ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В последние десятилетия происходит интенсивное внедрение математических методов в экономическую науку. Большое количество полученных при этом результатов и их внутреннее единство позволяет говорить о создании новой области прикладной математики ——математической экономики.

Математическая экономика, в том виде как она сложилась к настоящему времени, может быть условно разделена на три достаточно независимые части: 1) методы постановки и численного решения прикладных экономических задач, таких, как составление реальных планов отдельного предприятия, отрасли, совокупности отраслей и т. п.; 2) макроэкономические модели экономики, описывающие динамические процессы во всем народном хозяйстве в агрегированных показателях типа «национальный доход», «суммарное потребление», «суммарные инвестиции», «темп роста национального дохода» и т. п., и 3) микроэкономические модели экономики, рассматривающие экономику как систему, состоящую из многих элементов, потребляющих и производящих продукты.

Книга X. Никайдо целиком посвящена микроэкономическим моделям. Назначение этих моделей заключается не в получении каких-либо конкретных числовых данных, которые могли бы быть положены в основу управляющих экономических решений, а в выяснении возможностей согласованного функционирования бо льшого числа экономических единиц и в описании качественных свойств тех или иных из этих возможностей. В этой области уже собрано большое число глубоких содержательных фактов. Так, удалось на модельном уровне объяснить роль денежного механизма в процессе согласования деятельности отдельных экономических единиц, выработать понятие экономического равновесия и установить его свойства, формализовать представления о «рациональном» выборе потребителем того или иного набора благ, выяснить свойства наиболее эффективных траекторий развития экономики и т. п.

Замечательной особенностью микроэкономических моделей является то, что почти все они опираются па некоторый единый комплекс математических фактов, связанных с теорией выпуклых множеств и преобразований, заданных па этих множествах. Именно это обстоятельство и позволяет говорить о теории микроэкономических моделей как о математической теории.

Для советского читателя предлагаемая монография представляет интерес в двух отношениях. Во-первых, в этой монографии собраны существенные результаты теории микроэкономических моделей, ряд из которых ранее па русском языке вообще не публиковался, а во-вторых, в ней четко очерчен тот круг математических фактов, который служит фундаментом для всех рассмотренных экономико-математических построений.

Автор книги, X. Никайдо, является одним из наиболее активно работающих в области математической экономики математиков. Это обстоятельство определило высокий научный уровень книги, и подготовленный читатель несомненно оценит разработанность и почти исчерпывающую законченность практически всех тем, затронутых в этой книге.

Следует остановиться па трактовке в книге одного из центральных для микроэкономических моделей понятия экономического равновесия. Исходя из традиционных представлений, автор трактует это понятие как конкурентное равновесие, т. е. равновесие, к которому должна приходить совокуп-

ность экономических самодеятельных единиц в процессе рыночной конкуренции. Заметим, что такая трактовка понятия экономического равновесия необязательна.

Смысл понятия экономического равновесия сводится к тому, что можно установить такие «равновесные» цены на продукты, что если каждый производитель и каждый потребитель будут выбирать свое поведение с учетом этих цен, то в целом функционирование всех элементов экономики будет согласованным, т. е. каждый элемент найдет сбыт для произведенной им продукции и каждый элемент сможет приобрести необходимый ему продукт. Этот фундаментальный факт не зависит от того, устанавливаются ли цены автоматически в результате действия рыночного механизма или эти цены декретируются некоторым центральным управляющим органом. Именно поэтому понятие экономического равновесия не следует связывать лишь с конкурентной экономикой, и при решении* тех или иных задач в условиях плановой социалистической экономики понятие экономического равновесия может играть существенную конструктивную роль.

Можно было бы прокомментировать и ряд других понятий и терминов, все еще не вполне однозначно употребляемых в экономической и экономико-математической литературе. Однако всякий раз точный смысл используемых понятий может быть понят из контекста; как правило, для этого оказывается достаточно четких, хотя почти всегда лаконичных, пояснений автора (лишь в самых необходимых случаях при переводе были даны примечания). Ряд неточностей и опечаток оригинала исправлен без специальных оговорок.

Монография X. Никайдо вместе с ранее переведенными книгами Д. Гейла (Теория линейных экономических моделей, ИЛ, 1963) и С. Карлина (Математические методы в теории игр, программировании и экономике, «Мир», 1964) дает хорошее представление о современном состоянии математической экономики и помогает, хотя бы частично, удовлетворить тот растущий интерес к экономико-математической теории, который наблюдается в настоящее время у математиков, экономистов и специалистов по теории управления.

, Браверман

Современные математические метЬды, и в особенности те из них, которые опираются на понятие выпуклости, играют существенную роль при исследовании многих важных проблем экономики, а также в ряде смежных областей знания. Признание этого факта вызвало все усиливающуюся тенденцию к овладению математическими методами, которая распространяется наравне с увлечением так называемой «новой математикой». Данная книга, написанная, как надеется автор, в соответствии с такой тенденцией, предназначается тем, кто хочет составить представление об основных идеях, методах и результатах современного математического направления в экономической теории, детально ознакомившись с рядом типичных и поучительных задач. Книга будет понятна читателям, владеющим основами анализа и матричного исчисления и знакомым с элементарными топологическими понятиями применительно к евклидовым пространствам; никаких предварительных экономических познаний по существу не требуется. В то же время в намерения автора входило собрать в книге материалv который был бы интересен более подготовленным читателям, уже имевшим дело с задачами математической экономики и родственными вопросами. Хотелось бы надеяться, что простота и рациональность математического языка книги смогут побудить и опытных исследователей, ранее не интересовавшихся экономической тематикой, к более тесному знакомству с существующими проблемами математической экономики. При всем этом книга ни в коем случае не претендует ни на роль трактата по экономической теории, ни на роль исчерпывающего справочника по математической экономике.

Вошедший в книгу материал охватывает основы теории выпуклых множеств и ее приложения к некоторым важным задачам, возникающим в математической экономике и смежных областях. Типичными примерами могут служить задачи, связанные с изучением статических и динамических свойств линейных и нелинейных экономических систем, в частности, моделей Леонтьева, фон Неймана, Вальраса и др. Обсуждаемые при этом вопросы можно охарактеризовать как вопросы существования, оптимальности, устойчивости и единственности решений соответствующих уравнений или неравенств. Подробное перечисление рассматриваемых в книге проблем с указанием их расположения по главам приводится далее во введении.

На протяжении всей книги ее параграфы снабжены сквозной нумерацией (арабскими цифрами со значком §). Так, § а.р обозначает раздел В в параграфе а; теорема а.р — это теорема В из § а. Если теорема а.р состоит из нескольких утверждений, отмеченных номерами (i), (ii), . . ., то ссылка на утверждение (i) в теореме а.р дается как ссылка на теорему а.р (i). Подобное же правило относится вообще ко всем ссылкам в книге.

При написании книги неоднократно приходилось обращаться к работам, указанным в библиографическом списке. Настоящая книга включает также в переработанном и дополненном виде некоторые статьи автора [1, 3, 4, 8—11] и его совместную статью с Д. Гейлом (Гейл, Никайдо [1]); своему соавтору, а также редакциям изданий Kodai Mathematical Seminar Reports, Metroeconomica^ Review of Economic Studies, Econo metric a, Annals of Mathematics Studies и Mathematische Annalen, в которых, эти статьи были впервые опубликованы, автор благодарен за любезное сотрудничество. Он особенно признателен Дж. С. Чипману и К. Инаде за разрешение включить

в гл. VII их некоторые тогда еще не опубликованные.результаты (Чипман [1], Инада [2]). Автор весьма обязан издателям его предыдущих двух книг (на японском языке) «Математические методы в современной экономике», Токио, 1960 г., и «Линейная математика для экономистов», Токио, 1961 г., которые послужили одним из источников материала для настоящей книги.

Хочется также поблагодарить коллег и друзей, проявивших интерес к этой книге. Особо нужно отметить X. А цу ми, Д. Гейла, К. Инаду, Д. У. Кацнера, X. Кумагаи, М. Моришиму, Т. Негиси и Т. Ясуи за ценные замечания. Автор выражает также свою признательность К. Дж. Эрроу, Л. У. Маккензи, П. Э. Самуэльсону, Л. С. Шепли, X. Уцаве и др. за полезное обсуждение некоторых проблем, затронутых в книге. Автор крайне признателен Р. Беллману, предложившему написать эту книгу и поощрявшему автора па протяя^епии всей работы над рукописью, а также С. Ияиагс, своему учителю.

Хуку кане Никайдо

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

л

и

5

с и

л л 5 3 3

0吗

х принадлежит А, х не принадлежит А, А включено в В (теоретико-множественное включение), Л не включено в В, Лей, но А ^= В (собственное теоретико-множественное включение), множество всех элементов ①,обладающих свойством Р, пустое множество, множество, состоящее из единственного элемента а, теоретико-множественное объединение множеств А, 3, С,.・.？

U Ах теоретико-множественное объеди- 九ga

нение множеств Л х по индексу А Е А,

4 f| 5 р С . . . теоретико-множественное пересечение множеств А, 3, С,..., П А^ теоретико-множественное пересе

чение множеств Л х по индексу АЕ А,

А\В

Ас

А х В X С ...

丛

4

л/о

теоретико-множественная разность, т. е. множество {х \ х ^ А. ① 0 3}, теоретико-множественное дополнение множества Л, декартово произведение множеств л, в, с, .. •, декартово произведение множеств

/入 по индексу А € А, замыкание множества А, внутренность множества А,

АьС⑷ /: Xf У/: X f 2Y gf尸f X g X h X ./⑷ 尸(3)Rn n u, y) = 2化曲 i=lH % II =〈%,化〉1/2 (%1, %2， • • •,%九) (g,况2, •..,.况九) pП=S 1* =(臼)，2 Pi='， Pi(% = 1,...,九)} 当 3 b) = {况 I II 力一q II = 6}& (a,6)={% I И %—q И < 6} 厶dis (a, b)dis (a, A) = inf dis (a, %) к £4U (©,£)={% I у %—q II V e} или {x I dis (瑞 a) V e}, 8} {統}АьС⑷ /: Xf У/: X f 2Y gf尸f X g X h X ./⑷ 尸(3)Rn n u, y) = 2化曲 i=lH % II =〈%,化〉1/2 (%1, %2， • • •,%九) (g,况2, •..,.况九) pП=S 1* =(臼)，2 Pi='， Pi(% = 1,...,九)} 当 3 b) = {况 I II 力一q II = 6}& (a,6)={% I И %—q И < 6} 厶dis (a, b)dis (a, A) = inf dis (a, %) к £4U (©,£)={% I у %—q II V e} или {x I dis (瑞 a) V e}, 8} {統}

Аь

С⑷ /: Xf У

/: X f 2Y gf

尸

f X g X h X .

/⑷ 尸(3)

Rn n u, y) = 2化曲 i=l

H % II =〈%,化〉1/2 (%1, %2， • • •,%九) (g,况2, •..,.况九) pП=S 1* =(臼)，2 Pi='， Pi(% = 1,...,九)} 当 3 b) = {况 I II 力一q II = 6}

& (a,6)={% I И %—q И < 6} 厶

dis (a, b)

dis (a, A) = inf dis (a, %) к £4

U (©,£)={% I у %—q II V e} или {x I dis (瑞 a) V e}, 8} {統}

Аь

С⑷ /: Xf У

/: X f 2Y gf

尸

f X g X h X .

/⑷ 尸(3)

Rn n u, y) = 2化曲 i=l

H % II =〈%,化〉1/2 (%1, %2， • • •,%九) (g,况2, •..,.况九) pП=S 1* =(臼)，2 Pi='， Pi(% = 1,...,九)} 当 3 b) = {况 I II 力一q II = 6}

& (a,6)={% I И %—q И < 6} 厶

dis (a, b)

dis (a, A) = inf dis (a, %) к £4

U (©,£)={% I у %—q II V e} или {x I dis (瑞 a) V e}, 8} {統}

граница множества А, т. e. множество彳П不，

выпуклая оболочка множества Л, (однозначное) отображение из X в У,

многозначное отображение из X в У, композиция (произведение) двух отображений f к g, где g следует за /, отображение, обратное отображению /, декартово произведение отображений /, g, h,..., образ множества А при отображении /, прообраз множества В при отображении /, n-мерное (вещественное) евклидово пространство,

скалярное произведение векторов %=(/)и у =(力)，

евклидова норма вектора 况， вектор-строка,

вектор-столбец, стандартный симплекс

(九——1)-сфера радиуса 6 с цен- ром в а,

n-шар радиуса 6 с центром в а, краткое обозначение единичной (п — 1)-сферы Sn (0, 1), краткое обозначение единичного n-шара Сп (0, 1),•

расстояние между двумя точками а и Ь,

расстояние между точкой а и мно

жеством А,

е-окрестность точки а,

последовательность точек * последовательность чисел Xv,

lim / (Vf +8 lim / (%) остаNf〃 + 0 (х^ а — 0) lim sup Xvliminf %v V->4-oolim sup / (%)lim / (Vf +8 lim / (%) остаNf〃 + 0 (х^ а — 0) lim sup Xvliminf %v V->4-oolim sup / (%)lim inf / (%)lim inf / (%)sup infAfI 4 I，det AIM H = (S 1〃订产)1/2r⑷sup infAfI 4 I，det AIM H = (S 1〃订产)1/2r⑷X > уX>y立• у① > 沙X > уX>y立• у① > 沙[а, Ы[а, Ык, b)к, b)предел последовательности {6}, предел функции (или отображения) / (%) при х, стремящемся к а, сходимость х к а справа (слева), верхний предел последовательности {統} вещественных чисел, нижний предел последовательности {九 J вещественных чисел, верхний предел вещественной функции / (况)при %, стремящемся к а,

lim / (Vf +8 lim / (%) оста

Nf〃 + 0 (х^ а — 0) lim sup Xv

liminf %v V->4-oo

lim sup / (%)

lim / (Vf +8 lim / (%) оста

Nf〃 + 0 (х^ а — 0) lim sup Xv

liminf %v V->4-oo

lim sup / (%)

lim inf / (%)

lim inf / (%)

sup inf

Af

I 4 I，det A

IM H = (S 1〃订产)1/2

r⑷

sup inf

Af

I 4 I，det A

IM H = (S 1〃订产)1/2

r⑷

X > уX>y

立• у

① > 沙

X > уX>y

立• у

① > 沙

[а, Ы

[а, Ы

к, b)

к, b)

нижний предел вещественной функции /(£)при %, стремящемся к а, точная верхняя грань, точная нижняя грань, транспозиция матрицы Л, определитель квадратной матрицы Л,

евклидова норма (п X п)-матри-

цы Л,

ранг матрицы 4, полуупорядочение в Rn, означающее Xi > yi (t = 1, . . ., п) для % =(勺)"沙=(%)， означает, что £ 三刃，х 丰 у, означает, ито%»>刃》(i =1, . . ., n) для х =(勺)и 刃=(力)，

х не менее предпочтителен, чем у (отношение предпочтения), х предпочтительнее у (отношение строгого предпочтения), отношение эквивалентности, в частности, отношение безразличия (т. е. >； и ^ одновременно); гомотопия отображений, замкнутый интервал с концами а, Ь на вещественной оси или отрезок с концами а, Ь в Rn^ означает [а, Ы \ {Ь},

12

Список основных обозначений,

(〃，Ы

Re (а)

означает [а, Ь] \ {〃}, означает [а, Ъ] \ ({а} U {匕}),

вещественная часть комплексного числа а,

Im (а)

мнимая часть комплексного чис

А歩=(0, . . ., 0, Ар», 0, • •・，。)

ла а, частное приращение г-й компоненты вектора р.

ВВЕДЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

В экономической теории на первоначальном этапе ее развития редко использовались математические формулировки. Тем не менее многие классические доктрины экономики в словесной, завуалированной форме по существу содержали определенные математические утверждения; это иногда оставалось скрытым и от самих приверженцев таких доктрин. По мере развития экономической науки внутренне присущие ей математические черты постепенно проявлялись все сильнее. На более поздней стадии ее истории некоторые экономисты стали предлагать даже полную математизацию экономической теории. По-видимому, самым выдающимся представителем зарождавшегося математического направления в экономической теории был французский экономист Леон Вальрас. Именно он в конце XIX столетия заложил основы теории общего экономического равновесия (Вальрас [1]). Эта теория основана на том, что между соответствующими величинами в экономике существует не односторонняя причинно-следственная связь, а многосторонняя взаймозависимость, которую математически можно представить некоторой системой соотношений между этими величинами. Исследования Вальраса остаются блестящим примером математического подхода к экономическим явлениям. Большой его заслугой является ныне общепризнанная идея о возможности функционального описания экономических явлений системами уравнений, неравенств или и тех и других вместе.

Исследования Вальраса, будучи сами по себе весьма продуктивными, тем не менее указали лишь направление для дальнейших работ. С точки зрения современной математики результатом исследований самого Вальраса является установление некоторых систем соотношений, описывающих экономическую действительность. Он не дал ни удовлетворительного доказательства существования решений этих систем, ни математического обоснования других своих утверждений. Причину этого следует искать не только в элементарности его математического аппарата, но и в недостаточном общем развитии в прошлом веке некоторых областей математики, особенно топологии. Лишь в 50-х годах нашего столетия стало возможно обосновать существование решений, а также исследовать другие важные свойства систем Вальраса. Это только один

из многочисленных примеров достижений экономической теории за последние десятилетия, обусловленных общим прогрессом математических наук. Отличительная черта этих новых достижений состоит в применении эффективных теоретических методов исследования, что резко контрастирует с духом механических вычислений, свойственных работам экономистов-математиков предшествовавших времен. Можно считать, что эти достижения ознаменовали рождение современной математической школы в экономической теории.

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

Исследователи, рассматривающие экономику как систему взаимосвязанных величин, подобно физикам, изучающим механические или электромагнитные системы, изучают как статические, так и динамические свойства этой системы: экономистов интересуют структурные характеристики экономики, с одной стороны, и ее эволюционные особенности, такие, как колебания и рост,— с другой.

Экономист строит математическую модель экономической системы в более или менее агрегированной форме, выбор которой зависит от основной цели его исследования. Желая получить грубую картину экономики в самых общих ее чертах, он обращается к предельно агрегированной модели, связывающей простыми соотношениями такие агрегированные, укрупненные величины, как национальный доход, общий уровень цен и т. п. Если же он хочет оперировать более тонкими структурными характеристиками экономической системы, то и соответствующая модель выбирается более детальной, дезагрегированной. На таком детальном уровне анализа, примером которого может служить подход Вальраса, экономика сводится к гигантской системе соотношений между громадным числом величин. Эти величины соответствуют «атомарным» составляющим системы: отдельным потребителям и производителям, отдельным работникам и предпринимателям. Экономическая теория, излагаемая в терминах агрегированных величин, носит название макротеории, а подход, связанный с явным исследованием поведения индивидуальных компонентов системы в дезагрегированном виде, принято относить к микротеории. Все это многообразие экономических моделей может служить сферой применения современных математических методов.

В математическом подходе к экономическим явлениям наблюдается определенный методцлогический дуализм. У одного направления группируются исследователи, называемые математиками- экономистами, которые занимаются математическим (не обязательно численным) анализом детерминированных, нестохастических

систем. Другое объединяет экономистов со статистическим уклоном, так называемых эконометристов, занимающихся главным образом приложением современных статистических методов к оценке экономических параметров.

По мнению большинства математиков-экономистов, внутренние, глубинные механизмы экономических явлений имеют детерминированную природу, хотя в этих явлениях не обходится и без элемента случайности. Они считают, что успешное проникновение в суть таких внутренних механизмов может быть достигнуто путем математического исследования немногочисленных детерминированных факторов, имеющих существенное значение для экономики, а несущественными случайностями можно пренебречь. С этой точки зрения в качестве первичных, исходных моделей допустимо рассматривать и такие модели, которые для непосредственной статистической проверки неудобны, если только это оправдывается познавательной ценностью таких моделей для теории функционирования экономики. Такие исследователи предоставляют статистическую проверку своих теорий эконометристам, которые занимаются согласованием количественных теоретических соотношений с эмпирическими данными экономической действительности. Эконометристам, сознающим ограниченную пригодность статистических данных и статистических методов оценки, приходится идти на компромиссы, связанные с качественным упрощением уравнений модели. Однако в экономико-математической теории центральным предметом исследования остаются экономические соотношения во всей их полноте. Данная книга посвящена исключительно теоретическому детерминистскому направлению в математическом исследовании экономических явлений; поэтому в последующих главах основное внимание уделяется качественным результатам математического анализа моделей, а не статистическим и численным методам.

Специалисты по макротеории обычно имеют дело с достаточно простыми моделями экономики, требующими лишь элементарных математических средств анализа. В противоположность этому модели промежуточного уровня агрегирования, и тем более полностью дезагрегированные модели, выдвигают многочисленные и интересные математические проблемы, которые и составляют основной предмет этой книги.

§ 3・ РОЛЬ ПОНЯТИЯ ВЫПУКЛОСТИ

Математические построения, возникающие в современной экономической теории, в большей или меньшей степени отличаются от соответствующих построений в физических науках. Поэтому будет неудивительно, если попытки изучения свойств экономических систем путем формального применения того аналитического

аппарата, который был удобным в физике, окажутся малопродуктивными. Глубокое проникновение в сущность экономических закономерностей может быть обеспечено лишь с учетом специфических требований к математическому аппарату, предъявляемых самой природой экономических систем. Такова общая точка зрения специалистов, работающих в области современной математической экономики.

Эта экономико-математическая специфика очень часто находит формальное выражение в свойствах выпуклости (и, как частный случай, линейности) соответствующих математических объектов. Так, например, законы постоянной или убывающей продуктивности выражаются в форме линейности или выпуклости некоторых функциональных соотношений или множеств. Другие примеры выпуклости, свойственной экономическим явлениям, возникают в силу специфики огравичений, налагаемых на экономические величины. Типичный пример тому неотрицательность цен; отрицательные цены в обычных ситуациях не имеют смысла. Ограничения такого типа обычно задаются не в виде равенств, а в виде неравенств. Другими словами, изменение экономических* величин в большинстве случаев происходит на некотором множестве, включающем и его границу. При этом возможно, что искомое решение задачи будет достигнуто как раз на границе, что делает неприменимыми классические методы анализа. Такие ситуации нередко сопутствуют «выпуклым» задачам, которые могут быть решены лишь с помощью соответствующих -теорем о выпуклости.

Существует и другая, более глубокая причина повышенного внимания к выпуклости. Некоторые важные структурные свойства евклидова пространства, в терминах которого строятся модели экономических явлений, тесно связаны с его топологической природой, а часть этих свойств относится и к выпуклым множествам. Эти свойства становятся кардинально важными, как только мы хотим выйти за рамки традиционных аналитических и вычислительных методов и перейти к обоснованию некоторых фундаментальных положений экономической теории, например к доказательству существования общего конкурентного равновесия.

В классической математике понятие выпуклости не привлекало большого внимания, и относящиеся к нему немногочисленные разрозненные результаты рассеяны по научной литературе. В настоящее время теория выпуклых структур включает в себя алгебраическую ветвь ——заново разработанную теорию линейных неравенств и смежных вопросов, и топологическую ветвь — многочисленные и мощные теоремы существования типа теорем о неподвижной точке. Вводная глава этой книги дает сводку основных результатов современной теории выпуклости в том объеме, который необходим для понимания последующих глав.

§ 4. О РАСПОЛОЖЕНИИ МАТЕРИАЛА В КНИГЕ

Цель этой книги состоит в том, чтобы показать, что многие важные задачи в экономической теории связаны с понятием выпуклости, и продемонстрировать, насколько плодотворным оказывается приложение некоторых теорем о выпуклости к решению этих задач. Книга не претендует на исчерпывающее освещение этой темы, но она содержит ряд тщательно подобранных типовых задач, в которых современные математические методы, и в первую очередь теория выпуклости, применяются достаточно эффективно. При этом акцент делается на методах решения, а не на экономическом содержании задач. Обсуждение экономических аспектов ограничивается лишь самым необходимым минимумом и ведется на достаточно элементарном уровне, так что читатель, не имеющий предварительной экономической подготовки, вполне может понять основные предпосылки и утверждения из области экономики.

Книга построена следующим образом.

В главе I содержится необходимый математический фундамент для всех последующих глав. В ней приводится детальное изложение понятий и теорем, относящихся к выпуклым множествам в евклидовом пространстве, которые систематически используются в дальнейшем.

В главе II описываются три основные линейные модели: модель Леонтьева, задача линейного программирования и модель расширяющейся экономики фон Неймана. Математическое содержание этой главы составляют: 1) теория неотрицательных матриц и 2) исследование свойств решений систем линейных уравнений или неравенств, имеющих приложение в экономике.

Значительная часть результатов, установленных в гл. II с использованием предположения линейности, по существу не нуждается в этом предположении и допускает обобщение на нелинейные случаи. В главе III приводятся некоторые из таких обобщений, главным образом обобщения ситуаций, описываемых функциональными соотношениями того же типа, что и в гл. II, но без использования предположения линейности.

Глава IV, посвященная проблемам эффективного распределения и роста, начинается с формализации модели производства в терминах производственно-технологических множеств и изложения всех необходимых понятий и представлений. Затем доказываются две характерные теоремы о магистрали для процесса планируемого экономического роста: теорема о магистрали с конечным состоянием и теорема о магистрали в потреблении.

В главе V исследуются основные свойства конкурентной экономики по Вальрасу как дезагрегированной децентрализованной системы. Приводимое доказательство существования конкурент- 2-8

ного равновесия обосновывает работоспособность такой системы в.статическом режиме. Далее обсуждаются социально-экономические аспекты конкурентно-равновесных ситуаций, и в первую очередь характеристика таких ситуаций в терминах теоретикоигровой концепции «ядра». Всему этому анализу предшествует открывающее гл. V предварительное обсуждение, включающее, в частности, современный подход к теории потребительского выбора.

В главе VI изучается одно важное специфическое свойство покупательского спроса — валовая заменимость продуктов. На базе вариационных методов устанавливаются два факта: существование конкурентного равновесия и справедливость слабой аксиомы выявленного предпочтения между равновесным и неравновесным векторами цен, сформулированной Самуэльсоном. Далее в этой же главе исследуется глобальная устойчивость экономической системы при наличии валовой заменимости.

Глава VII посвящена специальному вопросу ——условиям глобальной взаимной однозначности отображения в терминах его якобиевой матрицы. Этот вопрос имеет непосредственное отношение к проблеме выравнивания цен на факторы производства и к единственности конкурентного равновесия в экономических моделях.

Глава I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О ВЫПУКЛОСТИ

В главе I содержится необходимый математический фундамент для всех последующих глав. Здесь приводится детальное изложение понятий и теорем, относящихся к выпуклым множествам в евклидовом пространстве, которые систематически используются в дальнейшем. Предполагается, что читателю известны основные понятия и результаты из анализа, теории матриц и теории точечных множеств, которые можно найти в общедоступных курсах.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Евклидовы пространства

Мы будем иметь дело главным образом с множествами простой структуры в n-мерном евклидовом пространстве Rn, образованном совокупностью всех точек (векторов) с п вещественными координатами х = (с»). Пространство Rn наделено двумя важнейшими структурами: линейной и топологической.

(сложение),(умножение на число),(скалярное произведение),(сложение),(умножение на число),(скалярное произведение),£ +沙=(勺 + 勿)ах = (ag)п5公=Z %mII力［| =(况，化尸戶£ +沙=(勺 + 勿)ах = (ag)п5公=Z %mII力［| =(况，化尸戶Линейная структура в пространстве 7?п вводится постулированием следующих обычных операций над векторами. Пусть х =(勺)，у = (%) £ Еп, и а — вещественное число; тогда

(сложение),

(умножение на число),

(скалярное произведение),

(сложение),

(умножение на число),

(скалярное произведение),

£ +沙=(勺 + 勿)ах = (ag)

п

5公=Z %m

II力［| =(况，化尸戶

£ +沙=(勺 + 勿)ах = (ag)

п

5公=Z %m

II力［| =(况，化尸戶

(Ш)

(iv)

Важная связь между скалярным произведением и евклидовой нормой устанавливается неравенством Шварца

丨①，У〉［《II ^ II II У II, которое обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы л: и г/ линейно зависимы.

Кроме того, евклидова норма удовлетворяет следующим условиям:

(а) И ж И > 0, причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда с = О,

(₽) 1g II = \ а \ \\х Н,

(Y)\\х + у\\^\\х\\+\\у\\,

где %, у £ Rn, а а и | а | суть вещественное число и его абсолютная величина соответственно.

Стандартная топологическая структура в Rn вводится на основе понятия сходимости в терминах евклидова расстояния между точками х и у

dis (①，у) = |]n — у ", удовлетворяющего условиям вида (а)——(у). Сходимость последовательности {%”} точек в 7?п к точке а записывается как

lim xv = а или xv а (v f + оо)

и определяется условием

lim dis (力” 〃)=0. ,V->-J-oo

Ta же самая топологическая структура может быть введена и другими эквивалентными способами. Например, как евклидова норма И х II, так и нормы п*

||%||а=2 I g ], II % |]лг = max I g I

порождают одну и ту же топологическую структуру в Rn, если интерпретировать понятие сходимости в терминах соответствующих функций расстояния dis(£, 5)= || 工——У ||, disA (%, у)= = \\ х — у ||厶，disM (①，у) = |j 况 — У ||м- Это ясно из соотношений 《4/]/疥 И х ||а & II % II W II с На, 11^ )]м< II ^ На < ^ II ^ Им- Далее, сходимость последовательности {①”} точек в Rn эквивалентна сходимости п числовых последовательностей {%；} координат этих точек.-：

Ниже предполагается, что читатель знаком с самыми основными фактами и понятиями, непосредственно связанными с определением двух указанных выше структур и их взаимоотношением. В частности, предполагается знание таких понятий, как линейная независимость, ортогональность, линейные уравнения, линейные подпространства, линейные преобразования, матрицы, определители, открытые и замкнутые множества, окрестности, замыкания, относительная топология и непрерывные отображения i).

Среди этих понятий единственным выходящим за обычные вузовские рамки является понятие относительной топологии. Впрочем, все связанные с ним определения применительно к пространству Rn мож/ю дать на обычном языке е-окрестностей U (〃，€) {х | Ц х — д || < в} точек а С Rn.

Пусть задано множество X в Rn. Рассмотрим некоторое множество 4 cz X. Будем называть трчку 力 £ 4 внутренней e X точкой множества Л, если при некотором е > 0 из у ^ U (х, г) Q X следует у ^ А. Множества 4 называется открытым 〃 X, если каждая точка х ^ А является

Компактные множества

Одно из топологических понятий, часто используемых в книге —это компактность. В пространстве Rn, в котором топологическая структура задается в терминах сходимости, компактность определяется следующим образом.

Определение 1.1. Множество X называется компактным, если любая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из X.

Одним из подтверждений важности понятия компактности служат теоремы 1.1—1.3.

Теорема 1.1 (существование максимального значения). Непрерывная функция / (①)на компактном множестве X всегда ограничена и достигает своего максимального значения.

Доказательство. Пусть sup / (%) = а на множестве X. Покажем, что а < + оо и существует точка 〃 £ X, такая, что / (а) = а. Из определения а следует существование последовательности {%”} в X, такой, что lim / (算")=а. В силу компакт-

V->+oo .

ности множества X из {/”} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {/卩}. Пусть эта подпоследовательность сходится 耳 точке а. Тогда в силу непрерывности / (%) последовательность значений / (n卩)сходится к / (а), так что / (а) = а. Поскольку а как значение функции / (①)должно быть конечным числом, имеем а V + 8. Таким образом, / (а) = max / (^) < + оо, что и тре

бовалось доказать.

внутренней в X. Множество 4 называется замкнутым e X, если его дополнение в X, т. е. множество X \ А, является открытым в X. Само множество X, как и пустое множество 0, одновременно открыто и замкнуто в X.

Относительной внутренностью a X множества Л называется множество всех его внутренних в X точек. Относительной границей e X множества 4 называется множество всех его граничных в X точек, т. е. всех точек х £ X, таких, что при любом £ > 0 множество U (х, 8)П X содержит как точки из 4, так и точки из X \А. Объединение множества Л и его относительной границы в X называется относительным замыканием в X множества Л. Легко видеть, что множество 4 замкнуто в X тогда и только тогда, когда оно целиком содержит свою относительную границу, т. е. совпадает со своим относительным замыканием в X. В этой книге слово «относительный» часто опускается.

Читатель, которого интересует само понятие относительной топологии (в литературе используются также термины индуцированная топология, след или сужение топологии)^ может обратиться, например, к следующим источникам: Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, М., «Наука», 1968; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, М., «Наука», 1968; Келли Д ж. Л., Общая топология, М., «Наука», 1968.— Прим, перев.

Теорема 1.2.

Компактное подмножество М множества X замкнуто s X.

Замкнутое в X подмножество М компактного множества X также компактно.

Доказательство, (i) Пусть подмножество Мкомпактно. Рассмотрим последовательность {%"} из М, сходящуюся к точке х из X. Согласно компактности подмножества М, можно выделить из {%v} подпоследовательность {%卩}, сходящуюся к некоторой точке у из М. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности должна сходиться к тому же пределу, что и исходная последовательность. Следовательно, х = у, а поэтому х W М. Этим доказана замкнутость в X подмножества М.

Пусть подмножество М замкнуто в X. Произвольная последовательность {%”} из М одновременно является последовательностью точек мз X и в силу компактности множества X содержит подпоследовательность {%眛}, сходящуюся к некоторой точке % из X. Точка х принадлежит замыканию 7И в X. Но по предположению о замкнутости М в X подмножество М совпадает со своим замыканием в X. Следовательно, х £ М, и таким образом, {碎} является подпоследовательностью, сходящейся к точке х из М. Теорема доказана.

Теорема 1.3. Образ компактного множества X при непрерывном отображении /: X f У также является компактным множеством.

Доказательство. Пусть {yv} — произвольная последовательность точек из множества / (Х)・ По определению существуют такие точки из X, что 刃v = / (%v)(旷=(,2, . . .). В силу компактности множества X найдется подпоследовательность {%м} последовательности {%旷}, сходящаяся к некоторой точке х из X. Тогда из непрерывности функции / следует, что подпоследовательность {"叫} последовательности {yv} сходится к точке / (%) из множества / (X). Теорема доказана.

Пусть Р ——некоторое свойство, такое, что если последовательность {%v} обладает свойством Р, то и каждая ее подпоследовательность обладает этим свойством. Предположим, что последовательность {①V}, обладающая свойством Р, лежит в компактном множестве X. Тогда в силу компактности некоторая подпоследовательность {%”刀} последовательности {%▽} должна сходиться, так что {%”「} есть сходящаяся последовательность, обладающая свойством Р. Таким образом, мы можем без ограничения общности считать, что исходная последовательность {%"} является сходящейся. Этот полезный прием будет далее часто использоваться с целью избежания усложненных обозначений для подпоследовательностей.

Вообще говоря, обратное отображение к взаимно однозначному непрерывному отображению не обязательно непрерывно. Например, отображение 0 f (cos 0, sin 0) является непрерывным и взаимно однозначным отображением интервала [0,2冗)на，) единичную окружность. Однако, как легко видеть, обратное отображение терпит разрыв в точке (1, 0). Если область определения данного отображения компактна, то такая ситуация никогда не может возникнуть.

Теорема 1.4. Обратное отображение /-1 к взаимно однозначному непрерывному отображению /: X f У множества X на множество Y непрерывно, если X ——компактное множество.

Доказательство. Пусть {》} — последовательность, сходящаяся к точке у в Y. Положим хУ = /-1 (yv), х = /-1 (у), и покажем, что последовательность {xv} сходится к %. Допустим противное; тогда для некоторого е > 0 и некоторой подпоследовательности {%%} имеет место || %”$ — % ||》£ (s = 1, 2, • . •)• Поскольку X — компактное множество, то без ограничения общности можно считать, что {%”$} сходится к некоторому пределу а° в X. В силу непрерывности / отсюда следует сходимость последовательности {/(%”》} к /=/(%°). Заметим теперь, что {/(£”$)} является подпоследовательностью последовательности 彳у"}, так что их пределы д° и у должны совпадать. Но тогда вследствие взаимной однозначности отображения / получаем %° = %. Однако предельный переход в приведенном выше неравенстве дает II %。— х II》е > 0, откуда следует %° :/= %, что противоречит предыдущему результату. Таким образом, lim /-1 (yv) =/-1 (у), что и означает непрерывность отображения У". Теорема доказана.

В пространстве Еп «компактное множество» является синонимом «ограниченного замкнутого множества».

Теорема 1.5. Подмножество X пространства Rn компактно тогда и только тогда, когда X ограничено и замкнуто 6 Rn.

Доказательство. Необходимость приведенного условия следует немедленно. В самом деле, по теореме 1.2 подмножество X замкнуто в Е几，а по теореме 1.1 норма \\ х || ограничена на X как непрерывная функция.

Докажем достаточность. Если множество X ограничено, то всегда найдется достаточно большой замкнутый куб (п-мерный замкнутый интервал)

А == {况 I at & Q 《 后 (z == 1,2,..., ")},

содержащий X. Гиперплоскость £订 определяемая уравнением /? = (1/2) (а? 4- б?), делит Д на два замкнутых подкуба. Совокупность п таких -гиперплоскостей 厶》(Z = 1, 2, . . ., п) делит Д на 2П конгруэнтных замкнутых подкубов. Пусть задана некоторая последовательность {/”} в X. Так как все точки /” (v = 1, 2,...) принадлежат объединению построенных подкубов, то найдется хотя бы один подкуб, который мы обозначим через 厶储 содержащий (бесконечную) подпоследовательность {①〔"} последовательности

”}. Поступая далее аналогичным образом, мы построим подкуб Д2 куба Д1 и подпоследовательность {^2v} последовательности {①iv}, целиком лежащую в Д2. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных кубов А^ n А? п Аз П・・・ ...п А入 п . . ., где куб Дх целиком содержит последовательность {①入V}, причем {①(九+1)丫} является подпоследовательностью последовательности Полагая

А% = {① I 〃 入i & ① t & gt (Z = l, 2,〃)}

для каждого A = 1, 2, . . ., имеем для всех Z

“It & 〃2i W • • • W ^%z & & W 6入i W & ^2? & “i， (ii)。之匕線-aki W 2一入(L -色).

Это значит, что п числовых последовательностей {〃總} являются неубывающими и ограниченными сверху, и, следовательно, они сходятся. Аналогично убеждаемся в сходимости последовательностей {匕線} для всех %. Более того, для каждого i соответствующие два предела совпадают в силу (ii). Таким образом, числовые последовательности {%?'}, ограниченные сверху и снизу парами последовательностей, сходящихся к общим пределам, также сходятся. Поэтому сходится и последовательность векторов {力九九}. Так как эта последовательность является подпоследовательностью исходной последовательности {①”}, то получаем, что {^v} содержит сходящуюся в Rn подпоследовательность. Но поскольку подмножество X замкнуто, то предел этой подпоследовательности должен принадлежать X. Это и доказывает окончательно, что указанная подпоследовательность сходится в X.

В дальнейшем будут часто встречаться следующие типичные компактные множества в Rn:

стандартный симплекс х)

Рп^ [р| 2 Pi^^y Pi>0 (i= 1, 2, ..., 〃)}; г=1

〃-map n & = {①I S ^?<i}； 2=1

1) Определение симплекса будет дано в § 4.1.

(п—1)-сфера

п

Sn = Ь1 3 端="；

г= 1

куб'

А = {① I 〃月 & ①z & 仇(％ = 4, 2, . . ., 〃)}•

Компактные множества (продолжение)

Существует и иной, более современный способ введения понятия компактности. Это понятие можно сформулировать в терминах либо семейств открытых множеств, либо семейств замкнутых множеств. Такое определение оказывается эквивалентным определению, данному в § 1.2 применительно к множествам, рассматриваемым в этой книге, хотя это не имеет места для множеств более общей природы. Новый способ определения компактности нередко оказывается удобнее с точки зрения использования этого понятия.

Определение 1.2. Семейство {G 入 | А £ А} открытых подмножеств множества X называется открытым покрытием этого множества, если X и U G北(иными словами, если множества G人 AGA

в совокупности покрывают множество X).

Определение 1.3. Говорят, что семейство {/\ | А £ А} подмножеств множества X обладает свойством конечного пересечения, если любое конечное число этих подмножеств имеет общую точку.

Современная формулировка понятия компактности дается приводимыми ниже двумя определениями, которые эквивалентны между собой ввиду отношения дополнительности между открытыми и замкнутыми множествами.

Определение 1.4 (компактность в терминах открытых покрытий). Множество X называется компактным, если из любого открытого покрытия X можно выделить конечное число элементов этого покрытия, которые в совокупности также покрывают X.

Определение 1.5 (компактность в терминах свойства конечного пересечения). Множество X называется компактным, если для любого семейства его замкнутых подмножеств, обладающего свойством конечного пересечения, найдется точка из X, принадлежащая всем членам этого семейства.

Для дальнейшего изложения нам важно будет установить эквивалентность первоначального определения компактности (определение 1.1) и его современных формулировок (определения 1.4 и 1.5) применительно к множествам простой структуры.

Рассматриваемое нами пространство Rn позволяет ввести в нем расстояние между точками (часто называемое метрикой), основанное на евклидовой норме. Таким образом, Rn представляет собой характерный пример так называемого метрического пространства. Метрическое пространство наделено метрикой dis (/, у)》0, удовлетворяющей следующим трем условиям:

dis (%,沙)=0 тогда и только тогда, когда % = у,

dis (х, у) = dis (弘 ①)，

dis у)《dis (%, z) + dis (z, g),

где x, у, z — точки данного пространства.

Исследование топологических свойств метрического пространства можно основывать на понятии сходимости в терминах заданной метрики, подобно тому, как это делается в К".

Прежде чем приступить к доказательству эквивалентности первоначального определения компактности и его современных формулировок, установим непрерывность расстояния от точки 刀о какого-либо подмножества в метрическом пространстве как функции этой точки.

Лемма 1.1. Пусть X — метрическое пространство и F — ezo непустое подмножество. Тогда расстояние dis (ж, F) от переменной точки х до F, определяемое как dis (%,尸)=inf dis (%, z) no всем z £ F, является непрерывной функцией %•

Доказательство. В силу свойства метрики (iii) для любых £, g £ X, z £ 歹 имеем dis (%, z) W dis (芻 g) 十 dis (у, z). Следовательно, dis (x, F) & dis (/, g) -+ dis (y, z) для всех z F. Это означает, что dis (①，F) & dis (%, у) + dis (у, F). Аналогично получаем dis (у, F) ^ dis (х, у) + dis (%,歹). Комбинируя эти результаты, окончательно получаем | dis (%, F)——dis (у, F) | & W dis (%,亦 что и доказывает непрерывность расстояния dis (%, F) по %・

Заметим, что точка х принадлежит замыканию F множества F тогда и только тогда, когда dis (%, F) = 0. Следовательно, если / замкнуто, то х ^ F тогда и только тогда, когда dis (%, F) = 0.

Определение 1.6. Конечное подмножество {〃' | % = =1, 2, . . ., s} точек метрического пространства X называется г-сетъю в X, если семейство 8-окрестностей этих точек {U (а\ е) I j = 1, 2, . . ., s} образует покрытие пространства X <(здесь U (а, &) = {① | dis (①，а) V е} есть е-окрестность точки а в X).

Лемма 1.2. Если метрическое пространство X компактно « смысле определения 1.1, то оно имеет г-сеть при любом е > 0.

Д оказательств о. Допустим, что X не имеет е-сети. Возьмем произвольную точку а мзХ. По предположению об отсутствии е-сети е-окрестность U (а1, 8)заведомо не покрывает X, поэтому найдется точка а? £ х, не принадлежащая U (а1, е). По той же причине найдется точка а из X, не принадлежащая U (а1, е) и U (а, е). Продолжая это построение, мы получим в X последова-

V .

тельность {av}, такую, что 〃v+i R (J U (仅\ &), причем по построению dis (〃从,аУ) > 8 при р, у= v. Такая последовательность не может содержать сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности пространства X. Лемма доказана.

Теперь мы готовы к тому, чтобы установить эквивалентность определений компактности.

Теорема 1.6. Метрическое пространство X компактно е смысле определения 1.1 тогда и только тогда, когда оно компактно е смысле определения 1.4 (определения 1.5).

Доказательство. Достаточностъ. Пусть {xv} — некоторая последовательность в X. Если для бесконечного числа значений индекса v точки xv совпадают с некоторой общей точкой, то из данной последовательности выделяется тем самым сходящаяся подпоследовательность специального вида, а именно подпоследовательность с тождественно совпадающими членами. Рассмотрим теперь отличную от этой ситуацию. Ясно, что тогда множество М = {xv | v = 1, 2, .. .} является бесконечным множеством. Покажем, что у этого множества существует точка сгущения 1). Если бы такой точки не существовало, то каждая точка 〃 в X имела бы столь малую окрестность U (а), что U (а) содержала бы не более одной точки из М. Очевидно, что семейство окрестностей {U (а) \ а X} представляет собой открытое покрытие пространства X. Поскольку X компактно в смысле определения 1.4, то оно может быть покрыто и конечным числом таких окрестностей. Следовательно, М должно быть конечным множеством в противоречии со сказанным относительно М. Итак, пусть а — точка сгущения множества М^ @£Х. Обозначим через Vi наименьшее значение индекса v, для которого dis (%”，。) V 1・ Далее, обозначим через v2 наименьшее среди таких v > v1? для которых dis (xv, а) < у. Продолжая это построение, получим подпоследовательность {%%}, такую, что dis (%”厶仅)V 1/i (Z = 1, 2, . . .). Эта последовательность сходится к 〃.

Для доказательства необходимости предположим, что X компактно в смысле определения 1.1. Пусть задано некоторое открытое покрытие {G入 I А £ А} пространства X. Определим на X функции

/х (/) = dis (怎%)，

где 歹厶=G^ (G* — дополнение множества G〃). Согласно лемме l.lr эти функции непрерывны. Кроме того, они удовлетворяют соотношению

心力(" 0 (a

где п ——некоторая общая положительная граница. Действительног расстояние dis (/, у) между произвольными точками %, у компактного множества X, как нетрудно видеть, всегда ограничено сверху некоторым положительным числом; это число и можно взять в качестве %

Определим теперь на X функцию

/ (①)= sup /х (①)по всем А € А.

Это определение корректно ввиду равномерной ограниченности функций /入.Очевидно, что 0 < / (л:)т]. Более того, / (%) > О

при всех х. В самом деле, поскольку {G入}——открытое покрытие множества X, каждая точка / содержится по крайней мере в одной / области 6卩，так что /在％ = G^. А так как множества 乙 замкнуты, то мз / 在尸卩 следует 九(％) > 0. Значит, и подавно / (①)> 0.

Положим теперь 6 = inf / (х) по всем ① £ X. Пусть {/”}— последовательность, на которой достигается Ит /(%▽)= 5.

В силу компактности множества X в смысле определения 1.1 эта последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности можно считать, что сама последовательность {/”} сходится к некоторой точке а^ X. Из способа определения функции / следует, что для любого е > 0 найдется 卩， такое, что /ц (а) > / (〃)——(е/2). С другой стороны, в силу непрерывности этой конкретной функции /и имеем /и (ж) > /и (а) —— ——(е/2) для всех х из некоторой малой окрестности U (а) точки 〃. Комбинируя эти два неравенства, получаем /(%)>/(〃)一£ для всех х £ U (а). Замечая, что / (а) > 0, и полагая е = / (а)/2, получаем /(%)>/(а)/2 для всех %£ U (а). Последовательность {%*} сходится к а и, значит, xv ^ U (а) для достаточно больших v. Следовательно, 6 = lim / (xv)》/ (〃)/2 > 0.

Согласно лемме 1.2, в X существует (6/2)-сеть {аг | » = =1, 2, . . ., s}. Так как для каждого аг имеет место /(〃：)》 》5 > 6/2, то для каждого а" существует 九厶 такое, что /%(〃') > > 6/2, и, значит, U (а* 6/2) и Gy Поскольку совокупность

окрестностей U (員 6/2) (i = 1, 2, . . ., s) покрывает X, то и подавно X покрывается совокупностью областей G% (X = 1, 2, . . ., s). Теорема доказана.

Связные множества

Понятие связности также играет определенную роль в дальнейшем изложении, хотя и менее значительную, чем компактность.

Определение 1.7. Множество X называется связным, если X не может быть представлено как объединение двух непере- секающихся непустых открытых в X подмножеств.

Подчеркнем, что в этом определении о связности множества X и об открытости его подмножеств говорится в смысле относительной топологии в X, индуцированной топологией в некотором объемлющем пространстве. Отсюда немедленно вытекает эквивалентный вариант определения связности.

Определение 1.8 (связность в терминах замкнутых множеств). Множество X называется связным, если X не может быть представлено как объединение двух непересекающихся непустых замкнутых в X подмножеств.

Пример 1. Замкнутый интервал [а, §] е R1 является связным.

Доказательство. Допустим, что этот интервал несвязен; тогда его можно представить как объединение некоторых двух непересекающихся непустых замкнутых подмножеств F и G. Поскольку интервал [а, §] компактен, а множества F и G замкнуты в [а, р], то по теореме 4.2 (ii) они также компактны. Левый конец а данного интервала содержится в одном из множеств F и G, скажем в F. Рассмотрим непрерывную функцию /(%) = % на G. В силу теоремы 1,1 она принимает свое минимальное значение в некоторой точке ¥ £ G. Очевидно, что у должно быть больше а, так как в противном случае множества F и G имели бы общую точку а = у в противоречии с условием F (] G = =0. Таким образом, а < ?, и [а, у) П G = 0, так что [а, у)= =[а, у]八 歹.В силу теоремы 1.2 (ii) множество [а, у] П 歹 компактно; следовательно, та же самая функция должна достигать максимума на [а, у). Это представляет собой противоречие, так как данная функция не достигает своей точной верхней грани 丫 на интервале [а, у) с исключенным правым концом.

Теорема 1.7 (инвариантность связности). Образ связного множества X при непрерывном отображении /: X —> У также является связным множеством.

Доказательство. Допустим, что множество ,/ (Х> несвязно. Тогда оно может быть представлено в виде объединения некоторых двух непересекающихся непустых открытых подмножеств b м G в / (X). Из непрерывности отображения / следует, что непустые множества /-1 仍)и 尸(G) открыты в X. Более того, при этом X = /-1 仍)U 戸(G) и 7T ⑺ П 尸(G) = 0, что противоречит связности X. Теорема доказана.

Теорема 1.8. Пусть / (%)— непрерывная функция на связном множестве X. Если / (X) Э 儿卩〃入 V 卩，то любое промежуточное значение 三，九 V Е V 卩入 принадлежит / (X).

Доказательство. В силу непрерывности функции / множества Р = {% | / (①)V Е} м Q = {% 疗(%) > J} открыты в X. Очевидно, что эти множества не пересекаются; при этом Р 二) о 尸工(А) у= 0, Q п 尸(卩)у= 0. Если бы было Е 任 / (X), то мы получили бы представление X = Р U Q, что противоречит связности множества X. Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, когда X — замкнутый интервал [а, р], теорема 1.8 гарантирует, что функция / принимает в [а, р] любые значения, промежуточные между / (а) и /(§)• Другое приложение теорема 1.8 находит в случае, когда X —— связное множество в Я1, а / — тождественное отображение X в Я1. В этом случае вместе с любыми двумя точками множество X должно содержать и все промежуточные точки.

Пример 2. Образ интервала [0, 1] при непрерывном отображении /: [0, 1] f X называется дугой. Дуга всегда связна.

Доказательство. Данное утверждение вытекает из： анализа примера 1 и теоремы 1.7.

Теорема 1.9. Пусть семейство связных множеств {G九 |А^А} удовлетворяет условию f| G九耍 0. Тогда объединение G =

= (J G% является связным множеством.

хел-

Доказательство. Пусть {尸，Q} — некоторое разложение множества G на два непересекающихся открытых подмножества. Покажем, что тогда или Р, или Q пусто. Возьмем точку 〃 Е П Gm Одно из множеств Р и Q, скажем 尸，содержит а. Для каждого G入 построим множества Р^ = Р П G^ и ^х = ^ П @九・ Множества Рх и QK открыты в G%, так что {Р九,Q%} представляет собой разложение множества G% на два непересекающихся откры-

тых подмножества. Множество Р% заведомо не пусто, так как оно содержит точку а. А поскольку множество G% связно, то Q% должно быть пусто; отсюда имеем G入=厶 и Р. Следовательно, G и Р м Q = 0. Теорема доказана.

Пример 3. Множество X называется линейно связным, если любые две его точки могут быть соединены дугой целиком лежащей 6 этом множестве. Линейно связное множество связно.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку а в X. Множество X может быть представлено как объединение всех дуг в X, проходящих через а. Поэтому связность множества X следует из рассмотрения примера 2 и теоремы 1.9.

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА В А九

Выпуклые множества

Определение выпуклого множества исходит из интуитивнога представления о теле, не имеющем впадин, и звучит так: выпуклое множество — это множество, которое вместе с любыми двумя точками содержит и соединяющий их отрезок. Квадратная площадка (рис. 1) выпукла, а «грушевидная» (рис. 2) невыпукла;.

спущенный мяч при накачивании превращается из невыпуклога в выпуклый. Определение выпуклого множества содержит в себе операцию соединения двух точек отрезком, так что выпуклые множества мыслимы лишь в таких пространствах, которые обладают некоторой разновидностью линейной структуры. Простейшим примером такого пространства является евклидово пространство Rn.

Говоря формально, отрезок с конечными точками 〃 и b в Лп, обозначаемый [а, Ы, определяется как множество всевозможных, точек вида

а〃 + 卩仇 а》О, Р > 0, а + Р = 1.

Каждая отдельная точка этого отрезка называется выпуклой линейной комбинацией точек а и Ь.

Естественное обозначение [а, Ы заимствовано из частной ситуации ——так обозначается замкнутый интервал (отрезок) в Я1. В случае а = b отрезок [а, Ы вырождается в точку.

Приведем теперь формальное определение выпуклого множества.

Определение 2.1. Множество X в пространстве Rn называется выпуклым, если из 〃,匕 £ X следует [а, Ь] и X.

Нетрудно привести примеры выпуклых множеств в Rn.

Пример 1. Пространство Rn выпукло.

Пример 2. Любое линейное подпространство пространства К" выпукло.

Доказательство. Линейное подпространство включает в себя наряду с любыми двумя точками всевозможные их линейные комбинации и тем более всевозможные выпуклые линейные комбинации (которые, очевидно, являются частным случаем первых).-

Пример. 3. Любое аффинное подпространство простран^ ства Rn выпукло.,

Доказательство. Аффинное подпространство по определению включает в себя наряду с любыми двумя точками а и Ъ также и всевозможные точки вида а〃 + §6, а 十 0 = 1. Тем более оно включает в себя всевозможные выпуклые комбинации точек а и Ь, которые имеют указанный вид при дополнительном условии а〉0, §》0.

Пример 4. Совокупность решений любой системы линейных неравенств

йXЛ + a入2%2 + • • •+a入九①九>g (入W A)

образует выпуклое множество e Rn. Это утверждение остается справедливым, даже если знаки всех или некоторых неравенств》 заменить на > или =,

Доказательство. Это утверждение легко проверить, опираясь только на линейность функций, стоящих в левых частях неравенств.

Отметим, что в примере 4 система соотношений, описывающих интересующее нас множество, может состоять из бесконечно большого числа линейных неравенств, т. е. множество индексов Л может быть бесконечным. Пример 4 имеет важное значение, поскольку справедливо и обратное утверждение: любое выпуклое

множество может быть представлено как множество решений соответствующей системы линейных неравенств х) (подробнее см. § 3).

Определение 2.2. Выпуклой линейной комбинацией конечного числа точек аг £ Rn (% = 1, 2,・・.,s) называется точка вида

88

i=l1=1

Теорема 2.1. Если X — выпуклое множество, то оно содержит всевозможные выпуклые линейные комбинации любого конечного числа своих точек.

Доказательство. По определению множество X содержит всевозможные выпуклые линейные комбинации любых двух своих точек. Предположим, что X содержит всевозможные выпуклые линейные комбинации любых s своих точек, и покажем, что такое же утверждение справедливо тогда и для любых s 十 1 точек ①'g X (力=1, 2, . . ., s + 1). Если хотя бы один из s 十 1 весовых коэффициентов а» равен нулю, то рассматриваемая точка на самом деле является выпуклой линейной комбинацией не более чем s точек из X, так что по предположению индукции эта точка заведомо принадлежит X. Допустим теперь, что ни один из весовых коэффициентов не равен нулю. В этом случае простое преобразование дает

s+lS•

S а泌* = (1 —%+0 3 р卢' +口$+1,

i=lг=1

G = l, 2,…，s),

2氏=4・

Это утверждение автора неточно: не всякое выпуклое множество можно представить таким образом. Действительно, рассмотрим, например, множество в R2, которое является объединением положительного квадранта и неотрицательной первой координатной полуоси, т. е. множество

X = {®, х2) I 外 > 0,化2 > 0 или g》0,窃=0}・

Нетрудно убедиться, что это множество выпукло, но оно не может быть представлено как совокупность решений системы линейных неравенств. Впрочем, по отношению к некоторым подклассам выпуклых множеств, например для открытых либо замкнутых выпуклых множеств, утверждение автора справедливо (см. ниже § 3.2).—— Прим, перев.

3-8

По предположению индукции £ В必'£ X, так что

s+lS

g戸е[2巾疗，炉+1]uХ.

г=1i=l

Теорема доказана.

Выпуклые оболочки

Произвольное множество X в 7?几 не обязательно является выпуклым'и тем самым не обязательно содержит свои выпуклые линейные комбинации. Однако естественно ожидать, что существует некоторое наименьшее выпуклое надмножество множества X, которое может быть получено «заполнением впадин» в множестве X или, говоря более формально, добавлением некоторого минимального числа новых точек к множеству X.

Определение 2.3. Наименьшее выпуклое надмножество (в смысле теоретико-множественного включения) множества X в Rn называется выпуклой оболочкой множества X и обозначается С(Х).

В определении 2.3 предполагается, что соответствующее надмножество существует; это предположение может быть обосновано несложным рассуждением, базирующимся на следующей теореме.

Теорема 2.2. Пересечение выпуклых множеств X% (А £ А) является выпуклым множеством.

Доказательство. Если х, у^ Q Хк, то %,沙 £ X% для каждого А £ А, откуда [%,沙]и X 九 для каждого А £ А, ввиду выпуклости X%. Следовательно, [%, у] и 门 X%, что и доказывает теорему.

Примем теперь в качестве {X% | А £ А} семейство всех выпуклых множеств, включающих в себя заданное множество X из Rn. Поскольку пространство Rn само является выпуклым надмножеством множества X, это семейство заведомо не пусто. Согласно теореме 2.2, пересечение Q X% является выпуклым надмножеством множества X. Более того, оно является наименьшим среди выпуклых надмножеств множества X, так как любое возможное выпуклое надмножество множества X уже учтено как одно из множеств X3t. Тем самым теорема 2.2 оправдывает определение 2.3.

Теорема 2.3. 'Выпуклая оболочка С (X) совпадает с множеством всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек из X.

Доказательство. Легко увидеть с помощью простых выкладок, что множество всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек из X выпукло. По этой причине мы можем назьь вать такое множество выпуклым множеством, порожденным точками из X (или натянутым на эти точки). Выпуклое множество, порожденное точками из X, является выпуклым надмножеством множества X и, значит, включает выпуклую оболочку С (X). Обратно, С (X) как выпуклое множество содержит всевозможные выпуклые линейные комбинации своих точек и, в частности, выпуклые линейные комбинации точек множества X, так что С (X) включает выпуклое множество, порожденное точками из X. Следовательно, С (X) совпадает с выпуклым множеством, порожденным точками из X. Теорема доказана.

Из сказанного следует, что при порождении множества С (X) из X нужно рассматривать всевозможные выпуклые линейные комбинации точек из X, взятых в любом конечном числе. Однако фактически, работая в n-мерном пространстве Еп, достаточно ограничиться учетом выпуклых линейных комбинаций не более чем 八 + 1, хотя и по-прежнему произвольных, точек множества X; этот факт составляет содержание теоремы 2.4. Для получения этого усиления теоремы 2.3 мы сначала докажем лемму 2.1 о линейных комбинациях точек пространства Rn с неотрицательными коэффициентами, которые для краткости будем называть неотрицательными линейными комбинациями.

Лемма 2.1. Если точка х представима в виде неотрицательной линейной комбинации конечного числа точек %乞(X = 1, 2, . . ., s) в пространстве Rn, то точка х представима в виде неотрицательной линейной комбинации не более чем 九 из этих точек хг.

Доказательство. Достаточно показать, что если s > м, то точку х можно представить неотрицательной линейной комбинацией не более чем s ——1 из точек %< Действительно, если s > и, то точки %* заведомо линейно зависимы, так что существует нетривиальное линейное соотношение

ВН = 0・i= 1

Пусть

%=Wa£,а»》0 0 = 1, 2,s).

i=l

Без ограничения общности хотя бы один, из коэффициентов 氏 можно считать положительным. Пусть 0 =- min 出/巾 по всем

3*

положительным 阮.Очевидным образом имеем

£=2 3-6限)炉.

г— 1

Заметим, что 电 > 阻 для каждого положительного 阮 Более того, для любого другого 阮 автоматически а»〉帆 в силу неотрицательности 0. При этом а/ = 0Р/ хотя бы для одного (положительного) 也.Таким образом, все коэффициенты а» ——6必 неотрицательны, причем хотя бы один из них равен нулю, так что х представляется как неотрицательная линейная комбинация не более чем s ——1 из точек %?• Повторяя эту процедуру, мы можем последовательно удалять точки %’ до тех пор, пока в неотрицательном линейном представлении точки х останется не более п точек Теорема доказана.

Теорема 2.4. Выпуклая оболочка С (X) множества X 6 Rn совпадает с множеством всевозможных точек, представимых е виде

пЧ-1п+1

ОС»%*, Otj = 1, OLf 0(% ^1 1, 2, . . . , 72 + 4),

2=1г=1

где п + 1 точек %г независимо пробегают множество X, а весовые коэффициенты а» принимают все допустимые значения.

Доказательство. В свете теоремы 2.3, достаточно показать, что если точка х является выпуклой линейной комбинацией s точек хг в 7?п и s > az + 1? то х может быть представлена как выпуклая линейная комбинация не более чем 九 + 1 из точек *• Чтобы убедиться в возможности удаления избыточных точек, мы воспользуемся леммой 2.1, предварительно установив простую связь между понятиями выпуклой линейной комбинации и неотрицательной линейной комбинации точек. Обозначим через х точку из пространства /?п+1, первые п координат которой совпадают с координатами заданной точки х £ Rn, а (〃十 1)-я координата равна единице. Тогда, как нетрудно видеть, точка х является выпуклой линейной комбинацией s точек хг в Rn тогда и только тогда, когда соответствующая точка х является неотрицательной линейной комбинацией s соответствующих точек х‘ из Rn+1. Теперь требуемый результат получается применением леммы 2.1 к точкам в 7?n+1. Теорема доказана.

Очевидно, что множество X выпукло тогда и только тогда, когда X = С (X). Однако следует в то же время подчеркнуть, что выпуклое множество X может оказаться выпуклой оболочкой Некоторого своего нетривиального (собственного) подмножества. Например, n-шар является выпуклой оболочкой ограничивающей

его (п — 1)-сферы. Иногда выпуклое множество может порождаться некоторым конечным подмножеством его точек, как в случае n-мерного куба, который представляет собой выпуклую оболочку множества своих 2П вершин. Такое выпуклое множество, порождаемое конечным подмножеством точек, называется выпуклым многогранником (см. определение 3.7).

§ 2・3・ Топологическая структура выпуклых множеств

Среди многочисленных свойств выпуклых множеств в первую очередь обращает на себя внимание свойство связности. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.5. Выпуклое множество связно.

Доказательство. Любое выпуклое множество линейно связно, так как любые две его точки можно соединить отрезком, который представляет собой дугу специального вида. Из - утверждения, приведенного в примере 3 в § 1.4, следует, что такое множество связно. Теорема доказана.

Надо сказать, что выпуклость является гораздо более специфическим структурным свойством множества, чем связность, и поэтому топологические свойства выпуклых множеств оказываются очень простыми. Тем не менее с точки зрения дальнейших приложений полезно перечислить эти свойства явно. В частности, мы остановимся на замечательно простых структурах замыкания, внутренности и границы выпуклого множества.

Теорема 2.6. Если множество X выпукло, то справедливы следующие утверждения:

Замыкание X также выпукло.

Если а — внутренняя точка множества X, а точка 6 принадлежит замыканию X, то каждая точка отрезка [а, Ь], кроме, быть может, Ь, является внутренней точкой множества X.

Доказательство, (i) Пусть х, у £ X. Тогда существуют две последовательности {xv} и {yv} точек в X, сходящиеся к пределам хну соответственно. Из непрерывности линейной функции следует сходимость последовательности точек a%v + + 卩沙V к ах + Ру при любых фиксированных а〉О, В》О, а * р = 1. При этом в силу выпуклости множества X каждая точка аб + §4V принадлежит X. Отсюда следует также, что ас + 闻 £ X.

Для произвольной внутренней точки а множества X можно указать шаровую окрестность U (а, е) и X. Каждая точка отрез-

ка [а, Ь], кроме точки Ь, представима в виде

ct = （1 — t） а + tb, 0 & 方 V 1・

Для того чтобы показать, что ct — внутренняя точка множества X, достаточно проверить, что U （/, （1 — 力 е） и X. С этой целью рассмотрим произвольную точку х ^ U （cf, （1 — 力）&）; непосредственно из определения этой точки следует, что 丨丨 ％ — 修 II V （1 — 力）8. Кроме того, поскольку b X, можно взять точку d в X настолько близко к Ь, что t \\ b —— d || V V （丄一力 е — II % — / ||. Тогда

II % — [（1 —力）@ + td] II & 11% — Cf II + % II b — d II V （1 —方）£； отсюда делением на 1 —— 方 получаем

<е.

Из этого неравенства заключаем, что е = [1/（1 —力）]（% ——td） £ g U （a, e） и X; отсюда в свою очередь имеем % = （1 —方）е + + td [е, d] и X. Это и показывает, что U （修，（1 —力）&） и X. Теорема доказана.

Из теоремы 2.6 мы можем вывести несколько важных следствий._

Следствие 1. Внутренность Х° выпуклого множества X также выпукла.

Доказательство. Если точка Ь в теореме 2.6 （ii） является внутренней точкой, то все точки отрезка [а, Ъ] без исключения являются внутренними. Это означает, что [а, Ь] и и Х° для любых 〃，b £ Х°, что и требовалось доказать.

Следствие 2. На каждом луче, исходящем из произвольной внутренней точки а выпуклого множества X, имеется самое большее одна граничная точка.

Доказательство. Допустим, что на таком луче окажутся две граничные точки. Обозначим ту из них, которая ближе к точке а, через с, а другую ——через Ь. Тогда с £ [а, Ь]. Поскольку 〃——внутренняя точка, а b как граничная точка принадлежит замыканию множества X, то по теореме 2.6 （ii） точка с должна быть внутренней точкой множества X, что противоречит предположению о том, что с — граничная точка X.

Следствие 3. Для выпуклого множества X с непустой внутренностью Х° имеет место X = Х°.

Д_о казательство. Из включения X п Х° сразу следует X п Х°. Обратно, зафиксируем произвольную внутреннюю

точку 〃 множества X. Тогда для любой точки 匕 £ X каждая точка отрезка [а, Ы, возможно за исключением самой точки Ь, принадлежит Х°. Следовательно, в Х° найдутся точки, сколь угодно близкие к Ь. Отсюда имеем X и Х°. Доказательство завершено.

Отметим, что до сих пор под внутренноетью выпуклого множества мы подразумевали совокупность точек, внутренних относительно объемлющего пространства Rn. С этой точки зрения внутренность выпуклого множества, которое целиком содержится в некотором собственном аффинном подпространстве пространотва Rn, пуста. К такому выпуклому множеству утверждение следствия 3 непосредственно не применимо. Однако если рассматривать внутренность относительно наименьшего аффинного подпространства, объемлющего данное выпуклое множество, то это неудобство устраняется.

Определение 2.4. Выпуклым телом в Rn называется компактное выпуклое множество, внутренность которого в Rn не пуста.

С топологической точки зрения выпуклые множества имеют крайне простую структуру, что устанавливается следующей теоремой.

Теорема 2.7. Любые два выпуклых тела 6 Rn гомеоморфны, ти. е. между ними можно установить взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны соответствие.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая, когда одно из выпуклых тел представляет собой единичный n-шар 。九={у I II у II & £}• Пусть X ——произвольное выпуклое

тело в 7?п; зафиксируем некоторую внутреннюю точку а множества X. На каждом луче L, исходящем из точки а, найдется по мень

шей мере одна точка, принадлежащая границе множества X.

В самом деле, множество £ П X непусто и компактно, поскольку множество L замкнуто, X компактно и L П X J а. Поэтому непре

рывная функция 九(％) = II ж — а II принимает свое максимальное значение на £ П X в некоторой точке Ь. Ввиду выпуклости множества X отрезок [а, Ы целиком лежит в X, в то время как никакая точка х из L, удовлетворяющая условию || ж — а || >• || Ь -т а ||, не может принадлежать X, хотя такая точка может быть сколь

угодно близка к Ь. Следовательно, b ^ X (} X', так что Ь —— граничная точка множества X. Согласно следствию 2 из теоремы 2.6, на L не может быть другой граничной точки множества X, отличной от Ь. Пусть Хь — граница множества X; тогда X' ：/= 0, Хь J 〃. Определим отображение g: Хь f 5Л, где S〉= {у | || у || = =1}, соотношением

g(%) = (% — а)/И х — а \\.

Очевидно, отображение g непрерывно. Если g (ж1) = g (ж2) при ",力2 £ Хь, то по построению векторы %1 — а и ж2 — а отличаются лишь положительным скалярным множителем, так что точки %1 и %2 лежат на одном луче, выходящем из а. Тогда, согласно следствию 2 из теоремы 2.6, имеем х1 = ж2, и поэтому отображение g взаимно однозначно. Далее, при любом у £ Sn луч L = {аг/ + + 〃 I а >0} пересекает границу X" в единственной точке /, так что х переходит^ у при отображении g. Следовательно, g отображает Хъ на Sn. А так как множество Хь замкнуто в X и, следовательно, компактно, то обратное отображение g-1: Sn f Xb непрерывно по теореме 1.4.

Построим отображение f: Сп f X с учетом выпуклости множества X следующим образом:

( а, если у = 0,

/仅)—f (1 — II у II)。+ II у II gT (〃|| у II), если 沙 * 0.

Ввиду ограниченности g-1 (у/\\ у ||) имеем (1 — || г/ ||) а + + II 5 II ・g7 (勿丨丨 У II) f @ при д f 0, так что отображение / непрерывно в нуле. Его непрерывность во всех остальных точках ясна из определения. Пусть х X. Если х = а, то х = f (0). Если же % 片 〃，то возьмем точку b £ 厶 П Хь, где 厶={а (ж — а) + ^ I а》0}; тогда 况=/ ((II % ——〃 ||/|| 匕 ——〃 II) g (匕))・ Таким образом, / отображает Сп на X. Далее, отображение (i — \\ у ||) а + IIZ/ II X X g"1 (у/\\ у И) никогда не принимает значения а при 沙 у= 0 и ставит в соответствие различным точкам различные образы, что вновь получается согласно следствию 2 из теоремы 2.6. Таким образом, отображение / взаимно однозначно. С учетом компактности множества Сп из теоремы 1.4 получаем, что обратное отображение /-1 также непрерывно. Следовательно, / представляет собой гомеоморфизм Сп на X. Теорема доказана.

Определение 2.5. А ффинным подпространством^ натянутым на выпуклое множество X в Rn [л обозначаемым L (Х)]> называется наименьшее аффинное подпространство пространства Rn, содержащее множество X. '

Для обоснования законности такого определения L (X) достаточно заметить, что L (X) представляет собой не что иное, как пересечение всевозможных аффинных подпространств, содержащих X. Пусть теперь {ж0, ж1, • • ., xh} — некоторое максимальное конечное подмножество точек из X, таких, что векторы г1 ——①°,①2 ——ж0, . . ., xk — %° линейно независимы. Здесь «максимальность» означает, что при добавлении любой новой точки 犷+1 из X к набору {①°, ж1, . . ., xk} векторы х1 — ж0, ж2 — ж0,... ...,①卜——％°, /R+1 —①° оказываются линейно зависимыми. Максимальное множество указанного типа заведомо существует

ввиду конечной размерности объемлющего пространства Rn. Читатель может легко проверить, что L (X) совпадает с множеством всевозможных точек вида

/°+ 2脑(戸一①°),

где 脑一вещественные числа. В соответствии с предположением о линейной независимости векторов %' — %° каждая точка % мз £ (X) представима в указанном виде единственным образом, так что- коэффициенты 儿 являются функциями 厶式①)точки х. Нетрудно также убедиться в непрерывности этих функций.

указанного вышеуказанного вышеОбозначим через U множество всех точек

указанного выше

указанного выше

hw』hw.Khw』hw.Kвида, удовлетворяющих условиям At>0 (% = 1, 2, . •・,论),

hw』hw.K

hw』hw.K

左 V1, т.左 V1, т.U={x\x^L(X),左⑺ >0 (力= 1,2, •••,"),.

左 V1, т.

左 V1, т.

А» (力)Vl}・ Множество U открыто в относительной топологии в L (X), что вытекает из непрерывности функций 脑(①)на 厶(X). Ввиду выпуклости множества X имеем 文 n U, так как произ- вольная точка % мз U может быть представлена в виде 士 卩t* г=0

РЧ >。，2 Цг — 1, для чего достаточно положить 卩о = 1 — i=0

— 2 А»,卩》= А» (Z = 1, 2,...,论). Полученный результат показы- вает, что если X — компактное выпуклое множество, то X является выпуклым телом в L (X) (в относительной топологии).

Определение 2.6. Размерностью dim (X) выпуклого множества X в Rn называется размерность 论 подпространства L (Х)・

Теорема 2.8. Два компактных выпуклых множества X в Rn и Y в Rm гомеоморфны, если dim (X) = dim (У)=论.

Доказательство. Как известно, подпространств» L (X) можно отобразить на /?' взаимно однозначным образом с помощью соответствующего аффинного преобразования ф. Поскольку ф непрерывно в обе стороны, то 屮(X) представляет собой выпуклое тело в Е& Аналогично, множество У гомеоморф- но некоторому выпуклому телу в #, и, следовательно, множества X м У гомеоморфны друг другу, что и требовалось доказать.

Теорема 2.8 дает возможность при доказательстве теорем, относящихся к топологической природе выпуклых множеств, каждый

раз ограничиваться рассмотрением какого-либо одного выпуклого множества, наиболее удобного в данном случае. Этой возможностью мы будем пользоваться в последующих разделах книги.

Построение некоторых выпуклых множеств

Теорема 2.2 указывает один из простейших путей получения нового выпуклого множества на основе заданных выпуклых множеств, а именно ——путем взятия пересечения заданных выпуклых множеств. В этом параграфе обсуждаются другие простые способы построения новых выпуклых множеств из заданных.

Прежде всего напомним определение декартова произведения. Декартовым произведением s евклидовых пространств Rni (i == 1, 2, . . ., s) называется совокупность всевозможных «-наборов (炉，①2, •..,%* • . ., xs), где 戸 £ Rnt. При этом в декартовом произведении [] Е勺 вводится линейная структура с помощью г=1 соотношений

Qi, ...,, %$) + (疗，...，g',...,沙s)=

= (" + #,•••,炉 + 此•・.，xs + у8);

a (① 1, …，炉，…，炉)=(aж1, ..., a炉, …，aк';

<(ж\ ..炉)，(疗力沙»= 2〈*，уЬ г=1

(скалярное произведение) и топологическая структура с помощью соотношения

II (* ・•・，d,・・•，炉)II = (2 II %"|2)i/2 (норма). 1=1

Пусть теперь Xi — подмножества пространств 7?n^ (i = 1, 2, ..., s) соответственно. Тогда мы совершенно аналогичным образом можем 8

построить декартово произведение 口 X» множеств X” которое г=1

является подмножеством пространства 口 7?п\ сохраняющим ряд г= 1

важных линейных и топологических свойств множеств X».

Теорема 2.9.

Если Xt —выпуклые множества е Rni (i = 1, 2, ...,s), s8

mo [J Х^ является выпуклым множеством в П Е&.

г=1г=1

Если X ^ — замкнутые (открытые) множества 6

S

/?П/ (Х= 1, 2, .. ., s), то [J X» является замкнутым (открытым)

s

множеством 6 [J /?囱.

Если Xt — компактные множества 6 Rn» (» = 1, 2, ..., s), s

то fj Xi также компактно. г=1

Доказательство. Утверждение (i) очевидно в силу определения линейной структуры (I), (П) в декартовом произведении. Для того чтобы получить (ii) и другие аналогичные результаты (которые мы здесь приводить не будем), отметим тот простой факт, что отображение ль называемое проектированием:

(%i, 炉，•.•，％$) тэг» (炉炉，炉)=%〃： 口 If4fB74 ,

является непрерывным. Прообраз замкнутого (открытого) множества при непрерывном отображении замкнут (открыт)】).Поэтому множество

•SS

П х»=[Ъ”(х。г=1 乞=1

замкнуто (открыто) в [J 2?勺 как пересечение конечного числа замкнутых (открытых) множеств, если множества X» замкнуты (открыты) в 7?п^ соответственно. Этим завершается доказательство утверждения (ii).

(iii) Пусть подмножества X» компактны. Вспомним, что, согласно теореме 1.5, компактное подмножество евклидова пространства —это замкнутое ограниченное множество. В силу

8

определения нормы (IV) декартово произведение [J X» ограниче- г=1

но, если все множества X» ограничены. Далее, в силу только что доказанного утверждения (ii) дeкapтQвo произведение ЦХ» замкнуто, если множества Х^ замкнуты. Тем самым утверждение (iii) доказано. Можно доказать утверждение (iii) и непосредственно, не прибегая к специфическим свойствам компактных множеств в евклидовом пространстве; однако предоставим это сделать читателю.

В относительной топологии того множества, на котором определено отображение.——Прим, перев.

Следствие. Выпуклая оболочка С (X) множества X в Rn компактна, если X компактно.

Доказательство. Образуем декартово произведение 尸九+1 X X] X Х2 X • • • X Xn+i, где Pn+i — стандартный симплекс м X» = X (Z = 1, 2,...,八 4- 4), м рассмотрим отображение ф из этого декартова произведения в Еп, определяемое соотношением

n+丄 屮((р,炉，％2,.,严+1)) = 2 卩或‘， г=1

где р = (pt). В соответствии с теоремой 2.4 выпуклая оболочка С (X) совпадает с образом построенного декартова произведения при отображении ф. Это декартово произведение, согласно теореме 2.9 (iii), компактно, поскольку компактны множества Pn+i м X». С другой стороны, отображение 屮 очевидным образом непрерывно. Следовательно, по теореме 1.3 множество С(Х) компактно как образ компактного множества при непрерывном отображении.

Определение 2.7. Пусть заданы множества X» в Rn и числа Xj (1 = 1, 2, . .s). Множество

{SwI^EXi2,s)}

2=1

называется линейной комбинацией множеств X» и обозначается

как 2 NX». i=l

Частным случаем линейной комбинации множеств Х^

является их векторная сумма 3 -^i = ^1 + ^2 ++ Xs

i—i

(ее не следует путать с теоретико-множественной суммой U Х0. г=1 Другой частный случай ——это векторная разность Х——У двух множеств (также ничего общего не имеет с теоретико-множественной разностью Х\У)・

Теорема 2.10.

Если Xi — выпуклые множества e En (Z = 1, 2, . . ., s)>

то их линейная комбинация 2 МХ» также выпукла.

Если упомянутые выше множества компактны в Е71, то их линейная комбинация также компактна.

Доказательство. Рассмотрим отображение 屮：

Е71 X En X ・・• X 尸 т Дп,

电раззадаваемое формулой

8、9(X1,况2,，炉)=三九分.

г=1

Отображение 屮 линейно. По теореме 2.9(1) декартово произведение fj X» выпукло. Поэтому множество』А»Х» вы- г=1г=1

пукло как образ выпуклого множества при линейном отображении 屮.

Отображение 屮 непрерывно. По теореме 2.9(Hi) декар-

S8

тово произведение ]J X» компактно. Поэтому множество 3 储X» i= 1г= 1

компактно как образ компактного множества при непрерывном отображении ф. Теорема полностью доказана.

Следует отметить, однако, что линейная комбинация замкнутых множеств не обязательно представляет собой замкнутое множество. В качестве примера рассмотрим векторную сумму X】+ X? двух замкнутых множеств X】={(%, у) | ж > 0, у = 1/ж2} м Х2 = {(%, у) I % V 0, у = I/%?} в jR2. Начало координат (0, 0) является пределом последовательности {(v, 1/v2) + (—v, 1/v2)} точек в Xi + X2 (v = 1, 2, . . •), но (0, 0) Xt + 文2・ Следовательно, множество X] + Х2 не замкнуто.

ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

Опорные гиперплоскости

Пусть / (х)——скалярная функция, заданная в Rn. Будем предполагать, что / (%) имеет непрерывные частные производные df/dxi，Возьмем точку а в Rn, такую, что в этой точке хотя бы одна из частных производных функции / отлична от нуля. Тогда

п

представляет собой известное из анализа уравнение касательной гиперплоскости к гиперповерхности / (%) = / (а) в точке а.

Определение ЗЯ. Функция / (%), определенная на выпуклом множестве X в Е", называется выпуклой на X, если

/3 + 阳)& 材⑷ + в (y)

для любых X, у ^Х и любых X > 0,卩》0,厶 +卩=1.

Продолжая начатое выше обсуждение, предположим теперь, что функция / (%) выпукла на Нп, к рассмотрим множество X = ={% I / (%) &/ (〃)}• Это множество не пусто, так как оно заведомо содержит точку а. В силу выпуклости функции / (с) имеем / (^ + 卩У)&、/ (以 + 卩/ ⑺ & (А + 卩)/ (〃)= / (〃)для любой выпуклой линейной комбинации 九％ + 卩卦тонек х, у из X; поэтому X ——выпуклое множество. Зафиксируем теперь произвольную точку % из X и рассмотрим точку х (t) = (I — t) а + tx при 力 удовлетворяющем условию 0 & 力 & 1. Положим F (t)'^ = /(%(%))• В силу выпуклости множества X имеем Х^%(目, гак что 力(力)=/(%(/)) W/(〃)—歹(°)・ Отсюда следует

С(7(о)《о (Ovyi).

Полагая в этом неравенстве 力—0 и учитывая соотношение п

F (0)= Е [д//дхг]х：=а(Xi — ai), получаем n

для любого %£Х.

Полученное соотношение означает, что множество X целиком лежит по одну сторону от касательной гиперплоскости, проведенной в точке а. Говоря более формально, множество X содержится в одном из двух (замкнутых) полупространств, определяемых этой гиперплоскостью. Ввиду этого результата принято говорить, что в рассмотренной ситуации касательная гиперплоскость в точке @ является опорной гиперплоскостью к множеству X в точке а.

Определение 3.2. Пусть X —некоторое множество в Ю

Гиперплоскость 2 а»д = 6 называется опорной гиперплоскостью i«=l

к множеству X, если (1) множество X лежит в одном из двух замкнутых полупространств, определяемых этой гиперплоскостью пп

(2 ocj勺《В или 2 а»д>0), и (2) эта гиперплоскость имеет об- i=#1=1

щую точку с X. Если а — одна из общих точек этой гиперплоскости и множества X, мы будем употреблять выражение «опорная гиперплоскость в точке 〃》•

В классической математической экономике те задачи, которые сводятся к максимизации или минимизации некоторых функций, обычно разрешаются методами математического анализа. Основной прием, который при этом используется,— приравнивание производных нулю — по существу эквивалентен отысканию касательной, или опорной, гиперплоскости. Суть дела здесь не в использовании аналитических методов, а в факте существования указанных гиперплоскостей, на чем коренным образом основывается

решение многих таких задач. Мы можем пользоваться аналитическими методами в ситуации, изображенной на рис. 3 слева, когда множество X имеет гладкую границу, так что аналитический подход можно применить непосредственно. Но как поступать в ситуации, подобной той, которая изображена на рис. 3 справа, когда граница множества не является гладкой, а содержит плоские участки и изломы? В настоящем параграфе будет дан ответ на этот вопрос путем выявления специфических свойств, связанных с отделением выпуклых множеств гиперплоскостями.

Теоремы об отделимости

Стандартная общая форма теоремы об отделимости, доказательством которой мы намерены заняться, такова:

Теорема 3.1. Пусть X — выпуклое множество е Еп・ Если точка а не является внутренней точкой множества X, то суще- п

ствует гиперплоскость 3 л* (^i—^t) — &, проходящая через точ- 1=1

ку а, такая, что множество X содержится в по лупростране шве п

2 n"g 一Q0>0. i=i

Мы будем следовать двум различным методам доказательства теоремы 3.1. Первый из них, известный классический метод, немедленно вытекает из вводных рассуждений в § 3.1 и основывается на использовании дифференциального исчисления. Второй метод, по Бурбаки [1], является более современным и в нем в большей степени используются особенности топологической структуры выпуклых множеств. Нужно оговориться, что теорема 3.1 сформулирована выше не в таком виде, который допускал бы непосредственное применение названных методов. Поэтому в зависимости от используемого метода доказательства оказывается удобным несколько перефразировать теорему 3.1. Приводимые ниже две теоремы как раз и представляют собой слегка измененные варианты теоремы 3.1, подходящие для применения упомянутых методов доказательства. Теорему 3.2 удобно доказывать первым методом, а теорему 3.3 — вторым.

Теорема 3.2. Пусть X — замкнутое непустое выпуклое множество в Rn. Если точка 〃 не принадлежит X, то имеет место следующее: .

Существует гиперплоскость 2 冗t%t = 6， такая, что 2 冗i@t V 3 〃 полупространство 2 冗卢t > 6 содержит множество X.

При указанных выше коэффициентах л» гиперплоскость 2 3Tt (%t — 〃t) = 0 определяет открытое полупространство 2 冗^ (%t — 〃t) > 0, содержащее множество X.

Теорема 3.3. Пусть X — открытое непустое выпуклое множество е Rn. Если точка а не принадлежит X, то существует гиперплоскость 工冗力(％» — 〃，= 0, проходящая через точку а 〃 такая, что множество X содержится в открытом полупространстве 23Tt (д —&) > 0.

Прежде всего мы установим связь этих двух теорем с теоремой 3.1. А именно, докажем логическое следование: теорема 3.1 f —> теорема 3.2 f теорема 3.3 f теорема 3.1.

Теорема 3.1 f теорема 3.2. Пусть 6 = inf || ж — а || по всем % £ X. Замкнутое множество X не содержит точки а, так что 6 > 0. Образуем векторную сумму X + U (0, 3) = М, где U (0, 6) есть 6-окрестность нуля. Множество М выпукло в силу выпуклости множеств X и U (0, S). Кроме того, М открыто, так

как М = U U (翁 5) по всем х ^ X. Поэтому а ^ М, согласно определению 6, и тем более а не является внутренней точкой множества М. Тогда по теореме 3.1 существует гиперплоскость 2 冗х (比2 — 〃z) = 0, такая, что замкнутое полупространство 3 冗2 (①t ——〃t)》0 целиком содержит множество М. Возьмем число 0 > 0, такое, что вектор (—0л^) принадлежит окрестности U (0, 6). Тогда 2 ^i (色—8几户—％)》0 для всех х ^ X. Таким образом, гиперплоскость 2 эт^勺 = 6， где § = 2 эт» (% + 0nf), определяет полупространство 2oti%t》P，целиком содержащее X. При этом 2 冗渔2 V 0, поскольку 卩—2皿仰=6 £ 喈 > 0. Этим доказано утверждение (i) в теореме 3.2. Из доказанного также немедленно следует и утверждение (ii) теоремы 3.2: действительно, 3 g(3 — &) > 2 冗网—6》° для всех х ^ X.

Теорема 3.2 f теорема 3.3. Замыкание X рассматриваемого выпуклого множества X также выпукло в силу теоремы 2.6 (i). Покажем, что точка a R X не может быть внутренней точкой множества X. Действительно, в противном случае существует окрестность U (а, 8), целиком лежащая в X. При этом по определению X всегда можно выбрать некоторую точку с, принадлежащую U (а, £)П X, Заметим, что с £ X = Х° (внутренность X。 открытого множества X совпадает с ним самим), причем d = = 2〃 一 с ^U (а, е) и X, Следовательно, имеем

4 一d = ~2 (с -{-d), с £ X。， d£X.

Из этого представления точки а как выпуклой линейной комбинации точек с м d с положительными коэффициентами следует в соответствии с теоремой 2.6 (ii), что 〃 £ Х° = X, вопреки предположению а X, Таким образом, остаются два возможных случая: случай I ——точка а принадлежит множеству X и является его граничной точкой, и случай II ——точка а не принадлежит X.

Рассмотрим сначала случай I. В этом случае всегда найдется последовательность {а^} точек 仅”@Х (v=l, 2, ...), для которой limav = 〃. Применяя теорему 3.2(ii) к - точке аУ и множеству X (v=l, 2, ...), построим гиперплоскость W 冗；(％х — 〃；) = 0, которая определяет полупространство 2 冗:(①t —仅;)> 0, целиком содержащее X. Без ограничения общности можно полагать, что п

2 |冗；|2=1 (v = 1, 2, ...), т. е. все векторы нормали (л^) при- 1=1

надлежит единичной сфере, компактность которой позволяет считать, что последовательность {(л^)} сходится к некоторому век-

4-8

50 ' Гл. /. Математические теоремы о выпуклости тору (jtf) у= 0. Этот вектор нормали определяет гиперплоскость 2 冗“勺一〃》) = 0. Для любой фиксированной точки /£Х мы по построению имеем 士 冗；(д —源)》0 (w = 1, 2, ...), что дает в пределе 2电(& —&)》0 для любой фиксированной точки %£Х иг в частности, для %£Х. Но поскольку каждая точка множества X является его внутренней точкой, то на самой гиперплоскости не может оказаться ни одной точки из X. Поэтому в действительности множество X целиком содержится в открытом полупространстве 2 % (д — 〃。>0. Наконец, в случае II тот же результат получается непосредственным применением теоремы 3.2(H) к точке а и множеству X.

Теорема 3.3 f теорема 3.1. Если dim (X) V м, то множество X уже само лежит в некоторой гиперплоскости 2 п卢t = В> так как X порождает аффинное подпространство размерности^ меньшей чем п. Поэтому за уравнение искомой гиперплоскости можно принять 2 л^ (%» ——Qj) = 0 или Hi (况i —的)=0. Если же dim (X)=八，то внутренность Х° множества X не пуста и, более того, выпукла, согласно следствию 1 из теоремы 2.6. Так как по предположению а 住 Х°, то, применяя теорему 3.3 к точке 〃 и открытому выпуклому множеству Х°, получим гиперплоскость 2 冗2(xi — ai) = 0，такую, что открытое полупространство 2 эт» (%t——а») >0 будет содержать множество Х°. Тогда замкнутое полупространство 』л^ (%» ——〃。》0 будет содержать Х°, и тем более X, поскольку X и X = X" согласно следствию 3 из теоремы 2.6.

Доказательство теоремы 3.2. Используя известные свойства скалярного произведения, легко получить для произвольных х, у ^ Rn тождество

11% + У『+||%-у||2 = 2(||%||2+||д『).

Пусть 6=inf II% —〃|| по всем % £ X; здесь 6 > 0, так как X J 仅 м множество X замкнуто. Возьмем последовательность {①V} в X, удовлетворяющую условию Ит || %” ——〃 || = 6. Подставляя в выписанное тождество 碎一а вместо % м 仆—〃 вместо у, получаем

4|1^^4^一Q『+ 11"一内12 = 2(113一Q||2+1| %V - Q『).

Выпуклое множество X содержит все точки 讶(％以 + %旷)，Так что

Объединяя эти соотношения, получаем

О & II 况卩一%V ||2 & 2 (II %以一Q II2 + II 6 - 〃 ||2 - 2§2).

Выражение, стоящее справа, стремится к нулю при стремлении 卩 s V к бесконечности, так как lim }\х^ — а ||2 = lim || 加—〃『= =62. Это означает, что {%v} представляет собой последовательность Коши, и, следовательно, сходится к некоторой точке Ь. В силу замкнутости множества X точка Ъ должна принадлежать X. Из непрерывности нормы имеем || b — а || = 3, так что II % — a IE》II 匕一a I = 62 для всех % £ X.

Завершающую часть доказательства начнем с рассмотрения функции п

〃况)=2 (g 一吋.

Эта функция удовлетворяет условию / (%) >/ (Ь) для всех % £ X. Воспроизведем теперь ход рассуждений из § 3.1. Зафиксируем произвольную точку % £ X; тогда точка х (t) = (i — t) b -]- tx (О & 力 & 1) содержится в выпуклом множестве X, и, следовательно, ，(％ (力))^f(b). Отсюда получаем

""方))丁(叫))》0(ovy)

из чего следует неотрицательность производной функции f (x(t)) по t при 力=0. Замечая, что

[紛团力1=0 = 2》(儿一 * (д -仇), 'г=1

и полагая 3Tt = Ь» — 〃t (Z = 1, 2, . .n), получаем

n

2 % (g -仇)》0 г=1'

для любого фиксированного х ^ X. Подчеркнем, что (л^ =匕—— — а у= 0, так как а ^ X, b £ X. Следовательно,』3Tt (%t — 的)— =0 представляет собой уравнение гиперплоскости, проходящей через точку а. Эта гиперплоскость и является искомой, так как для любой точки % £ X имеем

Ппn J

3 忆(д —仰)=2 % (g —仇)+ 2 城 > 0. i—i£=£i=W

Теорема доказана r).

i) Точнее, здесь доказано утверждение (ii) теоремы 3.2. Утверждение (i) немедленно следует из доказанного, если положить § = Ел^Ь».——Прим, перев.

Доказательство теоремы 3.3. Идея приводимого ниже метода доказательства заимствована из Бурбаки ([1], стр. 92——93). Этот метод пригоден и для пространств более общего вида, чем евклидово пространство; однако для наших целей достаточно применить его к Rn.

Мы можем считать, что точка а совпадает с началом координат, так как к такой ситуации всегда можно прийти с помощью преобразования переноса. Исходя из этого предположения, рассмотрим множество

• м= и 九х,

入>0

где X — заданное непустое открытое выпуклое множество. Отображение ① f А% при любом X > 0 представляет собой гомеоморфизм, так что оно переводит открытое множество X снова в открытое множество АХ. Поэтому множество М открыто как объединение открытых множеств. Кроме того, М обладает следующими свойствами:

а〃 £ М при 〃 £ М м а > 0;

М выпукло.

В самом деле, свойство (i) очевидно из определения М. Для того чтобы доказать (ii), заметим, что любые две точки и, v М представимы в виде и =入力, и =卩沙 при некоторых ①,у £ X и положительных X,卩.Пусть задана пара чисел а > 0,卩》0, причем а + 卩=1. Тогда аА + 卩卩 > 0 м

aм+卽=3 +版)(^^2 + ^^y)e3% +时 Хuм

в силу выпуклости множества X. Таким образом, мы установили, что М ——открытое выпуклое множество, обладающее свойством (i); подчеркнем, что М не содержит нулевой точки.

Для завершения доказательства теоремы 3.3 нам нужно установить существование (〃 ——1)-мерного линейного подпространства, не пересекающегося с множеством М; действительно, такое линейное подпространство как раз и представляет собой гиперплоскость, проходящую через нуль и такую, что одно из определяемых ею открытых полупространств целиком содержит М. Рассмотрим совокупность всевозможных линейных подпространств, не пересекающихся с М. Эта совокупность не пуста, так как в нее заведомо входит 0-мерное линейное подпространство, состоящее из одной нулевой точки. Так как размерность всякого линейного подпространства пространства Rn не превышает п, то в этой совокупности обязательно должно найтись линейное подпространство наибольшей размерности, которое мы обозначим через L. Само пространство Rn, естественно, пересекается с М и, следовательно, не входит в указанное семейство, так что заведомо dim (厶)^ п — 1. Цель

дальнейших рассуждений состоит в доказательстве того, что dim (L)=八一1.

Допустим, что dim (Л) &〃 一 2. Пусть L^ортогональное дополнение к L, а Р — соответствующий оператор ортогонального проектирования на 上丄.Рассмотрим образ Р(М) в 上丄.Оператор Р в силу своей линейности сохраняет свойства (i), (ii), так что множество Р (М) обладает этими свойствами. Далее, множество Р (М) открыто в 厶丄.Для того чтобы убедиться в этом наиболее простым путем, положим с* ^ Р (М), с* = Р (с) и с £ М м рассмотрим преобразование переноса ф (ж) = ж — (с — с*). Очевидно, что Р (ф (%)) = Р (х) для всех х £ Rn. Если 沙 £ 屮(М) П 厶丄， то у =屮(①)для некоторого х £ М, так что 沙=Р (у)=力(屮(①))= =Р (х) Q Р (М). Следовательно,(р(М) П 厶丄 и Р (М). Отображение ф является гомеоморфизмом, так что множество ср (М) открыто в Еп. Следовательно,屮(М) П £丄 представляет собой открытое множество в 厶丄,содержащее точку с*. В силу произвольности с* это доказывает, что множество Р (М) открыто в £丄. Нетрудно также видеть, что Р (М) J 0, поскольку М [\ L = 0 и р-i (0) = L.•

Теперь мы покажем, что множество 厶丄\ {0} связно. Для этого достаточно убедиться, что оно линейно связно. Возьмем две различные точки ж* и у* в 厶丄、{0}. Если отрезок, соединяющий эти точки, не содержит нулевой точки, то он сам является дугой, соединяющей ①* и у* в 工丄\{0}. Если же на этом отрезке оказалась нулевая точка, возьмем какой-либо ненулевой вектор z* из I/丄，ортогональный к построенному отрезку. Существование такого вектора гарантируется предположением о том, что dim (L)《八——2 и, следовательно, dim (厶丄)》2. Ломаная, состоящая из отрезка, соединяющего ж* с z*, и отрезка, соединяющего z* с у*, является дугой, соединяющей точки %來 и 沙來 в 厶丄\{0}・

Вернемся теперь к множеству Р(М), которое, как установлено, является подмножеством множёства £丄\{0}. Множество Р (М) не пусто, так как М не пусто. Более того, Р (М)—собственное подмножество, так как если бы оказалось Р (М)=厶丄 \ {0}, то мы имели бы 0 =彳 ％來 + 讶(—①來)£ Р (М) для произвольной точки %* С 上丄 \ {0} в силу выпуклости множества Р (М), что противоречит установленному выше: Р (М)》0. Таким образом, доказано, что Р (М) является непустым открытым собственным подмножеством множества 厶丄'\{0}. При этом Р (М) не может быть в то же время замкнутым подмножеством в 厶丄、{0}. Действительно, в противном случае его дополнение Р ("『в £丄\{0} являлось бы непустым открытым собственным подмножеством множества 厶丄\{6}, так что 厶丄\{0} можно было бы представить как объединение Р (М) и Р (Af)°, вопреки связности множества LJ-\ {0}.

Отсюда следует, что в L工 \ {0} найдется точка и*, такая, что и* Р (М) н и* ^ Р (М). Построим линейное подпространство £*={% + Xu* \ х ^ L, — ooVAV + oo}.

Очевидно, что Р (% + Хи*) = А〃* для любой точки из L*. Следовательно, Л* Q М — 0 тогда и только тогда, когда Xu* R Р (М) при каждом i Допустим, что Ku* £ Р (М) при некотором X. Прежде всего ясно, что А 声 0. Ясно также, что А не может быть положительным, так как в противном случае мы имели бы и* £ £ (1/Х) Р (М) и Р (М) вопреки предположению относительно и*. Если же 九 V 0, то — u* G — (1/М Р {М) с= Р (М). При этом 0 = ^〃來 +у(- и*), 〃來 W 07), —и^^Р (М)・ По теореме 2.6 (ii) отсюда следует, что 0 £ Р (7И), что снова противоречиво. Следовательно, L* р М =' 0. Но размерность линейного подпространства L* выше, чем размерность £, что опять противоречит сделанному предположению. Таким образом, остается лишь возможность dim (厶)=八一1. Доказательство будет полностью завершено, если мы вспомним, что М п X. Теорема доказана.

В формулировке теоремы 3.1 точка а может принадлежать, но может и не принадлежать выпуклому множеству X, так что термин «опорная гиперплоскость» оказывается неадекватным по отношению к гиперплоскости, проходящей через точку а и определяющей полупространство, которое содержит множество X. Более уместно называть такую гиперплоскость отделяющей гиперплоскостью. Эта терминология отражает факт отделения такой гиперплоскостью точки а от множества X (а именно, гиперплоскость определяет два полупространства, одно из которых целиком содержит X, а другое содержит 〃).

Как уже отмечалось (см. пример 4 в § 2.1), совокупность решений системы линейных неравенств образует выпуклое множество. Теоремы об отделимости позволяют установить и обратное: любое выпуклое множество может быть представлено как множество решений некоторой системы линейных неравенств г). В качестве примера рассмотрим некоторое непустое открытое выпуклое множество X, не совпадающее с Rn. По теореме 3.3 через каждую точку 〃 £ Х° можно провести отделяющую гиперплоскость 3 ^ai (勺—@i) = 0, такую, что открытое полупространство 2 nat (%t — @月)> 0 содержит X. Тогда X представляет собой не что иное, как множество решений системы линейных неравенств 3 nai (%» ——@。> 0 (〃 £ Х')・ Исследование других случаев предоставим читателю.

Это утверждение неточно (см. примечание иа стр. 33).— Прим, перев.

§ 3.3. Приложения

Мы теперь готовы к тому, чтобы с помощью теорем об отделимости, полученных в § 3.2, вывести ряд новых результатов. Эти результаты не только интересны сами по себе, но и готовят почву для применения теорем об отделимости в следующих главах.

Предварительно сделаем одно замечание относительно обозначений. Запись уравнения отделяющей гиперплоскости, которое появляется при исследовании отделимости множеств, может быть значительно упрощена за счет использования символа скалярного произведения или другой аналогичной символики. А именно, уравнение гиперплоскости 2 n»%» = § сводится к {р, %〉= 卩 в терминах скалярного произведения〈,〉или к ргх = 6 в терминах произведения матриц, где р — (л^), х = (%J. Такой системы обозначений мы и будем придерживаться в дальнейшем.

Определение 3.3. Непустое множество К называется выпуклым конусом, если выполнены условия:

х + у ^ К при любых х, у Q К;

ах ^ К при любом % £ К м любом а》0.

Очевидно, оба эти условия вместе эквивалентны требованию, чтобы а% + 0у W К при любых х, у ^ К и любых а》0, 0》0・ Выпуклый конус К всегда содержит нулевую точку, так как К ■содержит какую-нибудь точку х, и, следовательно, 0 = 0・％ £ К.

Пример. Множество Е? = {% | % 三 0} в Еп называется неотрицательным ортантом. Неотрицательный ортант является выпуклым конусом.

Очевидно, выпуклый конус является выпуклым множеством. С каждым выпуклым конусом мы можем связать некоторый выпуклый конус, называемый двойственным первому; его формальное определение приводится ниже.

Определение 3.4. Выпуклым конусом К*, двойственным выпуклому конусу К, называется множество

К* = {у \〈瑞沙〉＞ 0 при всех х g К}.

Выпуклость множества К* сразу следует из билинейности скалярного произведения. Заметим, что выпуклый конус К* всегда замкнут, даже если К не замкнут. Это обусловлено тем, что К* по определению представляет собой пересечение замкнутых полупространств Мх = {沙 I 〈％,沙〉》0}, % W К・ Выпуклому конусу К* также можно сопоставить двойственный ему выпуклый конус (К*)*, который для простоты мы будем обозначать через К**. Ниже изучается соотношение между К*^ и К.

Теорема 3.4 (двойственность замкнутых выпуклых конусов). Для любого выпуклого конуса К имеем

К** п К;

К** = К тогда и только тогда, когда К замкнут.

Доказательство, (i) Из определения К* следует, что каждая точка х выпуклого конуса К удовлетворяет неравенству (х,沙〉>。при всех у ^ К*; следовательно,① £ К**・ Утверждение (i) доказано.

Согласно (i), для того, чтобы доказать достаточность условия в утверждении (ii), теперь нужно только показать, что из 〃 R К следует а 0 К**. В самом деле, пусть а ^ К, Тогда, поскольку К — замкнутое выпуклое множество, согласно теореме 3.2(i), существует отделяющая гиперплоскость (р, х) = р, такая, что

(1)〈Р, ©〉V ₽,

(р,况〉》§ для всех % £ К.

Заметим, что К ^ Qx при % £ К, 9 > 0. Поэтому в (2) можно заменить х на 0ж при 0 > 0, что дает (р, 6力〉》0. Отсюда делением на 0 > 0 получаем (р, х)》р/0. Полагая 0 -> + оо, в пределе получаем (р, £〉>0 для произвольного х ^ К. Это означает, что р £ К*. Кроме того, так как К J 0, то неравенство (2) должно выполняться при % = 0, откуда имеем 0 > §. Тогда из (1) следует, что ф, q〉vB《0. Следовательно, для рассматриваемого вектора 〃 имеем (р, 〃〉V 0 для р £ К*, и поэтому точка а не может принадлежать множеству К**. Итак, a R К**; достаточность доказана. Обратное утверждение — необходимость ——очевидно, так как множество К** = (К*)* всегда замкнуто. Теорема доказана.

Линейное подпространство L пространства Rn представляет собой частный случай выпуклого конуса. Если 〈％, у〉〉0 для всех % £ I/, то в то же время (— х,沙〉0 для всех х L. Следовательно, у £ L* тогда и только тогда, когда (ж, у〉= 0 для всех х ^ L, Таким образом, выпуклый конус, двойственный линейному подпространству L, является не чем иным, как его ортогональным дополнением £丄.Теорема 3.4 дает своеобразное обобщение обычной двойственности между линейными подпространствами и их ортогональными дополнениями на случай произвольных замкнутых выпуклых конусов.

Для сокращения записи введем некоторые новые символы.

Для любых двух точек х = (д) и г/ = (%) в Е几 будем писать

(a) n 三弘 если xt > уг (j = 1, 2,...,八)， (份力 > У, если х 三 у 皿 х #= у,

(V)% > 弘 если Xi > yt (i = 1, 2, . . ., n).

Такая символика часто встречается в современной экономикоматематической литературе. При этом точку %, удовлетворяющую условиям 力三 0, % 二 0 или ① > 0, принято называть неотрицательной, полуположительной и положительной соответственно.

Во многих случаях оказывается особенно полезной возможность отделить рассматриваемое множество с помощью гиперплоскости ф, х) == р, имеющей полуположительный вектор нормали р.

Теорема 3.5. Пусть X — выпуклое множество, не содержащее положительных точек. Тогда существует отделяющая гиперплоскость (р, %〉= 0 с полуположителъным вектором нормали р > 0, такая, что полупространство (р, %〉& 0 содержит множество X.

Доказательство. Рассмотрим множество, представляющее собой векторную разность М = R^ ——X. Ясно, что М — выпуклое множество. Покажем, что нуль не является внутренней точкой множества М. Действительно, допустим противное: нулевая точка вместе с некоторой своей g-окрестностью U (0, е) содержится в М. Возьмем точку и в U (0, е), такую, что 〃之 0. По предположению 〃 £ U (0, &) и М, так что и можно представить в виде и = V ——х при некоторых v ^ R^ и х ^ X. Отсюда имеем х = V — и, что дает n > 0 в силу условий — 〃 > 0, и 三 0. Этот результат противоречит исходному предположению относительно X.

Итак, нуль не является внутренней точкой множества М; позто- му в силу теоремы 3.1 существует отделяющая гиперплоскость 〈р, %〉= 0, проходящая через нулевую точку, такая, что полупространство (р,力〉0 целиком содержит М.

Возвратившись к определению множества М, заключаем отсюда, что

〈，》〉》伪，с〉

при любых и £ 7?，м % £ X. Отсюда видно, что построенная гиперплоскость отделяет X от R*. Обоснуем следующие два утверждения:

〈р, %〉& 0 для всех % £ X,

(И) Р > 0.

Неотрицательный ортант R弋 содержит нулевую точку, так что* для вывода утверждения (i) достаточно в полученном выше неравенстве приравнять и нулю. Далее, из того же неравенства следует, что линейная функция (р, 〃〉ограничена снизу на Е? некоторым числом 0, т. е.〈р,》〉〉6 при всех и £ R：・ Пусть ег — точка с координатами е： = 0 (/=/=%), e| = 1. Очевидно, что 入е* £ Е? при любом А > 0. Пусть р = (л^). Тогда из ограниченности рассматриваемой функции снизу на R* и, в частностиг

в точке Хе1, числом 0, получаем, что Xrcf > 0 при любом А > 0. Это означает, что случай эт» V 0 невозможен, и, следовательно, р 三 0. Наконец, из 卩耍 0 следует, что j9 >0. Теорема доказана.

В теореме 3.5 не утверждается, что в условиях этой теоремы всегда можно построить отделяющую гиперплоскость с положительной нормалью р > 0. Например, выпуклое множество {(/, у) I 况2 (у +()2 & ]} удовлетворяет предположениям теоремы. Оно каср^вся оси х в начале координат, и поэтому единственной отделяющей гиперплоскостью (в данном случае — прямой) для этого множества в нулевой точке является касательная у = 0. Однако можно указать важный случай, в котором существование положительной отделяющей нормали гарантируется. Для исследования соответствующей ситуации нужно применить теорему 3.5 к замкнутому выпуклому конусу.

Теорема 3.6. Пусть К — замкнутый выпуклый конус. Если К не содержит полуположителъного вектора и > 0, то —К* содержит положительный вектор р > Q, и обратно.

Доказательство. Допустим противное: —Я* не содержит положительных точек. Применяя теорему 3.5 к выпуклому множеству —К*, получаем, что существует отделяющая гиперплоскость 〈〃，у〉= 0 с полуполржительной нормалью ^ > 0, такая, что полупространство (〃, ^) ^0 содержит множество ——К*. Следовательно,〈辽,у〉》0 при всех у £ 定*, и, следовательно, и g к**. По предположению К ——замкнутый выпуклый конус, так что по теореме 3.4 (ii) имеем К** = К. Поэтому К^ и > 0, что противоречит сделанному допущению. '

Обратно, допустим, что в —К* существует некоторый вектор р > 0. Тогда —р £ К*.’ Для любого полуположительного 〃丄 0 имеем {и, —р) = —〈〃，р〉V 0, так что и R К**. А поскольку К** п К по теореме 3.4 (i), то и подавно и не содержится в К. Теорема полностью доказана.

Теорема 3.6 устанавливает, что если замкнутый выпуклый конус К не содержит полуположительных точек, то К лежит в полупространстве {р, %〉& 0 с положительным р > 0. Вернемся к приведенному выше контрпримеру. Рассматриваемое в нем выпуклое множество (не конус!) не содержит полуположительных точек, однако в этом примере не существует положительной отделяющей нормали.

Теорема 3.6 приводит к важным результатам в теории линейных неравенств.

Теорема 3.7 (Штимке [1], Таккер [1]). Пусть Л — матрица размера т X п, и пусть р £ Rm, х £ Rn. Тогда имеют место следую щие утверж дения.

Теорема Штимке: для того чтобы система линейных уравнений Ах = 0 имела положительное решение % > О, необходимо и достаточно, чтобы векторное линейное неравенство Л 'р > О г) не имело решения р.

Теорема Таккера: система линейных неравенств Afp ^ О “ система линейных уравнений Ах = О с условием неотрицательности ①三 О всегда имеют пару решений р и х, такую, что /‘'+ % > 0.

Доказательство. Прежде всего отметим, что теорема Таккера (ii), несмотря на кажущуюся большую общность формулировки, фактически эквивалентна теореме Штимке (i). Точнее говоря, «достаточность» в утверждении (i) эквивалентна теореме (ii), что мы сейчас и покажем.

(ii) -^ «достаточность» в утверждении (i). Возьмем пару (р, %), удовлетворяющую условиям /'р 三 0, Ах = 0, % 三 0 и Afp + %>0. Тогда, поскольку возможность Afp > 0 отброшена по предположению, остается /'р = 0, так что х = Afp + + % > 0. Следовательно, в этом случае уравнение Ах == 0 имеет положительное решение.

«Достаточность» в утверждении (i) f (ii). Для произвольного р £ Rm обозначим j-ю компоненту вектора /'р через [Агр]^ Введем множество индексов N (卩)={/ | [А^]； > 0}. Поскольку N (р) является подмножеством конечного множества {1, 2, . . ., п} для любого решения р системы неравенств 厶勿三 0, то число элементов в N (р) достигает максимума на некотором решении р. Если N(p) = 0, то имеем ситуацию, предусмотренную в (i), что сразу дает искомый результат. Если N(》)={1, 2, . . ., п), т. е. Afр > 0, то решения р = р и х = Q как раз и образуют нужную пару. Поэтому остается рассмотреть промежуточный случай, а именно, случай, когда N (р) содержит к индексов, 0 V 乃 V 八. Для того чтобы доказать (ii) для этого случая, мы построим решение х =(①》системы уравнений Ах = 0, такое, что %/ = 0 при j £ N (р) и ж； > 0 при j R N (£)• Без потери общности будем предполагать, что N (р) = {1, 2, . . ., "}; в самом деле, к такой ситуации всегда можно перейти путем надлежащей перенумерации столбцов матрицы А. Итак, представим матрицу Л в виде Л = =(3, С), где В — подматрица размера т X к, a С — подматрица размера m X (п —乃).

Рассмотрим, систему соотношений Су = 0, 沙三 0, где у £ £ R\ I = п — к. Покажем, что матрица С удовлетворяет усло-

1) Подчеркнем, что требование Afp N 0 исключает случай, когда все компоненты вектора 4'р одновременно обращаются в нуль.— Прим, перев.

вию Штимке, т. е. векторное неравенство C'q > 0 не имеет решения. Действительно, допустим противное и рассмотрим решение q неравенства С'д > 0. Имея в виду, что В'р > 0, Ср = 0, построим вектор р £ Rm как линейную комбинацию р м g вида р = =е方 + 0, где

В> max -——z—.好运丸[5>]j

По построению имеем, с одной стороны, З'р > 0, а, с другой стороны, Cfp = ВС'р + C'q > 0, так что множество N (р) содержит больше индексов, чем N(p). Это противоречит определению N (»), так что матрица С должна удовлетворять условию Штимке- Но тогда в силу «достаточности» в утверждении (i) векторное уравнение Су = 0 должно иметь положительное решение g = у > 0. Тогда вектор х = (“)， где g = 0 (j = l, 2, . . ., Л), Xj = у^ (j = k + 1, . . ., 〃)，представляет собой искомое решение уравнения Ах — 0.

Из этого обсуждения следует, что достаточно провести доказательство утверждения (i).

Доказательство «необходимости» в утверждении (i). Если векторное уравнение Ах = 0 имеет положительное рещение % > 0, то скалярное произведение вектора А"р и данного вектора х равно нулю в силу равенства《А'р,①〉= ргАх, Учитывая теперь, что по определению {Afp,x) = ^ [Arp]jX^ при /'р 丄 0 мы получили бы (Л'р, %〉> 0, поскольку Xj > 0(7 = 1, 2,..., 〃). Полученное противоречие доказывает, что вектор Afp не может быть полуположительным ни при каком р £ Rm.

Доказательство «достаточности» в (i). Положим L = = {Л'р I р £ Rm}, Множество L представляет собой линейное подпространство пространства Rn и, следовательно, является замкнутым выпуклым конусом. Условие Штимке — векторное неравенство Afp>Q не имеет решений — означает, что L не содержит полуположительных точек. Поэтому, согласно теореме 3.6, выпуклый конус —L*, двойственный данному с обратным знаком, содержит положительный вектор х. Но, как уже отмечалось вышег конус L* также представляет собой линейное подпространство^ а именно, ортогональное дополнение подпространства L; отсюда следует равенство £* = —L*. Следовательно, x^L* = £ 丄~ Остается охарактеризовать 厶丄.Нетрудно убедиться, что х £ L^~ тогда и только тогда, когда Ах = 0. Теорема полностью доказана.

Рассмотрим систему линейных соотношений Ах = 0, % 三 0; для каждого ее решения х аналогично предыдущему введем мно-

жество индексов N (х) = {j | Xj > 0}. Читатель может проверить, что из теоремы Таккера вытекают следующие утверждения:

N ⑦ П N(%) =0 для любого решения р системы неравенств /'pN° и любого решения х системы соотношений Ах = 0, % 三 0;

N (р) U N (①)={1, 2,...,八} для некоторой пары решений ри% указанных систем.

Следует отметить, что хотя теоремы Штимке и Таккера были доказаны с помощью теорем об отделимости, они могут быть доказаны и чисто алгебраическим путем, без использования каких- либо топологических рассуждений. Оригинальные доказательства Штимке [1] и Таккера [1] были именно алгебраическими.

Известны многочисленные приложения теоремы 3.7 к изучению линейных неравенств, но здесь мы приведем только некоторые из них в качестве примеров (имея в виду также их применение 毋 дальнейшем изложении).

Следствие 1 (Фаркаш [1], Минковский [1]). Пусть А —— матрица размера т X п, и пусть Ь, р £ Rm, х £ Rn. Тогда для того, чтобы уравнение Ах = Ъ имело неотрицательное решение ①三 0, необходимо и достаточно, чтобы р1 А 三 0 влекло за ^обой pb〉0..

Доказательство. Необходимость. Если Ах = Ъ для некоторого % 三 0 и если р'А 三 0, то ргЪ = рг (Ах)=(卩⑷ ％》 》0, что и требовалось доказать.

Достаточность. Применяя теорему Таккера к матрице (Л, —Ь) размера m X (п + 1), находим, что существует пара решений р £ 7?т и у Rn+1 системы соотношений

(/])卩三 0, (/, — Ь)у = О, у 三 0,(二" + у>0・

Первое неравенство здесь эквивалентно двум неравенствам pfA N 0, р'Ь & 0. В то же время из р'А 三 0 по условию теоремы следует р'Ь》0. Отсюда получаем prb = 0, что в сочетании с последним из приведенных выше неравенств дает уп^ > 0. Введя в рассмотрение вектор % = (%，с компонентами Xj = =yj/yn+i (у = 1, 2, . . •, п), из двух оставшихся соотношений получаем Ах = Ь, % 三 0. Теорема доказана.

Следствие 1 известно как лемма Минковского — Фаркаша.

Определение 3.5. Квадратная матрица Т называется кососимметрическойесли Т' = ——Т.

Следствие 2 (Таккер [1]). Пусть Т ——кососимметрическая матрица. Тогда система неравенств Tw ^ 0, 〃至 0 имеете решение w, такое, что Tw + и? > 0.

Доказательство. Применим теоремуТаккера кматри-* це (7‘, 7), где I ——единичная матрица того 粒е порядка, что и Т. В силу этой теоремы найдется пара решений р и х системы соотношений

(；)Р^О,(『，/)①=0, % 三 0,(；)р + %> 0.

Положив здесь х = (^, . . ., х2пУ, “ = (%储...,xn)\ v = =(%九+1，• • •，％2九)'，представим эту систему соотношений в виде

Тр 三 0, р 三 0, Ги + v = 0, 〃三 0, и 三 0,Тр + и > 09 р + и > 0.

В силу условия кососимметричности Т' = —Т третье из этих соотношений можно переписать как Ти = v. Полагая теперь tv = р -}- и, получаем

Tw = Тр + Ти = Тр + и ^ 0,Tu)+ w = (Tp-}-v) +(р + 〃)=

=(Тр + и) +(р + v)>0. Этим и завершается доказательство.

Следствие 3 (Таккер [1]). Пусть Л — матрица размера т X п. Существуют решение р системы неравенств 4'р 三 0, Р 三 0 и решение % системы неравенств —Ах 三 0, % N 0) такие, что х А'р > 0, р — Ах > 0.

Доказательство. Применим следствие 2 к кососимметрической матрице Т порядка m + п, имеющей вид

Y ：)，

где нуль в левом верхнем углу символизирует нулевую матрицу порядка 八,а нуль в правом нижнем углу символизирует нулевую матрицу порядка т. Тогда найдется вектор' ”，удовлетворяющий системе неравенств Tw 三 0,笫三 0, Tw + ^ > 0- Положив теперь W — (W^i> • • •, "ти+п) , % = ("],•••,笫九),р = (^п+1，• • ч ^т +п) г получаем отсюда искомый результат.

§ 3.4. Крайние точки

Здесь мы рассмотрим специфические точки выпуклых множеств^ называемые крайними точками. Как будет показано, эти точки образуют минимальное подмножество, выпуклая оболочка которого совпадает с данным выпуклым множеством.

Определение 3.6. Точкахвыпуклого множества X называется крайней точкой, если представление % =厶沙 + 卩z, А > О, 卩 >0,久 + 卩=1 невозможно ни при каких у, z ^ X, кроме х — у = Z.

Другими словами, крайняя точка ——это точка, которая не принадлежит (относительной) внутренности какого бы то ни было отрезка i), целиком лежащаго в X. Приводимый ниже важный результат Крейна и Мильмана (Крейн, Мильман [1]) для крайних точек выпуклых множеств справедлив в общем случае беско- йечномерных линейных пространств, но здесь он доказывается лишь применительно к Rn. Конечномерность пространства Е几 делает соответствующее доказательство очень простым.

Теорема 3.8. Любое непустое компактное выпуклое множество X в Rn имеет крайние точки и является выпуклой оболочкой множества всех своих крайних точек.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по размерности к множества X. Если к = 0, то X является множеством, состоящим из одной точки; эта единственная точка в соответствии с определениями, очевидно, является крайней точкой и порождает множество X. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для любых компактных выпуклых множеств размерности, меньшей чем к.

Всякое компактное непустое выпуклое множество X размерности к можно рассматривать .как выпуклое тело в #. Отметим, что множество граничных точек множества X не пусто (см. доказательство теоремы 2.7). Пусть а ——произвольная граничная точка. Тогда по теореме 3.1 существует опорная гиперплоскость 〈р, % ——〃〉=0, такая, что полупространство 〈р, % — 〃〉》0 содержит X. Пересечение Ха множества X и этой гиперплоскости представляет собой непустое компактное выпуклое множество размерности, меньшей чем 儿 так что по предположению индукции множество Ха имеет крайние точки, причем точка а может быть представлена как их выпуклая линейная комбинация.

Покажем теперь, что каждая крайняя точка с множества Ха одновременно является крайней точкой множества X. В самом деле, допустим, что возможно представление с =厶沙 十卩z, А > 0, 卩 >0,厶 + 卩=1 для некоторых у, z ^ X. Имея в виду, что ф, х — а〉= 0 есть опорная гиперплоскость, содержащая точку с, получаем 0 = {р, с — а) = к {р, у — а) + [i (р, z — а) и 〈р, у — а〉>0, (р, z —— 〃〉>0. В силу положительности X,卩 отсюда

Здесь под относительной внутренностью отрезка понимается множество всех точек отрезка, внутренних в £, где L ——прямая, содержащая этот отрезок (см. текст после доказательства теоремы 3.14).— Прим, перев.

следует (р, у — а〉= (р, z ——〃〉=0, так что у, z^Xa. Но поскольку с является крайней точкой множества Ха, отсюда с необходимостью получаем с = у = z.

Таким образом, мы доказали, что множество крайних точек множества X не пусто и его выпуклая оболочка содержит границу множества X. Но так как каждая внутренняя точка множества X является выпуклой линейной комбинацией некоторых двух граничных точек, то тем самым она является выпуклой линейной комбинацией крайних точек. Следовательно, выпуклая оболочка множества всех крайних точек включает множество X. В то же время эта выпуклая оболочка, очевидно, целиком содержится в X; следовательно, эти два множества совпадают, что и требовалось доказать.

Следует отметить, что множество крайних точек выпуклого множества не обязательно конечно. Например, любая граничная точка Аг-шара 。九={% | || % || & 1} является его крайней точкой. Однако справедлива следующая теорема.

Теорема 3.9. Выпуклое множество X, образованное всевозможными решениями конечной системы линейных неравенств Ах 三 Ь, где А — матрица размера т X п и b £ Rm, х £ Rn, имеет не более чем конечное число крайних точек.

Доказательство. Для каждого % £ X обозначим через \Ax\i Х-ю компоненту вектора Ах и введем множество индексов N (х) = {i I [Ax\i — bi> 0}. Обозначим через Xе множество всех крайних точек множества X и покажем, что если Xе не пусто, то оно является конечным множеством. Для этого достаточно показать, что N ⑺ / N (у) для любых двух различных точек /, у £ Хе. Как только этот факт будет доказан, отсюда немедленно можно будет заключить, что Xе содержит не более чем конечное число точек. В самом деле, при любом % £ X множество N (/) представляет собой подмножество конечного множества {1, 2, . . ., т}. Число различных таких подмножеств, очевидно, конечно. Поэтому если различным точкам х ^ Xе соответствуют различные подмножества индексов N (х), то Xе не может содержать бесконечного числа точек.

Таким образом, остается доказать, что из N (х) = N (у) для х, у ^ Xе следует х = у. Рассмотрим отдельно следующие два случая.

Пусть N (①)=N (у) у= 0. Определим 0 > 0 как

8 = min 二по всем i£N (x) = N (у).[Ay]i—bi p 团

Тогда [Ax\i — bi^Q (L4gh — &) при i £ N (①)=N (g). Но это неравенство остается в силе и для Z @ N ⑺=N (у), так как для

таких i имеем [Ax\i = [Ay]t = 仇. Таким образом, получаем Ах —匕三 8 (/g —匕)三 0, 0 > 0. Если 9〉1, то отсюда получаем Ах —匕三 Ay ——b, т. e. / (% — у)三 0. Полагая z = = у + k (x — g), где 九 > 1, имеем теперь Az = Ay + 九/ (%—у)三 三 b, так что х = (1А) z + (1 — 1/Х) у, 1/Х > 0, 1 —彳/A > 0, у, z £ X. Поскольку х — крайняя точка, отсюда с необходимостью заключаем, что % = у = z. С другой стороны, если 0 < 1, то имеем А (х — 9у)三(1 — 0) b, или /z 三 b, где z = =(% — 01/)/( 1 — 0). При этом х = By + (1 — 0) z, 0 > 0, 1 — 9 > 0, у, z £ X. И снова, поскольку х ——крайняя точка, получаем, что х = у = z.

Пусть теперь N (х) = N (у) = 0・ В этом случае Ах = =Ау = Ь, так что / (况 ——у) = 0. Рассуждая, как и в случае (а) при 6 > 1, приходим к заключению, что х = у. Теорема полностью доказана.

Теорема 3.9 не утверждает, что крайние точки существуют. Однако из теорем 3.8 и 3.9 получаем следующее утверждение.

Теорема 3.10. Если множество X решений системы Ах > Ъ из теоремы 3.9 не пусто 〃 ограничено, то X представляет собой выпуклую оболочку непустого конечного множества своих крайних точек.■

Доказательство. Так как в предположениях этой теоремы множество X является непустым компактным выпуклым множеством, то по теореме 3.8 множество X имеет крайние точки, причем их совокупность порождает множество X. По теореме 3.9 число этих крайних точек конечно. Теорема доказана.

Определение 3.7. Выпуклое множество называется выпуклым многогранникомесли оно является выпуклой оболочкой конечного множества точек.

- Конечное множество компактно, так что, согласно следствию из теоремы 2.9, выпуклый многогранник всегда компактен. В соответствии с данным определением множество X в теореме 3.10 является выпуклым многогранником.

Определение 3.8. Выпуклый конус К называется многогранным, если он порождается некоторым конечным набором точек 〃〃(% = !, . . ., s), т. е. если К представляет собой множество всевозможных точек вида

2九也‘，Ki ^- 0 (i=1,...，S). г=1

Иначе говоря, многогранный выпуклый конус К есть множество всех точек вида /р, где р пробегает множество всевозможных неотрицательных s-мерных векторов, а 4 — матрица размера n X s.

5-8

Теорема 3.11. Пусть Л — матрица размера тхп и х £7?". Множество X всех решений системы Ах > 0 представляет собой многогранный выпуклый конус.

Доказательство. Обозначим ранг матрицы Л через ，(/). Рассмотрим сначала случай г (Л) = 〃，а затем — общий случай.

г (Л) = п. Если множество X состоит только из нуля, то X ——вырожденный случай многогранного выпуклого конуса. Рассмотрим другую возможность. Возьмем некоторый т-мерный положительный вектор р > 0 и покажем, что множество Хр всех ,решений системы неравенств

Ах 叁 0, р Ах ^ 1, — p'/z 三一1

не пусто и ограничено. Прежде всего заметим, что последние два неравенства эквивалентны уравнению р1 Ах = 1. Далее, из условия // > 0 следует, что для любой точки ① £ X имеем А% = О тогда и только тогда, когда 夕‘/力=0. Более того, так как г (А)= =п, то Ах = 0 тогда и только тогда, когда % = 0. Поскольку X по предпологкению содержит ненулевую точку /, то для этой точки имеем р Ах > 0 и, следовательно, х!р Ах £ Хр. Это доказывает, что Хр 声 0. Для каждого вектора х £ Хр должны' удовлетворяться неравенства i/pt》［Ax\i》0 (X = 1, . . . ,дп), где Pi > 0 есть 2-я компонента вектора р. Следовательно, АХР.——ограниченное множество. С учетом предположения г (Л) = п отсюда следует ограниченность множества Хр・ Тогда по теореме 3.10 множество Хр представляет собой выпуклый многогранник.

Пусть 6* • . ., 6s — крайние точки множества Хр. Для каждого ненулевого вектора ① £ X мы имеем x/pfAx £ Хр, так что точка х/рАх является выпуклой линейной комбинацией точек &1,.. bs с соответствующими коэффициентами. Таким образом, множество X содержится в многогранном выпуклом конусе, порожденном точками 61, . . ., &s. Но так как этот конус, очевидно, в свою очередь сам содержится в множестве X, то они совпадают.

г (Л) V п. Положим L — {х \ Ах = 0}. Множество L представляет собой линейное подпространство размерности t = =八—г (Л) и имеет базис {с1, . • ., с*}. Поэтому L является многогранным выпуклым конусом, порожденным 2% точками с1, . • ., с* —с* • • •, — с'・ Пусть Р есть п X n-матрица .преобразования ортогонального проектирования на L. Тогда ранг матрицы

(р)

размера (m + n) X п равен п. Действительно, если Ах = О м Р/ = 0, то из первого равенства следует / g L, и значит х = Рж; но тогда согласно второму равенству ① = 0. Следовательно,

в соответствии с проведенным выше анализом случая (а) множество всех решений системы неравенств Ах N 0, Рх 三 0 представляет собой многогранный выпуклый конус К, порожденный некоторым набором точек Ь1, . . ., Ь$. Заметим, что К и X. Покажем теперь, что если ① £ X, то х — Рк Q К・ Действительно, в силу очевидных равенств АР = О, Р2 — Р имеют место соотношения А {х — Рх) = Ах — АРх = Ах N О, Р (х — Рх) = Рх — Рх — 0. Таким образом, х ——Рх представляет собой линейную комбинацию точек 匕工...，Ь‘ с неотрицательными коэффициентами, В то же время точку Рх всегда можно представить в виде линейной комбинации точек с1, ...,(?, — с1, . . ., — с' с неотрицательными коэффициентами. Отсюда заключаем, что X является многогранным выпуклым конусом, порожденным точками &1, . . . , Ь* с1, ...,/— с1, . • ., — с*. Теорема доказана.

Теперь мы можем дать полную характеристику многогранного выпуклого конуса.

Теорема 3.12.

Для любого многогранного выпуклого конуса К имеет место соотношение двойственности К** = К・

Выпуклый конус К является многогранным конусом тогда и только тогда, когда К представляет собой множество всех решений некоторой конечной системы однородных линейных неравенств.

Доказательство, (i) Можно доказать непосредственно, что конус К замкнут, откуда по теореме 3.4 (ii) будет следовать, что К** = К. Но нам удобнее воспользоваться следствием f из теоремы 3.7 (леммой Минковского — Фаркаша). Пусть К = —{Bp I р N 0, р £ 段}, где В — матрица размера п X s, столбцы которой являются векторами, порождающими конус К。 Имеем К* = {у | В'у 三 0}, так как З'у 三 0 тогда и только тогда, когда у'Вр 三 0 при всех р > 0. Применяя теперь лемму Минковского ——Фаркаша, получаем, что для того чтобы бы<ло х £ К， необходимо и достаточно, чтобы при любом у £ К* имело место 〈/, у〉》0. Этим доказано утверждение (i).

Достаточность приведенного утверждения доказывается теоремой 3.11, так что остается доказать необходимость. Пусть снова К = {Bp I р 三 0, р £ Я8}; тогда, согласно (i), имеем К = (К*)*. При этом К* = {у I Вгу 三 0} по теореме 3.11 также является многогранным выпуклым конусом и, следовательно, допускает представление К* = {Cq | g N 0, g £ Rm}, где С — некоторая матрица соответствующего размера п X т. Ясно, что тогда К = (X*)* = {х I С'х 三 0}. Таким образом, К представляет собой множество решений системы Ах 三 0, где Л = С'・ Этим доказательство завершается.

Из теорем 3.4 и 3.12 читатель может заключить, что понятие замкнутого выпуклого конуса в 7?п по существу является синонимом понятия，системы однородных линейных неравенств (возможно, бесконечно большого числа), причем многогранный выпуклый конус является эквивалентом конечной системы однородных линейных неравенств.

По очевидной причине выпуклый конус не имеет крайних точек, кроме, быть может, нулевой точки. Нуль может быть, а может и не быть крайней точкой выпуклого конуса ——это зависит от структуры конуса.

Определение 3.9. Выпуклый конус К называется заостренным, если он не содержит точек х и —х одновременно, где х ——какая-либо ненулевая точка.

Из этого определения ясно, что конус К заострен тогда и только тогда, когда из соотношения х + у = 0 для некоторых х, у ^ К следует х = у = 0. А это условие означает, что нуль является крайней точкой конуса К.

Теорема 3.13. Пусть К — выпуклый конус в EZ Тогда (i) Если К* имеет внутреннюю точку, то К заострен.

Если К замкнут и заострен, то К* имеет внутреннюю точку.

Если К замкнут и заострен, то существует вектор р £ Rn, такой, что 〈р, %〉> 0 для всех ненулевых х ^ К.

Для любого вектора р из (iii) и любого числа а множество {х \ х ^ К, (р, х} < а} ограничено.

Доказательство, (i) Если бы конус К был не заострен, то он содержал бы некоторую ненулевую точку х вместе с —%. Но тогда должно быть 〈％,沙〉=0 для всех у g К*. Это означает, что 宜來 целиком лежит в некоторой гиперплоскости, что противоречит предположению о том, что К* имеет внутреннюю точку.

Допустим, что внутренность выпуклого конуса К* пуста; тогда 左來 целиком содержится в некоторой гиперплоскости вида (а, у〉= 0. Поскольку при этом (а, у〉= {— а, в〉= 0 для всех у £ К*, то обе точки а и ——а должны принадлежать Я**. Но по теореме 3.4 для замкнутого выпуклого конуса К имеем соотношение К** = К, Поэтому К ^ а, —а, где а ^ 0, что означает незаост- ренность конуса К в противоречии с исходным предположением.

В этом случае, согласно (ii), внутренность конуса К* не пуста. Поэтому достаточно будет показать, что любая внутренняя .точка р конуса К* удовлетворяет поставленному условию. Зафиксируем р; тогда найдется е > 0, такое, что 衣來》р + м при всех и, удовлетворяющих условию || и || V 2е. Следовательно, для любой ненулевой точки х из К, положив и = —е//|| х ||,

§ 3. Теоремы об отделимости выпуклых множеств 69 имеем р + и ^ К*. Тогда 0 ^. {р -}- и, х) =〈р, %〉一 е || с ||, откуда (р, %〉》е И х И > 0, что и требовалось доказать.

Если множество Д = {х \ х ^ К, 〈 р, %〉& а}, неогра- ничено, то найдется последовательность {xv} в А, такая, что lim II xv \\ — -\- оо. При этом для достаточно больших v имеем II xv И > 0, так что xv/|| %v н £ к и о & <р, xv7|| %” ||〉& а/|| xv ||. Как обычно при рассмотрении последовательностей из компактных множеств, последовательность {xv/|| хУ ||} можно считать сходящейся к некоторому %, причем 化方 0, а в силу замкнутости конуса К имеем х ^ К. Поэтому соотношение〈р, %〉= 0, получаемое предельным переходом при v ~> + оо, противоречит (iii). Теорема полностью доказана.

§ 3.5. Выпуклые функции

Выпуклые функции образуют класс функций, который тесно связан с выпуклыми множествами. Понятие выпуклой функции уже было введено выше в определении 3.1. Дадим еще одно определение, эквивалентное первому.

Определение 3.10.. Скалярная функция / (%), определенная на выпуклом множестве X в Rn, называется выпуклой 曲 X, если множество Xf = {(%, а) | а》/(%), х £ X} является выпуклым множеством в En X 力.

Пусть функция / выпукла в смысле определения 3.1. Для любых (%, а), (у, Р) £ X/ мы имеем а〉/ (叫 В、/ (g) и z, у 仁 X, так что, согласно определению 3.1, Аа 王卩8》X/ (%) + 財(у) > 〉/(Хж + 卩у) для любых 九，|х》0, К + 卩=1. Поэтому 入(况，а) + И (у, В) £ X/, так что функция / выпукла и в смысле определения 3.10. Верно и обратное: определение 3.10 влечет за собой определение 3.1. В самом деле, легко видеть, что (况* / (/)) £ Xf при хг Q X (i — 1,・• ., s), так что в силу выпуклости множества X/ и теоремы, 2.1 имеет место 为儿(％', / (жг)) £ £Х/ при любых 左》0, У 儿=1. Отсюда по построению множества Xf следует 2 %/(%')》/( 2 无％')•

В этом разделе будут описаны некоторые фундаментальные свойства выпуклых функций. ：В последующем изложении в качестве области определения ；Х выпуклой функции принимается некоторое выпуклое множество в Rn, хотя это основное предположение и не будет явно оговариваться каждый раз.

