Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Вместо введения. О работах Р. В- Гамкрелидзе
Настоящий том посвящен 70-летию со дня рождения Реваза Валериановича Гамкрелидзе. На наш взгляд, лучшим введением к тому будет напоминание о некоторых результатах, полученных этим замечательным математиком. Мы напомним о достаточно давних работах, считая это уместным в том числе и потому, что многие результаты Р. В. Гамкрелидзе, отличаясь естественностью и элегантностью, быстро вошли в математический обиход и после ряда переложений и обобщений потеряли имя автора.
Среди ранних результатов следует упомянуть выражение классов Черна комплексных проективных многообразий через проективные инварианты (см. [1]). В работе получены красивые многомерные обобщения классической формулы Плюккера для рода плоской проективной кривой. Здесь важны не только явные формулы: принципиальным являлось представление циклов, двойственных когомологическим классам Черна, в виде линейных комбинаций алгебраических многообразий.
Р. В. Гамкрелидзе ——один из создателей математической теории оптимального управления. Как известно, в основе этой теории лежит принцип максимума Л. С. Понтрягина, высказанный первоначально в виде гипотезы. Р. В. Гамкрелидзе доказал принцип максимума для линейных систем управления и построил полную теорию линейных систем (см. [2, 4]). В этой теории, ставшей со временем классической, уже были выявлены важнейшие родовые черты теории оптимального управления: роль выпуклости, значение релейных управлений, характер оптимального синтеза, вид условий регулярности. Иными словами, линейная теория, построенная Р. В. Гамкрелидзе, надолго определила само лицо предмета, а ее прозрачность и полнота до сих пор остаются образцами для специалистов, исследующих более сложные нелинейные системы.
Удивительная судьба ожидала “усповяе общности положен^*" — основное условие регулярности в линейной теории Р. В. Гамкрелидзе. Его несколько упрощенная версия под именем условия ^полной управляемости'' стала визитной карточкой структурной теории линейных систем, развитой позднее Р. Калманом. Следует отметить, что структурная теория Калмана, будучи технически проще и ближе сердцу инженера, чем оптимальное управление, приобрела чрезвычайно широкое распространение и в настоящее время число специалистов разных областей, знакомых с условием ссполной управляемости>,, должно многократно превосходить число людей с серьезным математическим образованием, не говоря уж о тех, кто когда-либо слышал о Р. В. Гамкрелидзе.
Переходя к нелинейным задачам, отметим, что Р.В. Гамкрелидзе принадлежит первый вариант принципа максимума для задач с фазовыми ограничениями (см. [3, 4]). Интересно, что, несмотря на обширную литературу, посвященную задачам с фазовыми ограничениями, и на полученные позднее далекие обобщения результата Р. В. Гамкрелидзе, его теорема до сих пор не потеряла актуальности. Дело здесь в следующем. Явным недостатком результата Гамкрелидзе для задачи с фазовыми ограничениями были очень сильные требования регулярности, накладываемые на задачу. Дальнейшее развитие событий, однако, показало, что эти требования отнюдь не случайны: отказ от них приводит к такому усложнению ситуации, что делает формулируемые там не менее общие условия оптимальности почти непригодными
для использования в конкретных задачах. Довольно поучительная история и, надо признать, довольно характерная для современной теории оптимизации.
Нельзя не упомянуть теорию скользящих режимов Р.В. Гамкрелидзе, описывающую пополнение управляемой системы в смысле, аналогичном тому, как вещественная прямая является пополнением множества рациональных чисел (см. [5, 8]). От близких идей Янга и Варги теорию Гамкрелидзе выгодно отличает так называемая аппроксимационная лемма, гласящая, что не только любая траектория пополненной системы может быть аппроксимирована траекторией исходной, но и любое семейство траекторий пополненной системы, непрерывно зависящее от параметра, пробегающего произвольный компакт, может быть равномерно аппроксимировано аналогичным семейством исходной системы. Судя по всему, сила этого результата еще не была использована в полной мере и он должен занять весьма важное место в медленно, но верно складывающейся теории оптимального управления “в целом".
Наряду g перечисленными большими работами появлялись статьи Р. В. Гамкрелидзе, посвященные условиям оптимальности для некоторых классов задач, не укладывающихся в стандартную схему, таких, как задачи с неограниченными управлениями или с запаздываниями. В этих статьях постепенно нащупывались естественные рамки условий типа принципа максимума, что в конечном счете привело к построению Р. В. Гамкрелидзе общей теории условий первого порядка для абстрактных экстремальных задач (см. [6, 7]).
Следующей важной темой стали особые экстремали в задачах оптимального управления, т.е. те экстремали, для которых вырождается принцип максимума. Поначалу наличие особых экстремалей казалось одним из тех досадных вырождений, которые интересны лишь постольку, поскольку требуется указывать условия, позволяющие от них избавиться: особые экстремали по существу игнорировались в классическом вариационном исчислении и не играют существенной роли в линейных задачах. Действительность оказалась, однако, намного сложней и увлекательней. Прежде всего, все новые экстремали, возникающие при пополнении системы, автоматически являются особыми. Кроме того, выяснилось, что эти экстремали играют ключевую роль при построении оптимального синтеза для нелинейных систем с него- лономными связями. В результате инженеры, строящие конкретные синтезы, стали исследовать особые экстремали, не дожидаясь математиков, причем исследовать довольно успешно, хотя и на эвристическом уровне, чреватом серьезными ошибками.
Работа [9] содержит основательное исследование “поточечных'' условий оптимальности, которые следует добавить к принципу максимума, если он вырождается. Эти условия по необходимости выходят за рамки теории первого порядка и используют высшие вариации. Включение в дело высших вариаций ознаменовало собой важный поворот в тематике и даже идеологии исследований. В принципе не так уж трудно выписывать все новые и повые условия оптимальности, варьируя управления все более хитроумным образом. В результате получаются условия, включающие ужасающие нагромождения частных производных, причем как сравнивать эти условия между собой, так и понять их связь с динамикой систем управления бывает крайне затруднительно. Стало ясно, что для дальнейшего исследования нелинейных систем нужен инвариантный относительно гладких замен переменных бескоординатный подход. Это и послужило естественной причиной обращения к дифференциально-геометрическому языку. Однако стандартных средств дифференциальной геометрии оказалось недостаточно для исследования задач оптимального управления, ведь эти средства вырабатывались для несколько иных целей.
Пришлось разработать специальное ^хронологическое исчисление^, связывающее динамику с коммутационными свойствами векторных полей, определяющих систему. Основы этого исчисления изложены в работе [10]. С тех пор хронологическое исчисление и привлеченные
позднее методы симплектической геометрии исправно трудятся, открывая одну за другой двери в увлекательный мир нелинейных систем и выявляя глубинные связи теории управления с другими разделами математики. Впрочем описание более поздних работ Р. В. Гамкрелидзе и его школы выходит за рамки настоящей заметки; для их объективной оценки, видимо, нужны другие авторы.
В заключение напомним только об одном замечательном вкладе Р. В. Гамкрелидзе в мм тематику, выходящем за рамки собственно исследований. Мы имеем в виду грандиозный издательский проект: созданную и редактируемую Р.В. Гамкрелидзе монументальную энциклопедическую серию "Современные проблемы математики. Фундаментальные направле- нияг, которая навсегда останется памятником Московской математической школе периода ее расцвета. Публикуемая на английском языке под названием “Encyclopaedia of Mathematical Sciences^^ издательством “Springer Verlag”，эта серия способствует распространению и утверждению идей нашей школы в мировом математическом сообществе ——идей, влияние которых сегодня ощущает почти каждый активно работающий математик.
А. А. Аграчев, Е. Ф. Мищенко
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гамкрелидзе Р. В. Циклы Черна комплексных алгебраических многообразий //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1956. Т. 20. С. 685-706.
Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22. С. 449-474.
Гамкрелидзе 尸.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1960. Т. 24. С. 315-356.
Понтрягин Л, С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе 尸.В., Мищенко Е. G. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.
Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах //ДАН СССР. 1962. Т. 134, М 6. С. 106-128.
Gamkrelidze R. V. On some extremal problems in the theory of differential equations 〃J。 SIAM Contr. 1965. N 3. P. 106-128.
Гамкрелидзе 尸.В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач //Тр. МИАН. 1971. Т. 112. С. 152-180.
Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси： Изд-во Тбил. гос. унта, 1977.
Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия //Мат. сб. 1976. Т. 100. С. 610-643,
Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление //Мат. сб. 1978. Т. 107. С. 467-532.
УДК 519.6
Сильные минимумы в оптимальном управлении@1998 г. А. А. Аграчев, П. Дзедза, Ж. СтефаниПоступило в июне 1997 г.
В работе установлены достаточные условия оптимальности, гарантирующие локальную оптимальность выделенной траектории в топологии С° без ограничений на управления. Эти условия получены путем усиления обычных необходимых условий: принципа максимума Понтрягина и неотрицательности второй вариации. Предполагаются коэрцитивность второй вариации и гладкость максимизированного гамильтониана.
Классический метод Каратеодори——Вейерштрасса, использующий теорию полей экстремалей, распространяется на класс задач оптимального управления, включающий задачи с подвижными концами и неголо номными ограничениями.
ВВЕДЕНИЕ
В этой статье мы рассматриваем следующую задачу оптимального управления на заданном отрезке / =［力о,力住
Минимизиров атьМинимизиров атьz(3 0) =(?(§(用),§的))+ /%优式分贝切就 to
Минимизиров ать
Минимизиров ать
по всем ^ и и ё £8(/,^т), удовлетворяющим следующей управляемой системе и граничным условиям:
⑴ ⑵⑴ ⑵£«) = f(t^(t),v(t)) п.в. i е /,矶8б0),6(力))二 0.
⑴ ⑵
⑴ ⑵
где а : R2n -> Rr — функция класса С, а данные
/：КХЖП XRm->Rn, /о : R X R" X Km ->R
—равномерно квази-С2 (см. определение 2.1),
Наша цель — установить достаточные условия оптимальнсти, гарантирующие, что выделенная траектория реализует локальный минимум в топологии С° без ограничений на упра^ вления. Мы получаем это, усиливая обычные необходимые условия: принцип максимума Понтрягина и неотрицательность второй вариации. К ним добавляются предположения о коэрцитивности второй вариации и гладкости максимизированного гамильтониана.
В настоящей статье классическая теория полей экстремалей распространяется на класс задач оптимального управления. В этом контексте предположение о регулярности максимизированного гамильтониана является ключевым: оно позволяет построить поле экстремалей, начинающихся на лагранжевом подмногообразии, определенном условиями трансверсальности.
Тот же подход можно использовать для того, чтобы установить бескоординатные достаточные условия, использующие лишь геометрические свойства гамильтонова потока в случае, когда состояния и управляющие параметры принадлежат гладким многообразиям.
В одномерном вариационном исчислении проекция поля экстремалей на пространство состояний, заданная в “правой" окрестности 1§ точки 力о, вырождается только в начальной точке и классический метод состоит в рассмотрении поля с началом в момент t = t0 — е, так что проекция не вырождена для t € 4. В задачах оптимального управления из-за отсутствия управляемости может случиться, что проекция поля является особой для всех С € 厶 я классический подход не работает. Для того чтобы преодолеть эту трудность, вводится точный штраф и рассматривается задача, эквивалентная исходной, но со свободным левым концом. В этом случае начальное лагранжево многообразие горизонтально, что позволяет избежать вырождения проекции на 1В. Коэрцитивность второй вариации гарантирует невырожденность на всем интервале I. Используя симплектические свойства поля экстремалей, вариационную задачу удается свести к конечномерной для присоединенной функции. Условиями экстремума для этой функции являются условия трансверсальности (первый порядок) и коэрцитивность второй вариации (второй порядок).
В работе [7] показано, что коэрцитивность второй вариации эквивалентна отсутствию полусопряженных точек на временном интервале /, а также существованию решения ассоциированного дифференциального уравнения Риккати с подходящими краевыми условиями. В настоящей статье мы используем этот результат и даем геометрическую интерпретацию решения уравнения Риккати, объединяя классический геометрический подход (см. [3]) и аналитический подход, использующий неравенство Гамильтона-Якоби [8].
Гладкость максимизированного гамильтониана получается следующим образом: благодаря коэрцитивности второй вариапии мы знаем, что выполнено усиленное условие Лежандра (см. (19)), следовательно, используя условие экстремума первого порядка (см. (7)) и теорему о неявной функции, получаем гладкий локально максимизированный гамильтониан. Условие 2.2 гарантирует, что он совпадает с глобально максимизированным гамильтонианом. Заметим, что, используя локально максимизированный гамильтониан, можно дать геометрическое доказательство достаточного условия слабого локального минимума.
Главная теорема (теорема 2.3) соответствует классическому результату одномерного вариационного исчисления, который был установлен только для случая, когда одна из концевых точек фиксирована. Здесь мы включаем также краевые условия общего типа, в том числе и смешанные.
Другое важное усовершенствование относится к условию управляемости линеаризованной системы, которое обычно предполагалось выполненным. Мы полностью отбрасываем это условие, получая таким образом более широко применимый результат; более того, мы включаем и так называемый анормальный случай. В этом случае мы получаем, что траектория, удовлетворяющая достаточным условиям, изолирована среди соседних допустимых траекторий и, следовательно, локально оптимальна.
План статьи следующий. В разд. 2 сформулирован главный результат (теорема 2.3) и
приведены примеры, показывающие, что принципа максимума Понтрягина и коэрцитивности второй вариации недостаточно для сильного локального минимума. В разд. 3 установлены свойства полей экстремалей. В разд. 4 доказана главная теорема. В приложении для удобства читателей приведены доказательства некоторых технических результатов, использованных в статье.
ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Мы говорим, что пара (^, и) допустима, если она удовлетворяет управляемой системе (1) и ограничениям (2). Наша цель — сформулировать условия, при которых выделенная допустимая пара (£,方)реализует строгий локальный минимум, т.е. для некоторого е > 0 (^, и) реализует минимум функционала по отношению ко всем таким допустимым парам (§, и), что
lie-ell^ = ma,x|i^(i)-еиц < 匕
Мы предполагаем, что (£(£()),£(〃)) является регулярной точкой вектор-функцин а. Начнем с напоминания определения квази-Ср-функций, используемого для описания регулярности данных.
Определение 2.1. Пусть X, У — конечномерные векторные пространства. Функция G : С £ / X X Т У есть квази-Ср, если для любого 力 £ / отображение Gt \ X —^ Y принадлежит классу Ср, а функция (t, z/) Т DkGt(y) принадлежит £°°(/ X Х“,У) для к = 0,... ,р. Функция G есть равномерно квази-Ср, если (f,z/) 1 DpGt(v) непрерывно в v равномерно по t. Если функция есть квази-Ср, то она равномерно квази-СР"1.
Мы сопоставляем задаче оптимизации гамильтониан h, зависящий от параметра Ао W G {0,1}. Положим 牙*頂口 二(頂")* x 頂"，тогда 纟 € Т*頂"есть пара 纟二(P,g), где р — вектор- строка, ад — столбец, так что рд £ 除 Положим
h:Ix Т* 頂 “ 乂頂团 Т IR,九:(t,^u)^pf(t,q,u) - Xofo(t,g,u).
Мы будем предполагать, что выделенная пара (£,否)удовлетворяет принципу максимума Понтрягина, который является необходимым условием оптимальности и утверждает существование таких Ао £ {0,1}, ст £ (Жг)* и решения (Жл)* уравнения
AW = -%M&M%f(£),心(方))， ⑶ (似用),一財厶))=^dc^o)^^)) + (rda^o)^^), (4)
что
儿 + ||Д||со > 0, ⑸
九他画分 €(i),^W)^ max h(t,fi(t),^(t),u). (6)
Пара (£,方)будет называться нормальной, если Ао = 1, а в противном случае ——анормальной. Таким образом, в любом случае гамильтониан h определен однозначно. Из (1) и (3) следует, что А — (0,6) есть решение гамильтоновой системы
где J(р, q) = (•-丁，力；более того, поскольку нет ограничений на управляющие параметры, то из (6) следует, что
九九(方4(方)①(切=0.⑺
В дальнейшем мы будем называть понтрягинской экстремалью любое такое решение (§, о) системы (1), вдоль которого выполняются соотношения (3) и (6) при подходящем /.
Как обычно, мы обозначаем крышечкой 「) значения вдоль выделенных объектов и Т — знак транспонирования. Когда позволяет контекст, мы будем использовать один и тот же символ для билинейной формы Г и для ассопиированной с ней квадратичной формы, так что мы будем писать Г(ж) вместо Г(ж, ж).
Прежде чем давать условия сильной локальной минимальности, приведем условия, обеспечивающие слабую локальную минимальность. Нашу задачу можно рассматривать как абстрактную оптимизационную задачу в банаховом пространстве Жп X £8(/,кт) пар (начальное состояние, управление) с ограничениями (1), (2). Необходимое условие первого порядка (правило множителей Лагранжа) состоит в существовании 入山。,0, удовлетворяющих (3)-(5), (7). Для формулировки достаточного условия второго порядка нужна вторая вариация задачи, описываемая следующей квадратичной формой (с ограничениями):
Z"(6q, би) = Г(货(幻成伉))-/%,“> h(t)^(t),5v^ dtio
для всех (6q,6o) C 眩"X L2(/,]Rm), удовлетворяющих
^柒(£) = dMf(t)^tl8vit)l 柒伪)=3g,(8)
阳隽°)総(幻)ekerQ矶拘q)£(3),(9)
где Г есть следующая квадратичная форма:
Г = (zD2a(e(t0),e(t1))+》/%(即。)W(幻).
Достаточное условие второго порядка гласит, что если (£, и) удовлетворяет необходимому условию первого порядка и
Z"(6g,6u)^K(||6q『 + ||6u『)
на подпространстве, определенном условиями (8), (9) (т.е. Z" коэрцитивна на этом подпространстве), то (£, G) реализует локальный минимум в Жп X £8(/,戚^) и, следовательно, слабый минимум (см. [6]).
Первый шаг в усилении необходимых условий состоит в требовании того, чтобы выделенная пара удовлетворяла также условию максимума (6). К сожалению, как показывают примеры 2 и 3, этого недостаточно; требуется существование достаточно гладкого максимизированного гамильтониана.
Для того чтобы точно описать исходные предположения, введем некоторые дополнительные обозначения. Для любого нормированного пространстваX символом В£(х) обозначается
шар радиуса е с центром в ж, а для £ € £8(/, х) мы рассматриваем трубку вокруг £ радиуса 6, определяемую следующим образом:
团(W)={(力①)c 欣 X X :呢 一 W(方)II <。•
Сформулируем теперь главное условие на максимизированный гамильтониан.
Условие 2.2. Для любого £ > 0 существует такое 5 > 0, что для всех (力,£) € 〃6(入)
max 九(為纟,u) — max h(tt£} u).
Из приведенного условия следует существование такого 5 > 0, что
传")1■器舲 М,2,п)
определяет отображение
Н :%(^) с/х TV т Ж;
иными словами, вблизи А максимизированный гамильтониан конечен.
Из условия 2.2 вместе с коэрцитивностью второй вариации следует, что максимизированный гамильтониан Н есть квази-С2-функция (см. лемму 4.1). В этом случае функции А = (〃,£), отвечающие понтрягинским экстремалям, являются решениями гамильтоновой системы, ассоциированной с Н,
m方)=五传,m切，(Ю)
где Н (友 2) = J 3,Н (t,纟).Поскольку обратное также верно, мы будем называть экстремалями решения уравнения (10). Теперь мы можем сформулировать главный результат.
Теорема 2.3. Предположим, что (£, и) удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. Если выполнено условие 2.2 и вторая вариация коэрцитивна, то (& 皆)реализует сильный локальный минимум при Ао = 1, а при Ло = 0 траектория § изолирована в топологии С° среди всех допустимых траекторий (^удовлетворяющих краевым условиям).
Поскольку в анормальном случае функционал не играет никакой роли, эту теорему можно использовать для изучения вопросов существования допустимых траекторий в пространстве состояний, изолированных в топологии С° (см. примеры 4 и 5).
В имеющейся литературе по достаточным условиям сильного минимума обычно предполагается существование управления обратной связи 〃, непрерывного по с равномерно по 力 при котором гамильтониан h достигает максимума (см., например, [8]). Это предположение эквивалентно условию 2.2 (см. предложение А.1). Мы предпочитаем это последнее условие из- за его очевидного геометрического смысла. Условие 2.2 выполняется для обширного класса гамильтонианов.
Следствие 2.4. Предположим, что (^, и) удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. Если h вогнут по и, а вторая вариация коэрцитивна, то (W,方)реализует сильный локальный минимум при 工о = 1, а при Ао — 0 траектория £ изолирована в топологии С° среди всех допустимых траекторий (удовлетворяющих краевым условиям).
Пример 1. Предыдущее следствие 2.4 приложимо, например, к аффинным по управлению системам с квадратичным функционалом, т.е. к задачам вида
ОД = Л(г,ад)+ 1；ц-(г)л(г,е(г)),m m у
^(^^) = c^^^ti)) + ^2 ^2 5(巾#)9炉(友€(力丸
Проиллюстрируем на некоторых примерах роль условия, наложенного на гамильтониан. Первые два примера относятся к задаче вариационного исчисления с фиксированными концами, причем нулевая траектория удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и обладает коэрцитивной второй вариацией. Следовательно, нулевая траектория реализует слабый минимум, однако гамильтониан не удовлетворяет нашим условиям и эта траектория не реализует сильный минимум.
Пример 2. Рассмотрим следующую задачу:
1
Минимизировать Е(§, о) = / 廿纟⑻( ％ ；十］+ §⑻)屮§о'
среди всех таких (&叫 что
W(t) = u(t),式0)= &⑴=0.
Легко проверить, что нулевая пара 工=0 удовлетворяет условиям трансверсальности и максимальности. Вторая вариация имеет вид
1
Z"(5b) = /(30(5))2盛1
где
^^- = 5m力)，派(0)=货⑴=0,
I一无 +6, оI一无 +6, ои является коэрцитивной. Нуль не реализует ни сильный минимум, ни локальный минимум в топологии Р\ если 1 < р < оо. Действительно, достаточно рассмотреть управления
I一无 +6, о
I一无 +6, о
если 0 < ^ < ——,
1'4
если -— < ^ < —,
2п-
в противном случае.
Соответствующая траектория в пространстве состояний §“ допустима, а значение функционала
1 — 1 — п2 + 4 ^/п〃"“)二 4 f^军к"
отрицательно для больших п. Поскольку ||^п|| < 击,мы получаем сходящуюся к нулю в топологии С° последовательность траекторий с отрицательным значением функционала. Проверим, что ассоциированный гамильтониан
М，％ и) = ри- —+ i?q
не удовлетворяет нашим условиям. При “малых" р, q максимум конечен, только если g < О, и, таким образом, максимизированный гамильтониан не определен в окрестности выделенной нулевой траектории.
Этот первый пример показывает, что недостаточно усилить необходимые условия, предположив, что вторая вариация коэрцитивна и максимум гамильтониана h в (6) строгий.
Пример 3. Рассмотрим следующую задачу:
МинимизироватьМинимизироватьZ(£,o) = У и2(s)(и4(s) 一 2产(3)+ 1 + £(s)) ds
Минимизировать
Минимизировать
среди всех таких (£, о), что
G)= W% 久0)= &1)= 0.
Легко проверить, что нулевая пара 工=0 удовлетворяет условиям трансверсальности и максимума. Вторая вариация имеет вид
1
Z"(8u) = /(8o(s))2d%
где
^^ = 6u(t), 6久0)=戈(1) = 0,
и является коэрцитивной. Нуль не реализует ни сильный минимум, ни локальный минимум в топологии £р, если 1 < р < со. Действительно, достаточно рассмотреть управления
{
-1, если 0 < £ < е,
1, если s < ^ < 2s, 0 в противном случае.
Соответствующая траектория в пространстве состояний & допустима, причем Z(uJ = -d. Проверим, что ассоциированный гамильтониан
М@, 5 и) = ри - и6 2 и4 - и2 - и2 q
не удовлетворяет нашему условию. Рассмотрим его ограничение на подпространство р = 0. Максимизирующая обратная связь имеет вид
o(q)= J ^ ,6 + 34^^, если 9 < 0,
[0,если g > 0,
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, н. 220
и разрывна при q = 0 (см. рис. 1 и 2). Максимизированный гамильтониан имеет вид
Н(0 q)=，-券(1 + 9g - (1 - 3 q)3/2) , если q < °"''I °,если g > 0;
он непрерывен, но не дифференцируем при q = 0.
Первые три примера относятся к нормальному случаю. Теперь мы покажем, как можно построить широкий класс примеров анормальных ситуаций с различным поведением. Как отмечалось выше, в этом случае задача состоит в изучении существования изолированных допустимых траекторий. По этой причине мы просто анализируем поведение решений упрм вляемой системы, не обращая внимания на функционал, который может быть любым.
Пример 4. Рассмотрим управляемую систему
&(方) = 0传)，
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
6(方)=智(方)+吸力)(吸方)-1)2，貿 о)=£(т)= 3
где k >2.
Нулевая траектория является понтрягинской экстремалью с присоединенным ковектором (О, -1). Простые вычисления показывают коэрцитивность второй вариации и, следовательно, И^^-изолированность выделенной траектории. Максимизированный гамильтониан негладкий, как и в предыдущем примере, но мы получаем разную картину при разных значениях к. Ясно, что для четного к траектория изолирована в топологии С°, в то время как для нечетного к она не изолирована: взяв управления со значениями в {-1,1}, мы получаем систему, локально управляемую для любого Т.
Интересно отметить, что система
&(£) = v(t),&($) = £；($) +叫力)，£(0)=&Т) = 0,
удовлетворяет условиям следствия 2.4 и поэтому нулевая траектория С°-изолирована, хотя управляемая система совпадает с предыдущей при 〃 = 0 вплоть до членов второго порядка.
В последнем примере мы показываем, как построить изолированную траекторию, отталкиваясь от нормальной задачи со строгим сильным минимумом.
Пример 5. Рассмотрим задачу управления
g传)=啲，电方)=Y传)十叭5€(о)= ^(т)= о.
При Т < тг нулевая траектория изолирована. Этот факт можно получить прямо из нашей теоремы или рассматривая задачу минимизации §2(Т) при ограничениях £i(0) = Si(T)= =§2(0) = 0. Это стандартный линейно квадратичный пример с первой сопряженной точкой Т — тг.
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ОПТИМАЛЬНОСТЬ
Общее введение в симплектическую геометрию и ее приложение к вариационным задачам см. в [2], а приложения к оптимальному управлению ——в [1].
На протяжении этого раздела мы предполагаем, что Н есть квази-С2. Рассмотрим поток гамильтоновой системы (10) как квази-С^вектор-фуйкцию
先：/ х Т*Г* ->/х Т”“，Н :(力纟)1 (力 N 力 £)),
где A = (〃, W) — решение системы (10) с начальными условиями А(^о) — 2・ Из компактности временного интервала следует существование такой окрестности О точки А«о), что 先 определен на / X О.
Пусть pdq = £乙 Pi dq‘ 一 каноническая форма в TRn, s = pdq — Hdt — форма Картана на / х Т*^п, а символ тг обозначает проекцию на Жп как 丁*眩",так и / х 丁*眩门.Поскольку гамильтониан Н получен путем максимизации, имеется следующая связь формы Картана и задачи оптимизации. Если (£,о) —— решение управляемой системы (1), а А —— произвольное липшицево поднятие кривой £ в T*3R" (т.е. тгА = £), то
工o/病(力£($),М±))血 2 У s.(ii)
io(Id,X)
Более того, если (£, о) — понтрягинская экстремаль я % = (〃, g) — соответствующее поднятие, то неравенство обращается в равенство.
Форма Картана определяет функцию ^, играющую в дальнейшем ключевую роль:
V ： 了 X。Т 叱 V ：也纟)1 / s.(12)
Эта функция совпадает с интегральным функционалом на соответствующей понтрягинской экстремали, если Ао — 1, и равна нулю, если Ао 二 0.
Пусть С。——С^гладкое связное точное лагранжево подмногообразие в 丁*戚",содержащееся в О, тогда это подмногообразие n-мерно и существует такая вещественная функция ®, что
РЙ|£о = №
Лемма 3.1. Дифференциальная форма
и = 7Y*s
точна на I х £0, и
и = d(g + V).(13)
Доказательство. Пусть 7 = (г, А) : [0)1] —> / х £0 — липшицева кривая. Мы хотим доказать, что 力 и зависит только от концов
7(0)=(鱼毋)и 7⑴=(九纟0.
Рассмотрим симплекс △ = {(% ^) ： 0 < ^ < ^ < 1} и отображение ф : (R 夕)Т 7Y(丁(£),工(俨))《 Теорема Стокса справедлива и в липшицевом случае (см. предложение А.З), следовательно,
/ 7Y*p dq = У pdq ~ - J dp /\ dq + j pdq+ ] pdq =
74』，' 儿』儿=u
=-J dp A dq + / pdq+ ]pdq.
Фот入
Рассмотрим отдельно первое слагаемое:
1
I11
=/**(/如人亚反紛曲)曲=方(,)(/(2印紛初",= 080 夕
=/ 北6但陷丁⑺,旬)—H(Mra)n(g)))*" / H(M 力厶))砒-/h(м%£))或.
Подставляя полученное выражение для 厶 dp Л dg, получаем
]3= У s + j pdq = ^Р1,Л) - ^Po^o) + ^i) - ^(4). 7%1。7入
Таким образом, w — точная форма. 口
Следствие 3.2. Lt := 7Yt(b0) — точное лагранжево подмногообразие для всех t & I, и
pdq\Lt = ^,(14)
где
^-^-^，^ + ^-1^^,部。=什(15)
Если 叫：=tt|l( и D穴t обратимы при 力 € 厶 g /, m。тг^1 — точное сечение, причем
d^iOTrf1)^^1, t е Л-(16)
Доказательство. Равенство (14) проверяется непосредственно, поскольку ограничение и на подмногообразие 力=const есть 7YJ р dg. Пусть 7 ——липшицева кривая в 戚",тогда
/ 力「= У РЙ= У ^ = У d^tOTV^y
7介，‘。7*r77
Первое и последнее равенства выполняются по определению, а среднее вытекает из (14). □
Лемма 3.3. Предположим, что 万寸 и Df обратимы для всех £ € /. Пусть £ — допустимая траектория, отвечающая управлению о, причем £&) € тг(£*), t Е I и {(i, A(t))}= =力”低传))=(力,〃(力x心)). еe砌
h(力入传))=М±) №€(i),^))-脑力也式小m方))，力e八(17)
то А —решение гамильтоновой системы (10).
Доказательство. Поскольку для всех 力 £ / м всех р € Жп* справедливо неравенство
которое превращается в равенство при р = 〃(力),то
『传,貿力。(9) = a.H(t, A(t))= л- н (t, i(t)).
С другой стороны, дифференцируя тождество тг^1 = % о(7Г о %)一* получаем
^疗i(G = -。尸USK Я(TrL(q))+ H gT(g)).
