мы выразим координаты х, у ^ и их первые и вторые производные в функции k переменных 内，а также q(, 0% 1) и исключим все 0% из уравнений (2), то получим: 2k给望卄紛=

=向1＞儀幾+爲第十紛十…

十%+

I 2 a \ dsp^ дх I ds@, ду dsp^ dz / 1

十 1乙0%十"、勿十dz 02丿十

(/ = 1, 2,・..，рт 十 ^2)，

или еще, если мы выразим все 卜，р/ в функции от 入，入'： 2(Х考+y嚮+喈)=

力(大i，， ， •'入jo) ~4~ 力(入1, • • .,入出)，(3)

Функции % н %’ зависят, кроме того, от /, q» и q(.

Полученные 厶+网 Уравнений (3) по отношению к 入，入/ будут необходимо совместными; в противном случае для заданных активных сил X-『，Z' препятствия не смогли бы дать конечных реакций сообразных с законами трения при удерживаемых связях; таким образом, материальные связи °14~°2 не были бы совместимыми. Таким образом, функциональный определитель функций %, %’ по отношению к 入，入' не будет тождественно равным нулю; в противном случае уравнения (3) были бы несовместными, если бы мы давали

произвольные значения левым частям и, следовательно, если бы мы произвольно выбирали активные силы 】）.

Таким образом, уравнения （3） могут быть разрешены относительно 入，入

С другой стороны, мы могли бы написать уравнения движения в следующем виде:

復黑=*+р。+р:=¥+他网爲+…,

и, исключая все g, мы нашли бы （см. Добавление I, стр. 216）: £俨部+嚼十7紛=

^4\дх дх ду ду 0Z 02 丿十

0 f^fp^P^匹丄%+网0力！ 物Л+力2 °力）-

…02乙卜一族一林ду 一砂石一~dz ）一

3% （丄1 ‘ • • •，丄#1 +#）（‘ ^^ 1，2, . .., P[ + 夕2）• （5）

Теперь 夕1~|-夕2 соотношений （5） не зависят от коэффициентов М; кроме того, как мы знаем, их можно разрешить относительно L. Таким образом, р1-\-р2 уравнений:

①％（厶，•…，41+02）= Xz（入：р，入/） + %z（入1，• • •，％），

где /= 1, 2,...,夕1-|-夕2， одновременно могут быть разрешены или по отношению к 〃，или по отношению к 入，入‘.Это мы как раз и хотели доказать.

Можно всегда подобрать Х‘，У, Zr так, чтобы выражения

имели произвольно заданные значения %, ..., ^р^р^ и это вследствие того, что по крайней мере один из функциональных определителей уравнений / относительно ?2 переменных х, у, z не равен

Что касается движения системы S, то оно определяется уравнениями Лагранжа:

У諾)—^=Q；+Q：(』，2,…，&(6)

где

В этом последнем выражении все р】女 р2ж и т. д. определены уравнениями (丫)и «), в которых коэффициенты 向 р/ выражаются в функции 入,入'при помощи законов трения систем S] и S2, а сами 入,入'определяются уравнениями (3). Таким образом, мы видим окончательно, что все Q； представляются известными функциями от X', % Z' и переменных 〃，〃，£】).

Во всем предыдущем мы пренебрегали частным случаем, когда начальные условия системы S делают неприложимыми в рассматриваемый момент / обычные законы трения системы S】 или 52. Рассмотрим, например, систему St, когда начальные условия удовлетворяют некоторым соотношениям (выражающим всегда, что относительная скорость двух элементов, трущихся один о другой, равна нулю); тогда закон трения системы S】 становится неопределенным, знание сил связи уже не влечет за собой знание сил трения, коэффициенты ^, ..., рь3п _^х уже не являются известными функциями 入】,...,入力】，но являются функциями активных сил, действующих на систему S, иными словами, функциями не реакций связей Gt, а других сил. Таким образом, в приложении к системе S закон трения покоя системы St позволит определить коэффициенты 卩 в функции выражений:

£ = Х，+ Р2宮+ р%，Н = Х + р2« + рМ z = z + p2, + p&

Может случиться, что Q； представляются многозначными функциями от X', У, Z', потому что уравнения (3) не являются линейными относительно 入，X и в некоторых случаях допускают несколько решений. Тогда уравнения движения оставляют возможность выбора между некоторыми возможными движениями, удэвле- творяющими заданным начальным условиям? '

т. е. в функции X- У- Z' и X:

p*j:—尸, У】，Z],X九,У加Z九,入1, 入网，

%，•••，夕/p 弘，• • •，夕/c，0%，•••，夕/p 弘，• • •，夕/c，0(/= 1, 2, ..., 3〃一р〔). (7)(/= 1, 2, ..., 3〃一р〔). (7)

%，•••，夕/p 弘，• • •，夕/c，0

%，•••，夕/p 弘，• • •，夕/c，0

(/= 1, 2, ..., 3〃一р〔). (7)

(/= 1, 2, ..., 3〃一р〔). (7)

То же самое замечание можно сделать и относительно системы S?. В соответствии с этим, если для момента / начальные условия «@, q^ системы S как раз соответствуют для системы S] (но не для S?) случаю трения покоя, то в уравнениях (2) надо заменить 出丁 их выражениями (7), а 出;——их выражениями в зависимости от 入;，…，入)• Если в каком- нибудь случае начальные условия соответствуют трению покоя одновременно для обеих St и S2, то 卩/ заменяют их выражениями (7), а 紀—аналогичными выражениями, получающимися из закона трения покоя системы S?.

Полученные таким образом 3〃 уравнений (2), в которых все координаты х, у, z выражены в функции %, вообще говоря, достаточны для определения 3〃 неизвестных «(, ..., qk и 入 1，• • •，入тм 入;，...,入/z，а следовательно, и выражений для L и М и закона трения покоя системы S. Однако в этом случае может иногда оказаться, что уравнения (2) уже не будут различными, и если мы исключим из этих уравнений все q, то полученные в результате 力+风 соотношений для 入，卜 будут иметь вид

е（m聂+噹+7紀=

= а（х[ У；, Z；,・・・，兄，Г；, Z：, %,・•.，％, 乂入 1）

(/ —1 1, 2,、. .，Р] + 〃2)•

Эти уравнения должны быть совместными, поскольку должны быть совместимыми материальные связи G + Q，но они не будут необходимо различными и иногда сведутся лишь к А. +「2 — 7 условиям. В таком случае они позволят выразить Р1Л~Р1—/ переменных 入，V в функции 丿 остальных, которые остаются неопределенными и могут фигурировать в выражениях для Q；. Но в простейших приложениях, где встречается эта особенность ) эти / неопределенных величин сами

工)В дальнейшем будет приведен соответствующий пример.

собой исключаются в выражениях для Q；, и уравнения Лагранжа (6) определяют движение; тогда реакции

R =加丫 —尸丿

могут быть определены, а следовательно, будут известны и силы р и р' и закон трения системы S, но силы р】，р； и р》р： уже не определяются по заданным активным силам 尸-начальным условиям и законам трения систем S^ и 52.

Окончательно, если оставить в стороне некоторые особые случаи, мы видим, что знание закона трения связей Gx и закона трения связей G2 является вполне достаточным для определения закона трения связей Gt + G2, а следовательно, и движения -системы 5, если только будут известными активные силы. Это предполагает только, что среди связей Gx -}-G2 не будет ни несовместимых, ни излишних.

Случаи, когда одна из групп связей без трения. Если одна из групп связей, например 01? без трения, то коэффициенты 卩 в уравнениях (2) равны нулю, и мы легко можем исключить все 入,которые входят в эти уравнения линейно. Для этого будет достаточно написать уравнения Лагранжа для Зп ——夕[параметров q, r2, •.., r3nкоторые определяют положение точек М при наличии связей 仇.Так как виртуальная работа реакций R' равна нулю на всяком виртуальном перемещении, совместимом (в момент /) со связями G「то правые части этих уравнений Лагранжа уже не будут содержать 入.Если мы обозначим через т живую силу системы S], выраженную в функции г, г и А то будем иметь: 寄(勺一訂=% =居+%十国(8)

(丿=1, 2, . • ., Зп尸 1),

где

月=2(х嗡十f訪+Z器)，

=%%]+... +以一网号3*0/ 円=e (p/器十爲+ P；N卷)=入每1 + • ..+入1佐网,

Уравнения (8) вместе с ра различными уравнениями

尸m (厂工，，一，厂3也-/j ") ^23 ° (" = 1, 2, . . . ,02)， (9)

выражающими связи Ga 】),определяют движение. Если все г мы выразим в функции Е параметров qv •・•, qki то полученные таким образом уравнения (8) не будут отличаться от той системы, которую мы могли бы получить из уравнений (2) после исключения 入；если мы подставим выражения 甘‘ в функции 入'，полученные на основании закона трения связей О2, то эти уравнения определят одновременно и ^ и все 入'•

Таким образом, мы видим, что движение системы S остается одним и тем же, если мы заданные активные силы заменим активными силами, эквивалентными по отношению 汇 системе без трения Sp—я подразумеваю — активными силами, имеющими ту же самую виртуальную работу, что и первые силы, во всяком виртуальном перемещении точек М, совместимом со связями G^ (для момента 方).Я добавляю, что коэффициенты 得 необходимо имеют форму

阳=厶^+%^+…十血密，

где / являются неопределенными величинами, в функции от которых линейно выражаются все 入'；действительно, так как работа сил р； равна нулю для всякого виртуального перемещения, допускаемого связями Ga, то она будет равна нулю и для всякого виртуального перемещения системы S, что и доказывает высказанное предположение (см. седьмую лекцию первой части, случай, когда параметры q не являются независимыми) ). Мы можем сказать, что закон трения связей О2 позволяет определить все ^ в функции от /•

Другое важное замечание касается закона трения системы S (на которую наложены связи С^ + С?). Уравнения (8) мы можем переписать в таком виде:

^(含)—翁=& + & (/=1，2,.・.，3〃一pl， (10)

где

= e (р8芻+Р證十Pz居)=

=犯玲,1十川也,2 + • ..+ ^kaj,也

8尸 Е(р湍+р；訪 +?^-) =

=丄1%, 1 +£2%, 2十…+ /也，公

Так как во всяком виртуальном перемещении системы S виртуальная работа сил р‘ равна нулю, то выражения для Bj могут быть представлены в виде

з? = 也嘉疆也霏， ⑴)

причем L выражаются линейно в функции от у. Кроме того, если уравнения (10) решить по отношению к г и полученные выражения подставить в уравнения

0尸次二［1°尸W*:I

万十十石二:%吁+

十(筹十金G十…+生:…).广。,(9，)

где т принимает значения 1, 2,…，р2, а индекс (2) обозначает символическое возведение в квадрат, то полученные таким образом уравнения между 七(или v) будут такими же, как если бы все М равнялись нулю, то-есть не зависящими от М; отсюда следует, что если мы из т выделим составную часть «2， представляющую однородный многочлен второй степени по отношению к rt, г2 и т. д.:

% = 2 4力勺(4j =冬)，

то коэффициенты А необходимо будут иметь вид

4 = 4, 101 + 4, 2c2 + • • , 十沙，3"一力03"-8)

八 дг8 . дга .. дг8}(12)

点=叫丽+吗砺+…+^而？ J

где o)i， 0)2, ..., &届 суть неопределенные величины, в функции которых линейно выражаются Mlt ..., Мк. Действи-

Тельно, пусть полученные из уравнений (10) выражения г8 имеют вид

厂 8 = G + А'

где Ds представляют значения, которые мы получили бы, приравняв нулю все М, то-есть все 为;так как Са не должны ничего дать в уравнениях (9‘)，то они необходимо должны иметь вид W 叫察；кроме того, поскольку уравнения (10), в которых 勺 приравнены нулю, удовлетворяются после замены в них М на то мы имеем:

В особенности важно отметить то обстоятельство, что закон трения системы S определяет 3° ①纟，• • • ‘ ^к в функции от У[,卜署.Для того чтобы в этом убедиться, достаточно приравнять тождественно выражения Aj-\-Bj и %+得；полученные таким образом 3〃一р* уравнений будут по отношению к о), у линейными и определят все эти 3〃 一& переменных в функции от р/,"吼 а следовательно, и в функции 入-если мы привлечем закон трения. Если мы

Эти уравнения всегда совместны и определенны; чтобы в этом непосредственно убедиться, достаточно заметить, что если бы их определитель равнялся нулю, то соответствующая система однородных уравнений допускала бы бесконечное множество решений и, следовательно, существовали бы такие значения CSt By, которые, не будучи все одновременно равными нулю, удовлетворяли бы системе

",1% + …+ 4,3九一&03九一?1 + X ^" + •一+ 吼"5^ = °

(j = 1, 2, ..., 3〃 Pi)»

&学 + ...= 0 (加=1,

叫0ГЗп-р1

Если 3〃 ——Pi первых из этих уравнений мы умножим соответственно на Сь б?2, ... и просуммируем, то из них необходимо следует равенство 實=0, в котором мы полагаем rt = Сь 为=3 и т. д. и, следовательно, ^ = 0, ..., С^п-р^ = °> таким образом, все y будут тоже равны нулю (на основании р? первых уравнений, для которых не равен нулю определитель по отношению к v). Это рассуждение показывает, что выражение g 〃戸/ может быть

4848лекции о трении

48

48

наоборот выразим 入［・・・,入;纟 в функции 、工,•・•, v^, то увидим, что закон трения позволяет определить ^,...,侬儿 в функции v15 ..., У/2 (и переменных 厶 夕,q).

Обратно, если мы знаем 叫，・..，а)л в функции от v, то мы знаем и Мг, .. ., Мк в функции от 厶 то-есть мы знаем и закон трения системы S, поскольку все М выражаются линейно через 侬寸•..，侬乃，a v выражаются линейно через 丄］,.• . , Z-勿］ +j»2 *

Окончательно, если мы учитываем и связи Gx без трения, то общее определение трения сводится к тому, что мы работу реакций £。广/^ (на каком-нибудь виртуальном перемещении, допускаемом связями G в момент /) разлагаем на две части:

£ A^rp S 5M

обладающие тем свойством, что коэффициенты 为 имеют форму (12), а вторая часть равна нулю для всякого перемещения, допускаемого связями G2. Закон трения системы S позволяет определить виртуальную работу 2 厶押$ сил трения в функции виртуальной работы £ 5^6勺 сил связи или, если угодно, определить коэффициенты з в функции v. После того как о)］, ...,侬儿 будут таким образом даны в функции V (и переменных q, q, /), то уравнения (10), в которых V выражают через '「 ^2, . . ., qki определят сразу и % н все у； движение системы S будет определено через начальные условия, если нам известны активные силы или просто виртуальная работа 2 ^i^ri этих сил (для всякого виртуального перемещения, допускаемого связями О^.

Заметим, наконец, что в уравнениях (10) ничего не изменится, если мы вместо сил трения (или сил связи) подставим силы, эквивалентные им по отношению к системе S^ без трения. Именно возможно «силами связи» называть реакции R；, с которыми действовали бы на каждую точку М препятствия G2, если бы (при неизменных условиях системы (и только одним способом) разложено на две части £ &3勺 и 2 ^^гр обладающие тем свойством, что вторая равна нулю для всякого виртуального перемещения, совместимого со связями (9) и что, кроме гого, все Л / имеют вид (12).

в момент / и при тех же самых активных силах) связи G были без трения; действительно, если через R】 обозначить реакции, с которыми (в том же самом предположении) действовали бы на точку М препятствия Gv то мы имели бы:

причем работа сил /?； равна нулю для всякого виртуального перемещения, допускаемого связями Gv поскольку последние без трения 】). На том же самом основании возможно называть «силами трения» геометрические разности

/?〃 = /?2 —内

где /?а представляет реакцию, которую в момент / действительно оказывают на точку М препятствия G^.

Например, если S есть неизменяемая система п точек, на которую наложены еще другие связи % т0 внутренние связи С】 неизменяемой системы являются связями без трения. Мы будем называть силами связи внешние реакции R, с которыми действовали бы на систему S препятствия % если бы они были без трения; силами же трения мы будем называть геометрические разности

R —W, где R обозначает внешнюю реакцию, которая действительно приложена к точке М. Векторы R — R геометрически эквивалентны количествам движения точек М на некотором виртуальном перемещении неизменяемой системы. Пусть QA! и OG' представляют соответственно геометрическую сумму векторов R' и их момент относительно точки 0 и пусть Оа и Оу представляют аналогичные величины для векторов R ——R'; закон трения системы S позволяет определить Оа, 。丫 в функции составляющих 04 и ОО. Если этот закон раз навсегда установлен, то достаточно знать геометрическую сумму и момент (по отношению к О) активных сил, чтобы иметь возможность исследовать движение системы S. Однако это все-таки предполагает, что среди связей системы S не имеется излишних.

Это предполагает, что связи G2, будучи лишены трения, все еще будут совместимыми со связями 0卜

4 Зак. 1628. П. Пэнлеве

Правило комбинирования любых связей. Теперь предположим, что дело идет о комбинировании нескольких групп материальных связей G】，...， Gs, законы трения каждой из которых являются соответственно известными. Применяя полученные выше результаты, мы составляем закон трения связей G】+ G2, затем связей (G】+ Cz2)十 G3 и т. д., наконец, закон трения связей Gx -|~ ^з + ・.・ 十 G§, при'условии, что все эти связи совместимы и не содержат излишних. Таким образом, знание активных сил системы позволит определить движение данной системы S, на которую наложены связи G】十 G^ 十 .• •十 G$.

Можно начать с того, чтобы скомбинировать все связи без трения (пусть это будут q,…，Gj), вся группа которых (например, G) будет тоже лишенной трения; при этом не имеет большого значения, будут ли или нет в составе этой группы излишние связи. Действительно, достаточно, чтобы группа G и группы G” Gi+V ...» Gs связей с трением, вместе взятые, не имели бы лишних связей, иными словами, чтобы различные уравнения, выражающие соответственно связи G, G%, Gi+V . . ., Gs, оставались различными, когда все эти связи будут взяты одновременно 】).

Таким образом, в соответствии с этим мы допустим, что упомянутая группа G будет первой группой 6】наших связей и что все остальные группы будут с трением. Если связи Gp 仇，…，Os отнимают у системы соответственно Pi， 。2, ••・，Ps степеней свободы, то система S имеет точно

3〃一凸一02一...一Ps =h

степеней свободы, так как, согласно предположению, все связи совместимы и не имеют в своем составе излишних. Воспользуемся р± соотношениями G】для того, чтобы определить положение системы S при помощи Зп — р± параметров /\,・.・,厂3九—]и напишем для этих параметров 3〃 ——р*

При комбинировании материальных связей без трения полу* ценная в результате система будет тоже системой без трения и полная реакция, действующая на каждую точку системы, определяется уравнениями движения; но если в числе этих связей имеются излишние, то полную реакцию можно бесконечным числом способов разложить на соответствующие каждой связи частные реакции.

уравнений Лагранжа:

玄总一 ^=a=足十滤)+限+点)+能)(a)

(Z = 1, 2,….，3/Z —/?]),

где суммы 2 а?组々 и 2 仰)3乙 соответственно представляют работы сил трения и сил связи для группjj G^ и т. д. Коэффициенты 0肾 являются линейными функциями ра неопределенных величин 入；，入i …，入]，а при помощи закона трения связей G2 мы можем определить коэффициенты а£) в функции от Г. То же самое замечание можно сделать и относительно выражений 齊)，曾)и т< д.； окончательно, если в уравнениях (А) мы заменим все г их выражениями в функции 左 параметров 彳工，...，.夕兀，то мы будем иметь систему 3%―рх уравнений для того, чтобы определить одновременно и 彳 1， ^2, .. ., q^ и 。2十。3 十••• + Ps неопределенных величин 入',入〃,...i). После исключения 入 остаются для определения движения 左 дифференциальных уравнений второго порядка.

В некоторых случаях бывает выгодно вычислять 入,исключая все gi); после определения 入,а следовательно, и а соответствующие выражения подставляются в k уравнений Лагранжа:

為(^^)—第=Q = Q； + Qy)+ • • • + Q$)(/=1,2,...,论),

i) Эти уравнения будут всегда совместными и определенными; в этом между прочим можно убедиться непосредственно, рассуждая, как на странице 40; если решить уравнения (А) относительно г и подставить в р? + Рз + • • • + р8 уравнений связи, предварительно дважды продифференцировав их, например 旷厂丄 + ... = 0, то по- лученные таким образом уравнения могут быть приведены к виду, в котором первые члены не зависят от R- а вторые не содержат 入 и могут принимать (благодаря А') какие угодно значения; так как эти уравнения необходимо будут совместными (поскольку совместимы связи системы), то их функциональный определитель относительно 入 не будет тождественно равным нулю; таким образом, они являются различными между собой. После того как 入 определены, все q находятся уже без трудностей.

в которых

Q” IX）鴇+虑鳴+…十明，驾子

и т. д.

Наконец, заметим, что во всем предыдущем ничего не изменится, если вместо закона трения связей Ga, G?, ... мы будем знать законы трения связей Gt -］- G2, G^ + G? и т. д. Действительно, при помощи закона трения связей Gx -{- ^2 мы можем вычислить суммы 、a?）十炉，齊）十筹）

.в функции от 〃2 неопределенных величин '，…，“ и то же самое замечание можно применить и к связям Gt + G3 и т. д. Таким образом, окончательно мы сможем вычислить движение системы, если будем знать законы трения соответственно связей （01+ 仇），（仇十/）,（仇十 5）, 5+i，…，Gs. Это замечание будет нам полезным при изучении сплошных систем.

Замечание о случае трения покоя. Во всем вышеприведенном исследовании предположения, что одна группа связей Gt не имеет трения, мы оставили в стороне случай трения покоя. Поэтому вернемся к комбинации двух групп связей Gt и G2 в предположении, что начальные условия （夕，g, t） системы S вместо обычного закона трения связей требуют применения закона трения покоя. Воспользуемся обозначениями стр. 40 и напишем еще раз уравнения （8） （стр. 44）. Коэффициенты 也...,卩聊一鍔 теперь уже не даны в виде явной функции 入］...,入［,но в функции А7, У', Z- 入1，…，％ （см. стр. 43）, поэтому в данном частном случае кажется, что уравнений （8） не достаточно для определения движения и что для этого необходимо знать сами эти силы X- У', Z，（а не только их работу S/?j 8г_）. Однако это совсем не так.

Рассмотрим, например, что получается в частном случае, когда S представляет неизменяемую систему, одна точка Мх которой скользит по неподвижной поверхности Е. Реакции препятствий G2 в этом случае сводятся к единственной силе R「 приложенной в ^; составляющая Rn этой силы, нормальная к 士， зависит от одной неопределенной величины 人‘，

а тангенциальная составляющая R'——от двух неопределенных величин, в функции которых выражаются коэффициенты 卜;,2；, ..., ^п_р • Положение точки М± на S будем определять двумя параметрами д「 ‘加 обычный закон трения для О9 будет неприложим только, если одновременно имеют место равенства ^ = 0, ^2 = 0, и тогда закон трения покоя выражает, что возможны два случая: или 夕^ и ^а остаются равными нулю в конечном промежутке времени от / до 力午厶力 и тогда

旧<71尸/

или же '[ н ,2 в промежутке от / по /+△/ не равны одновременно нулю, и тогда в данном промежутке применим обычный закон трения.

Во всех простых приложениях дело обстоит аналогичным образом. Пусть &十夕2 будет число неопределенных величин

X，…,勺J М，…，Na,

которые определяют реакции препятствий Ga (если мы ничего не знаем о законе трения). Обычный закон трения связей Ga неприложим только для начальных условий точек М, удовлетворяющих некоторой системе соотношений

^ш = °

(не вытекающих из связей GJ; в таких случаях закон трения покоя говорит, что возможны два случая: или что соотношения = 0 удовлетворяются в течение конечного промежутка времени от / до %+△方 и величины ^ удовлетворяют в этом случае некоторому определенному неравенству Q < 0, или же что при возрастании / система gw = 0 перестает удовлетворяться, и тогда в промежутке от t до 方十 А/ применим обычный закон трения. В соответствии с этим для применения закона трения покоя сначала надо исследовать, будут ли уравнения трения соответствовать первому предположению, для чего пишутся уравнения (8), правые части которых выражаются при помощи 入'и N, и к ним присоединяются d соотношений

g ( • • • , %,力)^1 °；

если в уравнениях （8） заменить все 厂.их выражениями в функции 01，..., qki то мы получим Зп — p±^-d уравнений для определения 3〃—p1-］-d неизвестных ^,...,夕〃,入；,・・・,心/ Np . . ., N& необходимо, чтобы эти уравнения допускали по меньшей мере одну систему решений 入-N, удовлетворяющих неравенству 2 < 0. Чтобы проверить, не приводят ли урав

нения движения ко второму предположению, достаточно заметить, я то обычный закон трения позволяет определить все ^ в функции от К причем коэффициенты соответствующих выражений зависят от q, q, t м становятся неопределенными, когда ^,夕，t удовлетворяют соотношениям g=0； если мы предположим, что в промежутке от t до t-\-M выражения q разложены в ряд по степеням △/:

A力）—%（方）十丁内（方） +「^ G "）十…，

то функции

N 尸（入 1，• • • , Xj）?,01，• . •,先:,'1，• • •'势"'）

будут с приближением А/ к нулю соответственно стремиться к некоторому пределу, положим 尸'（入］...,Х^2, . . ., ^,... ...,9订...,夕力...,/）; в уравнениях （8） заменим неопределенные ^ этими выражениями

N/ F（入］,...,^р.^ • • •» %，•…，％，•…，％,..・，/） 2«=1, 2,・・・，d）,

полученные таким образом 3〃——р» уравнений образуют систему с Зп — р* неизвестными 么 V, которая должна быть системой совместных уравнений.

В более сложных случаях приложений присоединяемые к связям G связи с трением появляются в виде комбинации аналогичных G^ групп связей, например G2）G3, . . . Поэтому, если значения 夕，g, t для системы S соответствуют случаю трения покоя одновременно и для G^ и, например, для G3, то для возможности исследования движения достаточно будет применить предыдущее замечание к связям 仇 и Сз・ Конечно, ясно, что такое исследование весьма быстро становится очень сложным; случается, что оно позволяет делать выбор между несколькими возможными движениями. Однако возможно также, что получаемые уравнения не являются все различными; в этом

случае, вообще говоря, уравнения определяют д, но не реакции 入'，N. Как бы то ни было, если уравнения (8) являются недостаточными для определения движения, то само по себе знание сил X', У- Z' и применение уравнений (6) не позволяют узнать чего-нибудь большего, если не вводить каких- нибудь новых гипотез.

Окончательно, если оставить в стороне некоторые особые случаи, то мы видим, что знание активных сил и законов трения систем G^, . . ., Gs (или Gi -|~ ^а и т- П・)является достаточным для определения движения системы S, лишь бы связи 5 十…十 G$ были совместимыми и не имели излишних; движение системы S не изменится, если мы заменим активные силы другими, имеющими ту же самую виртуальную работу для всякого виртуального перемещения, допускаемого связями без трения GP

О СОВМЕСТИМОСТИ СВЯЗЕЙ

Эти общие соображения я закончу замечанием относительно совместимости связей. Предположим сначала, что мы соединяем две группы Ог и G； связей без трения; если эти связи аналитически совместимы и не содержат излишних связей, то Р] различных соотношений

F^ (%], _У]' ?1，• • •' %%, Уп1 ^п» 0 ===。‘

которые дают связи Gr и р2 аналогичных соотношений, которые дают связи G2, будут все совместными и различными. Для того чтобы связи 6[ и Ga были материально совместимыми, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из функциональных определителей системы соотношений F по отношению к 厶十р? из переменных х, у N не равнялся нулю для всякой системы значений переменных х, у, z,力 удовлетворяющих условиям 尸=0. Эту теорему можно резюмировать следующим образом: для того чтобы материальные связи без трения Gt и д2 были совместимыми и различными, необходимо и достаточно, чтобы р丄十р^ соотношений 弓=0 допускали систему решений, для которых по меньшей мере один из функциональных определителей

V ~ d(片％+网)

。(*方，• • • > Уjt • • • > N厶...)

был бы отличен от нуля.

Для того чтобы в этом убедиться, будет достаточно написать 3〃 уравнений движения:

тх — Х'-\-入 1 -^ + • • • + 入—絹&

и присоединить к ним Pi 十夕@ уравнений

严=О, полуденных после двукратного дифференцирования уравнений 尸=0. Полученные таким образом Зп-(-pt + Ра уравнений, являющихся линейными по отношению к х, », z н 入,будут иметь определитель равный нулю или нет в зависимо-' сти от того, будут ли равны нулю все определители V или нет ^. В случае, когда все V равны нулю, уравнения относительно 入 1，…，入/]+/,, полученные после исключения х, у, N, будут несовместными.

Например, пусть Л4「餌，Л43, М — четыре материальные точки, связанные попарно твердыми стержнями, не имеющими массы; полученные таким образом шесть связей будут совместимыми за исключением только случая, когда шесть длин стержней МгМ2 и т. д. удовлетворяют условию, выражающему, что четыре точки Mv 加屮 附3， 加4 находятся в одной и той же плоскости. Если в этом особом случае реализовать все шесть рассматриваемых связей, то, поскольку сопротивление стержней не является бесконечно большим, любая сколь угодно малая сила, перпендикулярная к плоскости четырех точек и приложенная в одной из них, например в Mv разрушила бы всю систему.

Очень важно заметить, что можно всегда при помощи связей без трения сделать так, чтобы четыре точки состав-

Предложение является установленным в предположении, что по крайней мере один из определителей V не равен нулю. Допустим, напротив, что все V равны нулю; тогда рассматриваемые уравнения, если сделать их однородными, допускают бесчисленное множество решений, или же все q равны нулю, при 入 не равных одновременно нулю; pj + #2 линейных уравнений относительно %,入2, •，・，которые мы по7учим после замены в уравнениях 尸〃 =0 вторых производных х через их выражения через %,入2,…，будут, следовательно, иметь определитель, равный нулю, и, значит, эти уравнения являются несовместными для каких угодно активных сил X', Yrt Z'・

ляли неизменяемую фигуру. Если эти четыре точки образуют тетраэдр, то вполне возможно действующую в каждой точке реакцию разложить по трем, выходящим из этой точки ребрам, и сразу же можно видеть, что эти составляющие реакций должны быть попарно равны и прямо противоположны, чтобы их виртуальная работа была равна нулю. Если четыре точки лежат в одной плоскости, то вышеупомянутое разложение уже не является возможным; рассматриваемую связь можно, например, осуществить, если устранить один из стержней, соединяющих точки Mv ・・・, Л14> и все четыре точки стержнями, не имеющими массы, присоединить к не лежащей в плоскости Л41Л4аЛ437И4 и не имеющей массы точке М^).

Точно так же, пусть 附工 и 加纟一две материальные точки, связанные жестким стержнем без массы и могущие скользить соответственно по двум прямолинейным и параллельным идеально гладким трубкам. Связи будут аналитически совместимыми только тогда, когда длина стержня будет по меньшей мере равна расстоянию между обеими трубками; они будут материально несовместимыми, если обе упомянутые

длины будут в точности равными.

единице. Пусть /? будетединице. Пусть /? будетПри комбинировании связей с совместимости встречаются часто. Действительно, рассмотрим только что упомянутую систему, предполагая, что обе трубки являются шероховатыми и имеют коэффициенты трения / и 力(/ > Д). Выберем одну из трубок в качестве оси Ох и предположим для простоты, что активные силы будут X и Xv параллельные оси О%, а массы точек равны

единице. Пусть /? будет

единице. Пусть /? будет

реакция стержня, а а ——постоянный угол, образуемый стержнем ММг с осью Ох (мы предполагаем, что он заключен между 0 и 号).Уравнения движения в данным случае будут:

х = Х——R cos а — e/R sin а = X, + R cos а — ef*R sin а,

где е будет равно 十1 или —1 в зависимости от того, будет ли Rx > 0 или Rx < 0. Отсюда получаем:

r =Х—Х\.

Д е COS а S (/—力)sin а，

предположим, что угол а является настолько большим, что удовлетворяется неравенство

.2 cos «〈(/ — /‘Sina；

в этом предположении, если X—苓 имеет одинаковый знак с %,, оба значения s =十 1, s =——1 являются подходящими, так как для а =十 1 мы имеем Rx > 0, а для е =——1 будет Rx < 0; таким образом, предоставляется выбор между двумя движениямт). Напротив, если X — X】и % имеют различные знаки, то оба значения е приходится отбросить. Таким образом, видно, что рассматриваемые связи в предположении

О < 2 cos а < (/—Д) sin а

могут быть совместимыми только тогда, когда X—占 и х имеют одинаковые знаки, причем уравнения механики в этом случае оставляют свободным выбор между двумя различными движениями. Аналогичные обстоятельства имели бы место и в том случае, когда мы взяли бы произвольные активные силы. Простой пример, разобранный на стр. 26, допускает особенности той же природы, если мы предположим / > 1.

ОБ излишних связях

Если в числе комбинируемых связей G「 Ga, •・・ имеются излишние (G] представляет группу всех связей без трения), то знание законов трения связей Gv Ga, ... уже не позволяет определить ни закона трения связей ^! + ^2 Ч~ • • • > ни

помощи стержней. В особом случае, когда все эти три точки находятся на одной прямой, число степеней свободы системы S уменьшается с шести до пяти и три связи становятся несовместимыми.

Если угол а в точности равен 万,то связи являются совместимыми, тогда как те же самые связи в предположении, что они без трения, совместимыми не будут.

движения системы S. В таком случае нужно или сделать то или иное предположение относительно распределения частных реакций, или же непосредственно из опыта получить закон трения системы S; в данном случае этот закон зависит от внутреннего строения системы S и препятствий и от их упругости, тогда как в случае отсутствия излишних связей закон трения зависит только от природы соприкасающихся поверхностей трущихся друг о друга материальных элементовг).

Поставим перед собой для определенности следующую

задачу.

Пять тяжелых точек Mt, .. ., М5 образуют неизменяе

получила толчок в го- исследовать ее двиполучила толчок в го- исследовать ее двимую систему, в которой четыре первые точки находятся в одной плоскости; точки М удерживаются на неизменных расстояниях при помощи жестких лишенных массы стержней, которыми точки 的，餌， Жб соединяются как друг с другом, так и с двумя остальными точками. Основание МгМ^М3М4 находится на горизонтальной плоскости Р, имеющей один и тот же коэффициент трения / для всех четырех точек 附】， ..., М・ Предполагается, что система ризонтальном направлении; требуется

получила толчок в го- исследовать ее дви

получила толчок в го- исследовать ее дви

жение.

Уравнения механики уже не являются достаточными для определения этого движения: они позволяют произвольно задаться вертикальной составляющей реакции плоскости Р на одну из точек, например 陷，и движение (если / не равно нулю) будет зависеть от значения, принятого для этой составляющей. Если, например, мы допустим, что упругость твердого тела такова, что сумма квадратов реакций всех девяти стержней является минимальной, то движение будет

Если среди связей осуществленной в действительности материальной системы содержатся излишние, то опыт показывает, что для системы S, помещенной в момент / в заданные начальные условия и подверженной действию заданных активных сил, движение системы, а следовательно, и реакции, и силы трения и силы связей являются вполне определенными, но только силы трения, вообще говоря, уж^ не выражаются в функции сил связи.

определенным, но оно изменяется, если вместо тяжести мы возьмем какие-нибудь другие геометрически эквивалентные активные силы.

Вообще говоря, пусть S есть какое-нибудь твердое тело, на которое в действительности наложены материальные связи, обладающие трением; если вместо заданных активных сил мы подставим силы, геометрически им эквивалентные, то при наличии излишних связей движение твердого тела изменится, тогда как в противном случае оно остается тем же самым. Аналогичное замечание можно сделать относительно любой системы без трения, на которую налагаются новые обладающие трением связи.

СПЛОШНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ;ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

Все предыдущие рассуждения распространяются и на системы, включающие сплошные тела, положение которых определяется конечным числом параметров. Достаточно каждое сплошное тело системы разложить на весьма малые элементы, применить к этим элементам (которые приближенно рассматриваются как материальные точки) все определения, касающиеся реакций, сил трения и т. д., и затем заставить бесконечно уменьшаться размеры этих элементов (см. первую часть, шестую лекцию)г).

Я буду рассматривать только случай сплошных твердых тел. Рассмотрим сначала образованное п различными точками твердое тело S, на которое наложены некоторые связи. Если через Re обозначить внешнюю реакцию, действующую на элемент М твердого тела, а через /?； — реакцию, которая действовала бы на него, если бы связи были без трения, то, как мы знаем, силы связи геометрически эквивалентны силам R；, а силы трения — силам Re — №• Пусть ОР и OG будут соответственно геометрическая сумма и момент относительно точки О сил /?е — Re，a 0p и OQr—аналогичные величины для сил R] Если в числе материальных связей не имеется излишних, то закон трения позволяет определить ОР и OG в функции ОРГ и OGr при заданных для рас-

1) См. сноску на стр. 13.

СПЛОШНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ； ТВЕРДЫЕ ТЕЛА 61

сматриваемого момента t положениях и скоростях точек системы.

Предположим, например, что какая-нибудь точка М системы S вынуждена скользить по неподвижной поверхности S и что эта связь является единственной. Пусть R будет реакция поверхности £, действующая на точку М1} а /?' — реакция, которая действовала бы на нее, если бы поверхность £ была идеально гладкой. Силы /?； в данном случае сводятся к одной только силе R, которая нормальна к S, а силы трения геометрически эквивалентны разности

/? —R' = P，

причем соответствующий вектор, вообще говоря, не направлен по касательной к £; действительно, нормальная составляющая реакции R совпадает с R только в некоторых частных случаях; шероховатость поверхности S не только прибавляет к R тангенциальную составляющую R力 но и изменяет нормальную реакцию Цп и внутренние реакции твердого тела (см. пример на стр. 26). Однако знание коэффициента трения поверхности £ позволяет при помощи элементарного подсчета силы R — R или р в функции от R' определить закон трения системы (см. стр. 49).

Все только что сказанное нами можно повторить и по отношению к сплошному твердому телу S, на которое наложены некоторые связи. Пусть опять /?е есть внешняя реакция, действующая на какой-нибудь элемент системы S, а /?：——реакция, которая действовала бы на него, если бы связи были без трения; пусть также OP, OG и OP'、OG' будут элементы приведения к точке О систем векторов Це — R и, соответственно, /?'. Если среди наложенных на S материальных связей не будет излишних, то закон трения позволяет определить ОР и OG в функции от OP, OGf и переменных 仏 q, t.

Теперь мы перечислим основные типы простейших связей, которые могут быть наложены на твердые тела. Мы разделим эти связи на три класса в зависимости от того, будут ли они выражаться одним, двумя или тремя соотношениями между параметрами.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРОСТЫХ СВЯЗЕЙ. СВЯЗИПЕРВОГО КЛАССА

Первый тип связей. Сплошное твердое тело S может скользить по заданной поверхности £. Под этим подразумевают, что ограничивающая S поверхность все время остается касательной 】)к £; сама поверхность £ может, кроме того, быть или неподвижной, или изменяться с течением времени по заданному закону.

Пусть R есть реакция поверхности £ на тело S, R力 ——составляющая R, касательная к S, a R”一ее нормальная составляющая. Любое виртуальное перемещение тела S будет перемещением, при котором в рассматриваемый момент / виртуальная скорость находящегося в соприкосновении с S материального элемента М тела S направлена по касательной к 2; для отсутствия трения необходимо и достаточно, чтобы сила R была нормальна к поверхности £; пусть значение реакции в этом случае будет R'.

Если R направлена по наклонной к £, то трение имеется; нормальная составляющая Rn реакции R в общем случае будет отличной от R.

Изучение движения тела S на опыте приводит к следующим заключениям. Пусть М и Р будут соответственно материальные элементы тела S и поверхности £, находящиеся в момент t в соприкосновении; пусть v будет скорость М, а V—скорость Р; пусть w будет геометрическая разность о — V, которая будет касательна к S и которую мы назовем относительной скоростью точки М по отношению к Р. Составляющая Rt реакции R всегда прямо противоположна w и равна fRn, где /—некоторый коэффициент, зависящий от состояния поверхности соприкосновения обоих материальных элементов, но не от их скорости.

Если в момент £ относительная скорость 砌 равна нулю, то, как показывает опыт, могут представиться два случая.

Или w остается равной нулю в промежутке от t до 看 + 厶方，и обе поверхности катятся, или вертятся, одна по другой без скольжения; в этом случае всегда выполняется условие

Rt W fRn・

1) Предполагается, что имеется только одна точка соприкосновения.

Или в промежутке от % по £十А£ относительная скорость 初 не является равной нулю (кроме лишь для значения 2=0)； тогда в рассматриваемом промежутке закон трения является применимым.

Каким образом мы можем эти опытные данные исполк зовать для определения движения S? Определим положение тела S шестью параметрами, например координатами Е, р, С его центра тяжести G и тремя углами Эйлера 6,平，屮，которые дают направления трех главных осей инерции G®, Gyi Gz по отношению к некоторым неподвижным осям. Условие соприкосновения S н £ выражается соотношением

尸(Е, А С,.屮，9, £) = 0; (1 в это уравнение t не входит, если поверхность £ неподвижная.

Если для момента t значения Е, 口 С, 6, ср,屮 известны, то известно также и положение тела S, а следовательно, и элементов М м Р\ значит, коэффициент / имеет определенное значение, иными словами, / является функцией переменных Е, т], С, 0, ср,屮，t, связанных соотношением (1). В большинстве приложений / имеет постоянное числовое значение.

После этих предварительных соображений разберем сначала случай, когда поверхность S является неизменяемой; тогда 3 совпадает с и. Пусть 守力,^, vz будут составляющими по неподвижным координатным осям Oxyz скорости находящегося в соприкосновении с £ материального элемента М тела S 1); эти величины vxi и豺,vz вполне определены для момента £, если известны положения и скорости всех точек S; таким образом, они будут функциями переменных Е, п， . • •，屮 и их производных, причем все эти величины связаны уравнением (1) и уравнением, получающимся из него дифференцированием.

Теперь обозначим буквами а, 。, 丫 направляющие косинусы нормали PN к поверхности X в точке Р; эти а, % 丫

1) Эту скорость и не нужно смешивать со скоростью перемещения по поверхности 2 геометрической точки соприкосновения обеих поверхностей; если эта последняя скорость есть и» а г^——скорость перемещения геометрической точки соприкосновения по S, то мы имеем：

"=也一办.

являются известными функциями от $,..., ф и удовлетворяют соотношению

Те же самые замечания можно сделать и относительно составляющих скорости и по трем подвижным осям Qxv Gyv G^ (пусть эти составляющие будут и；, %, У) и трех направляющих косинусов а', 0‘, 丫‘ нормали PN по отношению к тем же подвижным осям. Наконец, через а, Ь； с мы обозначим координаты точки соприкосновения М относительно осей (7应,8%, Gzi； тогда 〃, b, с тоже будут известными функциями от Е,...,屮.

Напишем теперь шесть уравнений движения твердого тела S, не содержащие внутренних реакций. Получим:

М ~^~ = W X’ — */-^~ А% +

m嚓="—嗯- R"十限"，

附备= 2n-3/譽&十水"，

(2)

A^- + (C-B)qr = Г- ^bvr-cv^R^-cn

3寫+0一0小=m，- 与(也一叫)十此3'一次)，

c^ +(3—4)pq = N‘_ 苧(〃%—6 或)+J(晔/—ba)

В этих уравнениях Z/, Mf, N‘ обозначают моменты активных сил относительно осей Gx, Gy, Gz, коэффициент е равен + 1 или ——1 в зависимости от того, будет ли положительной или отрицательной реакция Rn. Наконец, Л, В, С (следуя обычному обозначению) означают моменты инерции относительно главных осей Gx, Gy, Gz, а р, q, г ——составляющие по этим осям вектора, изображающего мгновенную угловую скорость тела S; таким образом, мы имеем:

夕=屮 sin ср sin 9 * 6 cos ф, q = Q sin ср cos 8 — 6 sin ф,

广=Q cos 8 十 ср.(3)

Шесть уравнений (2) эквивалентны шести уравнениям Лагранжа по отношению к параметрам $,...,屮.

Если мы ^воспользуемся соотношением (1), чтобы выразить Е， •・•， & в функции пяти параметров ^, «§, то система (2) обратится в систему шести линейных уравнений относительно ^,^б, Rn и определит сразу и движение тела и реакцию Rn.

Все, что мы только что сказали, предполагает, что скорость 0 отлична от нуля. Если и равняется нулю, то закон трения покоя нужно применить следующим образом.

Сначала нужно определить, не имеет ли место случай» когда 0 остается равной нулю при возрастании /. Для этого мы оставляем реакцию R неопределенной и пользуемся этим для того, чтобы обратить в нуль приращение и, иными словами, производные

d% 或％ dvz

поскольку скорость ① всегда касательна к поверхности S, то достаточно будет (предполагая, что 丫 не равняется нулю du вd^y 1

для момента %) обратить в нуль 飞一и 方-) Так как % и 0y являются функциями Е, •・•，屮 и их производных и, следовательно, функциями 〃工〃5， «工，••・，^б, то оба

равенстваравенства(4)(4)

равенства

равенства

(4)

(4)

1) Аналитически мы имеем:

恥+b%+丫以=°, откуда

поэтому если в момент t скорости и⑦,。勿 vz равны нулю и 丫 отличен от нуля, то условия

=0,粤=0

влекут за собой и условие = и.

5 Зак. 1628. П. Пэнлеве

будут линейными относительно «「.. ., «百.Если затем мь! напишем уравнения (2), оставив во вторых частях неопределенными составляющие R勿,R?, Rz реакции R, то уравнения (4) и новые уравнения (2) (обозначим их (21)) образуют систему восьми линейных уравнений относительно %,・・・，加，&, R,凡.Нужно, чтобы полученные из этих уравнений значения Ry, Rz удовлетворяли условию

(凡-次”)2 + (勺-PR")2 十(凡一代”)2 < 尸收，(5) причем

R" =研勿+ В与 + 7a.

Если это условие выполняется, то скорость и остается равной нулю в течение некоторого промежутка времени от / до £十八f.

Если же это не так, то останавливаются на втором предположении :и не равна нулю при изменении времени от £ до 方+厶£, и в этом промежутке тангенциальная составляющая Rt реакции R будет всегда прямо противоположна 力 и равна fRn, При △左 стремящемся к нулю, и® и勿 vz тоже стремятся к нулю и предельное направление скорости ь / ^ж &%

совпадает с направлением (石~,飞-,石~丿，касательным к поверхности £; пусть /, /п, 〃 и Г, /п- 〃‘一направляющие косинусы этой полупрямой по отношению к осям Oxyz и Gx^y^z^. В таком случае

=1/(劉+(第十偿)‘

—выражение, числитель которого линеен относительно 厶，…，％, а в знаменателе под корнем находится многочлен второй степени по отношению к тем же переменным; такое же замечание можно сделать и относительно т, 〃，/', /п‘，〃'.

Для составления уравнений движения достаточно в урав- • V V о

нениях (2) заменить 于 через /, ~- через т, • •., -~ через 〃‘； таким образом, для q* ..., ^б, Rn мы получаем шесть уравнений, которые уже не являются линейными и которые

Должны иметь действительное решение). Вообще говоря, в приложениях это решение существует только тогда, когда первую гипотезу уже пришлось отбросить; однако в некоторых случаях одновременно являются допустимыми обе гипотезы и уравнения предоставляют выбор между несколькими возможными движениями.

Это исследование второго предположения исходит из того, dvx dvy dvz что для момента £ все три производныене

равны нулю одновременно. Последний частный случай может представиться только, если значения R勿,R^, Rz)полученные из уравнений (2) и (4) (иными словами, вычисленные как при первой гипотезе), удовлетворяют равенству

\Rt\=f\Rni

—обстоятельство, которое мы оставили в стороне. Если это имеет место, то разность | Rt | —f\Rn\ раскладывают по степеням Д/, выполняя последовательные дифференцирования уравнений (2) и (4) и делают это до тех пор, пока не дойдут до члена с (△/)", коэффициент при котором уже не будет равен нулю. Если этот коэффициент отрицателен, то первая гипотеза допустима, если же нет, то ее нужно отбросить. Что же касается второй гипотезы, то достаточно будет заметить, что для начального момента Z являются известными значения &, Ry,旦，а следовательно, и знак при е в уравнениях (2); таким образом, мы приходим к исследованию определенной системы действительных дифференциальных уравнений; первые, вторые и т. д. производные скоростей и。, vyi

и% могут быть одновременно все три равны нулю, но не далее производных порядка Z).

Если поверхность S изменяется со временем по заданному закону, то предыдущее исследование можно повторить почти без изменений. Выразим координаты х, у z точки Р поверхности S в функции двух параметров 入，出 и времени /, причем，入 и 出 должны быть выбраны так, чтобы одному и тому же материальному элементу поверхности S при всяком t соответствовали бы постоянные значения этих параметров (см. стр. 21); пусть

% -■ /(入,2，£), «V^:^g(入，林，£)， z=九(入，出，%);

составляющие скорости V элемента Р (по осям 0%, Оу, Oz) 工 df dg dh „

будут 言，舍，С другой стороны, если известны значения Е,田，•.・，屮(для момента Z), то положение точки Р будет определенным; следовательно,入 н 卜 будут функциями от Е,田,・・・,屮,/, или, иначе говоря, от 必, 效,..., 金,t.

В предыдущих уравнениях и во всем предыдущем исследовании достаточно будет скорость о и ее составляющие

заменить величиной

询=，一V

и ее составляющими, иными словами, % заменить на df （入，出，力）

и力——"и т・旦・，me 入 н * выражены в зависимости от 夕” ...,‘у /. Кроме того, /, вообще говоря, входит явно в выражения величин а, %>〃，•••， с' через Е,田，...，屮. Сделав эти замечания, мы можем без всяких других видоизменений повторить все то, что мы сказали относительно случая, когда поверхность £ была неподвижной.

Замечание относительно закона трения. Когда мы определяем Rn из уравнений （2）, исключая вторые производные параметров, то найденное таким образом значение, вообще говоря, зависит от /. Чтобы это не имело места, иными словами, чтобы составляющая Rn совпадала с реакцией, которую оказывала бы поверхность Е при отсутствии трения, необходимо, чтобы существовало равенство

dF I ", дР ,

]/「cos 屮。尸 I sin ф （ dF dF.

+ <4-^）一再cos叫+

Isin ф ^F . cos ф / dF dF 八].

+ （c%一叫"+ 呼_尹COS 明 +

——bi）» dF

——условие, которое, вообще говоря, не выполняется, как в этом можно убедиться на очень простых примерах, вроде задачи о скольжении эллипсоида по плоскостиг）.

1） Можно также сделать следующее замечание: работа силы Rn равна нулю для всякого виртуального перемещения системы, иными словами, для всякого перемещения, в котором вариации Ь^,...,书屮 удовлетворяют условию

dF dF dF dF й dF 丄

表优+西碗6屮=0,

но виртуальная работа Rn равна Rn, умноженной на следующий коэффициент:

а 62 + В Вт] + 丫 瓦 + （打/ — c，）（sin 6 sin 屮汕 + cos 屮 об） +

+ （со/ -硏/） （sin 6 cos ▼ 6屮-sin 中66）十（〃俨一*7） （cos 6 6屮 + 沁） так как этот коэффициент должен иметь множителем левую часть

Если мы хотим ■ вычислить закон трения системы S, согласный с общим определением, то можно поступать следующим образом.

Если нам известны Rn и /, то известна и сила /?; обозначим через R' реакцию, которую оказала бы поверхность £ при отсутствии трения, а через р — геометрическую разность R — К; мы имеем:

p^ = R力一aR'，P“ = R“一釈一 Pz = Rz — 丫R'・

Вектор р геометрически эквивалентен системе векторов, определяющих виртуальные количества движения точек системы S в перемещении этого тела, допускаемом связями для момента Л В таком перемещении количества движения элементов S имеют проекции геометрической суммы, равные

а их общий момент относительно точки G имеет проекции на оси С%】，Gy1} Gz】，соответственно равные

Лр, Bq, Сг,

где

〃 =sin у sin 6 等+ cos 屮穿,

и т. д.; условиюи т. д.; условию祭^+…+罟等=。・祭^+…+罟等=。・（6）（6）кроме того, величины 帝，...，京 удовлетворяют

и т. д.; условию

и т. д.; условию

祭^+…+罟等=。・

祭^+…+罟等=。・

（6）

（6）

Если эту геометрическую сумму и этот момент мы отождествим с р и моментом р относительно точки G, то получим

шесть соотношений

附令=& -aR и t. д.,

которые вместе с уравнением (6) определят линейно R' и 芻,.•・，普 1). Таким образом, мы выражаем R', а, следовательно, и рж, р夕 р?, линейно через R力,Ry、R?, иными словами, и через Rn, если только дан коэффициент /; если исключить Rni то составляющие р%, р^, р^ окажутся выраженными через С Таким образом, знание коэффициента / позволяет узнать (при помощи совершенно элементарных вычислений) закон трения системы S, соответствующий общему определению.

Чаще всего бывает бесполезно выражать этот закон в явной форме. Однако имеется случай, когда это выражение получается само собой; это—случай, когда составляющая Rn реакция R не зависит от /. Это обстоятельство всегда вносит значительное упрощение в исследование движения; именно оно имеет место всякий раз, когда тело S есть однородный шар).

В этом частном случае начинают с вычисления Rn в функции 分，...,%, %, .. ., /^ и £; если известна R%, то будет известна и Rfi и мы можем, например, написать для ^, ..., ^б пять уравнений Лагранжа, введя в их правые части виртуаль- ную работу силы Rt.

% = °,% = °,Из общей теоремы вытекает, что эти уравнения необходимо будут совместными и определенными (см. стр. 47).

% = °,

% = °,

0F дР дР пэскольку частные производныепропорциональны

так же можно воспользоваться уравнениями движения центратак же можно воспользоваться уравнениями движения центракосинусам а,闵 丫； таким образом, условие (5) выполняется. Точно

так же можно воспользоваться уравнениями движения центра

так же можно воспользоваться уравнениями движения центра

тяжести, которые сейчас же покажут, что Rn не зависит от закона

трения,

Тип аналогичной связи между двумя твердыми телами. Рассмотрим теперь систему двух твердых тел S и S], вынужденных скользить одно по другому. Под этим мы подразумеваем, что обе граничные поверхности тел S и S] остаются все время соприкасающимися. Мы допускаем, что существует только одна точка соприкосновения.

Пусть М и Л41 — два материальных элемента тел S и Sp которые находятся в момент £ в соприкосновении друг с другом; пусть и есть скорость точки М, % — скорость точки М； тогда

询=ь--％

есть относительная скорость точки М по отношению к Мх. Опыт показывает еще, что тангенциальная составляющая Rt реакции R, оказываемой на S телом S】,прямо противоположна w и пропорциональна нормальной составляющей R%:

\Rt\=f\Rnb

реакция R】，которую S оказывает на Sv согласно принципу действия и противодействия будет равна и прямо противоположна реакции R. Если скорость w равна нулю, то могут представиться два случая: или w остается равной нулю при возрастании времени от t до 方十 А/, и в этом случае мы будем иметь все время

\Rt\<f\Rni

или же 询 начинает возрастать со временем и в промежутке от t до 方+ △£ справедлив обычный закон трения.

