ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Развитие науки в последние десятилетия характеризуется проникновением математики почти во все области исследования, включая такие исконно гуманитарные, как экономика, психология, языковедение и даже история. Отличительной чертой этого процесса является не столько распространение математических методов на все новые области знания, сколько проникновение в глубь этих областей. Если на протяжении веков математика верой и правдой служила многим наукам в качестве инструмента для представления и обработки информации, то теперь она все чаще используется как способ исследования — создание математических моделей, аксиоматический подход и т. п.

В результате этого процесса выделились в самостоятельные науки математическая экономика, математическая лингвистика, математическая психология. Психологи вообще традиционно используют математический аппарат в своих исследованиях, выражая в количественной форме те отношения, с которыми им приходится работать. С понятием измерения психолог сталкивается при изучении любой конкретной проблемы. Тем не менее, несмотря на очевидную важность этого понятия, в психологической литературе до 1963 г. отсутствовало систематическое изложение теории измерений. Это положение изменилось после появления статьи Суппеса и Зинеса [1], по существу содержащей все основные принципы того раздела математической психологии, который сейчас принято называть репрезентационной теорией измерений.

Однако вопросы теории измерений возникают не только в психологических исследованиях. Сейчас с ними сталкиваются социологи, экономисты, специалисты в области принятия решений. Подобные проблемы появляются также в квалиметрии, педагогике, искусствометрии.

Предлагаемая вниманию читателя книга принадлежит перу немецкого математика, профессора Кёльнского университета И. Пфанцагля и является единственным в своем роде изложением теории измерений. Сам автор своими работами во многом способствовал тому, что теория измерений приняла современный вид. Профессия автора отложила отпечаток на стиль книги: изложение всюду ведется на строгом математическом языке и лишь изредка иллюстрируется примерами. Вряд ли это обстоятельство можно

отнести к недостаткам книги, имея в виду тот разнообразный контингент читателей, которым она может быть полезна. Скорее наоборот, отсутствие примеров может стимулировать читателя к поиску их в своей области исследований.

В гл. 1 определяется шкала как гомоморфизм неприводимой эмпирической системы с отношениями в числовую систему с отношениями. Такой гомоморфизм, если он существует, определяется не единственным образом и определяет класс эквивалентных шкал. Развитие в гл. 2 теории систем с отношениями позволило ввести строгое определение понятия адекватности, которого нет в работе Суппеса и Зинеса [1]. Понятие адекватности дало возможность определить очень важные понятия адекватной статистики и адекватно параметризованного отношения. Глава 3 посвящена топологии на упорядоченных множествах и носит вспомогательный характер. В гл. 4 кратко рассматриваются шкалы наименований и порядка.

В гл. 5——9 развивается теория шкал интервалов. В гл. 6 описываются шкалы интервалов, основанные на операциях, определения и основные свойства которых изложены в гл. 5. Это операции арифметического и геометрического осреднения, одновременное рассмотрение которых приводит к очень важному понятию совместного шкалирования. В -гл. 7 даны некоторые психофизические приложения шкал интервалов. Глава 8 является математической основой для гл. 9, посвященной теории шкал интервалов, основанных на системах расстояний. Особый интерес представляет подход автора к совместным измерениям и к вопросу об эмпирическом статусе аксиом. В гл. 10 вводится «принцип канонических представлений». Он дает разумное обоснование шкалам, полученным на основе откликов. Здесь автору пришлось отказаться от использования понятия системы с отношениями, потому что исследуемую им структуру нельзя описать естественным образом с помощью этого понятия. Применение принципа канонических представлений для получения шкал на основе откликов рассматривается в гл. 11. Наконец, в гл. 12 излагается одновременное измерение полезности и субъективной вероятности. В доказанных теоремах по существу исследуется разумное поведение в ситуациях повышенного риска.

На русском языке нет книги, в которой на должном математическом уровне излагается теория измерений. Поэтому предлагаемая книга несомненно будет полезна многочисленным исследователям в бихевиористических науках. Проблемы, решаемые в теории измерений, возможно, привлекут вннманне и профессиональных математиков, которые найдут в них предмет для собственных исследований.

В заключение хотелось бы поблагодарить проф. Пфанцагля, предэставившего в распоряжение редакции список опечаток английского оригинала.

Назначение и цель книги

На данном этапе развития теории измерений еще рано давать ее исчерпывающее описание. Автор, однако, полагает, что наступило время сделать обзор полученных результатов. Цель такого обзора может состоять только в том, чтобы стимулировать дальнейшие исследования; задача придания теории сколько-нибудь законченной формы, конечно, не ставится.

Читатель, изучающий эту область, хорошо знает, что такие на первый взгляд не связанные между собой темы, как анализ латентных структур и испытание умственных способностей, имеют в своей основе общие модели, и, несмотря на это, каждый автор пользуется своей терминологией. Поэтому одно из назначений этой книги состоит в том, чтобы стандартизировать терминологию и выявить общие истоки, казалось бы, несходных подходов. Первым важным шагом вперед на пути к достижению этой цели была книга Торгерсона [1]. Автор надеется сделать следующий шаг.

В настоящей книге предполагается дать широкое обоснование теории измерений. Вместе с тем в ней рассматриваются некоторью узкие области приложений, такие, как измерение высоты тона, основанное на откликах; одновременное измерение способностей испытуемых и трудностей задач, а также основанное на функции выбора одновременное измерение полезности и субъективной вероятности и т. д. Тесная связь теории с примерами ее практического использования крайне необходима — иначе теория измерений станет бесплодной, что ясно показано в книге Росса [1]. Однако даже при обсуждении проблем измерений на частных примерах упор делается на общие аспекты (такие, как существование и единственность шкал), а не на технику практической работы. Читателя, интересующегося практическими аспектами, можно отослать к работе Торгерсона [1] (в этой книге описано много процедур для обработки шкал, не имеющих подходящих определений, за исключением одной шкалы, обусловленной методикой вычислений).

Исследователь, который строит шкалу на основе эмпирических данных, чтобы составить о ней правильное представление, должен понять ее общее обоснование; разбираться в вычислительных

процедурах или машинных программах ему не обязательно. Есть и другая причина для полного пренебрежения вычислительными процедурами: благодаря все возрастающему использованию ЭВМ, техника бумаги и карандаша, которой пользовались раньше, становится все менее и менее существенной. Более того, использование ЭВМ может даже повлиять на сами модели. Например, очень ограниченная модель классического факторного анализа, возможно, будет вытеснена значительно более общей моделью неметрического факторного анализа (Кумбс и Као [1], Шепард [2]). Конечно, идейная основа неметрического факторного анализа могла бы быть развита и раньше, однако это произошло лишь с расширением вычислительных возможностей. Я считаю этот пример типичным: более общая модель обычно требует большего количества вычислений и совершенствование способов производства вычислений будет расширять заинтересованность в более общих моделях.

Упор на фундаментальные аспекты измерений, естественно, приводит к некоторой идеализации. В методе парных сравнений мы, например, предполагаем, что вероятность Р (а。, а】) известна для каждой пары а°, а「На практике же мы имеем только оценку вероятности, основанную на конечном числе экспериментов для конечного числа пар а。, “厂 В этом, однако, кроется несоответствие теоретическому обоснованию шкалы, так как в принципе мы всегда можем сколь угодно близко подойти к сделанному идеализированному предположению. Вопрос о том, как построить шкалу из ограниченного множества данных, является вопросом оценки и не имеет ничего общего с определением шкалы.

Для иллюстрации последствий такого подхода исследуем случай так называемых «упорядоченных метрических шкал» (Кумбс [1]); в нашей книге они не рассматриваются. Если расстояния могут сравниваться для каждой пары объектов, то это приводит к обычной шкале интервалов (см. стр. 153). В связи с тем что на практике сравнение можно выполнить только для конечного числа пар, возникает вопрос: каким образом из этих данных получить (однозначно определенную) шкалу интервалов? Решение этого вопроса не предполагает создания шкалы нового типа. Попытка построить эмпирические операции в теории принадлежит Адамсу [1].

Читатель не найдет в атой книге одной очень важной темы: многомерного шкалирования. Хотя здесь количество вычислительных процедур, приводящих к успешным приложениям, уже достаточно велико (Мессик [1]; Шепард [1]; Крускал [1, 2]; Кюннапас, Мелхаммер и Свенсон [1]), удовлетворительной теории до сих пор не было. Недавно важные результаты в этом направлении были получены Кранцем и др. Они дали условия, при которых — если； каждый объект представляется точкой в евклидовом пространстве —— порядок между парами объектов (по «сходству») можно представить порядком внутрипарных расстояний. Эти результаты, однако, еще

не опубликованы г). Кроме того, в своей новой книге Кранц, Льюс, Суппес и Тверский собираются рассматривать многомерное шкалирование на высоком научном уровне. По этой причине мы решили полностью опустить этот вопрос.

В соответствии с теоретической направленностью книги способы применения приводятся только для иллюстрации теории. Здесь же делается попытка дать всесторонний обзор практических работ в этой области.

Читатель заметит, что эти приложения относятся почти исключительно к бихевиористическим наукам (за исключением теорий полезности и субъективных вероятностей). Причина этого заключается в том, что измерение в классической физике не ставит проблем, сравнимых с теми, которые возникают в бихевиористических науках. За исключением температуры, все измеряемые в физике свойства являются свойствами аддитивного типа. Связанные с этим проблемы были рассмотрены и решены уже в статье Гельмгольца [1]. Измерение в бихевиористических науках ставит гораздо более сложные и разнородные проблемы, оправдывающие то большое внимание, которое уделяется им в этой книге. Проблемы измерения в квантовой физике здесь не рассматриваются, хотя некоторые читатели, вероятно, хотели бы получить пояснения по этим проблемам. Можно дать только прагматическое объяснение этого* пробела: автор ничего не понимает в квантовой физике.

В книге используется математический аппарат средней сложности. Только часть этого аппарата превышает уровень стандартного курса анализа: функциональные уравнения и несколько элементарных топологических понятий. Читатель, знакомый с анализом, сможет легко и с пользой для себя ознакомиться с элементами теории функциональных уравнений по прекрасной книге Акселя [2]. Как функциональные уравнения, так и топологические понятия применяются только в доказательствах, которые не являются необходимыми для понимания результатов.

Стиль сотрудничества

Наконец несколько слов о сотрудничестве автора со своими соавторами. Отправной точкой для книги послужила брошюра «Die axiomatischen Grundlagen einer allgemeinen Theorie des Mes- sens». Эта брошюра вместе с неопубликованными набросками автора дала материал для настоящей книги. В подготовке гл. 3——9 основную помощь оказывал Г. Хубер. С ним были тщательно обсуждены все темы, и он либо подготовил, либо переписал многие

Книга Кранца Д., Льюса Р., Суппеса П. и Тверского A. (Krantz D. Н・， Luce R. D., Suppes Р., Tver sky A., «Foundations of measurement») вышла в 1971 г. в Academic Press, New York — London.— Прим, перев.

части этих глав. Автор желает поблагодарить Немецкое научноисследовательское общество, которое дало возможность м-ру Хуберу сосредоточиться на этом исследовании в течение двух лет.

В. Бауманн играл важную роль в окончательном оформлении гл. 1, 2, 12, разд. 6.6 и 9.5. Кроме того, с его участием была доказана лемма 3.8.4.

Благодарности

Автор благодарен также целому ряду ученых, сделавших замечания при обсуждении теории измерений, например сотрудникам Математического научно-исследовательского института Оберволь- фах, Отдела экономических исследований в Принстонском университете (директор О. Моргенштерн), участникам съезда по методологии и философии науки в Станфорде, сотрудникам Фордовского института в Йенне (возглавлявшегося тогда С. Сагороффом) и Отдела теории измерений, созданного Кумбсом в Мичиганском университете, Анн Арбор, в 1965 г. Состоявшиеся по этому вопросу обсуждения были весьма полезны.

Дискуссии с м-ром М. Левиным в Анн Арбор оказали большое влияние на содержание гл. 10 и 11. Автору хотелось бы поблагодарить его за предоставленную возможность использовать не опубликованные им материалы.

Автор признателен ученым, сделавшим ценные замечания по первоначальному черновику рукописи, и среди них Дж. Акселю, П. С. Фишберну, Р. Д. Льюсу, А. Кютцельнигу, Г. Мюнцнеру (за указание на работу Цермело), Г. Шмеркотту, Г. Шнивейсу, С. С. Стивенсу, А. Тверскому и С. Хиппу.

Наконец, автор желает поблагодарить К・ Ленарта и Р. Мин- трона за их помощь в подготовке гл. 10 и 12, а также Л. Рогга, который на последней стадии издания устранил много ошибок, не замеченных ни автором, ни соавторами.

О языке книги

Читатель может удивиться, почему автор, родной язык которого немецкий и который живет в стране, где говорят по-немецки, публикует свою книгу на английском языке. Причина этого очевидна. Он потерял бы много читателей, если бы опубликовал книгу на немецком языке, а публикуя ее на английском,— не теряет ни одного потенциального читателя. Позвольте мне закончить свои объяснения выражением надежды на то, что читатель простит мне все недостатки текста, связанные с несовершенным владением английским языком.

Глава 1

ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ

7・/・ Свойства 必 их проявления

Объектами измерений являются свойства. Вес, цвет, умственные способности — типичные примеры для иллюстрации смысла, который здесь придается слову «свойство». Если мы говорим о различных проявлениях свойства, то имеем в виду, например, красный, голубой, зеленый,...——в случае цвета или различные степени развития умственных способностей г).

Конечно, свойства существуют только в связи с эмпирическими объектами, такими, как физические тела, электромагнитные волны, люди. Электромагнитные волны, например, обладают свойством «цвет». Обычно один объект проявляет различные свойства: тон, например, обладает громкостью, высотой и тембром. Измеряя одно свойство, мы пренебрегаем всеми другими свойствами, которыми может обладать объект. При измерении веса, например, мы пренебрегаем такими свойствами тел, как форма и цвет. При измерении оттенка мы пренебрегаем яркостью и насыщенностью, а также временем и местом восприятия цвета. Таким образом, совершенно несходные объекты могут стать эквивалентными, если наше рассмотрение ограничено одним свойством: например, все тела одного веса считаются эквивалентными безотносительно к их форме и цвету.

Когда мы говорим, что свойство обладает определенной структурой, мы имеем в виду любую структуру, детерминированную эмпирическими отношениями между эмпирическими объектами. Эта общая формулировка также распространяется на случай «эмпирических отношений», которые представляют собой «утверждения

Мы не будем, подобно Торгерсону [1], называть «атрибутом» измеримое свойство и «величиной»— его проявление, так как, по-видимому, нет необходимости проводить терминологическое различие между свойствами вообще и измеримыми свойствами. Мы также будем избегать применения слова «континуум» (употребляемого, например, Стивенсом и Торгерсоном) к множеству всех возможных проявлений данного свойства, так как этот термин относится к очень большому и связному множеству. Несмотря на то что в большинстве практических случаев так оно и будет, в общем случае это неверно и потому при применении этого термина не было бы согласования с общей терминологией. В соответствии с общей терминологией мы будем говорить о метатетических и протетических свойствах вместо метатетического и протетического континуумов по С. Стивенсу.

субъектов о субъективных отношениях между эмпирическими объектами». В качестве примера рассмотрим свойство, называемое «высотой тона». Простейшим эмпирическим отношением между двумя тонами, связанным со структурой этого свойства, является утверждение испытуемого о том, какой из двух тонов выше. Далее, испытуемый может определить высоту тона, лежащую между двумя данными высотами. Такие отношения придают особую структуру свойству «высота тона». Часто структура свойства бывает более богатой. Рассмотрим в качестве другого примера свойство ««электрическое сопротивление». Простым сравнением мы можем определить, имеют ли два реостата одинаковое электрическое сопротивление, и если нет, то сопротивление какого из них больше. Кроме того, реостаты можно включить последовательно, и такая операция придает свойству «сопротивление» определенную структуру, формально эквивалентную аддитивности.

Несмотря на то что мы всегда исходим из отношений между объектами, предмет измерения составляют свойства, а не сами объекты.

Читатель, желающий подробнее ознакомиться с общими проблемами измерений, может обратиться к работам Торгерсона [1, гл. 1, 2} и Адамса [2].

12 Представление свойств на разговорном языке

При неформальном подходе, когда речь идет о свойствах, употребляют только классификационные понятия. Для изоморфного представления этой довольно грубой структуры вовсе не обязательно использовать числа; слова полностью удовлетворяют поставленной задаче. Наш словарный запас для выражения оттенков цвета мог бы служить номинальной шкалой для свойства «оттенок». Она, однако, не будет номинальной шкалой в строгом смыслег определенном в разд. 4.1, поскольку, например, одним и тем же словом «зеленый» обозначается очень много легко различимых цветов. Поэтому номинальные шкалы для оттенков в двух различных языках не обязательно взаимно однозначно соответствуют друг другу.

Язык можно использовать даже для формирования довольно грубой шкалы порядка. В индоевропейских языках отношение между двумя проявлениями одного и того же свойства можно выразить с помощью сравнительной степени прилагательного, как, например, теплый ——теплее. Если язык и дает возможность выявлять различия между большим числом градаций, то систематическим образом это недостижимо. Рассмотрим для примера последовательность

горячий — теплый — тепловатый — прохладный —— холодный — ледяной.

Ничто не указывает на то, что эти слова обозначают проявления одного и того же свойства и что между ними существует отношение порядка. Тем не менее индоевропейские языки демонстрируют высокую степень абстракции, так как они обладают специфической категорией слов для выражения свойств.

В более примитивных языках одно и то же свойство иногда обозначается различными выражениями в зависимости от объекта — носителя этого свойства. В алгонкинских языках '), к примеру, su означает, что одушевленный объект объят огнем, a ta означает то же для неодушевленного объекта.

Ясно, что очень важно уметь описать структуру свойства точнее и систематичнее, чем это позволяет язык. Лингвистическое различение близких проявлений подчас слишком грубо: для научного анализа необходима более тонкая градация. Для того чтобы выразить даже такой простой закон, как «свойство А монотонно связано со свойством В», необходим систематический способ выражения отношения между двумя проявлениями свойства. Обе цели —— более тонкое различение и систематическое выражение отношения порядка ——можно достичь, если выразить проявления свойства действительными числами, а не словами. Законы, выражающие более сильную связь, чем монотонная зависимость между свойствами, требуют представлений реальности, отображающих структуры более сложного типа, чем просто порядок (например, аддитивность или расстояние). Для этой цели практические преимущества того, что мы пользуемся числами вместо слов, несомненны.

Уже при неформальном подходе можно заметить, что в зависимости от ситуации для измерения одного и того же свойства употребляются различные меры. Высота дерева, например, измеряется в футах, расстояние между двумя деревнями ——в часах ходьбы пешком. Хотя измеряемое свойство одно и то же, а именно длина, оно имеет различное операционное значение и потому измеряется в разных шкалах. Эволюция шкал часто имеет более глубокие корни. Естественной единицей измерения площади служит площадь, которую может эксплуатировать одна семья. Эта площадь будет различной для сельскохозяйственных и охотничьих обществ. Итак, мы видим, что связанные друг с другом шкалы (такие, как шкала для длины и шкала для площади) могут определяться независимо (например, «час ходьбы пешком» для длины и «площадь, которую может эксплуатировать одна семья» для площади).

Разработка согласованных систем общепринятых шкал является одним из первых признаков перехода к научному периоду развития общества.

Группа языков индейских племен Северной Америки.— Прим. р«0.

Системы с отношениями

Ситуацию, представленную в приведенных выше примерах, можно описать более формально (Суппес и Зинес [1]) следующим образом. Пусть Л —множество эмпирических объектов с определенным на нем набором отношений R» (i £ /).

Определение. Множество Л вместе с заданным на нем множеством отношений Ri (i W /) называется системой с отношениями (с. о.) и обозначается через <Д; (R»%z〉 или (Л; R* ... ° ..,欠九〉,если / = {1, . . ., п}. Там, где это будет удобно, с. о. <4; (RiXcz〉будет сокращенно обозначаться символом А г).

Приведем несколько простых примеров с. о. . Пусть Л — множество звуковых тонов, а & — отношение (эквивалентности )), которое будем обозначать символом ^. Отношение ^ (а, Ь) (или а а Ь) выполняется тогда и только тогда, когда тоны о, b имеют одну и ту же высоту. Соответствующую систему с отношениями будем обозначать (Л; ^). В дополнение к эквивалентности (^) можно определить отношение порядка: Y (а, Ь) (или а Y Ь) выполняется тогда и только тогда, когда высота тона а ниже высоты тона Ь. Если наряду с отношением эквивалентности учитывать отношение порядка, то система с отношениями имеет вид (Л; «, Y〉. В рассмотренных до сих пор примерах встречались только бинарные (2-местные) отношения. Примером 4-местного отношения служит отношение D (a, b, с, d), которое выполняется тогда и только тогда, когда расстояние между а и Ь равно расстоянию между end (см. пример 9.1.7). Примером унарного (1-местного) отношения на множестве людей А может служить множество {а ^ А: а сделана прививка} или множество {а ^ А: фамилия а Миллер}.

В общем случае Rz будет 左厂местном отношением (т. е. отношением с kt аргументами), где 力之一положительное целое число. 1・3・2・ Определение. Если Rg есть 々厂местное отношение на А, то (k^i^i называется^типом системы с отношениями (Д; (RDt^i〉.

Удобно характеризовать 々-местное отношение R множеством таких 々-наборов (^,・・.》。女)€4', для которых выполняется R (%, • • •, aQ, т. е.

R = {(&，• • •，〃Q £ 4'： R (%，• • •，“J выполняется}.

Если А — множество действительных чисел, то, например, отношению а《Ь соответствует заштрихованная на рис. 1 полуплоскость.

Множество А называется носителем системы с отношениями А.— Прим, ред,

Через R мы будем обозначать множество в Akt характеризующее отношение R, и через R @, • •.,陶—значение характеристической функции этого множества в точке (а】，...,〃&)•

Таким образом, записи

(а】，• • а» £ R и R 仇，•・•，陶=1,

а также

(%,…，aQ 0 R и R Q, . . ., qQ = О эквивалентны.

Если 〈4; (Q)诏z〉есть с. о. и Ло — подмножество в Л, та <А0； (Ri)®〉обозначает с. о. (Ло; (R П 4笛®〉，т. е. систему

Рис. 1.

с отношениями, полученную из (Л; (Ri)iei ^ сужением отноше- ний R» на подмножество Ло.

Структура множества Л может определяться не только отношениями, но и операциями, например операциями бисекции или сложения. Если некоторая операция о ставит в соответствие каждому 瓦набору (а】,•・.,qQ € Ah единственный элемент о (а19 ... ...,“Q € 4 To можно описать ее 但 + 1)-местным отношением Rq, определенным следующим образом:

(的,・・.,akf 匆+i) € Ro тогда и только тогда, когдао(〃и • . “Q =

3.3. Определение. Система с отношениями А = {A; (Rz)t£i〉 называется алгеброй, если все отношения R» являются операциями. Система с отношениями называется (й-мерной) числовой системой с отношениями 他.с. о.), если Л = К* где К — множество действительных чисел.

Если множество Л состоит из эмпирических объектов и отношения R» на А определены эмпирически, то система (Л; (Rt)t£i〉 будет называться эмпирической системой с отношениями (з. с. о.). Для дальнейших рассмотрений не имеет значения, как на практике были определены эти эмпирические отношения. Они могут быть основаны на операциях с физическими объектами (как последовательное подключение реостатов) или на реакциях испытуемых.

7・4・ Отношения эквивалентности л конгруэнтности

Определение. Бинарное отношение ^ на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами © * b означает ^ @ b) = 1 屮

рефлексивность: а ^ а для всех а А\

симметричность: если а ^ Ь, то b ^ а для всех а, & £ А;

транзитивность: если а~Ь и b ^ с, то а ^ с для всех а, &, с £

Класс эквивалентности элемента а ^ А^ т. е. множество всех элементов из Л, эквивалентных а, будет обозначаться а. С помощью классов отношение эквивалентности можно охарактеризовать следующими свойствами:

а £ 2 для всех а А,

для всех а, b ^ А либо К f] X = 0, либо а =3.

Определение. Пусть А = (Д; (R»)%z〉—— c・ о・・ Отношение эквивалентности л; на множестве А называется отношением конгруэнтности для А, если оно обладает свойством подстановки, т. е. для каждого i£ / из совместного выполнения отношений (а^ •••,〃％)£ £4”(а；, •・•，碌)£{3, 〃j^a， для j=l,・・•，財 следует, что Ri (〃1, • • •, “月j) = Ri (。1，• • •，^P •

Замечание. Утверждение «для каждого i£/ из совместного выполнения отношений (〃外• • •, @々)£4勺, j£{1, • • •,々», &£』, 〃^^ 〃j следует, что R» (〃】，...，'&) "^ R» (°i, • • •, QjT, a, 〃j+i, • • •, а& )》

а (а, Ь) обозначает здесь характеристическую функцию отношения а.— Прим. реЭ.

формально слабее, чем свойство подстановки, однако последнее из него рытекает. Действительно, пусть а；« а； для /= 1, ..., ^f. Тогда 7?t (“1, “2, • • •, °丸3== Е» (“1，&, • • •, "%)== R» (%，“2，•…，“&)^^ =—Ri (a1, a2，， ， ，，"勺)*

Для с. о.〈R; &〉с отношением Rt = {(х, у):炉 < у2} примером отношения конгруэнтности служит отношение《％ ^ у тогда и только тогда, когда % = у или % = — у》. Для э. с. о. можно привести следующие примеры отношения конгруэнтности: при измерении веса тело можно заменить любым другим телом того же веса независимо от его формы, плотности, цвета и т. д.; при измерении высоты тона тон можно заменить любым другим тоном с той же высотой независимо от его громкости и окраски. Если бы это сделать было нельзя, то не существовало бы такого не зависящего от громкости и окраски свойства, как «высота тона》.

1・4・4、 Определение. Говорят, что отношение эквивалентности «2 грубее отношения эквивалентности «1Т если ^】и 忌2， или, что то же самое, если из а 大^匕 следует a a;2b.

Теорема. Для каждой с. о. А = <Д; (/?»%□〉 существует (однозначно определенное) грубейшее отношение конгруэнтности « а (т. е. а а п ^ для каждого отношения конгруэнтности & для А).

Доказательство. Определим отношение «А следующим образом: а^ Ааг тогда и только тогда, когда для всех i“， / == 1, 自 м 〃],・••，Qj-i, Qj+i, • • •, Q& W 4

R» (%,・••，“j-i, a, Qj+i, • • •,匆J = (@i, • • •,的-1, Q » 的+1, • • •, Q&)・

Очевидно, что л；а есть отношение эквивалентности. Кроме того, согласно замечанию 1.4.3, оно является отношением конгруэнтности для А.

С другой стороны, пусть ^ есть отношение конгруэнтности для А н a ^ а'・ Так как х ^ х для каждого х ^ А, то а 内厶館・

Итак, элементы из Л, принадлежащие одному и тому же классу эквивалентности, можно отождествить по отношению 力а・ Действительно, эти элементы нельзя различить с помощью только заданных в системе отношений. С другой стороны, элементы, принадлежащие различным классам эквивалентности, можно различить с помощью заданных отношений: если a 击а〃'，то найдутся такие i£/, / W{1, 財} н “1, • •・，〃/т, 的+i, • • ♦, а»； £4, что

R» (“1, • • •, “j—i, a, “j+i, • • •，'％) ^^ Rt (“i, Qj-i, a ,。/+1, • • •, 〃&)•

Если А = (А; 的)跑1〉一 э. с. о., то множество Д состоит из эмпирических объектов. Со строго формальной точки зрения

измеряемое свойство определяется эмпирическими отношениями Rz (i £ /). Классы эквивалентности, индуцированные отношением конгруэнтности «а» соответствуют различным проявлениям этого свойства.

Исходя из с. о. А = (Д; (/?。££工〉 и отношения конгруэнтности ^ для А можно ввести с. о. А/^ = (Л; (Rt)®〉 того же типа, что и А. Элементами множества Л будут классы эквивалентности, индуцированные отношением ^. Отношения между элементами из Л однозначно определяются отношениями между элементами из Л, «представляющими» классы эквивалентности:

Е» (а】，• • •，“儿，=R» (〃i, • • •，，左 J а〃只。了 £ "j (j== 1,…•，財)•

Определение. С. о. А/« называется факторсистемой с отношениями системы А по модулю ».

Так как классы эмпирических объектов являются эмпирическими объектами, то факторсистема А/* есть эмпирическая с. о. одновременно с А.

Определение. С. о. А называется неприводимой, если «а есть отношение равенства (т. е. если равенство ;— единственное отношение конгруэнтности для А).

Теорема. Для любой с. о. А факторсистема А = А/«а неприводима.

А/^а будем называть неприводимой с. о., соответствующей системе А.,

Доказательство. Пусть 〜 есть грубейшее отношение конгруэнтности на А и a^af. Тогда

Rz (@i, • • •, “j—i, ",的+1, • • • • “勺)==Rt (%,・••，@jT, а ' @j+i, • • •»，勺｝ д«ля всех i £ /, J —^ 1, • • •,々j и а】,•.., а)т，〃j+i, • • •, 〃‘》£ Следо— вательно,

Rt (“1, •…,“j-i, а,的+1，• • •，'々)= =Rz (%,・••, Oj-i，〃 , “j十i, • • •, “勺) для всех i £ /, j = 1, . • •，財 и %, • • •, а；_й “升㈠• • •，а& € #• Отсюда вытекает, что а «а^\ т. е. 〃 = а'・

1.5. Отображения, гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть А и 8 ——два произвольных множества. Функция т> ставящая в соответствие каждому элементу a g Л элемент т (а) £ В, называется отображением множества Л вВ и обозначаетсят\ А-^ 8.

Элемент m (а) называется значением отображения m в точке а или образом элемента а при отображении т. Для любого подмножества А' множества Л обозначим через т (Д') множество {т (а): а £4'}. Множество А называется областью определения отображения т, множество В ——множеством его значений. В общем случае не предполагается, что m (а) принимает все значения из В; могут найтись элементы b £ В, для которых не существуют такие а, что b = т (а), т. е. т ⑷ может быть собственным подмножеством множества В. Если m (Л) = В, то отображение m называется отображением на (в отличие от отображения в) В.

Отображение можно рассматривать как совокупность пар (a, m (а)), в которых на первом месте стоит элемент из Л, а на втором —соответствующий элемент из В. Если А содержит конечное число элементов а19 . . ., аП9 то отображение т полностью определяется таблицей

аа/п(а)т (%)加(&)

а

а

М〃п)

Так как отображение всегда однозначно, то не существует элемента а ^ А, которому соответствуют более одного значения m (а). Отображение называется взаимно однозначным, если каждый элемент множества В является образом также не более одного элемента из Л.

Если В' — подмножество в В, то через гтг1 (5‘)будем обозначать множество всех элементов из Л, образы которых принадлежат В\ т. е. т-1 (5‘) = {а £ 4: т (а) £ В'}. Множество т^1 (Bz) называется прообразом множества В\ В частности, /п"1 ({Ь}) (или просто m~i (Ь)) есть множество всех элементов из Л, для которых элемент Ь является образом. Если m — отображение в, а не на, то множество ггг' (Ь) для некоторых элементов из В будет пустым. Если т ——взаимно однозначное отображение, то т~' (Ь) для каждого b £ В содержит не более одного элемента.

Определение. Пусть даны две с. о. одинакового типа, скажем А = <Д; (RijiEi^ и В =密；(SD®〉・ Отображение m множества Л в (на) В называется гомоморфизмом системы А в (на) В, если для всех г С / и (%,..., а%) £

R» (%, • • •, "%)== S» (т (а) • •.,加(а%)).

Определим отображение 加色)：Лл т В* положив

加色)(%,..•, a/ =(加(a0, . • .，加(匆)).

Отображение т будет гомоморфизмом системы А в В тогда и только тогда, когда для всех

R» =加& (S»)・

В этом определении гомоморфизма мы следуем Скотту и Суппесу [1]. Тарский [1] и Робинсон [I] называют отображение т гомоморфизмом, если

(*) 凡и加耳(SJ цли, что эквивалентно,

Ri (^ь • • •» &勺)=I влечет Sf {т (%), • • •，加(〃&)) = 1.

Поскольку это представление принято в алгебре (см. определен ние 1.3.3), отображения т, удовлетворяющие условию (*) мы будем называть алгебраическими гомоморфизмами.

Определение. Изоморфизмом системы А на В называется гомоморфизм системы А на В, который является взаимно однозначным отображением. ,

Если т — изоморфизм системы А на В, то т"1 — изоморфизм системы В на А. Таким образом, разумно называть системы с отношениями А и В изоморфными, если существует некоторый изоморфизм системы А на В.

Приведем простой пример двух изоморфных ч. с. о.. Пусть А =〈К; V,+〉，В =〈К+; V, •〉，где V, + и • означают соответственно порядок, сложение и умножение действительных чисел. Отображение m: Kf К+ = {г £ К: г > 0}, определенное по формуле т (х) = ехр х, есть изоморфизм, так как оно взаимно однозначно и

% Vp тогда и только тогда, когда exp х Vexp у, z = х + у тогда и только тогда, когда exp z = ехр х -ехр у.

Определение. Автоморфизмом системы А называется ее изоморфизм на себя.

Тождественное отображение (ап (а) = а для всех а £ 4) является автоморфизмом системы А. Примеры нетривиальных автоморфизмов будут даны в разд. 1.8.

Определение. Пусть Л, В, С — множества, т — отображение из Л в В, п — отображение из В в С. Обозначим через 几。/и: 4 С отображение, определенное равенством 几。团(а) = n (m (а)).

Теорема. Пусть А, В, С — системы с отношениями. Если m — гомоморфизм из А в В, п — гомоморфизм из В в С, то 几。团一 гомоморфизм из А в С. Если тип ——изоморфизмы, то гют — также изоморфизм.

Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из определений 1.5.1—1.5.4.

Следствие. Всевозможные автоморфизмы с. о. А образуют группу относительно операции 。(эта группа называется группой автоморфизмов системы А и обозначается ГА).

Доказательство. Если 加厶 т2 — автоморфизмы, то по теореме 1.5.5 т^т^ — также автоморфизм. Тождественное отображение играет роль единицы этой группы. Для произвольного автоморфизма т отображение т— есть также автоморфизм, a mW4 — тождественный автоморфизм.

Следующие теоремы касаются связи между гомоморфизмами и отношениями конгруэнтности.

Теорема. Пусть А = (Л;(鼻)编〉，В =〈5; (SDij〉一 с. о. одинакового типа и т — гомоморфизм системы А в В. Бинарное отношение % определяемое условием

(*) а к d тогда и только тогда, когда т (а) — т (а'), есть отношение конгруэнтности для А. (Оно называется отношением конгруэнтности, индуцированным гомоморфизмом т.)

Доказательство. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения а непосредственно следуют из соответствующих свойств отношения = . Таким образом, а есть отношение эквивалентности. Пусть i g /, 〃(左“ =(%, . • •, 〃%)£/&, g&)= •…，成J£/“， причем “j^G для всех j = l,...，財. Тогда 加(勺)(〃@卩=加(%)(〃&)) по определению ^, а так как т — гомоморфизм, то

& (伙&)) = Sz (加(&)(〃(石)))=Si (m(%)(&&))) = Rt {a[k^ •

Следовательно, ^ есть отношение конгруэнтности для А.

Приведем теорему, обратную к теореме 1.5.7.

Теорема. Пусть А = (Л; (Q)®〉一 с. о. и т — отображение множества Л в В. Предположим, что бинарное отношение на Л, определенное условием теоремы 1.5.7, является отношением конгруэнтности для А. Тогда существуют отношения S» (/ £ /) на В, однозначно определенные на т^ (4%) и такие, что m —— гомоморфизм системы А в В =〈В; (S/j〉，а именно

St = m(%)(а).

Доказательство. Так как бинарное отношение, определенное условием (*) теоремы 1.5.7, есть отношение конгруэнт-

ности для А, то т^^ (加(&)(内，・• •,匆,)и Q для каждого i g / и (а^ ..., ak^Ri- Таким образом,加為)(〃z(%)(R。)и R” Включение т^0 (/n(fe.)(R0) zd R» очевидно для любого отображения. Отсюда 加М,(团(冗2)(ED) = Rt и, согласно определению 1.5.1, m есть гомоморфизм системы А в (В;(加(3)(Rz))ea〉・C другой стороны, если т — гомоморфизм системы А в (В; (St)iei)^ то .& =加為)(5。，％£/• Так как 〃z(勺)отображает А& на 加(勺)(4%), то St Q 加(勺)(4融)= 亍 ^(力)(Rz)，i £ /•

Теорема. Пусть А = (Л; (/?»卜门〉一с. о. и ^ —отношение конгруэнтности для А.

Отображение h: а-^ а есть гомоморфизм системы А на фак- торсистему А2 = А%.

Если, кроме того, ^х — отношение конгруэнтности для Аь то система AJ^i изоморфна системе А/«о， где 力。=九"(«J, или, что то же самое, а ^^Ь тогда и только тогда, когда а ^^Ь.

Доказательство, (i) Отображение т = h удовлетворяет условию теоремы 1.5.8. Согласно определению 1.4.6, R» = =九融(Rt)・ Таким образом, из теоремы 1.5.8 следует, что Я — гомоморфизм.

Пусть 111Hh° — гомоморфизмы, «х и »0 ——соответствующие им отношения. По определению ^。множество %。廿。历，(с) состоит из одного элемента, скажем m (с), для каждого с £ А1/я^「 Кроме того, m взаимно однозначно отображает AJ" на А/^。. Так как 九。——гомоморфизм, то для каждого i £ /

加為)(n)=仙(融)。%(内)0砧勺)(R?)=加(融)。hз(R) •

По определению факторсистемы справа записано 沁 отношение из с. о. А]/^]. Итак, m — взаимно однозначный гомоморфизм, т. е. изоморфизм.

Следствие. Пусть А — неприводимая с. о・・ Если m — гомоморфизм системы А в с. о. В, то он взаимно однозначен.

Доказательство. Так как отношение конгруэнтности, индуцированное гомоморфизмом т, должно быть равенством, то из т (а) = т (М) следует, что а = а\

Определение. Пусть А = (Л; (R»®〉一 с. о., А°и А. Обозначим через Га (Ло) множество всех взаимно однозначных гомоморфизмов системы《人；(R)®〉в А. Элементы множества ГА (Ло) называются частичными эндоморфизмами системы А (определенными на Ло)-

Если у g ГА и Ло<= Д, то у | 4° (т. е. сужение элемента у на Ло) принадлежит ГА (Ло). В общем случае ГА (Л) содержит элементы, не являющиеся автоморфизмами системы А. Кроме того, множество ГА(Д0), 4。и 4, содержит элементы, которые нельзя продолжить до автоморфизмов системы А.

Пусть А = (Z; V〉，где Z — множество всех целых чисел и V—обычный порядок. Тогда отображение а, определяемое равенством а (а) = 2a для всех а С 4, принадлежит ГА (Л), но не принадлежит ГА.

Пусть система Л та же, что и в 1), и пусть Ло — множество всех четных чисел. Определим отображение а равенством а (а) = а/2 для всех а £ Ло. Тогда а ^ ГА (Ло), но а нельзя продолжить до элемента из ГА, так как а отображает на 4 = Z.

Пусть А =〈К+; <), Д)= {г£ К+： гV 1}, а ⑺=—log(l—г) для г g Ао. Тогда а^ ГА (Ло), но, как и в 2), а нельзя продолжить до автоморфизма системы А.

Теорема. Пусть А =〈А; (Rdi^i) — неприводимая с. о・, В =〈5; (Sf)iGj) — произвольная с. о. того же типа, Ж — множество всех гомоморфизмов системы А в В и mQ — произвольный элемент множества 赦.Тогда 欢={丫。加()：уЕГв (т0(А))} и все элементы множества 5Ш являются взаимно однозначными отображениями.

Доказател ьс тво. Согласно следствию 1.5.10, все элементы множества 9Jt являются взаимно однозначными отображениями. Таким образом, 恤一изоморфизм системы А на (т0(Д); (5力审〉・ По теореме 1.5.5 для любого у^ Гв (/и0 (Л)) отображение 丫。恤 есть гомоморфизм системы А на В. Для любого 加仁版 отображение т。叫1 есть изоморфизм системы (т0 (Л); (S^^i) на (т (Л); 《Sz)®〉； таким образом, m о т^^Гв (т0(Д)) и т = (то т^) о mQ.

Определение шкал

Под (k-мерной) шкалой г) мы понимаем гомоморфизм т неприводимой эмпирической с. о. А = (Д; (RtLa〉в (々-мерную) ч. с. о. В = 〈йЛ； (Sj®〉. Мы вынуждены использовать общее понятие гомоморфизма в (а не на), так как в общем случае образ m (Л) зависит от m 2).

Образы элементов множества Л при этом гомоморфизме будут иногда называться «шкальными значениями». Так как это отображение есть гомоморфизм, то из числовых отношений между шкальными значениями мы будем делать выводы об эмпирических отно-

По терминологии Менгера [1] отображения, области определения которых состоят из «экстраматематических сущностей» (нематематических объектов), называются флюентами.

Более того, если А — конечное или счетное множество, то при В = К左 гомоморфизмов на вообще не существует.——Прим. ред.

шениях между эмпирическими объектами: объекты 的，...,ak. находятся в отношении R» тогда и только тогда, когда соответствующие шкальные значения m (^), . . ., m (“在)находятся в отношении Sj. Очевидно, что требовать выполнения условия «тогда и только тогда» необходимо; исключение из формулировки этого условия «только тогда》означало бы, что даже если отношение Rt (“и . . ., aQ и выполняется, то по шкальным значениям т @), . . ., m (〃假)этот факт может быть нераспознаваем.

° Чем больше отношений принимается во внимание при определении шкалы, тем больше шкальные значения говорят нам о действительности. Поскольку мы хотим, чтобы шкалы содержали как можно больше информации, мы будем требовать, чтобы при отображении множества А в ^ были приняты во внимание все известные эмпирические отношения. Поэтому пренебрежение, скажем, аддитивным отношением, если его можно определить эмпирически, было бы потерей информации при построении шкалы, гомоморфно отображающей отношение порядка.

Отношения St (i £ /), использованные в определении шкалы, соответствуют эмпирическим отношениям. Есть ли смысл при исследовании реальных свойств использовать другие числовые отношения между шкальными значениями? Этот вопрос мы обсудим в гл. 2.

Для данной произвольной э. с. о. А = (Л;(氏力㊁〉существует однозначно определенная неприводимая э. с. о. А = (Л;(友0诧工〉, соответствующая системе А (см. теорему 1.4.8 и интерпретацию системы А в разд: 1.4). Если т — шкала, отображающая фактор- систему А в числовую с. о. В, то отображение т\ а-^а-^т(а) есть гомоморфизм системы А в В, так как по теореме 1.5.9 отображение а-^ а есть гомоморфизм. Всякий раз, когда слово «шкала» употребляется в связи с приводимой э. с. о., мы подразумеваем отображение т, индуцированное шкалой т, соответствующей неприводимой э. с. о..

/. 7. Единственность шкал

Отображение А ^ ^ условиями гомоморфизма определяется не единственным образом. Вообще говоря, существует целый класс шкал, гомоморфно отображающих данную неприводимую э. с. о. А в данную ч. с. о. В. Этот класс шкал мы будем обозначать через： 歌 (А, В) или, короче, ЗЛ, если не возникнет неопределенности. Иногда шкалы, принадлежащие классу ЗЛ, мы будем называть эквивалентным и, а сам класс ЯЛ — классом эквивалентных шкал. Поскольку у нас нет критерия для выбора одной-единственной шкалы из такого класса — той конкретной шкалы, с которой нам

в действительности придется столкнуться,— везде, где мы будем говорить о шкалах, мы будем иметь в виду классы эквивалентных шкал.

Если задана шкала /л。, принадлежащая 脏 (А, В), то с помощью， внутренних свойств системы В, а именно ее частичных эндоморфизмов, можно охарактеризовать весь класс шкал Ж (А, В): в соответствии с теоремой 1. .12

脏(А, В) = {丫。恤：丫 С Гв (т0 (Л))}.

Эта запись, грубо говоря, показывает, что две шкалы эквивалентны тогда и только тогда, когда существует частичный эндоморфизм данной ч. с. о., отображающий одну шкалу в другую. Элементы множества Гв (т0 (Л)) частичных эндоморфизмов мы. будем называть допустимыми преобразованиями шкалы т^ так как они переводят шкалу т^ в эквивалентные шкалы. Преобразования, не являющиеся допустимыми, приводят к отображениям, которые не являются гомоморфизмами системы А в В и потому не являются шкалами в определенном выше смысле.

В определении шкалы есть еще одна неопределенность, имеющая совершенно другую природу. Эта неопределенность связана с тек фактом, что числовая система с отношениями сама по себе определяется не однозначно. Может быть несколько числовых систем с отношениями, в которые гомоморфно отображается данная эмпирическая система с отношениями. Согласно примеру, приведенному после определения 1.5.2, ч. с. о. 〈К; <, +) и 〈％+; <, •〉 изоморфны. Поэтому, если э. с. о. (Д; R, можно отобразить гомоморфно в〈К; <, +), ее также можно гомоморфно отобразить, в 〈R/; 之，• ). Выбор одной из этих двух ч. с. о. для построения шкалы производится просто из соображений удобства. Если, например, выбирается одна из двух ч. с. о. 〈К; <, +〉или 〈К+; <, •〉* то первой будет отдано предпочтение перед второй, так как операция сложения проще операции умножения.

Некоторые типы шкал

Шкалы наименований

Простейшая эмпирическая система — система (Л; ^ ), основанная на отношении эквивалентности ^. Это отношение эквивалентности есть грубейшее отношение конгруэнтности; соответствующей неприводимой с. о. будет система (Л; =〉， где Л —— множество классов эквивалентности системы 〈/; ^〉. Числовая шкала, отображающая (Л; =〉в 〈％; =〉 (или в более общем случае в (iKfe; =)), существует тогда и только тогда, когда мощность множества А не более континуума. Если шкала существует^ то она дает информацию или только о том, равны ли два элемента

,〃2 W # или, если рассматривается индуцированная шкала для Л м. разд. 1.6), только о том, эквивалентны ли два элемента ,а2 Е. А.г

Определение. Взаимно однозначное отображение системы

(Л; =〉 в систему (R; =〉 называется шкалой наименований.

Так как шкала наименований дает только минимум информации, существует очень много таких шкал. Для данной шкалы наименований т0 шкала ^т0 есть снова шкала наименований для любого взаимно однозначного отображения у множества т0 (Л) в К (см. теорему 1.5.12).

Шкалы порядка

Во всех встречающихся на практике случаях э. с. о. А содержит по крайней мере отношения эквивалентности и порядка, при которых соответствующая неприводимая с. о. представляет собой упорядоченное множество. Для удобства записи будем считать, что сама система А упорядоченна, т. е. А = <А; <), где V — бинарное отношение порядка, удовлетворяющее условиям

для всех 的,& £ 4 или % = &, или q V&，или & V〃i；

для всех alt а2, а3 ^ Д из ^ <а2 и “2 V&3 следует а】 <а3.

(Такие с. о. соответствуют «упорядоченным системам», рассматриваемым в разд. 3.2.) В частности, множество В =〈К; V〉всех действительных чисел с естественным отношением порядка есть упорядоченное множество. Может показаться разумным употреблять термин «шкала порядка» для гомоморфного (т. е. монотонного и потому взаимно однозначного) отображения m системы А в В, так как порядок на множестве А определяется порядком на К. Однако одного этого недостаточно: топология на Л, определенная отношением порядка V, не будет совпадать с относительной топологией множества m (Л), индуцированной естественной топологией на К (которая совпадает со своей порядковой топологией). Так как общий метод «порядковой топологии» будет излагаться только в разд. 3.4 и 3.5, здесь мы определим шкалу порядка на языке классов допустимых преобразований.

Определение. Шкала т: Л -> К называется шкалой порядка, «если она единственна с точностью до монотонно возрастающих непрерывных отображений множества т (Л) в К〉

Для более подробного изучения шкал порядка см. разд. 4.2 и 4.3.

Таким образом, здесь шкала определена посредством описания множества SD? (А, В) (см. разд. 1.7). — Прим. ред.

Шкалы, единственные с точностью до групп линейных преобразований

Наиболее важные типы шкал — одномерные шкалы (5 = К), единственные с точностью до некоторых линейных преобразований множества К. Точнее, существует такая группа Г линейных преобразований множества К, что каждое преобразование V £ Гв (т (Л)) представляет собой сужение на m (Л) однозначно определенного элемента у £ Г, и обратно, сужение каждого у С Г принадлежит Гв (团 ⑷).Поэтому Гв (т ⑷)можно описать через Г.

Определение. Группа Гр положительных линейных преобразований из R на R, состоит из всех преобразований вида 丫&, в： х-> та%+6，где а£К+, 0£К. Групча 心={丫&,0： а ^ Я+} называется группой растяжений, а 】$ = {%, в： р С ^} — группой сдвигов. Шкала называется4) шкалой интервалов, отношений или разностей, если она единственна с точностью до положительных линейных преобразований, растяжений или сдвигов соответственно.

Замечание. Группа Га является подгруппой группы Гр. а Г5 — нормальной подгруппой группы Гр. Нормальные подгруппы Г ^ {?1, о} Группы Гр— это группы

<N)Г = {?а,в： a€G, pgK},

где G — подгруппа мультипликативной группы ВЛ.

Доказательство. Группа Г является нормальной подгруппой группы Гр тогда и только тогда, когда из условия vao, 6°£ Г следует, что

G) Ya,BYao,Bo Y試 6 = Yao,aBo+6(i-ao)£F Для всех а ^ R+, § £ К・

Пусть Г —нормальная подгруппа группы Гр,】¥={丫1, о}・ Тогда найдется такая пара (a0, po)=# (1, 0), что vao, р0€ Г. Если a0^= 1, то из (*) непосредственно следует, что

(**){丫《0, в： В £ К} и Г.

Если а°= 1, то В。护 0, и Г вместе с 丫厶 ％ содержит элемент Т1, _%• Согласно (*),

Yi BoagF и Yi.-Boa £Г ДЛЯ всех а>0.

Таким образом, (**) справедливо также для случая a0 = 1, так что Г есть группа типа (N). С помощью (*) легко проверить, что группы типа (N) нормальны.

Так как во всех практических случаях эмпирическое отношение порядка определяется порядком на К, то шкалы, единственные

Мы не будем использовать вводящие в заблуждение термины количественных шкал.

с точностью до линейных преобразований Го = {?% в： а £ К — {0}, В £ К}, не представляют интереса: отображения ?а, в при а <8 не сохраняют порядок.

Мы предполагали, что линейное преобразование v С Гр, Г^ или Г5 однозначно определяется индуцированным преобразованием у' £ Гв 仞(Л)). Таким образом, множество m (Л) должно содержать по крайней мере одну точку для шкал отношений и разностей и по крайней мере две точки для шкал интервалов.

Многомерное измерение

На практике почти никогда не встречается ситуация, когда мье рассматриваем только одно свойство, без связи его с другими свойствами. Даже если и можно говорить о том, что две монеты имеют разные веса, то бессмысленно говорить, что одна из них тяжелее, если при этом не «измеряется» другое (вероятно, качественное) свойство, которое позволяет различать монеты между собой. Если мы хотим проверить, например, закон Бойля ——Мариотта pV = RT для идеального газа, то недостаточно измерить сначала давление р у всех объектов, затем объем V и затем температуру Т, если после этого мы не можем узнать, какая из троек (р, V, Т) к какому объекту относится. Мы должны или для каждого объекта вместе с его давлением, объемом, температурой измерять его имя w, и тогда набор ((р,⑪),(У, ш), (7,侬))относится к определенному объекту, или же измерять р, V, Т одновременно для каждого объекта. В первом случае мы используем двумерные, во втором — трехмерные шкалы. Поскольку «имя» газа не фигурирует в законе Бойля — Мариотта и при некоторых условиях нельзя идентифицировать объект иначе, чем тройкой (р, V, Т)—— например, если экспериментатор имеет только один наполненный газом баллон,— второй путь представляется более естественным.

Идея одновременного измерения набора из п свойств с помощью одномерных шкал будет формализована как многомерное измерение.

Фундаментальное 型 производное измерения

Различие между фундаментальным и производным измерениями впервые было введено Кэмпбелом [2, стр. 14]. Если мы не будем принимать во внимание тот факт, что слишком узкая концепция фундаментального измерения по Кэмпбелу действительно справедлива (см. разд. 7.1), то фундаментальное измерение можно определить как построение шкал посредством изоморфного отображения эмпирической системы с отношениями в числовую систему с отношениями. С другой стороны, производное измерение на основе уже имеющихся шкал порождает новую шкалу. (В этом смысле

эти понятия использовались, например, Хемпелом [1], Суппесом и Зинесом [1].) Типичным примером производного измерения служит шкала для плотности, получаемая из шкал массы и объема.

Автор, однако, выражает сомнение в том, разумно ли рассматривать «производное измерение» как измерение вообще. Конечно, мы можем рассматривать любую значимую функцию как шкалу для свойства, определяемого с помощью этой шкалы. С другой стороны, если свойство, якобы измеренное в такой производной шкале, имеет собственный эмпирический смысл, то оно должно также иметь и свою собственную фундаментальную шкалу. Функция, использованная для определения производной шкалы, затем становится эмпирическим законом, устанавливающим связь между фундаментальными шкалами. Это можно проиллюстрировать уравнением состояния идеального газа: исходя из закона Бойля —— Мариотта, утверждающего, что произведение pV постоянно, если постоянна температура, можно использовать pV для определения шкалы температуры. Такая процедура не лишена смысла, так как температура, определенная таким образом, не зависит от специфической природы использованного в эксперименте газа (до тех пор, пока условия таковы, что газ ведет себя как идеальный). Однако на более высокой стадии исследования температура определялась из термодинамических соображений, приводящих к интервальной шкале температур, построенной независимо. Таким образом, уравнение pV = RT становится эмпирическим законом, связывающим давление, объем и температуру газа при определенных условиях.

Цель науки всегда должна заключаться в построении независимых фундаментальных шкал для свойств и установлении эмпирических законов, вместо того чтобы довольствоваться производными шкалами.

Читатель, интересующийся «общей теорией производных измерений», может обратиться к работе Суппеса и Зинеса [1, разд. 3]工).

Если назначение чисел определяется с помощью какого-нибудь операционного предписания, которое не опирается ни на гомоморфное отображение эмпирической системы с отношениями в числовую систему с отношениями (фундаментальное измерение), ни на функциональные связи фундаментальных шкал (производное измерение), то такое измерение называют императивным ).

Императивное измерение производится в тех случаях, когда неформальный подход оказывается чрезвычайно важным, а подходящей процедуры шкалирования нет. Типичными примерами

Из этой работы видно, что концепция производного измерения остается не очень ясной: парные сравнения, рассмотренные в разд. 11.6 нашей книги как «фундаментальное измерение», приводятся как «примеры производного измерения» в разд. 5 статьи Суппеса и Зинеса.

такого измерения служат так называемые испытания умственных способностей, шкалы социального статуса и т. п. Практическая значимость подобных шкал доказывается испытанием их пригодности для прогнозирования.

Практическое выполнение измерения

Решение вопроса о том, как произвести измерение на практике, отлично от решения вопроса об определении шкалы. Даже педант^ хорошо знакомый с фундаментальными аспектами теории измерения, будет пользоваться термометром, а не обратится к циклу Карно, если захочет решить, надевать ли ему пальто.

Вообще говоря, измерение на практике выполняется с помощью приборов, дающих числовые значения. Принципы действия этих приборов могут непосредственно опираться на эмпирические операции, использованные для определения шкалы (прибора), например на такую операцию, как уравновешивание коромысла весов. Действие прибора может быть также、основано на эмпирическом законе, связывающем измеряемое свойство с другим свойством, как, например, в уравновешивающей пружине применяется закон Гука для измерения веса по растяжению пружины.

В этом смысле фонометр вместе с таблицей для перевода децибел в тоны должен рассматриваться как прибор для измерения субъективной громкости. Действие этого прибора основано на психофизическом законе, связывающем объективные и субъективные громкости.

Существуют, конечно, и Такие процедуры, которые приводят только к шкалам порядка. В качестве примера можно привести процедуру для определения гипостазиса (см. стр. 77、・

Глава 2

АДЕКВАТНОСТЬ

Адекватные отношения

Предположим, что два экспериментатора измеряют температуру в одинаковых условиях, используя идеальные ртутные термометры: один ——в шкале Цельсия, другой — в шкале Фаренгейта. Сравнивая температуры %】,х2» измеренные в различных экспериментах, они всегда смогут прийти к соглашению относительно истинности отношения %i V%2, но никогда ——относительно равенства %2 = 2х1г потому что из равенства %2 = 2%】в градусах по Цельсию следует,, что / = 2%i — 32 по Фаренгейту г). Таким образом, в противоположность отношению %i V%2，отношение %2 = 2%】между двумя действительными числами хх и х2 бессмысленно без указания шкалы.

1.1. Определение. Пусть А = (Л; (R^i)——неприводимая э. с. о., В =〈В; (Sf)iei) — ч. с. о. того же типа, такая, что существует по крайней мере одна шкала т, отображающая систему А в В. Пусть S есть ^-местное отношение на 占.Отношение S называется адекватным, если для всех т, tn ^^SSl (А, В) и %, • ak А

S (/h (%),…，m ("前=S (m‘(%),…，"("前，

или, что эквивалентно,团福(S)=廟后(S). (Определение 团加). см. 1.5.1.)

Согласно определению 1.5.1, адекватные отношения можно описать с помощью следующего критерия.

1.2. Критерий. Пусть А, В, S те же, что и в определении 2.1.1,. и пусть m — произвольная фиксированная шкала, отображающая систему А в В. Отношение S адекватно тогда и только тогда, когда (*) 笏I (А, В) = № (〈4; (Rt)i^ 加A】 (S)〉，〈В; (S/门，S〉)；

другими словами, каждый взаимно однозначный гомоморфизм, системы А в В есть взаимно однозначный гомоморфизм с. о. А, пополненной отношением m (為(S), в с. о. В, пополненную отношением S.

Напомним, что температуры С° по Цельсию и F0 по Фаренгейту связаны соответствием F° = 1,8 С6 + 32.— Прим. ред.

Пусть А, В, S, m те же, что и в определении 2.1.1. Тогда R =加孟)(S) — однозначно определенное 々-местное отношение на А. Таким образом, фиксированная шкала т задает «интерпретацию» R отношения S на Л. В общем случае множества m為(S)для эквивалентных шкал т будут различными. Адекватные отношения на В ——и только они —«определяют» отношения на А (в том обычном смысле, что определение адекватно, если оно определяет понятие однозначно).

Другой подход к проблеме адекватности заключается в том, что адекватными считаются только те отношения S между шкальными значениями, которые можно выразить в терминах отношений St (，£ /), участвующих в определении шкалы. Для таких отношений соответствующее отношение R на 4 определяется однозначно (см. предложение 2.3.2) и его можно выразить в терминах эмпирических отношений Ri (f g /). Таким образом, любое такое отношение допускает интерпретацию в терминах эмпирических отношений. Считать адекватными только такие отношения предлагалось, например, Вейценхофером [1]. Очевидно, цель такого подхода ——гарантировать соответствие эмпирического отношения любому адекватному отношению. Справедливость этого требования зависит от точного смысла, вкладываемого в понятие «выраженный в терминах». Пусть (Л; V〉— совершенно упорядоченная ') с. о.. Отношение R, определенное условием «/? (а, Ь) = 1 тогда и только тогда, когда существует такой элемент с ^ АУ что а <с <&», выражается в терминах отношения <, а именно на языке слабейшего исчисления предикатов. Не каждый все же решится называть это отношение «эмпирическим».

Однако мы считаем, что эта концепция адекватности слишком ограничительна. Если некоторое свойство можно измерить в шкале интервалов, то разумно подсчитать среднюю величину его проявления, даже если в действительности и не существует эмпирической операции, аналогичной «сложению» (см. пример 2.3.3). Более общим образом, если признать саму процедуру измерения «реальной», то равенство S (т (〃，，. . ., m (ak)) = 1 говорит о том, что шкальные значения k объектов а】,• •., 〃左 находятся в отношении S независимо от выбора конкретной шкалы из данного класса эквивалентных шкал.

Из критерия 2.1.2 непосредственно следует, что входящие в данную ч. с. о. В отношения S», i £ /, адекватны. Если класс эквивалентных шкал Ж (А, В) состоит точно из одного элемента,, то каждое отношение на В адекватно. Если отношение S адекватно для систем Ао =〈4； (Q)通°〉，Во = (В; (S%)®。〉и /ос: /, то оно

См. п. 1.8.В, где определена система А = 〈4; V〉・ Совершенно упорядоченным называют множество, в котором отношение порядка определено для любых двух элементов.— Прим. ред.

адекватно и для систем А = (Л; {Ri}^}, В = (В; (S0%z〉，потому что каждая шкала, отображающая систему А в В, есть шкала системы Ао в Во. В следующем разделе мы дадим внутреннюю характеристику адекватным отношениям.

22 Инвариантные отношения

Для любой с. о. А = (Д; (Ri)iEi) и любого подмножества Ло множества Л мы определили множество Га (Ло) частичных эндоморфизмов (определение 1.5.11) и группу ГА автоморфизмов (следствие 1.5.6) как внутренние понятия для данной с. о. А. Мы используем их для того, чтобы охарактеризовать адекватные отношения и соответствующие им эмпирические отношения.

Определение. Пусть у — отображение множества А^а А в 4 a R — это ^-местное отношение на А. Отношение R называется у-инвариантным, если R (%,..., “丸)=R (? (%), . . ., у (“Q) для всех (%, . . ., afe) € А^, или, что то же самое, если R 八 = ?3(R)・

Пусть Г — множество отображений. Отношение R называется Г-инвариантным, если оно ^-инвариантно для всех у 6 Г. Отношение R называется инвариантным, если оно ГА-инвариантно.

Например, отношения R» (/ £ /) как инвариантны, так и ГА (Л 0)- инвариантны для всех 4产4 Если R — инвариантное отношение, то R = у潢)(R) = у(丸)(R), поскольку автоморфизм ? отображает А (= Ло) взаимно однозначно на А. Как непосредственное следствие определений 2.2.1, 1.5.1 и 1.5.11 получаем

Предложение. Отношение R ГА (Д0)-инвариантно (соответственно инвариантно) тогда и только тогда, когда ГА (Ло) = 1\，(Ло) (соответственно ГА = ГА*)，где АЛ = (Д; (R»%z, Л X Другими словами, каждый частичный эндоморфизм, определенный на 4° (соответственно автоморфизм), является частичным эндоморфизмом (соответственно автоморфизмом) с. о. А, пополненной отношением R.

Теорема. Пусть А = (Л; (/?力)诧工〉—неприводимая э. с. о., В = (В; (St)i£i〉一 ч. с. о. того же типа, т0 — произвольная фиксированная шкала, отображающая А в В, и S — отношение на В. Отношение S адекватно тогда и только тогда, когда оно Гв (т0 (Д))- инвариантно.

Доказательство, а) Пусть S есть ^-местное Гв (т^ (Л))- инвариантное отношение и т£ 睨(А, В). Согласно теореме 1.5.12, существует такое отображение v^ Гв (mQ (Д)), что т =、。пг°, и потому /и备(S)=加急)。丫曲(S) • Так как отношение S Гв (т0 (Л))- инвариантно и т0 отображает на 恤⑷，то 加兪)。嗝 6)= =mo(h)(5 П 飞(4)弓=m杀)(S)・ Таким образом,仞為(S)=加爾)(S) для всех 加£ 號(А, В).

Пусть S адекватно и у £仆(加()(/))• Тогда, согласно теореме 1.5.12, y^tnQ^^{k, В) и потому 加6加(囱=加阪)°yM)(S)・ Так как m0 отображает на mQ (Л), то S f| znc (型)=丫近)(*，・

Из этой теоремы следует, что адекватность по существу зависит только от инвариантности относительно частичных эндоморфизмов данной ч. с. о. В. Необходимо знать образ m (А) множества А лишь для одной из шкал. Если, например, мы знаем, что существует шкала т, для которой m (Л) = В, то поведение отношения S при частичных эндоморфизмах множества В полностью определяет, адекватно ли S.

Следствие. Пусть А и В те же, что в теореме 2.2.3, и пусть S — отношение на В. Тогда S Гв (т (Л))-инвариантно для всех m W 武(А, В), если оно Гв (加。(Л))-инвариантно по крайней мере для одной шкалы mQ^^ (А, В).

Доказательство Если S Гв (т0 (Л))-инвариантно для одной шкалы т0 € 姒 то по теореме 2.2.3 оно адекватно. А тогда снова по теореме 2.2.3 отношение S Гв (加(Д))-инвариантно для любой шкалы т (А, В).

Из теоремы 2.2.3 и следствия 2.2.4 непосредственно вытекает практически важный критерий адекватности:

Следствие. Пусть А и В те же, что в теореме 2.2.3, и пусть существует шкала 加。£ 脏(А, В), такая, что каждый элемент множества Гв (恤(Л)) есть сужение элемента из Гв, т. е. сужение автоморфизма системы В. Тогда следующие утверждения о 々-местном отношении S на множестве В эквивалентны:

S адекватно;

существует такая шкала 加 £ 狐 (А, В), что

(♦) S (? (%)，•・•，Y 仇))=S (瓦,・・・,bfe) для всех 丫 £ % и (&,•・・，bR £ т (Л)Л;

(Ш) условие (*) выполнено для всех шкал zn £ 脱(А, В).

Доказательство. Согласно теореме 2.2.3 и следствию 2.2.4, достаточно показать, что условие (♦) эквивалентно Гв (加(А))-инвариантности отношения S. Пусть т] € Гв (т (Л)). Так как т и ^ —刀。加一шкалы, то в силу теоремы 1.5.12 и допущения относительно т0 существуют два автоморфизма у и 丫】,для которых m = 丫。团0 н 恤=丫1。恤・ Таким образом, y^mQ = n°Y。恤. Отсюда следует, что 刀 и 丫1。丫一| совпадают на m (Л). Итак, каждый элемент из Гв (т (Л)) является сужением некоторого автоморфизма системы В.

Следствие. В предположениях следствия 2.2.5 каждое инвариантное отношение на В адекватно.

Замечание. Адекватное отношение на В даже в 'предположениях следствия 2.2.5 не обязательно инвариантно, как это можно видеть из следующего примера.

Пусть А — поле рациональных чисел, В — алгебраическое поле над А, в котором уравнение 炉=2 разрешимо (т. е. 5 = ={г + s ]Л2: г, s рациональны}). Естественное вложение поля А в В является единственным взаимно однозначным гомоморфизмом из А в В. Поэтому на В адекватно любое отношение, например унарное отношение % = р2. Но оно не инвариантно при автоморфизме, отображающем ]Л2 в —/2. Это связано с тем, что поле В слишком велико для измерения А: /2 никогда не встречается в качестве шкального значения.

Из утверждений (i) и (iii) следствия 2.2.5 получаем

Следствие. Если в предположениях следствия 2.2.5 для любого набора (Ь】,...,b^ g Bk существует такая шкала т, что (瓦，•.・，bQ £ т (Л)А, т. е. Bh =(]{т (4)± т Е 號}, то каждое адекватное отношение на В инвариантно.

Адекватное отношение S на множестве В определяет соответствующее отношение R =加孟；(S) на Л, не зависящее от отображения /и 6 ЯЛ (А, В). Как установлено в критерии 2.1.2, R есть однозначно определенное отношение, такое, что система А, пополненная отношением R, и система В, пополненная отношением S, допускают применение тех же шкал, что А и В.