Доказываемое утверждение теперь получается прямым дифференцированием А. □
Теорема 3.4. Предположим, что 術 и D7Vt обратимы для всех t S I. Пусть £ ——допустимая траектория, отвечающая управлению о, причем £(力)£ 开(厶)，力 € /, u {(i, 乂力))}= 二打尸鱼传)).Тогда
入0(//о(力£(力)#(£))就-//о(力貝方),否(力))或)>
(工色))-g打(入(九)))-佑))-g(入仇)))•
Более того, это неравенство в том и только том случае обращается в равенство, когда А ——решение гамильтоновой системы (10).
Доказательство. Поскольку (£ 否)——понтрягинская экстремаль, а А ——поднятие кривой 3 то мы можем воспользоваться неравенством (11) и первое утверждение легко следует из леммы 3.1 и определения ^. Наконец, из-за того, что наш гамильтониан есть максимум, обращение неравенства (11) в равенство влечет равенство (17). Следовательно, из леммы 3.3 вытекает, что (11) обращается в равенство в том и только том случае, когда А ——решение гамильтоновой системы (10). 口
Для наших целей будет достаточным рассмотреть случай свободного левого конца и функционала, “раздельно" зависящего от левого и правого концов. Иными словами, главная теорема настоящего раздела формулируется при условиях
矶£面),£(编)：二 &]_(£(〃))， ©(£(%),貿介))：=co(e(£u)) + a(£(h))‘
В этом случае все понтрягинские экстремали нормальны, а точное лагранжево подмногообраг зие начальных условий трансверсальности есть
人=(2R,(18)
т.е. p dq\Lo = "(а о ?г) и *%)=dа(g面))G %•
Теорема 3.5. Предположим, что 0万力 обратимо 6 A(t) при всех 力 £ /. Если £(〃) реализует локальный минимум функции
^ii ° ^t]1 + С1 пРи условии 仪1 = 0,
то (£,6) реализует строгий локальный минимум в задаче оптимального управления. Более того, если £传i) — единственная точка с таким свойством, то (£,G) также единственна.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если D ^ обратимо в точке ^(£) для всех t Е 1,то существует трубка^ вокруг f, на которой тг^1 определено и дифференцируемо. Пусть g ——допустимая траектория, график которой содержится в 〃，Из теоремы 3.4 следует, что
Z(《,。) -z(©@) > 外(碎(貿幻)+ci(£(ti))) -%(%：("幻)-Cl("幻))> 0
и что (自6) реализует строгий локальный минимум.
Предположим, что £(九)——единственная точка, реализующая локальный минимум. Если 6传 1)千 f(h), т。последнее неравенство является строгим. Если §(幻—"力】)и Z(§, v) = Z怎 и), то, применяя теореМу 3.4, получаем, что А ——решение системы (10). Поскольку A(tj) = А(^), то н § = & откуда следует требуемое утверждение.
Замечание 1, В условиях теоремы 3.5, используя (16), можно показать, что хотя функция в% всего лишь С^гладкая, тем не менее функция 屮厶 о 万^】принадлежит классу С2 и предположения предыдущей теоремы можно проверять, используя условия второго порядка.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.3
Прежде всего мы докажем, что в условиях теоремы 2.3 гамильтониан Н есть ква- зи-С2. Напомним, что если вторая вариация козрцитивна, то выполняется усиленное условие Лежандра, т.е. существует такое к > 0, что
hUu(t, A(i), 6(f)) < -kid.(19)
Лемма 4.1. Предположим, что выполняются условие 2.2 и усиленное условие Лежандра (19), тогда существуют такие 6 > 0 и квази-С1 -отображение
我：〃心)
1)矶力/(方))=否($)；
h(t,厶矶力2))-H(力4；
Н есть квази-С2-отображение на Z^e(A).
Доказательство. Заметим, что для достаточно малого с при помощи отображения
(£,4叫Т (友①働=&纟一几小u一方(方))
можно отождествить трубку Ue(Xt v) с “полосой” / X 瓦(0) X 及(0). Следовательно, можно рассматривать h как равномерно квази-С2-вещественную функцию на / X Ве(О) X 5е(0))а А и О считать нулевыми. Определим 0 ： / х В£(0) X Ве(0) —> Ж2п X Жт равенством
。(& т, У)= (т, %九(力 т, у))-
Из соотношений (7) и (19) следует, что %八(力 0,0) = 0 и dyyh(t, 0,0) < —k Id, так что ф удовлетворяет всем условиям предложения А.2 (см. приложение). Квази-С^функция 〃： /х
Xj5e(0) Т ]Rm,乜(土, a；)—万20】|(9, 0) определяется как неявная функция уравнением 3?八(土, х,у)=
0. Утверждение 1) доказано.
Неравенство (19) и регулярность функции h влекут неравенство *小 < — — Id в достаточно
узкой полосе, следовательно, u(t^ ж) есть локальный максимум. Теперь из условия 2.2 следует, что это глобальный максимум. Утверждение 2) также доказано.
Поскольку дхН(f, ж) = @^/1(4 匸,乜(力，с)) есть композиция двух квази-С1 отображений, то Н обладает требуемыми свойствами гладкости. □
Рассмотрим два квадратичных гамильтониана
沙(力 £,и) = р %,u)fe)(d 吗 + ^qjU}3h{t)(q, u)
H"(力纟)=max九"(方,纟，叫)
связанных со второй вариацией нашей нелинейной задачи.
Лемма 4.2. Предположим, что выполняются условие 2.2 и усиленное условие Лежандра (19). Тогда
2h?=炉片=02h6(力.
Доказательство. Согласно лемме 4.1 имеем
国(4 =瓦(4矶力2))，(20)
где и(& 2) определяется из уравнения
duh(t,^u(t,^) = 0;(21)
более того, н】е)= %(е,《(е)),(22)
где 〃?(2)——линейная функция, определенная уравнением
丸h"(t£d也⑶三0.(23)
С другой стороны, простые вычисления показывают, что
2 碎=02九"= О儿(丸方),右(方)).(24)
Вычисляя D2Ht(X(t)) через (20) и (21), а В2Щ через (22) и (23), с учетом (24) получаем требуемое равенство. □
Теперь мы переформулируем нашу задачу, удвоив размерность, но разделив зависимость от левого и правого концов в функционале и в ограничениях. Обозначим 7= (q°, g) переменную в ]R2n и Р =(Р°,Р)переменную в Ж2п*. Положим
尸t&Q,u) = (О,尸伯 q,u)) и 尸u(£,Q,u) = fo(t,q,u).
Обозначив 寸=(£°,口, получаем, что исходная задача эквивалентна следующей:
МинимизироватьМинимизироватьZ2n(E,u) = с(Е 伉))+ j F0(t,E(t),v(t))dt
Минимизировать
Минимизировать
среди всех (Е, о), удовлетворяющих условиям
E(t)=F^S(t),v^(25)
(Id,-Id)E(^) = 0,(26)
"三(3)=0.(27)
Согласно определению вторая компонента решения системы (25), (26) является решением системы (1), в то время как первая компонента ——константа, равная начальному условию для второй.
Пара (5,и) с сопряженным ковектором (/(力о),-/(力))удовлетворяет принципу максимума Понтрягина для новой задачи. Максимизированный гамильтониан К, ассоц и и рованный с новой задачей, корректно определен и не зависит от 2° —(Р°,д°)； точнее, К(力 2。,£) = H(t, ^). Соответствующий гамильтонов поток имеет вид
%J(d,2) = (i,%(2)),
а вторая вариация новой системы имеет следующий вид:
容(6Q, би) = г(把(幻)-У a：w)口传)(限9,м⑼ *
для всех 6己,удовлетворяющих соотношениям
^応ё)=&q川户(方)(把(力,也(力)，把他)=5Q,(28)
(Id,—Id)把(扣)=0,(29)
6三(厶)e ^TDafE^)).(30)
Ясно, что структура решений системы (28), (29) аналогична структуре решений системы (25), (26) и что форма Z；J есть по существу форма Z", переписанная для фазового пространства удвоенной размерности аналогично тому, как это делалось для нелинейной задачи. Поэтому из предположений теоремы 2.3 следует, что форма Z$J коэрцитивна на подпространстве, определенном соотношениями (28)-(30).
Из работы [4] следует, что в случае коэрпитивности второй вариации Z力 существует такое р > 0, что форма
笈(6Q,u) + %||(Id,-Id)<E(t°)『(31)
коэрцитивна на пространстве пар (6Q,6o), удовлетворяющих равенствам (28) и (30) со свободной начальной точкой.
Мы применим некоторые результаты работы [7] к этой возмущенной линейно квадратичной задаче в Ж2п. Используя результаты указанной работы, следует учитывать разницу в знаке при определении гамильтониана там и здесь.
Пусть 工()——лагранжево подпространство начальных условий трансверсальности в задаче (31). Движение подмногообразия Ео под воздействием линейного гамильтонова потока /С〃 описывается с помощью решения Х>% линейной матричной системы Якоби, отвечающей квадратичному гамильтониану К?, с начальными условиями
%(%) =《* ；f), Z0(t0) = Id.
Получаем
心(P,Q) = (Q%(t),Z°(t)Q)
для любого (Р, Q) £ Ео. Из [7] следует
Лемма 4.3. В условиях теоремы 2.3 матрица % обратима на всем интервале I, а симметричная матрица W = Y^Zq1 является решением соответствующего уравнения Рикка- ти, удовлетворяющим условиям
TV(^i) + Г > 0 на kerQa(三(〃)).
Рассмотрим задачу, в которой интегральная часть функционала есть》о凡,а начальное и терминальное слагаемые имеют вид
s(m伍))：=0(幻(F佈)-€(t„))+ ipr(io)-€(to)||2,勺(三(力))=\)c(m(力))
при свободной начальной точке и ограничении а(三(力【))—0 на конечную точку.
Для того чтобы применить теорему 3.5, заметим, что пара (三,否)удовлетворяет принципу максимума для новой задачи с присоединенным ковектором М =(困£。)，一玄)и к тому же нормальна. Рассмотрим лагранжево подмногообразие начальных условий трансверсальности для последней задачи
加={(&尸)：尸= %(Q)}.
Получаем, что Л(^о) — (M(t0), 5(^0)) е 友直验齡耳=%. Из леммы 4.2 следует, что
Q(ttq 匕)@面»£ = ^D^\Lo^ Zo(t);
поэтому из леммы 4.3 вытекают обратимость матрицы 0(тг о 七±)(А(扣))|加 и равенство
(D7r,(A(t0)))-1(Q) = (QTW(t),Q)-
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
Из следствия 3.2 получаем
02(仍,。%:1 + Q)回厶))=(D^1+D2c1)(S(4i)) ==W^t^ + D^c^t^) = W^ + Г.
Согласно лемме 4.3 £(〃) реализует строгий локальный минимум функции 屮打 о 万不 + q при условии а = 0.
При ро = 1 требуемое утверждение следует из теоремы 3.5, поскольку добавленный нами штраф обращается в нуль на допустимых траекториях исходной задачи.
При R)= 0 задача сводится к минимизации
Z2n(已 0)=分(三(to)),
так что функционал обращается в нуль на любой допустимой траектории, удовлетворяющей краевым условиям. Поскольку минимум строгий, то траектория в пространстве состояний единственна.
А. ПРИЛОЖЕНИЕ
В приложении доказываются некоторые технические результаты, использованные в предыдущих разделах.
Предложение А.1. Если выполнено усиленное условие Лежандра (19), т。условие 2.2 эквивалентно следующему.
Существуют такие <5 > 0 w равномерно квази-С-отображение и :弘(工)—> lRm, что
1)"传 j&)) = v(t);
/1亿纟,u(友2))=Н仏纟).
Доказательство. Первое равенство следует из леммы 4.1, остается доказать второе. Из свойств регулярности отображения и вытекает, что для £ > 0 найдется такое 0 < ^ < 5, что
纟 G Btfl(A(f)) влечет "(%纟)е 凡(否传))，
следовательно, для(£,纟)С US1 (А) получаем
max h(t,纟,叫 > h(t、 2,矶友纟))=H(友纟).口 u€B,(u(t))
Из леммы 4.1 вытекает большая регулярность обратной связи 〃(力 2), а именно ее принадлежность классу квази-С1.
Нам необходим вариант теоремы об обратной функции для равномерно квази-Ср-отобраг жений. Следующий результат——модификация теоремы 5.4 из [5].
Предложение А.2. Пусть а : Ix^h —> Кл — такое равномерно квази-Ср-отображение, что
3(0) = 0；
I det Dat (0)| > к > 0.
Тогда существуют такие открытые окрестности нуля U, V, что отображение а± : U —> Жл обратимо на V для почти всех t ^ I, а отображение 夕：(力,g) £ I X V i а”(д) лежит в классе квази-Ср.
СИЛЬНЫЕ МИНИМУМЫ25
Доказательство. Положим Nt = [Dat (О)]-1 и
七=М о 电一Id .
Поскольку а есть равномерно квази-С1-отображение, то для данного х £ (0,1) существует такое 6 > 0, что
||М о Dat{x) - Id II < X для всех (£, z) е / х 瓦(0).
Легко проверить, что % — равномерно сжимающее отображение на 瓦(0) с константой х. Поэтому, рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 5.4 в [5], устанавливаем существование таких открытых ограниченных окрестностей нуля U\ V, что а» : U —> V —— диффеоморфизм и
0吟1仅)=L0电(a}仅))l•
Отображение /3 ограничено и измеримо, поскольку его график ——это содержащееся в / X Vx xU нулевое множество уровня отображения (友 у, z) 1 a(t, ж) - у. Аналогично доказывается измеримость по 力 дифференциала, в то время как его ограниченность, возможно для меньших окрестностей。，V, следует из равномерной оценки
|det。电(&■{у))] > fc/2,
вытекающей из условия 2.2 и равномерной по t непрерывности производной Dat. То же для высших производных вплоть до порядка р. □
Следующее предложение дает интегральную формулу Стокса для липшицевых цепей, доказательство приведено для полноты.
Предложение А.З. Пусть М ——гладкое т-мерное многообразие, В ——единичный шар в 国\ Ф : В —> М — липшицево отображение и ф =①|ав・ Тогда
/= у Ф*(2и
для любой гладкой дифференциальной (п — 1)-формы и на М.
Доказательство. Достаточно доказать предложение в случае, когда ①(3) содержится в координатной окрестности многообразия М. Таким образом, можно предположить, что М = Г.
Возьмем е > 0 я воспользуемся стандартным методом сглаживания отдельно для Ф и для 0: сверткой с колоколообразной функцией от п переменных для Ф; локализацией с помощью разбиения единицы и сверткой с колоколообразной функцией от п - 1 переменных для ф. Мн получим такие гладкие вектор-функции Фе, ф6, что
II①е -① 11%式В) < £,||^е - Ф^г^дВ) < %
где ①е и 九 имеют те же константы Липшица, что ① я 0.
Пусть а(£), i G Ж,——такая гладкая неубывающая функция, что
/、( 0 , если £ < -1,
aW = tl： если 三 0.
Положим oj£(2?) = a (^^-j; тогда |^ае| < ^-, где ci зависит от а, но не зависит от s.
Положим &(т) = ф£ (亩)Vs ё Жп \ {0}. Тогда
sup I血(①)-丸(2?)| < c2s,
/за = /(%& + (1 -%)②)*3 =4%& + (1 - %)①ё)*如= ававв
=/+/ Q& + (1 -厶)0)*而，
(l-e)BB\(l-e)B
墙+ (1 - 公)卜贤&一久)] +將+偿R с3.
Следовательно, \fdB 仪“ 一fB ①:阪| < се.
Последняя оценка завершает доказательство, поскольку
/ @：з ―> у/ ①:〃з —> / 炉加
ававвв
при е —~> 0.口
Замечание 2. Утверждение предложения остается справедливым при замене шара В его образом при любом липшицево обратимом отображении. Например, можно заменить В любым выпуклым многогранником.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Agrachev A. A., Gamkrelidze R. И Symplectic methods for optimization and controls //Geometry of feedback and optimal control /Eds Jacubczyk B., Respondeks W. N.Y,: M. Dekker, 1997. (Pure and AppL Math).
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 19S9.
Giaquinta М” Hildebrandt S. Calculus of variations, Berlin etc.: Springer, 1996, V. 2.
Hestenes M R, Applications of the theory of quadratic forms in Hilbert space to calculus of variations //Pacif. J. Math. 1951. V. 1. P. 525-581.
Prodi G., Ambrosetti A. Analisi non lineare, i quadeino: Preprint. Scuola Norm. Super. Pisa, 1973.
Stefani G” Zezza P. Optimality conditions for a constrained optimal control problem// SIAM J. Contr. and Optim. 1996. V. 34. P. 635-659.
Stefani G” Zezza P. Constrained regular £Q-control problems //SIAM J. Contr. and Optim. 1997. V. 35. P. 876900.
Zeidan 忆 The Riccati equation for optimal control problems with mixed state-control constraints: necessity and sufficiency// SIAM J. Contr. and Optim. 1994. V. 32. P. 1297-1321.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 27-34
УДК 519.6
Расширения и возмущения задачоптимального управления1©1998 г. А. В. АрутюновПоступило в июне 1997 г.
Будем изучать следующую задачу оптимального управления:
х = f(x,u,t), i е [ii,i2]f ii < ^2,(1)
矶力G。(吃力"(2)
е.(р) < о Vi е Л, е；(р) = 0 Vi е Л,(3)
p = (土1，土 2,T1,T2), Т1 = Т (方 1), 窃=T($2))(4)
J = J(u,p) = eo(p) T min.(5)
Здесь 出 二应,символ V означает “длх почти всех",力 £ 眩】一время, az ——фазовая переменная, принимающая значения в n-мерном арифметическом пространстве Жп. Вектор и, принимающий значения в Жт, называется управляющим параметром или, короче, управлением. Многозначное отображение U ставит в соответствие каждой паре (匸，力)непустой компакт U(x^t) С Жт. Вектор р £ Ж2+2п называется конпевым. Л, Д — заданные непересекающиеся конечные множества индексов, не содержащие нуль.
Все функции е：, задающие концевые ограничения и минимизируемый функционал, предполагаются непрерывными. Относительно вектор-функции / предполагается, что она ограничена на любом ограниченном подмножестве, измерима по переменной 力 и липшицева (равномерно по 力)по переменным ж, 〃. Последнее означает, что для любого ограниченного подмножества М С 3R"+m+i существует такая (зависящая от него) константа с, что
|/(窃,如5) - f^x^u^t)] < c(|s2 - ®1| + |u2 -如I) V(®,u，)€ M.
Относительно многозначного отображения U предполагается, что оно измеримо по переменной 力 и липшицево по переменной х. Последнее означает, что для любого ограниченного подмножества М <?戚"+】существует такая (зависящая от него) константа с, что
h(U(x2yt),U(x1,t)) < с|я；2 - б| V®,力)е М,
где h — хаусдорфово расстояние между множествами.
^Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-01-00800).
В качестве класса допустимых управлений будем рассматривать множество всевозможных измеримых существенно ограниченных функций и(・). Эти допустимые управления в дальнейшем будем называть обычными управлениями. (Смысл последнего термина будет ясен из дальнейшего.)
Пусть и(-)——обычное управление, а р =(右,办,Sj, х2)——концевой вектор. В силу сделанных относительно / предположений задача Коши
х = /(ж, u(t),t), М力)=匸1
имеет единственное решение ж(-)г Если это решение продолжимо на весь отрезок [右,力2], выполняются концевые ограничения (3) и ограничения на управления (2) (т.е. u(£) £ U(c«), 土) % W h &]), то пара w = (u,p) называется допустимым процессом (в классе обычных управлений) ,а с = н(・) соответствующей допустимой траекторией.
Задача оптимального управления заключается в нахождении минимума функционала J на множестве допустимых процессов, которое в дальнейшем будем обозначать через W. Положим
Л = inf{J(w), w € W}
и будем считать, что выполнены следующие предположения:
W 0 и инфимум Л конечен;
существует такое 5 > 0, что множество векторов {(「；％&)), 土 € 历，力2〕}, отвечающих всевозможным допустимым процессам w = (〃,р) £ РГ, для которых J(w) < J* + 6, ограничено. Здесь жш — допустимая траектория, соответствующая процессу w.
Зададимся следующим вопросом. Существует ли при сделанных предположениях в рассматриваемой задаче оптимальный процесс или, иными словами, достигает ли функционал J на множестве W своего инфимума? Следующий хорошо известный пример двумерной задачи быстродействия (см. [1]) показывает, что это, вообще говоря, не так.
Пример 1. Пусть п — 2, m = 1, ж =(匸匕方),и — скаляр. Рассмотрим задачу быстродействия:
銘二％ 金2 = 1一%：；
U(zJ) = {-1,1}；
厶=0,匸(0) = 0, Si (i2) = 0, $2(力 2)= 1,力2 Tmin.
Пусть (〃,p) —— допустимый процесс в этой задаче. Тогда
|u($)| = l=^Si(t)^0V£>0=^»今 1 -臂(力)< 1 Vf > 0 =^> s2(i) <iVi>0=^f2>l-
Следовательно, на любом допустимом процессе значение функционала J строго больше единицы. С другой стороны, за счет управлений, быстро осциллирующих между +1 и -1, можно попасть в точку ж = (0,1) за время, как угодно близкое к 1.
Таким образом в рассмотренном примере оптимальный процесс отсутствует. Здесь все дело в том, что в этом примере нарушается основное предположение теоремы существования оптимального управления А. Ф. Филиппова [1, 2], относительно выпуклости для каждых с, t множества
尸(吃力)="吃U(%方),方)，
называемого векторграммой. В примере 1 каждая векторграмма состоит ровно из двух точек и, значит, невыпукла.
Для избежания подобных неприятностей, связанных с отсутствием в задаче оптимального процесса, принято осуществлять их расширение за счет введения класса так называемых обобщенных управлений.
Напомним (см. [1)3]), что обобщенным управлением 〃 называется семейство зависящих от параметра t вероятностных финитных мер Радона 〃(力),являющееся слабо измеримым по 九 Семейство I/ называется финитным, если носители всех мер 〃(£) ограничены равномерно по 力. Семейство I/ называется слабо измеримым по t, если для любой функции д = д(и, t), которая имеет компактный носитель, непрерывна по и и измерима по 力，функция
g@) =〈д(%£)产⑺〉=/д(%$) &($)
измерима. Здесь и далее угловые скобки обозначают интегрирование по мере.
Результатом подстановки обобщенного управления v в правую часть (1) является уравнение
亦二 f^.t) = ｛f(x,u,t),u(t)).
Процесс (кр) называется допустимым (в классе обобщенных управлений), если для почти всех t £ 质，力2] мера “£) сосредоточена на множестве U(x(t)^t), где ①一соответствующая траектория.
Класс обобщенных управлений естественным образом включает в себя класс обычных управлений за счет отождествления обычного управления и с обобщенным 〃(£)二 8认亡)・ Здесь — мера Дирака, сосредоточенная в точке v.
Важнейшие свойства класса обобщенных управлений состоят в следующем. Пусть V —— произвольный компакт из ^т. Тогда множество обобщенных управлений / для которых все меры 〃(力)сосредоточены на множестве V, слабо секвенциально компактно (т.е. из любой последовательности обобщенных управлений можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность 2), и если последовательность обобщенных управлений ｛匕｝ слабо сходится к 厶 то последовательность соответствующих решений 窑 равномерно сходится к решению, соответствующему управлению % если только последовательность векторов 勺(hj) сходится. Это в свою очередь гарантирует, что если задача оптимального управления рассматривается в классе обобщенных управлений, то инфимум функционала в ней достигается при самых общих предположениях. Например, если выполняются приведенные выше условия а), б). Другим важным свойством обобщенных управлений является возможность аппроксимации любого обобщенного управления слабо сходящейся к нему последовательностью обычных управлений. (Подробнее свойства обобщенных управлений см. в [1, 3].)
Таким образом, если исходная задача оптимального управления рассматривается в классе обычных управлений, но инфимум минимизируемого функционала не достигается, то естественно этот класс управлений расширить за счет перехода к классу обобщенных управлений.
3Последовательность обобщенных управлений ｛片｝ слабо сходится к к, если /(9(и/),片(2)227 /"3，土),"(2))m i -> 00,
для произвольной ограниченной, непрерывной по и и измеримой по i, имеющей компактный носитель функции д — g(u J).
Например, в примере 1 оптимальным в классе обобщенных управлений является
"(力)三237 +/Si, i 6 [0,1],力2 = 1.
Тем не менее следует иметь в виду, что если в задаче имеются концевые ограничения на оба конца траектории 34 и ж2, то может получиться так, что для оптимального обобщенного управления любая слабо сходящаяся к нему последовательность обычных управлений {〃：} устроена так, что при больших номерах i из-за нарушения концевых ограничений ни один из процессов («(,р|) допустимым не является.
Предположим теперь, что в рассматриваемой задаче оптимального управления некоторый процесс (〃,р) является оптимальным в классе обычных управлений. Спрашивается, останется ли он оптимальным и в классе обобщенных управлений? Ведь класс обобщенных управлений шире класса обычных управлений. Этот вопрос не только интересен сам по себе, по и играет принципиальное значение при выводе с помощью метода возмущений необходимых условий первого и второго порядка для задач оптимального управления (см., например, [4, 5]).
Ответ на поставленный вопрос является утвердительным, если в задаче выполнены предположения теоремы существования А. Ф. Филиппова [1, 2], которые с учетом наложенных выше условий а), б) заключаются в том, что
векторграмма F(x,t) — /(х, U(c,力),i) является выпуклой для любых ж,九
Справедливость этого утверждения вытекает из леммы Филиппова об измеримом селекторе [2, 3] и того, что для произвольного обобщенного управления ^ выполняется
〈/(£,乜内/(力 £ convF(s,f) Va?,f,
где conv — выпуклая оболочка множества.
Если предположение в) нарушается (ведь оптимальный процесс может существовать в задаче, даже если в ней не выполнены предположения теоремы существования), то ответ на поставленный вопрос оказывается, вообще говоря, отрицательным. Это показывает следующий пример трехмерной задачи оптимального управления с закрепленным временем.
Пример 2. п = 3, m = 2;
近1=如， 由2 =T；m2, 為=一u2；
X = (®1, ®2, 2?3), *1=0,力2 = 1,t(0)=0,2?2(1) = 0；
笃=(Ui,U2) EU ~{U： |Ui| = 1, U2 e [0,1]}；
J =匸3(1) -> min.
Сначала исследуем эту задачу в классе обычных управлений. Покажем, что в ней для любого допустимого процесса (и,р) и соответствующей ему траектории ж выполняется 匸3(力)三 0. Действительно, в силу первого из уравнений дифференциальной связи и определения множества U имеем
付 1(方)] = 1 ▼力学2? 1(f)次 0 Vt
Отсюда, учитывая краевые условия ж2(0) — а?2(1) = 0, получаем
%(七)=七；(力)笃式方)=0 V力*u2(七)=0 V力》窃传)=0.
Но для любого процесса, для которого ж3 三 0, функционал J принимает одно и то же нулевое значение. Следовательно, оптимальное значение функционала в классе обычных управлений равно = 0.
В то же время, как легко видеть, оптимальным в классе обобщенных управлений является процесс (/р), где
Ю 三^& + &), а = (1,0), 6= (-1,0),
оптимальное значение функционала равно J* = —1, а соответствующая траектория имеет вид x{t)三(0,0,—力).Отметим также, что для произвольного числа а £ [0,1] в классе обобщенных управлений существует допустимый процесс w, для которого J(w) = а.
В примере 2 так же, как и в примере 1, нарушается условие в).
Итак, мы показали, что если условие в) не выполняется, то оптимальный в классе обычных управлений процесс может не являться оптимальным в классе обобщенных управлений. Тем не менее оказывается, что существуют такие как угодно малые гладкие возмущения исходной задачи, что в возмущенной задаче существуют процессы, уже являющиеся оптимальными в классе обобщенных управлений и сходящиеся к исходному процессу при стремлении возмущений к нулю. Точная формулировка и доказательство этого утверясдения составляют цель настоящей заметки.
Введем нужные обозначения. Положим /； = ，i U{。}, / = /，U，2 и обозначим через г количество элементов множества I. Пусть процесс
力=(味P*),"=(注心吟喲
является оптимальным в классе обычных управлений для рассматриваемой задачи. Положим
с= max{|t*(力)|, £ е 仗；,匀]} + 1, J* = J(p)
Кроме того, тильда над концевым вектором р будет обозначать, что в нем опущена последняя компонента ж2, например, /* =(力；，力;，匸；)•
Теорема. Существуют такие числа 勺 < 力;,т2 > 力;,что для произвольного достаточно малого е > 0 найдутся (зависящие от е): индекс j & I, последовательность векторов {@е} С RZn+2f сходящаяся при Л; —> оо к вектору р£, последователъность функций {и*；} С С L^\t^ т2], сходящаяся при к —>• 8 K функции uej числовая последовательность {)*：}, а также вещественные числа & = ^詳“ £ € /, которые удовлетворяют следующим условиям'.
о < 7* < 2-* Vfc;
|Н-叫IV 策，|^ -й| < ^ Vfc;
е(р«)护 0, {巒(庆)+§}Г |е(р,)| 士 г-%
6,е > 0 Vi £/?, &”0, О Vi ё /;
процесс (〃е,ре) является оптимальным в классе обобщенных управлений для следующей задачи оптимального управления, в дальнейшем называемой задачей 3:
亦=〃吃％% i € [ii,i2], ii < t2；
u传)eu(%$) %；
爲(p) < & ^iE^\⑺，&(p) = & Vie 厶 \ {力
p =(ii, t2, ®1, ^2), /=m力)，T2 =m力2)；Ti<h<t2< r, \x\ < c；
Л 二 Je(u,p) = {e?(p) +W” + 西工丁，仙一矶『+ 成-回2) T min.
з^есъ ^ = eз\{门爲
"'(eo(p) — Л + ^t если г = 0,
：(p)= j m&x(0,各(p)), если j 6 /?,
I £『(P),ec“u j W『2,
(6)⑺(6)⑺II ■ II обозначает норму в пространстве £^[^,т2], а сходимость функций понимается относительно этой нормы .
(6)
⑺
(6)
⑺
Доказательство. Выберем число 勺 < 右 так, чтобы решение уравнения (1) ж* продолжалось влево за точку 力;на отрезок [丁匕力;]и удовлетворяло ограничению |с*(力)| < с Vi G [丁匕芍]• Аналогично выберем число т2 > ij*
Рассмотрим гильбертово пространство 工夕伍，^]义瞭+", состоящее из пар у = (и,р). Обозначим через X его подмножество, состоящее из тех (и,/), что rr < tr < t2 < 「2, а решение уравнения
х = f(x,u{t),t), 3；(厶)=/ (8)
определено на отрезке [г】,т2] и удовлетворяет ограничениям
и 传)G U(t($) ,£), %€阮，圖 |s(i)| < с Vi G [ti,t2]-(9)
Легко видеть, что X замкнуто и, следовательно, само является полным метрическим пространством.
Для произвольного вещественного а положим а+ — тах(0,а). На метрическом пространстве X рассмотрим функцию
玄(U)二{((%(Р)- 几 + с)+)2 + £(4十(P))?+ £ 圖p)}\ хелieh
где у = (〃,/), Р = (/, Ф(у)), а Ф(у)——решение уравнения (8) в момент времени t2.