Для того чтобы трения не существовало, необходимо и достаточно, чтобы реакция R была нормальной к обеим граничным поверхностям S и S「 Пусть система в некоторый момент t помещена в определенные начальные условия и подвержена действию определенных активных сил и пусть R' есть реакция, которую S^ оказывает на S, если обе поверхности идеально гладкие; R, вообще говоря, отличается от величины Rn, которая зависит от /.

Для изучения движения системы заметим, что связь выражается одним соотношением между двенадцатью параметрами: Е, Т，С, 8, % 屮 н J %, СР 力，％, %, которые определяют положения тел S и 5工；пусть это соотношение будет:

尸© 刁，J 8, ?，% 0, 力, 0 忆 %,屮 1）=。■ （7）

Если мы знаем эти двенадцать параметров, то положения тел S и S], а следовательно, и элементов М и Мг вполне определены; если, кроме того, мы знаем производные этих параметров, то скорости z s q точек М и ML также известны; следовательно, составляющие w%, w2r w^ относительной скорости w = * ——»i являются тоже функциями параметров t ..・，屮 1， связанных уравнением (7), и их производных.

Теперь для каждого тела S н S〔 напишем шесть уравнений, аналогичных уравнениям (2), в которых и,守⑦,...заменены через т,初啰,...；если из уравнения (7) мы выразим переменные Е,・..,% в функции одиннадцати параметров qv .. ., g「, то получим двенадцать уравнений линейных относительно др ・・.,5”, Rn, которые определят как движение системы, так и реакцию Rn.

Если в момент t скорость m равна нулю, то исследонание всегда ведут таким же путем, как и выше; определяют, не имеет ли место первый случай, для чего, пользуясь неопределен- dwx dwy dwz ностью реакции R, обращают в нуль -^-,что

дает нам два различных условия, которые вместе с двенадцатью уравнениями движения определяют линейно qv . . ., «匸 и Кд；, Ry, Rg, после чего проверяют, удовлетворено или нет условие

Для исследования второго предположения достаточно в уравнениях движения заменить — и т. д. через

/（等）4（等斤等广

и т. д.; таким образом, получаются двенадцать уравнений для определений qv . . ., qn и Rn, но эти уравнения уже не линейные.

Для получения закона трения системы, соответствующего общему определению, мы выражаем тот факт, что величину

р = R — R/

и ——р являются геометрически эквивалентными количествам движения соответственно тел S и S丄(а их моменты соответственно равны моментам количеств движений этих систем) в некотором виртуальном перемещении тел S и S「совместимом с уравнением (7); таким образом, R и р^, р«, р? будут выражены линейно при помощи Rn (если коэффициент / задан); мы видим, что знание / определяет р。, р^, р? в функции от R'. Указанное вычисление выполняется само собой в частных случаях, когда Rn не зависит от /, например, когда тела 5 и 5t являются двумя однородными шарами.

Другие типы связей первого класса. Детальное исследование предыдущего случая позволяет более быстро пройти другие типы связей первого класса. Это будут следующие:

Твердая поверхность S скользит по заданной неподвижной кривой (или изменяющейся со временем по заданному закону).

Твердая кривая S скользит по неподвижной поверхности S (или изменяющейся со временем по заданному закону).

Твердая поверхность S и твердая кривая С скользят одна по другой.

Твердая поверхность S скользит по опорной точке Р, неподвижной или совершающей заданное движение.

Определенная точка какого-нибудь твердого тела S скользит по поверхности £, неподвижной или изменяющейся со временем (например, конец / балки АВ скользит по неподвижной плоскости).

Определенная точка некоторого тела S скользит по поверхности другого тела.

Эти различные связи могут быть выражены каждая единственным соотношением. Для того чтобы трение отсутствовало, необходимо и достаточно, чтобы реакция R была нормальна к поверхности, участвующей в связи. При наличии трения направление тангенциальной составляющей реакции R всегда определяются относительной скоростью w двух находящихся в соприкосновении материальных элементов, а ее абсолютная величина пропорциональна величине нормальной составляющей:

1w=/1心|.

Если 砌 равна нулю в данный момент /, то могут представиться два случая: или w продолжает оставаться равной

нулю, и мы имеем:

\Rt\<f\Rnb

или же обычный закон трения имеет место для момента t~\~dt. Отсюда следует, что все сказанное в этом случае относительно первой связи может быть повторено как по отношению к только что перечисленным связям, так и по отношению к двум нижеследующим.

Твердая кривая С опирается на неподвижную (или изменяющуюся со временем по заданному закону) кривую Г.

Две твердые кривые С н & опираются одна на другую. Пусть М есть точка встречи обеих кривых, а МТ и МТ±—- их касательные в этой точке; для того чтобы трения не существовало г), необходимо и достаточно, чтобы реакция была перпендикулярна к плоскости МТМГ Если трение имеется, то пусть Rt и Rn представляют проекции R на плоскость ТМТГ и на нормаль к последней; направление и смысл Rt всегда определяются относительной скоростью 吻 двух материальных элементов, находящихся в соприкосновении, и мы имеем:

1&1=/®1・

Если скорость w равна нулю, то закон трения покоя выражается так же, как и раньше.

Замечание 1. Для каждой из вышеперечисленных связей можно получить уравнения движения при помощи исключения реакции следующим образом.

Рассмотрим для конкретности случай, когда определенная точка М тела S скользит по неподвижной поверхности £; реакция R, оказываемая поверхностью £ на тело S, расположена в нормальной к £ плоскости, содержащей скорость о, и образует с 皆 угол, тангенс которого равен /, откуда для R получаются два возможных направления (в зависимости от того, будет ли Rn по нормали направлена в сторону MN

1) В случае связи 7 простое кинематическое рассуждение показывает, что для всякого виртуального перемещения кривой С (совместимого со связью) виртуальная скорость элемента М кривой С, находящегося в данный момент на Г, всегда лежит в плоскости ТМТр Точно так же в случае связи 8 относительная виртуальная скорость элементов М и Mt расположена в той же самой плоскости ТМТ^ следовательно, при отсутствии трения реакция /? должна быть перпендикулярна к этой плоскости,

или же в противоположную); пусть %, %, у1 И 夕2，％，？2 — направляющие косинусы этих направлений. Если мы дадим твердому телу S какое-нибудь виртуальное перемещение, связанное единственным условием, чтобы виртуальная скорость точки М была перпендикулярна к направлению (%,国，/), то работа силы R будет равна нулю; поскольку такое перемещение определяется пятью параметрами, то принцип Далам- бера выражается пятью не зависящими от R уравнениями, которые определят ускорения S. То же самое заключение применимо и к другому направлению 勿，％，七)・ Но каким образом сделать выбор между двумя определенными таким образом движениями? Первое движение допустимо только в том случае, когда Rn имеет направление MN, второе же — в противоположном случае. Поэтому в обоих случаях надлежит определить составляющую Rn, чтобы выяснить ее знак, так что упрощение, получающееся в результате исключения R, вообще говоря, будет кажущимся. В том случае, когда коэффициент / очень мал (а также и в случае, когда R” не зависит от 力，направление R' реакции, которую производила бы поверхность £ в предположении отсутствия трения, устанавливает и направление R; поэтому будет достаточно знать направление R', чтобы без всякой двусмысленности написать уравнения движения.

Если связь односторонняя, то-есть если тело может покинуть поверхность только в одну сторону, то составляющая Rn может иметь направление только в одну сторону ——положим в направлении MN, и для R возможно только направление — положим, определяемое косинусами %,储，»； но и в данном случае все-таки необходимо вычислить Rn, чтобы убедиться, совпадает ли ее направление с направлением MN; если это не имеет места, то нужно испробовать предположение, что точка М сходит с поверхности (реакция R равна нулю).

Замечание 2. Исследование случая трения покоя представляется достаточно сложным, но упростить его невозможно. Обстоятельство, облегчающее это исследование, заключается в следующем: определим движение рассматриваемой системы S, помещенной в начальные условия, в которых относительная скорость w двух трущихся друг о друга элементов будет равна нулю в предположении, что коэффициент / равен нулю, и допустим, что в этом движении скорость w остается равной нулю; рассматриваемое движение все еще будет движем

7777Перечень простых связей, связи первого класса

77

77

нием S, каково бы ни было значение /; действительно, если мы определим /? так, чтобы скорость 加 оставалась равной нулю, то мы будем иметь Rt = Q и, следовательно,

\Rt\<f\RnV

Правда, это замечание доказывает только, что вышеупомянутое движение является допустимым; чтобы доказать, что оно является единственным допустимым, надо еще показать, что нужно отбросить второе предположение (а именно, что 砌 не остается равной нулю).

По этому поводу я укажу на одну ошибку, которую очень часто делают и которая заключается в следующем рассуждении: «Рассмотрим, например, твердое тело S, определенная точка М которого скользит по неподвижной поверхности 工 и разберем начальные условия, в которых скорость точки М равна нулю; если бы поверхность была идеально гладкой, то точка М пришла бы в движение по некоторому направлению МТ; поскольку же поверхность шероховата, то сила трения, очевидно, будет направлена прямо противоположно МТ». Приведенное рассуждение не точно, и полученные из него заключения оказываются верными только в исключительных частных случаях.

В этом можно убедиться, рассматривая очень простую систему S, состоящую из двух тяжелых точек М и Mv связанных жестким стержнем, не имеющим массы, причем точка М скользит по вертикальной плоскости Р и подвержена действию постоянной силы N, перпендикулярной к этой плоскости. Предоставим эту систему самой себе в каком-нибудь положении без начальных скоростей. Если плоскость 夕 является идеально гладкой, то обе точки М и Mt движутся, как две свободные тяжелые точки, и реакция стержня равна нулю. Если плоскость Р шероховатая, то эта реакция уже не может быть равной нулю; в противном случае ускорение точки 附］ было бы g, ускорение же точки М было бы или равно нулю, или имело бы направление g но равнялось g—fNи длина ММг не могла бы быть постоянной. Поэтому пусть Rt будет проекция R на плоскость Р. Сила трения Rt направлена прямо противоположно не ускорению g, но равнодействующей mg и Rtt а направление этой равнодействующей будет зависеть и от положения 加加^; если коэффициент / достаточно мал,

то точка М придет в движение по направлению, не совпадающему с направлением силы тяжести. Причина этого обстоятельства (повторим еще раз) заключается в том, что наличие трения изменяет внутренние реакции системы S.

СВЯЗИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО КЛАССОВ

Твердая кривая С остается касательной и неподвижной кривой Г (или изменяющейся со временем по заданному закону).

Две твердые кривые С и С1 системы остаются все время касательными друг к другу.

Твердая кривая С скользит по неподвижной точечной опоре Р (или обладающей заданным движением).

Определенная точка твердого тела S скользит по неподвижной кривой Г (или изменяющейся со временем по заданному закону).

Определенная точка твердого тела S скользит по твердой кривой С, причем S и С составляют часть одной и той же системы.

Эти различные связи выражаются двумя соотношениями между параметрами, определяющими положение рассматриваемых твердых тел. Для того чтобы эти связи были бы без трения, необходимо и достаточно, чтобы реакция R была нормальна к кривой, фигурирующей в каждой из перечисленных связей. При наличии трения составляющая Rt реакции R, касательная к этой кривой, всегда пропорциональна нормальной составляющей

\Rt\=f\Rn\^

а направление Rt определяется направлением относительной скорости 的 двух находящихся в соприкосновении материальных элементов. Если скорость ® в момент t равна нулю, то или она остается равной нулю в течение конечного промежутка времени, и мы имеем:

\Rt\<f\Rni

или же вышеприведенный закон трения справедлив и для момента方 +d方.

Для изучения движения системы поступают совершенно так же, как и выше (стр. 64); пишут шесть уравнений движения для каждого тела; правые части этих уравнений, если

учитывать соотношение

\Rt\-f\Rni

зависят от двух неопределенных величин %, %，характеризующих нормальную реакцию R%・ Эти уравнения, взятые вместе с двумя уравнениями связи, определят ускорения точек системы и неизвестные 入「入纟，н0 они У出е не будут линейными относительно %, Х2.

Например, если дело идет о твердой кривой, остающейся касательной к неподвижной кривой Г, то для того, чтобы написать первое уравнение, мы обозначим через 勺，氏，》 и аа, 02, 丫2 направляющие косинусы (по отношению к неподвиж* ной системе осей Oxyz) соответственно главной нормали и бинормали к Г в точке М, а через a, R, у — направляющие косинусы скорости & элемента М кривой С, находящегося в соприкосновении с Г (эта скорость направлена по касательной к Г). Таким образом, мы имеем:

加嘉=2к一 a/м不百+a八+ %% и т. д.

Что касается случая трения покоя, то исследование упрощается тем обстоятельством, что сила трения имеет только два возможных направления. Сначала разбирают предположе- сdw

ние w = 0; если мы выразим, что производная 肝 равна нулю в момент 尢 то у нас будет достаточно уравнений для того, чтобы определить линейно ускорения точек системы и составляющие Rx, R* Rs реакции R; таким образом, можно проверить, удовлетворяется ли условие

\Rt\<f\Rni

Для исследования второго предположения дают Rt последовательно два возможных ее направления (сохраняя значение f \Rn\) и смотрят, имеет ли производная 嘗 соответствующий знак в начальный момент. Например, в случае связи 1, когда кривая Г является неподвижной, точка М должна начать движение в направлении, противоположном R力.Соответствующий общему определению закон трения выводится (как на стр. 70) из значения коэффициента /; вообще Rn зависит от / и отличается от силы связи. .

Наконец, связи третьего класса (твердая кривая, катящаяся по другой кривой, твердое тело, закрепленное шарниром и могущее вращаться вокруг некоторой точки или неподвижной оси, твердые тела, соединенные друг с другом шарнирами в одной точке или по некоторой оси, и т. д.), связи, выражающиеся тремя соотношениями, являются все связями без трения.

КОМБИНАЦИЯ ПРЕДЫДУЩИХ СВЯЗЕЙ

Вообразим теперь некоторую систему S, составленную из / изолированных точек, т твердых тел, все точки которых распределены по одной и той же прямой, и п твердых тел, имеющих произвольную форму. Если бы на все эти элементы не было наложено никаких других связей, то положение системы определялось бы при помощи

3/+5協十6% =「

параметров. Предположим теперь, что на эти элементы наложены & связей первого класса, р3 связей второго класса и 「3 ——третьего. Если все эти связи будут совместимыми и среди них не будет излишних, то система S будет иметь в точности

厂一Pi - 2pa — 3/?3 =月 степеней свободы.

Пусть Tj будут внутренние связи твердого тела S$, среди которых могут находиться и излишние, и пусть G, будут другие частные связи, которым соответствуют заданные коэффициенты трения /, /',••• Если мы знаем /, то можно вычислить закон трения связей G в комбинации с некоторыми не имеющими трения связями Гх, Га, ...; таким образом, согласно общему замечанию (см. стр. 50), мы умеем найти закон трения связей I\+「д+・・・ + G +..・，

следовательно, мы в состоянии определить движение системы S, если известны действующие на нее активные силы.

Для нахождения этого движения достаточно будет написать шесть уравнений движения для каждого твердого тела 邑 (для твердых тел, вся масса которых расположена на одной прямой, таких уравнений будет всего пять) и три уравнения движения для каждой из изолированных точек; если принять

во внимание частные законы трения, то вторые части этих уравнений будут зависеть от ^ -^ 2р2 -{^ Зр3 неопределенных множителей, а первые выразятся в функции А независимых параметров qv ..., g^; таким образом, получается система из г = k-^p1-\- 2/?2 + Зр3 уравнений для определения рх + 十2夕2 十 Зрз неопределенных множителей и вторых производных 分，...,必.Эта система необходимо будет совместной и определенной, если взятые в комбинации связи совместимы и не содержат лишних, но эта система может дать по несколько значений для 夕工,...,qk.

Вообще говоря, для уменьшения числа необходимых уравнений выгодно с самого начала учесть связи без трения. Таким образом, прежде всего составляют комбинацию связей третьего класса и тех связей первого и второго классов, которые не имеют трения; несущественно, если среди этих связей в соединении с внутренними связями твердых тел S^, будут иметься лишние. Обозначим через 丫 число степеней свободы, которыми еще обладает система S (мы имеем \ ＜；г), и пусть с есть ее живая сила, выраженная в зависимости от у параметров 〃？辽纟，・••，辽v・ Пусть p； и p； будут числа обладающих трением связей первого и второго классов; при отсутствии несовместимости и избытка связей система S, если принять во внимание все связи, имеет 丫 ——р；——2夕；=々 степеней свободы. Напишем у уравнений Лагранжа (А) для 丫 параметров uv ..., 〃丫； в эти уравнения не входят реакции связей без трения; что же касается остальных реакций, то они будут зависеть от р； + 2р； неопределенных множителей (если даны все коэффициенты трения /); если мы выразим 辽и …，〃丫 в функции & независимых параметров 分，...,”, то получим y уравнений, из которых можем определить все q и 入(всего y неизвестных).

Применение уравнений Лагранжа (А) имеет целью исключить реакции без трения; ясно, что их можно заменить любыми комбинациями этих уравнений; в частности, если видны комбинации, которые не зависят ни от одной из реакций, то выгодно сразу же выписать эти комбинации, в особенности, если они дают первые интегралы. Например, пусть S есть система, составленная из двух твердых тел, которые скользят с трением одно по другому, причем на эту систему

не действуют внешние силы; мы можем сразу же написать три интеграла площадей и три интеграла движения центра тяжести системы S.

Если для одной или нескольких связей с трением мы получаем случай трения покоя, то достаточно применить к предыдущим уравнениям указанный выше метод исследования, разбирая последовательно для каждой связи оба возможных предположения. Таким образом, всегда придется писать столько же уравнений, сколько имеется неизвестных, но в то время как в общем случае эти уравнения необходимо будут определенными, в случае трения покоя они могут и не быть все различными. В случае простых приложений, где встречается эта особенность, неопределенность, вообще говоря, касается только реакций, но ускорения системы оказываются определенными или по крайней мере могут иметь лишь конечное число значений.

В дальнейшем мы дадим примеры систем, у которых любым начальным условиям соответствуют несколько различных движений. Один из случаев, в котором движение наверняка будет единственным, представляется, когда нормальные составляющие Rn реакций с трением не зависят от коэффициентов /, иными словами, являются такими же, как если бы все связи были без трения. Действительно, в этом случае все Rn вычисляются без двойственности; поэтому если мы оставим в стороне частные начальные условия, соответствующие трению покоя, то будут определены без двойственности и составляющие R» а следовательно, и ускорения системы S.

Если все связи с трением принадлежат к первому классу, то все Rn определяются линейными уравнениями, коэффициенты которых зависят от коэффициентов трения /, взятых со знаком + или ——;никакой двойственности не было бы вообще, если бы мы с самого начала знали знак каждой составляющей Rn. Допустим, что все материальные связи, будучи лишены трения, продолжают оставаться еще совместимыми и что коэффициенты / очень малы; какой бы знак мы ни выбрали перед этими /, реакции Rn будут очень мало отличаться от /?7-реакций, которые мы получили бы, приравняв / нулю; таким образом, при любых -заданных начальных условиях знак R' позволит нам определить и знак Rn (если значения коэффициентов / достаточно малы), и движение в течение

известного промежутка времени будет определено без всякой двойственности.

Во всем предыдущем предполагалось, что среди связей не имеется лишних (однако связи без трения, взятые в совокупности, могут включать лишние связи). Такие именно лишние связи будут налицо всякий раз, когда какое-нибудь твердое тело должно иметь более шести точек соприкосновения с неподвижными препятствиями, например, когда соприкосновение происходит по линии или по поверхности. Так будет в случае цилиндра с горизонтальными образующими, скользящего по негладкой горизонтальной плоскости (линия соприкосновения), или вертикального цилиндра, основание которого скользит по горизонтальной плоскости (поверхность соприкосновения). В обоих этих случаях уравнения механики не позволяют исследовать движение, не делая предположений об упругости твердого тела и распределении давлений.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ

Законы трения ——достаточно грубые эмпирические законы; так, коэффициент трения не является совершенно независимым от относительной скорости находящихся в соприкосновении элементов; точно так же в случае трения покоя R力 может превысить fRn и сделаться равным f1Rnf где коэффициент Д несколько больше /. Например, рассмотрим тяжелую материальную точку, могущую двигаться по негладкой плоскости Р, которая сначала горизонтальна, а потом непрерывно изменяет свой наклон к горизонту; точка придет в движение только тогда, когда угол 0 плоскости Р с горизонтом превзойдет угол трения a (a = arctg/), и в этот момент сила трения перейдет сразу (т. е. в неизмеримо короткое время) от значения mf^ cos а к значению mfg cos а. В достаточно большом числе случаев трения покоя, когда аналитически допустимы несколько движений, это замечание эмпирического характера (/〔 > /) позволяет, если принять его в расчет, определить движение, которое будет иметь место в действительности.

Еще более существенное замечание касается систем, материальные связи которых не зависят от времени. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, согласно определению, чтобы:

в Два любых момента времени / и 左 элементы системы 5 могли бы соответственно занимать те же самые положения;

если в моменты £ и 勺 система S занимает одно и то же положение, то в эти два момента одни и те же материальные элементы препятствий занимают те же самые положения.

Когда эти условия выполнены, то ясно, что геометрические связи не зависят от времени, но обратное положение не будет правильным. Если геометрические связи не зависят от времени, то первое условие выполнено, но нет необходимости, чтобы было выполнено и второе условие.

Например, если точка М движется по материальной окружности, которая сама равномерно вращается в своей плоскости вокруг своего центра, то геометрические связи не зависят от времени, в то время как материальные связи от него зависят.

После того как установлено это определение, мы видим, что, как показывает опыт, при не зависящих от времени материальных связях силы трения на действительных перемещениях системы всегда совершают работу, отрицательную или равную нулю. Это общее положение легко проверить для всех разбиравшихся уже частных случаев связей. Однако это не будет верно, если связи зависят от времени.

Из этого экспериментального закона вытекают важные следствия: прежде всего, если применить этот закон к задачам о равновесии, то он показывает, что условия равновесия системы S без трения, материальные связи которой не зависят от времени, остаются достаточными и при наличии трения: в самом деле, работа равнодействующей сил 尸，действующих на любую точку системы, необходимо должна быть положительной (на действительном перемещении системы S), если все эти силы F не равны нулю, а с другой стороны, эта работа равна сумме работы активных сил (которая равна нулю) и работы реакций (которая или отрицательна или равна нулю); следовательно, все силы 尸 равны нулю.

Точно так же в применении к движению в случае, когда активные силы допускают силовую функцию

и (分'，2，• • •» qQ，

тот же самый закон показывает, что мы всегда будем иметь: 7XU(分，・•・，铢)十e一4尸)；

если после этого мы вернемся к рассуждениям Лежен-Дирихле (см. первую часть, одиннадцатую лекцию) ), то мы увидим, что положение устойчивого равновесия системы S без трения, определяемое значениями координат

%=="i，% -1 "2，•一，0儿===а/с，

будет оставаться положением устойчивого равновесия и в том случае, когда система будет обладать трением; иными словами, система S, поставленная в начальные условия .. ., q：, .,.,g?, ..., где все д? мало отличаются от 〃订 а q? близки к нулю, будет оставаться вблизи положения равновесия 〃i，.・.，〃儿 и обладать весьма малой живой силой; трение может только уменьшить амплитуду колебаний и живую силу; во многих случаях трение по истечении некоторого времени совершенно остановит систему.

Другое интересное замечание касается обратимости движений. Если связи не зависят от времени и лишены трения, а активные силы не зависят ни от времени, ни от скоростей, то в уравнениях движения ничего не изменится, если мы заменим / через —— 方(см. первую часть, семнадцатую лекцию)2); это при желании можно выразить и так: если мы в момент / = О поместим систему в некоторые начальные условия и изменим направления всех скоростей на противоположные, то в этом новом движении система в момент t будет занимать то самое положение, какое в первоначальном движении она занимала в момент — Л Движения системы S обратимы. Наоборот, они перестают быть таковыми, как только появляется трение; например, пусть М есть тяжелая точка, которая скользит в горизонтальной шероховатой трубке О%, и в начальный момент £ = 0 брошена из начала отсчета с горизонтальной положительной скоростью ^0; пока / меньше ^, мы имеем: % = 写；

если бы начальная скорость была — и。, то мы имели бы:

% = —и(/ + /陰,

и это движение не совпадает с движением

% 每一/等，

которое мы получили бы из первого в результате замены £ через —2: изменение и。на ——％ изменило направление силы трения.

Это в особенности поразительно для случаев трения покоя. Рассмотрим тяжелую точку М, скользящую по шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонтальной плоскостью угол 6; предположим, что точка М брошена вверх по прямой наибольшего ската; по прошествии некоторого времени точка М остановится и останется неподвижной или же пойдет вниз, смотря по тому, будем ли мы иметь

tg9</ или tg 0 > /;

в обоих случаях сила трения мгновенно меняет направление на противоположное и в первом случае переходит от значения fmg cos 0 к* меньшему значению mg sin 0. В более общем случае, когда точка М некоторого твердого тела скользит по неподвижной шероховатой поверхности, допустим, что в некоторый момент t точка М достигает положения М± с нулевой скоростью; точка Мх может быть или точкой остановки или угловой точкой (точкой возврат* траектории движущейся точки М\ реакции связей, ускорения системы и направление скорости М будут, вообще говоря, в момент % претерпевать разрыв непрерывности.

Добавим еще последнее замечание: если имеют место связи без трения, то существенное значение имеют только геометрические связи; движение остается одним и тем же независимо от того, каким образом осуществлены эти связи. Иначе обстоит дело при наличии трения: вообразим, например, что некоторая точка Ж должна описывать окружность Г, причем реакция является нормальной к Г; мы можем представить себе связь осуществленной при помощи идеально гладкой круговой трубки, которая вращается в своей плоскости вокруг своего центра по заданному закону; движение точки М оста-

нется тем же самым, каким бы ни было вращение окружности. Наоборот, если трубка Г не будет идеально гладкой, то движение точки М будет зависеть как от коэффициента трения, так и от закона вращения трубки.

Точно так же, если точка М вынуждена описывать какую- нибудь неподвижную кривую Г, то эту связь можно представить себе осуществленной следующими двумя способами: или точка М скользит в трубке, совпадающей с кривой Г, или же она перемещается в желобке, образованном двумя твердыми поверхностями £' и Е", пересекающимися по кривой Г. Если трубка и поверхности идеально гладкие, то движение в обоих случаях остается тем же самым. Если же есть трение, то закон трения будет иметь две вполне различные формы для обоих видов связей: сила трения будет всегда прямо противоположна скорости М, но равна fRn в первом случае и f'Rn+f 心一в。 втором (R% обозначает нормальную по отношению к Г составляющую реакции, a Rn, R^ —— составляющие Rn по нормалям MNr и MN" к поверхностям Е‘ и £"). Таким образом, в зависимости от того, осуществлена ли связь первым или вторым способом, мы будем иметь дело с двумя совершенно различными задачами.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К ЧАСТНЫМ СЛУЧАЯМ

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ

Случай, когда кривая неподвижна. Пусть и есть абсолютная скорость точки М массы т, a Ft и Rt —— составляющие активной силы 尸'и реакции R по направлению касательной Mt, проведенной к кривой С в направлении движения; далее, F、и Rn ——составляющие тех же самых сил по направлению главной нормали MN, проведенной к центру кривизны, наконец,尸％/ и RNf — составляющие F и 7? по направлению бинормали к кривой С. Движение точки М определяется уравнениями:

где. р обозначает радиус кривизны кривой С в точке М. Если мы применим закон трения, то получится

加爷=3tV'署二哨十才，⑵

В случае, когда в рассматриваемый момент t скорость 0 равна нулю, точка М остается в покое, если

в противном случае точка придет в движение, причем это движение будет происходить согласно уравнению (2).

В частности, если кривая С плоская и сила 尸'расположена в плоскости кривой С, мы будем иметь:

崂"一1*一 用.(3)

Например, пусть М есть тяжелая точка, могущая двигаться с трением по некоторой кривой С, расположенной

в вертикальной плоскости. Предположим, что кривая обращена вогнутостью вверх и что в момент £ точка движется в направлении, противоположном тому направлению PS, которое выбрано на кривой С в качестве положительного направления отсчета дуг; через а обозначим угол, который состав-

тельная МТ, проведенная в таком случае уравнениетельная МТ, проведенная в таком случае уравнениеляет с горизонталью каса- в направлении возрастания дуг; (3) напишется в виде

тельная МТ, проведенная в таком случае уравнение

тельная МТ, проведенная в таком случае уравнение

血 gsin а +/ (看十 mg cos а),

цлц так:

石=—2g(sin a —/cos а)十夕；(4)

так как а и р — известные функции дуги s, то мы имеем линейное уравнение, из которого можем определить функцию

Г dsJ 0⑹Г dsJ 0⑹u?(s); зная u(s), мы находим t при помощи квадрату

Г ds

J 0⑹

Г ds

J 0⑹

рыры;таким образом, решение задачи требует только

ры

ры

квадратур.

Если точка М движется в сопротивляющейся среде, то пусть абсолютная величина силы сопротивления будет т^ (и); тогда к правой части уравнения (4) следует еще прибавить член 平(0). Если 平(и) = С*и2, то задача опять-таки решается окончательно в квадратурах.

Вообще уравнение (3) интегрируется в квадратурах всякий раз, когда 尸'зависит только от положения движущейся точки; достаточно даже, чтобы от s зависело только направление силы 尸'，если абсолютная величина последней будет иметь вид

/(s) •№ + 3⑸• 0%.

Если кривая представляет собой прямую линию, нормальная реакция равна по величине нормальной составляющей F； силы 尸-a Ft равна 彳—/胃・ Например, если М есть тяжелая точка, могущая двигаться по прямой Ох, образующей острый угол 0 с горизонтальной плоскостью, составляющая Ft равна (при т = 1):

g(sin 8 — /cos 0),

когда точка М брошена вниз. Таким образом, точка М будет двигаться вниз ускоренным движением в предположении tg 0 > /, равномерным движением при tg 9 = / и равномернозамедленным в предположении tg 6 < /; в последнем случае точка М останавливается по истечении времени

^(/cos 0 — sin 6) *

Когда точка М брошена вверх, то составляющая F равна:

—g(/ cos 6 + sin 6);

восходящее движение будет равномерно-замедленным, ско・ рость М обращается в нуль по истечении времени

g(/co$Q + sjn 0)，

и точка остается далее в покое или опускается с ускорением g(sin 6—/cos 9) в зависимости от того, будет ли tg0 не больше или же больше

Пример 1. Колебания тяжелой точки на негладкой

О будет точка кривой С, имеющаяО будет точка кривой С, имеющаякривой. Пустькривой. ПустьПроекция силы тяжести на- в точке М будет прямо идущему от М к центруПроекция силы тяжести на- в точке М будет прямо идущему от М к центрунаименьшую координату z (ось z предполагается направленной по вертикали снизу вверх); пусть Р и Q будут две точки кривой С, имеющие одинаковую координату z и обладающие тем свойством, что вдоль дуг ОР и OQ острый угол 仇 который касательная образует с вертикалью, постоянно уменьшается, не обращаясь в нуль, главную нормаль к кривой С противоположна направлению, кривизны, и, следовательно,

О будет точка кривой С, имеющая

О будет точка кривой С, имеющая

кривой. Пусть

кривой. Пусть

Проекция силы тяжести на- в точке М будет прямо идущему от М к центру

Проекция силы тяжести на- в точке М будет прямо идущему от М к центру

нормальная составляющая реакции будет больше mg sin 6, а значит, и mgsin 0о, если 0о представляет наименьшее значение 8 вдоль дуги POQ.

Установив это, отметим на кривой С две точки А и В,

для которых ctg 9 =/, и предположим, что тяжелая точка М помещена без начальной скорости в некоторой точке Мо дуги ОР, имеющей координату z = z0. Если Мо находится между точками О и Л, то точка М остается в покое; в противном

случае М опускается вдоль кривой С; я утверждаю, что по истечении конечного промежутка времени она останавливается. Прежде всего точка М пройдет дальше всякой точки 厶仆 заключающейся между Мо и А, так как между М^ и Л скорость и возрастает и будет больше

屏(cos 8 —嘿

с другой стороны, М не может пройти дальше точки Q, так как если через о мы обозначим длину пути, пройденного точкой М в промежуток времени от tQ до Л то будем иметь:

嘗 < mg (zQ — z)—fmg sin 0Qa;

следовательно,

—2〉0・

Дуга s возрастает со временем 力 пока о не обратится в нуль; пусть S] будет ее наибольший предел, а 附】——точка дуги AQ, определяемая значением s】.Если М приближается к Л4「то в стремится к нулю; точка 附】не может совпадать с А, так как, если через — 〃 обозначим значение s в точке А, то будем иметь, разложив правую часть равенства （4） по восходящим степеням （s 十 а） и *

^ ^ = （§ + а）（—入2 十• . •） + * （世 % •・・）,

и интеграл 守2（$）, обращающийся в нуль для s =——а, имеет вид

u2 = （s + a）2（一入…）.

Таким образом, вблизи точки Л величина и^ была бы отрицательной. С другой стороны, так как точка Мх заключена между Л и Q, то в соседстве с М^ точка М （для s〉0） подвержена действию замедляющей силы, превышающей некоторый предел 尸°; таким образом, и обращается в нуль по истечении некоторого конечного времени и М приходит в Mt в момент 4 со скоростью, равной нулю. Если точка 附】не расположена за точкой В, то М остается в ней неподвижной. Если 附[принадлежит дуге BQ, то мы имеем:

0 < 加g（No —%）—加gsin。。马； следовательно, и подавно:

% — zx > f sin 90 • ^ AB\

при возрастании t после значения t* точка M движется вниз и в момент 芍 Достигает точки 附纟 ДУГИ 厶笈 или дуги /Р, для которой имеет место неравенство

% — z^ > / sin 0о • ^/8

Пусть 〃 будет первое целое число, равное или большее

/sin0о.^ЛВ *

после некоторого числа полуколебаний, самое большее равного я, точка Ж останется в покое. Это и требовалось доказать.

Пример 2. Циклоидальный маятник с трением. Тяжелая точка М движется по циклоиде с горизонтальным основанием, расположенной в вертикальной плоскости и обращенной вогнутостью вверх.

Пусть R есть радиус образующего круга, s — дуга, отсчитываемая от точки О в направлении OQ, а — угол RSM

нормали к циклоиде в точке М с вертикалью SR. Известно, что радиус кривизны р в точке М будет равен 2MS, или 4Rcosa, и что дуга s равна 4/? sin а Если точка 44 пущена в направлении возрастающих дуг или помещена без начальной скорости в некоторой точке дуги ОР (расположенной выше точки Л, для которой tg а = /), то уравнение

после разделения обеих частей на 4Rm может быть переписано в виде

cos «^ —sina 僚『=蟲(sin a +/cos a) —/cos a 隱)：(1)

или, еслиили, еслиположитьположить（扪（扪〃：〃：

или, если

или, если

положить

положить

（扪

（扪

〃：

〃：

⑵⑵黑=2〃 (tg a —/) — ^ (tg a 十力;

⑵

⑵

проинтегрировав это уравнение (2), являющееся линейным, мы получим:

=晶{為5一2加一心[2/tg a + (tg2 a—1) (1—广)]}.(3) Это уравнение определяет движение точки М до тех пор, пока производная 嘗 не обратится в нуль.

Если точка М помещена без начальной скорости в некоторой точке Мо дуги ОР, то можно воспользоваться исследованием, сделанным для произвольной кривой С. Но, кроме того, можно доказать, что время, нужное для того, чтобы точка М спустилась от MQ до Д, не зависит от положения точки Л!。. То же самое имеет место, если точка Мо находится между В и Q, и мы определяем время, необходимое для того, чтобы точка М спустилась от Мо до В. Движение является таутохронным, причем для левой ветви циклоиды точкой таутохронности будет А, а для правой ——В. Этот результат может быть получен из уравнения (3), но довольно сложным путем. Относительно этого пункта я отошлю читателя к заметке Дарбу, помещенной в конце «Механики» Депейру, а также к «Руководству» Аппеля〔).

Однако я остановлюсь более подробно на случае бесконечно малых колебаний тяжелой точки около самой низкой точки любой кривой С. Для этого нам будет полезно разобрать следующую задачу.

Пример 3. Движение тяжелой точки, движущейся внутри шероховатой горизонтальной трубки Ох и притягиваемой началом О пропорционально расстоянию. Пусть 々2 будет коэффициент притяжения к точке О для массы, равной 1. Уравнение движения имеет вид

“ 心 для х > О,

x = — №x — efg I . п (О

I е =——1 для х < 0.

1) Despeyrous, Cours de mecanique, Paris, 1884, т. I, стр. 441. Аппель, Руководство теоретической (рациональной) механики, пер. с фр., Москва, 1911, т. I, стр. 491.

Отметим на прямой Ох две точки А и В, расстояния которых от начала О равны 餐.Если движущаяся точка М помещена без начальной скорости в Л40, то она остается неподвижной при условии, что MQ находится между А и В,

504

Фиг. 7.

и начинает двигаться к началу О, если точка Мо находится вне отрезка АВ (при этом е = -|- 1 для х0 < 0 и е ———1 для х0 > 0). Если производная х положительна, преобразование

fgЖ，fgЖ，

fg

Ж，

fg

Ж，

которое приводит уравнение (1) к виду

показывает, что точка М движется так, как будто бы при отсутствии трения она притягивалась точкой В; если же производная х отрицательна, то преобразование

показывает, что точка М движется так, как если бы центр притяжения находился в точке А. Теперь легко исследовать движение.

Вообразим, что точка М помещена без начальной скорости в 心 справа от О за точкой Л; точка М придет в движение так, как будто бы она притягивалась точкой Л,——

. 冗 . 7С

она придет в Л за время ^, и в момент q = j со скоростью, равной нулю, достигнет точки Mv расположенной симметрично с А!。по отношению к точке А; если точка 附】 находится между Л и В, то М останавливается; в противном случае мы повторяем аналогичное исследование, и в мо- мент ^2 = — точка М достигает точки 加纟，лежащей сим-

метрично с М± по отношению к В, и т. д. Мы видим, что после конечного числа полуколебаний того же периода и со все уменьшающейся амплитудой точка М останется неподвижной; при каждом полуколебании амплитуда MiMi+1 уменьшается на 2АВ. Движение будет таутохронным, причем течкой таутохронности будет 4, если М помещена первоначально справа от А, и В, если М помещена слева от В.

Если начальная скорость точки М будет иметь некоторое значение х0, то исследование точно так же не представляет трудностей. Пусть х0 > 0; тогда s равно 十 1 и движение определяется уравнением

營=(%十面cos就+普sin

до тех пор, пока х не обратится в нуль, иными словами, до момента

]X1

% = ^arctg 厂 %

(для арктангенса берется значение, заключающееся между 0 и 鹫.После момента 匕 точка М будет оставаться в покое, если Мг находится между А и В, иными словами, если мы имеем:

в противном случае мы возвращаемся к вышеприведенному исследованию.

Точно так же, если скорость %。отрицательна, а х0 > 0, то % убывает, пока t не достигнет значения

(арктангенс считается заключенным между 0 и 式)；после этого движущаяся точка или остается неподвижной или возвращается назад по направлению к О в зависимости от того,

будет либудет ли

будет ли

будет ли

или

Аналогичным образом можно было бы исследовать движение точки Л4 и в том случае, когда прямая была бы не горизонтальной, а наклонной, или если бы точка О не притягивала, а, наоборот, отталкивала точку М.

Пример 4. Малые колебания тяжелой точки, движущейся 〃о негладкой кривой вблизи положения устойчивого равновесия. Возьмем начало О в самой низкой точке рассматриваемой кривой С, а ось Ох направим по касательной в этой точке; пусть з будет угол, который с осью Oz образует в точке О соприкасающаяся плоскость кривой; пусть ро будет радиус кривизны в точке О, a s — дуга ОМ,

фИГв &отсчитываемая, допустим, по

направлению, указанному стрелкой. В дальнейшем мы будем предполагать, что тяжелая точка М пущена в соседстве с точкой О с очень малой скоростью. Во время движения s и 窑 остаются очень малыми, так как и 2, н 惠 будут меньше, чем; мы будем

рассматривать их как бесконечно малые первого порядка и по сравнению с ними пренебрегать членами с s2, 52, ss и т. д.

Мы имеем:

% = s + 入十.・., у == ^^ §2 十..., 2 = ^^ s2 十 ...; нормальная реакция

€с〃н мы будем пренебрегать 0®, сводится к нормальной составляющей активной силы 尸/ = mg\ так как угол силы тяжести с нормальной плоскостью к кривой в точке М имеет порядок величины s, то можно его косинус принять за единицу, силу тяжести отождествить с ее нормальной составляющей. Что касается тангенциальной составляющей ускорения g, то она равна

COS со I一r s+…;

ненаписанными членами мы можем пренебречь, и движение приближенно выражается уравнением

.. 女для s>0\

s=—— cos о • 5 —・ I.

P。= —1 Для s < О/

Мы узнаём уравнение таутохронного прямолинейного движения; движение прекратится после конечного числа колебаний одинаковой продолжительности, амплитуда которых по* степенно уменьшается. Предполагая / очень малым, отметим две точки А и Bf которые соответствуют значениям s, рав* ным 士 c/g^- ； если тяжелую точку М мы поместим без начальной скорости в какой-нибудь точке MQf то она останется ；в покое при условии, что MQ находится между А и 3; для положения MQf находящегося выше А, точка М будет опускаться и достигнет точки А за промежуток времени, не за* висящий от положения Мо.

Случай, когда кривая движется. Если кривая С движется, то нужно составлять уравнения движения так, как мы указали выше (стр. 17). В качестве простого примера мы разберем следующую задачу.

Определить движение точки 2И, которая может двигаться с трением 〃о окружности О, расширяющейся пропорционально 8ре也ем〃 mate, что материальные элементы этой окружности движутся каждый по соответствующему радиусу*, при этом на точку М не действуют никакие активные силы.

Мы можем положить

х = kt cos О,х = kt cos О,у = ht sin О,у = ht sin О,

х = kt cos О,

х = kt cos О,

у = ht sin О,

у = ht sin О,

7 Зак. 1628. П. Пэнлеве

где k означает некоторую постоянную. Составляющие отно」 сительной скорости точки М (по отношению к находящемуся в соприкосновении с ней материальному элементу кривой С) равны:

х = — &/sin 0 • 6, у = kt cos 6 • 0;

уравнения движения имеют вид

х= 4-/sin0|/?n| + /?n cosO,

J = —/cos 8| R%| + R% sin 0;

если мы заменим х выражением

—kt sin 6 • 5 — &/cos 9 • 92— 2左 sin 6 • 6

и сделаем аналогичную подстановку для у то после умножения первого уравнения на cos 6, а второго на sin 0 и сложения мы получим:

Rn = —就 б"

точно так же после умножения на — sin 8 и cos 0 и сложения получим:

々原十2爲 =-/1 R% I =一必的2；

если мы положим 6 =辽，то движение определится из уравнения一

黑十^十川=。，

которое дает нам и

Однако интереснее всего случай, когда кривая С перемещается в пространстве, не деформируясь. В этом случае достаточно изучить движение по отношению к осям, жестко связанным с С чтобы вернуться к случаю, когда кривая О неподвижна; новые активные силы получаются путем присоединения к первоначальным двух кориолисовых сил. При отсутствии трения поворотная сила инерции не изменяет движения,

поскольку она направлена по нормали к С; при трении она, наоборот, участвует в уравнениях движения, видоизменяя силу трения. Для того чтобы точка М находилась в относительном равновесии в некоторой точке MQ кривой С, необходимо и достаточно, чтобы величина

尸一%

составляла с касательной к кривой С в точке Мо угол, по меньшей мере равный арктангенсу у. В вышеприведенной формуле 尸 обозначает заданную активную силу, а уе — пере

носное ускорение точки Мо.

Пример, Прямая ОД вращается с постоянной угловой

скоростью вокруг оси Oz. Определить движение точ

Фиг. 9.Фиг. 9.ки Л4, могущей двигаться по ОА с трением (%з дей- ствия каких-либо активных сил). Пусть а будет острый угол РОА, a xfiz — плоскость, содержащая О А, Переносное ускорение точки М направлено по МР и равно а поворотное ускорение перпендикулярно к x^Oz и равно по величине 2(о-^. Если Rn обозначает нормаль-

Фиг. 9.

Фиг. 9.

ную к ОА составляющую реакции, то мы будем иметь:

Rn = (/ns?%] cos а)? + (2/п з%】sin а)2,

или еще, если мы обозначим через 厂 расстояние ОМ (отсчитываемое положительно по направлению ОД):

Rn = /п%2 sin2 а (а?;*? cos2a + 4卢);

таким образом, движение определяется следующим уравнением (где & представляет абсолютную величину угловой скорости):

羽=^r sin2 а — e/w sin а 丿 w2r2 cos2 а + 4内 (1) (広=+ 1 для г > 0, е = — 1 для г < 0).

Если мы положим ，= 〃, то получим:

^ + 〃2 =亦 sjn2 а — уз sin а，з2 cos2 а 十 4〃2,(2)

где е = + 1 для 〃 > 0, е = — 1 для и < 0.

Отсюда / в функции и определяется при помощи квадратуры :

一▼(忆)一叫3)，

которая может быть выполнена при помощи логарифмов; после этого г определится при помощи новой элементарной квадратуры :

In 厂=I и dt= [ — du.

Если в момент / производная г равна нулю, то приходится различать два случая. Пусть сначала будет:

а)2 sin2 а W/з sin a 丿з® COs2 а,

иными словами, поскольку ①,sin а и cos а являются положительными:

tga《V，

точка М остается в покое. Наоборот, если tg а больше /, то точка М приходит в движение по направлению, соответствующему (з^г sin а, иными словами, величина и (равнявшаяся нулю в момент /) возрастает, причем будет удовлетворяться уравнение (1), в котором 1.

Исследование движения может быть проведено до конца. Если tg а меньше /, то уравнение (1) показывает, что 厂 всегда имеет знак, противоположный г, и по абсолютной величине больше, чем

о)2厂 sin a (/cos а — sin а) |;

отсюда следует, что точка М должна остановиться по истечении конечного времени, по крайней мере, если она не будет приближаться к точке О при бесконечном возрастании £. На основании аналогичных соображений в случае, когда tg а будет более /, точка 7И* должна бесконечно удаляться, если только г

не стремится к нулю одновременно с 1/г. Точное исследование можно резюмировать следующим образом.

Пусть 辽° представляет начальное значение / и пусть 〃；，N； будут оба корня уравнения относительно 〃？：

(0)2 sin2 а — 〃2)2 = /2①2 sin? а (а)2 cos2 а 十 4〃2),

——корни, которые всегда действительны. Если tg а больше /, то они положительны, причем один из них больше, а другой меньше ①纟 sin2a. Меньший корень n； удовлетворяет уравнению

со® sin2 а — 〃2 —/о)sin а，①纟 cos2 а —|-4zz2 = О,(3)

а больший ^2 ——уравнению

а)2 sin2 а —辽纟+了① sin а 丿炉 cos2 а 十 4№ = 0.(4)

Если tga《/, то корень 〃； отрицателен (при tg а =/ он равен нулю), а 〃； положителен и удовлетворяет уравнению (4). После этих предварительных соображений результаты исследования могут быть представлены помещенной на стр. 102—104 таблицей (где всегда можно предположить 尸°〉6).

Наконец, в предположении “ = 0 (или и0 = 0) точка М остается в покое, если tg а М /； если же tg а〉/, то 尸 возрастает (и становится положительным) и М бесконечно удаляется.

Все результаты предыдущей таблицы нетрудно проверить.

СИСТЕМЫ, ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ КОТОРЫХ ОПИСЫВАЕТ ЗАДАННУЮ КРИВУЮ

В некоторых случаях исследование движения системы S приводится к исследованию движения точки по кривой. Именно это имеет место, когда центр тяжести д системы S вынужден описывать некоторую кривую Г, неподвижную или изменяющуюся со временем по заданному закону. Точка G движется, как если бы к ней были приложены все внешние силы системы; таким образом, когда геометрическая сумма 尸 этих сил зависит только от положения точки G, ее скорости и времени, то движение точки G будет таким же, 《ак движение изолированной точки с массой М, подверженно^

^а</

；о>О

忆 уменьшается до нуля, М удаляется от О и останавливается по 0

истечении промежутка времени / = J ——^ —у в точке, для кото-

иГи du

PO"U = J屮⑷一屮m)

0

；о<О

辽 возрастает до нуля, М останавливается между 检 и О по истечении

0

времени Т= f /i 7

J ▼(〃) +屮⑷

Wo

W〉W

忆 сначала убывает до —оо, и М достигает начала О за промежуток времени 厶=/ 平(〃)?屮(〃j , потом через конечный промежуток времени останавливается за точкой О

〃0 =--①2

忆 сохраняет постоянное значение, М стремится к точке О при неограниченном возрастании t

102

ЛЕКЦ.М0 О ТРЕННИ

tga〉/

:0＞。

就0:

и сначала возрастает до нуля,厂 неограниченно возрастает с возрастанием f

就〉〃；

и убывает и стремится к 汉厶 厂 неограниченно возрастает

汉 0 = 〃]

и сохраняет постоянное значение, равное 辽i； г неограниченно возрастает

九e。

就eW

и сначала возрастает до нуля, и точка М за промежуток времени 0

К = J .辽）:飞&j прибывает в точку Л4Ь находящуюся между

О и Л!。, потом движется в противоположную сторону и неограниченно удаляется

需＞w

и сначала убывает до — оо, и Л4 достигает начала О за промежуток fduл.

времени К = J 屮（〃）十 山（辽j，потом М неограниченно удаляется по другую сторону от точки О

〃0 = 一 〃2

и сохраняет постоянное значение, равное — м2; точка 44 приближается к О при неограниченном возрастании t

Продолжение

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРН0 K ЧАСТНЫМ СЛУЧАЯМ

tga=f

；о>О

卫 убывает и стремится к нулю, /• неограниченно возрастает вместе с f

^о<О

«0<М1

и возрастает до нуля, и точка М за конечный промежуток времени

m「duл 川

'=J 屮®)十屮 3)Приходит в тоику Мь находящуюся между О и М), где она и останавливается

若＞域

“ сначала убывает до —оо, и М достигает начала, затем М неограниченно удаляется по другую сторону точки О

〃0 = — 〃2

辽 сохраняет постоянное значение, равное —北2, точка М стремится к О при неограниченном возрастании t

Продолжение

лекщш о ТРЕНИИ

действию активной силы 尸 и вынужденной скользить по кривой Г.

Например, если S ——твердое тело, центр тяжести G которого может перемещаться с трением по некоторой неподвиж^ ной кривой Г, то движение G будет движением тяжелой материальной точки, перемещающейся по Г, а движение тела S вокруг точки G известно на основании классической теории.

СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДВИЖУЩУЮСЯ КРИВУЮ С, ПО КОТОРОЙСКОЛЬЗИТ НЕКОТОРАЯ ТОЧКА М СИСТЕМЫ

В большом количестве частных случаев можно для таких систем изучать отдельно движение точки М по С. Предположим, например, что С—некоторая тяжелая материальная плоская кривая, закрепленная шарнирно так, что она может вращаться вокруг вертикальной оси Oz, расположенной в плоскости кривой, а точка М скользит с трением по этой кривой.

Пусть 0 есть угол, который плоскость гОхг кривой образует с неподвижной плоскостью zOx, а А есть момент инерции кривой С относительно оси Oz; тогда теорема площадей

в применении к Oz дает:

(Д 十加产)6 = С = const, откуда

6

А + тг^ *

Будем изучать движение точки М по отношению к системе координатных осей。巧 ％z, связанной с кривой С. Переносная сила т^е имеет составляющую, направленную от 7И к Р и равную

тхЛ^,

а также составляющую нормальную к плоскости zOxv равную тх^ (будем считать ее положительной в направлении。弘)； наконец, поворотная сила равна

(положительным направлением будем считать также направление Оу»。 Пусть s есть дуга кривой С, отсчитываемая в направлении движения, а 看(s) и n(s) — координаты х± и z какой-нибудь точки кривой С. Движение точки М определяется уравнением

d2sdz I dxA О

加 天=一加g丁 +加%1——其^ 一 m/Rn, (1) drdsds (A +

где Rn определяется равенством

в котором р обозначает радиус кривизны кривой С в точке М, считающийся положительным в направлении нормали, определяемом косинусами

—dz dxxds，~ds °

Движение точки M по кривой С будет движением некоторой точки, вынужденной двигаться с трением по некоторой неподвижной плоской кривой и подверженной действию заданной активной силы (функции положения и скорости движущейся точки).

Если в предыдущем примере С не плоская кривая, а кривая двоякой кривизны, то пусть %i(s), 乂 (§), z(s) — координаты какой-нибудь точки М системы S по отношению к осям Ох^^, неизменно связанным с кривой С. Если через 8 мы обозначим угол плоскости zOx± с неподвижной плоскостью zOx, а через А — момент инерции кривой С относительно Oz, то теорема площадей даст нам:

[/+т (%；十疝]6 +加(％第一Л案9 S = e

если мы применим теорему Кориолиса, то сила т^е будет зависеть от б и 6, а следовательно, н от s н s; если мы применим естественные уравнения движения, взяв в качестве активной силы

尸;=加g—现丫6 —加Yc，

то получим аналогичное (1) уравнение, но в нем радикал будет заключать s во второй степени; отсюда для определения s(/)

Пример, креплена в без трения скользит с ОпределитьПример, креплена в без трения скользит с Определитьполучается уравнение относительно s, s, s, являющееся по отношению к s квадратным 】).

Пример, креплена в без трения скользит с Определить

Пример, креплена в без трения скользит с Определить

Материальная прямолинейная труба OL з«・ точке О и ее конец L вынужден скользить по горизонтальной плоскости. В трубе OL трением тяжелая материальная точка М. движение системы, состоящей из OL и М.

Прямая OL образует с Oz постоянный угол а. Положение системы определяется углом 6, который плоскость zOL образует с плоскостью zOx, и расстоянием г точки Л4 0To (которое считается положительным в направлении ОА). Дви

жение системы определяется двумя уравнениями:

-4+济厂2,

г =--gcos a-]-Г sin2a-— ： 7一Ь _- 2/A勿，

3(5 +sm2 a)2丿九，

где £ = -[- 1 для г > (Г и а =——1 для г < 0, a Rn определяется равенством

п — sin а у { (/ + mr2 sin2 炉—+ 厂(/ + mr2 sin2 а)4，

если мы обозначим г2 через и, то уравнение для определения г (Z) напишется так:

尸 sin2 а • С2 — g cos а (5 + zn尸2 $也2 а) — 1 d〃 —— ^ sin а У 4^Ь42c2 + {广 cos а .。2 — g (4 + 加厂2 sin^ а)}2

У drЛ + mr2 sin3 а

Это уравнение первого порядка не может быть проинтегрировано: если мы положим g=0 и можем считать массу т ничтожно малой по сравнению с массой О£, то производная 6 будет приблизительно постоянной, и мы возвращаемся к задаче, исследованной на стр. 99.