Прежде всего мы установим интересную связь между выпуклостью функции и ее непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема 3.14. Пусть / (力)一 выпуклая функция, определенная на X, где X ——выпуклое множество в Rn. Тогда / (%) непрерывна в каждой внутренней точке множества X：

Доказательство. Проведем доказательство таким способом, который позволит в максимальной степени воспользоваться результатами, уже установленными ранее для выпуклых множеств.

Так как мы исследуем непрерывность функции / в произвольной внутренней точке множества X, то будем предполагать, что Х° — внутренность множества X — не пуста. Покажем, что при таком исходном предположении множество Х『также имеет внутреннюю точку в Rn х Я. Действительно, в противном случае выпуклое множество Х『должно целиком содержаться в некоторой гиперплоскости .

pfx + 冗& = у.

Более того, (〃 + 1)-й коэффициент этой гиперплоскости должен быть равен нулю, так как множество Х『наряду с некоторой точкой (%, а) должно содержать и все точки вида (①,Р) при 卩》а. Отсюда следует, что множество X должно содержаться в гиперплоскости рх = у в Rn, что противоречит предположению Х° 片 0.

Зафиксируем теперь произвольную внутреннюю точку а множества X. Построим описание граничных, внутренних и внешних г) по отношению к множеству X/ точек «вертикальной» прямой Z, проходящей через (〃，0).

Заметим сначала, что (а, / (а)) является граничной точкой. В самом деле, (а, / (а) + £ X/ м (а, / (а) — е) R X/ при любом 2 > 0, причем эти точки при & т 0 подходят к (а, / (а)) сколь угодно близко. Поэтому точка (а, / (а)) одновременно принадлежит и замыканию множества Х^, и замыканию его дополнения, что и означает, что (а, / (а)) принадлежит границе множества Х^

Теперь покажем, что на прямой I найдется по меньшей мере одна внутренняя точка множества X/. С этой целью возьмем некоторую внутреннюю точку (е,質)множества X/, существование которой было обосновано выше. Поскольку а £ Х°, имеем

Ъ = а + Q (а — е)

при некотором достаточно малом 6 > 0. Отсюда следует, что точку а можно представить в виде выпуклой линейной комбинации точек в и Ь, а именно,

Возьмем теперь точку вида (Ь, В), принадлежащую множеству Х『. Применяя теорему 2.6 (ii) к точкам (е, п) и (А В)，заключаем, что точка

他解)+卩6)=入® n) +卩(仇Р)

Под точкой, внешней к данному множеству, подразумевается внутренняя точка дополнения к этому множеству.— Прим, перев.

является внутренней точкой множества X/. Ясно, что эта точка лежит на прямой Z.

Зафиксируем теперь какую-либо внутреннюю точку (а, со) множества Х『на прямой I раз и навсегда. Поскольку (а, (о)亡 £ Xf, имеем по определению s》/(〃). Более того, поскольку (а, f(a)) —— граничная точка, имеем со >/(〃). Тогда по теореме 2.6(ii) любая точка (а, а) на 厶 удовлетворяющая условию а >/(〃)， является внутренней точкой множества X力 так как (а, а) всегда можно представить в виде выпуклой линейной комбинации точки (а, (о) и некоторой подходящей точки из I П Xf. С другой стороны, любая точка (а, а) на I, удовлетворяющая условию а < / (а), является внешней к множеству X/. Действительно, если это не так, то точка (а, а) была бы граничной точкой множества X/； но в этом случае снова по теореме 2.6 (ii) точка (а, / (а)) должна была бы быть внутренней точкой как выпуклая линейная комбинация внутренней точки (а, (о) и граничной точки (а, а).

Эти рассуждения дают следующее исчерпывающее описание точек (а, а) на прямой Z:

(внутренняя точка множества Х〃 если а> /(а), (а, а) есть { граничная точка множества X力 если а = /(а),

I внешняя точка к множеству X/, если а < / (а).

Утверждение теоремы является непосредственным следствием этого представления. Действительно, при любом е > 0 точка (а, / (а) + е) является внутренней точкой множества X/. Поэтому Xf содержит некоторую окрестность V этой точки в Rn X R радиуса' 6 > 0. Рассмотрим окрестность U (〃, 6) точки а в Rn того же радиуса 6. Тогда, если %£〃(〃，6), то (芻 / (а) + е) ^ У cz Х『・ Отсюда следует, что

/(%)&/(〃)+ £ при х ^ U (а, 3) и X.

Аналогичным образом, используя характеристику точки (а, / (а)——е) как внешней точки к множеству X/, т. е. внутренней точки дополнения к X/, мы можем найти окрестность U (а, 6'), такую, что

/ 3) > / (а) — е при х RU (а, 6') и X.

Таким образом, положив 6" = min (6, 6'), имеем

I / (力)一/ (〃)I W £ при х ^ U (а, 6") и X.

Этим завершено доказательство теоремы.

Отметим, что теорема 3.14 легко допускает следующее усиление своей формулировки: выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве X в Rn, непрерывна в относительной внутренности множества X, определяемой как множество всех точек множества X, внутренних в £ (X) (где 乙(X) — наименьшее аффинное подпространство, натянутое на X — см. определение 2.5). Отметим, однако, что теорема 3.14 не верна в бесконечномерном линейном пространстве. Покажем это на следующем примере. Рассмотрим множество всех полиномов ср (^), *ф (^), ... от вещественной переменной t на единичном интервале 0 & 力 & 1, образующее бесконечномерное линейное пространство с нормой || 屮 || = =sup I 屮(力)I по всем 力.Полагая / (<p) = 2 I аг I Для Ф (力)= =2 а亦* обнаруживаем, что / (<р) —выпуклая функция. Но последовательность (pv (^) = tv — ^v+1 сходится к нулю по принятой норме, в то время как последовательность значений функции /(屮V)= 2 не сходится к 0 = / (0). Причина этого состоит в том, что в данно< случае множество Xf не только не имеет внутренних точек, но и не содержится целиком ни в каком собственном замкнутом линейном подпространстве. Поэтому ни утверждение теоремы 3.14, ни изложенный выше метод ее доказательства не сохраняют силу при переходе к бесконечномерному линейному пространству. Наконец, отметим также, что теорема 3.14 не гарантирует непрерывности выпуклой функции в граничной точке множества X, Например, функция

является выпуклой на единичном интервале, но терпит разрыв в его левой граничной точке 力 = 0.

Ниже мы изучим выпуклые функции с точки зрения их дифференцируемости.

Как показывает пример кусочно-линейной выпуклой функции /«) = I t I，выпуклая функция может оказаться недифференцируемой даже во внутренней точке; однако из свойства выпуклости немедленно следует односторонняя дифференцируемость в любой внутренней точке интервала.

Теорема 3.15. Пусть / (%) — выпуклая функция скалярной переменной, определенная на некотором интервале I. Тогда

Если г, s, t I и г V s V & 加。имеют место следующие неравенства:

/⑶一/⑺ /w /«)—〃s)

Если и — внутренняя точка интервала 7, то правосторонняя производная /： (м) и левосторонняя производная /二(м) существуют и удовлетворяют условию /：(〃)*/；(〃)•

Если функция / дифференцируема в точке v ^1, то для всех и £ / имеет место

广(S (и — V)&/3) — /(办

Если и и V — внутренние точки интервала I и и V и, то

/：(〃)《/： (〃)《/：⑼《/：(")•

Доказательство, (i) Имеет место тождество

так что ввиду выпуклости функции / получаем

/⑶《m7⑺+三7(力

Умножая на 力—— г>0, получаем

(—)/ (s) W(J)/ (г) + D 〃力)，

что после несложных преобразований дает требуемые неравенства-

Так как s — внутренняя точка интервала /, то существует е > 0, при котором (s — е, s + е) и /・ Применяя первое неравенство из (i) к г = u, s = м + “2, t — и к^ где О V k2 V V & V £, получаем

/3十甸一/3) //3 +饱)一〃и)

Аналогично получаем

/3+无1)-/(m)3+九2)-/ 3)

для h^ 无2, удовлетворяющих условию ——8 V /4 V 力2 V 0・ Кроме того, применяя неравенство

/(，)一/(S)/ /«) —/(s)

r^s~0力一s~，

непосредственно получающееся из (i), к r = u~\-h2, s==u,力=〃十 十卷，где — eV无2VoV&V& приходим к неравенству

j (m +九2)-/ 3) w f (m +及2)-f (m)

Объединяя полученные результаты, находим, что

/(五 +无1)-/(U)//(M 十九 2)-f (M) ^f (M + ^2)一/3) / f ("十及)-^/(M)/*\

для всех h^ 无2, "1，“2，удовлетворяющих условию —е V /4 V V 无2Vo V "2VA4 Vg.

Отсюда следует, что

(а) (/ (м +无)—/ (〃))/无 как функция (достаточно малых)无 V О не убывает и ограничена сверху при 无 V 0, монотонно стремящемся к 0;

(Р) (/ (u4 k) — f (〃))/乃 как функция (достаточно малых) /с>0 не возрастает и ограничена снизу при А > 0, монотонно стремящемся к 0.

Следовательно, существуют

『(〃)=iim +и 〃侬)=lim +

Более того, из (*) сразу следует, что

上(〃)"/： 3)・

Если и>% то, положив в (i) r = v, t==u н устремив 5ти, получаем

/3)-/3).

u——V '

отсюда после умножения на 〃 —— 沙>0 находим 广(沙)(〃—— 沙) & & / (м)——/ (》• Аналогично, если и > 〃, то, положив в (i) г = и, £ = и м устремив s т 〃 находим

/Q) —/(〃)V 一 》/Q) —/(〃)V 一 》"(и);"(и);

/Q) —/(〃)

V 一 》

/Q) —/(〃)

V 一 》

"(и);

"(и);

отсюда после умножения на 卩——м > 0 и после преобразований

получаем тот же результат.

(iv) Достаточно проверить, что /；(》)&/二(沙)・ С этой целью

рассмотрим неравенство

f^-f^)f(s)-f(t)

получающееся из (i). Применяя это неравенство к г = и, t = u к s, удовлетворяющему условию 〃 V s V и, и полагая " = s ——〃, h = s — v, имеем

f (u+k)^-f (и) / / g +九)—/(и)

Из доказательства утверждения (ii) видно, что

f (и + к) — / (м)кf (и + к) — / (м)к》/：(〃),》/：(〃),/（〃十九）一9）/（〃十九）一9）&хе)・&хе)・

f (и + к) — / (м)к

f (и + к) — / (м)к

》/：(〃),

》/：(〃),

/（〃十九）一9）

/（〃十九）一9）

&хе)・

&хе)・

Поэтому /；(〃)&/二(沙)・ Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Для любой функций / (%), определенной на некотором открытом интервале /, справедливы утверждения,'.

Если / дифференцируема на /, то / выпукла на / тогда и только тогда, когда производная /' монотонно не убывает на I.

Если / дважды дифференцируема на /, то / выпукла на 7 тогда и только тогда, когда /" неотрицательна на I.

Доказательство, (i) Если производная f существует, то 上(〃)=/； (и) = /'(〃)，/二⑵=/； (0 = /'⑵，так что, согласно теореме 3.15 (iv), имеем f (〃)(〃). Этим доказана необходимость. Теперь предположим, что f не убывает на /. Чтобы доказать выпуклость функции /, достаточно проверить, что для любых 〃，匕 £ /, где а V Ь, график функции / на [а, Ы целиком лежит ниже отрезка, соединяющего точки (а, / (а)) и (&, / (Ь)), т. е.

f ⑴&弋二⑷С-а)+ 〃а)(У 9)・

В самом деле, по теореме о среднем, известной из анализа, существует точка 0, промежуточная между а и Ь и такая, что

广(8)=吗二/% 丿b—a

Тогда, поскольку производная /' предполагается неубывающей, имеем

『(0》?三严)(8《y).

Теперь для обоснования указанного выше соотношения мажорирования достаточно заметить, что /(〃)= g (а), / (b) = g (Ь), где g (力)—линейная функция, стоящая в правой части доказываемого неравенства.

Как известно из анализа, f не убывает на I тогда и только тогда, когда /" неотрицательна на/. Остается применить (i). Теорема полностью доказана.

Следствие 2. Пусть функция / (%) определена 〃 имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно^ во внутренности Х° выпуклого множества X е Rn. Функция / выпукла на Х° тогда и только тогда, когда квадратичная @орма

2力j (%)晶，力尸dxt ,

3 j=l

является положительно полу определенной на Х°, тп. е. эта квадратичная форма принимает неотрицательные значения при любых- х ^ XQ и любых 3 (Z = 1, . . ., п).

Доказательство-. Пусть а £ Х°. Тогда для любога вектора й = (%, найдется & > 0, такое, что а + £% £ Х° при I t I V £• Если функция / выпукла на Х°, то при этом и функция F (t) = /(〃 + %%) выпукла на интервале (—& е). Поэтому, согласно предыдущему следствию 1 (ii), имеем 尸"(0) = 2 力j (а) Л Л;》0. Обратно, пусть a, b XQ и h = b — а. Так как а и Ь — внутренние точки множества X, то найдется е > 0, такое, что а + ^ € £ Х° при —&V 力 V^ + e. Тогда функция 歹(力)=/ (а + 应) выпукла на (— 8, 1 + е) в силу того же следствия 1 (ii), так как 歹"⑶=2 力j (〃 士 应)无Л/ > 0. Заметим теперь, что

力=(1 —力)・0 + 加 1, а + 历=(1 — t)a + tb,仆0) =〃〃)，F(l)=f(b).

С учетом этих соотношений из неравенства (1 —力)F (0) + ^ (1)》 〉歹((1 —— 力)・0 + 力・1) легко получаем нужное нам неравенство (1一%)/(a)+ tf(b) >/((1 -t)a + 力)，где a, b е X。, 0 4 力& &1・ Теорема доказана.

Замечание 1. Особым случаем выпуклости является строгая выпуклость. Выпуклая функция / на 元 называется строго выпуклой, если %/ (况)+ 卩/ (g) > / (Zx + 卩у) при любых х, у £ X， х ^= у, X > 0,卩 >0, ^十 卩=L Два приведенные выше следствия можно переформулировать таким образом, чтобы получить достаточные условия строгой выпуклости. Для этого в достаточных условиях указанных следствий нужно заменить утверждение «/ выпукла» на «/ строго выпукла» и заменить условия《/' не убывает»,《/" неотрицательна» и «квадратичная форма является положительно полуопределенной» на《/ строго возрастает», «/" положительна» и «квадратичная форма является положительно определенной».

Замечание 2. Как известно из теории матриц, квадратичная форма 2 〃订无t无力 где 〃订=〃注，является положи!ельно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы Л = (@订)положительны. Квадратичная форма является положительно по л у о п ределенной тогда и только тогда, когда соответствующие главные миноры неотрицательны.

Замечание 3. Функция /(%), определенная на выпуклом множестве X в Rn, называется вогнутой, если для любых х, g £ Х> 九〉0,卩〉0,九 + 卩=1, имеет место

/(^ + 同/) > 九/(%) + [if (у).

Зта функция называется строго вогнутой, если она вогнута и если для любых 窮沙 £Х, %=#% % > 0,卩 >0,入+ 出=1 имеет место

/ (^ +同/) >廿位)+也/ (у)・

Легко видеть, что вогнутость и строгая вогнутость функции / эквивалентны выпуклости и строгой выпуклости функции —/ соответственно. Тем самым все полученные выше результаты без труда переносятся на соответствующие ситуации с вогнутыми функциями.

§ 3・6・ Условный экстремум

В математическом анализе часто применяется переход от условных максимумов (минимумов) к безусловным максимумам (минимумам); этот переход осуществляется с помощью множителей Лагранжа. Однако этим методом можно искать, вообще говоря, лишь локальные экстремумы, причем приходится предполагать дифференцируемость соответствующих функций. В последнее время математики-экономисты интенсивно применяют вариант метода множителей Лагранжа, который позволяет сводить задачу отыскания глобального условного экстремума (экстремума при наличии ограничений) к задаче отыскания глобального безусловного экстремума без предположений дифференцируемости. В этом разделе приводятся типичные теоремы такого рода, относящиеся к задачам, в которых максимизируемая (минимизируемая) функция и функции, фигурирующие в ограничениях, вогнуты (выпуклы)".

Рассмотрим, следующую задачу максимизации: найти

max/(%) при ограничениях gt (%) >0 (Z = 1, •・•，m),

где /, gj — скалярные функции на непустом множестве X в Rn.

Введя множители Лагранжа Х^ (Z== 1, . . ., иг), построим функцию т

г=1-

называемую лагранжианом данной задачи максимизации.

Такие задачи называют задачами вогнутого (выпуклого) программирования. Теоремы, распространяющие метод множителей Лагранжа на эти задачи, часто фигурируют в литературе под названием теорем Куна — Танкера. Отметим, что основные результаты Куна и Таккера были сформулированы ими в «дифференциальных» терминах; позднее другими авторами были получены соответствующие теоремы в «конечной» форме (подробнее см. Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике, М., «Мир», 1964).— Прим, перев.

Теорема 3.16. Если при некотором наборе неотрицательных чисел 无〉0 (£ = 1, . . ., т) точка х максимизирует лагранжиан на множестве X и удовлетворяет условиям g» (①)》О, 储gt (%) = О (Z = 1, . . ., m), mo x является решением исходной задачи.

Доказательство. В силу предположений теоремы имеем тт

/ (拼)=/ (財)十 N Ag (財)》/(%)+? Kgt (^)i=lг=1

при всех ① £ X. Если точка 力 £ X удовлетворяет условиям g» (①)》 》0 (Z = 1, • . ., m), то при этом 2 %gt (①)》0 ввиду неотрицательности 儿(Z = 4, . . ., m), и поэтому выражение справа от знака неравенства оказывается заведомо не меньше, чем/(%). Отсюда следует, что / (%)》/(%) для всех допустимых %, удовлетворяющих условиям gt (①) >0 (X = 1, . . •, m). Теорема доказана.

Специфические свойства функций /, g», такие, как их вогнутость, в теореме 3.16 не требуются. Однако свойства вогнутости: и выпуклости являются существенно важными для справедливости следующего обратного утверждения.

Теорема 3.17 (Удзава [1]). Пусть множество X выпуклоу а максимизируемая функция / и функции g% (i = 1, . . ., m) вогнуты на X. Пусть, далее, выполнено условие Слейтера: е Y существует точка % для которой g» (с) > 0 (X = 1, . . ., тп). Тогда, если х — какое-либо решение задачи максимизации при ограничениях, то существуют неотрицательные числа 厶才 (X = 1, • .m), такие, что

(а) %2 (財)=0 (Z = 1, •・•，m),

(P) x максимизирует лагранжиан на множестве X при указанных А».

Доказательство. Определим отображение 屮：X f 7?w+1 следующими выражениями для компонент 屮？(力)(Х = 0, 1, . . ., m) вектор-функции 屮(力)：

фо (%)=/(/)-/ (热)，

Фг (^) = gi(2)(x = 4, • •m).

Рассмотрим множество У в 〃"+】

у = {у I у 三屮(/) для некоторого ① £ X}.

Прежде всего отметим, что множество Y не содержит положительного вектора. Действительно, если 0 = у = <р (%) для некоторого % £ X, то f (х) ^ f (i), gj (①)》0 (力=1, . . ., m). Но так

как х по определению является решением задачи максимизации при ограничениях, то первое из этих неравенств с необходимостью- обращается в равенство /(/)=/ (/), и, следовательно,(р0 (力)= 0. Таким образом, из предположения 沙三 0 для некоторого у ^Y сразу следует у0 = 0, что исключает возможность положительности вектора у.

Теперь мы проверим, что множество У выпукло. Заметим, что из вогнутости функций /, gt следует вогнутость всех функций ^i， Рассмотрим выпуклую линейную комбинацию двух произвольных точек у* У? £ У с произвольными коэффициентами ОС］〉0,仪2〉0, ОЦ + «2 = 1・ Поскольку У1 W 屮(ж1), у2 三屮(/2} для некоторых ж1, х2 £ X, то выполняются соотношения

X = %%1 + «2%2 £ X,,

笫=出"+ a2^2 W з屮(叫+ a2ф (炉)W中(办

Этим доказана выпуклость множества У..

Применяя теорему 3.5 к множеству У, заключаем, что существует (т + 1)-мерный полуположительный вектор р = (л^), такой, что ргу & 0 для всех у £ У. Отсюда, в частности, следует, что р'(р (%) & 0 для всех % £ X, так как 屮(X) и У. Вспоминая определение функции ф, получаем условие

冗о(〃2)—/(財))+2 冗g(%)《o 估£X).

г=1

Покажем, что коэффициент 冗。должен быть положителен. Действительно, в противном случае выписанное условие приобрело бы вид 2 冗igi (①)& 0 (① £ X). Следовательно, для точки с, удовлетворяющей неравенствам g% (с) > 0 (% = 1, • . ., т), существование которой гарантируется условием Слейтера, мы имели бы 0 &』％& (с) < 0. В силу условий 忆 > 0, g» (с) > 0 (% = 1, . . ., т) это означает, что 冗月= 0 (% = 1, . . ., т), так что получаем р = 0 в противоречии с определением вектора р.

Исходя из доказанной положительности л0, положим А» = =冗/冗0 (Z 三 1, . . ., m). Принимая во внимание очевидное неравенство £ Ag (%)〉0, преобразуем полученное выше соотношение к виду'

/(%)+ 2 储gi (^)</ (i)</ @) + 2 脑gi (搶)(％£X)・

Теперь для завершения доказательства теоремы остается лишь убедиться в справедливости утверждения (а). Это легко сделать,

подставив х = х в полученное неравенство, что дает 2 ^tSi (搶)W & 0; ввиду неотрицательности А» и g, (%) отсюда следует утверждение (а). Теорема доказана.

Замечание. Легко сформулировать аналоги теорем 3.16 и 3.17 для задачи минимизации при ограничениях, заменив условие вогнутости функций / (х), gi (ж) условием выпуклости.

ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

Симплексы

Начнем с рассмотрения выпуклых многогранников простейшего вида.

Определение 4.1. Набор точек ^ (i = 1, •・・,s) в Еп называется аффинно независимым, если для любых s чисел 九》 (Z = 1, . . ., s) выполнение соотношений

S8

S 九£=о, £ 笳=о

г=1г—1

влечет за собой

儿=0 (г = 1, . . ., s).

Пусть х, как и в доказательстве теоремы 2.4, обозначает точку из Rn+1, первые п координат которой совпадают с координатами данной точки х £ Еп, а (〃 + 1)-я координата равна единице. Тогда немедленно получаем следующие утверждения:

Точки %，(％ = 1, • • ., s) аффинно независимы тогда и только тогда, когда соответствующие точки хг линейно независимы.

Максимальное число точек, образующих аффинно независимый набор в Еп, равно тг + 1.

Точка х принадлежит выпуклой оболочке набора точек {ж1, ж2, . . ., re'} тогда и только тогда, когда соответствующая точка х является неотрицательной линейной комбинацией точек

Отсюда следует, что конечный набор точек {%】,х2, . . ., Xs} порождает "-мерный выпуклый многогранник тогда и только тогда, когда этот набор содержит Ze + 1 аффинно независимых точек, но никакие т его точек при т > k + 1 не являются аффинно независимыми. При этом если “ 一 размерность порожденного выпуклого многогранника, то s》％ + l. В частном случае s = " + 1 имеем A-мерный выпуклый многогранник, порожденный k + 1 аффинно независимыми точками. Это ——простейший тип 加-мерного выпуклого многогранника, называемый симплексом. Дадим соответствующее формальное определение.

Определение 4.2. Выпуклая оболочка А + 1 аффинно независимых точек хг (» = 0, 1, ...,©, т. е. множество всех точек, представимых в виде

2 А£, 2 脑=1,储＞0 (Z = 0, 1, ..., Л), г=0 г=0

называется k-мерным симплексом, натянутым на эти точки %', и обозначается /°% • . • %Е Каждая из этих порождающих точек хг называется вершиной данного симплекса.

Из аффинной независимости вершин симплекса немедленно вытекают следующие факты:

(а) Вершины являются крайними точками симплекса, и не существует никаких других крайних точек, кроме вершин.

(Р) Представление произвольной точки симплекса в виде выпуклой линейной комбинации его вершин единственно. Поэтому коэффициенты 儿 этой выпуклой комбинации могут служить координатами соответствующей точки; они носят название барицентрических координат точки.

Понятие А-мерного симплекса является естественным обобщением привычных конфигураций в евклидовых пространствах размерности до м = 3. Действительно, 0-мерный симплекс —— это точка; 1-мерный симплекс Л1 ——это отрезок с концами %°, ж1; 2-мерный симплекс ж0^1^ представляет собой треугольник с вершинами ж0, %1, %2 и, наконец, 3-мерный симплекс Л1^2^ — это четырехгранник с вершинами %°, ж1,炉，况з.

Определение 4.3. Симплекс %"。％" •・• ％〃 называется s-мерной гранью симплекса %°%' • • •①匕 если множество вершин ｛%'。, ％*“ . •.,①北｝ первого из них является подмножеством множества вершин ｛鸡况I . •.,公｝ второго.

Легко видеть, что число s-мерных граней A-мерного симплекса равно С銀，поскольку число способов, которыми можно выделить s + 1 различных вершин из множества " + 1 вершин, как раз равно числу сочетаний С露.Нетрудно также убедиться, что относительная внутренность i-мерного симплекса состоит из точек, все барицентрические координаты которых положительны, тогда как его относительная граница представляет собой объединение всех его (А — 1)-мерных гранейх).

Определим диаметр 6 (X) множества X в Rn как b (X)= =sup И х ——у И по всем х, у Q X.

Лемма 4.1. Для любого симплекса А1. •.①八 имеет место соотношение

6 (①红1 …叫= max II xi — xj ||.

Д оказател ьство. Для любых двух точек hh

а— 2 出％、Ь= 2 В*' £ ①°%i …逆 г=0j=0

имеем

Н〃一匕II = 11.2 а“・戸一2仿叫=i=0j=0

h kh k

=II 2 S 电6炉—2 2 ©6戸［| = (так как 2 © = 2 g = 1) г=0 j=0г—0 j=0

=11 S ©力(炉 T|1w

г, 3=0

< S a力j||%‘一病 II《(так как g》0, В/>0) j=0

W max II%' —R|| 2 ^j= (так как 电>0, Pj>0)

0W3 3WRг,亍=0

= max IIxz — xj II (так как 2°^ = 2由=1).

0W3 j&h

Таким образом, имеем 6(ж0^1 • • •力卜)《 max ||хг—х^ ||. С другой 0W3 Kh

стороны, согласно определению диаметра заведомо имеем max II хг — х3 ||^6 (xQx1 ・.•叫. Это завершает доказательство.

0WK j0

Каждый симплекс можно разложить на несколько меньших симплексов. Существуют различные способы такого подразделения заданного симплекса, но ниже будет описан только один вариант подразделения ——барицентрическое под разделение • При осуществлении барицентрического подразделения симплекса берется специальная точка этого симплекса, называемая барицентром, которая становится вершиной, общей для всех вновь образуемых меньших симплексов. Формально барицентрическое подразделение строится индуктивным путем с переходом от граней меньших размерностей к граням больших размерностей.

Под барицентром симплекса /°%1 • • . л? понимается точка с барицентрическими координатами Хо = Х4 = . . . = %^ = =1/(* + 1).

(0) Подразделение ^-мерного симплекса: 0-мерный симплекс, состоящий из единственной точки, сам будет рассматриваться как симплекс собственного подразделения.

Подразделение i-мерного симплекса: 1-мерный симплекс №" подразделяется на два симплекса той же размерности xQy и ^^, где у — барицентр симплекса х^х^ (рис. 4).

Рис. 4.

Подразделение 2-мерного симплексам 2-мерный симплекс 况°%】①2 подразделяется на шесть симплексов той же размерности ®у2у,①％2у, %切°玖 %2沙。沙,吸/切 и х^у, где 弘 yQ, у1 и у2 — барицентры симплексов ①°%i%2,①i%2,力o%2 и xoxi соответственно (рис. 5),

Рис. 5.

(乃)Подразделение k-мерного симплекса. Предположим, что мы уже построили подразделения всех симплексов размерности ниже Е и что при любом m<fc каждый иг—мерный симплекс подразделяется на (確+l)! симплексов той же размерности. Тогда каждая (乃一1)- мерная грань Л-мерного симплекса %°%丄…冰 по предположению оказывается подразделенной на к\ симплексов размерности "—1. Обозначим через g°gi ...沙八-1 какой-либо симплекс, полученный подразделением некоторой (乃——"-мерной грани симплекса ①°%i ...①丸. Пусть у — барицентр симплекса %°/i •••%&・ Нетрудно видеть, что тогда /у1 .. . yh~^y является ^-мерным

симплексом и, поскольку всего имеется 乃十1 граней размерности % —— 1, каждая из которых подразделена на А! симплексов, то в общей сложности насчитывается (к+4)! различных симплексов, подобных y°yi • • • gh-ig. Эти (乃+1)! симплексов и образуют подразделение исходного симплекса %°%i ... xk. В самом деле, каждая точка симплекса х^х . •・ £卜,которая не является его барицентром и не лежит ни на одной из его собственных граней, должна лежать на отрезке, соединяющем барицентр с некоторой точкой одного из симплексов типа у°уг .. . д'-% и, следовательно, должна принадлежать некоторому симплексу типа у^у1 ...沙卜一丄刃.

Будем называть каждый «малый»') симплекс, полученный при подразделении данного симплекса, производным симплексом. Из описанной выше операции барицентрического подразделения можно видеть, что с каждым s-мерным производным симплексом связана единственная «возрастающая» последовательность Г。и Р] и . •・ и Vm и ... и Vs подмножеств множества вершин {ж0,炉，.• .，xh}, такая, что этот производный симплекс можно единственным способом представить в форме yQ у1 ... ...ут . . . ys, где ут ——барицентр симплекса, натянутого на подмножество Йт. В этой последовательности Vo =^ 0 и Vm — собственное подмножество множества 卩加+丄・ Ясно, что такое соответствие между производными симплексами и возрастающими последовательностями подмножеств вершин взаимно однозначно.

Уяснив все эти факты, докажем следующую лемму.

Лемма 4.2. Каждый (乃一1)-мерный производный симплекс A^-i е барицентрическом подразделении симплекса 独炉• •.①及

гранью ровно одного к-мерного производного симплексаесли А'т целиком лежит на (относительной) границе симплекса 丁0丁1•

山山 .■. 山 ,

общей гранью ровно двух к-мерных производных симплексов —в противном случае.

Доказательство. В свете сделанных выше замечаний симплекс A^-i в двух рассматриваемых случаях должен принимать следующие две формы:

Случай (i). В этом случае Д^"1 = у%1 . . • у*1, где ни одна из вершин симплекса A^-i не является барицентром исходного симплекса %°%i .・•济 так что в соответствующей последователь-

ности 卩о и 卩1 и • • • и 卩7n и ・• • и Vk~i каждое подмножество 匕п состоит из иг + 1 вершин.

Случай (ii). В этом случае А^т = ^1 ...沙^т, где Одна из вер^ шин симплекса 厶卜一1 является барицентром исходного симплекса, так что в соответствующей последовательности 卩° и 卩】и • • • • . • и Vm и • • • и Vk-i подмножество V^i содержит все Ze + 1 вершин исходного симплекса. Следовательно, существует единственный номер Z & к ——1, такой, что подмножество У/ содержит ровно на две вершины %%, х^ больше, чем 卩^ (здесь условно принято У»! = 0), тогда как любое другое подмножество Vm из данной последовательности подмножеств содержит ровно на одну вершину больше, чем предыдущий член.

При этом с каждым "-мерным производным симплексом, гранью которого является Д^"1, связана возрастающая последовательность подмножеств вершин исходного симплекса, которая получается из пос ледов ател ьности, соответствующей симплексу А*% включением еще одного подмножества вершин У. В случае (i) подмножеством V может быть только множество всех вершин, а в случае (ii) в роли V может и должно быть каждое из двух множеств V； \ {%"} и V； \ {%霓}. Этим завершается доказательство леммы.

Последовательно применяя v раз барицентрическое подразделение к заданному симплексу %° 力工.• • ％* получаем так называемое v-e барицентрическое подразделение, в силу которого симплекс разбивается на производные симплексы порядка v. Интуиция подсказывает, что чем больше % тем меньше должны становиться соответствующие производные симплексы; это интуитивное представление находит свое подтверждение в теореме 4.1. Структура v-ro барицентрического подразделения описывается в теореме 4.2, обобщающей лемму 4.2 на случай произвольного v.

Теорема 4.1. Пусть Т“)——какой-либо производный симплекс порядка V е v-м барицентрическом подразделении симплекса S = £。炉.• • ％* Тогда диаметры 6 (Т^) м b (S) этих симплексов связаны соотношением

6(叫4(亳"⑥)•

Доказательство. Достаточно доказать это неравенство для V = 1, так как его повторное применение приводит к искомому результату для любого v. Более того, поскольку производный симплекс размерности, меньшей чем 左，является гранью некоторого А-мерного производного симплекса, нужно лишь доказать неравенство

6(T)C$6(s)

для произвольного Ar-мерного производного симплекса Т.

Проведем доказательство индукцией по 〃• Случай 论=0 тривиален, так как при этом b(T) = 6(S) = 0. Предположим, что неравенство справедливо для А —1, и рассмотрим симплекс Т =屮# …. Будем считать, что здесь yk — барицентр симплекса S, так что

yk =•

〉k-\-l

i=0

Возьмем произвольную точку x^S и представим ее в виде 2a症, 2 ос；~ 1» а)>0 (у = 0, 1, •••,")• Для каждой вершины %’ имеем

《畠6(s)・

Поэтому

II"-加=||2a八疗-严k

<2аЛ1^-/1Кj=0，

《為6(S).

Подставляя вместо х различные вершины симплекса Т, получаем max W —/||《备 6(S).

В силу леммы 4, предположения индукции и очевидного неравенства 侬一1)/"<Л/("+1) имеем

max II 犷一М 11 = 3e。/.•. 0W3 j^ft-i

V 告 6(S),

где R есть (Л — 1)-мерная грань симплекса S, барицентрическое подразделение которой дает производный симплекс 屮/ … 犷一1.

Объединяя эти неравенства, получаем

5(Т)= шах |0 —川&击 6(8).

Теорема доказана..

Теорема 4.2. Пусть над симплексом S =迪①丄• • •况卜 выполнено w раз барицентрическое подразделение. Тогда каждый (А —1)- мерный производный симплекс Т(")порядка v является

гранью ровно одного к-мерного производного симплекса порядка V, если Т(”) целиком лежит на (относительной) границе симплекса ж0^1 .・.％&;

общей гранью ровно двух k-мерных производных симплексов порядка ” 一 е противном случае.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по V. Лемма 4.2 устанавливает справедливость утверждения лри V = 1. Предположим, что утверждение справедливо для v ——1.

Случай (i). В этом случае симплекс Т“)получается при подразделении некоторого (А 一 1)-мерного производного симплекса T(v-i)порядка V ——1, который также целиком лежит на (относительной) границе симплекса S. По предположению индукции симплекс T(v-D является гранью ровно одного A-мерного производного симплекса S^-1^ порядка v ——1. При этом 7(”)является (к — 1)-мерным производным симплексом порядка 1 по отношению к симплексу S(v-D и лежит на (относительной) границе симплекса S(v-i). Следовательно, согласно лемме 4.2 (i), симплекс Т") является гранью ровно одного ^-мерного производного симплекса порядка 1 по отношению к симплексу S(v-D, имеющего порядок v по отношению к исходному симплексу. С другой стороны, если подразделение некоторого A-мерного производного симплекса дает Т(”), то этот симплекс, очевидно, должен иметь Т^-^

своей гранью и, согласно предположению индукции, должен совпадать с S^-^. Эти замечания в совокупности доказывают утверждение (i).

Случай (ii). Сначала предположим, что симплекс Т^ получается при подразделении некоторого (к ——1)-мерного производного симплекса T(v-D порядка v — 1, который не лежит на (относительной) границе симплекса S. Тогда Т") может быть гранью только такого Л-мерного производного симплекса порядка v, который появляется при подразделении некоторого А-мерного производного симплекса порядка v — 1, имеющего симплекс Т^~^ своей гранью. По предположению индукции существуют ровно два таких fc-мерных производных симплекса порядка v — 1, причем подразделение каждого из них, согласно лемме 4.2(i),

дает ровно один "-мерный производный симплекс порядка ”， имеющий Т^ своей гранью.

Предположим теперь, что симплекс 7(”)вообще нельзя получить подразделением какого бы то ни было (к — 1)-мерного производного симплекса порядка v ——1. Тогда пусть S(v-D ——тот единственный "-мерный производный симплекс, подразделение которого дает Т^. При этом Т^ заведомо не лежит на (относительной) границе симплекса S(v-D и, следовательно, в силу леммы 4.2 (ii) является общей гранью ровно двух "-мерных производных ^симплексов порядка 1 по отношению к S(”t), имеющих порядок V по отношению к S. Любой другой "-мерный производный симплекс порядка w ——1, отличный от S«t), не содержит Т^ и поэтому не может дать при своем подразделении такой "-мерный симплекс, который имел бы Т^ своей гранью. Эти замечания в совокупности доказывают утверждение (ii). Теорема полностью доказана.

Теоремы 4.1 и 4.2 позволяют разбивать симплекс на сеть сколь угодно мелких производных симплексов, соединенных между собой простым образом; эти теоремы играют важную роль при исследовании топологической структуры выпуклых множеств.

§ 4・2・ Неподвижные точки

Пусть X — некоторое множество, и f ⑺：X f X — отображение множества X в X. В общем случае каждая точка х множества X при отображении / переходит в некоторую точку / (%), которая может отличаться, а может и не отличаться от х. Та особая точка 力,которая переходит снова в %, называется неподвижной, точкой отображения /. Факт существования неподвижной точки существенно зависит от топологической природы множества X и отображения /. Весьма сильная теорема существования неподвижных точек была получена выдающимся голландским математиком Брауэром в начале XX века, в период, когда топология еще только формировалась. Этой теоремой утверждается существование неподвижной точки в случае, когда X — компактное выпуклое множество, а отображение / непрерывно. В настоящем разделе приводится наиболее элементарное из известных доказав тельств теоремы Брауэра о неподвижной точке, которое опирается на некоторые простые свойства барицентрического подразделения симплекса.

Начнем с доказательства леммы, известной как лемма Шпер- нера^ которая представляет и самостоятельный интерес. Прежде всего введем вспомогательное определение. Пусть 兀(％) (i = =0, 1,...,砌一барицентрические координаты точки х в симплексе S = /%1 ...况匕 Симплекс, натянутый на те вершины ①工

для которых А» (%) > 0, является гранью наименьшей размерности симплекса S, содержащей точку %, и называется носителем • точки х. В частности, если симплекс S подвергся v-кратному барицентрическому подразделению, то каждая вершина каждого производного симплекса имеет свой носитель.

Лемм а_4.3 (лемма Шпернера [1]). Пусть симплекс 8 = =/°%1 ... а? подвергся v-кратному барицентрическому подразделению. Предположим, что задано отображение у f о (у), которое каждой вершине у е этом подразделении ставит в соответствие' некоторую вершину о (у) носителя точки у. Тогда существует k-мерный производный симплекс S^ =资у1 .…此 такой, что °*(5‘) ¥= о (〃) при i ^= j. Точнее, существует нечетное число- таких k-мерных симплексов.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по А. Так как случай 论=0 тривиален, мы могли бы сразу приступить к рассмотрению общего случая. Однако сначала мы отдельно рассмотрим следующее наименьшее к, т. е. к = 1,. что поможет уяснить утверждение леммы.

Случай 论=1. Пусть задан симплекс S = £°炉一отрезок с концами ж0,炉 и задана соответствующая система производных вершин на нем. Образом о (у) каждой производной вершины 矿 является либо х°, либо 况L Подсчитаем, сколько раз функция а (沙)меняет свое значение с 况° на ж1 или с х1 на 况°, когда у последовательно пробегает производные вершины от ж0 до 炉.Из определения носителя ясно, что а (力°) = ж0 и а (ж1) = %】. Следовательно, функция а (у) должна менять значение с %° на х1 при переходе от некоторой производной вершины д° к соседней с ней справа производной вершине 力；тогда а (/) = ж0, а (犷)=炉， так что у°у1 является искомым производным симплексом. Более того, число таких производных симплексов в точности равно числу перемен значения функцией а (у), а последнее должно быть нечетным. Действительно, в противном случае последняя перемена значения была бы с ж1 на %°, а далее функция а (у) имела бы постоянное значение ж0, что приводит к противоречивому результату a (%1)=况0.

Предположим, что утверждение леммы справедливо для 论亠 1, м рассмотрим случай А. Для того чтобы в дальнейшем избегать ненужных формальных усложнений, будем просто говорить «производный симплекс» вместо «производный симплекс порядка V». Все симплексы, о которых пойдет речь ниже,——и исходный симплекс S, и производные симплексы S' —являются А-мерными, а все упоминаемые грани симплексов являются (к — 1)-мерными^

Производный симплекс £' = у。# ...严 будем называть- регулярным, если а (дг) :/= а (〃) при Z =# j. Аналогично, (к ——1)-

мерный производный симплекс-грань z0^1 . . . z^t также будем называть регулярным, если о (zl) у= a (z‘)при i ^ j и, кроме того, о (zl)声 xk для всех j = 0, 1, 乃一1.

Положим

а — число регулярных производных симплексов,

6 ——число регулярных производных симплексов-граней, лежащих на (относительной) границе симплекса S,

卩(S') — число регулярных граней производного симплекса S'.

Нам нужно доказать, что а нечетно. Рассмотрим сначала число Р (S'). Если производный симплекс S' регулярен, то ровно к его вершин, взятые в некоторой последовательности, скажем у°, у1, . . ., /т, переводятся отображением о в вершины “°, ", . . ., %'т соответственно, а оставшаяся] вершина / переводится в xk. В соответствии с этим ровно одна грань симплекса

S', а именно, грань // . . . /-1, является регулярной, тогда как все остальные грани имеют общую вершину ук, переходящую в %* и, следовательно, не регулярны. Поэтому для регулярного симплекса S' имеем 0 (S') = 1. Рассмотрим теперь случай, когда симплекс S' не регулярен, так что некоторые из вершин а°, ж1, . . ., хк не являются образами каких-либо вершин симплекса S' при отображении о. Здесь возможны две ситуации: а) одна из вершин ж0, %1, . . ., %"-i не является образом никакой вершины симплекса S' или б) каждая из вершин ж0, %】，...,хк~г, но не хк, является образом некоторой вершины симплекса S'. Ясно, что в случае а) симплекс S' не имеет регулярных граней и, следовательно,卩(«) = 0. В случае б) множество всех вершин ^симплекса S' отображается на множество {①°, ж1, . . ., ^^1}. Так как здесь А + 1 объектов отображаются на " объектов, то ровно два объекта-прообраза должны иметь один и тот же образ. Ввиду этого можно считать, что симплекс S' = yQ у1 . . . ук представлен в такой форме, что а (矿)=况1 (Z = 0, 1, . •.,乃——1), о О/") = %’ для некоторого j, удовлетворяющего условию 0 & &/《乃——1. Отсюда видно, что симплекс S' имеет ровно две регулярные грани, а именно, грань, натянутую на к вершин симплекса S', отличных от 此 и грань, натянутую на 加 вершин этого, симплекса, отличных от 八 так что в результате § (S') = 2.

Полученные результаты показывают, что § (S') = 1 для регулярного симплекса S' м 卩(S') = 0 или 2 в противном случае. Отсюда следует, что

а 三 26(S‘)(mod 2),

где суммирование распространяется на все производные сммплек— <сы

В этом сравнении по модулю 2 выражение в правой части представляет собой число регулярных призводных симплексов-граней с возможным повторным счетом этих граней при суммировании. При этом очевидно, что каждый регулярный производный симплекс-грань учитывается в этой сумме по крайней мере один раз. Действительно, по теореме 4.2 каждый регулярный производный симплекс-грань Т‘ является гранью либо ровно одногб производного симплекса, либо ровно двух производных симплексов в зависимости от того, лежит ли 7' на (относительной) границе симплекса S или нет. Поэтому в сумме 2б($') те регулярные производные симплексы-грани, которые лежат на границе, учитываются один раз, а те, которые не лежат на границе, учитываются дважды. Это приводит нас к другому сравнению；

В = 26(3) (mod 2), где суммирование проводится прежним образом. Сопоставляя два сравнения, получаем

а = р (mod 2).

Итак, если 卩 нечетно, то и а также нечетно. Поэтому достаточно теперь показать, что 卩 нечетно. С этой целью воспользуемся утверждением леммы, которое предполагается справедливым для Л — 1. Заметим сначала, что регулярный производный симплекс-грань Т', лежащий на границе симплекса S, должен лежать на грани %。炉 ...а?-1. В противном случае общий носитель вершин симплекса Т' должен быть отличен от Л1 . . . %卜-1, и, следовательно, хотя бы одна из вершин 况°, ж1, . . ., ж^'1 не может быть образом никакой вершины симплекса-грани『 лри отображении а, что противоречит регулярности симплекса Т'. Это показывает, что выражение «регулярный производный симплекс-грань симплекса S, лежащий на 况°%1 ...力卜一1», является синонимом выражения «регулярный производный симплекс по отношению к симплексу %° %1 ... %1». Отображение у f f о(У), рассматриваемое на ж0 х1 ...犷-工，очевидно, удовлетворяет предположениям леммы для случая к ——1 . Поэтому по предположению индукции число § нечетно. Этим завершается доказательство леммы.

Теперь мы сформулируем и докажем теорему Брауэра о неподвижной точке. Метод доказательства заимствован из работы Кнастера и др. [1].

Теорема 4.3 (Брауэр [1,2]). Пусть X — непустое компактное выпуклое множество в Rn, 〃 /: X -> X — непрерывное отображение, переводящее каждую точку х множества X е некоторую точку / (①)этого 贺е множества. Тогда / имеет неподвижную точку с, так что % = /(/).

Доказательство. Если dim (X)=论，то по теореме 2.8 множество X гомеоморфно любому ^-мерному симплексу, и, в частности, стандартному симплексу

尸丸+1={"2a=1, Pt>0 (i = 0, 1, ...,"))• i=0

Вершинами симплекса Pk+i являются " + 1 векторов-столбцов единичной матрицы порядка " + 1. Пусть ф ——какое-либо гомео- морфное отображение симплекса Ph+t на X. Легко видеть, чта точка х множества X является неподвижной точкой отображения / тогда и только тогда, когда точка р =旷，(力)является неподвижной точкой суперпозиции отображений ср^/ср: Р^+1 f 夕月+「где (ф_1/ф)(Р)= ф"1 (/ (屮(')))• Следовательно, мы можем ограничиться доказательством теоремы лишь для случая, когда X является стандартным симплексом Р^+1.

Итак, пусть / —- непрерывное отображение симплекса Ph+t в себя. Заметим, что координаты /^ (р) точки / (р) удовлетворяют соотношениям 厶(р) > 0 (i = 0, 1,...,归)，2 ft(Р)= 1 при ..г—О

любых р С Pk+i- Построим к + I подмножеств

% = S I Р £ 夕兀+1，Pi >fi(Р)} (» = 0, 1, • • •,向・

Подмножества Fi являются замкнутыми подмножествами множе- ства Pfe+1 в силу непрерывности функций %.

Пусть е。，е1, • . ., е电一вершины симплекса Р^+1. Совокупность множеств {/\} обладает тем свойством, что для любой грани Т = eioeil. • • e'm симплекса Pk+i имеет место соотношение

Ти招qUKiU・・・U%・

В самом деле, каждая точка р грани 7 удовлетворяет условию PiQ + Pii + • • • + Ргт = 1- Если бы точка р не содержалась ни в одном из множеств 歹如冗口 ..., Fim, то мы имели бы совокупность неравенств 〃％ V/”(p)(力=0, 1, • • •, тп). Суммируя эти неравенства по всем 力，получаем противоречие

mтk

1=2也v2%S)《.2 力 s)= i・力=0/=0i—0

Подвергнем теперь симплекс Р^+1 v-кратному барицентрическому подразделению. Используя введенное выше семейство множеств {FJ, мы сейчас построим отображение уто(д), удовлетворяющее условиям леммы 4.3. Пусть у — какая-либо производная вершина порядка v. Если Т = е^е^ . .. eizn — носитель точки уг то поскольку Т и 招Q U 歹订 U • • • U ^г,п» хотя бы одно из множеств； 居о，Piv • • •, Fim должно содержать у. Возьмем какое-либо из множеств F”, содержащих точку 驴 пусть это будет множество %。

Положим о(у) = е°九.Ясно, что отображение г/ —> а (г/) ставит в соответствие каждой производной вершине у порядка v некоторую вершину сг(д) носителя точки у и, следовательно, удовлетворяет условиям леммы 4.3, так что должен существовать хотя бы один регулярный симплекс S(v)порядка v. Этот симплекс всегда можно представить в виде S”)=刃°~iv ...沙叫 沙诃£储 (2 = 0, 1,...,句， леренумеровав его вершины соответствующим образом.

Согласно теореме 4.1, имеем

max JI状-/II = 6(S⑺)总(备y 6(Р“丄).

Правая часть в этом соотношении стремится к нулю при v—>+оо. Более того, в силу компактности симплекса 夕兀+^ найдется некоторая лодпоследовательность {v'} последовательности индексов {v}, общая для всех i, такая, что каждая последовательность точек {yiv，} сходится к некоторому своему пределу рг. Ввиду того, что {yiv } -есть пос л ед о вате л ьност ь точек из замкнутого множества 民，мы имеем р： £ Ft (i = 0, 1, . .., А). Но, как уже было показано, II Z/'v' —Z/W II т 0 (vz —>+ °°)- Поэтому все 乃+l точек рг должны совпадать. Обозначив через р эту общую предельную точку, получаем, чго все множества /\ содержат р, так что, согласно определению этих множеств,卩月>力(р) (г = 0, 1, …，")• Наконец, принимая во внимание тот факт, что 2 卩=2 力(р) = 1, убеждаемся, что Pi = ft (р) (2 = 0,1, •••,©• Этим доказано требуемое соотношение р = / (р).

Неподвижные точки (продолжение)

Теореме Брауэра о неподвижной точке позднее была придана более полезная формулировка. Исследования в этом направлении были начаты фон Нейманом [2] в связи с первым опытом приложения теоремы Брауэра о неподвижной точке к экономической задаче. Несколько позже Какутани [1] установил новый вариант теоремы о неподвижной точке, что не только открыло возможность многочисленных приложений к 'экономической теории и родственным вопросам, но и стимулировало дальнейшие исследования (см. работы Эйленберга и Монтгомери [1] и Бейля [1]). Здесь мы сформулируем и докажем теорему Какутани о неподвижной точке; ее дальнейшие обобщения мы не приводим, так как ознакомление с ними выходит за рамки развиваемого подхода, связанного с понятием выпуклости.

Обычно отображение /, с которым приходится иметь дело, является однозначным. Однозначное отображение /: X f У ста-

вит в соответствие каждой точке х множества X некоторую точку / (х) множества У. Но в некоторых случаях приходится рассматривать такое отображение /, которое ставит в соответствие точке х множества X некоторое подмножество / (х) множества У. Такое отображение называется многозначным или точечно-множественным отображением. Разумеется, многозначное отображение / мз X в У всегда можно рассматривать как однозначное отображение из X в множество всех подмножеств множества У. По этой причине многозначное отображение / из X в У обозначается как /: X f 2У, где 2y условно символизирует множество всех подмножеств множества У. Ясно, что однозначное отображение, которое может быть также названо* точечно-точечным отображением, является частным случаем многозначного отображения, при котором образ каждой точки является множеством, состоящим из единственной точки.

В связи с данным обобщением понятия отображения необходимо сформулировать соответствующие определения непрерывности для многозначных отображений, которые, как было бы желательно, в случае однозначных отображений переходили бы в обычное определение непрерывности.

Напомним две общепринятые эквивалентные формулировки понятия непрерывности для однозначного отображения.

Непрерывность в терминах сходимости: отображение / непрерывно в точке %, если для любой последовательности {%v} в X, сходящейся к пределу х, имеет место Ит / (%丫)— / (%).

(П) Непрерывность в смысле Коши: отображение / непрерывно в точке х, если для любой окрестности U точки / (%) найдется окрестность V точки х, такая, что / (У) и U.

Естественными аналогами определений (I) и (II) в случае многозначного отображения /: X -> 2丫 являются соответственно следующие два определения.

Определение 4.4. Многозначное отображение /: X f f 2y называется замкнутым в точке %, если из условий lim ①丫 — =х, lim gv = у и уУ ^f (叫 следует у £ / (%)• Это отображение называется замкнутым, если оно замкнуто в каждой точке х X.

Определение 4.5. Многозначное отображение /: X f f 2y называется полунепрерывным сверху (сокращенно п. н. св.) 6 точке %, если для любой окрестности U множества-образа / (%) найдется окрестность V точки ①，такая, что / (V) и U, где / (7)= = U / (z). Это отображение называется полунепрерывным сверху, zev

если оно п. н. св. в каждой точке % £ X.

Второе из этих определений в частном случае однозначного отображения, очевидно, переходит в обычное определение непрерывности. В то же время с первым определением дело обстоит несколько сложнее. Назовем графиком многозначного отображе-

ния /: X f 2y подмножество G『декартова произведения X X У, имеющее вид

Gf = {(%，У) I 沙 Е/3)}, что соответствует обычному понятию графика для однозначнога отображения. Легко видеть, что замкнутость отображения / эквивалентна замкнутости множества G/ в X X У. Для однозначного отображения из непрерывности отображения, очевидно, следует его замкнутость, тогда как обратное в случае произвольных X и У не всегда верно. В этом несоответствии можно убедиться на следующем простом примере: отображение /: «Rif Д1, заданное выражением

/(%) = {/(%) = {О, если ①=0, i/x в противном случае,

/(%) = {

/(%) = {

замкнуто в jR1, но разрывно в нуле. Этот пример иллюстрирует неэквивалентность определений 4.4 и 4.5 工).

Приступая к исследованию взаимосвязи между этими двумя определениями непрерывности, рассмотрим следующие два утверждения (а) и (Р) относительно многозначного отображения /: X -> 2У с непустыми множествами-образами / (%):

(а) Каждое множество-образ / (%) замкнуто в У, и отображение / является п. и. св.

(Р) Отображение / замкнуто.

Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 4.4.

Из (а) следует (В).

Если множество Y компактното из (Р) следует (а).

Доказательство, (i) Рассмотрим последовательность (①”，yv) точек графика G力 сходящуюся к некоторой точке (/, у) в X X У. Нужно показать, что (①，g) £ G/・ Допустим, что это неверно, и, следовательно, у 0 / (%)• Так как множество /(%) по предположению замкнуто в У, то существует замкнутая в У 8-окрестность W = {u | || и — I/ || ^ 8, и ^Y} точки у, такая, что W П / (%) = 0. Рассмотрим множество U = Wc — дополнение множества W в Y. Очевидно, что U — открытое в У множество, включающее множество / (%). Следовательно, поскольку отображение / предполагается п. н. св., мы можем указать

i)・B литературе полунепрерывностью сверху иногда называют то свойство многозначного отображения, которое здесь названо замкнутостью (определение 4.4). Например, именно такое определение полунепрерывности сверху——в терминах последовательностей—используется в известной книге С. Карлина «Математические методы в теории игр, программировании и экономике», «Мир», 1964; там же (в Приложении В.2) приводится и другое определение п. н. св.——в терминах окрестностей (определение 4.5), причем упускается из виду их неэквивалентность. Различие между определениями 4.4 и 4.5 ясно видно из леммы 4.4 настоящего раздела.——Прим, перев.

окрестность V точки %, такую, что / (Т) и U. Ло предположению последовательность {%▽} сходится к х, так что %v £ р При достаточно больших V. Следовательно, при достаточно больших v имеем 沙V £ / (%”) и U м, следовательно, yv 0 W. Поэтому при всех достаточно больших v имеем || Q — у || > & > 0, так что последовательность {yv} вопреки предположению не может •сходиться к точке у. Этим доказано, что (/, у) £ G『.

Множество-образ / (а) точки 〃 £ X является образом множества G/ П ({〃} X У) при проектировании лу из X X У на У. Заметим, что множество {〃} X У компактно в силу компактности множества У, а множество G/ по предположению замкнуто в X X У. Следовательно, множество Gf П ({〃} X У), будучи -замкнутым в {〃} X У, также компактно (см. теорему 1.2 (ii)). Поэтому компактно и множество / (а), являющееся его образом при непрерывном отображении этг.

Теперь покажем, что для любого открытого множества U, включающего / (а), существует открытое множество V, содержащее 〃 и такое, что / (Р) и U. Для этого рассмотрим множество

嗅{% I % £ X, / ⑺ и U}・

Ясно, что V Э а и / (7) cz U. Поэтому достаточно показать, что это множество V открыто в X. А для этого в свою очередь достаточно показать, что его дополнение ,

产={% |%£Х, / (%) П 0*0}

является замкнутым подмножеством множества X. В самом деле, множество 片 является образом множества М = Gf Q {X X Uc} при проектировании 冗瓦 из X X У на X, т. е. Ус = Лх (М). Рассмотрим последовательность {%v} точек из Vе, сходящуюся к некоторой точке 况 в X. Так как xv £ л^ (М), то для каждого v можно указать 沙匕 такое, что (xv, yv) £ М. Все точки yv должны принадлежать множеству Uc в силу определения множества М. Но множество Uc компактно как замкнутое подмножество компактного множества У. Поэтому последовательность 仍} должна содержать сходящуюся подпоследовательность и, следовательно, без ограничения общности сама может считаться сходящейся к некоторой точке у в Uc. Итак, {(%”，у”)} является последовательностью точек из G力 сходящейся к некоторой точке (①，у) мз X X Uc, Из замкнутости графика G/ в X X У отсюда следует, что (%, у) £ £ G/. Теперь из совокупности полученных результатов находим, что (%,沙)£ G『П {X X U'} = М. откуда х = пх ((%,刃))€ « ях (М)=俨.Этим доказана замкнутость множества Vе в X, что нам и требовалось.

Отметим еще, что имеет место следующий аналог теоремы 1.3 об инвариантности свойства компактности при однозначном отображении.

Лемма 4.5. Пусть каждое множество-образ / (%) при многозначном отображении /: X f 2y является непустым компактным множеством. Тогда если X компактно и / является п. н. св,, то образ / (X) = U / (%) также компактен.

Доказательство. Согласно теореме 1.6, достаточно будет показать, что любое открытое покрытие {0% I 厶 £ А} множества / (X) содержит конечное подпокрытие. Действительно, для каждой точки х £ X множество-образ / (①)покрывается некоторым подсемейством множеств 。入.Поэтому / (%) как компактное множество уже покрывается конечным числом множеств 0%. Следовательно, с каждой точкой % £ X можно связать открытое множество О (%), которое является объединением конечного числа множеств 。九 и включает / (%). Возьмем теперь Ух, открытое множество в X, содержащее точку х и такое, что / (%) и О (с). Это всегда можно сделать, поскольку отображение / является п. н. св. Получаемое таким образом семейство множеств {Vx \ х X} представляет собой открытое покрытие компактного множества X, так что уже конечное число таких множеств, скажем, совокупность множеств 7xi (» = 1, . . ., иг), образует покрытие множества X. Следовательно, соответствующие множества。(炉)(г = 1, • • •, zn) в еовокупности покрывают / (X). А поскольку каждое из множеств О (①”)само представляет собой объединение конечного числа множеств Ох? то из полученного результата следует, что множество / (X) покрывается конечным числом множеств О入.Отсюда следует компактность множества / (X), что и требовалось доказать.

Понятие неподвижной точки для многозначного отображения /: X f 2* представляет собой естественное обобщение соответствующего понятия для однозначного отображения. Точка i множества X называется неподвижной точкой отображения /: X f 2*, если % £ / (%).

Теперь мы можем сформулировать и доказать обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке, принадлежащее Какутани.

Теорема 4.4 (Какутани [1]). Пусть X — непустое компактное выпуклое множество в En, a f: X 2х ——многозначное отображение, удовлетворяющее условиям:

для каждой точки % £ X множество-образ / (%) является непустым выпуклым подмножеством множества X,

отображение / замкнуто.

Тогда отображение / имеет неподвижную точку.

Доказательство. Приводимый метод доказательства, взятый из работы Никайдо [1], по существу представляет собой

7-8

видоизменение метода, примененного фон Нейманом при доказательстве данного им обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке (фон Нейман [2]), которое является ранним вариантом теоремы Какутани.

Прежде всего вспомним лемму 1.2 из § 1.3 о существовании с-сетей. Так как X — компактное множество, то в силу этой леммы для любого е > 0 существует е-сеть N& = {〃£' | i = = 1, • . ., Sg}. Выберем и зафиксируем произвольную точку 匕蛭 в каждом из множеств / (叫.

Сделав это, определим теперь s& непрерывных на X функций 01 (%), имеющих вид

0® (%) = шах(£— II % —〃££ И, 0) (i = 1, ..., sj.

Эти функции неотрицательны. Более того, их сумма всегда положительна по следующей причине. Так как N& представляет собой 8-сеть, то для любого х имеем е > || 乃一仅^ || хотя бы для одного Z, так что для этого Z имеем 0? (%) > 0. Исходя из этого, мы можем построить Sg весовых функций

讲(%)=0- (%)/ 2 的(%)(力=1, . • ., s)

Пользуясь весовыми функциями 成(/), определим однозначное непрерывное отображение /е (%) с помощью формулы

se产(%) = 2玻(%)产.

Из условий X Э Ь£г (i = 1, ..., Sg),质(①)>0, £№(%) = 4 и из выпуклости множества X следует, что /е (%) £ X.

Таким образом, при любом е > 0 мы имеем однозначное непрерывное отображение 严：X f X. По теореме Брауэра о неподвижной точке (теорема 4.3) у этого отображения имеется неподвижная точка %£, же =产(①£)・

Воспользуемся теперь полученными результатами применительно к последовательности {ev} положительных чисел, удовлетворяющей условию lim 8V = 0. В силу компактности множества X соответствующая последовательность неподвижных точек {①*丫}, ①*v =/£”(①*v), содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу ①.Поэтому/ без ограничения общности мы можем считать, что выбранная последовательность {ev} положительных чисел удовлетворяет условиям

(a) lim ev = 0,

Vf+оо

(Р) lim %% = %,

V->+oo

(Y)%% = /%(%%).

Далее мы покажем, что х является искомой неподвижной точкой отображения /. С этой целью рассмотрим множество Об = =/ Q) + 〃б, где Ub = {》I II 〃 II V 3} при 3 > 0. Если теперь при любом 6>0 окажется, что %£°б, то отсюда будет следовать dis(i, /(財))=0, и поэтому 力£/(%) в силу замкнутости множества / (ж) в X. Приводимое ниже рассуждение покажет, что действительно при любом 6> 0 имеет место %£。6・

Отметим сначала, что & — открытое множество, включающее множество /(%)• Это сразу следует из представления Оз в виде 。6 = 0(%+^6), где объединение берется по всем x^f (х), и из того, что множество % открытое. Следующее, что нужно отметить — это выпуклость множества &, вытекающая из того факта, что Об является векторной суммой двух выпуклых множеств /(%) и Uq (см. теорему 2.10).

Теперь отметим, что по лемме 4.4 (ii) отображение / является m н. св. Поэтому из того, что О§ — открытое множество, включающее / (吟 следует, что существует е-окрестность 匕={% 11| % —① || V <е, %£Х} точки х, такая, что /(卩£)<=。6・ В силу условий (а), (Р) имеем EvVe/2 и %%£【々/2 при достаточно больших v. При этом выполнение неравенства 吟(比％) > 0 означает, что II 〃％г —%% II V% Ve/2 и

II У — 財 IIСII 〃％* — eev|| + ll^v-i||< е/2 + е/2 = 8.

В результате при всех достаточно больших v имеем а^г g 7е для каждого из тех 厶 для которых ^v (①“丫)> 0. Отсюда следует, что Ь%‘ £ /(Q%") и / (卩色)и。6・ Тогда в силу соотношения

出疆=2峻"(％?6中

точка 力'у при достаточно больших v оказывается выпуклой линейной комбинацией только тех точек 匕％\ которые лежат в Об； поэтому ввиду выпуклости множества 4 имеем %%£R. Устремляя V к бесконечности и имея в виду условие (§), получаем в пределе xgO26. Здесь приходится поставить индекс 26, а не 6 из-за того, что предельная точка х последовательности {%%} могла бы оказаться на границе множества &• Но, разумеется, условие х £Qe при любом 6> 0 эквивалентно требуемому условию x^Oq при любом 6 > 0, так что в соответствии с приведенным рассмотрением отсюда получаем, что %£/(%)• Теорема полностью доказана.

Интересно также рассмотреть вариант обобщения теоремы о неподвижной точке, разработанный фон Нейманом. Этот вариант можно представить как следствие доказанной теоремы 4.4.

Следствие (фон Нейман [2]). Пусть X и Y — непустые компактные выпуклые множества в Ит и Rn соответственно. Пусть М и N — замкнутые подмножества декартова произведения X X Y, такие, что Мх = {у | (ж, g) £ М} и Ny = = {х |(%, у) £ N} при каждом х ^ X и каждом у £Y соответственно являются непустыми выпуклыми множествами. Тогда "П N* 0「

Доказательство. Рассмотрим многозначное отображение /: X X У ->2**匕 определяемое как / (%, g) =N« X Мх. Если это отображение удовлетворяет условиям теоремы Какутани о неподвижной точке, то оно должно иметь неподвижную точку (%, у) £ €%力 X М-. Тогда из n£N/ будет следовать (%, y)£N, и аналогично, из у ^М^ будет следовать (瑞 у) £М. Отсюда (瑞 у)^М [\N, так что М []N ^0.

Покажем, что все условия теоремы Какутани действительно выполнены. В самом деле, X X Y является непустым компактным выпуклым множеством в Rm X Rn как декартово произведение непустых компактных выпуклых множеств X и У в R^ и Rn соответственно. Аналогично, из предположений относительно Мх и Ny следует, что множество / (%, g) = Ny X Мх выпукло при всех (%, у) ^Х X Y. Остается показать замкнутость графика Gy. Действительно, этот график представляет собой подмножество множества X X Y X X X Y, заданное как G/ = ={(/, у, и, V)I (и, и) £/(%, у)}・ Отношение включения (и,沙)£ /(%，У) состоит из двух отношений и £ N^ и 沙 £ Мх, которые сводятся к (и, у) ^ N и (%, v) Q М соответственно. Поэтому множество Gy можно представить в виде G/ = ={(翁沙，и, V)I (и, у) £ N,(芻 V)£ М}• Рассмотрим отображение ср: X X У ХХ хУ+Х X У, заданное соотношением 屮(瑞 у, и, V)= (м, у), и отображение ^: X X Y xXxYf -> X X У, заданное соотношением 屮(％, g, 〃，v)=(芻沙)；непрерывность этих отображений очевидна. Тогда в терминах ф игр множество Gf можно представить как Gy =(р-1 (N) П 屮т (М). Из замкнутости множеств N и М вытекает замкнутость множеств(р-1 (N) и 屮т (М) соответственно, так что множество G/ также замкнуто как пересечение двух замкнутых множеств. Доказательство закончено.

Отметим, что обратно, теорема Какутани о неподвижной точке сама выводится из приведенного выше следствия. В самом деле, теорему Какутани можно рассматривать как частный случай

этого следствия при X = Y, М = G/, N = {(%, х) | 力 £ Х}・ В этом случае точки из М (} N являются не чем иным, как неподвижными точками отображения /•

Операции над отображениями

Часто бывает полезно, а иногда просто необходимо (особенно в приложениях теорем о неподвижной точке) конструировать с помощью определенных операций новые отображения из заданных. Здесь мы обсудим следующие операции над отображениями: (1) образование декартова произведения, (2) композицию (образование произведения), (3) продолжение и (4) замену множеств- образов их выпуклыми оболочками. Относительно всех рассматриваемых отображений предполагается, что они имеют непустые множества-образы.

Образование декартова произведения. Пусть заданы Е многозначных отображений 产：Хт% & = 1, ..., ")• Тогда отображе- k

ние /: Х-> 口匕 вида

/(%)= Q)i=l

называется декартовым произведением отображений

Теорема 4.5.

Если отображения 尸 замкнуты, то их декартово произведение / также замкнуто..

Пусть множества-образы отображений /г компактны. Тогда если /г ——п. н. св. отображения, то их декартово произведение / также является п. н. св.

Доказательство, (i) Пусть (旷”，y2v, . . ., yhv) £ £八叫，lim (产，产，•..，严)=(旷，北...，#j, Hm/v =%. Тогда для каждого составляющего отображения f имеем у'” £ £/“(％v), Ит y*v — у* lim xv = x. Поэтому в силу замкнутости каждого такого отображения имеем уг ^ /г (ж), откуда следует (2/1， У?, • • •, yh) € / (^)- Это и означает замкнутость отображения /.

Прежде всего покажем, что если Л f — компактное подмножество множества Kf (i = 1, ...,"), а О — открытое множество в НУ», включающее ПЛ f, то существуют открытые в У» множества [7加 включающие At (i = 1, . . ., А) и такие, что ПЛj и и Пи» и О. Будем обозначать через у =(犷，у2, • . ., /) произвольную точку множества ПУ-, и пусть Л = ПА f. В силу условия Z и О никакая точка множеств Л не может принадлежать

0е——дополнению множества О в ПУ». Рассмотрим отдельно два случая.

Случай (а): О = ПУ” В этом случае достаточно положить a -匕二

Случай (Р): множество О является собственным подмножеством, открытым в ПУ». В этом случае 0е у= 0. Поскольку множество 0е замкнуто в ПУ^, то dis (у, 0е) > 0 для всех у ^ А. Множество Л компактно в силу компактности всех /“ Согласно лемме 1.1, dis (у, 0е) является непрерывной функцией от у; следовательно, это расстояние достигает на Л положительного минимального значения 3 > 0. Положим U» = {уг | уг £ У/, dis (g\ /») V V b/储. Тогда Uj—открытое подмножество в Yt, включающее /“ Множество Ui открыто в силу непрерывности расстояния dis (沙* А^ как функции от у\ а включение А» и 17» следует из условия dis (у* /0 = 0 при уг ^ А^ Следовательно, в соответствии с определением нормы в ПУ^ (см. § 2.4) имеем dis (у, /)& & S dis (认 4) < 6 при у =(犷，此• • •，力，y‘£ Ut, откуда получаем у R 0е, т. е. у £ О. Следовательно, ПЛ f и flU» и О.

Возьмем теперь в качестве О какое-нибудь открытое множество в ПУ% включающее множество / (%) = П/? (%). Применив полученный выше результат к случаю /» = 产(％), получим некоторое открытое множество Ut в У^, включающее『(%). Тогда в силу полунепрерывности сверху отображения /' найдется открытое множество 匕 в X, содержащее х и такое, что /г (匕)и и О» (Z = 1,・..,%). Но тогда V =П ^i представляет собой открытое множество в X, содержащее х и такое, что f (7) и Ut для каждого i, откуда имеем /(R) и П/г (7) и ПС?» и О, что и требовалось доказать.

Композиция двух отображений. Пусть /: X f 2丫 м g: У -> f 2Z ——два многозначных отображения. Тогда композицией этих отображений называется отображение g/: X f 2z вида

g/(%) = g(/Q))= U g(”.

Уб/(»)

Теорема 4.6.

Предположим, что существует компактное подмножество М множества У, такое, что Мп/ (X) = U 7 (%)• Тогда если 厘

отображения fug замкнуты, то их композиция g/ также является замкнутым отображением,

Если отображения / 〃 g являются 八.н. се., то их композиция g/ также является п. н. се. отображением.

Доказательство, (i) Предположим, что zv £ g/ (叫 (v = 1, 2, . . .), lim zv — z, lim хУ = %. Тогда в силу определения композиции должна найтись последовательность {yv} в У,

такая, что z" £ g (严，У” £ / (xv) (v = 1, 2, • . .). А так как при этом {у"} является последовательностью точек в компактном множестве М, то без ограничения общности можно считать, что {yv} сходится к некоторому пределу у в М. Тогда из условий ^v £ / (%v) (w = 1, 2, . . .), lim yv = у, lim 况v = % и из замкнутости отображения / следует у £/(%)• Аналогично, из того, что z" £ g(У”)(и = 1, 2, . . .), lim %v = z, lim 沙丫 =沙 ％ 迈？ замкнутости g следует z £ g (у). Эти результаты совместно дают требуемое соотношение z gf (力)•

Покажем, что для любого открытого подмножества U множества Z соответствующее множество V = {х \ gf (ж) cz U} открыло в X. Положим W = {у \ g (у) и U}. Тогда, как легко видеть, V = {/ I / (%) и W}. Так как g — п. н. св. отображение, то открытость множества U влечет за собой открытость множества W, которая в свою очередь, согласно полунепрерывности сверху отображения /, обеспечивает открытость множества V. Этого достаточно для доказательства требуемого утверждения. Теорема полностью доказана.

Отметим, что, в частности, одно из отображений /, g или оба могут быть однозначными и непрерывными (в обычном смысле).

Продолжение отображений. Пусть даны два отображения

/: X f 2丫 и /: X f 2y. Отображение / называется продолжением отображения /, если

X n X,.

/(%)=/(%) для всех х ^ X.

Предположим, что задано отображение /: X -> 2У, обладающее свойством непрерывности в том или ином смысле, и задано некоторое надмножество X множества X. Можно ли продолжить отображение / на X без потери им свойства непрерывности? В общем случае эта проблема далеко не проста и требует глубокого топологического исследования. Поэтому, обратившись к вопросу о продолжаемости многозначного отображения, мы ограничимся теоремой, относящейся лишь к очень простому случаю. Впрочем, для наших целей этой теоремы будет достаточно.

Теорема 4.7. Замкнутое отображение /: X f 2y всегда можно продолжить до замкнутого отображения f: X 2У, если

(а) множество X плотно，) e X,

(Р) множество Y компактно.

Доказательство. Пусть G/ — график отображения /. Тогда по предположению множество G/ замкнуто в X X У, хотя

Говорят, что множество X и X плотно a X, если X (замыкание X в X) совпадает с X.— Прим, перев.

и не обязано быть замкнутым в X X У. Пусть Gf — замыкание множества G『в X X У. Для каждого % £ X положим

f 3) = 0/ 丨沙 £ У, (%, у) £&/}•

Так как G『一замкнутое подмножество множества X X У, имеем G尸⑨ fl (X X У), откуда следует /(%)=/ (%) для всех % £ X. Пусть теперь х — точка множества X, не принадлежащая X. Так как множество X плотно в X, то найдется последовательность {xv} в X, сходящаяся к н. Выбирая некоторую точку yv из множества / (xv) для каждой точки хУ, мы получим последовательность {沙V} точек в У, которую без ограничения общности можно считать сходящейся к некоторому пределу у в силу компактности множества У. Тогда последовательность {(xv, yv)} соответствующих точек из Gy сходится к (%, у), так что (%, у) £ G/. Отсюда следует, что / (ж) #=0 для всех % £ X, в том числе и не принадлежащих X. Таким образом, мы получили продолжение / отображения / на X. Его замкнутость сразу следует из того, что график G# отображения / представляет собой не что иное, как множество G/, которое по определению замкнуто в X X У. Теорема доказана.

В соответствии с леммой 4.4 из теоремы 4.7 следует также продолжаемость п. н. св. отображения на X с сохранением свойства полунепрерывности сверху, если множества-образы этого отображения замкнуты в У, а множества X, X м У удовлетворяют условиям теоремы.

Замена множеств-образов их выпуклыми оболочками. Пусть задано отображение /: X f 2У. Тогда новое отображение /с: Xf 2丫, называемое его выпуклой оболочкой, определяется как

/с (/) = выпуклая оболочка множества / (%).

В этом определении множество Y предполагается выпуклым, так что образование выпуклой оболочки множества / (%) имеет смысл.

Теорема 4.8. Выпуклая оболочка /с 几・ 乂・ се. отображения /: X f 2y также является и. н. се. отображением, если

(а) множество / (%) компактно при любых % £ X, (Р) множество У выпукло.

Доказательство. Из компактности множества / (а) при каждом а, оговоренной условием (а), вытекает, согласно следствию из теоремы 2.9, компактность его выпуклой оболочки, т. е. множества /с (а). Пусть О — некоторое открытое множество в У, включающее /с (а). Покажем, что тогда найдется выпуклое

открытое множество U в У, такое, что 0 n U п % (〃)• При О = У это очевидно ввиду выпуклости множества У. Пусть теперь О у= У. Тогда 0е, дополнение множества О в У, является непустым замкнутым множеством в У, так что dis (у, 0е) > 0 при всех у ^fc (^)- Следовательно, непрерывная функция dis (у, 0е) на компактном множестве /с ⑷ принимает положительное минимальное значение 6>0. Положим U = {у \ у ^Y, dis (沙，/с (〃)) V 6/2}. Так как расстояние dis (沙，/с (^)) есть непрерывная функция от у, то множество U открыто в У. Очевидно, U включает /с (〃)• Кроме того, U {] 0е = 0, и, следовательно, U и 0・ Наконец, множество U выпукло, так как его можно представить в виде пересечения векторной суммы двух выпуклых множеств с третьим, что видно из представления U = =(/с (а) + {〃| 11〃 II vS/2}) П У. Итак, U есть выпуклое открытое множество в К такое, что。二)U п % (〃)• Имея в виду, что /с (〃)п / (а), получаем Un / (〃)• Далее, так как / есть п. н. св. отображение, то существует открытое в X множество V, содержащее точку а и такое, что / ® и U для всех % и к Но ввиду выпуклости множества U отсюда следует % (%)и Uu。для всех 力 £ 匕 что означает полунепрерывность сверху отображения /с в произвольной точке а множества X. Теорема доказана.

И снова в соответствии с леммой 4.4 из теоремы 4.8 следует также замкнутость отображения /с для замкнутого отображения / при условии, что Y — компактное выпуклое множество.

В заключение будет полезно объединить теоремы 4.7 и 4.8.

Следствие 1. Пусть /: X f 2丫 一 замкнутое отображение^ такое, что

(а) множество Y компактно и выпукло, (Р) каждое множество-образ / (①)выпукло.

Тогда, если X ——плотное подмножество множества X, то отображение / можно продолжить до замкнутого отображения ^: X f 2У, причем каждое множество-образ получаемого отображения ф будет выпуклым.

Доказательство. По теореме 4.7 отображение / можно продолжить до замкнутого отображения /,: X f 2У. При этом с учетом леммы 4.4 (ii) отображение / оказывается п. н. св. отображением, все множества-образы которого компактны. Тогда по теореме 4.8 отображение ф = /с，выпуклая оболочка отображения /, является п, н. св. отображением X в У с компактными множествами-образами. Поэтому, согласно лемме 4.4 (i), отображение 屮：亲一> 2丫 замкнуто. Это 屮 и является искомым продолжением. В самом деле, при всех х ^Х имеем /(%)=/ (%)• А так как каждое- множество / (z) по предположению выпукло, то оно совпадает

со своей выпуклой оболочкой, и, следовательно,屮(％) = /с (%)= =/ (力)при любых х € X. Доказательство завершено.

Подобным же образом из леммы 4.4 и теорем 4.7 и 4.8 выводится еще одно следствие, доказательство которого мы опустим.

Следствие 2. Пусть /: X f 2y есть п. н. се. отображение, такое, что

(а) множество Y компактно е выпукло,

(Р) каждое мноЖество-образ / (%) является замкнутым выпуклым подмножеством множества У.

Тогда, если X ——плотное подмножество множества X, то отображение / можно продолжить до п. н. св. отображения 屮：X f г 2У, причем каждое множество-образ получаемого отображения Ф будет замкнутым выпуклым подмножеством множества У.

ГОМОТОПИЯ И ТЕОРЕМЫ О ПРОДОЛЖЕНИИ

Гомотопия и продолжение отображений

Здесь мы снова будем рассматривать однозначные непрерывные отображения, причем основное внимание уделим свойствам их гомотопности и продолжаемости. Нашей конечной целью будет получить один частный вариант теоремы существования Кронекера.

Определение 5.1. Одно непрерывное отображение /: X f У называется гомотопным другому непрерывному отображению g: X ~> У, если существует непрерывное отображение Н: X X [0, 1] У, такое, что Н (ж, f), х ^ X, 0 & 力& 1, удовлетворяет условиям

(а) Н (%, 0) = / (%), % £ X,

(₽) Я (х, 1) = g (力％ £ X.

Функция Н называется гомотопическим мостом между / ng.

Если говорить неформально, то гомотопность двух отображений /ng означает, что отображение / можно получить непрерывной деформацией* отображения g. Действительно, {Н (①，力)| 力 £ W [0, 11} представляет собой семейство непрерывных отображений X в Y с параметром 九 Когда t изменяется на небольшую величину, соответствующее отображение может несколько деформироваться, но не слишком сильно. Используя более геометризиро- ванный язык, скажем, что в этом случае /ng можно соединить кривой в пространстве всех непрерывных отображений X в У.

Понятие гомотопии можно эквивалентным образом выразить в терминах продолжаемости некоторого отображения. Пусть -заданы два отображения /, g: X -^ Y] построим новое отображе-

ние 无 со значениями в У, определенное посредством соотношений 九(力，0) = / (%), h (%, 1) = g (①)на подмножестве множества X X [0,1], состоящем из точек (%, 0) и (/, 1) при % £ X. Тогда свойство гомотопности между /ng сводится к продолжаемости отображения h на все множество X X [0, 1], причем соответствующее продолжение как раз и представляет собой гомотопический мост Н между отображениями / ng.

Рассмотрим совокупность всех непрерывных отображений X в У; обозначим ее через М. Ясно, что каждое отображение / из совокупности М гомотопно самому себе. Далее, если f, g М и / гомотопно g, то и g гомотопно /. Наконец, пусть f,g,h^ М. Тогда если / гомотопно g м g гомотопно h, то / гомотопно 无.Из этих трех утверждений первые два очевидны, а справедливость последнего мы сейчас покажем. Пусть Р (翁 力 м Q (④,t)——гомотопические мосты между / и g и между g и А соответственно. Тогда / гомотопно 无 ввиду наличия гомотопического моста R (%,力)， имеющего вид

PQ, 2力)， если 0<^< у, &(%,%)=<(

、Q(%, 2力一1), если 讶<7С1.

Таким образом, гомотопия является отношением эквивалентности и, следовательно, порождает разбиение на классы эквивалентности в М.

Отношение гомотопии зависит от структуры множеств X м У. В тривиальном случае все отображения из М могут быть взаимно гомотопны. Типичным примером является случай, когда множество У выпукло. Действительно, если Y выпукло, то любые два отображения /, g £ М гомотопны ввиду существования гомотопического моста

Я (х,力)=(1 一力)/ (%) + tg (х),。&力 & 1.

С точки зрения теории гомотопий оказывается важным и интересным случай, когда множества X м У являются сферами. Некоторые из наиболее элементарных результатов в этой области (в рамках общего направления книги) приводятся ниже в виде следующих теорем.

Теорема 5.1. В пространстве Rn рассмотрим п-шар п乳

Сп={х\ 2 *《1} и его границу, (п-1)-сферу 8几={%| 2，= 1}・ г=1г=1

Тогда для того чтобы непрерывное отображение (р: Sn-^Sn было гомотопно некоторому постоянному отображению^ переводящему

все точки сферы Sn в одну общую точку этой сферы, необходимо и достаточно, чтобы 屮 можно было продолжить до непрерывного отображения Ф: CnfSn.

Доказательство, (i) Достаточностъ. Пусть Ф: Сп f f Sn есть продолжение отображения (р・ Тогда 屮 гомотопна постоянному отображению, переводящему Sn в точку Ф (0), ввиду существования гомотопического моста

Н (芻 ^) = Ф ((1 — t) /), х £ &, 0 & 力 & 1.

Необходимость. Пусть Н (①，t) — гомотопический мост между отображением ф и постоянным отображением, переводящим Sn в одну точку а сферы Sn. Определим отображение Ф: Сп -> 5九 в виде

I N(叫 1%11，4-|1%11)，если ①#=0,

I а,если % = 0.

Нетрудно убедиться в непрерывности этого отображения; кроме того, В (%)=屮(％) на Sn, так что Ф является продолжением отображения ф на Сп.

Теорема 5.2. Теорема Брауэра о неподвижной точке (теорема 4.3) эквивалентна следующему утверждению: тождественное отображение ст化：S^f S九 не гомотопно постоянному отображению.

Доказательство. С учетом теоремы 5.1 достаточно установить эквивалентность, с одной стороны, утверждения о непродолжаемости тождественного отображения 5九-> 5九 до непрерывного отображения CnfSn и, с другой стороны, утверждения теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Теорема Брауэра f непродолжаемость. Если бы данное тождественное отображение допускало продолжение F\ Сп Sn, то непрерывное отображение G: Сп ~> Сп вида G (%) = — F (%), х &Cr, не могло бы иметь неподвижной точки ——вопреки теореме Брауэра. Покажем это. Так как в действительности отображение G переводит Сп целиком в S九,то неподвижная точка, если она существует, должна лежать в 5П. Однако для каждой точки х на сфере Sn имеем G(%)=—①，т. е. каждая точка сферы S^ переводится отображением G в точку-антипод и, следовательно, не может являться неподвижной точкой. Это и доказывает отсутствие неподвижных точек у отображения G, что противоречит теореме Брауэра..

Непродолжаемость f теорема Брауэра. Достаточно получить утверждение теоремы Брауэра для случая, когда рассматриваемое выпуклое тело в Rn есть Сп. Пусть /: Сп -> Сп — непрерывное отображение, и допустим, что / не имеет неподвижных точек. Тогда можно построить однозначное отображение F: Сп f 5Л

где F (%) представляет собой точку, в которой луч, выходящий из точки / (%) в направлении вектора. %—/(%), пересекает сферическую границу Sn. Отображение F непрерывно и является продолжением тождественного отображения S^ в S^ на весь шар Сп. А это противоречит его непродолжаемости. Теорема доказана.

По топологической терминологии множество X называется •стягиваемым^ если тождественное отображение X в X гомотопно постоянному отображению. Говоря нестрого, стягиваемое множество —это множество, которое можно стянуть в точку непрерывной последовательностью деформаций. Сферическую резиновую мембрану, плотно облегающую твердый шар, можно деформировать различным образом, но ее нельзя превратить в маленький плоский кусочек, не порвав ее. В теореме 5.2 приводится строгая формулировка этого утверждения о нестягиваемости сферы. Итак, сферическая поверхность шара, не имеющая отверстий, нестяги- ваема; с другой стороны, множества более простой структуры, такие, как выпуклое тело, стягиваемы. Действительно, если а —— внутренняя точка выпуклого тела X, то X можно сжать в точку а ■с помощью гомотопического моста Н (ж,力)=(1 —力)％ + ta, * £ X, 0 & 方 & 1.

Приведем теперь теорему, частично обобщающую теорему 5.1 и полезную в дальнейшем.

Теорема 5.3. Пусть Сп и Sn суть п-иьар и его граница, (п — 1)-сфера. Предположим^ что два непрерывных отображения /, g: Sn f X, где X — некоторое множество, являются гомотопными, и что / можно продолжить на Сп. Тогда g также можно продолжить на Сп, причем таким образом, что оба продолжения останутся гомотопными отображениями е X.

Доказательство. Идея доказательства иллюстрируется на рис. 6. Искомый гомотопический мост Н (%,力),х £ Сп, 0 & 《力 М 1, представляет собой непрерывное отображение со значениями в X, определенное во всем сплошном цилиндре Сп X [0, 1] s Rn X jR. Первоначально заданные непрерывные отображения можно рассматривать как отображения, определенные на подмножествах этого цилиндра. А именно, отображение / определено на нижней ограничивающей (тг — 1)-сфере Sn X {0}, в то время как g определено на верхней ограничивающей (〃 ——1)—с巾ере 5九 X {1}. Заданное продолжение F отображения / на Сп определено на нижнем n-шаре Сп X {0}. Далее, гомотопический мост Л (%, t) между /ng определен на боковой поверхности цилиндра Sn X(0, 4]. Разумеется, отображения 尸 и % совпадают на пересечении их областей определения ——на нижней (п ——1)-сфере Sn X X {0} = (Сп X {0}) П (Sn X [0, 1]). Следовательно； можно естественным образом получить общее продолжение К отображений F и Л на объединение нижнего n-шара и боковой поверхности, приняв

F (%) в качестве его значений на нижнем n-шаре nh(x, t) — на боковой поверхности. Для того чтобы теперь построить гомотопиче- ский мост Н между F и продолжением G отображения g на Спг остается лишь продолжить отображение К, определенное на (以 X {0}) U (^n X [0, 1]), на ^есь цилиндр Сп X [0, 1]. Это

можно осуществить проектированием каждой точки (%,力)цилиндра из точки (0, 2), где 0 ——нулевая точка в Е沱,в соответствующую точку множества (Cn X {0}) U (S九 X [0, 1]), и последующим применением отображения К.

Формальное определение проектирования Ф цилиндра Сп х [0, 1] из точки (0, 2) на множество (& X {0}) U (Sn X [0, 1]) таково: 一

Ф (①，方)=Ф (①，方)=(|ЯГ'2-та)' ecWI 叫 >1/2, (•^у,о), если II % II V1— 〃 2.

Ф (①，方)=

Ф (①，方)=

Получаемое отображение Н = КФ является гомотопическим мостом между 歹(①)и G (力)=Н (ж, 1), причем G есть продолжение на Сп отображения g. Наряду с этим отображение Н представляет собой соответствующее продолжение на весь цилиндр Сп х [0,1{ гомотопического моста h. Это завершает доказательство.

Отметим, что «необходимость» в теореме 5.1 является частным случаем теоремы 5.3, в котором g =①,а / есть постоянное отображение.

Наконец, обратим внимание, что, хотя все утверждения делались для шара Сп и его границы-сферы S九,они остаются в силе для любого выпуклого тела С в 7?п и его границы Сь. Действительно, всегда существует гомеоморфное отображение 屮 шара Сп на С, которое, в частности, гомеоморфно отображает Sn на Сь. Тогда продолжаемость отображения /: С" —> X на С эквивалентна продолжаемости отображения /ф: SnfX на Сп, а гомотопия между отображениями /, g: Сь X эквивалентна гомотопии между отображениями /ф, g”： Sn f X.

§ 5・2・ Частный случай теоремы Кронекера

Важную роль в первоначальном развитии топологии сыграли исследования выдающегося немецкого математика XIX столетия Кронекера. Современная формулировка его результата известна как теорема существования Кронекера. Для того чтобы привести

эту теорему в общем виде, нам понадобилось бы более глубокое знакомство с топологией; поэтому здесь мы ограничимся лишь весьма частным вариантом теоремы, который будет использоваться в последующем.

Пусть, как и прежде, Сп и Sn суть n-шар и ограничивающая его (п — 1)-сфера. Пусть /: Сп -> Rn есть некоторое непрерывное отображение. С отображением / и произвольной точкой с из Rn, такой, что с 住/ (S〃)，свяжем непрерывное отображение (р/с: Sn f f S九,которое определим следующим образом:(р；с (с) есть точка,

в которой луч, исходящий из нуля в направлении вектора / (%)—— —% пересекает сферу Sn (рис. 7).

Используя гомотопические свойства отображения ф/с, мы будем исследовать возможность того, что уравнение

/ (%) = с

имеет решение х в Сп. Очевидно, что существование решения зтого уравнения в Сп эквивалентно выполнению соотношения се/(以).

Теорема 5.4 (Кронекер [1]). Если отображениеq)/c： S^fS^ 〃е гомотопно постоянному отображению^ то с " (%)・

Доказательство. Если с 住/ (Сп), то мы можем построить непрерывное отображение Ф/с: Сп -> Sn по тому же правилу, что и отображение (р%・ Ясно, что Ф/с представляет •собой непрерывное продолжение отображения(рус на Сп. Но по теореме 5.1 это невозможно, так как(р/с не гомотопно постоянному •отображению. Теорема доказана.

Теорема 5.5 (Кронекер [1]). Пусть /, g: Сп f Rn — два непрерывных отображения, такие, что они, будучи рассмотренными на граничной сфере Sn, оказываются гомотопными отображениями в Дп\ {с}. Тогда, если ф^с не гомотопно постоянному отображению, то с G / (^п)-

Доказательство. Пусть Н (%, t)——гомотопический мост между рассматриваемыми на Sn отображениями /ng в Rn \ {с}. Тогда соответствующие отображения(р/с и Ф^с гомотопны в силу существования гомотопического моста (рнс, определяемого следующим образом. Введем обозначение Ht (%)= =Н (х,力)；тогда Ht: Sn ^ Rn \ {с} при каждом фиксираван- ном t является непрерывным отображением, так что можно по обычному правилу построить отображение (р^с- Теперь искомое отображение фнс можно определить как(рЯс (①，t) = ^щс (%)• Непрерывность отображения фнс- Sn X [0, 1] -^ Rn \ {с} легко проверяется.

Таким образом,屮九 не может быть гомотопно постоянному отображению, так как в противном случае отображение q)gc, гомотопное отображению <р%, также оказалось бы гомотопным постоянному отображению, что противоречит условию теоремы. Поэтому к отображению / применима теорема 5.4, что и дает с £ / (&)• Теорема доказана.

Дифференцируемые отображения

Мы будем исследовать гомотопические свойства отображения <Р/С для некоторых отображений достаточно элементарного типа,

что позволит нам не выходить за ограниченные рамки топологических рассмотрений в этой книге.

Пусть X — непустое открытое множество в 7?п, и пусть / (%)——скалярная функция, заданная на X.

Определение 5.2. Функция / (%) называется дифференцируемой 6 точке 〃£Х, если- существует линейная функция п

(с постоянными коэффициентами) 2 аJ (^j — 〃j), такая, что

И

(а)/(%) = /(〃)+ 2出・(0 —®) + е(£, а),

(Р) lime (%, а)/II х — а || = 0 при %£Х, %峻@, lim || х — а || = 0. к-> ант а

Определение 5.2 устанавливает, что функция / (%) в окрестности точки 〃 ведет себя как / (а) + 2а『(д — а；). Из дифференцируемости функции / (%) немедленно вытекают и некоторые другие свойства, означающие ее «хорошее поведение». Во-первых, из условия lim е (ж, а)/|| х ——а || — 0 следует lim е (%,仅)=0, ат ах->а

откуда в свою очередь следует непрерывность функции / (%) в точке а. Во-вторых, если рассмотреть специальный случай стремления ж к а, когда %丸 f 〃丸 и ^ = 〃) (/ у= А), то из свойств (а) и (Р) можно вывести существование частных производных у функции /, т. е. в данном случае

lim (/(а】，...，〃&_], з, 3+1,*

/ (^i? • • • > 〃友―i, 3, ^A+i> • • • > @п))/(况兀 aQ = a】〔・

Линейная форма £а)(g — а；) называется полным дифференциалом, который символически обозначается как £% dxj・ Если функция / (%) дифференцируема в каждой точке множества X, то она называется дифференцируемой е X. В этом случае коэффициенты а^ полного дифференциала могут изменяться от точки к точке, т. е. являться функциями от а: а； = /； (а)..

Иногда условия (а), (0) бывает удобно переписать с помощью о-символа Ландау о (•) в виде

п

/ (%) = / (仅)+ W OCj (g —Qj) + о (II %— Q ||)・

Следует отметить, что в приведенных выше рассуждениях во многих случаях в качестве X можно брать замыкание открытого множества в Rn. При этом дифференцируемость функции определяется именно как существование полного дифференциала. Тогда из дифференцируемости следует непрерывность всюду в X и существование частных производных в каждой внутренней точке из X. Более того, если в некоторой граничной точке множества X имеет смысл рассматривать односторонние (слева или справа) частные производные, то такие частные производные действительно существуют, причем соответствующие коэффициенты в выражении для полного дифференциала как раз совпадают со зна- .чениями односторонних частных производных в этой точке.

Замкнутая прямоугольная область s Rn

{力 I “ & 勺& qt « = 1, . . ., n)},

где 卩订 方(pz V 9t)——заданные константы, представляет собой простой пример множества怦X, в котором всюду возможно частное дифференцирование в указанном выше смысле.

Имея в виду эти соображения, нетрудно убедиться, что большая часть наших рассуждений о дифференцируемости применима к функции, область определения которой представляет собой некоторое промежуточное множество X между открытым множеством G в Rn м его замыканием G, G иХ uG. С учетом этого мы будем называть областью любое множество X, промежуточное между G и G, где G — некоторое связное открытое множество з Rn. Множество X автоматически оказывается связным; доказательство этого факта не представляет большого труда и здесь не приводится. Названия открытая область и замкнутая область М* зарезервируем для двух крайних случаев X = G и X = G соответственно.

Если функция / (/) определена и имеет непрерывные частные производные df/dxj (j = 1,・• •，八)в X, то говорят, что она непрерывно дифференцируема е X. Часто в качестве стандартного определения дифференцируемости функции многих переменных (см. § 3.1 и 3.5) используют именно непрерывную дифференцируемость. Последняя влечет за собой дифференцируемость в сформулированном- выше смысле в каждой внутренней точке множества X. В этом легко убедиться с помощью известной из анализа теоремы о среднем.

Определение 5.3. Отображение /: X f Rn, где X —— некоторая область в Е几，называется дифференцируемым, если / (①)=(/f (①))и все компоненты 厶(％) являются дифференцируемыми функциями в X.

Для дифференцируемого отображения f: X -^ Rn мы имеем п соответствующих полных дифференциалов ^fij Q) dg. Матрица

//u(2)... f^n R)、

>、Л4 (①)fnn (/)/

элементами которой являются коэффициенты этих 八 дифференциалов, называется якобиевой матрицей отображения; эта матрица играет очень важную роль. Определитель якобиевой, матрицы называется якобианом или функциональным определителем.

Дифференцируемость отображения в терминах якобиевой матрицы выражается как представимость отображения в виде

/(%)=/(〃)+ J (а) (% — а) +。(II % — 〃 И).

С учетом этого предварительного обсуждения мы сейчас приступим к изучению локальных свойств дифференцируемого отображения, в. частности, его поведения в окрестности внутренней точки. 、

Ниже будет использоваться понятие евклидовой нормы || • || матриц Л, 5, . . . размера 八 X п. Норма матрицы А = (а^ определяется как

В дальнейшем мы будем пользоваться некоторыми известными фундаментальными свойствами этой нормы без особых ссылок; соответствующие пояснения можно найти в учебниках по линейной алгебре.

Лемма 5.1. Пусть матрица А размера п 乂 п невырожденау т. е. det Л у= 0. Тогда существует положительное число 刀 > 0, такое, что || Ах ||〉刀 || % || для всех х £ Rn.

Доказательство. Мы имеем ||А-1у || & || А -1 || || у |[ для всех у £ Rn. Учитывая, что || Л"1 || > 0, положим 刀= —1/|| /т ||. Подставляя Ах вместо у в неравенство 刀 || А-1у || & & Н у И, окончательно получаем || Ах || » 刀 || х ||, что и требовалось доказать.

Теорема 5.6 (локальная взаимная однозначность). Пусть /: X -> Еп — некоторое отображение, где X — область в Rn. Тогда имеют место следующие утверждения:

Если / дифференцируемо е некоторой точке а области X и det J (а) у= 0, то существует окрестность U (а), такая, что из /(%)=/ (а),① £ U (а), следует х = а.

Если / непрерывно дифференцируемо е окрестности некоторой внутренней точки а области X, причем det J (а)у= О, то существует окрестность U (а), в которой / взаимно однозначно, т. е. из /(%)=/ (д), х, у U (а), следует х = у.

Доказательство, (i) Применяя лемму 5.1 к невырожденной матрице J(〃)，получаем, что существует п > °, такое, что И J(a) % II > П II % И для всех %• Возьмем е > 0, такое, что т] > 8. В силу дифференцируемости / в точке а найдется 6 > О, так-ое, что из || % — а || & S при % £ X следует

「II / (况)一(/ (〃)+ J ⑷(％ —仅))II & е II % — @ ||.

Пусть x ^U {a, 6) = {% I II 况一а. II & b, % £ X}; тогда

II/ (%) — / ⑷ II =

= 11/(%) — (/(〃) + J (仅)(％ — 〃))+/(〃)(％ — 〃)II >

》II J (a) (x - a) И - 11/(%) — (/ (〃)+ J ⑷(％ —。))II》

>у] \\x — a — г \\x — a \\ = (^] — s) \\x — a \\.

Отсюда видно, что если /(%)=/ (a), х ^ U (а, 6), то ж = a.

Возьмем то же самое т] > 0, что и в (i), а также е > О, такое, что 刀 > е. Так как якобиева матрица / (①)существует .и непрерывна как функция х в окрестности точки а, то найдется окрестность U (а, 6) = {% | || 况 ——〃 || & 3}，такая, что J (%) в ней существует и || J (х) — J (а) || & £•

Для произвольных %, у £ U (а, 6) положим теперь х (力)= =(1 — t) % + %g・ Тогда, учитывая, что функция / (х (£)) дифференцируема на интервале 0 & 力 & 1, причем ее производная равна J (% (%)) (у — %), имеем

1

/@) —〃%) —J (〃) ®-%)= J (J (%&))—/(〃))® —力)山.

о

Следовательно, для любых х, у £ U (а, 6) получаем

Wf^-f{x)-J(a) (у-х)\\^

& J II J (%&))-/ («) II \\y — x\\dt^\\y-x ||. о

Отсюда, как и при доказательстве (i), следует, что || / (у)— / (%) ||》 》(П — &) II 刃一％ ||* Это означает, что если %, у £ U (а, 6), / (ж) = / (у), то % = у. Теорема доказана.

Как известно, теорема 5.6 гарантирует, вообще говоря, только локальную взаимную однозначность. Глобальная взаимная одно-

значность может не иметь места, даже если якобиан всюду в дан-ной области отличен от нуля. Известный пример такой ситуации дает отображение (ж, у) -> (х cos у, х sin у). Здесь все точки, у которых rr-координаты совпадают, а г/-координаты равны по mod 2л, имеют общий образ, хотя якобиан положителен всюду в полуплоскости %>0. Для того чтобы гарантировать глобальную взаимную однозначность, нужно наложить дополнительные условия как на якобиан, так и на структуру данной области. Некоторые из таких условий, которые нельзя найти в обычных руководствах по математическому анализу, будут приведены ниже (см. гл. VII); там же рассматриваются и их приложения к экономическим задачам.

Обратимся теперь к другому аспекту локального поведения отображения. Согласно теореме 5.6 (ii), отображение / взаимно однозначно в окрестности U (а) = U (а, 6), так что существует обратное отображение /一工：/ (U (仅))f U (〃)• Поскольку /, очевидно, непрерывно, то ввиду компактности множества U (а), согласно теореме 1.4, /-1 также непрерывно. Следовательно, / представляет собой гомеоморфизм в U (@). Однако отсюда еще непосредственно не следует, что образ /(U (а)) содержит какое- либо открытое множество в 7?п, несмотря на то, что U (〃)，разумеется, содержит такое множество. Хотя на самом деле точка / (а) является внутренней точкой множества f (U (а)), установление такой инвариантности внутренних точек требует дальнейших топологических исследований, подобных проведенным в предыдущих разделах. К рассмотрению этой проблемы ——инвариантности внутренних точек ——мы сейчас и перейдем.

Лемма 5.2 (теорема Руше). Пусть /, g： X Rn — два) непрерывных отображения. Пусть, далее, с £ Rn. Тогда, если

11/(%) — gQ) II v II g ⑷一с и

всюду в X, то f и g "- гомотопные отображения в Rn \ {с}.

Доказательство. Отображения /ng являются гомотопными отображениями в Rn\ {с} в силу существования гомотопического моста Н (х,力)="—力)/ (%) + 力g (%), % £ X， 0&%&1・ Действительно,

II Я (х,力)一с II = ||(1 -%)(/(%) -g(%)) + g (%) - с II > 》11g⑷一с ||一(1 一力)||/(%) — g(%) ||> 》II g (%) — С II — II / (%) — g (%) II > О, так что Н (х,力)=/= с при всех х Q X, 0 & 力《1. Этим и доказана лемма.

Наряду с & м Sn мы будем рассматривать n-шар и (п — 1)- сферу произвольного радиуса с произвольной точкой в качестве их общего центра, к которым по-прежнему применимы результаты

из § 5.1 и 5.2. Впредь мы будем использовать обозначения Сп (а, 6) и Sn (а, 6) для 〃-шара и (п ——1)-сферы радиуса 6 с центром в точке а. Мы можем рассматривать отображение (р/с, построенное прежним способом, но на сфере Sn (a, 6) (если его можно построить).

Лемма 5.3. Пусть А — невырожденная матрица размера n X п и g: RR f k — аффинное отображение вида g (①)= =/% + b. Тогда соответствующее отображение (р^с {построенное н〃 Sn (а, 6)) не гомотопно постоянному отображению при любьм с £ g (& (a, 6)) \ g (S〃(a, 6)).

Доказательство. Положим d = А-1 (с — Ь). Очевидно, что (fgc (%) = 〃 + 54 (力—d)/\\ / (/ — d) ||. Допустим, что существует некоторый гомотопический мост Н (%, %) между ф^с и постоянным отображением сферы Sn (a, 6) в себя. Тогда, поскольку матрица Л обратима, отображение / -> a + 6 (①一d)/\\x—d || : Sn (a, b)f 5九(a, 6) также гомотопно постоянному отображению в силу существования гомотопического моста

Gg 力一a I 田(Н(/,力)一q)

况 € S〃 (a, b), 0 &力《1. Однако первое из этих отображений гомотопно тождественному отображению сферы S^ (a, 6) на себя в силу существования гомотопического моста

К6{z—((1—力)d+s)}

加 £ S九(〃,6), 0 & 力 & 1. Таким образом, получаем, что тождественное отображение гомотопно постоянному отображению, что противоречит теореме 5.2.

Теорема 5.7 (инвариантность внутренних точек). Пусть /： X f Е" — непрерывное отображение, дифференцируемое в-точке а, где X ——некоторая область е R". Тогда, если а ——внутренняя точка области X и det J (а) # 0, то f (а) является внутренней точкой множества-образа / (X) е топологии пространства Rn.

Доказательство. Как уже отмечалось, в силу леммы 5.1 существует п>°, такое, что || J (а) х ||》г| ||/ || при всех х £ R". Возьмем е > 0, удовлетворяющее условию 2е<т]. Наряду с отображением / рассмотрим аффинное отображение g (①)=/ (a) + J (a) X 义(％ — a). Так как / предполагается дифференцируемым во внутренней точке а, то найдется 3 > 0, такое, что Сп (а, 6) и X и

11/(%) — g (%) IU 11% — a II

при х Q Сп (аГЪ). Полагая теперь 2у = 6т), имеем || g (①)—/ (〃) II》 》刀 II % ——〃 II = Вт] = 2? для всех х Q Sn (〃,、3) (очевидно, что Т > 0). Утверждается, что {с \ \ \ с — f (а) \\ < у} cz f (Cn (а, 6)), и, следовательно, / (а) является внутренней точкой множества / (С九(а, 6)) в Яп. В самом деле, если \\c-f («) || V у, то для всех х ^ Sn (а, 6) имеем \\ g {х) — с \\> \\ с — f (仅)||, так как при n £ Sn (〃，б) справедлива цепочка соотношений

II g ⑺一С II = И g ⑺一/ ® + / ⑷一С II》

》II g (①)一/ ⑷ Н — Н / (〃)一 с II > 2丫 一 у = 丫 >

> II。一/⑷ k

Следовательно, при х ^ Sn (а, 6) имеем

Ввиду условия 2Z/t] V 1 это означает, что

11/(%) — g 3) II V II g ⑺一C ||.

при всех х Q Sn (a, 6), так что по лемме 5.2 два непрерывных отображения / и g, рассматриваемые на Sn (a, 6), являются гомотопными отображениями в Rn \ {с}. Заметим, что поскольку с € g (Сл (а, 6)) \g(S九(а, 6)), то по лемме 5.3 отображение 屮驼 (построенное на Sn (a, 6)) не гомотопно постоянному отображению. Следовательно, по теореме 5.5 мы имеем с £ / (Cn (а, 6)), что и завершает доказательство теоремы.

Следствие. Пусть X — открытая область 6 7?沱.Тогда, если якобиан det-J (力)дифференцируемого отображения /: X f Rn отличен от нуля всюду в X, то множество-образ / (X) также представляет собой открытую область.

Доказательство. Прежде всего отметим, что отображение / непрерывно в X ввиду его дифференцируемости в X. Тогда, согласно теореме 5.7, из невырожденности якобиевой матрицы в X следует, что каждая точка множества / (X) является внутренней в R% и поэтому множество / (X) открыто в Rn. Наконец, связность множества / (X) следует из связности множества X и непрерывности отображения /. Доказательство завершено.

Пусть отображение /: Y f R", где X — область, непрерывно дифференцируемо и имеет отличный от нуля якобиан в некоторой внутренней точке а. Тогда из теорем 5.6 и 5.7 следует, что если / (а) = % то найдется окрестность U (с), такая, что в ней существует (единственное) отображение 无：U (с) f X, удовлетворяю-

щее условию / 伍(у)) = у при у ^ U (с). Такое отображение й называется локально обратным к / в точке а и обозначается через /т. При этом имеет место следующее утверждение.

Лемма 5.4. Пусть отображение /: X f 7?沱 дифференцируемо во внутренней точке а и имеет в этой точке якобиеву матрицу J (а). Тогда если det J (а) ^=0, то локально обратное к /е точке а отображение 广1 дифференцируемо в точке с = / (〃)и имеет 6 этой точке якобиеву матрицу^ равную J (а)"1.

Доказательство.. Согласно дифференцируемости отображения / в точке а, имеем

/(%)—/(〃)一/(〃)(％ — 〃)= £ (%, а),

lim И & (%, а) И / И ж — а И = 0 при || % — а || f 0.

После умножения на / (〃尸 получаем

J (а)т (/ ⑺一/ ⑷)一(%-〃)= / (〃)-b (%,仅).

Если U (с) — окрестность точки с, где определено отображение 尸，то выписанное соотношение сводится к тождеству

J (@尸匂一 e)一(尸匂)一尸(c)) = J(Q尸8 (尸仅)，尸(明

для всех у ^U (с). Поэтому лемма будет доказана, если мы покажем, что

Um II J (〃)-% (尸(办 尸(с)) II / II g — с II = 0 при II у — С I|f 0・

В самом деле, как уже показывалось выше, || / (ж) — / (а) ||》 》Y 丨丨 ％ — а II при некотором у > 0 для всех х, достаточно близких к а, и поэтому с использованием 尸 МОжно записать, что II 5 — С II》Y II 尸(у)—尸(с) II для всех у ^U (с) (предполагая окрестность U (с) достаточно малой). Поэтому из lim \\ у — с \\ = =0 следует lim || /-1 (у) —/т (с) || = 0. Таким образом, имеем

II J ⑷一儿(尸(办尸(。))1| / II J ⑷ T Illi 8 (尸仅)，尸(e) II ^ n万F:0—Y11尸0/)一尸(e) II

при И у — с II f 0. Это завершает доказательство.

Отметим, что отображение может иметь локально обратное себе даже в такой точке а, в которой det J (仅)=0; но такое локально обратное отображение может оказаться недифференцируемым, даже если исходное отображение / дифференцируемо. Простым примером служит скалярная функция / (%) = х3. Эта функция имеет глобально обратную функцию g 匂)=严з, которая, однако, не дифференцируема в нуле, где производная функции / обращается в нуль.

Теорема 5.8 (теорема о неявной функции). Пусть / (%, у)=(力(①,у)) — отображение, определенное в некоторой области К пространства Rm X Rn и принимающее значения в Еп, где (翁沙)£ К,① £ Е7 у £ Дп. Далее, пусть (а, Ь), где 仅 £ Я771, b £ Ап, есть внутренняя точка области %, и пусть / (а, Ь) = с. Тогда, если отображение / непрерывно дифференцируемо е некоторой окрестности точки (а, Ь), причем det (@厶/@力)=# 0 в точке (а, Ь), то существует окрестность V (а) точки а, такая, что

существует единственное отображение ф： V (а) f Rnr удовлетворяющее тождественно по х ^ V (а) соотношениям Ф (〃)= А 3,屮(％)) £ К, / (芻 <р (%)) = е;

указанное отображение 屮 непрерывно дифференцируема е V (〃)•

Доказательство. (i) Рассмотрим отображение g: К Rm X Rn, заданное соотношением g (ж, у)=(①，/ (%,沙)) при (%, у) £ К, где х £ Rm, у, / (%, у) £ Rn. Отображение g непрерывно дифференцируемо в указанной в теореме окрестности, точки (〃，Ь), причем его якобиева матрица имеет вид

Более того, det J (%, у) = det (8fJ8yQ, а последний определитель по предположению отличен от нуля в точке (а, Ь). Следовательно, согласно теореме 5.7, g (а, Ь) = (а, с) есть внутренняя точка множества g (К) в Лт 义 Еп. Отсюда и с учетом теоремы 5.6 (ii) получаем, что существует окрестность U (а, с) точки (а, с), такая, что U (а, с) и g(K) и что на ней определено обратное отображение gT：U(〃, с)т 宜.Это локально обратное отображение удовлетворяет тождественно по (%,笫)£ U (а, с) соотношениям gT (а, e) = @ 6), gT (%,妨=(%，屮(瑞 ^)), (/, / (%,屮(%,m)))= =g (gT (芻 笫))=(%,力).Теперь искомое отображение 屮：V (d)^ Rn мы получаем, положив V(а) = {х | (%, с) £ U (а, с)},屮(％)=屮(％, с)..

Поскольку якобиева матрица J (%, у) непрерывна как функция х, у и невырождена в точке (а, Ъ), мы можем предполагать, что окрестность U (а, с) в утверждении (i) выбрана таким,

образом, что J （①，у） невырождена всюду в g-1 （U （а, с））. Поэтому, применяя лемму 5.4 к отображению g и его локально обратному отображению g-1, обнаруживаем, что g-1 дифференцируемо и имеет в каждой точке （①，ш） окрестности U （а, с） якобиеву матрицу, равную J （/, гр （力,ш））-1. Теперь нетрудно убедиться, что искомая неявная функция 屮（/）=屮（％, с） имеет в каждой точке х окрестности V （а） матрицу частных производных размера п X т, равную —（办/6力尸（紡/此）• Отсюда и следует утверждение （ii）. Теорема полностью доказана.

В заключение отметим, что инвариантность внутренних точек в действительности имеет место не только для дифференцируемых отображений с ненулевыми якобианами, но и для гомеоморфных отображений произвольной заданной в Rn области снова в Rn. Однако детальное обсуждение этого вопроса, хотя его и можно было бы провести в рамках нашего анализа, здесь не приводится, так как общая форма теоремы об инвариантности внутренних точек в этой книге не понадобится.

Глава II

ПРОСТЫЕ МНОГОСЕКТОРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

В этой главе рассматриваются три основные линейные модели: модель Леонтьева, задача линейного программирования и модель расширяющейся экономики фон Неймана. Математическое содержание этой главы составляют (1) теория неотрицательных матриц и (2) исследование свойств решений систем линейных уравнений или неравенств, имеющих приложение в экономике.

ЛЕОНТЬЕВСКАЯ МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ — ВЫПУСК».МАТРИЧНЫЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ

Вводные замечания

Первая попытка создания систематизированной эко комической теории была предпринята великим экономистом XVIII столетия Адамом Смитом [1]. В последующих трудах других выдающихся экономистов постепенно раскрывались общие закономерности, лежащие в основе таких экономических явлений, как размещение ресурсов, производство, потребление, распределение дохода и накопление капитала. Эти явления по своей природе в той или иной мере наделены математическими чертами; характерно, что фундаментальные идеи в экономической науке нередко по сути своей поразительно математичны, хотя авторы этих идей не всегда сознавали это. В последнее же время в экономической теории получил широкое признание и явно выраженный математический подход.

Экономическая действительность, однако, настолько сложна, что никакая отдельно взятая математическая модель не может вполне правильно отобразить все присущие ей математические свойства. Тем не менее, если обращать особое внимание лишь на некоторые из этих свойств, можно рассчитывать на создание достаточно адекватных математических моделей и на успешное изучение этих моделей с помощью подходящих математических методов. Динамические, а также «разукрупненные» свойства экономических систем в настоящее время, вообще говоря, поддаются анализу такими методами легче, чем статические или более 《укрупненные» свойства.

В этой главе приводятся стандартные результаты, относящиеся к линейным моделям промежуточного уровня дезагрегирования. Для вывода большинства из этих результатов достаточно элементарных сведений из линейной алгебры и некоторых топологических соображений. Применяемые здесь методы доказательства опираются на линейность основных модельных соотношений.

Результаты, полученные для таких частично дезагрегированных моделей, важны в трех отношениях. Во-первых, эти результаты представляют самостоятельный интерес, поскольку многие существующие многосекторные модели являются частично дезагрегированными линейными моделями. Во-вторых, они могут служить прототипами для соответствующих результатов в нелинейных задачах. В третьих, часть из них представляет собой полезные математические теоремы, которые можно с успехом применять при исследовании различных нелинейных моделей<

Модель Леонтьева

В 1930-х годах В. В. Леонтьев [1, 2] начал изучение статической структуры национальной экономики в ее частично разукрупненном, дезагрегированном виде. При этом подходе производственные процессы в экономике разукрупняются до уровня 八 секторов (отраслей) производства, хотя и не до микроуровня отдельных фирм, и анализируется переток продуктов (товаров, услуг) между этими отраслями. Основные предпосылки анализа таковы:

а) В экономической системе производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются п типов продуктов, помечаемые индексами i = 1, . . ., п.

Р) Каждая отрасль производит только один тип продукта, так что совместное производство различных продуктов исключается. Различные отрасли производят различные типы продуктов► Таким образом, п отраслей и 八 продуктов находятся во взаимно однозначном соответствии, и отрасль, производящую продукт X, также можно отметить индексом К 、

у) Под производственным процессом в каждой отрасли подразумевается преобразование некоторых (возможно, всех) типов продуктов, взятых в определенных количествах, в некоторое количество продукта одного соответствующего типа. При этом соотношение затрачиваемых продуктов и выпускаемого предполагается постоянным. В модели Леонтьева такой характер преобразования можно явно описать следующим образом: если для производства единицы j-ro продукта в j-й отрасли нужно затратить 〃订 единиц »-го продукта (Z = l, . . ., п), то выпуск А единиц j-ro продукта требует затрат ^〃订 единиц г-го продукта (Z = 4, . . ., п). Эти п2 величин ^ij, называемые расходными (или технологическими} коэффициентами, предполагаются постоянными. По терминологии

экономистов, здесь соблюдается постоянство удельного выпуска при постоянных пропорциях затрат независимо от масштабов производства.

Пусть 力》— выпуск i-ro продукта в единицу времени, скажем в год. Эта величина g представляет собой валовой выпуск. Часть валового выпуска потребляется в виде затрат, необходимых для производства. Соответствующий чистый выпуск получается вычитанием из валового выпуска полного количества продукта, потребленного в виде производственных затрат во всей экономической системе. Последнее составляет величину

так что чистый выпуск %-го продукта равен п

Этот чистый выпуск приравнивается конечному спросу 修 на }й продукт, что дает систему уравнений'

п

g ^] &/%j& (%== 1, • • •, 〃)•(*)

j=i

Система (*) (модель Леонтьева) является основной в анализе межотраслевых связей методом, получившим название метода «затраты — выпуск». Здесь с» состоит из конечного потребления), экспорта и инвестиций (т. е. капиталообразования, под которым понимается строительство нового производственного оборудования и предприятий, а также создание новых запасов завершенной и незавершенной продукции). Однако в принятом здесь упрощенном подходе остаются неопределенными принципы, на основе которых складывается конечный спрос, так что & мыслятся как величины экзогенные, заданные извне по отношению к модели. Соответствующее решение системы (*), т. е. набор %i,g, • . • ・..,％九,определяет уровень интенсивностей отраслевых производств. Сущность леонтьевского метода затрат и выпуска состоит в определении уровней валового выпуска по заданному внешнему конечному спросу в рамках данных технологических возможностей, воплощенных в расходных коэффициентах 〃订・ Следовательно, этот анализ математически сводится к изучению системы (*).

Система (*), естественно, обладает всеми общими свойствами, которыми обладает любая система линейных уравнений, и в этом отношении она не представляет ничего нового; однако одна особенность этой системы вызывает интерес со стороны математиков. Эта особенность состоит в том, что по очевидным экономиче-

ским соображениям и коэффициенты, и переменные в этой системе должны удовлетворять условиям неотрицательности. Иначе говоря, расходные коэффициенты 〃订，уровни конечного спроса / и валовые выпуски 力》должны быть неотрицательными. Отсюда возникает математический вопрос: каковы условия существования неотрицательного решения /^〉0, ①2〉0, • •・,％九》О системы (*) при заданных q〉0 м при основном предположении 〃订〉°? С экономической точки зрения разрешимость системы (*) в неотрицательных величинах 勺》0 означает работоспособность, или продуктивность, модели Леонтьева.

Система (*) является частным случаем (при р = 4) системы уравнений ，п

pg 』atjZj 二 Ci (i = 1, . . ., 〃)，(1》

где p ——параметр. Рассмотрим следующую связанную с (1) вено-" могательную систему уравнений:

』^ij^j = Q •(» = 1, • • •,八)，-(2)、

где коэффициенты d^ удовлетворяют основному предположению* d 订 <0 (Z 片 J).(3)

Если 〃订》0 (%, j = 1, . . ., 〃)，то систему (1) можно преобразовать в (2), положив d订=р6订——〃订，где 6订(символ Кронекера) равен 0 при 力关 j и равен 1 при Z = /. Обратно, система (2) может быть преобразована в (1). Действительно, если мы возьмем достаточно большое положительное число р, такое, что р > d»» (X = 4, . . ., тг), и положим 〃订=рб订一d订,то получим d订= =p6?j —。订,причем 夕订 >0 для всех i, j. Таким образом, (2) сводится к (1). Следовательно, достаточно найти условия существования неотрицательных решений для системы (2).

Выпишем четыре условия для системы (2).

Система (2) имеет своим решением набор неотрицательных ①t » ° (Z = 1, • . ., 〃) при некотором наборе положительных Сj〉> 0(Z — 1, . .72).

Система (2) разрешима в неотрицательных величинах ①i》6 (% = 1, . . ., 〃) при любом наборе неотрицательных q А 0 (X = 1, • •., 〃).

Квадратная матрица О = (c/订) коэффициентов системы (2> имеет 八 положительных последовательных главных миноров, т. е_ миноров вида

^u • • • "1左

::^> 0 (" = 4, . . . , 72).

或2...盛々

Все главные миноры матрицы D положительны.

Условие (III) или (IV) известно как условие Хокинса ——Саймона (Хокинс, Саймон [1]; Джорджеску-Реген [1, 2]). Ясно, что из (II) следует (I), а из (IV) следует (III). Условия (I) и (III) кажутся более слабыми, чем (II) и (IV) соответственно. Однако оказывается, что все эти условия эквивалентны друг другу.

Теорема 6.1. Условия (I), (II), (III), (IV) взаимно эквивалентны.

Доказательство. Докажем сначала логическое следование (I) f (III) f (II) -> (I). Затем мы установим эквивалентность условия (IV) остальным трем.

(I)-> (III). Доказательство проведем индукцией ио 八一числу уравнений или, что то же самое, числу неизвестных. При 八=1 уравнение (2) имеет вид 必口] = q. Если это уравнение имеет решение %】》、0 при некотором с^ > 0, то d” должно быть положительным. Предположим теперь, что (I) -> (III) справедливо при 八——1. В силу (I) система уравнений (2) имеет неотрицательное решение 勺》0, g》0,...,今》0 при некотором наборе с】> 0,方 > 0, . . ., % > 0. Первое уравнение в (2) можно переписать в виде

. п

心1/ = /一w山严力 (4)

j=2

где правая часть положительна, так как с{ > 0, dij & 0, Xj》0 (j = 2, ...,〃). Таким образом, d111rl > 0. Поэтому из 勺》0 следует d^ > 0.

Применим тецерь к (2) метод исключения Гаусса. А именно, если вычесть почленно первое уравнение, умноженное на diJd^ из Хго уравнения в (2) (Z = 2, . . ., п), то (2) преобразуется к виду

d]]%i + ^鍔力？ + • • • + dinxn = с,,窗2力2+…+ d凯/П=谓，

"亮啰2 + • • • + ^tn^n = Q ,

^n2^2 + • • • + ^пп^п =谓・

Заметим, что

d务=心)心1“)/必1(», / = 2, . . ., M),

c# = с» "“с】/d^

и

d务40, ">0 Q,/ = 2,…，* »*力,

поскольку dij^O (i#= 7), />(Х Система уравнений

п

⑺⑺2 淵产)—с* (г = 2, ..., п)

⑺

⑺

3=2

удовлетворяет основному предположению (3) и имеет неотрицательное решение &，• • •，力九 при данном фиксированном наборе с扌>0 (j = 2, . .., п). Следовательно, по предположению индукции для (7) имеет место условие (III), так что

唯…愿> 0 (к = 2, ..., м).

虑2 • • •或h

Но из процедуры преобразования системы (2) в (5) видно, чтоНо из процедуры преобразования системы (2) в (5) видно, что

Но из процедуры преобразования системы (2) в (5) видно, что

Но из процедуры преобразования системы (2) в (5) видно, что

рак что (2) удовлетворяет условию (III).

(III) f (II). Снова применим индукцию по п. Уравнение &д =/, т. е. (2) при тг = 1, имеет неотрицательное решение Xi = С]/@н при любом с4 > 0, если d“ > 0. Предположим теперь, что следование (III) f (II) справедливо при п — 1. Если система (2) удовлетворяет (III), то, в частности,九 > 0, так что можно преобразовать (2) в (5), как и в случае (i). Отметим, однако, что на этот раз в отличие от случая (i) величины Q》0 (Z = 4, • • •, п) произвольны.

Рассмотрим систему (7), удовлетворяющую основному предположению (3). Система (7) удовлетворяет условию (III), так как ввиду справедливости условия (III) для исходной системы Q) имеем

d*2 • • • d鼠 必].• . d伊 =—>0(〃 = 2, ...,м)・

或2 • • • d院 11 或1 •. • dkk

Соотношения (6) дают cf > 0 (力=2, . • • , 〃) для любых ct》O (i = l,...,八),и по предположению индукции для такого набора с* Q = 2, ••.,〃) имеем неотрицательное решение %2》0,

д》0, • •.,比冷》。смсте"ы (7). Из (4) получаем

п"尸击色一2"g)・j=2

Таким образом, построено неотрицательное решение х｛》О, %2 > °, • • ., %九 >0 системы (5), которое в силу эквивалентности (2) и (5) в то же время является решением системы (2). Следовательно, (2) удовлетворяет условию (II).

(II) ~> (I). Этот переход, как уже отмечалось, очевиден.

Теперь после того, как установлена эквивалентность условий (I), (II) и (III), легко показать эквивалентность условия (IV) первым трем. В самом деле, следование (IV) f (III) очевидно. Обратно, пусть выполнено (II). Одновременной перенумерацией уравнений и неизвестных можно добиться того, что произвольная главная подматрица матрицы коэффициентов системы (2) станет одной из 八 последовательных главных подматриц в преобразованной системе. Такая перенумерация не влияет на определитель этой главной подматрицы и на справедливость условия (II). Применяя переход (II) f (III) к преобразованной системе, мы убеждаемся в положительности произвольного главного минора исходной матрицы коэффициентов. Это и означает логическое следование (II) f (IV). Теорема полностью доказана.

Рассмотрим теперь системы, двойственные системам (*), (1) и (2) соответственно

Pj— 3 aijpi = vj (j = 4,…，吟(**)

n

®Pj— E atjpt = Uj (/ = 1, •••,〃)，(Id)

i=l~

n

3 djJPt = иj (7 — 1 >, n).(2d)

i=l'

Двойственные системы важны не только чисто математически, но и с точки зрения приложений в экономике. Экономически они характеризуют вопрос о ценах или стоимостях в системе межотраслевых поставок. Действительно, pj в (**) можно интерпретировать как цену j-ro продукта, а 刁一как добавленную стоимость, приходящуюся на единицу выпуска в j-й отрасли. Очевидно, что 2 ^ijPi представляет собой сумму издержек на единицу выпуска, так что левая часть в (**) есть чистый доход от единичного выпуска в j-й отрасли. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости, стоящей в правой части соотношения (**). В то время как разрешимости исходной системы (*) в неотрицательных величинах выпусков xt (Z = 4,...,八)означает продуктив-

ность модели Леонтьева, разрешимость двойственной системы (**) в неотрицательных величинах цен р『 (j = 1, . •.,八)означает прибыльность этой модели. Такая двойственность понятий продуктивности и прибыльности имеет не только качественный характер. Как будет видно далее, каждое из этих свойств влечет за собой другое; это обусловлено тесной математической связью между взаимно двойственными системами.

Двойственные системы, если отвлечься от их происхождения,, имеют в точности ту же структуру, что и исходные системы. Пусть выполнено основное предположение (3); снова выдвинем требование неотрицательности переменных (цен 卩力 при неотрицательных правых частях 沙户 Тогда из теоремы 6.1 заключаем, что имеет место эквивалентность следующих условий:

(Id) Система (2d) (/=1, . . •,八)при (j = 1, • • 向.(Id) Система (2d) (/=1, . . •,八)при (j = 1, • • 向.имеет неотрицательное решение Pj ^0 некотором наборе положительных ^ > 0

(Id) Система (2d) (/=1, . . •,八)при (j = 1, • • 向.

(Id) Система (2d) (/=1, . . •,八)при (j = 1, • • 向.

(lid) Система (2d) разрешима в неотрицательных величинах Pj %。(/ = 1，• • •，八)ПРИ любом наборе неотрицательных Vj》* 0 (у = 1, . . ., м). ,

ров, Т. е.ров, Т. е.с/” .. • rffeiс/” .. • rffei> 0 (乃=1,…，*> 0 (乃=1,…，*(Hid) Квадратная матрица Df =(〃订)'коэффициентов системы (2d) имеет п положительных последовательных главных мино-

ров, Т. е.

ров, Т. е.

с/” .. • rffei

с/” .. • rffei

> 0 (乃=1,…，*

> 0 (乃=1,…，*

4丸...或九

(IVd) Все(IVd) Всеглавные миноры матрицы Df положительны.

(IVd) Все

(IVd) Все

Отметим, чтоОтметим, чтоусловия (I) —— (IV) связаны с условиями (Id) ——

Отметим, что

Отметим, что

(IVd) в силу очевидной эквивалентности условий (III) и (Hid), (IV) и (IVd), в которых фигурируют взаимно транспонированные определители. Окончательный результат выражается следующей теоремой.

Теорема 62 Условия (I), (II), (III), (IV), (Id), (Ш), (Hid), (IVd) взаимно эквивалентны.

Тот факт, что каждое из этих условий равносильно остальным семи, весьма важен. В частности, отсюда следует эквивалентность продуктивности в системе выпусков (*) и прибыльности в системе цен (**). Продуктивность в (*) при некотором наборе положительных величин конечного спроса q > 0 влечет за собой не только продуктивность в (*) при любом наборе неотрицательных с»》0, но и прибыльность в (**) при любом наборе неотрицательных добавленных стоимостей на единицу выпуска Uj》0. Аналогично, возможность безубыточного назначения цен в (**) при некотором наборе положительных добавленных стоимостей р； > 0 не только гарантирует такую возможность при любом наборе неотрицатель-

ных и/〉0, но и означает продуктивность в (*) при любом наборе неотрицательных величин конечного спроса 勺》0.

Простейший критерий пр одуктивности и прибыльности, известный под названием условия Брауэра — Солоу, формулируется в терминах сумм коэффициентов матрицы Л =(〃订)по строкам и столбцам. Положим

力=3 "打， Sj=dijj=ii=l

и назовем % и Sj соответственно г-й строчной суммой и j-й столбцевой суммой матрицы Л. Теперь мы можем сформулировать

Следствие (условия Брауэра — Солоу). Каждое из следующих двух условий является достаточным для продуктивности а (I) 〃 одновременно для прибыльности в (Id):

Р > С (i = 1, • • •, и),

р > Sj (j = 4,.・・，力.

Доказательство. Из (i) следует, что 况】=%2 =・• • • • . = с九=1 представляет собой неотрицательное решение системы (1), соответствующее набору величин с» вида: с» = р —— —г» > 0 (i = 1, •・・，п). Таким образом, условие (I) выполнено, и нужное утверждение теперь следует из теоремы 6.2. Аналогично устанавливается достаточность условия (ii).

С экономической точки зрения интересно подсчитать национальный доход двумя разными способами: исходя из системы соотношений для выпусков (*) и для цен (**). Поскольку g представляет собой чистый выпуск i-го продукта, то 2 др» есть совокупный национальный продукт. С другой стороны, 2 есть полный национальный доход. Действительно, добавленная стоимость на единицу выпуска в у-й отрасли Vj распределяется между предпринимателями и работниками в виде прибылей и заработной платы и тем самым представляет собой полный доход в j-й отрасли, приходящийся на единицу выпускаемого продукта. Совпадение двух указанных суммарных величин ——национального продукта и национального дохода — формально следует из (*) и (**):.

ппп

S ^iPi 3 (6厅—&ij) Pi*j = 2 UjXj.i=i t,j=，j=l

6.3. Матричные мультипликаторы

Теперь мы формально введем понятие неотрицательности для матриц. Снова воспользуемся символами 三, >, >, уже применявшимися для полуупорядочения векторов (см. гл. I,

9*

. Для любых двух матриц Л =(〃订)，В =(匕订)одинакового размера — например с m строками и п столбцами ——положим

(а) 一 4 三 3,если 〃订 ^ btj (i = 1, ...,m,J= 1,..e, n),

(P) Л > 5,если A ^ В и A ^= В.

(у) A > 3,если 。订 > bij (i = 1, ...,m,/== 1,..., n).

Принято также называть матрицу А неотрицательной,полу поло

жительной или по лож ителъно й, если /三 О, Л >0 или Л > 0 соответственно.

Мы можем теперь дать взаимно эквивалентным утверждениям (I)二(IV) и (Id) — (IVd) из предыдущего раздела иное выражение —через так называемую не о три цателъную обратимость.

Определение 6.1. Квадратная матрица Т называется неотрицательно обратимой, если Т невырождена и ее обратная матрица Г-1 неотрицательна.

Непосредственно устанавливается следующая теорема.

Теорема 6.3. Матрица D коэффициентов системы (2), удовлетворяющая основному иредположению (3) предыдущего раздела, неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда имеет место продуктивность (прибыльность) системы, выраженная каким-либо из эквивалентных утверждений (I) —— (IV), (Id) - (IVd).

Доказательство. Систему (2) можно компактно записать в матричных обозначениях как Dx = % где х = (%0, с = (q). Если D имеет неотрицательную обратную матрицу 0-1 三 О, то уравнение Dx = с имеет неотрицательное решение х — D~xc при любом с 三 0. Отсюда следует условие продуктивности (И). Обратно, если выполнено (II), то, согласно эквивалентному условию (III), определитель матрицы D отличен от нуля, так что существует обратная матрица D'1, Тогда неотрицательное решение % уравнения Dx = с, существование которого гарантировано условием (II), однозначно определяется как х = D^c. Отсюда следует, что 02 三 0 при любом с N 0. Если теперь рассмотреть частный случай с? = (ci), с； = 1 и 圆=0 при I 丰* то из указанного свойства матрицы О" немедленно будет следовать, что у-й вектор- столбец матрицы 0-1 неотрицателен. Это справедливо для каждого 7 = 1, . . ., % так что D^1 ^ 0. Теорема доказана.

Представим теперь системы уравнений (*) и (1) из предыдущего раздела в матричной форме

(/ — 4) % = с, (р/ — А) х = с, где Л = {а^ 三 0 — матрица расходных (технологических) коэффициентов и / — единичная матрица. Из полученных выше результатов следует, что продуктивность модели Леонтьева (/ ——А ) х = с

эквивалентна неотрицательной обратимости матрицы I ——А. Если модель продуктивна, то вектор ее валового, выпуска х дается выражением (/ — /)т& Матрица (7 — Л)-1 дает нам информацию о том, каким образом вектор (внешнего) конечного спроса с пересчитывается в необходимый для этого (и заведомо больший) вектор валового выпуска %. Более того, поскольку модель линейна по % и с, приращение Ас вектора с и соответствующее приращение А% вектора х связаны между собой через матричный множитель (7 — /尸，т. е. А% = (/ — Л)-1 Ас. Поэтому матрица (/ — Л)-1 дает нам также информацию о величине изменений, в уровнях валового выпуска, вызванных изменениями в уровнях конечного спроса. По этим причинам матрица (/ — Л)-1 называется матричным мулыпипликатором* она представляет собой матричный аналог скалярного мультипликатора 1/(1 — а) в простейшей кейнсианской модели 1) У = аУ + I для определения национального дохода, где числовые величины У и 7 обозначают уровни национального дохода и инвестиций ) соответственно, а коэффициент а равен доле национального дохода, идущей на потребление; этот коэффициент а называется склонностью к потреблению.

Так как склонность к потреблению а положительна и меньше единицы, то скалярный мультипликатор 1/(1 — а) можно представить с помощью геометрической прогрессии

l — a = l + a-boc24"---+^v+--« •

Это наводит на мысль использовать аналогичное представление матричного мультипликатора (7 ——Л)"1 через матричный степенной ряд

(/ - /)7 = / 十 4 + /2 + ・…十 /V + ..

а также более общее представление матрицы (р/ — 4尸 через матричный степенной ряд

Теорема 6.4. Пусть Л — неотрицательная квадратная матрица и р — скалярный параметр. Тогда

Если матрица р/ — А неотрицательно обратим电 то р > 0, м ряд (1) сходится^ причем его сумма равна (р/ — А)-1.

1) Дж. М. Кейнс ——английский экономист, основатель современной макроэкономической теории, известной как кейнсианское направление.——Прим、 перев.

Если р > 0 м ряд (1) сходится^ то матрица р/ — Л неотрицательно обратима и сумма ряда (1) равна (р/ — А)"1.

Доказательство, (i) Если матрица р/ — А неотрицательно обратима, то она должна удовлетворять условиям Хокинса ——Саймона; из этого, в частности, следует, что р — 〃н > 0, т. е. р > 〃“》0. Положим теперь

北T》 /v/pv. оv=0

Тогда справедливо соотношение

北(р/ — Z) = (р/ — 4)北=/ 一 4$+1/р$+1;(2)

отсюда с учетом условия 4 三 0 получаем^

(р/ -A)TS^ I.

