Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время все более повышаются требования к качеству готовой продукции, расширяется многообразие материалов и процессов их обработки, возрастают требования к гибкости производства в различных отраслях промышленности. Все это вместе взятое ставит перед механикой деформируемого твердо- г0 Тела задачу создания математических моделей конструкций и технологических процессов, учитывающих все более «тонкие» эффекты. К последним, в частности, относится геометрическая нелинейность возникающих в прикладных исследованиях краевых задач механики деформируемого твердого тела, особенно теории упругости и теории пластичности. G другой стороны, за последние два десятилетия неизмеримо возросли возможности доведения решения сложнейших нелинейных задач механики до численных результатов, что связано в первую очередь с бур- ньш развитием вычислительной техники и математики. Эти два обстоятельства и вызвали, по мнению авторов, резкое повышение интереса к геометрически нелинейным проблемам упругости и пластичности, о чем свидетельствует интенсивный рост числа публикаций. К настоящему времени нелинейная теория упругости полностью оформилась в самостоятельную дисциплину и уже достаточно полно изложена в нескольких монографиях (ссылки на некоторые из них приведены в тексте настоящей работы). В теории пластичности ситуация несколько иная: если вопросам нелинейности определяющих соотношений теории пластичности посвящено большое количество монографий и учебников ,то подобное достаточно полное изложение вопросов геометрической нелинейности в теории пластичности в настоящее время отсутствует. Предлагаемая работа представляет собой попытку в какой-то мере исправить существующее положение.
Настоящая работа условно может быть разделена на две части. В первой (главы 1——3), рассматриваются общие теоретические основы геометрически нелинейных задач теории пластичности. Вторая часть (главы 4——6) посвящена изложению постановок и алгоритмов решения вышеуказанных задач, а также анализу результатов решения некоторых конкретных прикладных Задач.
В первой части рассматривается кинематика деформируемой среды, приведены сведения о принятых в работе обозначениях, вводятся необходимые для дальнейшего изложения системы координат, кратко излагается суть эйлерова и лагранжева подходов к изучению движения, содержатся необходимые сведения из тензорного анализа. Здесь же вводятся имеющие большое значение в геометрически нелинейных проблемах понятия индифферентности и инвариантности по отношению к жесткому движению. Приведен обзор существующих мер деформации, рассматривается геометрический смысл компонент тензоров и мер
деформации, устанавливается индифферентность и инвариантность по отношению к жесткому движению анализируемых мер деформации. Рассмотрены аналогичные вопросы, относящиеся к тензорам приращений и скоростей деформаций. С единых позиций, позволяющих достаточно ясно показать геометрический смысл, вводятся коротационные производные тензоров деформаций. Особое внимание уделено используемым в дальнейшем коротационным производным логарифмических мер деформации (тензорам Генки).
В объеме, необходимом для целей настоящей работы, рассматриваются различные тензоры напряжений, получившие распространение в механике деформируемого твердого тела, определяются их индифферентность и инвариантность, приводятся основные понятия и соотношения динамики сплошной среды. Здесь же содержится обзор применяемых в геометрически нелинейных задачах мер измерения напряженного состояния, анализируются коротационные производные тензоров напряжений, устанавливаются соотношения между некоторыми производными, Центральной проблемой формулирования любой частной теории механики деформируемого твердого тела (и теория пластичности не составляет исключения в этом аспекте) является установление определяющих соотношений. Здесь в механике сплошных сред сложилась на первый взгляд парадоксальная ситуация: в настоящее время общая теория определяющих соотношений является математически более строгой и завершенной, чем большинство частных теорий. Существующее положение, по мнению авторов, обусловлено следующими обстоятельствами. Во-первых, несмотря на универсальность определяющих соотношений, общая теория оперирует с вполне конкретным видом функциональных связей, приведение к которому физических уравнений частных теорий представляет отнюдь не простую задачу. Во-вторых, некоторые частные теории, для которых до настоящего времени не удалось показать непротиворечивость принятых гипотез постулатам и теоремам общей теории, являются достаточно хорошей аппроксимацией для описания поведения материала в рассматриваемом диапазоне изменения параметров, характеризующих процесс деформирования данной среды. Наконец, поведение реальных деформируемых сред обладает более богатым содержанием, чем предписываемое общей теорией определяющих соотношений механики сплошных сред. И в этом смысле частные теории, опирающиеся на эксперимент и сформулированные для вполне определенных классов материалов и диапазонов изменения параметров, описывающих поведение деформируемой среды, оказываются более приемлемыми для утилитарных целей. Тем не менее даже в этом случае ряд аксиом общей теории должен быть выполнен.
Сказанное выше определило построение части работы (глава 3), посвященной определяющим соотношениям геометрически нелинейной теории пластичности. Здесь содержатся основные положе-
нйя и аксиомы общей теории определяющих соотношений, лричем изложение опирается на работы А. А. Ильюшина, А. И. Лурье, К. Трусделла.
Рассматриваются постулаты и гипотезы теории упругопла- стических процессов А. А. Ильюшина, приведен краткий об- 30р работ по определяющим уравнениям в нелинейной теории пластичности, рассматриваются предлагаемые авторами соотношения. Последние представляют попытку обобщения теории упругопластических процессов на случай больших пластиче- скйх деформаций. Здесь авторы не претендуют на полноту и завершенность теории, в частности, рассматриваемый случай относится к широко распространенным в практике процессам деформирования с большими пластическими ——малыми упругими деформациями. Заметим, что термин «упругопластические» сохранен в названии в связи с тем, что упругие деформации включены в рассмотрение, хотя и считаются малыми. Наряду с определяющими соотношениями скоростного типа, сформулированными в терминах актуальной конфигурации, в качестве альтернативного варианта приведен общий вид физических уравнений с использованием мер напряженного и деформированного состояния, определенных в отсчетной конфигурации.
Во второй части работы содержится общая постановка рассматриваемой в работе задачи нелинейной термоупругопластичности г а также некоторая конкретизация граничных условий для реальных технологических задач. Предлагается методика решения поставленной задачи (см. главу 5). В разд. 5.1 приведено обобщенное решение задачи, для получения которого используется метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения. Наконец, представлены некоторые результаты решения технологических задач теории больших пластических деформаций.
При работе с книгой авторы рекомендуют читателям самостоятельно воспроизводить все вычисления. Были сохранены промежуточные выкладки, насколько позволял объем работы, там, где этого осуществить не удалось, сделаны необходимые ссылки на используемые соотношения. Заметим, что, хотя значительная часть материала разд. 1.1, 1.2, 2.1 содержится в большинстве учебников и монографий по механике сплошной среды, Для ознакомления с принятыми обозначениями и техническими приемами, используемыми в дальнейших вычислениях, целесообразно не пропускать и указанные разделы.
Работа над рукописью распределилась следующим образом. Разделы 1.2, 1.3, 2.2, главы 3—5 написаны П. В. Трусовым, остальные разделы и глава 6 написаны совместно А. А. Поздее- зьгм, П. В. Трусовым, Ю. И. Няшиным. Авторы весьма признательны сотрудникам кафедры теоретической механики Пермского политехнического института М. Г. Давыдову, °・ И. Дударю, В. В. Мулюкову, В. Д. Онискиву, В. Ю. Столбову, С* А. Чернопазову ——именно благодаря их терпеливой и настой- Ттво立 работе на ЭВМ была написана глава 6.
Глава 1
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ
Вопросам задания и определения кинематических характеристик (скоростей, ускорений, деформаций и т. д.) движения сплошной среды посвящено большое количество работ. Достаточно подробно кинематика деформируемой среды изложена в монографиях [66, 102,111, 112, 141, 151, 152]. Вместе с тем ряд новых результатов не получил до настоящего времени необходимого освещения в научной литературе. Поэтому в данной главе наряду с основными понятиями и соотношениями кинематики сплошной среды, необходимыми для дальнейшего изложения, сделана попытка обобщить и систематизировать результаты [работ последних лет, в том числе результаты, полученные авторами.
1-1. Введение в кинематику деформируемой среды. Некоторые сведения из тензорного анализа
Цель настоящего раздела — напомнить основные понятия кинематики сплошной среды, некоторые сведения из тензорного анализа и ввести используемые в дальнейшем обозначения.
Для рассмотрения движения сплошной среды, как известно [66, 112, 151, 152 и др.]т необходимо определить систему отсчета — неподвижное или движущееся тело и связанную с ним систему координат. В дальнейшем последнюю будем отождествлять с системой отсчета.
В качестве системы отсчета выберем (условно) неподвижную произвольную криволинейную систему координат 00屮『. Введением системы координат устанавливается взаимнооднозначное непрерывное соответствие между геометрическими точками рассматриваемого трехмерного евклидова пространства Д3 и тройками чисел ——координатами точек (沙丄，у2, z/3). В силу взаимной однозначности в каждой точке пространства могут быть определены три координатные линии у^ = {(у* у2, 产 三 дз 乂矿= = const) Д (疗 — const), i * j，左，X} и три некомпланарных вектора ei = dr/d/ направленных по касательным к соответствующим координатным линиям 矿(здесь г — вектор, проведенный из некоторой фиксированной точки пространства, например, из О в рассматриваемую точку). Векторы 曲(Z = 1, 3) называются векторами основного базиса (в данном случае — системы отсчета。疗閃з).
Наряду с векторами основного базиса в тензорном исчислении, вводятся так называемые векторы сопряженного (или
взаимного) базиса
1%.(与气)
Здесь, как обычно [112, 152], знак《・》определяет скалярное, 《X》一 векторное произведения; г, /, к образуют четную перестановку индексов 1, 2, 3. Нетрудно видеть, что
色.中=Н ・R = 6? = [° ?у=/ (1.1.2) где 3? — символ Кронекера. Следует подчеркнуть, что векторы основного е( (или взаимного ег) базиса в общем случае не равны единичным векторам и не являются взаимно ортогональными, однако каждый вектор ег (%) ортогонален е；,州 (е‘，е") (t у= / У= 关 k^i) по построению. Кроме того, векторы базиса, как основного, так и сопряженного, изменяются в общем случае от точки к точке пространства.
В качестве системы отсчета Oz/1?/2?/3 может быть использована любая из систем координат: произвольная криволинейная, декар- товая (косоугольная или прямоугольная), ортогональная криволинейная (цилиндрическая, сферическая и т. д.) [141, 179]. Наиболее часто применяется декартовая ортогональная система координат О户七包з с базисом kj (i = 1, 3). В этом случае векторы основного и взаимного базисов совпадают, кг = к\ и образуют каждый в отдельности тройку единичных взаимно ортогональных векторов (ортонормированный триэдр).
В дальнейшем, следуя В. Прагеру [141], для отделения понятия «геометрическая точка» от понятия «материальная точка» последнюю будем именовать материальной частицей или просто частицей. Под конфигурацией в дальнейшем будем понимать заданное соответствие частиц исследуемого объема сплошной среды и точек пространства, которые частицы занимают в рассматриваемый момент времени 九 При движении континуума конфигурация непрерывно изменяется. 、
При движении произвольной отдельно взятой частицы ее коор.- динаты у" изменяются с течением времени:
d =『(t), i = TT3. (1.1.3)
Уравнения (1.1,3) называются законом движения данной частицы, причем функции f «) являются непрерывными вместе с производными требуемого порядка. В механике конечного или счетного множества материальных частиц каждой из них присваи1- вается свой номер (индекс), сохраняющийся в течение всего времени движения и отличающий эту частицу от остальных. При рассмотрении движения сплошной среды (континуального множества элементов ——частиц) для индивидуализации частиц вводятся йе* прерывно изменяющиеся переменные. С этой целью обычно дая некоторой фиксированной конфигурации, соответствующей опрё-
Рис, 1.1. Системы координат и векторы базисов
деленному моменту времени (например, t = 0), вводится система координат (вообще говоря, произвольная)。罟守守 (рис. 1.1), с помощью которой каждой частице ставится в соответствие тройка чисел (自丄，F, &з), «приписанных» данной частице и неизменных в течение всего времени движения. Координаты F называются материальными или лагранжевыми, а совокупность (i, f, ^2,守) называют переменными Лагранжа [41, 112,152]. Заметим, что в качестве отсчетной обычно выбирают конфигурацию рассматриваемой сплошной среды в естественном (ненапряженном и недефор- мированном) состоянии.
Положение частицы в отсчетной конфигурации 窮° по отношению к системе отсчета определяется радиус-вектором Ro (F)—— непрерывной вместе с производными требуемого порядка вектор- значной функцией. Векторный базис системы координат О^^^ образует тройка некомпланарных векторов ёг = 5R0/5^ (i =
=173，векторы взаимного базиса определяются соотношениями, аналогичными (1.1.1). Введенную в отсчетной конфигурации систему OiJi/F называют лагранжевой неподвижной системой координат. Данная система не зависит от времени и служит для фиксации начальной конфигурации сплошной среды. Заметим, чт0 в качестве координат частиц сплошной среды в неподвижной
лагранжевойлагранжевойсистеме могут служить и координаты этих частиц
лагранжевой
лагранжевой
в начальный момент временив начальный момент временив системе отсчета Оугу2у3 (или
в начальный момент времени
в начальный момент времени
Ох1^2^3), что часто бывает весьма удобным.
Считая координатные линии g (力=1, 3) состоящими из частиц сплошной среды, приходим к понятию лагранжевой подвижной (сопутствующей, «вмороженной») системы координат Oi^1^2^3, служащей для определения конфигурации 留才 деформируемой сплошной среды в произвольный момент времени t (актуальной конфигурации). При этом сопутствующая лагранжева система, будучи связанной с частицами деформируемой среды, непрерывно изменяется, деформируется с течением времени, однако лагранжевы координаты каждой частицы в обеих лагранжевых системах — подвижной и неподвижной ——остаются неизменными. В этом состоит своеобразие лагранжевых координат, являющихся «метками» частиц среды. Для наблюдателя, находящегося в сопутствующей лагранжевой системе, конфигурация сплошной среды остается неизменной. Иначе: и сам наблюдатель, и эталоны длин и углов в сопутствующей системе испытывают одновременно с частицей деформирование, искажения. Следует, однако, отметить, что при использовании лагранжевых переменных метрика деформируемого континуума (т. е，расстояния между частицами и углы, составляемые материальными волокнами) определяются с позиции наблюдателя в системе отсчета.
Положение произвольной частицы относительно системы отсчета в актуальной конфигурации 留才 определяется радиус-вектором г (F, t) —— непрерывной (вместе с производными до требуемого порядка) вектор-функцией. Векторы основного базиса сопутствующей лагранжевой системы определяются как 6左—Ar/dg* ^ = 1, 3, а векторы сопряженного базиса 6* —— соотношениями, аналогичными (1.1.1).
Традиционно в механике сплошной среды различают два способа описания движения сплошной среды:
Материальный (лагранжев) подход, В этом случае прослеживается движение каждой материальной частицы и происходящие при этом изменения параметров, характеризующих состояние Данных частиц. При этом положение каждой частицы в произволь- ВДи момент времени по отношению к системе отсчета определяется радиус-вектором г = уге1 (здесь и далее, если не оговаривается противное, используется правило суммирования по повторяющимся индексам):
(1.1.4)(1.1.4)г = Г (邑 i),
(1.1.4)
(1.1.4)
или в координатной форме
:d = y'(F, t), i= Т^ (1.1.5)
Соотношение (1.1.4) (или (1.1.5)), где г (『，力)(矿(匸力))一непрерывная векторная функция (непрерывные скалярные функции) вместе с непрерывными производными по совокупности аргументов (лагранжевых переменных (>, f, f, t)) до требуемого порядка, представляет закон движения сплошной среды. Отметим, что 矿—г*ег, где ег ——векторы сопряженного базиса той точки системы отсчета, где в данный момент времени находится частица (Е\ Е{ Е*)・ Здесь и далее используется сокращенная форма записи Г(Е* о = Г (V,貝 F, 0.
Знание закона движения (1.1.4) позволяет определить все кинематические характеристики движущейся сплошной среды: перемещения, скорости, ускорения и т. д. Соотношение г = —г (Е\ t) определяет для каждого момента времени t актуальную конфигурацию 宵加 Как уже отмечалось выше, в качестве отсчетной 宓о удобно выбрать одну из актуальных конфигураций, например соответствующую моменту времени 力=0. В этом случае Ro (g) = г (占\ 0) и вектор перемещения и вводится следующим Образом:
и 解 i) = г (F“) - I•岩,0) = г (£ 0 一 Ro (F). (1.1.6)
Пространственный (эйлеров) подход. В этом случае осуществляется наблюдение за параметрами, характеризующими состояние частиц, которые проходят точки пространства неподвижного наблюдателя. Движение при этом считается заданным, если скорость V, температура 0 и другие параметры известны как функции переменных Эйлера (у* z/2, ^3,力)，например,
= v 匂* 力 (1Л.7)
■ Как известно [112, 152], переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа связан с необходимостью решения системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.7), а обратный переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера осуществляется решением системы трех алгебраических уравнений (1.1.5). При этом в силу взаимной однозначности соотношений (1.1.5) якобиан этого преобразования J отличен от нуля в каждый момент времени, т. е.
7=det#)=|#h° (i8)
Физически требование взаимной однозначности отображения (1.1.5) означает, что в каждый момент времени в данной точке пространства может находиться только одна материальная частица, и наоборот, что данная частица в любой момент времени может располагаться только в одной точке пространства.
Следует отметить, что при рассмотрении процессов деформирования сред с зависящими от истории деформирования свойствами независимо от типа используемых в постановке и решении задач
переменных используется по крайней мере две системы координат: одна из лагранжевых и эйлерова. Использование при решении задач механики сплошной среды только лагранжевых систем оказывается недостаточным в силу необходимости прослеживания изменения метрики, которая определяется в пространстве неподвижного наблюдателя, а также вследствие необходимости удовлетворения некоторым граничным условиям (например, на контакте с обтекаемыми неподвижными телами). С применением только эйлеровых переменных может быть решен лишь очень узкий класс задач (например，исследования стационарных течений идеальных и ньютоновских жидкостей в абсолютно жестких каналах).
При решении реальных задач механики сплошной среды часто используется упомянутая выше единая для всех конфигураций декартова ортогональная система координат О^1^2^3〔112]. Компоненты радиус-векторов частиц в отсчетной 當° и актуальной 第力 конфигурациях в базисе 瓦 будем обозначать соответственно как 优и槍：
Ro = J (F) &, Г = " (E 0 kb (1.1.9)
В качестве лагранжевых координат 自"в этом случае удобно принять а\ Отождествляя при этом отсчетную конфигурацию с актуальной при 力 = 0, из (1.1.9) получим
笳(凉,o)= l, "G・ (i.i.io)
Заметим, что выбор системы координат системы отсчета, а также одной из лагранжевых, осуществляется исследователем, но вторая лагранжева уже не произвольна, а полностью определяется движением сплошной среды. В частности, в произвольный момент времени сопутствующую лагранжеву систему можно отождествить с системой отсчета O^V^3. При этом, естественно, ни неподвижная, ни сопутствующая (в следующий момент времени) лагранжевы системы в общем случае движения не являются декартовыми ортогональными.
Наряду с введенными выше системами координат в настоящей работе будут использоваться локальные декартовые ортогональные системы координат ТИ^1^2^3 с базисом q； = q" (Z = 1, 3) (рис. 1.1). Такие системы вводятся для каждой частицы (вместе с ее малой окрестностью) для разделения движения деформируемой частицы на жесткое (поступательное и вращательное) и деформационное.
Все дальнейшее изложение построено с применением тензор* ной алгебры и тензорного анализа, причем преимущественно используется символическая форма записи и операций над тензорами с последующим (в случае необходимости) представлением в компонентной форме. Изложению тензорного анализа посвящено большое количество монографий и учебных пособий [112т 126, 135т 156, 179 и др,]. Поэтому здесь лишь напомним некоторые основные Понятия. Также введем необходимые обозначения и некоторые требуемые в дальнейшем соотношения. Следующий материал ос-
Рис. 12 Ковариантные и контра- вариантные компоненты вектораРис. 12 Ковариантные и контра- вариантные компоненты векторакосоугольные проекции: пр/акосоугольные проекции: пр/анован на цитированной выше литературе, где читатель может найти более подробное изложение.
Рис. 12 Ковариантные и контра- вариантные компоненты вектора
Рис. 12 Ковариантные и контра- вариантные компоненты вектора
косоугольные проекции: пр/а
косоугольные проекции: пр/а
Под тензором, как обычно, будем- понимать объект, инвариантный относительно преобразования координат, под валентностью (рангом) тензора — число базисных векторов, образующих полиадный базис компонентного представления тензора. Так, скалярные величины являются тензорами нулевого ранга, а векторы — тензорами первого ранга. Произвольный вектор а представим разложением в основном е^ или сопряженном ег базисах:
а =з/% =夕声；(1.1.11)
где 仪‘ =а. • с = (пре^ а)/©£ ], а^ — = а® = (npeia)/|el| называются соответственно контравари- антными и ковариантными компонентами вектора а. Здесь и ниже под проекциями будем понимать определяется как разность коорди
нат //t точек пересечения плоскостей, параллельных плоскости, содержащей eJ, е^ (% 千/，比=^= % и проведенных через конец и начало вектора а; а・е? = | а | • | е‘ | cos (а, е')・ Для иллюстрации геометрического смысла ко- и контравариантных компонент вектора рассмотрим компоненты произвольного вектора а в декартовой косоугольной системе координат 0yly^д? с базисом е» (рис. 1.2) [126, 135]. При этом выберем все векторы основного базиса е, единичными, I 用 I = 1 (X = 1, 3), векторы 电，е2 — располагающимися в плоскости чертежа, вектор е3 ——перпендикулярным этой плоскости и образующим правый триэдр с е19 е2. Тогда в соответствии с (1.1.1) векторы сопряженного базиса е1, е2 располагаются также в плоскости чертежа, причем векторы е1, е2 ортогональны соответственно векторам е2, е1? а е3 совпадает по направлению с вектором е3. Обозначая через а угол между ех и е2, определим модули векторов взаимного базиса: ! е1 | = | е2 | = (sin а)"1, | е3 | = 1. Непосредственно из рис. 1.2 нетрудно показать:
@i = а・电=。4 I 仃 I cos (a, ei) = ON工=ON1/^11 =
=(npeia)/| e11 = 0№ sin a,
a1 = a • e1 — OA | e11 cos (afe1) = OM11 e11 = OM^sin a =
=OMx = (npeia)/| fei I，
.аналогично — для компонент а2» «2*'
Трудности геометрической интерпретации ковариантных, кон- травариантных и смешанных компонент тензоров связаны с размерностью пространства (равного количеству базисных элементов, по которым можно разложить тензор). Так, уже для тензора второго ранга размерность пространства равна 9, а для произвольного тензора ранга г ——равна 3l Разложение тензоров вводится по аналогии с векторами. Например, для тензора А второго ранга имеем
a= /»e'= /%声)= /号备¥= A^ej.
где 4力 4" — ко- и контравариантные; /号/Y ——смешанные компоненты тензора (один раз ковариантные и один раз контра- вариантные). Напомним, что при преобразовании координат ковариантные компоненты преобразуются аналогично векторам основного базиса, контравариантные — векторам сопряженного базиса. Операции подъема и опускания индексов будут осуществляться с помощью компонент единичного (метрического) тензора:
Е =■ Е仃备©j = Efjgd =片3投'e'e%
e仃 =e广e$ = 盯备==E沁 笈订 =ё。.e3 = e",
Сумму двух тензоров А и В будем обозначать А + В, произведение тензора А на скаляр а ——через аА, скалярное и двойное скалярное произведение—соответственно через А В и А : В. При этом результатом скалярного произведения тензоров А ранга 7\ и В ранга г2 является тензор ранга (^ 十『；一2), а результат двойного скалярного произведения ——тензор ранга (гх + ^2 ——4)・ Для тензоров любой валентности {А = /仃…е”… В 二 В\…e^eL) можно ввести тензорное умножение (АВ или ВА), результатом которого являются тензоры ранга, равного сумме рангов тензоров, образующих произведение:
aB = 4j…3?2.♦аe?..ё左eL, Ba = 3*…4订【.e忙eL册%?...
Нетрудно видеть, что тензорное произведение, вообще говоря, некоммутативно, АВ т^ ВА. Тензор второго ранга А называется симметричным, если А = Ат? где индекс Т означает транспонирование:
Аг — (А”е%У = А)2& = А%© = А『е© = А^е%”
Для тензоров валентности выше второй понятие симметрии вводится для различных пар индексов: например, тензор А четвертого ранга называется симметричным по первому и третьему индексам, если а阿=A卜川，火用=A卜叫A" = a?%
Символы Леви—Чивита будем обозначать аналогично [112]:
(1.1.12)(1.1.12)е泌=食• (е； X е) е"“ =• ® х е，，
(1.1.12)
(1.1.12)
О协=VЕ &沁6。优=-~
из кова- Е = V3,из кова- Е = V3,где Е = I Етп I —— детерминант матрицы, составленной риантных компонент метрического тензора (при этом V —— объем параллелепипеда т построенного на базисных
из кова- Е = V3,
из кова- Е = V3,
е/ знаком X обозначено векторное произведение. Напомним, что eijkJ М孙 равны： (+1), если ijk образуют четную перестановку индексов 123 (т. е. 123, 231, 312)； (—1), если ijk образуют нечетную перестановку (213, 132, 321), и, наконец, нулю, если ijk не образуют перестановки индексов 123. С введением символов Леви——Чивита выражение для векторов сопряженного базиса (1,1,1) может быть записано в виде
ег = %£屮0 乂 ％・(1.1.13)
Обратное соотношение [112]:
ег = ^261^ X е".(1.1.14)
С использованием символов Леви——Чивита произвольному двухвалентному тензору А = /х>е'е‘ = Л^е^ ставится в соответствие вектор а = сг»е% = агеь двойственный тензору А (или ассоциированный с тензором А), с компонентами
勾=%e订my / = %炉汴/吋(1.1.15)
Из (1.1.15) нетрудно видеть, что вектор, ассоциированный с тензором А, зависит только от его антисимметричной части в случае, если А = Ат, вектор а равен нулевому. Верно и обратное: если двойственный тензору вектор является нулевым, то тензор —— симметричный. Для антисимметричного тензора А (А = —Ат) справедливо соотношение
/" = е 涧窃・(1.1.16)
При операциях с двухвалентными тензорами во многих случаях оказывается удобным их представление в базисе главных (или собственных) векторов. Известно, что для любого симметричного тензора второго ранга А существует по крайней мере три ортогональных главных вектора (будем считать их единичными) а;= =а" и тройка соответствующих собственных (или главных, или характеристических) вещественных значений 欧力 так что з
А = 2江
Направление, определяемое а?, называется главным направлением (главной осью тензора А).
В соответствии со скалярным произведением вводятся целые и дробные степени тензора второго ранга. Так, для тензора второго ранга А квадрат его А2 — А -А, а тг-я целая степень Ап = =А・ А・,..• А. При этом главные векторы Ап совпадают с главными векторами °方 тензорами А, а главные значения равны тг-й степени соответствующих главных значений 9(z. Аналогичным образом вводятся дробные степени двухвалентных тензоров: корнем п-й (九 一 натуральное число) степени из тензора А называется тензор второго ранга В = такой, что А — В".
Очевидно, что главные векторы А и В совпадают, а главные значения тензора В суть корни n-й степени из соответствующих главных значений тензора А. Заметим, что вычисление дробных R отрицательных степеней тензоров второго ранга, а также некоторых функций этих тензоров требует перехода к записи тензора в терминах главных векторов и главных значений. Так, например, тензор В = In А определяется вначале через главные значения и главные векторы:
(1.1.17)(1.1.17)з
(1.1.17)
(1.1.17)
в= 2 (in 沁)с& i—1
с последующим (в случае необходимости) переходом к компонентной записи в произвольном базисе.
При преобразовании координат компоненты векторов и тензоров в общем случае изменяются. В механике сплошной среды широкое применение находят функции компонент векторов и тензоров, не изменяющиеся при преобразовании системы координат (т. е. при изменении базиса). Так, для вектора а инвариантом является его длина а = (а^а)1^. Для произвольного тензора второго ранга А можно определить три независимых инварианта 1Х (А), /2 (А), /3 (А). В механике сплошных сред принято определять их следующим образом:
厶(A) = SpA = t『A=E:A = A:E,
厶(А) = % [(厶(А))2 -厶(А2)]=嶋【(Sp А)2 — Sp (A2)],
(1ЛЛ8)
/3 (A) - % [2SpA3 一 3 (Sp A) (Sp АЗ 十(Sp A)3]= =det (A) = I /R ・
По определению детерминантом (определителем) тензора второго ранга А называется определитель матрицы, составленной из его смешанных компонент Aj； двойное скалярное произведение тензора второго ранга Ас метрическим тензоромЕ (свертка) называется также следом тензора А (отсюда обозначения, используемые в литературе: Spur (нем.), trace (англ.) — след.).
Важное значение в механике сплошных сред имеют понятия шаровой и девиаторной частей (составляющих) тензора второго ранга. Произвольный тензор второго ранга А единственным
образом представим в виде шарового тензора (шаровой части А) S (А) и тензора-девиатора, или просто девиатора, D (А):
А = S (А)十 D (А) = %厶(А) Е + D (А).(1ЛЛ9)
Нетрудно видеть, что Z± (S (А)) = 7\ (А), 7г (D (А)) = 0. Независимым инвариантом шарового тензора является только
厶(S(A));厶(S(A))千％ (厶(А))2, "(S(A)) = %7(/i(A))3.
Для девиатора отличны от нуля два независимых инварианта:
/2 (D (А)) = —% Sp (D (А))2 =厶(А) - % (厶(А)>,
/з (D (А)) = % Sp (D (А))3 = /з (А) 一 y/i ⑷厶(A)十
+ 2/27 (厶(А/
Приведем некоторые необходимые сведения из тензорного анализа. Будем использовать произвольную систему координат ^г^г^з с векторным базисом э； с последующим отождествлением системы координат Oniyfif с любой из введенных выше. Ограничимся в основном рассмотрением векторов и тензоров второго ран； га. В дальнейшем полагаем векторы основного э^ и сопряженного эг базисов непрерывными по совокупности аргументов (вместе с непрерывными до требуемого порядка производными) вектор-функ- циями переменных (限，п?，Л3)-
Рассмотрим произвольный вектор а, представимый своим разложением a = 從吗 = &з\ причем 仰 = & (n,),(/ = (/ (Т)j), Z = 1, 3 — также непрерывные (вместе с непрерывными производными до требуемого порядка) по совокупности аргументов функции переменных (п\ т]2,唄)Производная вектор-функции а (頂)по переменной 贝卜 определяется следующим образом:
02 даг . i ^эг幺 小公
dxf0刀* drfОт/
Как и любой вектор, векторы д^/дт^ и д^1д%^ могут быть представлены своим разложением по векторам базиса, например:
粤章,(1.1.21)
； @3% . @力
где Пл： = —г 屮一компоненты вектора —F в основном базисе, называемые символами Кристоффеля второго рода (или коэффициентами связности второго рода). Используя (1.1.2), нетрудно
показать, что компоненты вектора —г в сопряженном оазисе
равны— F插 Таким образом,
佘=(介 + "r；J *=(*-"№j '(1丄22)
рводя обозначения
▽田=爲^ 十 а'Т%, °т = "^ — &М,(1.1.23)
/.22) можно переписать в виде
da/靖=%а⑸=外研上(1.1.24)
Коэффициенты при э^ (или эг) в разложении вектора da/От)" в основном (сопряженном) базисе V^d1 (У^а^ называются ковариантными производными контравариантных (ковариантных) компонент вектора а. Понятно, что появление членов с символами Кристоффеля второго рода обусловлено изменением базисных векторов при изменении координат (т/, т]2,刀落).В случае неизменности базисных векторов (декартовы системы координат) символы Кристоффеля Г1% = 0 Vz, 7, /с — 1, 3. В этом случае ковариантные производные совпадают с обычными частными производными.
Аналогичным образом определяются ковариантные производные компонент тензора (произвольной валентности). Так, для тензора второго ранга А ковариантные производные ковариантных, контравариантных и смешанных компонент выражаются следующим образом:
^kA^=dAij/d^+Anjr^ +不”阪，(1.1.25)
▽注匕=24：脚限・+ 40:用-疝5%,
так что
@a/ат]" - %4行3)=居，4%沮?=外小/声乙(1.1.26)
Как показано в работе [152], частные производные компонент векторов и тензоров по координатам (dajdv^., д^Чдх^ и т. д.) не являются в общем случае компонентами какого-либо тензора, в то время как ковариантные производные от ковариантных, смешанных и контравариантных компонент произвольного тензора ранга п представляют собой компоненты тензора валентности (汽 + 1). В монографиях [112, 152 и др.] показано также, что символы Кристоффеля второго рода также не являются компонентами тензоров.
Ковариантные производные компонент векторов и тензоров сохраняют свойства обычных частных производных. Так, ковариантная производная линейной комбинации компонент тензоров или векторов равна линейной комбинации ковариантных производных компонент соответствующих тензоров:
% @4」•十 |3笈订)=а%4)+ RV也力 а, Р = const. (1.1.27) Сохраняется также правило дифференцирования произведения Компонент векторов и тензоров:
%(3"‘)= (XW 興十旬(V4，)，
^i(ApqB：s) = (%4J 笈s 十 4g (▽晟s).
Важным свойством ковариантной производной является утверждение о равенстве нулю ковариантной производной от компонент метрического тензора (теорема Риччи). В силу этой теоремы компоненты метрического тензора по отношению к ковариантному дифференцированию ведут себя как постоянные, их можно вносить под знак ковариантной производной или выносить из-под него, например:豆牙办幺切=%• {EijA ip) = %/%, Y働=匕(刃订凉)= =Еи^^а3.
Заметим, что обычные частные производные компонент Е отличны от нуля (дЕ^/дх^ 千 0,。刃”/分“"^ 0) в общем случае криволинейных координат.
Весьма важным и получившим широкое распространение в механике является понятие символического вектора (оператора) Гамильтона (набла-оператора Гамильтона) ¥ = 3忙一^-. Результатом действия оператора? на тензор-функцию координат (р* п?, п?) ранга г (для скалярной функции г = 0, для векторной г = 1) является тензор ранга (г + 1). Так, для скалярной функции <р = ср (п‘) имеем Vcp = a"-^-, Vcp называется градиентом скаляра ср. Нетрудно видеть, что введение градиента скаляра позволяет достаточно просто определить бесконечно малое приращение (дифференциал) dcp функции <р (п，)при переходе от точки пространства г к бесконечно близкой точке г + dr, где dr = "刀‘力：
dcp =dcp =dtpdtpdr^ — dv^^.dr^ — dv^^.(1.1.29)(1.1.29)
dcp =
dcp =
dtp
dtp
dr^ — dv^^.
dr^ — dv^^.
(1.1.29)
(1.1.29)
Для вектор-функции a (贝') градиент вектора представляет собой тензор второго ранга ▽& = з^-^, при этом аналогично приведенному выше для скаляра
(1.1.30)(1.1.30)吁誥对iWa.
(1.1.30)
(1.1.30)
Для вектор- и тензор-функций вводится также транспонированный градиент V ( )т, например VaT = ^^s匕 Заметим, что в зарубежной литературе градиентом тензор-функции ранга г (г》1) называется именно транспонированный градиент. При использовании транспонированного градиента соотношение (1.1.30) представимо в виде 曲 = VaT*dr.
Соотношения, аналогичные приведенным выше для вектора, могут быть записаны для произвольного тензора. Используя определенное ранее понятие ковариантной производной компонент тензора, представим градиент произвольного тензора А ранга г как тензор ранга (г + 1) ”
(1Л.31)
а транспонированный градиент-тензор
VAT = ^^"'^j...^ = ^ ^i...^1..^ ■(1-1-32)
С использованием градиента тензора нетрудно определить производную по направлению, определяемому единичным вектором п, произвольного тензора А:
3N8n = n-VA = VA^.n.(1.1.33)
длЯ вектора а, например, производная по направлению п определяется следующим образом:
ja/d几= n-Va— VaT . n = (%加)疗立 =(%出)几七乙
Скалярное произведение символического вектора V на тензор А произвольного ранга г (г > 1) определяет тензор ранга (г — 1), называемый дивергенцией тензора А и обозначаемый следующим образом:
▽ • А• А.(1.1.34)
Например, для вектора а и тензора второго ранга А дивергенция вектора и тензора соответственно равны
▽ •а = з叱必紋九=VC = E^Vk&，口 I 35)
Векторное произведение набла-оператора на произвольный тензор А определяет ротор тензора А (тензор того же ранга):
rot А = V х А =卜"х Apq'" ^p3q__ =
(1.1.36)(1.1.36)-%4『” (э4хэр) %…=出iP^dpO…力旳….
(1.1.36)
(1.1.36)
Лапласианом (оператором Лапласа) называется дифференциальный оператор А = V-V. Результатом действия оператора Лапласа на произвольный тензор А ранга г является тензор валентности г:
A4 = V・V(A) = ^jA4 = V・V(A) = ^j盟4川? g*盟4川? g*
A4 = V・V(A) = ^j
A4 = V・V(A) = ^j
盟4
川? g*
盟4
川? g*
Определение и свойства операторов V и А справедливы для любой системы координат. В соответствии с введенными выше системами координат будем отличать три различны^ оператора Гамильтона:
V = e;—/ —各"」一 十=曰」-V = e;—/ —各"」一 十=曰」-(1.1.37)(1.1.37)
V = e;—/ —各"」一 十=曰」-
V = e;—/ —各"」一 十=曰」-
(1.1.37)
(1.1.37)
определенных соответственно в системах координат системы отсчета, лагранжевой отсчетной и лагранжевой актуальной. Аналогично Для данных систем координат вводятся три вида ковариантных производных V；., Vt,弋万，определяемых, например, для вектора
и тензора второго ранга соотношениями, идентичными (4.4.23) и (1.1.25), с символами Кристоффеля соответственно
Г"・ = 77"・е''「厶匸评^''「" = #•”(1438)
Отметим, что, как показано в работе [112], хотя сами символы Кристоффеля второго рода не являются компонентами какого- либо тензора, разности
⑷府=f% — f%(1.1.39)
представляют собой компоненты двух тензоров третьего ранга:
А.= Л^ё^ё^,А^/；®6"а.(1.1.40)
В настоящей работе рассматриваются преимущественно скоростные постановки задач, поэтому остановимся несколько подробнее на определении скоростей изменения тензорных характеристик сплошной среды. К числу основных кинематических характеристик движения частицы среды относятся скорость и ускорение перемещения частицы. Векторы скорости v и ускорения w перемещения произвольной частицы, имеющие индивидуализирующие частицу лагранжевы координаты (自* §2, ^3), определяются следующим образом:
v = y = 4%, w = W^ = ii^.(1.1.41)
Здесь нижние индексы 自"указывают на фиксированность лагранжевых координат, знаки《•》и《一》—— соответственно первую и вторую полные (материальные) производные по времени. Если движение задано с использованием переменных Лагранжа, то из выражения (1.1.41) имеем
V = dv/dt 二 du/欠，w — 3v/d方=52u/^2.(1.1.42)
Если же движение определено в терминах переменных Эйлера, то для использования определения (1.1.41) требуется вначале перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, после чего г и v можно рассматривать как сложные вектор-функции (自* 力),т. е.
Г = Г|У 停由，订，и = и[^ (^, t),t], v = v 〃(『,£),力.
Тогда
v = (5u/5f)yi + v-Vu, w = (3v/况储十 v-Vv,(1.1.43)
где первые члены правых частей определяют локальную (местную) производную по времени и характеризуют изменение соответственно и и V в фиксированной точке пространства (д\ у?, ^з)@ которой в данный момент времени находится движущаяся частица), а вторые члены — так называемую конвективную производную. Конвективная производная произвольной скалярной (или тензорной) функции, характеризующей состояние движущейся сплошной среды, определяет скорость изменения указанной характеристики
только за счет перемещения частицы из данного положения в соседнее, бесконечно близкое данному. Отметим, что из выражений (1.1.43) следует：
V = (du/d办・(Е — Vuf1.
В механике сплошных сред различают так называемые установившиеся и неустановившиеся процессы и движения (или стационарные и нестационарные). К установившимся относят такие процессы, в которых параметры, характеризующие состояние сплош- но立 среды, неизменны в каждой точке пространства для любого момента 'времени. Указанные параметры при использовании эйлеровых переменных зависят только от координат (д* 此 ^3), время не фигурирует в числе переменных. В этом случае локальные производные скалярных и тензорных характеристик движущейся среды равны нулю. Последнее, однако, не относится к локальной производной (du/d£)j, так как условие (du/dt)yi = 0 соответствует отсутствию движения. Отметим, что при использовании точки зрения Лагранжа стационарность движения (процесса) не приводит к уменьшению числа переменных.
При использовании декартовой ортогональной системы координат 3%1 ①2况3 компоненты векторов скорости v =订'kg и ускорения w =山％£ при использовании лагранжевых и эйлеровых переменных определяются соответственно как
(1.1.42а)(1.1.43а)(1.1.42а)(1.1.43а)
(1.1.42а)
(1.1.43а)
(1.1.42а)
(1.1.43а)
Соотношения (1.1.42а) и (1.1.43а), естественно, не выполняются для произвольной системы криволинейных координат (в том числе ортогональной). В качестве примера рассмотрим равномерное движение отдельно взятой частицы М по окружности радиуса h (рис. 1.3). За лагранжевую подвижную систему координат примем часто используемую в теоретической механике систему так называемых естественных координат Мт, движущуюся вместе с частицей, с ортонормированным векторным базисом эг, э2. В этой системе координат лагранжевы координаты частицы 自工= Е* = 0. Положение частицы по отношению к системе отсчета определяется радиус- вектором г = 订 尸=г -э\ г1 = 0,产=—h. В случае равномерного движения частицы с постоянной по модулю скоростью v система Мтп вращается с постоянной угловой скоростью со = vlh вместе с векторами базиса эи эй, причем вектор <о направлен перпендикулярно плоскости чертежа так, что векторыо), г, v образуют правую тройку.
В соответствии с (1.1.42)
V
@г
苏 ,г西•£ 万厂包 + r ЗГ •
Согласно формулам Пуассона ds/J力=s X з” Тогда, в силу того что 6*8t — 0 (z = 1, 2), получаем
V = г3=r30J 乂 З2 = s 乂 г •
При этом Q = sh 力 d^/dt^ v2 = 0. Далее, так как со — неизменный вектор,
W = g-=尸2(0 X 号-—产① X(6> X 92) = (0 X ((0 X r) =(D X V,
w1 =。， 炉=со2Л 关 d2r~ldt2.
Одним из важнейших понятий, используемых в дальнейшем, является понятие индифферентности тензоров. Для определения индифферентности, следуя работам [112, 168], введем два движения сплошной среды г (S\ 方)，У (戸，0, отличающиеся на жесткое движение:
У (F，0 = р‘ «) + [г (『，0 - РО'О (力(1-1.44)
Здесь р (0 —— радиус-вектор, определяющий положение некоторой частицы (по аналогии с кинематикой твердого тела ее можно назваТЬ полюсом) в движении г (Q,力)；р'(力)—положение этой частицы в движении г'(自‘，力)； Vt О «)—— собственно ортогональный т^нздр [112, 135]. Подчеркнем, что каждое из движений г (守，力)， r‘ (V，0 не является в общем случае жестким. При этом, как отмечается в работе [112], если соотношение (4.1.44) справедливо для любых двух движений рассматриваемой среды, то последняя представляет собой абсолютно твердое тело.
для пояснения движений г и г\ связанных соотношением (1.1.44), приведен рис. 1.4. Здесь Я — произвольная частица сплошной среды; Мо, М, Mf ——ее положения соответственно в отсчетной конфигурации 留°, актуальных конфигурациях 後厶 囱 при движениях f и г';仔——частица, выбранная за полюс; р 尸 0 尸‘——ее положения в 留°,變)и 後力 соответственно; Р而"=РМ, Р'М，= Р'М
Напомним, что тензор О называется ортогональным, если От = О-1, т. е. О ОТ = 0т-0 = Е. При этом если определитель тензора (т. е. определитель матрицы смешанных компонент тензора) det (О) = 1, то тензор О называется собственно ортогональным. В этом случае с использованием О осуществляется поворот векторов. Заметим, что преобразование векторов с помощью ортогонального тензора не изменяет длин векторов и углов между ними [112], причем собственно ортогональный тензор переводит любой триэдр базисных векторов в одноименный (например, правый ——в правый).
* С использованием сказанного выше можно ввести определение индифферентности тензоров [112]: произвольная тензор-функция А (г) ранга т называется индифферентной, если при наложении жесткого движения, приводящего к преобразованию движения г (Q, t) в движение г^ (^;,力)в соответствии с (1.1.44) тензор-функция А (г) преобразуется следующим образом:
A，g =笛，•• ％ (г) qil.O(0...qim-O(0，(1.1.45)
где q» — произвольный материальный базис; тензор-функция А, вообще говоря, зависит от (已才)，обозначение А (г) указывает на зависимость тензор-функции А также от движения среды.
Как нетрудно видеть из (1.1.44), движение f‘(1, t) получается из движения г (F,力)поступательным перемещением на р，(才)— Р«) с последующим поворотом, определяемым тензором О (力)， всего рассматриваемого объема сплошной среды. Поскольку при поступательном перемещении векторы базиса q； не изменяются, а вращение, соответствующее О (力)，приводит к преобразованию ЙЛ2] q； = q-.О (力), то соотношение (1.1.45) можно рассматривать в каждый момент времени как преобразование тензора А (г)— =4г~ 1m (г)孙…柒 в тензор А' (У) = А"…‘团(r‘) q；…q； . Ta- 1 m1 m
Ким образом, для индифферентных тензор-функции при движениях среды, отличающихся на жесткое движение, их компоненты
в базисах, преобразующихся по закону данного жесткого движения, остаются неизменными. Иными словами, компоненты индифферентных тензор-функций «вморожены» в базис движущейся среды. Следовательно, для наблюдателей в системах отсчета с базисами « ид； индифферентныетензор-функции А и А，изменяются по одному и тому же закону. В то же время относительно, например, неподвижного наблюдателя индифферентные тензор-функции А и А， в общем случае (если О (力)отличен от единичного тензора Е) изменяются по различным законам.
Условия индифферентности тензор-функций нулевого (скаляра) а, первого (вектора) а и второго рангов А можно записать в виде
(1.1.46)(1.1.46)а' (У) = а (г), а' (У) = а (г) • О (力)=От (力 а (г), A'(r') = 0T«).A(r)・0(?)V九
(1.1.46)
(1.1.46)
К индифферентным скалярам относятся, например, плотность, температура, к векторам — базисные векторы сопутствующей лагранжевой системы, радиус-векторы частиц относительно точки, выбранной за полюс. Примером индифферентного тензора второго ранга может служить тензор инерции.
Индифферентность векторов базиса efc следует непосредственно из (1.1.44): дифференцируя левую и правую части по g с учетом независимости р«) и р‘(力)от координат, получаем
林=аr7龙‘ =3.0(力(1.1.47)
Из (1.1.44) следует также, что вектор скорости неиндк^+ерентен靈 Действительно
V，Т) = г，= р，+ От-(г —р) + От-(г — р).(1.1.48)
В силу того что
ОТ-О = ООТ = Е,(1.1.49)
соотношение (1.1.48) можно преобразовать к виду
V，—0T.V ==^_бт.р + от.д-(г, —pz).(1.1.50)
Сопоставление (1.1.50) с (1.1.46) свидетельствует о неиндифферент- ности вектора скорости v, поскольку правая часть выражения (1.1.50) в общем случае отлична от нуля. Следуя работе [112], входящий в соотношение (1.1.50), антисимметричный тензор
i}=6T .0 = -0T.6 = —QT(1.1.51)
будем называть тензором угловой скорости (спином) штрихованной системы с базисом q； относительно нештрихованной. Заметим, что тензор О в данном случае, как следует из выражения (1.1.47), определяется следующим образом:
О = q^q'% От = qjq<(1.1,52)
Антисимметричность тензора (1 следует из свойств ортогонального тензора: От -О = Е =^ф От *0 +。'6 =它=0 今 От -О = —От • О.
Наряду с индифферентными тензорами, сохраняющими значения своих компонент в базисе сопутствующей системы при жестких движениях, введем понятие тензоров, инвариантных к жестким движениям. Тензор-функцию А произвольного ранга т》1 будем называть инвариантной по отношению к жестким движениям, если при движениях г и У (1.1.44) компоненты тензор-функции в базисе отсчетной конфигурации изменяются по одинаковому закону, т. е.
力&…％2『) = 4"…％ (г)Vi, V 伊，賢,F),(1.1.53)
а следовательно, в силу неизменности базиса ё^
£(*) = А(г).
Нетрудно видеть, что в общем случае из инвариантности к жестким движениям не следует индифферентность^ и наоборот. Например, если тензор-функция второго ранга А инварианта к жестким движениям, то компоненты ее в базисах сопутствующих систем координат при движениях гиг' определяются следующим образом:
А^ (г9 = Л1д(ё；-ёр) (е；-ё9), .4^) = 2^^.^^.^). (1.1.54)
Очевидно, что при О (方),отличном от единичного тензора, в силу соотношения (1.1.47) компоненты Л i； (<*') и 4?『(г) не совпадают.
Еще одним понятием, используемым в дальнейшем, является понятие изотропности тензора.
Тензор ранга п называется изотропным, если для него имеет место соотношение [112]
т = 7k••%%... е；.= т"'& …е；м(1.1.55)
гдее^ =色0*0,「= 1, ?? (О — собственно ортогональный тензор). Другими словами, у изотропного тензора при любом ортогональном преобразовании векторов базиса компоненты не изменяются.
Любой скаляр есть изотропный тензор нулевого ранга, так как его значение неизменно в любом базисе. Изотропного вектора (кроме нулевого) не существует, так как при повороте базиса его компоненты меняются (или хотя бы некоторые из них). Единственный изотропный тензор второго ранга ——это единичный тензор Е (или ХЕ, где X — скаляр). В самом деле, е； = 0；%口 е" = Of^e^, где О е б (б —группа ортогональных тензоров).
Тогда
Е‘ = е'& = О^О/е^ =嶋 е%Р = еш^ = Е.(1.1.56)
Здесь использовано свойство компонент ортогонального тензора О：тО£ = 3為.Аналогично проверяется изотропность тензора Леви —Чивита:
е = — Е X Е.(1.1.57)
(1.1.58)(1.1.59)(1.1.60)(1.1.58)(1.1.59)(1.1.60)Изотропные тензоры четвертого ранга: ci = ee = 我eS齿6*
(1.1.58)
(1.1.59)
(1.1.60)
(1.1.58)
(1.1.59)
(1.1.60)
СП1 = е5Ее8 = еде^е8.
В формулах (1.1.57) — (1.1.60) возможно умножение на скаляр Л. Изотропность указанных тензоров третьего и четвертого рангов проверяется аналогично (1.1.56). Возникает вопрос о связи понятий индифферентности и изотропности тензора.
Ниже будет показано, что для ряда рассмотренных выше изотропных тензоров верно следующее утверждение.
Утверждение А. Изотропный тензор является одновременно индифферентным и инвариантным по отношению к наложению жесткого вращения.
Для скаляра это утверждение неверно. Всякий скаляр изотропен. Понятия индифферентности и инвариантности по отношению к жесткому вращению для скаляра совпадают, однако из изотропности они не следуют. Например, кинетическая энергия точки — изотропный тензор, но не индифферентный (и не инвариантный).
Для векторов утверждение А справедливо. Единственный изотропный вектор есть нулевой вектор, и он одновременно инвариантен и индифферентен.
Тензор второго ранга Е изотропен, он также инвариантен при наложении жесткого вращения, а также индифферентен, так как Е‘ = Ог -Е-0 = Е. Тензор LE индифферентен, если X — индифферентный скаляр. Тогда же тензор 九Е инвариантен.
Аналогичные соображения верны и для тензора третьего ранга (1.1.57). Рассмотрим в заключение тензоры четвертого ранга Ci, Си, Сш, определенные формулами (1Л.58) — (1.1.60). Например, Сцт (『)=е^е^е^е®. При переходе к движению U
С；п(г') = е；е；е'Ке".
Свойство индифферентности (1.1.45) выполняется. А ввиду изо- тропностиСщ (/) = Сш (г), т. е. имеетместо по (1.1.53) инвариантность.
То же имеет место для Ci, Си (и при умножении их на индифферентный скаляр 九).
1.2 Тензоры деформаций
Под деформацией сплошной среды, как известно, понимается изменение длин материальных отрезков и углов между ними. Для определения указанных кинематических характеристик деформируемой среды используются различные инвариантные к преобразованию координат тензорные меры деформации и тензоры деформаций. Отметим, что при всем многообразии используемых
в механике сплошной среды тензоров мер и тензоров деформаций каждый из них может быть определен через любой другой. По спо- еобу введения тензоров деформации можно выделить два основных подхода: с использованием метрического тензора [46, 66, 151, 152] и через градиент радиус-вектора частицы (градиент места) [80, 82, 112L
Смешанные компоненты введенного в разд. 1Л метрического тензора Е представляют собой компоненты тензора Кронекера в базисе как отсчетной, так и актуальной конфигураций. Однако к0_ и контравариантные компоненты Е в базисах 勿\)и 後八 естественно, различны. Обозначим
良3 =包・骂，自" = g•&,瓦)= @「将 Eli^^.
Тогда метрический тензор можно представить следующим образом:
Е= 良君& =歩%3=瓦;ё@ = 庐%当.
Вводя затем
.爲J = % (瓦j 一 &j)， Z, 7 = G,(1.2.1)
и считая 昼办 ковариантными компонентами тензора второго ранга в базисе отсчетной или актуальной конфигураций, получим два различных тензора деформации: Е =鑑产М Ё =彌£◎?. Следует отметить, что контравариантные компоненты тензоров Е и ^ не совпадают, естественно, с % (灯'—凯).Действительно,
方可=为^为%為q =丄/2 (①'p直M瓦q - Eij\
穹u=E4g河龜q = %(直叮—百5庐g自放).
В предлагаемой работе в основном будет использоваться получивший большое распространение в последнее десятилетие способ введения мер и тензоров деформаций через градиенты места частицы в отсчетной Jr。и актуальной 幽,конфигурациях. (Во многих отечественных и зарубежных работах под градиентом места понимается транспонированный градиент места в актуальной конфигурации, который обозначается обычно как F = Vrr и называется градиентом деформации. Здесь будем в основном следовать обозначениям, принятым в работах [112, 152]т с незначительными изменениями.)
Введение тензоров деформации с использованием соотношения (1*2.1) достаточно просто, но уступает второму способу с точки зрейия возможностей геометрической интерпретации движения деформируемой среды. Ниже будет показано, что с помощью градиентов места можно ввести преобразование любого бесконечно малого материального волокна из окрестности рассматриваемой частицы, разложение движения малой окрестности частицы деформируемой среды на квазитвердое и чисто деформационное и т. д.
С учетом определений базисных векторов и операторов Гамильтона (1.1.37) в отсчетной и актуальной конфигурациях нетрудно
видеть, что градиенты и транспонированные градиенты места представимы в виде [112]
济= 3&, %т = бе,(1.2.2)
VRo = 6戛， 寸 R^ = 3倉.(1.2.3)
При использовании единой для 後о и 當^ декартовой ортогональной системы координат, полагая Ro =。％厶 г =歩к：, получим
办= ^k%j,.岳 т = *к№；(1.2.4)
даdaJ
VR0 = ^-k%.?時=受1ih.(1.2.5)
В соответствии с выражениями (1.2.2), (1.2.3)
Vr- VR0 = VR0 ■ Vr = VrT • VRj = VR^ •办丁 = &(1.2.6)
т. e. градиенты места в отсчетной и актуальной конфигурациях взаимно обратны:
Vr1 = VR0, (VrT)-x 三V/= VRj',
VR-1^ Vr, VRJT = VrT."2"
С помощью градиента места устанавливается преобразование малой окрестности частицы деформируемой среды, которое с точностью до малых первого порядка является аффинным [152]*
Пусть частица в %» занимала положение Ro с окрестностью dRo, в 贫t радиус-вектор той же частицы обозначим через г (рис. 1.1). При движении частицы М любой вектор сЖо = d^ei4 определяющий положение некоторой частицы М‘ из малой окрестности 7И, переходит в dr = dg自.Используя выражения (1.2.2), (1.2.3), нетрудно установить:
dr = dRo •爲=負 т • dRo,(128)
dl?odv • VR()= ^R： • dv.(229)
Вводя вектор перемещения u = г — Ro и используя очевидные соотношения
寸 Ro = Vr = E,.(1.2.10)
а также линейность набла-операторов, градиенты места можно выразить через градиенты перемещения:
Vr — Е -{- Vu, VR0 — Е — ▼%(1.2.11)
или в компонентах:
寸r = (6?十寸宓)3驾，而0 =(规一%絞)6每(1.2.12)
В единой для ^о и ^ декартовой ортогональной системе коорди- нат。啰4?工з получим
6=(围 + 累)k& VR0=但—善)к% (1.2.13)
С учетом следующих из (1.2.2), (1.2.3) соотношений
^ = ?г-ёг = ёг ^гт, ё| = ёг- VR0=z VRq-ёг,
_一о . о(1.2.14)
/ = VRo • 3”= 3“ ♦ VR：,备=3厂力=厂产•駡
и (1.2.12) получим
翁=(6? 一卡储)3，税=屈十札笳處.(1.2.15)
Рассмотрим соотношения между градиентами места в двух движениях, отличающихся на жесткое движение (1.1.44). Поскольку отсчетная конфигурация остается неизменно瓦 из (1.2*2), (1.2.3) с учетом (1.1.47) следует:
%，= %.о, (Vrr)T = OT-VrTr
，(1.2.16)
VzR0-=OT.VR0) ^R^VRj.O.
Сопоставляя выражения (1.2.16) с (1.1.46) и (1.1.53), нетрудно видеть, что градиенты места Vr, VR0 не являются ни индифферентными, ни инвариантными по отношению к жесткому движению.
Рассмотрим движение произвольной части М с ее окрестно* стью. В 冗о положение частицы определяется радиус-вектором Ro, в 陷一г. Пусть ММГ и ММ" — линейные материальные бесконечно, малые элементы, исходящие из М. Обозначим соответствующие материальные векторы в ^0 как dR% dR» в 也 они переходят в dt[ dr", причем согласно (1.2.8), (129)
М = &R； •办=卡画• dR；?dr" = dR； •街=М- dRo,
dRo = dY • VRg = VRg1 • d匕&% = dr" • VRo = VR； • dr"-
Вводя в рассмотрение длины и единичные векторы рассматриваемых материальных бесконечно малых векторов, последние можем представить в виде
&R； = dS^, dRo=^V，М — d*『, dr" = dS,f^.(1.2.18)
Введенные здесь обозначения будут использоваться на протяжении всего разд. 1.2 при анализе геометрического смысла компонент различных тензоров деформаций.
Рассмотрим скалярные произведения
改• dr" = dR； •济• VrT. &R； = dR； • d • dR；,(1.2.19)
〃R；• dR； = M • VR0. VRj • dr" = dr，© • dr",(1.2.20)
тде тензоры второго ранга G и G представляют собой так называемые меры деформации Коши — Грина и Альманси:
(1.2.21)(1.2.22) из скалярных произведений(1.2.23)(1.2.24)(1.2.21)(1.2.22) из скалярных произведений(1.2.23)(1.2.24)G = Vr* VrT,
(1.2.21)
(1.2.22) из скалярных произведений
(1.2.23)
(1.2.24)
(1.2.21)
(1.2.22) из скалярных произведений
(1.2.23)
(1.2.24)
G = VR0.VR^.