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Случай, когда поверхность неподвижна. В этом случае уравнения движения (см. Добавление I, стр. 220) будут:

(1)(1)

(1)

(1)

В этих уравнениях 9 обозначает угол, который бинормаль MN к траектории образует с касательной плоскостью к £, % ——составляющая силы 尸 по направлению проекции MNr бинормали MN на касательную плоскость (MNr нормальна к траектории), р есть радиус кривизны траектории, a R — радиус кривизны нормального сечения поверхности 工 касательного к траектории, причем радиус кривизны R, равно как и 尸;,считается положительным в направлении Мп, произвольно выбранном на нормали к поверхности S. Мы имеем: .

P = |Rtg°l・

Если скорость и равна нулю, то точка М остается в покое, когда

в противном случае М приходит в движение в направлении 尸厶 что устанавливает направление Mt, после чего можно уже применять уравнения (1).

Всякий раз как линия действия 尸‘ постоянно совпадает с направлением скорости точки М, составляющая 尸 равна нулю, и точка М движется по геодезической линии поверхности S. Таким образом, если мы умеем находить геодезические линии рассматриваемой поверхности, то задача сводится к изучению движения точки по неподвижной кривой с трением.

Пример 1. Определить движение точки с трением по поверхности вращения £ 6 сопротивляющейся среде без действия каких-либо других активных сил*

Определим положение точки М полярными координатами г и 0 ее проекции на плоскость Оху (осью вращения служит ось On). Геодезические линии поверхности S определяются равенством (см. первую часть, пятнадцатую лекцию)】)

где С и 大一две постоянные. Далее пусть

2 =平⑺

——уравнение поверхности, а——угол, который касательная

к меридиану ( sin ак меридиану ( sin ак геодезической линии в точке М образует с касательной

к меридиану ( sin а

к меридиану ( sin а

Rt и R2 — радиусы кривизны

меридиана и нормального сечения, перпендикулярного к меридиану; тогда, если мы предположим для конкретности, что поверхность X выпукла, будем иметь:

1 — COS2 а , sin2 а — 屮〃21 \ . г2 (1 + 屮/2)

雇=亏十NT = a+唄2)3户« —彳丿十

где ф\ 平"обозначают первую и вторую производные от ср (г). После этого уравнение

dv加仆=用，

если абсолютную величину силы сопротивления мы примем равной тО (*и), перепишется так:

dv Гdv Г02—1С/ (1 + *)02—1С/ (1 + *)G(u)一加叩中⑺,G(u)一加叩中⑺,(1)(1)гдегдеа = + 1s = -— 1а = + 1s = -— 1для L。，Iдля 备vs Jдля L。，Iдля 备vs J

dv Г

dv Г

02—1

С/ (1 + *)

02—1

С/ (1 + *)

G(u)一加叩中⑺,

G(u)一加叩中⑺,

(1)

(1)

где

где

а = + 1

s = -— 1

а = + 1

s = -— 1

для L。，Iдля 备vs J

для L。，Iдля 备vs J

Это уравнение есть уравнение Бернулли для неизвестной функции 济(尸)，если С(и) имеет вид Av2 -|- Bvn9 где

1) См. сноску на стр. 13.

% ——любое постоянное число; интеграция может быть выполнена даже и тогда, когда Л, В и С зависят от положения точки М и, следовательно, от г (если только 8 выражена в функции от г и С, %).

Предположим в частности, что сопротивление среды отсутствует и что Е — замкнутая выпуклая поверхность без особых точек, значения же 屮(尸)(на поверхности) заключаются между двумя положительными пределами а2 и 02. Движение определяется равенством

u2 =相2-2砂・)，

где "(尸)представляет функцию

2/ j М而ds = 2/ J 土 J 屮空dr. So方

s постоянно возрастает co временем и возрастает до бесконечности, так как и не может обратиться в нуль, поскольку "(г) сохраняет конечное значение вдоль всей геодезической линии; с другой стороны, и стремится к нулю, когда t стремится к -|-оо, ибо ”(尸)стремится к 干 8. В частности, если поверхность £ есть шар радиуса R, то точка М бесконечно долго описывает большой круг шара со скоростью

Пример 2. Движение тяжелой точки по наклонной плоскости с трением. Сила трения равна fmg cos i (Z обозначает угол наклона плоскости к горизонту). Точка движется как тяжелая точка (ускорение силы тяжести равно gsinZ), встречающая постоянное сопротивление, равное fmg cos Z. Если скорость точки М равна нулю, то точка остается в покое или опускается равномерно ускоренным движением по линии наибольшего уклона в зависимости от того, будет ли

tg

или же

111111применение Теории к частйым случаям

111

111

Таким образом, рассматриваемая задача представляет Мастный случай классической задачи о движении точки под действием силы тяжести 丫 и сопротивления

R(0)=加普Q) i)・

Если мы возьмем в качестве переменных абсолютную скорость V и острый угол а, который эта скорость образует с горизонтальной линией на плоскости, то естественные уравнения движения сразу же дадут нам

(1)(1)矍 =一T[sin a十平(叫，da

(1)

(1)

—Rfcosa,

и, следовательно, doо daи, следовательно, doо dat& a +工 '-厶匕 • cos at& a +工 '-厶匕 • cos a⑵⑵Полученное уравнение исследовать движение во вид。+ 6@2. В частности,Полученное уравнение исследовать движение во вид。+ 6@2. В частности,(2) интегрируется и позволяет всех случаях, когда <р® имеет если ср (и) сводится к постоянной(2) интегрируется и позволяет всех случаях, когда <р® имеет если ср (и) сводится к постояннойa = / ctg ta = / ctg tмы будем иметь:dv > fda. . cos a——=a , -тг =——P'sin zо da 3 1cos a ' dt 匕 。откудамы будем иметь:dv > fda. . cos a——=a , -тг =——P'sin zо da 3 1cos a ' dt 匕 。откуда⑶⑶11g sin / J cos aaog sin / J cos aaoxx诡7]02厶'Уa。诡7]02厶'Уa。ctgu =—--ctgu =—--cos acos a⑷⑷—I @2tga da. gsmi J &—I @2tga da. gsmi J &(5)(5)

и, следовательно, do

о da

и, следовательно, do

о da

t& a +工 '-厶匕 • cos a

t& a +工 '-厶匕 • cos a

⑵

⑵

Полученное уравнение исследовать движение во вид。+ 6@2. В частности,

Полученное уравнение исследовать движение во вид。+ 6@2. В частности,

(2) интегрируется и позволяет всех случаях, когда <р® имеет если ср (и) сводится к постоянной

(2) интегрируется и позволяет всех случаях, когда <р® имеет если ср (и) сводится к постоянной

a = / ctg t

a = / ctg t

мы будем иметь:

dv > fda. . cos a

——=a , -тг =——P'sin z

о da 3 1cos a ' dt 匕 。

откуда

мы будем иметь:

dv > fda. . cos a

——=a , -тг =——P'sin z

о da 3 1cos a ' dt 匕 。

откуда

⑶

⑶

1

1

g sin / J cos aao

g sin / J cos aao

x

x

诡7]02厶'Уa。

诡7]02厶'Уa。

ctg

u =—--

ctg

u =—--

cos a

cos a

⑷

⑷

—I @2tga da. gsmi J &

—I @2tga da. gsmi J &

(5)

(5)

Аппель, Руководство теоретической (рациональной) механики, пер. с фр., Москва, 1911, т. I, стр. 367——369.

Здесь х и J； обозначают координаты точки Ж по отношений к горизонтали Moxf образующей острый угол с направлением начальной скорости, и прямой наибольшего уклона Моу, проведенной снизу вверх.

При возрастании t от нуля острый угол а уменьшается, начиная от а0, до тех пор, пока cos а не обратится в нуль, т. е. пока а не достигнет значения —? Когда а стремится тс к ——, возможны три случая.

Пусть а > 1, иными словами, tg 4 < /. Когда а стре- мится к —父，и стремится к нулю; если мы положим

то согласно формуле (4) будем иметь:

。=导Р7(1+力

где е стремится к нулю вместе с 0; время / стремится к не』 которому пределу 友 на основании (5), так как выражение

COS а /

имеет конечное значение для 0 = 0; то же самое можно сказать и относительно х и у. Таким образом, точка М по истечении конечного времени остановится, и в месте остановки касательная к траектории является линией наибольшего уклона.

Пусть 〃=1, или tgi — f. Если а стремится к —~, то о стремится к 糸；время t возрастает неограниченно,

х стремится к конечному пределу, а у бесконечно возрастает; точка М бесконечно удаляется по ветви кривой, асимптотой которой является некоторая линия наибольшего уклона, причем скорость движущейся точки стремится к конечному пределу.

Пусть 〃< 1, или tgZ > /. Движение будет таким же, как во втором случае, но только и бесконечно возрастает вместе с /.

Наконец, во всем этом исследовании угол а принимался за независимую переменную, а это требует, чтобы во время движения угол а не оставался постоянным. Этот исключительный случай имеет место только тогда, когда движущаяся точка получила начальную скорость по линии наибольшего уклона, в этом случае движение будет прямолинейным (см. стр. 89).

Заметим, что если точка Mt кроме того, встречает силу сопротивления R (и)=。十 bvn, то трение только изменяет постоянную а.

Пример 3. Малые движения тяжелой материальной точки по поверхности в окрестности положения устойчивого равновесия. Будем рассматривать некоторую точку О поверхности, в которой касательная плоскость горизонтальна, и предположим, что в окрестности этой точки поверхность £ выпукла и обращена выпуклостью вниз. Возьмем в качестве оси z вертикаль On, проведенную снизу вверх, а в качестве осей % и у — две взаимно перпендикулярные полупрямые в касательной плоскости к £ в точке О.

Для всех точек поверхности S, заключенных между плоскостями 2 = 0 и 2 = а, касательная плоскость образует с горизонтом угол 厶 меньший ^; пусть % будет наибольшая величина угла Z; тогда в каждой точке поверхности £ сила трения, равная в рассматриваемом случае

/| 赞+ ^g cos 小

больше 加geos %. Наконец, в окрестности точки О отметим некоторую область £', в которой tg Z остается меньше или самое большее делается равным /.

Если точка М помещена без начальной скорости в некоторой точке MQ поверхности £ (с ординатой n°, меньшей а), то она остается в покое, если точка MQ принадлежит области в противном случае она начинает опускаться вниз в направлении касательной к проходящей через Мо линии наибольшего уклона поверхности. Я утверждаю, что по истечении конечного времени точка М остановится; действительно, если s обозначает весь пройденный точкой М путь в промежуток времени между f = 0 и некоторым моментом t> то мы имеем: ,

^•《gQo —2)—/geos% ・s.

Это равенство показывает, что М остается ниже плоскости z = % и что s должно стремиться к некоторому пределу s〔； таким образом, М будет стремиться к некоторой точке Л4「 Я утверждаю, что М достигает М± в конечное время и в этой точке остается. В противном случае М стремилась бы к М± при бесконечном возрастании £, в то время как скорость V стремилась бы к нулю； но точка М движется по траектории ММХ как тяжелая точка, движущаяся по этой кривой с трением, и исследование, приведенное на стр. 90—91 показывает, что точка М не может стремиться к Mt при бесконечном возрастании времени £】). Таким образом, точка М достигает М1 в конечное время; точка 心 необходимо принадлежит области，' или ее границе; равенство

賽tg i

показывает, что Fp равна нулю в точке остановки, т. е. что траектория касается линии наибольшего уклона.

Если бы М была оставлена в Мо со скоростью %, меньшей J2g(〃 一z0), то неравенство

V 喏

2~ < 2g(% — z)

показывает, что z не может превзойти 〃，и из предыдущего рассуждения опять поручается, что точка М останавливается по истечении конечного времени.

Предположим теперь, что 2° и 0° являются весьма малыми; тогда при всяком t мы будем иметь:

若

2 < 2。十"2^ и

^2 < ^0 + 2g%.

Условимся пренебрегать по сравнению с z0 или 0° количествами го,飞％,加；чтобы написать уравнения движения, выберем в качестве осей * и у касательные к главным сечениям поверхности 工 в точке О; в таком случае мы будем иметь:

2 = а^ +旅歹十с*з十・..，

X —j— •..X —j— •..и уравнения Лагранжа для х и у дадут после прибавления ко вторым частям члена, зависящего от трения:

X —j— •..

X —j— •..

х (1-|-. ..)+，..=——2®2%+ ...——fg

⑴

»(1十...)»(1十...)=—2g方у + …―g=—2g方у + …―g]/g十/2+…]/g十/2+…

»(1十...)

»(1十...)

=—2g方у + …―g

=—2g方у + …―g

]/g十/2+…

]/g十/2+…

ненаписанными членами можно пренебречь в соответствии со сделанным условием (причем даже в том случае, когда коэффициент / будет очень малой величиной, порядка 2^ или и。). Таким образом, мы приходим к задаче о движении точки на плоскости хОу под действием силы X =—— 月®*, Y =——/q и постоянного сопротивления. В частности, если О будет точкой округления (это необходимо имеет место, если S является шаровой поверхностью), то 左纟 равняется Р и точка (х, у) движется приблизительно так, как если бы она притягивалась началом О пропорционально расстоянию в среде с постоянной силой сопротивления.

Уравнения (1) не могут быть проинтегрированы; при неслишком малом / первое приближение к движению получается непосредственно, если пренебречь членами 2gcflx, 2g6^y; точка (х, у) движется в первом приближении прямолинейно равномерно замедленно и останавливается по истечении очень короткого времени, но нахождение следующего приближения (при котором принимаются во внимание члены с первыми

степенями х и у), неизбежное при очень малом /, представляет значительно большие трудности.

Случай, когда поверхность движется. Мы уже указали (см. стр. 21) способ составления уравнений задачи во всех случаях. Но наиболее интересный случай имеет место тогда, когда поверхность S, оставаясь неизменной, обладает заданным движением. В таком случае достаточно отнести движение к новым осям, связанным с поверхностью S, и добавить к, активным силам обе кориолисовы силы инерции, после чего мы возвращаемся к предыдущему случаю. При отсутствии трения мы можем написать для относитель-

Nного движения уравнение живых

сил, отбрасывая перпендикулярную к относительной скорости поворотную силу инерции. При наличии трения эта сила видо- ^ изменяет силу трения, а следова- z тельно, и ее работу.

纟Пример. Определить движе-

А“' ние тяжелой точки, вынужден-

фиг иной перемещаться по негладкой

'•вертикальной плоскости 尸，汇。・

то рая вращается вокруг одной из своих вертикалей Oz с постоянной угловой скоростью з. Пусть хгОг будет плоскость Р; сила инерции переносного движения равна

—m^xv

2nl 半.2nl 半.а поворотная сила инерции

2nl 半.

2nl 半.

Таким образом, уравнения движения имеют вид

ь君+炉ь君+炉

ь君+炉

ь君+炉

они приводятся к уравнению второго порядка, которое проинтегрировать нельзя. В частном случае, когда g равно нулю и относительная скорость vQ точки М перпендикулярна к Oz, движение точки М будет прямолинейным движением точки М, отталкиваемой неподвижным центром с силой, прямо пропор-

циональной расстоянию и встречающей сопротивление, пропорциональное скорости (движение, которое легко исследовать); если и° равна нулю, то М будет удаляться в направлении, перпендикулярном к Oz.

СИСТЕМЫ, ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ G КОТОРЫХ СКОЛЬЗИТ С ТРЕНИЕМПО ПОВЕРХНОСТИ £

Относительно этих систем можно повторить все, что было сказано по поводу случая, когда G скользит по заданной кривой. Движение G будет таким же, как движение изолированной точки с массой М системы, скользящей с трением по поверхности S, под действием приложенных к этой точке всех внешних сил системы. Если эти внешние силы заданы и для каждого момента t определяются только положением и скоростью точки G, то движение последней находится отдельно при помощи изложенных выше методов.

СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ПОДВИЖНУЮ НЕИЗМЕНЯЕМУЮПОВЕРХНОСТЬ S, ПО КОТОРОЙ СКОЛЬЗИТ С ТРЕНИЕМНЕКОТОРАЯ ТОЧКА М

В большом количестве частных случаев можно изучать отдельно движение точки М по S.

Пример. Плоская рама Юх± закреплена шарнирно так, что она может вращаться вокруг вертикальной оси Oz; 〃о плоскости этой рамы скользит точка М. Определить движение система, предполагая, что 〃 точка М, 〃 рама обладают тяжестью.

Пусть В будет угол плоскости zOxx с неподвижной плоскостью 2。％; если А есть момент инерции рамы относительно оси Oz, то мы имеем:

(Д + 也君)6 = c

Следовательно, движение точки М по плоскости Р определяется уравнениями (см. стр. 105)

••— С2гр *]

где

——система, которая также приводится к уравнению второго порядка, не поддающемуся интегрированию. Если g равно нулю и начальная скорость точки М перпендикулярна к Oz, движение будет прямолинейным и определится уравнением первого порядка.

Если поверхность S представляет собой не плоскость, а какую-нибудь твердую поверхность, прикрепленную шарнирно так, что она может вращаться вокруг оси Oz, которую пересекают линии действия всех внешних сил системы (S, Л4), то пусть опять Oxxyxz будут три координатные оси, связанные с S, а Р представляет проекцию точки М на плоскость ххОу^ обозначим расстояние ОР через г, угол х^ОР через 屮， а угол %Qx через 6. Мы имеем:

(4 十 ”2)6 十户Q = °. (а)

Если мы напишем уравнения движения точки М по отношению к осям 0占％3, то обе кориолисовы силы будут зависеть от г, г, ср, ср, которые согласно уравнению (а) войдут в выражения для 9 и 6; в случаях, когда действующая на М активная сила зависит только от /, г, ср, г, ср, мы получаем два линейных уравнения для г, ср, при помощи которых определяется движение точки 附，но правые части этих уравнений будут зависеть от 屮；нормальная реакция поверхности S зависит от /.

СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, В КОТОРЫХ НОРМАЛЬНЫЕ РЕАКЦИИНЕ ЗАВИСЯТ ОТ ЗАКОНА ТРЕНИЯ

Теперь мы займемся изучением движения некоторых систем, состоящих из твердых тел, обладающих тем свойством, что нормальные реакции связей являются такими же, как если бы трения не существовало. Как мы уже сказали, эта особенность всегда ведет за собой важные упрощения. В качестве примера таких систем можно привести однородный шар, на который наложена одна-единственная связь: он должен скользить по заданной поверхности S; центр шара G

описывает параллельную поверхность £', и нормальная реакция равна той реакции, которая действовала бы на изолированную точку G с массой М, вынужденную двигаться по поверхности Е' и подверженную действию всех заданных внеш

них сил.

Аналогично, пусть S и S' — два однородных шара с центрами G и О, на которые наложена единственная связь: они должны скользить с трением один по другому. Составляющая по прямой GG' реакции, которую шар У оказывает на шар S', не отличается от той, которая действовала бы на G', если бы две точки G и G' с массами М и М7 были связаны жестким стержнем, лишенным массы, и подвержены каждая действию внешних заданных сил, которые соответственно приложены к S и S'. Именно это получится, если мы к каждому шару S и S' применим теорему о движении центра тяжести.

Те же самые замечания можно сделать и относительно

движения 'однородного диска, движущегося в своей пло

скости по заданной кривой, или относительно движения двух дисков, скользящих один по другому в их общей плоскости.

Для таких систем связи никогда не будут несовместимыми, если только совместимы те же самые связи без трения, и для любых заданных начальных условий (которые не соответствуют случаю трения покоя) уравнения механики определяют одно и только одно движение (см. стр. 82).

Пример 1. Определить движение обруча^ пущенного

Фиг. 12.Фиг. 12.теорема моментов от-теорема моментов от-8 вертикальной плоскости по 2。・ ризонтальной 〃』〃 наклонной прямой Ох (обруч предполагается тяжелым 〃 однородным).

Фиг. 12.

Фиг. 12.

теорема моментов от-

теорема моментов от-

Первый случай. Прямая Ох горизонтальна. Пусть г будет радиус окружности обруча, % — абсцисса его центра G, 6 — угол AGM (отсчитываемый в направлении от оси Ох к оси Оу), который образует с вертикалью GM какой-нибудь опре- деленный радиус GA обруча. Тео^

рема о движении центра тяжести и носительно точки О дают нам:

Мх = %, 0 = — Л4g 十 %,Мх = %, 0 = — Л4g 十 %,幽阂=一次的 (1)幽阂=一次的 (1)

Мх = %, 0 = — Л4g 十 %,

Мх = %, 0 = — Л4g 十 %,

幽阂=一次的 (1)

幽阂=一次的 (1)

_ Скорость и материальной точки М обруча, находящейся в соприкосновении с прямой Ох, равна % —，8; таким образом, Rx имеет направление, противоположное этой скорости, а величину, равную

fRy = fMg.

Отсюда вытекают уравнения

-< К . /е = + 1 ДЛЯ X — гб > 0\ с

% = —e/g，№ = ®/g I .- А (2)

\е = — 1 для % —< 0/

и, следовательно,

% — гО = — 2s/g.

Если выражение х0 ——г60 положительно, то х —厂6 убывает пропорционально времени и обращается в нуль по истечении промежутка времени

*0-厂瓦

Если % — r^Q отрицательно, то 厂6 — % уменьшается пропорционально времени и обращается в нуль по истечении проме- гбо — *0 жутка времени —步・

Таким образом, по истечении конечного промежутка времени мы приходим к частному случаю трения покоя, который мы оставили в стороне.

Для исследования этого случая испытаем сначала первое предположение, а именно, что выражение % —厂8 остается равным нулю; если в уравнениях (1) мы определим Rx так, чтобы % — гб было равно нулю, то мы получим & = 0, следовательно,

Таким образом, первое предположение допустимог). Я утверждаю, что оно является единственно допустимым. Действительно по второму предположению уравнения (2) должны удовлетворяться, если е имеет такой знак, что х —，8 имеет

Согласно замечанию на стр. 76 это было бы очевидным, если бы мы заметили, что в движении без трения х и 6 остаются постоянными и что х — гО будет тождественно равным нулю, если только оно равно нулю в момент Ь

знак, противоположный знаку e/g, что невозможно, поскольку % — гб равно 2s/g.

После этого исследование движения можно считать законченным. В промежутке времени от /== 0 до 友=」左^/*'" мы имеем: х = — е^^ + %(/ + %о，8 =十 е^?+6°/+ 6°, причем е равно + 1 или — 1 в зависимости от того, будет ли х0 —用° положительным или отрицательным. После момента 友 обе величины % и 6 остаются постоянными и круг равномерно катится по прямой. В промежутке от /=0 до t = t* трение уменьшает живую силу 2 T системы на величину

М (хо — г&о)3

2

—величину, не зависящую от / и всегда меньшую чем 2" (за исключением лишь случая %。= г0о); позже момента t* живая сила остается постоянной (по этому поводу см. заметку о трении качения в конце этих лекций).

В частности, если производная б0 отрицательна и очень велика, то при положительном х。абсцисса х возрастает вместе со временем, пока t не достигнет значения

после этого центр тяжести идет назад и неограниченно удаляется в сторону отрицательных х. Точно так же, если 6° положительна, а х0 отрицательна и очень велика, то 3 возрастает, пока t не достигнет значения

尸禽/内0 - .

2fg '

потом вращение изменяет направление и круг начинает в течение неограниченного времени вращаться в отрицательном направлении.

% = gsin i ——s/gcos 厶 № = e/gCQSi% = gsin i ——s/gcos 厶 № = e/gCQSiВторой случай. Прямая Ох наклонна. Пусть £ будет угол наклона прямой Ох; уравнения движения имеют вид

% = gsin i ——s/gcos 厶 № = e/gCQSi

% = gsin i ——s/gcos 厶 № = e/gCQSi

s = 1 для % — гб > О,

8 == — 1 ДЛЯ х — Г0 < 0.

Отсюда мы получаем:

х —厂5 = g sin % — 2e/g cos z.

В случае tgi > 2/ величина % — rO положительна, каков бы ни был знак е, и х —厂8 все время возрастает со временем, пока не обратится в нуль.

В случае tgi < 2/ величина %—厂6 имеет знак, противоположный х —苏，и I х——гб I уменьшается.

Наконец, в случае tg / = 2/ величина х — гб остается постоянной, если значение х0 —厂®。положительно, и | х ——гЬ | будет сначала уменьшаться, если %。一г90 отрицательно.

Что касается случая трения покоя, то рассмотрим сначала

Фиг. 13.Фиг. 13.первое предположение: %—гО тождественно равно нулю все время./

Фиг. 13.

Фиг. 13.

Уравнения

Mx = Mg sin Z + R®,M内=—&, Ry = Mg cos i,взятые вместе с уравнением工一内=0,

дают

—Mg sin Zс rC -2，

и предположение допустимо, если tgi《2/. Что касается второго предположения, то оно требует, чтобы для одного из значений г величина х ——гб имела одинаковый знак с sfgcost, что возможно только тогда, когда tgZ〉2/ и е = +^ г)- После этого исследование движения получается непосредственно: если tg i больше 2/, то х ——гб возрастает пропор-

) Можно еще сказать, что в случае tg Z <； 2/ абсолютная величина 1%——гб I уменьшается или остается постоянной, если она не равна нулю. Если для момента % + 〃£ она равна 用，то для всех предшествующих моментов она более 九 н в mqmqht 力 не может быть равной нулю.

ционально времени, но при отрицательном значении х0—Н。 коэффициент пропорциональности изменяется скачком от значения g(sin £十 々cos Z) до значения g(sin£——/cos Z) в момент, когда t проходит значение

尸 б。一 “оg (sin 2 + 2f cos Z) •

В случае tgi<2/ абсолютная величина | х — гб | уменьшается и обращается в нуль через конечный промежуток времени, а потом остается равной нулю. Наконец, в промежуточном случае tgt = 2/ абсолютная величина | х — г0 | обращается в нуль через конечный промежуток времени и остается равной нулю, если значение х0 ——/*6。отрицательно; если же х0 ——гб。положительно, то величина %——厂6 остается постоянной. Всякий раз, когда % — /•б обращается в нуль, ускорения претерпевают разрыв непрерывности.

Таблица, помещенная на стр. 124——125, резюмирует результаты исследования.

В частности, пусть х0 = 0, а 60 < 0; центр G круга первоначально будет двигаться вверх равномерно ускоренным движением, если tg I меньше /, и это до тех пор, пока t не достигнет значения

I — g(2/cos/—sin Z)，

в момент & скорость подъема центра G будет:

(/cos 2— sin Z) г I 瓦丨.2/cos/—sin I ，

она не будет зависеть от g. Если t продолжает возрастать после значения tv то точка G еще поднимается равномернозамедленным движением, пока t не достигнет значения

/, г I 6q I (/ cos Z — sin Z) 2

— 1 十 2/ cos Z — sin / g sin 2'

после чего G опускается. Аналогичные обстоятельства имек)т место в случае tg f < /, если будет не нулем, но положительной и достаточно малой величиной, тогда как 6° все врейя

Ускорение х

Угловое ускорение 0

・ tg/>2f

(上一гб неограниченно возрастает)

*о — /*6()》0

ОТ 0 ДО 4-00

g(sin Z —/cos Z)；

—cos Z

"0 一尸60＜。

yг瓦-*0

' g (sin Z + 2/ cos Z)

g(sin Z+fcos Z)

--cos / г

x、尸苗一-*o

'g (sin / 十 2/ cos /)

g (sin t —/cos Z)

+ — cos Z

tg/ = 2f

."o ~ 广60〉0

(X — гб остается постоянным)

от 0 ДО 十8

纪in/

俳 cos/

ЛЕКЦНН О ТРЕНИН

Ускорение х

Угловое ускорение 0

tg/ = 2/

?о —即0 < 0 (хо —厂6 возрастает до нуля и остается равным нулю после момента 幻

,/一 2 (儿一丸) 3g sin/

g sin /

—~-sinZ

2厂

t〉h

■^" sinZ

貝/

・ tg/<2/

(1 % — г б 1 убывает до нуля и остается равным нулю после момента 幻

*0-厂瓦>0

' 'g(2/cos£—sin/)

g(sin Z — /cos Z)

—cos Z г

—■ sin Z

一合 sin/

%o-r6()< 0

y f = 焉一儿

' '—g (号 cos 2 + sin »

g (sin /+/ cos /)

——cos Z 厂•

f〉上

~^~ sin /

—' sin / 2r

Продолжение

применение теорнн к частным случаям 125

остается отрицательным: центр G сначала опускается равномерно замедленным движением, и если

• / (/cosz—sinZ)r| 0О I

—2/cosZ —sinZ —，

то скорость G обращается в нуль в момент

ЛЛ/cos i — sin /'/cos i — sin /'

Л

Л

/cos i — sin /'

/cos i — sin /'

G поднимается ускоренным движением в течение промежутка времени от，до 友 & — то же самое значение, что и выше),

временивременипосле этого — замедленным движением в промежутке

времени

времени

от 匕 до

z I 2 「(/cos/——sin/)广丨 В。] 工十 g・ sin Z [2/cos Z — sin 2

а затем снова опускается ускоренным движением.

Для того чтобы сделать очевидным упрощение, которое вытекает из независимости нормальной составляющей реакции от /, разберем задачу, аналогичную предыдущей, но в которой нет отмеченной особенности.

Пример 2. Однородный тяжелый эллиптический диск, пущенный в вертикальной плоскости, скользит с трением

по горизонтальной прямой. Определить движение си

стемы.

Пусть Е, 叮一координаты центра тяжести G эллипса, 0 — острый угол (положительный или отрицательный), который составляет с осью Ох большая ось эллипса (8= / ^СЛ), пусть, кроме того, а и b будут обе полуоси эллипса, т — его масса,

〃2 + 加 m№ = m ———

——его момент инерции относительно точки G. Обусловленное связью соотношение между Е,田 и 8 сейчас же получается, если мы заметим, что касательная к эллипсу, образующая угол 8

127127ЙРЙМЕЙЕЙИЕ теорий к частным случая^

127

127

с большой осью, находится на расстоянии GP от центра, равном

М〃2《Мб 十加 COSZG.

Таким образом, мы имеем:

7）= + ]/〃2 sin2 8 + 扶 cos2 8.

Далее скорость 0 точки М диска, служащей точкой соприкосновения с осью Ох, направлена по оси Ох и равна по абсолютной величине и по знаку

'十％’

где их обозначает проекцию на ось Ох отрезка, изображающего величину GM • 6, отложенного перпендикулярно к GM; таким образом, проекция их по абсолютной величине будет равна б • GP, а так как знак ее совпадает со знаком 6, то мы получаем:

и = W + 6 ]/ a? sin2 8 + b2 cos2 8.

Что касается составляющей скорости и по направлению Оу, то она, с одной стороны, равна нулю, а с другой ——

откуда следует

.加P_力_（〃2 一步）sin 6 СО8 6

0U〃2 Sin2 0 + 械 cos2 6，

и так как момент реакции mR относительно точки G равен m{Rx-GP—Ry. МР\

то мы можем написать следующие уравнения движения:

匕2 cos40—a2 sin46a2 sin2 6—力2 cos2 6匕2 cos40—a2 sin46a2 sin2 6—力2 cos2 6'=& = —f/勺，⑴

匕2 cos40—a2 sin46

a2 sin2 6—力2 cos2 6

匕2 cos40—a2 sin46

a2 sin2 6—力2 cos2 6

=（"-械设吧8sA [cos 6 sink Н p〃2 sin?' 8 —匕2 cos2 6 L

= -"%，（2）

K^ = RX^-Ry^^

^-Ry [e/ /.2 sin^ 6 + ^ cos-3 4^^^ ,（3）

где s может равняться + 1 или — 1, причем знак должен быть выбран таким образом, чтобы величина zRy имела одинаковый знак со скоростью

и = U 6 丿〃2 sin2 8 + 加 cos2 8.

Из уравнений (2) и (3) мы получаем:

叫cos a sin=

У L А3 (〃2 Sin3 8 + 械 COS2 0) * 7 \ Л2 /J

I qAq 振 COS4 ° —〃2 sin4 О

=g + (。一б)。(«2 期限 6 + 质 соЗ 8)3/2 °(

Если коэффициент трения / очень мал (например, / < 丁 2 -启),то Ru имеет знак правой части уравнения (4); таким образом, если в момент t количества

0 =w+ 贝6 иa = g+ 色2 而夕2) 02 (加 cos4 8 一 〃2 Sm4 0)

имеют один и тот же знак, то для е надо взять значение 十 1;

в противоположном случае а будет равно — 1.

Совершенно иное положение будет для больших значений коэффициента /. Пусть 8 = 8。для £ = % и пусть

/>/>(а2 —庐)cos 0о I sin 0o |(а2 —庐)cos 0о I sin 0o |S —厶2)cos 6° I sin 6° IS —厶2)cos 6° I sin 6° I

/>

/>

(а2 —庐)cos 0о I sin 0o |

(а2 —庐)cos 0о I sin 0o |

S —厶2)cos 6° I sin 6° I

S —厶2)cos 6° I sin 6° I

Коэффициент при Ry в уравнении (4) положителен при е = + i и отрицателен при з = — 1, так что оба значения е подходят, если % и а0 имеют один и тот же знак, и оба должны быть отброшены, если % и а0 имеют разные знаки. Таким образом, если даны начальные условия 8°, Е。，%» ^о и %, %, —б。，一'°, то одной из этих систем начальных значений отвечают два аналитически возможных движения, тогда как для другой системы связи будут несовместимыми 】).

Рассмотрим случай

f l 42+加"2 а2^2 •

В случае трения покоя исследование может быть прове* дено полностью; предположим для определенности 8°, равно как и б0, положительным и малым. В момент £。величина 方0=七0 十刁0。0 равна нулю; разберем сначала первое предположение, при котором скорость и остается равной нулю; оставим Rx ^ Ry ^ уравнениях (1) — (3) неопределенными, добавив условие

62 (42 一方2) Sin 0 COS 6 . У 〃2 gin2 8 + 力2 cos2 6 '62 (42 一方2) Sin 0 COS 6 . У 〃2 gin2 8 + 力2 cos2 6 '0=寫三舌+田6+刁6三

62 (42 一方2) Sin 0 COS 6 . У 〃2 gin2 8 + 力2 cos2 6 '

62 (42 一方2) Sin 0 COS 6 . У 〃2 gin2 8 + 力2 cos2 6 '

三 2十)/a2 sit]2 8 + 加 cos2 8 6 +

после исключения $ и 0 мы найдем:

欠力+靑[唄凡—R”@ —加)cos В sin 9] +

• б2 (a3 —旅)sin 6 cos 6 сT= и,

甯1 cos 0sin9[兄 i 吋喂* +

+ "2 3“a (加 COS& 0 — 〃2 Sin4 0) 62 — —g+ ^, и условие

I^K/I^I

в данном случае дает:

J.a2 — &2 . /^2 C0S4 0 — a2 sin4 0

fW伊(^+

I 力 2 COS2 в — q2 sin2/〃2 一 力2\.

^) J》cos 0sm8 —

(〃2 —62) sin 6 COS 6[ @2——力29

при помощи уравнений (1) — (3), где & = — sfRy、и посмо。 треть, даст ли одно из значений 十 1 и — 1 для е тот же самый знак и производной 署，и силе sRy; если 0 мало, то согласно уравнению (4) Ry есть величина положительная. Таким образом, необходимо, чтобы 窜 и е имели одинаковые знаки. Вместе с тем мы находим:

doI (“2 — Z?2)2 cos2 0 sjn2 0a2—匕2.]

石[1 w+J—cos 8 sinВ—г/д,

где fA и В обозначают обе части неравенства (5). Для е = + 1 производная 穿 отрицательна, для е = — 1 она будет отрицательна, только если / меньше . Таким образом, если неравенство (5) удовлетворяется, то диск будет катиться в течение некоторого времени; если же имеет место противоположное неравенство, то он будет скользить и его движение удовлетворит уравнениям (1) — (3), где е = — 1.

Заметим, что все это рассуждение предполагает, что связь является двусторонней. Если диск может покинуть прямую Ох в сторону положительных у, то Ry будет величиной положительной или равной нулю; нужно различать два случая в зависимости от того, будет ли в момент £ правая часть а уравнения (4) положительной или отрицательной; если а положительно, то в предыдущем ничего не изменяется; в противном случае диск сходит с оси Ох и в течение некоторого времени движется как свободная тяжелая точка. (Мы всегда предполагаем, что / меньше чем у 猎—加”•丿

Дифференциальное уравнение, которое определяет 8 (Z) на основании (2) и (3), имеет вид

6 =厶(9)仇+加(9),

ИЛИ, если МЫ ПОЛОЖИМ 02=〃：

^窝= ▼)〃 + 〃("・

Не интегрируя этого уравнения, ограничимся исследованием небольших движений системы, при которых 6 остается близким к нулю.

Если трение отсутствует, то диск, отпущенный без начальной скорости в положении Е°, 0о = 0, остается в покое; если начальные условия будут 畠，％, %, 3°, где | 60 | и | 0о | очень малы, то 8 н 6 мало отклоняются от нуля и Е остается приблизительно постоянным; именно если 8° и 0о равны нулю, то диск равномерно скользит по прямой Ох. При наличии трения можно написать

Т《^о +5*(^0 —吟；

поэтому если 0о, 6°, {° по абсолютной величине очень малы, то т] может превзойти ”)лишь на очень малую величину (меньшую *; таким образом 0 остается близким к нулю, а 151 и ^| 6 I остаются меньшими чем У Т^ + ^С^о — Р)，a R” мало отличается от g.

Покажем, что по истечении конечного времени диск катится по прямой Ох; действительно, в уравнении живых сил

Т= To + g^o — ^—f^ Ry\v\dt

для того, чтобы правая часть не стремилась к — 8 при возрастании времени Л необходимо, или чтобы скорость и по истечении некоторого промежутка времени оставалась равной нулю, или же чтобы и стремилась к нулю вместе с 彳.Последнее предположение приходится отбросить; прежде всего легко видеть, что оно требует, чтобы величина ^, то-есть —В — s/Л, стремилась к нулю вместе с |~. Предположим, что, например, —6 十力4 стремится к нулю (е = — 1), и положим

w = 6 十/Д =入(8) и 十 М°)；

® удовлетворяет уравнению

^ = N(8)w + P(8),

которое показывает, что при приближении w к нулю 0 стремится к некоторому пределу %; таким образом, при

бесконечном возрастании t величина 0 должна стремиться к %, а следовательно, 6 и 0 должны стремиться к нулю; следовательно, значение 0х должно одновременно обращать в нуль и выражение ——B-\-fA （где мы положили 6 = 0）, и правую часть уравнения, определяющего 6 （где тоже 6 положено равным нулю）; мы сейчас же видим, что оба эти требования несовместимы. Таким образом, по истечении конечного времени 方 1 скорость о сделается равной нулю и будет таковой оставаться, а диск будет катиться неограниченное время; его движение после этого будет определяться уравнениями

之十⑴6 = 0,（用十k2）62 = -2gT） +儿

В частном случае, когда 6 обращается в нуль одновременно с о, диск остается в покое.

Мы можем вновь получить и дополнить эти результаты для бесконечно малых колебаний диска, если разложим уравнения движения по возрастающим степеням 0 и б и напишем только члены самое большее с первыми степенями О и 0. Таким образом, мы найдем:

= g （1 -，

К* = _ g^fb-\- （09 -加）8 伶一需）卜

W = -（б）

где г равно + 1 или — 1 в зависимости от того, будет ли выражение 扌+力8 положительным или отрицательным. Если Е +力6 равно нулю, то диск будет катиться при условии, что I 9 I меньше чем

/3 +旅） .

（成一旅）（1一产*）'

в противном случае он будет скользить, так что будут удовлетворяться уравнения （6）, где е имеет знак, противоположный знаку 8. Эти уравнения （6） позволяют произвести исследо-

вание получающихся колебаний. Предположим, что коэффициент / очень мал и сравним с 6; тогда уравнения (6) еще больше упрощаются и принимают вид

К^К^dv _dv _(7)(7)

К^

К^

dv _

dv _

(7)

(7)

если 6。и ；о равны нулю, а 60 положительно, то диск катится при условии

8。《3

причем удовлетворяется уравнение

(加 + R2) 62 = 2g m〃2一加(解—02)；

уравнение это показывает, что 6 достигает значения — 0о, потом возрастает и так последовательно далее. Диск катится неограниченное время. Если

% > / 〃2 —«2，

то в уравнениях (7) надо положить т = — 1.

Если мы положим:

_g(〃2- 〃 2)_g(〃2- 〃 2)то, пока и не обратится вто, пока и не обратится вЬА? ，нуль, будем иметь：ЬА? ，нуль, будем иметь：dvdv（j）2 匕（j）2 匕不=一乃不=一乃叶/g，叶/g，илиили0 =/欢一嗡sin sZ;0 =/欢一嗡sin sZ;и обращается в нуль дляи обращается в нуль длянекоторого значения ①々 перемен-некоторого значения ①々 перемен-ной з£, заключенного между 0 я 式，потому что (а2——b^ 60 ———fb2 больше чем /К?； это значение £工=3方工 определяетсяной з£, заключенного между 0 я 式，потому что (а2——b^ 60 ———fb2 больше чем /К?； это значение £工=3方工 определяетсяравенствомравенством/С/С@2 一力2）瓦一/用.@2 一力2）瓦一/用.

_g(〃2- 〃 2)

_g(〃2- 〃 2)

то, пока и не обратится в

то, пока и не обратится в

ЬА? ，

нуль, будем иметь：

ЬА? ，

нуль, будем иметь：

dv

dv

（j）2 匕

（j）2 匕

不=一乃

不=一乃

叶/g，

叶/g，

или

или

0 =/欢一嗡sin sZ;

0 =/欢一嗡sin sZ;

и обращается в нуль для

и обращается в нуль для

некоторого значения ①々 перемен-

некоторого значения ①々 перемен-

ной з£, заключенного между 0 я 式，потому что (а2——b^ 60 —

——fb2 больше чем /К?； это значение £工=3方工 определяется

ной з£, заключенного между 0 я 式，потому что (а2——b^ 60 —

——fb2 больше чем /К?； это значение £工=3方工 определяется

равенством

равенством

/С

/С

@2 一力2）瓦一/用.

@2 一力2）瓦一/用.

Таким образом, соответствующее значение % заключено между 士 / 421^2" или оно меньше чем —/ 〃2二 匕？ ； во втором случае мы можем повторить исследование, аналогичное предыдущему (е принимает значение + 1, а и изменяет знак); в первом случае диск катится и удовлетворяется равенство

("+ №)62 = 2g]/a2 —川(8； — 62) + (户 + К)唸 он будет катиться неограниченно долго, если

01十2g疗/ 〃2一加，

в противном случае он катится до тех пор, пока угол 9 (который уменьшается) не достигнет значения

fK^ + b\

начиная с этого момента /а, скорость о возрастает, е равно + 】，и все исследование начинается снова. После конечного числа таких периодов диск катится неограниченно долго (или, в частности, остается неподвижным).

Если диск имеет произвольную форму, то аналогичным приближением можно воспользоваться для исследования малых движений, при которых точка соприкосновения диска с прямой Ох остается очень близкой от той точки А периметра диска, расстояние которой от центра тяжести является минимальным.

Можно изучать движение эллиптического диска в предположении, что прямая Ох является наклонной; интегрирование уравнений является все еще возможным, но исследование очень осложняется. Заметим, наконец, что если мы предположим g равным нулю, то уравнение, определяющее 6, имеет вид и показывает, что

6 = С"

никогда не обращается в нуль; таким образом, 9 всегда изменяется в одном направлении, что упрощает исследование движения,

Пример 3. Определить движение однородного и тяже» лого шара S, могущего перемещаться с трением по горизонтальной или наклонной плоскости Р.

Возьмем в качестве оси 2 перпендикуляр к плоскости Р, а в качестве оси у ——линию наибольшего уклона плоскости (обе прямые идут снизу вверх). Пусть Z будет угол наклона плоскости, р — радиус шара S, т = 1—его масса, К= =Р У^1 — его радиус инерции относительно диаметра; наконец, пусть Е, т], С будут координаты центра тяжести G шара S (匕= р), а р, ‘， г — составляющие по осям Oxyz вектора мгновенной угловой скорости шара. Скорость и той точки М шара S, которая находится в соприкосновении с Р, имеет составляющие

々一pq，% = % 十 рр・

Далее, теорема о движении центра тяжести и теорема моментов для точки G дадут:

W = R况，П = Ry — gsirU,匕=0 =凡一gcosi,个券十%，К噜一&,个雾=。

и, следовательно,

W = —Z?cosi^,力=—/gcosZ^ —gsint,(1)

A?雾=—/gpcosz学，K^=/gpcosZ*,广=大・(2) Эти уравнения определяют движение, пока скорость и отлична от нуля. Мы скоро увидим, что происходит, когда скорость и равна нулю, но сначала будем различать два случая: Z = 0, I > 0.

Первый случай. Плоскость 尸 горизонтальна. Если за оси Ох, Оу принять две любые взаимноперпендикулярные прямые в плоскости Р, то уравнения движения будут:

W 於^，(3)

при условии, что о не равно нулю. Эти уравнения легко интегрируются. Найдем сначала производную по времени от %:

石力二;pi；

мы сейчас же на основании первого и четвертого из уравнений (3) получим:

и аналогично

А. — _I р2 \.

力力=.力?工一石，力力=.力?工一石，следовательно,

力力=.力?

工一石，

力力=.力?

工一石，

или окончательно

Таким образом, скорость о имеет постоянное направление, которое мы можем принять за направление оси х, и мы будем иметь, пока скорость о не обратится в нуль:

w = -/g，% = 0, K2% = 0, К2 存=/gp, 「= е или

Е+ '(/ + %， Т = 一 PA/十 Во，

P = Ps 0="^-方+%， r=々；

скорость о равна

Е0 一 р90一您(1十方)；

она постоянно уменьшается и обращается в нуль в момент

/ — Wo —Р0о

Таким образом, мы пришли к случаю трения покоя.

Покажем, что если скорость о равна нулю в момент 友, то она остается равной нулю неопределенно долгое время. Действительно, допустим, что в момент tx-\-dt скорость и не равна нулю, и будем уменьшать %, начиная с момента 力1,。£； уравнения (3) удовлетворяются, пока о не обратится в нуль; но с уменьшением времени / скорость и согласно этим уравнениям все время увеличивается; таким образом, мы должны были бы достичь момента 友 с отличной от нуля скоростью V. С другой стороны, если мы предположим, что и равна нулю неопределенно долгое время, то уравнения

Е = Rcc，田=卩夕 ^ = 0 = Rs g,) k^=pR，К存=-р%广=广。)(4) вместе с условиями

дают

R勿=0, Ry = 0, I = €0, ^ = ^0} Р = Pg 0 = 00； сила трения, как равная нулю, меньше чем fg.

Таким образом, позднее момента 友 шар будет катиться неопределенно долгое время, как если бы плоскость была идеально гладкой (это последнее заключение немедленно получилось бы на основании замечания на стр. 76).

Шар остается в покое при 方〉友，если

£0 = 一 ~~ ^0»%=°， p0 =г0 = °。

Как только р, q, г известны в функции /, определение движения шара вокруг точки G сводится к классической задаче кинематики и решается при помощи уравнения Риккати: 警=一打十"声+中_""

В нашем случае после момента 友 движение сводится к равномерному вращению вокруг оси, занимающей неизменное положение в неподвижном пространстве и в шаре.

См. D a I b о u X? Geometrie, т. I, стр. 2?.

Второй случай. Плоскоеть Р на клонна. Уравнения (2) и (3) определяют движение, если скорость и не равна нулю. Что произойдет, когда и равна нулю? Исследуем сначала предположение, что и остается равной нулю; уравнения (1) вместе с условиями

j 嘗=。，j 嘗=。，罡十Р警°罡十Р警°

j 嘗=。，

j 嘗=。，

罡十Р警°

罡十Р警°

дают

= 0,/?^ = -^^-, Rz = gcosf;

таким образом, сделанное предположение допустимо только в том случае, когда

X sin / / £.

т. е. если

十К2

При втором предположении скорость и не равна нулю в момент 力0十2左 но стремится к нулю при уменьшении t от значения tQ-\-dt до ^0; уравнения (2) и (3) приложимы, если скорость и не равна нулю; но из этих уравнений сейчас же получится

О" + g sin 胃=fgcost ЛО" + g sin 胃=fgcost Л(5)(5)

О" + g sin 胃=fgcost Л

О" + g sin 胃=fgcost Л

(5)

(5)

где %, vy обозначают, какгде %, vy обозначают, какпо /. Если мы заметим, чтопо /. Если мы заметим, чтовсегда, производные от %, при t=tQ выражения 号，всегда, производные от %, при t=tQ выражения 号，VV

где %, vy обозначают, как

где %, vy обозначают, как

по /. Если мы заметим, что

по /. Если мы заметим, что

всегда, производные от %, при t=tQ выражения 号，

всегда, производные от %, при t=tQ выражения 号，

V

V

имеют своимиимеют своимипределамипределами

имеют своими

имеют своими

пределами

пределами

то мы видим, что для момента /0 должны иметь место ра венства

右力 ％ + gsini —fgcosi / p2 \

первое условие требует, чтобы производная vx равнялась нулю, а второе, чтобы 0y равнялась

где s равняется + 1 или — 1 в зависимости от того, будет ли vy положительной или отрицательной; это возможно лишь для е = — 1 и в случае, когда / меньше чем

tg/tg/

tg/

tg/

В этом последнем случае в промежутке времени от /0 до /0 + ^ скорость и будет возрастать, и ее предельное направление будет совпадать с направлением вниз линии наибольшего уклона 1); силы трения в момент начала движения будут:

R» = °，Ry =十 fg cos

Теперь мы в состоянии произвести полное исследование движения. Проинтегрируем сначала уравнения (2) и (3). Если мы разделим почленно первое из уравнений (2) и второе из уравнений (3), то получим:

七=一筝9+0，(6)

и аналогично:

= р ——gt sin Z 十 6,

следовательно,

% = —P“1 + 睪)+ °，％ = pp(l +号)一g£sin% +忙(7)

Последнее рассуждение предполагает, однако, что vM и % не равны одновременно нулю в момент 绿 Этот случай (который может представиться только тогда, когда коэффициент / равен

i \

^―5—), несовместим со вторым предположением, так как в урав-

нениях (5) при / = f0 первое отношение будет бесконечно большим первого порядка； в то время как второе будет бесконечно большим, порядка, большего единицы. Впрочем следующее дальше (стр. 143) общее исследование позволяет избежать специального исследовайия трения пркоя и тех затруднений, которые qhq вь卜 знвает,*

(8)(8)с другой стороны, если мы разделим почленно два первых уравнения (3), то получим:

(8)

(8)

и, складывая почленно квадраты двух первых отношений (5):

(9)(10)(9)(10)* + & + g sin 炉=/2g2 gs% (1 十蔼) или на основании (7)

(9)

(10)

(9)

(10)

(dp )2 十(d0 )分_p2/2炉 COS2 ?

Примем теперь q за независимую переменную и составим дифференциальное соотношение между ряд; для этого уравнение (8) перепишем в виде

dp

заменим vx и vy их значениями (7) и для исключения £ возьмем производную по q; мы получим:

P岩0+*)-^囁=

dp

или, наконец, полагая = р《

(2 = ±1)，(И)

иными словами,

EIPi + eMi 十6| =

=小一財(1+*)+= Со"，

откуда

2吸=僚一粤，2/1^=舒+讐，(12)

где

〃 = 〃一Р0(1 +普)=%，入= -/」％、C〉0.

Зная 乃(9), мы можем найти p(q) при помощи элементарной квадратуры

/p1 對，

а затем f(g) при помощи элементарной квадратуры

и, наконец, Е и 期 при помощи новых элементарных квадратур

В случае, когда 入=1, выражения для p(q) и £(«) содержат член с 1п г/, и последний интеграл (дающий tj) будет заключать член вида

In 〃(a In 〃十阿2 + т).

Во всех случаях Е,包，р н / выразятся явно в функции от q.

Для исследования движения рассмотрим сначала частный случай, когда слагающая vx равна нулю в момент /0, a vy не равна нулю; уравнения (2) и (3) показывают, что до тех пор, пока 0y не обратится в нуль, q будет сохранять постоянное значение

Действительно, эти уравнения допускают Лишь один интеграл, отвечающий заданным начальным условиям, и они будут совместными, если мы положим в них q = qQf 5 = р?0 во все время движения, и для окончательного определения искомого

движения они дадут:

] = —2/gcos 力一gsini, K2% =—広/gpcosi (13) (=+1 для 屮十 ра〉0,

% = — 1 для ^ + рр < О

——уравнения, совершенно аналогичные тем, которые определяют движение обруча, пущенного по наклонной прямой, и к ним можно применить тот же самый метод исследования. Нужно различать три случая:

1°.

Абсолютная величина составляющей 守乂 = % + рр уменьшается пропорционально времени и обращается в нуль в момент &; для 方〉友 скорость V остается равной нулю и движение определяется уравнениями:

—gsin《—击р =(14)

W = р^о» q = %，厂=厂0・J

2°.

Если выражение 期。十 рр()отрицательно или равно нулю, то vy остается постоянной, и движение определяется уравнениями (13), где г =——1; эти уравнения дадут для 期 значение

—gsin《l —-р2r2 )♦

Если выражение ро + рр。 положительно, то vy уменьшается пропорционально времени, обращается в нуль при t — tv и при 方>々 движение определяется уравнениями (14).

3°.

tg(

Величина 刁 + pp убывает пропорционально времени, безразлично, будет ли она положительной или отрицательной: если значение 刁。十 Р〃о отрицательно, движение удовлетворяет уравнениям (13), где е = — 1; если % + рр()равно нулю, то, как мы знаем из произведенного исследования трения покоя, для t = tq*dt величина vx ничтожно мала, a vy отрицательна 1), и движение определяется уравнениями (13), где е = — 1; наконец, если % + рр0 положительно, то f + p。уменьшается и обращается в нуль по истечении времени 匕，а при %〉友 движение удовлетворяет уравнениям

刁=—g(sin £ — / cos /),p =——.

Предположим теперь произвольные начальные условия. Равенство (10) показывает, что при возрастании t переменная q изменяется всегда в одну сторону, по крайней мере, пока и не обращается в нуль, а &(£) не становится бесконечным, иными словами, пока q не пройдет через значение

если значениеесли значениеположительно, то q наположительно, то q на

если значение

если значение

положительно, то q на

положительно, то q на

чинает вместе с £ возрастать и стремится к 分. Аналогично, если и* отрицательно, то q уменьшается и тоже стремится

к «「В соответствии с этим приходится различать два случая.