Умножение обеих частей этого неравенства слева на (р/ ——4)т N 三 0 дает-

Т$ 3 (р/ — Л)-1 (s = 0, 1, 2,・・・)・

Этим доказано, что матричная последовательность {7$} ограничена сверху. Далее, последовательность {?$} по определению Ts не убывает:

То = 7\ =厶W・♦・W北W Ts^ W・・・・

Таким образом, ряд (1) сходится. Тогда, поскольку последовательность величин Т$+з как и Т§, сходится к единому пределу, то матрица Л8+1/р8+1 = pT$+i — рТ§ при s -> 8 стремится к нулевой матрице. Если обозначить lim Т$ = Т, то переход к пределу в (2) дает

Т (р/ ^А) = (р1-А)Т =乙(3)

а отсюда имеем Т = (р/ — А)-1.

В этом случае Т = lim Тs существует, и снова (2) в пределе дает (3). Это означает, что матрица р/ — Л обратима и что ее обратная матрица (р/ — А)"1 равна Т. Так как матрицы Ts неотрицательны, то их предел также неотрицателен. Этим доказано, чтэ (р/ — 4尸三 0 • Теорема полностью доказана.

Если модель Леонтьева продукта вна, то вектор валового выпуска х, соответствующий вектору конечного спроса с 三 0, представляется векторным рядом с + Ас + А2с + ...十/旷^ + + . • . . Нетрудно понять содержате льный смысл этого результата. Для того чтобы получить чистый выпуск с, нам нужно затратить вектор продуктов Ас. Затем, чтобы произвести в системе

этот набор продуктов /с, нам придется дополнительно затратить А2с, и т. д. Сумма вектора чистого выпуска с и всех векторов промежуточных затрат Ас, Л2с, . . . и составляет вектор валового выпуска /.

Процесс с динамическим мультипликатором. В рамках модели Леонтьева мы сейчас изучим динамическое поведение отраслевого дохода при изменяющемся во времени внешнем потреблении, заданном в денежном выражении. Ниже внешнее потребление в денежном выражении, т. е. сумму денежных поступлений извне, будем называть внешним расходом.

Пусть модель Леонтьева с матрицей технологических коэффициентов /三 0 продуктивна. Пусть, далее, р =(刁)> 0 есть вектор, /-я компонента которого Vj представляет собой величину добавленной стоимости на единицу выпуска в j-й отрасли. Величины Ани предполагаются постоянными во времени. Как уже указывалось ранее, вектор цен в системе р = (pj > 0 дается выражением р‘ =房(/ — Л)-1. Обозначим через 力 доход j-й отрасли; тогда д『=^ж；, где 力了 ——уровень валового выпуска в у-й отрасли. Пусть /-я отрасль затрачивает часть 勿汕 из общих средств yj на приобретение продукта »-й отрасли. Величины с订(X = 4, . . ., п), характеризующие склонности к потреблению для j-й отрасли, по предположению удовлетворяют условиям

с〃》0，2 Qj V 丄 “ постоянны во времени.

г=1

При описании динамического процесса движения доходов примем следующие основные предположения:

Расходование отраслевого дохода запаздывает по отношению к его получению на один период.

Задана программа внешних расходов {d«)} во времени, где г-я компонента d» (力)〉0 представляет собой величину, расходуемую на приобретение продукта г-й отрасли.

Если у (力)——вектор отраслевых доходов в момент времени t, то вектор полных расходов в момент времени 力 + 1 равен Су (力)+ + d (力 + 1), где С =(Q, — матрица коэффициентов склонностей к потреблению. Введем две диагональные матрицы

1少2.1少2.%0 '

1少2.

1少2.

V =•

< оvn)

Тогда вектор конечного спроса в момент времени 力 + 1 будет равен РСу (力)+ Pd (t + 1), а соответствующий вектор валового выпуска в момент времени 力 + 1 будет равен (/ — /)т РСу ⑴ +

+ (/ — Z)TRZ (t + 1). Таким образом,

У (看 + 1) = Ну ⑴ + а (力(力=0, 1, 2,・• •)，(4)

где Я =卩(/—4)ТРС 三 0, 〃(力=Kd (力十1), К = V (I - А^Р.

Отметим, что из d (力)三 0 (力=0, 1, 2, . . .) следует 〃(力)三 О во все моменты времени. Если задан начальный вектор у (0)三 О, то приведенное рекуррентное соотношение (4) определяет движение отраслевых доходов у (%)• Из Н 三 0 следует, что у (力)N О (力=0, 1, . . .). Если говорить неформально, то уравнение (4) показывает, что доход в момент времени £ + 1 есть приумноженный («мультиплицированный» с матричным коэффициентом (/ — Л)-1) результат, получаемый от двух источников: от запаздывающего расходования того дохода, который был получен в момент времени t, и от внешнего расхода в момент времени 力 + 1.

Уравнение (4) определяет движение доходов между отраслями при любой программе внешних расходов. Однако особый интерес представляют случаи, когда внешний расход описывается некоторым специальным законом изменения во времени. Таким является случай, вызывающий большой интерес экономистов, когда все компоненты 〃》 (%) вектора 〃 (力)растут экспоненциально с общим показателем (темпом) роста.

Возьмем положительное число р, такое, что матрица pl — Н неотрицательно обратима, и рассмотрим произвольный вектор « > 0. Тогда, если а (力)—р*〃， то проследить динамику поведения произвольного решения у (力)уравнения (4) довольно легко. В самом деле, положим у = (р/ ——Н)-1а. Тогда вектор-функция у (力)=p'g неотрицательна во все моменты времени и удовлетворяет уравнению (4). Пара вектор-функций у (t) и а (力)описывает специфический тип динамического поведения ——сбалансирован

ный рост, что означает постоянство отношения компонент во

времени. Вектор-функция у (力)представляет собой сбалансиро- ванно-растущее решение уравнения (4), находящееся «в резонансе» с вектор-фуикцией а (力)=р%. Если экономика стартует из точки у = (р/ — 〃)т@, то в дальнейшем она постоянно поддерживает своеобразное состояние равновесия во времени: у (力)=(р/ —耳)-% (力. Поэтому некоторые экономисты называют у (^) динамически равновесным решением, а (р/—Я)-1 — матричным супермулыпипликатором. Однако о равновесном характере вектор-функции у (力)можно сказать несколько боль

она стартовала из про^ конечном счете достигнет Говоря формально, мыона стартовала из про^ конечном счете достигнет Говоря формально, мыше. А именно, экономика, даже если извольного начального состояния у (0), в состояния динамического равновесия.

она стартовала из про^ конечном счете достигнет Говоря формально, мы

она стартовала из про^ конечном счете достигнет Говоря формально, мы

утверждаем, что

lim у «)/р* = g

±-► + 8

для любого решения у （力）уравнения （4）. Это свойство, называемое свойством относительной устойчивости решения у （力），означает сходимость вектора у «） к 歹（力）в смысле отношения компонент.

Доказательство относительной устойчивости решения у （力 получается немедленно. В самом деле, если а （力） = р'〃，то, разделив обе части уравнения （4） на р* получим pg （t + l）/p/+1 = =Ну （力）/р‘ + 〃• Далее, у удовлетворяет уравнению ру = Ну 十 + 〃• Вычитая второе из первого, получаем

У （Н-1）_ Я / у （ОУ （Н-1）_ Я / у （Оу）・у）・

У （Н-1）_ Я / у （О

У （Н-1）_ Я / у （О

у）・

у）・

Применяя это рекуррентное соотношение нужное число раз, находим<

书』+ *@（0）3

Как видно из доказательства теоремы 6.4, если матрица р/ ——Н неотрицательно обратима, то Н'/р* f 0 （力一> 十 оо）. Этим и доказывается окончательно, что у （力）/р" f g （力 f + оо）.

В проведенных рассуждениях свойство неотрицательной обратимости матрицы р/ — Н было существенным, или, выражаясь иначе, «почти необходимым», во всяком случае при отличных от нуля компонентах вектора 仅.Читатель легко может проверить, что если 仅 > 0, то сбалансированно-растущее решение у （力）= =р'у 三 0 уравнения （4）, находящееся в резонансе с 。（力= =р'〃, существует только в том случае, когда матрица р/ ——Н неотрицательно обратима. Как будет показано в следующем разделе, множество всех вещественных чисел р, для которых матрица р/ — ТТ^аптртттт戶тп.тп,пс сбрптчтмт -драл^таилшат гсбп访 ттоиуссь （X （Я）, + оо）, rge А （Н） — некотор@ нестрттт黎татгитср “ocjg ^рднозшпТйо определяемое матрице苴 1Г^ 0. Будет также показа- ^QZ^^~5JgFggjo 儿（A） J ка勺丄 1ра^ило, я53Ткется_дд£2Н4И1£дьнш1 за исключением лйтпъ-пслуча^Гког^ матрица Ж1ймеет^очень спе^. цйальную^ структуру. 1'аким образом, если требуется поддержи- вать ситуацию динамического равновесия под воздействием внешних расходов, то общий темп роста внешних расходов и отраслевых доходов в общем случае не может быть произвольно малым. В частности, внешние расходы должны притекать в систему с достаточно большой скоростью.

Связь с макроэкономическим подходом к описанию национального дохода. Пусть е — вектор, все компоненты которого равны единице. Тогда У （力）=е'у （分 есть уровень национального дохода,, соответствующий вектору отраслевых доходов у （力）в момент времени 力. Замечая, что efV = vf и р'Р = е', так что егН =

= ?/(/ — /)ТРС = р‘ PC = е'С, и, аналогично,ег К = е',

и умножая обе части уравнения (4) слева на е‘，получаем

Yit+^^cjyj^ + I^+i), п

тде 巧=2 си，I (力)=ed (力)• Следовательно, если, в частности, г=1

предположить, что с/ = а (у = 1, . . ., п), то движение отраслевых доходов можно представить в агрегированном виде скалярным уравнением

Y(t + l) = aY ⑺ + 7" + 1).

Это подтверждает глубокую связь, существующую между леонтьевским подходом и макроэкономическим подходом, связанным с изучением скалярного мультипликатора.

ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА - ПЕРРОНА

Теорема Фробениуса—Перрона

В предыдущем разделе мы рассматривали ситуацию динамического равновесия в модели Леонтьева под воздействием внешних расходов. В такой ситуации динамическое равновесие поддерживается до тех пор, пока существуют внешние расходы. Встает естественный вопрос: возможно ли самоподдерживающееся динамическое равновесие без внешних расходов? Такой тип динамического равновесия должен отвечать сбалансированно-растущему решению однородного уравнения у (力 + 1) = Ну ⑺，у (力 > 0. Ясно, что поиск такого сбалансированно-растущего решения сводится к изучению задачи о собственном значении Ну = Ку, при условиях неотрицательности 九》0, у > 0, причем здесь Е 三 0 — неотрицательная матрица. Эта задача, в частности, оправдывает внимание к материалу настоящего раздела.

Рассмотрим задачу о собственном значбнии

Ах = 2ix,汇》0,况二0

для произвольной неотрицательной квадратной матрицы 4 三 0. Как известно из обычной линейной алгебры, собственное значение (о матрицы Л, которое, вообще говоря, является комплексным числом, можно охарактеризовать как корень характеристического уравнения

屮(р) = det (р/ —/) = 0.

Если(о — комплексное число, то собственные векторы, соответствующие собственному значению со, а именно векторы z, удовлетворяющие условиям /z = coz, z у= 0, имеют своими компонентами комплексные числа, несмотря на то, что А ——вещественная матрица. Вещественная матрица может даже вообще не иметь

вещественных собственных значений, пример чего дает матрица 1 -1\

V*

Однако если /三 0, то всегда существует особое неотрицательное собственное значение А и соответствующий ему неотрицательный собственный вектор, причем % мажорирует модуль любого другого собственного значения этой матрицы: А》| со |. Этот результат, который будет доказан ниже, представляет собой замечательное проявление свойства неотрицательности матрицы Л в задаче о ее собственных значениях.

Лемма 7.1. Для произвольной неотрицательной квадратной матрицы А введем в рассмотрение множество М (Л) = {р | матрица р/ — Л неотрицательно обратима}. Тогда М (Л) представляет собой полуось вида (九，+ оо), где 九 ——неотрицательное число.

Доказательство. Возьмем произвольный положительный вектор % > 0. Тогда, выбрав достаточно большое число р, всегда можно добиться того, что р% > /%• Таким образом, для этих х, р будем иметь (р/ — /) % > 0, % > 0, так что по теореме 6.3 должна существовать обратная матрица (р/ — /)т 三 0. Это гарантирует нам, во-первых, что М (Л) у= 0. Во-вторых, если М (Л) Э Р» П >Р， то М (Л) J тр Действительно, так как р £М (Л), то существует вектор 力三 0, такой, что (р/ — /) % > 0. Тогда для этого х при n > Р имеем ⑴/ — А) х^ (р/ — Л) л: > 0. Следовательно, матрица т\1 ——Л также неотрицательно обратима, и поэтому М (Л) Э Л- В-третьих, если р £ 疯(4), то при некотором х 三 О имеет место (р/ — /) % > 0, откуда р > 0. Эти три результата в совокупности показывают, что X = [inf р по всем р g М (А)] является неотрицательным числом, причем М (Л)=) n (X, + оо). По определению в множестве М (Л) не содержится чисел, меньших чем А. Поэтому для завершения доказательства остается проверить, что М (Л) J X. С этой целью допустим, что М (А) Э 厶・ Тогда должен существовать вектор ①三 0, удовлетворяющий условию (V — /) % > 0. Но в этом случае для р, меньших чем X, но достаточно близких к А, также выполнялось бы условие (р/ — /) % > 0 при том же % 三 0. Это означало бы, что р £ ^ М (Л) для некоторого р V А, что противоречит определению числа А. Лемма доказана.

Лемма 7.2. Для указанного выше числа X существует вектор ^ > 0, такой, что Ах = 九％.

Доказательство. Возьмем произвольный вектор с > 0 и положим у (р) = (р/ — 4)-% для р £ М (Л). Пусть р,刀 £ € М (А), р & т]. Тогда, вычитая равенство (刀/ — А) у (^ = с

из (р/ — /) у (р) = с и перегруппировывая члены, получаем (р/ — А) (у (р) — у ⑺)—(л — Р)Z/(Л)« Умножая обе части этого равенства слева на (р/ — 4)"1» находим

У(Р)— 5(П)= (п — Р) (р/ — /)т 沙⑺三 °，

Таким образом, вектор у (р) возрастает (нестрого) при убывании р. Возьмем теперь некоторую убывающую последовательность {pv} чисел из 儿Г ⑷，такую, что lim р” = А. Поскольку {у (рv)} при этом возрастает, то сумма компонент о (v) = £勿(pv) также должна возрастать.

Допустим теперь, что последовательность {ст (v)} ограничена сверху. Тогда и каждая возрастающая компонента 沙》(рv) должна быть ограничена сверху и, следовательно, должна сходиться к некоторому неотрицательному пределу у», так что lim g (р”) = у = —(у0. При этом уравнение (р^/ — / ) у (pj = с в пределе дает (V — /)у = с>0,沙三 0. Но это означает, что М (А) 3 Ав противоречии с определением А. Следовательно, в действительности lim о(V)= + оо.

Положим % (”)= g (р v)/a(V). Так как ①(w) g 夕九={p | 2卩之= = 1,卩 三 0}，a Pn——компактное множество, то последовательность {х(V)} можно считать сходящейся к некоторому вектору х £ £ Рп. Разделив обе части равенства (рVZ — А) у (pv) = с на a (v), получим (pv/ ——А) х (у) = с/о(V), что в пределе даст соотношения (X/ ——%) % = 0, ж>0, что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства леммы основан на применении теоремы 3.7 (ii) из гл. I. Применительно к матрице 厶7 — Л эта теорема утверждает, что существуют р,力 £ 7?\ такие, что< pf (U - /)三 0, (А/ - /) % = 0, % 三 0, % + (U - Аг)р> 0. Если при этом вектор х полуположителен, то лемма доказана. Допустим противное: % = 0; тогда (V — /') р > 0. Заменив 入 числом р, большим чем А, но достаточно близким к X, все еще можем утверждать, что (р/ — /') р > 0. Согласно теореме 6.2, имеем М (Ar) = М ⑷=(X, + оо), так что существует матрица (р/ — /')-i 三 0. Отсюда и из предыдущего нетрудно вывести, что р > 0. А это вместе с условием (V — /') р > 0 приводит к противоречивому заключению М (А) = М (А') Э ^- Лемма доказана.

Те о р е м а 7.1 (Перрон [1], Фробениус [1—3]). Пусть А — неотрицательная квадратная матрица. Тогда справедливы следующие утверждения".

Матрица А имеет неотрицательное собственное значение. Собственному значению X, наибольшему среди неотрицательных собственных значений, соответствует неотрицательный собственный вектор.

(ii ) Матрица р/ — А неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда р > 九.

Если Ay ^,卩沙 для некоторого вещественного числа 卩 и полу- положительного вектора у ± 0, то 入》卩.

Для любого собственного значения со матрицы А имеет место X ^> I со |.

Доказательство. Утверждения (i) и (ii) фактически уже установлены в леммах 7.1 и 7.2. Действительно, число X из леммы 7.1 как точная нижняя грань чисел р £ М (Л), является неотрицательным собственным значением матрицы Л, которому соответствует неотрицательный собственный вектор ж > 0. Более того, так как матрица р/ — Л невырождена при всех р g М (Л), и, следовательно, никакое р ^ М (Л) не может оказаться собственным значением матрицы Л, то X является наибольшим среди всех вещественных собственных значений. Утверждение (ii) сводится к несколько иному, чем в лемме 7.1, описанию структуры множества М (/).

Допущение, что 卩 > А, влечет за собой существование матрицы (卩，一4)т 三 0. Умножая обе части неравенства 0 三 三(卩/ — А) у . слева на (卩/ — Л)-1 三 0, получаем 0 三勿 что противоречит предположению г/ > 0. Поэтому А》卩.

Пусть z ——некоторый собственный вектор, соответствующий собственному значению со, так что /z = sz. Последнее соотношение можно представить в виде 八 равенств'

И

〉1 Л j jZ j — mZi (» — 1, . . . , 72)•

J=1

Заменив входящие сюда величины их модулями, получаем

S @ij I Zj I I (О I I I (力=1,..., 5=1

что снова можно записать в матричной форме как / | z | 三 > I со I I z I, положив I z I = (I z» |j・ Условие z у= 0 гарантирует, что I z I》0, так что пару | со |, | z | можно рассматривать в качестве 卩，у из утверждения (iii). Поэтому А〉| со |. Доказательство теоремы полностью завершено.

Введенное выше число А для матрицы Л обозначается далее как X (Л); оно носит название числа Фробениуса — Перрона или доминирующего собственного значения матрицы А.

Дальнейшие полезные и замечательные свойства числа А (Л) как функции от матрицы Л ^ 0 перечисляются в следующей теореме.

Теорема 7.2. Число А (Л), где /三 0, обладает следующими свойствами:

(i)九⑷=%(4)

X (аЛ) = aX (Л) при а > О,

九(/') = (А (/))' при любом по лож ительном целом 〃> (1V) А (/)》％ (3), если /三 5 三 О,

九(/) > 九(С) для любой главной подматрицы С матрицы А,

(vi) % (Л) = О тогда и только тогда, когда Ак = О для некоторого положителъного целого ".

Доказательство, (i) По определению X (Л) = [inf 卩 по всем р £ М (/)], А (/') = [inf р по всем р £ Л (/')])• Как уже отмечалось, М (/j = М (4‘)，так что А (Л) = А (/'), что и требовалось доказать. Можно доказать (i) и иначе — основываясь на факте совпадения характеристических многочленов для матриц А и А\ известном из линейной алгебры.

Доказательство этого утверждения настолько просто, что мы его опустим.>

Возьмем неотрицательный собственный вектор ж > 0, соответствующий собственному значению X = X (Л). Тогда Ах =九①〉 так что А-кратное умножение вектора х слева на Л дает /% = =Vrr. Таким образом, Z? является неотрицательным собственным значением матрицы /匕 Следовательно, Z? должно мажорироваться числом А (/，，т. е.炉 & А (/，• Допустим, что 炉 V V А (Ль), и положим р = (А (/丸))丄/九.Тогда р > А =入(Л) и, следовательно, (р/ — А) у > 0 при некотором g 三 0. Это неравенства можно переписать как ру > Ау, что после умножения на р > О дает р2y 斗 /ру > A2y. Это в свою очередь дает р3у > А3у и т. д., так что после к шагов получим pky > / % у 三 G. Но это противоречит тому, что X (Ль) = pk ^ М (Л^). Поэтому Z (Ah)=(厶(/))匕

(iv) Покажем, что М (Л) и М (方)• В самом деле, если р £ G М (Л), то найдется вектор 况三 0, удовлетворяющий условию (р/——4) % > 0. Но из соотношения / 三 笈 三 0 следует (р/ — В) х ^ (р/ — /) % > 0 для этого % 至 0. Поэтому р £ g М (5). Таким образом, М (Л) cz М (3); отсюда имеем X (Л)= =[inf р по всем р £ М (Л)]斗[inf р по всем р《М (3)] = X (5).

(у) ' Набор собственных значений матрицы инвариантен по отношению к любому невырожденному преобразованию координат и, в частности, по отношению к одновременной перенумерации строк и столбцов. Поэтому без потери общности можно считать, что С ——главная подматрица fc-ro порядка, расположенная в верхнем левом углу матрицы А • Пусть В — матрица, полученная из А заменой на нули всех элементов 〃订，кроме элементов с индексами, удовлетворяющими условию 1《2, j & 加.Тогда А ^ В ^ 三 0, и, согласно (iv), имеем X (Л)》X (В). Однако X (В) = X (С), так как характеристические многочлены матриц В и С различают-

ся только множителем р в некоторой степени. Объединяя эти результаты, получаем 九(/)》А (С).

(vi) Очевидно, что % (0) = 0. Поэтому, если матрица Л при Возведении в некоторую степень обращается в нуль, то 0 =儿(0) = А (/') = (X (/))' с учетом (iii). Следовательно, А ⑷=0.

Для того чтобы доказать обратное утверждение, зафиксируем: произвольный положительный вектор х и возьмем положительное число 0, такое, что Ах ^ 0ж. Тогда очевидно, что 0 ^ As+1x ^ 三 б/'% (s = 0, 1, • • .). Отсюда, положив №§ = {» | j-я компонента вектора Asx положительна}, получим

N%nN、nN2nnNsn Ns+i n ・(1>

Покажем, что Nn = 0, где n ——порядок матрицы А. Обозначим »-ю компоненту вектора А8 х через [Asx\t. Если Ns ^ 0, то положим 卩=min ([Л®+1^]/[Л sx]f) по всем X £ Ns- Число 卩 удовлетворяет условию AAsx 三[iAsx, Л®ж > 0. Поэтому в силу теоремы 7.1 (iii) имеем А (Л) > 卩.А так как 九(Л) — 0 и 卩》0, то отсюда находим 卩=6. Это означает, что [/^十/) = 0 хотя бы для одного Z £ Ns, так что если Ns^ 0, то в (1) М~н является собственным подмножеством множества Ns・ Так как No содержит п элементов, то Nn = 0, а поэтому Апх = 0. С учетом условий Лп ^ 0, ж > 0, отсюда заключаем, что Ап = 0. Теорема полностью доказана.

Замечание 1. Мы уже говорили о состоянии самоподдержи- вающегося сбалансированного роста при движении доходов в модели Леонтьева. Эта ситуация описывается нетривиальным сбалансированно-растущим решением у (力)=*у > 0, А》0,. уравнения у (t + 1) = Ну «); одно такое решение порождается числом А = А (Я) и соответствующим неотрицательным собственным вектором у 丄 0. В соответствии с изложенными свойствами доминирующего собственного значения х) число А (Я) — 1 является максимальной возможной в модели нормой самоподдерживаю- щегося сбалансированного роста. Но если в каждой отрасли полная склонность к потреблению с, = 2 c订 меньше единицы, что* i

является нормальной ситуацией, то, как мы убедимся нижег при этом А (Н) < 1. Поэтому любое «самоподдерживающееся сбалансированно-растущее решение» на самом деле не растет, а затухает. Следовательно, положительная норма сбалансированного роста осуществима только в том случае, когда система постоянно стимулируется внешними расходами. Соотношение % (Я) V 1 устанавливается следующим образом. Вспомним, чтд егН = еС (см. подраздел «Связь с макроэкономическим подходом

к описанию национального дохода» в § 6.3), и умножим Ну = Ау слева на е'; ато даст соотношение е'Су =入е'у. Положив max £ 已订=

二 Y，отсюда получим неравенство уе'у》М'у. А так как у V 1, dy > 0, то окончательно получаем, что А V 1.

3амечание 2. Пусть рассматриваемая модель Леонтьева продуктивна (прибыльна). Среди возможных схем ценообразования, связанных с двойственным уравнением pr(I — А) = и', привлекает внимание схема, в которой предусматривается единая норма добавленной стоимости по отношению к издержкам, общая для всех отраслей. Пусть эта норма равна 0, так что р7 = QpfA. Тогда двойственное уравнение для цен на продукты приобретает вид

P2=不国儿 p'上0.

Таким образом, вновь возникает задача о собственном значении при условии неотрицательности. Ситуация единой нормы добавленной стоимости по отношению к издержкам реализуется, когда А (Л) = 1/(1 + 0) и р' >0 ——неотрицательный собственный вектор-строка, соответствующий числу А (Л). Отметим, что из продуктивности системы следует, что A (N)之彳.Поэтому существование общей положительной нормы 0 гарантируется, если только выполнено условие А (/) > 0.

Замечание 3. Пусть D = (c/订) 一 вещественная квадратная матрица с неположительными внедиагональными элементами 成订 W ° (% ¥= /)• Вспомним, что исходя из условий неотрицательной обратимости матрицы О, мы исследовали неотрицательную обратимость матриц вида" р/ — Л и задачу о собственных значениях Ах = А% для неотрицательной матрицы А, Теперь мы рассмотрим собственные значения матрицы D. Возьмем достаточно большое положительное число р, при котором р/ ——D =А является неотрицательной матрицей. Нетрудно видеть, что выражение 刀=р — со полностью описывает все собственные значения матрицы D, когда(о пробегает все собственные значения матрицы Л. Будем обозначать через Re (а) вещественную часть комплексного числа а. Тогда р — Re (力=Re (р — n) = Re (co) & | co | & W A = A (/). Итак, Re (n) % p — A (/) для всех собственных значений 刀 матрицы D, причем для 刀=р ——А (/) здесь имеет место равенство. Если х ——неотрицательный собственный вектор матрицы Л, соответствующий собственному значению X (Л), то % в то же время является собственным вектором матрицы D, соответствующим собственному значению р — X (Л), поскольку D = р/ — Л. Наконец, так как матрица О = р/ — Л неотрица-

тельно обратима тогда и только тогда, когда р > % (Л), то в силу соотношения Re (п)》р —入⑷ неотрицательная обратимость матрицы D эквивалентна условию Re (刀)> 0 для всех собственных значений 刀 матрицы D.

§ 7.2. Неразложимость

Матрица расходных, или технологических, коэффициентов Л в модели Леонтьева описывает взаимосвязь между отраслями в смысле взаимных поставок продукции. Матрица Л может иметь, а может и не иметь нулевые элементы. В некоторых случаях наличиё таких элементов позволяет разбить систему на подгруппы отраслей, производство в которых может осуществляться более или менее независимо. Типичный пример возможности такого расщепления дает свойство разложимости.

Определение 7.1. Неотрицательная матрица Л = = (仰力 размера n X п называется разложимой, если имеется непустое собственное подмножество J множества индексов {1, 2, . . ., п}, такое, что

@订=о (% е j, / £ /)・• (1)

Определение 7.2. Матрица А = (口订)называется неразложимой, если она не является разложимой и не является нулевой матрицей порядка 1.

Если матрица Л разложима и соответствующее подмножество J содержит к индексов, то ее можно преобразовать к виду

Т-^АТ = ^ в^, ⑵

где Т ——перестановочная матрица, переводящая J в множество {1, 2, . . ., 〃}; символ 0 в левом нижнем углу обозначает нулевую матрицу размера (п — Л) X Л; а подматрицы В” 石22 и ^12 имеют размеры к X к, (п — к) X (п — “) м i X (八一к) соответственно. Отрасли, соответствующие множеству J, не используют продукцию отраслей из J° в качестве затрачиваемых ресурсов. Таким образом, множество отраслей J в отношении поставок ресурсов находится в режиме автаркии (самообеспечения). Но при этом такая автаркия не обязательно имеет место по отношению к сбыту продукции отраслей из J. Другими словами, разложимость матрицы А не обязательно означает, что ©炉=0 при i J, j ^ J. Если же 〃行=0 при X £ J, j 0 J, как и при i ^ J, j £ J, то система полностью распадается на две группы отраслей J и J', каждая из которых работает в режиме полного самообеспечения и между которыми не происходит никакого взаимодействия. Для такой

матрицы Л при преобразовании (2) с прежней матрицей Т оказывается 312 = 0.

Лемма 7.3. Матрица А =(〃订)разложима тогда и только- тогда, когда разложима транспонированная матрица /'.

Доказательство. Если 仅订=0 при % RJ, j € J, где J — непустое собственное подмножество множества индексов {1, 2, . . ., п}, то, положив Аг = (仇力，имеем 仇)= 〃麓 = 0 при % 住尸，7 € 尸・ Здесь 尸一также непустое собственное подмножество множества индексов {1, 2, . . ., п}. Поэтому разложимость матрицы /' сразу следует из разложимости матрицы А. По тем же соображениям из разложимости матрицы /' следует разложимость матрицы Л = /"• Лемма доказана.

Полезный признак разложимости дает следующая лемма.

Лемма 7.4. Матрица А =(。订)至 0 разложима тогда, и только тогда, когда существуют неотрицательное вещественное число 卩 и полуположителъный вектор %, не все компоненты которого по лож ителъны, удовлетворяющие условию /% 叁 卩①.

Доказательство, (i) Достаточностъ. Положим J = ={J I %j > 0} для вектора х = (%", удовлетворяющего условиям леммы. По предположению J является непустым собственным подмножеством множества индексов {1, 2, . . ., п}. Из условия Ах三卩力имеем

Поскольку все слагаемые в левых частях этих неравенств неотрицательны, отсюда получаем 例戸)=0 (i J, j = 1, . . ., n). С учетом условия g > 0 при j £ J имеем 〃订=0 при % R J, j £

Необходимостъ. Разложимую матрицу Л всегда можно преобразовать к виду (2). Возьмем неотрицательный собственный вектор I/1 >0 подматрицы Бц, соответствующий собственному значению 卩=А (Зц)・ Тогда мы имеем

где 0 в столбце под у1 символизирует (п ——“)-мерный нулевой вектор-столбец. Это соотношение приводится к виду

Ах =卩с, х = Т (力).

Таким образом, при данных 卩 и % выполняется условие леммы в форме равенства. Лемма доказана.

Свойство неразложимости позволяет усилить общие результаты, полученные для неотрицательных матриц.

Теорема 7.3. Пусть неотрицательная квадратная матрица А неразложима. Тогда •

Каждый неотрицательный собственный вектор, соответствующий собственному значению X (Л), положителен, 〃, кроме того. X (Л) > 0.

Собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению X (Л), является единственным с точностью до скалярного множителя.

Доказательство, (i) Согласно лемме 7.4, в соотношениях Ах = А (Л)①,％丄0 обязательно должно быть % > 0. Далее, если А (Л) = 0, то Ах = 0, т. е. 2； 〃订％/ = 0 для всех г. Отсюда в силу условий а^ >0, /)> 0 для всех X, j следует 〃订=0 для всех Z, у. Таким образом, / = 0, что противоречит предположению о неразложимости матрицы Л. Следовательно, А (Л) > 0.

Пусть у — какой-либо собственный вектор, соответствующий собственному значению X (Л); без ограничения общности можно предполагать, что у — вещественный вектор. Возьмем положительный собственный вектор ①，соответствующий собственному значению X (Л), и положим 0 = min (勿/勺)по всем 力. Тогда и = у — Вх^Ои Аи = Ау — ^Ах = А (Л) у — 8А (Л) /= =А (/) 〃• По определению числа 0 случай и > 0 невозможен, поэтому с учетом леммы 7.4 получаем, что》= 0. Это и означает, что у = 6%. Теорема полностью доказана.

Теорема 7.4.

Если для неразложимой матрицы /三 0 имеет место (р/ — А)х'>0 при некотором л: >0, то матрица р/ — Л неотрицательно обратима.

Если для неразложимой матрицы Л > 0 матрица р/ — А является неотрицательно' обратимой, то обратная матрица (р/ — /)т положительна.

Если А >В ^ 0 и хотя бы одна из матриц А и В нераз- ловима, то А (/) > % (В).

Любой собственный (нетривиальный) главный минор матрицы X/ — Z, где / 三 0 — неразложимая матрица и А = А (/), положителен.

Если матрица /三 0 неразложима, то X (Л) является простым корнем характеристического уравнения,

Д ок азательство. (i) Пусть р‘ — положительный собственный вектор-строка, соответствующий собственному значению X (Л). Тогда (р — А (Л)) ргх =卩'(р/ — /) % > 0, откуда с уче-

10*

том условия ргх > 0 следует, что р > X (Л). Поэтому матрица р/ — / неотрицательно обратима в силу теоремы 7.1 (ii).

Рассмотрим вектор х = (р/ — А^с при произвольном полуположительном с>0; тогда (р/ — 4) ж = с>0, откуда имеем Ах<рх. Согласно лемме 7.4, вектор ①二0 должен быть положителен. Таким образом, при любом с>0 мы получаем, что (р/ — А)~гс > 0. Взяв в качестве с вектор d =(寸)，где с? = 1 при i = j и с[ = 0 при i у= у, получаем, что /-й вектор-столбец матрицы (р/ — Л)-1 должен быть положителен. Следовательно, (р/j尸 >0.

Положим С — у (Л + 5); тогда Л >С>5. Нетрудно видеть, что обе матрицы Л и С должны быть неразложимы. Пусть х ——положительный собственный вектор матрицы Л, соответствующий собственному значению 九(/)• Умножая обе части соотношения А>С справа на х, получаем 九(4)况= =Ах>Сх, т. е.(九(/) / — С) №0 при данном % > 0. Поэтому с учетом (i) и теоремы 7.2 (iv) получаем 九(4) > А (с)》九(В).

Как и в начале доказательства теоремы 7.2 (v), преобразуем матрицу Л в матрицу В, удовлетворяющую условию 4 三右三 0. Матрица В по построению разложима, тогда как матрица А по предположению неразложима. Поэтому заведомо Л >5, а отсюда следует А (4) > А(3), согласно (iii). Далее, для нетривиальной главной подматрицы С матрицы Л, по которой была построена матрица В, мы имеем X (3)=九(С), как это былЪ установлено при доказательстве теоремы 7.2 (v). Таким образом, X ⑷ > X (С), и, следовательно, матрица 九(/)/ ——С должна удовлетворять условию Хокинса ——Саймона. Это, в частности, означает, что det (X (Л) 7 - С) > 0.

(у) Производная характеристического многочлена 屮(р) матрицы Л дается выражением

叫р)= S det (р/ —4),

где АI ——главная подматрица матрицы Л, полученная из Л вычеркиванием г-й строки и Z-ro столбца. Поэтому, если матрица А неразложима, то, согласно утверждению (iv), должно быть det (А (Л) / — 4) > 0 и поэтому 屮‘仇(А)) > 0, чем и доказывается требуемое утверждение. Теорема полностью доказана.

Теорема 7.5. Пусть задана матрица 4 三 0 порядка п, и пусть ri и Sj суть ее i-я строчная сумма а /-я столбцевая сумма соответственно. Тогда

min г» & А ⑷ & max 门.

l^i^n l^i^n

Более того, если матрица А неразложима, то эти неравенства являются строгими всегда^ за исключением случая min 々=max г『

min sj & 九(4) & max Sj. l^j^nl^j^n

Более того, если матрица А неразложима^ то эти неравенства являются строгими всегда, за исключением случая min s； = max s卜

Доказательство, (i) Возьмем собственный вектор- строку р‘ — (р J7 >0, соответствующий собственному значению X (Л) и нормированный таким образом, что сумма его компонент равна единице. Тогда имеют место соотношения

入 С^) Pi ~ 2 ^iiPi (j = 1, • • •,八)，

i=l-

суммируя которые по / = 1,・..,〃, получаем

九⑷=2门г=1

Это означает, что число X (А) представляет собой взвешенное среднее чисел 力 с весами р»》0, 2 pt = 1. Отсюда следует первая часть утверждения (i) теоремы. Далее, если матрица Л неразложима, то в силу теоремы 7.3 все числа р» положительны. Поэтому, если min 方 V max rf, то число X (Л), являющееся взвешенным средним чисел rf с положительными весами, не может быть равно ни min гь ни max rf. Этим доказана вторая часть утверждения (i) теоремы.

Доказательство этого утверждения полностью аналогично - доказательству утверждения (i). Теорема доказана.

§ 8. ИМПРИМИТИВНОСТЬ И КОЛЕБАТЕЛЬНОЕПОВЕДЕНИЕ

Устойчивые матрицы

Как отмечалось выше, в модели Леонтьева с неразложимой матрицей расходных коэффициентов А все отрасли вместе образуют неразделимую группу производств, тесно связанных между собой посредством взаимных поставок продуктов. Настоящий раздел посвящается более детальному анализу таких межотраслевых взаимосвязей в неразложимой модели Леонтьева.

Достаточно обратиться к определению разложимости, чтобы увидеть, что неразложимость никоим образом не означает наличия прямой, непосредственной связи между любыми двумя отрас-

лями. Всегда допускается возможность того, что какие-нибудь отрасли окажутся сязанными с некоторыми другими отраслями лишь косвенно, посредством промежуточных связей. Понятие косвенных связей позволяет сформулировать в этих терминах критерий неразложимости (лемма 8.1).

Определение 8.1. Пусть задана матрица Л =(〃订)三 0. Тогда г-я отрасль называется связанной с ；-й отрасльюесли существует цепочка отраслей {к0,左仆 “2, . • 左”}, связывающая к0 = i с kv = j, т. е. такая цепочка, что любые две последовательно идущие отрасли ks и ks+l непосредственно связаны в том смысле, что aksks+l > 0.

Содержательный смысл этого определения достаточно ясен. Если i-я отрасль связана с у-й отраслью через цепочку {乃0, &, 优，• • •，"”}, то производственный процесс в /-й отрасли порождает спрос на продукт i-й отрасли через последовательную цепочку заказов j = k、f f • 一 + 3 + 仆=i.

Лемма 8.1. Матрица А =(〃订)三 0 неразложима тогда и только тогда, когда при любых X, j = 1, . . ., 〃 j-я отрасль оказывается связанной с у-й отраслью.

Доказательство, (i) Необходимость. Возьмем произвольный индекс /0 и обозначим через J。множество индексов, связанных с /0. Нам нужно доказать, что J。= {1, 2, . . ., п}. Прежде всего отметим, что Jo у= 0. Действительно, поскольку матрица Л неразложима, найдется Z 片 у0» для которого 〃订° > 0, так как в противном случае мы имели бы а〃 = 0 для всех i 在{%}, / £ {jo} вопреки неразложимости матрицы А. Пусть теперь / £ J。; тогда / по определению можно связать с /0 некоторой цепочкой {/, • . ., /0}. Если при этом 〃订 > 0 для некоторого i R J。，то дан二 ное » можно связать с у0 наращенной цепочкой {i, j, • . ., /0}, что приводит к противоречивому заключению Z £ Jo. Следовательно, @订=0 для всех i ^ Jq, ] ^ /0» так что, согласно неразложимости матрицы Л, множество j0 может быть либо пустым, либо совпадающим с {1, 2,...,八}. А так как возможность J。= 0 была исключена выше, остается J。 = {1, 2, . . ., п}.

Достаточность. Пусть J — непустое множество индексов, такое, что @订=0 при i & J, j W J♦ Для установления неразложимости матрицы А нужно показать, что такое множество J обязательно совпадает с {1, 2,'. . ., п}. Для этого допустим противное: существует некоторое i, не принадлежащее множеству J. Возьмем произвольное / из J; тогда X можно связать с j некоторой цепочкой {j,...,乃s, "s+i, . • •, j} в силу связанности любых двух отраслей по условию теоремы. Так как X R J, j £ J, то в этой цепочке должны найтись два последовательно идущих индекса "s,加s+i, таких, что ks 0 J, "s+i £ J・ Но это означает, что aksks+i > 0,

ks R J,乃s+i £ J, в противоречии с определением /• Итак, не существует такого индекса г, что »@ /• Лемма доказана.

Лемма 8.2. Пусть задана матрица А =(。订)N 0; рассмотрим матрицу /▽ = (〃*)). Тогда

(i)喈+v)= S礎)*》@伊曙

для всех i,j,l — 1, ..., тг;卩方=1, 2,...・

Матрица А неразложима тогда и только тогда, когда для любой пары индексов (г, /) существует v, такое, что 仅肾 > 0.

Доказательство, (i) Требуемое соотношение очевидным образом следует из соотношений Лц+¥ = ЛЦЛv и а俨 >0,足；)>0.

В соответствии с (i) индекс i связан с j некоторой цепочкой {i = k0, “！, . .., kv = j} длины V тогда и только тогда, когда 〃号)>0. Поэтому утверждение (ii) следует из леммы 8.1. Лемма полностью доказана.

Отметим, что фигурирующее в лемме 8.2 (ii) значение v, при котором 喟)>0, в общем случае зависит от пары «, у), как это видно на примере матрицы

Тем не менее можно выделить класс неразложимых неотрицательных матриц, для которого каждая матрица Л =(。订)из этого класса характеризуется положительным целым числом к, таким, что а^ > 0 для всех %, j, т. е. /' — положительная матрица. Ясно, что положительные матрицы принадлежат этому классу матриц. Матрицам указанного класса присущи специальные динамические свойства, и мы начнем подробный анализ неразложимых матриц с изучения этих динамических свойств.

Напомним, что в соответствии с теоремами 6.4 и 7.1, если р > X (Л) для неотрицательной матрицы А, то имеет место lim(//p)v = 0. Но что будет, если р = X (Л)? Поведение матрицы (Л/Х (Z»v при V f оо, вообще говоря, имеет колебательный характер даже в случае неразложимой матрицы Л. В связи с этим интересно, что указанный выше частный класс неразложимых матриц характеризуется отсутствием такого колебательного поведения.

Теорема 8.1. Пусть А — неразложимая неотрицательная матрица, 〃 А = А (А).

Для того чтобы существовал предел lim (//、)'，необхо- 力f+оо

димо и достаточно^ чтобы нашлось положительное целое 瓦 такое, что 4" > 0.

В случае сходимости последовательности матриц (//А)' каждый столбец предельной матрицы является положителъным собственным вектором-столбцом матрицы Л, соответствующим собственному значению X, а каждая строка предельной матрицы является положителъным собственным вектором-строкой матрицы А, соответствующим X.

Доказательство. Теорема 7.3 (i) гарантирует, что А > 0, так что //А имеет смысл. При этом в соответствии с теоремой 7.2 (ii) доминирующее собственное значение матрицы 4/А равно единице. Это позволяет нам без ограничения общности предполагать, что X (А) = 1.

Сначала мы докажем утверждение (ii). Положим В = lim/'； очевидно, что 3 三 0. Так как при этом также lim At+1 = В, то АВ = Л lim 4’ = limZ'+i = В, и, аналогично, ВА = В. Соотношение АВ = В означает, что АЪ = Ь для каждого столбца & матрицы В. Отсюда по теореме 7.3 (i) заключаем, что Ь является либо положительным собственным вектором-столбцом матрицы Л, соответствующим собственному значению 九=1, либо нулевым вектором-столбцом. Аналогичным образом, соотношение ВА = В означает, что каждая строка матрицы В является либо положительным собственным вектором-строкой матрицы Л, соответствующим собственному значению 九=1. либо нулевым вектором-строкой. Более того, в действительности В =(匕订)является положительной матрицей. В самом деле, если хотя бы один элемент Ъц = =0, то из полученных результатов непосредственно следует, что и 力-я строка, и ;-й столбец матрицы В являются нулевыми, откуда далее следует, что и все строки и столбцы являются нулевыми. Но возможность того, что 3 = 0, заведомо исключена тем, что Вх = lim ^х = х для положительного собственного вектора- столбца х матрицы А, соответствующего собственному значению 九=1. Этим доказано утверждение (ii).

Доказательство необходимости в утверждении (i) немедленно следует из (ii). В самом деле, если предел Нт 4’ = В существует.

то матрица В должна быть положитедьна в силу (ii). Следовательно, матрица /' также должна быть положительна при 力》"，где к достаточно велико. Для доказательства достаточности в утверждении (i) сначала допустим, что доказываемое утверждение о существовании предела lim (^j * установлено для произвольной положительной матрицы А. Из этого допущения следует,г что lim (/» = 8 > 0 существует, так как /々>0 и 入(/' = —A (A)k = 1 по теореме 7.2 (iii). Каждое положительное целое t

матрицы; поэтому /「")3матрицы; поэтому /「")3можно единственным образом представить в виде t = р (t) к -}- + г (力)，где р (^), г (力)一неотрицательные целые числа, причем О & г (力)V 归・ При 力 f 8 имеем lim р (方)= 十 оо и (Л^)Р(Г)= =В + R (办，где lim R (t) = 0. Поэтому 4‘ = Ar^ (Ak)P{t)= =Аг")(5 + Е ⑴)=Ar(t) В + /"‘‘ R (力)f В, так как матрицы /7) ограничены в совокупности и 4「")В = В. Последнее равенство обосновывается тем, что поскольку матрицы Л и Ак имеют общие собственные векторы, то столбцы матрицы В являются положительными собственными векторами-столбцами матрицы Л, соответствующими собственному значению А = 1 этой

матрицы; поэтому /「")3

матрицы; поэтому /「")3

АА . . . А *В — В. Таким образом,

остается доказать утверждение о существовании предела lim (分。для положительных матриц.

Пусть Л ——произвольная положительная матрица с % (/) = 1. Для того чтобы доказать сходимость последовательности матриц, /', достаточно показать, что векторная последовательность {А1у} сходится при любом полуположительном z/>0. Действительно, если такая сходимость установлена, то, в частности, должны сходиться последовательности {А1с^}^ где с' = (6炉)， 3订 ——символ Кронекера. Отсюда следует и сходимость матричной последовательности *} •

Итак, пусть у (力=4% при произвольном фиксированном 沙丄 0. Тогда у (力)представляет собой решение разностного уравнения

у (t + 1) =^ Ау (0， У (0)=丸.

Возьмем матрицыВозьмем матрицыположительный собственный вектор-столбец х = (%力 Л, соответствующий собственному значению 九=4,

Возьмем матрицы

Возьмем матрицы

и положим

仇(0 =力(方)3,

a (力)=min [仇(力)，02 (^), . . ., 0n (Oh

5 (方)=max [01⑴，%⑴，…，9九g)]•

Пусть I (^) — индекс, для которого а (力)=8〃力(力).Тогда для каждого i имеем 仆71

yi (Z -|- 1) — 2 @订力(力=2 ^z J® J (力)％j = j=l$=£

=a (%) 〃川t)g(t)+ ._3^ aijQj (t) g《 Wa (0 &«t)Q⑴ + ₽ G) ,_S^ aij^j =

n

=(a (0 - В (力)。次土)/2)+ 6 (%) Sa订勺= j=i

=(a ⑴—P(/)) a”(t产/⑴ + 6 (力)&•

Положим

3 = min&j, 8 = min Xj/Xi，

Заметим, что 6 > 0 и е > 0. Разделив полученное выше соотношение для i-й компоненты вектора у « + 1） на g и воспользовавшись введенными 6, е, получаем

Уг （^ + £）3 & Q （0 — В «）） еб + 限）（X = 1,・・•，п）; отсюда

В е + 4） а （a （方）一 ₽ （力））еб + Р （力）， что можно преобразовать к виду

eб （Р （方）一 a ⑼ а в （力 一 0 （方十 1）.

Аналогичным образом получаем

eб （p （%）一a （%））忘 а （方 + 4） — a （方）•

Так как всегда 0 （介》а （力），то из двух последних неравенств следует, что последовательность {а （力} не убывает и ограничена сверху, а последовательность {Р （力）} не возрастает и ограничена снизу. Поэтому существуют пределы Нт а （力）=а и Ит Р （I） — §• Кроме того, любое из двух последних неравенств показывает, что а = 0. Вспоминая определение величин а （力）,卩（力）,мы убеждаемся, что тем самым доказано, что lim у （力）=а%. Теорема полностью доказана.

Замечание 1. Экономическое приложение исследованного динамического свойства связано с относительной устойчивостью （определение см. в § 6.3） сбалансированно-растущего решения / «） = "%, А = А （Л）,九％ = Ах самообеспечивающейся системы x{t+i）=Ax （力），（1）

где Л ——неотрицательная матрица, причем Лк > 0 при некотором А. Для любого решения х （t） = А1 х （0） этого уравнения вектор х （方）/¥ сходится при 力一> сю к Вх （0）, где В = Нт （//А）'. Представляя этот результат в несколько иной форме, можно сказать, что все покомпонентные отношения хг （^）Afxf стремятся к общему пределу. Последнее утверждение можно получить непосредственно следующим образом: х （力）/Л/ представляет собой решение уравнения у （力 + 1） = （4/А） у （力，причем здесь 九（//А） = 1, так что величины g （力）/А% соответствуют величинам %（力）в доказательстве теоремы 8.1 （i）, сходящимся к общему пределу для всех К

Замечание 2. Теорема 8.1 обосновывает итеративную процедуру решения задачи о собственном значении Хж = Ах для матрицы А, такой, что /卜> 0 при некотором k. С целью такого обоснования рассмотрим какие-либо два решения % （办,у （力） уравнения （1） при начальных условиях а： （0） >0 и I/ （0） >0 соот-

ветственно и положим

自 （0 = min ｛yi （^/3：l （t）,g2 （力/g （力），•…，以（方）/词（%）｝,

П （力）=max ｛打（力//1 （%），沙2 ⑴/g *）,•••,% （%）&（力）｝• Поскольку Ak > 0, то обе величины 占（力）м ?）（力）определены во всяком случае при всех 力》". Простая оценка дает

пmi）=Ni）>

п

*唱。山«）=Е（^宀）;

лсюда имеем 占（力）& 占（力 + 1）. Подобным же образом получаем 刀（%） > П （力 + !）• При этом последовательности ｛己（办｝ и ｛刀（力）｝ сходятся к общему пределу, так как п последовательностей отношений 、

火（力）一力（力）/乍⑴

сходятся к общему пределу т/а, где

о = lim xi （^/^Xi, т = lim 勿（力）/А/g 力一*8±f 8

при всех г.

Положим теперь у （t） = х （t + 1） для произвольного решения % （%） уравнения （1） с начальным условием х （0） > 0. Ясно, что у （力）также является решением уравнения （1） с начальным условием у （0） >0. Так как последовательности отношений

乍（方+i）_以%2 a+1）/ %f⑴弔⑴ _a%小/"vJT

сходятся к X при всех г, то соответствующие последовательности

｛己（%）｝ и ｛т）（力）｝ сходятся к А монотонно снизу и сверху соответственно.

С другой стороны, искомый положительный собственный вектор находится как предел последовательности векторов вида

况（切2 g•（力（2）

В самом деле,八 последовательностей 仇（力）=х» ｛1）/^хг сходятся к общему положительному пределу 0, так что г-я компонента

化i （%） =.

2 W） 2 0j（o xj

n

сходится к ①/£ xi Для каждого i.

На основании теоремы 8.1 мы можем классу неразложимых матриц, рассмотренному выше, дать название «устойчивые матрицы». А именно, будем называть неотрицательную матрицу Л устойчивой, если А (4) > 0 и lim (Л/Х (%))' существует. При этом для неотрицательных неразложимых матриц «устойчивая матрица» является синонимом «матрицы, некоторая положительная степень которой является положительной матрицей».

Импримитивность

В модели Леонтьева с неразложимой матрицей расходных коэффициентов Л =(〃订)все отрасли связаны друг с другом; но такая межотраслевая связь в общем случае является непрямой, что и было объяснено выше. Оказывается, что если матрица неустойчива, то все отрасли можно разбить на подгруппы отраслей, которые при соответствующей нумерации обнаруживают взаимосвязь циклического типа. Более подробно: п отраслей разбиваются на s подмножеств (s》2) Gi,小，• • •，G$ таким образом, что выполняются следующие условия:

Cl Gh = {l, 2,・・・，〃};(1)

G&=/= 0 (归=1, • •s),&i(]Gk=0 (Z#=^)；(2)

если 〃订>0 и JEGa, to igG^,(3)

где принято G$+i = G[.

Пусть lk — число индексов в подмножестве Gk, и пусть Р — перестановочная матрица, переводящая Gi в {1, 2, ..., ZJ, G? в h-lк в

{4+1, Z]十 2,・..，Z]十勾}, • • •, G冗 в {』％力+ 1, • • •,』办G t=it=i

в { 2 Z^ + 1, ..., 2 〃}• Тогда матрица А преобразуется к виду t=wt=i-

f о o о I 4$ I\

4iI о о

、。• 0-^S( S— 1)。J

где /由+i)互—неотрицательная подматрица с 1М строками и lk столбцами (здесь мы снова отождествляем s + 1 и 1), а все осталь-

ные элементы матрицы (4) равны нулю. Отметим, что на главной диагонали этой матрицы стоят квадратные нулевые матрицы порядка Z九(归-—1, . . s).

В этом разделе совокупность подмножеств {G左}, удовлетворяющую условиям (1)—(3), мы будем называть для краткости циклическим разложением.

Определение 8.2. Неотрицательная квадратная матрица Л = (。订)называется импримитивной, если она допускает циклическое разложение. В противном случае она называется примитивной.

Пример. Матрица

/0 3 0 0 3 о\

0 0 0 0 0 2

Л =

0 3 0 0 3 0

4 0 4 0 0 0

0 0 0 0 0 2

\0 0 0 1 0 0/

допускает циклическое разложение G£ = {1, 3, 6}, G2 —{2, 4, 5}, причем

0

0

0

3

0

3

\

Л

0

0

0

0

о\

0

0

0

3

0

3

0

0

0

1

0

0

Р^АР =

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

， 广一

0

0

0

0

1

0

4

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

/

\о

0

1

0

0

0/

В то же время подмножества Н】 = {4}, Я2 = {6}, Н3 = {2, 5}, & = {1, 3} также образуют циклическое разложение, и при этом

0

0

0

14 4I\

/ 0

0

0

0

1

0\

0

0

0 0

0

0

1

0

б

0

QT/Q =

ой

0

0

0

0

0 0

0 0 j

,Q =

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0 0 1

т

]0 0

0

0

0

1

0

0

'о 0

3

3

0 о /

\°

1

0

0

0

°/

Этот пример показывает, что в общем случае может существовать несколько циклических разложений.

Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы, во-первыхг установить эквивалентность свойств примитивности и устойчивости для неразложимых неотрицательных матриц и затем более детально изучить свойство импримитивности. Сначала установим следующую лемму.

Лемма 8.3. Пусть матрица Л ^ 0 допускает циклическое разложение (1)——(3). Обозначим через г (v) остаток от деления, целого числа v на s. Тогда для матрицы /”=(〃$)) (v》4) справедливы следующие утверждения:

Если а曾 >0, j£G丸, то i G ^r(fe+v)(здесь принято соглашение Gq = £).

Если w не делится на s, то 哨)=0 для всех Z, _/£Ga； в частности,珞；)=0 для всех L

Если V делится на s, то 母；)=0 для всех i^Gk, ] ^Gh.

Доказательство, (i) При v = 1 это утверждение совпадает с условием (3) для циклического разложения. Пусть утверждение справедливо при некотором v и любом " 3 = 1, 2, ...,s). Если п

爲+')>0, то в силу леммы 8.2 имеем。!；十"=2 曲％仃>0, так что должно быть а^ > 0, 〃zj>0 для некоторого 2・ Если j£Gh) то из 〃z/> 0, согласно (3), следует Z g Gh^ А отсюда и из а^ > 0г согласно предположению индукции, следует i^Gr^i^-v). Утверждение (i) доказано.

Из а夕 >0 при j£G冗 следует г g Gr{k+vy Если v не делится на s, то г (А： +v) ^r (к). Это замечание позволяет доказать (ii)г).

Если V делится на s, то г (^ +v) = г (к), так что из 鸣)>0 при j &Gh следует f ^ Gr(k)- Это замечание доказывает утверждение (iii). Лемма полностью доказана.

Л е м м а 8.4. Пусть &, а2, . . ., ат — положительные целые числа, наибольший общий делитель которых равен единице. Тогда существует положительное целое 无,такое, что любое целое v ^h представимо в виде

г=1 где а» ——некоторые неотрицательные целые числа.

Следует иметь в виду,_ что по принятому в (i) соглашению G()= G“ поэтому G左 = Gr(k> при любом 论=1, ..., s.—— Прим, перев.

Доказательство. Прежде всего мы напомним известный факт из теории чисел: наибольший общий делитель чисел 〃* (в данном случае 1) всегда можно представить в виде

4=2 RS, (5〉

где у» — некоторые целые, но не обязательно неотрицательные, числа. Доказательство этого утверждения довольно простое, и его можно найти в любом руководстве по элементарной алгебре и теории чисел. Пользуясь этим вспомогательным утверждением мы можем взять искомое h в виде

九 = eР, d= 2 |也1生.

г=1

В самом деле, для каждого w》％ воспользуемся представлением у = qd + г, d>r》O; очевидно, здесь q^ d. Тогда с учетом соотношения г = 2「¥»〃？， непосредственно следующего из (5), получаем

v = qd+r= 2(9也| +Г经)&,

где коэффициенты удовлетворяют условиям неотрицательности: 9 丨 Yt 丨十 Si >，(丨 ％ 丨 + Yi) > 0, так как q^ d> г. Лемма доказана.

Теорема 8.2. Пусть / ——неразложимая неотрицательная квадратная матрица 〃 /” =(壮?)• Обозначим через л наибольший общий делитель всех целых чисел ”, составляющих множество Mi = {v I 〃£? > 0}・ Тогда возможны два случая:

Если п = 1, то матрица А примитивна и Ah при некотором положительном целом к является положительной матрицей.

Если л > 1, то существует циклическое разложение множества индексов {1, 2, . . ., п} на л подмножеств, 〃, следовательно, матрица А импримитивна.

Доказательство. Прежде всего отметим, что Mi 耍 0, так как 仅終)> 0 при некотором v в силу леммы 8.2 (ii).

(i) Для доказательства утверждения (i) достаточно показать, что при некотором положительном целом t первая строка матрицы /' положительна. Действительно, если это установлено, то можно утверждать, что при некотором положительном целом s первый столбец матрицы А3 также положителен, так как транспозиция матрицы / снова дает неразложимую матрицу, множество “1 для которой совпадает с множеством М^ для исходной матри-

цы Л. Следовательно, при к = s + t имеем Ak = AsAl > 0. Более того, из /^>0 с учетом леммы 8.3 следует, что матрица А не может быть импримитивной.

Таким образом, для доказательства утверждения (i) остается показать, что первая строка некоторой степени матрицы А положительна. Поскольку 冗=1, то из множества М± можно выделить конечный набор целых чисел ”储...，vm, наибольший общий делитель которых равен единице. Применяя лемму 8.4 к v1? • • ., ”7n, заключаем, что существует 加 такое, что любое целое w》％ можно представить в форме v =为仪评力 где af — неотрицательные целые числа. Согласно лемме 8.2 (i), для любого V ^h получаем

鑑〉П(4У)%>о,

%>0

откуда следует, что Mi содержит все целые v〉无.В силу неразложимости матрицы Л мы имеем 力少)> 0 - для некоторых положительных целых р,； (у = 1, 2, . . ., п). Исходя из указан-» ного выше выбора h,卩力 мы завершим доказательство, проверив, что 力=历 + max {卩九 р,2» • • •,卩九} является искомым целым числом ——показателем степени. В самом деле, полагая / = Л + X； + Н/ Для каждого у, где X；——соответствующее неотрицательное целое число, получаем, согласно лемме 8.2 (i),

理》4产•%事>。，

т. е. первая строка матрицы Лf оказывается положительной. • (ii) Как обычно, будем обозначать через г (v) остаток от деления V на л. Построим 冗 подмножеств Нк множества индексов {1, 2, . . ., м} следующим образом:

Ни = {/ I 〃幻)>0, г(V)= г (к) при некотором v}, условно принимая, что А。— Яя, Яя+1 = Н^ Как будет показано ниже, эта совокупность подмножеств индексов образует циклическое разложение. Прежде всего, для каждого /, согласно лемме 8.2 (ii), найдется v, такое, что of? > 0; поэтому i £ Нг^у Это означает, что каждое i включено в какое-нибудь множество Нк, так что условие (1) для циклического разложения выполнено.

Рассмотрим теперь условие (3). Пусть а订>0 и /£Н^; тогда по определению для некоторого v имеем 哨)>0, r(y)=r (А); следовательно, согласно лемме 8.2 (i), имеем 叫；+')>&咼；)>0, причем из г(V)= г (А) вытекает, что г (v+ 1) =г (й+ 1). Таким

образом, из 〃订>0, /£Н兀 следует Z £Яй+1, так что условие (3) выполнено.

Что касается условия (2), рассмотрим сначала его вторую часть: Hi {] Hk = 0 (I ^ ")• Допустим, что i ^ Hi (} Hk (Z 耍 к). Тогда по определению найдутся р, и v, такие, что а" > 0, а/? > 0, г (卩)=г (Z), г(V)= г (к). И снова по лемме 8.2 (ii) имеем а" > > 0 при некотором со. Поэтому 砒+&)》М?喝？ > 0,哈Т®)》 》〃卅〃Т > 0, так что 卩 + со, V + со С 〃i・ Отсюда следует, что числа 卩 + со и V + со делятся на л; поэтому и их разность р, — V тоже делится на л. Это означает, что г (I) = г (ц) = г (v)= =г (〃), что в сочетании с условием пт > 2,乃〉4 дает I = к вопреки исходному предположению. Тем самым доказано, что вторая часть условия (2) выполнена. Выполнение первой части следует из условий (1) и (3) и свойства неразложимости. Действительно, согласно условию (1), хотя бы одно множество Hk не пусто. Но тогда м Я\+1 должно быть не пусто, так как в противном случае было бы 〃订 = 0 для всех j£H 丸 м%=1, . п (согласно (3)), что противоречит неразложимости матрицы А. Аналогичным образом, из Н力+1 耍 0 заключаем, что Hk + 2 ¥= 0, и т. д., пока мы не убедимся, что Hi =^= 0 для каждого Z. Теорема полностью доказана.

Для любой неразложимой импримитивной матрицы число л и соответствующее циклическое разложение, построенное при доказательстве теоремы 8.2 (ii), полностью описывают все возможные циклические разложения для этой матрицы. Точная формулировка этого результата дается следующей теоремой.

Теорема 8.3. Пусть А > 0 ——неразложимая имприми- тивная матрица, и пусть наибольший общий делитель л множества чисел Mi = {v I а^ >0} превышает единицу. Тогда

Если некоторое циклическое разложение состоит из s подмножеств, то s является делителем л.

Для любого делителя s числа л существует циклическое разложение на s подмножеств.

Для каждого данного делителя s числа л существует только одно циклическое разложение на s подмножеств.

Доказательство, (i) Так как 得；)> 0 для всех •V £ 必1, то все эти v дол?кны делиться на s в силу леммы 8.3 (ii), так что их наибольший общий делитель л также должен делиться на s・

Вспомним, что всегда существует циклическое разложение на л подмножеств Н「〃2, • • «, Яя (см. доказательство теоремы 8.2 (ii)). Построим циклическое разложение на $ подмножеств, объединяя некоторые подмножества Hk по следующему 11-8 •

правилу:

d-l

Gh = U Hjns+h (乃=1, • • •, S),?n=0sd ^^ jt .

Покажем, что совокупность полученных подмножеств G^ действительно образует циклическое разложение. В самом деле, из трех условий циклического разложения условия (1) и (2) очевидным образом выполнены по построению. Для того чтобы проверить выполнение условия (3), рассмотрим случай 〃仃 > 0 при / £ £ G冗.Тогда это j принадлежит некоторому множеству Нт$+к с каким-то т (0 之 иг & & — 1). При этом из 〃订 > 0, j € Hms-\-k следует f £ Hms-^.k+i и G冗+】 (при обычном отождествлении G$+i с Gi м &+1 с ZTi).

Пусть {吊，F2,...,尸$} и {G〃 G2, • •G$} — два цик

лических разложения, каждое из которых состоит из s подмножеств. Без потери общности мы можем предполагать, что х) 歹£ П G]力 0. Положим теперь

8

J = U (厶 П GQ •

目=1

Допустим, что имеет место 〃订 > 0, j £ J・ Тогда это j должно принадлежать множеству FK (] Gk с некоторым индексом Е・ Но тогда из 〃订 > 0, j g Fh, следует » 仁 歹在+i (с обычным условием Fs+i = = 尸!)• Аналогично, из 〃订 > 0, j ^ Gk следует Z £ G兀+】(с G$+i = =GJ. Эти результаты в совокупности дают, что из 〃仃 > О, / £ 7, следует % £ J. Поэтому 〃订=0 для всех i 0 J, j £ /• Из неразложимости матрицы А и того факта, что J п /\ П Gi #= 0, следует, что J = {1, 2,・•.,九}, где п — порядок матрицы А. Таким образом, множества Fk f] Gk в совокупности покрывают множество {1, 2, . . ., п}, А это возможно только в том случае, когда Fk = Gk=Fk[] Gk, что и завершает доказательство теоремы.

Если дана неразложимая неотрицательная матрица А, то будем называть наибольший общий делитель л множества чисел М^ = ={v I 磴)> 0} периодом матрицы А. Заметим, что в этом определении периода матрицы Л мы вполне могли бы исходить из множества Mi = {v I а^ >0} при каком-либо другом i, не равном единице. Действительно, мы получили характеристику числа л как числа подмножеств в самом мелком циклическом разложении, а построить это циклическое разложение можно было бы исходя из Mi точно так же, как мы это сделали исходя из М卜 Поэтому наибольший общий делитель множества чисел М% должен

Имеется в виду, что циклическое разложение определено с точностью до циклического сдвига номеров всех подмножеств, образующих это разложение. —Прим, перев.

быть тем же числом л, что и для М^ Пусть Я1? Я2, . . ., Нп — циклическое разложение, соответствующее периоду л. Поскольку надлежащей одновременной перенумерацией строк и столбцов матрицу Л всегда можно привести к виду (4), мы можем без ограничения общности предполагать, что сама матрица Л уже задана в форме (4), где s = л. Тогда в соответствии с леммой 8.3 мы имеем

0... О \

О %•

\о о

где Bh =(〃爵))，3 / £瓦,一квадратные неотрицательные матрицы, расположенные на главной диагонали, а все остальные элементы матрицы Ап ——нули. При этом справедливо следующее уточнение.

Теорема 8.4. Каждая матрица Вк е (6) является неразложимой примитивной матрицей.

Доказательство. Заметим, что Bk =(成爭)，5g = =&产)，書 j £ Hh・ Согласно лемме 8.2 (ii), для доказательства неразложимости матрицы Bk достаточно показать, что для любых %, / £ Hh найдется v, такое, что а^^ > 0. Действительно, в силу неразложимости матрицы Л существует ц, такое, что 喈)> 0. Но согласно лемме 8.3 (ii), это 卩 должно быть кратно л, т. е.卩 = = v^ при некотором целом v. Таким образом, а^л) >0, и, следовательно, матрица Bk неразложима. Далее, чтобы убедиться в примитивности матрицы В к, рассмотрим множество Mt (8 冗)= =W I 〃!产)> 0} для некоторого фиксированного i £ Hk. Очевидно, что положительное целое 卩 принадлежит множеству Mi для исходной матрицы Л тогда и только тогда, когда р, делится на л и(x/л принадлежит множеству М» (3Q. А так как л является наибольшим общим делителем для множества чисел М», то наибольший общий делитель для множества М( (3丸)равен единице. Следовательно, согласно теореме 8.2 (i), матрица Вк примитивна. Теорема доказана.

§ 8・3・ Другая характеристика периода

Период зт неразложимой неотрицательной матрицы А можно еще охарактеризовать как число собственных значений(о матрицы А, равных по модулю числу 九(А), т. е. | (о | = % (4). Иначе говоря, такие собственные значения полностью описываются

11*

выражениями (о丸=А (А) п^ (А = 0, 1, . . ., л — 1), где 刀 —— первообразный корень л-й степени из единицы. Настоящий раздел посвящен краткому изложению этих результатов. Оговоримся, однако, что исчерпывающее описание всех собственных значений, равных X по модулю, приводится здесь лишь для полноты изложения и нигде в последующих разделах не используется.

Лемма 8.5. Если со — собственное значение неразложимой примитивной матрицы А, такое, что | со | = А (Л), то со = =X (Л).

Доказательство. Пусть z ——собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению со. Тогда, очевидно, для всех 力=1, 2, . . . мы имеем

偿）7=（分Z，一⑷.偿）7=（分Z，一⑷.(1)(1)

偿）7=（分Z，一⑷.

偿）7=（分Z，一⑷.

(1)

(1)

Как следует из доказанного ранее, для примитивной матрицы А последовательность (//А)' сходится к предельной матрице, строки которой являются положительными кратными 0^' положительного собственного вектора-строки р' матрицы Л, соответствующего собственному значению % (см. теоремы 8.1 и 8.2). Следовательно, правая часть соотношения (1) сходится к вектору

/еА

pfZ I f2 L бг> 0 « = 1, ・..，〃)，

так что последовательность чисел (со/А)‘ также должна сходиться к некоторому пределу п，причем j n I = 1- Переходя к пределу в соотношении (1), убеждаемся, что отношения компонент вектора z имеют вид 0! : 02 ： . . . ： 0П. Следовательно, при соответствующем подборе комплексного числа о мы получим вещественный положительный вектор oz. Умножая соотношение (oz =/z на это а, получаем со (oz) = Л (oz). Тогда из Л > 0, oz > О следует, что число со является вещественным и, более того, положительным. А так как | со | = А, то отсюда следует со = А. Лемма доказана. •

Лемма 8.6. Если неразложимая неотрицательная матрица А импримитивна, то каждое ее собственное значение со, удовлетворяющее условию I со I = А (/), в то же время удовлетворяет уравнению со31 = А (/)% где л > 1 — период матрицы А.

Доказательство. Ясно, что со3T является собственным значением матрицы Лл. Вспомним теперь, что матрица /几 имеет форму (6) из § 8.2. Поэтому со冗 должно быть собственным значением хотя бы одной из матриц Bh. Далее, из теоремы 7.2 полу

чаем, что А (/产=А (/冗)“入(/几)> А (3丸)для этой матрицы В^ имеющей со冗 своим собственным значением. Так как, кроме того, I со冗 I = А (Л)л и A (3互)》I ①冗]для этой матрицы Bh, в результате получаем А (3丸)= А (Л)л = | сол |. Поскольку матрица Bk по теореме 8.4 неразложима и примитивна, то, применяя лемму 8.5 к рассматриваемой матрице Bh, получаем ①几=А (Л)л. Лемма доказана. ,

Теперь осталось показать, что каждое решение со уравнения ①几=А (/)几 является собственным значением матрицы А.

Лемма 8.7. При тех же предположениях о матрице 4, что и в лемме 8.6, каждое решение со уравнения со冗=А (Л)л является собственным значением матрицы А.

Доказательство. Без потери общности можно считать, что матрица Л представлена в форме, приведенной в правой части (4) из § 8.2, где s = л. Пусть

есть положительный собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению 九 = А (/), причем {%* . . ., xk, . . ., %几} — разбиение компонент вектора %, соответствующее циклическому разложению Hi, . . ., Ял, такому, что xk соответствует Hk. При этом соотношение А% = Ах для вектора (2) сводится к л соотношениям

九① 1 — А 1л^я,

A①2 = /21公，

(3)

A%" = " 左(丸-1)①'1,

入力"=-4 л(л-1)^л

Пусть п ——какой-либо корень из единицы степени л. Умножая А-е соотношение в (3) на 刀丄一八 и полагая со = Хт], мы получаем

сот)-1/1 = /]j1Tl—叱г31,

(0丁2/2 =/2" 41,

0nl—\z? = 4(1)丁(i)%i,

0nj-e①h=/jt(冗①门一丄.

Учитывая равенство 刀冗=1, полученные л соотношений можно снова записать как одно соотношение

(0Z ~— /z, если положить

Таким образом, со = %т)представляет собой собственное значение матрицы Л, и ему соответствует собственный вектор z. Следовательно, л различных чисел ①左=厶“卜伪=1, . . ., л), где т)— первообразный корень л-й степени из единицы, являются собственными значениями матрицы А, что и требовалось доказать.

Объединяя леммы 8.5—8.7, получаем следующую теорему.

Теорема 8.5. Пусть неразложимая неотрицательная матрица А имеет период л. Число(о, удовлетворяющее условию I(о I = % (А), является собственным значением матрицы А тогда и только тогда, ког^а (о — корень уравнения ①几=九(%)"・

Разностные уравнения в обратном времени ')

В динамическом процессе движения доходов, иллюстрируемом уравнением (4) из § 6.3, не предусмотрена возможность времен- нйх лагов (запаздываний) в соответствующем производственном процессе. Поэтому если Л — матрица расходных коэффициентов модели, то текущие затраты Ax(t) обеспечиваются валовым выпуском %«) в том же самом периоде; остающаяся часть выпуска %(力)идет на покрытие конечного спроса с(%). В этом разделе мы рассмотрим ситуацию, когда процесс производства занимает определенное время и использование выпускаемого продукта возможно лишь с некоторым запаздыванием по отношению к произведенным затратам ресурсов. Мы не будем рассматривать общий случай, а сосредоточим внимание на довольно специфической ситуации, так как нашей целью являются результаты, которые можно получить простым приложением теорем о неразложимых неотрицательных матрицах.

Пусть т — фиксированное положительное целое число, определяющее временной интервал, который характеризует заданную производственную технологию. Это означает, что выпуск запаздывает по отношению к затратам на т периодов. Заданная техно-

1) Материал этого раздела взят из работы Никайдо [8].

логия по-прежнему имеет леонтьевский тип, характеризуется раздельным производством разных продуктов в разных отраслях и фиксированными расходными коэффициентами, но в силу наличия производственных лагов эта технология описывается несколько иным образом, чем это делалось прежде.

Основные формальные предположения таковы:

Валовой выпуск в периоде t описывается n-мерным вектором z (%).

Матрица расходных коэффициентов Ат = (〃”》) представляет собой квадратную неразложимую неотрицательную матрицу порядка п, где элемент 〃7n订 обозначает количество i-го продукта, затрачиваемого в периоде t для получения единичного выпуска /-го продукта в периоде t + т.

Задана бесконечная последовательность векторов конечного спроса {d (力)}品，экзогенного по отношению к системе, где & (%) N 0 обозначает n-мерный вектор конечного спроса в период 力=1, 2, . . . . Тогда основное уравнение для векторов z (力 примет вид

z (力)=Amz (t + т) + d «),

z (力)N 0 (力=0, 1, • •・)• (1)

Ограничение неотрицательности наложено здесь из тех соображений, что z (力)представляет собой вектор валового выпуска.

Прежде всего следует отметить некоторые специфические факты, относящиеся лишь к разностным уравнениям в обратном времени с ограничениями неотрицательности, но не касающиеся обычных разностных уравнений в прямом времени, типа уравнений, рассмотренных в § 6.3. Во-первых, поток конечного спроса ——последовательность векторов {d (^)}~ ——нельзя задавать совершенно произвольно. Если конечный спрос растет слишком быстро, уравнение (1) может не иметь решений. Даже если система функционирует на конечной последовательности периодов, то поток чрезмерно нарастающего внешнего спроса может привести к тому, что на потребление будет отдан весь валовой выпуск в некотором периоде, после чего система не сможет продолжать работать. Для того чтобы обеспечить самоподдерживающийся рост в системе (1), конечный спрос должен расти с достаточно умеренной скоростью. Этому ограничению на поток конечного спроса ниже будет придана точная формулировка в виде необходимого и достаточного условия существования решения уравнения (1).

Далее, даже если существование решения уравнения (1) возможно, начальное состояние z (0), вообще говоря, нельзя взять произвольным. Дело в том, что если мы начнем с произвольного неотрицательного вектора z (0), может возникнуть ситуация, когда в некотором периоде ^0 уравнение z (力о) = Az + d (力°) вообще не будет иметь неотрицательного решения z, которое мож-

но было бы принять в качестве z (^0 + т). Такая ситуация может возникнуть даже в начальный момент времени ^0 = 0. Это специфическое свойство особенно легко наблюдать в том частном случае, когда матрица Ат в (1) обратима. Если матрица Ат обратима, то уравнение (1) можно представить как уравнение в прямом времени, т. е.一

z(t + т) = //z (t) — A^d (力)，z (%)三 0 (力=0, 1, . • •)•

В этом уравнении член —A^d (力)может иметь отрицательные компоненты. Более того, сама матрица /^ в общем случае имеет отрицательные элементы по той простой причине, что матрица Ат неотрицательна. Действительно, легко проверить, что матрица, обратная неотрицательной матрице Л, снова неотрицательна тогда и только тогда, когда Л получена перестановкой столбцов (строк) некоторой диагональной матрицы. Поэтому вектор (力)一/^ d (力)может не быть неотрицательным, даже если вектор z (力)неотрицателен. В соответствии со всем сказанным неотрицательность вектора z (力)во времени можно гарантировать только в том случае, когда мы начинаем с очень тщательно подобранного неотрицательного вектора z (0). Это ограничивает диапазон допустимых начальных состояний некоторым узким подмножеством множества неотрицательных векторов. На самом деле ситуация еще более усложняется тем, что матрица Ат в (1) не предполагается обратимой.

Имея в виду все эти предварительные соображения, мы приступим к полному описанию решений системы (1). В качестве первого шага отметим, что систему (1) всегда можно преобразовать к эквивалентному виду

x (方)=Ax (%+ 1) + e (%),

①⑺三 0 (% = 0, 1, • • •)•(2)

В самом деле, для этого достаточно положить (0• •. 0

6 ...о о /

\z(t + m — i)/\ 0 /

В матрице А, имеющей вид (3), в верхнем правом углу стоит матрица Ат, а непосредственно под главной диагональю, на которой расположены т квадратных нулевых матриц порядка 八,стоят тп ——1 единичных матриц порядка 八；все остальные элементы этой матрицы — нули.

Лемма 8.8. Пусть Ат — неотрицательная квадратная матрица порядка п. Тогда

Матрица А вида (3) неразложима тогда и только тогдаг когда неразложима матрица Ат.

Пусть матрица Ат неразложима и л — период матрицы, Ат. Тогда период соответствующей неразложимой матрицы А вида (3) равен игл.

Доказательство. Мы воспользуемся леммой 7.4. Сначала покажем, что из неразложимости матрицы Ат следует неразложимость матрицы А. Для этого достаточно показать, что если 卩①三 Ах, а: > 0, то ж > 0. Если разбить вектор % на 碇 неотрицательных векторов ж1, хт в соответствии со структурой матрицы А из (3), то неравенство 卩％ 三 Ах можно заменить т неравенствами [ixL^Amxm,卩逆三％i,...,卩％俏三力^一 Тогда простая итерация дает [imxm ^ Атхт, хт >_ 0. Применяя лемму 7.4 к неразложимой матрице Атч заключаем отсюда, что xw > > 0, а это в свою очередь дает ①乞 > 0 (j = 1, . . ., т —— 1). Поэтому % > 0, так что, согласно лемме 7.4, матрица Л неразложима.

Обратно, предположим, что матрица А неразложима. Пусть жт > 0 — полуположительный вектор, удовлетворяющий соотношению fixm ^ Атхт при некотором 卩》0. Очевидно, что 卩 здесь можно считать положительным. Положим а = [i1/m > О и введем тп — 1 векторов ж1 = Атхт/а, %?=炉/о, . . •,力*1 = =①7n-2/о. Тогда составной тп-мерный вектор

удовлетворяет условиям ох 三 Ах, ж > 0, а > 0. Из неразложимости матрицы Л теперь в силу леммы 7.4 следует ① > 0. Зто, в частности, означает, что хт > 0; отсюда, снова применяя лемму 7.4, находим, что матрица Ат должна быть неразложима.

Возведя матрицу А из (3) в степень иш, получаем матрицу вида

(

^т 0 • • •

0 Ат •. I

о ... о

Так как период матрицы Ат равен л, то на главной диагонали матрицы А^ мы получаем тп квадратных неотрицательных матриц, каждая из которых неразложима и примитивна в силу теоремы 84 С учетом этого можно заключить, что период матрицы Л равен игл, что и требовалось доказать.

Эти вспомогательные результаты приводят нас к исследованию системы (2) с неразложимой неотрицательной матрицей А, причем теперь уже в общем случае мы не будем предполагать, что матрица Л имеет специальный вид (3). Сначала мы рассмотрим случай, когда внешний спрос отсутствует, т. е. случай однородного уравнения

и (力)=Au (t + 1),

^ (0 = 0 (^ = 0, 1, . . .).(5)

Всюду далее А — некоторая неразложимая неотрицательная матрица порядка п.

Первое, что мы отметим — существование нетривиального сбалансированно-растущего решения уравнения (5), причем единственного с точностью до положительного скалярного множителя. Действительно, решение задачи о собственном значении ?]% = 4%, ж > 0, т] > 0 порождает сбалансированно-растущее решение системы (5) вида и «) = (1/п)% > 0. Как было показано в § 7.2, упомянутая задача о собственном значении имеет решение в виде числа т)=九(Л) > 0 и положительного собственного вектора ①，соответствующего собственному значению X (А). Далее, единственность построенного сбалансированно-растущего решения устанавливается следующим образом. Если ?), % — решение указанной выше задачи о собственном значении, то для любого р > т), сколь угодно близкого к % мы имеем р% > Ах, ж > 0. Поэтому в силу теоремы 7.4 (i) матрица р/ — А неотрицательно обратима; отсюда по теореме 7.1 (ii) заключаем, что р > 九(А). Это означает, что n = A (N), что в силу теоремы 7.3 (ii) обеспечивает единственность соответствующего вектора х с точностью до положительного скалярного множителя.

Весьма интересный результат приводится в следующей теореме.

Теорема 8.6. Если матрица / примитивна, то описанное выше сбалансированно-растущее решение является единственным возможным нетривиальным решением системы (5).

Доказательство. Пусть и (力)一произвольное нетривиальное решение, так что и (^) > 0 во все моменты времени. Возьмем положительный собственный вектор-строку р‘ матрицы А, соответствующий собственному значению X = % (Л). Тогда после умножения обеих частей уравнения (5) слева на р‘ и итерации получаем рги (0) = р' (Xf и (%)). Так как // > 0 и 入％ (力)三 0 во все моменты времени, то последовательность векторов ^и (办} ограничена. Из уравнения (5) непосредственно находим, что и (0) = (//А)' (¥〃(力)). Возьмем теперь подпоследовательность {、%〃(％)} последовательности {»〃(％)}, сходящуюся к некоторому пределу 〃三 0. Предел Кт (4〃)' = М существует в силу теорем 8.1 и 8.2. Поэтому соотношение

и ⑼=(//А)% ^и (Е))

в пределе дает и (0) = Ми, где сэ олбцы матрицы М являются положительными кратными положительному собственному вектору матрицы Л, соответствующему собственному значению % (Л). Поэтому и (0) > 0 оказывается положительным собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению X (Л). По той же причине и (力)при каждом t является положительным собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению X (Л). Таким образом, соотношение и (力)= =А〃(力 + 1) выполняется тождественно по всем 力，так что и 伪= —〃(0)/». Этим завершается доказательство теоремы.

Теорема 8.7. Если А — импримитивная матрица с периодом л > 1, то система (5) имеет л линейно независимых колебательных решений, и каждое решение этой системы однозначно представимо 6 виде их линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами.

Доказательство. Без потери общности можно предполагать, что матрица Л имеет форму (4) из § 8.2, где s = л. Мы воспользуемся введенными в § 8.3 при доказательстве леммы 8.7 v разбиением (2) положительного собственного вектора х матрицы А, соответствующего собственному значению А = =X (Л), на л положительных векторов xk (" = 1, 2, . • ., л), и л соотношениями (3), которым удовлетворяют эти векторы. Заметим, что каждый из этих векторов xh удовлетворяет также соотношению

(6)(6)厶年 h = BkXk,

(6)

(6)

где Bk ——матрицы, расположенные на главной диагонали матрицы (см. (6) из § 8.2).

Построим искомую совокупность эт решений системы (5) исходя из этих л векторов xk (к = 1, . . ., л). Как обычно, будем обозначать через г (方)остаток от деления неотрицательного целого числа t на л. Для к = 1, . . ., л положим

f 1, если л — г (^) — Л,

I 0 в противном случае. Тогда, вектор

является решением системы (5). Для того чтобы проверить это утверждение, мы сначала заметим, что функции 8k (^) удовлетворяют соотношениям

3兀(^+ 1) = 6兀+1 (力)(加=1, 2, . •.,冗一1), бл (力+ 1) = М«)・

Тогда, согласно системе соотношений (3) из § 8.3, имея в виду указанное свойство функций 6h (力)，мы получаем, что

&(%+1)4尸\

31G+1)41 ①1'

4如(力+ 1)阮(仆1)/(心»=

冗一人(力+1) 4(几-1)/"‘偿(办小

\6Я (/)

При этом очевидно, что 笫⑴三 0 во все моменты времени, чем и завершается проверка нашего утверждения. Ясно, что л векторных последовательностей笫")(力)=入冗一〃笫(力 + 冗一Z) (% =

=1, . . ., л) также являются решениями системы (5).

Нетрудно видеть, что последовательность 笫")(力) имеет колебательное поведение и обнаруживает циклический рост с периодом цикла лис нормой роста (1/А)——1. Действительно, в каждый момент t величина dh (t + я — i) принимает значение 1 ровно лри одном к, а при всех остальных значениях индекса I 声 к все (л — 1) величин 6； (^ + л — i) обращаются в этот момент в нуль. Выделенный индекс А, для которого 3兀(力 + 冗一Z) = 1, пробегает значения 1, 2, . . ., л циклически в обратном порядке по мере того, как t пробегает натуральный ряд чисел. Подобным же образом мы убеждаемся, что индекс 归,при котором ^fe (^ + л — i) = 1, оказывается разным для разных i, откуда и следует линейная независимость полученных л решений 笫⑴(力) ‘(，——1,...,冗)•

Остается показать, что неотрицательные линейные комбинации векторных последовательностей 笫*)«) полностью исчерпывают множество всех решений системы (5). Прежде всего заметим, что в силу линейности соотношений (5) любая линейная комбинация последовательностей 笫(')(力)с неотрицательными коэффициентами является решением системы (5). Пусть теперь и (力) —— какое-либо решение системы (5). Тогда с помощью итерации получаем

и (vjt) = /"》((V + 1) л) (V = 0, 1, • • .)•(7)

Разбивая вектор и (力)на подвекторы

с、

〃(方)=1 d 他)I

в соответствии с разбиением вектора х на подвекторы d и учитывая специфическую структуру матрицы Лл (см. (6) из § 8.2), мы можем заменить (7) системой соотношений

uk (vjt) = Bkuk ((V + 1) зт) (к = 1, . . ., л), uk (vjt) N° (V = 0, 1,・・•)•

Иначе говоря, у (v) = 〃' (vjt) является решением уравнения у(V)= Bky(V + 1), у(V)^ 0, где матрица коэффициентов & неразложима и примитивна в силу теоремы 8.4. Поэтому, применяя к данному уравнению теорему 8.6, мы заключаем, что векторная последовательность у (v) представляет собой неотрицательное кратное соответствующему сбалансированно-растущему решению, которое, согласно (6), порождается вектором /', причем норма роста составляет 1/Хя ——1. Таким образом, должно существовать единственное неотрицательное число 0fe〉0, такое, что

uk (夕冗)=(1/Х)¥Я0^. Тогда, учитывая, что

(% = 1, .. ., л),(% = 1, .. ., л),

(% = 1, .. ., л),

(% = 1, .. ., л),

получаем

м(ул) = 2 0”⑴ «л) (v = 0, 1,...). i=l

Следовательно, мы установили, что и (力)совпадает с v (t)= =工仇必⑴(力)при всех ^ = vji (v = 0, 1, . . •). Но отсюда немедленно следует и полное совпадение этих двух функций при всех t. В самом деле, если для произвольного t мы возьмем v, такое, что VJI > 力 то из и (”冗)=D (vji) получим

и (%) = 4”а‘ и (v^) = 4VA% (v^) — v(t).

Теорема полностью доказана.

Теоремы 8.6 и 8.7, в частности, полностью описывают набор возможных начальных значений для решений системы (5). А именно, множество возможных начальных значений имеет вид {0ж I 0 >0}, если л — 1; если же л; > 1, то это множество представляет собой множество всевозможных векторов вида

I ： I, Е>0 (г = 1, ..л).

Теперь мы приступим к рассмотрению неоднородного случая для системы (2), когда она подвержена воздействию ненулевого потока внешнего спроса с (%).

Теорема 8.8. Пусть задана последовательность {с«)}, с(力)三 0 (力=0, 4, • . .). - Тогда сходимость каждого из двух следующих векторных рядов:

(a) $4vc(v), 、=о

(₽)3 Vr(v),九=入⑷

0

влечет за собой сходимость другого ряда. Далее, система (2) имеет решение тогда и только тогда, когда ряд (а) сходится. Если последнее условие выполнено^ то ряд'

(Y)3 Avc(v + s) v=0,

также сходится при любом целом s = О, 1, • . ., м общее решение системы (2) имеет вид

x(t) = u (О + $ Avc (v+ 力)，

v=O

где и (力)——любое решение однородной системы (5).

Доказательство. Поскольку оба векторных ряда (а) и (Р) состоят из неотрицательных членов, их сходимость эквивалентна ограниченности сверху их частичных сумм (по v от О до t) при всех 力=0, 1, . . . . Возьмем положительный собственный вектор-строку р‘ матрицы А, соответствующий собственному значению А =九 ⑷.Тогда

/ 3 Avc(y)=p, 3 Vc(v)(力=0, 1, •・•)•(8)

v=0v=0

Левая часть соотношения (8) ограничена сверху тогда и только тогда, когда ограничена сверху правая часть. Ввиду положительности вектора рг отсюда следует,- что ограниченность (сверху) каждой、:из двух векторных последовательностей

{3 /%(”)}之о, {3 公С")}力v=0v=0

означает в то же время ограниченность другой. Поэтому ряд (а) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (Р).

Предположим теперь, что система (2) имеет решение х (力)• Тогда (t + 1)-кратная итерация дает

t

х (s) = At+1x (s+1)+ 2 /Z(s + v);

v=0 отсюда имеем

力(s)三 £ 4Z(s + ”) « = 0, 1,(9) v=0

поскольку 4*+i% (s + 力 + 1)三 0. Таким образом, последовательность величин в правой части (9) ограничена сверху, из чего следует сходимость ряда (у) при любом s = 0, 1, . . . . В частности, при s = 0 это означает сходимость ряда (а). Обратно, предположим, что сходится ряд (а). Снова воспользуемся вектором р‘ > 0,

для которого Хр‘ = р'А. Тогда мы имеем

Pf 2 Avc (v + s) = VV 3 ^c (v)(力=0, 1, ...).(10)

v=0v=s

Сходимость ряда (а) гарантирует сходимость ряда (0), что в свою очередь обеспечивает сходимость последовательности правых частей в (10) (при 力 f 十 оо). Отсюда следует сходимость последовательности левых частей в (10), из чего подобно предыдущему делается вывод о сходимости ряда (у). Исходя из сходимости ряда (у), положим

М)= £ Avc(y+t).(И)

v=0

Легко проверить, что у (力)является частным решением системы (2).

Установим, наконец, формулу (6) для общего решения системы (2). В силу линейности системы (2) ясно, что последовательность (6) удовлетворяет системе (2) при любом решении и (力)однородной системы (5). Кроме того, из соотношений (9) видно, что каждое решение х (力)системы (2) удовлетворяет условию / (力)三 N у (%). Это означает неотрицательность функции и (t) = х (力)一 ——у (力 при всех t. С учетом этого из линейности системы (2) получаем, что и (力)является решением системы (5). Теорема полностью доказана.

Заметим, что указанное выше частное решение у (力)системы (2) является минорантой для всех решений х (力)этой системы. Для того чтобы уяснить себе значение этого частного решения, мы рассмотрим специальный случай, когда с (力)возрастает сбалансированным образом с нормой роста р ——1; как мы увидим, этот случай заслуживает особого внимания. Итак, пусть с (力)=р*с (力=0, 1； . . .) при некоторых с > 0, р > 0; при этом ряды (a), (Р) сходятся тогда и только тогда, когда р V 1/Х. В этом случае соответствующее минорантное решение у (力 имеет вид

g«) = d § ^avc^^ (/-рЛ)-^.(12)

v=0

Нетрудно видеть также, что (12) представляет собой единственное возможное сбалансированно-растущее решение системы (2), так как любое нетривиальное сбалансированно-растущее решение х (力 этой системы должно в силу соотношения / (力)一 —Ах (力 + 1) = р% иметь ту же самую норму роста р — 1. По этой причине в системе (2) при наличии ненулевого потока внешнего спроса невозможен сбалансированный рост с нормой, превышающей величину (1/А)——1 или равной ей.

Справедливо и более общее утверждение: при любом потоке внешнего спроса, удовлетворяющем условию (а), но не обязательно растущем сбалансированным образом, характер роста мино- рантного решения у (力 должен быть более медленным, чем (1/А){ т. е. чем характер роста нетривиального решения и (力)однородной системы (5) Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема 8.9. Для минорантного решения у (力)системы (2) имеет место

lim ¥g (力)=0.

Доказательство. Возьмем, как и прежде, положительный собственный вектор-строку р‘ матрицы Л, соответствующий собственному значению % = X (А). Достаточно установить сходимость последовательности ^р'у (0 к нулю при 力 f+оо. В силу соотношений (10), (11) мы имеем

乃р'у (力)=』2+tp'c W+力=2 Zp'c (v).(13)

v=0*v=£

Из сходимости ряда (0) следует сходимость ряда 2厶”夕％(旷), v=0

а это означает, что выражение, стоящее в (13) справа, стремится к нулю при %->+8. Этим завершено доказательство теоремы.

Теорема 8.9 показывает, что в общем решении х (力)системы (2), которое дается выражением (6), соответствующий член и (力) (если он не равен тождественно нулю) является доминирующим. Минорантное решение у (力),которое входит как составляющая в х (%), в конечном счете становится пренебрежимым по сравнению с (1/X)f, в то время как остающаяся составляющая 〃(力)=% (力)一 —у (力)имеет характер (1/А> и тем самым определяет поведение решения х (力)• Такое доминирование члена и (力)формально выражается условием

lim у Vx ^) — ^и (/) II = 0,(14)

которое немедленно следует из теоремы 8.9. Заметим, что последовательность А/〃 (力)является периодической, пробегая циклически не более чем л значений; этот факт очевиден из явного представления общего решения системы (5). Условие (14) молено представить в более наглядной форме; это особенно просто сделать, если и (0) > 0. Действительно, если и (0) > 0, то в выражении 〃(力)=2 9?^。)(力)все коэффициенты 0f положительны, так что при этом 〃⑴、0 при всех t. Тогда для всех компонент векторов х (%)，"(力)мы получаем

lim xt (t)/Ui (^) = 1(i = 1, ..., n),

что следует из соотношений

(% = 1, . • •,八)(% = 1, . • •,八)图（土） = a I%仇（力）Ui （0 -十九①（方）

(% = 1, . • •,八)

(% = 1, . • •,八)

и из того, что здесь lim #勿(力)=0 м Л/〃厂(力)—периодические функции 九

Нетрудно теперь перенести результаты исследования систем (2)

и (5) на систему (1); выполнить это мы предоставляем читателю.

ДРУГИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Линейное программирование

Линейное программирование первоначально возникло просто как задача максимизации (минимизации) линейной функции при ограничениях в форме линейных неравенств. Такая постановка появилась в связи с решением практических задач в области исследования операций и организационного управления. Позднее это привело к разработке полезных алгоритмов численного нахождения решений, среди которых самым характерным и известным является симплекс-метод Данцига [1]. Однако с точки зрения экономической теории некоторые качественные аспекты линейного программирования оказываются более интересными, чем вычислительные аспекты. Это обусловлено тем, что задача линейного программирования вместе с двойственной ей задачей имеет прямое отношение к проблемам распределения ресурсов и оценки производственных факторов. Линейное программирование позволяет дать компактное описание простейшей ситуации конкурентного равновесия. В силу всего сказанного мы сосредоточимся в этой книге всецело на этих качественных сторонах линейного программирования, оставив вопросы отыскания численных решений с помощью вычислительных алгоритмов на долю соответствующей литературы по численным методам, которая в настоящее время достаточно обширна и полна.

Каноническая форма максимизационной задачи линейного программирования такова: максимизировать линейную форму

CR1 + Q①2 + • • • ,Ч~ 'п■①тг(1)

при ограничениях

〃11 ① 1 + 〃12① 2 十• • • + °m”n ^^ 匕 1,

@"/1 + a22/2 + • • • + ^in^n ^^ 仇，(2)

〃m口 1 + ^m2^2 + • • • + ^mn^n & 匕加，

① 1>0,①2。，• •■，^n ^^*。，(3)

где 〃仃,仇,G ——заданные константы.

С этой задачей тесно связана следующая минимизационная задача линейного программирования: минимизировать линейную форму

&q + 匕2沙2 + • • • + bmvm(Г)

при ограничениях

〃1止1 + “2山2 + • • • + amivm》4,

%产 1 + %产2 + • • • + %n2n > Cj,(2‘)

"1九u1 +"2九"2 + • • • + ^mn^m》C九, 内》0, u2》0, • • •, %》0.(3‘)

Ради простоты мы будем обозначать задачу максимизации линейной формы (1) при ограничениях (2), (3) через (М), а задачу минимизации линейной формы (Г) при ограничениях (2‘)， (3‘)—— через (ш). Ввиду специфической структуры массива констант 〃ij, bit с)в обеих этих задачах задачи (М) и (т) называются взаимно двойственными. Мы будем также говорить, что каждая из них является двойственной по отношению к другой.

Для того чтобы представить эти задачи в матричной форме, введем следующие обозначения:

Л =(〃订)—матрица размера т X п, Ъ =(匕 j ——m-мерный вектор-столбец, с = (cj) “一 n-мерный вектор-столбец, х =(①，一n-мерный вектор-столбец, v =— m-мерный вектор-столбец.

Тогда задачи (М) и (т) можно представить в следующей форме:

(М): максимизировать с'% при ограничениях Ах 三 Ь,①三 0. (m): минимизировать vrb при ограничениях vfA N с',少三 0.

Важнейшее соотношение между взаимно двойственными задачами дает следующая теорема.

Теорема 9.1 (двойственность в линейном программировании). Пусть X = {х \ Ах W А % 三 0}, V — {v \ и'А 三 с', и 三 0}, и предположим, что X ^ 0, У =# 0. Тогда

vfb 三 сх при любых х ^Х, v ^V,

vfb = c'x при некоторых '① £ X, ^ g У.

Доказательство, (i) Так как при v ^V имеем и 三 0, то, умножая обе части неравенства Ах 三 6, где х € X, слева на vf £ У, получаем v1 Ах 三 vfb. Аналогичным образом получаем

42*

V*Ах ^ cfx. Поэтому

⑷⑷и'Ь 三 V1 Ах 三 cfx при 力 g X, и £ 匕

⑷

⑷

что и требовалось доказать.

Стандартный метод доказательства утверждения (ii) основан на обращении к лемме Минковского ——Фаркаша, т. е. к следствию 1 из теоремы 3.7 в гл. I.

С учетом (i) нам достаточно показать, что v'b 占 cfx для некоторых х Q X л V ^V. В соответствии с этим достаточно установить разрешимость относительно m-мерного вектора и и п-мерного вектора х следующей системы неравенств:

О一4' VО一4' V^三0, nN0.^三0, nN0.(5)⑹(5)⑹Введя (m + n + 1)-мерный вектор вспомогательных переменных w^ эту систему соотношений можно преобразовать к видуВведя (m + n + 1)-мерный вектор вспомогательных переменных w^ эту систему соотношений можно преобразовать к видуь三0, 况三0, ^三0,ь三0, 况三0, ^三0,(8)(8)

О

一4' V

О

一4' V

^三0, nN0.

^三0, nN0.

(5)

⑹

(5)

⑹

Введя (m + n + 1)-мерный вектор вспомогательных переменных w^ эту систему соотношений можно преобразовать к виду

Введя (m + n + 1)-мерный вектор вспомогательных переменных w^ эту систему соотношений можно преобразовать к виду

ь三0, 况三0, ^三0,

ь三0, 况三0, ^三0,

(8)

(8)

где матрица коэффициентов в (7) получена из матрицы в (5) добавлением 加二+ п + 1 новых столбцов, вместе образующих единичную матрицу порядка 加 + 八 + 1.

Согласно следствию 1 из теоремы 3.7 в гл. I, система соотношений (7), (8) имеет решение, если выполнено условие

(М『，е)(-с)>о(9)

для любого решения (р\ д', 0) неравенства

(

О Л 1 \

° 0*-° I—0,(10)

У—d 1/

где векторы р「д' м 8 имеют размерности т. п^ 1 соответственно.

Покажем, что при X 寸=0, V =# 0 это достаточное условие Действительно выполняется. С этой целью удобно заменить нера-

венство (10) эквивалентной совокупностью неравенств

р'А 三 Qc\ Aq W 66;(11>

p 三 o, q 三 о, е》о.(12)

Рассмотрим теперь два случая.

0 > 0. Разделив соотношения (11), (12) на 0 > 0, получаем (р70) Л 三 с\ р/0 三 О, Z (д/0)三 b, g/б 三 0, так что р/0 £ У, g/б £ X, Поэтому Ь' (р/6) > с1 (q/0\ что при умножении на 0 > 0 дает искомое соотношение (9).

0 = 0. Неравенства (11), (12) сводятся к р'А 三 0, р 三 О, Aq ^ 0, g 三 0. Возьмем произвольные векторы а: из X и ^ из У. Тогда р%》Р'(/%)=д‘%)①〉0, c'q & (沙‘/)g = U (4q) 《0. Следовательно, b'p —— c'q + 0*9 ^ 0, что эквивалентно неравенству (9).

Таким образом, в обоих возможных случаях (а) и (б) из условия (10) следует (9). Поэтому система соотношений (7), (8) или, что то же самое, система неравенств (5), (6) имеет решение. Этим завершено доказательство теоремы.

Двойственность, установленная выше, проявляется и нескольг ко иным образом.

Теорема 9.2.

) При X 片 0 е задаче линейного программирования (М) конечный максимум существует тогда и только тогда, когда V=/= 0.

) При V у= 0 в задаче линейного программирования (т) конечный минимум сушествует тогда 〃 только тогда, когда X 卢 0.

Доказательство, (i) Если У у= 0, то выполнены оба предположения теоремы 9.1, так что общее значение величин и'Ь и cfx из теоремы 9.1 (ii) очевидным образом представляет собой одновременно конечный максимум линейной формы задачи (М) и конечный минимум линейной формы задачи (ш).

Обратно, покажем, что если 卩=0, то функция с'х не ограничена сверху на множестве X, или символически max c'z = =+ оо на X. Введя вспомогательный n-мерный вектор и и выписав соотношение

(г/, ')( а)=厶

где I — единичная матрица порядка п, мы легко обнаруживаем, что утверждение Р = 0 эквивалентно тому, что выписанное уравнение не имеет неотрицательного решения (》'，и')・ Тогда, согласно следствию 1 из теоремы 3.7 в гл. I, должен существовать д-мерный вектор д, такой, что

(；)£三a c%vo.

Сделав замену у = —д, получаем отсюда, что Ау 昼 0, cfy > О, 方三0.

Возьмем теперь произвольный вектор х из множества X; тогда с (р) = % + ру. £ X при всех р》0 м, очевидно, cfx (р) = cfx + + pcfy -> + оо при р т + оо, что и требовалось доказать. Доказательство утверждения (ii) проводится совершенно аналогично. Теорема доказана.

Из теоремы 9.1 нетрудно заключить, что для того, чтобы векторы £ £ X м G £ 卩 являлись решениями задач (М) и (т) соответственно, необходима и достаточно выполнение равенства vfb = =с'%; это общее значение является максимумом функции cfx в (М) и минимумом функции и'Ь в (т). По терминологии, принятой в линейном программировании, такие векторы i, v называются оптимальными решениями. Из доказательства теоремы 9.1, а именно из соотношения (4), видно, что пара оптимальных векторов (①,р) выделяется из точек множества X X V следующими необходимыми и достаточными условиями оптимальности:

八Ша

Xj= 0, если 2&必>内，(13)

г=1

АП

Vi = 0, если 2q订巧V仇.(14)

Балансирование счетов национального дохода. Мы обсудим теперь экономический 一смысл рассмотренных выше основных качественных аспектов линейного программирования. С этой целью мы проинтерпретируем двойственность, установленную теоремой 9.1, применительно к счетам национального дохода. При этом все соответствующие константы, а именно 〃订,匕力 6力 мы будем считать неотрицательными, хотя в общих построениях, приведенных выше, в этом предположении не было необходимости.

Рассмотрим национальную экономику, которая охватывает конечное число производственных факторов, таких, как различные виды капитала, труд, земля и т. п.; эти факторы мы будем помечать индексами Z = 1, . . ., т. Объединение и совместное функционирование производственных факторов позволяет получать при данном уровне технологии некоторую добавленную стоимость. Разумеется, появление этой добавленной стоимости обусловлено производством товаров и услуг. Однако сейчас мы временно отвлечемся от процесса фактического создания чистой добавленной стоимости при производстве товаров и оказании услуг; к этому вопросу мы еще вернемся позднее. При данном уровне технологии возможны различные производственные процессы; будем предполагать, что таких процессов имеется конечное число,

и помечать их индексами у =1,...,九・ Каждый такой производственный процесс, подобно отрасли в модели Леонтьева, удовлетворяет закону постоянства удельного выпуска независимо от масштаба производства и использует т производственных факторов в некотором фиксированном соотношении. Следует отметить, что это соотношение факторов, постоянное для каждого процесса, может изменяться от процесса к процессу, так что в экономике в целом возможна определенная взаимозаменяемость различных факторов. Отметим также, что в производственном процессе при использовании тех или иных факторов производства они, вообще говоря, не расходуются безвозвратно, а лишь «связываются» на время своего функционирования. Другими словами, в производственном процессе используются специфические «услуги», оказываемые факторами производства, так что сами эти факторы, вообще говоря, не расходуются, а лишь более или менее обесцениваются (амортизируются).

Дадим теперь конкретным величинам 〃订,6加 с；,沙订 ж； следующую интерпретацию:

。订 — величина Ьро фактора производства, занятая при единичной интенсивности функционирования /-го процесса;

bf ——общая величина имеющегося в наличии j-ro фактора производства;

仃——величина добавленной стоимости (например, в денежном выражении), приходящаяся на единицу интенсивности j-го процесса.

Vi ——так называемая вмененная цена г) (или рентная оценка) Z-го фактора производства, т. е. ценность услуг, оказываемых г-м производственным фактором;

Xj — интенсивность (или уровень активности) функционирования /-го процесса.

Тогда i-e соотношение в (2) означает, что в равновесии совокупный спрос на г-й фактор производства (выражение в левой части неравенства) не может превышать его предложения (правая часть неравенства). Величина (1) при любых допустимых интенсивностях %力 удовлетворяющих ограничениям (2) и (3), представляет собой суммарную добавленную стоимость, т. е. совокупный национальный продукт. С другой стороны,八 соотношений (2‘) показывают, что т факторов производства должны получить такие оценки, чтобы суммарная оплата этих факторов в каждом процессе (левые части неравенств в (2‘))полностью исчерпывала соответ-

Под вмененной ценой производственного фактора при заданной тех- нолргии обычно подразумевается оценка этого фактора, получаемая по определенному правилу. А именно, вмененная цена определяется, если говорить не совсем строго, как производная стоимости выпуска по количеству этого фактора (см. соотношение (26) и всю заключительную часть данного параграфа).—Прим, перев.

ствующую величину добавленной стоимости (правые части неравенств). Величина (Г) при допустимых вмененных ценах 沙办 удовлетворяющих ограничениям (2‘), (3‘), представляет собой совокупный национальный доход.

Согласно теореме 9.1 (i), при любых допустимых интенсивностях производственных процессов ж； и вмененных ценах производственных факторов Vi национальный доход всегда оказывается не меньше, чем национальный продукт, но вовсе не обязательно совпадает с ним. Если национальный доход превышает национальный продукт, то распределение национального продукта между обладателями производственных факторов невозможно без затруднений. Эта неестественная ситуация вызвана отчасти пониженной величиной национального продукта, что обусловлено неэффективным функционированием производственных процессов из-за нерационального выбора интенсивностей %力 а отчасти завышенным уровнем национального дохода, что объясняется неадекватным назначением цен 内 на факторы производства. В то же время теорема 9.1 (ii) утверждает, что в состоянии равновесия при надлежащем выборе величин ж； и 内 обеспечивается равенство уровней национального продукта и национального дохода. Таким образом, пару оптимальных решений % и 6в задачах (М) и (т) соответственно можно рассматривать как состояние равновесия национальной экономики.

Перейдем теперь к определению величин добавленной стоимости 竹,которые до сих пор считались заданными заранее и не обсуждались. Функционирование производственного процесса означает фивическое преобразование текущих расходуемых продуктов в текущие выпускаемые продукты при участии занятых при этом постоянных факторов производства. Если заданы цены на продукты, то функционирование процесса с единичной интенсивностью однозначно определяет со отв етствующие величины текущих затрат и выпусков, т. е. издержки и доход, приходящиеся на единицу интенсивности процесса. Тогда добавленная стоимость Cj определяется как величина, на которую доход превышает издержки при единичной интенсивности данного (J-ro) процесса. Следовательно, рассматривая величины с； как заданные константы, мы тем самым неявно предполагаем, что цены на выпускаемые и потребляемые товары были назначены заранее из некоторых внемодельных соображений. Явное рассмотрение вопросов установления цен на все продукты без исключения возможно лишь в модели, опирающейся на более богатую и разработанную систему предпосылок и представлений (см. гл. V). Это ограничивает область применимости линейного программирования как модели для описания экономического равновесия.

Обратим теперь внимание на условия (13) и (14), которые также представляют интерес с экономической точки зрения. Уело-

вие (13) означает, что если /-й процесс приносит убыток, то он не реализуется, а условие (14) означает, что если г-й производствен-^ ный фактор используется не полностью, то его оценка равна нулюу так что он становится свободным (бесплатным) товаром. Следует, однако, отметить, что хотя условия (13) и (14) полностью описывают равновесные решения ①,и, из них еще не следует, что каждый нефункционирующий процесс обязательно должен быть убыточным. Аналогично, равновесная цена полностью используемого» производственного фактора может быть равна нулю. В связи с этим важно уточнить, можно ли гарантировать существование особой пары равновесных векторов жир, для которых

①尸0 тогда и только тогда, когда 2 an^i> Q, (15)

Dt = O тогда и только тогда, когда £ 〃订％(16)

Теорема 9.3. Если X 耍 0； V у= 0, то сущес/пвуют решение i задачи (М) и решение и задачи (т), удовлетворяющие условиям (15), (16).

Доказательство. При доказательстве теоремы 9.$ мы использовали лемму Минковского — Фаркаша (следствие из теоремы 3.7 в гл. I). Теперь нам потребуется использовать мощь теоремы 3.7 в большей степени; в связи с этим мы будем опираться на следствие 2 из этой теоремы. Построим кососимметрическую матрицу Т порядка т + п + 1, имеющую вид

где матрица Л и векторы Ь, с — те же, что и в задачах (М), (т). Согласно следствию 2 из теоремы 3.7 в гл. I, существует (иг + 九 + 1)-мерный вектор w, удовлетворяющий условиям

Tw 三 0, w?三 0, Tw + ^ > 0- Положим G =(吻，.・・，笫”)「 X = (l^m+l，.…，^m+n)\ 0 = ^т+тг+1； ТОГДЯ ВЫПИСаННЫе УСЛОВИЯ оказываются эквивалентными системе неравенств

Qb^Ax. vrA^ecf, 財三 0, G 三 0,6>0;(17>

c£》C，b;(18)

c'x + Q>vfb;(19)

£ + 例>/以；(20)

2 +//>館.(21>

Прежде всего покажем, что 0 > 0. Допустим, что 0 = 0; тогда неравенства (17), (19) приобретают вид 0 三 Ах, vrA 三 0, ж ^ 0, 。三 0, сх > и'Ь. Далее, поскольку X ^ 0, Ру=0, то в силу теоремы 9.1 (ii) найдутся векторы х ^ X, и £ 卩，удовлетворяющие условию сх = и'Ь. Тогда имеем % + %£Х, р + р F и с' (% 十 ％) > (и + и)7 А что противоречит теореме 9.1 (i).

Итак, установлено, что 0 > 0; поэтому без ограничения общности можно считать 0 = 1, учитывая однородность соотношений (47)—(21) по х, % 0. С учетом этого неравенства (17), (18) в силу теоремы 9.1 (i) означают, что х является решением задачи (М), а и является решением задачи (т). При этом неравенства (20), (21) обеспечивают справедливость утверждения «только тогда» в (15), (16); что же касается утверждения «тогда», то оно уже было получено нами в виде условий (13), (14) для любой пары решений задач (М), (т). Теорема полностью доказана.

Следует отметить, что все наши рассуждения относительно национального дохода остаются беспочвенными'до тех пор, пока мы не убедимся, что множества X и 卩 не пусты. В самом деле, теоремы 9.1 и 9.3, которыми мы обосновывали существование равновесных решений, исходят из предпосылки X ^ 0,卩片 0. Поэтому для того чтобы завершить наше обсуждение, остается показать, что упомянутое предположение естественным образом выполняется в силу неотрицательности параметров 〃订,6», с；. Действительно, если все bt неотрицательны, то множество X заведомо содержит вектор、％ = 0, так что X ^ 0. Далее, если каждый процесс использует хотя бы один производственный фактор, т. е. для каждого / найдется 厶 такое, что 〃订>0, то всегда можно подобрать положительный вектор с достаточно большими компонентами, который будет принадлежать множеству У, так что при указанном естественном предположении заведомо V ^= 0. Заметим, что нам нигде не потребовался факт неотрицательности величин 内.

Этим мы почти исчерпали наше исследование основных качественных аспектов линейного программирования. Остается добавить лишь несколько замечаний.

Замечание 1. Рассмотрим пару взаимно двойственных задач (М) и (т) и положим'

Ф (%, р) = cfx + vfb — vlАх,

Преобразуем эту функцию следующим образом:

屮(%, V)= сгх + р" (Ь — Ах)=

=г/Ь + (с‘ - vfA) ж.(22)

Будем рассматривать 屮(①，и) как функцию от х^Н^ и v^R^. Точка (况,и) называется седловой точкой функции 屮(①,и) на мно- ^кестве 肉 х 碑，если

х максимизирует 屮(力，v) на Ef,(23)

и минимизирует 屮(％, и) на 碑，(24)

так что

①(①，金)W中(2 GW屮(五S (%£碑，D£碎).(25)

Теперь, следуя Голдману и Таккеру [1], мы можем убедиться, что, для того чтобы пара (%, р) была парой решений задач (М) “ (ш) соответственно, необходимо и достаточно^ чтобы (①,и) была седловой точкой функции 屮(％ и) на /?£ X /?}.

Доказательство этого утверждения проводится следующим образом.

Необходимость. Если (х, v) — пара оптимальных решений задач (М), (ш), то должны выполняться соотношения с'х = и'Ь, % 三 О, 方三 О, Ь — Ах 工 0, с' — рМ 三 О, V (Ь — Ах) = (с‘ 一 z?/) G = 0. Поэтому

ф (ж, и) =/匕=?/匕+ (с' —?//) %>z/6+(с'—z/厶)％ =屮(％, р)(%ё明，

屮(％, и) = cfx = с9х + V (Ь — Ах) & сгх 十 и' 0 — Ах)=屮(％,沙)(兀笛9，

что и доказывает необходимость.

Достаточностъ. Если (①,v) — седловая точка функции ф (ж, у), то из условия (25) и представления (22) следует, что

г/(6—4据)>0 для всех ь£Е},(cf — vfА) х ^О для всех %£/??•

Отсюда получаем Ах ^ Ь,况三 0, и"А ^ с ,沙三 0, т. е. х^Х, V G V. Кроме того, подставляя ж^-0ир = 0в соотношение (25), АА人 ААА

получаем у Ь == ф (0, и)《屮(况，沙)«屮(％，0)Wc%, что вместе с предыдущим доказывает оптимальность пары (%, и). Итак, % и и являются решениями задач (М) и (т) соответственно.

Обратим внимание, что функцию 屮(％, р) можно рассматривать как функцию Лагранжа для задачи максимизации (М), причем V интерпретируется как вектор множителей Лагранжа; с тем же правом 屮(力，и) можно считать функцией Лагранжа для

задачи минимизации (т), и тогда вектором множителей Лагранжа оказывается вектор ж. При этом утверждения (23), (24) означают, что задачи (М), (т) при введении множителей Лагранжа сводятся к задачам на безусловный экстремум.

Замечание 2. Рассмотрим изменение (общего) оптимального значения экстремизируемых линейных форм в задачах (М), (т), которое соответствует вариации параметров b или с при сохранении матрицы Л постоянной. Для того чтобы отметить явную зависимость множеств X м Р от b м с соответственно, будем писать X (Ь) и 7 (с). При X (Ь) =# 0, V (с)声 0 мы можем определить функцию

/ (6, с) = [max с'х по 况 £ X (b)] = [min Vv по и £ Р (с)]・

Заметим, что множества В = {b \ X(b)^=0}nC= {с | 卩(с)力 У= 0} являются замкнутыми выпуклыми конусами с непустыми внутренностями в Rm и Rn соответственно; действительно, в явном представлении эти множества В = {Ах + ^ I ^ € 笈3 “ £ 区不}‘ С = {Arv — у \ v ^ Е}, у £ R器}, очевидно, оказываются многогранными выпуклыми конусами, включающими ортанты R, и 您 (7?^= — R：) соответственно (см. § 3.4 из гл. I).

Отметим теперь, что / (6, с) как функция на В X С обладает следующими свойствами:

При каждом фиксированном с £ С функция / (Ь, с) вогнута на В, и при каждом фиксированном b £ 8 функция / (&, с) выпукла на С.

Из (i) следует, что функция / (Ь, с) имеет правосторонние и левосторонние частные производные

"+8/+ at-

况i ， dcj “ dbi ， dcj

всюду в 3° X C°, где 5°, C° — внутренности множеств В, С соответственно.

Если ж= (i；), f=(也)一какие-либо оптимальные решения задач (М) и (т) соответственно при Ь£3。，с£С。，то,

崔~＞内》-|^« G =(26)

岩＞各》器0 = 3…，*(27)

где производные вычислены в точке (b, с).

Доказательство утверждений (i) — (iii) излагается ниже. Доказательство свойства (i) начнем с проверки вогнутости функции / по &. С этой целью рассмотрим оптимальные решения х1, £"

задачи (М) при значениях параметров ограничений Ь1,匕2 £ 3 соответственно и при фиксированном с £ С. Тогда, как легко видеть,儿哀 + К%? £ X (儿炉 + 九2严)при любых 脑》0,厶2 > О, 儿+九2 = L Следовательно, / (入尸 + %2^2, e)》大传2 +觞d办= =Xi/ (Ь1, с) + %2/ (", с), что и доказывает вогнутость функции / по Ъ. Выпуклость функции / по с доказывается аналогично.

Свойство (ii) непосредственно следует теперь из теоремы 3.15 гл. I. Перейдем к утверждению (iii); мы ограничимся выводом одного соотношения (26), так как вывод для (27) аналогичен. Будем обозначать через Af6 вектор (0, •••,(), А&, 0, . . ., О)'. Пусть V =(区)—— какое-нибудь оптимальное решение , задачи (т), соответствующее параметрам Ъ £ В。, с £ С. Это и уже не обязательно будет оптимальным решением задачи (ш) при измененных параметрах Ъ + 厶技 £ 5°, с ^ С, хотя при этом v ^V (с). Таким образом,

/0 + А自 с) — [min (b + ^iby р по v^V (с)]<

<(Ь + A/)' v = bfv + (А/)' V =

= /(Ь, e) +成公仇.

Следовательно, для каждого Z имеем

/е+А^Ь, с)—/ (6, с) -^《％ если А仇 >0,А勿 I >百，если A仇v0.

Переходя здесь к пределу при АЬ» -> 0, получаем неравенства (26).

Если мы теперь снова вернемся к интерпретации линейного программирования применительно к национальному доходу, то увидим, что соотношения (26), (27) также допускают экономическую интерпретацию. Величина / (Ь, с) представляет собой равновесный уровень национального дохода, когда вектор наличных производственных факторов равен Ь, а вектор отраслевых добавленных стоимостей равен с. В соотношении (26) крайний справа член представляет собой меру предельного вклада в увеличение уровня национального дохода от бесконечно малого прироста i-ro производственного фактора. Крайний слева член дает меру предельного вклада в снижение национального дохода от аналогичного бесконечно малого уменьшения величины f-ro производственного фактора. Соотношение (26) показывает, что конкурентно-равновесная оценка 力-го фактора лежит где-то между этими двумя значениями, и тем самым подтверждает вывод традиционной теории предельной производительности в своеобразной ослабленной форме. Интерпретацию соотношения (27) предоставляем читателю.

Модель расширяющейся экономики фон Неймана

Динамическое поведение экономической системы в общем случае определяется как эволюция состояния экономики во времени, управляемая некоторым законом, который связывает текущее состояние в каком-либом периоде времени с состоянием в другом или в других периодах. Эти периоды либо сменяют друг друга в виде дискретной последовательности, либо непрерывно переходят один в другой; это зависит от способа отсчета времени —— дискретного или непрерывного. Способ отсчета времени очень важен с математической точки зрения, так как он существенно влияет на математическую природу модели, описывающей соответствующий динамический процесс, хотя, по-видимому, и не отражается на экономической стороне явления. В настоящем разделе, как и в предыдущих, мы будем иметь дело только с дискретным временем.

Напомним, что мы уже обсуждали некоторые динамические явления, такие, как движение доходов в процессе с мультипликатором (§ 6.3) и рост, а также колебания роста выпуска в производстве с запаздыванием (§ 8.4). Отметим, что и выпуск, и за- траты продуктов в этих моделях определяются и измеряются как «потоки», т. е. как количества в единицу времени (в расчете на один период). Но с экономической точки зрения не менее важен подсчет величин, соответствующих понятию «запаса»; типичным примером служит накопление капитальных запасов.

В середине 1930-х годов фон Нейман дал остроумный анализ накопления капитала в своеобразной многосекторной модели экономики. Достойно удивления, что эта работа фон Неймана лишь в небольшой степени опиралась на достижения традиционной экономической науки, хотя, вероятно, его тесные контакты с некоторыми представителями австрийской школы экономистов сыграли определенную роль. Модель фон Неймана не сразу привлекла внимание экономистов — как из-за трудновосприни- маемой математической формы изложения, так и просто из-за того, что она первоначально была опубликована в математическом журнале. Но со временем, особенно после опубликования английского перевода статьи в 1945 г. в экономическом журнале^ эта работа стала хорошо известна и экономистам. В последующем она не только оказала серьезное влияние на теорию экономического роста и накопления капитала, но и в значительной степени стимулировала современное развитие математической экономики. Основные результаты, относящиеся к модели фон Неймана, приводятся в данном разделе. Эти результаты, несомненно, представляют самостоятельный интерес, а кроме того, они потребуются нам в некоторых последующих главах.

Производственный процесс в модели фон Неймана означает преобразование уровней запасов некоторых продуктов, имевшихся к началу периода, в некоторые другие (а возможно, те же самые) уровни запасов к концу этого периода. Разность между этими уровнями соответствует инвестициям (накоплению). Ниже приводятся точные формулировки основных предположений, лежащих в основе модели.

(а) Имеется т типов продуктов, которые мы будем помечать индексами 力=1, . . .,

(Р) Имеется п типов основных (базисных) линейных производственных процессов с постоянными технологическими коэффициентами; эти процессы мы будем помечать индексами j = =1, . . ., п. При этом у-й базисный процесс при единичной интенсивности своего функционирования преобразует набор (запас) (〃1力 〃2力.…，^mj)^ включающий 〃订 единиц запаса Z-ro продукта (» = 1, . . ., тп), в другой набор (&力 b2j, • • bmj) (быть может, совпадающий с первым). Здесь в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин 仇力 так что возможно совместное производство нескольких продуктов в одном процессе; в этом заключается существенное отличие модели фон Неймана от модели «затраты — выпуск» Леонтьева.

Указанные 2тп величин 的力 匕订 являются константами, определяемыми заданным уров能м и качеством производственной технологии. Будем предполагать, что параметры 〃订,匕〃 удовлетворяют условиям .

@订》°，仇j》° (i = 1, . . ., т; 7 = 1, . . ., m)," (1)

2 aij > 0 0 = 1， (2) i=l

n •

为匕订>0 (Z = l, (3)

Смысл условий (1) очевиден. Условие (2) означает, что в каждом процессе j используется хотя бы один тип продукта. Более точно, каждый процесс или расходует продукт хотя бы одного типа в виде текущих затрат, или использует при своем функционировании хотя бы один тип продукта в виде капитальных затрат. Наконец, условие (3) означает, что каждый продукт может быть произведен в некотором производственном процессе.

Ввиду близости этой схемы к линейному программированию полезно начать с формулировки модели как динамического варианта линейного программирования, хотя оригинальная работа фон Неймана предшествовала появлению линейного программирова-

имя. Мы будем интересоваться оценкой продуктов и определением интенсивностей производственных процессов. Пусть

Pt — цена Е-го продукта,

S (力=pt + норма ренты за г-й продукт в периоде 力

Xj (t) — интенсивность функционирования /-го процесса в периоде 力.

Функционирование системы протекает следующим образом. Прежде всего мы на время предположим, что цены р» ——это некоторые заданные неотрицательные константы. Далее, допустим, что неотрицательные величины и» (力),ж； (%) в периоде t уже определены. Тогда величина запаса %—го продукта в конце периода t, готового к производственному употреблению в периоде 力十 1, определяется выражением

п

bj (t) = ^] bijXj (^)(t = 1, • • •» 加)•

Кроме того, полная стоимость выпуска j-ro процесса при единичной интенсивности его функционирования, рассчитанная при системе цен р^ равна

т

Сj = 2 bijPi (J — 1» . . •, W).

Заметим, что величины bt (力)зависят от периода времени 力,тогда как величины с； не зависят от 力.

ппРассматривая натуральные показатели процессов (номенклатуру выпуска), мы получаем, что интенсивности ж；(力 + 1) в периоде ^ + 1 должны удовлетворять ограничениям

п

п

⑷(5)⑷(5)2 &尹№+4）《仇（方）（»=1,…，^）,也（力十今＞。（/ = 1,・・・，n）.

⑷

(5)

⑷

(5)

Оценки Vi (t + 1) всех потребляемых продуктов в денежном выражении в (力+ 1)-м периоде должны удовлетворять ограничениям I) '

ТП

Z …+i)>—1,…，叫(6)

内(力+今》о (% = 1,・・•，m),⑺

i) Если рассматривать задачу максимизации дохода 习 呼j (i + 1) при ограничениях (4), (5), то неравенства (6), (7) являются ограничениями двойственной задачи с двойственными переменными % (£ + 1). Как было отмечено в конце § 9.1, двойственные переменные в такой задаче с экономической точки зрения интерпретируются как оценки продуктов. — Прим, перев.

при этом добавленная стоимость в каждом процессе исчерпывается выплатой рентных платежей 内(力 + 1)——р» владельцам продуктов.

В рамках линейного программирования ситуация равновесия имеет место тогда и только тогда, когда величины 修(力十 1), Xj (t + 1) удовлетворяют как ограничениям (4)—(7), так и соотношению

7ПП

3 bi (0 玛(力+ 1) = 2 CjXj(t+ 1).(8)

2=1j=l

mn

Учитывая равенство 2 力(力)Р = 2 呼)(力)，соотношение (8) можно 纟=ij=i

представить в виде тnп

3 bi (0 (Vi (^ + 1)—Pi) = s c*j(£+l)— 3 з№)・ г=1j=lj=l

Этим соотношением устанавливается требование равенства заработанного национального дохода (левая часть) произведенному национальному продукту, или полной добавленной стоимости (правая часть).

Если система начала работать при некоторых заданных начальных значениях vt (0)》0,①j (°)》0, то всегда можно построить последовательности {内(％)}, {ж；(力} величин, удовлетворяющих условиям (4)—(8); это следует из предположений (1), (2) и результатов § 9.1..

Заметим, что до.сих пор мы рассматривали цены р» как заданные константы; другие значения р» могли бы привести к иному поведению величин и» (力),Xj (力)во времени. Ниже мы сконцентрируем внимание на специальном выборе системы цен р» и специфическом поведении соответствующих величин 沙》(力)， ж； (%), что отвечает первоначальной идее фон Неймана.

Основной предмет исследования фон Неймана применительно к данной модели экономики — это возможность существования ситуации динамического равновесия в системе (4)—(8), т. е. существования специфических последовательностей {沙力(力)}, {xj (力)}, удовлетворяющих ограничениям (4)—(8) и, кроме того, условиям

% (力)=§Pi (% = 1,...,向，(9)

Xj (力)=a'g (j = 1,・•・，n),(10)

где a, 6, pt, xj — специальным образом выбранные неотрицатель- 4'тп

ные константы, причем ^Pi> 0, 2%j>0

i= 1j= 1

Следует отметить, что условие (9) означает нечто большее, чем постоянство оценок ь» (» во времени. Действительно, оценка Vi (力)определялась нами как цена р» плюс норма ренты за г-й

продукт. Это означает, что вложение m долларов в покупку единицы i-го товара приносит доход и» (力)——р» долларов в качестве ренты за производственные услуги, оказанные этой единицей i-ro продукта в периоде 力 Следовательно, величина 内 *р» ——1 представляет собой норму процента на капитал, вложенный в 力-й продукт; эта норма процента может быть различной для различных товаров, а также для различных периодов времени. Ввиду этого условие (9) соответствует крайне специфической ситуации, когда норма процента есть некоторая константа § — 1, единая для всех продуктов и во все моменты времени. В то же время условие (10) означает не что иное, как сбалансированный рост интенсивностей производственных процессов с единой нормой роста а — 1. Ниже будет показано, что величины а и Р превышают единицу, если технология в системе достаточно продуктивна.

о,о,о,о,о ><===> % D 2 % % \7\1/ \1/ а - а ₽о 一• 3 一 一 >一 仍〃(5仍Ро,о,о,о,о ><===> % D 2 % % \7\1/ \1/ а - а ₽о 一• 3 一 一 >一 仍〃(5仍РИз соотношений (4) — (8) с учетом условий (9), (10) нетрудно вывести, что возможность указанного динамического равновесия эквивалентна существованию двух векторов р = (р»), х = (%/〉 и двух скаляров а,卩,удовлетворяющих условиям ')

о,о,о,о,о ><===> % D 2 % % \7\1/ \1/ а - а ₽о 一• 3 一 一 >一 仍〃(5仍Р

о,о,о,о,о ><===> % D 2 % % \7\1/ \1/ а - а ₽о 一• 3 一 一 >一 仍〃(5仍Р

(И) (12) (13) (14} (15)

где Л =(〃订)，В =(仇》• Очевидно также, что каждая четверка (р, с, а, Р) векторов и скаляров, удовлетворяющая условиям (11) — (15), порождает динамическое равновесие в системе (4) — (8).

Фон Нейман доказал существование решения (р, х, а, Р) системы соотношений (И)—(15), но его доказательство основывалось не только на предположениях (1), (2), но и на весьма сильном дополнительном предположении

〃订 + 匕订 > 0 (Z = 1, • •.,加；7 = 1, . . ., п), (3) которое едва ли приемлемо с точки зрения экономистов. Далее^ фон Нейман построил свое доказательство на использовании теоремы Брауэра о неподвижной точке (гл. I, теорема 4.3), что, как стало ясно из более поздних работ других авторов, применительно к решению системы (11)——(15) равносильно пальбе из пушек по воробьям. В настоящее время совершенно ясно, что для этой цели вполне достаточно теоремы об отделимости выпуклых множеств в каком-либо из эквивалентных вариантов, даже если использовать предположение (3), менее ограничительное,

1) Для вывода следующих ниже соотношений (13), (14) нужно воспользоваться условиями вида (13), (14) из § 9.1— Прим, перев.

чем (3')・ Как оказалось, роль предположения (3‘)сводится не столько к тому, чтобы обеспечить существование решения, сколько, по существу, к тому, чтобы гарантировать и существование, и единственность величин аир； это будет продемонстрировано ниже. Если говорить о других аналогичных методах доказательства, основанных на отделимости выпуклых множеств, то среди них наиболее прямым представляется метод Хоува [1], основанный на применении теоремы Таккера (гл. I, теорема 3.7 (ii), или, точнее, следствие 3 из этой теоремы).

Теорема 9.4 (Кемени и др. [1], Томпсон [1], Хоув [1]). Пусть выполнены условия (1)——(3). Тогда

Существует решение (р,①,а, Р) системы (11) — (15), удовлетворяющее'следующим условиям:

р'Вх > 0,(16)

пп

Pi=0 тогда и только тогда, когда а 3 的j%j V 2 Ъцх^ (17) 『wj=l

g = 0 тогда и только тогда, когда 0 2 а^р»> 2 仇歩》• (18) i=li=f

Для любого набора (р, х, а, Р), удовлетворяющего условиям (13), (14), (16), имеет место а =卩 > 0.

Доказательство, (i) Рассмотрим множество вещественных чисел Г = {(о I (5 — ©4) % 三 0 при некотором х > 0}. Заведомо Г у= 0, так как со = 0 всегда содержится в Г. Покажем теперь, что множество Г ограничено сверху. Положим

тт

厶=min 2 仰力 7И = max £ Ъц.j г=1j i=l

Тогда E > 0 в силу предположения (2), и, значит, со《 М/L для каждого со ^ Г, что и означает ограниченность множества Г сверху. Поэтому 0 = [sup со по всем со ^ Г] — конечное число. Пусть {cov} — некоторая последовательность чисел из Г, сходящаяся к 0. Тогда для каждого cov по определению найдется вектор хУ > 0, такой, что (3 ——(ОуЛ) rrv ^ 0. Однородность этого неравенства по ①V позволяет нам далее считать, не ограничивая общности, что сумма компонент вектора 况” равна единице; как обычно, при этом можно считать, что сама последовательность {%v} сходится к некоторому % 丄 0. Тогда в пределе мы получаем (3 —— 0А) х ^ 三 0, 2 > 0; отсюда следует, что 0 ^ Г, и поэтому 0 = [max со по всем со ^ Г]. Покажем теперь, что предположение (3) гарантирует нам 0 > 0. В самом деле, согласно (3), для z = (1, 1, . . ., 1)' имеем Вх > 0, рак что для достаточно малого положительного ш

заведомо (В ——соЛ) / > 0. Следовательно, множество Г содержит положительные числа и поэтому 0 должно быть положительным.

Применяя теперь следствие 3 из теоремы 3.7 гл. I к матрице 0Л — В размера zn X 八，мы находим m-мерный вектор р и п-мер-

ный вектор такие, что

(е/'—з‘)卩三 о,卩三 о,(19)

(5 — QA)x^Q,① NO,(20)

% + (%Г ^Bf)p> 0,(21)

р + {В -GA)x>0.(22)

Ниже мы покажем, что четверка (р, %, а, 0), где а = р = 0, и является искомым решением системы (11)—(15).

Действительно, так как 0 ^ Г, то по определению существует вектор 財丄 0, такой, что (3 ——6/) % 三0. Используя неравенства (19), получаем для этого вектора 芻 что 亡(6/，—Br) р = =pf (0Л — 3)財=0. Тогда, умножая (21) слева на %', получаем х'х > 0, чем исключается возможность % = 0; следовательно, ж > 0.

Установим теперь соотношение (16), что, в частности, исключит возможность р = 0. Допустим, что (16) не имеет места, и, следовательно, ргВх = 0. Положим J = {i \ Pi > 0}, и через [Ax\i，{Bx\i обозначим Z-e компоненты векторов Ах и Вх соответственно. Тогда из неравенства (22) следует, что [Bx]i — ——0 \Ax\i > 0 при » 0，. Кроме того, ввиду условий р 三 0, 3% 三 0 допущение р'Вх = 0 означает, что {Bx\t = 0 при i £ J. В силу условий (20) и 0 > 0 это в свою очередь означает, что [Ax\t = 0 при Z £ J. Поэтому если в (20) заменить 0 на со, большее чем 0, но достаточно близкое к нему, то неравенство (3 — со Л) х 三 三 0 с прежним n 二 0 останется в силе. Но это противоречит тому, что 0 максимально в Г. Таким образом, мы установили неравенства р > 0, ж > 0 и (16). Далее, неравенства (11), (12) следуют из (19), (20) при а = Р = 0. Равенства (13), (14) немедленно следуют из (11), (12) при а = р. Остается обосновать утверждения в (17), (18). Утверждения «тогда» в этих условиях, подобно аналогичным утверждениям предыдущего раздела, легко выводятся из соотношений (И)—(15), а утверждения «только тогда» сразу следуют из неравенств (21), (22).

В силу соотношений (13), (14) имеем ар'Ах = ргВх = =^ргАх, Ввиду условия pfBx > 0 (см. (16)) величина р1 Ах заведомо отлична от нуля, поэтому а = § = р'Бх/р'Ах^О. Теорема полностью доказана.

Оставшаяся часть этого раздела посвящена некоторым дополнительным замечаниям.

Замечание 1. Хотя согласно теореме 9.4 (ii) имеет место а = =р, из нее еще никоим образом не следует, что это общее значение для аир должно быть единственным. В том, что неединственность действительно возможна, легко убедиться на простом примере. Рассмотрим матрицы

▲=(")(о з)-.