Используя представление (1.2.18), (1.2.19), (1.2.20) получим
毕 " cos (寸,q")=寸• d •0〃，
~ ~ cos (q； У)=守• G •『・
dSf dS〃 w y / 引 4
Выбирая материальные бесконечно малые векторы направленными вдоль базисных векторов, из выражений (1.2.23), (1.2.24) имеем
居 cos &) ='°・2・25)
dS ■ AS ■G ■ ■
高两cos胤匐=唱后一芯•d•2•26)
Здесь d& (dSJ —длина бесконечно малого вектора, направленного вдоль 备 ©) в 留о (方上)；＜ означает отсутствие суммирования по указанным повторяющимся индексам. Аналогичные выражениям (1.2.25), (1.2.26) соотношения легко могут быть получены для контравариантных и смешанных компонент G и G на основе (1.2.23), (1.2.24).
Полагая 2 = / и принимая базис в 留о ортонормированным, приходим к определению геометрического смысла компонент тензора G в базисе 後о： ковариантные @^ (контравариантные *宾) компоненты G равны отношению квадратов длин материального бесконечно малого отрезка в ^г и 後о, направленного в отсчетной конфигурации вдоль единичного вектора ё； (ё^). Недиагональные компонентыG, как следует из выражения (1.2.25), характеризуют как отношение длин материальных отрезков в ^ и 留“ направленных в Wo вдоль 3f иё；, так и углы между этими отрезками в 留？.
Геометрический смысл компонент G устанавливается с использованием выражения (1.2.26) и предположения об ортонормиро- ванности базиса ez аналогичным образом.
Возвращаясь к определению мер деформации Коши ——Грина и Альманси (1.2.21) и (1.2.22), с учетом соотношений (1.2.2), (1.2,3) получим .
@ =品i •寧3 = %•品3, G =盘「自@ - %6喻.， (1.2.27)
откуда следует, что ковариантные компоненты G и G совпадают с ковариантными компонентами метрического тензора Е : @订= =Eij, &и =友力力，/ = 1,3- Однако тензоры G и G, конечно, не совпадают с метрическим тензором. Например, переход от Ё^ к С осуществляется с помощью контравариантных компонент метрического тензора в 第f :倉“ =Е^Ё^Ё^ переход же от &“ к 善纭 __ с помощью контравариантных компонент метрического тензора в %о： 3 ~ EipE^Gpq.
Лз выражений (1.2.21), (1.2.22) следует симметричность тензоров G и G- Заметим также, что с использованием соотношений (1.2 19), (1.2.20) нетрудно показать положительную определенность тензоров G, G：
Va,b^R3 Hq, с?〉。，
такие, что
a-G-a>fi(a-a), b*G*b>c3 (Ь-b).
Как известно [135], для симметричных тензоров существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных главных направлений и соответствующих главных значений. Обозначая через Pi =也，рг =卩‘ ортонормированные векторы главных направлений тензоров d, G соответственно, через 6订 С» ——их главные значения, тензоры G, G можно представить следующим образом:
зз
&= 3 G^Pb 6= 2 底跄.(1.2.28)
i=Ii=Iс
Недиагональньге компоненты тензоров G, G в главных осях, очевидно, равны нулю. Тогда из выражений (1.2.25), (1.2.26) с учетом геометрического смысла недиагональных компонент следует, что материальные волокна dR0^ —dS^ (ij) при движении переходят в материальные волокна dvk = dS1{pli (^) , т. е. ортонорми- рованная тройка главных векторов р^ тензора 6 в 留о переходит в ортонормированную тройку главных векторов 0k тензора G в ^(, причем соответствующие векторы рк и 0# направлены вдоль одних и тех же материальных волокон. Здесь было сделано предположение, что главные оси тензора G, а тогда и G, или наоборотг определены однозначно. В случае, если все « (2 = 1,3), а тогдаг как показано ниже, и все G；J равны между собой, то любой вектор в R3 определяет главное направление. В этом случае в качестве главных векторов ^ можно выбрать тройку единичных векторов, направленных вдоль трех взаимно перпендикулярных материальных волокон в 留о, которые в 留} также взаимно ортогональНы, и векторы О», направленные вдоль этих волокон в 方力,можно Дрйнять за главные.
В случае, когда G; == ф ^ 甌 G = & * 幻，i 丰 j 丰 к 唳 t、 главное направление 0空(р^：) определяется однозначно, a pi? », (Qt, Ру) — любые взаимно ортогональные единичные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной pfr (0玄).В этом случае для определенности следует направить р^, р； вдоль взаимно ортогональных волокон в 後°, причем последние в 物力 также взаимно перпендикулярны. При этом из выражений (1.2.25), (1.2.26) следует, что отношения длин материальных волокоя вдоль соответствующих главных векторов G и © определяются следующим образом:
=u即 (亲)=м£,后 = П.(1.2.29)
Для иллюстрации характера деформации в окрестности некоторой точки Мо сплошной среды введем эллипсоид деформаций в этой точке.'
Возьмем в недеформированной среде (в 留о) материальный объем, ограниченный поверхностью в виде бесконечно малой сферы радиуса £. Уравнение этой поверхности в декартовых материальных координатах имеет вид (d/?0)2 = (&旬尸 + (da^ + (da^f = e2. После деформации уравнение поверхности того же самого материального объема можно найти, используя формулу (1.2.20): (d/?o)2 = dR「dRo = dr・@Tr = е2. Или в декартовых координатах G 订 алЛ±с' — е2.
Это уравнение эллипсоида, известного как материальный эллипсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоянии объем сплошной среды превращается при деформации в эллипсоид с центром в точке
Точно так же заключаем, что бесконечно малый сферический объем в точке М деформированной среды (в 冗土) в недеформированном начальном состоянии (в 變°) был эллипсоидом. Действительно, если (办产=(d勺)2 + (dx^ + (й^3)2 = e2, то при помощи формулы (1.2.19)
®r)2 = dr・dr =dR°•占・dR()= е2.
Или в декартовых координатах Gtjda^d^ = &Z
Получается пространственный эллипсоид деформаций. Описанные эллипсоиды называют эллипсоидами деформации Коши.
Из (1.2.29) видно, что Gk = G^1, G^ = GU Vk = 1, 3・
Вводя так называемые главные относительные удлинения
= (d8k — dS^)/dS^ 2k = {dS^ — dS^j/dSк,
(1.2.30)(1.2.30)— — W(1 + 4)» ?k = — 4/(1 + %, получим
(1.2.30)
(1.2.30)
М©к = 1 +〃，U@r = 1 + ?% к = 1, 3.
Первое соотношение (1.2.30) показывает, что единичное в отсчетной конфигурации материальное волокно, направленное вдоль главного вектора 0k меры Коши — Грина, приобрело в актуаль- яой конфигурации длину 1 + 办；второе соотношение означает, qTO единичный в актуальной конфигурации материальный отрезок вд0ЛЬ главного направления рк меры Альманси имел в 方о длину 4 十2斤.С использованием геометрического смысла тензоров 白 @ в терминах главных векторов и главных значений этих тензоров конечное перемещение частицы деформируемой среды с ее малой окрестностью из положения, занимаемого ею в 货％, в положение в 後土 может быть представлено двумя способами. В первом движение осуществляется деформированием в ^'0, так что все элементарные материальные волокна, параллельные 口代 в JT0, получают удлинения 2才,и последующим трансляционным (поступательным) перемещением и вращением как жесткое целое частицы с ее окрестностью до совмещения р^ с 0% 儿=1, 3. С другой стороны, аналогичное конечное перемещение можно осуществить трансляционным переносом и вращением как жесткое целое до совмещения 户左 с 0屋 с последующим деформированием, при котором волокна, параллельные р^, испытывают растяжения—сжатия без изменения углов между ними.
Вращательная часть движения при этом описывается с помощью собственно ортогонального тензора второго ранга R, называемого тензором ротации：
R = 0M,RT = M/ (1.2.31)
так что F = F R = RT・B* 旷=祖・RT = R•旷
Проиллюстрируем два приведенных способа представления движения на примере однородного деформирования малой окрестности частицы М (в силу предположения о гладкости тензоров деформации всегда можно подобрать такое и〉0, что VdRo из окрестности частицы М, таких, что (dRo-t/Ro)1^《е, деформированное состояние с заданной точностью можно считать однородным) .В 變о построим материальную поверхность ——сферу радиуса е, изображенную на рис. 1.5 штриховыми линиями. Материальные волокна MMi направим вдоль главных векторов pz, i = 1, 3, причем ММг = £,力=1, 3. В 變力 материальная поверхность (с巾е- ра в 後°) трансформируется в эллипсоид с главными осями, на- прадленными вдоль MMt. Последние, в свою очередь, направлены вдоль соответствующих главных векторов р/т причем ММi = =I^G^e,力=1, 3. Промежуточное положение на рис. 1.5 изображено штрихпунктирными линиями, конечное — сплошными.
Рис. 1.5,。иллюстрирует первый способ разложения движения, Рис. 1.5, б ——второй, причем и в том и в другом случае М； обозначают промежуточное положение частиц 乜.
2 А. А. Поздеев и др.
С учетом соотношений (1.2.11) — (1.2.13) и (1.2.21), (1.2.22) могут быть получены выражения для G, G через градиент перемещения (в тензорной и компонентной формах):
G = Е -{- Vu + VuT + Vu-VuT, G = E — Vu — VuT + Vu• VuT,
(1.2.32)
G =(瓦j + 十拉,+ K& + ^i^k^j^) 3嵋'，d 2 33)
G =位订一一 + v 戒 N戸")
Рассмотрим жесткое перемещение среды
г = гр -Ь (R。一 Rqp)^O = Гр + От■ (Ro — R°p),(1.2.35)
где о 一 собственно ортогональный тензор (одинаковый для всех частиц среды); гр и RoP — радиус-векторы частицы 尸，выбранной за полюс, в 後力 и %()соответственно. Используя определение базисных векторов, из выражения (1.2.35) определяем преобразование базисных векторов при жестком движении:
e5 = es-O = OT-es, es = esOT-=O-es.(1.2.36)
Тогда из выражений (1.2.27) немедленно следует, что при жестком перемещении
&=Е, G = E.(1.2.37)
Соотношения между мерами Коши ——Грина и Альманси для движений, отличающихся на жесткое перемещение, в соответствии с (1.2.21), (1.2.22) и (1.2.16) имеют вид
専=办、(十 1)Т = %.О.()Т.%Т = %.夕 гТ = &,(1.2.38)
G,c=V,R(；.V>Rj = OT-VR0 -VR^-O = OT-G-O.(1.2.39)
Следовательно, мера деформации Коши ——Грина G является инвариантной по отношению к жесткому движению, а мера Альманси G — индифферентна.
Введем меры, обратные к мерам Коши — Грина и Альманси:
(1.2.40)
£ = G-工=VR” • YR/ = VrT-Vr.
Очевидно, контравариантные компоненты g и £ в базисах -Жо и 留t соответственно совпадают с контравариантцыми компонентами метрического тензора в базисах соответственно актуальной и отсчетной конфигураций. В соответствии с выражениями (1.2.28) gag можно представить в терминах главных значений и векторов главных направлений
зз
官=£*能，© = £ 击淞•(1241)
i=l 3t=i i
Из приведенных мер g, g более часто в механике деформируемого твердого тела используется g, называемая мерой Фингера. Используя (1.2.16), нетрудно показать инвариантность по отношению к жесткому движению меры g и индифферентность меры Фингера g:
『=， 白= От$・О.(1.2.42)
Остановимся несколько подробнее на геометрическом смысле инвариантности к жесткому движению GT g и индифферентности
G, g. Компоненты G, g в базисе 變о характеризуют изменение длин и углов для материальных отрезков, в отсчетной конфигурации направленных вдоль соответствующих базисных векторов 3(, произошедшее к рассматриваемому моменту времени. Понятно, что в движениях г и г\ отличающихся на жесткое движениеt деформирование любой совокупности одних и тех же материальных бесконечно малых отрезков, исходящих из данной частицы, будет одинаковым. Следовательно, компоненты G,广 в базисе 證о в движениях г н f' также совпадают в каждый момент времени, а поскольку базисные векторы 包 в отсчетной конфигурации 方о фиксированы —совпадают и тензоры: GA G, gz ,
Компоненты G, g в базисе 留看 также характеризуют деформирование (изменение длин и углов) элементарных материальных отрезков, направленных в произвольный момент времени t вдоль базисных векторов 6g лагранжевой (материальной) системы в актуальной конфигурации. Отметим, что в отсчетной конфигурации элементарные материальные отрезки, направленные в движениях г и * вдоль 窃 и 名，расположены вдоль одних и тех же соответствующих векторов базиса 3“ Естественно, в движениях г и г\ отличающихся на жесткое перемещение, компоненты тензоров G, g и G', М в соответствующих материальных базисах @之 и 6； актуальных конфигураций 後± и 方；совпадают между собой, т. е.
е厂 G • €?j ■— e「G *。力 e^ • g ■ ej — e厂& V7,/ 1, 3
(аналогично для контравариантных и смешанных компонент). Однако сами базисные векторы в актуальных конфигурациях 贫)и ^f отличаются друг от друга на жесткое вращение, в силу чего тензоры G, @ и G',『также не совпадают. При этом отличие тензоров, обусловленное различием векторов базиса, и отражают соотношения (1.2.39), (1.2.422).
В силу взаимной однозначности преобразований (отображений) (1.2.8), (1.2.9) градиенты места Vr, VR0 представляют собой неособенные тензоры. Как известно [112], любой неособенный тензор представим своим полярным разложением. В данном случае имеют место соотношения [80, 112, 168] •
+r = U・R = R・V, (1.2.43)
где R — введенный выше (1.2.31) тензор ротации; U и V — симметричные положительно определенные тензоры второго ранга, называемые соответственно левым и правым тензорами искажения (в зарубежных работах при сохранении смысла тензоров U и V они называются соответственно правым и левым тензорами искажений, а роль тензора ротации играет RT).
Из выражений (1.2.43), (1.2.21), (1.2.40) имеем
U2 = Vr-VrT = G,屮=十产•仇= Е = ©т. (1.2.44)
При этом главные оси тензоров U и G, V и G^1 (g) совпадают, так чт0 с учетом (1.2.29), (1.2.30) получим
u =虫。疝也，"=(自产=1+ l^dSjdSi, (1.2.45)
3
v= 2匕0喻，%=(畐产=崎产=1/(1+小=题/視.(1.2.46)
Таким образом, главные значения тензоров искажений U и V совпадают. Интерпретация конечного перемещения частицы с ее малой окрестностью с использованием мер искажения U и V аналогична приведенной выше (с применением мер Коши ——Грина й Альманси).
Для пояснения представления движения деформируемой среды с использованием правого V и левого U тензоров искажений и тензора ротации R рассмотрим движение двух бесконечно малых материальных волокон dRo, dR0 (в 財°), переходящих в 醤％ соответственно в dx\ &f". При этом волокно Жо направим вдоль одного из главных векторов левого тензора искажений, например р2, тогда dr' направлен вдоль главного вектора р3 правого тензора искажений V. Волокно dR； произвольно.
В соответствии с соотношениями (1.2.17) и (1.2.43) имеем
M = dR；・U・R, rfr^^Ro.U.R,
dl z^z dRp • R • V, dr" dR()• R N •
Рис. 1.6 поясняет представление движения деформируемой среды с использованием U и R. На рисунке Мп и Ми обозначают промежуточные положения частиц Мг и 7И", ММ； = бЖ0*и, ММП = =dR0 U. При этом если ММП параллельно t/R0 (а следовательно,^), то ММП, вообще говоря, не параллельно dRQt Далее, ММ' = =dr = MM；-R, ММ" = dr" = ММп R.
На рис. 1.7 аналогичная схема иллюстрирует представление движения с использованием V и R. Обозначения, принятые выше, сохранены, однако понятно, что положения частиц 7ИП и "п не совпадают с предыдущим случаем. Согласно принятым здесь обозначениям имеем
MMn = dR()・ R, MMn ~ dR()• R,
ММ' = drf = ММп • V, ММ" = dr" = ММП • V.
Следует подчеркнуть, что если вектор ММП параллелен конечному положению данного материального волокна “，направленного вдоль главного вектора р2, то для произвольно ориентированного по отношению к главным направлениям волокна ММ' вектор ММП не параллелен конечному положению dr". Иными словами, произвольно ориентированное относительно главных
冬冬Рис. 1,7. Представление движения с использованием V и RРис. 1,7. Представление движения с использованием V и RРис. 1.6. Представление движения^ использованием U и RРис. 1.6. Представление движения^ использованием U и R
冬
冬
Рис. 1,7. Представление движения с использованием V и R
Рис. 1,7. Представление движения с использованием V и R
Рис. 1.6. Представление движения^ использованием U и R
Рис. 1.6. Представление движения^ использованием U и R
направлений тензоров U и V материальное волокно при растяжениях—сжатиях вдоль указанных главных направлений испытывает не только удлинение——сжатие, но и деформационный поворот.
Из выражений (1.2.43), (1.2Л5), (1.2.46) с учетом (1.2.31) можно получить следующее представление градиента места в актуальной конфигурации:
з з
办=2〃隈=』匕海. (1247) i=l i—1
Следует отметить, что в отличие от векторов базиса 3» единичные векторы, определяющие главные направления тензоров U, G, g, меняются с течением времени, их положение зависит от деформирования среды при переходе из 變'о в 留力.При этом р{ и 0» определяют положение одной и той же тройки взаимно перпендикулярных волокон соответственно в 留° и 窮厶 Естественно, в любой другой момент времени указанная тройка материальных волокон может быть не ортогональной. В отсчетной конфигурации (в которой принято считать среду находящейся в естественном —— ненапряженном и недеформированном ——состоянии) положение pfc не определено. В дальнейшем будем полагать рЛ-, рл- и /7^. глад-
К0МИ функциями времени. Тогда можно ввести тройку единичных векторов рь определяемых как пределы соответствующих векторов Bi (или 0D при 0. Определим аналогично (1.2.31) собственно ортогональные тензоры ротации, определяющие вращение как жесткого целого тройки р» в триады главных векторов 0^ левого U и Рё правого V тензоров искажений:
Ru = p№K = jkpk,(1.2.48)
Ry=PK* 駕=0炉.(1-2.49)
Отметим, что положение р%, конечно, зависит от характера деформирования окрестности частицы в бесконечно малом интервале [0 Лр, однако в дальнейшем рг являются фиксированными векторами в 鸠.Из соотношений (1.2.31), (1.2.48), (1.2.49) следует, что
R = R^・ Rv, RT = R与• Rs(1.2.50)
Тензоры искажений U, V часто используют при анализе движения деформируемой среды, особенно при теоретическом рассмотрении. Однако определение U и V требует вычисления главных значений мер Коши ——Грина и Фингера, что невозможно без перехода к численным значениям компонент G и& [112]. Указанное обстоятельство приводит к определенным трудностям использования тензоров U и V, однако эти затруднения не представляются непреодолимыми.
По аналогии с приведенным выше для мер Коши — Грина и Альманси нетрудно показать инвариантность по отношению к жесткому движению левого U и индифферентность правого V тензоров искажений. При жестком движении среды, описываемом выражением (1.2.35), тензоры U и V равны единичному, как и введенные ранее меры деформаций, что непосредственно следует из соотношений (1.2.44) и (1.2.37).
Более широко в механике сплошных сред используются тензоры деформаций, определяемые с помощью введенных выше мер деформации. Тензоры деформации при жестких движениях равны нулевому тензору, что создает некоторые преимущества их использования.
В соответствие мерам Коши — Грина и Альманси введем тензоры деформации Коши ——Грина С и Альманси W:
С = %(@ — E)*=%(Vu + Vu_t + Vu-VuT),(1.2.51)
学=% (E—G) = V2 (Vu + VuT — Vu • VuT),(1.2.52)
или в компонентной форме (в произвольной и в единой декартовой ортогональной системах координат):
С = % (В© + ¥Д + 卡滋干例)3&，(1.2.53)
学=% (VjUj + ^ jUi —寸 R“K&)&*，(1.2.54)
C = %(# + / + *U)kk'， g.55) ¥ = % (啓十啓一尹普I (1.2.56)
Сопоставляя (1.2.1) c (1.2.51) и (1.2.52) с учетом (1.2.27), нетрудно видеть, что введенные с использованием компонент метрического тензора в начале раздела тензоры деформации Й и § представляют собой тензоры С и%:Х = С,宓=*・ Используя соотношения (1251), (1.2.52), можно определить (j, G через t,露 равно как и все введенные ранее меры деформации.
Геометрический смысл компонент 3订 в базисе 窮о и ・0订 в базисе может быть легко установлен с использованием соотношений (1.2.25), (1.2.26) и (1.2.51), (1.2.52). Главные направления тензоров деформации С и 必 совпадают с главными направлениями соответственно мер деформации G и G, так что справедливо представление С и 開 в терминах главных значений и главных векторов:
з з
С = £ &О%， Q = X %市3・ (1.2.57) 力=1 i=I
При этом главные значения тензоров С и W определяются через главные значения мер деформации G и G и главные относительные удлинения следующим образом:
С» = % G - 1) = % [(1 + / — 1], (1.2.58)
4 = % (1 一 幻=% [1 - (1 + 次1, i =T3. (1.2.59)
Поскольку Gt 三(0, оо),伍 三(0, 8)(причем значения 0 и оо следует исключить из рассмотрения, так как в этих случаях нарушается взаимнооднозначность соответствия 留()и 第脑 то С\ 三 金 (- %，8), 4 三(一8, 1/2).
Используя очевидное соотношение Е — ОТ*Е*О и неизменность единичного тензора в любой конфигурации, из инвариантности по отношению к жестким движениям меры Коши ——Грина G и индифферентности меры Альманси следует инвариантность С и индифферентность ^, Из равенств (1.2.37) с учетом (1.2.51), (1.2.52) вытекает равенство тензоров деформации С и « нулевому тензору 0 при жестких движениях среды. Следует отметить, что тензоры малых деформаций
备=工/w (Vu + VuT), Е— 1/2 (Vu+ VuT),
получаемые из С и ^ соответственно при пренебрежении квадратичными относительно градиентов перемещений членами, отличны от нулевого тензора при жестких движениях. Как показано
в работе [112], при жестком движении (1.2.35) е = 1/3 (О + 十 ОТ — 2Е), £ = % (2Е — От — О). При этом Vu* VuT — =2Е — О — От, Vu-VuT = — (От + О — 2Е), т. е. малость компонент тензоров С и 学 не является достаточным условием применимости геометрически линейных соотношений. Использование последних возможно лишь в случае малых (покомпонентно^ градиентов перемещений.
В прикладных задачах механики деформируемого твердого тела широкое распространение получила логарифмическая мера деформации (или тензор деформаций Генки) [221]. Для определения логарифмической меры деформации необходим переход к главным значениям приведенных выше мер деформации. Введем два тензора деформации Генки, имеющие одинаковые главные значения, но отнесенные к различным диадам главных векторов;
333
右=' In 。 疝"瓦=-!~ >Jn 右承瓦=_^~ > ,ln (1 + 2&)怔 0"= 卜=1к=1Л=1
3
-=£1п(1+2.)6 办，(1.2.60)
匕=1
з3
宣=， In?而"伝=-~£ In 6疝1露=
*=1X=1
33
u — -^ £ In (1 _ 2厶)於丽=一 £ In (1 十爲於0卜(1.2.611 *=1左=1
Главные значения тензоров Н и Н представляют собой натуральные логарифмы отношения длин материальных волокон в 宓力 и 第о, направленных вдоль главных направлений тензоров V и U. В случае деформирования при фиксированных главных осях 0k (в смысле ориентации по отношению к материальным волокнам) тензорыН и Н будут аддитивны, т. е. тензоры деформации Генки： для любого момента времени можно определить как сумму тензоров приращений деформаций на интервалах, на которые разбит вается исследуемый отрезок времени. При этом на каждом интервале тензор приращения деформации определяется согласно (1.2.60) или (1.2.61) при использовании в качестве 方о конфигурации начала интервала.
Из указанных выше пределов изменения главных значений мер деформации G и G следует, что НН» 三(—оо, оо)? Z = 1, 3- При движении среды как жесткого целого Нт Н равны нулевому тензору 0. Нетрудно установить индифферентность Н и инвариантность по отношению к жесткому движению Н.
В дальнейшем полагаем, что все введенные тензоры, характеризующие деформирование среды, непрерывны вместе с производ-
ными требуемого порядка по совокупности аргументов. При представлении тензоров деформации в терминах главных векторов и главных значений считаем, что главные векторы и главные значения являются непрерывными с непрерывными производными требуемого порядка по совокупности аргументов.
Приведем требуемые для дальнейшего изложения соотношения между элементарными объемами и элементарными ориентированными площадками в 芻 и 後力[112, 152]. Как и ранее, будем рассматривать частицу М деформируемой среды вместе с ее малой окрестностью.
Рассмотрим материальный прямоугольный параллелепипед, в JT0 построенный на бесконечно малых радиус-векторах dR侦= = dS^^ . в xt этот материальный объем представляет собой г
также прямоугольный параллелепипед, построенный на йг{= =dS^ ^) . Тогда объем материального параллелепипеда в ^0
оООос.
и 後力 определяется как dV = dS1dS2idS3J dV = dSvdS2dS3. С учетом (1.2.29), (1.2.59)——(1.2.61) и представления инвариантов произвольного тензора второго ранга В в терминах главных значений 〃z [112, 152]：
/1 (В) = В\ + в? + 邑，厶(В) = 4*2 + 仇冬 + В3ВЪ
z3 (В) = В^В^(1262)
отношение объемов в 方力 и %。можно выразить через инварианты различных тензоров деформации:
dV/dV = [Z3(G)]V2 = [1 + 2 厶(С) + 4厶(С) + 8厶(С)『％
(1.2.63)
dV/dV = [Z3(G)]-'/2 = [1- 2厶(口)+ 4厶(总)-8/3 (無)]%,
In (dV/dV)=匕(H)=乙(Н).(1.2.64)
Рассмотрим элементарую площадку, построенную в 赁％ на исходящих из частицы М векторах dR；, dR；, площадь которой обозначим через ©Л, а единичную нормаль ——через N, так что dllN = dR() X dR(). В актуальной конфигурации бесконечно малые (материальные) векторы dR0, dR0 трансформируются соответственно в d“ dr", площадка, построенная на последних^ имеет площадь dn и единичную нормаль п, при этом йлп = dr' 乂 dr”. Как достаточно подробно показано в работе [112], справедливы следующие соотношения:
(1.2.65)(1.2.65)n djt *= (р/р) GR(j ・ N dll (р/р) N • VRq с?П, N dll = (0/0)寸 jndji = (р/р) n-VrT d%
(1.2.65)
(1.2.65)
где p. p — плотность среды в Жо и 贫九 причем р/р = dV/dV = =Р171. Из соотношений (1.2.65) с использованием (1.2.40) не-
трудно показать, что
dWffl = (00)(N0N 产， 而/而=(0仅(口心11)力，(1.2.6&)
n = (N-g • №)*▽&•№ N = (n ・g .ri)-% %f.(1.2.67)
Использование приведенных в данном разделе мер деформации и представлений движения среды в конечной форме характерно главным образом для теории упругости. При исследовании процессов пластического деформирования в основном используются скоростные кинематические характеристики, к изложению которых переходим в следующем разделе.
1.3. Тензоры приращения и скорости деформации
В соотношениях, описывающих нелинейное поведение различных материалов, используются обычно не тензоры деформации, а тензоры приращений и скоростей деформации. Поэтому здесь анализируются тензоры приращений и скоростей наиболее распространенных тензоров деформации.
При определении тензоров приращений деформации будем рассматривать деформированное состояние некоторой частицы М среды вместе с ее малой р-окрестностью, соответствующее двум моментам времени 厶 и % =厶 + А^. Положение частицы М в 冗九 и W% определяется соответственно радиус-векторами fj и г2 = =立 + Аг.
Определим тензор приращения деформации Коши — Грина. Используя (1.2.51), имеем
АС = С(^2)— С 仇)=% [Gr ⑸)一G (^i)]=
=x/2 [ Vri • V (Ar)T + V (Ar). VrT + ^(Ar)-V(Ar)T],(1.3.1)
записать(1.3.2)(1.3.3)записать(1.3.2)(1.3.3)В компонентах для произвольной системы координат и единой для всех конфигураций декартовой ортогональной системы, учитывая, что Ar — Au (приращение перемещения), можно (1.3.1) в виде
записать
(1.3.2)
(1.3.3)
записать
(1.3.2)
(1.3.3)
^c^ =等自(A闻+ % (△电)十% (a%)%(a胪)+
аa府恥=3["生+ 3■竺支+ 9 (竺立"吗Р)+
-L 0。" да30。" до?
十"(%)£ I 。比卩 d (AM) “ /кJдаг d/ da' 。凉一
Несколько сложнее обстоит дело с определением тензора приращения деформации Альманси 厶必,поскольку в этом случае меняются векторы базиса, а следовательно, и оператор Гамильтона. Кан следует из определения базисных векторов,
«仇)=票，6s他)=祟=@s (⑴十銹仇)(Au).(1.3.4)
Полагая градиенты приращения перемещения Vh (Au), определенные в Jftv малыми и удерживая только члены первого порядка малости, можно показать, что
&依) = 6$ (力1)— V/t (Ди)-ё5(^1).(1.3.5)
Тогда операторы Гамильтона в 後匕 и 證^ связаны соотношением
%/) = %() -立(加1) •弘(),
[网()『= №,()『一條()『•网(Au)，.(1-3.6)
Далее используются векторы базиса и оператор Гамильтона, определенные в 况q индекс 片 опустим. Используя выражения (1.2.52), (1.3.6), нетрудно получить
A加=现他)一现色)—% [G (3 一 & (力2)] = % [V (Au) 4
+ V(Au)T]-[^(^).V(Au)T + V(Au)-^(^)].(1.3.7)
В базисе ё5 конфигурации 證〃 и в базисе ks А国 можно представить следующим образом：
△融=(A®)iW* = £{[%(△%) + % 仆勾]-
—2[/Е(А〃р)+ К(А〃р)4з]}6@,(1.3.8)
А® = 44* к = г [规 + f --
—2「4P 学亠 +(1.3.9)
_OXJox 」丿
Напомним, что соотношения (1.3.7) —(1.3.9) получены с точностью до членов первого порядка малости (включительно) относительно градиента приращения перемещения. Следует отметить, что в силу изменения векторов базиса актуальной конфигурации компоненты тензора приращения (AW)订 в общем случае не равны приращениям соответствующих компонент тензора Альманси А4订=4仃(力2)— %订(%)，нем и обусловлено принятое в (1.3.8) обозначение. Заметим также, что, как следует из соотношений (1.3.1), (1.3.7),
I AG = 2 АС, AG ^= — 2AW* (1.3.10)
При жестких движениях (1,2.35) V7 С = 0, т. е. С (门)=0, С (力2)= 0, тогда и АС = 0. Аналогичные соотношения можно получить из выражений (1.2.37) и (1.3.10) для А国=—%AG = 0. Однако следует учесть, что при выводе (1.3.7)——(1.3.9) были отброшены члены второго порядка малости, поэтому необходима непосредственная проверка полученных соотношений. В выражении (1.3.7) второй член равен нулевому тензору, так как в этом
случае V^ ^ = 0. Далее, из соотношения (1.2.35) имеем
Au = Ar =z r (*2)——f (*1) гp (切——гp (力 1)+(Rq - Rrp)，(0 (力2)-
—О (^i)) — гр (力2)— Гр (h) + (От ⑸)一 0T (Zi)-(R0 — Ruf)).
Из равенств (1.2.36) / (幻—es 0 (右)—От (^)-ё®, тогда
"()三弘)= 0T仇)•絞M()= °T (⑴2().
Таким образом,
V (Au) = От 修1) • (О 传2)- о (⑴)10T 佐)• О 色)-Е = ОТ 佐)• АО,
V (Au)T =A0T-0 伉)，А* = % [От(^) -Д0 +AOT-O(fi)].
Следовательно, аналогично тензору малых деформаций ё (см. разд. 1.2) тензор приращения тензора Альманси, определяемый согласно (1,3.7), отличен от нулевого в общем случае жесткого движения. В данном случае и V (Ди) и А国 имеет тот же порядок малости, что и ДО,
Из выражений (1.2.38), (1.2.39) с учетом (1.3.10) можно показать инвариантность по отношению к жесткому движению ДС и неиндифферентность А国.Инвариантность ДС по отношению к жестким перемещениям непосредственно следует из соотношений (1.2.38), (1.3.10)： поскольку V^ &' — Ь, то
АС = % [&'他)-&'(⑴]=% [G 甸-G 传i)] = AC.
Неиндифферентность Aj#? определяемого согласно (1.3.7), можно показать непосредственной подстановкой аналогично проделанному выше для жестких движений.
Заметим, что в отличие от жесткого движения среды в данном случае удержание членов второго порядка малости не изменяет ситуации ——тензор 照(%) — * (右) является неиндифферентным. Действительно:
A国，=*'(方2)—不‘(⑴~ 0Т (方2)，学(方2)，0传2)-
-от伍).国做)■0 (⑴=0t仇)•A国.。 (a) +
十 ДОТ • % (%) ♦ О (方工)4~ От 的)•加(^2)*ДО + ДО^1 •国(fa) • ДО*
Таким образом, несмотря на то, что сам тензор Альманси индифферентен, его приращение не является индифферентным тен* зором. Данное обстоятельство объясняется тем, что в движениях, отличающихся на жесткое перемещение, сами индифферентные тензоры изменяются в зависимости от наложенного вращения, вообще говоря, произвольным образом. Поэтому равенство компонент J#，(％) и 国(％) в базисах 忌(％) и 6$ 伉)возможно только в случае отсутствия вращения за промежуток времени 力？ —— h, т. е. АО = О (方2)— О ⑷—0.
Под тензорами скоростей деформации будем понимать полные (материальные, субстанциональные) производные соответствую-
щих тензоров деформации. Наиболее просто определяется тензор скорости деформации Коши — Грина
С = %& = 1/2 (Vr.VvT + Vv-.VrT),(1.3.11)
или, используя вектор перемещения и = г —— Ro,
С = !/2 [(^у 十 VvT) + (Vv-VuT + Vu^ VvT)].(1.3.12)
Представление в базисах 3% и k^ имеет вид
&3@ = % [自喝 + %q)十色^寸产Р + 0%%评)]品‘，(1-3.13)
(1.3.14)
Выражение тензора скорости деформации Альманси может быть получено либо из (1.3.7) предельным переходом при △力—> О, либо непосредственным дифференцированием (1.2.52) с использованием (1.2.22). Воспользуемся вторым способом. В этом случае требуется определить субстанциональную производную градиента места в отсчетной конфигурации VR0 и транспонированного к нему. Для этого используем выражение (1.2.6):
E = O<=(Vr).VR0 + Vr.(VR0),
откуда следует
(VR0)=—卡R。.玩• VR0 = -Vv-VR°, (VR^) VR^-Vvt.
(1.3.15)
Таким образом, получаем
融三 i/3 (Vv + Vv^) 一 (Ov•国十国-VvT),(1.3.16)
или в компонентной форме
国=(国加60 =因式可% + %我)-@@/4+，卩/)］金?，
(1.3.17)
(1.3.18)
Первое слагаемое в (1.3.16) определяет так называемый тензор деформации скорости D:
D = % (Vv + VvT) = % (К% + %&) 6皆=
/ dv- dv- \ ..
# 十 U k".(1-3.19)
\ dx dxJ /
Тензор деформации скорости D совпадает с тензорами скорости деформации Коши — Грина и Альманси при использовании в качестве отсчетной 留о актуальной конфигурации 浮力・
Действительно, 书口 = Vu = 0, а из приведенного выше соответственноДействительно, 书口 = Vu = 0, а из приведенного выше соответственнов этом случае ▽() = ”()，и = 0, откуда выражения (1.2.52) следует А = 0. С учетом и из соотношений (1.3.12), (1.3.16) получаем
Действительно, 书口 = Vu = 0, а из приведенного выше соответственно
Действительно, 书口 = Vu = 0, а из приведенного выше соответственно
С и % (^v + tvT) = % (6v + VvT) = D, B=%«v + VvT) = D.
Рассмотрим градиенты скорости, определенные в отсчетной s актуальной конфигурациях Vv л Vv, причем с учетом извест- Вых соотношений
w)=仇r()，(卡())T=($())t.玩 Т,
V() = VR0-V(),(V())T = (V())T.VR^(1.3.20)
градиенты скорости перемещений связаны выражениями
Vу = ^г • VV, VV = VRg• Vv.(1.3.21)
Рассмотрим движение частицы М вместе с ее малой окрестностью. Пусть положение частицы М1 из этой окрестности относительно М в отсчетной конфигурации определяется вектором dR0, а в 宏》— вектором dr, причем dr и tZR0 связаны соотношениями (1.2.8)——(1.2.9). Скорость частицы М' относительно поступательно перемещающейся с частицей М системы отсчета определяется как vr = d? . Лз выражений (1.2.8), (1.2.9) нетрудно установить тогда следующие соотношения:
vr = dRo?v = drfv.(1.3.22)
Таким образом, градиенты скорости перемещений Vv, Vv, определенные в 街'о,方二 для произвольной частицы М, характеризуют относительные (по отношению к системе координат, поступательно перемещающейся вместе с М) скорости частиц из малой окрестности частицы М.
Представим Vv его разложением на симметричную D и антисимметричную W части:
Vv = D — W = D + WT,(1.3.23)
где
(1.3.24)(1.3.24)W ~ 1/2 (VvT — Vv)
(1.3.24)
(1.3.24)
——так называемый тензор вихря (спин над v), a D определяется из выражения (1.3.19). Тогда в соответствии с (1.3.22)
v『 = dr・D — dr・W = &・D 十 W・dr・(1.3.25)
Компоненты тензора D =力订欽餡，как следует из определения тензора D (как С или 国)при использовании в качестве отсчетной актуальной конфигурации) и геометрического смысла тензоров С
или 必,характеризуют скорость удлинения и изменения углов между материальными волокнами, направленными вдоль 6储 @).
Определим симметричный тензор D в терминах его главных значений D； и главных векторов Ь° = Ь?:'
з
D = X 0力、江(1.3.26)
г—1
Материальные волокна, направленные в данный момент вдоль Ь“ испытывают мгновенные растяжения—сжатия без нарушения взаимной ортогональности. Сопоставляя сказанное с соотношением (1.3.25), можно установить геометрический смысл тензора вихря: W характеризует мгновенную угловую скорость вращения материальных волокон, направленных вдоль главных осей тензора D, как жесткого целого. В механике силошной среды выводится [141, 152] вектор о, ассоциированный с W таким образом, что (см. формулы (1.1.15), (1.1.16))
W・dr = 5 X dr VdreT?3.(1.3.27)
Скорость частицы М и поступательно перемещающейся с ней подвижной системы отсчета обозначим как v^. Отметим, что для произвольной частицы Мг малой окрестности М скорость Vg по аналогии с кинематикой твердого тела можно рассматривать как переносную скорость.
Объединяя все сказанное, приходим к теореме Коши——Гельмгольца о представлении скорости произвольной частицы М' малой окрестности частицы М геометрической суммой трех составляющих: скоростей поступательного (переносного) ¥助0 вращательного о X dr движений как жесткого целого и деформационной скорости dr・D = D・dr частицы [1521：
Км，= V妝 + s х 厶 + D*dr.(1.3.28)
Следует напомнить, что в общем случае движения деформируемой среды о «жестком движении» можно говорить лишь условно. Поэтому в дальнейшем в некоторых случаях будет использоваться термин «квазитвердое движение» для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет только о разложении (представлении) движения деформируемой среды.
По' аналогии с теоремой Коши — Гельмгольца можяо ввести и другие способы представления движения деформируемой среды совокупностью квазитвердого и деформационного * Например, квазитвердое движение можно ввести как поступательное со скоростью vM и вращательное с угловой скоростью некоторого жесткого ортогонального триэдра (например, главных осей тензора V). Тогда деформационная скорость будет определяться как относительная скорость движения рассматриваемой частицы относительно данного триэдра.
. При жестком движении среды в соответствии с выражением (1.2.35)
у = vp + G* ♦ (Ro — R()p)=叮 + (OT • 0) • (r — 4),(1.3*29)
откуда
Vv = OT-O, VvT=OT.O=r —OT.O.(1.3.30)
Антисимметричный тензор (спин) 6'・О (см. (1.1.51)) характеризует угловую скорость в данном случае любой жестко связан- 宜о宜 с движущейся средой системы координат. Из соотношений (1.3.19) и (1.3.30) следует, что при жестком движении тензор деформации скорости равен нулевому.
Для движений г и г\ отличающихся на жесткое (1.1.44), скорости перемещений связаны соотношением
у' = v> + (v — Vp)・O 十(г — Гр)・6,(1.3.31)
откуда следует:
VV = OT-Vv-O+ ОТ.О,
1(1.3.32)
Rv，t = OTVvT.O + 6TO.
Из выражений (1.3.32) очевидно, что градиент вектора скорости не является ни индифферентным, ни инвариантным по отношению к жесткому движению. Из соотношений (1.3.19), (1.3.24), (1.3.32) полупим
D = % (RV’ 十十'v'T) = От •因2 (Vv + VvT)].O = OT.D-O,
(1.3.33)
W' = % (V'v'T — ▽'v') = OT-[x/2(VvT — Vv)].O + 6T.O =
= 0T-W-0 + OT-O.(1.3.34)
Соотношения (1.3.33)——(1.3.34) представляют собой математическую запись теоремы Зоравского [112]: тензор деформации скорости D индифферентен, тензор вихря (спин над v) W неиндифферентен.
Остановимся на геометрическом смысле тензора 6Т*О. Как следует из (1.1.44) и свойств ортогонального тензора, в движениях г и г' в каждый момент времени | 6” = | 名 I, | М | = | 6" |. В^одя единичные векторы 自^ = GJ | ef |,备=即 | 名 |, из (1.1.47) имеем
或= 0уО = ()Т・杀.(1.3.35)
Дифференцируя (1.3.35), получим
备=露・。+ 0Т仓=a・0 + 6T・。・解.(1.3.36)
Введем в рассмотрение антисимметричные (антисимметрично сть показывается аналогично проделанному выше для тензора Q (1.1.51))
тензоры
Wi=a會W2=&/
и ассоциированные с ними векторы S], <о2, так что
拿=W「畲=si х % gi = Wa-gi =<i)2 X 實，(1.3.37)
через s обозначим ассоциированный с G『・O вектор.
Тогда из (1.3.36) следует: s х 蛋=叫 X 留 一 ®「°) X gh где использовано непосредственно проверяемое соотношение
(恥 乂 倉)・O = (s・O) X (grO).(1.3.38)
(1.3.39)(1.3.39)Таким образом:
(1.3.39)
(1.3.39)
=(1)2 — (1)1 • О,
т. е. тензор От *0 характеризует относительную мгновенную скорость вращения системы gi как жесткого целого (квазитвердое вращение) относительно системы g；, причем последняя вместе с вектором со】 предварительно совмещена с системой 自工 Рис. 1.8 иллюстрирует соотношение (1.3.39), где 叫 = s「0, 呜 = —
Заметим, что под движениями гиг' можно понимать одно и то же движение среды относительно двух различных систем коорди-
нат, перемещающихся друг относительно друга таким образом, уто'в каждый момент времени любая из них может быть получена и3 другой трансляцией и поворотом (сами системы координат могуТ меняться с течением времени, но это изменение происходит одинаковым образом). В качестве таковых при рассмотрении движе- нйЯ сплошной среды могут быть выбраны главные оси меры Ко- mu — Грина G (или С, U, g) и Альманси G(®, V, g), ортогональное преобразование которых друг в друга осуществляется с использованием тензора R (1.2.31). Тензор спина, характеризующий относительную угловую скорость системы & относительно системы р.? согласно сказанному выше, определяется как
Q = RT.R = —ЦТ.』一Q、(1.3.40)
Введем также спины Qu, Qu, характеризующие абсолютную угловую скорость главных векторов 0t левого тензора искажений U и pj правого тензора искажений V:
Qu = R^・Ru — Р/гР^, 計炉=R$，Ry = 0k/(1.3.41)
Тогда с учетом равенств (1.2.50)
12 = RT • R = (Ry • R и + R§ • Ru) * R^ ■ Ry =
=Ry • Ry + Ry • R(j ♦ Ru • Ry = f2y — R，* S2u * R.(1.3.42)
Заметим, что векторы p^ совпадают с главными векторами Ь" тензора D в момент 方=0.
С учетом сделанного замечания можно ввести тензор ротации главных осей тензора D из нулевого положения в актуальное:
R° G) — bi(о)ьг(方)=pN， rE —力炉.
Тензор угловой скорости Q。главных осей тензора D тогда можно ввести по аналогии с (1.3.41): Qq — R^・Rq =瓦У, так что $» = =fio-bj. Тензор Qq, как и введенные выше спины, антисимметричен: OD = ——Q^. Следует подчеркнуть, что в общем случае движения тензоры W и 計方,естественно, не совпадают: тензор W характеризует угловую скорость материальных волокон, направ- леншдх вдоль 九，тензор йс — угловую скорость триэдра главных осей тензора D.
Используя выражения (1.2.45), (1.2.46), определим скорости изменения левого и правого тензоров искажений:
. ззз
и= S吃卩稱+ 2 aS先+ 2 и^= 2=1f=lt=l
3
=X力戒血+ U十U f}^,
или
.3
U = 2 匕战i + S2u・U — U・Qu・(1.3.43)
Аналогично
(1.3.44)(1.3.45)(1.3.46)(1.3.44)(1.3.45)(1.3.46)v= & Vip^ + Qv-V-V.Qv. i—l
(1.3.44)
(1.3.45)
(1.3.46)
(1.3.44)
(1.3.45)
(1.3.46)
Заметим, что из выражения (1.2.47) следует:
+v=玄力市％i+ Qu 1
3
?vT = X U^i —阮T. Qu + Qv • VrT.
VvT = £± 沦VvT = £± 沦豈「嗅。-1+ £ -у- ^UikV^V^ +Qy・3 左=1'豈「嗅。-1+ £ -у- ^UikV^V^ +Qy・3 左=1'(1.3.47)(1.3.47)Из соотношений (1.3.45), (1.3.46), учитывая, что Ut = V；, посредством несложных преобразований с использованием (1.3*21), (1.2.43), (1.3.41) получаем
VvT = £± 沦
VvT = £± 沦
豈「嗅。-1
+ £ -у- ^UikV^V^ +Qy・
3 左=1'
豈「嗅。-1
+ £ -у- ^UikV^V^ +Qy・
3 左=1'
(1.3.47)
(1.3.47)
(L3.48)
Из (1.3.47), (1.3.48), (1.3.19), (1.3.24) следует:
(1.3.49)(1.3.49)d=£齐0з十｝. W [(号_扌)询厶点切 £=1i,左=1
(1.3.49)
(1.3.49)
w = Qv十+* [(差+ ^") Qu〃・0%“] .(1*3.50)
Из (1.3.49) и (1,2.46) с учетом сказанного о геометрическом смысле тензора D следует, что диагональные компоненты 九= =Pi-D-рг (К) определяют относительную скорость удлинения маг
териальны-х волокон, направленных вдоль главных векторов р/：
8 ^г —疗М瓦_疝纟/）、
Очевидно, что слагаемые в квадратных скобках (1.3.49) отличны от нуля только при Z 次 В и Pf У= V^. С использованием выражения (1.3.49) в этом случае компоненты тензора 計口 могут быть определены через компоненты D:
0u"i = /*(瓦・D・a)力声生，0・ (1-3.51)
Подставляя затем (1.3.51) в (1.3.50), получим
■ QvA-i = PK^v-Pi = Ps-W.pi —
(1.3.52)
Очевидно, что соотношения (1.3.51)—(1.3.52) неприменимы в случае V/ = 卩乃,i 千 к. Этот случай соответствует ситуации, когда линейные оболочки (плоскости в R3) векторов рь »履 и pf, 0k представляют собой множества главных осей тензоров ^ и V. Если подобная ситуация возникает для некоторого момента времени, то компоненты Qu и Qy в силу принятых выше предположений о непрерывности главных векторов могут быть определены предельным переходом. Случай, когда F；=卩左(％ 声 В) на отрезке ［々，力2】ненулевой меры, требует отдельного рассмотрения.
Если на отрезке совпадают все три главные значения (Vf = =V； = Ум 力 * / 声左声 z), то любое из направлений в R3 является главным. Как следует из выражения (1.3.49), в данном случае главные оси тензора D совпадают с главными осями V, т. е噸 также являются произвольными. Во избежании неоднозначности в качестве главных направлений тензора V можно выбрать направления материальных волокон, которые в момент времени ft совпадают с р^, ? = 1, 3. Поскольку в 贫° материальные волокна неподвижны, то неподвижны и рн а следовательно, Си = 0.
Аналогичная ситуация возникает в случае 匕=唳声匕 (Z 抖 j у= к 声 9 V7 三"i，方2】，если линейная оболочка векторов р(, pfc в J^( (а следовательно, р^,卩卜 в Жо) фиксирована по отношению к материальным волокнам, расположенным в момент 厶 в плоскости линейной оболочки и перпендикулярных к ней.
Тогда Yt 三(%%)
◎ив = 0, Qy/,-1 =屮^ =K • W'Pi = Рк*^*Рг7(1.3.53)
т. e. скорость вращения 0订 口履 совпадает с угловой скоростью материальных волокон, однозначно определяемой по тензору вихря W. Компоненты Й^, Йу в моменты 力=厶 и 力=芍 определяются аналогично вышеизложенному (предельным переходом).
При 匕 =卩上声匕(i力j丰к力i) Vt三［厶,力2】и изменяющейся ориентации линейной оболочки векторов р^, 0衣 по отношению к материальным волокнам однозначно определяется только °Дин главный вектор р；, векторы 0〃 0& оставаясь взаимно ортогональными, направлены произвольно в плоскости, перпендикулярной 0j. При решении реальных задач в этом случае может быть использована достаточно гладкая аппроксимация вектор-функ- @й pf, pfc на отрезке ［小 ％］.
В соответствии с выражениями (1.2.60), (1.2.61) введем ско- Р°сти изменения логарифмических мер деформаций Н и Н
по аналогии с (1.3.43) и (1.3.44)):
з Аз Аpfrp/c + Qu，li — li・Qu,pfrp/c + Qu，li — li・Qu,(1.3.54)(1.3.55)(1.3.54)(1.3.55)
з А
з А
pfrp/c + Qu，li — li・Qu,
pfrp/c + Qu，li — li・Qu,
(1.3.54)
(1.3.55)
(1.3.54)
(1.3.55)
Для использования вышеприведенных производных при решении реальных задач необходимо выразить их через текущие кинематические характеристики движения сплошной среды. Следует отметить, что субстанциональная производная Н непосредственно в форме (1.3.55) не применяется для построения определяющих соотношений. Поэтому остановимся лишь на выражении (1,3.54).
Используя равенство главных значений правой и левой мер искажения и их материальных производных, из выражения (1.3.49) получим 0/6 = Vi/Vi =心・D・0\ Тогда соотношение (1.3.54) в базисе главных векторов левой меры искажения можно записать следующим образом:
近=(宜)‘%r= 5(р1о-рг)р,рj + 0我必甌一爲0邪晶・.
Полагая, что главные значения левой (а следовательно, и правой) мер искажения отличны друг от друга, из последнего соотношения с учетом (1.3.51), а также учитывая, что 方『 = 3；力衣(方尢 = = In U— главные значения Н), имеем
+ зз 2U U
li = £(p，.D6)品+ £ 石е^ 优.D.^lnU 疝而一
Л 2U.U,..
Тогда окончательно получаем з
点=g (F，d.R)决心十
£ / 2U.U. U. 、.
(1.3.54a)(1.3.54a)+ ,Z】(产 m才—i)(p'・d・F)歸尸
(1.3.54a)
(1.3.54a)
Заметим, что первый член правой части не представляет собой тензора деформации скорости.
При построении определяющих соотношений в нелинейной механике сплошной среды широкое распространение получили так называемые коротационные производные векторов и тензоров.
Коронационные производные определяют скорости изменения векторов или тензоров по отношению к движущейся системе коордИНат, т. е. относительные скорости. Рассмотрим определение коротационных производных на примере вектора а и тензора вто- р0Г0 ранга Q, «приписанных» к произвольной частице М. Пусть M?FC‘ — движущаяся вместе с частицей система координат (вообще говоря, произвольная) с векторным базисом q”
Тогда в соответствии с известным в классической механике правилом определения относительной скорости можно ввести два типа коротационных производных:
а'д)= [■^■^•ч^] q； =(a・q‘ 十 а・ 丁师，(1.3.56)
Q'(qt)= [■£■《• Q.q')] 4i4j = (qi• Q• q + qj• Q• q5+q4• Q• q )4iq>, (1.3.57)
a'(qi"=[禽(a-qi)] q'=值・qt + a.^W，(1.3.58)
Qr(q!) = [-^-(q.-Q-qj)] qlq』
= (q『Qq 十 4iQq> + qiQq3)qlq3-(1.3.59)
Соотношения (1.3.56) — (1.3.57) определяют скорость изменения вектора а и тензора Q для наблюдателя, движущегося вместе с базисом qiT соотношения (1.3.58) — (1.3.59) — с базисом ql. Заметим, что в случае ортонормированного базиса q» различие между векторами основного и сопряженного базисов (а следовательно, между соотношениями (1,3.56) и (1.3.58), (1.3.57) и (1.3.59)) пропадает. Отметим также, что производные базисных векторов не зависят от трансляционного перемещения частицы вместе с подвижной системой координат.
В качестве системы координат М ^1 ^2 ^3 может быть принята одна из следующих:
лагранжева сопутствующая с базисными векторами ё；;
система главных осей левого тензора искажений U с орто- нормированным базисом 加
система главных осей правого тензора искажений V с орто- нормированным базисом 山；
декартовы ортогональные системы координат с ортонорми- рованными базисами, перемещающиеся вместе с частицей и вращающиеся с угловыми скоростями, соответствующими тензору О или тензору VV.
Рассмотрим каждый из возможных вариантов в отдельности.
В данном случае qz = ©〃 Используя (1.3.15), (1.2,3), определение базисных векторов, а также неизменность во времени ei и Е, нетрудно определить производные по времени ё^ и ёг
^г — ё| • VV = V vT • ё^, ё2 — — VV • ёг = 一 ёг • VvT.(1.3.60)
Подставляя (1.3.60) в (1.3.56) — (1.3.57), получим так называемую производную Олдройда [251] вектора и тензора второго ранга
^О1 = аг(ei) = (a-ei 十 а•药 爲=值・& — а-Vv-ё1)备=
；=[(а — а • Vv)-ez] ё{ = а ——a* Vv;
Q°‘ = QT («) = (& • Q・5 +暂.Q・且十片• Q・街)@© = =(&«.& —占・VvT Q•仪一a・Q・Vv・&) %巧= q^.Q —EvT.Q —qQv)®]爲 3 = Q—十 yT.Q —Q2V.
Окончательно имеем
ao^ = a —a-Vv,(1.3.61)
QO^Q-VvT.Q-QVv.(1.3.62)
Аналогично из соотношений (1.3.58), (1.3.59) с использованием первой части соотношения (1.3.60) получаем коротационную производную Коттер и Ривлина [205] (относительную скорость, определяемую наблюдателем, движущимся вместе с базисом q° — ёг)
aCR = а + Vv-a,(1.3.63)
qck = Q 十 V「Q + Q.VvT.(1.3.64)
Соотношения, подобные выражениям (1.3.61) — (1.3.64), могут быть легко получены для тензоров большей валентности, а также при использовании смешанного базиса. Следует отметить, что в определение производных Олдройда и Коттер и Ривлина вовлекается не только скорость изменения направлений векторов базиса, но и скорость изменения длин этих векторов и углов между ними. Иначе говоря, в качестве подвижной системы отсчета в данном случае используется деформируемая система координат. В определякхщих уравнениях, где применяются коротационные производные, более приемлемым представляется в качестве подвижных использовать жесткие системы координат с неизменными по модулю векторами базиса, выделяя характеристики деформационного движения в число параметров состояния среды.
Здесь q- = р. = р\ | 0^ | = ], система координат M^t2^ в каждый момент времени совершает мгновенный поворот с угловой скоростью о)и, соответствующей тензору спина Q。. При этом согласно (1.3.41) имеем
也=殳『6 = — Pi'^L-(1.3.65)
Тогда из (1.3.56) — (1.3.57) (или (1.3.58) — (1.3.59)) определим коротационные производные вектора и тензора второго ранга:
а1^ = а Ц- а* Й[/ = а — S2u・a,(1.3.66)
QU = Q —Qu・Q +QS・(1.3.67)
Данный случай аналогичен рассмотренному выше: q» — = 0工= 0、Из выражения (1.3.41) следует, что
注=S2y* Pi = — Pi*^v-(1.3*68)
Тогда скорости изменения вектора а и тензора Q относительно системы главных осей тензора V (или любой системы координат, жестко связанной с ней) определяется в соответствии с выражениями (1.3.56) — (1.3.57) следующими соотношениями:
а?=区 + а * Qy = а — 0广 а,(1.3.69)
Q^' = Q — Qp・Q + Q・Q”(1,3.70)
В этом случае произвольно выбранная декартова ортогональная система координат М ?工* ^3 с ортонормированным базисом q； = q* участвуя в трансляционном перемещении вместе с частицей, в каждый момент времени вращается с мгновенной угловой скоростью вращения либо триэдра р； относительно триэдра р£ (угловая скорость соответствует спину Q), либо материальных волокон, совпадающих в данный момент времени с главными осями тензора деформации скорости D (угловая скорость — вектор, ассоциированный тензору вихря W). Тогда производные от единичных базисных векторов определяются одним из следующих соотношений:
= Qq = — q「Q,(1-3.71)
Gt = Wq — — q「W.(1-3.72)
Из выражений (1.3.71), (1.3.56), (1.3.57) следует:
a* = a + a-f} = a — S2-a,(1.3.73)
Q* = Q —S2Q + Q。(1.3.74)
Используя (1.3.72), в соответствии с выражениями (1,3.56)— (1.3.57) получим производные вектора а и тензора второго ранга Q в смысле Яуманна — Нолла [112, 1411：
а^ = а + а W = a-W-a, (1.3.75)
QJ = Q —W・Q+ Q・W. (1.3.76)
Приведенные выше коротационные производные рассматриваются в следующих работах: производные (1*3.61), (1.3.62) — в [45, 80,112,141,142,251]; (1.3.63), (1.3.64) — в [80, 112, 141, 142, 205]; (1.3.66), (1.3.67), (1.3.69), (1.3.70) - в [220, 223]; (1.3.73), (1.3,74) - в [103, 207, 209, 212, 2201; (1.3.75), (1.3.76) - в [112, 141, 142, 207, 220 и др.]. В цитируемых работах коротационные производные введены различными способами, отличными от используемого в настоящей работе. Здесь была сделана попытка определить и классифицировать коротационные производные с единых позиций — как относительные скорости изменения тензоров в различных подвижных системах отсчета.