До сих пор мы пытались охарактеризовать адекватные отношения на множестве В с помощью внутренних свойств системы В. Сейчас мы попробуем с помощью внутренних свойств системы А охарактеризовать отношения на множестве 4 соответствующие адекватным отношениям на В. Эта попытка будет менее удовлетворительной, чем результат 2.2.3, так как вместо образа множества Л для одной произвольной фиксированной шкалы будут использоваться частичные эндоморфизмы системы А, индуцированные парами шкал.

Теорема. Пусть А и В те же, что в теореме 2.2.3, R есть 右-местное отношение на множестве Л и Ш1 (А, В)并 0. Отношение R соответствует адекватному отношению на В тогда и только тогда, когда R Г-инвариантно, где

Г = {т『о /и?：人，加2 £ 弧(А, В)}.

Доказательство, а) Предположим, что R Г-инвариантно, и положим S= U {团⑹依)：/n€3Jl (А, В)}. Отношение S, будучи подмножеством множества Bk, является ^-местным отношением на В, и 加错)(S) =э 加曲加出(R) = R для всех 加£ 亚(А, В). Остается показать, что 〃击(5) и R. Для (аь ..., afe) f m小(5) существуют

такая шкала ?' и такой набор (а；,・•・,風)£R, что (内,• •а/ = =端。m[k) (a；,...,砌，T. e. Q,…，明=R⑵(a,…，或)，где 7 = =nr1 о mz Е Г. Так как отображение R Г-инвариантно, то (аь ...

• • • 1 ^k) £ R •

[Если отношение S на 5 адекватно, R соответствует S и 丫 =加丿。次2£1\ то из условия R = m^k)(S) следует, что

(mJ 。m2)為(R)=加5加)°加1值)(R)=

=加杀о。m1(ft) о 加办)(S) = m^ (S А /^ (4)fe)«

=加瀨&)n加编(色(4产)=崛a)(S) n (公。叫(用)匕

Так как т^ (S)=R и m"1 о tni (Л) — область определения 4° отображения у, то последнее выражение равно R П 若7・

Следствие. Пусть А, В и 7? те же, что в теореме 2.2.9, и т (Л) = В для всех /и € 脏(А, В)耍 0. Отношение R соответствует адекватному отношению на В тогда и только тогда, когда R инвариантно.

Доказательство. Так как т (А) = В для всех т £ £ 欢(А, В), то каждый элемент множества Г (определенного в теореме 2.2.9) есть автоморфизм системы А и, следовательно, Г и ГА. Если, обратно, ? W Г*а и т ——произвольный элемент непустого множества Ж (А, В), то ? = т^от2 £ Г, где тг = т и % = =/и。？, и, следовательно,『aU Г.

Следствие. Пусть А, В и Г те же, что в теореме 2.2.9. Предположим, что каждое отображение у £ Г* есть сужение автоморфизма системы А. Тогда каждое инвариантное отношение на множестве А соответствует адекватному отношению на множестве В.

Замечание. В гл. 2 всюду предполагается, что система А неприводима. Измерение приводимой с. о. А было сведено к измерению неприводимой с. о. А с помощью канонического отображения л: А т А (см. разд. 1.6). Каждому й-местному отношению R на множестве А соответствует отношение R =域百(R) на множестве Л. Очевидно, что грубейшее отношение конгруэнтности для А = = G4; (/?。诧力，т. е. «а, будет отношением конгруэнтности для системы А，= <Д; (Ri)ia^ R〉； говоря нестрого, пополнение отношением R не уточняет грубейшее отношение конгруэнтности ^А.

Таким образом, суть здесь в том, что этим свойством в добавление к известным свойствам инвариантности обладает каждое отношение на А, соответствующее адекватному отношению на В. Так как мы пытаемся описать отношения на Д, соответствующие адекват-

ным отношениям на В, с помощью инвариантных свойств, то возникает вопрос: означает ли инвариантность отношения R, что R не уточняет отношение «А? Отрицательный ответ дается следующим примером: пусть А =〈4; RQ, где Л = {—1, 0, 1}, R = {(0, 1), (О,—1)}и42 Тогда множество ГА состоит из двух подстановок

(—1, 0, l)f (—1, 0, 1),

(-1, о, 1)т (1, 0, -1)

и удовлетворяет предположениям следствия 2.2.11 относительно Г. Множества {0} и {——1, 1} являются классами конгруэнтности, заданными отношением «А. Отношение R = {(—1, —1), (1, 1)} инвариантно при отображениях из Гд. Однако множество {—1, 1} не является классом конгруэнтности для (Л;欠工,R〉, поскольку R(l, 1)$R(1, -1).

Замечание. Результаты разд. 2.1 и 2.2 справедливы также и для бесконечноместных отношений.

Замечание. По техническим причинам часто бывает удобно рассматривать не все множество 泣 а лишь некоторое его подмножество 猊.Тогда понятие адекватности можно ослабить, подставляя в определение 2.1.1 脏 вместо Ж. Это изменит равенство (♦) из критерия 2.1.2 на включение 就(А, В)и 脏(・・・,...).Если для /и0 Е Ж заменить ГА (恤(Л)) на

% (加0(4)) = {Y =加1。呜~ ge 晚},

то результаты останутся справедливыми и для ослабленного понятия адекватности.

Формулировку следствия 2.2.5 можно изменить так: «...такая, что Гв (т0 ⑷)состоит из всех сужений элементов из Гв, где Тв — произвольная фиксированная подгруппа группы Гв...». Заменяя Гв в условии (♦) следствия 2.2.5 на Тв, можно модифицировать следствие 2.2.11: «...Предположим, что существует такая подгруппа Га группы ГА, что каждое отображение у € Г есть сужение элемента из Гд. Тогда...». Эти модификации интересны потому, что часто допустимыми считают только те шкалы из 版,которые можно получить из фиксированной шкалы, скажем %, применением преобразований, относящихся к определенной подгруппе Г группы Гв. В этом случае Ж = {уот0: у и Г}.

2.3. Примеры

Пример ). Рассмотрим те же, что и в определении 2.1.1, системы А и В = (В;(応)®〉и предположим, что множество. 號(А, В) непусто. Пусть L — язык слабейшего исчисления предикатов, словарь которого состоит из символов отношений S» (i £ /) и символов объектов & (& ^ В). Тогда В есть модель этого языка при тождественном отображении. Пусть S — правильно построенная формула языка L, которая содержит 归 свободных переменных, скажем /, . . ., и не содержит символов объектов. Обозначим ее через S (хх, • • ., %兀).Формула S является предикатом и определяет 左-местное отношение на В.

Предложение. Отношение S адекватно.

Доказательство. Рассмотрим фиксированную шкалу /и。€ 胱(А, В) и отображение 丫 €「в (恤，(4))・ По определению у—это изоморфизм системы (Во = т0 (Л); (S0®〉на 仍工= =y^tnQ (Л); (S0%i〉・ Пусть 夕一множество всех тех высказываний языка L, которые содержат только символы объектов, принадлежащие Во. Если заменить каждый символ b £ В。, содержащийся в высказывании X € 贸，на yb, то высказыванию X £ 交 будет соответствовать однозначно определенное высказывание X’ € L. Покажем с помощью индукции по правилам построения высказываний, что (♦) Xх справедливо в В тогда и только тогда, когда X справедливо в В.

Элементарными формулами здесь являются высказывания вида X = S» (匕1，.・•， b&)・ Так как у — изоморфизм, то высказывание X' справедливо тогда и только тогда, когда справедливо X.

Пусть Xi, Х2 £ 贸.Предположим, что (*) доказано для X工 и Х2. Высказывание X = Хх f] Х2 справедливо в В тогда и только тогда, когда в В справедливы X” и Х2. А Х\ я X? справедливы в В тогда и только тогда, когда 又;и X； м, значит, X； П X； справедливы. Для дизъюнкции Xi U 兀 н импликации Хх n Х2 это можно показать аналогично.

Пусть X (z) — правильно построенная формула, в которой кроме z нет никакой другой свободной переменной и которая содержит только символы объектов, принадлежащие &• Предположим, что (*) доказано для всех X (Ь) (Ь £ &). Высказывание X。= ^ Vz X(z) справедливо тогда и только тогда, когда справедливы все высказывания X (&) 0 W 当)・ Последнее справедливо тогда и только тогда, когда справедливы все X' (? (&)) @ £ В^ и, значит, X； = Vz X’⑵.Из (*) следует, что S (仇,・・•, b^ справедливо

тогда и только тогда, когда S (у (Ь。,・• •, у (Ь&)) справедливо для всех (bi，...,匕左)£ /и。 (4)', так как S не содержит символов объектов. Для завершения доказательства осталось применить теорему 2.2.3.

Пример. Пусть %；, ・•・,%工 %；,•・•,%% означают 2k (не обязательно различных) величин, принадлежащих (определенному) диапазону шкалы интервалов. Рассмотрим (2А)-местное отношение

S: xz <Z, где 7=(1 优)』Xi и 7 = (1信)』*・ i—1 {—1

Поскольку Гв = {х-^ ах + b: а ^ IK+, b W К}, отношение S Гв-инвариантно и потому адекватно, согласно следствию 2.2.6. С другой стороны, отношение %" <2/ не адекватно: %"V2%' + & для достаточно большого b и 彳 > 2%' + b для достаточно малого 6 при любых / и /・ Таким образом, это отношение не адекватно (следствие 2.2.5 (ii)).

24 Адекватная статистика

Под статистикой мы понимаем действительную функцию 力 зависящую только от шкальных значений (и не содержащую других переменных в качестве «параметров»), или, более формально, отображение нз 5nB К. Например, если х =(尤i， . . ., хп) — набор из п шкальных значений xf € В, то типичными примерами статистик будут среднее

м стандартное отклонение

S=(Yr百㈢一方片.

i=l

Если х обозначает количество, а р — цену товара, то хр есть -статистика в определенном выше смысле: шкальные значения представляют собой все возможные пары (количество, цена) из множества К? и Хр зависит только от двумерной шкалы значений (х, р). Эти примеры показывают, что статистика может зависеть как от нескольких значений одной одномерной шкалы, например %, так и от одного или более значений многомерной шкалы.

Так как шкальные значения определяются однозначно только с точностью до множества Г допустимых преобразований, то значение f (zn (aj, . . т Зп)) (сокращенно 『(т{пУ («(п))))> рассматриваемое как значение действительной функции на Дп, будет зависеть

от того, какая из эквивалентных шкал т выбрана (см. разд. 1.7). Если исходить из идеи, что значение / (т(п) (а(п^)) может рассказать нам что-нибудь о действительности, то возникает вопрос, каким образом это достигается? Разве выражения / (т(п) (а(п))) <2,г f (加⑺ @п))) = f (团⑺(％))), f (mg@n〉))& 2/ (加⑺(砲))говорят нам что-нибудь о действительности? Это происходит в том случае, когда отношения между значениями данной статистики определяют отношения между элементами множества А, не зависящие ни от каких специальных шкал т g SR. Минимальноетребование, однако, состоит в том, чтобы отношение эквивалентности на Дп, индуцированное равенством / (т(п) (a(n))) = / (m(n) @п))), не зависело от т. Если бы это условие не выполнялось, то мы получили бы, что

Z(^(n)(«(П))) = f(rn(n) (а^ для шкалы 加, но

f (网п)(а(п)))*/(т(п)(а(п))) для некоторой другой шкалы 加'€脏・

Это оправдывает следующее определение.

Определение. Пусть 脏(А, В) — класс эквивалентных шкал. Статистика / на Вп (где В — носитель системы В) называется адекватной, если отношение эквивалентности на Дп, заданное условием ^(п) ^ ^(п) тогда и только тогда, когда f (加(п)(*) = /(加⑺)(％))),

не зависит от т^^ (А, В).

Определенную таким образом адекватность Адамс, Фагот, Робинсон [1, стр. 23; 2, стр. 106] назвали «сравнительной инвариантностью» (comparison invariance). Замечая, что отношение эквивалентности на Ап является (2п)-местным отношением на Л, из определений 2.4.1, 2.1.1 и теоремы 2.2.3 выводим

Предложение. Пусть А = (Л; (Rt)佑工〉—неприводимая э. с. о., В = 〈В; (S0诏工〉一ч. с. о. и / — отображение из Вп в К. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

/—адекватная статистика;

f(%《n)) = f(Y(%g)) Для всех 丫£嘉(加⑷)；

(2м)-местное отношение {(工⑺)，x(n)) € B2n： / (x(n)) = / (x(n))} на В адекватно.

Замечание. Любая взаимно однозначная действительная функция от адекватной статистики сама является адекватной статистикой.

Адекватность статистики / не требует того, чтобы само значение / (%т)) под действием допустимых преобразований оставалось неизменным, т. е. чтобы было f(Y(n)(%⑺))=f (尤⑺)Для всех 丫 6

^Гв (加(Л)). Но для адекватной статистики / каждое преобразование ? € % (т (Л)) индуцирует взаимно однозначное преобразование у' множества значений функции / (т (Л)п) в К:

(*) Y‘：〃N(n)) ->/(Y(n) (^(n))).

Если / %)) = /(%(；)), то / (т(п) (x(n))) = f (”п)(%)))• Таким образом, у，определяется однозначно. Условие f (х(п)) =^/(%(п〉) влечет неравенство f (т(п) (x(n))) =^f (2n)(总)))，и потому отображение yf взаимно однозначно. Если, обратно, для данной статистики / каждое преобразование ? Е Гв (т (Д)) индуцирует по (♦) взаимно однозначное отображение множества / (т (Д)п) в R, то / — адекватная статистика. Таким образом, мы доказали, что справедлива

Теорема. Статистика / адекватна тогда и только тогда, когда для каждого преобразования у С Гв (/и (Л)) преобразование ?', определяемое условием (♦), взаимно однозначно отображает f (zn (Л)п) в К.

В частности, если Гв (т (Л)) = Гв — группа всех автоморфизмов системы В, то каждый автоморфизм ? системы В будет индуцировать взаимно однозначное преобразование У множества / (Вп> на себя. Семейство этих индуцированных преобразований ?' будет группой Г, изоморфной факторгруппе группы Гв; точнее, Г" изоморфна Гв/Г0, где Го = {? € Гв： / (х(п)) = 7 (?(п)(^(п>)) Для всех х(п) £ Вп} — нормальная подгруппа группы Гв, оставляющая множество значений f (Вп) функции / поточечно неизменным. Здесь имеются два крайних случая: Го = Гв и Го = {«}, где е — тождественное преобразование. В первом случае Гв/Г0 = {^} и f(Y(n)ten))) = / (х(п)) для всех 丫 и 无的；во втором случае Гв/Г0 = =Гв и для каждого у существует такой элемент х(п)6 Вп, чта f(Т(п)(^<п))) ¥=/ (х(п)). Эти два крайних случая соответствуют двум случаям, рассмотренным Стивенсом [4, стр. 28] и названным им «инвариантностью числовых значений» и «инвариантностью различения» (invariance of reference) соответственно.

В общем случае адекватность f не означает, однако, адекватности бинарного отношения f (х(п)) <7 (%(3) на Вп. Это показывает следующий пример.

Пусть В = {г: г — рациональное положительное число} U U {г ]Л2:厂一рациональное положительное число} и Гв — группа преобразований подобия, задаваемая элементами множества В, т. е. Гв = {%f s%: s £ В}. Тогда функция

{

О, если % рационально,

1 в противном случае

будет адекватной статистикой на В, если「в^ Гв (团(Л)). Однако f ⑴ Vf(J», тогда как f(K2-l) > / (/2-/2). (Приведенный

Адамсом, Фаготом и Робинсоном [1, стр. 119] пример ошибочен, так как их функция 另 не является адекватной («сравнительно инвариантной»).)

Теорема. Пусть А, В и / те же, что в предложении 2.4.2/ и пусть существует такая шкала /и g ЗЛ (А, В), что на группе Гв (т (Л)) можно задать такую топологию, что

группа Гв (т (Д)) будет связной,

отображение 丫 f f(T(n)U(n))) группы Гв (m ⑷)в К будет непрерывным для каждого х(п) £ т (Л)п.

° Пусть, кроме того, 尸 一такое непрерывное отображение из К* в К, что на В адекватно (йп)-местное отношение

So：尸(f (-^(n))» / (^Ог))» • • •» f (尤^г)))=。・

Тогда на В адекватно отношение

S[：尸(f (无;n)), f (%^г)),••・,/ (%^i))) > 0・

Доказательство. Пусть {х^. %), ・・・，%^)) — фиксированный элемент множества m (Л)пЛ, удовлетворяющий отношению S,・ Рассмотрим отображение

Ф： у -> F (/(7(п) (”п))), • •・ J(伙兀〉(抬)))

группы Гв (加(Л)) в К; тогда <р (е) > 0 по определению отношения Si (е — тождественное преобразование). Так как отношение So адекватно и потому, согласно теореме 2.2.3, Гв (/и (Л))-инвариант- но, условие ср (е) 10 влечет

(*)Ф (?) #= 0 для всех у £「в (加(Л)).

Предположим, что найдется такой элемент 丫 €「в (加(Л)), что Ф (?) <0. Отображение <р непрерывно по предположению (Ь) и в силу непрерывности отображения 尸.Так как по предположению !(а) группа Гв (加(Д)) связна, то и множество <р (Гв (/и (Л))) тоже связно (см. лемму 3.6.6). Таким образом, из <р (^) > 0 и <р (у) <0 следует, что существует такой элемент ?' € Гв (加(Л)), что ф (?') = 0. Это противоречит условию (♦) и, значит,屮(у) > 0 для всех у € Е Гв (加(Л)), т. е. отношение Si Гв (加(Л))-инвариантно и потому адекватно (см. теорему 2.2.3).

Следствие. Пусть А, В н f те же, что в предложении 2.4.2, и пусть существует шкала m £ 旣(А, В), удовлетворяющая предположениям (а) и (Ь) теоремы 2.4.5. Тогда (2п)-местное отношение / (х(п)) > / (х(п)) на В адекватно, если статистика f адекватна.

Доказательство. Определенная на IR.2 функция 戶(『и 『2)=厂1 —「2 со значениями в К непрерывна и отношение S:尸(/ &《))" (4о》=f (%否)—/ (北))=0 адекватно, если ста-

тистика f адекватна (предложение 2.4.2 (iii)). Как следует из теоремы 2.4.5, отношение Si： / (%^)) > / (尤&)) адекватно.

Это следствие есть, по существу, теорема 16 у Адамса, Фагота и Робинсона [1, стр. 119].

Замечание. Покажем на примере, что условие связности груп" пы Гв (加(Л)) в топологии, о которой идет речь в теореме 2.4.5* вообще говоря, опустить нельзя.

Пусть В = Ж, и пусть данная шкала единственна с точностью до линейных взаимно однозначных преобразований, т. е. Г*в(т (Л))= =「в = {?а, в： а £ К — {0}, 0 £ К}, где 丫仇伊尤 т а% + 0. Если группа Гв топологизируется с помощью естественного вложения Ya, в f (а, 0) £ R2 множества Гв в плоскость 明 то группа Гв не будет связной, так как Гв есть объединение двух непересекаю- щихся открытых множеств 缶,в： a > 0, 0 £ К, и {ya> р： а V。, 0 £ К}・ Тождественная статистика /: /(%)=% для всех % £ В адекватна и удовлетворяет условию (Ь) теоремы 2.4.5 в топологии на Гв, определенной выше. Отношение f (х) V / (%') на В, однако, неадекватно: f (0) = 0 V 1 = f ⑴，тогда как / (?% в (0)) = 0 > a + + Р = / (Та, 6 (1)) для всех (а, р) £ % где а <0.

2.5. Примеры адекватных а неадекватных статистик

Определения шкал, рассматриваемых в этом разделе, даны в разд. 1.8.

Шкалы порядка

Очевидно, что среднее

/(к,.., хп)=不 2 修

неадекватно для шкал порядка, так как соотношение

i=li= 1

при произвольных монотонных преобразованиях, вообще говоря, нарушается. Но даже в этом случае существует адекватная статистика, например медиана, т. е.(尼 + 1)-я величина среди п = =2尼 + 1 величин, расположенных в порядке возрастания. При обработке измерений этот факт иногда не учитывается. Если при бисекции различные эксперименты приводят к различным оценкам среднего расстояния (например, в отношении высоты тона) между

двумя данными тонами, то обычно в качестве среднего результатов различных экспериментов берут среднее геометрическое частот тонов.

Если предположить, что оценки, даваемые различными испытуемыми, случайным образом распределены вокруг истинной высоты среднего тона, то медиана будет естественной оценкой истинного среднего тона. Но если предположить, что случайные ошибки в субъективной шкале нормально распределены, то истинную высоту тона можно оценить по формуле

力(/)+・• ・+〃^)

где %и • • ., %п — частоты, полученные из наблюдений, a f — функ* ция, ставящая в соответствие частоте х соответствующее значение f (х) высоты тона. Тогда частота среднего тона равна

尸(f (勺)+ …+f (*n))

Из этих соображений нахождение среднего геометрического частот можно оправдать только в случае, если / (х) = log х.

Если степенной закон по Стивенсу действительно справедлив, то допустимым средним будет思функция вида

где § — показатель степени, зависящий от специфики ощущения (см. также стр. 133).

Если обоснованность закона расстояния и гипотезы нормального распределения оценок в субъективной шкале установлена недостаточно хорошо, то для практических целей медиана будет наилучшим средним, так как это означает, что тоны выше и ниже истинного среднего тона встречаются одинаково часто.

Шкалы интервалов

Согласно замечанию 1.8.4, каждая статистика, адекватная для шкалы интервалов, адекватна для шкал отношений и разностей, но не обратно.

Рассмотрим сумму / + х2- Если (/, х2) € ^2 — такое значение двумерной шкалы, что %】и %2 измерены в различных шкалах отношений, т. е. если множество допустимых преобразований имеет вид {(хь %2)f (%%1, «2%2)： «1 > 0, а2 > 0}, то, сумма хт + & неадекватна, так как равенство %】+ %2 = %； + %； не обязательно влечет за собой равенство 电修 + а2х2 = %%； + о^%；. С другой стороны, если %工 и %纟——Два значения одной и той же одномерной

шкалы интервалов, то сумма %】+ %2 адекватна, так как равенство % + & = %； + %； влечет а/ + а/ + В = а%； + ах； + § для всех а, В £ К.

Теперь рассмотрим общий случай адекватных статистик для шкал интервалов, т. е. линейные функции вида

/ (%1, %2, • • •，^п) = W %冰2 + 九о,

г=1

где 九2 — произвольные фиксированные действительные числа* Наиболее важны случаи Хо = 0, %г = 1 « = 1, ...,〃)и %。= 0, % = 1/п (4=1, ...» 〃)•

Функция / адекватна для шкал интервалов, так как

G) / (а%1 + В，• • • ： ^^п + В) == а/ (%[,・・・，尤и,) + 0 ^j 儿 + (1 а)入。. i=l

Более того, из (♦) следует, что группа преобразований, индуцированных на множестве значений функции /, в общем случае изоморф- на всей группе положительных линейных преобразований (т. е. f является всего лишь «различимо инвариантной» в смысле Стивенса [4]). В частном случае, когда

п

2 = 1

группа Г индуцированных преобразований изоморфна группе Г^ растяжений прямой К.

⑹：В качестве еще одного примера рассмотрим статистику s:

S(X],...，左)=(占2 (修一刁广，

г— 1

где х—среднее для %】,.

г=1

Статистика s адекватна для шкал интервалов, так как s f as при %»-> a%» + p. Эта статистика не меняется только под действием сдвигов х -> х + р. Группа Г преобразований, индуцированных на множестве значений статистики s, есть группа Г^ растяжений прямой 凡.

(d) Наконец, рассмотрим статистику

q (%,,・••，％2м)q (%,,・••，％2м)—S(%]，...，无тг)

q (%,,・••，％2м)

q (%,,・••，％2м)

S {Хп+Ъ • • •,无2п)

инвариантную относительно любого линейного преобразования • Группа преобразований, индуцированных на множестве значений

статистики % состоит только из тождественных преобразований- Поэтому соотношения

S (尤н • • •, %7i) = PS (尤n+i, •-・，尤2n) (Р > 0)

адекватны, тогда как соотношение

力(修，・•・，Хп) = рХ (%п+[, . •・，%2п)

неадекватно (кроме случая, когда р = 1 или когда шкала единственна с точностью до растяжений).

Замечание. В примерах п. В подгруппы Го группы Гр, не меняющие значения адекватных статистик, представляли собой или Гр, или Г8, или Г = {«}• Это не удивительно, так как, согласно замечанию 1.8.4, эти группы являются нормальными подгруппами группы Гр и в примерах не указываются нетривиальные подгруппы G мультипликативной группы К+. Поэтому другие нормальные подгруппы группы Гр не возникают. Так какне является нормальной подгруппой группы Гр, то равенство Го = Г^ невозможно. Для Г = rs группа Г" индуцированных автоморфизмов множества значений алгебраически изоморфна группе Гр/ Г«, которая в свою очередь изоморфна группе растяжений Г(/. Отсюда непосредственно следует, что группа Г' алгебраически изоморфна группе Г&・

Из этого утверждения относительно изоморфизма, однако, не обязательно следует, что группа 1V сама есть группа растяжений прямой К. В самом деле, так как ф： 丫％。f Vijoga — алгебраический изоморфизм группы Fd на Г5> то группа Г' также изоморфна группе сдвигов Гв. Поскольку в примерах (Ь) и (с) Г' представляет собой группу растяжений прямой К, возникает вопрос, может ли Г" для некоторых адекватных статистик быть группой сдвигов прямой К. Покажем, что, за исключением тривиального случая ГЛ = ={е}, ответ на этот вопрос будет отрицательным.

Пусть т — шкала интервалов и f: R/1 К — адекватная статистика для т. Если существует такая функция g: К+ х К К> что для всех (/,・・•，尤几)€ 加(Л)п и всех а > 0, 0 £ К

(*) f (?а, В (%1), • • •, Ya, В (%Ю = / (尤1, • • •, %тг) + S (% Р)»

то g (а, Р) = 0 для всех а, р.

Доказательство. Так как т (Л) содержит по крайней мере две точки, то без потери общности можно предположить, что 0 € m (Л) и 1 С m (Л). Для / = / = • • • = %п = 0 получаем из (*), что при всех а> К

〃В，В) =f(O・a + B，・・•，O・a + 0) =

=f (0, •・•，0) + g Q p).

Отсюда

(♦ ♦) g (а, В) = g (L В)=九(р) ДЛЯ всех а > 0, р W %•

Для %工=%2 = • • • = %п = 1 получаем из (*), что при всех а> > max (О, В)，В W К,

f (1, • .1) + g (а, —В) = f (а — р, ...» а — В)=

=f (1,・・・，1) + g (а — В，0).

Для данного 0 € К зафиксируем произвольное число а > max (0, В). Из последнего равенства с учетом (♦ ♦) находим, что

h (—В) = g (а, —В) = g (а — 0, 0)=九(0) для всех Р 6 Н.

Так как по (*) g (1, 0) = 0, то по определению Л имеем h (0) = 0.

С. Шкалы отношений

Несмотря на то что как % (п. В, Ь), так и s (п. В, с) адекватны для шкал интервалов, «коэффициент вариации» s/x в этой шкале не будет адекватным, поскольку из s/x = s'/%' не следует, что as/(呂 + В) = as'/(af + В) для всех а > 0 н § W %• Коэффициент вариации, однако, адекватен и даже инвариантен для шкал отношений.

Другим примером неадекватности статистик служат формулы некоторых индексов цен. Формула индекса цен относительно п товаров может рассматриваться как статистика на Во х 母 где В^ = 0V1 但=0, 1) и i-я компонента Bk есть цена /-го товара в момент времени 瓦

Типичный пример неадекватной индексной формулы дает формула пп

(*)f((E叫・・・，р7), (р；% ・・・，國)))=3叫/2嚟，

i=l / i=l

предложенная Брэдстритом и Дутотом (см. Фишер [1, стр. 40]).

Для очень различных по своей природе товаров, например таких, как пищевые продукты, одежда и топливо, не существует естественной общей шкалы для измерения их свойств. Так как шкала каждой компоненты единственна только с точностью до преобразований растяжения и нет общей единицы измерения, то преобразования растяжения для шкал различных товаров могут быть независимыми. Таким образом, класс допустимых преобразований состоит из отображений вида

(Р1,「2, • • • pn) f (%P1, a2p2, • • •, ajJ %, а2, . .% £ К+,

для которых индекс, определяемый по формуле (*), неадекватен. Этот пример совершенно бесполезен, так как по экономическим причинам мы должны потребовать, чтобы индекс цен не только был адекватным, но и чтобы его числовое значение было инвариантным под действием допустимых преобразований; другими словами, индекс цен должен удовлетворять так называемому «тесту соизмеримости» (см. Фишер [1, стр. 420]). Например, следующая индексная формула не зависит от преобразований растяжения:

п . п

(**) (b/尸也冰))叽

Этот пример показывает,что идею «адекватности», или «инвариантности числовых значений», как она здесь введена, нужно интерпретировать с осторожностью. Если статистика адекватна или даже инвариантна, то из этого вовсе не следует, что ее интерпретация в^реальных условиях имеет смысл. Формула (**) «адекватна» (и инвариантна), однако она лишена всякого экономического смысла! Поэтому адекватность в используемом здесь формальном смысле служит необходимой, но не достаточной предпосылкой для того, чтобы формула имела смысл в реальных условиях.

2・6・ Адекватно параметризованные отношения

Легко видеть, что идея адекватных отношений слишком ограничительна для многих практических целей. Рассмотрим случай, когда все значения, полученные при измерении в фиксированной шкале т, удовлетворяют некоторому ^-местному отношению Т на 5, неадекватному в смысле определения 2.1.1. Тот факт, что шкальные значения удовлетворяют отношению Т, дает некоторую информацию о действительности: измерения объектов удовлетворяют «эмпирическому закону» 7。加頂).Если мы изменим шкалу, то для того, чтобы описать тот же самый эмпирический закон, нужно использовать другое отношение Т' на В, так как отношение Т неадекватно. Таким образом, для каждой допустимой шкалы m есть свое Уместное отношение Tg описывающее данный эмпирический закон. Семейство отношений {Т^т^л вместе с параметризацией дает представление о действительности.

Пусть А _неприводимая э. с. о., В ——ч. с. о. того же типа. Обозначим через 0 произвольное множество, для каждого элемента О которого задано 々-местное отношение Т^ на В.

Определение. Семейство (Т仆)о£8 называется адекватно параметризованным (а. и.) посредством отображения ср множества 领(А, В) в ©, если для всех т9 mf ^ЗЯ (А, В)

Т<р(7и) ° 加3) = Тф(т*) ° 加(А)・

Если отношение Тф(т)выполнено для шкальных значений, измеренных в шкале т, то адекватная параметризация ср дает отношение Тф(т/), которое описывает эмпирическое отношение Т^т} о rn(k) в шкале М・

Так как отношения Т^ где 令 W 屮(脏)，и только они, нужны для описания эмпирических отношений в различных шкалах т W € 痂(А, В), то нас будут интересовать только «замкнутые» семей ства отношений.

Определение. А. п. семейство отношений (ТПесе называется замкнутым^ если ср (弧)= ©.

Поскольку нам удалось выразить адекватность отношений через их инвариантность (см. разд. 2.2), то адекватную параметризацию мы можем охарактеризовать через допустимые преобразования.

Теорема. Семейство (То)℃® адекватно параметризовано посредством отображения <р тогда и только тогда, когда для каждой фиксированной шкалы zn0 € 5!Я (А, В) и всех ? С「в (加о (Л))

7<р(то)= t也⑺ о Y(h)на (恤(4))*

где 中(?)= ①(?0加0), или, обратно,中(m)= 屮(加0m；)

Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из того, что

派(А, В) = {?。叫：у £ 4 (恤(Л))}

(см. теорему* 1.5.12),

Как указывалось выше, адекватная параметризация предполагает вложение отношения Т в семейство а. п. отношений (Т^), выражающих одно и то же эмпирическое отношение для различных шкал. Каким образом это достигается, устанавливает

Следствие. Если То есть й-местное отношение на В и т0€ 63Н(А, В), то семейство (Т?)?егв(т0(л)), где

7 = ( П。丫油 на(Y。m。(")))I「о в остальных случаях,

замкнуто и адекватно параметризовано посредством отображения Ф (т) = т о т；1, для которого 7屮(恤)=丁屮® = П・

Определение семейства (Т?) и параметризация зависят от шкалы /л。. Даже если для тх = Yi。加。отображение Y f Wi взаимно однозначно переводит Гв (тх (Д)) на Гв (т0 (Д)), семейства (^V)verB(mo(A)) и (7V)V €rB(mi(A)) МОГуТ быТЬ рЗЗЛИЧНЫМИ. Это

4—01183

не удивительно, так как отношение 7。в шкале т0 отражает эмпи* рический закон, вообще говоря, отличный от закона, отражаемого отношением 7。 в шкале т1 #= т^. Однако если т0 (Л) = В и Гв (恤 ⑷)= Гв — группа автоморфизмов множества В, то указанные семейства совпадают, и параметризацию 屮'при Т^(т1)= =То можно получить на основании параметризации 屮 с Т^т^)= =То из условия <р，(/и) = ф (加)。丫丁，где /и】=丫1。加0・

Понятие семейства (7丫)丫£「не предполагает, что Т^ #= Ту для ?/ 并？. Отношения 7\, например, совпадают для всех? £ Гв (加。,％)) тогда и только тогда, когда Т° адекватно. Отношение эквивалентности ? ^ п выполняется тогда и только тогда, когда 7丫 = T# определяет классы эквивалентности, однозначно соответствующие различным отношениям семейства (Tv)ve г-

Если, кроме того, mQ (Л) = В и Гв (т° (Д)) = Гв, то множество Го = {?: 7\ = У1。} есть подгруппа группы Гв. Действительно» так как Т?п =北。喉)。网)=(7\)打 то для всех у, п € Го

7* т)т = (Т ”)旷丄=Т т)-1т)= 5%, Туп = (Тл)? = Ту = Т°・

Если 7\ = 7>, то То。丫為=北。丫匍 и потому 丫'"。丫 £ Го, и обратно. Следовательно, классы эквивалентности группы Гв, на которых отношение 7\ постоянно, представляют собой правые классы смежности группы Гв по модулю Го, т. е. множества вида 7Г0.

Если Го — нормальная подгруппа группы Г, то между классами смежности и элементами факторгруппы Г/ Го существует взаимно однозначное соответствие. В этом случае можно параметризовать семейства {Г7}?е г с помощью (вообще говоря, меньшего) множества Г/Го. Заметим, что в общем случае Го не является нормальной подгруппой. В самом деле, пусть 5 = К и Г — группа Гр положительных линейных преобразований прямой К. Унарное отношение Т。： ％ = 0 (т. е. 70 (х) == 1 тогда и только тогда, когда % = 0) инвариантно только при преобразованиях растяжения; таким образом, Го = Гй, но подгруппа Fd не является нормальной в Гр (см. замечание 1.8.4).

2.7. Примеры на адекватную параметризацию

Пусть В=К+хК+ И /= {%, а2： (%1，%2)f 3%,出%2)， аь а2 £ R+}. Предположим, что для данной шкалы mQ выполнено отношение

「о(%1，%2)=1 тогда и только тогда, когда %2 = 2%：・

Согласно следствию 2.6.4, а. п. семейство задается условием

Тои,а2(%1，％2)= 1 тогда и только тогда, когда 丁。(許，許) = 】，

означающим, что

也=2互.a2 一 a1 ,

Имеем

Tai, а2 = То тогда и только тогда, когда 皆=L и потому

Tai,a2=%y тогда и только тогда, когда 券=諳・

Следовательно, множество {Tai> a2: a「《2 €%+} совпадает с множеством {Т^.: d^R4"}, где 《7仆(％；%2)= 1 тогда и только тогда, когда %2=2®%；》. Адекватная параметризация для этого семейства задается функцией

2仇心2)=酱e8=К+.

Типичный пример а. п. семейства отношений дает уравнение состояния идеального газа pV = RT. Для того чтобы записать это отношение в общем виде, положим V = хъ р = х2, Т = %, R =令. Тогда оно примет вид хгх2 = 8%з. Если предположить, что преобразования группы Г индуцируются изменением единицы длины, то Г состоит из преобразований 丫力：(％i，х2, х3) (t3xlf /~2х2, х3). Если для фиксированной шкалы т0 это отношение выполняется при 令=б。， то адекватная параметризация задается функцией 屮(%)=卅0・

Очевидно, такое семейство может быть адекватно параметризовано только в случае, если шкала температур единственна с точностью до преобразований растяжения. Если бы нулевая точка не была фиксирована, т. е. были бы допустимы положительные линейные преобразования 丫％6 : х3 f ax3 + р, где a > 0 и 卩 W К, то не существовало бы соответствующей функции 屮(а, р), такой, что из %i%2 = °о%з следовало бы, что

%1%2 = W (а, В) (а%з + ₽).

(Из существования такой функции должно следовать, что

(屮(a, Р) a —鶴)％з + 屮(a,卩)卩=0 для всех %з £ %・

Но это функциональное уравнение имеет решение только при р = 0.)

Параметрическая зависимость, не являющаяся адекватной, была предложена Во [1, стр. 395] для связи между количеством денег М и его маргинальной полезностью

log log М — log log 82 '

где 令]и 扌2 —— действительные параметры.

Очевидно, что этот закон представляет собой модификацию закона, предложенного Фришем:

%и log М—log%'

Если учесть, что М определяется однозначно только с точностью до преобразований растяжения, то окажется, что закон Фриша является адекватной параметризацией рассматриваемой зависимости, а закон Во — нет. Если бы закон Во был справедлив для денег, выраженных в долларах, то он не был бы справедлив для денег, выраженных в центах. Для того чтобы записать оба эти закона в общем виде, положим U = xlt М = %?• Тогда

' log logх2—log 10g®2

и

'_10g%2-10g 出・

Значения хг и х2 единственны с точностью до преобразований растяжения; так как обе шкалы независимы, то допустимыми будут преобразования вида т]〃,& : （%i, х2） f （友％1，%%2）. Существует ли адекватная параметризация вида 屮：（友，/2） f 0? Для зависимости Фриша ответ на этот вопрос утвердительный: преобразование 屮（&, %）= =（/工赤1, ^^2）адекватно параметризовано. Однако для зависимости Во такой параметризации не существует: если бы она существовала, то мы имели бы

也=厶也（片，%）log log *2 — log log 仆2 — log log «2*2）—】Og bg 屮2 （彳，》2）

для всех 尤2 > 0, откуда должно следовать, что log log （/2х2）—линейная функция от log log %2, но это утверждение справедливо только при % = 1.

Другим примером неадекватного закона служит следующая модификация закона Вебера, предложенная Макдональдом и Робертсоном [1, ч. III, стр. 1064] для громкости и ощущения ее восприятия:

AS =AS =аlog*аlog*

AS =

AS =

аlog*

аlog*

где через S обозначена физическая интенсивность, AS — «едва заметное увеличение» физической интенсивности, а — параметр. Для того чтобы представить эту формулу в стандартном виде, положим S = %1， а интенсивность S + As, едва заметно превосходящую хь обозначим через х2. Наконец, пусть а =拆 £ R+. Тогда

& 一%1

备log/

Физическая интенсивность обычно измеряется в шкале, единственной с точностью до преобразований растяжения. Преобразование (xj,尤2) f (f%i，f%2) нельзя компенсировать с помощью параметризации, так как в этом случае мы должны были бы иметь

2(f) = 5log /Х1 — log%]

для всех хх, что невозможно (за исключением случая / = 1). Как видно из работы Макдональда и Робертсона [1, ч. I, стр. 830], они имели в виду [уравнение

9 —р—logs， которое адекватно.

Как и в предыдущем примере, неадекватная зависимость представляет собой модификацию адекватной зависимости, а именно закона Вебера

AS=県

Здесь для любого преобразования 丫储 S f fS адекватная параметризация задается функцией 屮⑴=步存°.

Пространство параметров 0 в нашей общей теории совершенно произвольно. Большинство практически уместных примеров включает только конечное число действительных параметров. Проиллюстрируем использование более общего пространства параметров следующим примером.

Пусть 尤1 — шкальное значение высоты тона и х2 — шкальное значение положения зоны максимального возбуждения (см. Стивенс, Фолкман [1]). Предположим, что для измерения высоты тона была выбрана щкала, единственная с точностью до произвольных монотонных преобразований. Тогда единственным адекватным утверждением об отношениях между 修 и х2 было бы утверждение о том, что %】—монотонно возрастающая функция от х2, т. е. если шкалы для %1 и х2 фиксированы, то существует такая монотонно возрастающая функция и (•), что %工=〃 (х2). Изменение шкалы для 尤工 будет переводить функцию и в другую монотонно возрастающую функцию. Пространство параметров в этом случае состоит из всех монотонно возрастающих функций. Если бы мы ограничили класс 〃, например, линейными функциями 〃也，色(尤)=令1力 + 令碧,то вернулись бы к случаю действительных параметров 无工=令工力纟 + 赤2・ Это семейство отношений (存力 ^2) £ 0V, устанавливающее, что %】一 линейная функция от х2» было бы, однако, нельзя адекватно параметризовать, если бы шкала для хх допускала произвольные монотонные преобразования, так как произвольное изменение шкалы для jq может не компенсироваться изменением значений параметров

%,仆2. Однако соотношение этого типа можно было бы адекватно параметризовать, если бы шкала для хт была единственна с точностью до линейных преобразований.

Факт наличия параметров (многомерных констант), зависящих от шкал, известный всем физикам, по-видимому, приводит в смущение психологов. В этой связи мы хотели бы отметить интересную попытку Льюса [1, 2] определить все «допустимые» психофизические законы с помощью следующих рассуждений. Пусть шкальные значения 修 единственны с точностью до некоторого множества rf преобразований (/ = 1, . . ., и + 1) и /— отображение из Вп в В. Функциональное отношение Т на Вп^

(* ) = f (Xj, - . Хп)

«допустимо» тогда и только тогда, когда для каждой совокупности преобразований (%, . . ., уп) € Tj X . . . X Гп существует такое преобразование уп+1 € Гп+1, что из (*) следует

Yn+l(Xn+1) = f (% (х3), . . ., Ь (хп)).

В качестве иллюстрации рассмотрим случай 5 = К,几=1 и Гх = =1\ =几(т. е. обе шкалы единственны с точностью до преобразований растяжения).

Тогда для каждого а £ R+ должно найтись такое значение 6 (а) £ К+, что / = f (%i) тогда и только тогда, когда 6 (а) х2 == =f (а%1)・ Это — функциональное уравнение для В и f. Если предположить непрерывность отображения f, то мы получим f (%) = рхг и 6 (а) = ат, где р, t € К. Поэтому «допустимое» функциональное отношение, связывающее две шкалы, единственные с точностью до преобразований растяжения, будет обязательно иметь вид %纟= =р%；.

Хотя принцип, использованный Льюсом для определения Д на первый взгляд представляется разумным, мы хотели бы возразить против возможного вывода, что существуют законы, которые можно описать только с помощью «недопустимых» функциональных отношений; их все равно нельзя выразить без помощи параметров, изменяющихся вместе со шкалами. Например, одномерное дви^ жение линейно заторможенного тела описывается уравнением

&= — те-рх—о у рс%+，о£К),

где через %] обозначено время, а через х2— расстояние. В этом случае, если р зафиксировано, изменение единицы времени нельзя компенсировать изменением единицы длины.

Кроме того, эти критические замечания по поводу «допустимых» функций в доказанных Льюсом теоремах полезны благодаря другой интерпретации. Они определяют такие действительные функции /

на Кп или (К+)п, что семейство отношений (丁个)仆 £%2：

•^п+1 =也/ (尤1, • • •, %тг) + %

можно адекватно параметризовать, если Гь .,., Гп = Td и

⑴ Г п+1 ^^d нли (ii) Гп+1 = Гр.

Льюс доказал, что для непрерывного отображения /

п

Хд) — Р 口 ％/i=l

в случае (i) и

пf % n) = p 口 毋 + 0г=1

или

п

f(%i, ・・.,％n)=2qlog%i + c

в случае (ii).

До сих пор адекватность статистики f (%(“)) связывалась с адекватностью отношений на В (см. предложение 2.4.2), которая эквивалентна адекватности (2/г)-местного отношения / (х(п))= =f (х(п)) на В. Вводя искусственный действительный параметр, адекватную статистику можно интерпретировать как а. п. семейство ^-местных отношений. Пусть f——статистика на Bn, т0 € С 欢(А, В), Во = [) {т (Л): m £ ЗЛ (А, В)}. В этом случае статистика f адекватна тогда и только тогда, когда для каждого 尤⑴)W € 血о ⑷"отображение 屮(?)= f (丫⑺(%(п))) на Гв (恤⑷)есть адекватная параметризация семейства {%}℃貿в«), где 7仆一отношение вида f (х(п))—仆=О.

Глава 3

ТОПОЛОГИЯ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ

3J・ Топологические пространства

Определение. Топологией называется семейство множеств J^, удовлетворяющее следующим требованиям:

пустое множество принадлежит У\

пересечение любых двух элементов семейства 夕 принадлежит 夕；

объединение элементов любого подсемейства семейства 夕 принадлежит 夕.

Множество 4=U{U：U£ 夕} называется пространством топологии 夕.Пара （4,夕）называется топологическим пространством. Множества топологии 夕 называют открытыми множествами. Пространство А топологии и пустое множество всегда открыты.

Определение. Пусть 夕】к 夕2—топологии на 4・ Говорят» что топология 夕1 грубее топологии 夕纟（или сУ 2 тоньше 夕】）,если 夕1U夕2・

Определение. Множество U в топологическом пространстве （Л,夕）называется окрестностью точки а ^ А, если U открыто и содержит а. Системой окрестностей точки называется семейство всех окрестностей этой точки.

Критерий. Множество открыто тогда и только тогда, когда оно содержит окрестность каждой своей точки.

Доказательство. См. Келли [1].

Определение. Подсемейство 夕 ° и 夕 называется базой топологии 夕，если каждый элемент из 夕 можно представить в виде объединения элементов из 夕（）• Подсемейство 夕^ и 夕 называется подбазой топологии 夕,если каждый элемент из 夕 можно представить в виде объединения конечных пересечений элементов из 夕戸

Критерий. Подсемейство 夕о и 夕 образует базу топологии 夕 тогда и только тогда, когда для каждой точки а пространства и любой ее окрестности U существует такой элемент V € 夕о，что а Си U・

Доказательство. См. Келли [1].

Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его топология обладает счетной базой.

Определение. Базой системы окрестностей точки а называется такое семейство окрестностей точки а, что каждая окре* стность точки а содержит некоторую окрестность этого семейства.

Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности^ если система окрестностей любой его точки имеет счетную базу.

Лемма. Топологическое пространство, удов летвор яющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет также и первой.

Доказательство. См. Келли [1].

Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для любых двух его различных точек « н 卜 найдутся окрестности U 3 а и V Э Ь, пересечение которых пуста (t/ П V = 0).

Определение. Элемент а0 называется предельной точкой последовательности (an)n=i,2,..., если для любой окрестности U точки а。найдется такой номер и (U), что ап ^U для всех п》п (U).

Если последовательность (^^=1,2,... имеет единственную предельную точку а。, то пишут а0 = lim ап.

П-*оо

Лемма. Если топологическое пространство хаусдорфово^ то любая последовательность имеет не более одной предельной точки-

Доказательство. См. Келли [1].

32 Отношения порядка

Определение. Система с отношениями (Л; a, Y〉 называет* ся упорядоченной, если для нее справедливы следующие аксиомь^ порядка:

Аксиомы порядка.

Ш. Для любых a.b Е А выполняется одно и только одно из отношений а ^ b、а < b, b Y а.

П2. 弋一отношение эквивалентности.

ПЗ. Отношение Y транзитивно.

Тривиальным примером упорядоченной системы служит множество действительных чисел 〈К; =, <). Большинство эмпирических систем с отношениями являются упорядоченными системами. Если» например, А — множество звуковых тонов, то « и -< могут означать эквивалентность и порядок по высоте тона.

Как и в разд. 1.4, можно рассмотреть множество А всех классов эквивалентности и систему с отношениями (Д; =, V〉, определенную условиями

a =Z, если эти два класса состоят из одних и тех же элементов;

а <&, если a Y Ь.

Это определение имеет смысл только в том случае, если отношение порядка не зависит от того, какие элементы классов эквивалентности берутся в качестве их представителей. Другими словами, мы должны показать, что если а ^ Ь, а ^ аг, b ^，，то a，Y，• Это устанавливается следующей леммой.

Лемма. В упорядоченной системе отношение ^ есть отношение конгруэнтности ДЛЯ Y・

Доказательство. Из a^bnb<c следует a Y с. Действительно, если бы было а ^ с, то в силу а ^ b было бы b * с, вопреки тому, что b <с. Далее, если бы было с < а, то в силу b Y с <6н〃о бы b 々 а, вопреки тому, что а ^ Ь, Аналогично можно показать, что изауЬ и Ь^с следует a Y с. Поэтому из а Y b и а ^ а' следует а' Y Ь, что вместе с b ^ Ь' влечет 〃'之 Ь'・

На практике, когда исследуют эмпирические системы с отношениями, одновременно встречаются отношение безразличия (рефлексивное и симметричное, но не транзитивное) и транзитивное отношение предпочтения. Такая ситуация встречается, например, в случае, если испытуемые не различают схожие стимулы. Они могут не различать стимулы а, Ь, а также Ь, с, но предпочитать стимул а •стимулу с.

Возникает вопрос: можно ли «подправить» отношение безразличия так, чтобы оно превратилось в транзитивное отношение эквивалентности? Один из разумных подходов заключается в том, чтобы из множества а всех элементов, не отличимых от а, исключить все элементы, не отличимые от любого элемента, предпочитаемого а, и рассматривать исключенные элементы как предпочитаемые а. Аналогично можно поступить с элементами, менее предпочтительными, чем а.

Этот способ, вообще говоря, не приводит к отношению порядка. Пусть, например, А — система множеств и а < b означает, что а — собственное подмножество множества Ь, а а 〜b означает, что не выполняется ни а < Ь, ни Ь -< а. Если бы мы определили более тонкое отношение предпочтения Y】указанным выше способом, ■то могли бы получить одновременно a Y〔 b и b у^а: если а = ={0, 1, 2}, Ь = {1, 2, 4}, с = {0, 1}, d = {0, 1, 2, 3}, то b 〜а

н Ь 〜с, но с Y а, откуда b《а. С другой стороны, b 〜а н b ~ d, но а Y d, откуда а Y*.

Следовательно, для того чтобы «подправить» отношение безразличия до транзитивного отношения эквивалентности, мы должны потребовать больше, чем транзитивность отношения предпочтения. Эти требования можно удовлетворить, если исходить из следующей системы с отношениями (Л;〜，Y〉：

1) Для любых а, b € 4 выполняется одно и только одно из отношений а 〜b, a Y b, b Y а；

2)〜一отношение безразличия;

3) если одновременно a Y 〃，br ~ b", b" Y с, то а Y с.

Аксиома 3 заключает в себе условие транзитивности отношения порядка, если отождествить Ь' и Ь" (так как отношение 〜 рефлексивно).

Теорема. Если все аксиомы 3.2.4 справедливы для с. о. 〈4;〜，Y〉，то упорядоченную систему (Д; % YQ можно построить 1).

Доказательство. Пусть Ра ——множество всех элементов, предпочитаемых а, т. е. b £ Ра тогда и только тогда, когда a Y Ь. Тогда для любых двух элементов а, Ь имеем или 户。=尸匕,или Ра и Рь, или Ръ и Ра. В самом деле, предположим, что существует такой элемент с, что с R Р&, с ^ Ръ. Покажем, что Ръ и Ра (Р& :/： ^= Ра в силу существования с). Так как с @ Рь, то или с 〜儿 или с Y Ь. Таким образом, или a N с м с 〜Ь, или с Y b и b Y d для всех d £ Рь- В любом случае a Y d, т. е. d W 尸。・ Поэтому упорядоченную систему (Л; ^, Y]〉можно определить так: а ^ bt если Ра = Ръ； а <1 Ь, если Р^и Ра. Как легко видеть, аксиомы П1—ПЗ справедливы.

3・3・ Интервальная топология

В этом разделе мы приведем ряд результатов об упорядоченных множествах, необходимых для дальнейшего изложения. Мы будем считать равенство единственным отношением конгруэнтности.

Определение. Открытым лучом в Л называется множество вида

(+, а) = {% £ 4: % V。} или (о, f) = {% £ 4: а V%}, а £ 4.

Замкнутым лучом в А называется множество вида

(ч-, а] = {% £ 4: % & а} или [а, f) = {% £ А: а & %}, а ^ А.

Имеется в виду, что эту систему можно построить с помощью изложенного выше подхода.— Прим, ред.

Удобно рассматривать само множество Л и пустое множество как лучи, открытые и замкнутые одновременно.

3・3・2・ Определение. Открытым (замкнутым) интервалом называется множество, которое является либо открытым (замкнутым} лучом, либо множеством вида (а, Ь) ={%£/: а V% <&} ([а, Ь] = {% £ 4: а & % & b}), а, & € Д.

Множество открытых (замкнутых) интервалов есть наименьшая система подмножеств множества А, замкнутая относительна конечного пересечения и содержащая все открытые (замкнутые) лучи.

Определение. Интервалом в Л называется множество, которое является либо открытым или замкнутым интервалом, либо множеством вида [а, Ь) ={%£/: а & % V%} или (а, Ь]= ={% £ 4: а <х & &}, а, b ^ А.

Определение. Интервальной топологией J называется наименьшая система подмножеств множества Л, замкнутая относительно объединения и конечного пересечения и содержащая все открытые лучи. Эквивалентно, J — это наименьшая система подмножеств множества Д, замкнутая относительно объединения и содержащая все открытые интервалы. Таким образом, каждое множество из J можно представить в виде объединения открытых интервалов. Поэтому система всех открытых интервалов образует базу для топологии 夕,а система всех открытых лучей ——ее подбазу.

Критерий. Множество В и А принадлежит интервальной топологии J тогда и только тогда, когда каждая его точка принадлежит открытому интервалу, содержащемуся в В.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из критерия 3.1.4.

Критерий. Подсемейство 2° и 2 образует базу для J тогда и только тогда, когда для каждого открытого интервала / и каждой точки к W I существует такое множество /0 £ Jo, что х Е /0 cz /.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из критерия 3.1.6»

Определение. Множество В и 4 называется сегментом, если из a <Zx <Zb n а, b В следует, что х ^ В. Очевидно, что любой интервал является сегментом, но не обратно.

Пример. Пусть / — объединение всех отрицательных и положительных действительных чисел. Подмножество, состоящее из всех положительных чисел, есть сегмент, но не интервал.

Покажем, что интервальная топология хаусдорфова. Пусть а, & 6 Л и а <Ь. Если существует элемент с С (а, &), то открытые

интервалы (+, с) и (с, f) не пересекаются и содержат элементы а и b соответственно. Если интервал (а, &) пуст, то открытые интервалы (ч-, Ь) и (a, f), содержащие аи b соответственно, не пересекаются.

Так как интервальная топология хаусдорфова, то каждая последовательность имеет не более одной предельной точки.

34 Относительная и интервальная топологии

Если В — подмножество упорядоченного множества А, то

интервальную топологию 3 в системы〈В; =, V〉 отличают от

относительной топологии, индуцированной на В топологией JA: В П JA (в относительной топологии открытыми множествами служат пересечения множеств из JA с множеством В).

Так как любой открытый луч системы (В; =, V〉можно представить в виде пересечения открытого луча системы <Д;=, <> с подмножеством В, то JB с: В р JA. В общем случае, как это будет показано в лемме 3.4.5, эти две топологии не совпадают.

Определение. Представление множества В в виде объединения двух непустых непересекающихся сегментов называется сечением.

3*4.2. Определение 丄)・ Подмножество В и 4 называется простым. если для каждого сечения В = Вх U ^2 (^х <В2) выполняются условия:

(а) если sup & существует и принадлежит Въ то inf В2 существует и либо sup Вх = inf В2, либо inf В2 之 В2；

(Р) если inf В2 существует и принадлежит В2, то sup В】 существует и либо sup & = inf В 2，либо sup 瓦 € &・

Пример. Множества (—, 0] (J (1, ->) и (+, 0) U П，f )，рассматриваемые как подмножества в К, не являются простыми. Множества (+, 0) U (1, ->) и (ч-, 0] U П, ->), рассматриваемые как подмножества в 叱 простые.

Лемма. Каждый сегмент — простое множество.

Доказательство. Предположим, что В и 4 — сегмент и В = 5工 U 月2— сечение. Предположим также, что bj = sup 5工 существует и принадлежит Вх; если Ь】耍 inf В2, то найдется такой элемент а^ А, что 九 <а ^ В2. Так как множество В2 непусто

См. определение 3.5.1.

и В — сегмент, то а принадлежит В и потому принадлежит В^ Таким образом, В2^ а = inf В2. Другой случай исследуется аналогично.

Лемма. Для подмножества 5 и 4 относительная и интервальная топологии совпадают тогда и только тогда, когда В — простое множество.

Доказательство, (i) Сначала предположим, что множество В простое. Так как 3 в^ * а П В то нужно показать, что 当= =В П (~, й) g JB для любого а ^ А, Пусть % = В f] [a, f). Если подмножество 5】не имеет максимального элемента, то оно открыто в JB. Если & = sup Вх € Въ то 瓦 V。& В2. Так как множество В простое, то Ь2 == inf В2 существует и принадлежит В2. Поэтому множество В^ = {Ь £ 5: b 之 Ь?} открыто в J в. Аналогично В П (〃，f) £ 彳в для всех а ^ А.

(ii) Обратнс, покажем, что если относительная и интервальная топологии совпадают, то множество В простое. Предположим, что 5 = A U 5 2—такое сечение, что 瓦 =sup & € 8工・ Если 瓦 не является точной нижней гранью множества В2, то найдется элемент а £ 4, а ■> &!, который служит нижней гранью для В2. Тогда множество Вх = В П (—, а) открыто в относительной топологии и потому открыто в интервальной топологии J в- Так как Ь* £ 5厶 то существует такой элемент b? £ В，что 匕工 £ (+, Ь?) и В工.По определению Ь] интервал (Ьъ Ь?) не содержит элементов из Въ а так как «, ^2)и Въ то не содержит и элементов из В. Таким образом» inf当=施e斗.

Следствие. Если В — сегмент, то интервальная и относительная топологии совпадают.

Доказательство. Утверждение непосредственно выте- кает из лемм 3.4.4 и 3.4.5.

3・5・ Вполне упорядоченные и связные множества

Определение. Если 5】я В?— подмножества упорядоченного множества А и Ьг <;Ь2 для всех 瓦 € В】,Ь2 € В2，то будем писать & <В2. Аналогично запись а <В2 означает, что а <&2 для любого элемента 询 £ % и т- Д-

Элемент a。W 4 называется верхней (нижней) гранью подмножества 5 и 4 если а。》5 (询 & В).

Пусть С — множество всех верхних (нижних) граней подмножества В и 4. Элемент а。£ 4 называется точной верхней (нижней) гранью подмножества В, если а。£ С и а。& С (а。》С)• В этом случае пишут а。= sup В (а。= inf В).

Упорядоченное множество А называется вполне упорядоченным. если каждое непустое подмножество, обладающее верхней гранью, обладает и точной верхней гранью.

Лемма. Упорядоченное множество вполне упорядоченно тогда и только тогда, когда каждое непустое подмножество, обладающее нижней гранью, обладает и точной нижней гранью.

Доказательство. Пусть В — непустое подмножество, обладающее верхней гранью. Таким образом, множество С всех верхних граней непусто, а так как и В непусто, то С обладает нижней гранью. По предположению оно обладает точной нижней гранью с, которая обязательно служит верхней гранью подмножества 3 и потому его точной верхней гранью. Обратное утверждение доказывается аналогично.

Пример. Множество всех положительных и отрицательных действительных чисел не вполне упорядоченно, так как множество всех положительных действительных чисел имеет нижние грани, но не имеет точной нижней грани.

Лемма. Любая монотонная ограниченная последовательность элементов вполне упорядоченного множества имеет предельную точку.

Доказательство. Пусть («п)п=1,2,... — неубывающая последовательность: ап 忘 ап+1 для всех п = 1, 2, . . . . Если существует верхняя грань, скажем 方,то множество {%, а2,..・}, будучи вполне упорядоченным, обладает точной верхней гранью. Так как последовательность неубывающая, эта точная верхняя грань является предельной точкой.

Определение. Подмножество В cz Л называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся непустых множеств, открытых в относительной топологии на В.

Лемма. Если упорядоченное множество Л не связно, то его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых сегментов.

Доказательство. Предположим, что А = В \J С, где В и С—два непустых непересекающихся открытых множества. Пусть М С В, с0 С С. Без потери общности можно положить Ьо VQ Определим непустой сегмент 5。=(廿，瓦)U {尤 € 5： t&0» 制 и В}. Для того чтобы показать, что множество 5。открыто, возьмем элемент Ъ £ Во- Если b V Ьо, то b £ (<-,瓦).Если b ^ b0, то b ^ В. Так как В — открытое множество, найдутся такие элементы Ь', Ь", что & £ (b‘，b,f) и В. Покажем, что (У, Ь") и &. Пусть % £ ®, Ь"). Если 尤 & Ь, то х С 50, так как Во — сегмент. Если %>Ь, то [Ьо, %】=[&о, b] U (А %] и В, так как [", Ь]и 5 и (Ь, %] и и 仇 b")u В. Таким образом, % £ Во.

Пусть С。= А — Во. Так как & £ Со, то Со ——непустой сегмент. Покажем, что Со — открытое множество. Если % £ Со, то существует

такой элемент с £ С, что &0 < ^ =С %・ Если с <х, то х € (с, f) и и &, и доказательство закончено. Если же с = х, то существуют такие элементы а', а" € 4 что с € (优，а") и С. Покажем, что (а‘，а") и &• Пусть у £ (а‘，а")・ Так как у £ С, то не может быть 1&о» у! и В, так что у ^ BQ и потому у С &・

Определение. Замкнутый интервал [а, Ь] называется разрывом. если а <& и открытый интервал (а, Ь) пуст.

Пример. Множество {г € К:尸 & 0} U " € %： г》1} имеет разрыв [0, 1].

Лемма. Упорядоченное множество связно тогда и только тогда, когда оно вполне упорядоченно и не имеет разрывов.

Доказательство, (i) Связное множество не имеет разрывов, так как если бы множество Л имело разрыв [а, Ы, то его можно было бы представить в виде А = (—, b) J (a, f), т. е. оно не было бы связным.

Связное множество вполне упорядоченно. Действительно, пусть В — непустое множество, обладающее верхней гранью, С — множество всех верхних граней н D = 4 ——С. По определению D для каждого элемента d^D найдется такой элемент 匕 £ В, что d V Ь・ Если В не имеет точной верхней грани, то b не является верхней гранью для В и потому принадлежит D. Следовательно, d С €{%€』：% Vb}u D. Таким образом, D — открытое множество. Если В не имеет точной верхней грани, то С не имеет точной нижней грани и, следовательно, открыто.

Вполне упорядоченное множество без разрывов связно. Предположим, что Л не связно. По лемме 3.5.6 существуют такие непустые непересекающиеся открытые сегменты В <С, что А = =5 U С・ Так как А вполне упорядоченно, то В имеет точную верхнюю грань, скажем &0- Если Ьо € В, то из того, что В открыто, следует существование такого элемента Ь'€4 что &0 £ «, Ь')и и В. Так как b0 = sup В, то множество 仇，br) пусто, вопреки предположению об отсутствии разрывов, в А. Если &0 $ ^> то 瓦 W С・ Из того, что С — открытое множество, следует существование такого элемента с', что 6。С (d, f) и С. Так как любой элемент множества С служит верхней гранью множества В и Ьо — наименьшая верхняя грань для В, то множество (с\ Ь°) пусто, что также противоречит предположению об отсутствии разрывов в А.

Лемма. Связное подмножество упорядоченного множества является сегментом.

Доказательство. Пусть В — связное подмножество множества Д. Если существуют а, & ^ В, то любой элемент с, для которого а Vc Vb, принадлежит В, так как иначе можно было бы представить В в виде В = {х Q В: х <с} U {х Е В: х > с}, т. е.

в виде объединения двух непересекающихся непустых относительно открытых множеств.

Вообще говоря, сегмент не обязан быть связным множеством. Однако справедлива

Лемма. В связном упорядоченном множестве любой сегмент связен.

Доказательство. Предположим, что сегмент / не связен. По лемме 3.5.6 существуют такие непустые непересекающиеся открытые сегменты В и С, что I = В [J С. Без потери общности можно предположить, что элементы множества В меньше элементов множества С. Пусть 5。一 объединёние сегмента 5 со всеми элементами, меньшими /, а Со — объединение сегмента С со всеми элементами, большими I. Тогда 5。и С° — непустые непересекающиеся открытые сегменты и Л = Во U Со, вопреки связности множества А・

36 Непрерывные и монотонные отображения

Этот раздел посвящен отображениям одного упорядоченного множества Л в другое упорядоченное множество В. Главная цель — изучение связи между непрерывностью и монотонностью таких отображений.

Определение. Отображение f топологического пространства (Д,夕)в топологическое пространство (В, £) называется непрерывным, если f-i (严)и 夕(т. е. если прообраз каждого открытого множества в В открыт в Л).

Критерий. Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента подбазы топологии 皆 открыт.

Доказательство. См. Келли [1].

Лемма. Если отображение f: А В непрерывно, то для каждой сходящейся последовательности (an)n=i,2,...

lim/(aK=/(lim a J 'nfgn-> 8

Доказательство. Пусть V — открытое подмножество множества В, содержащее f (lim @九).Тогда lim ап принадлежит мно- 71foeTlf 8

жеству f-i (7), открытому в силу непрерывности отображения f. Следовательно, существует такое число п0, что ап £ f"1 (Й) для всех 几 > п0, откуда f (@九)W V для всех и》

Лемма. Для топологического пространства Л, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, верно и обратное: если

lim /(。几)=f (Пт ап) для каждой сходящейся последовательно- П^ооП-^оо

сти (ал)п==1,2,..., то отображение / непрерывно.

Доказательство. Предположим, что отображение f не . непрерывно. Тогда существуют такое открытое множество 丿 в В и такой элемент а。€ /< (V), что а。не принадлежит ни одному из открытых множеств, содержащихся в 尸(7). Пусть “，/，• • •— счетная база для системы окрестностей элемента а0. Так как множе- п

ство П Un открыто и содержит %, то существуют элементы ап £

п

£ П fA —厂1 (吩 для 几=1, 2, . . .; кроме того, % = lim 喝，по- k= 1"fOO

скольку для каждого открытого множества U J “° найдется такое число п0, что Uno и U и, следовательно, ап ^ U для всех п》п0. С другой стороны, / (а" 0 V, так как ап 0 Z"1 (V) для всех 几.Отсюда вытекает, что (f (an))n==1,2j... не сходится к / (网).

Лемма. Если f\ АВ и g: В f С — непрерывные отображения, то их композиция gof: A f С также непрерывна.

Доказательство. См. Келли [1].

Лемма. Если f—непрерывное отображение множества 4 в В, то образ f (Ло) любого связного множества 4。и 4 связен.

Доказательство. Если бы / (Л 0) не было связным множеством, то его можно было бы представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. Так как прообразы непустых непересекающихся открытых множеств, содержащихся в f (4о), являются непустыми непересекающимися открытыми множествами, то и множество Лс не было бы связным.

