Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Руководство для решения задач
Рекомендовано
Министерством общего
и профессионального образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим
специальностям и направлениям
Ростов-на-Дону «Феникс» 1999
УДК 311(075.8)
ББК 606я73
Н60
Рецензенты:
Заслуженный деятель науки РФ, доктор экономических наук, профессор В. С. Князевский
Кафедра высшей математики Московского государственного института стали и сплавов
Учебно-методический совет по специальности «Статистика» УМО при Московском государственном университете экономики, статистики и информатики
Ниворожкина Л. П., Морозова 3. А.,Герасимова И. А., Житников И. В.
Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. — Ростов н/Д: Феникс, 1999. — 320 с. — (Учебники «Феникса»).
ISBN 5-222-00560-7
В пособии кратко и просто изложены основные понятия статистики и теории вероятностей, даны методические указания по решению типовых задач. В конце каждой главы приведены 20 вариантов задач, условия которых приближены к практическим ситуациям в области маркетинга, аудита, финансов и др.
Предназначено для студентов и аспирантов экономических вузов, преподавателей колледжей, вузов, а также для практических работников, желающих научиться использовать современные статистические методы и их практические приложения при планировании своей деятельности.
ISBN 5-222-00560-7
©Ниворожкина Л. И., Морозова 3. А., Герасимова И. А., Житников И. В., 1999 ©Оформление. Издательство «Феникс», 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рыночная экономика существенно повышает требования к качеству подготовки конкурентоспособных выпускников экономических вузов. Для этого необходимо владеть современным инструментарием математико-статистического анализа данных. Предлагаемое учебное пособие знакомит читателя с рядом важнейших разделов статистики и теории вероятностей, формирует основы статистического мышления. В пособии переработан и переосмыслен ряд методических подходов, используемых при чтении курсов по прикладной статистике и элементарной теории вероятностей на экономических факультетах в США и Европе.
В процессе экономического образования математико-статистические дисциплины традиционно считаются наиболее сложными для студентов. Предлагаемое пособие ставит своей целью помочь тем, кто осваивает эти курсы, особенно в системе заочного образования, понять прикладной, практический смысл проблем, решаемых с помощью статистики, а также помочь самостоятельно выполнить домашние задания по представленным темам.
Каждая глава начинается с краткого изложения основных теоретических понятий и формул. Авторы стремились подать этот материал так, чтобы, избегая громоздких математических доказательств, на доступном уровне донести до читателя сложные понятия современной статистики.
Для всех основных типов задач, которые можно решить на базе изложенного теоретического материала, приведены методики их решения, которые не только дают «рецепты» для получения ответов, но, прежде всего, помогают читателю освоить основы статистического вывода при решении различных задач из области практической деятельности. Если читатель поймет, для чего необходимо использовать тот или иной статистический метод, ему легче будет освоить и его формальный вычислительный алгоритм, увидеть, что полученный результат — не просто число, а сконцентрированное выражение того, что исходные данные несут в себе об изучаемом явлении.
Для того чтобы процесс обучения носил активный характер, тексты задач максимально приближены к реальным ситуациям в различных областях экономики, таких, как бухгалтерский учет и аудит, финансы, маркетинг и т. д. Решение их поможет понять универсальность статистического анализа как инструмента решения проблем, связанных с риском и неопределенностью.
В книге приведены основные таблицы математической статистики, необходимые для решения задач (приложения 1-6), а также список рекомендуемой литературы.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Этот материал не относится непосредственно к теории вероятностей и математической статистике, однако необходим в дальнейшем при расчетах вероятностей.
Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.
Группы, составленные из каких-либо предметов (безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), называются соединениями (комбинациями).
Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.
Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
Размещения
Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т в каждом обычно обозначается символом А™ и вычисляется по следующей формуле*:
А^ = л(л - IX” ~ 2)...(л - m +1).(1-1)
* Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении — для числа сочетаний, опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.
Понятие факториала
Произведение п натуральных чисел от 1 до n обозначается сокращенно п!, т. е. 1·2·3·...·(n -1)·n= n (читается: п факториал). Например:
5!=1·2·3·4·5=120.
Считается, что 0! = 1.
Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:
л!
Л =—"—.(1-2)
(п - т)!
где 0 □ т□ п.
Очевидно, что Аn1= п (при m = 1) и Аn0=n (при m= 0).
Пример 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как
группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:
N=А310=10·9·8=720
Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.
Размещения с повторениями
Размещение с повторениями из n элементов по m(mn) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.
Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов будем обозначать символом Аnm(c повт.) . Можно доказать, что оно равно nm:
Аnm(c повт.) =nmАnm(c повт.) =nm(1.3)(1.3)
Аnm(c повт.) =nm
Аnm(c повт.) =nm
(1.3)
(1.3)
Пример 2. Изменим условие примера 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на 3 различные должности. Предположим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в данном случае возможно комбинаций замещения 3 вакантных должностей?
Решение. Как и в предыдущей задаче, комбинации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать число размещений. Однако теперь вакантные должности могут замещаться одним и тем же претендентом, а значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторениями.
По условию задачи п = 10, т = 3. Следовательно, Аnm=103=1000.
Ответ. Можно составить 1000 комбинаций.
Сочетания
Сочетаниями из п элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа данных п элементов, и которые отличаются друг от
друга по крайней мере одним элементом.
Число сочетаний из п элементов по m в каждом обозначается символом Cnm и вычисляется так:
или
п'
Lc:=,(i.5)
m!(n - m)
где 0 < m < n.
Пример 3. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Решение. Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи п = 10, т = 3. Подставив данные в формулу (1.5), получаем
C*o = 10!/3!7! = 120.
Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.
Свойства сочетаний:
C:=C°=1;
2)С>щ.
С* = C” m(m>n/2) - удобно применять при т>л/2;
с® + С* += 2";(1.6)
С^ + C"+l = С”.,1 — рекуррентная формула, где 0 <т 5 п.
Замечание. Надо уметь различать сочетания от размещений. Например: если в группе 25 студентов и 10 человек из них, выйдя из аудитории на перерыв, стоят вместе и беседуют, то порядок, в котором они стоят, несуществен. Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в данном случае — сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет или в кассу за стипендией, то тогда существенно, в каком, порядке они стали, т. е. кто из них первый, второй и т. д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо составлять размещения.
Сочетания с повторениями
Сочетание с повторениями из n элементов по m (n ∈ m) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но
из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Следует отметить, что если, например, два соединения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом (Cnm)c повт и вычислять по формуле
(л + m -1)
"(1.7)
Замечание, т может быть и больше n.
Пример 4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?
Решение.
Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.
Перестановки
Перестановками из п элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все п элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Pn, это то же самое, что число размещений из п элементов по n в каждом, поэтому
Р" = А" = д(л - 1)(л - 2)-.. .(л - 1)л = л!;
Р, = 1-2-3-4-,„-(л - 1)п = л! (L8)
Пример 5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?
Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.
По условию задачи п = 6. Следовательно,
Рn = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.
Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.
Перестановки с повторениями
Число перестановок с повторениями выражается формулой
(1.9)(1.9)
(1.9)
(1.9)
Пример 6. Сколькими способами можно разделить т + п + s предметов на 3 группы, чтобы в одной группе было т предметов, в другой n предметов, в третьей — s предметов?
Решение.
^(Р™^(Р™)г <1<Я1ЛЭ)г <1<Я1ЛЭ(m + n + s)!т!л!$!(m + n + s)!т!л!$!
^(Р™
^(Р™
)г <1<Я1ЛЭ
)г <1<Я1ЛЭ
(m + n + s)!т!л!$!
(m + n + s)!т!л!$!
Задачи к теме 1
Во многих странах водительское удостоверение (автомобильные права) имеет шифр, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв русского алфавита, используемых для составления шифра, — 26, а буквы занимают первые 3 позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если: а) цифры в шифре не повторяются; б) повторяются?
Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность? Какова вероятность того, что кандидаты будут расставлены в списке по возрасту (от меньшего к большему)?*
Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?*
Менеджер рассматривает кандидатуры 8 человек, подавших заявления о приеме на работу.
Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке? Какова вероятность того, что они случайно будут приглашены на собеседование в зависимости от времени их прихода в офис?*
На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава? Какова вероятность того, что составы случайно будут расставлены на путях в порядке возрастания их номеров?*
Покупая карточку лотереи «Спортлото», игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все 6 номеров?*
Четыре человека случайно отбираются из 10 согласившихся участвовать в интервью для выяснения их отношения к продукции фирмы по производству продуктов питания. Эти 4 человека прикрепляются к 4 интервьюерам. Сколько существует различных способов составления таких групп? Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепления определенного человека к интервьюеру?*
Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за круглым столом? Какова вероятность того, что гости случайно окажутся рассаженными по росту?*
Девять запечатанных пакетов с предложениями цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложениями цены? Какова вероятность того, что конверты случайно окажутся вскрытыми в зависимости от величины предлагаемой за аренду участков цены?*
Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 4 помещения, расположенные в многоэтажных зданиях?*
Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число отобранных войдут самые высокие рабочие?*
Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки? Какова вероятность того, что заявки получат агентства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?*
Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля: а) если цифры в коде не повторяются; б) если повторяются? С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки?*
Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Какова вероятность того, что список окажется составленным в алфавитном порядке?*
На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно равными возможностями. Для апробации в своих филиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?*
Выделены крупные суммы на выполнение 4 крупных правительственных программ, сулящих
исполнителям высокую прибыль. Сколько существует способов случайного распределения этих 4 программ между 6 возможными исполнителями? Какова вероятность того, что средства на выполнение программ при таком распределении получат 4 исполнителя, имеющие наибольшую прибыль, причем величина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?*
Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей среди имеющихся акций цене и обладают одинаковой доходностью. Клиент собирается приобрести акции 3 таких компаний — по 1 от каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких акций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число случайно отобранных попадут акции, рост цен на которые будет наибольшим в следующем году?*
Фирмы Fl, F2, F3, F4, F5 предлагают свои условия по выполнению 3 различных контрактов Cl, C2 и СЗ. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е. если фирма Fl получит контракт Cl, то это не то же самое, если она получит контракт C2. Сколько способов получения контрактов имеют фирмы? Если предположить равновозможность заключения контрактов, чему равна вероятность того, что фирма F3 получит контракт?*
По сведениям геологоразведки 1 из 15 участков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Какова вероятность того, что случайно отобранные для бурения участки окажутся, например, самыми северными?*
На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно комбинаций выбора 9 из 15 безработных?
* Для вычисления вероятностей здесь и далее ознакомьтесь с материалом гл. 2.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение вероятности и свойства, вытекающие из ее определения,классификация событий, диаграммы Венна
Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события. Например, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строительство нового дома завершится в срок.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».
Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения (табл. 2.1).
Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.
Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.
Таблица 2.1
Испытание
Исход испытания
Подбрасывание монеты Контроль качества деталей Продажа квартиры
Результат футбольного матча
Цифра, герб
Годная, бракованная
Продана, не продана
Победа, проигрыш, ничья
Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным.
Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом Ω.
Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), называется невозможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также
невозможное событие. Невозможное событие обозначим ø.
Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.
Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах.
В магазин вошел покупатель. События «В магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» — совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события.
События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет). Например, некая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «Потребитель услышал о товаре по радио», «Потребитель прочитал о товаре в газете», «Потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты», «Потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Эти 4 события единственно возможные.
Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные.
Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.
Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.
Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.
Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью так называемых диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна).
Изобразим полную группу событий в виде квадрата, тогда круг внутри квадрата будет обозначать некоторое событие, скажем. А, а точка - элементарное событие - Е (рис. 2.1).
Рис. 2.1Рис. 2.1
Рис. 2.1
Рис. 2.1
Рис. 2.1 демонстрирует два противоположных события А и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий. Противоположное событие обозначается Ā.
Пересечение А и В (обозначается как А п В) есть набор, содержащий все элементы, которые
являются членами и А и В (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Объединение А и В (обозначается A и В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.
Полную группу можно определить так:
тогда {А 1, А2,..., Ап} — полная группа событий.
Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.
Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N:
P(A)=M/N,(2.1)
где М — целое неотрицательное число, 0 < М < N.
Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 — это частота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 — это относительная частота.
Относительной частотой события называется отношение числа испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п.
W(A) == т/п(2.2)
где т — целое неотрицательное число, 0 < т< п.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р (А). Следовательно,
I
P*(A)®WU)- т/п . пр» п-н* при л-и*
При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т. е.
Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная.
Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
Вероятность достоверного события равна 1, т. е. Р(□) =1.
Действительно, если событие А = Q, то М = N, значит,
Р(□) = N/N = 1.
Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е.
Р (0)= 0.
Если А = ∅, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е.
М = 0 и Р(0) = 0/N = 0.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.
В самом деле, так как 0< M < N, 0< M/N < 1, т. е. 0 < Р(А) < 1.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р(А) = 1. В самом деле,
Р(А) = (N - M)/N = 1 - M/N = 1 - P(A), следовательно,
Р(А)+Р(А)=1.(2.3)
Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна
1 - 4/52 = 48/52
Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых, 100 — третьих и 1 000 — четвертых. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10 000 покупателей. По правилам розыгрыша после извлечения выигрышного билета он возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет 1-й приз; б) выиграет хотя бы 1 приз; в) не выиграет ни одного приза?
Решение, а) Определим событие А: «Покупатель выиграл 1-й приз». Согласно условию задачи, в лотерее участвовало 10 000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10 000, а число исходов, благоприятствующих событию А, М = 1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности:
определим событие В: «Покупатель выиграл хотя бы 1 приз». Для этого события число благоприятствующих исходов
М = 1 + 5 +100 + 1 000 = 1 106. P(B) = M/N = 1106/10 000 = 0,1106;
событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» — противоположное событию В: «Покупатель выиграет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как B . По формуле (2.3) найдем
Р(В) =1- Р(В) = 1 - 0,1106 = 0,8894 .
Ответ. Вероятность того, что покупатель выиграет 1-й приз равна 0,0001, один приз — 0,1106, не выиграет ни одного приза — 0,8894.
Пример 2. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид (табл. 2.2):
Таблица 2.2
Структура
Женщины
Мужчины
Администрация
25
15
Операционисты
35
25
Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-
администратор; б) женщина-операционист; в) мужчина; г) операционист?
Решение.
В банке работают 100 человек, N = 100.
Из них 15 - мужчины-администраторы, М = 15. следовательно,
Р(мужчина-администратор) = 15/100 = 0,15.
35 служащих в банке - женщины-операционисты, следовательно,
Р(женщина-операционист) == 35/100 = 0,35.
40 служащих в банке - мужчины, следовательно,
Р(мужчина) = 40/100 = 0,40.
Из общего числа служащих в банке 60 - операционисты, следовательно,
Р(операционист) = 60/100= 0,60.
Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ),
или(2.4)
Р(А о В) - Р(А) + Р(В) - Р(А п В).
Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие, а вероятность его равна нулю, следовательно, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
1Для несовместных событий Л, В
Р(А + В)- Р(А) + ЦВ^
или(2.5)
Р(А о В) = Р(А) + Р(В).
Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий
ДА, + А+А +-+^J = ^ + ДА) + ДА) +...4 ДА.),
или(2.6)
В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Для случая трех совместных событий можно записать
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ)- Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
Сумма вероятностей событий А 1, А2, А3,..., An, образующих полную группу, равна 1
Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + ... + Р(Аn) = 1.
или
^P(At)=\.(2.7)
Пример 3. Компания производит 40 000 холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них 10 000 экспортируются в страны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4 000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России?
Решение. Обозначим события:
А - «Холодильник будет продан в странах СНГ»;
В - «Холодильник будет продан в Европейской части России»;
С - «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»;
D - «Холодильник будет продан в Западной Сибири»;
Е — «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;
F — «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».
Соответственно, вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ:
Р(А) = 10000/40000 =0,25;
вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:
Р(В) = 8 000/40 000 = 0,20;
вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:
Р(С) = 7 000/40 000 = 0,175;
вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири;
Р(D) = 6 000/40 000 = 0,15;
вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:
Р(Е) = 5 000/40 000 = 0,125;
вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:
P(F) = 4 000/40 000 =0,10. События А, В, С, D, Е, F — несовместные.
Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья. Отсюда по формуле (2.5) находим его вероятность:
Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,25 + 0,175 = 0,425.
Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле (2.6) находим его вероятность:
Р (холодильник будет продан в России) = Р(А +D+E+ F) = Р(В) + P(D) + Р(Е) + P(F) = 0,20 + 0,15 ++0,125 + 0,10 = 0,575.
Этот же результат можно было получить рассуждая по-другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» — два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2.3):
Р(холодильник будет продан в России) = 1 - Р(холодильник произведен на экспорт) = 1 - 0,425 =
=0,575.
Пример 4. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?
Решение. Определим события: А — «Извлечение туза», В — «Извлечение карты трефовой масти». Вероятность извлечения туза из колоды карт Р(А) = 4/52; вероятность извлечения карты трефовой масти — Р(В) = 13/52; вероятность их пересечения — извлечение трефового туза - Р(АВ) = 1/52 (рис. 2.4).
События А и В — совместные, поскольку в колоде есть трефовый туз.
Согласно условию задачи, нас интересует вероятность суммы совместных событий А и. В. По формуле (2.4) получим
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 1/2.
Пример 5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара: а) при 1-м извлечении из урны; б) при 2-м извлечении из урны?
Решение. Здесь возможны 2 случая.
1-й случай. Схема возвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения возвращается в урну.
Пусть событие А — «Появление белого шара при 1-м извлечении», так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5.
Пусть событие В — «Появление белого шара при 2-м извлечении», так как шар после 1-го извлечения возвратился в урну, то N=5,а М=2 и Р(В) = 2/5.
Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае являются независимыми.
Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
Вероятности независимых событий называются безусловными.
2-й случай. Схема невозвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения в урну не возвращается.
Вероятность появления белого шара при 1-м извлечении Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались 1 белый и 3 черных шара. Чему равна вероятность
события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М = 1.
Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)а или Ра(В). Итак, Р(В/А) = 1/4 называют условной вероятностью, а события А, В — зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А) = 4/52; Р(А/В) = 4/16.
Например, тот факт, что человек работает научным сотрудником, не является независимым от наличия у него высшего образования; событие, состоящее в том, что станок может выйти из строя, не является независимым от срока его эксплуатации; событие, состоящее в том, что цена акций компании пошла вверх, не является независимым от того с прибылью или с убытком сработала компания в прошлом периоде; и т. д.
Таким образом, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Р(А В) = Р(А)Р(В),
или(2.8)
Р(А п В) = Р(А)Р(В).
События А1, А2, ..., Ап (п > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.
Распространим теоремы умножения на случаи п независимых и зависимых в совокупности событий.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий
Р(А1-А2-Аз-...-Ап) = Р(А1)-Р(А2)-Р(Аз)-...-Р(Ап). (2.9)
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого
Р^АВ) - Р(В) • ЛА/В),
Р<АПВ) = Р<В) • PtA/B),
ИЛИ
Р(АВ) = Р(Д) • Р(В/А);
Р(АПВ) = Р(А) • (В/А).
Вероятность события В при условии появления события А
Р(АГ\В)
Р(Д Д)PtA) * 0.(2.11)
Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все
предыдущие уже наступили
- Л^) • PtA^) • Р^/Ах • A,) •(2.12)
Если события А 1 , А2 ,..., Аn — зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя
бы одного из них равна
ГР(А) = 1-Р(Л1)Р(А'А1)-...- -(2ЛЗ)
•...•P^AnlA1A$-...-An_tAw,x).
Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным,
Пример 6. Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?
Решение. Обозначим события:
А — «Получение консультационной работы в корпорации А»;
В — «Получение консультационной работы в корпорации В».
События А и В — зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.
По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (2.10).
Отсюда получим
Р(АВ) = Р(А)Р(B/А) = 0,45 • 0,9 = 0,405.
Пример 7. В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы — женщины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
Решение. Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: «Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату.
Обозначим события:
А — «Случайно выбранный работник имеет высокую зарплату»;
В — «Случайно выбранный работник — женщина». События А и В — зависимые. По условию
Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,21.
Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. — условная вероятность события А.
Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,16.
Поскольку Р(А/В) = 0,16 меньше, чем Р(А) = 0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.
Пример 8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы на 1 вопрос.
Решение. Обозначим события:
А — «Студент знает все 3 вопроса»;
А1 — «Студент знает 1-й вопрос»;
А2 — «Студент знает 2-й вопрос»;
А3 — «Студент знает 3-й вопрос».
По условию
Р(А1) = 20/25; Р(А2/А1) = 19/24; Р(Аз,/А2A1) = 18/23.
Искомое событие А состоит в совместном наступлении событий А1, А2, А3.
События А1, А2, A3 — зависимые.
Для решения задачи используем правило умножения вероятностей конечного числа п зависимых событий (2.10):
Р(А) = (20/25)(19/24)(18/23) = 57/115 = 0,496.
Вероятность того, что студент ответит на все 3 вопроса, равна 0,496.
Обозначим событие:
В — «Студент ответит хотя бы на один вопрос». Событие В состоит в том, что произойдет или событие А1, а события А2 и А3 — не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и A3 — не произойдут, или произойдет событие А3 , а события А1 и А2 — не произойдут, или произойдут события А1 и А2 ,а событие A3 — не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 — не произойдет, или произойдут события А2 и А3 , а событие А1 — не произойдет, или произойдут все три ,события А1, А2, А3.
Для решения этой задачи можно было бы использовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий (2.13).
Учитывая, что
Р(А^=1- Р(А{) = 1 - 20/25;
P(AJAX) = 1 - Р( АДХ) = 1 - 20/24 = 4/24;
Р( А3/Ах/А.г) = 1 - Р( A^ X) = 1 - 20/23 = 323.
получим
Р(В) = 1 - (5/25)(4/24)(3/23) = 229/230 = 0,9957.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Пример 9. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?
Решение. Обозначим события:
А — «Потребитель увидит рекламу по телевидению»;
В — «Потребитель увидит рекламу на стенде»;
С — «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию
Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06.
События А и. В — совместные и независимые.
Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.
Отсюда
Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = 0,04 • 0,06 = 0,0024.
Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,0024.
Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.
Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступления хотя бы одного из п независимых событий.
Учитывая, что
/>(А) = 1 - Р(А) = 1 - 0,04 = 0,96
и Р(В) = 1 - Р(В) = 1 - 0,06 = 0,94, получим
Р(С) - 1 - Р(А) Р(В) = 1 - 0,96 ■ 0,94 = 0,0976.
Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого ею, и отсюда следует оценка рекламных усилий.
Задачи к теме 2
Анализ работы кредитного отдела банка выявил, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет. Также известно, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?
Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный — в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.
Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по каждому из 3 центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события — независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу: а) по всем 3 каналам; б) хотя бы по 1 из этих каналов?
Торговый агент предлагает клиентам иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы 1 книгу? Прокомментируйте предположения, которые вы использовали при решении задачи.
В налоговом управлении работает 120 сотрудников, занимающих различные должности.
Все сотрудники
Руководители
Рядовые сотрудники
Итого
Мужчины
29
67
96
Женщины
4
20
24
Итого
33
87
120
На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?
В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 — среднее специальное образование, у 357 высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или и то и другое?
Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также
считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет расти, а норма процента падать в течение обсуждаемого периода.
Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, получить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
Город имеет 3 независимых резервных источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника электроэнергии. Вероятность того, что любой из 3 резервных источников будет доступен при отключении постоянного источника, составляет 0,8. Какова вероятность того, что не произойдет аварийное отключение электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?
Покупатель может приобрести акции 2 компаний А и В. Надежность 1-й оценивается экспертами на уровне 90%, а 2-й — 80%. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?
Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок — 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?
На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора.
Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90%-й вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?
Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале «Коммерсант». По оценкам фирмы 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?
В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых — 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы 1 банк?
О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?
Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,7, а компании М — 0,4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность их роста или компании N, или компании М, или обеих компаний вместе.
Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 регионах, основанный на ее собственной системе кодов, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона?
Секрет увеличения доли определенного товара на рынке состоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение потребителей товара («brand loyalty» — приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара) — одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта духов знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание «brand loyalty» потребует, по крайней мере, 6 месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, потребитель только что приобрел новый сорт духов (изменил марку товара). Чему равна вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение 6 месяцев?
Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ — 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?
ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА
Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.
Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:
Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, H3, ..., Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нi), ..., Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то
а также известны и условные вероятности события А:
P(A/Ht), WH^ РкА/Н), .... Р(А/Ня),i = 1, 2, .~, п.
Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.
Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом
полной информации о событии А.
Вероятность события А определяется как
Р(А) = £Р(Н,)Р(А/Н,).(3.1)
i=l
Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только
вместе с одним из событий Н1 ,Н2 ,Н3,..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей
каждого из событий Н1, Н2,..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.
Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле
или
Р(Н,/А) = _^Ш^У_^Р(НаР(АШ,)
Это — формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе — формула полной вероятности.
Пример 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й — 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл. 3.1.
Поставщик% качественной продукции% брака1-й поставщик9822-й поставщик955Поставщик% качественной продукции% брака1-й поставщик9822-й поставщик955Таблица 3.1Таблица 3.1
Поставщик
% качественной продукции
% брака
1-й поставщик
98
2
2-й поставщик
95
5
Поставщик
% качественной продукции
% брака
1-й поставщик
98
2
2-й поставщик
95
5
Таблица 3.1
Таблица 3.1
Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от 2-го поставщика.
Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.
Таблица 3.2
Гипотезы Нi
Вероятности
априорные Р(Н)
условные
P(A/Hi)
совместные Р(Нi ∩ А)
апостериорные Р(Нi/А)
1
2
3
4
5
Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 — ЧИП от 1-го поставщика; Соб. Н2 — ЧИП от 2-го поставщика. Это — гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.
В колонке 2 записываем вероятности этих событий:
Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.
В колонке 3 определим условные вероятности события А — «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.
Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события
являются результатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:
Р(Нi ∩ А) = Р(Нi)Р(А/Нi).
Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 — вероятность поставки некачественного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 — вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)
Р(А) = £p(HJP(A/HJ = 0,0130 + 0,0175 = 0,0305.
Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):
PWA) = W^W ==
1Р(А) 0,0305
Р(Я2/Д) = ^WIA/H,) = 0,35 005 =
Р(А) 0,0305
Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Гипотезы Нi
Вероятности
априорные Р(Нi)
Условные
Р(А/Нi)
Совместные Р(Нi ∩ А)
апостериорные Р(Нi/А)
1
2
3
4
5
ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика
0,65
0,35
0,02
0,05
0,0130
0,0175
0,426
0,574
∑
∑=1
P(A)=0,0305
∑=l
Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.
Решение. Определим события:
А — «Акции компании поднимутся в цене в будущем году».
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 — «Экономика страны будет на подъеме»;
Н2 — «Экономика страны не будет успешно развиваться».
По условию известны вероятности гипотез:
Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:
Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1 А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 — несовместны.
События Н1 и А, Н2 и А — зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности
Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 • 0,75 + 0,20 • 0,30 = 0,66.
Решение оформим в виде табл. 3.4.
Гипотезы НiР(Нi)Р(А/Нi)Р(Н)Р(А/Н)Н1 — «подъем экономики»0,800,750,60Н2— «спад экономики»0,200,300,06∑1,000,66Гипотезы НiР(Нi)Р(А/Нi)Р(Н)Р(А/Н)Н1 — «подъем экономики»0,800,750,60Н2— «спад экономики»0,200,300,06∑1,000,66Таблица 3.4Таблица 3.4
Гипотезы Нi
Р(Нi)
Р(А/Нi)
Р(Н)Р(А/Н)
Н1 — «подъем экономики»
0,80
0,75
0,60
Н2— «спад экономики»
0,20
0,30
0,06
∑
1,00
0,66
Гипотезы Нi
Р(Нi)
Р(А/Нi)
Р(Н)Р(А/Н)
Н1 — «подъем экономики»
0,80
0,75
0,60
Н2— «спад экономики»
0,20
0,30
0,06
∑
1,00
0,66
Таблица 3.4
Таблица 3.4
Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66.
Ответ. 0,66.
Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста — 0,30; умеренного экономического роста — 0,50 и низкого роста — 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
Решение. Определим события:
А — «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 — «Активный экономический рост»;
Н2 — «Умеренный экономический рост»;
Н3 — «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:
Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Нз) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А — это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и НзА. — несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 — несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А — зависимые.
Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).
Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем
РкН^А/Н^=
$\Н,/А> - р^нiWmiWHiW/H^^^
0,30 0.70+0.50 0,40+0,20 0,20
Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.5.
Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.
Таблица 3.5
Вероятности
Гипотезы
Н,
априорные
Р(Н)
условные
PtA/H)
совместные
IXH, П А)
апостериорные
PVHJA>
Я,
0,30
0,70
0,21
Oil
-=- = 0,467 0,45
Н.
0,50
0,40
0,20
0i0 -=-=0,444 0,45
Н,
0,20
0,20
0,04
^=0.089 0,45
1,00
0,45
L i
Совместныевероятности(как произведение)PVH^ - 0,30 • 0,70 - 0,21ЛЯ, А )- 0,30 • 0,30 - 0,09ЛЯ/) - 0,50 • 0,40 - 0,20ЛЯ, А ) - 0,50 • 0,60 - 0,30ЛЯ/) = 0,20 • 0,20 = 0,04ЛЯ, А ) - 0,20 • 0,80 = 0,16Совместныевероятности(как произведение)PVH^ - 0,30 • 0,70 - 0,21ЛЯ, А )- 0,30 • 0,30 - 0,09ЛЯ/) - 0,50 • 0,40 - 0,20ЛЯ, А ) - 0,50 • 0,60 - 0,30ЛЯ/) = 0,20 • 0,20 = 0,04ЛЯ, А ) - 0,20 • 0,80 = 0,16Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:
Совместныевероятности(как произведение)PVH^ - 0,30 • 0,70 - 0,21ЛЯ, А )- 0,30 • 0,30 - 0,09ЛЯ/) - 0,50 • 0,40 - 0,20ЛЯ, А ) - 0,50 • 0,60 - 0,30ЛЯ/) = 0,20 • 0,20 = 0,04ЛЯ, А ) - 0,20 • 0,80 = 0,16
Совместныевероятности(как произведение)PVH^ - 0,30 • 0,70 - 0,21ЛЯ, А )- 0,30 • 0,30 - 0,09ЛЯ/) - 0,50 • 0,40 - 0,20ЛЯ, А ) - 0,50 • 0,60 - 0,30ЛЯ/) = 0,20 • 0,20 = 0,04ЛЯ, А ) - 0,20 • 0,80 = 0,16
Априорные Условные вероятности вероятности
ЛЯ|) = 0,30х/ ^^/Я^-ОЛО
/^^ Л А/Я,)-0,30 PW) - 0,50 ЛА/ЯХ)= 0,40
Л А/Я,)-0,60
ЛА/Я^ = 0,20
ЛЯ,) - 0,20 \ ^ д /я^ e 0 gQ
Ответ. 0,467,
Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.
Найти вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.
Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?
Решение. Определим события:
А — «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:
Н1 — «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар» и Н2 — «Из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар».
Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности гипотез
Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10
и условные вероятности события А.
После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 белых шаров, тогда
Р(А/Н1) = 7/11.
Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров, тогда
Р(А/Н2) = 6/11.
Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1 А, или Н2А. События Н1 А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 — несовместны. События Н1 и А, Н2 и А — зависимые.
Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)
Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 • 7/11 + 4/10 • 6/11 = 0,6.
Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.
Таблица 3.6Таблица 3.6
Таблица 3.6
Таблица 3.6
Гипотезы Нi
Р(Нi)
Р(А/Н)
Р(Н)Р(А/Н)
Н1 — «из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар»
6/10
7/11
42/110
Н2— «из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар»
4/10
6/11
24/110
∑
1,00
0,6
Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным, составляет 0,6.
Во 2-й части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:
Р(Н2/А).
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2) P(H,IA) =?WWy*31 = I'10 6,11 =0.3636.
PU^0,6
Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.7.
Таблица 3.7
Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.
Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.
Задачи к теме 3
Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке — фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказались 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины?
Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?
Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда
компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью — 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества — в 0,3, хуже по качеству — в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.
Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные — с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?
Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й — супружеская пара, в 3-й — 2 женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.
Среди студентов института — 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м — 30%, на 3-м — 35%, на 4-м — 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) — третьекурсник?
Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, получая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам предлагает в будущем отказывать в кредитной поддержке тем покупателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% таких покупателей задерживают платежи, по крайней мере, на 2 месяца.
Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не выполняют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил очередной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по кредиту. Проанализировав полученные вероятности, критически оцените новую кредитную политику, разработанную отделом менеджмента.
Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ и 10% —
международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных — 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?
Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?
Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?
При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки?
На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса — 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто
проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?
2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й — 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.
Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение дискретной случайной величины
Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, считается случайной.
Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.
Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через x1, x2, ..., xn..., а через pi = Р(Х = хi) вероятность появления значения xi, то дискретная случайная величина полностью определяется табл. 4.1.
Таблица 4.1
xi
x1
x2
...
xn
pi
p1
p2
...
pn
Здесь значения x1, x2, ..., xn записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называется законом (рядом) распределения дискретной случайной величины X. Поскольку в его верхней строчке записаны все значения случайной величины X, то нижняя обладает следующим свойством:
р, + Рг+...+₽„ =Х А =1.(4.1)
Ряд распределения можно изобразить графически (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если на рис. 4.1 по оси абсцисс отложить значения случайной величины, по оси ординат — вероятности значений, полученные точки соединить отрезками прямой, то получим многоугольник распределения вероятностей (полигон распределения).
Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:
Здесь для каждого значения х суммируются вероятности тех значений xi, которые лежат левее точки х.
Функция F(x) есть неубывающая функция. Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 4.2).
Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от а до в (включая а) выражается формулой
Р(а < Х < в) = F(в) - F(а).(4.3)
Одной из важных числовых характеристик случайной величины Х является математическое ожидание
М(Х) = x 1p 1, + x 2p 2 +...+ x 3p 3.(4.4)
В случае бесконечного множества значений xi в правой части (4.4) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых он абсолютно сходится.
М(Х) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:
М(С) = С, где С = const;
М(СХ) = СМ(Х);
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых Х и Y;
М(ХУ) = М(Х)М(У), если Х и Y независимы.
(4.5)
Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения М(Х) = а вводятся понятия дисперсии D(X) и среднего квадратического (стандартного) отклонения с(х). Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (Х — а),
где а = М(Х); с (х) определяется как квадратный корень из дисперсии, т. е.
о(х) =V№) ■
Для вычисления дисперсии пользуются формулой
D(X) = М(Х2) - М2(Х).(4.6)
Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:
D(C) = 0, где С = const;
IXCX^ = C2D<XY о^СХ) - |С|а(Х);(4.7)
D^X+Y^mX^IXY), a(XYY)=yHa(X))s^(Y))2,
если Х и У независимы.
Размерность величин М(Х) и с(Х) совпадает с размерностью самой случайной величины X, а размерность D(X) равна квадрату размерности случайной величины X.
Математические операции над случайными величинами
Пусть случайная величина Х принимает значения xi с вероятностями Р(Х = xi) =pi(i= 1, 2, ..., п), а случайная величина Y — значения yj с вероятностями Р(Y = у) =pj(j = 1, 2, ..., m). Произведение КХ случайной величины Х на постоянную величину K — это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные произведениям на К значений случайной величины X. Следовательно, закон ее распределения имеет вид табл. 4.2.
Таблица 4.2
kxi
kx 1
kx 2
...
kxn
Pi
P1
P 2
...
Pn
Квадрат случайной величины (X 2) — это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные квадратам ее значений.
Сумма случайных величин Х и Y — это новая случайная величина, принимающая все значения вида xi + Уj, (i = 1, 2, .... п; j = 1, 2, ..., т) с вероятностямирj, выражающими вероятность того, что случайная величина Хпримет значение xi ,a Y — значение yj, т. е.
pij = Р(Х = xi; У = уj) = Р(Х = xi)PX=xi(Y=уi). (4.8) Если случайные величины Х и Yнезависимы, то
Pli - Р(Х = х,; У = у) =
- Р(Х = x)P<Y = у,) = р^,.(4.9)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин Х и Y. .
Разность случайных величин Х и Y — это новая случайная величина, которая принимает все значения вида хi – уj, а произведение — все значения вида хiуj с вероятностями, определяемыми по формуле (4.8), а если случайные величины Х и Y независимы, то по (4.9).
Распределения Бернулли и Пуассона
Рассмотрим последовательность п идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
каждое испытание имеет 2 исхода, называемые успех и неуспех; это — взаимно несовместные и противоположные события;
вероятность успеха — р — остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха — q;
все п испытаний — независимы. Это значит, что вероятность наступления события в любом из п повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Вероятность того, что в п независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно т раз (в любой последовательности), равна
^=W.(4.10)
где q = 1— р.
Выражение (4.10) называется формулой Бернулли.
Вероятности того, что событие наступит: а) менее т раз; б) более т раз; в) не менее т раз; г) не более т раз — находятся по формулам:
a^ ЛЛ + ^ml -P*4*-p
pw * p.;w« +—+ p.in;
P.;„ + P^! +»*+ PK.*
P. + P. +...+ P .
* e;yя;щ
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х = О, 1, 2, ..., т, ..., п вычисляются по формуле Бернулли (табл.4.3).
Таблица 4.3
Так как правая часть формулы (4.10) представляет общий член биномиального разложения (q + р)п, то этот закон распределения называют биномиальным. Для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, имеем
М(Х) = np; (4.11)
D(X) = npq. (4.12)
Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются приближенной формулой
(4.13)(4.13)А"е"
(4.13)
(4.13)
/п!
где т — число появлений события в п независимых испытаниях; X = пр ( среднее число появлений события в п испытаниях).
Выражение (4.13) называется формулой Пуассона. Придавая т целые неотрицательные значения т =
0, 1, 2,0, 1, 2,....., п, можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (4.13), который
0, 1, 2,
0, 1, 2,
..
..
называется законом распределения Пуассона (табл. 4.4).
Таблица 4.4
Распределение Пуассона (приложение 3) часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства, например: число машин, прибывших на автомойку в течение часа; число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км; число мест утечки воды на 100 км водопровода; число остановок станков в неделю; число дорожных происшествий.
Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального, то п должно иметь порядок не
менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а пр < 10.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ, который определяет этот закон, т. е.
М(Х) = D(X) = λ.(4.14)
Гипергеометрическое распределение
Пусть имеется множество N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекается случайным образом без возвращения п элементов. Требуется найти вероятность того, что из них т элементов обладают признаком А. Искомая вероятность (зависящая от N, М, п, т) определяется по формуле
Полученный с помощью формулы (4.15) ряд распределения называется гипергеометрическим
законом распределения (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины т, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:
М(т) = п—;(4.16)
D(m) = n— — 1—— .(4.17)
^1 лгД N-1J
Пример 1. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека.
Составьте ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте его график.
Найдите числовые характеристики этого распределения.
Напишите функцию распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте ее график.
Чему равна вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек: а) не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом; б) окажется хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом; в) будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом?
Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Обозначим ее через X. Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2 (р = 0,2). Вероятность противоположного события, т. е. того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу не личным автотранспортом, а как-то иначе, также постоянна и составляет 0,8 (q= 1 - p= 10,2=0,8).
Все 4 испытания — независимы, т. е. вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, не зависит от того, каким способом предпочитает добираться на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.
Очевидно, что случайная величина Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и р = 0,2.
Итак, по условию задачи:
n = 4; р = 0,2; q = 0,8; X= т.
Чтобы построить ряд распределения, необходимо вычислить вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и записать полученные результаты в таблицу.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли
Поставим в эту формулу данные задачи.
PQC = 0) = P4 0 = C° • 0.2° 0,81 ° =
4!^,0,2е 0,8*° = 1 0,2° 0,8*-° = 0,4096 044-0)!
P(X = 1)=P41 =C’ O^1 0,8* 1 =
41*1Л
=0,2‘ 0.84"1 =4 0.2 0,8*"‘ =0,4096, 11(4-1)!
P(X = 2) = PM = C$ ■ 0,22 • 0,8м =
=:0,2a - 0.842 = 6 - 0,22 ■ 0,8* 2 = 0.1536;
21(4-2)!
P(X = 3) = P4 8 = C4 - 0,28 ■ 0.84"1 =
=—0,2’ • 0.8* ’ = 4 • 0.2’ ■ 0.84"3 = 0.0256;
31(4-3)!
P(X = 4) = Р4Л = С? ■ 0.2* ■ 0.8*’* =
=—0,2* • 0.8*’* = 1 • 0,2* ■ 0,8*** = 0,0016. 41(4-4)!
Получим ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом (табл. 4.6).
Таблица 4.6
X
0
1
2
3
4
P
0,4096
0,4096
0,1536
0,0256
0,0016
Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.
Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + + 0,0016 = 1.
Вместо ряда распределения дискретная случайная величина может быть задана графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
Математическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рассчитано по формуле (4.4)
|М(2Г)=^Д =0 • 0,4096 + 1 - 0,409 4
+ 2 • 0,1536 + 3 • 0,0256 4- 4 • 0,0016 = 0,8 (чел.).
Но, ввиду того, что в данном случае речь идет о математическом ожидании частоты, для его расчета можно воспользоваться более простой формулой (4.11)
М(Х = т) = nр = 4 · 0,2 = 0,8 (чел.).
Рассчитаем дисперсию числа человек, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, среди 4 отобранных. Дисперсия любой дискретной случайной величины может быть рассчитана по формуле
DIX) =- ЖХ")^ = (0 - 0,8)3 • 0,4096 4-
+ (1 - 0,8)2 * 0,4096 4- (2 - 0,8)2 • 0,15 36 4-
4- (3 - 0,8^- 0,0256 4- (4 - 0,8)2 • 0,0016 =
= 0,61 (чел.1).
В данном случае речь идет о дисперсии частоты, а ее можно найти по формуле (4.12)
D(X = т) = npq = 4 · 0,2 · 0,8 = 0,64 (чел.2).
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле
<ПХ) = >[dQC) = Vo,64 = 0,8.
Дискретную случайную величину можно задать функцией распределения
I
F(X) = P(X<x')=^P(X = xl),
где для каждого значения х суммируются вероятности тех значений хi, которые лежат левее точки х.
Зададим функцию распределения дискретной случайной величины применительно к условию данной задачи
F(X = т) = Р(Х < х) = У С" 0,2” ■ 0,8*
Для построения графика функции распределения вероятностей дискретной случайной величины необходимо рассчитать кумулятивные (накопленные) вероятности, соответствующие значениям
случайной величины. Алгоритм их расчета вытекает из смысла функции распределения
F(Xi) = Р(Х1) + Р(Х2) + ... + P(Xi-2) + Р(Х-).
Эта формула справедлива для всех F(Xi), кроме F(X0). Так как функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, понятно, что вероятность того, что случайная величина примет значение, не более минимального, равна 0, т. е. F(X0) = 0.
Рассчитаем значения F(x)
Хх < 00 < х <11 < x <22< x <33 < x < 4х > 4F(x)00,40960,81920,97280,99841Хх < 00 < х <11 < x <22< x <33 < x < 4х > 4F(x)00,40960,81920,97280,99841Эти данные можно представить и в виде табл. 4.7.Эти данные можно представить и в виде табл. 4.7.Таблица 4.7Таблица 4.7
Х
х < 0
0 < х <1
1 < x <2
2< x <3
3 < x < 4
х > 4
F(x)
0
0,4096
0,8192
0,9728
0,9984
1
Х
х < 0
0 < х <1
1 < x <2
2< x <3
3 < x < 4
х > 4
F(x)
0
0,4096
0,8192
0,9728
0,9984
1
Эти данные можно представить и в виде табл. 4.7.
Эти данные можно представить и в виде табл. 4.7.
Таблица 4.7
Таблица 4.7
0 при <0;
0.4096 при 0 < х £ 1;
F(x) = .
0.8192 при 1<х<2;
0.9728 при 2<х<3;
0.9984 при 3<х £ 4;
1 при х>4.
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает возможные значения (рис. 4.4).
Определим вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек:
Не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом.
Р(Х = 0) = 0,4096.
Вероятность того, что среди четырех случайно отобранных человек не будет ни одного, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,4096.
Будет хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом.
«Хотя бы 1» — «как минимум 1» — «1 или больше». Другими словами, «хотя бы 1» — это «или 1, или 2, или 3, или 4».
Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4 случайно отобранных человек будет хотя бы 1, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х > 1) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4);
Р(Х ≥ 1) = 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,5904.
С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (X ≥ 1) до полной группы событий не хватает события (X = 0), которое является противоположным событию (X < 1). Поэтому искомую вероятность того, среди 4 случайно отобранных человек будет хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, проще найти следующим образом:
Р(Х > 1) + Р(Х< 1) = 1, откуда Р(Х > 1)=1 - Р(Х = 0) = 1 - 0,4096 = 0,5904.
Вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек будет хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,5904.
Будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом.
«Не больше 2» — «2 или меньше», т. е. «или 0, или 1, или 2».
Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий
Р(Х< 2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2);
Р(Х< 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.
Вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,9728.
Пример 2. Среднее число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в 15-минутный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга.
Составьте ряд распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин.
Найдите числовые характеристики этого распределения.
Напишите функцию распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин, и постройте ее график.
Определите, чему равна вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкассатора.
Определите вероятность того, что в течение 15 мин число прибывших инкассаторов окажется меньше 3.
Решение. Пусть случайная величина Х — число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин. Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., п.
Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.
По условию, прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.
Если мы предположим, что вероятность прибытия инкассаторов на автомобиле одинакова в любые 2 периода времени равной длины и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.
Итак, случайная величина Х — число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15 мин, подчиняется распределению Пуассона. По условию задачи: X = пр = 2; Х = т.
Составим ряд распределения.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и запишем полученные результаты в таблицу.
Так как данная случайная величина Х подчинена распределению Пуассона, расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Пуассона (4.13).
Найдем по этой формуле вероятность того, что в течение 15 мин утром на автомобиле прибудет 0 инкассаторов;
Р(Х = 0)=^ е ’ = 0,1353.
Однако расчет вероятностей распределения Пуассона легче осуществлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В этих таблицах содержатся значения вероятностей при заданных m и λ (приложение 6). По условию λ = 2, а т изменяется от 0 до n. Воспользовавшись таблицей распределения Пуассона (приложение 3), получим:
Р(Х = 0) = 0,1353; Р(Х = 1) = 0,2707;
Р(Х = 2) = 0,2707; Р(Х = 3) = 0,1804;
Р(Х = 4) = 0,0902; Р(Х = 5) == 0,0361;
Р(Х = 6) = 0,0120; Р(Х = 7) = 0,0034;
Р(Х = 8) = 0,0009; Р(Х = 9) = 0,0002.
Данных для λ=2 и m ≥ 10в таблице нет, что указывает на то, что эти вероятности составляют менее 0,0001, т. е.
Р(Х = 10) « 0.
Понятно, что Р(Х =11) еще меньше отличается от 0.
Таблица 4.8Таблица 4.8Занесем полученные результаты в табл. 4.8.
Таблица 4.8
Таблица 4.8
Р
Р(Х)
0
0,1353
1
0,2707
2
0,2707
3
0,1804
4
0,0902
5
0,0361
6
0,0120
7
0,0034
8
0,0009
9
0,0002
10
0,0000
Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.
Проверим:
-0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + + 0,0120 + 0,0034 + 0.0009 + 0,0002 = 0,9999 «1.
График полученного ряда распределения дискретной случайной величины Х - полигон распределения вероятностей (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Найдем основные числовые характеристики полученного распределения случайной величины X.
Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.
Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, может быть рассчитано и по формуле
М(Х = т) = пр = X, М(Х = т) = X = 2 (инкассатора).
Для выполнения дисперсии случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, можно применить формулу
D(X = т) = X.
Итак, дисперсия числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15 мин,
D(X = т) = X = 2 (инкассатора2).
Среднее квадратическое отклонение числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15 мин,
Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения
F(X = т) = Р(Х < х) = У — е'1.
I ТА!
График функции вероятностей дискретной случайной величины — полигон распределения вероятностей (рис. 4.6).
Рассчитаем значения F(x):
О при х < 0;
0.1353 при 0 < х < 1;
0,4060 при 1 < х S 2;
0,6767 при 2 < х < 3;
Л*) =Л*) =0,8571 при 3 < х 0,9473 при 4 < х0.9834 при 5 < х 0,9954 при 6 < х0,9988 при 7 < х0,8571 при 3 < х 0,9473 при 4 < х0.9834 при 5 < х 0,9954 при 6 < х0,9988 при 7 < х5 5;5 6;5 5;5 6;S3;S3;
Л*) =
Л*) =
0,8571 при 3 < х 0,9473 при 4 < х
0.9834 при 5 < х 0,9954 при 6 < х
0,9988 при 7 < х
0,8571 при 3 < х 0,9473 при 4 < х
0.9834 при 5 < х 0,9954 при 6 < х
0,9988 при 7 < х
5 5;
5 6;
5 5;
5 6;
S3;
S3;
0,9997 при 8 < х < 9;j 1 при х > 9;
EVO
..o- 1.8-..o- 1.8-L6- м-L6- м->.2->.2-0,40600,4060о.мьн0^7о.мьн0^7Рис. 4.6Рис. 4.6
..o- 1.8-
..o- 1.8-
L6- м-
L6- м-
>.2-
>.2-
0,4060
0,4060
о.мьн0^7
о.мьн0^7
Рис. 4.6
Рис. 4.6
Эти данные можно представить и в виде табл. 4.9.
Таблица 4.9
Х
Р(Х)
х ≤0
0
0<х≤1
0,1353
1<х≤2
0,4060
2<х≤3
0,6767
3<х≤4
0,8571
4.<х≤5
0,9473
5<x≤6
0,9834
6<х≤7
0,9954
7 <x≤8
0,9988
8<х≤9
0,9997
х>9
1
Определим вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут хотя бы 2 инкассатора.
«Хотя бы 2» — «как минимум 2» — «2 или больше». Другими словами, «хотя бы 2» — это «или 2, или 3, или 4, или ...».
Исходя из этого, для определения вероятности того, что в течение 15 мин в банк прибудут хотя бы 2 инкассатора, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х > 2) = Р(Х=2) + Р(Х=3) + Р(Х=4) + ... + Р(Х=п).
С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (X ≥ 2) до полной группы событий не хватает события (X < 2), т. е. (х ≤ 1), которое является противоположным событию (X ≥ 2). Поэтому искомую вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкассатора, проще найти следующим образом:
Р(Х > 2) = 1 - Р(Х < 1) = 1 - (Р(Х = 0) + Р(Х = 1)) = = 1 - (0,1353 + 0,2707) = 1 - 0,406 = 0,594.
Вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкассатора, составляет 0,594.
Определим вероятность того, что в течение 15 мин число прибывших инкассаторов окажется меньше 3.
«Меньше 3» — это «или 0, или 1, или 2». Из теоремы сложения вероятностей несовместных событий следует:
Р(Х< 3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2);
Р(Х < 3) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 - 0,6767.
Вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут меньше 3 инкассаторов, составляет 0,6767.
Пример 3. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета.
Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных.
Найдите числовые характеристики этого распределения.
Напишите функцию распределения числа выигрышных билетов среди отобранных и постройте ее график.
Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется: а) не меньше 3 выигрышных билетов; б) не больше 1-го выигрышного билета.
Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.
Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4.
Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее, чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.
Очевидно, что отбор лотерейных билетов — бесповторный. Следовательно, испытания — зависимые.
Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина — число выигрышных билетов среди отобранных — подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
Изобразим ситуацию на схеме (рис. 4.7).
Случайная величина, интересующая нас, Х = т — число выигрышных билетов в выборке объемом в п билетов. Число всех возможных случаев отбора п билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по п (GnN ), а число случаев отбора т выигрышных билетов из общего числа М выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N — М) проигрышных) равно произведению СmM · Сn-mN-M (отбор каждого из т выигрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ровно m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке m выигрышных билетов (т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение m) равна
где СnN — общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов;
Спм • Сn-mN-M— число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;
m <n, если n < M и m < M, если М < п.
Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в
таблицу, то получим ряд распределения.
Составим ряд распределения.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и запишем полученные результаты в таблицу.
По условию задачи N = 20; М = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.
р*о =
с; ■ с46
16 15 14 13
= 0,37564;
1-23-4
0*
20 19 18-17
12-3-4
. 16 15 14
Лд
cfc^
1-2-3„
0,46233;
05»
* 20 19 18 17
12 3-4
4 3 16 15
Рм
с; • С^
1212_
0,14861;
с^
" 20 19 18 17
1-2 3 4
РМ
с: ■ с;6
4 16
0,01321;
с4
" 20 19 18 17
1-2-34
рм
1 • 1
0,00021.
ci,
" 20 19 18 17
12 3-4
Занесем полученные результаты в табл. 4.10.
Таблица 4.10
Х
0
1
2
3
4
Р(Х)
0,37564
0,46233
0,14861
0,01321
0,00021
Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.
Проверка:
0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.
График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины — полигон распределения вероятностей (рис. 4.8).
Рис. 4.8
Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.
Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по
общим для любой дискретной случайной величины формулам.
Но математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле
I
MIX = m) =•
Рассчитаем математическое ожидание числа выигрышных билетов среди отобранных:
M4.
M (X = m) = n— =4= 0.8 (билета).
N20
Дисперсию случайной величины, подчиняющейся распределению, также можно рассчитать по более
простой формуле
Вычислим дисперсию числа выигрышных билетов среди отобранных:
fl - л ~ ^ I4-1 )20-1Jfl - л ~ ^ I4-1 )20-1Jx м(л mAD(X = ™) = n-[l--J= 4 —) fl-
fl - л ~ ^ I
4-1 )
20-1J
fl - л ~ ^ I
4-1 )
20-1J
20 I 20 J I
21.16 16 = 256 = 0,53895.
20 20 19 475
D(X = m) - 0,53895 (билета2).
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:
<r(X) = ^0,53895 = 0,73413 (билета).
Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения
Рассчитаем значения F(x):
F{X = m) = P(X < x) = 5L ^^-
F(x) = .
0 при x < 0;
0,37564 при 0 < x < 1;
0,83797 при 1 < x 5 2;
0.98658 при 2 < х < 3;
0,99979 при 3 < х 5 4;
1 при х > 4.
Эти данные можно представить в виде графика функции распределения (рис. 4.9) и табл. 4.11.
Хх < 00 <х ≤ 11 <х < 22 <х < 33 <х <4х > 4F(x)00,375640,837970,986580,999791Хх < 00 <х ≤ 11 <х < 22 <х < 33 <х <4х > 4F(x)00,375640,837970,986580,999791Таблица 4.11Таблица 4.11
Х
х < 0
0 <х ≤ 1
1 <х < 2
2 <х < 3
3 <х <4
х > 4
F(x)
0
0,37564
0,83797
0,98658
0,99979
1
Х
х < 0
0 <х ≤ 1
1 <х < 2
2 <х < 3
3 <х <4
х > 4
F(x)
0
0,37564
0,83797
0,98658
0,99979
1
Таблица 4.11
Таблица 4.11
Определим вероятность того, что среди 4 отобранных билетов окажется:
не меньше 3 выигрышных.
«Не меньше 3» — «как минимум 3» — «3 или больше». Другими словами, «не меньше 3» — это «или 3, или 4».
Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди отобранных 4 билетов окажется не меньше 3 выигрышных билетов, можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х> 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) == 0,01321 + 0,00021 = 0,01342.
Вероятность того, что среди отобранных окажется не меньше 3 выигрышных билетов, составляет 0,01342. .
не больше 1 выигрышного билета. «Не больше 1» — это «1 или меньше», «или 0, или 1».
Следовательно, для определения вероятности того, что среди отобранных окажется не больше одного выигрышного билета, также применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий
Р(Х < 1) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,37564 + 0,46233 = 0,83797.
Задачи к теме 4
В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше одного банка?
В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у. е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета — 3 у. е. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите в общем виде функции распределений вероятностей и постройте их графики.
Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Предположим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что как
минимум 2 нефтеразведки принесут успех?
Под руководством бригадира производственного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих случайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что будет выбрано не более одной женщины?
Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана хвастает, что в субботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей. Составьте ряд распределения возможного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что 3 или более групп посетителей прибудут в ресторан в течение 10-минутного промежутка времени?
Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70% правильных решений. Такому управляющему банком предстоит принять решения по 4 важным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управляющего; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3 правильных решений?
В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд распределения числа фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?