Покажем, что производные типа а, в, г индифферентных тензоров являются индифферентными, а типа 6 инвариантного тензора — инвариантным относительно жесткого движения тензором. Вначале определим некоторые вспомогательные соотношения. Как и ранее (см. разд. 1.1, 1.2), будем рассматривать два движения г и г\ отличающиеся на жесткое перемещение (1.1.44)*
Используя (1.2.16), (1.2.43) и инвариантность левого тензора искажений относительно жесткого движения (Uz = U), нетрудно показать, что
R' = R・O,(1.3.77)
где R\ R — ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию в движениях г' и г соответственно. В силу инвархаантности U получаем также, что
R° = Ru, S2u = Ни，(1,3.78)
Из соотношений (1.2.50), (1.3.77), (1.3.78) тогда получим
Rv = Rl О, Ry =ОТ* Ry.(1.3.79)
Вводя обозначение Йж = 6Т*О — —О1 • О, из выражений (1.3.41), (1.3.79) имеем
Qy = RJ• Ry = 123K 十 0^*€2y *0.(1.3.80)
Соотношения между градиентами скоростей (1.3.32) в движениях г' и г перепишем в виде
VV =0т-7у-0-2ж, VVT*=OT-VvT-O + S2H(.(1.3.81)
Индифферентность и инвариантность соответствующих коро- тационных производных рассмотрим на примере двухвалентных тензоров. Пусть “ ——индифферентный, Z ——инвариантный по отношению к жесткому движению тензоры, т. е. ”' = 0丁・”・0, W =及.Тогда
#@ = "一 V/vT• "'-"，.十▼』0'Г•力.O +
+dT-o-oT.j/,-o + oT-J/,-o-oT-d—oT.VvT-o-oT.;#,.o—
—Йж.От-Ла-О-От-е/Г-О-От- Vv.O + OT.”•€>& =
=От • jf • 0 十 £2Ж • 0T • ” • О — От • ” • О • Q；k —
— 0T-VvT.e#a.0-Q)K-0T-eX3-0-0T-jr-Vv.0 +
十0т.".0.^ = 0T.(力一八t."一”?^).0 =
= ^-^О1-О,(1.3.82)
что и доказывает индифферентность производной Олдройда индифферентного тензора. Аналогично показывается индифферентность
производной
Коттер и Ривлина:
:“，CR = OT.”CR.O.
(1.3.83)
Цз соотношений (1.3.70), (1.3.80) получим
“ '=От •步♦ О + От • ” • О 十 От • N • О — Q)k • ”'一
—()T・Qy・O・OT・”・O + ”'•◎；«+ 0丁.”.°.oT.Qy.0 = = ()t•步。0 + 6T・0・0Т •"•()+0T・"。0。0T。6 — —£?ж ♦ 0丁 • N • О — 0丁 • Q「• N -О + От • N -О • 12)к + +()т•”・ау・и = ()т•(力一即•”+ ”・Qy) 0 = =0%”。0.-(1.3.84)
Совершенно аналогично, используя соотношение
Я==ОТЙО + 12Ж,(1.3.85)
вытекающее из выражений (1.3.40) и (1.3.77), а также (1.3.34), устанавливается индифферентность производных (1.3.74), (1.3.76), т. е.
”'* = ()т・”*・о,(1.3.86)
心=炉.”了.0.(1.3.87)
Инвариантность (1.3.67) с учетом (1.3.78) очевидна.
Коротационные производные типа б, в, г скалярного произведения произвольных тензоров второго ранга А и В определяются по обычным правилам дифференцирования скалярного произведения тензоров. Например, в соответствии с равенством (1.3.74) получим
(А・В)* = А・В + А・В —£ (A・B) + (A・B).Q =
=А В 十 А・Е —Q・A B-h A B Q + A Q B —A Q В =
= (А —Й А +А-Й) В +А (В + В О —Я В) = А* В +А В*.
-(1.3.88)
Для произведения вектора а на тензор А имеем
(а • А)* = а * А 十 а * А + (а* А) • Q =
-—а. • А + а. • А + а • А • Q ~|~ а • Q • А. — а * С2 • А —
=值 + a・Q)・A + а・(А 十 A・Q—Q・A) = a*• A 十 a・A*. (1.3.89) Производные Олдройда и Коттер и Ривлина скалярного произведения не удовлетворяют данному правилу.
Для указанных коротационных производных (типа б, в, г) произвольного тензора второго ранга Q справедливо следующее Утверждение: если коротационная производная равна нулю, то ин-
варианты тензора Q имеют стационарные значения, т. е. I】(Q) = =12(Q) = I3 (Q) = 0. Покажем это на примере производной Яу- манна — Нолла. Пусть Q」=0, тогда Q = W・Q — Q-W. При вычислении инвариантов тензора используются формулы (1.1.18)：
/i(Q)= /(Q：E) = (\V・Q):E-(Q・W)：E =
'=W:Q —Q:W = 0・
Здесь использовано легко проверяемое соотношение А : В = =В : А, справедливое для произвольных тензоров второго ранга. Далее:
厶(Q)=力[2厶(Q)厶(Q) 一 (Q. Q) ： E — (Q • Q): E]=
= %[Q W Q—W Q Q —Q W Q 十 Q Q W] :E =
= %[—W:(Q・Q)十(Q.Q): W] = 0,
/3 (Q) = (Q • Q) ： Q — ％/】(Q)[(厶(Q))2 — 2厶(Q)] —
-%厶(Q) [2A (Q) A (Q) — 2厶(Q)] + % [厶(Q)r Л (Q)二 = (Q.Q)： Q = (Q.Q.W・Q —Q・Q Q・W)：E =
= (Q2・ W):Q—Q:(Q2・W) = 0,
что и требовалось показать. Отметим, что для производных Олд- ройда и Коттер и Ривлина данное утверждение несправедливо: при равенстве производных нулевому тензору производные инвариантов по времени отличны от нуля. Последнее обстоятельство обусловлено способом введения коротационных производных Олд- ройда и Коттер и Ривлина. Поясним на примере производной вектора а = @г, где dr ——бесконечно малый вектор, соединяющий данную частицу с некоторой близкой к ней. Нетрудно показать, что dr01 = 0, однако инвариант вектора dr — его длина — в общем случае движения, естественно, не постоянен.
Приведенными выше отличиями производных Олдройда и Коттер и Ривлина от других коротационных производных и объясняется, вероятно, их редкое использование в нелинейной механике. Из остальных коротационных производных наибольшее распространение в настоящее время получили производные вида (1.3.73) - (1.3.76).
Разнообразие используемых коротационных производных обусловлено неоднозначностью представления движения деформируемой среды (отметим, что подобная неоднозначность имеет место даже при исследовании движения в кинематике точки и абсолютно твердых тел). Поэтому при решении вопроса о выборе той или иной коротационной производной необходимо совместное рассмотрение кинематики сплошной среды и уравнений состояния. При этом используемые в определяющих соотношениях параметры состояния (скалярные и тензорные) и их производные должны быть согласованы с выбранным представлением движения.
Используя полученные ранее соотношения между тензорами,
характеризующими скорость изменения векторов базисов различ-
ннх подвижных систем координат, можно установить связь между ^еденными коротационными производными. Так, например, со- доставляя выражения (1.3.62) и (1.3.76), с учетом (1.3.23) имеем
(1.3.90)(1.3.90)Qa = Qj-(Q.D + D・Q).
(1.3.90)
(1.3.90)
Рассмотрим некоторые кор от ационные производные введенных в разд. 1.2 тензоров деформаций. Из соотношений (1.3.16) и (1.3.64) следует, что производная Коттер и Ривлина тензора деформаций Альманси равна тензору деформации скорости:
加 ск = * + Vv・* + j/.Vvt = D.(1.3.91)
Производные вида (1.3.67) меры Коши—Грина G, тензора деформаций Коши—Грина С, мер деформации g — &"1 и Н достаточно просто выражаются в терминах главных значений и главных векторов соответствующих тензоров. Например:
з .
eu=&_QbG + &・au= 2 ©市也•(1.3.92)
Аналогичным образом определяются производные вида (1.3.70) мер Альманси С, Фингера g и Генки Н, тензора деформации Альманси, например:
з
必' =十* Qv= 2 %0血(1.3.93)
В настоящей работе наиболее широкое применение получила логарифмическая мера деформации Н, поэтому на коротационных производных меры Генки остановимся подробнее. Из соотношений (1.3.55), (1.3.70) непосредственно следует:
ЙУ = Й —Qy .fi + H ЙуЙУ = Й —Qy .fi + H Йу(1.3.94)(1.3.94)
ЙУ = Й —Qy .fi + H Йу
ЙУ = Й —Qy .fi + H Йу
(1.3.94)
(1.3.94)
Используя выражения (1.3.42), (1.2.31), (1.2.61), из соотношений (1.3.55) и (1.3.74) получаем
宜*=宜_(!.食+食.12 = 上工部+ £ 仲哂m爲 %=1 i i,卜=]L石
Полагая, что 匕 /=吟，из последнего соотношения с учетом (1.3.49) и (1.3.51) после несложных преобразований имеем
食* =D+ X [(器方 ln*—l)(2D.汾％式.(1.3.95)
Аналогично из выражений (1.3.55) и (1.3.76) с учетом (1.3.50) получаем
0и”п 冷)FF0и”п 冷)FF
0и”п 冷)FF
0и”п 冷)FF
(1.3.96)
В предположении, что 7；六 卩卜,из выражений (1.3.96), (1.3.49), (1.3.51) следует:
з簞=D+ £3卜=1 及〃з簞=D+ £3卜=1 及〃(ЮМ41(ЮМ411 (p^D-p^)Pfi-рЛ .1 (p^D-p^)Pfi-рЛ .
з
簞=D+ £
3卜=1 及〃
з
簞=D+ £
3卜=1 及〃
(ЮМ41
(ЮМ41
1 (p^D-p^)Pfi-рЛ .
1 (p^D-p^)Pfi-рЛ .
Компоненты HJ в искажений имеютКомпоненты HJ в искажений имеют(1.3.97) базисе главных векторов 山 правого тензора вид
Компоненты HJ в искажений имеют
Компоненты HJ в искажений имеют
Rt А = 2,
開0398)
При этом, как нетрудно видеть, знаки компонент тензоров Н7 и D в главных осях совпадают.
Ранее соотношения (1.3.97), (1.3.98) были получены несколько отличным от приведенного способом [171]. Отметим, что из выражения (1.3.96) следует, что в случае равенства двух главных значений правого тензора искажений, V^ = Т^, соответствующие недиагональные компоненты равны нулю.
Предположим, что на некотором отрезке времени [厶，％] глав
ные оси правого тензора искажений совпадают с одними и теми же материальными волокнами в ;卷厂 Тогда ▽方三[右，f2] те же самые материальные волокна в ^0 совпадают с главными осями левого тензора искажений. В силу фиксированности отсчетной конфигурации и предположения о непрерывности р^ и р； в этом случаеqи=0 V方三(右，f2).
В данном случае из выражений (1.3.49), (1.3.50), (1.3.42) .сле
дует:
而，W = Qp而，W = Qp
而，W = Qp
而，W = Qp
Из последнего соотношения и (1.3.94) — (1.3.96) в данном случае получим Ну =苴* =百，=D.
Как показано в работе [220], в случае7 если градиенты перемещения и скорости перемещения зависят от некоторого малого параметра £, причем |(寸и)订 | = 0 (е), I (寸v)订 I = 0(£) Vj, /=1, 3, то справедлива оценка | (ft')订一(D)订 | = 0 (e3) Vi, / — 1, 3.
Ина^е говоря, в этом случае приемлемой аппроксимацией производной Яуманна——Нолла тензора Генки HJ является тензор деформации скорости D.
Как показано в разд. 1.2, первый инвариант меры Генки определяет изменение объема. Согласно формуле (1.2.64)
= -^(H:E) = H:E = Zi (Н).(1.3.99)
Используя равенство нулю свертки симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга, несложно показать, что
/1 (育)=/1(нг)=厶值 *) = Л(й7).(1.3.10К
В то же время из приведенных соотношений следует:
(1.3.101)(1.3.102)(1.3.101)(1.3.102)/1育)=厶(3 = **.
(1.3.101)
(1.3.102)
(1.3.101)
(1.3.102)
.Таким образом,
з
/1 (HJ)=dv/dv = 一 6/0 = 2 化/匕),
т. е. первый инвариант производной Яуманна——Нолла (а также Г, Н*) тензора Генки характеризует относительную скорость изменения объема.
Рассмотрим скорость изменения ориентированной элементарной площадки ndnr в 留土 и ее выражение через Ndll. (Заметим, что N = 0, dfl = 0.) Дифференцируя (1.2.65), с учетом (1.3.15) получим
(пйл) = — p/p(p/pVR0 + Vv-VRo)- NdlL (1.3.103)
Из выражений (1.2.66) с учетом (1.3.15) получаем выражение материальной производной модуля ориентированной площадки
山г— Р/Р(N •盲・N)% +1r (1.3.104)
I(N・g・N) * j
Из формул (1.3.103), (1.3.104) после некоторых преобразований имеем
П- Р/Р {(р)2/(р)2 (бШ)2/@т)2：[N• (VR?-D.VRo)-N]VRo-
—Vv-VR0}-N(Zn/dn.(1.3.105)
Вновь используя (1.2.65), из (1.3.105) получим
h = (п • D • n) п — Vv-n.(1.3.106)
Заметим, что из (1.3.106) и (1,3.63) следует:
цен = (n・D・n)n・(1.3.107)
Глава 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Настоящая глава посвящена основным динамическим понятиям механики сплошной среды. В разд. 2.1 рассматриваются некоторые тензоры напряжений, используемые в механике деформируемого тела, уравнения неразрывности и движения. В разд. 2.2 приведен краткий обзор скоростей изменения напряжений, соотношения между ними? коротационные производные тензоров напряжений.
Тензоры напряжений
Будем рассматривать движение некоторого объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью я (здесь и далее под V — если не оговорено противное — будет пониматься индивидуальный, или материальный, объем в актуальной конфигурации X/, т. е. объем, состоящий в рассматриваемом интервале времени из одних и тех же материальных частиц). Введем прежде всего одно из основных соотношений механики сплошной среды ——уравнение неразрывности.
Воспользуемся для этого известным [112, 152] выражением субстанциональной производной интеграла по материальному (индивидуальному) объему. Пусть 屮, 屮 ——скалярные функции, причем “
(2,1.1)
Тогда
(2人2)(2人2)小=\ [d^ldt + V-((pv)] dV.
(2人2)
(2人2)
Если под ф понимать плотность р материала в 證” то интеграл (2.1.1) определяет массу сплошной среды, заключенной в объеме V:
(2.1.3)
Тогда из закона сохранения массы (m = const) с учетом (2.1.2) в Силу произвольности объема и предполагаемой в механике сплошной среды непрерывности р и v по совокупности аргументов
(вместе с производными требуемого порядка) получаем
@0 例 + V- (pv) = 0.(2.1.4)
В некоторых случаях уравнение неразрывности (2.1.4) удобно представить в виде
-р + р (V-v) = 0.(2.1.5)
В случае несжимаемой среды 0=0 = const и из уравнения (2.1.5) следует:
V-v = 0.(2.1.6)
При стационарных движениях сплошной среды из -выражения (2<・4) с учетом условия 801at = 0 имеем
V-(pv) = 0.(2.1.7)
Как в динамике точки и неизменяемой системы, в динамике сплошной среды изучается движение в связи с причинами, вызывающими его изменение, что приводит к необходимости использования понятия силы. Под силой, как обычно [152], понимается векторная мера механического взаимодействия материальных частиц. Принимая в качестве.механической системы введенный выше материальный объем 亿 внутренними силами будем называть силы, отражающие взаимодействие между частицами, входящими в У, а внешними — силы, характеризующие взаимодействие частиц объема V с внешними (по отношению к V) материальными объектами.
Распределенные силы, действующие на каждую частицу объема V, называются массовыми силами. Обозначая через f плотность массовых сил, вектор массовой силы, действующей на частицу массы dm, определяется следующим образом:
fdm = pfdV = pfdV-(2.1.8)
Введем
• F = pf, F^pf(2.1.9)
—— плотность объемных сил, или массовые силы, отнесенные к единице объема соответственно в 後力 и 後山 Во избежание недоразумений следует отметить, что объемные силы F — это силы, действующие в момент t на частицы среды в конфигурации 宓九 но отнесенные к единице объема в 宓》При этом направление векторов F, F и f по отношению к неподвижной системе отсчета Nt совпадают.
При решении конкретных задач возникает необходимость перехода к компонентам векторов F и FT причем компоненты F обычно определяют в базисе ё； (3) a F — в базисе ez (ё1).
65653 А. А. Поздеев и др.
65
65
Установим соотношения между указанными компонентами, С учетом выражений (2.1.9) и (1.2.14) имеем
歹 F •咨=p/pF •斯：=р/р (F • Vr) • e*
庐=宜.看=p/^F.6, = 6歯(F. VR0).凯
К массовым силам относятся гравитационные, электромагнитные силы, силы инерции (при рассмотрении движения среды в неинерциальных системах отсчета). Кроме того, при решении задач механики сплошной среды в некоторых случаях вводят фиктивные массовые силы (например, при сведении неизотермических задач к соответствующим изотермическим [19], в которых кроме действительных массовых сил присутствуют фиктивные, моделирующие температурные эффекты). Отметим, что в механике сплошной среды пренебрегают внутренними массовыми силами [56, 112].
В механике деформируемого твердого тела большее (чем массовые) значение имеют поверхностные силы, т. е. внешние силы, распределенные по поверхности выделенного объема я. Плотность поверхностных сил в ^t и ^'0 будем обозначать соответственно Т и Т- При этом поверхностные силы часто представляются геометрической суммой нормальной Тп (ТЛ) и касательной % (九) составляющих [112], например:
т = fп + Тт = (Т• п) п + (й х f) х п.(2.1Л0)
Отметим, что аналогично приведенному выше замечанию об объемных силах F, поверхностные силы Т — это также силыт действующие в произвольный момент времени t на единичную площадку в 留力,но отнесенные к единице площади в 方‘山 так что Td^ = ТаГТ. Соотношения, связывающие компоненты векторов Т и Т, могут быть получены по аналогии с проделанными ранее для F и F-
Одно из центральных мест в построении механики сплошной среды занимают постулируемые уравнения баланса количества движения и момента количества движения, являющиеся естественным обобщением теорем об изменении количества движения и момента количества движения [152]. Математическая формулировка указанных уравнений имеет вид [66, 112, 152]
J p<dv = j pfdF + Jtrfjr,(2.1.11)
VVл
§ р(г х V)d/ = § p(r X f)dU + \(r x 个)dm(2.1.12)
VУЛ
Уравнения баланса количества движения (2.1.11) и момента количества движения (2.1.12) справедливы для любого индивидуального объема сплошной среды. Выберем в качестве V с гра-
H瓜口e近 л материальный объем, являющийся частью исследуемой сплошной среды. Действие внешней по отношению к V части сплошной среды на заключенную в V моделируется с помощью векторных полей распределенных по поверхности л и по объему 會 сил. При этом, как отмечено выше, последними б механике сплошных сред можно пренебречь.
Вектор введенных поверхностных сил, обозначаемый в 第；(方о) каК £侬)(ig), называется вектором внутренних напряжений (или вектором напряжений) [2, 152]. Величина и направление вектора напряжений Q)(tg) в каждой точке сплошной среды зависит от направления n (N) элементарной площадки dn (ЙП), на которую он действует. При этом единичный вектор n (N) внешней к У (V) нормали и вектор напряжения £(® (*川))предполагаются непрерывными (или кусочно-непрерывными) функциями вместе с производными требуемого порядка по совокупности аргументов. Заметим, что вектор напряжений, подобно вектору поверхностных сил, представим разложением (2.1.10) на нормальную и касательную составляющие.
Вектор t⑺(t(N)) определяет напряженное состояние в рассматриваемой точке сплошной среды на элементарной площадке с нормалью и (N). Совокупность векторов напряжений по любым направлениям (множество, имеющее мощность континуума [81]) определяет напряженное состояние в данной точке. Как показано в многочисленных работах по механике сплошных сред [2, 56, 112, 152 и др.], вектор напряжений 1“» введением тензора второго ранга о представим линейной функцией вектора п:
%)= па. (2.1.13)
Таким образом, тензор о, называемый тензором напряжений Коши, полностью определяет напряженное состояние рассматриваемой частицы в 留加 Тензор-функция а [уг (^, £), /], определенная на цилиндре V х [0, ос ], описывает напряженное состояние в каждой точке исследуемого объема сплошной среды. Отметим, что соотношения (2.1ЛЗ) (соотношения Коши) справедливы как для внутренних, так и для граничных точек рассматриваемой среды, нто позволяет использовать их для установления так называемых статических граничных условий:
i1 = П • стVr ел.(2.1.14)
Физический смысл компонент тензора а достаточно просто устанавливается при определении тензора Коши в декартовом ортонормированном базисе：
仃=о 叮kjkj.(2.1.15)
Напомним, что в этом случае и” =。订=aj. Выбирая в данном случае в качестве п векторы ортонормированного базиса kj
и раскладывая вектор напряжений t(勺)по векторам этого же базиса к力 нетрудно видеть, что компоненты тензора напряжений Коши сг，представляют составляющие вектора напряжений, действующего на площадку с нормалью к〃 по направлениям кj 亿 /= 1, 3). Заметим, что в настоящей работе из рассмотрения исключены полярные среды, поэтому из уравнения баланса момента количества движения следует симметрия тензора напряжений Коши [112, 152]:仃=/.
В случае произвольной системы координат векторы базиса ёр (или ё2) отличны от единичных и их нельзя отождествить с вектором единичной нормали п. Поэтому в случае произвольной системы криволинейных координат в рассмотрение вводятся так называемые [112, 152] физические компоненты тензора напряжений, которые и являются «напряжениями» в принятом в прикладных исследованиях смысле этого термина.
Введем единичный вектор пр = ер/| ёр | =沔/ МЁрр (R). Вектор напряжений, действующий на данной площадке, в соответствии с выражением (2.1.13) есть (办卩)— пр -а. Представляя тензор а разложением в базисе &, получим
Составляющие 「⑺») по единичным векторам р@/| е@ | обозначим через 2也
Таким образом,
»q = Вq М 豆]V自),6闆=»4(联薪/y%) (k) • (2.1/6)
Величины 2°", физический смысл которых аналогичен приведенному выше для компонент тензора Коши о в декартовой ортогональной системе координат, и называются «физическими компонентами» тензора напряжений [152].
В силу симметрии тензора а и известного в случае ортогонального базиса соотношения [112, 152] Ё]р — (Е^у1 из формулы (2.1.16) следует для этого случая симметрия «физических компонент»: 2°° =工叫 При произвольном базисе «физические компоненты» l^q несимметричны. Из (2.1.16) вытекает, что при изменении системы координат «физические компоненты» тензора напряжений 2'° преобразуются по закону, отличному от правила преобразования компонент тензора, т. е. S29 не представляют собой компонент какого-либо тензора.
В качестве примера приведем «физические компоненты» тензора напряжений при использовании ортогональной цилиндрической системы координат р (f), 0 (^2), z (守)[112]. В этом случае
dr而 p=const = рт,z—constк координатной линииdr而 p=const = рт,z—constк координатной линии疝=6\ ё3 = ё3 — единичные векторы: 得・药 =е°・©‘ = 6"为 = О
dr
而 p=const = рт,z—const
к координатной линии
dr
而 p=const = рт,z—const
к координатной линии
今,・，i,,=4,3;应=硬亍 bxonst
^3=COnSt
T — единичный вектор касательной
(р = const, z = const). Тогда 倉22 =(P)S 刃^ = 1/(р)2> 豆口= Е"= =Езз =百зз =],瓦j =应"=0 (j 声 /,厶/ = 1? 3). Из выражения (2.1.16) получаем
SU =工卩=611, 工 зз = Wz = G33,£2* = Ее =「2322,
"S = Epz = G 吗 >2 = »8 = pG%223 = 2& = P&23.
В силу симметрии тензора напряжений Коши а существует по крайней мере одна тройка главных направлений (ортонормиро- ванные векторы которых обозначим 1н % = 4, 3) и"главных значений а；, так что
з
о = Е о此.(2.1.17)
Инварианты тензора а, его шаровая и девиаторная составляющие определяются обычными соотношениями (см. разд. 1.1), причем главные оси девиатора напряжений S совпадают с главными осями тензора о, а главные значения Sf = о^ — Vg I工(a).
Как отмечено выше, для вектора напряжений 卜也)справедливо представление его векторной суммой касательной £(爲七 и нормальной t⑺)熊 составляющих:
t(7%) t(n) T 十 t(n)n = ^(П)Т^ + ^(П)пП1(2.1.18)
где т, п ——единичные векторы касательной и нормали к площадке. Заметим, что если единичный вектор нормали и определяется однозначно для любой заданной площадки (верно и обратное: п однозначно определяет положение площадки), то векторы касательных к площадке, вообще говоря, образуют множество мощности континуума. Здесь под т понимается единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором проекции 金⑺)на рассматриваемую ллощадку:
Т = [(п х fw) X n]/ I (n X Q)) X п|.
Используя представление (2.1.17) тензора а, раскладывая вектор п по единичным векторам 1^ и = zfl» и вводя обозначения 仃/i = ^(n)n = t(n)■ п, (?т = i(n)x = t(n)・t = Mg — cFnii * после несложных преобразований получим
з
61=‘2 仇庁々，(2.1.19)
%=孔;请(c1 - 6)2十所忌(03 - 6)2 +展丸;(S -g3产.(2.1.20)
Обозначая далее 储=* г = 1, 3, Тг = % I Gj ——Gk I (г,7,
为 образуют четную перестановку индексов 1, 2, 3), соотношения (2.1.19)—(2.1.20) перепишем в виде
源=2 5储，(2.1.21)
t=l
5；=4(入1九2T3 +九2九3T；十九3入：1嗡,
(2.1.22) причем
入1 +入2+入3 ~ 1。(2.1.23)
Полагая тензор напряжений (а следовательно, af и Ij) в данной точке среды известным, определим ориентацию площадок, на которых значения ап и аг достигают экстремальных значений. Поскольку ориентация площадки определяется вектором п, а последний, в свою очередь, восстанавливается по 入厶 приходим к задаче линейного программирования:
определить параметры 入力 доставляющие экстремумы линейным функционалам (2.1.21), (2.1.22) при линейном ограничении (2.1.23). Как известно [55], при разрешимости такой задачи множество оптимальных решений принадлежит некоторой грани ее допустимых векторов. В данном случае множество допустимых векторов представляет собой часть плоскости в Л3: Г = {九 | 入1 + + 入2 十九з = 1, %》0 V》=1, 3} (рис. 2.1).
Исследуя на экстремум функционал (2.1.21), приходим к следующим выводам. Для внутренних точек F (入之 int Г) экстремальное значение оп возможно лишь в частном случае о】=о?= =а3, т. е. в случае гидростатического напряженного состояния, когда любая площадка является главной и на каждой из них действует один и тот же (по модулю) вектор напряжений &九)= ==t(?i)n ~~ стпп, %(?z)t ―" От ^2^ 0. На границах Г 兀-—0,九了 + 九乂 === =1, kj ^ 0, кк =^= Q (i, у, к образуют перестановку индексов 1, 2, 3) экстремум оп возможен в случае Oj = cf用,когда любая площадка, содержащая 1“ является главной. Наконец, рассматривая точки 入* = 1, Zj = 九衣 = 0, приходим к выводу, что в общем случае напряженного состояния при а^ :/= о； (Vz, j = 1, 3, Z 声 j) экстремальные нормальные напряжения достигаются на площадках, перпендикулярных главным направлениям 1», и равны соответствующим главным напряжениям. При этом из выражения (2.1.22) нетрудно видеть, что касательные напряжения на этих ллощадках равны нулю.
Проводя аналогичный анализ для функционала (2.1.22), определяем, что в общем случае экстремальных значений касательные напряжения достигают на площадках 储 — 1/2, 厶 = 1/2,
断=0 (i ^= j к^= г), т. е.修=± ]/2/2,叫=± М2/2, 川=О, при этом 仇=士(s — о；)/2.
Обратимся к установлению уравнений движения и равновесия. Используя граничные условия (2.1.14), теорему Гаусса—Остро- градского (в предположении достаточной гладкости v, о и границы области), из уравнения баланса количества движения (2.1.11) имеем
、(川一就一V р)力=0.(2.1.24)
В силу произвольности объема V и непрерывности (вместе с производными необходимого порядка) подынтегральных функций с учетом обозначения (2.1.9) из (2.1.24) получаем уравнение движения, справедливое для произвольной частицы сплошной среды：
pv=V-a + F Vreint V,V力三(0, g).(2.1.25)
При исследовании квазистатических процессов движения среды (когда член pv пренебрежимо мал по сравнению с правой частью) приходим к дифференциальному уравнению равновесия
V.d + F = 0.(2.1.26)
В компонентах в произвольном базисе актуальной конфигурации последнее соотношение принимает вид
Vidi; + 庐=0,/ = О.(2.1.27)
В случае декартовой ортогональной системы координат имеем а戸/涼 + 必=О, / =ТГЗ.(2.1.28)
Из уравнения баланса момента количества движения, как отмечено выше, в случае неполярных сред следует симметрия тензора напряжений Коши. Отметим, что с использованием тензора напряжений Коши вводится так называемая мощность напряжений [112, 141]
oiDdV.(2.1.29)
В силу симметрии тензора Коши о : D = с : Vv — о : Vvr, так что
” = ,(j：VvdP = \(j： VvT dV.(2.1.30)
vv
Описание напряженного состояния с помощью тензора с естественно и физически наглядно, он определяет напряженное состояние в 對± и широко используется как в теоретических (в особенности при пространственном, эйлеровом рассмотрении), так и 上 экспериментальных исследованиях. Однако при решении кон-
кретных прикладных задач возникают определенные сложности, связанные с отсутствием априорной информации об актуальной конфигурации. В связи с этим в механике деформируемого тела используются альтернативные описания напряженного состояния с применением отсчетной конфигурации, которая входит в число известных данных. В некоторых случаях это позволяет упростить постановки и решение нелинейных задач механики континуума.
Из тензоров, описывающих напряженное состояние в терминах отсчетной конфигурации, наибольшее распространение приобрели первый Э6 и второй X тензоры напряжений Пиола—Кирх- гоффа [112, 122].
Для определения первого тензора Пиола—Кирхгоффа необходимо разрешить следующую задачу: определить такой тензор 驴 (второго ранга), который был бы связан с вектором напряжений, действующим на элементарную площадку Ndll в отсчетной конфигурации, соотношением, аналогичным соотношению Коши для тензора о (2.1.13), причем главные векторы распределенных нагрузок на соответствующих площадках должны совпадать, т. е.
Egdn = (пйл)*о = t(N)dH = (Ndll)•热(2.1.31)
Используя связь элементарных ориентированных площадок в 留£ и 留° (1.2.65), левую часть последнего соотношения представим в виде
t(n)dn = (n da) • a=(p/p)(N ЙП)-VR^(2.1.32)
Сопоставляя (2.1.32) и правую часть формулы (2.1.31), получаем
дб = (р/р) VRJ1 • о, 96T = (A0)(j・«Ro,(2.1.33)
о=(р/р) VrT.^ = (p/p) ЗЬТ. Vr.(2.1.34)
Нетрудно видеть, что тензор 驴 несимметричен, что создает некоторые трудности его использования. Компоненты тензора Э6 б базисе 留° определяются через тензор Коши о следующим образом:
*订=值/0)曾.日审.(2/. 35‘)
Используя единую для всех конфигураций декартов ую ортогональную систему координат, имеем
尹)=二绰屮屮=$_竺驴"
Р дх1Р да1
Для установления уравнения движения (или равновесия) в терминах первого тензора Пиола——Кирхгоффа можно воспользоваться уравнением (2.1.25) (или (2.1.26)) с учетом выражений (2.1.34) и (2.1.9). Однако существенно проще требуемое уравнение получается непосредственно из уравнения баланса количества движения (2.1.11) с использованием (2.1.31) и теоремы Гаусса—Остро-
градского. В самом деле:
'旧戒=\ 那犷 + \ N0dn = , FdV + \ V-^dV, 會 n68
откуда ввиду произвольности объема V следует:
Н =歩+十.驴.(2.1.36)
В. случае квазистатических процессов приходим к уравнению равновесия
V .^ + F = 0.(2.1.37)
Уравнения равновесия в компонентах, определяемых в базисе отсчетной конфигурации, аналогичны (2.1.27). При использовании декартовой ортонормированной системы координат имеем
а缈j/ad 十歩=о, у = О-(2.1.38)
В отличие от тензора напряжений Коши тензор Э6 не имеет такого ясного физического смысла. Обратимся к энергетическому смыслу тензора Э6, для чего рассмотрим выражение мощности напряжений (2.1.30) через тензор 小.Для преобразования воспользуемся вспомогательными соотношениями, справедливыми для произвольных тензоров второго ранга В, Q, @必
(B Q):^ =出v./)江=9.#.8)而=q：(或，3). (2.1.39)
С использованием (2.1.34), (2.1.39) из (2.1.30) получаем
Ж = J _Р_ (VfT.gb)： VvT<77= J ^ : (VvT. VrT) dV^^ :t^dV.
$ 0VV
(2.1.40)
Таким образом, двойная свертка первого тензора Пиола— Кирхгоффа с градиентом скорости перемещения, определенном в 留о，характеризует мощность напряжений единицы объема в отсчетной конфигурации.
Применение тензора 驴 в постановках задач механики деформируемого тела в лагранжевых переменных имеет некоторые достоинства: достаточно просто определяются статические граничные условия, уравнения движения (равновесия) линейны и аналогичны уравнениям движения (равновесия), установленным с использованием тензора напряжений Коши. При этом указанные соотношения определяются в терминах отсчетной, неизменной конфигурации.
Однако в связи с отмеченной выше несимметричностью тензора 眇 большее распространение в механике деформируемого твердого тела получил второй тензор напряжений Пиола——Кирхгоффа JC (в зарубежной литературе он иногда называется также симметрич- ВДм. тензором напряжений Лагранжа). Тецзор УС вводится через
тензор напряжений Коши а следующим образом:
龙= (6/0)VR；.o.VRo.(2.1.41)
С учетом (2.1.33) получаем выражение 兆 нерез Э6:
^ = ^.VR0 = VRj.^T.(2.1.42)
Из выражений (2.1.41) и (2.1.42) следуют соотношения
<г = (0/6)%т.龙.％,(2.1.43)
争=龙.氏，争T = 6T.非.(2.1.44)
Очевидно, тензор 兆一симметричен, JC =尤т.
При использовании единой декартовой ортогональной системы координат в соответствии с выражениями (2.1.41), (2.1.43) получаем соотношения между компонентами и" и 勿"'в векторном базисе к(:
欧рд = А0о“ 手等，p,g = 0(2.1.45)
(/s=4-後"/至， r,s = 3(2.1.46)
P даг da^
Представляя тензор Коши в базисе 後厶 а X — в базисе 期⑦ с учетом выражения градиента места через базисные векторы (1.2.3) имеем
赤' = (0/0) A, i,7 = m,(2.1J7)
е. с точностью до скалярного множителя р/р контравариантные компоненты 兆 в базисе ё, отсчетной конфигурации совпадают с контравариантными компонентами а в базисе ёг актуальной конфигурации. Однако смешанные и ковариантные компоненты 尤 и а, естественно, связаны более сложными, отличными от (2.1.47) соотношениями.
Для установления уравнений движения (равновесия) с применением тензора X воспользуемся уравнениями (2.1.36), (2.1.37) и приведенными в работе [112] соотношениями:
V (Vr) = A-(Vr),(2.1.48)
V ・(/ • Q) = (f ・(▽ • М) + 我丁 ： VQ,(2.1.49)
где тензор третьего ранга А определен выражением (1.1.40); V — набла-оператор в произвольной системе координат;屈，Q — произвольные тензоры второго ранга. Кроме того, используется легко проверяемое соотношение
仇^T.(也龙)=(卡.龙).办.
Тогда после преобразований получаем уравнение движения
0V = (寸•龙)•伝+ 龙：(儿%)+ 丸(2.1.50)
(2.1.51)(2.1.51)Уравнение равновесия имеет вид (十.龙)•% 十龙：(A.Vr)+ F = 0,
(2.1.51)
(2.1.51)
или
仇冗+ 自"•非•(証、从)十館 «Ro = O.(2.1.52)
Последнее уравнение можно несколько упростить:
十•龙十非：K十出V氏=0.(2.1.52‘)
Из граничных условий (2.1.14) с использованием соотношений (1.2:65) и (2.1.43) следует выражение, аналогичное соотношению Коши:
N•况• = »,(2.1.53)
где
" ail
Соотношение (2.1.53) представляет собой статическое (силовое) граничное условие в 後°. Роль поверхностных распределенных сил играет вектор-функция Р (^,才)，определяемая в каждый момент времени по вектор-функции поверхностных распределенных сил Т (已 力)，определяемой в 變》• Следует отметить, что Р, очевидног отличается от введенной выше вектор-функции Т = -^^ 宁 и по направлению и по модулю. Действительно, направление Т совпадает с направлением Т, направление же Р определяется вектором亨济， не совпадающим с Т = Гёг при движении деформируемой среды даже при отсутствии поворота базисных векторов (т. е. 6j = a向，R, %® (0, g)). Модуль Т равен (dit/dll)(亍守0%, a |P I = (dn/dH)(直"尸河%.
Уравнения движения и равновесия при использовании тензора ЗСч как следует из уравнений (2.1.50) — (2.1.52), становятся нелинейными (зависящими от деформированного состояния), равно как и граничные статические условия (2.1.53). Аналогично тензору 砂 второй тензор Пиола—Кирхгоффа не определяет непосредственно напряженное состояние рассматриваемой среды, последнее требует перехода к тензору Коши о.
Определим меру скорости изменения деформированного состояния^, определяющую в сочетании с тензором JC мощность напряжений соотношением, аналогичным (2.1.29). Из соотношения (2.1.29) с учетом выражений (2.1,43), (2.1.39) получаем
"=\0：D/ = \(卡J.非.加)：d減=\ (贫т•龙.？r.D):E/ =
VVУ
=\ (尤•内• D •%T)： e 旷=，龙：(〃.D • VrT)次=、龙：e" 次， VV
т. е. с учетом (1.2.11)
М = Vr-D* VrT = I厶2 [Vv • VrT + Vr-VvT]=
=% [(储 + CvT)十(Vv-VuT 十 Vu-VvT)].
Сопоставляя последнее соотношение с (1.3.12), получаем, что % = С = 1/2 G, т. е. двойное скалярное произведение второго тензора Пиола—Кирхгоффа и скорости тензора деформаций Коши—Грина определяет мощность напряжений единицы объема b招：
”=，非：С/.(2.1.54)
Следуя Хиллу [223], пары мер напряженного состояния и скоростей мер деформированного состояния (о, D), (Э6, Vv7), (尤，С) будем называть сопряженными.
Из других мер напряженного состояния [112, 177] отметим используемый в некоторых работах тензор напряжений Кирхгоффа * (или взвешенный тензор Кирхгоффа [194]):
* = (р/р) о.(2.1.55)
Мощность напряжений с применением тензора Кирхгоффа определяется выражением
= \ * ; D dV.
В некоторых случаях из приведенных тензоров напряжений и скалярных и тензорных характеристик, описывающих движение деформируемой среды, конструируются и другие меры напряженного состояния [177]. Так, в работе [195] для исследования устойчивости и закритического поведения тонкостенных конструкций используется симметричный тензор Био ® (называемый также симметричным тензором Яуманна), получаемый из первого тензора Пиола一Кирхгоффа Э6 и ортогонального тензора, сопровождающего деформацию R:'
sS = i/2(55.Rt + R.^t),(2.1.56)
или с учетом выражений (2.1.44) и (1.2.43)
?3=1/2(兆・U + U・兆).(2.1.56')
Остановимся на индифферентности и инвариантности по отношению к жестким перемещениям приведенных выше тензоров напряжений. Из физического смысла тензора напряжений Коши о очевидна его индифферентность. Действительно, в двух движениях, отличающихся только на жесткое перемещение, при одинаковых температурах в каждой материальной частице, одинаковой величине и ориентации (по отношению к материальным волок-
нам) внешних нагрузок напряженное состояние на любой материальной площадке также должно быть одинаковым. При этом вектор внутренних напряжений при наложении жесткого движения, естественно, будет участвовать в трансляционном перемещении и вращении вместе с исследуемым телом, однако его компоненты в материальном базисе ёг будут оставаться неизменными, «вмороженными» в тело.
Таким образом, при движениях г' и г (1/1.44) сплошной среды тензор Коши изменяется следующим образом:
,(/ = 0T，(7，0.(2.1.57)
В силу индифферентности плотности р из последнего соотношения сразу следует индифферентность тензора Кирхгоффа.
Используя соотношения, связывающие градиенты места в движениях г' и т (1.2.16), из выражений (2.1.33), (2.1.57) получаем
声=(р/р9，嗎• d = (р/р) VRj.OOT-aO = ^O,(2.1.58)
е* первый тензор Пиола—Кирхгоффа не является ни индифферентным, ни инвариантным.
Аналогичным образом с использованием (2.1.41) имеем
兆，=(р/р9 R/ d.引R。= (р/р) VB^ O OT.(r O OT.VR0 =
= (р/р) VRj-o-VR0 = jr,(2.1.59)
е. второй тензор Пиола—Кирхгоффа инвариантен по отношению к жесткому движению.
Отсюда далее следует, что симметричный тензор Био, определяемый по формуле (2.1.56), также инвариантен к жесткому движению.
■ 2.2 Меры скоростей изменения напряженного состояния
В геометрически нелинейных проблемах широкое распространение получили постановки задач скоростного типа, в которых уравнения равновесия, определяющие соотношения, граничные условия и другие входящие в постановку уравнения, формулируются в скоростях изменения скалярных и тензорных параметров, описывающих поведение рассматриваемой среды. В данном разделе рассматриваются тензорные меры скоростей изменения напряженного состояния, анализируются их свойства с целью определения приемлемости использования тех или иных мер для описания процессов движения деформируемой среды, испытывающей большие Деформации.
-Одной из основных мер является субстанциональная (материальная) производная 6 тензора напряжений Коши, от которой решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка нетрудно перейти к установлению напряженного состояния в каждой частице среды. Однако & не удовлетворяет свойству
индифферентности (хотя сам тензор Коши о ——индифферентен). Действительно, дифференцируя (2.1.57), получим
6Z = От-а О4 От о-О + От о О. (2.2.1)
Неиндифферентность о означает, что компоненты 6 и 6' в базисах ©^ и 6[ соответственно не совпадают. Последнее обусловлено тем, что, несмотря на одинаковое деформационное движение векторов ёг и 6f (т. е. изменение модулей и углов между векторами 6； и ё；, ej и ej), последние имеют различные скорости вследствие наложенного жесткого движения. Из этого рассуждения вытекает, что если 0 = О' = 0, то тензор о будет индифферентным. Это также видно из формулы (2.2.1).
Следовательно, непосредственное использование тензора d в определяющих соотношениях может привести к нереалистичному описанию поведения среды, обусловленному зависимостью параметров, определяющих состояние среды, от движения последней как жесткого целого.
В связи с этим в геометрически нелинейных проблемах механики деформируемого тела широко применяются относительные скорости изменения тензоров напряжений, позволяющие исключить изменение последних, привнесенное движением среды как жесткого целого. В качестве относительных скоростей могут использоваться определенные в разд. 1.3 коротационные производные. Отметим, что разнообразие коротационных производных порождается неединственностью представления движения сплошной среды совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого (квазитвердое движение) и деформационного движения.
Наибольшей популярностью в работах последнего десятилетия пользуется производная тензора напряжений Коши в смысле Яу- манна—Нолла
(jJ = 6 + o・W-W・(j. (2.2.2)
Индифферентность aJ показана, например, в монографии [112], геометрический смысл яуманновской производной приведен в разд. 1.3. ■
Как следует из анализа приведенных в разд. 1.3 коротационных производных, другими приемлемыми мерами скоростей изменения напряженного состояния являются
。卩=ci + o・Qp — Qy ・5 (2.2.3)
c* = d +(j・Q — Й<о. (2.2.4)
Физический смысл и индифферентность данных коротационных производных обсуждены в разд. 1.3. Выбор конкретной производной осуществляется исследователем и связан со способом разложения движения сплошной среды на квазитвердое и деформационное.
Перейдем к определению производных первого и второго тензо- р0В Пиола—Кирхгоффа и установлению соотношений между д, 贪比. Дифференцируя (2.1.34), с учетом уравнения (2.1.5) получаем
(i = (0/0)[寸产•小+厶£，驴—(十7)办Т0]■(2.2.5)
Умножая скалярно левую и правую части (2.2.5) на ?R^, после несложных преобразований имеем
$ =VR^-[6— VvT-o + (V * v) а].(2.2.6)
Выражение в квадратных скобках представляет собой так называемую производную Хилла тензора напряжений Коши о" [80,141]:
ан = о —VvT-o + (V-v)o,(2.2.7)
так что
介= (0/0)GR：・oH.(2.2.8)
Из сопоставления (2.2.8) и (2.1.33) следует, что производная Хилла тензора напряжений Коши связана с полной производной первого тензора Пиола——Кирхгоффа соотношением, идентичным связывающему тензор Коши с первым тензором Пиола—Кирхгоффа. Отметим, что в силу неиндифферентности и неинвариантности тензора 0 введенные выше коротационные производные для первого тензора Пиола—Кирхгоффа также не обладают свойствами индифферентности или инвариантности по отношению к жесткому перемещению.
Используя установленное ранее соотношение (1.3.15), из выражения (2.1.42) получаем
龙=($ 一争.％).寸凡.(2.2.9)
Инвертируя последнее с учетом (2.1.44), имеем
$ =爲.九 +龙.卡 V.(2.2.10)
Из соотношений (2.2.9), (226) и (2.1.33) следует
宏=(р/р) VR^-[o —VvT«o —(j.Vv + (V-v) a]. Vr0. (2.2.11)
Выражение в квадратных скобках правой части (2.2.11) носит название производной Трусделла 180, 112] тензора напряжений Коши:
оТг =石一VvT-a — q.Vv + (V-v)a.(2.2.12)
Тогда выражение (2.2.11) представимо в виде
比=(р/р) VRT. 口 • VR0.(2.2.13)
Сравнение (2.2.13) и (2.1.41) показывает, что производная Трус-
Делла тензора напряжений Коши связана с субстанциональной
производной второго тензора Пиола—Кирхгоффа соотношением, аналогичным соотношению между с и X. Покажем индифферентность производной Трусделла:
с г = г — Rv，T.(/ — d.庐 V，+ (R • V” = 0丁 • 6 • О +
+ бт(тО + От(тО — OTVvTOOT-(rO —
—6тООт(тО —OTaO-Orr-Vv-O — 0т-о.00т-0 +
+ (V* V)ОТ'П'О — OT<[<J — VvT-o ——о • V v + (V * v) о] • О =
= От-оГг-О.(2.2.14)
При выводе последнего соотношения исп о ль з ов ались приведенные в разд. 1.3 выражения, связывающие градиенты скорости перемещений в движениях У и г (1.3.32), а также соотношение
МЬ=(ГУ):Е = (ОТ・6・О) : Е —(6Т・О)：е =
=：(V V • О * 0^): Е = (Vv): Е = V • v.
Из выражения (2.2.13) получаем
дп = (р/р) +гт ・ ％・ 6,(2.2.15)
откуда, используя диадное представление градиентов места (1.2.2), имеем
»吟=(0/0)(宓)％ ij=^(2.2.16)
т. е. контравариантные компоненты 口丁尸 в базисе ei актуальной конфигурации с точностью до скалярного множителя совпадают с аналогичными компонентами 處 в базисе ёг отсчетной конфигурации.
Используя выражение (2.2.14), из соотношения (2.2ДЗ) получим
勿=(0侬)會田• JTr•寸'氏=(p/p) VR?.O OT.oTr.O.OT-VR0 =
=(陇)河：.内#瓦=比，- (2,2.17)
т. e. субстанциональная производная второго тензора напряжений Пиола——Кирхгоффа инвариантна по отношению к жестким движениям. Нетрудно проверить также инвариантность коротацион- ной производной 兆и тензора 兆：
冗р =招 + 笈'Q'u — Qu•犷=К + УС0и — 6ьЗС =况 ％ (2.2.18)
Для установления выражения о через 處 и 龙 можно воспользоваться несколькими способами: а) непосредственным дифференцированием (2.1.43); б) инв ер тир ов анием (2.2.11) с учетом (2.1.43); в) преобразованием (2.2.5) с учетом (2.2,10) и (2.1.44).
В - любом случае после некоторых преобразований получаем p^-lfVrT.jr-Vr + VrT-eJr-Vv 屮 CvT.%.Cr —
—(V・v)爲 т.%.%].(2.2.19)
Наконец, из (2.1.55) с использованием (2.1.5) следует
侖=(6/飢 d*(6v)吓(2.2.20)
а=(р/р) [^-(V-v)®].(2.2.21)
Используя соотношения (22 20), (2.1.55) и определение производной Олдройда (1.3.62), получим
鸞创=交一VvT-S — S* Vv = (p/p)[d + (十• v)о — VvT-a — a- Vv].
Сопоставляя последнее соотношение с (2.2.12), устанавливаем: 脚=(沛)。『。тr = з/0)泸.
Таким образом, с точностью до скалярного* множителя производная Трусделла тензора напряжений Коши совпадает с производной Олдройда тензора напряжений Кирхгоффа. В случае несжимаемой среды производные Трусделла и Олдройда тензора напряжений Коши (как, вообще говоря, и любого другого) совпадают. Физический смысл производной Олдройда содержится в разд. 1.3.
Приведенные соотношения между производными различных тензоров напряжений позволяют при необходимости использовать Комбинированную постановку нелинейных задач, вводя в уравнения последних различные меры скоростей изменения напряженного состояния. Так, например, определяющие соотношения обычно формулируются с применением тензора напряжений Коши и его коротационных производных. В то же время достаточно часто уравнения движения и силовые граничные условия удобно устанавливать с использованием первого или второго тензоров Пио- ла—Кирхгоффа. После установления определяющих соотношений, уравнений движения, граничных условий и т. д. в терминах различных тензоров напряжений для формулировки обобщенного решения (или соответствующего вариационного уравнения) необходимо перейти к записи указанных соотношений в членах какого-либо одного тензора напряжений, что и позволяет осуществить приведенные в данной главе формулы.
На основе материала настоящей главы нетрудно установить также соотношения между различными коротационными производ- иыми анализируемых тензоров напряжений, как это сделано, например, в статье [261]. Однако потребность в подобных соотношениях возникает в редких случаях, и при необходимости они Могут быть легко установлены с применением изложенного выше исследователем, рассматривающим конкретную задачу.
В заключение выпишем полученные соотношения между производными различных тензоров напряжений в компонентах базиса
勿"k；kj = 4- [apg —逑^ о"—俨 驾_ 十 ' P L дхдх勿"k；kj = 4- [apg —逑^ о"—俨 驾_ 十 ' P L дхдх(2.2.26)(2.2.26)(2.2.27)(2.2.27)единой для всех конфигураций декартовой ортогональной системы координат:
勿"k；kj = 4- [apg —逑^ о"—俨 驾_ 十 ' P L дхдх
勿"k；kj = 4- [apg —逑^ о"—俨 驾_ 十 ' P L дхдх
(2.2.26)
(2.2.26)
(2.2.27)
(2.2.27)
@d80P\ dxp /
dx '
k%
(2.2.22)
иK阳р
冗匕,
(2.2.23)
勿喉的=（驴Р —
尹qaa「k.k.
'a"，丿货陷‘
(2.2.24)
孕"底匕=(勿如£ +證5*) k:kj,
(2.2.25)
Соотношения (2.2.22)—(2.2.27) удобны в применении к решению конкретных задач, в которых часто используются декартовы ортогональные системы координат.
Глава 3
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
В предыдущих главах были рассмотрены общие вопросы кинематики и динамики деформируемых сред, применимые к различным материалам и процессам. Своеобразие поведения конкретного материала в зависимости от условий его деформирования проявляется прежде всего в определяющих соотношениях для данного материала. Обсуждению свойств этих соотношений для процессов упругопластического деформирования и посвящена данная глава.
Некоторые общие положения теории определяющих соотношений
Под определяющими соотношениями, согласно К. Трусделлу [168J, понимают ограничения, накладываемые на силы, или движения, или на то и другое вместе. В данной работе будем понимать этот термин в более узком смысле. Будем считать, что определяющие (физические) соотношения (или уравнения состояния) — это соотношения, позволяющие вычислить напряжения как функции (или функционалы) кинематических переменных (в конечном счете как функции поля перемещений или скорости перемещений) и температуры.
Общая теория определяющих соотношений устанавливает обязательные ограничения, которым должны удовлетворять эти соотношения, для того чтобы они могли служить математическим описанием процессов деформирования реальных материалов. Важное значение имеет также классификация определяющих соотношений и установление конкретных особенностей поведения материалов различных классов.
Заметим также, что общая теория определяющих соотношений Дает важнейшие ограничения на возможные формы обработки экспериментальных данных, и поэтому установление этих ограничений должно предшествовать этапу обработки соответствующих экспериментов. В противном случае, как показывает практика, неизбежны ошибки и появление определяющих соотношений, противоречащих физическому смыслу. Особенно это касается определяющих соотношений, содержащих производные по времени тензора напряжений и других тензоров.
Ниже приводится ряд общих положений теории определяюЩих соотношений, которые затем конкретизируются для описания Упругопластического поведения материалов при больших пласти- Уеских деформациях.
В предлагаемой работе не ставится целью привести замкнутую систему непротиворечивых аксиом теории определяющих соотно^ шений. Здесь описывается только ряд положений этой теории, npm меняемых на практике. При этом авторы следуют описанию этих вопросов в монографиях К. Трусделла [168], А. А. Ильюшина [65], А. И. Лурье [112], Дж. Астарита и Дж. Марруччи [5].
Тензорностъ соотношений. Это положение относится не только к определяющим соотношениям, но и к другим основным уравнениям механики.
Определяющие соотношения должны быть инвариантны по отношению к изменению системы координат наблюдателя. Для этого они должны быть записаны в тензорном виде. Все тензоры, входящие слагаемыми в соотношения, должны иметь одну и ту же валентность и одинаковую физическую размерность.
Тензорный характер записи позволяет выделить то существенное, что относится к самим изучаемым явлениям, при этом отбрасывается то, что привнесено выбором конкретных координатных осей.
При изменении системы координат тензор, как величина инвариантная, не изменяется, компоненты же его изменяются в соответствии с законом преобразования базисных векторов.
Три следующих положения известны как аксиомы В. Нолла [168].
Принцип детерминизма. Напряженное состояние в актуальной конфигураций^ J^f, соответствующей моменту времени 力，в материальной частице, имеющей в отсчетной конфигурации радиус- вектор Ro (I1, Е?, g3), однозначно определяется предысторией движения и изменения немеханических параметров в теле вплоть до момента времени t.
Этот принцип сформулирован также в несколько иной форме А. А. Ильюшиным [65] под названием общего постулата изотропии. Среди немеханических параметров чаще всего используется температура 0,
Другими словами, тензор напряжений а (г (己匕 守，^3;力)) является функционалом истории деформирования тела, истории изменения температурного поля, функцией материальных координат частицы и времени.
Математическая запись этого утверждения:
(У (г (R。；切=夕仇；3； F, F, F； %), (3.1.1) где %士 ——предыстория механического движения тела;
Хе = {г (R。①，F, F); т)}, т 三(一8,弘(已三 F)三.％； 6方 —— история изменения температурного поля.
В более общем случае здесь может быть добавлена история изменения других немеханических параметров. Внесение в соотношение (3.1.1) аргумента t означает учет явной зависимости свойств материала от времени, например вследствие явления старения материала.
При решении прикладных задач механики нередко возникает ситуация, когда температурное поле удается приближенно найти независимо от решения задачи о напряженно-деформированном состоянии тела (задачи определения механических и температур- ннх величин с достаточной для практики точностью можно считать не связанными друг с другом). Тогда аргумент ©f может быть исключен из функционала (3.1.1) и зависимость температурного поля от времени учтена как явная функция времени.
Для однородных сред вид определяющих уравнений одинаков для всех материальных частиц тела, тогда координаты частицы 隽1；守，守)не войдут в определяющее соотношение (3.1.1).
Рассмотренная аксиома отражает принцип причинности поведения материала: материал «помнит» историю своего термомеханического поведения, но будущее поведение здесь не играет никакой роли.
В дальнейшем, упрощая задачу, будем рассматривать ситуацию, когда в соотношение (3.1.1) входит не предыстория температурного поля 9Ь а значение температуры в данной материальной частице в рассматриваемый момент времени.
Принцип локального действия. Напряжения в данной частице в произвольный момент времени однозначно определяются историей деформирования в некоторой малой окрестности рассматриваемой частицы.
В принципе детерминизма допускается влияние на напряжения в любой частице движений других частиц, расположенных как уг.одно далеко от данной. Принцип локального действия исключает такую возможность, как несовместимую с представлениями о контактном характере взаимодействия материалов.
Заметим, что прцнцип локального действия не предусматривает предположения об однородности взаимодействия. Напротив, Зависимость напряжений от истории деформирования может быть различной в различных материальных частицах.
Рассмотрим важный частный случай принципа локального действия: история деформирования малой окрестности рассматриваемой точки полностью описывается градиентом деформации 寸厶 т. е. допускается, что
a(r(Ru；f)) = J"(%(Ro；T)*e(F")"), — оо < r<f. ；(3.1.2) Допущение (3.1.2) ограничивает общность рассмотрения, так как Могут быть в принципе существенны и градиенты деформации более высокого порядка.
Высший порядок градиента деформации в определяющем соотношении определяет порядок материала. Материалы первого порядка называют простыми телами. В монографиях [112, 168] отмечается, что теория простых материалов охватывает практически все известные имеющие важное прикладное значение механические теории сплошной среды. Причем сюда входят не только классические материалы: упругое тело, упругопластическое тело, вязкая Жидкость, но и многие др.
А. И. Лурье [112] отмечает, что теория «непростых» материалов второго порядка, по-видимому, требует рассмотрения моментных напряжений (полярные материалы).
В дальнейшем изложении считаем материал простым, и потому справедливо соотношение (3.1.2).
Принцип материальной индифферентности (объективности), Важное свойство определяющих соотношений состоит в том, что они должны оставаться неизменными при изменении системы отсчета наблюдателя, даже если последнее зависит от времени.
Принцип объективности поведения материала подразумевает требование изотропии и однородности пространства: изменение системы отсчета наблюдателя не сказывается на поведении материала. Причем требование изотропии пространства не связано с изотропией материала: анизотропные материалы также удовлетворяют этому принципу.
Для пояснения смысла принципа приведем пример, указанный К. Трусделлом и В. Ноллом (см. [5]): 《Пусть тело известного веса, скажем, в 1 фунт, подвешено на пружине и растягивает ее на некоторую длину, скажем, 1 дюйм. Затем связанные так пружину и тело кладут на горизонтальный диск, к центру которого прикрепляют эту пружину. Диск приводят во вращение с постоянной скоростью так, что пружина вновь растягивается на 1 дюйм. По-видимому, наблюдатели согласятся, что центростремительная сила, требующаяся для удержания тела, составит в точности 1 фунт. Таким образом, на реакцию пружины не влияет жесткое движение». ,
Другими словами, принцип утверждает, что реакция материала на его деформирование инвариантна в этом смысле, даже если изменение системы отсчета зависит от времени. /
Перейдем к математической формулировке принципа. Пусть имеем определяющее соотношение (3.1.2). Наложим на движение деформируемой среды жесткое движение:
——Р‘ = Г — Р)・。， (3.1.3) где г' и р‘ ——радиус-векторы в новом движении точек тела, имевших в старом движении в момент t радиус-векторы г и р; О — ортогональный тензор, описывающий вращение.
Или пусть осуществляется переход к новой системе отсчета по закону
U — р' = О・(г — р), (3.1.4)
где тензор О характеризует вращение новой системы.
Тогда определяющее уравнение (34.2) должно сохранить свой вид в новом движении (или новой системе отсчета), т. е. тензоры, входящие в это уравнение, должны преобразовываться по одному и тому же закону.