Очевидно, что для этих матриц каждый из двух наборов

(Р=(о)，%=(]), а = § = 2), (「=(；),%=(；), а=6 = 3)

представляет собой решение системы (11)—(15), удовлетворяющее условиям (16)—(18). Однако дополнительное условие (§') уже обеспечивает единственность а и 0. А именно, если выполнены условия(1), (2), (3‘)，то а = В，м это общее значение единственно для всех решений (р, %, а, §) системы (11)—(15). Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим множества Г = {а | (5 — аЛ) х 三 三 0 при некотором % > 0} и А = {0 | р‘(方一§/) = 0 при некотором р > 0}. Для любых а g Г, В U А % соответствующих им р, х, таких, что выполнены условия (11), (12), очевидно, что ^ргАх〉р'Вх〉ар'Ах. Прибавляя р'Ах ко всем членам этой цепочки неравенств, получаем

(1 + Р) ргАх〉/Г (4 十 8) %〉(1 + a) pf Ах. (23) Согласно предположению (3‘)，имеем Л + 5 > 0, * что вместе с условиями (15) дает рг (Л 4- 5) % > 0. Поэтому из соотношения (23) следует, что р' Ах >0и1 + Р^1+сс. Таким образом, мы показали, что а М § для всех а g Г,卩 £ А. Более того, если для некоторой пары а ^ Г,卩 £ А выполнены условия (13), (14), то в соотношении (23) всюду имеют место равенства, так что при этом а = р. Эти результаты в совокупности означают, что для каждого решения (р, %, а, Р) системы (11)—(15) имеет место а = =К причем это общее значение одновременно является максимальным числом в Г и минимальным числом в А. Отсюда и следует единственность этого общего значения.

Замечание 2. Оригинальный метод доказательства существования решения системы (11)—(15) при предположениях (1), (2), (3‘), примененный фон Нейманом, состоял в исследовании методами теории игр поведения функции

Ф (р, х) = p'BxJp'Ax.

Замечание 3. Если а = § > 1, то экономика, находящаяся в состоянии динамического равновесия (9), (10), растет сбалансированным образом с нормой роста а — 1 в натуральных показа-

телях, и при этом поддерживается положительная норма процента Р ——1. Однако теорема 9.4 утверждает лишь, что а = В > О, не гарантируя, что а > 1, р > 1. Действительно, утверждать, что эти величины превышают единицу, можно не всегда, а лишь в том случае, когда технология, описываемая матрицами Л, В, достаточно продуктивна. Мы будем говорить, что технология достаточно продуктивна^ если существует вектор интенсивностей процессов %° > 0, такой, что (В — N) %° > 0. Это означает, что в системе можно обеспёчить одновременный положительный выпуск каждого из продуктов. Легко видеть, что в этом случае для некоторого числа со, превышающего единицу, но достаточно близкого к ней, остается справедливым неравенство (В —соЛ) №> > 0 с тем же самым вектором %° > 0. Поэтому множество Г заведомо содержит числа, превышающие единицу, так что d = Р == =0 > 1.

Замечание 4. Модель фон Неймана является крайне неустойчивой системой в смысле принятого нами ранее определения (см. § 8). Рассмотрим частный случай, когда А ——квадратная неотрицательная матрица, а В ——единичная матрица того же порядка. Тогда условия (4)——(8) в матричной форме выглядят следующим образом:

Ax(t + i}^x (力，% (方 + 1)三 0, % (%)三 0;

^ (t + l)A^p\ 沙(方 + 1)三0, ;/三0;

p'x (方 + 1) = Vf (t + 1) X (%).

Возьмем некоторый полуположительный вектор р > 0 и положим р' = vrА. Легко видеть, что тройка, составленная из вектора цен р, последовательности рентных оценок {у (力)=и} и решения и (力)системы (5) из § 8.4, играющего здесь роль вектора интенсивностей производственных процессов х (%), является решением выписанной системы соотношений. Но как было показано в § 8.4, последовательность векторов и (方)，вообще говоря, обнаруживает колебательное поведение и не сходится к какому бы то ни было динамическому равновесию. Более того, если и (力)исходит не из множества допустимых начальных состояний, то вектор и (力)не сможет всегда оставаться неотрицательным и обязательно должен будет нарушить барьер неотрицательности через некоторое конечное число периодов времени.

Глава III

СБАЛАНСИРОВАННЫЙ РОСТВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Значительная часть результатов, установленных в гл. II в предположении линейности, на самом деле на линейность не опирается и допускает обобщение на нелинейные случаи. В этой главе приводятся некоторые из таких обобщений — главным образом обобщения ситуаций, описываемых функциональными соотношениями того же типа, что и в гл. II, но без предположения линейности.

§ 10. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИПО СОЛОУ — САМУЭЛЬСОНУ

§ ЮЛ. Нелинейные однородные разностные уравнения

Теория неотрицательных матриц, развитая в гл. II, позволила полностью исследовать динамический процесс экономического роста, описываемый линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами (уравнение (1) из § 8.1 в гл. II)

x(t + i) = Ах (力)， (1) где Л ——квадратная неотрицательная матрица. Однако следует отметить, что большая часть качественных особенностей таких самообеспечивающихся систем обусловлена вовсе не линейностью функциональной зависимости между 况(力 + 1) и / «)• Свойства системы (1), такие, как неразложимость, примитивность, устойчивость и сбалансированный рост, а также связанные с ними формальные результаты, переносятся и на динамические системы вида

况(力 + 1) = Н (% (力))， (2) где причинная зависимость х (t) ^ х (t ~\- 1) представлена некоторой вектор-функцией Н, переводящей неотрицательный вектор х в неотрицательный вектор Н (%) той же размерности. Обобщения такого рода при довольно слабых предположениях относительно Н были разработаны Солоу и Самуэльсоном [1], Сьютсом [1], Масом [1] и Моришимой [3, 4]. Эти результаты в видоизмененном, упрощенном или дополненном виде излагаются в настоящем разделе.

Ниже перечисляются основные предположения, которые можно рассматривать как ослабление требования линейности.

Вектор-функция Н (/) = (Я^ (力))определена при всех неотрицательных векторах х из Еп, причем ее значения Н (%) также являются неотрицательными векторами из Дп.

(Р) Непрерывность. Функция Н (①)непрерывна (в смысле непрерывности отображения Я: Н； f К?) всюду, кроме, быть может, % = 0.

(у) Однородность. Функция Н (①)положительно однородна степени дп, 0 ^ m ^ 1, т. е.

Н (а%) = атН (%) для всех а》0, % N 0・

(6Q Слабая монотонность. Если х = (д), у =(勿)，①三 g 三 0, то Hi (%)〉耳》(g) для всех i, таких, что %» = у».

Монотонность. X (%)三 Н (у) при % 三 g 三 0.

) Сильная монотонность, Я (ж) > Я (д) при х > у ^ 0.

В последующем изложении будут предполагаться выполненными все или некоторые из условий (а) — (6S) в зависимости от того, какое конкретное утверждение будет доказываться.

Определение 10.1. Сбалансированно-растущим решением уравнения (2) называется ненулевое решение х (力),такоег что отношения g (力):ж2 (0 ： . • • : хп (力)его компонент поддерживаются постоянными во времени. Иначе говоря, такое решение имеет форму*

% «) = о (力)％,(3)

где ж > 0 ——постоянный вектор, а а (^) — положительная скалярная функция времени 力= 0, 1,

Предполагая выполненными условия (а), (у) и подставляя (3> в (2), мы получаем а (^ + 1) ^ = or (f^H (%), что после деления на о (力)01 > 0 дает

Соотношение (4) может выполняться тождественно по времени при некотором постоянном х тогда и только тогда, когда

'爲？=入=。皿，优=0, 1, •・・)，(5)

где константа % является «собственным значением» отображения 百，для которого х играет роль соответствующего собственного вектора — в том смысле, что имеет место

М = Н ⑺，х > 0.(6)

Таким образом, определение сбалансированного роста в нелинейной системе (2) приводит к нелинейной задаче о собственных зна-

чениях (6). Если дано собственное значение Л и зафиксировано о (0), то функция о (力)однозначно определяется уравнением (5). А именно, если для простоты положить а (0) = 1, то мы имеем в явной форме

В случае т = i отсюда получаем о (力)=Х\ т. е. обычный экспоненциальный рост. Отметим, что для тп < 1 величина о (%) стремится к Ai/(m-D при 力 f + 8. Таким образом, сбалансированный рост в случае однородности степени, меньшей чем 1, приводит в конечном счете к стационарному состоянию, или, другими словами, к застою.

Теорема 10.1. Если выполнены условия (а), (Р), то задача о собственных значениях (6) имеет решение при некотором 九》0.

п

Доказательство. Пусть 夕九={% | % N 0, * 勺=1}— стандартный симплекс. Построим отображение 屮 вида

6(%)= - "守‘⑷ (i = l, ..n).

n

В силу условий (а), (Р) и очевидных соотношений 2 (pf (^) = Ъ 屮t (%)〉。 (i = 1, . . ., п) убеждаемся, что 屮 непрерывно отображает Рп в Рп. Поэтому по теореме Брауэра о неподвижной тонне (гл. I, теорема 4.3) отображение 屮 имеет неподвижную точку ;г в Рп, так что 力=屮(％). Это означает, что

乙=二七印向(2 = 1,

или в другой форме

Hj(x)) х = Н (х),

力=1 п

Это соотношение показывает, что число 人=2 Н》(%) является неотрицательным собственным значением отображения Н, которому соответствует собственный вектор 七丄 0. Теорема доказана.

Теперь при дополнительном предположении однородности (丫》 мы исследуем распределение собственных значений.

Теорема 10.2. Пусть выполнены условия (а), (Р), (у). Положим

Л = {X \ Н (х) = Хж при некотором х ^ Рп}, п

zde Рп = {х I а: > 0, 2 %i = 1} — стандартный симплекс. Тогда г=1

множество Л содержит максимальный элемент — числокоторое мы будем обозначать через А (Я),— причем \ (Я)》0； Кроме того, справедливы утверждения:

Если т = 1, то К (Я) является наибольшим среди всех собственных значений отображения Я.

Если 0 & иг V £ 〃 А (Я) > 0, то каждое положительное число является собственным значением отображения Н.

Доказательство. Как видно из доказательства теоремы 10.1, множество Л не пусто. Заметим, что сумма компонент 3 Ht (%) как непрерывная функция на Рп ограничена. А так как для любой пары X f Л, х С Рп, такой, что Н (%) = 九芻 мы имеем 九=2 % (х), то и множество Л ограничено. Пусть {厶力一некоторая последовательность из Л, сходящаяся к некоторому пределу Л. Возьмем теперь последовательность {%”} векторов из Рп, таких, что хУ соответствует Xv в смысле выполнения соотношения Н (%v)= ^ 入尸 В силу компактности симплекса Рп мы можем считать, что {%”} сходится к некоторому х из Рп. Тогда, согласно свойству непрерывности (Р), в пределе получаем Н (%) = %瑞 х W Рп, чем и доказывается замкнутость множества Л. Но тогда множество Л компактно как ограниченное замкнутое множество чисел в силу теоремы 1.5 из гл. I. Следовательно, Л содержит максимальное число X (Я). Из условия (а) ясно, что 九(方)》0.

Пусть т — 1, Предположим, что р,——какое-либо собственное значение отображения Я, так что Н (у)=照 при некотором у 丄 0. Тогда в силу условия однородности (у) при т = 1 получаем Н(X) — \i х для х = у/£ут W 夕九，откуда следует р, Е Л. Поэтому А (Я)》卩 по определению % (Я).

Пусть 0 ^ m < 1. Предположим, что х — собственный вектор из 夕九，соответствующий собственному значению % = % (Н). Если % > 0, то в силу условия однородности (у) мы имеем Н (у)= =旷-叽弘 г； = 0ж > 0, при любом 0 > 0. А так как 屮一以 пробегает все положительные числа, когда их пробегает 0, то каждое положительное число оказывается собственным значением отображения Н. Этим завершается доказательство теоремы.

Отметим, что даже при m V 1 мы не будем испытывать существенных трудностей из-за ограничения общности, если станем рассматривать собственные векторы только в Р九；в самом деле, каждому соотношению Н (у) = pig, g 丄 0, соответствует эквивалентное соотношение вида р, (2力р-т х = Н (%), X = у/Е 勿 е Рп-

Введенное выше число 九(Н) соответствует числу % (Л) — доминирующему собственному значению квадратной неотрицательной матрицы А. Для того чтобы получить более подробные сведения относительно 入(Я), которые оправдают наше внимание к проведению аналогий между X (Я) и X (Л), нам понадобится привлечь некоторые требования монотонности. В этом отношении стандартным является условие* монотонности (6). Интересно, что, рассматривая в предположении монотонности некоторые свойства числа 入(Я), аналогичные свойствам 九(/), удается установить даже факт существования собственного значения, не прибегая к понятию неподвижной точки. При таком подходе оказывается удобным рассматривать множество чисел

厶(Я) = {卩 \Н (у) ^ 照 при некотором у g Рп}.

Теорема 10.3. Пусть выполнены условия (а), (Р), (у), (6). Тогда число А (Я) можно определить эквивалентным способом как

А (Я) = max 卩 по всем 卩 из L (Н),(7)

и справедливы следующие утверждения*.

Если Н (у) N 卩g при некотором у £ %, то Х(Я)》卩.

Если функция G также удовлетворяет условиям (а), (Р), (у), (6), и если Н(х) N G (%) тождественно по х ^ Рп, то Х(Я)》 》入(G).—

Пусть № есть s-кратная итерация функции Я, т. е.

Я8 (х) = 8(…80(%)) ••.).

Тогда А (Я) = 0 6 том и только 6 том случае, когда существует некоторое по лож ительное целое р, такое что Нр (%) = 0 тождественно 八。％ 丄 0. При этом, если такое р существует^ то в качестве р заведомо можно взять п ― размерность вектора х или, что то же самое, размерность вектор-функции Н ⑺.

Доказательство. Обозначим через L+ (Н) подмножество всех неотрицательных чисел из L (Я). По условию (а) функция Н (у)——неотрицательный вектор, так что заведомо L+ (Н) Э 3 0. Очевидно, что если в множестве L+ (Я) содержится максимальное число, то оно будет максимальным числом также и в L (Я). Фактическое существование такого числа легко доказать, слегка видоизменив ход доказательства в теореме 10.2 существования максимума в Л.

Итак, пусть 入(Я) — максимальное число в множестве L (Я). Тот факт, что А (Я) действительно является собственным значением отображения 瓦 мы установим после доказательства утверждений (i), (ii}, (iii); сами эти утверждения на данный факт не опираются.

Что касается утверждения (i), то оно непосредственно получается из определения (7) числа X (Я). Для того чтобы доказать утверждение (ii), нужно лишь убедиться, что L (Я) n 厶(G); а последнее сразу следует из мажорирования Н (х) ^ G (①)на Рп. В самом деле, так как L (Я) п £ (G), то L (Я), в частности, содержит число A (G). Следовательно,九(Я) по определению не может быть меньше, чем A (G), чем и доказывается утверждение (ii).

Отметим теперь, что утверждение (iii) представляет собой обобщение теоремы 7.2 (vi) из гл. II. Более того, доказательство этого»утверждения можно провести по существу тем же методом, что и в случае постоянной матрицы. Действительно, следуя процедуре доказательства теоремы 7.2 (vi) из гл. II, возьмем некоторый положительный вектор х из Рп и затем положительное число 0, такое, что Н (/)三 6%. Из условий (у), (6) нетрудно получитьг что 0 三 H"i (勿)三 8讎尸(％)(s = 4, 2, •・•.). Положим Ns = ={t I 力-я компонента вектора № (%) положительна}; тогда предыдущее соотношение показывает, что

7Vo n Ni n N2 n • • • 口 М => М+i =>

Будем обозначать i-ю компоненту вектора Я8 (%) через 耳扌(力). Если М ¥= 0, то положим 刀=[min Я!+1 (ж)/Я! (%) по всем i £ W 忆].Тогда в силу условия однородности (у) мы имеем

h (汾三卩弘 У = -^⑺-gрn,3玛⑺

卩=刀(2兄⑺》0.

i=l

Следовательно, L (Я) Э 卩，откуда А (Я) > 卩 > 0. Поэтому из 九(Я) = 0 следует 卩=0 и, далее, 刀=0, ввиду того что 2成(с) > 0. Поэтому, как и в доказательстве теоремы 7.2 (vi) из гл. И, получаем, что если X (Н) = 0, то множество Ns+t должно быть собственным подмножеством множества Ns У= 0. Отсюда следует, что Nn = 0. Таким образом, показано, что Нп (①)=О1 для некоторого положительного х ^ Рп,

Пусть теперь z — произвольный неотрицательный вектор. Тогда z = со% для некоторого положительного числа со, так что с учетом условий (у), (6) получаем

0 纟 ¥ (z) 3(^пНп (х) = 0,

откуда имеем Г (z) = 0. Таким образом, доказано, что из 入(Я) = 0 следует Hn(z) = 0 для любого z N 0・

Обратно, предположим, что существует целое р, такое, что JJP (/) = 0 тождественно по % 二 0. Для каждого 卩 С 厶(Я) ло определению найдется вектор х W 尸九，такой, что Н (%)三卩％• Тогда 0 = Я73 (①)三 рЛ%, где s=l+m + m2+ ••• + 加"匕 что дает 卩 & 0. Это, в частности, означает, что 0 & А (Я) & 0, т?. е. X (Н) = 0.

Остается доказать, что 九(Н) действительно является собственным значением отображения Н, которому соответствует некоторый собственный вектор х в Рп. Доказательство этого утверждения мы проведем раздельно для случаев m V £ и иг = 1.

Пусть х ——вектор из Рп, удовлетворяющий условию

Я (%)三 кг, А =入(Я).(8)

Случай т <Z i. Допустим сначала, что X = 0. Тогда в силу только что доказанного утверждения (iii) некоторая степень отображения Н тождественно обращается в нуль. Возьмем тогда произвольный вектор г/ > 0 и затем наименьшее положительное целое 6, такое, что Я3 (у) = 0. При этом Я8-1 (у) > 0, и в силу условия п

однородности (7) имеем Н (и) = 0, где 〃 = Н$т (沙)/2 Я8-1 (у) W £ Рп. Таким образом, Н (и) = 0・м; это означает, что и является собственным вектором, соответствующим собственному значению X = 0.

Покажем теперь, что если 九 > 0, то в соотношении (8) может иметь место только равенство. В самом деле, в этом случае (8) распадается на п покомпонентных соотношений 修(％)》丸々 = 1, . . ., п), суммируя которые, получаем

п

3%⑺》九.(9)

г=1

Поскольку А > 0, то сумма компонент Hi (%), согласно (9), положительна. Поэтому из (8) с учетом условий (у), (6) имеем

п

m®)三卩弘卩=^(三印⑺广7

2修⑺

i= 1

Таким образом, L (Я) ?卩,поэтому 入 > 卩 в силу определения (7), т. е•九 >、т (2 Н» (%))1-т. Учитывая, что %>0, получаем отсюда 入'-т》(2 Hi (х)У~т. Наконец, с、учетом того, что

1 — m > 0, окончательно получаем п 2 %(%)《а・ i=i

Таким образом, в (9) имеет место равенство. Это означает, что ни одна компонента вектора Н (х) не может превышать соответствующую компоненту вектора 入瑞 т. е. в (8) также должно быть равенство.

Случай тп = 1. В этом случае в (8) не обязательно должно иметь место равенство, если только на функцию Н не наложить более сильное требование монотонности, такое, как (6S). Поэтому мы временно предположим, что Н удовлетворяет условию (6§). Тогда, если допустить, что Н(х) > Хж в (8), то в силу условия однородности (у) при m = 1 и условия монотонности (3 $) получаем

8@)>М, и = /3 "п・

Отсюда следует, что L (Я) 3 九十 е при достаточно малом положительном е, а это противоречит максимальности 入 в £ (Я). Таким образом, в предположении (6S) мы получаем, что в (8) должно иметь место равенство, и, следовательно, А является собственным значением.

Общий случай, когда предполагается выполненным лишь условие (6), а не (Ь§), сводится к этому частному случаю путем аипрок- симации. Возьмем некоторый фиксированный вектор с > 0 и положим

п

Яе (^) = Н{х) + (в 2 %i)c (е>0).г=1

Так как функция 8。(①)=Н (化)удовлетворяет условиям (а), (Р), условию (у) с иг = 1 и условию (6), то функция Я8 (%), очевидно, удовлетворяет условиям (а), (0), условию (у) с m = « и условию (bs) при каждом е > 0. Более того, если е〉6 > 0, то Яе (%)三 Яб (%)三 Н (①) тождественно по % 三 0. Поэтому при &》8 > 0 в силу уже доказанного утверждения (ii) имеем X (Яе)》% (Яб) > X (Я). Пусть {%} — убывающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Тогда {А (Яе”)} представляет собой невозрастающую последовательность чисел, ограниченную снизу числом X (Н). Поэтому существует предел lim А (Н%)= 卩，причем 卩》А (Я). Поскольку каждая функция Н% удовлетворяет условию (6S), то 九(Н%) по доказанному является собственным значением функции Н%、которому

соответствует некоторый собственный вектор xv, лежащий в Рпг так что

风”(加)=入(Н%) %v (v = 1, 2, • • •)•(10>

Ввиду условия xv f Рп (V = 1, 2, . . .) и компактности множества Рп можно считать, что последовательность {/^} сама сходится к некоторому вектору х из Рп. Тогда в пределе правая часть соотношения (10) дает 卩％, а левая часть H^v (xv) = Н (%”) + ev^ в силу предположения непрерывности (0) сходится к Н (с). Таким образом, мы получаем Н (ж) =(X ж, ж g Рп, причем здесь, как уже отмечалось выше, р, ^ X (Я). Но так как L (Я) J 卩，то в силу определения (7) имеем X (左)> 出.Следовательно,卩 = А (Я). Этим завершено доказательство теоремы.

Отметим, что предположение монотонности позволило нам получить решение задачи (6) о собственных значениях, не прибегая к теореме о неподвижной точке. При этом утверждение (iii} в теореме 10.3, характеризующее случай 九(Я) = 0, по-видимому,. вообще является новым. Никто из ранее упомянутых авторов не обращал внимания на эти два обстоятельства, хотя -они имели дело главным образом с такой ситуацией, когда условие монотонности выполняется.

10.2. Относительная устойчивость

瓚 |Этот раздел посвящен обсуждению понятия относительной устойчивости в системе (2) из § 10.1. Имея в виду результаты^ полученные в §§ 7, 8 из гл. II для матричных моделей, мы можем: предвидеть, что нам окажутся полезными нелинейные обобщения таких понятий, как неразложимость (гл. II, § 7.2) и примитивность (гл. II, § 8.2)

Естественно возникающий нелинейный вариант понятия неразложимости выглядит следующим образом. Пусть даны два вектора х, у, такие, что ① N у N 0. Положим

n (况，沙)={/ I g >力}・

Это множество N (%, у) является подмножеством множества N = 1== {4, 2, ...,72}.

Определение 10.2. Вектор-функция Н (%) = (Н» (%)), удовлетворяющая условию (а) из § 10.1, называется неразложимой, если для любой пары векторов х,刃，таких, что % 三沙三 О и множество N (%, у) является непустым собственным подмножеством множества 7V, имеет место

Hi (х) =/= Hi (у) кля некоторого i ^ N (х, у)：(1>

Если функция Н к тому же удовлетворяет условию слабой монотонности 仇)，то условие (1) заменяется условием

Hi (ж) > Hi (g) для некоторого i ^ N (х,汾. (2)

Легко видеть, что свойство сильной монотонности (6$) можно рассматривать как усиление свойства неразложимости.

В соответствии с введенным определением неразложимости большинство результатов, установленных в гл. II для неразложимых матриц, можно распространить на нелинейные ситуации. Одн&ко здесь мы не будем пытаться получить все возможные обобщения, а рассмотрим лишь те из них, которые окажутся полезными при изучении относительной устойчивости. С этой точки зрения наиболее интересным результатом, несомненно, является следующий аналог теоремы 7.3 из гл. II.

Теорема 10.4. Пусть выполнены условия (а), (у), (3Q из § 10.1 и условие неразложимости. Тогда при 八》2 справедливы утверждения

Собственные значения и собственные векторы отображения Н положительны. •

Собственные векторы отображения Н единственны с точностью до положителъного скалярного множителя. Здесь имеются 6 виду всевозможные собственные векторы, соответствующие всевозможным собственным значениям отображения Н.

Доказательство, (i) ПустьН (%) = А%, ж > 0. В силу условия (а) и полуположительности вектора х имеем 九》0. Далее, в соответствии с определением множества N (%, 0) и условиями (а), (3投)получаем

0 =九勺=н» ® > Hi (0) ^ 0 при i^N (%, 0).

Таким образом, Hi (%) = Hi (0) при i ^ N (х, 0). Поэтому множество N (%, 0) в силу неразложимости должно либо быть пустым, либо совпадать с N = {1, 2, . . ., п}. Условием > 0 исключает первую из этих альтернатив, так что остается N (%, 0) = N, т. е. % > 0. Допустим теперь, что А = 0. Тогда из Н (①)= А% получаем Н (%) = 0. Возьмем какое-либо непустое собственное подмножество J множества N и построим полуположительный вектор у, заменив в векторе х компоненты ж； нулями, если j W J, м оставив их без изменения, если j 0 J. Тогда, очевидно, ж > г/ > 0, и из Я (ж)= = 0, учитывая (а) и (6Ш), получаем

0 = % (%)》Hi 匂)》0 при i & N (х、и) = J・

Таким образом, Н» (①)=耳力(g) при i ^ N (х, у) = J, что противоречит неразложимости. Поэтому в соотношении 入 > 0 случай 入=0 невозможен, так что X > 0. -

Пусть Н (х) == х\ х, ж > 0. Тогда в силу условия (у) Леем Н (и) = т\ (2 х^^и, и = с/2 况》W 尸九・ Таким образом, любой собственный вектор является положительным кратным некоторому собственному вектору с суммой компонент, равной единице. Следовательно, достаточно доказать единственность собственного вектора в Рп.

Пусть теперь Н (%) = А/, Н (у)=卩д, с, у € Рп； будем предполагать, что 兄》卩.Учитывая, что оба вектора хну положительны в силу уже доказанного утверждения (i), положим, как обычно,

0 = min— по всем i.

Тогда у ^ Qx, по у ^ 9%. Неравенство 沙三 6% распадается на п покомпонентных соотношений, суммирование которых дает неравенство 1》6 (оба вектора хну имеют суммы компонент, равные единице). Далее, в силу условия 九〉出 м условия (3投)при i 0 ^ N (у, 0ж) имеем

九凯》卩6g =卩勿=Hi (g)》Ht (0rr)=

=QmHi (x) = ^mXi > ^勺，

учитывая, что из 0 ^ 1, 0&дп&1 следует 0m > 0. Таким образом, Hi (у) = Hi (6力)для всех Z 在 7V (沙，0力).В свою очередь условие у ^ Qx исключает возможность того, что N (у, 6ж) = N = = {1, 2, . . ., п}. Поэтому из неразложимости функции Н следует N (у, 0х) = 0, что означает у = 0ж. Суммируя покомпонентные равенства 勿=8g по всем г, получаем 0 = 1. Следовательно, к = у. Теорема доказана.

Следующий результат также является следствием неразложимости.

Теорема 10.5. Пусть выполнены условия (а), (6) и условие неразложимости. Тогда при тг》2 справедливы утверждения

Из х > у ^ 0 следует Н (ж) > Н (/

Из % > g 三 0 следует Я (ж) > Я (у).

Доказательство. Из условий (а), (6) получаем, что если % 三刃三 0, то Н (х)^Н (у) ^ 0. Пусть сначала 七 > у 三 0 и % А у. Тогда в силу неразложимости имеем Hi (%) > % (у) для некоторого i ^ N (х,沙),так что Н (* N Н (у). Этим доказано утверждение (i) в случае ① А У・ Поэтому остается только доказать утверждение (ii). Для этого возьмем произвольный, но фиксированный индекс 论 из множества N = {1, 2, . . ., и} и построим вектор хк =(潢)с компонентами / =勺 при i 片儿 и 化^ =沙卜・ Очевидна, если * > у, ни 炉三 у и множество N (化匕 у) содержит все индексы из N, за исключением к. Поэтому Нк (xfe) >

> Hh (у) в силу неразложимости. С другой стороны, из % 三 d 至 三 у следует Н (х) ^ Н (尚三 Е (д), так что Hk (%) > Hh (公)> > Hk (у). Вспоминая, что индекс к произволен, заключаем, что из х> у ^ Q следует Hk (%) > Hh (у) для всех " = 1, . . ., п. Теорема доказана.

Для того чтобы установить факт относительной устойчивости, нам понадобится дальнейшее усиление свойства неразложимости. С этой целью мы дадим формулировку свойства примитивности в нелинейном варианте, причем будем исходить из аналогии не с прямой формулировкой этого свойства, данной как определение 8.2 в гл. II, а с эквивалентным свойством, сформулированным в теореме 8.2 из гл. II.

Определение 10.3. Вектор-функция Н (①)=(Е^ (%)), удовлетворяющая условию (а) из § 10.1, называется примитивной в точке % = а 三 0, если для каждой точки у, такой, что 沙丄 @, найдется положительное целое s, при котором Я8 (у) > Я8 (а).

Следует отметить, что здесь s, вообще говоря, может зависеть м от у м от 〃. Очевидно, что сильно монотонная вектор-функция, удовлетворяющая условию (6S), неразложима и примитивна в каждой точке, причем s = 4.

Пусть вектор-функция Н (%) = (Н» (%)) удовлетворяет условиям (а), (Р), (у), (6) и условию неразложимости. Для того чтобы иметь возможность гарантировать относительную устойчивость в системе (2) из § 10.1, мы далее будем налагать более или менее сильное требование примитивности в зависимости от того, какова степень однородности т; как будет видно, в случае 0 ^ m < 1 достаточно самой слабой из разновидностей примитивности, т. е. примитивности в одной точке, тогда как в случае т — 1 понадобится дальнейшее усиление этого требования. В связи с этим указанные два случая рассматриваются порознь.

Случай m V 4・ Заметим, что в силу теоремы 10.4 (i) неразложимость гарантирует, что А (Я) > 0 при 八〉2; поэтому А = 1 также является собственным значением отображения Н, согласно теореме 10.2 (ii). Из теоремы 10.4 видно, что собственный вектор 〃， соответствующий собственному значению 1, положителен и единствен; последнее, т. е. единственность вектора 〃，устанавливается следующим образом. Пусть % = 〃(％), и = Н (^); тогда по теореме 10.4 (ii) имеем х = Ви при некотором 0 > 0. Поэтому 0и = ~ х = Н (х) — Н (6〃)= 6" Н (и), так что Qx~m и = Н (и) = и; отсюда получаем б】-從=1. А так как 0 & m V 1, то отсюда 0 = 1 и, значит, х = и.

Собственный вектор 〃，соответствующий собственному значению 1, порождает стационарное решение

и (t) — и (力=0, 1, 2, . . .) (3)

системы (2) из § 10.1, что является частным случаем сбалансированного роста (3), § 10.1, для которого о (力)=1 в любой момент времени. Как уже отмечалось, общее сбалансированно-растущее решение этой системы ①(力)=о (力)х сходится к вектору х = =А^/С-т)%. Этот вектор должен совпадать с и, так как соотношение % (力 + 1) = Н (% (力))в, пределе дает х = Н (^), откуда следует х = и в силу единственности собственного вектора и. Рассматривая сходимость произвольного решения к и, мы получаем следующий более общий результат.

Теорема 10.6. Пусть выполнены условия (а)(〃》2), (Р), (у) (0 m < 1), (6) и условие неразложимости. Тогда, если функция Н примитивна е точке 0, то каждое решение х (力)системы (2) из § 10.1, исходящее из любого начального состояния х (0) > > 0, сходится к стационарному состоянию (3).

Доказательство. Положим

а (力)=min ^^ по всем i = 1, .. ., w;

卩(力=max^^ по всем 力=4, ..., n.

Для того чтобы доказать сходимость х (力)к и, достаточно доказать сходимость числовых последовательностей а (力)，§ (力)к 1.

По определению % (力)三 а (力)и, поэтому с учетом условия монотонности (6) имеем

Xi (力 + 4) = Hi (ж (力))> Hi (а (力)и) = а (力)捞修(u)==a (t)mu^откуда находим

У(：”)》a (Z)m (Z = 1,八).

Отсюда заключаем, что

а & + 4)》а (力广 (％ = 0, 1,・・・)・(4)

Аналогично получаем

₽ (^ + 1) ^ ₽ ⑴ m (力=0, 4,・・・)・(5)

Покажем, что 卩(%) > 0 при всех 力.Прежде всего отметим, что ^ (0) > 0 по предположению. Далее, если х (力)> 0, то, согласно теореме 10.5 (i), имеем х (^ + 1) = Я (ж (%)) > Н (0)三 0. Поэтому х (t) > 0 при всех 力 и, следовательно,卩 «) > 0 при всех 九 Далее, значения а (方)могут быть нулевыми для нескольких первых значений 力 однако в силу примитивности функции Н в точке О при некотором s » 1 мы получаем х (s) = Н3 (①(0)) > 0, откуда

в силу теоремы 10.5 (ii) находим х (力)=Н，(% (0)) > 0 при всех 力 > s. Это означает, что а (力 > 0 при всех 力》s.

Повторное применение неравенств (4), (5) дает

a (s)m* & а (s + 力)& § (s + 力)& 6 (sN (力=о, i, . . .).(6)

С учетом условий 0 & тп V 1, а (s) > 0, 0 (s) > 0 убеждаемся, что существуют пределы

lim а (s)mi = lim 卩(s)m* = 1,

力 f-j-OOff+8

что в сочетании с (6) дает

lim а «) = lim 0 (力)=1 ・力f+(Ю力f+8

Этим завершается доказательство теоремы.

Замечание, В случае иг = 0 теорема 10.6 на самом деле теряет силу, несмотря на сохранение внутренней логики ее доказательства. Дело в том, что из условия монотонности (6) при т = Q следует, как мы сейчас убедимся, постоянство функции Н (%) при всех 况 > 0, а это несовместимо с неразложимостью. Действительно, пусть х, у — два положительных вектора. Тогда при некотором положительном 0 > 0 имеем &г 三勿 так что с учетом ⑹ м m = 0 получаем Н (х) = Н (6%)三耳(у). Но совершенно аналогично можно получить Н (у)三 Н (%), так что Н (х) = Н (у).

Случай пг = 1. Снова, как и в предыдущем случае, имеем X (Я) > 0, и система (2) из § 10.1 обладает сбалансированно- растущим решением

и (力)=入% (^ = 0, 1, . . .),(7)

где и — положительный собственный вектор, соответствующий собственному значению А = А (Я). По теореме 10.4 (ii) вектор м является единственным с точностью до умножения на положительное число. Для того чтобы преодолеть дополнительные трудности, возникающие в случае однородности первой степени, придется предположить, что вектор-функция Н (к) примитивна не только в точке 0, но и в точке и. Кстати, нетрудно убедиться, что из примитивности в точке и сразу следует примитивность для любого вектора, являющегося положительным кратным и. Ниже мы будем рассматривать сходимость произвольного решения системы (2) из § 10.1 к решению (7), но сходимость в смысле отношений компонент, т. е. относительную, а не абсолютную.

Теорема 10.7. Пусть выполнены условия (а) (п》2), (Р), (у) (т = 1), (6) и условие неразложимости. Тоеда、если функция

Н примитивна 6 точке 0 и точке и, то каждое решение х (力)=(勺(力)) системы (2) из § 10.1, исходящее из произвольной начальной точки х (0) > 0, сходится к сбалансированно-растущему решению (7) в смысле отношений компонент, т. е. существуют пределы

(8)(8)иm 编=Y Ui …，"),/->-}-оо V /

(8)

(8)

причем у является положительным числом, общим для всех L

Доказательство. Метод доказательства здесь более сложен, чем в доказательстве теоремы 10.6, хотя начнем мы, как и там, положив

a(t) = min по всем i = 1, ..., п,

0(/) = max^4^ по всем i = 1, ..п.

Отсюда немедленно получаем

Р (0) > р (1) > ... > р (О >：Р (^ + 1) > . •.

・・・ > а (力 + 1) > а (力)〉・・・ > а (1) > а (0).(9)

Цепочка неравенств (9) следует из соотношения 卩(力)Ku(t)= =Я(Р (t) u(t))三忆(力 + 1)三 H(a«) u(t)) = a«) Xu(0, которое получается из соотношения в(方)й(力)三力(力)三 a(t) m(力) с учетом условия монотонности (6). Из цепочки неравенств (9) видно, что последовательности {а «)} и {Р (力} ограничены, причем они являются неубывающей и невозрастающей последова* тельностями соответственно. Следовательно, пределы

lim a (力)=a, lim B(力)=0

ff+8#f+8

существуют, причем 0《а《§• Если мы покажем,что а =卩 > О, то, очевидно, отсюда и будет следовать (8), где 丫 совпадает с общим положительным предельным значением а = р.

Для того чтобы проверить равенство а = Р，допустим противное: р > а, и покажем, что это приводит к противоречию. В самом деле, если 0 > а, то 0 > аб при некотором 3 > 1; Для каждого фиксированного индекса к построим вектор ①"=(况е) с компо^ нентами %£ = 〃％ «声加),％^ = 6uk. 1аким ооразом, мы получаем п специально построенных векторов а? (А: = 1, •…初

При каждом t мы имеем g (力)》а (力)А/м» для всех i, причем хотя бы для одного индекса к имеет место равенство хк (力)= =卩(Е)儿％时 В силу соотношения В (%)》В》аб > а (%) 8 ушь мянутое равенство приводит нас к неравенству вида xk (力》

》а (力)V6uft. Следовательно, при каждом t мы имеем

% (力)〉a (t)^ а? для некоторого Л,(10)

где к может зависеть от 力.

Заметим теперь, что при каждом фиксированном " из м > 0 и 6 > 1 получаем xk > и. В силу примитивности Н в точке 〃 находим, что существует положительное целое s (А), такое, что ZP(出(У) > Н$3)(и); отсюда в соответствии с теоремой 10.5 (ii) следует, что Я* (%，> Я^ (и) при всех 力》s (fc). Таким образом, если положить

s = max s (А) по всем 乃=1,...,〃，

то мы получаем

Я8 (М) >Н$ (и)(乃=1, • •м).

Следовательно, найдется число л > 1,, такое, что

7Г (М) ^ лЯ8 (и) (* = 1,..八).(И)

Исходя из этих предварительных результатов, рассмотрим подпоследовательность {①(vs)}Qo и соответствующую а-последова- тельность {a (vs)}^o・ Замечая теперь, что подпоследовательность {ж (vs)}Qo является решением уравнения у (v + 1) — Hs ® (v)), и учитывая соотношение (10) для соответствующего xh, а также соотношение (11), получаем

% ((V 十 4) s) = Я8 (% (vs))三

三 Я8 (a (vs) Vs/) = а (vs)仙$尸(火)三

三 a (vs) ^snH^(u) — a (vs)冗九(叶1)$ 〃，

и, следовательно, с учетом (7)

力t ((v + 夂)s) 〃i((v + D s>力t ((v + 夂)s) 〃i((v + D s>》ла (vs)》ла (vs)(力二: 1,...,冷).(力二: 1,...,冷).

力t ((v + 夂)s) 〃i((v + D s>

力t ((v + 夂)s) 〃i((v + D s>

》ла (vs)

》ла (vs)

(力二: 1,...,冷).

(力二: 1,...,冷).

Отсюда имеем

a ((v + 1) s)〉эта (vs)a ((v + 1) s)〉эта (vs)(v = 0, 1,...).(v = 0, 1,...).(12)(12)

a ((v + 1) s)〉эта (vs)

a ((v + 1) s)〉эта (vs)

(v = 0, 1,...).

(v = 0, 1,...).

(12)

(12)

Наконец, если мы, как и при доказательстве теоремы 10.6, воспользуемся примитивностью Н в точке 0, то обнаружим, что исходная a-последовательность должна быть положительной, начиная с некоторого ^0, т. е.

а ⑺ >0 «〉％)•- (13)

Обозначим через р наименьшее среди целых чисел v, таких, что vs》％; тогда сопоставление условий (12) и (13) дает

а ((р + V)s)》da (ps) (v = 0, 1, . . .),(14)

и ввиду того, что л > 1, a (ps) > 0, получаем из (14) противоречивый результат

lim a (vs) = + оо,

как и ожидалось. Следовательно, должно быть а = Р，а в силу (13) этот общий предел должен быть положительным. Теорема полностью доказана.

ДИНАМИКА ДОХОДОВ ПРИ ВНЕШНИХ РАСХОДАХ 1)

Нелинейные процессы с мультипликатором

Параграф 11 посвящен изучению динамических процессов* представимых соотношением

贝方+ 1) = &贝力+a(%)，(1)

где H(g)——как и в § 10, вектор-функция векторного аргумента д, a a(t) представляет собой член, определяемый экзогенно, т. е. извне по отношению к данной системе. На функцию Н налагаются те же формальные требования, что и в § 10, т. е. предполагается, что Н удовлетворяет некоторым или всем условиям (а), (Р), (у), (九)，(б) и (6s), в зависимости от конкретного рассматриваемого случая.

Мы будем заниматься главным образом переформулировкой теории матричных мультипликаторов из § 6.3 гл. II, связанной с обобщением этой теории на нелинейные ситуации. Нелинейность появляется здесь с того момента,* когда матрица Н в соотношении (4) из § 6.3 гл. II заменяется векторно-векторным отображением у (力)т Н (у (%)), что приводит нас к выписанному выше соотношению (1). Для этого соотношения (1) по-прежнему годится обычная экономическая интерпретация, изложенная в § 6.3 гл. II применительно к (4), хотя нелинейный характер расходов требует теперь некоторой ее модификации. Вспомним, что матрица Н в соотношении (4) из § 6.3 гл. II имела вид произведения матриц V (/ — Л)-1 PC. В рассматриваемом здесь более общем случае вместо линейного закона траты отраслевых доходов, выраженного в постоянной матрице С отраслевых склонностей к потреблению, будет использоваться вектор-функция F (у) = (/\ (у)), которую можно назвать функцией расходов или функцией потребления. Ком— понента Ff (у) этой функции представляет собой величину расходов на потребление (с задержкой на один период) продукции 力-й отрасли всеми отраслями вместе при условии, что вектор отраслевых доходов в предыдущем периоде равен у — (у。. Таким образом, мы получаем суперпозицию отображений Н (у)=

D Содержание § 11 основапэ на переработанном материале статьи автора (Никайдо, [9]).

=Р (/ ——A^PF (у), что представляет своеобразный синтез линейной технологии и нелинейного способа потребления. С учетом всего сказанного соотношение (1) получает интерпретацию как уравнение нелинейного процесса движения доходов.

Функция потребления F (у) в общем нелинейном виде более пригодна для описания характера потребления, чем ее частный вид — линейная функция. Так, например, однородность m-й степени функции 尸(у), а значит, и функции Я (у), при 0 ^ тп < 1, как представляется, лучше гармонирует с обычными предположениями об убывающей склонности к потреблению, чем линейность. Заметим, что даже при m = 1 однородность первой степени не обязательно влечет аддитивность закона потребления F(x + y) = F(x)+F (у).

Сравнительный обзор § 6.3 и 8.1 гл. II позволяет увидеть, что механизм, обеспечивающий устойчивость динамического равновесия в системе (4) из § 6.3 гл. II, отличается по своей природе от соответствующего механизма в самообеспечивающейся системе (1) из § 8.1 гл. И. В первой системе устойчивость главным образом определяется характером и скоростью изменения внешнего воздействия, тогда как основной причиной устойчивости второй системы является ее внутреннее свойство неразложимости и примитивности. Мы уже видели, что устойчивость самоподдерживаю- щегося роста в нелинейных системах обусловливается по существу теми же причинами, что и в линейных системах, рассмотренных в гл. II. Поэтому кажется естественным посмотреть, какова ситуация в случае неавтономного роста под воздействием экзогенного фактора в (1). Это и будет сделано в настоящем разделе.

В связи с особым интересом, который вызывают процессы сбалансированного роста, следует отметить характерную черту неавтономного роста в системе (1), не присущую самоподдерживаю- щемуся росту в системе (1) из § 10.1. А именно, если эндогенная переменная у (力)в системе (1) растет сбалансированным образом, то так же себя ведет и экзогенная переменная 〃 (力),и обратно; однако эти два вектора не обязаны находиться на одном луче (исходящем из начала координат). Это замечание позволяет провести четкое разделение между сбалансированным ростом первого рода и сбалансированным ростом второго рода. Первое относится к случаю, когда точки у (t) н а (力)движутся по различным лучам, а второе ——это, можно сказать, вырожденный случай, когда обе эти точки движутся- по общему лучу. Такая классификация, хотя она и кажется с первого взгляда тривиальной, принесет нам пользу при обсуждении возможности и устойчивости сбалансированного роста. Нужно также добавить, что хотя такая классификация и не была проведена в свое время в § 6.3 гл. II, она равным образом применима и к линейным ситуациям ——частному случаю системы (1).

Исследуем возможности сбалансированного роста в двух указанных выше случаях. Прежде всего напомним, что последовательность векторов у (力)образует траекторию сбалансированного роста, если отношения компонент 勿(力)：火(%) ： • • • ： У九(力)этих векторов остаются постоянными во времени. Таким образом, эта последовательность целиком лежит на некотором луче, исходящем из начала координат и имеющем неотрицательные направляющие косинусы.

Пусть

Q(方)=T (方)а, a > 0,(2)

т (0 > 0, т (0) = 1一 (3)

——заданный экзогенный член в соотношении (1), который растет сбалансированным образом. Посмотрим, какой должна быть траектория сбалансированного роста у (方)системы (1) вида

沙 «) = о (力)м, и > 0,(4〉

от (力)>0, а (0) = 1,(5)

чтобы она была совместима с (2), (3). Очевидно, что мы имеем здесь сбалансированный рост первого типа в том и только том случае, когда векторы и и а линейно независимы; в противном случае имеем сбалансированный рост второго типа.

Предположим теперь, что функция Н (①)удовлетворяет условиям (а), (у) из § 10.1, и изучим порознь два рода сбалансированного роста.

Сбалансированный рост первого рода. Подставляя выражения вида (2), (4) для а (%), у (力)，у (力 + 彳)в соотношение (1) и цри- нимая во внимание свойство однородности (у), получаем

а (^ + 1) и = а (力)^〃(и)十 т (力)а (^ = 0, 1, . . .);(6>

отсюда с учетом положительности。(力 из (5) имеем

唸 a = Hg (力=0, 1,・・・)・(7}

Ввиду предположения о линейной независимости векторов и и а соотношения (7) выполняются одновременно только в том случае, когда коэффициенты при и и а остаются постоянными во времени^ Поэтому в случае выполнения всех соотношений (7) из условий (3), (5) находим

а (^ + 1) = р(у ⑴皿(力=о, i,・・.),(8)

гдегдеt (^) = a 仍，(9)

где

где

(Ю>(Ю>р = а (1) > 0,

(Ю>

(Ю>

(И)(И)а вектор и является решением уравнения ри — Н 储=а.

(И)

(И)

Если задано какое-нибудь а (1) > 0, удовлетворяющее единствен- цому требованию, чтобы при р = о (1) уравнение (11) имело некоторое решение и, то уравнения (8), (9) полностью определяют последовательности величин о (力)，т (力)• Несложные выкладки дают

[1(%=0),

= (…«》[)；(12)

J 1(力= o),

""=t pm+m2+...+m"(力> 1).^^

Итак, если при некоторых р > 0 и а > 0 уравнение (11) имеет решение и > 0, то эти векторы и и а вместе с последовательностями чисел (12), (13) порождают траекторию сбалансированного роста (4), (5), совместимую с условиями (2), (3). Таким образом, возможность сбалансированного роста первого рода сводится к разрешимости уравнения (11); последней проблеме будет посвящен § 11.2.

Сбалансированный рост второго рода. В этом случае векторы а и 〃 предполагаются линейно зависимыми, так что а = 0и, где 0 — некоторое положительное число. Поэтому уравнение (6) сводится к уравнению

о (力+l)—9т (力)0mо (力+l)—9т (力)0mи = Н (и)(力=0, 1,...),и = Н (и)(力=0, 1,...),(14)(14)

о (力+l)—9т (力)0m

о (力+l)—9т (力)0m

и = Н (и)(力=0, 1,...),

и = Н (и)(力=0, 1,...),

(14)

(14)

которое выполняется в том и только в том случае, когда коэффициент при и остается постоянным во времени, равным некоторому аислу А. Это означает, что вектор и вместе с числом А образует решение задачи о собственных значениях

ки = Н (и), и > 0.ки = Н (и), и > 0.(15)(15)

ки = Н (и), и > 0.

ки = Н (и), и > 0.

(15)

(15)

Соответствующее рекуррентное соотношение для последовательности {о (力)} при этом имеет вид*

(16)(16)а (^ + 1) = Ха (力广 + 0т (0.

(16)

(16)

Вспомним, что в случае сбалансированного роста первого рода величины сг (力)и т (力)представляются в виде (12), (13). В связи с этим важно отметить, что характер последовательности {т «)} в соотношении (16) ничем не ограничивается. Это является специфической особенностью сбалансированного роста второго рода, отличающей его от сбалансированного роста первого рода. После того как последовательность {т (力} произвольно выбрана, каж-

§ 77. Динамика доходов при внешних расходах 219 дое решение 儿 и задачи (15) о собственных значениях вместе с последовательностью чисел а (力)，определяемой из (16), порождает траекторию сбалансированного роста второго рода (4), (5), совместимую с экзогенным членом 0т(^)и.

Таким образом, возможность сбалансированного роста второго рода сводится к разрешимости задачи (15) о собственных значениях, а этот вопрос уже исследовался ранее в § 10 в связи с изучением самоподдерживающегося сбалансированного роста. Поэтому неавтономный сбалансированный рост второго рода оказывается схожим с самоподдерживающимся сбалансированным ростом. Однако из-за наличия экзогенного члена т (力)а исследование устойчивости неавтономного роста даже в этом случае не удается свести к исследованию устойчивости самоподдерживающегося роста; подробнее это будет показано в следующем разделе.

Положительно-резольвентные множества

В теории матриц резольвентным множеством квадратной матрицы Л называется множество всех тех чисел р, для которых матрица р/ — Л обратима. При этом, если матрица Л неотрицательна, то, как было показано в гл. II, особый интерес представляют те элементы резольвентного множества, для которых матрица (р/ — Л)"1 неотрицательна. Напомним, в частности, что в результате исследования структуры множества чисел р, для которых матрица р/ — Л является неотрицательно обратимой, мы получили исчерпывающее описание этого множества как множества всех положительных чисел, превышающих А (Л) — доминирующее неотрицательное собственное значение матрицы А.

В настоящем разделе мы исследуем вопрос о том, при каких условиях уравнение вида (11) из § 11.1 при данном неотрицательном векторе а имеет решением неотрицательный вектор 〃； в частности, мы изучим условия, налагаемые на число р, при которых это уравнение имеет единственное неотрицательное решение 〃 при любом неотрицательном а. Если р — одно из таких чисел, то отображение, переводящее 〃三 0 в соответствующее решение 〃 N 0, можно рассматривать как неотрицательное отображение, обратное к отображению р〃 一 Н (〃).

Ради упрощения формулировок мы будем далее называть положителъно-резолъвентным множеством отображения Н множество положительных чисел р, для которых уравнение р% — Н (х) = а при каждом заданном полуположительном а имеет решение %; само уравнение

рх — Н (х) = а (1) мы будем называть резольвентным уравнением.

В качестве первого шага в исследовании положительно-резоль-^ вентного множества отображения Н мы приведем некоторые достаточные условия разрешимости уравнения (1).

Теорема 11.1. Пусть Н удовлетворяет условиям (а), (§), (у) из § 10.1. Тогда

Если Q ^ т <i 1, то каждое положительное число р принадлежит полож ителъно-резолъвентному множеству отображения Н^

Если m = 1, то каждое число р, превышающее X (Я), принадлежит положителъно-резольвентному множеству отображения Н.

Доказательство. Как обычно, будем обозначать через Рп стандартный симплекс, образованный совокупностью неотрицательных n-мерных векторов, сумма компонент каждого из которых равна единице. Доказательство будет основано на применении теоремы Брауэра о неподвижной точке (гл. I, теорема 4.3) к некоторому отображению Рп f Р^, вид которого устанавливается по-разному в каждом из двух приводимых ниже случаев (i> и (ii)・

Случай 0 & ап V 1・ Пусть число р > 0 и вектор а > О выбраны произвольно и зафиксированы. Тогда при каждом фиксированном х Рп уравнение относительно скалярной переменной со > 0 вида,

пп

г=1г=1

имеет единственное решение, что легко выводится из условия 0 & m V 1・ Действительно, непрерывная функция

п

/(S)= (ХО —й)т』Hj 3)

г=1

удовлетворяет условию / (со) & 0 при 0 & со & ①。= =(』〃》(%)/р尸"i-т)и строго возрастает при s》(o0, причем Нт / (со) = 4-оо; поэтому / (со) принимает положительное (Of+(Ю

значение Е а» ровно при одном значении со. Далее, поскольку функция Н (ж) непрерывна по условию (0), указанное решение s является непрерывной функцией от 况,определенной на Рп; эту функцию мы будем обозначать со (况)• Тогда эта однозначная положительная непрерывная скалярная функция со (①)по построению должна удовлетворять уравнению

пп

р(0 (力)=СО ⑺ m 2 Hi (х) + 2 生；

i=lt=i

отсюда с учетом свойства (?) получаем

пп

при всех х^Рп,при всех х^Рп,(2)(2)ps(%)= 2 修(со ⑺①)+ 2 生 i=lг==1

при всех х^Рп,

при всех х^Рп,

(2)

(2)

С использованием функции со (х) построим непрерывное отображение ф： Рп —»РП вида

取（о）=取（о）=Hi (со(N)e)+ 0tрсо⑺Hi (со(N)e)+ 0tрсо⑺(j= 1,…，*(j= 1,…，*(3)(3)

取（о）=

取（о）=

Hi (со(N)e)+ 0tрсо⑺

Hi (со(N)e)+ 0tрсо⑺

(j= 1,…，*

(j= 1,…，*

(3)

(3)

где(pf (%) есть f-я компонента вектор-функции 屮(％)• Непрерывность и неотрицательность этой вектор-функции очевидны, з соотношение (2) показывает, что сумма ее компонент всегда равна единице. Поэтому, согласно теореме "Брауэра о неподвижной точке, должна существовать неподвижная точка % =屮(％), для которой сразу получаем соотношение рсо (х) х = Н (со (х) ж) + а. Таким образом мы нашли одно решение % = со (%) % уравнения (1).

Случай m = 1. Пусть теперь произвольно заданы число р > X (Я) и вектор а > 0. Построим другое непрерывное отображение 屮：Рп + Рп вида

山⑺="мe)书®包 (』i,…，叫⑷

max [p, 2 Hi (x)]i=l

где

n

max [p— J Hi (x), 0]

8Q)=戸•(5)

i=l

Знаменатель в (4) положителен, так как он заведомо не меньше р. Ясно, что введенные 九 функций 办(％) и функция 0 (%) непрерывны. Далее, очевидно, что *фг (ж)0 (i = 1, . . ., п); кроме того,

сумма этих функций тождественно равна единице, так как сумма числителей в (4) по всем i, равная

пп

S % (%) + max [р— 2 НМ叫 0], i=lIT

как легко видеть, совпадает с общим знаменателем в (4)

п

max [р, 2 %(%)]•1=1

Таким образом,屮 является непрерывным отображением Рп в Рп, так что по теореме Брауэра о неподвижной точке существует неподвижная точка % =冲(％). Для этой точки

(X — 1, • • • , 72)•(X — 1, • • • , 72)•⑹⑹修(6 + 6向Qimax [p, 2 Hi(^)]

(X — 1, • • • , 72)•

(X — 1, • • • , 72)•

⑹

⑹

Допустим, что 0 (ж) = 0. Согласно (5), это означает, что

п

⑺⑺P«2%(力i=l

⑺

⑺

При этом соотношение (6) сводится к такому:

п

(2 % (£))乙=Z (据)(t = 1, ..., n).(8>

i=l

Из соотношения (8) заключаем, что число 2 Hi (①)является собственным значением отображения Н и, следовательно, мажорируется числом А (Я) в силу определения последнего. Поэтому с учетом (7) получаем

п

что противоречит предположению р>% (Я). Следовательно, должно быть 0 (財)> 0. Это прежде всего означает, что р > X % (%)； поэтому знаменатель в (6) фактически равен р. Поделив теперь обе части равенства (6) на 0 (%) и учтя предположение однородности первой степени, получаем

р (ij/0 (ж)) = Hi (ж/0 (i)) + аг (f = 1, ..n).

Тем самым мы нашли одно решение х = ж/0 (х) уравнения (1). Теорема полностью доказана.

Дальнейшие результаты в предположении монотонности

Теорема 11.1 полностью описывает положительно-резольвентное множество отображения Н при 0 ^ m < 1； однако в случае m = 1 остается, невыясненным, содержит ли положительно-резольвентное множество положительное число р, меньшее чем А (Я). Кроме того, эта теорема ничего не говорит о единственности решений резольвентного уравнения. Ответы на эти вопросы получить удается, если предположить выполненным условие слабой монотонности (6W).

Начнем с доказательства следующего утверждения.

Теорема 11.2. Пусть Н удовлетворяет условиям (а), (у) с т = i и (6ц；) из § 10.1. Тогда, если резольвентное уравнение р% — Н (х) = а при некотором а > 0 имеет решение 况三 0, та р > А (Я). 一

Доказательство. Пусть 〃二 0 — собственный вектор, соответствующий собственному значению А = А (Я), так что Хи = Я (и). Положим 0 = [min xjui по всем и» > 0]. Из уело- вия (а) имеем Н (%)三 0, а это позволяет утверждать, что р% = =Н (%) + 〃 三〃 > 0. Так как вектор х по предположению неотрицателен, то отсюда 力 > 0; поэтому 6 > 0. Пусть к — индекс, для которого 0 = xk/uk. Тогда х 三 0u, xh = 9м兀.Поэтому, учитывая условия (а), (у) с m = 1, (6^) м а > 0, мы получаем

рб^ = РЗ = Hh (①)+ ak^Hk (6〃)+ ah = =6A〃k+、优丸> 0Xufe.

Таким образом, (р — X) duk > 0. Поскольку 6〃冗 > 0, отсюда следует р > А. Теорема доказана.

Теорема 11.3. Пусть Н удовлетворяет условиям (а), (у) с 0 & пг & 1 〃 (3Q из § 10.1. Предположим^ что числа р, Т)принадлежат положительно-резольвентному множеству отображения Н. Пусть % 三 0, У 三 0 — решения резольвентных уравнений р% — Н (х) = а и т\у — Н (у) = b соответственно. Тогда^ если р》т),匕三。三 0 〃 匕 > 0, то х ^ у.

Доказательство. Учитывая, что соотношение т\у = =方® + 匕三 Ь>0 влечет положительность вектора у = ®), положим

0 = max — по всем 九

Тогда х ^ Gy и xk = 6^在 для некоторого индекса 加.Для этого кг принимая во внимание условия (а), (у), (5ц?) и 〃三仇 мы получаем

刀剪丸=叩互& pxk = Hk (%) + ak^w Я,例)+ bk =严办仅)+成・

Если бы было 0> 1, то в силу условия 0^m^ 1 мы имели бы 0 > 0т, так что из выписанной выше цепочки соотношений в этом случае следовало бы неравенство r\Qyk & ВН^ (g) + bk, что дает Qbk = 0 (v\yk ——Hk (у)) & bk. Но получаемое неравенство bk》 》9匕互 противоречит предположениям 0 > 1, bk > 0. Следовательно, 0^1, поэтому х ^Qy ^у, что и требовалось доказать.

Следствие. Если выполняются условия (а), (у), (3Q и вектор 〃 положителен, то решение резольвентного уравнения (1) из § 11.2 единственна.

Доказательство. Рассмотрим специальную ситуацию в теореме 11.3, когда р = п % 〃 =匕・ Тогда из теоремы 11.3 одновременно следует х ^ у и у ^ х, поэтому n = у, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Положим Hi (g, g) = Н2 (g, ж2) = /也長 где а>0, р > 0, а + Р = 1. Такая вектор-функция Н удовлетворяет условиям (а)瓜(у) с m = 4. Более того, выполняется не только условие (6W), но и (6). Легко видеть, что здесь А (Я) = 1. Тем не менее при р = Х(Я) = 1 систем!

р勺一Hi (力i, g) = 1, pg - % (%1, %2)= 0, имеет неотрицательное решение 勺=1, х2 = 0. Таким образом, требование положительности члена а в теореме 11.2 является существенным.

Замечание 2. Несмотря на справедливость замечания 1, утверждение теоремы 11.2 все-таки останется в силе даже для полу- лоложительного члена а, если условие (%) дополнить требованием неразложимости. Это легко установить путем небольшой ^модификации первоначального доказательства теоремы 11.2. В самом деле, из условия (6ц；) и свойства неразложимости (см. определение 10.2) следует，)， что найдется к ^ N (х, 0и), такое, что Hk (х) > Hh (6〃). Просматривая цепочку соотношений из исходного доказательства теоремы, относящуюся к данному к, мы убеждаемся, что нужное нам соотношение (р ——一厶)6〃丸 > 0 получается теперь даже в том случае, если допустить, что ак = 0. Аналогичное обобщение справедливо и для теоремы 11.3, а также для приводимой ниже теоремы 11.4; убедиться в этом мы предоставляем читателю.

Результаты, установленные в § 11.2 и 11.3, важны при рассмотрении вопросов устойчивости в следующем разделе; но независимо от этого они весьма полезны в приложениях, как это видно из следующей теоремы.

Теорема 11.4. Пусть заданы 八 однородных функций Gi (%i, %2, • • •, %九)с общей для всех степенью однородности ап, О 之 иг & 1, определенные при всевозможных неотрицательных значениях своих аргументов и непрерывные во всей области опреде-

Это рассуждение нуждается в некотором уточнении. Дела в том, что воспользоваться определением неразложимости можно только в том случае, когда N (с, Ou) R 0. Если же N (%, 8〃) = 0, т. е. х = 8〃, то требуется дополнительное рассмотрение, которое можно провести, например, так: при z = 9м в предположениях теоремы 11.2 имеем а = рх — Н (и) = (р — X)工十 + [Хх — Н (х)] = (р —入)а + [X0u — 0Я (〃)] = (р — X) ж； и уже отсюда при a N 0 м а: ^ 0 получаем искомое соотношение р > %.— Прим, перев.

ления. Далее, предположим, что эти функции удовлетворяют еле- дующему условию \ для каждого индекса к из xk = yk и xt^> 力 (» ~/~ 巾)слвдувтп Gji (%i, %2，• • ♦, %?г) ^^G^ ®i,沙2，• • •, Уп}* Тое8а, если при некотором наборе значений м»〉0 имеет место Gi (iq, 〃2，• • •, 〃九)> О (j = 1, . . ., п), то система уравнений

Gj (力 1, %2, • •・，％九)^2 〃i (» == 4, ♦ •・，八)(4)

имеет неотрицательное решение при любом наборе значений п

〃t》О, для которого 』％ > 0. Более того, если % > О (Z =

=1, . •.,八), то соответствующее решение х =(①》) положительно и единственно.

Доказательство. Положим F/ (%「 ж2, • • •, %九)= =Gt (W” 吗丝...，吗削)(Z = 1,...,吟 Легко видеть, что так построенные функции 户» удовлетворяют всем условиям, первоначально наложенным на но к тому же степень однородности функций Fi в точности равна единице. Очевидно, для того чтобы доказать теорему, теперь достаточно убедиться, что система уравнений

Fi (%1，%2, • • ♦, %九)^^ ^i (» == 1» • • ♦,八)*(2)

обладает требуемыми свойствами.

Прежде всего возьмем положительное число р, удовлетворяющее условию

р>^ (0? ..., О, 1, 0, ..., 0) G = l,.・.，м),(3)

и построим 八 функций Ht (i = 1,...,九)вида

Н» (а】，• ,•・，％九)—pg 歹2 (з, %2, • • ♦, %n)・(4)

Мы покажем, что эти функции удовлетворяют условиям (а), (Р), условию (у) с т = 1 и условию (8ц；). Сначала заметам, что каждая из п функций Fi обращается в нуль в начале координат, что сразу следует из ее однородности первой степени и непрерывности. Поэтому, отмечая, что (ж1? . . ., xft_1? 0, xfe+1, . . •, %九) 三 三(0, • • 0, . . ., 0) = 0 при любых g》0 (力纟 〃)，а k-е компоненты этих двух векторов совпадают, отсюда в силу условия слабой монотонности (3趾)функций ——<f\ находим, что

少在(/i, • •①丸Т, 。，%瓦+1, •・-①九)《

& Fk (0, . .0, . .0) = 0

при любых %t〉0 (i ^= к). Поэтому для любого вектора х = =(勺)NO с xh = 0 получаем, что Нк (%) = р ・0 — Fk (%)》0, Аналогичным образом, ввиду слабой монотонности функции ——Fk 15-8

заключаем, что

F 在(*, • • •, %丸T，1，①左+1，• • •, %九)^^^ ь目(0，。。・,°, 1,°, °) "^ p (5) при любых %t》0 (Z у= ") (последнее неравенство здесь обеспечивается условием (3)). Поэтому для любого вектора х =(勺)三 О с %丸 > 0 в силу соотношения (5) и однородности функции Fk первой степени получаем, что Нк (①)=卩①冗—Fh (%) = ^^ (р — —Fk (%i/g, . • ., xk-i/xk, 1, xk+i/xk,...,力九/g)) ^> 0. Таким образом, для любого вектора % 三 0 имеем Hh (%)》0 (" = 1, • • •，哈 так -что вектор-функция Н с компонентами Н^ удовлетворяет условию (а).

Что касается условия (§), условия (у) с иг = 1 л условия (6^), то они немедленно переносятся на функции Н» с функций Fi， Таким образом, к системе функций Н» применимы результаты из § 11.2 и § 11.3.

Действительно, заметим, что (4) можно переписать в виде

Pg Hi Qi，%2, • • ♦, %тг) == Ft (%,①2, • • •, %九)

(f = 1, . . ., П). (6) Согласно предположению теоремы, в случае g =或1〉0 (Z = 1, . . ., п) мы имеем

Fi (UТ，〃丁，. . .，m*)=Gf (m], 乂2，• ， •, 乂П)>0 (z= 1, • • .,几)，(7) так что *

p増一% (吋，或，…，吸)>0 "1,m).

Следовательно, р > А (Я) в силу теоремы 11.2. Но тогда, имея в виду соотношения (6), мы можем заключить из теоремы 11.1 (ii), что система уравнений (2) имеет неотрицательное решение при любом а = (〃 j > 0. Наконец, положительность и единственность решений при а = (а») > 0 получается с использованием (6) и следствия из теоремы 11.3. Теорема полностью доказана.

Замечание 3. Очевидно, что теорема 11.4 является нелинейным аналогом утверждения об эквивалентности условий (I) и (II) в теореме 6.1 из гл. II.

Устойчивость при неавтономном росте

В этом разделе будет установлена относительная устойчивость сбалансированно-растущего решения уравнения (1) из § 11.1. Каждый из двух родов, сбалансированного роста рассматривается отдельно.

Устойчивость сбалансированного роста первого рода. Напомним, что сбалансированно-растущее решение первого рода у (力)， находящееся в резонансе с внешним воздействием а (%), представляется соотношениями (2)——(5) и (8)——(11) из § 11.1.

Теорема 11.5. Предположим, что при заданном положительном внешнем воздействии а (%), растущем сбалансированным образом, существует сбалансированно-растущее решение первого рода у (力)уравнения у (力 + 1) = Н (у (2)) + а (力)，У (力)三 0, находящееся е резонансе с 〃 (力).Предположим также, что функция Н удовлетворяет условиям неотрицательности (а), однородности (у) и монотонности (6) из § 10.1. Тогда существуют пределы

lim •吋=1 (% = 4,・..，冷)

для любого решения z (力)=(z» (力))уравнения

z (方+ 1) = Н (z (%))+ a (方)，z (0 n 0,

при произвольном начальном состоянии z (0)三 0.

Доказательство. Так как каждый вектор а (%)= = *!(%)〃 предполагается положительным, то и г/ (力)является положительным. Поэтому можно положить

§ (%) = max ；： £； по всем г.(2)

В силу условий неотрицательности (а), однородности (у) степени т и монотонности (6) для каждого Z мы получаем

Zi (力 + 1) = ZG (z (0) + 仰(力)》

〉Ht (a (%) у ⑼ + af (0 = a (t)mHt(y (力))+ 仰(力)=

=a (方)m(%(方+ 1) 一 % (力+仰(力).

Разделив обе части полученного неравенства на 力(力 + 1)» находим, что

Z» (% + 1)/勿(力 + 1) > a (0m(l 一 ® (%)/力 « + 1)) +

+ @t (方)/力(力 + i)•

В силу соотношений (2), (4) и (8) — (11) из § 11.1 имеем

^i Wyt (^ + 1) = т (力)ajor(力 + 1) и» = а/рм»,

что позволяет свести выписанное неравенство к виду

Zi (力 + 1)/勿(力 + 1) > a (力)m(l — at/pui) + %/p〃i・

Отсюда получаем, что

a (力 + 1)〉min [a (^)w(l — af/puf) + а^ри^.(3)

Аналогично находим, что

6 (力 + 4) & max [р (力严(4 — 〃/р〃》) + ajpuj. (4) 长长九

Рассмотрим последовательности {三(力)}, {刀(力)} с начальными значениями

己(0) = min [a (0), 1],刀(0) = max [卩(0), 1],(5)

определяемые рекуррентными соотношениями

& « + 4) = min [占(力)扫(1 — at/pu^ + a/p〃J,(6)

刀(力 + 1) = max [刀(力严(1 — ajp〃t) + 〃Jp〃J・(7)

l^i^n

Поскольку вектор 〃 > 0 является решением резольвентного уравнения р〃 一 Н (и) = 〃 > 0, мы имеем 0 V @〃р〃》& 1 〃 =4, . . .., п), так что число М = [max (1 ——а^/ри) по всем 订 удовлетворяет условию

0&MV1.(8)

Ввиду этого условия и условия 0 & иг & 1, нетрудно путем простых рассуждений, основанных на индукции по 力，получить следующие соотношения:

б?①Q 1adб?①Q 1ad& (力)& a (0 《 6(力)& n «)，

б?①Q 1ad

б?①Q 1ad

0》自(右+ 1) - 1》M代(旷一 4) > m (自⑴一 1),0 《 刀(右 + 4) - 1 w "(n (力严 一 1) 《 " ⑴(0 - 1).

Эти соотношения выполняются при всех 力=0, 1, . . . . Поэтому из (10), (11) с учетом условия (8) без труда получаем, что

lim Е (力)= lim т)(力)=1・

tf+(ЗО±-> + <30

Но тогда в силу соотношения (9) имеем

lim a (%)= lim 6(%)=4.

土一>+8土一>+8

Этим завершается доказательство теоремы.

(И) Устойчивость сбалансированного роста второго рода. Мы проведем дальнейшее разбиение этого случая на подслучаи. В последующем, как и в случае I, член a (力)=0т (力)и предполагается положительным во все моменты времени, так что и——собственный вектор отображения Н—тем более будет положительным. Как мы знаем, задача о собственных значениях Н (и)=九〃，е > 0 цри соответствующих предположениях относительно Н всегда имеет решение (см. § 10). Поэтому для произвольной заданной

последовательности чисел т （力）> 0 существует сбалансированно- растущее решение второго рода у ⑦=и （办 и, находящееся в резонансе с внешним воздействием а （力）=Вт （力）и.

Мы будем рассматривать поведение произвольного решения z （力）三 0 уравнения

z （% + 4） = Н （z （力））+ 0т ⑺ и （12） при основных предположениях неотрицательности （а）, однородности （у） и монотонности （6） вектор-функции Н, перечисленных в § 10.1.

Пусть у （t） = о （力）и ——сбалансированно-растущее решение уравнения （12）. Ниже мы исследуем, при каких условиях произвольное решение z （力）=（z» （%）） уравнения （12）, соответствующее произвольному начальному состоянию z （0）三 0, сходится （в том или ином смысле） к у （力）=（勿（力））.

Теорема 11.6. Если степень однородности т меньше единицы^ то существуют пределы

lim —1 « = 4 ,・••，〃） •

Доказательство. Снова определим а （力），卩（力），как и в （1）, （2）. Тогда, как и при доказательстве теоремы 11.5, получим для каждого % соотношение

z2 （方 + 1）》a （力广（力（大 + 1） — 0T （t）吟 + 0T （方）и"

Разделив обе части этого неравенства на 沙力（力 + I） и приняв во внимание соотношение у» （力 + I） = ст （力 + 1） 〃“ получим

zt （大+1）m 4） I 9T（0

W （屮）》⑴

Отсюда имеем、

а«+1）＞а«Г（1—需）+韶.（13）

Аналогично получаем

3（叶1）《0（旷（4一船）+肥・（14）

Напомним, что последовательности {о «）}, {т （%）} связаны между собой соотношением （16） из § 11.1. Поэтому

0<0<0Т （%）0（大+1）0Т （%）0（大+1）（15）（15）

0<

0<

0Т （%）

0（大+1）

0Т （%）

0（大+1）

（15）

（15）

Построим минорантную последовательность {Е （力）} и мажорантную последовательность {п （力）} для всех 力〉l с помощью

рекуррентных соотношений

自"+1) =—肥)+犒，(16)

^(l) = min[a(l), 1],

n(£+1)=似方产(1-凯)+册,(17)

т] (1) = max [Р (1), 1].

Учитывая соотношения (13)——(15), нетрудно показать с помощью индукции по 力 что

自⑴а a⑶а 6⑴& 1]⑴，(18)

&⑶ &&(力+ 1) &1,(19)

n⑴》T(力+ 4)"(20)

Из неравенств (19) и (20) заключаем, что существуют пределы lim 己(力)= 自 & 1 и lim n ⑺ = П》1- Далее, вычитая почленно соотношение (16) из (17) и принимая во внимание (15), находим, что

П « + 1)— П (方严 & а « + I) т (产

Отсюда в пределе получаем

刀一тГ & 占一Г (21)

В силу условий ^^1^т]и0^т<；1из (21) следует, что 0 & 《т] — П7n К 自一У & °, поэтому получаем 己=^m,刀=п叱 В силу условия 0《zn V 1, отсюда получим 占=1, n = 1，если только покажем, что 自 > 0, т] > 0. И действительно, положительность т] обеспечивается уже тем, что п》1, а положительность 己 вытекает из следующего рассуждения. Из условия z (1)三 三 0т (0) 〃 > 0 следует а (1) > 0, так что, согласно (19), имеем 己》Е (1) = min [а (1), 1] > 0. Таким образом, lim 己⑺= =lim т] (^) = 1. Отсюда в силу соотношения (18) lim а = ^= lim Р (t) = 1. Этим завершено доказательство теоремы.

'f Случай m = 1 требует специального рассмотрения. Следует отметить, что определяющую роль здесь играет скорость, с которой растет член a (t) = 6т (力)и. Если она достаточно велика, то прежних условий неотрицательности (а), однородности (у) и монотонности (6) функции Н все еще будет достаточно для того, чтобы гарантировать относительную устойчивость. В противном же случае, при недостаточной скорости роста а (力)，возможна неустойчивость, и для того, чтобы гарантировать относительную устойчивость приходится накладывать на Н дополнительные условия. Причина этого состоит в том, что при малой скорости роста внешнего воздействия 9Toi член не оказывает достаточно стимулирую-

щего воздействия, на систему, и соответствующий неавтономный рост в системе фактически подобен самоподдерживающемуся росту.

Рассмотрим бесконечный ряд

0 嘗(22)

fe=0 А

где 九—собственное значение отображения Н, которому соответствует собственный вектор и > 0, порождающий рассматриваемый нами неавтономный рост. Поскольку по предположению т (力)> 0 во все моменты времени, мы видим, что все члены в (22) положительны, так что возможны два и только два взаимно исключающих случая: либо ряд (22) сходится к конечному положительному пределу, либо расходится (т. е. стремится к +оо). Условно мы можем включить в случай расходимости ряда (22) и случай А = 0.

При описании скорости роста последовательности чисел т (力) в сравнении с А/ естественно исходить из поведения ряда (22). Будем говорить, что последовательность {т (力} растет быстро, если ряд (22) расходится, и растет медленно, если этот ряд сходится.

Рассмотрим теперь поведение числового коэффициента о (力) в выражении для сбалансированно-растущего решения у (方)= =о (方)〃，находящегося в резонансе с членом а (力)—6т ⑺ и.

Лемма 11.1. Последовательность {Х7а «)} обладает следующими свойствами'.

Предел lim »/о (力)=со существует и неотрицателен.

Если {т (力} растет быстрото со = 0.

Если {т (力} растет медленно, то со > 0.

Доказательство. Высказанные утверждения вытекают из соотношения (16) из § 11.1 с m = 1, т. е. из соотношения

о « + 1) = Ао«) + 0т (^).(23)

Из соотношения (23) и предположения 0т (力)> 0 имеем о (方} 1) > Ао (力 или в другой форме

Таким образом, последовательность {¥/о (力)} не возрастает; кроме того, ее члены неотрицательны. Поэтому последовательность {Х7сг (力)} сходится к некоторому неотрицательному пределу.

Повторное применение соотношения (23) дает

1=备(。⑼+』5翌)，

k=0

так что в пределе при % т + 8 получаем

(24)

Отсюда легко вывести утверждения (ii.l) и (ii.2), что и требовалось»

Теорема 11.7. В случае т = 1 справедливы следующие утверждения:

Если последовательность {т (力)} растет быстро, то существуют пределы

lim需=1 (』1,…，〃)・

Если последовательность {т «)} растет медленно и если отображение Н примитивно в точке и (см. определение 10.3), то существуют пределы

причем у является положителъным числом, одинаковым для всех Х・

Доказательство, (i) Заметим, что ход рассуждений при доказательстве теоремы 11.6 не зависит от предположения m У= 1 до самого последнего этапа, так что вывод соотношений (16)——(21) остается в силе и при иг = 1, чем мы сейчас и воспользуемся. В связи с этим нам достаточно будет показать, что lim e (方)=lim n(%)=1.

Из (23) имеем 1 — 6т (力)/о* (力 + 1) = Ха (^)/а (力 + 1), так что соотношение (16) с иг = 1 можно преобразовать к виду

自"+1)= 鹏曲+ 1Повторное использование соотношенияЕ«+П =给 Е(1)+4自"+1)= 鹏曲+ 1Повторное использование соотношенияЕ«+П =给 Е(1)+4九0（力）（25） дает 九七（力）九0（力）（25） дает 九七（力）(25)(25)^+1)*^+1)*(26)(26)

自"+1)= 鹏曲+ 1

Повторное использование соотношения

Е«+П =给 Е(1)+4

自"+1)= 鹏曲+ 1

Повторное использование соотношения

Е«+П =给 Е(1)+4

九0（力）

（25） дает 九七（力）

九0（力）

（25） дает 九七（力）

(25)

(25)

^+1)*

^+1)*

(26)

(26)

Тогда, поскольку {т (%)} растет быстро, то согласно лемме 11.1 (ii.l), имеем lim %7п ⑴=0, так что последовательность величин

川。⑴0(力+1)丁，еслИ a0r (方+分、о,если а=0,

сходится к нулю при 力 f + 8. Поэтому из соотношения (26) получаем lim ± (力)= 1. Аналогичным образом доказывается, что lim п (力)=L

Снова воспользуемся тем, что многие рассуждения при доказательстве теоремы 11.6 остаются в силе и в случае пг = 1・ В частности, мы можем воспользоваться соотношениями (13), (14), из которых при т = i нетрудно вывести следующие соотношения:

а « + 4) — а (力)> 例⑴/о « + 1)) (1 - а «)),(27)

а (力 + 4) — 1 > (4 一 6т «)/0 (力 + 1)) (а (力)一 1),(28)

6(方 + 1) 一 В ⑴а (0Т (力/0 (力 + 1)) (1 一 6⑴)，(29)

Р (^ + 1) - 1 < (1 - 9т ⑴/。(t + 1)) (₽ ⑴ 一 1),(30)

6 (方 + 1) — a (方十 1) 《

< (1 ~ 6т «)/0 (力 + 1)) (₽ (力)一 а (力))•(31)

Из неравенств (15), (27) и (28) мы видим, что последовательность {а ⑴} заведомо не убывает до тех пор, пока величина а (力) остается в интервале (— оо, 1], а как только эта величина в некоторый момент времени 力=〃 попадет в интервал [1, + оо), то она так и останется в этом интервале при всех 力〉厶.Аналогично, последовательность {Р (力)} не возрастает по крайней мере до тех пор, пока § (力)остается в интервале [1, + оо), а как только величина § (力)попадет в интервал (——оо, 1] в некоторый момент времени t =力2, то она так и останется в этом интервале при всех t > 力2・ Из этого можно заключить, что хотя бы одна из последовательностей {а (力)}, {Р (力} должна сходиться. В самом деле, если а (力)V £ при всех 力» 0, то последовательность {а (%)} сходится как ограниченная неубывающая последовательность. Если же а (厶)》1 в некоторый момент времени 力，то при всех 力》〃 имеем 卩(%)》а (力)> 1, так что должна сходиться последовательность { В (力)} как ограниченная невозрастающая при 力〉力 последовательность.

Кроме того, соотношения (31) и (15) показывают, что последовательность {Р (力) —— а (力)}, члены которой,по определению неотрицательны, не возрастает; значит, эта последовательность сходится. В результате получаем, что все три последовательности {а (%)}, {В ⑺} и {В (力)一а (力)} сходятся к некоторым пределам а, р и р — а соответственно. Поэтому для завершения доказательства остается проверить, что а = р.

Допустим противное, т. е. § > а. Тогда при некотором 6 > 1 мы имеем § > 6а. Построим 八 векторов xh = (%，)(" = 1, . . п) точно так же, как мы это делали при доказательстве теоремы 10.7. Вспомним также, что при доказательстве теоремы 10.7 мы убедились, что из примитивности отображения Н в точке и следует существование положительного целого числа s и числа л > 1, для которых имеют место соотношения

(32>(32>Я8 (М)三冗环(и) (* = 1,...,初

(32>

(32>

Далее, из соотношения z (% + 1) = Н (z (力))十 а (%) следует z (方 + 4) N Н (z «)), что после s итераций с учетом условия монотонности (6) дает

z (方 + s)三环(z ⑴). (33)

Так как пределы а и § последовательностей {а «)} и {Р (办} удовлетворяют неравенству 卩 > 6а, то имеем

6 （力〉ба （方）（t》方0）6 （力〉ба （方）（t》方0）(34)(34)

6 （力〉ба （方）（t》方0）

6 （力〉ба （方）（t》方0）

(34)

(34)

при достаточно большом 力°.

При каждом t мы имеем z (力)三 а ⑺ а (力)и. Кроме того, zk (力=§ (力)о (力)uh хотя бы для одного индекса ", вообще говоря, зависящего от 方；при 力》力о последнее соотношение приводит к неравенству zh (力)〉а (力)о (力)8uk. Поэтому при каждом 力》％ мы имеем z (方)三 a (力)a (力)м для некоторого к.

Рассмотрим теперь подпоследовательность {z (vs)}^, и соответствующую a-последовательность {a (vs)}就,где v0 — положительное целое число, удовлетворяющее условию vos〉％°・ Тогда, учитывая соотношения (32) и (33), мы получаем

z ((V + 4) s N Я3 (z (vs))三

> Я8 (a (vs) а (vs) М) = а (vs) а (vs) № (d)三

> а (vs) а (vs) лЯ® (乂)= а (vs) а (vs) Vn^, где соответствующий вектор 力'может зависеть от v. Отсюда находим, что

Это дает

a ((v 十 1) s) > 冗 /券%)a (vs)(v》v0).(35)

Ha этом этапе доказательства мы, наконец, воспользуемся предположением, что {т (办} растет медленно. По лемме 11.1 (ii.2) в этом случае предел lim Х7а (力)=со положителен; это, в частности, означает, что % > 0. Поэтому

lim л 二力' J.；lk = jx hm ———тт—lim = л. Vf+8 a ((v+ 1) 5) Vf+oo。(W 十 1) s)/ V—+8。(夕s)

Следовательно, если мы зафиксируем число е, такое, что 1 V £ V < л, и возьмем достаточно большое р》”о, то получим

**為》Е>1 "…。），

(36)

С учетом (36) из неравенства (35) находим

а ((V + 1) s) > еа (vs) (у》р), что в результате v итераций дает

а ((V + р) s)^ 8va (ps) (v > 0).(37)

Так как z (t) = Н (z (t — 1)) + Вт (力一4) 〃 三 6т (力一1) м > 0 при 力》1, то заведомо а (^) > 0 при всех 力〉4, и, в частности, a (ps) > 0・ Поэтому предельный переход в (37) в силу условия е > 1 дает

lim a (vs)=十 8.

V->-|-oo

А это противоречит сходимости исходной а-последовательности {a⑴}之о. Следовательно, а = 0. Этим завершено доказательство теоремы.

Замечание 1. Если Ku = Н (и), и > Q, то величины о (力),т (力), заданные соотношениями (12) и (13) из § 11.1, при р > % удовлетворяют соотнощению (23); при этом 0 — р ——А. Этот частный случай сбалансированного роста второго рода можно анализировать методом, применявшимся при исследовании сбалансированного роста первого рода. Однако этот метод неприменим в общем случае, когда экзогенная величина т (力)может задаваться произвольно без каких-либо ограничений на ее функциональный вид.

Замечание 2. В теореме 11.7 (ii) условие примитивности отбросить нельзя. Это подтверждается примером следующего линейного отображения Н. Пусть А > 0; тогда доминирующее собственное значение матрицы

/0入 о)

(и соответствующего линейного отображения) есть X, и ему соответствует положительный собственный вектор

Если т (Z) = р\ ® = р, то при этом

При 0 V р V 入 решениеПри 0 V р V 入 решение”+1 — pf+iX—p”+1 — pf+iX—pZ (力)=0(力)〃+ (——入yZ (力)=0(力)〃+ (——入y〉0 (力=0, 1, .. •)〉0 (力=0, 1, .. •)

При 0 V р V 入 решение

При 0 V р V 入 решение

”+1 — pf+iX—p

”+1 — pf+iX—p

Z (力)=0(力)〃+ (——入y

Z (力)=0(力)〃+ (——入y

〉0 (力=0, 1, .. •)

〉0 (力=0, 1, .. •)

уравнения z (力 + 4) = Hz (力)+ 0pf^ заведомо не сходится (даже в смысле отношений компонент) к сбалансированно-растущему решению у (力)= о ⑴ М этого уравнения, так как отношения 4 (力)/勿(力)и 纟2 (力)仇(力)подвержены незатухающим колебаниям.

Глава IV

ЭФФЕКТИВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И РОСТ

В § 12 этой главы излагается современный подход к формализации понятия производства в терминах производственно-технологических множеств. В следующих двух параграфах доказываются две характерные теоремы о магистрали для процесса планируемого экономического роста: теорема о магистрали с конечным состоянием (§ 13) и теорема о магистрали в потреблении (§ 14).

ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕМНОЖЕСТВА

Технологические множества

Одной из важнейших сторон функционирования национальной экономики является производство. Под производством в экономической теории понимается преобразование некоторых количеств затрачиваемых продуктов в некоторые количества выпускаемых продуктов в соответствии с заданной технологией. Экономистов в первую очередь интересуют не физические или химические характеристики технологии, а те количественные соотношения между затратами и выпусками, которые обусловлены этой технологией. Выпуск продукции всегда обеспечивается за счет производственного потребления некоторых исходных продуктов (ресурсов). В соответствии с этим для экономистов наиболее существенным является характер взаимосвязи между количествами выпускаемых продуктов и количествами затрачиваемых ресурсов. Так, например, с чисто экономической точки зрения оценка эффективности какого-либо способа производства электроэнергии всецело определяется количественными соотношениями между затратами соответствующих ресурсов и выпуском электроэнергии, независимо от того, вырабатывается ли эта электроэнергия атомными реакторами или гидротурбинами.

Нам уже приходилось иметь дело с простыми, но важными примерами моделей производства в виде формальных преобразо- ний затрат в выпуски; в гл. II мы рассматривали схему производства при постоянных расходных коэффициентах, и на этой схеме основывалась модель Леонтьева (§ 6), линейное программирование (§ 9.1) и модель фон Неймана (§ 9.2).

В современной математической экономике каждый конкретный способ функционирования производства принято представлять парой (%, у), состоящей из вектора затрат х и вектора выпусков у\ такая пара называется производственным процессом или просто процессом. При этом предусматривается, что число различных типов продуктов, которые могут затрачиваться в производстве, равно размерности вектора %; каждая компонента этого вектора представляет количество одного из продуктов, выступающего в роли потребляемого ресурса. Аналогично, число различных типов продуктов, которые могут выпускаться в производстве, равно размерности вектора у; каждая компонента этого вектора представляет количество одного из продуктов, выпускаемого в данном процессе.

В общем случае заданная производственная технология позволяет реализовать много различных процессов (%, у). Поэтому с экономической точки зрения производственная технология полностью описывается перечислением всех тех процессов, которые она допускает. В связи с этим вводится понятие производственно-техноло- •гического множества. Производственно-технологическое (или просто технологическое) множество Т определяется как .множество всех производственных процессов, возможных при данной технологии. В структуре технологического множества отображаются многие важные особенности производственной технологии, так что изучение производственной технологии с экономической точки зрения по существу сводится к изучению структурных характеристик соответствующего технологического множества.

Пример 1. Пусть G есть j-й столбец матрицы расходных коэффициентов А в модели Леонтьева. Если обозначить через Rj〉0 количество j-го продукта, произведенного е j-й отрасли, то соответствующее технологическое множество для j-й отрасли представится е виде

Tj = {(%/〃'，％j) I %j ＞。}・

Очевидно, что 7\ представляет собой луч е пространстве Еп+% выпущенный из начала координат в направлении вектора

Иначе говоря, Т； представляет собой вырожденный случай многогранного выпуклого конуса.

Если задан некоторый процесс (%, у), то, вообще говоря, могут найтись такие продукты, которые участвуют в этом процессе и как затрачиваемые, и как выпускаемые; впрочем, в других случаях таких продуктов может и не быть — это зависит от конкретной ситуации. Но особенно интересен тот случай, когда каждый

продукт, фигурирующий в системе, может и затрачиваться, и выпускаться. В этом случае векторы хну имеют одинаковую размерность, и их соответствующие компоненты отвечают одним и тем же продуктам. Пусть х = (д), у = (力)；тогда величина 勿 一 g представляет собой произведенное количество Х-ro продукта минус затраченное количество этого же Z-ro продукта в процессе (①，у), т. е. чистый выпуск i-ro продукта в этом процессе. Такая величина имеет характер потока, т. е. количества в единицу времени. Иногда более удобно рассматривать не пару (%, у) векторов затрат и выпусков х и у, 8l сразу соответствующий вектор чистого выпуска у 一①.

При этом под технологическим множеством удобно понимать уже не множество всевозможных пар векторов затрат и выпусков, а множество всевозможных векторов чистых выпусков. Ради простоты вектор чистого выпуска мы также будем называть процессом, или, более точно, процессом с потоками; его положительные и отрицательные компоненты представляют реальные чистые выпуски и чистые затраты.

Определение технологического множества как множества пар векторов затрат и выпусков полезно в том случае, когда анализ производства проводится в терминах величин, которые имеют смысл некоторых запасов — например, различные виды капитала. Другое определение технологического множества, основанное на понятии чистого выпуска, более удобно в том случае, когда анализ производства ведется в терминах величин, которые имеют характер потоков (т. е. одновременно поступают в систему и удаляются из нее). В дальнейшем мы будем говорить о первом из этих случаев как о варианте с запасами^ а о втором — как о варианте с потоками^ будем также говорить, что технологическое множество задано в терминах запасов или в терминах потоков соответственно.

Пример 2. Рассмотрим модель Леонтьева 6 варианте с потоками. Пусть Л — матрица расходных коэффициентов, @ ①三 三 0 — вектор валового выпуска. Тогда технологическое множества (е терминах потоков) для национальной экономики в целом имеет вид

T= {{I -a)x |2三0}, где I ——единичная матрица. Очевидно^ Т представляет собой многогранный выпуклый конус,

§ 12・2・ Структурные свойства технологических множеств

В терминах структурных свойств технологических множеств можно представить некоторые фундаментальные законы производства. Эти свойства будут перечислены ниже.

Технологическое множество 7, независимо от того, описывается ли оно в терминах запасов или в терминах потоков, очевидно, является множеством в евклидовом пространстве. По этой причине некоторые из упомянутых структурных свойств множества Т можно охарактеризовать, не оговаривая, какой из указанных вариантов имеется в виду. Это обстоятельство будет использоваться в дальнейшем.

(а) Закон постоянства удельного выпуска, независимо от масштабов производства. Этот закон выполняется, если Т — конус, т. е.

Т о аТ для любого числа а > 0.

Это означает, что пропорциональное увеличение (уменьшение) затрат в некотором фиксированном отношении приводит к соответствующему пропорциональному увеличению (уменьшению) выпусков в том же отношении. •

С математической точки зрения умножение процесса на число а > 0 всегда возможно. Но если закон постоянства удельного выпуска нарушается, то некоторые положительные кратные технологически допустимого процесса могут оказаться уже не допустимыми, хотя с математической, а не технологической точки зрения они мыслимы наравне с исходным процессом. Если же закон постоянства удельного выпуска соблюдается, то каждый процесс будет технологически допустимым в том и только в том случае, когда технологически допустимы все положительные кратные ему процессы. Все эти процессы характеризуются одними и теми же соотношениями затрат и выпусков и различаются только интенсивностью своего функционирования, которая измеряется в единицах произвольно фиксированного «эталонного» процесса.

(Р) Отсутствие внешней неэкономичности, выражаемое выпуклостью множества Т (см. гл. I, определение 2.1). Выпуклая линейная комбинация двух процессов с весами а》0,卩》0, а + § = =1 описывает одновременное и независимое функционирование этих процессов с интенсивностями а и §• Если для любых двух исходных процессов такое совместное функционирование технологически осуществимо, то в рамках технологического множества Т заведомо можно произвести не менее чем взвешенную сумму исходных выпусков за счет не более чем соответственно взвешенной суммы исходных затрат. Об этом эффекте обычно говорят как об отсутствии внешней неэкономичности г) в системе с технологическим множеством Т.

На более содержательном языке внешняя неэкономичность определяется как взаимное влияние двух одновременно протекающих производственных процессов, которое приводит к частичному снижению их эффективности, т. е. к увеличению затрат и уменьшению выпусков; наоборот, внешняя экономия —это взаимное влияние, которое приводит к повышению эффективности процессов (см., например, Самуэльсон П., Экономика, М., «Прогресс», 1964).— Прим, перев.

(7)Неосуществимость《poza изобилия^ означает, что невозможно произвести что-либо из ничего, или, другими словами, ничто не достигается без жертв. В терминах технологического множества Т эта мысль формулируется следующим образом:

Неосуществимость《роеа изобилия^ е варианте с запасами: если (х, у) ^ Т и х = 0, то у = 0.

Неосуществимость《роза изобилия^ е варианте с потоками:

если ① £ Т м % 三 0, то % = 0.

Смысл формулировки (i) в варианте с запасами самоочевиден. Рассмотрим модель в терминах потоков; если бы при этом нашелся процесс %, такой, что % 丄 0, то это означало бы, что в данном процессе возникают положительные количества каких-то продуктов без каких-либо затрат. Условие (ii) исключает такую возможность.

Необратимость процессов означает, что если некоторый процесс технологически возможен, то обратный процесс, в котором производились бы как раз те продукты, которые затрачиваются в данном процессе, и потреблялись бы как раз те продукты, которые выпускаются в данном процессе, должен быть технологически невозможным. Соответствующие условия для технологического множества формулируются следующим образом:

Необратимость е варианте с запасами:

(%, у) необратим, если (%, у) W Т, но (у, 办0 Т.

Необратимость е варианте с потоками:

х необратим, если х £ Т, но —х R Т.

Важнейшей причиной необратимости является наличие таких факторов производства, без которых производство невозможно — например, таким фактором является труд. Если каждый нетривиальный технологически возможный процесс использует положительное количество труда в виде необходимой компоненты затрат, то никакой процесс не является обратимым, за единственным исключением нулевого процесса, т. е. бездействия. Это соответствует традиционной экономической точке зрения на рабочую силу (труд) как на невоспроизводимый первичный фактор производства. Однако, если в соответствии с другим распространенным взглядом, согласно которому труд воспроизводится через потребление работниками заработанных потребительских товаров, мы будем рассматривать экономику как полностью замкнутую производственную систему, то при таком подходе некоторые процессы могут оказаться обратимыми.

Утверждения (а)——(6) представляют собой основные законы производства, явно или неявно учитываемыеz в традиционной экономической теории. В дополнение к ним мы выдвинем предположение, которое часто делается из соображений математического удобства и обычно не вызывает возражений со стороны экономистов.

(е) Замкнутость технологического множества, В большинстве экономических ситуаций разумно предполагать, что если некоторый вектор затрат и выпусков можно с любой степенью точности приблизить технологически возможным вектором, то и сам этот вектор также технологически возможен. С математической точки зрения предположение (е) почти необходимо, если мы хотим быть уверенными в реализуемости определяемых тем или иным образом векторов.

В последующем изложении мы будем предполагать выполненными все или хотя бы некоторые из перечисленных основных структурных свойств технологических множеств; в каждом конкретном случае это будет уточняться по мере надобности.

Замечание 1. Мы уже говорили, что технологическое множество Т является подмножеством пространства Rn. Отметим теперь, что нулевая точка в Rn соответствует бездействию. Естественно, что бездействие возможно при любой технологии. Следовательно, разумно предполагать, что множество Т всегда содержит нулевую точку.

Замечание 2. Если Т ——технологическое множество в варианте с потоками, то неосуществимость «рога изобилия» формально записывается как

Т П 瑯={0},

где Е；——неотрицательный ортант пространства 7?п n Т.

Замечание 3. В варианте с потоками необратимость всех процессов в технологическом множестве Т записывается как

П (- П = {0}・

Можно указать еще одно специфическое свойство технологического множества Т, которое используется в некоторых случаях: свободное расходование,

(白)Свободное расходование е Т.

Вариант с запасами:

если (瑞 у) £ Т, 乂至力，У 三％ то (и, V)W ?•

Вариант с потоками:

если ① £ Т, % 三 〃，то 〃 W Т・

Под процессом расходования понимается процесс, характеризуемый удалением из системы некоторых количеств продуктов. В при- 16—8

веденной выше формулировке (i) для варианта с запасами можно представить себе, что протекание процесса (и,沙)распадается на три этапа: расходование излишка и —①，преобразование вектора затрат х в вектор выпусков у в процессе (翁 g) и расходование нового излишка у ——о. Аналогичную интерпретацию можно дать и для варианта с потоками. Отметим еще, что в нашем рассмотрении варианта с запасами может найтись и другой процесс (%*, у*) из Т, такой, что и 三力來,沙來三 ％ так что функционирование процесса (м, и) можно было бы организовать и с использованием зтого процесса (по-прежнему в три этапа). Наконец, укажем, что условие свободного расходования подразумевает, что сам процесс расходования не связан с издержками в том смысле, что при этом не требуется никаких дополнительных затрат продуктов помимо затрат самих расходуемых продуктов.

Эффективное распределение и цены

Принято считать, что homo economicus в своем поведении руководствуется стремлением получить по возможности больший полезный результат ценой как можно меньших усилий и жертв. Исходя из этого, мы введем следующие определения.

Определение 12.1. Процесс с потоками х называется более эффективным, чем другой процесс с потоками и, если х ~> и в смысле обычного векторного полуупорядочения (см. условия (а) — (у) в § 3.3 из гл. I).

Определение 12.2. Процесс с потоками % £ Т называется эффективным, если в 7 не содержится более эффективного процесса, чем х.

- Определение 12.3. Будем называть процесс с запасами (%, у) более эффективным, чем другой процесс с запасами (% 飨)， если

Определение 12.4. Процесс с запасами (%, у) W Т называется эффективным, если в Т не содержится более эффективного процесса, чем (翁 у).

Понятие эффективности не требует подсчета прибыли в какой- либо системе цен. Определение эффективности всецело основано на сравнении натуральных количеств физических затрат и выпусков. Однако нельзя сказать, что подсчет прибыли не имеет никакого отношения к оценке эффективности процесса. Более того, при надлежащем выборе системы цен эти два подхода к оценке

процесса оказываются фактически эквивалентными, так что факт существования такой системы цен позволяет перебросить мостик между концепциями эффективности и прибыльности. Соответствующие формальные обоснования даются следующими теоремами.

Теорема 12.1. Пусть Т — технологическое множество в Rn в варианте с потоками. Тогда справедливы утверждения (i) Если при некотором положительном (п-мерном) векторе цен р > 0 процесс х максимизирует прибыль ргх среди всех х Т, то х является эффективным процессом.

Предположим^ что множество Т выпукло. Тогда, если х — эффективный процесс^ то существует полу положительный вектор цен р 丄 0, такой, что прибыль р'х достигает максимума по х ^ Т на х = х.

Доказательство, (i) Если бы процесс хне был эффективным, то нашелся бы более эффективный процесс % в Т, такой, что х > х. Тогда при р > 0 это дало бы prx > р'х в противоречии с предположением о том, что процесс х максимизирует прибыль.

Рассмотрим множество X = Т — {%}, т・ е. векторную разность множеств Т и {%} (см. гл. I, определение 2.7). Очевидным образом из выпуклости множества Т следует выпуклость множества X. Далее, ввиду того, что х ——эффективный процесс в Т, множество X заведомо не содержит полуположительных векторов и тем более положительных векторов. Следовательно, по теореме 3.5 из гл. I должен существовать полуположительный вектор /> > 0, такой, что р'у & 0 для всех g W Х・ Подставляя в неравенство р‘4 & 0 выражение у = с ——％ с произвольным х ^ Т, получаем ргх》р'%・ Таким образом, р можно принять в качестве искомого вектора цен. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 12.1 (ii) не гарантирует существования положительного вектора р. Действительно, рассмотрим процесс 人人人人人

х = (%D，①]=4, %2 = — 1, %з = °，который является эффективным процессом для Т = {х \ х =(勺)，g 工 g + 名 & 0,况3 > 0}. Чтобы проверить это, допустим, что х = (д)三 / в Т. Тогда g > 〉1, g > — 4, %з》0, так что имеем 6 & g 十 g 十 W V。・ Отсюда получаем /】 十 力？= 况;= 0, что в сочетании с 况]》I, %2》一1 дает ①1 = 4, %2 = — 1,化3 = 0・ Поэтому х = х, так что ни один вектор ж из Г не удовлетворяет условию д: > х. Пусть теперь р = (pt) — полуположительный вектор цен, соответствующий данному эффективному процессу %, существование которого гарантируется теоремой 12.1. Тогда имеет место соотношение

Р1 —卩2》Plxi + 卩2比2 + Рзхз Для любого X = (%。£ 7，в частности, для вектора х с компонентами, удовлетворяющими условиям %i = 1, g = — (1 + W), где g — произвольное положительное число. Для вектора х такого вида приведенное выше неравенство после деления на ж3 > 0 сведется к р2^з》Рз》0・ Поэтому в силу произвольности числа %з > 0 мы должны иметь р3 = 0. Следова

тельно, не существует никакого положительного вектора цен,

при котором цессу %. На =仕，1, 0).Несмотря рых особыхпри котором цессу %. На =仕，1, 0).Несмотря рых особыхсопоставитьсопоставитьмаксимизация прибыли на 7-приводила бы к просимом деле искомым вектором цен является р'=

при котором цессу %. На =仕，1, 0).

Несмотря рых особых

при котором цессу %. На =仕，1, 0).

Несмотря рых особых

сопоставить

сопоставить

на справедливость сделанного замечания, в некото- ситуациях эффективным процессам всегда можно

строго положительные векторы цен.

Теорема 12.2. Пусть Т — технологическое множество в варианте с потоками. Тогда справедливы утверждения

Если Т — многогранный выпуклый конус и вектор х — 0 эффективен в Т, то существует вектор р > 0, такой, что 0 = =р'О》рх для всех х Т.

То же утверждение, что и в (i), справедливо и е том случае, когда Т — произвольный замкнутый выпуклый конус.

Если Т — многогранный выпуклый конус и х эффективен е Т, то существует вектор р > 0, такой, что 0 = prx》pfx для всех х Т.

Доказательство, (i) Поскольку Т ——многогранный выпуклый конус, то при надлежащем подборе матрицы А мы имеем Т = {Au I и ^ 0}. Предположение об эффективности нуля в Т равносильно тому, что из Au 三 0, 〃 N 0 следует Аи = 0.

Воспользуемся теоремой Таккера (гл. I, теорема 3.7 (ii)), согласно которой существуют векторы v, р, q, удовлетворяющие системе соотношений

С)С)>0.>0.D 三 О, /'р + д = о, р 三 о,、0 三 о,

С)

С)

>0.

>0.

Первое из этих соотношений эквивалентно паре неравенств Av ^ 0,沙三 0, из которых по предположению следует Av = 0. В сочетании с последним неравенством это дает р > 0. Кроме того, из /'р + g = 0, g 三 0 получаем pfA = — д'三 0. Поэтому при любом 〃三 0 имеем р'Аи = 0, т. е. pfx g 0 для любого х Т, причем р > 0.

По предположению Т — замкнутый выпуклый конус, не содержащий полуположительных векторов. Следовательно, по теореме 3.6 из гл. I конус ——Т* содержит некоторый положительный вектор р > 0. Тогда из —р С Т* получаем —pfx》0 для всех х ^ Т. Таким образом, р'х & 0 для любого % С Т, так что данный вектор р > 0 может служить искомым вектором цен.

По предположению х эффективен в Т. Пусть К — выпуклый конус, натянутый на вектор ——х и совокупность векторов множества Т. Поскольку Т — многогранный конус, то конус 及 также является многогранным. Покажем, что 0 эффективен в К. Допустим противное: К содержит полуположительный вектор ^ > 0. По определению и можно представить в виде м =—丸г + 芻 где 九》Ои^С Т.С учетом этого соотношения находим, что

Вектор, стоящий в левой части (1), заведомо принадлежит Т, так как %, х ^ Т, 1十九 >0, а Т — выпуклый конус. Но это противоречит предположению об эффективности х в Т.

Таким образом, мы показали, что К не содержит полуположительных векторов. Применяя к К уже доказанное утверждение (i), мы находим, что существует положительный вектор р, такой, что р，у & 0 для любого у £ К; в частности, р‘ (％ ——％)& 0 для любого х ^ Т. Итак, при таком р > 0 мы имеем

рх》ргх для всех % W Т・

Этим завершено доказательство теоремы.

Замечание 2. Заметим, что в теореме 12.2 утверждение (i) фактически является частным случаем утверждения (ii), ввиду того, что многогранный выпуклый конус всегда замкнут в Rn,

Замечание 3. Эффективность нуля в Т, о которой говорится в теореме 12.2, равносильна неосуществимости «рога изобилия».

На первый взгляд кажется, что две приведенные выше теоремы относятся только к технологическим множествам в терминах потоков. Однако фактически эти теоремы можно применять и к технологическим множествам в терминах запасов. Это видно из следующих соображений.

Пусть Т — технологическое множество, заданное в терминах запасов, так что Т и Rm X Rn, т е. при (%, у) W Т имеем х С Rm, у £ Еп. Определим отображение ф： Rm X Enf 笈团+九 как

屮((%，S) = (；)・

Очевидно, что 屮——взаимно однозначное линейное отображение, непрерывное в обе стороны. Заметим теперь, что 屮(Т) можно рассматривать как альтернативное представление технологического множества Т в терминах потоков. Легко проверить справедливость следующих утверждений.

Процесс (%, у) эффективен в Т тогда и только тогда, когда процесс ф ((%, у)) эффективен в 屮(Т)・

(Р) Множество Т выпукло тогда и только тогда, когда выпукло множество 屮(Т).

(у) Множество Т является многогранным выпуклым конусом тогда и только тогда, когда 屮(Т)—многогранный выпуклый конус.

Множество Т является замкнутым выпуклым конусом тогда и только тогда, когда 屮(Т) является замкнутым выпуклым конусом.

Исходя из свойств (а)——(6), можно перефразировать теоремы 12.1 и 12.2 в виде следующих утверждений относительно технологических множеств в терминах запасов.

Теорема 12.3. Пусть Т — технологическое множество е Rm X Rn в варианте с запасами. Тогда

Если при некоторой паре положителъных векторов цен р > 0, q > 0, первый из которых служит для оценки затрат %, а второй — для оценки выпуска д, процесс (財,у) максимизирует прибыль qry — р х среди всех (%, у) W Т, то процесс (%, у) является эффективным.

Предположим, что множество Т выпукло. Тогда, если (%, у) — эффективный процесс^ то существует пара неотрицательных векторов цен р ^0, g 三 0, таких, что по крайней мере один из них полуположителен и прибыль q'y ——pfx достигает максимума по (%, у) £ Т на (%, у).

Теорема 12.4. Пусть Т — технологическое множество в варианте с запасами. Тогда

Если Т — многогранный выпуклый конус и (0, 0) эффективен в Т, то существуют векторы р > 0, 9 > 0, такие, что 0 — =矿 0 — р'О》qry — рх для всех (%, у) W ?•

То же утверждение, что u в (i), справедливо и е том случае^ когда Т — произвольный замкнутый выпуклый конус.

Если Т — многогранный выпуклый конус и (%,汾 эффективен в Т, то существуют векторы р > 0, g > 0, такие, что

0 = q'y ——р'х》q'y — рх для всех (/, у) W Т.

Описание производства в терминах технологических множеств, рассмотренное выше, предложено сравнительно недавно. В противоположность этому классические работы по математической эк оно-

мике основывались на понятии производственной функции. В связи с этим уместно сказать несколько слов о понятии классической про изводственно й функции и о его взаимоотношении с более современным формализмом.

Предположим, что технологическое множество Т, заданное, скажем, в терминах запасов, является замкнутым и выпуклым. Всякий эффективный процесс (%, у) в Т обязательно является граничной точкой множества Т. Действительно, если бы такой процесс оказался внутренней точкой множества Т, то мы имели бы (%, у + V)^ Т при некотором положительном v с достаточно малой нормой. Но процесс (%, у 十 〃)более эффективен, чем (%, у), что противоречит предположению об эффективности (况，у). Следовательно, множество всех эффективных процессов представляет собой часть границы множества Т — вообще говоря, некоторую гиперповерхность в пространстве 笈加+冷,где шип — количества типов затрачиваемых ресурсов и выпускаемых продуктов соответственно.

Пусть уравнение этой гиперповерхности есть

歹(％], %2, • •・，％тп； У1，沙2, • •・，Уп) ~ 0・ (2)

Функция F в (2), относительно которой предполагается, что она ведет себя достаточно хорошо, например дифференцируема нужное число раз, является типичной классической (или, точнее, неоклассической) производственной функцией. Предполагая, что п = 1, и разрешая уравнение (2) относительно 刃㈠ мы получаем наиболее распространенную производственную функцию неоклассического типа

力=/ (g, g, • • •, %/и)・

В классической математической экономике функция / обычно предполагается вогнутой. Это предположение находится в полном, соответствии с выпуклостью технологического множества Т. В самом деле, если 办=/ (勺，...,жт), % = / (勿，...,%, то ((①t),勿)，(他)，内)W Т, так что ввиду выпуклости множества Т имеем ((ад + ^иг), а勿 + 卩%) £ Т при а》0,卩》0, а 十 § = 1・ А поскольку ((ад + 卩公，/ (а/ + 卩乂储 ..., axm + 卩〃皿))по определению является эффективным процессом в Т, получаем, что / (а/】+ 0〃], . . ., а%т + Р^т) -^ ау】+ 卩以./

§ 12.4. Теорема о незаменимости

Как уже обсуждалось в предыдущем разделе, существует тесная связь между выбором эффективного процесса и максимизацией прибыли при некоторой системе цен. Управляющие фирмами в капиталистической экономике, а также руководители производственных объектов в развитой плановой экономике, в условиях,

когда цены играют определяющую роль в экономической ситуации, осуществляют выбор эффективных процессов исходя из принципа максимизации прибыли. Поэтому тот эффективный процесс^ который реализуется в действительности, в той или иной степени будет зависеть от системы цен, так что при изменении цен, вообще говоря, произойдет смена процесса. Такое явление «переключения» процессов наблюдается, например, в задаче линейного программирования и в модели фон Неймана. По этой причине наблюдается и непостоянство расходных коэффициентов, характеризующих фирму или сектор (отрасль) производства, обусловленное комбинированием нескольких альтернативных процессов, у каждого из которых расходные коэффициенты постоянны, но отличны от расходных коэффициентов других процессов. С этой точки зрения модель Леонтьева характерна тем, что она базируется на предположении, которое кажется чрезвычайно сильным: в каждой отрасли возможен один и только один процесс. Тем самым возможность выбора, остающаяся у хозяйственника в каждой отрасли, сводится лишь к определению уровня интенсивности, с которой будет протекать процесс. Такое предположение о постоянстве отраслевых коэффициентов было бы неприемлемым,, если бы к тому не было бы достаточных оснований.

Непостоянство расходных коэффициентов связано с определенной взаимозаменимостью между альтернативными процессам% тогда как их постоянство означает отсутствие реально альтернативных процессов, т. е. фактическую незаменимость данного процесса; такая незаменимость и является той предпосылкой, на которой основана модель Леонтьева. Имеется несколько вариантов обоснования свойства незаменимости, известных как «теоремы о незаменимости»г). Теорема о незаменимости, которая приводится ниже и которая тесно связана с результатами предыдущих разделов, была установлена и усовершенствована Самуэльсоном [4]г Купмансом [1], Эрроу [1] и Джорджеску-Регеном [1, 2].

Эта теорема гласит, что даже в том случае, когда в модели Леонтьева в каждой отрасли допускается наличие множества альтернативных производственных процессов, тем не менее в каждой из t отраслей достаточно ограничиться использованием единственного процесса. А именно, в каждой из п отраслей можно выделить такой процесс, что совместного функционирования этих п фиксированных процессов, по одному на каждую отрасль, будет достаточно для того, чтобы при соответствующем подборе интенсивностей получить все эффективные векторы затрат и выпусковг

Автор использует термин «nonsubstitution theorem»——теорема о незаменимости. В других работах, в том числе в цитируемых автором, применяется термин «substitution theorem»— теорема о заменимости (или замещении),——имеющий, несмотря на видимое отличие, тот же смысл.— Прим, перев.

которые вообще возможны на полном множестве всех допустимых процессов. Следовательно, исключительное использование только этих выделенных отраслевых процессов, означающее неизменность отраслевых коэффициентов, не приводит к какой бы то ни было- потере эффективности? и не препятствует максимизации прибыли (при условии неотрицательности чистого конечного выпуска каждого из продуктов). Это важное обстоятельство обусловлено двумя существенными особенностями модели леонтьевского типа: отсутствием объединенного производства (т. е. выпуска нескольких продуктов в одном процессе) и наличием только одного абсолютно необходимого фактора производства — труда.

Переходя к строгой постановке задачи, мы прежде всего должны вспомнить основные предположения (а), (Р) для модели леонтьевского типа из § 6.2, гл. II. В дополнение к ним будем предполагать, что труд является единственным абсолютно необходимым производственным фактором. ,

Пусть Tj — производственно-технологическое множество для /—й отрасли, состоящее из процессов (%,歩，К) в терминах запасов. Здесь 九j ——неотрицательное число, определяющее неотрицательное количество затрачиваемого труда; х3 есть 八-мерный неотрицательный вектор (валовых) затрат;沙'есть n-мерный неотрицательный вектор (валового) выпуска, компоненты которого удовлетворяют условию

(а)调=0 (г #=/) (отсутствие объединенного производства). Дальнейшие предположения относительно Т) таковы:

Т/ — замкнутый выпуклый конус.

Из (%, %', у') С 7力九j = 0 следует 犷=0. Это условие и означает, что труд является абсолютно необходимым фактором.

Технологическое множество национальной экономики в целом п

есть векторная сумма Т — 2 7力 а множество

т+ = {& g —况)I 沙三％, Q, X, у) W Т}

является не чем иным, как «продуктивной частью» множества Т. Здесь К и у — х представляют собой соответствующие затраты труда и вектор чистых выпусков, так что оценку эффективности в т. е. сравнение по эффективности некоторых процессов (入，刃 ——％),(科，и ——〃)€ Т+ можно осуществлять на основе отношения《三》:

Теорема 12.5 (теорема о незаменимости). Если технология Т продуктивна 6 том смысле^ что множество Т+ содержит, процесс с положительным вектором чистых выпусков^ то суще-

ствуют особые процессы (1,也 £) W 方 (/ = 1, . . ., м), удовлетворяющие следующим условиям:

Множество Т* всех эффективных процессов (X, у — ж) из Т+ ПL

полностью описывается выражением £ 0； (1, у'——炉),где 八 параметров % (/ = 1,...，八) пробегают все неотрицательные числа./

Для любого неотрицательного вектора конечного спроса d существует неотрицателъное число %, такоечто (A, d) W Т*・

Доказательство. Основная идея приводимого доказательства принадлежит Эрроу [1]. Сначала мы покажем, что для каждого процесса (со, с) f Т+ найдется эффективный процесс (X, у —— х) из 7\, удовлетворяющий условиям 九 = со, у —— /三 с Для этого мы прежде всего убедимся в том, что множество

7\ (со, с) = {(А, у — х) \ К ^ ш, у — х^ с,

(儿%,汾W T}

является непустым компактным множеством. Очевидно, оно не пусто уже в силу того, что (со, г) ^ 7+ (со, г). Ясно также, что Т+ п Т+ (со, с).

В силу теоремы 1.5 из гл. I для доказательства компактности множества Т十(со, с) достаточно убедиться в его ограниченности и замкнутости. Если бы множество Т+ (со, с) было неограниченным, то в Г+ (со, с) существовала бы последовательность {(Xv, yv ——％”)}, такая, что lim || yv \\ = + оо. Произведя разло- ткение каждого члена этой последовательности на слагаемые

ппп

統=2大加，у” = 2 w"，= 2%吗⑴

j=i；=i

мы получаем соответствующие последовательности {(九加，①加，y^v)} в 7\. Из условий ^ 三胃v,厶川》0, /v 三 0, /丫三0 и соотношений (1) следует, что

0 С 厶加《3 (7 = 1, ..., п),(2)

IIx^v 1Ь II 犷” IIWil у”II =小(j = 1, •••,〃)•(3)

Поэтому для каждого /, учитывая, что Тj — конус, заключаем, что {(Ajv/T)v, ^V/^, z/^/^v)} представляет собой ограниченную последовательность в 7/. Ввиду этого без ограничения общности можно считать, что п таких поел ед о ва тел ьностей сходятся к соответствующим пределам (卩力也").Заметим, что (科力总，少)£Tj в силу замкнутости множества Т；. Но из условий О《А/”《со и limT)v = =+ оо следует 旧=0 (j = 1, . .., м), и значит, J = 0 (J = 1, ... п) в силу предположения о необходимости затраты труда в Т卜

Следовательно,

ппп

^飞击2⑸v/加)=z(内加,M) = (。, 2毋,°)，

"+°° V j=lj=lj=]

так что n

lim — £/v = 0.g+oo Hv £7=1

Но это противоречит условию n 修 2沙|1 w=i,2,

чем и доказывается ограниченность множества 7+ (со, с).

Докажем теперь замкнутость множества Т+ ((о, с). Пусть {(入у, yv — ^v)} — последовательность в 7\ (со, с), сходящаяся к некоторому пределу (X, d). Тогда соответствующие последовательности {(兄加,/v, у2)} в 7力 получаемые с помощью разложения (1), ограничены в силу установленной выше ограниченности последовательности {у"}, а также соотношений OW^vWs，。三^"三 У”， 0 = %沁三力”三4匕 Поэтому мы можем без потери общности предполагать, что все эти последовательности сходятся к соответствующим пределам ⑸，R 力.Тогда Мы имеем

(A, d)= lim (儿，у”一％v) =

*Vf+oonn・

=lim 2 (A加，y加一力加)=2 (好・，風一戸).

Vf+8 j=£j=l

Заметим, что (厶力 丫，炉)& Тj в силу замкнутости Т/. Кроме того, :из AvWco, у—%v 三 с (w= 1,2, ...) следует 2 仙 W@ 2 (炉一%')三 & Поэтому (A, d) = 2(厶力/—歩)£丁+(叫 с), что и означает замкнутость множества Т+ (со, с).

Возьмем теперь произвольный положительный вектор цен 卩＞ 0. Тогда непрерывная функция р，(у — х)——X достигает максимума в некоторой точке (%, у — %) на компактном множестве Т+(со, с). Покажем, что процесс (X, у—х) эффективен в Т+. Действительно, если

для некоторого (九，沙一％)£?+, то 九&又«з, у — х^у — х^с, так что (X, у — х)^Т+ (о, с). Тогда по тем же простым соображе-

ниям, что и в доказательстве теоремы 12.1(i), мы получаем у — % = =у — %, А=А. Это означает, что процесс (А, у ——①)эффективен в Т+・

Отметим как непосредственное следствие этого результата* что процесс 6 (А, у —%) при любом 6>0 также эффективен в 7+. Действительно, пусть для некоторого (X, у — х}^Т+ мы имеем А《8兀 у ——％三6(g ——％). Если 0>0, то эти соотношения сводятся к А/6《А, (у — %)/6 三 у — %, причем (1/0) (X, у —%)£7\・ Тогда в силу эффективности процесса (X, у——％) должно быть Х/0 == X, (у — х)/д = у — х, так что имеем (儿 у —%) = 6 (兀 у—а). Если же 0 = 0, то соответствующие соотношения приобретают вид 0总九《0? у — % N 0. Таким образом,九=0, и значит, в разложении (X, %, у)= =2 (A力炉，力，(%, x* y?)gTj, имеем 从=0 仔〒 1,…，總). Поэтому 炉=0 (у == 1, .. ., п) в силу необходимости затрат труда в 7力 так что у=2у' = 0・ Далее, из соотношения 0= у 三①三 О получаем % = 0. Таким образом, в этом случае (X, у — х) — (0, 0)= =0•(兀 у —%)• Итак, в обоих случаях, т. е. при 0> 0 и при 0 = 0, мы убеждаемся в эффективности процесса 6 (А, у —①).

Вспомним теперь, что по условию теоремы предполагается существование некоторого процесса (卩，е)£Т+, для которого е>0. Как следует из предыдущего этапа доказательства, множество- 7\ (卩，е) должно содержать некоторый процесс (X, у —%), который, как и его неотрицате л ьные кратные 0 (X, у — х), является эффективным процессом в Т+・ Ввиду соотношения y —— ％Ne>0 и условия необходимости затрат труда в 7； (/ = 1, •••, м) мы должны иметь А>0. Следовательно, мы можем перенормировать эти процессы в эффективный процесс с единичными затратами трудаг который мы далее будем обозначать через (1, у — х), не опасаясь использовать те же символы %,勿 При этом в соответствующем разложении

п п п

1 = 2 3・，屋=2苏，^2? (4) j=l j=£ . j=W

мы должны получить 3>° (j = l， •••，〃)• Действительно, если К = 0 для некоторого Л, то соответствующий yk также должен обратиться в нуль, а все остальные отрасли не производят "-й продукт в силу предположения (а) об отсутствии объединенного производства, т. е. 北=0 (/片乃). Лозтому к-я компонента вектора у должна быть равной нулю, что противоречит условию у ——％>0, /三 0. Следовательно, каждый из про-

цессов (X；, У, д') мы также можем перенормировать таким образом, чтобы иметь единичные затраты труда:

(1,々，协(/ = 1, ..., п),(5)

.для чего нужно положить

%’ = %'/入力 д' = у'IN (j = 1, • • •,九).(6)

Для завершения доказательства остается проверить, что п процессов вида (5) образуют искомый набор процессов. С этой целью рассмотрим п X 八—матрицу

。=(山 j), dij = yi — Xi.

В силу предположения (а) об отсутствии объединенного производства матрица D должна удовлетворять основному предположению &j《。 G #=/) (3) из § 6.2 гл. II. Более того, эта матрица такова, что положительный вектор 2 =伪力 удовлетворяет соотношению

DI = у — n > 0.

Следовательно, по теореме 6.3 гл. II матрица D обратима и иt三0.

Обозначим через / (s) сумму компонент вектора s. Тогда утверждение (i) теоремы, выраженное в терминах матрицы О, сводится к такому: Т\ = {(/ (s), Ds) | s N О,.

Пусть (X, у — х) ^ Т*. Так как у — х ^ 0, то этот вектор можно представить в виде у — х = Ds с некоторым вектором s 三 0. Поскольку Т+ Э (/ (s), 0s), то в силу эффективности процесса (X,刃一％) мы получаем X <； / (s). Покажем, что % = /(§)• Для этого предположим противное, т. е. X < / (s). Без потери общности мы можем предполагать, что / (s) = 1. Действительно, поскольку заведомо / (s) > 0, то мы всегда можем перейти к указанной ситуации путем замены процесса (X, у — %) нормированным процессом (А, у — x)/f (s), который также принадлежит множеству Т*.

Далее, в силу соотношения DI = у — %>0 мы имеем

с (а) = (1 — а) DI + aDs > 0

лри отрицательном числе а < 0, достаточно близком к нулю. Тогда с (а) = D ((1 — а) 2 + as) м (1 — а) 2 + as = D "^(а) > 0, причем / ((1 — а) 2 + as)=(彳一а) / (Z) + а/ (s) = 1 с учетом того, что /(2) = 1 в силу первого из соотношений (4). Поэтому (1, с (a)) W Т+・ Вспомним, что у — х = Ds, и значит, (X, Ds) £ 7\. Тогда с помощью несложных выкладок получаем

(1 一 6 + 邛，7?Z) = (4 一 6) (1, c (a)) + ₽ (X, Os) С T+,

где О V ——а/(1 ——а) = 0 V ]. А так как 1 —— § + ABV1b силу допущения А V / (s) = 4, то процесс _(1 —卩 + 入卩,02) более эффективен, чем процесс (1, 0Z) = (1, у — /), что противоречит эффективности последнего. Это доказывает, что X = / (s).

Обратно, покажем, что (/ (s),力s) £ 7* при любом s 三 6. В соответствии с результатами предшествующей части доказательства множество 力十(/ (s), Ds) содержит некоторый эффективный процесс (X, у— %), причем этот процесс можно представить в виде 入=/ (力)，у — х = Dt с некоторым 力三 0. Поэтому Dt ^ Ds и /(•)《/ (s)・ Умножая обе части первого из этих неравенств слева на Z)"4 三 0, получаем t 三 s, что в совокупности со вторым неравенством дает t = s. Это означает, что (/ (s), Ds) = (/ ⑴，0力)£ C 窗，чем и завершается доказательство утверждения (i).

Утверждение (ii) сразу вытекает из того, что 0Т 三 0. В самом деле, пусть &三 0 — произвольный вектор конечного спроса. Тогда вектор продуктов d можно произвести в процессе (/ (s), 0s) из множества Т*, где s = 0一切. Теорема полностью доказана.

§ 13. ТЕОРЕМЫ О САМОПОДДЕРЖИВАЮЩЕМСЯЭФФЕКТИВНОМ РОСТЕ

Траектории эффективного роста

Несмотря на внешне статический характер, ситуация, рассмотренная в § 12, допускает и динамическую интерпретацию: продукт, рассматриваемый с учетом времени, всегда можно условно подразделить на несколько различных продуктов в соответствии с моментом времени появления в системе. Так, с точки зрения экономистаг сталь, выплавленная в этом году, вообще говоря, не то же самое, что сталь производства будущего года. Таким образом, если под компонентами производственного процесса понимать продукты, датированные в указанном выше смысле, то такие процессы будут описывать динамические конфигурации затрат и выпусков сразу на нескольких периодах времени. Далее мы будем рассматривать именно такие динамические ситуации.

Для получения конкретных результатов мы будем изучать простейшие динамические ситуации, когда рассматриваемые конфигурации затрат — выпусков охватывают ровно два смежных периода времени. В § 13 исследуется одна такая типичная ситуация, когда экономика является самоподдерживающейся или самообеспечивающейся в том смысле, что приток продуктов в систему или отток их из системы не имеет места, а все продукты воспроизводятся целиком внутри системы. В § 14 обсуждается другая характерная ситуация, когда имеется необходимый фактор про-

изводства — труд, поступающий в систему извне как входящий экзогенный поток.

Рассмотрим самообеспечивающуюся экономику, в которой производятся и потребляются п (недатированных) типов продук- тов. Предполагается, что все эти продукты воспроизводимы и выступают как в качестве затрат, так и в качестве выпусков. В соответствии с этим вектор затрат х и вектор выпусков у, которые вместе составляют процесс (%, у) в терминах запасов, имеют одну и ту же размерность. У обоих из зтмх векторов г-е компоненты соответствуют f-му (недатированному) продукту. Запись процесса (%, у) означает, что вектор затрат х потребляется в настоящем году, а выпуск у осуществляется в будущем году.

Экономика характеризуется технологическим множеством Т — множеством технически допустимых процессов указанного выше типа. Во всем дальнейшем изложении будут предполагаться выполненными следующие два основные условия:

(А.1) Множество Т представляет собой замкнутый выпуклый конус, лежащий в пространстве, являющемся декартовым произведением 7?£ X /?? где R^ — неотрицательный ортант пространства Нп.

(А.2) Из (0, у) W 7 следует у = 0 (неосуществимость «рога изобилия»).

Кроме того, мы часто будем использовать следующие дополнительные пр едп о л ожения.

(А.З) Для каждого вектора % N 0 существует по крайней мере один вектор у, такой, что (%, у) W Т. Это означает, что любой мыслимый вектор затрат можно преобразовать в некоторый вектор выпусков (преобразуемость).

(А.4) Из (%,沙)£ 7, 〃三羽 у N и 三 0 следует (u, v) ^ Т (свободное расходование).

(А.5) Если (瑞 у) £ Т, (и, и) £ Т м если векторы хни линейно независимы, то 'для любых чисел а > 0，卩 > 0, а + § = 1, существует вектор выпусков w, такой, что (ах + 卩〃，笫)W Т 皿 ад 十 + 呢 V 必(строгая выпуклость).

Замечание 1. В свете экономической интерпретации условий (А.1) и (А.2), которая уже была дана в § 12.2, принятие этих предположений в качестве основных предпосылок модели не кажется необоснованным.

Замечание 2. Предположение (А.З), т. е. преобразуемость любого вектора затрат в некоторый вектор выпусков, отражает определенную гибкость рассматриваемой производственной технологии и приемлемо в большинстве случаев. Если выполнено условие свободного расходования (А.4), то в этом частном случае требование (А.З) удовлетворяется тривиальным образом; в самом деле, так как множество Т всегда содержит вектор (0, 0), то Т содержит

также и все векторы вида (с, 0) при всевозможных % 三 0. Однако, условие (А.З) не обязательно предполагает существование процессов расходования (устранения) продуктов, не сопряженных с дополнительными издержками, и поэтому оно применимо и к более -общим ситуациям. В то же время это условие является достаточно сильным, чтобы в сочетании с (А.1) и (А.2) позволить нам доказать соответствующие утверждения этого параграфа.

Замечание 3. Условие (А.5) представляет собой один из вариантов условия строгой выпуклости; можно считать, что это предположение отражает факт наличия внешней экономии '). Естественно, это условие является более сильным, чем просто условие выпуклости множества Т, которое соответствует простому отсутствию внешней неэкономичности. Мы будем предполагать выполнение условия (А.5) для того, чтобы иметь возможность установить ряд существенных результатов, которые окажутся полезными для наиболее простого вывода так называемых «теорем о магистрали».

Предположим теперь, что в данном периоде t в экономической системе в целом имеется g (%)》0 единиц г-го продукта (i = = 1, . •.,八). Неотрицательный вектор х (力)=(g (力))представляет состояние экономики в периоде t в смысле состояния запасов продуктов. В следующем периоде 力 + 1 экономика достигает другого состояния % (力 + 4) путем реализации производственного процесса (①(方)，％ (力 + 1)) £ Т, где Т ——заданное технологическое множество. Затем экономика может перейти от состояния n (力 + 1) к состоянию % (力 + 2) в периоде 力十 2, такому, что (% (t + 1), х (t -\- 2)) С Т・ Таким путем осуществляется динамическое движение экономики х «), % (% 十 1), % (% 十 2),・..,характер которого мы исследуем ниже. Это динамическое движение является само- поддерживающимся, так как продукты в системе воспроизводятся без какого-либо притока извне. Имея в виду эти соображения, дадим следующие определения.

Определение 13.1. Конечная последовательность векторов {х (力)}±0 (или для краткости просто {х (^)}^) называется допустимой траекторией на (конечном) интервале времени N, если каждая пара двух ее последовательно идущих членов принадлежит множеству Г, т. е.

(% (i),①(力十 1)) W 7 (i = 0, 1, . . .f TV — 1).

Определение 13.2. Бесконечная последовательность векторов {% «)}『 называется допустимой траекторией на веско-

1) См. примечание на стр. 239.— Прим, перев.

нечном интервале времени^ если

(% (£), % (力十 4)) W Т (方=О, 1, • • ad inf.).

Допустимая траектория {х (%)}『 представляет динамическое движение системы за N периодов. Нужно отметить, что поскольку множество {у \ (х, у) ^ Т}, соответствующее вектору затрат ①三 三 0, не обязательно состоит из одного элемента, может существовать, вообще говоря, несколько допустимых траекторий на интервале времени N, исходящих из общего начального состояния. Но характер и степень использования того потенциала роста, который заключен в технологии Т, различны для различных траекторий, так что из всевозможных допустимых траекторий желательно выбрать те, на которых этот потенциал реализуется полностью.

Сопоставление допустимых траекторий можно осуществлять разными способами. Один из путей сравнительной оценки «эффективности» различных допустимых траекторий заключается в приложении метода сравнения эффективности, изложенного в § 12.3, к векторам конечного состояния х (N). Такой метод оценки является стандартным, так как он был, вполне обоснованно, принят еще инициаторами «магистральных» исследований (Самуэльсон [6], Дорфман и др. [1]).

Пусть X (①°, N) — множество всех допустимых траекторий на интервале времени N, соответствующих заданному начальному состоянию %° 三 0. Множество X (ж0, N) не пусто, в чем можно убедиться путем повторного применения условия А.З.

Опр едел ение 13.3. Пусть {ж (^)}^, {g (力)}『£X (%。, TV). Тогда траектория {力 Q)}『 называется более эффективной^ чем 仅(^)}^, если 岔(N)Wy (N).

Определение 13.4. Траектория {х (力)}乎 называется эффективной, если в X (%。，N) не содержится более эффективной траектории, чем {х ⑺}^.

Ниже будет изучена взаимосвязь между эффективными траекториями и ценами подобно тому, как это сделано в § 12.3. Этой и другим целям послужит лемма 13.1.

Для каждого заданного непустого множества S в R^ будем обозначать через X (S, N) множество всевозможных допустимых траекторий на интервале времени N, начинающихся в точках из S. Множество X (ж0, N) является частным случаем множества X (S, N) при S = {吗.Траекторию {х «)}# из X (S, N) можно отождествлять с точкой из (N + 1)-кратного декартова произведения Q пространств /?п, считая ^-й координатой этой точки вектор х (力).Поэтому для простоты мы можем рассматривать X (S, N) как множество в Q.

Лемма 13.1. Справедливы следующие утверждения:

Если S — непустое и ограниченное множество^ то X (S, N) является непустым ограниченным множеством в Q.

Если 5 — непустое и компактное множество, то X (S, N) является непустым компактным множеством в Q.

Если S — выпуклое множество, то множество X (5, N) также выпукло.

Доказательство. Свойство непустоты множества X (S, N) в утверждениях (i) и (ii) очевидно из условия (А.З). Выпуклость в (iii) немедленно следует из определения 13.1 и выпуклости множества Т, оговоренной в предположении (А.1). Остается доказать ограниченность в (i) и компактность в (ii).

Допустим, что множество X (S, N) в (i) неограничено, и обозначим через 加 наименьшее среди таких целых I между 0 и N, для которых вектор / (Z) оказывается неограниченным, когда {х (^)}^ пробегает множество X (S, N). Здесь 乃 > 0, поскольку само множество 5 предполагается ограниченным. Обозначим через {^v(0}^ последовательность элементов множества X (S, N), такую, что

lim II xv (k) II = 4- оо.

V->4-oo

Замечая, что (xv(k — 1), d (砌 g 7 в силу допустимости траектории, и учитывая, что Т — конус, получаем

QV 伪二 l)/||^v 3) II, /V(例川况 V #)ID w T(V = 1, 2, . . .)• (2) Поскольку последовательность векторов 犷(勃—1) ограничена по определению числа ft, то из (1) следует, что lim xv (^― 1)/|| /V (ft) || = 0. Далее, каждый вектор хУ (А)/|| хУ (Л) || имеет единичную норму, поэтому без ограничения общности можно полагать, что последовательность этих векторов сходится к некоторому пределу 刃 с || у ||= 1. Поэтому из (2) в пределе имеем (0, у) Т ввиду замкнутости, согласно условию (А.1), множества Т. Тогда в силу условия (А.2) вектор у должен быть нулевым, а это противоречит тому, что II у И = 1. Этим доказана ограниченность множества X (S, N) в случае утверждения (i).

Установим теперь компактность множества X (S, N) в утверждении (ii). В силу теоремы 1.5 гл. I для этого достаточно показать ограниченность и замкнутость множества X (S, ТУ). Но ограниченность сразу вытекает теперь из утверждения (i), доказанного только что, поскольку множество S ограничено как компактное множество. Для того чтобы, наконец, установить замкнутость^ построим N + 1 непрерывных отображений

Фо ({化(徜=%(0)：QfAZ

屮力({% «)}『) = (% (力 一1)，x(t)):Q^RnxRn (力=1,・・・，N).

Тогда, очевидно,

X(S, N) = %】(S)n(n 屮丁⑺). (3)

Если мы покажем, что множество S замкнуто в Rn, а множество Т замкнуто в 7?п X Лп, то тогда TV + 1 множеств-прообразов Фо1 (S), <р『(Т) также заведомо будут замкнутыми в Q в силу непрерывности построенных ТУ + 彳 отображений, и тогда можно будет утверждать, что множество X (S, N) так济е замкнуто в Q как их пересечение (3). Но S как компактное множество, очевидно, замкнуто в Rn. Далее, множество Т замкнуто в 7?n X Яп, так как оно по условию (А.1) замкнуто в множестве R* X 缗，которое в свою очередь замкнуто в Лп X Лп. Этим завершается доказательство.