В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам, которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в среднем 8 студентов посещают его за час консультационного времени, хотя точное число студентов, посещающих консультацию в определенный день, в назначенный час, — случайная величина. Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что 3 студента придут на консультацию в течение определенного получаса?
В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, составьте ряд распределения правильных счетов. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой?
Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 15 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 10 человек потребуют возмещения страховых сумм?
Экзаменационный тест содержит 15 вопросов, каждый из которых имеет 5 возможных ответов и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сдает экзамен, знает ответы не на все вопросы. Составьте ряд распределения числа правильных ответов студента на вопросы теста и
постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что студент правильно ответит, по крайней мере, на 10 вопросов?
Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор случайно отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что аудитор обнаружит более чем 1 ошибку.
В городе 10 машиностроительных предприятий, из которых 6 — рентабельных и 4 — убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 предприятий. При условии проведения приватизации в случайном порядке составьте ряд распределения рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что будет приватизировано не менее 4 рентабельных предприятий?
В международном аэропорту время прибытия самолетов различных рейсов высвечивается на электронном табло. Появление информации о различных рейсах происходит случайно и независимо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 10 рейсов в час. Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии самолетов в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа прибудут не менее 3 самолетов? Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один самолет?
Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны 10 телезрителей. Составьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 телезрителя этого канала видели рекламу нового детского питания?
В часы пик для общественного транспорта города происходит в среднем 2 дорожных происшествия в час. Утренний пик длится 1,5 ч, а вечерний — 2ч. Составьте ряды распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы пик и постройте их графики. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики. Чему равна вероятность того, что в определенный день во время и утреннего, и вечернего пика не произойдет ни одного дорожного происшествия?
В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них — 7 черного цвета, 6 — серого и 2 — белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно, и постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Напишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что среди проданных фирме автомобилей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля черного цвета?
На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составьте ряд распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 2 единицы оборудования?
Торговый агент в среднем контактирует с 8 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Составьте
ряд распределения ежедневного числа продаж для агента и постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы 2 продажи в течение дня?
Прибытие посетителей в банк подчиняется одному из теоретических законов распределения. Предполагая, что в среднем в банк каждые 3 минуты входит 1 посетитель, составьте ряд распределения возможного числа посетителей банка в течение 15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что, по крайней мере, 3 посетителя войдут в банк в течение 1 минуты?
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайнойвеличины
Нам уже известно, что такое функция распределения дискретной случайной величины. Эта форма задания закона распределения случайной величины является универсальной и используется для непрерывных случайных величин.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.
Рассмотрим свойства функции распределения.
Вероятность попадания случайной величины в промежуток от α до β равна приращению функции распределения на концах этого промежутка
P(a<X< в)=F(в)-F(a),(5.1)
так как вероятность любого отдельного значения случайной величины равна нулю, если функция распределения непрерывна при этом значении
Р(Х = хi) = 0, когда F(x) непрерывна в точке х = х/.
Функция распределения удовлетворяет условиям
F(-∞)= 0, F(+∞) = 1.(5.2)
Плотностью распределения (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция
f(x) = F'(x).(5.3)
Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна f(x) > 0.
Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1:
График функции у = f(x) называется кривой распределения или графиком плотности распределения. Кривая у = f(x) располагается над осью абсцисс.
Вероятность попадания случайной величины в промежуток от α доβ может быть вычислена по формуле
л
Р^а<Х<Р>- jf(x)dx.(5.5)
а
Подынтегральное выражение f(x)dx называется элементом вероятности. Оно выражает вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и х + Ах, где Ах — бесконечно малая величина.
Функция распределения F(x), выражаемая через плотность f(x), имеет вид
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле
(5.7)
дисперсия —
(5.8)(5.8)D(X) = J(x-Af(X))VMdx.
(5.8)
(5.8)
Нормальное распределение
Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется как
то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и с2. Вероятностный смысл параметров
а = М(Х), а с2 = D(X),
где Х ~ N(a; с2).
Если задать параметры нормального распределения, взяв а=0 и с=1,то получим так называемое нормированное (стандартное) нормальное распределение. Плотность нормированного нормального распределения описывается функцией
ф(х^ = —,=е 3
V2?r
Значения этой функции табулированы (приложение 1).
от а до в используетсяот а до в используется(5.10)(5.10)интеграл Лапласа.интеграл Лапласа.Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток
от а до в используется
от а до в используется
(5.10)
(5.10)
интеграл Лапласа.
интеграл Лапласа.
Формула (5.10) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа. Функция Фо(х) обладает свойствами:
Фо(О) = 0;
lim Ф0(х) = ±0,5;
Ф0(-х) = -Ф0(х) (приложение 2).
Функция Фо(х) табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка (а - А; а + А) имеем
Формула (5.11) применима и к частоте т, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине т с
учетом ее числовых характеристик
М(т) = пр и с2(m) = npq(5.12)
формула (5.11) примет вид
Формула (5.11) может быть применена и к относительной частоте т/п с числовыми
характеристикамихарактеристиками
характеристиками
характеристиками
С вероятностью, очень близкой к единице (равной 2Ф0(3) = 0,9973), нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству
а- Зс<Х< а + За.(5.16)
В этом состоит правило 3 сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3σ.
Локальная теорема Муавра — Лапласа. При р^0 и р^1 и достаточно большом п биномиальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т. е. имеет место равенство:
тогдатогда
тогда
тогда
для достаточно больших п.
Здесь ^(х) (приложение 1) — плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины
х - ат-пр
t = И X —1"" •
(Тл^РЧ
Пример 1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и средним квадратическим отклонением σ = 150 кг.
Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажется больше 1 250 кг;
б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1 300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг; д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг.
Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило 3 сигм).
С вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши. Какова при этом условии максимальная величина отклонения веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания?
Решение. 1а) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг, можно понимать как вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 250 кг до
+∞..
Формула расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х имеет вид
Р(а<Х<)9) = фД2«1ф (g-a)I а У Ча/
где Ф0(z) — функция Лапласа
«М^)= J —г=ге 2 dx
Функция Ф0(z) является нечетной функцией, т. е.
Ф 0 (-Z) = -Ф 0 (z).
Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг. По условию а = 1 250, в = +да, а = 950, о = 150.
Используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
^>1250)=Р(1250<Х<+«)=ф f—^o)
/\I 150 J
г 1250-950)}
Л150- I= Ф°(“)~ Ф°(2>
Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
Значения Ф0(+ да) в таблице нет. Однако известно, что Ф0(z)^ 0,5 при z^ +да. Уже при z=5
Ф0 (z =5) = 0,49999997 ≈ 0,5. Очевидно, что Ф0(+∞)— величина, бесконечно близкая к 0,5 , Ф0(-∞.) — величина, бесконечно близкая к -0,5.
По таблице функции Лапласа Ф0(2) = 0,47725.
Отсюда
Р(Х > 1 250) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.
Итак, вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг, составляет 0,02275.
Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.1).
Итак, нам задана нормально распределенная случайная величина Х с математическим ожиданием а = 950 кг и средним квадратическим отклонением о= 150 кг, т. е. Х ~ N (950; 1502). Мы хотим найти
вероятность того, что Х больше 1 250, т. е. определить Р(Х > 1 250). Преобразуем X в Z, и тогда искомая вероятность определится по таблице стандартного нормального распределения (приложение 2)
Z - —а
о '
Р(Х >1250)- РР(Х >1250)- Р1250-а1250-а
Р(Х >1250)- Р
Р(Х >1250)- Р
1250-а
1250-а
1250-а1250-а° )1250-950'150,° )1250-950'150,Р(Х <850) = Р(-«Р(Х <850) = Р(-«-ф-ф»-950150»-950150= Фа= Фа> - О2) <13> - О2) <13850-950150850-950150
1250-а
1250-а
° )
1250-950'
150,
° )
1250-950'
150,
Р(Х <850) = Р(-«
Р(Х <850) = Р(-«
-ф
-ф
»-950
150
»-950
150
= Фа
= Фа
> - О
2) <1
3
> - О
2) <1
3
850-950
150
850-950
150
= P(Z > 2) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.
Точка z=0 соответствует математическому ожиданию, т. е. а = 950 кг.
1б) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг — это то же самое, что и вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от -∞ до 850 кг. По условию а = -да, в = 850, а = 950, ^= 150.
Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
= фо(+<")-Фо(О,67).
Согласно свойству функции Лапласа,
-Фо(-«) - Ф0(ь»), а Фо(-0,67) - -Ф„(0,67).
Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z).
Ф0(+∞) ≈ 0,5; Ф0(0,67) = 0,24857.
Отсюда
Р(Х< 850) = 0,5 - 0,24857 = 0,25143.
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг составляет 0,25143.
Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.2).
По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,67) соответствует х = 850, т.е. весу, равному 850 кг. Заштрихованная на рис. 5.2 площадь представляет вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется меньше 850 кг, т. е. в интервале от -∞ до 850 кг.
1в) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до
300 кг.
По условию а = 800, в=1 300, а = 950, о = 150. Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
Р(800<Х<1300)-ФоР(800<Х<1300)-Фо1300-9501501300-950150-Ф* О-Ф* О800-950150800-950150= Ф0(2гЗЗ)-Ф0(-1) == Ф0(2гЗЗ)-Ф0(-1) =
Р(800<Х<1300)-Фо
Р(800<Х<1300)-Фо
1300-950
150
1300-950
150
-Ф
* О
-Ф
* О
800-950
150
800-950
150
= Ф0(2гЗЗ)-Ф0(-1) =
= Ф0(2гЗЗ)-Ф0(-1) =
= Ф0(2^3) + Ф<|(1).
Согласно свойству функции Лапласа,
-Ф0(-1) = Ф0(1).
Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
Ф0(2,33) = 0,49010; Ф0(1) = 0,34134.
Отсюда
Р(800 < Х < 1 300) = 0,49010 + 0,34134 = 0,83144.
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг, составляет 0,83144.
Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.3).
По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -1) соответствует х = 800, т. е. весу, равному 800 кг, а точка (z = 2,33) — х = 1300, т. е. весу, равному 1 300 кг. Заштрихованная на рис. 5.3 площадь
представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1 300 кг.
На рис. 5.3 видно, что искомую вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1 300 кг, можно было найти другим способом. Для этого необходимо было найти вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется меньше 800 кг, а также больше 1 300 кг. Полученные вероятности сложить и вычесть из 1.
Итак, вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется меньше 800 кг, — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от —∞ до 850 кг.
Р(Х < 800) = Р(-«>Р(Х < 800) = Р(-«><Х<800) = Фо<Х<800) = Фо[ 800-950I 150 ,[ 800-950I 150 ,2^_^кфо(-1)-Ф„(-*) = Фо(-^)-Фо(1) = I 150 )= 0,5-0,34134 = 0,15866.2^_^кфо(-1)-Ф„(-*) = Фо(-^)-Фо(1) = I 150 )= 0,5-0,34134 = 0,15866.Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятностьВероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятностьтого, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +∞.Р(Х > 1300) = Р(1300 < X < -к*) =того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +∞.Р(Х > 1300) = Р(1300 < X < -к*) == фо= фо«> - 950150«> - 950150-Фо-Фо1300-9501501300-950150
Р(Х < 800) = Р(-«>
Р(Х < 800) = Р(-«>
<Х<800) = Фо
<Х<800) = Фо
[ 800-950
I 150 ,
[ 800-950
I 150 ,
2^_^кфо(-1)-Ф„(-*) = Фо(-^)-Фо(1) = I 150 )
= 0,5-0,34134 = 0,15866.
2^_^кфо(-1)-Ф„(-*) = Фо(-^)-Фо(1) = I 150 )
= 0,5-0,34134 = 0,15866.
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятность
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятность
того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +∞.
Р(Х > 1300) = Р(1300 < X < -к*) =
того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +∞.
Р(Х > 1300) = Р(1300 < X < -к*) =
= фо
= фо
«> - 950
150
«> - 950
150
-Фо
-Фо
1300-950
150
1300-950
150
= Фо(°°)- Ф0(2.33) = 0,5 - 0,49010 = 0,0099.
Отсюда искомая вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг:
Р(800 < Х < 1 300) = 1 - (Р(Х < 800) + Р(Х > 1 300)) = 1 - (0,15866 + 0,0099) = 1 - 0,16856 = 0,83144.
1г) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, т. е.
Р(|Х - 950| < 50) = ?
Что значит |Х - 950| < 50 ?
Это неравенство можно заменить двойным неравенством
-50 < Х- 950 < 50,
или
950 - 50 < X < 950 + 50, 900 < X < 1 000.
Следовательно,
Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < X < 1 000).
А это вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X. Отсюда
= Фо(О,33) Фо(-О,33)= Фо(О,33) Фо(-О,33)900-950I 150900-950I 150
= Фо(О,33) Фо(-О,33)
= Фо(О,33) Фо(-О,33)
900-950
I 150
900-950
I 150
= Фо(О,33)^Фо(О,33) = 2ФД0.33).
Согласно свойству функции Лапласа,
-Ф0(-0,33) = Ф0(0,33).
Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)
Ф0(0,33) = 0,1293.
Следовательно,
Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < Х < 1 000) = 2^0,1293 = 0,2586.
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, составляет 0,2586.
Эту задачу легче решить, используя формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания
где Δ — величина отклонения случайной величины Х от математического ожидания.
По условию А = 50; а = 950, с= 150. Используя эту формулу, сразу получим
Р(|Х — 950| < 50) = 2Ф0(50/150) = 2Ф0(0,33) = 2 · 0,1293 = 0,2586.
Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.4).
По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,33) соответствует х = 900, т. е. весу, равному 900 кг, а точка (z = 0,33) соответствует х = 1000, т. е. весу, равному 1 000 кг. Заштрихованная на рис. 5.4 площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 900 до 1 000 кг, т. е. отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.
1д) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, т. е.
Р( Х- 950| > 50) = ?
Это вероятность события, противоположного по отношению к событию, — вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг,
Следовательно,
Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, составляет 0,7414.
Можно использовать другой алгоритм решения. Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет или меньше (950 - 50 = 900) кг, или больше (950 + 50 = 1 000) кг.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
Р(|Х - 950| > 50) = Р(Х < 900) + Р(Х > 1 000).
900-950150900-950150-Фо-Фо-«-950150-«-950150= Фо (-1/3) - Фо Н») = Фо (+~) - фе (0,33) == Фо (-1/3) - Фо Н») = Фо (+~) - фе (0,33) == 0,5-0,1293 = 0,3707,= 0,5-0,1293 = 0,3707,Р(Х > 1000) = Р(1000 < х < -+^) = ФоР(Х > 1000) = Р(1000 < х < -+^) = Фоо»-950о»-950150 J150 J-Фо-Фо(1000-950(1000-950150150= Фо(~)-Фо(0,33) == Фо(~)-Фо(0,33) == 0,5-0,1293 = 0.3707.= 0,5-0,1293 = 0.3707.ОтсюдаОтсюдаР(Х < 900) = Р(— < X < 900) = Фо
900-950
150
900-950
150
-Фо
-Фо
-«-950
150
-«-950
150
= Фо (-1/3) - Фо Н») = Фо (+~) - фе (0,33) =
= Фо (-1/3) - Фо Н») = Фо (+~) - фе (0,33) =
= 0,5-0,1293 = 0,3707,
= 0,5-0,1293 = 0,3707,
Р(Х > 1000) = Р(1000 < х < -+^) = Фо
Р(Х > 1000) = Р(1000 < х < -+^) = Фо
о»-950
о»-950
150 J
150 J
-Фо
-Фо
(1000-950
(1000-950
150
150
= Фо(~)-Фо(0,33) =
= Фо(~)-Фо(0,33) =
= 0,5-0,1293 = 0.3707.
= 0,5-0,1293 = 0.3707.
Отсюда
Отсюда
Найдем границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.
В этом задании студентам предлагается проиллюстрировать правило 3 сигм, которое можно сформулировать следующим образом:
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3g.
Р(\Х- а\ < 3g) = 2Фо(3) = 0,9973.
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше 3g или, другими словами, вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х попадет в интервал (а - 3g; а + 3g), равна 0,9973.
Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0,0027. Другими словами, лишь в 27 случаях из 10 000 случайная величина Х в результате испытания может оказаться вне интервала (а - 3 g;а + 3 g). Такие события считаются практически невозможными.
Формулу, описывающую правило 3 сигм, несложно получить из формулы вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания:
Если взять А = 3g, то получим A/g = 3. Отсюда
Р(\Х- а\< 3g) = 2Ф0(3) = 0,9973.
По условию задачи а = 950; g = 150.
Правило 3 сигм можно представить так:
Р(а - 3g < Х < а + 3g) = 2Ф0(3) = 0,9973.
Интересующие нас границы — это границы интервала (а - 3g; а + 3g), т. е.
a - За < X < a + За,950 - 3 -150 < X < 950 + 3 • 150,500 < X < 1 400.
Учитывая, что вес отобранной туши — нормально распределенная случайная величина, можно быть практически уверенным, что вес случайно отобранной туши не выйдет за пределы от 500 до 1 400 кг.
Определим границы, в которых с вероятностью 0,899 будет находиться вес случайно отобранной туши. Формулу вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания можно представить следующим образом:
илиили
или
или
где γ — вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания не превысит заданной величины Δ.
По условию задачи а = 950; с = 150. Используя последнюю формулу, получим:
Р(950 - А < X < 950 + А) = 2Ф0 — = 0,899.
1150)
Из соотношения 2Ф0(Δ/150) = 0,899 найдем Δ :
= 0,899,= 0,899,0.899 20.899 2= 0.4495.= 0.4495.
= 0,899,
= 0,899,
0.899 2
0.899 2
= 0.4495.
= 0.4495.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = Д/150 функция Ф0(2) = 0,4495.
z = 1,64, т.е. Ф0(1,64) = 0,4495.
Отсюда
Δ/150 = 1,64, Δ = 1,64 · 150 = 246.
С вероятностью 0,899 можно ожидать, что отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит 246 кг.
Найдем границы интересующего нас интервала:
а-Δ<Х<а+Δ,
950 - 246 < X < 950 + 246,
704 < X < 1196.
С вероятностью 0,899 можно ожидать, что вес случайно отобранной туши будет находиться в пределах от 704 до 1 196 кг.
Ответ. 1. а) 0,02275, б) 0,25143, в) 0,83144, г) 0,2586, д) 0,7414; 2. (500, 1 400);
3. 246 (704, 1196).
Пример 2. Изменим условие предыдущей задачи.
На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением с= 150 кг. Известно, что 37,07% туш имеют вес более 1 000 кг. Определите ожидаемый вес случайно отобранной туши.
Решение. По условию задачи с= 150; а = 1 000; в = +”; Р(Х > 1 000) = 0,3707.
Ожидаемый вес случайно отобранной туши — это среднеожидаемый вес (математическое ожидание), т. е. а = ?
Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = (100 - а)/150 функция Ф0(z) = 0,1293.
z = 0,33, т.е. Фо(О,33) = 0,1293.
ОтсюдаОтсюда
Отсюда
Отсюда
L5^ = 0M,
150
1 ООО - а = 0,33 • 150 = 50,а = 1 000 - 50 = 950.
Ответ. Среднеожидаемый вес случайно отобранной туши составляет 950 кг.
Пример 3. Вновь изменим условие задачи.
На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг. Определите среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.
Решение. По условию задачи: а = 950; a = -да; в= 800; Р(Х < 800) = 0,1587; с =
Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально
распределенной случайной величины Х
Р(—> < X < 800) = Фо f j ■-Ф„[^^^ 1 = 0,1587;
к а /
. <800-950) L . , . п.,о7фп + фо(“) = ОД587;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = 150/ о функция Ф0(/) = 0,3413.
z = 1, т. е. Фо(1) = 0.3413.
Отсюда
Ответ. Среднее квадратическое отклонение веса туш составляет 150 кг.
Пример 4. Еще раз изменим условие задачи. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестными математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг и 37,07% туш — более 1 000 кг. Определите средний ожидаемый вес и среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.
Решение. По условию задачи а = -да; в = 800; Р(Х < 800) = 0,1587; Р(Х > 1000) = 0,3707; а = ?; о= ?
Используем формулу (5.10) расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально
распределенной случайной величины Х
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = (а - 800)/с функция Фоф = =0,3413.
z=1 ,т. е. Ф0(1) = 0,3413.
Отсюда
С другой стороны,
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком
г = (1 000 - аМб функция Ф0(г) = 0,1293.
г = 0,33, т. е. Ф_(0,33) - 0,1293.
Отсюда
I000 — = 0,33.ст
Решим систему линейных уравнений:
а-800 _12^ = 0,33 ’[а = а-800.|0,33(а - 800) = 1 000 - ао -а- 800' 1,33а = 1000+ 266.67*<7 = а - 800.1 266,67;а 1.33<7 = 950-800.' а = 950а-800 _12^ = 0,33 ’[а = а-800.|0,33(а - 800) = 1 000 - ао -а- 800' 1,33а = 1000+ 266.67*<7 = а - 800.1 266,67;а 1.33<7 = 950-800.' а = 950<7 = а - 800 0,33<т = 1000-а<7 = а - 800 0,33<т = 1000-ао = а- 800" 0,33а-266,67 = 1000-аI <т = а — 80011,33а = 1266,67*(Г = а-800а-950Г<у = 150[а *950.о = а- 800" 0,33а-266,67 = 1000-аI <т = а — 80011,33а = 1266,67*(Г = а-800а-950Г<у = 150[а *950.
а-800 _
12^ = 0,33 ’
[а = а-800.
|0,33(а - 800) = 1 000 - а
о -а- 800
' 1,33а = 1000+ 266.67*
<7 = а - 800
.1 266,67;
а
1.33
<7 = 950-800.
' а = 950
а-800 _
12^ = 0,33 ’
[а = а-800.
|0,33(а - 800) = 1 000 - а
о -а- 800
' 1,33а = 1000+ 266.67*
<7 = а - 800
.1 266,67;
а
1.33
<7 = 950-800.
' а = 950
<7 = а - 800 0,33<т = 1000-а
<7 = а - 800 0,33<т = 1000-а
о = а- 800
" 0,33а-266,67 = 1000-а
I <т = а — 800
11,33а = 1266,67*
(Г = а-800
а-950
Г<у = 150
[а *950.
о = а- 800
" 0,33а-266,67 = 1000-а
I <т = а — 800
11,33а = 1266,67*
(Г = а-800
а-950
Г<у = 150
[а *950.
Среднеожидаемый вес случайно отобранной туши составляет 950 кг. Среднее квадратическое отклонение веса туш — 150 кг.
Ответ. а = 950; σ= 150.
Пример 5. В очередной раз изменим условие задачи. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Каким должно быть среднее квадратическое (стандартное) отклонение, чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно отобранной туши от математического ожидания не превысит 200 кг?
Решение. По условию задачи а = 950; А = 200; Р(|Х - 950| < 200) = 0,81648; о =?
Используем формулу (5.11) расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания.
Тогда получим
/W - 950| < 200) - 2Фа(200/а) = 0,81648;
2Фо(200/ог) - 0,81648;
Фо(2ОО/ст) - 0,81648/2;
Фо(2ОО/а) = 0,40824.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = 200/с функция Ф0(z) = 0,40824.
z = 1,33, т. е. Фо(1.33) = 0,40824.
Отсюда
200
= 1,33.о
σ=200/1,33=150.
Чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно отобранной туши от математического ожидания не превысит 200 кг, среднее квадратическое отклонение веса туш должно составлять 150 кг.
Ответ. 150.
Пример 6. Фирма собирается приобрести партию из 100 000 единиц некоторого товара. Из прошлого опыта известно, что 1 % товаров данного типа имеют дефекты. Какова вероятность того, что в данной партии окажется от 950 до 1 050 дефектных единиц товара?
Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число дефектных единиц товара в общей партии из 100 000 единиц. Обозначим ее через X.
Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, ..., 99 999, 100 000.
Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.
По условию вероятность того, что единица товара окажется дефектной, — постоянна и составляет 0,01 (р = 0,01). Вероятность противоположного события, т. е. того, что единица товара не имеет дефекта, также постоянна и составляет 0,99:
q= 1 -p= 1 -0,01 =0,99.
Все 100 000 испытаний — независимы, т. е. вероятность того, что каждая единица товара окажется дефектной, не зависит от того, окажется дефектной или нет любая другая единица товара.
Значения случайной величины Х — это, в общем виде, число появлений интересующего нас события в 100 000 независимых испытаниях. Поэтому можно сделать вывод о том, что случайная величина Х — число дефектных единиц товара в общей партии из 100 000 единиц — подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами п = 100 000 и р = 0,01.
Итак, по условию задачи n = 100 000; р = 0,01; q = 0,99; X = т.
Необходимо найти вероятность того, что число дефектных единиц товара окажется в пределах от т1 = 950 до т2 =1 050, т. е. вероятность того, что случайная величина Х = т попадет в интервал от 950 до 1050:
Р(т 1 < т < т2) = ?
Так как мы имеем дело со случайной величиной, подчиняющейся биномиальному распределению, вероятность появления события т раз в п независимых испытаниях необходимо вычислять по формуле Бернулли (4.10).
В данном случае для определения искомой вероятности нам необходимо с помощью формулы Бернулли найти P100000, 950,РР100000, 951 , РР100000, 952 ..., РР100000,1049
РР100000,1050 ,а затем сложить их, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий.
Очевидно, что такой способ определения искомой вероятности связан с громоздкими вычислениями. Так,
гюоо<км)5о ~ Чооооо 1.
Можно значительно облегчить расчеты, если аппроксимировать биномиальное распределение нормальным, т. е. выразить функции биномиального распределения через функции нормального.
Когда п — число испытаний в биномиальном эксперименте — возрастает, дискретное биномиальное распределение стремится к непрерывному нормальному распределению. Это означает, что для больших п мы можем аппроксимировать биномиальные вероятности вероятностями, полученными для нормально распределенной случайной величины, имеющей такое же математическое ожидание и такое
же среднее квадратическое отклонение.
Подставим параметры биномиального распределения (5.15) в формулу (5.10) и получим формулу для приближенного расчета вероятности появления события от т1 до т2 раз в п независимых испытаниях P(mi < т < т2):
РДт^пкт^
т.-М(т)
пг^-М^т)
где Ф0(z) — функция Лапласа
Формулу для вычисления вероятности появления события от т1 до т2 раз в п независимых испытаниях Рn(m 1 < т < т2) называют интегральной теоремой Лапласа.
Использование локальной и интегральной теорем Лапласа дает приближенные значения искомых вероятностей. Погрешность будет невелика при условии, что npq > 9.
Для решения данной задачи воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Aooooo(95O<m<lO5O) =
950-100 000 0,01 \
“I /100 000 0,01 0,99 Г
[ 1 050 -100 000 ■ 0,01"I /100 ООО'0.01 0,99
А<юоор(950 < m < 1 050) =
"Ф«
1 050 -1 000
31,4643
- (950-1 000
Ф„ \ 31,4643
Лооо<ю(050 < т < 1 050) —
* Г 50 >-50 А
ф । — ф•
\ 31,4643 ;\ 31,4613 /
Асюооа^95О < т. < 1 050) е
Ф
50
31,4643
50
31,4643
Аооооо(950 < т < 1 050) == ФО(1,59) + Фо(1,59) = 2ФО(1,59).
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем Ф0(1,59).
Ф0(1,59) = 0,44408.
P100000 (950< т < 1 050) « 2 • 0,44408 = 0,88816.
Вероятность того, что в партии из 100 000 единиц окажется от 950 до 1 050 дефектных единиц товара, составляет 0,88816.
Данную конкретную задачу можно было решить еще более просто.
Математическое ожидание числа дефектных единиц товара равно 1 000 единиц:
М(т) = пр= 100 000 • 0,01 = 1 000.
Абсолютное отклонение нижней и верхней границ интервала (т 1, т2) от математического ожидания М(т) = пр составляет 50 единиц:
|m 1 - пр\ = |950 - 100 000 • 0,0l| = 50;
\m2 - np\ = 1 050 - 100 000 • 0,0l| = 50.
Следовательно, искомую вероятность можно рассматривать как вероятность заданного отклонения частоты от своего математического ожидания:
Р(\т - пр\ < А).