В новом движении (новой системе отсчета)
dт(R。；切=夕(仇'(Ro； т),❷Т"),力 (3.L5)
Важно, что функционал 夕 в новом движении тот же, что и в старом.
Подчеркнем, что объективность определяющего соотношения отвюдь не означает, что все входящие туда тензоры должны быть индифферентны. Важно, чтобы все тензорьт преобразовывались одинаково.
Отметим еще одно важное обстоятельство: если все тензоры в определяющем уравнении отнесены к отсчетной конфигурации, то принцип объективности выполняется тождественно.
Ввиду широкого использования принципа материальной индифферентности в практических задачах рассмотрим далее несколько примеров его применения.
Докажем важное свойство простых материалов: тензор напряжений о (г; /) определяется только предысторией тензора искажений U, предыстория поворотов не оказывает влияния на а (г; %), существенно лишь конечное значение поворота.
При доказательстве учтем индифферентность тензора напряжений Коши а (см. (2.1.57)), индифферентность скаляра 0 и принцип материальной индифферентности (3.1.5). Тогда получим
/ (* (R。;力))=Г (办'(氏；项 Ь (М Е),力)=夕(Vr (Ro； т) • О (т),
0(r, t), t) = oТ 传)•夕(屮Г (Ro； T), 0 (r,力),力).0传). (3.1.6)
деформации:(3.1.7) деформацию.(3.1.8)деформации:(3.1.7) деформацию.(3.1.8)Произведем полярное разложение градиента
деформации:
(3.1.7) деформацию.
(3.1.8)
деформации:
(3.1.7) деформацию.
(3.1.8)
% (氏;т) = U (R。; т) ♦ R ⑴，
где R — ортогональный тензор, сопровождающий Тогда получим
^(U(Ro;t).R(t).O(t),
© (Г, £)") = от (力夕(Vr (Ro; т), 0 (г, 0, 0-0(0，
Последнее равенство справедливо для любых ортогональных тензоров О. Пусть, в частности,
(3.1.9)(3.1.10)(3.1.9)(3.1.10)Vi О (0 = RT «), От «)= r (力 Подставляя (3.1.9) в выражение (3.1.8), получим
(3.1.9)
(3.1.10)
(3.1.9)
(3.1.10)
or (Ro； 0 = r(Vr (R0；T),
о (г, %),力)=RT ⑴•夕(U (R0；T), 0 (r,力),力)• R (i),
“то и доказывает утверждение.
Допустим в качестве примера, что 夕[U (Ro; т)] I^L^ = = £(U(R°M)), т. е.。(г (R。；力))=RT 传)Ь (U (R°;切・R (母
Этот случай означает отсутствие памяти о деформировании и запоминание только тензора U(R0;力)，соответствующего данному моменту времени. Такой материал, полностью лишенный памяти, Называется упругим. Указанное предположение исключает из рассмотрения вязкие, вязкоупругие, пластические материалы (где
нужно знать последовательность, в которой материал подвергался деформированию).
Покажем, что условие несжимаемости материала div v = О удовлетворяет принципу материальной объективности:
div v = V- v = SpVv = Sp[% (Vv + VvT)] = Sp D = 0.
После наложения жесткого движения
divv/ = SpD/ = Sp(Or-D-O) = OT : D.O = O-OT:D =
=E : D = Sp D = div v = 0.
При выводе использована индифферентность тензора D.
Рассмотрим обобщение на случай больших градиентов уравнения среды Максвелла:
а + Хот = 2(iD,(3.1.11)
где 九,[1 —— индифферентные скаляры.
Тензоры а и D индифферентны, а о — материальная производная по времени индифферентного тензора — есть неиндифферентный тензор'
В самом деле:
『=-4-(От-(г-О) = От а.О + От-а О + От-о.6^От-а.О.
Следовательно, уравнение (3.1.11) не удовлетворяет принципу материальной объективности. Чтобы добиться этого, следует производную 6 заменить на какую-либо индифферентную (объективную) производную, например производную Яуманна——Нолла или Олдройда и т. д.
Покажем, что в определяющие соотношения не может явно входить радиус-вектор частицы г (Ro; т), что является следствием однородности пространства.
Пусть о (г (Ro; %))=夕(г (R。； т), Vr (Ro; т)). Далее вследствие индифферентности а и принципа материальной объективности имеем
夕(г' (Ro; т), Vrz (R0;t)) = от G) •夕(г (Ro； т), Vr (%")) • 0(0.
Пусть, в частности, наложенное жесткое движение является поступательным. Тогда О = От = Е, Vr' = Vr, У = р‘ (力)+ г при р = 0. В результате предыдущее равенство принимает вид
夕(г (Ro； т) + р'⑴,Vr (Ro；t))=夕(г (Ro； т), Vr (%; t)),
что должно иметь место при произвольном р‘ (т). Возникшее противоречие показывает, что в определяющее уравнение не может входить радиус-вектор частицы г (Ro; t).
Наконец, рассмотрим последний пример. Пусть предлагается определяющее уравнение для жидкости вида
(3.1.12)(3.1.12)a = o(v, D, W, р),
(3.1.12)
(3.1.12)
тде тензор напряжений Коши а предполагается зависящим от вектора скорости перемещений v, тензора деформации скорости D, тензора вихря W, плотности материала р.
Согласно принципу материальной объективности имеем (с учетом индифферентности р) оЛ a (v\ D‘，W', 0‘) = От-а (v, D, W, Р)-О.
Учитывая выражения (1.3.31), (1.3.33), (1.3.34) при р = О, имеем
a(v； +OT-v + 6T r,OT.D.0,OT -W-0 +ОТ.О,。)=
.=0T.(r(v,D, W, 0)・О,(3.1.13)
где v] = j)'.
Сначала пусть жесткое движение является поступательным (О = Е, О = 0). Тогда из выражения (3.1.13) получим
a (vp + V, D, W, 0) = о(V, D, W, р).
Ввиду произвольности Vp отсюда сразу следует, что вектор скорости V не может быть включен в число аргументов определяющего соотношения (3,1.12).
Имеем теперь
o = o(D, W, р), o' = o(()T.D.O, 0T-W-0 + 0T-0, р).
Рассмотрим случай, когда наложенное жесткое движение является мгновенно-вращательным: О = Е, 6 力=0. Тогда о (D, W + От, р) = a (D, W, р). Откуда ввиду произвольности 6Т вытекает, что W не может быть в числе аргументов определяющего .уравнения (3.1.12).
В итоге определяющее уравнение имеет вид
a = o(D, 0).(3.1.14)
Принцип материальной индифферентности для рассматриваемого материала
а'=(у(От-О*О, p) = OT.a(D, р).О.(3.1.15)
Принцип затухающей памяти, Принцип утверждает, что 'влияние прошлых деформаций на текущее напряженное состояние тем слабее, чем больший промежуток времени их разделяет. Этот принцип дает возможность построить план экспериментальной проверки предсказаний теории. Действительно, полная история деформирования никогда не известна. Принцип затухающей памя- -ти позволяет рассматривать эксперимент конечной длительности, но окончании которого можно считать, что любая деформация, имевшая место до начала эксперимента, оказывает пренебрежимо малое влияние на напряжение в его конце.
Согласно этому принципу можно ввести понятие «естественного времени» для любого данного материала: это продолжительность временного промежутка, деформации вне которого не оказывают
влияния на напряженное состояние. Для упругих тел и вязких жидкостей «естественное время» равно нулю.
Второе начало термодинамики. Включение второго начала термодинамики в число уравнений механики сплошной среды делает задачу переопределенной, так как число уравнений получается на единицу больше числа неизвестных. Следовательно, второе начало термодинамики содержит некоторые ограничения на изменение переменных процесса. Оказывается, что эти ограничения накладываются на определяющие уравнения.
Ниже, следуя в основном К. Трусделлу [168], описывается общая методика применения второго начала термодинамики для анализа определяющих соотношений механики деформируемых сред. Напомним первое начало термодинамики, согласно которому постулируется, что скорость изменения внутренней энергии 君 тела складывается из мощности сил, затрачиваемой на изменение внутренней энергии W, и скорости подвода тепла Q:
^ =釈十 Q.(ЗД.16)
В свою очередь,器 можно представить в виде
泻=§ pedV,(3.1.17)
где е —— удельная внутренняя энергия тела в актуальном состоянии. Аналогично
釈=\ udV.(3.1.17i)
Далее делается предположение, что скорость подвода тепла Q есть сумма скорости объемного нагрева Qb и скорости контактного нагрева Qct
Qi + &,(3.1.18)
@ = ,6s 痴，& = \gd*,(3.1.19)
где s — плотность объемного источника тепла; q — плотность поверхностного источника. Часто говорят, что Qb представляет передачу тепла излучением, Qc —— теплопроводностью.
По аналогии с тензором напряжений вводится вектор теплового потока h:
q (г, n) = h (r)・п.(3.1.20)
Подставляя соотношения (3.1.17)——(3.1.20) в формулу (3.1.16)方 получим
~^ edM=^h-ndS + J («^-^ ps)dK.(3.1.21)
м -sV
Считая все входящие в выражение (3.1.21) функции непрерыв- 0blMм по пространственным координатам, функцию 无(г) непрерывно дифференцируемой, а также учитывая произвольность объема V, получим
便=笫 + div h + 0s. (3.1.22)
Уравнение (3.1.22) представляет собой уравнение баланса внутренней энергии (первое начало термодинамики в дифференциальной форме).
Теперь покажем, что мощность W равна введенной ранее мощности напряжений ” (2.1,29). Мощность приложенных к системе объемных f и поверхностных t сил дается выражением]
讯0f.vdR + \f.vdB. (3.1.23) V S
Исключим в выражении (3.1.23) плотность объемных сил f с помощью уравнения движения элементарного объема сплошной среды:
贵一也0■
В результате получим
讯=、0雾 ・vd户+ §n・G・vdB-、(十.，)・vdR. Rsv
Учтем, что
V.(a - v) — (V*(y)- v + и' : Vv.
Тогда
W = -^- \ -^~ dV + \ n • a • v d* — \ ▽ • (l v) d廿十 oT : V v dV. VSVV
Введем далее кинетическую энергию системы 留：
Тогда после применения теоремы Гаусса—Остроградского получим
Считая далее тензор напряжений Коши а симметричным, имеем
万=嘗十巾，(3.1.24)
где 巾=\ о ： D 或=” есть часть мощности внешних сил, которая
идет на изменение внутренней энергии системы. Объемная плотность этой мощности по отношению к актуальной конфигурации дается выражением
必=и : D = Sp (ь • D) = Sp (а • Vv).(3.1.25)
Мощность напряжений, отнесенная к единице массы, с учетом формулы (2.1.40) представляется в виде
眸=宁驴:=十驴:gT,(3.1.26)
где g — Vr = FT.
Приведем необходимое для дальнейшего изложения второе начало термодинамики. По определению, внутренняя энтропия Н представляет собой аддитивную функцию массы
Н = J рт] dV,(3.1.27)
где т]——удельная плотность энтропии. Для однородных систем второе начало термодинамики следует из предположения, что скорость изменения энтропии Н можно представить в виде аддитивной суммы
Н = IF + Н\(3.1.28)
где Не = (Q/8) (<Э〉0), Н‘》0 (изменение энтропии, обусловленное внутренними, вообще говоря, необратимыми процессами в теле).
Тогда
Н > Q/e.(3.1.29)
Неравенство (3.1.29) и отражает второе начало термодинамики' Обобщение неравенства (3.1.29) для сплошной среды с учетом
(3.1.19) можно представить в виде
]沔"可鲁/，吟加=$毋+亿 VVSV
В итоге, предполагая непрерывность подынтегральной функции, pi|> ps/0 +V.(h/0).(3.1.30)
Неравенство (3.1.30) называют неравенством Клаузиуса—Дюгема.
В неравенстве (ЗЛ.ЗО) исключим скорость объемного подвода тепла s с помощью уравнения энергетического баланса (3.1.22). Для этого вводится плотность свободной энергии
州=е — “О.(3.1.31)
Из выражений (3.1.31) и (3.1.22) имеем
0屮=03 — Т]в — 1]8)=必 + V • h + ps ——0办❷一рт]0.
далее используем соотношение (3.1.30):
” 60n = а + ▽ ♦ h + 0§ — р (中 + “◎) ^^ ps -j~ V • hg™ h • V0.
(3.1.32)(3.1.32)Окончательно имеем
(3.1.32)
(3.1.32)
0 (屮 + П®)—笫 ——^h-V©<0.
Получили приведенное неравенство диссипации.
Соотношение (3.1.32) можно рассматривать как частный случай более общего соотношения. Для его получения введем 10-мерное векторное пространство функций l и 0 и обозначим 九=(g, 0). Обозначим также 七=(+驴,—— 刀).Скалярное произведение векторов в этом пространстве будем обозначать так же, как и в трехмерном пространстве. Тогда с учетом (3.1.26) получим —а/0 + + 刀6 =——т* ^. Приведенное неравенство диссипации можно привести к виду
л — т-k — a-ja《0,(3.1.33)
где л н 屮，т и 九 определены выше, а а и 从一любые трехмерные векторные функции, такие, что a-g = (1/р0) h»V0. Например, a = -^-g-T・h, g = -i-V0 = -i-g*V0. В самом деле:
a・M = +(g-T・h)・ (A^.v©^ A-h-V0.
С помощью термодинамических соотношений можно ввести вместо л в формулу (3.1.33) различные термодинамические потенциалы: внутреннюю энергию, энтропию, энтальпию, свободную' энтальпию и др.
В дальнейшем функции 入⑺，卩(力)будем считать аргументами термомеханического процесса, т называется термомеханическим натяжением, a — тепловым потоком, л ——накоплением.
Вводим обозначение
6 = т- к — л, (3.1.34) где б называется внутренней диссипацией в обобщенном смысле. Тогда приведенное неравенство диссипации (3.1.33) преобразуется К ВИДУ
a屮 > 一 5上 (3.1.35)
Для составления определяющих соотношений применяется принцип термодинамически согласованного детерминизма. Заключается принцип в следующем:
Накопление л, термомеханическое натяжение т и тепловой- поток ос определяются предысторией'.
冗⑺= n(U,F), T(i) = T{V,餡)， a(£) = A(U,"), (3.1.36)
причем на определяющие отображение П, Т, А налагается требование, чтобы от удовлетворяли приведенному неравенству диссипации (3.1.33) для каждой предыстории (九\ ц/), принадлежащей 〃虞 общей области определения, при условии^ что существует производная X «)• Заметим, что предысторией функции 4r' называется совокупность значений 4r (т) в области значений т (—— оо, t).
Материалы, для которых имеют место соотношения (3.1.36), называются термомеханически простыми. Обратим внимание на то, что в соотношениях (3.1.36) аргументы во всех трех определяющих функционалах одинаковы^ а именно К и у/. В данной ситуации рекомендуется пользоваться правилом равноприсутствия:
при выборе для изучения некоторого допустимого класса определяющих соотношений типа. (3.1.36) следует использовать для всех этих соотношений одни и те же независимые переменные.
Данное правило не является физическим законом, но лишь ре- ъомендацией. При дальнейшем анализе во многих частных случаях достигаемая при этом общность оказывается излишней. Однако пренебрежение некоторыми мыслимыми взаимодействиями следует по возможности обосновывать.
Подстановка соотношений (3.1.36) или их частных модификаций в приведенное неравенство диссипации (3.1.33) позволяет получить ограничения на параметры определяющих соотношений. В разд. 3.3 на примере будет показана методика таких вычислений.
О теории упругогтластических процессов А. ▲. Ильюшина
А. А. Ильюшину принадлежит заслуга в развитии общей теории определяющих соотношений в механике сплошной среды и конкретизации их для анализа упругопластических процессов, а также •формулировании ряда новых положений, специфичных для теории упругопластических процессов. /
При изложении этой теории авторы использовали результаты, имеющиеся в монографиях [64, 65, 124], а также в статьях [23, 47, 67, 72, 106—108, 114].
При формулировании теории сделаны следующие предположения:
В естественном (ненапряженном и недеформированном) состоянии тело считается изотропным.
Используя одно из основных предположений механики сплошной среды о непрерывности напряжений и деформаций в исследуемой области, напряженно-деформированное состояние в окрестности любой материальной частицы М можно считать однородным. Вводится понятие М-образца по отношению к объему тела АУ в точке М [65]. Так называется любое тело конечных размеров, вещество которого и его состояние в начальный момент времени t& одинаковы с веществом и его состоянием в объеме АР в момент N。, причем: а) напряженно-дебормированное состояние образца
является однородным по объему в любой момент времени; б) лю- 6о立 процесс изменения тензора деформации (или тензора напряжений) во времени может быть осуществлен; в) проникающие действия типа тепловых и массовых потоков через границу образца могут быть осуществлены и, как и в объеме А/, переносимые черея границу образца субстанции достаточно однородно распределены внутри образца в любой момент времени. Совокупность испытаний jlf-образцов называется M-опытами. Делается предположение (гипотеза макрофизической определимости) о том, что если М-обра- зец в указанном выше смысле принципиально может быть реализован, то состояние вещества в объеме АТ тела при произвольном нагружении тела произвольной формы может быть воспроизведено в ^/-опытах.
3一 Градиенты перемещений,точек тела считаются малыми, поэтому их квадратами, а также вращениями элементов тела можно пренебречь.
4. Реономные (зависящие явно от времени) свойства материалов не рассматриваются,
В основе теории упругопластических .процессов А. А. Ильюшина лежат принцип детерминизма, постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности.
Итак, допустим, что моменту ^ = 0 соответствует естественное состояние материала, причем аргумент t играет здесь роль некоторого возрастающего параметра, характеризующего нагружение исследуемой области Q. Тогда напряженно-деформированное состояние рассматриваемой частицы в произвольный момент 左〉О определяется симметричными тензорами напряжений а (方J и деформаций £ (々)или ——при выбранной системе координат ——компонентами этих тензоров 0订(厶)，2订(％), f, / = 1, 3- При этом процесс нагружения полностью определяется заданием одной из тензорных функций — и (力)или е ⑴ и некоторых физических тензоров различной валентности (температуры, деформации скорости и т. Д.).
Для рассмотрения процесса (истории) нагружения весьма удобно использовать введенное А. А. Ильюшиным векторное (геометрическое) представление процесса нагружения. При задании процесса с помощью функции а (力)говорят о задании процесса в. пространстве напряжений, при задании с помощью функции s (t) — в пространстве деформаций.
Как известно, тензору е (方)взаимно однозначно соответствует4 девиатор d (i) деформаций и первый инвариант тензора деформаций (средняя деформация) е (方)，т. е.
£ (方)=т/з Sp 名⑴=% е (?) ：Е, d ⑴=£ (0 一 £ (О Е,
Sp d ⑴=d:E = 0. (321>
Заметим, что в силу последнего соотношения (3.2.1) девиатор Деформаций имеет только пять независимых компонент. Таким
образом, процесс нагружения в пространстве деформаций можно задать пятью независимыми функциями времени d^ © (например, 做口，"22,或2,厶3,圆3)(/))и функцией е (七).
Аналогичные соотношения можно ввести для тензора и девиатора напряжений о и S, а также среднего напряжения о:
о (%) = % Sp и «) = % и (力)：Е, S (力)=и (%) — а «) Е,
Sp S «) = S ⑴：Е = 0.(3.2.2)
Таким образом, процесс нагружения в пространстве напряжений однозначно определяется компонентами девиатора напряжений Stj (方),связанными линейным соотношением Sp S (力｝ — 0, и средним напряжением а «)•
Полагаем, как и в работе [72], что средние напряжения и де- •формации связаны между собой некоторым соотношением а (力)= = / (е (方))(например, линейным о (方) = Ке (%)), независящим от девиаторов S(i)T d«), и напротив, что соотношения между S (t) и d (力)не зависят от средних напряжений и деформаций. Данные предположения для рассматриваемого здесь случая малых средних деформаций получили экспериментальное подтверждение в широком диапазоне изменения а (^). Тогда процесс нагружения в пространстве деформаций может быть задан шестью функциями времени 心扌(力，i, / = 1, 3, связанными линейным соотношением d：t (力)~ 0, и независимой функцией и (i) (или е (i)) [65].
Вместо шести линейно зависимых функций d^ (方)(или S订(办) можно ввести [65] посредством линейного взаимно-однозначного соответствия пять линейно-независимых функций 班 (力 (или S (力，i = 1?5:
山=]/"2 [dn cos 偉 十n/6) - d22 sE 6]，
э2 = )^2 [dn sin (卩十冗/6) + 庵2 cos PL(3.2.3)
э3 = ]/2厶2, э4 = 1A2d23，э5 = J’2d3i；
обратные соотношения:
du联2/3 [% cos Р + э2 sin р],九=(/2/2) э3т
d22 =『2/3 [—% sin 偉 十 л/6) + э2 cos (卩 + л/6)]7(3-2.4)
& = (У2/2) 9打
呢з 三)'2/3 [% sin (P — л/6) — э2 cos (P — л/6)]т 金1 =(『2/2) э5, где 0 ——любой произвольный постоянный параметр (при анализе конкретных процессов нагружения 0 часто полагается данным нулю). Соотношения, определяющие Gi (力 через 8仃 ⑴，аналогичны (3.2.3), (3.2.4)..
Введем пятимерный ортонормированный декартов репер q" 165]. Как показано в цитируемой работе, в силу линейности соотношений между девиатором дефорлгаций d и вектором перемещений
и при малых деформациях и линейности соотношений (3.2.3) векторы з = 3»q‘ образуют пятимерное евклидово пространство реформаций) 3(6 с соответствующим скалярным произведением:
(3.2.5)(3.2.5)『.з" = ЭгЭ^д1. qf = 6% 向—э^Эг-
(3.2.5)
(3.2.5)
Заметим, что модуль вектора э с точностью до множителя совпадает с интенсивностью деформаций:
I э |2 = э2 = %立=drsdrs (i = 1, 5; г, s = 1, 3).(3.2.6)
Приращение вектора деформации за бесконечно малый промежуток времени dt представляет собой также пятимерный вектор d&:
而=&3iq‘ = (d^ildt) dt^.(3.2.7)
При деформировании конец вектора э описывает в пятимерном пространстве Э^ некоторую линию, называемую траекторией деформации. Вектор da направлен по касательной к траектории деформации, причем его модуль есть дифференциал длины дуги траектории 加：
曲=I ©з [ = (d%d3j)% = (§曲)％ dt.(3.2.8)
Тогда длина дуги траектории деформации
S = \ 住自产 dt = \ (Arsclr^ 成，(3.2.9)
00
причем, как отмечается в работе [65], соотношение (3.2.9) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между 力 и s. В этом случае уравнение траектории деформации может быть записано в виде а = з (s)・
Аналогично пространству 3(5) можно ввести пятимерное евклидово пространство напряжений £(5), элементами которого являются всевозможные векторы напряжений и ^ sqJ Заметим, что вместо разложения вектора напряжений и по базису q” в теории пластичности часто используются разложения по другим базисным векторам [23, 47, 65]. В частности, для этой цели удобным оказывается использование так называемого естественного ортогонального репера рг (i — 1, 5). Для построения последнего в каждой точке траектории деформации з = з (s) (э (s) —— требуемое число раз дифференцируемая вектор-функция) определяются линейно-независимые векторы
/ = da/ds* i = ГП.(3.2.10)
Затем по векторам эг строится ортонормированный базис р" [65]. Заметим, что р1 = э1 — йэ/ds, причем | э1 | = 1 и вектор р1 направлен по касательной к траектории деформации.
В соответствии с [65] геометрия траектории деформации полностью определяется системой пяти внутренних геометрических параметров траектории: длиной дуги s и четырьмя параметрами
4 А. д. Поздеев и др.”
кривизны и кручения хпт п = 1, 4. Особое значение для большинства процессов деформирования имеет параметр кривизны траектории
(3.2.11)
Параметры 乂力 = 乂力(s) однозначно определяют траекторию дефор* мации с точностью до положения траектории по отношению к базису q\ Последнее определяется заданием начального положения естественного репера р0 — р
Одним из ключевых понятий теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина является образ процесса. Образом процесса нагружения в пространстве 打⑸ называется [65] совокупность траектории деформации з = 9 (s) н определенных в каждой точке траектории вектора напряжений су (s), средних напряжений a (s) и деформаций е (s), температуры 0 (s) и т. д. Заметим, что аналогично может быть определен образ процесса нагружения в пространстве £⑸.
Введем ортогональный линейный оператор (преобразование) в рассматриваемых действительных пятимерных векторных пространствах 3(5) (или £(5)). Пусть z‘ = Лz, w‘ = 4w, где z,z'” w, w'三 3(5)(или £(5)). Тогда по свойству сохранения скалярного произведения при ортогональном преобразовании имеем [87]
zV — /z・ Nw = Z・ W Vz, w 三 3(5)
(3212)
= (z'・z')”2 = z = (z・z)'/2 Vz 三 3(5)・
Другими словами, при ортогональном преобразовании в пространствах 3(5) и 2(5) сохраняются длины векторов и углы межд^- ними. Введенные выше ортогональные операторы (преобразования) А определяют в рассматриваемых пространствах преобразования вращения и/или отражения. В частности, они включают преобразования вращения и отражения пространственной системы координат. При подобных преобразованиях не меняется внутренняя геометрия любой кривой и начало отсчета. Используя введенные выше понятия, кратко остановимся на основных постулатах и ги~ потезах теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина.
Основным содержанием теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина является идея о функциональной зависимости физических величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние (о и е), от истории нагружения (деформирования). До появления в 50-х годах работ А. А. Ильюшина определяющие соотношения в различных теориях пластичности имели вид функций, связывающих параметры напряженно-деформированного состояния в данный момент времени, независящие от предыстории деформирования.
В работах А. А. Ильюшина была показана необходимость анализа процесса упругопластического деформирования (чем обусловлено и название теории).
Однако подобный подход к исследованию упругопластического деформирования повлек за собой, казалось бы, непреодолимые трудности. Действительно, если напряженно-деформированное состояние каждой материальной частицы определяется процессом ее деформирования (нагружения), отличающимся от процессов деформирования других частиц, то для определения параметров, ^ходящих в определяющие функциональные соотношения, требуется бесчисленное множество экспериментов. Разработанные А. А. Ильюшиным, В. G. Ленским и их учениками постулаты и
Рис. 3.1.К постулату изотропииРис. 3.1.К постулату изотропии
Рис. 3.1.
К постулату изотропии
Рис. 3.1.
К постулату изотропии
гипотезы теории упругопластических процессов, получившие в настоящее время широкое экспериментальное подтверждение, позволили устранить эти «непреодолимые» препятствия на пути к практическому использованию теории упругопластических процессов.
Большинство металлов и сплавов в начальном естественном состоянии можно считать изотропными (в макроскопическом смысле), Для таких материалов применим постулат изотропии [65, 72]:
Образ процесса нагружения инвариантен к преобразованиям вращения м отражения.
Из условия сохранения второго инварианта девиатора деформаций при повороте осей координат в теле сразу следует, что преобразования поворота осей координат в теле относятся к классу преобразований вращения и отражения в пространстве 3(5). Следовательно, принцип материальной индифферентности для упругопластических процессов следует из постулата изотропии, где, кроме того, существенным является предположение об отсутствии влияния на определяющие соотношения третьего инварианта девиатора деформации.
Поясним постулат изотропии на примере процесса нагружения в В©) (например, случай плоско-деформированного состояния при условии несжимаемости). Пусть имеем два процесса нагружения: М) э (s), о (s), а(5), . . .; 2) »，(s), </($), d (s)T . . ., получающиеся один из другого преобразованием Л (2-й из 1-го — преобразованием /т = Ат) (рис. 3.1). В данном примере преобразование А
представляет собой отражение относительно прямой (гиперплоскости в двухмерном пространстве) MN. Произвольной точке В траектории э (s) соответствует точка 8’ траектории э' (s), причем s = X и 乂(s) = X，(s') (в данном случае параметры кручения хп — Хп = 0, п = 2, 3, 4). Согласно постулату изотропии в точках В s В' I и 丨=I и' I и ориентация векторов а и и' в естественных реперах р1 и р/г соответственно одинакова, т. е.夕i = 25；, 夕2 = ®2, гдеЗ)1=агс cosfp1- q~^p) , ®^ = агс cos(pri- qAy) . Co- гласно постулату изотропии при разложении вектора напряжений и в естественном сопровождающем репере Френе р\
о =砂；р\ (3.2.13)
его компоненты ^f являются функционалами внутренних геометрических параметров траектории, средних деформации и напряжения и температуры:
个t=氏低^@,嚥),。但),6©...｝』，｝"=声 (3.2.14)
Соотношения (3.2.13) можно представить также в виде
о = I о I cos О»р\cos ®£ cos 勿i = 1.(3.2.15)
Тогда из постулата изотропии следует:
I U I I UI 怎乂П (露 £ © а 曲 0 ©,.. JU，(3.2.16)
/=0工,xП位),哪),0(三),6阳,..屣=0，厶九=可 (3.2.17)
Соотношения (3.2.14), (3.2.16), (3.2.17) представляют собой математическую запись постулата изотропии в достаточно общей форме. В случае существования соотношения ◎ = /(£)один из этих параметров можно исключить. Следует отметить, что хотя зависимость процесса нагружения от температуры носит функциональный характер, в настоящее время теория неизотермических упругопластических процессов разработана недостаточно. В связи с зтим вместо функционалов при решении неизотермических задач зависимость от температуры принимается в виде функций. Заметим, что в силу принципа детерминизма аналогичные рассуждения справедливы и для образа процесса нагружения в пространстве напряжений 2岱).
Значение постулата изотропии трудно переоценить. В частности, он позволяет сделать практически возмояшым экспериментальное получение определяющих соотношений. Действительно, вместо исследования всех процессов нагружения, получающихся друг из друга ортогональным преобразованием А, согласно постулату изотропии достаточно рассмотреть лишь один из них.
Чрезвычайно важное значение в теории упругопластических процессов имеет принцип запаздывания [67, 72] (или, как он назван в работе [23], принцип памяти). Этот принцип можно рассматривать как конкретизацию для упругопластических процессов общего принципа затухающей памяти. Принцип запаздывания ха-
рактеризует фундаментальное свойство твердых деформируемых тел нрм упругопластическом деформировании [67]. Суть его заключается в том, что материал《помнит» не всю историю деформирования^ а лишь ограниченный ее отрезок, непосредственно предшествовавший исследуемому моменту. В теории упругопластических процессов принцип запаздывания формулируется отдельно для вектор- дых и скалярных свойств. Различные формулировки принципа запаздывания и следствий из него приведены в работе [23]. Приведем принцип запаздывания в более частной форме (сформулированной В. С. Ленским в докторской диссертации, МГУ, 1960 r.)t имеющей, по мнению авторов, большее практическое значение. Формулировка принципа практически дословно повторяет содержащуюся в работе [23].
«Ориентация вектора напряжений о в естественном репере рг. в произвольной точке траектории деформации определяется не всей историей деформирования от естественного состояния, а лишь внутренней геометрией участка траектории, непосредственно предшествующего исследуемой точке, длиной X».
Параметр X, называемый следом запаздывания векторных свойств, является характерной величиной для материала или класса материалов. Так, для сталей 入=(5 + 8) е$, для цветных металлов 入=(2 3) £$ (8s = 6s/E, Os — предел текучести материала, Е — модуль упругости).
Весьма важным для использования при построении определяющих соотношений теории упругопластических процессов являются следствия из принципа запаздывания [23, 72].
Пусть £а и В®% £з —— множество точек некоторой траектории деформации э (s), а Жст CZ 2®)——множество точек соответствующей траектории нагружения и (s) в пространстве напряжении £(5). Далее, пусть точкам В^ Сэ 三 Хэ соответствуют точки Во, &,三 綜.Причем примем, что точка Сэ удалена от точки 4 вдоль траектории деформации на расстояние As = I ВЭСЭ | = X. Сформулируем следствия*
Следствие 1. Если, начиная с точки 区®, £? U 冗？ U U J®), где 冗9 — некоторая гиперплоскость, то, начиная с точки Сст, Ха d ло d 2(°), где лст —— гиперплоскость, проходящая через начало координат и ориентированная так же, как лэ в 3岱).
Следствие 2. Если, начиная с точки 生，траектория деформации становится прямолинейной, то, начиная с Со, вектор Напряжения о (s) направлен вдоль этой прямой.
Принцип запаздывания скалярных свойств гласит [23]:
Величина модуля вектора напряжений | о | в точке Сэ 三 G £з U 3⑸ зависит не от всей истории нагружения, а лишь от внутренней геометрии некоторого конечного участка траектории 4J U 爲 длиной As = I 笈 С? I
Следует отметить, что, во-первых, согласно имеющимся экспериментальным данным 入 1 & X; во-вторых, в принципе запаздыва- Вия скалярных свойств говорится о независимости | о | от пара-
метров кривизны и кручения х^ (i ~ 1, 4) на участке 6В*з и расположения %з в 3(5), однако I о I в точке Сэ зависит от всей длины траектории деформации | ОСЭ |. При этом, как показано многочисленными экспериментами, зависимость | 6 | (s) можно с достаточной точностью считать универсальной. Принцип запаздывания и следствия из него подтверждены результатами экспериментальных исследований [3, 23, 47, 90, 250 и др.].
Дальнейшее сокращение количества потребных для построения определяющих соотношений теории упругопластических процессов экспериментов связано с использованием выдвинутой В. С. Ленским [107] гипотезы локальной определенности [23, 72]:
Шриращение вектора напряжений определяется модулем напряжений I о I в рассматриваемый момент^ ориентацией вектора нап- „ ряжений о относительно последующего участка траектории деформации. внутренней геометрией этого участка и длиной дуги предшествующей траектории».
В работе [108] приведена формулировка гипотезы локальной определенности для чисто векторных свойств процесса:
《Скорость изменения углов ориентации 夕之 вектора напряжений в репере р" является функцией текущих значений 纟\・？ кривизны траектории деформации 乂冷 и длины дуги s:
d3^i!dt = (方的 xn, s), i, k3 n = 1, 5»,
При этом, как отмечается в работе [108] со ссылкой на многочисленные экспериментальные данные, функции /? являются универсальными для исследуемого материала, что позволяет строить их на основе достаточно простых экспериментов.
Еще одним важным элементом общей теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина является гипотеза о разгрузке. Предполагается, что девиатор деформации можно представить в виде суммы упругой и пластической частей:
d行=成3+阳，力，7 = 1, 3. (3.2.18)
Следовательно, таким же образом можно представить и вектор деформации
э - эе + 3°・ (3.2.19)
Упругая часть вектора деформации эе на начальном участке нагружения связана с вектором напряжения обобщенным законом Гука:
#=击 О. (3.2.20)
При дальнейшем пластическом деформировании упругие свойства материала изменяются (это явление называется деформационной анизотропией). Количественно изменение коэффициентов упругости при пластическом деформировании может достигать 15 — 20%. Это явление исследовали Р. А. Васин [11', 25], А. М. Жуков [57], О. А. Шишмарев и Е. Я. Кузьмин [185] и др.
.. При наличии деформационной анизотропии связь вектора упругой деформации эе с вектором напряжения о представляется соотношением
эе = (Е)-1 • о, или о — (Е)^эе, (3.2.21) где (Е) — матрица коэффициентов упругости; (Е-)1 — матрица коэффициентов податливости, обратная матрице (Е).
Из соотношения (3.2.21) следует, что эе = 0 при о = 0. Поэтому из формулы (3.2.19) можно заключить, что
旷=з ]ff=0. (3222)
Соотношение (3.2.22) можно рассматривать как определение пластических деформаций, которые совпадают с остаточньши деформациями при однородном напряженно-деформированном состоянии образца.
Теперь можно ввести, понятия активного нагружения и разгрузки. Если материальный элемент находится в некоторой точке В траектории деформации пространства Э(5\ то дальнейшие возможные траектории разбиваются на два множества. На одних из них вектор пластической деформации остается постоянным, в этом случае происходит разгрузка. При движении по другим вектор з» изменяется, тогда происходит активное нагружение. При движении по траектории с разгрузкой начиная с некоторого момента вектор з° может вновь начать изменяться. Тогда разгрузка сменяется нагружением. Траектории активной деформации и разгрузки в пятимерном пространстве деформаций 3(А разделены некоторой поверхностью F (э) = 0, проходящей через точку В. Эта поверхность в пространстве деформаций называется поверхностью текучести, соответствующая поверхность в пространстве напряжений —— поверхностью нагру/кений. Вид этих поверхностей зависит от истории деформирования данного материального элемента до точки В траектории.
Наконец, изложим постулат пластичности А. А. Ильюшина [65, 124].41остулат позволяет выделить траектории, где есть участки с активным нагружением. Формулировка постулата такова: работа вектора напряжений W3 на любой замкнутой в пространстве деформаций траектории равна нулю, если на всей траектории не происходит изменение вектора пластической деформации эр, и положительна, если хотя бы на некоторых участках траектории вектор пластической деформации не остается постоянным.
Таким образом, работа вектора напряжений
а-йэ = ^) п^ d” = j S^d (厶力》0 (3.2.23) на любой замкнутой в Э(5)по деформациям траектории деформирования.
Полная работа напряжений может быть представлена в виде
W =，(1仃d2讶=,d (&力十 \ ode. (3.2.24)
Если о = / (е) и процесс является замкнутым по деформациям £订(а потому и по е), то второй интеграл в (3.2.24) равен нулю. Тогда получим W = 忆，а из условия (3.2.23) получим, что W> 0.
Из условия ГК〉0 следует, что если 门з) = 0 — уравнение поверхности текучести, то б любой точке на поверхности
£ = 3D grad F (э) dp,(4.2.25)
т. е. приращение вектора пластической деформации направлено по нормали к поверхности F (э). В соотношении (3.2.25)夕一некоторый функционал истории деформирования, р — параметр нагружения. Соотношение (3.2.25) называют ассоциированным с поверхностью текучести 歹(з) = 0 законом текучести; оно является ос* новой при построении различных вариантов теории течения.
Основные положения теории упругопластических процессов, изложенные выше, позволили перейти к построению частных вариантов теории пластичности, а также к установлению области применимости существующих вариантов. Для этого прежде всего необходимо классифицировать процессы нагружения по виду траектории деформации. В работе [23] для плоских траекторий деформации классификация процессов нагружения осуществляется по величине кривизны
х 三出=(黑■•黑(х2 = х3 = х4 = о)
или по радиусу кривизны р — 1/х траектории деформации:
х《V1 (р 登入)VS?三必 U 3(5) — процессы простого нагружения;
乂 < V1 (р〉X) YB$ Е %з ——процессы малой кривизны;
х а 入"I (р 仁 X) У^э R На —— процессы средней кривизны;
时月9 三 ^э, в которых 乂〉V1 (р <^ X) — процессы большой кривизны;
Н& ЕЕ % для которых 乂 娶> k"1 (р W 入)一процессы с изломами траектории. Здесь Вд — произвольная^очка траектории деформации. В случае произвольной пространственной траектории деформации предлагается распространить приведенную классификацию введением аналогичных ограничений на параметры кручения 乂2 — 乂4・ Заметим, что в общем случае траектория деформации может состоять из участков различной кривизны.
С использованием приведенной выше классификации можно определить область применимости частных вариантов теории пластичности [72, 108]. В цитируемых работах определяющие соотношения в различных вариантах описаны достаточно подробно, приведен обширный список литературы, поэтому здесь нет необходимости останавливаться на данном вопросе. Отметим, что в настоящее время разработаны в рамках общей теории упругопластических процессов несколько частных теорий пластичности: теория малых упругопластических деформаций [64, 183], процессов малой кри-
вивны [67, 106], процессов средней кривизны [114], процессов 爭 виде двухзвенных ломаных [23, 67].
В работе [23] показано, что имеющие широкое применение варианты теории течения являются частными видами соотношений теории процессов в виде двухзвенных ломаных. Соотношения теории течения Сен-Венана являются частным случаем теории процессов малой кривизны [69, 72]. Однако, как указано в работе [108], мри нагружении по двухзвенным траекториям с изломом (с углом мзлома 80—90°) отмечается нарушение основного закона теорий течения ——принципа градиентальности. В то же время использование различных вариантов теории течения (учитывающих упрочнение) при анализе некоторых процессов обработки металлов давлением демонстрирует приемлемую точность расчетов. Данное обстоятельство, вероятно, связано с тем, что в указанных процессах деформирование осуществляется по траекториям малой кривизны.
Определяющие соотношения упругопластичности при больших пластических деформациях
Центральной проблемой построения замкнутой системы уравнений любой теории механики сплошной среды является установление физических (определяющих) уравнений. Определяющие соотношения теории больших упругопластических деформаций в этом смысле не составляют исключения, что обусловливает все возрастающее количество публикаций по данному вопросу. Остановимся на наиболее характерных, по мнению авторов, работах.
В отличие от некоторых других теорий механики сплошной среды (например, теории линейно и нелинейно вязких жидкостей), где кинематика полностью описывается приведенными в гл. 1 соотношениями, в теории упругопластичности необходимо привлечение дополнительных кинематических соотношений. Как и ранее, будем рассматривать частицу М с некоторой малой е-окрестностью, напряженно-деформированное состояние которой можно считать однородным. Положение частиц рассматриваемого объема в ^Го определяется вектор-функцией Ro (g,力)，в *才——г (『,t). Кроме того, в теории пластичности вводится так называемая разгружен- х
ная конфигурация 後$, которая представляет собой положение частиц рассматриваемой области при отсутствии в ней внутренних напряжений (здесь и далее верхний индекс X относится к разгруженному состоянию). При этом конфигурация 於± определяется, вообще говоря, с точностью до перемещения (трансляционного переноса и поворота) е-области как жесткого целого, поскольку 兆* вводится через меры деформации (упругой и полной или пластической и полной), не зависящие от жесткого движения среды.
Исходным пунктом построения существующих определяющих соотношений теории больших упругопластических деформаций
является разделение полных деформаций и скоростей деформации на упругую и пластическую составляющие. (Отметим, что в предлагаемых в настоящей работе физических уравнениях подобное разложение не производится.) При этом можно выделить два основных типа разложения деформаций: аддитивное и мультипликативное, которые можно связать с двумя подходами к введению тензоров деформации, описанными в разд. 1.2.
X X
Обозначим через 出=dr/df векторы базиса сопутствующей
лагранжевой системы координат в 期厶 Тогда можно ввести оператор Гамильтона
—‘备(3.3.1)
п градиенты места
(3.3.2)(3.3.3)(3.3.4)(3.3.2)(3.3.3)(3.3.4)X X.XX.
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
Vr = e% VrT = eie\
о X .X 乂 1о XХо.X т
Vг=6期=V1{0 ,VJ =： е1е1 = ^Ro ,
八X х人.x 八X XX .
Vr = (Vrf1 = de*, V 产=(Yr) 口 = е;ёг.
Заметим, что в зарубежной литературе и в ряде отечественных работ наряду с приведенным в разд. 1.1 обозначением F = Vrr используются аналогичные обозначения для определенных (3.3.2), (3.3.3) градиентов места:
Fe = VrT,Fp^ VrT. (3.3.5)
X
С использованием метрического тензора Е для конфигурации 勿+ с компонентами Е^ = е厂е「в монографии [151] вводятся различные тензоры упругой 否\ 期 и пластической Е», Е，деформаций:
应』品后日，看』院富，開=%(瓦lMx(3.3.6)
% =銷翼j, 近Р=魏3@, 遇 =%(詳—晶)(3.3.7)
наряду с приведенными в разд. 1.2 тензорами полной деформации
/ =翫3®,僧=^е',飢=% (及j -瓦力
Из приведенных выше соотношений нетрудно видеть, что справедливо соотношение
爲)=匿j + <, (3.3.8)
которое и представляет собой аддитивное разложение компонент тензора полной деформации на сумму компонент тензоров упругой II пластической дефармации. Для установления подобного
тензорного равенства в работе [1511 вводится тензор Ер — =躋金喲，так что
应=济十方(339) Аналогичное тензорное равенство можно установить с использованием тензоров 欧 Ер и вводя тензор Ее =陶 30:
近=左+鱼乙 (3.3.10)
Учитывая независимость компонент метрического тензора от жестких движений, индифферентность 备 и инвариантность по отношению к жесткому перемещению ёг, можно установить индифферентность входящих в выражение (3.3.9) и инвариантность содержащихся в равенстве (3.3.10) тензоров. Как указано в разд. 1.2, / = С,方=№. С использованием соотношений (3.3.2)—(3.3.4), (1.2.21), (1.2.22), (L2.51), (1.2.52) можно показать, что компонен
ты Ер представляют с 欧八
；孤=% (Е — VR0 -VRj) =工/2 (K・一瓦)冷； (3.3.11) а тензор 兔° совпадает с тензором Альманси при отождествлении 變'о с应г：
抨= %e = i/2(E —Vr・VrT) = i/2(£u —EQ3@・ (3.3.12) Аналогично тензор 貪 совпадает с тензором Коши — Грина при замене ^^ на 留？：
矛=СР = % (Vr-VrT — Е) = % (Е" — Е“) 3&, (3.3.13) а компоненты Ее — с компонентами тензора Коши — Грина при использовании в качестве 留° разгруженной конфигурации 贫;：
G = 1/2 (Vr - VrT 一 Е) = % (Еи —瓦力 ed, (3.3.14)
причем нетрудно видеть, что Се — Ее.
При применении аддитивного разложения (3.3.8) следует помнить, что оно верно только для ковариантных компонент известных тензоров (3.3.11)—(3.3.14), причем они определены в разных базисах. Указанное разложение находит применение в сочетании с лагранжевой формулировкой задач теории больших упругопластических деформаций [230, 244]. В цитируемых работах соотношение (3.3.8) записано в скоростях или приращениях, для упругих составляющих используется обобщенный закон Гука, для пластических ——уравнения теории течения, причем в качестве меры скорости изменения напряженного состояния выступает субстанциональная производная второго тензора Пиола — Кирхгоффа..
Другой подход к разделению деформаций на упругие и пластические связан с определением тензоров деформации через градиент места. Вероятно, впервые представление градиента деформации скалярным произведением упругого Fe и пластического F» градиентов деформации (мультипликативное разложение градиента деформации) предложено Е. X. Ли [235]：
F = Fe.Fp (3.3.15г)
или через градиенты места:
(3.3.152)
Справедливость соотношений (3.3.15) немедленно следует из введенных обозначений (3.3.5) и представления градиентов места в виде диадных произведений базисных векторов (1.2.2), (3.3.2), (3.3.3).
Соотношение (3.3.15) является основой построения различных разложений тензоров и мер деформации и их скоростей на упругую и пластическую составляющие [44, 103, 104 218, 236, 237, 247, 259 и др,]. В большинстве из существующих работ, посвященных построению мер упругих и пластических деформаций, пренебрегается либо тензором ротации Re, входящим в полярное разложение F", либо тензором ротации Rp, входящим в разложение F°, при этом полярное разложение F, Fe, Fp осуществляется аналогично (1.2.43):
。x
▽r = U R = R V, Vr = Ue.Re= Re.V*
X(3.3.16i)
十；= UP.RP=R"・VP,
ИЛИ
(3.3.162)(3.3.162)F = RT U = V.RT, Fe = ReT Ue= Ve ReT, FP=Rpt.U"= V"・Rpt.
(3.3.162)
(3.3.162)
Как и ранее, R， осуществляет перевод главных векторов U" в главные векторы Vе; Rp — аналогичное преобразование для главных векторов Up и Vp. Пренебрежение Re (или :。)объясняется независимостью меры упругой (или пластической) деформации от собственно ортогонального тензора ротации. Не оспаривая справедливости последнего утверждения, необходимо отметить следующее. В условиях выполнения принятого пренебрежения упругой (или пластической) ротацией осуществляется переход к аддитивному разложению меры деформации или скорости деформации на упругую и пластическую составляющие, а последние, в свою очередь, определяются как функции (или функционалы) мер напряженного состояния и/или их скоростей. При этом меры напряженного состояния и их скорости в отличие от мер деформированного состояния могут быть неинвариантны по отношению к ротации. Поэтому для корректной оценки возможности
пренебрежения R* или R", по мнению авторов, при построении мер деформированного состояния следует использовать представление градиентов места в виде (3.3.16) до построения определяющего соотношения.
. Исключение в этом смысле представляют работы [213, 259]. В статье [213], например, приняты следующие представления градиентов деформации: .
Fe = ReT ре, F° = V叫 R叫
В работе [259] тензор ротации Re вводится в градиент деформации 产，Fi = ReT・F", так что F = Vе-Ff. Следует отметить, что использование соотношений (3.3.16) в полной форме существенно усложняет получение кинематических соотношений, вследствие чего появляется необходимость введения некоторых других предположений.
На основе (3.3.15) в цитируемых выше работах получены аддитивные разложения тензора деформации скорости вида
(3.3.17)(3.3.17)упругих в статьеупругих в статьеупругихупругихD = ^ё十纱；
(3.3.17)
(3.3.17)
упругих в статье
упругих в статье
упругих
упругих
где 勿*, 勿' —— некоторые меры скоростей изменения и пластических деформаций соответственно. Например, 1236]
纫"=i/2 (Fp • (F。尸 + (Fp)-T • FI，T),
鑑J — яуманновская производная меры Коши—Грина
что причто при0X 乂
что при
что при
деформаций, G° = F^-F6 = Vr*VrT. Следует отметить,
получении соотношений вида (3.3.17) в большинстве работ используется дополнительное предположение о соосности тензоров о, VС и勿卩.
Последнее обстоятельство существенно сужает область применимости полученных соотношений. В рассматриваемых выше работах большое внимание уделяется индифферентности введенных мер скоростей деформаций, показана аддитивность тензоров скоростей упругой и пластической деформации в случае малых упругих деформаций. В некоторых работах последнее положение постулируется и на его основе строятся структурные модели [226, 261, 262].
После установления соотношения вида (3.3.17) рассматриваются определяющие соотношения отдельно для упругих и пластических составляющих. Определяющие соотношения нелинейной теории упругости достаточно хорошо изучены и описаны в литературе (например, [46, 112]). Обычно физические уравнения для упругой составляющей записываются предварительно в форме конечных соотношений, например вида [236]
0 = 24" Г，FT,
р 心
где 2，= 2, (-j6, ©) — удельная (на единицу объема в ^0) свободная энергия. Последнее соотношение в дальнейшем записывается в скоростной форме с использованием тех или иных (чаще всего яуманновских) коротационных производных.
Для пластической составляющей ^5Р в существующих в настоящее время работах по большим упругопластическим деформациям используется, по существу, заимствованное из инфинитезимальной упругопластичности записанное в скоростях определяющее соотношение теории течения, в котором скорость тензора напряжений Коши 6 заменена на некоторую коротационную производную аг тензора Коши о. Отметим, что замена тензора о на тензор Кирх- гоффа (2.1.55) или другой тензор напряжений, применяемая в некоторых работах, не меняет сути дела. Осуществляя затем суммирование упругих и пластических мер скоростей деформированного состояния согласно (3.3.17), в итоге получают определяющее соотношение скоростного типа, которое для изотермических процессов может быть представлено в виде
ог = П:П, . (3.3.18)
где П ——четырехвалентный тензор упругопластических свойств (в некоторых случаях правая часть представляет собой тензорную функцию известного вида от D).
Выбор коротационной производной и, удовлетворяющей принципу материальной объективности, как отмечено ранее, может быть осуществлен бесчисленным множеством способов. При этом решения простых примеров свидетельствуют о возможности качественного изменения результатов при замене одного типа коротационной производной на другой. Для решения вопроса о приемлемости той или инои коротационнои производной о одним из возможных способов является рассмотрение тестовых задач, для которых имеются аналитические (или несложные численные) решения или экспериментальные данные. Так, в работе [264] анализируются материальные и яуманновские производные тензора напряжений Коши и второго тензора Пиола—Кирхгоффа на примерах задач простого сдвига и растяжения прямоугольного образца. Подобные результаты при использовании в качестве 丁 яуман- новской производной oJполучены в статье [252]. На основе анализа задачи простого сдвига полосы из упругопластического материала в работе [207] предлагается в качестве ог использовать коротационную производную о* (1.3.74), поскольку при применении яуманновской производной появляется осцилляция компонент тензора напряжений. Аналогичное предложение содержится в работе 12091, где рассматривался простой сдвиг полосы из гппоупру- гого материала. Конечно, на основе осцилляции решения в монотонном процессе нагружения можно заключить, что соотношения вида (3.3.18) при ог = о7 являются неприемлемыми. Однако, по мнению авторов, нельзя согласиться с обоснованием неприемлемости и」и пригодности о*.
Представляется целесообразным при рассмотрении определяющих соотношений включать в рассмотрение не только меру скорости изменения напряженного состояния, но и меру скорости изменения деформированного состояния. При этом следует опираться на физический смысл используе
мых коротационных производных, данный ранее (см. разд, 1.3).
Введение объективных (индифферентных) мер скоростей напряженного и деформированного состояний в определяющие соотно
шения связано с необходимостью исключения движения как жест
кого целого рассматриваемых материальных объемов, возможного в общем случае перемещения деформируемой среды. Для этого, по сути дела, используется хорошо известный в общей механике метод обращенного движения. Или, иными словами, наблюдатель помещается и «связывается» с подвижной системой координат, движение которой и представляет собой движение рассматриваемой области (или ее любой сколь угодно малой части) как жесткого
целого.
Однако, как уже отмечалось в разд. 1.3, в общем случае движения деформируемой среды понятие «жесткое движение» следует воспринимать условно. Поэтому было введено понятие «квази- твердое движение» для возможных представлений движения совокупностью жесткого и деформационного.
Возможностей же такого представления бесконечное множество. Следовательно, бесчисленным множеством способов можно выбрать и подвижную систему координат. Главными, по мнению авторов, являются два момента. Во-первых, если на некотором интервале времени рассматриваемая материальная область действительно движется как жесткое целое (D = 0, см. [168]), то выбранная
лодвижная система отсчета также должна совершать идентичное Движение. Во-вторых, скорости изменения мер напряженного м деформированного состояний должны определяться одним и тем же наблюдателем, т. е. входящие в определяющие соотношения коротационные производные мер напряженного и деформированного состояний должны представлять собой относительные ■скорости по отношению к одной и той же подвижной системе координат.
Обратимся к задаче простого сдвига. Рассмотрим полосу квадратного сечения со стороной 无=4; схема деформирования приведена на рис. 3.2. Поле скоростей в выбранной декартовой ортогональной системе координат определяется следующим образом:
(3.3.19)(3.3.19)% — 2а^2, р2 = р3 = О,
(3.3.19)
(3.3.19)
где а = const. Для простоты ограничимся рассмотрением квази- упругого материала, определяющие соотношения для которого имеют вид
0r = П： %。， (3.3.20) где *# ——некоторая тензорная мера деформированного состояния; Л^ — объективная скорость изменения»^; тензор четвертого ранга П в базисе 瓦 имеет компоненты
НзМ == 2G(6也q + [二 2己 8订6Pq )， (3.3.21)
где G, v — const. Заметим, что в выражение (3.3.21) заложена линейная связь первых инвариантов 7Х (ог) и /工(^°), обычно используемая в инфинитезимальных теориях упругости и упругопластичности.
Как показано в работе [252], принимая в (3.3.20)。尸 = и」, 汝。=D, компоненты тензора напряжений Коши в базисе к» имеют вид
ап = G (1 — cos 2а0у а22 = G (cos 2a力一1),
”2 = G sin 2ct力 (3.3.22)
остальные компоненты равны нулю. Очевидно, что решение (3.3.22) осциллирует, что не соответствует физической картине деформирования. '
Решая данную задачу при выборе в качестве аг и ^° одинаковых коротационных производных (например, аг = и。'，汝。= =加叱 аг = аСЙ, *#° =加額=D; и『=戒，％。=加J и т.耳.), нетрудно убедиться в отсутствии осцилляции компонент тензора напряжений. Однако применение указанных пар аг и Л° приводит к нарушению физического смысла упомянутой выше линейной связи первых инвариантов 厶(『)и 厶(/3) как зависимости скорости среднего напряжения от скорости изменения объема. Действительно, Zx (W), /工 дв) не характеризует скорость изменения среднего напряжения, а /工(加°'), /工(加丿)—скорость изменения объема. Поэтому решение задачи в этих случаях также не соответствует описываемому процессу деформирования. Например, при пг = = о7, 汝。= * получаем
Ou = -2G^t^. %2 = —2GcA2(§ + 2), а12 = 2Ga厶
Аз = -26炉产 3 (3.3.23)
где р — 2v/(l — 2v). Несоответствие проявляется, в частности, в поведении решения (3.3.23) при £ -> 8. Действительно, при достаточно больших значениях параметра ^ процесс деформирования можно рассматривать как сжатие абсолютно гладкими плитами в направлении оси 忆之 и растяжение в направлении оси w1 исследуемой области. Естественно при этом ожидать, что а12 f 0, ап > 0, а22 V 0, что не следует из формул (3.3.23).
Рассмотрим пары 。\ 汝",для которых первые инварианты д ((f) и /1 (*#°) отвечают соответственно за скорость изменения Среднего напряжения о и скорость изменения объема. Как показано ранее (см. разд. 1.3, (1.3.99)—(1.3.102)),
厶 ®J)= /1 (П*)=厶(fiV) = /1(D) = dv/dt.
Аналогично можно показать, что 厶(aJ)—厶(а*)=厶(d)= =3d. Таким образом, линейное соотношение между /工(。「) и /1(") для указанных мер напряженного и деформированного состояний отражает зависимость скорости изменения объема, отнесенной к объему в актуальной конфигурации, от скорости изменения среднего напряжения. В силу сказанного выше можно предположить приемлемость пар ст7 ——HJ, а* ——Н*, ov ——Hv для использования в определяющих соотношениях вида (3.3.20).
Было получено решение задачи простого сдвига при примене- ним определяющих соотношений
(/=口：田,(/=口：田,(3.3.240
(/=口：田,
(/=口：田,
о* = П:Н*.(3.3.24"
Используя выражения (3.3.19), (1.3.74), (1.3.76), (3.3.24°, (3.3.242), приходим соответственно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений
g>ii = 2G (Hix — 2oc£^i2)-]- 2сс(У12,622^= — йц,(3.3.251}
d12 = 2G [Д12 + a (%工■—i 反 22)] — &(6i — 仃22),
du = 2G (н口 — 2//12%2)十 2仃12c1方622=-611，(3.3.252)
П12 u 2G [H12 + Q12 (Hll — Z?22)] — Й12 ((Tn ■~■ 0^2).
Решение систем (3.3.25J, (3.3.252) осуществлено при помощи метода Рунге——Кутта, результаты решения приведены на рис. 3.3. Оказалось, что результаты решения (3.3.25，，(3.3.252) обнаруживают расхождение в четвертом знаке (при анализе численные значения параметров приняты следующими: 2a = 1с*1, G = = 30 МПа, V ~ 0?3, время 力 с). Для сравнения на рис. 3.4 приведены компоненты 。订 тензора напряжений Коши, полученные ври решении данной задачи с использованием определяющих соотношений
а* = П : D. (3.3.243)
Нетрудно видеть, что качественно поведение。口 и а22 ПРИ использовании в анализе соотношений (3.3.24^2)и (3.3.243) совпадает, однако различие в а12 весьма существенно. При этом зависимость %2 (0» полученная на основе (3.3.24^2) (рис. 3.3), по мнению авторов, более отвечает физической картине деформирования при простом сдвиге.