Ясно, что функция де непрерывна и принимает лишь положительные значения. Кроме того, для у* = (и*,/") имеет место 化(и*) = е. Следовательно,
infyex^e(y) +^ > 玄®*)・
% = А . 2~п, А =次，力,а®)% = А . 2~п, А =次，力,а®)Применим к функции 屮^ гладкий вариационный принцип (см. [6, теорема 1]). В силу указанного вариационного принципа существуют последовательности {/е}, {〃为}, {?*}, вектор
% = А . 2~п, А =次，力,а®)
% = А . 2~п, А =次，力,а®)
/б и функция ие, которые при
Ph =仇，①网品))，"=(又,①(取抵))
удовлетворяют первой части теоремы, а также условиям 1), 2). Кроме того, функция и, определенная по формуле
з(и)=仏(У)+ 酋玄^(II叫-乜|『+ \Рк - /Г),
достигает минимума на множестве X в точке уе = (a“pj.
Рассмотрим траекторию же, которая соответствует процессу уе. При достаточно малых £ > 0, которые только и будем рассматривать, в силу 2) и теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от правой части и начальных условий выполняется
風⑼ < с Vt(10)
Рассмотрим задачу
з®) т min, у G X.(11)
Это задача оптимального управления без концевых ограничений, причем в силу (10) траектория, соответствующая оптимальному процессу уе, лежит строго внутри множества, выделяемого фазовыми ограничениями. Поэтому процесс (г/е,ре), являющийся оптимальным для задачи (11), оказывается для нее оптимальным также и в классе обобщенных управлений. Это утверждение вытекает из теоремы 10 в [7, гл. 2, §2], леммы об измеримом селекторе и из того, что множество решений уравнения (8))удовлетворяющих ограничениям (9), совпадает с множеством решений дифференциального включения
i € 尸(т,力)=/(®, t/(2?,i),t), t(〃)= Sp
При этом для применения теоремы 10 из [7] мы использовали то, что в силу предположений, сделанных относительно /, U, многозначное отображение F липшицево по ж и измеримо по 九
Таким образом, процесс (ие,ре) является оптимальным в классе обобщенных управлений для задачи (11)； которую теперь будем рассматривать уже в классе обобщенных управлений. Выберем среди слагаемых, стоящих в фигурных скобках в выражении для функции 屮口 наибольшее. В силу положительности функции д< это слагаемое положительно. Соответствующий ему индекс обозначим через j и определим функцию е в соответствии с (6), (7). В силу проведенного построения имеет место условие 3). Положим
& = (〃(“)一/* + &)+; &• = &(“)+,力€ 厶；& = s(p) £ е "•
Пропесс (〃е,ре), очевидно, является оптимальным в классе обобщенных управлений для задачи 3. Теорема доказана.
Замечание 1. Предположим, что все функции 仑 s раз дифференцируемы. Тогда в точке (%Ре), определяющей оптимальный процесс задачи 3, функционал 几 также s раз дифференцируем. Это вытекает из условия 3), в силу которого е(р£)声 0. Более того, справедливо представление
丽(“,队) = a灰出)，
где а ——некоторый скаляр, удовлетворяющий условию |а| € [г-1,1]. Это утверждение вытекает из второго соотношения условия 3) и формул (6), (7). Аналогичные представления имеют место и для других производных функционала Je.
Замечание 2. Рассмотрим задачу оптимального управления со смешанными ограничениями:
r^x,u^ t) < 0, i = L …，к* г；(х, u, f) = 0, i = ki + 1,... ,k2,
где скалярные функции г, удовлетворяют тем же предположениям гладкости, что и /. Если смешанные ограничения регулярны (точное определение регулярности см., например, в [5] или [8]), то они сводятся к ограничению (2))в котором многозначное отображение U липшицево по ж и измеримо по t . Поэтому утверждение доказанной теоремы справедливо для задач с регулярными смешанными ограничениями.
Замечание 3. Необходимые условия второго порядка, полученные в [4] и [5, §6] для задач, рассматриваемых в классе обобщенных управлений； остаются справедливы и для упрм влений, являющихся оптимальными лишь в классе обычных управлений. Для доказательства этого утверждения вначале надо в силу полученной теоремы возмутить исходную задачу. Зм тем применить к возмущенным задачам необходимые условия, полученные в [5] для класса обобщенных управлений. После этого в полученных условиях следует осуществить предельный переход при £ т 0. Отметим, что при его осуществлении используется замечание 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Гамкрелидзе А В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977.
Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах оптимального регулирования //Вести. МГУ. Математика и механика. 1959.提 2. С. 25-38.
Вареа Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мнр, 1977.
Арутюнов А. В., Тынянский Я. Т. К необходимым условиям локального минимума в теории оптимального управления//ДАН СССР. 1984. Т. 275,朧 2. С. 268-272.
Арутюнов А. В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями н необходимые условия оптимальности //Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 27. С. 147-235. (Итоги науки и техники).
Иоффе А.Д., Тихомиров В. М. Несколько замечаний о вариационных принципах//Мат. заметки. 1997. Т. 61,朧 2. С. 305-311.
Благодатских В. И., Филиппов А. @. Дифференциальные включения и оптимальное управление //Тр. МИАН. 1985. Т. 169. С. 194-252.
Арутюнов А. В. Условия экстремума. Анормальные н вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.
ТРУДЫ МА ТЕМА ТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.4. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 35-44
УДК 519.6
К теории необходимых условий оптимальностидля задач с фазовыми ограничениями
©1998 г. С. М. Асеев
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Впервые необходимые условия оптимальности для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями были получены Ревазом Валериановичем Гамкрелидзе в работах [7, 8], где в случае, когда рассматриваемая оптимальная траектория имеет конечное число точек выхода на фазовую границу, а соответствующее оптимальное управление регулярно, было доказано обобщение принципа максимума Понтрягина на случай таких задач. Данный результат вошел в знаменитую монографию [17], заложившую основы математической теории оптимального управления.
Заметим, что фазовые ограничения естественно входят в постановку многих задач оптимального управления. Эти ограничения вносят в задачу существенную негладкость, что принципиально усложняет ее изучение.
Следующий шаг в исследовании задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями был сделан А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным. В работах [12, 13] ими было предложено обобщение принципа максимума Понтрягина без каких-либо априорных предположений относительно оптимальной траектории. В дальнейшем этот результат обобщался в различных направлениях многими авторами (см., например, [6, 14, 25], а также библиографию в обзоре [22]). В частности, в работах [15, 23] получены его обобщения на случай негладких управляемых систем и систем, описываемых дифференциальными включениями. Следует отметить, что хотя предложенное А.Я. Дубовицким и А. А. Милютиным обобщение принципа максимума Понтрягина и относится к более общей ситуации, первоначальный результат Р. В. Гамкрелидзе [7] результатами [12, 13] не охватывается.
На первый взгляд, появление работ [12, 13] означало (в основном) закрытие вопроса о необходимых условиях оптимальности для задач с фазовыми ограничениями. Действительно, основной результат [12, 13] есть правило множителей Лагранжа для общей экстремальной задачи в банаховом пространстве при наличии ограничений, а задача оптимального управления с фазовыми ограничениями может рассматриваться как ее частный случай. Однако применение данного результата к исследованию конкретных задач вызвало большие трудности.
Прежде всего в работах [4, 9] было замечено, что необходимые условия оптимальности, полученные в [12, 13], могут вырождаться, выполняясь на любой допустимой траектории. При этом они вырождаются всякий раз, когда хотя бы один из концов оптимальной траектории фиксирован на фазовой границе. Данное явление вырождения происходит за счет того, что в
указанной ситуации среди нетривиальных наборов множителей Лагранжа, отвечгнощих оптимальной траектории, имеется такой, у которого мера, фигурирующая в соотношениях принципа максимума, сконцентрирована в концевых моментах времени, а множитель Лагранжа, отвечающий минимизируемому функционалу, и решение сопряженной системы одновременно равны нулю (см. [1, 2, 10, 11, 21]). Недавно в работах [3, 20, 21] было показано, что вырождение принципа максимума [12, 13] связано с неполнотой системы его соотношений. Именно, оказалось, что, учитывая фазовые ограничения в концевые моменты времени как дополнительные концевые ограничения, принцип максимума можно дополнить некоторым условием на скачок меры в концевые моменты времени. Последнее условие скачка позволяет полностью описать явление вырождения (см. работу [21], где приведено подробное описание данного явления и получены необходимые и достаточные условия невырожденности принципа максимума).
Другая трудность, возникающая при применении принципа максимума [12, 13] или его различных модификаций [5, 15, 21], вызвана тем обстоятельством, что его соотношения содержат неизвестный бесконечномерный множитель Лагранжа сложной природы ——ограниченную регулярную борелевскую меру. Естественно возникает вопрос о дополнительном изучении структуры этой меры, в частности о выделении случаев, когда можно гарантировать отсутствие у нее сингулярной составляющей. Заметим, что до настоящего времени не опубликовано ни одного примера, в котором оптимальной траектории соответствует набор множителей Лагранжа, содержащий меру, имеющую ненулевую сингулярную составляющую [19],
Вопрос о структуре меры, фигурирующей в соотношениях принципа максимума, для классической задачи оптимального управления рассматривался X. Маурером [24] и А. А. Милютиным (см. [6]). Достаточные условия отсутствия сингулярной составляющей получены в [6, 24] в случае, когда на рассматриваемом интервале времени оптимальное управление принимает значения строго во внутренности множества ограничений на управление и непрерывно или же оптимальное движение осуществляется по фазовой границе и при некоторых дополнительных предположениях относительно гамильтониана или порядка фазового ограничения.
В данной заметке приведены другие достаточные условия отсутствия у меры сингулярной составляющей. Основное их отличие от условий, полученных в [6, 24], состоит в замене предположения на значения оптимального управления более естественным предположением о характере гладкости гамильтониана системы. Именно, предполагается, что множества допустимых скоростей системы строго выпуклы, а ранг матрицы вторых производных гамильтониана (функции максимума), взятых по сопряженной переменной, равен n-1. В случае задачи быстродействия для систем с гладким гамильтонианом данный результат позволяет полностью свести вопрос об отсутствии у меры сингулярной составляющей к вопросу о структуре множества точек выхода оптимальной траектории на фазовую границу.
Поскольку все основные предположения относятся к гамильтониану системы, то саму управляемую систему оказывается естественным рассматривать заданной посредством дифференциального включения, а соответствующие необходимые условия оптимальности — в гамильтоновой форме Кларка [3, 15, 20)21]. Тем не менее полученные результаты справедливы и для других форм принципа максимума для задач с фазовыми ограничениями [5, 12, 13, 23].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:
ж € F(x,t), tE I = pi,i2]； (1)
ре г p =(九内也方)，也=费力)，t2 = M&);(2)
①(方)e G 也 e 了；(3)
J(p)Tmin.(4)
Здесь ж £ Зй", t £ Ж1, многозначное отображение F принимает выпуклые компактные значения из Жп и локально липшицево по совокупности переменных х, £; F, G ——непустые замкнутые подмножества из 眩2“+2 и 展“ соответственно; J — локально липшицева функция. Относительно фазового ограничения (3) предполагается, что intT^(z) ^ 0 Vs G G, где Tg(z) обозначает касательный конус Кларка к множеству G в точке а: £ G [15]. Минимум в задаче (1)-(4) ищется в классе липшицевых векторных функций ж, определенных каждая на своем отрезке времени I = [^, ^2] •
В дальнейшем будем обозначать через H(F(x, £), ^) = тах{〈/,⑺〉:/ £ F(/£)} гамиль- t2
тониан системы (1), |切|| — suP||^|lc(/)=i jMDd" норму меры ту, r}(t) атом меры 7) в точке 九
Через №<(а) и df(x) будем обозначать конус обобщенных нормалей к множеству А в точке ж и множество обобщенных градиентов функции / в точке ж [16, 23] соответственно, а через 9/(ж) субдифференциал Кларка функции / [15]. Пусть В, S обозначают единичный шар и единичную сферу из Кп с центром в нуле соответственно и Pg ~ {р Е Р ■ / € G,出 £ G}.
Следующий результат является обобщением принципа максимума Понтрягина на случай задачи (1)-(4) [3, 20, 21].
Теорема 1. Пусть 窃—решение задачи (1)-(4), р° —(厶卩,％о, %и, т%и), ®i,o = %о(右,о), 2?2,о = Со(^2,о), /о =[九о,才2,о]・ Тогда существуют такие число А > 0, абсолютно непрерывная функция V и ограниченная регулярная борелевская векторная мера ту на 10, что выполняются следующие условия'.
функция
h(t) = H^F^Xo^.t)^^ + / 〃力
абсолютно непрерывна на 10;
условие скачка：
Vt С /о；Vt С /о；
Vt С /о；
Vt С /о；
мера " неположительна на множестве непрерывных на /0 функций у со значениями в 及軌⑴)，m. е.
/у($) "ту 0 0 VgwC(『o): U(力)W Tg(①о(力))V力 W『u；
ne'^(^0(i),t),^(i) +ne'^(^0(i),t),^(i) +гамильтоново включение：
ne'^(^0(i),t),^(i) +
ne'^(^0(i),t),^(i) +
(一而心),无心)，%(£))
условие трансверсальности:
-Н (尸(T1,。, h,o), W&q)), h-Н (尸(T1,。, h,o), W&q)), h+厶力,*1.0+厶力,*1.0
-Н (尸(T1,。, h,o), W&q)), h
-Н (尸(T1,。, h,o), W&q)), h
+厶力,
*1.0
+厶力,
*1.0
W(九 о),-叭％卩)一 J'7?) C A9J(po) + ^Vpg(Po)；
условие нетривиалъности:
工十 1取包训+ 11加次。.
Доказательство и исследование невырожденности сформу лирован ной теоремы приведены в [21]—В работе [5] аналогичный результат получен с более сильным сопряженным включением.
Заметим, что гамильтоново включение d) содержит условие максимума [15]
(呪心),收力)+ /d"陰H(尸仅0e)用,帆力+ /"77)
Очевидно, что в случае ”(力+ / d” 决 0 и строгой выпуклости множеств F(①о(力)，力)выполнение условия максимума в момент времени 力 эквивалентно выполнению условия
3H(F®(t)尚曲)+点时
窃дф•(5)
Рассмотрим также частный случай задачи (1)-(4)——автономную задачу быстродействия:
iW 尸(т)；(6)
P = (ti,t2)eP,叱=T(0),叼=T(T)；⑺
『⑴WG也€『 = [0，П；(8)
J =T T" min .(9)
Здесь предполагается, что данные задачи (6)-(9) удовлетворяют тем же условиям, что и данные задачи (1)-(4).
Заметим, что в автономном случае с точки зрения задачи быстродействия, не ограничивая общности, можно считать, что Vs выполняется условие 0 € ?(匸)・ Действительно, рассмотрим наряду с включением (6) дифференциальное включение
应 € 户(『)= [J А^(ж).(10)
А6[О,1]
Покажем, что оптимальные по быстродействию траектории дифференциальных включений (6) и (10) совпадают. Действительно, любая траектория включения (6) является одновременно и траекторией включения (10). Пусть у ——оптимальная траектория для задачи (7)-(10) на отрезке времени 7° = [0, То]. Тогда y(t) £ X(t)F(y(t)) для почти всех 力 € /. В силу теоремы об измеримой однозначной ветви (см., например, [15)16]) функция А измерима, а в силу оптимальности по быстродействию траектории у имеем 乂力)> 0 для почти всех 九 Положим р($)二 J^》(s)曲・ Тогда 力传)—A(f) > 0 для почти всех t. Следовательно, существует обратная функция 力(р) и £(р)=志. Положим х(р) = у(£(р)). Так определенная функция ж оказывается абсолютно непрерывной на отрезке времени [0, j^°A(s) ds\ С『о (см. [18, с. 76]). Далее, получаем 亦(р) = U(W(p))£(p) £ ^(У(^(Р))) = F(^(P))・ Таким образом ж — траектория включения (6). Следовательно, ж — траектория включения (10). Откуда в силу оптимальности у заключаем, что 工(力)=1 для почти всех t. Следовательно, у ——оптимальная траектория для задачи (6)-(9).
Непосредственное применение теоремы 1 к случаю задачи (6)-(9) дает следующий результат.
Теорема 2. Пусть ж0 — решение задачи (6)-(9), /0 = [0,То]； р° = (жо(О),2?о(То))- Тогда существуют такие число А > 0, абсолютно непрерывная функция ⑺ 虱 ограниченная регулярная борелевская векторная мера q на /о, что выполняются следующие условиям
условие стационарности:
2i
Н(尸(窃传)),也力)+ /d力=Н(?(2?0(力)),肌力)+卜L n叫 =X V力w了o；о0
мера q неположительна на множестве таких непрерывных на 10 функций у, что у(С)€ ё Tg(①0(力))次€/5
гамильтоново включение:
(-^W,ioW)кан (?(窃⑼,以力+ У^；
условие трансверсальности:
То(以0),一少(砲-/"力 G Npc(gxg)(Po)；
условие нетривиалъности：
А + 1Н0)|| + Ы^0.
В случае, когда 0 € intF(s0(f)) VW £ /0, не ограничивая общности, можно считать, что А — 1 и, следовательно,⑺(力)+ j^dq 声 0 VW £ To.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ У МЕРЫ СИНГУЛЯРНОЙСОСТАВЛЯЮЩЕЙ
Пусть х0 ——траектория дифференциального включения (1) на отрезке времени 厶=[iliOj %0] и (九产)c 4
В дальнейшем будем предполагать, что правая часть дифференциального включения (1) вдоль рассматриваемой траектории с。на интервале времени (t1,力")удовлетворяет следующим дополнительным предположениям.
(Н1) Производная 2^^^У ")локально липшицева по i равномерно по ^ € S, т.е. для любого замкнутого отрезка [г',т〃] С (廿,力")существует такая постоянная ”i > 0, что
产/警电)，吵)_ g^H2卜 &他~1 W1.i2 c r，m, , е s.
(Н2) Вторая производная(Н2) Вторая производная尹h（尸（窃⑴，办吩3仪尹h（尸（窃⑴，办吩3仪непрерывна по 力,⑺ на (',产)义 S я ранг этойнепрерывна по 力,⑺ на (',产)义 S я ранг этой
(Н2) Вторая производная
(Н2) Вторая производная
尹h（尸（窃⑴，办吩3仪
尹h（尸（窃⑴，办吩3仪
непрерывна по 力,⑺ на (',产)义 S я ранг этой
непрерывна по 力,⑺ на (',产)义 S я ранг этой
матрицы вторых производных равен n — 1.
Здесь и далее “i, х2, ”з обозначают положительные постоянные.
Заметим, что любое локально липшицевое многозначное отображение F(t,力)с непустыми выпуклыми компактными значениями может быть с произвольной точностью е > 0 аппроксимировано многозначным отображением Fc(x,t) со сколь угодно гладкой (по х,⑺)при V # 0 опорной функцией, причем для Ft ранг матрицы вторых производных опорной функции по 巾 будет равен п — 1 [5].
Теорема 3. Пусть а:0 — траектория дифференциального включения (1), удовлетворя
Лагранжа %, Vsq и (У,产)выполняютЛагранжа %, Vsq и (У,产)выполняютющая соотношениям принципа максимума (теореме 1) с множителями
Лагранжа %, Vsq и (У,产)выполняют
Лагранжа %, Vsq и (У,产)выполняют
九(£) = Н仅(窃(£),力)，V(£) +/： Мт?)次 0. Предположим, что на интервале
ся у слов ия (Hl), (Н2) и, кроме того, производная 宏 о(力)абсолютно непрерывна. Тогда мера q абсолютно непрерывна на интервале (力',$〃).
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу условия h(t)声 0 имеем 巾(力)+ + £ 加 # ° V力 С (",$")• Далее, в силу непрерывности производной ж0 и строгой выпуклости
множеств ①(力)=F(a：o(9,£)Vt C (t*, t^) условие максимума может быть переписано в виде (5). В силу положительной однородности опорной функции имеем
尹h（①（小吩尹h（①（小吩V = о 现 £ S、V = о 现 £ S、(11)(11)Таким образом, в силу условия (Н2) неотрицательно определенная матрицаТаким образом, в силу условия (Н2) неотрицательно определенная матрица32H(①(小吩32H(①(小吩имеиме
尹h（①（小吩
尹h（①（小吩
V = о 现 £ S、
V = о 现 £ S、
(11)
(11)
Таким образом, в силу условия (Н2) неотрицательно определенная матрица
Таким образом, в силу условия (Н2) неотрицательно определенная матрица
32H(①(小吩
32H(①(小吩
име
име
ет единственное нулевое собственное значение, соответствующее собственному вектору 办 Остальные собственные значения этой матрицы положительны.
Далее, в силу строгой выпуклости множеств ①(力)отображение: S —> 3①(力)осу
ществляет параметризацию границы множества ①(力)точками единичной сферы. А из условий
(Н2) и (11) следует, что это отображение взаимно однозначно. Действительно, если существуют такие 出，耽 € S,叫，佃 что
呐双小耽）一®（力）,次）
VaG[0,l].VaG[0,l].ан®⑴，耽+ "耽）二ан（①©,耽）3砂3砂
VaG[0,l].
VaG[0,l].
Отсюда получаемОтсюда получаем32H停(力,*)32H停(力,*)耽 =0, что противоречит в силу (11) условию (Н2).耽 =0, что противоречит в силу (11) условию (Н2).
Отсюда получаем
Отсюда получаем
32H停(力,*)
32H停(力,*)
耽 =0, что противоречит в силу (11) условию (Н2).
耽 =0, что противоречит в силу (11) условию (Н2).
□(①传)，V) , Q
Обозначим через L(x,t) касательное пространство кОбозначим через L(x,t) касательное пространство кПусть х = ^^~~-, V £ S.
Обозначим через L(x,t) касательное пространство к
Обозначим через L(x,t) касательное пространство к
кН®©,%кН®©,%множеству 3①(力)в точке х. В силу взаимооднозначности отображения ?竺^^"】:S —> 3①(力) зто пространство L(x,t) есть линейное подпространство Жп, ортогональное вектору ⑺.Далее, в силу условий (Н2) и (11) линейный оператор 4(力 V) на L{x,t)y определяемый матрицей
кН®©,%
кН®©,%
眦眦■, не вырожден. А в силу предположения (Н2) положительная функция 入(力 V)=
眦
眦
=||A(f, ^)|| непрерывна на (^, t") X S.
Покажем теперь, что обратное отображение [》展 八]:@①(力)Т $ является липши-
цевым, причем равномерно по t на любом замкнутом подмножестве интервала (力',力〃)，т.е. на любом замкнутом отрезке [г, т;] £ (力'，产)константу Липшица этого отображения можно считать не зависящей от t.
Действительно, предположим противное, т.е. предположим существование таких последовательностей t{ £ [「',「"]；也小 2?2,£ € 3①(幻；i = 1,2..., что
М(也,i) - ^(^2,011 > 矶％i - ®2,i||； £ = 1,2,…，(12)
где 巾(c)g' 丿‘丄 (ж) для любых tux少⑺ 」где 巾(c)g' 丿‘丄 (ж) для любых tux少⑺ 」£ 3①(力).Не ограничивая общности, можно£ 3①(力).Не ограничивая общности, можно
где 巾(c)g' 丿‘丄 (ж) для любых tux
少⑺ 」
где 巾(c)g' 丿‘丄 (ж) для любых tux
少⑺ 」
£ 3①(力).Не ограничивая общности, можно
£ 3①(力).Не ограничивая общности, можно
считать, что s1(i —> с*,出工—> ж* и i, —> ^ £ [「[「"]. В силу непрерывности и выпукло-
значности многозначного отображения Ф и условия (Н1) выполняется включение ж* £ 3①(力*). dH(^(ti) ib-
Обозначим через ^ ,, j = 1,2; г — 1,2,..., такую точку из S, что ' 匕："~^ =勺,.Тогда
叫【Т 叽 е S при г Т оо, j = 1,2. В силу непрерывности отображения 卩口，，}—).]имеем
L 少⑺ 」
Положим 巾t(s) = #i" + s(#2j - #i,i), s £ [0,1]. В силу условия (Н2) справедливо равенство
(13)(13)①i,i — "i = /32H(①(力3 W(s)),(如/ -耽j)
(13)
(13)
ll^i,i - 忆II/ 沙 5!I^1,i - 叽"「
Отсюда в силу условия (Н2), переходя к пределу при г —> оо, получаем
厶)*h(®(%),也)厶)*h(®(%),也)
厶)*h(®(%),也)
厶)*h(®(%),也)
Далее, в силу компактности сферы S, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно
считать, чтосчитать, чтоMl耽,小Ml耽,小Т и* £ Ь(хЛ11^), ||ш|| — 1. Следовательно, в силу (13) при г —> ооТ и* £ Ь(хЛ11^), ||ш|| — 1. Следовательно, в силу (13) при г —> оо
считать, что
считать, что
Ml耽,小
Ml耽,小
Т и* £ Ь(хЛ11^), ||ш|| — 1. Следовательно, в силу (13) при г —> оо
Т и* £ Ь(хЛ11^), ||ш|| — 1. Следовательно, в силу (13) при г —> оо
Хц — X2i 3(①(力叽)，
получаем 77—-1-Чт Т-и*, откуда в силу условия (Н2) и того факта, что и* G
發Н（①（幻，吹）發Н（①（幻，吹）II次,i 一出，曲d*‘
發Н（①（幻，吹）
發Н（①（幻，吹）
£ £(®*,i*), получаем£ £(®*,i*), получаем■v* J > m九,次)> 0, что противоречит (12).
£ £(®*,i*), получаем
£ £(®*,i*), получаем
Пусть [т\т"} С (^,t"). Покажем, что мера т; абсолютно непрерывна на отрезке [「',「"].
Обозначим 3(力)—侬(£) + A： amdlWe) + А：用加))Докажем, что функция ф абсолютно непрерывна на [т^ т"]. Обозначим через константу Липшица отображения [。乜g)]:
L 少⑺ 」
3①(力)—> S. Как показано выше, величину х2 можно считать не зависящей от t.
Пусть теперь「' < 勺 < т2 < ... < tjv < г" — некоторое разбиение отрезка [г*,т1Г] и 八1,...,八n ——такие положительные числа, что 冗 + 自 < 冗+力 i = 1,...,N— 1, r^ + hN < ти.
В силу строгой выпуклости значении отображения Ф имеем sir,) = ~г =
=Обозначим 乳 金旦±#(元))e = 1 2,...,
В силу предположения (Hl) существует такая постоянная х3, что ||亦(с)-筑 || < "з瓦 для любого г — 1,2,... Имеем
自好+м -。⑴“ 4 f|[»^]-^- м т*т+
< £冗2||亦(冗 + 自)-Util < ^2^\\i(Ti + hi)-亦S)|| + £"2"a%.i=li=li=l
Отсюда в силу абсолютной непрерывности производной х на (力',力“)следует абсолютная непрерывность функции ф.
Абсолютная непрерывность меры ту на [「',「〃] следует теперь из условия а) теоремы 1, условия h(t)千 0 и абсолютной непрерывности функции ф. Теорема доказана.
Применим полученный результат к случаю автономной задачи быстродействия (6)-(9). При этом будем считать, что множество G, задающее фазовое ограничение в (8), имеет вид G 二{匸：g(c) < 0}, где д ——трижды непрерывно дифференцируемая скалярная функция и Vs: д(х) = 0 имеем 果⑺ 次 0.
Теорема 4. Пусть гамильтониан системы (6) трижды непрерывно дифференцируем по совокупности переменных ж, ^ (при ⑺ 千 0), ранг матрицы вторых производных гамильтониана по V равен п — 1 〃 0 £ intF(x) Vs. Пусть ж0 — оптимальная траектория задачи
(6)-(9) на отрезке времени /0 = [0,乳],у которой замыкание множества точек выхода на фазовую границу не более чем счетно, u》,V, 〃 一 множители Лагранжа, отвечающие ж0 в силу принципа максимума (теоремы 2). Тогда сингулярная составляющая т/^ меры ту равна нулю.
Доказательство. Поскольку замыкание множества точек выхода траектории ①。на фазовую границу не более чем счетно, непрерывная составляющая меры ту сконцентрирована на не более чем счетном объединении открытых интервалов {(厶*)}^i，на каждом из которых движение происходит по фазовой границе, т. е. д®©) = 0 也 £ (4&') г — 1, 2,...
Далее, из условия 0 £ int jP(s) следует, что А = 1 и ⑺伍)+ £dq 抄 О VW £ Io.
Пусть (力',力〃)——некоторый интервал, на котором ^(s0(i)) = 0. Тогда траектория ①。является оптимальной для задачи быстродействия из точки х1 = ж0(^) в точку х" = s0(in) для дифференциального включения х £ /^(с) = F(s) С 7м(ж) на многообразии М = {ж : д(х) = 0}. Здесь Тм(х) = {у : (у,関⑺〉=о} — касательное пространство к М в точке х.
Пусть V £ Тм(х). В силу сделанных предположений относительно гамильтониана, функции д и теоремы о неявной функции [14] гамильтониан
Н(^м(т), V) = infaER】H(F(t), V — а碧(т))
векторного поля, задаваемого включением 亦 £ ■^仅)на многообразии М, является гладким (класса С2). Следовательно, в силу принципа максимума Понтрягина траектория ж0 непрерывно дифференцируема на 传'，力"),откуда в силу условия максимума следует абсолютная непрерывность производной ж0 на (*,£"). Таким образом, траектория ж0 удовлетворяет на интервале (廿,力")всем предположениям теоремы 3. Следовательно, сингулярная составляющая q меры ту на (尸，产)равна нулю. Следовательно, сингулярная часть меры ту на 厶 также равна нулю. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Арутюнов А. В. Возмущения экстремальных задач с ограитечениями н необходимые условия оптимальности// Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 27. С.147-235. (Итоги науки и техники),
Арутюнов А. В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.
Арутюнов А.5., Асеев С. К Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность н устойчивость//Докл. РАН. 1994. Т. 334,朧 2. С. 134-137.
Арутюнов А. В., Тынянский Н. Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограннченнями//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 39,朧 2. С. 133-134.
Асеев С. М. Метод гладких аппроксимаций в теории необходимых условий оптимальности для дифференциальных включений//Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61,朧 2. С. 3-26.
Афанасьев А. Я., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чуканов (7. А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990,
Гамкрелидзе Р. В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координа- тах//ДАН СССР. 1959. Т. 125,施 3. С. 475-478.
Гамкрелидзе Р. В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1960. Т. 24, Ж 3. С. 315-356.
Дубовицкий А. Я., Дубовицкий В. 4. Необходимые условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограиичеиий//УМН. 1985. Т. 40,朧 2. С. 175-176.
Дубовицкий А^Я., Дубовицкий В. А. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на, фазовой граннце//Автоматнка и телемеханика. 1987.朧 12. С. 25-33.
Дубовицкий А. Я., Дубовицкий В. А. Критерий существования содержательного приииипа максимума в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями //Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31,朧 10. С. 1611-1616.
Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум прн иаличнн ограничений //ДАП СССР. 1963. Т. 149,朧 4. С. 759-762.
Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, Ж 3. С. 395-453.
Иоффе А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
Кларк Ф. Оптимизация н негладкий анализ. М.: Наука, 1988.
Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптнмнзацнн и управления. М.： Наука, 1988.
Нонтрнаин 〃. С” Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В” Мищенко £. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.： Фиэматгиз, 1961.
Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Лаука, 1985.
Зеликин К Я. Нерегулярность оптимального управления в регулярных экстремальных задачах // Фунд. и прикл. математика. 1995. Т. 1,朧 2. С. 399-408.
Arutyunov А. V” Aseev S. К State constraints in optimal control. The degeneracy phenomenon //Syst. and Contr. Lett. 1995. V. 26. P. 267-273.
Arutyunov A. K, Aseev S. M. Investigation of the degeneracy phenomenon of the maximum principle for optimal control problems with state constraints//SIAM J. Contr. and Optim. 1997. V. 35, N 3. P. 930-952.
Hartl R. F., Sethi S. P” Vicson R. G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints// SIAM Rev. 1995. V. 37, N 2. P. 181-218.
Loewen P, D*, Rockafellar R. T, New necessary conditions for the generaKzed problem of Bolza//SIAM J. Contr. and Optim. 1996. V. 34, N 5. P. 1496-1511.
Maurer Я. On the minimum principle for optimal control problems with state constraints: Schriftenreihe des Rechenzentrums der Univ. Miinster, N 41. Munster, 1979,
Neustadt L. W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems. II//SIAM J. Contr. 1967. V. 5. P. 90-137.
УДК 517.9
О выпуклости семейства решенийдифференциального включения с запаздыванием©1998 г. В. И. Благодатских, П. Ндии
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом встречаются во многих практических задачах, они описывают реальные физические процессы. Управляемые процессы с запаздывающим аргументом также часто встречаются в приложениях. Обычно эти процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с управлением.
Известно [1], что переход от управляемых систем к дифференциальным включениям позволил существенно продвинуться в изучении самих управляемых систем. Таким путем А. Ф. Филиппов впервые доказал теорему существования оптимального управления [2], а позднее были получены достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [3].
В данной работе； основываясь на таком подходе, мы сразу будем рассматривать управляемые процессы, описываемые дифференциальными включениями с запаздывающим аргументом. Таким образом, полученные результаты будут применимы и для управляемых систем.
Целью данной работы является получение условий, при которых семейство решений дифференциального включения с запаздывающим аргументом представляет собой выпуклое множество в пространстве непрерывных функций. Выпуклость семейства решений является основой для доказательства достаточных условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [1].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим дифференциальное включение с запаздывающим аргументом
元(力)G F(t,x(t),x(t-r)).⑴
Здесь 匸(力)——n-мерный вектор фазового состояния из евклидова пространства Еп, i ——время, г ——запаздывание по времени в фазовом состоянии системы, а у — x(t - г) £ Еп ——вектор фазового состояния в предшествующий момент времени t ~ т. Будем предполагать, что многозначное отображение F(力,①,у) является непрерывным по всем трем переменным tyx,y в хаусдорфовой метрике [1] и принимает выпуклые и компактные значения F(f, ж, у) в фазовом пространстве Еп.
Для дифференциального включения (1) зададим начальное условие в виде равенства
x(t) = 2?0(i), tQ-r <t<t0.(2)
Для простоты будем предполагать, что функция ж0(^) непрерывна на отрезке времени Ro — т/о].
Решением дифференциального включения (1) на отрезке времени 面,〃]с начальным условием (2) называется [1] абсолютно непрерывная функция з:传),которая почти всюду на отрезке ｛力о,〃] удовлетворяет включению (1) и начальному условию (2). Все семейство решений обозначим через S.
Семейство решений S назовем выпуклым, если для любых чисел а, р > 0 таких, что а + 0 = 1, и любых двух решений 也(力)，匸2(力)их выпуклая комбинация с传)=&也(力)+ 夕g(力) также является решением дифференциального включения (1) с начальным условием (2), т. е. 队力)e S.
Выпуклость семейства решений дифференциальных включений без запаздывания впервые была получена в работе [4] и в более полном виде содержится в обзоре [1]. Из выпуклости семейства решений £ автоматически следует выпуклость множеств достижимости X (t), но не наоборот. Напомним, что множество достижимости Х(力)есть совокупность всех точек x(t) из фазового пространства Е\ находящихся на решениях ®(i) W Е в фиксированный момент времени £ £ [力o,$J Выпуклость множеств достижимости дифференциальных включений без запаздывания была получена в работе [5].
ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Многозначное отображение F(& ж,у) назовем вогнутым по переменным ж, у, если для любых чисел а,/? > 0 таких, что а + /? = 1, н любых двух пар точек (也，弘)，(2, У2)из произведения пространств Еп X Еп и любого момента времени t е 面，力 J выполняется соотношение
0尸色£1, Ui) + PF化窃,y2) c尸(力a/ +3也色/i + %.(3)
Прои схож дение термина “вогнутость многозначного отображения,5 связано с тем обстоятельством, что в этом случае опорная функция
с(尸S，g),W) = f max〈力办⑷
является вогнутой функцией по переменным х,у для любого сопряженного вектора ⑺ £ Еп. Здесь (-, •) означает скалярное произведение двух векторов.
Теорема. Пусть многозначное отображение F传,н,у) является вогнутым по переменным ж, у. Тогда семейство решений S дифференциального включения (1) будет выпуклым множеством в пространстве непрерывных функций.
Доказательство. Рассмотрим два произвольных числа а, р > 0 таких, что а + 夕=1, два произвольных решения С]($),匸2(力)дифференциального включения (1) и их выпуклую комбинацию x(t) = ax^(t) + /?工2(力)・ Поскольку g(t), s2(i) являются решениями дифференциального включения (1), то для них выполнены включения
道传)c尸也/(方),/(力-T))，
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
应2 (力)е F(t,x2(t),x2(t-T))
и начальные условия (2). Используя операции суммы множеств и умножения множества на число [1] и условие вогнутости (3), получаем отсюда для функции 岔(方)цепочку соотношений
金⑴=a * (力)十夕£ (力)G aF(t,Xi(t),Xi(t - T))+夕尸(左t式小窃е一 丁))C
C 尸(力 aa；i(t) + pX2(t),aXi(t - т) + 夕窃(力一г))二 F(t,x(t),x(t - г)).
А это и означает, что выпуклая комбинация x(t) = aXift) +/?s2(i) также является решением дифференциального включения (1). Начальное условие (2) для функции s(i) выполняется очевидным образом, так как а + /? = 1. Следовательно, получаем, что с($) £ Т, н теорема доказана.
Как видим, доказательство теоремы выглядит очень простым. Однако из этой теоремы вытекает целый ряд важных следствий и приложений. Это будет ясно из следующих замечаний.
ЗАМЕЧАНИЯ
Класс многозначных отображений F(f, ж, у), вогнутых по переменным ж, у, является достаточно узким. Так, из вогнутости многозначного отображения F(£c,g) по переменным ж,у сразу следует выпуклость множества F(t,x}y) в пространстве Еп. Действительно, для доказательства этого достаточно в формуле (3) положить х\ = х^ = ж, Ji = У2 = У-
Далее, если многозначное отображение JP(£, ж, у) принимает компактные значения в пространстве 石"，определено на некотором открытом множестве М U Е" м вогнуто по переменным с, у на множестве М, то многозначное отображение F(t, х, у) является непрерывным по переменным ж, у на множестве М.
Действительно, в этом случае опорная функция c(F(t, х^у)^ (см.(4)) в силу включения (3) является вогнутой функцией по переменным х,у для любого сопряженного вектора ⑺ £ Еп [4,6]. Поскольку множества F^^x^y) компактны и выпуклы (см. замечание 1), то опорная функция c(F(力匸,у), V) принимает конечные значения и, следовательно [7], является непрерывной. Из непрерывности опорной функции c(F(i, ж,у),^ и выпуклости множеств F(力厶匸,^) следует [6] непрерывность многозначного отображения F(t, ж, у) по переменным ж, у на множестве М.
Если многозначное отображение F(力,ж, у) принимает компактные значения в пространстве 石"，определено и вогнуто по переменным ж, у на всем пространстве Еп X Еп^ то многозначное отображение F(t, ж, у) является линейным по переменным с, у. Для,дифференциальных включений без запаздывания, т.е. для многозначных отображений F(i, х), это доказано в работе [8]. Для многозначных отображений F(tyxyy), зависящих уже от двух переменных 工,у £ Е" х Е", доказательство практически не меняется.
Из замечания 3 следует, что если мы хотим исследовать нелинейные дифференциальные включения, то нужно ограничить область определения многозначного отображения F© ж, д). Если априори известна оценка на множества достижимости
X(t)cMcEn, £eMh], (5)
то достаточно потребовать вогнутость многозначного отображения F(厶 с,д) на множестве М С Еп ио переменным ж, у для того, чтобы получить выпуклость семейства решений £ дифференпиального включения (1). Доказательство данной выше теоремы никак не меняется. Оказывается, что чем точнее оценка (5)； тем больший класс нелинейных дифференциальных включений (1) имеет выпуклое семейство решений.
Более того, если для дифференциального включения без запаздывания функция F(t, ж) липшипева по х, то необходимым и достаточным условием выпуклости семейства решений S является вогнутость многозначного отображения F(力 ж) по 化 на каждом из множеств достижимости
Х($) W Еп, t € [io, ii].
Это доказано в работе [1]. Аналогичный результат справедлив и для дифференциальных включений с запаздыванием.
И, наконец, отметим, что наша теорема остается справедливой и в том случае, когда функция Со($) в начальном условии (2) не фиксирована, а выбирается из некоторого выпуклого множества в пространстве непрерывных функций. Доказательство этого факта не представляет особых трудностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Благодатских 5. Я, Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения н оптимальное управление // Тр. МИАН. 1985. Т. 169. С. 194-252.
Филиппов 4.® О некоторых вопросах теории оптимального регулирования// Вести. МГУ. 1959.朧 2. С. 25-32.
Благодатских В. И. Достаточное условие оптимальности//Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9,糜 3. С. 416422.
Благодатских В. Я. О выпуклости сфер достижимости//Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8,朧 12. С. 21492155.
Панасюк А. Я. Необходимое н достаточное условие выпуклости множеств достижимости дифференциальных включений 〃Мат. заметки. 1987. Т. 41,朧 2. С. 207-215.
Благодатских В. Я. Теория дифференциальных включений. М:, Изд-во МГУ, 1979. Ч. 1.
Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
Благодатских В. Я. Достаточные условия оптимальности для дифференциальных включений //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т. 38,朧 3. С. 615-624.
УДК 517.9
Теоремы релейности и смежные вопросы
©工998 г. С» А. Вахрамеев
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа — это обзор некоторых результатов, полученных автором в течение последних двадцати лет. Она посвящается Р. В. Гамкрелидзе в связи с его 70-летием. В течение указанного времени автор был одним из учеников и сотрудников этого замечательного математика и педагога. Поэтому не удивительно, что идеи и методы Р. В. Гамкрелидзе повлияли на характер исследований автора этой статьи и； более того, на сам выбор их направления. Основная тема, которая будет обсуждаться в этой статье,——это так называемые теоремы релейности для гладких нелинейных систем. Эти теоремы можно рассматривать как теоремы ^регулярности55 в теории оптимального управления. Впервые теорема такого типа была доказана Р. В. Гамкрелидзе для линейной управляемой системы
亦=4т + Ви, т е 頂： и G Кт.(1.1)
Здесь А и В — матрицы соответствующей размерности. Рассмотрим двухточечную задачу быстродействия для этой системы в некотором классе 3?。допустимых управлений, состоящем из некоторого подмножества множества всех ограниченных измеримых функций со значениями в множестве U С ®т. Данная задача формулируется следующим образом.
Пусть заданы две точки ж0 и с】； требуется найти такое допустимое управление и (■) £ £ ^и, что соответствующая ему траектория x(t) = s(i; ж0, и (•)), 0 < f < Т, рассматриваемой системы, исходящая из начального состояния с(0) = с。, переходит в конечное состояние а?】в момент времени Т,匸(Т) = xlf и это время минимально возможное.
Теорема Р. В. Гамкрелидзе [16, 17] (см. также [25]), называемая теоремой о конечности числа переключений, была доказана при выполнении условия общности положения в случае, когда U ——компактный выпуклый многогранник в Жт, т.е. выпуклая оболочка конечного числа точек в!,..., ек — вершин этого многогранника. Это условие формулируется следующим образом. Пусть е\ е" — две произвольные соседние вершины этого многогранника U, и пусть 仪=е‘ 一 е" — ребро U, соединяющее эти вершины. Скажем, что условие общности положения выполнено на ребре ш, если векторы
В w, АВ w ,..., Ап~1В w
образуют базис пространства Жп. Если это условие выполнено для любого ребра многогранника U, то говорят, что система (1.1) удовлетворяет условию общности положения относительно многогранника U.
Теперь упомянутая теорема Р. В. Гамкрелидзе может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 1.1 (о конечности числа переключений). Пусть U ——компактный выпуклый многогранник в ^т и Эу 一 произвольный класс допустимых управлений. Допустим, что система (1.1) удовлетворяет условию общности положения относительно многогранника U. Тогда любое оптимальное по быстродействию управление в рассматриваемой системе является кусочно постоянной функцией ; принимающей Значения в множестве всех вершин многогранника U.
Здесь под оптимальным управлением понимается допустимое управление, решающее сформулированную выше двухточечную задачу быстродействия для системы (1.1). Как известно, каждое оптимальное по быстродействию управление удовлетворяет принципу максимума (заметим также, что для случая линейных систем первое полное доказательство этого принципа было получено Р. В. Гамкрелидзе [16,17] так же, как и достаточность этого принципа и теорема существования оптимального управления); управления, удовлетворяющие этому принципу, называются экстремальными управлениями. При выполнении условия общности положения нет никакого различия между оптимальными и экстремальными управлениями, поскольку в этом случае принцип максимума является достаточным условием оптимальности и, более того, он выделяет единственное оптимальное управление (теорема единственности, которая также принадлежит Р. В. Гамкрелидзе). Однако для нелинейных обобщений этой теоремы о конечности числа переключений важно то, что эта теорема может быть сформулирована в форме, в которой термин “оптимальное" заменено на термин 4£экстремальное,). Управления, обладающие свойствами управления в сформулированной выше теореме, называются релейными управлениями с конечным числом переключений] разумеется, что они обладают большей ^регулярностью55, чем релейные управления, т. е. управления, принимающие значения только в вершинах многогранника U на множестве полной меры. Точки разрыва релейных управлений называются моментами переключения (точное определение будет дано ниже), а сами теоремы типа теоремы 1.1 называются теоремами релейности (“bang-bang theorems”).
Как уже отмечалось, в данной статье будут обсуждаться различные обобщения теоремы 1.1 на нелинейный случай (как по управлению, так и по фазовым переменным). Большинство из них получены автором (см., например, [10, 13, 14, 40] и др.); новых результатов приведено не так уж и много, однако, вместе с достаточно подробными их доказательствами. Будут обсуждены также и нерешенные вопросы и их связь с классическими областями математики такими, как чебышевские системы (заметим, что связанная с ними проблема моментов появилась впервые в оптимальном управлении в рамках линейной теории, однако сейчас стм новится ясной глубокая связь этой проблемы с нелинейной теорией оптимального управления).
Современное состояние теории для линейных систем отражено в [42].
В заключение автор выражает свою признательность Р. В. Гамкрелидзе; многолетнее сотрудничество с этим блестящим математиком во многих отношениях определило не только научные интересы, но и саму жизнь автора.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Здесь приводятся некоторые понятия и результаты вспомогательного характера, в том числе понятия и факты хронологического исчисления, развитого А. А. Аграчевым и Р.В. Гамкрелидзе [3] (см. также [19, 9, 30]), которые используются в дальнейшем изложении. Автор счел возможным использовать здесь почти дословно некоторые фрагменты обзора [9], написанного в 1993 г. и до сих пор не опубликованного на русском языке.
Пусть М — гладкое n-мерное многообразие (всюду далее, если явно не оговорено противное, термин агладкий,т означает ^бесконечно дифференцируемый^). Через С°°(М) обозначим алгебру всех вещественных гладких функций на М. В дальнейшем точка ж многообразия М отождествляется с ненулевым мультипликативным функционалом а Н- а(ж) : С°° (М)—> —> С°°(М)) так что значение а(ж) = а\х функционала а в точке ж записывется в виде са. Через Vect (М) обозначим множество всех гладких векторных полей на М, т.е. множество всех дифференцирований алгебры С°°(М). (Ж-линейное отображение X: СМ(М) —> С^^М) называется дифференцированием, если оно удовлетворяет правилу Лейбница дифференцирования произведения
Х(而)= Х(а)6+аХ(6) Va,6 е С°°(М).)
Множество Vect (М)——это С°° (М)-модуль, который, кроме того, допускает естественную структуру вещественной алгебры Ли с умножением ——коммутатором векторных полей X, У £ £ Vect (М), [X, У] = XoY—YoX. Касательным вектором или дифференцированием в точке х многообразия М называется Ж-линейный функционал гх : С°°(М) —> Ж, удовлетворяющий правилу Лейбница
tх(aь)=(^0)(3：6) + (Ta)(7Н6) V a, 6 G C°°(M).
Если X € Vect (М) — векторное поле на М и ж G М, то композиция Х^ = toX является касательным вектором в точке ж и любой касательный вектор допускает такое представление, т. е. как значение Х^ = хоХ некоторого векторного поля X в точке ж; множество всех касательных векторов в точке ж обозначается через ТХМ и называется касательным пространством М в точке х. Дизъюнктное объединение касательных пространств
тм= U ТХМ
с естественной гладкостью на нем является 2п-мерным многообразием, которое называется касательным расслоением многообразия М.
С модулем Vect (М) связан двойственный модуль Vect *(М) = Hom (Vect (М),С°°(М)); элементы этого модуля называются дифференциальными 1-формами. Результат действия 1-формы и £ Vect*(M) на векторное поле X £ Vect (М) обозначается через (и, X). Можно определить значение иг формы и в точке с £ М следующим образом:
(“,Ха：〉= tQ,X〉 VX е Vect (М);
значит, можно отождествить ㊁工 с линейным функционалом на 耳М, т.е. с элементом сопряженного пространства 雪М к ТХМ\ в дальнейшем з工 называется ковектором в точке ж многообразия М. Дизъюнктное объединение
Т*М 二 U 霉М
с соответствующей гладкостью на нем называется кокасателъным расслоением многообразия М. Гладкие векторные поля и дифференциальные 1-формы являются гладкими сечениями касательного и кокасательного расслоений соответственно.
Для а € С*8(м)дифференциал da £ Vect*(M) по определению есть гладкая 1-форма
(da,X) = Xa VX G Vect (М), a е С°°(М);
через dxa обозначается ее значение в точке ж, т.е.
① о 血(X) = x{da, X〉= {dxa, Х*) = Хга.
Пусть М, N — гладкие многообразия, и пусть /: М Т N — гладкое отображение. Тогда отображение /* : C°°(N) —> С°°(М) соответствующих алгебр гладких функций на N и М соответственно определяется следующим образом：
fa = aof Va e ^(N).
Вообще говоря, /* — это гомоморфизм алгебры С°° (7V) в алгебру С°°(М) и /* — изоморфизм в том и только том случае, если / ——диффеоморфизм. Заметим, что любой гомоморфизм С*8(дг) Т С°°(М) (переводящий единицу в единицу) порождает гладкое отображение М Т N и существует взаимно однозначное соответствие между диффеоморфизмами многообразия М и автоморфизмами алгебры C^fM). Обозначим через Diff (М) группу диффеоморфизмов многообразия М. В дальнейшем всякий диффеоморфизм р £ Diff (М) отождествляется с автоморфизмом р*: С*8 (М) т 08 (М) и обозначается той же буквой.
Гладкое отображение f: М Т N индуцирует касательное отображение (или дифференциал)
工产：冗М -4 Tj(H)N
следующим образом:
Если р — диффеоморфизм многообразия М, то
р* 产=х оро Adp-1 二 @伯)0 Adp
где Adp： Vect (M) —> Vect (M)——К-линейное отображение, определенное по формуле
Ad рХ = р о X о /Г】V X е Vect (М).
Отображение Adp является автоморфизмом Vect (М) как алгебры Ли:
Ad р[Х, У] = [Ad рХ, Ad рУ] V X, У е Vect (М),
однако это не гомоморфизм модулей, поскольку
Adp(aX) = p(a)AdрХ V X е Vect (М), а е С°°(М).
Ж-линейное отображение, обладающее указанным выше свойством, называется полуизоморфизмом модуля Vect (М) над автоморфизмом р алгебры С°°(М) или просто диффеоморфизмом над р модуля Vect (М). Конечно, это определение применимо к любому С°°(М)- модулю. Инфинитезимальный вариант этого понятия доставляет понятие дифференцирования модуля. Именно, пусть £ — некоторый С°° (М)-модуль. Ж-линейное отображение Dx : £ Т £ называется дифференцированием этого модуля, если
°х(а『)二(Xa)f+aDxf VaG С°°(М), / G £,
где X £ Vect (М)——некоторое векторное поле. Типичными примерами дифференцирований являются операторы adX я Ех, ассоциированные с произвольным векторным полем X С £ Vect (М). Первое из них определяется как
а(1ХУ = [Х,У] V У G Vect (М)
и является дифференцированием С°°(М)-модуля Vect (М), а второе, называемое производной Ли вдоль векторного поля X, есть дифференцирование модуля С°°(М): Е^а = Ха, а также модуля Vect*(M) дифференциальных 1-форм:
Lx3 = Хоз—uoadX G Vect * (M);
более того, оно продолжается до дифференцирования внешних степеней модуля Vect*(M). Приведенная формула показывает, что операторы ad X я -Lx взаимно сопряжены друг другу:
(adX)* 二-厶.(2.1)
Если /: М т N — гладкое отображение гладких многообразий М и N, то сопряженное (или дуальное) отображение /* к касательному отображению f* : ТМ —> TN определяется следующим образом:
x(f*3,X) =(3式吟 J、X，) VXeVect(M), и € Vect*(M), x E M.
Это отображение можно рассматривать как продолжение гомоморфизма алгебр /*: С°° (N)—> —> С°°(М), а 1 а。/, до гомоморфизма соответствующего пространства 1-форм. Если и — da для а е С°°(М), то
т(/ da,X〉=(办(工产,/“X，— f^^-^-x(®) ~
= x{d(aof),X)^x{dra,X) V t W M, X 6 Vect(M),
и мы получаем формулу
尸 о d = d о /*, выражающую свойство инвариантности первого дифференциала относительно замены переменных.
Пусть р £ Diff (М)； тогда сопряженным отображением к р* является отображение, сопряженное к Ad рТ:
((AdpT)%,X〉二 p®,Adp-】X〉VXeVect(M), и e Vect*(M),(2.2)
и формула (2.1) есть не что иное, как инфинитезимальный вариант последнего соотношения. Рассмотрим снова алгебру С°°(М) всех гладких вещественных функций на М и определим на этой алгебре топологию пространства Фреше с помощью семейства полунорм
1|а||х,кр = sup
где X = (Xi,..., Хр) е Vect (М) х ... X Vect (М), К — компактное подмножество М. Пусть р раз
далее £°° (М)——ассоциативная алгебра всех lR-линейных непрерывных отображений алгебры С°°(М) в себя с топологией поточечной сходимости: последовательность {刀} с ^°°(М) сходится к нулю в этой топологии, если Тка —> 0 Va £ С°°(М) при к т 8. По определению топологии £8 (М)
Diff (М) С £8 (М), Vect (М) С 丁 (М).
В дальнейшем мы будем иметь дело с некоторыми конечно порожденными проективными См(М)-модулями (например, с Vect *(М) и т.п.). Топология на таком модуле £ может быть введена с помощью его сопряженного модуля £* = Нот (5,0е0(М)'), именно как слабейшая топология, относительно которой непрерывны все отображения вида
ат%》^->СМ(М)
(инициальная, или проективная, топология； порожденная соответствующим семейством отображений). Таким образом, топология на Vect * (М), в частности, определяется с помощью модуля (Vect*(M))*, канонически изоморфного Vect (М) (топология последнего уже определена), т.е. как слабейшая топология, относительно которой непрерывны все отображения
si ®,Х〉： Vect*(M) тС8(М).
Пусть £ ——некоторый конечно порожденный проективный Ссо(М)-модуль. Обозначим через £(石)множество всех Ж-линейных непрерывных отображений этого модуля в себя. Тогда £(£) содержит, в частности, множество всех дифференцирований Der (£) этого модуля и множество всех полуизоморфизмов над соответствующим автоморфизмом алгебры СМ(М).
С помощью топологии на С°°(М), ^(М), £, £(石)можно перенести на однопараметрические семейства {ab t е Ж} С С°°(М), {Т订力 W 頂} U ^(М), {ut,i G Ж} С ^, {Dt,t G М} С £(Е) большинство из основных конструкций анализа (непрерывностьf дифференцируемость, измеримость и m.d.) относительно параметра t.
Нестационарное векторное поле Х±, ^ ё Ж, на М определяется как произвольное локально интегрируемое семейство элементов Vect (М). Если задано такое семейство, то можно рассмотреть пару обыкновенных дифференциальных уравнений
弘= 4°Х“ А|1=0 = М,(2.3)
И
——Xt о 瓦，Bt ]t=o ~ Id，(2.4)
относительно семейств Atl Вt,t £ Ж, элементов £М(М). Уравнение (2.4) называется сопряженным к уравнению (2.3).
Семейство отображений 野，方 W 眩，абсолютно непрерывное по параметру t, называется обратимым, если каждое из отображений Tt,t £ Ж, обратимо и семейство {7^-1, t € Ж} абсолютно непрерывно по t.
Поток на М ——это абсолютно непрерывное семейство EJ £ Ж, автоморфизмов С°°(М) такое, что р° = Id . Справедливо следующее утверждение.
Если по крайней мере одно из уравнений (2.3), (2.4) имеет обратимое решение, то и второе уравнение также имеет обратимое решение, эти решения единственны и являются взаимно обратными потоками.
Указанные решения обозначаются через
А* =ёхр Хт dr, Bt =ехр [~ХТ dr,力 G 眩，
и называются правой и левой хронологическими экспонентами нестационарных векторных полей Х<, i ё Ж, и ~Xt,t £ Ж, соответственно.
Стрелки в обозначении “ехр" показывают, куда выносится векторное поле при дифференцировании:
^ ёхр У Хт dr =ёхр jХТ dr о X力 ^ exp /-Х^ dr = -Х$。ехр /-Хт dr.
Из определения следует, что
Если ж G М и р； =ёхр fXT dr — поток на М, т.е. решение уравнения о
警=Pt QX力警=Pt QX力Po = Id,Po = Id,⑵5)⑵5)
警=Pt QX力
警=Pt QX力
Po = Id,
Po = Id,
⑵5)
⑵5)
(2.6)(2.6)то, применяя функционал с к обеим частям этого уравнения, получаем соотношение
(2.6)
(2.6)
Ж О —pi = —X opt = —®t = xto X - Xx. = x о pt о Xt,at at at
где Xt = x о pti t E ^, — абсолютно непрерывная кривая на М. Теорема существования и единственности обыкновенного дифференциального уравнения на многообразии гарантирует локальную по времени разрешимость уравнения (2.6) и, следовательно, локальную разрешимость (2.5) • Теорема глобального существования решения справедлива при некоторых условиях роста векторного поля X?, 土 £ Ж. Например, она справедлива в случае, когда носители
векторных полей Х(, t € Ж, лежат в некотором фиксированном подмножестве многообразия М. Нестационарное векторное поле X»,力 £ 3R, называется полным, если существует поток
р± =ёхр J Хт dr,力 W 頂.о
Если X?三 X, то используется также обозначение
и, следовательно,
Существуют асимптотическое представление хронологической экспоненты, выраженное в терминах так называемого ряда Волътерра：
ёхр /Хт dr = Id + £ / "' / " “ 0 • • • ° Хт]"/ ... drn,
。“ =1 An(J
где △n(f) = {(n,...,窃)|0 S ^ W •.. W「1 W 力}, с соответствующей оценкой остаточного члена (см. [3]), и аналогичное аналитическое представление левой хронологической экспоненты.
Введенные понятия можно перенести на случай операторных уравнений на произвольном конечно порожденном проективном См(М)-модуле £. Пусть £ — такой модуль. Поток 2^,i G Ж, определяется как абсолютно непрерывное семейство полуизоморфизмов этого модуля, удовлетворяющее условию 兄=Id . Если R,力 £ ]R,——поток на £, то существует однозначно определенный поток pt = 9(兄),i € Ж, на многообразии М. Здесь 9 — отображение, сопоставляющее полу изоморфизму Р : £ Т £ соответствующий ему автоморфизм р = 9(Р) алгебры С°°(М); напомним, что по определению
尸(а/)=р(а)尸(/) V/G& аеС°°(М).
Тем же символом 9 обозначается отображение, сопоставляющее дифференцированию Dx модуля £ соответствующее векторное поле X = ^(-Dx); таким образом,
Dx{af) =(e(Dx)a)f + aDx(f) v/e£, &€。8(№)・
Произвольный поток 2^)i G Ж, обратим: существует 片* 力 ё Ж, и {J^"1; t G Ж}——абсолютно непрерывное семейство; кроме того,
g(F；T) = g(局)-* ten.
Пусть 0力 £ С 眩, —— произвольное локально интегрируемое семейство дифференцирований конечно порожденного проективного модуля £. Уравнения
^Pt = Pi°Dt,冗=Id ,(2.7)
и
—Qt = -Dt о Qb Qu = Id ,(2.8)
аналогичны уравнениям (2.3) и (2.4); решения этих уравнений ——это абсолютно непрерывные семейства R, Q±, t € Ж, элементов £(£), удовлетворяющие этим уравнениям при почти всех t € Ж. Обозначим эти решения через
Е = exp /& dr, Qt — exp / ~DT 〃т,力 e 电оо
Оказывается, что имеет место следующий факт.
Если по крайней мере одно из уравнений (2.7) и (2.8) имеет обратимое решение, то и второе уравнение имеет обратимое решение; эти решения единственны и являются взаимно обратными потоками. При этом
Pt = & exp JDT dr = exp /&DT dr, £ € 叱о0
生=£ exp /—Dr dr =иср /~0DT dr, £ e 叱о0
——соответствующие им взаимно обратные потоки на многообразии М.
Основные теоремы, установленные в [19], формулируются следующим образом.
Теорема 2.1. Пусть £ — конечно порожденный проективный С^^М)-модуль, и пусть Dp G Ж； — локально интегрируемое семейство дифференцирований этого модуля такое, что существует поток
exp /&DT dr,力 е 叱 о
★а многообразии М. Тогда существует поток
exp /DT 出г,力 W 頂.о
на этом модуле.