Подставив параметры биномиального распределения в формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, получим формулу для приближенного расчета вероятности заданного отклонения частоты от своего математического ожидания:
При использовании этой формулы для решения задачи сразу получим
P(lm -100 000 - 0,011 < 50) =
50
= 2Ф0 ,"’
' J100 000 0.01 0,99
Р^т -1000^ < 50) * 2 • Фо (1,59> = 0,88816.
Ответ. 0,88816.
Пример 7. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что доля проб с
промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на 0,05.
Решение. В отличие от предыдущей задачи, в данном случае речь идет о расчете вероятности заданного отклонения частости (относительной частоты) появления события от вероятности его
появления в отдельном независимом испытании, т. е.
При возрастании числа независимых испытаний распределение частости стремится к нормальному распределению точно так же, как и распределение частоты. Это означает, что при больших п мы можем аппроксимировать распределение частости нормальным распределением случайной величины, имеющей такое же математическое ожидание и такое же среднее квадратическое отклонение.
Подставив параметры распределения частости в формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, получим формулу для приближенного расчета вероятности заданного отклонения частости от своего математического ожидания (вероятности).
Параметры распределения частости:
Используя эти формулы, получим
Применим данную формулу для решения задачи.
По условию: n = 400; р = 0,8; q = 1 - 0,8 = 0,2;
Вероятность того, что доля проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на 0,05, составляет 0,98758.
Ответ. 0,98758.
Задачи к теме 5
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.
Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,07.
Авиакомпания знает, что в среднем 5% людей, делающих предварительный заказ на определенный рейс, не будет его использовать. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.
Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается
большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а = 9% и стандартным отклонением α= 2,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.
Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у. е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) более 60 у. е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между 40 и 50 у. е. за акцию.
Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают лишь 25% абитуриентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все экзамены (наберут проходной балл)?
Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением σ = 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей?
При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция == 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение σ = 0,4 унции. Пусть емкости объемом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 5% емкостей оказалось переполненными?
Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продукции в неделю, и стандартным отклонением — 13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (±3σ). Можно ли доверять профсоюзу?
Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объем переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться в пределах: а) от 21 000 до 27 000 руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 000 руб.
Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на
65 заказанные места?
Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1 %, но не более х2%. Найдите х1 и х2.
Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25% — имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.
Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина Х~ (0; 12). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?
Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на ±0,25 мм, считается дефектной. Компания А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компания В выполняет требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.
Компьютерная система содержит 45 одинаковых микроэлементов. Вероятность того, что любой микроэлемент будет работать в заданное время, равна 0,80. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы по крайней мере 30 микроэлементов было в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?
Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количество каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2 500 миль ( σ = 2 500). Если компания хочет, чтобы 80% выпускаемых автопокрышек имели срок службы не менее 25 000 миль, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.
Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дн., однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дн. и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.
ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов
Прежде чем приступить к рассмотрению вариационных рядов дадим определение другим понятиям, используемым в статистике. Так, совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, называется объектом наблюдения.
Всякий объект статистического наблюдения состоит из отдельных элементов — единиц наблюдения.
Результаты статистического наблюдения представляют собой числовую информацию — данные. Статистические данные — это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя
признак в статистической совокупности. Признаки бывают количественными и качественными.
Количественным называется признак, значения которого выражаются числами.
Качественным называется признак, характеризующийся некоторым свойством или состоянием элементов совокупности.
Статистическая совокупность называется генеральной, если исследованию подлежат все элементы совокупности (сплошное наблюдение).
Часть элементов генеральной совокупности, подлежащая исследованию, называется выборочной совокупностью (выборкой). Она извлекается из генеральной совокупности случайно, так чтобы каждый из п элементов выборки имел равные шансы быть отобранным.
Значения признака, которые при переходе от одного элемента совокупности к другому изменяются (варьируют), называются вариантами и обычно обозначаются малыми латинскими буквами х, у,z.
Порядковый номер варианта (значения признака) называется рангом: х 1 — 1-й вариант (1-е значение признака), х2 — 2-й вариант (2-е значение признака), хi— i-й вариант (i-e значение признака).
Ряд значений признака (вариантов), расположенных в порядке возрастания или убывания с соответствующими им весами, называется вариационным рядом (рядом распределения).
В качестве весов выступают частоты или частости.
Частота (т) показывает, сколько раз встречается тот или иной вариант (значение признака) в статистической совокупности.
Частость или относительная частота (ωi) показывает, какая часть единиц совокупности имеет тот или иной вариант. Частость рассчитывается как отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда
Ш.=Л~^-(6.1)
Сумма всех частостей равна 1
Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными.
Дискретные вариационные ряды строят обычно в том случае, .если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга не менее чем на некоторую конечную величину. В дискретных вариационных рядах задаются точечные значения признака. Общий вид дискретного вариационного ряда показан в табл. 6.1, где i = 1, 2,..., к.
Таблица 6.1
Значения признака (xi)
x1
x2
xk
Частоты (тi)
т1
m2
mk
Интервальные вариационные ряды строят обычно в том случае, если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. Значения признака в них задаются в виде интервалов. Общий вид интервального вариационного ряда показан в табл. 6.2, где i= 1, 2,..., l.
Таблица 6.2
Значения признака (xi)
а1-а2
a2-a3
...
ai-1-ai
Частоты (тi)
m1
т2
...
ml
В интервальных вариационных рядах в каждом интервале выделяют верхнюю и нижнюю границы. Разность между верхней и нижней границами интервала называется интервальной разностью или длиной (величиной) интервала.
Величина 1-го интервала k1 определяется по формуле k1 = a2 - а1; 2-го — k2= а3- a2 последнего:
k1=ai-ai-1
В общем виде интервальную разность ki представим как
ki=xi(max)-xi(min)ki=xi(max)-xi(min)(6.3)(6.3)
ki=xi(max)-xi(min)
ki=xi(max)-xi(min)
(6.3)
(6.3)
Если интервал имеет обе границы, то его называют закрытым.
Первый и последний интервалы могут быть открытыми, т. е. иметь только одну границу. Например, 1-й интервал может быть задан как «до 100», 2-й — «100-110», предпоследний — «190-200», последний — «200 и более». Очевидно, что 1-й интервал не имеет нижней границы, а последний — верхней, оба они — открытые.
Часто открытые интервалы приходится условно закрывать. Обычно для этого величину 1-го интервала принимают равной величине 2-го, а величину последнего — величине предпоследнего. В нашем примере величина 2-го интервала равна 110 - 100 = 10, следовательно, нижняя граница 1-го условно составит 100 - 10 = 90; величина предпоследнего равна 200 - 190 = 10, значит, верхняя граница последнего условно составит 200 + 10 = 210.
Кроме этого в интервальном вариационном ряде могут встречаться интервалы разной длины. Если интервалы в вариационном ряде имеют одинаковую длину (интервальную разность), их называют равновеликими, в противном случае — неравновеликими.
При построении интервального вариационного ряда часто встает проблема выбора величины интервалов (интервальной разности). Для определения оптимальной величины интервалов (в том случае,если строится ряд с равными интервалами) применяют формулу Стэрджесса
I
k _ , х^-х-и._(6 4)
1 + 3,322 1g л
где п — число единиц совокупности; хmax и xmin наибольшее и наименьшее значения вариантов ряда.
Для характеристики вариационного ряда наряду с частотами и частостями используются накопленные частоты и частости. Накопленные частоты (частости) показывают, сколько единиц совокупности (какая их часть) не превышают заданного значения (варианта) х.
Их можно рассчитать по данным дискретного ряда, пользуясь формулой
Vi = т i + т i-i +...+ т 1.(6.5)
Для интервального вариационного ряда — это сумма частот (частостей) всех интервалов, не превышающих данный.
Дискретный вариационный ряд графически можно представить с помощью полигона распределения частот или частостей (рис.6.1).
Интервальные вариационные ряды графически можно представить с помощью гистограммы, т. е, столбчатой диаграммы (рис. 6.2).
При ее построении по оси абсцисс откладываются значения изучаемого признака (границы интервалов). В том случае, если интервалы одинаковой величины, по оси ординат можно откладывать частоты или частости. Если же интервалы имеют разную величину, по оси ординат необходимо откладывать значения абсолютной или относительной плотности распределения. Абсолютная плотность — отношение частости интервала к его величине:
W^lT'(6-6)
где f(a)i — абсолютная плотность i-го интервала; mi — его частота;
ki— величина (интервальная разность).
Абсолютная плотность показывает, сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала.
Относительная плотность — отношение частости интервала к его величине:
|
Д0),=^,(6.7)
где f(0). — относительная плотность i-го интервала;
wi — его частость.
Относительная плотность показывает, какая часть единиц совокупности приходится на единицу интервала.
И дискретные, и интервальные вариационные ряды графически можно представить в виде кумуляты и огивы. При построении первой по данным дискретного ряда по оси абсцисс откладываются значения признака (варианты), а по оси ординат — накопленные частоты или частости. На пересечении значений признака (вариантов) и соответствующих им накопленных частот (частостей) строятся точки, которые в свою очередь соединяются отрезками или кривой. Получающаяся таким образом ломаная (кривая) называется кумулятой (кумулятивной кривой). Абсциссами ее точек являются верхние границы интервалов. Ординаты образуют накопленные частоты (частости) соответствующих интервалов. Часто добавляют еще одну точку, абсциссой которой является нижняя граница первого интервала, а ордината равна нулю. Соединяя точки отрезками или кривой, получаем кумуляту.
Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на оси абсцисс наносятся точки, соответствующие накопленным частотам (частостям), а по оси ординат — значения признака (варианты).
Числовые характеристики вариационного ряда
Одной из основных числовых характеристик ряда распределения (вариационного ряда) является средняя арифметическая.
Существует две формулы расчета средней арифметической: простая и взвешенная. Простую среднюю арифметическую обычно используют, когда данные наблюдения не сведены в вариационный ряд либо все частоты равны единице или одинаковы
x = -^—,(6.8)
n
где хi — i-e значение признака; п — объем ряда (число наблюдений; число значений признака).
Если частоты отличны друг от друга, расчет производится по формуле средней арифметической взвешенной
M
x=—k,(6.9)
где хi — i-e значение признака; тi — частота i-го значения признака; k — число его значений (вариантов).
При расчете средней арифметической в качестве весов могут выступать и частости, тогда формула расчета средней арифметической взвешенной примет следующий вид:
где хi — i-e значение признака; ωi — частость i-го значения признака; k — число его значений (вариантов).
Колеблемость изучаемого признака можно охарактеризовать с помощью различных показателей вариации. К числу основных показателей вариации относятся: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Дисперсию можно рассчитать по простой и взвешенной формулам, имеющим вид
X) = —;(6.11)
n
D(X) = ^—;.(6.12)
Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле
cr(X) = VC(X).(6.13)
Коэффициент вариации определяется формулой
=100%.(6.14)
x
Пример 1. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5;3;2;1;4;6;3;7;9;1;3;2;5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.
Составьте вариационный ряд распределения частот.
Постройте полигон распределения частот, кумуляту.
Определите средний размер (среднее число членов) семьи.
Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей вариации (дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации).
Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение. 1) В данной задаче изучаемый признак является дискретно варьирующим, так как размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Следовательно, необходимо построить дискретный вариационный ряд. Чтобы сделать это, необходимо подсчитать, сколько раз встречаются те или иные значения признака, и расположить их в порядке возрастания или убывания. Значения изучаемого признака — размер семьи — обозначим xi, частоты — тi.
Произведем упомянутые расчеты и запишем их результаты в табл. 6.3.
Таблица 6.3
хi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
mi
2
4
6
8
10
9
6
4
1
Дискретный вариационный ряд можно представить графически, построив полигон распределения частот или частостей (рис. 6.3).
Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости. Накопленная частота 1-го варианта (х1 = 1) равна самой частоте этого варианта, т. е. v1 = 2. Накопленная частота 2-го варианта (х2 = 2) равна сумме частот 1-го и 2-го вариантов, т.е. v2 = 2 + 4 = 6. Далее, аналогично v3 = 12; v4 = 20; v5 = 30; v6 = 39; v7= 45; v8 = 49; v9 =50.
Построим кумуляту (рис. 6.4).
Рассчитаем средний размер (среднее число членов) семьи. Так как частоты отличны друг от друга, расчет средней арифметической произведем по формуле (6.9)
- _ 1-2 + 2-4 + 3 6 + 4-8 + 5 10 + 6 9 + 7 6 + 8 4 + 9 12+ 4+ 6 + 8 + 10 +9 + 6 + 4 +Г"
_ 2+ 8+ 24+32+ 50+ 54+42 + 32+ 9 253
— — ■ o,Vb.
5050
Средний размер семьи — 5,06 чел.
Так как частоты неодинаковы, для расчета дисперсии размера семьи используем формулу (6.12)
Дисперсия размера семьи — 3,6964 чел2. Найдем среднее квадратическое отклонение размера семьи по формуле (6.13)
Среднее квадратическое отклонение размера семьи — 1,9226 чел.
Найдем коэффициент вариации размера семьи по формуле (6.14)
У(Х) =• 100% = 38%.
5.06
Коэффициент вариации составляет 38%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность семей является неоднородной, чем и объясняется высокая колеблемость размера семьи в данной совокупности.
Ввиду неоднородности семей, попавших в выборку, использование средней арифметической для характеристики наиболее типичного уровня размера семьи не вполне оправданно — средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности, в качестве характеристики наиболее типичного уровня размера семьи в данной совокупности лучше использовать моду или медиану.
Пример 2. Имеются данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности в 1996 г.
Предприятия с годовой мощностью, тыс. т
Количество предприятий
До 500
27
500 - 1 000
11
1 000 - 2 000
8
2 000 - 3 000
8
Свыше 3 000
2
Постройте гистограмму, кумуляту.
Рассчитайте среднюю мощность предприятий.
Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение. 1) Данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности представлены в виде интервального вариационного ряда — значения признака заданы в виде интервалов. При этом первый и последний интервалы — открытые: оба интервала не имеют одной из границ. Наконец, данный интервальный вариационный ряд — с неравными интервалами: интервальные разности (разность между верхней и нижней границами) интервалов неодинаковы. Условно закроем границы открытых интервалов.
Интервальная разность 2-го интервала
1 000 - 500 = 500.
Следовательно, нижняя граница 1-го интервала
500 - 500 = 0.
Интервальная разность предпоследнего интервала
3 000 - 2 000 = 1 000.
Следовательно, верхняя граница последнего интервала
3 000 + 1 000 = 4 000.
В результате, получим следующий вариационный ряд (табл. 6.4):
xi
mi
0-500
27
500 - 1 000
11
1 000 - 2 000
8
2 000 - 3 000
8
3 000 - 4 000
2
Таблица 6.4Таблица 6.4
Таблица 6.4
Таблица 6.4
Учитывая неодинаковую величину интервалов, для построения гистограммы рассчитаем абсолютные плотности распределения по формуле (6.6)
«у,11
Ка\ = • — - = 0.054: Л»), =* ^ = 0.022;
' 500-0" 1000 - 500
tw.tw.882 000-10002 000-1000= 0,008, /(a)= 0,008, /(a)883 000-2 0003 000-2 000= 0,008;= 0,008;
tw.
tw.
8
8
2 000-1000
2 000-1000
= 0,008, /(a)
= 0,008, /(a)
8
8
3 000-2 000
3 000-2 000
= 0,008;
= 0,008;
/(a). = 0,002
4 000-3 000
Построим гистограмму (рис. 6.5).
Puc. 6.5
Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости.
Накопленная частота нижней границы 1-го варианта х = 0 равна нулю. Накопленная частота верхней границы 1-го интервала равна его частоте, т. е. 27.
Накопленная частота верхней границы 2-го интервала равна сумме частот 1-го и 2-го интервалов, т.е.27 + 11 = 38.
Далее, аналогично 38 + 8 =46; 46 + 8 = 54; 54 + 2 = 56.
Построим кумуляту (рис. 6.6).
Рассчитаем среднюю мощность предприятий цементной промышленности в 1996 г. Так как частоты интервалов разные, используем для расчета средней арифметической формулу (6.9). При расчете числовых характеристик интервального вариационного ряда в качестве значений признака принимаются середины интервалов, найдем их.
,,^=250; x.=,,^=250; x.=1000 + 500 „ЕГХ = 750;1000 + 500 „ЕГХ = 750;2 000 + 1000X3 =-= 1500; X4 =2 000 + 1000X3 =-= 1500; X4 =230£012ooo=2500;230£012ooo=2500;22
,,^=250; x.=
,,^=250; x.=
1000 + 500 „ЕГХ = 750;
1000 + 500 „ЕГХ = 750;
2 000 + 1000
X3 =-= 1500; X4 =
2 000 + 1000
X3 =-= 1500; X4 =
2
30£012ooo=2500;
2
30£012ooo=2500;
2
2
At =At =4 000 + 3 000 ocnn4 000 + 3 000 ocnn
At =
At =
4 000 + 3 000 ocnn
4 000 + 3 000 ocnn
3
Теперь расчет средней арифметической примет вид
250-27 + 750-11 + 1 500 8 + 2 500-8+3 500 227 + 11+8 + 8 + 2
6 750 + 8 250+12 000 + 7 000 54 000.
- —.— = —— yo^,.
5656
Средняя мощность предприятий цементной промышленности в 1996 г. составляла 964,29 тыс. т.
Следует отметить, что использование с той или иной целью средней арифметической, рассчитанной по данным интервального ряда с открытыми интервалами, может привести к серьезным ошибкам. Это связано с тем, что открытые интервалы закрываются условно, в действительности значения признака у объектов, попадающих в открытые интервалы, могут выходить далеко за их условные границы.
В связи с этим для оценки наиболее типичного уровня изучаемого признака по данным интервального ряда с открытыми интервалами лучше использовать моду или медиану.
Оценим колеблемость мощности предприятий цементной промышленности в 1996 г.
Так как частоты неодинаковы, для расчета дисперсии используем формулу (6.12)
<250 - 964.29)’ 27 + (750 - 964,9)’ 11
r
°W *127 + 11 + 8,8 + 2
(1 500 - 964,9)2- 8 + (2 500 - 961.29)2 8 *
*56
(3 500-964,9)* -2 _ 862 563 78>
56
Дисперсия мощности предприятий — 862 563,78 (тыс. т)2.
Найдем среднее квадратическое отклонение мощности предприятий по формуле (6.13)
а(Х) = ^/862 563Л8 = 928,74
Среднее квадратическое отклонение мощности предприятий — 928,74 тыс. т.
Найдем коэффициент вариации по формуле (6.14)
I
Q9R 74
И(Х) =Ю0%= 96,31%.
964.29
Коэффициент вариации годовой мощности предприятий цементной промышленности составляет 96,31%. Поскольку он больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность предприятий является неоднородной, в ее состав вошли и крупные и мелкие предприятия, что и обусловило высокую колеблемость годовой мощности.
Следовательно, использование средней арифметической для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности предприятий цементной промышленности неверно — средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности. Это еще раз подтверждает необходимость использования моды или медианы для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности данной совокупности предприятий цементной промышленности.
Задачи к теме 6
По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу
Среднедушевой доход семьи в месяц, у. е.
до 25
25-50
50-75
75-100
100-125
125-150
150 и выше
Количество обследованных семей
46
236
250
176
102
78
12
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите cреднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного предприятия.
Заработная плата, у. е.
50-75
75-100
125-150
150-175
175-200
200-225
Число работников
12
23
37
19
15
9
Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.
3. Ниже представлена группировка отраслей и подотраслей промышленности по темпам роста цен на изготавливаемую продукцию за период с начала года.
Сентябрь 1996 г., % к декабрю 1995 г.
92,1-100,0
100,1-108,0
108,1-116,0
116,1-124,0
124,1-132,0
132,1-140,0
Число отраслей и подотраслей, единиц
4
15
21
31
19
18
Найдите среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Постройте гистограмму. Сделайте выводы.
По результатам выборочного обследования торговых киосков города получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса.
Выручка от продажи товара, тыс. у. е.
до 1
1-1,2
1,2-1,4
1,4-1,6
1,6-1,8
1,8-2,0
2,0 и выше
Число торговых киосков
10
12
22
26
18
7
5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедневную выручку от продажи товаров, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
Имеются данные о денежной эмиссии, осуществлявшейся ЦБ РФ в период 1991-1994 гг.
Годы
1991
1992
1993
1994
Размер эмиссии, млрд руб.
89,3
1 513,0
10 904,8
23169,9
Найдите среднегодовой размер эмиссии за указанный период. Охарактеризуйте колеблемость размера эмиссии с помощью различных показателей вариации.
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
Интервалы значений показателя деловой активности, бал.
0-8
8-16
16-24
24-32
Число предприятий (акционерные общества открытого типа)
10
15
8
5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
7. Продажа акций на аукционе акционерными обществами города характеризуется следующими данными:
Продажа акций, % от уставного капитала
9-15
15-21
21-27
27-33
Число акционерных обществ открытого типа
3
5
4
2
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний процент продажи акций.
Охарактеризуйте колеблемость процента продажи акций с помощью соответствующих показателей.
Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца.
Число заключенных сделок
10-30
30-50
50-70
70-90
Число брокерских фирм и контор
20
18
12
5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее число заключенных сделок, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты.
9. Имеются выборочные данные о стоимости потребительской корзины из 19 основных продуктов по городам Ростовской области (на начало апреля 1996 г.).
Стоимость потребительской корзины, тыс. руб.
196
208
216
222
227
240
Число городов области
2
3
4
4
5
7
Постройте полигон распределения частот. Найдите среднюю стоимость потребительской корзины в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
Кредиты ЦБ РФ предприятиям России за 7 месяцев 1992 г. (с апреля по октябрь) характеризуются следующими данными:
Месяц
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Размер кредитов, млрд руб.
918,1
1 025,3
1041,8
1 393,0
1 860,0
2 153,2
2 731,0
Найдите среднемесячный размер кредита за указанный период. Охарактеризуйте колеблемость размеров кредита с помощью соответствующих показателей.
Предположим, что на некотором предприятии собраны данные о числе дней, пропущенных работниками по болезни.
Число дней, пропущенных в текущем месяце
0
1
2
3
4
5
Число работников
10
17
25
28
30
27
Постройте полигон распределения частот. Найдите среднее число пропущенных дней, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Является ли распределение симметричным?
12. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники.
Выручка, у. е.
0-200
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
Число дн.
3
5
9
14
8
3
Имеются данные о числе тонн грузов, перевозимых еженедельно паромом некоторого морского порта в период навигации: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499, 580, 606, 344, 455, 505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582.
Составьте вариационный ряд. Найдите среднюю арифметическую. Рассчитайте показатели вариации ряда. Сделайте анализ полученных результатов.
Предположим, у вас есть следующая информация об акциях А и В:
Экономическое состояние в следующем году
Вероятность того, что произойдет
Возврат по акции В в следующем году, %
Возврат по акции А в следующем году, %
Снижение деловой активности
0,3
9,8
10
Умеренный рост
0,4
11,2
11
Подъем деловой активности
0,3
13
12
Рассчитайте среднюю арифметическую, дисперсию и коэффициент вариации для акций А и В. Если вы решили купить одну акцию, какую из двух вы выберете? Почему?
15. Проанализируйте данные годовых уровней прибыли трех компаний.
Год
Cherry Computers
Lemon Motors
Orange Electronics
1983
14,2
-6,2
37,5
1984
12,3
13,3
-10,6
1985
-16,2
-8,4
40,3
1986
15,4
27,3
5,4
1987
17,2
28,2
6,2
1988
10,3
14,5
10,2
1989
-6,3
-2,4
13,8
1990
-7,8
-3,1
11,5
1991
3,4
15,6
-6,2
1992
12,2
18,2
27,5
Найдите среднее значение и стандартное отклонение прибыли для каждой из компаний. Сравните результаты их деятельности за 10 лет. Деятельность какой из компаний, по вашему мнению, более успешна?
Таблица, приведенная ниже, содержит данные о стоимости акций Charleston Corporation в различных экономических ситуациях.
Экономическое состояние в следующем году
Вероятность того, что произойдет
Цена за акцию, дол. США
Кризис
0,25
65
Снижение деловой активности
0,25
80
Умеренный рост
0,3
95
Подъем деловой активности
0,2
100
Рассчитайте среднюю стоимость акций, дисперсию и коэффициент вариации. Проанализируйте полученные результаты.
Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем покупок товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные (хi): 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6,5,7,3,2,9,8,1,4,6,5,4,2,1, 0,8.
Постройте вариационный ряд, определите его числовые характеристики. Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама?
Ниже приводятся данные о возрастном составе безработных по Российской Федерации, зарегистрированных в службе занятости по сведениям на последнюю неделю марта 1996 г., %.
Возраст, лет
16-20
20-24
25-29
30-49
50-54
55-59
60-65
Мужчины
7,7
17,0
11,9
50,9
4,2
5,7
2,6
Женщины
11,2
18,5
11,7
49,5
4,0
3,8
1,3
Найдите средний возраст безработных мужчин и женщин, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Оцените различия показателей возрастного состава безработных мужчин и женщин. Сделайте выводы.
Число пассажиров компании «Донские авиалинии» одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего года составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109,120,116,125,128,121,129,130,131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132,136,134,129.
Составьте вариационный ряд. Чему равно среднее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показатели вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
Имеются данные о группировке коммерческих банков РФ по величине объявленного уставного фонда (на 1 марта 1995 г.).
Объявленный уставной фонд, руб.
До 100 млн
100-500 млн
500 млн-1 млрд
Свыше 1 млрд
Число коммерческих банков
87
1075
377
1004
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний размер объявленного уставного фонда коммерческих банков РФ. Охарактеризуйте колеблемость размера объявленного уставного фонда коммерческих банков с помощью соответствующих показателей.
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
Основные понятия и определения выборочного метода
По одному из популярных определений, статистика — это наука, позволяющая распространять выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), на всю
совокупность (генеральную совокупность). В этом определении заключена сущность выборочного метода и его ведущая роль в статистике.
Все единицы совокупности, обладающие интересующими исследователя признаками, составляют генеральную совокупность.
Часть совокупности, случайным образом отобранная из генеральной совокупности, — выборочная совокупность — выборка.
Число единиц (элементов) статистической совокупности называется ее объемом*. Объем генеральной совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности — п. Если объем совокупности велик, то его полагают равным бесконечности.
* В учебниках по математической статистике вместо термина «статистическая совокупность» используется термин «набор данных», а вместо термина «единица совокупности» используется термин «элемент выборки».
Случайная выборка из п элементов — это такой отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным. Требование случайности обеспечивается отбором по таблицам случайных чисел или по жребию. Такая выборка называется собственно-случайной. Одним из примеров использования собственно-случайной выборки является проведение тиражей выигрышей денежно-вещевых лотерей, при которых обеспечивается равная возможность попадания в тираж любого номера лотерейного билета.
По способу отбора элементов различают два типа случайных выборок: собственно-случайная повторная (схема возвращенного шара); собственно-случайная бесповторная (схема невозвращенного шара).
Выбор схемы отбора зависит от характера изучаемого объекта. Напомним, что при повторном отборе единица наблюдения после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается в генеральную совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом. При бесповторном отборе элемент в выборку не возвращается. Следует отметить, что независимо от способа организации выборки она должна представлять собой уменьшенную копию генеральной совокупности, т. е. быть представительной (репрезентативной).
Статистическое оценивание
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объемом n, причем значение признака х1 наблюдается т1 раз, x2 т2 раз,..., хk наблюдается тk раз,
Мы можем сопоставить каждому значению хi относительную частоту mi/n.
Статистическим распределением выборки называется перечень возможных значений признака Xi и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) mi (toi).
Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило, неизвестные (средняя, дисперсия и др.), называются параметрами генеральной совокупности (обозначают, например, X или Xген , ст2ген). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р.
По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называют статистиками (обозначают X X, или X ген ,ст2ген, выборочная доля обозначается to). Статистики,
получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра — определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.
В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.
Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т. е.
Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: с2выб — выборочная дисперсия; S2— исправленная выборочная дисперсия*. с2выб исчисляется при п > 30, a S2 — при n < 30. Причем в математической статистике доказывается, что
При больших объемах выборки с2выб и S2 практически совпадают.
Генеральное среднее квадратическое отклонение сген также имеет 2 точечные оценки: свыб — выборочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. свыб используется для оценивания сген при п > 30, а S для оценивания (сген при п < 30; при этом
* Для того чтобы любые статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещенности, эффективности, состоятельности, достаточности. Всем указанным свойствам отвечает выборочная средняя, с2выб — смещенная оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка п/п—1 (см. 7.1).