Рис. 3.4. Результаты решения задачи простого сдвига с использованием определяющих соотношений (3.3.243)Рис. 3.4. Результаты решения задачи простого сдвига с использованием определяющих соотношений (3.3.243)
Рис. 3.4. Результаты решения задачи простого сдвига с использованием определяющих соотношений (3.3.243)
Рис. 3.4. Результаты решения задачи простого сдвига с использованием определяющих соотношений (3.3.243)
Остановимся еще на некоторых, с точки зрения авторов, наиболее интересных работах последних лет. Ряд работ по исследованию упругопластических задач при больших деформациях был опубликован В, И. Левитасом [103? 104, 105 и др.]. Более подробно рассмотрим работу [105], посвященную постановке и решению следующей задачи. Пусть в эксперименте при больших деформациях, но без поворотов (например, при однородном растяжении ——сжатии) получено соотношение типа ■
и + Ad = р!% (3.3.26)
■где, как и ранее,。——тензор напряжений Коши; D ——тензор деформации скорости;科 и 入一индифферентные скаляры.
Предполагается, что соотношение (3.3.26) справедливо при произвольном напряженно-деформированном состоянии. Требуется обобщить это уравнение на случай конечных поворотов.
Для этого учтем, что при наложении на движение бесконечно малой окрестности частицы жесткого вращения, описываемого ортогональным тензором О, ортогональный тензор R, сопровождающий деформацию, изменяется в соответствии с формулой R/ = u R*0. Если допустить, что О = Rr, то R' — Е.
Считается, что в этом движении происходит чистая деформация без поворота. Тогда для этого движения имеет место уравнение (3.3.26)
(/十入Н = |iD‘.(3.3.27)
Далее, вследствие индифферентности ст и D имеем
o' = RpRT, D' = R・D・RT.(3.3.28)
Тогда из уравнения (3.3.27) и выражений (3.3.28) получим
R.o RT 十九(R o.rT) = n(R.D・RT).
Умножая последнее равенство слева на RT и справа на R, получим
" и 入(d + rT.Rf + a・RT.R)= |iD.
вводим антисимметричный тензор спина
М = R • R — М = — R • R £2.
Тогда получим
и十九(&■—М-а +(у.М) =卩D・(3.3.29}
В уравнении (3.3.29) появилась объективная производная
(Г* = ст — М(т +(у-М.(3.3.30}
В итоге из соотношения (3.3.26) получили уравнение
0+ 入g* =阳，(3.3.31)
удовлетворяющее принципу объективности.
Подход, отмеченный здесь, обобщается на случай неиндифферентных тензоров, переменной отсчетной конфигурации, более общего, чем (3.3.26), исходного уравнения и т. д. По мнению авторов> в рассмотренном подходе существует ряд спорных моментов,, требующих дальнейшего рассмотрения.
Отсчетная конфигурация при выводе уравнения (3.3.31) берется произвольно. В частности, она может совпадать с акральной. Но тогда уравнение (3.3.31) должно быть инвариантно относительно выбора отсчетной конфигурации, а оно этому требованию не удовлетворяет.
Отсутствует четкое определение движения тела как жесткого целого. Из рассуждений следует, что в качестве такового автор использует представление конечного перемещения тела с помощью полярного разложения градиента места. При этом полагается, что движение без вращения происходит в случае R = Е. Однако если разложение осуществить с помощью теоремы Коши—Гельмгольца, то отсутствие вращения материальных волокон требует равенства W = О УЛ Как видно из выражения для W (см. 1112, с. 39]), для отсутствия вращения материальных волокон
требуется выполнение двух условий: a) R = Е V%; б) U и U имеют одинаковые главные оси в каждый момент времени.
Кроме того, отсутствует анализ определяющего соотношения (3.3.26). В связи с этим не представляется возможным установить приемлемость (или неприемлемость) использования в качестве меры скорости изменения деформированного состояния тензора деформации скорости D. Напомним, что тензор D представляет собой производную Коттер и Ривлина тензора деформаций Альманси. В связи с этим, по мнению авторов, если в исходном уравнении (3.3.26) под D понимается именно скорость изменения меры деформированного состояния *#, то в соотношении (3.3.31) логично было бы применить меры скоростей напряженного и деформированного состояний, определяемые одним и тем же наблюдателем (при данном разложении движения в качестве скорости изменения деформированного состояния представляется целесообразным использование коротационной производной 次*)・
Остановимся более подробно на применении термодинамического подхода к установлению. определяющих соотношений. Этот подход был использован А. А. Ильюшиным [65] для обоснования общей теории упругопластических процессов. Требования к определяющим уравнениям, вытекающие из второго начала термодинамики, рассматривались для неньютоновских жидкостей ,Дж. Астарита и Дж. Марруччи [5], для одного класса упруговязкопластических материалов ——В. И. Кондауровым [83, 84] и др.
С целью конкретного рассмотрения возможностей термодинамического подхода используем заимствованный из монографии К. Трусделла [168] следующий пример построения определяющих соотношений. Пусть определяющие соотношения имеют вид
л — П (Z, Z, jit), т = Т (Z, Z, ju), а = A (Z, Z, ju). (3.3.32)
Так как в уравнения входит первая производная по времени от аргумента Z и сама функция ju, то говорят, что материал дифференциального типа имеет сложность (1, 0).
Если функции П, Т, А линейны по 入，то получим случай линейно-вязких материалов. В случае нелинейной зависимости от Z сюда входят нелинейно-вязкие жидкости, а также материалы, следующие при нагружении уравнениям теории малой кривизны или теории течения.
Подставив (3.3.32) в приведенное неравенство диссипации (3.1.33), получим
^П V , ОТ - / <9П гр\ ； /BQ оо\ 十 + 人一а•нк0, (3.3.33)
где коэффициенты при Z, ju,兀 ju имеют аргументами 九，£, g. Неравенство (3.3.33) должно выполняться для всех процессов, принадлежащих к области определения П, Т, А. Предположим, что эта область определения представляет собой множество функций, являющееся открытым и связным.
Далее используется метод локального продолжения (применимый и к уравнениям, отличающимся от (3.3.32)), суть которого состоит в следующем.
Рассмотрим некоторую точку (а, Ь) функционального пространства (X, м), принадлежащую области определения П, Т, А. Так 第ак существует некоторая достаточно близкая точка пространства, тоже лежащая в области определения, то процесс между этими двумя точками также является допустимым. К числу таких процессов принадлежит и локальное продолжение (М,т, Мп) любого процесса, соответствующего в некоторый момент } точке (а, Ь), *г. е.
九I m = J '传)，—оо < f < Zo,
a十(方一方0) 1 H—g~传-方0)2 m,%0 式 % <方0 +阮
(3.3.34) (从(%),— оо < / < ^,
“"[Ь + 传一^0)П, £()《％<%+ 加，
где к ——некоторое достаточно малое положительное число. Здесь ❷=九(％), b = м (%о). Векторы 1, m, п произвольны. Постоянная^ может зависеть от 1, т, п.
Подставляя 夕.3.34) в (3.3.33), получим
崇 ・т +警•・п +(患—Т)・[1 + G —fo)m] —
—a - [b + (^ — £о) п] & 0,(3.3.35)
где аргументы всех коэффициентов являются значениями функций %,九，М, которые при £》М вычисляются по формулам (3.3.34).
Далее делаем важное допущение: функции А, Т, 5II/5Z, ，П/еК дШди непрерывны по аргументам 入，1, g.
В силу непрерывности при i -> ^ из (3.3.35) имеем
п + (4^Т)・1 — А・Ь《О,(3.3.35)
где теперь аргументами коэффициентов являются а, 1, Ь. Зафиксируем эти аргументы, тогда (3.3.36) должно выполняться для любых тип.
Следовательно,
ОН/臥=0т аП/"и - 0(3.3.37)
и имеем
□ = 口 (X).(3.3.38)
Теперь неравенство (3.3.36) приводится к виду
(еп/d 入一т)・1 —а・ь《о.(3.3.39)
Введем далее функцию равновесного натяяления как сужение функции Т при 1 = 0, м = 0, т. е.
T0(Z) = T(X, 0,0).(3.3.40)
Разность между Т и То назовем функцией диссипативного натяжения:
]% = Т-То・(3.3.41)
Тогда (3.3.39) примет вид
(дП/дК — То)」一Т& • 1 — А• b《0.(3.3.42)
Здесь аргументом первого коэффициента является а, аргументам в Т& и А являются а, 1, Ь.
Далее в (3.3.42) положим b = 0 и 1 = /% где /〉0 и е — единичный вектор. Разделив затем на А, получим
[(5П/5Х) (а) 一 То (а)]-е —Т^ (а, Ле, 0)-е<0.(3.3.43)
Перейдем в выражении (3.3.43) к пределу при Л -> + 0. Так как функция непрерывна, то и То, являющаяся ее сужением, также непрерывна, а следовательно, непрерывна и функция Т您. Поскольку Т^ (а, 0, 0) = 0 согласно (3.3.41), то Т您(а, Ле, 0)-> f 0 при Л -> 0. Поэтому в пределе из (3.3.43) получим
[(5ПШ) (а) 一 То 但)]・е《0.“(3.3.44)
Так как е произвольно, то из соотношения (3.3.44) следует, что
То = 5ПЖ,(3.3.45)
т. е. функция плотности накопления является потенциалом для функции равновесного натяжения.
Итак, из приведенного неравенства диссипации (3.1.33) для рассматриваемого материала дифференциального типа получим равенство (3.3.38) □ = И (Z),
т = (0П/。九)仏)+ Т^ (& X,⑴，Т出(Z, 0, 0) = 0,(3.3.46)
А • jit > — Та ・ 3(3.3.47)
Легко видеть, что условия (3.3.38), (3.3.46), (3.3.47) также достаточны для выполнения неравенства (3.1.33).
Итак, видим, что неравенство (3.3.47) представляет собой единственное условие для функции диссипативного натяжения и теплового потока. Функция плотности накопления не накладывает на них никаких ограничений.
Рассмотрим далее, какие ограничения на поведение материала вытекают из неравенства (3.3.47).
При 儿=0 имеем
А (X, 0, м)・м》0,(3348)
т. е. в этом случае тепловой поток А не может образовать тупой угол с вектором ju.
Зафиксируем также 九 и будем рассматривать А как функцию только 卩.Тогда из условия (3.3.48) следует, что функция А (X, 0,明)• N имеет минимум при у = 0. Если допустить, что функ- цйЯ А дифференцируема по ju при 仙=0 и эта точка лежит в допустимой области, то градиент функции А (九，0,卩)・*工 при ц = 0 обращается в нуль. Отсюда сразу следует, что
А(Х,0,0) = 0.(3.3.49)
В самом деле:
[А (X, 0, м)・ у] — [~^7 А (X, 0,卩)]• м 十 А (X, 0, и).
Мз обращения последнего выражения в нуль при “ = 0 и следует равенство (3.3.49).
Для получения дальнейших результатов в качестве термодинамических функций используем
冗=也入= (G, О), м =百寸6, [*=(Т 驴，一i]} a=^g-T・h.
Введем еще одно ограничение на определяющие соотношения, предположив, что 0 не входит в число независимых переменных.
Таким образом, независимыми переменными задачи являются g, 0, i, — V6. Можно несколько видоизменить этот набор: g, 卷，g, V0 или & 0, Vv, V0 и т. д. Неравенство (3.3.39) в этом случае можно привести к виду
(дП/дв + n)H + /(g, ®, fc,V0)< о,(3.3.50)
отсюда ввиду произвольности 0 сразу следует, что
n=^n(g, 0).(3.3.51)
Преобразуем также соотношения (3.3.46) и (3.3.47) через тензор напряжений Коши и, градиент скорости Vv и вектор теплового потока h.
Из выражений (3.3.46) имеем
■^ =箒十}%(g，®Nv，汨)'
0 二普gT 0 =(5gT. * 十。且(g, ®,寸v, V0).(3.3.52)
Из условия (3.3.47)
A-g + T^-k >0,+gT'.h.伞g.VG)+ *：gT》o,
击h•寸® 丁十寸R\o2：(K)t.~R]1)t》。，
看m中6 +0名小》0,
или
©Sp (a^-Vv) + h・V® > О.(3.3.53)
Объединяя выражения (3.3.38), (3.3.51) —(3.3.53), имеем
W = W(g, ®),"=—备屮(g, ®),
c = 0gT. _^_ + G^(g, 0, Vv, V0),h = h(g, 0, Vv, V0),
,,(3.3.54)
® Sp (。您• Vv) + h• V® > 0,
причем из соотношений (3.3.41) и (3.3.49)
h (g, 0,0,0) = 0, а^ (g, °, 0, 0) = 0.(3.3.55)
Соотношения (3.3.54), (3.3.55) накладывают ограничения на поведение широкого класса материалов дифференциального типа, в определяющие уравнения которых входит первая производная по времени от градиента деформации (или тензор деформации скорости).
Рассмотрим, например, конкретизацию соотношений (3.3.54), (3.3.55) для нелинейно-вязких теплопроводящих жидкостей. Подобные модели материалов широко применяются для описания движения полимеров, металлов при высоких температурах и т. д. [109].
В простой жидкости все отсчетные конфигурации равноправны. В состоянии покоя обнаруживаемо лишь изменение плотности. Совокупность преобразований, переводящих из одной отсчетной конфигурации в другую, ей эквивалентную, образует унимоду- лярную группу (определитель преобразования по модулю равен единице). Для такой жидкости в состоянии покоя
。=—Р (Р) Е,(3.3.56)
где р — давление.
Допустим, что для функций 屮，ст您？ h группа преобразований из одной эквивалентной конфигурации в другую есть унимодулярная группа (такой материал называется термомеханически простой жидкостью). Тогда в соответствии ео сказанным выше вместо зависимости от g бупем иметь в качестве аргумента плотность р. Кроме того, учитывая индифферентность ст и h, заметим, что вместо аргумента Vv будем иметь аргумент D (см. вывод (3.1.14)), Тогда имеем
2 = W(0, ®),刀=—备屮(О,®),
o = 6gT•察+ OR(0，®，D，V®)，h = h(p, @,D,V®)- (3.3.57)
Заметим, что h и o^ — изотропные функции от D и V© (см. [112, с. 458—459]). Поэтому/
(р, 6,0, 0) = 0, h(p, @, 0, 0) = 0.
В самом деле: or (OT-D-O, V0-O) = От- or (D, V@)-0 VO. Пусть О = аЕ, тогда а (a2DT aV0) = da (D, V0). При а 0 получим “(0,0)= 0.
Вычислим отдельно слагаемое 典 =0gT • (dip/dg). Обозначим / = det I g I , 丫 =声1. Тогда
02_52 di di r _T
M = F两,磁 g一
(см. [112, c. 450]). G учетом последнего соотношения имеем
欝=鲁 /g-т， °。= 0gT •(鲁 /gT) = 0/等 E,
В итоге получаем
W = W(Y, 6), п =—备屮(％ 6),(3.3.58)
0 =體e+0您(%®,d, V©),h = h(Y，@,D,河).
В заключение получим определяющее уравнение для линейновязкой среды, считая, что V0 не входит в него, и линеаризуя по D:
а②=4 (% 0, D) Е + 2卩(р, 0) D.
Здесь учтено, что согласно (3.3.58) о^ Ь=о = 0. Линеаризуя А (» @, D), получим X (» 6) Sp D.
В итоге уравнение (3.3.583) преобразуется к виду
с =【-р (р, @) + 入(р, @) Sp DI Е + 2卩(3 0) D. (3.3.59)
Здесь введено обозначение
Р (рт 0) = —d屮/办•.(3.3.60)
Соотношение (3.3.60) определяет равновесное напряжение в состоянии покоя.
Итак, получили определяющее уравнение теории вязких теплопроводящих жидкостей Стокса—Дюгема—Фурье.
Рассмотрим еще, какие ограничения на параметры накладывает неравенство (3.3.54). Ввиду независимости а^ от V© оно распадается на два:
Sp (or^-Vv) = Sp (。国・D) ■? 0, h-V@ ^ 0.(3.3.61)
Если принять закон теплопроводности Фурье
h = aV @(3.3.62)
(а -"； коэффициент теплопроводности), то из неравенства (3.3.612) вытекает, что
а〉0.(3.3.63)
Из неравенства (3361» имеем
Sp 9纺・D) = Sp [(九 Sp D) D 十 2卩D2]》о, VD,
九(Sp Dy + 2“ (Sp D2) > 0, VD.(3.3.64}
Далее
n = [D- % (Sp D)E] + % (Sp D) E = D 丄 I
(очевидно, что D' — девиатор, I — шаровой тензор),
D- = (1У + 1)・(丿 + I) - (Dy + % (Sp D) A + % (Sp D)-Er
Sp IP = Sp (D)2 十 2/3 (Sp D)±・
Подставляя последние соотношения в неравенства (3.3.64), получим
九(Sp D)2 十 2卩[Sp (Г)) + % (Sp D)2]》0, VD,
(入 + %卩)(Sp D)2 + 211sp (D> > 0, VD.
Откуда ввиду независимости Sp D и Sp (Dz)2 получим
入 + %M > 0, ц > 0.(3.3.65)
Описанный термодинамический подход к анализу определяющих соотношений применим к широкому классу последних и позволяет сформулировать существенные ограничения на входящие в них параметры.
Возвращаясь к требованиям, накладываемым на определяющие соотношения упругопластичности при больших пластических деформациях, заметим, что они должны, конечно, удовлетворять общиз! принципам построения определяющих соотношений в механике сплошной среды (см. разд. 3.1) и, кроме того, еще ряду требований, специфичных для задач упругопластичности при больших деформациях. В качестве таких требований предлагается ввести следующие:
При малых деформациях и малых поворотах определяющие уравнения должны совпадать с уравнениями упругопластичности, вытекающими из общей ^теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина при малых градиентах перемещений (см* разд. 3.2).■
Меры скоростей изменения напряженного и деформированного состояний должны быть «совращательны», т. е. представлять собой производные по времени некоторых тензоров деформаций и напряжений, вычисленных наблюдателем, находящимся в какой- либо подвижной системе отсчета, причем в случае движения исследуемого объема как жесткого целого движение подвижной системы совпадает с этим жестким движением.
Скорость тензора деформации должна представляться суммой частей, отвечающих за изменение формы и изменение объема.
Отметим, что выполнение указанных требований представляется достаточным для формулирования определяющих соотношений скоростного типа (т. е. содержащих только скорости мер напря- экенного и деформированного состояний). В случае, когда в определяющие уравнения входят также сами тензоры — меры напряженного и деформированного состояний ——и/или история их изменения, требуется дополнительное рассмотрение разложения движения на квазитвердое и деформационное. Возможный вариант такого разложения представлен ниже.
Замечание. Ограничение 2 на определяющие соотношения, по мнению авторов, недостаточно учитывается в ряде работ, что, как показано выше, приводит к нереалистичным результатам. Остановимся на одном из возможных обобщений линейного закона упругости на случай больших деформаций. Определяющее соотношение в этом случае можно записать в виде
仃=II ：倉， (а)
где тензор четвертого ранга П в изотермическом случае можно считать постоянным. Если определяющие соотношения имеют вид 〈优)(т. е. являются линейными голономными), то нетрудно показать, что аналогичные соотношения имеют место и для любых одинаковых коротационных производных:
ог=П:Н\ (Ь)
При этом можно показать, что, наоборот, из (Ь) (при добавлении условия ненапряженности континуума при равенстве тензора деформации нулевому) следует ⑷.Таким образом, в этом случае уравнения (〃) и (&) эквивалентны, причем в (Ь) может быть использована любая коротационная производная. Например:
или
产=п ： нсд.
Последнее полностью объясняет совпадение результатов решений задачи простого сдвига, полученных с использованием соотношений (3.3.24г) и (3.3.24) Напротив, не должны иметь место соотношения, где в левой и правой частях (Ь) используются различные коротационные производные, например: 仆丿=Л : :НСЙ. Как отмечено выше, применение определяющих соотношений, подобных последнему, приводит к решениям, противоречащим физической картине деформирования.
Аналогичное замечание имеет место для обобщения деформационной теории пластичности, справедливой при нагружении по прямолинейньш траекториям в пространстве Эд, на случай больших деформаций. В этом случае имеем
S =(5"方口，П) (e)
где S, h ——девиаторы тензора напряжений Коши и тензора деформации Генки соответственно; ои = (S : S)%, 方口 = (h : h尸
Соотношение (с) можно переписать в несколько иной форме:
SJ=Eq,(d)
где So =——S, h0 = h ——направляющие тензоры (девиаторы). Заметим, что в силу индифферентности S, h, аи> 》и тензоры So и h0 также индифферентны； Из (d) следует, что аналогичное соотношение справедливо как для субстанциональных, так и любых (одноименных в левой и правой частях) коротационных производных: S； = hp.
Последнее обстоятельство делает излишним использование для построения обобщения деформационной теории пластичности коротационных производных, поэтому в дальнейшем данная теория исключается из рассмотрения. Отметим, что при деформировании по траекториям деформации, близким к прямым, в силу указанного выше приемлемые результаты могут быть получены даже при некорректном построении определяющих соотношений теории пластичности (например, использовании в физических уравнениях субстанциональных производных о и h, не удовлетворяющих требованию объективности).
Одним из основных в теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина является понятие образа процесса нагружения [65]. В случае малых деформаций для построения образа процесса используется представлеиие тензоров напряжений и деформаций в базисе системы отсчета. Аналогичное построение в случае больших градиентов перемещений неприемлемо даже в случае малых деформаций при наличии больших поворотов частиц материала как жесткого целого, что легко можно показать на простых примерах (например, растягиваемого или сжимаемого вдоль его оси стержня, которому сообщается вращательное движение)* Для приведенного примера можно показать, что для построения образа процесса необходимо использовать компоненты тензоров напряжений и деформаций, определенные в базисе системы координат? вращающейся как жесткое целое вместе со стержнем [170].
Ранее уже говорилось о возможности различными способами выделить квазитвердое движение (а следовательно, подвижную систему координат) в общем случае движения деформируемой среды. При формулировании определяющих соотношений, содержащих только скорости мер напряженного и деформированного состояний, по мнению авторов, представляется целесообразным использовать разложение мгновенного движения малой р-окрест- ности частицы среды т* на основе теоремы Коши — Гельмгольца [152]；
V = vM + p-D — р-W,(3.3.66)
|рде Vm = ^м, D и W определяются согласно выражениям (1.3.19), 11.3.24). Напомним, что W характеризует угловую скорость мгно* Ценного вращения материальных волокон, совпадающих в данный момент времени с главными осями тензора В.
При формулировании определяющих соотношений теории упругопластических процессов требуется информация не только о мгновенном движении, но и о предыстории движения. В частности, необходимо наличие траектории деформации, которая характеризовала бы «чистое» деформирование (т. е. изменение длин и углов между материальными волокнами) из отсчетной (недеформированной) конфигурации в актуальную. При этом, поскольку вектор деформации строится по компонентам девиатора деформации, последние, по мнению авторов, следует определять в системе координат, образованной для всего исследуемого интервала одной и той же тройкой материальных волокон (в недеформированной или деформированной конфигурации).
Данный вопрос относительно просто решается в случае рассмотрения определяющих соотношений в терминах отсчетной конфигурации, где снимается вопрос о неединственности разложения движения. При определении физических уравнений в терминах актуальной конфигурации выбор подвижной системы координат несколько усложняется. Использование разложения движения по теореме Коши ——Гельмгольца и связанное с этим разложением определение подвижной системы, перемещающейся как жесткое целое поступательно со скоростью vM и вращающейся с угловой скоростью, характеризующейся W, в общем случае движения, когда главные оси тензора D проходят через разные мате* ряальные волокна, не отвечает упомянутому выше требованию. В этом случае для рассматриваемой выше задачи простого сдвига образ процесса нагружения не является адекватным отражением анализируемого процесса.
В связи со сказанным для построения образа процесса нагружения, по мнению авторов, возможны два варианта.
А. Построение траектории деформации и вектора напряжений по компонентам девиаторов деформаций и напряжений в базисе текущей лагранжевой системы, что также снимает вопрос о выделении квазитвердого движения. Однако в данном случае компоненты тензоров напряжений и деформаций и их девиаторов в каждый момент времени определяются в различных векторных базисах, что затрудняет анализ напряженного и деформированного состояний. Кроме того, в силу неортогональности (в общем случае) текущей лагранжевой системы координат физический смысл, например, компонент тензора напряжений не соответствует общепринятому. Переход же к «физическим компонентам» тензора напряжений в силу неортогональности базисных векторов обусловливает несимметричность матрицы «физических компонент», что ведет к необходимости увеличения размерности пространства напряжений. Таким образом, принятие данного варианта (при его принципиальной применимости) потребовало бы существенных
изменений основных понятий теории улругопластических процессов, что представляется нежелательным.
В. Второй вариант, по сути, эквивалентен построению образа процесса нагружения с применением величин, определенных в отсчетной лагранжевой системе координат, и базируется на представлении конечного перемещения исследуемой среды с помощью полярного разложения 东.Данный вариант в настоящее время представляется предпочтительным, поэтому остановимся на его рассмотрении. Будем рассматривать движение некоторой частицы Гм деформируемой среды вместе с ее малой р-окрестностью, напря^ женио-деформированное состояние которой можно считать однородным. Наряду с системой отсчета О^1^2^ с базисом к； (принимав ем ее декартовой ортогональной) и лагранжевыми (начальной и актуальной) системами введем также систему координат М1^ С2 ^3 с базисом q^ (см. рис. 1.1), жестко перемещающуюся вместе с частицей. Систему Mt^-t^1^ примем также декартовой ортогональной, причем полагаем, что в начальном (естественном) состоянии рассматриваемой области оси Mg и Ch? параллельны. Положение системы М^1 ^2 ^3 в произвольный момент времени определяется радиус-вектором гм и ориентацией векторов д； по отношению к системе отсчета. Ориентация qg относительно O^rcV, в свою очередь, определяется ортогональным тензором, сопровождающим деформацию R. Таким образом, движение рассматриваемой р-окрест- пости частицы М представляется трансляционным переносом на гм — R()m и поворотом, определяемым ортогональным тензором R, указанной окрестности как жесткого целого вместе с недефор- мируемой системой М^^1 ^3 и дальнейшим деформированием среды, определяемым правым тензором искажения V (или порожденными им тензорами деформации).
В предлагаемой работе основное внимание уделяется формулировке определяющих соотношений в скоростях. Поэтому представляется целесообразным введение данного разложения для представления мгновенного движения. За любой бесконечно малый промежуток времени dt система Mt^t^^3 перемещается поступательно со скоростью vM и поворачивается с угловой скоростью о, где (о ——вектор, ассоциированный с тензором спина Q (см. разд. 1.3), При этом тензор Q с использованием соотношений (1.3.51) —— (1.3.52) может быть определен через тензоры V и D следующий! образом:
з V 『
a=w+ e ［一百 」(必•D•读)0斤］.,(3.3.67)
Псдобное разложение использовано В. И. Левитасом (см., например: Левитас В. И. Определяющие соотношения для упругопластических материалов при конечных деформациях: Сообщ. 1. Киев, 1985. С. 39. Рукопись деи. в ВИНИТИ, М 7018-В-85. Ден.) на основе отличных от приведенных соображений.
Как отмечено ранее (см. разд. 1.2), ортогональный тензор R преобразует без деформации исследуемую область из отсчетной конфигурации в актуальную таким образом, что главные векторы pf левой меры искажения U совмещаются с главными векторами 0* правой меры искажения V. Естественно, при таком преобразовании любая система трех ортогональных волокон преобразуется также без деформации в тройку ортогональных волокон. Принимаем, что в отсчетной конфигурации Хо ортонормированные векторы qi I £=£° 三 q? подвижной системы M^t^^3 направлены Yt вдоль одних и тех же материальных волокон (направленных вдоль векторов базиса к/ системы отсчета). В актуальной конфигурации 留七 положейие недеформированной области определяется тогда ориентацией ортов
q% = q?・R = R、q?・
Данное недеформированное состояние и принимается за отсчетное при построении вектора деформации в исследуемый момент времени.
Нетрудно установить, что угловая скорость мгновенного вращения ортонормированного триэдра q* определяется тензором- спином SJ. Действительно, учитывая, что q? = const, из приведенного выше соотношения имеом
q； = К' • q? = RT • R • RT • q?——二 RT • R • q^ = Q • q^ = gj X qt・
Ориентация осей системы M^^t^ относительно осей системы отсчета полностью определяется тремя углами Эйлера: собственного вращения ф, прецессии 屮 и нутации 0. В свою очередь, последние могут быть определены из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
0 — (Di cos 屮 + о)2 sin 屮，
中=co工 sin 屮(sin 0尸一(d2 cos p (sin 0)-1,(3.3.68)
巾=о)з — g)i sin 2 ctg 0 +(o2 cos 屮 ctg 0
с начальными условиями
0 I i = Ф I』力=2 I ±=备=0.,(3.3.69)
Система (3.3.68) — (3.3.69) может быть проинтегрирована одним из известных численных методов. В уравнениях (3.3.68) «^ представляют собой проекции вектора о на оси 0^, Вектор со, как указано выше, определяется как ассоциированный с тензором спина Q. Таким образом, полагая известным поле скоростей перемещений V и тензор V, можно определить ориентацию системы M^-t^^ относительно системы отсчета Ож1^2^3.
Ориентацию осей удобнее определять с помощью направляющих косинусов. Понимая под с” компоненты матрицы косинусов углов между осями О/" и М^,虫『=kg・qj (причем первый индекс означает номер строки, второй ——столбца), матрицу направляющих
косинусов
[С] запишем через углы Эйлера:
j-cosqp cos 屮一
-sin 屮 cos 中一
sin ® sin ip-
—sin qp sin 屮 cos 8
—cos qp sin 屮 cos 0
[С] =
cos<psini|)+
—sin qp sin 2 +
—sin 8 cos 屮
+ sin(pcos 屮 cos 8
+ COS <p cos 2 cos ®
*-sin qp sin 0
cos ф sin 0
cos 0 一
(3.3.70) Тогда для произвольного тензора второго ранга Т = Т^к^к/ ^= =Т'%® компоненты в базисе системы отсчета (W) и в базисе q^ (Т%5 системы Mt^l^t^ связаны соотношением
片3 = cpicqlT^, (3.3.71) или при матричном представлении
〔X] = [С]Т(П [С]. (3.3.72)
Предположим, что в каждый момент времени для рассматриваемой частицы известны тензор деформации Генки Н, тензор напряжений Коши ст и матрица направляющих косинусов [С]. Определяя затем компоненты тензоров, а по ним —— девиаторов деформаций и напряжений в базисе q\ можно построить траекторию нагружения в соответствующих девиаторных пространствах. По аналогии с работой [65] (см. разд. 3.2) вводятся векторные пятимерные пространства деформаций Э3 и напряжений S5, топологически изоморфные и изометричные девиаторным пространствам. Компоненты векторов напряжений。三 Е5 M деформаций в 三 Э5 определяются обычными соотношениями (3.2.3) [651 через компоненты девиаторов напряжений и деформаций в базисе q\
Под траекториями деформаций и напряжений будем понимать соответственно годографы векторов э и(г, определенных по компонентам девиаторов деформаций и напряжений в базисе q； Данную траекторию деформации вместе с вектором напряжений, построенным в каждой точке траектории деформации, и приписанными этой точке скалярными величинами, характеризующими процесс деформирования (при необходимости ——и другими физическими тензорами), будем называть образом процесса нагружения в пространстве деформаций Э5.
При записи определяющих соотношений скоростного типа физически обоснованным представляется использование мер, характеризующих скорость изменения напряженного и деформированного состояний по отношению к системе М^1^2^3. Как отмечено ранее (см. разд. 1.3)т при введенном здесь представлении движения относительная скорость произвольного тензора второго ранга Т дается его коротационной производной типа (1.3.74):
(33.73)(33.73)尸=Т —QT + TQ.
(33.73)
(33.73)
Тогда определяющие соотношения скоростного типа можно, например, записать в виде
с* = #1：Н*, (3.3.74)
где 争 1 ——четырехвалептный тензор свойств.
Как отмечено выше, коротационная производная (1.3.74) тензора деформаций Генки может быть представлена суммой шаровой 且 девиаторной частей, причем последняя определяет формоизменение. Исходя из физического рассмотрения пластического деформирования и существующих экспериментальных данных, как и в случае малых деформаций, можно предположить, что ответственной за пластическую (необратимую) деформацию является именно девиаторыая часть.
По коротационной производной h* девиатора h тензора деформации Генки И, используя соотношения (3.2.3), нетрудно определить пятимерный вектор относительной скорости деформации э*. Элементарная длина дуги ds определенной выше траектории деформации за бесконечно малый промежуток времени %т определяется следующим образом:
ds = (з电・3*)%dt = (h* : h东产dq (3.3.75) текущая длина дуги равна
s =，(3*.3*)%dt =，(h* : h*)%d"T・ (3.3.76) о о
Угол сближения 令 для любого момента времени, являющийся уг - лом между вектором напряжений а и касательной к траектории деформации, построенным по компонентам о и Н в подвижной системе М^-^ ^3, определяется из соотношения
cos"= I о；；；* I • (3.3.77)
Естественно, все параметры кривизны и кручения определяются для траектории деформации, получаемой по компонентам тензора Генки в системе ТИС1??
Для многих прикладных задач МДТТ представляется целесообразным постановку и решение осуществлять с использованием эйлеровых переменных [169]. В этом случае процедура построения образа процесса нагружения выглядит следующим образом.
Пусть из решения задачи на некоторой итерации известны поля скоростей перемещений и напряжений. Посредством интегрирования последних определяются поля напряжений, перемещений и компоненты тензора Альманси в системе отсчета. Одновременно определяется матрица направляющих косинусов [С] (для каждой фиксированной частицы в произвольный момент времени) посредством интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.3.68) с начальными условиями (3.3.69).
429429%5 А, А. Поздеев и др.
429
429
Определяются главные направления и главные значения тензора деформаций Альманси, по которым из соотношений (1.2.61) вычисляются главные значения тензора Генки. Напомним, что главные направления тензора Генки совпадают с главными направлениями тензора Альманси. После этого вычисляются компоненты тензора Генки в системе отсчета.
С использованием матрицы [С] направляющих косинусов (3.3.70) осуществляется в соответствии с (3.3.71) (или (3.3.72)) переход от компонент тензора деформации Генки и тензора напряжений Коши в базисе системы отсчета к компонентам в базисе q ■ подвижной системы М^ ^2 ^3. На основе последних строится траектория деформации и определяется вектор напряжений в каждой точке траектории, равно как и другие скалярные и тензорные характеристики процесса деформирования. В частности, в каждой точке траектории определяются необходимые для решения параметры кривизны и кручения.
В отличие от аналитических численные методы решения задач МДТТ позволяют при анализе одного и того же процесса деформирования использовать для различных зон исследуемой области одновременно разные типы определяющих соотношений. Данное обстоятельство при решении задач пластичности открывает широкие возможности для применения метода корректирующего анализа [108]. Напомним, что основная идея метода корректирующего анализа состоит в замене в методе СН-ЭВМ [65, 701 этапа испытаний на сложное нагружение реального образца выбором из заложенного в ЭВМ набора частных теорий соотношений, соответствующих полученному на предыдущей итерации процессу нагружения. Заметим, что подобный выбор осуществляется для каждой частицы деформируемой среды в соответствии с историей ее деформирования.
При использовании численных методов определяющие соотношения удобно записать однотипно для различных их видов,- Это позволяет вывести в общем виде разрешающие соотношения применяемого численного метода (например, матрицу жесткости, векторы корректирующих нагрузок в методе конечных элементов). При расчетах в этом случае изменяются лишь компоненты тензоров, входящих в определяющие соотношения. При этом, как отмечено выше, для случая больших деформаций целесообразно использовать постановку скоростного типа. Тогда достаточно общей формой записи определяющих соотношений представляется следующая:
炉=牙1：會 + 例分 + 元, (3.3.78) где 夕 1 ——четырехвалентный индифферентный тензор свойств; 0 ——температура; R ——тензор второго ранга, зависящий от напряжений, накопленной деформации и т. д.; тензоры 例 и 兄 индифферентны.
Подчеркнем, что в соотношении (3.3.78) индекс г означает некоторую коротационную производную (одну и ту же в левой и правой частях равенства). Следует заметить, что' в случае, если
главные оси правой меры искажения V совпадают V/ с одними и теми же материальными волокнами, то различие между яуманнов- ской и коротационной типа (1.3.74) производными теряется (что видно, в частности, из (3.3.67)). Данное обстоятельство следует учитывать в расчетах, поскольку вычисление яуманновской производной значительно проще определения коротационной производной (1.3.74). При малых градиентах деформации соотношение (3.3.78) должно перейти (в зависимости от кривизны траектории деформации) в одно из известных соотношений теории упругопластических процессов при малых градиентах деформации. Отметим еще, что после установления соотношения (3.3.78) оно может быть преобразовано, например, заменой одной меры деформированного состояния на другую.
В данной работе в основном применяется определяющее соотношение вида
М =犷工：直东+⑨& + В,(3379)
где
il* = D + 2.(3.3,80)
Здесь D ——тензор деформации скорости, а тензор 2? определяется формулой (1.3.95).
Нетрудно проверить, что все требования к определяющим соотношениям, сформулированные в разд. 3.1 и в этом разделе, выполняются. Исключение составляет проверка ограничений, вытекающих из второго начала термодинамики. Здесь основная трудность состоит в том, что тензор свойств 犷^ есть функционал, зависящий от истории нагружения. Некоторые общие свойства определяющих соотношений можно в данном случае получить с помощью теории затухающей памяти Колемана — Нолла (см. [168]), Однако наиболее наглядные результаты получаются для различных частных вариантов теории, используя методику, описанную в данном разделе.
Придадим соотношению (3.3.79) несколько другой вид. Сначала запишем выражение для 2 в произвольном базисе (в частности, в системе отсчета или лагранжевом актуальном) ef:
“2 = £“е"(3.3.81)
где
(3.3.82)
hi = OkR =产用=爲；产=夕=0卜.e上(3.3.83)
Напоминаем, что р( — главные векторы тензора V, субиндекс ^ означает компоненты в базисе р^. Выражению (3.3.82) можно
придать видпридать вид%『=%『=где*=［工 " 储(号)T后0, к =где*=［工 " 储(号)T后0, к =(3.3.84)(3.3.85)(3.3.84)(3.3.85)Рведем четырехвалентный тензорРведем четырехвалентный тензор=/№(**-戸"=/№(**-戸",(3.3.86),(3.3.86)
придать вид
придать вид
%『=
%『=
где
*=［工 " 储(号)T后
0, к =
где
*=［工 " 储(号)T后
0, к =
(3.3.84)
(3.3.85)
(3.3.84)
(3.3.85)
Рведем четырехвалентный тензор
Рведем четырехвалентный тензор
=/№(**-戸"
=/№(**-戸"
,(3.3.86)
,(3.3.86)
так что
£:D = £:十 v = Sf・
Далее:
(3.3.87)(3.3.87)D = 1/2(Cn + CJII) :Vv. Тогда окончательно
(3.3.87)
(3.3.87)
и* =因2 (Си 十 Сш) + q：D =产/2 (5 十 Cm) + £］： Vv. (3.3.88)
Внося (3.3.88) в (3.3.79) и используя обозначение
界=界工：［1/2(Сп + Сш) + £］,(3,3.89)
приходим к определяющему соотношению
и* =犷：D + 例6 + 兄(3.3.90)
или эквивалентному■
и* =多：十V + 例© + R(3.3.91)
В предлагаемой работе используются некоторые из существующих частных теорий пластичности общей теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина. Общая схема выводов, проведенных в работе, следующая. От соотношений, связывающих напряжения, деформации и их приращения с учетом упругой связи между первыми инвариантами мер напряженного и деформированного состояния переходим вначале к приращениям, а потом к производным по времени. Затем полные производные тензоров напряжений и деформаций заменяются относительными скоростями —— корота- ционными производными типа (1.3.74) (или другими подходящими коротационными производными).
Заметим, что в случае изотермического деформирования второй член правой части (3.3.78) (равно как и в соотношениях (3.3.79), (3.3.90), (3.3.91)) отсутствует. Рассмотрим отдельно изотер* мическое и неизотермичес^ое деформирование,
Изотермический случай. Согласно опытам Бриджмена справедливо следующее соотношение:
八(о) = Kg(3.3.92)
или
а = V3 Kg,(3.3.93)
где К = EJ* — 2v) — коэффициент объемного сжатия, g = 宀 о>о о
=A (dV)!dV = (dV — dV)/dV — относительное изменение объема.
Из формулы (3,3.93), полагая К = const, имеем
й = i/з Kg・(3.3.94)
При использовании логарифмической меры
/1 (Н) = In (dV/dV) = In (1 + g),
откуда
g = e?式目)—1.
(3.3.95)
Дифференцируя (3.3.95), получаем
g = у式食％ (Н) = (1
+ g) A (H).
(3.3.96)
Тогда
（у = 1/зК 仲由）一1）,
(3.3.97)
6 = (1+ g) к 厶粤
= -^-KeI^I1 (ft).
(3.3.98)
При малых g имеем g у /1 (Н), 0 Р /1 (Н).
Теория процессов малой кривизны. При деформировании по траекториям малой кривизны (к = 乂] «入-丄)соотношения в векторной форме могут быть представлены в виде
ог = Ф'(8)成Pl + Ф (s) Я^р2, (3.3.99) где Ф (s)——универсальная функция, характеризующая скалярные свойства материала; ①，(s) = d①/ds; 疗2 = (эг*эг)т 2 = =(I?：廿产— интенсивность относительной скорости деформации; pi = &》/ds; p2 = -^--g^; вектор э. определяется по компонентам Я в системе М^-^2^3. Единичные векторы рг irp2 представляют собой векторы касательной и главной нормалей. В соотношении (3.3.99) величина ①，(s)方^ характеризует относительную скорость изменения модуля, а ①(s)方二乂 一 направления вектора о. Соотношения (3.3.99) можно получить также из соотношений для произвольных двумерных процессов [49], полагая 8 = 0, d^/ds = —0 и используя формулы Френе.
Предполагая х достаточно малыми, вторым членом в соотношении (3.3.99) можно пренебречь, и тогда соотношения скорост- 5* А. А. Поздеев и др. ,33
ного типа при деформировании по траектории малой кривизны примут вид
ог = * (s) эг.(3.3.100)
Замечание. В случае значительных длин s участка малой кривизны пренебрежение вторым членом правой части (3.3.99) даже при малых х может приводить к накоплению погрешностей при интегрировании полей скоростей напряжений. Поэтому в алгоритм решения вводится оценка погрешности за счет пренебрежения нормальной составляющей ог. При необходимости коррекция осуществляется использованием в итерационных процедурах определяющих соотношений вида (3.3.99). В дальнейшем для простоты примем определяющие уравнения теории лгалой кривизны в виде (3.3.100).
В компонентах девиаторов уравнение (3.3.100) может быть представлено следующим образом:
S各=①，(s)爲.(3.3.100)，
Используя уравнение (3.3.98), соотношения теории малой кривизны могут быть приведены к виду
Ог =因2* (S) (&I + Сш) + % 陷 一 * (s)) Q] : Hr, (3.3.101) где &\ = КУ】向；CiT Сц, CtIi (см. разд. 1.1) — изотропные тензоры четвертого ранга. Таким образом, в этом случае определяющие соотношения приводимы к виду (3.3.78), где
犷I = %①'⑶(&工 + cш) + % [" — ①’⑻心， (3.3.102) а тензоры 例 и 冗 ——нулевые. В случае учета второго члена в соотношении (3.3.99) он войдет в тензор В.
Теория процессов средней кривизны,. В качестве исходных выбраны соотношения, приведенные в работе [49]. В цитируемой статье в соответствии с гипотезой локальной определенности 150, 107] вводится уравнение для угла сближения 8:
d^/ds = / (Н, £)+ х.(3.3.103)
Используя экспериментально подтвержденные допущения о зависимости f (也 s) и аи (s)
f(仇 s) = 一 "(s)也 力⑻〉0,(3.3.104
аи (s)=①(s) — ^ Ф' (s) ^- ds(3.3.105)
о
и производя необходимые преобразования, получим определяющие соотношения теории средней кривизны в векторной форме:
о『=[①'(s) — k (s) аи (§)] 5； - в + 仿I (s) k (s)旷・(3.3.106)
Здесь о” =(0・0巾一интенсивность напряжений.
В компонентах девиаторов (3,3.106) принимают вид
见=[Ф' (s) 一 к (s) Он ⑻]—^ S^ + <ти (s" (s)编. (3.3.107)
Вводя связь между первыми инвариантами коротационных производных ог и Нг, получаем уравнения вида (3.3.78), где 例 и J?— нулевые тензоры:
①'(s) — к (s) % (s)⑻论(s)
———2“ SS 十」№ (Сп + Сш) +
十/一可)似S)*.(3.3.108)
Теория процессов деформupоваwия по двухзвенным траекториям с изломом [23]. Исходя из приведенных в работе [128] соотношений получаем в векторной форме
①，(s) sin 行 + ①(s) cos С，л 人
So sin仇自】3。十
(s — So) sin 仇-[g^sin(仇 _3)_当黑言-
-(现-"虔]斑(-3。)十豊粤嚼F旷，
(3.3.109)
где нижний индекс 0 обозначает точку излома. И в этом случае определяющие соотношения приводимы к виду (3.3-78), где 歯 —— нулевой тензор,
S — So sin ^0S — So sin ^0喝Ф (s) sin (也)-抄)喝Ф (s) sin (也)-抄)JS ■：—■JS ■：—■分:瓜+分:瓜+(3.3.110)(3.3.110)①'(s) sm 行 + ①(s) cos V 施①'(s) sm 行 + ①(s) cos V 施Is0 sin 仇①(s)「a(s)十(s — So) sin 仇「①(s)Is0 sin 仇①(s)「a(s)十(s — So) sin 仇「①(s)sin (仇一■a) —包生?一(3.3.111)sin (仇一■a) —包生?一(3.3.111)
S — So sin ^0
S — So sin ^0
喝
Ф (s) sin (也)-抄)
喝
Ф (s) sin (也)-抄)
JS ■：—■
JS ■：—■
分:瓜+
分:瓜+
(3.3.110)
(3.3.110)
①'(s) sm 行 + ①(s) cos V 施
①'(s) sm 行 + ①(s) cos V 施
Is0 sin 仇
①(s)「a(s)
十(s — So) sin 仇「①(s)
Is0 sin 仇
①(s)「a(s)
十(s — So) sin 仇「①(s)
sin (仇一■a) —包生?一
(3.3.111)
sin (仇一■a) —包生?一
(3.3.111)
Соотношения в области упругого деформирования. Вообще говоря, использование теории процессов деформирования по двухзвенным траекториям при углах излома более 90° позволяет описать и процесс упругой разгрузки. Однако с точки зрения вычислительной более эффективно использование определяющих уравнений теории упругости в скоростях. Заметим, что для достаточно широкого класса прикладных задач МДТТ, относящихся к исследованию процессов деформирования при сравнительно малых
гидростатических давлениях, упругие деформации можно считать малыми.
В этом случае определяющие соотношения приводимы также к виду (3.3.78), где 例 и _Е — нулевые тензоры:
尹 1 = [G (Сп + Сш) + % (& - 2G) &],(3.3.112)
причем при определении Н в качестве отсчетной используется конфигурация, соответствующая началу упругого деформирования на рассматриваемом этапе.
Б. Неизотермическое деформирование. Как отмечается в работах [65, 108], в определяющих соотношениях зависимость от температуры также носит функциональный характер.Однако в настоящее время подобные функциональные связи изучены недостаточно и носят противоречивый характер. В связи с этим в настоящей работе предполагается, что при неизотермическом деформи^ ровании от температуры зависят только скалярные свойства, причем зависимость имеет вид универсальной функции Ф (s, @). В этом случае определяющие соотношения могут быть записаны в виде (3.3.78). Конкретизируем вид тензоров, входящих в соотношение (3.3.78), для различных частных теорий.
Траектории малой кривизны.
^=4 (Сп+Св)+之1,
(3.3.113)
@ _1^ф(8, 0) q 1 Е / 1 d£
电一①(s, ®)丽一Q2v:石而十
+ 鳥备)收(旬- 1) 一3ё＞一告aE, (3.3.1 ⑷
H ——нулевой тензор. Здесь ет ——накопленная температурная деформация； а ——коэффициент линейного расширения.
Траектории средней кривизны.
死=[а①黑Q)_厶⑶％] g ss+等。/⑹仇十з口)+
+ i/3[Ki — 5/(s)]Ci,(3.3.115)
% — %59〔2 丿 ° 十 3 1 — 2八 E d® 十
+ 1^7)呢(食)一1) — 3叫 Е —аЕ, (3.3.116)
R — нулевой тензор.
Двухзветые траектории с изломом.
品=扌注l唸* ©I+ад+
+ 4h- ?线)吗『]5(3-3.H7)
圖— sin 今 8①(s, 6) г sin (% 一心)8①(s, ®)
— So sin 备 d® 。十(s — s(j) sin 仇 ^6
x ［(eL(H)-1)-3円 E - aE,
sin O' + Ф (s, 0) cos 0
_R =：
(h-ho) +(3.3.118)(h-ho) +(3.3.118)互気h。十互気h。十①(s, 8) r 1(s —sQ&in 仇［①(s, ® j①(s, 8) r 1(s —sQ&in 仇［①(s, ® j竺然 sin (3。一 6) _竺然 sin (3。一 6) _3（现一6）雾］倉〔&—£）.3（现一6）雾］倉〔&—£）.Деформирование в упругой области. 济1 = G (С“ 十 Сш)十 $ (& — 2G) &Деформирование в упругой области. 济1 = G (С“ 十 Сш)十 $ (& — 2G) &(3.3.119)(3.3.120)(3.3.119)(3.3.120)So Sin 仇
(h-ho) +
(3.3.118)
(h-ho) +
(3.3.118)
互気h。十
互気h。十
①(s, 8) r 1
(s —sQ&in 仇［①(s, ® j
①(s, 8) r 1
(s —sQ&in 仇［①(s, ® j
竺然 sin (3。一 6) _
竺然 sin (3。一 6) _
3（现一6）雾］倉〔&—£）.
3（现一6）雾］倉〔&—£）.
Деформирование в упругой области. 济1 = G (С“ 十 Сш)十 $ (& — 2G) &
Деформирование в упругой области. 济1 = G (С“ 十 Сш)十 $ (& — 2G) &
(3.3.119)
(3.3.120)
(3.3.119)
(3.3.120)
TTVsf fl^^■黑］*+"Нт^7 备 +
+着可备］收百)一1) 一 3用e -各aе,
(3.3.121) В — нулевой тензор.
Полученные определяющие соотношения различных частных теорий пластичности, таким образом, могут быть записаны однотипно, что позволяет достаточно просто использовать их в методе корректирующего анализа.
Наконец, в качестве альтернативного варианта построения определяющих уравнений вместо соотношений (3.3.78), сформулированных в терминах актуальной конфигурации, приведем общий вид определяющих уравнений с использованием мер напряженного и деформированного состояний, определенных в отсчетной конфигурации.
Определяющие соотношения предлагаются в виде
比=次;立+鹵6 十尤 (33122) где 索一инвариантный тензор четвертого ранга, ^ и И — инва^ риантные тензоры второго ранга. Вид этих тензоров определяется из условия, чтобы при малых градиентах перемещений получились известные соотношения теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина.
Многие соображения, касающиеся уравнения (3.3.78), можно также перенести на уравнение (3.3.122). Различие заключается в том, что в соответствии с принципом материальной объективности левая и правая части уравнения (3.3.122) преобразуются одинаково при наложении жесткого вращения. В данном случае значительно облегчается построение образа процесса деформирования: он строится в неподвижной системе координат, соответствующей отсчетной конфигурации.
Глава 4
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
В настоящей главе предпринята попытка достаточно общей постановки упругопластическнх задач с учетом больших пластических деформаций. Постановки скоростного типа осуществлены с использованием как эйлеровых, так и лагранжевых переменных, устанавливаются уравнения равновесия и силовые граничные ус~ ловия в скоростях, рассматриваются постановки нестационарных и стационарных задач. В отдельный раздел выделены часто встречающиеся в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела граничные условия, в частности контактные,
Система уравнений упругопластичности при больших пластических деформациях
Напомним, что под процессами деформирования с «большими деформациями» понимается деформирование с большими (более 10%) градиентами перемещений. При этом весьма широкий класс прикладных проблем, возникающих при исследовании процессов обработки металлов, можно отнести к задачам с малыми упругими деформациями (в указанном смысле, т： е. градиенты перемещений при упругой разгрузке, определяемые в актуальной конфигурации 後加 можно считать малыми).
Трудности решения задач с большими деформациями, кроме нелинейности геометрических соотношений и появляющейся при этом дополнительной нелинейности определяющих соотношений, в немалой степени обусловлены также отсутствием информации об актуальной конфигурации 後户 В данном случае в отличии от геометрически линейных задач последняя не может быть принята совпадающей с 欧“ поскольку подобное отождествление во многих случаях приводит к качественно неверным результатам. Указанные трудности обусловливают появление и широкое распространение постановок скоростного и инкрементального типов (являющихся, по сути дела, модификациями друг друга). В постановках задач в скоростях (перемещений, напряжений и т. д.) информация об актуальной конфигурации в рассматриваемый момент времени предполагается известной, а определению подлежат скорости изменения параметров процесса в данный момент с последующим интегрированием полей скоростей. Обзор постановок и подходов к решению геометрически нелинейных задач упругопластичности содержится в работах [80,99, 131, 145, 191, 197, 222, 234, 252, 263].
Как уже отмечалось выше, традиционно различают два основных подхода к рассмотрению задач механики сплошной среды: лагранжев и эйлеров. Первоначально интерес к геометрически нелинейным проблемам в немалой степени был инициирован задачами теории пластин и оболочек [62, 239], где в основном рассматривается случай малых деформаций ——больших перемещений и поворотов* Теории пластин и оболочек строятся обычно с использованием координат отсчетной (недеформированной) конфигурации, что и предопределяет применение в постановках задач данного класса лагранжевых переменных. Известное преимущество лагранжевой формулировки ——неизменность области изменения пространственных переменных — стимулировало использование лагранжевых переменных при решении других задач механики деформируемого твердого тела [83—85, 214, 217, 222 и др.]. Необходимо отметить, что при использовании лагранжевых переменных информация об актуальной конфигурации также необходима. При этом уравнения движения являются обычно нелинейными, возникают некоторые сложности в определении граничных условий на контакте с неподвижными телами и др.
В связи со сказанным выше представляют интерес постановки и подходы к решению геометрически нелинейных задач упругопластичности с использованием эйлеровых переменных [169, 170, 242, 252, 263]. Дополнительным преимуществом эйлеровой формулировки является возможность уменьшения размерности при решении стационарных задач ——из числа независимых переменных исключается время.
Промежуточное положение между двумя приведенными типами подходов занимает так называемая текущая лагранжева формулировка [194, 195, 228, 229, 244, 261].
Данная формулировка является непосредственным развитием аналогичных подходов, существующих в теории малых деформаций. и состоит в следующем. Весь интервал нагружения разбивается на ряд достаточно малых этапов по некоторому параметру нагружения (например, времени). В начале каждого этапа конфигурация считается известной. Система уравнений, описывающих поведение деформируемой среды, записывается однотипно для каждого из этапов с использованием лагранжевых переменных и соответствующих тензоров напряжений, деформаций и т. д. При этом в качестве отсчетной конфигурации принимается актуальная конфигурация начала шага. После решения задачи на данном шаге нагружения определяются конфигурация, тензоры напряжений и деформаций и т. д., соответствующие концу этапа нагружения.
Указанный подход обладает рядом достоинств: уравнения, входящие в постановку, квазилинейны (линейны относительно скоростей); простота формулировки и реализации; возможность использования существующих пакетов программ решения геометрически линейных задач. Однако применяемые в данном подходе меры скоростей напряженного и деформированного состояния определяются по отношению к изменяющейся конфигурации, т. е.
представляют собой, по сути дела, производные соответствующих тензоров типа Олдройда. Использование же производных Олд- ройда в определяющих соотношениях связано с определенными трудностями экспериментального обоснования последних [141, 142].
Исходя из сказанного выше, для рассматриваемого в настоящей работе круга прикладных проблем в зависимости от конкретной задачи представляется целесообразным использование или лагранжева, или эйлерова подхода. Прежде чем перейти к непосредственной постановке задачи, остановимся на некоторых основных динамических соотношениях механики деформируемого твердого тела.
Одним из основных законов классической механики сплошной среды является закон сохранения массы любого индивидуального (материального) объема вещества [141, 152], следствием которого является приведенное в разд. 2.1 уравнение неразрывности (2.1.4). В задачах механики деформируемого твердого тела уравнение неразрывности во многих случаях не входит в качестве независимого уравнения вследствие того, что для многих материалов (в частности, металлов) изменением плотности можно пренебречь, р ^ р. Поэтому в различных преобразованиях (например, при выводе уравнений движения или равновесия из уравнения баланса количества движения) уравнение неразрывности предполагается выполняющимся автоматически. В то же время при формулировании физических (определяющих) соотношений пренебрежение изменением материального объема может приводить к качественному изменению результатов. Таким образом, в дальнейшем будем предполагать, что уравнение неразрывности удовлетворяется вследствие малости изменения плотности материала. Отметим, что сказанное не относится к некоторым видам материалов (порошковые материалы, горные породы и т. д.), а также к металлам, находящимся под воздействием сверхвысоких давлений (десятки тысяч МПа и выше), где изменением плотности пренебречь нельзя.
Ранее (см. разд. 2.1) приведены уравнения движения и равновесия в терминах различных тензоров напряжений, В настоящей работе будут рассматриваться квазистатическпе процессы деформирования, поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рассмотрением уравнений равновесия. Постановка скоростного типа требует вывода уравнений равновесия в терминах скоростей изменения тензоров напряжений.
Напомним, что в этом и в следующем разделах под производными понимаются материальные производные и все функции и их производные считаются непрерывными по совокупности аргументов.
Наиболее просто получить уравнения равновесия в скоростях из уравнения (2.1.37), сформулированного с использованием первого тензора Пиола — Кирхгоффа:
V•驴 + F = 0, V^ 三(0, ос).
Дифференцируя последнее соотношение по времени с учетом неизменности отсчетной конфигурации, получаем
寸.* + 市=0, vx 三(0, 8).(4.1.1)
Дополняя (4.1.1) начальным условием
V.^ + F = 0,力=0,(4.1.2)
нетрудно показать справедливость следующего утверждения: уравнение равновесия в скоростях (4.1.1) с начальным условней (4.1-2) эквивалентно (2.1.37).
Аналогичным образом в соответствие статическому граничному условию N •眇=Т, V7 三(0, оо) ставится граничное условие в скоростях
N-^ = T, V/三(0, ос)(4.1.3)
с начальным условием
N0 = i, ± = 0・(4.1.4)
Уравнение равновесия в терминах второго тензора Пиола — Кирхгоффа (2.1.51) эквивалентно уравнению равновесия в скоростях-
.(卡•欧)•%+优：(餡氏)+ (V-^-Vv +
+ 兆:[^A%)] +* = 0,力三(0,8)(4.1.5)
с начальным условием
(寸•龙)2i■ 十 况：(A.tr)十它=0,力=0.(4.1.6)
Заметим, что при использовании единой для всех конфигураций декартовой ортогональной системы координат последние два соотношения в компонентах базиса к» принимают вид
8а» да^да^да^ 。/ да^ '
+ 方"一竺~-十川= 0,方三(0, 8 )? к = 1, 3,(4.1.7 )
да1 да3дагда3
Статические граничные условия
Nt7rVr = t,力三(0,g)
заменяются граничными условиями в
N•宏•仇N•龙1Rv=j,方三(0,6
t = 0, к =1,3. (4.1.8)
(4.1.9) скоростях
0)(4.1.10)
с начальным условием
N^Vr = T,力=0.(4.1.11)
В компонентах базиса к^ единой декартовой ортогональной системы координат (4.1.10), (4.1.11) запишутся следующим образом:
因汤立%+呼勿力三(0, 8), a： = 1Д (4.1.12) да30R
$ 第"星二=世、/ = 0, 后=市.(4.1.13)
да1
Наконец, перейдем к установлению уравнений равновесия в терминах скорости изменения тензора напряжений Коши. В силу того, что данное уравнение занимает одно из центральных мест в дальнейшем рассмотрении, оно было получено несколькими раз^ личными способами: непосредственно из уравнения баланса количества движения; из соотношений (4.1.1), (4.1.2) с использованием содержащихся в разд. 2.1, 2.2 выражений для 眇 к * через о и 6, из уравнений (4.1.5), (4.1.6) с использованием в качестве отсчетной актуальной конфигурации и т. д. Результат во всех случаях оказался одинаковым. Здесь воспользуемся самым простым из используемых способов ——непосредственным выводом из уравнения равновесия (2.1.26): 卡・о + Р = 0, Е 三(0, оо).