Теорема 2.2. Пусть Dt,t G Ж,——локально интегрируемое семейство дифференцирований свободного модуля С°° (М; Жт) такое, что существует поток
ёхр /0DT dr, i € Ж, о
на многообразии М, и пусть это семейство сохраняет конечно порожденный модуль £ С С С°°(М\'^т) в следующем смысле: если иа, а = 1,…J, — какая-либо система образующих модуля & то существуют локально интегрируемые семейства Ь%,力 е 叱 因夕=1,2, ...J, элементов алгебры С°° (М) такие, что
Тогда существуют потоки, сохраняющие этот модуль £;
exp jDt dr £ и £, ^> /-DT dr E С £, f ё Ж.оо
Приведем теперь основные формулы хронологического исчисления (см. [19]). Именно,
«ср /О(_т dr =ехр / A dr,оо
exp /Qt 〃丁 =exp / DT dro й^> J DT dr, 0 <0 <t,DOJ
exp / Da 二 expо
ёхр /(必 + S)оёхр /(必 + S)одля строго монотонной возрастающей непрерывной функции а: 1R —> Ж такой, что а(0) = О, «И 二 т；
ёхр /(必 + S)о
ёхр /(必 + S)о
dr =
tтt=ёхр /Ad exp /D'a dtrD； dro exp jD； dr.tтt=ёхр /Ad exp /D'a dtrD； dro exp jD； dr.(2.9)
tтt
=ёхр /Ad exp /D'a dtrD； dro exp jD； dr.
tтt
=ёхр /Ad exp /D'a dtrD； dro exp jD； dr.
В частности,
Ad exp jDT dr = exp jad DT dr.(2.10)
оо
Здесь для полуизоморфизма P: £ т £ Ad P ——оператор, определенный формулой
AdP: Der (^) т Der(£), D^PoDoP~\
и для любого дифференцирования D модуля £ ad D — оператор ad D : Der(£) —> Der(£), определенный как
adDQ = [DyQ] = DoQ - QoD VQ ё Der(£).
Таким образом, ad D ——дифференцирование модуля Der (£) дифференцирований модуля £ (Der (£)——также конечно порожденный проективный модуль).
В формуле (2.9) потоки
существуют или не существуют одновременно, если только существует поток
ехр у 0； dr,力 е R
Для частного случая векторных полей, получаем очень важную формулу вариаций постоянной
⑵11)⑵11)
⑵11)
⑵11)
Пусть 0±(е),е £ 叱力 £ 叱——семейство дифференцирований модуля £, гладко зависящее от параметра е. Тогда
Пусть Pt = exp /qDt dr — поток на конечно порожденном проективном модуле £ Тогда по определению сопряженный поток 片,£ £ ]R, на £* определяется следующим образом:
〈尸；з,叫=р[1〈з,局u), pt = g局，V и G ^*, u e £.
Следовательно,
耳=exp J Q； dr,力 е 叱о
где D；3 — —Х$。з + з о Z\ — сопряженное дифференцирование. В частности, если
R = ехр / ad ХТ dr
——поток на Vect (М), порожденный adXt,f G Ж, то
ОО(ехр У ad Хт dr) 二 ехр /-£х「d「=оо
О
О
Напомним теперь некоторые факты геометрической теории управления. В геометрической теории управления изучаются гладкие управляемые системы, являющиеся естественным обобщением гладких динамических систем.
Пусть М ——гладкое п-мерное многообразие. Пара (Af, X) называется гладкой динамической системой^ если X ——полное гладкое векторное поле на М. Всякая динамическая система (М, X) порождает поток
Результат действия произвольной точки 勺。£ М на р() t € Ж, называется траекторией динамической системы (MX):
т&)=窃 Q% t G Ж,
и является абсолютно непрерывной кривой на многообразии М.
Если вместо одного векторного поля X рассмотреть семейство X полных векторных полей на М, параметризованное некоторым параметром и £ U,
х = {х“； и е и},
то мы приходим к понятию динамической полисистемы, т.е. пары (М,先). Траекториями динамической полисистемы являются абсолютно непрерывные кривые на многообразии М) составленные из кусков траекторий индивидуальных динамических систем (М, Хи), и £ U.
Гладкая управляемая система на многообразии М — это динамическая полисистема (М,冗)，尸={/(虱)；虱 £ °}, заданная вместе с классом ^ допустимых управлений. Многообразие М называется фазовым пространством системы, а множество U — множеством допустимых значений управления; кроме того, обычно предполагается, что U подмножество некоторого гладкого многообразия U и отображение
(ж, u) Н- ж о /(«): /4 х " Т М
принадлежит классу С°°. Семейство & = {/(〃)； и ^U} называется семейством векторных полей, ассоциированным с управляемой системой (М,&,Qu)； последнее обозначается через
х = х о /(и), х Е М, «(■) ё ©г/.(2.12)
Класс 3?и допустимых управлений обычно удовлетворяет следующим условиям：
3?и — подмножество множества 工8(叱 U) всех ограниченных измеримых отображений 〃(•)： ]R Т U, содержащее кусочно постоянные отображения;
Эу замкнут относительно операции сшивания допустимых управлений: если 〃(•),”(•) £ € Sy я /, J ——непересекающиеся подмножества вещественной прямой такие, что / U J =眩, то управление
(u(t), если i G J,缈传)=(
I v(f), если 力 £，
принадлежит Эу. В частности, если 虱卜)е 外。一допустимое управление, то для любого
если С /
если 力 £
—также допустимое управление;
iii)岔и замкнут относительно всех абсолютно непрерывных строго возрастающих замен времени или только относительно некоторого подмножества этих замен, т.е. если функция 11 cr(t) ： 1R —> 1R строго возрастает и абсолютно непрерывна , а 〃(•) £ Эу, то
М") = (u q ь)(・)е 0и・
В некоторых случаях 岔и снабжается какой-то топологией и/или гладкой структурой; в этом случае множество всех кусочно постоянных управлений предполагается плотным в множестве допустимых управлений относительно этой топологии.
Кроме того, будем считать, что для любого допустимого управления и(-) € £р нестационарное векторное поле /(〃(£)),£ £ Ж, полное^ т.е. поток
pt(u) =ёхр //(u(r)) dr, t G 叱
0
определен на многообразии М. Пользуясь случаем, отметим, что одной только полноты каждого из векторных полей /(u),u £ U, вообще говоря, недостаточно для полноты нестационарного векторного поля /(и(力)),力 £ ]R .
Траектория s(t) — s(t; ж0, «(■)) гладкой управляемой системы
х = х о /(и), теМ, и(-) е Х>и,
соответствующая управлению 〃(•) £ Эу и исходящая из начального состояния ж0 (ж(0) = ж0)； определяется как абсолютно непрерывная кривая
s(t) = a:。Qpt(u) = ж0о exp У〃矶丁))〃丁，力 € 叱
о
на многообразии М.
Пусть U С 頂 m и /(и) = А + £ 陶 u'B" где А,瓦 е Vect (М), i = 1,... ,т.
Тогда система
亩=т о 4 + ⑦ оt W М, u(・)W 幻о,
называется гладкой линейной по управлению системой. Векторное поле А называется векторным полем сноса, и если оно обращается в нуль: А = 0, то мы получаем систему
亦=т ° £ u'Bj, теМ, и(-) е Х>(7,
которая является частным случаем так называемых симметричных управляемых систем, т. е. систем, обладающих следующим свойством: если /(〃) £ &, то существует v £ U такое, что /(и) — —/(〃) £ &• Линейная управляемая система ——это частный случай гладкой линейной по управлению системы. В этом случае М = Жп, векторное поле А линейно:
хоА~ Ах (4 — постоянная n X n-матрица) и все векторные поля В,, г = 1,..., т, постоянны: х о Bi ~ bi & 1ЙП, г = 1,..., т.
В ряде случаев представляют интерес системы, для которых фазовое пространство и/или векторные поля /(и), и £ U、допускают дополнительную структуру. Таким образом возникают полиномиальные управляемые системы, вещественно аналитические управляемые системы, системы на группах Ли, нильпотентные управляемые системы, гамильтоновы управляемые системы и т.д. Например, если М ~ G, где G — группа Ли и & = {/(虱)；仇 W £ U}——семейство право(лево)-инвариантных векторных полей на этой группе, то говорят о право^лево)-инвариантной управляемой системе на группе Ли. В частном случае, когда G —полная линейная группа G1 (n;lR)} получаем понятие билинейной системы
h = 4X + 玄点瓦X, X W G1 (叫頂)，u^) w M
где А и В[, г = 1,...,т,——матрицы соответствующих размерностей. Если М ——сим- плектическое многообразие^ т. е. четномерное гладкое многообразие с заданной невырожденной замкнутой кососимметричной 2-формой з, называемой симплектической структурой^ и Н: М —> 1R — гладкая функция на М, то гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану Н, определяется как векторное поле Хн на М такое, что
dH =小3、
где «х — оператор внутреннего умножения относительно векторного поля X:
Схз(У)=з(Х,У) VX,Y € Vect(M).
Множество всех гамильтоновых векторных полей ——подалгебра Ли алгебры Vect (М), изоморфная алгебре Ли гамильтонианов Н: М —> Ж с умножением — скобкой Пуассона {♦,♦}; значит,
^h,g —〔Хн, Xg]
для гамильтонианов Н : М —> 1R и G ： М —> Ж. Гладкая управляемая система называется гамильтоновой^ если каждое векторное поле /(«) £ 用 гамильтоново, аМ ——симнлектическое многообразие.
Можно рассматривать также гамильтоновы динамические системы и, более общо, нестационарные гамильтоновы системы (Af, {Xt, t £ Ж}), которые появятся в инвариантной формулировке принципа максимума ниже.
Со всякой гладкой управляемой системой связывается отображение
^OiT ： 2)。Т М, «(■) Т ж0о 奇 У/(矶丁)) Мо
называемое отображением вход-состояние или отображением вход-выход рассматриваемой системы. В широком смысле задача управления сводится к исследованию свойств этого отображения, в частности к исследованию образа отображения 居。，「：
т
%。(T；②。)=%尸(外。)={窃。丽/"鱼(丁))电a(。)G 3},
о
который называется множеством достижимости системы (2.12) из ж0 за время Т > 0, а также множеств
%(4Г;3?и)= U 2U(t;Qu), 2U(3b) = U%*33")，
0<t<Tt>0
которые называются множеством достижимости системы (2.12) из Хо за время < Т и множеством достижимости из ж0 соответственно.
Основной результат классической теории оптимального управления ——принцип максимума Понтрягина ——дает необходимые условия оптимальности первого порядка и может быть сформулирован в геометрической форме, например, для двухточечной задачи быстродей- ств ия
Т т inf,i — ж о /(u), t е М, «(•) G ^U,ж(0) = ж0, с(Т) = Ст・
Именно, принцип максимума дает необходимые условия, при которых точка
ж(Т) = т(Т; ж0,包(•))— to Q рт(包)=s0o e?3> //(包(丁))〃丁о
не принадлежит внутренности int21Го(< Т;^) множества достижимости %()(0 Т；2?и) рассматриваемой системы в случае, когда, например, 2?。= £^ (Ж; U), U С Жт.
Теорема 2.3 (принцип максимума Понтрягина). Если точка 花(Т) лежит на границе 3纥o(W Г；Х>(7)множества достижимости 2(^(< Т；^) системы
i = xof(u), t W М,乜(•)W 幻。=£^(®U), U С Жт,
из точки ж0 за время < Т, то существует абсолютно непрерывное семейство &力，力 £ ]R, ненулевых гладких 1~форм на многообразии М такое, что
+ 上收⑴用=0, 0 < ^ < Т,(2.13)
и для 而(力)=x(t) о®, 0 W 力 W T, выполнено условие максимума: для почти всех t, 0 < i < Т；
{^(t)yx(t)of(u(t)))=嚅(步(力)工(力)о〃叫).(2.14)
Кроме того,
M(x[t)^(fy) = ir^c(@($),元(力)о f(u(t))) = const > 0.(2.15)
Приведем набросок доказательства этого классического результата.
Для этого допустим, что 定(Т)二 ж(Т;а?0,й(-)) лежит на границе множества 2(^(< Т;2?。). Пусть
Pt =窃ой5) "(包(丁))dr, Sft(u)= f(u) - /(包仅))，i e st
По формуле вариации постоянной для всех и(・)£ 幻。
exp //(u(t)) dr =ё^5>/|7@m) +仃Т (鱼(Г))]办=^5)/ exp у ad /(й(^)) d&6fT(u(r)) dr о pt.
Поэтому в силу того, что 科：М Т М ——диффеоморфизм многообразия М, точка ж(Т)= =з:(Т;力0,包(•)) лежит на границе множества 21^(< Т;2?и) в том и только том случае, если точка so лежит на границе множества
E^ut^<t<TE^ut^<t<T
E^ut^<t<T
E^ut^<t<T
где
小(叫二G Уа(1/(й(т)) dr$ft(u).о
Можно доказать, что если справедливо это утверждение, то нуль — граничная точка множества
т
Gt = {窃 0/%(〃(「))曲；川)е %} СТХоМ.
(Для доказательства нужно перейти к обобщенным управлениям, т.е. к слабо измеримым семействам вероятностных мер Радона, сосредоточенным при почти всех 力 £ ]R на множестве U. При такой релаксации (конвексификации) задачи множество всех обобщенных управлений выпукло, а отображение вход-выход продолжается непрерывным образом на это множество. Заметим, пользуясь случаем, что это отображение непрерывно в так называемой топологии скользящих режимов [18], которая, вообще говоря, слабее, чем обычная Ь^топология. Теперь ввиду выпуклости множества всех обобщенных управлений можно вычислить дифференциал отображения вход-выход по любому направлению из этого множества. Упомянутый выше результат получается тогда как простое следствие теоремы о неявной функции и аппроксимационной леммы Р°В. Гамкрелидзе [18].)
По теореме А. А. Ляпунова об области значений векторной меры (см., например； [21]) это множество G? является выпуклым подмножеством ТХоМ, содержащим начало координат. Значит, по теореме отделимости выпуклых множеств (см., например, [21]) существует ненулевой ковектор 帀° е 7^0М такой, что
〈加窃 о д&и)) < О У и е U, 0 < f < Т.
drStf(u) = kdpt6ft(u),drStf(u) = kdpt6ft(u),Рассмотрим какую-либо гладкую 1-форму w на М, для которой т。о© =帀于 Поэтому в силу соотношений
drStf(u) = kdpt6ft(u),
drStf(u) = kdpt6ft(u),
gt(u) = ёхр /ad f(u(r)) dr8ft(u) = Ad о
имеем
о >〈6gogz（n）〉= g〈Qgt（叫〉=1ro@, Ad仇6£（虱）〉=ЖО оpt оPt1^, Adpt5ft（u））==窃。也«Ad/t）*U/力⑻）=而（力）（Q, 8力（吟，
где
= （Adpt^oj =ехр У-Ь/（й（т））dru, i € IR,о
——абсолютно непрерывное семейство ненулевых 1-форм, удовлетворяющее уравнению
+ b；（u（t））Wi = 0, 0 < i < Т,
и, следовательно, для 步（t） = ж（^） о o»t, £ G 頂,выполнено условие
（而（亡）,丕伯）О /但（力）））>（而伯）3代）О "叫）YugU、
для почти всех i, 0 < i < Т.
Можно привести （см. [5]） еше одну инвариантную формулировку принципа максимума, если принять во внимание стандартную симплектическую структуру на кокасательном расслоении Т*М многообразия М. Пусть тг: Т*М Т М,（化,@） Т z, — естественная проекция Т*М на М. Дифференциал этой проекции
поэтому имеем гладкое отображение
0：T*мT% （% V） T 3,打*，也,也），
дифференциал которого, взятый с обратным знаком, з = —dC, задает симплектическую структуру на Т*М. Пусть
H（t,叭虱）=侬,z o /（虱））
—функция Гамильтона-Понтрягина. Теперь принцип максимума формулируется следующим образом.
Если ж（Т）=勺（Т;优山立（•）） лежит на границе множества 21Хо（< Т^и）, то существует ненулевая абсолютно непрерывная кривая 步（t）, t G 吗 /（t） G Т^М, такая, что （0（t）,企（t））, t G 頂,является траекторией гамильтоновой системы 1Hoi Т* М с гамильтонианом
d（公,V） = H（勺，叭亦（力））
и при почти всех t, О W t W Т,
从伍伯）,0伯））=畸（而伯）,丕伯）。了他伯））〉> 0.
Анализ показывает, что для эффективного применения этого принципа необходимо убедиться в том, имеет ли вообще множество достижимости внутренние точки. Эта задача о
достижимости гладкой управляемой системы вполне удовлетворительно решается в рамках геометрической теории управления. Вопросы о глобальной управляемости и локальной управляемости рассматриваемых систем более сложны; следует отметить здесь существующую двойственность понятия локальной управляемости вдоль траектории за малое время^ т.е. вопроса об условиях, при которых
勺伯)=ж(^; ж0, «(■)) С int%o(么2)。)Vi > О,
и оптимальности соответствующей траектории: отрицание достаточных условий локальной управляемости приводит к необходимым условиям оптимальности (высших порядков). Следует отметить, что само исследование условий оптимальности высших порядков было также стимулировано принципом максимума: в некоторых случаях возникают так называемые особые управления, для которых принцип максимума тривиально выполняется — здесь необходимы дальнейшие исследования. Однако и в общем случае принцип максимума доставляет целое множество траекторий, называемых экстремальными, и вопрос об их фактической оптимальности требует дополнительного исследования. Изучение структуры экстремальных управлений в целом требует уже средств алгебраической топологии； един из возможных подходов к атеории оптимального управления в &6厶。初” был предложен автором данной статьи (см., например, [9] и дальнейшие ссылки там); однако эти результаты здесь обсуждаться не будут.
Весьма важным представляется также и вопрос о "регулярности" управлений, выделяемых принципом максимума. Этот вопрос непосредственно связан с выбором класса допустимых управлений и с проблемой существования оптимального управления в этом классе. Такие результаты о достаточности класса релейных управлений и составляют основные вопросы, рассматриваемые в данной статье.
Допустимое управление 虱(t),t € [О, Т], принимающее значения в выпуклом компактном многограннике U С 頂^ называется релейным^ если на множестве Е С [О, Г] полной меры u(t) £ {е；}, где {е,}——множество вершин этого многогранника. Точка i0 £ [О, Т\ называется точкой переключения релейного управления 虱(t)J £ [О, Т], если существуют две различные вершины е‘, е〃 рассматриваемого многогранника такие, что Ve > 0 множества
мy = {力 ё [0, T]11大一扣I ( J 虱(力)=e'} и ме〃 = {力 e [a刁|代一%1 < 3 矶力)=e"}
имеют ненулевую меру. Если число точек переключения конечно, то такое релейное управление называется релейным управлением с конечным числом переключений. В последнем случае точка переключения ——это точка разрыва релейного управления u(t), t G [О, Т], причем существуют и различны пределы lim好打十矶t) и 11т(_1о_ 矶t).
С гладкой управляемой системой
i — ж о /(ti), ж € М, ti(-) € Эу,
естественным образом связано понятие орбиты этой системы. Орбита произвольной гладкой управляемой системы является гладким многообразием, и это многообразие естественно и рассматривать как фазовое пространство системы (2.12) с фиксированным начальным состоянием ж0 (ж(0) = ж0). Вообще говоря, это многообразие имеет меньшую размерность, чем М, и, грубо говоря, является результатом исключения несущественных фазовых переменных
в системе (2.12). Системы, для которых М совпадает с орбитой, проходящей через некоторую точку ж0, называются орбиталъно минимальными.
Дадим точные определения. Пусть (2.12) — гладкая управляемая система. Рассмотрим динамическую полисистему (М, ^и\ & = {/(虱)；虱 G U} U Vect (M), ассоциированную с этой системой.
Множество
Q。 = {方。露p C P}
называется орбитой 010 二。^(左)динамической полисистемы (Al,&), проходящей через ж0, где Р ——подгруппа группы Diff (М), порожденная элементами вида
р = оо е九』皿)；4 € % 虱丁 С % j = 1,…，冗 k G N.
Орбиты системы (2.12) и определяются как орбиты динамической полисистемы, ассоциированной с ней. Орбитальная топология на многообразии М ——это финальная топология, порожденная семейством отображений
仇，…，〃)Т 勺0。e“""i)о ... о e"/g):展* т М,勺• С 展，и, С U, j = 1,..., А:,靑 С N,
т.е. сильнейшая топология, в которой непрерывны все такие отображения. Следующий фундаментальный результат был независимо доказан Стефаном и Суссманом (см., например, [36, 38]).
Теорема 2.4 (Стефан-Суссман). Пусть многообразие М снабжено орбитальной топологией г. Тогда справедливы следующие утверждения.
Каждая компонента связности пространства (M,t) является орбитой динамической полисистемы (ЛГ;&).
Каждая орбита Ою^и) является иммерсированным гладким подмногообразием М.
Если многообразие М вещественно аналитично, а & ——семейство вещественно аналитических векторных полей, то любая орбита —— вещественно аналитическое подмногообразие многообразия М.
Касательное пространство 虱色①。к орбите Охо = О：со(&) 6 точке у £ OXQ есть
span 网仞 о X; X е 2)},
где 2) = {AdрХ; р Е Р, X Е 尸и}・
Если (2.12) — гладкая управляемая система на М,虱(•) £ Vu — допустимое управление, то /(虱(力))С 0 V力 Е 世,значит,
%°(0Q uQ°(&).
Размерностью гладкой управляемой системы (2.12) в точке ①。или размерностью в этой же точке динамической полисистемы (А1, &) называется размерность орбиты。①。,проходящей через ж0.
Орбиты гладкой управляемой системы на М образуют слоение с особенностями.
Можно рассматривать орбиту гладкой управляемой системы (2.12) как множество достижимости из а;。 расширенной управляемой системы
X = XOvf(U), Ж е М, (U(-\V(-)) 6 Эух^!,!},(2.16)
с классом ②их{—1,1} допустимых управлений (虱(，),и(，))：頂 т U х {-1,1}. Орбита。土。二 =ОнсХ^) доставляет поэтому "оценку сверху” множества достижимости ^^。(公。)системы
за произвольно большое время.
Представляют также интерес так называемые приведенные орбиты, или Т~ор6итм； они дают, вообще говоря, более точную опенку для множества достижимости системы (2.12) за фиксированное время Т > 0 и соответствуют множеству достижимости системы (2.16) за время Т〉0. Пусть 0丁 ——подмножество группы DifF (М) вида
Рт = {е"〃5)° …°C九〃"С;力1 + .…+ % = Т"/ С % 出 С U, j = Е & С N}.
Множество
Qo(T；尸и) — {勺о орт； Рт С Рт}
называется Т-орбитой, проходящей через точку ж0) динамической полисистемы (М, 7^) или приведенной орбитой этой полисистемы. Т~орбиты, или орбиты за время Т〉0, или приведенные орбиты системы (2.12)——это орбиты соответствующей динамической полисистемы.
Предложение 2.1. Справедливы следующие утверждения.
Каждая орбита ОХо(Т) = OXQ (Т; 7^) является гладким подмногообразием орбиты Охо 二 Охо^и) Коразмерности нуль или единица.
Если М ——вещественно аналитическое многообразие и ^ ——семейство вещественно аналитических векторных полей на М, то ОХ0{^Г]^и'} является вещественно аналитическим подмногообразием。^(左).
Все Т-орбиты диффеоморфны друг другую для всех Т[ Т〃 € 頂
Касательное пространство к орбите 0工0(丁；&) в точке у G OXQ(T;Т^) — это множество
5рапщ{доХ; X С 幻？},
где 2)т 二{Adpr(X - У); рТ С Рт, Х,У W &}.
Если ^0{Т^и}——множество достижимости гладкой управляемой системы (2.12) из 七。 за время Т > 0 и 虱(•) £ 幻и — допустимое управление, то
%о(Т；0и) иОс(т)(Т；尸и), где
『(Т)=『(丁;勺0,虱(•))= ж0о exp /f(u(「))d「.о
Обозначим через Lie (冗)алгебру Ли, порожденную семейством векторных полей & С U Vect (М). Эта алгебра называется алгеброй Ли управляемой системы (2.12) или алгеброй 〃и динамической полисистемы (М, ^и}- Размерность Lie (&) в точке ж0 называется рангом управляемой системы (2-12) (или рангом динамической полисистемы) в точке ж0. Так как °工6(&) — гладкое многообразие, то для любого у е ^0(^[/),
Lie (&)®) = {у。X; X Е Lie (&)} С 岂。鼠居)
и, следовательно, ранг управляемой системы (2.12) не превосходит ее размерности в каждой точке М. Если ранг системы (2,12) и ее размерность совпадают в точке ж0)то говорят, что (2.12) регулярна в этой точке или скобко-порожденная система в этой точке. Если предыдущее равенство выполнено в каждой точке М, то говорят, что (2.12) является регулярной (скобко-порожденно^ системой. Например, вещественно аналитические системы регулярны.
Распределением △ на многообразий М называется отображение, сопоставляющее Toq- ке ж G М линейное подпространство △(ж) С ТХМ. Произвольное семейство X С Vect (М) векторных полей порождает некоторое распределение на М, а именно распределение
△ (ж) = spanK{a: о X; X G X},
однако далеко не каждое распределение может быть получено таким образом. Распределения, которые порождаются некоторыми семействами векторных полей на М, называются гладкими, а семейство X называется множеством образующих этого распределения.
Всегда существует наименьшее множество М(Д) образующих данного распределения △ на М, а именно множество
М(Д) = {X С Vect (М)\х оХ С △(/) V ж € М}・
Семейство М(Д) — это С°° (М)-подмодуль С°° (М)-модуля Vect (М); этот подмодуль восстанавливается однозначно по распределению △, поэтому часто распределение △ отождествляется с этим подмодулем М(Д). Вообще если X С Vect (М)——некоторый подмодуль Vect (М) такой, что из условия х о X — X? € 笑工二{勺。X; X G X} следует, что X G 笑,то говорят, что X — полный подмодуль. Таким образом, гладкие распределения на М могут быть отождествлены со всеми полными С°° (М)-подмодулями модуля Vect (М).
Будем писать X £ △, если х о X ^ Д(л:) 7ж С А1. Гладкое распределение △ на М называется инволютивным, если из условия X, У £ △ следует, что [X, У] € △• Распределение △ на М называется регулярным, если
dim △(『)三 const на М.
Связное гладкое подмногообразие N многообразия М называется интегральным многообразием распределения △, если
TyN = △⑻ Y у £ N.
Распределение △ на M называется вполне интегрируемым, если существует единственное максимальное (по включению) интегральное многообразие этого распределения, проходящее через каждую точку многообразия М.
Если распределение вполне интегрируемо, то оно инволютивно. Обратное неверно. Из теоремы Стефана-Суссмана легко получаются следующие результаты.
Предложение 2.2. Если △ —• гладкое инволютивное распределение на М такое, что его модуль М(Д) конечно порожден, то △ вполне интегрируемо.
Следствие 2.1, Утверждение предложения 2.2 остается в силе, если М(Д) локально конечно порожден, т. е. для любой точки х ^ М существует окрестность У В 化 такая, что модуль
“(△)卜= {х|у； хем。)}
конечно порожден.
Следствие 2.2 (теорема Фробениуса). Если △ — гладкое регулярное инволютивное распределение на М, то оно вполне интегрируемо.
Следствие 2.3 (теорема Нагано-Эрмана). Пусть М ——вещественно аналитическое многообразие и △ — инволютивное распределение на М, порожденное некоторым множеством вещественно аналитических векторных полей. Тогда △ вполне интегрируемо и его интегральные многообразия — вещественно аналитические подмногообразия многообразия М.
Говорят, что гладкая управляемая система
ж = ж о /(и), ж 6 М,矶，)С2)и,
обладает свойством достижимости в точке ж0, если
沁 ％。(3)^0,
и свойством сильной достижимости в этой точке, если
mt^iT^u) 0 VT> 0.
Пусть теперь (Л1, &)——динамическая полисистема, ассоциированная с системой (2.12). Положительной орбитой (9喜=°専(&) этой полисистемы, проходящей через точку ж0, называется множество
(9+ = {х0ое^и1>о...ое1к^ик\ 白 ^ 0,石 Е U,彳=1,…，冗用 С N}
и положительной Т-орбитой (или приведенной положительной орбитой), проходящей через точку ж0,—— множество
О*(Т)=卜°。战』皿)。…。е〃т*);今 > ^ Uj e U, j =. ^k.^tj = T, k e n}・
Пусть, как и выше, Lie (&)——алгебра Ли, порожденная семейством & векторных полей, Lie'(&) — приведенная алгебра Ди, т.е.
Lie'(&) = {[Х,Н; Х,У С Lie (&)},
и Ту = 7^(&)——идеал алгебры Lie (&), состоящий из элементов вида X + У, где
X = £%Xj,勺 €左，^ = 1,*../,入/С% f = l,…，瓦
£%=0, YeLie5).
Теорема 2.5 (Суссман-Джарджевич). Пусть & = {/(〃)； и € U}——семейство вещественно аналитических векторных полей на вещественно аналитическом многообразии М. Тогда int (9^ 卢 0 6 том и только том случае, если
dim Lie (无；)(勺0)= dim M;(2.17)
при этом внутренность положительной орбиты (9^ плотна в ней самой:
ClintO+ ЭО+.
В частности, соответствующая вещественно аналитическая система (2.12) допускает свойство достижимости в точке ж0 в том и только том случае, если выполнено условие (2.17) [иногда это условие называют условием общности положения).
Кроме того, указанное условие известно под названием условие Хёрмандерщ поскольку оно появилось в работе этого автора в связи с исследованием вопросов гипоэллиптичности некоторых субэллиптических дифференциальных операторов с частными производными, в частности операторов
171
где Xj, г = 1,..., т, — гладкие векторные поля на М, В общем случае существует тесная связь между гипоэллиптичностью (глобальной, аналитической и т.д.) дифференциальных операторов и управляемостью (или достижимостью) нелинейных гладких управляемых систем, ассоциированных с этими операторами; однако мы не имеем возможности рассмотреть эти вопросы сколь-нибудь подробно.
Теорема 2.6 (Суссман-Джарджевич). Пусть 先 二{/(虱)；и ^ U} — семейство вещественно аналитических векторных полей на вещественно аналитическом многообразии М. Тогда
intO+(T)^0 VT>0
в том и только том случае, если
dim 7^(ж0) = dim М;(2.18)
кроме того, внутренность приведенной положительной орбиты О北(Т) плотна в ней самой:ClintO+(T) D 悪(Т).
В частности, вещественно аналитическая система (2.12) допускает свойство сильной достижимости в точке х0 в том и только том случае, если выполненено условие (2.18)。
Существует гладкая версия приведенных выше теорем, установленная в статье Кренера [35], которая может рассматриваться как ^положительная форма теормы 0жоу"; последняя утверждает, что если X ——семейство полных гладких векторных полей на многообразии М, то любая компонента связности М является орбитой, если выполнено условие
dim Lie (Х)(ж) = dim М V ж G М,
при этом каждая орбита — гладкое подмногообразие М.
Результат Чжоу — тривиальное следствие теоремы Стефана-Суссмана.
Теорема 2.7 (Кренер). Пусть 左 ——семейство гладких векторных полей на многообразии М такое, что динамическая полисистема (М, 7^) регулярна в точке『о. Тогда
觀。恵抬0
Clints
.8 частности, соответствующая гладкая управляемая система (2,12) допускает свойство достижимости в точке х0.