Теперь, после того, как установлена лемма 13.1, легко доказать следующую теорему.

Теорема 13.1. Пусть X (х°, N) — определенное выше множество допустимых траекторий. Тогда

Если {①(力)}* — эффективная траектория в X (ж0, 2V), то существует полуположителъный вектор цен р>0, такой, что рх (N)》pry (N) для всех {у (力)招 из X (* А)・

Пусть задан произвольный полуположителъный вектор цен р>0. Тогда существует эффективная траектория {%«)}『, которая максимизирует р'у (N) по всем траекториям {у (力)冲 из X (* N).

Доказательство, (i) Применяя лемму 13.1 (iii) к множеству X (S, N) при S = {ж0}, являющемся, очевидно, выпуклым множеством, заключаем, что X (х°, ТУ) является выпуклым множеством в Q. Поэтому М = {у (7V) — х (N) | {д «)}* £ X (* N)} будет выпуклым множеством в Rn, В силу эффективности траектории {х (力)}* единственная общая точка множеств М и R^ есть нуль. Следовательно, по теореме 3.5 гл. I множество М отделяется от R，гиперплоскостью с полуположительным вектором нормали р>0, так что pz « 0 для любого вектора z ^ М. Это означает, что pfx (N)》pry (N) для всех траекторий {у (力)}* из множества X (ж0, N), что и требовалось доказать.

(И) Применяя лемму 13.1 (ii) к множеству X (S, N) при S 二 ={吗，являющемся компактным множеством, заключаем, что X (猾 N) — компактное множество в Q. Поэтому непрерывная функция / ({у «)}衿=Pfy (%) должна принимать на множестве X (a/1, 7V) свое максимальное значение 6. Рассмотрим теперь множество

Е= {{у (力)}『I Р9у (N) = 0, {у ⑴帰 £ X (鸡 TV)},

т. е. множество всех траекторий, доставляющих максимум функции ру (N). Множество Е замкнуто в X (%°,介)и, следовательно, компактно. Возьмем теперь какой-нибудь положительный вектор цен g > 0. Тогда непрерывная функция g ({沙(0 }^) = qy (N) достигнет максимума на множестве Е на некоторой траектории {х (Z)}% Покажем, что эта траектория эффективна. В самом деле, если бы оказалось у (TV) > х (7V) для некоторой траектории {沙(力)務 £ £ X (ж0, N), то ввиду того, что g > 0, мы имели бы qfy (”) > > q'x (N). Однако из условий у (N)>x (N), р>0 следует 6》р'у (N)》рх (N) = 0, так что ру (N) = 0, т. е. {у ⑺} * £ € Е, и, следовательно, qx (TV)》qy (TV). Но это противоречит тому, что q'y (TV) > qfх (TV). Итак, траектория {х (力)}* действительно эффективна, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Замечание 4. Из теоремы 13.1, в частности, следует сам факт существования эффективной траектории в X (ж0, “).

Траектории максимального сбалансированного роста

Нам уже несколько раз приходилось рассматривать сбалансированный рост в гл. II и III. Естественно, что представление о сбалансированном росте оказывается уместным и в настоящем разделе.'

Опр деление 13.5. Не равная тождественно' нулю допустимая траектория {%(力}然 на бесконечном интервале времени называется траекторией сбалансированного роста, если % & + 4) = р% (力)(力=0, 1,・•・，ad inf.),

где р — неотрицательная константа. Число р называется темпом роста, а р — 1 — нормой роста.

Очевидно, траекторию сбалансированного роста можно представить в форме

х (t) = pZ,力=% (0)二 0,(1)

где р, % ——решение своеобразной задачи о собственных значениях

(%, Р%) € Т.⑵

Вопрос, который нас будет интересовать — это существование траекторий сбалансированного роста, и, в частности, существование траектории максимального сбалансированного роста, которая определяется как траектория сбалансированного роста с максимальным темпом роста.

Теорема 13.2. Пусть выполнены условия (А.1), (А.2) 〃 (А.З). Тогда траектория максимального сбалансированного роста существует.

Доказательство. Для удобства будем называть процесс (%, g) W 7 нетривиалъным процессом, если % у=0. Нетривиальные процессы заведомо существуют в силу предположения (А.З). Для нетривиального процесса (化,у) положим

р (%, g) = min爵 по всем Z, таким, что д>0.

Число р (%, у) будем называть темпом роста для процесса (%, г/).

Покажем, что р (% у) на множестве всех нетривиальных процессов достигает своего максимума. Для этого прежде всего заметим, что

(3)(3)р (аж, а沙)=р (①，у) для любого а > 0.

(3)

(3)

Далее, положим

А = sup р (%,沙)по всем нетривиальным процессам.

Будем для удобства называть нетривиальный процесс (%, у) нормированным процессом^ если сумма компонент вектора х равна единице. Тогда ввиду свойства однородности (3) мы можем в определении числа А ограничиться рассмотрением темпов роста только для нормированных процессов. При этом по определению найдется последовательность нормированных процессов {g, Q)}, такая, что р g, у”)= р” f % при V f + 8.

Положим S = {%v I v = 1, 2, . . .}. Множество S ограничено, так как каждый вектор хУ принадлежит стандартному симплексу

尸九={%1%三0, n g = 1}.

Поэтому, применяя лемму 13.1(i) к множеству траекторий X (S, 1), заключаем, что множество процессов (однопериодных траекторий) {(/% yv)} ограничено. При этом, очевидно, по определению имеем

yv 三 Pv^ (v = 1, 2, •.・)•(4)

Суммируя компоненты обеих частей векторного неравенства (4),

получаем 2 У? > Pv (v = 1, 2, . . .), так что множество чисел i=l

{pv} также ограничено. Следовательно, без потери общности можно предполагать, что последовательности {%"}, {yv}, {pv} сходятся к некоторым пределам х, у, А соответственно, причем х W Рп・ Тогда (4) в пределе дает

У ^ ^,力二0,(5)

причем ввиду замкнутости множества Т согласно (А.1) имеем

(%, 5)€ Т・(6)

Таким образом, мы доказали, что число X конечно, а также установили существование нетривиального процесса, удовлетворяющего соотношению (5). Однако равенство в (5) не получается автоматически. Поэтому следующим шагом доказательства^будет проверка tqfo, что для некоторых специально подобранных нетривиальных процессов равенство в (5) действительно имеет место. С этой целью рассмотрим множество

К = {Q, у) |(%,沙)£ 7, 4 三九力，с W Pn}・

В силу только что доказанного результата множество К не пусто. Покажем теперь, что множество К компактно и выпукло. Для этого рассмотрим множество Q = {(g д) | 刃三 Хж} в Z?n х Rn. Тогда

К = х (厶，1) n Q・(7)

Множество X (Pn, 1) компактно и выпукло в силу леммы 13.1 (ii), (iii), а множество Q очевидным образом замкнуто и выпукло в En X Rn. Поэтому К как пересечение этих множеств (7) является компактным выпуклым множеством в декартовом произведении 五?г X Е% которое имеет линейную и топологическую структуру пространства Е2T

Следующим этапом доказательства является построение отображения множества К в себя. С этой целью положим

ф3, у)=中• при 3, у)^К.(8)

1+ S yi

Так как для любого (①，g) £ К мы имеем

=上经工0,

1+ 2虫1+2力

i=li=l

то равенство (8) можно представить в форме

<Р(%,/=好丁一/+五,北三0.(9)

1+ s力

i=l

Так как (%,刃)£Т и множество Т, согласно (А.1), представляет собой конус, то

(10)(10)1 +入 %

(10)

(10)

1+ S勿i=l

Далее, в силу предположения (А.З) найдется вектор % такой, что 3,少 € Т.(И)

Соотношения (9) — (11) с учетом того, что, согласно (А.1), Т — выпуклый конус, дают

/ Ф (^ y)， y + v\ G т.(12)

[5丿

Но из определения (8) отображения ф (化，у) с учетом соотношений g三九①и沙三0 мы имеем

ф (n, g) W Ртп(13)

九(р(/, y)w， 't% уТ-и・(14)

1+2 ytг=1

Соотношения (12) — (14) в совокупности показывают, что для любого процесса (化，刃)£ К найдется вектор v, такой, что

/屮(с，У)，八 €£.

Это означает, что при любом фиксированном (瑞 у) ^ К множество Ф (芻 5)= {(Ф (с, У),笫)I(Ф (%,力 з) W К} (15) является непустым подмножеством множества К. Тем самым мы построили многозначное отображение Ф: X -> 2К, определяемое выражением (15), которое каждому процессу (%, у) W К ставит в соответствие непустое подмножество Ф (%, у) множества К. Для того чтобы теперь применить к этому отображению теорему 4.4 гл. I (теорему Какутани о неподвижной точке), нам нужно убедиться в том. что выполняются все условия этой теоремы. Мы уже знаем, что К является непустым компактным выпуклым подмножеством декартова произведения 7?п X Rn (гомеоморфного пространству R2n) и что Ф (%, у) ¥= 0 при каждом (况，у) ^ К. В дополнение к этим условиям в теореме требуется, чтобы (а) множество Ф (%, у) было выпуклым при каждом (化,у) W К 瓜(6) ® было замкнутым отображением. Но условие (а) немедленно вытекает из выпуклости множества К, установленной выше. Для того чтобы проверить выполнение условия (б), возьмем две произвольные последовательности {(①V, yv)}, {(纟旷,“v)} в К, сходящиеся к некоторым пределам (%, у) и (z, w) соответственно и удовлетворяющие условию

（16）（16）(Z% 哂 е ①(％匕 yv) е = ], 2,・•.).

（16）

（16）

Соотношение (16) распадается на два:

%v =屮 Qv,沙v),(17)

(屮 Qv,歹)，МЛ) £ К.(18)

Ввиду того что ф ——непрерывная функция, соотношение (17) в пределе дает

幺=屮 Q, в),(19)

в то время как в силу замкнутости множества К соотношение (18) в пределе дает

"3 (怎力券)=(z,m)е К.

Таким образом, (z, и;) £ ①(％, у), что доказывает замкнутость отображения Ф.

Итак, к отображению Ф применима теорема 4.4 гл. I; согласно этой теореме, в К существует неподвижная точка А ААЛАЛ

(х, у), которая удовлетворяет соотношению (%, у)£ ①(％, у), так что

输=屮(忘力=—七占乙一 ,(20)

1+3'

i= 1

力三九3.(21)

Из соотношения (20) следует, что

Поэтому 2yi = p(%, y)W^ ввиду свойства максимальности числа X — максимального темпа роста для процесса. Но из неравенства (21) следует, что 2 嘉>А; поэтому окончательно получаем, что у = А%, т. е. (%,九①)£Т. Теорема доказана.

Как показывается в следующих двух замечаниях, при более сильных предположениях возможно дальнейшее упрощение доказательства теоремы 13.2.

Замечание 1. Если вместо условия (А.З) предполагать выполненным условие свободного расходования (А.4), то уже из неравенства (5) с учетом (6) сразу следует, что (%,九％) W Т, так что нет надобности проводить рассуждения, следующие после соотношения (6).

Замечание 2. Если в дополнение к (А.З) считать выполненным условие строгой выпуклости (А.5), то при 九 > 0 аналогично предыдущему замечанию из условий (5), (6) сразу получим у = Хх.

В самом деле, допустим, что в (5)沙丄 А%, и положим у =入力 + иг и>0. Если бы векторы 〃 м А% были линейно зависимы, т・ е. и = = аХж, а》0, то мы имели бы i/ = X (1 + а) £, откуда а = О ввиду того, что число X максимально. Это противоречит предположению и>0. Следовательно, векторы и и Хж линейно независимы. Для данного и в силу предположения (А.З) существует вектор и, такой, что (〃，и) С Т. Кроме того, (A%, Ay) С 7. А так как век- торы 儿 и 入况 линейно независимы, то в силу условия (А.5) и того,. что, согласно (А.1), Т — конус, должен существовать вектор wr такой, что (А% + и,笫)W Т,九^ + и V w・ Отсюда следует, что (у, ip) ^ Т и р (у,笫) > 儿 в противоречии со свойством максимальности темпа роста А. Следовательно, у = А%.

Определение 13.6. Луч, порожденный вектором ①二 О, удовлетворяющим условию (%, 入％) W Т, где А ——максимальный темп роста, называется лучом максимального сбалансированного роста, или неймановским лучом.

В этом определении последний термин связан с тем, что именно фон Нейман впервые глубоко исследовал понятие сбалансированного роста (см. гл. II, § 9.2).

Замечание 3. Луч максимального сбалансированного роста^ вообще говоря, не является единственным, но при некоторых специальных предположениях его единственность можно гарантировать. Например, для единственности луча максимального сбалансированного роста достаточно условия строгой выпуклости (А.5). Действительно, пусть даны два полуположительных вектора х, у, и пусть оба они порождают лучи максимального сбалансированного роста, так что (%, А%),(沙，Ад) £ Т. Если бы вектор х не был пропорционален вектору у, то в силу условия (А.5) и того, что, согласно (А.1), Т — конус, нашелся бы вектор w, такой, что (% 4 у,笫)W W Т, А (% + 沙)V м・ Тогда р (% + у,笫)>% в противоречии с тем, что темп роста А максимален. Следовательно, векторы % м у должны быть пропорциональны, а это и означает единственность луча максимального сбалансированного роста.

Максимальный темп роста X, который однозначно определяется технологическим множеством Т и поэтому может быть обозначен через Z (Г), не обязательно положителен; он может быть равен нулю. Последнему случаю можно дать исчерпывающую характеристику, аналогичную теореме 7.2 (vi) гл. II и теореме 10.3 (iii) гл. IIL

Для заданного технологического множества Т рассмотрим множество

Т^ = {(х (0), % (s)) I {х «)}： £ X ①貝 s)}, где X (R% s)——множество всевозможных допустимых траекторий длины s в соответствии с данным ранее определением. Тогда имеет- место следующая теорема.

Теорема 13.3. Для того чтобы имело место 九(Т) = О, необходимо и достаточно, чтобы при всех (%, g) С ^(П> выполнялось условие 沙=0, где п ——число продуктов {размерность модели).

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательствам теорем 7.2 (vi) гл. II и 10.3 (iii) гл. III. Прежде всего, достаточность устанавливается немедленно. В самом деле, если х — вектор, порождающий неймановский луч, то последовательность х (力)=<х удовлетворяет условию (% (力， a (t + 1)) W Т (力=°, £,•••), так что (芻 Ап%) принадлежит множеству Т(п). Если теперь выполнено условие теоремы, то мы имеем Хпж = 0, так что в силу % у= 0 получаем А = 0. Тем самым доказано, что 九(？)= 0.

Для доказательства необходимости, рассмотрим множества индексов Ms = {Z I у» = 0 для всех (х, у) £ Т'”}. Тогда достаточно будет показать, что Мп = {1, 2,...,八}. Для этого мы покажем, что имеют место утверждения (а)齒 у= 0; (Р) Ms и и Ms-^i, причем из Ms = Ms+1 следует Ms = {1, 2, . . ., n}. Утверждение (а) можно установить следующим образом. Если "1 = 0, то для каждого Z существует процесс (①* 赤 С Т, такой, что у\ > 0. Поэтому множество Т как выпуклый конус должно содержать процесс (У 炉，2 У‘)・ Так как 2 у% > 0 по построению, то для достаточно малого положительного 0 получаем 3 2/г = =0 3 ^г- Более того, при этом 为 炉* 0 в силу условия (А.2), так что (»%* 2^/г) — нетривиальный процесс. Теперь остается заметить, что р (2 %* У У°) > 6 > 0 в противоречии с условием 入(Т) = 0. Этим доказано выполнение утверждения (а).

Утверждение (0) проверяется аналогичным образом. Возьмем какой-либо индекс » W "$• Для любой пары (%, у) £ Т®+1)по определению найдется допустимая траектория {х 〃)}；十丨 длины s +、1, удовлетворяющая условиям х (0) = х, % (s 工 1) = у. Тогда & (1),沙)W С, так что 勿=0 для данного Z; поэтому Ms и Ms+1. .Далее, если бы был возможен случай M$ = Ms+i ^ {1, 2,...,八}, то с помощью такого же рассуждения, как и при проверке утверждения (а), мы получили бы, что существует пара (%, у) £ f($+i), такая, что 勿 > 0 для всех i R M8Jri = Ms. Если мы теперь возьмем допустимую траекторию {х (力)}产，такую, что ①(0) = %, % (s + 1) = g для данной пары (①，у), то получим (% (s), g) W Т. Этот процесс (х (s), у) нетривиален, согласно условию (А.2), ввиду того, что у 总 0. Кроме того, (% (0), х (s)) W Т®, так что 勺(s) = 0 для всех i С М$ = M$+i・ Таким образом, у» > 0 для каждого Z, такого, что %t (s) > 0. Отсюда вытекает,, что у 三 6% (s) при достаточно малом положительном 0. Следовательно, р (力(s), у)〉6 > > А (Т) = 0, что вновь противоречит свойству максимальности темпа роста X (Т). Этим установлено выполнение утверждения (Р).

Ясно, что из (а), (Р) следует, что Мп = {1, 2, . . ., п}. Теорема доказана.

Теорема 13.3 убеждает, что почти всегда, кроме исключительных случаев, мы будем иметь X (Т) > 0.

Замечание 4. Если 八》2 м выполнены условие (А.З) и условие строгой выпуклости (А.5), то всегда 九(勿)> 0. Действительно, возьмем два произвольных линейно независимых полуположи- 賓елвных вектора затрат %, у; тогда, согласно (А.2), найдутся соответствующие векторы выпусков м, % такие, что (%, и),仅，沙)W Т. Но в силу условия (А.5) и того, что Т ——конус, существует другой вектор выпусков 必，такой, что (% 十 у,笫)W Т, и + v <Zw. Тогда, очевидно, для нетривиального процесса (% + у,笫)темп роста положителен, так что заведомо А (Т) > 0.

Хотя случай 九(Т) = 0 формально полностью описывается теоремой 13.3, все же нет сколько-нибудь содержательного необходимого и достаточного условия положительности вектора, порождающего луч максимального сбалансированного роста. Однако достаточное условие положительности такого вектора можно дать немедленно в виде некоторого структурного свойства технологического множества, если соответствующим образом обобщить понятие неразложимости неотрицательной матрицы.

Рассмотрим технологическое множество Т = {(%, у) | 力 三 0, у^О, х ^ Ау}, где А ——неразложимая неотрицательная квадратная матрица порядка п. Согласно лемме 8.2 (ii) из гл. II, для каждой пары индексов (/,/) найдется положительное целое число v(Z, j), такое, что (i, /)・й элемент матрицы Л v(i* ^положителен. Пусть k = [max V (%, у) по всем i, у]. Если длина N допустимой траектории {х (力)}卩 превышает к и если /-я компонента вектора х (N) положительна, то в силу того, что х (N ——v (i, /))三 /W3 力 ％(%), мы получаем g (N ——v (書 力)> 0. Эти рассуждения оправдывают следующее определение.

Определение 13.7. Технологическое множество Т называется нер азлож им им, если существует положительное целое ", накое, что любая допустимая траектория {%(%)}* длины N>" обладает следующим свойством: при х (А) >0 для каждого i найдется t, 0 & 力 V N, такое, что Z-я компонента вектора х (力) положительна.

Теорема 13.4. Если технологическое множество. Т неразложимо 〃 А =入(Т) > 0, то каждый вектор %, порождающий луч максимального сбалансированного роста, положителен.

Доказательство. Если допустить, что g = 0 для некоторого f, то допустимая траектория {А'%}# при N > к должна удовлетворять условиям *х» = 0 (0 & 方 V N),厶^①丄 о, что противоречит неразложимости. Теорема доказана.

Теперь мы рассмотрим важное приложение свойства максимальности темпа роста А (Т) к оценке прибыли. Если р — процент на капитал (равный 1 + норма процента) и р>0 — вектор цен, то прибыль 0丁 применения процесса (%, у) из Т (доход минус издержки, включая выплату процента) составляет величину р'у —— ——рр'х. Оказывается, что здесь особого внимания заслуживает случай р =九(Т), изучение которого полезно и с точки зрения материала § 13.3, посвященного теореме о магистрали.

Теорема 13.5. Существует полуположительный вектор цен Г，соответствующий темпу роста А =入(Т), такой, что

ргу — %prx W 0 для любого (怎 у) W Т・(22)

Доказательство. Рассмотрим множество М = ={у Кх \ (х, у) ^ Т} в Rn. Множество М выпукло, поскольку множество Т выпукло, согласно (А.1). Далее, М не содержит положительных векторов, так как в противном случае мы имели бы у > А% для некоторого процесса (z, g) £ Т, так что темп роста для этого процесса превышал бы А в противоречии со свойством максимальности 九.Следовательно, по теореме 3.5 гл. I множество М отделяется от Е? гиперплоскостью 〈р, 〃〉= 0 с полуположи- тельной нормалью р>0, в том смысле, что {р,》〉& 0 при всех и С М. Этим доказано утверждение (22) теоремы.

Определение 13.8. Вектор цен р, обладающий свойством (22), называется неймановским вектором цен.

Если % ——вектор, порождающий луч максимального сбалансированного роста, то процесс (%,九％) при неймановском векторе цен и при проценте на капитал, равном X, обеспечивает нулевую прибыль. Следовательно, процесс (芻 А%) максимизирует прибыль pfy — Хр'х по всем процессам (%, у) £ Т.

В ряде случаев имеет место следующий усиленный вариант свойства (22), который мы будем называть свойством исключительной прибыльности процесса (%, А%):

(*) Исключительная прибыльность процесса (芻 九％) выражается условием

pfy — А"% & 0 для любого (%, у) W Т, причем равенство здесь может быть только тогда, когда х пропорционален фиксированному вектору ①，порождающему луч максимального сбалансированного роста.

Теорема 13.6. Прёдположим, что при неймановском векторе цен р>0 имеет место условие исключительной прибыльности (*). Тогда

Луч максимального сбалансированного роста единствен.

Если 〃》2 (п — число различных продуктов), то А = =屮)>0.

Не более чем одна компонента вектора р может равняться нулю: если i-я компонента вектора р равна нулю, то все компоненты вектора %, за исключением i-й, равны нулю.

Доказательство, (i) Если вектор л:>0 порождает луч максимального сбалансированного роста, то (%,九г) £ Т, р'(九％)——瓦/х = 0. Поэтому в силу условия (*) вектор х должен быть пропорционален вектору %. Это доказывает искомую единственность. 一

Возьмем какой-нибудь вектор ж>0, не пропорциональный вектору ж. Это всегда возможно при 八》2. Тогда по условию (А.З) существует вектор выпусков у, удовлетворяющий условию (①，沙)W Т. В силу свойства исключительной прибыльности (*) для этого процесса должно выполняться неравенство ргу ——Кр'х V V 0. Поэтому 0 W р'у V 入pF откуда имеем 九、0.

Пусть »я компонента вектора р равна нулю. Возьмем вектор х с компонентами, удовлетворяющими условию хг > 0, %j = °(7 ¥= 0- Тогда в силу (А.З) для этого х существует вектор г/, такой, что (%, у) W Т. Процесс (①，у), естественно, должен удовлетворять условию (22). Но ввиду того, что для данного х мы имеем р'х = 0, соотношение (22) сводится к 0 & р'у = ргу — Ар'х & 0. Поэтому вектор х должен быть пропорционален вектору %, откуда имеем g > 0, g = 0 (j 声 ％). Допустим теперь, что еще одна компонента вектора р, например 肛я ("*%), также равна нулю. Тогда по тем же соображениям компоненты вектора х должны удовлетворять условиям хк > 0, %j = 0 (/ ^= А), что вступает в противоречие с предыдущим. Таким образом, теорема полностью доказана.

Условие исключительной прибыльности (*), как будет показано в следующем разделе, позволяет установить простой вариант теоремы о магистрали. Характерным структурным свойством, обеспечивающим выполнение условия (*), является условие строгой выпуклости (А. 5).

Теорема 13.7. Если выполнено условие строгой выпуклости (А.5), то при каждом неймановском векторе цен р соблюдается условие исключительной прибыльности (*).

Доказательство. Выберем и зафиксируем вектор %, порождающий луч максимального сбалансированного роста. Если в процессе (①，沙)W Т вектор х не пропорционален вектору х, то из условия строгой выпуклости (А.5) следует существование век-

тора выпусков w, удовлетворяющего условиям

(书王，缈)g北左变V〃(23>

Для этого процесса в силу условия (22) мы получаем

р^-ху-^-<0.(24>

Умножая теперь обе части неравенства в (23) слева на 尸'之0> получаем

р'爲邑 VP'出.(25>

Сопоставляя неравенства (24) и (25), получаем р*у — ^р'х V 0г что и требовалось доказать.

§ 13.3. Теорема о магистрали

Если экономическая система начинает свое функционирование с ненулевой точки х, лежащей на луче максимального сбалансированного роста, то она может и далее оставаться на этом лучег перемещаясь в процессе сбалансированного роста х (力)=¥с по допустимой траектории {^х}^. Но поскольку, вообще говоря夕 могут существовать и другие допустимые траектории, соответствующие той же начальной точке /, преимущество луча сбалансированного роста перед другими траекториями останется под вопросом до тех пор, пока этому не будет найдено должного обоснования.

Траектория {Vx}^, состоящая из первых TV + 1 последовательных точек траектории {A,^}J°, разумеется, принадлежит множеству X (瑞 N) всех допустимых траекторий длины N, выходящих из точки х. Если р ——неймановский вектор цен, то для любой траектории {у (%)}# W X (%, N) мы имеем pfy (力 + 1) — kp'y (力)& &0,沙(0) = % (力=0, 1,・• •， N ——1). Эти рекуррентные соотношения дают неравенство

РУ (%) & рА立.

Полученное неравенство показывает, что траектория {九％}『 максимизирует величину р'у (N) по всем {у (%)}# W X (芻 N). Более того, если р > 0, то траектория ®%}Q заведомо эффективна в X (財，N). А так как в обычных ситуациях вектор цен р положителен, то этим подтверждается важная нормативная роль траектории максимального сбалансированного роста и обосновывается то предпочтение, которое сбалансированный рост полу*

чает перед всеми другими допустимыми типами роста экономики при заданном начальном состоянии %•

Тем не менее эффективные траектории не сводятся только к сбалансированному росту. Соответствующие типы динамических процессов или, выражаясь геометрическим языком, формы траекторий в пространстве состояний экономики могут быть настолько сложными, что даже явно выписать уравнения орбит, на которых лежат эти траектории, оказывается нелегко. Однако некоторые экономисты, возглавляемые Самуэльсоном, твердо считают, что нормативное значение траектории максимального сбалансированного роста не столь ограничено, как это было представлено выше. Самуэльсон [6] высказал гипотезу о том, что эффективные траектории на промежуточных этапах перед достижением конечного состояния имеют тенденцию выходить на луч максимального сбалансированного роста, и чем длиннее траектория, т. е. чем больше интервал времени, отведенный для достижения конечной цели, тем в большей степени эффективная траектория совпадает с таким лучом (См. также Дорфман и др. [1]).

Самуэльсон сравнивает луч максимального сбалансированного' роста с магистралью в автодорожной сети. Если требуется проехать в близлежащий город, то нужно двигаться прямо к цели, не выезжая на магистральную дорогу. Однако если совершается длительная поездка в отдаленный город, то выбирается более сложный путь: прежде всего нужно доехать до магистральной дороги, затем двигаться по ней столько, сколько это возможно, и только потом нужно свернуть с магистрали на местную дорогу,, ведущую к нужному городу. Гипотеза Самуэльсона состоит в том, что стратегия эффективного долговременного экономического роста подобна такому плану движения. Выйдя из исторически сложившегося начального состояния, экономика должна сначала достигнуть луча максимального сбалансированного роста, затем функционировать в течение возможно большего числа плановых периодов в режиме сбалансированного роста на этом луче или почти в этом режиме ——вблизи луча, и затем, наконец, свернуть к достижению конкретной цели. В связи с этой аналогией указанная близость эффективных траекторий к лучу максимального сбалансированного роста получила название принципа магистрали. Если принцип магистрали справедлив, то луч максимального сбалансированного роста приобретает важнейшее нормативное значение.

Исследования, начало которым положил Самуэльсон, показали, что для обеспечения справедливости принципа магистрали нужно наложить на структуру технологического множества Т достаточно сильные требования. Несколькими авторами были предложены и доказаны различные варианты теорем о магистрали (Мориши- ма [3, 5], Раднер [1], Маккензи [6—8], Инада [1], Никайдо [10],.

Цукуи [1]). Все они основаны на довольно жестких предположениях и требуют более или менее изощренных доказательств. Здесь мы приведем, следуя Раднеру [1] ц Никайдо [10], теорему Раднера, усиленную Никайдо [10] и Инадой [1]. Этот результат представляет собой вариант теоремы о магистрали с относительно несложным утверждением и простым методом доказательства.

Для начала мы введем понятие оптимальности, которое, в частности, имеет тесную связь с понятием эффективности, определенным ранее. Обозначим через U семейство функций и (%), определенных на R^ и принимающих неотрицательные значения.

Определение 13.9. Допустимая траектория {% (力)患 из X (%°, N) называется и-оптималъной, если для некоторой функции и из U траектория {% ⑺務 максимизирует величину и (у (N)) по всем траекториям {у из X (%。，N).

Пусть Рп ——стандартный симплекс, образованный совокупностью всех полуположительных векторов с суммой компонент, равной единице. Для каждого q £ Рп зададим функцию uq на К? формулой 〃q (%) = g'%. Тогда в свете теоремы 13.1 (i) мы видим, что каждая эффективная траектория из множества X (迪，N) является u-оптимальной по отношению к U = {uq \ q ^ Рп}. Отметим, что 〃-оптимальная траектория может и не быть эффективной, если соответствующий вектор g не является положительным. Однако если принцип магистрали установлен для и-оптимальных траекторий, то тем самым он и подавно должен быть справедлив для эффективных траекторий как u-оптимальных траекторий специального типа. Исходя из этого, мы докажем теорему о магистрали для u-оптимальных траекторий при более широком множестве функций U. Как только это будет сделано, отсюда немедленно последует теорема о магистрали для эффективных траекторий — достаточно будет в качестве U взять множество {uq \ q ^ Рп}-

Во всем последующем изложении, как и прежде, мы будем опираться на основные предположения (А.1) и (А.2), сформулированные в § 13.1. Следуя Раднеру, приступим к исследованию при дополнительных предположениях:

(а) Существуют вектор ж > 0, вектор цен р >0 и процент на капитал (являющийся в то же время темпом роста)九 > 0, такие, что

(а.1) (%, А%) С Т, причем ргх > 0;

(а.2) р' (у — А%，& 0 для каждого (%, у) С Т;

(а.З) р' (у —厶①)V 0 для каждого (%, g) £ Т с вектором х, не пропорциональным вектору х.

(Р) Задано семейство U функций и на R% принимающих неотрицательные значения и удовлетворяющих условиям:

(р.1) Каждая функция и g U является положительно однородной первой степени.

(В・2) Функции из U равномерно мажорируются линейной функцией р'х в том смысле, что существует положительное число К, такое, что и (①)& Kpfx равномерно по и ^ U, х ^ «R?.

(р.3) Для некоторого положительного числа и существует допустимая траектория {w (力)卅〔некоторой длины N「начинающаяся в точке 笫(0) = % м оканчивающаяся в точке w (Л\) = а, такой, что и (а) ^> и для всех и U.

(у) Задан начальный вектор ①。丄 0, такой, что существует допустимая траектория {z (力)}^° некоторой длины NQ, начинающаяся в точке z (0) = %° м оканчивающаяся в точке z (TV。) = о%, где а > 0 — некоторое положительное число.

Замечание 1. В соответствии с § 13.2 в условиях (А.1), (А.2), дополненных условиями (А.З) и (А.5), предположениям (а) удовлетворяет тройка, состоящая из вектора х (который порождает луч максимального сбалансированного роста), неймановского вектора цен р и максимального темпа роста X. И обратно, легко проверить, даже не обращаясь к структурным свойствам множества Т, что число А в предположениях (а) должно быть максимальным темпом роста, а вектор х в (а) порождает единственный луч максимального сбалансированного роста.

Замечание 2. Обсудим предположение (Р) в частном случае, когда U = {uq I g С Рп}. Очевидно, что(р.1) при этом выполнено. Далее, если вектор р положителен, то (р.2) выполняется при К = [max (4/pi) по всем » = 4, • • ., п]. Действительно, поскольку компоненты g каждого вектора q для функций из U заведомо не превышают единицы, то мы имеем ^f ^ 1 Kpt (i = 1, . . ., n). Это означает, что q'x & Кр'х равномерно по ^ С Рп, х g Eg. Положительность вектора р можно гарантировать в силу теоремы 13.6 (iii), если выполнены условия (а) и если по крайней мере две компоненты вектора х положительны. Наконец, рассмотрим (р.3). Если существует допустимая траектория, приводящая из % к положительному вектору а за N* периодов, то условие (р.3) выполняется для положительного и = [min qfa no g £ P九].Если сам вектор х положителен, то мы имеем простейший случай: N* = 0.

Замечание 3. Следует отметить, что при выполнении условий преобразуемости (А.З) и строгой выпуклости (А.5) мы можем любой вектор затрат %, имеющий хотя бы две положительные компоненты, преобразовать в положительный вектор выпусков г/, т. е. (%, у) С Т. Действительно, такой вектор затрат х можно пред- 18—8

ставить в виде выпуклой линейной комбинации % =讶(％i + ж2), где ж1, %2 — линейно независимые полуположительные векторы. Условие (А.З) гарантирует существование некоторых векторов выпусков #,谓，таких, что (жг, уг) g Г (г =ч 1, 2). Наконец, свойство (А.5) обеспечивает существование вектора выпусков у, удовлетворяющего УeЛОВИЯМ (4■(户 + 况2),沙)W T,沙 > ^"(" 十 沙2). Поэтому(X, у) ^ Т И у > 0-

Таким образом, если вектор х имеет по крайней мере две положительные компоненты, то при соблюдении условий (А.З) и (А.5) существует допустимая траектория длины 1, идущая от ж к некоторому положительному вектору а, что означает выполнение пред- положения(р.3) при М = 1.

Замечание 4. При выполнении условия свободного расходования (А.4) любой положительный начальный вектор %° можно преобразовать в вектор выпусков вида ох с некоторым положительным множителем а, если только 九 > 0. В самом деле, мы имеем ①° 至 三 аж, где а ——некоторое положительное число. Кроме того, (аж, Аа%) £ Т, так как Т — конус. Поэтому в силу свойства свободного расходования (А. 4) получаем, что (淤，и%) € Т, где о = =Ха > 0.

Таким образом, здесь мы наблюдаем простейший случай, когда предположение (у) выполняется при 7Vo = 1. Если, далее, предположить строгую выпуклость (А.5), то любой начальный вектор %° с не менее чем двумя положительными компонентами можно преобразовать (как было показано в замечании 3) в какой-либо положительный вектор, который, в свою очередь, можно преобразовать в вектор о/ с некоторым о > 0, как только что было пока- зано. Следовательно, в этом случае предположениё (у) выполняется при No = 2.

Перейдем теперь к обсуждению магистрального свойства —— свойства близости оптимальных траекторий {х (力)}* к (единственному) лучу максимального сбалансированного роста, который называется магистралью на основании изложенной выше аналогии с автодорожной сетью. Эта близость измеряется не в терминах абсолютного расстояния между точкой х (%) и магистральюг а в терминах отклонения направления вектора х (力)от направления магистрали. Другими словами, мы интересуемся лишь тем, в какой степени отношение компонент / (力)：力2 (力)：• • •：况九(办 вектора % (力)приблйжается к отношению компонент 况匸 ж2： • . •

л хп магистрали а% (0 & а V + оо).

Есть несколько способов измерения расстояния в указанном смысле между двумя ненулевыми векторами %, у в Rn. Здесь

следуя Раднеру, мы выберем в качестве меры углового расстояния между векторами хну величину

WIT II'⑴

где И • И——евклидова норма. В определении (1) можно также использовать и другие нормы, такие, как || • ||А или || • ||м, определенные в гл. I, § 1.1. Далее мы всюду предполагаем без иугерн общности, что вектор х нормирован, т. е.

11^11 = 1.(2)

При этом угловое расстояние между х и х равно

Сначала мы докажем лемму Раднера. Несмотря на простоту доказательства, эта лемма оказывается довольно сильной и полезной в дальнейшем.

Лемма 13.2 (Раднер [1]). Пусть выполнены условия (А.1), (А.2) и (а). Тогда для любого £ > 0 можно указать число р, такое, что

О V р V %・ а

Из И (ж/|| n II) — 7 II > е, (%,沙)W Т следует pfy — рр'х & 0.

Доказательство. Ввиду того что Т — конус, достаточно доказать лемму только для процессов (%, у) с \\ х \\ = 1. Рассмотрим множество в Rn X Rn вида

卩={(%, g) |(/, y)^T, ||^||=1,心一財 ||》£}・

Это множество может быть пусто либо не пусто. Если V пусто, то утверждения леммы тривиальным образом выполняются при любом р, удовлетворяющем условию (i). Если же V не пусто, та рассмотрим представление этого множества в виде

卩= Х(4, 1) Л {(%, Z/) I II% —展 II > 吟

где, как и прежде, Рп ——стандартный симплекс, а X (Pn, 1)—— множество всех допустимых траекторий длины 1. Применяя лемму 13.1(ii) при S = 尸九，TV = 1, находим, что множество X (Pn, 1) компактно. Кроме того, множество {(%, у) | || % ——財 || > 》& } замкнуто в Rn X Rn. Следовательно, множество V компактно. Оговоримся, что условие (А.З), выполнение которого в настоящей лемме не предполагается, использовалось в лемме 13.1 только

' 18*

для доказательства того, что множество X (S, N) не пусто, и поэтому наше обращение к лемме 13.1 оправдано.

Из (%,沙)W 卩，в частности, следует, что ж у= 0 и вектор % не пропорционален ①，так что р'у V Хр'х, согласно условию (а.З). Поэтому р'х > 0 для всех (х, у) ^ V и f (%, у) = ргу/ргх представляет собой функцию, которая определена и непрерывна всюду на компактном множестве 卩.В силу теоремы 1.1 из гл. I эта функция должна принимать свое максимальное значение т на V, которое, согласно (а.З), должно быть меньше, чем А. Поэтому любое р ме杰ду т и А м является требуемым положительным числом. Лемма доказана.

Теперь мы готовы сформулировать и доказать теорему о магистрали Раднера.

Теорема 13.8 (Раднер [1]). Пусть выполнены условия (А.1), (А.2) и (а) — (у). Тогда для каждого е > 0 существует положительное целое ", такое, что любая и-оптимальная траектория ｛力(力｝『，исходящая из заданного начального состояния ж0, удовлетворяет условию

口 х11<е(3)

всюду, за возможным исключением не более чем к периодов.

Доказательство. Обозначим через L множество всех периодов 力 от 0 до N ——1, на которых для допустимой траектории ｛х (%)｝『, выпущенной из состояния ж0, выполняется неравенство

и обозначим через I число периодов в L. Множество L и число I зависят от рассматриваемой траектории. Поэтому для доказательства теоремы нужно показать, что число I равномерно ограничено на всех ^-оптимальных траекториях, исходящих из %°.

Поскольку (% «), х (t + i)) ^ Т (^ = 0, 1, . . ., 7V — 1), то в силу допустимости траектории из условия (а.2) получаем

p1x « + 1) 《 屮% (方)(5)

для любого 力 от 0 до TV — 1, и, более того, при ^ f L по лемме 13.2 имеем

"①(力 + 1) а рp^ (方).(6)

Повторное применение соотношений (5) и (6) дает

р'х (N) & р叽nt⑺

Рассмотрим допустимую траекторию ｛у (力)捎 специального вида, исходящую из %。. С учетом условий (р.3), (у) и того,

что Т — конус, построим такую траекторию следующим образом:

Гz«)(0《УМ)),

歹⑴=|V-N^x(No^t^N — N^,

I ANTNo+NDo^e — W —%，)(N-NV&N*

При любом N > Nq + N* траектория {у (力)}外沙 очевидно, определена, допустима и поэтому принадлежит множеству X (玛 N).

Если N > Nq + N、и рассматриваемая траектория {%«)}# м-оптммальна, то существует функция и из U, такая, что траектория {%(力)卅 максимизирует и (^ (7V)) на множестве X 8，N)、 Поэтому, в частности,

一〃 (х (N)) ^и(у (N))二(8)

где 〃(g (TV)) = AA-INq+Ni)0rM (〃)》厶№-(№(>+№)00 в силу условий(р.1) и(р.3), так что из (8) получаем

〃(％ (N))〉X^-(^o+^l)au.(9)

Заметим теперь, что левые части соотношений (7) и (9) связаны соотношением

и (х (N)) С &" (N)(Ю)

в силу условия(р.2). Объединяя (7), (9) и (10), получаем

° V 2tNo%《К 偿)Р'х°，(Н)

Отсюда, учитывая, что 0 < р/% < 1, находим оценку числа I сверху

I《*,

где к — наименьшее среди целых чисел, не меньших чем

max (…,f粽，。)•

Это число 论 не зависит от рассматриваемой u-оптимальной траектории, а зависит только от 8. Таким образом, мы установили равномерную е-близость (3) u-оптимальных траекторий к магистрали, за исключением, самое большее, " периодов. Теорема доказана.

Несомненно, что теорема 13.8 представляет собой весьма элегантный результат. Тем не менее она не вполне удовлетворительна с точки зрения того первоначального смысла, который вложен в принцип магистрали ——с точки зрения описания формы эффективных траекторий. Пр ед пол ожение, выражаемое принципом магистрали, состоит в том, что «средний участок» эффективной траектории, соответствующий некоторой промежуточной последовательности периодов времени, должен лежать вблизи магистрали.

Теорема 13.8 дает чрезвычайно важную информацию о том, что u-оптимальные траектории на большинстве плановых периодов лежат в конической е-окрестности магистрали {力 | || (①/|| 力 ||)—— —i II С е}; однако эта теорема ничего не говорит об их «близости в средней части» к магистрали и не исключает возможности того, что u-оптимальная траектория выйдет из этого 8-конуса на некотором промежуточном периоде. По этой причине теорему 13.8 называют слабой теоремой о магистрали в отличие от сильной теоремы о магистрали^ утверждающей наличие близости средней части траектории к магистрали, или «промежуточной близости».

Однако установить свойство промежуточной близости не так уж трудно. Далее будет показано, что из теоремы 13.8 можно получить сильную теорему о магистрали с помощью явного принятия некоторых д оп о л ните льных пр едп о л ожений. Эти дополнительные пр едп о л ож ения таковы. Прежде всего, мы присоединим условие преобразуемости (А.З) к принятым ранее основным условиям (А.1) и (А.2). Кроме того, дополним условие (а) следующим условием:

(а・4) 7>0, т. е. луч максимального сб а лансир ов анног о роста имеет положительные направляющие косинусы.

Наконец, дополним условие (0) условием

(р.4) Для любой функции и ^ U из х^у следует и (%)》 》и (у), причем, если х> у, то здесь имеет место строгое неравенство u(力)>口(力.

Замечание 5. Поскольку условия (А.1), (А.2) и (А.З) образуют стандартный набор предположений, обеспечивающий выполнение условий (а.1), (а.2) (см. § 13.2), то явное принятие предположения (А.З) не кажется слишком ограничительным.

Замечание 6. Предпсложение (а.4) не требует пояснений. Что же касается предположения(р.4), то семейства функций U, удовлетворяющих этому условию, представляют наибольший интерес для экономистов; например, условию(р.4) удовлетворяет множество U = {ич I q ^ Рд}, рассматриваемое в связи с понятием эффективности.

Сильный вариант теоремы 13.8 будет доказан далее в этом параграфе. Для того чтобы представить это доказательство в наиболее прозрачном виде, будет' удобно построить некоторое расширение технологического множества 7, которое представляет и самостоятельный интерес.

Разумеется, произвольное технологическое множество 7, удовлетворяющее условиям (А.1), (А.2) и (А.З), не обязательно удовлетворяет условию свободного расходования (А.4). Однако Т можно преобразовать в расширенное технологическое множество, дополнив его всевозможными процессами расходования. Это приводит к следующему определению.

Определение 13.10. Расходной оболочкой Т технологического множества Т будем называть множество

т = {(ж, у) №n气 В 三7三。 для некоторого (ж, g) W Т}・

Очевидно, всегда 7 n Т, м в Т выполняется условие свободного расходования (А.4). Кроме того, некоторые другие важные факты устанавливаются в леммах 13.3 и 13.4.

Лемма 13.3. Пусть 7 — некоторое заданное технологическое множество. Тогда

(i ) Если 7 удовлетворяет условиям (А.1), (А. 2), той Т удовлетворяет этим условиям.

Если тройка /, р, % удовлетворяет условиям (а.1)— (а.4) для Т, то это же справедливо и для Т,

Доказательство, (i) Очевидно, что Т представляет собой выпуклый конус в 瑋火五^. Замкнутость множества Т устанавливается следующим образом. Пусть последовательность @&、)£Т сходится к (化，沙).Тогда по определению найдутся (/”， yv) £f, такие, что

击三6, 2/v三介三о (”=1,2, •••)・ (12) Здесь последовательность {况▽} заведомо ограничена, так как она мажорируется сходящейся последовательностью {%”}• Поэтому, согласно лемме 13.1 (i), последовательность {沙”} также ограничена. Следовательно, мы без ограничения общности можем предполагать, что последовательность {(%丫,沙旷)} сходится к некоторому пределу (%, у). Тогда соотношения (12) в пределе дадут с 三％， 沙三 7 三 0. Более того, (%, у) £ 7 в силу замкнутости множества Т. Отсюда следует (J, ^) g Г, а это означает, что множество Т замкнуто. Таким образом, мы установили выполнение условия (А.1) для Т. Пусть теперь (ж, у) W 冗 так что 力三化三 0 и?三 g三0 для некоторого (%, g) £ Т. Если 力=0, то х = 0, откуда следует у = 0 в силу условия (А.2) для 7\ Поэтому g = 0. Этим установлено выполнение условия (А.2) для Т.

Рассматривая группу условий (а), мы видим, что нужно проверить лишь условия (а.2) и (а.З), так как остальные выполняются в Т тривиальным образом. Для того чтобы проверить выполнение условия (а.2) в Т, предположим, что (%, у) £ Т, так что 以三 ％, У 三/ для некоторого (%, у) С Т・ Тогда

РУ —九//^« р% — ^рх & 0 (13) в силу условия (а.2) для Т. Это означает, что (а.2) выполнено и для Г. Более того, если крайнее левое выражение в (13) равно

нулю, то ру ——Хр'х также обращается в нуль, откуда в силу условия (а.З) для Т следует, что вектор х пропорционален %. Далее, из теоремы 13.6 (iii) вытекает, что рх > 0 возможно только при р>0. Следовательно, в рассматриваемом случае допущение х>х привело бы к противоречию 0 = ру —— Крх V ру —— —Ap'z = 0. Таким образом, % = %; поэтому вектор х также пропорционален х. Это означает выполнение условия (а.З) для Т. Лемма полностью доказана.

Лемма 13.4. Предположим, что технологическое множество 7 удовлетворяет условию (А.З). Предположим далее, что Т удовлетворяет условию аддитивности: если (ж, g), (z, w) W 7\ то (% + z, у -}- w) ^Т. Наконец, пусть на R^ задано семейство U функций и, монотонных в том смысле, что из 七三沙 следует и (%) > 》м (у). TozBa, если допустимая траектория {%«)}『, выходящая из начального состояния 况°, является и-оптимальной для 7\ то она остается и-оптимальной и для расходной оболочки Т.

Доказательство. По определению и-оптимальной траектории найдется функция и ^ U, такая, что и (у (N)) достигает максимума на множестве X (ж0, N) как раз на данной траектории {化(力}% Обозначим через X (%。，N) множество всех траекторий, допустимых в Т и начинающихся в точке %°. Очевидно, что X (ж0, N) пХ (ж0, N). Поэтому траектория {①(力)居 заведомо будет u-оптимальной, если {化(力)}* доставляет максимум функции и (у (N)) на множестве X (ж0, N); последнее мы сейчас и покажем.

С этой целью допустим, что в X (①°, N) найдется траектория {х (£)}% такая, что

и 0 (N)) > 〃 (％ (N)).(14)

Тогда по определению должны существовать N процессов 0, М), таких, что

(z3】)WT ("0, 1, •••, N-1),(15)

d = % (0)三 z。，yN 三 x (N),

晁n8(力)三2£ (力=1, 2, • • ., N-4).(16)

Так как № ——z° N 0, то по условию (А.З) найдется вектор р1^ такой, что (%° — z°,济)W Т. В силу (16) и неотрицательности р1 получаем, что у1 + v1 — z1 ^ 0, так что снова по условию (А.З) найдется вектор у2, такой, что (疗十以一z1,优)£ T. Продолжая эту процедуру, мы построим N процессов из Т, а именно (%。— z。，济) и 好 + 〃 一 z\ ^+1)« = 1, • • N — 1).

Пользуясь свойством аддитивности для Т, просуммируем эти

процессы с соответствующими процессами (15), в результате чего получим траекторию,

* 犷 + 處沙2 + 吟yN-i + 済-1, yN + uN, пр инадл ежащую множеству X 侬，N). Но в силу монотонности функции 〃，а также в силу неравенства (14) и неравенства 尸三 三 ％ (TV) из (16) мы получаем u(yN + 濟)> 〃(严)》〃 & (TV)) > > 〃(％ (TV)), а это противоречит предположению о том, что- {х (力)卅 максимизирует 〃(贝N)) на Х(%。，N). Лемма доказана.

Замечание 7. В слабой теореме о магистрали Раднера (теорема 13.8) мы не использовали ни условия преобразуемости (А.3)г ни условия монотонности функций и. Метод доказательства этой теоремы по существу заключался в сравнении и-оптимальных траекторий со специально построенной на основе предположений (р.3) и (у) допустимой траекторией {у (力)}. Эти наблюдения: в свете лемм 13.3 и 13.4 подсказывают, что за счет явного принятия условия преобразуемости (А.З) и условия монотонности функций и можно допустить ослабление предположений (р.3) и (у). А именно, вместо пр едп о л ожений о допустимости траекторий {^ (力)卅‘ и {z (0}^° из(р.3) и (у) для исходного технологического множества Т достаточно предполагать допустимость этих траекторий лишь для его расходной оболочки Т. Такие ослабленные условия мы будем обозначать через (0・3‘)и (у') соответственно. Это замечание также относится к приводимой ниже теореме 13.9, где явно вводятся дополнительные условия (А.З), (а.4), (р.4).

Теорема 13.9 (промежуточное приближение). Пусть выполнены условия (А.1) — (А.З), (а) ((а.1) — (а.4)), (Р) ((р.1), (0.2),. (03), (р.4)) и (у'). Тогда для каждого е > 0 существует положительное целое 瓦 такое, что любая и-оптимальная траектории {% (0}^, выходящая из заданного начального состояния %°, на всем, промежуточном участке k《t《N —加 удовлетворяет условию-

N⑴N⑴財<е.財<е.(17)，(17)，

N⑴

N⑴

財<е.

財<е.

(17)，

(17)，

Следуя работе Никайдо [10], проведем доказательство теоремы 13.9 в несколько шагов, каждый из которых будет оформлен в виде отдельной леммы.

Прежде всего, не ограничивая общности, мы предположим, что векторы 金 р нормированы так, что они удовлетворяют условию (2) и условию

р£ = 1. (18)

Как известно, любой вектор % в Еп можно единственным образом представить в виде суммы его ортогональных проекций：

проекции Q(x)x на прямую, порожденную вектором ①,и проекции £(%) на ее ортогональное дополнение, т. е. в виде

х = 0 (х)х + е (%), 0 (%) = х'х,(19)

Лемма 13.5. Если х ^0 и \\ (ж/|| % ||)—搶 || V 6 для некоторого 6 > 0, mo II ^ (%) II < 6 II х ||.

Доказательство. Разлагая вектор %/|| ① || на сумму 6 (гс/|| х И) ж + ^ (ж/|| х И) и учитывая ортогональность векторов е (ж/К ж II) и 0 (х/\\ ж И) ж — х, получаем

">|1畐-胃2 = №(向1『+卜(国『》

что и требовалось доказать.

Лемма 13.6. Пусть X (ж0, N) — множество всех траекторий, начинающихся в ^ и допустимых для Т・ Тогда

Для каждой траектории ｛况(力)｝乎 С X (ж0, N) имеем рх (力 + l)/»+i《р'х (力)削(％ = 0, 1,・•・，N - 1).

р > 0.

Существует число А > 0，такое, что условие

-II % (力)/乃 II《А (^ = 0, 1, . . ., N) выполняется равномерно по всем траекториям из X (ж0, N) и независимо от N・

Существует>число Г > 0, такое, что условие рх (N)爪 n》Г

выполняется равномерно по всем и-оптималъным траекториям из X (* N) при N > No + %]•

Доказательство. Некоторые из утверждений (i)— (iv) представляют собой перефразировку утверждений, уже установленных ранее. Отметим также, что в свете леммы 13.3 для Т и исходного семейства U выполнены все условия (А.1), (А.2), (А.4), (а), (Р) и (у). Имея это в виду, рассмотрим утверждения (i) — (iv) поочередно.

Из (х (力)，忆(力 + 1)) W Т в силу условия (а.2) следует рх (力十 1) & Крх «) для всех 力=0, 1, • • •； 7V — 4, что после деления на V +1 дает требуемый результат.

В силу теоремы 13.6 (iii) обращение в нуль хотя бы одной компоненты вектора р уже противоречило бы условию (а.4).

В силу уже доказанного утверждения (i) мы имеем р^〉 > рх (力)/*》0 равномерно по всем траекториям из X (ж0, TV). Ввиду того, что р > 0 и % (力)/2/ 三 0, это и дает требуемую равномерную ограниченность по норме.

Это утверждение можно доказать, сравнивая, как и в доказательстве теоремы 13.8, u-оптимальные траектории со специальной траекторией {у «)}#, допустимость которой, однако, здесь гарантируется для расходной оболочки Т, а не для исходного множества 7. Если {化(力)招 есть u-оптимальная траектория в X (①。，N), то существует функция и из U, такая, что и (у (N)) достигает максимума на множестве X (* N) как раз на данной траектории {х «)}*• Поэтому, как и в доказательстве теоремы 13.8, имеем

Kpfx (TV) > 〃 (％ (N))》м (7 (N)) >

Следовательно,

prx (N) ои№7区讲。十斬'

так что константа в правой части может быть взята в качестве Г. Разумеется, проведенное сопоставление траекторий с {у (^)}^ возможно только при N > Nq + N*.

Лемма 13.7. Пусть {力(%)}Z=o W X (ж0, N). Если х (/) у=0 〃 II (% G)/Il % (О II) —% II V 6 при некотором 力 то при этом t имеет место || е (ж (力)/») || V бА・

Док аз ательство. Требуемое неравенство получается из леммы 13.5 и леммы 13.6 (iii).

Лемма 13.8. Пусть траектория {% «)}Хо является и-оптимальной для X(rc°, N). Тогда если || е (х (，)/») || V П и И е (力(s)/入s) II V П при некотором т] > 0 м при некоторых целых г, s, таких, что G^r<Zs^N, то

0 (-^-) —9 ("^^) = з<[тахЛ^- по всем %],

где g (t = 1, ..., п) — компоненты вектора х.

Доказательство. Эта лемма наиболее существенна для доказательства теоремы 13.9. Допустим, вопреки утверждению леммы, что(о》[max 2т)/况» по всем 汀,и положим

6吊е(驶Нё(粤))2

Так как при этом для каждого i — 1, . .., п имеем

(齊(阴，^м>||e(喇卜"挚)，

то мы получаем

^=е m ^^ >(9 m -f)(2。) 甯=ё 帘"+ё (争)v(e (挚)+ 多"(21)

Очевидно, что (笫，厶笫)£ Т. Поэтому из соотношения х (r)/V > w (20) в силу условия свободного расходования (А.4), выполняющегося в Т, следует, что (ж (r)/V,九s)£T, и поэтому получаем (%(г), ¥+1必)£7・ Аналогично, ввиду того, что 忘>^岱)/炉，всегда можно выбрать положительный вектор % пропорциональный вектору х, таким образом, что АЛр> % (s)+АЛ;. Тогда из условия (V-1^, Nw)gT и условия свободного расходования (А.4) в Т следует, что (九s-1?^, х (s)+ Vp) ^T. Поэтому траектория

х (0),…，力(г), V+^j V+2zp, ..., А$т必

х (s) + 炉白，.• •，力(TV) + kNv

должна принадлежать множеству X (%。，N).、

Заметим теперь, что для некоторой функции и из U величина и (g (7V)) достигает максимума по всем траекториям из X (ж0, N) на рассматриваемой траектории {х (^)}С=о« Это означает, в частности, что и (% (N))》м (% (TV) + XNy). Однако в силу соотношения х (N) + XNp > х (N) и условия(р.4) мы имеем неравенство и Q (TV) + %np) > м (力(N))・ Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 13.9. В предположениях леммы 13.8 имеет место соотношение

0W〃书"-Pr -~^аг <4т1 max QI/? II，l/minif)

при каждом 力 удовлетворяющем условию г《力《s ——1.

Доказательство. Применяя лемму 13.8 и неравенство Шварца (см. гл. I, § 1.1) и используя ортогональное разложение (19) вместе с условием (18), получаем для любых г, s (г V s)

следующее соотношение:

P'岑= 8 (等)i (豕)+勿卜(*)一

—е (-^~-)) С max2ii庇+ 2n|]°|《4nmax(||p||, 1/min^). Отсюда с учетом леммы 13.6 (i) получаем

力(4) d /(宀)々厶，n⑺ j力⑶

V4nmax(||p ”，4/ming)

.для каждого t между г и s ——1, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 13.9. Мы докажем требуемое свойство промежуточного приближения для м-оКтн- мальных траекторий в X (%°, N), откуда, согласно лемме 13.4, будет следовать такое же свойство для u-оптимальных траекторий в X (х°, N).

Пусть задано некоторое е > 0. Тогда, применяя лемму 13.2 к 7, мы можем выбрать число р, такое, что (1) 0 V р V 九 и (2) ру ——ррх & 0 для любого (%, у) £ 7\ удовлетворяющего условию II (%/|| х II) — % II》е. Применимость леммы 13.2 к Т обоснована леммой 13.3.

Выберем теперь числа г] > 0, 6>0, удовлетворяющие условиям 4л max (II р II，1/min応)V(1—"卜)" (22)

6Д< г], (23) б《е, (24)

тде А и Г — константы из леммы 13.6.

Ввиду того что по лемме 13.3 для Т выполнены все условия (А」)，(А.2), (а) ((а.1) 一(а.З)), (р) ((₽.!) 一 偉・3)) и ⑺，для Т справедлива теорема 13.8 (о слабом приближении), так что для указанного 6 найдется число k = к ⑥、такое, что

力⑴ 1НО力⑴ 1НО(25)

力⑴ 1НО

力⑴ 1НО

на всей произвольно выбранной u-оптимальной траектории в X (№, N) за возможным исключением не более чем " периодов.

Предположим, что N ^ к + 2\ тогда неравенство (25) выполняется по крайней мере для двух периодов. Пусть г и s — номера

% (г)Н % ⑺ II% (г)Н % ⑺ IIi ||<б,i ||<б,(26)(26)N（S）N（S）первого и последнего из периодов, на которых выполняется неравенство (25). Тогда

% (г)Н % ⑺ II

% (г)Н % ⑺ II

i ||<б,

i ||<б,

(26)

(26)

N（S）

N（S）

И в силу соотношений (22), (23) и лемм 13.7 и 13.9 для любого t, удовлетворяющего условию г《方&s—1, мы получаем

醬 V(T)「(27)

Если теперь для некоторого t между г и s ——1 допустить, что 11(% (0/|| % (力)И) — % II》£, то по лемме 13.2 имеем рх « + 1)《 & ррх 〃)，так что в силу леммы 13.6 (i) и (iv) мы получили бы 5

а это противоречит соотношению (27). Следовательно, имеем II (% (方)/|| х (力)II) —— ％ II V £ при всех t, удовлетворяющих условию г V 力《s —— 1. Более того, такая 8-близость в силу условий (24), (26) имеет место и при 力=s.

Таким образом, мы показали, что

II п^Йн -а:||<е(У《).

Заметим теперь, что г и 5, вообще говоря, зависят от рассматриваемой u-оптимальной траектории, но в силу теоремы 13.8 имеет место г + (N — s) « к Следовательно, заведомо выполнено условие

禹-財 ||ve (k<t<N-k)

равномерно по всем u-оптимальным траекториям длины N》2队 выходящим из точки №. Этим завершается доказательство теоремы 13.9.

ТЕОРЕМА О МАГИСТРАЛИ В ПОТРЕБЛЕНИИ

Оптимальные потоки потребления

Система, рассмотренная в § 13, является замкнутой; она не допускает ни притока продуктов в систему извне, ни оттока продуктов из системы вовне. Каждый продукт должен воспроизводиться внутри системы. Даже труд, нематериальный продукт, можно рассматривать при этом как продукт, выпускаемый в процессе поддержания и воспроизводства рабочей силы, причем затрачиваемыми продуктами в нем являются потребительские продук- 工ы. Однако при таком подходе почти полностью игнорируется удовлетворение работников от потребления продуктов, хотя может

Здесь предполагается N > Nq + N、, что не ограничивает общности рассуждения, поскольку всегда можно полагать к^> NQ + N】.一Прим, перев.

учитываться влияние уровня потребления на темп роста населения посредством изменения уровня жизни.

В последнее время был проведен ряд исследований оптимального роста в открытых (незамкнутых) системах, в которых труд, рассматривается как фактор, поступающий извне, а потребление целиком относится к внешнему выпуску системы; эти исследования продолжают линию, намеченную еще в работе Рамси [1] по оптимальным сбережениям.

Следует упомянуть, среди прочих, результаты Удзавы [61, Ацуми [1, 21, Гейла [2, 3], Купманса [2], Самуэльсона [7] и Цукуи [2]. В частности, результаты Ацуми, Гейла и Цукуи представляют собой аналоги результатов, полученных для замкнутых систем в § 13. Вершиной этих результатов является теорема о магистрали в потреблении, которая утверждает близость траекторий оптимального роста к специальной траектории сбалансированного роста, на которой поддерживается максимальный уровень полезности потребления на душу населения. В последующем изложении используются результаты Ацуми, Гейла и Цукуи применительно к случаю строгой выпуклости соответствующего технологического множества, позволяющие установить типичную теорему о магистрали в потреблении.

Для начала мы приведем формулировки и пояснения, относящиеся к трем основным составляющим системы: технологическому множеству, рабочей силе (как экзогенному фактору) и, наконец, функции полезности.

Технологическое множество. Имеется п типов продуктов^ которые могут служить и производственными ресурсами, и продуктами для потребления (потребительскими благами). Эти продукты производятся в системе с запаздыванием на один период, после затрат производственных ресурсов и рабочей силы в соответствии с заданной технологией.

Пусть I — вещественное число, указывающее величину затрат труда; х есть n-мерный вектор материальных затрат; у есть» n-мерный вектор материальных выпусков. Тогда тройка (厶 瑞 у) описывает некоторый производственный процесс, а совокупность всех таких технологически возможных процессов образует технологическое множество Т. Основные предположения относительна Т таковы:

Множество Т представляет собой замкнутый выпуклый конус в Е： X Е* X 区彳，включающий, в частности, процесс (1,力，力，где / =刃=0.

Из (0, х9 у) ^ Т следует у = 0 (необходимость затрат труда).

Из (厶名 У)Е Т, и ^ ж,刃三 и N 0 следует (Z, и, и) g W Т (свободное расходование).

Если (Z, * yi) W т,(厶况2,沙2)w т И у1 =/=此 / > О, то для любой пары положительных чисел ₽1>0, ₽2>0, Pi + Р2 — 1» можно указать вектор затрат %, такой, что

(Z, 2, 61# + В2y2) е 7, X < р口1 + 阮炉(строгая выпуклость для затрат).

(В.4.в) Если (Z,炉，у1) С 7,(4 * У2) € Т и 炉方炉,I > О, то для любой пары положительных чисел cq > 0, а2 > О, а】+ а? = 1, можно указать вектор выпусков у, такой, что

仏出户+a2逆，沙)W T,出犷+ a2y2 V沙(строгая выпуклость для выпусков)

Экзогенная рабочая сила. Темп роста рабочей силы задан экзогенно и предполагается постоянным во времени. Пусть А > 0—— заданный темп роста (равный 1 плюс норма роста), a Zo > 0 —— численность работающих на начальный период 0; тогда полная численность рабочей силы в периоде t определяется величиной

I (0 = ¥%о・

Функция полезности. В современной теории ценности в экономике принято считать, что. для предсказания поведения потребителя лучше всего исходить из предположения о наличии у него системы предпочтений по отношению к потребительским благам. Эта идея уже давно облечена в строгую форму математических утверждений; некоторые из них будут приведены в гл. V применительно к более дезагрегированным системам. Здесь же мы примем несколько наивную, хотя и широко распространенную гипотезу о том, что такая система предпочтений описывается числовой функцией 〃(с), которую экономисты называют функцией (или индикатором} полезности г Функция 〃 (с) упорядочивает потребительские предпочтения на множестве различных п-мер- ных векторов с = (с0, чьи Х-е компоненты обозначают соответствующие количества bro продукта (потребительского блага). Говорят, что вектор с = (с») потребительских благ предпочтительнее вектора d = (d»), если и (с) > и (d), и безразличен по отношению к нему, если и (с) = и (d). Мы здесь будем использовать следующие предположения.

(G.1) Каждый работник имеет одну и ту же функцию полезности и (с), постоянную во времени.

(С.2) Функция и (с) является непрерывной и вогнутой на R%

(G.3) Если с 三々 то и (с) ^ и (d), причем если c>d, то и (с) > и (d).，

При этих предположениях о системе мы будем рассматривать допустимые планы роста, пр едусматр ив а ющие полную занятость рабочей силы I (力)=VZ0 во все периоды времени.

Определение 14.1. Пусть задан начальный запас продуктов, описываемый п о л уп о л ожител ьным вектором у° > 0. Тогда допустимая траектория длины N определяется как последовательность {ж (0,沙(方)，с±)}% в которой каждый 方・й член представляет собой тройку, состоящую из вектора затрат х (力)， вектора выпусков у (» и вектора потребления с (£), и которая удовлетворяет условиям

⑴沙(0)=丸

(ii)沙⑺ 一 % (力)=。⑴三 0 (^ = 0, 1, . . ., N),

(iii)(“力)，％ (0,沙(力十 1)) E T (力=0, 4,・・.，N — 4).

Определение 14.2. Допустимая траектория длины N, выходящая из 沙°, называется оптимальнойесли сумма полезностей потока потребления в расчете на одного работника за 7V + 1 периодов

N

2m (e (方)〃⑴) (1) $ =0

достигает на этой траектории максимума по всем допустимым траекториям той же длины, выходящим из того же начального состояния.

Условие (ii) в определении 14.1 можно интерпретировать следующим образом. Вектор у (力)представляет валовой национальный продукт, измеренный в физических единицах (по каждому виду продукта отдельно).. Весь этот продукт распределяется между потреблением с (%) и накоплением ж (^); последнее представляет собой валовые инвестиции. Больший объем накопления в настоящем периоде обеспечивает больший выпуск продукта в последующих периодах, обусловливая более высокий уровень потребления в будущем, однако за счет меньшего потребления в настоящем. При альтернативном подходе общество может больше потребить в настоящее время за счет меньшего потребления в будущем. Таким образом, в каждом периоде общество стоит перед не об х одимостью выбора между этими а льтер натив ами, стремясь получить наиболее предпочтительную сумму полезностей потока потребления на одного работника (1). Это рассуждение характеризует наиболее распространенный подход к понятию оптимального сбережения (накопления).

Используя условия (В.1), (В.2), подобно тому как это делается при доказательстве леммы 13.1, можно показать, что множество всех допустимых потоков потребления на одного работника {с (力)〃(力)}^ представляет собой непустое компактное подмножество в (” + 1)-кратном декартовом произведении пространств Rn. Поэтому, так как функция и (с) непрерывна, согласно условию (С.2), то сумма полезностей (1) достигает своего максимума на некотором допустимом потоке потребления на одного работ-

ника {с (力)〃(力)}% так что соответствующая допустимая траектория {%(£), у (0, с(£)}* является оптимальной. Это рассуждение обосновывает сам факт существования оптимальных траекторий.

Оптимальные траектории сбалансированного роста

Здесь мы рассмотрим свойства оптимальных траекторий, в частности свойство приближения к специальной траектории сбалансированного роста, которая является аналогом магистрали в замкнутой системе, рассмотренной в § 13.

Прежде всего заметим, что так как, согласно условию (В.1)г Т — конус, то условия допустимости (i), (ii), (iii) в определении 14.1 можно представить в эквивалентной форме

^⑼总=川乐⑴

у(%)/¥仃一％&)/А% = с⑴/欣。三00 = 0, 1,N),(2)

(1, x(t)/^ Ky(t^^^^T « = 0, 1,・・・，N-1). (3)

Поскольку всегда можно ввести в рассмотрение новое технологическое множество как множество всех процессов (Z, х, д), таких, что ("о, х, у) ^ Т, и новую функцию полезности как функцию от с вида и (c/Z0), то мы можем без ограничения общности считать, что 2。= 1. Поэтому окончательно условия допустимости принимают форму

⑷(5)(6)на⑷(5)(6)наУ (0) =

⑷(5)(6)на

⑷(5)(6)на

у (0/^—岔©N = c©lN^D (力=0, 1, . .., TV),(1, %«)/», М/(力+1)/»+1)£Т « = 0, 1,・••，％—1),

а соответствующая сумма полезностей потока потребления одного работника равна

3 〃(с(%)/М)・(7)

Ниже мы будем рассматривать такие траектории сбалансированного роста, на которых все величины х (^), у (力)，с (力)растут экспоненциально с темпом роста 九.Поэтому каждая такая траектория порождается тройкой векторов %, у, с, которые должны удовлетворять условиям

у — х = с^0,(8)

(1, х,Лу) е Т.(9)

Мы будем называть тройку (к, у, с), удовлетворяющую условиям (8), (9), продуктивным триплетом. Если число % слишком велико, может - оказаться, что существует только тривиальный

продуктивный триплет:力=у = с = 0. Поэтому мы будем предполагать, что заданная технология достаточно продуктивна по отношению к А, в том смысле, что найдется такой продуктивный триплет, в котором с — положительный вектор. Тогда путем стандартных рассуждений, опирающихся на условия](В. 1), (В.2), можно убедиться, что множество

F+ = {沙一£ I 沙一％ 三 0, (4, %,相)W 7} представляет собой компактное выпуклое подмножество ортанта R% содержащее положительные векторы. Поэтому ввиду непрерывности функции и величина 〃仅 ——％) достигает максимума на множестве Г+ в некоторой точке у — х = с.

Лемма 14.1. Имеют место следующие свойствам

Каждый продуктивный триплет (瑞 у, с) либо является тривиальным^ либо удовлетворяет условиям % > 0, у > 0.

Продуктивный триплет (%, у, с), максимизирующий бели- чину и(у — %) по всем продуктивным триплетам (%, у^ с), является нетривиальным и единственным.

Доказательство, (i) Ввиду того, что у = х -\- с, с 丄 °, с 三 0, из предположения 沙 = ° следует % = с = 0, т. е. тривиальность данного триплета. Теперь предположим, что 沙丄 0. Заметим, что (1, х, Ху), (1, 0, 0) ^ Т и Ку ^0. Поэтому, применяя условие (В.4.з) к процессам (1, х,入у) и (1, 0, 0) при 01 = 02 = 1/2, мы делаем заключение о существовании вектора затрат z, такого, что.

(1, z, Ху/2) W Т, %/2 > z.

Так как z 三 0, то здесь ① > 2z 三 0. Отсюда следует, что у = =2+6三%>0.

Возьмем продуктивный триплет (%, у, с) с с> 0, существование которого предполагается с самого начала. Тогда в случае с = 0 мы имели бы 〃仅 ——х) <Z и (у — х) в силу условия (G.3). Но это противоречит тому, что (%, у, с) максимизирует и(у — х) по всем продуктивным триплетам. Следовательно, триплет (%, у, с) должен быть нетривиальным.

Проверим теперь единственность. Допустим, что продуктивный триплет (%,弘 с) также максимизирует и (у — с). Предположим сначала, что 沙 声 у, и, следовательно, процессы (1, %, Ау), (1, х, Ау) £ Т различаются векторами выпусков. Тогда в силу условия (В.4.3)должен существовать вектор затрат z, такой, что

(1, z,九 @/2 + у/2)) е 7,х/2 + 力/2 > z.

Так как 力2 + у/2 N 財/2 + 疯2 > z, то мы получаем продуктивный триплет (z,沙/2 + 沙/2, у/2 + у/2 — z). Для этого триплета с учетом условий (С.2), (С.З) мы получаем

> 〃 ("I"(沙 一 ％)+4"(У—％))>> ^и(у — х) + ^и(у — х) = и(у — х).

Это противоречит самому определению продуктивного триплета (%, у, с). Следовательно, у = у. Аналогичным образом, используя условие (В.4.в), мы убеждаемся, что х = х. Поэтому также с = Ла人人人

= у — х = у —— х = с. Таким образом, оба триплета (况,у, с) и (①，у, с) должны совпадать. Лемма доказана.

Триплет (ж,弘 с) порождает луч в трехкратном декартовом произведении ортантов 瓦，вдоль которого пролегает траектория сбалансированного роста {Vx, Хгу, »с}；. На этой траектории экономика в каждом периоде производит в расчете на одного работника валовой национальный продукт у, из которого с идет на потребление, а х ——на сбережение (накопление); величина % определяет инвестиции в производство. Среди всех траекторий сбалансированного роста с той же скоростью ¥ данная траектория выделяется тем, что на ней поддерживается максимально возможный уровень полезности потребления на одного работника. Некоторые экономисты считают, что этот факт имеет нормативное значение, и часто говорят о нем как о «золотом правиле накопления». По этой причине мы будем называть далее триплет (力，沙，с), луч, порождаемый им, а также траекторию {¥/,九勿，九％}；， золотым триплетом, золотым лучом и золотой траекторией соответственно.'

Оптимальность золотой траектории находит также отражение в существовании связанного с ней специального вектора цен. А именно, имеет место следующая лемма.

Лемма 14.2. Существует вектор цен р > 0, удовлетворяющий следующим трем условиям (а), (Р), (у):

(а) и (с) —и (с) & р' (с — с) для всех с N Q,

(Р) рг (у — х)^рг (у — х) для всех процессов (1, х,九у) из Т, причем

(y) если (/,沙)#=(撿,у), то // 仅一%) V 〃 (力一热).

Доказательство. Рассмотрим множество Г = ={沙——％ I (1, х,入沙)W Т}, которое отличается от множества Г+, введенного ранее отсутствием условия неотрицательности у — %三 三 0; очевидно, что Г п Г+. Пусть далее Q = {с | с 三 0, и (с) ^ и (с)}. Покажем, что тогда множество М — V — Q представляет собой выпуклое множество, не содержащее положительных точек. Поскольку множества Г* м Q, очевидно, выпуклы, то множество М также должно быть выпуклым как их векторная разность. Допустим теперь, что в М содержится некоторый положительный вектор z. Тогда по определению имеем у — х — с = =z > 0 при некоторых у — х ^ Г, с ^ Q, так что у — х > с 三 0, и пЬзтому 乂 (у — х) ^> и (с) ^ и (с) в силу свойства (С.З) и определения множества Q. Это противоречит оптимальности вектора с = у — х. Следовательнд, по теореме 3.5 гл. I должен существовать вектор р > 0, такой, что pz & 0 для всех z € М. Отсюда имеем

Р@ —况)w Р% (у — % W “ с w Q)・ (10)

Из (10), учитывая, что с = у — х ^ Q, получаем условие (Р). Условие (у) автоматически обеспечивается для вектора р, удовлетворяющего условию (В), в силу предположений (В.4.з) и (В.4.в); проверить это можно аналогично тому, как доказывалась теорема 13.7, и здесь мы этого не будем делать.

Остается проверить выполнение условия (а). С этой целью мы покажем, что для указанного выше вектора р можно подобрать положительное число 卩 >0, такое, что

(а‘) и (с) — и (с) & 卩"(с — с) для всех с 三 0.

Если существование такого числа будет доказано, то мы получим все условия (а), (Р), (у) с заменой р на цр. Поэтому нужно только найти число 卩,удовлетворяющее условию (а')・

Рассмотрим следующую задачу максимизации при ограничениях: максимизировать 〃(с) на 7?? при g (с) = pfc — р'с^О. Функции 〃(с), g(c) вогнуты на R% Далее, поскольку Г+ как подмножество множества Г по предположению содержит некоторый положительный вектор у ——х, то мы имеем, согласно (10), р'с> >Р‘(д —%)>。・ Отсюда находим g(0)=p'c>0, что означает выполнение условия Слейтера в теореме 3.17 гл. I.

Покажем теперь, что- с является решением этой задачи максимизации. Действительно, поскольку с g Г, то из условия (10) мы можем заключить, что если g(c)>0, с £R% то м(с)>〃(с). Далее, для каждой точки с£/?：, такой, что g(c) = O, мы имеем g(5c) = p'c — bp'c > 0 при любом й, удовлетворяющем условию

О-<6 <1. Поэтому при 0W3V1 имеем и(с)>и (6с). Устремляя 6—> 1 и принимая во внимание непрерывность функции 〃, получаем в пределе 〃(£)》〃 (с).

Таким образом, мы убедились, что с является решением рассматриваемой задачи максимизации при ограничениях. Применяя теорему 3.17 гл. I, мы находим, что существует неотрицательный множитель Лагранжа 卩，такой, что

卩g О) = О,(Н)

м 0) + 卩g (с) > и (с) + jxg (с) (с С К：).(12)

Очевидно, (12) сводится к условию (а')・ Более того, как число 卩, так и вектор р должны быть положительными, так как в противном случае всегда можно подобрать вектор с>с, для которого ввиду предположения G.3 окажется нарушенным условие _(а'). Лемма полностью доказана.

.По аналогии с определением 13.8 мы можем назвать вектор цен, удовлетворяющий условию (Р), неймановским вектором цен. Существование неймановского вектора цен, обладающего дополнительными свойствами (а), (у), весьма важно при доказательстве теоремы о магистрали в потреблении в § 14.3. Важна также в этом отношении и следующая лемма, являющаяся аналогом леммы 13.2; эта лемма впервые была применена Ацуми [1].

Лемма 14.3. Пусть (%, у, с) — золотой триплет м р > 0 — неймановский вектор цен. удовлетворяющий условию (у). Тогда для каждого е > 0 можно указать 6 > 0, такое^ что из

、 щах (II % —財 II, II 沙一力 II)》е, (1, %, Ку) £ Т, следует рг (у — х) &р‘(у — х) — 6.

Доказательство. Доказательство здесь полностью аналогично доказательству леммы 13.2. Отметим сначала, что из предположений (В.1), (В.2) и того, что вектор р положителен, немедленно вытекает компактность множества {(%, у) | (1, х, Ку) £ £ Т, "у》р'х, max (|| % — % ||, II 沙一У II)》&}• Если это множество не пусто, то непрерывная функция / (%, у) =р'(у — %) — —"(5 — 6 должна принимать на нем максимальное значение, которое в силу условия (у) должно быть отрицательно, т. е. должно иметь вид —6, где 6 > 0, причем рг (у — ^ — Ь^О.-Очевидно, это б и является искомым положительным числом. Если же указанное множество пусто, то в качестве 6 можно взять положительное число рг (у — х). Лемма доказана.

Разумеется, маловероятно, чтобы исторически сложившийся начальный запас продуктов в экономической системе д° в точности оказался равным золотому вектору выпусков у. Следователь-

но, в общем случае экономика первоначально находится в стороне от золотого луча. Но может ли экономика, стартуя из некоторого состояния у°, выйти на золотую траекторию через конечное число периодов? Ответ на этот вопрос дает следующая лемма.

Лемма 14.4. Предположим, что с > 0. Тогда для каждого заданного положителъного начального у° найдется положительное целое No, такое, что существует допустимая траектория {х (力，у ⑺，с (力)}龍，выходящая из состояния у (0) = / и совпадающая с золотой траекторией {乃芻 Ку、入％ 常 при всех t》N『

Доказательство. Положим 0О = [min у?/% по всем компонентам г — 1, . . ., п]. Поскольку у° > 0, то имеем 0О> 0. Очевидно, что д° 三 Bog.

Если 0О ^ 1, то мы имеем yQ ^ у. В этом частном случае допустимая траектория {化 ⑴,у (力，с ⑺}, определяемая соотношениями

%«) = *£О。)，

(好°)，

2吁I吁沁工e=o)，va (>i)

является искомой траекторией, причем 7Vo = 1-

Предположим теперь, что 0 < 0О < 1. При любом 0, удовлетворяющем условию 0&6&I, процесс (1, 0ж, %0z/) принадлежит множеству Т, так как он представляет собой выпуклую линейную комбинацию двух процессов (1, 0, 0) и (1, х,九у) из Т с коэффициентами (1 — 0) и 0.

В силу условий (В.1), (В.2) процессы (1, %, %у), где у ^х, образуют компактное подмножество в Т; поэтому, как нетрудно видеть, при каждом 8 > 0 множество чисел Fq = ={р I (1, 0ж, Хру) W Т} также компактно. Кроме того, имеем 尸е 先 0 при 0 & 9 & 1, поскольку заведомо 尸е Э 仇 Следовательно, при 0 & 6 & 1 множество Fq является непустым компактным множеством чисел и поэтому содержит максимальное число, которое мы будем обозначать / (0).

Функция / (0) определена на [0, 1] и удовлетворяет следующим трем условиям:

е《〃е)&1,

/ (0) — строго вогнутая функция,

если / (0) = 0 > 0, то 0 = 1.

Левое неравенство в (а), т. е. 6&/ (0), очевидно в силу определения функции / (0) и того факта, что Fq Э 6. Для.того чтобы проверить правое неравенство, допустим противное, т. е. пусть / (0) > 1 для некоторого 0 между 0 и 1. Тогда, сравнивав два триплета (%, у, с) и (6g / (6)у, се) и принимая во внимание положительность вектора у, мы получаем cQ = f (Q) у — Qx > у — х = =с, так что в силу условия (G.3) имеем и (的)> и (с) вопреки оптимальности триплета (%, у, с). Это доказывает, что / (0) W 1.

Условие (б) вытекает из предположения (В.4.в). В самом деле пусть а, т f [0, 1] и а у= т. Тогда, ввиду того, что % > 0, имеем о% у= та. Следовательно, применяя условие (В.4.в) к двум процессам (1, аж, А/(сг) у) и (1, хх,相⑺у) из множества Т при произвольных а > О, Р > 0, а+ 8 = 1，мы находим, что должен существовать вектор выпусков w, тайкой, что

(1, (аа + ₽т) i,工吟 ^Т, w> (а/ (о) + Р/ (т)) у.

Возьмем число р, удовлетворяющее условию 笫 > pg > (а/ (о) + + ₽/ (т)) у. Тогда предположение (В.З) гарантирует, что (1, (ао + Вт) %,入ру) £ Г. Следовательно, имеем / (ао + 卩七)〉 》р> а/ (сг) + р/ (т), что и означает строгую вогнутость /(0).

Условие (в) выводится непосредственно из (а) и (б). Действи тельно, из (а) имеем / (0)》0 и / (1) = 1. Поэтому с учетом представления 0 = (1 — 0) -0 + 6 *1 из (б) получаем / (0) > > (1 — 6) / (0) + 0/ (1)〉0 для любого 0, такого, что 0 < 0 <； 1. Отсюда следует свойство (в).

С помощью функции / (0) мы построим числовую последовательность {*} с начальным членом 0О, определенным ранее, согласно следующей формуле:

0^+1 = / (") « = 0, 1, •・・，ad inf.). (13)

Свойство (а) показывает, что 6$ & / (6±) = 6方十1 & 1, так что построенная последовательность является неубывающей и ограниченной. Следовательно, эта последовательность сходится к некоторому пределу боо в [0, 1]. Возможность 0оо = 0 исключается тем, что 0О > 0 и последовательность неубывающая. Воспользуемся теперь тем, что, согласно теореме 3.14 гл. I, функция /(0) как вогнутая функция на [0, 1] должна быть непрерывна в (0, 1). Имея это в виду, допустим, что предельное значение б* меньше единицы. Тогда функция / (0) непрерывна в точке 0оо, так что из соотношений (13) в пределе получаем 0оо = / (боо), 0V V 98VL Но это противоречит условию (в). Следовательно,

мы имеем

о<ео<е1< ・• •《仇 <?&+iW • • • <Л(14>

lim 仇=1,(15)

(1,噎，A也+而 e (方=1, 2, ...).(16}

Теперь мы можем построить искомую допустимую траекторию. 人人A人Л

Поскольку lim&ty = y = c-\-x'^>x, то заведомо существует W。， такое, что 仇у>/ при всех / > 7V0 — 1. Тогда траектория {%«)，У (0» с (%)}】，определяемая выражениями

备%(%= 0),

乃％(%〉"о)，

沙。(方=0),

万(力)=• »&/ (4 «УМ —4),

、九勺(4 >尹0)，

'g。一曦.(力=0),

(1<7《品一2),入 N。1(0№一停一力)(e =%一1),* с(力》7vо),

является искомой траекторией. Лемма доказана.

Далее, имея в виду лемму 14.4, мы будем предполагать, что с > 0.

§ 14.3. Теорема о магистрали в потреблении

Теперь мы готовы сформулировать и доказать теорему о магистрали в потреблении, в которой говорится о близости оптимальных траекторий к золотому лучу. Для того чтобы иметь возможность пользоваться результатами, полученными в предыдущих разделах, мы еще раз оговорим все предположения, на которые будет опираться эта теорема. Во всем последующем мы принимаем условия (В.1) — (В.З), (В.4.3), (В.4.в) и (С.1) — (G.3) как основные предположения и условие с > 0 — в качестве дополнительного.

Следует также подчеркнуть, что мы будем говорить о приближении оптимальных траекторий к золотому лучу в смысле отноте-

ния компонент, а не абсолютного расстояния, подобно тому, как это было и в теореме о магистрали для замкнутых систем. Точнее говоря, если {%(%), у (^), с«)}^— оптимальная траектория, то мы будем интересоваться лишь тем, в какой степени триплет (х (力)/А/, у (力)А/, с (%)/») приближается к золотому триплету (①，沙，с) на промежуточных периодах времени. Здесь мы будем исходить из результатов Ацуми [1] и Гейла [2, 3] об оптимальных траекториях роста на бесконечном интервале времени, которые нетрудно свести к следующему принципу магистрали.

Лемма 14.5 (слабое приближение). Предположим^ что задан положительный начальный запас продуктов д° > 0. Тогда для каждого е > 0 существует неотрицательное целое 归,такое, что любая оптимальная траектория {况(力),у (力),с (t)}^ удовлетворяет условию

з(||”||,|| 喘м)《

всюду^ за возможным исключением не более чем 加 периодов.

Доказательство. Возьмем допустимую траекторию {①(力)，у (力)，с (^)}~, выходящую из данного начального состояния 沙° и совпадающую с золотой траекторией {»%, »% Vc}~, начиная с некоторого периода TV。； существование такой траектории установлено леммой 14.4. Сравнивая сумму полезностей потребления на одного работника при N>Nq на произвольной оптимальной траектории {n(方)，у (0» C (力)}用 и на траектории {%(力 沙(力), с «)}% мы имеем

N _N

2m运(力)/»)42u(e(方)/小) f=0£=0

в силу оптимальности траектории {%«), у(£), с«)}『・ Поэтому, полагая

Y= 2 з0«)/»)—〃(£)), /=о

мы получаем

t=0

Заметим, что в силу допустимости траектории {① 0), у (0» ^(С имеет место условие

(‘，好%喘С/ …，n一1).、

Поэтому мы можем воспользоваться леммой 14.3 и для произвольного заданного е > 0 выбрать соответствующее 6> 0, фигурирующее в этой лемме. Рассмотрим множество целых чисел (периодов времени)

厶={"n^(|1需一司一力1)>" 0《yn}.

Тогда в силу лемм 14.2 и 14.3 имеем

p‘[-翟+喘1-(-)к

/ 0”0, 1, Nf

《J (S)・(2)

Используя соотношение c(t) = y (t)—x(t), лемму 14.2 (а), соотношения (2), а также условия prx (N)/九、> о и 一// (力一財)> 0, получаем

NN

2 [u (-yr) j©]《£"(等-2)= i=0£=0

N

f [**(")]= t=0

NT、、

=2叫一需+喘」-卄

£=0

+ Pfy (0) - Pf 爷^—d @ - 財)《

《一也 + %。，(3)

где I — число элементов в множестве L. Комбинируя соотношения (1) и (3), находим, что

%«匹戸・(4)

Неравенство (4) должно выполняться равномерно по всем оптимальным траекториям длины не менее 7Vо, выходящим из /, так что в качестве искомого " можно взять наименьшее среди целых чисел, не меньших чем

max (m,'0 •

Лемма доказана.

Теорема 14.1 (промежуточное приближение). Предположим, что задан положительный начальный запас продуктов

у° > 0. Тогда для каждого е > 0 существует неотрицательное целое ", такое, что равномерно по всем оптимальным траекториям^ выходящим из у°, выполнены условия

II*-斗 V% 碧-斗|v% ||^—а||<2е 3WYN-矶

Доказательство. Доказательство в существенной части следует работе Цукуи [2]. В соответствии с заданным е > О возьмем 6 > 0 из леммы 14.3. Учитывая, что с = у — % > 0 и функция и (с) непрерывна, мы можем теперь выбрать q > 0 столь малым, что

% < %(5)

4 \\Р ||81/6<1,(6)

если II с — с II V %, то I и (с) — и ⑹ | V 6/4,(7)

если II % — % Н V q, IIZ/ — 2/ II < 81, то у > х л у > х. (8)

Применяя лемму 14.5, находим, что для этого £】> 0 существует целое число ki4 такое, что на любой оптимальной траектории, выходящей из у°, неравенство

||^-^||)<е*⑼

выполняется всюду, кроме, быть может, не более чем 鼠 периодов.

Пусть {% ⑴，у (%), с (力)招一произвольная оптимальная траектория длины ” > "1 十 3, выходящая из у°. Тогда неравенство (9) должно удовлетворяться по меньшей мере при трех различных значениях t Пусть г и s — соответственно первое и последнее среди значений 力 удовлетворяющих условию (9). Тогда, в частности, имеем

屮河Н，(Ю)

学-成卜81.(11>

В силу условия (8) из неравенств (10) и (И) находим

书护 >財，(12)

方> 察.(13)

Учитывая (12) и (13), мы можем построить допустимую траекторию {^(%),7(力)，^(力)}，, выходящую из 沙°, еледующим образом:

2 (t) = j

r ①（方）（0V0）

1 忠（叶 Ws —1）,

1

、⑺（o《y，+i）, 九①（r + 2《Ys）,

(««) (s+K^<^),

M) = .

С«)(040),

沙(r+1)一乂+$ (大m+) 入'с(「+2《力《s—1),

炉/ —%(s)(力= s),

с«)(s+l《Y%)・

Тогда ввиду оптимальности траектории {%«), у(£), с(%)}； мы получаем неравенство

N〜N

矛弟）w力（明， f=0力=0

которое сводится к следующему:

"卧+”

（等）一2М出《 2 [М （爷4 j （斗（伍）

上=7+（

Обозначим через L множество значений t между「十1 и s, таких, что для них'

max 1

(際Tй1喘MX

Тогда, обозначая через I число различных значений / в L и проводя выкладки, аналогичные проведенным в доказательстве леммы 14.5, мы получаем следующую оценку правой части соотношения (14):

Z=r4-1

Из неравенств (14) и (15) находим

У (看I)一加(書t +2® i(守)i (芻• (电

Кроме того, принимая во внимание соотношения (6), (10) и (11) и используя неравенство Шварца, получаем ，仅(r+D ;\ п，产(s)々

5Р 叫爵М|| + ||*Т)制.(17)

Далее,

卜* TH 卡-—卜 中河气用-『『腎-(i)IHI碧T№，так что в силу условия (7) имеем

2%)-"聿H)i (咎)制.(18)

Объединяя соотношения (16), (17) и (18), заключаем, что Z < 1- А так как I ——неотрицательное целое число, то отсюда следует 2 = 0 и поэтому L = 0.

Из полученного результата следует号—財 ||<8 (「+ 1&У),争一卜£ (叶 2WYS+1).

Кроме того, неравенства (5) и (10) дополнительно дают

так что мы имеем

^Рi ||<8, ||^?_'~^||<е &+£《《)•(19)

Отсюда непосредственно вытекает, что

《圈F+愕一十况(2。>

Наконец, согласно лемме 14.5, получаем

『 +S&&.(21>

Поэтому, положив 乃=乃「мы заключаем из (19) и (20), что равномерно по всем оптимальным траекториям {ж (t),^y (^), с&)}，длины N》2k, выходящим из у°, выполнены соотношения

伴TH 需河h

II 爷^— с，v2e (k«.t《N — к),

что и требовалось доказать.

Глава V

ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ КОНКУРЕНТНОЙЭКОНОМИКИ ПО ВАЛЬРАСУ

В этой главе рассматриваются свойства модели конкурентной экономики по Вальрасу как дезагрегированной децентрализованной системы. В § 16 приводится доказательство существования конкурентного равновесия, чем устанавливается работоспособность такой системы в статическом режиме. В § 17 рассматриваются социоэкономические аспекты конкурентного равновесия, в частности его характеристика в терминах теоретико-игровой концепции «ядра» (в институциональных рамках частной собственности на средства производства и на продукты). В открывающем главу § 15 проводится предварительное обсуждение проблемы, включая изложение современного подхода к теории потребительского выбора.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННЫХСИСТЕМАХ

Децентрализованные системы

Системы, которые рассматривались в предыдущих главах, нельзя считать полностью децентр ализованными. Некоторые из них, например те, для которых в главе IV был установлен принцип магистрали, по сути довольно близки к плановой экономике, функционирование которой сводится к решению единственной максимизационной задачи. Другие системы, такие, как модели Леонтьева и фон Неймана, а также двойственные линейные программы, рассматриваемые с точки зрения балансирования национального дохода, дезагрегированы не настолько, чтобы явно ввести в рассмотрение совокупность индивидуальных оптимизационных задач, решаемых их членами. Однако современная национальная экономика, если она не является чисто плановой экономикой, охватывает многочисленные атомарные самодействующие ячейки, принимающие решения по собственной инициативе*——такие, как отдельные производители (фирмы), владельцы производственных факторов (трудящиеся, землевладельцы, собственники капитала), потребители (домохозяева) и т. д. Децентра-

лизация в этом смысле является важной характерной чертой экономики.

Однако децентрализованной экономике присущи свои особенности, которые связаны с чрезвычайно сложным характером протекающих в ней процессов, что обусловлено наличием многих зачастую взаимно противоречащих частных критериев, относящихся к различным элементам системы. Участники такой системы, преследуя свои цели, нередко вступают в конфликты друг с другом. Поэтому для того чтобы такая система функционировала нормально, эти конфликты должны как-то разрешаться и индивидуальные действия различных участников должны быть согласованы между собой.

Основным в. функционировании национальной экономики независимо от того, централизована она или децентрализована, несомненно, является размещение ресурсов для производства и распределение произведенного национального продукта среди отдельных ее членов. Но в децентрализованной экономике такое размещение и распределение осуществляется путем индивидуальных действий отдельных участников, носящих конкурентный, конфликтный характер. Как же это может происходить? В настоящей главе эта центральная проблема исследуется в рамках модели конкурентной экономики вальрасовского типа как типичной децентрализованной экономической системы.

Вальрас, основатель лозаннской школы, построил модель экономики, включающую конечное число потребителей и производителей, которые действуют исходя всецело из своих собственных интересов. Эта модель (Вальрас [1]) в общих чертах такова. Все факторы производства, такие, как труд и капитал, находятся в частной собственности лиц-потребителей. Эти производственные факторы вовлекаются в производство управляющими-производителями. Совокупные натуральные производственные выпуски, т. е. произведенные продукты различных типов, подлежат распределению среди потребителей. Но, как уже указывалось выше, это можно осуществить только в том случае, когда каким-либо образом разрешается конфликт между индивидуальными интересами различных участников. В модели Вальраса, предназначенной для описания конкурентной капиталистической экономики, такое разрешение конфликта достигается не прямыми принудительными мерами, а косвенным путем, например через конкурентный рыночный механизм, основанный на регулирующем действии системы цен. '

Здесь придется особо остановиться на понятии конкурентного рыночного механизма. Систему цен, не вдаваясь в сущность этого понятия, можно в первом приближении рассматривать просто как набор соотношений, по которым обмениваются различные товары. Если сиртема цен так или иначе определена, то любая 20—8

рыночная сделка, т. е. реализация обмена товаров, обязательно осуществляется в соответствии с этой системой цен, вне зависимости от того, является рынок конкурентным или нет. По терминологии экономистов, если рынок не включает в себя участников, которые могли бы влиять на установление цен, управляя своим собственным предложением или спросом на товары, то такой рынок называется конкурентным. На конкурентном рынке цены для каждого участника неуправляемы, так что ему остается лишь пассивно приспосабливаться к существующей системе цен.

Однако такая точка зрения на конкурентный рынок не вполне удовлетворительна. Действительно, если рынок состоит из конечного числа участников, то каждый из них, сколь бы мал он ни былу вполне может оказывать влияние на формирование цен, управляя своим собственным предложением или спросом на товары. Следовательно, конкурентный в указанном выше смысле рынок, строго говоря, предполагает наличие бесконечно большого числа участников, каждый из которых вносит бесконечно малый вклад. Это рассуждение показывает, что, по-видимому, лучше определять конкурентный рынок как рынок, на котором каждый участник полностью приемлет существующую систему цен и пассивно приспосабливается к ней, никак не учитывая свою потенциальную способность влиять на установление цен.

Рассмотрим конкурентную экономическую группу. Пусть задана некоторая система цен (набор обменных соотношений для товаров); тогда все индивидуумы ——участники группы будутт исходя из существующей системы цен, формировать такие собственные планы предложения или спроса, которые при данной системе цен для них наиболее удовлетворительны. Реальное осуществление обменов товарами в соответствии с этими индивидуальными планами в целом возможно в том и только в том случае, когда обеспечено равенство совокупного предложения и совокупного спроса для каждого типа товара. Однако эти индивидуальные планы, которые выбираются исходя из заданной системы цен, совсем не обязательно совместимы друг с другом; они могут противоречить друг другу и, следовательно, быть не реализуемыми одновременно. Основная идея Вальраса состояла в том, что при некоторой системе цен индивидуальные планы становятся совместимыми друг с другом, и, значит, совместно реализуемыми; тем самым эта система цен обеспечивает распределение ресурсов и продуктов на основе осуществленного таким образом разрешения конфликта между индивидуальными интересами. Такая равновесная ситуация называется конкурентные равновесием.

Подход к функционированию децентрализованной экономики, включающей в себя большое число индивидуумов и товаров, как к конкурентному равновесию — это наиболее фундаменталь-

ная идея Вальраса, на которой построена его теория общего равновесия. С позиции Вальраса вопрос о работоспособности децентрализованной экономической системы сводится к вопросу о существовании конкурентного равновесия. Такой подход привел к постановке соответствующей математической задачи, которая, если не считать пионерских работ Вальда ([1], [2]) 1936—1937 гг., оставалась нерешенной вплоть до 50-х годов (Эрроу и Дебре [1], Маккензи [1], Гёил [1], Никайдо [3, 4] и Дебре [2]). Одна из целей настоящей главы и состоит в том, чтобы рассмотреть математические аспекты этой проблемы.

Следует отметить, что конкурентное распределение ресурсов и продуктов является не единственно возможным способом распределения, а лишь одним из различных возможных способов. Другими словами, экономика допускает, вообще говоря, не только конкурентное равновесие, но так例е и другие (неконкурентные) состояния равновесия. В связи с этим встает вопрос о сравнении различных состояний равновесия между собой. Два подхода к такому сравнению заслуживают особого внимания. Один из них основан на концепции оптимальности по Парето, которой придерживаются теоретики «экономики благосостояния». Другой основан на теоретико-игровом рассмотрении коалиций между индивидуумами. Этот второй подход был, в сущности, выдвинут Эджвортйм, современником Вальраса (Эджворт [1]), и в последнее время был существенно продвинут в работах Скарфа [2], Дебре и Скарфа [1] и других. Такие подходы к сопоставлению различных состояний равновесия позволяют выявить оптимальность, в том или ином смысле, конкурентного распределения ресурсов, а также пролить свет на социоэкономическую природу равновесия. В § 17 приводится- развернутое изложение соответствующих результатов для общей модели экономики в рамках частной собственности, включающей производство и распределение прибылей.

Целью настоящего обсуждения было дать предварительное представление о содержании всей главы в целом.

Поведение потребителя

Стандартная модель децентрализованной экономики вальрасовского типа включает в себя два типа участников, а именно про「 изводителей (фирмы) и потребителей (домашние хозяйства). В § 12 гл. IV мы рассматривали различные законы производства и их формализацию в терминах свойств технологических множеств, а также установили связь между ценами и эффективностью производства. Полученных при этом результатов достаточно, чтобы описать поведение одиночного производителя, являющегося конкурентным участником экономической системы. С другой 20*

стороны, мы лишь вскользь коснулись современных взглядов на поведение потребителя ——это было сделано при кратком обсуждении понятия функции полезности в § 14.1 гл. IV. Этого недостаточно для удовлетворительного анализа поведения одиночного потребителя, также являющегося участником рассматриваемой экономической системы. Поэтому настоящий раздел посвящен более подробному рассмотрению поведения потребителя.

Одна из составных частей современной системы экономических воззрений, известная как теория предельной (маргинальной) полезности, возникла в 1870-х годах. Как это часто случается при рождении новых взглядов, теория полезности в колыбели была чрезмерно стеснена приверженностью своих зачинателей к малосущественным вопросам, таким, как кардинальная (количественная) измеримость х) полезности или подчеркнутый маржинализм— акцент на маргинальных (предельных) понятиях ). Освободившись от этих связывавших ее ограничений, классическая идея полезности выросла в современную теорию потребительских предпочтений.

В современной теории полезности субъективное предпочтение потребителя на множестве наборов потребительских благ формализуется как бинарное отношение 士 на подмножестве X пространства Rn, удовлетворяющее следующим требованиям:

(а) Отношение 士 рефлексивно, т. е. х>х для каждого х ^ X.

(Р) Отношение 士 транзитивно, т. е. из %七沙 и g 士z для x, у, z £ X следует % 士 z.

(у) Для любой пары 芻沙 £ X либо х>у, либо 沙七 /•

Множество X представляет собой множество всех мыслимых наборов (а^,・.• , хп) потребительских благ (продуктов), которые доступны потребителю; здесь %» символизирует количество »-го продукта в наборе. Отношение % 士沙 для %,沙 W X означает, что набор х не менее предпочтителен, чем у. Условие (?) не исключает возможности того, что одновременно %±у и 沙二％• Отметим, что условие (а) является немедленным следствием условия (у). Мы будем называть бинарное отношение 占 на X, удовлетворяющее условиям (а), (Р), (у), отношением предпочтения на множестве наборов потребительских благ X; пару (X, >) будем называть полем предпочтений.

Пусть задано поле предпочтений (X, >). Введем некоторые дополнительные бинарные отношения, связанные с >.

1) В отличие от ординальной (порядковой) измеримости полезности (см. ниже стр. 319).— Прим, перев,

Определение 15.1. Пусть х, у W X. Говорят, что % (строго} предпочтительнее 刃，если х±у, но 沙士％ не имеет места. Это отношение строгого предпочтения обозначается так: % >•以

Лемма 15.1. Отношение строгого предпочтения обладает следующими свойствами,

Ни для какого х £ X не имеет места предпочтение х > х.

Если % 二 у, У 二 z, для %, у, z W X, причем либо х > у, либо у > z, то х ^ z. В частности, если х ^ у и у У^ z одновременно, 羽 у, z ^ X, то х У^ z.

Для любых х, у ^Х либо х > у, либо g 二 с.

Доказательство.

Из % > % вытекало бы, что соотношение % ± / не имеет места, вопреки условию (а).

Если бы соотношение % A z не выполнялось, то мы имели бы z 士％. Но в силу условия (Р) из у >z, z>; х следует 沙二 с, а из z 士瑞 ①之 У следует z 之 д, так что при этом невозможно ни % > у, нм 刃 > z. Это противоречит предположению о строгом предпочтении между хи у или у hz.

Это сразу следует из определения.

Лемма доказана.

Определение 15.2. Пусть х,沙 W X. Говорят, что с и у безразличны, если одновременно % ^ у и g 之 ％• Это отношение безразличия обозначается символом 〜.

Отношение безразличия 〜удовлетворяет всем трем требованиям, предъявляемым к отношению эквивалентности на X:

% ~ % для каждого х R X.

Для любых 瑞 刃 W X из % ~ g следует у 〜х.

Для любых 瑞 g, z£X из z~y и у 〜z следует 化〜z.

Следовательно, отношение 〜индуцирует разбиение элементов множества X на классы эквивалентности, так называемые классы безразличия^ так что х 〜 у для х, у W X тогда и только тогда, когда эти элементы принадлежат одному классу.

Замечание 1. Элементы множества наборов потребительских благ X, которые с точки зрения математика являются не чем иным, как векторами в Rn, экономисты часто называют партиями товаров. Продукты, входящие в такую партию товаров, могут быть, а могут и не быть «датированы» в смысле § 13.1. Если продукты не датированы: то партия товаров — элемент из X — имеет смысл «меню потребления» в течение одного периода, например за год, т. е. представляет собой величину «потокового» типа. Если же некоторые партии товаров датированы, т. е. несут на себе временные пометки； простирающиеся более чем на один период,

то соответствующее поле предпочтений (X, ±) описывает предпочтения потребителя среди различных вариантов «потоков потребления», охватывающих сразу несколько периодов. Более того, поля предпочтений пригодны для описания и таких случаев, когда в систему включены различные товары длительного пользования —такие, как дома^ мебель, холодильники и т. п., потребляемые в течение нескольких периодов.

Замечание 2. При описанци поведения потребителя мы будем подразумевать, что положительность компоненты %» товарной партии 力 = (%。 означает, что потребитель получил %» единиц i-ro продукта в свое пользование, а отрицательность такой компоненты означает, что он отдал соответствующее количество продукта.

Как правило, предпочтения потребителя обладают своего рода непрерывностью. Непрерывность предпочтений означает, что если потребитель предпочитает элемент %° элементу у°, то он предпочтет также элемент х элементу у, если элементы х, у близки к элементам 鸡 / соответственно. Формальное определение этого понятия таково.

Определение 15.3, (непрерывность предпочтений в первой форме). Отношение предпочтения 之 на X называют непрерывным, если множество {(%, у) | х >• у}, где > ——соответствующее отношение строгого предпочтения, является открытым подмножеством декартова произведения X X X.

Легко видеть, что непрерывность предпочтения в первой форме эквивалентна замкнутости множества {(%，у) \х> у} в X X X.

Дадим теперь другое, на первый взгляд более слабое определение непрерывности предпочтения.

Определение 15.4 (непрерывность предпочтений во второй форме). Отношение предпочтения 之 на X называют непрерывным, если

множество {у | 〃 > 沙} открыто в X при каждом a f X,

множество {% j % > b} открыто в X при каждом b ^ X, где > — соответствующее отношение строгого предпочтения.

Нетрудно заметить, что, аналогично, непрерывность предпочтения во второй форме эквивалентна замкнутости множеств {ж I ж > а} и {у \ Ъ >： у } ъ X при каждом а и каждом Ь из X.

Оказывается, что на самом деле определения 15.3 и 15.4 эквивалентны, что мы сейчас и покажем.

Лемма 15.2. Определения 15.3 и 15.4 эквивалентны.

Доказательство* Ясно, что из непрерывности в смысле определения 15.3 следует непрерывность в смысле определения

15.4. Обратно》 предположим, что отношение предпочтения 士 непрерывно в смысле определения 15.4, и покажем, что тогда множество G= {(х, у) |%>у} открыто в декартовом произведении X X X. С этой целью мы докажем, что для каждой точки (a, b) W С G существуют два открытых подмножества U (а)皿 U (Ь) множества X, содержащие а и b соответственно, такие, что х > у для всех х ^ U (а), у ^ U (Ь). Для этого рассмотрим порознь два случая.

Найдется некоторый элемент с в X, удовлетворяющий условию 〃 > с А Ь. В этом случае множества U (а) = = {力 I % > с}, U (Ь) — {у \ с ^ у} являются искомыми открытыми подмножествами ввиду непрерывности отношения предпочтения 士 в смысле определения 15.4.

В X не существует такого элемента % который удовлетворял бы условию а у- с ^ Ь. В этом случае положим U (а)= ={力 I % ^ 〃} и U (Ь) = {у \Ь>： у}. Тогда X = U (а) [) U (Ь), U (а) П U (Ь) = 0, U (а) 3 a, U 0) Э 匕・ Множество U (а) замкнуто в X ввиду непрерывности отношения предпочтения 之 в смысле определения 15.4, так что U (Ь) как дополнение множества U (а) в X открыто в .Х. Аналогично, множество U (а) также открыто в X. Поэтому U (〃)， U (Ь) являются искомыми открытыми множествами. Лемма доказана.

Теперь мы установим простой, но полезный результат относительно существования наиболее (наименее) предпочтительного элемента.

Определение 15.5. Пусть задано поле предпочтений (X,二)й подмножество М множества-X. Элемент х множества М называется наиболее (наименее) предпочтительным элементом в М, если х>： у (у >х) для всех у С М.

Лемма 15.3. Пусть (X, >) и М те же, что в определении, 15.5. Если отношение предпочтения 之 непрерывно и множество 'М компактно, то М содержит по крайней мере один наиболее (наименее) предпочтительный элемент, и множество всех наиболее (наименее) предпочтительных элементов в М компактно.

Доказательство. Заметим сначала, что если взять любое конечное число элементов 炉(Z = 4, • . ., s) множества X, то конечное множество {жг| i = 1, •. . ., s} всегда содержит наиболее (наименее) предпочтительный элемент, который мы будем обозначать через m.pref (ж1, ж2, . . ., xs) (l.pref (%1, х2,...,炉)). Доказательство этого факта легко провести индукцией по числу элементов. 、

Рассмотрим теперь для каждого у W М множество Fy = ={х \ х>： у, % W "}• Множество {х \ х>у} замкнуто в X при каждом фиксированном у, так что Fy= {х\х> у} []М

является замкнутым подмножеством в М при каждом фиксированном у. Рассмотрим, далее, семейство замкнутых подмножеств {Fy I у W "}• Это семейство обладает свойством конечного пересечения, так как

n 力 э m. pref (旷，严，…，yS)

для любого конечного числа элементов уг (» = 1, ..., s) множества М. Поэтому с учетом компактности множества Мив силу теоремы 1.6 главы I имеем -

Здесь левая часть, очевидно, представляет совокупность всех искомых наиболее предпочтительных элементов. Эта совокупность образует компактное множество, так как она представлена в виде пересечения замкнутых подмножеств Fy компактного множества М. Аналогичные рассуждения применимы к наименее предпочтительным элементам. Лемма доказана.

Несмотря на лемму 15.3, полное множество X не обязано содержать наиболее предпочтительный элемейт; такого элемента может и не существовать. В связи с этим обстоятельством дадим следующее определение.

Определение 15.6. Для поля предпочтений (X,之)наиболее предпочтительный элемент в X называется точкой насыщения. Если X не содержит точки насыщения, будем говорить, что имеет место ненасыщаемостъ.

Другим традиционным пр едп о л ож ением относительно потребительских предпочтений (помимо непрерывности) является выпуклость; а именно, требуется, чтобы для поля предпочтений (X, >) выполнялось одно из приводимых ниже условий (I), (II), (III), причем само множество X предполагается выпуклым.

Множество {化 I л > а} является выпуклым подмножеством в X при каждом а X.

Если z^g для х, у £ X, то аа + 旳^沙(а > 0,卩 > О, а + 0 = 1).

Множество {% I % > а} является выпуклым подмножеством в X при каждом а £ X.

Лемма 15.4. Условия (I), (II) и (III) эквивалентны.

Доказательство. Мы установим логическое следование (I) т (II) f (III) т (I).

(I) f (II). Если % ± g для x, у E X, to %, 2/ W 8 I 笫 Z 〃} при a = g. Поэтому ax + Й € {^ I a} (a》Q, 6 > 0, a + P = 1) при a = g в силу (I), откуда ax + ^y > 〃

(II) f (III). Предположив (II), покажем, что из ж > аг У > а следует ах +^ а (а > 0, р > 0, а + р = 1). Для

этого заметим, что согласно (у) всегда % 二沙 или у >： х. Если 况之勿 то а% + 0沙士 у в силу (II), что в сочетании с у > а дает аж + Р^ > а в силу леммы 15.1 (ii). Аналогично из предположения 沙士％ также следует ас + §у А а, чем (III) и доказано.

(III) f (I). Допустим, что для некоторых %, у, 〃 W Х^ а>0, В》°, а + В = 1 имеют место соотношения х 二 аг у ^ 〃，но не имеет места соотношение а/ + 削之 а. Тогда а > Ва况 + В% что в сочетании с х>： а дает % > ах + Вд в силу леммы 15.1 (ii). Аналогично из у 二 〃，〃 > а/ + 卩沙 следует у > а% + By. Итак, элементы с, у принадлежат множеству {w \w У- ах -{- 0g}, которое является выпуклым согласно (III). Поэтому ах + ^у {w \ w У^ ах + §у}, т. е. а% + §у > а% 丄阳. Но это противоречит лемме 15.1 (i). Следовательно, при 化二〃,. у >Z а всегда должно иметь место соотношение ах -}- ^у > 〃， чем и установлено (I). Лемма полностью доказана.

Определение 15.7. Поле предпочтений (X, >) называется выпуклым, если X ——выпуклое множество и отношение- предпочтения > удовлетворяет условию выпуклости (I).

Замечание 3. Следует отметить, что выпуклость предпочтения (например, в форме условия (II)) не гарантирует того, что %±а/ + 必 и не исключает того, что az + §д А %, для произвольных %, у W X, таких, что х>у.

Сейчас мы рассмотрим некоторые усиленные требования выпуклости для полей предпочтений. Соответствующие формулировки относятся по-прежнему к такому полю предпочтений (X, >),. в котором множество X выпукло.

Если х > у для х,沙 £ X, то а% + 阳 > у (а > 0" > О, а + ₽ = 1)<

Если 化二沙 для двух различных 力田 £ X, то а% 十 卩沙 > 夕 (а >* 0, р > 0, а + р = 1) (строгая выпуклость).

Лемма 15.5. Имеют место следующие утверждениям

Из (V) следует (II).

Из (V) следует (IV).

Если отношение предпочтения ± непрерывно^ то из (IV》 следует (II).

Утверждение этой леммы можно пр оил люстр ир ов ать следующей диаграммой:

(V)

(IV)f (II) выпуклость

Доказательство, (i) Предположим, что с 之沙 для х, у W X. Прежде всего, если х = у, то, очевидно, а% + 因=

=х£у (а > 0, 6 > 0, а + 6 = 4). Пусть теперь 力=/=沙・ Тогда, согласно (V), ах + ^у ^ у и тем более а% 十 阳 ± и при а > О, р > 0, а + Р = 1; если же а = 4, В = 0 или а = О, Р == 1, то соотношение аж + 卩^ 士 у выполняется тривиальным образом. Следовательно, из (V) всегда вытекает (II).

Предположим, что % \ 沙 для х,少 W X. Так как это пред- лоложение исключает случай 沙之 ％, то должно быть % #=у. С другой стороны, если ① > у, то тем более х>у. Поэтому, согласно (V), а% 十 % > 沙(а>0, Р>0, а + р = 1), чем утверждение (ii)項 доказано.

Предположим, что х 七 у для х, у ^ X, и обозначим через {%, у] отрезок с концами %, у (как в § 2.1 гл. I). Утверждение (iii) будет доказано, если мы покажем, что [%, у\ П {^ I У > w} — 0- Множество {w \у У^ w} открыто в X в силу непрерывности отношения ±; поэтому если указанное пересечение двух множеств ле пусто, то оно заведомо содержит целый отрезок, а значит, и подавно хотя бы две различные точки а и Ь. Поскольку ①，沙 R 0 {如丨沙 > ^}，зтм точки а, Ъ отличны от л: и от у. Поэтому мы можем считать, что обозначения точек выбраны таким образом, что имеют место соотношения

а = ку +[ib(А, > 0, jx > О, А, + |х = 1),(1)

匕=о% +仅(о > 0, t > 0, о + т = 1).(2)

Тогдаизусловий г/ >•Ь и(1), согласно (IV), следует а >b.С другой стороны, из % ^у >〃 но лемме 15.1 (ii) следует %>а,что

б сочетании с (2) дает Ь > а. Таким образом, мы получили взаимно исключающие предпочтения 〃 > 匕 и 匕 А а. Это противоречие доказывает, что на самом деле [%,沙1 и {и? | ^之沙}・ Лемма полностью доказана.

Определение 15.8. Поле предпочтений (X, 士)называется строго выпуклым, если множество X выпукло и отношение лредпочтения 之 удовлетворяет условию (V).

Лемма 15.6. Пусть (X, >) — выпуклое поле предпочтений, и М — выпуклое подмножествЬ e X. Тогда

Наиболее предпочтительные элементы е М, если такие существуют^ образуют выпуклое подмножество^в М.

При этом, если поле предпочтений (X, >) строго выпукло, то в М имеется самое большее один наиболее предпочтительный элемент. В частности^ в X имеется не более одной точки насыщения.

Доказательство, (i) Если @,匕 ——два наиболее предпочтительных элемента в М, то 仅，匕之① для каждого х W М, так что в силу выпуклости поля предпочтений получаем аа + ^Ь >х при любых а£М, а》0, 6>6, а + Р = 1. Поэтому аа + ₽^ €

£ М — также наиболее пр едп очтительный элемент в М, чем и доказано утверждение (i).

Если поле предпочтений строго выпукло, то для двух различных наиболее предпочтительных элементов а, % в 7|У, ввиду очевидных условий а,匕二 а, мы получили бы а〃 + §Ь А а при а > О, Р > 0, а + Р = 1, что означало бы существование в М более предпдчтительного элемента, чем а. Этим противоречием завершается доказательство леммы.

Замечание 4. Легко видеть, что если (X, >) — выпуклое поле предпочтений, то справедливо* следующее утверждение:

Если х 〜у、①，沙 £ X, то ах -}- ^у > х ^ у (а》О, 0》О, а + 0 = 4).

Переходя от меню потребления х (т. е. от набора потребительских благ % = (%「..., ％九)) к взвешенной комбинации двух таких меню ах + ^у, потребитель тем самым отказывается от части потребительских благ 卩力,получая взамен ^у. В этом смысле условие (VI) означает, что если два меню безразличны по отношению друг к другу, то любые их соответствующие доли взаимозаменяемы без понижения уровня предпочтения. Можно также заметить, что причина того, что сочетание меню ах с меню 0y по меньшей мере столь же предпочтительно, как и исходное сочетание с ^х, заключается в отсутствии взаимно «ухудшающего» воздействия частей меню друг на друга, или даже в наличии «эффекта дополнительности»——взаимно «улучшающего» воздействия. Принцип отсутствия взаимно ухудшающего воздействия частей комбинированного меню друг на друга является основной предпосылкой традиционного Экономического направления, предполагающего выпуклость полей предпочтений потребителей в нормальных ситуациях. Это предположение соответствует предположению о выпуклости технологических множеств, связанному с допущением об отсутствии эффекта внешней неэкономичности (см. гл. IV, § 12.2).

Замечание 5. Обратно, для поля предпочтений (X, ±), где множество X выпукло, а отношение 士 непрерывно, из (VI) следует (II). Действительно, пусть % 二 у. Если при этом х 〜 у, то ах + ^у > у согласно (VI). Остается рассмотреть случай 力 > у. Обозначим через [%, у] отрезок с Концами z, g и допустим, что у > 〃 для некоторой точки 〃 £ [%,沙 1. Ясно, что 〃三 ％, у. Покажем, что должна найтись такая точка Ь на отрезке [%, а], что b ~ у. Действительно, в противном случае имело бы место разложение [х, а] = {ш \ w ^ у, w ^[х, al} U {^ I Z/ > 笫, w £ [%, а]}. В силу непрерывности отношения 之 эти два непере- секающиеся множества являются открытыми в [/, а] подмножествами отрезка [ж, а]. Кроме того, оба эти множества не пусты, так как они содержат точку х и точку а соответственно. Но это про-

тиворечит связности отрезка [①,а]. Следовательно, всегда можно выбрать точку Ъ на [ж, а], безразличную по отношению к g. С другой стороны, из 〃 W [%, у] и 匕 W [①，а] следует, что а С [Ь, д]. Поэтому 匕〜沙 вместе с а g [Ь, у\ согласно (VI) дает 〃 之 b 〜^ в противоречии с у > @. Этим завершен вывод условия (И) из (VI) в случае непрерывности отношения предпочтения ±.

Пример 1. Неотрицательный ортант Ер пространства Rn представляет собой простейший пример потребительского множества (множества наборов продуктов); в экономико-математической литературе он рассматривается особенно часто.

Пример 2. Пусть (X, >) — поле предпочтений, а 三一 отношение полуупорядочения в Е", определяемое условием (а) § 3.3 гл. I. Будем называть отношение предпочтения 之 возрастающим, если из %三勿 ％, У € X, следует 力士 у. Среди экономистов широко распространено убеждение, что такая связь между отношениями 之 м 三 согласуется с поведением потребителя во многих ситуациях. Возможен и усиленный вариант такой связи, когда из 力三弘 ж,刃 W X, следует х> у^ причем если % > % то имеет место отношение строгого предпочтения х > у. Еще более сильный вариант возрастания мы получим, если примем иное, более сильное дополнительное условие: если х > у, то %> у. Пусть теперь (X, 士)一 выпуклое поле предпочтений, причем отношение предпочтения > является возрастающим и дает строгое предпочтение х > у для любых х, у W X, таких, что х> у. Тогда мы можем сопоставить каждому элементу 〃 £ X полуположитель- ный вектор V, такой, что если ,х>; а для некоторого ж f X, то vrx》и'а. В самом деле, рассмотрим подмножество М={х | %士仅} множества X. Множество М по предположению выпукло, так что векторная разность {〃}——М также представляет собой выпуклое множество. Множество {а} — М не содержит положительных векторов, так как в противном случае мы имели бы 〃 > % для некоторого х ^ М и, значит, а > 力 согласно дополнительному условию возрастания; но последнее противоречит соотношению х> а для х W М. Следовательно, по теореме 3.5 из гл. I должна существовать отделяющая гиперплоскость 〈и,沙〉= 0 с полу- положительным вектором нормали р > 0, такая, что полупространство (р, у〉& 0 целиком содержит множество {〃} — М. Отсюда следует, что v'x^v'а для каждого х^М. Таким образом^ вектор V служит искомым вектором. Следует отметить, что вектор V может быть не единственным даже в смысле отношения его компонент.

Потребительский выбор. Мы опишем теперь поведение индивидуального потребителя на многопродуктовом рынке, стесненного заданным ограниченным бюджетом. Согласно обычным пред-

ставлениям, факторы, которые ограничивают область выбора для потребителя,——это бюджетные факторы: цены на продукты и собственный доход потребителя. Если задан вектор цен р и уровень дохода 7, то потребитель выберет наиболее пр едп очтител ьный набор потребительских благ х в соответствии со своим отношением предпочтения > среди всех наборов ①，принадлежащих множеству наборов потребительских благ X и удовлетворяющих бюджетному ограничению

〈Р，%〉《/・ (3)

Здесь следует отметить наиболее существенную черту поведения потребителя в условиях чисто конкурентного рынка: цены и доход выступают по отношению к потребителю как заданные неуправляемые величины, так что ему остается, лишь пассивно приспосабливаться к существующему положению, стремясь достичь наибольшего в заданных условиях.

Надо отметить, что сказанным выше указывается лишь общий принцип потребительского выбора в рыночных условиях; нет никакой гарантии даже того, что существует такой набор товаров в X, который удовлетворил бы бюджетному ограничению (3). И даже если это бюджетное ограничение совместимо с указанным множеством наборов потребительских благ, априори ниоткуда не следует, что существует наиболее предпочтительный набор лотребительских благ.

Помня об этих обстоятельствах, мы сейчас введем понятие функции спроса. Рассмотрим все мыслимые пары (р, 7), состав- ленйые из вектора цен р и уровня дохода 7; каждой такой паре поставим в соответствие подмножество 屮(р, /) множества X согласно следующему правилу:

W (0，/)= ，W (0，/)= ，⑷⑷'множество всех наиболее предпочтительных элементов из X, удовлетворяющих бюджетному ограничению, — если такие сущест

W (0，/)= ，

W (0，/)= ，

⑷

⑷

вуют; пустое множество — в противном

\ случае.

Построенное таким образом (многозначное) отображение пар цены-доход в наборы потребительских благ мы будем далее называть функцией спроса, или, более точно, функцией спроса, порожденной оптимизацией предпочтений.

Индикаторы предпочтений. Пусть (X, >) — поле предпочтений. Вещественная функция и (%), определенная на X, называется индикатором предпочтений, если для любых х, у X

Таким образом, ловое представлениеТаким образом, ловое представлениеи (х) ^ и (у) тогда и только тогда, когда х>у.

Таким образом, ловое представление

Таким образом, ловое представление

индикатор предпочтений дает нам чис- порядковой структуры поля предпочтений.

Нетрудно видеть, что если и (%)——индикатор предпочтений для поля предпочтений (X, >) и если / (Z)——строго возрастающая вещественная функция, определенная на множестве u (X)—— области значений функции 〃(力)，——то функция 沙(％) = / (и (%)》 также является индикатором предпочтений для (X, >). Обратно, если и (х) н и (/)—— два индикатора предпочтений для (X,二)> то всегда существует такая строго возрастающая вещественная функция /«), определенная на и (X), что и Q) = / (м (х)). Действительно, искомую функцию / (力)на u (X) можно построить следующим образом. Пусть t ^ и (X). Положим f (t) = v (%> для какого-либо х из множества и-1 (£) = {% | 〃 (％)=力}. Значение / 优)этим определено однозначно, так как и-1 (力)一класс безразличия и, следовательно, и (х) = и (у) для любых х, у ^ € и-1 «). Далее, функция / (力) строго возрастает, ибо если s, t ^и (X) и s > /, то % А 沙 для любых х £ 〃т (s), у € 口一1 ⑺力 так что『(s) = и (%) > и (у) = / «)• Наконец, соотношение v (х)= =f (и (%)) будет автоматически выполняться по построению-

Из всех этих рассуждений вытекает, что для всякого поля5 предпочтений, если существует хотя бы один индикатор предпочтений, то существует бесконечное множество индикаторов, получаемых друг из друга с помощью строго монотонно возрастающих, преобразований; с точностью до всевозможных таких преобразовав ний индикатор предпочтений для данного поля предпочтений является единственным.

Очевидно, линейные преобразования / (力)= а£ 十 卩 с положительными коэффициентами а образуют подмножество множества всех строго возрастающих скалярных преобразований. Еслк мы будем считать два индикатора предпочтений эквивалентными^, коль скоро они связаны между собой линейным преобразованием указанного типа, то все индикаторы предпочтений для данного поля предпочтений распадутся на класссы эквивалентности. Это показывает, что об измеримости (в числах) полезности уместна говорить в том случае, когда существует такое свойство поля предпочтений, которое сохраняется при всех линейных строго возрастающих преобразованиях индикаторов предпочтений и с помощью которого в то же время выделяется единственный класс среди всех классов эквивалентности индикаторов предпочтений7 (по отношению эквивалентности, порожденному указанными линейными преобразованиями). В случае измеримой полезности индикатор предпочтений определяется единственным образом с точностью до линейных преобразований, так что для численного измерения предпочтений остается произвольно выбрать единицу масштаба и начало отсчета.

В классическом теперь термине полезность^ в отличие от его современного партнера — термина предпочтение^ слышится отголосок горячей веры сторонников теории полезности на перво-

начальном этапе ее развития в кардинальную (количественную) измеримость предпочтений. Представления того времени? о кардинальной измеримости полезности были достаточно наивными, если сравнивать их с довольно тонким современным1 подходом, описанным выше.

Сторонников кардинальной измеримости полезности называют кардиналистами в отличие от так называемых ординалистов^. которые интересуются лишь свойствами поля предпочтений, инвариантными относительно строго возрастающих преобразований индикаторов предпочтений. Современные крайние ординали- сты игнорируют даже саму возможность числового представления предпочтений и предпочитают работать непосредственно с порядковой структурой поля предпочтений. В этой книге мы придерживаемся крайней ординалистской точки зрения всюду, где， только возможно (за исключением нескольких разделов, например, § 14 гл. IV).

Поле предпочтений не во всех случаях допускает числовое описание с помощью индикаторов предпочтений. Поэтому представляют интерес условия, при которых поле предпочтений имеет индикатор предпочтений. Удовлетворительное решение этой проблемы существования индикаторов предпочтений дано в работах Дебре [1, 21, основной результат которых состоит в следующем. Если (X,二)一такое поле предпочтений, в котором отношение ＞；непрерывно, а X представляет собой связное топологическое пространство, имеющее счетное всюду плотное подмножество^ то индикатор предпочтений существует. В этой общей теореме X не обязано быть подмножеством пространства Rn. В случае когда. X — подмножество в Rn, существование счетного всюду плотного подмножества обеспечено автоматически, так что в этом случае для существования индикатора предпочтений достаточно связности множества X и непрерывности отношения предпочтения '

§ 15.3. Основная модель

В этом разделе мы опишем основную дезатрегированную модель» национальной экономики, включающую в себя конечное число потребителей и пр оизводител ей. Для этой модели при некоторых дополнительных предположениях в § 16 и § 17 будут доказаны существование конкурентного равновесия и некоторые его оптимальные свойства.

Эта основная модель включает в себя I потребителей (гла庄 домашних хозяйств), помечаемых индексами % = 1, • • m пр оизв одител ей (пр оизв одственных ячеек), помечаемых индексами к = 1, . . ., тп, и п категорий продуктов (товаров), помечаемых индексами / = 1, . . п.

(С) Потребители. Каждый потребитель г имеет поле предпочтений (X/, >f), где Xt ai Rn — множество наборов потребительских благ, на котором определены его предпочтения. Кроме того, потребитель i обладает некоторой первоначальной собственностью в виде определенных количеств продуктов; этот первоначальный принадлежащий ему набор продуктов описывается вектором 仅'= =(〃；)€ Н", у-я компонента которого 齿 представляет количество j-го продукта.

а(Р) Производители, Каждый производитель к располагает пр оизводственно-технологическим множеством У 互, заданным в терминах потоков (см. гл. IV, § 12).

В приведенном только что описании модели мы не конкретизировали условия, налагаемые на поля предпочтений, технологические множества и векторы начальной собственности. Соответствующие предположения будут сделаны в последующих разделах. Однако того, что уже сказано о нашей основной модели, достаточно, чтобы в общих чертах обрисовать те принципиальные стороны модели экономики, с которыми мы будем иметь дело в дальнейшем.

Основной функцией экономики, независимо от того, каким образом, децентрализованным или нет, эта функция осуществляется, является распределение совокупного производства по отдельным производителям, которое ниже будем называть просто распределением производства^ и распределение произведенных продуктов среди потребителей. Распределение производства осуществляется выбором процесса yk из технологического множества Yk для каждого %=1,・..,иг. Тогда сумма

т

У = И ук(1)

представляет соответствующий совокупный процесс. Такие совокупные процессы образуют совокупное технологическое множество

т

У=2Но(2)

которое получается как векторная сумма множеств Yk и служит технологическим множеством для национальной экономики в целом. С другой стороны, сумма по всем потребителям

I

N(3)

представляет собой совокупную начальную собственность. Векторная сумма совокупной начальной собственности {〃} и сово-

купного технологйческого множества

{〃} + У(4)

представляет собой множество всевозможных векторов совокупного предложения. Следует иметь в виду, что в понятие начальной собственности могут входить не только продукты конечного потребления (потребительские товары), готовые для распределения между потребителями, но также и полуфабрикаты ——промежуточные продукты (товары производственного назначения), равно как и стационарное капитальное оборудование, земля (природные ресурсы) и рабочая сила (труд).

Посмотрим теперь на распределение с точки зрения спроса. Распределение потребления осуществляется путем выбора меню потребления (т. е. набора потребительских благ) %г, принадлежащего множеству X», для каждого i = 1, . . ., 2. Сумма

I

2炉(5)

дает соответствующий вектор совокупного спроса. Следует обратить внимание на тот факт, что некоторые из компонент вектора совокупного спроса могут быть отрицательны. Эти компоненты соответствуют положительным предложениям в индивидуальных потребительских меню таких товаров, как труд (величина типа потока), которые могут служить производственными ресурсами.

Под совместным распределением производства и потребления будем понимать (Z + иг)-ку

(炉，• • •，％； • • •, N‘，犷，2/ ),(6)

где

力飞 X» (" 1,・.・，Z),(7)

Ук € Yk (k = 1, • • ., m),(8)

такую, что совокупный спрос совпадает покомпонентно с совокупным предложением:

s 炉=〃+£(9)

t=l欠=1

Разумеется, распределение производства само по себе может оказаться неосуществимым, так как некоторые из требуемых при этом ресурсов могут поставляться только потребителями. Далее, и распределение потребления само по себе также неосуществимо, если не обеспечены поставки соответствующих товаров в виде продукции производства или первоначально имевшейся собственности. Поэтому термин «р аспр ед еление» уместно употреблять только по отношению к одновременному распределению произ- 21—8

водства и потребления, причем лишь при соблюдении равенства предложения и спроса (9).

Основной функцией экономики, несомненно, является осуществление распределения производства и потребления в указанном выше смысле. Фактически существует много (быть может, даже бесконечно много) таких распределений. Кроме того, при распределении производства и потребления выбор индивидуального меню потребления х1 и производственного процесса yh совсем не обязательно должен производиться по инициативе индивидуальных потребителей и производителей. Если представить себе полностью централизованную экономику, то в такой системе планирующий орган будет стремиться осуществлять распределение^ побуждая индивидуальных потребителей и производителей выбирать меню потребления и планы производства, которые не обязательно являются наиболее предпочтительными с их собственных индивидуальных позиций и могут оказываться в конфликте с их непосредственными предпочтениями и соображениями выгоды. Если рассмотреть другой крайний случай ——рынок с «совершенной конкуренцией», то такой рыночный механизм будет стремиться осуществлять распределение путем формирования системы равновесных цен, при которых индивидуальные распределения потребления и производства осуществлялись бы всецело по собственной инициативе индивидуумов и которые обеспечивали бы равенство между соответствующим совокупным спросом и предложением. Мы рассмотрим проблему существования конкурентного распределения в § 16; в § 17 мы сравним между собой различные распределения и оценим конкурентные распределения в сопоставлении с другими как с позиций экономики благосостояния,, так и с теоретико-игровой точки зрения.

Замечание 1. Индивидуальное множество потребительских благ Xi может быть подмножеством собственного аффинного подпространства исходного пространства Rn. Например, в состав рассматриваемых наборов продуктов могут входить такие категории продуктов, как, скажем, капитальные ресурсы (оборудование и т. п.), по отношению к которым индивид у а льные потребительские предпочтения просто не определены. В таком случае разумно полагать, что множество потребительских благ X» целиком лежит в линейном подпространстве, образованном всеми теми точками х— (ж；), компоненты Xj которых равны нулю для индексов /, соответствующих продуктам указанных категорий.

Замечание 2. Хотя в описанной выше основной модели потребители принципиально отличаются от производителей, никоим образом не исключается возможность того, что один и тот же индив иду а л ьный участник системы является одновременно потребителем »о и производителем /0. Нужно, однако, всегда иметь

в виду этот его двойственный характер: он будет вести себя как потребитель при выборе меню потребления и как производитель при формировании плана производства.

Замечание 3. Заслуживает внимания один частный случай нашей модели, а именно случай, когда производство отсутствует. Если совокупное технологическое множество Y состоит из одного нуля, то единственно возможным совокупным процессом является бездействие, и производство невозможно. В этом частном случае уравнение баланса (9) сводится к

%' = Q, г=1

и соответствующая ситуация представляет собой не что иное, как экономику чистого обмена. Распределение в этой ситуации представляет собой распределение фиксированных количеств продуктов, с самого начала находившихся в собственности потребителей.

СУЩЕСТВОВАНИЕ КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ

Конкурентное равновесие по Вальрасу

Как уже указывалось в § 15.1, существование конкурентного равновесия в модели Вальраса ——одно из фундаментальных утверждений теории общего равновесия Вальраса ——в течение более пблувека оставалось гипотезой, пока не получило полного математического обоснования в 1950-х годах. Конечно, надо отдать должное замечательным пионерским работам Вальда [1, 2], в которых было доказано существование равновесия в модели Касселя; однако рассмотренная там модель значительно отличается от стандартной модели Вальраса. Не говоря уже о различии в степени дезагрегированности обеих моделей, первая лишена важнейшей черты, присущей второй, а именно стоимостного баланса между спросом и предложением в счетах национального дохода (о чем еще будет говориться далее).

Первые успехи в математическом обосновании гипотезы Вальраса о существовании конкурентного равновесия были достигнуты в 1950-х годах рядом авторов (Эрроу, Дебре [11, Маккензи [1], Гейл [1] и Никайдо [3]). Тем самым был сломан тот барьер, который стоял на пути к решению задачи, и проложен путь дальнейшим усовершенствованиям и обобщениям, полученным позднее Дебре [2, 3], Маккензи [3], Никайдо [6], Удзавой [2, 4, 5], Мори- шимой [2, 5] и Негиси [2].