Определение. Отображение / топологического пространства (4,夕)в топологическое пространство (В,产)называется открытымг если f (夕)и 产(т. е. если образ каждого открытого множества в А открыт в В).

Ниже мы рассмотрим отображения упорядоченных множеств в упорядоченные множества.

Критерий. Отображение в упорядоченное множество непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого луча открыт.

Доказательство. Так как открытые лучи образуют подбазу для интервальной топологии, то утверждение непосредственно вытекает из критерия 3：6・2.

Лемма. Если f и g— два непрерывных отображения упорядоченного множества А в упорядоченное множество В, то множество К = {a Q A: f (a) <Z g (〃)} открыто.

Доказательство. Пусть а。£ К. Тогда найдутся такие два непересекающихся открытых интервала /】и /2, что / (а。) £ /п g (〃о) £ /2. Так как /, g— непрерывные отображения, то прообразы 广 1 (Л), g" (/2) и их пересечение 尸 (厶)П g" (/2) открыты. Далее, 询 £ /т (厶)П %7 (А) и К； так как f (a) W 厶 и g (а) € /2 для любого а £ 尸(Л) П gT (/2)» то f (〃)Vg (〃)• Таким образом, согласно критерию 3.1.4, множество К открыто.

Определение. Отображение f упорядоченного множества 4 в упорядоченное множество В называется монотонно возрастающим (убывающим}, если из Н V а" следует / (〃')vf (а") (/(〃')> f С)) для всех а', а" С 4. Отображение называется монотонным, если оно или монотонно возрастает, или монотонно убывает.

Заметим, что каждое монотонное отображение взаимно однозначно. Поэтому 尸 отображает множество f ⑷ на 4

Лемма. Монотонное отображение множества Л на множество В непрерывно.

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что f монотонно возрастает. Тогда 尸 «, b)= =(—,尸(%))• Следовательно, множество 尸 «, &) открыто. По критерию 3.6.8 отсюда вытекает непрерывность отображения /. 3.6.12. Следствие. Если /—монотонное отображение из Д в В я，⑷一простое множество, то отображение f непрерывно.

Доказательство. Если / (Л) — простое множество, то в силу леммы 3.4.5 относительная топология на f (Л) совпадает с интервальной топологией. Поэтому в силу леммы 3.6.11 / непрерывно отображает 4 на / (Л).

Лемма (теорема о промежуточном значении). Пусть f — непрерывное отображение связного упорядоченного множества А в упорядоченное множество В. Если для элемента b £ 5 существуют такие элементы 館，а" £ 4 что f (优)V b V / (а"), то между а，и а" найдется элемент а, для которого f (а) = Ь.

Доказательство. Без потери общности можно считать», что а! Va". Так как множество Л связно, то [а', а"] тоже связно, и, значит, в силу непрерывности отображения f множество / ([〃', а"]) связно, согласно лемме 3.6.6. Так как f(a'), f (〃")£ f (", 〃"]), то по лемме 3.5.10 b £ / ([〃'，а"])・

Лемма (теорема о пересечении). Пусть / и g—два непрерывных отображения связного упорядоченного множества Л в упо*

5粗

рядоченное множество В. Если существуют такие элементы а', а" € 4, что f (а‘)< g (〃')и / (а") > g (а"), то между а' и а!' найдется такой элемент а, что f (а) = g (а).

Доказательство. Если бы не было элемента а, для которого / (а) = g (а), то множество А можно было бы представить в виде А = {а £ 4: f (а) vg ⑷} U {а € 4： f (а) > g (а)}9 т. е. в виде объединения :двух непересекающихся непустых множеств, открытых в силу леммы 3.6.9. Это противоречит связности множества А.

Лемма. Взаимно однозначное непрерывное отображение связного упорядоченного множества в упорядоченное множество монотонно.

Доказательство. Предположим, например, что для a! va" VQ‘" выполнено f (а‘) <7 @") V/ (а")・ По теореме о промежуточном значении существует элемент а £ (а', а"), для которого / (а) = f (aw). Это противоречит предположению о том, что отображение f взаимно однозначно. Другие случаи рассматриваются аналогично.

3・7・ Произведение пространств

Определение. Пусть (Дъ 夕0 и (Л2, .У2) — два топологических пространства. Мы определяем топологию произведения ^Гх X У*2 как грубейшую топологию, содержащую все множества

={“ х л2： % е 夕J и & х 夕2 = Mi х 力：и? w 夕2}.

Семейство всех произведений U X У, где U С ^\, V £ У2, образует базу для этой топологии, которая, следовательно, состоит из всевозможных объединений элементов этого семейства. Под произведением пространств (Аъ X (Д 2, ^^ понимается топологическое пространство (Лх X Д2> 夕 1 X 夕2)・

Лемма. Если g\ А-^ В, h: А -^ С ——два непрерывных отображения, то отображение (g,九)：4 f 5 X С, определенное формулой (g,九)(х) = (g (х), h (x)), непрерывно в топологии произведения.

Доказательство. Для произвольных открытых множеств Uu В и 丿и С имеем (g, ft)"1 (U X С) == g"4 (U) и (g-, /г)т(B x P) = /г，(V), и, следовательно, прообразы множеств U X С и В X V открыты.

Следствие. Если отображения g: 4->5, hi А-^С и f； В X С D непрерывны, то отображение，。(& А): Л -> D, определенное формулой f。鱼，й) (х) =f (g (x), h (x)), также непрерывно.

Доказательство. Отображение f。(g, ft) как композиция непрерывных отображений f и ®,九)непрерывно.

Определение. Отображение /: Л X 5 f С называется непрерывным по первой переменной, если для любого & С В отображение /ь： 4 f С, определенное формулой /ь (%) = / (%, Ь), непрерывно. Аналогично отображение / называется непрерывным по второй переменной, если для любого а ^ А отображение /а: В ~> С, определенное формулой fa (у) = / (а, у), непрерывно.

Лемма. Если отображение /: Л 义 Bf С непрерывно, то оно непрерывно по обеим переменным.

Доказательство. Отображения g: А А, где g (%)= =居 и h: A f В, где й (%) = > непрерывны. Поскольку /— непрерывное отображение, то в силу следствия 3.7.3 отображение f (g (х), h (х)) = / (х, b) также непрерывно. Непрерывность отображения / (а, у) доказывается аналогично.

Обратная лемма, вообще говоря, неверна. Чтобы это показать, рассмотрим действительную функцию 力 определенную на евклидовой плоскости равенствами

『(％，圻=或餐 Для х#=0,"声°，

/(О, 0) = 0.

Эта функция непрерывна по обеим переменным, но не непрерывна. Однако при более сильных ограничениях можно доказать и обратную лемму (см. лемму 3.7.11),

Определение. Отображение f: А X В С называется сократимым, если отображения fb и /. взаимно однозначны для всех а А, b В.

Рассмотрим теперь отображения произведения пространств двух упорядоченных множеств Л и В в упорядоченное множество С.

Определение. Отображение /: А X В f С называется монотонным по первой (второй) переменной, если отображение /& (九) монотонно для каждого Ь С В (〃£{)• Отображение называется монотонным, если оно монотонно по обеим переменным.

Предложение. Если Л и В — связные упорядоченные множества и f: А X В С — сократимое отображение, непрерывное по обеим переменным, то，монотонно.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из леммы 3.6.15.

Определение. Отображение /: Л X В f С называется согласованно монотонным по первой (второй) переменной, если оно монотонно по этой переменной и направление возрастания не зависит

от значения другой переменной. Отображение называется согласованно монотоннымесли оно согласованно монотонно по обеим переменным.

Предложение. Если А и В — связные упорядоченные множества и отображение f: А х В С монотонно и непрерывно по обеим переменным, то / согласованно монотонно.

Доказательство. Предположим, что существуют такие элементы а', а" £ 4, что функция /&‘ возрастает, а функция fa- убывает. Тогда fa^ 0') Vfa，(b") и />、(〃)> Аг ®') для bf < Ь\ Так как функции %，, %，непрерывны, то по лемме 3.6.14 существует такой элемент А, что 『匕，(а) = %，，(а), или /а (Ь‘) = fa (『'). Это противоречит монотонности функции %・

Лемма. Если отображение /: Д X В -> С согласованно монотонно по одной переменной и непрерывно по обеим переменным, то оно непрерывно.

Доказательство. Предположим, что отображение，монотонно возрастает по первой переменной. Мы должны показать, что множество /т (♦, с) открыто для любого с £ С. Пусть (а, Ь) £ € 尸 «, с). Поскольку отображение [ъ непрерывно, множество fb' (♦, с) открыто. Далее, или а € /ь1, с), или А и /&1 (+, с)・

В силу монотонности отображения fb существует такой элемент 0f > а, что (+, а') и fU («■, с)・

Предположим сначала, что существует такой элемент а", что a<Zaff<Zctf. Так как отображение 卜 непрерывно, то множество %》(—，с) открыто. Более того,匕£母(*, с). Поэтому (а, Ь)£ а〃)х /У，—，с). Поскольку из %£(*, а") и у £%%(+, с) следует, что /(х,协 V f (а* У) < с, то (+, а") х ^ (—, с) и 厂丄(—，с).

Если, с другой стороны, не существует элемента а", для которого а V а" V 〃'，то (а, Ь) £ (+, а') х f倉(+, с) с=厂1 (+, с).

Если отображение f монотонно убывает по первой переменной или монотонно по второй переменной, доказательство аналогично.

Определение. Отображение /: Л X В f С называется изо- монотонным (антимонотонным), если оно согласованно монотонно и направление возрастания одинаково (противоположно) для обеих переменных.

3・8・ Сепарабельность и счетная база

Цель настоящего раздела — обсудить понятие сепарабельности, которое нам понадобится в разд. 4.2.

Определение. Подмножество 4°и 4 называется плотным в топологическом пространстве (Л,夕)，если каждое непустое открытое множество содержит по крайней мере один элемент из Ло.

Критерий. Подмножество Аоа А плотно в упорядоченном множестве Л, если каждый непустой открытый интервал содержит по крайней мере один элемент из Ло.

Доказательство. Каждое непустое открытое множество содержит непустой открытый интервал.

Определение. Топологическое пространство (4,夕)называется сепарабельным, если существует счетное множество, плотное в (Л,夕).

Простым примером сепарабельного упорядоченного множества служит множество действительных чисел. Приведем пример (Хофман [1]) несепарабельного упорядоченного множества. Пусть на открытом квадрате Л = {(々, ％)： О V 々 V 1, i = 1, 2} задан лексикографический порядок. Если бы множество Л было сепарабельным, то каждое из множеств

{(к 々)£4 (г, 4) V(〃, г2)< (^ 4) } ? 0 Vr V 1, содержало бы некоторый элемент счетного подмножества. Отсюда следовало бы, что множество действительных чисел между 0 и 1 счетно.

Лемма. Если множество сепарабельно в интервальной топологии, то топологическое пространство (В, Jb) сепарабельно для любого подмножества В.

Доказательство. Пусть А — упорядоченное множество, Ло — счетное плотное в 4 подмножество и В — произвольное подмножество в Л. Зададим множества

Вх = {inf {b € В： b》а}, если inf существует и принадлежит В:

a € 儿}； 石2 = {sup {b W В: b《а}, если sup существует и принадлежит В:

@ е 儿}；

5з = {произвольный элемент из пересечения (аъ а?) П 5, если оно непусто : а】，а2 £ До}«

Ясно, что 统=昆 U В? U & — счетное подмножество множества В. Покажем, что оно плотно в В.

Для всех Ь С В и а С До из (й, а] (] В ^ 0 следует (&, a] Q А Во #= 0 и из [а, &) 0 ^ #= 0 следует [а, Ь) П 5。=# 0・

Действительно, если множество В' = (Ь, а] П 5 непусто и конечно, то sup {b ^ В: b ^ а} существует и принадлежит В2; если 5'— бесконечное множество, то существует такой элемент Ъ' £ В, что b Vb，V〃，仇 Ь7) у= 0 и (Ь\ а) =# 0. Следовательно, существуют

такие %, “2 £ #0，что b V% Vb' V〃2 V", и потому 瓦 £ В3> где & vM V@2, откуда Ь <&0 V@・ Доказательство второй части утверждения (i) проводится аналогично.

Для всех Ьп &2 С В из (Ьъ Ь2) П В #= 0 следует (瓦，施)П П &声0・

Действительно, так как ® Ь?) П В #= 0, то найдется такой элемент а £ Ло, что bi V〃 V^2 и по крайней мере одно из множеств В' = (&, а] П В,方"=[а, &9) П В непусто. Таким образом, соглас- нб (i),(夕 U В") П & 声 0：

Для всех b ^ В из (Ь, -^) (] В ^ 0 следует (Ь, ->) П Во #= 耍"и из (—, Ь) П 5 =/= 0 следует Ь) [\ В^ 0.

Действительно, пусть (b, f) п 5 并 0. Если а С Ло и (&, а] П и В у= 0, ТО в силу (i) (&, f) С / 耍 0. Если (bt a] Q В = 0 для любого а С Ло, то (6, ->) П 8 содержит точно один элемент 力. Имеем 5, П Ло = 0. В силу сепарабельности f) П 4о 千 =/： 0. Следовательно, существует элемент а € (Ь, Ь') П Ло и, значит, b' = inf {b W В: b》a) W В> Доказательство второй части утверждения (iii) проводится аналогично.

Из (ii) и (iii) следует, что множество 5。плотно в В.

Лемма. Интервальная топология сепарабельного упорядоченного множества удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Доказательство. Пусть А — упорядоченное множество, Ло — счетное подмножество, плотное в Д, и а:— произвольный элемент в Л. Тогда счетную базу окрестностей элемента а образуют всевозможные попарные пересечения множеств вида

{(%, f), (+,能)：％，“2 € 4，% V@ V%}，если а не принадлежит разрыву;

{(%, f), (*, a"): a】£ Ло, a】 V@}, если [a, aff] — единственный разрыв, содержащий a;

{(紹，f),' (+, a?)： % £ %。，〃 V%}，если [a', а] — единственный разрыв, содержащий a;

{3‘，f), (*, a")}, если [a', а] и [a, a"] — разрывы.

Теорема. Пусть Л и В — упорядоченные множества, причем В — сепарабельное множество. Тогда для монотонного отображения / множества Л в В утверждения

/ — непрерывное отображение;

для всех последовательностей (an)n=i,2,..e и 4 и всех a С Д а = lim ап тогда и только тогда, когда f (a) = lim f (ап)

Tlf 8П->ОО

эквивалентны.

Доказательство. Так как множество В сепарабельно, то его подмножество / (Л) также сепарабельно (лемма 3.8.4), а в силу монотонности отображения / сепарабельно и множество А. Следовательно, топология За удовлетворяет первой аксиоме счетности (лемма 3.8.5). По лемме 3.6.4 из (ii) следует (i), а по леммам 3.6.3 и 3.6.11 из (i) следует (ii).

Лемма. Следующие три свойства интервальной топологии эквивалентны:

интервальная топология имеет счетную базу;

множество сепарабельно в своей интервальной топологии* и число его разрывов не более чем счетно;

существует счетное подмножество, пересечение которого с каждым замкнутым интервалом [а, Ь], где а Vb, непусто.

Доказательство, (i) влечет (ii). Предположим, что существует счетная база Jocz J. Для того чтобы показать, что множество Л сепарабельно, выберем из каждого непустого множества, принадлежащего Jo, по одному элементу а. Тем самым получим счетное множество А^ плотное в А. Для того чтобы показать, что А имеет не более чем счетное число разрывов, рассмотрим множество G элементов всех разрывов. Пусть g0 £ G. Без потери общности можно предположить, что существует такой элемент g】6 G, что множество (go，gi) пусто. Так как g0 принадлежит «, g。，т. е. открытому множеству, то найдется такое множество U £ Jo, что g0 ^ U с^ (—, g。. Следовательно, g。——точная верхняя грань множества (/. Таким образом, G — счетное множество.

влечет (iii). Пусть подмножество Ао<^ А счетно и плотна в Л. Так как Л имеет не более чем счетное число разрывов, то множество 4 = 4о U G счетно. Пересечение множества 41c каждым замкнутым интервалом непусто. Действительно, если множество (а, Ь) непусто, то найдется элемент х £ (а, Ь), принадлежащий А^. Если (a, i) пусто, то [а, Ь] — разрыв, и at b G.

влечет (i). Предположим, что существует счетное подмножество Ло множества Л, пересечение которого с каждым замкнутым интервалом непусто. Множество Л имеет не более счетного числа разрывов, поскольку каждый разрыв содержит элемент из Ло. Пусть G — множество элементов всех разрывов. Тогда множество открытых интервалов 久 ={(s, &)，(% f )，«，&)： S，& £ 4 U G} счетно. Для того чтобы показать, что Jo служит базой интервальной топологии, допустим, что (а, Ь) — непустой открытый интервал, содержащий элемент х, и рассмотрим три возможных случая (случаи (a, f) и (^~, &) рассматриваются аналогично):

х не принадлежит разрыву. Тогда существуют такие элементьр 优，а", 〃，b" W 4 что a v〃‘ V〃" V% Vb" Vb' Vb. Кроме того, существуют элементы и € [а', а"] П Ло и v С [br\ bl И Ло. Следовательно, (弘 и) g Jo и х С (弘 и)и (а： Ь).

% принадлежит точно одному разрыву. Тогда без потери общности можно предположить, что существуют такие элементы а', а" £ 4, что а V〃‘ V。" V%, элемент и > %, для которого <х, V)= 0, элемент 〃 £ [а', а"] П Ло. Следовательно, (и, и) W 夕о и % £ (〃，и) и (а, Ь).

% принадлежит двум разрывам. Тогда существуют такие элементы и, и W С, что [и, х] и [х,田一разрывы. Следовательно, 仇 S £ 夕о и х С (и, и) и (а, Ь).

Следствие. Связное упорядоченное множество обладает счетной базой тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.

Приведем пример (Хофман [1]), показывающий, что упорядоченное множество может быть сепарабельным и не обладать счетной базой.

3・8・9・ Пример. Пусть Е = [0, 1], £0—подмножество рациональных (£\ — иррациональных) чисел в Е, Пусть на множестве А = =(Е X {0}) U (fx X {1}) определен лексикографический порядок. Счетное множество В = Ео X {0} плотно в Д. Действительно, пусть (G，5) V(f，§2)・ Если 厂1 V%， то существует такой элемент Го £ Ео, что 厶 V% V%・ Тогда (rb 3J vk, 0) <(г2, 62). Если G =厂2，то 6Т = 0, 62 = 1, и множество {(г, 6): (гь 0) < (г, 6) V V(G, 1)} пусто. Таким образом, множество А сепарабельно. Однако у него нет счетной базы, так как число его разрывов [(г, 0), (г, 1)], где г £ Elt несчетно.

Глава 4

ШКАЛЫ НАИМЕНОВАНИЙ И ПОРЯДКА

Шкалы наименований

В разд. 1.8.1 шкала наименований была определена как взаимно однозначное отображение системы <Л; =〉в〈К; =〉，где〈4; =〉一 неприводимая с. о., соответствующая системе 〈4; ^〉с отношением эквивалентности ^. Таким образом, шкала наименований — это взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности (классами эмпирических объектов, обладающих одним и тем же проявлением исследуемого свойства) и действительными числами.

Само название «шкала наименований» указывает на то, что шкальные значения в этом случае играют роль только названий классов эквивалентности. Ни о чем больше они не говорят: любая другая связь между шкальными значениями, за исключением равенства, не имеет отношения к данному случаю, так как не существует соответствующего эмпирического отношения.

Шкалы наименований единственны с точностью до взаимно однозначных преобразований. Любое преобразование, изменяющее названия так, что объекты с разными названиями получают разные названия и объекты с одинаковыми названиями получают одинаковые названия, приводит снова к шкале наименований. Последняя служит той же цели, что и первоначальная шкала: определять различие между классами эквивалентности.

Вопрос существования такой шкалы тривиален, если число классов эквивалентности конечно или счетно. В этом случае любое подмножество множества натуральных чисел можно использовать для обозначения классов эквивалентности. Другие случаи представляют только чисто теоретический интерес. Беря систему〈К;=) в качестве числовой системы с отношениями, можно сказать, что шкала наименований существует тогда и только тогда, когда мощность множества Л не больше мощности множества К.

42 Шкалы порядка

Под шкалой порядка мы понимаем монотонно возрастающее непрерывное отображение эмпирической системы <Л; =, V〉 в числовую систему 〈К; =, V〉・ В этом разделе будут даны условия, гарантирующие существование шкалы порядка.

Лемма. Если упорядоченная система счетна, то шкала порядка существует.

Доказательство. Пусть А = {а^ а2, ...}. Построим отображение /: 4f К. Выберем произвольное действительное число q и положим f (а^ = гI，Если значения f{a^. ..., f(an) уже определены, то / (源+3 определим следующим образом. Пусть (4, %，…，/п) —перестановка чисел 1, 2, ..., п, причем a”V V @е2 V • • • V 〃方冷• Если а% < “九+^ < “%+1 для некоторого ik € f {厶 …，in} (соответственно an^ <а^, соответственно an+i>ain). то выбираем произвольное действительное число гп^ для которого / (aQ < rn+i </(^ife+i) (соответственно rn+i</(^i), соответственна Gi+i>/(%n)), и полагаем /(〃“1)=小乜・

Очевидно, что построенное таким образом отображение монотонно. Покажем, как можно сделать его непрерывным. Выберем произвольный элемент r0 £ f (4). Для каждого сечения {г С / (Л): г ^ г0} = %'U %", не соответствующего разрыву, из всех эле- ментов множества К" вычтем величину inf 宜"一sup К'. Для каждого сечения {г ^ f (Л): г W7。} = OV U К", не соответствующега разрыву, прибавим к каждому элементу множества К' величину inf К" — sup К'. Это можно сделать, поскольку число сечений, для которых sup К' V inf К", не более чем счетно. В результате множество / (Л) становится простым. В силу следствия 3.6.12 построенное отображение непрерывно.

Замечание. Полученное таким образом отображение обладает тем свойством, что для каждого сечения /({) = %， U К", не соответствующего разрыву, справедливо равенство sup К' = inf К".

Теорема. Упорядоченную систему можно представить шкалой порядка тогда и только тогда, когда она имеет счетную базу.

Доказательство. Эта теорема была доказана Дебро [II и Хофманом [1]. Мы приведем доказательство Дебро. Первое доказательство для случая связной упорядоченной системы принадле-、 жит Кантору [1].

Пусть С — счетное подмножество, плотное в Л, содержащее все элементы разрывов (см. лемму 3.8.7) и элементы inf Д и sup Л, если они существуют. По лемме 4.2.1 существует монотонное непрерывное отображение / из С в К. Это отображение можно продолжить на А следующим образом. Пусть а ^С. Если & = {с £ С: с V а} и С2 = {с С С: О а}, то С = Ci U С2— сечение. Так как С плотно в Л, то sup & = inf С? = а. В самом деле, предположим, что & имеет максимальный элемент q. Так как а ^ С, то а не является элементом разрыва. Следовательно, из с】 v〃 следует существование такого элемента с W С, что 与 V с V〃. Это, однако, противоречит предположению о том, что q — максимальный элемент множества

б】.Аналогично не существует верхней грани а' множества Съ принадлежащей Л и удовлетворяющей условию a' V〃・ В силу монотонности отображения / множество f (С) = f (&) U / (С2) также будет сечением. Так как / монотонно возрастет на С, то множество / (00 не имеет максимального элемента, а / (С2) — минимального элемента. В соответствии с замечанием 4.2.2 в этом случае sup f (&)= =inf f (C2). Полагаем f (a) = sup f (&) = inf f (C2). Очевидно, что продолженное отображение монотонно. Оно непрерывно, так как / (Л) — простое множество.

С другой стороны, если упорядоченную систему можно представить шкалой порядка, то множество f (А), будучи подмножеством множества действительных чисел, имеет счетную базу. Так как f — непрерывное открытое отображение множества Л на / (Д), то Д само имеет счетную базу.

Следствие. Связную упорядоченную систему можно представить шкалой порядка тогда и только тогда, когда она сепарабельна.

Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из теоремы 4.2.3 и следствия 3.8.8.

Так как непрерывный образ связного множества связен, то образом системы в этом случае будет интервал.

43 Шкалы порядка 6 практике

На шкалу Мооса твердости минералов и бьюфортову шкалу силы ветра обычно ссылаются как на примеры типичных шкал порядка. Хотя эти шкалы хорошо иллюстрируют применение чисел для выражения порядка, они не являются шкалами порядка в строгом, определенном здесь смысле, так как они не являются взаимно однозначными: например, большая группа различных степеней твердости обозначается одним числом.

В качестве типичного примера шкалы порядка рассмотрим скорость выпадения осадка крови, принимаемую за показатель интенсивности патологического процесса. Для того чтобы определить скорость выпадения осадка крови, в пробирку с кровью добавляют цитрат натрия; скорость осаждения измеряется в миллиметрах за единицу времени. Таким образом, мы получаем шкальные значения в мм, которые могут создать иллюзию шкалы интервалов. В действительности эти значения составляют в лучшем случае шкалу порядка для интенсивности исследуемого патологического процесса, ускорение которого приводит к увеличению содержания глобулина, что в свою очередь увеличивает скорость выпадения осадка крови и высоту слоя осадка за данный период времени. Следовательно, высота слоя монотонно связана с интенсивностью исследуемого патологического процесса. Чем выше интенсивность этого процесса,

тем больше высота осадка. Однако отсюда нельзя сделать вывод,, что терапевтический агент А, уменьшающий осадок с 75 до 60 мм, эффективнее агента В, уменьшающего осадок с 65 до 55 мм. Процедура измерения не дает основания для такого заключения. То обстоятельство, что скорость выпадения осадка крови нельзя определить точнее, чем в шкале порядка, иллюстрируется также и тем, что изменения в процедуре ее определения (например, изменение количества цитрата натрия или времени, после которого измеряется высота осадка) вовсе не приводят к линейному преобразованию шкалы (оно будет в лучшем случае монотонным).

'Другой пример, и л люстр и р ующи й понятие шкалы порядка,, можно получить при исследовании связи между стимулами и откликами в случае высоты тона. Опыт показывает, что высота тона — монотонная функция частоты. Хотя частота измеряется в шкале интервалов (количеством циклов в единицу времени), шкала частот, рассматриваемая как шкала для высоты тона, является только шкалой порядка: любая другая шкала, построенная исходя из частот с помощью монотонно возрастающего преобразования, дает ту же самую информацию о высоте тона, а именно порядок. Для того чтобы построить шкалу интервалов для высоты тона, необходимо учесть дополнительные связи между проявлениями этого свойства, получаемые, например, посредством бисекции.

В качестве следующего примера рассмотрим испытание умственных способностей, при котором измеряется время, требуемое для решения какой-нибудь задачи. Хотя физическое время измеряется в шкале интервалов, время, используемое как мера умственных способностей, принадлежит шкале порядка. Для того чтобы построить более совершенную шкалу, чем шкала порядка, необходимо исследовать более богатую структуру этого свойства.

Эти примеры типичны для любого широко распространенного феномена: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными. Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта иногда приводит к ошибкам.

4・4・ Непрерывность шкал порядка

На первый взгляд может показаться разумным называть шкалой порядка гомоморфное (т. е. монотонное и потому взаимно однозначное) отображение упорядоченной системы А = (Л; =, V〉 в〈К; =, V〉，так к^к порядок на множестве А отражается тогда порядком на множестве IR. Но это достигается не полностью: отношение порядка V на 4 индуцирует интервальную топологию JA на А (определение 3.3.4). Любая шкала т, монотонно отображающая множество Л на В = т(Д) и К, представляет собой непрерывное ото-

бражение на топологическое пространство (В, J в), где 2 в — интервальная топология, определенная отношением порядка на В. Эта- топология грубее относительной топологии ВП 3%, индуцированной топологией действительных чисел, и, вообще говоря, не совпадает с ней (лемма 3.4.5). Таким образом, для монотонного отображения т порядок действительных чисел будет отражать порядок в Д, но топология на m (Л), индуцированная топологией множества К,, не будет соответствовать интервальной топологии множества Аг за исключением случаев, когда m непрерывно.

Теорема. Монотонно возрастающее отображение m множества 4 в К является непрерывным открытым отображением пространства (Д, За) на пространство (т (Л), m (Л) П J(^) тогда и только тогда, когда т — непрерывное отображение пространства (4 九)В (К, е^к).

Доказательство. Как утверждалось выше, топология Jm(A)грубее относительной топологии т (Л) П 彳％, или, другими словами, т~г (J^) 口2厶 для каждого монотонного отображения т. Непрерывность m эквивалентна включению/и"1 (Jj^) и JА. Поэтому 团一1(，К)= 'а тогда и только тогда, когда монотонное отображение т непрерывно.

Замечание. Существуют упорядоченные системы, которые можно отобразить во множество действительных чисел монотонно возрастающим, но не непрерывным преобразованием. В примере- 3.8.9 дается такое упорядоченное множество Л, что

оно сепарабельно,

его интервальная топология не имеет счетной базы.

Из (i) следует, что существует монотонное отображение из 4 в К (доказательство мы не приводим), а из (ii) следует, что систему (Л; V〉 нельзя представить шкалой порядка (теорема 4.2.3).

Для сравнения с обсуждением «технического» характера непрерывности в разд. 6.6 сделаем здесь несколько замечаний.

Если рассматривать только конечные множества, то требование непрерывности не является ограничением; каждое монотонное отображение конечной совершенно упорядоченной с. о. во множество действительных чисел непрерывно.

Каждую не более чем счетную совершенно упорядоченную с. о. можно представить шкалой порядка (лемма 4.2.1).

Если (бесконечную) совершенно упорядоченную с. о. А можно отобразить в К с помощью монотонно возрастающего отображения т, то т есть вложение системы А в упорядоченную с. о.»

•а именно в систему 〈К; <), которую можно, представить шкалой порядка; другими словами, всегда существует подходящее расширение системы А, представимое шкалой порядка.

Концепция шкалы порядка как взаимно однозначного непрерывного гомоморфизма системы <Д; V〉в 〈К; V〉расходится с общей концепцией шкал, введенной в разд. 1.6. Ее, однако, можно согласовать с общим понятием шкалы, если рассматривать формально пополненную с. о. <Л; V,厶〉вместо <Л; <), где L— отношение предела, порожденное интервальной топологией JA на Л. Это отношение однозначно определяется интервальной топологией и, следовательно, отношением порядка. Сказанное можно формализовать следующим образом.

Определение. Для любой последовательности (〃п)п=о, 32,... элементов из А отношение L (а。, а19 а2, . . .) выполняется тогда и только тогда, когда a0= lim ап.

Так как все рассматриваемые э. с. о., кроме отношения предела, включают лишь конечные отношения, то разд. 1.3.—1.5 ограничиваются конечными с. о.. Заметим, что на с. о. с бесконечными отношениями можно распространить все определения и свойства из разд. 1.3—1.5, кроме утверждений, касающихся отношений конгруэнтности (1.4.5—1.4.8, 1.5.9ii). Последние нарушаются, так как замечание 1.4.3 неверно для бесконечных отношений. Но это исключение несущественно, поскольку система (Л; V〉неприводима. Термин «взаимно однозначный гомоморфизм» системы (Д; <, L〉 в 《К; V, L), однако, не лишен смысла. Таким образом, шкалы порядка можно охарактеризовать с помощью следующей модификации теоремы 3.8.6.

Теорема. Отображение т системы (Л; <> в 〈К; <) является шкалой порядка тогда и только тогда, когда оно является шкалой системы〈4; V, L〉в〈К; <, L).

Если дана какая-нибудь шкала порядка т。, то преобразование у допустимо тогда и только тогда, когда оно отображает т0 (Д) в К монотонно возрастающим и непрерывным образом. Пример 3 из определения 1.5.11 показывает, что как строго монотонно возрастающие непрерывные отображения из К на К, так и взаимно однозначные отображения из К на К могут не привести к допустимым преобразованиям.

Глава 5

ОПЕРАЦИИ

5J・ Монотонность, непрерывность и сепарабельность

Пусть (Л; ^, <) — упорядоченная система. Обозначим символом о бинарную операцию, ставящую в соответствие каждой паре элементов а, Ь^ А такой элемент aob^ At что ^ — отношение конгруэнтности для отношения R。, соответствующего операции о (см. разд. 1.3), т. е. если 〃' ^ а" и Ь'。b", то а' о Ь' ^ а"。Ь"・ Поскольку в — грубейшее отношение конгруэнтности для системы А = =G4; " Y, R。〉(теорема 1.4.5), можно ввести неприводимую систему с отношениями А/« (определение 1.4.6). Так как (а, X, 0 £

0 а 二…二 h

W R。тогда и только тогда, когда с = а о Ь, то отношение R。соответствует некоторой операции.

В дальнейшем мы ограничимся изучением неприводимых систем этого типа; мы будем обозначать их через (Л; =, V, о).

Таким образом, операция на множестве Л есть функция из АхАвА. Читателю следует вспомнить определения сократимости (3.7.6) и монотонности (3.7.7, 3.7.9, 3.7.12). Особое внимание надо обратить на различие между непрерывностью (в топологии произведения) и непрерывностью по обеим переменным (определение 3.7.4). Здесь и далее под топологией множества А всегда понимается порядковая топология.

Предложение. Пусть G (х), Н (х) образованы применением операции о конечное число раз к фиксированным элементам множества Л и некоторому переменному элементу х А. Пусть множество Д связно и операция о непрерывна. Тогда если существуют такие элементы а', а", что G (а') V百(o') и G (а") > Н (а"), то между а' и а" найдется элемент а, для которого G (а) = 〃 (а).

Доказательство. Согласно леммам 3.7.5 и 3.6.5, G (х), Н (%) — непрерывные функции от %. Утверждение следует теперь из теоремы о пересечении 3.6.14.

Определение. Операция о называется внутренней, если для любых а, Ь^А элемент aob лежит между а и Ь; сами значения ан b при afb исключаются.

Исходя из операции о, определим операции по и。九 по индукции:

(i) a。唠=A

а(п+^°Ь = а о (апс>Ь);

^b = a.

a。5+1力=(a。№) 0 ь.

Определение. Внутренняя операция называется архимедовой по первой (второй) переменной, если lim “叽匕=b (lim а^°Ь = a)

71foe71 f 8

для любых a, b A.

Лемма. Если внутренняя операция, определенная на вполне упорядоченном множестве, непрерывна по какой-либо переменной, то она архимедова по этой переменной.

Утверждение, обратное к этой лемме при более ограничительных условиях, приведено в разд. 5.2.

Доказательство. Докажем лемму для случая непрерывности по второй переменной. Без потери общности можно считать, что a vb・ Так как операция внутренняя, то a v小+，Ь <印°匕・ Так как множество / вполне упорядоченно и последовательность (ап°Ь)п=к 2, ... монотонна и ограничена, то, согласно лемме 3.5.4, lim 〃九°匕 существует. В силу непрерывности

П-*оо

ао lim 〃n°b= lim ao (an唠)=lim c^n^Qb^ lim ^b.7lf 8Jlf 8HfOOП-> OO

Поскольку операция внутренняя, отсюда следует, что она архимедова.

Лемма. Если область определения монотонно возрастающей непрерывной внутренней операции вполне упорядоченна, то она сепарабельна.

Доказательство. Пусть А — область определения операции. Исходя из двух произвольных элементов а, b ^ А определим До как наименьшее подмножество в Л, содержащее такие элементы а и Ь, что

(О X, у(ii) qoz zob(О X, у(ii) qoz zobл^д дл^д двлечет хоу Е Ло, влечет z € 人， влечет z £ 儿.

(О X, у

(ii) qoz zob

(О X, у

(ii) qoz zob

л^д д

л^д д

Заметим, что, согласно (i), х, у ^ Ао влечет %n°y W 4。н %°ny Е Ло для всех n = 1, 2, . . . . Из (ii) следует, что 〃*z £ 4。для всех n = 1, 2, . . . влечет z £ Ло, a z0nb £ Ло влечет z W Ло.

Докажем, что подмножество До счетно. Множество элементов, полученных из а и b применением конечное чи€ло раз условий (i) и (ii), счетно. К тому же оно содержится в До и замкнуто относительно (i) и (ii). Следовательно, оно совпадает с Ло.

Докажем теперь, что Ло плотно в Л. Пусть элементы %, у принадлежат Л. Покажем, что найдется такой элемент z £ 4°, что % Vz Vf/・ Сначала предположим, что а《％ <&. Тогда существует такое число т, что % v%m°b v у. Теперь построим последовательность (гп)п=1, 2,... элементов множества Ло, удовлетворяющих условию % VZr & %П°Ь. Для этого положим Zo = Ь. Если элемент Zn построен и zn & x(n+1)°bt то положим гп+1 = zn. Если же х< <x(n+i)o^ <2九,то рассмотрим последовательность (罐丸^几)九=i, 2, Так как, согласно лемме 5.1.5, lim cfhzn = гп, то существует такое число 岛，что cfk^zn &% Са°8°+П)/. Положим гп+1 = a°&+D)zn・ Так кака, 2n £ Ло, то z^+i £ До- Покажем, что гп+1 & х(п+1)°&. Действительно, из 2П 《 元咻 и 产％ & x получаем

Za+i= a°(feo+i)2n = (a。財zQ ozr&%o (%n°b)= %(n+')°b.

Для того чтобы исследовать случай % 0【a, fe), предположим без потери общности, что х^ Ь. Тогда найдется такое число т, что а ^^х Vb・ В соответствии с полученным выше результатом существует элемент г С Ло, удовлетворяющий условию 产。％ < Vz < ^у. Так как о — внутренняя операция, то множество А не имеет разрывов. К тому же по условию оно вполне упорядоченно. Отсюда следует, что А связно (лемма 3.5.9). Согласно предложению 5.1.1, существует такой элемент z', что ^^ = z. Кроме того, %' принадлежит подмножеству 4。и лежит между % и у.

52 Алгебраические свойства бинарных операций

Мы будем рассматривать следующие алгебраические свойства.

Рефлексивность.

Элемент % £ 4 называется рефлексивным, если а0оа0 = а0.

Операция о называется рефлексивной, если все элементы множества А рефлексивны.

Коммутативность. aob=boa для любых а, Ь^А.

Ассоциативность, (aob) о с = ао(Ь о с) для любых а, &, с^А.

Бисимметричность, (ао匕)о(cod)= (аос)о(bod) для любых а, Ь, с, d£A.

Автодистрибутивность. (а о а) о (Ь о с) = (а о Ь) о (а о с), (аоЬ)о(сос)= (аос)о(Ьос) для любых а, Ь, с^А.

Заметим, что коммутативность и ассоциативность вместе влекут бисимметр ичность. Автодистрибутивность представляет собой, очевидно, частный случай бисимметричности. Связь между бисимметричностью и автодистрибутивностью рассматривается в разд. 5.4.

6*

Для сократимых операций рефлексивность и автодистрибутивность можно объединить в одной аксиоме:

(dt о Ь) о с = (а о с) о (&о с), а о (&о с) = (а о Ь) о (аос)・

Рефлексивность получаем при а = Ь посредством сокращения. Для рефлексивных операций аксиома 5.2.6 и автодистрибутивность эквивалентны.

Для сократимых операций рефлексивность, автодистрибутивность и коммутативность можно объединить в одной аксиоме:

ao(boc) = (aob)o (соа)・

Рефлексивность получим при а = b = с посредством сокращения. При а = b получаем коммутативность, используя свойства рефлексивности и сократимости. Для рефлексивных и коммутативных операций аксиома 5.2.7 эквивалентна автодистрибутивности.

Предложение. Если рефлексивная операция изомонотонна, то она возрастающая и, следовательно, внутренняя.

Доказательство. Если бы такая операция была убывающей по обеим переменным, то из а V 匕 следовало бы, что 〃 = =q oa>dob>bob = b, что невозможно. Поэтому данная операция возрастающая по обеим переменным, и, значит, а = а о a <Z V@ obvbob = b・

Предложение. Если согласованно монотонная операция рефлексивна и коммутативна, то она возрастающая и внутренняя.

Доказательство. Из коммутативности следует изомонотонность операции, и утверждение доказано в силу предложения 5.2.8.

Связь между ассоциативностью и монотонностью для непрерывных и сократимых операций рассматривается в теореме 5.5.2.

Теорема х). Если рефлексивная, автодистрибутивная и монотонно возрастающая операция архимедова по какой-нибудь переменной, то она непрерывна по этой переменной.

Доказательство. Сначала методом математической индукции покажем, что

(а о Ь)п° (а о с) = а о (严с) •

В См. Фукс [1].

Для п = 1 соотношение следует непосредственно из автодистрибутивности и рефлексивности. Далее,

伍 о Ь)(п+1)0 (а о с) = (а о Ь) о ((а о 匕厂。(а о с))=

=(а о Ь) о (а о (Ьпос)) = а о (Ь о (Ь次с))=

= ао(Ь(п+1)ос).

Докажем теорему для случая непрерывности по второй переменной. Поскольку операция о монотонна, то, согласно следствию 3.6.12, мы должны показать, что множество К={〃о х: х Е А} простое. Пусть К = Ki U К2 — сечение. Если sup К* существует и принадлежит множеству Ki, то sup Ki = inf /С2. Положим sup Л\ = а о %i・ Так как множество К2 непусто, то существует элемент %? > %i・ Далее, аох1 ——предельная точка последовательности (а о %i)no (а о х2), где %2 > %「Но эта последовательность принадлежит К?, так как (а о %i)no (ао х2) = ао(%У%2)・ Если, с другой стороны, inf К2 существует и принадлежит К2, то доказательство проводится аналогично.

Определение. Операция называется метрической, если она бисимметрична, непрерывна по обеим переменным и сократима.

Предложение. Метрическая операция, определенная на связном множестве Л, согласованно монотонна и непрерывна.

Доказательство. Утверждение следует из предложений 3.7.8, 3.7.10 и леммы 3.7.11.

Определение. Операцией осреднения называется рефлексивная и коммутативная метрическая операция. Операции осреднения будут отмечаться знаком |.

Теорема. Если множество Л связно, то операцию осреднения ф4) можно получить из любой метрической операции о с помощью следующего неявного определения:

(*)(〃‘ о (а (р Ь)) о ((а 0 Ь)。〃”)=(优 о а) о (b о 〃”)・

Замечание. Для коммутативной операции это определение принимает вид

(а ф Ь)о(а ф b) = aob.

В этом случае о представляет собой операцию осреднения, а производная операция осреднения ф совпадает с исходной операцией.

Доказательствотеоремы. (а)Операция ф, о которой говорится в теореме 5.2.14, определена однозначно и не зависит оt выбора 〃'，〃".

Мы используем здесь символ ф вместо |, чтобы указать метрическую операцию О, от которой образована данная операция осреднения.

（a。q）。（"。a） = （〃a。дфь）） о（д®〃）о 戸）

сиинэш

-0Н100Э IQKdoSlQEQOVX q^V 丄H3K3If£ OJLh ^ОН^ИЯ EVOiOlQ •HMhOUOU BHOIfh OJQHVGIfDOU HIKHHQhEHC 1m&oxbhmKo x и iKVoandu илаонихэ -Vou их€ 'oHqiraLB&oHoifD ・q0” = 〃 = x ndii 叭зннзьен? о」з э ювПви -яоэ q = 〃 '” = х Hdu siOHQsud ихноиэп ионниэишча uhqeh o」o&dou 3HH0hEH£ •步「Tg QWQdo^l 9 （*） KHHOH&BdA ЭИНЭШЭС!——^ ф» ЧХэЛц

｛（笛 0 卢）0 （"a 0 ，叫 0 儿а。份）0 Q。#）］｝ 0

О ｛［（# О 戸）о （,а о 尸）］о ［（戸 о #） о （刁 о ,а）］｝=

=｛【（#。Л）。（,"。斤）］о【（〃。Л）。&。戸）］｝ о

0 ｛［（з0 ,a） о （户0储）］0［（"0加）о （产0 /）］｝= = ｛【（,"。#）。（〃a。分）］。［（з。用。（#。#）］｝。

о ｛［（,"。/）。（x。#）］ о ［（〃 о #） о （〃 о /）］｝=

=｛［（m。Л） 0 （卢 0 т］。比a。,a） о （尸 о #）］｝ 0

О ｛［（/ о 〃а） о （户 о 储）］о ［（% о ^）о （л о,“）］｝=

=｛［（/。Л）0（"а。①］。［S。川）。（户。户）］｝。

0 ｛［（箝。/）。（戶 о 户）］о ［（% 0 /） о （户 о /）］｝=

=｛［（"a0/）。（卢。①】0［（#。#）。（小。〃）］｝。

о ｛［（〃“。门）o（xo 产）］о ［（# о 储）о ⑦ о #）］｝=

=｛［（/。坦）。（/2。①］。［（爲。厶）0（X0 #）］｝ О

О ｛［（# О #） о （戸 о 尸）］о ［（戸 о 户）о （# о #）］｝=

= ｛［（,"。"a）。（卢。笛）］c ［（Л。份）。（X。〃）］｝ 0

0 ｛［（#0#）0 （/ 0 е）］ 0 ［（戶 о а） 0 （尸 0 户）］｝

叭8叭14 二尸 '/ edo914H 10 хиэиаие он q© 勿 охн ^эжеяоц 'оньенеон^о ^i^w^duo о иийи（1эцо HiDOHHOiOHOw Aim。& q0” 工нзкзкс q и п \и '尸 хнннвВ кмН 亿

•步「3* owodoo丄 ии1лсиб（1

-osjlqesoVX，q 0 " хнэтоЕе 1эЛа1ээ1пХэ аэвьЛЕЭ хА&П хихе си июПжвх а T「g oiHHQMfOEtfadu ohoeitjoo '。工'онскнз у оахээжони хвх хв丄

•（лоq）0（q。尸）v （л。q）。（"。尸）< （л。D）。（勿0川

01 4EHHOJLOHOWH1HU O BHUud^UO Hlf^m

•（/ 0 q） 0 （q。〃） > （，尸。q） 0 （" 0 〃）> （,戸。切。（勿0川

о工 ^инноюноиюеи о KHhedouo июд ・q> 勿 от 'киж

-OEOUVadu q6" иХНЭПЭЕб КИНЕ3091ЭЭ1пЛэ Е91ЭЧЕЭ1ЕЕЕЯ01Г Kirn（I

(Ь) Операция ф, о которой говорится в теореме 5.2.14, является операцией осреднения:

ф—сократимая операция, так как если афЬ' = афЬ", то (館 о а) о (Ь‘ о 〃”)= (〃' о а) о (Ь" о 〃")，откуда 〃 = Ь", поскольку с— сократимая операция.

ф — непрерывная по обеим переменным операция, так как в силу изомонотонности и непрерывности операции о множество {х А: аф% <с} = {х g Л: (иг о а) о (х о 〃”)< (/ о с) о (с о 必)} открыто. Аналогичные рассуждения можно провести для антимонотонной операции о.

ф—бисимметричная операция. Это будет доказано в следствии 5.3.23.

ф——коммутативная операция:

(〃‘ о (афЬ)) о ((“фЬ) о 〃”) = (/ о а) о (b о 〃”)=(公 о b) о (а о 〃”)•

Из единственности элемента а0Ь следует, что Ьфа = афЬ.

ф——рефлексивная операция: если в равенстве (*) теоремы 5.2.14 положим b = а, то в силу единственности получим, что ■ фа = а.

Теорема. Если область определения метрической операции связна, то она сепарабельна.

Доказательство. По теореме 5.2.14 существует операция осреднения с той же областью определения, что и у исходной операции. Поскольку по лемме 3.5.9 каждое связное множество вполне упорядоченно, утверждение следует из леммы 5.1.6 и предложений 5.2.12, 5.2.9.

Введем еще одно алгебраическое свойство операций.

Определение. Операция называется сингулярной^ если для любого а А

[а о (а о а)] о [(а о а) о а] = (а о а) о [((а о а) о (а о а)) о а].

Очевидно, что каждая рефлексивная операция сингулярна. Используя теорему 5.2.14, можно определить сингулярность метрической операции следующим образом.

Предложение. Метрическая операция о сингулярна тогда и только тогда, когда для любого а А

аоа = а ф [(а о а) о (а о а)].

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 5.2.14, так как при и! = 〃" = а операция ф определяется однозначно.

Пример. В качестве примера метрической операции рассмотрим операцию (р, д, г), заданную на некотором интервале мно-

жества действительных чисел равенством

尤("，q，г) = рх + qy + г,

где р 片 0, g 声 0, г — действительные числа.

Это метрическая операция; она бисимметрична, непрерывна и сократима.

Таким образом, в соответствии с теоремой 5.2.14 можно вывести операцию осреднения: из (и! о z) о (zo 〃")= (〃 о х) о (у о 必)выводим р (р〃‘ + qz + г) + q (pz + quf, + г) + г = р (ри‘ + qx + г) + +/(W + qd + г) + г, или z = (% + у)/2.

Вообще операция (р, q, г) обладает следующими свойствами: она монотонно возрастает по первой (соответственно второй) переменной тогда и только тогда, когда р > 0 (соответственно q > 0); она монотонно убывает по первой (соответственно второй) переменной тогда и только тогда, когда р <0 (соответственно q <0). Кроме того, она

сингулярна тогда и только тогда, когда р + q = 1, рефлексивна тогда и только тогда, когда р + ^ = 1 иг = 0, коммутативна тогда и только тогда, когда р = % ассоциативна тогда и только тогда, когда р = g = 1, и является операцией осреднения тогда и только тогда, когда р = g = % и г = 0.

Мы приведем доказательство только для сингулярности. Другие утверждения доказываются аналогично. В силу предложения 5.2.18 сингулярность операции (р, q, г) эквивалентна соотношению

px+qx + r = ^x+^-(p(px + qx + r) + q(px + qx+r) + r).

Оно справедливо для всех х из некоторого интервала тогда и только тогда, когда р + q = 1.

6・3・ Отображения и алгебраические свойства операций

Исходя из определения гомоморфизма систем с отношениями (разд. 1.5), для частного случая операции получаем, что отображение f: 〈4; о) -> <В; •〉является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда утверждения (а, Ь, с) € R。и (/ (а), / (Ь), / (с)) £ R. эквивалентны для всех а, Ь, с А.

Предложение. Пусть о — сократимая операция. Отображение / является гомоморфизмом системы〈4; о〉в〈5; •〉тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и для любых а, b ^ А справедливо равенство

f(aob) = f(a).f (».

Доказательство. Предположим, что / — гомоморфизм. Так как

aob = с тогда и только тогда, когда / (а)•:f (b) = / (с), равенство 5.3.2 очевидно. Кроме того, f (а') = / (а") влечет / (а') • • f (b) = f 3") • f (b) = f (或 ° 匕)・ Но нз f (а') • f (b) = f (а" о Ь) следует, что а' о 方 = а" о Ь, откуда в силу сократимости а' = а". Таким образом, отображение / взаимно однозначно.

С другой стороны, если / ——взаимно однозначное отображение и справедливо равенство 5.3.2, то / ——гомоморфизм.

Отображение / является изоморфизмом системы (Л; о) в (В; •> тогда и только тогда, когда / — взаимно однозначный гомоморфизм системы (Л; о) на <В; •). Если такой изоморфизм существут, то системы (Д; о), (В; •〉，а также и сами операции о, • называются изоморфными.

Предложение. Если существует непрерывный монотонный гомоморфизм /: <Л; о) (В; •〉，то из непрерывности и перечисленных выше алгебраических свойств операции • вытекают те же самые свойства для операции о. Если существует изоморфизм, то верно также и обратное утверждение, т. е. изоморфные операции обладают одними и теми же свойствами.

Доказательство. Мы дадим доказательство только для сократимости и рефлексивности, поскольку остальные случаи рассматриваются аналогично. Если операция • сократима, т а о bf = =а о b" влечет / (а о，)= f (а о Ь"), откуда / (а) • / (〃)= =/ (а) • f (Ь"), откуда f (b‘)= f ("), откуда b' = Ь". Если операция • рефлексивна, то f (а) % f (а) = / (а), откуда / (а о 〃)= f (а), откуда ао а — а.

Система (Л; о) — это не только система с отношениями, но также и алгебра в смысле определения 1.3.3. Согласно теореме 1.5.5, отображение f является алгебраическим гомоморфизмом системы (Д; о) в (В; •) тогда и только тогда, когда справедливо равенство 5.3.2, т. е. тогда и только тогда, когда

〃。。ь)=〃a)■/(办

Предложение. Если f ——алгебраический гомоморфизм системы 〈4; о〉в (В; •〉，то / — алгебраический гомоморфизм также и системы (Л; ф ) в (В; *〉•

Доказательство. В теореме 5.2.14 операция осреднения ф была определена уравнением (〃‘ о (а ф Ь)) о ((а ф &) о 〃“)= =(и! о а) о (Ь о 〃")• Так как / — алгебраический гомоморфизм, то (/ 3') ^f^^b))^{f(a^b)^f (〃〃)) = (/ (公)• / (。)) • (/ 仅)• /(〃"％ откуда f (а ф 匕)=f (a) * f S).

Теорема единственности для алгебраического гомоморфизма. Пусть / — вполне упорядоченное множество, о — непрерывная монотонно возрастающая внутренняя операция, •—сократимая операция. Если два непрерывных алгебраических гомоморфизма

Л： G4； o〉f <В; •〉 (i = 1, 2) совпадают для двух различных элементов, то они совпадают всюду 1).

Доказательство. Пусть Дх = {х ^А: Д (%) = /2 (%)}. Если х, у Е Л1, то х о у 6 Аъ поскольку Д (%。у) = “(％) •& (у)= =/2 (%) • /2(У)= /2 (^ о У)・ Кроме того, из х £ Л1 и х о г ^ Д1 следует, что z £ 41, поскольку Д (х) • Д ⑵=/\ (х о z) =，2 (% о z)= =/2 (х) • /2 ⑵=Л (%) • /2 ⑵。Так как • — сократимая операция, то fi (z) = /2 (z). Пусть а, b ——два различных элемента, для которых отображения Д, /2 совпадают, и пусть Ло — множество, определенное в доказательстве леммы 5.1.6. Так как множество Лг замкнуто относительно условий (i) и (ii) леммы 5.1.6, то 4。и Alf а так как, согласно лемме 5.1.6, До плотно в Л, то из непрерывности “ и /2 следует, что & =

Следствие. Пусть Д и В ——два связных упорядоченных множества, о и •—две метрические операции. Если два непрерывных алгебраических гомоморфизма /力:〈力;o〉f (В; •〉 (г = 1, 2) совпадают для двух различных элементов, то они совпадают всюду.

Доказательство. Производные операции осреднения ф и * — непрерывные, монотонно возрастающие и внутренние. Кроме того, отображения /» (f = 1, 2), согласно предложению 5.3.4, являются алгебраическими гомоморфизмами системы (Л; ф) в (В; ф). Теперь утверждение следует из теоремы 5.3.5.

Определение. Элемент а £ 4 называется неподвижной точкой отображения /: 4 f 4, если / (а) = а.

Предложение. Пусть о —метрическая операция, определенная на связном множестве А. Непрерывный алгебраический эндоморфизм системы (Л; о), отличный от тождественного, имеет не более одной неподвижной точки.

Доказательство. Пусть & — рассматриваемый эндоморфизм и /2 ——тождественное отображение. Если ^ имеет две различные неподвижные точки, скажем а и Ь, то& (〃)= 〃 = /2 (а) н fi (b) = b = /2 (匕)・ Согласно следствию 5.3.6,九=/2.

Предложение. Метрическая операция, определенная на связном множестве, или рефлексивна, или имеет не более одного рефлексивного элемента.

Эта теорема представляет собой модификацию теоремы Акселя [1].

Доказательство. Отображение f (а) = аоа есть непрерывный алгебраический эндоморфизм, так как f (а о Ь) = (а о Е)о о (а о Ь) —(а о а) о (Ь о b)=zf (а) о f (b). Рефлексивные элементы операции о являются неподвижными точками таких эндоморфизмов. Поэтому утверждение следует из предложения 5.3.8.

Определение. Отображение f: А А называется сингулярным относительно метрической операции о, если для любого л £ А

/ (а) = а 0 f (/ (а)).

Каждое тождественное отображение есть сингулярный алгебраический автоморфизм. Заметим, что алгебраический эндоморфизм f (а) = ао а сингулярен тогда и только тогда, когда операция о сингулярна.

Предложение. Пусть о—метрическая операция, определенная на связном множестве Л. Сингулярный непрерывный алгебраический эндоморфизм, отличный от тождественного, не имеет неподвижных точек.

Доказательство. Если алгебраический эндоморфизм сингулярен и существует элемент b^f (Ь), то для любого х £ Д G) % Ф 〃Ь) = f (%) Ф ь.

Это можно доказать так: отображения Д (х) = %ф/ (Ь) и /2 (%)= =/ (х) ф & представляют собой алгебраические эндоморфизмы относительно операции ф. Имеем Д (Ь) = /2 (Ь) и Д (/ (Ь)) = /2 (/ (Ь)). Следовательно, равенство (♦) справедливо для всех х ^ А. Если бы неподвижная точка существовала, то из равенства (*) вытекало бы, что / (Ь) = Ь; мы пришли к противоречию.

Предложение. Если сингулярная метрическая операция, определенная на связном множестве, не рефлексивна, то она не имеет рефлексивных элементов.

Доказательство. Если операция о сингулярна, то алгебраический эндоморфизм f (а) = аоа также сингулярен. Рефлексивные элементы операции о являются неподвижными точками отображения /. Таким образом, утверждение следует из предложения 5.3.11.

Определение. Операции о на А и • на В называются соединенными, если существует такое взаимно однозначное отображение / множества Л на 5, что для любых a, bf с, d ^ А справедливо равенство

5.3Л4. 尸(f (а о Ь) • f (с о d))=

=尸(〃a)■，(С))。尸(f (b)•f (d)).

Само отображение / будем называть соединяющим отображением^

Определение. Если равенство 5.3.14 справедливо для А = В^ о = •, то отображение / называется автосоединяющим.

Определение. Операции о на Л и • на В называются дистрибутивными, если существует такое взаимно однозначное отображение / множества Л на В, что для любых а, Ь9 с ^ А

f /т (f (Q。b) • f (Q。с)) = Г (/(а) • /(〃))。尸仔⑹• f (с)), 5 4 J Е®с)・®с))= ЕМа)・№)。『”©•$©),

I /т (/(&)• f(S)o/T (/(〃)•/(c))=广"〃aob)・〃bос)), /т (〃Q)• f (О) о /т (/(b) • / (с)) = /т (f(Q。Ь) • f (с。с))・

Очевидно, соединенность операций влечет дистрибутивность. Обратная связь изучается в разд. 5.4.

Если А = В, о = • и / — тождественное отображение, то соединенность вырождается в бисимметричность, а дистрибутивность — в автодистрибутивность.

Если операции о на Д и • на В дистрибутивны, то операции ♦ на Л и о на В также дистрибутивны.

Предложение. Если операции о на Л и • на В бисимметрич- ны, а системы (Л; о) и (В; •) изоморфны, то о и • — соединенные операции.

Доказательство. Пусть • — бисимметричная операция. Поскольку операции изоморфны, существует такое взаимно однозначное отображение / множества Л на В, что / (а о b) =；f (а) • / (Ь). Отсюда

尸(/ (а。力)•八с。②)^ 尸[("〃)• f (b)) • (/(c) • f (d))]= = /T[(f(a)・f(c))・(/(b)・f(d))] = =尸(〃“)•/©)。尸(f(b)・f(d))・

Предложение. Если рефлексивные и коммутативные операции о на Л и • на В соединены, то соединяющее отображение является изоморфизмом системы (Л; о) в (В; •).

Следствие. Для рефлексивных и коммутативных операций любое автосоединяющее отображение есть автоморфизм. Для того чтобы операции осреднения были соединенными, необходимо и достаточно, чтобы они были изоморфными. Если две операции осреднения на одном и том же множестве А соединены тождественным отображением, то они совпадают.

Если ограничиться бисимметричными операциями, то системы 〈4; о〉и 仍；•〉будут соединенными при 4 = В я о = • (т. е. f — тождественное отображение). Таким образом, отношение соединенности рефлексивно. Кроме того, оно симметрично, поскольку при перестановке Л иВ, о и •, / и 尸，an f (а) равенство 5.3.14 не изменяется. Однако в общем случае отношение соединенности не транзитивно.

Пример. Пусть 4 = К, aob = a + R a・b = (〃 + &)/2, a*b=(a*b)/$ + 1. Операции о и •, так же как • и *, соединены, чего, однако, нельзя сказать об операциях о и *.

Теорема. Если метрические операции о и • соединены, то пары операций дн*, фи・，соединены одним и тем же отображением /: А В.

Доказательство. Из равенств

(〃‘ о (а ф Ь)) о ((а ф &)о 〃”) = (и! о а) о (Ь о 〃”)

(d о (с ф d)) о ((с ф d) о d) = (d о с) о (d о『) следует, что

Г1 {〃⑨ о (а ф Ь)) о ((а 0 Ь) о 〃")] • 〃(d。(с Qd)) о ((сфф о и")]}=

“=尸{/[(〃'。о) о (b о 〃")] • f [(U о с) о (d о и")]} •

Используя соединенность операций о и •, получаем

尸[/ з ° g 0 &)) е/^о^ф d))] о 尸行((аф Ь) о必)• f ((с0 d)og]=

=尸[f (〃‘。а) • 〃z/。с)] о Г1 [/ (b о 〃“) • f (d о d)]=

={尸 If (加)■ f (吟]0 尸[/ (0C b) ■ f (c, d)]}。

。{尸[f (a Q 刀• f (с C d)] о 尸[〃〃")• f ®〃)D =

={广"f (〃') • 〃吟]。广"f (а) • f (с)]} о

о {Г1 [f(b)^f(d)]or 1/(Ю>/О}-

Из единственности операции ф вытекает, что

尸"f (а Q Ь) • 〃с0 d)] = Г [/ (а) • f (с)] ф Г [/ (Ь) • f (d)]・

Следовательно, операции ф и • соединены. Так как соединенность- свойство симметричное, то операции о и ф также соединены. Применение доказанной части теоремы к соединенным операциям о и ф приводит к доказательству соединенности операций фиф.

Следствие. Для любой метрической операции о производная операция ф (см. теорему 5.2.14) бисимметрична.

Доказательство. Достаточно в теореме 5.3.22 положить Л = В, о = • и в качестве / взять тождественное отображение.

Дистрибутивность и бисимметричность

В разд. 5.3 мы упоминали, что из соединенности следует дистрибутивность. В этом разделе мы докажем обратное утверждение при дополнительных ограничениях.

Теорема. Две сократимые, непрерывные и автодистрибутив- ные операции о и е, одна из которых определена на связном множестве Л, соединены, если они дистрибутивны и соответствующее отображение / монотонно.

Следствие ). Если А — связное множество, то сократимая, непрерывная и автодистрибутивная операция бисимметрична.

Доказательство. Пусть 〃, b, с, d — произвольные элементы множества Л. Без потери общности можно считать, что а V Vb V，Vd; другие случаи рассматриваются аналогично. Зададим функцию 8： Л -^ Л равенством

f-1 [f (а о х) f (с о d)]=

=尸[/ (a) •/(c)] о Г [/ (е(х))е/Ш

Эта функция определена для всех х между and. Имеем

/- [f (а о а) • f (со d)]=尸 If (а) • f (с)] о f"4 [f (а) • f (d)], 厂1 [f (а о d) • f (c。d)] = f-1 [/ (a) • f (с)] о 尸【f (d) • f (d)]・

Если % лежит между а и d, то 尸[f (а о х) ^ f (с о d)] лежит между /т [/ (а о а) • / (с о d)] и f"1 [f (а о d) ^ f(c о d)] и, следовательно, между 尸[f • / (с)] о 尸 I/ (а) • /(d)] и 尸斤(а) • / (с)] о 。厂(d) • f (Z)]. Таким образом, согласно предложению 5.1.1, существует такой элемент е (х) между and, что равенство 5.4.3 справедливо. Так как операции о и •, согласно предложению 3.7.8, монотонны, то 8 (х) определяется однозначно. Далее,

£ (а) = а, £ (d) = d.

Покажем, что е (%) = % для всех х между and.

Сначала покажем, что если %' о у' = %" о у", то

8 (£) О 8 (у') = 8 (%") О 8 (у")・

Для этого выпишем следующую цепочку равенств:

/ [(а о а) о (% о у)] •/ [(с о с) о (d о d)]=

=/ [(а о %) о (а о у)] • f [(cod) о (с о d)]=

=/ {f"1 If (а о х)^ f (с о d)] о f"1 [f (а о у) • f (со d)]}= ="[尸(f (а) • /(c)) о /-Ч/(е (%)) • f (d))] о

о〔尸(f (G • 〃，))。厂У/(£ 匂))• f (d))]}=

="[尸(，⑷■ 〃明。尸(f⑷■ f⑹)]0

О [尸(〃£ (%)) • f (d)) о 尸(〃& (у)) • 〃d))]}=

=f {/-1 If (a о a) • f (co с)] о 厂】炉(£ (x) о £ (у)) • f (d о d)]}. Если %' о у' = £ о у", то значение первого члена цепочки при х = =%', У = “ совпадает с его значением при х = £、у = у". Следовательно, эти подстановки приводят и к одинаковым значениям последнего члена цепочки. Отсюда, сокращая, получаем

& (%') О £ (“)= £ (/)。8 (/).

Покажем теперь, что существует непрерывная, внутренняя, возрастающая по обеим переменным операция *, для которой

£(%*")= £(%)*£ (办

Для этого рассмотрим два случая:

Операция о изомонотонна. Без потери общности предположим, что о — возрастающая операция. Зададим операцию * условием

(% * у) о (% * у) = %оу.

Чтобы убедиться, что это условие определяет операцию, предположим без потери общности, что х <у. Тогда

хох V%oy Vycy.

Поэтому, согласно предложению 5.1.1, уравнение zoz = хоу имеет решение. В силу монотонности это решение единственно. Из (1) получаем

£ (% * У)。£ (% * У)= £ (%)。£ (у), а по определению операции *

е (г) О 8 (у) =(8 (х) * £ (у)) О(8(X)* £ (//))•

Таким образом, £ (% * у) = £(%)*£ (у).

Как легко видеть, * ——непрерывная, внутренняя и возрастающая по обеим переменным операция.

Операция о антимонотонна. Без потери общности предположим, что о возрастает по первой и убывает по второй переменной. Зададим операцию * условием

%。(％ * у) = (х ^ у) о у.

Чтобы убедиться, что это условие определяет операцию, предположим без потери общности, что % Vf/・ Тогда

хох> хоу, хоу <уоу.

Поэтому, согласно предложению 5.1.1, уравнение xoz = zoy имеет решение. Покажем, что это решение единственно. Допустим,

что имеется два решения г\ Z и что z' W /• Тогда %oz'》％oz"= =^roy^zfoy = хо/. Следовательно, xozr = хо/\ и, сокращая, видим, что z' = /\

Из (1) получаем

£ (%) О Е (% * у) = £ (% * у) о £ Q/), а по определению операции *

£ (力 О(8 (%) * Е О/)) =(8 (х) ♦ 8 (у)) О Е (у).

Таким образом, £ (% * у) = е (х) * 8 (у).

Как легко видеть, операция ♦ непрерывна. Кроме того, она внутренняя и возрастающая по обеим переменным: если, например, “ </ и х * уЛ > х * /, то

xo(x^yf) ^ хо(х */) = (%*，)。，' <(х*^)о/, что невозможно.

Подобным же образом можно показать, что операция * внутренняя.

(3) Наконец, £(%) = % для любого 尤 £ [a, d]. Действительно, & (а) = а и £ (d) = & и утверждение следует непосредственно из теоремы единственности 5.3.5 для алгебраических гомоморфизмов.