1°.入 <1, то-есть /> ―唸〈一. 十R2

По истечении конечного времени / переменная q достигает значения д】,скорость 。力 в момент 友 становится равной нулю,

Потребовался бы более глубокий анализ для того, чтобы показать, что движение, при котором 。⑦ остается равной нулю (которое является допустимым), будет единственным допустимым. Но этот факт совершенно строго устанавливается следующим далее общим исследованием: действительно, это исследование показывает, что I t/力 I постоянно уменьшается или равна нулю; следовательно, если бы в момент tQ-\- dt мы. имели vx равной с, то в момент 力 абсолютная величина “ была бы больше 丨 с |.

и мы получаем уже разобранный выше частный случай.

2°.入》^ 1, то-всть /«^—且 ° 守・

При бесконечном возрастании / переменная q стремится к 分，в то время как Е стремится к р%, а и窜——к нулю. Когда 入 более единицы, то 田,р н %, а также и %(q) становятся для q = q* бесконечно большими порядка ;

таким образом % —р н % будут при /= оо равными отрицательной бесконечности порядка /; величина 田 стремится к отрицательному пределу ——g(sinf——/cosZ). Когда 入 равняется единице, то 田 и р, а также и 力(«) становятся для q = q、бесконечно большими, порядка In(^ —夕工)；при /=8 переменные 期 н —р становятся бесконечно большими отрицательными величинами порядка /; кроме того, равенство

показывает, что vy стремится к пределу 6; этот предел будет всегда отрицательным или равным нулю; в этом легко убедиться, если выразить b при помощи начальных условий, но Это обстоятельство становится очевидным, если мы заметим, что при приближении % к b производная ^- должна стремиться к нулю; если бы b было положительным, то эта произ-

водная имела бы пределом

g[sin 叶(1 +身 cos".

В конце концов по истечении достаточно большого времени & характер движения будет следующим: центр О движется приблизительно так, как свободная тяжелая точка, для которой ускорение силы тяжести было бы направлено противоположно Oj и равнялось бы

gsin《l—諳％) или g(sinZ—/cost)

в зависимости от того, будет ли / или

Траектория точки G в частном случае $0 -]0о=О имеет асимптоту (параллельную оси Оу). Проекции вектора угловой скорости на оси Oz и Оу приблизительно постоянны, а проекция на ось Ох возрастает пропорционально времени; наконец, шар будет катиться, если

/ i + 止，

в противном случае он будет скользить неограниченно долгое время, причем vx стремится к нулю, а % стремится к ——оо. В промежуточном случае /=—при любых заданных начальных условиях все происходит совершенно так же, как tg N

и в случае />——за тем только исключением, что %

не будет неограниченно уменьшаться, а будет стремиться к пределу, отрицательному или равному нулю. При особых начальных условиях

；о—Р9о = °，^о + РРо>°

шар по истечении времени 左 будет катиться и все будет совершаться, как в случае / < -喧[-.Если и обращается 十长2

в нуль для некоторого момента /, то ускорения шара S пре* терпевают разрыв непрерывности.

Заметим, что предыдущее решение предполагает только, что плотность шара есть функция одного лишь расстояния от соответствующей точки до центра. Если шар однородный, то фигурирующее в исследовании отношение 厘 просто равно 2/б.

Ю Зак. 1628. П. Пэнлеве

Пример 4. Две одинаковые тяжелые и однородный окружности С, С* брошены 6 вертикальной плоскости, причем каждая из них скользит с трением по другой. Определить движение системы.

Пусть G м G] будут центры кругов С и С^ т=\ — их масса, г — радиус; центр тяжести Р системы S находится в середине отрезка СОг в точке соприкосновения С и &. Эта точка Р движется как свобод

ная тяжелая точка; изучим движение системы S по отношению к осям Рху, имеющим неизменное направление. Согласно теореме Кориолиса мы должны прибавить к каждому элементу системы добавочную силу ——加丫е = — mg, так что движение S по отношению к осям Рху будет таким же, как если бы на S не действовала никакая активная сила.

Положение системы S по отношению к осям Рху определяется углом 屮，который прямая PG образует с Р%（/ G1Px = =冗 +中），и углами 6 и %, которые образуют с Рх два радиуса GA, 54，не меняющие своего положения по отношению к соответствующему кругу.

Применим к каждому из кругов теорему моментов относительно точки Р; мы получим:

。十中=a % +屮=r.

Теперь изучим движение центра тяжести G круга С относительно осей Рху\ нужно предположить, что в G приложена реакция А, которую круг & оказывает на С; второе естественное уравнение движения О дает

далее пусть будут и н 办 соответственно скорости материальных элементов С и Clf находящихся в соприкосновении в момент £; эти скорости ин% перпендикулярны к GGV и если считать их положительными по направлению PQ, образующему

с PG угол +^, то мы получим:

и =尸(屮一6), % = — Г (ср — %)；

составляющая Rt реакции имеет знак, противоположный

и равна fRn; отсюда вытекает равенство

или

Q / 卜=+ 1 для 4”с —q > 0,)

?2\е = — 1 для 4(р ——с — ct < 0 )

Это уравнение, которое определяет движение до тех пор, пока ср не сделается равным —^―^, показывает, что абсолютная величина 屮——с уменьшается во всех случаях и обращается в нуль по истечении времени

/ = iQo 一0丨/1Йо1

Таким образом, в момент 々 мы приходим к случаю трения покоя: согласно предыдущему | 屮一с | не может увеличиваться в промежутке времени от % до 友十 df; следовательно, ср ——с должно оставаться равным нулю; положим ср равным нулю в уравнении

гQ = 6凡；

мы получим R/ = 0 и, следовательно, R力 W"屮®. Во все время после момента 左 мы будем иметь:

^ = а, 6 =力， j = bv

причем все эти постоянные связываются условием 2a = b + %.

СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, В КОТОРЫХ НОРМАЛЬНЫЕ РЕАКЦИИЗАВИСЯТ ОТ ТРЕНИЯ

Мы уже рассмотрели движение эллиптического диска. Разберем вкратце еще несколько упражнений.

Пример 1. Две материальные точки М и М± с массами, равными единице, связаны между собой жестким стержнем,

лишенным массы, и сколь-

Фиг. 16.Фиг. 16.зят с трением по двум параллельным прямым Ox, PQ. Определить движение обеих точек, находящихся под действием соответственно двух активных сил g, g「постоянных по величине и направленных 6 одну 〃 ту же сторону параллельно прямой Ох.

Фиг. 16.

Фиг. 16.

Пусть R будет реакция, с которой стержень М±М действует на точку М (реакция R считается положительной в направлении МГМ), пусть а будет угол, образуемый ММ± с прямой Ох. Предположим для конкретности

ООС^, />/р g〉g*・

Если х обозначает абсциссу точки М, то мы сразу же получим два уравнения (см. стр. 57):

х = g —R cos а — е/ /? sin а = /s = -J-- 1 Для Rx > 0,\

=& + R cos а — %R sin а \s = — 1 для Rx < 0 /

Из этих уравнений мы получаем: п g — gl

г — 2 COS а + е (/—力)sin а *

Мы уже указали (стр. 58) на те особенности, которые имеют место, когда /—厶 больше чем 2 ctg а. Разберем случай, когда

/—А < 2 ctg а,

и допустим, кроме того, что выполняются неравенства

丨/gi—九加g + gi丨/gi—九加g + gi< ctga </r< ctga </r

丨/gi—九加g + gi

丨/gi—九加g + gi

< ctga </r

< ctga </r

Движение определяется уравнением

(к+gl) COS а+е Sin а (偽 fg) /s = I 1 “力兄 ％〉0，［

——2 cos a+ XF —九)Sin а — \ s==_ 1 ДЛЯ X < 0 /

При любом знаке s величина х положительна; х возрастает пропорционально времени, и если значение %。отрицательно, то % обращается в нуль по истечении некоторого времени 々； тогда мы приходим к случаю трения покоя. Для того чтобы разобрать этот случай, заметим сначала, что предположение, по которому х возрастает со временем £, является всегда допустимым, так как для е = + 1 ускорение х имеет знак, противоположный знаку силы трения; следовательно, значение 8 = —1 должно быть отброшено. С другой стороны, в предположении, что % остается равной нулю, уравнения движения вместе с условием х = 0 дают только четыре различных уравнения для определения R и составляющих N力，％, N；， N； реакций ^, N’，которые прямые Ох и PQ оказывают на Л4 и УН】：

О = g— R cos а + Mj,0 = — /? sin а + %,

° = gi + R cos а 十觴，° = R sin а 十 Ny.

Для того чтобы упомянутое предположение было допустимым, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого значения неопределенной реакции R мы имели:

I g —R cos а I I R| sin а,

I 玄一7? cos а КД I 7? I sin а

—неравенства, которые выполняются для

R》Т> О

/ Д sin а — COS а /

И ДЛЯ

二 &<0.

/ sin а — cos а、

Мы видим, что уравнения механики оставляют свободу выбора между движением, определенным уравнением (1) (когда £= + 1) и покоем; в случае покоя эти уравнения не

определяют реакцию R, но только требуют, чтобы значение R находилось вне интервала, определенного двумя пределами; значение R зависит от упругих свойств системы (см. стр. 83).

Пусть, например, / = % = )/2, а = 3 тогда для % 力 0

а для х — 0 реакция R или имеет то же самое значение

или же лежит вне интервала,十］/■父一1 ' в частности, если g= gv тоили же лежит вне интервала,十］/■父一1 ' в частности, если g= gv тоопределяемого значениями口一1 ‘R равна нулю и точки М, Мхопределяемого значениями口一1 ‘R равна нулю и точки М, Мхдвижутся как две тяжелые точки, но если х = 0, то мы имеемдвижутся как две тяжелые точки, но если х = 0, то мы имеемсвободу выбора когдасвободу выбора когдамежду движением, когда 7? = 0, и покоем,между движением, когда 7? = 0, и покоем,

или же лежит вне интервала,

十］/■父一1 ' в частности, если g= gv то

или же лежит вне интервала,

十］/■父一1 ' в частности, если g= gv то

определяемого значениями

口一1 ‘

R равна нулю и точки М, Мх

определяемого значениями

口一1 ‘

R равна нулю и точки М, Мх

движутся как две тяжелые точки, но если х = 0, то мы имеем

движутся как две тяжелые точки, но если х = 0, то мы имеем

свободу выбора когда

свободу выбора когда

между движением, когда 7? = 0, и покоем,

между движением, когда 7? = 0, и покоем,

Замечание о будет некотораяЗамечание о будет некотораясистемах с полными связями. Пусть S система твердых тел с полными связями,

Замечание о будет некоторая

Замечание о будет некоторая

причем все связи первого класса; связи второго класса возможны в виде ряда плоских кривых в одной плоскости, пущенных в той же самой плоскости и находящихся под действием сил, расположенных в этой же плоскости. Каждая из таких связей вводит только одну нормальную реакцию, зависящую от одной неопределенной (ее численного значения). Допустим, кроме того, что активные силы зависят только от положения системы. Если мы учтем законы трения и исключим нормальные реакции, которые входят в уравнения линейно, то для определения движения мы получим одно уравнение вида

илиили5 = 4(9)户+3(9),5 = 4(9)户+3(9),(1)(1)

или

или

5 = 4(9)户+3(9),

5 = 4(9)户+3(9),

(1)

(1)

^黑="(夕)" + 3(9)(〃=力)

——уравнение, которое можно проинтегрировать; эта задача требует одних только квадратур и совершенно аналогична задаче о движении точки по шероховатой кривой. Если все активные силы равны нулю, то В равно нулю. Если значению ? = 0 соответствует положение устойчивого равновесия

системы без трения, то | q | и | q | при любом t остаются величинами весьма малыми, если они были таковыми в момент /0, и движение приближенно определяется уравнением (2), которое мы получаем из (1), отбросив члены второго порядка относительно q н g 1)：

0=--a--bq (2)

(причем постоянная а обращается в нуль, а b становится равной ——々2, если все коэффициенты трения / равны нулю). Если все / будут очень малыми по сравнению с g и д, то уравнение (2) принимает вид

q =--"2 --k^qq =--"2 --k^qе = + 1 для q > 0,\

q =--"2 --k^q

q =--"2 --k^q

е = — 1 для ^ < 0 /

где /2 есть линейная однородная комбинация коэффициентов трения /; это——уравнение прямолинейного таутохронного движения (с трением).

Пример 2. Тяжелый однородный брус АВ скользит с трением по двум взаимно пер- пендикулярным прямым О%, Оу, одинаково наклоненным к вертикали. Определить малые движения бруса АВ. Пусть 0 = / ВАО, 2/ — длина бруса, р=1—его

плотность; если через R н R' обозначим реакции в точках А и Bt то уравнения движения твердого тела АВ будут:

⑴⑴2店三—2-(sinU • 6-J-cos 0 • 62)=歹%+内 + 六,2/彳=2/(cos 8 • 0 — sin 6 .們=R» 十 J/‘黑十:^,~ Z20 = — Ry (cos 0 十 е/ sin 0)十 R； (sin 0 + г f cos 0),

⑴

⑴

Если некоторые из связей ——второго класса, то это приближение продолжает бнть верным; достаточно разложить левые части уравнений движения по степеням q м q. Если активные силы равны нулю, то_ любые движения системы будут еще определяться уравнением

q — Аф.

и так как 6 имеет знак, противоположный скорости точки А (отсчитываемой по направлению Ох) и одинаковый знак со скоростью точки В (отсчитываемой по направлению 0丁), то е и е‘，равные 士 1, должны быть такими, чтобы имели место неравенства

吗6〉0, е&6 < 0.

Мы предполагаем, что каждый из коэффициентов трения / и f меньше %； исследуем сначала движение в случае, когда g равно нулю. Умножим первое уравнение (1) на cos 8, а второе на sin 0 и сложим; будем иметь:

—2制 2 = cos 6( j& + 内)十 sin 0 (Ry 十当‘心；

точно так же, умножив все три уравнения соответственно на —sin 0, cos 0, —3 и сложив, получим:

Ry (2 cos 8 十 е/ sin 6)=欠;(2 sin 0 十 е/ cos 0)

и, следовательно,

%Ry_

cos 6 4-е/ sin 0 — 2 sin 6 + s7/7 cos 0 —

_—2/202

=2 + &тг + 3 sin a cos a(^+<Л) •

Знаменатель последней дроби положителен; таким образом, мы должны иметь:

в(2 sin 0 十 е夕 cos 0)6 <0, i (2 cos 9+ c/sin 0)0 > 0.

Пусть, например, 0o > 0 и 0 < 80 <^-； сразу же видно, что нужно будет взять г = — 1, / =十 1, если

26o<arctgy,

и s =——1, е'=——1, если

2

0o> arctgy.

Движение определяется уравнением

1 d 〃 百、— efsin2 0 — У/7 cos2 6

〃6( ")—2+ ^rfff + 3 sin 6 cos 6 (s/+ ^ff)5

ИЛИ

6=C* 里

Это уравнение показывает, что производная 6 никогда не станет равной нулю, 8 всегда изменяется в одну и ту же сторону и при бесконечном возрастании / не стремится к некоторому пределу О^, так как для 6 = 8] производная б должна была бы обратиться в нуль; следовательно, абсолютная величина угла 0 неограниченно возрастает вместе с /, а 0 стремится к нулю, потому что в противном случае правая часть уравнения живых сил стремилась бы к -—оо; последнее обстоятельство можно будет легко проверить, показав, что выражение

е/ sin2 6 — е‘广 cos2 8

всегда будет иметь знак, противоположный знаку 6 в силу сделанного выбора з, К. Что касается случая трения покоя (6。= 0), то ясно, что стержень АВ должен оставаться неподвижным, потому что в противном случае работа сил трения при перемещении d9 бруса АВ была бы отрицательной, а следовательно, стала бы отрицательной и живая сила Т.

Если сила тяжести g не равна нулю, то задача позволяет произвести аналогичное, но более сложное исследование. В таком случае величина 62, выраженная в функции 6, определится линейным дифференциальным уравнением. Ограничимся исследованием случая, когда 8° мало отличается от 3 а 也| очень мала. Положим

8=子+平； теорема живых сил

Т< То + 2 /2 g/2(cos(? — cos <р0)

показывает нам, что | ф | остается меньше 1^1， причем 屮】 определяется уравнением

cos 屮1 = 1Д(1 ——cos

и что Т будет меньше чем

70 +2/2 Z^(l-cos ?0).

Решим уравнения (1) относительно 屮，R；, &, отбрасывая Члены порядка выше первого относительно и ср; мы сейчас

же получим:же получим:

же получим:

же получим:

Rx =Ry =Rx =Ry =?［4一3平 + Е/（2 + 3平）］

Rx =

Ry =

Rx =

Ry =

2 y'*2 十 ££歹 + |> （е/ + 斤/） J 'g［4 + 3平+ 仔（2-3平）］

2了斗2 +非犷+ ^何+"）］

следовательно, Rx V。，Ry V 0 н

资 Q = i + 尸）—”1 一犷 + £（—）｝ = — № _ 衿平⑵

3g 2T _^〈f—N

（

e = + 1 для 屮〉0,）

s =——1 для <р < 0 /.

Если система оставлена в положении % без начальной скорости, то ср сначала уменьшается （? = ―1）, если <р0 больше %:

外一1 一方一 2（f一尸），

（Р возрастает （2 =+1）, если 中оменьше -—平2：

- *2 = —1一犷十 2（f一尸）'

Если / и 尸 очень малы и сравнимы можно привести к уравнению тау-Если / и 尸 очень малы и сравнимы можно привести к уравнению тау-наконец, система остается неподвижной, если угол 平° заключен между —屮2 и 屮 1 или равен 屮「или ——（р2; в случае равновесия реакции не определяются уравнениями, но зависят от некоторой произвольной величины, заключенной

Если / и 尸 очень малы и сравнимы можно привести к уравнению тау-

Если / и 尸 очень малы и сравнимы можно привести к уравнению тау-

e =+1 для ?>0,\ е =——1 для ср < 0 /e =+1 для ?>0,\ е =——1 для ср < 0 /между двумя пределами, с <р, ср, то уравнение （2） тохронного движения

e =+1 для ?>0,\ е =——1 для ср < 0 /

e =+1 для ?>0,\ е =——1 для ср < 0 /

"ф =—-e（/ + /）——中

система останавливается после конечного числа изохронных полуколебаний с уменьшающейся амплитудой, центр которых поочередно соответствует

¥1=/+/' и —%=—（/+//）、

Пример 3. Две точки М и М± (с массами, равными единице) связаны жестким стержнем, лишенным массы} точка М скользит с трением по некоторой прямой Ох. Определить движение системы, отпущенной в плоско ~ ста хММг при полном отсутствии активных сил, 〃 также малые движения той же самой системы 8 предположении, что она будет тяжелой, причем сила тяжести действует в плоскости хММ1 и перпендикулярна м прямой Ох. (Мы предполагаем / < 1.)

Три уравнения движения твердого тела ММХ дадут нам (см. стр. 30)

2% — rO sin 0 = г cos 9 •祠一afR期、

r6 cos 9 = г sin 8 • 62* 2g十 Ry, /e =十 1 для xRy > 0,\ 用一％ sin 8 = geos В\з = 一一1 для xRy < 0 /

Если мы положим

Z) = 1 + cos2 0 + е/ sin 9 cos О, то эти уравнения примут вид

DRy =—(母 Sin 0 十 2g),

Dx =/«cos 9 卜w/sin 3)+ g[cos8siti0+力(l+siM。)], > (1) Dr6 = (rO2 sin 0 十 2g) (cos 9 十 w/ sin 8)

e = + 1 для % (rb2 sin 8 + 2g) < 0,e = — 1 для % (гб2 sin 9 十 2Q〉0

Предположим сначала, что g=0； тогда знак з будет таким же, как и знак выражения ——％ sin 9. Для 8 = 0 знак з будет одинаков со знаком величины —хО (как можно сейчас же увидеть, рассматривая состояние системы в момент t-\-dt\ для 0 =式 знак а будет одинаков с +*9. Если производная О

равна нулю в момент /0, то угол 0 равен нулю для всякого % и, следовательно, производная % будет постоянной. Остается случай трения покоя, когда х0 = 0; если

/> |ctg%|,

то х остается равной нулю и 0 изменяется пропорционально времени до тех пор, пока 6 не достигнет значения 忆 для которого ctg8i = 士/; то же самое имеет место, если

/ = ± ctg 6。

и одновременно

6oCtg(% > 0.

Если

/ < I ctg eoh

то % и 8 удовлетворяют уравнениям движения, в которых s имеет знак, противоположный знаку tg 60; то же самое имеет место, если / = ± ctg 0о и одновременно 60ctg 60 < 0. Наконец, если и х0 одновременно равны нулю, то система остается неподвижной.

После этого исследование движения становится возможным: 8 остается постоянным или удовлетворяет уравнению

J

sin 8 (cos 8 + ef sin H) 1 + cos2 9+ ef sin 9 cos 9 “

Таким образом, 6 никогда не обращается в нуль, а 9 все время изменяется в одну и ту же сторону, например возрастает и притом неограниченно, так как если бы 9 стремился к некоторому пределу 6Р то последний должен был бы обратить в нуль определяющую 6 показательную функцию. Далее при бесконечном возрастании % скорость В стремится к нулю; в противном случае ни %, ни Ry не стремились бы к нулю и работа силы трения стремилась бы к —оо. Примем для конкретности начальные условия

0< е0<у, 6°<0, х0<0.

Движение будет определяться уравнениями ⑴ с е = -|-1, пока % sin 8 не сделается равным нулю. Пусть а есть зна-

чение интеграла

6(cos8 + f sin 6)加

о

если га меньше | х01, то при переходе 8 через нуль е изменяется и становится равным ——1; если га больше | х0|, то х обращается в нуль, когда 9 достигает лежащего между О и 3° значения %, для которого мы имеем:

пусть, далее, 8纟 будет заключенный между 0 и 多 угол, котангенс которого равен /; если 0工 меньше чем 62, то величина % становится положительной и s становится равным ——1. Если О】 больше 62, то % остается постоянной, и 8 уменьшается пропорционально времени в промежутке от 左 до G + 力二电=勾; потом для %〉/ скорость % становится положительной и е будет равняться ——1 и т. д.

Если g не равно нулю, то задача все еще требует для своего решения одних только квадратур. Ограничимся исследованием движения в случае, когда начальные скорости 60, х。 очень малы и 0о очень мало отличается от у. Положим 6 = у 4~?» неравенство

To + gr(cos(p—cos cp0)

cos % = 1 —cos % = 1 —cos 屮о),cos 屮о),показывает, что абсолютная величина 单 остается меньшей абсолютной величины угла 屮口 определяемого уравнением

cos % = 1 —

cos % = 1 —

cos 屮о),

cos 屮о),

и что живая сила Т остается меньшей

「о 十炉(1 — 8S фо)-

Отбросим сительно ср иОтбросим сительно ср ив уравнениях (1) члены второго порядка отно- % получим:

Отбросим сительно ср и

Отбросим сительно ср и

e = + 1 для %〉0, е =——1 для х < 0e = + 1 для %〉0, е =——1 для х < 0* = —g<?(l -2/2) -2yg, 八？ = — 2g(p (1 —/2) — 2®/g

e = + 1 для %〉0, е =——1 для х < 0

e = + 1 для %〉0, е =——1 для х < 0

По истечении конечного времени величина % будет оставаться равной нулю; действительно, для того чтобы правая часть уравнения живых сил не стремилась к —оо, необходимо, чтобы х оставалась равной нулю или стремилась к нулю при очень больших значениях %; если % стремится к нулю при / = оо, то первое из уравнений (2) показывает, что угол ср должен стремиться к

亠2/

—1—2/2，

следовательно,平 должна стремиться к нулю, и второе уравнение (2) показывает, что g должен был бы стремиться к 士 1 _2уз； таким образом, мы приходим к противоречию;следовательно,平 должна стремиться к нулю, и второе уравнение (2) показывает, что g должен был бы стремиться к 士 1 _2уз； таким образом, мы приходим к противоречию;следовательно, для /, превышающего координата х остается постоянной и этого двигаться как простой маятник.Если коэффициент / очень мал иследовательно, для /, превышающего координата х остается постоянной и этого двигаться как простой маятник.Если коэффициент / очень мал инекоторый предел 左,некоторый предел 左,точка 也 будетточка 也 будетпослепослеуравнения (2) можно привести к таким:уравнения (2) можно привести к таким:сравним с ср исравним с ср и2 то2 то妥=—2 歹g—g。妥=—2 歹g—g。呼= —— 2yg—2gc?呼= —— 2yg—2gc?(гх > 0).(гх > 0).⑶⑶

следовательно,平 должна стремиться к нулю, и второе уравнение (2) показывает, что g должен был бы стремиться к 士 1 _2уз； таким образом, мы приходим к противоречию;

следовательно,平 должна стремиться к нулю, и второе уравнение (2) показывает, что g должен был бы стремиться к 士 1 _2уз； таким образом, мы приходим к противоречию;

следовательно, для /, превышающего координата х остается постоянной и этого двигаться как простой маятник.

Если коэффициент / очень мал и

следовательно, для /, превышающего координата х остается постоянной и этого двигаться как простой маятник.

Если коэффициент / очень мал и

некоторый предел 左,

некоторый предел 左,

точка 也 будет

точка 也 будет

после

после

уравнения (2) можно привести к таким:

уравнения (2) можно привести к таким:

сравним с ср и

сравним с ср и

2 то

2 то

妥=—2 歹g—g。

妥=—2 歹g—g。

呼= —— 2yg—2gc?

呼= —— 2yg—2gc?

(гх > 0).

(гх > 0).

⑶

⑶

Эти уравнения легко поддаются исследованию; точка М окончательно останавливается после конечного числа колебаний и промежуточных остановок.

Пример 4. Решить ту же задачу 6 предположении, что стержень ММ1 является однородным с плотностью р = 1.

Во всем предыдущем изменятся одни только коэффициенты уравнений (1). Мы получим:

гх — у sin 6 • 0 = cos 8 • @2 十 Rxt

-^- COS 9 • 0 = -^ sin 0 • О2 + gr + R“，

-у в —勺 ％ sin 8 = gf COS 9;

в частности, уравнения (3) должны быть заменены следующими:

箋=一竿一亭%箋=一竿一亭%2 =十 1 для х〉О,Е =——1 ДЛЯ X < О2 =十 1 для х〉О,Е =——1 ДЛЯ X < О

箋=一竿一亭%

箋=一竿一亭%

2 =十 1 для х〉О,

Е =——1 ДЛЯ X < О

2 =十 1 для х〉О,

Е =——1 ДЛЯ X < О

Пример 5. Конец А тяжелого однородного стержня АВ скользит без трения по плоскости хОу9 а его середина G скользит с трением по прямой Ozf перпендикулярной

汇 плоскости хОу. Определить движение системы, если сила тяжести имеет произвольное направление 〃о отношению к осям Oxyz. Пусть 2/—длина стержня, ср ——угол хОА, 0 ——угол zGB, 丫 ——составляющая силы тяжести по On, а 丫'一 ее составляющая, перпендикулярная к Oz. Теорема моментов для оси Oz дает

sin2 3 •平=а.

С другой стороны, точка G движется как тяжелая точка с массой 2/, к которой приложены все внешние силы (сила тяжести, реакция /? оси Oz и реакция ^ плоскости хОу); отсюда следует, что нормальная составляющая Rn равна и прямо противоположна составляющей 丫‘ силы тяжести и что, если С представляет ординату точки G, то мы имеем:

2/； = —2/2(sin6 • 6-j-cos 0 •曲)=2々十N—а/・ 2/f

Е = + 1 ДЛЯ С > О,г = — 1 для 匕 < О

Для вычисления АЛ применим теорему моментов относительно оси Ох; так как равнодействующая силы веса и реакции R направлена по оси On, то ее момент равен нулю,

и мы получаем:

入(入——/) d入•丽(sin 屮• 8 + cos 8 sin 8 cos ? •屮)=

=W '五(sin 屮• 8 + 〃 ctg 8 • cos cp) = Nl sin 0 sin cp,

илиили3sin 6 \3sin 6 \〃2 cos 0 \ sin2(T>〃2 cos 0 \ sin2(T>

или

или

3sin 6 \

3sin 6 \

〃2 cos 0 \ sin2(T>

〃2 cos 0 \ sin2(T>

и следовательно,

6(1 -4-3 sin2 6) = —3 sin 0 cos 0 • 62 +

〃2 COS 0sin2 0〃2 COS 0sin2 03 sin 03 sin 0（T十疗）（T十疗）(1)(1)

〃2 COS 0sin2 0

〃2 COS 0sin2 0

3 sin 0

3 sin 0

（T十疗）

（T十疗）

(1)

(1)

e = + 1e = — 1e = + 1e = — 1для sin 6 • б < 0,для sin 8 • 6〉0

e = + 1

e = — 1

e = + 1

e = — 1

Это уравнение легко проинтегрировать и исследовать. Если при / = /0 скорость 6 равна нулю, то 8 остается постоянным при условии

I 力 3sin36o »

в противном случае 0 (/) удовлетворяет уравнению (1), где s равно + 1 для случая • 3 s淞— у < 0, и е равно —1 для

〃2/ cosс

ел^чая 1^一7>°・

Пример 6. Однородное 〃 тяжелое тело S скользит двумя точками А и В вдоль оси Oz с трением. Определить движение тела S, если сила тяжести имеет любое направление по отношению к Oz,

Возьмем в качестве оси Ох прямую, перпендикулярную и к оси On н к направлению силы тяжести; пусть % 丁 будут составляющие силы тяжести по осям Оу и Oz. Пусть, далее, М = 1 будет масса тела S, а К—радиус инерции его относительно оси On; наконец, пусть Е,田，С будут координаты центра его тяжести G, a W十〃 и С-рй — координаты точек 4 н 5 (〃〉6). Положение тела S определяется углом О,

который полуплоскость zOQ образует с плоскостью zOx и координатой 匚；мы имеем:

E =「cos6, т] = г sin 9,

где г представляет расстояние точки G от оси On.

Если мы обозначим через R и R реакции оси Oz в точках / и 笈 и напишем шесть уравнений движения тела S, начав с уравнения моментов относительно оси Oz, то получим:

/<26=：^ = рг cos 0,（1）

W = &十%，力=勺+4 +。，e=a+ & +『 0 =田（几十心+。勺+次工0=na +心+〃冗+饮; и, следовательно, после исключения （凡+总）：

伍一6）仆t （丫一马—成，（"一力）勺=似丫_e）一6而一 ?）, （6一〃） R；=? （丫一e）—点（6—〃） &=田（丫一匕）—矶彳—0）;

лучим:лучим:если, кроме того, мы будем учитывать закон трения, то по

лучим:

лучим:

6=+ 1 для 匕〉О, е=— 1 для t < О

Отсюда получается уравнение

（〃一力）（-）=

—£/ —

=+小产g — 丫）2 — 2〃 （祁+戸62）（匕-丫） 十 a2可+（后一吃］十

+ 1/"/^^）^^^（2）

Уравнение （1） есть уравнение сложного маятника; оно определяет cos 8, sin 8, а следовательно, и $, 7）с их производными в виде двоякопериодических функций от /; таким образом,匕 дается при помощи квадратуры

尸（力尸（力

尸（力

尸（力

где 尸 определяется алгебраическим уравнением четвертой степени; мы можем еще взять 8 в качестве независимой

И Зак. 1628. П. Пэнлеве

переменной и написать

鸟=今=尸18)；

решение задачи требует одних только квадратур. Корень 尸 уравнения четвертой степени должен быть действительным, соответствовать одному и тому же знаку при двух радикалах, а также должен быть больше или меньше 丫 в зависимости от того, будет ли величина С отрицательной или положительной.

Ограничимся тем, что произведем исследование частного случая, когда р = 0 (иными словами, сила тяжести параллельна 。2)и когда коэффициент трения / меньше，斤"; в таком случае величина 6 постоянна и подкоренные выражения обоих входящих в уравнение (2) радикалов являются точными квадратами:

戸《—丫—閥)2,产« —т —成)2.'

⑶⑶Таким образом, уравнение (2) принимает вид (〃-2尸)=|с-т-^|+гс_т-^| =十 1 для 4 > 0,\

⑶

⑶

[е = — 1 для < 0 /

Мы всегда можем предположить Со > 0; совершенно элементарное исследование показывает, что для случая

/ <2广

% =(А<% =(А<уравнение (3) относительно (С ——丫) при е =十 1 всегда допускает один и только один корень, а именно, если мы положим

% =(А<

% =(А<

I) В случае, если коэффициент / был бы больше ②“•, появились бы некоторые особенности; например, мы получили бы несовместность для Со>0, 〃>0,力〉0.

-/^ （〃 + 匕）*1 — 2/1-/^ （〃 + 匕）*1 — 2/1то будем иметь:

-/^ （〃 + 匕）*1 — 2/1

-/^ （〃 + 匕）*1 — 2/1

для 仅 > 0, 6 > О

для 仅>0, 6<0 c-y=一力（a一6）% если Де1-^^

一万（〃+匕）端，、i а

—1+2万一，если衣》1 -匸工;

для а < 0, 6 < 0 匕二т=—/1（〃一6）碌 если /1>历］2岡;для а < 0, 6 < 0 匕二т=—/1（〃一6）碌 если /1>历］2岡;С — у =С — у =-/1（〃 + 匕）储-/1（〃 + 匕）储1 十 2/11 十 2/1，если Д< \ь\—\а\9，если Д< \ь\—\а\9

для а < 0, 6 < 0 匕二т=—/1（〃一6）碌 если /1>历］2岡;

для а < 0, 6 < 0 匕二т=—/1（〃一6）碌 если /1>历］2岡;

С — у =

С — у =

-/1（〃 + 匕）储

-/1（〃 + 匕）储

1 十 2/1

1 十 2/1

，если Д< \ь\—\а\9

，если Д< \ь\—\а\9

Ускорение С постоянно, пока С не обращается в нуль. Остается исследовать случай, когда величина 匕。равна нулю; будем считать для конкретности а, 6, 丫 положительными （остальные случаи можно будет разобрать совершенно аналогично）; если С не равна нулю, то она должна быть положительной, так как при отрицательной С координата С удовлетворяла бы уравнению （3） при е = — 1 и 已一丫 должно было бы быть положительным; для 巳=十1 мы имеем:

необходимо, чтобынеобходимо, чтобы胃 九（〃 +匕）%J = T1—2九，

необходимо, чтобы

необходимо, чтобы

и для того чтобы С была положительной,

имело местоимело местонеравенство

имело место

имело место

>0.>0./1 （^ +匕）储

>0.

>0.

丫 1 — 2%

Далее, если мы положим С = 0, то получим:

Rn= 〃Sy（丫 +磁'

Rn =不Jy （! 十 〃^） и

Rz 十 Rz = т •

Для того чтобы можно было удовлетворить этим урав« нениям одновременно с условиями

\Rz\<f^ |R；I《/R；，

равнаравна九（。+匕）端1—2衣；九（。+匕）端1—2衣；"（〃 +匕）増-〃一匕一2">0"（〃 +匕）増-〃一匕一2">0

равна

равна

九（。+匕）端1—2衣；

九（。+匕）端1—2衣；

"（〃 +匕）増

-〃一匕一2">0

"（〃 +匕）増

-〃一匕一2">0

нужно」чтобы 丫 была самое большее в .этом случае достаточно положить

我=亠/解 + 〃，R% = fRn - 〃一T，(4)

где

Q «У MR—心一％

чтобы все условия были удовлетворены. Таким образом, в предположении, что 〃，仇 т положительны, тело, поставленное в начальные условия Со, 8°, ^о = О, 9j, опускается равномерно ускоренным движением, вращаясь вокруг Oz с постоянной скоростью 6, если только соблюдено условие

Если выполняется условие

"(0 +力用Y < a — b — 2"，

то С и 6 остаются постоянными; в этом последнем случае Rx9 Ry, R；, R；, а также и Rz-\-R^ определяются из уравнений движения, но R? и R； согласно уравнению (4) зависят от некоторой положительной неопределенной величины, меньшей некоторого предела.

Замечание о системах, составленных из двух тел. Для таких систем очень часто бывает возможным отдельно исследовать относительное движение одного тела по отношению к другому.

Пример 7. Тяжелый треугольник АВС скользит стороной ВС без трения по горизонтальной прямой Ох. По стороне АС скользит с трением однородная и тяжелая окружность. Определить движение этой системы, пущенной 8 вертикальной плоскости.

Пусть М — масса треугольника, а 加=1 —масса окружности, G ——ее центр,厂一ее радиус, ахи %( — абсциссы точек С и G. Теорема о движении центра тяжести для оси Ох дает

(1)(1)7И% + *1 = О,

(1)

(1)

илиилиМх-\-хг =或 + 氏Мх-\-хг =或 + 氏

или

или

Мх-\-хг =或 + 氏

Мх-\-хг =或 + 氏

Затем возьмем в качестве осей, связанных с треугольником,

прямую С;, служащую продолжением АС, и перпендикулярную к ней прямую Ст]； пусть Е,田 будут новые координаты

Фиг. 20.Фиг. 20.

Фиг. 20.

Фиг. 20.

точки G. Напишем три уравнения относительного движения тела G по отношению к этим осям, добавив к активным силам кориолисовы силы инерции, которые в данном случае сводятся к единственной силе

Т =Т =

Т =

Т =

направленной по Ох и приложенной в точке Q. На основании формулы преобразования координат

%, = * + Е cos С

и вытекающей из уравнения (1) зависимости

•• g cos С

—* = 十 М

имеем:

JgsinC+丁 cosC十a = gsinC十•^^ —е伏川

⑵⑵0= т]=—gcosC+TsitiC + RpM

⑵

⑵

с j W cos С sin С . n

=geos CH-hj，

R = Rw = efRn (e = ±l, e (^ — r6) ^ > 0).

В написанных уравнениях /?臼 ^刀—составляющие реакции R, с которой опорная поверхность АС действует на окружность, а 9 — угол LGM, образуемый вертикалью с некоторым постоянным радиусом GL круга.

Отсюда мы получаем:

сMg cos С

4= М 4- sln2 С — е/ sin С cos С '

g — (1 + М) g (sin C — "cos С)

—М + sin3 С — е/ sin C cos С '

百=e/Mg COS С

—М 十 Shi2 с —寸 sin C cos бГ •

Разберем случай 产 М + sin2 с.

/ < sin С cos С，

причем угол С заключается между 0 и 90°; тогда R^ положительна, е равняется -|- 1 при £—гб > 0 и ——1 при g — r(i < 0; 5 и 6 остаются постоянными, пока $ —厂5 не обращается в нуль. Мы сейчас же находим:

Hr = sinC(l+M)-^cosC(l+2M)

—*М 十 sin2 c — e/sin C cos С *

откуда при помощи исследования, аналогичного тому, которое было проведено для обруча в примере 1 предыдущей главы (стр. 121), мы придем к выводу, что по истечении конечного времени круг катится по АВ в случае, когда / больше « 「1 + ММ + sin2 С

tgC L —количества, которое всегда меньше -г-4；

十厶Иsin С cos С

наоборот, в случае / < tg С ^ ^2М величина Е — гб неограниченно возрастает； наконец, при условии

f+ М

/=tg* +2M

F—гб остается постоянным, если значение £0—г90 положительно; если же 2。一厂8° отрицательно или равно нулю, то круг катится по истечении конечного времени. В тот момент, когда i — гб обращается в нуль, ускорения изменяются скачком.

Замечание 。 системах с излишними связями. Если имеются излишние связи с трением, то, вообще говоря, при помощи одних лишь уравнений механики определить движение невозможно. Однако в некоторых очень узких частных случаях это определение является все же возможным.

Пример 8. Решить предыдущую задачу в предположении, что ВС скользит по Ох с трением.

Мы только допустим, что все нормальные составляющие реакций оси Ох положительны или равны нулю; это необходимо имеет место, если связь является односторонней, когда треугольник АВС может подниматься над осью Ох. В таком случае, если через Nx и N” мы обозначим составляющие геометрической суммы реакций прямой Ох, то теорема о движении центра тяжести дает нам:

(S^M)x^cQsC==Nx=-3rfNyi)/ел=-|-1 для х >0, \ @) Му^у^Л^С==Ыу-(\-}-М)J \ez= — 1 для х < 0 /

где Ыу > 0, а 广一коэффициент трения для прямой Ох.

Уравнения (3) вместе с уравнениями (2) определяют движение системы; достаточно будет в уравнениях (2) положить

Положим

。=Л4 + sin2 С 十(а夕一s/) sin C cos C 十 ^^^ sin2С;

тогда получаем:

DRr = gM(cos C — £了 sin С),

q? = g(1 十 Л4)[ sin С + («—£/) cosC + 抬Tf sin С], Q(W—гЬ) = g[ sin С + (e7/7 — e/)cosC+

十 ^ff sin C 十 Л4 (sin С + е夕 cos С )1,

DNy = (i+M)Mgf

卜=土 1, e(；— rO )(cosC — £/' sinC)> 0].

При помощи этих уравнений можно без труда определить движение системы, лишь бы мы имели:

М 十 sin2 С — I/+/1 sin С cos С —ff sin2 С>0.(4)

Впрочем легко видеть, что движение, в котором сторона ВС покинет прямую Ох (если исключить случай, когда это произойдет в одной только точке 5 или С), является недопустимым [если соблюдается неравенство (4)]. Таким образом, движение является определенным однозначно.

Исследование случая трения покоя представляет уже отмеченные выше (см. стр. 149) особенности, если / и 广 подчинены только условию (4). Например, если мы имеем:

%0 •—。， Е0 7% 方0，

то случается, что начальным условиям соответствуют два раз - личных движения или что получается несовместимость. Для того чтобы произвести исследование, мы предположим поэтому, что / н /' меньше чем ctgC. Пусть сначала

х0 仇 e0г"0 #。；координата % остается постоянной при условии:

尸 N со9 c • I sin С —炉 cos С I/〉历 十 cosz。十炉cos C sin С'

где s равно 十 1 или — 1 в зависимости от того, является ли значение Е。一厂^。 положительным или отрицательным. Если имеет место обратное неравенство, то % изменяется, а % и У имеют знак, одинаковый со знаком выражения

e/cos С — sin С.

Пусть теперь %。次 0, £°— r0o = 0; тогда выражение Е—гб остается равным нулю, если

F (1 -НМ) |sinC—<ЛсодС|

/ 力 cos С — е/ sin С ，

где знак s' совпадает со знаком х. В случае обратного неравенства W — гб и е имеют знак выражения

sin С + 疗 cos С.

Наконец, пусть х0 = 0, Е。——г60 = 0; исследование становится еще более сложным. Укажем только, что происходит в случае малых значений / и /'. Если / и 尸 достаточно

малы для того, чтобы одновременно имели место неравенства

sin С (1 + М) — cos С [/+ (1 +的广]—/f sin С > О и

cos С sin С — (/+广)cos2 С —fM —疗，cos C sin С > О

(эти неравенства влекут за собой неравенство (4) и неравенство /’VctgC), то % и £ —厂6 будут переменными, х отрицательно, Е — f6 положительно, s равняется Ц-1, а а' равняется --1.

Заметим, что все предыдущее существенным образом предполагает, что коэффициент трения /——один и тот же по всей длине ВС и что нормальные реакции прямой Ох направлены все в одну сторону; при этих условиях частичные реакции прямой Ох все параллельны и направлены в одну и ту же сторону (они образуют с Ох угол, тангенс которого равен /). Если даны системы твердых плоских тел, пущенные в общей плоскости хОу и подверженные действию сил, расположенных в той же самой плоскости, причем некоторые из этих тел имеют одну или несколько прямолинейных сторон вроде ВС, которые скользят с трением по неподвижным прямым или одна по другой, то движение этих систем можно изучить, допустив только, что / остается постоянным вдоль ВС и что все нормальные составляющие реакции имеют одинаковое направление. '

Напротив было бы невозможно (без новых предположений) изучить движение какого-нибудь тяжелого треугольника АВС, сторона ВС которого скользит с трением по оси Oz, если направление силы тяжести по отношению к этой оси будет каким угодно. Если мы допустим, что вдоль Oz скользят только какие-нибудь две точки В'、Cf прямой ВС, то движение может быть найдено (см. пример 6), но оно будет зависеть от выбора точек Вг и С'.

Точно так же, если нам будет дано тяжелое твердое тело S, покоящееся основанием В на плоскости Р, то движение может быть определено в том случае, когда в момент /0 твердое тело имеет поступательное движение, параллельное линии наибольшего уклона; тело это будет скользить вдоль Р без вращения, причем его ускорение будет равно g(sinZ—/cost), если считать его положительным по направлению прямой наибольшего уклона 0%, проведенной сверху вниз; это, однако,.

предполагает, что если мы проведем из центра тяжести G вниз в вертикальной плоскости, перпендикулярной к Р, полупрямую GA, образующую с направлением, противоположным скорости точки G, угол с тангенсом, равным у-, то эта прямая встретит опорную плоскость в точке, лежащей внутри основания В. В противном случае основание В покинуло бы плоскость Р, сохранив с последней лишь одну или несколько общих точек, лежащих на одной прямой.

О ТРЕНИИ КАЧЕНИЯ И ВЕРЧЕНИЯ

В предыдущем изложении мы допускали, что соприкосновение между двумя твердыми телами происходило в геометрических точках. В действительности два твердых тела S и Е, оказывающие давление друг на друга, получают небольшие деформации и соприкасаются по некоторой элементарной поверхности а, окружающей геометрическую точку соприкосновения. Если с геометрической точки зрения этой деформацией и можно пренебречь, то механическими ее действиями пренебрегать уже нельзя. Реакции, с которыми точки площади о опорной поверхности Е действуют на тело S, могут быть приведены к единственной приложенной в точке Р силе R (касательную составляющую этой силы называют силой трения скольжения) и к паре с моментом Г, называемой парой трения.

Предположим, например, что тело S скользит по неподвижной поверхности 2. Для того чтобы не было трения, иными словами, для того чтобы виртуальная работа реакций поверхности £ равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы момент Г равнялся нулю, а сила R была нормальной в точке Р к поверхностям S и £. В этом можно сейчас же убедиться, если мы заметим, что телу S можно сообщить виртуальное перемещение, направление которого совпадает с какой-нибудь из касательных в точке Р к поверхности £, и виртуальное вращение около оси, определяемой направлением момента пары Г. Аналогичное замечание можно сделать относительно всех связей, перечисленных на стр. 74 и 78.

При наличии трения сила R определяется известным законом (см. стр. 62). С другой стороны, момент пары Г мы можем разложить на составляющую 与,перпендикулярную

к £, и составляющую Гг, касательную к £. Пара, определяемая моментом 工，называется парой трения верчения, а пара, определяемая моментом Гг, — парой трения качения. Весьма примитивные опыты приводят к заключению, что для заданных положения и скоростей тела направления моментов 与 и 耳 прямо противоположны направлениям нормальной и касательной к Е составляющих ①勿 и <ог вектора мгновенной угловой скорости со; кроме того, по абсолютной величине 1^ и Гг определяются равенствами

Е产尸・Rn，Er = f〃Rn， '

где Rn обозначает нормальную к поверхности £ составляющую полной реакции R этой поверхности при наличии трения скольжения. Пара Гр противодействует верчению тела S, то-есть его вращению около оси, совпадающей с общей нормалью к поверхностям S и £, а пара Гг противодействует качению в собственном смысле этого слова, т. е. вращению вокруг оси, служащей общей касательной к S и £. Коэффициенты / и 尸 приблизительно являются независимыми от скоростей точек тела S, но их уже нельзя считать постоянными для всех элементов поверхностей S и X, даже если каждая из этих поверхностей является одинаково шероховатой на всем своем протяжении, так как величина и форма площади соприкосновения о зависят от формы поверхностей S и X в соседстве с точкой соприкосновения Р и, следовательно, коэффициенты f и /〃 зависят от положения системы 】).В частном случае, когда каждая из поверхностей S и X является шаром или плоскостью, у которых два геометрически тождественных элемента являются и материально тождественными, оба коэффициента f и f абсолютно постоянны.

Предыдущий закон предполагает, что ①勿 и <ог не являются равными нулю. Если в некоторый момент / угловая скорость ①夕 равна нулю, то опыт показывает, что являются возможными два случая: или ①夕 продолжает оставаться равной нулю, и тогда момент 彩 самое большее равен fRni или в промежутке времени от t до t-\-dt скорость % не равна нулю, и тогда

1) См. Lea itё, ThGs? de doctorat, 1876.

применйм обычный закон трения 】).Аналогичное замечание касается и случая, когда о^ оказывается равной нулю.

Чтобы учесть этот эмпирический закон трения, мы будем поступать, как на стр. 66: мы пишем (для произвольных начальных условий) шесть уравнений движения тела S, в которых правые части представляют функции активных сил, коэффициентов /, 几 /" и реакции R心 таким образом мы получаем шесть уравнений для определения неизвестных «г ...,夕6 и R%. Если одна из величин %,巾 ①^ равна нулю (vQ обозначает начальную скорость материальной точки Р тела S, в которой оно соприкасается с поверхностью S), мы применяем закон трения покоя. Например, если равна нулю, то мы сначала в уравнениях движения оставляем неопределенным момент Гг, направленный по касательной к И (так что получаются две новые неопределенные величины) и выражаем, что производные по / двух составляющих ①歹 по осям О%, Оу равны нулю; отсюда получаются два новых условия; мы проверяем, удовлетворяют ли полученные из этих восьми линейных уравнений с восемью неизвестными значения (Г,勿，(Г/夕 Rn неравенству

［心 I；

если это имеет место, то предположение ⑴歹=0 является допустимым.

Что касается второго предположения, то для его исследования мы замечаем, что предельное направление Гг должно быть прямо противоположным направлению, косинусы которого пропорциональны

^，苏 ®儿，dt з)，

а эти величины представляют линейные функции от q「・.・,q& (и функций от q и д); кроме того,

если мы напишем уравнения движения, использовав указанные выше направление и численное значение Гг, то мы получим

В действительности, как это имеет место и для трения скольжения, коэффициент трения в начале движения несколько больше коэффициента трения /丿(или /〃) при установившемся движении.

шесть уравнений для определения ,「..・,^5, R”； правые части этих уравнений будут, однако, содержать все q в квадратах под радикалом; для того чтобы второе предположение было допустимым, эти уравнения должны иметь действительные решения.

Если будут равны нулю две из величин % 吟，£, то приходится исследовать четыре предположения в зависимости от того, допустим ли мы, что при ^ > /0 остаются равными нулю обе эти величины или только одна из них, или же ни одна. Подобно этому, если тело S в начальный момент находится в покое, приходится исследовать восемь предположений.

Предыдущие соображения непосредственно распространяются на все связи, перечисленные на стр. 74 и 78, и на их комбинации.

Коэффициенты /', /" всегда очень малы по сравнению с /, или, точнее говоря, по сравнению с 力,где г обозначает расстояние PG от точки соприкосновения Р до центра тяжести G 1).

Если мы ими пренебрегаем, то получаем случай, являющийся предметом этих лекций,——случай трения скольжения. Заметим, что работа сил трения качения и верчения уже не маскируется, так сказать, работой трения скольжения, когда последняя равна нулю, иными словами, когда тело S катится и вертится по поверхности S без скольжения. Например, когда обруч (пущенный в вертикальной плоскости) скользит по горизонтальной прямой Ох, то по истечении конечного времени t* обруч вследствие действия трения скольжения будет уже катиться без скольжения и остановится через достаточно долгое время %2 —友 вследствие трения качения.

Работа сил трения всегда отрицательна или равна нулю, если материальные связи не зависят от времени.

Пример 1. Определить движение однородного тяжелого обруча, пущенного 8 вертикальной плоскости хОу 〃。горизонтальной или наклонной прямой Ох, учитывая трение скольжения 〃 качения.

Так как движение происходит в плоскости хОу, то момент пары трения перпендикулярен к плоскости. хОу и препят-

Коэффициенты /7 и /〃 имеют размерность длины; их, также как и г, приходится умножать на 〃, если единица длины заменяется другой, в п раз меньшей.

ствует качению обруча. Предполагая, что обруч одинаково шероховат по своей длине, и полагая

Л < /), получаем уравнения движения (см. стр. 121)

% = gsini--s/gcos 厶/ S =±厶г(х ——X)>0, \

X = gcosi(s/—e%)〈 ？ = 士乙/6〉0 丿'

и, следовательно,

* —川=g sin i — 2yg cos z 十 e^g cos Z.

1°. Пусть сначала i = 0. Так как % меньше чем /, то % —广6, или g(2s/——г/J всегда имеет знак, противоположный знаку е, и следовательно, по истечении конечного времени 々 выражение % ——厂6 обращается в нуль. Для /> /г обруч уже не может более скользить, потому что в таком случае % — гб должно было бы иметь такой же знак, как е, что нелепо; таким образом, круг будет катиться неограниченное время.

Уравнения

笺=R® 疗=—R。一<Ag, К —后=0 дают

笺=内=二^堂

21 I временивим, что если21 I временивим, что еслиТаким образом, % и 6 обращаются в нуль по истечении

21 I времени

вим, что если

21 I времени

вим, что если

и система будет оставаться в покое. Доба- в какой-нибудь момент /0 скорость В равна

нулю, то она не может оставаться равной нулю, если % не

равна нулю, так как момент пары трения качения должен был бы быть равен 士frg и был бы по модулю больше чем frg = f^rg\ кроме того, В имеет знак выражения 歹一w%, то-есть знак е； таким образом, для / = /0 + ^ коэффициент / должен иметь знак s, который будет знаком х0.

2°. Пусть z > 0. Совершенно элементарное исследование

случая трения покоя приводит к следующим результатам.

Пусть ДЛЯ t=tq%о广°о 歩 °，°о == °，%о — *0 = 0, 6（）> 0Пусть ДЛЯ t=tq%о广°о 歩 °，°о == °，%о — *0 = 0, 6（）> 0工0 —*0 = 0，60 Vo工0 —*0 = 0，60 Vo%о—r6Q = 0, 6° = О%о—r6Q = 0, 6° = Отогда для %。+ df £ = е, 6% > 0;

Пусть ДЛЯ t=tq%о广°о 歩 °，°о == °，

%о — *0 = 0, 6（）> 0

Пусть ДЛЯ t=tq%о广°о 歩 °，°о == °，

%о — *0 = 0, 6（）> 0

工0 —*0 = 0，60 Vo

工0 —*0 = 0，60 Vo

%о—r6Q = 0, 6° = О

%о—r6Q = 0, 6° = О

х — гб = 0, если tg»《2/—力；

'% —厂6 > 0, а = / = +1, если tgi>2/—&

[% — гб = 0, если tgz <； 2/4-^;

{ % — гб > 0, а = £ = + 1, если

1tgi>2/+&

，％ 三％°, О = 0о, если tg»M/i；

% — rB = 0, 6 > 0, ?/ =+1,

<если 2/—/1>tgZ>/1;

% —厂6〉0, 6〉0, £ = / = + 1, если tg / > 2/—%

После этого исследование движения уже не представляет никаких затруднений; нужно различать три главных случая:

tgi < ft. По истечении конечного времени 友 обруч катится с уменьшающейся скоростью и останавливается по истечении времени 为》片.