ТЕОРЕМЫ РЕЛЕЙНОСТИ И ГЛАДКИЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫПОСТОЯННОГО РАНГА
В этом разделе рассматривается основная тема данной статьи ——вопросы “регулярности” экстремальных (оптимальных по быстродействию) управлений; рассмотрение этих вопросов естественно приводит к понятию гладкой управляемой системы постоянного ранга. Последние системы оказываются наиболее близкими к линейным управляемым системам, вопреки достаточно распространенному (и ошибочному) мнению о том, что следующий за линейными (в смысле сложности) класс систем образуют билинейные системы (см., например, недавнюю работу [27],.в которой это ошибочное утверждение сформулировано в явном виде).
Обзор некоторых результатов. В этом пункте мы напомним результаты Кренера и Суссмана, полученные в 70-х годах, вместе с некоторыми не очень далеко идущими их обобщениями.
В статье [35] рассматривалась гладкая управляемая система
出=『0e乜‘叫，х e m, 1Л(-) G Эу,(3.1)
t=0
с
U — iu и1 > о, г = 0,1,..., т, £ и* — 1
и классом допустимых управлений 幻°, состоящим из кусочно гладких управлений (при этом допускалась и Кусочно гладкая зависимость векторных полей Х^,匕=0,1,..., т, от времени), в предположении, что каждая подсистема этой системы (т.е. системы, в которой симплекс U заменяется на какую-либо его грань) допускает свойство локальной полуинтегрируемости (по существу свойство достижимости); при этом предполагалось, что алгебра Ли каждой подсистемы порождается за конечное (одно и то же для всех подсистем) число h шагов в соответствии с процедурой "пополнения” С°° (М)-подмодуля 先 модуля Vect (М),
D°H = ”，DkH = Qi" + 因 О»%],为=0 J,
до алгебры Ли
DH= U^W^Lie (W).
При выполнении основного условия на коммутаторы векторных полей X；, 5 = 0,1,..., т, вида
2 о ad‘X%因” X,J =①。“ad 'X；」X“，X目(3.2)
для всех 化 е А1, %, ^ == 1,2,3,4, 0 £ А £ 儿 多 G {О* ….,т} (выполненного по модулю скобок Ли меньшего порядка), с гладкой g > 0)было доказано, что для любого ж0 G М
^х0 (®(7)—以Hn(G{ej}),
где {е；}——множество всех вершин симплекса U. Утверждения типа предыдущего равенства называются принципом релейности Ла Салля. Справедливость этого принципа влечет существование релейного управления, переводящего начальную точку в заданную, если только существует (допустимое) управление, обладающее этим свойством. При доказательстве использовались вариации управления высших порядков; более того, на самом деле доказывалось, что любое нерелейное управление приводит во внутреннюю точку соответствующего множества достижимости, т, е. доказывалась релейность любого экстремального управления, в частности оптимального по быстродействию управления (если оно существует в этом классе). Следует отметить, что здесь априори предполагалось существование не более чем конечного числа точек разрыва (моментов переключения) допустимого управления и, следовательно, нельзя гарантировать существование оптимальных (и даже экстремальных) управлений в этом классе. Вопрос о том, дают ли условия Кренера (3.2) теорему релейности с конечным числом переключений в общем классе допустимых управлений в полной мере не рещен до сих пор.
Анализ основного условия (3.2) для случая системы с одним скалярным управлением
ж — жо/-|-а;о ид, ж G М, |и| < 1,(3.3)
приводит к соотношениям вида
х о [g, ad к fg] — х о £"ad'/g + ж о а无+iad 无+'%,靑匸 1,2, j=o
с гладкой 歩+* |d+i(爲)| < 1.
По существу при этих условиях и была доказана одна из самых сильных теорем типа теорем релейности в статье Суссмана [37].
Приведем точную формулировку результата Суссмана. Пусть М — вещественно аналитическое многообразие и (3.3) — вещественно аналитическая система со скалярным управлением на этом многообразии с классом 幻。допустимых управлений, состоящим из всех ограниченных измеримых функций, принимающих значения в множестве U = [-1,1].
Говорят, что для системы (3.3) выполнено условие (△明т), если существуют окрестность V точки ж и вещественно аналитические в этой окрестности функции а；, 6, г = 0,..., т, такие, что |Ь(ж)| < 1 и
爲。A adтfg]二 ж py^ajad'/g + ж о6adm+】/д.
Если условие (△%„») выполнено для всех ж £ М, m G N, то говорят, что система (3.3) удовлетворяет условию (△).
Говорят, что система (3,3) удовлетворяет условию релейности с оценкой числа переключений, если для любого компактного подмножества К С М и для любого Г > 0 существует пелое N такое, что если
ж(4)二 x(t\ 岔°, u(-)), 0 < i < Т,
—оптимальная по быстродействию траектория для (3.3), соединяющая точки ；т?0 и xY (z】= =z(「), 丁 < Г), пели ком лежащая в компакте К, то существует управление M(t), 0 < f < Т, такое, что |u(i)| 二 1 при почти всех i, 0 < £ < Т; более того, й(-) кусочно постоянно и имеет число переключений (точек разрыва), не превосходящее N, и для соответствующей ему траектории 花(t)二 z(t; ж0, й(-)), имеем ж(0)二 现，定(丁)二 o：i.
Теорема 3.1 (Суссман). Пусть (3.3) —— вещественно аналитическая система на вещественно аналитическом многообразии М, удовлетворяющая условию (△). Тогда эта система обладает свойством релейности с оценкой числа переключений.
Доказательство. Укажем ключевые моменты доказательства этой теоремы. Пусть ⑺(t), 0 <t <Т,——решение сопряженной системы (см. разд. 1), т.е. нетривиальное семейство ковекторов, удовлетворяющих (2.13), (2.14), соответствующее оптимальному по быстродействию управлению u(i), 0 < £ < Т, перевсадяшему ж0 в жг за время т < Т. Обозначим через L。 идеал алгебры Ли £ = Lie (/,5) системы (3.3), порожденный полем д. Может случиться, что 必(t), О W 力 V Т, будучи нетривиальным на всей алгебре Ли E(z(t)), 0 < i < Г, обращается в тождественный нуль на 尻估什))二{z(t) оХ; X € %}, 0 < t <Т.
Экстремальные управления (т. е. управления, удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина), для которых соответствующее семейство ковекторов ⑺W，0 < i < Т, таково, что
以力)抄0 на ео®(力))，0 < i < t, называются сильно экстремальными.
Достаточно очевидно, что сильно экстремальные управления — это в точности те управления, для которых соответствующие им траектории лежат на границе 821Hti (t;2)u) множества достижимости 21Ho(t;2)u) при всех t, 0 < t < Т. Во-первых, Суссман доказывает, что каждое экстремальное управление 虱(t), 0 < i < Т, переводящее ж0 в ж1} может быть заменено на управление, составленное из конечного числа сильно экстремальных и постоянных управлений. Во-вторых, он доказывает, что любое сильно экстремальное управление кусочно постоянно и принимает только значения +1 и —1. При доказательстве последнего утверждения анализируются нули функции переключений
W(力)=(以)工⑴。g)，^<t <T,
на основе анализа нулей решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1
91 = ftiiW^i +AW^2,
02 -a21(%)w1 + 022(%)w2 +02(力)W3,(3.4)
(力)仍+ 0№2(大)W2 +…+aaw(力)屮用(力
Функция переключений 屮=屮，а также присоединенные к ней функции
仍(±) = {^(t^x^c^^fg^ 0 < i < Т, У = 2,3,...,^
образуют решение этой системы.
Оригинальное доказательство Суссмана соответствующего утверждения о нулях решений этой системы (либо 屮i есть тождественный нуль, либо 屮】имеет конечное число нулей) очень
сложное. А. В. Дмитрук [20, 34] нашел простое доказательство этого технического результата (лемма 3 в [34]) и обобщение этого результата. В цитированных работах А. В. Дмитрука с помощью подходящей замены переменных система (3.4) преобразуется к виду
"&=的1(力)妈+ %(大也，,而2 = 022(力)耽+g(力)耽1
.血=Qnn8®n・
Эта система соответствует так называемому обобщенному квазидифференциальному уравнению N~ro порядка, для которого справедлив аналог теоремы Ролля в версии Пойя (см. [23]), а это и означает, что функции 耽，…，Vw порождают чебышевскую систему (см. [22]) на достаточно малом отрезке времени. Чебышевские системы и их связь с рассматриваемыми вопросами будут обсуждаться в заключительном разделе данной статьи.
Нетрудно заметить, что требование аналитичности в формулировке теоремы 3.1 может быть заменено на следующее условие конечной определенности: говорят, что система (3.3) удовлетворяет условию конечной определенности^ если для любой точки ж0 G М существуют окрестность V этой точки и гладкие функции % а = 0,1,..., sT в этой окрестности такие, что для некоторого целого s > 0,
ж о ad s+ifg = ж о J2 ^^^ fg V ж G К(3.5)
Далее, результат теоремы 3.1 может быть обобщен (см. [7]) на многомерный по управлению случай, т. е. на случай системы
х — xof-^xc ^2 ^9ii ж G М, 〃(♦) £ 幻/皿,(3.6)
где Г71 — m-мерный куб в IRm, при условии, что эта система допускает декомпозицию на невзаимодействующий подсистемы вида
х = х с f + х с vgi, ж G Mf |矶 < 1,(3.7)
в том смысле, что выполнено условие квазикоммутативности: для всех г 卢 j,«, j = 1,..., m,
回，a^ /炉]=0，fc — 0,1,...,
а каждая подсистема (3.7)удовлетворяет условию (△) теоремы 3.1, причем условие вещественной аналитичности заменено на условие конечной определенности каждой из этих подсистем. Таким образом, при выполнении сформулированных выше условий V ж G М, Т > 0
%(Т;叫=5(7；嗚)，
где класс 幻£%} состоит из всех кусочно постоянных управлений со значениями в множестве вершин {ef} куба 1т, Значит, существует релейное оптимальное по быстродействию управление с конечным числом переключений.
Бесконечномерные многообразия и гладкие управляемые системы постоянного ранга. В этом пункте приводятся некоторые сведения из теории бесконечномерных многообразий и вводится класс систем постоянного ранга ——основной объект дальнейших рассмотрений.
Пусть М — некоторое множество. Атлас на М — это совокупность пар {(%“а)； а £ G А}, где сра: Иа —^ Va — биективное отображение % U 人4 на открытое подмножество Уа некоторого банахова пространства £。，причем {^/а}аел образует покрытие М (Л — некоторое множество индексов),屮а(〃а С 弦)открыто для всех а,夕 € 4, н сквозное отображение
Wa。wj： Wg(〃a ПЦз) T Wa(〃a S%)
——гладкое отображение (класса С无)открытых подмножеств банаховых пространств. Класс гладкости к этих отображений (0 < А; < w) определяет класс гладкости атласов. Пара (%,屮а) называется картой на Л4. Любой атлас определяет на М некоторую топологию, в которой 屮£】 ——гомеоморфизм открытого множества Уа на Ua. Если Л4 связно, то можно считать, что все пространства £& совпадают с одним и тем же банаховым пространством £, называемым моделирующим для Л4. Естественным образом вводится понятие эквивалентности атласов. Именно говорят, что карта (",屮)совместима с атласом {(%,屮а)； а W Л}, если оба отображения 屮 о 夕之】и 屮&。屮一】принадлежат тому же классу гладкости, что и сквозные отображения 屮а ° 屮£，для всех а £ 4. Два атласа называются эквивалентными, если они состоят из совместимых карт. Класс эквивалентных атласов называется дифференциальной структурой на Л4, а само множество Л4 с этой структурой называется банаховым многообразием класса Ck^ где G —— класс гладкости произвольного атласа этой дифференциальной структуры. Если моделирующее пространство £ является гильбертовым, то говорят, что Л4 —гильбертово многообразие (класса О无).
Пусть М — банахово многообразие, «V — его подмножество такое, что для любого у € “ существует карта (〃，屮),"2 у, такая, что 屮 отображает U на У】X %, гДе "г 丿2 — открытые подмножества банаховых пространств & и £?, причем
£ 宮 & X %, W(〃SAQ =必 X {а}, а € 也・
Тогда 屮 индуцирует отображение 屮】：^ HU —> Vi и на Л/* естественным образом возннкат ет некоторый атлас. Подмножество N с дифференциальной структурой, определяемой этим атласом, называется вложенным подмногообразием многообразия Л4. Каждое вложенное подмногообразие N является локально замкнутым подмножеством Л4, т.е. допускает представ вление в виде пересечения открытого и замкнутого подмножеств; если же оно замкнуто в Л4, то говорят, что N — замкнутое подмногообразие Л4.
Пусть Л4 ——банахово многообразие, ж £ М. Рассмотрим тройку (",#,»), где ("，屮)—— карта на М^ " 2 化,а о — элемент банахова пространства £, моделирующего Л4. Говорят, что тройка (〃，夕，廿)эквивалентна тройке (У, -ф, w), если дифференциал (V。W)；；(；c)сквозного отображения ⑺。屮 переводит о в 缈：
^°^^v = w-
Класс эквивалентных троек называется касательным вектором к многообразию Л4 в точке з; множество всех касательных векторов образует касательное пространство ТХМ
многообразия М в точке х G М. Дизъюнктное объединение касательных пространств
Т从=U кмгем
с естественной гладкой структурой на нем называется касательным расслоением банахова многообразия 从；его гладкость на единицу меньше, чем гладкость базового многообразия /Л.
Пусть М、N — банаховы многообразия класса。无.Непрерывное отображение f: М т N называется гладким (класса Ск), если сквозное отображение
0 0 / 0 дт：w(")-> 陋(y)
гладко (класса С^ для любых карт (弘屮),"2 化,(К ⑺)，》Э /(ж), на Л4 и X соответственно при всех『£ /4.
Дифференциал (касательное отображение)厶产 гладкого отображения /: Л4 —> JV в точке 『G Л4 определяется как линейное отображение
/*卢：RM Т 7/(e)JV
касательных пространств, которое можно определить с помощью интерпретации касательного вектора как класса эквивалентности гладких кривых, касающихся в точке ж (кривые d : [0,1] —> Л4, с?/: [0,1] —> Л4 эквивалентны, если для любой карты (",屮)," 2 化,
%С(切L° = %(c"⑼L，d(o)= г(о)= ?).
Именно если с: [0,1] —> Л4 ——гладкая кривая на Л4, с(0) — ж, то / о с: [0,1] —> JV ——гладкая кривая наД/" и /*,毋 переводит класс эквивалентности кривой с в класс эквивалентности кривой /ос.
Пусть / : М Т N — гладкое отображение (класса С无)банаховых многообразий Л4 и ^. Это отображение называется иммерсией в точке х0, если касательное отображение 后卢。 инъективно в этой точке, его образ Im 厶户。замкнут и расщепляет Т^х^. (Напомним, что замкнутое подпространство £ банахова пространства X расщепляет это пространство, если оно допускает топологическое дополнение или (дополняемо в нем): существует замкнутое подпространство 乃 U 笑 такое, что 笑 = £ х 乃.)Если / —— иммерсия в точке ① для всех 化 G 从, то / называется иммерсией Л4 в ЛЛ Отображение / называется субмерсией в точке ж, если /*№ сюръективно и его ядро Кег/*产 расщепляет ТХМ. Если / ——субмерсия в каждой точке ж G Л1, то говорят, что / — субмерсия М на ЛЛ
В конечномерном случае, когда Л4 и X конечномерны, условие расщепимости в данных выше определениях выполняется автоматически.
Пусть Л4 — банахово многообразие класса С\ N — банахово многообразие класса С无, причем «V ——подмножество Л4. Если отображение включения i: N J М является иммерсией, то говорят, что N — иммерсированное подмногообразие М. Топология N как топология иммерсированного подмногообразия, вообще говоря, сильнее, чем топология, индуцированная топологией Л4 . Тем не менее для любой точки х ^ ^ существует окрестность " этой точки такая, что 2(") — вложенное подмногообразие Л4. Если Л4 и X — гладкие Многообразия
класса Ск a ft М Т N ——субмерсия класса С* то для любой точки у € “ множество /-1(2/) —вложенное подмногообразие М класса Ск.
Пусть теперь >V С X — иммерсированное (вложенное) подмногообразие Хи/: М Т N —Ск-отображение такое, что суперпозиция
Тхм 学 T“*N 3 Tf^/Tf^W
сюръективна и ее ядро расщепляет 4Л4 для любой точки z С Л4. (Здесь тг ——каноническая проекция Tj^N на фактор-пространство Tj^x^/Tj^W.) В этом случае говорят, что / трансверсально W, и пишут /巾W. Если /巾次,то прообраз /-1(W) — иммерсированное (вложенное) подмногообразие М.
Пусть / ——гладкое отображение класса Ск банаховых многообразий Л4 и “. Рангом этого отображения в точке『называется размерность образа его касательного отображения Im /*卢：
rk^Z-dim Im/y.
Если dim“ < oo, то rkr/ < oo. Имеет место следующий хорошо известный результат (его доказательство см., например, в [7]).
Теорема 3.2 (о ранге). Пусть /; Л4 T М dimjV < 8, — гладкое отображение С°°- банахова многообразия М в 0е0-банахово многообразие ^ такое? что гкг/ 三 const. Тогда для любой точки z £ Л4 существуют окрестности “ С М> 工 € 〃, У С ", /(ж) £ У, и С°°-диффеоморфизмы Р: " Т % U 先丿 Q： У т % U 匀(无匀 一 моделирующие пространства для М и N соответственно) такие, что существует линейное отображение Л : X —> 2) ранга к, для которого
A(z) = Q о / о Р~1 V ж G 弘.
Так называемые субиммерсии и только они являются отображениями постоянного ранга. Напомним, что субиммерсии — это отображения, допускающие представление в виде суперпозиции иммерсии и субмерсии.
Пусть Л4 ——гильбертово многообразие класса С*, моделируемое гильбертовым пространством "со скалярным произведением (•, •). Если ("，屮)——карта многообразия Л4, то для скалярного произведения〈、・〉工 на касательном пространстве ТХЛ4 имеем представление
(虱Н,%)Н = (G?Ww%,w*,3；uМ)Vа工,以 e аA4.
Если ж т G^ является гладким отображением Л4 в многообразие симметричных положительно определенных линейных отображений " в себя, то говорят, что М ——многообразие Римана-Гилъберта^ а скалярное произведение〈、•〉工,ж £ М^ называется римановой структурой на М.
Пусть с: [0,1] —> Л4 — гладкая кривая класса Ск на многообразии Римана-Гильберта Л4. Длина кривой с на Л4 определяется как
1
/(с) = У ||^(Cl|c(t)"力 I 忙伯)11：⑴=(c(i), c(i))c(t).
Римановой метрикой р на многообразии Л4 Римана-Гильберта называется метрика р: М X ХЛ4 —> 頂+，заданная формулой
p(z,g) = inf/(c),
где inf берется по всем гладким кривым с, соединяющим точки ж и у многообразия М. Эта метрика определяет на Л4 топологию, совместимую с топологией Л4 как гильбертова многообразия. Если (Л4,р) — полное метрическое пространство, то говорят, что М — полное многообразие Римана-Гильберта.
Пусть «V ——вообще говоря, иммерсированное подмногообразие многообразия М Римана- Гильберта. Тогда %№ 空 С*,©4" является замкнутым подпространством ТХМ и корректно определено его ортогональное дополнение
T^^ = {v G ТХМI(V,и}^ = 0 Vu G Т^}.
Дизъюнктное объединение
” (")=U T±N
с естественной дифференциальной структурой называется нормальным расслоением ^. Сферическое нормальное подрасслоение 〃「(“) радиуса г〉О,
片(М) = и 0N)，、
—это расслоение со слоем (吗“卜={о G 7^X1 ЦиЦа； = г}.
Если N — подмногообразие гильбертова пространства 7Y, то удобно отождествлять T^N с аффинной плоскостью ж +乂, где 乂 U 先 ——подпространство 先.
Пусть 7/1 и 7Уг ——гильбертовы пространства. Линейный оператор
A: D⑷ U% Т”2
с плотной областью определения D(4) С 先i называется фредгольмовым, если его ядро Ker (А) = {u G 刀(4)| 4и = 0} и коядро Coker (А)二 7^2/Im (A) (Im (А) — образ А) имеют конечную размерность. Индексом ind А фредгольмова оператора А называется число
ind 4 = dim Ker (А) - dim Coker (A).
Если A — фредгольмов оператор》то сопряженный оператор А* :先2 T 先 1 также фредгольмов и
ind А — dim Ker (А) — dim Ker (A*) = -ind A*.
Справедливо следующее важное логарифмическое свойство: если
"1 3 7^2 -А "з
—фредгольмовы операторы, то В。4 — фредгольмов оператор и
ind В с A — ind В + ind А.
Гладкое отображение гильбертовых многообразий называется фредгольмовым, если его касательное отображение ——фредгольмов оператор. Индекс фредгольмова отображения ——это
индекс его касательного отображения. Из логарифмического свойства вытекает, что суперпозиция фредгольмовых отображений ——фредгольмово отображение и, следовательно, данные определения корректны.
Гильбертово многообразие М называется фредгольмовым^ если существует атлас
{(%, Wa)； а Е 4}
дифференциальной структуры этого многообразия, сквозные отображения которого
屮а О 屮°' ：屮0 (〃а S % ) ~> ^а (% 门 Цз )
являются фредгольмовыми отображениями. В некоторых Случаях требуют, чтобы индекс этих отображений был нулевым.
Пусть М — иммерсированное подмногообразие гильбертова пространства 九.Это подмногообразие называется собственным фредгольмовым подмногообразием, если концевое отображение
(ж, и) т 勺 + и: 〃(Д4)—> ”
фредгольмово и его сужение на сферическое нормальное подрасслоение уг(Л4) нормального расслоения ^(Л4) — собственное отображение для любого г > 0. (Напомним, что отображение / : Л4 —> X топологических пространств Л4 и X называется Собственным, если прообраз любого компактного подмножества ^ компактен в Л4.)
Класс гладких управляемых систем постоянного ранга, рассматриваемый ниже, был введен А. А. Аграчевым и автором данной статьи в [1, 2]; достаточно полное изложение теории этих систем содержится в статье автора [7]. Здесь будут изложены основные определения и основные свойства этих систем.
Пусть 人4 — конечномерное гладкое многообразие (класса С00). Рассмотрим гладкую упраг вляемую систему
ж = ж о /(и), ж G М, w(-) € Эу,(3.8)
с классом 2)щ™ допустимых управлений, состоящим из всех ограниченных измеримых функций времени i, принимающих значения в U =頂т.
Следовательно, множество 2)щ™ имеет естественную структуру банахова пространства и можно говорить о гладких отображениях этого пространства в многообразие М. Таким отображением является, в частности, отображение вход-выход системы (3-8), т. е. отображение
及°,т :矶•)€ ®к™ 1 爲о。丽 //(矶「))右：E凱0,Т] T М.о
Гладкая управляемая система (3.8) называется гладкой управляемой системой постоянного ранга, если ранг этого отображения не зависит от 乜卜)€ EJJ[O, Т] для всех ж0 W М, Т > 0.
Вообще говоря, в данном определении ранг гк7^01Т отображения вход-выход 方】。,丁 зависит от а：о G М и Т > 0.
Пусть 矶。)е 2)и™ = Ь^(1й), Т > 0, ж0 е М и
几о,т(и。)= spanm|a：o0 ёхр /ad 〃矶т)) d「"黑"% & С 贮，力 е [0,Т]*},о
где [О, Т]* —— множество точек Лебега управления 虱(•) на отрезке [О,Г].
Ясно, что плоскость na.0i7'(u(-))——это образ дифференциала KJo T(u)=(月0,丁)*,“(.)отображения 及о,т, смещенный в начальную точку ж0.
Справедливы следующие общие необходимые и достаточные условия, при которых система (3.8) является системой постоянного ранга (см., например, [7]).
Теорема 3.3. Гладкая управляемая система (3.8) является гладкой управляемой системой постоянного ранга в том и только том случае, если для всех ж0 G Al u Т > О плоскость 口金明丁(虱(•)) не зависит от управления 〃(♦) G Х^[0, Т]:
(。,丁(矶，))=ПГо(T.
Более прозрачное описание плоскости Щ；,^ справедливо для так называемых конечно определенных управляемых систем (3.8). Именно говорят, что система (3.8) удовлетворяет условию конечной определенности^ если для любого компактного подмножества К С М х 頂^ существуют целое s > 0 и гладкие функции ajg £ С°°(К) такие, что
勺。ad'+i/(u)累® =勺。£ Ed^ad 叮(u) Y" a =(3.9)
для всех (化，虱)€ К. Это условие заведомо выполнено для вещественно аналитических систем (3.8) и играет роль теоремы типа теоремы Кэли-Гамильтона для оператора ad/.
Теорема 3.4. Пусть (3.8) — конечно определенная система постоянного ранга. Тогда
плоскость П^О'Т не зависит от Т > 0 и для любого и С 1йт совпадает с распределением, порожденным семейством векторных полей
耽(и) = {ad吁(и)勺？叫 и С IRm,亍=0,1,…};
распределение 口① 二 口？,丁, ж € М, инволютивно, его размерность постоянна вдоль любой орбиты системы (3.8) и для всех и(-) £ Е^便),t £ 頂
f exp //(u(「))d「) 口工=口 一，.
'力/ *,нно ехр〃(и(т)) dT
В частности, распределение Щ, a; G М, вполне интегрируемо и его интегральными многообразиями являются приведенные орбиты рассматриваемой системы.
В статье [7] получены достаточно общие достаточные условия, при которых система (3.8) является системой постоянного ранга (в предположении справедливости условия ее конечной определенности). Эти условия называются условиями релейности и являются естественным обобщением условий Кренера (3.2) на нелинейный по управлению случай. Они формулируй ются следующим образом.
Говорят, что система (3.8) удовлетворяет условиям релейности, если для любой точки (『о,虱о) € М X 頂^ существуют окрестность V Э (①丁乜。)и билинейные отображения
*(耽虱;一)：IRm x歐*->岷\
гладко зависящие от (с,虱),такие, что для всех (ж, n) £ V, и,缈 € 脓°\ а — g, 1,...,
°°方”了(虱)^^(小仅)=。。E(然(％4仅))*3"他)^^)*)'(3.ю)
В случае системы (3.8) с одним управлением, т.е. для системы
ж = а; о /(叫,ж G и £ 叱(3.11)
эти условия имеют особенно простой вид：
° ° ^^ 叫^^ = ° ° £ 昭(叫ad"(u)。^?, a = 0 J(3.12)
с гладкими % £ С°°(У) и эти условия по существу ——необходимые условия, при которых система (3,11) является системой постоянного ранга. Именно если (3.11) —— конечно определенная система постоянного ранга и ранг каждой из матриц
卜。陪。adad 。/(П)嘴^
постоянен (не зависит от z и может нарастать только с ростом а), то условие (3.12) справедливо с гладкими 峭，夕=0,..., а, а = 0,1,... Точную формулировку см. в [7].
Вопрос о необходимых условиях постоянства ранга системы (3.8), выраженных в “cKo6oq- ннх” терминах не решен до сих пор. В случае, когда система (3.11) еще и линейна по управлению и, условия (3.12) в точности совпадают с условием (△) Суссмана, которое обсуждалось выше, для случая, когда условия релейности для оптимального управления изучаются для семейства систем, параметризованного параметром а, а € 頂+, задающим ограничения на управления 虱：|虱| < а.
Если система (3.8) линейна по управлению, т.е. имеет вид
史=z о(4 + ^1?Н) х М, и(-) € Эу5(3.13)
где U 二 頂m,4,Bj, г = 1,.,., m, — гладкие векторные поля на М, то условия (3.10) имеют следующий вид:
『о [凡，ad *4乌]=爲 о £ £ а^аЯ^АДд,…А； = 0,1,,(3.14)
а=0 р=1
и выполнены локально в окрестности каждой точки ж 6 М с гладкими функциями а?^ в этой окрестности. При этом условие конечной определенности можно заменить на следующее.
Для любой точки а；о € М существуют целое s > 0, окрестность V точки ж0 и гладкие функции а?д в этой окрестности такие, что
ж о ade+I АВ； = ж о ^ a^ad аАВ0 Уж 6 V, г =(3.15)
Необходимо также отметить, что в случае систем, линейных по управлению, можно рассматривать более общий класс £^loc (IR) допустимых управлений вместо класса LJJ(頂)；в этом случае отображение вход-выход является отображением постоянного ранга в том и только том случае, если оно есть отображение постоянного ранга в классе £^ (頂)допустимых управлений.
По теореме 3.2 о ранге отображение вход-выход %? системы постоянного ранга линегь- ризуется с помощью замен координат в образе и прообразе и потому справедлива
Теорема 3.5. Пусть (3.8) — конечно определенная система постоянного ранга, U — открытое подмножество 頂m u Sy = LJJ (吗 U) или £^loc (IR; U) в случае линейной no управлению системы (3.8). Тогда множество достижимости 212ro (Т; Q。) этой системы — открытое подмножество приведенной орбиты системы (3.8), проходящей через точку
х _ жо 彘? f(u(r^ dr
о
где и(') £ ^и — произвольное допустимое управление. В частности, ^^{Т^и}——гладкое многообразие и отображение
冗°,т： и(-) Т 勺(Т；д,矶•))
——сюръективная субмерсия LJJ[O,T] или Х^1ОС [0,Т] (е линейном по управлению случае) на это многообразие.
Из теоремы 3.5 получается следующее утверждение [8, 12].
Теорема 3.6. Пусть (3.8) 一 конечно определенная система постоянного ранга и N С С М — иммерсированное подмногообразие М, трансверсальное множеству достижимости 以но(Т；幻и) (ade U — открытое подмножество 頂m), т. е. отображение включения £: N Т М трансверсально ^^^и).
Тогда пространство путей
外％ = {п(・)е 以([0,т]；и)| з(7>。,矶•))е ^}
есть банахово подмногообразие банахова многообразия 2)(/1 [0)т]二 L^([°，T]；U). Если (3.8) линейна по управлению, то пространство путей
嘔={“(•) е I^^,T\-,U)\?(Т；①。,п(・))е "}
—гильбертово подмногообразие гильбертова многообразия L^ ([О, T]]U\ Кроме того, Р,：Ь — собственное фредгольмово подмногообразие гильбертова пространства LJ*[O,T] (если U 二頂皿)”,6 частности, фредгольмово подмногообразие,
Теоремы релейности для гладких управляемых систем постоянного ранга. Рассмотрим гладкую управляемую систему (3.8) с множеством допустимых управлений ^и 二 =L^([O,T]； U), где U — замкнутое подмножество 頂^ с непустой внутренностью. Управление u(i), 0 < i < Т, называется граничным (существенно граничным) на отрезке [О,Т], если для любого множества Е С [0,Т] нулевой меры Лебега
int({i С [О,Г] : u(i) Е 8U} U Е) = 0 (meas {力 С [О, Т]：矶力)С int U} = 0).
Всюду далее под экстремальным управлением понимается допустимое управление 〃(•) € ©у, для которого
加7 = g。丽 //(矶「))d「=勺(T;费,*)) e ^0(T;^), о
т.е. по существу сильно экстремальное управление.