5・5・ Аддитивные операции

Определение. Аддитивной операцией называется ассоциативная, коммутативная и сократимая операция, непрерывная по обеим переменным.

Для аддитивных операций вместо символа о мы будем использовать знак +•

Каждая аддитивная операция является метрической, так как ассоциативность вместе с коммутативностью влекут бисимметричность. Если а, b А — рефлексивные элементы аддитивной операции +, то а + (а + Ь) = (а + Q)+ b = а + b = а + (Ь + Ь)= =(а + b) + b = b + (а + Ь), откуда, сокращая, получаем а = Ь. Следовательно, Л содержит не более одного рефлексивного элемента.

Определения аддитивной операции, приводимые в литературе, обычно несколько отличаются от определения 5.5.1. Часто вместо аксиомы непрерывности вводится аксиома вычитания: для элементов а, b £ 4, a VR найдется такой элемент х Е Л, что а + % = =b (Гёльдер [1, стр. 57, аксиома V], Хемпел [1, стр. 66, формула 12.4g], Беренд [1, стр. 347, аксиома Л*г]). Такая замена естественна, если рассматривать только аддитивные операции как таковые. Однако аддитивные операции на упорядоченном связном множестве представляют интерес именно в связи с теорией измерений.

В этих условиях целесообразнее использовать аксиому непрерывности вместо аксиомы вычитания. Если существуют такие элементы *' и %", что а + %' vb V。+ %", то в силу непрерывности найдется такой элемент %, что а + х = b. С другой стороны, непрерывность следует из аксиомы вычитания.

Иногда также требуют, чтобы для любых а, & выполнялось условие а + & > а (Гёльдер [1, стр. 7 (ск), аксиома N1, Хемпел [1, стр. 66, формула 12.4f], Беренд 11, стр. 347, аксиома A oj])・ Здесь эта аксиома опущена, потому что для наших целей она бесполезна и, кроме того, существуют практически уместные операции, охватываемые определением 5.5.1 и не удовлетворяющие условию а + b > а. Примером такой операции служит параллельное соединение реостатов. В более общем случае, если f (%) — любая убывающая неотрицательная непрерывная функция на К, то операция *, определяемая формулой а ♦ b =尸(а) + / (b)), является аддитивной операцией, удовлетворяющей условию a*b V@・

На основании определения 5.5.1 заключаем, что функция а + b монотонно возрастает по обеим переменным.

Теорема. Сократимая и ассоциативная операция, непрерывная по обеим переменным и определенная на упорядоченном связном множестве Л, монотонно возрастает по обеим переменным.

Доказательство. В предложениях 3.7.8 и 3.7.10 мы показали, что непрерывная сократимая операция согласованно монотонна по обеим переменным. Покажем теперь, что в случае ассоциативности данная операция возрастает по второй переменной; доказательство для первой переменной проводится аналогично.

Предположим, что эта операция убывает по второй переменной. Если d V с", то (а + 匕)羊 d > (а + Ь) + с" = а + (Ь + с") > > а + (Ь + с') ,= (а + Ь) + с', что невозможно.

Один из главных результатов статьи Гёльдера [1, стр. 13] заключается в доказательстве того, что коммутативность вытекает из его аксиом. Модификация доказательства Гёльдера была дана Берендом [1, стр. 349]. Мы также можем игнорировать коммутативность. Для доказательства этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Предположим, что ассоциативная, непрерывная и сократимая операция + определена на упорядоченном связном множестве Л. Пусть а + а> а (а + a <zd) для всех а С Л. Тогда для каждой пары элементов а, b £4, a vb(Q > Ь), найдется такое натуральное число и, что (п + 1) а V 几b ((n + i) а > nb).

Доказательство. Ограничимся случаем а + а> а. Определим последовательность {ап:枕=1, 2, . . .}: пусть 屮几(а)= =〃а, и пусть фй1 ——функция, обратная к (рп. Тогда ап = = фп1 (фп+i (@))・ Покажем, что такой элемент всегда существует. 7—01183

Имеем(рп (а) V屮几+工(а) & 屮2n (а)=屮几(а + а). В силу непрерывности существует такой элемент ап, что(pn (aj =(рп+1 (а). Последовательность {ап: и = 1, 2, . . .} монотонно убывает, так как фп (фп+1 (а)) = фпХ(п+1) (ф(п+1) (п+1) (^ > фп1 (п+1) (фп (п+2)(〃))= =фп+i (фп+2 3))・ Кроме, того, ап> а для всех п = 1, 2, • • •: Фп1(Фп+1 (◎)) > Фй1 (фп 3)) = а・ Поэтому {ап\ п = 1, 2, . . .} сходится к пределу》а. Покажем, что lim ап = а. Если это верно, то

Tlf 8

для каждой пары а, Ь, где а Vb, найдется такое число п, что ап V <&. Тогда фп+i (а) =(рп (ап) <(рп (&), что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что lim @几=а, нам понадобится Пт 8 соотношение

фп (а + @) = ф2п (仰九)・

Заметим, что если фй1 (%) существует, то 屮产(屮卩(％))=屮歹(屮力(％)): из фр (фп ⑷)=фп (фр (〃))следует, что 屮# (屮卩(内(〃)))=<рр (и); подставляя и = фй1 (х), получаем наше утверждение. Поэтому Ф2П+4 М) + Фп (ф2п (&Q)=

=фп Зт/ (屮2п+1 (〃)))+屮J (屮2п+1 (。))=屮п+1(4PW(4P2n+l (а)))=

=фп1 (фп+1(Ф2П4-1 (а))) = Фп1 (<р2п+1 (фп+1 (^)))=

=ф2п+1 (фп\(Фп1-1 (^)))=

=Фп (<Рп(<Рп+1 (^))) + фп (фп (фп+1 (а)))十嗚1 ®+1 ⑷)=

=Ф2п+4(а) + а +。几・

После сокращения видим, что фй1(Ф2п («2п)) = а + @几，откуда 屮2n (@2М)=屮几(а + @п)・.

Предположим, что lim ап — а^^ а. В силу строгой монотон- П-*оо

ности а + а»» V % + % а в силу непрерывности существует такое число и, что а + а； <Лоо + @8. Следовательно, (р2п (а2п)= =<рп (а + ап) <фп (〃8 + &8)= <р2п (〃8)и, значит, а2n <а^, что противоречит сходимости ап | “)・

Теорема. Ассоциативная, непрерывная и сократимая операция, определенная на упорядоченном связном множестве, коммутативна.

Доказательство. Рассмотрим отдельно три случая:

а + а> а для любого а^ А. Заметим, что в этом случае а + Ь>ана + Ь>Ь для всех а, Ь, так как а + а> а влечет а + (а + b) = (а + а) + b > а + А откуда а + Ь> Ь. Доказательство для случая а + b > а проводится аналогично. Поэтому

(рп+1 (а + Ь) = а + ц)п (b + а) + Ь >(рп (Ь + а) для всех п. Вместе с леммой 5.5.3 это дает а + b ^ b + а. Аналогичными рассуждениями доказывается противоположное неравенство, откуда следует коммутативность.

а + a <Za для любого а С Л. Доказательство аналогично (i)・

Если существуют такие а\ а", что 优 + 紹 V" а" + а" > > а", то из непрерывности и связности вытекает существование такого элемента о, что о + о = о. Из равенств о + (о + а)= =(。+。)+@ =。+ 〃 получаем о + а = а для всех а. Аналогично а + о = а для всех а. Из этих соотношений следует единственность элемента о. Для а>。(QV。) имеем &十@>@+。=。 (а + a V@ + о = а). Элементом о множество А делится на два класса: множество положительных элементов а > © и множество отрицательных элементов а <о. Согласно (i) и (ii), рассматриваемая операция коммутативна как на множестве положительных> так и на множестве отрицательных элементов. Остается показать, что эта операция коммутативна на комбинации положительных и отрицательных элементов. Пусть а V。Vb・ Без потери общности можно считать, что а + Ь> о. Поскольку а + о <о <а + &» существует такой элемент а', что а 十优=о, о v@' Vb・ Из (а' + а) + а' = а' + (а + а') = а' + о = а' имеем также а' + + а = о. Так как а' * о Vb V@' + b, то существует такой элемент с, что q' + c = £, oVcVb. Так как оба элемента 优 н с положительны, то с + а ' = Ь・ Поэтому а + Ъ = а+ (а! + с}^ =(а + а') + с = с = с 十(〃'+ а) = (с + q') + а = b + а.

Глава 6

ТЕОРИЯ ШКАЛ ИНТЕРВАЛОВ, ОСНОВАННЫХ НА ОПЕРАЦИЯХ

6.L Существование и единственность шкал интервалов

В этом разделе мы будем изучать возможность построения шкал интервалов на основе метрических операций. Шкалы интервалов единственны с точностью до положительных линейных преобразований (определение 1.8.3). Такие шкалы мы получаем при гомоморфизме неприводимой эмпирической с. о. (Л; <, L, о> в числовую с. о. 〈К; V,厶,(Р, q,厂)〉,где числовая операция (р, q, г) определена в примере 5.2.19, а отношение предела L введено в определении 4.4.3.

Теорема. Пусть / — упорядоченное связное множество, содержащее по крайней мере два элемента. Шкала т неприводимой с. о. 〈4; V,厶,。〉в ч. с. о. 〈R; V， L， (р, 9, г)) (т. е. монотонно возрастающее непрерывное отображение /и: 4 f К, для которого т (ао b) = pm (а) + qm (b) + г) существует тогда и только тогда, когда о— метрическая операция. Шкала m единственна с точностью до положительных линейных преобразований. Постоянные р, q определены однозначно.

Доказательство^!) Если операция о метрическая, то такой гомоморфизм существует. Действительно, по теореме 5.2.16 множество Д сепарабельно, поскольку оно связно. По теореме 4.2.3 существует' монотонно возрастающее непрерывное отображение g: 4 т К. Так как множество А связно, то его образ g (Л) является интервалом в К.

На g (Д) определим операцию Ф формулой

Ф (х, у) = g (gT (%) о (加)・

Легко видеть, что операция Ф сократима, непрерывна и бисим- метр ична. По теореме Акселя [2, стр. 287] существуют такая монотонная непрерывная функция /:庇 т К, которую всегда можно выбрать возрастающей, и такие постоянные р9 q, г ^ К, что

①(招У)=尸Sf (%) +炉匂)+小

Поэтому

g (ST1 (%) о gT 匂))=尸(pf (%) + qf (у) + г).

При а = gT (х), b = gT (у), / (g (〃))= m (а) получаем

т (а о Ь) = pm (а) + qm (b) + г.

Таким образом, отображение т есть гомоморфизм из (Л; <, L, °> в〈К; V, L, (р, q, г)〉• Так как отображения g н / монотонно возрастают и непрерывны, то отображение т также монотонно возрастает и непрерывно.

Если гомоморфизм существует, то операция о метрическая. Действительно, так как операция (р, д, г) метрическая (пример 5.2.19), то утверждение непосредственно вытекает из предложения 5.3.3.

Единственность. Если существуют два непрерывных гомоморфизма 加工：(Л; V, L, o〉f〈К; <,厶，(必,％, q)〉и т^ U; <, L, О)-^〈К; <, L, (А，%, %)〉，то

恤(а о b)=円恤(а) + q^ (b) + %

加2 (а。b) = р2加2 (о) + %加2 (3 + %•

При /и】 (а) = х, а (Ь) = у, m2 (mJ (%)) = F (%) получаем

F(Р№ + %У + G)= "2尸(%) + 02 尸(力 + f・

Согласно Акселю [2, стр. 67], отсюда следует, что 必=р2, q* = 02，尸(％) = ах + р. Так как F — возрастающая функция, то а > 0.

Теорема. Если существует гомоморфизм системы (Л; V,。〉 в 〈К; V, (р, % г)〉 и множество А содержит по крайней мере два элемента, то справедливы следующие утверждения:

р > 0 (q > 0) тогда и только тогда, когда операция о монотонно возрастает по первой (второй) переменной;

р V。(g V0) тогда и только тогда, когда операция о монотонно убывает по первой (второй) переменной;

р + q = 1 тогда и только тогда, когда о — сингулярная операция;

р + g = 1, г = 0 тогда и только тогда, когда о ——рефлексивная операция;

р = qтогда и только тогда, когда о — коммутативная

операция;

Р = q — 1 тогда и только тогда, когда о — ассоциативная операция.

Доказательств о< Теорема вытекает непосредственно из примера 5.2.19.

Замечание. Числовую операцию [р, q, г], определенную на множестве положительных действительных чисел Я+ формулой

% S, q, " У =无％%，

можно в принципе также использовать в качестве операции, соответствующей некоторой эмпирической метрической операции о.

Если m — гомоморфизм в систему〈К; V, L, (р, q, г)〉，то отображение п, определенное формулой п (а) = exp [т (а)], есть гомоморфизм в систему〈％+; V, L, [р, % г]). Такие шкалы единственны с точностью до преобразования у (%)=卩庐

Утверждения о постоянных р, q, г в теореме 6.1.2 остаются справедливыми и для рассматриваемой операции. В этом случае операции осреднения соответствует числовая операция нахождения геометрического среднего Vху. Такое осреднение мы будем называть геометрическим. Осреднение, которому соответствует числовая операция нахождения арифметического среднего, будем называть арифметическим.

62 Собственные нулевые точки

Согласно теореме 6.1.1, коэффициенты р и g определяются метрической операцией однозначно, т. е. независимо от специфики шкалы интервалов. Для аддитивной постоянной г в общем случае это не так.

Рассмотрим сначала случай несингулярной операции (р + q ^ 方 1). Преобразование т (a) f ат (а) + 0 приводит к преобразованию г —аг— Р (р + 9— 1). Следовательно, в этом случае всегда можно найти такой сдвиг шкалы, а именно

加S)f n(Q)十万后h，

что для преобразованной шкалы аддитивная постоянная станет равной нулю. Поэтому, используя преобразованную шкалу, мы получаем представление

т (а о b) — ptn (а) + qm (&).

Если ограничиться этими представлениями, то класс допустимых преобразований сузится до класса преобразований растяжения (определение 1.8.3), т. е. значение т (а) единственно с точностью до преобразований m (a) f ат (а), где а > 0.

При ограничении указанными представлениями нулевая точка шкалы остается неподвижной. Конечно, может оказаться, что рассматриваемые шкалы т (Д) не содержат 0 (т. е. не существует такого элемента о ^ А, что т (о) =0). Если, однако, такой элемент существует, то он рефлексивен: т (о о о) = рт (о) + qn (о) = 0, откуда ооо = о・ Таким образом, ограничение представлениями 6.2.1 можно также интерпретировать как ограничение шкалами, которые отображают рефлексивный элемент (если он существует) в нуль.

Для сингулярных операций (р + g = 1) такое ограничение бессмысленно, потому что эти операции не имеют рефлексивных элементов, если только они не являются рефлексивными операциями (т. е. все элементы рефлексивны). При р + q = 1 постоянная г также инвариантна при сдвиге и переходит в аг при растяжении т (a)f ат (а). Поэтому г нельзя исключить линейными преобразованиями и не существует указанных выше классов шкал.

В частном случае рефлексивной операции г = 0. В этом случае, конечно, допустим целый класс шкал (получаемых из данной шкалы с помощью положительных линейных преобразований).

Так как в случае сингулярной операции не существует нулевой точки, присущей самой операции, то нужно применить другие критерии, для того чтобы зафиксировать нулевую точку и тем самым сделать шкалу единственной с точностью до преобразований растяжения. Если, например, множество А имеет минимальный элемент, то представляется естественным отобразить этот элемент в 0. Если у А нет минимального элемента, но множество т (Л) имеет точную нижнюю грань, то естественно преобразовать данную шкалу так, чтобы эта точная нижняя грань перешла в 0.

Для того чтобы отличать нулевую точку, определенную свойствами данной шкалы, от нулевой точки, определенной дополнительными соображениями, первую мы будем называть собственной нулевой точкой. Таким образом, наш результат заключается в том, что собственная нулевая точка существует тогда и только тогда, когда шкала несингулярна.

6.3. Нулевые точки 型 эндоморфизмы

В этом разделе мы рассмотрим некоторые специальные эндоморфизмы э. с. о. (Л; V， L， о〉， где о —метрическая операция, а множество Л содержит по крайней мере два элемента.

Пример. Экспериментатор просит испытуемого определить тон, громкость которого равна половине данного тона.

Предложение. Если /—эндоморфизм системы (Л; <, L, о> и т ——шкала интервалов для〈4; <, L, о), то /и о /—также шкала интервалов для 〈力；<,L, о), т. е.

т (/(〃))=入т (а) + 闷

Доказательство. Так как f — гомоморфизм системы (Л; <, L, о) в (Л; <, L, о) и т — гомоморфизм системы (Л; <, L, о) в 〈К; V, L, (р,内 6〉, то, согласно теореме 1.5.5 и определению 4.4.3, композиция m^f есть гомоморфизм системы〈4; V,丄，о) в〈К; <,3 仏 г)〉•

Предложение. Постоянная 九 в формуле 6.3.3 не зависит от вида шкалы т. Кроме того,九=1 тогда и только тогда, когда гомоморфизм / сингулярен, т. е. f (〃) = @ф/ (/ (а)).

Доказательство. Если в формуле 6.3.3 т (а) заменить на ат (а) + Р, то постоянная % не изменится. Кроме того, если X = 1, то, согласно предложению 5.3.4 и примеру 5.2.19, 加[Q Ф f (f (〃))] = ； 1> (。) + 加(/ (/ (а)))]=

=；[m (а) + /и (а)+fx + 闻=/и (f (а)).

Поэтому аф/ (/ (а)) =/(〃)• С другой стороны, из соотношения / (а) = аф/ (/ (а)) следует

笛и (а)+(л = g [т (а) + 九(Ln (а) + 卩)+ 卩],

откуда 入=1.

Если /—несингулярный эндоморфизм, т. е.入耍 1, то сдвиг m{d)-^ tn (а) + 工上丁

переводит постоянную 卩 из формулы 6.3.3 в 0. Таким образом, такой эндоморфизм можно представить в специальной форме

т (/ (а))=九加(а).

Если существует элемент о, для которого т (о) = 0, то /и (/ (о))= =0, откуда / (о) = о, т. е. о — неподвижная точка эндоморфизма Д Если, кроме того, множество Л связно, то о — единственная неподвижная точка, так как по предположению / — несингулярный эндоморфизм (см. предложение 5.3.8). Следовательно, ограничиваясь шкалами со специальным представлением эндоморфизма^ мы фиксируем нулевую точку шкалы так, что неподвижная точка эндоморфизма, если она существует, отображается в нуль. Тем самым шкала определяется однозначно с точностью до преобразований растяжения. Эти замечания мы суммируем в следующей теореме.

Теорема. Если множество Л связно, а /—несингулярный эндоморфизм системы 〈4; V，£, о), то существует подкласс специальных шкал интервалов т*, таких, что

т* (/ (а)) = Хт* (а);

неподвижная точка эндоморфизма Д если она существует, является нулевой точкой шкалы т*;

шкала /и* единственна с точностью до преобразований подобия.

Для практических приложений наиболее важное значение имеет деление пополам.

Определение. Отличный от тождественного эндоморфизм f системы〈4; V, L, о> называется делением пополам, если для лю6о・ го а £ 4

f (а) = (a (\)f (а)) ф / (/ (а)).

Предложение. Если m — шкала интервалов, то для деления пополам 入=%•

Доказательство. Исходя из определения 6.3.7, получаем

^^ (a) +卩=}[}加(")+}(入加(a)+卩)]++彦口(Ln (a) +卩)+闻，

откуда 九2 一 3V2 + 工/纟= 0 м 卩(入一 V2) = 0. Следовательно, или % = I%, или 卩 = 0 я 九 =1. В последнем случае /——тождественное отображение и, значит, не является делением пополам.

Замечание. Сингулярный эндоморфизм f можно представить в виде m (f (а)) = m (而 + 卩.

В случае сингулярного эндоморфизма кажется естественным отображать операцию ф не в арифметическое, а в геометрическое- среднее. Если это сделано, т. е. если используется шкала п (а)= =ехр т (а), то

п (/ (а)) = 丫几(а).

В некотором смысле это представление определяет нулевую точкуг что, однако, не ограничивает допустимые преобразования однопараметрическим семейством. Только если у нас есть дополнительные соображения для того, чтобы фиксировать значение ? (например, Y = 1/2), это представление определяет шкалу с точностью до преобразований растяжения, так как коэффициент ? не изменяется пр» преобразовании и (а)-> 卩枕(а)° только в случае а = 1.

Заметим, что для геометрической шкалы результат 入=1 (т. е. п (/ (а)) = уп (а)) можно получить также исходя из следующих предположений: (i)/(a)<a для всех а^А, (ii) встречаются как произвольно большие, так и произвольно малые положительные шкальные значения. Тогда условие 丫几(о)° <п (а) выполняется для всех а С Д, только если а = 1. Если а < 1, то это условие должно выполняться только при

九(а) >

а если а > 1, то только при

几(а) V К。

6・4・ Одновременное арифметическое я геометрическое осреднение

В разд. 6.3 мы рассматривали возможность получения шкалы, основанной на арифметическом или геометрическом осреднении, единственной с точностью до преобразований растяжения, с помощью деления пополам. Если мы можем произвести одновременно арифметическое и геометрическое осреднения, то этого достаточно .для того, чтобы построить шкалу, единственную с точностью до преобразований растяжения. Эта идея восходит к С. Стивенсу [1, стр. 24].

Для того чтобы эту интуитивную идею выразить точнее, предположим, что даны две различные операции осреднения | (интерпретируемая как операция арифметического осреднения) и ф (интер- -претируемая как операция геометрического осреднения), удовлетворяющие условию

64・1・ (а 0 с)|(Ь 0 с) = [(а|Ь)|(а 0 匕)]0 c для всех а, Ь, с^А.

Обозначим через tn шкалу, полученную отображением операции в операцию арифметического осреднения, через 九一шкалу, полученную отображением операции ф в операцию геометрического осреднения, через 派 м 员—классы эквивалентности этих шкал. Шкала m единственна с точностью до положительных линейных преобразований, п — с точностью до преобразований ? (%) = б».

»6・4・2. Теорема. Если для двух операций осреднения, определенных на связном множестве 4, содержащем по крайней мере два элемента, условие 6.4.1 выполняется, то возможны следующие два случая:

если эти две операции совпадают (а\Ь — а ф b для всех а, Ь С Л), то для каждой шкалы /и W 骯 найдется такая шкала 几 € 员， что m (а) = log и (а) для любого а С Л;

если эти две операции не совпадают (a\b ^а ф b по крайней мере для одной пары а, & £ 4), то классы 派 и 况 имеют непустое пересечение, а шкалы из 城]况 совпадают с точностью до преобразований растяжения.

Доказательство. Пусть т: <Л; <> L, |)->〈К; <, L, 門2, ％，0)〉И /г:①；V, L, ф〉f〈к, <, 叫，％, 0]). Пусть

g (%, У)=几(и-1 (х) I п-1 (у)).

При а = 〃т (%), b = /г" (у)9 с = п-1 (z) из условия 6.4.1 вытекает

g (JG, ]Л应)=Mg(g(%, у), М彳0 /г.

Положив /% = 〃，Уy = V, 了2 = 3 И pg (g (吟 哨，〃u)=论(“，и)， находим, что g(〃侬,из) = 4(〃, и)ay. Поэтому для д#0

g (uw9 из)=若 g 3g，他o)・

Подставляя и вместо 〃侬°, и вместо из。иЪ вместо w!w^ получаем уравнение

)g ("叫 vw) = g (弘 0)吼

С другой стороны, g (%, у) представляет собой операцию осреднения, и, значит (Аксель [2, стр. 278]), существует такая монотонная непрерывная функция й: К К, что

g(/ y) = WT (；也(%) + 4•九(勿).

Отсюда, учитывая (**), выводим (Аксель [2, стр. 153]), что h — одна из функций

(i)场(%) = a log % + В, а 并 0,

(ii)用(х)= N + 支 а#= 0, у * 0.

Следовательно, g — одна из функций

⑴g(^ S = M荻

g(%，S= (4~%a十4■次)""，a^°-

Обе функции удовлетворяют уравнению (**).

Для случая (i) находим из (*), что

(**♦)п(а\Ь) = Уп(а) п (Ь).

Пусть % = log и (a), ^ = log и (Ь) п F (х) = т (〃《 (ехр х)). Тогда (***) дает

尸(唄)=%尸⑴+4■尸®).

Единственным монотонным и непрерывным решением этого функционального уравнения служит (Аксель [2, стр. 43]) функция

尸(%) = ax + Р,

и потому 加(a) = a log и (а) + р.

Для случая (ii) находим из (*), что

九(a|b)a = %几(a尸 + ｝几(b)a.

Следовательно, n (“严 £ 號,откуда т (а) = уп (“严 + £

Таким образом, среди шкал и: (Л; <, L, |〉f〈К; V, L, Р/2, I/?, 0]) можно выделить подкласс шкал, которые будут шкалами для отображения

〈4; V, " |〉+〈％； <, А, (%, %, 0)).

Шкалы в этом подклассе единственны с точностью до преобразований растяжения.

Совместное шкалирование

В этом разделе мы исследуем вопрос о том, как связаны шкалы для двух соединенных эмпирических систем.

.1. Теорема. Пусть m— шкала интервалов для системы (Л; <, L, О), п — шкала интервалов для системы (В; <, L, •〉, причем о и •—метрические операции, А и В — связные множества. Если существует непрерывное монотонное соединяющее отображение f: G4; о〉т〈В; •〉，то

(*)n (f (а)) = ат (а) + р.

Доказательство. Согласно предложению 5.3.19 и теореме 5.3.22, соединенные операции приводят к изоморфным операциям осреднения: f (aQb) =f (a).f (Ь)・ Отсюда получаем уравнение

n(f{a^b))=^n(f(a))+^n[f(b^

которое означает, что суперпозиция 几。f или —п。f есть шкала интервалов для системы (Л; <, L, ф ). Так как m— шкала интервалов для той же самой с. о. (предложение 5.3.4), то из теоремы 6.1.1 следует равенство (*)./

Примером практического применения этой теоремы может служить так называемая кросс-модальность (Стивенс [4]).

6・5・2・ Пример. Испытуемого просят настроить тон переменной громкости так, чтобы он по своей интенсивности соответствовал данной вибрации. В этом эксперименте определяется отображение /, которое относит каждой степени громкости специфическую интенсивность вибрации субъективно равной интенсивности. Если ф— операция бисекции для громкости, *—операция бисекции для интенсивности вибрации, то их соединенность принимает вид f (а ф Ь) = / (а) * f (b); если / (а) — вибрация, по интенсивности соответствующая громкости тона а, то f ⑷ *〃ь) представляет собой интенсивность, соответствующую громкости тона а$Ь, полученного бисекцией из а и &.

Теперь рассмотрим соединенность для частного случая, когда А = В и /—тождественное отображение. Эта ситуация возникает, когда для измерения данного свойства годится более одной операции.

6・5・3・ Пример. Для субъективной громкости мы имеем две различные операции:

по двум данным степеням громкости а и & определяется третья степень громкости а | Ь, расположенная (по мнению наблюдателя) посередине между а и Ь;

по двум данным степеням громкости а п b определяется такая степень громкости афЬ, что громкость @0Ь, воспринятая одним ухом, субъективно равна громкости, полученной, если громкость а воспринимается одним, а громкость Ь — другим ухом.

Если для измерения данного свойства годится более одной операции, то возникает вопрос: совпадают ли в основном эти две шкалы, т. е. действительно ли они измеряют одно и то же свойство? В дальнейшем мы будем требовать, чтобы формальных условий было достаточно для того, чтобы шкалы, полученные с помощью различных метрических операций, совпадали с точностью до допустимых преобразований.

6・5・4・ Теорема. Пусть А — упорядоченное связное множество.

Если две метрические несингулярные операции соединены тождественным отображением, то существует шкала интервалов, одновременно приводящая обе операции к специальному представлению.

Если несингулярная и сингулярная операции соединены тождественным отображением, то сингулярная операция рефлексивна.

Если существует шкала интервалов, одновременно приводящая две метрические операции к специальному представлению, то эти операции соединены тождественным отображением.

Доказательство. (0) Пусть m — такая шкала интервалов из Д в R, что

т (а о b) = Pim (а) + q 工 т (&) + 小 (*)т (а • b) =。2团(а) + ^2m (匕)+ r^

Операции о и • соединены тогда и только тогда, когда

(♦♦)(Pi + % — 1) % =(Р2 + 夕2 — 1)

Так как tn — взаимно однозначное отображение, то условие соединенности эквивалентно равенству

т ((аоЬ) • (боd)) = m ((a^c)o(b^d)).

Согласно (*), это равенство эквивалентно равенству

/?2【丛加(а) + q工т (b) + q] + %【円加(с) + %加⑷ + G】+ С =

=Pi [网加⑷ + %加 © + %]+ % Ур^ 3) + %加(④ + %]+ 厶 и, следовательно, равенству (**).

По теореме 6.5.1 существует шкала т, удовлетворяющая условиям (*). Так как операции несингулярны, то рг + qt — 1 耍 0 для i = 1, 2. Согласно (**), сдвиг на 々/(网 + %——1) одновременно приводит к специальному представлению.

Допустим, что операция о несингулярна, а операция • сингулярна. Тогда в силу (**) из р2 + ^2 — 1=0 и рх + ^ — 1 =/： О следует, что г2 = 0. Отсюда вытекает, что •— рефлексивная операция.

По предположению существует шкала tn, удовлетворяющая условиям (*), где гх = г2 = 0. Следовательно, условие (♦*) выполняется, а это, согласно (0), влечет соединенность.

Эмпирический статус аксиом

Если дана эмпирическая система с отношениями А = 〈/; V, L, о), то для того, чтобы гарантировать существование шкалы интервалов (теорема 6.1.1), должны выполняться определенные условия («аксиомы»):

операция о бисимметрична (свойство 5.2.4),

операция о сократима (определение 3.7.6),

операция о непрерывна,

(iv) Л — связное множество.

Для того чтобы можно было применить изложенную выше теорию, надо решить, удовлетворяются ли аксиомы (i) — (iv) для данной э. с. о. А. Чтобы принять эти «гипотезы», удобно пользоваться принципом, согласно которому считается, что аксиомы удовлетворяются до тех пор, пока не появятся противоречащие эмпирические данные. Наши эмпирические методы, однако, ограниченны. Мы можем рассматривать только конечное подмножество Л 0 и проверять, удовлетворяют ли его элементы отношению V и операции о. С этой эмпирической точки зрения аксиомы (i) — (iv) имеют различную природу.

Если аксиома (i) не выполняется, то существует по крайней мере одно подмножество Ло = {。工,...,а6}с: Л, для которого

(% О W О (@з О @4)= @5 М (@1 О аз) О (。2 О 闯=%, НО。5 #= @б・

Если аксиома (ii) не выполняется, то существует по крайнем мере одно подмножество До = {@工,・• •, aju4, для которого

%_ О О? ~~。4 Н @1 О @3 —' @4，НО @2 Т^ 〃3,

или

Q2 0 al = 〃4 И @3 О 口工=〃4，НО @2 声

Таким образом, можно в принципе на основании эмпирического опыта прийти к выводу, что аксиомы (i) и (ii) нарушаются. Однако это невозможно в отношении аксиомы (iii). Для того чтобы опровергнуть эту аксиому, нам понадобилось бы бесконечное подмножество множества А, которое практически нельзя задать. Аксиомы первого типа будут называться поддающимися проверке, второго — не поддающимися проверке (Адамс, Фагот, Робинсон [3]). Из аксиомы (iv) следует, что множество Л бесконечно, так как каждое конечное упорядоченное множество несвязно. Чтобы установить нарушение связности, мы должны знать все множество. По тем же соображениям вызывает возражение аксиома вычитания для аддитивных операций (определение 5.5.1): «Для любых а, b ^ А при а V 匕 существует такой элемент х € Л, что а + х = Ь^. Если данное конечное подмножество Лос= Д не содержит соответствующего элемента х, то нельзя сделать вывод, что его нет во всем бесконечном множестве Л.

Среди свойств операции о, изложенных выше,

(а) поддаются проверке свойства операции о быть внутренней (5.1.2), рефлексивной (5.2.1), коммутативной (5.2.2), ассоциативной (5.2.3), бисимметричной (5.2.4), автодистрибутивной (5.2.5), сократимой (3.7.6), монотонной по одной или по обеим переменным, сингулярной (5.2.17);

(Р) не поддаются проверке свойства операции о быть непрерывной, архимедовой (5.1.4), а также свойство множества А быть связным в порядковой топологии.

На первый взгляд, мы могли бы принять не поддающуюся проверке аксиому, если только ни «технический», ни наш эмпирический опыт ей не будет противоречить. Но, к сожалению, существуют системы аксиом, из которых вытекают поддающиеся проверке следствия, не вытекающие только лишь из поддающихся проверке аксиом системы. Пусть, например, о — сократимая, непрерывная и автодистрибутивная операция, А — связное множество; тогда о — бисимметричная операция (следствие 5.4.2). Но без связности множества А этого нельзя было бы утверждать. Подобные примеры приводятся в теоремах 5.5.2 и 5.5.4. Таким образом, нужно с большой осторожностью рассматривать не поддающиеся проверке аксиомы, добавленные к системе поддающихся проверке аксиом в качестве чисто технических. Для более полного исследования этого вопроса надо сначала определить понятия «поддающаяся проверке аксиома» и «следствие» системы аксиом.

Пусть А = 〈4; (R/曰〉— э. с. о. с 论厂местными отношениями R» и конечным множеством /. Все, что мы можем сделать эмпири-

чески, это рассмотреть конечное подмножество 4° множества Л и проверить справедливость следующих высказываний X： «R (%, • •・，а%) = 0》и《R» (〃工，..・，@勺)=1» для aj W 4°, i £ /- Кроме того, обозначив это конечное множество высказываний X через 修，мы можем проверить высказывания, построенные из высказываний множества ЗС по правилам исчисления высказываний. Если можно проверить высказывания Xi и Х2, то можно проверить высказывания Xi U X2JU = или), П X2 s =叫 Xi=> Х2 (n = импликация) и X] (— = отрицание); см. доказательство предложения 2.3.2, п.Ь. Множество высказываний является булевой алгеброй (см. определение 12.1.1) и высказывание Х^пХ? эквивалентно высказыванию Xi U X?. Так как X W 寃 влечет X € ^ (высказывание «не верно, что Ri (аъ . . ., а&) = 1》совпадает с высказыванием «R» @, . . ., а^ = 0》)，то система высказываний, которую можно построить по этим правилам из высказываний множества 夕，состоит из высказываний

(*) У = (ХнUХ,2U • • • UXi〃)П(К%U • • • UX22Jп...

• • • П (Xml U • • • U Xm，m)‘

где 加，厶 Е N н X订 С *• Высказывание У этого типа будем обозначать через У (а】,...,аг), где @卜...,аТ— элементы множества Д, встречающиеся в высказываниях Х» Таким образом, например, если m = 1,厶=2, Xu —высказывание《Ri (仰，仰)=1》，Xi2 — высказывание «R? (〃2, @з) = 1》,то У (аъ а2, @з) представляет собой высказывание《R工(%, а2) = 1 или R? (@2, @з) = 1》・ Если мы можем эмпирически показать существование не обязательно различных элементов @工,...,@尸,для которых высказывание У (@工,.•・,aj не верно, то тем самым мы опровергаем высказывание «У (%, •・.,%) верно для всех аъ . . ., а「£ 4》.Это позволяет ввести

Определение. Поддающимся проверке высказыванием для с. о. А называется высказывание «У (а】,...,а) верно для всех аъ . . • ・• ., а「》, где У — высказывание типа (*). (В общей теории систем с отношениями (см. Тарский [1], Робинсон [1]) поддающиеся проверке аксиомы называются универсальными высказываниями.)

Рассмотрим, например, аксиому бисимметричности в системе с отношениями (Д; =, <, о); высказывание У зададим в виде у (%, a2，•…，a10)：

(色 о &) а。3 и а О @5)啖 ％ и (@3 О “6)* % и (% О а4)声

* @8 U (@2 О “5)#=的 U (@8 О 〃9)护 ％0 U @7 = %0・

До сих пор мы формулировали высказывания с помощью отношений и объектов некоторой фиксированной с. о. (Л;(欠》卜曰〉・

Такие высказывания мы будем интерпретировать как высказывания на всех с. о. А' = 〈4'; (R；卜^工〉одинакового типа, полученных заменой R» на R и 的 на а；.

Определение. Поддающееся проверке высказывание «для всех 〃ь ・..,〃「верно У (а】,...,%)》называется следствием системы аксиом для системы с отношениями (Д; (R。诏工〉,если поддающееся проверке высказывание удовлетворяется для каждой с. о. А'= = (Д';(欠力诧工〉，имеющей тот же тип и удовлетворяющей тем же аксиомам.

В этом определении мы не фиксировали язык, на котором формулируются аксиомы. Заметим, что рассматриваемые здесь аксиомы можно сформулировать в более высоком исчислении предикатов. Мы опускаем это, так как полагаем, что интуитивно ясно, как нужно интерпретировать «высказывания» в наших примерах. Для читателя, знакомого с теорией моделей, заметим, что мы идентифицировали символы языка с символами интерпретирующих его моделей.

Определение. Пусть S】и Sg — системы аксиом. Система аксиом S? называется чисто технической в системе {S^ S?}, если каждое поддающееся проверке высказывание, которое следует из {Si, S2}> следует из S>

Возвращаясь к проблеме, упомянутой во введении к этому разделу, заметим, что для наших целей надо исключить из системы (Д; <,£, о) бесконечное отношение £, так как концепция поддающихся проверке высказываний исключает с. о. с бесконечноместными отношениями. Это не ограничивает наши рассмотрения, потому что нет необходимости выражать непрерывность на языке нашей системы с отношениями. Мы можем переформулировать проблему так: является ли система S2 = {(iii), (iv)} для данных систем с отношениями <Д; =, <,о) чисто технической в системе {(i), (ii), (iii), (iv)}?

На этот вопрос был дан утвердительный ответ для двух случаев (Адамс, Фагот, Робинсон [31): аддитивных операций и операций осреднения о.

Определение. Обозначим через R+ с. о. 〈К; =, <, (1, 1, 0)) и через R, с. о. (R; =, <, (%, %, 0)). С. о. А = (Л; =, <, о) называется представимой посредством R+ или R,, если существует гомоморфизм системы А в R+ или R, соответственно. Определение операций (1,1,0) и (1/2,〔厶，0) см. в примере 5.2.19. Система А называется соизмеримой, если она не удовлетворяет поддающемуся проверке высказыванию: условия а】о а】> а^ и а2 о а^ V&2 вместе влекут (% о а2) о (а】о а2)并(的 о ”纟)Для всех %, а2.

Если а — положительное иррациональное число, то с. о. 〈{几一 та: n, т Е N}; =, V, +〉несоизмерима.

8—01183

Теорема. Пусть s—какое-нибудь поддающееся проверке высказывание на системах с отношениями (Л; =, <, о) типа 电= =々2 = 2,尼з = 3.

(а) Если s верно по крайней мере в одной непустой соизмеримой с. о. А】，для которой отношение о является операцией и которая представима посредством R+, то высказывание s есть следствие аксиом системы S.:

(0) V— отношение порядка и о — операция;

операция о коммутативна,

операция о возрастает,

операция о ассоциативна,

а также тех аксиом системы SZ, которые справедливы на А/

операция оположительна: а。b > а для всех а,bW4,

‘) операция оотрицательна: а о b VQ для всех а,bW4,

операция онеотрицательна: ао b ^ а для всех а,bАг

(v‘)операция онеположительна: ао b ^.а для всех а,Ь^А.

а = b для всех а, b А.

(Ь) Если s верно по крайней мере в одной с. о. А「 содержащей хотя бы два элемента, для которой о — операция и которая представима посредством Аф, то высказывание s есть следствие аксиом системы Sb：

(0), (i), (ii),

операция о рефлексивна,

операция о бисимметрична.

Теорема 6.6.5 сильнее соответствующей теоремы, доказанной Адамсом, Фаготом, Робинсоном, даже несмотря на то, что мы пользуемся тем же методом. Они рассматривают только поддающиеся проверке высказывания, верные в каждой с. о. 〈4; =, V, о〉, представимой посредством R+, R, и посредством положительной части системы R+. Из теоремы 6.6.5 непосредственно выводим

Следствие. Пусть Sa, S& те же, что в теореме 6.6.5.

Если {Sa, S} — система аксиом, справедливых на соизмеримом подмножестве множества Н, содержащем по крайней мере один положительный и один отрицательный элемент, то система S чисто техническая.

(а') Если аксиомы системы {Sa, 7, S} (где Т — одна из аксиом (iv) или (iv')) справедливы на непустом подмножестве множества К, то система S чисто техническая.

Если аксиомы системы {Sb, S} справедливы на подмножестве множества К, содержащем по крайней мере два элемента, то система S чисто техническая.

Таким образом, если к Sa или Sb добавить такие аксиомы, как аксиома непрерывности, связности или архимедову аксиому, то

эти дополнительные аксиомы будут чисто техническими, поскольку они справедливы на множестве действительных чисел.

Замечание. Аксиомы аддитивных операций (определение 5.5.1) и операций осреднения (определение 5.2.13), приведенные в этой книге, не совпадают в точности с аксиомами систем Sa и Sb соответственно. В обоих случаях сократимость и непрерывность заменяются монотонностью. Ясно, что непрерывность, сократимость и связность не являются здесь техническими аксиомами, так как вместе с другими аксиомами они заключают в себе поддающееся проверке высказывание о монотонности. Но в силу следствия 6.6.6 все поддающиеся проверке высказывания следуют из Sa и Sb соответственно.

Для того чтобы доказать теорему 6.6.5, нам понадобится лемма, известная в теории выпуклых многогранных конусов и линейном программировании и принадлежащая Моцкину [1]. Мы предполагаем, что читатель знаком с линейной алгеброй и элементарной топологией. Для элементов

зададим скалярное произведение формулой п

в качестве нормы возьмем евклидову норму | х | = (x7%)1/2 и положим %+={「£%:「》0}.

Определение. Подмножество Л4 пространства 1КП называется выпуклым конусом, если 0 6 Л4 и из х, хЛ 6 МД, %' С ВЛ следует, что 九％ + К £ € М. Если М — выпуклый конус, то положим Л4* =

{у • %”》0 для всех х € Л4}.

Предложение. Если Л4 — выпуклый конус, то М* ——тоже выпуклый конус, и если множество Л4 замкнуто, то М = (Л4*)*.

Доказательство. По определению 6.6.7 М* — замкнутый выпуклый конус и М и (Л4*)*. Осталось показать, что для замкнутого Л4 справедливо включение Л4n (Л4*)*. При Л4 = R? это очевидно. Предположим, что у ^М. Так как М — замкнутый конус, то найдется элемент х 6 Л4, наименее удаленный от у:

0 < I х — ylWI%' — у I для всех xz С М.

Для произвольных г € Л4 и Р С R+ элемент % + §z принадлежит М, и потому

(% — У)Т (% — У)=丨 ％ — У 产 & I % + 阳一у|2 =

=(% — у)Т (х— у) + 2р (х — yfz + 俨2%

откуда (х — y)Tz》——02Tl г |2 для всех 6 > 0, и, значит, (х—у)Т z》0. Так как элемент z £ М произволен, то х — у W М*. Так как а% £ М, а £ К+, то при а = 1 функция а -> | ах — у | на К+ достигает минимума и производная обращается в нуль: (% — уУх = 0. Так как | % — g | > 0, то

(%—У)勺= (% —У)т(У —%) + (х — у)тх ==—\х — у |2 <0.

Так как % — у £ М*, то у @ (М*)*.

6:6.9. Предложение. Выпуклый конус М, порожденный множеством {@i： s £ 0V\ i = 1,・• .，/}, т. e.

Al = {2 儿％：入t》。},г=1

замкнут.

Доказательство. Утверждение очевидно для Z = 1. Предположим, что оно справедливо для некоторого / — 1 (/》2). Если —а» £ М для всех i, то М — линейное и, таким образом, замкнутое пространство; поэтому предположим, что —а丄 0 М. Пусть ЛГ — выпуклый конус, порожденный множеством {@z： i = 2, . . ., Z}. Он замкнут по предположению. Пусть % — граничная точка для М. Тогда существуют такие последовательности {%}и R+ и {%}и М\ что lim 仇招工 + %) = % н

lim % =九 € K+ или (ii) lim % = + 8.

Если выполняется условие (i), то последовательность {&；} сходится к элементу b С таким образом, % =入@工 + b ^ М. При выполнении условия (ii) последовательность {^J^} сходится к—^, откуда —〃i € Ми М вопреки предположению, что —& 0 М.

По индукции заключаем, что утверждение справедливо для всех /.

Предложение. (Фенхель——Таккер.) Пусть L — линейное подпространство пространства Яп, £丄——линейное пространство, ортогональное к L. Для каждого 归,0 & 々 & 几,

(предложение 6.6.9). Легко проверить, что N* = М и N = (7V*)* = =М* (предложение 6.6.8).

Если условие (i) выполнено, то N = М* =э £?, п = {^ 6 !^п： Xk+i = . • . = %п = 0}. Следовательно, N содержит вектор z с координатами 々=...=% = —1, zh+1 =...=之九=0; по определению N имеем z = у + х. где у £ М, % £ (1Я+)П, —у = =% — z € (匝+尸 и 勿 VO, • •% <0.

(b) Предположим, что у £ L丄 удовлетворяет условию (ii) и х ^ М. Так как % £ L, то хту = 0. Так как м》0 « = 1,・• ., п), Уг ^0 (/ = 1, . . ., и) и[比 <0, . . ., yfe <0, то %]=・..=办=0.

Для х ^^ будем писать х ^ 0 тогда и только тогда, когда 尤 £ (K+尸；х > 0 тогда и только тогда, когда 无三 0и% 娱 0;%>0 тогда и только тогда, когда каждая координата вектора % положительна.

Лемма. (Моцкин [1].) Пусть G—действительная (р, ^-матрица, р> L Н ——действительная (% п)-матрица. Обозначим через Gr и НТ матрицы, транспонированные к G н 方 соответственно. Найдется такой элемент % £ К", что

Gx > 0 и Нх 三 0

тогда и только тогда, когда не существует пары у Е Rp, z £ К* для которой

GTy + HTz = 0, у >0, z^0.

Доказательство. Неразрешимость уравнения (ii) эквивалентна включению

(*)£П(К+)^с=£р,р+д,

где Е〃，p+q определяется, как в предложении 6.6.10, и

£={(：)£%唄 GTy + HTz = 0}.

Множество L содержит векторы (：), ортогональные ко всем вектор- строкам (п, р + ^-матрицы (GT, Нт). Следовательно, пространство L丄 порождается вектор-строками этой матрицы:

£丄={ (£"： %£ К71}.

Согласно предложению 6.6.10, включение (*) эквивалентно существованию вектора у W L工,все координаты которого неположительны, а р первых координат отрицательны. Это означает, что найдется такой элемент % £ 0in, что G% V。 и Нх 三 0. Тогда элемент ——％ служит решением системы (i).

Следствие. Пусть G, Н те же, что и в лемме 6.6.11, и F есть (г, и)-матрица. Найдется такой элемент % £ Rn, что

Gx >0,尸％ 三 0, Нх = 0

тогда и только тогда, когда не существует тройки у £ К@, z £ К* 〃 W %1 для которой

GTy + FTz + НТи = 0, у > 0, z ^ 0.

Доказательство. Достаточно в лемме 6.6.11 взять

Следствие. Элемент х Е 0in, для которого G% > 0, Нх = 0, % > 0, существует тогда и только тогда, когда нет таких элементов у € %「, z £ К* что

GTy + HTz М 0 и у N 0 или

GTy + HTz ^ 0 и z/ > 0.

Элемент х £ Кп, для которого

Gx > 0, Нх = 0, % 三 0,

существует тогда и только тогда, когда неравенство GTy + HTz 三 0, у > 0, неразрешимо.

Доказательство. Достаточно в лемме 6.6.11 заменить G на (；)" в следствии 6.6.12 заменить 尸 на /, где /—единичная (п,几)-матрица.

Следствие.'Если элементы матриц G, Я, F рациональны, то в лемме 6.6.11 и следствиях 6.6.12 и 6.6.13 вместо К можно подставить & где G — множество целых чисел.

Доказательство. Достаточно показать, что если системам (i) и (ii) из леммы 6.6.11 удовлетворяют действительные векторы %, у, z, то им также удовлетворяют целочисленные векторы. Пусть х° — действительный вектор и G%° > 0, HxQ N 0. Добавив к G I строк матрицы Н, для которых

получим (р + /, и)-матрицу G' и (д — /, п)-матрицу 〃' с рациональными элементами, причем G'%° > 0, "'%° = 0. Линейное про-

странство L = {х 6 %п： Их = 0} может порождаться векторами, координаты которых рациональны. Таким образом, множество векторов х С 0in с рациональными координатами плотно в L. Так как отображение х f Gx непрерывно, то G'% > 0 для всех х из окрестности точки х°. Но, как показано выше, каждая окрестность точки х° содержит векторы % £ L с рациональными координатами. Таким образом, существует такой элемент % W Rn, что, во-первых, Gх > 0, Hfx = 0 и потому G% >0, Нх 三 0, и, во-вторых, координаты xt (Z = 1, . . ., п) вектора % рациональны. Умножая числа Xi на их общий знаменатель, получаем целочисленное решение.

Тем же самым методом можно доказать, что если существует действительное решение уравнения (ii), то существует и его целочисленное решение у, z.

Доказательство теоремы 6.6.5. Пусть Ах = =〈3; =, <, о) и А2 = (Л2; =, <, о) — системы с отношением порядка V и бинарной операцией о, Аг ^= 0, 41rl 厶2 = 0- (Последнее условие гарантирует, что использование одинаковых символов для обеих систем не ведет к двусмысленности. Если 241rl П #2* 0，то вместо А】 возьмем соответствующую изоморфную с. о..) Предположим, что существует поддающееся проверке высказывание s, справедливое в А】，но не справедливое в А2, скажем «У (“1, ...,〃「) верно для всех а(...,的》,где У задано в виде

(Хн U Х]2 U • • • U X"J Г) (Х21U Х22 U • • • U X2Q 八• • •

• • •八(Xml U Xm2 U • • • U XmZm)，X»j £ 寃•

Существуют элементы а】,...,ar^ A 2t удовлетворяющие высказыванию У (“1，. . ., “J, ложному для произвольных, не обязательно различных элементов 山 £ 4. Отсюда следует, что существуют различные элементы а^ . . ., а? € 才2, / & 厂， удовлетворяющие высказыванию X (^, . . ., 〃0 = Х〃 П X»2 rl.…П Х“〃 ложному для всех а；, ...,〃} £ 4i・ Система 寃 состоит из высказываний типа а о b = с, а о Ь^= с, а>Ь, а^ Ь, а — b, а# Ь. Поскольку а^Ъ эквивалентно а> b или 方 > а, а ^ b эквивалентно а =方 или b> а, а^Ь о с эквивалентно d = Eoc и а ^= d, получаем систему высказываний

akl > %2 伎=1,р), р》0, и

Q/a = ak2(k = р + 19 . . ., Pi + р), /?! > 0, и

〃互1 = akio ak3(k = р + pi+ I, . . ., р + ^), р + q> 0,

где aki — определенный элемент множества {а19 . . ., aj € Л2, причем эта система истинна, и она становится ложной при замене элементов ah i = I, . . ., /, произвольными, не обязательно различными элементами al С Лх.

Доказательство п. (а). Предположим, что с. о. А2 удовлетворяет аксиомам системы 5а, соизмеримая с. о. А】 представима посредством R+ и zn — представляющее отображение.

Исходя из системы 6.6.15, строим матрицы инциденций G', G", Н', Н" с рациональными элементами

,[1 ДЛЯ tZfei ^： Clj,“ J 1 ДЛЯ 〃冗2,

У —I о в остальных случаях,V —о в остальных случаях,

々—1,.・.，р, у^= 1,・•・，/；

и

{

2 для "а+左，2 = аР Vа，3 = аj， 1 Д力父 ^p+fc, 2 = 4/

или ар+瓦 3 =的， 0 в остальных случаях,

k == 1, . . ., q; j -— 1, . . ., /.

Другими словами, функция g焉 отмечает появление 的 в левой части» a gkj — в правой части й-го неравенства. Поскольку для произвольных а；,.・.,di С А1 система высказываний 6.6.15 ложна, то система

f Gx>0 и Нх = 0 при р>0,

〈г г сЛ

IНх = 0 при р = 0

не может иметь своим решением элемент х^(т (4。)', где G = =G' — G", Н = Н' — /Г.

Определим по индукции lb = b，几b = b о (几— 1) & для n С N^ b С 42 H условимся, что (0&) о а = a; Q{瓦}=瓦 н

Q{&: i = 1,..々} = Q{仇：i = 1, . • •，左一1} о Ь^.

Пусть у W К&, z^W — целочисленные векторы, причем у N О и \ у \ + I г I > 0. Так как операция о монотонна, то из системы 6.6.15 получаем

6.6.17.6.6.17.Л (", z) > /2 (у, z) для у > 0,

6.6.17.

6.6.17.

3 匂，z) = % (у, z) для у = 0,

где

/1 (协 z) = R {勿@々丄：々=1, . • •, Pi} о

о Q {zkap+kt !： A = 1, ...,(7 и zfe > 0} о

oQ{ —%Qp十拓2：左=1，•••，〃 И 2fe <0}о

。Q { — z^ (〃p+拓 2。Q「+拓 з)* 论=Pi + 1, • • •, 9 м 2兀 V 0}；

/2(У> 2)= Q {Ук^к2* 厶=1, • • • , Р}。

О С {马勾+兀,2： k= 1, . . ., Pi И 毎 > 0}。

oQ{zk (ap+ki2oap+k, 3):々 = pi+l, ・・.，g и 勿>0}。

oQ{ —ZkQp+d 1：论=1,・・・，q и zk < 0}.

Формулу, определяющую Д, можно интуитивно описать так: меняем местами обе части fe-го уравнения в системе 6.6.15 для всех 力) если zh V 0; затем «добавляем» у1 раз левую часть первого неравенства, у? раз левую часть второго неравенства и т. д. и | гг | раз левую часть первого равенства, | г2 | раз левую часть второго равенства и т. д.

Поскольку операция о коммутативна и ассоциативна, то из определения матриц G', G", Н\ H,f следует, что

“(协 z) = Q{〃m： i = 1, • • ., /},

/2 (〃 z) = a{s%： i = 1, • • /}, где

/(D，z)= 2 yhgki + 2 /成?•-3 H%， k= 1兀=1fe— 1

z»0%<0

■/I vV ur

S(У，Z)= % y^Shi H- 2 马力館一 2 ^k^ki» fe= 1fe=lh= i

z/O^<0

•, 2)—。匂，z) = (G‘ 一 G〃)、+ (牙一 H〃)T z = GTy + "7.

Так как |y| + |z|>0, то〃 > 0 и и > 0. Рассмотрим отдельно следующие случаи.

А】 не удовлетворяет ни одной аксиоме из системы S] Тогда множество т (40 содержит по крайней мере одно положительное и одно отрицательное число. Кроме того, так как А丄—соизмеримая система, то найдутся такие элементы а0 и Ьо £ Лп что m (〃J = = —tn (匕。)> 0. Применяя вместо т отображение

加：ат―

他(a0)

мы можем предположить, что m (&)=>& где (G — множество целых чисел. Таким образом, не существует целочисленного вектора %£К* разрешающего систему 6.6.16. Так как уравнение Нх = G имеет решение % = 0 £ m (40”，то р > 0. В силу следствий 6.6.14 и 6.6.12 существуют такие элементы у ^Q^ п z ^G1, что

Из уравнения (1) и системы 6.6.18 получаем и^ (у, z) = s 匂，z) при i = 1, . . ., / и, таким образом, “(〃 z)=厶(У，г)- Из системы 6.6.17 и неравенства (2) получаем fL (у, z) > 九 ®，我 Таким образом, предположение о том, что высказывание s неверно в А2, приводит к противоречию. Так как А2— произвольная с. о., удовлетворяющая системе Sa, то s есть следствие из Sa.

А】 удовлетворяет по крайней мере одной из аксиом системы S；. Пусть А2 удовлетворяет той же аксиоме из SZ, что и А> Если Аг и А2 удовлетворяют аксиоме (vi), то они изоморфны, и доказывать нечего.

Пусть А】и А2 удовлетворяют аксиоме (iv). Тогда существует элемент а。€ 4, для которого т (%) > 0. На том же основании, что и в случае I, можно предположить, что Num (Д^. Таким образом, не существует вектора х С G\ % > 0, разрешающего систему 6.6.16. В силу следствий 6.6.14 и 6.6.13 найдутся такие элементы у £ 0 и z £ 峭 что

GTy + HTz<:0 и 佳。 или

(Р) (fy + lfz^Q и у>0 при р>0,

⑺ HTz < 0 при р = 0.

Каждое из первых неравенств (а), (Р) и (?) влечет и (у, z)三 и (у, г) (см. соотношения 6.6.18); кроме того, (а) и (?) влекут и (у, z) £ < и (у, z). Таким образом, из аксиомы (iv) и из монотонности вытекает, что

["(弘 z) V%®，z) для (а) и (у), ⑴ I Л (У，z)三 ％(协 z) для (р).

Так как у > 0 для (Р), то соотношения 6.6.17 и (♦) противоречат друг другу. Поэтому s — следствие системы {S。，(iv)}.

Пусть Ах и А2 удовлетворяют аксиоме (v), но не удовлетворяют аксиомам (vi) и (iv). Тогда существуют такие элементы а0, b0 С Ль что т (Ьо) = 0 </п (а。). Как и в случае I, можно предположить,

что N и {0} 二 团(4)・ Следовательно, не существует вектора % £ € Gz, х > 0, разрешающего систему 6.6.16. В этом случае равенство р = 0 невозможно, так как НО = 0 я 0 £ m 041y. В силу следствий 6.6.14 и 6.6.13 найдутся такие элементы у Е^ и z £ (G*

что

(1) GTy + /7^ < 0 и (2) у > 0.

Из неравенства (1), монотонности, соотношений 6.6.18 и аксиомы (V)получаем & (у, z)三 f2 (у, z), а из неравенства (2) и соотношений 6.6.17 получаем “ (у, z) > f2 (у, г); мы пришли к противоречию. Таким образом, s—следствие системы {Sa, (v)}.

Случаи, когда Ах и А2 удовлетворяют аксиомам (iv‘) и (v‘), сводятся к рассмотренным ранее.

Доказательство п. (Ь). Предположим, что А】и А2 удовлетворяют аксиомам из S&, система А представима посредством Кф н m ——представляющее отображение. Так как ао а = а для всех а, то систему 6.6.15 можно представить в виде

6 [9 f ahi ° ah2 > ak3 ° ahlt 但=1，P)，">°， … • I akloak2 = ak3oak^ 优=p十 1, • •・，"十q),

где aki есть определенный элемент из {^, . . ., а». (Случай р = О невозможен, потому что тогда уравнения удовлетворялись бы при %i = а&2 = ak3 = 〃自4 = Q,々=〃 + 1, . . ., 9, для произвольного элемента a g А^) Как и в п. (а), исходя из соотношений 6.6.19 получаем матрицы инциденций с рациональными элементами

{

1 ДЛЯ @м =耿2 = Qj, 1/2 для а乂 =的 или 匆2 =的， О в остальных случаях,

1 ДЛЯ "在3 = a京4 =的，g总=| 〃2 ДЛЯ 〃兀3 =的 ИЛИ 〃h = Qj,、0 в остальных случаях,

k -— 1，...，р; j ―― 1, ...，/;

1 ДЛЯ 〃p+k, ] = Qp+h, 2 = “j,万后=1 〃2 Для ap+ktl = aj или ар+丸，2 =的,

.О в остальных случаях,

1 для ор+冗,3 =旬+h,4 =的，

力互亍=< ‘/2 4力* "Р+/1,3 =的 или "p+h, 4 = "j, 、0 в остальных случаях,

k •—•■ 1,・・.，q, j — ■ 1, ...,/,G = G'-G", H = Hf-H\

Так как не существует элементов 〃；, . . ., aj £ Аъ не обязательно различных, при подстановке которых вместо @z выполнялись бы соотношения 6.6.19, то не существует элемента х ^т (40", разрешающего систему

6.6.20.6.6.20.Gx > 0, Нх = 0.Gx > 0, Нх = 0.

6.6.20.

6.6.20.

Gx > 0, Нх = 0.

Gx > 0, Нх = 0.

Поскольку 41 содержит по крайней мере два элемента, можно, применяя подходящее положительное линейное преобразование на т, считать, что {1, —1}с: m (4X), и, таким образом, D = ={几2一叱 m,孔 W & I 九丨& 2, и т (力 J. Если бы целочисленное решение %° системы 6.6.20 существовало, то вектор % = 2~тх°, где 2m > max {I 猾 I： i = 1, . . ., Z}, был бы также решением системы 6.6.20 и х С m G4。'. В силу следствий 6.6.12 и 6.6.14 найдутся такие элементы у € 祕 н z С 応* что

(1) GTy + HTz = 0 и (2) у > 0.

Определим по индукции операцию «осреднения» Ап на наборах по 2П элементов из А^ Ао (b) = b и

Ап (瓦，..b?71) = An-i (^i。匕2，Ьз о Ь[, . . ., b^n-i о &2п) для 枕 € N.

Легко доказать по индукции, используя коммутативность и бисимметричность, что

операция Дп инвариантна при всех перестановках ее аргументов

и, используя монотонность, что

Ап (瓦，• •匕2疝 > Ar(% • •b2^^ если bi》历 для всех

i и bt > bi по крайней мере для одного i, 1 & i & 2П・

Пусть у и 2 ——целочисленные виям 6.6.21, и пустьПусть у и 2 ——целочисленные виям 6.6.21, и пустьвекторы, удовлетворяющие усло・векторы, удовлетворяющие усло・kk厶=23厶=23^fe = 3 1可卜方=i^fe = 3 1可卜方=i

Пусть у и 2 ——целочисленные виям 6.6.21, и пусть

Пусть у и 2 ——целочисленные виям 6.6.21, и пусть

векторы, удовлетворяющие усло・

векторы, удовлетворяющие усло・

k

k

厶=23

厶=23

^fe = 3 1可卜方=i

^fe = 3 1可卜方=i

& = 〃” 加="月3, 仇=Qp+h, i, 瓦=“p+片,3,仇=^p+ft, 3, bt = ^p+fe, i.& = 〃” 加="月3, 仇=Qp+h, i, 瓦=“p+片,3,仇=^p+ft, 3, bt = ^p+fe, i.Q =a九2R =以4Q = Qp+k, 2Q = ^+fe, 4Ci = Qp+拓 4& = 〃p+拓 2Q =a九2R =以4Q = Qp+k, 2Q = ^+fe, 4Ci = Qp+拓 4& = 〃p+拓 2

& = 〃” 加="月3, 仇=Qp+h, i, 瓦=“p+片,3,

仇=^p+ft, 3, bt = ^p+fe, i.

& = 〃” 加="月3, 仇=Qp+h, i, 瓦=“p+片,3,

仇=^p+ft, 3, bt = ^p+fe, i.

Q =a九2

R =以4

Q = Qp+k, 2

Q = ^+fe, 4

Ci = Qp+拓 4

& = 〃p+拓 2

Q =a九2

R =以4

Q = Qp+k, 2

Q = ^+fe, 4

Ci = Qp+拓 4

& = 〃p+拓 2

Пусть, кроме того, Zq+】 нм — такие наименьшие неотрицательные целые числа, что Yp + Zg + zg+1 = 2П. Рассмотрим 2п-наборы b, с, b\ cf £Af:

для i€ (У月_丄，УН, 々=1, p,

для i^ (Yp^Zk-i, Yp + Z^] и %>0,

k — 1, •・・，q,

для iJYp + Zx, Yp + Z^ и 2fe<0,

k — 1, ♦・・，g.

При i £ (Yp + Zq, 2n] имеем bt = bi =- ct = Ci = az+1, где g+i — произвольный элемент из Л2, отличный от элементов аъ . . ., Ф.

Из соотношений 6.6.19 следует, что Ь； о q > Ь； о с； при i = 1,... ..Ур и bi о Ci = Ы о cl при i = Yp + 1, . . ., 2П. Таким образом, из соотношений 6.6.22 и 6.6.24 с учетом того, что у > 0, находим

Ан】(Ь, с) = Ап ({九 og: i = 1, . . 2П}) >

> Ап ({方。& i = 1,・• 2п}) = Дп+1 (К с)

С другой стороны, элемент 〃j встречается в 2п+1-наборах (Ь, с) точно 2uj (у, z) раз, в наборах (Ь‘，с') — точно 2力(у, z) раз (/ = =1, ...,/) и Qi+i встречается в обоих случаях точно 2q+i раз. Значения щ и 力 задаются соотношениями 6.6.18, где g', /f, g", h" в правой части задаются матрицей инциденций, получаемой из соотношений 6.6.19. Поэтому из соотношений 6.6.18 и 6.6.21 следует, что (Ь‘，с') представляет собой перестановку пары (&, с) и, таким образом, A* (&, с) = Дп+1 (Ь\ с'), что противоречит неравенству 6.6.25. Поскольку в качестве А2 была выбрана произвольная с. о., удов летвор яюща я системе аксиом S^, то высказывание s есть следствие из Sb-

Глава 7

ПСИХОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ШКАЛ ИНТЕРВАЛОВ, ОСНОВАННЫХ НА ОПЕРАЦИЯХ

7.7. Аддитивные операции

Теория шкалирования возникла в физике — науке, которая первой применила измерение. Почти все физические свойства допускают использование аддитивной операции, причем единственное широко известное исключение составляет температура. Очевидными примерами аддитивных свойств служат длина и масса. Для массн* например, отношение порядка устанавливается сравнением двух масс на весах с равными рычагами. Сложение осуществляют, поме* щая суммируемые массы на одну и ту же чашу весов. Менее очевидный пример аддитивного физического свойства дает интенсивность освещенности (Кэмпбел и Даддинг [1]).

Поскольку аддитивные свойства в физике имеют превалирующее значение, теория измерений на своих ранних стадиях ограничивалась этой областью. Разработка теории была начата Гельмгольцем [1] и продолжена на более глубоком математическом уровне Гёль- дером [1]. На дальнейшее развитие теории и практики измерений сильное влияние оказал Кэмпбел [1, 2], настаивавший на том, что подлинное измерение возможно только для аддитивных свойств. Как глубоко укоренилась эта ересь, можно судить по выводам, принятым Комитетом по рассмотрению и составлению отчета о возможности количественных оценок сенсорных явлений (1938), в которых даже отрицалось обоснование термодинамического определения температуры. Кэмпбел был одним из членов этого комитета.

72 Операции осреднения

В противоположность физическим свойствам свойства, которые исследуются в бихевиористических науках, редко бывают аддитивными. Возрастающая роль количественных методов в этих науках требует методологического обоснования измерения на более общей основе, чем аддитивность. Развитая в гл. 6 теория включает как аддитивные свойства, так и — в качестве специальных случаев ―； свойства с операциями осреднения.

Одной из первых измерительных процедур, применявшихся в психофизике и психологии, был так называемый метод бисекции. Основной эксперимент состоит в следующем: испытуемого просят опреде-

лить проявление свойства а | Ь, которое находится посередине между двумя данными проявлениями аи Ь. Несколько отличающиеся друг от друга результаты различных экспериментов усредняются, и это среднее принимается в качестве оценки для а | Ь.

Как уже указывалось в части А разд. 2.5, в качестве естественного среднего следовало бы взять медиану. Однако, когда измерение свойства основано на физической шкале, обычно вычисляют арифметическое или геометрическое среднее физических величин и в качестве проявления а | & берут полученную таким образом физическую величину.