Ошибки выборки
Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: £ = X- X , либо е= р -го.
Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.
где Х — средняя по совокупности выбранных единиц; X — средняя по генеральной совокупности.
о ген — среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.
Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой
можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.
Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки, гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной t и средней ошибкой выборки
Vn
Согласно центральной предельной теореме Ляпунова, выборочные распределения статистик (при п ≥V≥ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно,
где Ф0(t) — функция Лапласа.
Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах:
при п > 30 — в таблице значений Ф0(t), а при n < 30 в таблице распределения t-Стьюдента. Неизвестное значение оген при расчете ошибки выборки заменяется овыб.
В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по-разному (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Формулы расчета ошибки выборки для собственно-случайного отбора
Здесь о2 — выборочная дисперсия значений признака; ю (1 - ю ) — выборочная дисперсия доли значений признака; n — объем выборки; N — объем генеральной совокупности; n/N — доля обследованной совокупности; (1- n/N) — поправка на конечность совокупности (в литературе (1 - n/N) иногда называется «поправкой на бесповторность отбора»).
Определение численности (объема) выборки
Одной из важнейших проблем выборочного метода является определение необходимого объема выборки (табл. 7.2). От объема выборки зависит размер средней ошибки (ц) и экономичность проводимого выборочного наблюдения, так как чем больше объем выборки, тем больше затраты на изучение элементов выборки, но тем меньше при этом ошибка выборки. Из формулы предельной ошибки А = tц. и формул средних ошибок выборки определяются формулы необходимой численности
выборки для различных способов отбора.
Таблица 7.2
Формулы, расчета необходимой численности выборки для собственно-случайного отбораФормулы, расчета необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
Формулы, расчета необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
Формулы, расчета необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
Интервальное оценивание
Пусть ε = X - X . Если Δ представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина |ε| < Δ, то | Х -X | < Δ. Следовательно,
Х-Д<Х<Х + Д.(7.4)
Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что
Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется 2 числами — концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки Δ, позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.
Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% — неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность — 0,95. В 5% случаев утверждение «параметр принадлежит доверительному интервалу» будет неверным, т. е. 5% задает уровень значимости (α) или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% (α < 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.
С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)* нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней X при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности (на практике — при большом объеме выборки, т. е. при п ≥ 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5) примет вид
= 2Фи(<) = у,= 2Фи(<) = у,(7.6)(7.6)
= 2Фи(<) = у,
= 2Фи(<) = у,
(7.6)
(7.6)
где t определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения 2Ф0(t) = γ; σ— сред-
нее квадратическое отклонение; п — объем выборки (число обследованных единиц).
* Для нормально распределенной случайной величины М(Х) = а ® X. Поэтому справедливо Р(Х- а| < А) ® X.
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней X при известном среднем квадратическом отклонении с генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т. е. при п > 30) и собственнослучайном бесповторном отборе формула (7.6) примет вид
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Х при неизвестном среднем квадратическом отклонении (о генеральной совокупности (на практике — при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.6) будет иметь вид
где t определяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости а = 1 — у и числу степеней свободы k = п — 1; с — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; п — объем выборки.
Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Х при неизвестном среднем квадратическом отклонении о- генеральной совокупности (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственнослучайном бесповторном отборе формула (7.8) примет вид
Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле ю= т/п (при большом объеме выборки, т. е. при п > 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5) будет иметь вид
где t определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения 2Ф0(t) = у; го — выборочная доля; п — объем выборки (число обследованных единиц);
Д = L —1' .
Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле го = т/п (при большом объеме выборки, т. е. при п > 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.10) примет вид
Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле го = т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.10) примет вид
где t определяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости а = 1 - у и числу степеней свободы k = п -1.
Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле ю = т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном беспоторном отборе формула (7.12) будет иметь вид
Пример 1. С помощью собственно-случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж их работы в фирме равен 8,70 года, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение — 2,70 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы служащих фирмы распределенным по нормальному закону, определите: а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы; б) с вероятностью 0,90 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всем коллективе фирмы.
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственнослучайного повторного отбора. Объем выборки п = 900 единиц, т. е. выборка большая.
Найдем границы доверительного интервала среднего стажа работы всего коллектива фирмы, т. е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
По условию X = 8,70; с = 2,70; п = 900; y= 0,95. Используем формулу
Найдем t из соотношения 2Фo(t) = у: 2Фo(t) = 0,95; Фo(t) = 0,95/2 = 0.475.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.
Следовательно, t = 1,96.
Найдем предельную ошибку выборки
А = Д = 1,96-^^= 1,96 0,09 = 0,1764.
4п-V900
Х-Д<Х<Х + Д; 8,70 -0,1764 < X < 8,70 + 0,1764;
8,5236< X <8,8764.
С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний стаж работы всего коллектива фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года.
Теперь оценим истинное значение доли женщин во всем коллективе фирмы.
По условию т = 270; п = 900; y= 0,90.
Выборочная доля ш = 270/900 = 0,30.
Используем формулуИспользуем формулу
Используем формулу
Используем формулу
Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = у 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) определим, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45.
Следовательно, t = 1,64.
Предельная ошибка выборки определяется по формуле
/0,30 (1-0,30) _1G1 /0,30 0,70
V 900' Ч 900
= 1,64 0,0153 = 0,0251.
и/-Д < р <ш + ^
0,30-0,0251 < р< 0,30 + 0,0251;
0,2749 < р< 0,3251.
Итак, с вероятностью 0,90 можно ожидать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.
Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0,95 средний стаж работы всех служащих фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года. С вероятностью 0,90 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.
Пример 2. Изменим условие примера 1.
С помощью собственно-случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,95 можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0,50 года, если стандартное отклонение σ равно 2,70 года?
Каким должен быть объем собственно-случайной повторной выборки, чтобы с надежностью 0,90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли женщин в выборке от доли женщин во всем коллективе фирмы не превышало 0,05, если в прошлом аналогичном обследовании выборочная доля женщин оказалась равной 0,30?
Решение. В данной задаче нужно найти необходимую численность выборки. Ее расчет дает ответ на вопрос: «Сколько нужно обследовать единиц совокупности, чтобы с заранее заданной вероятностью не превысить заранее заданную ошибку?»
Дано: Δ = 0,50; σ= 2,70; γ= 0,95.
По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для средней при повторном отборе. Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней при собственно-случайном повторном отборе: п = t2o2/A2.
Неизвестное значение t найдем из соотношения 2Ф0(t) = у 2Ф0О = 0,95; Ф0(t)= 0,95/2 = 0,475.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.
Следовательно, t = 1,96.
Рассчитаем необходимую численность выборки
Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.
Следовательно, надо обследовать не менее 113 служащих.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и D = 0,50 года с помощью собственно-случайного повторного отбора определить средний стаж работы в фирме, необходимо обследовать не менее 113 служащих.
Дано: Δ = 0,05; ω = 0,30; γ= 0,90.
По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для доли при собственнослучайном повторном отборе.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли при собственнослучайном повторном отборе:
^ша-ш)д1
Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ. 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45. Следовательно, t = 1,64.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
I
Wog-M) 0,052
Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.
Следовательно, п ≈ 226.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0,90 и ошибкой Δ=0,05 с помощью собственно-случайного повторного отбора определить долю женщин во всем коллективе фирмы, необходимо обследовать не менее 226 служащих.
Пример 3. Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих (охраны автостоянки). В течение года (365 дней) владельцем автостоянки проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 400 единиц, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение их числа — 10 автомобилей. Считая отбор собственнослучайным, с вероятностью 0,99 оцените с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Обоснованы ли опасения владельца автостоянки, если по отчетности охранников среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составляет 395 автомобилей?
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственнослучайного отбора. Очевидно, что отбор — бесповторный, так как не имеет смысла производить проверку более 1 раза в сутки. Объем выборки n = 40, что больше 30 единиц, т. е. выборка большая. Объем генеральной совокупности N = 365.
Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
По условию
Х= 400; с = 10; п = 40; у= 0,99; N=365. Используем формулу
= 2Фо(О = Г-
Найдем t из соотношения 2Ф (t) = у. 2Ф0(t) = 0,99; Ф0(t) = 0,99/2 = 0,495.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(1) = 0,495. Ф0(2,58) = 0,495.
Следовательно, t = 2,58.
Найдем предельную ошибку выборки:
Д = 2,58" — = 3,8493.
V10 V 365
Х-Д<Х <Х + Д.
4ОО - 3,8493 < X < 400 -I- 3,8493;
396,1507 < X < 403,8493.
Ответ. С уверенностью в 99% можно ожидать, что среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, находится в интервале от 396 до 404. Таким образом, можно утверждать, что служащие автостоянки обманывают ее владельца.
Пример 4. В 24 из 40 проверок число автомобилей на автостоянке не превышало 400 единиц. С вероятностью 0,98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц.
Решение. Определим границы доверительного интервала для доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц.
По условию т = 24; п = 40; у =.0,98.
Выборочная доля ю = 24/40 = 0,60. Так как
то найдем t из соотношения 2Ф0(t) = у, 2Ф0(t) = 0,98; Ф0(t) = 0,98/2 = 0,49.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,49. Ф0(2,33) = 0,49.
Следовательно, t = 2,33.
Найдем предельную ошибку выборки:
Ответ. С вероятностью 0,98 можно ожидать, что доля дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц, находится в интервале от 0,4297 до 0,7703.
Пример 5. Изменим условие примера 3.
С помощью собственно-случайного бесповторного отбора определяется среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Предполагается, что оно подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что когда принимается полученное среднее число автомобилей по выборке за истинное, совершается погрешность, не превышающая 3 автомобилей, если среднее квадратическое отклонение σ равно 10 автомобилям?
Решение. Дано: Δ= 3; σ = 10; γ= 0,95; N=365. Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней при собственно-случайном бесповторном отборе;
lV‘N
^N *t2c2
Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ. 2Ф0(t) = 0,95; Ф0(t) = 0,95/2 = 0,475.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.
Следовательно, t = 1,96.
Рассчитаем объем выборки:
= 38,22.= 38,22.1,962 IO2-365^ЗбГ+ЕЭбМО7
= 38,22.
= 38,22.
Так как п — целое число,Так как п — целое число,округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что
Так как п — целое число,
Так как п — целое число,
необходимо не превышать заданную ошибку.
Следовательно, необходимо провести не менее 39 проверок.
Ответ. Для определения среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану с вероятностью 0,95 и Δ = 3, необходимо провести не менее 39 проверок.
Пример 6. Изменим условие примера 4.
Каким должен быть объем собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли дней от доли дней в течение года (когда среднее число оставляемых на охрану автомобилей не превышало 400 единиц) не превышало 0,10, если по данным прошлых проверок выборочная доля таких дней составляла 0,60?
Решение. Дано: Δ = 0,10; ω = 0,60; γ= 0,90; N=365. Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли при собственно-случайном бесповторном отборе
_ f2u?(l-w^
£?N*t4wU -w)
Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = у. 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45.
Следовательно, t = 1,64.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
1.64z 0,60 (1-0,60) 365 E, or
л =5;= 54.85.
0.10" ■ 365 +1,64- • 0,60 • (1 - 0,60)
Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.
Следовательно, n ≈ 55.
Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0,90 и предельной ошибкой 0,10 с помощью собственнослучайного бесповторного отбора определить искомую долю дней в течение года, необходимо провести не менее 55 проверок.
Пример 7. Служба контроля энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт · ч): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50;125; 115;112.
С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был: а) повторным; б) бесповторным.
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственнослучайного отбора. Объем выборки n = 10 единиц, т. е. выборка малая.
Считая отбор повторным, найдем доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, т. е. границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.
Для этого используем формулы:
Для определения границ доверительного интервала необходимо рассчитать выборочные среднюю и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
Рассчитаем выборочную среднюю арифметическую:
Найдем исправленную выборочную дисперсию:
5г _ (125- 98.2)2 + (78 - 98.2/ 4- (102 - 98,2/10-1
+ (14 0-98,2/ +(90-98,2/ +(45-98,2/10-1
( (50-98,2/+(125-98,2/+ (115-98,2/
10-1
Найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
Итак, дано: Х = 98,2; с= 32,1448; п = 10; у= 0,95. По таблице Стьюдента (приложение 5) найдем t по уровню значимости α и числу степеней свободы k.
α = 1 - γ= 1 - 0,95 = 0,05;
k=n -1=10-1=9;
ta=0,05;k=9=2,26
Найдем предельную ошибку выборки
X -д < х < X + д.
98,2 - 22,9731 < X < 98,2 + 22,9731;
75,2269 < X <121,1731.
Ответ. При условии, что отбор квартир был повторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 75,2269 до 121,1731 кВт.ч.
Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, считая отбор бесповторным.
Для этого используем формулы:
По условию Х = 98,2; s = 32,1448;п = 10; y= 0,95;ta=о№9= 2,26; N = 70.
Найдем предельную ошибку выборки:
32,1448
Д = 2,26 * j - * Vio
1-1°701-1°70= 21,2689.= 21,2689.Х-Д<Х <Х + Д;
1-1°
70
1-1°
70
= 21,2689.
= 21,2689.
98,2 - 21.2689 < X < 98.2 4-21,2689;
76,9311 < X<119,4689.
Ответ. При условии, что отбор квартир был бесповторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 76,9311 до 119,4689 кВт ч.
Задачи к теме 7
С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-я случайная бесповторная выборка из 1 000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у. е.?
Фирма, торгующая автомобилями в небольшом городе, собирает информацию о состоянии местного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8 746 лиц в возрасте 18 лет и старше, проживающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году. Оцените долю лиц в генеральной совокупности в возрасте 18 лет и старше, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году, если а = 0,05.
Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной повторной выборки отобраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-й доверительный интервал, оцените истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.
Туристическое бюро, рекламируя отдых на одном из морских курортов, утверждает, что для этого курорта характерна идеальная погода со среднегодовой температурой +20° С. Пусть случайно отобраны 35 дней в году. Какова в этом случае вероятность того, что отклонение средней температуры за отобранные дни от среднегодовой температуры не превысит по абсолютной величине 2° С, если температура воздуха распределена по нормальному закону, а стандартное отклонение дневной температуры составляет 4° С ?
Выборочные обследования малых предприятий города показали, что 95% малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах находится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попало 100 предприятий?
В целях изучения среднедушевого дохода семей города в 1995 г. была произведена 1% -я повторная выборка из 30 тыс. семей. По результатам обследования среднедушевой доход семьи в месяц составил 200 тыс. руб. со средним квадратическим отклонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0,95 найдите доверительный интервал, в котором находится величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону.
Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовано 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15% состоят из 2 человек. В каких пределах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из 2 человек, если принять доверительную вероятность равной 0,95?
По данным выборочных обследований в 1995 г. прожиточный минимум населения СевероКавказского района составил в среднем на душу населения 87 тыс. руб. в месяц. Каким должен был быть минимально необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что этот показатель уровня жизни населения в выборке отличается от своего значения в генеральной совокупности не более чем на 10 тыс. руб., если среднее квадратическое отклонение принять равным 30 тыс. руб.?
В 1995 г. выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому денежному доходу показало, что 40% обследованных в выборке имеют среднедушевой денежный доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной совокупности, если объем генеральной совокупности составляет 1 000 000 единиц, выборка не превышает 10% объема генеральной совокупности и осуществляется по методу собственно-случайного бесповторного отбора, а доверительная вероятность принимается равной 0,954?
Аудиторская фирма хочет проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50. отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.
Строительная компания хочет оценить возможности успешного бизнеса на рынке ремонтностроительных работ. Эта оценка базируется на случайной бесповторной выборке, в соответствии с которой из 1 000 домовладельцев, собирающихся ремонтировать или перестраивать свои дома, отобраны 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 5 000 у. е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в генеральной совокупности по абсолютной величине не более, чем на 100 у. е., если стандартное отклонение стоимости строительных работ в выборке составило 500 у. е.?
Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1 342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределенной по нормальному закону, найдите 95%-й доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.
Среднемесячный бюджет студентов в колледжах одного из штатов США оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0,954 найдите наименьший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 у. е., а предельная ошибка средней не должна превышать 20 у. е.
Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9 706 клиентов банка опрошено 1 000 человек. Среднее значение необходимого кредита в выборке составило 6 750 у. е. со стандартным отклонением 1 460 у. е. Найдите границы 95%-го доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности.
Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,90?
С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра
передач составило 40 мин, а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин с вероятностью 0,99?
При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.
Для оценки остаточных знаний по общеэкономическим предметам были протестированы 25 студентов 2-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 2-го курса факультета.
Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого населения региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более чем на 25%, если среднемесячная заработная плата в выборке составила 220 у. е. со средним квадратическим отклонением 120 у. е.?
Выборочное исследование деятельности коммерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стандартным отклонением, равным 5). Найдите объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка выборочной средней находится в пределах 20% от ее фактического значения, а доверительная вероятность составляет 0,95.
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметров или закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей). Например, исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности» или «генеральные средние двух анализируемых совокупностей равны». Такие предположения называются статистическими гипотезами.
Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.
Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0.
По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1 .
Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н0
Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой, например: «Среднедушевой совокупный доход населения России составляет 650 руб. в месяц»; «Уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равен 9%». В других случаях гипотеза называется сложной.
В качестве нулевой гипотезы Н0 принято выдвигать простую гипотезу, так как обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.
По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов*:
— гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;
— гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности**;
— гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;
гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др.
В этой работе рассматриваются первые два типа гипотез.
* Эти гипотезы часто называют параметрическими, тогда как все остальные — непараметрическими.
Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т. е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н0 имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.
Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н0 может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность — 1 уровнем значимости и обозначают а.
Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н0 принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н1. Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода обозначается как в. Вероятность 1 - в называют мощностью критерия.
При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок а или в. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки 1-го рода а — уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости а: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α (отклонить правильную в действительности гипотезу Н0), следует принять тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода β, т.е. большая мощность. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.
Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н0 также может быть двух видов:
— будет принята нулевая гипотеза Н0, когда в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н0 ; вероятность такого решения 1 - а;
— нулевая гипотеза Н0 будет отклонена в пользу альтернативной Н1, когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной Н1, вероятность такого решения 1 - в — мощность критерия.
Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью табл. 8.1.
Таблица 8.1
Нулевая гипотеза Н0
Результаты решения относительно нулевой гипотезы Н0
Отклонена
Принята
Верна
Ошибка 1-го рода, ее вероятность Р(Н1 /Н0) = а
Правильное решение, его вероятность Р(Н0/Н0) = 1 - α
Неверна
Правильное решение, его вероятность Р(Н1 /Н1) = 1 - в
Ошибка 2-го рода, ее вероятность Р(Н0/Н0) = β
Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющего функцией от результатов наблюдения.
Статистический критерий — это правило (формула), по которому определяется мера расхожде-
ния результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0.
Статистический критерий, как и всякая функция от результатов наблюдения, является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы Н0 подчинен некоторому хорошо изученному (и затабулированному) теоретическому закону распределения с плотностью распределения f(k).
Выбор критерия для проверки статистических гипотез может быть осуществлен на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н0, чтобы при заданном уровне значимости а можно было бы найти критическую точку К распределения f(k), которая разделила бы область значений критерия на две части: область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н0.
Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости α рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия Кнабл определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н0.
Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона x2; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей — с помощью критерия Фишера F; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z — нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдента и т. д.
Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия(Kнабл).
Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0), определяемые на заданном уровне значимости а по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (Ккр ).
Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н0) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 не отклоняется.
Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Если конкурирующая гипотеза — правосторонняя, например, Н1: а > а о, то и критическая область — правосторонняя (рис. 8.1). При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (Ккр.п) принимает положительные значения.
Если конкурирующая гипотеза — левосторонняя, например, Н1 : а < а о, то и критическая область — левосторонняя (рис. 8.2). При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (Ккр.л).
Если конкурирующая гипотеза — двусторонняя, например. Н1: а * а0 , то и критическая область — двусторонняя (рис. 8.3). При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются 2 критические точки (Ккр.л и K кр..п)
Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:
если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей H1;
— если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить.
Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н0 путем сравнения наблюдаемого (Кнабл) и критического значений критерия (Ккр.).
При правосторонней конкурирующей гипотезе:
если Кнабл<Ккр,, то нулевую гипотезу Н0нельзя отклонить;
— если Кнабл > Kкр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
При левосторонней конкурирующей гипотезе:
если Кнабл>-Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;
— если Кнабл < -Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
При двусторонней конкурирующей гипотезе:
если -Ккр < Кнабл< Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;
— если Кнабл > Ккр или Кнабл < -Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.
Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:
сформулировать нулевую Н0 и альтернативную Н1 гипотезы;
выбрать уровень значимости а;
в соответствии с видом выдвигаемой нулевой гипотезы Н0 выбрать статистический критерий для ее проверки, т.е. — специально подобранную случайную величину К, точное или приближенное распределение которой заранее известно;
по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве статистического критерия, найти критическое значение Ккр (критическую точку или точки);
на основании выборочных данных по специальному алгоритму вычислить наблюдаемое значение критерия Кнабл;
по виду конкурирующей гипотезы Н1 определить тип критической области;
определить, в какую область (допустимых значений или критическую) попадает наблюдаемое значение критерия Кнабл , и в зависимости от этого — принять решение относительно нулевой гипотезы Н0
Следует заметить, что даже в том случае, если нулевую гипотезу Н0 , нельзя отклонить, это не
означает, что высказанное предположение о генеральной совокупности является единственно подходящим: просто ему не противоречат имеющиеся выборочные данные, однако таким же свойством наряду с высказанной могут обладать и другие гипотезы.
Можно интерпретировать результаты проверки нулевой гипотезы следующим образом:
— если в результате проверки нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить, то это означает, что имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью отклонить нулевую гипотезу Н0, вероятность нулевой гипотезы Н0 больше а, а конкурирующей Н1 — меньше 1 - а;
— если в результате проверки нулевая гипотеза Но отклоняется в пользу конкурирующей Н1, то имеющиеся выборочные данные не позволяют с достаточной уверенностью принять нулевую гипотезу Но, вероятность нулевой гипотезы Н0 меньше а, а конкурирующей Н1 — больше 1 - а.
Пример 1. В 7 случаях из 10 фирма-конкурент компании «А» действовала на рынке так, как будто ей заранее были известны решения, принимаемые фирмой «А». На уровне значимости 0,05 определите, случайно ли это, или в фирме «А» работает осведомитель фирмы-конкурента?
Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо проверить статистическую гипотезу о том, совпадает ли данное эмпирическое распределение числа действий фирмы-конкурента с равномерным теоретическим распределением?
Если ходы, предпринимаемые конкурентом, выбираются случайно, т. е. в фирме «А» — нет осведомителя (инсайдера), то число «правильных» и «неправильных» ее действий должно распределиться поровну, т. е. по 5 (10/2), а это и есть отличительная особенность равномерного распределения.
Этот вид статистических гипотез относится к гипотезам о виде закона распределения генеральной совокупности.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0 : Х ~ R(a; b) — случайная величина Х подчиняется равномерному распределению с параметрами (a; b) (в контексте задачи — «В фирме «А» — нет осведомителя (инсайдера)»; «Распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента — случайно»);
Н1 : случайная величина Х не подчиняется равномерному распределению (в контексте задачи — «В фирме «А» — есть осведомитель (инсайдер)»;
«Распределение числа удачных ходов фирмы-конкурента — неслучайно»).
В качестве критерия для проверки статистических гипотез о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина х2 . Этот критерий называют критерием Пирсона.
Его наблюдаемое значение (х2набл) рассчитывается по формуле
где т(эмп)1 — эмпирическая частота i-й группы выборки; m(meop)i, — теоретическая частота i-й группы выборки.
Составим таблицу распределения эмпирических и теоретических частот (табл. 8.2).
Таблица 8.2
m(3Miu)i
7
3
m(meop)i
5
5
Найдем наблюдаемое значение х2набл
Критическое значение (х2кр.) следует определять с помощью таблиц распределения х2 (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы к.
По условию а = 0,05, а число степеней свободы рассчитывается по формуле
к = п -l -1,
где к — число степеней свободы; п — число групп выборки; l — число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки (если все параметры предполагаемого закона известны точно, то l = 0).
По условию задачи, число групп выборки (п) равно 2, так как могут быть только 2 варианта действий фирмы-конкурента: «удачные» и «неудачные», а число неизвестных параметров равномерного распределения (l) равно 0.
Отсюда k=2-0-l=l.
Найдем х2кр. по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = 1:
х кр(а =0,05 ;k=1). =3.8
X2набл. < X2кр.следовательно, на данном уровне значимости нулевую гипотезу нельзя отклонить, расхождения эмпирических и теоретических частот — незначимые. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о равномерном распределении генеральной совокупности.
Это означает, что для утверждения о том, что действия фирмы-конкурента на рынке неслучайны, нет оснований и на уровне значимости а = 0,05 можно утверждать, что в фирме «А» нет платного осведомителя фирмы-конкурента.
Ответ. На уровне значимости α = 0,05 можно утверждать, что в фирме «А» нет платного осведомителя фирмы-конкурента.
Пример 2. На уровне значимости α = 0,025 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты (табл. 8.3):
Таблица 8.3
т(эмп)1
5
10
20
25
14
3
т(теор)1
6
14
28
18
8
3
Решение. Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
HY: Х ~ N(a; о2) — случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а и σ2.
Н1. случайная величина Хне подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а и о2.
В качестве критерия для проверки нулевой гипотезы используем критерий Пирсона х2 .
Найдем наблюдаемое значение (х2 набл):
(5-6)2 (10-14)2 (20-28)2 (25-18)z
-+ И * "2818*
„(14-8)= (З-З)^83
Найдем критическое значение критерия (х2кр ) по таблице распределения х2 (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы к.
По условию а = 0,025; число степеней свободы найдем по формуле
к п — I - 1,
где к — число степеней свободы;
п — число групп выборки;
I — число неизвестных параметров предполагаемой модели, оцениваемых по данным выборки.
По условию задачи число групп выборки (п) равно 6, а число параметров нормального неизвестных распределения (I) равно 2.
Отсюда k=6-2-1=3.
Найдем х2кр по уровню значимости а = 0,025 и числу степеней свободы к = 3:
X2 кр(а=0,025;к=3) =9,4
X2набл > X2кр следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей, расхождения эмпирических и теоретических частот — значимые. Данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Ответ. На уровне значимости а = 0,025 данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Пример 3. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих на этой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на нее больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 16 работниц, занятых на ней, и получено среднее время выполнения операции X = 42 с. Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если: а) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение 5 — 3,5 с; б) выборочное среднее квадратическое отклонение с — 3,5 с?
Решение. а) Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна (выборка мала, так как n = 16 меньше 30).
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
H0: а = a0 = 40 — неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) равно гипотетически предполагаемому числовому значению a0 (применительно к условию данной задачи — время выполнения технологической операции соответствует норме).
Hi: а > 40 — неизвестное математическое ожидание а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) больше числового значения а0 (применительно к условию данной задачи — время выполнения технологической операции больше установленной нормы).
Так как конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
В качестве критерия для сравнения неизвестного математического ожидания а (нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией) с гипотетическим числовым значением а0 используется случайная величина t-критерий Стьюдента.
Его наблюдаемое значение (^абл) рассчитывается по формуле
(8.2)
где X — выборочная средняя; а0 — числовое значение генеральной средней; s — исправленное среднее квадратическое отклонение; п — объем выборки. Найдем наблюдаемое значение ^абл
42-40 /—U.=^^Vi6 -2,2857.0,0
Критическое значение (tKp) следует находить с помощью таблиц распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а и числу степеней свободы k.
По условию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле k = п - 1, где k — число степеней свободы; п — объем выборки.
k = 16 - 1 = 15.
tKp(a=0,01;k;=1) 2,6tKp(a=0,01;k;=1) 2,6Найдем tKp по уровню значимости а = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 15:
tKp(a=0,01;k;=1) 2,6
tKp(a=0,01;k;=1) 2,6
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1 : а < 40 tKp следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = п -1 и присваивать ему знак «минус».
При двусторонней конкурирующей гипотезе Н1 : а ^ 40 tKp следует находить по таблицам
распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы к = п - 1.
tнaбл < tкp, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме. Следовательно, жалобы работниц — необоснованны.
Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рис. 8.4), следовательно, нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна определенному числу, когда дисперсия генеральной
совокупности неизвестна.
Алгоритм решения задачи будет тот же, что и в первом случае. Однако наблюдаемое значение t„a6n рассчитывается по формуле
где X— выборочная средняя; а0 — числовое значение генеральной средней; сВЫБ — выборочное среднее квадратическое отклонение; л — объем выборки. Найдем наблюдаемое значение (^абл)
Критическое значение (tкp) следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а и числу степеней свободы к.
tнaбл< tкp , следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу, жалобы работниц — необоснованны.
Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, жалобы работниц — необоснованны.
Пример 4. Изменим условие предыдущей задачи. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени ее выполнения у 36 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции X = 42 с. Можно ли (предполагая время выполнения технологической операции случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону) по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости α = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ составляет 3,5 с?
Решение. Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная средняя нормальной совокупности точно равна числовому значению, когда дисперсия генеральной совокупности известна (большая выборка, так как п = 36 больше 30).
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0 : а = а 0 = 40 — неизвестная генеральная средняя нормально распределенной совокупности с известной дисперсией равна числовому значению (применительно к условию данной задачи — время выполнения технологической операции соответствует норме).
Н1: а > 40 — неизвестная генеральная средняя нормально распределенной совокупности с известной дисперсией больше числового значения (применительно к условию данной задачи — время выполнения технологической операции больше установленной нормы).
Так как конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
В качестве критерия для сравнения выборочной бедней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности, когда дисперсия генеральной совокупности известна, используется случайная величина U.
Его наблюдаемое значение (инабл) рассчитывается по формуле
I
u^-^-R.(8-1)
где X— выборочная средняя; а 0 — числовое значение генеральной средней; с ген — выборочное среднее квадратическое отклонение; п — объем выборки. Найдем наблюдаемое значение (инабл):
и = “V36 = 3,4286.
3,5
Так как конкурирующая гипотеза — правосторонняя, критическое значение и следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства
Фо(Икр) = (1 - 2а)/2.
По условию α = 0,01.
Отсюда
Ф0(икр) = (1 - 2·0,01)/2 = 0,49.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком икр Ф0(икр) = 0,49.
Ф0(2,33) = 0,49.
Следовательно, икр = 2,33.
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1 : а < 40 икр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(икр ) = (1 - 2а)/2 и присваивать ему знак «минус».
При двусторонней конкурирующей гипотезе Н1 : а * 40 икр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства
инабл >икр , следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей. По имеющимся хронометрическим данным с более чем 99%-й надежностью можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму. Следовательно, жалобы работниц — обоснованны.
Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область (рис. 8.5), следовательно, нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей.
Ответ. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму, жалобы работниц — обоснованны.
Пример 5. Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующие результаты: средняя производительность труда X 119 деталей. По данным выборочного обследования, на 35 предприятиях 2-й группы средняя производительность труда Ỹ — 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 126,91 (дет.2); D(Y) = 136,1 (дет.2). Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, на уровне значимости 0,05, проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых известны (большие независимые выборки). В данной задаче речь идет о больших выборках, так как пх = 42 и пу =35 больше 30. Выборки — независимые, так как из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0: X = Y — генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями равны (применительно к условию данной задачи — предприятия 2 групп относятся к одному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах — одинакова).
Н1: X * Y — генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями неравны (применительно к условию данной задачи — предприятия 2 групп относятся к разному типу предприятий: средняя производительность труда в 2 группах — неодинакова).
Выдвигаем двустороннюю конкурирующую гипотезу, так как из условия задачи не следует, что необходимо выяснить больше или меньше производительность труда в одной из групп предприятий по сравнению с другой.
Поскольку конкурирующая гипотеза — двусторонняя, то и критическая область — двусторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки), используется случайная величина Z.
Его наблюдаемое значение (zнабл) рассчитывается по формуле
где X— выборочная средняя для X; Y— выборочная средняя для Y; D(X) — генеральная дисперсия для X; D(Y) — генеральная дисперсия для Y; пх — объем выборки для X; пу — объем выборки для Y. Найдем наблюдаемое значение (zнабл):
119-107
/129,91 136,1
V 4235
Так как конкурирующая гипотеза — двусторонняя, критическое значение (zKp ) следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства
Фо(2кр) = (1 - а)/2.
По условию а = 0,05.
Отсюда
Фо(хкр )=(1-0,05)/2=0,475.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком zKpФ0(zKp) = 0,475.
Ф0(1,96) = 0,475.
Учитывая, что конкурирующая гипотеза — двусторонняя, находим две критические точки:
*„.,-1,9в; »„,.,--i.ee. __
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X < Y zKp следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(zKp ) = (1 - 2а)/2 и присваивать ему знак «минус».
При правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: X > Y zKp находим по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(zKp)= (1- 2а)/2.
zua6)n> zKpследовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей. На уровне значимости а= 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах неслучайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область (рис. 8.6), следовательно, нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей.
Ответ. На уровне значимости а = 0,05 можно утверждать, что полученное различие средних показателей производительности труда в группах не случайно, имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Пример 6. Предполагается, что применение нового типа резца сократит время обработки некоторой детали. Хронометраж времени обработки 9 деталей, обработанных старым типом резцов, дал следующие результаты: среднее время обработки детали X— 57 мин, исправленная выборочная дисперсия s2x = 186,2 (мин2). Среднее время обработки 15 деталей, обработанных новым типом резцов, - Y по данным хронометражных измерений — 52 мин, а исправленная выборочная дисперсия s2y = 166,4 (мин2). На уровне значимости α = 0,01 ответьте на вопрос, позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали?
Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеpальные диспеpсии котоpых неизвестны, но предполагаются одинаковыми (малые независимые выборки). В этой задаче речь идет о малых выборках, так как пх = 9 и ny = 15 меньше 30. Выборки — независимые, поскольку из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи.
Н0: X = Y — генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию данной задачи — среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами нового и старого типа, — одинаково, т. е. использование нового типа резца не позволяет снизить время на обработку детали).
Н1: X > Y — генеральная средняя для Х больше, чем генеральная средняя для Y (применительно к условию данной задачи — среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами старого типа, больше, чем — нового, т. е. использование нового типа резца позволяет снизить время на обработку
детали).
Так как конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
Приступать к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних 2 нормально распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, если генеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теории неразрешима.
Поэтому, прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи.
Н0: D(X) = D(Y) — генеральные дисперсии 2 нормально распределенных совокупностей равны.
Нi: D(X) > D(Y) — генеральная дисперсия для Х больше генеральной дисперсии для Y. Выдвигаем правостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочная дисперсия для Х значительно больше, чем исправленная выборочная дисперсия для Y.
Так как конкурирующая гипотеза — правосторонняя, то и критическая область — правосторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 дисперсий нормальных генеральных совокупностей используется случайная величина F — критерий Фишера-Снедекора (приложение 6).
(8.6)(8.6)Его наблюдаемое значение (/набл) рассчитывается по формуле
(8.6)
(8.6)
мабд ^2
где s2б — большая (по величине) исправленная выборочная дисперсия; s2м — меньшая (по величине) исправленная выборочная дисперсия.
Найдем /Набл
Критическое значение (к)следует находить с помощью таблицы распределения Фишера-Снедекора (приложение 6) по уровню значимости а и числу степеней свободы к1 и к2.
По условию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
к1= п1 -1; к2 = п2 -1,
где к 1 — число степеней свободы большей (по величине) исправленной дисперсии; к2 — число степеней свободы меньшей (по величине) исправленной дисперсии; п 1 — объем выборки большей (по величине) исправленной дисперсии; n2 — объем выборки меньшей (по величине) исправленной дисперсии. Найдем к1 и к2
к 1 = 10 - 1 = 9;к2=15 - 1 = 14.
Определяем/кр по уровню значимости а = 0,01 и числу степеней свободы к 1 =9 и к2=14 :
rpffir-O.O!;*]-»;^-!*)
/набл< /кр следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Следовательно, можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей.
В качестве критерия для проверки этой гипотезы используется случайная величина t-критерий Стьюдента.
Его наблюдаемое значение (1набл) рассчитывается по формуле
где X выборочная средняя для X;Y— выборочная средняя для Y; s2x — «неправленная» выборочная дисперсия для X; s2y — «неправленная» выборочная дисперсия для Y; пx — объем выборки, извлеченной из генеральной совокупности X; пy — объем выборки, извлеченной из генеральной совокупностиY. Найдем tнабл,
57-52v
t^e. * J(9 -1) 186,2 + (15-1) 166,4
/9-15 (9 + 15 —2)~
V 9 + 15' * ’
Критическое значение (tкр ) следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а и числу степеней свободы к.
По условию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле
k = пx + ny - 2,
где k — число степеней свободы; пx — объем выборки для X; пy — объем выборки для Y.
k = 9 + 15 - 2 = 22.
Найдем t кр по уровню значимости а = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 22
I
f= 4.14.
»«M“-«.oh*-i3)'
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе X < Y tкр следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости α (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = пx + пy — 2 и присваивать ему знак «минус».
При двусторонней конкурирующей гипотезе X ^ Y tKp находим по таблицам распределения Стьюдента приложение 5) по уровню значимости α (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k= пx+ пy - 2.
tнабл < tкр , следовательно, на этом уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что генеральные средние равны, т. е. среднее время, затрачиваемое на обработку детали старым и новым типом резцов, отличается незначимо, расхождения между средними — случайны, использование нового типа резцов не позволяет снизить время обработки детали.
Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рис. 8.7), следовательно, нулевую гипотезу нельзя отклонить.
Ответ. На уровне значимости а = 0,01 нельзя утверждать, что использование нового типа резцов позволило сократить время обработки детали.
Пример 7. Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0,97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости а = 0,02 принять партию?
Решение. Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная доля точно равна определенному числу.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н1: р =р0 = 0,97 — неизвестная генеральная доля р равна р0 (применительно к условию этой задачи — вероятность того, что деталь из проверяемой партии окажется соответствующей стандарту, равна 0,97, т. е. партию изделий можно принять).
Н1: р < 0,97 — неизвестная вероятность р меньше гипотетической вероятности р0 (применительно к условию данной задачи — вероятность того, что деталь из проверяемой партии окажется соответствующей стандарту, меньше 0,97, т. е. партию изделий нельзя принять).
Так как конкурирующая гипотеза — левосторонняя, то и критическая область — левосторонняя.
В качестве критерия для сравнения наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события используется случайная величина U.
Его наблюдаемое значение (инабл) рассчитывается по формуле
“^= ^v-"^*(8-8)
N РоЧо
где т/п — относительная частота (частость) появления события;р0 — гипотетическая вероятность появления события; q0 — гипотетическая вероятность непоявления события; п — объем выборки.
По условию т = 193; п = 200; р0 = 0,97; q0 = 1 - р0= 0,03; α = 0,02.
Найдем наблюдаемое значение (инабл)
- 0,97
и^ =400 г -7200 - -0,2771.
70,97 0,03
Так как конкурирующая гипотеза — левосторонняя, то критическое значение (икр ) следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства
Фо (икр)= (1 - 2а)/2.
По условию α= 0,02. Отсюда
Ф0(икр)=(1-2·0,02)/2=0,48.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком икрФ0(икр ) = 0,48.
Ф0(2,05)= 0,48.
Учитывая, что конкурирующая гипотеза — левосторонняя, критическому значению необходимо присвоить знак «минус».
Следовательно, -икр= -2,05.
Заметим, что при правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,97 икр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(икр ) == (1 - 2а)/2.
При двусторонней конкурирующей гипотезе Н1: р * 0,97 икр находим по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(икр) = (1 - а)/2.
инабл>икр , следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонить нулевую гипотезу. По имеющимся данным на уровне значимости α = 0,02 нельзя отклонить гипотезу о том, что вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет 0,97. Следовательно, партию изделий принять можно.
Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рис. 8.8), следовательно, нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
p
Ответ. На уровне значимости а = 0,02 партию изделий принять можно.
Пример 8. Два завода изготавливают однотипные детали. Для оценки их качества сделаны выборки из продукции этих заводов и получены следующие результаты (табл. 8.4):
Таблица 8.4
Выборки
Завод №1
Завод №2
Объем выборки
n1
n2
Число бракованных деталей
m1
m2
На уровне значимости а = 0,025 определите, имеется ли существенное различие в качестве изготавливаемых этими заводами деталей?
Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 вероятности биномиальных распределений.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
Н0: р1= р2 — вероятности появления события в 2 генеральных совокупностях, имеющих биномиальное распределение, равны (применительно к условию данной задачи — вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, окажется бракованной, равна вероятности того, что деталь, изготовленная на заводе №2, окажется бракованной).
Н1: р 1 * р2 — вероятности появления события в 2 генеральных совокупностях, имеющих биномиальное распределение, не равны (применительно к условию этой задачи — вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, окажется бракованной, не равна вероятности того, что деталь, изготовленная на заводе №2, окажется бракованной; заводы изготавливают детали разного качества). Так как по условию задачи не требуется проверить, на каком заводе качество изготавливаемых деталей выше, выдвигаем двустороннюю конкурирующую гипотезу.
Поскольку конкурирующая гипотеза — двусторонняя, то и критическая область — двусторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 вероятностей биномиальных распределений используется случайная величина U.
Его наблюдаемое значение uнабл рассчитывается по формуле
где т1/n1- — относительная частота (частость) появления события в 1-й выборке; т2/п2— относительная
частота (частость) появления события во 2-й выборке; p -средняя частость появления события
_ т, -V тп„р = ——3
п, + д,
q— средняя частость непоявления события
q=1- p
п 1 — объем 1-й выборки; п2 — объем 2-й выборки.
По условию т 1 = 20; n1 =200; m2=15; n2=300; а= 0,025.
Найдем среднюю частость появления события
Найдем среднюю частость непоявления события
q = 1 - p = 1 — 0,07 = 0,93.
Найдем инабл
Так как конкурирующая гипотеза — двусторонняя, критическое значение (икр)следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства
Ф0(икр)= (1 - а)/2.
По условию α = 0,025. Отсюда
Ф0(икр) = (1 - 0,025)/2 = 0,4875.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком икрФ0(икр) = 0,4875.
Ф0(2,24) = 0,4875.
Учитывая, что конкурирующая гипотеза — двусторонняя, находим две критические точки
икр. п.икр. п.=2,24; -икр.л.=2,24; -икр.л.-2,24.-2,24.Заметим, что при правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: р 1Заметим, что при правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: р 1>>р2икр следует находить пор2икр следует находить по
икр. п.
икр. п.
=2,24; -икр.л.
=2,24; -икр.л.
-2,24.
-2,24.
Заметим, что при правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: р 1
Заметим, что при правосторонней конкурирующей гипотезе Н1: р 1
>
>
р2икр следует находить по
р2икр следует находить по
таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(икр ) = (1 - 2а)/2.
При левосторонней конкурирующей гипотезе Н1. p 1 < p2 икр следует находить по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства Ф0(икр) = (1 - 2а)/2 и присваивать ему знак «минус».
-икр < инабл < икр , следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. По имеющимся данным на уровне значимости а = 0,025 нет оснований отклонить нулевую гипотезу. Следовательно, заводы изготавливают детали одинакового качества.
Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рис. 8.9), следовательно, нет оснований отклонить нулевую гипотезу.
Ответ. Нет оснований отклонить нулевую гипотезу, т. е. имеющееся различие в качестве изготавливаемых этими заводами деталей — случайно, незначимо.
Задачи к теме 8
Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400 г веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г со средним квадратическим отклонением 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости а = 0,05.
Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А составило 26·104 у. е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18·104 у. е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39·10 (у. е.)2, в регионе В — 25·108 (у. е.)2. На уровне значимости α= 0,05 определите, существенно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал.
Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости α = 0,05.
В 1995 г. число договоров добровольного страхования, заключенных государственными страховыми организациями, составило в Ростовской области 1 858·103 на сумму 7 461·106 руб. Негосударственные страховые организации заключили 1 250·104 договоров добровольного страхования на сумму 34 884·106 руб. Предположительно дисперсия страховой суммы договоров, заключенных государственными страховыми организациями, равна 1016 руб.2, а договоров, заключенных негосударственными страховыми организациями, — 8·1017 руб.2. Имеются ли существенные различия в средних размерах страховых сумм договоров добровольного страхования, заключаемых государственными и негосударственными страховыми организациями? Уровень значимости α принять равным 0,01.
Крупный коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по выявлению эффекта «премирования» (калькулятор, набор ручек и др.) как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премированных» посетителей и 200 «непремированных». В результате выяснилось, что 89% посетителей, которым предлагалась премия, и 79% посетителей, которым не предлагалась премия, открыли счет в банке в течение 6 мес. Используя эти данные, проверьте гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, статистически существенно отличается от удельного веса «непремированных» посетителей, открывших счет в банке. Принять уровень значимости а = 0,05.
Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1 075 ч. Предположим, что среднее квадратическое отклонение времени горения для генеральной совокупности известно и составляет 100 ч. Используя уровень значимости α= 0,05, проверьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп — более 1 000 ч.
Предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и использует выборочное среднее квадратическое отклонение. Изменится ли ответ задачи?
Страховая компания изучает вероятность дорожных происшествий для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2 000 страховых полисов подростков- мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в дорожные происшествия и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, попадали в дорожные происшествия в прошлом году? Принять уровень значимости а = 0,05.
Новое лекарство, изобретенное для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин. Результаты выявили, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приеме нового медикамента. Можем ли мы на основании эксперимента утверждать, что побочные эффекты нового лекарства у женщин проявляются в большей степени, чем у мужчин? Принять уровень значимости а = 0,05.
В 1995 г. в Ростовской области обследовано 12 промышленных предприятий и 14 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая прибыль промышленных предприятий оказалась равной 25·107pyб., а строительных организаций - 12·108 руб. Исправленная выборочная дисперсия прибыли промышленных предприятий составила 64·10 руб.2, строительных организаций — 16·1016 руб.2. На уровне значимости а = 0,01 определите, являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных организаций случайными.
На 1 января 1996 г. численность беженцев в Ростовской области составляла 32 412 чел. при общей численности наличного населения 4 425 400 чел. В Краснодарском крае на 5 043 900 чел. наличного населения приходилось 30 423 беженца. На уровне значимости а = 0,05 ответьте на вопрос: «Объясняется ли более высокий удельный вес беженцев в общей численности населения в Ростовской области в сравнении с Краснодарским краем случайными факторами или имеет смысл поиск факторов, обусловивших это явление?».
Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2 тыс. чел., и 1 422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Принять уровень значимости а = 0,05.
Производители нового типа аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чел., страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости а = 0,05 справедливость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 мин.
Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26%, а в Ростовской области — 27%. В 1995 г. в Ростовской области насчитывалось 7 579 промышленных предприятий. На уровне значимости α = 0,05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных промышленных предприятий в России и в Ростовской области случайными или в Ростовской области действует комплекс экономических условий, обусловливающих повышенную долю вила 2,3% от общего числа промышленных предприятий. Среди 2 236 машиностроительных и нерентабельных предприятий?
В 1996 г. годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 12·104 у. е.; в регионе В годовой оборот 5 бирж — 125·103 у. е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной 3·104(у.е.)2, в регионе В — 2·104 (у.е.)2. Можно ли на уровне значимости α = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе B?
Компания, занимающаяся консультированием в области инвестиций, заявляет, что среднегодовой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5%. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним квадратическим отклонением s = 3,4%. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно оснований, чтобы опровергнуть заявление компании? Принять уровень значимости α = 0,05.
Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости α = 0,05.
Главный бухгалтер большой корпорации провел обследование по данным прошедшего года с целью выяснения доли некорректных счетов. Из 2000 выбранных счетов в 25 оказались некорректные проводки. Для уменьшения доли ошибок он внедрил новую систему. Год спустя он решил проверить, как работает новая система, и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 3 000 счетов компании. Среди них оказалось 30 некорректных. Можем ли мы утверждать, что новая система позволила уменьшить долю некорректных проводок в счетах? Принять уровень значимости α = 0,05.
Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по месяцам года, несмотря на то, что поставщик в полном объеме выполнил свои обязательства за год. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж неравномерны. Распределение поставок по месяцам года имеет следующий вид:
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Объем поставок, ед.
19
23
26
18
20
20
20
20
32
27
35
40
На уровне значимости α = 0,05 определите, кто прав: владелец фирмы или поставщик? Изменится ли ответ на поставленный вопрос, если уровень значимости принять равным 0,01? Объясните результаты.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ И ИХИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИПРОЦЕССАМИ
Виды и формы связей, различаемые в статистике
Современная наука об обществе объясняет суть явлений через изучение взаимосвязей явлений. Объем продукции предприятия связан с численностью работников, стоимостью основных фондов и т. д.
Различают два типа взаимосвязей между различными явлениями и их признаками: функциональную или жестко детерминированную и статистическую или стохастически детерминированную.
Функциональная связь — это вид причинной зависимости, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно или несколько точно заданных значений результативного признака. Например, при у = √x— связь между у и х является строго функциональной, но значению х = 4 соответствует не одно, а два значения y1 = +2; y2= -2.
Стохастическая связь — это вид причинной зависимости, проявляющейся не в каждом отдельном случае, а в общем, в среднем, при большом числе наблюдений. Например, изучается зависимость роста детей от роста родителей. В семьях, где родители более высокого роста, дети в среднем ниже, чем родители. И, наоборот, в семьях, где родители ниже ростом, дети в среднем выше,
чем родители. Еще один пример: потребление продуктов питания пенсионеров зависит от душевого дохода: чем выше доход, тем больше потребление. Однако такого рода зависимости проявляются лишь при большом числе наблюдений.
Корреляционная связь — это зависимость среднего значения результативного признака от изменения факторного признака; в то время как каждому отдельному значению факторного признака Х может соответствовать множество различных значений результативного (Y).
Задачами корреляционного анализа являются:
изучение степени тесноты связи 2 и более явлений;
отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак;
выявление неизвестных причинных связей. Исследование корреляционных зависимостей включает ряд этапов:
предварительный анализ свойств совокупности;
установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
измерение степени тесноты связи между признаками;
построение регрессионной модели, т. е. нахождение аналитического выражения связи;
оценку адекватности модели, ее экономическую интерпретацию и практическое использование.
Корреляционная связь между признаками может возникать различными путями. Важнейший путь- причинная зависимость результативного признака (его вариации) от вариации факторного признака. Например, Х — балл оценки плодородия почв, Y — урожайность сельскохозяйственной культуры. Здесь ясно, какой признак выступает как независимая переменная (фактор), а какой как зависимая переменная (результат).
Очень важно понимать суть изучаемой связи, поскольку корреляционная связь может возникнуть между двумя следствиями общей причины. Здесь можно привести множество примеров. Так, классическим является пример, приведенный известным статистиком начала XX в. А.А.Чупровым. Если в качестве признака Х взять число пожарных команд в городе, а за признак Y — сумму убытков в городе от пожаров, то между признаками Х и Y в городах обнаружится значительная прямая корреляция. В среднем, чем больше пожарников в городе, тем больше убытков от пожаров. В чем же дело? Данную корреляцию нельзя интерпретировать как связь причины и следствия, оба признака - следствия общей причины - размера города. В крупных городах больше пожарных частей, но больше и пожаров, и убытков от них за год, чем в мелких.
Современный пример. Сразу после 17 августа 1998 г. резко возросли цена валюты и объем покупки валюты частными лицами. Здесь также нельзя рассматривать эти два явления как причину и следствие. Общая причина - обострение финансового кризиса, приведшее к росту курсовой стоимости валюты и стремлению населения сохранить свои накопления в твердой валюте. Такого рода корреляцию называют ложной корреляцией.
Корреляция возникает и в случае, когда каждый из признаков и причина, и следствие. Например, при сдельной оплате труда существует корреляция между производительностью труда и заработком. С одной стороны, чем выше производительность труда, тем выше заработок. С другой — высокий заработок сам по себе является стимулирующим фактором, заставляющим работника трудиться более интенсивно.
По направлению выделяют связь прямую и обратную, по аналитическому выражению — прямолинейную и нелинейную.
В начальной стадии анализа статистических данных не всегда требуются количественные оценки, достаточно лишь определить направление и характер связи, выявить форму воздействия одних факторов на другие. Для этих целей применяются методы приведения параллельных данных, аналитических группировок и графический.
Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении 2 или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сравним изменения двух величин (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
5
9
6
10
12
17
15
20
23
С увеличением Х возрастает и Y, поэтому связь между ними можно описать уравнением прямой.
Метод аналитических группировок характеризует влияние качественного признака на относительные средние величины, на показатели вариации количественных признаков. В качестве группировочного признака выбирается факторный. В таблице размещают средние значения одного или нескольких результативных признаков. Изменения факторного признака при переходе от одной группы к другой вызывают соответствующие изменения результативного признака (табл. 9.2).
Оборачиваемость в днях - факторный признак, обозначаемый обычно X, а прибыль - результативный - Y. Табл. 9.2 ясно демонстрирует присутствие связи между признаками, это - отрицательная связь. Судить о том, линейная она или нет, по этим данным сложно.
Таблица 9.2
Характеристика зависимости прибыли малых предприятий от оборачиваемости оборотных средств на 1998 г.
Продолжительность оборота средств, дн.(Х)
Число малых предприятий
Средняя прибыль, млн. руб. (Y)
40-50
6
14,57
51-70
8
12,95
71-101
6
7,40
Итого
20
11,77
Графический метод используется для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками. Для этого в прямоугольных осях координат строят график, по оси ординат которого откладывают индивидуальные значения результативного признака, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака. Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции (рис. 9.1).
Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариацииОценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариациирезультативного признака от одного (при (множественных) факторов.Большинство методов измерения тесноты абсолютных значений величин от их средних.результативного признака от одного (при (множественных) факторов.Большинство методов измерения тесноты абсолютных значений величин от их средних.изучении парных зависимостей) или несколькихизучении парных зависимостей) или несколькихсвязи заключается в сопоставлении отклоненийОни основаны на предположении, что при полнойсвязи заключается в сопоставлении отклоненийОни основаны на предположении, что при полной
Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации
Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации
результативного признака от одного (при (множественных) факторов.
Большинство методов измерения тесноты абсолютных значений величин от их средних.
результативного признака от одного (при (множественных) факторов.
Большинство методов измерения тесноты абсолютных значений величин от их средних.
изучении парных зависимостей) или нескольких
изучении парных зависимостей) или нескольких
связи заключается в сопоставлении отклоненийОни основаны на предположении, что при полной
связи заключается в сопоставлении отклоненийОни основаны на предположении, что при полной
независимости переменных отклонения значений факторного признака от средней (X – X )носят случайный характер и должны случайно сочетаться с различными отклонениями значений результативного признака (Y - Y). При наличии значительного перевеса совпадений или несовпадений знаков отклонений делается предположение о наличии связи между Х и Y. Одну из первых попыток установления тесноты связи между переменными сделал Г. Фехнер, предложивший простейший показатель тесноты связи:
Количествосовпаденийзнаков отклоненийКоличествосовпаденийзнаков отклоненийКоличествонесовпаденийзнаков отклоненийКоличествонесовпаденийзнаков отклоненийОбщее число парных отклоненийОбщее число парных отклонений(9.1)(9.1)
Количествосовпаденийзнаков отклонений
Количествосовпаденийзнаков отклонений
Количествонесовпаденийзнаков отклонений
Количествонесовпаденийзнаков отклонений
Общее число парных отклонений
Общее число парных отклонений
(9.1)
(9.1)
Показатель Фехнера изменяется в промежутке [-1; 1]. При значении, равном 1, он указывает на положительную функциональную связь, при значении -1 — на отрицательную функциональную связь, при i = 0 связь отсутствует. Промежуточные значения i характеризуют степень близости связи к функциональной (табл. 9.3).
Таблица 9.3
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
5
9
6
10
12
17
15
20
23
Х- Х
-4
-5
-2
-1
0
1
2
3
4
Y- Y
-8
-4
-7
-3
-1
4
2
7
10
Например, для данных табл. 9.1.
Получим Х = 5; Y = 13; ax, = 3,2; ay = 5,85;
i = (9 - 1)/9 = 0,89.