（2/—九）〉tgi〉衣.По истечении конечного времени 友 обруч катится с возрастающей скоростью.

tg/ > 2/—Д. Обруч катится и скользит с возрастающей скоростью. Когда tgj заключается между 2/+Л и 2/—Д, движение представляет любопытную особенностьi обруч может катиться в течение некоторого периода движения. Пусть, например,

•6 и X V 忘一川。）Ps 〃/+%）.

%о — ~o〉U,и < sin/—（2/+%）cos^，

скорость скольжения уменьшается и становится равной нулк> по истечении промежутка времени

после этого обруч катится без скольжения вплоть до момента

为=/1.十2为=/1.十2g4(f+fi) cost —用оg (sin /十 / cos z)

为=/1.十2

为=/1.十2

потом скорости скольжения и качения неограниченно возрастают.

В промежуточном случае 力=tg 2 обруч останавливается по истечении конечного промежутка времени, если в тот момент 友,когда он начал катиться, угловая скорость 8^ отрицательна или равна нулю; если 6^ положительна, то 6 остается постоянной. В случае tgZ = 2/ ——/( обруч катится по истечении конечного времени или его скорость скольжения остается постоянной в зависимости от начальных условий.

Пример 2. Если вместо обруча мы будем рассматривать однородный и тяжелый шар, пущенный по наклонной плоскости, то, полагая, как всегда (см. стр. 135),

% =扌一р0，旳= ^ + р， 0= + m*十%, мы получим такие уравнения движения:

如石弱不办一成个不к2如石弱不办一成个不к2Е = —/geos »亍，т = —/geos i匸一gsin z,/gpcos-—广 gcosi^^，

如石弱不办一成个不к2

如石弱不办一成个不к2

q»(1)

二/gpcos'^—/gcosf^^^，

=—s/zgcos Z (£ = 士1, sr > 0).

Последнее уравнение показывает, что по истечении конечного промежутка времени верчение прекращается и больше уже не возобновляется. Что касается остальных уравнений, то они не интегрируемы. Однако для частного случая, когда для Z = %。мы имеем ；э = 0 и 夕。=0, величины $ и-^ остаются равными нулю для любого t 】)，и движение определяется уравнениями:

田=—e/gcosi — gsini, /е = ±1 и е@+рр)〉О,\k2需=一e/gpeosi -疗〃geos 2 y Е/= ±1 m ^0>0 丿 ⑵

Если мы положим

= P/p

где Д </, то уравнения (2) оказываются совершенно аналогичными уравнениям движения обруча и могут быть исследованы таким же точно образом; шар останавливается по истечении конечного промежутка времени, если /х > tg /; он катится по истечении конечного промежутка времени ускоренным движением, если

〉tgi>&〉tgi>&

〉tgi>&

〉tgi>&

наконец, он скользит и катится с неограниченно возрастающими скоростями скольжения и качения, если

(1 + 蜀/一 為/t

При произвольных начальных условиях уравнения (2) все еще позволяют исследовать движение. Ограничимся тем, что разберем случай трения покоя. Пусть для /=/° мы имеем р° = =Оо = 0, но о。方 0; <ог не может оставаться равной нулю, так как момент пары трения качения был бы тогда равен fgp cos z и, следовательно, больше чем /"gcosi. Если в уравнениях (1) мы заменим р и 夕 через 雾，黑，то для /=^ будем иметь:

К2^= —gpcosi(/ —衣卄，K2^ = gpcos»(/ —力)号；

направление ①^ для t = tQ-^-dt составляет со скоростью скольжения угол, приблизительно равный у.

перпендикулярны; тогда а н ❿^ имеют постоянные направления, и если мы положим:

^ = av, vy = ^vt р = —£叫 g = as, то переменные v м будут удовлетворять уравнениям:

然一cos屮(1+勒一舟翁=殁*( j).

12 Зак. 1628. П. Пэнлеве

178178лекцйи о трении

178

178

Пусть теперь 怨 # 0, 磷=0, % = 0; шар катится без скольжения в течение некоторого промежутка времени, если мы имеем:

где

а = +tg2 Z— tg г.

Напротив, если имеет место обратное неравенство, то шар скользит, и для t=tQ мы найдем:

祟ghY+加n』，

^= + ^[i-(i+^)4Jt=；

скорость и в момент /0-|- dt образует угол, приблизительно равный 与，с осью мгновеннного качения ⑴尸

Наконец, пусть ；о = О, % = 0, /?0 = % = 0; тогда $ и 嘗 равны нулю во всех случаях, £ и д остаются равными нулю, и мы возвращаемся к разобранному нами вначале частному случаю.

При любых начальных условиях шар останавливается по истечении конечного времени в случае 九 > tg i; он катится (без скольжения и верчения) по истечении конечного промежутка времени в случае

Наконец, он скользит и катится (без верчения) со скоростями, которые неограниченно возрастают, в случае

ДОБАВЛЕНИЕ /

ЛЕКЦИИ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ

(ПЕРВАЯ, ЧЕТВЕРТАЯ И ПЯТАЯ ЛЕКЦИИ)

ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ

Прежде чем приступить к изучению материальных систем, напомним постулаты и аксиомы, которые принимаются в начале динамики точки. Мы отсылаем к университетским курсам за всеми деталями, которые относятся к этому предмету.

Мы предполагаем известными определения, касающиеся длины, времени и массы; на практике длины измеряются в сантиметрах, время в секундах, а массы в граммах.

Абсолютные оси. Пусть О%, Оу, Oz будут три какие-нибудь материальные оси и М — заданная материальная точка, находящаяся в момент /0 з точке с координатами (%о，%, 2。)и имеющая скорость (х0> %, 2°) при наличии некоторой материальной среды Р. В таком случае определены все обстоятельства явлений, которые произойдут, в частности, олределено то движение, которое будет иметь точка М по отношению к осям Оху г. Таким образом, ускорение 丁 точки М в момент 方° (при наличии среды 夕)зависит только от начальных условий (%0, »о， N。， Хо, »о， No， Q.

Установив это, согласимся называть абсолютными осями всякую систему осей Оху г, которая удовлетворяет следующим условиям.

(принцип Кеплера). По отношению к этим осям материальная точка, если бы она существовала совсем одна, описала бы прямую линию с постоянной скоростью, иначе говоря, ее ускорение постоянно равнялось бы нулю.

(принцип Ньютона). Пусть М — данная материальная точка, помещенная в момент 方° в заданные начальные условия; пусть Р — внешняя среда для этой точки и 丫 一 ускорение точки М в момент %. Вообразим, что Р состоит из двух различных частей Р‘ м 卩'н что в момент 方° устраняют часть X, причем точка М и часть Р остаются тождественными самим себе; пусть в этом случае ускорение точки М было бы 丫'. Пусть точно так же 丫" 一 ускорение, которое имела бы точка Ж

в момент 4， если бы существовала лишь одна часть 产. Тогда величины 丫，丫'，丫〃 удовлетворяют равенству

丫 = 丫_丫J

Этот принцип охватывает и принцип Кеплера.

Если система осей Oxyz является абсолютной, то все системы, обладающие по отношению к Oxyz равномерным прямолинейным поступательным движением тоже являются системами абсолютных осей, причем очень легко доказывается, что других абсолютных систем не существует. Абсолютными ускорениями мы назовем ускорения материальных точек по отношению к абсолютным осям; эти ускорения не зависят от системы абсолютных осей, к которым относится движение.

Мы допускаем как доказанное опытом существование абсолютных осей. Эти оси являются приблизительно неподвижными по отношению к звездам или имеют по отношению к ним равномерное прямолинейное поступательное движение).

Абсолютная сила. Абсолютная сила, или сила, действующая в данный момент на точку М, является, согласно определению, векторной величиной, которая имеет начало в точке М, имеет то же направление, что и абсолютное ускорение Г точки М, и численное значение которой равно численному значению ускорения, умноженному на массу точки М:

尸=/nг.

Говорят, что точка М подвержена действию нескольких сил 尸 1，尸2，..・,Fn, если среда Р, являющаяся по отношению к М внешней, состоит из п частей Рг 尸少•••， Рп，каждая из которых, если бы она существовала одна, действовала бы на ту же точку М, помещенную в момент /0 в те же самые начальные условия, соответственно с силами Fv F2, . . ., Fn. Равенство

влечет за собой равенство

尸=尸］+尸2+…十尸%.

Таким образом, можно высказать следующее предложение: сказать, что на точку М действует несколько сил 尸工,Fa, ..., Fn, равносильно тому, если мы скажем, что действующая на М сила 尸 есть геометрическая сумма величин 尸工,优,.・.,Fn、

Отсюда выводится такое следствие.

Предположим, что действующая на точку М среда Р представляет материальную совокупность. Мы можем, при желании, разложить систему Р на п частей, где п может быть сколь угодно большим числом, и рассматривать абсолютную силу, с которой действует на М среда Р, как геометрическую сумму абсолютных сил, с которыми действовала бы на эту точку каждая из п частей, в предположении, что можно заставить их действовать каждую в отдельности, ничего не изменяя ни в их состоянии, ни в состоянии точки М.

Если / есть абсолютная сила, с которой действовала бы в этих условиях на точку М одна из п частных сред, а 尸丁 абсолютная сила, с которой действует их совокупность, то, согласно предыдущему постулату,

Таким образом, этот постулат позволяет определить силу, с какой на точку действует некоторая совокупность, если известны силы, с какими действует на эту точку каждый из элементов этой совокупности.

Постулат равенства действия и противодействия. Мы допустим еще в качестве проверенного

на опыте для всех рассматриваемыхна опыте для всех рассматриваемыхФиг. 21.Фиг. 21.случаев следующийслучаев следующийпринцип.

на опыте для всех рассматриваемых

на опыте для всех рассматриваемых

Фиг. 21.

Фиг. 21.

случаев следующий

случаев следующий

Предположим, что материальная среда Р действует на некоторую точку М. Можно разложить Р на элементы; пусть Е будет один из них. Если бы этот элемент Е существовал один вместе с М, причем состояние и точки М и его самого оставались бы неизменными, то он действовал бы на точку М с некоторой абсолютной chjiqA/. Мы допускаем, что и обратно

точка М действует на Е *с абсолютной силой ——/, равной и прямо противоположной предыдущей силе /. Это требует, чтобы сила / была направлена по прямой, соединяющей точки М и Е.

Относительные силы; их связь с абсолютными силами. Во всем предыдущем мы относили движение к абсолютным осям. Предположим теперь, что мы изучаем движение некоторой точки М по отношению к каким угодно осям Ox, Oyt On.

В момент t точка М занимает положение (х, у а) и имеет скорость (х, у, а); под действием некоторой среды Р она по отношению к осям Ox, Оу, Oz получает ускорение Гг. Будем называть геометрическую величину

Fr = mTr

относительной силой, действующей в момент / на точку М.

Если известно движение осей Ox, Оу, Oz по отношению к абсолютным осям, то, зная относительную силу Fr, мы можем легко вычислить абсолютную силу Fa. Действительно, мы имеем:

Fa = Fr + ^e + ^Ci

где Гв и Гс соответственно обозначают переносное и поворотное ускорения, или

Fa = Fr + Ai

где 4 представляет геометрическую сумму двух кориолисовых сил. Эта величина 4 не зависит от действующей среды.

На основании этого мы видим, что абсолютная сила получается прибавлением к относительной силе некоторой геометрической величины, которая зависит от времени, положения и скорости точки М, а также от движения осей Ох, Оу, Oz, но которая не зависит от действующей среды.

Рассмотрим теперь действующую на точку М абсолютную силу, как происходящую от действия нескольких сред 厶， 「2， • • • ， Рп, совокупность которых представляет среду Р; пусть Ff, &,...,片一абсолютные силы, с которыми эти частичные среды действуют на М. Тогда, согласно принципу Ньютона относительно действия сред, имеем для полной абсолютной силы:

尸g =可+居+…+嵐,

(О

Пусть 尸;,可,...,Fn — относительные силы, с которыми действовали бы те же среды, если бы каждая из них действовала изолированно, a Fr пусть будет относительная сила, с которой действует их совокупность. Тогда

&=&+%,

K = Fn + Af

% =".十 4

Следовательно, соотношение (1) дает нам, с одной стороны, 尼=尸;十eВ十• • . +片+ (〃 - 1)4 а с другой—

Е = Е*+&十• • •+尸爲

что и является для нас существенным.

Таким образом, если мы допускаем для абсолютных сил принцип Ньютона относительно действия сред, то для относительных сил мы приходим к следующему заключению.

Пусть М — материальная точка, помещенная в момент t в заданные начальные условия, а Р — внешняя по отношению к М среда, состоящая из нескольких частей Рр Р2, ..., Р%. Относительная сила (по отношению к какой-нибудь системе осей), с которой действует на М среда Р, есть геометрическая сумма относительной силы, с которой действует какая- нибудь одна из частей среды, и абсолютных сил, с которыми действовали бы другие части среды, если бы каждая из этих частных сред существовала одна вместе с точкой М и оставалась, равно как и М, тождественной себе самой в рассматриваемый момент времени %.

Рассмотрим, в частности, некоторую материальную точку М, которая под влиянием заданной среды Р находится в равновесии по отношению к некоторым осям Ox, Оу, Oz, например связанным с Землей. Тогда относительная сила, действующая на эту точку, равна нулю:

尸g=0.

Ничего не изменяя в первоначальной среде, заставим действовать на эту точку какую-нибудь другую среду Р; например； будем при помощи нитки тянуть маятник, находящийся

в покое. Подвергаясь одновременному воздействию двух сред Р и Р‘, точка М получит относительное ускорение Гг, и соответствующая относительная сила будет:

尸;=加r；.

Согласно предыдущему, мы имеем:

К =尼 +л，

где fa представляет абсолютную силу, с которой действует вторая среда Р. Но 忆=0; следовательно,

Таким образом, относительным ускорением точки М измеряется абсолютная сила fa:

fa = ^^-

Отсюда мы видим, как абсолютные силы вводятся в простейшие физические опыты и соответствуют обыденному понятию о мускульном усилии.

Во всех приложениях, где изучается относительное движение какой-нибудь материальной точки М и говорится, что на М действуют несколько сил 尸「 F2,..・,Fn, подразумевается, что одна из этих сил есть относительная сила, а все остальные — абсолютные силы.

Таким образом, это сводится к тому, что относительная сила, действующая на точку М, равна геометрической сумме величин Fv 尸2，…，Fn、

Внешние и внутренние силы материальной системы. Принцип равенства действия и противодействия естественно приводит нас к важным теоремам, относящимся к материальным системам.

Рассмотрим систему абсолютных осей Ox, Оу, Oz и некоторое число материальных точек М】,М^ ...,铀,Мк,..., Мп с соответствующими массами %, т2,..., 竹，тк,.…тп.

Эта совокупность помещена в определенные условия, иными словами, каждая из этих точек Mj в заданный момент t имеет заданное положение （%力 力 芍）и заданную скорость （%夕 % 号）.В присутствии данной внешней среды каждая точка 7И/ получает ускорение Гу и абсолютная сила, действующая на нее в момент Л есть

F3 =陷%

Согласно изложенному выше, эта сила может быть рассматриваема как геометрическая сумма двух следующих сил: одной 居，которую мы назовем внешней по отношениюСогласно изложенному выше, эта сила может быть рассматриваема как геометрическая сумма двух следующих сил: одной 居，которую мы назовем внешней по отношениюк системе (это — та сила, с которой действовала бык системе (это — та сила, с которой действовала бывнешняя среда, если бы она того, ничто не изменилось бы ни в ее состоянии, ни ввнешняя среда, если бы она того, ничто не изменилось бы ни в ее состоянии, ни вна Mjкромена Mjкромесостояниисостояниигой 冃,гой 冃,точки Л4у), и дру-точки Л4у), и дру-которуюкоторуювем внутренней стемы (это — та торая в моментвем внутренней стемы (это — та торая в моментмы назо- силой си・ сила, ко- t действо-мы назо- силой си・ сила, ко- t действо-вала бы на точку Afj, если бы рассматриваемая система существовала одна и оставалась сама себе тождественной). Итай,вала бы на точку Afj, если бы рассматриваемая система существовала одна и оставалась сама себе тождественной). Итай,существоваласуществовалаодна, иодна, и

Согласно изложенному выше, эта сила может быть рассматриваема как геометрическая сумма двух следующих сил: одной 居，которую мы назовем внешней по отношению

Согласно изложенному выше, эта сила может быть рассматриваема как геометрическая сумма двух следующих сил: одной 居，которую мы назовем внешней по отношению

к системе (это — та сила, с которой действовала бы

к системе (это — та сила, с которой действовала бы

внешняя среда, если бы она того, ничто не изменилось бы ни в ее состоянии, ни в

внешняя среда, если бы она того, ничто не изменилось бы ни в ее состоянии, ни в

на Mjкроме

на Mjкроме

состоянии

состоянии

гой 冃,

гой 冃,

точки Л4у), и дру-

точки Л4у), и дру-

которую

которую

вем внутренней стемы (это — та торая в момент

вем внутренней стемы (это — та торая в момент

мы назо- силой си・ сила, ко- t действо-

мы назо- силой си・ сила, ко- t действо-

вала бы на точку Afj, если бы рассматриваемая система существовала одна и оставалась сама себе тождественной). Итай,

вала бы на точку Afj, если бы рассматриваемая система существовала одна и оставалась сама себе тождественной). Итай,

существовала

существовала

одна, и

одна, и

Эта абсолютная внутренняя сила 居 может быть рассматриваема как геометрическая сумма п—1 частных сил, с которыми каждая из п—1 точек Mv Al^, .. ., Mki .. ., М^ действует в отдельности на точку 吗.

Если мы допускаем принцип равенства действия и противодействия, то сила fkj, с которой на точку 吗 действует одна из этих точек Mki будет направлена по прямой М^Мк и обратно точка Mj. будет действовать на Мк с силой 力小 равной по величине силе 九 и прямо противоположной ей по направлению:

fjk +九=°・

Отсюда получается следующее заключение: внутренние силы, которые действуют между всеми точками какой-нибудь материальной системы, могут быть рассматриваемы как геометрические суммы частных внутренних сил, которые являются попарно равными и прямо противоположными.

В этом заключается основное свойство внутренних сил.

Легко распространить предыдущие результаты на случай движения, отнесенного к каким-нибудь осям Ox, Оу, Oz, повторяя те же самые рассуждения. Точка М^ имеет относительное ускорение F；, и действующая на нее относительная

сила есть

冃=吗吗.

Если Fje есть внешняя относительная сила, иными словами, относительная сила, с какой действовала бы на Mj внешняя среда, если бы она только одна существовала вместе с 也， a Fji ——абсолютная внутренняя сила, то установленное предложение позволяет написать:

再=尸?e +尸將•

Полная относительная сила представляет геометрическую сумму внешней относительной силы и внутренней абсолютной силы.

Следовательно, всякий раз, как будут известны внешние относительные силы, мы можем с успехом пользоваться этим разложением, учитывая то обстоятельство, что абсолютные внутренние силы составляют систему попарно равных и противоположно направленных сил; и так как в теоремах, кото-' рые мы установим в дальнейшем, внутренние силы взаимно исключаются на основании этого свойства, то эти теоремы будут истинными, к каким бы осям мы ни относили движение, лишь бы внешние силы были относительными для этих осей.

ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ.СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ

Мы укажем методы Лагранжа, которые позволяют определить движение материальной системы наименьшим возможным числом уравнений с наименьшим возможным количеством данных.

Рассмотрим систему, составленную из п точек Mt （хр 乂，為） （/ = 1, 2, . .., п）; на точки этой системы наложены связи, выражающиеся соотношениями между координатами этих точек и временем:

/1 （%］，У±» 2工，• • • » %%，У%•> 2〃，• • • ' Хп、уп, 2”, £） = О, >■ （О

fp （*1，У\j %，・一，%，" у马,•一，%%，）%，2%，0°.

Эти р уравнений, где р необходимо должно быть меньше числа 3〃 координат, предполагаются независимыми друг от друга, иными словами, они позволяют выразить какие-нц-

будь р величин 尤办 у^ zi в функции 3/г——р остальных величин и времени /; эти 3〃 一р координат будут теперь уже ничем не связанными между собой. Например, мы можем допустить, что из уравнений (1) можно определить р последних координат 2n、yni 光”,z”_i，・• • в функции 3儿一р первых и времени. Это сводится к допущению, что функциональный определитель выражений fv /2,・••,%, рассматриваемых как функции р переменных 2”，％, %”，2n一口 …，не равен нулю.

В таком случае положение системы определяется Зп — p = k независимыми параметрами.

Говорят, что связи зависят от времени, если уравнения (1) содержат /; под этим я подразумеваю, что t входит в выражения /р 启，…，％ 0 что системы соотношений (1), которые соответствуют двум каким-нибудь значениям Л не являются эквивалентными; выражаясь точнее, надо сказать, что част- dfi "2%

ные производные 而, 京,・..,衣 не равны нулю при любом значении f。для какой угодно системы значений %方 у^ zit удовлетворяющих уравнениям (1), в которых t придано значение /0. В противоположном случае Z только по видимости входит в уравнения (1) и достаточно заменить его постоянной.

Виртуальным перемещением системы в момент / называют всякое перемещение, совместимое со связями в момент /. Мы будем рассматривать только бесконечно малые виртуальные перемещения.

Если Зх^, 3上,8г^ суть вариации координат %%, у%, % при таком перемещении, то эти вариации удовлетворяют соотношениям

e(嘉旣+凯+患女)=。，

£修皆”十禦运)нa .

где х, у, z представляют координаты какой-нибудь точки системы и суммирование 2 распространяется на л точек системы.

Обратно, всякая совокупность значений В%%,"《,△/箱 удовлетворяющих соотношениям (2), определяет элементарное виртуальное перемещение.

Из уравнений (2) можно определить р последних вариаций в функции 尼 первых, так как определитель системы линейных

уравнений, которые нужно решить, представляет не что иное, как функциональный определитель выражений 衣,病,...,fpi рассматриваемых как функции р переменных гп, %, %%, zn-i и т. д.

Действительное перемещение системы совпадает с одним из виртуальных перемещений, если связи не зависят от времени. В противном случае действительное перемещение может совпадать с одним из виртуальных лишь для особых положений системы и для некоторых значений времени】).

Пусть (X, У, Z) — сила, действующая на точку (х, у 2).

Виртуальная работа сил (X, У, Z) есть*работа этих сил на виртуальном перемещении системы. Она дается выражением

£(X6%+Y“ + Z62),

где сумма 2 распространяется на и точек системы, а величины 8х, бу, 8г должны удовлетворять соотношениям (2).

Мы только что видели, что можно произвольно выбрать 3〃一р вариаций 8 и что тогда р остальных будут вполне определенными.

Теперь мы покажем, что, зная для любого виртуального перемещения общую работу сил, действующих на каждую точку системы, мы имеем достаточно данных для определения движения системы.

Прежде всего ясно, что если мы знаем полную силу, которая действует на каждую точку системы, то для определения движения системы мы будем иметь совокупность 3〃 уравнений вида

d^x V v d2z 7 、 血衣=X， 加萨=匕 加萨=Z・ (a)

В самом деле, действительное перемещение системы удовлетворяет р соотношениям

g成+£瑞"+墨+晋必)=。(/=九,力,•••,%)•

Это перемещение совпадает с каким-нибудь из возможных пере- мещении только в том случае, когда次 равны нулю;

если эти условия выполняются в любой момент времени для любого положения системы, то связи не зависят от времени.

Этих уравнений больше, чем нужно для определения движения системы; они должны быть совместны с уравнениями (1). Достаточно взять из их числа k уравнений, которые кроме х, у, z заключают только известные величины, чтобы движение системы было вполне определено (々=3〃一р).

Теперь рассмотрим сумму

t他軟一X）次十标塞一у）3+5备一z）同，

распространенную на все точки системы.

Эта сумма равна нулю для всяких значений 8х, “， 6n и, в частности, для всякого виртуального перемещения.

Таким образом, мы имеем:

az) = £(xa% + y“ + z坛)(3)

для всякого виртуального перемещения.

Если при помощи соотношений (2) мы выразим р последних вариаций 8 в функции 3〃 一р первых, которые являются независимыми, то мы сразу же видим, что знание правой части предыдущего равенства влечет за собой k различных соотношений между х, у, /, х, у, /, х, у, и заданными величинами.

Для того чтобы более удобно образовать эти соотношения, установим предварительно одну лемму.

Лемма. Если система сил обладает тем свойством, что полная виртуальная работа этих сил равна нулю для всякого виртуального перемещения, то если (X, У, Z) обозначает силу, действующую на точку (х, у, /), мы имеем:

%办2

x=人匈十人2五十…十%丽，

⑷⑷

⑷

⑷

где 入i，入2, . . •，入г суть коэффициенты, одинаковые для всех точек системы.

Наше предположение заключается в том, что имеет место равенство

£(х就+У3十2运)=0(5)

при всяких 8х, бу, 8г, удовлетворяющих соотношениям (2).

Прежде всего ясно, что если выражения для X, У, Z имеют вид (4), то соотношение (5) удовлетворяется. Действительно, достаточно сделать соответствующую подстановку для того, чтобы левая часть равенства (5) сделалась суммой левых частей уравнений (2), умноженных соответственно на 入「 入2,・•.，入〃• Следовательно, соотношения (4) представляют достаточные условия того, чтобы рассматриваемые силы обладали указанным свойством. Они также представляют и необходимые условия. Действительно, если силы X, У, Z удовлетворяют соотно* тению (5) для всякого виртуального перемещения, то для тех же перемещений будет удовлетворяться и такое соотношение:

£{(х—%%禦

十(y—

+(2一入県—禦户z} =0' ⑺

где коэффициенты Zp %，•••，入勿 произвольны. Определим их таким образом, чтобы обратились в нуль коэффициенты при р последних вариациях 8. Тогда получится:

адdfv

Эти р уравнений, линейных по отношению к 入,入少• • • ‘ 入勿, полностью определяют эти величины: их определитель отличен от нуля, как мы уже это заметили.

Если все 入 выбраны указанным образом, то в соотношении (5‘) остается только 3〃一р независимых вариаций.

Следовательно, из этого

соотношения

вытекают 3〃一р

таких условий:

=0,

1 1 °%

==0,

Если мы добавим эту систему Зп——р уравнений к предыдущим р уравнениям, то увидим, что, когда величины X, У, Z для всякого возможного перемещения удовлетворяют соотношению (5), существует некоторая система значений 入仆 入2, • • •，入用，обладающая тем свойством, что X, У, Z тождественны выражениям (4).

Таким образом, высказанная лемма справедлива.

На основании этого, если мы рассматриваем две системы сил (X, У, Z) и (X- У, Z'), причем соответствующие силы (X, У, Z) и (X- F, Z') прилагаются к одной и той же точке (х, у z), и если обе эти системы сил имеют одну и ту же виртуальную работу для всякого виртуального перемещения, то отсюда следует:

Z = Z/ + %"^ +Z = Z/ + %"^ +吐办-別 + +吐办-別 + +

Z = Z/ + %"^ +

Z = Z/ + %"^ +

吐办-別 + +

吐办-別 + +

Действительно, достаточно заметить, что система сил X—X- У—У', Z — Z' имеет виртуальную работу, равную нулю, и применить предыдущую лемму.

. После этого предположим, что мы знаем какое-нибудь выражение виртуальной работы сил системы для любого виртуального перемещения:

2 И女 + 3“ +e女).

Если мы рассматриваем А, 5, С как проекции некоторого вектора с началом в точке (х, у z)，или как составляющие некоторой силы, действующей на точку (х, у, z),

13 Зак. 1628. П. Пэнлеве

то виртуальная работа этой силы равна

.46% 十 5“ 十 CGz.

Согласно предположению сумма аналогичных работ совпадает с виртуальной работой полных сил X, У, Z, приложенных каждая в соответственной точке системы; следовательно, для всякого виртуального перемещения системы удовлетворяется равенство

£(4 M + 5 3 + C6z) = £(X6x+yX + Z6z).

На основании последнегоНа основании последнегозамечания отсюда следует:замечания отсюда следует:

На основании последнего

На основании последнего

замечания отсюда следует:

замечания отсюда следует:

у = з + %у = з + %Z = C十入1Z = C十入1也 历г~dz也 历г~dz也^打一勿也^ + 十 +也^打一勿也^ + 十 +(6)(6)

у = з + %

у = з + %

Z = C十入1

Z = C十入1

也 历г

~dz

也 历г

~dz

也^打一勿也^ + 十 +

也^打一勿也^ + 十 +

(6)

(6)

После этого ясно, что если мы знаем выражения Л, В, С в функции положений точек системы, их скоростей и времени, то этого будет достаточно для определения движения системы.

Действительно, 3〃 уравнений .(6) вместе с р уравнениями (1) позволяют найти Зп + р неизвестных х^у^ n《，лр...,入卓 в функции времени Л Говоря точнее, продифференцируем два раза по f уравнения (1); мы получим р соотношений:

a(晶兀丸十芻

+悌+g(黑』十爲山+咅*2) = 0

(/=/1'%'• . •' 7^).(1’)

Индекс (2) здесь обозначает символический квадрат. Имеющиеся 3〃 +夕 уравнений (1) и (6) — линейные по отношению к 3〃 +。 неизвестным *力,)订 %,入口 %‘•••‘ %，и определитель А для этих неизвестных не равен нулю; в противном

Случае 3〃 + /) однородных уравнений с неизвестными 6%力 “У/, ”Q Н 入],入2，%：

п

工修Л"+款2+穹2)=。(/=左，з..，加(»)

И

舐尸%*+ 患' 泌=儿患+…器' 信十患(6’)

допускали бы решения, в которых все неизвестные не равнялись бы нулю; но, если мы умножим уравнения (6') соответственно на Зх^, “％, 62» и просуммируем их, то на основании равенств (2) получится

£ [(汝/ +(泌)2 + (%)2]=0,

иными словами, все вариации 8 должны быть равны нулю, а, значит, на основании (6‘)должны быть равны нулю и все 入.Таким образом, определитель А не может быть тождественно равным нулю и уравнения (6) и (Iх) определяют все х, у, z и все 入 в функции х, у, N, %, у n н Л Для нахождения 入 достаточно будет подставить в (Г) значения %, у, N, полученные из уравнений (6); после того как все 入 будут таким образом вычислены, k первых уравнений (6), в которых р величин Z%, Yn, ... заменены их выражениями через 々=3〃一р других величин и время /, дадут все х, у, z в функции £ и 2巾 постоянных, определяемых начальными данными.

Все предыдущие заключения вытекают из понятия виртуальной работы. Теперь мы введем динамические определения, которые покажут важность полученных результатов.

Абсолютную силу 户，действующую в момент % на точку М системы, разложим на две другие: активную силу и реактивную силу или реакцию.

Пусть V будет небольшой замкнутый объем, окружающий точку М; будем рассматривать внутри V все материальные элементы Е, которые в момент t не позволяют произвольно перемещать точку М внутри V. Абсолютную силу Ft

действующую на точку М в момент /, мы можем рассма* тривать как геометрическую сумму силы 中,которая представляет действие на Ж элементов Е, и силы 中'，которая представляет собой действие на М всех внешних по отношению к М элементов, отличных от £. Если V стремится к нулю, то мы допускаем, что 中 н 中'соответственно стремятся к пределам R и 尸丿；предел 7? представляет собой абсолютную реакцию, или реактивную силу, а 尸'—абсолютную активную силу:

尸千尸 + R.

Короче говоря,尸'представляет собой абсолютную силу, которая действовала бы на точку М, если можно было, не изменяя других условий, сделать эту точку свободной в момент Л

Предположим теперь, что мы изучаем движение точки по отношению к некоторым осям Oxyz. Пусть F[ будет относительная активная сила, Ra—абсолютная реактивная сила и Fr——полная относительная сила, которые действуют в момент t на точку М. Согласно установленному ранее свойству мы будем иметь:

加 Т\ = Fr = Fr-\- Rat

где Гг — относительное ускорение точки М.

Относительная сила, действующая на точку Л4 в момент 力 есть геометрическая сумма относительной активной силы и абсолютной реакции.

Эти определения позволят нам разделить материальные системы на системы с трением и системы без трения.

Мы знаем, что сила Fr при заданных внешних условиях для заданной системы будет в момент £ определена, если известны положения точек системы и их скорости в этот момент t. '

Точно так же активная сила 尸;есть величина, которая для заданных системы и внешней среды будет вполне определена, если известны для момента / положения точек системы и их скорости.

Следовательно, Ra будет также определена в функции величин х, 丁， z, х, yt z для момента t.

Когда мы будем рассматривать некоторую систему в действительных условиях, то можно будет изучать ее движение по отношению к осям Oxyz под влиянием заданной среды. Таким образом, мы будем измерять силу 尸尸 действующую на каждую точку системы. Мы можем сделать каждую точку свободной и в тех же самых условиях измерить 尸;Абсолютная реакция будет Fr — К.

Могут представиться два случая.

Или при вычислении виртуальной работы всех реакций эта виртуальная работа будет равна нулю для всякого виртуального перемещения, каковы бы ни были рассматриваемый момент времени, положение системы, скорости ее точек и силы 尸;；в таком случае говорят, что данная система представляет собой систему без трения.

Или же в этих условиях виртуальная работа не будет всегда равной нулю; тогда говорят, что рассматриваемая система является системой с трением.

В действительности работа реакций никогда не бывает в точности равной нулю, но очень часто ею можно пренебречь и случай системы без трения может рассматриваться как предельный случай большого количества случаев, которые встречаются на практике.

Разберем случай, когда данная система есть система без трения.

Пусть R况,R“, Rz будут проекции реакции R, которая действует на точку (х, у, z). Согласно установленной выше лемме ,

R况1后十% U，

% = %^十•••十%/，

причем коэффициенты 入^,.・.，入@ имеют одно и то же значение для различных точек (%, у z).

Если данная система без трения, то знания активных сил достаточно для определения движения системы; это также вытекает из только что доказанной теоремы. Действительно, виртуальная работа активных сил будет той же

самой, как и полная работа всех сил, действующих на каждую точку системы.

Если (X- У- Zz) есть активная сила, действующая на точку (х, у, N), то мы будем иметь:

х=# + %х=# + %W十人W十人z = z‘十入1z = z‘十入1奶dfp d2%-57十…•十% "57 =加衣，奶dfp d2%-57十…•十% "57 =加衣，(7)(7)

х=# + %

х=# + %

W十人

W十人

z = z‘十入1

z = z‘十入1

奶dfp d2%

-57十…•十% "57 =加衣，

奶dfp d2%

-57十…•十% "57 =加衣，

(7)

(7)

Окончательно при отсутствии трения виртуальная работа £#次十У"十2注)

для всякого возможного перемещения будет равна: £(X6%+F“ + Z 丿坛)

——виртуальной работе активных сил, действующих на различные точки системы.

Часто под именем заданных сил понимают активные силы; последние являются силами, которые нам непосредственно дает опыт, и знания их совершенно достаточно для определения движения системы, когда нет трения.

Если известны активные силы, то известно не только движение системы, но еще и реакции, действующие на каждую точку системы, так как можно вычислить коэффициенты 入1,...,入夕

Относительно этих коэффициентов повторим, что уравнения (7) позволяют выразить их в функции положений точек системы, скоростей этих точек и времени, иными словами, в функции %%, %, /,爰订工%,马 и £ (а также и X；, %, Z；).

Пример. Исследовать движение точки, не могущей покинуть неподвижной или движущейся поверхности

/(%，«У，N，0 —^。・

Пусть (X, У, Z) есть сила, действующая на эту точку Л4, относительная для осей Oxyz\ тогда

杨前=X,杨前=X,d^y иd^y иc^z ,7c^z ,7

杨前=X,

杨前=X,

d^y и

d^y и

c^z ,7

c^z ,7

где т — масса точки М.

Нет необходимости знать величины X, г, Z, достаточно знать только значение выражения

X8x+Yby + Zbz для каждого перемещения (3%, ”，近)，удовлетворяющего отношению

学况+霓"+算法=0.

Если X, У', Z' таковы, что для каждого виртуального перемещения мы имеем:

то на основании доказанных теорем получится: х=х+%

Если &, Ry, Rz означают проекции на оси реакции, то-есть абсолютной силы, с которой действует на точку соответствующий элемент поверхности, то, для того чтобы трения не существовало, необходимо и достаточно, чтобы виртуальная работа силы R равнялась нулю или чтобы имели место равенства:

Сила R должна быть нормальной к рассматриваемой поверхности, что геометрически является очевидным, так как каждое виртуальное перемещение будет касательным к этой поверхности. Трение будет существовать, если сила R не будет направлена по нормали к поверхности.

Если трения не существует, то знания активной силы (Х‘， У7, относительной для системы Oxyz, достаточно для определения движения системы. Мы имеем;

加爵=m +入案，

d伊 1 dx1

办方^--^入 入+ +S ^^办方^--^入 入+ +S ^^

办方^--^入 入+ +S ^^

办方^--^入 入+ +S ^^

/(х, у, N, /) = 0,

Эти четыре уравнения определяют х,у, г и 入 в функции /.

Чтобы иметь для каждого момента 入 в функции х, у 2, х, у z и Л достаточно продифференцировать два раза по t уравнение поверхности:

и в этом последнем соотношении заменить х, у, n их значениями, полученными из уравнений движения.

ПЯТАЯ ЛЕКЦИЯ

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ.СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ

Пусть точка М с координатами х, у г есть некоторая точка материальной системы, (X, У, Z) — сила, действующая на нее в момент (Х‘, У, Z')——активная сила, (R勿,Ryi RJ —— реакция.

Уравнения движения этой точки имеют вид

加甯(1) 切窮=Z = Z十凡•

Согласно определению рассматриваемая система есть система без трения, если в любой момент времени имеет место равенство

у(当女十凡3 +凡运)=。

для любого виртуального перемещения системы, при любом ее положении и при любых скоростях точек системы.

Мы видели, что в этом случае знания активных сил вполне достаточно для определения движения системы. Соответствующие 3% уравнений

т 端= X，+ h%+ 旦｝(2)

взятые вместе с р уравнениями связей

左=0, % = 0, • •.，%=0,(3)

определяют движение системы и позволяют выразить 入〔,Х2,... .・・,入歹 в функции величин х, 3/, z, %， у, z и времени.

%%，Л» zi получатся/),/)，(4)/)• J%%，Л» zi получатся/),/)，(4)/)• JВместо использования уравнений (2) и (3) можно р величин %%, %,勿 выразить в функции 3〃——p~k остальных; если выразить последние в функции 尼 независимых парамет

%%，Л» zi получатся

/),

/)，(4)

/)• J

%%，Л» zi получатся

/),

/)，(4)

/)• J

ров 'и ,2，・•・，%> то выражения для в виде

%% = %(%，％，夕儿，

У г =屮％ (%’ ％’ • • •，0儿, 26=力(%，效，•一，九,

Заметим, что и обратно, если координаты х%, у%, zi могут быть таким образом выражены, то на систему наложено Зп — 一 h = р различных связей; в самом деле, если из 左 уравнений системы (4) определить qv q& …，q^ в функции k величин Xj, yit 2订 то после подстановки этих значений в остальные р уравнений (4) мы получим р различных соотношений между х^ 歹力 z%. Это, однако, предполагает, что k из уравнений (4) могут быть решены относительно ,], «屮・・• ...,qki иначе говоря, мы допускаем, что если в прямоугольной матрице

@*1 dxi 0“[ /期…灰 処也 処 比"/2 。以

^ % dzn砥际…砧

вычеркнуть какие-нибудь р строчек, то по крайней мере один из полученных таким образом определителей D не будет тождественно равен нулю. В противном случае между х%, у@, 2彳 существовало бы по меньшей мере р + 1 отличных друг от друга соотношений и, следовательно, %%, у^ zi могли бы быть выражены в функции меньшего числа параметров.

Если выражения ф,屮，％ не содержат 力 то связи не зависят от времени. Если £ входит в выражения у, ，， %, то свя^и

зависят от времени, если только выражение, полученное в результате исключения ^р ‘纟，•••， 0乃 из каких-нибудь k -f-1 уравнений (4), не является не зависящим от /; этот исключительный случай представляется, когда равны нулю все определители, полученные после вычеркивания р——1 каких-нибудь строчек в прямоугольной матрице

О/ 0%1 дхг

阪…荻而

0zn dzn dzn呪…^ ~дГ

В таком случае достаточно будет в выражениях 屮，屮，у положить t =办

Например, если система состоит из одной материальной точки 冗，координаты которой выражаются так:

* =屮（％.，夕2，％）， «У =少（分，%，%）， 2 = %（夕1，，2，，），

то на точку наложена одна связь, иными словами, она может двигаться по некоторой поверхности S, если только не будут тождественно равны нулю все три определителя:

в последнем случае точка М может двигаться по некоторой кривой. Поверхность S изменяется со временем, если определитель

^ 一况竺况反"匹呪^^_^,更切-吼-呪一一^ 一况竺况反"匹呪^^_^,更切-吼-呪一一

^ 一况竺况反"匹呪^^_^,更切-吼-呪

一一

^ 一况竺况反"匹呪^^_^,更切-吼-呪

一一

отличен от нуля.

Если все х〃, ур n% представлены в этом виде, то всякое виртуальное перемещение (В%%, 6»%, Gz) выразится так:

盡咕+鄒% +…+旣城，

調咕+鄒%+…十歌泌，

где все 扌夕 будут произвольными. Заметим, что все 6х%, “,，6n% не могут быть одновременно равными нулю, если только не равны нулю все 8^; в противном случае все определители D обращались бы в нуль.

Трения не существует, если равны нулю k сумм

工体爲+& fe +凡訪｝

распространенных на все точки системы, когда индекс 丿 принимает последовательно значения 1, 2,...,巾.

Если в уравнениях (2) выразить все х^ j/订 z^ и их производные в фУнкЦии Qi и их производных, то получится 3〃 уравнений, которые определят -^- и все множители 入 в функ- нии 分'而 и %•

Для исключения 入 достаточно составить сумму

£(嘀+嚼+嗤)=2(X，居務+z訪》

таким образом, получится:

vi 仅2% d% [ d少 勿 丄壮2? dz、— УГ\ / уf дх , у/ 勿 • dz、. 241n好森而广出2而广工^诃j)一乙0q广 dq广 dqj‘ иными словами, полагая /=1, 2,...,巾,мы будем иметь для определения движения системы k соотношений между временем f, k функциям g и их первыми и вторыми производными.

В следующей лекции мы увидим, какую форму можно дать этим соотношениям 】).Теперь мы укажем те изменения, которые производит в предыдущих рассуждениях наличие трения.

Определение силы трения. Предположим, что в момент t каждая точка М системы имеет определенное положение и определенную скорость, и пусть R или (Rx, R“， RJ будет реакция, которая действует на точку М в момент t.

Для всякого виртуального перемещения полная работа реакций равна:

Существует бесконечное множество систем сил R' или (R；, R；, /?^), приложенных каждая к соответствующей точке М и обладающих тем свойством, что для всякого виртуального перемещения системы работа

/ = £ (R；次+Ry "十屯切

равна т. Согласно доказанному для этого необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства:

R： = R力+入1

R； = R?+入1 芻十• • • + % 音，

= a+%兼十… +人Р畫’

или, что сводится к тому же, чтобы для У = 1, 2, . . ., k имели место равенства

工 [(к_&)^+总一%喘+蜀一&)制=0>

где суммирование распространяется на все точки системы.

Среди этих систем R существует одна и только одна (назовем ее системой сил р), такая, что векторы р Ы опреде-

) Автор имеет в виду уравнения динамики во второй форме Лагранжа. (Прим, 〃q%6・)

ляюТ некоторое виртуальное перемещение, иначе говоря, такая, что перемещение

Зх = % 3/, ” = р豺泌， 坛=pg 3/

есть виртуальное перемещение.

Для доказательства этого заметим сначала, что если работа т/ равна нулю для всякого виртуального перемещения, то не существует никакой системы сил р, кроме той, где все векторы р равны нулю. Действительно, работа с' сил р на виртуальном перемещении р б£ будет равна 8Z • S р2 — величине, которая может быть равна нулю только в том случае, когда будут равны нулю все р.

Если это установлено, то 3“ величин рж, р^, рг должны удовлетворять k уравнениям

a潦崙• + &級=2(R證十％務+ Rz勦(a)

и р уравнениям

EG。箱+pK+pz 筋) = о， (R)

где / полагают последовательно равным Д, Д, ..., %. Эти Зп уравнений по отношению к 3/г неизвестным рж, р^, р^ являются линейными, и определитель этой системы уравнений не равен нулю; в противном случае существовали бы системы сил р, которые не все равнялись бы нулю и виртуальная работа которых равнялась бы нулю, что невозможно. Таким образом, существует одна и только одна система величин р勿,р夕 pg.

Теорема. Среди всех систем R' система сил р является такой, для которой сумма £欠* является наименьшей.

Действительно, мы имеем:

黑 =ргe +入I笠十% 罢+… 十入0 離 =Pa + P；， Е= P?7十入JL芻十％第+ • • • + %^=Pa十P；・ R； = Pz + % 给 + % 禦 + • • • + % 善=Pz + P；・

Если мы вычислим сумму

учитывая то обстоятельство, что суммы

2(%给+ Р理+ Р崇)

равны нулю, то получится

NZGJ+W，

где /2/2/2/2

Р = % 十 Р" + Р〜

Полученное выражение для £ R” будет наименьшим, когда сумма 2 Р，2 равна нулю, то-есть когда все р‘ равны нулю, что и доказывает высказанное предположение.

Наконец, пусть дана некоторая система каких угодно сил R, приложенных к различным точкам материальной системы. Каждую силу R можно разложить на две силы р и * которые удовлетворяют следующим условиям:

виртуальная работа сил р‘ равна нулю для всякого виртуального перемещения;

векторы р 8/ определяют виртуальное перемещение.

Это разложение возможно произвести только одним единственным способом. Среди всех систем сил R', виртуальная работа которых равна виртуальной работе сил R, система сил р есть та система, для которой сумма 5 ^является минимальной.

Если приложенная к каждой точке М сила R является реакцией, действующей на эту точку, то силу р‘ называют силой связи, а силу р ——силой трения.

Составляющие силы трения р имеют вид дх I дх .] дх

&丽+ … +呪紘，

P?黑+出盡+…+觊器，

dz - dz 1. dz

иначе говоря, эти силы удовлетворяют р равенствам

где суммирование распространяется на все точки системы, а вместо / поочередно подставляются 厶,/2, •••,力.

Составляющие силы связи имеют вид

р『％и十％и+・p;=人老十 % 第十，р『％и十％и+・p;=人老十 % 第十，誥艺沙丝 + 十丄誥艺沙丝 + 十丄

р『％и十％и+・p;=人老十 % 第十，

р『％и十％и+・p;=人老十 % 第十，

誥艺沙丝 + 十丄

誥艺沙丝 + 十丄

другими словами, они удовлетворяют k равенствам

e &潦+p；居十Р:詣)"

где суммирование распространяется на все точки системы, а индекс / пробегает ряд значений 1, 2, ..., &.

Наконец, следует заметить, что мы имеем:

NR2 = Np2 + Np".

Если виртуальная работа сил R равна нулю, то все силы р равны нулю; в таком случае реакция сливается с силой связи.

Предположим, например, что система состоит из одной точки, на которую наложена связь:

/(X, у 2, /) = 0.

Реакцию R мы можем разложить на силу pz, виртуальная работа которой равна нулю (иными словами, силу, нормальную к поверхности /== 0), и на силу р, такую, что р о/ представляет виртуальное перемещение (иными словами, силу, касательную к поверхности /= 0). Сила трения и сила связи в этом частном случае будут касательной и нормальной составляющими реакции.

Если бы точка двигалась по некоторой кривой, то мы точно так же увидели бы, что сила трения является касательной составляющей реакции, а сила связи——нормальной составляющей.

Важно сделать следующее замечание. Предположим, что в момент £ каждая точка системы имеет заданные положение и скорость и подвержена действию заданной активной силы К，У- Z，). Действующая на точку М сила связи р，будет одной и той же, безразлично, является ли рассматриваемая система системой с трением или без трения.

В самом деле, напишем уравнения:

加塞=?' + Р—Р；= ?' + h器隸+

+人得十一•十％ 智，

^裟=2' +p* +p: = 2，+卩1薪+。♦•十氏訪+ 十入理+…十%gJ

Для исключения из этих уравнений всех * достаточно умно- dfdfdf

жить первое уравнение на 言，второе на 赤，третье на 諺， сложить и составить сумму для всех точек системы. Если мы будем последовательно заменять / через %，病,...,fpi то мы получим р линейных уравнений (*/), которые и определят 入， поскольку это будет р различных комбинаций уравнений (у); последние же являются совместными и определенными, так как они устанавливают одну и только одну систему значени达入 и*.

С другой стороны, мы имеем:

碧=舞^+器力2+繇£ + 4 黑=貓+鈿+…+歌眾+ 5 心z dz •• , dz - ., dz •• .

衣=阪分+如%+ … +荻九十&

где Л, В, С зависят только от ^, ^а, . .., qki qv ^2,・・・

Отсюда следует, что уравнения (丫丿)определяют все 入 в функции величин* X- У, Z- 分,^2, ..., qk1 分,%, •・・ .・・，qk и ")•

Сила связи * действующая на каждую точку М, определена в момент 方,если известны положения и скорости точек системы и действующие на них активные силы (причем это устанавливается без какого-либо предположения относительно трения в системе).

Таким образом, можно еще сказать, что сила связи представляет ту реакцию р‘，которая 8 момент t дей^ ствовала 6加 на точку М, если бы данная система была без трения, причем каждая точка системы во время / имела то же самое положение и ту же самую скорость 〃 была подвержена действию той же самой активной силы.

Сила трения представляет геометрическую разность p = R — f'・

Определенная таким образом сила трения обладает следующими свойствами: векторы р 占方 представляют некоторое виртуальное перемещение системы. Из всех систем сил R', виртуальная работа которых одинакова с работой сил &, система сил р является такой, для которой сумма 2/?,2 является наименьшей.

Таким образом, на основании этого сила трения также равна геометрической величине

加(Г —1\),

где Г представляет ускорение точки М в момент £, а 1\ — ускорение, которое получила бы эта точка, если бы рассматриваемая система, помещенная в те же самые условия в момент £, была без трения. Действительно, мы имеем:

加F 二尸十R,加口 =尸十弘

откуда

^(Г —1\) = & 一 р‘ = р.

Можно еще сказать, что уравнения (丫，) не отличаются от тех уравнений, которые мы получили бы после двукратного дифференцирования по f уравнений связи и замены х, у. z их значениями из уравнений (丫)； в последней лекции мы видели, что эти уравнения по отношению к 人 составляют систему определенных уравнений.

14 Зак. 1628. П. Пэнлеве

2iO2iOЛекции об интегрированийЛекции об интегрирований

2iO

2iO

Лекции об интегрирований

Лекции об интегрирований

Предыдущие теоремы могут быть, кроме того, выведены из следующего кинематического предложения.

Пусть £ и У' — две системы, состоящие из и точек (х, у, N)и ($,田，0, на которые наложены одни и те же связи и которые в момент % поставлены в одни и те же начальные условия; если А представляет геометрическую разность ускорений Г и у точек (%, у, N) и (Е,恥 С) в момент /, то векторы Д8/ определяют некоторое виртуальное перемещение систем Е и ».

Для того чтобы убедиться в этом, выразим координаты %, у, z н Е, ^， G в функции одних и тех же параметров qv 夕2，• • •，Як» в движении системы £ эти параметры qv ^2, • • •,夕儿 являются определенными функциями Z:

分(£)‘ ％(*)'•••‘ Qn (О-

В движении системы Sz они выражаются другими функциями:

分(')，夕2 ' Ян (О-

ии夕i = %，•…，q】，=qk夕i = %，•…，q】，=qkВ момент Zo мы имеем:

и

и

夕i = %，•…，q】，=qk

夕i = %，•…，q】，=qk

42% “а’т0, Учитываячто для момента /0 имеют42% “а’т0, Учитываячто для момента /0 имеют分=%，• • •，Як = Як

42% “а

’т0, Учитывая

что для момента /0 имеют

42% “а

’т0, Учитывая

что для момента /0 имеют

Если мы вычислим разность предыдущие условия, мы найдем, место равенства

Q2% 心三 о* ••—

=訴一和=阮（分一分）十

卜砚（g2 一金）+ … + 丽（匆一9力

и точно так же

* =新一翔=瓦（%一分）+

+器"以一%）十…十裁（眾一欤）,

*

猎2d2adz二、J

"伊a步dqaT %）十

+寨"2 一g2）十…十沫（眾一川

А это показывает, что перемещение

3% = A。&Z, &у = А 财 6%，汲=8Z

есть виртуальное перемещение.

После того как эта теорема установлена, назовем действующей на М силой трения введенную выше геометрическую величину

加(F — П) = Р1，

а силой связи ——реакцию р‘， которая действовала бы на 7И, если бы система была без трения. Мы имеем:

R = pi 十 р‘；

виртуальная работа сил р‘ равна нулю, а векторы р^б/ представляют некоторое виртуальное перемещение. Так как подоб- ное разложение сил R возможно произвести только единственным способом, то величины pt не будут отличаться от р. Следовательно, это новое определение трения вполне совпадает с первоначальным.

Если мы, например, предположим, что система состоит из одной только точки, которая может двигаться по некоторой поверхности, то предыдущие замечания могут быть сформулированы так: составляющая реакции, нормальная к поверхности остается той же самой, будет или нет эта поверхность обладать трением, если точка М, помещенная в заданные начальные условия, будет подвергнута действию данной активной силы (например, силы тяжести). Если две точки, движущиеся по одной и той же поверхности, в момент 务 имеют одинаковые положение и скорость, то геометрическая разность их ускорений в момент /0 направлена по касательной к этой поверхности.

Теперь нам легко будет доказать теорему, которую Гаусс высказывает в начале динамики системы относительно отклонения системы.

Предположим, что в момент / каждая точка М системы, обладающая массой т, имеет заданное положение (х0, yQi z°) и заданную скорость (х0, /°, *) и находится под действием заданной активной силы (X- X, Z'). Если бы точка М была свободной, то по истечении времени dt она занимала бы не-

которое положение （х1, у1,

*1 = %0十五）出十奈〃出十・・•，

炉=Zo + 20"/十為"伊十…

В действительности, она по истечении времени dt занимает положение （х, у z）:

% = %0 十%0 "'十余"伊 + • • .，

•V =少0+少04' + 总"伊十

2 = 2° 十 ％ df + ^ d戶十

Обозначим через d расстояние между двумя точками （х, у, 2）и （%】，у1,炉）и рассмотрим сумму Е = ^ m^d^, распространенную на все точки системы. Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, мы имеем:

e =e加〃2 =冬工（Х一犬）2十（У 一厂）2 +

+（z-z/）2] = ^£r2.