Эта процедура, за исключением особых психофизических законов, неоправданна, так как для субъективных свойств физические шкальные значения принадлежат лишь шкале порядка. По этой причине Стивенс [2] использует итеративную процедуру.

Читателя, интересующегося практическими деталями, мы отсылаем к работе Торгерсона [1, стр. 117—131]. Наиболее ранние эксперименты с применением бисекции были опубликованы Плато UL Лоренцем [1], Мюнстербергом [1], Тичнером [1], Прэттом [1], Джаддом [1] для насыщения желтых тонов, Стивенсом и Фолкманом [II для высоты тона, Гарнером [1] для субъективной громкости. В этих экспериментах вместо бисекции использовалась также и «эквисекция» —деление на равные части. В экспериментах с эквисекцией задаются два фиксированных проявления и испытуемого просят так разместить между ними данное число и проявлений (п = 1 соответствует бисекции), чтобы расстояния между всеми соседними проявлениями были равны. В экспериментах с эквисекцией испытуемый может ограничиться сравнением соседних интервалов. Иногда от испытуемого требуется сравнить отдаленные интервалы (Мюнстерберг).

Вопрос о том, выполняются ли аксиомы осреднения, мы рассмотрим для двух свойств: высоты тона и субъективной громкости, но, к сожалению, не на очень точных данных, поскольку при проведении экспериментов мы не руководствовались никакой теорией.

Высказывание 《〃 | & однозначно определяется по а и to справедливо в следующем смысле: хотя оценки разных испытуемых до некоторой степени различны, среднее при большом числе испытуемых при повторении экспериментов достаточно устойчиво. Но, по-видимому, таких экспериментов недостаточно для доказательства того, что среднее а | b не зависит от других свойств исследуемых объектов. Например, для экспериментов, связанных с высотой тона, нужно было выяснить, влияют ли на высоту тона а | b другие качества тонов а и & (скажем, громкость и тембр).

Сократимость. В случае высоты тона аксиома сократимости представляется разумной идеализацией действительности до тех пор, пока другие свойства тонов сохраняются постоянными..

Если Ь' и Ь" — тоны одинаковой высоты, но различной громкости и/или тембра, вопрос становится простым: равна ли высота тонов a\bf и а\ Ь"?

Непрерывность. Даже если эта аксиома не поддается проверке, для случая субъективной громкости она представляется разумной идеализацией действительности: если одна из данных степеней громкости изменится на малую вличину, то громкость среднего тона изменится также лишь на малую величину. Для высоты тона это априори не очевидно: можно ожидать, что благодаря малому изменению высоты одного из первоначальных тонов интервал ab может стать таким, что его можно будет разбить на два музыкальных интервала (октаву, квинту). Тогда испытуемый может пытаться разбить интервал на два музыкальных интервала, а не на два равных интервала. По этой причине в экспериментах, проводимых Стивенсом и Фолкманом [1. стр. 3341, брались только те интервалы, которые нельзя было разбить на два музыкальных интервала.

Прежде чем приступить к обсуждению бисимметричности, рассмотрим две последние аксиомы.

Рефлексивность. Очевидно выполняется.

Коммутативность. Если а | b обозначает проявление, полученное в эксперименте с помощью бисекции, причем а и b — первый и второй стимулы соответственно, то нельзя априори ожидать, что a\b ^ b \ а. Эксперименты Стивенса [3, стр. 159] для субъективной громкости показали, что а | b громче Ь | а, если b громче а. В экспериментах, связанных с высотой тона (Стивенс [3, стр. 160]). возникает более сложная ситуация. Для одних людей, особенно обладающих абсолютным слухом, a\b = b\ а, в то время как для других высоты этих двух тонов различаются. В принципе можно добиться коммутативности, предъявляя тоны а и 6 несколько раз в различной последовательности. Но даже если коммутативность не выполняется, то это не препятствует построению шкалы интервалов. Линейная операция, соответствующая операции о, в этом случае имеет вид pm (а) + qtn (&), где p + q= lnp^q.

Бисимметричность. Поскольку бисекция рефлексивна, то для выполнения бисимметричности необходимо и достаточно более слабое условие (следствие 5.4.2)

(a I b) I с = (а I с) I (b I с)・

Подставляя а | b вместо с, получаем для бисимметричности необходимое (но не достаточное) условие

a\b = [a\(a\b)]\[b \(а\ &)].

Для высоты тона условие 7.2.2, вероятно, выполняется. В одном из экспериментов, проведенных Стивенсом и Фолкманом [1], испытуемый должен был разбивать заданный интервал на четыре интервала равной длины. Сначала пополам делится интервал между а и Ь, а затем каждый из интервалов между а и а \ b и между а | b и Ь. Наконец, испытуемый проверял, были ли эти четыре интервала равной длины. Так как для высоты тона операция | коммутативна, то, если бы условие 7.2.2 не выполнялось, интервалы между ■ I (а I Ь) и a f b и между а | b и (а \ b) \ b были бы разной длины. Таким образом, задача разбиения данного интервала на четыре интервала равной длины в этом случае была бы неразрешимой. Поскольку такого противоречия на практике не возникло, это можно считать косвенным подтверждением бисимметричности.

В связи с субъективной громкостью отметим'эксперименты, выполненные Гейджем [1], которые показали, что [а\ (а\ b)] | [(а | b) | Ь] громче а | Ь. Это, однако, не противоречит бисимметричности. Так как а | Ъ громче Ь | а, если b громче а, то (а \ b) \ b громче b \ (а \Ь). Таким образом, этот результат следует ожидать в силу условия 7.2.2. В более поздних экспериментах Ньюман, Фолк- ман и Стивенс [1] достигли уменьшения расхождения между [а\ (а\ b)] I [(a I b) I Ь] я а I Ь, повторно изменяя последовательность предъявляемых тонов. Наконец, в экспериментах Гарнера [1] требовалось разбивать данный интервал на 4 равных интервала. Так как такую задачу смогли решить без противоречий, это косвенно подтверждает бисимметричность в том смысле, как это было подробно рассмотрено для высоты тона (см. Кросс [1]).

На практике другие, пригодные для бисекции методы используются вместе или вместо нее самой. Мы дадим краткий обзор этих методов: с теоретической точки зрения они представляют собой методы подстановки. Читателя, интересующегося подробностями, мы отсылаем к работе Торгерсона [1, стр. 61—116]. Один из доводов в пользу этих методов состоит в том, что бисекция неприменима, если экспериментатор располагает небольшим количеством проявлений исследуемого свойства. Даже если у него связное множество проявлений, все равно часто применяются другие методы. Мы уже упоминали а) эквисекцию и б) сравнение удаленных интервалов. И хотя для определения шкалы было бы совершенно достаточно, если бы испытуемые могли указать порядок интервалов в соответствии с их длиной, удов летвор яющей аксиомам расстояния (разд. 9.1), во многих экспериментах приходится сталкиваться с более трудными заданиями: требуется непосредственно дать числовые оценки шкальных значений данного проявления, когда шкала фиксирована. Например, надо указать шкальные значения наибольшего и наименьшего из данных проявлений. Полученные таким образом шкалы называются шкалами упорядоченных (rating) категорий. Другой метод заключается в том, чтобы требовать непо- 9-01183

средственных числовых оценок для отношений проявлений. Все эти методы «оценивания» можно превратить в так называемые методы «представления»: в них от испытуемого требуют представить себе стимул с проявлением, соответствующим данному числовому значению. Эти прямые методы были впервые применены Стивенсом и Галантером [1] для шкалирования субъективной длины, продолжительности (во времени), тяжести, громкости и т. п., и с тех пор они применялись к большому многообразию свойств, включая оценку вкуса фруктов (Бьёркманн [1]), эстетическое значение рисунков (Экман и Кюннапас [1]) и почерка (Экман и Кюннапас [2]) и моральную оценку поступков (Экман [1]).

Однако исчерпывающих исследований шкал, полученных такими прямыми методами, все еще нет. Дж.Стивенс [1] показал, что так называемые шкалы упорядоченных категорий для громкости сильно зависят от того, какие проявления используются в экспериментах. Согласно Дж. Стивенсу, по величине оценки такое влияние не выявляется.

7・3, Эндоморфизмы

Из всех эндоморфизмов (разд. 6.3) наиболее широко используется «деление пополам». Оно основано на экспериментах, в которых испытуемого просят указать для данного проявления а (скажем, высоты тона) проявление, составляющее его половину. Для того чтобы облегчить эту задачу, часто в качестве^эталона задают еще одно проявление, близкое к нижней границе множества Л (например, очень низкий тон).

Заметим, что в противоположность общему мнению одного деле* ния пополам недостаточно для установления шкалы. В ряде экспериментов С. Стивенс пытался применить метод деления пополам для получения шкалы субъективных значений. Начиная с данного проявления а】 получают последовательность (a?Jn=i, % • • •， где an+i = / (ап). Если этот эндоморфизм действительно является делением пополам, то

加(^п) — 2rlT

(см. предложение 6.3.8). Мы, однако, получаем шкальные значения только для тех проявлений, которые встречаются в последовательности (ап)п=1,2, • • . • К тому же, чтобы проверить, действительно ли этот эндоморфизм является делением пополам, нужна еще операция осреднения (см. определение 6.3.7). В противном случае нельзя проверить внутреннюю непротиворечивость, и допущение

加(f (а)) = ym(а)

становится совершенно произвольным.

Если, например, Л — субъективное свойство, соответствующее некоторому объективному свойству (как, например, высота тона частоте), то полученной с помощью деления пополам последовательности может оказаться достаточно для построения шкалы с удовлетворительной степенью точности. В этом случае предположение о том, что существует простой (или «гладкий») психофизический закон, связывающий субъективное свойство с объективным (если оба измеряются в шкалах интервалов), вместе со шкальными значениями последовательности будут достаточно точно определять шкалу субъективного свойства.

Для высоты тона эксперименты одновременно на бисекцию и деле* ние пополам были проведены Стивенсом и Фолкманом [1, стр. 336, 338].

Для громкости эксперименты одновременно на бисекцию и деление пополам были проведены Черчером [1] и Гарнером [11. Ценность этих результатов несколько сомнительна, так как в некоторых экспериментах деление пополам проводилось посредством определения громкости тона, который, если его воспринимать обоими ушами, кажется тоном той же громкости, что и первоначальный тон, воспринимаемый одним ухом. Более поздние эксперименты (С. Стивенс [5]) показали, что определенная таким образом громкость не соответствует громкости^, равной половине первоначальной громкости, определенной непосредственным суждением.

В своем методе скорректированных отношений Гарнер [1] рассматривал еще один тип эндоморфизма применительно к громкости. > В добавление к эквисекции он использовал следующий метод《рав•: ного отношения». В качестве эталонов задавались два тона различной громкости. Испытуемый должен был по данному тону а определить такой тон f (а), чтобы отношение громкостей а и f (а) было тем же, что и отношение громкостей тонов-эталонов. Таким образом, он находил последовательность (ап)п=1, 2 ... субъективных громкостей, где On+1 == / (Од). Для шкалы т0 с естественным началом отсчета

/п0 (陶=%nm0 (а).

Следовательно, исходя из некоторой шкалы интервалов m можно построить шкалу т0 (а) = /и (а) + 0, выбирая 0 так, чтобы

т (ап) + 0 = %п (加(а) + р).

Практически это достигается построением кривой log (/и (ал) + р) как функции от п для различных значений 0. Для сдвига на р, ведущего к естественному началу отсчета, получается прямая '

log (m (an) + В)=九 bg 九 + log (m ⑷ + ₽).

По ее наклону можно определить величину 九.В то же самое время такая процедура служит проверкой гипотезы о постоянстве отношений an/an+i-

В экспериментах, проведенных Гарнером, 13 из 18 испытуемых оказались неспособными отличить расстояние от отношения: в действительности последовательные громкости а几 и ап+х находились на равном расстоянии друг от друга. Следовательно, Гарнер провел эксперименты с делением пополам. Хотя испытуемых просили выполнить деление пополам, Гарнер определил значения 九 графически. Полученные им результаты хорошо согласуются со шкалами эквисекции, т. е. соответствующие значения р дали прямые линии.

7\4. Эмпирическое сравнение арифметических а геометрических шкал бисекции

Если бы испытуемые могли правильно отличить расстояние от отношения (и, следовательно, арифметическую бисекцию от геометрической), ,то арифметическая шкала бисекции (полученная отображением арифметической бисекции на арифметическое среднее) и геометрическая шкала бисекции (полученная отображением геометрической бисекции на геометрическое среднее) должны были бы привести к одному и тому же классу шкал: любая геометрическая шкала свойства должна находиться в линейной связи с любой арифметической шкалой. В числе других исследователей такие сравнения провели С. Стивенс [3] и Стивенс и Галантер [1]. Они пришли к заключению, что линейная связь, которая ожидалась, существует только для некоторых свойств. Такие свойства называются мета^ тетическими. Метатетические свойства обычно имеют качественную природу, как, например, субъективное положение точки на прямой или субъективный наклон прямых. Высота тона также рассматривается С. Стивенсом как метатетическое свойство, хотя в этом случае согласование геометрической и арифметической шкал неудовлетворительно. Они являются скорее количественными по своей природе, как, например, интенсивность. С. Стивенс дал следующее дополнительное пояснение: при переходе от данного стимула к более сильному для протетических свойств стимулы аккумулируются, в то время как для метатетических свойств более слабый стимул заменяется другим. Для протетических свойств значения арифметической шкалы связаны с соответствующими значениями геометрической шкалы с помощью вогнутой функции.

Другие исследования показали, что значения арифметической шкалы линейно связаны с логарифмами значений геометрической шкалы (Торгерсон [2], Экман [1], Экман и Кюннапас [1]). Естественное объяснение этого феномена заключается в том, что в этих случаях испытуемые не могут отличить арифметическую бисекцию от геометрической. Независимо от того, просят ли испытуемых провести бисекцию данного интервала от а до b так, чтобы отношение а/(а ф Ь) было равно отношению (〃 ф b)/b, или так, чтобы интервал от а до а I & был равен интервалу от а | 6 до Ь, они всегда выполняют

одну и ту же операцию. На ту же мысль наводят эксперименты Гарнера [1]. Если бы это было верно, то был бы применим случай (а) теоремы 6.4.2, и между арифметической и геометрической шкалами существовала бы логарифмическая связь. Интуитивно это очевидно: если обе операции на самом деле идентичны и данная операция, с одной стороны, отображается в арифметическое среднее, а с другой —в геометрическое среднее, то значения первой шкалы соответствуют логарифмам значений второй шкалы.

Эйслер [1] с помощью понятия «дополняющих» свойств доказал логарифмическую связь между геометрической и арифметической шкалами бисекции с теоретической точки зрения.

Кросс-модальность и психофизический закон

Начнем с отображения g: Дх -> А^ ставящего в соответствие каждому проявлению аг € Лх эквивалентное проявление g (а】)6 Л 2； например, каждой степени громкости % — вибрацию субъективно равной интенсивности (см. пример 6.5.2).

Пусть заданы два психофизических закона

加1 31)=尸工(孔I 31)),

加2 (a2)=?2 (孔2 (a2))・

Соответствие ar-^ g (〃0 £ 4 纟 определяет функциональные связи между шкалами т1 и т^, а также между шкалами лх и п2. Если g — соединяющее отображение, то по теореме 6.5.1 т% (g (а。) = т^ (〃】) для надлежащим образом выбранных шкал тг и 加2・ Отсюда

色(g(电))=^1 (尸 1 ("i 3i)))・

Эксперименты Стивенса [4] показали, что F^ (尸工(х)) — степенная функция:

Ff (Л (%)) = ?/•

Этот факт использовался Стивенсом как дополнительный довод в пользу его утверждения, что психофизические законы имеют вид степенных функций. В самом деле, если F工(%)=卩击此 F2 (%)= = 卩2%T то формула 7.5.1 справедлива при

(含片Н6 =今・

Поэтому условие 7.5.1 необходимо для того, чтобы психофизический закон имел вид степенной функции. Существуют, однако, и другие психофизические законы, приводящие к формуле 7.5.1, и среди них закон Вебера — Фехнера

Fi (х)=入t log % + 卩厶

из которого следует формула 7.5.1 при

?』［号打И?』［号打И

?』［号打И

?』［号打И

Льюс и Галантер [1, стр. 280] указали на существенную разницу между этими двумя случаями. В случае степенных законов экспоненты 入工 и 入碧，а следовательно, и б = 九丿九纟 определяются однозначно. Поэтому, исходя из двух заданных психофизических законов, величину 6 можно предсказать и затем подтвердить соответствующими данными. В законе Вебера — Фехнера постоянные 入工 н 入纟 произвольны, и отношение 6 =入丿斯 определяется неоднозначно до тех пор, пока две шкалы не приведены в соответствие таким образом, что согласующимся ощущениям приписывается одно и то же шкальное значение. Следовательно, в этом случае для определения 6 необходимы согласующиеся данные.

Глава 8

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА ПРОИЗВЕДЕНИИ МНОЖЕСТВ

В этой главе мы используем некоторые определения и теоремы об интервальных топологиях из гл. 3. В противоположность гл. 3 здесь рассматриваются интервальные топологии, основанные на упорядоченных системах, не являющихся неприводимыми. Однако полученные в гл. 3 результаты остаются справедливыми и для этого случая, если вместо «однозначный» подставить «однозначный с точ* ностью до эквивалентности».

Отношения порядка на А, производные от отношений порядка на Ах А

В настоящем разделе, исходя из заданного отношения порядка на А X Л, мы определим отношение порядка на Л и изучим связь между этими двумя отношениями. Для последующих рассмотрений основным будет условие

Порядок (п) на Л X Л: для элементов множества А X А определено отношение порядка (Y, а), удов летвор яющее аксиомам порядка 3.22

Этим условием мы будем пользоваться в настоящей главе без специального упоминания. Теперь определим отношения < и 比工 между элементами множества / ・

Определение, а ^Ь тогда и только тогда, когда ab Y Ьа, н а 心I b тогда и только тогда, когда ab # Ьа. Для краткости мы будем записывать это в виде

а {：；}匕 аг^а и только тогда, когда ab {^} to.

Для того чтобы гарантировать, что определенные таким образом отношения -<! и Q】удовлетворяют аксиомам порядка, введем дополнительное условие относительно порядка на А X А. Очевидное необходимое и достаточное условие — это

Слабая транзитивность (ст): из ab {^} Ьа и be {^} cb следует ас {$ са. ~

Отображение А А X Л, заданное соответствием ат 曲 для произвольного элемента & С Л, в общем случае не будет монотонным. Для обеспечения монотонности необходимо более сильное условие, чем слабая транзитивность, а именно

Левая монотонность (лм)工):из ab {^} Ьа следует ас {^} Ьс для всех с ^ А.~

Это условие, очевидно, необходимо и достаточно для того, чтобы соответствие а-^ ab задавало монотонно возрастающее отображение. Для того чтобы оно задавало монотонно убывающее отображение, необходима

Правая монотонность (пм): из 曲{^} Ьа следует ca{^}cb для всех с А.

Левая и правая монотонности связаны условием симметрии:

Симметрия (с): из ас{^} Ьс следует са^} cb.

Очевидно, что симметрия вместе с левой (правой) монотонностью влечет правую (левую) монотонность. С другой стороны, из одновременного выполнения условий левой и правой монотонностей следует, что выполняется условие симметрии (потому что из ас Y Ьс следует ab Y Ьа, откуда са > cb).

Предложение. Из симметрии вытекают тривиальные следствия: ab 卫} ba влечет ab {§ QQ и bb {$ ba, и потому/ ab ba влечет aa 2 bb.~“

Доказательство. Если бы было аа^ ab, то из симметрии вытекало бы, что аа^Ьа и, значит, Ьа ^%Ь・

Предложение. Левая или правая монотонность влечет слабую транзитивность (ст).

Доказательство. Рассмотрим случай левой монотонности: из сф Y Ьа н be Y cb следует ad Y bd и bd Y cd для всех d. Поэтому ad Y cd, откуда ас < са.

Вообще условие слабой транзитивности слабее условия (левой или правой) монотонности. Однако при наличии симметрии (с) монотонность эквивалентна условию сильной транзитивности.

Сильная транзитивность (Ст): из ab < Ьа ь be < cb следует ас Y min (ab, be), из ab ^ ba и bc^ cb следует ac ^ я^ min (ab, be), из ab ^ ba и be ^ cb следует ас ^ min (ab, be).

Предложение. При наличии симметрии (с) сильная транзитивность (Ст) влечет слабую транзитивность (ст).

Каждое из условий 8.1.4—8.1.6, 8.2.1 влечет соответствующее условие, в котором знак Y заменен на А.

Доказательство. Из ab < Ьа и be ^ cb вытекает ас Y Y min (ab, Ьс). Следовательно, ас Y ab. В силу (с) са > ba > ab > > ас. Далее, из ab ^ Ьа и be ^ cb вытекает ас ^ min (ab, 历). Если ас ^ 毎,то са ^ ba ^ ab ^ ас. Если ас 冬 be, то са ^ cb ^ ^ Ьс ^ ас.

Предложение. При наличии симметрии (с) левая монотонность (лм) и сильная транзитивность (Ст) эквивалентны.

Доказательство, (i) (Ст) влечет (лм).

(а) Пусть ab Y Ьа в с ——произвольный элемент.

(аа) be Y cb. Тогда из (Ст) следует ас Y Ьс.

(а₽) са < ас. Тогда из (Ст) следует cb Y са, откуда ас Y Ьс в силу (с).

(а?) Если cb ^ Ьс и ac^ca, то, согласно предложению 8.1.7, cb 言 сс 善 са. Так как ab < Ьа, то по крайней мере один из знаков эквивалентности можно опустить. Поэтому cb Y 仅， откуда в силу (с) ас <Ьс.

(Р) Пусть ab ^ Ьа.

(Ра) Если be ^ cb, то из (Ст) следует ас «^ min (ab, be) ^ be.

(РР) Если cbN Ьс, то из (Ст) следует са ^ min (風 ba) ^ cb> откуда в силу (с) ас ^ Ьс.

(лм) влечет (Ст).

В силу (лм) из ab Y Ьа следует ас Y Ьс м из be Y cb следует ba Y Y са, откуда в силу (с) ас Y ab. Таким образом, ас < min (曲，be). Другие случаи рассматриваются аналогично.

Для каждого элемента с множество А X {с} есть подмножество упорядоченного множества Л X Л и потому само упорядоченно. Порядок на 4 X {с} в свою очередь индуцирует порядок на Л. Этот порядок не будет зависеть от с, если выполнено условие

Независимость (н): если для любых а, b ^ А существует такой элемент & £ 4, что ас0 {^} 6&, то ас {^} Ьс для всех с А.

В случае независимости (н) введем

Определение. Положим

@{^；}匕 тогда и только тогда, когда ac{^ }Ьс для всех с С / •

Ясно, что в случае независимости (н) отношение порядка (<2> %2)удовлетворяет аксиомам 3.2.2. Кроме того, соответствие а-^ ab задает монотонно возрастающее отображение для каждого фиксированного элемента b ^ А. В случае симметрии (с) соответствие afba задает монотонно убывающее отображение для любого & е Л.

При выполнении условия левой монотонности (лм) два отношения порядка (Yu 比О и(Y* ^2) совпадают.

Предложение. Левая монотонность (лм) влечет независимость (н). При наличии симметрии (с) условия независимости (н) и левой монотонности (лм) эквивалентны.

Доказательство, (а) (лм) влечет (н): из acQ Y bcQ следует ab Y Ьа, откуда в свою очередь следует ас ^Ьс для всех с А. .(Р) (н) влечет (лм) при наличии (с): согласно предложению 8.1.7, из ab {为 ba следует ab {$ аа. В силу (с) это приводит к аа {§ Ьа, откуда% силу (н) ас {^} Т)с для всех с・

Таким образом, при наличии (п) и (с) имеем следующие связи: пм

Ст 一 лм н

ст

82 п-местные условия

Гораздо более сильным условием, чем рассмотренные выше, является

&2・1・ Четырехместное условие (ч): из ab {^} cd следует ас {^} bd.

Предложение. Если выполнено четырехместное условие (ч), то из ab {^} cd следует ba {^}血・

В частном случае при b = d получаем условие симметрии (с).

Доказательство. Из ab Ycd следует db Y са, так как отношения са {$ db привели бы к cd {^}曲，что противоречит условию предложения. Условие (ч), примененное к db Yea, дает de Y ba. Случай эквивалентности рассматривается аналогично.

Из (ч) следует аа 比 bb. Это можно легко показать^ применив (ч) к ab ab.

Диагональное условие (д): аа х bb для всех a, b QA.

Предложение. Четырехместное условие (ч) влечет диагональ- ное условие (д) и условия монотонности (лм) и (пм).

Доказательство. Применяя (ч) к аЬ ^ 〃瓦 получаем (д). Предположим, что существует такой элемент с0, что ас0 々 Ьс0. Тогда в силу (ч) ab Y со^о ^ 也・ Отсюда ab Y аа, что в силу (ч)

дает 図 Y Ьа, н потому ab Y Ьа. Случай эквивалентности рассматривается аналогично. Согласно предложению 8.2.2, из (ч) и (лм) вытекает (пм).

Ниже мы исследуем связь между четырехместным условием (ч) и двумя различными шестиместными условиями.

Слабое шестиместное условие (сш): из ab {/} а'У и Ьс {^} Ь'с' следует ас {^} аУ."~

Сильное шестиместное условие (Сш): из ab Y Ь'а' и 6с » q с'Ь' следует ас Y da!, из ab ^ b'd и Ьс « с'Ь' следует ас * с'а'・

Предложение. Сильное шестиместное условие (Сш) влечет четырехместное условие (ч). Четырехместное условие (ч) влечет слабое шестиместное условие (сш).

Доказательство, (i) (Сш) влечет (ч): из ab Ycd н Ьс » Ьс следует ас Y bd; нз ab ^ с& н be ^ Ьс следует ас в bd.

(ч) влечет (сш): из ab Y а& следует аа'之 &&'; из be Y 6d следует %’ Y с</, откуда т' < " что в свою очередь дает ас Y ■^ ас.

Случай эквивалентности рассматривается аналогично.

Многие из введенных в этом разделе понятий можно найти в работах Дэвидсона и Маршака.

8.3. Условия не прер ы юности

В этом разделе мы будем предполагать, что условия (п) и (ч) всегда выполняются, а в качестве топологии на Л X Л будем рассматривать интервальную топологию.

Условие непрерывности (Н). Для каждого элемента b Q А множество Л X {6} связно в А X А.

Предложение. При наличии (п) и (ч) из условия непрерывности (Н) вытекает, что для каждого элемента b ^ А множество {&} X Л связно в А X А.

Доказательство. Отображение Л X {瓦} — {&0} X 4 определенное соответствием ab0 f boa, непрерывно. Действительно, согласно (ч) (см. предложение 8.2.2), Ь^а Y с2 тогда и только тогда, когда ой。> de. Таким образом, прообразом множества {瓦а: доа Y cd} является множество {аЬ°: а&0 > 也}, открытое в 4 X {Ьо}. Так：как указанное отображение непрерывно, то из связности множества А X {б。} следует связность множества {&0} X А.

Предложение. При наличии (п), (ч) и (Н) отображения^ А^ А X Д, определенные соответствиями

Qf 曲， (ii) a f ba, непрерывны для всех b A.

Доказательство. В силу (ч) эти отображения монотонны (предложение 8.2.4). Так как множества Л X {Ь} и {b} X А связны и, стало быть (см. леммы 3.5.10, 3.4.4), просты, данные отображения непрерывны (следствие 3.6.12).

Предложение. Если условия (п), (ч) и (Н) выполняются, то множество А связно.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует (лемма 3.6.6) из того, что Л — образ связного множества / X {Ь} при монотонном и потому (лемма 3.6.11) непрерывном отображении, определяемом соответствием ab f а.

Предложение. Если условия (п), (ч) и (Н) выполняются, то- из существования элементов а', а", для которых afb Y cd Y d'b, вытекает существование элемента а, для которого ab ^ cd, и из существования элементов Ь', Ь", для которых abf Y cd Y ab", вытекает существование элемента Ь, для которого ab 心 cd.

Доказательство. Так как множество А связно и ото6ра・ жение, заданное соответствием a+ab (“f ba), непрерывно, то утверждение следует из теоремы о промежуточном значении 3.6.13.

Предложение. Если условия (п), (ч) и (Н) выполняются, то из существования элементов Ь', Ь", для которых abf < Ь'с и ab" > > b"c, вытекает существование элемента Ь, для которого ab ^ Ьс.

Доказательство. Так как множество Д связно и отображения, заданные соответствиями afob и ат ba, непрерывны^ то утверждение непосредственно следует из теоремы о пересечении 3.6.14.

Предложение. Условия (п), (ч) и (Н) вместе влекут сильное шестиместное условие (Сш).

Доказательство. Предположим, например, что ab ^ b'a', be ^ с'，и a Y b Y с. Тогда ас < Ьс < сс ^ аа (предложение 8.2.4 и условие 8.2.3). Согласно предложению 8.3.5, существует такой элемент 招 что a% ^ Ьс. Следовательно, ах «t； crbf. Кроме того, в силу (ч) ab ^ хс и, значит, хс ^ b'a'. Согласно предложению 8.2.7, отсюда вытекает (сш) и потому ас ^ с'а'・

Случай отношения Y рассматривается аналогично.

84 Отношения между производным 必 данным порядками

До сих пор мы изучали порядки, индуцированные на Л заданным порядком на Л X Л. Часто в добавление к порядку на Л X Л заранее задается порядок на А, скажем (<3, ^з).

Порядок (nJ на А: для элементов множества Д определено отношение порядка (<3, ^3), удовлетворяющее аксиомам порядка 3.2.2.

Заданный и производный порядки совпадают, если выполняется

Условие совпадения (С)： из 勿{倉} а" следует а'с{^}а"с для всех с ^ А.

Из условия совпадения (С) вытекает, что отображение (Д; -<з, ^3)-> (Л X Л; Y, ^), определенное соответствием а + ас、 монотонно возрастает. Вместе с условием симметрии (с) это означает, что отображение (Л;： <3, ^з〉+ (Л X Л; <, ^), определенное соответствием a f ш, монотонно убывает.

Если на множестве А задан порядок, то представляется естественным заменить условие непрерывности (Н) следующими двумя условиями.

Условие (yj: система <Л; <3, ^3) связна.

Условие (у2)： отображение (Д; <3, ^з〉+ (Л X Л; <, ^), определенное соответствием a f ас, непрерывно для любого с £ 4 ・

Условия (у0 и (у2) вместе непосредственно влекут (Н). С другой стороны, (Н) вместе с (С) и (ч) влекут (у0 и (у2), как это можно видеть из доказательства предложений 8.3.3 и 8.3.4.

Если отношения порядка на Л и Л X А связаны условиями (у, и (у2), то для того, чтобы гарантировать монотонность отображений, определенных соответствиями атас и а-> ш, достаточно, чтобы выполнялось

Условие (у3): а ^3 Ь для любых а, b ^ А тогда и только тогда, когда ас Ьс для любого с А.

Этому условию эквивалентно следующее условие, аналогичное (у2): отображение (Л; <3, ^3)-> (Л X Л; <, ^), определенное соответствием a f ас, взаимно однозначно для любого с ^ А.

Предложение. При наличии (п), (н) и (nJ из условий (у0 — —(у3) вытекает, что порядок (<3, ^ 3) совпадает с порядком (<2, я^2) или ему противоположным. Если, кроме того, выполняется условие (с), то справедливо одно из утверждений

для всех с соответствие af ас задает монотонно возрастающее отображение, а соответствие а+са задает монотонно убывающее отображение,

для всех с соответствие а-> ас задает монотонно убывающее отображение, а соответствие а-^ са задает монотонно возрастающее отображение.

Доказательство. Так как соответствие af 叫 задает взаимно однозначное и непрерывное отображение, а множество А связно, то в силу теоремы 3.6.15 это отображение монотонно. В силу (н) направление монотонности одинаково для всех с。€ #• В силу (с) соответствие а-> ш задает монотонно убывающее отображение, если соответствие ас задает монотонно возрастающее отображение, и обратно.

В предыдущих разделах производный порядок всегда определялся таким образом, чтобы отображение, заданное соответствием а-^ ас, было монотонно возрастающим (а соответствием ат 仅一 монотонно убывающим). Можно было бы также определить производные порядки так, чтобы соответствие af ас задавало монотонно убывающее отображение (а соответствие а + са — монотонно возрастающее). Для этого достаточно положить

а 仁；} b тогда и только тогда, когда Ьа ^^ ab. и

а { Г；} & тогда и только тогда, когда са { ^ } cb.

8・5・ Отношения порядка *q Ла х Ле

Пусть Ai и Д2 — два множества, возможно различных. Часть материала, изложенного в предыдущих разделах для случая Лг = =Л2, мы рассмотрим теперь в общем случае. Условия, обобщающие введенные выше условия, будем обозначать теми же буквами и отмечать их знаком

Порядок (п*) на Лх X А^ для элементов множества Лх X Дт определено отношение порядка(Y, ^), удовлетворяющее аксиомам порядка 3.2.2.

Так же как и в разд. 8.1, можно рассмотреть порядок на подмножестве & X {%} и тем самым порядок, индуцированный на Лх. Этот порядок не будет зависеть от элемента с2, если выполнено условие

Независимость (н*): для всех а19 瓦 £ Ль а& % £ %2

(н*) если существует такой элемент 唸 что %с； {^} Ь^ то

М2 {^} &i^2 Для всех d2 c 力2，

(Н2)если существует такой элемент с：, что с妝乞{^)。妝2， то dxa2 {^} dx&2 для всех d^ £/i・

Если условие независимости (н*) [соответственно (н動]выполняется, то можно определить порядок на 力工[соответственно на Л2].

Определение. Положим

ах{^}厶 тогда и только тогда, когда ад{§ 瓦％ Для всех с? £ 儿，

Определение порядка на Л2 аналогично. В некоторых случаях может оказаться естественным определить противоположный порядок на Л2.

Отношения порядка, определенные таким образом, удовлетворяют аксиомам 3.2.2. Кроме того, отображения 41f 4 X {с2} и 4 +{«} X ^2» заданные соответствиями 〃工-> && и a2 f eg, монотонно возрастают (в смысле порядков на А^ определенных выше).

Чтобы определить отношения порядка на Лх X Лх и Л2 X Л2> введем

Обобщенное четырехместное условие (ч*): существуют такое отображение Дх-> Л2, ставящее в соответствие каждому элементу % £ А^ элемент 尸(qJ £ Л2, и такое отображение 42 f』i，ставящее в соответствие каждому элементу a2 c 4 элемент G (啕 € 4卜 что @1@2 {^}瓦匕？ тогда и только тогда, когда a^b^ {^} G (а2)[&2.

Из этого условия, непосредственно обобщающего четырехместное условие (ч), вытекает ряд следствий (предложения 8.5.5—8.5.8)<

Предложение. Если выполнено условие (ч*), то a^F (ах) л; q G (а?)。2 Для любых аг£ Аги а2£ А2. Отсюда также следует, что 的尸(％) Q Ь/ (瓦)для всех а19 瓦 £ /工 н G (%) & ^ G (b j &2 для всех а& Ь2€Л2.

Доказательство. Утверждение получается непосредственно, если применить (ч*) ка1仰 内а1а2.

Предложение. Условия (п*) и (ч*) вместе влекут (н*).

Доказательство. Из 。止纟 Y 瓦 ％ следует %F (%) Y Y G(С2) &• Так как G (c2) c2 ^ G (d2) ^2 Для всех d2 g Л2, то @/ (瓦)Y G ®2)dz и потому ^2 Y b^d2 для всех d2^ A 2.

Предложение. Если выполнены условия (п*) и (ч*), то функции Гиб монотонно убывают (в смысле порядков на определенных выше).

Доказательство. Из a】Yb】следует ^2 Y 瓦 &，откуда %尸(瓦)Y G (&) & 笈 @/ (@工)и， значит, F (瓦)Y F &)・ Доказательство для G аналогично.

8・5・8・ Предложение. Если выполнены условия (п*) и (ч*), то функция G обратна к F, т. е. G (F 3J) 旬 для всех % £ Аг.

Доказательство. Условие (ч*), примененное к а/ (а。^ %F (а) влечет а/ (%) ^ G (尸(aj) F @). В силу (н*) отсюда следует G (F (%)).

Дадим теперь условие, достаточное для выполнения условия (ч*).

Условие существования решения (ср*): существует такой элемент eg С Лх х Л2» что

• (i) для каждого а】£ 4】найдется такой элемент а2^ A2i

(ii) для каждого а2 С А^ найдется такой элемент ^ £ Лъ что ад ^陶・

Это условие — более слабая форма условия существования решения, использованного Льюсом и Тьюки [1].

Сильное шестиместное условие (Сш*): из ^2 < b^ и 匕1。2 比。1匕2 следует 〃iC2 Y ^2, из ^2 ^ b^^ и b1c2 ^ c^b? следует 硏^ cg・

Это условие использовалось Суппесом и Винетом [1], Адамсом и Фаготом [1], Дебро [2, 3] и Льюсом и Тьюки [1, аксиома сокращения, стр. 8]. Оно известно как условие Томсена. См. также Аксель, Пикерт и Радо [1].

Исходя из (ср*), определим функции 尸 и G соотношениями а/ (%) ^ с；國 и G (а?) @2 ^ с& соответственно.

Предложение. Если выполнены условия (п*), (Сш*) и (ср*), то для определенных выше функций F и G выполняется условие (ч*).

Доказательство. Из %% < 瓦匕2 и 瓦尸(b。^ G (а2) а2 следует %尸(瓦)< G (施)b2■

В дальнейшем нам понадобится условие непрерывности, соответствующее (Н).

Условие непрерывности (Н*): для каждого элемента г2 С Л 2 множество Лх X {%} связно в Лх X Л2； для каждого элемента q £』i множество {q} х Л2 связно в Лт X А^

Определение. Пусть 尸 и G — функции, удовлетворяющие условию (ч*). Для всех ^,匕厶 q, ^ С Лх и а2, Ь2, с2, d? € Л 2 положим

a/i {]；} qd君 тогда &b2 仁；} c2d2 тогдаa/i {]；} qd君 тогда &b2 仁；} c2d2 тогдаи только тогда, когда m®)仁}/⑷, и только тогда, когда G(а2)b2 ^ Jg(c2)d2.

a/i {]；} qd君 тогда &b2 仁；} c2d2 тогда

a/i {]；} qd君 тогда &b2 仁；} c2d2 тогда

Предложение. Введенные в определении 8.5.13 отношения (Yi，«0 не зависят от'вида функции 尸,т. е. любая функция, удов- .летворяющая условию(ч*), приводит к тем же отношениям (<ь ^»・

Доказательство. Пусть 尸,Ff — две функции, удовлетворяющие условию (ч*). Мы должны показать, что @】齐(b】)Y Y G尸(厶)влечет а/'(儿)Y cF (dj. Условие (ч*) для 尸，примененное к тривиальному соотношению с/，(cj ^ d户(dj, приводит к qF (di)力 G (尸‘(q))尸'(d0. Отсюда ^F (Ь0 Y G (尸'(q))尸'(d0. Применяя (ч*) к F еще раз, получаем а^ (q) Y^F (d0. Наконец, применяем (ч*) к 尸 и получаем a^F'(瓦)々 q尸(4).

Теорема. Если отношение порядка (<, ^) на Лх X Л2 удовлетворяет условиям (п*), (ч*) и (Н*), то введенные в определении 8.5.13 отношения (々厶 ^f) на 4» X /» удовлетворяют условиям (п), (ч) и (Н).

Доказательство, (п) Из аксиом порядка докажем только транзитивность. Из а血 Y 把皿工 и 以厶 <哂 следует @也 Y i嘀. Это утверждение справедливо, так как а/(%) Y с/ &) и с/ (心)Y Y eiF (/i) вместе влекут a^F (瓦)Y %尸(fj (в силу транзитивности отношения <).

а*】Y〔qd] влечет a1cl Y 】瓦厶，так как %尸(») Y %F (厶) влечет а/ (q) Y 瓦尸(d0・

(Н) Множество Лх х {с】} связно для всех с】€ 4工；отображение 4] X {尸(q)} f 4] х {q}, заданное соответствием 的尸(cj f。伍厶 непрерывно в относительной топологии, так как прообраз открытого множества {ад: ад-< 回闯 открыт—это множество {а/ (с。： а/ (q) Y &尸 ®)}. Так как в силу (Н*) множество 力1 X {F (&)} связно, то образ #i х {q} также связен.

Предложение. Из условий (п*) и (ч*) следует, что 〃也{«1} qd] тогда и только тогда,

когда F (%)尸仇){界} F (s) F (dj.

Доказательство. Если положить F (aj =a2, F (瓦)= =匕2,尸(G)= &，F (dj = d2> to a^ ^心1厶 тогда и только тогда, когда а/ (А) ^с/ (厶),т. е. тогда и только тогда, когда G(a^ 62» ^ G (с?) d?， т. е. тогда и только тогда, когда a2b2 ^2。2d2， т. е. тогда и только тогда, когда F (q0 F (») «^尸伍。尸(厶)・ Эти же рассуждения справедливы и для отношения порядка -<.

Замечание. Так же как и в разд. 8.1, с помощью порядка на 若1 X 41 можно определить порядок на 4工：положим

@i ©}» тогда и только тогда, когда а^ {玛} bg для Bcexq € Av Возвращаясь к определению порядка на Дх X 4工 через порядок на 厶1 х %2 (определение 8.5ЛЗ), имеем

%{§ 瓦 тогда и только тогда, когда 旬& {勺九。2 Дл* всех с2^А^

Таким образом, порядок на 4厶 производный от порядка на Лх X X 4, совпадает с порядком, естественным образом индуцированным на Дх порядком на Лх X А2 (см. определение 8.5.3). То же самое справедливо для порядка на А^

8・6・ Отношения порядка /^ х ・* ・ х Ak

Пусть 』i, . . ., Ak — это k (возможно, различных) множеств. Мы покажем, что случай 々》3 но своему характеру существенно отличается от случая 々=2. Различие состоит в том, что нет необходимости в условиях, подобных обобщенному четырехместному условию (ч*) или сильному шестиместному условию (Сш*): условия такого типа в случае 々 另 3 следуют из независимости (за исключением тривиального случая, когда все элементы множества 41 X ・• • X Ak эквивалентны).

Порядок (п**) на А】х . . . X А^: для элементов множества Ar X . . . X Ak определено отношение порядка (<, «), удов летвор яющее аксиомам 3.2.2.

Независимость (н**): для всех аь &, &ь % (/, /= 1,... ...,й, i《j) если существуют такие элементы с；, ..., c?_i, с?+19 • • •» ^j—1» с；+1, • • •» с£, что

С： . . • С^ _ ^Q-iCi^. 1 • • • Cj^idjCj^i • • •理{^}

{^} e： • • • R - 1九g+1 • • •臼一1%С?+1 • • •國, то

G • • • ^г-1^г^г+1 • • • ^j-1^j^j+1 • • • ^fe {^}

{^} G • • • &-1九6+1 • • • Cj—ibjCj+i • • •索

для всех Ci ^ Ab / = 1, . . i — 1, i + 1, . • j — 1, / + 1,...

Заметим, что (н**) влечет соответствующее условие независимости только для одной компоненты.

Условие непрерывности (Н**): для всех г = 1, . . ., й и всех Cj^Aj, / = 1, . . ., i—1, i + 1,...,財 множество {cj X-... ...X {g_J X 4 x {q+J X . . . X {cfe} СВЯЗНО.

Условие существования решения (ср**): существует такой элемент с$ . . . с? С Дх х . . . х Aki что для каждой пары индексов г, / = 1,・•・,归,i 抬 /, и каждого элемента щ ^ At найдется такой элемент F^ (“力)€ 4力 что

С； • • • Cf —[“簿计 1 ...吗一[尸 j j (%) c?+1 • • • eg ^ C； . . • eg.

Общий случай для 々》3 мы исследуем, сведя его к случаю 4 = 2. Поскольку при 々=3 проявляются все свойства общего случая с произвольным 々》3, доказательства будут проведены только дл я k — 3.

В силу (н**) можно определить порядок на Ах X А2 следующим образом.

Определение. Положим

〃i〃2 {§ 匕也 тогда и только тогда,

когдаа1a203 {^}b1b2e3 для всех с3 е a^

Из этого определения сразу видно, что аксиомы порядка 3.2.2 выполняются.

Предложение. При наличии (п**), (н**) и (ср**) порядок на 4] X %2 удовлетворяет обобщенному четырехместному условию (ч**):

〃i〃2 {^}匕1匕2 тогда и только тогда, когда а/12 (匕。{^}尸21 (“J 匕2・

Доказательство. По определению порядка на /^ X Л2

的a2f23 (&) {式}瓦Ь2?23 02)。

Кроме того, по определению F订 и в силу (н**)

Q1a2尸23(a2)长 生b2f23 (b2)，

?21 (а2)a2?23 ("2)^尸21 (a2)Ь2?23 (b2)■

Комбинируя первое и второе соотношения, получаем

@1ь2尸23 (Ь2){$ 瓦ь2尸23 ("2)， откуда в силу (н**)

@1尸12 (瓦)f23 (b2){§瓦尸12 (b1) F23 (a2)，

Поскольку 尸21 (a2)a2國 ^ e&e: ^ b/12 &)吟 то

"1尸12 (瓦)尸2 3 (Ь2){/}尸21 (a2)62?23 (b2).

Предложение. При наличии (п**) и (н**) для порядка на Дх X Л2, введенного в определении 8.6.5, (Н**) влечет (Н*).

Доказательство. Для любого элемента Сз отображение Лх X Д2 х {Сз}т 4 X Л2, заданное соответствием адсз^ ag, непрерывно, так как прообраз открытого множества {ag： %& 々 Y b/2} открыт— это множество {а-^а^с^. а^Сз Y 瓦匕2°з}・ Так как множество Л1 X {备}义{%} связно, то его образ А^ X {&} также связен.

Наконец, введем порядок на 4工 X 4 тем же способом, что и в определении 8.5.13.

Определение. Положим

%瓦{^}СI心 тогда и только тогда, когдаa1f^ （瓦）{^}С工网2 01）.

Мы должны показать, что введенный таким образом порядок на 4 х 4 не зависит от того, какое из множеств Лх X А] （/ = 2, . . ., Л） используется в этом определении.

Предложение. Если выполнены условия （п**）, （н**） и （ср**）, то а/12 仇）{3肝工2 （厶）тогда и только тогда, когда а£з （&г） {^} {§ cFi3 （厶）для всех %,瓦，q, dx € ЛР~

Доказательство. Сначала заметим, что 瓦尸 12 （瓦）國 方 « 幽將 ^ ьS?13 （瓦）и потому в силу （h**） а/12 （&i）國 Q ~a6?13仇）. Из а/12仇）{5g32（4）еледуетa1尸热瓦）图姿} {fc/i2（厶）唸 откуда а6尸is 仇）奴} q或尸13 （厶）и, значит, "1 户13 仇）{/} с/is （dj・

Порядок на Alt производный от порядка на Лх X /工（определение 8.1.13）, совпадает с порядком, определенным условием

•1 {f}bi тогда и только тогда, когда а】％ ・・・ сЦ{^} Ь^ с”

Отметим, что, за исключением тривиального случая эквивалентности всех элементов из Лх X . . . X Akt каждое множество 4± содержит по крайней мере два неэквивалентных элемента. Если не все элементы из 4】X ... X А^ эквивалентны, то существуют такой индекс i и такой элемент с，£ 4办 что, например, с： • • • •..或...或 Y e； . . •母• • .國.

Пусть / =# i — произвольные индексы. Тогда найдется такой элемент 尸订（d） Aj9 что

с? •・・@・・•尸订（с?・•・囁# с：・・・с?・・・W・・・風

Следовательно, с^ ... cl ... F^ （@） ... cl <Ci ... с[ с^ с^9 откуда 尸订（&） Y ©•

Глава 9

ТЕОРИЯ ШКАЛ ИНТЕРВАЛОВ, ОСНОВАННЫХ НА РАССТОЯНИЯХ

Системы расстояний

В этом разделе мы суммируем результаты гл. 8, которые нам понадобятся в следующих двух разделах.

Определение. Системой расстояний называется с. о. (Д; », Y〉，в которой ^ н Y являются четырехместными отношениями на Л, т. е. бинарными отношениями на Л2 = Л х Л, причем

〈力2; а, V〉一 система порядков г);

выполняется четырехместное условие (ч):

для всех а,仇 ％ d ^ А из 4b {^} cd следует ас{^} bd;

для каждого b ^ А множество Л X {Ь} связно в А X А, (См. Адамс и Фагот [1] и Пфанцагль [1].)

Определение. Упорядоченной системой расстояний называется такая с. о. 〈4; ^厶 Yi, Y ＞, что

(Л; ", V〉一система порядков;

(Л2; ^, ＜〉一 система расстояний;

для всех Ь Е Д соответствие а — аЬ задает либо монотонно возрастающее, либо монотонно убывающее отображение.

Замечание. Как мы уже видели в определении 8.1.2, из каждой системы расстояний можно получить упорядоченную систему расстояний, положив а ^х& тогда и только тогда, когда ab ^ Ьа, и а Yib тогда и только тогда, когда ab Y Ьа. Если, с другой стороны, порядок на А задается заранее, то естественнее заменить условие (iii) в определении 9.1.1 топологическими свойствами множества А и соответствия a f ab, как это сделано в приведенной ниже лемме. Из доказательства леммы 9.1.4 видно, что производный порядок на А совпадает с заданным порядком или обратным к нему.

Лемма. С. о. (Л; ^。-＜工, ^, Y〉является упорядоченной системой расстояний тогда и только тогда, когда

То есть с.о., в которой заданы такие отношения эквивалентности в и порядка Y, что для любых а, b ^ А2 выполнено или а * Ь, или а Y 瓦 или b Y а.——Прим. ред.

(Л; Q], Yi〉一 система порядков;

множество А связно;

〈42； ^, <〉—система порядков;

для каждого & С Л соответствие а-^ ab задает взаимно однозначное отображение, т. е. a qc тогда и только тогда, когда ab « cb\

(V) для каждого b £ 4 соответствие аab задает непрерывное отображение;

(vi) выполняется четырехместное условие (ч).

Доказательство. Так как из условия (vi) следует, что выполняются условия симметрии (8.2.2) и независимости (8.2.4, 8.1.14), то, согласно предложению 8.4.6, из условий леммы вытекает, что выполняется условие (iii) определения 9.1.2. Кроме того, по лемме 3.6.6 условия (ii) и (v) вместе влекут условие (iii) определения 9.1.1. С другой стороны, условия (iii) определений 9.1.1 и 9.1.2 вместе влекут условия (ii), (iv), (v) леммы.

Замечание. Из доказательства леммы 9.1.4 видно, что условие (iii) определения 9.1.2 можно заменить таким: соответствие атаЬ задает монотонное Отображение для всех & £ Л. Без потери общности мы будем рассматривать в этой главе системы расстояний только для случая, когда а-^ ab задает монотонно возрастающее отображение.

Замечание. Если с. о. А = (Д; ^厶 Yi, у, <〉— упорядоченная система расстояний, то отношение эквивалентности есть отношение конгруэнтности для А. Поэтому мы можем рассматривать факторсистему А по модулю /, т. е. А//. Очевидно, что фактор система А/^х также является упорядоченной системой расстояний. Для простоты будем писать А/л^ = 〈4; V, «, Y〉•

Пример. В качестве примера числовой упорядоченной системы расстояний приведем систему 〈К; V, ^, Y〉，где V есть обычное отношение порядка, а отношения «, Y определяются так:

ХН2}ХН2}uv тогда и только тог^а, когда % —уuv тогда и только тог^а, когда % —у仁｝仁｝〃 一0.〃 一0.

ХН2}

ХН2}

uv тогда и только тог^а, когда % —у

uv тогда и только тог^а, когда % —у

仁｝

仁｝

〃 一0.

〃 一0.

Другим примером числовой упорядоченной системы расстояний может служить система (R+; <, я^, у〉，где четырехместные отношения ^i， <1 определяются условием

%^{二；}〃0 тогда и только тогда, когда，^-{^}^>・

92 Системы расстояний 型 операции

Теорема. Из с. о. (Л; V，о) с метрической операцией о, определенной на связном множестве Л, можно получить упорядоченную систему расстояний (Д;< , ^, Y〉, положив

9・2・2・ @Ь ｛：｝ cd тогда и только тогда, когда ("‘оа) 。 (d о "") ｛J (〃' о &) о (c о 〃").

Последние отношения не зависят от элементов 〃“, 〃”.

Замечание. В случае коммутативной и монотонно возрастающей операции это определение сводится к такому:

ab ｛名 cd тогда и только тогда, когда а。d 包 & о с.

Доказательство, (а) Определенное условием 9.2.2 расстояние не зависит от выбора 〃', 〃“. В самом деле, повторно используя свойство бисимметричности, получаем

(*) [(X о у) о z] о [(%' О d) О Z’] = [(X о %') О ZJ о [(у о у') О z']・

Рассмотрим, например, случай

(〃'о а) о (d о и") < (〃' о Ь) о (с о 〃”)・

Заметим, что, согласно предложению 5.2.12, операция о согласованно монотонна. Без потери общности предположим, что операция о возрастает по второй переменной. Тогда

[侬 о J) о z] о [(館 о а) о (d о 〃”)] <

[(ш о U) о z] О [(〃' о Ь) о (с О 〃")]・

Учитывая (*), находим

1(ш о 〃‘)о 力 о [®‘ о а)。(d о 〃")] V

[(ш о 〃‘)о z] о ®' о Ь) о (с О 〃")], откуда, сокращая, имеем

(и'о а) о (d о 〃”)V S' о Ь) о (с о 〃‘')•

Это показывает, что отношение, определенное условием 9.2.2, не зависит от 〃‘. Независимость от 〃“ доказывается аналогично.

(Ь) Определенное условием 9.2.2 расстояние удовлетворяет условиям (iii) — (vi) леммы 9.1.4.

(iii) Доказательство проведем только для транзитивности, для других аксиом доказательства аналогичны. Повторно используя бисимметричность, получаем

(**) [(/ о у') о &' о s')] о [(「о s") о (%" о у")]=

=呪 о /) о ⑺ о s")] о 卜 о s')。(%〃 о “)]・

•(〃。q)。("。尸)=(л о (q I ”))о ((q | ”)о 尸) иэиаоггэХ Boi^BifQVQduo hhUeJquo иолээниёюи 收0丄£ хинимйэх & q I " jlhokoitg 01 ^nUud^uo HoxoQhHdiow cnqtaowon э 4ooebseVee qV^dQho oio&d а эинвоюэис! иЕэд •3hhuii0we£ ^-g-g

•OHhHJOEUHU КЭ1ЭЕ9НС

-bmoV ohho^JosjlX qohjluJqq -о I q {5} p I ” bRAylo 4p (j I q) {^} 侈} G I q)"丄зАЗт- (o \ q) ^ (o \ q) q и po 俘} qp ей Z£S (мияохгэл ХгМОНХЭЭГМИЮЭШ ХпОНЧЕИЭ ОНЭВЕЛОЭ •Оа1ЭЧЕЭ1Е£ЕМО^

_・”q{^}p]D

eBjox ，bR」ol ОЯЧ1ГО1 и bBjo工 р-{£}。 ・3HHO*oir3du •g^'e

•gZ6 кзнн -Э1ПОН1ООЭ HOHHQEQtodUO 4ИИИи(1эЦО Еяюиоаэ ХНН(1е1НЭИЭЕ€ EQV гмиаонихэЛ •nw^doox ХяхэчЕЭхиеияо!/ х ч1ицЛ1эи(1ц кзь э!Гжэйц

У (q I勿)Q ® I切о・s・z・6

1мэинэтонхооэ q^nir3gdlю онжок | вннзнНз(Ьо chhUecIquo иинбохээе(1 вдэхэиэ HOHH^hoVKdouX howhVoqhcIuqh мозжим bit口 *ви1эЗоэх WW6 ，pq {^}勿日口人х丄。

4 (лоq)。0。#)=(л。？)0(q。/)G}(卢。p)0("。尸) woBhAifoii и1эоньи(11эи1И1иэи9 и рэ {^} qv ей (ja)

•BHHHd3dliзн о bhUuJguo Лячеояэоп ，ouqdx丄о {(〃勿 о ^) о о (q。尸)V (卢 о р) о (х о 尸):%} = {рэ > qx :х} ояхээжон^ (л) •〃q =用 19EV гмэинэ^пибмоэ э аьззка ихэоннийхэиимиэир оаюиоаэ •(""。D)。(月。尸)=(〃0/)0("。〃)sAgg "q"Q ,оей (л?)

]з > qp eHAylo

(а о а) о (q о 尸)< (/ о /) о (^ о 尸)

О工(77 О Р) О (р О #)=(〃勿 О р) О(Р О #) MUM YB丄

•{[/0/] 0 [(卢ог?)о(ро^)]}О{[(/。3)。(q。力]0 (/0 产)}<

V{[/。/]О [(лор)о(^о 〃)]}О{[(/О/)0(27 0^)10(/о/)}

КИВОХВН，(**) KEQHlHh^

•{(Л ° л)。К/ о а) о (р о，叫} о {[(л о □) о ((? о 川]о (/ о 尸)} < V {(/ О л)。К/。/)。0。#)]} о {[(л о Р) О(27 о л)]。(/ о Л)}

01 ^OHhHJOIfUHB KDIQUSHdiEWDDEd HIOOHHOWHOW

-ихни иЕнХт) инноюноиюеи о HHhedouo о工h <чlижoEoцVQdu иЕэд

•(/ о а) о (р о #) V (/ о /) о (^ о #) ighQEs /а > рэ '(〃勿 о j) о (q。〃)< (〃勿 о р) о (勿 о 〃)ishQEs рэ > qo

Z&6 СНИЯОЕЭЛ ОНЭЕЕЛОЭ

хупниошоэпс! dw х河нниаонзо ^ovvdddwyn vv^rn xkdoaj '^ -rj%g[

Следовательно, в этом случае операция | совпадает с операцией осреднения ф, полученной из операции о, определенной в теореме 5.2.14.

Предложение. Значение (а | с) (Ь | с) не зависит от с.

Доказательство. Если бы это было не так, то нашелся бы такой элемент с0, что а (а | b) Y (а | &) (b | R). Тогда, согласно четырехместному условию, а (а | с0) < (а \ b) {b \ Q) и потому 3 I R)Q < 3 I b) (b I &)・ Так как b (& | &) ^ 0 | &) &, то из слабого шестиместного и четырехместного условий получаем (а I &) (b I %) < (а I Ь) Ь; мы пришли к противоречию.

Доказательство теоремы 9.2.4. (а) Заданная соотношением 9.2.5 операция | определяется однозначно. Действительно, если a vb, то ob Y bb и, согласно предложению 8.2.4, аа > ab. Поэтому из предложения 8.3.6 слеудет существование такого элемента а I &, что (а (а \ Ь) ^ (а \ 6) Ь. В силу монотонности элемент a I b единствен.

(Ь) Покажем, что операция |, заданная соотношением 9.2.5, представляет собой операцию осреднения.

Сократимость: из равенства а \ bf = а \ bff, согласно предложению 9.2.6, в силу коммутативности следует ab" ^ 曲',откуда по условию (iv) леммы 9.1.4 имеем Ь" = Ь'・

Непрерывность: {%: % | b V 0} = {х: хс Y cb}. В силу условия (v) леммы 9.1.4 это множество открыто.

Бисимметричность: согласно предложению 9.2.8, (а \ с) (Ь \ с) ^ (а I d)(方 I d). Вместе с предложением 9.2.6 и свойством коммутативности это дает (а \ b) \ (с \ d) = (а \ с) \ (р \ d).

Коммутативность: согласно предложению 9.2.6, из “Ь ^ 曲 следует a \ b = b \ а.

Рефлексивность: из m “а следует а \ а = а.

9・3・ Существование и единственность шкал интервалов, основанных на расстояниях

Теорема. Для любой упорядоченной системы расстояний (Л; V,厶 ％ Y〉существует гомоморфизм m в числовую систему расстояний 〈良；V, А,笈，之〉，т. е. такое монотонно возрастающее непрерывное отображение т: Л R, что

ab {^} cd тогда и только тогда,

когда tn (а) — т (Ь) {0 加伍)—加 ®)・

Такой гомоморфизм определяется однозначно с точностью до положительных линейных преобразований, т. е. он является шкалой интервалов.

Доказательство, (i) Существование. По теореме 9.2.4 существует операция осреднения |, определенная на множестве Л. Поэтому по теоремам 6.1.1 и 6.1.2 существует такое монотонно возрастающее непрерывное отображение 加：Л -> R, что т (а \ Ь)= =(т ⑷ + tn (6))/2. Согласно предложению 9.2.6, ab {§ cd тогда и только тогда, когда а | d {£} b | с, т. е. тогда и только^тогда, когда ((/и (а) + m (d))/2) {£} (т (&) + пг (с))/2, а это выполняется тогда и только тогда, когда т (а) — tn (b) {£} tn (c) — tn (d).

Единственность. Пусть 恤，тг — два гомоморфизма системы 〈力； V, L, Y〉в систему 〈К; <, L, Y〉• Для отображения 力=g。加？ получаем, uto F (х) — F (у)=尸(〃)一F (u) тогда и только тогда, когда х — у = и — и, т. е.尸(%) — F (у)= =Ф (х ——у). Согласно Акселю [2, стр. 142], единственным монотонным решением этого функционального уравнения служит

F (%) = а% + К ①(%) = а%・

Замечание. Вместо числовой системы 〈К; V,厶,^, <〉 можно также взять систему〈К+; <;, L, ^1? Y】〉(см. пример 9.1.7) в качестве системы, соответствующей эмпирической системе расстояний.

Если т——гомоморфизм в систему 〈К; <, L, ^, -<), то определенное по формуле и (а) = exp [т (а)] отображение п есть гомоморфизм в систему 〈К+; <, L, »1?т. е.

ab ^^ cd тогда и только тогда, когда 裁^{导 #»

Такие шкалы определяются однозначно с точностью до преобразования ? (%) = р%а.

С помощью этой шкалы эмпирические расстояния вместо разностей шкальных значений представляются отношениями.

Теорема. Пусть mt — шкала системы А» =〈4»; Vt, L, ^ь Yz〉в числовую систему 〈К; <, L, ^, Y〉, i = 1, 2. Если f— гомоморфизм системы А】в А2, то

m2 (f &)) = ат】@) + р, а > 0.

Доказательство. Так как f — гомоморфизм системы А】в А2, а 生一гомоморфизм системы А2 в (R; V, L, «, Y〉，то композиция т? о f есть гомоморфизм системы Ат в〈К; V,厶 ％ Y〉, т. е. шкала интервалов для А】.

9・4・ Совместные измерения

В этом разделе мы рассмотрим специальную модель для одновременного измерения 归 свойств. С проблемой одновременного измерения нескольких свойств приходится сталкиваться во многих случаях. Приведем несколько примеров.

Выполнение тестов для одновременной проверки (а) умственных способностей испытуемого и (Ь) трудности задач.

Ранжирование набора из 归 товаров в соответствии с (субъективной) полезностью для определения функции полезности каждого из 归 товаров.

Проведение экспериментов по оценке ставок, основанных на неопределенных событиях, для измерения (а) субъективных вероятностей неопределенных событий и (Ь) полезности.

Рассматриваемая в этом разделе модель пригодна для исследования случаев (i) и (ii) (случай (iii) мы изучим в гл. 12). Основой для наших обсуждений будет общая теория отношений порядка на произведении множеств, развитая в разд. 8.5 и 8.6. Как указывалось в разд. 8.6, имеется существенное различие между случаем произведения двух множеств и случаем произведения более чем двух множеств.

Исследуем сначала случай двухкомпонентного пространства. 9.4.1. Определение. Двумерной системой совместных измерений называется такая с, о. (Лх X 4?；Y〉，что

(4X X 若2； ^，Y〉——система порядков;

выполняется обобщенное четырехместное условие (ч*) (см. условие 8.5.4);

выполняется условие непрерывности (Н*) (см. условие 8.5.12).

Как мы уже видели в определении 8.5.13, предложении 8.5.14 и теореме 8.5.15, из каждой двумерной системы совместных измерений можно получить две системы расстояний (Лх; ^工，Y# и (Л 2; ^2, <2). Далее, из этих систем расстояний можно получить две упорядоченные системы расстояний (А^ Vi, ^i, <1〉и 〈42； <2» «2, <2〉(см. замечания 9.1.3 и 9.1.6).

9・4・2・ Теорема. Для каждой двумерной системы совместных измерений 〈4工 X 才2； ^，<〉существуют такие отображения 团匸 241f т К н m2: Л2-> R, что

/пх и т2 — шкалы интервалов производных упорядоченных систем расстояний (Лх; Vi, A, ^i, Yi〉и (Л2; <2, L, ^2, <2> в систему〈К; <, L, Y〉；

mx + т2 есть гомоморфизм системы {Аг X Д2; %, Y〉 в систему〈К; =, V〉；

для отображений т{ и т^ удовлетворяющих условию (ii), найдутся такие числа а £ и 隹 U %, что Ш{ = ат» + + М « = 1, 2).

Доказательство, (i) Утверждение следует непосредственно из теоремы 9.3.1.

.(ii) Согласно предложениям 8.5.7, 8.5.8, 8.5.16 и определению 8.5.13, существует изоморфизм 尸 системы (Л2; Vl ^工，々力 в {А^ >2, ~2，>2〉・ Так как 尸一 монотонное отображение на, то по лемме 3.6.11 оно непрерывно. Поскольку 加工一шкала интервалов системы〈41； Vi, ^i, Yi〉, а (—т^ — шкала интервалов системы (Л2; >2, q 2，>2^» то, согласно теореме 9.3.4, —m2 (F (aj)= = ат】(％) + p, a > 0. Таким образом, можно подобрать шкалы так, чтобы 加？(尸(％))=—恤(。)или 加工(尸，(aj) = —m2 (a2)t Кроме того, согласно определению 8.5.13, %% {»} %北 тогда и только тогда, когда 的尸一，(a?) {割} Ь/т (瓦)，т- е. тогда и только тогда, когда 团工 @)—恤(尸一 &)) {=}恤(瓦)—加1 (尸т (bj), а это тогда и только тогда, когда 吗 (aj + 加2 (a2){=} ^i 仇)+ 加2 (b2).

Так как отображения ^ + т2 и т； + /и； монотонно возрастают, то существует такая действительная монотонная функция G, что

G (/и】 (％) + т2 (а?))=加;3工)+ 加；(％) для всех ^ 6 ДрПоложив gt (右)=m：。m产(修)для 修 £ 当=гл» (40, получаем

G (%i + 尤2)= gi Ui) + gi ^ Для всех Xi £ В» (i = 1, 2).

Так как В» — действительные интервалы, то найдутся такие числа a £ К+ и & € К, что gi (х) =ax + 氏(см. Аксель [2, стр. 142]). Отсюда непосредственно следует утверждение.

Теперь рассмотрим случай произведения более чем двух множеств.

Определение, k-мерной системой совместных измерений (й > > 2) называется такая с. о. {Ar X . . . X Л^; ^, <), что

(Дх X ・・・ X 4" ^, V〉— система порядков;

выполняется условие независимости (н**) (см. условие 8.6.2);

выполняется условие непрерывности (Н**) (см. условие 8.6.3);

выполняется условие существования решения (ср**) (см. условие 8.6.4).

Из каждой 々-мерной системы совместных измерений можно получить k упорядоченных систем расстояний (Л^; Vt, L, ^ь Yi〉 (i = 1,...,舟(см. определение 8.6.8).