Недостаток показателя Фехнера состоит в том, что разные по абсолютной величине отклонения имеют одинаковый вес. Более совершенный измеритель тесноты связи между признаками — линейный коэффициент корреляции Пирсона (назван по имени английского статистика К. Пирсона) характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними
линейной зависимости.
Смысл линейного коэффициента корреляции Пирсона более понятен, если его расчет производить с использованием коэффициента ковариации. Это — мера совместной вариации признаков. Коэффициент ковариации рассчитывается с помощью формулы
С помощью коэффициента ковариации можно определить наличие и направление связи. Однако его нельзя использовать для определения степени тесноты связи, так как он имеет смешанную размерность (Х•Y). Коэффициент ковариации — не нормирован, следовательно, нельзя сравнивать коэффициенты ковариации разных пар переменных. Для преодоления этого недостатка можно выражение (9.2) разделить на средние квадратические отклонения по х и по у. Полученный показатель интенсивности линейной связи называется коэффициентом корреляции:
3)3)ЕС*-«»-Ю_ 15.44 __1ЛЯ (9na,a,®" 5’$$"
3)
3)
длядляЭто — безразмерная величина, которая изменяется в интервале от -1 до +1, -1 ≤ r ≤ 1.
для
для
Путем ряда преобразований можно получить следующие аналитические выражения коэффициента корреляции:
Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле
Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социальноэкономических явлений и процессов, распределения которых близки к нормальным.
Оценка достоверности коэффициента корреляции
Коэффициент парной корреляции, исчисленный по выборочным данным, является случайной величиной. С уменьшением числа наблюдений надежность коэффициента корреляции падает. С увеличением числа наблюдений (свыше 500) распределение коэффициента корреляции r (не превышающее 0,9) стремится к нормальному.
Полученный из выборки коэффициент корреляции r является оценкой коэффициента корреляции ρ в генеральной совокупности.
Определим доверительный интервал для оценки истинного значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности (ρ )
r - tro, <p^r + tro,,(9.7)
где σr . — среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента парной корреляции;
t — распределение Стьюдента с числом степеней свободы к = п - 2 и уровнем значимости а.
Если коэффициент корреляции меньше 0,9 или выборка мала, среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляции сr рассчитывается по формуле
Значимость коэффициента корреляции можно проверить с помощью статистики t, имеющей распределение Стьюдента с п - 2 степенями свободы.
Наблюдаемое значение t (tнабл) вычисляется как
Критическое значение (tкp) определяется по таблице распределения Стьюдента (приложение 5) по уровню значимости а и числу степеней свободы к = п - 2.
По общему правилу проверки статистических гипотез:
если tнабл < tкp, нулевую гипотезу о том, что между Х и Y отсутствует корреляционная связь (Н0: r = 0), нельзя отклонить на заданном уровне значимости а;
если tнабл< tкp , нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной о том, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (Н1: r^0), т. е. о наличии линейной корреляционной зависимости между Х и Y.
Критерий ^асч подчиняется закону распределения Стьюдента с п - 2 степенями свободы.
При малом числе наблюдений в выборке и высоком коэффициенте корреляции (распределение r отличается от нормального) для проверки гипотезы о наличии корреляционной связи, а также при построения доверительного интервала применяется z-преобразование Фишера.
Для этого применяется статистика
Распределение z асимптотически приближается к нормальному. Вариация z выражается формулой
Эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения
При выявлении статистической зависимости по данным аналитической группировки в качестве меры степени тесноты связи может быть использовано эмпирическое корреляционное отношение (пэмп)
где
межгрупповая дисперсия зависимой переменной Y;
общая дисперсия зависимой переменной Y;
уj — средняя арифметическая j-й группы, где j= 1..., k;
у — общая средняя арифметическая;
тj — объем j-й группы;
п — объем выборки;
у — наблюдаемые значения Y.
Значения пэмп распределены на отрезке [0; 1]
Чем ближе пэмп к 1, тем теснее связь между переменными Х и Y, тем больше колеблемость Y объясняется колеблемостью X.
Квадрат эмпирического корреляционного отношения (п2эмп ) называют коэффициентом детерминации. Он показывает, какая часть Y колеблемости объясняется колеблемостью X.
51
Степень тесноты связи между переменными в случае не только линейной, но и нелинейной регрессионной зависимости можно оценить с помощью теоретического корреляционного отношения (Птеор). Поэтому птеор часто называют «индексом корреляции». Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле
(9.15)
где SR— сумма квадратов вследствие регрессии;
ST — общая сумма квадратов.
Ниже (п. 9.11) приведены формулы расчета SR (9.29) и ST (9.27).
Легко увидеть, что в случае линейной регрессионной зависимости r = птеор . Если связь — нелинейная, п < Птеор . Это позволяет использовать птеор в качестве меры линейности связи между переменными X и Y. Если линейный коэффициент корреляции Пирсона (r) мало отличается от теоретического корреляционного отношения (птеор), т.е. r » птеор , то зависимость между переменными близка к линейной. В противном случае имеет, место нелинейная зависимость между X и Y.
Проверка значимости и эмпирического (пэмп), и теоретического (птеор) корреляционного отношения осуществляется с помощью критерия Фишера — F. Его наблюдаемое значение рассчитывается по формуле
(l-^Xm-l)*(l-^Xm-l)*(9.16)(9.16)П2(л -т)
(l-^Xm-l)*
(l-^Xm-l)*
(9.16)
(9.16)
где n — число наблюдений (объем выборки); т — число групп (если проверяется значимость эмпирического корреляционного отношения ηэмп ) или число параметров в уравнении регрессии (если проверяется значимость теоретического корреляционного отношения ηтеор).
Ясно, что в уравнении парной регрессии — 2 параметра: β0 и β1, т. е. т = 2.
Критическое значение F определяется по таблицам распределения Фишера (приложение 6) по уроню значимости α и числу степеней свободы.
кх = т - 1;
к2 = п- т;
F (сс; к- т - 1; к= п - т)
Наблюдаемое значение (Fнабл) необходимо сравнить с критическим (Fкр). По общему правилу проверки статистических гипотез:
— если Fнабл ≤ Fкр , нулевую гипотезу (H1:η = 0) о том, что η незначим, нельзя отклонить;
— если Fнабл > Fкр нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной (H1:η ≠ 0) о том, что η значимо отличается от нуля.
Ранговая корреляция
Если п объектов какой-либо совокупности N пронумерованы в соответствии с возрастанием или убыванием какого-либо признака X, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг xi, указывает место, которое занимает i-й объект среди других n объектов, расположенных в соответствии с признаком Х (i= 1,2, п). Например, при исследовании рынка мы можем задать вопрос с целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженого, водки и т. п.) таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если мы имеем 2 набора ранжированных данных, то можно попытаться установить степень линейной зависимости между ними. Предположим, имеется 5 продуктов, расположенных по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В (табл.9.4).
Таблица 9.4
Характеристики для ранжирования
Продукт
V
W
X
Y
Z
А
2
5
1
3
4
B
1
3
2
4
5
Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Его расчет основан на различии между рангами:
D = Ранг А - Ранг В.
Коэффициент корреляции рангов Спирмена ρ рассчитывается по формуле
где п - число пар ранжированных наблюдений.
В нашем примере мы имеем 5 пар рангов, следовательно, п = 5.
Ld- = (2 - I)2 + (5 - 3)2 + (1- 2)2 + (3 - 4)2 + (4 - 5)2»= 1 + 4 + 1 + 1 + 1=8, a
p = 1-p = 1-—= 1 - —— = 0,6
p = 1-
p = 1-
5 (25-1)120
т. е. между признаками есть достаточно сильная линейная связь. Этот коэффициент изменяется в промежутке от [-1; 1] и интерпретируется так же, как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том, что
он применяется для ранжированных данных.
Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле
Значение коэффициента считается существенным, если tнабл > tкрит (α ;k = п — 2).
Корреляция альтернативных признаков
Альтернативные признаки — это признаки, принимающие только два возможных значения. Исследование их корреляции основано на показателях, построенных на четырехклеточных таблицах, в которых сводятся значения признаков:
а
в
с
d
Например, требуется измерить связь между прививками от гриппа и пониженной заболеваемостью от гриппа в группе случайно отобранных студентов (табл. 9.5).
Таблица 9.5
Заболели
Не заболели
Итого
Привитые
30
20
50
Непривитые
15
5
20
Всего
45
25
70
Для измерения тесноты взаимосвязи признаков производится расчет коэффициента контингенции по формуле
Коэффициент контингенции принимает значение в промежутке [-1; 1]. Его интерпретация аналогична интерпретации коэффициента корреляции. Мы получили слабую отрицательную связь -0,14.
Другой метод измерения связи основан на расчете коэффициента ассоциации
(9.19)(9.19)ad-be _ 30 5-20 15 ad + be 30-5 + 20-5
(9.19)
(9.19)
Минус перед коэффициентом говорит об обратном направлении связи, т. е. чем больше прививок,
тем меньше заболеваний.
Оценка уравнения парной регрессии
В начале этой главы было установлено, каким образом можно провести предварительный анализ наличия связи, определить ее направление и форму c помощью метода приведения параллельных данных, аналитических группировок, графического метода.
Изучение степени тесноты взаимосвязи между признаками было проведено с помощью корреляционного анализа (расчета различных мер связи).
Уточнение формы связи, нахождение ее аналитического выражения производится путем построения уравнения связи (уравнения регрессии).
Регрессия — это односторонняя статистическая зависимость.
Уравнение регрессии позволяет определить, каким в среднем будет значение результативного признака (Y) при том или ином значении факторного признака (X), если остальные факторы, влияющие на Y и не связанные с X, рассматривались неизменными (т. е. мы абстрагировались от них).
К задачам регрессионного анализа относятся:
установление формы зависимости;
определение функции регрессии;
оценка неизвестных значений зависимой переменной.
По аналитическому выражению различают прямолинейную и криволинейную связи.
Прямолинейная связь имеет место, когда с возрастанием (или убыванием) значений Х значения Y увеличиваются (или уменьшаются) более или менее равномерно.
В этом случае уравнение связи записывается так:
yх = b0 + b1х.
Криволинейная форма связи может выражаться различными кривыми, из которых простейшими являются:
парабола второго порядка
yх = b0 + b1х +b2х;
Парная линейная зависимость
Предположение о парной линейной зависимости между Х и Y можно описать функцией
Y = во + ₽Х + и,
где в0, в1 — истинные значения параметров уравнения регрессии в генеральной совокупности; и — случайная составляющая.
Существует несколько причин возникновения случайной составляющей:
невключение объясняющих переменных в уравнение регрессии;
агрегирование объясняющих переменных, включенных в уравнение регрессии;
неправильное описание структуры модели, т. е. неверный выбор объясняющих переменных;
неправильная функциональная спецификация модели. Например, для моделирования использована линейная функция, в то время как зависимость между переменными — нелинейная;
ошибки наблюдения (ошибки данных).
По выборочным данным определяются оценки истинных (в случае правильной спецификации модели) параметров уравнения регрессии и случайной составляющей
Ух=b о+b 1 х+e
где b0,b 1, е — оценки неизвестных в0, в1, и. В случае парной линейной зависимости вида
Ух=b о+b 1 х
условие минимума суммы квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических (ST) имеет вид
8т = ^у-ух?-^пхт\
8т = ^у-Ьа-Ьхх? ^ mln.
Условие 1-го порядка для минимума
дЬ0
^=2blx,-2be£x-2'£xy=0.
Отсюда получаем систему нормальных уравнений
" Mb^xV^yЬо^х+^з^^ху" Mb^xV^yЬо^х+^з^^ху
" Mb^xV^y
Ьо^х+^з^^ху
" Mb^xV^y
Ьо^х+^з^^ху
где n — число рассматриваемых пар взаимозависимых величин;
Sx — сумма значений факторного признака;
Sу — сумма значений результативного признака. Вычислив по эмпирическим данным все записанные выше суммы и подставив их в систему уравнений, находим оценки параметров искомой прямой:
b0 и b1
В настоящее время необходимость в ручных расчетах отпала, так как существует множество компьютерных программ, реализующих методы регрессионного анализа. Важно понимать смысл параметров и уметь их адекватно интерпретировать.
Из системы нормальных уравнений можно вывести формулы для расчета b0 и b1
b0= y-b1· x. (9.23)
Здесь b1 — это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает изменение X на Y. Он показывает, на сколько единиц изменится в среднем Y при изменении Х на 1 единицу. Если b1 > 0, то наблюдаем положительную связь. Если b1 < 0, то связь — отрицательная.
Параметр b1 обладает размерностью отношения у к х.
Параметр b0 — постоянная величина в уравнении регрессии (свободный член уравнения). Его интерпретация зависит от того, какой смысл имеют изучаемые признаки.
Коэффициент эластичности
На основе уравнений регрессии часто рассчитывают коэффициенты эластичности результативного признака относительно факторного.
Коэффициент эластичности (Э) показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак Y при изменении факторного признака Х на 1%. Он рассчитывается по формуле
Эх у.
или для практических расчетов
3 = ^*,(9.24)
У
где
ду, дх
— 1-я производная уравнения регрессии у по х.
Пример расчета коэффициента уравнения регрессии
Рассмотрим методы регрессионного и корреляционного анализов. Предположим, что нас интересует выручка от продажи баночного пива в магазинах города в течение дня. Мы провели исследование в 20 случайно выбранных магазинах и получили следующие данные (табл. 9.6):
Таблица 9.6
Номер магазина
Число посетителей
Выручка, у.е.
1
907
11,20
2
926
11,05
3
506
6,84
4
741
9,21
5
789
9,42
6
889
10,08
7
874
9,45
8
510
6,73
9
529
7,24
10
420
6,12
11
679
7,63
12
872
9,43
13
924
9,46
14
607
7,64
15
452
6,92
16
729
8,95
17
794
9,33
18
844
10,23
19
1010
11,77
20
621
7,41
Итого
14,623
176,11
Для прогноза объемов продаж применим простую модель парной регрессии, в которой используется только одна факторная переменная — Х (число посетителей магазина). Данные, приведенные в табл. 9.6, можно представить в виде точечной диаграммы (диаграммы рассеивания) (рис. 9.2).
Диаграмма (рис. 9.2) наглядно показывает наличие линейной зависимости выручки от продажи пива от числа посетителей магазина. С увеличением числа посетителей растет выручка от продажи. Рассчитаем параметры уравнения регрессии:
yx =b0+b1x
Для облегчения расчетов воспользуемся табл. 9.7.
Таблица 9.7
Магазин
Число покупателей X
Выручка Y
X2
Y2
XY
1
907
11,20
822 649
125,4400
10 158,40
2
926
11,05
857 476
122,1025
10 232,30
3
506
6,84
256,036
46,7856
3461,04
4
741
9,21
549 081
84,8241
6 824,61
5
789
9,42
622 521
88,7364
7 432,38
6
889
10,08
790 321
101,6064
8961,12
7
874
9,45
763 876
89,3025
8 259,30
8
510
6,73
260 100
45,2929
3 432,30
9
529
7,24
279 841
52,4176
3 829,96
10
420
6,12
176 400
37,4544
2 570,40
11
679
7,63
461 041
58,2169
5 180,77
12
872
9,43
760 384
88,9249
8 222,96
13
924
9,46
853 776
89,4916
8 741,04
14
607
7,64
368 449
58,3696
4 637,48
15
452
6,92
204304
47,8864
3 127,84
16
729
8,95
531 441
80,1025
6 254,55
17
794
9,33
630 436
87,0489
7 408,02
18
844 ;
10,23
712 336
104,6529
8634,12
19
1010
11,77
1 020 100
138,5329
11 887,70
20
621
7,41
385 641
54,9081
4 601,61
Итого
14623
176,11
11 306 209
1 602,0971
134 127,90
Используя формулу (9.22), получим
ь. =——=п^-^!
1=1 t»l
20 134 127,9-14 623-176,1120-11306 209-14 62351
или соответственно:или соответственно:
или соответственно:
или соответственно:
5 365,086146035 365,08614603= +0,00873= +0,00873
5 365,08
614603
5 365,08
614603
= +0,00873
= +0,00873
134127,9-20 731,15-8,8055
11306 209-20-731,15’’
bt - +0,00873 и b0 = y-bxx;
b0 = 8,8055 - 0,00873 • 731,15 - +2,423.
Для наших данных уравнение регрессии имеет вид
yx =2,423 +0,0873x.
Коэффициент b1 характеризует наклон линии регрессии. b1 = 0,00873. Это означает, что при увеличении Х на единицу ожидаемое значение Y возрастет на 0,00873. То есть регрессионная модель указывает на то, что каждый новый посетитель магазина в среднем увеличивает недельную выручку магазина на 0,00873 у. е. (или можно сказать, что ожидаемый прирост ежедневной выручки составит 8,73 у. е. при привлечении в магазин 100 дополнительных посетителей). Отсюда b1 может быть интерпретирован как прирост ежедневной выручки, который варьирует в зависимости от числа посетителей магазина.
Свободный член уравнения b0 = +2,423 у. е., это — эначение Y при X, равном нулю. Поскольку маловероятно число посетителей магазина, равное нулю, то можно интерпретировать b0 как меру влияния на величину ежедневной выручки других факторов, не включенных в уравнение регрессии.
Регрессионная модель может быть использована для прогноза объема ежедневной выручки. Например, мы хотим использовать модель для предсказания средней ежедневной выручки магазина, который посетят 600 покупателей.
Для того чтобы определить прогнозируемое значение, следует Х = 600 подставить в наше регрессионное уравнение:
у, = 2,423+ 0,008 73 600 = 7,661.
Отсюда прогнозируемая дневная выручка для магазина с 600 посетителями в день равна 7,661 у. е.
Когда мы используем регрессионные модели для прогноза, важно помнить, что обсуждаются только значения независимых переменных, находящиеся в пределах от наименьшего до наибольшего значений факторного признака, используемые при создании модели. Отсюда, когда мы предсказываем Y по заданным значениям X, мы можем интерполировать значения в пределах заданных рангов Х , но мы не можем экстраполировать вне рангов X. Например, когда используется число посетителей для прогноза дневной выручки магазина, то мы знаем из данных примера, что их число находится в пределах от 420 до 1010. Следовательно, предсказание недельной выручки может быть сделано только для магазинов с числом покупателей от 420 до 1010 чел. Коэффициент эластичности для модели
Э = 0,00873 • 2'^112. = о 7249
8,8055
т. е. при увеличении среднего числа посетителей магазина на 1% еженедельная выручка в среднем вырастет на 0,7%.
Стандартная ошибка оценки уравнения регрессии
Хотя метод наименьших квадратов дает нам линию регрессии, которая обеспечивает минимум вариации, регрессионное уравнение не является идеальным в смысле предсказания, поскольку не все значения зависимого признака Y удовлетворяют уравнению регрессии. Нам необходима статистическая мера вариации фактических значений Y от предсказанных значений Y. Эта мера в то же время является средней вариацией каждого значения относительно среднего значения Y. Мера вариации относительно линии регрессии называется стандартной ошибкой оценки.
Колеблемость фактических значений признака Y относительно линии регрессии показана на рис. 9.3.
Из диаграммы видно, что хотя теоретическая линия регрессии проходит относительно близко от фактических значений Y, часть этих точек лежит выше или ниже линии регрессии. При этом
^у,-уЛ=^-
Стандартная ошибка оценки определяется как
Нам уже известныНам уже известны
Нам уже известны
Нам уже известны
где уi - фактические значения Y;
yx — предсказанные значения Y для заданного х.
Для вычисления более удобна следующая формула:
Тогда
Итак, для нашего примера: Syx = 0,497. Эта стандартная ошибка характеризует меру вариации фактических данных относительно линии регрессии. Интерпретация этой меры аналогична интерпретации среднего квадратического отклонения. Если среднее квадратическое отклонение — это мера вариации относительно средней, то стандартная ошибка - это оценка меры вариации относительно линии регрессии. Однако стандартная ошибка оценки может быть использована для выводов о значении yx и выяснения, является ли статистически значимой взаимосвязь между двумя переменными.
Измерение вариации по уравнению регрессии
Для проверки того, насколько хорошо независимая переменная предсказывает зависимую переменную в нашей модели, необходим расчет ряда мер вариации. Первая из них — общая (полная) сумма квадратов отклонений результативного признака от средней — есть мера вариации значений Y относительно их среднего Y . В регрессионном анализе общая сумма квадратов может быть разложена на объясняемую вариацию или сумму квадратов отклонений за счет регрессии и необъясняемую вариацию или остаточную сумму квадратов отклонений (рис. 9.4).
Сумма квадратов отклонений вследствие регрессии это — сумма квадратов разностей между y
(средним значением Y) и ух (значением Y, предсказанным по уравнению регрессии). Сумма квадратов отклонений, не объясняемая регрессией (остаточная сумма квадратов), — это сумма квадратов разностей у и ух . Эти меры вариации могут быть представлены следующим образом (табл. 9.8):
Таблица 9.8
Общая сумма квадратов (ST)
=
Сумма квадратов за счет регрессии (SR)
+
Остаточная сумма квадратов (SE)
S,=£»-»)•«^
SE^^-y.f =У,У*-Ьо^У-bi^xy; (9.28)
S.-^,®.-^-^^^*»-^-: <9.29)
Легко увидеть, что остаточная сумма квадратов Е(у- yx)2 — это выражение, стоящее под знаком корня в формуле (9.25) (стандартной ошибки оценки). Тем не менее в процессе вычислений стандартной ошибки мы всегда вначале вычисляем сумму квадратов ошибки.
Остаточная сумма квадратов может быть представлена следующим образом:
= 1602,0971 -1550,7366 = 51,3605
Объясняемая сумма квадратов выразится так:
Яд = bo+ bt У х.у, -—L -
М4=1R
= 2,423 176,11 + 0,00873 134 127,90-^^ 20
= 46,9145.
В самом деле
51,3605 = 46,9145 + 4,4460.
Из этого соотношения определяется коэффициент детерминации:
Отсюда коэффициент детерминации — доля вариации Y, которая объясняется независимыми переменными в регрессионной модели. Для нашего примера rг= 46,9145/51,3605 = 0,913.
Следовательно, 91,3% вариации еженедельной выручки магазинов могут быть объяснены числом покупателей, варьирующим от магазина к магазину. Только 8,7% вариации можно объяснить иными факторами, не включенными в уравнение регрессии.
В случае парной регрессии коэффициент детерминации равен квадратному корню из квадрата коэффициента линейной корреляции Пирсона
В простой линейной регрессии г имеет тот же знак, что и b1, Если b1 > 0, то r > 0; если b1 < 0, то r < 0, если b1 = 0, то r = 0.
В нашем примере r2 = 0,913 и b1 > 0, коэффициент корреляции r = 0,956. Близость коэффициента корреляции к 1 свидетельствует о тесной положительной связи между выручкой магазина от продажи пива и числом посетителей.
Мы интерпретировали коэффициент корреляции в терминах регрессии, однако корреляция и регрессия — две различные техники. Корреляция устанавливает силу связи между признаками, а регрессия — форму этой связи. В ряде случаев для анализа достаточно найти меру связи между признаками, без использования одного из них в качестве факторного признака для другого.
Доверительные интервалы для оценки неизвестного генерального значенияуген(цух) и индивидуального значения у
Поскольку в основном для построения регрессионных моделей используются данные выборок, то зачастую интерпретация взаимоотношений между переменными в генеральной совокупности базируется на выборочных результатах.
Как было сказано выше, регрессионное уравнение используется для прогноза значений Y по заданному значению X. В нашем примере показано, что при 600 посетителях магазина сумма выручки могла бы быть 7,661 у. е. Однако это значение — только точечная оценка истинного среднего значения. Мы знаем, что для оценки истинного значения генерального параметра возможна интервальная оценка.
Доверительный интервал для оценки неизвестного генерального значения уген(цух) имеет вид
гдегде
где
где
Здесь yx — предсказанное значение Y
( yx==b0+b1yi);
Syx — стандартная ошибка оценки;
п — объем выборки;
хi — заданное значение X.
Легко видеть, что длина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. Для заданного уровня значимости а увеличение вариации вокруг линии регрессии, измеряемой стандартной ошибкой оценки, увеличивает длину интервала. Увеличение объема выборки уменьшит длину интервала. Более того, ширина интервала также варьирует с различными значениями X. Когда оценивается yx по значениям X, близким к x, то интервал тем уже, чем меньше абсолютное отклонение хi от x (рис. 9.5).
Когда оценка осуществляется по значениям X, удаленным от среднего x, то длина интервала возрастает.
Рассчитаем 95%-й доверительный интервал для среднего значения выручки во всех магазинах с числом посетителей, равным 600. По данным нашего примера уравнение регрессии имеет вид
ух = 2,423 + 0,00873x:
и для xi = 600 получим yi; =7,661, а также
х-731,15; Se, =0,497;
У г=14 623;У х2 =11306 209
4—1*4—1 •
#■14*1
По таблице Стьюдента (приложение 5)
118 = 2,10.
Отсюда, используя формулы (9.31) и (9.32), рассчитаем границы искомого доверительного интервала для Цyx
Итак, 7,369 < цyx <7,953.
Следовательно, наша оценка состоит в том, что средняя дневная выручка находится между 7,369 и 7,953 у. е. для всех магазинов с 600 посетителями.
Для построения доверительного интервала для индивидуальных значений Yx, лежащих на линии регрессии, используется доверительный интервал регрессии вида
yt±tn_2S„xAjviA,(9.33)
где hi , yi,, Syx ,п и хi — определяются, как и в формулах (9.31) и (9.32).
Определим 95% -и доверительный интервал для оценки дневных продаж отдельного магазина с 600 посетителями
В результате вычислений получим
^^^^^^™
Итак, 6,577< yi < 8,745.
Следовательно, с 95%-й уверенностью можно утверждать, что ежедневная выручка отдельного
магазина, который посетили 600 покупателей, находится в пределах от 6,577 до 8,745 у. е. Длина этого интервала больше чем длина интервала, полученного ранее для оценки среднего значения Y.
Доверительные интервалы для оценки истинных значений неизвестногопараметра уравнения регрессии β1 и коэффициента регрессии р в генеральнойсовокупности
Построим доверительный интервал для истинного значения генерального параметра β1. Для этого проверим гипотезу о равенстве нулю β1. Если гипотеза будет отклонена, то подтверждается существование линейной зависимости Y от X. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
Н0: β1 = 0 (линейной зависимости нет);
Н1: β1≠ 0 (линейная зависимость есть).
Для проверки гипотезы Н0 используется t-критерий (случайная величина t, имеющая распределение Стьюдента с п - 2 степенями свободы):
где
Убедимся, что полученный выборочный результат является достаточным для заключения о том, что зависимость объема выручки от числа посетителей магазина статистически существенна на 5%-м уровне значимости.
ГЬ, = +0,00873; n - 20; Spc = 0,497;
У x, =14 623; £x* = 11306 209.
1=1
Следовательно,
Найдем наблюдаемое значение критерия t
tкрит(α=0,05;k=18)= 2,1 (по таблице распределения Стьюдента, приложение 5).
Так как 13,77 > 2,10, то нулевая гипотеза Н0 отвергается в пользу альтернативной гипотезы Н1, и можно говорить о наличии существенной линейной зависимости ежедневной выручки от числа посетителей магазина.
Второй, эквивалентный первому, метод для проверки наличия или отсутствия линейной зависимости переменной Y от Х состоит в построении доверительного интервала для оценки β1 и определении того, принадлежит ли значение β1 этому интервалу. Доверительный интервал для оценки β1 получают по формуле
A-<9.36)
Найдем для нашего примера 95% -й. доверительный интервал для оценки β1:
|
Ь1 * VA = +0,00873 + 2,10 • 0,000634 =
= +0,00873 ± 0,00133.
Итак, 0,0074 ≤ β1 ≤ 0,01006,
т. е. с 95%-й уверенностью можно считать, что истинное значение коэффициента регрессии β1 находится в промежутке между числами 0,0074 и 0,01006. Так как эти значения больше нуля, то можно сделать вывод, что существует статистически значимая линейная зависимость выручки от числа посетителей. Если бы интервал включал нулевое значение, то мы не смогли бы сделать этого вывода.
Третий метод проверки существования линейной связи между двумя переменными состоит в проверке выборочного коэффициента корреляции r.
Для этого выдвигается нулевая гипотеза Н0: ρ=0 (нет корреляции).
Альтернативная гипотеза Н1: ρ ≠0 (корреляция существует).