Ниже мы приведем стандартное доказательство существования конкурентного равновесия, но не для максимально общей модели, для которой соответствующие результаты получены в самое

2尸

последнее время, а для более скромной, хотя и достаточно общей, модели, принадлежащей Эрроу и Дебре. Это продиктовано стремлением как можно более рельефно показать внутренний механизм, лежащий в основе конкурентного равновесия,—— что было бы труднее сделать на более общей модели. Мы воспроизведем основные результаты Эрроу и Дебре [11 (с некоторыми видоизменениями й усовершенствованиями, принадлежащими Дебре [2] и Удзаве [4, 51), воспользовавшись методом доказательства, впервые примененным в работах Гейла [11 и Никайдо [3] и оказавшимся весьма полезным при поиске конкурентно-равновесных состояний. Метод заключается в сведении задачи поиска конкурентного равновесия в данной дезагрегированной модели к применению простой, но сильной теоремы существования, имеющей ясный смысл [Гейл [1], основная лемма, стр. 159; Никайдо [31, раздел 5.1, стр. 141; Дебре [2], утверждение (1), стр. 82]. Доказательство этой теоремы основано на теореме Какутани о неподвижной точке (гл. I, теорема 4.4) или на эквивалентных ей утверждениях, являющихся обобщениями теоремы Брауэра о неподвижной точке (см. гл. I, § 4.3).

После этих вводных замечаний приступим к точному определению конкурентного равновесия в модели Эрроу — Дебре экономической системы Вальраса.

Модель Эрроу — Дебре. Для получения этой модели нужно к условиям (С), (Р) из определения основной модели (§ 15.3) присоединить следующие дополнительные предположения:

(С.1) Множество наборов потребительских благ X» для каждого потребителя Z является замкнутым выпуклым множеством в Rn.

(С.2) Каждое множество X» имеет нижнюю границу с1:

不 N J для всех %’ £ X»

относительно п о л у у пор ядочения, порождаемого покомпонентным сравнением векторов.

(С.З) Каждое поле предпочтений (Х“ ±0 удовлетворяет условию (IV) из § 15.2.

(С.4) Каждое отношение предпочтения >» непрерывно.

(С.5) Каждый потребитель f обладает начальной собственностью, представляемой вектором а° из Rn.

(Р.1) Каждое технологическое множество У在 является подмножеством пространства А", содержащим нулевой элемент Rnf соответствующий бездействию.

(Р.2) Каждое множество У冗 выпукло и замкнуто в Rn.

(Р.З) Совокупное технологическое множество У = 2 У互 удовлетворяет условию У П 碑 ={0} (неосуществимость «рога изобилия»), где R^——неотрицательный ортант пространства Rn.

(Р.4) Ур| (— У) = {0} (необратимость совокупных процессов).

(G-Р) Заданы 1т койстант а^ > ° (% = 1, • • ., 2;加= =1,・• ., иг), удовлетворяющих условиям

I

2 а%兀=1 (6=1,..., иг);(1)

г=1

здесь aik обозначает относительную долю участия потребителя j в прибыли л互 производителя А; таким образом, абсолютная доля участия потребителя i в прибыли 冗在 есть а^лд.

Экономический смысл большей части условий (С.1)——(С-Р) уже обсуждался в гл. IV, § 12 и в гл. V, § 15. Нам остается^лишь сделать несколько доп о л ните л ьных замечаний.

Замечание 1. Для потребителя, вообще говоря, можно указать минимальный уровень потребления различных продуктов, необходимый для поддержания его существования; в то же время по чисто физическим причинам его возможности поставлять вовне такие производственные услуги, как «количество труда за год», ограничены. Это служит оправданием пр едп сложения (С. 2) об ограниченности снизу множества наборов потребительских благ.

Замечание 2. Из предположений (С.З) и (С.4) в силу леммы 15.5 вытекает выпуклость каждого поля предпочтений (X», ^»).

Замечание 3. Соотношение (1) означает, что прибыль 冗月 распределяется без остатка между потребителями-«пайщиками».

Дадим теперь определение конкурентного равновесия в этой основной модели.

Определение 16.1. Набор из Z + ^+ 1 векторов

(包 i2,?,力 l 於…，уm,方)，

состоящий из потребительских меню ①^^Х» (i= 1, . .., Z), производственных процессов у^£У丸 ("=1, ...,пг) и n-мерного вектора цен р >0, называется конкурентным равновесием в основной модели, если имеют место следующие условия (а)—— (？)：

(а) Максимум прибыли каждого производителя при данных ценах

№(》)=〈》，№〉= тах〈/, у) по всем y^Yh (归=1,・•・，加)・(2)

(0) Оптимум предпочтений каждого потребителя при данных бюджетных ограничениях и ценах: для каждого ZZ

вектор 一力* представляет собой наиболее предпочтительное меню потребления среди всех ① € X», удовлетворяющих бюджетному ограничению

(》,n〉《(》,序〉+ 3电加月(方).(3)

k=i

(у) Баланс совокупного предложения и спроса (т. е. рыночное равновесие):

IIт

i=lг=1 k~l

причем если /-я компонента вектора цен р； положительна, то в /-й компоненте соотношения (4) стоит знак равенства.

Определение 16.2. Вектор р в определении 16.1 называют вектором равновесных цен.

Следующие замечания проливают свет на природу понятия конкурентного равновесия, формализованного в определении 16.1.

Замечание 4. Важной чертой конкурентного равновесия является то обстоятельство, что каждый участник экономической системы, как производитель, так и потребитель, стремится добиться наилучшего положения, рассматривая цены как заданные.

Так, условие (а) означает, что каждый производитель максимизирует свою прибыль исключительно за счет выбора вектора затрат — выпусков, находящегося в его собственном распоряжении, принимая при этом вектор равновесных цен как заданный набор неуправляемых величин. Все эти прибыли распределяются как дивиденды между потребителями-пайщиками (акционерами). Выражение в правой части (3) представляет полный доход потребителя % при ценах р, который складывается из величины (р, аг)— общей стоимости его первоначальной собственности 〃'——и величины 2 ^ik^k(Р)— суммы дивидендов, выплачиваемых ему производителями (фирмами).

Условие (Р) означает, что потребитель осуществляет выбор наиболее предпочтительного меню потребления лишь из множества альтернативных вариантов, образованного возможными векторами его спроса (и предложения), согласующимися с его бюджетом и заданными ценами р.

Замечание 5. Максимум прибыли от丸(р) производителя к в условии (а) всегда неотрицателен, ибо технологическое множество Yk содержит по предположению (Р.1) точку 0, так что заведомо 冗月(р)》ф, 0) = 0. Однако прибыль 冗尼仿)не обязательно

§ 16. Существование конкурентного равновесия 327 положительна; наличие или отсутствие положительной прибыли определяется видом технологического множества. Типичным примером ситуации бесприбыльности является случай, когда технологическое множество представляет собой конус. Действительно, еслм Yk — конус, прибыль 窮互(р) должна быть равна нулю, ибо в противном случае, при 冗互仿)=(р,沙卜〉>0, мы имели бы, что〈方，Qyk) = Q〈方，泸〉f + oo,咿 W Yh при 0 > 0, 0 f oo, что противоречит предположению о существовании конечного максимума прибыли, равного 冗互(р). Несколько иная, хотя и близкая, ситуация бесприбыльности возникает тогда, когда конусом является совокупное технологическое множество У = 2 У&・ Нетрудно видеть, что и в этой ситуации ни один производитель не может получать положительную прибыль, т. е. 冗冗仿)= О (к = 1, . . ., иг). Это ясно из того простого факта, что вектор 炉=£ J； где / W У& (加=1, • • •,確)，максимизирует величину (р, у〉на У в том и только в том случае, когда при каждом Е вектор у* максимизирует ф,沙〉на У»

Замечание 6. Условие (у) означает, что совокупный спрос на каждый товар не должен превышать его совокупного предложения; это условие предъявляет менее жесткое требование к ситуации равновесия, чем строгое равенство спроса и предложения (9) в § 15.3. Однако в (у) дополнительно требуется, чтобы совокупный спрос и совокупное предложение в точности совпадали для каждого товара, цена которого положительна, так что положительный избыточный спрос (превышение спроса над предложением) допускается только тогда, когда цена данного товара равна нулю, т. е. когда он является (в равновесии) свободным товаром. Следовательно, если равновесные цены всех товаров положительны, то условие (у) предполагает точное равенство совокупного спроса и предложения для каждого товара.

Положительность цен на все товары в равновесии можно гарантировать, например, соответствующей специализацией структуры потребительских полей предпочтений; об этом еще будет говориться в дальнейшем. Другим важным частным случаем, когда в равновесии можно добиться баланса совокупного спроса и предложения, даже несмотря на возможное наличие свободных товаров, является ситуация, когда имеет место условие свободного расходования продуктов. Исходя из определения (С) свободного расходования в терминах потоков (§ 12.2 гл. IV), предположим, что условие свободного расходования выполняется для совокупного технологического множества У = 2 У&, т. е. что мз g £ У, у N 〃 следует 〃 { У. Тогда любое состояние конкурентного равновесия (%i, %2,・..,据I,旷,/2, , у% 夕)можно, если потре-

буется, видоизменить таким образом, что в полученном новом состоянии конкурентного равновесия будет соблюдаться баланс совокупного спроса и предложения по каждому товару. Действительно, так как при конкурентном равновесии должно выполняться соотношение (4), то в силу условия свободного расходования УЗ 〃 = 2力"—2仅'・ Вектор и по определению можно представить в виде

成=£ 力* 胪£)\ ("= 1,г).

Следовательно, если при каждом Е вектор》'также доставляет максимум прибыли (р, у} на множестве У\, то совокупность

Л ^Ч人• Л ЛЛЛ

mт2区沁=2区产〉.k=ih~lmт2区沁=2区产〉.k=ih~l% + иг+ 1 векторов (ж1, ж2, • •., х, и1, и2, •.., ит, р) представляет собой искомое конкурентное равновесие. Вспомним теперь, что те товары” совокупное предложение которых превышает в равновесии совокупный спрос на них, являются свободными товарами, так что (р, 〃〉=〈〃，у〉，где 刃=2沙• Это означает, что

mт

2区沁=2区产〉.

k=ih~l

mт

2区沁=2区产〉.

k=ih~l

(5)

С другой стороны, 区讃〉《血泸〉(*= 1, . .., m),(6)

так как при каждом к вектор ук по предположению максимизирует величину 〈р, у〉на множестве У^, которое содержит и вектор 〃匕 Сопоставляя соотношения (5) и (6), находим, что в (6) доллч- но иметь место равенство, так что вектор м также доставляет максимальное значение прибыли ф,沙〉на множестве У^, равное Л左而.

Определение 16.3. Для потребителя i будем называть d-й продукт желательным^ если для каждого вектора х = (%》£ X* найдется положительное число 九 > 0, такое, что X»》х^ = ^^ (勺,• •・,*^d— 1» %d + А,况d + 1, • • •，*^n) M 况，z* j *^»

Определение 16.4. Пусть D — множество продуктов, которые являются желательными для всех потребителей 力= =1, . . ., I одновременно. Будем называть Л-й продукт производительным, если для любого вектора 沙=(力)из совокупного технологического множества У найдется другой вектор у* W У> такой, что

У*》У] для j =# 无,(7>

у* > yd для некоторого d ^ D.(8)

Замечание 7. В определении 16.4 вектор у* зависит от 沙； аналогично, тот желательный продукт, для которого выполняется неравенство (8), также может зависеть от у.

Теперь все подготовлено для того, чтобы сформулировать главные результаты, относящиеся к существованию конкурентного равновесия в нашей основной модели при условиях (G.1)—— (С.5), (Р.1) — (Р.4) и (G-Р}. Эти результаты формулируются в виде следующих трех теорем существования конкурентного равновесия.

Теорема 16.1 (Эрроу, Дебре [11). Если каждый потребитель i обладает положительной начальной собственностью а： в том смысле^ что можно указать набор потребительских благ Ьг из множества X», удовлетворяющий условию

/ >歩… (9>

и если ни для одного потребителя не существует точки насыщения (с九.определение 15.6), то существует конкурентное равновесие.

Хотя само утверждение теоремы 16.1 совершенно прозрачно и элегантно, все же предположение о положительности начальной собственности недостаточно реалистично. Приводимые ниже теоремы 16.2 и 16.3 избавлены от этого нереалистического предположения, однако за счет наложения дополнительных условий на поля предпочтений и совокупное технологическое множество.

Будем обозначать через D м Q множество продуктов, желательных для всех потребителей сразу, и множество всех производг ственных продуктов соответственно.

Теорема 16.2. Предположим^ что е множество D входят все продукты. Пусть выполнены следующие два условия:

Каждый потребитель i обладает начальной собственностью^ @\ такой, что можно указать набор потребительских благ Ьг из множества Х^, для которого

d > Ъ\ (Ю>

Совокупное технологическое множество У содержит процесс 纟,такой, что

а + 勺 > Ь, (И) где

г=1 г=1

Тогда существует конкурентное равновесие^ при котором все соответствующие равновесные цены положительны.

Теорема 16.3 (Эрроу, Дебре [1]). Предположим, что Q ：/= 0 (а значит, и D у= 0). Пусть выполнены следующие два условия:

Каждый потребитель i обладает начальной собственностью @г, такой, что можно указать набор потребительских благ Ьг из множества X», для которого

Т三兄(12)

硫 > 球 @4区 некоторого h g Q.(13)

Возможно так распределить производство и потребление одновременно чтобы обеспечить положительные избытки всех продуктов^ т. е. существуют векторы % £ X и у ^Y, такие ^ что

а + у>х, .(14)

z@e

IшI

г=1丸=1г=1

Тогда существует конкурентное равновесие.

Доказательства теорем 16.1——16.3 не просты, и им отводятся следующие три раздела (§ 16.2—§ 16.4). А оставшуюся часть этого раздела мы посвятим некоторым замечаниям относительно приведенных формулировок теорем, а также обсуждению вопроса о возможности ослабления требования выпуклости и замкнутости индивидуальных технологических множеств, на которую впервые указал Удзава [4].

Замечание 8. В формулировки теорем 16.2 и 16.3 включены предположения (ii) о существовании таких распределений, которые обеспечивают положительные избытки всех продуктов, тогда как в формулировку теоремы 16.1 такое предположение явным образом не входит. Однако в теореме 16.1 существование такого распределения автоматически гарантируется предположением а? > 6г (i = 1, • • ., Z). В самом деле, из этого предположения сразу следует, что』〃" >』％ а отсюда вытекает соотношение (11), если взять 歹=0.

Замечание 9. Теоремы 16.1 и 16.2 охватывают как частный случай ситуацию чистого обмена, когда У = {0}.

Совокупная выпуклость. Предположение (Р.2), содержащее требование выпуклости и замкнутости индивидуальных технологических множеств, часто подвергается критике за несоответствие экономической действительности. Удзава [4] заметил, что на самом деле для доказательства существования конкурентного равновесия это предположение в полном объеме не нужно и что

его можно заменить следующим более слабым и более приемлемым предположением:

(Р・2‘)Совокупное технологическое множество Y = ^\Yk k=i выпукло и замкнуто.

Для доказательства этого полезного замечания Удзавы (см. ниже теорему 16.4) нам понадобится следующая вспомогательная

Лемма 16.1. Пусть yfe (А = 1,...,加)一непустые множен ства в Rn. Далее, пусть через С (Yk) и С (У&) обозначены выпуклая обо几очка множества У冗〃 ее замыкание соответственно. Тогда т

если множество У = 2 У^ выпукло и замкнуто e Rn, то h=l

т y=NEj・(15)

Доказательство. Если мы покажем, что

т

Y=^C{Y^(16)

то искомое соотношение (15) немедленно будет вытекать из (16). В самом деле, поскольку С (У^) с: С (Yft) и 2 c (YQ и £ С (У&), то с учетом замкнутости множества У получаем

у= £с(%)и 3 C^^Y^Y.丸=ik—t

что и дает (15). Следовательно, остается только установить соотношение (16). Но ввиду выпуклости множества У для этого достаточно показать, что

т

С(У)= £С(力)•(17)

Очевидно, множество в левой части (17) содержится в множестве, стоящем справа. Пусть теперь у — произвольный элемент множества, стоящего в правой части; тогда

m 丁冗

У — »i 2 а$或g吃匕rk

a%h》• °, у"或 £ У 在，^] а$ 丸 h — 1(乃=4,...，皿；Sh = l, ..., rQ.

Отсюда с учетом очевидных условий

a8]1%,2 • • • a87nm >°九2%(%22 • • . ^smm = 1,

“，♦•♦, $т== 1

мы получаем ri, . . • , rm• m

沙=2 as】1 • • • a$諸...%21 2 卢％c(y).

s* . . ., sm=lh=l

Этим доказано соотношение (17), а с ним и лемма.

Теорема 16.4 (Удзава [4]). Теоремы 16.1—16.3 сохраняют силу, если предположение (Р.2) заменить предположением совокупной выпуклости (Р・2‘).

Доказательство. При каждом 加=1, . . ., иг множество С (Уй) выпукло и замкнуто в 2n. Согласно лемме 16.1, предположение (Р・2‘) влечет за собой соотношение (15). Поэтому если исходная модель удовлетворяет всем нашим пр ед пол ож ениям с заменой (Р.2) на (Р・2‘)，то модифицированная модель с теми же полями предпочтений (X»,二 0, но с множествами С (У&) в качестве индивидуальных технологических множеств, удовлетворяет всем предположениям (С.1)—(С.5), (Р.4)—(Р.4) и (G-Р) (в их первоначальном виде). Указанная модификация модели не нарушает дополнительных предположений о начальной собственности и о распределениях, фигурирующих в формулировках теорем 16.1—— 16.3. Следовательно, теоремы 16.1—16.3 остаются в силе и для модифицированной модели, так что для этой модели существует конкурентное равновесие (i1, •・.，* 尸，...， 产，方). Покажем, что отправляясь от него можно получить состояние конкурентного равновесия для - исходной модели.

Действительно, хотя вектор yh может и не принадлежать множеству У兀，совокупный процесс 刃=£沙尼 в силу соотношений 泸e范м у= 2力=2不随должен принадлежать совокуп- 丸=ik=i-

ному технологическому множеству У и, следовательно, его всегда можно представить в виде

力=2 界 zk^Yk (乃=1,…，тп).(18)

k=i

Покажем, что совокупность Z + ^+1 векторов (居 …，％', z1, ..., zm, p) представляет собой конкурентное равновесие в исходной модели. Прежде всего, условие рыночного равновесия (4) для модифицированной модели с учетом соотношения

，=2 ” = 2 眇 Дает

£讶三 3?,(19)

г=1г= 1R=l

причем в у-й компоненте соотношения (19) имеет место равенство, если соответствующая цена р； положительна. Поэтому условие (?) из определения конкурентного равновесия выполнено. Далее, заметим, что

тт

е〈方,加〉=2(2о)

R=1h=l

Вектор yk максимизирует величину ф, у) на множестве С (У左), подмножеству У丸 которого принадлежит вектор z互(к = 1, . .®.

Поэтому из соотношения (20) как и в замечании 6, вытекает, что вектор z' максимизирует величину 〈р, у〉на множестве У&, с тем же максимальным значением 冗互(р) = ф,产〉=〈方，伞〉 依=1,.…m). Таким образом, условие (а) также выполнено. Что касается условия (Р), то на его справедливости переход от исходной модели к модифицированной не отражается вообще. Этим доказано, что (%1, . J., / , z1, . . zm, p) представляет собой конкурентное равновесие в исходной модели экономики.

§ 16.2. Функции предложения и спроса

Цель настоящего раздела ——свести исходное описание конкурентного равновесия в модели Эрроу ——Дебре к описанию равно- :весной ситуации в терминах соответствующим образом построенных функций спроса и предложения. Вспоминая сказанное в § 15.2 относительно потребительского выбора^ мы видим, что трудность заключена в построении функции спроса, которая определена и обладает непустыми множествами-образами при всех полуположительных векторах цен. С аналогичными трудностями приходится сталкиваться и при попытке определения функции предложения. Основным источником этих трудностей является допущение, что множества наборов потребительских благ и технологические множества могут быть не ограничены и в связи с этим наиболее предпочтительные меню потребления и наиболее прибыльные технологические процессы могут просто не существовать. Чтобы преодолеть эти трудности, мы будем рассматривать вместо истинных функций спроса и предложения, определение которых вызывает затруднения, подходящим образом определенные виртуальные функции спроса и предложения. Это можно сделать, сузив области выбора потребителей и производителей до надлежащих ограниченных подобластей. Но при

таком подходе нам понадобится провести некоторые предварительные рассмотрения, касающиеся распределения производства и потребления.

Пусть, как и прежде,

ZтI

х=』Xz・,Y= 2 У必 〃=2/1=1k=li=l

Тогда каждое состояние конкурентного равновесия (%、 ・..,£* у* ..., ут, р), если таковые вообще существуют, должно удовлетворять условию (у) и, следовательно, условию

тI

(а + У-Х)П/??Эа+ 3?- 3?.(1>

R=2г=1

Положим

£="1%%К, (〃 + y—』Xs-^)na；=#0} « = 1,・(2>

i\ = {猾#e匕, (a+ /+2 爲一Х)п 组 *0}(乃=1,

(3)

Во всех последующих рассуждениях мы будем предполагать выполненными основные условия (С.1) — (С.5), (Р.1) — (Р.4) и (G-Р). Кроме того, в последующих утверждениях подразумевается, что выполнены соответствующие условия теорем )16.1—— 16.3 (если не оговорено противное).

Лемма 16.2. Имеют место следующие утверждения:

Xi^ 0,鼠#0 для всех i, k.

Если (%i,...,①‘，у、..., у771, p) — конкурентное равновесие,. A. •/^^A ,/*^

mo X1 ^Xi, у £У丸 для всех Z = l, Z, k=& m.

Для всех i, k множества X^ Yh являются выпуклыми подмножествами множеств Х〃 соответственно.

Для всех I, к множества X», Yu ограничены.

Доказательство, (i) В ^теореме 16.1 6*£Х^ 0£Уь В теореме 16.2 мы имеем Ъ1 ^Хь y\Yk, где g=』g* yk^Yk^ Наконец, в теореме 16.3 имеем %г£Х% у^ЕУ兀,где 况 £』炉) 亍E%，亍=2乃，?en.

Это следует из (1), (2), (3).

Указанные множества выпуклы, так как при их построении применяются только операции взятия линейных комбинаций выпуклых множеств и пересечения с Е，一 также выпуклым множеством (см. (2), (3)). Очевидно, эти множества содержатся в Х^ и Уд соответственно.

С учетом определения множеств X% У^ (см. (2), (3))' достаточно показать, что если % + 加 последовательностей {① в X» (t = 1, ..., Z) и {ykv} в Yk ("=£•••, тп) удовлетворяют условию

a+2严一2 炉v三O W = l,2, ...)，(4)>

h=W г=1

то все они должны быть ограниченными.

Докажем сначала ограниченность последовательностей 伊v} (加=i, . . ., zn). Допустим противное. Тогда, заменяя, если нужно, исходные последовательности некоторыми их подпоследовательностями, мы без ограничения общности получаем

lim 卩”=+оо, piv = [max || ykv || no 乃=1,・・•，矶(5)

Vf+8

При этом в силу (4) имеем

4+2严三2 %叫(6)

k—i i—i

Принимая во внимание ограниченность множеств X» снизу, оговоренную в предположении (С.2), соотношение (6) можно привести к виду

S 严三C-Q,(7)

k=i *

где с= 2 cl. Заметим теперь, что 卩”>4 при достаточно боль

ших V в силу (5) и что Yk представляет собой выпуклое множество, содержащее вектор 0, согласно предположениям (Р.1), (Р.2), и содержащее вектор 卢(при каждом v). Поэтому для всех достаточно больших v имеем

_ykv =(1/^)ykv4-(1 — l/p,v)- ОGYk (乃=1,…，m).(8)

Деля обе части неравенства (7) на 卩▽ и учитывая (5), получаем т,

2 严7卩V三(с —叫他今о (Vf+oo)・(9)

Далее, в соответствии с определением jxv (см. (5)) при достаточно больших V должно быть

11gM7卩vl《i ("=i, ・.・，m),

т. e. векторы 心/卩1V должны лежать в единичном шаре. Ввиду компактности единичного шара мы можем без потери общности .считать, что т последовательностей {yhv} ("= 1, • • •, 〃2)сходятся

к соответствующим пределам

lim 少/卩 1V =严.(10)

Поскольку множества Yk согласно (Р.2) замкнуты, эти пределы у'° должны принадлежать множествам Yk (〃 = 1, ・・・,^) соответственно. Поэтому условие (9) приводится к условию

7n

S уо 三 О,(11)

причем вектор в левой части этого неравенства должен принадлежать множеству У, ввиду того что 严 £У丸 (" = 1, .. ., а^). Таким образом,

т

3 /。" П理，(12)

k=i

что согласно предположению (Р.З) дает

S 严=о・(13)

k=i

Заметим теперь, что для каждого t ввиду ，условия (& = 1,…，zn) мы имеем

т—1人

严=0+一.+0 +严 ey,

и в то же время согласно (13)

一产=0+2严eУ.

Соотношения (14) и (15) показывают, что

y^^Y^^Y)(力=4,…，哂

откуда согласно (Р.4)

沙to = 0 (^ = 1, .. m).

Поэтому из (10) мы получаем

lim max || yhv/^v || =0.

V->+oo k

Но условие (17) находится в противоречии с тождеством

= max II ykvliiv И по 友=1, ..., т,

као(伍)(15)(16)(17)као(伍)(15)(16)(17)вытекающим из определения 卩 1V (см. (5)). Этим доказана ограниченность всех последовательностей {ykv}(归 =1, . . ., m).

као

(伍)

(15)

(16)

(17)

као

(伍)

(15)

(16)

(17)

Ограниченность I последовательностей {%®} (Z = 1, . . ., Z) немедленно вытекает из полученного выше результата. Действи-

тельно, используя ограниченность последовательностей {ykv}, а также ограниченность снизу множеств £ векторами с' (i = =1, . . ., Z), оговоренную в предположении (С.2), получаем, что для любых последовательностей {%$"} из Xt и {ykv} из У^, удовлетворяющих условию (4), имеет место соотношение

тпт

^三产=a+ 2疗”-£炉”=a+ 3 疗v一2/

A=1i=/=sk=itfs

Этим установлена ограниченность последовательностей {xsv} для всех s = 4, . .ZyЛемма полностью доказана.

Отметим, что 备ммененный здесь метод доказательства принадлежит Эрроу и Дебре [1].

Построение функций предложения и спроса. Лемма 16.2 весьма важна в том отношении, что она позволяет локализовать распределения (炉，...，％', 旷，...,ут), соответствующие состояниям конкурентного, равновесия, в ограниченных областях X», Yk, хотя само существование состояний конкурентного равновесия пока еще не доказано. Теперь мы можем на основе этой леммы приступить к построению виртуальных функций предложения и спроса.

* Выберем достаточно большой куб

Е = {^ I Ъ* < ^j < П) (j = 1, •・•，叫， такой, что

О,尸 £ Е,爲，Yk с= Е° (Z = 1, • • Z,归=4, • •^), (18) где Е° — внутренность Е. Тем самым определяются Z + m непустых компактных выпуклых множеств X» П 豆， У/i П 豆、(％ = —1, . . ., Z, " = 1, . . ., т).

Теперь мы можем определить индивидуальные функции предложения и спроса на множестве всех полуположительных векторов цен, рассмотрев наиболее удовлетворительный выбор потребителей и производителей на суженных множествах Хг П Е, У^П Е.

Индивидуальные функции предложения. Функция предложения 4>д (р) производителя к и его функция прибыли л^ (р) определяются при всех р > 0 следующим образом:

屮尼 S) = {犷丨〈，#〉= max〈р, у) по всем у W У冗 П Е},(19)

飙 ® = max (р, у) по всем у ^ Yk (] Е (к = 1, . . ,, т). (20)

Определения (19) и (20) имеют смысл, поскольку У^ П ^ — компактное множество и, значит, непрерывная функция〈р, у) достигает на нем своего максимума. Отметим, что 屮'для каждого к пред- 22-8

ставляет собой многозначное отображение, которое переводит полуположительный вектор р в непустое компактное выпуклое подмножество ^k (р)] множества Y^ () Е. С другой стороны, 冗丸(Р)— однозначная числовая функция, причем

лд (р)》0 при всех р 二 0.(21)

Неравенство (21) следует из того факта, что в силу (Р.1) и (18) в множестве Yh (] Е содержится процесс 0 (бездействие) и, значит, производитель к всегда может гарантировать себе по меньшей мере нулевую прибыль, выбрав у = 0 из У丸 П 笈.

Индивидуальные функции спроса. Функция спроса (р〃 (р) потребителя i определяется при всех р > 0 следующим образом: 屮° (р) = {炉 I xi £ X»,炉 士％ для всех x^Xi(]E,

i т

таких, что〈，％〉《〈□心 + 2 a氾取(р)} (Z = l,・・.，Z).(22)

Для того чтобы имело место 屮'(/?)声0, бюджетное ограничение

3 ^Х(р,序〉+ 3 амМ/?)(23)

丸=1

должно быть совместимо с условием

хЕХ^Е(24)

при всех 卩丄 0. Чтобы установить это, заметим прежде всего, что 2 а^л冗(р)》0 при всех р > 0 согласно условию (21) и условию а睛》0 в (С-Р). Так как » £ X» П Е согласно (18) s а"三匕' согласно соответствующим предположениям о начальной собственности в теоремах 16.1—16.3, то вектор с = Ьг удовлетворяет как (23), так и (24). Отсюда видно, что все векторы с мз X» Q Е, удовлетворяющие условию (23), образуют непустое компактное выпуклое подмножество М» множества Х$ при каждом р > О (компактность и выпуклость множества Mi вытекает из линейности ограничений (23) на компактном и выпуклом множестве Х^ Q П Е). Поэтому в силу леммы 15.3 и непрерывности отношения предпочтения ^ l оговоренной предположением (С.4), множество фг (р) всех наиболее предпочтительных относительно 二》 элементов в Mi является непустым компактным множеством. Наконец, ввиду леммы 15.6 (i) и выпуклости отношения предпочтения 士加 отмеченной в замечании 2 § 16.1, фг (р) является выпуклым множеством. Таким образом, мы показали, что фг представляет собой многозначное отображение, переводящее каждый полу- положительный вектор р в непустое компактное выпуклое подмножество множества Xi Q Е. ”

Функция совокупного избыточного предложения. Функция совокупного предложения i|)(р), функция совокупного спроса ф (р) и функция совокупного избыточного предложения % (р) определяются следующим образом:

2(。) = 〃+ 2 廿(Р)，(25)

k= 1

屮(〃) = .』屮'(Р)，(26)

i=l

%g)=屮(p)一中(0).(27)

Каждая из этих функций определена при всех р > 0 и имеет своими множествами-образами непустые компактные выпуклые множества в Еп. Это вытекает согласно теореме 2.10 гл. I из соответствующих свойств функций ф\ 1|Л

Функции (р (р) и i|)(р) связаны между собой чрезвычайно важным соотношением, известным как закон Вальраса. Пусть х £ W 屮(р) м у W 屮 S), % пусть

x=^X\ 比飞屮‘(p)(»=1,…，2),

г=1

т

沙=〃十 2 此 yk€^h(p) ("=1, 砌

—соответствующие разложения. Тогда ввиду того, что 戸 доляшы удовлетворять бюджетному ограничению (23), мы имеем

т

〈Р, %'〉WS，〃'〉+ ?「/№(/?)(% = 4,(28)

Далее, включение 刃丸 £屮'(卩)в сочетании с (19) и (20) дает

№(Р)=〈，力 (乃=1, • • •,(29)

Поэтому, производя с учетом (29) суммирование в (28) по всем г, А и принимая во внимание равенство (1) из § 16.1, получаем

II

г=1г=1

I2 т

< 3 з 苏〉+ 2 £ а/冗丸(〃)= г= 1г=1 k=l

Iт I

=4^，2 〃'〉+22 а/Л冗(р)=

G=1R=lj=£

тт

=①，Q〉+ 2 冗丸(p)=〈□ a〉+ 2(Р,力=

=G, “+2 yk〉・

Следовательно,

仍，％〉《〈Р，У) (% W 屮(р), У CW S)),(30)

или, в терминах функции избыточного предложения % (р),

〈р, 〃〉》0 (^ С X (р))・(31)

Это неравенство носит название закона Вальраса е широком смысле. Следует подчеркнуть, что этот закон утверждает справедливость неравенств (30) или (31) тождественно по всем р > 0, а не только при каком-то особом р. Если же (30) и (31) тождественно обращаются в равенство, т. е. если *

伪，％〉=〈Р, У) (% W <Р (р), У Е^(Р)),(32)

или

〈р, 〃〉= 0 3 W X (р)),(33)

то соответствующее тождество называют законом Вальраса в узком смысле.

С экономической точки зрения закон Вальраса в широком смысле утверждает, что единственным источником эффективного спроса является распределенный доход. Закон Вальраса в узком смысле утверждает сверх того замкнутость цикла, по которому циркулируют доходы, т. е. совпадение предложения и спроса в стоимостном выражении, что, однако, не предполагает совпадения предложения и спроса по отдельным товарам. Эти законы имеют кардинальное значение для существования конкурентного равновесия в системе Вальраса..

Определение 16.5. Триплет (%, у, р), состоящий из вектора совокупного спроса х, вектора совокупного предложения у и полуположительного вектора цен р, называют равновесием (равновесным решением) для функций совокупного предложения и спроса 屮(р), Ф (р), если

*"(方)，У^^(p)^(34)

0三財.(35)

Определение 16.6. Вектор цен р в определении 16.5 носит название равновесного вектора цен для функций совокупного предложения и спроса 屮(р),屮(р).

Легко видеть, что равновесный вектор цен для 屮(р),屮(р) можно охарактеризовать в терминах функции совокупного избыточного предложения % (р) как такой вектор цен р, для которого

■ X (р) П ^ ¥= 0.(36)

Роль функций совокупного спроса и предложения выявляется следующей теоремой.

Теорема 16.5. Имеют место следующие утверждения:

Если совокупность Z-)-*^ + 1 векторов (炉,，・•・，％* 犷,...,ут, р), таких, что 炉 £Х?, yk^Yk, р丄0, представляет конкурентное равновесие е основной модели^ то

讶6& (方)(=1,…，)(37)

力互£屮r(方)("=1,...，確)，(38)

а триплет (力,у, р), где

*=.3个，力=Q+£朽(39)

i= 11

дает равновесное решение для функций совокупного предложения и спроса ip (р), ф (р).

Если триплет (%, у, р) представляет собой равновесие для 屮(р), (р (р), то каждая совокупность 2十血十 1 векторов (ж1, . . ., хг, ут, £), получаемая при разложении (37), (38), (39), дает конкурентное равновесие в основной модели.

Доказательство, (i) Условие (35) вытекает из требования (у) в определении 16.1. Далее, хг € X% yh ^ Уд в силу леммы 16.2 (ii), так что согласно (18)犷 W X» П Е, yh Е^к (] Е. Поэтому вектор yh максимизирует величину (р, у〉на множестве У^ П Е, ибо согласно условию (а) в определении 16.1 он максимизирует эту величину даже на всем множестве Уй. Аналогично, вектор хг является наиболее предпочтительным элементом на множестве Xi [\ Е при бюджетном ограничении (3) из § 16.1, так как согласно условию (Р) из определения 16.1 он является наиболее предпочтительным элементом даже на множестве X% при том же бюджетном ограничении. Следовательно,①'£ 屮‘(р), 力卜 С 屮尼(Е), чем и доказано условие (34).

Нужно показать, что удовлетворяются условия (а) — (?) из определения 16.1. С этой целью прежде всего заметим, что из (35) в силу определений множеств X», У冗 вытекают включения x^Xt (i = l, .Z),(40)

?€П 3 = 1,…，^).(41)

(ii. а) Доказательство условия (а). Допустим, что для некоторого yh g Yk имеет место неравенство (р, yk) > (р, yk). Тогда для любой точки z^ отрезка с концами yk, yk нри zk у= yh имеет место неравенство {р, z*〉>〈p, у%. Очевидно, zh ^Y^ в силу выпуклости множества У^. Далее, согласно условиям (18) и (41) точка у"

должна быть внутренней точкой множества Е. Поэтому всегда можно выбрать указанный выше вектор z' столь близко к 沙% что 2，£УкП 笈. Но это противоречит тому, что у^^^ (р), чем и доказано (а).

(ii. Р) Доказательство условия (Р). Допустим, что для некоторого 炉｛£

戸 > ?,(p，N"〉W 位 序〉+ W ^ih^>k (方). гfe=l

Тогда, согласно предположению (G.3), для любой точки ip\ принадлежащей отрезку с концами %、％* прим^*%* должно быть 歩> g. хг

Кроме того, элемент wl будет принадлежать множеству Хг в силу выпуклости этого множества, а также будет удовлетворять бюджетному ограничению. Поскольку при этом элемент %', согласно условиям (18) и (40), обязан быть внутренней точкой множества Е, всегда можно выбрать u)t столь близким к %г, что w‘ £ ^ Xf П Е. Но это противоречит тому, что %' £ фг (р), чем и доказано (Р).

(ii.y) Доказательство условия (у). Так как выполнение условия (4) из § 16.1 уже обеспечено условием (35), остается только показать, что

если р/>0, то Xj = y“(42)

Легко видеть, что в силу (35) условие (42) эквивалентно равенству 〈方，锵〉=(方，力.(43)

Таким образом, остается установить равенство (43). Внимательное рассмотрение вывода закона Вальраса в широком смысле (30) показывает, что для того, чтобы доказать (43), достаточно проверить, что в бюджетном ограничении, фигурирующем в (Р), для каждого потребителя » имеет место равенство. С этой целью мы прежде всего заметим, что для каждого потребителя Z в силу его ненасыщаемости всегда найдется элемент рг из Х^, такой, что 状 A公.(44)

Ненасыщаемость явным образом предполагается в теореме 16.1 и неявно гарантируется в условиях теорем 16.2 и 16.3 существованием желательных (для всех) продуктов. Таким образом, для любой точки хг отрезка с концами i；1, х1 при %’ =/=%? в силу условий (44) и (G.3) имеем

①' > 必.(45)

Допустим теперь, что для некоторого потребителя Z в его бюджетном ограничении имеет место строгое неравенство. В этом случае мы всегда могли бы выбрать указанный выше элемент хг столь близким к %', чтобы х1 все еще удовлетворял нашему бюджетному ограничению. Но тогда условие (45) пришло бы в противоречие с условием (Р)——с тем уже проверенным фактом, что хг представляет собой наиболее предпочтительный элемент в X» при бюджетном ограничении. Теорема полностью доказана.

Закон Вальраса и экономическое равновесие

Теперь, после того как задача о состояниях конкурентного равновесия в модели Эрроу ——Дебре сведена к задаче о равновесных решениях для соответствующих функций совокупного предложения и спроса, мы можем установить одну мощную теорему существования, которая весьма простым образом формулируется в терминах функции избыточного предложения.,

Теорема 16.6 (Гейл [1], Никайдо [3], Дебре [2]). Пусть п

Рп = {р|р 三 0, 2 Pj ― 1} — стандартный симплекс в Rn,

Г ——некоторое компактное выпуклое множество 6 Rn, и пусть задано многозначное отображение %: Рп f 2Г, которое простоты ради будем называть функцией избыточного предложения. Предположим, что это отображение удовлетворяет следующим двум условиям:

(а) Отображение %： Pn f 2r замкнуто и переводит каждую точку симплекса Рп в непустое выпуклое подмножество множества Г.

(Р) Выполняется закон Вальраса в широком смысле, т. е.

(Р，〃〉》0 при и 6 % (р).

Тогда существует вектор р《Рп, такой, что

%(Е)П 研 *0・(1)

Доказательство. Это доказательство основано на построении подходящего отображения и применении к нему теоремы Какутани о неподвижной точке. Прежде всего определим однозначное отображение

0: Г X Рп ^п следующим образом:

е (“, р)=(仇 3, р))，м=3D £ г, р = СрО £ 尸九，

83,切=••〃}max( 一"厶。)4г...,办(2)

1+2 max(―u；, 0)

Далее, взяв декартово произведение отображения 0 и отображения %, которое при этом рассматривается как заданное на множестве Г х Рп, мы получим следующее отображение (см. гл. I, § 4.4):

/ = %хе：Гхл2FXP%

/ 3, р) = % (р) х {0 3, р)}.(3)

Руководствуясь § 4.3 гл. I, покажем, что отображение / удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани о неподвижной точке (гл. I, теорема 4.4). Эту проверку мы произведем в три шага.

Множества Г и Рп оба компактны и выпуклы в Rn. Поэтому согласно теореме 2.9 гл.1 Т X Рп — компактное выпуклое множество в 7?п X Еп・

По предположению множество % (р) при каждом р является ~ выпуклым подмножеством множества Г; в то же время {0 (и, р)} как одноточечное множество при любых (u, р) W g Г X Рп представляет собой выпуклое подмножество множества Рп. Поэтому при любых (и, р) ^ V х Рп образ / (и, р), определяемый равенством (3), является выпуклым подмножеством множества Г X Р”/

Для того чтобы доказать замкнутость отображения /, в силу теоремы 4.5 гл. I достаточно показать, что его компоненты %, 0 замкнуты. Замкнутость % как отображения, определенного на Г X Рп, немедленно вытекает из предположенной замкнутости % как отображения, определенного на Рп. Что касается 0, то оно» очевидно, представляет собой однозначное непрерывное отображение множества Г X Рп в Рп и, следовательно, также замкнуто.

Таким образом, согласно теореме Какутани о неподвижной точке, отображение / должно иметь неподвижную точку (〃，р), для которой

向方)e/(応方).(4)

Соотношение (4) с учетом (2), (3) распадается на соотношения

(5) 方=8&方).(6)

Для завершения доказательства теоремы остается убедиться, что 成三 0. Перепишем соотношение (6) с помощью выражения (2) таким образом:

成=且4二迎力 (7)

1+ 2 max (一向,0)

или, иначе, n

Pi 2 max (— u；, 0) = max( —〃厶 0)(X = l, . .., n).(8)

Умножая %е равенство в (8) на щ и суммируя по всем %, получаем

〈方，и) 2 тах( —涼，0)= £ 房 max (―良，0).(9)

j= 1г— 1

Воспользовавшись очевидным тождеством t max (力 0) = (max (厶 О))2 для всех t, преобразуем (9) к виду

пn/

—〈方，办 3 max ( —", 0)=为(max( —R, О))2.(10)

j=£г=1

Заметим теперь, что в (10) слева〈р, 〃〉>0 согласно закону Вальраса в широком смысле — условию (Р) теоремы, тогда как 3 max (— Uj, 0) > 0 по определению. Поэтому правая часть соотношения (10) должна быть неположительна, так что

тах( —〃》, 0) = 0 (Z = l,…，n).(11}

Условия (11) дают ——MiWmax(——〃厶 0) = 0 для всех i, т. е. 〃》》0 для всех Z, или, иначе, 乂三0, чем и завершается доказательство теоремы.

Равновесные решения для х (р) можно искать - и другим способом——как неподвижные точки отображения

р)^х(р)х^(^ ГхРп^2ГхР\(12)

где

^ (^) — {r I г минимизирует〈〃，д〉по всем q ^ Рп}- (13)

Легко проверить, что многозначное отображение (12) удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани о неподвижной точке. Очевидно также, что для неподвижной точки (〃，р) этого отображения выполнены соотношения (5) и

Р € П (力.(14)

Соотношения (5) и (14) с учетом закона Вальраса в широком смысле——условия (Р) теоремы — дают

0 < &, р) < &,，〉Для всех q W Рп,(15)

откуда 6 三 0, что и требовалось доказать.

Теорема 16.6 играет ключевую роль при доказательстве существования конкурентного равновесия в системах вальрасовского типа, таких, как модель Эрроу —— Дебре; это выяснится в § 16.4. В этой теореме условия существования равновесия выступают в наиболее чистом виде ——в виде требования непрерывности (точнее, замкнутости или полунепрерывности сверху) функции избыточного предложения и требования выполнения закона Вальраса..

Замечание 1. Если в условии (0) теоремы 16.6 в состоянии равновесия (и, р〉= 0, то, очевидно, для каждого у, такого, что Pi > 0, мы имеем 口丿=0. В частности, если 方 > 0, то и = 0. Поэтому в случае однозначного отображения % (?) = (%/ (р)) теорему 16.6 можно использовать для исследования системы уравнений

X;(Р1, Р2, • • •, Рп) =。 С = 1, •・.，п). (16) (В течение примерно полувека, вплоть до 1950-х годов, экономисты тщетно пытались доказать существование решения системы (16) путем простого подсчета числа уравнений и неизвестных.)

Замечание 2. Вальрас представлял себе процесс формирования равновесных цен на рынке как своего рода поиск (tatonnement), т. е. как процесс проб и ошибок, который выглядит так. Некий «аукционер» провозглашает цены на все продукты; каждый участник рынка, исходя из этих цен, объявляет в ответ величину своего предложения и спроса по каждому продукту. Если в результате л случается баланс соответствующих совокупного предложения л спроса, то данные цены удовлетворяют рынок и являются равновесными ценами. Если же нет, то аукционер провозглашает новые цены, в ответ на которые участники рынка снова объявляют соответствующие величины предложения и спроса, и так далее. Этот процесс проб и ошибок продолжается до тех пор, лока наконец не установятся равновесные цены. Отображения 0 и % которые фигурируют в доказательстве теоремы 16.6, можно интерпретировать как формальное описание поведения аукционера —как описание того правила, по которому аукционер изменяет цены в неравновесной рыночной ситуации (см. далее гл. VI, § 19).

Применение теоремы Какутани о неподвижной точке при доказательстве теоремы 16.6 вызвано не просто техническими соображениями, а связано с самим существом дела. Напомним, что эта теорема Какутани является обобщением аналогичной теоремы Брауэра (см. гл. I, § 4.3). Удивительно то, что теорема Брауэра о неподвижной точке в свою очередь вытекает из теоремы 16.6! Этот принципиальный результат, полученный Удзавой [51, обосновывает существенную необходимость применения метода неподвижной точки в доказательстве теоремы 16.6.

Теорема 16.7 (Удзава [51). Из теоремы 16.6 следует теорема Брауэра о неподвижной точке (ал. I, теорема 4.3).

Доказательство. Вспомним, что любые два компактных выпуклых множества одинаковой размерности гомеоморфны; ввиду этого достаточно доказать существование неподвижной точки для произвольного непрерывного отображения / стандартного

симплекса Рп в себя (см. гл. I, теоремы 2.7 и 4.3). Пусть / (р)= =(Л(Р))，Р € Рщ где 力(р) есть i-я барицентрическая координата точки / 血).Функции Л (р) (г = 1, • • •,力 непрерывны и удовлетворяют условиям

厶 S)》0 « = 1, • • •, п),(17)

п

S 力(р) = 1・(18)

г=1

Для каждого р^Рп имеем || р ||2 = (р, р) > 0, ввиду того что ，声 0. Учитывая этот факт, положим

入 д)="^^(~п)(19)

и определим п однозначных числовых функций

打 S)=入(?)Pi —力伪)« = !■,•・・，n).(20)

Легко видеть, что эти п функций непрерывны на Рп. Если теперь мы положим х (р) = (%г (р)), то получим непрерывное отображение, определенное на Рп. Из компактности множества Рп следует ограниченность множества-образа % (Рп) и, значит, существование замкнутого куба Г, содержащего % (Рп). Имея в виду применить теорему 16.6 к однозначному отображению %: Рп f Г, проверим выполнение условий (а), (§). Прежде всего Г как замкнутый куб является компактным выпуклым множеством. Далее, каждое множество-образ отображения / состоит из одной точки и, значит, выпукло. Замкнутость отображения / обеспечивается его непрерывностью на 尸九.Таким образом, условие (а) выполнено. Что касается условия (Р), то оно выдолняется даже в форме равенства, т. е. соблюдается закон Вальраса в узком смысле

5, %(р)〉= о SO(21)

что выводится непосредстненно из определений (19) и (20).

Таким образом, согласно теореме 16.6 должен существовать вектор р, такой, что

X面三0, или, что то же самое,

入⑸ Pi > fi (6) (% = 4,・• •，办(22)

Для того чтобы завершить доказательство, остается показать, что А (р) = 4 и что в (22) всюду имеет место равенство. С этой целью мы прежде всего заметим, что из соотношения (21), справедливого в частности для р, вытекает, что если р» >0 для некоторого 厶 то соответствующее 沁 соотношение в (22) должно быть равенством. Если же pt = 0, то из (22) следует, что 力(р)《0 для этого I. Таким образом, в каждом соотношении в (22) на самом

деле имеет место равенство

汇(方)血=力(方)(Z = l,").(23)

Суммируя равенства (23) по всем i с учетом условий (18) и Wr = 1, мы получаем

九(Р)= 1 •

Следовательно, равенства (23) сводятся к равенствам

Pi = fi(Р)(% = 1,〃)，

так что р является неподвижной точкой отображения /, что и требовалось доказать.'

В свете теорем 16.6 и 16.7 мы видим, что гипотеза В'альраса о существовании равновесия представляет собой эквивалентную- форму теоремы Брауэра о неподвижной точке. Теория общего равновесия Вальраса была опубликована в 1870-х годах (Вальрас [1]), тогда как работа Брауэра, посвященная неподвижным точкам, появилась тремя десятилетиями позднее (Брауэр [1, 2]). Поэтому неудивительно, что Вальрас не смог получить математического обоснования своей гипотезы во времена, предшествовавшие прогрессу топологии. Не следует критиковать его за безуспешность попыток математического решения проблемы; наоборот, можно восхищаться глубиной его математической интуицииг позволившей ему сформулировать столь плодотворную гипотезу.

Замечание 3. Если заданная функция избыточного предложения % (р) однозначна, то декартово произведение % X 0 в первом варианте доказательства теоремы 16.6 также является однозначным отображением, и для обнаружения неподвижных точек отображения % X 0 мы можем воспользоваться непосредственно теоремой Брауэра. Однако это не распространяется на случай отображения % X т], используемого во втором варианте доказательства.

Существование конкурентного равновесия

В § 16.2 и § 16.3 мы полностью подготовили почву для проведения доказательств теорем 16.1——16.3. Общая идея этих доказательств заключается в применении теоремы 16.6 к функции избыточного предложения (27), построенной в § 16.2. Однако теоремой 16.6 не всегда можно будет пользоваться непосредственно, так как функция избыточного предложения не во всех случаях ведет себя столь хорошо, как требуется в этой теореме. Дело в том, что индивидуальные функции спроса в ситуацияхг подобных рассмотренным в теоремах 16.2 и 16.3, незамкнуты*

чем вызывается необходимость модификации этих функций с помощью процедуры продолжения, описанной в § 4.4 гл. I.

Для начала отметим факт однородности нулевой степени индивидуальных функций предложения и спроса i|? (р), q? (р) и, следовательно, соответствующих функций совокупного предложения, спроса и избыточного предложения 屮(р), <р (р) и % (р), определенных в § 16.2. Однородность нулевой степени этих функций, которая означает, что их множества-образы для данного значения р и для любого его положительного кратного Ар (А > 0) совпадают, легко выводится из линейной однородности по р максимумов прибыли 〈р,沙〉производителей и бюджетных ограничений (р, к。〉& (р,仅*〉+ 2 (x^ik^k(Р)потребителей. Это позволяет нам ограничиться рассмотрением указанных функций на стандартном симплексе Рп = {р | р > 0, 2'j = 1}, точки которого можно считать нормированными векторами цен.

Далее мы исследуем свойства индивидуальных функций предложения и спроса, существенные для построения видоизмененных функций избыточного предложения с нужными нам качествами.

Индивидуальные функции предложения.

Лемма 16.3. Функции г|? (р) (19) и 3Th(Р)(20) 〃з § 16.2 обладают следующими свойствами'.

Функции п兀(р) непрерывны на Рп.

Многозначные функции р": Рп f 2石 представляют собой замкнутые отображения, чьи множества-образы 1|? (р) выпуклы при всех р f Рп.

Доказательство. Мы установим свойства (i) и (ii) одновременно. Пусть р, р" QPn и J* /V £ е, причем /” £ i|? (pv) (v=l, 2, ...), и пусть р、f р,心 + у ПрИ v— оо. Тогда мы по определению имеем для v=l, 2,...

严门小区(1)

^k (pv) = (pv, ykv} > (pv)У) для каждого yQYk^\E, (2) что в пределе в силу замкнутости множества Y卜 R Е в Е л непрерывности скалярного произведения дает

/£%ПЕ,(3)

〈“十〉》〈Р，у) для каждого y^Yk(]E.(4)

Соотношения (3) и (4) означают, что yk максимизирует (р, у) по всем y^Yk[]E, причем соответствующий максимум (р, yh) как раз и дает величину максимальной прибыли 冗定(夕).Этим доказано равенство lim л^ (pv) = nk (р), ук^^ (р), означающее

непрерывность функции 冗兀(р) и замкнутость многозначной функции 屮匕 Наконец, выпуклость каждого множества-образа фй (р) сразу следует из того, что 屮'(卩)представляет собой множества точек, доставляющих максимум линейной функции (р, у) на выпуклом множестве Уд f] Е. Лемма доказана.

Индивидуальные функции спроса. Используя величины а。и Ьг, фигурирующие в теоремах 16.1—16.3, введем функцию

厶(Р)= 3 序一尸〉+2 〃泣冗丸(Р) (% = 1,0，(5>

k=l

которую будем называть доходом потребителя f при ценах р. Заметим, что 伪,〃？一从〉〉0 при всех р W Р^ ввиду условия о1 三 Ь\ предполагаемого в каждой из теорем 16.1—16.3, и что сумма дивидендов потребителя Z также всегда неотрицательна при всех р W Р九 в силу условий aik》0 и (21) из § 16.2. Поэтому

几①)>0 (р W Р九，％ = 4, • • •, 2)・(6>

Кроме того, /»(р) является непрерывной функцией на Рп, поскольку все функции 冗兀(р) непрерывны на Рп согласно лемме 16.3. С помощью функции Ц (р) мы можем представить q? (р), индивидуальную функцию спроса потребителя Z, следующим образом:

屮*(Р)= {%，I %” есть наиболее пр ед почтите л ьный

элемент множества Xt [} Е при (7> аграничении 伪，％ — Ьг〉& 厶(р)}・

Обозначим через Р? внутренность множества Рп в относительной: топологии аффинного пространства L (尸九)={р | 2р» = £}, т. е. множество {р | р С Рп, р > 0}・ Далее положим

Р\ = {р\р^Рп, Ц (Р) >0} « = 1,・・•，2). 一 (8>

' Лемма 16.4. Функции(рг (р) и множества Р^ (i = 1, . . ., Z) обладают следующими свойствами:

В условиях теоремы 16.1 Р\ = Рп-

В условиях теорем 16.2 и 16.3 尸^ при каждом i является плотным открытым подмножеством е Рп (открытость здесь понимается в смысле относительной топологии 6 Рп)・

Отображение(р\ %f 2* замкнуто,

Множество ф1 (р) выпукло при каждом р£Рп・

Доказательство, (i) Поскольку а* > Ьг по предположение теоремы 16.1, мы имеем при любом полуположител^ьном р строгое неравенство (р, d —Ь‘〉>0 и, следовательно,厶(〃)>0・ Этим доказано утверждение (i).

Поскольку условиями теорем 16.2 и 16.3 фактически гарантируется, что аг >6г, мы имеем при любом положительном р строгое неравенство (р, а' —"〉>0. Поэтому Р*иР^ (i=l, .../)• А так как подмножество Р? плотно в Рп, то и Р： должно быть плотно в Рп. Наконец, открытость подмножества 必 вытекает из непрерывности функции /»(р)・ Этим доказано (ii)./

Пусть p,pv £ %, и 炉，xiv g E, причем xiv £ д)г(Р”)“= 1,2,...), и пусть 夕"f p, xiv f № при wf + оо. Чтобы установить (iii), нам нужно показать, что 化屮，(р).

Прежде всего удостоверимся, что %г принадлежит множеству Хг(]Е и удовлетворяет бюджетному ограничению при данном р. Первое вытекает из предположения, что /' представляет собой предел последовательности {%〃”} в замкнутом множестве Xi П Е. Далее, каждый элемент 况'” £ 屮“ (/Л) удовлетворяет неравенству 〈/Л, xiv — bl)^Ii (pv) (v = 1, 2, ...), что в пределе дает (р, %2 — Ь*〉《/»(/?) ввиду непрерывности скалярного произведения и функции /»(р)・

Теперь осталось показать, что если х^Х^Е, (р,①一加〉W <Л (р), то

%i 士N.(9)

i

С этой целью, учитывая, что 厶(р) >0,厶(р”)>0 (v= 1, 2, .. •), рассмотрим последовательность чисел

^v = h (/?v)/max(Ii (pv), (/Л, % —A) (v= 1, 2, .. .).(10)

Из определения (10) и непрерывности функций Ц (р) легко вывести, что

0V統<1,(n)

lim Xv = Ii (p)/max (厶(р),伪，％ —尸〉)=4.(12)

V->+8

Здесь принято во внимание十 что 〈р, х — Ьг) ^ Ц (р). Поэтому если мы положим

①V = (1 —九 J 尸 + 統①(v == 1, 2,...),

то в силу соотношений (10)—(12) и выпуклости множества X» П 瓦 содержащего точки Ь\ ж, получим, что

х^^Х^Е (w=l, 2,・・・)，(13)，

(р\ x^bb^hip^ (v=l, 2,...)(14>

lim %v = %.(15>

Vf+8

Условие xiv ^(рг (pv) означает, что 力的 есть наиболее предпочтительный элемент на множестве X» f] Е при бюджетном ограничении в ценах pv для потребителя Z; поэтому из соотношений (13) и (14) следует, что

0*6 W = ], 2,…).0*6 W = ], 2,…).(16)(16)

0*6 W = ], 2,…).

0*6 W = ], 2,…).

(16)

(16)

В силу непрерывности отношения предпочтения 》» соотношение (16) в пределе дает

хг>х.

Этим завершено доказательство (iii).

(iv) Выпуклость множеств-образов (рг (р) уже'была отмечена в разд. (И) § 16.2. Лемма полностью доказана.

Замечание 1. В ситуациях, рассматриваемых в теоремах 16.2 и 16.3, отображение фг весьма часто оказывается незамкнутым на (относительной) границе множества Рп. Эта особенность прояв-Замечание 1. В ситуациях, рассматриваемых в теоремах 16.2 и 16.3, отображение фг весьма часто оказывается незамкнутым на (относительной) границе множества Рп. Эта особенность прояв-ляется даже в случае чистого обмена. Рассмотрим двухпродуктовую экономику чистого обмена, в которой некоторый потребитель i характеризуется выпуклым полем предпочтений (応，宀)，где отношение d непрерывно. Предположим, что отношение предпочтения 之》таково, что из 力丄 у для ж, у Е R： вытекает х у (см. пример 2 § 15.2). Потребитель i первоначально обладаетляется даже в случае чистого обмена. Рассмотрим двухпродуктовую экономику чистого обмена, в которой некоторый потребитель i характеризуется выпуклым полем предпочтений (応，宀)，где отношение d непрерывно. Предположим, что отношение предпочтения 之》таково, что из 力丄 у для ж, у Е R： вытекает х у (см. пример 2 § 15.2). Потребитель i первоначально обладаетединицей первого продукта, не имея второго продукта вообще.единицей первого продукта, не имея второго продукта вообще.Выберем достаточно большой куб Е =Выберем достаточно большой куб Е ={% I 邑 & 乍 & U (7 ={% I 邑 & 乍 & U (7 ==1, 2)}, где ^ < 0,力>4, г「一[一・；функцию спроса потребителя (рг (р) = {х1 | хг есть наиболее=1, 2)}, где ^ < 0,力>4, г「一[一・；функцию спроса потребителя (рг (р) = {х1 | хг есть наиболееи рассмотрим соответствующую ,и рассмотрим соответствующую ,предпочтительный элемент в Н： П 忘 при бюджетном ограниче-предпочтительный элемент в Н： П 忘 при бюджетном ограниче-нии}. Тогда из z” С <рг (р) следует, что х[》0, 碇》0, p^i + + 卩2就 & Pl ・1 + P2-0 = /?р . Поэтому для х1 с фг (р) при Р1 > 0 должно быть 0 W %； &彳. Следовательно, если pv С Рр, 歩у Е Е, %的 € <рг (pv)(V = 1, 2, . • .), lim pv = (0, 1)', lim 炉v =хг, то 0 & 硏 & 1 V Л1» W = 0. Но при ценах Pi = 0,卩2 = 4нии}. Тогда из z” С <рг (р) следует, что х[》0, 碇》0, p^i + + 卩2就 & Pl ・1 + P2-0 = /?р . Поэтому для х1 с фг (р) при Р1 > 0 должно быть 0 W %； &彳. Следовательно, если pv С Рр, 歩у Е Е, %的 € <рг (pv)(V = 1, 2, . • .), lim pv = (0, 1)', lim 炉v =хг, то 0 & 硏 & 1 V Л1» W = 0. Но при ценах Pi = 0,卩2 = 4потребитель может купить набор продуктов (т]15 0)', которыйпотребитель может купить набор продуктов (т]15 0)', которыйзаведомо предпочтительнее ①заведомо предпочтительнее ①.Поэтому 炉 R(рг ((6, 1)),.Поэтому 炉 R(рг ((6, 1)),чает незамкнутость отображения (рг в точке (0, 1)'.чает незамкнутость отображения (рг в точке (0, 1)'.что озна-что озна-

Замечание 1. В ситуациях, рассматриваемых в теоремах 16.2 и 16.3, отображение фг весьма часто оказывается незамкнутым на (относительной) границе множества Рп. Эта особенность прояв-

Замечание 1. В ситуациях, рассматриваемых в теоремах 16.2 и 16.3, отображение фг весьма часто оказывается незамкнутым на (относительной) границе множества Рп. Эта особенность прояв-

ляется даже в случае чистого обмена. Рассмотрим двухпродуктовую экономику чистого обмена, в которой некоторый потребитель i характеризуется выпуклым полем предпочтений (応，宀)，где отношение d непрерывно. Предположим, что отношение предпочтения 之》таково, что из 力丄 у для ж, у Е R： вытекает х у (см. пример 2 § 15.2). Потребитель i первоначально обладает

ляется даже в случае чистого обмена. Рассмотрим двухпродуктовую экономику чистого обмена, в которой некоторый потребитель i характеризуется выпуклым полем предпочтений (応，宀)，где отношение d непрерывно. Предположим, что отношение предпочтения 之》таково, что из 力丄 у для ж, у Е R： вытекает х у (см. пример 2 § 15.2). Потребитель i первоначально обладает

единицей первого продукта, не имея второго продукта вообще.

единицей первого продукта, не имея второго продукта вообще.

Выберем достаточно большой куб Е =

Выберем достаточно большой куб Е =

{% I 邑 & 乍 & U (7 =

{% I 邑 & 乍 & U (7 =

=1, 2)}, где ^ < 0,力>4, г「一[一・；

функцию спроса потребителя (рг (р) = {х1 | хг есть наиболее

=1, 2)}, где ^ < 0,力>4, г「一[一・；

функцию спроса потребителя (рг (р) = {х1 | хг есть наиболее

и рассмотрим соответствующую ,

и рассмотрим соответствующую ,

предпочтительный элемент в Н： П 忘 при бюджетном ограниче-

предпочтительный элемент в Н： П 忘 при бюджетном ограниче-

нии}. Тогда из z” С <рг (р) следует, что х[》0, 碇》0, p^i + + 卩2就 & Pl ・1 + P2-0 = /?р . Поэтому для х1 с фг (р) при Р1 > 0 должно быть 0 W %； &彳. Следовательно, если pv С Рр, 歩у Е Е, %的 € <рг (pv)(V = 1, 2, . • .), lim pv = (0, 1)', lim 炉v =

хг, то 0 & 硏 & 1 V Л1» W = 0. Но при ценах Pi = 0,卩2 = 4

нии}. Тогда из z” С <рг (р) следует, что х[》0, 碇》0, p^i + + 卩2就 & Pl ・1 + P2-0 = /?р . Поэтому для х1 с фг (р) при Р1 > 0 должно быть 0 W %； &彳. Следовательно, если pv С Рр, 歩у Е Е, %的 € <рг (pv)(V = 1, 2, . • .), lim pv = (0, 1)', lim 炉v =

хг, то 0 & 硏 & 1 V Л1» W = 0. Но при ценах Pi = 0,卩2 = 4

потребитель может купить набор продуктов (т]15 0)', который

потребитель может купить набор продуктов (т]15 0)', который

заведомо предпочтительнее ①

заведомо предпочтительнее ①

.Поэтому 炉 R(рг ((6, 1)),

.Поэтому 炉 R(рг ((6, 1)),

чает незамкнутость отображения (рг в точке (0, 1)'.

чает незамкнутость отображения (рг в точке (0, 1)'.

что озна-

что озна-

Теперь мы готовы приступить к доказательству теорем 16.1 — 16.3. Начнем с наиболее простого доказательства теоремы 16.1, для которого не требуется никаких модификаций функций спроса.

Доказательство теоремы 16.1. Согласно теореме 16.5, достаточно будет показать, что соответствующая функция избыточного предложения % (р) имеет равновесный вектор цен р, при котором % (р) (] R^^= 0. Для этого мы удостоверимся, что отображение % (р) удовлетворяет всем условиям теоремы 16.6.

В самом деле, так как(рг,屮'представляют собой многозначные отображения, множества-образы которых являются подмножествами куба Е, выбранного в соответствии с условиями (18) § 16.2, то функцию избыточного предложения х(Р)можно рассматривать как отображение, множества-образы которого являются подмножествами векторной суммы

{а} + Е + ... + Е—(笈 + •.. + Е).(17)

Обозначим множество (17) через Г. В силу .теоремы 2.10 гл. I Г представляет собой компактное выпуклое подмножество в Rn. Покажем, что отображение

%:厶 f 2「(18)

удовлетворяет условиям (а) и (0) теоремы 16.6.

(а) Заметим сначала, что все отображения 中* 屮尼：Рп f Е замкнуты согласно лемме 16.3 (ii) и лемме 16.4 (i), (iii). Кроме того, постоянное отображение(р°: Рп f {〃}, определяемое равенством (р° (р) = а для каждого р € Рп, также, разумеется, замкнуто. Заметим теперь, что отображение (18) можно рассматривать как композицию двух отображений, первое из которых представляет собой декартово произведение

ф0x 口炉义口廿i=l h=l

l -]-^+ 1 замкнутых отображений 屮°,屮* 屮* а второе есть однозначное непрерывное отображение

mI

侬，*・・・，储，尹，・・•，严)f x°+ 3 / — 3 fc=l i=l

Эта композиция отображает декартово произведение

{〃} х 京 ЗГИ2r

в множество Г. Следовательно, согласно теоремам 4.5 (i) и 4.6 (i) гл. I отображение (18) замкнуто. Далее, из выпуклости множеств- сбразов отображений (р°,屮匕状，утверждаемой в леммах 16.3 (ii) и 16.4 (iv), вытекает согласно теореме 2.10 гл. I выпуклость множеств-образов отображения %. Этим установлено выполнение условия (а).

(Р) Как уже было показано в § 16.2, для % (р) выполняется закон Вальраса в широком смысле.

Итак, применяя теорему 16.6 к % (р), мы устанавливаем существование равновесного вектора цен. Теорема доказана.

Модифицированная функция избыточного предложения. Ввиду того что в предположен 23—8

ниях теорем 16.2 и 16.3 индивидуальные функции спроса могут оказаться не замкнутыми на всем множестве Рп, нам нужно видоизменить их надлежащим образом. С этой целью мы воспользуемся теоремами 4.7 и 4.8 гл. I и построим модифицированные индивидуальные функции спроса ①°: Рп f Е (г = 1, . . ., I), которые、 и будут фигурировать далее в доказательствах теорем 16.2 и 16.3.

В соответствии с леммой 16.4 (ii)—(iv) отображение фг: Р^ f f Е замкнуто и имеет выпуклые множества-образы на множестве Р^, которое плотно в 尸九.В дальнейшем мы не будем обращать внимания на значения отображения фг в тех точках р£ Рп, которые не принадлежат Р\. Продолжим отображение g P*f Е на Рп заново с помощью процедуры, описанной в теоремах 4.7 и 4.8 гл. I; в результате мы получим такое замкнутое продолжение ^\ Рп^- Е, которое всюду имеет выпуклые множества-образы. Если в первоначальном определении функции совокупного избыточного предложения % (р) мы заменим исходные отображения ①г: Рп f Е отображениями(рг: Рп -^ Е, то получим модифицированную функцию избыточного предложения

т2

7(〃) = 〃+ 2 甘S)- S ◎(，)•(19)

互=1г=1

Покажем, что отображение %: Рп 2Г, где Г — то же множество (17), что и в (18), удовлетворяет условиям (а), (Р) теоремы 16.6.

(а) Это условие проверяется так же, как и в случае теоремы 16.1.

(Р) Рассмотрение вывода закона Вальраса в широком смысле (§ 16.2) показывает, что для того чтобы установить соответствующий закон для модифицированной функции избыточного предложения, нужно лишь проверить выполнение условия

①，戸一尸〉《厶(p).(20)

для всех х1 С фг (р), р С Рп. Эту проверку мы осуществим следующим образом. Прежде всего вспомним, что поскольку мы следовали процедуре продолжения, фигурирующей в доказательствах теорем 4.7 и 4.8 гл. I, то каждая точка хг из множества-образа фг (р) £ 夕九，0 Р^) должна представляться в виде выпуклой линейной комбинации некоторого конечного числа t точек xis (s = 1, . . ., t), для которых можно указать последовательности {,$”} в Р^ и {%"“} в Е, такие, что

炉svwdgsv) (v=l, 2,…；s=l, ・・.，力)，limp呢=p(s=l,.•.，力)，

V->4-oo

lim xisv = xis(s = 1, ... , ^).

Но ввиду соблюдения бюджетного ограничения для исходного отображения фг на указанных последовательностях должно выполняться неравенство (psv,力抬”一加〉总厶(Р")・ Поэтому, переходя к пределу по v —» + оо, получаем в силу непрерывности функции Ц (р) на Рп, а также непрерывности скалярного произведения неравенство

〈，x^ — b^^Ii (р)(s=l,t).

Неравенство (20) для выпуклой линейной комбинации хг точек /2$ (s = 1, . .., t) немедленно следует из полученных неравенств для %" (s=l, . . ., t).

Сказанным выше обоснована применимость теоремы 16.6 к отображению %. В силу этой теоремы % имеет равновесный вектор цен р £ Рп, такой, что

%(Р)Л 爵#=0・(21)

Покажем, что, более того,

Р^Рп ”1,…，2)(22)

и, значит, фактически

x(方)П瑯声0.(23)

Последнее утверждение мы докажем отдельно для теоремы 16.2 и теоремы 16.3.

Доказательство теоремы 16.2. Напомним, что хотя условие (6) и должно выполняться всегда, величина Ii (р) не обязательно положительна всюду в Рп. Однако можно показать, что в, условиях теоремы 16.2

S W>o,(pе厶).(24)

г—1

Справедливость неравенства (24) вытекает из следующих прос

тых рассуждений. Пусть у= 』 у* 沙卜£¥九(乃=1, . . ., m) — совокупный процесс, существование которого предполагается в уело- вии (ii) теоремы 16.2, и его составляющие. Тогда, очевидно, yk g Yk и, следовательно,

犷€匕1(1后(及=1,?w).(25)

Из условия (25) вытекает, что

刑(Р)》〈Р,乃 ("=1, ・・・，т).(26)

Поэтому с учетом неравенств (26), а также условия (11) из § 16.1, получаем цепочку соотношений, устанавливающую искомое нера-

23*

венство (24):

3 't(Р)= 2〈Р，仅'一b'〉+ 3 3 а»丸冗h (р)= i=lг=1г=1 h=i

IIm

=3 2 qJ 2 力 + S 冗出)》

£=£ ， £=1A=1

>{p, a — b)+ 2〈p,乃=

=〈p, 〃一b +力>0・

Для того чтобы установить требуемые соотношения р £Р\ (i = 1, •••, Z), очевидно, достаточно показать, что

рj>0 (/ = 1, ・..，м).(27)

Вместе с тем выполнение неравенств (27) является важной самостоятельной частью утверждения теоремы 16.2. Для вывода этих неравенств мы воспользуемся уже полученным неравенством (24), из которого с учетом условий (6) следует, что 厶(р) >0 для некоторого i, скажем для s, откуда в свою очередь вытекает, что

Р €叁・(28)

Условием (21) гарантируется существование некоторого полу- положительного вектора и в множестве х(Р), имеющего разложение, которое удовлетворяет условиям тI

33犷三о,

在=11=1

犷“"£)(力=1,・・・，％),(29)

f «h(方)(k=l, 叫

причем здесь согласно (28) условие ж8 £ ф8 (力 сводится к условию rrsg(p8 (р). Допустим, что £/ = 0 для некоторого /, скажем для d. Но d-й продукт желателен для потребителя s, поскольку каждый товар по предположению желателен для каждого из потребителей. Поэтому в соответствии с определением 16.3 для некоторого А>0 должно выполняться условие

"=孑+九次 > 提* "gXs,(30)

8

где

d

ed= (0,0, 1, 0, ..., 0)2

Положим %(力)=(1 —£)炉 +証九.Из предположений (С.1) и (С.З) следует, что х (力)£ Х$ м

%(”G (0<У1)・(31)

Из (29) видно, что Xs £ Х$・ Поэтому согласно условиям (18) из § 16.2 элемент Xs должен быть внутренней точкой множества Е, и, следовательно, х (力)^ Xs (] Е при достаточно малых положительных 九 Кроме того, х (力)отличается от Xs только d-й компонентой, так что (р, х (t) — bs) = {р, xs — 6s) ^ 7S (р). Эти результаты в сочетании с (31) противоречат условию xs W 屮$(Р)・ Этим установлены условия (27) и завершено доказательство теоремы 16.2.

Повторное рассмотрение исходных индивидуальных функций спроса. Сейчас мы обратимся к поведению исходных функций(рг на РП\Р^, которое мы вообще игнорировали при построении модифицированных функций фг. А именно, мы установим следующую лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 16.3.

Лемма 16.5. При каждом Z функции (рг и фг соотносятся между собой на Рп \ Р^ таким образом, что если отображение(рг замкнуто в некоторой точке р из Рп \ Р^, то

于 S) и(р{ (р).(32)

Доказательство. Пусть хг g(рг (р). Тогда %* в соответствии с определением представляет собой выпуклую линейную комбинацию конечного числа точек с江 (力=1, . •., г), для которых можно указать последовательности {p/v} в Рп и 口加} в Е, такие, что.

产％6 (加V)(w=l, 2,...;力=1,…，г),(33)

lim pt、= p ($=1,…，r)(34)

lim xiiv = xu (力=1,・•.，г).(35)

Vf+oo

Но так как отображение q/ по предположению замкнуто в точке р., то из соотношений (33) — (35) следует, что 炉土 占(рг (р) (t = =1, . . ., г). Следовательно, выпуклое (см. лемму 16.4 (iv)) мноясество фг (р) должно содержать хг как выпуклую линейную комбинацию указанных точек хн. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 16.3. Конечная цель, как и в (с), заключается в доказательстве того, что р Е

W 尸^ (i = i, . . ., Z). Но для этого ввиду предположений теоремы 16.3 о начальной собственности достаточно показать, что равновесные цены всех производительных продуктов положительны. Устанавливается этот Д)акт в три этапа (i)——(iii).

Пусть снова (29) — неотрицательный вектор й из множества х (р) и его разложение, и пусть

i=lfc=l

—соответствующие совокупные спрос и предложение.

Допустим, что #/ = 0 для некоторого производительного продукта /, скажем для h. Тогда в соответствии с определением 16.4 найдется вектор у* из У, такой, что

羽!》房 для /*%,(36)

Уа > Уа для некоторого d^D.(37)

Заметим теперь, что рассуждения при выводе условия (а) в теореме 16.5 (ii) в равной степени относятся и к ректорам yh, рассматриваемым сейчас; поэтому вектор у должен максимизировать прибыль (р,玖〉по всем у ^Y, откуда в частности следует неравенство ф, у〉〉(р, у*〉・ Из этого неравенства с учетом условий р>0,方九=0, а также (36), вытекает, что

0》区，一力=2自匂:一必з方d(^一痂).(38)

Соотношения (37), (38) м р& > 0 в совокупности показывают, что Pd — 0. Таким образом, мы установили, что если равновесная цена хотя бы одного производительного продукта равна нулю, то и некоторый продукт, желательный для всех потребителей одновременно, также должен иметь нулевую равновесную цену.

Если бы мы показали, что

q)s (р) и(ps (р) для некоторого s,(39)

то сразу получили бы, что xs С 屮s (р). Как только установлено последнее, то с помощью тех же рассуждений, которые следуют за (29) во второй части (с), мы получаем противоречие с фактом существования нулевой равновесной цены на некоторый желательный для всех потребителей продукт, выведенным из исходного допущения на шаге (i). Итак, нам остается доказать соотношение (39).

В силу леммы 16.5, соотношение (39) будет доказано, если мы установим замкнутость в точке р отображения (ps для

некоторого s. Возьмем векторы х ^ X, у ^Y, удовлетворяющие условию (14) из § 16.1, существование которых предполагается в теореме 16.3, и рассмотрим соответствующие разложения

Х=^\ х\ xl^Xi (i = 1, . .., Z),

刃=S 乃 ykQYk,з=1,…，m).

Л=1

Замечая, что из yh^Yk следует 冗冗(卩)＞〈卩，у，, и учитывая также неравенства р＞0 и 优 +刃＞%, получаем

3 (屯硝+ S a/M》)) = 1=1k=l

mm _

=(e, Q)+a麻(力＞〈方,"〉+且〈£, 亦〉=

=〈方，a+力 ＞〈方, %〉= 2(方，牙〉.

i=l

Из полученного строгого неравенства следует, что

(Р，炉〉+ 2 %互冗丸(р) ＞ (р, х8} для некоторого s. (40) fe=i

Рассмотрим функцию

т

J$(P)=〈P,疗一亍〉+ 2 %h3Th (р),

которая, очевидно, непрерывна на Рп. Ясно, что функцию спроса (ps (р) можно представить с помощью Js (р) в виде

(ps (р) = {叫炉 есть наиболее предпочтительный элементмножества Х$ ［后 при ограничении

〈血炉一彳〉《:厶(p)}.(41)

Из условия (40) и непрерывности функции Js (р) следует, что Js (р) ＞ 0 в некоторой окрестности U (р) точки р. Используя представление (41) в U (р) м повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 16.4 (iii), с заменой 工 厶，Ьг на s, J$, xs соответственно, мы находим, что отображение q)s замкнуто в точкер. Этим полностью завершено доказательство теоремы 16.3.

НОРМАТИВНЫЙ ПОДХОД К КОНКУРЕНЦИИ

Оптимум Парето и цены

Мы рассмотрим - различные распределения производства и потребления в основной модели, описанной в § 15.3, и дадим их сравнительную оценку с нормативной точки зрения. В частности, нас будет интересовать, какую оценку получат при этом конкурентные распределения, осуществимость которых при различных довольно широких условиях мы установили в § 16.

Сторонники традиционной экономической теории благосостояния при выборе фундаментального критерия для оценки распределений обращаются к понятию оптимальности по Парето. В дальнейшем изложении под распределением мы понимаем совместное распределение производства и потребления (ж1, .•.,%',沙* ... ...,ут) в основной модели, удовлетворяющее условиям (7) — (9) из § 15.3 с заменой исходной формы условия (9) неравенством

тI

。+2犷三2炉.⑴

fe=lг=1

Ясно, что если совокупное технологическое множество У удовлетворяет условию свободного расходования, то такая замена фактически не влияет на множество возможных распределений в части распределения потребительских благ (炉，• •.，泊.

Определение 17.1. Будем говорить, что распределение (ж1, ..., ж\ у\ . .., ут) лучше распределения (ж1, .. ,,х1, у1, ...,少爷， если

炉之％t для t = l, ..., Z,(2)

г

力‘A 占* для некоторого 九(3)

г

Определение 17.2. Распределение называется оптимальным по Парето, если не существует лучшего по сравнению» с ним распределения.

Понятие оптимальности по Парето является выражением того мнения, согласно которому .хорошо делать так, чтобы кому-нибудь стало лучше, если при этом никому другому не становится хуже.

В этом разделе мы наложим на нашу основную модель следующие дополнительные условия:

(C.i) Множество наборов потребительских благ X» является выпуклым подмножеством в Rn для каждого потребителя %•

(G.ii) Каждое поле предпочтений (X»,之° удовлетворяет условию (IV) из § 15.2.

(C.iii) Каждое отношение предпочтения Zt непрерывно.

(G.iv) Каждый потребитель i обладает начальной собственностью, представляемой вектором аг из Rn.

(P.i) Совокупное технологическое множество У = 2 У瓦 выпукло.

(G-Р) Заданы 1т констант aik >0 (% = 1, . • ., 2; к = =1, . . ., т), представляющих собой относительные доли участия потребителей в прибылях и удовлетворяющих условиям

I

>I 电丸=1 (及=1 ? • • •? 加)• i=l

Можно заметить, что предположения (G.i) — (C.iv), (P・i> и (C-P) образуют более слабый набор условий, налагаемых на основную модель, чем предположения (С.1) — (С.5), (Р.1 — Р.4) и (СР) из § 16.1.

Исходя из указанных выше дополнительных предположений, мы сейчас установим оптимальность по Парето конкурентного равновесия.

Теорема 17.1. Предположим, что каждый потребителъ 人人,人人人

ненасыщаем. Если (%1,...,旷,严, 卩) представляет собой конкурентное равновесие (см. определение 16.1), то соответствующее распределение (ж1,..., ут) оптимально^

по Парето.

Доказательство. Допустим противное. Тогда для некоторого распределения (ж1, ..., х1, у1, ..., ут) должны выполняться условия (2) и (3). При этом для каждого по^ебителя X по предположению о его ненасыщаемости должен найтись элемент юг из Х〃 такой, что 炉> 炉.Положим 炉(力)= (1—力炉 + .г

+ 力笫2; тогда согласно предположению (С. ii)

炉(力)> ^>?(0<^<1),

г i

откуда в силу леммы 15.1 (ii)

^⑺〉讶(0</<1).(4>

г

Так как согласно условию (Р) из определения 16.1 вектор %" представляет собой наиболее предпочтительный элемент в X» ирн бюджетном ограничении, то в силу условия (4)

т

〈広％Р)〉>〉2,苏〉+ 2 а泣№(方)(Z=l,Z).

Устремляя в этих неравенствах 力 к 0, в пределе получаем

〈e, %5〉〈方,公〉+ 工a氾：nM》)(Z = 1,...，Z),(5)

причем хотя бы одно из полученных соотношений согласно (3) далжно быть строгим неравенством. Поэтому, суммируя соотношения (5) по всем Z, получаем

Iтп

〈方，.2戸)>〈方,a〉+ 2冗丸(方).(6)

£=1k=l "

Замечая, что согласно условию (а) определения 16.1 冗丸(卩)> >〈Р，力，получаем из (6) неравенство

2т

〈方，2疥>〈方,〃〉+〈方，3 />•⑺

г=1k=l

В то же время распределение (ж1, •..,况",疗,...,ут) должно удовлетворять соотношению (1), которое, будучи скалярно умноженным на /?>0, дает

Im

〈方，2 d〉w〈方,〃〉+〈》，S /〉•г= 1k= 1

Но это неравенство противоречит неравенству (7). Теорема доказана.

В некотором роде обратной к теореме 17.1 является следующая

Теорема 17.2 (Дебре [2]). С каждым оптимальным по Парето распределением (* . •., %\ /\ ..., ут), при котором хотя 2配 один потребитель % не насыщен своим набором потребительских благ хг, всегда можно связать вектор цен /)>0, такой^ что (i) Вектор yk максимизирует (р, yh) по всем yk g Yk 侬=1,... ...,m).

(И) Вектор x1 минимизирует (p, %'〉no всем №£{%1%г£Х», a?之 ％" (X = 1,…，Z)・

Доказательство. Не умаляя общности, мы можем предполагать, что потребитель 1 не насыщен доставшимся ему набо* ром благ %i. Положим

М1 = {хг\х{ ^Хь 戸^讶} (Х = 1,…，2),

• лл = {"| 炉EXq 哀}.

1

Очевидно, Mi у= 0, поскольку MQY Более того, и М* #= 0 ввиду ненасыщенности потребителя 1 набором ж1.

Рассмотрим множество

I

G = {a} + Y^M^^^ М»,

тде, как и прежде, У = 2 У兀,а= J аг. Нетрудно убедиться, -月=1г=1

что множество G не содержит по ложител ьных векторов. В самом деле, если бы некоторый вектор 〃>0 принадлежал G, тго его можно было бы представить в виде

Iт2

〃 =2 〃'+ 23炉>0,

г=1 h=Wг— 1

где ж1 g М*,疟 £7lft (% = 2,・•."),犷£ У^ (" = 1, .. •, zn). Тогда в силу соотношений 炉 > * 炉 >-戸 (j == 2, . .., l) набор векторов (%i,.・•，z", yi, ..., ym) был бы лучшим распределением, чем набор (ж1, ..., i?, 疗，...，ут), вопреки предположению теоремы. Далее, G является выпуклым множеством в /?п, так как оно представляет собой линейную комбинацию 2 十 2 выпуклых множеств {〃}, У, М*, Mi (2 = 2, ..., Z). Следовательно, множество G отделяется от R^ гиперплоскостью с полуположительным вектором нормали р (см. гл. I, теорему 3.5), так что

〈р, 〃〉《0 (u^G).

Поэтому для х1 М*, хг Mt (Z = 2, ...,Z), /£У^ (fc = 1, . .., m) имеет место неравенство

Iml'

S〈，i〉+ £ з 3 з 戸〉•(8)

纟=2月=1г-1

Более того, неравенство (8) справедливо даже для 炉 С "i по следующей причине. Если мы положим %i (力)= (4 —— ％) г1 + 力①丄 для х1 W Mi, %，W M：, то в силу предположения (C.ii) и леммы 15.1 (ii) будем иметь ж1 (力)W М* (0 V 力 V 1). Следовательно, неравенство (8) останется в силе при замене х1 на ж1 (力)(0 V 力 V 4)• Переходя к пределу при 力 f 0, устанавливаем справедливость неравенства (8) при произвольном наборе из 〃仆 взятом за х1.

Теперь, исходя из установленного для любых хг Е М^ yk Е € Yk соотношения (8), мы можем получить ряд интересующих нас результатов. Прежде всего заметим, что, положив в (8) хг = хг, yk — yk, мы придем к неравенству

Iт2

2 з /〉+ 2 S, f〉《2 s,讶〉.

С другой стороны, (",..., ",疗，...,ут) как распределение должно удовлетворять соотношению (1), откуда ввиду неотрицательности вектора р получаем

IтZ

3 3 d〉+ S g，乃>3〈p, g‘〉•г=1h=ii= 1-

Поэтому окончательно находим, что

IтиI

S〈，〃'〉+ З 值 /〉=.2〈р, &'〉•(9)

г=1k=iг=1

Рассматривая соотношения (8) и (9) совместно и исключая 2 (р, а'〉，получаем неравенство

ттII

S з 亦―2?х 2 3 炉〉一 2 з is) (ю> /=1力=1s=ls=l

для любых xs ^ Ms,沙，£У±. Теперь искомое утверждение (i) мы можем получить как следствие из соотношения (10), когда ж® = ж® (s = 1, •.."), у'=沙‘ « = 1, •..,检=#"), а / — произвольный вектор из У丸.Аналогично, (ii) получается как другое следствие из (10), когда у1 = у1 (^ = 1, ...., иг), Xs = х& (s = l, ..., /, #= i), а хг — произвольный элемент из Mj. Теорема доказана.

Замечание 1. В том случае, когда ни для какого i вектор %’не доставляет минимума величине〈р,炉〉на X% из утверждения (ii) теоремы 17.2 вытекает, что

(ii*) Вектор хг представляет собой наиболее предпочтительный элемент в X» при ограничении

①，炉〉С ф, /〉•(11)

Действительно, в соответствии со сделанным дополнительным предположением возьмем тот набор потребительских благ 匕钱 из X», для которого имеет место неравенство (р, %°〉>. ф, Ь'〉・ Положим х (力)=(1 —办炉十 tbz (0 V 力& 1), где 炉 W X» — произвольный элемент, удовлетворяющий условию (11). Тогда % (力)W X» в силу выпуклости множества Xt и, кроме того, {р, / (力〉V V〈р, №〉・ Поэтому по теореме 17.2 (ii)炉占况(力. Устремляя к 0 и учитывая непрерывность отношения предпочтения 之订 в пределе получаем требуемое соотношение хг >^ хг.

Замечание 2. Предположим, дто совокупное технологическое множество Y удовлетворяет требованию свободного расходования. Тогда по очевидным причинам мы можем ограничиться рассмотрением только таких распределений, для которых условие (1)

выполняется в форме равенства： Если такому распределению 《К, . . ., х1, у* • • ., ут) мы сможем поставить в соответствие лектор цен р > 0, при котором выполнены утверждение (i) теоре- :мы 17.2 и (ii*) замечания 1, то набор (%', • . ., %', у1,...,沙7 卩) можно будет рассматривать как конкурентное равновесие при надлежащем выборе коэффициентов участия в прибылях aik и при соответствующем перераспределении начальной собственности. Действительно, как заметил Дебре [2], (ж1, • . •, %', у1,... ...,ут, р) представляет собой конкурентное равновесие, если иерераспр ед ел ение начальной собственности' произведено так, что потребитель Z обладает новой начальной собственностью

т

" = /_£/ ”1，…,Z)，丸=1一

а относительные доли участия в прибылях все равны aik =1/1 .

Сторонники экономической теории благосостояния, имея в виду замечания 1 и 2, прддают важное значение теореме 17.2 и ей подобным утверждениям, полагая, что ими обосновывается достижимость оптимальных по Парето распределений с помощью конкурентного механизма цен. Однако совершенно не ясно, действительно ли такие распределения могут быть реализованы чисто конкурентным способом; ведь при этом предполагается перераспределение начальной собственности и надлежащее распределение прибылей, и нет никакой гарантии, что они осуществятся лод воздействием конкурентного механизма. Некоторые оптимальные по Парето распределения могут оказаться неосуществимыми с помощью механизма конкуренции, если индивидуальные участники системы будут удерживать свои исторически сложившиеся привилегии ——начальную собственность и доли участия в прибылях. Поэтому надо признать, что хотя понятие оптимальности по Парето может оказаться плодотворным при выработке линии поведения планирующего органа, стремящегося придать более «конкурентный» и децентрализованный характер функционированию экономики, это понятие все-таки недостаточно отражает подлинную сущность конкуренции в так называемой частнособственнической экономике.

Теоретико-игровая интерпретацияконкурентного равновесия

Как видно из определений 17.1 и 17.2, понятие оптимальности ио Парето является слишком общим, чтобы с его помощью можно было охарактеризовать природу конкуренций в социальных рамках частной собственности. Со времен Смита среди экономи-

стов укоренилось твердое убеждение, что экономическое общество* в существенных своих чертах основано на конкуренции между его участниками, преследующими свои собственные, взаимнопротиворечивые интересы. Таким образом, экономисты рассматривают равновесное состояние экономического общества как ситуацию равновесия сил в клубке противоречивых интересов, а конкурентное равновесие ——как специфическую ситуацию равновесия, которая возникает при очень большом числе конкурирующих индивидуумов. В связи с этим важно еще раз рассмотреть, под более «социоэкономическим» углом зрения, ситуации конкурентного равновесия, которые, несомненно, должны представлять собой нечто большее, чем просто ситуации оптимума по Парето.

Первая работа формального характера в этом направлении была выполнена Эджвортом [1] в 1880-х годах. Хотя он рассмотрел только очень частный случай, именно ситуацию чистого обмена при двух продуктах, его результат во многом прояснил существо проблемы. Совсем недавно этот вопрос был вновь поднят и привел к появлению более общих результатов, изложенных с современных теоретико-игровых позиций, в работах Скарфа [1], Дебре [4] и Дебре и Скарфа [1]. Эти авторы заимствовали понятие ядра из теории игр многих лиц, представив его в форме, удобной для приложения к традиционным экономическим ситуациям, характеризующимся несоизмеримостью индивидуальных предпочтений различных участников, и воспользовались им как ключевым при выявлении природы конкурентного равновесия. Такая методология оказалась вполне пригодной, ибо теория игр имеет дело именно с такими ситуациями, в которых происходит столкновение противоречивых интересов различных индивидуумов.

Указанные авторы развили подход к экономике- как к игре многих лиц, разыгрываемой индивидуумами-участниками системы, причем в этой игре некоторые из участников могут образовывать коалиции, направленные против остальных участников, с целью воспрепятствовать нежелательному для них распределению («заблокировать» его). При этом ядро экономики определяется как совокупность таких распределений, которые никогда не станут блокироваться никакой подгруппой участников. Мы можем интерпретировать распределения из ядра как ситуации равновесия сил, в которых невозможны эффективные коалиции и, следовательно, отсутствуют побудительные причины к образованию коалиций. Конкурентное равновесие всегда принадлежит ядру, тогда как произвольное распределение из ядра не обязательно соответствует конкурентному равновесию. Однако Дебре и Скарф доказали, что если число участников экономической системы стремится к бесконечности определенным образом (точное определение основано на понятии многократно дублирующей-

ся экономики), то ядро в пределе стягивается в множество состояний конкурентного равновесия, что вполне согласуется с интуицией.

В работах Скарфа [1] и Дебре [4] рассматривалась лишь ситуация чистого обмена. В последовавшей совместной работе Дебре и Скарфа [1] была исследована уже не только ситуация чистого обмена, но и модель, включающая производство. Однако из-за специфического характера этой модели фигурирующие в ней заданные коэффициенты участия потребителей в прибылях фактически не играли никакой роли; дело в том, что совокупное, технологическое множество в этой модели предполагалось конусом, и, следовательно, все максимальные прибыли должны были быть равны нулю. Позже Рейдер ([1], § 12, стр. 175) заметил, что результат Скарфа — Дебре распространяется и на более общие ситуации, включающие производство. В настоящем разделе мы докажем соответствующие результаты для ядра применительно к общей ситуации, описываемой основной моделью § 15.3, что позволит нам полностью осветить роль коэффициентов участия в прибылях а%м Метод доказательства, как и у Рейдера, представляет собой несколько модифицированный вариант первоначальных рассуждений Дебре и Скарфа.

Мы вновь используем нашу основную модель, описанную' в § 15.3. Дополнительные предположения, которые нам понадобятся в этом разделе, таковы:

(G.I) Для каждого потребителя » множество наборов потребительских благ X» является выпуклым множеством в Rn.

(С.II) Каждое поле предпочтений (X»,之》) удовлетворяет условию (IV) из § 15.2.

(С.III) Каждое отношение предпочтения >^ непрерывно.

(С. IV) Каждый потребитель » обладает начальной собственностью, представляемой вектором из Еп.

(P.I) Каждое технологическое множество Yk является выпуклым множеством в Еп и содержит 0.

(G-Р) Заданы Zm констант а^〉0 (» = 1, . . .，2; Е = = 1, . . ., иг) — коэффициентов участия в прибылях,— удовлетворяющих условию

1 佑 4, ..., иг) •(1)

i=l

Отметим, что выписанные здесь дополнительные предположения (C.I)——(С.IV), (P.I) и (С-Р) отличаются от соответствующих предположений § 17.1 лишь условием (P.I), заменившим условие (P.i).

Теперь мы перейдем к точному определению понятия ядра. Но прежде сделаем необходимые предварительные заме-

чания о формализации понятия «частной собственности на средства производства», а также о блокировании распределения коалицией потребителей в рассматриваемой экономике частнособственнического типа. В экономической системе, основанной на частной собственности, каждый потребитель, вообще говоря, обладает правом на некоторую начальную собственность 〃* которая находится всецело в его распоряжении. А как обстоит дело со средствами производства—— с теми «производственными возможностями», которые формализованы в виде векторов процессов из технологических множеств? Коэффициенты долевого участия aik мы до сих пор рассматривали исключительно с точки зрения распределения прибылей, право на участие потребителей в котором они отражают. Однако в равной степени можно считать, что эти коэффициенты отражают 必 соответствующее право потребителей-«держатеяей акций» распоряжаться средствами производства ——выбором технологических процессов и оборудованием; именно в такой «частной собственности на средства производства» можно усматривать формализованное в модели право на участие в прибылях.

Итак, мы можем считать, что потребитель » может распоряжаться частичным технологическим множеством а»丸У兀,относящимся к производителю (фирме, производственной ячейке) А. Это предположение нуждается в доказательстве его внутренней непротиворечивости, что и дается следующей леммой.

Лемма 17.1. Положим

Zt — ^ а^У兀(Z = 1, ..., Z).⑵

ТогдаI

т

2 % и 2 力，(3)

证 Sk=l

zde S — произвольное непустое подмножество множества L всех потребителей.

Если S = L, то в (i) имеет место равенство, тп. е.

Ет

2z…2爲.⑷

г=1k=l

Доказательство, (i) Произвольный элемент у множества в левой части соотношения (3) можно представить в виде

т

沙=2 2矶* 产之力 Ges, "=i,...，加). г£8 й=1

Это равенство можно переписать так:

т

У = £ ((1 —二 а沮)・0+* а/产).(5)

Заметим, что для каждого к элементы 0,卢 принадлежат множеству Yk (i g5) и

а 济》О (Z£S), 2 cto «1・

生s

Поэтому ввиду выпуклости множеств Y^ (предположение (P.I)) имеем

(，一ga办).0+^a喇%У在(加=1,...，確),

т

так что согласно (5)2 У^・

h=l

С учетом уже доказанного утверждения (i) достаточно показать, что множество в правой части соотношения (4) содержится в множестве, стоящем слева. Но действительно, любой элемент у совокупного технологического множества можно представить в виде

沙=X 此 #£力(к= 1, ..m),

丸=1

так что согласно условию (1)

I mZ

0=1 丸=£i=l

Лемма доказана.

Определение 17.3. Под коалицией будем понимать любое непустое подмножество S множества L всех потребителей.

Рассмотрим две непересекающиеся коалиции S, Т. Эти коалиции имеют в своем распоряжении технологические множества

Zs = M，Zs = M，Zt = 2 ZtZt = 2 Zt

Zs = M，

Zs = M，

Zt = 2 Zt

Zt = 2 Zt

соответственно. Тот факт, что данная коалиция распоряжается своим технологическим множеством, никак не препятствует другой коалиции распоряжаться своим технологическим множеством и вообще никак не влияет на нее непосредственно. Любой процесс у$ из Zs, любой процесс ут из Z^, а также суммарный процесс yS + / могут быть выбраны и реализованы независимо друг от друга, так как согласно лемме 17.1 (i)

mI

Zs,Zs,Zt,Zs 十 Zt = ZsutUJ^・

Zs,

Zs,

Таким образом, «право собственности» потребителя i на частичное технологическое множество afftyft, право, которое отдает а»兀У丸

в полное распоряжение этого потребителя, получает прямое и непротиворечивое истолкование. При этом условие (1) означает, что полное технологическое множество Yk производйтеля к находится целиком в распоряжении (в собственности) потребителей из подмножества S^ = {i | aik > 0}, а сам производитель только управляет выбором производственного процесса. Мы обрисовали тем самым «идеальный тми» экономики, основанной на частной собственности.

Определение 17.4. Будем говорить, что распределение (財 1, :..,%', у，. .., ут) блокируется коалицией S, если можно каждому потребителю i^S предложить такой набор потребительских благ ①'из множества X» и указать такой процесс z$ из технологического множества Zs, что…

d^%‘ для i £S,(6)

хг >- хг для некоторого ZgS,(7)

г

2 M + zS^N 炉.(8)

i£SigS

Если говорить иа содержательном языке, то блокирование распределения некоторой коалицией S означает, что часть потребителей, отделившаяся от остальных потребителей, не вошедших в коалицию, готова организовать замкнутую, автаркическую субэкономику, которая располагала бы начальной собственностью 』〃* 瓜 технологическим множеством Z$, причем в этой i£S

субэкономике было бы осуществимо такое распределение, которое ни для одного из потребителей, вошедших в коалицию, не хуже, чем в исходной системе, а хотя бы для одного из них — лучше.

Определение 17.5. Ядром экономики называется множество всех тех распределений, которые не блокируются никакой коалицией.

Заметим, что в соответствии с леммой 17.1 (ii) распределение, оптимальное по Парето, представляет собой не что иное, как распределение, которое не может блокироваться коалицией, включающей в себя всех потребителей. Поэтому всякое распределение из ядра должно быть оптимальным по Парето; однако, вообще говоря, не всякое оптимальное по Парето распределение принадлежит ядру.

Теорема 17.3. Предположим, что все потребители нена- сыщаемы. Тогда, если (%】,...,x\ z/1, .. ., ут, р) — конкурентное равновесие (см. определение 16.1), то соответствующее распределение (I .・.，厘，加，…，产)находится в ядре.

Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 17.1. Как и там, допустим противное. Тогда данное распределение может быть блокировано некоторой коалицией S, так что для некоторых хг ^ Xt (i f 5), zs S будут выполнены условия (6) — (8). Рассуждая точно таким же образом, как и при выводе неравенства (6) в доказательстве теоремы 17.1, но только ограничиваясь здесь суммированием по потребителям из коалиции 5, получаем неравенство

区2马＞3, 2 1〉+2 2研冗友(方). (9) igs正 sies k=i

Далее, вектор zs из Zs можно представить в виде т

z$ = 2 S ^tkyik^ 严£弘 G£S,乃=1, •••»)•(10)

i£SR=l

Замечая, что 冗女(р) ＞〈〃, угк) согласно условию (а) ^определения 16.1, и используя выражение (10), выводим из (9) неравенство

〈方，N %'〉＞〈», 2 J+zs〉.(ii)

戈Si£S

Но (11) противоречит неравенству

〈£，3 a^z^Xp, 2 戸〉， ，i£S•i£S

которое получается при скалярном умножении обеих частей соотношения (8) на вектор р＞ 0. Полученное противоречие доказывает теорему.

Для того чтобы проследить связь между понятиями ядра и конкурентного равновесия в обратном направлении, нам понадобится понятие многократно повторенной, «размноженной» экономической системы; такую многократно продублированную экономику мы будем называть репликой заданной исходной экономики. Исходная экономика, обозначаемая далее через 卷，по предположению удовлетворяет условиям (G.I) — (С.IV), (P.I) и (G-Р). Рассмотрим r-кратно повторенную экономику 宮，где г — положительное целое число, конечное или даже бесконечное (но счетное). Более точно, введем следующее определение.

Определение 17.6. Будем называть r-кратной репликой 卷'экономики 宮 составную экономическую модель, составленную из г субэкономик 宮(V)(V = 1, . . ., г), идентичных исходной экономической модели 乳 Все составляющие 昌(v), такие, кай производители, потребители, их поля предпочтений, технологичен ские множества, векторы начальной собственности и коэффициент ты относительного участия в прибылях, отличаются от соответствующих идентичных мм составляющих других субэкономик

только номером v. При таком соглашении 卷「представляет собой экономическую модель, которая удовлетворяет условиям (C.I)— (G.IV), (P.I) и (G-Р) и формализуется следующим образом:

(С) Потребители. Имеется 1г потребителей, помеченных двойными индексами (厶 v), i = 1, . . ., Z; v = 1, . . ., г.

(G.a) Полем предпочтений потребителя (厶 v) служит (Х» W), > ), где

(3 v)

Х") = Х»Х") = Х», 二=之 （3仔）T, 二=之 （3仔）T(力—1, ...，Z； V -^ 1, ...,7*).(力—1, ...，Z； V -^ 1, ...,7*).(12)(12)

Х") = Х»

Х") = Х»

, 二=之 （3仔）T

, 二=之 （3仔）T

(力—1, ...，Z； V -^ 1, ...,7*).

(力—1, ...，Z； V -^ 1, ...,7*).

(12)

(12)

(С.р)Каждый потребитель (厶 v) обладает начальной собственностью

a”(v) = d «= 1, . .. , Z; v= 1,・・.，г).(13)

(Р) Производители. Имеется тг пр оизв одител ей, помеченных двойными индексами (A, v),论=1, . . ., тп; v = 1, . . ., г.

(Р.а) Технологическим множеством производителя (k, v) служит

Yk(V)= Yk 伍=1,・• •，m; w = 1, •・.，г).(14)

(С-Р)г Заданы Imr2 констант — коэффициентов относительного участия

J 0(卩声 v)(Z = 1, .. .，2; ^ = 1, ..., ш^

a'W=lc^ (卩=v)卩,w = l, ・・•")，(’5)

где а»出月v обозначает относительную долю участия потребителя (%, м) в прибыли производителя (Zc, w).

Итак, реплика 宮『включает в себя г однородных потребителей каждого типа i, соответствующих потребителю i в модели 卷， и г однородных производителей каждого типа к, соответствующих производителю /с в 當.Важно отметить, что право распоряжения начальной собственностью и производственными возможностями, имеющееся у потребителя (i, v), действует лишь внутри его •v-й субэкономики и не распространяется за ее пределы на другие субэкономики.

Заметим, что условие (С.а) в определении 17.6 соответствует предположениям (C.I) — (С.III), принятым для общей экономической модели, а условия (С.р), (Р.а) и (С-Р)г являются аналогами предположений (С.IV), (P.I) и (G-Р) соответственно. Таким образом, что касается выполнения предположений (C.I) — (С.IV), (P.I) и (С-Р), то экономика 宮 м ее реплика 舒 являются моделями одного типа. Будем обозначать через Сог (宮)ядро экономики 宮.В силу сказанного выше Сог (宮「) оказывается определенным для любого конечного г. Поэтому непосредственное применение теоремы 17.З к 宮「сразу дает следующий результат.

Следствие (из теоремы 17.3). Предположим, что все потребители в 宮 ненасыщаемы, и пусть г — конечное положительное целое число. Тогда каждое конкурентное распределение е 宮\ порождаемое конкурентным равновесием в gr, находится е Сог (宮').

Доказательство. Так как и в 舒 каждый потребитель оказывается ненасыщаемым, данное утверждение представляет собой простую перефразировку утверждения теоремы 17.3 для 宮I

В дальнейшем ради краткости мы будем иногда писать (况\ yk) и (力* у) р), имея в виду совокупность Z + m векторов QI ...,%', у1, .. ., ут) и совокупность 2 + 加十1 векторов (* •••,%', у1,…，ут, р) соответственно. В этих обозначениях распределение в 宮，представляется последовательностью {(炉(w), yh (v))}v=i из г членов, каждый из которых является совокупностью Z + тп векторов (хг (v), yk (v)), таких, что

戸 W)£Xi G = 4,=1,…，г),(16)

犷(и) £У丸(归=1, • •тп; v= 1, • • •⑺，(17)

lm rZ т

，2 /+ E 3 / W)三 2 3 戸(v). 一 (18) i=l fe=l v=l修=1 v=l

В частности, последовательность {(^ (v), yk (v))}v=i распределe« ний (炉(v), yh (w)) в 卷(v) сама всегда является распределением в gr. Еще более частный тип распределения в 卷「 представляет последовательность {(/"(v), yk (v))}v=i одинаковых членов (戸(v), yk (у)) = (х\ yk) (v = 1,…，г), где (疟,力—распределение в 宮；такую последовательность мы будем называть r-кратным повторением распределения (%', yk) и обозначать через

Лемма 172 Если {(хг (v), yk (v))}v=i — распределение е 宮* то совокупность 1~\-т векторов

гт

(|2 炉"),^2 /⑺)’(19)

v=lv=l

которую мы будем называть усреднением исходного распределения, представляет собой распределение в 宮.

Доказательство. По предположению заданное распределение в 宮г удовлетворяет условиям (16) — (18). Из условий (16) и (17) ввиду выпуклости множеств X% У& вытекает, что

；2炉(v)wXf, ；2严⑺v=lv=l

В то же время соотношение (18) можно переписать в виде

Iт гI г

i=l h=l v=li=l v=l

Все это и означает, что усреднение (19) является распределением в 宮.Лемма доказана*

Лемма 17.3. Пусть распределение {(炉(w), у (v))}v=i принадлежит Cor (宮г). Тогда для каждого % все г наборов потребительских благ, доставшиеся потребителям типа i, безразличны по отношению друг к другу^ т. е. для каждого Z имеет место соотношение 犷(卩)~力(v)(卩，w = 1, • •r),

г

Доказательство. Обозначим для каждого % через 讶(Vf) наименее предпочтительный среди г наборов потребительских благ ^(V) (V = 1, • . ., г) в смысле отношения предпочтения 之力 которое является общим для всех потребителей (厶 v) (v = 1, . . ., г) (потребителей Z-ro типа). Тогда по определению

讶 W)之 G'Wt) (% = 1,…"；v=l,…⑺.(20)

г

В силу выпуклости отношения предпочтения >j, обеспеченной предположениями (С.II) и (С.III) (см. лемму (15.5), отсюда вытекает, что”

Г

т2 /(”)/(%)(I,…,“(21)

v=l

Если, вопреки утверждению леммы, в (20) для некоторого Z, скажем % = s, и для некоторого v имело бы место отношение строгого предпочтения, то мы получили бы

Is讶⑺ >讶旧).(22)

Рассмотрим коалицию S = {(1, Vi), (2, v2),...,(厶 ”)} в системе &： Эта коалиция включает в себя I типов потребителей, по одному потребителю каждого типа; поэтому в соответствии с леммой 17.1 (ii) эта коалиция имеет в своем распоряжении начальную собственность и технологическое множество

Iт

S м,3 у丸

纟=Wfe=l

соответственно. По лемме 17.2 усреднение

v=iv=l

является распределением в системе 卷 и, следовательно, может быть реализовано коалицией S. Но тогда соотношения (21) и (22) показывают, что коалиция S будет блокировать распределение {(^(V), ук(у))}「”=[, что противоречит принадлежности этого распределения ядру Сог (宮「)• Лемма доказана.

О п р е д е л ение 17.7. Будем называть потребителя i в модели 宮 положительно наделенным, если найдется набор потребительских благ 0» в его множестве наборов потребительских благ X» и процесс 办 в его технологическом множестве Z% для которых

d + 办 > b\(23)

Теперь мы установим следующий важный результат.

Теорема 17.4. Предположим, что каждый потребитель € модели 宮 ненасыщаем и положительно наделен. Пусть {(炉(v), yh (y))}^=i —бесконечная последовательность распределений (£'“)， у^(V)) 6 宮(V) (v= 1, 2, . ..). Тогда если при каждом положительном целом г = 1, 2, ... начальный отрезок этой последовательности {(жг(V), у (A))}v=i принадлежит ядру Сог (宮「) г-крат- ной реплики 宮「модели 昌，то существует вектор цен р > О, такой, что все наборы (Z + ап+ 1) векторов (хг (v), yh (v), £) являются конкурентными равновесиями 6 宮.

Доказательство. Согласно лемме 17.3,

/ (卩)~讶(v) (г= 1, ..., Z; g, v = 1, 2, . ..).(24)

Положим

Mi (v) = G I 炉 £ 爲，戸 /*(V)},

"m")={炉1炉е&, ?>?w)},г

(z —- 4, ...,2; V —• 1,2, ...).

Из предположения о ненасыщаемости следует, что Mt (v) у= 0. Далее, из соотношений (24) вытекает, что при каждом i мы имеем Mi (卩)=Mi (v), М* (|х) = M* (v) тождественно no 屮 v = = 1,2,.... Поэтому мы вправе положить для каждого Z

Mt = М» (1) = Mi ◎ = ...= Mi «) = •••,

М? = “？⑴=M『(2)=・・・=Mf W)=・.・・(25)

Используя определение (2), построим I непустых множеств

Gt = {d} + Zt-M? (i = 1, . . ., I).(26)

Каждое множество Gt выпукло, так как оно является линейной комбинацией выпуклых множеств {〃'}, У丸("=1, . • ., иг), М*. Рассмотрим, далее, выпуклую оболочку

г=с@р)

объединения множеств G» « = 1, ・・•, 2). Из выпуклости множеств Gi следует, что Г представляет собой множество всевозможных выпуклых линейных комбинаций следующего вида:

2 储и* £ 厶=4,儿＞0,炉 EG» « = 4,…(27) i=li=l

Покажем, что Г не содержит положительных векторов. Действительно, в противном случае существовал бы положительный вектор, имеющий вид (27). Отсюда согласно определению (26) вытекало бы, что для некоторых 储＞0，2 尢=1, zl ^Zi, хг ^M^ (f = 1, ..., /) выполняется неравенство

2兀(公+z£一炉)＞0.(28)

Как хорошо известно, набор чисел 脑(i = 1, .. ., Z) всегда можно сколь угодно точно аппроксимировать I положительными рациональными числами вида

I

г J 2「$ (»= 1，• • •，Z),8=1

где ri (i = 1, . .., Z)——положительные целые числа. Поэтому мы можем подставить в неравенство (28) 门/三尸，вместо 九斤 все еще сохранив неравенство

23 30 2(29)

г=1г=1г=1

для некоторых положительных целых 乃,некоторых процессов z*W Z» и некоторых наборов потребительских благ 炉 W М* (Z = =1, . . ., Z). Возьмем теперь множество R всех положительных целых чисел от 1 до г, где

r = S П,Л

разобьем его на Z попарно непересекающихся подмножеств Rf 爲 =1, . • ., Z) так, чтобы Ri содержало ровно 门 элементов; в остальном разбиение произвольно. Рассмотрим коалицию в 窗"

вида S = U (⑴ X 凡)(объединение по всем i = 1, • • •, 2), в которую входит по 力 потребителей i-ro типа и, значит, в общек сложности г потребителей. В распоряжении коалиции S имеется начальная собственность.

г=1

и технологическое множество

т г

Zs~ 32 3 ^iiikv^k (v)=

(iin)esk=iv=t*

=2! (Zt +..・ + Zi).i=l

Поскольку, как легко видеть,

■ i=l

из соотношения (29) вытекает, что коалиция S может обеспечить каждому входящему в нее потребителю %-го типа набор потребительских благ хг. При этом в силу условия хг W М*^ где М* определено в (25),, справедливы предпочтения

d > 讶(V) (G，v)£S).

i

Это означает, что коалиция S будет блокировать распределение* {(①г(V), g五(v))}3=3 вопреки предположению теоремы. Следовательно, множество Г не может содержать положительного вектора. Отсюда по теореме 3.5 гл. I следует, что выпуклое множество Г должно отделяться от неотрицательного ортанта гиперплоскостью с полуположительным вектором нормали р > 0. Покажем, что р‘ представляет собой искомый вектор равновесных цен.

По построению мы имеем соотношение (р, 〃〉W ° 3 W 6 ввиду того что все множества G» целиком содержатся в Г, это соот- / ношение показывает, в частности, что

(р,层〉+〈£, 3 а沮犷〉W 区戸〉(Z = 1, • • •")(30>

祖=1

для любых хг ^М*, yh^Yk- Более того, неравенство (30) справедливо даже при хг ^Mi， Это расширение области справедливости неравенства (30) с М* до 〃》обосновывается теми же рассуждениями, что и соответствующее расширение с М* до М】для неравенства (8) в доказательстве теоремы 17.2.

Выведем несколько следствий из соотношения (30), которые будут ОТНОСИТЬСЯ К произвольным X1 ^ Mi = Mi (v) (v= 1, 2,...), у' £ У冗("=1，・・•, тп) • Сначала подставим в (30) векторы хг (v), yk (v) вместо yk соответственно. Это дает

〈方,d〉+ Q，2 a/丸"))《〈方,讶(明.(31)

Суммируя неравенства (31) по всем i с учетом условия (1), получаем

iтI

⑤ S 沙+ ⑤ 2 ? (v)>< G, 2 ^ (v)>.(32)

i=lk=li=i

Но левая часть неравенства (32) не может быть меньше, чем его правая часть, в силу соотношения

IшI

i= 1Л= 1£= 1

и полуположительности вектора £ 丄 0. Отсюда следует, что все соотношения (31), (32) на самом деле являются равенствами. Таким образом,

〈方,心+⑤ 2加位飞))=〈》，讶(w))g=1, ...").(33)

Сопоставляя (30) и (33), находим тт

Q, 2 %炉〉&G, 2 aikyk(V)) (#£力，z = l,…，2),(34)

h=lfe=l

m

0, d〉+ Q,且出应卜《)〉《〈£,炉〉(x^Mt^^^i, ..., Z). (35)

Суммируя неравенства (34) по всем 厶 получаем, что величина т

〈Р，2 yk (v) / представляет собой максимальное значение прибыли

'〈р, у〉 на множестве 2 У丸,откуда вытекает следующее утверждение:

(а) Вектор yh (v) максимизирует (р, yk) на множестве Y^ причем максимум прибыли равен 冗兀(р) =〈р, yk (v)) при каждом к= 1, .. ., т и каждом v = 1, 2,....

Примем теперь во внимание, что каждый потребитель в 目 до предположению положительно наделен. Рассматривая векторы 加,w?，фигурирующие в определении положительного наделения, и учитывая определение (2), соотношение (34), а также только

что доказанное утверждение (а), получаем т

〈方,d〉V〈方,必〉+ 而,M〉W〈3,心+2амМ£) «=1,…，z)・(36)

Возьмем произвольный вектор %'£Х% удовлетворяющий неравенству т

〈方,^)<(р,鼠〉+gaM冗(0,(37)

и положим ж1 (/) = (1 —力)％'十协* Ввиду выпуклости множества X» имеем жг (t)^Xi (0《力<Л). Кроме того, из неравенств (36) к (37) следует, что

т

<Д 炉⑶〉< 3,层〉+ 3 ^ik^k (р) (о V у 1),

а это в сочетании с (35) и (а) показывает, что 炉(力)R Mi (v). Таким образом,

①'A炉(力)(О V力《£, X = 1,・・•，％).

что в пределе при 0 дает

①'W) Z %' (Z = 1, • •Z).(38)

Отсюда вытекает следующее утверждение:

Вектор хг(V) является наиболее предпочтительным элементом в Xg при бюджетном ограничении (37) для каждого Z = =1, . . ., I и каждого V = 1, 2,...・

Наконец, ввиду того что (хг (v),. yk (v)) представляет собой распределение в 乳 для которого условие (32), как было показано, выполняется в форме равенства, мы имеем также

1ml

(Y)2"十2 泸⑺ N2/(w),(39)

г=1 h=lг=1

причем если цена р/ положительна, то в соответствующем J-м скалярном соотношении в (39) имеет место равенство (для всех 屮=1, 2，• •

Итак, мы показали, что все наборы (Z + иг + 1) векторов (%' (v), 少卜(v),夕)удовлетворяют условиям (а), (Р), (у) определения 16.1 и, следовательно, являются состояниями конкурентного равновесия в 宮.Теорема доказана.

Теорема 17.4 и следствие теоремы 17.3 позволяют охарактеризовать конкурентное равновесие следующим образом.

Теорема 17.5. Пусть справедливы те же предположения о ненасыщаемости и положительной наделенности потребителей^

что “ в теореме 17.4. Тогда для того чтобы распределению ①，泸) в экономической модели 宮 можно было поставить в соответствие полуположйтелъный вектор цен р, такой, что (ж\ у% 卩)представляет собой конкурентное равновесие в g, необходимо и достаточно^ чтобы при каждом г = 4, 2, . . . r-кратное повторение (%г, gh)「этого распределения принадлежало ядру r-кратной реплики 纟「экономики 亂

Ядро реплики 宮г Может включать в себя и неконкурентные распределения; однако по мере роста г каждый индивидуальный участник становится в 宮「все более и более незначительным, и все новые и новые неконкурентные распределения будут устраняться из ядра экономики 宮\ пока, в пределе, там не останутся только конкурентные распределения. Результаты, доказанные выше, являются строгим формальным воплощением того, что экономисты подразумевают под рациональной основой гипотезы о чистой конкуренции.

В заключение нужно сказать, что в принципе можно было бы устанавливать эквивалентность состояний конкурентного равновесия и распределений в счетно-кратной реплике g°°, не ограничивая себя распределениями специального вида, рассматривавшимися в теореме 17.4. Однако такой подход сопряжен с некоторыми трудностями, связанными с тем, что при определении совокупного предложения и спроса нужно будет оперировать с бесконечными рядами. При исследовании общей ситуации, когда каждый индивидуум является бесконечно. малым участником системы, оказывается более удобным не анализ реплики 宮°0, а подход, при котором множество индивидуумов рассматривается как пространство с льерой, а распределение — как отображение, удовлетворяющее определенным условиям, формулируемым в терминах теории меры. Весьма существенные результаты, касающиеся ядра экономики в рамках такого подхода, были получены Ауманном [1, 21 и Виндом [1].

Замечание 1. Два распределения (炉,yk), (иг, г?) можно назвать эквивалентными, если %г 〜》и1 для каждого потребителя L Ясно, что одно из двух эквивалентных распределений принадле- жмт’ядру в том и только в том случае, когда другое принадлежит ему.

Замечание 2. Из леммы 17.3 можно вывести, что

Г

~*(V)①'(р) (%== 4, • • •, %；卩 1, • • •» 厂)• v=l г

Для этого заметим, что в силу леммы 17.3 с учетом выпуклости множества X» и выпуклости отношения предпочтения >^ мы имеем

г

•^工 ^ W） 讶（出）（》= 4, ••• J；卩=1,г）.（40）

v=li

Далее, в силу леммы 17.2 r-кратное повторение

（；g/'（v），Is /（V））"

усреднения исходного распределения снова представляет собой распределение в gr. Следовательно, если бы для некоторой пары лндексов （Z,卩）в （40） имело место отношение строгого предпочтения, то исходное распределение блокировалось бы в & совокупностью всех потребителей, что противоречит принадлежности исходного распределения ядру Сог （涉）.Возвращаясь к замечанию 1, мы видим, что с каждым распределением из ядра экономики gr связано эквивалентное распределение специального вида, а именно r-кратное повторение его усреднения, которое также должно находиться в Сот （宮「）•

Замечание 3. Иной подход к теоретико-игровому анализу вальрасовского понятия конкурентного равновесия был предложен Шепли и Шубиком. Характерным в этом отношении является результат Шепли [21 и Шепли и Шубика [1] о сходимости теоретико-игрового решения в смысле Шепли [11 для децентрализованной экономики к конкурентному равновесию при неограниченном расширении экономики путем дублирования исходной экономической системы.

Глава VI

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ КОНКУРЕНТНЫЕЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ВАЛОВАЯ ЗАМЕНИМОСТЬ

В этой главе изучается одно специфическое свойство, называемое валовой заменимостью продуктов и присущее некоторым частным классам конкурентных экономических моделей. В предположении валовой заменимости становится возможным доказать ряд важных утверждений как о статике, так и о динамике экономической системы. С помощью экстремального подхода в § 18 устанавливается существование конкурентного равновесия, а также справедливость слабой аксиомы выявленного предпочтения между равновесным и неравновесным векторами цен, сформулированной Самуэльсоном. В § 19 исследуется глобальная устойчивость систем с валовой заменимостью; этот параграф основан на результатах Эрроу, Блока, Гурвица и Удзавы.

ВАЛОВАЯ ЗАМЕНИМОСТЬ И ЭКСТРЕМИЗАЦИЯ

Валовая заменимость

В этом разделе мы будем рассматривать специфическое поле предпочтений (X, >), в котором X = Е% а отношение предпочтения ± удовлетворяет следующим предположениям：

(а) Отношение >； является возрастающим, т. е. если 力三 у для %, 5 W R^ то ж > г/.

(Р) Отношение > строго выпукло в смысле условия (V) из § 15.2 в гл. V, т. е. если х>у для двух различных 怎刃 W Е?， то а% + §д А у (а > О, Р > 0, а + Р = 1).

(у) Отношение > непрерывно.

Такой тип поля предпочтений является стандартным для традиционной математической экономики.

Будем обозначать через р и I n-мерный вектор цен и уровень дохода потребителя соответственно. Если потребитель обладает полем предпочтений указанного типа, то, как оказывается, его индивидуальная функция спроса 屮(р, /), определенная в виде (4) в § 15.2 гл. V, на множестве всевозможных р > 0, / > 0, обладает следующими свойствами®

Каждое множество-образ ф (р, Z) не пусто и состоит из единственного набора потребительских благ.

Отображение (однозначная функция)屮(р, /) непрерывно по совокупности своих аргументов 加 7), где р > 0, / > 0.

Обоснование утверждений (i), (ii) таково. Область потребительского выбора М (р, /) = {% I % N 0,〈р, %〉W /} представляет собой при каждом (р, 7) непустое компактное выпуклое подмножество множества наборов потребительских благ 出， так что по лемме 15.3 из гл. V М (р, 7) содержит наиболее предпочтительный элемент. В то же время, согласно лемме 15.6 (ii) из гл. V, в М (р, 7) может Лыть не более одного наиболее предпочтительного элемента. Тем самым доказано утверждение (i). Утверждение (ii) доказывается с помощью таких же рассуждений, что и при доказательстве леммы 16.4 (iii) в гл. V, хотя в данном случае область выбора не ограничивается кубом, а / представляет собой независимую переменную.

Итак, мы получили однозначное непрерывное отображение Ф (р, 7) множества пар (р, 7), где р > 0, / > 0, в Е% Ниже мы будем подробно изучать поведение функции 屮 при изменении ее аргументов (/?, /)• С этой целью введем вспомогательное отображение а (д, а), определенное на всех 八-мерных положительных векторах цен q и всех наборах потребительских благ a g R% это отображение будет иметь и самостоятельный экономический смысл. Определим указанное отображение следующим правилом: о (д, а) = единственный элемент множества «R*, минимизирующий〈д, %〉на Л^(1)

при ограничении х> а.

Для обоснования корректности такого определения прежде всего отметим, что множество М (q, а) = {% | % 三 0, %之〃，〈g, n〉W〈0，а〉} является непустым и компактным; следовательно, непрерывная функция〈〃 ①〉обязательно достигает минимума в какой-нибудь из его точек, скажем, в точке / = %• Очевидно, что〈，，％〉представляет собой минимальное значение величины 〈q, %〉на множестве всех х, таких, что ①三0, х>а. Более того, указанная точка х единственна. Действительно, рассмотрим две точки 人人„Л人

%, ух寸=у, м допустим, что обе они минимизируют〈力 ％〉

на множестве А： при ограничении х>а. Без потери общности можно предполагать, что х > у. Тогда, согласно предположению (Р) о строгой выпуклости отношения предпочтения 之，из х 之 у, 人人|人人]AA

/*y, будеt еледовать, что 歹(①+5)>а. Точка у(% + 沙)—— заведомо не нуль, так как %三 0,沙 №, %耍沙・ Поэтому, если мы возьмем точку х в R：, удовлетворяющую условию ^ (% + д)二力 и достаточно близкую к точке ~^~ (%+沙),мы все еще будем иметь

n > 〃 в силу непрерывности отношения предпочтения >. Ввиду положительности вектора q для х мы будем при этом иметь неравенство (д, ж) <； (q, ж) = {q, у) в противоречии с допуще- лием, что % м 沙 минимизируют 〈д, %〉 на Е： при ограничении /±а. Эти результаты показывают, что определение (1) однозначного отображения о(д, а) непротиворечиво.

Лемма 18.1. Отображение о (д, @) (д > 0, 〃 三 0) обладает следующими свойствами:

а (q, а)〜а.

Отображение о (д, а) непрерывно (по (д, а)).

При каждом фиксированном 〃三 0 величина

J(2, 〃)=〈9,0(0, 〃)〉(2)

呪ак функция от q имеет частные производные

^y = Oj(g, а) (j = l, ..., м)‘(3)

z@e Oj(9, а) — /-я компонента вектора а (д, а).

Если а > Q, то J (д,仅)> 0.

(V)При всех р > 0, 7 > 0 имеют место тождественные соотношения а (р, ф (р, /)) = ф (р, I), J (р, ср (р, /)) = /•

Если J (q, а) > 0, mo ф (q, J (q, а)) = а (q, а).

Имеет место неравенство (Ад, Да) ^ 0, где д > О, q + Ад > 0, Ао = о (д + Ад, а) — а (д, а).

Доказательство, (i) Согласно определению (1), о (д, 〃)> 〃. Допустим теперь, что а (д, а) > а. Это предположение сразу отвергает возможность того, что о (q, а) = 0, так как в случае о (д, @) = 0 мы имели бы а ^ а (д, а), откуда в силу предположения (а) должно быть а>о (q, а), вопреки сделанному допущению. Таким образом, должно быть а (д, а) > 0. Следовательно, если мы возьмем точку х в R% удовлетворяющую условию а (д, а) > ж и достаточно близкую к а (д, а), то мы все еще будем иметь соотношение % А а согласно непрерывности отношения предпочтения >. Но ввиду положительности q мы при этом будем иметь и неравенство〈g, а (д, 〃)〉>〈9, %〉，что противоречит определению (1).

Рассмотрим произвольные сходящиеся последовательности {,}, {叫，где lim qv = g, lim аУ = а. Нужно показать, что

lim сг (gv, a”) = о (g, a).(4)

V->+oo

Прежде всего покажем, что последовательность {о(Т, *} ограничена. Действительно, по определению имеем (^v,。(，匕〃”)〉《 《〈心 а". Отсюда следует, что

0《"3,叫《«/疗)0"”f (〃0)(0，G "f 十8),

откуда и вытекает ограниченность последовательности {a (gv, 〃”)}・ Таким образом, чтобы доказать (4), нам достаточно будет показать, что каждая сходящаяся подпоследовательность последовательности {а (Т,砂)} сходится к о (д, а). Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда уже сама исходная последовательность {a(^v, 〃v)} сходится.

Отметим теперь, что в силу предположений (а) и (Р) для любых х. у ее貧% > 2/, будет иметь место % А д, и, значит, выполняется условие ненасыщаемости. Исходя из ненасыщаемости, мы всегда можем выбрать и зафиксировать элемент w, такой, что iv > а. Возьмем теперь произвольный элемент х, удовлетворяющий условию 化士 а, и положим х (0 = (1 —力％ + to. Тогда в силу условия (V) из § 15.2 гл. V, оговоренного в предположении (Р), мы будем иметь

①(力)А а (О V 力 V 1).(5)

Рассмотрим соотношение (5) для произвольного, но фиксированного 力；принимая во внимание условие lim av = а и непрерывность отношения предпочтения 之,мы видим, что для этого t при достаточно больших w имеет место

х (力)A av.(6)

Поэтому в силу определения отображения о (gv, av) получаем, что для данного t при достаточно больших v

〈7, 2«)〉>〈Т，о(Т,叫〉・(7)

Полагая в (7) Vf 十8, получаем в пределе

你 x(t))^(q, lim a(^v,叫〉.(8)

V->4-oo

Устремляя теперь независимо 力f 0 в левой части соотношения (8), получаем окончательно

<0, %〉><外 Ит оГ(н 叫).

V->+°°

Поскольку существует только один элемент в Е貧 который минимизирует 〈‘，х) при ограничении %^а, а именно, элемент а (д, а), то из последнего неравенства^ учетом непрерывности отношения предпочтения ^ вытекает требуемое соотношение(4).

Введем обозначение

Ау0 — (0, ..., 0,財力 0, ..., 0)'・

Тогда по определению (1) мы имеем неравенства

句，о (q + Aj・q, 〃)〉>〈q, о @ а)),

〈9 + &0, о(0, 〃)〉> 匂十 А& о(9 + & 0, 〃)〉•

После соответствующих преобразований из этих двух неравенств получаем

。W〈9, о(9 + %0，〃)〉一〈93 (g, а)〉<

< А" 9/ (g,仅)一 Gj (q + 厶竝，(9) Так как.

Oj (g, a) - q (g + Aq 〃)f 0 。幻 f 0),(10)

согласно только что доказанному утверждению (ii), то из соотношения (9) следует, что

нm 你0g+A川a)〉一〈a,0(0, ")〉= 0(11)

Окончательно, с учетом соотношений (10) и (И) получаем

” = Hm S + Ajq, o(g + A*, a)〉一〈g, о (g, a)〉=

项一吋0闻一

=Нт〈柒 0rs+修怨U “S’ ")〉+ Hm力(q + 厶必 a) = a； (g, a),

что и тр ебовалось доказать.

Допустим сначала, что a (g, a) = 0 при некоторых g > О, a > 0. Тогда из соотношения a > 0 — а (^, а) и пр едп о л ож ений (а), (Р) должно следовать а ^ о (q, а) вопреки определению (1), согласно которому а (д, а) 士 а. Поэтому" при g > 0 и а > 0 всегда а (?, а) > 0, и, следовательно,

J @。)=〈0, о(9, @)〉> 0・

(у) Покажем сначала, что

仍，Ф (р, /)〉= /. (12)

Соотношение (12) вытекает из свойства ненасыщаемости. В самом деле, если бы соотношение (12) нарушалось, т. е. его левая часть оказалась бы строго меньше правой, то можно было бы найти злемент х, удовлетворяющий условию % > 屮(р, /), который был бы достаточно близок к (р (р, 7), так что выполнялось бы и бюджетное ограничение. Но для такого х в силу предположений (a), (Р) мы имели бы % > 屮(р, 7), что противоречит определению отображения ф (р, /).

Докажем теперь первое из соотношений (v), для чего достаточно х) будет установить, что из 力之中(卩，7) следует ф, %〉> >〈卩，屮(Р，')〉• Возьмем элемент w^ такой, что w; > ф (р, /),

Действительно, рассмотрим элемент / = и (р,屮(р, /)), который минимизирует〈р, /〉при условии х > ф (р, /); этот элемент, согласно доказанному выше, является единственным. Тогда из соотношения (р, /〉> 》〈Р,屮(Р, /)〉следует, что он должен совпадать с ф (р, /), т. е. получаем первое из соотношений (v). — Прим, перев.

рассмотрим произвольный элемент %, удовлетворяющий условию % 士屮(Р, /), и положим х (Z) — (1 —力)① + tw\ тогда, как и в доказательстве утверждения (ii), мы будем иметь

①⑺〉屮 S, /) (О V 力 v 1).(13)

Из соотношения (13), согласно определению отображения (Р (р, /) и с учетом (12), следует

〈Р, % (%)〉> /=5,屮 3 /)〉，

что в пределе по 力 f 0 дает нужное неравенство 仍，％〉〉(р, ф (р, /)〉•

Теперь второе из соотношений (v) может быть получено из цепочки равенств J (р,屮(р, /)) = ф, о (р,屮(р, /))〉= ф, ср (р, /)〉= =I.

'(vi) Возьмем произвольный вектор х из Е% удовлетворяющий бюджетному ограничению

〈9,化〉W J(Q, *

и положим х (力)=旣.Тогда в силу предположенного условия J (д, 〃)> 0 мы будем иметь 匂，％ (»〉之 J (g, а) при О W 力 < 1, что сразу исключает возможность х (力)>;а. Поэтому

о (д, а)之。> % ⑴(0《力 V 1)；

переходя здесь к пределу по i с учетом непрерывности отношения предпочтения, получаем

о (д, а) > а >; %;

отсюда с учетом единственности элемента ф (g, J (д, а)) и вытекает утверждение (vi).

(vii) Как и при доказательстве утверждения (iii) имеем по определению

〈д, о (д + Ад, 〃)〉> 匂，о (д, 〃)〉，

匂 + Ад, а (д, 〃)〉> (д + Ад, о S + Ад, 〃)〉• Отсюда

(д, До)》0》匂 + Ад, Аа).

Вычитая крайний слева член из крайнего справа, получаем искомое неравенство〈Ад, Асг〉《0. Лемма полностью доказана.

Лемма 18.1 проясняет экономический смысл отображения о (д, 〃) и величины J (д,优).При каждом фиксированном а величина / (д, а) представляет тот минимальный уровень дохода, которого достаточно, чтобы при векторе цен q сохранить тот же уровень предпочтения, что и при наборе потребительских благ 〃； соответствующий (единственный) оптимальный набор

25*

потребительских благ, обеспечив а ющий указанный уровень предпочтения, мы и определили как о (д, а).

， Используя величины а (д, а) и J (д, а), мы можем представить изменение спроса

Аф =屮(Р + А” /) — Ф (р, /), соответствующее изменению цен Ар, в виде суммы двух членов. Записывая разложение

а(р =屮(卩 + Ar, /)—屮(p, /)=

三[ф (р + Ар, /) — or (р + Ар, ф S, /))1 +

+ [о (р + Ар, Ф (р, /)) — ср (р, 7)1 и пользуясь соотношениями

<Р(Р + Ар, Q =屮(Р 十 Ар, J(Р, ф(Р，/)))，о (р 十 Ар, Ф (р, /))二屮(р 十 Ар, J ①十 Ар, ф (р, /))),

Ф (р, 7) = а (р,屮(р, /)),вытекающими из леммы 18.1, мы окончательно получаемД(р = Ф (р + Ар, /)—屮(р, /)=

=[屮伪'+ Ар, JS，<р(р, /)))—屮(р + Ар, J(p + Ар, Ф(Р,/)))] + + ”(р 十 Ар, ф (р, /)) — а (р, ф (р, /))]・(14)

Член (р(р+Др, J(p, ф (р, /))) — ф S+ Ар, J(Р + Np、屮(Р，/))) и член а (р + Др,屮(р/)) — а(р,(р(р,/)) носят название величины эффекта дохода и величины эффекта замещения соответственно. Уравнение (14) называют уравнением Слуцкого 6 форме конечных приращений. Из этого уравнения видно, что изменение в ценах Ар воздействует на поведение потребителя двумя путями. Во-первых, это изменение, вообще говоря, приводит к изменению пропорций цен, что влечет за собой взаимное замещение продуктов в оптимальном меню потребления, и, во-вторых, это изменение приводит к изменению реального дохода потребителя, или его покупательной способности, хотя номинальный уровень дохода остается неизменным. Другими словами, эффект замещения выражается в сдвиге оптимального меню потребления в пределах того класса безразличия, которому принадлежит исходный набор ф (р, 7). Величина j (р + Ар,屮(р, /)) представляет собой тот уровень номинального дохода, который при новых ценах р + Др дал бы возможность потребителю оставаться внутри того же самого класса безразличия, что и перед изменением цен. Тем самым эффект дохода проявляется в сдвиге оптимального меню потребления при ценах р + Ар, соответствующем изменению уровня дохода от J (р + Др, ф (р, /)) до реального уровня J (р, ф (р, /))•

Теорема 18.1 (Слуцкий [1]). Предположим, что у функции спроса ф (р, /) (р > 0, / > 0) существуют частные производные d^Jdpj (г, 7 = 1, . . ., м) м непрерывные частные производные d^fildl (方= 1, . . ., п). Тогда выполняется уравнение С луцко го в дифференциальной форме

需=-% 等+ 6力. (15) причем

m @收—1；E 屮 t(p+A/P, j(p,屮(p,/))) —取(p + A/p, J(p + A*,屮(p,/)))

F _罂0，

(16)

0..=lim gMp+A/，中S, /)一立(p,中S, /))

爲APjfOАр/，卜丿

где

AjP = (0, •. •, 0, bpj, 0, . •., 0) •

Доказательство. В векторном соотношении (14) его /-я скалярная компонента при Ар = А)р имеет вид

Aq)i =恥 S + AjP，/)—旧 S，/)=

=6 (р + 厶歩，J (p, Ф (p, /)))—

—<pt (p + A」/, J (p + %p, (p (p, /))) +

+ 6 (p + A歩，(p (p, /)) — S (p,屮(p, /))・

Пользуясь леммой 18.1 (iii) и теоремой о среднем, известной из анализа, мы можем переписать первые два члена ——величину эффекта дохода — в виде

一9"(p 土A歩，哨U(P+必歩，Ф(P，/))AР力 (18) где

屮订=零，n =/(Р十m歩，屮(Р，今)，0<0<1.