Эту величину Е Гаусс называет отклонением системы в момент %о за промежуток времени dt. Гаусс доказывает, что это отклонение будет наименьшим для каждого момента времени, если система без трения.

Чтобы в этом убедиться, достаточно написать равенство

Величины р‘ суть реакции, которые действуют на точки 附， если нет трения. Сумма 2 Р2 + 2 Р/2 является наименьшей, если все величины р равны нулю, иными словами, если нет трения. Для того чтобы отклонение Е было бы наименьшим все время, необходимо и достаточно, чтобы система была без трения.

Изучение движения системы с трением. Если нет трения, то знания активных сил достаточно для того, чтобы можно было определить движение системы. Но если имеется трение, то дело уже не будет обстоять таким образом. Кроме активных сил нужно будет знать силы трения или, по крайней мере, их виртуальную работу.

Опыт показывает нам, что для данной системы, точки которой в момент / имеют заданные положения и заданные скорости, силы трения определены, если известны силы связи. Иначе говоря, для заданной системы величины р^, р^, р? будут функциями pj, р) р； коэффициенты которых зависят от 夕丿

Именно, если связи не зависят от времени и если элементы системы остаются тождественными самим себе, то (не зависящие от 0 выражения р” р# р? в функции от р；, /, р； определяются эмпирически: мы помещаем систему в начальные условия, которые могут быть изменяемы, и подвергаем ее действию простых активных сил (вроде тяжести). Иными словами, если мы полагаем:

十 + 十• • •• • •+ + +艺呢勿丽丝呪^ ^ ^一一 一一-^ ^ ^十 + 十• • •• • •+ + +艺呢勿丽丝呪^ ^ ^一一 一一-^ ^ ^力匈办/加一说% / 为+ + +入 入 入一一 一一=/% /% a力匈办/加一说% / 为+ + +入 入 入一一 一一=/% /% a

十 + 十• • •• • •+ + +艺呢勿丽丝呪^ ^ ^一一 一一-^ ^ ^

十 + 十• • •• • •+ + +艺呢勿丽丝呪^ ^ ^一一 一一-^ ^ ^

力匈办/加一说% / 为+ + +入 入 入一一 一一=/% /% a

力匈办/加一说% / 为+ + +入 入 入一一 一一=/% /% a

то величиныто величиныотот

то величины

то величины

от

от

р и q» ^2, •••, qk1 9i，夕2，・••， q^，которые определяются эмпирически для данной системы. Так как 入〔,Х2,...,入勿 выражаются при помощи активных сил X- У, Z', то это сводится к тому, что мы считаем силы трения определенными в момент £, когда система помещена в заданные начальные условия и подвержена действию заданных активных сил (какова бы ни была среда, воздействием которой являются эти активные силы).

Вообще говоря, при изучении движения системы с трением кроме активных сил Л7, У- Z' предполагаются известными выражения р^,俨？,...,步加 в зависимости от 入 и g (а также Н от 厶 если связи зависят от времени). Теперь напишемгурав?

нения движения некоторой точки системы:

⑴⑴步礬=X=y+出工薪十…蕊+

⑴

⑴

+ %符十十入p答，

m -77^ = Z = Z + ц. -^k •… 4-Ub ^——4-成2II 1 e dqk 1

Эту систему мы можем заменить следующими 3% уравнениями: 1） р уравнений «）, которые получаются в результате

“ /、 dfi dfi dfi

умножения трех уравнений （丫）на 言，言，~, сложения их UZ

и суммирования результатов для всех точек системы （как мы видели, эти р уравнений определяют 入i，入纟，• • •，入@ в функции величин q, q, времени t и активных сил X', У', Z'）.

k уравнений （丫〃），которые получаются после умножения 皿ду dz

трех уравнений （丫） соответственно на 河，涼，» , сложения и суммирования результатов для всех точек системы.

Последние уравнения имеют вид

М

с^х дх . с^у ду J d2z dz \ —

萨两十萨瓦十衣两尸

=2俨爲喘•+7爲）+

+2仆爲+p^爲+рС居）.*） Сумма

E卜力崙.+ Р湍. + Pz瑞） имеет видE卜力崙.+ Р湍. + Pz瑞） имеет вид

E卜力崙.+ Р湍. + Pz瑞） имеет вид

E卜力崙.+ Р湍. + Pz瑞） имеет вид

Коэффициенты ^,俨？，.…,^л представляют собой заданные функции от 入,q, q н £. В выражениях для 卩 заменяем 入 их значениями, полученными из уравнений (丫‘). Тогда k уравнений (丫〃), правые части которых являются известными функциями от q, q и %, определяют движение системы.

Применим эти общие соображения к изучению движения точки М по неподвижной поверхности; пусть уравнение поверхности будет 2 =尸(％, у) (в этом случае q、= х, %=»)• Мы имеем:

加衣=X +出1一人就，加衣=X +出1一人就，

加衣=X +出1一人就，

加衣=X +出1一人就，

m務=7十向震十卩2普+人.

Опыт показывает, что, когда точка М помещена в определенную точку на поверхности, сила трения р направлена в сторону, противоположную скорости, почти не зависит от этой скорости и пропорциональна нормальной составляющей реакции, которая в данном частном случае является силой связи pz. Таким образом,

Р =/р‘；

коэффициент трения зависит только от положения точки М на поверхности (в данном случае от координат %, у); он будет постоянным, если поверхность будет везде одинаково шероховатой.

Когда скорость точки М равна нулю, то сила р прямо противоположна направленной по касательной к поверхности составляющей 尸;активной силы; что касается ее абсолютной величины, то приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли

尸или Кс/р‘.

В первом случае р равняется %'; во втором р равняется 尸; и ускорение точки М равно нулю.

В соответствии с этим, поскольку р‘ равно

+/叩+関4(勤］.

то 因 и 冲2，равные р力 и р«, выражаются так: 筋4儒У

（裏 y+ 備 f

入 определяется равенством

1十係）'十儒丹'

и после замены 入 этим выражением в формулах для р4 и 卩纟 движение точки М определится уравнениями

加G +靠2） = *'十z震+山十像y］十出2需裏， m@十^*）=''十2'需+向雾箫+氏［1 +（翁丹；

если заменить в них z через 尸（尤，у）, то это будут уравнения второго порядка по отношению к х и у.

В рассматриваемом частном случае точки, движущейся по неподвижной поверхности, доказанные нами общие теоремы получаются очень просто геометрическим путем. Например, для установления того, что нормальная реакция поверхности остается одинаковой, безразлично, имеется ли трение или нет, достаточно доказать, что если две точки, движущиеся по одной и той же поверхности, имеют в некоторый момент t одни и те же положения и скорости, то геометрическая разность их ускорений касательна к поверхности.

Пусть МА будет траектория первой точки, a MAL——второй, их соответствующие ускорения 丫 н 丫‘ расположены соответственно в соприкасающихся плоскостях кривых МА и МАг для точки М. Проекции ускорений этих точек на касательную

к траектории и на главную нормаль будут: для одной точки

dv о?京，耳，для другойdv о?京，耳，для другой^2^2Начальная скорость для обеих точек одна и та же; следо-Начальная скорость для обеих точек одна и та же; следо-вательно, обе траектории касаются друг друга и мы докажем, что геометрическая разность 丫 一 г не имеет составляющей по нормали к поверхности, еслиубедимся, что величины — ивательно, обе траектории касаются друг друга и мы докажем, что геометрическая разность 丫 一 г не имеет составляющей по нормали к поверхности, еслиубедимся, что величины — и02后,отложенные соответственно по главным нормалям МС и МС± по направлению к центрам кривизны, будут иметь одну и ту же проекцию на нормаль02后,отложенные соответственно по главным нормалям МС и МС± по направлению к центрам кривизны, будут иметь одну и ту же проекцию на нормальточке М,точке М,ввMN к поверхности, про-MN к поверхности, про-веденную в точке М. Согласно теореме Менье, если через центры кривизны С и Сх, провести плоскости, соответственно перпендикулярные к МС и MClt то они пересекут нормаль к поверхности в одной и той же точке N、 иными словами, точки С и С( будут находиться на круге диаметра MN. Если мы прёобразуем фигуру при помощи обратных радиусов-векторов, взяв в качестве полюса точку 附, а в качестве модуля -и2, то инверсия круга будет прямой, перпендикулярной к Л4М в некоторой точке Р. Следовательно>веденную в точке М. Согласно теореме Менье, если через центры кривизны С и Сх, провести плоскости, соответственно перпендикулярные к МС и MClt то они пересекут нормаль к поверхности в одной и той же точке N、 иными словами, точки С и С( будут находиться на круге диаметра MN. Если мы прёобразуем фигуру при помощи обратных радиусов-векторов, взяв в качестве полюса точку 附, а в качестве модуля -и2, то инверсия круга будет прямой, перпендикулярной к Л4М в некоторой точке Р. Следовательно>отложенныеотложенныеg2 д2по МС и MCt величины 耳 н 戸 будут иметьg2 д2по МС и MCt величины 耳 н 戸 будут иметьодну и ту же проекцию на нормаль к поверхности, что иодну и ту же проекцию на нормаль к поверхности, что идоказываетдоказываетпредложение.предложение.Можно еще воспользоваться естественными уравнениями движения точки по поверхности. Эти уравнения пишутся так: 加穿=尸产臬十&，加^ sinB =尸&= g 十 R&, 俏^ cos8 = F” = % 十 R%,где Ft обозначает составляющую всей силы по касательной Mtк траектории в направлении движения, Fp—составляющуювсей силы по направлению Мр касательной к поверхности?Можно еще воспользоваться естественными уравнениями движения точки по поверхности. Эти уравнения пишутся так: 加穿=尸产臬十&，加^ sinB =尸&= g 十 R&, 俏^ cos8 = F” = % 十 R%,где Ft обозначает составляющую всей силы по касательной Mtк траектории в направлении движения, Fp—составляющуювсей силы по направлению Мр касательной к поверхности?

dv о?

京，耳，для другой

dv о?

京，耳，для другой

^2

^2

Начальная скорость для обеих точек одна и та же; следо-

Начальная скорость для обеих точек одна и та же; следо-

вательно, обе траектории касаются друг друга и мы докажем, что геометрическая разность 丫 一 г не имеет составляющей по нормали к поверхности, если

убедимся, что величины — и

вательно, обе траектории касаются друг друга и мы докажем, что геометрическая разность 丫 一 г не имеет составляющей по нормали к поверхности, если

убедимся, что величины — и

02

后,отложенные соответ

ственно по главным нормалям МС и МС± по направлению к центрам кривизны, будут иметь одну и ту же проекцию на нормаль

02

后,отложенные соответ

ственно по главным нормалям МС и МС± по направлению к центрам кривизны, будут иметь одну и ту же проекцию на нормаль

точке М,

точке М,

в

в

MN к поверхности, про-

MN к поверхности, про-

веденную в точке М. Согласно теореме Менье, если через центры кривизны С и Сх, провести плоскости, соответственно перпендикулярные к МС и MClt то они пересекут нормаль к поверхности в одной и той же точке N、 иными словами, точки С и С( будут находиться на круге диаметра MN. Если мы прёобразуем фигуру при помощи обратных радиусов-векторов, взяв в качестве полюса точку 附, а в качестве модуля -и2, то инверсия круга будет прямой, перпендикулярной к Л4М в некоторой точке Р. Следовательно>

веденную в точке М. Согласно теореме Менье, если через центры кривизны С и Сх, провести плоскости, соответственно перпендикулярные к МС и MClt то они пересекут нормаль к поверхности в одной и той же точке N、 иными словами, точки С и С( будут находиться на круге диаметра MN. Если мы прёобразуем фигуру при помощи обратных радиусов-векторов, взяв в качестве полюса точку 附, а в качестве модуля -и2, то инверсия круга будет прямой, перпендикулярной к Л4М в некоторой точке Р. Следовательно>

отложенные

отложенные

g2 д2

по МС и MCt величины 耳 н 戸 будут иметь

g2 д2

по МС и MCt величины 耳 н 戸 будут иметь

одну и ту же проекцию на нормаль к поверхности, что и

одну и ту же проекцию на нормаль к поверхности, что и

доказывает

доказывает

предложение.

предложение.

Можно еще воспользоваться естественными уравнениями движения точки по поверхности. Эти уравнения пишутся так: 加穿=尸产臬十&，

加^ sinB =尸&= g 十 R&, 俏^ cos8 = F” = % 十 R%,где Ft обозначает составляющую всей силы по касательной Mtк траектории в направлении движения, Fp—составляющуювсей силы по направлению Мр касательной к поверхности?

Можно еще воспользоваться естественными уравнениями движения точки по поверхности. Эти уравнения пишутся так: 加穿=尸产臬十&，

加^ sinB =尸&= g 十 R&, 俏^ cos8 = F” = % 十 R%,где Ft обозначает составляющую всей силы по касательной Mtк траектории в направлении движения, Fp—составляющуювсей силы по направлению Мр касательной к поверхности?

проведенной перпендикулярно к Mt, Fn — составляющую по нормали Мп к поверхности, 8 ——угол бинормали к траектории с нормалью к поверхности.

Если 厂 обозначает радиус кривизны 附О' сечения поверхности плоскостью нормальной в 附 к поверхности и проходящей через 附左 то мы имеем:

где в качестве положительного направления Мп выбрано направление 附С; это показывает, что сила связи р‘ = Rn определена, если известны положение точки, ее скорость и сила 尸

Эти естественные уравнения, кроме того, очень удобны для изучения движения точки М во всех случаях. Имеется ли трение или нет, составляющая Rp равна нулю, так как составляющая р реакции по касательной к поверхности направлена прямо противоположно направлению Mt, то-есть перпендикулярно к Мр.

С другой стороны, сила р равна /р‘ или

таким образом, движение определяется уравнениями

ni^= Ft —/| 学一% J, тп ^ sin 6 = %,

где R ——радиус кривизны траектории, а 厂一радиус кривизны нормального сечения поверхности, проведенного через касательную к траектории.

Например, если Р равняется нулю, то мы имеем:

sin 9 = 0,

иными словами, траектория все еще остается геодезической кривой поверхности, но только точка пробегает эту траекторию со скоростью, которая постоянно уменьшается силой трения.

Здесь мы имеем общее явление, доказанное опытом: когда связи не зависят от времени, силы трения всегда уменьшают живую силу системы. Иначе говоря, работа сил трения является существенно отрицательной.

ДОБАВЛЕНИЕ 〃

ДИСКУССИЯпо вопросам, затронутым П. Пэнлевев «Лекциях о трении»

Л. ЛЕКОРНЮ

О ТРЕНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ О

Как показал Пэнлеве, закон Кулона в некоторых случаях приводит к абсурдному следствию, что два тела, находящихся в соприкосновении, производят друг на друга отрицательное давление. Однако соответствующие вычисления были сделаны в предположении, что рассматриваемые тела обладают абсолютной твердостью. Мне хотелось бы показать на одном примере, что этой трудности не представляется, если принять во внимание упругость реальных тел.

Пусть круговой неоднородный диск с массой, равной единице, пущен без начального вращения в вертикальной плоскости; при этом диск находится в соприкосновении с горизонтальной доской. Пусть 厂 будет его радиус, а и b — расстояния центра тяжести G диска от вертикали, проведенной через его геометрический центр, и от доски, k ——радиус инерции относительно центра тяжести, и и и ——горизонтальная и вертикальная составляющие скорости точки G, s — угловая скорость диска, N — давление на доску, /—коэффициент трения. Положительное направление и возьмем вверх, а положительное направление и будет совпадать с направлением горизонтальной проекции отрезка ОО. При этих предположениях мы будем иметь:

Вертикальная скорость точки О равна и — ша. Если мы предположим, что диск очень тверд по сравнению с доской и погружается в последнюю на глубину z, то это предположение дает

dzр — за = —

) L. L е с о г п u, Sur le frottement de glissement, Comptes Ren- dus, t. 140 (1905), стр. 635.

Продифференцировав это выражение и заметив, что da /

——(О (г〃),мы получим:

爲件 + 炉—fab) =r g-j- а)2 (Г-6)—舒.

Таким образом, при r^ b и /〉歹^〃 , пренебрегая ^2?

величиной 憑,мы получаем для ^ отрицательное значение.

Но этого не будет, если превосходит ^ -{-(о2 (г — 6).

Мы можем еще ближе подойти к решению вопроса, если допустим, что 耳 равно некоторой постоянной 入.

Рассмотрим промежуток времени, достаточно малый для того, чтобы можно было пренебрегать изменениями 〃 н 6, и возьмем для простоты случай, когда Ь = г. Если мы положим

_ fab —左2 一 成 s =

и заметим, что в начальный момент и N, и его производная равны нулю, то получим:

"=鳥(理+i一 2%

что представляет положительную и быстро возрастающую величину. Отсюда по формулам (1) получается, что и уменьшается, а з очень быстро увеличивается. Таким образом, скорость скольжения д = и — Ьо оказывается почти мгновенно уничтоженной.

Следовательно, упругость доски позволяет сохранить закон Кулона.

Кроме того, не следует думать, что у реальных тел коэффициент / мгновенно достигает своего наибольшего значения. В тот момент, когда тела начинают касаться друг друга, шероховатости обеих поверхностей взаимно зацепляются; внешний слой каждого тела испытывает все возрастающее смещение по отношению к глубоким слоям, пропорциональное в каждый момент касательной силе; относительное скольжение двух тел становится возможным лишь тогда, когда смещение достигло некоторого определенного значения. Б э й л б и в Англии, Осмон и Карто во Франции нашли из опытов,

Что соприкасающиеся поверхности обнаруживают подобного рода смещение даже в случае очень тщательно отполированных металлов. Таким образом, имеется некоторый предварительный период, в течение которого / возрастает от нуля; мы увидим, что этого обстоятельства самого по себе было бы достаточно для устранения противоречий, вытекающих из применения закона. Кулона.

В начальный момент трения еще не существует и формулы дают для ^ положительное значение. Если для максимального значения / давление N еще остается положительным, то затруднений не возникает. Если же, наоборот,

конечное значение N оказывается отрицательным, то суще

п?-/п?-/ствует некоторый промежуточный момент, в который эта величина изменила знак. Таким образом, давление N должно было пройти через нуль или через бесконечность. В первом случае при ^= 0 соприкосновение прекращается. Во вто

п

?-/

п

?-/

где п и ср ——когде п и ср ——кором N можно представить в виде

где п и ср ——ко

где п и ср ——ко

нечные величины; по мере приближения / к ср касательная

реакцияреакциянеограниченно возрастает и не позволяет воз

реакция

реакция

никнуть скольжению.

Рассмотрим с этой точки зрения предыдущий пример, пренебрегая на этот раз погружением z и рассматривая диск как состоящий из твердого ядра, покрытого бесконечно тонким слоем, который перемещается по отношению к ядру и в начальный момент остается как бы связанным с доской. Скорость ® относительного смещения удовлетворяет соотношению

也=_ &£（竺十上2） j

dt g 々2 + 〃2 —

Следовательно, w уменьшается даже раньше, чем / дости- ab依 + 〃2

гает значения 大-t g， очевидно, меньшего чем ——.

色2十ab

По мере приближения / к этому последнему пределу убывание w становится все более и более быстрым и ни .胪 + 〃2

в каком случае / не может достигнуть значения —~- , так

как всякое стремление к скольжению уже заранее устранено.

Резюмируя, я должен сказать, что я далек от того, чтобы поддерживать точность закона Кулона; я даже думаю, что

он представляет всего только очень грубое эмпирическое правило; однако теоретические затруднения, которые он, по- видимому, вызывает, зависят исключительно от того, что мы отвлекаемся от упругости реальных тел; таким образом, эти затруднения того же самого порядка, какие мы встречаем при изучении удара совершенно гладких тел.

П. ПЭНЛЕВЕ

О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ 】)

(Статья первая)

Мне Хотелось бы сделать несколько замечаний относительно интересного сообщения, которое было сделано в прошлый понедельник Лекорню и в котором он говорит об отмеченных мною в свое время трудностях, проистекающих из применения эмпирических законов трения скольжения.

Прежде всего я коротко напомню те заключения, к которым я пришел; для простоты я буду рассматривать случай, когда движущейся системой является неоднородный тяжелый круговой диск, который скользит без трения по горизонтальной доске.

Поскольку диск пущен по доске в вертикальной плоскости, движение происходит в этой плоскости. Пусть О есть центр тяжести диска, не совпадающий с его геометрическим центром С; пусть q и 6 — расстояния О (в некоторый момент /) от вертикали, проведенной через С , и от доски, ①—угловая скорость мгновенного вращения диска, ^——нормальная составляющая (необходимо направленная вверх) реакции доски, приложенной к диску, и 戸——ее тангенциальная составляющая (направленная прямо противоположно скорости m скольжения диска). Наконец, пусть М есть масса диска, г — его радиус, Mk^ — его момент инерции относительно G.

Прежде всего очень легко показать, что если в момент t величина 且十①气尸一b) положительна, то диск не может подняться над доской; следовательно, будет (по крайней мере, некоторое время) находиться с ней в соприкосновении.

1) Р. Р a i и 1 е V ё, Sur les lois du frottement de glissement, там же, стр. 702.

Тогда теорема о движении центра тяжести и теорема площадей дают 1)

NNab 尸一 々2 + 〃2)=ab 尸一 々2 + 〃2)=М [g + d(尸—6)]М [g + d(尸—6)](1)(1)

N

N

ab 尸一 々2 + 〃2)=

ab 尸一 々2 + 〃2)=

М [g + d(尸—6)]

М [g + d(尸—6)]

(1)

(1)

в случае, когда скорость скольжения 砌 направлена одинаково с GrA (G‘ ——горизонтальная проекция G, а А ——точка соприкосновения диска и доски). Если 砌 направлена противоположно GfA, то в уравнении (1) нужно заменить F на —尸.

Итак, предположим, что в момент /0 величина g-psj (尸—6) положительна и скорость 砌° направлена одинаково с G'4・ Так как N и 尸 положительны, так же как и 〃, 6 и правая часть уравнения (1), то уравнение (1) влечет за собой неравенство

尸 磔+@ 2

N < —ab —*

庐+若

Таким образом, если величина —^—меньше или равна / (кулонову коэффициенту трения скольжения), то во время движения 方 наверняка меньше того значения которое она должна была бы иметь согласно закону Кулона, и так будет во всем промежутке времени %。一 tv в котором будут соблюдаться условия

^+含«/，砌力:0,g+炉(尸-b)声0. ⑵

Все исследование основывается исключительно на принципе равенства действия и противодействия и на гипотезе абсолютной жесткости диска и доски. Если оба эти тела будут деформируемыми, то предыдущее исследование применимо с приближением в предположении, что амплитудой деформации можно пренебречь по сравнению с перемещением диска за промежуток времени /0 ——^ или, если угодно, в предположении, что промежуток времени 心——左 велик по сравнению с продолжительностью малых колебаний частиц твердого тела вокруг их средних положений.

1) Я пренебрегаю трением качения, роль которого в исследовании является незначительной.

15 Зак. 1628. П. Пэнлеве

Лекорню предложил два объяснения вышеприведенного затруднения, которые, конечно, исключают друг друга, но приводят к одному и тому же положительному результату. Согласно Лекорню, если начальные условия удовлетворяют неравенствам (2), то происходит настоящий удар, который 8 ничтожно малый промежуток времени сводит к нулю скорость скольжения и мгновенно приводит систему 8 такое состояние, когда m равняется нулю.

Прежде всего я замечаю, что если бы это заключение подтвердилось фактами, то оно сделало бы еще более интересным изучение отмеченных мною любопытных обстоятельств. Действительно, в этом случае мы получаем первый пример соударения без удара] под этим я подразумеваю соударение между двумя телами, которые не толкают друг друга, но взаимно приспосабливают свои скорости. К несчастью, нижеследующие соображения, по моему мнению, делают заключение Лекорню очень мало вероятным (по крайней мере, в общем случае).

Рассмотрим сначала первое объяснение Лекорню: он допускает, что закон Кулона остается справедливым в промежутке времени /0 —— 友，но учитывает деформацию тел, находящихся в соприкосновении, предполагая, что диск является очень твердым по сравнению с доской. Пусть z будет расстояние, на которое диск погружается в доску или (если угодно) на которое опускается геометрический центр диска; уравнение (1) нужно будет заменить следующим:

£ = п+з2(г — 6)十存(1 一/>)• (3)

Затем Лекорню допускает, что ^ пропорционально г; пусть 号=入：если 入 очень мало, то N и 尸 будут очень большими и, следовательно, m очень быстро обращается в нуль в течение времени, которое стремится к нулю вместе с 入.Таким образом, вполне допустимо предположить 入 достаточно малым для того, чтобы промежуток времени /° — & был совершенно незначительным и все явление представляло настоящее соударение.

Предыдущие предположения логически допустимы, но, с другой стороны, они, конечно, произвольны. Они вводят

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗХКОНАХ ТРЕНИЯ скольжения (статья первая) 227 некоторую неопределенную величину 入,которая служит для того, чтобы достичь заранее поставленной цели, а именно сохранить закон Кулона, что требует, чтобы промежуток времени Zo — t、обращался бы почти что в нуль.

Но эти предположения не только произвольны; они, по моему мнению, кроме того, мало правдоподобны. Действительно, если бы доски не было совсем, то диск опустился бы ниже плоскости П, определяемой доской, и вертикальное ускорение z геометрического центра С диска было бы (как можно легко показать)

2 = g+①2 (尸—力).

Но в уравнении (3) коэффициент при N положителен, равно как и само ^; таким образом, уравнение (3) означает, что (между моментами /0 и 友) диск под действием реакции доски углубляется в последнюю быстрее, чем при свободном падении. Более того, поскольку N (ударная сила) значительно больше чем вес Mg диска, то можно сказать, что (между моментами " и 々)диск будет погружаться в доску гораздо быстрее, чем при свободном падении. Наконец, если в уравнении (3) заменить N на $ то можно видеть, что проникновение диска 6 доску происходит тем быстрее, чем меньше 入，иными словами, чем тверже доска.

Эти соображения, к которым легко можно было бы добавить и другие относительно числовых значений получающихся сил 1), как мне кажется, делают мало приемлемыми предположения, которых требует первое объяснение Лекорню.

Переходим ко второму объяснению: Лекорню на этот раз допускает, что в промежутке времени от % до / закон 尸

Кулона не имеет места, и мы имеем ^ < /. В этом пункте он, таким образом, согласен со мной. Но учитывая здесь

1) Если мы допустим, что деформации доски будут меньше 2 мм, что Зо = 5 м/сек и что в уравнении (3) коэффициент при N будет порядка i/б, то можно легко видеть, что при допущении гипотез Лекорню продолжительность промежутка времени — /t будет необходимо меньше ^/^ секунды и что N будет более чем в 25 раз превосходить вес диска.

одни только тангенциальные деформации, он делает относительно этих деформаций и сил, которые ими порождаются, предположения, которые приводят его к заключению, что трение останавливает скорость скольжения в некоторое время 4 ——А， которое является крайне малым, во всяком случае достаточно малым для того, чтобы оно слилось с периодом установления режима движения, который неизбежен, когда два тела приходят в соприкосновение. •

Здесь еще раз я сделаю против предположений Лекорню то возражение, что они произвольны и в настоящее время не поддаются проверке; кроме того, они выбраны как раз для достижения желаемого заранее результата: соударения, почти мгновенно останавливающего скольжение. Можно было бы вообразить и другие тоже вполне допустимые предположения, которые привели бы или к аналогичным или же к совершенно противоположным заключениям.

Вот, между прочим, пример, к которому, я думаю, было бы трудно применить объяснение Лекорню.

Мы можем вообразить, что диск имеет очень малый радиус и несет тяжелую эксцентрическую массу, лежащую вне его окружности; ее расстояние до геометрического центра С диска велико по сравнению с радиусом г. Иначе говоря, мы можем схематически вообразить систему, составленную из двух материальных точек С н Р, причем масса второй очень велика по сравнению с массой первой; эти материальные точки соединены стержнем (или нерастяжимой нитью), массой которого можно пренебречь, точка С скользит с трением по неподвижному горизонтальному пруту 】)О%, и система оставлена в вертикальной плоскости хОу. В сущности наша система есть маятник, призма которого скользит по горизонтальной плоскости. Формула (1) сохраняет силу с тем лишь видоизменением, что если G находится ниже Ох, то нужно изменить знак 尸.

Пусть длина СР равна Z, угол между СР и прутом будет 6; предположим, что центр тяжести находится очень близко от Р, так что можно считать его совпадающим с 尸； величина 2 очень мала, радиусом 尸 можно пренебречь, и

1) Легко осуществить эту систему и так, чтобы масса Р могла опускаться ниже прута; для этого нужно соединить Р и С двумя параллельными стержнями (ила нитями) одинаковой длины, между которыми проходит прут.

выражение 而+& практически сведется к — = tg 0 (если а не будет слишком мало).

После этого оставим систему без начальной скорости в положении, когда полупрямая СР практически сливается с Ох, и одновременно будем действовать на С с постоянной горизонтальной силой в положительном направлении Ох; точка С начинает скользить в направлении 0%, а Р — опускаться, и уравнение (1) в этом случае дает

NN(o<Y)・(o<Y)・Z2 cos 0 sin 0 尸 _ Mk2 (g + ш2/ sin 0) 一力2+/2 C0S2O "力2 + /2 cos2 0

N

N

(o<Y)・

(o<Y)・

Пусть б1 будет значение 0, для которого

=/•=/•/2 cos 6 sin 6

=/•

=/•

力2 + /2 C0S2 О

Если допустить заключения Лекорню, то точка С должна остановиться раньше, чем 0 достигнет значения 61? и это должно быть, как бы ни была значительна действующая на нее сила.

Второй интересный пример, который был мне сообщен Шома, заключается в следующем.

Рассмотрим в вертикальной плоскости горизонтальную полупрямую Ох и расположенную над Ох полупрямую Оу, образующую с Ох острый угол. Тяжелое однородное колесо скользит с трением по Ох и без трения (или с очень слабым трением) по Оу. В некоторый момент £ колесо, находящееся в соприкосновении с Ох и Оу внутри угла хОу, пущено с угловой скоростью з, направление которой совпадает с направлением вращения от Ох к Оу. Совершенно элементарное рассуждение покажет, что колесо не может отойти ни от 0%, ни от Оу и что при скольжении колеса по этим двум прямым мы будем необходимо иметь:

^ < tg? (? = Z

где N и 尸 представляют нормальную и касательную составляющие реакции прямой Ох на колесо.

Таким образом, если tg ср < /, то закон Кулона не может быть правильным. Если мы примем идеи Лекорню, то нужно будет допустить, что колесо мгновенно затормаживается, и

это имеет место, как бы велика ни была пара (с направлением вращения от оси Ох к оси Оу), которую мы захотели бы приложить к колесу. Таким образом, система хОу составила бы для колеса своего рода непреодолимый и мгновенно действующий тормоз (для вращения от Ох и Оу\

В конце концов, нисколько не оспаривая интереса остроумных соображений Лекорню, я думаю, что гораздо более естественно допустить, что во всех отмеченных мной случаях законы Кулона (и аналогичные законы сухого трения) просто являются неприложимыми в течение всего времени, пока имеют место предположенные специальные обстоятельства, причем это время в зависимости от особенностей изучаемых систем может быть более или менее продолжительным. Таким образом, я продолжаю придерживаться тех заключений, которые я ранее уже высказал. Для заданных значений скорости скольжения, 〃 нормального давления сила трения зависит не только от природы соприкасающихся поверхностей] она зазисит еще от распределения давлений в твердых телах 8 соседстве с точками соприкосновения.

Я добавлю, что опыты Шома, которые в близком времени будут подробно опубликованы, кажутся мне подтверждающими все мои предвидения, по крайней мере, в качественном отношении.

Л. ЛЕКОРНЮ

О ЗАКОНЕ КУЛОНА 】)

Замечания, которые были высказаны Пэнлеве в заседании 13 марта относительно моего сообщения от 7 марта, заставляют меня дать несколько дополнительных разъяснений. Как я уже сказал, моей целью просто было установление возможности согласования закона Кулона о трении скольжения с уравнениями динамики путем учета упругих свойств физических тел. Неоспоримо, что малейшая сила, приложенная к такому телу, влечет за собой соответствующую деформацию, и пренебрегать этим фактом a priori мы не имеем права. Для того чтобы ввести его в расчеты, я предположил, что каждая элементарная сила пропорциональна перемеще-

L. Lecornue, Sur la loi de Coulomb, там же, стр. 847.

нию ее точки приложения; это — предположение, которым пользуется теория сопротивления материалов. Я рассмотрел в отдельности влияние нормальной деформации, а затем и тангенциальной, и показал, что каждой из них, взятой в отдельности достаточно для того, чтобы устранить отмеченные трудности. Без сомнения было бы более логично рассматривать оба действия совместно, но таким образом мы слишком осложним задачу без большой пользы для исследования принципов; кроме того, доля участия каждого рода деформации зависит от строения взятых тел.

Теперь можно задать вопрос, в какой мере можно считать правдоподобными полученные мной результаты; это, конечно, вопрос оценки.

Как отмечает Пэнлеве, ускорение движения погружения диска, вычисленное без учета тангенциальных деформаций, больше ускорения свободного падения, кроме того, оно тем больше, чем тверже доска; но время, необходимое для уничтожения скорости скольжения, уменьшается по мере того, как это ускорение увеличивается, так что ничего парадоксального в этом я не вижу. Что касается величины получающихся при этом сил, то она аналогична той, которая наблюдается в явлениях удара,

Что касается примера, указанного Пэнлеве в п. 5, т. уравнение верно только тогда, когда точка С не подвергается действию тянущей силы. Если существует такая тянущая сила 7\ то уравнение принимает вид

Z /2 sin 0 соз 0 — Mk2 (g + о#/ sin 0) “—侬 + /2 cos2 0 3 = —^2 4- /2 cos 6 ，

и в таких условиях уже нельзя говорить, что С должна остановиться ранее того момента, когда 0 достигнет значения 8], как бы велика ни была тянущая сила Т. Что касается примера 6, то не может быть сомнения, что при tg ср < / колесо не может быть приведено в движение парой, действующей в указанном направлении; в статическом состоянии подобняа пара по-моему не произвела бы никакого другого действия, кроме более сильного прижимания колеса к направляющими что позволило бы развиться тангенциальной силе, необходимой для уравновешивания пары. В данном случае мы имеем дело с самоторможением, аналогичным тому, которое постоянно встречается в статике систем с трением. Прибавим, что чем больше была 6bl вращающая пара, тем более значительными

были нормальные давления, и что эти давления произвели бы раздвигание направляющих, в результате которого колесо вклинивалось бы все более и более, скользя по направляющей без трения и катясь по другой направляющей.

В конце концов статическое самоторможение известно очень давно, и его экспериментальная констатация является проверкой правильности закона Кулона; явления, о которых идет речь теперь, представляют не что иное, как случаи динамического самоторможения, отличающиеся от других наличием сил инерции, принимающих мгновенно очень большие значения. Конечно, было бы очень интересно подвергнуть в свою очередь и эти явления опытной проверке; но даже в случае, если бы предсказания расчета не оправдались, можно было бы только вывести заключение, что закон Кулона физически ложен; не было бы основания для утверждения, что он несовместим с общими принципами механики, и оставалось бы возможным представить себе существование упругих тел, подчиняющихся этому закону.

ДЕ СПАРР

О ТРЕНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ 】)

Пэнлеве уже отметил некоторое число примеров, в которых кулоновы законы трения скольжения, примененные без всякого перехода от начального момента, приводят к невозможности или к неопределенности.

Как заметил Лекорню в своих сообщениях от 6 и 27 марта, невозможность исчезает, если допустить, что когда два тела, находящихся в движении одно относительно другого, приходят в соприкосновение, то коэффициент трения, равный сначала нулю, очень быстро возрастает до предельного значения /, соответствующего движению, если только не будет такого значения / & /, которое обращает взаимную реакцию двух тел в бесконечность, в результате чего происходит самоторможение, приводящее к удару ). Что касается отме-

ченной Пэнлеве неопределенности, то она является только кажущейся.

Чтобы обнаружить оба эти обстоятельства, я рассмотрю задачу, разобранную Аппелем в его «Traite de mecanique» (т. II, стр. 120 и сл.), формулировка которой такова: Две материальные точки М 〃 М± с массами, равными 1, связаны жестким стержнем ММг длины г, не имеющим массы. Точка М скользит с трением по горизонтальной прямой Ох, с которой она не может сойти {таким образом, мы должны предполагать, что она заключается между двумя бесконечно близкими направляющими')} система ММГ приведена 6 движение 8 вертикальной плоскости хОу, проходящей через Ох.

Я сохраняю все обозначения Аппеля и предполагаю:

0<8<多，(1)

/ sin 8 cos 8〉1 + cos2 0.(2)

В качестве начальных условий предполагаем, что точка 2И[ имеет какую-нибудь скорость в плоскости хОу, а точка М начинает движение из состояния покоя под действием горизонтальной силы Л, достаточно большой для того, чтобы произвести ее перемещение в ту или другую сторону. В таком случае мы находим:

•• — h + г62 (cos в + е/ sin 6)十 g [sin 6 cos 6 十 е/ (1 + sin2 6)] 鼻、 * —1 4- cos2 0 -|- е/ sin 0 cos 0，( '

々一九sirt 6 cog 6--厂祂3口 6 - 2g⑷

У — 1 -f- COS2 0 + е/ sin 6 cos 6，()

где 巳=士 1, причем знак выбирается так, чтобы имело место неравенство

xzRy > 0.(5)

Я предполагаю сначала, что величина 力 положительна и достаточно велика для того, чтобы вызвать перемещение точки М в положительную сторону. Для этого необходимо, чтобы было 力〉g [/ (1 + sin2 0) — sin 8 cos 0] + гб2 (/ sin 8 — cos 8), (6) откуда, если учесть (1) и (2), получается:

力 sin 6 cos 8〉2g + гб2 sin 8.(7)

Таким образом, числитель в выражении для Ry положителен, а так как скорость % тоже положительна, то соотношение (5) удовлетворяется при всяком знаке е. Однако неопределенность здесь только кажущаяся. Действительно, если х, изменяясь от нуля, принимает положительные значения, то % должно быть положительным. Но на основании (5) его числитель является положительным; следовательно, нужно, чтобы был также положительным и его знаменатель, что требует в = -|- 1. Таким образом, значение е = — 1 нужно отбросить; отсюда мы заключаем, что Ry > 0.

В дальнейшем движении, если мы начинаем приближать h к нулю для того, чтобы получить задачу Пэнлеве, то числитель Ry обратится в нуль в некоторый определенный момент. В этот момент точка 而,которая испытывала трение на верхней направляющей, уже не будет его испытывать ни с той, ни с другой стороны; потом она придет в соприкосновение с нижней направляющей и в этот момент, поскольку коэффициент трения возрастает очень быстро от нулевого значения, величина Ry будет сначала отрицательной; тогда для е придется взять значение — 1, и так как Ry становится бесконечно большой при

产—1 + COS2 6

/ ~sin0 cos6

то произойдет удар, который заставит точку М остановиться. Кроме того, легко проверить, что удар, способный остановить точку М, может быть произведен силой трения. Действительно, пусть Р и Q — составляющие этой ударной силы; если через х0 мы обозначим значение % в момент удара, то

。=—х0(1 -]- cos2 6),

Q = — %q sin 8 cos 6,

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СТАТЬЯ ВТОРАЯ) 235 откуда

1尸1「1 + COS26

IQ I — sin 0 cos а <

Предположим теперь, что величина Л отрицательна и достаточно велика для того, чтобы вызвать перемещение точки М в отрицательном направлении.

Чтобы это было так, прежде всего необходимо соблюдение неравенства

—Л > g{/(l + sin* 9)+ sin 0 cos 9} +厂的(/5也 0-|-cos 0). (8)

Поскольку числитель /?夕,равно как и %, является отрицательным, соотношение (5) удовлетворяется и для и для г =—— 1. Но значение е =—— 1 нужно отбросить. Действительно, когда %, начиная от нуля, принимает отрицательные значения, то х должно быть отрицательным; но так как на основании (8) его числитель отрицателен, то задаче может удовлетворять одно только значение £= + 1. Таким образом, Ry отрицательна и точка М касается нижней направляющей. Кроме того, то же самое будет иметь место и в дальнейшем движении 1), если мы будем приближать h к нулю для получения случая, предусмотренного задачей Пэнлеве, так как числитель Ry не обращается в данном случае в нуль, что было бы необходимо для того, чтобы точка М сошла с нижней направляющей. Таким образом, в задаче Пэнлеве для случая х < 0 единственным приемлемым является значе* ние £ = + 1.

〃・ ПЭНЛЕВЕ

О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ )(Статья вторая)

Сообщение де Спарра дает мне повод возвратиться к дискуссии о законах трения, которую некоторые другие работы заставили меня на время оставить.

Для простоты я ограничиваюсь типичной задачей, разработанной де Спарром: жесткий стержень АВ {находящийся 6 вертикальной плоскости) скользит своим концом А с трением по неподвижной горизонтальной прямой Ох

Связь может быть двусторонней или односторонней. В первом случае материальная точка Л скользит между двумя неподвижными горизонтальными прямыми Ох и 0Vг「 причем вторая расположена немного выше Ох; кроме того, обе эти прямые не сжимают точку А; иными словами, точка Л не может одновременно оказывать давления на обе неподвижные прямые 1). Во втором случае существует лишь одна из двух прямых Ох и О^^ если существует только 0%, то Л может подняться над Ох и реакция Ох на Л не может быть направлена вниз от если существует только О/], то Л может опуститься ниже 01х1 и реакция не может быть направлена вверх от 01х1.

Наконец, я предполагаю, что заданные силы, действующие на стержень АВ, сводятся к тяжести и горизонтальной силе X, приложенной в центре тяжести G тела АВ. Пусть т=\ ——масса стержня АВ,宓2 — его момент инерции относительно G, а I——расстояние AG ). Я предполагаю, что в рассматриваемый момент / точка G находится ниже 0%; в качестве положительного направления на Ох я принимаю направление проекции НА линии GA на 0%; через Л и я обозначаю расстояния G от Ох и от вертикали точки Л (Л > О, d〉0), а через 砌——скорость скольжения (скорость точки Д), отсчитываемую в положительном направлении оси 0%; расстояния h и d меняются с изменением /, но все время имеет место равенство

" 2+A2 = /2.

При таких предположениях отмеченные мной трудности появятся только в том случае, когда коэффициент трения / (кулонов коэффициент) удовлетворяет неравенству

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СТАТЬЯ ВТОРАЯ) 237 ——неравенству, которое я в дальнейшем предполагаю выполненным.

Особенности, вводимые законами Кулона, Если к вышеприведенной материальной системе применить результаты общего исследования, которое я произвел относительно трения скольжения, то окончательно мы будем иметь следующее.

Связь двусторонняя. Если w > 0 (w имеет направление Н4), то начальным условиям и законам Кулона отвечают два движения (двойственность).

Если w < 0 (w имеет направление АН), то начальным условиям не отвечает ни одно возможное движение (невозможность).

Связь односторонняя, существует одна прямая Ох. Если m〉0, то существует единственное вполне определенное движение; если *ш < 0,——то невозможность.

Связь односторонняя, существует одна прямая О1х1. Если m > 0, то начальным условиям отвечают два движения, в одном из них точка / опускается вниз от О1х1 (двойственность); если *ш < 0, — то единственное движение (когда Л опускается вниз от О1х1).

В этой заметке я оставляю в стороне случай невозможности и занимаюсь только случаем двойственности.

Исследование двойственности. В последнем приведенном мной случае двойственности здравый смысл сразу определяет то из двух движений, которое следует принять: если бы неподвижная прямая О1х1 не существовала, то стержень АВ свободно опускался бы ниже О^; существование прямой О1х1 (гладкой или шероховатой) над АВ ничего не изменит в движении 1). Точно так же в случае двусторонней связи, когда w〉0, если бы верхняя прямая О1х1 не существовала, то начальным условиям отвечало бы только одно движение, когда стержень АВ давил бы на Ох; существование 0{хг ничего бы не изменило в этом движении. В более точной формулировке: истинное движение определяется без всякой двойственности, если мы допускаем, что две твердые поверхности, которые

I) Предположим, что стержень подвержен только действию тяжести и имеет горизонтальное поступательное движение; он весь расположен ниже закрепленной горизонтальной прямой Opq, которой точка А касается снизу; очевидно, что он будет свободно падать независимо от того, будет ли прямая Ор^ шероховатой или нет.

в данный момент t при заданных условиях 】)не оказывали 6ь，друг на друга давления, если 6bL они были идеально гладкими, не действуют также друг на друга, если они являются шероховатыми.

Таково правило ), которое я дал для того, чтобы с полной уверенностью устранить всякую двойственность для любой системы (по крайней мере, когда трением обладает только одна связь). Вот почему при исследовании экспериментальных законов трения я совершенно оставил, в стороне случай двойственности.

Исследование трения покоя, или трения при начале движения. Если скорость скольжения ® равна нулю в момент %, то никогда не бывает невозможности] но может иметь место двойственность, если удовлетворяются условия трения покоя\ в таком случае (кроме движения без скольжения или равновесия) имеются еще дза других движения, отвечающих начальным условиям. Правда, этой двойственности не получается, если мы применяем закон трения покоя в том виде, как он повсюду формулируется; действительно, с того момента, когда выполняются необходимые условия отсутствия скольжения (или равновесия), мы допускаем, что они являются и достаточными] иными словами, с того момента, как движение без скольжения (или равновесие) становится возможным, оно 〃 имеет место в действительности. Выраженный в такой форме закон трения покоя уничтожает всякую двойственность: из трех математически возможных движений истинным движением является движение без скольжения (или равновесие). Но сейчас мы покажем на предыду-

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СТАТЬЯ ВТОРАЯ) 239 щем примере, что подобный закон приводит к недопустимым заключениям 】).

Предположим, что стержень АВ в момент £ оставлен без скоростей. Исследование последующего движения представит трудности только в том случае, когда

X f^ + h^) — hd 7 > /"〃一月2 一d2， если это условие соблюдено, то исследование можно разю- мировать так.

Двусторонняя связь. Возможны три движения: движение, в котором точка Л остается неподвижной и давит на О^х^ движение, в котором А скользит, оказывая давление на 0^^ движение, в котором точка А скользит, оказывая давление на Ох,

. Односторонняя связь, существует только прямая Ох. Возможно одно только движение, когда точка А скользит, оказывая давление на Ох.

Односторонняя связь, существует только прямая О]Х[. Возможны три движения: одно движение, в котором точка А опускается ниже О// другое, когда точка Л остается неподвижной и давит на О/" третье, когда точка Л скользит по О[%[ и давит на нее.

Я останавливаюсь на этом последнем случае; если бы горизонтальная прямая О1х1 не существовала, то стержень АВ свэбоцно опускался бы вниз под действием силы тяжести и силы X. Существование (над АВ) гладкой или немного шероховатой прямой О〔％1 ничего не меняет в этом движении: стержень ZB сразу же покидает прямую О1х1 и опускается вниз. Не является ли очевидным, что то же самое будет и в том случае, когда стержень О1х1 будет чрезвычайно шероховатым, и что упомянутое нами возможное движение и будет истинным^ Точно так же в аналогичном случае двусторонней связи видно, что истинным движением будет то, в котором / скользит, оказывая давление на Ох (но не на О[%1). Однако в двух этих случаях двойственности классический закон трения покоя привел бы к заключению, что

В дальнейшем ради простоты я не делаю различия между коэффициентом / трения скольжения и коэффициентом %(%>『) трения покоя, что ничего не меняет в принципах исследования.

точка А остается неподвижной, производя (снизу) давление на

Одним словом, чтобы классический закон трения покоя не приводил к недопустимым результатам, его надо пополнить принципом, высказанным в п. 3: Два твердых тела, которые в заданных условиях не производили бы никакого давления друг на друга, если бы они были идеально гладкими, точно так же не действуют друг на друга и тогда, когда они шероховаты.

Еще более разительным является пример, приводимый Шома: тяжелое однородное колесо скользит с трением (с вертикальной плоскости) по неподвижной горизонтальной прямой Ох и скользит без трения по нисходящей полупрямой ОЕ; оно может подняться над О； и опуститься ниже Ох. Пусть / будет коэффициент трения колеса по О%, а——угол %О&, г — радиус колеса; мы предполагаем tg а < /.

Пусть колесо оставлено без скоростей в соприкосновении с Ох и ОЕ; к нему прилагают пару в направлении хО；; движение, в котором колесо спускается ниже Ох, скользя и катясь по О;, является всегда допустимым. Оно будет единственным допустимым, если момент N пары невелик;

far

но если N превышает значение『厦/——то возможны и два других движения, а именно самоторможение колеса и скольжение колеса по Ох. Тут еще раз обнаруживается с очевидностью, что истинным движением будет то, которое дается высказанным правилом, а именно нисходящее движение колеса по ОЕ.

Сравнение с исследованием де Спарра, Для исследования критических начальных условий, которые я отметил, де Спарр из всех способов осуществления этих условий выбирает один частный, в котором предварительно исходят из условий трения покоя, которые в соответствии с моим собственным исследованием определяют единственное движение. Допуская в неявной форме, что в течение всего движения реакция Ох на АВ изменяется непрерывно и что ее нормальная составляющая не обращается в нуль, де Спарр неизбежно приходит к тому, чтобы в качестве истинного движения принять одно из двух математически возможных движений, то, которое, очевидно (согласно предыдущему), указывается общим правилом п. 3. Таким образом, де Спарр

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ) 241 вполне согласен со мной относительно того, какое из двух движений нужно выбрать; но он ошибается, если думает, что таким образом он что-нибудь прибавляет к моему исследованию. Наоборот, его исследование не является общим, так как оно предполагает, что критические начальные условия осуществлены при помощи некоторого частного способа, тогда как их можно осуществить бесконечным множеством способов, которые ускользают от его исследования.

Что же касается двойственности в случае трения покоя, на которой я в особенности настаиваю, то я не знаю, рассматривает ли ее де Спарр как кажущуюся, и не могу сказать, какое из трех возможных движений он принимает в качестве истинного. Допускает ли он в примере Шома невероятную гипотезу о равновесии? Я не думаю этого. Выбирает ли он то же самое движение, что и я? Если это так, то он вместе со мной видоизменяет закон трения покоя в той форме, в какой он обычно применяется и в какой он сам применяет его в своем последнем сообщении.

Таковы замечания, которые я хотел сделать относительно случая двойственности. В ближайшее время я вернусь к случаю невозможности.

П. ПЭНЛЕВЕ

О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ О

(Статья третья)

В предыдущем сообщении я рассмотрел случай двойственности, который может представиться, если мы применяем так называемые ку лоно вы законы трения скольжения к абсолютно твердым телам. В этой заметке я займусь изучением случая невозможности, который возникает при применении этих самых законов.

Как и в моем предыдущем сообщении, я ограничиваюсь рассмотрением системы, состоящей из движущегося в вертикальной плоскости прямолинейного жесткого неоднородного стержня 45, конец которого Л скользит по неподвижной горизонтальной прямой Ох. Связь может быть двусторонней или односторонней} если она двусторонняя, то материальная

Р・ Р a i п 1 е V ё, Sur les lois du frottement de glissement, там же, стр. 546.

16 Зак. 1628. П. Пэнлеве

точка Л скользит между двумя неподвижными горизонтальными прямыми Ох и С\Х[, которые очень близки друг к другу, но не сжимают рассматриваемую точку]). Если связь односторонняя, то я предполагаю, что Л находится над Ох и может подняться выше этой горизонтали: реакция R прямой Ох на точку Л будет тогда необходимо направлена вверх. Наконец, на стержень АВ не действуют никакие заданные силы кроме силы тяжести.

Через т я обозначаю массу стержня АВ, через т* ——его момент инерции относительно его центра тяжести G, через I—расстояние AG. Я предполагаю, что в рассматриваемый момент £ точка G находится ниже прямой Ох и что скорость точки Л (скорость скольжения) имеет направление проекции АН отрезка AQ на Ох.

В этих условиях, если связь односторонняя, то сразу же можно видеть, что точка Л не может подняться выше Ох\ таким образом, точка Л, по крайней мере в течение некоторого времени, будет скользить по 0%; пусть N и 尸 будут абсолютные величины (для момента £) вертикальной и горизонтальной составляющих реакции R; составляющая N направлена вверх, а 尸—по направлению "Z. Пусть, наконец, 9 будет мгновенная угловая скорость стержня и /г, d — расстояния точки G от горизонтали Ох и от вертикали, проведенной через точку Л (/г > 0 и d > 0; оба расстояния изменяются со временем 力 но l^-\~d^ = /). Между 尸 и N существует соотношение

NT諱⑴ % + 必 「

Правая часть р равенства (1) представляет значение нормальной реакции, которую прямая Ох оказала бы на точку Z в момент £ в тех же самых условиях, если бы не было трения.

Если связь двусторонняя, то соотношение (1) продолжает иметь место, если только под N мы будем понимать абсолютную величину нормальной составляющей реакции R, взятую со знаком 十 или — в зависимости от того, будет ли N направлена вверх или вниз. Тогда соотношение (1)

П. ПЭНЛЕВЕ. О ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ (СТАТЬЯ ТРЕТЬЯ) 243 показывает, что ^ не может быть отрицательной; точка А давит на Ох (а не на。也).Отсюда вытекает такое заключение:

Будет ли связь односторонней или двусторонней, точка / 6 рассматриваемый момент / давит на Ох, и вертикальная 〃 горизонтальная составляющие реакции N и 尸，взятые по абсолютной величине, удовлетворяют соотношению (1).

. Соотношение (1) сейчас же влечет за собой неравенство

存 +舒. (2)

Таким образом, пока О остается ниже Ох и скорость точки А не обращается 8 нуль, неравенство (2) удовлетворяется, каков 6加 на был материал т^л, находящихся 6 соприкосновени и.

Пусть / будет коэффициент трения скольжения, вводимый законом Кулона для обоих данных материалов; если в момент / имеет место неравенство

券' ⑶

то оно противоречит законам Кулона. Таким образом, законы Кулона неприемлемы, если С остается ниже Ох, скорость точки А имеет направление АН 〃，наконец, удовлетворяется условие (3)1).

Осуществление особых начальных условий. Только что указанные мной особые начальные условия могут, между прочим, быть осуществлены большим числом способов. Например, если предыдущая связь является двусторонней, то предположим, что стержень АВ без начальной скорости помещен в почти горизонтальном положении, и подействуем на него в точке А очень большой горизонтальной силой Ф, имеющей направление АН. Легко видеть, что точка А будет давить

1) То же самое имеет место для всех эмпирических законов сухого трения, в которых допускают, что 天 есть функция ^ и w (скорости скольжения), возрастающая вместе с N. Действительно, все эти законы удовлетворяют неравенству F〉fN (где / обозначает некоторую постоянную).