Дифференцирование последнего соотношения представляет некоторые трудности вследствие зависимости оператора Гамильтона от времени. Поэтому предварительно преобразуем первый член:*
V-<t = E: Vo = E: (VRo-Vs).(4.1.14)
Учитывая постоянство единичного тензора и полученное ранее соотношение (1.3.15), из выражения (4.1.14) получаем
~^~ (V • с) = Е : [VRo • % + (VRo) • Vа]
=E: Va + E:[(VRo)-V(y] = V-cF —E:[Vv.VRo.Va] =
= V-i — E : [Vv - Vg] = V-d — Vv : Va. (4.1.15)
Тогда уравнение равновесия в скоростях и соответствующее начальное условие записываются в виде
寸卡仁十仃+ 自=0, V 方 GE(0,g),(4.1.16)
寸 у 十求=0,力=0.(4.1.17)
Не представляет особых трудностей убедиться в справедливости следующего утверждения: уравнение равновесия в скоростях тензора напряжений Коши (4.1.16) совместно с начальным условием (4.1.17) эквивалентно уравнению (2.1.26).
Отметим, что с использованием эквивалентности уравнение (4.1.16) может быть преобразовано к виду
V-d — V«(v-Va) + F — v «VF = 0,力三(0, g).(4.1.18)
В компонентах базиса ёг- выражения (4.1.16), (4.1.17) представляются в виде
可回"一中m%6力十й- = 0,也三(0, g), ， ="
(4.1.19)
寸君行+必=0,方=0, 7 = 1,3.
Напол1ним, что 6沙 # (&)"• При использовании единой декартовой, ортогональной системы координат получаем
+尸=0,也三(0，8)，/ = 1,3, (4.1.20)
^- + 節=0,z = 0,j = IX(4.1.21)
Для записи силовых граничных условий также используем здесь непосредственное дифференцирование соотношений Коши (2.1.14) n-a = Т, Уг ^ (0, 8), в результате чего получаем статическое граничное условие в скоростях
n-a + n-a = f,V方三(0, g)・(4.1.22〉
Производная единичной внешней нормалн выражается через скорости перемещений с применением приведенных в разд. 1.3 соотношений между N и ii при исиользовании в качестве отсчетной конфигурации актуальной (1.3.106). С учетом (1.3.106) соотношение (4.1.22) принимает вид
n-d — (Vv*n)*a (n-Vv'n)n-a = T, Nt s (0, oo). (4.1.23)
Справедливо утверждение: статическое граничное условие в ско* ростях (4,1,23) совместно с начальным условием
п-в = Т, t = 0(4.1.24)
эквивалентно соотношению Коши (2.1.14).
Отметим, что выражение для п может быть получено иным способом. Пусть F (г,力)= 0 —— уравнение, описывающее поверхность исследуемой области (причем полагаем F < 0 внутри и F〉0 вне области). Тогда единичный вектор внешней нормали представим в виде
n = m| 卡可・(4.1.25)
Согласно работе [153, с. 26], имеем
dF/dt = dF)dt + ¥・年月=0, г 三 S.⑷
Это условие означает, что поверхность S = {г | 方'(f, t) = 0} состоит из одних и тех же частиц.
Далее: | 泞 | = (yF^F^1^ Тогда
-^1^1=-^ 一…4 ё尸)，0)
4 (汐)=%@f …rnf 戸鸣『、？ (*)•©
В последнем преобразовании предположена непрерывность F и частных производных F по 邑 и Л
Используя равенство (а), получим
V (dF/dt) = - Vv •?尸一 V (寸歹).V.(d)
Подставляя (d) в выражение (с), имеем
鼻•(寸尸)寸产一寸(卡尸).v + V•▼(▼月)=-Vv-VF. (e)
Заметим, что сокращение слагаемых при получении равенства (е) произошло потому, что тензор V (УF) симметричен.
Подставляя (е) в (6), получим
-^ n歹| = _nNvk?(/)
Наконец, используя (е) и (/), имеем
=—Vvn + (n-Vvn)n.(g)
В подтверждение достоверности выраукения (g) говорит тот факт, что производная от единичной нормали должна быть ортогональна самой нормали. Из соотношения (g) это легко получается. В самом деле:'
п-嚼-=—n-Vv-n + (n-Vv*n) (n*n) = 0.
Таким образом, окончательно получаем
h = (п«Vv-n) и —Vv«n.(4.1.26)
Перейдем к постановке задачи термо^-пругопластичности в скоростях. Пусть в некоторый момент времени t 三(0, оо) деформируемое тело занимает область Q'三 7?з с границей S' = S； U U S： = S； (J S； U S；, Q" = Q" ij S： Необходимо определить поля скоростей перемещений, напряжений и деформаций, перемещения, напряячения и деформации и распределение температуры Yt 三(0, оо), удовлетворяющие следующей системе уравнений:
уравнению равновесия в скоростях
V-а — V-(V-Va) + F — v*VF = 0, г 三 C‘；
(4.1.27)
определяющему
соотношению
a* = ^： D + 倒而 T五，г 三豆;
(4.1.28)
уравнению теплопроводности
с?© =寸•(％ VQ)
十Q, г三Q';
(4.1.29)
кинематическим
соотношениям
D = %(0v + KT)
7 = (Vu + Vur 一
Vu-Vur)= 2 抬尋i,
，r三》；
(4.1.30)
Н = / ,HiP Pj =
一于〉Jn(l-2^0淞,
i ~1
%=1
граничным условиям
V = V, г е 5
(4.1.31)
п-а — j(Vv»n)*a + (n-^v-n) п-(т =Т, г 5q；
(4.1.32)
© = 0, г W S
(4.1.33)
A (n - V0) =
г 三 S；;
(4.1.34)
入(n-V0) = — а
(0 一 ％), r 三 S；,
(4.1.35)
при начальных
условиях
U = U0,
г 三 Q°;
(4.1.36)
寸・d十@и = 0,
I■三 QО;
(4.1.37)
n.”。= Т3,
rG So；
(4,1.38)
0 = ©° (г),
г G Q°,
(4.1.39)
где вектор перемещений и и тензор」напряжений о определяются интегрированием:
i
u = W + \v 戏，г 三 6;(4.1.40)
о
6 = 0。+)4@& rc®.(4.1.41)
0
В приведенных выше соотношениях вектор и отсчитывается от положения, в котором материал исследуемой области находится в естественном (ненапряженном и недеформированном) состоянии.
Если момент 力=0 соответствует естественному состоянию, то и° = 0, о° = %° = О, F0 = Т° = 0. В данной постановке допускается отличие состояния материала от естественного (в частности, наличие остаточных напряжений и деформаций) в момент i = О? что представляется целесообразным при исследовании многих технологических процессов обработки материалов, где процесс удобно разделить на ряд этапов.
Отметим, что входящие в определяющее соотношение тензоры 笏,例,R зависят в общем случае от истории нагружения (деформирования), температуры, коротационных производных тензора деформаций Генки. В уравнениях, описывающих температурные поля, Q — мощность тепловых источников, сиу — удельные теплоемкость и вес, Лиа —— коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи, ©ос — температура окружающей среды. В реальных прикладных проблемах анализ тепловых факторов представляет собой достаточно сложную задачу; для анализируемых в работе процессов подобный анализ приведен в работе [138]. В соотношениях (4.1.31), (4.1.33), (4.1.34) величины v, 0, q означают заданные на соответствующих частях границы функции: скорость перемещений 7 температуру и тепловой поток соответственно.
Решение поставленной задачи, по сути дела, сводится к отысканию вектор-функции v 亿 г) и функции 0 亿 f). При этом классическое решение задачи следует определять в классе непрерывных функций вместе с непрерывными производными первого порядка по и до третьего порядка включительно — по пространственным переменным, т. е. v е С1*3 ([0, оо), Q’)，0 С12 ([0, оо), Q*). В настоящее время отсутствуют доказательства не только единственности, но и существования классического решения задач упругопластичности.
Выше была рассмотрена постановка нестационарных задач. Однако во многих случаях исследование реальных процессов обработки материалов сводится к решению соответствующих стационарных задач, что позволяет уменьшить размерность задачи (исключить из числа независимых переменных время). Оказывается, что постановка стационарных задач в основном совпадает с приведенной выше постановкой нестационарных задач. Остановимся на некоторых особенностях.
В случае стационарной задачи под оператором полной производной по времени в рамках эйлерова подхода следует понимать конвективную производную ,
4( )^(-) = v.V( ). (4.1.42)
Рассматривается прохождение среды через некоторую фиксированную область пространства й U R3, Г — часть границы Q, через которую среда поступает в исследуемую область. Предполагается, что информация о напряженно-деформированном состоянии частиц среды в момент прохождения через Г известна, причем все
частицы среды, поступающие через фиксированную точку г Гт имеют одинаковую историю деформирования (нагружения). При этом напряжения должны удовлетворять условию
V-(y + F = 0, Г.(4.1.43)
Покажем, что уравнение равновесия в скоростях (4.1.16) совместно с условием (4.1.43) эквивалентно уравнению равновесия (2.1.26).
Действительно, в данном случае из (2.1.26) с учетом (4.1.42) имеем
(4.1.44)(4.1.44)V-V (▼• <у) + V-VF = 0, т 三 С, V • и F = 0, г 三 Г.
(4.1.44)
(4.1.44)
Уравнение (4.1.442) необходимо для учета предыстории деформирования материала вне исследуемой пространственной области. Несколько необычным может представляться задание условия равновесия на границе. Однако следует помнить, что поверхность Г по отношению к материальному объему является внутренней, а следовательно, для частиц г GE Г выполняется (2.1.26).
Используя тождество
V-V (▽•") = V・(v・Vb) — (Vv): (^a),(4.1.45)
из первого уравнения (4.1.44) получим
V-(у • Va) — (Vv) : (Va) + v* VF = 0.(4.1.46)
Или, поскольку в стационарном случае а — v*Va, F = v-VF, приходим к соотношению (4.1.27), роль (4.1.17) для каждой материальной частицы играет второе уравнение (4.1.44). Проводя преобразования в обратном порядке, из выражений (4Л.16), (4.1.43) получим (2.1.26). Таким образом, уравнения равновесия в скоростях (4.1.27) сохраняют свой вид в постановке стационарной задачи, а начальное условие (4.1.37) следует заменить условием (4.1.43).
При формулировании граничных условий стационарной задачи выделим два типа граничных поверхностей. Во-первых, это поверхности, образованные линиями тока материальных частиц. В зависимости от вида граничных условий обозначим их через 5^ и 5а- Во-вторых, это поверхности, поперечные линиям тока. Обозначим их через и
Сначала рассмотрим условия на поверхностях 8廿 и Sg. На 5管 они имеют вид условий (4.1.31). Граничные условия на 叉 (4.1.32) сохраняют свой вид, но взамен начального условия (4.1.38) вводится условие, аналогичное условию (4.1.24):
пГ = * г е Г П S^(4Л.24а)
Действительно, в этом случае граничное силовое условие в скоростях для стационарных процессов вытекает из соотношений (4.1.22) и (4.1.26), однако под материальной производной в этом случае понимается ее конвективная составляющая (4.1.42). С учетом последнего вывод граничного условия идентичен проведенному для граничного силового условия (4.1.32) нестационарной за~ дачи.
Некоторых пояснений требует замена начального условия (4.1.38) своеобразным «граничным» условием (4.1.24а). Напомним, что соотношения (4.1.38) задаются на всей части S^ поверхности исследуемой области, а (4.1.24а) — на контуре Г Q £. Тогда в стационарном процессе из условия v-V (п*о — Т) — 0, являющегося аналогом (4.1.22), для любой частицы, движущейся до поверхности 5о вдоль своей линии тока, выбирая в качестве одного из семейства координатных линий лагранжевой сопутствующей системы координат (например, В1) линии тока (что для стационарной задачи можно сделать), получаем
j v- V(n-а — T)dt = , "^(n・(F — T)df = 0.
о 1 ■
Из последнего соотношения с учетом выполнения условия (4.1.24а) (при F =昼)вытекает условие Коши (2.1.14) V^1. Поскольку (4.1.32) эквивалентно (4.1.22) (с учетом (4Л.26)), получаем окон^ чательно, что в случае стационарной задачи условие (4,1.32) совместно с соотношением (4.1.24а) эквивалентно граничном^7 условию Коши (2.1.14).
Заметим, что аналогичная ситуация возникает в случае, когда Sq (или участки S^) расположены внутри поверхности исследуемой области. В этом случае соотношения вида (4.1.24а) на соответствующих линиях перехода частиц с части поверхности S； на 5О выполняются автоматически, так как 仃 является решением рас^ сматриваемой задачи упругопластичности.
Далее рассмотрим условия на поверхностях 50 и 5„. Если поверхность входа Г и поверхность выхода совпадают с поверхностями типа So，то здесь вновь задаются условия типа (4.1.31). Если же одна или обе из поверхностей входа и выхода относятся к поверхностям типа 5а, то ситуация несколько усложняется. Здесь возможно два подхода к постановке задачи. Во-первых, можно отнести обе эти поверхности к поверхностям типа S», находя итеративным путем такие заданные на них поля скоростей, чтобы получить известное поле векторов напряжений. Во-вторых, можно на поверхностях типа 5а записать граничное условие Коши (2.1.14), не содержащее скоростей изменения напряжений.
Все остальные уравнения поставленной нестационарной задачи для стационарной задачи имеют тот же самый вид. При ис-
пользовании (4.1.40), (4.1.41) от интегрирования по времени следует перейти к интегрированию по некоторому параметру, в качестве которого удобно выбрать для каждой частицы криволинейную координату, отсчитываемую вдоль траектории частицы. Заметим, что в случае установившегося движения траектории частиц и линии тока совпадают.
Таким образом, здесь представлена достаточно общая формулировка задачи термоупругопластичности в скоростях. Естественно, при исследовании реальных процессов необходима конкретизация и детализация приведенной постановки. Частично это будет сделано в следующем разделе. Отметилг, что возможные упрощения предлагаемой постановки при решении прикладных задач требуют дополнительного анализа, а последний во многих случаях связан с необходимостью решения проблемы в достаточно полной постановке. Так, например, во многих случаях решение связанной задачи термоупругопластичности сводится к решению двух задач: теплопроводности и упругопластичности, что существенно облегчает процесс решения. Однако подобный переход, по мнению авторов, требует решения связанной задачи и анализа эффектов, появляющихся при учете связанности. Аналогично, по-видимому, нужно решать вопросы о пренебрежении тем или иным видом нелинейности задачи, о размерности последней и т. д.
Альтернативной к приведенной является постановка в терминах тензоров напряжений, деформаций и т. д. Прежде чем перейти к последней, преобразуем определяющее соотношение (4.1.28). В силу симметрии четырехвалентного тензора F по двум последним индексам имеем*
^：D = ^:-^-(Vv 卜卡vT) =犷：卡v・
Далее, с учетом (3.3.67)
Q・o — a-Q = W*(y —(у-W + Q(tv)・u — a-Q (Vv), где
Q(Gv)= X
откуда получаем
^•я — o・Q = — %(Сц + Сщ): [<r・(Си — &口): Vv]
+ Q(a)p-/Q(ev)・
С учетом последнего соотношения и определения коротацион- ной производной тензора напряжений Коши (2.2.4) определяющее соотношение (4.1.28) преобразуется к виду
6 =方(十V)+ 图6+ 五，(4.1.47)
承(Vv) = ^: Vv —工/2 (Ci + Chi) : [o・(C〃 一 Сш): Vv] +
+ Q(Vv)-(y —<y-Q(Vv),(4.1.48)
где Сц, С1Г1, как и ранее, изотропные тензоры четвертого ранга. Тогда соотношение (4.1.47) с учетом (4.1.41) приводится к следующему виду:
а = ffo + J [^(Vv) + ^Q +К] dZ, Vt е [0, оо). (4.1.49) О
Конфигурация области в каждый момент времени определяется полем перемещений, определяемым согласно (4.1.40). Тогда задача термоупругопластичности состоит в определении вектора перемещений, тензоров напряжений и деформаций и температурного поля, удовлетворяющих V力 Е [0, сю) следующей системе уравнений :
уравнению равновесия
V-a + F = 0, г 三 Q*;
(4.1.50)
определяющим соотношениям
о = 0。+ § [费付V)+ ^0 + JR] d& 0
у 0;
(4.1.51)
уравнению теплопроводности
с?® = V• (XV0) + Q, гЕ
(4.1.52)
кинематическим соотношениям
U = U° +，V第， о 3
^ ^= ^- (Vu + VuT — Vu • VuT) = ^ ^iP^Pt,尸三色；(4.1.53) i=l
33
苴=e 自市先 = 一 "^in(i-2%)而， г=1г=1
граничным условиям (4.1.31), (4.1.33) —(4.1.35) и
п«а = Т, г 三 S；(4.1.54)
при начальном условии (4.1.39). Здесь вектор-функция и0 и тензорнозначная функция а0 предполагаются заданными. Начальные условия (4.1.36)——(4.1.38) выполняются автоматически соответственно вследствие соотношений (4.1.53), (4.1.50)——(4.1.51) и (4.1.54), справедливых Vt W [0, 8).
При исследовании установившихся процессов деформирования, как и ранее, под субстанциональными производными следует понимать конвективные, а от интегрирования по времени необходимо перейти к интегрированию по некоторому параметру^ характеризующему перемещение частицы в пространстве.
Приведенная выше постановка имеет определенные преимущества перед скоростной постановкой, особенно при ее реализации с применением лагранжевых переменных, а также при исследовании стационарных процессов.
Как было отмечено ранее, определенные преимущества имеет постановка рассматриваемых задач в терминах отсчетной конфигурации. При этом для связанных задач, которые можно подразделить на несколько подзадач (конечно, связанных между собой), вопрос о применении того или иного типа постановки для каждой из подзадач решается исследователем. Например, для анализируемой здесь задачи термоупругопластичности краевая задача теплопроводности может быть сформулирована и в терминах отсчетной конфигурации. Но при 9ToM значительно усложняются соотношения, входящие в постановку задачи. Поэтому здесь рассмотрим лишь постановку задачи упругопластичности, оставляя неизменной постановку задачи теплопроводности (4.1.29), (4.1.33) — (44.35), (4.1.39). При рассмотрении задачи упругопластичности полагаем известными поле температур и материальных производных от температуры по времени.
Тогда постановка квазистатической задачи упругопластичности в терминах отсчетной конфигурации может быть сформулирована следующим образом: определить поля скоростей перемещений, тензоров скоростей напряжений и деформаций, перемещенийт тензоров напряжений и деформаций, удовлетворяющих V7 三 三(0, 8)：
уравнению равновесия в скоростях
卡•* + / = (),Ro ей；(4.1.55)
определяющему соотношению
•о• о万
况匸夕：Н + 例6 十 A Ro^Q；(4.1.56)
кинематическим соотношениям
立=(伏山.艮)加心十
+ .工(и?： и? 1。W— /(P *D P)PiPj> Ro®Q,
(4.1.57) 33
il=£lna03『4~£ln(l + 2a)№， R。三 8, (4.1.58)
3一
с = -^- (Vu + VuT 4- Vu. VuT) = ^ C^„ R。三备 (4.1.59)
Ro 三 Q,
(4.1.60)
D=^-(VR0-Vv + VvT.VRj),
Ro 三 Q,
(4.1.61)
4 = 11。+\vd& R)三 0;
(4.1.62)
граничным
v = V, Rq 三 S^,
(4.1.63)
№* =》，RyS^
(4.1.64)
и начальным условиям
V • 5^o + Fo2=3 0, Ro 三 С,
(4.1.65)
№爲=鹫，R。W酰
(4.1.66)
Входящие в 夕 интегральные характеристики процесса деформирования (тензор напряжений 冗,длина дуги траектории деформации и т. д.)т как и ранее, определяются интегрированием. Связь тензоров 分 и % устанавливается соотношениями (2.2.9), (2,2.10). Классическое решение задачи (4.1.55)—(4.1.66) следует определять в классе непрерывных функций вместе с непрерывными производными первого порядка по ^ и до третьего порядка включительно — по пространственным переменным, v ЕЕ С1'3 ([0, оо), й).
Граничные и контактные условия
Приведенные в предыдущем разделе граничные условия в канонической форме, имея достаточно общий характер, все же не охватывают возможные виды граничных условий, возникающих в задачах исследования реальных процессов деформирования. Следует отметить, что установление граничных условий в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела (например, ио следования процессов обработки металлов давлением) представляет собой достаточно сложную задачу. Сложность ее обусловлена большим количеством факторов, требующих учета для корректной постановки задачи, неизвестностью границы исследуемой области, нелинейностью граничных условий, а также тем обстоятельством, что большинство указанных прикладных задач относится к контактным проблемам.
Остановимся прежде всего на рассмотрении граничных условий краевой задачи теплопроводности. Для определения температурных полей необходим учет излучения и взаимоизлучения эле-
центов поверхности исследуемой области, естественной и вынужденной конвекции, теплообмена с деформирующим инструментом, источников тепла от деформации и внешнего трения. При этом значимость указанных факторов существенно зависит от условий процесса деформирования, формы области и т. д. Например, при прокатке и охлаждении фасонных профилей (двутавров, швеллеров, рельсов и т. д.) превалирующую роль играют теплоотдача излучением и взаимоизлучение элементов (при температурах 1200— 700° С) и конвекция (в диапазоне температур 700—20° С). При анализе процесса электровысадки, помимо перечисленных факторов, важную роль играет теплообмен исследуемой области с деформирующим инструментом. Процессы холодного и полугорячего ярессования и волочения невозможно адекватно описать без учета источников тепла от пластической деформации и внешнего трения. Важно отметить, что упрощения задачи, связанные с пренебрежением теми или иными факторами, возможны только после тщательного анализа влияния рассматриваемого фактора на результирующее температурное поле.
Рассмотрим отдельно некоторые из перечисленных факторов. Тепловой поток излучения определяется законом Стефана—Больц^ мана:
.%зл = еуо = еС0 (04 — ©t), (4.2.1) где ^изл —— удельный тепловой поток; е —— степень черноты тела «в рассматриваемых задачах тела предполагаются серыми; для углеродистых сталей обычно принимают е = 0.8); 0 — температура поверхности тела; Со — постоянная Стефана. Соотношение (4.2.1) удобно привести к выражению, имеющему вид закона Ньютона:
Окал = а^зл (0 — @2), (4.2.2)
где аИЗл = еС0 (02 + ❷^) (0 + 6g)——локальный коэффициент теплоотдачи излучением. При исследовании температурных полей, возникающих в процессах изготовления профилей сложной конфигурации, важное значение приобретает взаимоизлучение элементов поверхности профилей. Учет взаимоизлучения осуществляется обычно [59, 138] введением так называемых угловых коэффициентов, определение которых достаточно детально изложено в цитируемых работах.
Поток за счет тепловой конвекции определяется также уравнением, имеющим вид закона Ньютона, с коэффициентом теплоотдачи конвекцией
ак = (Nu 九)〃， (4.2.3)
где Nu ——критерий Нуссельта; I ——характерный размер тела. Критерий Нуссельта определяется отдельно для свободной и вынужденной конвекции, соответствующие экспериментальные данные приведены в работе [118]. В случае совместного излучения
и конвекции теплоотдача также может быть определена уравнением закона Ньютона с коэффициентом теплоотдачи а = аи?л + %居.
Для определения теплообмена между деформируемой средой и обрабатывающим инструментом, вообще говоря, необходимо решить соответствующую краевую задачу для системы двух (или более) контактирующих тел с граничным условием четвертого рода:
日自⑴用Q(2)
九⑴=6⑴= @2),(4.2.4)
где индекс в скобках означает номер контактирующего тела. Однако решение подобной контактной задачи представляет большие трудности, часто неоправданные необходимой точностью расче^ тов. Кроме того, в имеющих место в действительности процессах условия идеального контакта, описываемого соотношениями (4.2.4), практически отсутствуют. Теплообмен между контактирующими телами существенно зависит от состояния их поверхностей, причем присутствие на поверхности контакта окалины, воздушных и паровых прослоек создает так называемое термическое сопротивление. В этом случае тепловой поток через границу контакта также обычно определяется соотношением, имеющим вид закона Ньютона [188]: ^ = а (0 — 6g), где €)而一температура поверхности инструмента в точке контакта. Коэффициент а определяется экспериментально. При горячей обработке металлов значения а лежат в интервале (5 -н 40)-103 Вт/(м2-град) [253], существенно увеличиваясь (до нескольких сот тысяч Вт/(м2 • град)) при холодной обработке, что связано с уменьшением толщины слоя окалины и少 следовательно, падением термического сопротивления.
В процессах холодного волочения, прессования и других им подобных весьма существенна роль тепловых источников за счет внешнего трения, мощность которых определяется как
Npp = \ (^т*vCK) dSc,(4.2.5)
где Sc —— поверхность контакта;仃亏 = п-(у —— (п-ст-п) п ——касательная составляющая вектора напряжений в точке поверхности Sc； Vck — относительная скорость движения инструмента (по отношению к деформируемой среде).
Существуют различные оценки доли тепла 7VTP, поступающего в деформируемый металл. Для получения корректной оценки с использованием преобразований Лапласа [113] была решена задача для системы трех контактирующих тел: деформируемый металл, окалина, инструмент [130b При этом полагалось, что источник мощностью 7VTP действует в окалине. Решение показало, что примерно половина тепла поступает в деформируемый металл.
Отметим, что граничные условия краевой задачи теплопроводности опосредствованно влияют и на напряженно'Деформирован- ное состояние исследуемой среды. Ниже рассмотрены некоторые особенности задания граничных условий, непосредственно входящих в постановку прикладных задач упругопластичности. •
Рис. 4.1. Схема к граничным условиямРис. 4.1. Схема к граничным условиямзадаются кинематические граничные условиязадаются кинематические граничные условия(4.2.6)(4.2.7)(4.2.6)(4.2.7)
Рис. 4.1. Схема к граничным условиям
Рис. 4.1. Схема к граничным условиям
задаются кинематические граничные условия
задаются кинематические граничные условия
(4.2.6)
(4.2.7)
(4.2.6)
(4.2.7)
Широкий круг прикладных проблем можно с достаточной точностью рассматривать как стационарные задачи. К тако* вым относятся задачи исследования процессов волочения, прокатки и правки длинномерных профилей, листов и т. д. Рао смотрим особенности определения граничных условий в стационарных задачах на примере
процесса волочения, схема ко-
дорого приведена на рис. 4.1.
Обычно в таких задачах на поверхностях (или плоскостях) $1，Sz, огранитавающих область фактической зоны деформации,
以 1& 仁 娥，Ui !s2 =限，
lJ2 ki =沙2 |s2 = 0, Рз |& =為 |sa = 0,
а также условия на поверхности S? (4.1.43), (4.1.24а). Положение поверхностей 5工 и S^ определяется из следующих соображений. Вне области, ограниченной S工 и 3纟(т. е. лри хх & —L2, хх〉LJ, материал движется как жесткое целое. Обозначим через %«), 加=1, 2, . . ., К, совокупность параметров, определяющих на- пряженно-деформированное состояние среды (компоненты вектора скорости перемещений, тензоров напряжений и деформаций, на- пример)* Тогда положение плоскостей 51 и S? определяется следующим образом:
5i = [reQ п (^1 = ^1), Li>inf (^1 |^-=о
V网>建， 府=17冗)},(4.2.8)
S2=卜金Q П (21 =—厶・2),厶2《ISUP ( Ж* I -.製)=0
VziQ：,硏},
где Q ——замыкание области, занятой рассматриваемой средой.
Однако в условиях (4.2.6) либо одна, либо обе из скоростей априори неизвестны, причем неизвестной является и свободная поверхность S. В настоящее время для задания условий (4.2.6) при известной одной скорости вторую определяют из закона сохранения массы в интегральной форме [79], причем последний используют чаще всего в форме уравнения несжимаемости. В последнем случае, как нетрудно видеть, исчезает различие в постановках, например, задачи волочения и прессования, хотя из опыта известно, что напряженно-деформированное состояние в указанных процессах отличается даже качественно.
В процессах рассматриваемого вида во многих случаях известны усилия волочения С\ и противонатяжения Q2:
Qi=\oiidSi, Q2=^ ацй52- (4.2.9) & s2
Как показывает опыт решения прикладных задач теории пластичности, в них удобнее использовать кинематические граничные условия вида (4.2.6) — (4.2.7), однако в этих соотношениях непзве- стны 6；“，г = 1,2. Для определения последних и служат соотношения (4.2.9). Заметим, что при решении конкретных задач граничные условия на 邑，52 задаются в виде (4.2.6), (4.2.7) с последующим итерационным уточнением (4.2.6) до выполнения с заданной точностью условий (4.2.9).
Следует отметить также, что форма свободной поверхности также неизвестна, поэтому, кроме однородных статических граничных условий, в постановку стационарной задачи входит ограничение на направление скоростей частиц свободной поверхности
п-V — 0 Vr ^ S；. (4.2/10)
Последнее соотношение используется при решении задач установившегося течения в качестве условия для определения положения линий тока частиц свободной поверхности.
Заметим, что поверхность S/ представляет в данном случае геометрическое место траекторий частиц, проходящих через контур Г — FrS? (за вычетом контактной поверхности).
Отличительной особенностью большинства технологических задач механики деформируемого твердого тела, приводящей к значительному усложнению последних, является неизвестность области контакта исследуемой деформируемой среды и инструмента» а также зон взаимного проскальзывания и прилипания, т. е. имеем дело с контактными задачами для двух и более деформируемых тел. В силу того что жесткость инструмента обычно на несколько порядков превосходит жесткость деформируемого материала» с достаточной точностью указанные задачи можно рассматривать как контактные для деформируемого материала и жесткого инструмента. Отметим, что и решение подобной упрощенной задачи также представляет значительные трудности, что связано с нелинейностью (зависимостью от истории нагружения) граничных условий даже в случае задач линейной упругости [82, 174].
Контактные задачи представляют собой отдельную область исследования, число работ в которой за последние годы имеет тенденцию к резкому возрастанию. Поэтому здесь коротко рассмотрим особенности постановок контактных задач упр у г оп л ас тич- ности и приведем обзор основных работ по постановкам, подходам и алгоритмам решения задач данного класса.
Будем использовать в качестве системы отсчета декартову ортогональную систему координат Ох^^х3^ при этом в качестве лагранжевых координат примем координаты частиц в системе
0/1%2n3 в момент 才=0, T. e.
F = d = ?(优；0,) г = 1ГЗ.(4.2.11)
Положение частицы (а1, а2, а3) в любой момент времени определяется координатами
д? = хг (а^,方)，t = 1, 3*(4.2.12)
Для определения области контакта деформируемой среды и инструмента воспользуемся неизменностью лагранжевых координат. Пусть в начальный момент времени поверхность исследуемой области описывается уравнением
Bi (歩,а2, а3) = 0.(4.2.13)
Поверхность неподвижного или движущегося инструмента опишем уравнением
02 QL 方* 8*") = 0-(4.2.14)
Для произвольного фиксированного момента времени % полагаем известным поле скоростей v (г, i),力 W [0,幻，интегрируя уравнения которого с учетом начального условия (4.2.11), приходил! к выражению (4.2.12). В силу взаимной однозначности из (4.2.12) определяем 〃“ =炉(/"), % = 1, 3・
Подставляя последнее соотношение в уравнение (4.2,13), имеем I [а1£), а?(必，方)，а3 (也力]=0, или
瓦(х\ 炉，炉，方)=0.(4215)
Обозначая через S% и S? поверхность исследуемой области и контактную поверхность соответственно, для произвольного момента времени 匕 область контакта можно определить следую^ щим образом:
5? = {г Е 0，I 值(г,幻=0) Л 他(г,幻=0)}.(4.2.16)
В дальнейшем будем устанавливать граничные условия для некоторого фиксированного момента времени, поэтому индекс 力】 будем опускать. Выделим в области Sc две зоны:]
郎={Г Е 凡 I оп (г,力)=0}, Sj = {1•三 £ I 薪(г, о < 0},(4.2.17)
где и冷 = П'П-n —— нормальное напряжение. При скоростной постановке задачи Sg подразделяется еще на две подобласти, в которых либо бп V 0, либо ап = 0, первая из которых в дальнейшем может рассматриваться наряду с 5*, а на второй задаются тривиальные статические граничные условия.
Зона Sea также подразделяется на две части: зону прилипания *5^1 и зону проскальзывания 5*. Не уменьшая общности, будем
считать справедливым закон трения Кулона. Тогда
Ea={rwSc*ll”l<〃On|},醴= St\SK(4.2.18)
где / ——коэффициент трения.
Граничные условия на введенных частях поверхности можно определить следующим образом:
V = V,г Scat(4.2.19)
%=%，0Т=/不^10/ r G5*,(4.2.20)
где v — скорость движения точек поверхности инструмента; уЛ = n-V； ▼:——проекция относительной скорости точек инструмента (по отношению к частицам поверхности деформируемой среды) на касательную плоскость к поверхности 5*5 в рассматри* ваемой точке, п ——вектор единичной внешней нормали к S* • Заметим, что для реализации условий (4.2.20) лри использовании численных методов, например метода конечных элементов, применяются алгоритмы, основанные на переходе к локальной есте^ ственной системе координат [58].
Введенные условия определения зоны контакта и ее участков (4,2.16) — (4.2,18) позволяют находить не только моменты начала контакта частиц деформируемой среды с инструментом, но и, что, по мнению авторов, представляет больший интерес, моменты временного нарушения контакта, отхода материала от инструмента (так называемые зоны отлипания). Как оказалось, последние существуют во многих реальных процессах, причем учет зон отхода материала от инструмента приводит к существенному изменению результатов расчета напряженно-деформированного состояния среды.
Достаточно полное представление об исследованиях в области контактных задач, начиная с классической работы Г. Герца (1882 г.) и до середины 50-х годов нашего столетия, позволяют составить монографии [37, 110, 186]. В работах этого периода постановки контактных задач осуществлялись с введением существенных допущений (о детерминированности зоны контакта, направлении сил трения, независимости решения от истории нагружения и др.). Решение рассматриваемых контактных задач осуществлялось аналитическими методами (в частности, сведением к интегральным уравнениям). Несмотря на ограниченную область применимости разработанных методов аналитического решения, в работах данного периода решен ряд имеющих большую теоретическую и практическую значимость задач, получены полезные формулы, пригодные для инженерных расчетов. Результаты дальнейших исследований контактных проблем с использованием аналитических методов содержатся в монографии [33]. Дальнейший: прогресс в анализе контактных задач связан с широким использованием вариационного подхода и численных методов. Постанов- 158
кам задач для контактируемых жесткого штампа и деформируемого тела с гладкими поверхностями и сведению задач к вариационным неравенствам посвящены работы [82, 92, 97]. В работах [42, 157] вариационный подход используется для рассмотрения контактных задач с сухим трением для случая соприкосновения упругих полупространств. В достаточно общей постановке контактные задачи с трением рассматриваются в работах [53, 93]. В цитируемых работах одним из основных является допущение о малости перемещений, в силу которого пренебрегается искажением поверхности контактируемых тел. Направление распределенных нагрузок на поверхности контакта определяется по отношению к недеформйрованной конфигурации. Кроме того, в задачах с учетом трения на контактных поверхностях вектор касательных напряжений предполагается направленным в сторону, противоположную вектору конечного касательного перемещения. В работе [98] приведена постановка контактной задачи скоростного типа, в которой, однако, трение не включено.
Сведение контактных задач к вариационным позволило использовать достаточно хорошо разработанный аппарат вариационного исчисления [53, 75, 187] для математического обоснования пробле' мы (доказательств существования и единственности рассматриваемых контактных задач, а также доказательства сходимости приближенных решений). После приведения к вариационным неравенствам последние заменяются эквивалентными задачами минимизации. Наконец, с использованием тех или иных методов дискретизации (например, метода конечных элементов) исходная контактная задача приводится к задаче нелинейного программирования, решение которой осуществляется одним из известных эффективных методов [9, 139, 175, 181]. Некоторые алгоритмы решения контактных задач приведены в работах [10, 94, 174].
Глава 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ
Возникающие в различных отраслях прикладные задачи упругопластичности с большими пластическими деформациями являются существенно нелинейными, причем физическая нелинейность значительно осложняется геометрической нелинейностью. Решение подобных задач требует использования достаточно эффективных методов линеаризации нелинейных проблем и решения линеаризованных задач. Изложению указанных вопросов и посвящена настоящая глава. Следует отметить, что выбор метода линеаризации в большинстве случаев субъективен. Последнее, по мнению авторов, обусловлено двумя обстоятельствами, Во-первых, в существующих в настоящее время работах по методам линеаризации во многих случаях отсутствует необходимая информация как по постановке, так и по реализации численного решения (данные о материале, используемых сетках, времени счета, быстродействии ЭВМ и т. д.). Второе, и, пожалуй, главное, заключается в трудностях детальной разработки каждого из методов (что, естественно^ «привязывает» к нему исследователя), в создании методов и приемов ускорения сходимости алгоритмов интуитивно, на уровне искусства. Поэтому когда исследователь сопоставляет два метода, одному из которых посвящено несколько лет, а второму, взятому для сравнения,—— в лучшем случае несколько месяцев,то вопрос об эффективности решен однозначно уже априори. В связи с этим авторы, предлагая здесь разработанную и используемую в течение ряда лет методику решения задач упругопластичности, не берутся утверждать ее абсолютное преимущество перед другими,
Обобщенное решение задачи упругопластичности
Существующий в настоящее время математический аппарат решения краевых задач, подобных поставленным в гл. 4, не позволяет получить их классическое решение. В связи с этим в данном разделе рассматривается обобщенное (слабое) решение задачи упругопластичности для различных постановок, приведенных выше. Для получения обобщенного решения в механике сплошной среды широкое распространение получили вариационные принципы [14, 63, 78, 111, 125, 243, 258 и др.].
Геометрически нелинейные задачи в этом смысле также не представляют исключения. Обзор вариационных формулировок геометрически нелинейных^ задач содержится в работах [131, 248]. Различные формулировки для инкрементальной теории пластичности приведены в работах [202, 231]. В работах [134, 245, 246$
рассматриваются вариационные формулировки задачи упругопластичности в скоростях. Вариационное уравнение, сформулированное как в эйлеровой, так и в лагранжевой формулировках, основано на введении потенциального представления скоростей напряжений. В работах содержится также двойственная формулировка, являющаяся аналогом принципа Рейсснера в линейной теории упругости. С использованием предположения о существовании потенциала для яуманновской производной тензора напряжений Коши в работах [193, 194, 195] формулируются вариационные уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопластических проблем, подобные принципам Ху—Вашизу, Хеллин- гер а—Рейсснер а и дополнительной энергии в теории упругости. В указанных работах, а также в статье [233] отдельно рассматривается вопрос о реализации условия несжимаемости. Некоторые примеры решения геометрически нелинейных упругопластических задач с использованием вариационного подхода содержатся в работах [204, 215, 233, 246 п др.].
Для рассматриваемых в предлагаемой работе задач отсутствуют экстремальные вариационные принципы. Вариационные уравнения, получаемые из условий стационарности соответствующего вариационного функционала, по существу, аналогичны уравнениям для обобщенных решений с использованием метода Галеркина [73, 115, 167, 216], который и был использован в настоящей работе.
Напомним вкратце суть метода Галеркина [34, 120, 167]. Пусть Х> У — сепарабельные гильбертовы пространства, / : X f f У ——произвольный оператор с областью определения 勿(Л) U U X, всюду плотной в 玄， 历(Л) и У —— область значений. Заметим, что в качестве X н У в прикладных задачах часто выступает одно и то же гильбертово пространство, например Wl. Пусть для фиксированного элемента у ЕЕ Л (А) необходимо найти о 三勿 ⑷，удовлетворяющий уравнению Ах = у.
Приближенное решение данного уравнения согласно методу Галеркина отыскивается следующим образом.' Введем Ф = ={牝}之1, 4r = {屮j}JLi — счетные множества линейно независимых элементов, полные соответственно в ® ⑷ и Я Х4).
В силу полноты Ф решение х можно представить в виде линейной комбинации элементов (рг: х— £ «押” Если потребовать ортогональности невязки / = Ах — у ко всем элементам полной системы {%},
(/,⑦)=0,7 = 1,2,...,
то единственным элементом / в силу полноты 4r является нулевок элемент, / = 0 (здесь 0 — элемент Я (/)). Если в последнее уравнение подставить выражение х в виде линейной комбинации q)j, X = 1, 2, . . ., то приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений (линейных или нелинейных в зависимости от
■оператора 4). В силу невозможности реализации решения подобной системы для определения, приближенного решения вводятся линейные конечномерные подпространства Фп и Т^, порождаемые соответственно подмножествами элементов {恥}忆〔и {屮)&「 Приближенное решение в соответствии с методом Галер кина ищется в виде
п
=2a死
из условия ортогональности невязки /п = Ахп — у к элементам {屮"；=匸(/^ - 沙,电)=0, / = 1,冷
Введем, следуя работе [109], некоторые векторные пространства. Заметим, что в настоящей работе рассматриваются только фу и кци он а льные пространства вещественных функций, однако рассмотрение может быть легко обобщено на пространства комплексных функций. Будем рассматривать вначале постановку скоростного типа (4.1.27)——(4.1.41); обозначения областей и частей границ идентичны принятым в гл. 4. Под С°° (Qz) будем понимать V^ пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций, определенных на Введем подпространство
Zi = (u С°° (Q‘)I и J t = 0}
и его замыкание по норме векторного пространства Соболева w； (Q')：
丛=[4何)几們・
Отметим, что W； (Q») — гильбертово пространство [109], а % — его подпространство (которое можно рассматривать как пространство). Обозначим: Z2 = {u М С00 (◎')}, Л =区^尸&勺 Для скалярных функций подобные пространства обозначим следующим образом:
У = {ф е С00 (2Z) I <р |s< = 0}, G = [y]wgt)， 统「0停3).
При этом /^ = W； (О'), G； = Wl (Q^) в случае, если й1 — звездна; Z] U Z2，H1 U <4, G U G；. Далее, потребуем, чтобы граница S’ области и функции v и 0, определенные на S； и S；, допускали продолжение в Q' соответственно в виде вектор-функции 忌三 J^ fa скалярной функции W G；.
Обобщенным решением задачи (4.1.27)—(4.1.41) будем называть пару функций {v, 0}, V R J^, V —五三 ％, О Е 后，О —攵三
E G, удовлетворяющих V7 соотношениям
\ VhT : [^ : Vv -|—^- (о- Vv — о-VvT — VvT-o> — Vv・b)+
+ Q(Vv)-o-a-Q(Vv) + (V-v)a]dQ( = § h-[f +
Sa
+ T(V• v)n-o(n-Vvn)] dSg 十、h-[F + F(V-v)]dQ‘ 一
一\ VhT : [^0 + Л] dQ^(5.1.1>
Vh e Ih, VgwG.Vh e Ih, VgwG.\ \gQ — Vg.(A,V0) —gey©] dQl + \ g^dS； —
Vh e Ih, VgwG.
Vh e Ih, VgwG.
(5.1.2》
В формулировке обобщенного решения (5.1.1)—(5.1.2) предполагается Nt известными конфигурация, напряженное и дефор* мированное состояния, для определения которых используются соотношения (4.1.40), (4.1.30), (4.1.41). Как обычно в обобщенном, решении, ряд уравнений, входящих в постановку задачи, предполагается выполняющимися точно, остальные — в обобщенном смысле. Здесь будем полагать выполняющимися точно соотношения (4,1.28), (4.1.30), (4.4.36)—(4.4.39), условия (4.1.31), (4.1.3 3) удовлетворяются за счет выбора класса функций, на котором ищется решение, уравнения (4.1.27), (4.1.29), (4.1.32), (4.1.34), (4,1.35) удовлетворяются в обобщенном смысле.
Напомним, что одним из основных преимуществ обобщенного3 решения является понижение порядка входящих в него производных искомых функции. Как видно из структуры (5.1.1)—(5.1.2), обобщенное решение рассматриваемой здесь задачи упругопластичности включает производные (обобщенные) по пространственным переменным порядка не выше первого.
Полагая, что существуют и единственны как обобщенное, так и классическое решения поставленной задачи упругопластичности (4.1.27)—(4.1.41), установим связь между ними.
Теорема 5.1. Классическое решение задачи (4.1.27)—(4.1.41) является м ее обобщенным решением.
Доказательство. Пусть функции v и О являются классическим решением данной задачи. Будем рассматривать некоторый произвольный фиксированный момент времени 力，поэтому в дальнейшем индекс t можно опустить. Вначале остановимся на соотношении (5.1.1).
Умножаем скалярно соотношения (4.1.27) и (4.1.32) на вектор- функцию h W %, интегрируем соответственно по Q и Sa и вычитаем из первого полученного выражения второе:
Sh・[V・6 —卡・(v・V(y) + *—v?F]dQ— , h・(n・6)dSo +
+ \ h-[(Vv-n)*o — (n-Vv*n)n-o4- T] dS^ 0.
С удетом эквивалентности (4.1.27) и (4.1.16) последнее соотношение можно переписать в виде
^h*[V-g — Vv : Vo + "]dQ — \ h・(n・6)dSo +
aSo
+ \ h-[(Vv-n)-o — (n-Vv-n)n-ff 十 T] Й5а = 0.(5.1.3)
Преобразуем первый член объемного интеграла:
5h-[V.ff]<ZQ = J [V.(h.d) — (Vh)T :a]dQ= J n.(d-h)dSa —
QQSg
—，(％)T：ddQ.(5.1.4)
Для понижения порядка производных (устранения членов, содержащих производные тензора Коши по координатам) введем непосредственно проверяемое соотношение
,h-(Vv : Vo)dQ =，{十・NvT・a・h] — (Vv<Vh): oT —
—V-[(t-h(V -v)] 4~ (V-v)oT ; Vh -J- (V-o)-h (V・v)}dQ・ (5.1.5)
Тогда, используя теорему Гаусса—Остроградского и эквивалентность (4.1.27) совместно с (4.1.37) уравнению равновесия (2.1.26), интеграл от второго члена объемного интеграла (5.1.3) можно представить в виде
—\ [h•(年V :寸b)]dQ=，[n• о(V• v) — n*VvT• a]• hd5 +
十 \ [(Vv-Vh) ；aT —(V-v)a:Vh + F.h(V-v)JdQ. (5.1.6)
Подставляя (5.1.4), (5.1.6) в (5.1.3), получаем
，h*[n*a (V*v) — (n・ Vv ・n) n・(y 十 T] dS0 十、h ・F dQ —
—§ VhT :ddQ + g (Vv-Vh) ： oTdQ — ^(V*v) (aT : Vh)dQ 十
+ $[F-h(V.v)j t/Q^O.(5.1.7)
Воспользуемся соотношениями, справедливыми для произвольных тензоров второго ранга А, В, С:
А:В = В : А = АТ ：вТ = В—АЛ
(А・В):С = (В・С): А = (С・А):В.
Тогда
(V*v) (от:寸h) = (V・v) (0h)T： (от)т = (V. v) (VhT: a),(5.1.8)
(Vv-Vh): o= (a*Vv): Vh = VhT: (o-Vv)T =
= VhT： (VvT.aT) = VhT： (VvT-a),(5.1.9)
где использована симметрия тензора напряжений Коши.
Используя соотношения (5.1.8), (5.1.9), из (5.1.7) имеем
$ VhT : [a + (V• V)a — VvT• о]dQ = \ h•仔+『(？・▼)—
—n • 5 (n • V v • n)] dS(y +，h・[F + F (V-v)] dQ.(5.1.10)
Наконец, используя определяющее соотношение (4.1.47), или эквивалентное соотношение (4.1.28), из (5.1.10) получаем (5.1,1).
Аналогичным образом, умножая (4.1.29) на функцию g 三 &, интегрируя по объему и вычитая проинтегрированные по S произведения (4.1.34), (4.1.35), получаем
§g ["(病®) + Q — су©] dQ + \ g [亨一入(n'^©)] &S% —
—J g [a (0 - ©oo)X (n. V0)] d53 = 0.(5.1.11)
Введем вспомогательное соотношение
$ g [V. (XV©)] dQ = J [V. (XgVQ) — Vg. (XV0)] dQ.(5.1.12)
Подставляя (5.1.12) в выражение (5.1.11), используя теорему Гаусса—Остроградского и определение подпространства G, получаем (5.1 ⑵，что и завершает доказательство теоремы.
Заметим, что входящие в оператор Гамильтона производные по пространственным переменным понимаются как обобщенные производные. При этом для функций(V, 0), являющихся классическим решением (или удовлетворяющих соответствующим требованиям гладкости), существуют производные в обычном смысле, которые совпадают с обобщенными.
Для установления эквивалентности обобщенного и классического решений (в случае существования последнего) сформулируем и докажем теорему.
Теорема 5,2. При удовлетворении требований на гладкость обобщенного решения {% 0} (5.1.1)—(5.1,2) (v 三 С1*3, 0 W С1*2)
последнее является также классическим решением задачи (4.1,27)— 偉・7・，)・
Доказательство. Напомним, что согласно определению обобщенного решения необходимо показать, что из (5.1.1) — (5.1.2) следуют (4.1.27), (4.1.29), (4.1.31)—(4.1.35), все остальные соотношения поставленной задачи (4.1.27) —(4.1.41) полагаются выполняющимися точно. Остановимся вначале на уравнении (5.1.1).
Объединяя интеграл левой части (5.1.1) с последним интегралом правой части и используя (4.1.28), получаем
,VhT：[<r+ (V-v)o —VvT-o] <ZQ= \ h-[t + f (V-v) —
Q.s0
—n.<T(n-Vv.n)]d5a +Jh-[F4-F(V.v)] dQ.(5.1.13)
С учетом (5.1.8) и (5.1.5) имеем
$ (^. v)(VhT :(T)dfi = J (V.v)(oT : Vh)dQ = J {h-(Vv : Vo) —
—V-[VvT*O'h] + (Vv-Vh): oT + V■ [(<у• h)(V- v)]—
—(V<G).h(V.v)} dQ.(5.1.14)
Из соотношений (5.1.4) и (5.1.9) следует:
$ VhT ：ddQ= $ h-(n-(r)d5a—$h.(V-d)<7Q,(5.1.15)
\6hT；«vT.(T)dQ = \(Vveh)：odQ.(5.1.16)
Подставляя (5.1 Д4) —(5Л.16) в левую часть (5.1,13), после некоторых преобразований получаем”
$ VhT:[o+ (V.v)(r—VvT.o] 〃Q =
=、上•— (Vv ・n)・6 + n-о (V-v)] dSG +
So
+ \ h・Nv ; Ya — V-о — (Ea)付• v)] dQ・(5.1.17)
Q
Подставляя (5.1.17) в (5.1.43), имеем
^h'[V«o— Vv : Vo + (V-o)(V-v) 4
+ F + F (V-v)]dC — \ h -[n-o — (Vv ・n)•。十 n '©(V-v)—
—T — T(V*v) + n • a (n • V v * n)] d5g = 0.(5.1.18)
Соотношение (5.1.18) справедливо Vh 三 Hx. Тогда, полагая h — 0 почти всюду на §◎, получаем, что подынтегральное выражение объемного интеграла равно нулевому вектору в Q в смысле распределений, а при выполнении указанных требований по гладкости ——нулевому вектору в смысле чебышевской метрики.
Обозначая а = V*o -|- F, а = V• v, имеем тогда с учетом (4.1.15)
曲/d力 + eta = 0. (5.1 Л9)
Отсюда получаем
а = а© 叫 (5.1.20).
Из формулы (5.1.20) с учетом начального условия (4.1.37) имеем
а = ^・о + ^ = 0 V%M(0, 8)? (5.1.21)
так что в объемном интеграле можно исключить сумму (V-o)« • (V • V)+ F (V< v). Таким образом, из (5.1.1) следует (4.1.16) или эквивалентное ему уравнение (4.1.27). !
Теперь в соотношении (5.1.18) объемный интеграл равен нулю. Полагая вектор-функцию h отличной от нулевой на 5а, аналогичным образом доказываем выполнение силовых граничных условий в скоростях (4.1.32). Напомним, что кинематические граничные условия (4.1.31) следуют из определения Н1 и ограничения на искомые функции v — а ЕЕ 4r
Подобным образом доказывается, что из выражения (5.1.2) следуют соотношения (4.1.29), (4Д.34), (4.1.35), выполнение граничного условия (4.1.33) достигает выбором подпространства G.
Решение уравнений (5.1.1) —(5.1.2) доставляет информацию о скоростях перемещений, напряжений, деформаций, температур в дюбой рассматриваемый момент времени. Определение перемещений (а следовательно, конфигурации W，напряжений, деформаций и поля температур осуществляется интегрированием с использованием описанной в разд. 5.2 процедуры.
Как отмечено ранее, в -^некоторых случаях определенные преимущества имеет формулировка и решение задач упругопластичности в терминах отсчетной конфигурации, постановка которой приведена в разд. 4.1. Напомним, что здесь рассматривается постановка и обобщенное решение только краевой задачи упругопластичности, оставляя в силе обобщенное решение (5.1.2) задачи теплопроводности.
По аналогии с приведенным выше введем необходимые пространства для построения обобщенного решения в терминах отсчетной конфигурации пространства. Пусть, как и ранее, Q U U «з _ ограниченная область, 5 — ее граница, Q = Q U 5; V7 *§ = М； U М^・ Предположим, что требуется исследовать поведение деформируемой среды на интервале (0, т). Обозначим через •27 = 8 х (0, т) и QSC = 5 х (0, т) цилиндр и боковую поверх-
ность цилиндра в четырехмерном пространстве. Введем пространство С°° бесконечно дифференцируемых по пространственным пе^ ремённым вектор-функций и (目，力)почти всюду на (0, т). Аналогично приведенному выше через 方 обозначим подпространство С°° вектор-функций, удовлетворяющих (4.1.63) почти всюду на (О, т), а через 片 — замыкание 審 по норме векторного пространства Соболева W；. При этом полагаем, что в Н^ как и ранее в Нъ определено скалярное произведение, т. е. Й1 можно рассматривать как гильбертово пространство. Норму в % будем обозначать как [I -丨悟j а скалярное произведение элементов х，у 三 庁】 一 как <х, у>.. о
Наконец, введем гильбертово пространство 厶 (0, т;力J [109], скалярное произведение и норма в котором определяются следующим образом Vx, у w 厶(0, т;育J:
(х» У)厶(о, т； но — $ (х 传),У 传)〉&厶(5.1.22)
旧開…毘尸由x(大)%或广.(5.1.23)
о
Отметим, что все свойства скалярного произведения и нормы для введенных соотношениями (5.1.22) и (5.1.23) скалярного произведения и нормы в 厶2 (0, Т； Н^) выполняются [36], в частности, справедливы неравенства треугольника и Коши—Буняковского.
Обобщенным решением задачи (4.1.55)—(4.4.66) будем называть вектор-функцию v Е 厶(0, т;瓦)，удовлетворяющую почти всюду в 勿 уравнениям (4.1.56)—(4.1.62), для которой Vh W 三 厶2 (0, т; 勾!)справедливо соотношение
、，代г • VhT):(家:Й)] d0山 + \ \ [(Vv • VhT):尤 + h •市]戒山一 。5。6
—$ $ h-Td^dt + J \ [(Vr-VhT):(為© 十方)]〃。或=0.
w0 й
(5.1.24)
При этом начальные условия (4.1.65), (4.1.66) предполагаются выполняющимися; условия (4.1.63) удовлетворяются в силу определения 百1, причем значения функции на 月^, понимается в смысле следа функции на J勿.Заметим, что индекс 方 в обозначениях частей границ здесь сохраняется: хотя граница 5 остается неизменной, в рассматриваемых задачах в одних и тех же точках границы 5 тип граничных условий может меняться.
Аналогично приведенному выше могут быть доказаны утверждения о том, что классическое решение задачи (4.1.55)—(4.1.66) является ее обобщенным решением, и наоборот ——что обобщенное решение при определенных требованиях гладкости (v 三 С1'3) является классическим.
Для реализации полученных обобщенных решений может быть использован, вообще говоря, любой из известных численных методов. В настоящей работе для этой цели был выбран хорошо зарекомендовавший себя в линейных и нелинейных задачах механики сплошных сред метод конечных элементов. Методике решения, основанной на методе конечных элементов, посвящен следующий раздел.
Методика решения краевой задачи термоупругопластичности
Приведенные в разд. 5.1 уравнения для обобщенных решений краевой задачи термоупругопластичности существенно нелинейны, что значительно усложняет реализацию этих решений даже с использованием современных вычислительных методов и быстродействующих ЭВМ. При этом следует отметить, что решение только одной задачи исследования напряженно-деформированного состояния материала в любом технологическом процессе имеет ограниченную ценность с практической точки зрения. По существу, главной целью решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела в большинстве случаев является оптимизация технологических процессов или конструкций, что требует многократного решения соответствующих прямых задая. В связи со сказанным важным представляется вопрос о построении достаточно эффективных вычислительных процедур нахождения обобщенных решений.
Одна из нелинейностей рассматриваемой задачи обусловлена ее связанностью: в задаче упругопластичности фигурируют температурные деформации, неупругие деформации являются, вообще говоря, функционалами не только от истории деформирования, но и от температурного режима; с другой стороны, в задаче теплопроводности конфигурация области, граничные условия, тепловые источники определяются напряженно-деформированным состоянием исследуемой области.
Для решения связанной задачи используется итерационная процедура, состоящая в следующем [138]. Весь процесс деформирования разделяется на ряд достаточно малых этапов. На каждом этапе вначале решается краевая задача теплопроводности с нулевыми источниками, конфигурация области, тип граничных условий определяется на первой итерации ?г-го этапа решением задачи упругопластичности последней итерации (п ——1)-го этапа. Полагая, что зависимость физико-механических характеристик от температуры имеет вид функций, решается задача упругопластичности с использованием температурного поля данной итерации, определяется напряженно-деформированное состояние, тепловые истоя-
1691696 А. А. Поздеев и др.
169
169
ники, переопределяются граничные условия. Затем вновь решается задача теплопроводности и т. д. Итерационная процедура на рассматриваемом этапе деформирования считается завершенной, если достигнута достаточная близость (в смысле той или иной метрики) результатов решения на двух соседних итерациях.
Таким образом, на каждой итерации краевые задачи теплопроводности и упругопластичности рассматриваются, по сути дета, отдельно. Поэтому остановимся на методах решения каждой из них в отдельности. Начнем, по мнению авторов, с более сложной— краевой задачи упругопластичности. Следует отметить, что в настоящее время отсутствуют методы, ориентированные на геометрически нелинейные задачи упругопластичности, поэтому для решения последних используются методы и алгоритмы, хорошо разработанные в инфинитезимальной теории пластичности.