Теорема. Для каждой 々-мерной системы совместных измерений существуют такие k отображений т^ Л f Н, что

mt — шкала интервалов производной упорядоченной системы расстояний 〈儿；Vi,厶 ^订 Yt〉в систему (H； <, L, Y〉(i = 1, •・.，A);

k

2 mf — гомоморфизм системы (Дх X Л2 X • • • X 4浦 ^, i=i

Y〉в систему в (Я；=, <);

для отображений т； (i = 1,...,舟, удовлетворяющих условию (ii), найдутся такие числа а £ К+ я 氏 t К, что ml = ат» + р(.

Доказательство, (i) — (ii) Множество Лх X Л2, упорядоченное согласно определению 8.6.5, есть двумерная система совместных измерений А' (см. предложения 8.6.6 и 8.6.7). По теореме 9.4.2 существуют шкалы /п； и т；, удовлетворяющие условиям (i) и (ii) для А'. Аналогично определению 8.6.5 порядок Y на множестве Лх X Л2 X ••• X Ak индуцирует такой порядок на множестве Л2 X • •・ X Aki что получается (归—1)-мерная система совместных измерений А". Пусть m2i . . ., mk —— отображения, удовлетворяющие условиям (i) и (ii) для А". Их существование при 友 = 3 следует из теоремы 9.4.2; предположим, что для 々 > 3 это также верно. Отношения порядка на А' и А" индуцируют одну и ту же систему расстояний на множестве Л 2 (см. предложение 8.6.9). Таким образом, найдутся такие числа а € %+ н 0 £ К, что т2 = а兀 + В (теорема 9.3.1). Отображения 恤 = a/и； и т2 удовлетворяют условиям (i) и (ii) для системы А'.

Для каждого ^-набора хг ... xk ^ Bt X . . . X Bk, где Bf = =rrii (40, обозначим через i|)(%；, . . ., х^ класс эквивалентности 〈4工 X ...义力人；^〉，содержащий элемент т^1 (xj ...加钾(修)・ По определению системы А"

屮(%】，％2，• •，，冲)=屮(*i,” yG

тогда и только тогда, когда 3 ^i = 3 Уи i=2г=2

Поэтому найдется такое отображение Н9 что

也

w(打，..〃 (%h 3 修)Для всех占…/ g в1 х … х然. '4=2

По тем же соображениям для системы А' найдется такое отображение G, что

屮的，• •・，修）=G （%i + х2, х3, . . ., хА）, и потому

Н （修，』％i） == G （%] + %2，%з，• • •，%h） г=1

для всех Xf • • • %丸 € 8[ X ・・・ х Вк.

Возьмем произвольный элемент у^ ・•・ у左 £В] х ・・• х Вк. Положив 7=2 Уь получим

4=3

khh

中（修，...，修）=〃（修，2 修）="（/，（S /一Y）+2 у）= г=2г=2г=3

= G（2%f — у, у2^1 Ук）

г=1

для всех %工・• . xkt удов летвор яющих условию

3 xt— 3 у^в?*

f=24=3

Следовательно, для элементов %】•.・ ％丸 и %； • • • %工 удовлетво- kk

pяющих условию （*）, равенство』修=』* влечет эквивалент- г—1г=1

ность соответствующих элементов из Лх X •・・ X Л^. В частно- ftА

сти, если』勺=』у» н г=1г=1

）% +（У1 — %） € 口2 или %2 — 3 — %） с %

то элементы 加丁 （力）・・・加計（/） и tn^ 闻）•…trik （yk） эквивалентны.

Без потери общности можно предположить （см. разд. 8.6）, что интервал 5? содержит более одной точки. Для любой пары х = =无工.../ и у = % .・• у兀 из Bi X • • • X Вк, для которой kл

3 xf = 2 Уь выберем такое целое число п ^ 2, что 市=1i= 1

几＞L Для X2展 y2*

I 北一%2 I

^2~Ь~（У1 — %1） € & ИЛИ ^2 — —（У1 — ^1） €^2 Д〃只 ％2 0^21

и определим для m = 0, 1, ..п

"?=(1—^")/+"^"物(/=1, ..., А).

Так как множество В{х ... х Bk выпукло, то 产=%丁・・・%幫£ Е Bi X ... X Bft. Кроме того,

hk

£» 石длявсех加，Z

吕2I г

и для 加=0, 1, • •n ——1

巒+1 + (叮+ 1一%7) = %空+1 + ；(弘一打)w В2

или

^ 一 (%7+1 -珞)=%豎 一 ^-⑨一/)£ 4,

т. е. каждая пара xm, %m+i удовлетворяет условию (**). Так как х° = х и хп = у, то ^-наборы из 4】X . . . X Ak, соответствующие элементам хи у, эквивалентйы. Таким образом, мы доказали, что

k丸

2 加t (色)= 2 加》влечет % •・•傲 а； • •.成. ?= 1е= 1

hk

Если S ^i > S Уь то найдется такой элемент zA • •・ z^gBi x • • • i=lг~ 1

...xBh, что Zi^Xi для /=1, ..й и 2石=2协. г=1 i=l

Так как отображения 恤 монотонно возрастают, то

m J (%1)• • •加3 (/) > 加 J (zj • • •m3 (%) ^ 加 J(Pi) • • •б?/ (%)•

Утверждение получаем по индукции непосредственно из условия (iii) теоремы 9.4.2.

Замечание. Эта модель совместных измерений восходит к идеям Адамса и Фагота [1] и Дебро [2], развитых в связи с измерением полезности. Аксиоматика для двумерного случая была тщательно разработана Льюсом и Тьюки [1] и Кранцем [1]. К настоящему времени наиболее общие результаты содержатся в работах Льюса [3] и Тверского [1]. Описанный выше подход к совместным измерениям отличается от подхода Льюса и Тверского использованием топологии вместо алгебраических понятий. Мы полагаем, что окольный путь через расстояния делает весь подход более интуитивным.

9.5. Эмпирический статус аксиом для произведения структур

Как и в разд. 6.6, здесь мы вновь обратимся к проблеме, являются ли неподдающиеся проверке аксиомы, гарантирующие существование шкалы для систем расстояний и совместного измерения, чисто техническими.

Все аксиомы неприводимых упорядоченных систем расстояний 〈4; =, Q, Y〉 (определение 9.1.2), за исключением топологической аксиомы (условие (iii) определения 9.1.1), поддаются проверке. Но эта система аксиом имеет поддающиеся проверке следствия, которые логически не вытекают из системы аксиом без топологической аксиомы. Например, согласно предложению 8.3.7, таким следствием будет

сильное шестиместное условие (Сш) (см. условие 8.2.6).

Кроме того, имеются неподдающиеся проверке следствия, как, например,

бисекция: для любых а, b ^ А найдется такой элемент с А, что ас ^ сЬ (теорема 9.2.4).

Таким образом, система аксиом из определения 9.1.2 сильнее системы, которая получается при замене топологической аксиомы (iii) определения 9.1.1 условиями (i) и (ii). Но так как система аксиом из определения 9.1.2 удовлетворяется числовой системой R = =〈К; =, V, % <〉(пример 9.1.7), то приведенная ниже теорема 9.5.2 показывает, что система аксиом из определения 9.1.2 влечет неподдающееся проверке высказывание, которое не выводится из ослабленной системы аксиом.

Определение. Замкнутой подсистемой системы R называется подсистема R'=〈限；=,V, ^, Y〉системы R, DVu К, удовлетворяющая условию (ii).

Теорема. Пусть s ——поддающееся проверке высказывание на с. о. А =〈4; =, V, % Y ) типа 自=底=2, k3 — k^ = 4. Если s верно хотя бы в одной замкнутой подсистеме R' системы R, состоящей по крайней мере из двух элементов, то s — следствие системы аксиом S:

(0) V， Y — отношения порядка, а — отношение эквивалентности для Y ;

сильное шестиместное условие;

бисекция;

«левое монотонное возрастание»! а <& влечет ав Y Ьс для всех с.

Доказательство. Так как R' — замкнутая подсистема, то она удовлетворяет системе аксиом S. Пусть А ——с. о., удовлетворяющая S, a s — поддающееся проверке высказывание, верное в R'. В обоих с. о. однозначная бинарная операция | определяется соотношением 9.2.5. Существование этой операции следует из аксиомы (ii), а однозначность — из аксиом (iii) и (i). Из последних вытекает правое монотонное убывание (a vb влечет cb Y са). Поскольку из аксиомы (i) следует слабое шести местное и четырехместное условия (предложение 8.2.7), то предложения 9.2.6—9.2.8 справедливы даже без топологических условий. Таким образом, операция | бисимметрична, коммутативна и рефлексивна (см. доказательство теоремы 9.2.4). Кроме того, в силу аксиомы (iii) она монотонна.

Согласно предложению 9.2.6, ab « cd эквивалентно а \ d = b \ с. Далее, ab Y cd эквивалентно а \ d <zb \ с (в силу аксиомы (i) и монотонности). Таким образом, высказывание s можно сформулировать с помощью отношений =, < и операции [. Так как операция I в подсистеме R' являетсяЪперацией ф, то по теореме 6.6.5, (Ь) высказывание s верно в А.

Следствие. Поддающееся проверке высказывание, верное хотя бы в одной неприводимой упорядоченной системе расстояний, содержащей более одного элемента, является следствием системы аксиом S.

Доказательство. Согласно теореме 9.3.1, систему расстояний можно представить как подсистему R' системы R. Подсистема R' замкнута, так как аксиома бисекции (ii) выполняется в системе расстояний (теорема 9.2.4).

Даже если поддающиеся проверке высказывания, верные в системах расстояний, являются следствиями системы аксиом S, они могут быть следствиями не поддающейся проверке аксиомы, а именно аксиомы бисекции (ii).

Определение. Обозначим R2 = ( IF12； ^, Y〉, где х^ < Y у也2 тогда и только тогда, когда хх + х2 <：比 + 力・

9・5・5・ Теорема. Пусть А = (Лх X Л2； ^, Y〉一 с. о. типа 財= =々2 = 2 и s — поддающееся проверке высказывание на А. Если s верно в R2, то s — следствие системы аксиом S':

(0) <— отношение порядка с эквивалентностью у

сильная разрешимость: выполняется (ср*) (условие 8.5.9) и для любого элемента ага2 £ 4工 义 力乞 найдется такой элемент 心 W %2，что @1%2 ^ с妝2；

сильное шестиместное условие (Сш*) (условие 8.5.10).

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что система А приведена, так что решение 尤乞，° котором

говорится в аксиоме (i), единственно. Пусть 尸 н G — функции из предложения 8.5.11; обозначим через < порядок на Лх, индуцированный отношениями » и -<. (Так как(Сш*)и (i) влекут (ч*) (предложение 8.5.11), то (Сш*) влечет (н*) (предложение 8.5.6).)Определим бинарную операцию о на /匸 пусть для 〃, b £ 4^ элемент aob есть единственный элемент в Лп удовлетворяющий условию

а尸(а о b) ^智尸(b)・

Операция о коммутативна: согласно (ч*) и предложению 8.5.8, ^ (b) » aF (aob) влечет 從尸(а) ^ G (F (&)) F (aob) * bF (аоb)・ Таким образом, F (аоb) = F (boa).

Операция о возрастающая: а> с и aF (aob) ^ с尸(соb) влекут cF(со 力 aaF(ао方)>cF(aob). Таким образом, F (cob)> 卜(aob). Так как функция 尸 убывает, то aob> cob.

Операция о ассоциативна: для всех а, &, с £ /工 имеем aF (а о(Ьо с))比 c：F (b о с), bF (& о (а о с))方 с：尸(а о с) и а尸(а о с) а ± bF (力。с). Применяя (Сш*) к первому и третьему соотношениям, получаем bF (а о (fe о с)) ^ с：尸(а о с). Из этого и второго соотношений выводим F (а о (Ь о с)) =F(bo(aQc)). Итак, мы показали, что

(♦) система {А^ ==, V, о〉удовлетворяет системе аксиом Se из теоремы 6.6.5.

Кроме того,

' 。1。2 А &1&2 тогда и только тогда,

когда 010 G (瓦)> &iOG (а)

” ад * 厶瓦 и тогда и только тогда,

когда а工 oG (&2)=瓦 о G (а)・

Если ^oG (&2) > 瓦 о G(&), то с?尸(。工 о G(bz)) Y с：尸(％ о G(a^). Это соотношение вместе с 代的=d尸(G (&)) Q &尸(瓦 о G (的))влекут 瓦尸 SiOG (厶))Y с妝2 (в силу (Сш)). Так как а/ (%oG (%))方 а 國尸(G (&2)) = ф2» то в силу (eш)瓦厶 Y %的.

Согласно (♦♦), высказывание s можно сформулировать и в системе (Лх; =, <, о>, и в системе〈凡；=, <,+>. Поэтому по теореме 6.6.5, (a) s — следствие системы S\

Следствие. Поддающееся проверке высказывание s, являющееся следствием системы аксиом из определения 9.4.1 для двумерных систем совместных измерений, есть следствие системы аксиом S'・

Доказательство. Поскольку R2 удовлетворяет системе аксиом из определения 9.4.1, то высказывание s верно в R?. Таким образом, согласно теореме 9.5.5, s — следствие системы S'.

В этом разделе мы. видели, что условия непрерывности и (ч*) будут чисто техническими, если пополнить системы аксиом алгебраи-

ческими аксиомами ((Сш) и условием бисекции для систем расстояний, (Сш*) и условием сильной разрешимости для систем совместных измерений). Для совместных измерений результат такого пополнения неудов л етвор ителен, так как пополненная система аксиом становится сильнее исходной системы из определения 9.4.1. В частности, условие сильной разрешимости не следует из аксиом определения 9.4.1. Таким образом, можно было бы улучшить следствие 9.5.6, заменяя S' более слабой системой аксиом.

Все аксиомы системы S', за исключением аксиомы сильной разрешимости, поддаются проверке. Поэтому в каждой из двух теорий, рассмотренных в этом разделе, мы вынуждены принять по одной не поддающейся проверке аксиоме. Согласно аксиоме о том, что отношение является операцией, мы вынуждены безоговорочно принять наличие неуниверсального высказывания также в системах 5а и Sb.

Теоремы 9.5.2 и 9.5.5 принадлежат Адамсу, Фаготу, Робинсону [3].

Глава 10

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

0J. Принцип канонических представлений

Пусть F (а】,...,ak9 b) — функция, отображающая множество ЛА X В в множество С. Наши допущения относительно множеств Л, В, С будут меняться от случая к случаю и будут указываться в каждом отдельном примере.

В ряде случаев оказывается, что эмпирически заданную функцию F можно преобразовать в очень простую функцию Н с помощью отображений т\ А-^^ и 九：5—К так, что 尸(а「 •・・,@丸,Ь)= =Н (т (а。, •・.,zn (а) п (&)) для всех а» £ %, t = 1, . . ., ^, н b Е В. Если эти отображения единственны с точностью до линейных преобразований, то мы будем говорить о каноническом представлении. Это определение полностью зависит, конечно, от неопределимого понятия простоты, используемого в связи с функцией Я.

Ниже мы приведем несколько примеров таких канонических представлений и докажем, что в этих примерах шкалы действительно единственны с точностью до линейных преобразований. Вопрос о достаточных условиях, которым функция F должна удовлетворять для того, чтобы существовало каноническое представление, будет затрагиваться только изредка.

Очерченный выше в общих чертах подход представляет естественное обобщение идей Терстоуна [1, 2]. По мнению автора, эти работы, связанные с приложениями к тестам на проверку умственных способностей, являются единственными в этой области работами, в которых сделана успешная попытка методологического обоснования всего процесса тестирования. По существу те же идеи, связанные с совершенно различными приложениями, содержатся у Шепарда [2] и в абстрактной форме у Левина [2].

Естественно возникает вопрос: относится ли измерение этого вида к фундаментальным или же к производным измерениям? Очевидно, шкала определяется структурой свойства как проявление эмпирически заданной функции F. В общем случае естественным образом структура не поддается описанию с помощью системы с отношениями. Хотя в некоторых случаях (см., например, разд. 10.3) структуру расстояний можно определить естественным путем, едва ли стоит рассматривать такие шкалы как фундаментальные, а другие шкалы — как производные.

Единственность представлений, инвариантных относительно сдвига

Определение. Пусть 0 и КА — множество, для которого из Зи ・・.,aQ《D следует (必 + а, •・•,源 + а)“€ D для всех а £ К. Функция G: D f С называется инвариантной относительно сдвига, если

G (%i + 〃，・•.,冲 + 〃) = G (尢1，. • ., х^)

для всех (%i，. . ., х^) € J5 и u С IK.

Для множеств U, V g Rft и элемента о W %' определим операцию —,положив U—V = {и — и: “ £ U, %У}, U—v ={〃一о: 〃Е U}・ Аналогично определяется операция +.

Определение. Пусть О и /% X В. Функция G:D f С называется сократимой, если для всех i = 1,・• •，力 + 1 и всех 修，•…，Мт，勺+工，・• •，办+1， 欣， 抬 € % (соответственно С 5, когда i = k + 1), для которых

(%1，■ • ■，%2T，%i,为i+1，• 。 ，，%立+1)，

(%1，. . МТ,为,/+1，• •/+工)C D,

равенство

G (/,• • •> %i-工，%i，%方+1，•。•，%立+1)=

=G (无1，. . ., Мт, M,打+1.，• •・,冲+工) влечет 注=状.

Теорема. Предположим, что для отображения F: Ah X X В f С существует представление

尸(^i，. . ., ak. b)="(加 &),・・•，加 QQ, n (b))

с помощью инвариантной относительно сдвига функции Я: Dm, n f f С, где

Dm,n = {(加 @) + %,・• .，/и (aQ + х, м (Ь) + х):

at^A,b^B.x^^

и отображения тип таковы, что множества т (А) и п (В) связны. Пусть множества А и В содержат по крайней мере два элемента. Предположим к тому же, что или

функция F сократима, множество С упорядоченно и функция Н либо (1) монотонна, либо (2) непрерывна по последней переменной на множестве {(т (а), •…т (а), п (&)): b В} для всех а £ 4,

ИЛИ

функция Н сократима, множества А и В упорядоченны и отображения тип монотонны.

Тогда т, n, Н единственны с точностью до системы преобразований

т* (а) = аги (а) + §,п* (Ь)=ам (Ь)+»〃*(%,・・，九，g) = 〃 (^-^f海^"^, ^^)

для Xt С т* (Л), у ^п* (В).

Доказательство. Допустим, что существуют два различных представления:

Я (т (%),・・・,m (耿),n (b))=

=H* (加* (a)・•・，加* (臥).九* (b))・

Пусть % =・・•=。月=а. Тогда в силу инвариантности относительно сдвига

Я (0, . . ., 0, п (&) — m (a))=

=〃* (0,・・・,0,九* (匕)—/n* (a)).

Пусть 九(Ь) = u, m (a) = —a Кроме того, пусть H^ — такое представление, что

Я1 (Я* (0,0, х)) = % для % С 胪(В)二 rn* (4).

Положим

f (%) = /Г (旦(00, х)) для х £ м (В} — m (Л).

g (“)^ "аг1 (〃) для и^п (В),

九(и)=—加*〃4 (—и)ДЛЯ —О С 加(Л).

Существование Н‘ очевидно в случае (а, 1) и следует из сократимости функции Н* в случае (Ь). Существование Я" в случае (а, 2) можно показать так: Я* (0,・・・,%) — непрерывное взаимно однозначное отображение на связном множестве п* (В) — zn* (a); в силу леммы 3.6.15 оно монотонно. Существование отображений т^ и п-1 очевидно в случае (Ь) и следует из сократимости функции 尸 в случае (а).

Следовательно, из равенства 10.2.5 вытекает -

f (и+ v)^=g (и)+ h (о)・

В случае (а) функция f будет монотонной, в случае (Ь) монотонными будут функции g, Л. Согласно Акселю [2, стр. 142], формула 10.2.6 дает

WWWWWWg Лg Л=а% + %

WWW

WWW

g Л

g Л

=а% — 6，

откудаоткуда=а% + у — К

откуда

откуда

⑷® * * /nn⑷® * * /nn二 ат (а) + р, =ап (Ь) + у.

⑷® * * /nn

⑷® * * /nn

Подставляя этот результат в равенство 10.2.4, находим

〃* (аги %) + р, .. м ат (а/ + р, ап (&) + Y)=

=〃(тп (а)・• •，加 @), п (&)).

Так как элементы а19 ・・・,ak9 b произвольны, то

"*(&，…,%，9)= "(曳言，•一曳言,^)

для Xi c zn* (Д), yen* (В).

Следствие. Если В = А, то теорема также справедлива и для частного случая и = т.

Следствие. Пусть Н (打，•・・，办，0) = Но (хх, . . ., /); тогда получается представление F (ах, . . ., а^, &) = Яо 価(@i) 一 —n (&), ., ., m 战)一n ®).

Приложения теоремы 10.2.3 и ее следствий приводятся в теоремах 10.3.8, 11.3.1, 11.4.1.

Замечание. При допущениях теоремы 10.2.3 (случай (а)) порядок на 4 н В можно определить условиями

d {^} а" тогда и только тогда, когда т (а‘) {£} m (а"),

Ь‘ 位} 6" тогда и только тогда, когда п (%'){£} n (F).

При этом порядке функция 尸 монотонна по каждой переменной.

До сих пор мы исследовали лишь проблему единственности шкалы, определенной каноническим представлением. Гораздо важнее и труднее вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция, чтобы ее можно было преобразовать в каноническую. Эти условия зависят, конечно, от типа функции Я, участвующей в каноническом представлении.

Существование представлений, инвариантных относительно сдвига

Для представлений, инвариантных относительно сдвига, ответ на вопрос о существовании был дан в статье Левина [2]. Здесь мы приведем несколько ослабленный вариант теоремы Левина с доказательством, использующим результаты, полученные в разд. 9.3.

Пусть (Д; Vi〉— упорядоченное связное множество, содержащее по крайней мере два элемента. Обозначим через (А- 4 f К, 入 С А) семейство функций, обладающее следующими свойствами：

尸九 монотонно возрастает для всех X £ Л;

尸九(Д) = / не зависит от X 6 Л 】)；

функции F%, F^ не пересекаются при 入* 卩,т・ е,尸入(а)次 声尸ц⑷д/只九*卩；

для каждой пары (а, %) € 4 X / найдется такой индекс % € Л, что % = J (а)；

尸产。尸"。尸小=尸口。/1^。/^1 для всех %,卩，v£A.

Предложение.尸入—непрерывное открытое отображение для всех % 6 Л.

Доказательство. Непрерывность 尸 следует из свойств 10.3.1 и 10.3.2 в силу следствия 3.6.12 и лемм 3.5.10 и 3.4.4. Так как функция Fx1 монотонна, то, согласно теореме 3.6.11, она непрерывна. Следовательно,尸％ — открытое отображение.

Теорема. Если семейство (尸％,九 € А) обладает свойствами 10.3.1—10.3.5, то оно допускает инвариантное относительно сдвига представление, т. е. существуют монотонные непрерывные отображения т: Л -> Я, 〃：庇 т К н отображение 々：А т К, для которых

(♦)尸％ ⑷=Н (tn (a) —k (%)).

Отображения Н, т и k единственны с точностью до системы преобразований

"(。)="(七中)，

胪(Q = a尼(九)+ y.

Кроме того, tn(A) = k (Л) = R.

Доказательство. Пусть Хо — произвольный элемент из Л. Определим порядок на Л X Д следующим образом. Согласно свойству 10.3.4, для каждой пары (af b) Е А X А существует единственный индекс % = X (а, Ь), для которого 户九(а)= 尸%q (b). Положим

ab {^} cd тогда и только тогда, когда F、(с) {<} F%° (d), где % = % (а, Ь).

Легко видеть, что определенная таким образом система <Д; <i, ^, X)представляет собой приведенную упорядоченную систему расстояний. Докажем транзитивность, сократимость, непрерывность и четырехместное условие.

Транзитивность. Из ab ^ cd следует 尸％ (〃)=尸%。(b) и Д (с) V < 尸福(d)・ Из cd Y ef следует Fu (с)=尸入。(d) и & (е) < 厶° (/)• Отсюда 戸％ (с) V 尸ц (с)・ Так как функция] ?% непрерывна для всех % € Л, то по теореме о пересечении 3.6.14" из свойства 10.3.3 вытекает, что 尸％ (и) V 尸ц (и) для всех и £ / ・ Следовательно,尸％ (е) v V 尸秣 Q), откуда F% (^) < F加(/). А это по определению означает^ что ab N ef.

Сократимость. Из 优匕比 0nb следует 尸％(а‘)=尸乩(6) и 尸％ (а")= =尸加(b)・ Поэтому 尸%。(а‘)= FXo (az,), откуда а' = а"・

Непрерывность. Покажем, что множество {х € A: ab Y хс} открыто. Пусть Fh (а) = F夕(&). Так как ab Y хс тогда и только тогда, когда /\ (%)之尸м 6), то множество {х Q A: ab < хс}= =& £ 4: % V /『А。6} открыто.

Четырехместное условие. Из 曲 Y cd следует 尸％ (а)=尸%° (b) и 尸％ (с) V 尸%о (d)・ Пусть & (а)=尸^ (с)・ В силу свойства 10.3.5 尸丁氏。W) >尸口 1A (e) =F”®Fm (c)=F^F入璟丸© =f疋尸式q)= =b・ Отсюда & (b) V 尸%° (少・

Так как все аксиомы упорядоченной системы расстояний выполняются, то по теореме 9.3.1 существует такое монотонное непрерывное отображениет: Л -> Я, что 曲g} cd тогда и только тогда, когда 加(а)——т (&) {^}^ (^) — /л (砌• По определению расстояния а (尸疋尸九(а))力 & (尸岩尸％ &0) для всех а, 6 € 4 Следовательно, т ⑷一tn (F^FK (а)) = m (&) —tn (局/\ (&)), т. е. функция 々(入)=/и (а) — т (尸追尸％ Q)) не зависит от а. Таким образом, 尸％ (а) = &о (т-1 {т (а) — k (%))).

Пусть Н =尸%0。加一1. Согласно свойству 10.3.4,

々(Л) = {加(а) — т (闻 J (а)): % € Л}=

=m (а)7加(F志F% 3))： % € Л} = /и (a)—m (Л>

для всех а^ А. Отсюда вытекает, что 々(А) = К и т (Л) = R. Следовательно, отображение Н определено на К. Так как оно монотонно и непрерывно, то утверждение теоремы о существовании доказано.

Если существует представление типа (♦), то / = {/\ (а): &А}= =Н (т (а)—й (Л)). Поэтому т (d)—k (Л) = 〃т(/) для всех а С Л, т. е. А (Л) = R; аналогично т (Д) = К. Утверждение о единственности вытекает из теоремы 10.2.3 (а).

Теперь приведем достаточное условие для случая произвольного k.

Теорема. Пусть F: Ak X В С. Предположим, что множество С упорядоченно и существует такая функция Го: Л X В -> f С, что

(i)尸(4，・・・,碗,У)=尸(а：, •・・,成,bn) тогда и только тогда, когда Fo (山,У)=户° (由,bn) для всех t « 1, . . ., й;

(ii)尸q — сократимая функция;

множества {Fo (а, b)： а С Л}, {尸。(а, &): b ^ В} связны в интервальной топологии множества С для всех b Q В л a Q А соответственно;

существует такое взаимно однозначное отображение <р из Л на В, что Fq (q「У) {£}尸о (@“，Ьп) тогда и только тогда, когда 尸° @, <р (а"))(£р% (L0‘)，b")・

При этих предположениях можно определить порядок на А условием

а! {£} а№ тогда и только тогда, когда 凡(а', &) {£}尸° (а* &).

Аналогично определяется порядок на В.

Далее, существуют такое отображение /и: 4 f % монотонное и непрерывное в смысле этого порядка, и такая инвариантная относительно сдвига функция Я: Dmtn f С, что

尸(^i> • • •> ^л> b) ^ Н (ли (а)・・・，加(aj 几(匕))，

где л =m0屮7 и

Dmtn = {m @) + *,・・・，加伍)+ x, и (&) + х:

的С 4曜В…е %}・ Отображения т и Н единственны с точностью до системы преобразований

т* (а) = ат(а)4-Р,

Н*(хЬ 冲，у) = Й ('^生，・…逸言，空)Длях0 央加*(4).

Доказательство. Определим порядок на множестве А X В условием

clV {^} а№Ь- тогда и только тогда,

когда 尸。@, 〃){£}尸。(а", Ьп).

Покажем, что определенный таким образом порядок на Л X В удовлетворяет условиям теоремы 9.4.2. Действительно, обобщенное четырехместное условие (ч*) непосредственно следует из (iv), если положить там F = q>, G =(р-1, так как

优从{£} anbs тогда и только тогда,

когда 尸。@, ф (а〃)) {<}吊(旷工(，)，济).

Последнее эквивалентно соотношению а'(р (а") {^}(р-1 (Ь‘) Ь"・ Отметим, что условие 10.3.9 определяет отношение порядка на А, как этoJмoжнo видеть из предложения 8.5.6.

Из (ii) и (iii) следует условие непрерывности. Докажем, что 4。= {(а, &): а ^ А} — связное подмножество множества А X В. наделенного интервальной топологией. Так как соответствие Fq (a, b) -> ab задает монотонное отображение связного множества {尸о (а, 6): а С 4} на подмножество Ло, то До связно в интервальной топологии на До (леммы 3.6.11 и 3.6.6). Так как множество Ло простое (это легко видно из (ii) и (iii)), то интервальная и относительная топологии совпадают (лемма 3.4.5).

Таким образом, по теореме 9.4.2 существует такая шкала интервалов т, что tn-(a^) — /и (&) {£}加(aj — m (qJ，тогда и только тогда, когда а^ {^} а^ т. е. тогда и только тогда, когда «1Ф(«2) {£。3屮 &)•

Отсюда следует, что существует такая монотонная функция Яо, что

尸° (а, Ь) = HQ (т (а) — п (Ь)), где п =加呻一・

Итак, согласно (i),尸(а；,・• ., а£,匕‘)= 尸(а；, . . ., а^, Ь") тогда и только тогда, когда m (aj)—拉(匕‘)=/и (al)——〃 (&Э для Bdex 4 = 1, . . ., й, и потому для некоторой функции "1

尸(а19 . . ., akt &) = Н、(т (%) — п (&), .. ., m 伍)—n (b))・

Теперь утверждение доказано, если положить Н (修，• • • • • •, “к, У)="工(%工У, * • %h У)・

Учитывая представление 10.3.11, заключаем из теоремы 10.2.3 (а), что отображения тип единственны. Поэтому отображение Н единственно с точностью до линейных преобразований.

Линейные представления

Определение. Под линейным представлением мы будем понимать представление типа

尸(@,Ь) = 〃 (吟Уq£4 b£B・

Инвариантное относительно сдвига представление F (а, Ь)= ="о (т (а) — и (Ь)) есть частный случай линейного представления. Если s (Ь)展 const, то мы будем называть такое представление собственно линейным.

Если F (a, b) = Hq (т (а) — п (Ь)), то система преобразований т! (а) = ехр (т (а)), nz (&) = ехр (п (&)), 鹏也)=% (log (1 + 〃))

приводит к

尸(а,Ь) = 〃；(吗尹卜

т. е. к собственно линейному представлению. Из этого примера ясно, что может существовать несколько линейных представлений, не связанных линейным преобразованием. Следовательно, существование линейного представления не определяет шкалу однозначно с точностью до линейных преобразований. Теорема 10.4.5, однако, показывает, что можно достичь единственности с точностью до линейных преобразований, принимая

Соглашение: если среди линейных представлений функции 尸(а, Ь) существуют инвариантные относительно сдвига пре став- ления, то собственно линейные представления мы использовать не будем.

Кроме того, любое собственно линейное представление имеет внутреннюю неопределенность. Действительно, пусть

尸(Q,产);

тогда также и

尸(Q,什牙(吟у

где 公(b) = п (&) + 餌(b), Hf (w) = 〃 (〃 + В).

Эту неопределенность можно устранить следующим приемом.

Нормализация. "(0)=；・

Заметим, что в отдельных случаях Я можно интерпретировать как функцию распределения. Тогда нормализация 10.4.3 делает

медиану соответствующей случайной величины равной нулю. В этих случаях напрашивается идея нормализовать Н далее так, чтобы соответствующая дисперсия была равна единице.

В дальнейшем будем считать множества Д и В упорядоченными и связными.

Лемма. Пусть монотонно возрастающие функции тип, определенные на Л и В соответственно, имеют в качестве множества значений один и тот же интервал действительной оси. Пусть т* и п* — другая пара таких же функций, a s и s* — положительные функции, определенные на В. Предположим, что функции s。加 и s* о m"1 дифференцируемы. Наконец, пусть

尸@ ь)二"卜"气而"@)二环(RD,

"(0) = "*(0)=告，

где " и 〃* — монотонно возрастающие функции. Тогда выполняется один из следующих четырех наборов соотношений между s, % & 〃 н 廿,n*, s*, Я*:

，/и* (a) = am (а) + р,

⑴

п* (Ь) = ап (&) +р,

s*(b)=ys(b),

¥(/) = 〃 偿)для /£ {竺騎产：а €4 ь^в]; zn* (а) = а exp (Pm (а)) + у,

〃* (匕)=а ехр (рп (Ь)) + %

s* (Ь) = 6ехр фп(&)),

(ii)「

s(b) = e,

"*«)=日帰 log (1+49)

для% {竺若产生 "£4 b£B};

m (а) = а ехр фт* (а)) + у, м(&) = аехр 偉〃* (Ь))+% s (&) = 6 ехр (Рп* (&)),

(ii)2

S* (6) = 8,

〃(i* (专 МУ))

Для /£{"?/(叽 а£ 4 b£5 };

/и* (а) = % I m (а) 4- р |v + е,紋 е)=%1〃е)+в『+е，

（叫（叫s*(b) = 6| 九 е)+ в『 s (①=а(〃е)+В),

（叫

（叫

Для 氏{吗崙⑹：а£4 b£B },Для 氏{吗崙⑹：а£4 b£B },Я(0=Я*(4(|1+а/|?-1))

Для 氏{吗崙⑹：а£4 b£B },

Для 氏{吗崙⑹：а£4 b£B },

где а, 0, у, 6, 8, X — подходящие константы. Доказательство можно найти в работе Акселя, Дьековича и Пфанцагля [1].

Теорема. Если существуют линейные представления

尸 а ь)=н "(蓊 з)), /о)=$,

с положительной функцией s и монотонно возрастающими функциями 加,n, Н、причем функция son-1 дифференцируема, а функции т, п имеют в качестве множества значений один и тот же интервал действительной оси, то применение соглашения 10.4.2 приводит к шкалам т, п, единственным с точностью до линейных преобразований. Точнее, отображения т, п9 sn Н единственны с точностью до системы преобразований.

⑴⑴m* (а)=ат(а) + р, п* (&) = ап (Ь) + 0, s*(b) = Ts0),

⑴

⑴

H-(t)^H(^ для{{竺然評：@£4 6£B }.

Доказательство. По лемме 10.4.4 решением функционального уравнения (») служат наборы (i), (ii) или (iii). Покажем, что в соответствии с соглашением 10.4.2 шкалы т*^ п* в случае (ii)i и шкалы т.п в случае (ii)2 или (iii) не будут допустимыми.

В случае (ii% [соответственно (ii)2j возможно разностное представление

F (a, b) = /7 (加⑷m加S)) ^соответственно Я* (加*(@)；几*(⑵)].

По соглашению 10.4.2 шкалы m*, п* [соответственно т, п] не допускаются. В случае (iii) также возможно разностное представление. Так как s (Ь) > 0 для всех b Е В, то п (&) + р > 0 [и (&) + Р <0] для всех b С В, и потому 加(а) } 0 > 0 [т (а) + В <0] для всех а^ А.

Следовательно, если

гщ (а) = log (m (а) + р) [соответственно — log (—(m (а)十卩))], n0 (b) = log (n (&) + P) [соответственно — log (— (〃 (b) + P))L HQ (/) = Я 佶(exp (f)—1)) ^соответственно ”(^exp( —/)—1))}.

to F (a, b) = HQ (m0 (a) — n0 (&)). Итак, по соглашению 10.4,2 шкалы /и, n не допускаются.

Глава 11

ШКАЛЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ НА ОСНОВЕ ОТКЛИКОВ

//・，Отклик, суждение и оценка

Пусть Л — множество стимулов, В — множество испытуемых и С — множество возможных откликов (реакций, ответов испытуемых.—Ред.)・ Эксперимент заключается в том, что испытуемый b € В подвергается воздействию стимула а ^ А и регистрируется его отклик с £ С. Таким образом, тройка (at b, с) ^ А X В X С полностью описывает эксперимент (а, Ь) вместе с его результатом с. Предполагается, что возможны независимые повторения эксперимента (а, Ь). Из этого предположения следует, что результаты экспериментов q, 。2， • • • в последовательности независимых повторений 31，Ь), (@2，匕2), при at = а и bi = b9 i = lf 2, . . ., образуют последовательность реализаций независимых случайных величин (т. е. отсутствуют устойчивость, обучение и прочее). Тогда анализ эксперимента можно построить на допущении о том, что каждому эксперименту (а, Ь) соответствует вероятностная мера R (a, ft, Q), определенная на а-алгебре 纫 подмножеств Q и d и задающая распределение различных исходов эксперимента.

Для того чтобы проиллюстрировать широкие возможности этого описания, рассмотрим эксперимент, в котором испытуемого просят ранжировать множество из 应 стимулов в соответствии с некоторым критерием. В качестве множества стимулов / здесь можно взять множество А^ всех 々-наборов @, . . ., а) а» £ 4，а в качестве множества откликов С —— множество всех перестановок чисел 1, . . ., й. Если стимулы а19 . . ., ak ранжированы в порядке 〃〃，• • •，％，то это можно записать в виде с =(必 必• • •，擋・ Так как множество С содержит конечное число точек (а именно 削)， то вероятностная мера R (a, b, D) определяется конечным числом вероятностей различных исходов эксперимента. В явном виде 尸(%, • • •, 〃丸,b, &, • • •, ik) — вероятность того, что стимулы 〃i, • •，，@丸 ранжированы испытуемым Ь в порядке а〃，• . ., а%.

Другая возможная интерпретация элемента случайности заключается в том, что, хотя для каждого испытуемого отклик определяется стимулом однозначно, сам испытуемый выбирается случайным образом из однородной популяции. Тогда символ b характеризует скорее эту популяцию, чем отдельного испытуемого. В этой интерпретации последующие результаты остаются справедливыми, если

словом «популяция» заменить слово «испытуемый». Вместо различных испытуемых мы должны представлять себе различные однородные популяции (различающиеся, например, только возрастом или полом).

Так как нас интересуют только фундаментальные аспекты, мы можем пренебречь тем фактом, что в действительности наше знание всегда ограничено конечным числом экспериментов. Поэтому мы будем предполагать, что вероятностная мера R (a, b, D) известна. Если мы рассматриваем бесконечное число независимых выполнений одного и того же эксперимента (а, Ь) как единичный эксперимент с откликом, равным вероятностной мере R (a, b, Q), то возвращаемся к первоначальной модели: нужно только изменить представление об эксперименте и множестве возможных откликов, которое теперь становится множеством всех вероятностных мер не на самом множестве С, а на а-алгебре над С. Таким образом, если рассматривать лишь фундаментальные аспекты, то различие между случайными и однозначно определенными откликами несущественно.

Переменная с, характеризующая результат эксперимента (а, Ь), называется также откликом испытуемого & на стимул а. Соответственно R (а, b, D) мы будем называть вероятностной мерой отклика (или, короче, распределением отклика) на эксперимент (а, &) (или испытуемого b на стимул а). Мы будем говорить о суждении, если R (а, &, D) не зависит от 6 С В・ Если функция распределения отклика зависит от b (т. е. если существуют такие а £ 4 и 〃，Ь" £ В, что R (а, b', D)喚 R (а, b", D) для всех подмножеств D из а-алгебры), мы будем говорить об оценке.

Интуитивная идея, скрывающаяся за этой терминологией, состоит в следующем: если распределение откликов R (a, fe, D) не зависит от испытуемого, то оно отражает суждение о свойстве стимулов, общем для испытуемых. Типичными примерами таких суждений служат суждения о высоте тона или о субъективной громкости. Если распределение откликов R (a, b, D) определяется стимулом не однозначно, то оно зависит от свойства испытуемого, которое мы будем называть предрасположением. Стимул оценивается с точки зрения отдельного предрасположения. Мнения об этических и эстетических утверждениях представляют собой типичные примеры оценки. В этой терминологии ответы испытуемых на вопросы при тестировании также являются оценками.

Короче, сравнение мороженого по сладости есть суждение, а сравнение на вкус — оценка. Ранжирование высказываний о расовом происхождении по степени, с которой они способствуют интеграции, есть суждение. Ранжирование их по степени согласия отдельных испытуемых — оценка.

Различие между суждением и оценкой является решающим в теории измерений. В случае суждения мы получаем общую для испытуемых шкалу для некоторого свойства стимула. В случае

оценки мы первоначально получаем свою шкалу для каждого испытуемого. Может, однако, оказаться, что для стимулов и предрасположений испытуемых существует общая шкала, причем отклик испытуемого на стимул зависит от относительного расположения значений соответствующей шкалы на этой общей шкале. (При тестировании, например, можно получить общую шкалу, измеряя трудность задания (стимул) и предрасположение испытуемого; при этом результат эксперимента ставится в зависимость от позиции испытуемого относительно положения задания в этой шкале.)

• В то время как суждение может привести только к измерению общего для испытуемых свойства стимулов, оценка, возможно, приведет к одновременному измерению стимулов и испытуемых. В разд. 11.3 и 11.4 мы дадим для этих случаев общее обоснование измерения, основанное на каноническом представлении. В разд. 11.5—11.12 рассмотрим некоторые приложения. В разд. 11.2 описывается дисперсионная модель распознавания для реакции поведения.

112 Дисперсионная модель распознавания4)

Тот факт, что отклик испытуемого на стимул скорее случаен, чем однозначно определен, был описан Терструном [2] на модели процесса распознавания. Мы приспособим сейчас модель Терстоуна к р ассматр и в аемому здесь более общему случаю. Основное допущение будет заключаться в том, что отклик однозначно определяется психофизическим процессом (называемым в дальнейшем ощущением), который инициируется стимулом; сам же процесс, однако, случаен. Эта модель станет определеннее, если допустить, что каждому стимулу а соответствует идеальное ощущение с некоторым шкальным значением m (а). Ощущение, действительно воспринимаемое при конкретном проведении эксперимента @ Ь), получает шкальное значение а. По предположению Терстоуна, а есть случайная величина, как-то распределенная около идеального ощущения т (а) ). В случае когда Л — произведение множеств, й-мест- ным стимулам (^, . •., 〃左)соответствуют ^-местные ощущения (а1? . . ., afe), распределенные в йЛ около (т (%), . . ., m (aQ). Наблюдается отклик R (仪工,...,a&). Предположим, что задано распределение Р (а】,.•., 〃冗,Q) (т. е. вероятность того, что отклик на стимулы (alt ...,匆)принадлежит множеству D £ 箔* где 箔兀——борелевская алгебра на Rft).

Пусть вероятность набора шкальных значений (ах, . . ., afe) £ € D W 丸 представлена в форме

И.2.1.Q (0亠(加 @),...，加伍))),

Знание этого раздела не обязательно для понимания последующих»

ГД^ Q - (Г1， • • •» 厂在) {(*1，1，• • •, %к 厂fe)• (%i，• • • %А)С。}•

(Операция + определяется аналогично.) Кроме того, предположим, что некоторое множество в %兀 имеет положительную Q-меру тогда и только тогда, когда оно имеет положительную меру Лебега.

Предложение. Для всех z = 1, 2, . . ., fe равенство

Q (°(%i，• • •, х?, • ♦ •, %r)) Q (Q- (%i，• • • > 无е, • . . %丸))

для всех Q С %' влечет * = *.

Доказательство. Если указанное равенство справедливо для всех Q С %*，то оно справедливо и для D = {(^,... • • •, &2，• • •, Eh)・ Ei ^^。}・ ПОЛОЖИМ

D = D (%i，. . ., Xj, • . •,无冗)~ {(21, • • •, &%，•••， Er)：

&Z ^^修},

D — D (Xj, . . ., Xi, . •.,冲)—{(^i, • • •, ^i, • • •» &兀)：

& & 一 Если * > % то множество

D" — О = {(£,..., ",...,舗：一x[ V 扇 & —抬}

имеет положительную меру Лебега, откуда Q (Q" — Q') > О, Поскольку Df и D", то это противоречит тому, что Q (О) = Q (0")・

Наконец, предположим, что отклик зависит только от относительного расположения стимулов, т. е.

R (% + 〃，. . .，ctk + 〃)= R (%,..., afe).

Пусть R」(D) = {(%,..., aj R (%,..・，陶 £ D}. Тогда P @, • • •,叫 D) = Q (К" (Q)亠(加(％), • . •，加包))).В силу предположения 11.2.3 R-1 (D) + (и, . . ., и) = У?"1 (D). Обозначим

Q* 的，Q) = Q (R-】(Q)亠(%i，・• •，％))・

Тогда Q* (xj + и, . . ., xk + 〃，О) = Q*(/,・・・，&, О). Далее, согласно предложению 11.2.2, равенство

Q* (%1，. . ., Xi, • • •, %兀，Q) == Q* (%1，• • •,修，• • •，％h，Q)

для всех D € %友

влечет х[ = xl, если 七'砂=.羽匕 Поэтому распределение Р (а】,...,〃冗,О) допускает каноническое представление Р (а^ . . ., akf D) = Q* (m Q),・・.，/и (a/, D). Если А — упорядоченное множество, m — монотонная функция и m (Л) ——связное множество, то последнее соотношение определяет шкалу /и,

12*

единственную с точностью до линейных преобразований (теорема 10.2.3, (Ь)).

Семантический смысл условия о представлении вероятности в форме 11.2.1 станет яснее, если выразить меру Q через ее плотность по мере Лебега. Тогда указанное условие будет эквивалентно требованию, чтобы эта плотность была типа

屮(％ — m (а), • • ., ak — m 伍))，

где ф не зависит от m (а». При этом не требуется, чтобы а1? . . ., а^ были стохастически независимы. Тем не менее условие с формулой 11.2.4 ограничительнее, так как оно предполагает, что плотность зависит от данных т Q) очень простым образом. Например, в случае нормального распределения из формулы 11.2.4 следует, что ни дисперсии, ни ковариации не зависят от/и @). Это означает, что стохастическая зависимость между шкальными значениям (%, aj одна и та же независимо от того, совпадают или существенно различаются стимулы %, @2，порождающие (^, а2).

Формула 11.2.4 наводит на мысль рассмотреть другие модели, в которых плотность зависит от т (а】),...,/п (аА), например

k

о к к /%—〃(&!)ah—m®) \ тт 1

"/(加(饱))丿.丄丄f(m(/)) .

г=1

В этой модели делается поправка на различные дисперсии, зависящие от «идеальных» стимулов. По существу эта модель требует, чтобы шкальные значения т (а) были единственны с точностью до преобразований растяжения.

Отметим особый случай модели 11.2.5, по существу эквивалентный модели 11.2.4: случайные величины существенно положительны, m (а) > 0 для всех а ^А н f (т (а)) = ит (а). Тогда можно положить

屮(%h..办)=中g«‘ 一1)，…』件一1)) n

г= 1

0i = log аь n (а» = log m (q0 и получить плотность в виде % (Bi —九 3工)，.…，Pfe —几(％))，т. е. типа модели 11.2.4.

Конечно, не существует способа различить эти два допущения на эмпирической основе: если одна из моделей подходит к исходным данным, то подходит и другая. Выбор одной из них (т. е. выбор между шкалами т и log ап) должен производиться по предварительным соображениям. Ситуация становится другой, если в нашем распоряжении есть какая-нибудь дополнительная шкала. Тогда вопрос, постоянна ли дисперсия распознавания, если ощущения а измерялись в данной шкале, становится содержательным. Такая ситуа-

ция встретилась, например, в экспериментах Экмана и Кюнна- паса [1, 2], в которых оказалось, что шкалы эстетических ценностей, построенные на основе оценки отношения, совпали со шкалами парных сравнений, построенными исходя из предположения о пропорциональности дисперсий распознавания средним значениям.

77・3・ Измерение стимулов

В этом разделе мы рассмотрим случай, когда отклик R (а, 6) не зависит от b € В. Поэтому мы будем писать просто R (а). Если бы каноническое представление было возможно, оно позволило бы определить шкалу интервалов для 力.Мы дадим пример для случая, когда R (а) — вероятностная мера, скажем Р (a, D).

Теорема. Предположим, что Л и С — упорядоченные связные множества, содержащие по крайней мере два элемента, и 炒 есть а-алгебра, порожденная множествами (ч-, d) для d £ С・ Предположим, кроме того, что

(*) Р (а\ D) = Р (a", D) для D = (+, d) влечет а! = а"

и

(**) Р (а, /) > 0 для любого невырожденного интервала /£®・ ЕСлн существуют такие монотонные и непрерывные функции

/п: Л R,

削 С т К, причем 切=々г箔，

и такая функция Q (%, В): К х 毋 f 叱 где Q (% 十弘 8上〃)= =Q (x, В) для всех 爲〃 £ 危，В £ 毋，что Р (a, D) =Q (m (а), k (D)) для всех 力 £ 乳 то функции т, h о Q единственны с точностью до системы преобразований

т* (а) == ат (а) + 3 论* (с) = а归(с) + %

Q*(%, 5) = Q(G^,旦*9 для %£加*(用，

если направления возрастания для т* и т9 а также для k* м k одинаковы. Кроме того,归(С)=照.(Заметим, что vB 丄 出= ={w% + 卩：％ € В} )

Доказательство. Допустим, что k (С) и К・ Так как множество С связно и функция k непрерывна, то без потери общности можно считать, что а = sup k (С) <оо. Отсюда следует,

что 1 = Р (а, С) = Q (т (а), k (С)) & Q (т (а), (—сю, а]), т. е. Q (т (а), (—оо, а]) = 1 для всех а А. Пусть стимулы а» £ Л, i = 1, 2, 3, выбраны так, что т (“J <т (&) Vm (〃з)・ Тогда Q (т Зз) + m (aJ — т 侬)， (一оо, а + m @) — m Зз)】)= =Q (m (а?), (—оо, а]) для z = 1, 2.

Если 8 <т (а3)—т («0 для /=1, 2, то (?(т(а) (—оо, а—8)) = 1 для г = 1, 2 и, значит, Q (т (生),归(С) П (—8, а — £)) = 1 для i = 1, 2. Так как существует такой элемент d《С, что k (С) П П (—оо, а — с)=々((■<-, d)), если функция k монотонно возрастает, и' й (С) П (—оо, а — е] = & ([d, f)), если функция 々 монотонно убывает, то Р Q, (<-, d)) = Q (а)々((、d))) = 1 или Р (а», [d, f)) = Q (加(a) k (W, f))) = 1 соответственно. Согласно (*), это влечет равенство а】=&，вопреки тому что m (%) V <m他)。

Предположим, что существуют два таких представления: Q (m (a), k (Q))= Q* (m* (a)；々* (D))・ Пусть ф = mom*~х, р = =々。胪т, т* (а) = х, k* (D) = В Тогда для всех х g т* (Л) и В £ 胪(炒)будет Q (屮(х),屮(В)) = Q* (х, В). Пусть 5 =(匕办 Тогда 屮(В) = «,屮(у)) и В + и = у + и).

Положим Q®, (у з)) = Н ®, ш) и Q* (%, (+, у))= 〃* (х, у). Тогда

Н (ф (%),屮(у)) = "* (х, у),

(***)Н (и + и, w + и) = Н (и, ш),

Н* (х + и, у + и) == Н* (х,办

В силу предположения функция Н при х ^т(А) возрастает по у; то же справедливо и для Н*.

Из соотношений (***) следует, что Но (ф (%)—屮(у))= =Н* (х — у), где "о (% — у) = Н (%, у) и /У。，Н — монотонные функции. Это эквивалентно условию / (х — у)= 屮(％)—— 屮 匂)， где / (и) = H^Hq (〃)——монотонная функция. Как и при доказательстве теоремы 10.2.3, получаем

m* (а) =ат,(а) +3

々*(e) = 0^ ⑹ + ?，

Я*(X, у) = Я (^,汨В Для %e加*(4),

так что утверждение теоремы верно для всех В = (+, d), d £ К, и потому для всех 5 g%.

Замечание. Если функции m, k монотонно возрастают, причем k (С) = К, то представление, описанное в теореме 11.3.1, существует тогда и только тогда, когда существует такая функция распределения 儿，что Р (а,с))=儿 伏(с) — т (а)).

Одновременное измерение стимулов и испытуемых

Рассмотрим теперь случай, когда отклик R (а, Ь) действительно зависит от Ь. Определим отношение эквивалентности на В, положив bf q b" тогда и только тогда, когда R (a, b') = R (а, Ь") для всех а ^ А. Пусть множества Л и В содержат каждое по крайней мере два элемента.

Теорема. Пусть С — упорядоченное множество и 4 = А^ где^》1. Пусть R:掰 X Bf С — сократимое отображение и существуют функции т: 4о f К,几：5 f К, для которых т (Ло), п (В)— связные множества, и такая непрерывная функция Н: К& f С, что

R (%, . . ., ак, Ь) = Н (т @) — и (Ь), . . ., m (“Q — и (b)).

Тогда функции m, и, Н единственны с точностью до системы преобразований

m* (а) = ат (〃)+§,

и* (&) =а〃 (Ь) + у,

ДЛЯ Xi £ /и* (4)亠 п* (В) •

Доказательство. Пусть Нг (打，...,xh, у)= =〃 (％i — у, . . ., xk — у). Тогда Нг удовлетворяет условиям теоремы 10.2.3(a), откуда следует доказываемая теорема.

Выбор стимулов, сходных с данными

Опишем эксперимент, демонстр ир ующи й одно из применений общей теории, развитой в разд. 11.3 и 11.4.

Испытуемого Ъ просят подобрать переменный стимул а? так, чтобы он соответствовал данному образцу %. Таким образом, результатом эксперимента (^, b) будет стимул а2. Следовательно, в этом случае С = 4. При этом предполагается, что множество Л упорядоченно. Пусть Р (@丄,&, D) — вероятностная мера, задающая распределение на Л. Во многих приложениях оказывается, что Р (%,瓦 D) не зависит от Ь. Так как оба стимула % & принадлежат одному и тому же множеству Л, естественно предположить, что эти две шкалы совпадают.

Применим теорему 11.3.1 к стимулу а】 вместо а и стимулу а2 вместо d: если существуют такая монотонно возрастающая функция т: 4 f К, m (%) = К, и такая монотонно возрастающая функ-

ция распределения вероятностей HQ (〃), что Р (а】，(+, а?))= =Но (т (а?)—加(@i))， то они определяются однозначно с точностью до системы преобразований

加* (а) = ат (а) + В,出⑷="。 (尚).

Этот метод по существу представляет собой метод средней ошибки Фехнера. В проведенных Фехнером [1] экспериментах были получены распределения частот (которые служили оценками распределения вероятностей Р (a, Q)) для нескольких значений стимула — образца а「Шкалы были построены так, что межквартильный размах оставался постоянным для всех распределений частот. По тем временам это была превосходная непараметрическая процедура.

Парные сравнения

В качестве другого' приложения общей теории, развитой в разд. 11.3 и 11.4, приведем парные сравнения. Рассмотрим следующий эксперимент.

Испытуемого Ь просят проранжировать два стимула а】,а2 по некоторому критерию, т. е. высказать или утверждение 1: «^>^2», или утверждение 2: ш2 > а】》.В этом случае можно выбрать С = = {1, 2}・

Заметим, что сами по себе эти утверждения не допускают возможности а】~ @2, так как безразличие может зависеть не от неспособности испытуемого различить стимулы а】и a2i а от других его свойств. Следовательно, испытуемого заставляют выбрать одно из двух допустимых утверждений, даже если он не способен их различить. Отсюда следует, что Р (%, &, R {!}) + Р (%, а2,仇{2})= = 1. Поэтому одной из этих вероятностей достаточно для того, чтобы охарактеризовать все распределение вероятностей. Мы выберем Р @, &，瓦{1}) и будем писать просто Р (%, а2, Ь).

Во многих приложениях оказывается, что вероятностная мера не зависит от Ь. (Случай, когда она зависит от Ь, будет рассматриваться в разд. 11.12.) Если множество Л содержит по крайней мере два элемента, то шкалу интервалов т: А -^ ^ можно построить, опираясь на следующую теорему.

11.6.2.'11.6.2.'Теорема. Если существуют такое взаимно однозначное отображение т: Л К и такая монотонно возрастающая функция Н на т (Д) —m (Л), что множество т (Л) связно и

11.6.2.'

11.6.2.'

Р (%, &) = Н (т &) — т (&)),

то функции тп Н определяются однозначно с точностью до системы преобразований

/и* (а) = ат (а) + К

”*(〃) = "(^») для 〃£川⑷亠加*(/)•

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из теоремы 10.2.3(a).

Теорема. Если функция Р сократима, т и Н—монотонно возрастающие непрерывные функции и порядок на А определяется условием 11.6.7, то для существования представления 11.6.2 достаточны следующие условия на Р (а】，а2).

Условие непрерывности: для всех а2 Е Л множество {Р (а】, а?)： “1 £ Л} является интервалом; для всех аг ^ А множество {Р (а】, @2)： @2 £ 4} является интервалом.

Четырехместное условие: из Р (а】,а2) {^} Р (а3, “J следует P 31, a3) {<} Р (a2, @4)■一

Доказательство. Определим порядок на Ах А условием 11.6.6.^2 {^} &з&4 тогда и только тогда,

когда Р (%, W {=} Р (@з, &), и порядок на А условием

а；{£} а； тогда и только тогда, -когда Р(4, &) {£} Р «, @2)・

Определение 11.6.7 не зависит от а? в силу предложений 8.2.4 и 8.1.14. Как и в доказательстве теоремы 10.3.8, получаем, что для каждого а С Л множество А X {а} связно в Л X Л. Поэтому все предположения теоремы 9.3.1 выполняются; отсюда легко следует доказываемое утверждение.

Если исследование проводится так, что между экспериментами (% а?) м(“2，%) не существует асимметрии, то

П.6.8.Р (%,啕 + Р(&，@1) = 1，

а функция Н обладает свойством

Н (—х) = 1 — Н (х) для х^т (Л);亠т (Л).

Заметим, что для функций Р, удовлетворяющих соотношению 11.6.8, достаточно выполнения одного из двух условий 11.6.4.

По существу метод парных сравнений представляет собой не что иное, как метод Фехнера правильных и неправильных случаев (Фехнер [1, том 1, стр. 74]). Для выбора Р (。工,а?) в качестве показа-

теля расстояния важен принцип Фехнера: «Одинаково часто отмеченные различия равны».

В этой связи можно упомянуть для иллюстрации работу Торндайка [1], со держащую одно из первых непосредственных применений этого принципа к измерению качества почерка. Его описание шкалы задавалось последовательностью, скажем, аъ а?，• • •，〃忌• • • равноотстоящих образцов почерков, причем члены последовательности выбирались так, чтобы было Р (〃》+1, а» = 0,8.

JL7. Логарифмические модели

условии11.7.1.условии11.7.1.В ряде статей (Бредли и Терри [1], Бредли [I—3], Льюс [1]) проблема парных сравнений рассматривалась при дополнительном

условии

11.7.1.

условии

11.7.1.

P(a,b) Р(Ьчс) _P(atc)Р (Ь, а) * Р (с,力)一—Р(с, а)

Здесь предполагается, что Р (а, Ь) > 0 для всех а, Ь С Л. Кроме того, мы будем считать, что соотношение 11.6.8 справедливо.

Обобщенная модель выбора, приводящая к этим предположениям, обсуждается в разд. 11.10. Условие 11.7.1 действительно очень жесткое. Прежде всего оно влечет за собой выполнение четырехместного условия, так как из Р (а, Ь) {£} Р (с, d) следует, что

Р (а, с) g Р(с, d) Р (Ь, с) _ Р (b, d) Р (с, а)，Р (d, с) . Р(с,万—Р (d, b)，

откуда Р (а, с) {£} Р (&, d).

Поэтому при выполнении для множества А и функции Р соответствующих условий (см. теорему 11.6.3) вероятность Р (а, Ь) можно представить в виде

Р (а, b) = Н (т (а) — m (&)).

В то время как в общем случае вопрос об определении функций Н и т очень сложен, он легко разрешается, если условие 11.7.1 выполнено. Непосредственно можно проверить, что функции

Н (〃)= ——Ц——-, /и (а) = log ?

、/ 1 + ехр (—«)、'& Р (е, а)

при произвольном е £ Д служат решением уравнения 11.7.2.

Если произвольный фиксированный элемент е заменить элементом Г, то шкала m подвергнется сдвигу:

凉⑷=l°g Я?Г^ = l°g [ЯНг' Я?^]=加⑷十 °' где

а 1 Р (в, е')

6 =噢Pgf

ПоложимПоложими (а)=и (а)=Р (а, е)Р (е, “)Р (а, е)Р (е, “)

Положим

Положим

и (а)=

и (а)=

Р (а, е)

Р (е, “)

Р (а, е)

Р (е, “)

Тогда из условия 11.7.1 следует, что

11.7.3.11.7.3.Р(а, SР(а, S〃他)и(а) + и(Ь)〃他)и(а) + и(Ь)

11.7.3.

11.7.3.

Р(а, S

Р(а, S

〃他)и(а) + и(Ь)

〃他)и(а) + и(Ь)

Интересно отметить, что эта модель, обычно приписываемая Бредли и Терри [1], была применена Цермело еще в 1929 г. для измерения игровой способности и (а) шахматиста а. Цермело также исследовал вопрос о том, как оценить игровую способность с помощью относительных частот, соответствующих] вероятностям Р (а, Ь) (т. е. исходя из числа побед игрока а над игроком Ь), используя оценку типа максимального правдоподобия.

Метод едва заметных различий

Цель настоящего раздела ——изучение связи между методом едва заметных различий и методом парных сравнений. Мы покажем, что для упорядоченных множеств А метод едва заметных различий можно рассматривать как частное приложение метода парных сравнений. По содержанию этот раздел близко примыкает к работам Льюса и Эдвардса [1] и Пфанцагля [3]. См. также Фалман [1].

Основная идея метода едва заметных различий заключается в том, чтобы для каждого проявления а подобрать проявление а', которое превосходило бы а на едва заметную величину. Эксперименты такого рода впервые были проведены Вебером в 1834 г. Идея считать все едва заметные различия субъективно равными и использовать их как основу для построения субъективной шкалы принадлежит Фехнеру [11. ,

Для того чтобы уточнить эту идею, отметим следующее:

Понятие едва заметного различия точно не определяется. Определение «едва заметные различия — это такие различия, которые заметны почти всегда» неудовлетворительно из-за выражения «почти всегда». Это понятие можно определить точно, указывая вероятность р, с которой наблюдается едва заметное различие, и задавая для каждого проявления а проявление а', которое с указанной вероятностью р считается выше, чем а. В среднем р принимается равным 0,75.

Даже если понятие едва заметного различия, определенное таким образом, становится ясным и если принять, что все едва заметные различия равны между собой, то этого будет еще недостаточно для построения шкалы. Ведь мы получаем шкальные значения только для тех проявлений, которые встречаются в последовательности а, а', а",.・., и нет никакой возможности определить

шкальные значения проявлений, расположенных, например, между а я а'. Вряд ли можно отрицать, что при наличии физической шкалы для любой практической цели достаточно «интерполяции». При этом, однако, нельзя упускать из виду тот факт, что эта интерполяция дает не определяемые на практике шкальные значения; точнее, они определяются только самой процедурой интерполяции и потому не имеют операционного значения.

Для того чтобы построить полную шкалу, нужно рассмотреть едва заметные различия для всех вероятностей, а не только для одной вероятности. Чтобы быть более точными, зададим отображение w (а, р) множества А X А равенством

Р (ш (а, р), а) = р.

Если функция Р строго монотонна и непрерывна, то отображение w (а, р) определяется однозначно. Оно определяет проявление, которое с вероятностью р будет классифицироваться как более высокое, чем а.

В соответствии с терминологией, введенной Льюсом и Эдвардсом, мы будем называть ш (а, р) стохастической функцией Вебера.

Теперь перейдем к изучению связей между свойствами функции Р и следующими свойствами, которыми обладают функции Вебера:

(а) Для каждого а существует такой невырожденный ин

тервал /аи [0, 1], что отображение ш (а, р) определено для всех р £ /а.

(Ь)他(а, р): р ^ 1а} = А для всех а^А.

Равенство 侬(а。, //)=侬(а。, р") для некоторого aQ^ А влечет р' = /Л

Множество А упорядоченно и связно, отображение а f з (а, р) монотонно возрастает, т. е. из условий 的 V % м Р € Л1 П /а2 следует, что ш (%, р) < V w (а?, р)・ Отображение p-^w (а, р) монотонно возрастает, т. е. из условий ^ < р2 и р】，р2 £ /а следует, что w (а, р^ <ш (а,厶).

И.8.3.w (ш (а, р), д)=侬(з (а, q), р) для р, q R Ig р W Iw^ g)?

q С /ц；(а,р)(т. е. отображения a->w (а, р) и а ш (а, q) коммутируют).

Если Р С /а, ТО 1 — р € Iw(a, р) И Ш(Ш (〃, р), 1 — Р)= 〃・

Из свойств 11.8.2 (Ь) и (с) вытекает, что для всех а С Л среди значений 侬(а, р), р £ /а, каждый элемент множества Л встречается точно один раз.

Из определения 11.8.1 непосредственно следует, что

④(b, Р (а, &)) = а.

С другой стороны, равенство 11.8.5 можно использовать для определения функции Р в терминах отображения 侬.В силу свойства 11.8.2 (Ь) значение 尸(а, Ь) определено для любой пары а, b £ 4. В силу свойства 11.8.2 (с) Р (а, Ь) определяется однозначно.

Теорема, (i) Если функция Р сократима и выполняются условия 11.6.4, 11.6.5 и 11.6.8, то определенное равенством 11.8.1 отображение 侬 обладает свойствами 11.8.2—11.8.5, где порядок на Л индуцирован функцией Р (определение 11.6.7).

Если з обладает свойствами 11.8.2—11.8.4 и /а = 7 не зависит от а, то функция Р, определенная равенством 11.8.5, сократима и удовлетворяет условиям 11.6.4, 11.6.5, 11.6.8 и 11.8.1. Порядок, индуцированный функцией Р (определение 11.6.7), совпадает с порядком, данным заранее в 11.82

Доказательство, (i) Определим порядок на Д и Д X Л условиями 11.6.7 и 11.6.6 соответственно. Тогда множество Л связно, функция Р непрерывна, монотонно возрастает по первой переменной и убывает по второй переменной.

Так как {Р (&, а): b € /} = /а, то свойства 11.8.2(a), (Ь) выполнены; так как ш (а0, р) = ш (%, р") влечет // = = 尸(侬(а。，р), а。) = Р (з (а。，р"), %)= р", то выполнено свойство (с). Проверим (d). Пусть а V b н р W，а П Л- Тогда Р (ш (а, р), а) = р = р (ш (А р), b) V Р (侬(Ь, р), а), откуда 侬(а, р) < ш (А р). Пусть EVE и %, р2 £ 7а. Тогда Р (ш (а, pj, а)=厶 V 厶=尸(侬 @ рЗ, а), откуда 侬(а, Pi) < 5 (а, Е)・

(Р) По определению Р (ш (а, р), а) = р для р £ % и Р 侬(ш (а,办 р), w (а, q)) = р для q е Л, р £ 儿g,q)・ Так как Р (ш (ш (а, д), р),侬(а, g)) = Р (侬(а, р), а), то в силу условия 11.6.5 Р (ш (ш (а, q), р), ш (а,川)к = Р(з(а, д), а). С другой стороны, Р (ш (ш (а, р),д),з(а, р)) = =Р (з (а, q), а) для р, q Е %, q £ 几(。，@), откуда следует свойство 11.8.3.