Функция 中订 непрерывна по условию теоремы, а функция g§ непрерывна в силу леммы 18.1 (ii). Поэтому из (18) с учетом леммы 18.1 (у) получаем

Нт величина эффекта дохода —

Др尸оАрJ

=-屮订(Р，J(Р，Ф (Р，/))) 5(Р，Ф(Р，/))=-屮订(Р，I)屮j(Р，/)• Кроме того, по определению имеем

Нт 收(Р+AjP, /)—牝(Р, /) = @例

Поэтому предел а^； отношения величина эффекта замещения Ар；

при Др；-> 0 также существует и равен

"» lim величина эффекта дохода丽_Apjf 0画.

Этим завершен вывод уравнения (15). Теорема доказана.

JB дифференциальном варианте уравнения Слуцкого (15), как и в его варианте с конечными приращениями, мы также называем —屮"屮丿@/ и о订 величиной эффекта дохода и величиной эффекта замещения соответственно.

Вспоминая лемму 18.1 (iii), отметим, что если функции о^ (д, а) имеют частные производные

0订(q，@)=丽8(9, a) (к j=* которые непрерывны по q при каждом фиксированном 〃，то оказываются справедливыми соотношения

@2@2

Gt® * = ^^J Q G=^^J (q, а) = 5“ G (Z, j = 1, • • •, 〃)• В этом случае имеет место симметрия величин эффектов замещения (17) в теореме 18.1:

S『=0r露亿 j = 1, •・•，n).

Однако мы ничего не можем сказать о знаках величин о订，за исключением того, что а^ ^0 (i = 1, . . ., п), как это непосредственно следует из леммы 18.1 (vii) при q = р, Ад =厶歩， и определения (17). Исходя из симметрии величин эффекта замещения, Хикс [1] дал следующее определение заменимости (суб- ституциональности) и дополнительности (комплементарности) продуктов. Два продукта, Z-й и j-й, являются заменимыми или дополнительными в соответствии с тем, имеет место 仃订 > 0 или о订 V 0. Разумеется, даже в том случае, когда знаки величин а^ известны, наличие членов, отражающих эффект дохода, затрудняет определение знаков величин d^Jdpj. В связи с этим представляет интерес понятие валовой заменимости, которое было введено Хиксом [11 и Мосаком [1]. Продукт j называется валовым заменителем продукта /, если d^JOpj > 0. Здесь слово «валовой» призвано отразить учет всех эффектов, включая эффект дохода, в отличие от чистого эффекта замещения в пределах поверхности (класса) безразличия.

Следует подчеркнуть, что понятия заменимости и дополнительности, а также валовой заменимости, определяются применительно к данному индивидуальному потребителю и к данной доходоценовой конфигурации (р, /). Однако можно ввести аналоги

этих трех понятий и для функций совокупного спроса — в терминах знаков суммы величин индивидуальных эффектов замещег ния и суммы величин индивидуальных полных эффектов. В частности, о валовой заменимости применительно к функции совокупного избыточного спроса можно говорить даже в том случае, когда в модель включено производство, так как понятие валовой заменимости не предполагает разложения происходящего изменения совокупного избыточного спроса на величину эффекта дохода и величину эффекта замещения, а основано на учете всего полного изменения. Более того, понятие валовой заменимости можно относить сразу ко всей области доходо-ценовых ситуаций. Обычно индивидуальные доходы входят в функцию совокупного избыточного спроса уже как функции цен, а не как независимые переменные.

В последнее время внимание многих авторов привлекает ослабленный вариант понятия валовой заменимости —— слабая валовая заменимость, определяемая лишь требованием d^ildpj》О (Z у= j). Среди этих авторов можно отметить Хана [1], Негиси [1,3], Эрроу, Блока и Гурвица [1], Никайдо [7, 111, Эрроу и Гурвица [1, 2], Маккензи [4, 5], Моришиму [1, 5], Удзаву [3] и Кугу [1, 2]. Полученные ими результаты показывают, что целесообразно изменить терминологию с тем, чтобы слабую валовую заменимость впредь называть просто валовой заменимостью, а то, что называлось валовой заменимостью прежде, отныне именовать сильной валовой заменимостью.

Опираясь на все предыдущие рассуждения, дадим следующие формальные определения.

Определение 18.1 (валовая заменимость в форме конечных приращений). Пусть заданы 八 функций избыточного спроса

Ei (р) (% = 1,・・•，п), (19) зависящие от n-мерного вектора цен р = (р») и определенные в области Р, общей для всех этих функций. Будем говорить, что в Р имеет место валовая заменимость, если для любых р, q £ Р, таких, что р N 9, выполняется условие

&(Р)》&(9)(i^N(P.q) = {ПР1>9г}У (20)

Определение 18.2 (валовая заменимость в дифференциальной форме). Пусть функции Е» (р) (19) имеют всюду в Р частные производные dEJdpj (Z, j = 1, . . ., п). Тогда будем говорить, что в Р имеет место валовая заменимость, если всюду в Р выполняется условие

(г, у = 1, ..., тг; (21)

Определение 18.3 (обобщенная валовая заменимость). Пусть, как и в определении 18.2, всюду в Р существуют частные производные дЕ^др^ (厶 / = 1, . . ., п). Будем говорить, что в Р имеет место обобщенная валовая заменимость, если всюду в Р выполняется условие

4^ + 4f^>° 伍 j ="・丄・,n; "#=/)• (22)

Замечание 1. Валовая заменимость в форме конечных приращений вполне аналогична условию слабой монотонности (6^) из гл. HI, § 10.1, но кажется в большей степени оправданной экономически.

Замечание 2. Нетрудно убедиться, что в случае существовав ния частных производных дЕ^др^ определения 18.1 и 18.2 эквивалентны. Проверка этого предоставляется читателю.

Замечание 3. Обобщенная валовая заменимость, в частностиг включает валовую заменимость в дифференциальной формег а также случай кососимметричности, т. е. случай

囁十醬(23> По-видим«му, единственной работой, где специально рассматри- вался случай обобщенной валовой заменимости, является работа Никайдо [11]. Надо сказать, что ввести работоспособное определение обобщенной валовой заменимости в форме конечных приращений оказалось трудным делом. '

Замечание 4. В свете замечаний 1 и 2 представляется разумным перенести понятие неразложимости (гл. III, определение 10.2) на системы с валовой заменимостью. А именно, систему с валовой заменимостью (систему, удовлетворяющую определению 18.1) будем называть неразложимой, если для любых р, q £ Р, таких, что р > q, но р ^> q, хотя бы для некоторого Z неравенства в (20) является строгим. Если все неравенства в (20) строгие, то систему называют системой с сильной валовой заменимостью. В случае дифференцируемости систему с валовой заменимостыо (систему, удовлетворяющую определению 18.2) и систему с обобщенной валовой заменимостью (систему, удовлетворяющую определению 18.3) будем называть неразложимыми, если матрицы (dEi/dpj) и (。瓦/Jpj + dEj/dpi) неразложимы всюду в Р. Соответствующие усиленные формы валовой заменимости определяются через требование положительности всех внедиагональных элементов указанных матриц.

Пример 1. Приведем простой пример нетривиальной системы с валовой заменимостью, которая удовлетворяет уело-

виям (I), (II) (при 0《иг <1) и (III) из § 18.2 и которая определена и удовлетворяет требованию непрерывной дифференцируемости на множестве всех положительных векторов цен р = (р»)・ Эта система имеет вид

пп

(^ = ^-2- S а^ (ji …，3，(24)

j=ij=i

где O《zn V 1 и dij(i, 7=1» • • •, w) — неотрицательные константы. Предположим, что имеется I потребителей s = 1, ..., Z, каждый из которых характеризуется индикатором предпочтений

пп

us (ж) = JJ 力:'$ (电5>0, 2 电5 = 1)t=£i=l

на множестве всевозможных неотрицательных наборов потребительских благ, а также неотрицательным вектором начальной собственности 箇=(或).Тогда функции совокупнЬго избыточного спроса в ситуации чистого обмена между такими потребителями как раз и будут иметь вид (24) с m = 0 и

I

@订=^] а»$〃/(%, j = 1, .. ., и)•

8=1

Читатель легко сможет в этом убедиться.

Пример 2. Можно, привести примеры нетривиальных систем с обобщенной валовой заменимостью, удовлетворяющих условиям (I), (II) (при m = 1) и (III) из § 18.2 и требованию непрерывной дифференцируемости на множестве Р = R^\ {0}. Простейший пример такого рода дает кососимметрическая система

п

已(Р)= 3 atjpj (Z = 1, . . ., л),

где (〃订)一ненулевая кососимметрическая матрица. Равновесный вектор цен в такой системе (см. определение 18.4 ниже) является не чем иным, как вектором оптимальной смешанной стратегии в антагонистической игре двух лиц с платежной матрицей (〃“)• Известно, что к игре с кососимметрической платежной матрицей сводится любая антагонистическая игра с произвольной платежной матрицей (см. Гейл, Кун и Таккер [11).

Системы с валовой заменимостью обладают рядом интересных как с экономической, так и с математической точки зрения свойств, которыми не обладают экономические модели более общего вида, рассмотренные в гл. V. Эти свойства были установлены в работах Эрроу, Гурвица и др., цитированных выше. Из-за недостатка места трудно воспроизвести здесь эти результаты во всех деталяхг

поэтому мы ограничимся изложением двух основных групп результатов. Одна группа результатов относится к установлению ■фактов существования конкурентного равновесия и справедливости слабой аксиомы выявленного предпочтения между равновесным и неравновесным векторами цен, сформулированной Самуэльсоном; получение этих результатов связано с углубленным использованием методов экстремизации — как это делается в работе Никайдо [11]. Другая группа результатов относится к исследованию глобальной устойчивости систем с валовой заменимостью. Из всей большой совокупности таких результатов, полученных рядом авторов (перечисленных выше, перед определением 18.1), здесь отобрано несколько наиболее характерных результатов, которым и посвящен § 19.

Экстремизация и существование равновесия

В этом разделе, как и во всех последующих разделах данной главы, мы будем рассматривать систему, заданную п однозначными числовыми функциями Ei (р) (i = 1, ...» п) п-мерного векторного аргумента р = g), определенными на общей для всех этих функций области Р. Функция 吊(р) указывает величину избыточного спроса на Z-й товар. Понятно, что поведение этих функций вполне описывает состояние n-продуктовой экономики с точки зрения совокупного избыточного спроса на товары.

Ниже мы сформулируем три основные пр едп о л ожения относительно функций Е» (р), которые в дальнейшем будут конкретизироваться или усиливаться дополнительными пр едп о л ожениями в зависимости от рассматриваемого вопроса.

Общая область определения Р функций Е^ (р) (i^ i, . . ., п) представляет собой непустое подмножество неотрицательного юртанта R^ пространства Rn, такое, что

(I.a) Множество Р не содержит нулевого вектора 0.

(1，Р) Для любого вектора р g Р и любого положительного числа X > 0 имеет место Хр g Р.

(Ly) Множество Р открыто в 出(в относительной топологии ортанта Е*・

Функции избыточного спроса являются однородными функциями одной и той же степени иг, 0 « тп《1, т. е.

Ei (Ар) = ^Ег (р) при р € Р, X > 0 « = 1, . . ., п).

Выполняется закон Вальраса в узком смысле, т. е.

п

3 p/i(p) = o всюду в Р. г=1

Замечание 1. Простейшим примером множества Р, удовлетворяющего предположению (I), является множество всех полуполо-

жительных векторов. Другой простейший пример ——множество всех положительных векторов. Однако в общем случае множество Р может иметь более сложную структуру, чем это предполагается обычно. Множество Р не обязано быть выпуклым; более того, его пересечение с нормирующей гиперплоскостью N't = 4 может даже иметь «пустоты». Как будет показано ниже, если функции избыточного спроса непрерывны и однородны нулевой степени, то единственной системой с валовой заменимостью, определенной на всем множестве всевозможных полуположительных векторов цен, является тривиальная система, заданная тождественно равными нулю функциями избыточного спроса. Однако свойство валовой заменимости или обобщенной валовой заменимости позволяет получить некоторые интересные результаты для множества более общей структуры. Эти соображения обосновывают то ослабление обычных ограничений на структуру множества Р, которое было сделано в формулировке условия (I).

Замечание 2. Для традиционно рассматриваемых экономических моделей в предположении II следует положить m = О (см. гл. V, § 16.4).

Замечание 3. Как уже отмечалось в гл. V, утверждение (III) (закон Вальраса) является одним из важнейших атрибутов вальрасовской рыночной экономической системы.

В качестве аналога определения 16.6 из гл. V в принятой здесь постановке задачи мы дадим следующее определение.

Определение 18.4. Вектор цен р =仇)называется равновесным вектором цен для системы функций избыточного спроса Ei (р), определенных на множестве Р, если р W Р и

& (方)《0 « = n), (1)

причем Ei (/?) = 0, если р» > 0. (2)

Отметим, что условие (2) в силу основного предположения (III) непосредственно вытекает из условия (1).

Вспомним теперь теорему 16.6 из гл. V. В ней устанавливаются с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке (обобщения теоремы Брауэра) некоторые весьма общие достаточные условия существования равновесия. Кроме того, сама эта теорема 16.6 оказывается фактически эквивалентной теореме Брауэра о неподвижной точке (см. теорему 16.7). Казалось бы, имея такую мощную теорему, нет надобности снова возвращаться здесь к вопросу о существовании равновесия. Однако положение на самом деле несколько иное. Конечно, предположения теоремы 16.6— выполнение закона Вальраса и замкнутость (непрерывность в обобщенном смысле) функций избыточного спроса ——не являются чрез-

мерно ограничительными. Однако область определения функций избыточного спроса в этой теореме имеет весьма специальный вид, а именно, является стандартным симплексом, или, что фактически то же самое ввиду предположения об однородностиг совпадает с множеством всех полуположительных векторов цен.

Как уже было сказано в замечании 1 и как будет строго доказано далее, не существует никакой системы с валовой заменимостью и с непрерывными однородными нулевой степени функциями избыточного спроса, кроме тривиальной системы. Нетривиальные системы с валовой заменимостью можно задавать только на собственных подмножествах множества всех полуположительных векторов. Этим обусловлена 4неприменимость метода неподвижной точки в том виде, как это делалось при доказательстве теоремы 16.6 в гл. V, и мы вынуждены заново рассмотреть вопрос о существовании равновесия при более общей структуре области определения функций избыточного спроса, чем это допускает метод неподвижной точки.

В связи с этим становится весьма важным то обстоятельство, что свойство валовой заменимости позволяет доказывать существование равновесия для областей общей структуры, которая описана основным предположением (I). Результаты, полученные в этом направлении в работах Никайдо [11] и Куги [2], в более общей форме приводятся в настоящем разделе.

Никайдо [11] рассмотрел системы с обобщенной валовой заменимостью. Позднее Куга [21 дал другое доказательство для систем с валовой заменимостью при однородности нулевой степени, ослабив первоначальное предположение диффер енцир уемости в работе Никайдо [11 и заменив его предположением непрерывности. Хотя результаты Куги интересны, приведенные им доказательства существенно основаны на принятии крайне жестких граничных условий, которые не выполняются* даже в некоторых хорошо известных и традиционных примерах ситуаций чистого обмена (см. ниже замечание 6). Поэтому мы будем исследовать все интересные случаи, включая обобщение результатов Куги, с помощью методов экстремизации Никайдо [11]. В большинстве случаев при этом основной экстремизируемой величиной у нас будет сумма квадратов положительных величин избыточного спроса, а именно, п.

①(р)= W 仇 S)2，(3)

г=1

где

也(р) = max (Et (р), 0) « =п).⑷

Очевидно в силу самого определения ①(р) > 0・ Следовательно, если р — равновесный вектор цен, то Ф (р) = 0, и, значит, Ф (р) в точке р принимает свое минимальное значение, равное нулю.

Очевидно также, что вектор р удовлетворяет условию (1) в том и только в том случае, когда Ф (р) = 0. Наш метод доказательства и заключается в том, чтобы, опираясь на свойство валовой заменимости, показывать, что экстремум функции Ф (р) (теоремы 18.2, 18.4 и 18.5) или другой величины (теорема 18.3) равен нулю.

Разумеется, при доказательстве существования равновесия в Р нам понадобятся определенные предположения о «достаточно хорошем» поведении функций избыточного спроса в Р — такие, как предположения о непрерывности или дифференцируемости. Но, кроме того, нам придется наложить и некоторые дополнительные требованця. Мы оговорили, что Р является непустым открытым подмножеством множества Е£ \ {0}; ввиду связности множества R^ \ {0} множество Р не может быть одновременно замкнутым в jRJ \ {0}, если только Р не совпадает с 7?J \ {0}. Поэтому в общем случае множество Р должно иметь граничные точки в R^ \ {0}, не принадлежащие самому множеству Р. Дополнительные условия, которые нам понадобится наложить на функции избыточного спроса, как раз и касаются поведения этих функций в окрестности указанных граничных точек. Такие условия, требующие «достаточно хорошего» поведения функций, мы будем далее именовать граничными условиями} их перечень приводится ниже. В дальнейшем мы будем под граничной точкой множества Р подразумевать его граничную точку в относительной топологии множества R^ \ {0}, так что граничной точкой не может быть нуль, а может быть только полуположительный вектор.

Граничное условие А. Для любой граничной точки р множества Р и любой последовательности {pv} в Р, сходящейся к р, найдется элемент р в Р, возможно, зависящий от р и {pv}, пп

накой, что Е Pt= 2 Pi и') t=lг=1

lim sup ①(pv) > Ф (p).(5)

Граничное условие Б. Для любой граничной точки р множества 尸 и любой последовательности {/Л} в Р, сходящейся к р, имеем

lim sup Et (/Л) = + oo хотя бы для одного L (6)

1) Символическая запись lim sup / (力) означает верхний предел и яв- tf+©О

ляется сокращением записи lim sup / (т). В аналогичном смысле употреб- ляется запись lim inf f ").—Прим. перев.

Граничное условие В. Пусть рассматриваемое множество Р таково, что ни одна из его граничных точек р не положительна (не имеет все компоненты р» > 0). Для каждой граничной точки р положим К = {i \ pi = 0}. Тогда для любой последовательности {pv} в Р, сходящейся к р, будем иметь

lim sup Ei (/Л) = 4-oo хотя бы для одного % С 衣・ (7)

Граничное условие Г. При тех же допущениях, что и в формулировке граничного условия В, требование (7) заменяется требованием

lim sup Et (pv) > 0 хотя бы для одного » £ К, (8) V-*+oo

Замечание 4. В системе перечисленных граничных условий есть определенные взаимосвязи. Так, условие В, очевидно, описывает частный случай условия Б. Далее, легко видеть, что (6) равносильно требованию, чтобы lim sup Ф (pv) = + 8. Поэтому условие Б описывает частный случай условия А. Наконец, условие В описывает частный случай условия Г. Важно отметитьг что индекс i, фигурирующий в (6), (7) и (8), может зависеть не только от рассматриваемой граничной точки, но также и от последовательности {/} (см. ниже замечание 6).

Замечание 5. Если все функции избыточного спроса ограничены снизу, как это часто бывает, то соотношение (6) может иметь место только тогда, когда соответствующая 力-я компонента 瓦 рассматриваемой граничной точки равна нулю, и, следовательно^ условие Б фактически эквивалентно условию В. Действительно, если все функции Ei (р) ограничены снизу: Е» (р) > у (р £ Р, i == 1, • • ., п), то в силу закона Вальраса, пусть даже в широком смысле, имеем

&马(р^ 一 2 p部t (W)《一Y 2 局.

Предположим, что lim pv = р= (pf), lim sup Ek (pv) = + oo. Мы можем, не ограничивая общности, считать, что lim 右冗(р")= 4-оо, так как к такой ситуации всегда можно придти, взяв, если нужно, соответствующую подпоследовательность. У читывал теперь, что Ek (〃v) > 0 при достаточно больших v, из выписанного выше неравенства получаем

что в пределе дает 0《р丸 W 0. Таким образом, если lim sup Ek (/А)=主 8, lim pv = p, to p耳=0. При установлении основных результатов в § 18.2 мы будем использовать в тео-

ремах 18.2 и 18.4 только одно граничное условие А, а в теореме 18.3 будет фигурировать граничное условие Г.

Прежде чем перейти к основным интересующим нас теоремам ——теоремам о существовании равновесия при общей структуре областей цен в случае валовой заменимости,——мы приведем несколько простых фактов, которые устанавливаются в следующих леммах.

Лемма 18.2. Пусть /(%)——выпуклая функция, дифференцируемая на выпуклом подмножестве X пространства /?% причем ее п

полный дифференциал равен 2 力(①)dg. Тогда

i=l

n

〃y)—〃%)W 2 力仅)(勿一勺)(%, y£X).(9)

Доказательство. Заметим сначала, что если х (力)一 дифференцируемая функция скалярной переменной % на некотором интервале вещественной оси, причем значения ①(力)принадлежат множеству X, и если / (%) имеет в X полный дифференциал 2 ft (%) dxb то сложная функция 屮(力)=/ (% (力))также дифференцируема на указанном интервале и ее производная равна

п

望=工力3(小黑・

г=1

Применяя этот результат к заданной выпуклой функции /(%)， положив при этом x(t) = (i — t)x-\-ty (ОW力《1), получаем

存=2 力(％ «))(%-&)・

Очевидно, (р (力)一выпуклая функция на единичном интервале. Теперь искомое соотношение (9) получается в результате применения теоремы 3.15 (iii) из гл. I при м = 0,沙= 1. Лемма доказана.

Лемма 18.3. Функция

п

/(①)=S (max(g, О))2i=l

обладает следующими свойствами:

Функция /(%) выпукла и имеет непрерывные частные производные

g = 2max(g,0)(% = 4,…，〃)•(10)

Имеет место неравенство

п

/&) — /(%) «2 2 (玖一g) max 财 0).

г=1

Доказательство, (i) По существу достаточно будет показать, что функция а (力)=(max (力，О))2 на всей оси (——оо, + оо) имеет непрерывную производную 2 шах (力 0). Как только это будет доказано, то нужные нам результаты^ получатся немедленно. Во-первых, тогда функция а (力)как функция, имеющая неубывающую производную, согласно следствию 1 (i) из теоремы 3.15 в гл. I, должна быть выпуклой. А отсюда будет следовать выпуклость в Еп каждой из функций (max (勺，О))2, и значит, и их суммы — функции / (%). Во-вторых, тогда dfldxi = а7 (д)= =2 max (д, 0).

Докажем теперь требуемое утверждение о о (%)• Прежде всего, поскольку а (^) = 0 при 力 V 0, то на всей полуоси (——оо, 0) имеем 『«) = 0 = 2 шах (& 0). Далее, при 力 > 0 имеем о (力)=力2, так что на полуоси (0, + оо) имеем cf (力)= 2力= =2 max (力,0). Наконец, в точке 力=0 функция о (力) имеет и левостороннюю, и правостороннюю производные, причем обе они равны нулю, т. е. иначе говоря, равны 2 шах (0, 0). Следовательно, при всех t существует производная о'(力)=2 max (力 0), которая, очевидно, непрерывна.

Так как из существования непрерывных частных производных следует дифференцируемость функции, причем эти частные производные являются соответствующими коэффициентами полного дифференциала, то неравенство в (ii) вытекает из утверждения (i) и леммы 18.2. Лемма доказана.

Перейдем к основным результатам этого раздела. Следующая теорема воспроизводит результат Куги [2], причем в ослабленных предположениях, за исключением некоторого усиления за счет дополнительного предположения (6).

Теорема 18.2. Пусть выполнены основные предположения (I), (II) (при т — 0) и (III), и пусть

.(а) Имеет место граничное условие А.

(Р) Функции избыточного спроса 笈》(р) (Z= 1, . . ., п) непрерывны в Р.

(Y)В Р имеет место валовая заменимость 6 форме конечных приращений (определение 18.1).

(6) При всех Z, j = 1,...,八 6 каждой точке р W Р имеет место соотношение

lim sup 且△巴十二£L8). V + 8 (»#: j),

где

Аур =^ (0, ..., 0, Npj、0,...,。)'・

Тогда 6 Р существует равновесный вектор цен р.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф (р) (3) и положим

5 = inf(I)(p) по всем р£Р, таким, что £ р = 1,(И)

а также выберем последовательность {pv} в Р, такую, что

3^ = 1 (I, 2,・・)(12)

г=1

lim Ф (pv) = 6.(13)

Из определения функции Ф ясно, что 6》0. Условие (12) и факт неотрицательности векторов pv показывают, что {pv} представляет собой последовательность точек в стандартном симплексе Рп・ Поэтому ввиду компактности множества Рп мы можем без ограничения общности полагать, что последовательность {pv} сходится к некоторому пределу р в Рп. Эта предельная точка р может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Р・ Если р Р, то р является граничной точкой множества Р. В этом случае в соответствии с граничным условием А должна существовать точка р, такая, что р W Р П Рп и выполнено соотношение (5). Но в данном случае в силу условия (13) левая часть соотношения (5) равна 6. Поэтому мы получаем, что 0》①(р), р W 尸 П П Рп, откуда, согласно определению величины 6, должно быть ①(р) = 6. Далее, если предельная точка р принадлежит множеству Р, то и в этом случае должно быть Ф (р) = S в силу условия (13) и непрерывности функции Ф (р). Таким образом, мы показали, что в обоих случаях функция Ф (р) достигает своего минимума на множестве Р р Рп.

Заметим теперь, что в силу однородности функций Е» (р) нулевой степени^(предположение (II) с тп = 0) минимум функции Ф (р) на множестве _Р f] Рп на самом деле является и минимумом ее на всем множестве Р. Тем самым мы установили, что функция ①：(Р)достигает своего минимума по всем р Е Р в некоторой точке р. Покажем, что р является равновесным вектором цен. Для этого достаточно будет показать, что вектор р удовлетворяет условию (1), так как условие (2) вытекает из (1) в силу закона Вальраса (III).

Допустим, что р не удовлетворяет условию (1). Тогда, положив К (р) = {i ] Ei G) > 0}, мы получаем К (р) #=0. Поскольку 26—8

множество Р открыто в 砍，то при достаточно малых Ар『> 0, мы, очевидно, будем иметь р + ^jp ^ Р. Более того, взяв Др； > 0 достаточно малыми, в силу непрерывности функций Ei (р) мы все еще будем иметь

Ei (р + ^р)>0 (i^K(p), у = 1, ..., п).(14)

Далее, согласно закону Вальраса в узком смысле (III), имеем

3 ptEt 5)= о,

九『1(15)

4 PiEt (方 + 厶歩)+ Ap/j (力+&р) = 0.

Вычитая почленно первое равенство из второго и производя несложные преобразования, получаем

djj (Ар/) Pj = Ej(p + Ajp) + S (— do (Apj)) pi (/ = 1,n), (16)

где

山八△力)=旦巫瑞£土生祖(i, j=i,...，力).(17)

Из условия валовой заменимости мы находим, что

心j(Ap»《O«耍力(18)

чтосовместно спредположением(S) обеспечиваетлокальную

ограниченность величин (17), т.е. существованиенекоторой

положительной константы М, такой, что

|dij(Apj)l«M G ¥=/)(19)

при всех достаточно малых Др； > 0 . Ввиду соотношения (19) мы можем для каждого у выбрать последовательность {Ар；} положительных чисел, такую, что

lim &?； = 0,(20)

Vf+8

и в то же время существуют п—1 пределов

lim dij (A/?j) = &ij (Z * 7)•(21)

V-H-oo

Положим / = {j|p『>0}; тогда из соотношений (16), (20) и (21) с учетом непрерывности функций Ej (р) в точке р дополнительна вытекает, что существуют пределы

lim djj (Ар；) = djj (j~£ J).(22)

V->+°°

Поэтому, подставив 厶川 и Ар； в качестве 厶歩 и Др； соответственно в соотношение (16) и перейдя к пределу при v -> + оо, мы получим

2 山疝=%(方)(j£J).(23)

Из условий (18) и (21) очевидным образом следует, что коэффициенты dij в (23) удовлетворяют условиям

山/С。G*j,学”)・(24)

Вспоминая теперь, что Ф (р) представляет собой минимальное значение функции Ф(р) на множестве Р, и применяя лемму 18.3(ii), получаем соотношение п

。《① S +A歩)一①(p)《2 2 也(p + A步)(Ez (p +а歩)一Ei (p)) i=l'

(j = 1, • • •,厶)•(25)

Заметим, что из соотношения (16) и условия Ej (р + А歩)> 0 следует, что Р/>0； это видно из неотрицательности члена 2 (— 心《/ (厶卩力)Pi (/ = 1,九)， вытекающей из условий

血》0 и (18). Поэтому

J п К 而 *0.(26)

Из соотношений (17) и (25) с учетом положительности чисел Ар； получаем

^i (p + AjPv) d^ (ДрУ)<0 (jgJ).

Из этого неравенства в пределе, учитывая условия (21), (22), непрерывность функций 0/ (р) (4) и тот факт, что, согласно соотношению (26),仇 @) = 0 при i е J, получаем

2 山勃(万)4 0 (兀/)•(27)

Положим

九=max-肥” по всем Z£J.Pi

Число А должно быть положительным в силу (26); в получаемой системе соотношений ^i(p)^^Pi G£J) хотя бы одно из них, скажем, для » = Е, должно быть равенством. Тогда для этого А из соотношений (23), (24) и (27) находим, что

。》2 di^iip)^^^ ^ihPi =人Eh (p) = AB丸(p) = Npk > 0.

Полученное противоречие доказывает, что множество К (р) должно быть пусто, и, следовательно, р является равновесным вектором цен. Теорема доказана.

Предположение (6) в теореме 18.2, разумеется, никоим образом не требует существования конечных по величине производных, а только исключает возможность существования вертикальных касательных к графику Е» (р) как функции от /-й компоненты р/ вектора р, ничего не говоря о существовании невертикальных касательных. Это предположение в случае областей цен достаточно 《хорошей» структуры можно вообще устранить, заменив его другим граничным условием; это и делается в следующей теореме, которая представляет собой прямое обобщение результата Куги [2].

Теорема 18.3. Пусть выполнены те же предположения, что и в теореме 18.2, за исключением того, что условие (6) опущено, а (а) заменено предположением (а'):

(а') Имеет место граничное условие Г.

Тогда по-прежнему е Р существует равновесный вектор цен р.

Доказательство. Положим

Q = {р \ р Е Р. Р > 0}・

Очевидно, множество Q, как и Р, удовлетворяет основному предположению (I). Кроме того, на множестве Q исходные функции избыточного спроса Е» (р) (2 = 1, • • •，八)по-прежнему удовлетворяют основным предположениям (II) с иг = 0 и (III). Выберем и зафиксируем п2 констант 〃订,удовлетворяющих условиям

а订 > 0(», j = 1, • • •, 〃)，

п

£ @ 订=1(j = 1, • • •,冷)，

i=l

и рассмотрим функции

п

咒5) = ^71 3£Q，》= 1，办 (28)

Функции (28) можно рассматривать как набор функций избыточного спроса частного вида, указанного в примере 1 из § 18.1 (24). Эти функции на множестве Q удовлетворяют основным предположениям (I), (II) с m = 0 и (III), а также обладают свойствами непрерывности и сильной валовой заменимости. Легко убедиться, что система функций F» на множестве Q отличается также следующими чертами «хорошего поведения».

Каждая граничная точка р = g) множества Q имеет по крайней мере одну нулевую компоненту (это сразу вытекает из аналогичного утверждения для множества Р).

Имеет место условие

lim Ft (q) = + 8 для каждого I ^ К = {i \ pt — 0}.(29)

Имея все это в виду, возьмем произвольное е > 0 и построим систему функций

欧◎=瓦(о) + 呐(g) G = i, • • •,叫 (зо) которая, очевидно, также представляет собой систему функций избыточного спроса на Q, удовлетворяющую основным предположениям (I), (II) с иг = 0 м (III) и обладающую свойствами непрерывности и сильной валовой заменимости. Кроме того, эта система удовлетворяет граничному условию В. Действительно, рассмотрим некоторую граничную точку р множества Q и положим К = {I \ pi = 0}. Как уже отмечалось выше, должно быть К*0. Пусть {gv} — какая-либо последовательность, сходящаяся к точке р. Точка р может принадлежать, а может не принадлежать исходному множеству Р; мы рассмотрим эти два случая поочередно.

Случай (i): р £ Р. В этом случае все функции Ei (g) определены и непрерывны в данной точке р, так что lim 笈》(Г) = Е» (р) (力=1, •..,九). В сочетании с условием (29) это дает lim El (Т)=十 8 для каждого Z W К.

Случай (ii): р ^ Р. В этом случае, согласно граничному условию Г, для исходной системы функций Е» мы будем иметь lim sup Ei (Г) > 0 для некоторого i £ К, скажем, равного А. Тогда, снова с учетом условия (29), мы будем иметь lim sup 磷(Т) = + 8.

Таким образом, мы показали, что система (30) на множестве Q удовлетворяет граничному условию В. Оставшаяся часть доказательства основывается на минимизации на Q соответствующей функции. Подходящих для этой цели функций можно указать несколько — такие, как сумма квадратов величин положительного избыточного спроса (3), сумма величин положительного избыточного спроса, а также максимальный избыточный спрос т)е (g) = max Е： (д) по всем i = 1,...,九.

В продолжении доказательства, приводимом далее, используется последняя из названных функций; однако с помощью таких же рассуждений доказательство можно было бы провести и на основе двух других упомянутых функций.

Прежде всего заметим, что в силу закона Вальраса в узком смысле (III), которым исключается возможность отрицательного

избыточного спроса на все продукты сразу, в каждой точке q £ W Q имеет место

Y(0)》0・

Как уже было показано, для рассматриваемой сейчас системы функций (30) выполняется граничное условие В, которое является усиленным вариантом граничного условия А. Поэтому путем таких же рассуждений, что и при минимизации функции Ф в доказательстве теоремы 18.2, мы можем показать, что функция т|е (д) достигает своего минимума на множестве Q в некоторой точке ,=(血)，имеющей единичную сумму компонент.

Мы утверждаем теперь, что

П® (?) = 0-

В самом деле, допустим противное: т)е Q) > 0. Тогда в силу закона Вальраса (III) и того факта, что g > 0, должно быть Е® (}) V 0 для некоторого f, скажем, для i = к. Если для этого фиксированного к мы возьмем достаточно малое приращение*Д^А> 0, то ввиду положительности д, открытости множества Q в К? и непрерывности функции 磷(g) получим

G —AwWQ,

Ж (g — Mg) V 0・

Более того, из сильной валовой заменимости в системе функций (0) (i =• • •,九)следует, что

Е? (j —А^д) <?Е?(С) для всех i^k.

Отсюда получаем неравенство т)® (2)>П* (,—厶儿0)，которое противоречит минимальности функции ”® (,) на множестве Q в точке q. Противоречие доказывает, что Лс(^) = 0.

Возьмем теперь последовательность {ev} положительных чисел, сходящуюся к нулю, и рассмотрим соответствующую последовательность {Г} точек в Q(]Pn, удовлетворяющую условию

*(沁=0 3 = 3 2,

3Td всегда возможно ввиду только что доказанного утверждения для произвольного е > 0. Более того, мы, как обычно, в силу компактности множества Рп можем предполагать, что последовательность {gv} сходится к некоторой точке р в Рп. Покажем, что р W Р 広 что р как раз и является искомым равновесным вектором цен для исходной системы функций Е» (р). В самом деле, замечая, что из соотношения (28) вытекает условие 芻(р) > — 1 (Р С Q, % = 1, • • •,几)，получаем для произвольных 厶 v цепочку

соотношении:

0 = 0 麻)》E；v (沁=Ег (Г) + e$i 3)>& (办)一 6v?

что дает

8v>^f (gv) (/ = 1, . . n; v = 1, 2,...).

Поскольку по предположению lim 8V = 0, полученный результат исключает возможность того, что для какого-либо i выполняется условие4im sup Ei (^v) > 0; поэтому в соответствии с граничным условием Г точка р не может быть граничной точкой множества Р, и значит, будет принадлежать множеству Р заведомо. Но тогда ввиду непрерывности функций Ei (р) в Р из предыдущих неравенств в результате предельного перехода получаем

0= lim %>&(Р) 0 = 1,・・・，九)・

Это означает, что р является равновесным вектором цен. Вектор р может и не принадлежать множеству Q; однако заведомо р ^ Р. Теорема доказана.

Далее мы установим аналогичный результат для систем с обобщенной валовой заменимостью, для которых т не обязательно равно нулю. Но прежде мы напомним известное соотношение Эйлера.

Лемма 18.4 (теорема Эйлера об однородных функциях). Пусть /(/?)— дифференцируемая функция, однородная степени т, определенная на множестве Р, удовлетворяющем предположен нию (I). Тогда, если』力(р) dpi — полный дифференциал функции /, то имеет место соотношение

п

Е fMP)Pi = mf(p).i=l

Доказательство. Если р £ Р, то и tp £ Р (0 V 方 V V + 8). Поэтому функция <р (Z) = / (tp) определена при всех Е > 0 и, согласно дифференцируемости функции /, дифференцируема по своему аргументу 力 ее производная имеет вид

п

屮'(0 = S iSp) р・

1=1

Далее, ввиду однородности функции / имеем тождество 屮(力)= =产/g)，откуда

(pz (t) = mtm~1f (p).

Приравнивая два полученные выражения для 屮‘(力)и полагая 4 = 1, получаем требуемое равенство. Отметим, что функция

/(р) имеет всюду в Р правосторонние частные производные и в каждой положительной точке р множества Р ——обычные частные производные; все указанные частные производные совпадают с соответствующими коэффициентами полного дифференциала /»(Р)・ Лемма доказана.

Теорема 18.4. Пусть выполнены основные предположения (I), (II) и (III), и пусть

(а) Имеет место граничное условие А.

(Р) Функции избыточного спроса Et (р) (г = 1,...,九)дифференцируемы всюду в Ру и их полные дифференциалы соответственно равны

п&Е»= » Etj (р)dpj.

Кроме того^ 6 одном из предельных случаев^ когда тп = 1, дополнительно предполагается, что в каждой точке р множества Р, имеющей некоторые компоненты равными нулю, коэффициенты полных дифференциалов Е^ (р) являются непрерывными функциями р.

(у) В Р имеет место обобщенная валовая заменимость (определение 18.3).

Тогда 6 Р существует равновесный вектор цен р.

Доказательство. Заметим, что из дифференцируемости функций Е； (/?) всюду в Р вытекает их непрерывность и существование всех правосторонних частных производных всюду в Р, причем Е〃 совпадает с правосторонней частной производной функции Ei по р)・ Теперь с помощью таких же рассуждений, как и в первой части доказательства теоремы 18.2, можно установить, что функция Ф (р) достигает своего минимума на множестве Р П Pr в некоторой точке р. Однако теперь уже нельзя сделать из этого вывод, что ①仿) является также минимумом функции Ф (/?) на всем множестве Р, так как теперь т — не обязательно нуль.

В последующих рассуждениях мы всегда будем предполагать, что все приращения Ар, > 0 берутся настолько малыми, что р + Д；р ^ Р. Так как 方 £ Рп, то сумма компонент вектора р + + &р равна 1 + А% так что

Р (АрJ)=，，芻'W 尸 П 夕九(j = 1•

Учитывая, что функция Ф (/?) достигает в точке р минимума

на множестве Р П Рп, и применяя лемму 18.3 (ii), получаем 0<y(Ф (p。6)) 一① Е))《

< 3 0f (PM) (Et (р {^p^-Ei (р)) (j = l,(31)

i=i

Выражение в правой части /-го соотношения в (31) можно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является суммой п членов: п

2 仇(р (Ар»(ЕМр (Ар)) — 吊(方 + А 歩))(32)

и

£е（Р（АР'））（ЕМ 方+ А 曲—Е 而）.

В силу однородности m-й степени функций Е? (р) выражение (32) можно преобразовать к виду

п

(1一(1 + A力严)2 "('(аp)))*i=l

где использовано очевидное соотношени е 仇(卩尸=仇(р) Е» (р); появившаяся сумма величин 0f дает Ф. Поэтому из неравенства (31), поделив его крайние члены на Др；>0, находим

г—1

》("芻m—‘①5。〃))(/ = 1, ...,П).(33)

Если мы устремим Др；—> + 0, то получим

limA0尸+0limA0尸+0Е» (p+Zp) —Е» (р)Е» (p+Zp) —Е» (р)ApjApj=e订（力，=e订（力，

lim

A0尸+0

lim

A0尸+0

Е» (p+Zp) —Е» (р)

Е» (p+Zp) —Е» (р)

Apj

Apj

=e订（力，

=e订（力，

согласно определению соответствующих производных; кроме того> в силу непрерывности функций Е» (р) имеем

lim 仇(p(аР))) =仇(方)，

lim ①(/?(△Р»x①(方)・

Ap尸+0

Поэтому соотношение (33) в пределе дает п

2 6f (р) Еи (р)^щф (р) (/ = 1, ..., п).(34)

Умножая /-е неравенство в (34) на %(р)>0 и суммируя^по всем j = 1, . ..,, п, получаем пп

3 Eij (方)d位% (方)方加①(方)三%(6)・(35)

j=l6=1

Итак,*мы получили соотношение (35) как необходимое условие того, чтобы ① 岱)являлось минимумом функции ①(р) на Р f| Рп.

Теперь нам придется отвлечься и доказать следующую лемму.

Лемма 18.5. Пусть выполнены все условия теоремы 18.4t за исключением предположения (а).

Пусть О К m V 1・ Положим К (р) = {I \ Ei (/?) > 0} для каждого р W Р. Тогда^ если К (р)]^ 0, то квадратичная форма

S Еи(р)ЬЬ К 走 К(р)

является отрицательно определенной.

Если, т=1, то квадратичная форма

п

2 Etj(p)Wi&

является отрицательно полуопределенной.

Доказательство. В соответствии с законом Вальраса в узком смысле (III) мы имеем тождественное равенство

2 PiEt (р) = 0, что в результате взятия правосторонних частных i=l]

производных по pj дает

п

2 PiEij(p) + Ej(p) = O (； = 1, ..., w).(36)

Далее, по теореме Эйлера (лемма 18.4) имеем

п

S Eji(pypt = mEj(p) (7 = 1, ..., п).(37)

г=1

Положим

山丿(Р)= — (Е〃(Р)：+ Ejt (р)) (i, / = 1, . .п);

тогда в силу обобщенной валовой заменимости

山八 Р)《0 «=#/)•(38)

Складывая соответствующие равенства в (36) и (37) и пользуясь введенным обозначением, получаем

п

Е & 订⑺ Pt =(A — m)Ej(p) (j = 4, •••,〃)・(39)

г=1

Рассмотрим теперь случаи (i) и (ii) отдельно.

Преобразуем соотношения (39) аналогично тому, как это делалось при доказательстве теоремы 18.2; учитывая условия (38) и неотрицательность величин р», получим из (39) неравенства

S dij(p)pi>(i — m) Ej (р) (J WK®)• iGK(p)

Ввиду того, что тпС 1 и Ej(p)>0 (при j£K(p)), из этих неравенств вытекает, что

2 孙3)仍>0 (jWK(p))，(40)

i£K(p)

причем

р》0 (底 К (р))・(41)

Согласно теореме 6.2 из гл. II, соотношения (38), (40) и (41) в совокупности означают, что все главные миноры матрицы

(心丿⑪))(厶/e区(?))

должны быть положительны. Кроме того, эта матрица по определению является симметрической. Поэтому квадратичная форма

3 dij (p)?^j

i, i£K(p)

является положительно определенной, а значит, квадратичная форма

3 Ei Ар}2 d^p)^

ибк(р)иек(р)

является отрицательно определенной.

Поскольку тп = 1, то из соотношений (39) следует

п

2 &订(р) Р = о -(/ = 1, • •・，〃)•(42)

Выбрав произвольное положительное число 8 и использовав символ Кронекера 5订,мы можем переписать (42) в виде

П.

3 (^ij + dtj (p))Pi = 8Pj 0 = 4,…，九)・(43)

i=l

Очевидно, коэффициенты этой линейной системы по-прежнему удовлетворяют условию

砲丿 + &灯 ® w о а =#/).

Поэтому, если в (43) р)>0 (/ = 1, ...,八)，то все главные миноры матрицы (砲)+ % (р)) по теореме 6.2 из гл. II должны быть положительны. Ввиду произвольности числа е > 0 отсюда следует, что при любом положительном р W Р все главные миноры матрицы (dfj 仿))неотрицательны. Так как Р является открытым непустым подмножеством в Е* то, очевидно, Р содержит совокупность положительных векторов, которые образуют всюду плотное в Р подмножество. Поэтому с учетом непрерывности функций Еи (р) в каждой точке множества Р, имеющей хотя бы одну нулевую компоненту, мы заключаем, что всюду в Р все главные миноры матрицы @仃(р)) неотрицательны. В силу симметричности этой матрицы отсюда следует отрицательная полуопределенность квадратичной формы

п п

3 j=i i, j==i

Этим полностью завершено доказательство леммы.

Вернемся теперь к доказательству теоремы 18.4. Покажем, что вектор р, удовлетворяющий соотношению (35), должен также удовлетворять условию (1). С этой целью положим, как и в лемме 18.5, К 仿)={Z ］马(方)> 0} и убедимся, что допущение К (方)关 0 ведет к противоречию.

Случай 0 « тп V 1. Так как &血)=0 при всех i 在 К @), то выражение в левой части (35) совпадает с величиной

2 Ей (p)0i(p) Qj(^),3 j6K 份)

которая при К (р) =^ 0 должна быть отрицательна в силу леммы (18.5) (i). Но правая часть (35) заведомо неотрицательна; следовательно, К (р) = 0.

Случай тп = 1. Согласно лемме 18.5 (ii), левая часть в (35) неположительна. Далее, если 夂@)关0, то ①仿)>0 и 2 &(Р)> °, а так как zn = 1, то и все выражение, стоящее в правой части (35), положительно. Полученное противоречие показывает, что и в этом случае К {р) = 0.

Итак, в обоих случаях (а) и (б) вектор р удовлетворяет условию (1). Как уже отмечалось, условие (2) непосредственно следует из (1) и закона Вальраса (III). Теорема доказана.

Экстремизационный метод, использованный при доказательстве этой теоремы, можно применить с с о отв етств ующими изменениями к доказательству общей теоремы о минимаксе в игре двух лиц с нулевой суммой, в которой пространства стратегий игроков компактны и выпуклы, но не обязательно конечномерны

(см. Никайдо [51). Впрочем, исследование еще более общих типов игр, по-видимому, возможно только на базе теорем о неподвижной точке и родственных концепций (см. Никайдо [1, 61, Сайон [11).

В предположении дифференцируемости нетрудно получить следующий интересный результат, относящийся к максимизации функции Ф (р).

Теорема 18.5. Пусть выполнены все условия теоремы 18.4, за исключением предположения (а), и пусть 0《тп 之 1. Тогда

Если функция Ф (р) достигает своего максимума на множестве Р П 尸几,то все функции избыточного спроса тождественно на Р равны нулю.

Не существует системы функций избыточного спроса, определенных на множестве Р = R^\ {0}, отличной от тривиальной системы функций^ тождественно равных нулю на Р.

Доказательство, (i) Мы покажем, что если р максимизирует Ф (р) на множестве Р П Рп, то ① &) = 0. Но это будет означать, что ①(р) = 0 всюду и, следовательно, Е» (р)《0 (X = 1, . . ., п) всюду в Р. Отсюда, в свою очередь, в силу закона Вальраса (III) получаем, что для любых положительных р из Р будет 笈t (р) = 0. А так как любой вектор р W Р можно сколь угодно точно приблизить положительными векторами из Р, то окончательно получаем, что Et (р) = 0 (t = 1,...,八)всюду в Р.'

Для того чтобы доказать утверждение, с которого мы начали, рассмотрим для заданного р аналог соотношения (31):

о》京① 5(А〃)) —①(р))> п

》2仇(方)(瓦(p。力))一成份))o=i, 八). г=1

Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, с помощью которых мы переходили от соотношения (31) к (34), мы получим

п

2 祖(方)Е订(方)《дпО)(方)(7 = 1,п).(44)

г=1

По теореме Эйлера, исходя из однородности иг-й степени функций Ei (р), мы имеем

п

3 Eij(p) pj = mEi (р) (i = l, n).

Кроме того, имеем очевидное (в силу определения функций 8» (р)) тождество

9г (P)Et(p) = 0i (р)2 (i = 1,n).

Тогда, умножив /-е неравенство в (44) на %)》0 и просуммировав по всем j, мы получим слева и справа одну и ту же величину 加①仿)・ Следовательно, если Р)> 0, то в j-м соотношении в (44) должен стоять знак равенства. Положим теперь, как и прежде, К 而={川吊(方)> 0} и допустим, что К (р) =# 0. Вспомним соотношения (38), (40), (41), которые гарантируют нам, что Р2 > ° для всех i ^ К (р). Применительно к вектору р и множеству К (р) это означает, что из условия 0； (р) > 0 вытекает неравенство 方)> 0, и следовательно, знак равенства в j-м соотношении в (44). Отсюда следует, что

п

S e订⑸& (方)仇•仿)=m①(方)S % (%)• (45) 3正K而 У

Левая часть равенства (45) отрицательна в силу леммы 18.5 (i), тогда как правая часть неотрицательна по определению. Это противоречие доказывает, что К (р) = 0 п Ф (р) = 0, что и требовалось.

В данном частном случае Р (] Рп = Рп — компактное множество. Поэтому Ф (р) как непрерывная функция должна достигать на Рп своего максимума. Теперь нужный результат вытекает из уже доказанного утверждения (i). Теорема полностью доказана.

Замечание 6. Если опираться на экономическую интуицию, то кажется достаточно правдоподобной следующая гипотеза: при стремлении цены на некоторый товар к нулю избыточный спрос на этот товар должен стремиться к некоторой конечной или, быть может, бесконечной величине. Говоря более формально, данное предположение гласит, что если р стремится к некоторой граничной точке р, то всегда существует конечный или бесконечный предел

lim Ei (р) (46)

в обычном понимании. Однако интуиция в данном случае обманывает. Вполне возможны случаи, когда две последовательности {₽”}，{g”} сходятся к р, и lim 石力(pv) при w f + oo оказывается конечным, a lim Е» (gv) — бесконечным. Более того, для третьей последовательности {#}, сходящейся к той же граничной точке р, поведение последовательности величин Е» (rv) при v -> + оо может представлять собой незатухающее колебание. Рассмотрим вновь пример 1 из § 18.1; положим там в выражении (24) п = 3, а13 = 0 и @订 > 0 для всех остальных пар (i, у). Пусть последовательность {р”} положительных векторов цен сходится к граничной точке р =(0, 0, 1)'. Тогда, например, окажется lim ^ (pv)= 〃屮 если

lim р^/р^ = 0, и lim 当(pv) = + оо, если lim р：/р[ = + оо. Первый случай реализуется на последовательности {pv = =(1/v, 1/v2, 1)，}, а второй — на поеледовательности {pv = = (i/”2, Vv, 1)'}・ Таким： образом, р является существенно особой точкой функции Е] (р)——эта функция при стремлении р к р не ведет себя каким-либо стандартным образом. Этот пример показывает, что граничное условие В, принятое в работе Куги [2] и требующее выполнения соотношения (7) для всех i С К, является слишком сильным.

Замечание 7. В теореме 18.2 граничное условие А является существенным. Это видно на следующем примере, когда выполнены все предположения теоремы и лишь граничное условие А нарушается в точке р = (1, 0)':

&(p)=p2勿1,Ё2 (?) = 一1.

Легко видеть, что здесь на множестве всех положительных векторов равновесного вектора цен не существует. Граничное условие А здесь действительно нарушается, так как ①(р) > 0 при р > 0, но ①(р) f 0 при р f р・ Если, однако, эту систему функций рассматривать на множестве всех векторов р、= (р», таких, что pi > 0, Р2 > 0, то на такой расширенной области все предположения теоремы 18.2 будут выполнены и такая система будет иметь равновесный вектор цен ——вектор р.

§ 18.3, Экстремизация и условие выявленного предпочтения

В этом разделе мы будем иметь дело исключительно с однородными степени т = 0 системами функций избыточного спроса, обладающими свойством валовой заменимости, что является достаточно характерным для экономической теории. В работах Эрроу, Блока и Гурвица [1] и Эрроу и Гурвица [1] было доказано^ что если Ег (р) (i = 1, . . ., п) — функции избыточного спроса, образующие систему с валовой заменимостью, то для любого равновесного вектора цен р = (р。и любого неравновеснога вектора цен р = (pf) выполняется неравенство

п

^PiEt (р)>0. (1) i=i

Это неравенство важно уже тем, что оно позволяет установить выпуклость множества всех равновесных векторов цен (следствие из теоремы 18.6)——факт, впервые отмеченный Маккензи [4】，—— а также глобальную устойчивость системы (§ 19.2).

Известная слабая аксиома выявленного предпочтения, сформулированная Самуэльсоном ([1], гл. 5), если ее переформули-

ровать в терминах функций 瓦(р), гласит 】)，что если для некоторых двух полуположительных векторов p=(pi), g=(%) выполнены соотношения

пп

S PiEi(p)》2 PiEi(7),(2)

2= 12.= 1

Ei (p)=^Ei (q) для некоторого Z,(3)

то

nn

S Qi^i (p)> 3 qiEi (q).⑷

i=li=i

Предположим, что выполняется закон Вальраса в узком смысле. Тогда соотношение (2) очевидным образом удовлетворяется вектором q = р — равновесным вектором цен, так как при этом в левой части (2) будет стоять нуль, а в правой ——неположительное число. Далее, если р — неравновесный вектор цен, то при g = р выполняется и условие (3), так как должно быть Ег S) > 0 хотя бы для одного 厶 тогда как Et (gf) ^ 0 для всех г. Что же касается последнего соотношения — неравенства (4), то при q = р в этом неравенстве справа в силу закона Вальраса оказывается нуль, и, таким образом, оно сводится к неравенству (1). По этой причине мы далее всюду будем говорить о неравенстве (1) как об условии выявленного предпочтения. Цель настоящего раздела заключается в том, чтобы дать вывод этого условия. Основная идея нашего метода доказательства, отличного от метода Эрроу и Гурвица, состоит в следующем. Будем рассматривать выражение в (1) как функцию

п屮(方,p) = .2 方也i(p)(5)

i=l

двух аргументов р, р. Для того чтобы установить условие выявленного предпочтения (1) для произвольного равновесного вектора цен 方 и произвольного неравновесного вектора цен р, достаточно доказать следующие два утверждения: (i) Когда векторы р, р пробегают множество всех равновесных векторов цен и множество всех векторов цен соответственно, функция *ф (р, р) достигает

Аксиома вида (2)— (4)в том случае, когда (Е/(р))—функции избыточного спроса, не имеет очевидного экономического обоснования. Если же под (Ei(p)) понимать функции потребительского спроса (т. е. набор продуктов, выбираемый потребителем при ценах р), как это обычно и делается в формулировке аксиомы выявленного предпочтения, то ее смысл достаточно ясен. А именно, тогда (2) означает, что набор (Е《д)) мог бы быть приобретен (но не был приобретен) потребителем при тех же ценах р и том же бюджете, что и набор (Ei(p)). В этом случае говорят, что набор (Ei(p)) е* явленно предпочитается набору (Е»(д)). Требование (4) означает, что набор (Ei(g)) не может в то же время выявленно предпочитаться набору (%(р)) (см. также: Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике, М., «Мир», 1964).—〃рмм. перев.

минимума; (ii) Минимальное значение этой функции равно нулю и достигается только тогда, когдар ——равновесный вектор цен.

Далее во всем этом разделе мы будем предполагать выполненными основные допущения (I), (II) с иг = 0 и (III), сформулированные в' § 18.2, причем предположение (I) конкретизируется так:

Множество Р имеет вид Р = {р \ р — (〃)> 0, р» > О (X W ")}，где М ——заданное фиксированное подмножество множества индексов {1, 2, . . ., }. Подмножество М может быть пустым и непустым, собственным и несобственным.,

Дополнительные предположения, принимаемые здесь, таковы:

Функции избыточного спроса Е» (р) (г = 1, . • ., п) непрерывны в Р.

В Р имеет место валовая заменимость в форме конечных приращений (определение 18.1).

Функции избыточного спроса ограничены снизу на Р, т. е. существует нижняя граница — число у, такое, что

药(Р)》Y(Р W Р, Z = 1, • • •, п).

В Р существует хотя бы один равновесный вектор цен.

Начнем с установления некоторых предварительных результатов, которые могут представлять и самостоятельный интерес. Следующая лемма 18.6, в доказательстве которой предположе- 、нмя (VI) и (VII) не используются, будет часто применяться в дальнейшем, причем не только в этом разделе, но и в § 19.

Лемма 18.6. Имеют место следующие утверждения*.

Для каждого k ^ М выполняется условие

Ек (р)甚。всюду в Р.

В частности, если М — 0, то

Et (р) = 0 всюду в Р (Z = 1, • • ., п).

Для каждого фиксированного k ^М рассмотрим множество Р (© = {р I р丸=О, Р Е Р}； тогда

Eh (р) = const е Р (А).

Если, далее, в предыдущем случае (ii) имеет место Ek (g) = =0 6 некоторой точке q = (%) С Р, то

Ek (р) = 0 всюду в Р (")•

Доказательство, (i) Пусть р = (р») С Р. Рассмотрим порознь два подслучая (i. а) и (i. Р).

) Пусть р» = 0 для всех i #= к (это возможно только тогда, когда М = 0). Тогда р丸 > 0; в то же время, согласно закону Вальраса (III), pkEk (р) = — 2 рМ (р) = 0. Следовательно, Ek S) = 0.г#

27-8

(i.P) Пусть 力 > 0 при некотором j 丰 к. Обозначим через р (ri =(Pi (力))вектор, компоненты которого имеют вид р» (力)=pt (% У= А), рк (%) = t. Очевидно, р (t) ^ Р при всех 方》0. Далее, при всех ^ > 0 мы имеем р» (力)=р» (0) = “ (％ * “)，Pk (0 > > Pk (°)，так что в силу валовой заменимости

Et(p (0)〉ЕМр (0)) (Z 干")•(6)

Умножая Z-e неравенство в (6) на р» (力)=р» (0) и суммируя по всем Z у= А, получаем с учетом закона Вальраса

2 卩•⑴Ei(p(0)> S Pi(0)Ei(р(0)) = $ Pi(0)Ei (р (0)) = 0.

С другой стороны, в силу закона Вальраса

3 Pt (^) Ei (p (方))=0.

Отсюда следует, что ph (力)Ek (р (力))& 0, т. е. tEh (р (力))& 0 при всех 方 > 0. Поэтому Ек (р (力))* 0 при всех ^ > 0, а с учетом непрерывности ——при всех 力》0. Полагая теперь t = pk, получаем требуемый результат: Ek (р) & 0. Итак, мы имеем Ек (р) & О всюду в Р. В частном случае М = 0 получаем, что % (р) & О (Z = 1, . . ., п) всюду в Р. Поэтому при каждом положительном р £ Р в силу закона< Вальраса 吊(р) = 0 (i = 1, . . ., п). А так как положительные векторы образуют плотное подмножество в Р, из непрерывности функций 吊(р) заключаем, что в этом случае 笈》(р) = 0 всюду в Р (i = 1, . . ., п).

Пусть р = (р^), q =(g) — два вектора из Р (к), такие, что а > 0, 0 > 0 (i =# ")• Положим

Тогда, очевидно, а > 0, g 三 ар, qk = apk = 0. Поэтому в силу свойств однородности нулевой степени и валовой заменимости

Eh (д)》Ек (ар) = EJp).

Но ввиду равноправия векторов р и q одновременно должно иметь место и неравенство Ek (р)》Ek (g). Таким образом, для любых двух векторов р, q из Р (归)，имеющих все компоненты, кроме Л-й, положительными, а Л-ю——равной нулю, всегда имеет место равенство Ek (р) = Ек (д). А так как векторы указанного вида образуют плотное подмножество в Р (Л), то по соображениям непрерывности равенство Ек (р) = Eh (д) должно иметь место и для любых р, g из Р (左).

Так как согласно (ii) функция Ek (р) на множестве Р (Е) постоянна, достаточно показать, что Ек (р) = 0 в некоторой точ-

ке р множества Р (Л). Если фигурирующая в утверждении (iii) точка g такова, что qh = 0, то g принадлежит Р (左)и, значит, может служить требуемой точкой. Случай g丸 > 0 мы разобьем на два подслучая (iii.а) и (iii.R).

(iii.а) Все компоненты вектора д, кроме 归-й, равны нулю. Тогда множество М должно быть пусто, и в силу уже доказанного утверждения (i) все функции Е» (р) тождественно равны нулю; в частности, Ek (р) = 0 всюду в Р (А).

(iii.p) Пусть у-я компонента вектора q для некоторого / =# Ze положительна. Возьмем вектор q (力)==(力(力))с компонентами qi (力)=g (i ¥=乃)，％ (力)=力 Тогда q (t) £ Р 〃 > 0), q 做)=q. Очевидно, при 0 & t < q^ мы имеем q^ q (力)，公=qt (0 (i #= А), откуда в силу валовой заменимости следует

当(g)> %(9 (%)) G * ", 。《 方& ")，

Умножая здесь 沁 неравенство на g 但=g (力))и суммируя по всем i =# А, получаем

2 9阳⑷》»击⑴&(，«))• (7) i中 h гфк

Но левая часть соотношения (7) должна быть равна нулю, так как сумма всех величин q^E» (g), включая q^k (0)，равна нулю по закону Вальраса, a g丸石兀(q) = 0 по предположению леммы. Поэтому правая часть соотношения (7) должна быть неположительна. Но тогда снова с учетом закона Вальраса мы находим, что Qh (力)Ek (q (0) > 0, т. е. tEk(q «)) >0 (0 & % & д/. Отсюда Eh(0 (力)》0 при 0Vz & %, и по соображениям непрерывности Eh (g (0))》0. Заметим, что g (0) € Р (“)и, следовательно, согласно (i), Ek (q (0)) &0. Объединяя полученнь^е результаты, находим, что Eh (g (0)) = 0 в точке g (0) £ Р (〃). Лемма полностью доказана.

Замечание 1. Нетрудно убедиться, что неразложимая однородная нулевой степени система с валовой заменимостью может существовать только в том случае, когда множество Р в (I) не содержит векторов с нулевыми компонентами, т. е. когда в формулировке предположения (Г) М = {1, 2,.・.,тг}. Действительно, допустим, что в Р имеется вектор р = (р» с компонентой Ph = 0. Тогда при а > 1 мы имеем ар 至 р, н множество индексов N (ар, р) = {川 ар» > р»} будет непустым собственным подмножеством множества {1, 2, . . ., п}. Поэтому в силу свойств валовой заменимости и неразложимости мы будем иметь неравенства Ei (ар)〉Ei (р) (% @ N (ар, р)), хотя бы одно из которых должно быть строгим. Но, с другой стороны, в силу однородности нулевой степени должны выполняться соотношения 5rt (ар)=Е» (р) (» = 1, . . ., п); это и дает требуемое противоречие.

Далее мы будем часто пользоваться обозначением I (р) для множества индексов положительных компонент вектора р:

/(Р) = 0 3>0}・(8)

Лемма 18.7. Пусть р = (卩力) 一 произвольный фиксированный вектор равновесных цен. Предположим, что величина 屮(р, р) (5), рассматриваемая как функция одного векторного аргумента р, достигает минимума на множестве Р при таком векторе цен р,

для которого

I {Р)^ I (£)•(9)

Тоаба, если мы положим

s(，，P)= min 阜 по всем i ^1 (р),(10)

Pi

S (方,Р) = {" Pt > з (方，,)Pi}^(11)

то для любого вектора цен q, удовлетворяющего условию pNgN 三 со (р, р) /?, получим

&(д)《о (审(》))，(12)

当(，) = о (i^Hp)\S(P. р)).(13)

Доказательство. Отметим прежде всего, что для i ^S (р, р) выполняется соотношение p = gt =(o(p, Р)р・ Поэтому в силу условия р 三 q 三 со(р, р) р и свойств валовой заменимости и однородности нулевой степени мы будем иметь

Ei (р) = % (①方)& /(0)& 马(Р) (% 0 s (亢 p)),(14)

где co = co (p, p) > 0 в силу предположения (9). Из соотношения (14), в частности, следует；

0 & 吊⑷ & Ehp) (i € / (5) \ S (風 p)),(15)

так как, очевидно, / 区)=0 при Z £ / (р). Заметим, что ввиду очевидного соотношения I (р) td М неравенства (12) тривиальным образом обеспечиваются леммой 18.6 (i). В случае, когда р —— равновесный вектор цен, равенства (13) также тривиальным образом вытекают из (15). Таким образом, остается установиФь справедливость соотношений (13) при неравновесном векторе цен р. В последующем изложении мы, как и прежде, будем использовать для вектора цен и обозначения

к з)= {»| & 3) > 0},厶产=(0, . . ., 0,厶〃力 0, . . ., 0).

Итак, пусть р ——неравновесный вектор цен; тогда К (р) ^ 0

и, кроме того, ввиду свойства однородности нулевой степени функций Ef (р) м》еем

S(Р» Р)耍 0

Наконец, при достаточно малых Др； > 0 (/ = 1, •..,八)в силу непрерывности функций £\ мы будем иметь соотношение

К(р + 厶歩)К (р) (/ = 1, •・・，吟(16)

Положим

"订=Ei (р) 一 Ei (р + &р)(%, j = 4, • •几)・

Тогда, используя закон Вальраса, мы в качестве аналога соотношения (16) из § 18.2 можем получить

djjPj = Ej (р + Д；р) Др；— 3 dijPi (/ = 1,п).(17)

Так как величина 屮 по предположению достигает минимума на множестве Р в точке р, то должно выполняться неравенство ^(p,0+A歩)》屮(方，Р), т. ё.

пп

3 PiEi (р + ^jp)》з PiEi (р)0 = 1,…，叫

1= 1丸=1

что можно представить в форме

一d 力方 j《一2d加 t (j = l,(18)

Умножая ;-e соотношение в (18) на со —со (р, р) и вычитая его из /-го соотношения в (17), получаем

djj(Р j — 3方力》Ej(p 4- &p) A〃 一 2 dij 3 — s£t) (j = 1, • • •,八)•

5M

.(19)

Поскольку pi r opi》0 (t = 1, . . ., n) по определению и du ^ 0 (Z m 力 в силу свойства валовой заменимости, то из (16) и (19) получаем

Рз > ①方j (/ W К (р)),

так что К (р) и 5 (р, р). Отсюда в силу определения множеств индексов К (р) и S (р, р) следует, что

Z (р) & 0 (% е S (А р)),(20)

что совместно с (15) даёт искомое равенство (13). Лемма доказана.

Леммы 18.6 и 18.7 дают возможность доказать следующую теорему.

Теорема 18.6 .(Эрроу, Блок и Гурвиц [1], Эрроу и Гурвиц [1]). Для любого равновесного вектора цен р и любого неравно-

весного вектора цен р выполняется условие выявленного предпочтения (1):

п

屮(£, р)= 2 忘瓦(р)>о.

i=i

Доказательство. Центральная идея нашего нового метода доказательства, как уже указывалось, состоит в минимизации функции i|)(р, Р)и。всем равновесным векторам цен р и всем векторам цен р. Это доказательство мы проведем в четыре этапа.

Этап 1. На этом этапе мы установим, что функция 屮 действительно достигает минимума на некоторой паре (р, р), состоящей из равновесного вектора цен р и вектора цен р, и что соответствующее минимальное значение равно нулю. Отметим, что корректность так поставленной задачи минимизации обеспечивается предположением (VII). Легко видеть, что для выполнения этапа 1 достаточно показать, что при любом фиксированном равновесном векторе цен р имеет место соотношение

屮(Р：Р)》0 (Р Е Р)，.(21)

несколько более слабое, чем в утверждении теоремы. В самом деле, если при каждом равновесном векторе цен р соотношение (21) выполнено, то для каждой пары (р, р), состоящей из произвольного равновесного вектора цен р и произвольного вектора цен р, в соответствии с законом Вальраса получаем

2 (亢 Р)》0 = 2 (Е，方)，

так что функция 屮(р, р) достигает своего минимума на паре специфического вида (р, р), и ее минимальное значение равно нулю.

Для того чтобы доказать соотношение (21) для произвольного равновесного вектора цен р = (р。, достаточно доказать его для произвольного равновесного вектора цен, сумма компонент которого равна единице — это следует из факта однородности первой степени соотношения (21) по р. Зафиксируем некоторый равновес- ный：вектор ден р с единичной суммой компонент и положим

Q = S IpWP р»>о (%"(£))},

где множество индексов I (р) дается определением (8) при р = р. Ясно, что I (р) п М^ так что множество Q является подмножеством множества Р и само удовлетворяет предположению (/')• Введем вспомогательные функции избыточного спроса Fi (р)

на множестве Q с помощью соотношения

民(Р)= {(22)

〔-1(审(£))•

Возьмем теперь произвольное е>0 и положим

Gt (p)=Ei (p) + e^f (р) SEQ,力=4,…，n).

Нетрудно проверить, что система функций избыточного спроса G； (р) (% = 1, . . ., п) удовлетворяет предположениям (Г) и (И) —— (VII), причем роль множества Р играет Q в качестве множества индексов М выступает / (р), в качестве нижней границы ——число у — е и в качестве равновесного вектора цен — вектор р.

Положим теперь

п

6=inf 2 PiGi (р) по всем p^Q()Pn, г=1

где, как обычно, Рп ——стандартный симплекс. Поскольку заведомо 3>у —е, то S должно быть конечным числом. Кроме того, в силу закона Вальраса 3 &0 = ± pfil (р). Пусть {pv} — последовательность в Q П Рп, такая, что

пlim 2 PtGi(PV)^6-Vf+<5О 1=1

Как обычно, мы можем считать, что {pv} сходится к некоторому вектору р = (р») в 夕九.Допустим, что р является граничной точкой множества 0. Тогда, как нетрудно видеть, р» = 0 для некоторого Z W / (р), скажем, равного к Заметим, что из (22) ввиду того, что * е / 面, вытекает

lim Fk(pv)=+oo.

Поэтому с учетом предположения (VI) и соотношений Ft (pv) > — 1 (Z = l,…，n; w=l, 2, ...) получаем

n.

3 血俏(p”)》Y —E 3 Pi + ^PkFh (^v)-^4-oo(V->+ oo).

i=li^k

Но это противоречит тому, что 5《0. Следовательно, р не может быть граничной точкой множества Q и, значит, принадлежит Q. Отсюда ввиду непрерывности функций G? следует, что

И

2 pG (р) = &

Это означает, что р доставляет указанной величине ее минимальное значение 6.

Применяя теперь лемму 18.7 к G；, р и g = р, находим, что

駕 д)=о с“ (方)\s(A р))・(23)

Утверждается, что

/(方)CIS (方,,) = 0.(24)

Действительно, допустим, что (24) неверно. Тогда, поскольку в соответствии с определением (10) случай / (р) и S (р, р) невозможен, то множества I (р) \ S (£, р) и I (р) П S (р, р) должны являться непустыми собственными подмножествами множества 7 (р). Рассматривая с учетом этих результатов соотношение Р三s(方, p)方, получаем в силу свойств валовой заменимости и однородности, а также в соответствии с определением (22) функций 歹t, следующие соотношения:

G^ 3) > G：(方)=0 (i^Hp)\S (р, р)),

которые противоречат (23). Таким образом, условие (24) должно быть выполнено. Следовательно, (23) сводится к

G?(p) = 0 依/(£))•(25)

Отсюда находим

6=?.庚(Р)=3 pfil(P)= 0-j=1犯15)

Теперь в соответствии с определением числа 6, принимая во внимание однородность нулевой степени функций G®, получаем неравенство

пп

3 Р^I (^) + е 3 PiPi (^) > 0 SEQ),(26)

1=1г=1

справедливое при любом е > 0, а значит, по непрерывности, и при е = 0. Наконец, так как подмножество Q плотно в Р, неравенство (26) по соображениям непрерывности распространяется на g g Р, 8 = 0, что и дает требуемое соотношение (21).

Этап 2. Пусть Е — множество всех равновесных векторов цен. Обозначим через А множество всех пар (р, р), минимизирующих функцию 屮 на 后 X Р; в соответствии с результатами этапа 1 имеем А =#.0, и соответствующее минимальное значение функции *ф равно нулю. Следовательно, если мы покажем, что множество Д не содержит ни одной пары (р, р), такой, в которой р

был бы неравновесным вектором цен, то тогда теорема тем самым будет доказана.

Этап 3. Ради удобства будем называть пару (р, р) из Е X Р, в которой р является равновесным вектором цен, ар— неравновесным вектором цен, р-н парой. Обозначим через Г подмножество множества А, образованное всеми р-н парами из А. Конечная цель доказательства будет состоять в том, чтобы увидеть, что допущение Г У= 0 ведет к противоречию. Для этого мы уделим особое внимание специфическим р-н парам, которые будем называть каноническими. Каноническая пара (р, р) характеризуется тем, что ее составляющие ——компоненты векторов р», р» ——удовлетворяют условию I (р) = I (р). Множество всех таких канонических р-н пар из Г будем обозначать через С. Здесь мы докажем, что если Г#=0,тоиС=#0.

Для этого рассмотрим некоторую р-н пару (р, р) W Г. Ввиду того, что р =(仍)一неравновесный вектор цен, имеем

К (р) = {Z I 吊(р) > 0}片 0.

Очевидно,

/ = / (方)n / (Р) n М,(27>

так что по лемме 18.6

%(9)&0 (q£2 % О(28>

и, следовательно,

In К(р— 0.(29)

Имея все это в виду, построим векторы р* = (р*) и р* = (р*)> следующим образом:

苏(Q),口学=(p(Q)，

Эти определения заведомо имеют смысл в силу условий (27), (29). Мы покажем, что (р*,卩來)g С и, следовательно, С ^0- Очевидно, для этого достаточно показать, что (р*, р*) W Г, так как каноничность этой пары следует из ее построения.

Прежде всего заметим, что р 三卩來 и р» = р^ (Z £ /), так что- в силу валовой заменимости Е» (р*) & 吊(р) & 0 (i Е /). С другой стороны, согласно (28), Ei (р*) & 0 (Z R 7). Поэтому р* представляет собой равновесный вектор цен. Перейдем теперь к вектору р*. Сначала заметим, что Е» (р) = 0 (i W / 仿))в силу того факта, что р является равновесным вектором цен. Поэтому, согласно лемме 18.6 (iii), мы получаем, что

%(р) = /(炉)=0 (%£/(》)、/)•(30>

Далее, из соотношений р ^ р* и р» = р『« £』)вытекает, что 吊(Р)》％ ”)(％ □)•(31)

Используя соотношения (30) и (31) и учитывая, что (р, р) является р-н парой из Г cz Д, а р* ——равновесным вектором цен, и вспоминая результат этапа 1 относительно функции 屮,получаем цепочку соотношений,

п

о = 2 (方,Р》=2 PiEi (р) = Е PiEi (р)》г=1г£1

》2 PiEi (р^=^ (介,Р*)》0,(32)

в которой, как становится ясно, всюду должны стоять знаки равенства. Кроме того, отсюда в силу условия р» = /?* > 0 (% W /) вытекает, что и в соотношениях (31) должны стоять знаки равенства. Таким образом, мы получаем

Ei(p) = Et(p*) «О，(33)

屮(元p)=屮(方*，炉)=0.(34)

Из соотношений (33) вытекает, что р* ——неравновесный вектор цен, так как при i € К (р) и I имеем £% (р*) = Е» (р) > 0. Поскольку в то же время р* ^ Е л выполнено условие (34), заключаем отсюда, что (р*, р*) С Г. Таким образом, мы показали, что (р*, р*) представляет собой каноническую р-н пару из множества Г, и следовательно, С У= 0.

Этап 4. На этом этапе доказательства из того, что С =/= 0, выводится требуемое противоречие. Рассмотрим произвольную пару (р, р) из множества С и определим множество индексов S (р, р) в соответствии с условиями (9), (10) и (11) из леммы 18.7. Так как для любой пары (р, р) € С всегда 5 (р, р) и {1, 2, . . ., п}, то число элементов в множестве 5 (р, р) должно достигать минимума на множестве пар С\ пусть (р, р) является парой из С, минимизирующей число элементов в S (р, р). Применим к этой паре (р, р) лемму 18.7, что, очевидно, можно сделать. Предварительно отметим, что из каноничности пары (р, р), из свойства однородности и того факта, что (р, р) есть р-н пара, вытекает, что

2 = /(£) = /(P)nS (方,р)¥0・(35)

Положим

A = min” по всем i£S(j, р).(36)

Pi

Очевидно, при этом

(37)(37)九>s = s($, р) >0.

(37)

(37)

Определим теперь новый вектор цен д = (д0 следующим образом：

二 _ / А血 G£S(£, р)),I SR G@S(p, р))・

Тогда /(р) =/(〃)= /(，)，так что пара (仇 р) является канонической. Из соотношений (36) и (37) следует, что p^q^ (др, так что, полагая q = q в соотношениях (12) и (13) в лемме 18.7, получаем

Ei (^)<0 G0S(方，р))・(38)

Далее, с учетом условия (37) имеем

qt/^ = Pi «£8(》, р)),勿/九=^方Y费(Z0S (方,p)).

Поэтому в силу свойств однородности, валовой заменимости и того факта, что р — равновесный вектор цен, получаем

Et (q)=吊(泌)& Et (p) < 0 (Z W S 位 p))・(39)

Соотношения (38) и (39) в совокупности показывают, что q также является равновесным вектором цен. Наконец, полагая q = р в соотношении (13) в лемме 18.7, получаем

吊(Р) = о « W / \ s (£,砌.(40)

Обозначая для простоты записи S = S (р, р) и вспоминая определение вектора д, а также используя соотношение (35), с учетом (40) находим

屮(2, Р)= 2 乙当 S)=九 Е Р^г (р) = А/ф (方，Р) = 0. i£Si£S

Ввиду того, что q ——равновесный, а р ——неравновесный векторы цен и (д, р) — каноническая пара, отсюда следует, что (д, р) £ € С. Но множество индексов S (д, р), как легко видеть, является собственным подмножеством множества S (р, р). А это противоречит предположению о том, что среди всех пар из С паре (р, р) соответствует множество индексов S (р, р) с минимальным числом элементов. Полученное противоречие в силу сказанного ранее завершает доказательство теоремы.

Упрощения^ обусловленные неразложимостью. В ряде частных случаев некоторые этапы доказательства теоремы 18.6 можно опустить, в результате чего сама идея применяемого метода становится более отчетливой. Так, например, если область цен Р состоит исключительно из векторов цен с положительными компонентами, то нам не понадобятся лемма 18.6, зтап^З в доказательстве теоремы 18.6, а также все рассуждения по поводу каноничности на этапе 4 этого доказательства, поскольку любая пара векторов цен из области Р тривиальным образом является канонической. Дальнейшие упрощения доказательства возможны в случае неразложимой системы с валовой заменимостью. Во-первыхг в соответствии с замечанием 1 в этом разделе мы можем считатьг что такая система удовлетворяет основным предположениям (Г) и (II) с 僧=0 при М = {1, 2,...,八}; последнее позволяет осуществить те упрощения доказательства, связанные с положи* тельностью векторов цен, о которых уже говорилось выше. Во-вторых, этап 4 можно существенно упростить, избежав рассуждений по поводу минимизации числа элементов множества индексов S (р, р)・ В самом деле, рассматривая произвольную р-н пару (р, р) и применяя соотношение (13) леммы 18.7 для q = р, I (р)= ={1, 2, . . ., п}ч находим, что

Ei (р) = 0 (% 0 S (р, р))・

Но этот результат, как легко видеть, противоречит неразложимости, так как по предположению S (р, р) должно быть непустым собственным подмножеством множества {1, 2, . . ., п}. Таким образом, в случае неразложимости та часть доказательства, которая связана с построением и последующим рассмотрением вектора q на этапе 4, оказывается излишней. В отличие от этого в общем случае доказательство является довольно запутанным из-за необходимости комбинаторных рассуждений относительно каноничности и минимальности числа элементов в S (р, р).

Следующий результат, впервые полученный Маккензи [41, является важным, хотя и довольно простым следствием теоремы 18.6.

Следствие. Пусть виполнены все предположения теоремы 18.6, и пусть Е — множество всех равновесных векторов цен. Тогда множество Е U {0} представляет собой выпуклый конус.

Доказательство. Прежде всего отметим, что область ценР в соответствии с предположением (Г) является выпуклым мно- жетвом. Рассмотрим какую-либо выпуклую линейную комбинацию- 〃 =3) = ар 十 0g (а > 6, R》°，а + 卩=1) двух произвольных векторов р = (рЗ q = (%) С Е. Допустим, что и ^ Е\ тогда

по теореме 18.6 должны иметь место неравенства пп

£ ptEi (й) >0,2 qtEi (и) > 0.

i=lG=1

Но тогда

П 人八П Лаn а7

3 UiEi (u) = а 2 PiEi (^) + ₽ 2 qtEi (и) > 0, i=l£=1i=l

uto противоречит закону Вальраса. Это доказывает, что и W Е» т. е. множество Е выпукло. Теперь тот факт, что Е U {0} представляет собой выпуклый конус, легко выводится из выпуклости множества Е и свойства однородности функций Е».

Замечание 2. В случае неразложимости множество Е из приведенного следствия оказывается лучом, порождаемым некоторым положительным вектором цен; другими словами, в этом случае мы имеем единственность равновесного вектора цен с точностью до умножения на положительный скаляр. В этом легко убедиться следующим образом. Пусть р, q ——два произвольных равновесных вектора цен. В соответствии с замечанием 1 оба вектора р, q должны быть положительными; следовательно, Е» (р) = Е，(q)= ==0 (2 = 1, •・・，м). Рассмотрим множество индексов S (р, д)= ={% I S > ^Pt}^ где со = [min q{pt по всем % = 1, . . ., п], как и на этапе 4 в доказательстве теоремы 18.6. Допустим, что S (方，0)# 0 • тогда S (方，土) должно представлять собой непустое собственное подмножество множества {1, 2, . . ., п}, так что из свойств однородности и неразложимости будет следовать

一. 人一 一人一 . A.、人 人

Ei (q) #= Ei (cop) = Ei (/?) = 0 для некоторого i^S (p, q)

в противоречии с условием Et (7) = 0 для всех Z = 1, . . ., п. Следовательно, S (р, q) =0 и q = сор, что и означает единствен- лость равновесного вектора цен с точностью до скалярного множителя со > 0. Таким образом, в случае неразлоя^имости условие выявленного предпочтения (1) выполняется по отношению к равновесному вектору цен р и любому вектору цен р, не пропорциональному р.

УСТОЙЧИВОСТЬ В СИСТЕМАХС ВАЛОВОЙ ЗАМЕНИМОСТЬЮ

Динамические процессы формирования цен

В предыдущих разделах мы занимались исследованием таких фундаментальных черт статики конкурентного равновесия в вальрасовской модели децентрализованной экономики, как факт суще-

ствования состояний конкурентного равновесия (гл. V, § 1& и гл. VI, § 18) и «социоэкономическая» интерпретация этих состояний (гл. V, § 17). Однако эти результаты мало что говорят о том, как именно устанавливается на конкурентном рынке система равновесных цен. Сам Вальрас, который для обоснования существования конкурентного равновесия мог воспользоваться лишь подсчетом числа уравнений и неизвестных, представляв себе конкурентный рынок как гигантское вычислительное устройство, которое отыскивает равновесие в соответствии с так называемым законом спроса и предложения. Вальрас придавал важное значение такой практической возможности реализовать решение* соответствующей громадной системы уравнений общего равновесия с помощью рыночного механизма. Типичный процесс конкурентного ценообразования, как его мыслил Вальрас и его последователи, выглядит следующим образом. Система текущих объявленных цен порождает соответствующее агрегированное предложение и агрегированный спрос на каждый из продуктов, которые формируются как совокупный результат индивидуального поведения участников экономической системы, реагирующих на объявленные цены. Классический закон спроса и предложения гласит, что цены, которые установятся в следующий момент времени, зависят от текущих уровней спроса и предложения таким образом, что цена на товар, пользующийся положительным избыточным спросом, возрастает, а цена на товар, которому соответствует отрицательный избыточный спрос, падает. Получаемая в результате новая, измененная система цен породит новые уровни избыточного спроса на товары, которые, в свою очередь, приведут к новому изменению цен, и т. д. Такой процесс проб и ошибок при подстройке цен, характер которого мы сейчас описали, принято называть поиском (tatonnement)，). Следует сказать, что при этом подразумевается, что в ходе указанного процесса реальные сделки не совершаются до тех пор, пока не достигнута ситуация общего равновесия.

Математически процесс поиска можно описывать в терминах дифференциальных уравнений, уравнений в конечных разностях или каких-либо других типов функциональных уравнений. Четкая формулировка поиска в модели рынка как динамического процесса принадлежит Самуэльсону [1]. Так, например, типичной и хорошо известной формализацией процесса поиска является описание этого процесса системой дифференциальных уравнений вида

警=А咼(р) ”4,・・•")， ⑴

Буквально — «нащупывание» (франц.).— Прим, перев.

где р = (р,——вектор цен; Е» (р) — функция избыточного спроса на i-й продукт;九》——положительная константа, называемая коэффициентом подстройки цены на i-й продукт.

Отметим, что в соответствии с уравнениями (1) при Е^ (р) > О цена на i-й продукт растет, а при Е» (р) V 0 ——падает. Поэтому систему дифференциальных уравнений (1) молено рассматривать как математическую интерпретацию классического закона спроса и предложения, а ее решение р (办=(р» (%)), как можно ожидать, должно моделировать ход изменения цен в процессе поиска.

Сравнительно недавно формализация процесса поиска дифференциальными уравнениями (1) была обобщена Эрроу, Блоком и Гурвицем [1], а также другими авторами, которые предложили для описания этого процесса систему уравнений вида

需=及3) G=l,(2)

где Ht (р) (i = 1, . . ., п)——функции, определенные на области цен Р и имеющие всюду в Р тот же знак, что и соответствующие функции избыточного спроса Ei (р), т. е.

sign Яi (р) = sign 吊(р) (р ЕР, i = 1, • • •,八) (3) в том смысле, что для каждого г величина Ht (р) положительнаг отрицательна или равна нулю в соответствии с тем, положительна, отрицательна или равна нулю величина Е» (р).

Если среди всех товаров выделен один эталонный, базисный товар (numeraire) г), играющий особую роль как расчетная и платежная единица, цена которого всегда держится равной единице, то требование положительности коэффициентов А» в уравнениях (1) и требование сохранения знака Е» (р) по отношению к функциям Hi (р) (3) налагается на все товары, кроме базисного; для последнего всегда считается А» = 0 м Н» (р)三 0.

В этом разделе мы будем рассматривать свойства решений систем уравнений (1) или (2), и, в особенности, асимптотические свойства этих решений при t, стремящемся к бесконечности. В плане вальрасовской концепции поиска экономистов чрезвычайно интересует сходимость при t ~>4-оо решения р (0 к равновесному вектору цен р, удовлетворяющему условиям (1), (2) из § 18.2. В математическом аспекте свойство сходимости означает следующее:

(а) Существование локальных решений. Для каждого заданного начального вектора цен р° существует локальное решение р (力)системы (1) (или (2)), определенное на некотором интервале [0, а), а > 0, и удовлетворяющее начальному условию р (0) = р°.

Слово numeraire буквально переводится как деньги (франц.), но в подобном контексте это специфический термин, который принято переводить .как базисный товар.— Прим, перев.

(Р) Продолжаемость локальных решений. Каждое локальное решение р (力)системы (1) (или (2)) на [0, о) можно продолжить до глобального решения, определенного на всей полуоси [0, + оо).

(у) Сходимость к равновесному вектору цен. При 力 т + оо каждое глобальное решение р (力)системы (1) (или (2)) на [0, + оо) сходится к некоторому равновесному вектору цен р, определенному условиями (1), (2) из § 18.2.

Определение 19.1. Говорят, что в системе (1) (системе (2)) имеет место глобальная устойчивость (или просто, что эта система глобально устойчива), если выполнены требования (а), (Р) и (у).

Вне всякого сомнения, (а) является непременным предварительным условием того, чтобы вообще можно было говорить о возможности поиска. Далее, если бы оказалось, что локальное решение, выходяшее из некоторого начального состояния, нельзя продолжить за пределы некоторого конечного момента времени 力=т, то процесс поиска должен был бы прекратиться в этот момент времени т; система оказалась бы неработоспособной. Таким образом, условие (卩)гарантирует работоспособность поиска. Наконец, требование (?) должно гарантировать нам, что процесс Поиска в конечном счете приведет к равновесию.

Как теперь ясно, глобальная устойчивость является настолько специфичным динамическим свойством, что, вопреки мнению Вальраса, вряд ли можно ожидать наличия этого свойства у произвольной конкурентной (рыночной) экономической системы. Как показывает интересный пример неустойчивой системы Скарфа [1], неустойчивость является скорее правилом, чем исключением для рыночных экономических систем, и наличия глобальной устойчивости можно ожидать, по-видимому, только для достаточно «хороших» в некотором смысле систем. В связи с этим представляется важным и интересным выделить такие частные классы рыночных экономических систем, в которых глобальная устойчивость имеет место. Другими словами, желательно найти условия, имеющие экономический смысл, которые гарантировали бы глобальную устойчивость. Недавние исследования в этом направлении были сконцентрированы на системах с валовой заменимостью; выяснилось, что для этих систем действительно можно указать условия глобальной устойчивости. Однако ни для каких существенно иных рыночных систем, отличных от систем с валовой заменимостью, исследования по глобальной устойчивости не привели к большим успехам. Ввиду этого мы посвятили § 19.2 обсуждению вопроса о глобальной устойчивости в системах с валовой заменимостью. Это обсуждение, однако, охватывает лишь сравнительно небольшой круг результатов, полученных Эрроу, Блоком и Гурвицем [1], Эрроу и Гурвицем [1] и Удза-

вой [3]; их результаты, выбранные из обширной литературы по вопросу о глобальной устойчивости в рыночных моделях, дают, по-видимому, достаточное представление о состоянии вопроса.

В этом вводном разделе мы приведем несколько важных для нашего изложения результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и сформулируем полезную для дальнейшего лемму о мажорировании.

Теорема 19.1 (частная форма локальной теоремы существования Коши ——Пеано). Пусть задана система дифференциальных уравнений

醬=Gt (ж) G = 1,…，wi), (4а) где '

х =(勺)есть т-мерный векторный аргументу

Gi (ж) (f = 1, . . ., иг) — непрерывные функции, определенные на открытом множестве А е 7?т, общем для всех Z.

Тогда для каждой точки %° £ А 〃 каждого момента времени 方о существует набор непрерывно дифференцируемых функций времени ^

Xi (t) (i = 1, . . ., m), (46)

определенных wa интервале | t —— 方о | V e (e > 0) 〃 таких, что на всем этом интервале удовлетворяются условие х (力)=(勺(力))£ W А м уравнения (4а) и, кроме того, выполнено начальное условие х (方°) = %°.

За доказательством теоремы 19.1 читатель может обратиться к стандартному учебнику по теории обыкновенных дифференциальных уравнений (например, Коддингтон и Левинсон [1], гл. 1). В дальнейшем систему функций (46) из теоремы 19.1 мы будем называть локальным решением системы уравнений (4а). Следует подчеркнуть, что в теореме 19.1 ничего не говорится ни о единственности локальных решений, ни о их непрерывной зависимости от начальных данных х°. Все доказательства, которые приводятся в § 19.2 ниже, в отличие от доказательства в работе Эрроу и Гурвица ⑵，не опираются на непрерывную зависимость решений от начальных данных, и поэтому теоремы 19.1 здесь будет достаточно. Отметим, что теорема 19.1, в которой функции вг не зависят явно от времени, отличается от общей формы теоремы существования Коши ——Пеано, в которой G» могут быть функциями не только от %, но и от 力.

Лемма 19.1 (продолжаемость решений). Предположим, что функции Gi (%) (Z =1, . . ., иг) непрерывны на некотором множестве А в jRm и что для каждой точки множества А существует локальное решение системы (4а), выходящее из этой точки. Если каждое локальное решение х (力)системы, (4а) на каком-либо интер- 2 8-8

вале ［方°, о) целиком содержится е некотором компактном подмножестве Г множества Д, которое может зависеть как от начальной точки, так и от самого решения, то тогда каждое локальное решение системы (4а) можно продолжить на всю полуось ［^0, + оо).

Доказательство. Возьмем какое-либо локальное решение (46) системы (4а), определенное на некотором интервале j力о，о), о > 方°. Для того чтобы доказать продолжаемость этого решения на весь полубесконечный интервал ［力°, + 00), рассмотрим совокупность всех чисел т, таких, что т> 力°, и для которых данное локальное решение может быть продолжено на интервал ［方о, т). Множество таких чисел заведомо не пусто, так как оно содержит число о. Пусть со — точная верхняя грань этого множества. Покажем, что (о = 4~оо. Допустим противное: со V + оо・ Рассматриваемое решение, очевидно, может быть продолжено на интервал ［力°, со); пусть х (力 =(々(力))一 решение на интервале ［肅，со). Тогда для некоторого компактного подмножества Г множества Д имеем ж (^) £ Г (力о & 力 V со) по предположению леммы. Из компактности множества Г и непрерывности функций Gt (%) (% = 1, . . ., т) следует, что эти функции ограничены некоторой константой М: | G» (①)| & М (ж С Г, i = = 1, . . ., тп). Далее, интегрируя уравнения (4а), получаем

g (s) g (力о)-卜［Gj (①(*)) "% (*o s <^ co, 2 =— 1, • • •, m) •

Поэтому для каждого X = l, .. ., т имеем

旧⑶)一g(S2)|《，\ Gi (ж(^)) | ^<М|«х —s2］(力oCs^ s2<co)r si

откуда следует, что g ®) —g (s?) f 0 (i = 1, .., ,m) при sp s2 -xo. Согласно критерию сходимости Коши, это означает, что существует предел

lim g (上)=黑(f = 1,...，加). 力 f co- О

При этом, очевидно, /” = (%?) С Г в силу компактности множе- стра Г. Так как 力” С Г*и А, то по условию леммы на некотором интервале ［со,刀)，刀 > со, существует локальное решение у (» = =(2/t (0) системы (4а), удовлетворяющее начальному условию у (со) = %&• Определим вектор-функцию z (方)=(z» «)) на интервале ［力о,刀)следующим образом:

z«)= 3«) ®OVn)・•

Легко видеть, что z (力)представляет собой продолжение данного решения за верхнюю границу времени со, что противоречит определению со. Следовательно, со не может быть конечным числом, и значит, со = + оо. Лемма доказана. •

Теперь мы перейдем к лемме о мажорировании, которая играет существенную роль в доказательствах устойчивости.

Лемма 19.2. Пусть / (力) 一 функция, определенная на полуинтервале [力°, о), о> 力о， где о может быть равно конечному числу или + оо. Тогда

Если для некторого числа 6 выполнено условие

liminf>§ для всех 力£卩(),о),

九-0自

mo

f (t)6 (t -%0) + / (幻(力0 а 大 V0).

Если для некоторого числа 6 выполнено условие

Hm sup '(吐工9 总5 для всех 力 £[%, о),

то

7 (力《 8 (力一力0) + / (方0)(大0 а大V 6.

Доказательство. Легко видеть, что каждое из утверждений (i) и (ii) вытекает из другого. Поэтому достаточно будет доказать одно из них — например (i). Более того, достаточно установить справедливость неравенства / (力)〉(6 ——&) (% —力°) + + / (力о) (% & % V о) при любом е > 0; в силу произвольности 8 это и даст требуемое утверждение (i). Таким образом, если положить

L = {t \f (/)>(6 - 8)(^ -幻 + / (力0),协《力 V 0},

то нам нужно показать, что L =[力°, о). Обозначим через со точную верхнюю грань всех чисел т, таких, что т》扣 м [%, т] uL Это определение числа со корректно, так как заведомо [力о, т] cz L при т =力°. Тогда, как нетрудно видеть,力о & со & о, и наша задача состоит в том, чтобы доказать, что со = а. Исходя из этого, допустим теперь, что s V Ь. Покажем сначала, что

/ (со) > (б - 8)(со -端 + / (幻.(5)

Соотношение (5) очевидным образом выполняется (в форме равенства), если со =力°. Рассмотрим случай ^0 < со < а. Так как

liminf 八8士2 — 〃8)>I®inf /®+?二侬>6>6-8,

согласно предположению леммы, то при достаточно малых 无 > О мы будем иметь

/(① 一 ％)- / (s) V 一(3 _ е)瓦(6)

В то же время находим, что

/ (со —h)》(6 — Е)(8 —无一力о)十 / (力о)(无 > 0，s — h》力0)(7)

в соответствии с определением числа со. Объединяя неравенства (6) и (7), получаем, что

./ (①)一(8 - e) %》(6 - e) (со 一 h -方0) + / (方0)

при достаточно малых 无 > 0. Отсюда предельным переходом по 无 f 十 0 получается интересующее нас неравенство (5). Далее, снова в соответствии с определением со, найдется последовательность {无”} положительных чисел, сходящаяся к нулю и такая, что

/ (СО + 矶)< (6 - 8)(СО + hv 一力о) + / (%о)・(8)

Тогда, вычитая почленно неравенство (5) из (8) и деля на hv > 0, получаем

*+宀曰⑻'Vb-ё.

Отсюда следует, что

liminf 工阿《liminf "P+?T(sg九f0九Vf+8场V，

вопреки исходному предположению леммы относительно числа 6. Это противоречие показывает, что со = а, чем и завершается доказательство леммы.

Особого внимания заслуживает следующий частный вид леммы 19.2.

Лемма 19.3. Пусть 6 = 0 в условиях леммы 19.2. Тогда (i) Функция / (Z) 6 лемме 19.2 (i) является неубывающей на ［力?， о)・

Функция / (力)6 лемме 19.2 (ii) является невозрастающей 从а ［方0，a).

Доказательство, (i) Легко видеть, что из леммы 19.2 (i) вытекает соотношение

f (力)> 3 (力一s) + / (s)(力о & s & 力 V a).

А так как 6 = 0 по предположению, то из этого соотношения следует, что / (%) > / (s) (% 忘 s & £ V а), что и требовалось доказать. Совершенно аналогично доказывается (ii). Лемма доказана.

Замечание. Вспоминая тот факт, что в гл. II ——IV мы исследовали динамические свойства систем в терминах уравнений

в конечных разностях, читатель вправе спросить, почему же здесь мы обратились к формализму дифференциальных уравнений. Дело в том, что большую часть результатов о динамических свойствах в гл. II——IV можно было бы получить и на основе дифференциальных уравнений, так что там выбор типа уравнений связан с вопросом удобства изложения. Здесь ситуация другая. Почти все результаты, относящиеся к устойчивости рыночной экономической системы вальрасовского типа, получены в терминах дифференциальных уравнений (исключением является работа Удзавы [2]), и не видно, как можно было бы перенести эти результаты на случай разностных уравнений. Это и является основной причиной использования формализма дифференциальных уравнений в этой главе.

§ 19.2. Устойчивость при валовой заменимости

В этом разделе мы будем рассматривать рыночные системы с валовой заменимостью и исследовать глобальную устойчивость динамических процессов в этих системах, определяемых дифференциальными уравнениями (1) или, в более общем случае, уравнениями (2) из § 19.1, а именно, уравнениями

將=储当(р) « = 1, п)(1)

или

噜=$3 (Z=l,(2)

соответственно. В настоящем разделе мы примем основные предположения (Г), (II) с т = О, (HI), (IV) и (V) из § 483 Для удобства мы перечислим эти предположения заново.

(Г) Область цен такова: Р = {р | р =(卩仆丄 0, Pt > О (i W “)}, где М — заданное подмножество множества индексов {1, 2, • . ., 〃}.

Функции избыточного спроса Е» (р) « = 1, . • ., п) однородны степени нуль (т = 0).

Всюду в Р соблюдается закон Вальраса в узком смысле. (IV) Функции Ei (р) (Z = 4,...,八)непрерывны на Р.

(V) В Р имеет место валовая заменимость в форме конечных приращений (определение 18.1).

Примем также следующее предположение (VIT)——усиленный вариант предположения (VII) из § 18.3:

(VIT) В Р существует положительный равновесный вектор Цен 万="J

Как уже неоднократно отмечалось прежде, положительный равновесный вектор цен р в силу определения 18.4 и закона

Вальраса должен удовлетворять условиям

瓦(Р)= 0 (% = 1, • • •, п).(3)

Рассматривая систему уравнений (2), мы будем предполагать выполненными следующие требования:

Функции 修(р) (i = 1, . . ., п) непрерывны на Р.

Для каждого % = 1, • • ., п и для каждой точки р ^Р величины Hi (р) и Е\ (р) имеют один знак:

sign Hi (р) = sign Ei (р) (р£Р, » = 1, . . ., n),(4)

причем в случае, когда один из продуктов, скажем, Z-й, выделен в качестве базисного товара, Z-e соотношение из (4) удаляется и заменяется условием

Hi (р) = 0 всюду в Р.(5)

Если система (2) вырождается в систему (1), то требование (а) оказывается уже пр ед у смотр енным предположением (IV), а требование (б) сводится к требованию

儿 > 0 (i = 1, ...» п)(6)

——снова за исключением случая, когда выделяется какой-либо, скажем Z-й, базисный товар, для которого полагаем

兀=0.(7)

Начнем со следующих двух лемм.

Лемма 19.4. Каждый равновесный вектор цен р = (р») должен удовлетворять условию

Et (р) = 0 « = 1, • • ., п).

Доказательство. В силу условия (2) из § 18.2 из Pi > 0 следует 笈» (р) = 0. Далее, так как для равновесного вектора цен р, упомянутого в предположении (VIT), имеет место Ei (р) = 0 (力= 1, . . ., п), то, согласно лемме 18.6 (iii), для тех 厶 при которых р» = 0, также имеем 笈乞(р) = 0. Лемма доказана.

Лемма 19.5. Пусть р = (р») — равновесный вектор 犷乂, фигурирующий в предположении (VIT), и пусть I ——произвольное непустое подмножество множества {1, 2, . . ., п}, такое что I n М. Тогда вектор цен р (I) = (рг (/)) из области Р, определяемый условиями

10 (诳/), также является равновесным вектором цен.

Доказательство. Заметим сначала, что, согласно лемме 18.6(i), Ei (р (/))<：0 «在/)• Далее, в силу свойства валовой заменимости из р (/)三 р, р» (Г) = Pt G £ /) следует Е» (р (/)) W W£*»(/?) = 0 (%£/). Полученные результаты показывают, что р (/) удовлетворяет условию (1) в определении равновесного вектора цен в § 18.2. Условие (2) из § 18.2 также при этом выполнено в силу закона Вальраса. Таким образом, р (/) является равновесным вектором цен, что и требовалось доказать.

Теорема 19.2. Пусть выполнены основные предположения (Г), (II)-(V), (Vir), (а) и (б). Тогда

Если, кроме того, выполнено предположение (VI) из § 18.3, т. е. функции избыточного спроса ограничены снизу, то система (1) глобально устойчива (Эрроу и Гурвиц [1]).

Если предположение, о валовой заменимости (V) преобразовано 6 требование сильной валовой заменимости е форме конечных приращений (см. замечание 4 в § 18.1), то система (2) глобально устойчива (Эрроу, Блок и Гурвиц [1]).

Пусть предположения (IV), (V), (а) и (б) усилены следующим образом:

(IV') Функции Ei (р) (%=(,•••,八)дифференцируемы на Р.

(V) В Р имеет место валовая заменимость в дифференциальной форме (см. определение 18.2).

(а') Функции Ht (р) имеют вид 瓦(р)=厶(％ (/?)), где 力 «) (% = 4，• • •，八)—дифференцируемые функции скалярной переменной 力.

(6‘) При всех t имеет место 九(力 > 0 (Z = 1； . • •, n), и каждая из функций 力(力)обращается е нуль тогда и только тогда, когда 方=0, за исключением случая, когда выделен базисный товар 厶 для которого 力(力=0 тождественно по 九 Тогда система (2) глобально устойчива (Удзава [3]).

Доказательство. Вспоминая определение 19.1 глобальной устойчивости, мы видим, что нам нужно установить справедливость условий (а), (Р) и (у) из § 19.1. Проверка выполнения условий (а) и (Р) может быть проведена для системы (2) на базе одних лишь основных предположений, без использования уточнений и дополнительных предположений, указанных в (i)—(iii). Более того, доказательства выполнения условия (у) в случаях (i)—(iii) основываются в значительной степени на общем для них фундаментальном соотношении, которое выводится из свой-

ства валовой заменимости и фигурирует в доказательстве утверждения (Р); расхождения в доказательствах для случаев (i)—(iii) появляются лишь в заключительной стадии. Наконец, мы будем вести доказательство единым путем, пока это будет возможно, как для процесса поиска рыночного равновесия с базисным товаром, так и без такого товара. Читатели, которых удовлетворяет исследование процесса без выделения базисного товара, могут просто пропускать те места, где будет говориться о базисном товаре.

(а) Существование локальных решений. Пусть р° = (р?)— произвольный вектор цен, заданный в области Р. Покажем, что всегда существует локальное решение системы уравнений (2), выходящее из точки р°. Пусть, как и прежде, I (р°) * {i | р? > 0} (см. определение (8) в § 18.3). Учитывая, что по предположению (VIT) существует положительный равновесный вектор цен р, удовлетворяющий условию (3), в силу леммы 18.6 (iii) и предположения (б) получаем, что

母(Р)=品(р) = о (к^Цр^ р£ П Р (切 (8) 佗定i(p。)

Положим

AS°) = {p|p£ П ，⑶，”>о (Z — S。))}.(9)

k^i(pQ)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

嚮=%(p)а^Цр^(10)

где для компонент р 虱力)("@ / (р°)) мы дополнительно полагаем Ph «) = 0 (" е / (р°))・ Функции Hl (р) (i ^1 (р0)) непрерывны на множестве Д (р°), которое можно, очевидно, рассматривать как открытое подмножество в подпространстве 1tm пространства Лп, где т — число индексов в множестве I (р°). Так как р° £ W А (р°), то, согласно теореме 19.1, существует локальное решение р (力)=(рт «)) системы уравнений (10* определенное на некотором интервале [0, а), а > 0, и по определению удовлетворяющее условию

Р (%) С А (Р°).

Поскольку здесь по построению р丸(t) = 0 {к ^ I (р°) на [0, а), то с учетом (8) мы можем дополнить систему уравнений (10) уравнениями

警• = 5Мр) = 0 ("0/(р。))，

что в совокупности с (10) дает исходную систему (2). Таким образом, р (力)является искомым локальным решением системы уравнений (2).

Следует отметить, что каждое решение р (力)системы (2) на каком-либо интервале [0, а), а > 0 (где а < + оо или а = =十 8)должно иметь указанный выше вид. Действительно, интегрируя почленно соотношения (2), получаем

Ph (0 = М+ j Hh(p (s)) ds =

= f%(p(s))ds 佑«/(/J。)，0<7V。).(H)

b

Здесь все подинтегральные функции Нк (р (%)) должны быть непо~ ложительны в силу леммы 18.6 (i) и предположения (б), в то время как все функции ph (力 должны быть неотрицательны по определению (решение р«) системы (2) по определению должно лежать в Р); следовательно, интегралы в правых частях соотношений (11) должны быть равны нулю, и значит,

Ph ⑺=0 Ak^I^), О W 力 Vo)・(12)

(P) Продолжаемость локальных решений. Пусть р (力)一какое- либо решение системы (2), определенное на интервале [0, а), о > 0, которое может быть локальным (о V + оо) или глобальным (о = 4-ос). Возьмем равновесный вектор цен р, такой 丄)，что

/ (р) = №°),(13)

и положим

а (力方)=min^Д по всем i С/(р°),(14)

Pi

卩(力方)=max总⑴ по всем %£/(р。).(15)

Pt

Обозначим через ① точную верхнюю грань всех таких чисел т, что 0<т<а и I (р (力))n I (р°) (0 & % V т). Величина о (конечная или бесконечная) корректно определена и положительна, поскольку в силу начального условия р (0) = р° и непрерывности вектор-функции р «) заведомо имеем ' I (р (%)) n I (р°) (0《力 V т) при достаточно малых т > 0. Очевидно, что 0 V V ① W о и 0 V а «) & 0 (力 при всех t на интервале [0,①).

Положим

Ja (力方)={" I Pi (0 = a (力方)血}.(16)

тогда ”(方)》a亿方)忌(26/(°。))и в то же время в силу уело-

Существование такого вектора 方 гарантируется леммой 19-5 и предположением (VII').—〃尸гш. перев.

вий (12) и (13) pk (^) = а (^, р) Pk = O (k^I (pQ)). Таким образом, р (t)三а© р) р на интервале [0, а). Более того, а(力 р)>0, и, следовательно, a(t, р) р^Р на [0, со). Отсюда в силу однородности, валовой заменимости и леммы 19.4 имеем 昆(卩(力)》 >反(а (力 р) p)=Ei(p)=0( i^Ja (力 p), t C [0, 3)). Следовательно, в соответствии с предположением (б) получаем

ЕЕ ⑺)>0 (» w /а (厶加，t e [о, s))・(17)

Отметим, что условие (17) выполняется и в том случае, когда в список индексов товаров 丿仪(力，р) входит базисный товар, так как если i-й товар выделен в качестве базисного, то тогда Н» (р (力))=0 по определению.

Покажем теперь, что

liminf必土豆注也包>0 (方日0, (о)).(18)

九f0厶

В самом деле, для каждого t £ [0, со) по определению найдется последовательность {fev} отличных от нуля чисел, сходящаяся к нулю и такая, что

lim inf 々 « + %，Р)— а (力 Р):_ цт а (力 + 瓦у, р) — а (厶 р) /^д\ 九—»+оо即.，

В соответствии с определением величины а (力 р) (14) можно указать последовательность чисел k (v), удовлетворяющих условиям

а « + h” р) = Pmv)(力 + 场 J/卩丸(v)(v = 1，2, . . •), (20)

* (v) g 7 (p°) П 4 (力 + 鼠，P) (v = 1, 2, . . .).(21)

При всех v = 1, 2, ... числа " (v) принадлежат множеству {1, 2,.・.，п}, так что некоторое значение " (v), скажем равное 底 принимается при бесконечно большом числе значений v. Поэтому без ограничения общности мы можем полагать, что для данного

фиксированного " выполнены условия

а « + 无у, р)=夕丸(力 + hv)/pk (v = 1, 2, . • •),(22)

к 6 Z(p°) П /а « + 幅方)W =丄，2,・.•).(23)

Соотношение (22) в пределе при ” f + оо дает

a (力 p) = p丸(%)/网(24)

卫вмду непрерывности функций рк «) и а (力 £), так что

* €/(Р°) П Л 色 Р).(25)

Из соотношений (22), (24) и (25) с учетом (2) находим, что

нm а(£ + /%，3)—a (力力 = 1 ]血 /^" + 配)一p月(2)二

Vf十8厶vP互V~>+oo厶v

=?_粤=叁②竺.(26)

Pk 血Ph

Величина, стоящая в (26) справа, неотрицательна в силу соотношений (17) и (25). Этот результат в сочетании с (19) дает

lim inf “" +瓦小匈》0.(27)

Точно таким же образом получаем, что

lim sup网什儿电-外力匈w0.(28)

Поэтому в силу леммы 19.3 величина а (力 р) не убывает, а величина § (力 р) не возрастает на интервале времени [0, со). Отсюда, в частности, следует, что 卩(力)》а (0, р) р» > 0 (i £ 7 (р°), О & % V со). Если бы было а > со, то мы имели бы тогда также Pt ((о)》а (0, р) р» > 0 (% £ / (卩°)) в силу непрерывности р» (力) в точке со и, более того, по той же причине /?/ (со + Л) > 0 (I £ I (р°)) при всех достаточно малых fe > 0, удовлетворяющих условию со + 历 W【°, о)・ Поскольку это противоречит определению величины со, то должно быть(о = сг.

Если суммировать сказанное, то мы обнаруживаем, что имеют место соотношения

<0 Va(0, £)《а(“ £)■<« (力力 W pW)兄式卩(厶方)4

•《0(负》)《6(0,》)G£/(P。)，OQOVo). (29)

•Этот результат вместе с условием (12) играет важнейшую роль при доказательстве как утверждения (Р), так и (у). Обозначим через р = (р0 вектор р (7) из леммы 19.5, построенный для / = / (р°). Тогда из соотношений (12) и (29) для р = р, в частности, следует, что любое решение р (力)системы (2), локальное или глобальное, будет целиком лежать в кубе Г (р°) следующего вида:

F(Р°) = S I Pt = 0 (» 0 /(Р°)), а (0, % pi & “V 6 (0, 3)、t

(力一(p。))}.(30)

Этот куб Г (р°) является компактным подмножеством множества Р. При этом для каждой точки р° W Р в силу уже доказанного утверждения (а) система (2) имеет локальное решение, выходящее из

этой точки. Поэтому, применяя лемму 19.1 к системе (2), заключаем, что каждое локальное решение системы (2) можно продолжить на всю полуось [0, + оо).

(7)Сходимость к равновесному вектору цен. Основная идея, общая для всех доказательств для случаев (i), (ii) и (iii), состоит в следующем. Прежде всего отметим, что сходимость глобального» решения р (力)системы (2) к некоторому вектору р (оо) эквивалентна тому, что Pi (力)f Pi (oo)(力 f 斗 оо) для i £ I (p°) и НТО pk (oo) = 0 для 4 0/ (p°), так как из условия (12) вытекает сходимость ph (力)(к I (p°j) к нулю во всех случаях. Далее, для любого равновесного вектора цен р, удовлетворяющего условию I (р) = I (р°), и любого глобального решения р (力)системы (2), выходящего из начальной точки р°, согласно (29), имеем:

величина а (方，р) как функция времени не убывает и ограничена сверху на [0, оо);

величина 0 (力 р) как функция времени не возрастает и ограничена снизу на [0, оо).

Следовательно, существуют пределы

Ит а (厶卩)=а (р),(31)

『£6(方,方)=6(方),(32)

причем 0Va(p)WB(P)・ Разумеется, величины а (р) и 卩(р> в общем случае не обязаны совпадать. Однако если существует равновесный вектор цен р, такой, для которого

Цр) = Цр^(33>

a (方) = 6(方)，(3分

то тогда в силу (29) будем иметь

^im р «) = а (力血=6 (方)pi & £ / (p。))，(35)

а в силу (12) получим

科(力)=血=0 G0/(P°), 04方 V+oo).(36)

Это будет означать, что существует предел

Ji£ p(t) = a(p) р = ^ (р)户，(37)

доказательство чего и является нашей целью. Таким образом, достаточно будет подобрать равновесный вектор цен р, такой, для которого выполнялись бы условия (33) и (34). А для этого, в свою очередь, достаточно будет показать, что найдется

подпоследовательность {^v}^] моментов времени 勿，力2, • • • •.・,tv, . . ., стремящаяся к + оо, и такая, что соответствующая последовательность {р (Zv)} сходится к некоторому равновесному вектору цен р (оо). В самом деле, тогда, во-первых, I (р (оо))= =/ (р°), поскольку р (力)W「(р°), и , следовательно, р (оо)= =limр (£j W Г (р°). Во-вторых, для р = р(8)мы получаем

lim а (%, р (оо)) = lim 0 (& р (оо)) = 1,

V->4-ooV->4-oo

так что в силу монотонности величин а (力 р) м 卩(厶 р) как функций времени, согласно (1) и (2), находим

lim а (力 р (оо)) = lim 卩(方，р (оо)) = 1.

ff+oof->-|-oo

С этого момента доказательство, общее направление которого теперь ясно, будет проводиться для случаев (i), (ii) и (iii) раздельно.

(y.i) Случай (i). Вспомним теорему 18.6, из которой на основании предположений (Г) и (II)—(VII) следует соотношение

п

2 区& (р)》о(38)

i=l

для положительного равновесного вектора цен р =(夕力),существование которого утверждается в предположении (VIT), и для произвольного вектора цен р W Р, причем если р — неравновесный вектор цен, то неравенство в (38) строгое.

Имея этот результат в виду, рассмотрим сначала случай, когда среди товаров нет выделенного базисного товара. Положим

п

liminf 2 PtEt(p(t)) = 6.

f->+8 i=l

Тогда в силу соотношения (38) имеем 5》0. Если при этом 6 = 0, то найдется подпоследовательность {九}, стремящаяся к + оо и такая, что

lim 2 PtEi(p (tv)) = 6 = 0.(39)

Vf+8

Поскольку р (tv) g Г (/?°) (v= 1, 2, .. .), а множество Г (р°) компактно, мы можем предполагать, что существует предел

lim р (浦= /?(oq), р(оо)еГ(р°).

V->4-oo

Тогда в силу условия (39) и непрерывности функций Е» (р) получаем

И

3 PiEi(p (оо)) = 0.

г=1

Следовательно, р (оо) должен быть равновесным вектором цен； так как в противном случае мы имели бы

S万也iS(8))>0・ i=l

Установление этого факта, согласно нашим общим соображениям по поводу доказательства утверждения (у), завершает рассмотрение случая (i). Таким образом, нам нужно лишь показатьг что действительно 6 — 0, т. е. что допущение 6 > 0 ведет к противоречию. В самом деле, допустим, что 6 > 0. Тогда для некоторого 力° > 0 будет выполнено соотношение ,

п

2 PiEi (р(0)>б/2«0<7V+oo)・(40>

г=1

Далее, в силу системы уравнений (1), закона Вальраса и соотношения (40) при всех 力>力0 должно иметь место

пп

i=£i=l

nn

=2 2 Pt (力)Е» (p (力))一2 2 PiEi (p (/))= i=li=l

=—2工万咼 SG))v — 3・(41)

Поэтому, согласно лемме 19.2(ii), для каждого 力》力 имеем nn

3 (1/脑)(Q(%)-向)2《一3(力一幻 + 2 (l/M {Pi^^^.(42)

i=li=l

Так как правая часть этого неравенства стремится к — оо при 力f •十 0е, Tо

П_А,

lim 2 (1/左)(0(力)一万t)2= - 8,

f->+8 1=1

что противоречит условию р (^) f Г (р°)(力 > 0)工).

В случае, когда некоторый Z-й продукт выделен в качестве базисного товара, нам удобно будет нормировать исходный положительный равновесный вектор цен р таким образом, что его Z-я компонента pi равна единице. При этом pi (力)—pi — 1 тожде-

Это противоречит даже очевидной неотрицательности выражения, стоящего под знаком предела.— Прим, перев.

ственно по времени; с учетом этого, а также в силу системы уравнений (1) и закона Вальраса, мы получаем

4 2(1&)з «)—訪=2 2 а/储)з ⑴—五)警=

=2 E Q ⑴ Ei(p ⑺)一 2 2 piEi (p(0) 4 2 (“ (£)—血)El 9 ⑴)=

i 卢2ifl

nnn

=2 2 R «)吊(p ⑴)一2』PiE^p ⑻=一 2 X 五•& (p (0). г=1г=11=1

Отсюда в качестве прямого аналога соотношения (41) получаем неравенство.

备{{Pi (力一R产+ 2(1/з)(仍(力)一0)2) V -3,

после чего доказательство проводится точно так же, как и в том случае, когда базисный товар не был выделен.

(Y・ii) Случай (ii). Заметим, что система с сильной валовой заменимостью является частным (усиленным) случаем неразложимой системы с валовой заменимостью. Поэтому в соответствии, с замечанием 1 из § 18.3 мы должны иметь М ™ {1, 2, •••,〃}, а замечание 2 из того же § 18.3 гарантирует единственность равновесного вектора цен с точностью до умножения на положительный скаляр.

Рассмотрим сначала случай отсутствия базисного товара. Возьмем положительный равновесный вектор цен р, который существует, согласно предпо ложению (VIT), и положим

W«) = min Н兀色⑺)по всем k^Ja (^, р),(43),

где множество индексов /а (力，р) определено выражением (16) с р = р. В силу свойства валовой заменимости и условия (б) имеем、 g «) > 0, и, следовательно,

lim inf Е (力)=26 > 0.

Предположим, что 6 = 0, и выберем, как и в случае (y.i), подпоследовательность {力”}, стремящуюся к + оо и удовлетворяющую условиям

lim Е (九)=2b = 0,(44〉

V->+oo

lim р (%) = р (оо) С Г (р°).(45>

Покажем, что предельный вектор р (оо) является положительным кратным вектора р. Действительно, подобно тому, как мы перешли к соотношениям (22), (23) от (20), (21), мы можем и здесь заключить, что для некоторого фиксированного индекса к имеет место

自伉)=匹0@ (I, 2,(46)

Pk

к £ Ja (力v, p) (w = 1, 2,...)・(47)

Условие (47) означает, что 夕丸(％) = а (勾，р)卩兀，夕(％)三 а (", р)у? {v= 1, 2, . . .), так что в пределе в силу условия (45) и непрерывности выражения для а (14) по t получаем р^ (оо) = л^, ，(оо)三 лр, где

n = a(p)= lim а ("，〃)•

Vf+8

Итак, мы имеем

乃 € J = {" R(8)=启},(48)

Р(°°)三冗 Р・(49)

Кроме того, в силу соотношений (44), (45), (46) и непрерывности функции Нк (р) имеем

办(Р(8))= lim Hk(P(tv))=Pk Нт 占(％) = 0,Vf十8Vf+8

откуда, согласно предположению (б),

Eh(Р(8》=0.(50)

Если бы в (49) на самом деле имело бы место р (оо)丄 пр, то тогда ввиду сильной валовой заменимости, однородности и условия (48) мы должны были бы иметь Ek (р (оо)) > 0 вопреки (50). Следовательно, р (оо) = яр, т. е. р (оо) является равновесным вектором цен; это как раз тот результат, который нам требуется получить в соответствии с общими замечаниями о доказательстве утверждения (у). Таким образом, остается лишь показать, что действительно 6 = 0, т. е. что допущение 6 > 0 приводит ,к противоречию. С этой целью мы воспользуемся соотношениями (19), (25) и (26), полагая р = р, н применим лемму 19.2 (i) для некоторого 力о>О (подобно аналогичному рассуждению в случае (y.i))； это приведет нас к неравенству

а (力 р) ^ 8 (t — t^ + а %,历(力》力°),

из которого следует противоречивый результат а (力 р) т + оо (力—> 4" °°)・

Мы завершили рассмотрение ненормированного процесса, т. е. процесса без базисного товара. Обратим теперь внимание на то, что все проведенные рассуждения непосредственно переносятся и на случай, когда некоторый Z-й продукт выделен как базисный, если только в качестве положительного равновесного вектора цен р рассматривать нормированный вектор, у которого равна единице Z-я компонента: pi = 1. Тогда р((力)=рг — i тождественно по времени, так что

a (^ p)< 1 < Р (力万).

Учитывая факт монотонности величин а (厶 夕)，0 (力 р) по времени, рассмотрим сначала случай, когда а (厶 р) V 1 во все моменты времени. При этом базисный товар заведомо не будет входить в список Ja (% Р), так что рассуждение относительно величины 自(/) (43), проведенное для случая отсутствия выделенного базисного товара, остается применимым и в данном случае. Далее, случай, когда 0 (力 р) > 4 во все моменты времени, можно рассмотреть аналогичным образом в терминах величин 卩(力 р) и

П ⑴=max #W" по всем 乃 £ 丿廿(力夕)={Z | 卩(%) = § (力 р) р».

Pk•

Остается случай, когда для некоторых моментов времени ^а,用 имеет место а (^а, р) = 6 (力в，夕)=1 • Но тогда в силу монотонности величин а", р), В (力,)по времени имеем

а (厶 р) = Р (力 р) = 1 (方> max (力а, %в)),

что означает сходимость вектора р(力)к р за конечное время.

(y.iii) Случай (iii). Напомним, что каждое решение р (£) системы 2) удовлетворяет условию I (р(力))= / (р°). Имея это в виду, для произвольного глобального решения р (力)системы (2), выходящего из р°, положим

р (力)=max 修(号по всем 力 “(р。).(51)

Определение величины р (方)(51) законно ввиду соотношения I (р (力))=I (р°). Из условий (8), (12) и закона Вальраса следует, что в каждый момент времени t хотя бы для одного индекса г из множества I (р°) имеет место & (р ⑴)》0, так что

/ Р ⑴》О О。)(52)

с учетом предположений (а‘)и (6‘). Из определения (51) следует, что Hi (р(0) w Р (0 Pt «) « € / (р°))・ С другой стороны, в силу 29-8

условий (8) и Z (р (力))=I (р°) имеем Hh (р (£)) = р (力)pk (方)= —0 (k I (jo0)). Таким образом,

Н» (р (0)《Р (力)Pi ⑴ « = 4, • • •, n).(53)

Тогда, если мы положим

J (0 = {% 丨修(р «)) = р (0 pi (/)},

то, воспроизведя ход рассуждений при выводе соотношения (26), получим

linl sup Р «+，- Р ⑴=备 修:將" для некоторого А: £/(%)・ (54) Произведя дифференцирование с учетом предположения (а‘), получим

п

〃 / /%(%(р(£))) 2 /j(p «))&«)〃 / /・ /

d Hh(p (%)). —3=1 Hk (p (%)) ph (%) /г k\

где

pt (^) = dpi/dt, E订(卩)=dEi/dpj 亿 j = l,

Заметим, что Л (E冗(P (力)))》。согласно предположению (6')・ Далее, пп

S Ekj (р ⑼ Pj (0= S Ehj (P (0) Hj (p (0)<

n

WP«) 2 即Q«)) p№)(56)

в силу уравнений 力(力)=Н)(卩(%)), условий валовой заменимости Ekj (p ⑺)》0 (归 * j), соотношений (53) и Hk (р, (%))= =Р (0 Рк (0- Выражение в правой части в (56) равно нулю, согласно лемме 18.4, ввиду однородности нулевой степени функции £\ (р). Эти замечания вместе с условием ph (力)> 0 показывают, что первый член в правой части соотношения (55) должен быть неположительным. Кроме того, второй член в силу условий pk (Е) = Hk (р (力))и к J (t) равен просто —р (力产 Эти результаты вместе с исходным условием (54) дают

limsupW — Р «)2.(57)

Из условия (57) по лемме 19.3 следует, что функция р (力)является невозрастающей. А так как эта функция ограничена снизу в силу (52), то отсюда вытекает монотонная сходимость р (力)к некоторому неотрицательному пределу

lim р «) = inf р (力)=3〉0.

i->+oot^0

Если 6 > 0 и, значит, р (力)〉6 > О, то в силу соотношения (57) и леммы 19.2 (ii) мы имели бы

р (^) < - 62^ + р (0)(力〉0),

что дает противоречивый результат р (力)f—— оо (力一> 十 оо). Следовательно,

lim р«) = 0 (монотонно).(58)

Принимая во внимание условия (53), (58), а также ограниченность вектор-функции р (力)сверху: р (力)三卩(0, р) р, вытекающую из (29) при р = р, находим, что

пп

lim sup 2 Hi (卩《)) = &•<§ (0, р) 2 pt lim р (力) = 0・(59)

」十8 г=1г=1 /->-|-оо

Допустим, что будем иметьДопустим, что будем иметье <0. Тогда из уравнений (2) с учетом (59)

Допустим, что будем иметь

Допустим, что будем иметь

』向(方)сe/2 Vo О方0) i=l

для некоторого /0, что приводит к противоречивому заключению

п

lim 2 pt(t)= — оо.

tf 十8 i=l

Следовательно, e = 0, так что должна существовать последовательность {方”}, сходящаяся к + оо и такая, что существует

lim 2 HMp (幻)= £ = 0,(60)

Vf+оо г=1

причем ввиду того, что р (力 J W Г (р°) (v — 1, 2, . . .), где Г (р°)— компактное множество, можно, не ограничивая общности, считать, что и последовательность'{р (%”)} сходится к некоторому вектору р (оо) из Г (р°). Мы покажем, что р (оо) представляет собой равновесный вектор цен, удовлетворяющий условию I (р (оо))= =I (р°); тем самым мы получим ситуацию, к которой и требовалось придти в соответствии с общим . методом доказательства утверждения (у).

Действительно, во-первых, соотношение / (р (оо)) = I (р°) очевидным образом вытекает из условия р (оо) £ Г (р°). Далее, подставляя t = tv в (53) и полагая w f + 8, в силу непрерывности функций Ht (р) и условия (58) получаем

%(р(8))《р(оо) lim р(%) = 0 (i= 1, ..., n), (61) V->+oo

причем в силу непрерывности Е» (р) и условия (60) имеем

п

S Hi (р(оо))=0.(62)

г=1

Соотношения (61) и (62) в совокупности показывают, что

а〃Р(8)) = 0 G = 1, ・・・，哈(63)

откуда следует

Е» (р (оо)) = 0 (i = 1,〃)・(64)

Соотношения (64) непосредственно вытекают из (63) в силу предположений (а') и (6‘) для всех товаров i, кроме базисного товара 2 (если таковой имеется). Что же касается базисного товара Z, то обращение в нуль соответствующего избыточного спроса Е/ (р (оо)) вытекает из соотношений (64), заведомо справедливых для всех Z =/=厶 и закона Вальраса. Этим завершено доказательство того, что р (оо) является равновесным вектором цен, и всего пункта (у). Теорема доказана.

Общая идея изложенного метода доказательства принадлежит Эрроу, Блоку и Гурвицу [1] и Удзаве [3]. Если говорить об отдельных частях доказательства, то доказательство в пункте (y.i) следует работам Эрроу, Блока и Гурвица [1] и Эрроу и Гурвица [1]; доказательство в пункте (丫・ii) следует работе Эрроу, Блока и Гурвица [11, и в пункте (у.iii) — работе Удзавы [3].

Мы не привели здесь еще одну теорему Эрроу и Гурвица [2], формулировка которой представляет, пожалуй, наиболее общее утверждение из всех, относящихся к глобальной устойчивости в системах с валовой заменимостью. Однако в отличие от результатов, приведенных здесь, в этой теореме явным образом используется непрерывность решений дифференциальных уравнений по начальным данным.-

Глава VII

ЯКОБИЕВЫ МАТРИЦЫ И ГЛОБАЛЬНАЯВЗАИМНАЯ ОДНОЗНАЧНОСТЬ

В этой главе рассматривается специальный вопрос ——условия глобальной взаимной однозначности отображения в терминах его якобиевой матрицы. Этот вопрос непосредственно связан с проблемами выравнивания цен на факторы производства и единственности конкурентного равновесия. В § 20 приводятся общие теоремы о глобальной взаимной однозначности, а в § 21 эти теоремы применяются к якобиевым матрицам специального вида.

§ 20. УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ ВЗАИМНОЙОДНОЗНАЧНОСТИ В ТЕРМИНАХ ЯКОБИЕВЫХ МАТРИЦ

Предварительные соображения

Рассмотрим систему п уравнений с п неизвестными

fi (%1, %2, • • •, %n) = Pi G = 1, • • •, n),(1)

где

(а) 力(① 1, %2，. • •, ^п) (力=4, . • •,八)—вещественные функцииг определенные и дифференцируемые в некоторой области X пространства Rn (относительно дифференцируемости^см. определение 5.2 гл. 1), с полными дифференциалами

d/j = 2 /г J (“1，%2, • • •,力тг) dxj (Z = 4, . ..，м) ；(2)

(В) Pi G = l, .. ., n) —'заданные константы.

Определенную информацию о свойствах решений системы уравнений (1) предоставляет якобиева матрица

Хорошо известный классический результат утверждает, что если в точке х = (%0, являющейся решением системы уравнений (1), определитель якобиевой матрицы / отличен от нуля, то в некото^

рой окрестности точки х не может быть других решений системы (1) (см. теорему 5.6 (i) гл. I). Более того, отображение (勺)f f (ft (%i，％2, • • •, ^n))： X -> Rn, определяемое-функциями, стоящими в левой части системы уравнений (1), взаимно однозначно в некоторой окрестности данной точки, если элементы /订 якобие- вой матрицы J являются непрерывными функциями и определитель матрицы J отличен от нуля в этой точке (см. теорему 5.6( ii) гл. I). Эти классические результаты имеют локальный характер, гарантируя только локальную единственность решения или локальную взаимную однозначность отображения. Однако в экономической теории и в смежных областях нередко возникает потребность в выявлении таких условий, наложение которых на якобиеву матрицу J гарантировало бы глобальную единственность решения системы (1) или глобальную взаимную однозначность соответствующего отображения на всей заданной области. Материала по этой теме в традиционной математической литературе немного. Цель настоящей главы заключается в том, чтобы хотя бы частично заполнить этот пробел, изложив некоторые результаты, относящиеся к глобальной взаимной однозначности и ее приложениям; эти результаты базируются на недавних работах Гейла и Никайдо [11 и Инады [2].

Если говорить о задачах, приводящих к изучению глобальной взаимной однозначности в терминах якобиевых матриц, то в качестве одной из наиболее типичных и стимулирующих можно указать проблему выравнивания цен на факторы производства в теории международной торговли. Существо проблемы состоит в том, должны ли выравниваться доходы от использования факторов производства в различных странах, обладающих одинаковыми технологическими возможностями, но разными ресурсами факторов, если осуществляется международная торговля продуктами производства, но не происходит перемещения самих производственных факторов. Тезис о выравнивании цен имеет как сторонников, так и противников. Самуэльсон [2, 3, 51, один из защитников этого тезиса, основывает свою .аргументацию на детальном исследовании важного, хотя и частного, случая, когда число продуктов совпадает с числом производственных факторов.

Математическая формулировка этого случая такова. Предположим, что имеется п продуктов и п факторов производства и что все торгующие между собой этими продуктами страны обладают одинаковыми производственными возможностями, при которых сохраняется постоянство удельных затрат независимо от масштабов выпуска и нет как внешней неэкономичности, так и одновременного производства различных продуктов в одном процессе (каждая отрасль в каждой данной стране производит только один продукт). Вспоминая формальное описание производственных возможностей в терминах технологических множеств (см. гл. IV,

в частности, условия (А.1)—(А.5) в § 13.1), рассмотрим технологическое множество Ti для отрасли, производящей г-й продукт 仅= 1,...,〃), и будем считать, что множества Т» удовлетворяют следующим предположениям:

(А.1) Множество 7\ представляет собой замкнутый выпуклый конус, лежащий в декартовом произведении К? Х/?^. Если 3， %) £ 7\, то вектор 炉=(力)и число 儿 представляют собой вектор затрат и отвечающий ему уровень выпуска i-ro продукта соответственно, так что %； есть требуемое при этом количество /-го фактора производства.

(А.2) Если (О, А») W Т», то 九》= 0 (неосуществимость «рога изобилия»\

(АЗ) В ТI существует процесс, обеспечивающий положительный выпуск.

Пусть задан вектор цен на факторы производства 笫三 0; определим функцию удельных издержек с» (w) производства %-го продукта равенством

& (笫)=min〈笫,①'〉по всем процессам (炉,1) g Т

Читатель Тгегко сможет убедиться, что функция издержек q (w) определена при принятых предположениях для всех 笫三 0. Предположим теперь дополнительно, что

(А.5) Если (①乙 Xj) С 7办(〃3 РЧ)С Т» м векторы 炉 и i? линейно независимы, то для любых двух положительных чисел а > 0, 6>0, а + 卩=4, можно указать уровень выпуска %го продукта 刀》，такой, что

(ажг +^, тр)£Т〃 а九j4-6卩(Vтн (строгая выпуклость).

С помощью таких же рассуждений, что и при анализе функций J (仏。)—〈，，о(9, 〃)〉в гл. VI в § 18.1, читатель может удостовериться в справедливости следующих утверждений:

При каждом положительном векторе цен на производственные факторы 笫 > 0 вектор удельных затрат, минимизирующий величину 〈笫,①乞〉в определении функции удельных издержек Cf 侬)производства продукта i, является единственным и, следовательно, может рассматриваться как однозначная функция 出侬)=(q； (о?)) вектора 笫 > 0. Поэтому

n

R (券)=2 就他)Mj (如 > 0) .(4)

Функции Oj (笫) (i, 7=1,...,八)непрерывны и неотрицательны при всех г^ > 0.

Функции 勺(w) (Z = 1,...,八)имеют при всех 笫 > 0 непрерывные частные производные

С订㈣=患=":3)(笫 > °)•(5)

Соотношение (5) означает, что частные производные функций удельных издержек по ценам производственных факторов равны удельным интенсивностям использования соответствующих факторов.'

Конечно, в силу предположения о равенстве производственных возможностей различных стран, функциц издержек также будут общими для всех стран. Поэтому если на мировом конкурентном рынке происходит торговля продуктами по ценам р = (pj, то мировая цена pt 力-го продукта в равновесии должна совпадать с удельными издержками сг (w) производства этого продукта г), что приводит к системе из п алгебраических уравнений относительно неизвестного n-мерного вектора цен на производственные факторы iv:

Q 侬)=Pt « = 1； • • •, n).(6)

Следует подчеркнуть, что соотношения (6) должны выполняться в равновесии даже несмотря на то, что различные страны могут быть наделены факторами производства в неодинаковой степени. Согласно Самуэльсону, если система уравнений (6) допускает только одно решение w, то выравнивание цен на производственные факторы происходит без перемещения факторов между странами. Система уравнений (6), очевидно, представляет собой типичный пример системы вида (1). Заметим, что элементами якобиевой матрицы системы (6) являются интенсивности а} (гр) использования факторов. Поэтому если будут получены условия глобальной единственности решений системы (1) в терминах якобиевой матрицы системы (1), то их легко будет преобразовать в условия единственности решения системы (6) на множестве всех положительных векторов цен производственных факторов, выраженные в терминах интенсивностей использования этих факторов; это и будут искомые условия выравнивания цен на производственные факторы в смысле Самуэльсона.