Если u(t),t е [0,Т], —— релейное управление и「一 точка переключения этого управления, то (в силу принципа максимума Понтрягина)
д 0(以0),峦/ /(矶s)) d6"盤"")=0о
для некоторого ребра 缈 рассматриваемого многогранника. Выражение в левой части последнего равенства ——это значение в точке「функции переключений (см. ниже); здесь ⑺(t),t G G [0,Т],——семейство гладких 1-форм из принципа максимума Понтрягина, соответствующее экстремальному управлению и(1)^1 £ [0,7^.
Справедлива следующая [1, 7]
Теорема 3.7. 1) Пусть (3.8) — гладкая конечно определенная управляемая система постоянного ранга. Тогда любое экстремальное управление в этой системе является граничным управлением.
Если, кроме того, система (3.8) удовлетворяет условиям релейности (3.11), то всякое экстремальное управление является существенно граничным управлением на [О, Т].
Оба утверждения этой теоремы доказываются по одному и тому же принципу на основе теоремы об обратной функции и нижеследующего очень важного предложения 3.1 (см. [7]).
Для измеримого Е С [0,Т] с measE > 0 определим плоскость
nfo T(u(-)) =зрапи^ж0о exp /ad〃u(「)) ""^"% о С 贮，力 е Е*}, о
где Е* — множество точек Лебега управления 〃(•) на Е.
Предложение 3.1. 1) При выполнении условия 1) теоремы 3.7 для любого интервала E = (tl,tll)c[^T]
口 £o,T(U(")) =
При выполнении условия 2) теоремы 3.7 предыдущее включение выполнено для любого измеримого подмножества Е С [О, Т], measE = 0.
Приведем, например, доказательство утверждения 2) теоремы 3.7. Считаем для простоты, что граница 9U множества U компактна. Пусть u(t), 0 < ^ < Г, — экстремальное управление, не являющееся существенно граничным, т. е. существует измеримое множество Е U [0, Т])measE > 0, такое, что 〃(力)W int U, t £ Е. Пусть xe — характеристическая функция множества Е. Уменьшая, если нужно, множество Е, можно считать, что u(i), t W Е, непрерывно (на основе С-свойства Н. Н. Лузина). Поэтому для некоторого а〉0
dist (uQ)/U) > а > 0.
Выберем ограниченные измеримые функции и^-),..., иА(-):頂 т IRm такие, что векторы
勺0。/寿/ad貝М「））r"黑，%（力）хe（力）d力彳=1,而,
линейно независимы и порождают плоскость 口宾,丁(蚀('))~ 口工0・
Если £0 > 0 достаточно мало, то из ограниченности и；(・) следует, что
乜伯)+ £Е 丐伯)е U，力СЕ, |^'| < £о, 7 = 1,…，瓦
и, следовательно, образ отображения
принадлежит 21Ho(Т；2>и)> если только |^| < £о, J = 1> • • • > ^- При этом
8£(0,…，0)8弓8£(0,…，0)8弓(G /〃и(「))而)У ёхр yad/(u(r)) dr^—^Vj^XE^jit) dt,J = 1)■ • •, ^'
8£(0,…，0)8弓
8£(0,…，0)8弓
Таким образом, по теореме об обратной функции точка
тжт = ж0о ёхр //(〃(「)) drо
—внутренняя точка множества достижимости ^2ИХо(Т;1Х)и) и, значит, и(£), 0 < i < Т, не может быть экстремальным управлением.
Приведенные выше рассуждения пригодны для получения условий релейности экстремальных управлений в случае, когда множество U допускает структуру стратифицированного пространства, например, является многообразием с углами [10, 11, 31], в частности, когда U —— выпуклый многогранник в IRm. В этом случае условия релейности (3.10) нужно соответствующим образом модифицировать. Для случая линейной по управлению системы
出=勺 о(4+ ^J ж G М, u(-) G Sy,(3.16)
в случа-е, когда U ■—— m-мерный куб в IRm, в [2] были введены понятия к-граничных и к- жстремальных управлений и соответствующие обобщенные условия релейности. При этом понятие 1-граничного управления совпадает с понятием релейного управления. Основной результат состоит в том, что при выполнении этих обобщенных условий релейности каждое к- экстремалъное управление необходимо является k-граничным, в частности, 1-экстремалъ- ное управление всегда релейно; таким образом получа-ется “слабая” версия теоремы Суссмана 3.1 (в том смысле, что не утверждается конечность числа переключений экстремального
управления, а только его релейность). Дополнение условий такого типа условием общности положения приводит к более сильным результатам.
Пусть U ——компактный выпуклый многогранник в IRm, Г = [е',е“]——ребро этого многогранника, соединяющее соседние вершины е\ е". Внутренность этого ребра — это гладкое подмногообразие 頂皿；обозначим через w — wr ненулевой касательный вектор к этому ребру.
Говорят, что система (3.16) удовлетворяет усиленным условиям релейности на ребре Г многогранника U, если для любой точки ж € М существуют окрестность V этой точки и линейные функционалы а^ : 頂皿 —> 頂,гладко зависящие от ж, такие, что Vn £ U, а ~
勺。[Bu, ad"4Bw]=勺。£ 喟(混)ad^AB仅(3.17)
для всех『из этой окрестности. Если условие (3.17)выполнено для любого ребра Г многогранника U, то говорят, что система (3.16) удовлетворяет усиленным условиям релейности относительно многогранника U. Пусть п — dim М и для любого х ^ М векторы
ж о Bw,『。ad ABw} ..., ж о ad n~1ABw
линейно независимы, где w = wr ——произвольный ненулевой касательный вектор к внутренности ребра Г. В этом случае говорят, что система (3.16) удовлетворяет условию общности положения ма ребре Г 二[е〈 е"] многогранника U. Если это условие выполнено для любого ребра рассматриваемого многогранника, то говорят, что система (3.16) удовлетворяет условию общности положения относительно многогранника U.
Предложение 3.2. Пусть (3.16) — гладкая конечно определенная система, удовлетворяющая усиленным условиям релейности и условию общности положения относительно многогранника U. Тогда для любого управления 虱(•) G Эу = £^(頂；U), для любого Г > 0 и для любого ребра Г = [е\ е〃] многогранника U
(г)Н£т(и(»)) = зрапи^ж0о ёхр /ad (4 + Biz(r)) drBw, £ С e} — Що.о
Доказательство. Очевидно, что
(r)nf0,T(4-)) С Що V^oSM.
Поэтому достаточно доказать, что
dim(г)ПМт(虱(•))= dim М = п.
Для этого в свою очередь достаточно показать, что(「，口爲,？ (〃(•)) содержит все векторы вида
для любой точки Лебега £ £ Е управления 虱(•), являющейся, кроме того, точкой плотности множества Е (такие точки называются точками плотности этого управления, см., например, [29]).
По определению
ж0о exp y<Ld (А + Buir)} drBw G (г^П^ т(и(-)), t С Е*. о
Поэтому, дифференцируя по t, имеем при t 二 £
В силу (3.17)
Отсюда следует, что
для любой точки плотности £ управления и. Продолжая этот процесс по индукции, получаем утверждение предложения 3.2.
Из доказанного предложения 3.2 вытекает следующее обобщение теоремы Р. В. Гамкрели- дзе о конечности числа переключений.
Теорема 3.8. 1) Пусть (3.16) — конечно определенная система, удовлетворяющая усиленным условиям релейности и условию общности положения относительно многогранника U. Тогда любое оптимальное по быстродействию управление в этой системе является релейным управлением, т. е. его значениями являются только вершины многогранника U на множестве полной меры.
Более того, это управление — кусочно постоянная функция времени 九
Доказательство. В силу условия общности положения
dim П1о = dim М V ^о € М;
значит, размерность любой приведенной орбиты системы (3.16) совпадает с размерностью любой ее орбиты, а это означает, что если u(i), 0 < i < Т,——оптимальное по быстродействию управление, переводящее т。в z】(Т ——время быстродействия), то управление u(i), 0 < i < Т, сильно экстремально:
JR)抄 0 на &⑴，0 < i < Т,
где J(t) = 5(i) o&i；行力 О V 力 W Т,——решение сопряженной системы (2.13), соответствующее этому управлению, для которого выполнены условия (2.14) н (2.15),击传)二 ж(^; ж0, u(-))f 0 < <t<T.
Предположим, что утверждение 1) теоремы не имеет места； тогда для некоторой грани U многогранника U с dim span^U > 1 и для некоторого подмножества Е С [О, Т] положительной меры
虱(力)С rel inttZ,力 С £•
Рассмотрим функцию и т 〈步(力),击(t) о Ви) : U т К. Эта функция как функция переменной и либо принимает максимальное значение в некоторой вершине многогранника U, либо постоянна на целой его грани. Поэтому в силу условия максимума (2.14) и в силу условия 矶力)G relintt/j t £ Е, имеем
〈0(力),岳伯)о 月廿〉=const Y t еЕ、v U.
Поэтому для некоторого ребра Г = [е* е'[ U 0 и для вектора 缈=е‘ 一 е" (который, конечно, может рассматриваться как касательный вектор к внутренности этого ребра)
哈,)-便(力金(力)0 Be) -(J(力)，元(大)0証")—(巾(大)，企(大)0 Bw) — 07t e e.
Поскольку для всех t £ Е
⑷(力),金(力)о Bw)二(ж0 о pt o(jt,x0o pt о Bw) = ж0 opt(Cbt,Bw')==&。力K(Ad“)*4, Bw)二 x0{cb0,AdptBw}=
то имеем @o 丄(「'口^丁(虱(•))； таким образом @о 丄 П^. Получаем противоречие, которое доказывает справедливость утверждения 1) теоремы.
Для доказательства утверждения 2) достаточно заметить, что функция переключений 歹](力)二若()(力 О W 力 g Т, а также присоединенные к ней функции
例（力）=（贏例（力）=（贏ж0о expж0о expBW(「)) d「ad k~lABw\BW(「)) d「ad k~lABw\k>2, 0 < i < T,k>2, 0 < i < T,
例（力）=（贏
例（力）=（贏
ж0о exp
ж0о exp
BW(「)) d「ad k~lABw\
BW(「)) d「ad k~lABw\
k>2, 0 < i < T,
k>2, 0 < i < T,
удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений типа (3.4) (в силу условия конечной определенности и усиленного условия релейности). Поэтому число нулей функции переключений 屮i(t), О W 力 W Т, может быть только конечным (поскольку уже доказано, что 仍(力)壬 0). Значит, 2) доказано.
Можно доказать также (см. [10, 14]) утверждение 1) теоремы 3.8 для общей конечно определенной системы (3.8) в случае, когда условия релейности (3.10) заменяются на их усиленную форму
『о gad°7(u) ”® ®, uj) = а? о 7 ^в(щ v)ada/(ti)^^w, (3.18) ои ои j^J * ои
где 缈——касательный вектор к внутренности ребра Г многогранника U, х о а^(и; •): IRm т 頂 ——линейные функционалы, гладко зависящие от (ж,虱)в окрестности каждой точки (ж0, «о) G £ А1х 頂т. Эта усиленная форма условия должна быть выполнена для любого ребра Г = [е',е“], при этом условие общности положения относительно многогранника U должно иметь вид
(3.19)(3.19)dim span 週{勺 о —~-w,..., a; о ad n-1/(u)——w} — dim M = n
(3.19)
(3.19)
и быть справедливым для любого ребра Г = [е',е〃] многогранника U (缈——произвольный ненулевой касательный вектор к внутренности этого ребра).
Доказательство этого утверждения см. в [10, 9]. Вопрос о справедливости утверждения 2) теоремы 3.8 более сложен и положительно решен автором в [14, 13]. Ниже будет приведено полное доказательство этого утверждения (теорема 3.9), полученное автором в 1994 г. и до сих пор не опубликованное на русском языке [12]. Прежде чем переходить к формулировке и доказательству упомянутого результата, отметим несколько достаточно тривиальных обобщений утверждения теоремы типа теоремы 3.8, 1) для общих нелинейных систем вида (3.8). Во-первых, такая теорема справедлива для случая, когда вместо многогранника U рассматривается стратифицированное (в смысле Уитни) пространство, например многообразие с углами (см., например, [10, 14]). Во-вторых, предположим, что выполнено условие общности положения на каждом ребре (одномерном страте) многогранника (стратифицированного пространства) U, и пусть каждая подсистема системы (3.8), т. е. система (3.8), в которой грань (страт) игра-ет роль самого U, удовлетворяет условиям релейности типа (3.10). Тогда справедливо утверждение 1) теоремы 3.8. Доказательство проводится с помощью очевидной индукции по размерностям граней (стратов) U.
Приступим теперь к обобщению утверждения 2) теоремы 3.8 на случай общей системы
ж =： ж о /(и), ж С М, u С U,(3.20)
где U —— компактный выпуклый многогранник в 頂т. Как обычно, предполагается, что для любого допустимого управления 必卜)£ Q。соответствующее ему нестационарное векторное поле является полным^ т.е. корректно определен поток
Рассмотрим задачу быстродействия для (3.20): для заданных точек ①。,化i G M найти допустимое управление й(-) € ^и такое, что траектория
5(i) = ж(^; ж0, й(-)) = ж0 о ехр //伍(「))dr = g or 伍)，力 €叱
о
системы (3.20), соответствующая этому управлению и начальному состоянию ж0 (х(0) = ж0), удовлетворяет условию ж(Т) = жг и время Т минимально возможное. Как обычно, эта задача записывается в виде
I
T Т min, z(0)二窈，加(Т)=T1, ж = ж о /(叫，х М,'
矶•) e幻夕
Напомним, что допустимое управление 立(力),0 < i < Т, называется экстремалъным на отрезке [0,口, если пара (ж(-), й(-)),金(t) = ж(^;ж0, й(-)), 0《力《Т, удовлетворяет условиям принципа максимума Понтрягина для задачи (3.21) на этом отрезке: существует абсолютно непрерывное семейство wt, i G IR, гладких ненулевых дифференциальных 1-форм, удовлетворяющее сопряженной системе
必 + Е/® ⑴产 t — °,(3.22)
такое, что для семейства ковекторов 屯(力)—i(i) о ^ ^ 0, Z € [0,Т], выполнено условие максимума
从倒(力),必(力))=例力)，用)。/但(切〉= 畸例力)3(力)。貝吟(3.23)
для почти всех i, 0 < i < Т, и условие
从(历伯),#伯))三 const > 0, 0 < i < T.(3.24)
Пусть, как и выше, Г = [е\ е〃] — некоторое ребро многогранника U^ w^ = w — ненулевой касательный вектор к внутренности этого ребра. Говорят, что система (3.20) удовлетворяет обобщенным усиленным условиям релейности на этом ребре Г, если для любого компактного подмножества К С М существуют линейные функционалы
а(ж,叫•)： IRm -> 叱 6^ (ж, uz, u", •):展命 Т % ct > ；5, ct = O,l,...,
гладко зависящие от (化,虱)G К X U н (ж,虱‘,虱")8Kx U X U соответственно, такие, что
炉貝叽 、/、А/(*,Q ℃
ж о а ； ®, w) = ж о a(u； о)--万一叫(3.25)
『0 [怨p"，寸")饗^刈=z。£场®'U"' ") ad"®)垄0"(3.26)
для всех (ж, ti) € К х U, (ж, и1^ и"') wKxUxU, 頂 7 & = 0,1,... Если это условие выполнено для любого ребра Г многогранника U, то говорят, что система (3.20) удовлетворяет обобщенным усиленным условиям релейности относительно многогранника U.
Основной результат, обобщающий теорему Р. В. Гамкрелидзе о конечности числа переключений, формулируется следующим образом.
Теорема 3.9 (о конечности числа переключений). Пусть (3.20)——гладкая конечно определенная управляемая система, удовлетворяющая обобщенным усиленным условиям релейности (3.25), (3.26) и условию общности положения (3,19) относительно многогранника U (и, конечно, условию полноты нестационарного векторного поля /(u(t)), t W 頂 Vn(・)G 2)(7). Тогда если u(-) € 幻u[0,T]二｛u|(OiT]:虱(•) £ 幻и｝ — экстремальное управление для задачи (3.21) на отрезке [0,Т], то
6卜)e哪№門=｛唸。,刁：w) e騎｝.
Другими словами； произвольное экстремальное управление для системы (3.20) совпадает почти всюду с кусочно постоянной функцией, принимающей значения только в вершинах многогранника U,
Доказательство. Пусть 立(•) £ 2)[；[0, Т] — экстремальное управление на отрезке [0, Г] для задачи (3.21) и К ——произвольное компактное подмножество М, содержащее траекторию
ж(^) = a?(i; ж0, й(-)) = ж0 о exp j/(й(т)) dr = ж0 opt(w)f 0 < i < Т,о
системы (3.20), соответствующую этому управлению и начальному условию ж0. Обозначим через Wt, 0 < i < Т, нетривиальное решение сопряженной системы (3.22), соответствующее управлению й(-) из принципа максимума Понтрягина, и пусть 而(力)=企伯)о wj, 0 < f < Т. В силу обобщенных усиленных условий релейности существуют линейные функционалы
а(ж, ti, •) : IR*71 Т 叱
匕务(爲,虱[и"; •) : IK"1 —> IR, 0 4% а = 0
гладко зависящие от (х^и) ^ К х U и (ж,^, и") € К х U х U, такие, что выполнены условия (3.25), (3.26) для всех (ж, и) G ^ X Z7, (ж, и1, и11) С К х U х U, о С IRm, для ребра Г = [*е“] многогранника U, где w — е' — е"——ненулевой касательный вектор к внутренности этого ребра.
Свяжем с каждым ребром Г = [е',е〃] функцию переключений
т)= 8(м&)°^^Ц, о < t < т,
экстремального управления u(i), 0 < i < Т. Заметим, что эта функция, вообще говоря, разрывна. В этом и заключается основная сложность доказательства теоремы 3.9. В нижеследующих леммах приводятся основные свойства этой функции.
Лемма 3.1. Справедливо следующее соотношение:
若(±) =〈#(0), Cq。丽 /adf 他(т)) d「^^^"〉Vi, 0 < i < T. (3.27) о
Доказательство. Используя формулы хронологического исчисления, приведенные в разд. 2 данной статьи, имеем
河(力)。”^”Q =
=(金(力)0◎力金(力)0=(g0 opt(自)0 zo opz(近)0 2fge—
=Xq О pt(u)(pti^~^-w^ = ж0 opt(u)^(Adpi(u))*w0j ~^~w)=
=g opt⑻。р[1®〈％, AdR@)^^^Q『o о〈％, Ad 尋 //国⑺)d「財器))缈〉二
=ж0 о=ж0 о4, exp4, exp/ad /伍⑺)d/£『。))iu〉=〈而(0),窃。exp /ad 〃芯(「)) d「°'f 少 w} оо
=ж0 о
=ж0 о
4, exp
4, exp
Лемма доказана.
Пусть u0 — произвольная точка многогранника U. Положим
Мом =(@(0),研。尋 卜d f®T)) dr 吗? Q、
店⑴=(@(0),窃。ё^$ / ad /(亦(T)) dr ad 无/(乜 。) 8^й'w', 0 < i < T, о
для k 二 1, 2,... Очевидно, что эти функции абсолютно непрерывны на [О, Т].
Из условия общности положения следует, что векторы
ж о—ж О ad/(u0)—А缈
оиou
линейно независимы для любого з: G М и ненулевого касательного вектора w к внутренности ребра Г многогранника U, в частности, они порождают базис касательного пространства ТХМ к М для любого ж £ М. Следовательно, существуют гладкие функции са, а = 0,1,..., п — 1, такие, что
a; о ad /(虱о)—-— ж о cQ ad /(u0) w Уж G A,
и, значит, для любого t, Q < t <T,
Mn(C —£以大解伯)，(3.28)
где
—ограниченные непрерывные функции.
Лемма 3.2. Существует положительная ограниченная измеримая функция a(t), 0 < < i < Т, такая, что
入Ю = a(t)i^(t) ^t,O<t<T.(3.29)
Доказательство. Пусть
7(s;i) = ^(О),ж0о exp /ad /(芯(「))右^乂"十弋⑦——^2缈〉，0 < i < T, 0 < s < 1.
Тогда функция s т)(s; t) гладкая,
7(0")=党(力)，)(1；力)=端伯)，0 < i < T, и в силу (3.25)
嘗1 =弘丽，方。而%(W(r)) "断"。+宜…必)=0
=(@(0),勺0。而 /ad/他(丁))介8 *叱+^^")~^^(花(力)一Ua.w^ =
=^(О),ж0о exp /ad/(u(r)) dra(u0 +s(u(i) 一 u0),岔(力)-陶"(“° +^："'^^"〉-
0 ёхр /ad/他(「))d「8'(竺•■十 ^*)■-- "°11ц;)二月(6/)了(6；%),0 < i < Т, 0 < s < 1,
где
0(% 力)—ж0 ° expо0(% 力)—ж0 ° expо—Uq)—Uq)
0(% 力)—ж0 ° exp
о
0(% 力)—ж0 ° exp
о
—Uq)
—Uq)
——ограниченная измеримая функция, гладкая по s, 0 < s < 1. Следовательно,
^|^ = 0(s;t)y(s;t), 0 < 5 < 1, 0 < i < Т, откуда и вытекает (3.29) с функцией
//3(⑺丸
а(" = е° ,0 <t <Т.
Ясно, что a(t), 0 < i < Т, — ограниченная измеримая и положительная функция. Лемма доказана.
Лемма 3*3. Функции 位估)，Q < t < Т, к — 0,1,..., п — 1, удовлетворяют линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
，k
就=&i + g d伯)心，*=0 J…产一 2,
，…X(3.30)
с ограниченными измеримыми коэффициентами a J. (i), 0 < i < Т.
Доказательство. Пусть 0 < А; < п — 2. Тогда, используя (3.26), для всех i, 0 < i < Т} и всех 化 € К имеем
ж о ad/伍伯))ad*/(虱о)?^陶w =
=z。ad(/(u(i)) 一 /(虱о)) эЛкf(uo)^~^-w + х о ad无+i/(u())2^^w =
jm也+ s貝"二*)ds ad A貝"。)+/。ad R+吁(u。)= Jos少〃
=① J ［哑。)+胖t)二"叫耽 - Uo^f(Uo)需 W ds + ,。ad ^fM 需”= 0
=Ж о / £6嵐虱0,此 + s(u(f) - u0),u(t) - UQ)adaf(u0)^^wds + x о ad无+斤(虱j?^虱" 0
Следовательно,
^成(力)=〈@(。),&。阮 /ad/®(T))d「ad/®(±))ad*7(u())^^^〉=(@(0),①0。而 Уad/(u(r))(/r У 玄%(乜。,но++ s@(「)-虱0);名伯)-gad О7(п0)怨乜A w)曲+
04%《Т,04%《Т,+(巾(0),费。而 y ad f(u(r)) dr adk+1 f(u0)^^-w^ = ^磋(力)匕⑴+ /4^(以
04%《Т,
04%《Т,
где
理伯）=д。ёхp //他（T））dr / 6*（u01 п 。 + 6（初（力）一的））；近（匕）-«о） ds,*=0,1,…，也 一 2, оо
—ограниченные измеримые функции. Положим
嚣-1(力)二窃。exp //他(T))dr /b^-1(uo,u0 + $(初(大)-虱q)；说力)-% ds, ct — 0,1,..., n - 1. оо
Тогда для любого к = п — 1 в силу (3.28) и рассуждений, аналогичных приведенным выше,
°’a=0a=0
где
a二*)二以⑴+當—i(9, 0 < i < T, a = 0,...,也一 1,
—ограниченные измеримые функции. Лемма доказана.
Отсюда, как и раньше, следует, что или gj(i) = 0, или 〃^(・) имеет не более чем конечное число нулей на [0,Т] (см. обсуждение теоремы 3.1). Покажем, что первый случай невозможен. Докажем сначала следующую лемму, представляющую самостоятельный интерес и показывающую, что обобщенные усиленные условия релейности (3.25), (3.26) сильнее усиленных условий релейности (3.18).
Лемма 3.4. Если для системы (3.20) выполнены обобщенные усиленные условия релейности (3.25), (3.26), то для любого ненулевого касательного вектора w к внутренности ребра Г = [е\ е'[ многогранника U и для любого компактного подмножества К С М существуют линейные функционалы
с^(ж,心):假01 Т 吗 夕 0 % a = 0,1,,
гладко зависящие от (ж, и) G К X U, такие, что
ж о ~- (ad Q /(и) ^~) (^, и)=勺。上唠(吗и) ad叮(и)跺?w(3.31)
для всех (ж,叫 С К X о С 展°\ ct = 0,1,...
Доказательство. Утверждение справедливо при а = 0 в силу соотношения (3.25) с
с°(ж,虱;•)= а(ж,叫•) V (勺，и) е К X U.
Пусть а = 1. Тогда в силу (3.26) для всех (化,〃)€ К х U имеем
где &о(ж,虱‘,虱"；•)：頂771 Т 頂 —— линейные функционалы, гладко зависящие от (①,虱',u") G Kx XU X U.
Далее,
"。鳥陪®，") =京[貝")，空%](…。兴"叫。-空% о[鸣%吵”]+。。工(“)彎①”"。鳥陪®，") =京[貝")，空%](…。兴"叫。-空% о[鸣%吵”]+。。工(“)彎①”貝叫⑻=貝叫⑻==『。6j(uf щ v)=『。6j(uf щ v)+ 化。ad f[u)a(u]+ 化。ad f[u)a(u]+ a; о a(*u; v) ad /(u)号(2)缈—+ a; о a(*u; v) ad /(u)号(2)缈—+ ж о(/(u)a(u; v)) =。。点『)娱+,+ ж о(/(u)a(u; v)) =。。点『)娱+,
"。鳥陪®，") =
京[貝")，空%](…。兴"叫。-空% о
[鸣%吵”]+。。工(“)彎①”
"。鳥陪®，") =
京[貝")，空%](…。兴"叫。-空% о
[鸣%吵”]+。。工(“)彎①”
貝叫⑻=
貝叫⑻=
=『。6j(uf щ v)
=『。6j(uf щ v)
+ 化。ad f[u)a(u]
+ 化。ad f[u)a(u]
+ a; о a(*u; v) ad /(u)号(2)缈—
+ a; о a(*u; v) ad /(u)号(2)缈—
+ ж о(/(u)a(u; v)) =。。点『)娱+,
+ ж о(/(u)a(u; v)) =。。点『)娱+,
где
жс^(и; ■)二 xb^(u,虱；•) + xf^u)a{u; •), жс}(и; •)=化矶虱；•)
линейные функционалы, гладко зависящие от (勺，乜)W К * U.
Допустим теперь, что утверждение выполнено при всех а = 0,1,..., 6. Тогда для а 二 兀+1, (4 乜)£ К X U
ж o -ad无+1/(u)0黑%,ц;) = ж。鳥[/(叫山"叫垄?"(®)=
=勺。 ^；(/他)0 ^貝")^^ "5叫^^ 0"明⑻=
=化。-ZA-Zy о ad '/(〃)•；< 丿缈 + жо /(а) о —ad 无/® 个 々0,缈)一
—ж о ^― ad 无/(叫 方"(и, w)) о /(%) — ж о adfc/(u) ^^w о，乜)。二=“ °【^^办""(u)^^"] + ° ° ad 〃"僞 ^ "(叫^^®, w)二
—a: о £ 6^(u,虱；v) ada/(u)^^w+ ж о ad/(虱)£ с* (u; о) № f(u)^^^v}
= G。£ %(№ 叫u)ad a/(u) 8优)w + 勺。e(/(u)e(乜;叫 ad Q/(u)*^"++ 勺 о £ W(U； и) ada+1/(w)^~^w =勺。£ C*+1(1Z； v) ada/(u)号粤叫
где
，xb^(u, u; + a; о f(u)c^(u\если ct — 0,
с*+1(ж, «;•)=< 勺城(№ %•) + z。/(虱)因％・)+ 建(乜"если a-
.х оесли а — к + 1
—линейные функционалы, гладко зависящие от (ж, u) £ К х U. Лемма доказана.
Пусть Е — измеримое подмножество [0,7^]. Как и выше, пусть
rnfo T(u) = span 派卜° о exp /ad /(u(r)) dr^^^w; i С E*},о
где E* ——множество точек Лебега управления •&(•) на Е.
Лемма 3.5. Если выполнены обобщенные усиленные условия релейности (3.25), (3.26) и условие общности положений (3.19), то для любого измеримого подмножеств а Е С [О, Т] с measE > О
Г口北,7他)=7kM Vg e М.
Доказательство следует из леммы 3.4 и предложения 3.1.
Из леммы 3.5 следует, что случай, когда 〃§(力)=0 на [О, Т], не возможен.
В самом деле, если допустить противное, то по лемме 3.2
廟(9 =壷=^g)=0, 0 < Z < Т, т.е.
^V?(0), ж0 о ехр у*ad /(й(т)) dr^^—^w^ — 0, 0 < i < Т. о
Но тогда @(0) = 0, поскольку по лемме 3.5「М方)伍)=ТХоМ. Это противоречит нетривиальност и семейства ковекторов /(t), О W t S Т, следовательно, функпия
廟 О 涼Ш о < * < Г,
может иметь только конечное число нулей на [О,Т] (напомним, что a(t) > 0, 0 < i < Т).
Теперь легко доказать теорему 3.9. Допустим противное, т. е. что й(-) — экстремальное управление на [0} Т] такое, что
u^tj) С relint U, J = 1,2,,
для бесконечного числа точек Лебега iJ } J = 1} 2,..., этого управления, где U ——грань многогранника U, dim span KZ7 > 1. Но тогда по условию максимума (3.23) имеем
G色)，飢切 ° ,0勺，"D)=。Vu C span/
в каждой точке “，^ = 1, 2,...
Поэтому существует ребро Г — [е‘，е“] С U многогранника U такое, что
Е(切=(@(切,硯)0 "^，'S =a J = 1,2,...,
7 ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
где w = ez — е" (конечно, этот вектор можно рассматривать как касательный вектор к внутренности этого ребра), т.е. функция Aq(-) имеет бесконечное число нулей на [0,Т]- Отсюда следует, что и функция 〃&(') также имеет бесконечное число нулей на [О, Г]. Таким образом мы приходим к противоречию.
Следовательно,立(力)£ {ef} только для конечного числа точек Лебега управления й(-) на [0)Т]. Но это и означает, что ^(f)) 0 < i < Т, совпадает почти всюду с некоторой кусочно постоянной функцией, принимающей значения только в вершинах е* ..., е^ многогранника U. Теорема 3.9 полностью доказана.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Системы со скалярным управлением» Эти системы вообще занимают особое место в (геометрической) теории систем; как это ни парадоксально, их узучать проще, чем системы с многомерным управлением, хотя с точки зрения “здравого смысла" последними легче управлять, поскольку имеется больше возможностей (управлений). В случае таких систем множество допустимых управлений U ——это обычно отрезок вещественной прямой 頂, скажем U 二[—1,1]. Условия релейности таких систем имеют особенно простой вид (3.12) и, как уже отмечалось, по существу являются необходимыми условиями постоянства ранга.