Для проверки нулевой гипотезы Н0 используем t-критерий (случайную величину t, имеющую распределение Стьюдента с п — 2 степенями свободы) (9.11).
Наблюдаемое значение t составит
-J^56—= 13,75. /1-0,913V 20-2-J^56—= 13,75. /1-0,913V 20-2
-J^56—= 13,75. /1-0,913
V 20-2
-J^56—= 13,75. /1-0,913
V 20-2
Полученный результат практически совпадает со значением, полученным по формуле (9.35). Следовательно, мы вновь подтверждаем наличие линейной связи между двумя переменными Y и X.
Задачи к теме 9
Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность гостиницы в зависимости от ее расстояния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам города была выяснена среднегодовая наполняемость номеров и расстояние в километрах от пляжа.
Расстояние, км
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,9
0,9
Наполняемость,. %
92
95
96
90
89
86
90
83
85
80
78
76
72
75
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (X) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей.
Х
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Y
13
16
15
20
19
21
26
24
30
32
30
35
34
40
39
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Врач-исследователь выясняет зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области, имеют следующий вид:
Число лет курения
25
36
22
15
48
39
42
31
28
33
Площадь пораженной части легкого, %
55
60
50
30
75
70
70
55
30
35
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05.
Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения легких у случайно выбранного пациента, больного эмфиземой.
Компания, занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на видеомагнитофон определенной модели цену, дифференцированную по регионам. Следующие данные показывают цены на видеомагнитофон в 8 различных регионах и соответствующее им число продаж.
Число продаж, шт.
420
380
350
400
440
380
450
420
Цена, тыс. руб.
5,5
6,0
6,5
6,0
5,0
6,5
4,5
5,0
Постройте график исходных данных и определите вид зависимости. Рассчитайте коэффициент линейной корреляции Пирсона, оцените его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и объясните смысл полученных результатов.
Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.
Средний балл
4,6
4,3
3,8
3,8
4,2
4,3
3,8
4,0
3,1
3,9
Число часов
25
22
9
15
15
30
20
30
10
17
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то каков прогноз его успеваемости?
Некоторая компания недавно провела рекламную кампанию в магазинах с демонстрацией антисептических качеств своего нового моющего средства. Через 10 недель компания решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив еженедельные объемы продаж с расходами на рекламу (тыс. руб.).
Объем продаж, тыс. руб.
72
76
78
70
68
80
82
65
62
90
Расходы на рекламу, тыс. руб.
5
8
6
5
3
9
12
4
3
10
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Предположим, что мы имеем случайную выборку из 10 домохозяйств для изучения связи между числом холодильников в домохозяйстве и числом членов домохозяйства. Х — число членов домохозяйства; Y — число холодильников.
Х
6
2
4
3
4
4
6
3
2
2
Y
4
1
3
2
2
3
4
1
2
2
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,01. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Имеются выборочные данные о стаже работы (X, лет) и выработке одного рабочего за смену (У, шт.).
Х
1
3
4
5
6
7
Y
14
15
18
20
22
25
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при а = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию Полученных результатов.
Х23У1,91,7Х23У1,91,74561,81,61,44561,81,61,4Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (У, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (X, тыс. шт.) по группам предприятий за отчетный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил следующие данные:
Х
2
3
У
1,9
1,7
Х
2
3
У
1,9
1,7
4
5
6
1,8
1,6
1,4
4
5
6
1,8
1,6
1,4
Полагая, что между Y и Х имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями Y и X, если уровень значимости принять равным 0,05?
Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры (X, см) и их урожайности (Y, ц/га):
Х
10
15
20
25
30
Y
5
10
16
20
24
При а = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками Х и У. Если признаки коррелируют, постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Сделайте прогноз урожайности пшеницы при глубине вспашки 22 см.
Из студентов 4-го курса одного из факультетов университета отобраны случайным образом 10 студентов и подсчитаны средние оценки, полученные ими на 1-м (X) и 4-м (У) курсе. Получены следующие данные:
Х
3,5
4,0
3,8
4,6
3,9
3,0
3,5
3,9
4,5
4,1
У
4,2
3,9
3,8
4,5
4,2
3,4
3,8
3,9
4,6
3,0
Полагая,что между У и Х имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями У и X, если уровень значимости принять равным 0,05?
Определите тесноту связи между возрастом самолета (X, лет) и стоимостью его эксплуатации (У, млн руб.) по следующим данным:
Х
1
2
3
4
5
У
2
4
5
8
10
Установите значимость коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение
регрессии и объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолета, если его возраст 1,5 года, а уровень значимости принять равным 0,05?
Определите тесноту связи объема выпуска продукции (X, тыс. шт.) и себестоимости единицы изделия (Y, тыс. руб.) на основе следующих данных:
Х
3
4
5
6
7
Y
10
8
7
5
2
Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте уравнение линейной регрессии и объясните его.
14. Определите тесноту связи общего веса некоторого растения (X, г) и веса его семян (Y, г) на основе следующих выборочных данных:
Х
40
50
60
70
80
90
100
Y
20
25
28
30
35
40
45
Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α =0,05. Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его.
При исследовании зависимости времени, затраченного на закрепление детали на токарном станке, от веса детали, получены следующие результаты (X — вес детали, кг, Y — время закрепления детали, с):
Х
7
8
10
12
13
14
15
17
18
20
Y
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
3,0
3,1
3,2
Полагая, что между Y и Х имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями Х и Y, если уровень значимости принять равным 0,05?
Семь вновь принятых сотрудников брокерской компании проходят аттестацию в конце испытательного периода. Результаты их работы оцениваются путем сдачи теста на профессиональную пригодность и по отдаче с каждого инвестированного ими рубля. Результаты молодых специалистов были ранжированы следующим образом:
Молодые специалисты
А
В
С
D
E
F
G
Результат теста
3
2
6
4
1
7
5
Отдача с рубля
1
3
5
2
4
6
7
Вычислите коэффициент корреляции рангов Спирмена, оцените его значимость.
Следующие данные получены из случайной выборки по оборотам 8 годовых консолидированных балансов. Цифры в таблице показывают объем продаж, тыс. шт., и цену единицы товара, руб.
Продажа
12,2
18,6
29,2
15,7
25,4
35,2
14,7
11,17
Цена
29,2
30,5
29,7
31,3
30,8
29,9
27,8
27,0
Рассчитайте выборочный коэффициент корреляции Пирсона между объемом продаж и ценой товара.
Проверьте значимость коэффициента корреляции для α = 0,05.
Перед сдачей экзаменов в конце семестра в 20 группах студентов университета был проведен опрос о том, какую оценку по сдаваемым в сессию курсам они ожидают получить. После сессии средние полученные оценки были сопоставлены со средними ожидаемыми. Результаты приведены в таблице:
Ожидаемая
3,4
3,1
3,0
2,8
3,7
3,5
2,9
3,7
3,5
3,2
Полученная
4,1
3,4
3,3
3,0
4,7
4,6
3,0
4,6
4,6
3,6
Ожидаемая
3,0
3,5
3,3
3,1
3,3
3,9
2,9
3,2
3,4
3,4
Полученная
3,5
4,0
3,6
3,1
3,3
4,5
2,8
3,7
3,8
3,9
Рассчитайте линейный коэффициент корреляции Пирсона, оцените его значимость при α=0,05.
Организация стран-экспортеров нефти предпринимает попытки контроля над ценами на сырую нефть с 1973г. Цены на сырую нефть резко возрастали с середины 70-х до середина 80-х гг., что повлекло за собой некоторое повышение цен на бензин. Следующая таблица представляет средние цены на сырую нефть и бензин с 1975 по 1988г.
Год
Бензин, Y — центов за галлон
Сырая нефть, X — дол. за баррель
1975
57
7,67
1976
59
8,19
1977
62
8,57
1978
63
9,00
1979
86
12,64
1980
119
21,59
1981
133
31,77
1982
122
28,52
1983
116
26,19
1984
113
25,88
1985
112
24,09
1986
86
12,51
1987
90
15,40
1988
90
12,57
Постройте график и оцените характер взаимодействия между переменными. Рассчитайте параметры уравнения регрессии, оценивающего зависимость цен на галлон бензина от цен за баррель сырой нефти. Дайте интерпретацию полученных результатов.
X
32
30
36
40
41
47
56
54
60
55
61
67
69
76
Y
20
24
28
30
31
33
34
37
38
40
41
43
45
48
20. Имеются данные по 14 предприятиям о производительности труда (Y, шт.) и коэффициенте
механизации работ (X, %)
Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при α = 0,05. Постройте уравнение линейной регрессии и объясните его.
ЛИТЕРАТУРА
Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Коненкин Ю. Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчетам. М., 1970.
Белинский В. А., Калихман И. А., Майстров Л. Я., Митькин А. М. Высшая математика с основами математической статистики. М., 1965.
Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М., 1979.
Варден Ван-дер Б. Л. Математическая статистика. М., 1960.
Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. М., 1974.
Венецкий И. Г., Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1975.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., 1964.
Вентцелъ Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). М., 1969.
Гершгорн А. С. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Львов, 1961.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1975; 1979;1997.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1975; 1988.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., 1970.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 6-е изд. М., 1988.
Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. М., 1971.
Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. М.,1971.
Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л., 1967.
Иванова В. М., Калинина В. Н., Нешумова Л. А; Решетникова И. О. Математическая статистика. М., 1981.
Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1979.
Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1971.
Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов.
Ч. II. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1982.
Козлова 3. А. Методические указания по изучению темы «Закон больших чисел». Ростов н/Д, 1979.
Коваленко И. Н., Вилиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. М., 1982.
Колде Я. К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. М., 1991.
Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1991.
Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1997.
Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике с основами математической статистики и теории вероятностей. Минск,1991.
Маринеску И., Мойнягу Ч., Никулеску Р., Ранку Н., Урсяну В. Основы математической статистики и ее применение. М., 1970.
Мостллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. М., 1969.
Павловский З. Введение в математическую статистику. М.,1967.
Румшинский Л. З. Элементы теории вероятностей. М.,1970.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А. А.Свешникова. М., 1965.
Феллер. В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., 1952.
Четыркин Е. И., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. М., 1982.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. 3-е изд. М., 1987.
Aczel A. Complete Business Statistics. 2nd ed./Richard D. Irwin, INC., 1993.
Canavos G. Applied Probability and Statistical Methods. Little, Brown... Company, USA, 1984.
Mendenhall W„ Wackerly D., Scheaffer R Mathematical statistics with Applications. PWS-KENT Publishing Company, USA, 1990.
Приложение 1
Таблица функции q>^ = -y=e 2 (кривая вероятностей)V2^
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,1
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,2
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0,3
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,4
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,5
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0,6
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0,7
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,8
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,9
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
1,0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1,1
0,2179
0,2155
0.2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
1,2
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
1,3
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
1,4
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0.1354
0,1334
0,1315
1,5
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
1,6
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
1,7
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,0833
0,0818
0,0804
1,8
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
1,9
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
2,0
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2,1
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
2,2
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
2,3
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
2,4
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
2,5
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
2,6
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
2,7
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
2,8
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
2,9
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3,1
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
3,2
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
3,3
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
3,4
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
3,5
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
3,6
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
3,7
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
3,8
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
3,9
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
4,0
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
4,1
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
4,2
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Приложение 2
Гао лица функции Ф0(г) = I — е - (функция Лапласа )о V 2лг
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,00000
0,00399
0,00798
0,01197
0,01595
0,01994
0,02392
0,02790
0,03188
0,03586
0,1
0,03983
0,04380
0,04776
0,05172
0,05567
0,05962
0,06356
0,06749
0,07142
0,07535
0,2
0,07926
0,08317
0,08706
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,11026
0,11409
0,3
0,11791
0,12172
0,12552
0,12930
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,14803
0,15173
0,4
0,15542
0,15910
0,16276
0,16640
0,17003
0,17364
0,17724
0,18082
0,18439
0,18793
0,5
0,19146
0,19497
0,19847
0,20194
0,20540
0,20884
0,21226
0,21566
0,21904
0,22240
0,6
0,22575
0,22907
0,23237
0,23565
0,23891
0,24215
0,24537
0,24857
0,25175
0,25490
0,7
0,25804
0,26115
0,26424
0,26730
0,27035
0,27337
0,27637
0,27935
0,28230
0,28524
0,8
0,28814
0,29103
0,29389
0,29673
0,29955
0,30234
0,30511
0,30785
0,31057
0,31327
0,9
0,31594
0,31859
0,32121
0,32381
0,32639
0,32894
0,33147
0,33398
0,33646
0,33891
1,0
0,34134
0,34375
0,34614
0,34849
0,35083
0,35314
0,35543
0,35769
0,35993
0,36214
1,1
0,36433
0,36650
0,36864
0,37076
0,37286
0,37493
0,37698
0,37900
0,38100
0,38298
1,2
0,38493
0,38686
0,38877
0,39065
0,39251
0,39435
0,39617
0,39796
0,39973
0,40147
1,3
0,40320
0,40490
0,40658
0,40824
0,40988
0,41149
0,41308
0,41466
0,41621
0,41774
1,4
0,41924
0,42073
0,42220
0,42364
0,42507
0,42647
0,42785
0,42922
0,43056
0,43189
1,5
0,43319
0,43448
0,43574
0,43699
0,43822
0,43943
0,44062
0,44179
0,44295
0,44408
1,6
0,44520
0,44630
0,44738
0,44845
0,44950
0,45053
0,45154
0,45254
0,45352
0,45449
1,7
0,45543
0,45637
0,45728
0,45818
0,45907
0,45994
0,46080
0,46164
0,46246
0,46327
1,8
0,46407
0,46485
0,46562
0,46638
0,46712
0,46784
0,46856
0,46926
0,46995
0,47062
1,9
0,47128
0,47193
0,47257
0,47320
0,47381
0,47441
0,47500
0,47558
0,47615
0,47670
2,0
0,47725
0,47778
0,47831
0,47882
0,47932
0,47982
0,48030
0,48077
0,48124
0,48169
2,1
0,48214
0,48257
0,48300
0,48341
0,48382
0,48422
0,48461
0,48500
0,48537
0,48574
2,2
0,48610
0,48645
0,48679
0,48713
0,48745
0,48778
0,48809
0,48840
0,48870
0,48899
2,3
0,48928
0,48956
0,48983
0,49010
0,49036
0,49061
0,49086
0,49111
0,49134
0,49158
2,4
0,49180
0,49202
0,49224
0,49245
0,49266
0,49286
0,49305
0,49324
0,49343
0,49361
2,5
0,49379
0,49396
0,49413
0,49430
0,49446
0,49461
0,49477
0,49492
0,49506
0,49520
2,6
0,49534
0,49547
0,49560
0,49573
0,49585
0,49598
0,49609
0,49621
0,49632
0,49643
2,7
0,49653
0,49664
0,49674
0,49683
0,49693
0,49702
0,49711
0,49720
0,49728
0,49736
2,8
0,49744
0,49752
0,49760
0,49767
0,49774
0,49781
0,49788
0,49795
0,49801
0,49807
2,9
0,49813
0,49819
0,49825
0,49831
0,49836
0,49841
0,49846
0,49851
0,49856
0,49861
3,0
0,49865
0,49869
0,49874
0,49878
0,49882
0,49886
0,49889
0,49893
0,49896
0,49900
3,1
0,49903
0,49906
0,49910
0,49913
0,49916
0,49918
0,49921
0,49924
0,49926
0,49929
3,2
0,49931
0,49934
0,49936
0,49938
0,49940
0,49942
0,49944
0,49946
0,49948
0,49950
3,3
0,49952
0,49953
0,49955
0,49957
0,49958
0,49960
0,49961
0,49962
0,49964
0,49965
3,4
0,49966
0,49968
0,49969
0,49970
0,49971
0,49972
0,49973
0,49974
0,49975
0,49976
3,5
0,49977
0,49978
0,49978
0,49979
0,49980
0,49981
0,49981
0,49982
0,49983
0,49983
3,6
0,49984
0,49985
0,49985
0,49986
0,49986
0,49987
0,49987
0,49988
0,49988
0,49989
3,7
0,49989
0,49990
0,49990
0,49990
0,49991
0,49991
0,49992
0,49992
0,49992
0,49992
3,8
0,49993
0,49993
0,49993
0,49994
0,49994
0,49994
0,49994
0,49995
0,49995
0,49995
3,9
0,49995
0,49995
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49996
0,49997
0,49997
4,0
0,499968
4,5
0,49997
5,0
0,4999997
Приложение 3
Таблица значений функции Пуассона:
Р(Х = ш)=Р№т«—е
771!
т λ
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
0
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
1
0,0905
0,1638
0,2222
0,2681
0,3033
0,3293
0,3476
0,3596
0,3696
2
0,0045
0,0164
0,0333
0,0536
0,0758
0,0988
0,1217
0,1438
0,1647
3
0,0002
0,0011
0,0033
0,0072
0,0126
0,0198
0,0284
0,0383
0,0494
4
-
-
0,0002
0,0007
0,0016
0,0030
0,0050
0,0077
0,0111
5
-
-
-
0,0001
0,0002
0,0004
0,0007
0,0012
0,0020
6
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0002
0,0003
т
λ
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
0
0,3679
0,1353
0,0498
0,0183
0,0067
0,0025
0,0009
0,0003
0,0001
1
0,3679
0,2707
0,1494
0,0733
0,0337
0,0149
0,0064
0,0027
0,0011
2
0,1839
0,2707
0,2240
0,1465
0,0842
0,0446
0,0223
0,0107
0,0055
3
0,0313
0,1804
0,2240
0,1954
0,1404
0,0892
0.0521
0,0286
0,0150
4
0,0153
0,0902
0,1680
0,1954
0,1755
0,1339
0,0912
0,0572
0,0337
5
0,0081
0,0361
0,1008
0,1563
0,1755
0,1606
0,1277
0,0916
0,0607
т λ
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
6
0,0005
0,0120
0,0504
0,1042
0,1462
0,1606
0,1490
0,1221
0,0911
7
0,0001
0,0034
0,0216
0,0595
0,1044
0,1377
0,1490
0,1396
0,1318
8
-
0,0009
0,0081
0,0298
0,0655
0,1033
0,1304
0,1396
0,1318
9
-
0,0002
0,0027
0,0132
0,0363
0,0688
0,1014
0,1241
0,0318
10
-
-
0,0008
0,0053
0,0181
0,0413
0,0710
0,0993
0,1180
11
-
-
0,0002
0,0019
0,0082
0,0225
0,0452
0,0722
0,0970
12
-
-
0,0001
0,0006
0,0034
0,0113
0,0264
0,0481
0,0728
13
-
-
-
0,0002
0,0013
0,0052
0,0142
0,0296
0,0504
14
-
-
-
0,0001
0,0005
0,0022
0,0071
0,0169
0,0324
15
-
-
-
-
0,0002
0,0009
0,0033
0,0090
0,0194
16
-
-
-
-
-
0,0003
0,0014
0,0045
0,0109
17
-
-
-
-
-
0,0001
0,0006
0,0021
0,0058
18
-
-
-
-
-
-
0,0002
0,0009
0,0029
19
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0004
0,0014
20
-
-
-
-
-
-
—
0,0002
0,0006
21
-
-
-
-
-
-
-
0,0001
0,0003
22
-
-
-
-
-
-
-
-
0,0001
Приложение 4
Критические точки распределения χ2
Число степеней свободы k
Уровень значимости α
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
1
6,6
5,0
3,8
0,0039
0,00098
0,00016
2
9,2
7,4
6,0
0,103
0,051
0,020
3
11,3
9,4
7,8
0,352
0,216
0,115
4
13,3
11,1
9,5
0,711
0,484
0,297
5
15,1
12,8
11,1
1,15
0,831
0,554
6
16,8
14,4
12,6
1,64
1,24
0,872
7
18,5
16,0
14,1
2,17
1,69
1,24
8
20,1
17,5
15,5
2,73
2,18
1,65
9
21,7
19,0
16,9
3,33
2,70
2,09
10
23,2
20,5
18,3
3,94
3,25
2,56
11
24,7
21,9
19,7
4,57
3,82
3,05
12
26,2
23,3
21,0
5,23
4,40
3,57
13
27,7
24,7
22,4
5,89
5,01
4,11
14
29,1
26,1
23,7
6,57
5,63
4,66
15
30,6
27,5
25,0
7,26
6,26
5,23
16
32,0
28,8
26,3
7,96
6,91
5,81
17
33,4
30,2
27,6
8,67
7,56
6,41
18
34,8
31,5
28,9
9,39
8,23
7,01
19
36,2
32,9
30,1
10,1
8,91
7,63
20
37,6
34,2
31,4
10,9
9,59
8,26
21
38,9
35,5
32,7
11,6
10,3
8,90
22
40,3
36,8
33,9
12,3
11,0
9,54
23
41,6
38,1
35,2
13,1
11,7
10,2
24
43,0
39,4
36,4
13,8
12,4
10,9
25
44,3
40,6
37,7
14,6
13,1
11,5
26
45,6
41,9
38,9
15,4
13,8
12,2
27
47,0
43,2
40,1
16,2
14,6
12,9
28
48,3
44,5
41,3
16,9
15,3
13,6
29
49,6
45,7
42,6
17,7
16,0
14,3
30
50,9
47,0
43,8
18,5
16,8
15,0
Приложение 5
Критические точки распределения Стьюдента
Число степеней свободы k
Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
1
6,31
12,7
31,82
63,7
318,3
637,0
2
2,92
4,30
6,97
9,92
22,33
31,6
3
2,35
3,18
4,54
5,84
10,22
12,9
4
2,13
2,78
3,75
4,00
7,17
8,61
5
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
6
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
7
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
8
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
9
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,70
10
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
11
1,80
2,28
2,72
3,11
4,03
4,44
12
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
13
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
14
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
15
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
16
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
17
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,96
18
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
19
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
20
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
21
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
22
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
23
1,71
2,07
2,50
2,81
3,49
3,77
24
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
Число степеней свободы k
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)
Число степеней свободы k
Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,10
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
25
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
26
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
27
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
28
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
29
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
30
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
40
1,68
2,02
2,42
2,70
3,31
3,55
60
1,07
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
120
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
Число степеней свободы k
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)
Приложение 6
Критические точки распределения Фишера-Снедекора (К1 — число степеней свободы большей
дисперсии, К2 — число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости α = 0,01
К1
K2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4052
4999
5403
5625
5764
5889
5928
5981
6022
6056
6082
6106
2
98,49
99,01
90,17
99,25
99,33
99,30
99,34
99,36
99,36
99,40
99,41
99,42
3
34,12
38,81
29,46
28,71
28,24
27,91
27,67
27,49
27,34
27,23
27,13
27,05
4
21,20
18,00
16,69
15,98
15,52
15,21
14,96
14,80
14,66
14,54
14,45
14,37
5
16,26
13,27
12,06
11,39
10,97
10,67
10,45
10,27
10,15
10,05
9,96
9,89
6
13,74
10,92
9,78
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,98
7,87
7,79
7,72
7
12,25
9,55
8,45
7,85
7,46
7,19
7,00
6,84
6,71
6,62
6,54
6,47
8
11,26
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,19
6,03
5,91
5,82
5,74
5,67
9
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,62
5,47
5,35
5,26
5,18
5,11
10
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,21
5,06
4,95
4,85
4,78
4.71
11
9,86
7,20
6,22
5,67
5,32
5,07
4,88
4,72
4,63
4,54
4,46
4,40
12
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,65
4,50
4,39
4,30
4,22
4,16
13
9,07
6,70
5,74
5,20
4,86
4,62
4,44
4,30
4,19
4,10
4,02
3,96
14
8,86
6,51
5,56
5,03
4,69
4,46
4,28
4,14
4,03
3,94
3,86
3,80
15
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,89
3,80
3,73
3,67
16
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,78
3,69
3,61
3,55
17
8,40
6,11
5,18
4,67
4,44
4,10
3,93
3,79
3,68
3,59
3,52
3,45
Уровень значимости α= 0,05
K1
K2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
161
200
216
225
230
234
237
239
241
242
243
244
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,36
19,37
19,38
19,39
19,40
19,41
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,88
8,84
8,81
8,78
8,76
8,74
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,93
5,91
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,78
4,74
4,70
4,68
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
4,03
4,00
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,63
3,60
3,57
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,34
3,31
3,28
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,13
3,10
3,07
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,97
2,94
2,91
11
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,90
2,86
2,82
2,79
12
4,75
3,88
3,49
3,26
3,11
3,00
2,92
2,85
2,80
2,76
2,72
2,69
13
4,67
3,80
3,41
3,18
3,02
2,92
2,84
2,77
2,72
2,67
2,63
2,60
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,77
2,70
2,65
2,60
2,56
2,53
15
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,54
2,49
2,45
2,42
17
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,62
2,55
2,50
2,45
2,41
2,38
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ3
Размещения 3
Понятие факториала4
Размещения с повторениями 4
Сочетания 4
Сочетания с повторениями 5
Перестановки 6
Перестановки с повторениями 6
Задачи к теме 1 6
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ8
Определение вероятности и свойства, вытекающие из ее определения, классификация событий, диаграммы Венна 8
Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события 12
Задачи к теме 2 18
ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА20
Задачи к теме 3 25
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 28
Определение дискретной случайной величины28
Математические операции над случайными величинами 30
Распределения Бернулли и Пуассона 31
Гипергеометрическое распределение 33
Задачи к теме 4 44
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ47
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины 47
Нормальное распределение 48
Задачи к теме 5 63
ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ65
Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов 65
Числовые характеристики вариационного ряда 68
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ 79
Основные понятия и определения выборочного метода 79
Статистическое оценивание 80
Ошибки выборки 81
Определение численности (объема) выборки 82
Интервальное оценивание 83
Задачи к теме 7 93
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ95
Задачи к теме 8 111
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ 113
Виды и формы связей, различаемые в статистике 113
Оценка достоверности коэффициента корреляции 117
Эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения 118
Ранговая корреляция 120
Корреляция альтернативных признаков 121
Оценка уравнения парной регрессии 122
Парная линейная зависимость 123
Коэффициент эластичности 124
Пример расчета коэффициента уравнения регрессии 125
Стандартная ошибка оценки уравнения регрессии 128
Измерение вариации по уравнению регрессии 130
Доверительные интервалы для оценки неизвестного генерального значения уген(цУх) и индивидуального значения
У132
Доверительные интервалы для оценки истинных значений неизвестного параметра уравнения регрессии Р1 и
коэффициента регрессии ρ в генеральной совокупности 135
Задачи к теме 9 137
ЛИТЕРАТУРА 141
Приложение 1 143
Приложение 2 145
Приложение 3 147
Приложение 6 152
Учебное издание
Ниворожкина Людмила Ивановна,Морозова Зоя Андреевна,Герасимова Ирина Алексеевна,Житников Игорь Васильевич
Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов
Руководство для решения задач
Редактор Е. Г. Гежа
Корректоры Е. Г. Екатеринини, Г. А. Бибикова
Обложка художника С. А. Каштанова
Компьютерный набор и верстка А. Ю. Алейниковой
Лицензия ЛР № 065194 от 02.06.97 г.
Сдано в набор 10.03.99. Подписано в печать 05.04.99.
Формат 84X108 1/32. Бумага газетная. Печать офсетная.
Гарнитура Школьная.
Усл. печ. л. 16,8. Уч.-изд. л. 13,5.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 168
Издательство «ФЕНИКС» 344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга» 344019, г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57.
7. Компания, выпускающая в продажу новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов
всем остальным. Проверьте на уровне значимости α = 0,01 гипотезу о том, что, по крайней мере, 52%
потребителей предпочтут новый сорт кофе.
15. В 1995 г. доля предприятий государственной формы собственности в Ростовской области метаталлообрабатывающих предприятий она оказалась равной 2,1%. На уровне значимости а = 0,01
3) показательная
yx = b0b1x;
либо в логарифмическом виде
ln yx = lnb0 + xlnb1.
После определения формы связи, т. е. вида уравнения регрессии, по эмпирическим данным определяют параметры искомого уравнения.
При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, чтобы рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака максимально приближались к эмпирическим данным.
Чаще всего определение параметров уравнения регрессии осуществляется с помощью метода наименьших квадратов, в котором предполагается, что сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических должна быть минимальной,
В зависимости от формы связи в каждом конкретном случае определяется своя система уравнений, удовлетворяющая принципу минимизации.
Учебники «Феникса»
П. П. Ниворожкина, 3. А. Морозова,П. А. Герасимова., П. В. Житников