на О/】 (а не на Ох) и придет в движение по направлению АН, то-есть по направлению силы Ф, причем это движение будет тем быстрее, чем больше Ф; в то же самое время О опускается. В тот момент, когда АВ достигает особого положения, определяемого неравенством (3), мы снимаем быстро силу Ф; нормальное давление N обращается в нуль в тот момент 片，когда

万2

и меняет знак; начиная с этого момента Ар мы находимся в условиях, когда законы Кулона неприемлемы.

Рассмотрим еще пример Шома. Пусть Ох и Оу будут две неподвижные полупрямые в вертикальной плоскости: первая горизонтальная, а вторая наклонная, направленная над Ох и образующая с Ох острый угол а. Однородное тяжелое колесо массы т, помещенное в углу хОу, может скользить с трением по прямой Ох (над которой оно может подняться) и без трения вдоль прямой Оу, от которой оно может отойти в направлении Ох. В момент /0 колесо предоставляется самому себе с начальной угловой скоростью а)0 6 направлении хОу, причем центр колеса неподвижен.

Легко видеть, что колесо не может ни подняться над Ох, ни оторваться от Оу; следовательно, оно будет находиться в соприкосновении с Ох и Оу; если N и 尸——вертикальная и горизонтальная составляющие (по абсолютной величине) реакции прямой Ох на колесо, то мы имеем соотношение

^—F ctg а = mg (4)

—соотношение, которое остается справедливым, пока не уничтожится угловая скорость колеса, и которое влечет за собой неравенство

令 <tga. (5)

Мы, конечно, можем достаточно большим количеством различных способов придать колесу произвольную начальную угловую скорость. Вообразим, например, что колесо подвешено на своей оси к упругой вертикальной нити, закрепленной другим своим концом О, которая при некоторой длине Z удерживает колесо в равновесии, иными словами, действует на центр колеса силой натяжения, равной и прямо противо-

положной весу колеса. Подвешенное таким образом на нити длины / колесо, находясь в соприкосновении с прямыми Ох и Оу, не оказывает на эти прямые никакого давления, колесу можно сообщить произвольную угловую скорость, которую оно после этого будет сохранять неопределенное время (если пренебречь небольшими силами трения на оси колеса), иными словами, достаточно долгое время. После того как колесо приведено во вращение в направлении хОу, мы, обрезав нить, получим начальные условия, являющиеся исключительными.

Вместо того чтобы резать нить, опустим чуть-чуть ее верхнюю точку подвеса О, например на высоту е; соотношение (4) будет попрежнему иметь место; только вместо правой части mg придется взять mg = mg—т, где с представляет натяжение упругой нити: т изменяется от mg до нуля, когда е, изменяясь от нуля, достигает значения, при котором нить перестает быть натянутой; таким образом, т^ может принимать все значения от нуля до mg. Как бы мала ни была величина mg, законы Кулона неприемлемы, если tga《f

Ответ на некоторые возражения. Сделано несколько возражений на предыдущие рассуждения.

Первое возражение заключается в том, что указанные начальные условия якобы неосуществимы.

Так, между прочим, говорят, что в примере Шома (первоначально неподвижное) колесо невозможно заставить вращаться в направлении хОу, какой бы величины пару мы к нему ни прилагали: имеет место самоторможение.

После всего выше сказанного я считаю бесполезным отвечать на это возражение, которое можно сделать только при поверхностном чтении. Особые начальные условия можно осуществить бесконечным количеством способов.

Второе возражение заключается в следующем.

Особые условия могут быть осуществлены, но они всегда будут иметь место только в течение весьма короткого промежутка времени. Так, например, в задаче Шома начальное вращение уничтожается трением почти мгновенно; это очевидно г), поскольку в состоянии покоя трение уравновешивает всякую движущую силу, как бы велика последняя ни

1) Этот довод, между прочим, неоснователен, как показывает точный анализ явлений самоторможения.

была. Это — случай динамического самоторможения. Но когда мы приводим два тела в соприкосновение (даже без удара) или когда их взаимные реакции испытывают внезапное изменение, то имеет место очень короткий период возмущенного движения, в течение которого законы Кулона неприложимы. Одним словом, законы Кулона истинны; не нужно только применять их с самого момента соприкосновения; нужно прилагать их немного спустя, когда установится нормальный режим. Если допустить это, то для уничтожения всяких трудностей достаточно предположить, что отношение 万 не сразу становится равным /, но очень быстро возрастает от 0 до / (по крайней мере, если скорость скольжения не обратится раньше в нуль); если мы применим эту гипотезу к исследованию особых начальных условий, то можем констатировать, что скольжение будет уничтожено в очень короткое время, более короткое, чем период возмущенного движения, и что после этого мы уже не будем находиться в особых условиях.

Таково объяснение, предложенное Лекорнюг), а после него де Спарром.

Прежде всего я замечу, что мои противники согласны со мной в следующем заключении: пока отмеченные особые условия осуществляются, законы Кулона находятся 8 противоречии с динамикой абсолютно твердых тел. Только, по их мнению, время, в течение которого осуществляются эти условия и, следовательно, когда законы Кулона не являются приложимыми, будет крайне коротким. Вот этот-то пункт и остается обсудить.

Когда мы приводим в соприкосновение два твердых тела (иными словами, когда их взаимная реакция внезапно возрастает от нуля до конечного значения), то a priori вполне допустимо, что отношение 万 не приобретает сразу своего нормального значения /. Но почему предполагать, что отношение 齐 стремится к / снизу, а не сверху? Если бы сила F

1) В этой заметке я целиком оставляю в стороне второе объяснение, предложенное Лекорню, в котором он строго придерживается законов Кулона для каждого момента, но учитывает деформации твердых тел. Я еще вернусь к этому в будущем, [Пэнлеве своего обещания не выполнил. (Примеч. перев.)]

начинала изменяться от нуля, а ^ уже имела бы некоторое конечное значение, то в этом нельзя было бы сомневаться, но ведь 尸 и N начинают одновременно изменяться от нуля. Проведение аналогии с законами трения покоя не является серьезным, и предположение, что 刃 приближается к / сверху, мне кажется столь же вероятным, что и предположение, согласно которому отношение 贯 начинает изменяться от нуля. Одним словом, для оправдания гипотезы, при помощи которой Лекорню и де Спарр хотят снять отмеченное противоречие, я, по крайней мере, с моей точки зрения, не вижу никакого другого довода, кроме именно этой самой необходимости избежать этого противоречия.

Кроме того, во всей теории обычных ударов (теория F

бильярда и т. д.) допускают, следуя Морену, что 天 равно /. Если принять предыдущую гипотезу, то всю эту теорию придется целиком переделать. Кроме того, мы получаем соударения нового типа, которые я назвал соударениями без удара (percussion sans choc), понимая под этим, что соприкосновение двух твердых тел повлечет за собой внезапное изменение их скоростей, хотя их скорости совпадают в точках соприкосновения и, следовательно, оба тела не толкают друг друга.

Но оставим эти затруднения. Вот два аргумента, которые кажутся мне решительно говорящими против объяснения Лекорню и де Спарра.

Прежде всего можно осуществить особые условия и не заставляя взаимные реакции двух тел испытывать внезапные изменения. В примере Шома в той форме, в какой он предполагается осуществленным в п. 3, достаточно медленно и непрерывно опускать точку подвеса О упругой нити (из ее первоначального положения); реакции Ох и Оу, приложенные к колесу, будут изменяться медленно и непрерывно, начиная от нуля. Тогда уже не будет никаких оснований к тому, чтобы период возмущенного движения скорее имел бы место в начале, а не в какой-нибудь другой момент движения.

Второй аргумент заключается в следующем: предложенное объяснение предполагает по самому существу, что особые условия могут быть всегда осуществлены только в течение

весьма короткого времени. Но в опыте, описанном в п. 3, если не касаться точки подвеса О упругой нити, колесо неопределенно долгое время сохраняет свою угловую скорость и после приложения к нему пары с тем же направлением вращения будет увеличивать свою скорость пропорционально моменту пары. Напротив, как бы мала ни была высота е, на которую мы опустили точку О, мы всегда будем иметь особые условия, и колесо должно было бы затормозиться почти мгновенно, какова бы ни была приобретенная скорость (и каков бы ни был момент приложенной пары). Это заключение находится в абсолютном противоречии с принципом непрерывности явлений: например, при отсутствии пары очевидно, что для значений е, приближающихся к нулю, время, в течение которого колесо сохраняет свою скорость, будет возрастать как бы неограниченно.

Таким образом, мне остается только повторить уже высказанное мною когда-то заключение: ^Между динамикой твердого тела 〃 законами Кулона имеется логическое противоречие при условиях, которые могут быть осуществлены 8 действательности». И я прибавляю: «Условия, при которых обнаруживается это противоречие, могут быть осуществлены в течение сколь угодно большого времени».

О самоторможении. Я скажу, наконец, несколько слов о явлениях самоторможения, которые приобрели важную роль в этой дискуссии. Прежде всего, если бы даже классические законы трения покоя строго оправдывались во всех своих следствиях, то отсюда нельзя было бы извлечь никакого аргумента для объяснения или опровержения моих возражений против законов трения скольжения. Действительно, мои возражения вытекают единственно из равенства (1) или аналогичного ему, связывающего нормальную и тангенциальную составляющие ^ и F реакции, — равенства,

р

которое налагает на 耳 верхний предел, не зависящий от вещества находящихся в соприкосновении тел. Но рассматриваемое равенство и соответствующее неравенство необходимо подтверждаются во всех случаях трения покоя (в частности, для всех случаев равновесия или самоторможения) и не может существовать никакого противоречия между этим равенством и неравенством трения покоя

I尸IV/IN卜

Одним словом, неравенство, противоречащее законам Кулона в некоторых случаях скольжения, само собой осуществляется во всех случаях трения покоя.

Но я иду еще дальше: законы трения покоя, вместо того чтобы позволить дать ответ на критические замечания, сделанные мной относительно законов трения скольжения, сами не свободны от этих критических замечаний. Даже если они будут исправлены при помощи необходимого ограничения, формулированного в моей последней заметке, они в осуществимых условиях приводят к выводам, которые, если не заключают противоречия, как в случае скольжения, то, по крайней мере, существенно противоречат принципу непрерывности. Но я должен здесь ограничиться этими указаниями, чтобы не смешивать два вопроса, которые должны рассматриваться раздельно.

Ф. КЛЕЙН

К КРИТИКЕ ПЭНЛЕВЕ КУЛОНОВЫХ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ

(Из лекции, читанной зимой 1908/09 г.)】)

«Законы обычного сухого трения наглядно представлены на фиг. 1, где в качестве абсциссы взята относительная ско-

一网Р

Фиг. L

рость обоих трущихся тел, а в качестве ординаты — значение силы трения. При этом Р обозначает нормальное давление, которым одно тело прижимается к другому,冲一коэффициент трения при движении,世° ——коэффициент трения покоя. Мы

F. Klein, Zur Painleves KHtik der Coulombschen Reibungsge- setze, Ztschr, f. Math, u. Physik, t, 58 (1909), стр. 186.

видим, что для всех положительных значений и сила трения имеет одно и то же отрицательное значение —步尸,для всех отрицательных значений о ——одно и то же положительное значение + 出尸,но для и = 0 сила трения может принимать все значения, лежащие между —11Gp и + р^Р.

Эти законы, которым обычно дают имя Кулона (который около 1780 г. произвел для их доказательства особо тщательно поставленные опыты), Пэнлеве недавно подверг детальной критике, которая завершается утверждением, что они даже в самых простых случаях приводят к логическим противоречиям с принципами механики 】).По этому поводу я связался с проф. Прандтлем, который для простейшего примера Пэнлеве дает совершенно другую интерпретацию, которую он подтверждает экспериментально и о которой имеется в виду здесь сообщить.

Речь идет о следующей механической задаче. Две мате- и 加2，связанные невесомым стержнем неизменяемой длины /, вынуждены двигаться по двум параллельным прямым; направляющая точки тА обладает коэффициентами трения 卩 и соответственно 卩°, направляющая точки т2 является абсолютно гладкой. Пусть абсциссы то

чек т{ и т2 будут соответственно х1 и х2, а угол, образуемый стержнем / с положительным направлением оси абсцисс, пусть будет а. На т2 действуют лишь реакции направляющей и соединяющего стержня, а к точке mt, кроме того, приложены постоянная сила 苓,имеющая направление положительной оси х, а также действующая по направляющей сила ее трения.

Прежде всего мы будем иметь геометрическое соотношение

(1)(1)%2 — %i = /cos ос,

(1)

(1)

а затем если через 入 обозначим действующее по направлению

С литературой предмета читатель может познакомиться у Штеккеля в п. 6 статьи об элементарной динамике в т. IV, 1 математической энциклопедии.

Ф. КЛЕЙН. К КРИТИКЕ ПЭНЛЕВЕ КУЛОНОВЫХ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ 251 стержня давление, то уравнения движения будут:

厂卜⑵

现1%1 = X -入 cos a -(戶)入 sin a.(

Здесь под (а) мы подразумеваем значение коэффициента трения, соответствующее рассматриваемому моменту; таким образом, при покое:

-冃0三(出)三十м0，(3)

при движении же ⑺=士卩 и

3 •入•笺［〉0.(4)

Парадоксы, которые находит Пэнлевепридальнейшем

разборезадачи, скрываются в последнемнеравенстве(4).

Для того чтобы выявить эти парадоксы, достаточно рассмотреть случай 加1 =加2=1， что сейчас и будет сделано. Так как вследствие соотношения (1) xt = х2, то из уравнений (2) непосредственно получается:

—2 cos a 十(卩)sin a •' 丿

Эту формулу нам и надлежит исследовать. При этом вместе с Пэнлеве мы рассмотрим случай движения системы (когда(2)= 士》); кроме того, целесообразно с самого начала различать два основных случая в зависимости от того, будет ли

рь sin a J I 2 cos a | или

卩 sin a II 2 cos a |;

если I 卩 sin a I = I 2 cos a|, то мы говорим о переходном случае. Так как sin а на фиг. 2 непременно положителен, то для различения этих случаев достаточно обратиться к абсолютному значению tga. 5 первом основном случае, когда

мы будем говорить о полого поставленном стержне (фиг. 3), во втором основном случае, когда

о"gal〉；，

мы будем говорить о круто поставленном стержне (фиг. 4). Так как мы с самого начала считаем величину 占 положительной, то в первом случае знак 入 совпадает со знаком cos of, во втором же случае ——со знаком (卩)=士卩.

Пусть теперь для момента £ = 0 будет дана какая-нибудь отличная от нуля начальная скорость хг (= х2). Что тогда произойдет? Внутри каждого из наших основных случаев мы будем еще различать четыре дополнительных случая в зависимости от знаков при 看 и cos а и все результаты иссле

дования объединим в таблице. Тогда из неравенства (4) мы будем иметь:

Для первого основного случая (полого по- ставленный стержень)

cos а > 0,入 > 0 (сжатие) cos а < О, X < 0 (растяжение)

々 > О (W)= + аЛ <° @)=—出々 > О (W)= + аЛ <° @)=—出%]〉о (а) = — * %] < о (а) = + а%]〉о (а) = — * %] < о (а) = + а

々 > О (W)= + а

Л <° @)=—出

々 > О (W)= + а

Л <° @)=—出

%]〉о (а) = — * %] < о (а) = + а

%]〉о (а) = — * %] < о (а) = + а

Наоборот, для второго основного случая (круто поставленный стержень)

cos а > Оcos а > О入 > 0, если (出)=+ 出

cos а > О

cos а > О

入< 0, если (卜)=--出

%i > 0 (出)произвольно = 士产

*i < 0 противоречие с (4)

(入 > 0, если (° = + 俨

cos а < 0 <、

I 入 < 0, если (户)=-P

忆1 > ° (а)пPоизвольно = 土卩

хх < 0 противоречие с (4)

Таким образом, здесь можно уже не различать случай положительного и отрицательного косинуса а и полученный результат будет годиться также и для cos а = 0.

Наконец, мы получим:

Для переходного случая

cos а > 0cos а > 0入>0,если (出)=+出,入=8, еели (а)=--卩入>0,если (出)=+出,入=8, еели (а)=--卩cos а < 0cos а < 0入<0,если (俨)=-世,入=ОО,если (卩)=+ 出入<0,если (俨)=-世,入=ОО,если (卩)=+ 出

cos а > 0

cos а > 0

入>0,

если (出)=+出,

入=8, еели (а)=--卩

入>0,

если (出)=+出,

入=8, еели (а)=--卩

cos а < 0

cos а < 0

入<0,

если (俨)=-世,

入=ОО,

если (卩)=+ 出

入<0,

если (俨)=-世,

入=ОО,

если (卩)=+ 出

и отсюда, если мы будем рассматривать только конечные значения 入：

* > 0 (2)=+户％ > 0 (户)=一户

xt < 0 противоречие с (4) хх < 0 противоречие с (4).

Таблица для первого основного случая соответствует тому, чего мы могли ожидать. В каждом отдельном из дополнительных случаев она дает определенное значение для (а) и вместе с тем для 入；ускорение 入 cos а точки xt будет во всех случаях

254 дискуссия

положительным. Наоборот, во втором основном случае результат представляется совершенно парадоксальным, так как он допускает или • два значения для (出)и соответственно для 入 cos а или же ни одного. Точно так же эти парадоксы остаются в силе и для промежуточного случая, так как мы, если даже исключить бесконечно большие значения 入,все- таки придем к противоречию, когда х± < 0.

Эти парадоксы были выявлены Пэнлеве; в них он находит противоречие с основным положением механики, что механическая система при заданных начальном положении и начальных скоростях всегда получает в дальнейшем одно и только одно определенное движение.

Против этой аргументации проф. Прандтль выставляет следующие возражения:

Ничего нет удивительного в том, что когда 入 берется большим или меньшим нуля, получаются двоякого рода движения.

Действительно, несвободное движение точки по прямой конструктивно может быть осуществлено только таким образом, что в зависимости от знака 入 фактически имеют место

Фиг. 5.

различные кинематические соотношения. Например, если заключить точку между двумя тесно прилегающими друг к другу направляющими (фиг. 5), то она, смотря по знаку 入,будет прижиматься то к одной, то к другой направляющей. Точно так же представятся две возможности, если мы пред-

Фиг. 6.

ставим точку просверленным шариком, скользящим по проволоке (фиг. 6).

Во всяком случае экспериментально мы можем осуществить всегда только одно движение, так как другое будет

Ф. КЛЕЙН. К КРИТИКЕ ПЭНЛЕВЕ КУЛОНОВЫХ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ 255 неустойчивым^ оно, даже если будет иметь место, сейчас же перейдет в первое при малейшем возмущении. Во втором основном случае при положительной скорости *丄 в действительности всякий раз будет иметь место только движение с ускорением вправо (人 cos а > 0).

Что касается переходного случая, то при положительной %i нужно в вышеупомянутом смысле брать 入 cos а конечным и, кроме того, положительным; что же касается отрицательной %, то равенство 入=оо совершенно правильно характеризует действительное поведение системы. В самом деле, в таком случае получается мгновенное самоторможение (что, конечно, приходится понимать cum grano salis: мы получили бы мгновенное самоторможение, если бы при производстве эксперимента действительно имели дело с жесткими направляющими; так как фактически направляющие всегда будут несколько податливыми, то мы будем вместо этого наблюдать очень быструю остановку движения).

Таким образом, остаются частные случаи второго основного случая с отрицательными значениями х】，которые в соответствии с установленной схемой необходимо приводят к противоречиям. Более подробное исследование, а также и опыт показывают, что в данном случае мы тоже всегда будем иметь дело с мгновенным самоторможением.

Вот что было сообщено мне проф. Прандтлем. Со своей стороны я добавлю, что явление самоторможения в последних упомянутых случаях в действительности ничуть не противоречит законам Кулона. В наших схемах мы вычисляли ускорение

) XiCOSa

人 COS 0t 二”二 *7^ т г ・ ‘

COS а —(俨)S1H а

по примеру Пэнлеве так, как будто бы имело место движение. Так как мы в соответствии с этим полагали (俨)=士 *, то и получились противоречия. Однако остается возможность, что в этом случае будет иметь место мгновенный покой. Но тогда Кулон требует только, чтобы значение (*) находилось между * *0 и ——*и，и мы можем дать 世 такое лежащее в этом интервале значение, которое обратит л в сю и тем самым укажет на наступление самоторможения. Тем самым устраняются формальные противоречия.

Подводя итоги и обобщая то, чему научил нас простейший пример, мы можем сказать: законы Кулона не находятся 6 противоречии ни с принципами механики, ни с явлениями, наблюдаемыми в действительности] их нужно только правильно толковать. Громадная заслуга Пэнлеве заключается в том, что он убедительно обратил наше внимание на появляющиеся иногда особые обстоятельства. Но он слишком быстро поверил в логические противоречия вместо того, чтобы продумать все возможности, которые предоставляют законы.

Конечно, когда мы стремимся сохранить законы Кулона, то это касается только их принципиальных положений, а не отдельных заключающихся в них количественных данных. То, что согласно современному состоянию наших сведений законы Кулона с физической точки зрения следует рассматривать лишь как приближение к действительности, было, между прочим, подробно изложено Зоммерфельдом и мной в нашей «Theorie des Kreisels» (Теории волчка) на стр. 537 и далее.

Наконец, нужно еще отметить, что простой пример, разобранный нами, представляет большой технический интерес. Действительно, он в идеализированной форме показывает соотношения, которые должны часто встречаться на практике, например в подъемных машинах. Невольно приходит в голову мысль, что истолкованные в нашем смысле соображения Пэнлеве представляют исходную точку, из которой может развиться новая ветвь технической механики».

Вышеизложенное воспроизводит очерк положения вещей в этом вопросе, данный мной прошедшей зимой в одной из лекций по механике. Это изложение никоим образом не претендует на то, чтобы всесторонне рассмотреть вопрос или даже решить его: в таком случае мне пришлось бы подробнее разобрать опубликованные работы самого Пэнлеве, а также возражения, которые уже в самом начале сделали Лекорню и де Спарр против выводов Пэнлеве, и вообще всю относящуюся сюда литературу, большей частью иностранную. Моей скромной целью было дать толчок к возобновлению дискуссии на эту тему также и в Германии. Пусть при этом рука об руку пойдут теоретики и экспериментаторы, а также инженеры-конструкторы. Именно это, повидимому, и является самым необходимым.

Р. МИЗЕС

К КРИТИКЕ ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ】)

Проф. Клейн любезно довел до моего сведения в корректурном оттиске помещенную выше заметку, после того как я только что дал этому предмету несколько отличное изложение в наброске статьи Энциклопедии (IV. 10. К. Heun und R. v. Mises, Dynamische Probleme der Maschinentechnik). Теперь я хотел бы позволить себе привести здесь в коротких словах мое мнение, которое является несколько более благоприятным для критики Пэнлеве: однако я не солидаризируюсь с ним полностью и не становлюсь в прямое противоречие с точкой зрения Клейна и Прандтля.

Мои соображения сводятся к двум утверждениям.

Клейн объясняет явления не с точки зрения законов Кулона, но пользуясь новым положением, полученным из опыта.

Сама собой приходит в голову мысль, что этому новому опытному положению можно дать форму некоторого видоизменения законов Кулона,

Я тоже рассматриваю пример, выбранный Клейном, и сохраняю все обозначения его заметки. Дело идет исключительно о рассмотренных в п. 4 частных случаях второго основного случая с отрицательной 修，о которых там говорится: «Более подробное исследование, а также и опыт показывают, что в данном случае мы тоже всегда будем иметь дело с мгновенным самоторможением». Моя точка зрения на это заключается в следующем.

Опыт показывает, что в рассматриваемом случае самоторможение получается через очень короткий промежуток времени. Поэтому следовало бы поставить в большую заслугу теории, если бы она приводила к выводу, что тело внезапно останавливается.

Чисто дедуктивное рассуждение, которое исходит исключительно из уравнений движения твердого тела и кулоновых законов [уравнения (1)—(4) вместе с условием (卩)=士》 для %], большей или меньшей 0], не приводит к выводу,

R. von Mises, Zur Kfitik der Retbungsgeseize, там же, стр. 191.*

17 Зак. 1628. П. Пэнлеве

что тело внезапно или в короткий промежуток времени теряет отрицательную начальную скорость %[. Напротив, рассуждение, которое проводится на самом деле, скорее таково:

Для отрицательных %】не существует никакого решения заданных уравнений. Из опыта мы знаем, что наступает быстрое самоторможение. Таким образом, к уравнениям прибавляется допущение, что скорость 占 мгновенно теряется. Непосредственно ясно, что из этого получается. Именно, теперь нам приходится иметь дело с «начальным состоянием» %[ = 0, которое не представляет никаких трудностей.

Таким образом, результаты критики Пэнлеве и исследований Клейна могут быть сформулированы следующим образом.

«Если начальное состояние движения твердого тела таково, что принятие ку лоно вых законов трения где- нибудь приводит к отри нательному начальному значению нормального давления, а движение недопускает снятия тела с направляющей, то затруднение разрешается, если воспользоваться следующим заимствованным и з опыта положением: 8 каждом подобном случае наступает внезапное изменение скорости в такую сторону, что после этого изменения состояние движения дает повсюду положительное нормальное давлением.

Таким образом, Пэнлеве не прав, называя кулоновы законы «logiquement inadmissibles» (логически недопустимыми), он, однако, прав, утверждая, что эти законы в пределах механики твердого тела с чисто логической стороны нуждаются в дополнении,

С другой стороны, мнение, что для разрешения трудностей требуется лишь «истолкование кулоновых законов», повиди- мому, заходит слишком далеко. Это можно еще разъяснить при помощи следующих замечаний.

Механика, основные законы которой первоначально привел в систему Ньютон, а затем существенно дополнил Коши, введя понятие о напряжении, — эта механика стремится к следующей цели: дать такое представление явлений движения и равновесия, при котором все гипотезы, заимствованные из опыта, имеют определенную форму законов сил или законов напряжений. Эта цель, которая в механике твердого тела обычно считается уже достигнутой, требует в нашем случае,

чтобы формулированная выше гипотеза Клейна——Прандтля была заменена силовым законом, т. е. видоизменением ку лоно вых законов. Таким образом, не логика, но методология ньютоновой механики вынуждает нас отказаться от законов Кулона, Согласно обычной терминологии видоизмененный закон трения и следует как раз рассматривать как «объяснение» явления самоторможения ——явления, которое гипотеза Клейна——Прандтля принимает просто как факт. Пусть будет мне позволено высказать здесь в этом направлении два предложения, которые лучше, чем упомянутая гипотеза, соответствуют результатам опыта, поскольку они дают не мгновенное, но сколь угодно быстрое самоторможение.

Одно предложение исходит от Лекорню 】)，с которым согласен и де Спарр). Оно заключается в том, что при начале всякого движения коэффициент трения в первые секунды возрастает от нуля до того значения, которое согласно постулату кулонова закона существует во время всего движения. Ясно, что при соответствующем определении зависимости коэффициента трения от времени можно в каждом отдельном случае добиться сколь угодно точного совпадения с наблюдениями. Можно ли при этом достигнуть единообразного представления различных случаев, зависит естественно от результатов опытов и не может быть предсказано заранее. Во всяком случае это предположение вносит нечто вполне очевидное физически, если представить себе начало движения так, что тело только что поставлено на свою опору. В действительности могут быть, однако, случаи, в которых критическое начальное состояние возникает без всяких изменений в соответствующем месте прикосновения, например в результате снятия излишних связей. Для этих случаев можно иметь в виду и второе возможное представление, которое, пожалуй, может оказаться приемлемым и вообще.

Как известно, более точные наблюдения показывают, что коэффициент трения 卩 существенным образом зависит не только от скорости, но и от нормального давления^). Если зависимость между нормальным давлением 入 и силой трения 卩入 изобразить в декартовой системе координат, то в качестве

графического изображения кулонова закона мы получаем исходящую из начала и идущую в первом квадранте полупрямую С, поскольку знак при силе трения является уже заранее установленным (фиг. 1). Уравнение (5) или вообще исключение ускорений из уравнений стереокинетически определенного твер

дого тела также приводит к линейной зависимости между 入 и 衿入.Ее изображает прямая G, которая во всех интересующих нас случаях пересекает положительную сторону оси 火.Теперь из нашего чертежа видно, что всякий раз, когда прямая G поднимается вправо, при достаточно большом 俨 точка пересечения С и G дает отрицательное значение 入.Это затруднение устраняется, если вместо кулоновой прямой С взять кривую С* которая, выходя из начала, лежит целиком в первом квадранте и удовлетворяет условию

lim 学=0.

1 = 00 人

Таким образом, вместо введения гипотезы Клейна — Прандтля вполне достаточно так видоизменить закон трения, чтобы можно было сказать: коэффициент трения зависит от давления так, что он 6 пределе при 入=8 обращается 8 нуль,

Произведенные до сих пор экспериментальные исследования зависимости 出 от 入 не являются достаточными для того, чтобы можно было высказать суждение о допустимости вышеприведенной теории. Таким образом, как и для проверки пред-

ложения Лекорню, необходимо произвести опыты с явлением быстрого самоторможения; и здесь так же, как и там, успех предложения в конечном счете зависит от того, можно ли из опытов получить достаточно однообразное выражение для зависимости между 世 и 入? Во всяком случае я надеюсь посредством небольшого вклада в логическое разъяснение вопроса послужить также и практическим целям механики.

Г. ГАМЕЛЬ

ЗАМЕЧАНИЯ К СТАТЬЯМ Ф. КЛЕЙНА И Р. МИЗЕСА)

Относительно рассматриваемой задачи о трении мне хотелось бы сделать следующие замечания.

Мне представляется, что результаты Пэнлеве можно яснее всего формулировать следующим образом.

«Четыре гипотезы:

существуют абсолютно твердые тела,

нормальные давления между двумя твердыми телами никогда не могут быть отрицательными,

если все объемные силы конечны, то и все ускорения и напряжения тоже конечны,

справедливы кулоновы законы трения, в отдельных случаях могут находиться в логическом противоречии с основными законами общей механики». (Вообще говоря, гипотезы 1), 2) и 3) могут приводить к противоречию, как известно, даже тогда, когда не существует никаких трений, так как могут появиться бесконечно большие напряжения, в то время как ускорения в соответствующем случае остаются конечными. См. мою работу об основах механики, Mathema- tische Annalen, т. 66, 1908, гл. II, § 4, стр. 388.)

Клейн и Прандтль пытаются устранить противоречие тем, что они допускают бесконечные ускорения, т. е. внезапные изменения скорости. При этом для замены отпавшей аксиомы 3) им требуется вполне определенное допущение относительно этого изменения скорости. Но, как правильно заметил Мизес, это допущение требует существенно нового предположения, которое логически никак не вытекает из других гипотез.

Пэнлеве, Мизес и др. стараются, хотя и существенно различными способами, достичь цели при помощи изменения законов Кулона. Если Пэнлеве дает совершенно новое определение понятия трения, то Мизес изменяет только закон, вводя зависимость коэффициента трения от нормального давления. Однако я не думаю, что гипотеза Мизеса может быть проведена во всех случаях, хотя она и приводит к цели во всех известных примерах.

Мне кажется, что естественнее всего будет сделать то, что уже предложил Лекорню, а именно отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела. Ведь в действительности же абсолютно твердого тела не существует. Все результаты, полученные опытным путем, естественно вытекают из предположения податливости связей, точно так же, как при этом исчезает и парадокс бесконечно больших напряжений в случае систем без трения.

Впрочем, исходя из методических соображений, можно присоединиться к допущению Клейна и Прандтля, чтобы не быть вынужденным отказываться от удобной гипотезы абсолютно твердого тела. Во всяком случае с чисто описательной точки зрения она наиболее удобным способом представляет явления. Она представляет собой то, что в прегнантном смысле можно назвать прагматической условностью, но она не позволяет глубоко проникнуть в сущность явления.

Л. ПРАНДТЛЬ

ЗАМЕЧАНИЯ К СТАТЬЯМ Ф. КЛЕЙНА, Р. МИЗЕСА И Г. ГАМЕЛЯ)

Пусть будет позволено присоединить к предыдущему также и мое мнение. Если рассматривать как существенную задачу механики——возможно более верное изображение явлений, входящих в ее область, причем в интересах возможности достижения поставленной цели приходится вводить подходящие упрощения основных положений, то при обосновании механики мы должны прежде всего рассматривать тела как деформируемые (каковыми они в сущности всегда и являются) и затем в качестве упрощенного образа твердого тела ввести понятие об

Л. ПРАНДТЛЬ. ЗАМЕЧАНИЯ К СТАТЬЯМ Ф. КЛЕЙНА И ДР. 263 абсолютно твердом теле, которое можно получить из понятия твердого тела, приближая модуль упругости к пределу Е=8. В обычных случаях позволено сделать этот предельный переход уже в дифференциальных уравнениях, причем таким образом получаются общеизвестные удобные законы, относящиеся к абсолютно твердым телам; принимая во внимание получение этих законов прн помощи предельного перехода, не приходится удивляться, что в некоторых случаях решение становится неопределенным; простая рекомендация для подхода ко всем этим случаям, это ——подождать с предельным переходом до получения результата, иными словами, до выполнения интеграции. Только в том случае, когда и этот путь привел бы к неопределенному ответу, можно было бы сказать, что поставленный вопрос теряет свой смысл для абсолютно твердого тела. Путь, которым идут при исследовании так называемых статически неопределенных задач, как раз соответствует данному здесь общему указанию.

Точно так же следует действовать и при решении нашей задачи. Как оказывается, вполне достаточно рассматривать соединяющий обе массы стержень как упруго растяжимый, считая, впрочем, его не имеющим массы. Теперь мы получаем уже две степени свободы и, принимая законы Кулона, можем для любых начальных условий получить однозначное реше^ ние лишь с конечными ускорениями.

Для отрицательных импульсов мы получаем очень быстрое обращение движения; если мы перейдем к пределу Е = оо (абсолютно твердый стержень), то в качестве предела этого последнего движения мы получим мгновенное самоторможение.

В вышеприведенных высказываниях Мизеса и Гамеля речь идет о ^гипотезе» мгновенного самоторможения. В противо* положность этому я подчеркиваю, что в этом случае можно говорить лишь о результате, полученном при помощи предельного перехода.

Исследование упругих систем дает, вообще говоря, нечто большее: оказывается, что из двух возможных движений, которые дает для положительных импульсов обыкновенная теория, одно, а именно ускоренное, будет устойчивым, а другое, замедленное, будет, наоборот, неустойчивым. В пределе мы получаем бесконечно большую неустойчивость, так что спокойно можно сказать, что это второе движение является практически невозможным. Тем самым постулат однозначности

движения сохраняется и для предельного случая абсолютной твердости. Однако можно считать установленным, что нельзя никоим образом выставлять логических сомнений против кулоновых законов.

Движение нашей упругой системы было по моему поручению подробно исследовано Пфейфером. Его работа появится в ближайшем выпуске зтого журнала.

Ф, ПФЕЙФЕР

К ВОПРОСУ О ТАК НАЗЫВАЕМЫХ КУЛОНОВЫХЗАКОНАХ ТРЕНИЯ)

Нижеследующие рассуждения находятся в непосредственной связи со статьями Клейна и Прандтля в последнем выпуске этого журнала; их цель исследовать точнее рассмотренную Клейном в его статье динамическую задачу и показать, как при помощи полученных нами результатов можно наглядно объяснить представляющиеся с первого взгляда парадоксальными результаты постановки задачи непосредственно для абсолютно твердого тела)

Речь идет о следующей задаче. Две материальные точки с массами тх и /па связаны стержнем, массой которого можно пренебречь. Обе материальные точки могут двигаться по двум параллельным прямолинейным направляющим, причем направляющая для 加1 обладает коэффициентом трения », а направляющая для 加а абсолютно гладкая. На материальную точку 加纟 действуют лишь реакции стержня и направляющей, а на n1V кроме них и силы трения, действует еще вдоль направляющей сила Стержень является несколько упругим при растяжении или сжатии, все же остальные части системы предполагаются абсолютно жесткими. При помощи длины / соединяющего стержня в ненапряженном состоянии и расстояния между обеими направляющими определяется угол а, образуемый стержнем с направляющими. (Мы при этом огра-

ничиваемся случаем а < ^; случай а > -^ не дает никакой существенной разницы.） В дальнейшем исследуются движения системы при заданных начальных условиях и, в частности,

рассматриваются предельные переходы движения упругой системы при неограниченном возрастании модуля упругости стержня.

СОСТАВЛЕНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ

В качестве оси х выбираем направляющую прямую точки 加丄；пусть сила 乂 постоянно действует в положительном направлении оси х. В качестве оси у выбираем прямую, образующую угол а с положительной осью х; пусть абсциссы обеих материальных точек будут %〔 и ха. Напряжение в соединительном стержне мы обозначим через 入;пусть положительные значения 入 соответствуют сжимающим усилиям, а отрицательные — растягивающим. Пусть 0 будет увеличение угла стержня с направляющими, вызванное упругой деформацией стержня. В таком случае дифференциальные уравнения движения будут:

加］*1 = 乂 一入 cos （a 十 0）-入（出）sin （a 十 0）,

加/g =入 cos （a + 0）,

причем （卩）=± 卩.

При этом знак （出）нужно определить так, чтобы прц %#Q 6bWQ.

MQ%〉Q・

Если упругая деформация стержня настолько незначительна, что мы можем пренебречь величиной sin 0 = 0 и положить cos р = 1, то путем вычитания одного уравнения из другогоЕсли упругая деформация стержня настолько незначительна, что мы можем пренебречь величиной sin 0 = 0 и положить cos р = 1, то путем вычитания одного уравнения из другогомы получим:мы получим:ПоложимПоложим入=点入=点и введем обозначениеи введем обозначениегде \ — упругая постоянная, имеющая очень большое положительное численное значение; если мы возьмем 入 в качестве новой переменной, то получим для 入 такое дифференциальное уравнениеX =~ — “ f———cos а -|— (у) sinМы ограничимся тем, что рассмотрим случай круто поставленного стержня, для которого/ 1 , 1 \.cos а < ——sin а,' % ' rn2丿'где \ — упругая постоянная, имеющая очень большое положительное численное значение; если мы возьмем 入 в качестве новой переменной, то получим для 入 такое дифференциальное уравнениеX =~ — “ f———cos а -|— (у) sinМы ограничимся тем, что рассмотрим случай круто поставленного стержня, для которого/ 1 , 1 \.cos а < ——sin а,' % ' rn2丿'так как случай полого поставленного стержня:так как случай полого поставленного стержня:(-L + J-)cosa> JL,sina(-L + J-)cosa> JL,sinaне представляет никаких особенностей даже при непосредственном предположении абсолютной твердости тел. Точно так же в дальнейшем мы не будем рассматривать предельное положение стержня, для которогоне представляет никаких особенностей даже при непосредственном предположении абсолютной твердости тел. Точно так же в дальнейшем мы не будем рассматривать предельное положение стержня, для которого11J-)cosa = J-,sina.加2/加1J-)cosa = J-,sina.加2/加1При помощи сокращенных обозначенийПри помощи сокращенных обозначений

Если упругая деформация стержня настолько незначительна, что мы можем пренебречь величиной sin 0 = 0 и положить cos р = 1, то путем вычитания одного уравнения из другого

Если упругая деформация стержня настолько незначительна, что мы можем пренебречь величиной sin 0 = 0 и положить cos р = 1, то путем вычитания одного уравнения из другого

мы получим:

мы получим:

Положим

Положим

入=点

入=点

и введем обозначение

и введем обозначение

где \ — упругая постоянная, имеющая очень большое положительное численное значение; если мы возьмем 入 в качестве новой переменной, то получим для 入 такое дифференциальное уравнение

X =~ — “ f———cos а -|— (у) sin

Мы ограничимся тем, что рассмотрим случай круто поставленного стержня, для которого

/ 1 , 1 \.

cos а < ——sin а,

' % ' rn2丿'

где \ — упругая постоянная, имеющая очень большое положительное численное значение; если мы возьмем 入 в качестве новой переменной, то получим для 入 такое дифференциальное уравнение

X =~ — “ f———cos а -|— (у) sin

Мы ограничимся тем, что рассмотрим случай круто поставленного стержня, для которого

/ 1 , 1 \.

cos а < ——sin а,

' % ' rn2丿'

так как случай полого поставленного стержня:

так как случай полого поставленного стержня:

(-L + J-)cosa> JL,sina

(-L + J-)cosa> JL,sina

не представляет никаких особенностей даже при непосредственном предположении абсолютной твердости тел. Точно так же в дальнейшем мы не будем рассматривать предельное положение стержня, для которого

не представляет никаких особенностей даже при непосредственном предположении абсолютной твердости тел. Точно так же в дальнейшем мы не будем рассматривать предельное положение стержня, для которого

1

1

J-)cosa = J-,sina.加2/加1

J-)cosa = J-,sina.加2/加1

При помощи сокращенных обозначений

При помощи сокращенных обозначений

丄 +丄)cos。4 丄zina = d,

丄гina 一（丄4丄гina 一（丄4

丄гina 一（丄4

丄гina 一（丄4

получаем дифференциальное уравнение для 入 в виде

入〃 =у〃 一 Ud или 入〃 =丫〃 + “/

в зависимости от того, будет ли (步)равно + 1 или — 1.

Общие решения этих дифференциальных уравнений таковы :

入=^ + 4 sin £ J yd 十 242 cos £ ]Л W = Хр 入=—у + В^ г^+ В^ у^ = хп,

где Др &, 5[, % суть произвольные постоянные интеграции. Так как при сделанных предположениях относительно р

% =——cos a,2烧2

то при начальных значениях х2 = ха> 0 и х2 — %以 0 для /= О мы получим для скоростей и абсцисс обеих материальных точек следующие выражения в каждом из обоих рассматриваемых случаев:

а) Для 入=%

• cos a /aXn = I —加2 ' &• cos a /aXn = I —加2 ' &cos tY ^d-^- V 3cos tY ^d-^- V 3”2”2sin 土]/\d + -^^ + %2, o.sin 土]/\d + -^^ + %2, o.(2а)(2а)X] = Xg 卄X] = Xg 卄4 yz〃 I4 yz〃 Icos tV、d —，2-乜& sin t УW,cos tV、d —，2-乜& sin t УW,44sin / }/\d 十& cos t У vd、sin / }/\d 十& cos t У vd、

• cos a /a

Xn = I —

加2 ' &

• cos a /a

Xn = I —

加2 ' &

cos tY ^d-^- V 3

cos tY ^d-^- V 3

”2

”2

sin 土]/\d + -^^ + %2, o.

sin 土]/\d + -^^ + %2, o.

(2а)

(2а)

X] = Xg 卄

X] = Xg 卄

4 yz

〃 I

4 yz

〃 I

cos tV、d —，2-乜& sin t УW,

cos tV、d —，2-乜& sin t УW,

4

4

sin / }/\d 十& cos t У vd、

sin / }/\d 十& cos t У vd、

b) для 入=入口

/ = & 一 £+*ё，皆干今产吋

Нужно применять первую или вторую из этих систем формул в зависимости от того, будет ли (冲)=十俨 или (卩)=一卩.

Четыре случая движения упругой системы для растягивающего и сжимающего усилий в стержне при хх> 0 (вправо) и хг < 0 (влево) сопоставлены с соответствующими значениями Q) и 入 в следующей таблице:

Сжатие 入>0

Растяжение 入C0

Движение вправо

(№)= +*

(出)=一出

五>0

入=入］-

入=%

Движение влево

⑴=一2

(n)=+出

北C0

入=入口

入=入］

с) В отдельности нужно рассмотреть случай движения системы при покое точки % (он, например, получается, ки1да скорость точки 仰 уничтожается трением о направляющую). В таком случае при наших предположениях о малости угла 0 получается для определения движения т9. следующее

уравнение:уравнение:%2%2入 COS а加2入 COS а加2v cos а—抗2v cos а—抗2(%1 - &),(%1 - &),

уравнение:

уравнение:

%2

%2

入 COS а

加2

入 COS а

加2

v cos а

—抗2

v cos а

—抗2

(%1 - &),

(%1 - &),

где %] есть постоянная абсцисса точки 7nl. Если Сх и С2 — две произвольные постоянные интеграции, то

& =修十&siruj Т(2c)

II. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ

В зависимости от начальных условий, иными словами, от численного значения и знака величин 入，入 и 修 при / = О, движения упругой системы могут быть очень разнообразными.

Приведем здесь некоторые типические случаи движения, для которых мной были проведены вычисления, и проиллюстрируем их чертежами, не приводя самых числовых выкладок, которые слишком пространны.

Были выбраны следующие числовые значения:

а = 76°, Х1 = 200「а = 76°, Х1 = 200「60 Г • се®300「• 0«乂2

а = 76°, Х1 = 200「

а = 76°, Х1 = 200「

叫=灰TFT-，加分 = 丽Г0м ，

y = 1000 -^» ,世=0,5.

При этом получается:При этом получается:d= 12,68d= 12,68см7^7^см7^7^}Л^= 112,6 士，}Л^= 112,6 士，/= 3,18/= 3,18смГ ・ се®смГ ・ се®М斤=56,4 左.М斤=56,4 左.

При этом получается:

При этом получается:

d= 12,68

d= 12,68

см7^7^

см7^7^

}Л^= 112,6 士，

}Л^= 112,6 士，

/= 3,18

/= 3,18

см

Г ・ се®

см

Г ・ се®

М斤=56,4 左.

М斤=56,4 左.

Начальное движение вправо с о сжатым с тержнем.

а) Если мы выберем такие начальные условия:

% ^^ 0, %], о ^23 °，5 CMf 尤q, ° = 0,力1, о ^^ %2, о 30

то постоянные интеграции в формулах (2а) получают значения:Л^ = 0, Ла = 242.

При таком выборе начальных условий величина 入 все время остается положительной, стержень все время сжат. Точки т1 и /п? кроме ускоренного движения вправо

270270Дискуссий

270

270

совершают очень быстрые незатухающие колебания (фиг. 2). Для ха в результате наложения очень малых колебаний на параболу получается кривая без точек перегиба, очень мало отклоняющаяся от параболы.

0) Для начальных условий

'^^ °’ ％1, о ^1 °，5 см, %2, о == °，尢1, о ==尤2, о == 1° ~сёк

постоянные интеграции 4] и 4纟 сохраняют те же значения, что и выше, величина 入 все время остается положительной, но %] очень скоро становится равной нулю. В результате точка /П[ очень быстро останавливается; после того как она снова получает ускорение, происходит колебательное движение того же типа, что и в пункте а) (фиг. 3).

Т) Другой тип движения мы получаем для начальных условий

£ = 0,%], ° = 0,5 см,无2, о = О, %], о=1О -^-,

В этом случае происходит переход движения со сжатым стержнем в движение с растянутым стержнем даже раньше обращения х± в нуль; движение продолжается таким образом, что при попеременном растяжении и сжатии стержня обе точки идут вперед, как это показано на фиг. 4.

При еще большей разнице в скоростях, как, например, для начальных условий

£= °, %i, о = °，5 см у %2, о = °，％i, о=1° ^^，%2, 0 = 9° ^^， после однократного изменения напряжения в растяжение последнее уже не переходит в сжатие; при возрастании растяжения точка 俏[очень скоро останавливается. На фиг. 5 изображено движение до этого момента; затем при покоящейся точке /П[ точка 加纟 совершает колебание, после чего продолжается движение вправо аналогично изображенному на фиг. 6.

Начальное движение влево с о сжатым стержнем.

В данном случае при начальных условиях

£=0, %i,o=%2, о = °，%1, о = %2, о = — ^^ сёк

Фиг. 5.

сначала происходит движение обеих материальных точек влево со сжатым стержнем соответственно формулам (2Ь). Нарастание сжатия в стержне вызывает в результате возросшего трения о нижнюю направляющую очень быстрое прекращение движения точки %; при ^== 0,0196 сек скорость %[ = 0 (фиг. 6). Для дальнейшего движения /па при

неподвижной течке 加〔справедливы формулы (2с). При t= 0,0680 сек абсцисса точки 仰 достигает минимума, после чего начинает увеличиваться. Уменьшение сжатия в стержне приводит к тому, что при t = 0,1210 сек точка т1 снова начинает двигаться (%；：> 0)〔)； начиная с этого момента, мы имеем %[ > 0,入 > 0, так что приходится пользоваться формулами (2а) вплоть до момента обращения 入 в нуль (прй / = 0,1239 сек). Для этого момента вычисляются значения %] = %2，xt и ха и дальнейшее движение при 入 <；0, xt > 0 определяется формулами (2Ь), пока х^ не обратится в нуль при £ = 0,1455 сек, после чего происходит колебание точки 加@

1) При этом коэффициент трения покоя тоже берется равным 0,5.

]8 Зак. 1628. П. Пэнлеве

при неподвижной точке /пР В момент ^ = 0,2298 сек начинается одновременное движение и /п・； это движение при х0 > 0, Л < 0 продолжается до £ = 0,2380 сек, после чего происходит опять движение впоаво при сжатом стержне с остановкой тг от / = 0,2456 до / = 0,3460 сек. В момент /=0,3488 сек изменения знака усилия вычисление дает для 入,％i и %2 значения, лишь очень маао отличающиеся от соответствующих значений для £ = 0,1239 сек, так что можно допустить, что движение продолжает идти вперед, повторяясь и не затухая, а разницу, пожалуй, следует приписать неточности рэзультатоз, по7ученных на счетной линейке. При вычислении дальнейшего движения с xt > 0,入 < О в момент / = 0,3701 сек мы получаем xt = 0, а при t = 0,4077 сек максимум для ха.

Начальное движение вправо с растянутым стержнем.

Движение подобного рода имеет место в уже разобранных случаях в момент / = 0,1239 сек\ оно начинается с такими начальными значениями:

%i,o = *2,o = — 1,2104 с龙，х1 () = 4,655 ^^,% = 98，。9 農

Начальное движение влево с растянутым стержнем.

Подобного рода движение, соответствующее начальным условиям

'=°, %1, 0 =0,5 СМ, %2, о = °， *〔，о = *2, о = —~"^5° ^^，

изображено на фиг. 7; его расчет производится при помощи формул (2а), пока при / = 0,0108 сек с изменением знака усилия в стержне не начнется движение влево со сжатым стержнем; это движение, соответствующее значениям

х^ — х^ = —0,559 см, %[ = — 52,778 ^^,

х2 = — 81,978 ^- при t = 0,0108 сек,

в существенных чэртах схоже с движением, разобранным в п. 2.

Значению ^ = 0 при t = 0,0230 сек соответствуют значения jq = — 0,9090 с儿，f = — 1,5487 см и 右=―-79,74 親.

Важные частные решения.

а) Наряду с разобранными движениями при произвольных

Фиг. 7.

начальных условиях исследуем ещг два важных части ых решения дифференциальных уравнений д/ы 入 и соответствующие им движения системы. В случае 入看〉0, т. е. при

入=瓦=^ 十 & sin £ }/4d 十 а? cos t 丿W,

при помощи подходящего выбора начальных условий получается решгние, представляющее частный случай общего решения для Лг — 0 и Л2 = 0. Конечно, это частное решение возможно лишь для %] > 0,入〉0, но не для х1 < 0, Л < 0, так как 入=^ — величина положительная. Таким образом, среди движений упругой системы вправо со сжатым стержнем существует одно такое, для которого 入 во все а

время движения имеет постоянное значение 可 в то время как для движения влево с растянутым стержнем не существует ни одного движения, для которого величина Л не зависела бы от времени. При этом особом движении кривые, выражающие 七 и 七 в функции Л суть параболы, ординаты которых имеют постоянную разность $ =—.

§) Совершенно аналогично для 入/ < 0, т. е. для

人=Ап =一，十当/"+当l"工

час тное решение с 3, = 0, % = 0

人"=一广

возможно только для х1(> О, X < 0, но не для %1Vl0,入〉О.

Таким образом, среди движений упругой системы вправо с растянутым стержнем имеется одно движение с постоянным значением 入，в то время как среди движений влево даже для сжатого стержня нет ни одного, для которого 入 не зависело бы от времени.

Из этих двух особых движений с х1 > 0 первое^ для которого

есть равномерно ускоренное движение с ускорением

•••• сое а • qХ.~х^=—•••• сое а • qХ.~х^=—COS а • Q^（靑+寻^十焉出加力COS а • Q^（靑+寻^十焉出加力

•••• сое а • q

Х.~х^=—

•••• сое а • q

Х.~х^=—

COS а • Q

^（靑+寻^十焉出加力

COS а • Q

^（靑+寻^十焉出加力

(фиг. 8), второе же, для которого

—равномерно замедленное движение с ускорением

••••cos а • acos а • а

= ”2 = —询п ：/ 1 . 1 \ Г

加2 ——Р- SIH а —COS а

(фиг. 9).

6. Движения, приближающиеся к равномер- н о замедленному движению.

Рассмотрим еще два движения, для которых начальные условия лишь очень мало отличаются от тех, которые приводят к замедленному движению, рассмотренному в п. 5, 0).

а) Если положить для 方=0

%i, о — 0, х2 о=1,05 см, %i, ° = %2, о=1°° сёк 9

то получается движение, которое от рассмотренного замед・ ленного движения отличается только тем, что по мере возрастания растяжения движение точки т1 постепенно прекращается, причем получившееся при этом движение имеет вид изображенного на фиг. 10.

Если для 方=0

х1, 0 = °， ％2, 0=1，°1 °" %1, О = %2, 0 = 1°0 ^7，

то движение отличается от равномерно замедленного тем, что здесь происходит изменение знака усилия, а затем движение продолжается при поочередной смене растяжения и сжатия (фиг. 11). Оба эти приближающиеся движения уже заставляют признать равномерно замедленное движение неустойчивым.

ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫС УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ

Полное обозрение всех движений упругой системы будет осуществлено, когда мы сможем указать, как будет далее протекать движение при каждой возможной тройке началь* ных значений 入°,尢，х1>0. (Здесь, как и во всем последую*

Фиг. 10.

щем, индекс показывает, что дело идет о значениях 入，人，Xi при 方=0, т. е. в начале движения.) Движения будут получаться различного рода в зависимости от того, будут ли 入 и %] во время движения сохранять знак 入° и соответственно 五,о или нет; если они обращаются в нуль, то для характера движения существенно, какая из величин:入 или xv раньше обращается в нуль.