Для решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела обычно используются два подхода. Первый основан на применении проекционных методов (конечно-pазностных, вариационно-разностных и т. д.) непосредственно к сформулированной нелинейной проблеме [96, 127, 190, 225]. Получаемая в результате система нелинейных обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений в дальнейшем решается известными методами вычислительной математики [73, 95]. Во втором, традиционном для механики деформируемого твердого тела подходе вначале осуществляется линеаризация исходной нелинейной задачи, после чего для решения линеаризованной задачи ирилгеняются аналитические или численные методы. С математической точки зрения указанные подходы аналогичны друг другу. Здесь будем рассматривать только прямые методы решения, сводящие исходную задачу к системе алгебраических уравнений.
Существующие в теории пластичности методы линеаризации^ обзоры которых содержатся в работах [4, 58, 62, 99, 131, 138, 158, 164, 192, 201, 217, 244, 256 и др.], можно разделить на две большие группы. В первой группе процедура решения строится аналогично методу Ньютона решения нелинейных алгебраических уравнений и связана с необходимостью переопределения на каждой итерации матрицы коэффициентов системы уравнений, К методам первой группы относятся метод переменной жесткости (или метод, касательной жесткости) [222, 227, 230, 265], метод переменных параметров упругости [164].
Ко второй группе относятся методы, основанные на идее метода Ньютона^-Канторовича решения нелинейных алгебраических уравнений. К этой группе относятся такие широко распространенные в теории пластичности методы, как метод упругих решений А. А. Ильюшина [20, 21, 64, 76,184], метод начальных напряжений [219, 266], метод начальных деформаций [4, 17, 18, 164]. При использовании прямых методов в сочетании с методами линеаризации второй группы матрица системы алгебраических уравнений на итерациях каждого шага нагружения не изменяется, что является основным преимуществом, методов второй группы. Данное обстоя
тельство позволяет существенно сократить время решения системы линейных алгебраических уравнений при использовании методов типа метода Гаусса, так как для каждого этапа нагружения прямой ход достаточно сделать лишь один раз. При использовании итерационных методов решения системы алгебраических уравнений это преимущество теряется. Другим достоинством методов второй группы является возможность использования более крупных {по сравнению с методами первой группы) шагов по нагрузке. Ъднако это преимущество невозможно реализовать в геометрически нелинейных связанных задачах, где шаг по нагрузке обычно лимитируется необходимостью переопределения граничных условий и существенной зависимостью коэффициентов уравнений от температуры. В силу сказанного, а также учитывая собственный опыт решения прикладных задач упругопластичности, авторы отдают предпочтение методам первой группы. Методика решения задач упругопластичности подробно описана ниже.
Особое место в нелинейной механике деформируемого твердого тела занимает метод CH-ЭВМ А. А. Ильюшина [65, 69т 70]. Согласно методу CH-ЭВМ каждой частице материала исследуемой области вместе с окрестностью, напряженно-деформированное состояние которой можно считать однородным, ставится в соответствие совокупность макрообразцов. При решении задачи на ЭВМ определяющие соотношения записываются в достаточно общей функциональной форме. Весь интервал нагружения разбивается на ряд малых этапов. На каждом этапе первая итерация осуществляется с использованием упрощенных определяющих соотношений (например, теории упругости или теории малых упругопластических деформаций).
Определив из решения задачи траекторию нагружения для каждой частицы (с окрестностью), на машине СН (сложного нагружения) на одном из образцов соответствующей каждой частице серии проводим нагружение по данной программе для установления конкретного вида функциональной связи напряженийт деформаций и т. д. Если траектории деформации, полученные теоретически и экспериментально, достаточно близки (в смысле введенной метрики), то принятые на данной итерации определяющие соотношения считаются справедливыми и используются на следующей итерации. В противном случае на следующей итерации применяются опр еде л яющие соотношения, полученные из опыта на макрообразце серии, отвечающей данной частице. Процесс итерирования на данном этапе нагружения завершается по условию выполнения близости траекторий деформации (и при необходимости других параметров, определяющих состояние материала) для всех частиц. После этого осуществляется переход к новому этапу нагружения. Аналогичный процесс решения может быть построен с использованием кинематической машины СН.
Метод CH-ЭВМ в принципе предоставляет возможность решения различных достаточно сложных задач механики деформируемого твердого тела, включая задачи термоупругопластичности. Однако
в настоящее время известны лишь немногочисленные примеры его применения в теории пластичности [6——8], что обусловлено трудностью реализации метода. В связи с этим большее распространение получил так называемый теоретический CH-ЭВМ метод (или метод корректирующего анализа) [72,108]. В методе корректирующего анализа этап экспериментального определения вида функциональной зависимости между параметрами, описывающими состояние материала, заменяется выбором из имеющихся в наличии частных теорий пластичности соответствующей процессу нагружения данной частицы (с окрестностью). Некоторые результаты применения метода корректирующего анализа и практическая сходимость метода рассматриваются в работах [24, 26—29, 91].
Наряду с вопросом о выборе эффективного метода линеаризации немаловажным представляется и выбор метода решения линеаризованной задачи. Исходя из поставленной в настоящей работе конечной цели — решения разнообразных достаточно сложных прикладных задач термоупругопластичности,— к выбору последнего можно предъявить следующие требования: 1) универсальность; 2) алгоритмичность (т. е. легкость построения алгоритмов и их реализации на ЭВМ, наличие разработанных стандартных блоков и подпрограмм и т. д.); 3) эффективность (с точки зрения затрат времени счета на ЭВМ); 4) существование математического обоснования (доказательства сходимости метода, оценки ошибок и т. д.); 5) ясность физической интерпретации результатов. Как уже отмечалось, в настоящее время отсутствуют аналитические методы решения задач, аналогичных рассматриваемьш в предлагаемой работе. Существующие аналитические методы решения задач теории упругости (см., например, [111, 123, 129, 133]) применимы лишь к ограниченному кругу задач, обычно для областей канонической формы, что делает их малопригодными для анализа линеаризованных задач.
Достаточно подробно существующие приближенные методы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела описаны в монографиях [82, 115, 136 и др.], поэтому здесь содержится лишь краткая справка о сути методов, их достоинствах л недостатках.
Исходным пунктом приближенного решения краевых задач является дискретизация континуума, т. е. переход от бесконечного числа степеней свободы, которым он обладает, к конечному. С этой целью в бесконечномерном пространстве искомых функций вводится конечномерное подпространство и в последнем определяется элемент наилучшего приближения [34]. В качестве последнего обычно выступает проекция [34] искомого решения на введенное конечномерное подпространство, поэтому основанные на данном подходе методы часто называют проекционными [35]. Разнообразие проекционных методов порождается возможностью различного выбора критерия близости искомого решения от конечномерного подпространства приближенных решений.
Одним из наиболее распространенных проекционных методов
является метод взвешенных невязок. Под этим общим названием объединены [216] пять широко известных проекционных методов: Галеркина, коллокации, наименьших квадратов, подобластей и моментов. Пусть исходная краевая задача сведена к операторному уравнению (см. разд. 5.1)
4n (Р) — у (Р) = 0, (5.2.1)
где через Р обозначена совокупность независимых переменных. В проекционных методах решение задачи ищется в виде
%n (Р)=。疗(Р), (5.2.2)
где а?(2 = 1, W) — искомые неизвестные коэффициенты (или функции одной из переменных); cpf (Р) (г = 1, N)——полная система известных функций из введенного конечномерного подпространства размерности N. При подстановке (5.2.2) в (5.2.1) в силу приближенности решения появляется невязка г (Р) = Ах^ (Р)—— 一 y 仍)，или
Г(Р)=^А [〃《' (Р)] - у (Р). (5.2.3)
Пусть Q — область изменения независимых переменных;屯(Р) —■ совокупность линейно независимых функций, называемых взвешивающими функциями. Согласно методу взвешенных невязок требуется, чтобы интегралы от произведений ^； (Р) и невязки г (Р) (так называемые взвешенные невязки \^j (?) были равны нулю:
\ 电(Р) г (Р) dQ и \ 屯(Р) {Л【&d (Р)] - у (Р)} &Q =0 VWj (Р).
Последние соотношения представляют собой систему уравнений для определения。储 число уравнений равно числу взвешивающих функций. Понятно, что число ^j (Р) должно совпадать с количеством неизвестных коэффициентов, т. е. j = 1, М
Метод Галеркина рассмотрен в предыдущем разделе. Более детальное изложение, а также вопросы математического обоснования метода содержатся в работах [73, 115, 120]. Обзор работ по применению метода Галеркина приведен в работе [32].
В методе коллокации в качестве критерия наилучшего приближения принимается близость приближенного и точного решений в конечном числе точек ?丁 из области изменения независимых переменных, т. е. требуется точное выполнение уравнения (5.2.3) в точках 匕：
г (匕)=4 [а^ (尸川 一 у (匕)=0, 7 = G. (5.2.4)
Уравнения (5.2.4) могут быть получены аналогично разрешающим соотношениям метода Галеркина при выборе в качестве взвешивающих функций дельта-функции Дирака: ^j = 8 (Р — Р；).
Представление метода наименьших квадратов как частного случая метода взвешенных невязок представляет некоторые трудности. В случае, когда 的 являются функциями некоторых из неза-
висимых переменных Р, показать это не удается [216]. Если же 仪与一константы, то, выбирая взвешивающие функции в виде 电=dr/dah нетрудно установить, что метод взвешенных невязок аналогичен в этом случае минимизации среднеквадратичных невязок Ф =~|- \ 产 dQ. Критерием наилучшего приближения в данном случае является норма в £? (Q) невязки решения.
В методе подобластей подобным критерием является норма в L (Q) по отдельным непересекающимся подобластям Q/UQ, U Qj = Q. Метод подобластей можно сформулировать как метод взвешенных невязок при выборе взвешивающих функций в виде
屮仍= Р 芸 Qj, 7 = 0-
Интересно отметить, что если в методе подобластей аппроксимировать искомые функции кусочно (т. е. отдельно в каждой из подобластей), добиваясь их совместности в отдельных точках (узлах) на общих границах замыкания подобластей, то получим соотношения для определения неизвестных коэффициентов, подобные конечноэлементным разрешающим уравнениям.
В методе моментов (иначе называемом обобщенным методом Галеркина, или методом Галеркина——Петрова) в качестве взвешивающих функций используются члены любой полной системы функций. В качестве последней выбираются обычно степенные или тригонометрические ряды, более подробно этот вопрос рассматривается в работе [101].
Метод взвешенных невязок занимает в прикладной математике и механике сплошной среды особое место по широте использования, универсальности. Однако непосредственное применение разновидностей метода взвешенных невязок при определении решения в виде (5.2.2) сопряжено с некоторыми трудностями в алгоритмизации, интерпретации результатов решения. При этом получаемая в результате использования того или иного метода система линейных алгебраических уравнений имеет целиком заполненную матрицу, что делает метод малоэффективным с точки зрения затрат времени счета. В то же время метод взвешенных невязок имеет достаточно полное математическое обоснование, применим к широкому кругу задач. Кроме того, метод взвешенных невязок может быть применен непосредственно к уравнениям поставленной задачи и не требует наличия вариационного аналога задачи, как при использовании вариационных методов. Поэтому представляется целесообразным использование метода взвешенных невязок в сочетании с методами локальной аппроксимации решения —— типа методов конечных элементов, сплайн-аппроксимации, конечных разностей. Подобный подход позволяет, сохраняя достоинства перечисленных методов, избавиться от указанных недостатков.
Весьма важную роль в решении краевых задач играли и играют вариационные методы [14, 22, 120, 121, 125, 258 и др.]. В вариационном исчислении важнейшим этапом является построение функционала, уравнениями Эйлера которого являются все или часть уравнений исходной краевой задачи (в последнем случае остальные уравнения выполняются точно). При этом на решении краевой задачи функционал принимает стационарное или экстремальное значение, что позволяет использовать для решения задачи разнообразные методы минимизации функционалов, в частности методы математического программирования. В настоящее время вариационный подход является, по мнению авторов, превалирующим в механике сплошных сред. Например, сформулированы и доказаны различные вариационные принципы теории упругости [1, 111, 129, 147, 166 и др.] и теории пластичности (кроме цитируемых в разд. 5.1 работ, посвященных вариационным уравнениям для геометрически нелинейных задач пластичности) [63, 74, 78, 125, 144, 203, 238, 240, 254, 255 и др.].
Отметим, что в большинстве работ, посвященных вариационному подходу к задачам механики сплошной среды, вариационные уравнения устанавливаются эвристически, с последующей проверкой эквивалентности сформулированного принципа исходной краевой задаче. Для случая положительных и положительно определенных операторов С. Г. Михлиным предложен общий метод построения функционалов [119]. В работах [257, 258] данный подход обобщен на случай линейно-сопряженных задач. Общий подход к определению вариационных функционалов для нелинейных задач с произвольными операторами в настоящее время неизвестен.
Для определения функций (или совокупности функций), доставляющих функционалу стационарное или экстремальное значение, наряду с методами математического программирования наибольшее распространение получили методы Ритца и Канторовича. Указанные методы подробно описаны в литературе (см., например, [73, 120, 121]), имеют достаточно разработанное математическое обоснование. Следует отметить, что указанные выше недостатки метода взвешенных невязок свойственны также и данным методам.
К дополнительному преимуществу вариационных формулировок, равно как метода Галеркина и метода моментов, следует отнести возможность понижения порядка производных в дифференциальных операторах краевой задачи, что позволяет снизить порядок аппроксимации искомых функций (т. е. расширить класс функций, в котором определяется решение). Вариационную формулировку, метод Галеркина и метод моментов можно трактовать как три различных подхода к определению некоторого интегрального аналога краевой задачи. Для решения полученного уравнения далее может использоваться любой из известных методов аппроксимации искомых функций и их производных (разностные методы, метод конечных элементов, сплайн-аппроксимация, раз-
ложение решения в ряд по собственным функциям оператора краевой задачи и т. д.)*
Из последних наиболее традиционными являются конечноразностные методы решения краевых задач. При применении непосредственно к уравнениям рассматриваемой краевой задачи разностные методы представляют собой отдельную группу методов, при использовании в сочетании, например, с вариационным аналогом или методом Галеркина их можно рассматривать как метод аппроксимации решения (в случае сочетания с вариационной формулировкой конечно-разностные методы называют вариационно-разностными) . Подробно конечно-разностные методы описаны в монографиях [39, 115, 146, 148, 149 и др.]. Основными достоинствами конечно-разностных методов являются: а) простота и универсальность; б) ясность физической интерпретации; в) достаточно строгое математическое обоснование; г) алгоритмич- ность, возможность использования хорошо разработанного аппарата линейной алгебры. К недостаткам методов следует отнести трудности, возникающие при аппроксимации граничных условий в задачах для областей сложной конфигурации, что, вероятно, является причиной ограниченного применения конечно-разностных методов для решения задач механики деформируемого твердого тела.
В последние два десятилетия чрезвычайно широкое распространение в механике сплошной среды получил предложенный Р. Курантом [206] метод конечных элементов (МКЭ). К настоящему времени теоретические аспекты и вопросы реализации МКЭ достаточно подробно изложены в многочисленных монографиях [38, 58, 88, 117, 131, 150, 159, 160 и др.].Метод конечных элементов обладает всеми достоинствами методов конечных разностей и лишен присущих последним недостатков. Кроме того, МКЭ обладает в настоящее время весьма мощным программным обеспечением, ориентированным на сложные краевые задачи механики деформируемого твердого тела; здесь МКЭ трактуется именно как специфический метод аппроксимации искомого решения кусочно-непрерывными функциями.
Остановимся вкратце на работах, посвященных применению МКЭ к геометрически нелинейным задачам упругопластичности. Сопоставлению лагранжевой (отсчетной) и эйлеровой формулировок посвящены работы [197, 231, 242], где обсуждаются недостатки и преимущества той и другой формулировок, показывается, что при надлежащем выборе определяющих соотношений оба подхода приводят к одинаковым результатам. Вопросы реализации МКЭ в рамках инкрементального подхода с использованием эйлерова подхода рассматриваются в статьях [208, 242]. Подробное изложение инкрементальных соотношений МКЭ с применением лагранжева подхода содержится в работах [217, 222, 227 — 229 и др.]. Вопросы точности и некоторые вычислительные аспекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [226, 230, 242]. Исследованию напряженно-деформированного состояния раз-
личных конструкций, в особенности пластин и оболочек, с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [43, 211, 224> 232, 262]. Наконец, в работах [210, 249, 260, 262, 264] рассматривается решение технологических задач упругопластичности, относящихся к обработке металлов давлением. Следует отметить, что в цитируемых выше работах используются определяющие соотношения, полученные из уравнений теории пластического течения заменой материальной производной тензора напряжений Коши на яуманновскую производную.
Перейдем к установлению разрешающих соотношений МКЭ для определенных в предыдущем разделе обобщенных решений. Для удобства последующей реализации конечно-элементных соотношений будем использовать индексную форму записи. Для этого введем некоторые обозначения. Ранее в разд. 4.1 введен тензор
Qg)= £ Г-фгй7^•d-p^pp，•
Определим его в произвольном базисе е£:
Qav) = (e「Q.ej)ed= £ Г-/^(p.-D-p^Z^eV - =Ж : Vv,
где
J 6qP营十0mJ 6qP营十0m22А = 0〃е〔 = р&-е； = /4ъ
J 6qP营十0m
J 6qP营十0m
2
2
С учетом введенных обозначений обобщенное решение (5.1.1) в компонентной форме (в базисе актуальной конфигурации) представимо следующим образом:
\ "j [沙①麻+皆(介8弋必一Мg%科-
-В"%办A -匈沛网油")十瓦，s毂's"GP汽鬲-
—瓦s發s〃哈i点自 + E^V^^dQ1- \百户加%."丛у -
g友团加陪由_ g?%№瓦泸泊ds：=
Sa
\ h^ as“ \ h^d^— \寸血(帝б十伪叮)磁.(5.2.5)
%
Получим соотношения МКЭ для типичного элемента с номером т (m = 1, М). Следуя известной методике [58] построения разрешающих конечно-элементных соотношений, компоненты вектора скорости в элементе могут быть выражены через обобщенные скорости，^'"(方)(а 三 А^1\ /(加)—множество номеров узлов в элементе т):
力严= Х")а(г),黑 We [0, т); R； rwQ"? (526) т
Обобщенные скорости с использованием (5.2.6) выражаются через компоненты вектора скорости в узлах 6严“ (? = 1, 3» а е А^), для чего в (5.2.6) вместо текущих координат необходимо подставить координаты узлов и разрешить полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно с^\ Тогда
0 =醞%?吗a三4(?0,
где 力!硏用一компоненты вектора скорости узла 卩.Подставляя последнее соотношение в (5.2.6), имеем
犷)=МГ《)務叫(5.2.7)
где m岁=X 严a а將’一 так называемая функция формы. Заметим, что функция формы удовлетворяет известным [58] свойствам: а) №*" (“3)= 0 при а 声 6； б) М『"(г卩)=6f
Компоненты градиента вектора скорости можно представить в виде
▽歩『)=А鍔&) $严％ f, j = О,(5.2.8)
где 4鶏"=г人T(г).
Следуя методу Галеркина, взвешивающие функции выбираем совпадающими с функциями, аппроксимирующими решение, т. е. VY
用叫(г,Х) = МГ'(г)用т)В«).(5.2.9)
Градиент вектора h аналогично (5.2.8) имеет вид
V/6)—兄&" (г)忌叫(5.2.10)
При 9ToM 方严匕 вообще говоря, произвольны; функции 方黑叱 соответствующие узлам границы S；, принимаем равными нулю (во избежании переопределенности системы разрешающих уравнений, поскольку на S^ скорости перемещений известны), поэтому в дальнейшем из множеств 力‘普?)исключаются номера узлов, принадлежащих S；. Следует отметить, что А^ изменяются в ходе процесса деформирования.
Используя (5.2.7)——(5.2.10) и произвольность fbi^^. из (5.2.5) получаем для всего ансамбля конечных элементов, аппроксимирующих исследуемую область (в дальнейшем индекс т для
компонент скоростей в узлах можно опустить, так как последние одинаковы для всех элементов, сходящихся в данном узле):
m=l Q(m“m=l Q(m“++МЩ = 1 Q(m) fМЩ = 1 Q(m) f-E^&9i -办岁)-評 A) +-E^&9i -办岁)-評 A) +
m=l Q(m“
m=l Q(m“
+
+
М
Щ = 1 Q(m) f
М
Щ = 1 Q(m) f
-E^&9i -办岁)-評 A) +
-E^&9i -办岁)-評 A) +
+ Er^qs№dri -瓦翔s/6qr +訳6叫碓加dQ叫琳—
7n=1 Q(m) t
-[e - \ МТ (疗咙К‘ 一/心芥版)川謬0 @S，m)[疏=
MAT
=e §瀰序dS牌+]、 №瘠余q.dQd —
тп=1 ^(т)'m=l Q(m)t
-£ $兄罂(翁gj6 +仿吗4Q(m)'，
Vi = n, Va 三(5.241)
где <4 ——множество номеров узлов (из которого исключены номера узлов, принадлежащих S*). Отметим, что суммирование в (5.2,11) по элементам следует понимать символически: из различных элементов суммируются члены, относящиеся к одним и тем же узловым переменным 力?，р = 1,3, § Е А.
От выражения (5.2.11) нетрудно перейти к матричной записи разрешающих конечно-элементных соотношений, «техника» такого перехода детально описана в имеющейся литературе но МКЭ (например, [58, 150]). Если обозначить через ｛沙｝ вектор- столбец компонент узловых скоростей (обычно принимается, что номер i-ro члена вектор-столбца, соответствующего 匕 определяется следующим образом: i=r (р ——1) + р, где г — размерность задачи); через [KJ [К2], [К3], [KJ — матрицы, определенные соответствующими членами в скобках левой части; через ｛Р｝—— ректор-столбец узловых нагрузок, соответствующих правой части (5.2.11), разрешающие соотношения МКЭ в матричной форме примут вид
[g] + g] + 回]+ 因]]｛。｝=俨｝. (5.2.12)
Отметимт что матрица [Ki] подобна матрице жесткости, получаемой в анализе малых упругопластических деформаций, в частности, она симметрична. Появление матриц [К2], [Хз]， [Х&] обусловлено учетом геометрической нелинейности, данные матрицы не обладают свойством симметрии. Вследствие этого несимметрична и суммарная матрица жесткости, что приводит к существенному увеличению объема потребной памяти ЭВМ.
Остановимся на алгоритме решения нестационарной задачи упругопластичности, в основу которого положено уравнение (5.2.12). Предварительным этапом работы алгоритма является аппроксимация исследуемой области, соответствующей моменту 才=0 (напомним, что время t выступает здесь в качестве параметра) и являющейся известной, сеткой конечных элементов. По известным начальным напряжениям и деформациялт (в случае необходимости ——и предыстории деформирования) определяются зоны упругого и пластического деформирования. Весь интервал нагружения по параметру t разделяется на ряд достаточно малых этапов (шагов)倍一厶 力],% = 1, /,力о = 0. Рассмотрим решение задачи для типичного шага нагружения. Отметим, что краевая задача теплопроводности может быть включена одним из пунктов алгоритма на каждой итерации линеаризации. Однако, как показывает опыт решения подобных задач, при достаточно малых шагах нагружения распределение температур и их производных по времени можно принимать совпадающими с полученными для конца предыдущего этапа нагружения. Поэтому в дальнейшем будем считать 0 и 0 на рассматриваемом шаге нагружения известными и неизменными. Алгоритм сразу ориентирован на использование ЭВМ, поэтому его описание соответствует блок-схеме программы.
Итерационный процесс по конфигурации области, являющийся внешним по отношению к итерационным процедурам по другим видам нелинейностей. На первой итерации конфигурация области совпадает с конфигурацией, определенной на последней итерации предыдущего шага нагружения.
Итерационная процедура по типу траектории деформации (малой или средней кривизны, излом). На первой итерации каждого шага соответствующие зоны определяются по кривизне траектории предшествующей деформации на длине 入，где 九 —— след запаздывания.
Внутренняя итерационная процедура по линеаризации определяющих соотношений при заданном типе частной теории пластичности для каждого элемента. Номер итерации обозначим через р.
Определение зон упругого и пластического деформирования по напряженно-деформированному состоянию с предшествующей, (р — 1)-й, итерации; определение упругопластических характеристик материала для каждого элемента.
Формирование матрицы жесткости и вектора правых частей, в частности узловых сил в зоне проскальзывания.
Задание кинематических граничных условий на контактных поверхностях, для чего используется известная процедура [58] перехода к локальной системе координат.
Решение системы линейных алгебраических уравнений (5.2.12)т определение вектор-столбца скоростей перемещений {?/")}・
Определение мгновенного напряженно-деформированного состояния (тензоров деформации скорости D, вихря W, спина Q, коротационных Н*, о* и субстанциональных Н, д производных тензоров Н и G).
Интегрирование полей скоростей тензоров напряжений и деформаций. Для интегрирования может быть использован любой из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе для этой цели применялась схема Крэнка—Николсона [146].
2Л.7. Проверка сходимости процесса по близости нормы разности скоростей, напряжений и деформаций на двух соседних итерациях к нулю, т. е. определяются величины
= И -[I = тaх [ ，-?
6三 A j—1
3
△о =|| o(r)— b(LD II = max [ £ (第―感т，]%, I•三◎' f，S=l
3
Ан = || Н⑺一Н“т)II = max [ 2 (五俄一 H^)^h, gd q,S=l
которые сопоставляются с заданными положительными числами ev, е0, 8口・ При выполнении каждого из условий А。V е», До V е0, AhVe^ осуществляется переход к следующему пункту алгоритма, в противном случае — возврат к п.2.1.1.
2\ Определение кривизны траектории деформации для каждого элемента^ разделение области пластического деформирования на зоны малой и средней кривизны и траектории с изломом. Проверка сходимости итерационного процесса по кривизне траектории. При удовлетворительной близости кривизны траекторий деформации, определяемой для двух соседних итераций (по типу определяющих соотношений), для каждого элемента осуществляется переход к следующему пункту, иначе ——возврат к п.2.1.
Iх. С использованием поля перемещений, полученного в п.2Л .6, определяется конфигурация области, соответствующая середине рассматриваемого этапа нагружения, переопределяются зоны контакта деформируемой среды с обрабатывающим инструментом, области идеального контакта (прилипания) и проскальзывания. При достаточной близости координат узлов и совпадении зон прилипания и проскальзывания на двух последующих итерациях конфигурация и зоны контакта определяются для конца интервала и осуществляется переход к следующему этапу нагружения.
В противном случае все пункты алгоритма, начиная с п. 2, повторяются. Заметим, что в случае больших деформаций возможно «вырождение» элементов. В этом случае перед переходом к следующему этапу нагружения производится перестройка конечноэлементной сетки.
Вообще говоря, построение алгоритма можно осуществлять иными способами, в частности, можно изменять последовательность вложенных друг в друга итерационных процедур. Приведенная здесь структура алгоритма получена эмпирически (путем численных экспериментов) и для рассматриваемого в настоящей работе круга задач представляется наиболее эффективной (с точки зрения точности и затрат времени счета). Для реализации алгоритма разработан пакет прикладных программ, ориентированный на ЭВМ типа ЕС-1050—1060. Однако даже на подобных, одних из наиболее мощных в настоящее время ЭВМ затраты машинного времени на решение прикладных нестационарных задач оказываются весьма значительными (ниже время счета будет указано для реальных задач). Существенно уменьшаются затраты времени счета при решении стационарных задач.
В случае рассмотрения процессов установившегося движения деформируемой среды использовался алгоритм, основанный на совместном эйлерово-лагранжевом подходе, показавший высокук> эффективность при решении стационарных геометрически линейных задач упругопластичности [138, 172, 173]. Основная часть алгоритма принципиально не отличается от вышеизложенного^ поэтому остановимся только на особенностях. Согласно эйлероволагранжеву подходу пространственная область, через которую движется деформируемая среда, покрывается сеткой конечных элементов, причем узлы сетки располагаются на линиях тока (совпадающих в стационарных процессах с траекториями соответствующих частиц). Решение задачи ведется в эйлеровых переменных, однако прослеживается движение каждой частицы (с неизменными Лагранжевыми координатами) через пространственную (эйлерову) сетку конечных элементов.
Алгоритм решения стационарных задач отличается от описанного выше только организацией итерационной процедуры по уточнению конфигурации области, этапы решения с п. 2 по п. 2’ включительно сохраняются практически неизменными. На первой итерации по конфигурации граница исследуемой (пространственной) области образуется поверхностью обрабатывающего инструмента, известными плоскостями (или осями) симметрии, заданными поверхностями входа материала в исследуемую область и выхода из нее. Положение свободных поверхностей задается приближенно, исходя из некоторых гипотез (сохранения объема, плоских сечений и т. д.). Аналогичным образом определяется положение линий тока на первой итерации. Расположение узлов вдоль линий тока на первой итерации устанавливается также с использованием приближенной гипотезы о сохранении объема таким образом, что за один и тот же промежуток времени каждая материаль-
яая частица, расположенная в узле сетки, переходит в следующий узел.
При выполнении п. 2——2’ прослеживается движение объемов деформируемой среды, расположенных в области входа в рассматриваемую область, вдоль линий тока. При этом рассматриваемые материальные объемы проходят через последовательно расположенные вдоль соответствующих линий тока пространственные конечные элементы. При интегрировании полей скоростей перемещений, напряжений и деформаций совершается переход к интегрированию по параметру, в качестве которого выступает длина дуги траектории рассматриваемой частицы.
В п. V с использованием полученных полей перемещений частиц, совпадающих с узлами конечно-элементной сетки на поверхности входа, уточняются линии тока (траектории частиц) и корректируется сетка конечных элементов. При этом положение узлов сетки вдоль линий тока, как отмечено выше, определяется таким образом, что за выбранный промежуток времени все частицы переходят из одного узла в следующий за ним на данной линии тока. Кроме указанных в п.1‘ критериев завершения итерационного процесса по конфигурации, в алгоритме для стационарных задач вводится дополнительный: требуется малость нормальной к линии тока составляющей вектора скорости в каждом узле сетки. При аппроксимации линий тока ломаными используется интегральный критерий: малой должна быть величина, равная интегралу от квадрата нормальной к линии тока составляющей скорости вдоль каждого участка ломаной.
Алгоритм решения стационарных задач требует для реализации в 5—10 раз меньших затрат времени счета на ЭВМ, чем алгоритм решения подобных нестационарных задач. Отметим, что для исследования установившихся процессов деформирования может быть использован алгоритм решения нестационарных задач в сочетании с процедурой метода установления.
Рассмотрим также конечно-элементные соотношения, основанные на обобщенном решении (5.1.24). Прежде всего несколько преобразуем выражение для материальной производной Н (4.1.57). Введем обозначения:
历"=kr ij = ktpj = m^ =济"，
危)=k「冉=k『^ =余？ = m4(5.2.13)
С учетом (5.2.13) компоненты Н в базисе кг можно представить следующим образом:
瓦s =n.rims^^Din + £ (^""寿一1) X
X汾和济排J诊"切匕n.(5.2.14)
При решении реальных задач целесообразно использовать единую декартовую ортогональную систему координат, в которой компонентная запись (4.1.61) выглядит следующим образом:
(5.2.15)(5.2.15)
(5.2.15)
(5.2.15)
В данном случае решение определяется в лагранжевых переменных (й1, а2, а3,力).Аппроксимируем декартовы компоненты радиус- вектора частицы в актуальной конфигурации г = xj^ внутри типичного конечного элемента:
a*)(Ro") = *”a(Ro)3r)G),区，(5.2.16)
т
где 勺黑 (扌) —— обобщенные координаты, являющиеся функциями времени. Тогда компоненты и^ вектора скорости перемещений V = и：к' в элементе m определяются как
建)(Ro,方)=文严a (R。)君)(力)，区，(5.2.17)
где q^ ⑴一обобщенные скорости.
Аналогично изложенному выше, компоненты скорости перемещений в элементе можно выразить через компоненты скорости в узлах:
y(m)(R0, t^N^^^lt),卩 £/(m).(5.2.18)
Остановимся на определении тензора деформации скорости (5.2.15). В силу взаимной однозначности соответствия (а\ 方)〜 〜(胃\ t) соотношение (5.2.16) разрешимы относительно а"(力= = 1,3), при этом а。являются функциями (N,力)и координат 嗚 и 胃& узлов элемента. Достаточно просто подобные выражения получаются при часто используемой в упругопластических задачах линейной (по пространственным переменным) аппроксимации компонент радиус-вектора частицы и вектора скорости перемещения. Тогда можно определить входящие в (5.2.15) выражения da"/。况、причем в последних с использованием (5.2.16)况'выразим через (а〈 t). Введем обозначение:
田”"(R。，0 = &心)/務m),i,k = T^.(5.2.19)
С учетом (5.2.19) компоненты тензора деформации скорости в базисе к^ для элемента т представим в виде
/?=咨［屮吁网,方)甩册(%) +屮尸(氏⑺用健(R。)］陽⑴，
(5.2.20)
где月擺2(R°) =勿傩°，Ro)/a小где月擺2(R°) =勿傩°，Ro)/a小(5.2.21)(5.2.21)
где
月擺2(R°) =勿傩°，Ro)/a小
где
月擺2(R°) =勿傩°，Ro)/a小
(5.2.21)
(5.2.21)
Принимая во внимание (5.2.20), соотношение (5.2.14) можно записать следующим образом:
电？=嚳眇(氏,6)閲Q(5.2.22)
где
躋)。(Ro, t) = ^ mrimsjmlim^ [ V'^ (R°, f) ti^' (R。) +
十屮俨"(Ro, f) R^ (Ro)] + 4У 4 % — 1 卜
x仆也戸产強¥”' (Ro, %)月脚p (Ro) +
+ 屮肇"(Ro,力)月歌‘(Ro)]} .(5.2.23>
Далее, аналогично скоростям перемещений из (5.2.16) можно выразить обобщенные координаты 行黑(力)через координаты узлов 洒，так что
Z" (Ro,/)=力需川(Ro)歸(力).(5.2.24)
Градиент места в актуальной конфигурации с учетом (5.2.24), (5.2.21) можно записать следующим образом:
#т(т)
%⑺)=__ НН =必眇(Ro)喜传)YkL(5.2.25)
В соответствии с методом Галеркина взвешивающие функции выбираем совпадающими по виду с аппроксимирующими решение функциями:
h(m)=无产(Ro") k> = N^ (R。)公(力)N.(5.2.26)
Используя (5.2.21), имеем
(寸 h("D)r =亠丁 匕讨=RW (R。)崎 0) k%k.(5.2.27)
Тогда для всего ансамбля конечных элементов, аппроксимирующих область Q, согласно (5.1.24) в силу независимости 瓚 (t) имеем
\{£ $依留a(R。) W传)方，需(Ro) x 0 m—1 & (7n)
X ^qlsr^p (Ro,力 d©R 磋传)dt +
т; M
+ \ {£ 、 阂* 出。)敬『(氏)d^(m)} 传)dt = и тп=1 0(m)
=\{£ \【Mi($)”]& 设"}必一 О m—1 o(m)f
一\ 毘3(R。)區(£)兄您(力6 十 jF)dO(m)}df_
-，§ 画F (Ro) М d^ dt Vj = O, Vae Л.
(5.2.28)
Разрешающее соотношение МКЭ (5.2.28) также можно записать б матричной форме:
\ [[At] + [左2]] {方}也=\ {P}dt.(5.2.29)
Оо
Алгоритм решения, основанный на (5.2*29), аналогичен описанному выше (для решения нестационарных задач). В данном случае в итерационном процессе по уточнению конфигурации переопределению подлежат координаты узлов 况詳 а также разделение границы области Q на части S[, *； и зону контакта, а в последней уточняются области идеального контакта и проскальзывания. Следует отметить, что трудности, связанные с вырождением конечно-элементной сетки при формулировке задачи в терминах актуальной конфигурации, не исчезают и в данном подходе. При рассмотрении процесса деформирования в терминах отсчетной конфигурации случаю вырождения сетки отвечает неединственность соответствия (а\ 古)~ (况〈方)，в силу чего появляется неопределенность в выражении (5.2.19) и далее. При возникновении подобной ситуации необходимо вводить в рассмотрение новую отсчетную конфигурацию, в качестве которой используется одна из предшествующих моменту нарушения единственности актуальных конфигураций.
Кратко остановимся на краевой задаче теплопроводности. Изложенные выше методы решения краевых задач упругопластичности применимы также к исследованию температурных полей. Существующим специфическим вопросам решения задач теплообмена и теплопроводности посвящены многочисленные монографии и статьи, обзоры которых периодически публикуются в отечественных и зарубежных журналах (в частности, в Инженерно-физическом журнале и Международном журнале тепло- имассообмена). Поэтому здесь укажем: лишь некоторые работы, которые могут служить основой при постановке проблемы и выборе метода решения. Аналитические методы решения краевых задач теплопроводности рассматриваются в работах [100т 113], вариационные принципы и методы в теории теплопроводности — в работах [13,
16, 189]. Обзор и изложение разностных методов приведены, например, в монографиях [15, 115, 146, 148], метода конечных элементов ■—в работах [58, 138, 150]. Вопросы точности и сходимости: МКЗ, устойчивости разностных схем, применяемых для аппроксимации производных по времени, анализируются в [40, 159]. В работах [13, 77] приведены методы линеаризации нелинейных задач теплопроводности.
Используемая в настоящей работе методика решения краевой задачи теплопроводности (в частности, разрешающие соотношения МКЭ в матричной форме, вопросы линеаризации нелинейных уравнений и дискретизации по времени) подробно изложена в монографии [138]. Поэтому здесь ограничимся рассмотрением конечно-элементных соотношений в индексной форме, часто являющейся более удобной, чем матричная запись, для непосредственного применения при программировании алгоритма.
Пусть распределение температуры 0(т) в элементе m определяется через температуру узлов Н^° данного элемента следующим образом:
aMkQMLga^gn)©, R, ^ =可.(5.2.30)
Тогда градиент температуры для типичного элемента m в базисе- актуальной конфигурации представим в виде
?а"‘)(г； f)=曾十臼⑺)(r,力)=н"a ⑴电，)⑴筋，R ,(5.2.31)
где н产a =年山哂a.
Аналогичным образом аппроксимируется взвешивающая функция g и ее градиент Vg:
g(m)(Г, t) = 〃m* (r)g^)⑴，
Pg (г, £) = Н” ⑴ g” ⑴也 § .(5.2.32)
В силу независимости g?'" (f), опуская индекс m у узловых величин, получаем в соответствии с соотношением (5.1.2) для всей: совокупности конечных элементов
{ 2 \ с"⑺В (г)(г)源⑺? & (0 +
+ { S $入自咧崛(г) яГ)а (г) dQ(叫仇(0 +
+ {2 $以厶⑺叫a⑺覗叫儿(方)=
M
={』\ L^(v)Q(v,t) d^} +
+ { 2 \ сс〃""В (Г) ®8 (Г,力)dS^n)t} , v₽e Л. (3.2.33) s(7n)t
Отметим, что в множество 4 не входят узлы, принадлежащие части границы 3；; суммирование в выражении (5.2.33) по эламентам следует понимать в упомянутом выше смысле, причем вклад от поверхностных интегралов отличен от нуля только в том случае, если часть границы элемента ненулевой меры принадлежит соответствующей части границы области (S； или 8».
Для реализации методики решения задачи теплопроводности была разработана программа, входящая составной частью в упомянутый ранее пакет прикладных программ. Некоторые результаты решения задач с использованием последнего содержатся в -следующей главе.
Глава 6
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ
Достаточно широкий круг прикладных задач теории упругопластичности, возникающих при анализе работы конструкций и рассмотрении различных технологических процессов, относится к геометрически нелинейным проблемам. В число последних, в частности, входят многочисленные и разнообразные задачи моделирования процессов обработки металлов давлением. Однако в настоящее время число решенных геометрически нелинейных тех- дологических задач упругопластичности нельзя назвать значительным. Подобная ситуация, по мнению авторов, в немалой степени обусловлена практически полным отсутствием необходимых для расчетов экспериментальных данных о физико-механических характеристиках материалов при сложном нагружении, в особенности ——данных о векторных свойствах. Исключение «оставляют результаты исследований Дж. Ф. Белла [12,198—200] и др. К сожалению, чрезвычайно обширный материал, содержащийся в цитируемых работах, также не может быть непосредственно использован при решении реальных задач: анализ соотношений, принятых при обработке экспериментальных измерений? заставляет считать обоснованными существенные критические замечания, приведенные в работе [241]. Суть последних сводится к отмеченной некорректности применяемых для описания экспериментальных данных мер напряженного и деформированного состояний. В частности, используемое Дж. Ф. Беллом эквивалентное напряжение не представляет эквивалентного напряжения ни для тензора напряжений Коши, ни для тензоров Пиола—Кирх- гоффа.
В то же время экспериментальные данные, полученные при одноосных испытаниях (растяжение——сжатие), для различных материалов в широком диапазоне температур и скоростей деформирования содержатся в многочисленных статьях и справочниках. Исходя из всего сказанного выше, здесь предполагается справедливость гипотезы единой кривой. Данные по векторным свойствам полагаются совпадающими с аналогичными характеристиками, полученными из опытов на сложное нагружение в рамках теории малых пластических деформаций (с соответствующим переопределением понятия образа процесса деформирования, см. разд. 3.3). Это предположение основано на принципе запаздывания векторных свойств. Скалярные свойства для соответствующих марок сталей выбирались из работ [86, 116, 140, 155], векторные свойства содержатся в статьях [3, 23, 47, 50, 89, 132]. Необходимые для
расчетов теплофизические характеристики материалов приведены в работах [163, 176].
В предлагаемой главе рассматриваются некоторые технологические процессы обработки металлов давлением, распространенные в практике работы металлургических и машиностроительных предприятий. При этом основное внимание уделено рассмотрению напряженно-деформированного состояния при упругопластическом деформировании, анализ температурных полей, происходящих при этом фазовых превращений и т. д. включен лишь в том объеме, который необходим для описания процесса деформирования. Рассматривается как общий, так и частные случаи больших пластических деформаций.
Исследование волнистости тонкостенных элементов горячекатаных двутавровых профилей
Одним из наиболее широко применяемых в промышленности прокатных изделий является двутавровый профиль. Из рассмотрения условий работы двутавровых балок в различных конструкциях следует, что для повышения экономичности, снижения материалоемкости профиля необходимо повышать отношение площади поперечного сечения фланца (полки) к площади поперечного сечения стенки. Однако возможность такого увеличения, как известно [178, 182], лимитируется возникновением в процессе охлаждения профиля после горячей прокатки в стенке балки волны с величиной максимальных прогибов, превосходящей допустимые значения. Сказанное выше свидетельствует о важности анализа причин возникновения волнистости и определения режимов обработки, позволяющих избежать появление данного дефекта. Последнее, в особенности для новых профилей, требует создания математической модели, с достаточной точностью описывающей процесс волнообразования в стенке двутавра.
С точки зрения механики деформируемого твердого тела в данном случае приходим к задаче исследования местной устойчивости и закритического поведения тонкостенных элементов конструкции, подверженной температурным и силовым воздействиям. В настоящей работе рассматривается потеря устойчивости и за- критическое деформирование стенки в процессе охлаждения двутавра на холодильнике после горячей прокатки. Принимая во внимание высокую (850—1200° С) температуру прокатки, можно пренебречь внутренними напряжениями, возникающими в процессе прокатки, и считать, что в момент, предшествующий прокатке в чистовой клети, материал исследуемой области находится в естественном состоянии [138]. При этом в соответствии с известными положениями [180] неоднородность пластических деформаций и связанные с ней остаточные напряжения и волнистость стенки определяется именно характером деформирования на заключительной стадии процесса прокатки. Поэтому в дальнейшем де-
Рис. 6.1. Поле температур в поперечном сечении двутавра 60Б1 в момент окончания прокатки
6勿"夕6夕〃勿夕 必夕6勿"夕6夕〃勿夕 必夕%27夕7， 免〃 夕"388 9Z5%27夕7， 免〃 夕"388 9Z53/0°
6勿
"夕
6夕〃
勿夕 必夕
6勿
"夕
6夕〃
勿夕 必夕
%27夕7， 免〃 夕"388 9Z5
%27夕7， 免〃 夕"388 9Z5
формационные остаточные напряжения, обусловленные неоднородностью пластически деформаций в процессе прокатки, определяются как следствие неравномерных неупругих деформаций при прокатке в чистовой клети.
Одной из основных причин возникновения волнистости стенки при охлаждении двутавра на холодильнике является неоднородность температурного поля в момент окончания прокатки. Определение температурного поля исследуемой области, соответствующего моменту окончания прокатки и являющегося начальным распределением температуры для рассмотрения процесса охлаждения балки на холодильнике, требует решения краевой задачи теплопроводности для интервала времени, охватывающего весь технологический цикл прокатки профиля. Исходными данными для краевой задачи теплопроводности, решение которой описывает температурное поле двутавровых профилей в процессе лрокатки, являются: начальная форма, размеры, температура заготовки, режим обжатий (количество проходов в рабочих валках прокатных клетей и величины деформации различных элементов профиля), размеры и форма рабочих валков (калибровка), скоростной режим прокатки и врегл пауз между проходами (постановка задачи теплопроводности осуществлена в гл. 4, ее обобщенное решение — в гл. 5). Методика решения и. сопоставление результатов теоретического решения с данными промышленных экспериментов содержатся в работе [138]. На рис. 6.1 приведены изотермы для поперечного сечения двутавра в момент окончания лрокатки в чистовой клети. Очевидно, что максимальное значение температура достигает в центре переходной (от стенки к фланцу) области, минимум достигается в центре стенки и кромках фланцев. Как показано в предшествующих исследованиях авторов [138], подобное начальное распределение температуры при охлаждении профиля до температуры окружающей среды приводит к возникновению в стенке существенных сжимающих продольных напряжений.
Как показывают экспериментальные данные , форма образующейся при охлаждении двутавра волны с достаточной точно-
Рис. 6.2. Исследуемая областьРис. 6.2. Исследуемая областьстью может быть описана произведением гармонических функ^ ций, причем по ширине стенки реализуется одна полуволна, длина волны в продольном направлении зависит от конкретного профиля и в дальнейшем считается известной. Поэтому в качестве исследуемой области выбирается участок балки длиной b (46 — длина волны в продольном направлении), причем в силу симметрии рассматривается % поперечного сечения балки (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Исследуемая область
Рис. 6.2. Исследуемая область
Отметим, что рассматривае
мая задача относится к частному (однако широко распространенному) случаю геометрически нелинейных проблем: малые деформации ——большие перемещения. В случае малых деформаций, как показывают оценки, в краевой задаче теплопроводности, сформулированной для описания процесса охлаждения балки на холодильнике, можно пренебречь тепловыми источниками от пластической деформации. Следовательно, задача теплопроводности может быть решена независимо от задачи упругопластичности. Таким образом, для исследования процесса волнообразования приходим к необходимости решения пространственной квазисвязанной задачи упругопластичности, которое может быть получено с использованием описанного в разд. 5.2 алгоритма.
Однако прямое решение подобной задачи даже при применении достаточно эффективных численных методов и современных быстродействующих ЭВМ (типа ЕС-1050) сопряжено с чрезвычайно большими затратами машинного времени. В связи с этим был разработан алгоритм [48], позволяющий свести данную пространственную задачу к чередующейся последовательности задач меньшей размерности. В основу алгоритма положены следующие физически оправданные и экспериментально подтвержденные гипотезы. Во-первых, нормальные и касательные (на площадках, перпендикулярных нормали к срединной поверхности) компоненты тензора напряжений Коши в стенке пренебрежимо малы по сравнению с другими компонентами. Во-вторых, массивные фланцы имеют значительную изгибную и крутильную жесткость, в силу
чего появление волны в стенке приводит к незначительному изменению формы фланцев. С учетом сказанного выше двутавровый профиль можно представить совокупностью стенки, моделируемой пластиной, и массивных фланцев, находящихся в условиях обобщенного плоскодеформированного состояния. Методикаврешения каждой из подзадач основана на алгоритмах, описанных в пред-
Рис. 6.3
Аппроксимация области конечными элементами
шествующей главе. При исследовании НДС стенки последняя представлялась несколькими слоями (по толщине) плоских треугольных элементов, а фланцы аппроксимировались стержневыми элементами треугольного поперечного сечения (рис. 6.3).
Каждая из указанных подзадач рассматривается отдельно, сопряжение подзадач осуществляется через граничные условия. Используя упомянутые выше экспериментальные данные о форме стенки при волнообразовании и гипотезу об обобщенном плоско- деформированном состоянии фланцев, граничные условия для пластины можно записать следующим образом:
d〃3 —- 0,д^и^!^^20?"儿纟—■ dtz?,d (°ie孔t) "— 05
di^3 — 0,dtb^lдзс^ — - 0,di/] du 1,du2 (吃之/6) du
r 三 S；,(6.1.1)
где 邑={Q П (г I 旳二仇。久方1 & 明，Si = {Q П (r | 勺= =a, 0C^3< b)}, Q —замыкание исследуемой области. Граничные условия на двух других кромках пластины ({Q 门 (г | 方？= =0, 0《/1 & a)}, {fi П (г I 勺=0, 0 & g《6)}) определяются из условий симметрии, боковые поверхности пластины свободны от нагрузок. Для определения смещений сторон пластины строится итерационная процедура, основанная на условиях самоуравно- вешенности внутренних напряжений:
\ d22d5；+ \(J22dS； = 0,(6.1.2)
\ an dSx = 0,(6.1.3)
i
где S2 — поперечное сечение фланца. Разрешающие конечноэлементные соотношения, используемые для анализа НДС фланцев, аналогичны приведенным в работе [138]. Рассматриваемая задача является нестационарной, в качестве начальных используются условия, вытекающие из предположения о естественном состоянии материала перед прокаткой в чистовой клети. Для определения напряженно-деформированного состояния в момент окончания прокатки в чистовой клети применяется инженерная методика, основанная на МКЭ с использованием стержневых конечных элементов [138]. Найденные с ее помощью напряжения и деформации входят в число исходных данных каждой из подзадач.
Остановимся на задаче исследования потери устойчивости и закритического деформирования пластины. В классической постановке, восходящей к работам Эйлера и Лагранжа, задачи устойчивости рассматриваются как бифуркационные [31, 52, 165]. В таком подходе определяются значения параметров рассматриваемой механической системы, при которых возможно ветвление решения операторного уравнения соответствующей краевой задачи; с математической точки зрения исследование устойчивости сводится к проблеме собственных значений [161]. В данной постановке решен широкий круг задач, имеющих большое теоретическое и практическое значение. Однако бифуркационный подход не позволяет определить закритическое поведение механической системы. В связи с этим в последние два десятилетия большее распространение получили методы и постановки исследования устойчивости, в которых последняя рассматривается как процесс развития некоторых достаточно малых возмущений состояния равновесия (или стационарного движения) механической системы [30т 31, 54, 60, 71]. Исследование устойчивости равновесия конструкций в этом случае сводится к решению геометрически нелинейных задач теорий упругости, пластичности, пластин и оболочек, В настоящей работе процесс образования волны в стенке также рассматривается с позиций развития начальных несовершенств стенки-пластины. Отметим, что в реальных конструкциях начальные несовершенства (отклонения формы, размеров, свойств и т.д. от проектируемых) всегда имеют место.
В качестве начальных несовершенств здесь использовались отклонения формы пластины от плоской, т. е. задавались некоторые начальные прогибы срединной поверхности пластины 必° = 〃累 Численным экспериментом, проведенным для упругих гибких прямоугольных пластин, показано, что при максимальных значениях 必°, не превосходящих 0,05 h (h — толщина пластины)^ форма начальных прогибов не влияет на величину критических параметров (например, нагрузки) и форму изогнутой срединной поверхности при закритическом деформировании. Отметим, что под критическими здесь понимаются значения параметров, характеризующих процесс нагружения, при которых наблюдается резкое возрастание прогибов. В силу последнего обстоятельства
4
вид функции wQ может быть выбран произвольным; в данной работе форма начальных прогибов принималась совпадающей с определенной экспериментально формой прогибов при закрити- ческом деформировании.
Для оценки точности алгоритма, выбора конечно-элементной сетки для пластины был решен ряд тестовых примеров. Для сравнения соответствия результатов определения критических нагрузок с использованием принятого в работе подхода и на основе бифуркационного подхода рассмотрена задача определения критической нагрузки шарнирно опертой упругой пластины, сжимаемой равномерно распределенной нагрузкой. Расчетная схема и конечно-элементная аппроксимация исследуемой области представлены на рис. 6.4.
На рис. 6.5 приведены результаты расчета прогибов в центре пластины; приняты следующие исходные данные: а = 600 мм, 6 — 600 мм,历=5 мм, Е — 2-105 МПа, v = 0,3. Критическое значение сжимающих напряжений, определенное с использованием бифуркационного подхода, составляет р* = 49.2 МПа [165]. На рис. 6.5 линия 7 соответствует максимальному начальному прогибу w^ax = w^ k=o= 0,03无，линия 2 — прогибу 増总*=川卜宀二 =O.QQbh. Критическим значениям нагрузки в решении геометрически нелинейной задачи соответствует неограниченный рост прогибов, причем при wQlh < 0.05 величина нагрузки, при которой наблюдается резкое возрастание прогибов, не зависит от 必支 Отметим, что рассматриваемый в работе подход к задаче устойчивости, сводящий последнюю к решению геометрически нелинейной задачи, позволяет, в отличие от бифуркационной постановки, определять критические нагрузки при произвольном нагружении. Так, на рис. 6.6 приведены зависимости максимального прогиба пластины от сжимающего усилия при приложении равномерно распределенной (7) и распределенной по параболическому
Рис. 6.5
Зависимость максимального прогиба упругой пластины от величины равномерно распределенной нагрузку
Рис. 6.6
Максимальные прогибы пластины
Сжимающее усилие при равномерной (1) и параболической (2) распределенных нагрузках
Рис. 6.7“Результаты решения тестовой задачи теории гибких пластинРис. 6.7“Результаты решения тестовой задачи теории гибких пластин1 — аналитическое решение [30]; 2 — МКЭ1 — аналитическое решение [30]; 2 — МКЭзакону с максимумом при 方〕=0 (2) нагрузках. Как видно из рисунка, во втором случае критическая нагрузка существенно снижается (по сравнению с равномерным нагружением), что объясняется преимущественным ростом сжимающих напряженийг а следовательно, и прогибов, в центре пластины.
Рис. 6.7“
Результаты решения тестовой задачи теории гибких пластин
Рис. 6.7“
Результаты решения тестовой задачи теории гибких пластин
1 — аналитическое решение [30]; 2 — МКЭ
1 — аналитическое решение [30]; 2 — МКЭ
На рис. 6.7 приведено сопоставление результатов аналитического [30] и численного (с использованием МКЭ) решений задачи теории гибких пластин. Приняты следующие параметры: а = —600 мм, b — 600 мм, h = 5 мм, £* = 2-Ю5 МПа, v = 0,3. В приведенных тестовых примерах конечно-элементная сетка содержит 32 элемента с 25 узлами; время счета для двух предшествующих задач составляет 3 мин на ЭВМ ЕС-1022, для последней (рис. 6.7) — 30 мин на ЕС-1040.
Для оценки точности алгоритма при анализе поведения конструкций за пределом упругости проведено сопоставление с экспериментальными данными [61]. Рассматривалась квадратная пластина из сплава Д16Т. В силу неоднородности деформаций по толщине пластины и следующей из этого необходимости использования различных определяющих соотношений в данном случае пластина разбивалась по толщине на пять слоев. Каждый из ело-
еъ аппроксимировался совокупностью 32 элементов с 25 узлами. Для данной сетки расхождение численных и экспериментальных результатов в значении предельной нагрузки не превышает 10%; время счета на ЭВМ ЕС-1040 составляет 40 мин. Таким образом, приведенные выше результаты решения тестовых задач свидетельствуют о приемлемой точности алгоритма.
Перейдем к рассмотрению результатов решения реальной задачи исследования деформирования в процессе остывания на холодильнике двутавровой балки 60Б1. Номинальные размеры готового профиля (см. рис. 6.2) следующие: Н = 600 мм, В = 230 мм, 才 = 14 мм, d = 10.2 »ш; материал —— сталь СтЗпс, характеристики материала приведены в справочниках [86, 137, 163, 176]. Время решения на ЭВМ ЕС-1040 одного варианта задачи теплопроводности не превышает 4 мин, задачи упругопластичности —— 25—40 мин.
На рис. 6.8 представлены кривые изменения разности температур (а), продольных напряжений (6) в характерных точках (точка 1 расположена на вогнутой стороне) поперечного сечения одиночно охлаждаемого двутавра 60Б1, прокатываемого по существующей на НТМК технологии. На рис. 6.8, в приведен график изменения максимального прогиба стенки для рассматриваемого случая. Немонотонный характер изменения (Г2 — Т^ и {Т^ ——Т3), а вследствие этого ——внутренних напряжений связан с происходящими при охлаждении структурными превращениями в стали [138], причем в силу неоднородности температурного поля в различных областях профиля структурные превращения осуществляются в разные моменты времени. Интенсивный рост прогибов наблюдается непосредственно после выхода балки из последней клети, что связано с наличием сжимающих продольных напряжений в стенке, возникающих при прокатке в чистовой клети (в данном случае отношение вытя?кки стенки к вытяжке полки составляет 1,029). В интервале структурных превращений в переходной (от стенки к фланцам) области в результате резкого увеличения объема происходит некоторое уменьшение прогибов. При последующем охлаждении наблюдается монотонный рост прогибов. Приведенные на графиках результаты экспериментальных измерений остаточных напряжений и прогибов, проведенных в промышленных условиях, находятся в удовлетворительном соответствии с данными теоретического анализа.
На рис. 6.9 приведены соответствующие приведенному выше процессу эпюры остаточных продольных напряжений. Видно, что на вогнутой стороне стенки сжимающие остаточные напряжения достигают значительной величины, на выпуклой стороне остаточные напряжения значительно меньше (по модулю). Для сравнения на рис. 6.10 приведены эпюры продольных остаточных напряжений, полученные в предположении отсутствия волнообразования по стенке (2) и для случая появления волны (7) при одинаковой вытяжке стенки и полки, причем во втором случае эпюры остаточных напряжений в стенке получены осреднени-
Рис. 6.8
Изменение разности температур ®, продольных напряжений (6) и прогибов ® характерных точек двутавра 60Б1 в процессе охлаждения
Сплошная линия — расчет;
Рис. 6.10. Продольные остаточные напряжения1 — при появлении выпучивания стенки;2 — с плоской стеннойРис. 6.10. Продольные остаточные напряжения1 — при появлении выпучивания стенки;2 — с плоской стенной
Рис. 6.10. Продольные остаточные напряжения
1 — при появлении выпучивания стенки;
2 — с плоской стенной
Рис. 6.10. Продольные остаточные напряжения
1 — при появлении выпучивания стенки;
2 — с плоской стенной
крестики — эксперимент
Рис. 6.9
Продольные остаточные напряжения
2, 2 ——на вогнутой и на выпуклой сторонах стенки соответственно;
сплошная линия — расчет; крестики — эксперимент
<5>7, МПа
Рис.
6.9
*МПа
力广仆行/2
ем по толщине. Как следует из результатов, процесс волнообразования приводит к снижению уровня остаточных напряжений.