(?) Если р € /а, то Р (ш (а, р), а) = р. Поэтому в силу равенства 11.6.8 1 — р = Р (а, ш (а, р)). Это означает, что \ — р ^ Iw^p) и а = ш (ш (а, р), 1 — р).

По определению Р (ш (b, Р (а, &)), b) = Р (а, &). Поскольку функция Р сократима, ш (&, Р (а, &)) = а.

Имеем 侬(а, Р (> а)) = Ь. Поэтому ш (6, 1 — Р (&, а))= =ш (ш (а, Р (&, а)), 1 — Р (瓦 а)) = а. Из равенства 11.8.5 и свойства 11.8.2 (с) заключаем, что соотношение 11.6.8 справедливо.

По определению и в силу свойства 11.8.2 (d) функция Р монотонно возрастает по первой переменной и потому (соотношение 11.6.8) монотонно убывает по второй. Отсюда следует, что функция Р сократима и, кроме того, первоначально введенный порядок и порядок, индуцированный функцией Р, совпадают.

(Р) В силу равенства 11.8.5 {Р (&, а): Ь ^ А} = 1а. Следовательно, условие 11.6.4 выполнено, так как множество 乙 связно.

*(?) Из равенства 侬(а, Р 0, а)) = b следует, что Р (ш (а, Р (瓦 а)), а) = Р (&, а). Таким образом, Р (ш & р), а) = р для всех р £ /а.

Сначала докажем, что A (a, b) = Р (w (а, р), w (b, р)) для всех pWL Для этого в равенство 11.8.1 подставим а = = з (瓦 р) и р = Р (а, &). Применим равенство 11.8.5; получим Р (a, b) = Р lw (ш (&, р), Р (a, b)), w (fe, р)]= =Р [w {w (&, Р (а, Ь)), р),侬(&, р)] = Р [w (а, р), w (&, р)]・ Теперь положим Р (а‘，= Р (а", Ь"). Тогда Р (Ь‘，Ь")= =Р (з ©', Р (" 〃))，w (从，Р (а〃，〃')))= Р (а', а"). Для случая Р (а‘, b') v Р (а〃, Ь") доказательство проводится аналогично.

Теорема. Если функция Вебера обладает свойствами 11.8.2—11.8.4 и /а не зависит от а,т существуют такие непрерывные монотонно возрастающие отображения т: А -^ ^ и h: I -^ ^, что

w (а, р) = т^ (т (а) + h (р)).

Отображения т и h единственны с точностью до системы преобразований

т* (а) = ат (а) + §,

й* (р) = ah (р), р W /•

Доказательство. Достаточно применить определение 11.8.1 к представлению 11.6.2. Тогда равенство 11.8.8 справедливо при 用=〃-i. Единственность следует из теоремы 11.6.1.

Теорема 11.8.7 тесно связана с теоремой Хосцу [2]; см. также Аксель [2, стр. 272—273].

Заметим, что отображение ат 侬(з(а, р), q) представляет собой снова функцию Вебера, т. е. Р (ш (ш (а, р), 办 а) не зависит от а. Это непосредственно вытекает из теоремы 11.8.7, так как 侬(ш (а, р), д) = пг，(т (ш (а, р)) + 用(g))=

=加-i (加(а) + h(p) + h ⑷)= =侬 3,用-i 仇 9) + 用(《)))•

Более подробное обсуждение стохастической функции Вебера можно найти у Пфанцагля [3] и Льюса и Галантера [1, стр. 191—244].

119 Выбор стимула из данного множества

Естественное обобщение парных сравнений — выбор из й > I стимулов а】，...,“м испытуемого b просят выбрать по некоторому критерию один из k стимулов {^, . . ., а^. Этот выбор можно описать указанием одного из номеров 1, . . ., k. Таким образом, можно положить С = {1,...,舟.

При 々=2 мы возвращаемся к случаю парного сравнения, так как утверждение《％ > а2» можно рассматривать как выбор ат из множества {%, а2}.

Пусть 尸(а】，...,а左，&, /) — вероятность того, что испытуемый & выберет стимул at из множества {ах,..., 〃以}. Предполагается, что исследование проводится так, что между экспериментами Зз, %, @2), например, и (的，&, @з) нет асимметрии. Во многих приложениях оказывается, что эта вероятность не зависит от Ь.

Теорема. Если функция Р: Ak X С К сократима и существуют представление

Р @, • • ., aki t) = Н (т (%),・・・，m (а/ т (а±))

синвариантной относительно сдвига функцией Я: 0^, m f %, непрерывной по последней переменной, и такое отображение т: Л -> Н, что множество m (Л) связно, то /и и 〃 определяются однозначно с точностью до системы преобразований

/и* (а) = ат (а) + 3

"*(/，•一，旅，勿="(中，・・・，^，^)・

Доказательство. Утверждение следует непосредственно из теоремы 10.2.3(a).

Замечание. Из формулы 11.9.2 получаем следующие свойства функции 从

k

2 "(%,…，/, %£)= 1 для Xi^m (Л),

H Ui, . . ., xhf xt) = H (%〃，. . ., %%,打) для Xi^m (4), всех перестановок (石；，...,%%) набора (打，...,%0 и всех / = 1, •;・，瓦

Аксиома. Если элементы а；, . . ., ^ и а；,...,成 расположены по возрастанию, то равенство Р (а；,...,瀛 f)= =Р (а；, . . ., а言 力 для всех f = 1,...,々 эквивалентно равенству p (山,山)= p (成,山)для всех i,%=1,...，瓦

Теорема. Если функция Р (а19 а^ сократима и выполняются условия 11.6.4, 11.6.5 и аксиома 11.9.4, то существует представление для Р (%,...,耿,％) вида 11.9.2.

Доказательство. Утверждение следует непосредственно из теоремы 10.3.8.

Исходя из вероятностей выбора, Гилфорд [1] вместо Р (аь 的) рассматривает

]]9 6Р (“1, • • •, а&, i)

* . .p (包，•..，例，i) + P 31, 鼐，j) ・

Его рассуждение основано на том, что вероятности выбора содержат информацию о расположении стимулов ai и 的：или а： предпочитается всем остальным стимулам (и потому стимулу а；), или 句 предпочитается всем остальным стимулам (и потому стимулу а). Тогда отношение 11.9.6 представляет собой вероятность, с которой во всех случаях, когда известно расположение стимулов а» и 〃), предпочитается стимул а». Молчаливо предполагая, что на выбор между at, Qj не влияет присутствие других стимулов, Гилфорд заключает, что отношение 11.9.6 равно Р (аь 的).Формально его рассуждение справедливо тогда и только тогда, когда

p St, "力一p (的，• • •，a在，0Р (а力 а») Р (а】，...，а&, /)

Это допущение было формализовано Льюсом [1] следующим образом. Пусть Р (S, R) — вероятность того, что стимул, выбранный из данного множества стимулов S, принадлежит множеству Ru S. Он формулирует

Постулат независимости х): для Ru Su Т

р / Q © 一 Р С，R)尸 0 一 P (T, S) •

Если выбор ограничен множеством S, то вероятность выбрать стимул, принадлежащий множеству R, равна вероятности выбрать стимул из R среди тех выборок из 7, для которых выбранный стимул принадлежит S. Интуитивно эта аксиома означает, что на вероятности условного выбора внутри множества S не влияют стимулы, не принадлежащие S. Если R', R" — два подмножества множества S, то из условия 11.9.7 следует, что

11.9.8.11.9.8.P(S, R，)_ Р(Т, Р)Р (S, R〃)— Р (7, R〃) •

11.9.8.

11.9.8.

Мы отказались от термина «аксиома выбора», предложенного Льюсом, поскольку он уже имеет определенное значение в математике. Эрроу предложил термин «постулат независимости», означающий «независимость несвязанных альтернатив». -

На первый взгляд эта аксиома выглядит правдоподобной. Однако более тщательное исследование показывает, что это не так. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой испытуемый должен выбрать из трех различных блюд: 〃】一свинина, а? — говядина, 〃з ——рыба. Предположим, что испытуемый предпочитает мясо рыбе с вероятностью р (например, р = 6/7 для католиков) и безразличен к свинине и говядине (т. е. предпочитает свинину говядине с вероятностью %). Обозначим Л' = {говядина}, Rn = {рыба}, S = ={говядина, рыба}. Из условия 11.9.7 следует, что

Р ({говядина, рыба}, {говядина}) — Р ({свинина, говядина, | рыба}, {свинина}) Р ({говядина, рыба},~(рыба})Р ({свинина,~говядина, рыба}, {рыба})*

Если, допустим, испытуемый сначала выбирает между мясом и рыбой, а затем — если он предпочел мясо — между свининой и говядиной, то

Р ({говядина, рыба}, {свинина}) = р,

Р ({говядина, рыба}, {рыба}) = 1 — р,

Р ({свинина, говядина, рыба), {говядина}) = р-1/2,

Р ({свинина, говядина, рыба}, {рыба}) = 1«— р.

Следовательно, условие 11.9.7 в этом случае не выполняется, и, конечно, метод Гилфорда неприемлем. По его оценке вероятность Р ({говядина, рыба}, {говядина}) = р была бы равна

Р ({свинина, говядина, рыба}, {говядина})—

Р ({свинина, говядина, рыба}, {говядина})+—

+ Р ({свинина, говядина, рыба}, {рыба})

一 _ Р/2

—p/2 + (1-p) 一2 —".

Подобное возражение против постулата 11.9.7 уже выдвигалось Дебро [2]. Обоснованность этих возражений на практике была показана с помощью эмпирических исследований, проведенных Беккером, Де Гроотом и Маршаком [1].

Однако могут встретиться случаи, в которых постулат 11.9.7 реалистичнее. Один такой случай описывается Кларком [1].

Другое возражение против постулата 11.9.7 можно выдвинуть с формальной точки зрения. Если условие 11.9.7 постулируется для выбора из множества S наилучшего стимула, то почему бы также не для выбора наихудшего? Если же оно одинаково справедливо как для наилучшего, так и для наихудшего, то вместе с так называемым постулатом ранжирования 11.10.6 оно влечет Р (%,.：., 〃卜，0 = \!k для всех / = 1, . . ., k (см. теорему 11.10.9).

Постулат независимости 11.9.7 имеет ряд красивых следствий. Например, из него следует, что

р〃、°1)

, 曾 2丿-р(а], a2, а3, 1) + p (的，a2,a3, 2)，

откуда непосредственно получается соотношение 11.7.1 (см. Льюс [1, стр. 16; теорема 2]).

Теорема. Если постулат 11.9.7 справедлив, то существует такая положительная функция и (а), единственная с точностью до преобразований растяжения, что

11.9.10.11.9.10.Р (“1, • • •, л^,, /)=Р (“1, • • •, л^,, /)=и(*

11.9.10.

11.9.10.

Р (“1, • • •, л^,, /)=

Р (“1, • • •, л^,, /)=

S и(闻 3=1

Заметим, что это непосредственное обобщение формулы 11.7.3.

Доказательство. Пусть е £ 4 — произвольный фиксированный элемент, и пусть

。⑷二^，

0 @） 少 （/）勿（仰） P Q,曲/P Q，修）

2 0⑷)2и(闻加(％2, Р(因，s)/p (的，闻

j=ij=ij=i

—.P (a1,. . ., a友,i)/P (a1,. . ., а八,1) p(aq月j)

2 P (“i, • • •, ^ki j)/P (%, • • •,。兀，1)

Для того чтобы показать единственность, предположим, что v — другая такая функция. Для любого элемента at W{@i, • • •, @左} имеем

k

vf （%）=，斗U （的）p （%,...，Qa,力=

=lzj（的）但J（的）］0（%）.

Представление 11.9.10 для вероятностей выбора было предложено Терстоуном [5], Бредли и Терри [1], Гулликсеном [1], Пендерграссом и Бредли [1]. Из условия 11.9.7 оно было выведено Льюсом [1], стр. 23, теорема 3].

Если вероятности выбора объясняются некоторым процессом распознавания, то постулат независимости 11.9.7, вообще говоря, не выполняется. Условия, налагаемые на процесс распознавания и гарантирующие выполнение постулата 11.9.7, по-видимому, неизвестны.

11.10. Ранжировки

Другим обобщением парных сравнений являются ранжировки k стимулов. Испытуемого b просят проранжировать й данных стимулов, скажем аъ . . ., @兀,по некоторому критерию. Ранжировку 。€丄 > • • • > % можно описать последовательностью индексов 伉，• • •，ife). Таким образом, можно считать, что множество С состоит из всех k\ перестановок чисел 1, . . ., k.

При ^ = 2 мы возвращаемся к случаю парных сравнений. (Пространства исходов различаются лишь формально: ранее было С = ={1, 2}, теперь С = {(1, 2), (2, 1)}. Однако существует взаимно однозначное соответствие 1 f (1, 2), 2f (2, 1).)

Пусть Р (а】，...，〃左，Ь, &, . • ., &) — вероятность того, что испытуемый Ь ранжирует стимулы а】，• • ., @左 в порядке 〃〃>... ...>aife. Во многих приложениях вероятность Р (а】,.• •, а^, &, ii, . . ., ik) не зависит от Ь. В этом случае будем писать Р (@工,...

Аксиома. Если стимулы 〃；, . . ., а^ и ^, . . ., а£ расположены по возрастанию, то равенство Р (а；,...,规，&,...,浦= =Р (а；,...,成，&, . . ., iQ для всех перестановок (丸...,i/ множества (1, . . ., ^) эквивалентно равенству Р (&, а()= =Р (а；, а；, для всех i, / = 1,・..,«.

Теорема. Если функция Р (а', а") сократима и выполняются условия i 1.6.4, 11.6.5 и аксиома 11.10.1, то существуют такие функции т: А -^ ^ и Н: (т (Л) —m (4))fe f К, что

(*) 尸(^i, • • •>。月，&,・••，iQ

=H (tn (%) — т (%), •..,加(&) — т (а%)).

Доказательство. Из теоремы 10.3.8 вытекает существование монотонных функций т и "о, для .которых Р (а', а")= =Hq (т Е) — tn (аЭ). В силу аксиомы 11.10.1 отсюда следует существование представления (*).

Практическое преимущество метода ранжирования заключается в том, что за одно и то же время он позволяет собрать значительно больше информации, чем в случае парных сравнений. Для k стимулов проводится одно ранжирование, но — 1)/2 парных сравнений. При 々=10 это означает: 1 ранжирование против 45 парных сравнений. Поэтому ранжирование широко используется в исследованиях. Однако обработка полученных результатов не всегда

корректна. Обычно заранее принимается без доказательства, что парные вероятности Р （q“，aj можно вычислить из вероятностей Р （%, ••・，&,&,..., %） суммированием по всем перестановкам Gi, • • •,九），в которых стимул V предпочитается стимулу 卩（что будет обозначаться （w V 卩），т. е.

im = ^> in = ^ влечет m V 〃•

Условие согласованности ранжировок:

р （а”，“и） = 2 р （%, • • •，@а, ч» • • •»^）•

РСК

Это условие оправдывается тем, что в этих （и только этих） ранжировках стимул @以 поставлен выше стимула av и он выбирался бы из множества {〃卩,〃▽}, если бы не было других стимулов. Допущение, подобное этому, было сделано Хевнером [1] и Тер стоуном [6].

Льюс [1, стр. 71] приводит пример, показывающий, что условие согласованности ранжировок не всегда выполняется. В этом примере Льюс исходит из предположения, что ранжировка строится на основе парных сравнений следующим образом: из множества стимулов {а】, а?， Оз} испытуемый выбирает наугад одну пару и ранжирует ее элементы. Затем он наугад выбирает один из них и сравнивает его с оставшимся третьим. Если ранжировка не получается, то он сравнивает оставшиеся два элемента. В этой процедуре

Р（%, 〃2, 〃з,厶,》2, »з） = ^" Р （“и, а%）尸（。切“抬）[2尸（а”，&з） + 1]・

Легко видеть, что условие согласованности не выполняется.

По этой причине Льюс пытается сформулировать интуитивные условия, достаточные для того, чтобы обеспечить согласованность ранжировок. Следуя Льюсу [1, стр. 73], получаем:

Теорема. Способы ранжирования, основанные на процессах распознавания независимых ощущений （формула 11.2.4）, дают согласованные （условие 11.10.3） ранжировки.

Доказательство. Если функцию Р （的,а2, а^ “, %，»з） можно описать с помощью процесса распознавания （разд. 11.2）, то существует такая плотность распределения ф （ах — т （ах）, % —加（@2），а3 — m （@з））, ЧТО

Р （%，“2，“3,力1, »2, ^'з）==

+ооа〃а；?

= jJj 屮（%一m@）, CX2一加（a2）,

%=-8 а『-оо а；3=-оо

% —加（&）） dai da2 侬.

Из представления 11.10.5 непосредственно следует, что

Р(〃1, &，@3，1，2, 3)+P(Q[, “2,。3，1，3, 2)+「(〃丄，@2，“3，3, 1, 2)=

+8 ai

= j j屮0 ©1—/И (〃[)，《2 — 加(〃2)) doS[ d(Z2,

(X1= — оо (Х2= — °°

где

Фо (&, &2)= J Ф (Е1，占2, Ез) d&3・

В общем случае процесс распознавания 屮(0^ — m (^), a2 —— ——т (а?)), определяющий ранжировку стимулов ^, a2, может отличаться от процесса 屮。(ai — т (aj, a2— tn (a?)), так как наличие стимула @з может влиять на ощущения ах и а2. Но поскольку в условии теоремы предполагается независимость ощущений, то

Ф (ах — m (“0, а2 — т (@2), а3 — т (%))=

=屮(a1一m (的))ф (a2 - m (仰))屮(а3 -m(%)) и потому + 8ai

jj 屮0(M—加(色)，a2一加(a2))出打d以2 =

Otl= - 8 a2= - °°

=P (%, “2, 1，2) —P (di, &)•

Другая теоретическая модель, обеспечивающая согласованность ранжировок, также предложенная Льюсом [1, стр. 72], опирается на так называемый

Постулат ранжирования:

Р (%,..., 〃冗，^1» • • •»，兀)==:

~~ Р (%, • • •, “冗，，1) Р (%, • • •, ^11—1» a〃+i, • • a月，，2，• • •，，友)•

Правдоподобную ситуацию, в которой постулат ранжирования не выполняется, можно продемонстрировать на примере, описанном в разд. 11.9. Если испытуемый сначала выбирает между рыбой и мясом, а затем между свининой и говяддаой, то вероятность получения ранжировки «свинина > говядина > рыба» равна р/2. Тем не менее

Р ({свинина, говядина, рыба}, свинина) = у ,

Р ({говядина, рыба}, говядина, рыба) = р.

Легко видеть, что постулат 11.10.6 не выполняется.

Заметим, что даже при распознавании с независимыми ощущениями постулат ранжирования не обязательно выполняется. Уело-

вия, достаточные для того, чтобы в этом случае^ обеспечить выполнение постулата ранжирования, по-видимому, неизвестны.

Приведем теорему （Блок и Маршак [1, стр. НО, теорема 3.7]）, обобщающую теорему 9 работы Льюса [1, стр. 72].

Теорема. Если одновременно выполняются постулаты независимости 11.9.7 и ранжирования 11.10.6, то ранжировки согласованны （условие 11.10.3）.

Доказательство. Очевидно, что теорема справедлива для & = 2. Чтобы доказать ее справедливость для произвольного k9 покажем, что она справедлива для 归，если справедлива для k— 1. Из условий 11.10.6, 11.9.7 и 11.9.10 следует, что

У Р （〃з • •・,@h,，i, • •・，^fe） =Р （@丄，• •・,。冗，Y）= ~^ ~• il=Y2 U（%）

г=1

Кроме того, из условий 11.9.7 и 11.9.10 следует, что

v<gii=v

+ 2』P （。1, • • •, ii, • • •, »a） •

y=l,…，丸 vVK

Снова применяя условие 11.10.6, а затем предположение индукции, получаем

2 Р （@1, • • •, @йл Ц» • • •, »к）= ”=Y

=2 p （a],.•.,纵,Y） P （"],..., Qy-l,a卄丄,• • ., a九,i2，•…，曲）=

= P（""h, ?）爲我w Так как

2 p （%，• • •，a丸，Y）= L

TO

У P （^i, • • •,随，》i, • • •，^fe）= v<n

=0（«v）. /i D（aJ —少（砧） u（aj =

2。a）十I 2oQ） 2 s（/•）几伍）+ь（初

0g）+以初 、v,同

То обстоятельство, что постулаты независимости и ранжирования далеко не обязательны для согласованности ранжировок, можно видеть из примера в разд. 11.9, для которого ни постулат независимости, ни постулат ранжирования не выполняются, а ранжировки согласованны. По существу та же ситуация имеет место при любом процессе распознавания с независимыми ощущениями.

Помимо возражений против постулата независимости, выдвинутых на эмпирической основе (стр. 193), отметим еще, что вместе с постулатом ранжирования постулат независимости приводит к очень ограничительному результату, если он принимается для выбора как наилучшего, так и наихудшего стимула.

Приведем теорему (Блок и Маршак [1, стр. 111, теорема 3.8]), обобщающую теорему 8 работы Льюса [1, стр. 69].

Теорема. Из постулата ранжирования 11.10.6 и постулата независимости 11.9.7, принимаемого для выбора как наилучшего, так и наихудшего стимула, следует, что

Р (@丄，...,а^, /) — для /== 1,

Доказательство. Пусть Р (^,. . ., akt t)

[Р* (а】,...,akf /)] —вероятность того, что стимул at выбирается в качестве наилучшего [наихудшего] из стимулов alf ... ...,〃丸.Тогда, если постулат 11.9.7 справедлив для обоих типов выборок, получаем соответственно два представления

П.Ю.9.PQ,

2 "(闻

При 々=2 имеем Р (电,&，D = Р* 3i，@2，2). Отсюда и из соотношений 11.10.9 следует, что и (的)и* (“J = и (&) у* (й2)- Поэтому

(*) Р (%, • • •, 〃九，0 Р* (“и . . ., ak9 f) не зависит от t.

При 々=3

尸а, "2, "3, il, 22,，3)='他，&,的，3。(%)；:(%)

'2， 3，1 p (码，a2,a3, "2)4~p (4, a2,a3, %) . Аналогично

=p* ("1，饱，a3, %)=p* ("1，饱，a3, %)尸(〃h “2, “3,厶，，2, »3)~ 尸* (%, “2,。3, ％) * 0. ) + ；*(〃.)=

=p* ("1，饱，a3, %)

=p* ("1，饱，a3, %)

P* (a1，a2,a3,厶)+ P* (a1，a2, a3, »2)

Из этих двух уравнений, учитывая (*), находим

Р (%, &，“з，h) + Р 31，@2，@з，U =

=Р* (@i，&，“з，J) + Р* (电，&，@з，%)• Аналогично

Р (&,。2, @3，ч) + Р (%，&，〃3，G)=

=Р* (“1，@2, @3，幻 + Р* (%, &, “з，i力 Таким образом, Р* (的,а2, “з，&) = Р* (电,犯，“з，玛)Для всех &,，2 и，значит,

Р* (@丄，“2，〃з，％)=百 Для / — 1, 2，3・

Следовательно, также Р (а】,&，口3，0 = '/з Для / = 1, 2, 3.

//.//. Отклики в экспериментах на выбор стимула^ сходного с данным

Другое приложение общей теории, развитой в разд. 9.3 и 9.4, состоит в следующем:

Из данного множества стимулов {^, . . ., а^} испытуемый должен выбрать стимул, наиболее сходный (по некоторому критерию) со стандартным стимулом а。(который в зависимости от специфики эксперимента может совпадать или не совпадать с одним из стимулов а】，.• ., а)

Испытуемого тренируют реагировать на каждый стимул а 6 Л определенным образом. Пусть с (а)——отклик, специфичный для стимула а. Тогда испытуемый подвергается воздействию стимула а。и регистрируется отклик с.

Нетрудно понять, что если с каждым откликом с (а) сопоставить стимул а, то мы придем к обобщению метода подбора стимулов. Если соответствие А ^ С таково, что подобным откликам соответствуют сходные стимулы и обратно, то в качестве показателя сходства стимулов “° и а можно принять вероятность, с которой с (а) встречается в качестве отклика на стимул а。. Точнее, если данный эксперимент ограничен откликами, соответствующими стимулам @1， . . ., ak, то отклик с (а。на стимул а。можно считать эквивалентным суждению о том, что из всех стимулов а。 . . ., а丸 стимул а^ наиболее схож со стимулом а。. В этом конкретном случае эксперимент с абстрактной точки зрения становится эквивалентным эксперименту, описанному в задаче (i).

Заметим, что задачу (i) можно также рассматривать как некоторое обобщение задачи парных сравнений. Именно так будет в случае, если задача идентификации стимула 旬 с одним из стимулов

“и ..., “九 считается эквивалентной задаче соотнесения стимула а^ с одним из интервалов (*, а】| а2),(а】| “2, “2 I 〃з)，• • •

...,(味1 I “a，f )，где 优 I а" обозначает середину между 〃' и а". Парное сравнение, т. е. ранжирование стимулов % и а】，эквивалентно соотнесению стимула а。с одним из интервалов (<-, “J или (“и f) и потому может рассматриваться как случай, в котором задача соотнесения вырождается при 々=1.

Испытуемый должен ранжировать стимулы а】,.・.,ak по их сходству с некоторым стандартным стимулом “°.

В задачах (i) и (ii) эксперимент дает вероятность Р (@口 . •. ・• •， “冗，“о， 0 того, что из всех стимулов ^,..., 〃女 наиболее схож с “° стимул %• Имеем

k

2 尸(°], • • •, 〃女，a。, i) = 1 • 不=i

В задаче (iii) эксперимент дает вероятность Р (^, . . ., ak, a。, q, • •。 ・..,加) того, что а%, . . ., aik ——это упорядочение стимулов 〃i，• •.,匆 по их сходству со стимулом а。. Имеем

W Р (“1, 匆，“О，Ч, • • •» ’h) = 1 •

Шкалы можно построить аналогично тому, как это сделано в разд. 10.3.

Дихотомическая оценка

Все рассматривавшиеся до сих пор функции откликов были типа суждений, т. е. значения вероятностей откликов не зависели от испытуемого. Теперь мы исследуем простейший случай оценки (т. е. когда функция отклика зависит от испытуемого)——случай дихотомического отклика. Мы покажем, что каноническое представление приводит одновременно к шкале для стимулов и к шкале для предрасположений испытуемых и эти шкалы единственны с точностью до линейного преобразования.

Испытуемый Ь подвергается воздействию стимула а, причем разрешаются два различных вида отклика — позитивные и негативные. Если позитивный отклик обозначать символом 1, а негативный —символом 0, то множество откликов примет вид С = {0, 1}. Как и в методе парных сравнений (разд. 11.6), чтобы охарактеризовать все распределение вероятностей отклика в случае дихотомического отклика, достаточно одной функции распределения. Поэтому мы выберем вероятность позитивного отклика Р (a, b, {1}), которую будем обозначать Р (а, Ь).

Заметим, что вероятность Р (а, Ь), рассматриваемая для фиксированного а (стимула или признака) как функция от & (предрасположения), в анализе латентных структур называется графиком, а в теории умственных тестов — характеристической кривой.

В табл. 1 приведено несколько примеров на эксперименты такого типа.

Таблица /

* Объект исследования

Испытуемые

Стимулы

Исследуемое свойство испытуемого

Характеристика стимулов

Отклик

негативный

ПОЗИТИВНЫЙ

Смертельная доза (медицинского) препарата

Животные

Дозы препарата

Сопротивляемость

Сила 1 дозы)

Умер

Еыжил

Выполнение задания

Люди

Задачи

Способность решать задачи

Трудность решения

Не решил

Решил

Установка

Люди

Утверждения

Наличие установки

Установка, выраженная в утверждении

Не согласен

Согласен

1) Здесь под силой, конечно, понимается мера эффективности стимула в данном эксперименте, а не сила в физическом смысле.

Для дихотомического отклика удобно различать два случая.

Для всех Ь вероятность Р (а, Ь) монотонно зависит от а.

Условие (i) не выполняется.

Первый случай, естественно, встречается при измерении стимулов, для которых позитивный отклик на стимул а' по существу влечет позитивный отклик на любой стимул а!' ＜；〃'，за исключением случайных отклонений. Это характерно, например, для зависимостей дозировка —— смертность. Если животное выжило после дозы а', то оно должно выжить также и после дозы a" va'・ То же относится и к тестам на выполнение задания: если испытуемый решил задачу а', то он должен решить и более легкую задачу а". Следуя Мостеллеру [1], мы будем называть стимулы такого рода кумулятивными стимулами.

Второй случай встречается при измерении установки испытуемого. Если, например, стимулы содержат утверждения относительно расового вопроса, то естественно ожидать, что некоторые люди будут занимать несколько умеренную позицию. Они будут не согласны с любыми крайними заявлениями по этому вопросу. Хотя для некоторых испытуемых функция отклика и в данном случае может

быть монотонной, для всех испытуемых это не обязательно. Стимулы такого рода будут называться некумулятивными (Мостеллер [1]'))・ Если Р — сократимая функция и существует представление

Р (a, b) = Н (т (а) — п (Ь))

с непрерывной функцией 〃： К т К, причем т (А) и п (В) — связные множества, то по теореме 11.4.1 это представление единственно с точностью до системы преобразований

т* (а) = ат (а)+ 支

и* (Ь) = ап (6) + %

"* (%) — 〃 ( ?_£+у ) для xQm* (Л) —и* (В).

Если такое представление существует, это дает возможность считать m (а) мерой интенсивности стимула, а и (Ь) — мерой предрасположения испытуемого.

Представляется естественным рассмотреть, кроме того, другое каноническое представление, как, например,

p(@，…(畤4

В этом случае различающая способность испытуемого Ь, выраженная величиной s (Ь), может зависеть от трудности выполнения задания. Тогда отображения также единственны с точностью до линейных преобразований, если принимается соглашение об исключении нецелесообразных шкал (см. разд. 10.4).

Одно из первых практических приложений этой модели, допускающей, что Н — функция нормального распределения, относится к измерению умственных способностей и принадлежит Терстоуну [1]. В этом приложении различные значения & соответствуют различным возрастным группам и допущение о том, что стандартное отклонение зависит от Ь, представляется вполне естественным.

Эта процедура дает одновременно оценки шкальных значений как стимулов % . . ., akt так и испытуемых %, . . ., Ьт. Нет необходимости, как это обычно делается при испытании умственных способностей, получать «отметки» (шкальные значения) для различных «вопросов» (задач) на основе предположения, что отметки, полученные испытуемыми в однородной популяции, распределены нормально.

Заметим, что случай (i) монотонной функции Р тесно связан с парными сравнениями, а случай (ii) не обязательно монотонной функ-

В литературе вместо терминов кумулятивный и некумулятивный используются также и другие: Торгерсон, например, называет их монотонные и немонотонные^ Ловингер — кумулятивные и дифференциальные; Кумбс — монотонные и немонотонные} Терстоун и Чейв — возрастающей вероятности и максимальной вероятности.

ции Р — с методом обобщенного стимула. Если мы отождествляем множество Д с В (и тем самым выдвигаем добавочное требование, чтобы соблюдалось условие m = и), то возникает задача, в которой вместо испытуемого b фигурирует стимул а0. Формальная проблема нахождения таких двух шкал тип, чтобы существовало представление, сводится к более простой проблеме нахождения одной шкалы т, для которой существует каноническое представление.

Отметим, что в определении Р (а, Ь) как функции от а при фиксированном b отклики одного и того же испытуемого на различные стимулы предполагались независимыми. Только при этом предположении функция отклика дает полное описание реакций испытуемого на стимулы. По существу случай зависимого отклика также можно исследовать методом канонических представлений. Рассмотрим эксперимент, в котором испытуемый подвергается воздействию k стимулов а】,...,ak. Пусть 勺一случайная величина, принимающая значение 1 в случае позитивного отклика на стимул i и 0 — в случае негативного отклика. Тогда обобщенный отклик на множество стимулов %, . . ., ak можно описать вектором ⑵，...，zQ с координатами 0 и 1. Этот вектор имеет 2' возможных значений, называемых в латентно-структурном анализе образами отклика. Пусть Р (〃“ ..., 〃左,b, z】,.• ., 2fe) — вероятность образа отклика (马，...,zQ, если испытуемый 6 подвергается воздействию стимулов а】,...,ak. Шкалы тип единственны с точностью до линейных преобразований, если эти 2' вероятностей можно представить в виде (см. теорему 11.4.1)

Р (а】，...，〃兀，b, Z], • •.,马)—

2丸(加他)一几(6),…，m(ah) — n(b)).

Практическое определение шкальных значений m (〃，，... ...,m (〃左)и n (b) для различных испытуемых b значительно упрощается, если эти оценки зависят от (z】,...,z左)только через подходящую статистику ±2^ (т. е. если каждая оценка зависит только г=1

от числа позитивных откликов на стимулы ^,..., “丸,но не от распределения позитивных откликов по этим стимулам). Условия, при которых эта частная простая модель применима, обсуждались Рашем [1] и Бирнбаумом [1].

Глава 12

СОБЫТИЯ, ПОЛЕЗНОСТЬ И СУБЪЕКТИВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

В этой главе мы изложим специальный подход к одновременному измерению полезности и субъективной вероятности. Связь этого подхода с некоторыми родственными теориями обсуждается в разд. 12.7. Автор отказался от первоначального плана включить всесторонний обзор по измерению полезности, поскольку имеются обзорная статья Фишберна [1] и его монография [2].

/2・7. Алгебра событий

Пусть 宮一система событий. Мы будем обозначать их прописными буквами Р, Q, R, . . . . Предположим, что для событий в системе 宮 определены операции объединения (U), пересечения (р) и дополнения (отрицания) ("). Объединение Р U Q интерпретируется как событие, происходящее, если происходит хотя бы одно из событий Р или Q. Пересечение Р П Q интерпретируется как событие, происходящее, если происходят оба события Р и Q. Дополнение Р интерпретируется как событие, происходящее, если не происходит событие Р. Мы будем предполагать, что система 宮 замкнута относительно этих трех операций.

Определение. Система 宮 называется булевой алгеброй, если на ней определены операции U，П и ~, обладающие следующими свойствами:

Коммутативность: PnQ=Qf]P, PUQ = QUP・

Ассоциативность: Р U (Q U R)=(尸 U Q) U R,

Pn(QnR) = (PnQ)flR・

Дистрибутивность: Р П (Q U R)=(尸 П Q) U 仍 П R)，

PU(QnR) = (PUQ)fl(PUR)・

Закон поглощения: (PUQ)flQ = Q, (PDQ)UQ=Q・

(Pn^)UQ-Q, (Ри戸)nQ=Q・

Эта система аксиом не изменится, если операции р и J поменять местами. Поэтому из доказательства любого следствия этой системы

аксиом мы получаем доказательство «двойственного» утвержденияt меняя местами символы П и |J • Всюду далее мы будем доказывать только одно из «двойственных» утверждений.

Начиная с разд. 12.2, мы будем писать PQ вместо Р П Q.

Предложение. Элементы булевой алгебры идемпотентные QU Q = QhQ(1 Q = Q для всех Q £ 宮.

Доказательство. Для любых Р, Q £ 宮 из свойств 12.1.2,. 12.1.4, 12.1.5 вытекает, что

Q= (^П Q)U Q = QU РП Q) = (QU Р) П (QU Q)=

=((QU Р)П Q)U ((QU Р)П Q)=

=(仍 U Q) П Q) U (仍 U Q) П Q) = Q U Q・

Доказательство для Q(] Q = Q проводится аналогично.

Теперь можно определить бинарное отношение между событиями.

Определение. Ри Qтогда и только тогда, когда Р П Q = Р.

Согласно закону поглощения 12.1.5, условие 《Ри Q тогда и только тогда, когда Р U Q = Q》служит эквивалентным определением.

Интуитивно это отношение можно интерпретировать так: событие Р влечет Q, т. е. Q происходит тогда, когда происходит Р.

Теорема. Включение и, введенное в определении 12.1.8, индуцирует на элементах булевой алгебры частичный порядок, т. е.

Р и Р для всех Р € 艮

для любых Р, QW* из PuQhQuP следует Р = Q,

для любых Р、Q, R W卷 из PuQmQuR следует Ри R. Доказательство, (i) вытекает непосредственно из предложения 12.1.7.

Если Ри Q и QuP, то в силу закона 12.1.5 Р = Р Q Q = =仍 и Q) П Q = Q・

Если PuQhQuR, тов силу свойства 12.1.3 Р = Р f| Q= = P^(QQR = откуда Pu R・

Предложение. Для любых Р, R @ 卷

⑴Рn?=Rn瓦

(ii)尸U戸=R U R・

Доказательство, (i) Заменяя в равенства^ 12.1.6 Q на В П 冗 получаем (PR Р) U (R f] R) = (R П R)，откуда Р П 戸и R f]疋 Так как это справедливо для любых Р, R £ 队 то равенство доказано.

Из предложения 12.1.10 вытекает, что события Р П Р и Р J Р не зависят от Р £ 宮.Мы будем обозначать их О и £ соответственно. В силу равенств 12.1.6 О U Q = Q и Е f] Q = Q, так что Ou Q и Qu Е для всех Q £ 宮.Событие О называется невозможным событием, событие Е называется достоверным событием булевой алгебры 宮.

Предложение. Если 尸八 /? = О и Р U R = Е, то R = Р.

Доказательство. Из свойств 12.1.2 и，2.1.4 следует, что R с=_Р. В самом деле, R ==_/? f)E = RngUP)=」R П Р) U и (R п 戸)=(尸 n R) и (R П А) =。U (R П 戸)=&П А Двойственное рассуждение приводит к включению R п Р, откуда вытекает справедливость утверждения.

Теорема. Отображение Pf Р индуцирует двойственный автоморфизм:

Р = Р для всех Р £ *,

Р П Q = Р U Q Для всех Р, Q £ 宮，

Р U Q = Р П Q для всех Р, Q £ 宮.

Доказательство, (i) Из определения событий О н~£, учитывая свойство 12.1.2, заключаем, что Р(]Р = ОиР[)Р = =Е. Утверждение следует непосредственно, если применить предложение 12.1.11 к Р вместо Р・

В силу свойства 12.1.4

(РП Q)n(Au@ = (Pn|Qn^U(PflQn@ = OUO =。， (РП Q)U 伊U@ = (PU亍U@n(QUAu@ = EnE = E・ Вместе с предложением 12.1.11 это влечет (ii).

Утверждение следует по двойственности.

Определение. Непустое подмножество 秋 и 宮 называется идеалом, если

⑴ Р U Q £ 饮 для всех Р, Q £ 秋，

Р SW для веек Ри Q, Q £ 秋・

Идеалу 絵 соответствует отношение эквивалентности ^ 快,! определенное условием «Р 勿快 Q для всех Р, Q € 密 тогда и только тогда, когда Р П Q € f и Р р Q W 舒》.

Система всех подсобытий фиксированного события, скажем R € 爲 образует идеал. Идеалы такого типа называются главными.

По причинам, вытекающим из интерпретации системы 名 как алгебры событий, которые станут ясными позже, интерес представляет главный идеал, порожденный скорее R, чем R. Поэтому через ^д мы будем обозначать главный идеал, порожденный R, т. е.

*r = {QW 宮：Qfl R =。}.

Вместо 弋萨五 мы будем писать просто

Предложение. Отношение эквивалентности ^萨 является алгебраическим отношением конгруэнтности относительно операций объединения, пересечения и дополнения, а именно для любых Р, Q, R g 卷 мз Р ^快 Q следует

⑴ PU R ^供QU R,

РП ^^QA ^

A^ 萨 G

Доказательство, (i) В силу свойства 12.1.4 и теоремы 12.1.12

(рик)п(ёЖ=(PuR)n(en^=(pnanR)uRnGw% ^Wn (QUR)= (AnR)n(QUR) = (AnRflQ)u^nQ€*・

Согласно определению 12.1.13, это влечет эквивалентность.

Утверждение следует по двойственности.

Утверждение следует непосредственно из определения.

Предложение. Для любых Р, Q, R € 宮

Р «к Q тогда и только тогда, когда PR R = Q П R・

Доказательство. Из определения 12.1.13 и определения главного идеала 供r заключаем, что Р ^R Q тогда и только тогда, когда Р П Q ^r, и 尸 П Q £ 筛 тогда и только тогда, когда РП^П R =。и 而 Qfl R =。・

Р П R =旦 Г) R влечет P_«R Q, поскольку^P П R = Q Q_ R влечет Pf] Rf] Q = QD Rfl Q = О и Q П R П Р =「П ^ П P= =0.

P qr Q влечет P П R = Q f] R, поскольку ((P П 名)口 n O^)) U ((尸 П R) n (Q П 胆=工尸 n R) n & U 初)и U (彼 U 灭)П (Q П R))=(尸 П R П G) U 炉 П Q П R) =。，откуда РП R = Qfl R・

Каждое отношение конгруэнтности разбивает систему g на непе- ресекающиеся классы (классы эквивалентности). Класс эквивалентности, содержащий событие Р, будет обозначаться 尸萨 или Р, если

нет сомнения- относительно идеала, определяющего отношение эквивалентности.

Определение. Факторалгебра 宮/秋 системы 宮 по модулю 秋 состоит из элементов 后(Р £ & и операций J, р, ", определенных равенствами

d 一一一 上

н а < ^ в Н / X/ £ —PflQ=^nQ, 「UQ=PUQ, P = P・

Это определение корректно, согласно предложению 12.1.14.

Если 密——главный идеал ^R, то факторалгебру будем обозначать через 宮/R, а классы эквивалентности — через Q® (или Q). Отображение /и:宮 f 宮/饮，определенное условием т (Р) = Р, является (естественным) гомоморфизмом системы 宮 на 客/夕.Под действием этого гомоморфизма события главного идеала 饮 отображаются в невозможное событие из 宮/*・ В частности, идеал 饮总= ={0} порождает изоморфизм системы 宮 на 宮/Е・

Предложение. Для любых Р, Q W 卷

(i)加(P)Um(Q) =m(PUQ),

m{P)[\m (Q) =m(P^ Q),

m(P) = m(P).

Очевидно, что факторалгебра 宮/饮 есть опять булева алгебра и частичный порядок между классами эквивалентности определяется условием

/и (Р) и m (Q) тогда и только тогда, когда т{Р) [\ т (Q) = т(Р).

Лемма. Для любых Р, Q € 宮

пг (Р) и tn (Q) тогда и только тогда, когда Р П Q £ *・

Доказательство. В силу предложения 12.1.17 и определения 12.1.13 т (Р) (] т (Q) = т (Р) тогда и только тогда, когда /и (Р П Q)=加(Р), т. е. тогда и только тогда, когда Р Q Q ^ Р, т. е. тогда и только тогда, когда_ (Р П Q) П А £ 舒 и (Р П Q) П П Р € 饮，а это эквивалентно Р П 攵 £ 饮.

Предложение. Ри Q влечет т (P)ai т (Q).

Д_о казатель_ство. PuQ влечет Р f) Q =尸・ Поэтому PnQ = (PHQ)nQ = O€% Теперь утверждение следует из леммы 12.1.18.

Заметим, что утверждение, обратное к предложению 12.1.19, неверно. Это можно показать, положив Q =戸.Тогда Р П Q = 14-01183

=Р £ %, и потому tn (Р) а т (Q). Однако включение Ри Q эквивалентно условию Р = О.

Факторалгебра 卷/R допускает очевидную интерпретацию. Если происходит событие R, то в 宮 индуцируется отношение эквива- лентности: два события Р hQ эквивалентны, если они принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по модулю ^д, т. е. если данное событие R наступило, то наступление события Р приводит к тому же событию, что и наступление события Q. Поскольку @" можно интерпретировать как условное событие Q | R, введенная здесь факторалгебра по существу представляет собой не что иное, как импликативную алгебру Копланда.

Основное различие между излагаемым подходом и подходом Копланда состоит в том, что Копланд считает условные события скорее элементами алгебры 窃 чем классами ее элементов. Мы не решаемся следовать за ним по этому пути, так как выражение^ подобное Р П (Q I R), не допускает семантической интерпретации.

Теперь рассмотрим условные события в 宮/R. Пусть 秋qir = {Р 丨 R W 宮/R： (Р I R) П (Q 丨 R)=。丨 R}

—главный идеал, порожденный событием Q | Р (т. е.货q]e = =^m(Q), где m — естественный гомоморфизм из 宮 на 菅/R). Отношение эквивалентности в 宮/R относительно Q | R редуцирует далее алгебру 卷IR к алгебре (宮/R)/(Q | R).

Обозначим 密 1—идеал в g, ^2—идеал в 宮/欽厶 加】一 естественный гомоморфизм из 宮 на 宮/饮】и т2 ——естественный гомоморфизм из宮/舒1 на (方像0俘2.

Определение.等小=加『秋^ = {Р € 宮：加1 仍)€ 舒?}•

Предложение.秋撈 2—идеал в 宮.

Доказательство. В силу предложения 12.1.17 恤(Р U Q)=加 1 (Р) U 加 1 (Q) € 秋 2 для всех Р, Q W 秋撈 2, 加工(Р) = % (Р n Q)=恤(Р) П 加 1 (Q) € 货 2

для всех Q € 秋工秋2 и всех 尸 и Q.

Теорема. Факторалгебра (宮/秋0俘 2 изоморфна 卷/%秋 2.

Доказательство. Пусть 饮一идеал 将 #? и т — есте« ственный гомоморфизм из 宮 на 宮/舒.По определению 12.1.13 Р ^快Q тогда и только тогда, когда Р QQ 史舒 и Р f) Q £ ^. Последнее эквивалентно условию 飞。恤 ФП Q)= °= m2bgi (Р П Q), где О обозначает невозможное событие из 宮/务 (см. определение 12.1.20). Поскольку отображения т»—алгебраические гомоморфизмы, получаем (предложение 12.1.II), что

Р Q供 Q тогда и только тогда, когда т^Шх (Р) = т^т、(Q).

Таким образом, т2 ° тх ° /и-1 —взаимно однозначное отображение факторалгебры 宮/夕 на (卷俘0/%・ Более того, это изоморфизм.

Следствие. Факторалгебра (宮/R)/(Q I R) изоморфна фактор алгебре 卷/(Q П R) для любых Р, Q, R € 宮.

Доказательство. Р \ R ^ ^Q]R для любых Р, Q, R £ 穹 тогда и только тогда, когда P\R(]Q\R = O\R, т. е. тогда и только тогда, когда (Р П Q) I 7? = О I ^?, т. е. тогда и только тогда, когда Р П Q =饮五，т・ е・ тогда и только тогда, когда Р И Q П С R =。，а это эквивалентно тому, что Р £ 赞qqr・ Поэтому 夕赢|к = %пк，и утверждение следует из теоремы 12.1.22.

Содержание следствия 12.1.23 соответствует аксиоме Копланда (Р I R) I (Q I R) = Р I (Q П R)・

122 Пространство стратегий

Развитый здесь подход можно рассматривать как обобщение подхода Моргенштерна — фон Неймана к измерению субъективных полезностей (разд. 12.6). Он основан на оценке стратегий в азартных играх, пари, лотереях. Под стратегией мы понимаем некоторую

ситуацию с конечным числом возможных исходов, из которых должен наступить точно один. Наступление этого одного из возможных исходов зависит от некоторого неопределенного события.

Интерпретация слова «исход» требует осторожности. Пусть неопределенное событие заключается в бросании монеты. Если вам предлагается пари 1:1, что будет выпадать решетка, то решение о принятии этого пари должно быть основано на сравнении полез

ности вашего статус-кво и полезности стратегии с двумя возможными исходами «статус-кво 十 1 $》и «статус-кво ——1 $》,или, строго говоря, двумя возможными исходами «статус-кво + i $ и монета падает на решетку» и «статус-кво— 1$ и монета падает на герб». Кроме собственно результата пари (приобрести или потерять 1 $),

вопрос о том, на какую сторону упадет монета, не относится к оценке исходов. Поэтому они исчерпывающе описываются посредством «статус-кво + 1$» и «статус-кво—1$》.С другой стороны, если неопределенное событие состоит в исходе предстоящих президентских выборов, то решение о том, чтобы принять пари 1 : 1, что следующим президентом будет республиканец, должно быть основано на полезности двух стратегий, каждая из которых имеет два возможных исхода:

Стратегия 1 (пари не принято)Стратегия 2(пари принято)Стратегия 1 (пари не принято)Стратегия 2(пари принято)«Следующий президент будет республиканец» «Следующий президент будет демократ» «Следующий президент будет республиканец и вы получите 1$》

Стратегия 1 (пари не принято)

Стратегия 2

(пари принято)

Стратегия 1 (пари не принято)

Стратегия 2

(пари принято)

«Следующий президент будет демократ и вы потеряете 1$》

В этом случае последствия наступления неопределенного события сами влияют на полезность вашей стратегии, и потому их надо рассматривать как один из исходов.

Мы будем предполагать, что оценка стратегий определяется двумя общими принципами.

(а) Принцип «отсутствия иллюзий»: фактически одинаковые стратегии, представленные различными способами, обладают одинаковой полезностью.

(в) Принцип «уверенности»:

полезность стратегии не меняется, если один исход заменяется другим с той же полезностью,

если один из исходов заменяется другим с более высокой полезностью, то полезность стратегии или возрастает, или не меняется при всех возможных заменах этого исхода.

Нетрудно понять, что приведенная выше формулировка по существу совпадает с формулировкой Сэвиджа [1, стр. 21, 22]. Она несколько сильнее «аксиомы сильной независимости» Самуэльсона [1, стр. 672], так как не ограничивается выравниванием—изменением стратегий.

Множество событий будем обозначать через 宮， множество возможных исходов — через Л. Под простой стратегией аРЬ, где 〃，匕 £ 4 и Р £ 彖 будем понимать стратегию, приводящую к исходу а, если событие Р наступило, и к исходу Ь, если событие Р не наступило.

Для краткости обозначим

АРА = {aPb: a, be 4}, АП А = {aPb: a, b ^ А. Р ^ 宮}.

Относительно 宮 и 4 сделаем следующие основные предположе- жения.

宮一булева алгебра.

Л — упорядоченное связное множество, содержащее по крайней мере два элемента.

В простейшем случае 卷 может состоять из событий О, Е, Р, А, а 4 — из различных количеств простого предмета потребления (например, денег), заполняющих интервал.

Для дальнейшего основное значение имеет

Аксиома порядка. At А ——упорядоченная система (определение 3.2.1).

По аксиоме порядка любые два элемента системы 4 宮/ связаны точно одним из отношений >, ^ или Y. Интуитивный смысл этого порядка совпадает с порядком, соответствующим полезности. Отно-

шение » интерпретируется как эквивалентность (в смысле совпадения полезностей), а не как равенство. Так, например, отношение порядка может определяться посредством (объективной) вероятности, с которой один элемент системы А^А предпочитается другому, эквивалентность (предпочтение) появляется в случае, если эта вероятность равна (или больше) 1/?・

Порядок на А%А индуцирует порядок на 容 если выполняется (см. Сэвидж [1, стр. 31, стр. 4])

Аксиома единственности. Если а^РЬ。｛三｝ a0Q&0 для некоторой пары а0, й0 С Л, а0>&0> то аРЬ ｛^｝ aQb для всех а, b £ 4, а > Ь.

Если аксиома 12.2.4 выполняется, то можно определить порядок на卷.

Определение. Р ｛三｝ Q тогда и только тогда, когда аРЬ ｛三｝ aQb для всех а, b ^ А, а> Ь.

Заметим, что при соответствующих допущениях порядок, введенный в определении 12.2.5, тоньше порядка, введенного в определении 12.1.8 (см. теорему 12.3.4).

Особую роль играют события, равноценные невозможному событию О и называемые почти невозможными, и события, равноценные достоверному событию Е и называемые почти достоверными.

Интерпретируя отношение Y на А^А как порядок стратегий в соответствии с их полезностью и отношение < на Л как порядок исходов в соответствии с их полезностью, получаем в качестве формализованных следствий принципов (а) и (Ь)

Постулат:

аРЬ ^ ЬРа для всех Р ^ ^ и а, b А.

Р * О влечет аРЬ ^ а!РЬ для всех а, а\ b ^ А и Р Ф О влечет аРЬ Y МРЬ для всех a, q\ b € 4, если аса'.

Заметим, что первая часть принципа уверенности содержится в предположении 12.2.2: считая, что V—отношение порядка, для которого отношение эквивалентности является тождеством, мы отождествляем исходы равной полезности.

В качестве следствия постулата 12.2.6 имеем

(с) Р ^。тогда и только тогда, когда Р ^：Е・

Доказательство. Из определения 12.2.5 и постула та 1226(a) следует, что Р Е тогда и только тогда, когда ЬРа

q ЬОа для всех b v@・ Согласно постулату 12.2.6 (Ь), это эквивалентно условию Р * 0・

Аксиома непрерывности. Соответствие a f аРЬ задает непрерывное отображение для всех & С Л.

Из этой аксиомы и постулата 12.2.6 (а) следует, что соответствие b f аРЬ задает непрерывное отображение для всех а ^ А.

Предложение. Отображение множества Л X Л в АРА^ задаваемое соответствием (а, Ь) -> аРЬ, непрерывно.

Доказательство. Если Р — почти невозможное или почти достоверное событие, то утверждение тривиально. Пусть Р О, Р Ф Е, Так как каждое из соответствий a f аРЬ н b f аРЬ задает монотонно возрастающее и непрерывное отображение, то, согласно лемме 3.7.11, отображение, задаваемое соответствием (а, &) f аРЬ, непрерывно.

Особую роль играют стратегии аРа, приводящие к исходу а независимо от того, наступило событие Р или нет. Хотя кажется наиболее естественным потребовать, чтобы такие стратегии были эквивалентны а (для] всех 户 W 宮),однако в этом] разделе нет необходимости формализовать такое требование, j

Предложение. Соответствие а — аРа задает монотонно возрастающее и непрерывное отображение множества / в АРА.

Доказательство. Если Р — почти невозможное или почти достоверное событие, то утверждение тривиально. Пусть Р 牛 О, Е. Учитывая постулат 12.2.6, для а V 力 получаем аРа < Y аРЬ < ЬРЬ. Непрерывность следует непосредственно из непрерывности отображения, задаваемого соответствием ат (а, а) (лемма 3.7.2), и отображения, задаваемого соответствием (а, а)т f аРа (предложение 12.2.8).

Теорема. Для любых а, b ^ А, а#=Ь, между а и；Ь найдется точно один такой элемент с, что сРс ^ аРЬ.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из предложения 12.2.9 и теоремы о промежуточном значении 3.6.13.

Определение. Операция Ор каждой паре элементов а, b € Л ставит в соответствие элемент QOpb £ Л, определяемый соотношением аРЬ ^ (aopb) Р(QOpb)・

Теорема. Операция Ор и отношение ^ обладают следующими свойствами:

операция оР является внутренней для всех событий, кроме Р ^ О н Р ^ Е\

aoEb = Q；

операция 0P возрастает по обеим переменным для всех событий, кроме Р О и Р Е\

соответствие (a, b) f аОрЬ задает непрерывное отображение;

(V)aOpb = ЬоРа для всех а, b £ 4, Р W 卷；

(vi) высказывания

aOpb = aoQb по крайней мере для одной пары a, b С 4,

Q笈Ь,

aOpb = aoQb для всех а, & € Л,

Р ^ Q

эквивалентны.

Доказательство, (i) См. теорему 12.2.10.

Следует непосредственно из соотношения аЕЬ ^ аЕа (постулат 12.2.6).

Докажем монотонность только по первой переменной. Если 〃'< а", то из постулата 12.2.6 вытекает, что dPb Y d'Pb. Пусть d = a’Opb, с" = a"Opb. Тогда c'Pd ^ afPb Y a,rPb ^ с"Рс". Следовательно, в силу предложения 12.2.9 с' V с"・

Нужно показать, что множество {(а, &) С Л X Л: aOpb V с} открыто при всех с С 4 • Имеем aOpb V с тогда и только тогда, когда аРЬ м (aOpb) Р (aOpb) Y сРс. Отсюда {(а, Ь) ^ А X А\ аоРЬ < с}= ={(а, Е) € 4 X Л: аРЬ Y сРс}. Поскольку соответствие (а, Ь)-> f аРЬ задает непрерывное отображение (предложение 12.2.8), это множество открыто при всех с ^ А. Другие случаи исследуются аналогично.

(V)Следует непосредственно из постулата 12.2.6 (а).

(vi) Следует непосредственно из аксиомы единственности 12.2.4 и п.(V).1

Смешанные стратегии

В разд. 12.2 мы рассмотрели простые стратегии, исходы которых были элементами данного множества А. Здесь мы изучим стратегии, исходы которых являются простыми стратегиями. Запись (aQ I Pb) Р (cQ I Pd) будет обозначать смешанную стратегию, приводящую к стратегии a (Q \ Р) &, если наступает событие Р, или к стратегии с (Q | Р) d, если наступает событие 亙 Эту смешанную стратегию можно рассматривать как стратегию с четырьмя возможными исходами: PQ f a, b, AQ f с, d.

До сих пор мы предполагали, что стратегии, зависящие от событий из 算 удовлетворяют аксиомам порядка 12.2.3, единственности 12.2.4 и непрерывности 12.2.7. Теперь мы сделаем те же предположения относительно стратегий, зависящих не от событий из 務 а от событий из 宮/Р (где Р ——произвольное фиксированное событие

из 爲 отличное от почти невозможного события). Кроме того, будем считать принятыми принцип уверенности и принцип отсутствия иллюзий. Исходя из этих допущений, мы получаем для каждой пары Р, Q W 宮(где событие Р отлично от почти невозможного) операцию о q|p на Л X Л, удовлетворяющую условиям теоремы 12.2.12 и постулатам 12.3.2 и 12.3.3, приводимым ниже.

Принципы уверенности и отсутствия иллюзий должны рассматриваться скорее как нормативные принципы, определяющие «рациональное поведение», чем как описание фактического поведения. Эта точка зрения подкрепляется следующим примером (Элсберг [1, стр/ 653, 654]), показывающим, что применение принципа уверенности к смешанным стратегиям иногда приводит к. результатам, противоречащим интуиции.

Пример. Урна содержит 30 красных и 60 черных и желтых шаров, причем последние в неизвестной пропорции. Если один из этих шаров извлекается случайным образом, то наступает неопределенное событие с тремя возможными исходами «красный», «черный», «желтый». В табл. 2 приводятся четыре различные стратегии (с числами, представляющими выигрыш в денежном выражении).

Таблица 2

Резул ь- тат

Стра- \. тегия

Красный

Черный

Желтый

I

100

0

0

II

0

100

0

III

100

0

100

IV

0

100

100

Элсберг просит испытуемого выбрать сначала между стратегиями I и II, а затем между III и IV. Он установил, что большинство испытуемых предпочитает стратегию I стратегии II и стратегию IV стратегии III. Это, однако, противоречит принципу уверенности. В самом деле, пусть Р ——событие «красный или черный», a Q —— событие «красный» (Рр Q = О). Тогда эти четыре стратегии можно записать так:

I： (ЮО (Q I Р) 0) Р0,

(0 (Q I Р) 100) Р0,

(100 (Q|P)0) Р ЮО,

(0 (Q 1 Р) 100) Р 100.

Согласно принципу уверенности, испытуемый, предпочитающий стратегию I стратегии II (т. е. 100 (Q | Р) 0 > 0 (Q | Р) 100), должен бы предпочитать стратегию III стратегии IV.

Другой пример такого рода приведен в работе Алле [1] и обсуждался Сэвиджем [1]. Кроме того, читатель может обратиться к работам Марковица [1] и Мак-Криммона [1].

Хотя такие примеры довольно правдоподобны, мы придерживаемся того мнения, что принцип уверенности должен обязательно' приниматься любым «рациональным» человеком. Каждый человек, предпочтения которого противоречат принципу уверенности, обязан пересмотреть свои предпочтения, так же как человек, убежденный в справедливости некоторой математической теоремы, вынужден пересмотреть гвое отношение к ней, если тщательный логический- анализ показывает, что эта теорема ошибочна.—

Две смешанные стратегии (a (Q \ Р) b) Р (с (Q | Р) d) и (а (尸 I Q) 0)Q (匕(Р I Q) d) совпадают, поскольку для обеих стратегий PQ f a, PQ f b, PQ т с, PQ d. Следовательно, они считаются эквивалентными благодаря нашему принципу отсутствия иллюзий. К тому же uRv q (〃OrU)R (〃OrU)・ Согласно принципу уверенности, отсюда следует, что стратегии

(a (Q\P) b)P(c (Q\P}d), (a oQ| 功)Р (с Oq 岗), (а Oq I р b) Op (c OQjpd), (а Op I q c) oQ (6 oP 迈 d),

(а (PIQ) c) Q (b (P |Q) d), (a Op[ q c) Q (bopQ d)

совпадают. Это приводит к такому постулату:

Постулат. Для всех а9 b, с9 d ^ А и всех Р, Q € 宮(中 О, Е> (a OQ IР Ь) Ор (с Oq 伝 d) = (a oPj q c) oq (b op 再 d)・

Кроме того, стратегии (a (Q | P) b) Pb и aPQb совпадают, так. как для обеих стратегий PQ та, PQ-> &, PQ b, PQ f b. Следовательно, по нашему принципу отсутствия иллюзий они считаются эквивалентными. К тому же, исходя из принципа уверенности, получаем (a (Q I Р) b) Pba Qoq I pb) Pb a (qoq I pb)opb, aPQb ^aoPQb,

Отсюда возникает еще один постулат.

Постулат. Для всех а9 b ^ А п всех Р, Q Е 卷(Р * О)

(aOq Iрb) Opb = tzOpQb.

Теорема. Порядок на 宮,введенный в определении 12.2.5» тоньше порядка, введенного в определении 12.1.8: из Р n Q следуег аРЬ {^} aQb для всех a, b А, а > 瓦

Доказательство. Согласно определению 12.1.8, включение Р n Q эквивалентно равенству Р 八 Q = Q. Отсюда и из постулата 12.3.3 следует, что (aoQ । Р&)оРЬ = aoQb.

По теореме 12.2.12 (ii) и (iii) а > & влечет а》“oqi pb. Отсюда ■ОрЬ》qOqA что и доказывает утверждение теоремы.

В дальнейшем мы будем использовать только те свойства операции Ор, которые были установлены в теореме 12.2.12 и постулатах 12.3.2 и 12.3.3. Вместо того чтобы выводить эти свойства из более общих аксиом (порядка, единственности и непрерывности) и принципов (уверенности и отсутствия иллюзий), мы могли бы сформулировать их вместе с аксиомой непрерывности как фундаментальные .аксиомы.

Предложение. Пусть событие Р £ 卷 отлично от почти невозможного. Событие Q | Р является почти невозможным (достоверным) тогда и только тогда, когда PQ (PQ) — почти невозможное событие.

Доказательство, (i) Если Q | Р — почти невозможное событие, то событие а о piq b не зависит от а (теорема 12.2.12 (ii)). Следовательно, aOpQb не зависит от а (постулат 12.3.3), откуда PQ в О (теорема 12.2.12 (ii)). Из PQ ^。следует, что событие (〃OQlpb)Qpb не зависит от а (постулат 12.3.3 и теорема 12.2.12 (ii)). Поскольку Р * О, то событие а о Q|pb не зависит от а и, значит, Q I Р — почти невозможное событие. Согласно условию 12.2.6 (с), событие Q \ .Р почти достоверно тогда и только тогда, когда Q I Р — почти невозможное событие.

Предложение. Из Р ^ £ следует PQ « PQ ^ Q для всех Q*・

Доказательство. Согласно теореме 12.2.12 (ii) и постулату 12.3.3, Р ^ Е влечет a Oq^p Ь = (а о q【p b) oPb = aOpQb. Таким образом, а о^Ь=ао^рь = & о Q]Pa b о PQa = а о ^ Ь. Отсюда, согласно теореме 12.2.12 (vi), получаем, что PQ « PQ. Так как ^^nQnPg то по теореме 12.3.4 утверждение доказано.

Если Р ^。，Q я^。，то, согласно предложению 12.3.6, PQ л; Е и, следовательно, Р U 0 ^。・ Отсюда в силу теоремы 12.3.4 получаем '

Следствие. Система {Р £ 宮：Р ^ 0} почти невозможных событий образует идеал.

Вспомогательные леммы

Для краткости мы будем использовать следующее обозначение.

Определение. Пусть и。, 6\ —две функции,. отображающие :множество 4 в К. Если разность UQ (а) — а (а) не зависит от а £ 、С 4 то будем писать U。先。工・

Лемма. Пусть UQ, У。, WQ ——монотонные непрерывные дей •ствнтельные функции, определенные на упорядоченном связном множестве, и 归。一постоянная. Тогда представление функции в виде

U^ (Vo 3) + 呼о (b) + 焉)

•существенно однозначно, т. е. если существует другое представление того же типа с функциями ^,匕，步】и постоянной 归工,то

Ui三叫，%先明，

Доказательство. Из равенства U# (Vo (а) + Wo (b) + + 亂)=U『(匕 3) + % (b) + 月)выводим 4。於(Е + 叫= =Vi^o1 (Ю + 哟/т ⑺，仪е Г? (b) = Wt (b)十岛，E = Vo (a), ^ = W* (b). Это уравнение представляет собой обобщение функционального уравнения Коши. Так как функции, входящие в это функциональное уравнение, монотонны и непрерывны, то общее решение можно представить в виде (см. Аксель [2, стр. 142])

U^(t) = at + ^^匕w⑴=" + 0,W^^-at + y,

откуда утверждение леммы следует непосредственно."

Лемма. Пусть Л — связное множество. Предположим, что

множество ^ = {Р ^ g： Р 中。и Р 中 Е} непусто;

для каждого Р С 贯 найдется такое событие Q £ 爲 что

(*)PQ 中。，PQ 中 О, PQ^ О, 段中 О,

и для каждых а, b ^ А найдутся такие х, у ^ А, что %。"》Ь, дор а《Ь. Тогда существуют такие возрастающие непрерывные функции U и 匕五(А € &), что

U (а о РЬ) 2 Up (а) + U万 ®

И，

Up (^ Oq\pb)^Upq (a)-[-Up^ (b).

Функции U и Ur единственны с точностью до линейных преобразо- ваний. Если одна из этих функций, например U, зафиксирована,, то все остальные функции определяются с точностью до аддитивной постоянной. Кроме того, из Р ^ Р〔 следует, что UP A Up. Если при Р * Е функцию Up положить равной U, а при Р « О— равной нулю, то (а) выполняется для всех Р € 宮，а (Ь) — для всех p, Q e 窗，Р 中。.