Вопрос о том, при каких начальных значениях могут получиться изменения знака 入,а следовательно, и знака усилия, и при каких нет, требует для своего решения, чтобы для движений с хъ 0 > О, Хо > 0 и с 修,о<О，入о V。было установлено, имеет ли уравнение

О = ^ + A1sin / j/\d + 厶 cos tV、d

положительный корень, и если да, то при каких значениях Ар 势2； 〃”* %i,o〉O，入о < О и n〃" ％i, о<О，入о>О следует установить, будет ли уравнение

0 = - ^十Bj "行十""

удовлетворяться положительным значением t, и если да, то для каких значений В1? В2. В обоих случаях проще всего истолковать At и Л3, а также и Bt и В2 как координаты точек в прямоугольной системе координат на плоскости, затем всякий раз сначала ставить вопрос о точках, для которых изменение знака усилия наступает одновременно. В случае уравнения

О =今 + A1sin f J、d + 与 cos £ 丿位

мы получаем в качестве геометрического места точек, для которых sin tysd = const = С, прямую

o = 2 + W+M

и если мы будем давать С все значения — 1《С《1, то семейство полученных таким образом прямых перекроет ту часть плоскости, точки которой имеют своими координатами значения &, Л3, которым может соответствовать нзме・

нение знака усилия. Огибающая этих прямых есть круг

#+ & =先

для пары координат каждой точки, не лежащей внутри этого круга (если отвлечься от периодических повторений), существуют два корня £》0 уравнения

0 = 2 十 4 亙11 % /З + 冯 cos t |Л、d.

Применим теперь эти результаты к начальным значениям 入о и 人°. По формулам (1) мы имеем соотношения:

入0=今+ 4，4 =入0 -}

入 0 ■^^ “d i4*£ 9入 0 ■^^ “d i4*£ 9

入 0 ■^^ “d i4*£ 9

入 0 ■^^ “d i4*£ 9

Таким образом, плоскость 入°, % разбивается на части эллип- сом

(入о-g) +4=(入о-g) +4=公.凉;公.凉;

(入о-g) +4=

(入о-g) +4=

公.

凉;

公.

凉;

прямые

。=^+0务+me（人。一幻

являются касательными к эллипсу и дважды перекрывают область, находящуюся вне эллипса, с включением граничной кривой (фиг. 12).

Для каждой пары начальных значений 入°,入°, которая соответствует некоторой точке, не лежащей внутри этого эллипса, может 8 течение движения произойти изменение знака усилия 8 стержне, соединяющем обе материальные точки.

Аналогичным способом мы поступаем для определения значений 3「 В2, для которых существуют корни £»0 уравнения:

0 = — ? + 当 J Н^+ А*-"7 •

Прямые плоскости, координаты 当，В2 точек которых дают одни и те же значения t, определяются уравнением

0 =一戸+ се +方马，

где。》1. Огибающая этих прямых для любого значения Сг есть гипербола

45危=充

Так как мы рассматриваем только значения С'》1, то пары

Фиг. 12.

значений Вх и &，Для которых вышеприведенное уравнение может иметь корни £》0, соответствуют только области, перекрытой теми касательными, для которых С'》1・

282282дискуссий

282

282

Для перенесения на плоскость 入°, л0 служат следующие соотношения, получающиеся из формул （1）:

人。= _/ + %+%鸟=^（%+；+备），

%=m牙（修一冬），%=2人。十/一書）；

как можно видеть из фиг. 13,как можно видеть из фиг. 13,это перенесение дает область, ограниченную половиной ветви гиперболы

как можно видеть из фиг. 13,

как можно видеть из фиг. 13,

（人。

и прямыми

入 0 ——： 0и

В этом случае только часть области перекрывается касательными вдвойне.

Для каждой пары начальных значений 入^ и л0, соответствующей точкам, не лежащим вне области,

отмеченной сательнымиотмеченной сательнымина фиг. 13 ка- к гиперболе,

отмеченной сательными

отмеченной сательными

может 8 течение движеможет 8 течение движения получиться изменение знака усилия. Мы говори-

может 8 течение движе

может 8 течение движе

Фиг. 13.ли о том, что для опреде

ленных указанным образом пар значений 入° и Хо может получиться изменение знака усилия. Это изменение знака действительно наступает и именно в тот момент, который соответствует наименьшему из имеющихся положительных корней 玄 уравнения 入=О, если только для соответствующего движения xt не обратится в нуль раньше чем 入.Поэтому прежде всего нужно

было бы все начальные значения 入°,入°,修,0 подразделить на такие, для которых *工 обращается в нуль для £》0, и на такие, для которых это не имеет места. Однако эта задача не может быть так просто решена в общем виде, как только что разобранная.

Существенное различие заключается в том, что, согласно обеим формулам

+ （"—詈）（舍 8SW6—含 SEW 万一含）+ %

И

十等十川善产彳一舟

величина хх зависит от трех параметров:入°,入°, х1>0, так что для различных значений 匕,0 необходимы различные диаграммы на плоскости 入°,尢.Во всяком случае построение диаграммы для одного какого-нибудь %卜 0 не представляет никаких принципиальных трудностей; линии ^= const, будут опять прямыми, а их огибающая будет в данном случае некоторой трансцендентной кривой. При переходе от одного значения 尤乙 ° к другому каждая прямая испытывает только параллельное перенесение.

Если для какого-нибудь определенного %，° мы построили обе соответствующие диаграммы и, кроме того, диаграммы фиг. 12 и 13, то мы пользуемся этими диаграммами так.

При помощи фиг. 12 и соответственно фиг. 13 определяют, в какое время, если это имеет место,入 обращается в нуль при заданных начальных значениях 入° и 入°. Сопоставляя это с соответствующей диаграммой для 尤卜。，можно определить, обратится ли для данной пары значений 入°, X。 величина х1 в нуль ранее чем 入 или нет. Таким образом, можно найти, в какой момент, если это имеет место, движение изменяет свой первоначальный характер. Для этого момента придется в данном случае вычислить значения

入，入 и %] и тогда, используя эти значения как начальные, можно проследить движение дальше, пока оно снова не изменит своего характера. При этом для нового 修,。，если оно не равно нулю, потребовалась бы опять новая диаграмма; если же оно равно нулю, то следует применить формулу (2с) стр. 271. Конечно, для действительного выполнения исследования упругой системы с определенными наперед заданными постоянными %,加1，加2，夕，卩，у выгоднее применять диаграммы только для определения возможного изменения знака напряжения, а затем уже исследование, когда / может обратиться в нуль, производить при помощи вычисления.

Частные примеры движений, которые были разобраны нами в разделе II, позволяют видеть, какое многообразие возможных движений должно учитывать проведенное в наиболее общем виде исследование для случая упругой системы.

СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩИ УПРОЩАЮЩИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ y

Теперь мы специализируем исследование и ограничимся тем, что для каждой тройки конечных начальных значений 入°,人°, %i, ° исследуем соответствующие движения таких упругих систем, для которых у имеет настолько большое числовое значение, что выполняются некоторые, обусловливающие характер движения требования, с которыми мы в дальнейшем познакомимся для каждого отдельного случая. Если при этом будет показано, что для каждой тройки конечных начальных значений 入°,入°,也。существует некоторое значение y = N, обладающее тем свойством, что эти требования выполняются также для всех значений、〉N、 то выгода намеченной специализации (не говоря уже об упрощении исследования) заключается в том, что характер движения, найденный для одного такого значения 丫〉N, будет наверняка иметь место для всех систем со значениями v > N. При этом, конечно, нужно иметь в виду, что мы оставляем вне поля зрения большое количество движений, являющихся возможными для заданных начальных значений в упругих системах с у < М мы можем, однако, это сделать, поскольку основной целью нашей работы является определение пре*

Ф. ПФЕЙФЕР. К ВОПРОСУ О КУЛОНОВЫХ ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ 285 дельных движений, к которым, как мы покажем, приближаются движения и упругой системы при бесконечном возрастании Y.

Мы подразделяем всю систему начальных значений 入° 儿，Х[,о на 4 группы (ср. таблицу на стр. 272):

1-я группа включает все начальные значения

Хо > О, Хо любое, %[,о〉О,

2-я группа включает все начальные значения

入о < 0，又о "©бое,占,0 > 0,

3-я группа включает все начальные значения

Хо > 0,儿 любое, *1,о V 0,

4-я группа включает все начальные значения

Хо < 0,儿 любое, %1,о<О・

Случаи 入о = О, Хо любое,七 口片。мы рассмотрим отдельно. Случая х1>0 = 0 мы касаться не будем.

1-я группа: Хо > 0, %i,o〉O.

Пользуясь диаграммой фиг. 12, на которой к данной группе относится область, расположенная справа от оси 入°, мы подразделяем начальные значения нашей группы на:

такие, для которых 0 < Хо < —,入° любое;

такие, для которых Хо> —,入° любое.

К подгруппе а). Задача заключается в том, чтобы для каждой тройки значений 入°,入°, х1>0, принадлежащей категории а), определить ход движения упругой системы при упомянутом выше ограничении значений \. Это ограничение состоит прежде всего в требовании, чтобы 、было настолько велико, чтобы точка с координатами 入°,入° лежала внутри эллипса

Этому требованию удовлетворяет каждое 丫 > М，те

Для скорости %] массы % во время движения мы имеем уравнение

笺产臂戸+(-若)X

X 偿 COS t 丿⑦ ^X Sin t 丿⑦—紛 + E,o； (3) второе наше требование состоит в том, чтобы выбрать 丫 настолько большим, чтобы хх не могла обратиться в нуль для / > 0. Так как значения второго члена правой части уравнения (3) лежат между двумя пределами, которые могут быть как угодно сближены при возрастании » то можно найти такое значение v = ^, что для каждого 丫 > М скорость %] наверняка не сможет обратиться в нуль при / >0.

Если теперь мы выберем y > N, где N есть наибольшее из обоих значений М и Ng, то для упругой системы с таким у движение при заданных начальных условиях будет таким, что в течение его не наступит ни изменения знака усилия в стержне, ни остановки точки % (когда 修=0).

Для каждой тройки значений группы 1а) движение упругой системы с 丫〉N, где ^ само зависит от 入°, Хо, %[,о，сколь угодно большое время продолжается вправо без изменения знака усилия 8 стержне.

Характер такого движения изображен на фиг. 2. На фиг. 14 изображено изменение давления для начального значения 0<\)<^； при этом (как это ради простоты сделано и на всех последующих чертежах) положено % = 0, кроме того, мы даем лишь чисто качественное изображение изменения усилия.

К подгруппе Ь). При начальных значениях 入о》*， х1>0 > 0 и произвольном Xq может согласно фиг. 12 полу-

читься изменение знака усилия: оно в действительности имеет место для упругой системы с настолько большим % что xt обращается в нуль позже, чем происходит изменение знака усилия. Это наверняка имеет место для всех систем с %»〉N,

где для y = N скорость xt не обращается в нуль при / > 0. Таким образом, для всех начальных значений группы 1Ь) у всех упругих систем с установленным указанным способом y происходит изменение знака ус〃4〃兄；характер подобного движения показан на фиг. 4 прежде всего на участке от начала до первого пересечения кривых для %]

движениедвижение

движение

движение

продолжается, начиная от точки изменения знака усилия. Точно так же позднее мы познакомимся с ходом изменения напряжения; на фиг. 15 он изображен только для предель- ного случая л0 = —.

2-я группа: к0 < О, Xi,。〉。，Хо любое.

И в этом случае мы разделяем начальные значения на две подгруппы:,

такие, для которых -7<^о<О,入。любое и 入0 = - У，又0〉О；

такие, для которых 入° V — 4» 入о Л1°бое и 入° =—子, Х0<0./'

Случай 入о = — у,入о = О мы рассмотрим в отдельности.

К подгруппе а). Мы опять предполагаем упругие системы с настолько большим 丫，что точка с координатами л0, Хо лежит внутри области (фиг. 13), в которой может получиться изменение знака усилия. Для 八》。это имеет место для каждого % для 入0Vo мы должны иметь:

Для каждой тройки начальных значений в этой области скорость определяется формулой

入 II 入 0

•cos а а , . /cos а । A / 1疗 丄”；

看=+h/ U/?寸.e内引一

废2 /\切2/' 2 y^f

В связи с этим для каждой тройки значений 入°,入°, х1>0 мы можем выбрать 丫 настолько большим, что 修 еще будет положительным для значения t = ―— , при котором насту- пает изменение знака усилия.

Для всех упругих систем с таким、с начальными значениями группы 2а) движение происходит при растя- г ивающем усилии вплоть до момента £=£, когда 入 обра-

щается в нуль. Характер такого движения показывает фиг. 11 от / = 0 до / = 0,0821 сек. Дальнейшее течение мы исследуем более подробно позже.

К подгруппе Ь). Из фиг. 13 непосредственно вытекает, что при всяком V, для которого выражение

入。 +乌十矍

0 / W

отрицательно, начальные значения 入°, Хо обусловливают движение без изменения знака усилия и из вышеприведенной формулы для X] получается, что для каждого такого 丫 в течение движения %] принимает значение нуль.

Для каждого м, удовлетворяющего этому требованию при тройке значений группы 2Ь), движение идет при растягивающем усилии до тех пор, пока масса mt не остановится, после чего движение приобретает иной характер (ср. фиг. 10).

Растягивающее усилие в стержне возрастает от значения 入° по закону показательной функции.

Особый случай 入° = —у, Ао = 0, х1>0> 0, приводящий к равномерно замедленному движению при постоянном растягивающем усилии 入=—у (фиг. 9), мы уже разобрали на стр. 280. Теперь мы совершенно отчетливо видим, что это движение является неустойчивым} это замедленное движение соответствует единственной точке 入° = — у, ^0 = ® нашей плоскости 入°, %; каждой паре значений, принадлежащей соседней точке, соответствуют движения группы 2а) или 2Ь) — движения совершенно другого рода, чем равномерно замедленное движение.

3-я группа:入 0>О, Хо любое, xt < 0.

Для этой группы движение происходит влево без изменения знака усилия при %》0 всегда, а при 入。< 0 — тогда, когда м удовлетворяет условию

/Л\2 Xq @2

(大o + f)一守一戸〉0；

]9 Зак. 1628. П. Пэнлере

добавим, что при только что сделанных предположениях xt всегда обращается в нуль для некоторого значения £>0.

Таким образом, при 入°》。 для каждой, упругой системы, 〃 при 入° V 0 для упругой системы с достаточно большим y мы получаем движение влево с возрастающим по показательному закону сжатием до тех пор, пока трение не остановит движение массы %.

После остановки 加】получается колебание массы /п? и затем обращение движения в идущее направо, как это изображено на фиг. 6. (На ней выбраны Хо = 0, Хо = 0, что, как мы уже увидим, ничего не меняет в характере движения.) 4-я группа:入о < 0, % любое, х1>0 < 0.

Из фиг. 12 видно, что для каждой тройки значений этой группы может произойти изменение знака усилия при £>0. Теперь остается только выбрать 、 настолько большим, чтобы для момента наступления первого изменения знака усилия скорость 尤［была еще отрицательной, что согласно уравнению (3) всегда является возможным.

Для упругих систем с таким 丫 во время движения влево с начальным растягивающим усилием 8 стержне 6 некоторый момент действительно происходит изменение знака усилия} ход движения после этого изменения мы разберем позднее (ср. также фиг. 7).

Теперь мы должны еще определить движения, которые соответствуют начальным значениям 入° = 0, а 入° и х1>0 произвольны; они сопоставлены в следующей таблице:

入0 =。"(入0 =。"(入о》。一движение вправо со сжатием до изменения знака усилия, 儿 < 0 — движение вправо с растяжением до изменения знака усилия, 入о》°—движение влево со сжатием до %i = 0, Хо < 0 — движение влево с растяжением до изменения знака усилия.

入0 =。"(

入0 =。"(

При этом для двух первых и последнего из четырех случаев опять имеется условие, что мн ограничиваемся упру-

Ф. ПФЕЙФЕР. К ВОПРОСУ О КУЛОНОВЫХ ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ 291. гими системами с достаточно большим 、，понимая слова «достаточно большое» в ранее упомянутом смысле.

Таким образом, для каждой тройки значений 入°, Хо,无入。， ограничиваясь упругими системами с достаточно большим у (в дальнейшем ради простоты изложения мы будем это подразумевать), мы можем указать характер непосредственно затем следующего движения. Но до сих пор полностью закончено лишь исследование движений, имеющих начальные условия группы 1а); именно ——это ускоренные движения вправо с наложением колебаний масс т^ и 恤，затем равномерно ускоренное движение для 入°=^, Хо = 0, х1>0 > 0 и равномерно замедленное движение для 入о = — у, % = 0, х1>0 > 0. Для всех остальных движений мы определили только начальную стадию; теперь возникает вопрос, как будут эти движения продолжаться в дальнейшем.

Тогда мы сначала нашли, что при начальных значениях третьей группы и, кроме того, при 入о = О,尢》0, %i,o<O в некоторый момент масса тх останавливается; при этом масса 加2 eme обладает скоростью < 0, так что после этого при покоящейся mi следует колебание массы /п& и затем обращение движения вправо (ср. фиг. 6 и соответствующий текст на стр. 273). Для получающегося после этого движения с х0 > 0 опять применимы относящиеся сюда рассуждения. Однако если мы ограничимся тем, что движения с 雯「о V ° будем исследовать лишь до тех пор, пока они действительно остаются направленными влево, иными словами, вплоть до обращения 占 в нуль, то мы можем считать законченным и исследование движений с начальными значениями третьей группы и с Хо = 0,入°》°’ ％i,o < 0- Таким .образом, нам нет надобности заниматься далее движениями группы 2Ь), если мы хотим исследовать их лишь до момента, соответствующего хг = 0.

Наоборот, мы должны для всех остальных групп начальных значений произвести более подробное исследование движений, которые до сих пор мы изучали лишь до наступления первого изменения знака усилия.

Начнем с начальных условий 4-й группы: Хо < О, % любое, %i,o V 0 со включением 入° = 0, Хо < О,

Время / наступления первого изменения знака усилия в течение первой фазы движения вычисляется на основании уравнения

О = / 4-sin % 十 0о —匀 cos ty^а

При этом в качестве новых начальных условий для второй фазы движения мы получаем:

=0, k^ = ^^d ⑴=0, k^ = ^^d ⑴2 或 ° ^5г—寸+江=小，2 或 ° ^5г—寸+江=小，

=0, k^ = ^^d ⑴

=0, k^ = ^^d ⑴

2 或 ° ^5г—

寸+江=小，

2 或 ° ^5г—

寸+江=小，

где

в то время как х1>0 < 0. Выражение

для наших начальных условий всегда положительно. Согласно фиг. 13 изменений знака усилия больше уже не может получиться; соответствующее новым начальным условиям движение происходит при возрастании сжатия и продолжается до тех пор, пока масса 加工 не остановится [х± = 0 по уравнению (4)]. К этому движению опять примыкают движение т^ при покоящейся массе т± и затем обращение движения вправо. С учетом результатов стр. 294 приходим к такому общему заключению:

Для всех движений нашей системы с 工卜。< 0,加.е. с начальной скоростью влево, иногда после получающегося изменения знака ус〃%〃8, трущаяся масса с течением времени останавливается вследствие усиления сжатия 〃 обусловленного этим увеличения трения и наступает обращение движения.

Ряд совершенно новых движений получается при началь- ных значениях группы 1Ь) с Хо^ —, Ао любым, х1>0> 0.

Для первой фазы движения время 友 наступления первого изменения знака усилия определяется из уравнений

sin ty^d —sin ty^d —

sin ty^d —

sin ty^d —

Значения 入，A, х, и 修，которые соответствуют этому моменту и дают начальные значения для второй фазы

движения, вычисляются по формулам:

入0 = 0, % =一平小y，

(1)(i)

"1,0(1)"1,0(1)cos a a 1.—arcsin团2 d у >idcos a a 1.—arcsin团2 d у >id° d)va▼2 a2"一歩° d)va▼2 a2"一歩

"1,0

(1)

"1,0

(1)

cos a a 1.

—arcsin

团2 d у >id

cos a a 1.

—arcsin

团2 d у >id

° d)va

▼2 a2

"一歩

° d)va

▼2 a2

"一歩

cos a a 1 1cos a a 1 1詁。一g 4 2"詁。一g 4 2"_(d_(d加2加2COS aCOS a—(d—(darcsinarcsinCOS aCOS a入。+后心E入。+后心E+0 arcsin+0 arcsin22屮2@2dV、d \ d) d▼2a2屮2@2dV、d \ d) d▼2a2抗0抗0▼2 a2▼2 a2■ + "1,0,■ + "1,0,

cos a a 1 1

cos a a 1 1

詁。一g 4 2"

詁。一g 4 2"

_(d

_(d

加2

加2

COS a

COS a

—(d

—(d

arcsin

arcsin

COS a

COS a

入。+后心E

入。+后心E

+0 arcsin

+0 arcsin

2

2

屮2@2

dV、d \ d) d

▼2a2

屮2@2

dV、d \ d) d

▼2a2

抗0

抗0

▼2 a2

▼2 a2

■ + "1,0,

■ + "1,0,

13 показы-мы можем13 показы-мы можемгде ср имеет то же значение, что и выше. Фиг. вает, что для начинающегося теперь движения получить новое изменение знака усилия, если

13 показы-мы можем

13 показы-мы можем

中 <疗’

т. e. если

(人。-2) +^<%(1 +/)*

Таким образом, для того чтобы еще раз наступило изменение знака усилия, необходимо, чтобы точка с координатами 入°,入° на фиг. 12 лежала внутри эллипса

(入。 -9 +寡=%。+另；

ф. Пфейфер. к вопросу о кулоновых законах трения 295

в соответствии с этим начальные значения группы 1Ь) мы подразделим на:

а) такие, для которых

入。〉弘1 -ъУ)» 儿 лю^ое

или

大。= 2(1大。= 2(11 +多，儿#0；1 +多，儿#0；

大。= 2(1

大。= 2(1

1 +多，儿#0；

1 +多，儿#0；

0) такие, для которых

入о < 税(1 十 V1 +9， ％ лю^ое*

Значения

入。=弘1十/1十蜀，%=0

мы должны рассмотреть особо.

Начнем с этого более простого случая. Для второй фазы движения с начальными значениями

入0 = 0,入0 = 一 77=，Y

⑴ У J

изменение усилия дается уравнением

入=一天 +尸 ；

таким образом, усилие приближается асимптотически к зна

чениючениювово(фиг. 16); уравнение (4) показывает, что хх

чению

чению

во

во

время движения обращается в нуль.

При начальных значениях а) также не может более про

изойти изменения знака усилия; растягивающее усилие в стержне (фиг. 17) все время возрастает; согласно уравнению (4) в этом случае тоже происходит остановка трущейся массы.

Иначе дело обстоит для начальных значений 0). Здесь изменение знака усилия наступит наверняка, если мы только

для каждой тройки значений 入°,儿，х1>0 выберем м так, чтобы, с одной стороны, точка 入°,入° лежала внутри найденного бы еще

вышевышеположительной в момент изменения знака усилия. Время / наступления этого нового изменения (если отсчитывать его от последнего изменения знака) определится из уравнения

выше

выше

〃 屮’

м для третьей фазы движения мы будем иметь такие начальные условия:

人0 = 0, ко -(Р)/ V,

三多0，

(2严加2 / “\ ^2///7 1 (?)°

•—cos a a 1 1 . /]//丄

舒。一 万f讶守° a ?十

I /cos a . Д т . / V7 I •1 E『疗

При этом мы вступаем в область (фиг. 12), в которой

снова при всяком <р возможны изменения знака усилия； оно наступает также, если мы только опять выбрали 丫 так, чтобы %[ еще оставалась положительной в течение третьей фазы движения в момент / этого нового изменения знака.

для которогодля которогоsin t ]/\d =sin t ]/\d =-2 绅 pda2 + ▼ 2d-2 绅 pda2 + ▼ 2dcos £ J W =cos £ J W =〃2 -▼ 2d〃2 十 72d〃2 -▼ 2d〃2 十 72dДля этого таковы:Для этого таковы:изменения знака усилия значения 入,A, x〔изменения знака усилия значения 入,A, x〔и xtи xt

для которого

для которого

sin t ]/\d =

sin t ]/\d =

-2 绅 pda2 + ▼ 2d

-2 绅 pda2 + ▼ 2d

cos £ J W =

cos £ J W =

〃2 -▼ 2d

〃2 十 72d

〃2 -▼ 2d

〃2 十 72d

Для этого таковы:

Для этого таковы:

изменения знака усилия значения 入,A, x〔

изменения знака усилия значения 入,A, x〔

и xt

и xt

cos a 加2cos a 加2)x)x入YdV胃入YdV胃

cos a 加2

cos a 加2

)x

)x

入YdV胃

入YdV胃

• COS a « 1. —2«屮匕// , cos a\ 2? I •

*),0 =稲 W 声 arcsm " + *z — (d —五)J7^+常,3

cos a a 1 1 (. —Yd

t k T arcsm —9 :匕"

加2 a 2、d I战+ d。

aГe81n «2十叫厂 + 目0 曲 afCSin "2 + 叫 + 舒旷

Но это — те же самые значения 入° и Хо, которыми откры* вается и вторая фаза движения (入° и 入°), и мы видим, что теперь движение будет продолжаться так же, как это показано для обеих последних фаз попеременно то с растяжением, то со сжатием.

При этом нужно еще во всяком случае исследовать, можно ли для каждых 入°, %,占,° подобрать столь большое значение V, чтобы все последующие изменения знака усилия имели место раньше обращения в нуль соответствующего 厶 0.

(砌‘

Если у определено таким образом, что это требование удовлетворялось для %? ° н %i 0, то оно наверняка будет для ⑴'(2)'

того же V удовлетворяться и при всех следующих измене- ниях знака усилия, если только все время.

6十2)(й)

Если же все время

伊+2) (幻

то нельзя найти такого значения v, чтобы наше требование выполнялось для любого повторения изменения знака усилия. Только в первом случае для каждой тройки значений 入°,入°,尤爲。 можно найти такое значение v, чтобы для всех упругих с истем с большим значением v при тех же самых начальных условиях изменения знака наступали неограниченное число раз. Наоборот, во втором случае при каждом значении v трущ аяся масса остановится после некоторого определенного числа изме> нений знака усилия.

Теперь для получения более точного изображения всего хода движения мы можем для каждого момента £, соот

ветствующего изменению знака усилия, выразить %】〃 ％〔 8 функции от t. Ради удобства я ввожу следующие сокращения:

cos а а 1 1т2 d 2 %cos а а 1 1т2 d 2 %arcsinarcsin-2仅"『『仅2 + fd丿-2仅"『『仅2 + fd丿—(d—(dCOS а、 срF)iVNCOS а、 срF)iVNarcsin口arcsin口仅2十+2d仅2十+2d=4=4

cos а а 1 1

т2 d 2 %

cos а а 1 1

т2 d 2 %

arcsin

arcsin

-2仅"『『仅2 + fd丿

-2仅"『『仅2 + fd丿

—(d

—(d

COS а、 ср

F)iVN

COS а、 ср

F)iVN

arcsin口

arcsin口

仅2十+2d

仅2十+2d

=4

=4

/三+上、2£^44储人丄］十^2 /2/1£?_ /

COS a QCOS a Q11cos а а 1加2 /斤cos а а 1加2 /斤+f+f三=8, 77三=8, 77ln^" +=2а 屮 丨\加21/ fln^" +=2а 屮 丨\加21/ f厂77厂77.—2。§ "j/" d arc sin———.—2。§ "j/" d arc sin———"2十中2a"2十中2aCOS a Q 1 "^Г 7 у/COS a Q 1 "^Г 7 у/\加2/d乌,▼_孑一斤\加2/d乌,▼_孑一斤arcsin口——arcsin口——3 4-屮 2d3 4-屮 2dС；С；

COS a Q

COS a Q

1

1

cos а а 1

加2 /斤

cos а а 1

加2 /斤

+f

+f

三=8, 77

三=8, 77

ln^" +=2

а 屮 丨\加21/ f

ln^" +=2

а 屮 丨\加21/ f

厂77

厂77

.—2。§ "j/" d arc sin———

.—2。§ "j/" d arc sin———

"2十中2a

"2十中2a

COS a Q 1 "^Г 7 у/

COS a Q 1 "^Г 7 у/

\加2/d

乌,▼_

孑一斤

\加2/d

乌,▼_

孑一斤

arcsin口——

arcsin口——

3 4-屮 2d

3 4-屮 2d

С；

С；

при этом 丁= представляет продолжительность полного коле* бання, если под этим термином мы будем подразумевать движение между каким-нибудь изменением знака усилия и вторым за ним следующим. Если 〃 предстазляет число целых колебаний, отсчитываэмоз от начала второй фазы, то в конце n-го колебания значения %】и хх будут:

%зо =+ %i,o

(2п+1) У Y (1)

Так как продолжительность целого колебания равна —

тото

то

то

представляет момент, соответствующий концу n-го колебания^ если для начала второй фазы мы положим Т= 0.

При этом мы будем иметь:

x1,0 =尸 7+*1,0

(2”+I)°(1)

/ А , В , D 1. —2呼 了万R\ т .

(熱?)=守у arcsin 唄"一万! 7十

+普"+ ^^ +备

Для тех значений Г, которые соответствуют целым числам п». значения х1>0 совпадают с ординатами параболы, которук> (2П4-1)

万.Для исследо-=0 no?=行；万.Для исследо-=0 no?=行；изображает последнее уравнение для всех значений Т. Таким образом, последовательным изменениям знака усилия соответствуют на диаграмме х, 7, точки, которые лежат

万.Для исследо-=0 no?=行；

万.Для исследо-=0 no?=行；

на некоторой параболе с параметром вания выражения 天 даем о значения от о для д = 0 имеем:

c 一加 2 d

R — cos a q '

в то время какв то время какlim Ia(p =УТlim Ia(p =УТ（告）Н一（告）Н一^2 / cos a a^2 / cos a a

в то время как

в то время как

lim Ia(p =

УТ

lim Ia(p =

УТ

（告）Н一

（告）Н一

^2 / cos a a

^2 / cos a a

Таким образом, параметры всех этих парабол лежат между обоими значениями, которые соответствуют параболам, полученным нами для равномерно ускоренного и равномерно замедленного движений. (Здесь я уже отсылаю к фиг. 21, которая показывает всю систему предельных парабол при бесконечном возрастании v для определенного х1>0.) Значению ,, для которого R = 0, соответствует некоторая прямая.

Кривые %j и *2 (в функции %) покажут теперь колебания относительно . такой параболы и будут все время Пересе-

каться в точках этой параболы. Значения х± ——х? = q в функции времени можно видеть на фиг. 18, дающей изменения давления.

Подобные же соображения имеют место для начальных условий группы 2а): — у < Ао < 0, ^любоен 入 о = — ~ , %〉0. В частности, относительно величины v пришлось бы сказать то же самое, что и выше; поэтому мы не будем этим

заниматься еще раз. Движение в данном случае протекает так. Первая фаза заканчивается изменением знака усилия в момент для которого

2〃入о2〃入о汇—汇—

2〃入о

2〃入о

汇—

汇—

при значенияхпри значениях入0 === о,入° —屮 j^Y (1)(1)入0 === о,入° —屮 j^Y (1)(1)(f M Ат)，(f M Ат)，%l,0(1)%l,0(1)cosaa 1 нVf人。十厂万cosaa 1 нVf人。十厂万+ (^+/)т17(^~^7)+ ^+ (^+/)т17(^~^7)+ ^

при значениях

при значениях

入0 === о,入° —屮 j^Y (1)(1)

入0 === о,入° —屮 j^Y (1)(1)

(f M Ат)，

(f M Ат)，

%l,0

(1)

%l,0

(1)

cosaa 1 нVf

人。十厂万

cosaa 1 нVf

人。十厂万

+ (^+/)т17(^~^7)+ ^

+ (^+/)т17(^~^7)+ ^

Эти значения являются начальными для второй фазы движения, которая опять переходит в движение с растяжением по истечении времени /, для которого

sin ty ^d =sin ty ^d =—2〃 屮 y^ d〃2 + 屮 2d—2〃 屮 y^ d〃2 + 屮 2dcos tY^id^cos tY^id^〃2 -屮 2d 办+@2d〃2 -屮 2d 办+@2d

sin ty ^d =

sin ty ^d =

—2〃 屮 y^ d〃2 + 屮 2d

—2〃 屮 y^ d〃2 + 屮 2d

cos tY^id^

cos tY^id^

〃2 -屮 2d 办+@2d

〃2 -屮 2d 办+@2d

В таком случае

入0 = 0, %=--屮K\ (2)(2)

• cos а а 1.——2〃屮 У, cos2屮,•

舀。=而 W 戸 arcsin 一壮+屮纫-_(d —-—) 布 + 爲О

COSa Л 1 1 /.——2氏中У〃

舒。=元胃歹訐心巾中義编-

\现2 丿厶 pda^ + ^d

.•1. —2砚了胃.

+ 占 arcsin —° Жо

丁心 0 1Ad"+屮2d 丁心0

являются начальными значениями для третьей фазы движения. Теперь для возможности наступления изменения знака усилия должно быть:

* VP

иными словами,

(хо + у)9-^>О.

Для достаточно больших v этого можно достичь для каждой пары значений 入°,尤，для которой 0〉入о〉——* , и тогда во всей области — ^■〈入° < 0 наступает изменение знака усилия также и в третьей фазе и притом для значений /, для которых

tvif f^Vftvif f^Vfa 屮. 7一77a 屮. 7一77

tvif f^Vf

tvif f^Vf

a 屮. 7一77

a 屮. 7一77

Тогда для этого нового изменения знака усилий мы имеем: 入 О = 0,人 0 =屮］/" Y ,

(3)

•COSa 〃1. / У/ I /COS a A 2屮 I *

爲。=—"兩'717疗 £L +十 〃 7?V + d0，

/ ±+X\2

cos a a 1 1 / 7I

嗇，。=一_曲/区牙П吆 卫+

+(吆+力 3 In ZL耳十石。亠也。•

После этого совершенно аналогично тому, как и выше (стр. 301 и сл.), будет продолжаться движение попеременно, то с растягивающим, то со сжимающим усилием; поэтому в данном случае, отослав к соответствующим соображениям относительно значений xt и хг в конце п-го колебания (считая от начала второй фазы), мы можем ограничиться приведением окончательных формул:

о =枭 Г +о,

(2П + 1)°(1)

/£ I JL\

_ 1 / л* , в* . е 1 , / У/ к \ .

\尸 77/

I 二 7 I R* 72 I .

I *1, 0 /0 •

(1)° / (1)

При этом величины, обозначенные звездочками, отличаются от ранее введенных аналогичных сокращений лишь тем, что в последних ср заменено через 屮；кроме того,

£ =鬻春言азП^ 一（"一等吟.

Точно так же для исследования парабол и хода изменения напряжения имеют место результаты, совершенно аналогичные предыдущим. (То обстоятельство, что при экспериментальном исследовании этот длинный ряд движений с попеременным растяжением и сжатием не устанавливается сам собой, обусловливается, согласно замечанию проф. Прандтля, тем, что продолжающиеся изменения знака сопряжены с возникновением во всех местах соединения сил трения, в результате чего колебания протекают при заметном затухании. После этого очень быстро наступает обычное ускоренное движение.)

Остается еще разобрать только случай:入° = — /,尢〉0. При этом получается первая фаза движения до превращения усилия в сжимающее, затем движение при сжимающем усилии до второго изменения знака усилия, затем движение баз изменения знака усилий (поскольку 屮 > ；j^) при возрастании растягивающего усилия, пока %】не обратиться в нуль.

Еще нужно упомянуть, что приведенные на стр. 294 начальный значения:入。=0, %i, о > 0,人° ——любое, приводят к движениям с попеременными растяжениями и сжатиями, причем абсолютная величина X в моменты изменения знака усилий все время равна | Хо|.

Теперь на основании вышеприведенных рассуждений мы можем для каждой тройки конечных начальных значений 入°, ^о，%i, о указать весь ход получающегося движения для всех упругих систем, для которых у будет больше, чем некоторое постоянное число, определяемое значениями 入о，入о，%i, о- При этом предполагается, что движения, при которых %] обращается в нуль, мы прослеживаем лишь до соответствующего момента времени,

V. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ, К КОТОРЫМ СТРЕМЯТСЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ ВОЗРАСТАНИИ V

После того как мы знаем, что при безграничном возрастании у соответствующее определенной тройке значений 入°, %, л;。движение все время сохраняет характер уже найденного движения, то теперь для совершения предельного

2。Зак. 1628. П. Пэцледе

перехода к у = 8 нам остается лишь произвести количественное исследование установленных явлений движения.

Прежде всего установим, как изменяется наше деление на области фиг. 12 и 13 при бесконечном возрастании у. Тогда эллипс

превращается в пару прямых (фиг. 19)入о =。и 入° = ^,

а гипербола

совпадает с парой прямых

入=° и 入0 =一争，

в то время как прямые

2+善=。

人。+力岩

подходят сколь угодно близко к прямой 入=—у (фиг. 20). На этих фигурах области, в которых наступает изменение знака усилий, выделены штриховкой, причем граничные прямые 入° = 0 и 入。= + % и соот-

ветственно 入° = 0

ной области, =—у, для

ло = — у

за исключением

принадлежат к заштрихован- лишь отрезка прямой 入° =

которого %《0・ Эллипс

Ф. ПФЕЙФЕР. К ВОПРОСУ О КУЛОН ОВЫХ ЗАКОНАХ ТРЕНИЯ 307 при безграничном возрастании может сколь угодно близко подойти к паре прямых

人。=2(1 + /1+力 и

入。=*(1 - J1 +处 сама прямая

入0 = 2 (1 + ]/"1 + 六)

не будет принадлежать к находящейся слева от нее области.

土+ 1/一人2 一竺2土+ 1/一人2 一竺2В дополнение к исследованию разделения на области определим, что происходит в областях с изменением знака усилия в момент £》0 этого изменения при произвольно возрастающем у. Этот момент был определен нами при помощи формул

土+ 1/一人2 一竺2

土+ 1/一人2 一竺2

и соответственно

t = ■ In•

M入0 о+7+7?

(см. стр. 283 и 284)..

Таким образом, для каждой пары значений 入°, X。，для которой вообще может при %》。 произойти изменение знака усилив, время, протекшее от начала движения до наступления изменения знака, при безграничном возраста- нии у стремится к нулю.

После этих предварительных замечаний займемся отыскиванием предельных процессов для самого движения нашей упругой системы. При этом всю область начальных значений 入°, Хо мы снова разделим на части и прежде всего найдем предельное движение в области,'

0<%< ^ ПРИ 爲,o〉Q・

Значению 入° = ? соответствует уже разобранное нами движение с постоянным сжимающим усилием в стержне: при безграничном возрастании у обе параболы %式£) и х2 (0 с разностью ординат 片=专(фиг. 8) все больше и больше сближаются. Для всех других значений 入°, % рассматриваемой области безграничное возрастание d приводит к тому, что амплитуда и длина волны колебаний кривых хх и х2 (ср. фиг. 2)

становятся все меньше и меньше и что эти кривые при всех значениях абсцисс неограниченно приближаются к параболе

cos а а /2 . •/ ]

="^Г7т + ^。' + 丸。・

Одновременно значения скоростей обеих масс приближаются к величине

• — COS а

Таким образом, для всех значений 入°, Ао рассматриваем мой области и определенного %】,о кривые х± и х2 прибли^ жаются м одной и той же параболе / (фиг. 21); при разных значениях 入о различие обусловливается только тем, что

величина сжимающего усилия все время колеблется между двумя границами, которые при возрастании 、могут сколь угодно приблизиться к значениям 入° и ^ ——Zo (ср. фиг. 14).

(Все эти и следующие ниже высказывания непосредственно получаются из уже выведенных формул; поэтому в дальнейшем мы откажемся от ссылок на них в каждом отдельном случае.)

2〃2〃Для движений, протекающих с чередованием растяжения и сжатия, при начальных значениях

2〃

2〃

丸，о > 0,丸，о > 0,w入。< "^ (1 十 Р^ 1 + 母) '。лю^ое,入0 = 0,儿 любое

丸，о > 0,

丸，о > 0,

как мы уже знаем, промежуток времени от начала движения до наступления первого изменения знака усилия стремится к нулю при возрастании 丫； то же самое также имеет место и для промежутка времени между двумя последовательными изменениями знака усилия в дальнейшем течении движения.

Как мы уже видели на стр. 304, все последовательные пересечения кривых х1 и х2 лежат на некоторой параболе и при возрастании、эта парабола сама все больше и больше приближается к параболе с простым уравнением:

о =石 о /十 К F—Г о»

° / (1)

Точки пересечения кривых 修(f) и ха (/) будут все гуще располагаться на этой параболе, и направление касательных к этим кривым в точках пересечения будет все точнее совпадать с самой касательной к параболе. Таким образом, для некоторой пары значений Ао, Zo обе кривые *1(%) и ха (/) будут все точнее 〃 точнее при бесконечном возрастании y совпадать с одной из различных парабол, которые образуют пучок, ограниченный параболами / 〃 〃，причем они будут пересекать эти параболы в точках, лежащих все гуще и гуще. Парабола / будет сама принадлежать этому пучку, в то время как другие параболы этого пучка могут лишь неограниченно приближаться к параболе //, уравнение которой

cos а 〃 # ] • 修=一京7昼+詁

0 %+(：1,

о-

Тройке значений 入° = ^(1 十 j/" 1 +y)J ^o=Q，五，о〉°， соответствует, как это следует из фиг. 16, при безграничном возрастании、движение, которое после все быстрее совершающихся изменений напряжения все более и более близко подходит к замедленному движению с 入=—у.

Мы придем к той же самой системе предельных кривых, если будем рассматривать движения упругой системы при бесконечном возрастании м при начальных значениях .

—-^ < Хо < 0,入° любое, > 0.

Для 入о = —у, 入о = О обе параболы с разностью ординат Е = — у, которые дают нам замедленное движение, будут при возрастании м все ближе подходить к параболе II.

Наконец, нам остается еще исследовать влияние бесконечного возрастания у на те движения, во время которых %i обращается в нуль. Ради краткости мы будем называть эти движения самотормозящимися движениями и момент обращения %i в нуль назовем моментом торможения.

Мы уже знаем течение самотормозящихся движений и только еще исследуем, как при бесконечном возрастании 丫 будет меняться промежуток времени между началом такого движения и моментом торможения.

Для всех движений с начальными условиями

入с〉0,又п любое,].

•1 о < о

入о = О,入°》。 J '

это время получается, если мы найдем наименьший положительный корень уравнения [см. формулу (4)]

Этому уравнению удовлетворяет значение 1口（m 斤）

где

с ошибкой, которая при возрастании м сама стремится к нулю. Таким образом, при неограниченном возрастании 丫 величина

все ближе будет подходить к значению корня уравнения, и так как

lim

то и сам корень будет стремиться к нулю.

Почти таким же образом можно показать, что также при движениях с начальными значениями

А0<0, 入 о = О,А0<0, 入 о = О,入 о любое, 儿V。入 о любое, 儿V。1・} ^i, о < о1・} ^i, о < о

А0<0, 入 о = О,

А0<0, 入 о = О,

入 о любое, 儿V。

入 о любое, 儿V。

1・

} ^i, о < о

1・

} ^i, о < о

после все ускоряющегося с увеличением 丫 чередования растягивающих и сжимающих усилий получается торможение по истечении времени /, которое стремится к нулю при безграничном возрастании у.

Таким образом, результат можно формулировать так:

При всех движениях упругой системы с %i, о < 0, т. е. с направленной влево начальной скоростью, движение само собой тормозится по истечении времени %, которое стремится к нулю при безграничном возрастании у.

Совершенно аналогичные рассуждения показывают, что также при всех самотормозящихся движениях вправо с растягивающим усилием, а также и для таких движений вправо, которые в результате все быстрее наступающего чередования напряжений переходят в движения с постоянно возрастающим растяжением, время от начала движения до наступления

торможения стремится к нулю. Движения первого рода соответствуют начальным условиям

Xi, о > О,Xi, о > О,условиямусловиям入о < — ~у-, Xq любое, % = -？ ^о<о

Xi, о > О,

Xi, о > О,

условиям

условиям

движения второго рода ——начальным

Хо любое,

入0 ¥ 0,%i, о〉О*

儿〉0

В связи с этим следует, по крайней мере, упомянуть, что мы, ограничиваясь рассмотрением самотормозящихся движений лишь до момента, когда xt = 0, отказываемся от определения предельных процессов, к которым стремятся движения типа, изображенного на фиг. 6.

Вот что можно сказать относительно движений упругой системы при беспредельно возрастающем、. В результате мы можем еще говорить о самом предельном случае 丫 = оо и о жесткой системе как о предельном случае упругой системы. Если неизвестные первоначально процессы движения этой жесткой системы мы определим таким образом, что они должны совпадать с предельными процессами, к которым стремятся движения упругой системы при бесконечном возрастании 、，то полученные нами результаты мы можем удобно выразить следующим образом.

Для жесткой системы процессы становятся независимыми от конечной величины 入°; они распадаются на три главные группы. 2a •

Для всех значений 0 < Хо < —, jq, о〉0 жесткая система совершает равномерно ускоренное движение вправо; кривые х{ (/) и %2(» сливаются с относящейся 弘 соответствующему х^ о параболой / (фиг. 21).

Для всех значений

学 90＜弘1+/1 + 分 。＞。

〃 всех значений

一 ^ V 入о《0, о ＞。

движение совершается при постоянном чередовании знака усилия 〃 8 каждый момент / ординаты 〃 направления касательных 汇 кривым х^О и х2 (/) совпадают с с。。加6。加・ ствующими моменту t ординатой 〃 направлением касательной к определенной параболе пучка (фиг. 21).

Значениям 入° = * и 入° = 0 соответствует парабола /, при возрастании или соответственно убывании 入° эти параболы все более приближаются 弘 параболе II.

Значению 入° = /(1 + j/" 1 +') соответствует получающееся после мгновенно наступающего изменения знака усилия равномерно замедленное движение, представленное параболой 〃； это же самое движение для значения Хо=——у устанавливается сразу,

Всем значениям

大。＞*(1+厶+分h＞0

入0 ＜ —у»

入о любое, Xi, о ＜ О

соответствует мгновенное торможение движения (иногда после предварительного мгновенного изменения знака усилия).

В предположении, что опыты обнаружат удовлетворительное совпадение наших результатов для упругих систем с тем, что имеет место для реальных тел, вопрос относительно того, в какой мере высказанные положения для твердых тел (как они использованы в цитированной работе Клейна) правильно представляют поведение физических тел, может при

сопоставлении результатов того и другого рода получить следующий ответ.

То обстоятельство, что эти предложения дают равномерно ускоренное и равномерно замедленное движение, 〃 также — 8 интерпретации Клейна и Прандтля — мгновенное торможение движений, направленных влево, позволяет признать、что эти предложения дают хорошее приближение к явлениям движения реальных 'шел\ с другой стороны, они ничего не выясняют относительно движений с чередованием растяжения 〃 сжатия и не выявляют неустойчивого замедленного движения.

VI. ОПИСАНИЕ ПРИБОРА ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ РАССМОТРЕННЫХДВИЖЕНИЙ

Фиг. 22—25 содержат эскиз общего вида и деталей прибора, сконструированного проф. Прандтлем. Обе направляю-

Фиг. 22.

щих смонтированы из деревянной доски размером 100X30 с兩2; оба параллельных деревянных желоба, образующих направляющую для mv закреплены неподвижно;. направляющее устройство для т3 (два привинченных к железной пластинке уголка фиг. 25) может перемещаться по двум вырезам в деревянной доске для того, чтобы при помощи изменения расстояния обеих направляющих можно было бы без изменения длины соединяющего стержня ставить последний круто или полого. Масса т1 представляет собой деревянную призму (фиг. 23), ее грани, испытывающие трение о поверхность направляющей, оклеены стеклянной бумагой. Для того чтобы возможно уменьшить трение в направляющих для /па, было использовано трение качения металла по железу. Оба ролика,

бегущих вдоль углового железа, прикреплены к тележке и могут легко поворачиваться вокруг своих осей; сама тележка (фиг. 22), сделанная из металла, движется на роликах по железной пластинке. Соединительный стержень изображен на

Фиг. 23.Фиг. 23.

Фиг. 23.

Фиг. 23.

фиг. 23 и 24; сила X вызывается грузом, прикрепленным к т при помощи шнура.

При помощи этого аппарата кроме ускоренного движения вправо можно также получить движение, принадлежа-

ппи

п

п

Фиг. 24.

щее к типу движений вправо с чередованием растяжения и сжатия; для этого достаточно вызвать в стержне растягивающее усилие легким прижатием % к направляющей. При начальной скорости системы влево можно очень хорошо увидеть разницу между замедленным движением при полого поставленном стержне и очень быстро тормозящимся движением при круто поставленном стержне. (Естественно после торможения движений сейчас же получается вследствие действия силы X* обычное ускоренное движение вправо из состояния покоя.) Торможение при движении вправо можно хорошо показать, задержав внезапно падающий груз при обычном ускоренном движении или позволив ему дойти до самого пола. Нужно заметить, что на этом приборе не осуществляются вполне

точно все те условия, которые мы выставили в качестве основных предположений при расчете; на нем существенное влияние на все процессы оказывает упругая податливость всех частей системы, а также зазоры в направляющих. Для

Фиг. 25.

того чтобы можно было хорошо обозреть все движения упругой системы, следовало бы ввести пружинящий соединительный стержень и, кроме того (что было бы очень трудно), довести все зазоры в приборе до значительно меньших размеров.

i) Выражение г (^соз 6 ——X[Sin6) представляет момент актив

1) Действительно, переход от У7 к системе векторов pz, р； совер

положных векторов, приложенных в Л4 н

1) Говоря точно, мы допускаем, что если система S находится в момент t в любых начальных условиях и подвержена действию любых активных сил, то можно (ничего не меняя в состоянии: ни препятствий Gt, ни точек М) устранить все препятствия G2i находящиеся в соседстве с каждой точкой М, при условий, однако, что к каждой точке М будет приложена новая активная сила (геометрически равная соответствующей силе /?2)5 мы предполагаем, что для полученной таким образом системы S] закон трения определен. В разобранном выше примере препятствия С】и G^ суть соответственно трубка Ох и стержень ММЬ система S】состоит из свободной точки М[ и скользящей по оси Ох точки Л4； закон трения этой системы известен; система S2 представляет свободное твердое тело ЛШ1—систему без трения.

предыдущего уравнения, то необходимо выполнение условий

Л _ ₽ Y COS 屮（Ь^ ——0，）——sin 屮（со/ ——^Y7） 〃俨——baf 丽=亦=乔=dr -

飞「丽前前W

_ sin 6 sin 屮传丫/ — с，）+ sin 6 cos 屮（со/ — 〃丫，）+ cos 6 （礫/ — baf）

1) Т здесь обозначает живую силу системы, а 7° н U°— соответственно начальные значения живой силы и силовой функции, (Прим, пере в)

1) Это рассуждение предполагает, однако, что в точке 的 траектория имеет непрерывно меняющуюся касательную» Чтобы не прибегать к этому предположению, можно рассуждать следующим образом: если точка Мг находится внутри области £「то, поскольку в окрестности М[ движущаяся точка 府 подвержена действию замедляющей силы, превышающей некоторое предельное значение, скорость и обращается в нуль по истечении конечного времени и М остается в покое. Если же М】находится вне £' или на ее границе, то мы пишем уравнение движения, заменяя поверхность ее касательной плоскостью в 他 (при этом отбрасываемыми членами можно пренебречь, если расстояние ММ± стремится к нулю); таким образом, мы возвращаемся к случаю движения по наклонной пло

* _ Л）一 尸% .

勺=g [sin j — （2/ +垃 cos 4，

1) Если плоскость горизонтальна (Z = 0), то уравнения могут

быть проинтегрированы, если для f = /о скорости ^ и wr взаимно

1) De S р а г г е, Sur le frottement de glissement, Comptes Rendus т, 141 (1905), стр. 310.

1) Мы предполагаем, что соотношейия (1) и (2) все время удовлетворяются.

1) Легко осуществить это устройство так, чтобы никогда не было удара между телом АВ и его неподвижными направляющими. Ничего не изменится в смысле последующих рассуждений, если мы заменим точку Л круглым диском, скользящими по Ох и неизменно связанным с АВ.

1) Под этим я подразумеваю, что два тела, находящихся в соприкосновении, имеют в момент t заданные положения и скорости и находятся под действием заданных сил.

1) Иными словами, точка А не может одновременно оказывать

1) См стр. 225.

3) См. реферат в вышеупомянутой статье в «Энциклопедии».

П. ПЭНЛЕВЕ

ЛЕКЦИИ О ТРЕНИИ

ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО

И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВОТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 19 54

12-5-4

П. Пэнлеве, Лекции о трении.

Редактор 〃. В. Дарков.

Технический редактор С. Н. Ахламов,Корректор Г. Г. ^Келтова,

Сдано в набор 6/VIII 1954 г. Подписано к печати 6/Х1 1954 г. Бумага 84 X Ю8/32.

Физ. печ. л. 9,875. Условн. печ. л. 16,2. Уч.-изд. л. 1648. Тираж 4000 экз.T-0779F. Цена книги 10 руб. 25 коп. Заказ № 1628.

Государственное издательство технико-теоретической литературы.Москва, Б. Калужская, 15.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфическойпромышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой.

Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика 5

Лекции о трении

Введение 9

Общее определение трения 12

Форма законов трения 16

О комбинировании связей 26

О совместимости связей 55

Об излишних связях 58

Сплошные материальные системы; твердыетела 60

Перечень простых связей. Связи первого класса 62

Связи второго и третьего классов 78

Комбинация предыдущих связей 80

С бщие свойства законов трения 83

Применение теории к частным случаям 87

Движение точки по кривой 87

Системы, центр тяжести которых описывает заданную кривую101

Системы, • включающие движущуюся кривую С, по которой скользит некоторая точкаМсистемы105

Движение точки по негладкой поверхности108

Системы, центр тяжести G которых скользит с трением по поверхности 2 117

Системы, включающие подвижную неизменяемую поверхность S, по которой скользит с трением некоторая точка М117

Системы твердых тел, в которых нормальные реакции не зависят от закона трения 118

Системы твердых тел, в которых нормальные реакции зависят от трения148

О трении качения и верчения 170

Добавление I. Лекции об интегрировании дифференциальных

уравнений механики

Первая лекция 181

Четвертая лекция. Общие уравнения движения систем.

Системы без трения188

Пятая лекция. Общие уравнения движения систем. Системы с трением200

Добавление II. Дискуссия по вопросам, затронутымП. Пэнлеве в «Лекциях о трении»

Л. Лекорню.Отрениискольжения •221

П. Пэнлеве. О законах трения скольжения (статья первая) 224

Л. Лекорню.ОзаконеКулона230

Де Спарр. Отрении скольжения232

^>э 1 о^ 7 и3 4 4 5 62 2 2 2 2^>э 1 о^ 7 и3 4 4 5 62 2 2 2 2П. Пэнлеве. О законах трения скольжения (статья вторая)

^>э 1 о^ 7 и

3 4 4 5 6

2 2 2 2 2

^>э 1 о^ 7 и

3 4 4 5 6

2 2 2 2 2

П. Пэнлеве. О законах трения скольжения (статья третья) Ф. Клейн. К критике Пэнлеве кулоновых законов трения Р. Мизес. К критике законов трения Г. Гамель. Замечания к статьям Ф. Клейна и Р. Мизеса Л. Прандтль. Замечания к статьям Ф. Клейна, Р. Мизеса

и Г. Гамеля262

Ф. Пфейфер. К вопросу о так называемых кулоновых законах трения264