Для оценки влияния отношения вытяжек стенки и полки были рассмотрены различные режимы прокатки в чистовой клети. Так, при отношении вытяжек 0,977 (т. е. при больших вытяжках фланцев по сравнению со стенкой) конечный прогиб снизился до и^ах = 0,68 мм, продольные остаточные напряжения на вогнутой стороне стенки уменьшились по модулю до 98,1 МПа, оставаясь сжимающими. Были проведены также расчеты для установления влияния температурного поля в момент выхода балки из чистовой клети на распределение остаточных напряжений и прогибы. Как оказалось, изменение средней по сечению температуры при сохранении характера и численных значений неоднородности распределения температуры приводит к незначительному изменению прогибов и остаточных напряжений. В то же время существенное влияние на последние оказывает именно неоднородность темпе^ ■ратурного поля: например, уменьшение разности Т2 — 7\ от 90 до 65° С приводит к снижению прогиба 吗'а' на 20%, остаточных продольных напряжений в центре стенки — на 25 %. Таким образом, снижения величины прогибов стенки можно достигнуть за счет уменьшения неоднородности температурного поля в момент окончания прокатки и отношения вытяжек стенки и полки.
В заключение следует отметить, что используемая здесь методика без существенных изменений может быть применена для анализа локальной потери устойчивости стенки двутавров, вхо~ дящих составными элементами в конструкции.
Анализ процесса прямого выдавливания
Рассматриваемый в данном разделе процесс является одним из наиболее распространенных в машиностроении способов прессования. К основным достоинствам исследуемого процесса относятся следующие [154, 162]:
увеличение пластичности металлов и сплавов вследствие реализующейся схемы всестороннего сжатия, что позволяет деформировать без разрушения с большими степенями вытяжки не только малоуглеродистые, но и труднодеформируемые металлы и сплавы;
возможность получения достаточно точных деталей сложной конфигурации за один или небольшое число переходов;
повышение прочностных характеристик деталей (по сравнению с обработкой резанием);•
высокий коэффициент использования металла.
Процессы выдавливания стальных профилей осуществляются в холодном (температура заготовки 20° С), полугорячем (〜800° С) и горячем (~1150° С) состояниях. Холодное выдавливание позволяет изготавливать детали с высокой точностью, качественной поверхностью и повышенными прочностными характеристиками.
Однако для осуществления деформирования в холодном состоя нии необходимо создание высоких давлений, что ведет к быстрому износу инструмента и требует наличия мощного оборудования. Поэтому чаще применяется полугорячее выдавливание, при котором усилие прессования (по сравнению с деформированием в холодном состоянии) снижается в 1,5—2 раза.
Наряду с указанными выше общими достоинствами полугорячее выдавливание обладает рядом недостатков： значительным остается износ инструмента за счет действия высоких температур и давлений; существенна неравномерность свойств по сечению детали; в процессе прессования и последующем охлаждении возможно возникновение трещин на поверхности и внутри детали 1143]. Экспериментальное определение технологических режимов, позволяющих избежать или уменьшить эффект указанных недостатков, сопряжено со значительными материальными и временными затратами. Сказанное выше свидетельствует о необходимости создания математической модели, с достаточной степенью адекватности описывающей деформирование металла в рассматри^ ваемых процессах.
В данном разделе рассмотрим некоторые результаты исследования процесса полугорячего прямого выдавливания сплошной цилиндрической детали, полученные с применением описанной в разд. 5.2 методики. Схема процесса приведена на рис. 6.11. На большей части поверхности заготовки в течение процесса деформирования реализуются контактные граничные условия. Выдавливание осуществляется с постоянной скоростью движения пуансона гп = 15 мм/с. На части поверхности металла, не кон- тактирз^ющей с инструментом, заданы тривиальные силовые граничные условия. Начальная температура заготовки постоянна и равна 03 = 800° С, материал исходной заготовки предполагается находящимся в естественном состоянии, материал заготовки — Ст 45. Исследовались процессы выдавливания через матрицы с полууглами: 1) а ~ 30° и 2) а = 60°. В первом случае начальный диаметр и длина заготовки составляли d0 = 39 мм и Lo = 58.5, конечный диаметр ^工=25, во втором — d° = 39 мм, Lo = 53.2 мм, di = 25 мм. С целью выявления эффектов, обусловленных учетом геометрической нелинейности, данную задачу рассмотрим в изотермической постановке. При решении использовалась сетка треугольных конечных элементов с линейной аппроксимацией скоростей перемещений; число элементов М = =250, число узлов N = 156.
На рис. 6.12 и 6.13 приведена динамика искажения сетки конечных элементов соответственно в процессах 1) а = 30° и 2) а = —60°. Искажение сетки начинается с переднего конца заготовки, причем скорость движения внутренних слоев металла (прилегающих к оси симметрии исследуемой области) превышает скорость внешних слоев. Данное обстоятельство связано с геометрическими особенностями процесса деформирования и с действием сил трения на поверхности контакта. Подобный характер деформи-
Рис. 6.11
Схема процесса прямого выдавливания
— заготовка;
— пуансон;
―- контейнер;
— матрица
Рис. 6.12
Изменение координатной сетки (а = 30°)
Рис. 6.13
Изменение ко о рдинатно й сетки (а = 60°)
Рис. 6.14
Изолинии радиальной (а) и продольной (d) скоростей перемещения, мм/с а = 30°; t 0,62 с
А. А. Поздееп и др.
рования приводит к утяжке материала в области оси симметрии и образованию пресс-утяжины, наблюдаемой в реальных процессах [143, 162]. Утяжка центральных слоев заготовки приводит к нарушению контакта металла с пуансоном в данной области. Указанный характер деформирования согласуется с приведенными на рис. 6.14, 6.15 полями скоростей перемещений. Из рисунков видно, что радиальное перемещение частиц в основном происходит в геометрическом очаге деформации, максимальные (по модулю) радиальные скорости имеют частицы на боковой поверхности заготовки. Смена направления радиальной скорости после выхода частиц из конической части матрицы связана с разгрузкой
данной области. Продольные скорости частиц большей части металла, находящихся в контейнере, практически одинаковы и равны скорости движения пуансона. В геометрическом очаге деформации наибольшую продольную скорость имеют частицы, расположенные в окрестности оси симметрии. Описанный характер течения характерен для любого момента процесса выдавливания и хорошо согласуется с известными экспериментальными данными [143].
В рассматриваемолг процессе деформирования наблюдаются значительные повороты материальных волокон. На рис. 6.16, 6.17 приведены изолинии модуля вектора угловой скорости со, ассоциированного с тензором вихря W (вектор <о направлен перпендикулярно плоскости рисунка; вращение по ходу часовой стрелки считается положительным). Большие (по модулю) значения вектора угловой скорости соответствуют областям резкого изменения траекторий движения частиц (области входа материала в коническую и калибрующую части матрицы). Отметим, что с увеличением угла конусности матрицы повороты материальных волокон возрастают. -
Рис. 6.18 иллюстрирует процесс образования и развития зоны пластического деформирования. В начальный период выдавливания (方久 0,03 с) пластическая область возникает только на переднем торце заготовки. С увеличением усилия выдавливания возрастают нормальные и касательные напряжения на контактной поверхности заготовки с контейнером, что приводит к появлению пластических зон в приконтактных областях. К моменту времени t — 0,06 с вся примыкающая к поверхности заготовки часть материала деформируется пластически; упругие деформации сохраняются только в центральной части заготовки, где материал находится в состоянии всестороннего сжатия. В дальнейшем и эти зоны материала переходят в пластическое состояние. В момент выхода деформируемого материала из калибрующей части матрицы происходит разгрузка и материал в области, примыкающей к переднему торцу, вновь переходит в упругое состояние. В даль- птейшем указанная область металла движется как жесткое целое с возникшими в ней остаточными напряжениями и деформациями.
На рис. 6.19, 6.20 представлены поля деформаций и напряжений (компоненты тензоров деформации Генки Н и напряжений Коши а). Оба поля характеризуются значительной неравномерностью распределения деформаций и напряжений по сечению заготовки. Наиболее интенсивно процесс формоизменения протекает в области геометрического очага деформации.
Как уже отмечено выше, значительная часть металла в процессе выдавливания находится в состоянии всестороннего сжатия. В частности, для материала, находящегося в контейнере, характерны значительные сжимающие продольные напряжения. Однако при входе в коническую часть матрицы в области, прилежащей к оси симметрии заготовки, возникают большие растягивающие напряжения, что обусловлено влиянием свободной поверх-
Рлс. 6.17 Распределение угловой скорости ①，с-1 (а = 60°)
Рис. 6.18. Изменение зон упругого и пластического (заштриховано) деформирования (а = 30°)
Рис. 6.19. Поле деформаций
t 0,78 с; а = 30°; а — Ни； 6 — Нзз； в — Н^з
Рис. 6.20. Поле напряжений
t = 0,78 с; а = 30°; а —。门；6 — о33; & — g
Рис. 6.21. Степень выработки ресурса пластичности (а = 30°)
пости (переднего торца заготовки). На некоторой стадии процесса наблюдается резкое падение сжимающих напряжений в центральной части заднего торца заготовки. Данный эффект связан с образованием пресс-утяжины, приводящей к нарушению контакта центральной части заднего торца с пуансоном.
На рис. 6.21 приведены изолинии степени выработки ресурса пластичности [162]. Приведенные результаты свидетельствуют о том, что в натшенее благоприятных (с точки зрения разрушения металла) условиях находятся центральные слои заготовки. Заметим, что в некоторых случаях, особенно при больших углах конусности, возможно разрушение металла в областях, расположенных вблизи оси симметрии и на поверхности заготовки [143]. Зоны возможного разрушения металла представлены на рис. 6.22.
Изменение контактных нормальных напряжений по боковой поверхности заготовки представлено на рис. 6.23, 6.24. Из графиков видно, что по длине контейнера (от пуансона к матрице) наблюдается некоторое снижение нормальных контактных напряжений. В области входа в коническую и калибрующую части матрицы наблюдается резкое увеличение сжимающих напряжений. Подобный характер распределения нормальных контактных напряжений косвенно подтверждается наблюдаемым на практике преимущественным износом матрицы в указанных зонах. На этих же рисунках приведено сопоставление решений с использованием геометрически линейных соотношений и уравнений теории пластичности для случая больших пластических деформаций. Из рисунков видно, что учет геометрической нелинейности приводит к снижению и некоторому изменению характера нормальных контактных напряжений. Заметим, что отличие напряжений в геометрически линейном и нелинейном вариантах обусловлено в основном разницей девиаторов напряжений, поскольку связь шаровых тензоров напряжений и деформаций практически одинакова в обоих вариантах. С учетом высокого уровня среднего напряжения сжатия, характерного для данного процесса, различие в результатах решения задачи, полученных с использованием геометрически линейных и нелинейных соотношений, следует, по мнению авторов, признать существенным.
На рис. 6.25—6.28 приведены траектории деформации и напряжений, построенные по компонентам тензоров II и о в неподвижном базисе системы отсчета и в базисе вращающейся системы (см. разд. 3.3); расположение частиц указано на p ic. 6.11. Как видно из графиков, траектории деформаций и напряжений в неподвижном и вращающемся базисах могут отличаться даже качественно. При этом общей тенденцией является снижение кривизны траектории деформации при переходе к подвижному базису.
Зоны деформирования по траекториям различной кривизны приведены на рис. 6.29. Видно, что с развитием процесса деформирования большая часть исследуемой области деформируется по траекториям малой кривизны. Последнее позволяет для ре-
Рис. 6.22. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)
Рис. 6.23. Изменение нормального напряжения по поверхности контакта заготовки с контейнером и матрицей 竅Рис. 6.23. Изменение нормального напряжения по поверхности контакта заготовки с контейнером и матрицей 竅
Рис. 6.23. Изменение нормального напряжения по поверхности контакта заготовки с контейнером и матрицей 竅
Рис. 6.23. Изменение нормального напряжения по поверхности контакта заготовки с контейнером и матрицей 竅
а = 30°; ? — нелинейный;
2 —— линейный варианты теории пластичности
Рис. 6.24. Нормальные контактные напряжения
а — 60°; I — нелинейный; 2 —.линейный варианты теории пластичности
"Рис. 6.25. Траектория деформации частицы / а = 30°; 1 — неподвижный; 2 — вращающийся базисы
Рис. 6.26. Траектория напряжений частицы А а == 30е; J — неподвижный; 2 ——вращающийся базисы
Рис. 6.27. Траектория деформации частицы В а = 30°; 7 ——неподвижный; 2 — вращающийся базисы
分
Рис. 6.28. Траектория напряжений частицы В а = 30°; J ——неподвижный; 2 ——вращающийся базисы
Рис, 6.29
Изменение областей деформирования по траектории м — малой;
с ——средней кривизны;
и — с изломами;
у — зон упругости (а = 30°)
тения стационарных задач подобного типа использовать теорию малой кривизны. При этом характер излтенения напряженно- деформированного состояния, определяемого с использованием теории малой кривизны и метода корректирующего анализа, примерно одинаков. Так на рис. 6.30, 6.31 представлены эпюры контактных напряжений, полученные на основе теоретического CH-ЭВМ метода и с использованием только соотношений теории малой кривизны (в обоих случаях применялись геометрически
<^7. МПа
-ZUO
-800
-sag
电уМПи
4〃
N〃
4〃
/ff Zff Jff 40 S0 z；MM
Рис. 6.30
Нормальные напряжения иа' поверхности контакта с контейнером и матрицей
о = 30°； / = 0,09 С：
J — теория малой кривизны；
2 — метод корректирующего анализа
Рис. 6.31
Касательные контактные напряжения (обозначения аналогичны принятым на рис. 6.30)
Рис. 6.32. Схема установки электровысадки
? — заготовка； 2 — подвижная； 3 — неподвижная матрицы; 4 — пуансон
нелинейные соотношения). Количественно указанные результаты существенно отличаются, однако качественное соответствие результатов следует признать удовлетворительным. Удовлетворительным является также соответствие кинематических и интегральных характеристик процесса.
Следует учитывать и то обстоятельство, что для решения рассматриваемой задачи на ЭВМ ЕС-1055 .с использованием метода корректирующего анализа требуется 12——15 ч маппшного времени, в то время как для решения по теории малой кривизны потребное время сокращается до 1 — 1,5 ч. Поэтому для проведения предварительного анализа, установления основных закономерностей течения металла, определения интегральных характеристик анализируемых процессов можно использовать геометрически нелинейный вариант теории малой кривизны. Изучение локальных характеристик (в частности, остаточных напряжений) требует применения методики, описанной в гл. 5, в полном объеме.
Напряженно-деформированное состояние металла в процессе электровысадки
Процесс электровысадки является одним из наиболее прогрессивных методов обработки металлов давлением, позволяющим при одновременном снижении материальных и энергетических затрат и времени обработки получать детали сложной конфигурации с высокой степенью точности. Технологический процесс включает в себя два основных этапа. На первом производится разогрев заготовки за счет подводимого через торцы заготовки переменного тока; после нагрева до необходимой температуры ток отключается, В течение второго этапа осуществляется непосредственно прессование (высадка) нагретой заготовки до приобретения ею заданной конфигурации, определяемой формой матрицы.
Несмотря на простоту схемы процесса, его практической реализации обычно предшествует длительный период эмпирического подбора режимов обработки. В первую очередь данное обстоятельство обусловлено необходимостью создания температурного поля заготовки, удовлетворяющего следующим требованиям. Нагрев должен осуществляться лишь в той части заготовки, которая подвергается деформированию, недеформируе- мая часть заготовки во избежание появления значительных пластических деформаций и заклинивания заготовки в матрице должна оставаться холодной. При этом температура нагрева должна быть достаточной для полного заполнения калибра; в то же время перегрев деформируемой части заготовки недопустим, поскольку в этом случае в процессе последующего охлаждения за счет значительных остаточных напряжений происходит растрескивание металла. Сказанное выше свидетельствует о необходимости разработки математической модели процесса. При этом определение необходимого нагрева заготовки требует решения задачи упругопластичности, относящейся к общему случаю задач с большими пластическими деформациями (здесь большими являются и деформации, и градиенты перемещений). Затем для установления параметров, определяющих процесс электронагрева (напряжение, сила тока и др.) и позволяющих создать требуемое температурное поле, необходимо решение краевой задачи теплопроводности с объемными тепловыми источниками. Следует отметить, что определение тепловых источников представляет собой достаточно сложную задачу электродинамики сплошных сред, рассмотрение которой выходит за рамки настоящей работы.
Принципиальная схема установки электровысадки приведена на рис. 6.32. Неподвижная матрица 3 подвергается охлаждению водой. При поджатии заготовки пуансоном 4 в процессе электронагрева часть 5^ боковой поверхности заготовки находится в контакте с поверхностью матрицы 3, в силу чего на S3 осуществляется интенсивный теплоотвод. Данное обстоятельст-
Рис. 6.33. Изменение температуры лри электронагреве заготовки во является одним из решающих факторов локального разогрева части заготовки, не входящей в контакт с неподвижной матрицей.
На рис. 6.33 приведены изотермы для заготовки диаметром 8 мм, длиной 76 мм (материал —— Ст 45) в процессе злектрона- грева и последующей паузы (перед высадкой) в течение ^0УЛ = 0,5 с. В начальный период электронагрева температура возрастает равномерно по всей длине заготовки, однако за счет более интенсивной теплоотдачи через поверхность 53 (по сравнению с теплообменом с воздухом на части З?) температура части заготовки, не контактирующей с матрицей, оказывается выше, чем в остальном объеме. Повышение температуры приводит к росту интенсивности объемных тепловых источников, что в свою очередь приводит к дальнейшему возрастанию температуры в области, примыкающей к пуансону. Таким образом, происходит как бы
Рис. 6.34. Упругие и пластические (заштрихованы) зоны
процесс самовозбуждаемой генерации тепловой энергии в зоне, подвергаемой в дальнейшем деформированию.
На втором этапе осуществляется высадка нагретой части заготовки. Исследование процесса на этом этапе связано с необходимостью решения нестационарной связанной задачи термоупругопластичности с учетом геометрической нелинейности. С достаточной для технологических задач точностью в этом случае можно пренебречь незначительными напряжениями и деформациями, возникающими в процессе электронагрева. Тогда начальные
7 — неподвижный;2 — подвижный базисы7 — неподвижный;2 — подвижный базисы
7 — неподвижный;
2 — подвижный базисы
7 — неподвижный;
2 — подвижный базисы
Рис. 6.35.
Траектория деформации частицы А
Рис. 6.36.
Траектория деформации тицы В
7 — неподвижный;
2 — подвижный базисы
час-
Рис. 6.37.
Траектория деформации частицы С
— неподвижный;
— вращающийся базисы
Рис. 6.38.
Изолинии радиальной скорости %, мм/с
условия можно считать тривиальными. Граничные условия на §1，S3, S^ (рис. 6.32) на протяжении всего процесса деформирования носят контактный характер, причем здесь использовался закон трения Кулона. На части S? поверхности заготовки на начальной стадии процесса реализуются тривиальные силовые граничные условия и условия теплообмена с окружающей средой. При решении задачи упругопластичности на каждом шаге нагружения определяется текущая конфигурация и переопреде-
Рис. 6.39. Изолинии продольной скорости 方，мм/сРис. 6.39. Изолинии продольной скорости 方，мм/с
Рис. 6.39. Изолинии продольной скорости 方，мм/с
Рис. 6.39. Изолинии продольной скорости 方，мм/с
ляются зоны контакта, прилипания и проскальзывания. На определенной стадии процесса происходит касание частиц, образующих поверхность 52, с неподвижной и подвижной матрицами и пуансоном. В заключительной стадии процесса практически вся поверхность детали находится в контакте с обрабатывающим инструментом.
Остановимся на некоторых результатах исследования НДС металла в процессе электровысадки. Следует отметить малоизу- ченность рассматриваемого процесса, в связи с чем здесь ставилась задача определения основных закономерностей течения металла, влияния на характер деформирования температурного поля после электронагрева, формы матрицы и т. д. Для решения подобной задачи необходимо проведение значительного числа численных экспериментов, что в свою очередь требует использования достаточно эффективной (с точки зрения времени счета
на ЭВМ) модели. После проведения предварительных расчетов была признана возможность применения геометрически нелинейного варианта теории малой кривизны. При расчетах использовалась сетка треугольных в меридиональном сечении элементов с линейной аппроксимацией скоростей перемещений по элементу, число элементов М — 288, число узлов N = 175. Время счета одного варианта на ЭВМ ЕС-1045 составляет 1,7—2,2 ч.
На рис. 6.34 представлена динамика изменения зон упругого и пластического деформирования. На начальной стадии процесса в пластическое состояние переходит имеющая высокую температуру часть заготовки, расположенная менаду неподвижной матрицей и пуансоном. По мере развития процесса деформирования пластическая область распространяется по всему объему заготовки, что приводит к подтверждаемому экспериментом некоторому увеличению диаметра стержневой части заготовки. Отметим, что для данного процесса характерно появление зон затрудненной деформации и разгрузки. Достаточно сложный характер деформирования находит отражение и в представленных на рис. 6.35—6.37 траекториях деформации различных частиц (расположение частиц указано на рис. 6.34).
Как видно из приведенных на рис. 6.38—6.39 полей скоростей перемещений, течение металла имеет ярко выраженный локальный характер: наибольшие по модулю скорости и их градиенты наблюдаются в части заготовки, прилегающей к пуансону. При этом можно выделить три основных этапа деформирования, существенно отличающиеся друг от друга с точки зрения кинематики. На первом этапе деформирования до момента касания металла заготовки с торцевой поверхностью неподвижной матрицы (рис. 6.38—6.39, t = 0.38 с,方=0.68 с) наблюдается плавное изменение компонент вектора скорости по области, при этом радиальные скорости незначительны. Второй этап ——от момента касания металла с неподвижной матрицей до касания с цилиндрической поверхностью подвижной матрицы (рис. 6.38——6.39, ^ = 0.98 с) характеризуется резким возрастанием радиальной скорости и уменьшением до нуля продольной скорости в области касания. На третьем этапе происходит заполнение металлом полости подвижной матрицы « — 1,43 с). На этом этапе радиальные скорости значительны у внутренних! частиц металла, в зоне контакта с подвижной матрицей значения радиальной скорости снижаются до нуля. Для продольной скорости на этой стадии процесса характерны два момента: 1) появление области, где частицы имеют отрицательную продольную составляющую скорости вследствие изгиба высаживаемой части заготовки; 2) возрастание по сравнению с предыдущими этапами продольных скоростей в стержневой части заготовки. Характер изменения величины вектора угловой скорости о, ассоциированного с тензором вихря W, иллюстрируется рис. 6.40 (вращение по ходу часовой стрелки считается положительным). Нетрудно видеть, что на начальной стадии процесса происходит сжатие заготовки
/= 〃勿 G
/h 〃勿 e
Рис. 6*41. Компонента Яп тензора деформации Генки
Рис. 6.42. Компонента Я2г тензора Генки
Рис. 6,44, Компонента Я13 тензора Генки
-ZZ70
Рис. 6. 6. Компонента а33 тензора Коши, МПа
Рис. 6.45. Компонента 0n тензора напряжений Коши, МПа
zf nZJ^C
Рис. 6.48. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)Рис. 6.48. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)
Рис. 6.48. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)
Рис. 6.48. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)
вдоль оси, материальные волокна практически не поворачиваются. В дальнейшем материальные волокна приобретают значительные угловые скорости вращения, что является дополнительным свидетельством необходимости учета поворота частиц в исследуемом процессе.
Полученное в результате решения распределение компонент тензора деформации Генки Н (рис. 6.41—6.44) согласуется с описанным выше характером течения металла. Отметим, что в центральной части заготовки, примыкающей к поверхности контакта с пуансоном, на протяжении всего процесса деформиро-
вания существует область затрудненной деформации. Для данной области характерно напряженное состояние всестороннего сжатия (рис. 6.45——6,47). Последнее обусловлено реализующимися в центральной части поверхности контакта заготовки с инструментом условиями прилипания (существование зоны прилипания находит экспериментальное подтверждение).
Для оценки наиболее опасных (с точки зрения разрушения) зон для каждой частицы определялся также ресурс пластичности [162]. Область возможного разрушения, определяемая по указанному критерию, приведена на рис. 6.48. Отметим, что на практике при незначительных отклонениях технологического про-
цесса от регламентируемого соответствующими техническими условиями (например, недогрев заготовки) именно в этой области наблюдается появление макротрещин.
Следует заметить, что экспериментальные исследования процесса электровысадки представляют значительные трудности, обусловленные наличием высоких температур и давлений, малыми размерами изготавливаемых деталей и т. д. Поэтому сопоставление с экспериментальными данными проведено по конфигурации поверхности заготовки для нескольких моментов времени. Полученные результаты позволяют считать соответствие теоретических и экспериментальных данных удовлетворительным.
В заключение авторы выражают надежду, что предлагаемая работа, хотя и не решает всех вопросов нелинейной теории пластичности, тем не менее окажется полезной для специалистов в данной области.
ЛИТЕРАТУРА
Л бовский Н. 〃., Л ндреев Н. Я., Деруга А . П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288 с.
Л мензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высш, шк., 1971. 288 с.
Л ндреев Л, С. Экспериментальное исследование пластического деформирования при двухзвенных траекториях нагружения,— Изв. АН СССР. МТТ, 1971, № 4, с. 143-149.
Лргирис Дж., Шарпф Д. Методы упругопластического анализа.— Механика, 19 72, № 4 (134), с. 10 7-139.
$. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.
Бабамурадов К. Ш. Некоторые вопросы решения задач пластичности при сложном нагружении.— В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VI Всссоюз. конф., Ташкент, 19 79. Новосибирск, 1980, с. 14—24.
Бабамурадов К. Ш. Некоторые вопросы решения краевых задач пластичности при сложных многопараметрических нагружениях.——В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1984, № 73, с. 3—15.
& Бабамурадов К. IU.、Дудура Н. Я., Убайдиллаев А. У. Применение аппроксимационного метода CH-ЭВМ для решения упругопластических задач при сложном нагружении.—— В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1981, № 63, с. 69—80.
. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. 583 с.
Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноусъко Ф. Л. Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании штампа в упруго пластическую среду — Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 1, с. 50—57.
Баш Ю, М.^ Васин Р. Л., Веге К. Э. Об учете деформационной анизотропии в теории течения.—— В кн.: Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961, с. 83—91.
Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.
Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высш, шк., 1978. 328 с.
Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
Берковский Б. М.^ Ногогпов Е. Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144 с.
Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия, 1975. 208 с.
Биргер И. А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 1, с. 47—56.
Биргер И. Л. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести.——В кн.: Успехи механики деформируемых' сред. М.: Наука, 1975, с. 51 — 73.
Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 518 с.
Быков Д. Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975, вып. 4, с. 419—139.
Быков Д. Л"., Шачнев В. Л. Об одном обобщении метода упругих решений.——Прикл. математика и механика, 1969, т. 33, № 2, с. 290——298.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 416 с.
Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 59—126.
Васин Р. А., Давранов Ю. Об исследовании сходимости метода СН-ЭВМ в теоретическом эксперименте.— В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VII Всесоюз. конф. (Миасс, 1981). Новосибирск, 1982, с. 299—304.
Васин Р. А., Ибрагимов А. Б. Q виде матрицы деформационной анизотропии,— Докл. АН АзССР, 1965, т. 21, № 9, с. 8—11.
Васин Р. Л., Рябов А. А., Столяров Н. /Л Исследование сложного нагружения пластин и оболочек на основе теории двухзвенных процессов.— В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, 1984, с. 86—91.
Васин Р, Л., Столяров Н. Н. О применении метода СН-ЭВМ к задачам расчета напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек.— Прикл. механика, Киев, 1984, т. 2 0, № 8, с. 68—73.
Васин Р. 4., Столяров Н. Н., Рябов А . А. Двухпараметрическое нагружение гибких пластин и оболочек в уиругопластической области.— Прикл. механика, Киев, 1985, т. 21, № 1, с. 117—119.
Васин Р. Л., Широв Р, И. Применение метода СН-ЭВМ к решению краевой задачи при простом нагружении.— В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1983, № 70, с. 130—135.
Вольмир Л. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 4956. 420 с.
Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
Ворович И. И. Метод Бубнова — Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике.——В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. 121—133.
Ворович, И.及.,Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, 455 с.
Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 416 с. .
Гавурин М. ^. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. 248 с.
Гаевский X., Грегер К., За第ариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.
Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.
Големшток Г. М., Константинов В. Н. Исследование некоторых неявных схем решения нестационарных задач диффузии и теплопроводности методом конечных элементов. — В кн,: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983, вып. 25, с. 60—69.
Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.
Гольдштейн Р. В., Спектор А. А. Вариационный метод исследования пространственных смешанных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и смещения.——Прикл. математика и механика, 1983, т. 47, № 2, с. 276—285.
Горлач Б. 4., Орлов Я. Я. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях.—— В кн.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань, 1982, с. 25—31.
Горовой В, А. ч Асатурян Л. Iff. Теория пластичности пористых сред с конечными деформациями.——Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. н техн, науки, 1981, № 5, с. 39—42.
Грин А. Гипоупругость и пластичность.— Механика: Сб. перев. иностр, статей, 1956, № 4 (38), с. 109—123.
Грин А., Адкинс Дж. Болыгие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.
Давранов Ю, Об экспериментальном исследовании соотношений между напряжениями и деформациями для траекторий деформации в виде двухзвенных ломаных.— В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1981, № 63, с. 81—94.
Давыдов М. Г., Зудов Е. Г., Трусов П. В. и др. Устойчивость тонкостенных элементов при охлаждении горячекатаных профилен, — Изв. вузов. Черн, металлургия, 1984, № 6, с. 49—53.
Дао Зуй Бик. Модификация соотношений упругопластических процессов средней кривизны.— Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 1981, № 5, с. 103—106,
. Дао Зуй Бик. О гипотезе локальной определенности в теории пластичности.— Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 1965, № 2, с. 67—75,
Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 95 с.
Доннелл Л. Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.
Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 364 с.
Евстратов А. А. Устойчивость прямоугольной пластинки при сложном напряженном состоянии,— Строит, механика и расчет сооружений, 1970, № 5, с. 49-52.
Еремин И.必.，Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. 192 с.
Жермен П. Курс механики сплошных сред: Общая теория. М.: Высш, шк., 1983. 400 с.-
Жуков А. М. Поведение материалов при разгрузке и повторной нагрузке.—Инж. журн. МТТ, 1961, т. 1, № 1, с. 124—133.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 c.
Зигель Р, Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975. 936 с.
Зубчанинов В. Г. О современных проблемах неупругой устойчивости.—— В кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела.: Материалы Всесоюз. симпоз. Калинин, 4—7 сент. 1981. Калинин, 1981 с. 12—60.
Зубчанинов В. Г. Сложное нагружение в пластинках при выпучивании за пределом упругости.— В кн.: Тр. VIII Всесоюз. конф, по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 130—133.
Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов. Ч. L— В кн.: Тр. Амер, об-ва инж.-мех. Сер. В. Конструирование и технология машиностроения, 1970, № 2, с. 33—43.
Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971. 232 с.
Ильюшин Л. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.； Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
Ильюшин / . 4. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
Ильюшин А. Л. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978.287 с.
Ильюшин А. А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред.——Прикл. математика и механика, 1954, т. 18, вып. 6, с. 641—666.
Ильюшин А. А.^ Поспелов И. Н. О методе последовательных приближений в задаче неустановившейся ползучести.— Инне* журн. МТТ, 1964, т. 4, № 4, с. ‘697—704.
Ильюшин А. А. Метод CH-ЭВМ в теории пластичности. — В кн.: Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 4974, с. 166—— 178.
Ильюшин А. А. Об одной модели, поясняющей аппроксимационный метод CH-ЭВМ в теории пластичности.——В кн.: Упругость и неупру- гость. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 52—58.
Ильюшин A. А., Зубчанинов В. Г. Пластичность и устойчивость.— В кн.: Механика деформированного твердого тела. Тула: Изд-во Тул. политехи. ин-та, 1983, с. 8—21.
Ильюшин А. А., Ленский В. С. О соотношениях и методах современной теории пластичности.一 В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. 240—255.
Канторович 〃. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 42 0 с.
Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.
Клюшников В. Д. Метод упругих решений в теории пластического течения.—Ж урн. прикл. механ. и техн, физики, 1965, № 1, с. 133—135.
Коздоба 方.4. Методы решения нелинейных задач теплопроводности* М.: Наука, 1975. 228 с.
Койтер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. 80 с.
Ковалев С. И.、Корягин Н. ИШирко И. В. Напряжения и деформации при плоской прокатке. М.: Металлургия, 1982. 256 с.
Коларов Д\, Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302 с.
Колмогоров А. Н,^ Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
Колтунов М. А., Кравчук 4. С., Майборода В. П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высш, шк., 1983. 349 с,
Кондауров В. И. О дивергентной форме уравнений нелинейной термоупругости.——Ж урн. прикл. механики и техн, физики, 1982, № 3, с. 132—140.
Кондауров В. Я. Об уравнениях упругопластической среды с конечными деформациями.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1982, № 4, с. 433—139.
Кондауров В.及.,Никитин Л. В. Распространение нелинейных сейсмических волн в средах со свойствами упругости, вязкости и пластичности.— Докл. АН СССР, 1984, т. 2 75, № 4, с. 839—842.
Конструкционные стали. Т. 1/Под ред. Н. Т. Гудцова. М.: Металлург- издат, 1947. 482 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.
Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 208 с.
Коровин И. М. Экспериментальное определение зависимости напряжение ——деформации при сложном нагружении по траектории с одной точкой излома.— Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 3, с. 592—600.
Коровин И. М. Некоторые вопросы пластичности материалов при нагружении по траектории с точкой излома,— Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 3, с. 152—158.
Кравчук А. С. О методе последовательных приближений в теории пластичности при сложном нагружении.—Изв. АН СССР. МТТ, 1970, № 4, с. 188—191.
Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел конечных размеров.— Прикл, математика и механика, 1977, т. 41, № 2, с. 308—310.
Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения.— Прикл. математика и механика, 1980, т. 44, № 1, с. 122—129.、
Кравчук Л. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости.— В кн.: Упругость и неупругость, вып, 5. М,: Изд-во МГУ, 1978, с. 23—31.
Крылов В. И., Бобков В. 3., Монастырский П. И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976. Т. 1. 304 с.
Кузнецов 8. Я. Численный метод решения задач теории пластичности.-
В кн.: Улругость и неупругость, вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. с. 110— 119.
Кузьменко В, И. О вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно-упругих сплошных тел.——Прикл. математика и механика, 19 79, т. 43, № 5, с. 893—901.
Кузьменко В. И. О контактных задачах теории пластичности при сложном нагружении.— Прикл. математика и механика, 1985, т. 49, № 3, с. 473-481.
Кукуджанов 8. Н^ Кандауров В. И, Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела.— В кн.: Проблемы ди- налшки упруго-пластических сред. М.: Мир, 1975, с. 39—84.
Кумар И.力;ж. Современные аналитические методы в теплопереносе.— Инж.-физ. журн., 1970, т. 19, № 3, с. 578—593.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. Т. 1. 476 с.
Кутилин Д. 〃. Теория конечных деформаций. М.; Л.: OFH3, 1947. 275 с.
Левитас В. И. К теории больших упруго-пластических деформаций.—— Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн, науки, 1983, № 11, с. 48—53.
Некоторые постулаты теории больших упруго-пластических деформаций при высоких давлениях/Левитас В. И. Киев, 1983. 23 с. (Рукопись деп.
—в ВИНИТИ, 14/07. 83, № 931-83 Деп.).
Об объективности уравнений состояния, содержащих производные по времени различных тензоров/Левитас В. И. Киев, 1984, 28 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ, 11/01.84, № 6 738-84 Деп.).
Ленский В. С. Некоторые новые данные о пластичности металлов при сложном нагружении.— Изв. АН СССР. ОТН, i960, № 5, с. 93—100.
Ленский В. С. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности.— Изв. АН СССР. ОТН, 1962, № 5, с. 154-158.
Ленский В. С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1978, вып. 5, с. 65—96.
Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука, 1982. 376 с.
НО. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиз- дат, 1955. 491 с.
Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
Лурье Л. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
Лыков А. В. Теория теплопроводности, М.: Высш, шк,, 1967. 600 с.
Малый В. И. Разложение функционала напряжений по малому параметру.— Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 1967, № 2, с. 73—80.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.
Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии: Справочник./А. А. Лебедев, Б. И. Ковальчук, Ф. Ф. Гигиняк, В. П. Ламашсвский: Киев: Наук, думка, 1983. 366 с.
Митчелл »., Уайт Р, Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.
Михеев И. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 344 с.
Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 250 с.
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957. 476 с.
Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432 с.
Морозов Н. Ф. Лекции по избранным вопросам механики сплошных сред. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. 89 с.
Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 182 с.
Москвитин 3. В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.
Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластичестуих сред. М.: Наука, 1981. 208 с.
Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. М.: Высш, шк., 1967. 656 с.
Мяченкое В. 〃., Петров В. Б. Численное решение плоской задачи теории пластичности.— Изв. вузов. Машиностроение, 1980, № И, с. 8—12.
Неджеску-Клежа О. Соотношения между тензорами напряжений и деформаций для двухзвенных процессов деформации.— Вести. МГУ, Сер. 1. Математика, механика, 1976, № 4, с. 97—100.
Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 19 75. 8 72 с.
Няшин Ю. 〃.，Скороходов А. Н.、Трусов И. В. Расчет влияния контактного трения на температуру поверхности полосы и валков при горячей прокатке——В кн」Приближенное решение краевых задач и функциональных уравнений. Пермь: Изд-во Перм. политехи, ин-та, 1973, с. 3 — 10.
Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.
Охаши 〃., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина.— Изв. АН СССР. МТТ, 1981, № 6, с. 53—64.
Партон В. 3., Перлин Я. И. Методы математической теории упруго^ сти. М.: Наука, 1981. 688 с.
Пежина 〃., Балтов А. Вариационные проблемы теории вязкопластичности при больших деформациях.— Теорет. и прикл. механика, 1973, т. 4, № 4, с. 19—28.
Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1974. 207 с.
Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.
По годин-Алексеев Г. И., Геллер Ю. А ., Рахштадт А. Г. Металловедение. М.: Оборонгиз, 1956. 427 с.
Поздеев А. А., Няшин Ю. 〃., Трусов П. В. Остаточные напряжения: Теория и лриложения. М.: Наука, 1982. 112 с.
Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.
Полухин П.匠.,Гун Г. Я.、Галкин А. М. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1976. 488 с.
Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 312 с.
Прагер В. Элементарный анализ определений скорости изменения напряжений.——Механика: Сб. перев. иностр, статей, I960, № 3 (61)? с. 69—74.
Прозоров 〃. В. Прессование стали и тугоплавких сплавов. М.: Машиностроение, 1969. 244 с.
Проценко 4. М. Теория упруго-идеальнопластических систем. М.: Наука, 1982. 288 с.
Работягов Д. Д. Механика материалов при больших деформациях. Кишинев: Штиинца, 1975. 168 с.
Рихтмайер Р., Мортон Я. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 420 с.
Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л・： ЛГУ, 1978. 224 с.
Самарский А . А . Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.
Самарский А. А., Андреев В, Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
284 с.•
Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 19 72. 492 с*
Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости, М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 256 с.
Смирнов В. С. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургия. 1973. 496 с.
Соколов Л. Д. Сопротивление деформации сталей. М.: ЦНИИЧМ, 1963. 78 с.
Сокольников И. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. 376 с.
Спектор А. А. Вариационный метод исследования контактных задач.— Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 1, с. 39—42.
Стриклин, Хейслер^ Риземанн. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией.— Ракет, техн, п космонавтика, 1973, т. 11, № 3 с. 46—56.
Стрэнг 7\, Фикс Дж. Теория-метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 350 с.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения/Под ред. Дж. Б. Келлера, С. Антмана. М.: Мир, 1974. 254 с.
Теория пластических деформаций металлов/Е. П. Унксов, У. Джонсон, В. Л. Колмогоров и др. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.
Теплофизпческие свойства веществ/Под ред. Н. Б. Варгафтика. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1956. 368 с.
Термопрочность деталей матин/Под рэд. И. А* Биргера, Б. Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1975. 455 с.
Тимошенко С. 〃. Устойчивость стержней, пластинок и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.
Тонти Э. Вариационные принципы в теории упругости.— Механика, 1969, № 5, с. 124-138.
Треноеин В. А. Функциона льный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
Трусделл Н. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с,
Трусов П. В. Постановка и алгоритм решения технологических задач упругопластичности при больших деформациях.——В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Тула: Изд-во Тул. политехи, ин-та, 1983, с. 135—142.
Трусов 〃. В. Большие упругопластические деформации: некоторые аспекты теории и приложения.一 В кн.: Прикладные проблемы прочности н пластичности. Численная реализация рэшенпя физико-механических задач. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1984, с. 116—123.
О построении образа процесса нагруженчя и мэтодэ корргктирующего анализа при исследовании больших пластических деформаций/Трусов П. В. Пермь, 1984. 22 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ, 11/03.85, № 593984 Деп.).
Трусов Л. В., Няшин 10.勿.，Столбов В. Ю. Об одном алгоритме решения задач установившегося течения металла.— В кн.: Обработка металлов давлением. Свердловск: Изд-во Урал, политехи, ин-та, 1979, вып. 6, с. 83—86.
Трусов ZZ. 3., Столбов В. Ю. Об одном алгоритме решения пространственных задач установившегося течения металла.— Изв. АН СССР. Металлы. 1983, № 4, с. 134—138.
Трусов //. В.、Чернолазов С, А . Об одном подходе к решению контактных задач.— В кн.: Краевые задачи. Пермь: Изд-во Перм. политехи, ин-та, 1982, с. 101 — 106.
Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978. 488 с.
Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике/Под ред. Б. Е. Неймарка. М.: Энергия, 1967. 240 с.
Филатов Г. Ф. К определению обобщенных тензоров напря?кснип.— Тр. НИИ математики Воронеж, ун-та, 1973, вьш. 10, с. 35 — 38.
Филиппов И. Я., Гунин И. В. Исследование волнистости стенки облегченных двутавровых балок.— Сталь, 1963, № 10, с. 915—918.
Фомин В. Л. Механика континуума для инженеров. Л.: ЛГУ, 1975. 116 с.
Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. М.: Машиностроение, 1974. Ч. 1. 472 с.
Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мпр, 1975. 534 с.
Чекмарев А. Л., Гунин И. В., Машковец Р, А., Филиппов И. Н. Производство облегченных профилей. М.: Металлургия, 1965. 423 с.
Шевченко Ю. Н. Термопластичность при переменных нагружениях, Киев: Наук, думка, 1970. 287 с.
Шевченко Ю. Н. Метод упругих решений в теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения.——Тепловые напряжения, в элементах конструкций: Респ, межвед. сб., 1975, вып. 15, с. 45——49.
Шишмарев О. Л., Кузьмин Е. А. О зависимости упругих постоянных металла от пластических деформаций.——Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, № 3, с. 167—169.
Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостех- издат, 1949. 270 с.
Экланд Я., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.
Яловой Н. 〃., Тылкин М. А., Полухин П. 〃., Васильев Д. И. Тепловые процессы при обработке металлов давлением. М.: Высш. шк., 1973. 632 с.
Л nderson N., Arthurs А. М. Extremum principles for some nonlinear heat transfer problems.一 J. Eng. Math., 1972, vol. 6, N 4, p. 331 — 339.
A ndrews D. J「Hancock S. £. A relaxation method for solving nonlinear stress equilibrium problems.— J, Comput. Phys., 1973, vol. 12, N 2, p. 202—209.
Argyris J. H., Doltsinis J. S. On the natural formulation and analysis of large deformation coupled thermomechanical problems.— Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng., 1981, vol. 25, N 2, p. 195—253.
Argyris J. H., Doltsinis J. S., Pimenta P. M., Wustenberg H. Thermomechanical response of solids at high strains — natural approach,— Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng., 1982, vol. 32, N 1/3, p. 3—57.
A tluri S. N. Rate complementary energy principles, finite strain plasticity problems and finite element.— In: Var. meth. mech. solids.: Proc. IUTAM symp., Evanston (Ill.), 19 78. Oxford etc., 1980, p. 363—36 7.
A tluri S. TV. On some new general and complementary energy theorems for the rate problems in finite strain, classical elastoplasticity.— J. Struct. Meeh., 1980, vol. 8, N 1, p. 61—92.
A tluri S. TV"., Murakawa H. New general and complementary energy theorems, finite strain, rate sensitive inelasticity and finite elements: Some computational stud.es.— In: Nonlinear finite elem. anal, in struct, mech.: Proc. Europ.—US workshop., Bochum, 1980. Bochum, 1981, p. 28—48.
A tluri S. TV. On constitutive relations at finite strains: Hypo-elasticity and elasto-plasticity with isotropic or kinematic hardening.— Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng,, 1984, vol. 43, N 2, p. 137—171.
Bathe K.~J., Ozdemir H. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis.— Comput and Struct., 1976, vol. 6, N 2, p. 81—92.
Bell J. F. A physical basis for continuum theories of finite strain plasticity. Pt 1.— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1980, vol. 70, N 4, p. 319— 338.
Bell J. F. A physical basis "or continuum theories of finite strain plasticity. Pt 2.— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1981, vol. 75, N 2, p. 103— 226.
Bell J. F. Continuum plasticity at finite strain for stress, paths of arbitrary composition and direction.— Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1983, vol. 84, N 2, p. 139-170.
Buck К. E., Scharpf D. W. EinFuhrung in die Matrizen-Verschiebung- smcthode.— In: Fi nite element static. B. etc., 1973, S. 1 — 70.
Cap urso M. On the incremental solution of elasto-plastic continua in the range о large displacements.— Meccanica, 1970, vol. 5, N 2, p. 98—106.
Capurso M. Some unite extremum principles in piecewise linear elastoplasticity.— Meccanica, 1972, vol. 7, N 3, p. 174—182.
Charter £., Neale K. W. Finite plastic deformation of a circular membrane' under hydrostatic pressure. 2. Strainrate effects.— Intern. J. Meeh. Sci., 1983, vol. 25, N 4, p. 235—244.
Cotter B. A., Rivlin R. S. Tensors associated with time-dependent stress.— Quart. Appl. Math., 1955, vol. 13, N 2, p. 177—188.
Courant P. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration. — Bull. Amer. Math. Soc., 1943, vol. 49, N 1, p. 1—23.
Dajalias Y. F. Co rotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations.— Trans. ASME. J. Appl. Meeh., 1983, vol. 50, N 3, p. 561 — 565.
Dems 及Kleiber M. Physically and geometrically nonlinear analysis- finite elements. — Pozpr. inz., 19 76, vol. 24, N 4, s. 7 71 — 786.
Dienes J. K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies.—Acta mech., 19 79, vol. 32, N 2, p. 217—232.
Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Elemente zum naherung- sweisen Berechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen.— In- dustr.-Anz., 1975, Bd. 97, N 98, S. 2080—2081.
Dinis L. M. S., Owen D. R. J. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic largeл deformation analysis of thin plates and shells.— Intern. J. Numer. Meth. Eng., 1982, vol. 18, N 4, p. 591—606.
Dubey R. TV. The role of body rotation in mathematical models of isotropic behaviour.— Appl. Math. Modell., 1979, voL 3, p. 349—354.
Dubey /?. TV., Guo Z. Principal axes technique in finite elastic deformation.— Trans. CSME, 1983, vol. 7, N 3, p. 132—137.
Dubey R. AL, Lehman Th., Meyers A. Lagrangian element technique in elastic-plastic deformation.一 Solid Meeh. Arch., 1982, vol. 7, N 4, p. 363— 378.
D uszek M. K. On minimum principles in finite plasticity.— Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci. techn., 1973? vol. 21, N 2, p. 131 —138.
Finlayson B. / ., Scriven L. E. The method of weighted residuals and its- relation to certain variational principles for the analysis of transport processes.—Chem. Eng. Sci., 1965, vol. 20, N 5, p. 395—404.
Gadala M. S、，Oravas G. A.刃.，Dokainish M. A. Geometric and material nonlinearity problems.一 In: Numer. meth, non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea, 1980, vol. 1, p. 317—331.
Guo Z. A note on the decomposition of elastoplastic finite deformations.— Intern. J. Solids and Struct., 1981, vol. 17, N 9, p. 925—92 7.
Gupta A. K., Mohraz 3., Schnobrich W. C Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element.— Nucl. Eng. and Des., 1972, vol. 22, N 2, p. 305—317.
Gurtin M. E- Spear K. On the relationship between the logarithmic strain rate and the stretching tensor.— Intern* J. Solids and Struct., 1983, vol. 19, N 5, p. 437—444.
Hencky H. Uber die Form des Elastizitatsgesetzes bei ideall elastischen Stoffen.— Ztschr. techn. Phys., 1928, Bd. 9, S. 214—227.
Hibbit H. D, Marcal P V., Л ice J. R, A finite element formulation of large strain and large displacement.— Intern. J. Solids and Struct., 19 70, vol. 6, N 8, p. 1069—1086.
Hill R. Constitutive inequalities for isotropic elastic solids under finite■ strain.— Proc. Roy. Soo. London A, 1970, vol. 314, p. 457—472.
Hofmeister L. D.、Greenbaum G. A.^ Evensen D. A. Large strain, elasto- plastic finite element analysis.— AIAA J., 1971, vol. 9, N 7, p. 1248— 1254.
Kao R. A comparison of Newton—Raphson methods and incremental procedures for geometrically nonlinear analysis.— Comput. and Struct., 19 74, vol. 4, N 5, p. 1091—109 7.
226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.246.226.227.228.229.230.231.232.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244.245.246.Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method.— Aren. mech. stosow., 19 75, vol. 2 7, N 3, s. 417—443.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
Kawahara M., Horii K. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element method.— Trans. Jap. Soc. Civ. Eng., 1972, vol. 3, N 2, p. 154—155.
Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strainKitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large straindisplacement problems and its finite-element formulation.—displacement problems and its finite-element formulation.—and large
Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strain
Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strain
displacement problems and its finite-element formulation.—
displacement problems and its finite-element formulation.—
Ing.-Arch.T 1972, Bd. 41；N 3, S. 213—224.
Kitagawa H., Tomita Y. An incremental finite element analysis of two-
dimensional large strain and large displacement problems for elasto- plastic material.— In: Proc. 21st Jap. nat. congr. appl. mech., Tokyo, 19 71. Tokyo, 19 73, vol. 21, p. 243—255.
Klee K.-DPaulun J. On numerical treatment of large elastic-viscoplastic deformations.— Arch. much, stosow., 1980, vol. 32, N 3, s. 333—
345.345.Kleiber M. Lagrangian and oulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity. — Bull. Acad. pol. sci. S」.sci. techn., 1975, vol. 23, N 3, p. 109—126.
345.
345.
Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity.— In: Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol., Cra- covie, 19 77. Varsovie, 1980, p. 273—296.
Kite W. Plastic deformations with free boudaries — a finite element approach.— In: Metal, form, plast, symp., Tutzing, 1978. B, etc., 1979, p. 260—272.
Larsen P. 7G, Popov E. P. A note on incremental equilibrium equations and approximate constitutive relations in large inelastic deformations.— Acta mech., 1974, vol. 19, N 1/2, p. 1 — 14.
Lee E. H. Elasto-plastic deformation at finite strains. — Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1969, vol. 36, N 1, p. 1—6.
Lubarda V. The elastic-plastic constitutive relation.— Teor. i primen. mehanika, 1981, vol. 7, p. 101—111.
Lubarda V. Л,T Lee E. H. A correct definition of elastic and plastic deformation and its computational significance.— Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1981, vol. 48, N 1, p. 35—40.
Maier G. A minimum principle for incremental elastoplasticity with non-associated flow laws.— J. Mech. and Phys. Solids, 1970, vol. 18, N 5, p. 319—330.
Martin H. C. Derivation of stiffness matrices for the analysis of large deflection and stability problems.— In: Proc. 1st conf, on matrix meth, struct, mech., 1966, p. 69 7—715 (AFFDL-TR-6-80).
Martin J. B. On the kinematic minimum principle for the rate problem in classical plasticity.— J. Mech. and Phys. Solids, 1975, vol. 23, N 2, p. 123—128.
McMeeking R. M. The finite strain tension-torsion test of a thin-walled tube of elastic-plastic material.— Intern. J. Solids and Struct.T 1982, vol. 18, N 3, p. 199—204.
McMeeking R. M., Rice J.五.I'initc-element formulations for problems of large elastic-plastic deformation.— Intern. J. Solids and Struct., 1975, vol. 11, N 5, p. 601—616.
Mroz Z., Haniecki B. A note on variational principles in coupled thermoplasticity.— Bull. Acad. pol. sci. S r. sci. teclin., 1975, voL 23, N 3, p. 225-231._
Xagte^aal J. C., Jong /. E, de. Some computational aspects of clasticplastic lartre strain analysis.— Intern. J. N'lmer. Meth. l\n^.. 1981, vol. 17T N 1, p. 15—41.
Neale K, W, A general variational theorem for the rate problem in elastoplasticity.— Intern. J. Solids and Struct., 1972, vol. 8, N 7, p. 865—876. Neale К. W. On the application of a variational principle for large-displacement elastic-plastic problems.— In: Var. meth. mech. solids: Proc. IUTAM symp., Evanston (Ill.), 1978. Oxford etc., 19S0. p. 374—377.
Netnat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elasto-plasticity.一 Intern. J. Solids and Struct., 1979, vol. 15, N 2, p. 155—166.
Oden J. T. Variational principles in nonlinear continuum mechanics.一 In: Var. meth. eng. Southampton, 1973, vol. 1, p. 2/1—2/20, 2/105—2/108.,
Oh S* /.. Kobayashi S. Finite element analysis of plane-strain sheet bending.— Intern. J. Meeh. Sci., 1980, vol. 22, N 9, p. 583—594.
Ohashi Y., Tokuda W., Tanaka F. Formulation of stress-strain relation for plastic deformation of mild steel for strain trajektory consisting of two straight branches.— J. Meeh, and Phys. Solids, 1977, vol. 25, N 6, p. 325一 407.
Oldroyd J. G. On the formulation of reological equations of state.— Proc. Roy. Soc. London A, 1950, vol. 2 00, p. 523—541.
Osias J. N., Swedlow J. L. Finite elasto-plastic deformation: Theory and numerical examples.— Intern. J. Solids and Struct., 1974, vol. 10, N 3, p. 321-339.
Pawekky O. Berechnung der Warmedurchgangszahl filr das Warmwalze'n und Schmieden.— Arch. Eisenhiittenw., 1969, Bd. 40, N 10, S. 821—827.
Rajahki P, Minimum principles and uniqueness of strain for an elasticplastic body.— Intern. J. Eng. Sci., 1976, vol. 14, N 11, p. 999—1003.
Rafalski P. On minimum principles in plasticity.— In: Var. meth. mech. solids: Proc. IUTAM symp., Evanston (Ill.), 1978. Oxford etc., 1980, p. 400—403.
Reed K. W., A tluri S. N. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm.— Com- put. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1983, vol. 39, p. 245—295.
Sandhu R. S., Pister K. S. Variational principles for boundary value and initial boundary value problems in continuum mechanics. — Intern. J. Solids and Struct., 1971, vol. 7, N 7, p. 639—654.
Sandhu R. S., Pister K. S. Variational methods in continuum mechanics.— In: Var. meth. eng. Southampton, 1973, vol. 1, p. 1/13一1/25.
Si dor off F. Incremental constitutive equation for large strain elasto-plas- ticity.— Intern. J. Eng. Sci., 1982, vol. 20, N 1, p. 19—26.
Wifi A. S, An incremental complete solution of the stretch-forming and deep-drawing of a circular blank using a hemispherical punch.— Intern. J. Mech. Sci.; 1976, vol. 18, N 1, p. 23—31.
Yamada F. Constitutive modelling of inelastic behaviour and numerical solution of nonlinear problems by the finite element method.— Intern. J - Comput. and Struct., 1978, vol. 8, N 3/4, p. 533—543.
Уamada Y. Nonlinear matrices, their implications and applications in inelastic large deformation analysis.— Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1982, vol. 33, N 1/3, p. 417—437.
Yamada У., Hirakawa T., Wifi A. S. Analysis of large deformation and bifurcation in plasticity problems by the finite element method.— In: Finite element nonlinear mechanics, 1978, vol. 1, p. 393一412.
Yamada У., Wifi A. S., Hirakawa T. Analysis of large deformation and stress in metal forming processes by the finite element method.— In: Metal. form, plast. symp., Tutzing, 1978. B. etc., 1979, p. 158—176.
Yamada У., Yoshimura ^., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method.— Intern. J. Mech. Sci., 1968, vol. 10, N 2, p. 343—354.
Sienkiewicz О. C., Valliapan S., King I. Elasto-plastic solution of engineering problems «initial stress», finite element approach.— Intern. J. Numer. Meth. Eng., 1969, vol, i, N 1, p. 75—100.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1 КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ 6
Введение в кинематику деформируемой среды. Некоторые сведения из тензорного анализа 6
1-2. Тензоры деформации 26
Тензоры приращения и скорости деформаций 43
Глава 2 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙСРЕДЫ С4
Тензоры напряжений' 64
Меры скоростей изменения напряженного состояния . . . .77
Глава 3 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ УПРУГОПЛАСТИ
ЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ 83
Некоторые общие положения теории определяющих соотношений 83
О теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина 94
Определяющие соотношения упругопластичности при больших пластических деформациях 105
Глава 4 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕ
ФОРМАЦИЯХ 138
Система уравнений 5тпругопластичности при больших пластических деформациях 138
Граничные и контактные условия 152
Глава 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ160
Обобщенное решениезадачи упругопластичности 160
□2 Методика решения краевой задачи термоупругопластпчностп 169
Глава 6.
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧ
НОСТИ 189
6.1. Исследование волнистости тонкостенных элементов горячекатаных двутавровыхпрофилей 190
G.2. Анализ процессапрямоговыдавливания 199
6.3. Напряженно-деформированное состояние металла в процессе электровысадки 211
■ Литература 221
Академия наук СССР
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД УНЦ
А.А. ПОЗДЕЕВ П. В. ТРУСОВ Ю. И. НЯШИН
БОЛЬШИЕ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМЫ ПРИЛОЖЕНИЯ
Ответственный редактор доктор технических наук В. В. МОШЕВ
О
МОСКВА «НАУКА» 1986
А. А. П о з д е е вт П. В. T p у с о в, Ю, И. Н я ш и н. Боль- н)ие у пру гоп ластические деформации: теория, алгоритмы, приложения.—М.: Наука, 1986.
В монографии рассматривается теория больших пластических деформаций, кинематика деформируемой среды, теория напряженного и деформированного состояний, с единых позиций вводится определение коротационных производных. Особое внимание уделяется мерам скоростей изменения напряженного и деформированного состояний, поясняется физический смысл используемых тензоров скоростей напряжений и деформаций. Приводятся определяющие соотношения и постановки скоростного типа.
Для специалистов в области решения прикладных задач теории пластичности.
Рецензенты:
Н. Ф. ЛЕБЕДЕВ, Ю. В. СОКОЛКИН
Александр Александрович Поздеев, Петр Валентинович Трусов, Юрий Иванович Няшин
БОЛЬШИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ:
ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ
Утвер ждено к печати
Институтом механики сплошных сред
УНЦ АН СССР
Редактор Е. Я, Коршунова. Редактор издательства Н. Л. Ермолаева Художник Б. М. Рябышев. Художественньгй редактор II. Л. Фильчагина Технический редактор И. В. Бочарова. Корректоры Н. Г. Васильева, И. А. Талалай
ИБ № 31562
Сдано в набор 25.02.86. Подписано к печати 29.07.86. Т-15592.
Формат eOxOOVte- Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкновенная вовая. Печать высокая. Усл. печ. л. 14,5. Усл. кр. отт. 14,88.
Уч.-изд. л. 15,7. Тираж 2100 экз. Тип. пак. 2397. Цена 1 р. 8 0 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва В-485 Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6
П "嶋卫龍艺只俨？ 133—86—III© Издательство «Наука», 1986 г.