Доказательство. Так как множество А связно, то оно вполне упорядоченно и не имеет разрывов (лемма 3.5.9). Следовательно, по лемме 5.1.6 оно сепарабельно. Согласно следствию 4.2.4, это влечет существование монотонного непрерывного отображения упорядоченной системы (Л; =, V〉в числовую систему 〈К; =, V〉. Пусть Р, Q — некоторая пара событий, удовлетворяющая условию (*). Тогда события Р, Q, Q | Р, Q | Р, Р | Q отличны от почти невозможного и от почти достоверного событий (предложение 12.3.5), и, значит, соответствующие операции возрастают по обеим переменным (теорема 12.2.12 (iii))： Поэтому из постулата 12.3.2, согласно Акселю [2, стр. 314], заключаем, что существуют такие строго монотонные непрерывные функции U, C/尸，Up, Uq, Uq, Uqi” Uqip Uqi瓦 н %汴,что

U (a Op b) = UP(a) + 冉(b),

U(aoQb)= UQ(a)+UQ(b),

Up (aoqj pb) = Uqi p](a) +(/q j p (&),

Dp (a Oq I 声 b) = Uq № (a) + 〃 / (b), 〃q (a Op I q b) = Uq [ p (a) + Uq ]戸(b), Uq (a Op g b) = Uq I p (a) + % ]声(b) •

___ Проблема состоит в том, что в принципе все функции U, Up, Up、Uq, Uq зависят от обеих переменных Р h：Q. Покажем, однако, что функции Up, Up можно выбрать не зависящими от Q, а функцию U — не зависящей от обеих переменных Р я Q. Это следует из того, что, согласно лемме 12.4.2, представления вида 12.4.4 — 12.4.6 существенно однозначны.

Если в равенство 12.4.4 вместо события Q подставить событие Q*, то получим

U* (a Opb) = t/^(a)+U^(b)・

Отсюда по лемме J_2.4.2 с учетом 12.4.4 получаем U* (а) 2 а[/ (а), Up (а) 2 aUp (а), U* (а)乞。勿(а). Следовательно, для данного •события Р функции U, Up и Up единственны с точностью до линейных преобразований. Поэтому можно выбрать функции U, Up и Up не зависящими от Q, т. е. представление 12.4.4, основанное на некотором событии Q*, справедливо для любого события Q.

Применяя те же рассуждения к равенству 12.4.5, видим, что для данного события Q функции U, Uq и Uq единственны с точностью до линейных преобразований. Следовательно, можно выбрать функцию U не зависящей от Р и Q.

Из леммы 12.4.2 вытекает, что все участвующие в представлениях 12.4.4 — 12.4.6 функции определены с точностью до аддитивной постоянной, если хотя бы одна из функций, скажем U9 зафиксирована. Кроме того, Р » Р' влечет Up 2 Up，(теорема 12.2.12 (vi) и лемма 12.4.2).

Исходя из представлений 12.4.4 и 12.4.6, имеем

U (а Op b) = UP(a) + UP{b)9

Up (“Oq |pb) = Uqip (@) + Uqi р (匕)，

а учитывая соотношения aoPb= boPa и сь^[рЬ=Ь^\Ра (теорема 12.2.12 (v)), находим, что Up^Up и Uqip^Uq]P- Далее, из представлений 12.4.4, 12.4.6 и постулата 12.3.3 получаем для PQW 舒 _

UpQ (〃) + UpQ (b)=U(a qpqI))=U ((^ Oq I pb) Op й)=

=Up (aoQ]p b) + Up (b) = Uq \p (Q)+ 〃qip(b) и, таким образом, по лемме 12.4.2 UqipZUr.

При Р ^ Е или Р а О соотношение (а) справедливо по теореме 12.2.12 (ii). При Р * Е в силу постулата 12.3.3 и теоремы 12.2.12 uOq\p b = ао pq Ъ и, таким образом, при Р # Е соотношение (Ь) следует непосредственно из (а) и предложения 12.3.6.

Теоремы о полезности я субъективной вероятности

Определение. Говорят, что событие Q £ 宮〃е зависит от события Р £ если Oq |р = Oq Iр.

Это определение оправдывается тем, что равенство Oq【р = Oq |Т означает, что информация о том, какое из двух событий Р или Р наступило, не играет никакой роли при оценке стратегий, основанных на событии Q・ Мы покажем (теорема 12.5.14), что независимость ——симметричное свойство, т. е. если Q не зависит от Р, то и Р

также не зависит от Q (поэтому события Р и Q называются’в данном случае независимыми.— РеО).

Аксиома. Для каждого события Р £ 卷'найдется событие Q С &, не зависящее от Р, и для каждого а £ 4 соответствие %— хоРа задает отображение на Л.

Первая часть этой аксиомы, конечно, сформулирована не очень строго, поскольку любой разумный человек будет охотно рассматривать выбрасывание монеты как некоторое событие, не зависящее от всех других неопределенных событий. Если только одна подсистема 宮° системы & удовлетворяет этой аксиоме, то при Р W 穹伊 для субъективной вероятности s справедливы следующие утверждения.

Предложение. Если Р, Q Е ^' и Q не зависит от Р, то PQ 卡 中 О, PQ 中。，PQ ^ О и PQ 中 О.

Доказательство. Так как оба события Q и Q не зависят от Р и Р, то достаточно показать, что PQ 中 О. Предположим^ qTO_PQ q О. Тогда в силу предложения 12.3.5 Q | Р и, значит, Q \Р — почти невозможные события^ (определение 12.5.1 и теорема 12.2.12). Отсюда вытекает, что PQ ^ О. Так как объединение двух почти невозможных событий есть опять почти невозможное событие (следствие 12.3.7), то Q = PQ U PQ х О вопреки тому, что Q 中0.

Из аксиомы 12.5.2 следует, что для всех Р £ 宮，исключая тривиальный случай Р * О или Р ^ Е, выполнены условия леммы 12.4.3. Таким образом, существует система функций U, Ur (R £ 卷)，удовлетворяющая лемме 12.4.3.

Теорема декомпозиции. Для каждого события Р £ 宮 найдется такое действительное число s ф), что для всех а ^ А

(*)UP(a)^s(P) U (а).

Доказательство. По определению s (Р) = 0 при Р ^ О и s (Р) = 1 при Р ^ Е. Для Р £ 宮'мы выбираем некоторое событие Q £ &, не зависящее от Р (аксиома 12.5.2). По определению 12.5.1 и лемме 12.4.3

и$1 (Upq (Q) + % (Ь) + Ар) = Ui1。取⑷ +。丽(b) + 华)

и потому (на основании леммы Д2.4.2) U戸(а)己 tUp (а), где t зависит от Р・ Применяя лемму 12.4.3 (а), получаем

U @ = U (“ом)纟 Up ⑷ + Up (a) 2 Up (a) + t (P) UP (a)=

=(1 + / (尸))UP (a), и теорема доказана.

Следствие, s (£) = 1 и s (О) = 0.

Теорема представления. Если Р, QW 宮 иР 中。，то для любых а, b А

U (aoQipb)=嚅 U (а) + (1 —喘)U (Ь)・

Доказательство. Соотношение (*) из теоремы 12.5.4 с учетом леммы 12.4.3(b) влечет

(**) s(P)^(aoQlPb)^s (PQ) U (а) + s(PQ)U (b) •

При а = b имеем

s (Р) U (a) Z (s (PQ) + s (PQ)) U (а).

Так как множество А содержит по крайней мере два элемента, то это соотношение является равенством, так что ‘

s (Р) = s (PQ) + s (网)•

Следовательно, соотношение (**) также является равенством. Так как функция Up возрастает, то s (Р) > 0.

Следствие. Для любого Q W 宮風 любых а, b ^ А

U Mb) = s (Q) U (а) + (1 -s(Q)) U (b).

Величину s (Q) в следствии 12.5.8 можно интерпретировать как субъективную вероятность данного события Q. Эта интерпретация строго подтверждается следующей теоремой.

Теорема, (i) s (Q)》0 для любого Q € 宮；

s (Р (J Q) = s (Р) + s (Q) для таких Р, Q W 窃 что Р П

П Q = О；

(iii)s(E) = l.

Заметим, что вопрос об условиях, обеспечивающих а-аддитив- ность, здесь обсуждаться не будет.

Доказательство, (iii) См. следствие 12.5.5」

Заменяя в равенстве 12.5.7 Р на Р U Q и Q на Q, получаем s (Р U Q) = s (Р П Q) + s (Q). Вместе с равенством 12.5.7 это дает

s (Р П Q) + s (Р U Q) = s (Р) + s (Q)・

Поэтому если Р ] Q = О, то равенство 12.5.10 сводится к утверждению (ii), представляющему собой так называемую теорему сложения для несовместных событий.

Так как функции U и Ur (R £ 卷)или постоянны, или возрастают (лемма 12.4.3), то утверждение следует из теоремы 12.5.4.

Предложение. Ри Q влечет s(P)&s(Q).

Доказательство. Из утверждений (i) и (ii) теоремы 12.5.9 следует, что s (Р) & s (Р) + s (Q П А) = s (Q)・

В соответствии с интерпретацией s (Q) как субъективной вероятности события Q W * отношение s (Р Q Q)/s (Р), фигурирующее в теореме 12.5.6, должно интерпретироваться как субъективная вероятность события Q | 尸 £ 宮/Р・ Введем для этой вероятности символ s (Q I Р); тогда

s (Q I Р) = s (Q П P)/s (尸)・

Возвращаясь к определению независимости 12.5.1 и пользуясь теоремой 12.5.6 и формулой 12.5.12, получаем интерпретацию независимости в терминах субъективной вероятности:

Теорема. Событие Q не зависит от события Р тогда и только тогда, когда s (Q | Р) = s (Q | А).

Теорема умножения для независимых событий. Событие Q £ 宮 не зависит от события Р £ 卷'тогда и только тогда, когда s (Q П Р) = s (Q) s (Р).

Отсюда следует, что независимость — симметричное свойство.

Доказательство. В силу утверждения (ii) теоремы 12.5.9

s(QflP = s(Qn 戸)_ s (再

тогда и только тогда, когда

т. е. тогда и только тогда, когда

s (Q Г) Р) (s (尸)+ s (戸))=s (Q) s (Р), а это эквивалентно тому, что

s(QA P) = s(Q)s(P)・

Подход Моргенштерна — фон Неймана

В'этом разделе мы покажем, что описанный в разд. 12.1 — 12.4 подход можно рассматривать как некоторое обобщение подхода Моргенштерна — фон Неймана, поскольку субъективные вероятности не связаны с объективными и нет никакой необходимости иметь в своем распоряжении события с непрерывным рядом вероятностей их наступления. Наше предположение о том, что А —— связное множество, неявным образом содержится (см. теорему

в перечисленных ниже допущениях Моргенштерна — фон Неймана [1].

Пусть А — упорядоченное множество. Сделаем следующие предположения:

Для каждого а £ (0, 1) существует операция, скажем а, которая каждой паре а, b ^ А ставит в соответствие элемент ааЬ € Л.

Для всех а £ (0, 1) и всех а, b А из a <zb следует а < V〃ab vb (аксиомы 3:В:а и 3:В: b указанной выше работы Моргенштерна — фон Неймана).

аа〃 = а для всех а £ (0, 1) и всех а А.

ааЬ = b (1 — а) а для всех а £ (0, 1) и всех а, b А

(аксиома 3:С:а).

Для всех at Ь9 с А из (i) а <с vb или (ii) & vc va следует существование таких действительных чисел а, 0 £ (0, 1), что aab <с <。6匕(аксиомы 3:В:с и 3:B:d).

(aab) р& = “офЬ для всех а, § С (0, 1) и всех а, b А (аксиома 3:С:Ь).

Аксиома 12.6.3 не приводится в указанной работе. Однако она неявно подразумевается в интерпретации, которая дается этой системе аксиом.

В своих аксиомах Моргенштерн и фон Нейман неявно предполагают, что (i) стратегии опираются на события, обладающие объективной вероятностью a, (ii) оценка таких стратегий зависит только от объективной вероятности. Поэтому все стратегии, опирающиеся на события с одинаковыми объективными вероятностями, надо рассматривать как равные, если соответствующие исходы одинаковы. Кроме того, в аксиоме 12.6.6 неявно требуется, чтобы события а, р, входящие в смешанную стратегию, были независимыми.

Исходя из аксиом 12.6.1 —— 12.6.6 можно вывести лемму об играх Моргенштерна — фон Неймана:卜》

Лемма. Для любых а, § £ (0, 1) при© v 6 нз а & b следует

Доказательство, (i) avb： для любых а, 0 € (0, 1) из а < р следует существование такого числа 丫 W (0, 1), что а = = Y0. В силу аксиомы 12.6.5 а^Ь <Ь и, значит, согласно аксиоме 12.6.2, a^b v(a§b) yb. Отсюда с учетом аксиомы 12.6.6 получаем а§Ь ：〃即匕 и @0b v@ab.

а> b. Этот случай легко свести к (i), применяя аксиому 12.6.4.

а = b. Утверждение непосредственно следует из аксиомы 12.6.3.

1/2 15-01183

Лемма, аа (〃0Ь) =〃(а+ 卩一а р) Ь для всех а, 0 £ € (О, 1) и всех а, b А.

Доказательство. Утверждение следует непосредственно из аксиом 12.6.6 и 12.6.4.

Теорема. Соответствие а -> ааЬ задает непрерывное отображение для всех а, Ь С Л.

Доказательство. Покажем, что при всех с £ 4 множе- ство • Л о = {^ € (0, 1): aab>c} открыто. В силу аксиомы 12.6.4 можно считать, что а&Ь. Если с》b или с &а、то Ло = 0 или Ао = (0, 1). Если a V，VA то по лемме 12.6.7 a vB при всех а£4о и р С До. Если бы существовал максимальный элемент а0 g Ло, то было бы с <аа0Ь. Тогда, так как a V& то по аксиоме 12.6.5 нашлось бы такое число 0 £ (0, 1), что с v〃B (aaQb). Отсюда, согласно лемме 12.6.8, следовало бы, что с < <а (а0 + Р (1 —а0)) Ь. Поскольку а0 < 1, это противоречит тому, что а0 ——максимальный элемент множества А^

В теореме 12.6.9 утверждается, что отображение интервала (0,1) в А, заданное соответствием а -> ааЬ, непрерывно. Свойства монотонности (установленное в лемме 12.6.7) и непрерывности, а также аксиомы 12.6.3 — 12.6.6 и лемма 12.6.8 сохраняются, если это отображение распространяется на значения а = 0 и а = 1, поскольку по определению а。b = Ь, а1Ь = а для всех а, Ь С Л.

Теорема. Для любых а, &, с ^ А из а&с &Ь следует существование такого числа у £ [0, 1], что ayb = с. Если а ^Ъ. то у определяется однозначно.

Доказательство. Утверждение вытекает непосредственно из леммы 12.6.7 и теоремы 12.6.9, если применить теорему о промежуточном значении 3.6.13 к отображению, заданному соответствием а -> ааЬ.

Теорема. Множество А связно в своей интервальной топологии.

Доказательство. Пусть 4, Л2 — два непустых открытых множества, причем 4 n 4 = 0, 4 U Л2 = Л. Пусть а £ 4 и b ^ А2 — произвольные элементы этих множеств. Тогда множества Л* = {aab: а £ [0, 1]} Q Лх и А* = {ааЬ: а £ [0, 1]} П Л2 открыты в индуцированной топологии множества {aab: а £ [0, 1]}. Далее, А* и А* — непустые множества, причем Л* Q Л* = 0 и А* [} А* = {aab: agio, 1]}. Это противоречит тому, что множество {aab: a С [0, 1]}, будучи образом отрезка [0, 1] при непрерывном отображении, заданном соответствием ат 也瓦 связно. 12.6.12. Предложение. Для любого а £ (0, 1) и любых a. bt с А из b W с следует aab & “ас.

Доказательство. В случае b = с утверждение эквивалентно теореме 12.6.1. Поскольку случаи b V。и Ь> с аналогичны, мы докажем утверждение только для b с с.

a vb Vc Согласно теореме 12.6.10, существует такое число у £ (0, 1), что & = аус. Из аксиом 12.6.4, и 12.6.6 вытекает, что аа (аус) = а? (аас). Так как aab = аа (叩)и ау (аас) <аа& то в силу аксиомы 12.6.2 aab <аа&

b W а & с. Утверждение следует непосредственно из аксиом 12.6.2 и 12.6.3.

b V с V Q・ В силу теоремы 12.6.10 существует такое число Т € (0, 1), что с = ayb. Отсюда, согласно аксиомам 12.6.1, 12.6.4 и 12.6.6, получаем аас = “а (ауЬ) = ау (ааЬ) > ааЬ.

Лемма. Для любых а, § £ [0, 1] и любых а, Ь, с ^ А

(ааЬ) ₽с = аар (匕「注驚 с)・

До казательство. Предположим, что а, Ь, с— различные элементы и а ^： 0, 1, Р ^： 0, 1 (в противном случае утверждение следует непосредственно из аксиом 12.6.4, 12.6.6 и леммы 12.6.8). Эти три предположения будут часто использоваться в дальнейшем.

Если с лежит между а и b (a <Zc <.Ъ или b V с V Q), то существуют такое число Е£ (0, 1), что с = а£Ь (теорема 12.6.10), и или (i) такое число у £ [0, 1), что aye = aab, или (ii) такое число Y £ (0； 1], что cyb = aab.

Для (i) имеем aab = аус = ау (〃汕)= a (丫 + 三一 若)，и в силу леммы 12.6.7

Отсюда

(aab) 0С=(叩)0c =断0= @即(b.；三;a)=b.0-題^-昵-a.

С другой стороны,

b(l a)(l—BY)a

и утверждение доказано.

Для (ii) имеем aab = cyb = (ajb) ?b = a^b и, таким образом, Е = a/丫. Отсюда

(aab) §с = (cyb) ^c=b(l — у) рс =

= b(l_Y)0 (a异)="(u押■+ 喇 b.

С другой стороны,

^仅耳与^"也導(吋叨=

=a■+ 咐ь， и утверждение доказано.

Если с не лежит между a n b (с с min (а, Ь) или с > > max (а, Ь)), то или (i) а лежит между b и с и, значит, существуют такие числа 冒 и ? £ (0, 1), что а = с^Ь и aab = cyb, или (ii) b лежит между а в с и, значит, существуют такие числа ^ и у Е (0, 1), что b = age и aab — оус.

Для (i) имеем cyb — aab = (с^Ь) а& = са^Ь, откуда 三=у/a и

(aab)阳=(cyb) §с = &Р (1 — у) с・

С другой стороны, если С = * jL^Y 1’ то

М (b呈需■ с)=(电)嘘((с詛В)=

=т («₽ + ?- а优)匕=6 (1 h Е (аВ + С — 邛。)с = Ь0 (I - у) с・

Если С > 1, то О V ПЕсли С > 1, то О V П6(1—а)]—оф6(1—а)]—офтото—а—у—а—у&1 и, так как n + 自一曜=1 —&1 и, так как n + 自一曜=1 —

Если С > 1, то О V П

Если С > 1, то О V П

6(1—а)]—оф

6(1—а)]—оф

то

то

—а—у

—а—у

&1 и, так как n + 自一曜=1 —

&1 и, так как n + 自一曜=1 —

аеф (b 8；二* С)=(比Ь)噓(g(侬))=

=(死B)(邛 + 1 - n - a0(1 一 叫)e =

= b((l—E) (a§+ 1—п —а§(1—т])))с = Ь0 (1—丫) с,

и утверждение доказано.

Для (ii) имеем aye = aab = aa (ajc) = a (a + ^ — ag) и, зна

ЧИТ, fe =七V И

(aab) Pc = (a") §с = а^ус.

С другой стороны,

gв е，(与* С)=也"(期‘工)-e)=

= aa0®^^c) =

=。(aB +А^Г)С = *-

Теорема. Для любых а, В W【0, И и любых а, Ь, с ^ А (ааЬ) § (cad) = (а0с) а (匕陷.

Доказательство. Повторно применяя лемму 12.6.13 и аксиому 12.6.5, получаем

(асф) § (cad) = aa0 [(cad) ,J^ b]=

=aa§ [c WL?佛")]=

=ca (1 - 6) [ ^d)二力)a]=

=(b0d) (1 — a) (a§c) = (〃0c) a (bpd).

Теорема. При любом a g [0, 1] отображение, заданное соответствием (a, b) -> aab, непрерывно.

Доказательство. Если a = 0 или a = 1, то утверждение тривиально. Если a W (0, 1), то, согласно предложению 12.6.12, соответствие a f aab задает возрастающее отображение.

Пусть 4] = {% £ 4: xab V с}・ Тогда а^Ь V с & a2ab для % £ £4 и a? W 4・ В силу теоремы 12.6.10 существует такое число Y С [0, 1], что (%ab) ?(咏匕)=с. Поэтому в силу теоремы 12.6.14 и аксиомы 12.6.3 (а^Ь) ? (a2a匕)=(〃汴能)a (byb)=(〃汴@2)ab, т. е. существует такой элемент (а^а^ £ Д, что (а^а^ а& = с. Из предложения 12.6.12 заключаем, что {х £ Д: хай 之 с} = {% £ 4: хай v V (〃皿2)ab} = {% W 4： % V @№2}. Так как это множество открыто, то отображение, задаваемое соответствием а -> aab, непрерывно. Подобным же образом показывается, что соответствие b -> aab задает возрастающее непрерывное отображение. Утверждение следует теперь из леммы 3.7.11.

Теорема. Операции (a, b)f aab, а С [0, 1], обладают свойствами, установленными в теореме 12.2.12 и постулатах 12.3.2 и 12.3.3.

Доказательство. Расширим отображение, задаваемое соответствием a f aab, положив 0 f Ь и 1 -> a. Тогда получим, что выполняются

(i), (ii): по определению отображения alb. (iii): в силу предложения 12.6.12 и аксиомы 12.6.4. (iv): по теореме 12.6.15.

(V): в силу аксиомы 12.6.4.

(vi): aab = a^b по крайней мере для одной пары a, b эквивалентно a = § (лемма 12.6.7).

по теореме 12.6.14.

в силу аксиомы 12.6.6.

Благодаря теореме 12.6.16 можно применить теорию представления, развитую в разд. 12.5, и получить субъективную вероятность, скажем s (а), относительно событий с объективными вероятностями а. Кроме того, можно показать, что для игр Моргенштерна — фон Неймана субъективные и объективные вероятности обязательно совпадают.

Теорема. Предположим, что аксиомы 12.6.4 и 12.6.6 выполняются. Тогда если представление

U (aab) = s (a) U (а) + (1 — s (а)) U (Ь) существует и U — возрастающая функция, то s (а) = а для всех а е [0, 1].

Доказательство. В силу аксиомы 12.6.4

s (a) U (а) + (1 — s (а)) U (b) = U (ааб) = U (ft (1 — а) а)=

=s (1 — а) U (б) + (1 — s (1 — а)) U (а)・ Следовательно,

s (1 — а) = 1 — s (а) для всех а £ [0, 1].

Далее, в силу аксиомы 12.6.6

s (а₽) U (а) + (1 — s (ар)) U (b) = U (〃呻匕)=U ((財6)卩6)=

=s 偉)U (ааЬ) + (l-s(p)) U (&)=

=s (В) [s (а) U (а) + (1 — s (a))U (切 + (1 - s (Р)) U (&)=

=s (а) s (₽) U (“)+ (1 — s Q) s 偉))U (&).

Следовательно,

s (оф) = s (а) s (Р) для всех а,卩 € [0, И.

Из равенства 12.6.18 вытекает, что s (V2) = V2. Подставляя в равенство 12.6.19 значения а = V2, Р = 0, находим s (0) = 0. Кроме того, при а V 卩 н а > 匕 лемма 12.6.7 влечет

s (а) U (〃)+ (1 一 s (а)) U(b)<s (р) U (а)十(1 — s (р)) U (b) и, значит,

s (а) (U (а) — U (Ь)) < s 偉)(U (а) - U (Ь))・

В силу монотонности функции U получаем s (а) < s (Р). Таким образом (см. Аксель [1, стр. 44]), из равенства 12.6.9 следует, что s (а) = а.

Следствие. Если аксиомы 12.6.1— 12.6.6 выполнены, то существует представление U (aab) = aU (а) + (1 — а) U (Ь) для любых а, b ^ А, а ^ [0, 1].

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из теорем 12.6.16, 12.6.17 и следствия 12.5.8.

12.7. Заключительные замечания

Развитая здесь теория измерения полезности и субъективной вероятности опирается на множество аксиом. Эти аксиомы должны рассматриваться скорее как нормативные принципы, определяющие концепцию рационального поведения, чем как описание действительного поведения.

Исходя из этих аксиом, мы доказываем в виде математической теоремы факт существования двух функций U (с областью определения Д) и s (с областью определения 宮)，для которых

U (%&) =s(P) U (х) + (1-s (Р)) U (办

Интерпретация U и s как полезности и субъективной вероятности соответственно, строго говоря, допускается на том основании, что U— строго возрастающая функция, a s обладает всеми свойствами, которые обычно требуют от вероятностей. Поэтому рациональное поведение в ситуациях, включающих риск, можно описать с помощью полезности и субъективной вероятности. «Разумный человек» ведет себя так, как если бы он оценивал ситуации, включающие риск, в соответствии с их ожидаемой полезностью (ожидание основано на субъективной вероятности).

Мы хотим подчеркнуть, что субъективные вероятности служат средством для описания рационального поведения. И ничем больше! Их нельзя использовать как оценки объективной вероятности наступления какого-нибудь события, или оценки правдоподобности какого-либо утверждения, или для подтверждения некой теории.

Из того факта, что рациональное поведение можно описать с помощью вероятностей, может составиться впечатление, что эта теория пригодна только для решений, связанных с событиями, повторяющимися независимо много раз. Но это не так. Эта теория предназначена исключительно для единичных событий. (Ее можно применить к комбинации из и независимых повторений, считая сложную игру основанной на одном событии с 2П возможными исходами.)

Как показано в разд. 12.6, этот подход можно рассматривать как обобщение подхода Моргенштерна — фон Неймана, поскольку наши предположения менее ограничительны, чем допущения Моргенштерна и фон Неймана. Существенные ослабления состоят в том, что допускается расхождение между объективной и субъективной вероятностями и не требуется, чтобы множество вероятностей было связным. Тем не менее существует связь между субъективной и объективной вероятностями тех событий, объективные вероятности которых связаны, т. е. если предполагается, что субъективная вероятность однозначно определяется объективной вероятностью и что объективно независимые события также и субъективно

независимы. При этих условиях субъективная вероятность равна объективной. Следовательно, в этом случае субъективная вероятность представляет собой результат распространения концепции вероятности на события, для которых не существует объективной вероятности.

Разработанная Моргенштерном и фон Нейманом концепция полезности подвергалась критике из-за допущения, что объективные вероятности (в смысле интерпретации частоты) пригодны для оценки игр. Такую позицию занимают, например, Суппес и В инет [1]: «Взаимосвязь между вероятностью и полезностью затрудняет четкие измерения того или другого. Последние эксперименты Мостел- лера и Ноуги [1] можно интерпретировать или как измерение полезности, или как измерение субъективных вероятностей в зависимости от того, что предполагается линеаризуемым в деньгах: объективные вероятности или полезность».

Существует один очевидный способ разрешения этой дилеммы: определить одну из двух шкал независимо и использовать оценку игр для определения другой шкалы (см., например, Дэвидсон и Суп- пес [1], Анскомб и Ауман [1]).

В своей выдающейся работе Сэвидж [1] сначала излагает проблему измерения субъективной (индивидуальной) вероятности, а затем дает определение полезности. Главное отличие от нашего подхода заключается в допущении Сэвиджа, что существует много событий с малой вероятностью (это допущение, грубо говоря, соответствует допущению Моргенштерна и фон Неймана о связности множества вероятностей).

С нашим подходом более тесно связан подход Рамсея, который определяет полезность только с помощью событий субъективной вероятности А/2. После установления таким образом шкалы полезности он определяет субъективную вероятность (степень доверия) для произвольных событий и показывает, что она обладает обычными свойствами (вероятности). Описанный здесь подход исключает особую роль событий субъективной вероятности 1/2. Кроме того, он одновременно воспроизводит шкалы для полезности и субъективной вероятности. Эта теория была развита Пфанцаглем [4] на основе его работ [1, 2]. Настоящая глава представляет собой существенную переработку статьи [4] в рамках данной книги. Тот же подход был использован Льюсом и Кранцем [1] и Фишберном [3]. См. также гл. 5 в книге Кранца, Льюса, Суппеса и Тверского (Krantz D. Н., Luce R. D., Suppes Р., Tversky A., «Foundations of measurement», Academic Press, New York — London, 1971). В выходящей из печати статье Баумана дается ослабленное условие разрешимости 12.5.2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Адамс (Adams Е. W.)

Elements of a theory of inexact measurement, Philos. Set., 32 (1965), 205—228.

On the nature and purpose of measurement, Technical Report, 4 (1966).

Адамс, Фагот (Adams E. W., Fagot R. F.)

A model of riskless choice, Behav. Sci., 4 (1959), 1 —10.

On the theory of biased bisection operations and their inverses, J. Math. Psychol., 12 (1975), 35—52.

Адамс, Фагот, Робинсон (Adams E. W., Fagot R. F., Robinson R. E.)

Invariance, meaningfulness and appropriate statistics, Technical Report, 1 (1964).

A theory of appropriate statistics, Psychometrika, 30 (1965), 99—127.

On the empirical status of axioms in theories of fundamental measurement, J. Math. Psychol., 7 (1970), 379—409.

Аксель (Aczel J.)

Ein Eindeutigkeitssatz in der Theorie der Funktionalgleichungen und einige ihrer Anwendungen, Acta Math. Acad. Sci. Hungary 15 (1964), 355—362.

Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York — London, 1966.

Аксель, Дьекович, Пфанцагль (Aczel J., Djokovic D. Z., Pfanzagl J.)

On the uniqueness of scales derived from canonical representations, Metrika, 16 (1970), 1—8.

Аксель, Пикерт, Радо (Aczel J.> Pickert G., Rado F.)

Nomogramme, Gewebe und Quasigruppen, Mathematical 2 (I960), 5—24.

Алле (Allais M.)

Le comportement de I'homme rationnel devant le risque: Critique des postulats et axiomes de Г ecole Americaine, Econotnetrica, 21 (1953), 503—546.

Анскомб, Ауман (Anscombe F. J., Aumann R. J.)

A definition of subjective probability, Ann. Math. Statist., 34 (1963), 199—205.

Беккер, Де Гроот, Маршак (Becker G. M., De Groot M. H., Marschak J.)

Probabilities of choice among very similar objects: an experiment to decide between two models, Behav. Sci., 8 (1963), 306—311.

Беренд (Behrend F. A.)

A contribution to the theory of magnitudes and the foundation of analysis, Math. Z., 63 (1956), 345—362.

Бирнбаум (Birnbaum А.)

Some latent trait models and their use in inferring an examinee's ability. (См. Лорд, Новик [1, часть 5].)

Блок, Маршак (Block Н. D., Marschak J.)

Contributions to probability and statistics (под ред. Olkin I. и др.), Stanford Univ. Press, Stanford, 1960, pp. 97—132.

Бредли (Bradley R. A.)

Rank analysis of incomplete block designs, II. Additional tables for the method of paired comparisons, Biometrika, 41 (1954), 502—537.

Incomplete block rank analysis: on the appropriateness of the model 'for a method of paired comparisons, Biometrics, 10 (1954), 375—390.

Rank analysis of incomplete block designs, III. Some large-sample results on estimation and power for a method of paired comparisons, Bio- metrika, 42 (1955), 450—470.

Бредли, Терри (Bradley R. A., Terry M. E.)

The rank analysis of incomplete block designs, Biometrika, 39 (1952), 324—345.

Бьёркманн (Bjorkmann M.)

An experimental comparison between the method of ratio estimation and pair comparisons, Report Psychol. Lab. Univ., Stockholm, 71, 1959.

Вейценхофер (Weitzenhoffer A. M.)

Mathematical structures and psychological measurements, Psychometrika^ 16 (1951), 387—406.

Bo (Waugh F. V.)

The marginal utility of money in the United States from 1917 to 1921 and from 1922 to 1932, Econometrica, 3 (1935), 376—399.

Гарнер (Garner W. R.)

A technique and a scale for loudness measurement, J. Acoust. Soc. Amer,, 26 (1954), 73—88.

Гейдж (Gage F. H.)

An experimental investigation of the measurability of auditory sensations, Proc. Royal Soc, 116b (1934), 103—122.

Гельмгольц (Helmholtz H. V.)

Zahlen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet, в «Philosophische

' Aufsatze Eduard Zeller gewidmet», Leipzig, 1887. (Английский перевод: Bryan C. L., Counting and measuring, New York, 1930.)

Гёльдер (Holder O.)

Die Axiome der Quantitat und die Lehre vom MaB, Berichte der Sdchsi- schen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathem. phys. Klasse, 53 (1901), 1—64.

Гилфорд (Guilford J. P.)

Scale values derived from the method of choices, Psychomeirika, 2 (1937), 139—150.

Гулликсен (Guilliksen H.)

A generalization of Thurstone*s learning function, Psychometrika, 18 (1953), 297—307.

Дебро (Debreu G.)

Representation of a preference ordering by a numerical function в сб. «Decision Processes» под ред. Thrall R. M., Coombs С. H., Davis R. L., New York, 1954, pp. 159—165.

Topological methods in cardinal utility theory, в сб. «Mathematical methods in the social sciences» под ред. Arrow К. J・，Karlin S., Sup- pes P., Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1960, pp. 16—26.

Review of R. D. Luce: Individual choice behavior, Amer. Econ. Rev., 50 (I960), 186—188.

Джадд (Judd D. B.)

Saturation scale for yellow colors, J. Opt. Soc. Amer., 23 (1933), 35—40.

Дэвидсон, Маршак (Davidson D., Marschak J.)

Experimental tests of stochastic decision theory, в сб. «Measurement: Definitions and theories» под ред. Churchman C. W., Ratoosh P., New York, 1959, pp. 233—269.

Дэвидсон, Суппес (Davidson D., Suppes P.)

A finitistic axiomatization of subjective probability and utility, Econo- metrica, 24 (1956), 264—275.

Кантор (Cantor G.)

Beitrage zur Begriindung der transfiniten Mengenlehre, Math. Ann., 46 (1895), 481—512.

Келли (Kelley J. L.)

General topology, New York, 1955. (Русский перевод с издания 1957 г.: Келли Дж., Общая топология, изд-во «Наука», М., 1968.)

Кларк (Clarke R. F.)

Constant-ratio rules for confusion matrices in speech communication, J. Acoust. Soc. Amer., 29 (1957), 715—720.

Копланд (Copeland A. H.)

Probabilities, observations and predictions, Proc. 3-d Berkeley Symposium, II, pp. 41—47.

Кранц (Krantz D. H.)

Conjoint measurement: the Luce-Tukey axiomatization and some extensions, J. Math. Psychol., 1 (1964), 248—278.

Кристоф (Kristof W.)

A foundation of interval scale measurement. Research Bulletin, Educ. Testing Service, Princeton, New Jersey, 1967.

Кросс (Cross D. V.)'

1. An application of mean value theory to psychophysical measurement, Progress Report № 6. Report № 05613-3-P, Univ, of Michigan, The Behavioral Analysis Lab., 1965.

Крускал (Kruskal J. B.)

Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis, Psychometrika, 29 (1964), 1 —27.

Nonmetric multidimensional scaling: a numerical method, Psychomet- rika, 29 (1964), 115—129.

Кумбс (Coombs С. H.)

A theory of data, New York, 1964.

Кумбс, Kao (Coombs С. H., Kao R. C.)

Nonmetric factor analysis, Engng. Res. Bull., 38, Univ. Michigan Press, Ann Arbor, 1955.

Кэмпбел (Campbell N. R.)

Physics: The elements, Cambridge, 1920. (Переиздано в «Foundations of Science», Dover Publications, New York, 1957.)

An account of the principles of measurement and calculation, London, 1928.

Кэмпбел, Даддинг (Campbell N. R. Dadding В. Р.)

The measurement of light, Philos. Mag., Ser. 6, 44 (1922), 577—590. Кюннапас, Мелхаммер, Свенсон (Kunnapas T., Malhammar G., Svenson O.)

Multidimensional ratio scaling and multidimensional similarity of simple geometric figures, Scand, J. Psychol., 5 (1964), 249—256.

Лазарсфельд, Генри (Lazarsfeld P. F., Henry N. W.)

Latent structure analysis, Boston, 1968.

Левин (Levine M.)

Transformations that render curves parallel, J. Math. Psuchol., 7 (1970). • 410-443.

Transformations that render curves similar and linearly related random variables, J. Math. Psychol., 9 (1972), 1—16.

Ловингер (Loevinger J.)

The technique of homogeneous tests compared with some aspects of «scale analysis» and factor analysis, Psychol. Bull., 45 (1948), 507—530.

Лорд, Новик (Lord F. M., Novick R.)

Statistical theories of mental test scores, Reading, 1968.

Лоренц (Lorenz C.)

Untersuchungen fiber die Auffassung von Tondistanzen, Philos. S/〃d・， 6 (1891), 26—284.

Льюс (Luce R. D.)

Individual choice behavior. A theoretical analysis, New York, 1959.

A generalization of a theorem of dimensional analysis, j. Math. Psychol., 1 (1964), 278—284.

Two extensions of conjoint measurement, J. Math. Psychol., 3 (1966) 348—370.

Льюс, Галантер (Luce R. D., Galanter E.)

Psychophysical scaling, в сб. «Handbook Math. Psychol.», Vol. I, под ред. Luce R. D., Bush R. R., Galanter E., New York, London, 1963, pp. 245—307. (Русский перевод: Психофизические шкалы, в сб. «Психологические измерения» под ред. Мешалкина Л. Д., изд-во «Мир», М., 1967, стр. 111—195.)

Льюс, Кранц (Luce R. D., Krantz D. Н.)

Conditional expected utility, Econometrica, 39 (1971),253—271.

Льюс, Тьюки (Luce R. D., Tukey J. W.)

Simultaneous conjoint measurement: A new type of fundamental measurement, J. Math. Psychol., 1 (1964), 1—27.

Льюс, Эдвардс (Luce R・ D., Edwards W.)

The derivation of subjective scales from just noticeable differences, Psychol. Reu., 65 (1958), 222—237.

Макдональд, Робертсон (Macdonald P. A., Robertson D. M.)

Psychophysical law III, Philos. Mag., Ser. 7, 10 (1930), I: 817—827 II: 827—834, III: 1063—1073.

Мак-Криммон (MacCrimmon K. R.)

Descriptive and normative im)lications of the decision theory postulates, в сб. «Risk and uncertainty» под ред. Borch K・，Mossin J., New York, 1968, pp. 3—32.

Марковиц (Markowitz H. M.)

Portfolio selection, New York, London, Sidney, 1959.

Менгер (Menger К.)

Mensuration and other mathematical connections of observable material, в сб. «Measurement: Definitions and Theories» под ред. Churchman C. W., Ratoosh P., New York, 1959, pp. 97—128.

Мессик (Messick S. J.)

An empirical evaluation of multidimensional successive intervals, Psychometrika, 21 (1956), 367—375.

Мостеллер (Mosteller F.)

A theory of scalogram analysis, using noncumulative types of items: A new approach to Thurstone's method of scaling attitudes, Rep. 9, Lab. Soc. Rei., Harvard Univ., 1949.

Мостеллер, Ноуги (Mosteller F., Nogee P.)

An experimental measurement of utility, J. Pol. Econ., 59 (1951), 371—404.

Моцкин (Motzkin T.).

Beitrage zur Theorie der linearen Ungleichungen, Dissertation, Basel, 1936.

Мюнстерберг (Munsterberg H.)

Vergleichung von Tondistanzen, Miinsterbergs Beitrage zur experimen- tellen Psychologie, 4, 1892, 147—177.

фон Нейман, Моргенштерн (von Neumann J., Morgenstern O.)

The theory of games and economic behavior, Princeton Univ. Press» Princeton, 3-rd ed., 1953. (Русский перевод: Теория игр и экономическое поведение, под ред. и с добавлением Воробьева Н. Н., изд-во «Наука», М., 1970.)

Ньюман, Фолкман, Стивенс (Newman Е. В., Volkmann J., Stevens S. S.)

On the method of bisection and its relation to a loudness scale, Amer. J. Psychol., 49 (1937), 134—137.

Пендерграсс, Бредли (Pendergrass R. N., Bradley R. A.)

Ranking in triple comparisons, в сб. «Contributions to probability and statistics» под ред. Olkin I. и др., Stanford Univ. Press, 1960, pp« 331—351.

Плато (Plateau J.)

Sur la mesure des sensations physique, et sur la loi qui lie Pintensite de ces sensations a Vintensite de la cause excitante, Bull. Acad. Roy. Belg., 33 (1872), 376—388.

Прэтт (Pratt С. C.)

Bisection of tonal intervals smaller than an octave, J. Exp. Psychol.^ 6 (1923), 211—222.

Пфанцагль (Pfanzagl J.)

A general theory of measurement — applications to utility, Naval Res. Logist. Quart., 6 (1959), 283—294.

Die axiomatischen Grundlagen einer allgemeinen Theorie des Messens, Schriftenreihe Statist. Inst. Univ. Wien, Vol. 1, Physica-Verlag, Wiirz- burg, 1959.

Ober die stochastische Fundierung des psychophysischen Gesetzes, Biomet. Z., 4 (1962), 1 — 14.

Subjective probability derived from the Morgenstern — von Neumann utility concept, в сб. «Essays in Mathematical Economics» под ред. Shubik M., Princeton Univ. Press, 1967, pp. 237—251.

Рамсей (Ramsey F. P.)

The foundations of mathematics and other logical essays, New York, 1931.

Раш (Rasch G.)

Probabilistic models for some intelligence and attainement tests, Co- • penhagen, 1960.

Робинсон (Robinson A.)

Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra, Amsterdam, 1965.

Росс (Ross S.)

Logical foundations of psychological measurement, a study in the philosophy of science, Munksgaard, Copenhagen, 1964.

Самуэльсон (Samuelson P. A.)

Probability, utility and the independence axiom, Econometrica, 20, (1952), 670—678.

Скотт, Суппес (Scott D., Suppes P.)

Foundational aspects of theories of measurement, J. Symb. Logict 23 (1958), 113—128.

Стивенс Дж. (Stevens J. C.)

Stimulus spacing and the judgment of loudness, J. Exp. Psychol., 56 (1958), 246—250.

Стивенс C. (Stevens S. S.)

Mathematics, measurement and psychophysics, в сб. «Handbook Exp. Psychol.», New York, 1951, pp. 1—49.

On the averaging of data, Science, 121 (1955), 113—116.

On the psychophysical law, Psychol. Reu., 64 (1957), 153—181.

Cross-modality validation of subjective scales, J. Exp. Psychol., 57 (1959), 2 01—209.

The surprising simplicity of sensorv metrics, Amer. Psychol., 17 (1962), 29—39.“

Стивенс, Галантер (Stevens S. S., Galanter E. H.)

Ratio scales and category scales for a dozen perceptual continua, J・ Exp. Psychol., 54 (1957), 377—411.

Стивенс, Фолкман (Stevens S. S., Volkmann J.)

The relation of pitch to frequency; a revised scale, Amer. J. Psychol., 53 (1940), 329—353.

Суппес, Винет (Suppes P., Winet M.)

An axiomatization of utility based on the notion of utility differences, Management Sci., 1 (1955), 259—270.

Суппес, Зи нес (Suppes Р., Zinnes J. L.)

Basic measuremet theory, в сб. «Handbook Math. Psychol.» под ред. Luce R. D., Bush R. R., Galanter E., New York, 1963, Vol. 1, pp. 1—76.

(Русский перевод: Основы теории измерений, в сб. «Психологические измерения» под ред. Мешалкина Л. Д., изд-во «Мир», М., 1967, стр. 9—110.)

Сэвидж (Savage L. J.)

The foundations of statistics, New York, 1954.

Тарский (Tarski A.)

Contributions to the theory of models, Indag. Math., 16 (1954), 572—581.

Тверский (Tversky A.)

A general theory of polynomial conjoint measurement, J. Math. Psychol., 4 (1967), 1—20.

Терстоун (Thurstone L. L.)

A method of scaling psychological and educational tests, J. Educ. Psychol., 16 (1925), 433—451.

A law of comparative judgment, Psychol Res, 34 (1927), 273—286.

Equally often noticed differences, J. Educ. Psychol., 18.(1927), 289—293.

The method of paired comparisons for social values, J. Abnorm. Soc. Psychol., 21 (1927), 384—400.

The learning function, J. Gen. Psychol., 3 (1930), 469—493.

Rank order as a psychophysical method, J. Exp. Psychol., 14 (1931), 187—201.

Терстоун, Чейв (Thurstone L. L., Chave E. J.)

The measurement of attitude, Univ. Chicago Press, 1929.

Тичнер (Titchener E. B.)

Experimental psychology, Vol. II, New York, 1905.

Торгерсон (Torgerson W. S.)

Theory and methods of scaling, New York, 1958.

Distances and ratios in psychophysical scaling, Report 58-G-0014, Lincoln Lab., Inst. Tech., Massachusetts, 1960.

Торндайк (Thorndike E. L.)

Handwriting, Teach. Coll. Rec., 11, (1910).

The measurement of intelligence, Columbia University, Teachers College Bureau of Publ., New York, 1927.

Фалман (Falmagne J. C.)

The generalized Fechner problem and discrimination, J. Math. Psychol., 8 (1971), 22—43.

Фехнер (Fechner G. T.)

Elemente der Psychophysik, Leipzig, 1860.

Фишберн (Fishburn P. C.)

Utility theory, Management Sci., 14 (1968), 335—378.

Utility theory for decision making, New York, 1970.

A mixture-test axiomatization of conditional subjective expected utility, Econometrica, 41 (1973).

Фишер (Fisher I.)

The making of index numbers, Boston, New York, 1923.

Фриш (Frisch R.)

The problem of index numbers, Econometrica (1936), 1—38.

Фукс (Fuchs L.)

On mean systems, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1 (1950), 303—320.

Хауснер (Hausner M.)

Multidimensional utilities, в сб. «Decision processes» под ред. Thrall R. M., Coombs С. H., Davis R. L., New York, 1954, pp. 167—180.

Хевнер (Hevner К.)

An empirical study of three psychophysical methods, J. Gen, Psychol.t 4 (1930), 191—212.

Хемпел (Hempel C. G.)

Fundamentals of concept formation in empirical science, Int. Enc. Unified Science, 2, № 7, Univ. Chicago Press, 1952.

Хосцу (Hosszu M.)

Nonsymmetric means, Publ. Math, Debrecen, 6 (1959), 1—9.

Note on commutable mappings, Publ. Math. Debrecen, 9 (1962), 105—106.

Хофман (Hofmann К. H.)

Zur mathematischen Theorie des Messens, Rozprawy Matemat., 32 (1963).

Цермело (Zermelo E.)

Die В erechung der Turnierergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Z., 2 9 (1929), 436—460.

Черчер (Churcher В. G.)

A loudness scale for industrial noise measurements, J. A coast. Soc. Amer., 6 (1935), 216—226.

Шепард (Shepard R. N.)

The analysis of proximities: Multidimensional scaling with an unknown distance function, Psychometrika, 27 (1962), I: 125—129; II: 219—246.

Approximation to uniform gradients of generalization by monotone transformation of scale, в сб. «Stimulus Generalization» под ред. Mos- tofsky D. J., Stanford Univ. Press, 1965, pp. 94—110.

Эйслер (Eisler H.)

On the problem of category scales in psychophysics, Rep. Psychol. Lab. Univ. Stockholm, 107, 1962.

Экман (Ekman G.)

Measurement of moral judgments: A comparison of scaling methods, Perceptual and Motor Skills, 15 (1962), 3-—9.

Экман, Кюннапас (Ekman G., Kiinnapas T.)

Scales of aesthetic value, Perceptual and Motor Skills, 14 (1962), 19—26.

Measurement of aesthetic value by «direct» and «indirect» methods, Scand. J. Psychol., 3 (1962), 33—39. (Русский перевод: Шкалирование эстетических оценок «прямыми» и «косвенными» методами, в сб. «Семиотика и искусствометрия» под ред. Лютмана Ю. М. и Петрова В. М., изд-во «Мир», М., 1972.)

Элсберг (Ellsberg D.)

Risk, ambiguity and Savage axioms, Quart. Econ., 75 (1961), 643—669.

А 14

А 18

А/а 18

А/«д 18

(Л;学 25

(Л; <, " 80

(Л; <,厶 О) 100

И；(此)通〉14

〈4; Ri, • • •, Rn〉14

庇(国)旧〉18

00； (以П 磺)通〉15

q ^ b 14

QYib 135

a % b 135

a Y2 6 137

a ^2 b 137

aY3& 141

a^3b 141

⑨丸178

窮205

窮/发209

加：4f 5 18

m(A) 19

(Д) 13

(лм) 136

(Н) 139

(Н*) 144

(Н**) 146

(н) 137

(н*) 142

(н**) 146

(п) 135

(п*) 142

(п**) 146

(ni) 141

(пм) 136

(С) 141

⑹136

(ср*) 144

(ср**) 146

(Ст) 136

(ст) 135

(Сш) 139

(сш) 139

(У。，(У2), (Уз) 141

(ч) 138

(ч*) 143

/и-1 (В) 19

九0/n 20

Р 206

Pf]Q 205

PQ 206

PUQ 205

К 16

К+ 20

Й+ 115

〈％; <, » 80

〈К; <,厶(р, q, г)) 100

R (01, • • •,。在)15

亠165

Адамс (Adams Е. W.) 8, 12, 40, 42, 43, 111, 113, 114, 144, 149, 159,,163

Аксель (Aczel J.) 9, 10, 90, 100, 101, 144, 156, 166, 174, 190, 219, 220, 230

Алле (Allais М.) 217

Анскомб (Anscombe F. J.) 232

Ауман (Aumann R. J.) 232

Беккер (Becker G. М.) 193

Беренд (Behrend F. А.) 97, 98

Бирнбаум (Birnbaum А.) 204

Блок (Block Н. D.) 198, 199

Бредли (Bradley R. А.) 186, 187, 194

Бьёркманн (Bjorkmann М.) 130

Вейценхофер (Weitzenhoffer А. М.) 32

В и нет (Winet М.) 144, 232

Во (Waugh F. V.) 51

Галантер (Galanter Е. Н.) 130, 132, 134, 190

Гарнер (Garner W. R.) 127, 129, 131, 132 1зз

Гейдж (Gage F. Н.) 129

Гельмгольц (Helmholtz Н. V.) 9, 126

Гёльдер (Holder О.) 96, 97, 126

Гилфорд (Guilford J. Р.) 192, 193

Гулликсен (Gulliksen Н.) 194

Даддинг (Dadding В. Р.) 126

Дебро (Debreu G.) 76, 144, 159, 193

Де Гроот (De Groot М. Н.) 193

Джадд (Judd D. В.) 127

Дьекович (Djokovic D. Z.) 174

Дэвидсон (Davidson D.) 139, 232

Зинес (Zinnes J. L.) 14, 29

Кантор (Cantor G.) 76

Као (Као R. С.) 8

Келли (Kelly J. L.) 56, 57, 65, 66

Кларк (Clarke R. F.) 193

Копланд (Copeland А. Н.) 210, 211

Кранц (Krantz D. Н.) 8, 159, 232

Кросс (Cross D. V.) 129

Крускал (Kruskal J. В.) 8

Кумбс (Coombs С. Н.) 8, 10, 203

Кэмпбел (Campbell N. R.) 28, 126

Кюннапас (Kiinnapas Т. G.) 8, 130, 132, 181

Левин (Levine М. V.) 10, 164, 168

Ловингер (Loevinger J.) 203

Лоренц (Lorenz С.) 127

Льюс (Luce R. D.) 9, 10, 54, 134, 144, 155, 159, 186-188, 190, 192, 194, 196—199, 203, 232

Макдональд (Macdonald Р. А.) 52, 53

Мак-Криммон (MacCrimmon К. R.) 217

Марковиц (Markowitz Н. М.) 217

Маршак (Marschak J.) 139, 193, 198, 199

Мелхаммер (Malhammar G.) 8

Менгер (Menger К・)23

Мессик (Messick S. J.) В

Моргенштерн (Morgenstern О.) 10, 211, 214, 225, 231—232

Мостеллер (Mosteller F.) 202, 203

Моцкин (Motzkin Т.) 115, 117

Мюнстерберг (Miinsterberg Н.) 127

фон Нейман (von Neumann J.) 211, 224, 225, 230—232

Ноуги (Nogee Р.) 232

Ньюман (Newman Е. В.) 129

Пендерграсс (Pendergrass R. N.) 194

Пикерт (Pickert G.) 144

Плато (Plateau J.) 127

Прэтт (Pratt С. С.) 127

Пфанцагль (Pfanzagl J.) 149, 174, 187, 190, 232

Радо (Rado F.) 144

Рамсей (Ramsey F. Р.) 232

Раш (Rasch G.) 204

Робертсон (Robertson D. М.) 52, 53

Робинсон A. (Robinson А.) 20, 38, 112

Робинсон Р. (Robinson R. Е.) 40— 43, 111, 113, 114, 163

Росс (Ross S.) 7

Самуэльсон (Samuelson Р. А.) 212

Свенсон (Svenson О.) 8

Скотт (Scott D.) 20

Стивенс Дж. (Stevens J. С.) 130

Стивенс С. (Stevens S. S.) 10, 11, 41, 42, 44, 45, 53, 106, 108, 127— 132

Суппес (Suppes Р.) 9, 14, 20, 29, 144, 232

Сэвидж (Savage L. J.) 212, 213, 217, 232

Таккег (Tucker) 116

Тарский (Tarski А.) 20, 112

Тверский (Tversky А.) 9, 10, 159, 232

Терри (Terry М. Е.) 186, 187, 194

Тер стоун (Thurstone L. L.) 164, 178, 194, 196, 203

Тичнер (Titchener Е. В.) 127

Торгерсон (Torgerson W. S.) 7, 11, 12, 127, 129, 132, 203

Торндайк (Thorndike Е. L.) 186

Тьюки (Tukey J. W.) 144, 159

Фагот (Fagot R. F.) 40, 42, 43, 111, 113, 114, 144, 149, 159, 163

Фалман (Falmagne J. С.) 187

Фенхель (Fenchel) 116

Фехнер (Fechner G. Т.) 133, 184, 185, 187

Фишберн (Fishburn Р. С.) 10, 205, 232

Фишер (Fischer J：) 41, 47, 48

Фолкман (Volkmann J.) 53, 127— 129, 131

Фриш (Frisch R.) 52

Фукс (Fuchs L.) 84

Хевнер (Hevner К.) 196

Хемпел (Hempel С. G.) 29, 97

Хосцу (Hosszu М.) 94, 190

Хофман (Hofmann К・ Н.) 71, 74, 76

Цермело (Zermelo Е.) 187

Чейв (Chave Е. J.) 203

Черчер (Churcher В. G.) 131

Шепард (Shepard R. N.) 8, 164

Эдвардс (Edwards W.) 187, 188

Эйслер (Eisler Н.) 133

Экман (Ekman G.) 130, 132, 181

Элсберг (Ellsberg D.) 216

Эрроу (Arrow К. J.) 192

автоморфизм 20

—двойственный 207

адекватно параметризованное семейство отношений 48

—一 —_ замкнутое 49

аксиома бисимметричности 128

—единственности 213

—коммутативности 128

—непрерывности 128, 214

—поддающаяся (не поддающаяся) проверке 111

—порядка 212

— рефлексивности 83

—сократимости 127

—счетности вторая 57

——первая 57, 65, 72

аксиомы порядка 57

алгебра 16

—булева 205

база топологии 56

базис системы окрестностей 57

вероятностная мера отклика 177

вероятность субъективная 231

высказывание, поддающееся проверке 112, 114, 160—162

гомоморфизм 19, 88

—алгебраический 20, 89, 90

грань верхняя 62

——точная 62

—нижняя 62

——точная 62

группа автоморфизмов 21

—положительных линейных преобразований 27

—растяжений 27

—сдвигов 27

деление пополам 105, 130

дополнение 205

допустимое преобразование шкалы 25

едва заметные различия 187

значение отображения 19

идеал 207

—главный 207

измерение 28—30

—многомерное 28

—производное 28

—фундаментальное 28

измерения совместные 155

изоморфизм 20

изоморфные системы 20

интервал 60

—замкнутый 60

—открытый 60

класс эквивалентных шкал 24

конус выпуклый 115

логарифмические модели 186 луч замкнутый 59 —открытый 59

метод бисекции 126

множество вполне упорядоченное 62

—значений отображения 19

—открытое 56

—упорядоченное 26

монотонность левая*136

—по первой (второй) переменной 69

—правая 136

независимость 137, 142, 146, 192

независимые события 221

неподвижная точка отображения 90

непрерывность по первой (второй) переменной 69

нормализация 172

нормальная подгруппа 27

носитель системы с отношениями 14

область определения 19

объединение 205

окрестность 56

операции соединенные 91—94

операция 81

—автодистрибутивная 83, 94

—аддитивная 96, 126

— антимонотонная 95

—архимедова 82, 84

—ассоциативная 83

—дисимметричная 83, 94

—внутренняя 81, 84

—дистрибутивная 92, 94

—изомонотонная 95

—коммутативная 83, 98

—метрическая 85, 87, 151

— осреднения 85, 126, 152

—рефлексивная 83, 84

—сепарабельная 82, 87

—сингулярная 87

—сократимая 69, 88, 94, 97

осреднение арифметическое 102, 106, 126

— геометрическое 102, 106

отклик 177

—на стимул, сходный с данным 200

отклонение стандартное 38

отношение адекватно параметризованное 48

—адекватное 31

—безразличия 58

отношение инвариантное 33

—конгруэнтности 16

——грубейшее 17

—порядка 57, 142, 146

—предела 80

—соответствующее 35

—эквивалентности 16

——более грубое 17

отображение 18

— автосоединяющее 92

— антимонотоиное 70

—взаимно однозначное 19

—изомонотонное 70

—монотонное 67, 69

——по первой (второй) переменной 69

—непрерывное 65

—открытое 66

—сингулярное 91

—согласованно монотонное 69

— соединяющее 92, 108

—сократимое 69

отрицание 205

оценка 177

—дихотомическая 201

ощущение 178

—идеальное 178

парное сравнение 184

пересечение 205

подбаза топологии 56

подмножество плотное 70

—простое 61

—связное 63, 64, 74, 140

подсистема замкнутая 160

подход Моргенштерна — фон Неймана 224

полезность 231

порядок 26

—частичный 206

постулат независимости 192

—ранжирования 197

предрасположение 177

представление, инвариантное относительно сдвига 165

—каноническое 164

—линейное 172

—собственно линейное 172

принцип отсутствия иллюзий 212

— уверенности 212

произведение пространств 68

прообраз множества 19

пространство топологическое 56, 57, 66, 71

一 一сепарабельное 71

—хаусдорфово 57, 60

проявление 11

разрыв 64, 73

распределение отклика 177

рефлексивность 83

свойство 11

сегмент 60

семейство отношений 48

сечение 61

симметрия 136

система аксиом 113

—一 следствие 113

——чисто техническая 113

—окрестностей 56

—расстояния 149

——упорядоченная 149

——一 числовая 150

—с отношениями 14

———неприводимая 18, 23

———представимая 113

———соизмеримая 113

一 —一 упорядоченная 57

———一числовая 16

———эмпирическая 16

—совместных измерений 155

————двумерная 155

———fe-мерная 156

—упорядоченная 56, 57

собственная нулевая точка 102

событие достоверное 207

—невозможное 207

—независимое 221

—почти достоверное 213

— — невозможное 213

среднее 39, 45

статистика 39

—адекватная 40

стимул кумулятивный 202

—некумулятивный 203

—сходный с данным 183

стратегия 211

— простая 212

—смешанная 215

суждение 177

теорема декомпозиции 222

—представления 223

—умножения 224

тип системы с отношениями 14

топология 56

—грубая 56

—интервальная 60

—относительная 61

—произведения 68

—тонкая 56

точка предельная 57

—собственная нулевая 102

транзитивность сильная 136

—слабая 135

условие диагональное 138

— независимости 137, 142, 146

— непрерывности 139, 144, 146

— совпадения 141

—согласованности ранжировок 196

—существования решения 144, 146

—четырехместное 138

——обобщенное 143

—шести местное сильное 139, 144

——слабое 139

факторалгебра 209

факторсистема 18

функция, инвариантная относительно сдвига 165

—сократимая 165

-—стохастическая Вебера 188

шкала интервалов 27, 44, 100, 109, 153

—наименований 26, 75

—отношений 27, 47

порядка 26, 75, 80

—производная 29

—разностей 27, 44

—фундаментальная 29

—h-мерная 23

шкальные значения 23

эквивалентные стратегии 217

—шкалы 24

элемент идемпотентный 206

—рефлексивный 83

эмпирический статус аксиом 110

эндоморфизм 103

— деления пополам 105, 130

—специальная форма 104

—частичный 22

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие

7

Глава 1. Общеепредставление об измерении 11

Свойства и их проявления 11

Представление свойств на разговорном языке...12

Системы с отношениями 14'

Отношения эквивалентности и конгруэнтности...16

Отображения, гомоморфизмы и изоморфизмы....18

Определение шкал 23

ЕдинстЕенность шкал 24

Некоторые типы шкал 25

Шкалы наименований 25

Шкалы порядка 26

Шкалы., единственные с точностью до групп линейных преобразований 27

Многомерное измерение 28

Фундаментальное и производное измерения 28

Практическое выполнение измерения 30

Глава 2. Адекватность

Адекватные отношения

Инвариантные отношения

Примеры

Адекватная статистика

Примеры адекватных и неадекватных статистик ..

Шкалы порядка

Шкалы интервалов

Шкалы отношений

Адекватно параметризованные отношения

Примеры на адекватную параметризацию

л 9^ 0^ л

9^ 9^ о^ о^ 9^

113893347803 3333444445

Глава 3. Топология на упорядоченных множествах

1^9^о^4^^^7^0^

Топологические пространства

Отношения порядка

Интервальная топология

Относительная и интервальная топологии .... Вполне упорядоченные и связные множества ... Непрерывные и монотонные отображения Произведение пространств Сепарабельность и счетная база

56

56

57

59

61

62

65

68

70

Глава 4. Шкалы наименований и порядка 75

Шкалы наименований 75

Шкалы порядка 75

Шкалы порядка в практике 77

Непрерывность шкалпорядка 78

Глава 5. Операции 81

Монотонность, непрерывность и сепарабельность81

Алгебраические свойства бинарных операций.. .83

Отображения и алгебраические свойства 88

Дистрибутивность и бисимметричность 94

Аддитивные операции 96

Глава 6. Теория шкал интервалов, основанных иа операциях . . .100

л о^ 0^ 4л о^ 0^ 45-6-665-6-66Существование и единственность шкал интервалов 100

л о^ 0^ 4

л о^ 0^ 4

5-6-

66

5-6-

66

Собственные нулевые точки 102

Нулевые точки и эндоморфизмы 103

Одновременное арифметическое и геометрическое осреднение 106

Совместное шкалирование 108

Глава 7. Психофизические приложения шкал интервалов, основанГлава 7. Психофизические приложения шкал интервалов, основанЭмпирический статус аксиом 110

Глава 7. Психофизические приложения шкал интервалов, основан

Глава 7. Психофизические приложения шкал интервалов, основан

ных на операциях 126

Аддитивные операции 126

Операции осреднения 126

Эндоморфизмы 130

Эмпирическое сравнениеарифметическихигеометрических шкал бисекции 132

Кросс-модальность и психофизическийзакон....133

Глава 8. Отношения порядка на произведении множеств 135

L 9^ о^ 4^ ^ А^ & 0^ 0^ 0^ 0^ 0^L 9^ о^ 4^ ^ А^ & 0^ 0^ 0^ 0^ 0^Отношения порядка на Л, производные от отношений

L 9^ о^ 4^ ^ А^ & 0^ 0^ 0^ 0^ 0^

L 9^ о^ 4^ ^ А^ & 0^ 0^ 0^ 0^ 0^

порядка на / х / 135

n-местные условия 138

Условия непрерывности 139

Отношения между производным и данным порядками 141

Отношения порядка на Аг х ^2 142

Отношения порядка на 4]Х • • • X 力左 146

Глава 9. Теория шкал интервалов, основанных на расстояниях . . .149

Системы расстояний 149

•9.2. Системы расстояний и операции 151

Существование и единственностьшкалинтервалов,

основанных на расстояниях 153

Совместные измерения 155

Эмпирический статус аксиом дляпроизведенияструктур 160

Глава 10.Канонические представления 164

Принцип каноническихпредставлений 164

Единственность представлений, инвариантных относительно сдвига 165

6872767678818383848687919541 11 «1 и 11 11 «1 11 11 11 11 11 «16872767678818383848687919541 11 «1 и 11 11 «1 11 11 11 11 11 «1о 1 5 5159141 3 1 /4 202020202121212222232324%%о 1 5 5159141 3 1 /4 202020202121212222232324%%

68727676788183838486879195

41 11 «1 и 11 11 «1 11 11 11 11 11 «1

68727676788183838486879195

41 11 «1 и 11 11 «1 11 11 11 11 11 «1

о 1 5 5159141 3 1 /4 202020202121212222232324%%

о 1 5 5159141 3 1 /4 202020202121212222232324%%

Существование представлений, инвариантных относительно сдвига

Линейные представления

Глава 11. Шкалы, полученные на основе откликов

Отклик, суждение и оценка

Дисперсионная модель распознавания

Измерение стимулов

Одновременное измерение стимулов и испытуемых

Выбор стимулов, сходных с данными

Парные сравнения

Логарифмические модели

Метод едва заметных различий

Выбор стимула из данного множества

Ранжировки

Отклики в экспериментах на выбор стимула,сходного с данным

Дихотомическая оценка

Глава 12. События, полезность и субъективная вероятность ....

Алгебра событий

Пространство стратегий

Смешанные стратегии

Вспомогательные леммы

Теоремы о полезности и субъективной вероятности

Подход Моргенштерна ——фон Неймана

Заключительные замечания

Список литературы

Указатель обозначений

Именной указатель

Предметный указатель

зал следствие 5.4.2 для специального случая, когда Л — множество дей

ствительных чисел, а О — рефлексивная операция.

У ТЕОРИЯ МЗМЕРЕНИЙ

THEORY

OF MEASUREMENT

by

JOHANN PFANZAGL

in cooperation with

V. BAUMANN AND H. HUBER

2nd revised edition

Physica-Verlag. Wurzburg—Wien 1971

И. ПФАНЦАГЛЬ

при участии

В. БАУМАННА и Г. ХУБЕРА

ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Перевод с английского

В. Б. КУЗЬМИНА

Под редакцией С. В. ОВЧИННИКОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР》МОСКВА 1976

УДК 681.142

Книга представляет собой первое на русском языке последовательное изложение и обзор результатов нового направления теории, связанного с измерением неколичественных признаков. Она содержит последние достижения в области теории измерений, моделей, полезности, подходящих статистик и теории шкалирования.

Для иллюстрации теоретических положений автор привлекает примеры практических приложений и дает обзор прикладных работ в этой области.

Книга будет интересна математикам-прикладникам и специалистам, сталкивающимся с проблемами измерений в психологии, социологии, квалиметрии, эргонометрии, управлении системами. Она может служить ценным учебным пособием для студентов и аспирантов, специализирующихся в указанных областях.

Редакция литературы по математическим наукам

И. ПфанцагльТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Редактор Л. Б. Штейн прессХудожник Н. Я- ВовкХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор И. М. КренделеваКорректор М.. А. Смирнов

Сдано в набор 26/XII 19 7 5 г. Подписано к печати 2 7/V 19 76 г. Бумагакн.-журн. 60x901/16=7,75 бум. л. Усл.-печ. л. 15,50 Уч.-изд. л. 14,95 Изд. № 1/8156.Цена 1 р. 26 к. Зак. 01183.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер., 2Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 7 «Искра революции»Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по деламиздательств, полиграфии и книжной торговли.

Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9

20204-026

П б”[(01卜7626-76 © Перевод на русский язык, «Мир», 1976