Еще одним источником интереса к изучению глобальной единственности решений систем вида (1) в терминах их якобиевых матриц служат системы уравнений общего рыночного равновесия. Рассмотрим систему п уравнений

马(Р)= 0и),(7)

где ^р = (р» — положительный n-мерный неизвестный вектор цен (pj — цена /-го продукта), & (р) (i = 1, •..,八)一функ-

Совпадение цены продукта с удельными издержками его производства имеет место в рамках модели конкурентного равновесия при условии, что соответствующее технологическое множество является конусом и выпуск этого продукта отличен от нуля (см. § 15.1 и замечание 5 в § 16.1). Подробнее об экономических аспектах проблемы выравнивания цен на факторы производства см. Ф о м и н Б. С., Эконометрические теории и модели международных экономических отношений, «Мысль», М., 1970.——Прим, перев.

ция избыточного спроса на f-й продукт. Предположим, что выполняется закон Вальраса в узком смысле и что 笈？ (р) — однородные функции нулевой степени. Тогда, если n-й продукт выделен как базисный товар, то определение отношения равновесных цен Pi • Р2 • • • • • Рп путем решения системы уравнений (7) сводится к изучению системы п ——1 уравнений с п ——1 положительными неизвестными р^ р2, • • •, P”i

Et (pi,卩2, • • •,卩…1) = 0(" 1, • • •，八一1).(8)

Если функции избыточного спроса дифференцируемы в области положительных р» (» = 1, . . ., п — 1), то условия глобальной единственности решения системы уравнений (8) (если таковое решение вообще имеется), выраженные в терминах якобиевой матрицы (笈订)системы (8), должны представлять значительный интерес для экономической теории. Очевидно, система (8) является системой типа (1).

Замечание 1. Функция издержек q (笫)обладает следующимк интересными свойствами:

Однородность первой степени:

q (ам) = а& (笫)(а > 0, w ^ 0, i = 1, . . ., п).

Это ясно из определения. v

Неотрицательность значений с^ (w):

q (切》0 (笫 N О, Z = 1, • •п),

причем эти значения строго положительны при w; > 0. Здесь неотрицательность ясна из определения, а строгая положительность при всех к? > 0 вытекает из предположения (А.2).

Вогнутость: для любых ”, к?來三 0瓜0《%&1 имеем Ct ((1 — %) u; + to*)》(1 —力 q 侬)+ tCi (м;*) (Z = £,•••,初 Пусть (%, 1), (%*, 1) и (у, 1)——процессы из 7», минимизирующие издержки при единичном выпуске для цен 笫，^气 и (1 — %) к? + + 力^* соответственно. Тогда для каждого i, как нетрудно видеть^

с» ((1 — t) W + tw^) = ((1 — t) W + to*,沙〉=

=(1 一方)(3, У) + t标來，沙>》(I 一方)〈叱a〉+ t〈缈*，①*〉= =(1 —力)修出)+ tct (w^),

чем и доказана вогнутость функций q ®).

Монотонность: если 必來三 w; N 0, то

Q (笫來)> Q 8) (Z .= 1, . . ., n).

Это свойство следует из определения функции издержек и того факта, что, согласно предположению (АД),况"至 0 для всех (①% 1) £ Е Тi，При положительном к? > 0 это свойство монотонности сво~ дится к неотрицательности всех частных производных с〃 (о?)-

Замечание 2. В задаче о выравнивании цен на факторы производства имеется классический результат Самуэльсона для случая 八=2, касающийся глобальной единственности решения системы (1); при всей своей простоте и легкости доказательства этот результат весьма существен и показателен. Предположим, что определитель якобиевой матрицы (якобиан) отличен от нуля на множестве всех положительных двумерных векторов цен на факторы производства 笫.Из этого предположения в силу непрерывности функций 6订(笫)следует, что якобиан либо всюду положителен, либо всюду отрицателен. В соответствии с соотношением (5) это означает, что знак неравенства между отношениями интенсивностей использования обоих производственных факторов в обеих отраслях остается одним и тем же при всех к? > О (см. неравенства (2) и (3) в § 21.2). Ввиду однородности и поло- я^ительности функций издержек / (仍，w^ (f = 1, 2) при положительных ценах и\,笫2, отмеченной в замечании 1, вопрос о единственности положительного решения 仍，w2 системы уравнений (6) (п = 2) сводится к вопросу о единственности положительного решения уравнения

Р2 _e2(1,①)-/nК

％ (1,(0)I '

относительно одного скалярного неизвестного (о (=笫2/^1)— отношения цен на факторы производства. Используя соотношения (4) и (5), мы можем вычислить производную выражения, стоящего в правой части (9):

d С2(1,电 =I ^1(1,①)c12(l,(0) I

丽 q (£,①)—ci (1, (0)2 I c21 (1,(0) c22 (1,(0) Г

Последняя величина имеет один и тот же знак при всех со > 0. Поэтому величина 方(1, s)/q (1, со) как функция переменного со является либо строго возрастающей, либо строго убывающей, так что она может совпасть с р』р* не более одного раза.

Замечание 3. Вывод классического результата для п = 2, приведенный в замечании 2, существенно опирается на специальные свойства функций издержек. Но к тому же заключению о глобальной единственности можно придти, основываясь лишь на неотрицательности элементов невырожденной якобиевой матрицы и не используя свойств (i) и (ii) из замечания 1 (см. § 20.5). Что касается якобиевых матриц более высокого порядка, то впервые условие в терминах миноров, обеспечивающее глобальную единственность решений соответствующих систем, было предложено (но не доказано) Самуэльсоном [5]. Это условие таково: при надлежащей перенумерации уравнений и неизвестных системы (1) все последовательные главные миноры якобиевой матрицы отлич-

=# 0 (" = 1,..., 〃).=# 0 (" = 1,..., 〃).ны от нуля всюду в области X, т. е.

=# 0 (" = 1,..., 〃).

=# 0 (" = 1,..., 〃).

(10)

Остается до сих пор невыясненным, гарантирует ли это условие глобальную единственность решения хотя бы для системы (6), в левой части которой стоят функции издержек и которая поэтому обладает рядом специфических свойств, не выполняющихся в общем случае для системы (1). Однако, как показано в работе Гейла и Никайдо [1], условие (10) само по себе заведомо недостаточно для того, чтобы гарантировать глобальную единственность решения системы (1) в общем случае, даже для прямоугольной области X. Это видно из следующего примера. Система уравнений

/1(3, 3)= ехр (2勺)—必 + 3 = 0,

/2 (勺，3)= 4 eхр (2勺)g -W=0

имеет два решения ①】=0, g = ± 2, хотя

/и (з, д) = 2 ехр (2%) > 0,

/ii (%, &)/21(0，①2)/ii (%, &)/21(0，①2)/12_ 2 ехр (2勺)(4 ехр (2々)+ 5w)> 0

/ii (%, &)

/21(0，①2)

/ii (%, &)

/21(0，①2)

%2(勺，/2)

во всей плоскости Е?.

Замечание 4. Пусть J (w)=(已订(w))——якобиева матрица системы (6). Если J (w) ——постоянная матрица, не зависящая от 笫，то (6) на самом деле представляет собой систему линейных уравнений, так что в этом чрезвычайно частном случае условием единственности решения системы (6) является просто невырожденность матрицы / ®). Маккензи [2] заметил, что если принять во внимание вогнутость функций издержек (утверждение (iii) в замечании 1), то условие единственности решения системы уравнений с постоянной матрицей J (“)можно распространить и на несколько более общий нелинейный случай, когда якобиева матрица J (w) уже не обязательно постоянна, но в определенном смысле «почти постоянна». А именно, введем для квадратной матрицы А п-го порядка следующие обозначения: через К (Л) и К (Л)° будем обозначать выпуклый конус, порожденный 八 векторами- столбцами матрицы А, и его внутренность в Rn соответственно. Будем говорить, что матрица J (笫)почти постоянна, если для любых двух векторов 笫i > 0,笫2 > ° выполнено условие •

К (/ (加)尸 П К (J (讨)')° * 0；(И)

Нетрудно показать, что если якобиева матрица J (切 системы (6) почти постоянна, то положительное решение этой системы единственно. В самом деле, пусть м\ ip2> 0 — два решения систе^ мы (6). Применяя векторные обозначения с(м) = (/ (笫)),р = (р/ мы можем записать систему уравнений (6) в форме с (м) = р, так что

e (”)= c (炉)=p.(12)

В силу вогнутости функций 修(笫)и леммы 18.2 гл. VI из (12) вытекает, что

J (勿)他1 -笫2) W e (笫 1) 一 С(1T2) = 0,

J他2)(以一炉)三C (")——С他2) - 0.

Заметим, что из (11), в частности, следует невырожденность матрицы J (笫)при всех w> 0. Поэтому если /(”)(〃 一笫2) = О или J (м?2) (мЛ — w;2) = 0, то w^ =笫2 уже в силу невырожден- ности. Таким образом, остается рассмотреть случай, когда

j (歩)(苏一炉)W0,(13)

J 32)(加一炉)二 0.(14)

Согласно условию (11), существуют два положительных вектора ж1 > 0, %2 > о, таких, что

J (办)'d=J (炉)‘X2 = u.(15>

Умножая скалярно соотношение (13) на 炉，а (14) на ж2, получаем противоречивый результат

(m，"一笫2〉V 0 V(m，缈 1 一炉〉，

чем и доказано требуемое утверждение.

Несмотря на многочисленные запросы со стороны различных наук, в математической литературе весьма мало работ, в которых исследуются условия глобальной взаимной однозначности в тер- 'минах якобиевых матриц; да и относятся эти работы, как правило, к самому последнему времени. По-видимому, первой работой общего характера в этом направлении явилось совместное исследование Гейла и Никайдо [1], в котором разбирается случай, когда якобиева матрица имеет положительные главные миноры, а также некоторые другие случаи. Позже появилось интересное исследование случая, когда якобиева матрица имеет отрицательные главные миноры, выполненное Инадой [2], где применен аналогичный метод доказательства. Основная цель настоящей главы состоит в том, чтобы привести эти результаты (§ 20)， а также их приложения (§ 21).

§ 20・2・ P-матрицы и смежные понятия

Пусть Л ——вещественная квадратная матрица n-го порядка. Введем ряд определений.

Определение 20.1 (Гейл и Никайдо [1]). Матрица Л называется P-матрицей, если все ее главные миноры положительны.

О п р е д е л ение 20.2 (Инада [2]). Матрица Л называется ^f-матрицей. если все ее главные миноры отрицательны. Все TV-матрицы разбиваются на следующие две категории:

Говорят, что N-матрмца А принадлежит первой категории, если у нее есть хотя бы один положительный элемент.

Говорят, что TV-матрица Л принадлежит второй категории, если все ее элементы неположительны.

Определение 20.3. Матрица Л называется N-Р-матри- цей, если все ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а все главные миноры четного порядка положительны.

Определение 20.4. Матрица Л называется P-N-матри- цей, если все ее главные миноры нечетного порядка положительны, а все главные миноры четного порядка отрицательны.

Мы начнем с доказательства нескольких лемм и теорем, которые будут иметь фундаментальное значение для всего последую- I щего. Как будет видно, решающую роль при этом будут играть P-матрицы, так что при исследовании №матрмц мы будем не только опираться на результаты, полученные для Р-матриц, но и во многом повторять ход рассуждений при выводе этих результатов. Во всем дальнейшем изложении под матрицей мы будем подразумевать, если не оговорено противное, вещественную квадратную матрицу az-го порядка.

л w^ ш'^л w^ ш'^е м м а 20.1. Имеют место следующие утверждения'.

л w^ ш'^

л w^ ш'^

Матрица А является N-Р-матрицей тогда и только тогда, —Л является Р-матрицей.

) Матрица А является Р-N-матрицей тогда и только тогда, ——Л является N-матрицей.

Доказательство. Утверждения (i) и (ii) вытекают из известных основных свойств определителей.

Лемма 20.2. Одновременная и одинаковая перестановка строк и столбцов преобразует Р-матрицу, N-матрицуN-P-мат- рицу и P-N-матрицу снова е Р-матрицу, N-матрицу№Р-мат- рицу и P-N-матрицу соответственно.

Доказательство. При указанной перестановке совокупность значений главных миноров матрицы не изменится. Отсюда и вытекает утверждение леммы.

Лемма 20.3. Пусть L — некоторое (собственное или несобственное^ непустое или пустое) подмножество множества индексов N = {1, 2, . . ., п}, и пусть D — матрица, которая получается из единичной матрицы заменой ее j-го столбца d на ——е^ для всех 7 £ L. Тогда, если А является Р-матрицей, N-матрицей^ N-Р-丝атрицей или P-N-матрицей, то D^AD остается Р-матри- цей, N-матрицей、N-Р-матрицей или P-N-матрицей соответственно.

Доказательство. Каждый главный минор матрицы D~XAD получается умножением соответствующего главного минора матрицы А на —1 в четной степени, так что они должны быть равны между собой. Отсюда и вытекает утверждение леммы.

Замечание. Следует подчеркнуть, что в случае, когда 4 в лемме 20.3 является TV-матрицей, матрицы А и D^AD обе будут TV-матрицами, но необязательно одной категории. Отметим также очевидное, но важное соотношение: D-工 =D.

Лемма 20.4. Если Л является Р-матрицей, N-матрицей^ N-Р-матрицей или Р-N-матрицей, то и каждая главная подматрица матрицы А также будет Р-матрицей, N-матрицей. N-P-матрицей или P-N-матрицей соответственно.

Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из соответствующих определений.

Теорема 20.1. Для данной матрицы А система линейных неравенств

/% 三 0,(1)

% N 0(2)

имеет лишь тривиальное решение % = 0, если выполнено одно из следующих двух условий:

Матрица А является P-матрицей (Гейл и Никайдо [1]);

Матрица А является N-матрицей первой категории (Инада ⑵).

Доказательство, (i) Проведем доказательство индукцией по п. Для п = i утверждение очевидно. Предположим, что утверждение справедливо для п ——1, и перейдем к п. Заметим сначала, что мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда хотя бы одно из скалярных неравенств в системе (1) обращается в равенство. Действительно, поскольку у А как у Р-матри- цы все диагон альные элементы заведомо должны быть положи-

тельными, мы всегда можем, если потребуется, увеличивать некоторые компоненты вектора х до тех пор, пока не получим векторное неравенство

/々О,(3)

в котором хотя бы одна компонента вектора Ау, скажем,乃-я, в точности равна нулю, причем

О^х^у.(4)

Очевидно, требуемое утверждение (i) будет доказано, если мы установим, что у = 0・ В свете леммы 20.2 можно без ограничения общности считать, что к = i, так что мы имеем

а11У\ + % 2y2 十• • • + а1пУп =。，

仅21 办 + @22沙2 + • • • + a2пуп & 0， ' (5)- ^п1У1 十。九 2y2 + • • • + ^ппУп & °，

Учитывая, что аи > 0, вычтем из i-ro соотношения в (5) первое соотношение, умноженное на а〃/〃н (% = 2, . . ., п), подобно тому, как это делалось в доказательстве теоремы 6.1 в гл. II. Получим систему.

@1 跳 +a122/2+ • • • +a{就n=0,q髄/2+• • • + "：九沙九《0，

(6)

^*2^2• +"龍?/^《0.

Рассмотрим матрицу Л* = (a*j) (f, 7 = 2, . . ., п) коэффициентов системы, образованной всеми соотношениями (6), кроме первого. Пусть матрица С* =(〃右)(i, j £ К, где К —— некоторое непустое подмножество множества индексов {2, . . ., п}) есть произвольная главная подматрица матрицы Л*; тогда С = =(〃订) (i, / € {1} U К) является главной подматрицей матрицы Л и, как легко видеть,

⑺⑺

⑺

⑺

Кроме того, 〃” > 0 и det С > 0, так как А является Р-матрицей. Поэтому из соотношения (7) следует, что det С* > 0. В силу произвольности выбора подматрицы С* матрицы А* это означает, что Л* является P-матрицей порядка п — 1. По предположению индукции единственным набором неотрицательных чисел у» > D

О — 2, . . ., п), который может удовлетворять последним 八——1 неравенствам в (6), является набор

勿=0 (» = 2, . . ., zz).(8)

Наконец, из первого соотношения (6) в силу (8) и положительности коэффициента 〃“ следует, что 勿=0. Таким образом, получаем х = у = 0, что и требовалось доказать.

(ii) -Так как диагональные элементы TV-матрицы дожны быть отрицательными, порядок TV-матрицы первой категории в силу ее определения не может быть меньше двух. Имея это в виду, рассмотрим систему неравенств (1), (2) для некоторой TV-матрицы Л первой категории. Поскольку матрица А йо предположению имеет положительный элемент, можно придти к соотношениям (3), (4), как и в пункте (i). Более того, к настоящему случаю применимы и все рассуждения пункта (i), относящиеся к выводу соотношения (7) из (5), так как и в данном случае аи #： У= 0 (а именно an V 0) и порядок 八 матрицы А, как уже отмечено, не ниже двух. Единственное отличие состоит в том, что, поскольку теперь Л является TV-матрицей, в соотношении (7) будет an V 0 и det С V 0. Тем не менее отсюда по-прежнему вытекает, что det С* > 0, и, следовательно, Л* представляет собой Р-матрицу ｛八 ——1)-го порядка. Поэтому, применяя утверждение (i) к последним м — 4 неравенствам в (6) при 勿》О (Z = 2, • . ., п), заключаем, что у» = 0 (X = 2，.・.,п), откуда также следует в силу первого соотношения (6) и условия 〃“ =# 0, что у】=0. Таким образом, снова % = у = 0. Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Предположим^ что А является Р-матрицей или N-матрицей первой категории. Тогда система линейных неравенств

Ах > 0,(9)

% > 0(10)

имеет хотя 6庆 одно решение.

Доказательство. Легко видеть, что транспозиция /' матрицы Л снова должна быть P-матрицей или TV-матрицей первой категории, как и матрица А, поскольку обе эти матрицы имеют одинаковые главные миноры. Поэтому, применяя теорему 20.1 к матрице 4', находим, что из /'р = 0, р 三 0 следует р = 0. Если ввести матрицу (Z, ——4) размера п X 2〃，где I ——единичная матрица n-го порядка, то сказанное выше означает, что система линейных неравенств

/ (Л 一 4)三 0

имеет только тривиальное решение рг = 0, —— р'А = 0, и следовательно, система

Pf (/, - Л)>0

не имеет решения. Последнее представляет собой не что иное, как условие Штимке (гл. I, теорема 3.7 (i)) существования положительного решения системы линейных уравнений

(/, -/)(力=0, (И)

т. е. условие существования положительных n-мерных векторов 〃，х, удовлетворяющих этой системе. Поэтому из (11) с учетом положительности векторов и, х вытекает, что

Ах = 〃 > 0,)% > 0.

Таким образом, х является искомым решением системы неравенств (9), (Ю).

Следствие 2. При тех же предположениях, что и 6 следствии 1, всегда найдется по лож ителъное число 3 > 0, такое, что при любом векторе х > Q с единичной нормой (|| х || = 1) максимальная компонента вектора Ах будет не меньше 6.

Доказательство. Будем, как и ранее, через [4小 обозначать Z-ю компоненту вектора Ах. Положим 6 (%)= = [max [Ax\t по всем 订.Функция 6 (①)непрерывна в Еп и, следовательно, достигает своего минимального значения 6 на компактном множестве, образованном всеми векторами ж>0 с II % II = 4. В силу теоремы 20.1 это минимальное значение 6 должно быть положительно; очевидно, 6 и является искомым положительным числом.

Геометрическое описание. С геометрической точки зрения теорема 20.1 означает, что каждая Р-матрмца А индуцирует такое линейное отображение, которое не переводит в отрицательный ортант ——К* ни одной точки положительного ортанта /??, кроме нуля. Однако это свойство само по себе еще никоим образом не выделяет именно Р-матрмцы, что видно хотя бы из того, что по теореме 20.1 (ii) этим свойством обладают также и TV-матрицы первой категории. Исчерпывающая геометрическая характеризация P-матриц с помощью понятия обращения знака дается приводимой ниже теоремой.

Определение 20.5. Пусть заданы матрица Л и вектор х, и пусть [Ax\t, как и прежде,— f-я компонента вектора Ах. Будем говорить, что матрица А обращает знак вектора х, если

Xi [Ax\i & 0 (t = 1, . . ., п). (12)

Теорема 20.2 (Гейл и Никайдо [1]). Матрица Л является Р-матрицей 6 том и только 6 том случае, когда А не обращает знак ни у одного вектора, 8〃 исключением нулевого.

30—8

Дока зательство. (i) Необходимость. Предположим, что для заданной P-матрицы Л и некоторого вектора х выполнены соотношения (12). Положим L = {/ | ^； < 0}, где х =(旳), и пусть D ——матрица из леммы 20.3, соответствующая данному множеству индексов L. Тогда, как легко видеть, матрица D^AD, которая по лемме 20.3 также является P-матрицей, обращает знак неотрицательного вектора Dx 三 0. Поэтому нам достаточно будет ограничиться рассмотрением случая, когда в (12)① N 0, и доказать, что при этом с необходимостью будет % = 0.

Итак, пусть в (12) % N °； положим К — {к \ xk > 0} и допустим, что К 耍 0. Пусть тогда Л — главная подматрица матрицы Л, полученная из Л вычеркиванием всех строк и столбцов с номерами i ^ К, н пусть х ——вектор, полученный из х вычеркиванием всех компонент с номерами f @ К. Тогда по лемме 20.4 Л является P-матрицей и, как легко видеть, обращает знак вектора ①. Более того, вектор Ах не имеет ни одной положительной компоненты, так как xk [Ax]k & 0, g > 0 (及 W K)・ Таким образом, получаем Ах = 0, % > 0, что противоречит теореме 20.1 (i).

Достаточность. Пусть А =(〃订)(i, j W К) — произ

вольная главная подматрица матрицы здесь К ——непустое подмножество множества индексов N = {1, 2, . . ., м}. Нужно показать, что det Л > 0. Допустим противное: det / & 0. Тогда матрица Л должна иметь вещественное неположительное собственное значение А & 0 и соответствующий вещественный собственный вектор ж У= 0. Это следует из того факта, что det А равен произведению всех собственных значений матрицы А (с учетом их кратности), причем комплексные собственные значения, если они имеются, входят в это произведение в паре с комплексно сопряженными им собственными значениями. Занумеруем компоненты вектора х соответствующими индексами из К и определим п-мер- ный вектор х = (%0 условиями %» = %» (% £ К), /» = 0(% R К).

Тогда матрица А будет обращать знак вектора ① у= 0, так как 修{Ax\i = Xi [Ax\i =厶源 0 0 (力 W К),勺[/小=0 (X 图 К). Но это противоречит исходному предположению о необращении знака. Следовательно, det N > 0. Ввиду произвольности выбора главной подматрицы А это означает, что А является Р-матрмцей. Теорема полностью доказана.

§ 20.3. Теоремы о глобальной взаимной однозначности

Пусть

.f:X-^Rn(1)

—дифференцируемое отображение, гДе

(а) множество X представляет собой область в Еп;

вектор-функция /(/) = (/； (%)) (% С X, i =4,.・.,〃) имеет своими компонентами дифференцируемые функции /» (%) на X, полные дифференциалы которых имеют вид

п

d/z = 2 /订(力)dg (%=1, ..., ^)*(2)

Задавшись дополнительно некоторым постоянным вектором р = =(pt) W Rni рассмотрим уравнение

/ (%) = р(3)

относительно неизвестного вектора % из X, которое представляет собой векторную запись системы уравнений (1) из § 20.1. Единственность решения уравнения (3) при любом р равносильна глобальной взаимной однозначности на X отображения (1). Мы изучим условия, которые достаточно наложить на якобиеву матрицу

J (х)=(小®)(4)

отображения (1), чтобы гарантировать глобальную взаимную однозначность отображения (1). Особое внимание мы уделим теоремам о взаимной однозначности, которые получаются с помощью распространения теоремы 20.1 на нелинейные ситуации.

Теорема 20.3. Пусть X — прямоугольная область в Rn. Тогда при каждом фиксированном а £ X неравенства

〃£)= /(〃)，(5)

% 三q(6)

имеют е X лишь тривиальное решение х = а, если выполнено одно из следующих условий:

якобиева матрица J (①)отображения (7) всюду 6 X является Р-матрицей (Гейл и Никайдо [1]);

якобиева матрица / (%) отображения (7) всюду е X непрерывна и является N-матрицей первой категории (Инада [2]).

Доказательство, (i) Доказательство проведем индукцией по 八——общей размерности вектора-аргумента х и вектора- образа / (①)отображения (1). При 八=4 утверждение (i) очевидно. Предположив справедливость утверждения для размерности 八一1, перейдем к п.

Обозначим через М множество всех решений х системы неравенств (5), (6) в X. Поскольку в том случае, когда вектора х W X, такого, что %二〃, не существует, утверждение становится тривиальным, достаточно рассмотреть нетривиальный случай, когда указанный вектор х существует. Покажем сначала, что точка а должна быть изолированной точкой множества М. Действительно,

30*

дифференцируемость отображения / в точке а (см. определения 5.2 и 5.3 гл. I) означает, что

巴и喟三-⑷芬I"⑺

Так как J (а) по предположению является P-матрицей, то, согласно следствию 2 из теоремы 20.1, существует такое положительное число 6 > 0, что для любого вектора х из X, удовлетворяющего условию /二q，

некоторая компонентанекоторая компонентавектора J (а) -彦：『］》5>0・вектора J (а) -彦：『］》5>0・(8)(8)

некоторая компонента

некоторая компонента

вектора J (а) -彦：『］》5>0・

вектора J (а) -彦：『］》5>0・

(8)

(8)

Из условий (7) и (8) следует, что в окрестности точки а при ①丄 а, х ^Х хотя бы одна компонента вектора / (%) — / (а) должна быть положительна. Этим доказано, что а является изолированной точкой множества М.

Нашей целью является доказать, что множество М содержит одну только точку а. Для этого допустим, что М содержит другую точку Ъ ^ а. Очевидно, Ь>а, и множество X целиком содержит ограниченный замкнутый куб {х \ а ^ х ^ Ь}. Рассмотрим подмножество Q множества X, определяемое следующим образом:

Q = {х \а^х^Ь, /(%) = /(〃)}•

Напомним, что согласно замечанию, сделанному непосредственно вслед за определением 5.2 гл. I, дифференцируемость влечет за собой непрерывность; поэтому отображение (1) непрерывно. Следовательно, Q представляет, собой замкнутое подмножество компактного куба и по теореме 1.2 (ii) гл. I само является компактным множеством. Далее, множество Q \ {а} замкнуто в Q, так как а является изолированной точкой множества М. Следовательно, снова по теореме 1.2 (ii) гл. I, множество Q \ {〃} также компактно; кроме того, это множество заведомо не пусто, поскольку оно содержит точку Ь. Следовательно, сумма компонент вектора х должна достигать минимума на множестве Q \ {а} в некоторой точке %• Легко видеть, что вектор х минимален в Q \ {〃} в том смысле, что в Q \ {а} не существует элемента %, такого', что х<х.

Теперь, в силу очевидного соотношения х > а, вытекающего из того факта, что х ^ Q \ {а}, возможны только два случая: (i・l) %>а; (i.2)%A〃. Далее будет показано, что в каждом из этих случаев получается противоречие, откуда и последует требуемый вывод М = {〃}•

% > 〃・ Применяя следствие 1 из теоремы 20.1 к Р-матри- це J (%), находим, что должен существовать вектор и, удовлетво-

ряющий условиям

м V О, J (%) 〃 V 0・(9)

Ввиду того что % > 〃，〃 V 0, мы можем выбрать столь малое положительное число 8, что вектор-функция

х (t) = х -}- tu

скалярной переменной t будет удовлетворять условию

a <Z х (I) <Z х (0 V 力 V £)•(10)

Поскольку прямоугольная область X содержит и точку а, и точку %, из условия (10) следует, что

Х2%⑺(0V 力 V£)・(И)

При этом в силу дифференцируемости / имеем

/ (% «)) = / G) + 力J (①)〃+。(力I и II) (0 V 力 V е),

так что величина

/ (% «)) —/(К/ (% «)) —/(КJ (况)J (况)1MI1MI

/ (% «)) —/(К

/ (% «)) —/(К

J (况)

J (况)

1MI

1MI

может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малого 方 > 0. Этот результат в сочетании со вторым неравенством в (9) показывает, что при достаточно малых положительных t •

/ (况(力))V/«) = /(〃)• (12)

Это означает, что при указанных значениях t мы будем иметь % «) £ Q \ {〃}，打。в силу соотношения (10) противоречит минимальности вектора % в Q \ {〃}.

① А〃(но ^ > а). В этом случае по крайней мере одна компонента вектора х =(勺)совпадает с соответствующей компонентой вектора а = (〃)• Не ограничивая общности, можно считать, что © = 〃】；к зтому、вбегда можно придти, надлежащим образом перенумеровав соотношения и переменные, что не повлияет на свойство якобиевой матрицы быть Р-матрицей. Имея это в виду, введем новое дифференцируемое отображение /:期т：

(а) X {(力2, %з, • • •, *^п) I (。1,①2, %з, • • •, ^п) С X}; это прямоугольная область в jRn"x;

(p) / (д，/3，• • .，今)=(力(/2, /3，• • ., %九)),где

力(%2, %3, • • •? %九)~ fi (^1? %2，%3，• •%九)(%=丄，• • •? 〃)•

Якобиева матрица этого нового отображения является главной подматрицей (п ——1)-го порядка матрицы J (%), вычисленной

в точке % с 况！ = а^ согласно лемме 20.4, она также является P-матрицей. Кроме того, очевидно,

力(①2, ①3，• 。 •，①?г) W 力(a2, @3, 。 • •，a九)(%=2,...,砌，

g》"a2 (Z =33 2, ...，八)•

Поэтому по предположению индукции %» = 〃力 (X = 2, . . ., п). Полученный результат противоречит условию х ^ а.

(ii) Доказательство утверждения (ii) почти совпадает с доказательством утверждения (i), но требуются некоторые дополнительные рассуждения, необходимость в которых вызвана наличием двух категорий N-матриц и тем фактом, что хотя каждая главная подматрица N-матрици также является TV-матрицей, она не обязательно принадлежит той же категории.

Вспомним, что теорема 20.1 и оба ее следствия в равной степени относятся как к P-матрицам, так и к TV-матрицам первой категории. Поэтому рассуждения части (i) полностью применимы и к настоящему случаю (ii), но со следующими двумя оговорками: (а) индукцию надо начинать с 八=2, так как TV-матрицы первой категории не могут иметь порядок ниже двух; (Ь) следует показать, что якобиева матрица нового отображения /: X Rn-1 является не просто TV-матрицей, но jV-матрицей первой категории. Таким образом, доказательство утверждения (ii) будет полностью завершено, как только мы выясним эти два пункта.

Исследование случая 八=2. В этом случае мы имеем для рассматриваемой якобиевой TV-матрицы первой категории порядка 2 следующие неравенства

% (%, %2)& 厶(％,砌 G = 1, 2),(13)

/〉@z (z = 1，2)(i4)

в некоторой прямоугольной области пространства R2. В соответствии с определением N-матрмцы

/11 V °, /22 Vo，/11/22 — /12/21 —2 V0・

/21 /22

Следовательно, /12/21 > /11/22 > 0, так что /12 и /21 должны быть одного знака. Примем теперь во внимание, что наша якобиева TV-матрица относится к первой категории и, значит, имеет хотя бы один положительный элемент. Но диагональные элементы этой матрицы отрицательны; следовательно,

/12 > 0, /21 > 0・(丄5)

Поэтому, изменив лишь порядок неравенств (13), мы сведем случай (ii) для 冷=2 к случаю (i) (с P-матрицей в качестве якобиевой матрицы).

Прежде всего отметим, что в силу непрерывной дифференцируемости, которая предполагается в случае (iii, элементы TV-матрицы J (力)=(力j (①))как непрерывные функции во всей рассматриваемой области должны иметь один определенный знак (нигде не обращаясь в нуль). Действительно, диагональные элементы должны быть отрицательными по самому определению TV-матрицы. Рассмотрим внедиагональные элементы. Поскольку J (①) является TV-матрицей, для всех %, j (^^j) имеют место неравенства

力iVO,力j・vo,力"力一/订力i= 7 . <°-

Поэтому 力力露 > fafjj > 0, откуда следует, что элементы /订 и /幫 отличны от нуля и имеют один и тот же знак. А так как эти элементы по предположению являются непрерывными функциями от % в заданной области X, представляющей собой связное множество, то в силу теоремы 1.8 гл. I 力j и /麓 доля^ны иметь один и тот же определенный знак для каждой пары индексов (Z, /),力 у= у, во всей области X.

Покажем теперь, что повое отображение/: X f 足-匕 построенное в пункте (i.2), в рассматриваемом случае (ii) будет иметь в качестве якобиевой матрицы TV-матрицу первой категории. Яко- биева матрица «/(%2, %з, • •・,％九)отображения /, очевидно, представляет собой главную подматрицу J\ (〃㈠比2, • • •，％九)исходной якобиевой матрицы J (%) при ^ = а1? полученную из J (①) подстановкой х{ = а{ is. вычеркиванием первой строки и первого столбца. В связи с этим достаточно, будет показать, что Ji (比1,况2,...,①九)представляет собой N-матрмцу первой категории в X. Тот факт, что 7\ (%「х2, . . ., %九)является N-матрн- цей, следует из леммы 20.4. Допустим, что

/1 j (① 1, %2, • •・，①тг) ^*。 (j = 2, . . ., п}»(46)

Тогда в силу предварительного замечания в начале настоящего пункта (Ь)

Л；(①)> 0 при всех n W X (/ = 2,.・.，м).(17)

Но так как д^ = 〃】м %»》〃》(Z = 2, . . ., п), причем хотя бы для одного i》2 имеет место строгое неравенство (в силу допущения х>а), то соотношения (17) дают /\ (①)>/1 (а), вопреки соотношению (5). Следовательно, одновременное выполнение всех неравенств (16) невозможно, так что хотя бы для одного / > 2, скажем равного 乃,величина, стоящая в (16) слева, должна быть неположительной:

fik (/1，/2， • ♦*^п) а。■

Допустим теперь, что TV-матрица J\ (力㈠①2, • • •，％九)относится ко второй категории л, значит, имеет только неположительные элементы. Тогда для исходной TV-матрицы первой категории J (z) мы могли бы указать такой вектор v =(内)， а именно вектор с компонентами 〃互=4, и» = 0 (i у= Л), который являлся бы нетривиальным решением системы неравенств J (х) и ^ 0, и 三 0. Но это противоречит теореме 20.1 (ii). Поэтому_ TV-матрица •Л (比1, %2, . • •,①九)должна иметь хотя бы один положительный элемент; в силу того же предварительного замечания о знакоопределенности этот элемент должен оставаться положительным во всей области X. Следовательно, TV-матрица J] (^, ж2, • • ., хп) представляет собой TV-матрицу первой категории во всей области X. Этим завершены необходимые дополнительные рассуждения. Теорема полностью доказана.

Идея сведения случая (ii) в теореме 20.3 к случаю (i), равно как и необходимые вспомогательные замечания, по существу принадлежит Инаде [2].

Теорема 20.3 позволяет получить ряд важных утверждений о взаимной однозначности.

Теорема 20.4. Отображение (1), где X — заданная прямоугольная область, взаимно однозначно на всей области X, если выполнено одно из следующих двух условий:

якобиева матрица J (%) отображения (1) всюду е X является P-матрицей (Гейл и Никайдо [1]);

якобиева матрица J (①)отображения (1) всюду 6 X непрерывна и является N-матрицей (Инада [2]).

Доказательство. Нужно доказать, что из условия /(〃)=/ (Ь), & b £ X,(18)

следует, что а = b. С этой целью введем множество индексов L = {/ I й； > bj} и построим матрицу D, соответствующую этому 厶 как в лемме 20.3. Далее, определим новое отображение g: У f f Rn следующим образом:

У = D^X] это —— снова прямоугольная область в Rn\ (Р°) вектор-функция g (д) на У задается равенством g (у)= =力т/ (%)； ее якобиева матрица равна

Jg@) = DTjg)D・(19)

Вассмотрим точки а* = О^а, b* = D~xb из множества У. Очевидно,

(20)(21)(20)(21)(#) = g (Ь*),a* 三 Ь*.

(20)

(21)

(20)

(21)

Покажем, что из соотношений (20) и (21) следует, что а* = Ь* и, значит, а = Ь. Мы установим это по отдельности для случаев (i> и (ii).

В силу соотношения (19) и леммы 20.3 якобиева матрица Jg (у) является P-матрицей всюду в У. Поэтому, применяя теорему 20.3 (i) к системе соотношений (20), (21) (частному случаю системы неравенств g (а*) 三 g (6*), a* g &*), заключаем, нто а* = Ь*.

В силу соотношения (19) и леммы 20.3 якобиева матрица Jg (у) является TV-матрицей всюду в У. Равенство (19) с учетом непрерывности исходной якобиевой матрицы J (①)показывает, что матрица Jg (у) также непрерывна в У. Следовательно, в соответствии с соображениями, высказанными во вводной части пункта (Ь) в доказательстве теоремы 20.3 (ii), TV-матрица Jg (у) всюду в Y принадлежит одной и той же категории. Дальнейшее рассуждение мы проведем раздельно для двух подслучаев (ii.l) и (ii.2), в зависимости от категории N-матрицы Jg 仅).

Случай первой категории. В этом случае искомый результат а* = Ь* получается, как и в пункте (i), непосредственным применением теоремы 20.3 (ii) к системе соотношений g (а*>三 N g (Ь*), а* 三 Ь*. '

Случай второй категории. В этом случае все элементы матрицы Jg 仅)должны быть отрицательными всюду в У — снова в силу замечания из пункта (Ь) в доказательстве теоремы 20.3 (ii). Но тогда допущение 仅來鼻 Ь* в соотношении (21) приводит к противоречащему (20) результату g(a*)>g (Ь*). Следовательно,, и в этом случае а* = В來.Теорема полностью доказана.

Следствие. Пусть X ——прямоугольная область, и пустъ^ выполнено одно из следующих двух условий:

Якобиева матрица J (①)отображения (1) всюду в X является N-Р-матрицей,

Якобиева матрица / (力)отображения (1) всюду 6 X непрерывна и является Р-N-матрицей.

Тогда отображение (1) взаимно однозначно на всей области X.

Доказательство. Приведенные утверждения немедленно следуют из леммы 20.1 и теоремы 20.4.

Утверждение теоремы 20.3 (i), относящееся к случаю якобиевой Р-матрицы, можно представить в более общей форме — в форме нелинейного аналога той части теоремы 20.2, которая касается необходимости.

Теорема 20.5. Пусть область определения X отображения (1) прямоугольна, и пусть якобиева матрица J (%) этого отображения всюду е X является P-матрицей. Тогда система-

неравенств

(勺亠牝)(力(①)一力(@))& 0 (% = 1, • . 八) (22) имеет e X только тривиальное решение % = а.

Доказательство. Рассмотрим произвольное решение х системы неравенств (22), положим для него L = {/ | Xj < а；} и определим соответствующее вспомогательное отображение g: Y Rn точно так же, как это было сделано в доказательстве теоремы 20.4. Тогда якобиева матрица Jg (у) этого отображения снова будет Р-матрмцей всюду в У. После перехода от исходного отображения / к новому отображению g неравенства (22) преобразуются к виду

(戏一喲(gi {x^-gi («*)) & 0 @= 1, . . ., n),(23)

причем•

%* 三 〃*,(24)

где /* =07% =(冰)，a* = D-a =(唠).

Положим теперь К = {/ I 力扌 > a扌}• Доказательство будет завершено, если мы покажем, что К = 0. Допустим, что Ку= 0. Опираясь на лемму 20.2, мы можем считать, что К = {1, 2, . . ., /с}, так как всегда можно произвести соответствующую перенумерацию, не затронув свойства якобиевой матрицы Jg (у) быть ^-матрицей, а также неравенств (23) и (24). Рассмотрим теперь еще одно вспомогательное отображение h: Z -^ Е丸,определяемое следующим образом:

位)Z = {z I z =⑵)， ⑵，• •・，zk,碗+i,.・.，嚇У С У}； это снова прямоугольная область в Rh;

(Р) вектор-функция h (z)=(自(z)) имеет своими компонентами функции

hi (z) = gi (勺，• • .，z^, 4+1, . . ., a*) (% = 1, • •")• (25)

Якобиева матрица отображения h ——матрица Jh (z)——является главной подматрицей матрицы

Jg(Z], • • •, z&,碗+],..'党)，(26)

образованной первыми к строками и первыми к столбцами последней.

Из соотношений (23), (24) и из определения множества индексов К следует, что

/(%：,•••,碇)《自(а：, 碗)(Z = l,…，“)，(27)

唠>成 g = 1,...，石).(28)

С другой стороны, по лемме 20.4 Jk (z) всюду в Z является Р- матрицей. Полученные результаты в совокупности противоречат

теореме 20.3 (i). Этим доказано, что К = 0 м, значит, /* = а*, откуда и следует требуемое равенство х ~ а. Теорема доказана.

Следствие. Пусть область определения X отображения (1) прямоугольна, и пусть якобиева матрица J (①)этого отображения всюду е X является N-P-матрицей. Тогда система неравенств

(伤一W (力(力)一力⑷)》0 Q= 1, • •八)

имеет 6 X только тривиальное региение з = а.

Доказательство. Данное утверждение непрсред- ственно следует из леммы 20.1 и теоремы 20.5.

Оставшуюся часть этого параграфа мы посвятим исследованию специальных ситуаций, когда якобиевы матрицы являются частными случаями Р-матриц. ,

Теорема 20.6 (Гейл и Никайдо [1]). Пусть у яко биевой матрицы J (①)="订(%)) отображения (1) всюду 6 области X внедиагональные элементы неположителъны:

加⑺ &0 (%、#/•)• (29)

Тогда имеют место следующие утверждения'.

Если область X прямоугольна и J (况)всюду s X является Р-матрицей^то отображение (1) взаимно однозначно на X и обратное отображение /-1 является монотонно возрастающим, т. е, из

/(〃)= / (Ь), где а =(仰)，Ъ =(仇)С X, (30) следует 〃 М Ь.

Предположим, что отображение (1) взаимно однозначно на произвольной открытой области X, не обязательно прямоугольной. Тогда, если обратное отображение /-1 дифференцируемо “ является монотонно возрастающим, то якобиева матрица отображения (1) всюду в X представляет собой Р-матрицу.

Доказательство, (i) Взаимная однозначность для этого случая уже доказана в теореме 20.4 (i). Остается доказать монотонность обратного отображения. Заметив, что при м = 1 ата монотонность очевидна, будем далее рассуждать по индукции. Предположим, что монотонность имеет место при п — 1, и установим ее для 八.

Прежде всего отметим, что условие (30) в силу теоремы 20.3 (i) исключает возможность 〃 > Ь, так что для некоторого к должно быть 〃在 & bk. Учитывая лемму 20.2 и инвариантность условий (29) по отношению к одновременной и одинаковой перенумерации переменных %» и функций 力,мы можем без ограничения общности считать, что к = i. Как уже отмечалось (см. гл. I, § 5.3), из дифференцируемости вытекает существование частных производных всюду, где частное дифференцирование имеет смысл. Но в прямо-

угольной области частное дифференцирование можно, очевидно7 производить всюду (если рассматриваемая точка ——граничная, то во всяком случае имеют смысл односторонние частные производные). Таким образом,

/г (匕1，q2， • • •? а?!)^^ /г (q1，q2， • • •? 〃九)^^

&力(&,匕2, bn) « = 2,・• •，и); (31)

здесь первое неравенство следует из того, что /〃 & О (Z > 1} и % & 仇，а второе — из (30).

Определим теперь вспомогательное отображение /: X f Еп~г следующим образом:

(a) X ^ {(①2，①3，• • 。，/几)1(b1，/2，%3，• • •，%九)W X};

это — прямоугольная область в Т?1-】；

(р) вектор-функция / (/2，/3， • • •， %九)=乂厶(%2, /3， ..•，7九)) имеет своими компонентами функции 力位2,①з, . . ., %九)= =力(匕1，％2, %з, • • •，“九)(％ = 2’ •，.，？?>•

С помощью отображения / неравенства (31) можно записать так:

/ (@2，• •.，@九)=/ (b2, • • •,6九)。(32)

В силу леммы 20.4 и условий (29) якобиева матрица отображения / снова всюду в X является P-матрицей с неположительными внедиагональными элементами. Следовательно, по предположению индукции из (32) следует, что 的 & 仇 (％ = 2,...,八).Этот результат вместе с al ^ bi дает а =仇 что и требовалось доказать.

Заметим сначала, что образ / (X) множества X при отображении / является, как и X, открытой областью в Rn, поскольку / (X) можно рассматривать как прообраз открытой области X при непрерывном отображении /-1. Пусть а ——произвольная точка множества X; положим а* =/(〃)• Возьмем произвольный положительный вектор и* > 0 в Rn. Поскольку 〃* является внутренней точкой области / (X), найдется положительное число 8, такое, что

公(方)=仅*+也來"(X) (I方I V £)•- (33)

Рассмотрим векторную функцию х (力)=/-1 (%*«)) скалярного аргумента t на интервале (—е, 8). Поскольку отображение 尸 предполагается дифференцируемым и монотонно возрастающим, вектор-функция х (力)также дифференцируема, причем

备 ％ «) = 〃《)三 0 (р|<е).

Поэтому, дифференцируя тождество %* «) = / (х (%)) в точке 力=0, получаем

/ (а) и (0) = и* > 0, и (0)•三 0.(34)

Так как матрица J (а) имеет неположительные внедиагональные элементы, то из системы соотношений (34) в силу теоремы 6.1 гл. II следует, что матрица J (〃) должна удовлетворять условию Хокинса ——Саймона; это и означает, что J (仅)является P-матрицей. Ввиду произвольности точки 〃 доказательство завершено.

Еще одна частная ситуация, достойная упоминания, возникает в случае «квазиопределенной» якобиевой матрицы. В этом случае становится возможным установить глобальную взаимную однозначность даже для произвольной выпуклой области, причем доказательство оказывается намного более простым.

Определение 20.6. Матрицу А называют положительно (отрицательно) квазиопределенной, если соответствующая квадратичная форма (Аи, 〃〉является положительно (отрицательно) определенной. .

Легко видеть, что каждая главная подматрица С положительно (отрицательно) квазиопределенной матрицы А также является положительно (отрицательно) квазиопределенной. Матрица А положительно квазиопределена в том и только в том случае, когда все главные миноры симметризованной матрицы у (Л + /') положительны. Далее, пусть X — какое-либо собственное значение матрицы Л, а р^ “ 卩м — соответственно минимальное и максимальное среди собственных значений симметрической матрицы ~2(А -г А') (которые все вещественны). Тогда, как известно, имеет место неравенство

. 卩m 《 Re (九)а卩m.

Если матрица Л является положительно квазиопределенной и, следовательно, цт > 0, то из приведенного неравенства вытекает, что вещественные части всех собственных значений А матрицы Л должны быть положительными, а отсюда в свою очередь следует, что det Л > 0. Так как это рассуждение в равной степени относится к каждой главной подматрице С матрицы А, то мы тем самым показали, что всякая положительно квазиопределен- ная матрица является Р-матрмцей. Поэтому, если якобиева матрица отображения, заданного в прямоугольной области, положительно квазиопределена всюду в этой области, то такое отображение в силу теоремы 20.4 (i) глобально взаимно однозначно. Однако случай квазиопределенности заслуживает дополнительного рассмотрения. .

Теорема 20.7 (Гейл и Никайдо [1]). Если область определения X отображения (1) выпукла и если якобиева матрица J (%)= =(力> (%)) этого отображения является положительно (отрица-

телъно) квазиопределеннои всюду з X, то отображение (1) взаимна однозначно н〃 всей области X.

Доказательство. По очевидным причинам достаточна ограничиться рассмотрением случая положительной квазиопределенности. Пусть а, b《 X и @ * Ь; положим %«) = 〃 + th, где h =(力。= Ь/——а =# 0. В силу выпуклости области X мы имеем х (t) ^ X (0 &力 & 4). Рассмотрим функцию

п

Ф (Е) = 3 (力(2 ⑴)-力⑷)自(0 W / W 4) • i=l

Дифференцируя, получаем

n

①‘")= S加3(小无肉.

Вычисленная производная положительна (при всех 力)в силу положительной квазиопределенности якобиевой матрицы J (力(力)). Так как Ф (0) = 0, мы должны иметь Ф (1) у= 0 и, следовательно, /г (6)——/j (仅)声 0 хотя бы для одного Z, чем и доказана взаимная однозначность рассматриваемого отображения. Теорема доказана.

Укажем одно приложение теоремы 20.7 к теории аналитических функций, которое, хотя и не имеет отношения к математической экономике, но интересно само по себе.

Следствие (Носиро [1]). Пусть / (z) — аналитическая (комплексная) функция комплексного переменного z в выпуклой области X комплексной плоскости. Тогда^ если производная /' (z) при всех z С X лежит е некоторой полуплоскости, внутренность которой не содержит нуля, то функция / (z) однолистна е X.

Доказательство. Покажем сначала, что достаточно рассмотреть случай, когда вещественная часть производной положительна в X. В самом деле, пусть f (z) = и (%, у) + iv (瑞 у), где ^ = х + iy, 〃(爲 у) = Re (/ (z)), v (①，у) = Im (/ (z)). Тогда /' (z) = ди/дх -j- i dv/dx и, по предположению, найдутся два вещественных числа а,卩(хотя бы одно из которых отлично от нуля), такие, что .

毋噜>。в X.

Как легко видеть, функция h (z) = (а — ф) / (z) аналитична и ее производная имеет в X положительную вещественную часть. Ясно также, что функция / (z) однолистна тогда и только тогда, когда однолистна функция h (z)・

Итак, предположим, что

电⑴⑶)/>ов X(35)

и рассмотрим якобиеву матрицу J (/, у) отображения (①，УУ f 3 (①，У), и (瑞 У))'： X f к.

Матрица J (%, у) положительно квазиопределена в X, так как в силу уравнений Коши — Римана

ди _ ди ди _ди

дх — ду， ду ―дх

получаем

J (力，u) +J 3, У)' / 石 ° j7OftV

а в силу предположения (35) диагональные элементы матрицы (36) положительны в X. Поэтому требуемая однолистность вытекает из теоремы 20.7.

Замечание. Требование выпуклости области X в теореме 20.7 существенно. Покажем на примере, что в случае невыпуклой области теорема 20.7 теряет силу. Принимая во внимание соотношение (36), достаточно показать, что существует такая неоднолистная в некоторой невыпуклой области Q аналитическая функция / (z), производная которой имеет вещественную часть, положительную во всей этой области. Примером такой функции может служить функция Жуковского

/(z) = z + ； (Z #= 0)

при подходящем выборе области. Возьмем в качестве области Q общую внешнюю часть двух кругов радиуса у с центрами на вепри подходящем выборе области. Возьмем в качестве области Q общую внешнюю часть двух кругов радиуса у с центрами на вещественной оси в точках у ищественной оси в точках у и1212соответственно.соответственно.ВещественВещественная часть производной f (z) = 1 — (1/z2), которую можно предная часть производной f (z) = 1 — (1/z2), которую можно представить в видеставить в виде

при подходящем выборе области. Возьмем в качестве области Q общую внешнюю часть двух кругов радиуса у с центрами на ве

при подходящем выборе области. Возьмем в качестве области Q общую внешнюю часть двух кругов радиуса у с центрами на ве

щественной оси в точках у и

щественной оси в точках у и

1

2

1

2

соответственно.

соответственно.

Веществен

Веществен

ная часть производной f (z) = 1 — (1/z2), которую можно пред

ная часть производной f (z) = 1 — (1/z2), которую можно пред

ставить в виде

ставить в виде

Re (/' (z)) =Re (/' (z)) =(| —才~4) (|z+》|p+(Im(z))2

Re (/' (z)) =

Re (/' (z)) =

очевидно, положительна в Q. Однако /(%)=/ (——％) = 0, хотя Z,——％ С ◎• Более того, легко построить односвязную подобласть X области Q, содержащую точки i, — Z.

Более слабые условия

Условия глобальной взаимной однозначности в терминах якобиевой матрицы, даваемые теоремами 20.4 (i) и (20.7), можно несколько ослабить. Этот раздел посвящен доказательству глобальной

взаимной однозначности при ослабленных предположениях различного рода; приводимое доказательство опирается на теорему существования Кронекера (гл. I, теорема 5.5). Мы будем рассматривать здесь только открытые области, чтобы избежать усложнений, которые могут быть вызваны граничными эффектами.

Определение 20.7. Будем называть матрицу Л слабой P-матрицей, если det Л > 0 и все собственные главные подматрицы матрицы Л имеют неотрицательные определители. Аналогично определяется слабая N-P-матрица.

Определение 20.8. Будем называть матрицу Л слабо положительно квазиопределенной, если det Л > 0 и квадратичная форма {Ах, %〉является положительно полуопределенной. Аналогично определяется слабо отрицательно квазиопределенная матрица.

Теорема 20.8 (Гейл и Никайдо [1]). Пусть задано отображение вида (1) из § 20.3, и пусть выполнено хотя 6庆 одно из следующих двух условий:

Множество X представляет собой открытую прямоугольную область ь Лп, и якобиева матрица J (%) всюду в X。является, слабой Р-матрицей. 一

Множество X представляет собой открытую выпуклую область е Rn, и якобиева матрица J (①)всюду e X является слабо положительно квазиопределенной.

Тогда данное отображение взаимно однозначно на всей области X.

Доказательство. Метод доказательства в обоих случаях (i) и (ii) одинаков. Покажем сначала, что если а — произвольная фиксированная точка области X, то в X не существует точки %，такой, что

/ (%) — / (〃)= —А (% — 〃)，х ^ а (для некоторого % > 0). (1) Допустим, что соотношение (1) выполняется для некоторой точки Ь из X. Тогда после перегруппировки членов получаем

Ха + / (а) = lb + f (&). (2)

Используя число 入 > 0, фигурирующее в (2), определим новое отображение f: X Rn соотношением

7 (力=版+了(办 (3)

Очевидно, это отображение дйфференцируемо, и его якобиева матрица равна

А (%) = U + / (х), (4)

где I ——единичная матрица n-го порядка

Якобиева матрица J工(с) обладает следующим свойством:

(1°) J九(①)всюду в X является P-матрицей — в случае (i);

(2°) J\ (ж) всюду в X является положительно квазиопределен- ной матрицей — в случае (ii).

Докажем сначала утверждение (1°). Пусть исходная якобиева матрица J (%) является слабой P-матрицей; возьмем произвольную главную подматрицу 夂入 новой якобиевой матрицы /^ (%* имеющую порядок к. Очевидно,区入=厶/丸 + К, где Ik ——единичная матрица порядка к, & К — главная подматрица матрицы J (%), соответствующая подматрице КК матрицы J九(％). Поэтому

det Кк = det (А厶 + К) = ^ + ^ 仇)，(5)

где (р (А)——полином степени не выше "——1, коэффициентами которого служат суммы соответствующих главных миноров матрицы К. Так как все эти главные миноры по предположению неотрицательны, то из соотношения (5) вытекает, что det К% > О, чем ввиду произвольности выбора подматрицы К、и доказано утверждение (1°). Далее, так как из условия Я > 0 и соотношения (4) следует, что (/^ (х) и,》〉=九也，》〉+ (/ (ж) и, 〃〉> О при м #： 0 в случае (ii), то утверждение (2°) также справедливо.

В каждом из вариантов (1°), (2°) (в силу теорем 20.4 (i), 20.7 соответственно) новое отображение / взаимно однозначно во всей области X. Но тогда из равенства (2) или, что то же самое, из / (а) = / (Ь) должно следовать, что а ~ Ь, вопреки исходному предположению о выборе точки Ь. Таким образом, в X не существует такой точки х, которая удовлетворяла бы условию (1).

Дальнейшие рассуждения опираются на понятия и теоремы § 5 гл. I. Выберем и зафиксируем произвольную точку 〃 W X и положим

X. = {% |/ (%)*/(〃)}•(6)

Так как в силу условий теоремы det J (%) отличен от нуля, то множество Ха заведомо не пусто. Далее, отображение (1) из § 20.3, рассматриваемое на Х«, гомотопно отображению

ga： Xa^R-\{f (а)},(7)

где'

^ (х) = f (а) + х — а.(8)

Эта гомотопность следует из существования гомотопического моста я (%,力)=(1 — 9 / (%) + tga (^) (% w Ха, 0 & 力& 4)・(9) Действительно, заметим прежде всего, что / (X。) } / (а) по самому определению (6); в то же время g。(X。)？ / (а) ввиду того, что из % W Ха следует ①# 〃. Таким образом, отображения f и ga действительно переводят Ха в Rn\{f (а)}. Теперь, для того чтобы установить гомотопность этих отображений, достаточно

убедиться, что функция (9) отлична от / (а) при всех х £ Ха и при всех 力 таких, что 0 < Z < 1. Допустим противное:

Н (%, Z) = / (а) при некоторых х С Ха,力(О V 力 V £)• (10) Сопоставляя (9) и (10) и производя несложные преобразования, находим, что

/(%) — /(〃) = —•=•(% — 〃)，％=#〃，у^Т>0,

что противоречит результату, полученному на предыдущем этапе доказательства. Этим противоречием и доказано существование указанной гомотопии.'

Теперь мы подготовлены к доказательству взаимной однозначности. Допустим, что для некоторых двух различных точек а, & области X выполнено равенство

/ (〃)= / (Ь),(И>

и покажем, что сделанное допущение приводит к противоречию. Условимся писать 屮〜р, если отображение 屮 гомотопно отображению *ф. В соответствии с полученным выше результатом мы имеем два отношения гомотопии:

/〜g。： Xa^Rn\{f(a)},

/〜恥 Xbfk\{//)}•

Так как в силу условия (11) Ха = Хъ, то эти соотношения можно записать в виде

M^Rn\{c},(12)

/〜厂：M^Rn\{c},(13)

где M = Xa = Xbi c = /(a)=/(b)・ Ввиду транзитивности гомотопии, из (12) и (13) вытекает соотношение

f 〜gb： M^Rn\{c}.(14)

Поскольку по предположению область X открыта, det J (а) =# О и а #： Ь, то в силу теоремы 5.6 (i) гл. I можно указать 〃-шар Сп (〃, 6), целиком лежащий в X, такой, что

b 0 Сп (а, 6),(15)

/(%)¥=/(〃)3 W СП (а, 3), X =# а).(16>

Заметим, что из (16) следует, что граничная сфера Sn (а, 6) шара Сп (а, 6) удовлетворяет условию

Sn (〃，6) и М.(17}

Из (14) и (17) вытекает, что

ga 〜gMSn(Q, S)^R-\{C}.(18>

Рассмотрим отображение 屮纟％： 5九(仅,6) —> Sn (a, 6), построенное для отображения ga в соответствии с правилом, изложенным в § 5.2, и с замечанием, предшествующим лемме 5.3 гл. I. Очевидно, (pg% представляет собой тождественное отображение и, следовательно, в силу теорем 4.3 и 5.2 гл. I не гомотопно постоянному отображению. Поэтому, применяя теорему существования Кронекера (теорема 5.5 гл. I) к отображениям 『， рассматриваемым в качестве отображений /, g из формулировки теоремы, мы заключаем, что

с € gb © (〃，б)). (19)

Но так как с = gb (%) только при х = Ь, то из соотношения (19) следует, что b g Сп (а, 6) — вопреки условию (15). Полученное противоречие доказывает, что если /(〃)=/ (В) при a, b X, то a = Ь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть отображение (1) 〃з § 20.3 удовлетворяет хотя бы одному из следующих двух условий:

Множество X представляет собой открытую прямоугольную область е R% и якобиева матрица J (①)всюду 6 X является слабой N-P-матрицей.

Множество X представляет собой открытую выпуклую область в Rn, и якобиева матрица J (/) всюду e X является слабо отрицательно квазиопределенной.

Тогда это отображение взаимно однозначно на всей области X.

Доказательство. Требуемое утверждение получается непосредственным применением теоремы 20.8 к отображению -/: X f *•

Некоторые результаты для п = 2

В замечании 2 из § 20.1 было установлено утверждение о взаимной однозначности в одном частном двумерном случае. При выводе этого утверждения использовались не только сведения о якобие- вой матрице рассматриваемого отображения, но и некоторые специфические свойства функций издержек, а именно их однородность и положительность. Это утверждение само по себе, несомненно, имеет важное значение для выяснения вопроса о выравнивании цен на факторы производства. В то же время сам факт глобальной взаимной однозначности в двумерном случае, как оказывается, можно . установить без использования специфических свойств функций издержек.

В настоящем разделе приводятся некоторые результаты для двумерного случая, которые, несмотря на их фрагментарность, могут оказаться полезными. Всюду далее в этом разделе рассмат「

31*

ривается дифференцируемое отображение

/： X -> к(1)

где

(а) множество X представляет собой прямоугольную область В 7?2；

(₽) вектор-функцию / (д, ж2)= 仇(g, g* /2 (①i, g))‘ имеет своими компонентами функции 力(g, g) (i = 1, 2), определенные и дифференцируемые на X, полные дифференциалы которых имеют вид

dfi = /и (勺，g) dx^ + 厶2(3, %2)dg G = 1, 2).

Мы рассмотрим два типа условий глобальной взаимной однозначности отображения (1) в терминах якобиевой матрицы: (7) условие знакопостоянства главных миноров и (2) условие знако- постоянства элементов некоторой строки.

Знакопостоянство главных миноров. Как показывает следующая теорема, достаточное условие глобальной взаимной однозначности, заключающееся в том, что якобиева матрица рассматриваемого отображения является Р-матрмцей (теорема 20.4), в двумерном случае можно ослабить; а именно, достаточно требовать знакопостоянства главных миноров якобиевой матрицы (т. е. знакопостоянства якобиана и двух диагональных элементов).

Теорема 20.9 (Гейл и Никайдо [1]). Предположим, что якобиева матрица

JQ1, %2)= / /、一 J2)

%2)/22(^1, ^2)/

отображения (1) непрерывна в прямоугольной области X, и пусть выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:

все главные миноры якобиевой матрицы J (①㈠ g) отличны от нуля всюду в X;

область X открыта, det J (g, g) 千 0, 〃 диагональные элементы матрицы J (ж1?①2) не меняют знака в X.

Тогда отображение (1) взаимно однозначно на всей области X.

Доказательство, (i) Ввиду непрерывности якобиевой матрицы J (д, ж2) на связном множестве X из теоремы 1.8 гл. I следует, что каждый главный минор этой матрицы должен быть либо положителен всюду в X, либо отрицателен всюду в X, Без ограничения общности можно предполагать, что оба диагональных элемента /^ (х1}①2) G — 1, 2) якобиевой матрицы всюду в X положительны (так как иначе можно соответствующую функцию ft (/「％2)умножить на ——1). Заметим, далее, что и якобиан det/(%], %2)также либо всюду в X положителен, либо всюду

в X отрицателен — по той же причине. Если det J (勺, g) положителен всюду в X, то рассматриваемый случай (i) оказывается частным случаем ситуации, предусмотренной теоремой 20.4 (i). Если же det J (勺，g) отрицателен всюду в X, то в этом случае в силу неравенств /п/22 > 0, /11/22 — /12/21 = det J (g, g) V 0 получаем

/12/21 > 0 всюду в X (3)

(ср. предварительное замечание в пункте (Ь) доказательства теоремы 20.3 (ii)). Из неравенства (3) следует, снова ввиду непрерывности наших функций и связности множества X, что либо

/12 > о, /21 > 0 всюду в X, (4) либо

/12 < о, /21 < о всюду в X. (5)

В случае (4) вспомогательное отображение /: X f #, Где / (%i,力2)= (/2 (勺,况2), /1 (勺,力2))‘，очевидно, имеет своей якобие- вой матрицей P-матрицу л, следовательно, по теореме 20.4 (i) взаимно однозначно в X. Аналогично, в случае (5) вспомогательное отображение /: X R, где / (勺，g) = (— /2 (%i，х2), ——/i (%i, %2))\ имеет своей якобиевой матрицей P-матрицу и также взаимно однозначно в Х・ Ясно/ что в обоих этих случаях взаимная однозначность каждого из вспомогательных отображений / и / равносильна взаимной однозначности исходного отображения /.

Поступая так же, как и в пункте (i), мы приходим к трем возможным ситуациям: (а) якобиева матрица исходного отображения / является слабой P-матрицей; (Р) якобиева матрица вспомогательного отображения / является P-матрицей; (у) якобиева матрица вспомогательного отображения / является Р-матрицей. Так как прямоугольная область X предполагается открытой, то взаимная однозначность в каждой из указанных трех ситуаций гарантируется теоремой 20.8 (i) (снова нужно учесть, что взаимная однозначность вспомогательного отображения равносильна взаимной однозначности исходного). Теорема полностью доказана.

от нуля всюду в прямоугольной области X, и пусть выполнено Одно из следующих двух условий:

существуют два числа 冗㈠ л2 (хотя бы одно из которых отлично от нуля), такие, что функции

冗也j (勺，/2)+ Л2/2) (勺，/2) (/ = 1, 2)(6)

не меняют знака & X и хотя бы одна из функций (6) всюду 6 X отлична от нуля;

выполнено условие (i) с тем лишь отличием^ что обе функции (6) могут обращаться е нуль, но зато область X предполагается открытой.

Тогда отображение (1) взаимно однозначно на всей области X.

Доказатель ств о. (i) Предположим, что 冗1 片 0. Тогда, как нетрудно видеть, исходное отображение / взаимно однозначно в том и только в том случае, когда взаимно однозначно отображение /: X f N, определяемое как

/ (勺，3)=(n1 厶(勺，g) + 冗2/2 (勺，g), /2(3, g))，

Якобиева матрица вспомогательного отображения /, получаемая умножениези якобиевой матрицы исходного отображения слева на постоянную матрицу

(何1冗2)

\о 1 J

очевидно, обладает тем свойством, что элементы ее первой строки не меняют знака в X. Поэтому мы можем считать, что уже исходная якобиева матрица такова, что элементы ее первой строки не меняют знака в X. Бол^е того, произведя замену одной или обеих переменных 力㈠ ％2 на' — %丄,一ж2 соответственно, если это требуется, мы всегда можем придти к тому, что /4； (ж1? д)》0 (7 = 1, 2) в X. Заметим, что при этом одна из функций 储(7 = 1, 2) по предположению должна быть всюду в X положительна; совершая, если нужно', перенумерацию переменных, мы можем считать, что этому требованию удовлетворяет первая из указанных частных производных, /п. Окончательно, без ограничения общности можно предполагать, что в рассматриваемом случае

/11 (勺，％2)> 0,厶2 (&, %2)> 0 ВСЮДУ В X.⑺

Случай 冗2 耍 0 также можно свести к ситуации (7). Поэтому при доказательстве взаимной однозначности мы ограничимся рассмотрением этой последней ситуации.

Пусть 〃 = (〃0, Ь =(仇)W X ——две точки, которые переводятся отображением (1) в одну и ту же точку, скажем в точку р = =(р。，так что

力(〃1, 〃2)= fi (^1» 匕2)— Pi (^ = 1» 2).(8)

Покажем, что допущение а #= b ведет к противоречию. Заметим прежде всего, что при этом заведомо @2 =# 匕2・ Действительно, в противном случае в силу условия /и > 0 в (7) мы сразу получили бы 的=ЬР Поэтому если а * 匕，то во всяком случае а2 #： %； пусть для определенности

@2 V b2・(9)

Покажем, что существует функция

T 位2) (q2 《 %2 4 ь2),(Ю)

удовлетворяющая соотношению

/1 (屮(%2), @2)= Р1 (〃2 & g & 匕2)・(11)

В самом деле, в силу условия 厶2 > 0 в (7) для каждой точки %2 из интервала [а2, %] имеем

% Q, д)》％ а, 〃2)= Рн

/1 (仇，/2)&% (勿，b2)= Pi，

Поэтому при данном фиксированном 窃 функция 力(g, g) должна принять значение р】 в некоторой точке %】 интервала [min (〃“ 仇)，max (包，&)] в силу непрерывности этой функции и связности интервала (см. пример 1 и теорему 1.8 в § 1.4 гл. I). Упомянутое значение g в силу условия 九 > 0 в (7) единственно для каждого g W【〃2,方2】；тем самым мы получаем однозначную функцию (10), по построению удовлетворяющую условию (11).

Несколько ниже мы покажем, что функция ср (д) дифференцируема на интервале [а2» 力2】и ее производная 屮‘ (％2)удовлетворяет уравнению

/и (屮(%2), д)屮‘(%2)+ /12 (ф (%2)，况2)= 0.(12)

Поэтому функция

屮(/2)= % (ф (/2),/2)

также дифференцируема на [а2, Ь21, и ее производная 炉(g) равна

炉(g) = det J (ф (g), g)/九(屮(g), g)；(丄3)

это выводится непосредственно из соотношения (12) с учетом того, что /и 片 0 согласно- (7). В силу предположения о знако- постоянстве (отличного от нуля) якобиана det J (%, g) и условия /и > 0 в (7), из выражения (13) видно, что производная 屮‘(力2) всюду отлична от нуля и знакопостоянна. Поэтому функция 叩(g) доля^на быть строго монотонной, что противоречит соотношениям 屮(@2)= /2 (%, a2)=卩2 = % (仇，b2)= Р (b2), 〃2 片b2 (получаемым с учетом условий а】=屮(а2), Ъ^ — ^ (Ь2))«

e伍）=e伍）=Остается доказать дифференцируемость функции 屮(х2) и вывести уравнение (12). Ввиду соотношения (11) и дифференцируемости функции 厶 Qi,①2)имеем

e伍）=

e伍）=

九(中(22),/2)a中 + /12 (9(/2), %2)厶 ) Q @0)(44)

(0中)2 + 吋2()，

где

aф =屮（%2 + %）一屮（/2）.

Покажем, что

1嚨1Pl錯V+8・1嚨1Pl錯V+8・(15)(15)

1嚨1Pl錯V+8・

1嚨1Pl錯V+8・

(15)

(15)

Допустим противное; тогда найдется последовательность {无~}, такая, что

(16)следует(17)(16)следует(17)lim 峪=+8, lim 无v = 0,

(16)

следует

(17)

(16)

следует

(17)

Vf+<Ю IIVf 十8

где A% =屮(%2 + %)—屮(%2) (v = 1, 2, ...). Из (16) равенство

lim ^=

S+8 (仏屮护+处尸/2

которое совместно с условием 储>0 в (7) и условием (14) дает lim 旭_b = 0，(18)

Vf+oo ((^+^

Но условия (17) и (18) противоречат соотношению

人(0%)2+%)1/2丿「((a屮炉+处尸/2丿

Этим противоречием доказано выполнение условия (15). Таким образом, существует некоторая константа М, такая, что

СМ при достаточно малых h.(19)

Сопоставляя соотношения (14), (19) и /”>0 из (7), мы получаем

I A<T I /12 (屮(力2),/2)丨E仇)丨 ( / дф \2仆1/2

I %/11 (ф (/2)，/2)I /11(T (/2),/2)' ' ^ /)

С /項/2 + 0 (无f0),

、/11 (ф (/2),/2)、

откуда следует, что существует

/12 （中（/2）,/2） 力1 （屮（/2）,22）.

Этим установлена дифференцируемость функции ср (д) и одновременно справедливость уравнения (12).

) Рассуждая, как и в п. (i), данный случай всегда можно свести к случаю, когда

.Л；(的，出)》0 (7 = 1,2) всюду в X.(20)

Допустим, что в X найдутся две различные точки а = (@0, Ъ = =(瓦)，удовлетворяющие условию (8). Так как множество X по предположению представляет собой открытую прямоугольную область, то всегда можно указать числа а»,阮(f — 1, 2), такие, что

〃，匕 w Q = {(3, %2)‘ I % V 勺 V 内 G = 1, 2)} и X. (21>

Далее, можно при этом выбрать столь малое положительное число 8, что будет выполнено неравенство

a2 - c0C1 V 02 - £01，

и подобласть

С* = {(%1，&)' I % V з V 6], «2 — *1 V 力2 — £0 V 卩2 — еР1} области Q, представляющая собой открытый параллелограмм, будет содержать обе точки а и 瓦 Рассмотрим вспомогательное отображение

g：y> 居 где

У = {(勿，У^ \^1<У1< 际 ^2 — £% < ^2 < ₽2 —

(₽) g 财 Z/2)= (gl(Z/B 火)，g2 仇，52))',

gl (%，沙2)= /1 包，也1 + Z/2)，g2 匂1，刃2)= /2 (办，恥 + 沙2)■(22》

Отметим, что включение (勿，£勿 + 火)'€ Q* равносильно тому, что 仅㈠乡2)‘ W У・ Якобиева матрица Jg (勿，沙2)отображения g имеет вид

/ /11 (办，8% + 52)+ 6/12 (z/1, ёУ1 + 刃2) /12 (%，8队 + 北))

1仇1 (%，物 + 52)+ *2 (%，E力+刃2) /22 (勿，8勿+沙2)丿' откуда

det Jg (%，沙2)= det J (%，恥 + 沙2)，

Поэтому якобиан det Jg (乡㈠ 沙2)вспомогательного отображения g всюду в Y отличен от нуля и знакопостоянен. С другой стороны, предположение о невырожденности исходной якобиевой матрицы J (з, д) исключает возможность того, что где-либо в X /ij (%i, 3)= 0 одновременно для j = 1, 2; следовательно, в силу условий (20) элементы первой строки матрицы (23) должны удов-

летворять неравенствам

Л1 财 ё% + У2)+ 哄2 (力，ё% + 52)> 0,厶2 (力，8力 + 刃2)》0, %, е. справедливы неравенства

gu &, %) > 0,幻2 (勿，沙2)》0 всюду в У, (24) представляющие собой аналог неравенств (7). Но область У содержит две различные точки (@з @2 —— Е%)'瓜(瓦，b2 —— 8d)'， которые переводятся отображением g в одну и ту же точку р9 а это противоречит уже доказанному утверждению (i). Теорема полностью доказана.

Замечание. Теоремы 20.9 и 20.10 охватывают в качестве частных случаев такие ситуации, когда все элементы соответствующих якобиевых матриц неотрицательны. Эти ситуации, при надлежащих дополнительных предположениях, подпадают как под теорему 20.9, так и под теорему 20.10, поскольку, с одной стороны, диагональные элементы неотрицательной якобиевой матрицы не меняют знака, а с другой стороны, каждая строка такой матрицы состоит из элементов, не меняющих знака. Поэтому для установления факта выравнивания цен на факторы производства в случае п = 2 (см. замечание 2 в § 20.1) достаточно только необратимости процессов 1) и неотрицательности интенсивностей использования факторов; другие, более специфические свойства •функций издержек здесь несущественны.

§21. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЯКОБИЕВЫМ МАТРИЦАМСПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

P-матрицы специального вида

С точки зрения приложений теорем о взаимной однозначности (установленных в § 20), в большинстве которых P-матрицы играют центральную роль, полезно указать некоторые специальные типы P-матриц. Это и делается в настоящем разделе. Все матрицы, ■о которых далее идет речь, предполагаются вещественными квадратными, если не оговорено противное.

Матрицы с положителъной доминирующей диагональю. Дадим сначала следующее

Здесь под «необратимостью процессов» автор, по-видимому, подразумевает непропорциональность двух векторов затрат (吗(吟 吗(ш))х и (〃彳(ip), 磅(ip))', чем обеспечивается отличие соответствующего якобиана от пуля. Если эти векторы затрат пропорциональны, то уменьшение интенсивности одного процесса можно было бы полностью компенсировать (в смысле неизменности затрат производственных факторов) увеличением интенсивности другого процесса, что допустимо интерпретировать как «обратимость».— Прим, перев.

Определение 21.1. Будем говорить, что комплексная квадратная матрица Л =(〃炉)порядка п имеет доминирующую диагональ^ если можно указать п положительных чисел л» (i = 1, . . и), таких, что

I 〃江 I Jtf〉> 2 I 〃订 I 冗j (% = 1,・• .，〃)• (1) Зфг

Замечание 1. Непосредственно из определения 21.1 следует, что комплексная матрица Л =(〃订)имеет доминирующую диагональ тогда и только тогда, когда матрица D = (@订)с элементами &t = I @tt I « = 1, • • •, n), &/ = — I 〃订 I (j =# J) удовлетворяет условию Хокинса ——Саймона или эквивалентным ему условиям (см. гл. II, теорема 6.1). Отсюда, в частности, следует, что матрица имеет доминирующую диагональ тогда и только тогда, когда транспонированная матрица имеет доминирующую диагональ.

Замечание 2. Из определения 21.1 также видно, что каждая главная подматрица комплексной матрицы, имеющей доминирующую диагональ, также является матрицей с доминирующей диагональю.

Теорема 21.1 (Островский [1, 2], Маккензи [5]). Если матрица А =(〃订)имеет положителъную доминирующую диагональ, то она является Р-матрицей.

Доказательство. Прежде всего покажем, что если комплексная матрица В =(匕订)имеет доминирующую диагональ, то она невырождена. Пусть уравнения

И

3 ^ijzj = 0 (i = 1, ..., п) (2) э=1

удовлетворяются некоторыми (комплексными) числами z* (% = 1, . . ., п). Для того чтобы установить невырожденность матрицы 3, нужно доказать, что все эти числа z» должны быть равны нулю. Докажем это. Отметим сначала, что согласно предположению о наличии доминирующей диагонали существуют такие положительные числа л^ (% = !,・• ., п), для которых

j Ьц I 3Tf > 2 j bij 13Tj (力=1, •.., w)• (3) Положим

0 = max по всем t = 1, ..., n. (4)

Здесь заведомо 0 ^ 0, и нам достаточно показать, что 0 = 0. Допустим, что 0 > 0, и пусть максимум в (4) достигается при i — к. Тогда

I z月|=6冗丸，I Zf I 4 63Tt (i 牛 ")， (5)

Из "・го уравнения в (2) находим ，

bkh^h — — 2 bkjZj,

что вместе с км неравенством в (3) с учетом условий 0 > О и (5) дает противоречивый результат

пп

I 仇丸 11 z^ I w 2 I 匕左j 11 zj I w е 2 I bkj 13ij v e | 瓦a I 冗冗=| 仇?冗 11 z丸 |. j力丸亍力丸

Поэтому 0 = 0 и, значит, z» = О (Z = 1，. . .，п).

Рассмотрим теперь вещественную матрицу Л =(〃订)，имеющую положительную доминирующую диагональ. Так как каждая главная подматрица матрицы Л также имеет положительную главную диагональ (см. замечание 2), то для того чтобы убедиться, что Л является P-матрицей, достаточно показать, что det 4 > 0. С этой целью прежде всего заметим, что ввиду положительности диагональных элементов матрицы Л неравенства (1) можно записать в виде

^ii^i Z^* 2 I @ij I 冗j (% = 1,〃),

так что должны выполняться соотношения

(Р + 优it) ^i > N I & j I 冗 j (2=1,..., “； P > 0) •(6)

Из неравенств (6) следует, что матрица pl ~\- А, где I — единичная матрица n-го порядка, при любом р》0 имеет доминирующую диагональ. Поэтому в силу доказанной выше невырожденности матриц с доминирующей диагональю

det (р/+ 4)*0 (р>0)・/(7)

Вспомним, что det (р/ + /) представляет собой многочлен п-й степени по р, в котором коэффициент при рп равен единице; следовательно, det (р/ + /)->+ оо при р f + оо. Так как det (р/ + А) является непрерывной функцией от р, то в случае det N & 0 величина det (р/ + Л) должна была бы обратиться в нуль при некотором значении р》0 (см. теорему 1.8 и пример 1 из § 1.4 гл. I). А поскольку это, согласно (7), невозможно, то тем самым установлено, что det 4 > 0, чем и завершено доказательство теоремы.

Замечание 3. Подкласс матриц с доминирующей диагональю образуют матрицы, имеющие положительные внедиагональные элементы и удовлетворяющие условию Хокинса — Саймона (см. теорему 20.6, замечание 1 выше, а также § 6 гл. II).

Невырожденные кососимметрические матрицы. Известно, что определитель кососимметрической матрицы n-го порядка (см. гл. I, определение 3.5) равен нулю при нечетном п и представляет

собой квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы при четном 八.Поэтому кососимметрическая матрица может быть невырожденной только тогда, когда она имеет четный порядок.

Теорема 21.2. Каждая невырож денная кососимметрическая матрица А является одновременно слабой P-матрицей и слабо положительно квазиопределенной матрицей (см. определения 20.7 и 20.8).

Доказательство. Заметим, что каждая главная подматрица кососимметрической матрицы также является кососимметрической матрицей. В соответствии со сказанным выше главный минор 论-ro порядка матрицы Л должен быть равен нулю при нечетном к, неотрицателен прл четном к и положителен при к — =п, где п ——наивысший четный порядок минора, равный порядку самой матрицы. Это рассуждение показывает, что Л является слабой P-матрицей. Далее, квадратичная форма {Ах, х) ввиду кососимметричности матрицы А тождественно равна нулю и, значит, является положительно полуопределенной. А поскольку, кроме того, det Л > 0, как уже указывалось выше, то Л является слабо положительно определенной матрицей. Теорема доказана.

Матрицы Хикса. Хикс [1] выдвинул условие, которому, по его утверждению, должна удовлетворять якобиева матрица системы функций избыточного спроса, для того чтобы была возможна определенного рода устойчивость рыночного равновесия. Матрицы, удовлетворяющие условию Хикса,— это матрицы, все главные миноры нечетного порядка которых отрицательны, а все главные миноры четного порядка положительны. Таким образом, матрица Хикса является не чем иным, как Д^-Р-матрицей (см. определение 20.3). Отметим, что результаты, приведенные в § 20, относятся не к вопросу об устойчивости равновесия в процессе конкурентного ценообразования,— вопросу, интересовавшему самого Хикса,— а к вопросу о единственности такого равновесия.

Вернемся к системе уравнений (8) из § 20.1. Это ——система уравнений общего рыночного равновесия; она содержит 〃 ——1 уравнений относительно п ——1 неизвестных уровней равновесных цен на все товары, кроме n-го, который считается базисным товаром. Если якобиева матрица / (р「卩2，• • •, Ртгт) этой системы, имеющая порядок п — 1, удовлетворяет условию Хикса во всей прямоугольной области цен, то в силу следствия из теоремы 20.4 решение системы (8) из § 20.1 должно быть единственным.

Еще более интересен тот факт, что условие Хикса гарантирует единственность равновесного вектора цен, определяемого, как в гл. VI (см. определение 18.4), системой неравенств

Еt〈Pt, Р2，•…，Рп) & 0 (Z = 1, • •.,几)， (8) 石» (Р1，卩2， •・・,Рп) = 0, если pt > 0, (9)

где Е» (夕1,夕2, • • •, Рп) (Z = 1, . . ., n) — функции избыточного спроса. Рассмотрим случай, когда функции избыточного спроса определены и однородны нулевой степени в области всех полу- положительных векторов цен и дифференцируемы при всех р, таких, что р»》О (Z = 1,..八 ——4), рп > 0. Предположим^ далее, что во всей области цен выполняется закон Вальраса

в узком смысле:

п

2 PtEt(Pi， ，2, Рп) = 0.(1。〉

Если 八-й товар выделен как базисный, то система неравенств (8)г (9) эквивалентна нормированной системе

Е» (р&, Р2, •…Рх, 1) ^ 0 (» = 1, • •.,八 一 1),(11)

Pi Ei (〃，卩2, • • Pn-i, 1) = 0 (Z = 1, •…八一1),(12)

Pt》0 (力= £,・..，冷一1).(13)

Покажем, что если якобиева матрица J (р1? р2» • •・,Pn-i)= =(Etj (pi,卩2，•…，卩九-i)) (%, / = 1, • • •,八一1) является матрицей Хикса, то решение системы (11)—(13) единственно. Допустим, что набор чисел 匿 (Z = 1, . . ., п — 1) наравне с набором чисел pt удовлетворяет соотношениям (11)—(13), так что

豆》(01, д?, • • ♦, g?iT, 1) &。(％== 1，• • •，八1)>(14)

qiEt 但，02, • • Кт, 1) = 0 (Z = 1, • • •，八一1),(15)

9» 〉0 (Z = 1,・• •，八—1)・(16}

Тогда из совокупности соотношений (11)——(16) вытекают неравенства

{Pi —qi) (Еt(Pi, /?2, •…，PnT,丄)一当(，1, 02, • • •，0九Т, 1)) >。

(% = 4,・・・,м 一 1). (17)

Применяя следствие из теоремы 20.5 к системе неравенств (17), которой соответствует якобиева матрица, удовлетворяющая в области всевозможных (п ——1)-мерных неотрицательных векторов цен условию Хикса, находим, что р» = q» (% = 1,・.照 •..,八一1), что и требовалось доказать.

Условие Столпера— Самуэльсона

Занимаясь вопросом о роли протекционистских тарифов в защите отечественных держателей производственных факторов, Столпер и Самуэльсон [1] провели исследование влияния изменения мировых цен на товары, оказываемого на доходы, приносимые производственными факторами их владельцам. Это исследование

было осуществлено применительно к ситуации «два товара ——два фактора». Как и при изучении вопроса о выравнивании цен на производственные факторы, в основу всех рассуждений было поло- ж ено фундаментальное соотношение вида (6) из § 20.1 (при м = 2), связывающее мировые цены р» на товары и внутренние цены 力 на факторы производства, т. е. система двух уравнений

Ci (w^ g) = Pi (i = 1, 2), (1)

где q (仍，笫2)— функция издержек производства единицы Хто товара, определенная при положительных ценах на производственные факторы 笫1,笫2 (% = 1，2).

Как уже было отмечено в § 20.1, элемент с^ (г^1｝笫2)якоби- евой матрицы системы (1)

представляет собой интенсивность использования производственного фактора / в процессе производства продукта Z (%, / = 1, 2); будем для простоты предполагать, что все эти интенсивности положительны. Если отношения интенсивностей факторов удовлетворяют условию

eh (姒，第2)>c21 (叱，缈2)⑵,

J2 (缈1，缈2)。22 (缈 1，缈2)'''

то будем говорить, что в производстве первого продукта интенсивно используется первый фактор, а в производстве второго продукта интенсивно используется второй фактор. Если же выполнено условие

С£2(缈I, 〃'2)32 (缈h 缈2)'(

то будем говорить, что в производстве первого продукта интенсивно используется второй фактор, а в производстве второго продукта —первый фактор. Если, далее, во всей области всевозможных положительных наборов цен на производственные факторы w^ w2 указанное отношение факторов сохраняет всюду один и тот же тип, (2) или (3), то становится возможным связать единственным образом с каждым продуктом тот фактор, который в соответствии с данным определением интенсивно используется в производстве этого продукта. Для удобства изложения мы будем называть такой фактор производства фактором, ассоциированным с данным продуктом. В работе Столпера и Самуэльсона [1] утверждается, что повышение цены на некоторый продукт влечет за собой повышение цены ассоциированного с ним производственного фактора и падение цены на другой фактор.

Это утверждение можно проверить следующим образом. Прежде всего заметим, что поскольку случай (3) можно свести к (2)

перенумерацией либо продуктов, либо факторов, то достаточно рассмотреть случай (2). В силу неравенства (2)

det J (仍，w；2)> 0;(4)

это вместе с предположением о положительности элементов с^ показывает, что J (^, w^ является P-матрицей во всей области W лоложительных двумерных векторов цен w =(笫0 на факторы производства. Обозначим через Р образ множества W при отображении w f с (笫)=(修(笫)),порождаемом функциями издержек. Тогда, учитывая условие (4) и применяя следствие из теоремы 5.7 гл. I, находим, что Р представляет собой открытую область в jR2. Кроме того, указанное отображение обратимо; это вытекает из теоремы 20.4 в силу того, что якобиева матрица J(5,笫2)является P-матрицей. Рассмотрим обратное отображение

р w (р): Р W.(5)

Используя лемму 5.4 из гл. I с учетом условия (4), заключаем, что обратное отображение (5) также дифференцируемо и его яко- бмевой матрицей является матрица J (仍，^2)一匕 обратная якобие- вой матрице J (w^ 笫2) исходного отображения. Для проверки утверждения Столпера ——Самуэльсона достаточно удостовериться, что у матрицы J (仍，^2)т диагональные элементы положительны, а внедиагональные отрицательны. Действительно, матрица

' 17 "det J(第 1,缈 2)e21 (缈I，第2)"(切1，第 2)丿

обладает требуемыми свойствами в силу условия (4) и положительности величин(?订(仍，w^).

Что касается общего случая т продуктов — п факторов», то не представляется возможным указать такие условия на интенсивности производственных факторов, которые позволили бы ассоциировать факторы с продуктами подобно тому, как это было сделано в двумерном случае. В связи с этим дальнейшее изложение мы посвятим другому вопросу—вопросу о выравнивании цен на факторы производства при выполнении п-мерного аналога утверждения Столпера — Самуэльсона.

Возвращаясь к исходному утверждению Столпера ——Самуэльсона, напомним, что мы сначала воспользовались соотношением (2) для получения вывода о том, что якобиева матрица отображения (1) является P-матрицей и, следовательно, отображение w -> f с (w) глобально обратимо, а уже затем отсюда получили требуемый результат, относящийся к знакам элементов якобиевой матрицы обратного отображения. Теперь же, в общем случае п продуктов и п факторов,, нам удобнее будет обратить ход рассуждений. Возьмем систему уравнений (6) из § 20.1, устанавли-

вающую фундаментальное соотношение^между ценами на продукты pi и ценами на факторы Wj в случае произвольной размерности п, и рассмотрим отображение

w^ с (必)：Wf Р,(6)

где

(a) W — область всевозможных положительных векторов цен на производственные факторы;

(В) Р — образ множества W при отображении (6);

(у) с (и?)=(勺(w;)) — вектор-функция, компоненты которой

суть функции издержек с» (w) (Z = 1, . . ., п).'

Вместо того чтобы попытаться вывести" n-мерный аналог утверждения Столпера — Самуэльсона, мы просто наложим соответствующие условия на якобиеву матрицу

J ®)=(叨(第))(7)

отображения (6) и посмотрим, какие будут вытекать отсюда следствия, относящиеся к задаче о выравнивании цен на производственные факторы. Эти условия формулируются так:

Определение 21.2. Будем говорить, что матрица 4 удовлетворяет условию Столпера ——Самуэльсона, если

матрица Л неотрицательна;

матрица А невырождена;

все внедиагональные элементы обратной матрицы А-1 = =(氏力 неположительны, т. е.

心j 《。(力学1 /)•(8)

Теорема 21.3 (Чипман [1]). Если матрица А удовлетворяет условию Столпера — Самуэльсона, то она является Р-матрицей.

Доказательство. Пусть D = А"1 =(心力・ Если I — единичная матрица того же порядка, что и А, то

DA = /・(9)

Далее, пусть с ——произвольный положительный вектор. Тогда, умножая обе части (9) справа на с, получаем

D ⑷)=с > 0.(10)

В то же время в силу требования (i) из определения 21.2

/с 三 0.'(11)

Из соотношений (8), (10) и (11) в силу теоремы 6.1 гл. II следует, что матрица D удовлетворяет условию Хокинса — Саймона.

Докажем теперь требуемое утверждение индукцией по порядку п матрицы Л. При 九=1 соотношение (9) сводится к dHan = 1,

1/2 32-—8

откуда Qu > 0, так как, согласно условию Хокинса — Саймона, "ii > 0. Предполагая, что утверждение теоремы справедливо для п — 1, перейдем к п (》2). Прежде всего, из (9) вытекает, что det D • det / = 1 м, значит,

(12)(12)det А > 0,

(12)

(12)

поскольку det О > 0 по условию Хокинса — Саймона. Поэтому для того чтобы доказать,^что Л является P-матрицей, достаточно показать, что каждая ее главная подматрица порядка п ——1 является P-матрицей. Пусть Л* — какая-либо из этих подматриц. Не уменьшая общности, можно считать, что подматрица А* расположена в правом нижнем углу матрицы Л, так как в случае надобности этого можно добиться при помощи одновременной и одинаковой перенумерации строк и столбцов матриц 4 и О. Учитывая, что согласно условию Хокинса ——Саймона d^ > 0, введем в рассмотрение матрицу

Заметим, что умножение произвольной матрицы S (подходящих размеров) слева на Т эквивалентно вычитанию из строк матрицы S с номерами i — 2, . . ., п первой строки этой матрицы, умноженной на &丿办 соответственно. Поэтому, умножая обе части равенства (9) слева на Т, получаем

Из (13) и (14) вытекает, что

0*/*=尸，(15)

где 7* ——единичная матрица порядка п — 1. Далее, в силу условия (8) элементы матрицы D* = (d办),как и в доказательстве теоремы 6.1 гл. II, должны удовлетворять условию

骑・&0 (%#=% Z, / = 2,・・.，п),(16)

поскольку dtj = dfj —(心抠1『/必1), d” > 0. Соотношения (15) и (16) с учетом неотрицательности матрицы Л* показывают, что А* удовлетворяет условию Столпера ——Самуэльсона. А так как А* имеет порядок 孔 —— 1, то Л* должна быть Р-матрицей по предположению индукции. Теорема доказана. •

Подведем итоги. Если якобиева матрица (7) всюду в области W удовлетворяет условию Столпера — Самуэльсона, то она по теореме 21.3 является P-матрицей. Поэтому по теореме 20.4 (i) отображение (6) глобально обратимо, что согласно Самуэльсону (см. § 20.1) обеспечивает выравнивание цен на факторы производства. При атом якобиева матрица обратного отображения равна J (笫尸, так что повышение цены на i-й продукт вызывает повышение цены на i-й производственный фактор, сопровождаемое понижением или во всяком случае не повышением цен на все остальные факторы.

БИБЛИОГРАФИЯ

Литература общематематического характера

Анализ

Курант Р・，Курс дифференциального и интегрального исчисления, «Наука», М., т. I, 1967; т. 2, 1970.

Элементарная топология

Alexandroff Р. S., Hopf Н., Topologie, В. I, Berlin, 1935.

Lefschetz S., Introduction to Topology, Princeton, N. J., 1949.

Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, Гостехиз- дат, Л., 1947.

Berge С., Espaces Topologiques, Fonctions Multivoques, Paris, 1959. (Англ, перевод: Topological Spaces, including a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity, Edinburgh—London, 1963.)

Теория матриц

Беллман P., Введение в теорию матриц, «Наука», М・,1969.

Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, «Наука», М., изд. 3, 1967.

Дифференциальные уравнения

К о[д д и н г т о н Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.

Математическая экономика

Гейл Д., Теория линейных экономических моделей, ИЛ, М., 1963.

Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике,《Мир», М., 1964.

Цитированная литература

Здесь указаны только те статьи и книги, на которые имеются ссылки в основном тексте }

Сборники

Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., У д з а в а X., Исследования по линейному и нелинейному программированию, М., ИЛ, 1962.

Линейные неравенства и смежные вопросы (ред. Г. У. Кун и А. У. Таккер), М., ИЛ, 1959.

Activity Analysis of Production and Allocation (Koopmans T. C., ed), New York, 1951.,

Advances in Game Theory (Dresher M., Shapley L. S., Tucker A. W., eds.), Princeton, N. J., 1964.

1) Для удобства читателей сборники, в которых содержатся приводимые далее статьи, вынесены в отдельный список.—Прим, перев.

Contributions to the Theory of Games, vol. I (Kuhn H. W., Tucker A. W, eds.), Princeton, N. J., 1950.

Contributions to the Theory of Games, vol. II (Kuhn H. W., Tucker A. W., eds.), Princeton, N. J., 1953.

Decision Processes (Thrall R. M., Coomb С. H., Davis R. L., eds.), New York, 1954.

Mathematical Methods in the Social Sciences (Arrow K. J., Karlin S., Suppes P., eds.), Stanford, California, 1960.

Recent Advances in Game Theory, Princeton Univ. Conference Rept., 1962.

Статьи и монографии

А у м а н н (Aumann R. J.)

Markets with a continuum of traders, Econometrica, 32, № 1 (1964).

Existence of competitive equilibria in markets with a continuum of traders, Econometrica, 34, № 1 (1966).

А ц у м и (Atsumi H.)•

Neoclassical growth and the efficient program of capital accumulation, Rev. Econ. Studies, 32, № 2 (1965).

The efficient capital accumulation in a generalized Leontief model, мимеограф, изд., 1965.，

Бейль (В e g 1 e E. G.)

A fixed point theorem, Ann. of Math., 51, № 3 (1950).

Б p а у э p ( В г о u w e г L. E. J.)

tl] On continuous vector distributions on surfaces, Amsterdam Proc., 11 (1909).

”[2] Amsterdam Proc., 12; 13 (1910).

Бурбаки (Bourbaki N.),

Элементы математики [Кн. 5]. Топологические векторные пространства, ИЛ, М., 1959.

Вальд (Wald А.)

Uber die eindeutige positive Losbarkeit der neuen Produktionsglei- chungen, Ergebn. Math. Colloq., № 6 (1933—1934).

Uber die Produktionsgleichungen der okonomischen Wertlehre, Ergebn., Math. Colloq., № 7 (1934—1935).

Вальрас (Walras L.),

Elements d^conomie Politique Pure, Lausanne, 1874. (Англ, перевод: Elements of Pure Economies, London, 1954; Illinois, 1954.)

Винд (V i n d K.)

Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders, Internal, Econ. Rev., 5, № 2 (1964).

Гейл (Gale D.)

The law of supply and demand, Math. Scand., 3 (1955).

Optimal programs for a multi-sector economy with an infinite time horison, Tech. Rep. № 1, Dept, of Math., Brown Univ., Providence, Rhode Island, 4965.、

On optimal' development in a multi-sector economy, Rev. Econ.Studies. 34, № 1 (1967).

Гейл, Кун, Т а к к е р (Gale D.,Kuhn Н. W., Tucker A. W.) [1] On symmetric games, сборник [Е].

Гейл, Никайдо (Gale D., Nikaido H.)

The Jacobian matrix and global univalence of mappings, Math. Ann.f 159, № 2 (1965).

Голдман, Таккер (Goldman A・ J., Tucker A. W.)

Теория линейного программирования, сборник [В].

Данциг (D а и t z i g G. В.)

Линейное программирование, его применения и обобщения, М., «Прогресс», 1966.

Дебре (D е b г е u G.)

Representation of a preference ordering by a numerical function, сборник [G].

Theory of Value, New York, 1959.

New concepts and techniques for equilibrium analysis, Internat. Econ. Reu., 3 (1962).

On a theorem of Scarf, Rev. Econ. Studies, 30, № 3 (1963).

Дебре, Скарф (Debreu G., Scarf H.)

A limit theorem on the core of an economy, Internat. Econ. Rev., 4, № 3 (1963).

Джорджеску-Реген (Georgescu-Roegen N.)

Some properties of a generalized Leontief model, сборник [С].

Analytical Economics, Cambridge, Massachusetts, 1966.

Дорфман, Самуэльсон, Солоу (Dorfman R., Samuelson P. A., S о 1 о w R. M.)

Linear Programming and Economic Analysis, New York, 1958.

Инада (Inada K.)

Some structural characteristics of turnpike theorems, Rev. Econ, Studies, 31, № 1 (1964).

Factor intensity and Stolper—Samuelson condition, мимеограф, изд., 1966..

Какутани (Kakutani S.)

A generalisation of Brouwer's fixed point theorem, Duke Math. J・，8, № 3 (1941).

К e м e ни, Моргенштерн, Томпсон (К emen у J. G., Morgenstern O., Thompson G. L.)

A generalization of the von Neumann model of an expanding economy, Econometrica, 24, № 2 (1956).

Кнастер, Куратовский, Мазуркевич (К naste г В.,

Kuratowski C., Mazurkievicz S.)

Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimensionale Simplexe, Fund.

Math., 14 (1926).

Коддингтон, Левинсон (Coddington E. A., Levinson N.)

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.

Крейн М. Г., Мильман Д. П.

On extreme points of regularly convex sets, Studia Math., 9 (1940).

Кронекер (К r*o necker L.)

Uber Systeme von Functionen mehrerer Variabeln, «Werke», В. 1, 1869.

Kyra (Kuga K.)

Variation patterns of excess demand with respect to prices: A consi- ，stency problem, Econ. Studies Quart., 15, № 1 (1964).

Weak gross substitutability and the existence of competitive equilibrium, Econo metric a, 33, № 3 (1965).

Купмане (Koopmans T. C.)

Alternative proof of the substitution theorem for Leontief model in the case of three industries, сборник [С].

On the concept of optimal economic growth, «Study Week Econometric Approach Develop. Planning, 1963», Pontificiae Acad. Scientiarum Scripta Varia, Amsterdam, 1965.

Леонтьев (Leontief W. W.)

The Structure of American Economy, 1919—1939, London — New York, 1949.

Input-output Economics, London—New York, 1966.

Маккензи (McKenzie L. W.)

On equilibrium in Graham's model of world trade and other competitive systems, Econometrica, 22, № 2 (1954).

Equality of factor prices in world trade, Econometrica, 23, № 3 (1955).

On the existence of general equilibrium for a competitive market, Econometrica, 27, № 1 (1959).

Stability of equilibrium and the value of positive excess demand, Econo metric a, 28, № 3 (I960).

Matrices with dominant diagonals and economic theory, сборник [Н].

Turnpike theorems for a generalized Leontief model, Econometrica, 31, № 1—2 (1963).

The Dorfman ▼ Samuelson ——Solow turnpike theorem, Internal, Econ. Rev., 4, № 1 (1963).

Turnpike theorem of Morishima, Rev. Econ. Studies., 30, № 3 (1963).

Mac (Muth J. F.)

A note on balanced growth, Econometrica, 22, № 4 (1954).

Минковский (Minkowski H.)

Geometrie der Zahlen, Leipzig, 1910; переиздание: New York, 1935.

Моришима (Morishima M.)

On the three Hicksian laws of comparative statics, Rev. Econ. Studies, 27, № 3 (I960).

Existence of solution to the Walrasian system of capital formation ；and credit, Z. Nationaloconomie, 20, № 1—2 (I960).

Proof a turnpike theorem: The 《no joint production» case, Rev. Econ. .Studies, 28, № 2 (I960).

Generalizations of the Frobenius-Wielandt theorems for non-negative :square matrices, J. London Math. Soc., 36 (1961).

Equilibrium, Stability and Growth, a Multi-sectoral Analysis, London- New York, 1964.

M о с а к (M о s a k J. L.)

General Equilibrium Theory in International Trade, Bloomington, Ind., 1944.

Негиси (Negishi T.)

A note on the stability of an economy where all goods are gross substitutes, Econometrica, 26, № 3 (1958).

Monopolistic competition and general equilibrium, Rev. Econ. Studies, 28, № 3.(1961).

Tbe stability of a competitive economy: A survey article, Econometrica, 30, № 4 (1962).、

фон Нейман (von Neumann J.)

Zur Theorie der Gesselschaftsspiele, Math. Ann., 100 (1928).

Uherein okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloqueiums, № 8, 1935—1936, Leipzig — Wien (1937). (Английский перевод: A model of general economic equilibrium, Rev. Econ. Studies, 13 (1945—1946).)

фон Нейман, Моргенштерн (von Neumann JM Morgenstern O.)

Теория игр и экономическое поведение, «Наука», М., 1970.

Никайдо (Nikaido Н.)

Zusatz und Berichtigung fiir Meine Mitteilung «Zum Beweis der Ver- allgemeinerung des Fixpunktsatzes», Kodai Math. Sem. Rep- 6, № 1 (1954).

On von Neumann's minimax theorem, Pacific J. Math., 4, № 1 (1954).

On the classical multilateral exchange problem, Metroecon., 8, Fas. 2 (1956).

A supplementary note to Nikaido (1956), Metroecon., 9, Fas. 3 (1957).

On a method of proof for the minimax theorem, Proc. Amer. Math. Soc・，10, № 1 (1959).

Coincidence and some systems of inequalities, J. Math. Soc. Japan., II, № 4 (1959).

Stability of equilibrium by the Brown — von Neumann differential equation, Econometric^ 27, № 4 (1959).

Some dynamic phenomena in the Leontief model of reversely lagged type, Rev. Econ. Studies, 29, № 4 (1962).

Balanced growth in multi-sectoral income propagation under autonomous expenditure schemes, Rev. Econ. Studies, 31, № 1 (1964).

Persistence of continual growth near the.von Neumann ray: A strong version of the Radner turnpike theorem, Econometrica, 32, № 1—2 (1964).

Generalized gross substitutability and extremization, сборник [Dj.

H о с и p о (Noshiro K.)

On the theory of schricht functions, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., 2 (1934).

Островский (Ostrowski A.)

Uber die Determinanten mit iiberwiegender Hauptdiagonale, Comment. Math. Helv., 10 (1937—1938).

Determinanten mit iiberwiegender Hauptdiagonale und die absolute Konvergenz von linearen Iterationsprozessen, Comment. Math. Helu., 30 (1956).

Перрон (Perron О.)

Zur Theorie der Matrizen, Math. Ann. 64, (1907).

Раднер (Radner R.)

Paths of economic growth that are optimal with regard only to final states: A turnpike theorem, Rev. Econ. Studies, 28, № 2 (1961).

Рамси (Ramsey F. P.)

A mathematical theory of saving, Econ. /., 38, № 152 (1928).

Рейдер (Rader J. T.)

Edgeworth exchange and general economic equilibrium, Yale Econ. Essays, 4, № 1 (1964).

С а й о н (Sion M.)~

On general minimax theorems, Pacific. J. Math., 8, № 1 (1958).

Самуэльсон (Samuelson P. A.)

Foundations of Economic Analysis, Cambridge, Massachusetts, 1948.

International trade and the equalisation of factor prices, Econ. /., 58, № 230 (1948).

International factor-price equalisation once again, Econ. /., 59, № 234 (1949).

Abstract of a theorem concerning substitutability in open Leontief Models, сборник [С].

Prices of factors and goods in general equilibrium, Rev. Econ. Studies, ,21, № 1 (1953—1954).、

Efficient paths of capital accumulation in terms of the calculus of variations, сборник [Н].

A Catenary turnpike theorem involving consumption and the golden rule, Amer. Econ. Rev., 55, № 3 (1965).

(Статьи Самуэльсона [2——6], Солоу и Самуэльсона [1] и Столпера и Самуэльсона [1] включены в издание «The Collected Scientific Papers of Paul A. Samuelson», Vols. 1? 2, Cambridge, Massachusetts, 1966.)

С к a p ф (Scarf H.)

Some examples of global instability of the competitive equilibrium, Internal. Econ. Rev., 1, № 3 (I960).

An analysis of markets with a large number of participants, сборник [J],

Слуцкий (Slutsky E.)

Sulla teoria del bilancio del consumatore, Giorn. Econ., 51 (1915).

Смит (Smith A.)

An Inquiry into the Nature and Cause of the Wealth of Nations, 2 Vols, London, 1776.

Солоу, Самуэльсон (Solow R. M., Samuelson P. A.)

[1J Balanced growth under constant returns to scale, Econometrica, 21. № 3 (1953).

Столпер, Самуэльсон (S t о 1 pe г W, F・，Samuelson P.A.) [1] Protection and real wages, Rev. Ecoi^ Studies, 9, № 1 (1941).

33-8

Сьюте (Suits D. В.)

Dinamic growth under diminishing returns to scale, Econometrica, 22, № 4 (1954).

T а к к e p (T u c k e г A. W.)“

Двойственные системы однородных линейных соотношений, сборник [В].

Томпсон (Thompson G. L.)

О решении одной задачи теории игр, сборник [В].

У д з а ж a (Uzawa Н.)

Теорема Куна—Таккера о вогнутом программировании, сборник [А], гл. 3.

Walras* tatonnement in the theory of exchange, Rev, Econ. Studies, 27, № 3 (1959—1960).

The stability of dynamic processes, Econometrica, 29, № 4 (1961).

Aggregative convexity and the existence of competitive equilibrium, Econ. Studies Quarts 12, № 2 (1962).

Walras' existence theorem and Brouwer's fixed point theorem, Econ. Studies Quart., 13, № 1 (1962).

Optimal growth in a two-sector model of capital accumulation, Rev, Econ. Studies, 31, № 1 (1964).

OapKam(FarkasJ.

Ober die Theorie der einfachen Ungleichungen, J. Reine Angew, Math., 124 (1902)”

Фробениус (Frobenius G.)

Uber Matrizen aus positiven Elementen I, Sitzber. Konigl. Preussishen Akad. Wiss. (1908).

Uber Matrizen aus positiven Elementen II, Sitzber. Konigl. Preussishen Akad. Wiss. (1909).

Uber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzber. Konigl, Preus- sischen Akad, Wiss. (1912).

Хан (Hahn F.)一

Gross substitutes and the dynamic stability of general equilibrium, Econometrica, 26, № 1 (1958).

Хикс. (Hicks J. R.)

Value and Capital, London — New York, 1939.

Хокинс, Саймон (Hawkins D., Simon H. A.)

Note: Some conditions of macroeconomic stability, Econometrica^ 17, № 3, 4 (1949).

Хоув (Howe C. W.)

[1] An alternative proof of the existence of equilibrium in a von Neumann model, Econo metric a, 28, № 3 (I960).

Ц у к у и (T s u k u i J.)

Turnpike theorem in a generalized dynamic input-output system, Econo metric a, 34, № 2 (1966).

The consumption and the output turnpike theorems in a von Neumann type model: A finite term problem, Rev. Econ. Studies； 34, № 1 (1967).

Чипман (Chipman J. S.)、

Factor price equalization and the Stolper — Samuelson theorem, мимеограф. изд. (1963). Abstract: Econometrica, 32, № 3 (1964).

Шепли (Shapley L. S.)

A value for n-person games, сборник [F].

Value of large games — VII: A general exchange economy with money. Memo. RM-4248-PR. RAND Corp., Santa Monica, California, 1964.

Шепли, Шубик (Shapley L. S., Shubik M.)

Pure competition, coalitional power and fair division, Memo. RM- 4917-PR. RAND Corp., Santa Monica, California, 1966.

Ш n e p н e p (S p e r n e r E.)、

Neuer Вeweis fiir die Invarianz dei Dimensionszahl und des Gebietes, Abh. Math. Sem. Univ, Hamburg, 6 (1928).

Ш т и м к e (S t i e m k e E.)

"Uber positive Losungen homogener linearer Gleichungen, Math. Annr 76 (1915).

Эджворт (Edgeworth F. Y.)

Mathematical Psychics, London, 1881.

Эйленберг, Монтгомери (Eilenberg S., Montgomery D.)

Fixed point theorems for multivalued transformations, Amer. J. Math, 68, № 2 (1946).

Эрроу (Arrow K. J.)

Alternative proof of the substitution theorem for Leontief models in the general case, сборник [С].

Эрроу, Блок, Гурвиц (Arrow К. J., Block H. D., Hu г- w i c z L.)

On the stability of the competitive equilibrium,x II, Econometrica, 27, № 1 (1959).

Эрроу, Гурвиц (Arrow К. J., Hii г wicz L.)

Competitive stability under weak gross substitutability: The «Euclidian distance» approach, Internal. Econ. Rev., 1, № 1 (i960).

Competitive stability under weak gross substitutability: Nonlinear price adjustment and adaptive expectations, Internal. Econ. Re%, 3, № 2 (1962).

Эрроу, Дебре (Arrow К. J., D eb г eu G.)

Existence of an equilibrium for a competitive economy, Econometrica^ 婚 22, № 3 (1954)..

Александров П. С. 500

Ауманн (Aumann R. J.) 380, 501 Ацуми (Atsumi Н.) 8, 287, 298, 501

Бейль (Begle Е. G.) 93, 501

Беллман (Bellman R.) 8, 500

Бсрж (Berge С.) 500

Блок (Block Н. D.) 382, 391, 415, 421, 431, 432, 452, 507

Брауэр (Brouwer L. Е. J.) 91, 93, 131, 348, 501

Бурбаки (Bourbaki N.) 48, 52, 501

Вальд (Wald А.) 307, 323, 501

Вальрас (Walras L.) 13, 305—307, 323, 346, 348, 430, 432, 501

Винд (Vind К.) 380, 501

Гантмахер Ф. Р. 500

Гейл (Gale D. ) 6—8, 287, 298, 307, 323, 324, 343, 393, 454, 459— 462, 465, 472, 475, 477, 480, 484, 485, 501, 502

Голдман (Goldman A. J.) 187, 502

Гурвиц (Hurwicz L.) ‘382, 391, 393, 415, 421, 431, 452, 500, 507

Данциг (Dantzig G・ В.) 178, 502 Дебре (Debreu G.) 307, 323, 324, 3 29, 330, 337, 343, 362, 365-367, 5 02, 507

Джоржеску-Реген (Georgescu-Roe- gen N.) 127, 248, 502

Дорфман (Dorfman R.) 271, 502

Инада (Inada К.) 7, 8, 271, 272, 454, 460, 461, 472, 502

Какутани (Kakutani S.) 93, 97, 502

Карлин (Karlin S.) 6, 77, 95, 416, 500

Кейнс Дж. M. 133

Келли Дж. Л. 21

Кемени (Kemeny J. G・)195, 502

Кнастер (Knaster В.) 91, 502

Коддингтон (Coddington Е. А.) 433, 502

Колмогоров А. Н. 21

Корн Г. 21

Корн Т. 21

Крейн М. Г. 503

Кронекер (Kronecker L.) Ill, 112, 503

Куга (Kuga К.) 391, 396, 415, 503 Кун (Kuhn Н. W.) 78, 393, 500, 502 Купмане (Koopmans Т. С.) 248, 287, 503

Куратовский (Kuratowski С.) 91, 502

Левинсон (Levinson N.) 433, 502

Леонтьев (Leontief W. W.) 124, 503

Лефшец (Lefschetz S.) 500

Мазуркевич (Mazurkievicz S.) 91, 502

Маккензи (McKenzie L. W.) 8, 271, 307, 323, 391,415, 458, 459, 491, 503

Mac (Muth J. F.) 199, 503

Мильман Д. П. 503

Монтгомери (Montgomery D)93, 507

Моргенштерн (Morgenstern О.) 195, 502, 504

Моришима (Morishima М.) 8,199, 271, 323, 391, 503

Мосак (Mosak J. L.) 390, 504

Негиси (Negishi Т.) 8, 323, 391, 504

фон Нейман (von Neumann J.) 93, 97, 98, 100, 190, 193, 504

Никайдо (Nikaido Н.) 5—8, 97, 166, 271, 272, 307, 323, 324, 343, 391 — 396, 413, 454, 459—462, 465, 472, 475, 477, 480, 484, 485, 502，504

Носиро (Noshiro К.) 478, 504

Островский (Ostrowski А.) 491, 504

Перрон (Perron О.) 140, 505

Понтрягин Л. С. 500•

Раднер (Radner R.) 271, 272, 275, 276, 505

Рамси (Ramsey F. Р.) 287, 505

Рейдер (Rader J. Т.) 367, 505

Саймон (Simon Н. А.) 127, 506

Сайон (Sion М.) 127, 413, 505

Самуэльсон (Samuelson Р. А.) 8, 199, 239, 248, 271, 287, 382, 394, 415, 430, 456, 459, 494, 495, 502, 505

Скарф (Scarf Н.) 307, 366, 367, 432, 5U2, 505

Слуцкий (Slutsky Е.) 389, 505

Смит (Smith А.) 123, 365, 505

Солоу (Solow R. М.) 131, 199, 502, 505

Столпер (Stolper W. F.) 494, 495, 505

.Сьюте (Suits D. В.) 199, 506

Таккер (Tucker A. W.) 58, 61, 62, 77, 187, 393, 500/502, 506

Томпсон (Thompson G. L.) 195, 502, 506

Удзава (Uzawa Н.) 8, 283, 323, 324 332, 346, 382, 391, 432, 452, 500, 506

Фаркаш (Farkas J.) 61, 506

Фомин Б. С. 456

Фомин С. В. 21

Фробениус (Frobenius G.) 140, 506

Хан (Hahn F.) 391, 506

Хикс (Hicks J. R.) 390, 493, 506

Хокинс (Hawkins D.) 127, 506

Хопф (Hopf Н.) 500

Хоув (Howe С. W.) 195, 506

Цукуи (Tsukui J.) 272, 287, 506

Чипман (Chipman J. S.) 7, 8, 507

Шепли (Shapley L. S.) 8, 381, 507

Шпернер (Sperner Е.) 89, 507

Штимке (Stimke Е.) 58, 61, 507

Шубик (Shubik М.) 381, 507

Эджворт (Edgeworth F. Y.) 307г 366, 507

Эйленберг (Eilenberg S.) 93, 507 Эрроу (Arrow К. J.) 8, 248, 307, 323y 324, 329, 330, 337, 382, 391, 393, 415, 421, 431, 432, 437, 439, 545, 500, 507

Аффинное подпространство 32

———натянутое на выпуклое множество 40

Аффинно независимые точки 80

Базисный товар (numeraire) 431, 457, 493

Барицентрические координаты 81

Барицентрическое подразделение 82

——v_e 85

Барицентр симплекса 82

Бездействие (inaction) 241

Безразличие между векторами потребительских благ 288, 309

Бюджетное ограничение 317, 326

Валовая заменимость продуктов

(gross substitutability) 382

—— ——в дифференциальной форме 391

———форме конечных приращений 391

——обобщенная 392

————случай кососимметричности 392

— — сильная 392

Вариант с запасами (stock version) 238

——потоками (flow version) 238

Вектор выпусков 237, 238

—затрат 237, 238

— потребительских благ 288

—равновесных цен 326

—чистого выпуска 238

Величина эффекта дохода 388, 390

——замещения 388, 390

Внешняя неэкономичность (external diseconomies) 239

Выпуклая оболочка множества 34

——отображения 104

Выпуклое тело 39

Выпуклость множеств 32

—функций 46, 69

Выпуклый конус 55

—— ——двойственный 55

——заостренный 68

——многогранный 65

—многогранник 65

Гиперплоскость касательная (tangential) 45

—опорная (supporting) 46

——отделяющая (separating) 54

Глобальная устойчивость 432

Гомотопический мост 106, 481

Гомотопия 106, 481

График отображения 95

Двойственность (duality) выпуклых конусов 55

————замкнутых 56

————многогранных 67

—в линейном программировании 179

Декартово произведение- отображений 101

——пространств 42

Диаметр множества 81

Динамически равновесное решение 136

Динамическое равновесие 136, 137, 193

Дифференциал полный 113

Добавленная. стоимость (added va

lue) 129

Доминирующая диагональ 491

Доминирующее собственное значение 141

Допустимая траектория (feasible path) 289

——на интервале времени бесконечном 256, 257

—————конечном 256, 289

Евклидова норма 19

——вектора 20

— — матрицы 115

Евклидово расстояние 19

Задача о собственном значении (eigenvalue problem) 138, 460

—— —— ——一нелинейная 200

Задачи вогнутого программирования 77

— выпуклого программирования 77

——линейного программирования .178, 179

———двойственные 179

Закон Вальраса 339

— —в узком смысле 340

———широком смысле 340

Золотая траектория (golden path) 292

Золотое правило накопления 292

Золотой луч 292

—триплет 292

Инвариантность внутренних точек 118

Индивидуальные функции предложения 337, 349,

——спроса 338, 350

Индикатор полезности 288、

—предпочтений 317

Квадратичная форма положительно определенная 76

———полуопределенная 76

Классы безразличия 309

Коалиция 369

——блокирование коалицией 370

Композиция отображений 102

Конкурентное равновесие 325

——теоремы существования 329, 330

——теоретико-игровая интерпретация 365

Координаты барицентрические 81

Коэффициенты расходные (технологические) (input coefficients) 124

Крайние точки 62, 63

Куб 23, 25

Лемма Минковского — Фаркаша 61

—о мажорировании 435

—Шпернера 88, 89

Линейная комбинация выпуклая 32

——множеств 44

————неотрицательная 35

Линейное программирование 178

Луч максимального сбалансированного роста 265

Магистраль (turnpike) 274

Макротеория 14

Матрица импримитивная 157

—кососимметрическая 61

—неотрицательная 132

—— неотрицательно обратимая 132

—неразложимая 145

—обращающая знак вектора 465

—положительная 132

—положительно квазиопределен- ная 477

——полуположительная 132

——примитивная 157

一 разложимая 145

Матрица расходных (технологических) коэффициентов 132

——слабо отрицательно квазиопреде- ленная 480

————положительно квазиопреде- ленная 480

—устойчивая 156

—Хикса 493

7V-матрица 461

7V-P-матрица 461

—слабая 480

Р-матрица 461

——слабая 480

Р-ДГ-матрица 461

Матричный мультипликатор (mat

rix multiplier) 133

—супермультипликатор (supermultiplier) 136

Меню потребления (consumption me-

nue) 315, 321

n-мерный замкнутый интервал 23

Метрика 26

Метрическое пространство 26

Микротеория 14

Множество выпуклое 32

—дополнение, в множестве 21

—замкнутое в множестве 21

— компактное 21, 25

—линейно связное 31

——наборов потребительских благ 308

—открытое в множестве 20

— положительно резольвентное 219

——производственно-технологическое 237

—резольвентное 219

—связное 29

—стягиваемое 109

—технологическое 237

частичное 368

Множители Лагранжа 77

Модель Леонтьева 124, 125

——прибыльность (profitability) 130

——продуктивность (workability) 126

—фон Неймана 190

—Эрроу — Дебре 324

Монотонность 200

—слабая 200

—сильная 200

Мультипликатор скалярный 133

Набор потребительских благ 308

Наиболее (наименее) предпочтительный элемент 311

Насыщение (satiation, saturation)

312, 314, 329

Неймановский вектор цен 268

—луч 265

Ненасыщаемость (insatiability) 312

Необратимость (irreversibility) процессов 240

——в варианте с запасами 240

—————потоками 240

—совокупных процессов 325

Неосуществимость «рога йзобилия» (impossibility of the land of Cockaigne) 240, 241, 325, 455

Hеотрицательная обратимость матриц 132

Н еотрицател ьный ортант 55

Неподвижная точка 88

— — многозначного отображения 97

Непрерывность отношения предпочтения 310

Неравенство Шварца 19

Неразложимость матриц 145

——систем с валовой заменимостью 392

—технологических множеств 267

——функций 207

Норма роста (rate of growth) 260

Область замкнутая 114

—открытая 114

—прямоугольная 114

Однородность 200, 349, 457

8-окрестность 26

Оптимум Парето 360

Ортогональное дополнение 53, 60

——вектора 282

Открытое покрытие 25

Относительная внутренность 21

——симплекса 81

—граница 21

——симплекса 81、

—топология 21

Относительное замыкание 21

Отношение безразличия 309

—предпочтения 308

——возрастающее 316, 382

——непрерывное 310

—строгого предпочтения 309

—эквивалентности 309

Отображение дифференцируемое 114

— локально обратное 120

—многозначное (точечно-множест-

—венное) 94

——замкнутое 94

——полунепрерывное сверху 94

—непрерывное 94

—однозначное (точечно-точечное) 94

Отрезок 31

Период матрицы 162

Полезность (utility) 288, 318

Поле предпочтений 308

——выпуклое 313

— — строго выпуклое 314

Поиск (tatonnement) 346, 430

Полный доход потребителя 326, 350

Порядок симплекса в барицентрическом подразделении 85

Постоянство удельного выпуска

(constant returns to scale) 125, 239

Потребитель, положительно наделенный 375

Потребительский выбор 244, 317, 333

Предпочтительность векторов потре

бительских благ 288, 308

Преобразуемость (transformability)

255

Примитивность матриц 157

—функций 210

Принцип магистрали (turnpike pro

position) 271

Продолжаемость решений 432, 433

Продолжение отображений 103

Продукт желательный 328

—производительный 328

Продуктивный триплет 290

——тривиальный 290

Продукты дополнительные 390

— заменимые 390'

Проектирование 43

—ортогональное 53, 66, 282

Производственная функция классическая 247

—— ——неоклассическая 247

Промежуточное приближение (con

secutive proximity) 281

——слабое 298

Процесс производственный (production process) 237

——вариант с запасами 238

————потоками 238

——нормированный 261

—расходования (disposal process) 241

—с динамическим мультипликатором 135

—совокупный (aggregate process) 320

—формирования равновесных цеп па рынке 346, 430

—эффективный 242

Равновесное решение 340

Равновесный вектор цен 340, 395

Размерность выпуклого множества 41

Распределение потребления 321

—производства 320

——и потребления совместное 321

Распределения эквивалентные 380

Расходная оболочка (disposal hull) 279

Расходные (технологические) коэффициенты (input coefficients) 124

Реплика 371

—r-кратная 371

Решение динамически-равновесное (moving equilibrium solution) 136

—локальное 431

—минорантное 176, 177

—оптимальное 182

—равновесное .340

—сбалансированно-растущее (balanced-growth solution) 136, 170, 176, 200, 226

—стационарное 210

Рост последовательности быстрый 231

——медленный 231

—самоподдерживающийся (self-sustained growth) 167, 216, 254

Сбалансированный рост 136, 260

——второго рода 216, 218, 226

——первого рода 216, 217, 228

Свободное расходование (free disposal) 241

Свободный товар 327

Свойство исключительной прибыльности (unique profitability) 268

—конечного пересечения 25

8-сеть 26

Симплекс 80, 81

—производный 84

——регулярный 89

—стандартный 24

Симплекса вершина 81

—грань 81

Скалярное произведение 19

Склонность к потреблению (propensity to consume) 133

Слабая аксиома выявленного предпочтения (weak axiom of revealed proference) 415

Собственное значение (eigenvalue) 138, 200, 460

Совокупная выпуклость (aggregative convexity) 330

Совокупное технологическое множество 320

Совокупный процесс (aggregate process) 320

—спрос 321

Строгая выпуклость поля предпочтений 314, 382

————технологического множества 255, 288, 455

Строгая выпуклость функций 76

(тг — 1)-сфера 25

Сходимость решений 431, 432

Сумма дивидендов 326, 350

Темп роста (growth factor) 260

Теорема Брауэра 91

—Какутани 97

—Куна — Таккера 77

——о взаимной однозначности локальной 115

——магистрали (turnpike theorem) 270, 278

———в потреблении 297

———сильная 278

———слабая 278

——незаменимости (nonsubstitution) 248, 249

——неявной функции 121

—Раднера 276

—Руше 117

—существования Коши — Пеано локальная 433

— — Кронекера 111, 112

—Таккера 59

—Фробениуса — Перрона 138, 140

—Штимке 59

——Эйлера об однородных функциях 407

Теоремы об отделимости 47

—— о глобальной взаимной однозначности 466

—— ——неподвижной точке 80

—существования конкурентнога равновесия 329, 330

Теория предельной производительности (marginal productivity theory) 189

Технологическое множество 237

——вариант с запасами 238

————потоками 238

——совокупное 320

Технология продуктивная 198

Точка внутренняя в множестве 20

—граничная в множестве 20

—насыщения (satiation(saturation} point) 312

——неотрицательная 57

—неподвижная (fixed) 80, 97

—положительная 57

—полуположительная 57

Траектория допустимая (feasible path) 256

—оптимальная 289

—u-оптимальная 272

—сбалансированного роста 260, 290

Траектория сбалансированного роста максимального 260

—эффективная 257

Уравнение резольвентное 219

——Слуцкого в дифференциальной форме 389

———форме конечных приращений 388

Уравнения Коши ——Римана 479

Условие аддитивности 280

—Брауэра — Солоу 131

—гранитное 397

——Слейтера 78

—Столпера — Самуэльсона 497

—Хокинса — Саймона 127

Условный экстремум 77

Усреднение исходного распределения 373

Устойчивость решения глобальная 432

— —относительная 137, 207, 226

Фактор, ассоциированный с продуктом 495

——интенсивно используемый 495

Функция вогнутая 76

——строго 77

Функция выпуклая 46, 69

——строго 76

— дифференцируемая 113

——избыточного предложения модифицированная 354

—полезности 288

— потребления 215

—предложения (supply function) 337

— — индивидуал ьная 337

—расходов 215

—совокупного избыточного предложения (aggregate excess supply function) 339

—спроса (demand function) 317, 337

——индивидуальная 338.

Хар актеристическое уравнение 138

Циклическое разложение 157

Число Фробениуса — Перрона 141 п-шар 24

Ядро экономики (core of economy) 366, 370

Якобиан 115

Якобиева матрица' 114, 453

——почти постоянная 459

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие .7

Список основных обозначений 9

Введение 13

Математический анализ в экономической теории 13

Предмет математической экономики 14

Роль понятия выпуклости 15

О расположении материала в книге 17

Глава I. Математические теоремы о выпуклости 19

Евклидовы пространства 19

Евклидовы пространства 19

Компактные множества 21

Компактные множества (продолжение) 25

Связные множества 29

Выпуклые множества в Rn 31

Выпуклые множества 31

Выпуклые оболочки 34

Топологическая структура выпуклых множеств . . .37

Построение некоторых выпуклых множеств 42

§ 3； Теоремы об отделимости выпуклых множеств 45

Опорные гиперплоскости 45

Теоремы об отделимости 47

Приложения 55

Крайние точки 62

Выпуклые функции 69

Условный экстремум . . . .77

Теоремы о неподвижной точке 80

Симплексы 80

Неподвижные точки 88

Неподвижные точки (продолжение) 93

Операции над отображениями 101

Гомотопия и теоремы о продолжении 106

Гомотопия и продолжение отображений 106

Частный случай теоремы Кронекера 111

Дифференцируемые отображения 112

31313341 8852223 3341 111 1 113341 8852223 3341 111 1 119 96364- 41119 96364- 411178^^78^^199199в 97 5 59 26 1919202121212222в 97 5 59 26 19192021212122226326326 6 8 2 73 3 3 4 42 2 2 2 26 6 8 2 73 3 3 4 42 2 2 2 2440066075567 8 8992 2 2 2 2 2 2 2440066075567 8 8992 2 2 2 2 2 2 2

3

1

3

1

3341 885

2223 334

1 111 1 11

3341 885

2223 334

1 111 1 11

9 9636

4- 4111

9 9636

4- 4111

78^^

78^^

199

199

в 97 5 59 26 1919202121212222

в 97 5 59 26 1919202121212222

6

3

2

6

3

2

6 6 8 2 7

3 3 3 4 4

2 2 2 2 2

6 6 8 2 7

3 3 3 4 4

2 2 2 2 2

44006607

5567 8 899

2 2 2 2 2 2 2 2

44006607

5567 8 899

2 2 2 2 2 2 2 2

Глава II. Простые многосекторные линейные модели ......

Леонтьевская модель «затраты — выпуск». Матричные мультипликаторы

Вводные замечания

Модель Леонтьева

Матричные мультипликаторы

Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона

Неразложимость

Импримитивность и колебательное поведение

Устойчивые матрицы

Импримитивность

Другая характеристика периода

Разностные уравнения в обратном времени

Другие линейные модели

Линейное программирование

Модель расширяющейся экономики фон Неймана ...

Глава IIL Сбалансированный рост в нелинейных системах ....

Теоремы об относительной устойчивости по Солоу — Самуэльсону

Нелинейные однородные разностные уравнения ...

Относительная устойчивость

Динамика доходов при внешних расходах

Нелинейные процессы с мультипликатором

Положительно-резольвентные множества

Дальнейшие результаты в предположении монотонности

Устойчивость при неавтономном росте

Глава IV. Эффективное распределение и рост

Производственно-технологические множества

Технологические множества

Структурные свойства технологических множеств ..

Эффективное распределение и цены

Теорема о незаменимости

Теоремы о самоподдерживающемся эффективном росте ...

Траектории эффективного роста

Траектории максимального сбалансированного роста

Теорема о магистрали

Теорема о магистрали в потреблении

Оптимальные потоки потребления

Оптимальные траектории сбалансированного роста .

Теорема о магистрали в потреблении

Глава V. Функционирование конкурентной экономики по Вальрасу

Распределение в децентрализованных системах

Децентрализованные системы

Поведение потребителя

Основная модель

Существование конкурентного равновесия

Конкурентное равновесие по Вальрасу

Функции предложения и спроса

Закон Вальраса и экономическое равновесие ....

Существование конкурентного равновесия

Нормативный подход к конкуренции

Оптимум Парето и цены

3043043043044 7 9о о 13 3 34 7 9о о 13 3 33 3 3 3 8 о о 22344 663 3 3 3 3 3 33 3 3 3 8 о о 22344 663 3 3 3 3 3 3563563Глава VI. Некоторые частные конкурентные экономические модели. Валовая заменимость Валовая заменимость и экстремизацияВаловая заменимость Экстремизация и существование равновесияЭкстремизация и условие выявленного предпочтенияУстойчивость в системах с валовой заменимостьюДинамические процессы формирования ценУстойчивость при валовой заменимостиГлава VII. Якобиевы матрицы и глобальная взаимная однозначность Условия глобальной взаимной однозначности в терминах яко- биевых матриц Предварительные соображенияP-матрицы и смежные понятия '§ 20.3. Теоремы о глобальной взаимной однозначности ...Более слабые условия Некоторые результаты для п = 2Приложения к якобиевым матрицам специального вида ...P-матрицы специального вида Условие Столпера ——Самуэльсона Глава VI. Некоторые частные конкурентные экономические модели. Валовая заменимость Валовая заменимость и экстремизацияВаловая заменимость Экстремизация и существование равновесияЭкстремизация и условие выявленного предпочтенияУстойчивость в системах с валовой заменимостьюДинамические процессы формирования ценУстойчивость при валовой заменимостиГлава VII. Якобиевы матрицы и глобальная взаимная однозначность Условия глобальной взаимной однозначности в терминах яко- биевых матриц Предварительные соображенияP-матрицы и смежные понятия '§ 20.3. Теоремы о глобальной взаимной однозначности ...Более слабые условия Некоторые результаты для п = 2Приложения к якобиевым матрицам специального вида ...P-матрицы специального вида Условие Столпера ——Самуэльсона 2832832 2 4 58 8 9 13 3 342 2 4 58 8 9 13 3 349 9 72 2 34 4 49 9 72 2 34 4 43543543 3 16 9 35566784 4 4 4 4 43 3 16 9 35566784 4 4 4 4 40 0 4 4949490 0 4 494949Теоретико-игровая интерпретация конкурентного равновесия

304304

304304

4 7 9

о о 1

3 3 3

4 7 9

о о 1

3 3 3

3 3 3 3 8 о о 22344 66

3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 8 о о 22344 66

3 3 3 3 3 3 3

5

6

3

5

6

3

Глава VI. Некоторые частные конкурентные экономические модели. Валовая заменимость

Валовая заменимость и экстремизация

Валовая заменимость

Экстремизация и существование равновесия

Экстремизация и условие выявленного предпочтения

Устойчивость в системах с валовой заменимостью

Динамические процессы формирования цен

Устойчивость при валовой заменимости

Глава VII. Якобиевы матрицы и глобальная взаимная однозначность

Условия глобальной взаимной однозначности в терминах яко- биевых матриц

Предварительные соображения

P-матрицы и смежные понятия

'§ 20.3. Теоремы о глобальной взаимной однозначности ...

Более слабые условия

Некоторые результаты для п = 2

Приложения к якобиевым матрицам специального вида ...

P-матрицы специального вида

Условие Столпера ——Самуэльсона

Глава VI. Некоторые частные конкурентные экономические модели. Валовая заменимость

Валовая заменимость и экстремизация

Валовая заменимость

Экстремизация и существование равновесия

Экстремизация и условие выявленного предпочтения

Устойчивость в системах с валовой заменимостью

Динамические процессы формирования цен

Устойчивость при валовой заменимости

Глава VII. Якобиевы матрицы и глобальная взаимная однозначность

Условия глобальной взаимной однозначности в терминах яко- биевых матриц

Предварительные соображения

P-матрицы и смежные понятия

'§ 20.3. Теоремы о глобальной взаимной однозначности ...

Более слабые условия

Некоторые результаты для п = 2

Приложения к якобиевым матрицам специального вида ...

P-матрицы специального вида

Условие Столпера ——Самуэльсона

2

8

3

2

8

3

2 2 4 5

8 8 9 1

3 3 34

2 2 4 5

8 8 9 1

3 3 34

9 9 7

2 2 3

4 4 4

9 9 7

2 2 3

4 4 4

3

5

4

3

5

4

3 3 16 9 3

556678

4 4 4 4 4 4

3 3 16 9 3

556678

4 4 4 4 4 4

0 0 4 494949

0 0 4 494949

0008105 5 50008105 5 5

000810

5 5 5

000810

5 5 5

Библиография

Именной указатель

Предметный указатель

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ]

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

X. НИКАЙДО

Выпуклые структурыи матем атическая экономика

Редактор Попов А. С.Художник С. Еремина

X удожественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Т. А. Максимова

Сдано в набор 29/ХП 1971 г.

Подписано к печати 11/V 1972 г.

Бумага 60x90=16,25 бум. л.

32,5 печ.л.Уч.-изд. л. 30,10

Изд. № 1/5809

Цена 2 р. 62 к. Зак. 8

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Московская типография № 16

Главполиграфпрома

Комитета по печати при Совете Министров СССР.

Москва, Трехпрудный пер., 9

при подразделении данного ^-мерного симплекса, а также любой из

^Zjz} *(^ +1)! s-мерных симплексов ——собственных граней этих симплексов

(О & s & А: — 1).— Прим, перев. 1

亠—亠—

亠—

亠—

ВЫПУКЛЫЕ СТРУКТУРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭКОНОМКНА

CONVEX STRUCTURESAND ECONOMIC THEORY

Hukukane Nikaido

The Institute of Social and Economic ResearchOsaka University^ Osaka, Japan

ACADEMIC PRESS, NEW YORK AND LONDON

1968

X. Никайдо

ВЫПУКЛЫЕ СТРУКТУРЫИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯЭКОНОМИКА

Перевод с английского

А. В. МАЛИШЕВСКОГО

Под редакцией

Э. М. БРАВЕРМАНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»МОСКВА 1972

УДК 51:330.115

В книге дано систематическое и углубленное изложение основ теории выпуклых множеств и ее приложений к математической экономике. Центральное место уделено обсуждению статических и динамических свойств экономических моделей, вопросам существования, единственности, оптимальности и устойчивости решений. Наряду с классическими приводятся результаты, полученные в последнее время и не опубликованные в монографической литературе, такие, как «теоремы о магистрали», нелинейные модели сбалансированного роста, теоремы о теоретико-игровой интерпретации экономического равновесия.

Книга написана на высоком научном уровне и отличается продуманностью и ясностью изложения; необходимые для чтения математические сведения собраны в отдельной главе. Все это делает книгу полезной и специалисту, желающему получить квалифицированный обзор по современной математической экономике, и студенту, приступающему к серьезному изучению предмета.

Редакция литературы по математическим наукам