Здесь следует отметить недавнюю статью А. А. Аграчева [31], в которой показано, что для скобко-порожденных систем, линейных по (скалярному) управлению, множество точек переключения не может быть “плохим", в частности, оно не может быть канторовым множеством (см. также [4, 24, 39]).
Мы докажем сейчас, что обобщенные усиленные условия релейности (3.25), (3.26) являются следствием условий (3.12); это утверждение, кроме того, дает и нетривиальные примеры! систем, для которых выполнены обобщенные усиленные условия релейности.
Напомним, что в рассматриваемом случае системы со скалярным управлением условия релейности (3.12) имеют вид： для любого компактного подмножества К С М существуют гладкие функции a:KxU—> 頂,b^：&xU—> 頂 такие, что
尹"叫а〃2尹"叫а〃2z 0(叫z 0(叫Xo-^~^af(u)Xo-^~^af(u)断u)3u断u)3u二岔。£唄叫Mf®饗^二岔。£唄叫Mf®饗^(4.1)(4.2)(4.1)(4.2)
尹"叫
а〃2
尹"叫
а〃2
z 0(叫
z 0(叫
Xo-^~^af(u)
Xo-^~^af(u)
断u)3u
断u)3u
二岔。£唄叫Mf®饗^
二岔。£唄叫Mf®饗^
(4.1)
(4.2)
(4.1)
(4.2)
для всех (化,虱)G К X U, а = 0,1,...
Из условия (4.1) следует (см. [7]), что существует гладкая функция
7 : К xU
(4.3)(4.3)с х о уи(и) > Q V (z,乜)G К X U такая, что
(4.3)
(4.3)
z о /(叫=ж о (А + 了他)В),
где А = /(0), 8 — ^^ ——гладкие векторные поля на М. Условия (4.2)——это условия на скобки Ли векторных полей А, В, например, они выполнены, если существуют гладкие
функции cj: К Т 頂 такие, что
ж о [5, adaAB] - ж о ^ с^ ^АВ Уж е К.(4.4)
/3=0
На самом деле, условия (4.2) эквивалентны условиям (4.4), в правую часть которых входит еще член жoda+laja+lABcda+l С^ {К}, |з；О^+1| < 倉где 1и — постоянная, зависящая от U; в случае U — [—1,1], lv = \ — это в точности условие (△) Суссмана, о котором шла речь в п. 3.1 этой статьи.
Непосредственное вычисление показывает, что из (4.2), (4.4) следует (3.25) и (3.26). На^ пример,
①к °° ^^(7“(u))T(7“(n))B =①。矶“)^^
(условие (3.25) с 矶叫=^^(九(叫尸)；
甯]=①。[7"("，加)刼=l uu uu J.
=勺。(九(w)(8%(吟)-yи(и,^Ву^и^В = ж 0 娼(k u")-^-
(условие (3.26) с а = 0), где
端(认『)=(%”))Т(М『)(В%")) -%("”％(『)))
и т.д.
Представление (4.3)в силу монотонности функции 7 автоматически обеспечивает выпуклость векторграммы
3(『)={ж о /(и) : и С U} Yh 8 M
в рассматриваемом случа-е и, следовательно, дает теорему существования решения задачи быстродействия (3.21), если только выполнены некоторые условия роста для векторного поля /(u), u £ U. Вопрос о существовании оптимального управления в задаче (3.21) при условиях теоремы 3.8 положительно решен автором в [41] и будет обсуждаться в и. 4.3.
Об условиях общности положения. Докажем, что условие общности положения (3.19) и обобщенные усиленные условия релейности (3.25), (3.26) дают следующий интересный результат
Теорема 4.1. Если выполнены условия (3.19) и (3.25), (3.26), то для любого ребра Г = =[е‘, е“] многогранника U, для любых и0, и：,..., un-i ^ U, х ^ М и для любого ненулевого касательного вектора 缈 к этому ребру векторы
ж о ^^^1 叫 ж о ad /(虱 1)8?'"叫...,ж о ad /(tin-i) ° ad /(虱口_2)。…。ad f (u^^^^-w (4.5)
линейно независимы.
Доказательство. В самом деле, в силу (3.26)
ж о ad/(虱i)^^w = з： о ad /(乜o)^^w +『о ad (/(虱,一 /(uq))^^w =
~ ж О ad /(a0) 仅 +『0ad /—(虱i — u0) —-w ds =
=ж о ad f(uo)~~^-w + xo /%(&()，Uq + s® - u0)；^i 一 乜о) ds~ ^—w =
=Ж о ad /(u0)+ ж о dQ(uOy 蚀 1) —^~-w.
Допустим, что для всех к。,虱厶… ,乜卜 £ U, з: W К
а; о ad /(uA) о ad /(ujt—i) о ad f(uk^ о о ad /(乜i) 2*3 ги —
=①。3d kf(u0')--^w + ж о J24(的Ь 以…，也)w/(陶经:"叫
где 芍：К X，X […X 2 T 頂гладкие функции. Тогда для всех и0> 虱±, • • •,观后+i U, х К
£ о ad /(以+1) о ad/fufc) о о ad /(乜.^^叫)w ==xo аЛ /(以+i)卜d号(虱0) 8^：'*+ 524 (u(h乜i,也)印貝*":九｝•
По индукции
ж о ad/(^fc+1) adJ7(u0) -^0-w =
=а? о а^+1/(Мо)^Ф^ги + 仁 0£虎+1(乜(),％ ut+i) ad V(u0)—У < j < к - 1.
В силу ｛3.26)
£O ad f(uk+1) ad kf(u0) ~^^w 二
-xq ad *+1/(^о)+『о (ad/(虱1fc+i) - ad/(u0)) ad 无/(陶”脸 ги =
=『о ^fM^-w +『о /ad空虻*丄2(必+]_u。)ds=
=ж о a4 "+i〃Uo)・ ~^乜"俛 + " ° / £ 殖(虱。，no + s(u(；+1 —做о｝如叶 1 一 乜e) rfsada/(iio) ■ "^」'跄"
Следовател ь но,
ж0 ad /(^+1)ad/(ufc) ...ad /(虱0@^ 虱"ц;=勺。e 貝也+i)4(g …，虱jt)皿/(陶"""*+
十① ° ^ 芍(〃5队)卜d『+i/(〃Q)^^i^ + 4 國(U。，Uq；以+1) ad 了(Uo)”£)w} +
+勺。* /考他0,U0 + 6(也+1 - uо),混无+1 - 陶曲ad，f(砌号：0)w + ж o ^dk+i f(UQ)-^~-w =
=z。ad无+i/(uo)2^^" + z o£d；+i(uo,…，必+i) аМ/(%"”"叫(4.6)
где *产：К X U X …X U Т 頂,^ = 0 J,…，瓦一гладкие функции.
В силу линейной независимости векторов
х о —~ж о ad /(u0)—~а; о ad /(乜。)—缈
из представления (4.6) вытекает линейная независимость векторов (4.5).
В статье [26] Г.М. Смирнов опубликовал результат, утверждающий, что для линейной по управлению системы (3.13), т.е. для системы
『о /(叫=『о(4 + Е#瓦)，
при выполнении условий линейной независимости векторов (4.5) справедлива теорема релейности типа теоремы 3.8, 2). Однако доказательство этой теоремы содержит весьма существенные пробелы (например, автор цитированной работы преуспел в дифференцировании функции переключений в точках ее существенной недифференцируемости). Тем не менее весьма правдоподобной представляется такая
Гипотеза. Если векторы
ж о —『о ad /(Ui)—• w,..., ж о ad /(ип_!) о ... о ad /(Uj)―—•缈оиоиои
линейно независимы для всех и0, Ui,..., un_i ^ U, х ^ М и для любого ребра Г 三[е* е'[ многогранника U, где 缈—ненулевой касательный вектор к внутренности этого ребра, то справедливо заключение теоремы 3.9,
Теорема существования решения нелинейной задачи быстродействия. Как уже отмечалось, для системы (3.8) со скалярным управлением условия релейности (4.1), (4.2) гарантируют выпуклость векторграммы (множества всех допустимых скоростей)
3(z) = {жо/(и), u^U}
этой системы. Сформулируем условия роста, при которых будет рассматриваться система (3.8) всюду в этом пункте.
Будем считать, что базовое многообразие М ——вложенное подмногообразие евклидова пространства Rd. Пусть существует функция д:頂 + Т 頂+ такая, что
]ж о /(ж, и)| < 5(|ж|) VzCM, и Е U,(4.7)
и пусть
lim sup ^i < оо,(4.8)
где I • I ——евклидова норма на 頂**. Условия роста(4.7), (4.8) обычно называют условиями продолжимости решения системы (3.8).
Теорема 4.2 (теорема существования для задачи быстродействия). Пусть U — компактный телесный (spanKmi7 二頂m) выпуклый многогранник в 頂^ и (3.8)——гладкая конечно определенная система, удовлетворяющая обобщенным усиленным условиям релейности (3.25), (3.26), в которых w — разность двух (не обязательно соседних) вершин многогранника U, условиям продолжимости (4.7), (4.8) и условию общности положения (3.19). Тогда если существует хотя бы одно допустимое управление 乜(♦) € Э^, переводящее х0 в xlf то существует и оптимальное по быстродействию управление, переводящее t。в z「 Более того, это управление кусочно постоянно и его значениями являются только вершины многогранника U.
Мы приведем два принципиально различных доказательства этой теоремы, одно из которых основано на исследовании свойств регулярности обобщенного оптимального управления, а второе на выпуклости векторграммы 3(t) системы (3.8) — результате, требующем отдельного доказательства.
Доказательство первое. Итак, считаем далее, что для любых (не обязательно соседних) вершин е\ е", е‘ 卢 е", многогранника U и для любого компактного подмножества К С М существуют линейные функционалы
а(ж,虱，•) : 1йт Т %垢伯，* и"):頂т т■頂,ct > у5, а = 0} 1,,
гладко зависящие от (『,u) £ К х U н (ж, г?, и") е К X U X U, такие, что выполнены условия (3.25), (3.26) для всех (岔，虱)Е Кх U,(勺，％ и") ^ К xU xU} v ^ IRm, а = 0,1,…，где w 二 е' ~е".
Теорема существования 4.2 была анонсирована автором в [15]; второе доказательство теоремы 4.2 приведено в [41].
Первое доказательство теоремы 4.2 основано на соображениях регулярности и использует расширения Гамкрелидзе (см. [18]) задачи быстродействия (3.21): будет показано, что любое оптимальное обобщенное управление 也,t € 頂,может быть заменено на аобычноеп управление, обладающее свойствами релейности, указанными в формулировке теоремы 4.2.
Прежде всего напомним инвариантную формулировку принципа максимума в классе обобщенных управлений, более точно, формулировку этого принципа для расширения Гамкрелидзе
задачи быстродействия (3.21), которое имеет вид Т Т inf,
£=0m
и( G U, ct£ > 0, г = 0,т, £ 6 = 1,i=0
Ж(0)= Ж0, т(Т) = Ж!，
Для этой задачи теорема существования (при выполнении условий продолжимости (4.7), (4.8)) справедлива ввиду того, что любое обобщенное управление p,t,t ^^ может быть реализовано как скользящий режим или вибрирующее управление [18]:
Mi =〉(力)靠:⑴,力e吗
где 6 — дельтагфункция Дирака, Uj(t) £ U, %(t) > 0, г = 0, ...)m, £之°%(力)=1,方 € 頂,一 измеримые функции.
Принцип максимума Понтрягина для рассматриваемого расширения задачи (3.21) формулируется следующим образом.
Если Qf(t), «£(£), t G 1R, £ = 0,1,...,m, ■— оптимальное управление, переводящее х0 в 上】, т. е.
то существует семейство wi} i £ 頂,гладких дифференциальных 1-форм, удовлетворяющее сопряженной системе
必=е£之。"")№，《)产，(4，9)
такое, что семейство ковекторов ⑺(力)=ж(i) о w^, i £ 頂,нетривиально и выполнено условие максимума
maxи;е(7,а；>0,^2™оа;=1
—m簪体伯),加伯)g /(虱))=Л4(①(以V(力))(4.10)
для почти всех £ £ [ОД]. Кроме того,
A4(a;(£),^j(i)) = const > 0, 0 £ 力 g Т.
Докажем следующие два утверждения:
функции Uj(t), г = 0,…,т, 0 < i < Т, кусочно постоянны на множестве точек i £ [0, Т]) на котором ai(t) > 0, г = 0,..., ш, и принимают значения только в вершинах многогранника Z7;
функции ct£(i), 0 < i < Т, кусочно постоянны и %•(力)£ {0,1}, 0 < i < Т.
Из утверждений i) и ii) и вытекает утверждение теоремы 4.2.
Доказательство i) и ii) в основном аналогично доказательству теоремы 3.9.
Докажем утверждение i). Предположим противное, т. е. допустим； что существует некоторая пара a；-(t), «>(£), 0 < i < Т, такая, что %(t) > 0 и 叫(力)£ relintUi для t W Е» U [0,Т], где Ui ——некоторая грань многогранника U положительной размерности:
dim spariRUi > 0,
Е；——бесконечное множество точек Лебега функций u；(i), Qi(t)^ 0 < t < Т. Тогда по условию максимума (4.10)
8毎(9，勺(力0£N。%(力)貝出&)))u_ 8(次力),勺伯)0修伯)/(%a)))u _ 0U)
дщди
для всех и G span^Ui и для всех t £ Е「В частности, существует ребро Г 二[е\ е〃] многогранника U такое, что
a3(t),?(t)o%(t)〃n；(t))〉” _,„
для всех t W Е{. Определим функцию переключений
AoW ="(次‘)，*(*:"哽切〉^ =e(0),?。。昊У ad£%・(s)/(%-(s)) ds呕語弟j,-
соответствующую ребру Г и управлению n((t), t G [0, Т]. Из обобщенных усиленных условий релейности (3.25), (3.26)(лемма 3.2) следует, что для любой точки и Е U существует положительная измеримая функция a(t), 0 < £ < Т, такая, что
а(М^) = Х^),0 < i < Т,(4.12)
где
Мо（0=03"然"（叫）昨（MG,篤。。氫У"三%，（6）貝出（5））成^^"｝力ё [0,T].
(4.13) Определим присоединенные к 您(t), 0 4 力 V Т, функции gf (i), 0 < i < T, k 二 1,..., n — 1, следующим образом:
必9=(次①网。尋/記£ %⑻〃出⑻)ds好f(u)"(；') "
0 < i < T,为=1,n — 1.
Аналогично доказательству леммы 3.3 устанавливается, что функции fiQ(t), 0 < t < Т, удовлетворяют линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
кп — 1
就=/4+1 + ^d(Mf, А; = 0, L 2,壮 т = 52<_1ИмГ1 о 0 力 W Т,
с ограниченными измеримыми коэффициентами a?(t), ^ < t < Т, i^ j = 0,..., п — 1. Отсюда следует, как и выше, что функция 您(力)，0 < t < Т, либо имеет конечное число нулей на отрезке [0, Т], либо обращается в тождественный нуль на этом отрезке.
Последний случай невозможен, поскольку в силу условия общности положения и обобщенных усиленных условий релейности плоскость
te[o,2l}te[o,2l}
te[o,2l}
te[o,2l}
совпадает с касательным пространством ТХаМ и, следовательно, если 〃f(t),0 W 方 W Т, обргь- щается в тождественный нуль на [0, Т], то ⑺(0) = 0 ——противоречие с нетривиальностью семейства ковектород 以t), 0《方 W Т. Следовательно, получаем, что функция 您(t), 0 < i < Т, имеет конечное число нулей на [0,Т] и в силу (4.12) функция переключений Agfi), 0 < Z < < Т, также обладает этим свойством. Стандартные рассуждения (см. конец доказательства теоремы 3.9) приводят теперь к утверждению i).
Таким образом, в дальнейшем можно считать, что все функции Ui(t), Q < t < Т, кусочно постоянны на отрезке [0, Т] и принимают значения в множестве всех вершин многогранника U.
Докажем теперь утверждение ii).
Предположим противное, т. е. что существует какая-то функция а£(^), 0 < ^ < Т, для которой 0 < ai(t) < 1 при t £ Е, где Е С [0,Т]——бесконечное множество точек Лебега функции Qi(t), ^ < t < Т. В силу условия
£%(t) = i, о < t < т, |=о
получаем, что еще существует по крайней мере одна отличная от данной функция aj(t), 0 < V t 4 Т, обладающая таким же свойством. Множество Е можно выбрать таким, что
如(力)—е‘， uj (i) = е", t £ Е,
где е\ е"——две различные (не обязательно соседние) вершины многогранника U (см. i)). В силу условия максимума (4.10)
при t £ Е. Тогда имеем
〃е')-/(е") =〃е')-/(е") =}a〃e" + s(e，-e"))}a〃e" + s(e，-e"))дидиwds, w 二wds, w 二
〃е')-/(е") =
〃е')-/(е") =
}a〃e" + s(e，-e"))
}a〃e" + s(e，-e"))
ди
ди
wds, w 二
wds, w 二
Из обобщенных усиленных условий релейности следует, что для любой точки и £ U существует положительная измеримая функция)(t), t £ [0, Т], такая, что
/G(0),方。帚У3^玄％(6)/(出(6))曲2£仅，+；£ ~~e))g)d「= )(力欣(力),i e [0,T], о о 片。
где go (Z), 0 < £ < Т, определена формулой (4.13) с w = е7 — е〃，а £, е〃 一 не обязательно соседние различные вершины многогранника U.
Таким образом 从^(t) = 0" G Е. Получаем противоречие, потому что, как и выше, эта функция может иметь только конечное число нулей. Это и заканчива-ет первое доказательство теоремы 4.2.
Доказательство второе. Приступим к изложению второго, более' традиционного доказательства теоремы 4.2. Рассмотрим произвольное гладкое отображение F : IR*71 Т 頂"н предположим сначала, что U — произвольное выпуклое подмножество 頂 1n. Говорят, что это отображение удовлетворяет усиленному условию постоянства ранга относительно множества U, если существует гладкая функция а : U х 頂^ Т 頂 такая, что
炉歹（叫,、, 卫成叫方1他"）…o）b
ДЛЯ всех О,缈 е l^m, и eU.
Докажем сначала следующую теорему, представляющую самостоятельный интерес.
Теорема 4.3. Пусть гладкое отображение 尸：U Т IRm удовлетворяет усиленному условию постоянства ранга, и пусть U — непустое выпуклое подмножество IRm, Тогда множество F(U) выпукло.
Доказательство. Выберем произвольные точки и】и 乜2 в множестве U. Покажем, что существует гладкая функция ж(^), 0 < ж(£) < 1, 1 < Z < 1, такая, что 力F(〃i) + (1 — t)F(〃2)= =尸(乜1+化(力)(虱2一％)),勺(0) = 0,化(1) = 1- Продифференцируем предыдущее равенство дважды по i. По условию
0 = 3"' + 鄒-叫U2 - k)(UL 叫问t)2 + ^fKi^l^W 一 nM(t)=
=哑士里■电2期-%)i伊砲⑴)+ "&+乎(Uzi)% _也©
где矶加他))-矶虱I +化(力)(m2 一虱1),u2 -u1).
Покажем, что краевая задача
芷 + 矶勺伯))亦2 = 0, ж(0) = 0, ж(1) = 1,
имеет решение 虱(力),0 < i < 1, удовлетворяющее дополнительному условию 0 < 虱(力)< 1, 0 < i < 1, и, следовательно, докажем утверждение теоремы.
Для этого воспользуемся прямым вариационным методом. Пусть W1,oo[0,1]——пространство Соболева всех абсолютно непрерывных функций с существенно ограниченными производными на отрезке [0} 1] с обычной нормой
II 矶 |叩1.8 = |Н||с[0,1] + ||^|U=o[0,l]-
Рассмотрим функционал
1и
J(虱)—^ У (必)%хp (/2矶虱(b)) d" dtоо
с областью определения 9Л = {u £ W1,o°[0,1]:虱(0) = 0,虱(1)二 1}. Интегрант этого функционала
L{uy й) = ^(6)2 exp / 2a(u(^)) d&о
удовлетворяет условию коэрцитивности
V..
—г Т ОО при ш Т ОО
L(u, V)I
и условию регулярности^ т. е. функция Е ограничена снизу и выпукла, по второму аргументу (см. [18]). Поэтому вариационная задача
J(虱)T inf,虱 Е 耽，
имеет решение 虱(t), 0 < t < 1. Покажем, во-первых, что это решение принадлежит классу С2[0,1]. В самом деле, для любого t, 0 < i < 1,
Е&и(矶力,出伯))=exp У 2a(u(B)) d8 > 0,о
следовательно, по теореме Гильберта (см. [6]) u € С2[0,1]. Значит, можно написать уравнения Эйлера-Лагранжа для этой экстремали в дифференциальной форме
Lu{u[t),u^ - ^几(虱(匕),出(大))=0。
Прямое вычисление показывает, что
u⑴u⑴
%(虱(力),出伯))一石几6(研大),出(力))=矶矶力)(应(力))2 6班У* 2a(u(^)) dO - ii(i) exp / 2矶矶B))dB一оо
u ⑴u(t)
-2a(虱(亡))(6(%))2 exp / 2a(u(B)) d0 — — exp / 2a(u(B))曲[矶u(士))他产 + 初(切—0.оо
Поскольку
u(t) exp / 2a(u(0)) dO > 0, о
то получаем, что эта экстремаль является решением рассматриваемой краевой задачи.
Теперь осталось доказать, что это решение 乜(t), 0 < i < 1, удовлетворяет условию 0 < < 虱(力)< 1, 0 < i < 1. Для доказательства заметим, что полное решение задачи Коши
ii +矶虱)(6)2 = 0, 0 < i < 1,
虱(0) = 0, имеет замкнутую форму в виде интегрального уравнения
х^ = [ Кабуле-с'
где с =const. Поскольку полученное решение u(i), 0 < i < 1, принадлежит классу С2[0,1], то существует и непрерывна его первая производная
由 Jo矶乜(3))曲-eо
при всех i, 0 < i < 1, где с0 ——постоянная, соответствующая этому решению, а это означает, что (в силу непрерывности) функция
/矶и(В))曲一с。， 0 < i < 1, о
не может менять знак. Конечно, отсюда и следует монотонность функции 矶力)，0 < i < 1; так как 〃(0) = 1 и 观⑴=1, то 0 < u(i) < 1, 0 < i < 1, и, конечно, 0(t) > 0 при 0 < i < 1. Это и доказывает теорему 4.3.
Теперь ссылка на стандартную теорему существования оптимального управления (см., например, [18]) завершает доказательство теоремы 4.2.
Конечно, приведенное доказательство теоремы 4.3 далеко не самое простое (например, А. А. Аграчев сообщил автору в частной беседе доказательство, которое занимает несколько строк), однако оно представляется оправданным, поскольку его метод может быть использован для доказательства существенно более общих результатов, в частности для доказательства выпуклости или ее “суррогата" в общем случа-е конечно определенных систем постоянного ранга. Это автор и намерен осуществить в ближайшем будущем.
4.4. Некоторые общие замечания. Теоремы релейности для гладких управляемых систем вида
ж — ж о /(叫，ж(0) — ж0, и е U, х М,(4.14)
означают по существу, что кривая
7 (0 = ж0 о 盘 //(矶s)) ds^~~-w
(叨一ребро многогранника U или, более точно, касательный вектор к этому ребру) имеет конечное число пересечений с любой гиперплоскостью {z £ 霍。”](⑺,z〉= 0}. Конечно, это свойство имеет место, если )(t),力 G [0, Т],——чебышевская кривая [22] или кусочно чебышевская. Насколько известно автору, в нелинейной теории управления чебышевские системы или кривые присутствуют только в статьях [32, 33] (под другим названием), посвященных так называемым ориентированным мерам, обобщению теоремы А. А. Ляпунова о векторных мерах и некоторым теоремам типа теорем релейности.
Более слабая версия свойства чебышевости ——это понятие регулярной кривой [28]. Пусть 7(i),i £ [0, Т], — произвольная гладкая кривая в К" класса С °0. Говорят, что эта кривая регулярна, если для любого i,0 < i < Т, векторы)(t),勺(力…п(“т)«) линейно независимы. Регулярные кривые и обладают нужным нам свойством: число пересечений такой кривой с любой гиперплоскостью П может быть только конечным. Доказательство этого утверждения очень простое. В самом деле, допустим противное, т.е. что кривая)(t),t G [0,Т], имеет бесконечное число пересечений с некоторой гиперплоскостью !! = {『£ 頂"|〈⑺,化〉=0}. Пусть 厶,…,%, • ♦. — точки пересечения и г ——какая-либо предельная точка этой последовательности. Так как (⑺,)(友)〉=0, то 〈功,了(「)〉= 0. По теореме Ролля существуют точки i； < ij < 匕+i, j = 1,2,..., такие, что〈叽勺(弓)〉—0; при этом「一 предельная точка этой последовательности. Поэтому〈叭夕(「)〉— 0. Итерируя этот процесс, получим
〈叽)(「)〉= 0,〈叽 >(「)〉= 0,…,3,7(“т)(「)〉=仇
что противоречит линейной независимости 了(土)，勺(力…,了(”7)(土) в каждой точке t.
Легко видеть, что регулярную кривую порождает, например, квазикоммутативнал система
6 =勺 о 4 + 勺 о £/8% ж(0) = ж0,(4.15)
удовлетворяющая условию общности положения. Напомним, что условие квазикоммутативности состоит в том, что
[Bj, adfcABj] = 0, Vz, j = 1,m, A; = 0,1,...(4.16)
Для простоты ограничим рассмотрения системой с одним скалярным управлением
х = х о А-^ х о bu^ I矶 W 1,(4.17)
для которой условие (4.16) имеет вид
[6, ad无46] = 0,靑=0,1,...(4,18)
Имеем
『0。『0。虱(「)6) drb =虱(「)6) drb =+ 乜(т)6) dr^a^Ab + u(t) [6, adA6])=+ 乜(т)6) dr^a^Ab + u(t) [6, adA6])=
『0。
『0。
虱(「)6) drb =
虱(「)6) drb =
+ 乜(т)6) dr^a^Ab + u(t) [6, adA6])=
+ 乜(т)6) dr^a^Ab + u(t) [6, adA6])=
Продолжая этот процесс, находим
(4.19)(4.19)ж0 о ^f^^ / ad(A + u(「)b) dr = хос exg / ad(4 + *м(т)Ь) d「ad无4瓦
(4.19)
(4.19)
В силу условия общности положения векторы
adfcA6, А: = 0,1,..., п — 1,
оолинейно независимы, а так как
о
о
п(「)Ь) dr
——автоморфизм, то линейно независимы и векторы (4.19). Следовательно,
ж0 о ёхру ad(4 + u(「)b) d「b, 0 < i < Tf о
——регулярная кривая.
Это дает, в частности, другое доказательство теоремы Р. В, Гамкрелидзе о конечности числа переключений.
В общем случае основная трудность применения этого принципа состоит в том, что кривая
ж0 о ёх^ У /(矶б)) ds^~~^-w, 0 < £ < о
даже не непрерывна, однако она “пространственная”, т.е. порождает касательное пространство на множестве любой сколь угодно малой положительной меры (см. предложение 3.1) для случая системы постоянного ранга.
Доказательство теоремы 3.9 в некотором смысле состоит в проверке “регупярпостн” негладкой кривой. Автор надеется, что подобного рода "регулярность" будет определена и для произвольной гладкой управляемой системы постоянного ранга и потому формулирует следующую гипотезу.
Гипотеза. Теорема релейности с конечным числом переключений справедлива для любой конечно порожденной гладкой управляемой системы постоянного ранга.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Аграчеа А. А., Вахрамеев С. А. Нелинейные управляемые системы постоянного ранга н условия релейности экстремальных управлений //ДАН СССР. 1984. Т. 279,旅 2. С. 265—269.
Аграчев А. А., Вахрамеев С. А. Линейные по управлению системы постоянного ранга и условия релейности экстремальных управлений //УМН. 1986. Т. 41,旅 6. С. 163-164.
Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Экспоненциальное представление потоков н хронологическое исчисление // Мат. сб. 1978. Т. 107,擁 4. С. 467-532.
Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Вариация "замена времени" в оптимальном управлении //ДАН СССР. 1990. Т. 311,擁 2. С. 265-270.
Аграчев А. А., Гамкрелидзе Р. В. Симплектическая геометрия и необходимые условия оптимальности //Мат. сб. 1991. Т. 182, № 1. С. 36-54.
Ахиезер Н. Я , Вариационное исчнсленне. Харьков: В ища шк., 1981.
Вахрамеев С. А. Гладкие управляемые системы постоянного ранга и линеаризуемые системы // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 35. С. 135-177. (Итоги науки и техники).
Вахрамеев С. А. О фредгольмовостн одного многообразия //УМН. 1992. Т. 47,雜 5. С. 169-170.
Вахрамеев С. А. Геометрнческие и топологические методы в теории оптимального управления // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Анализ-5. М.: ВИНИТИ, 1993. Т. 9. В печати. (Итоги науки н техннкн). Пер. на англ, яз,: J. Math. Sci. 1995. V. 76, N 5. Р. 2555-2719.
Вахрамеев С. А. Еще одна теорема релейности для гладких управляемых систем постоянного ранга //Докл. РАН. 1994. Т. 337,擁 5. С. 545-547.
Вахрамеев С. А. О трансверсальной выпуклости множеств достижимости одного класса гладких управляемых систем //Докл. РАН. 1994. Т. 338,雜 1. С. 1-3.
Вахрамеев С. А. О некоторых свойствах пространств путей для гладких управляемых систем постоянного ранга // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Динамические системы-1. М.: ВИНИТИ, 1994. Т. 13. В печати. (Итоги науки и техники). Пер. на англ, яз.: J. Math. Sci. 1996. V. 78, N. 5. Р. 612-625.
Вахрамеев С. А. Теорема о конечнос-гн числа переключений для гладких управляемых систем //УМН. 1994. Т. 49, ^ 6. С. 197-198.
Вахрамеев С. А. Теорема релейности с конечным числом переключений для нелинейных гладких управляемых систем // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры Динамические снстемы-4. М.: ВИНИТИ, 1995. Т. 23. В печати. (Итоги науки и техники). Пер. на англ, хз.: J. Math. Sci. 1997. V. 85. N 3. Р. 2002-2016.
Вахрамеев С. А. Теорема существования для нелинейной задачи быстродействия в классе релейных управлений с конечным числом переключений //УМН. 1996. Т. 51. С. 151-152.
Гамкрелидзе Р. В. К теории оптимальных процессов в линейных системах //ДАН СССР. 1957. Т. 116,粧 1. С. 9-11.
Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах //Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22,擁 4. С. 449-474.
Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбнл. гос. ун-та, 1977.
Гамкрелидзе Р. В., Аграчев А. А., Вахрамеев С. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения на векторных расслоениях и хронологическое исчнсленне // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 35. С. 3-107. (Итоги науки н техннкн),
Дмитрук А. В. Об одном обобщении оценки числа нулей решений линейного дифференциального уравнения // Тр. ВНИИ Систем, исслед. 1990.雜 1. С. 72-76.
Иоффе А. Ц., Тихомиров В, М Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
Крейн М.「.，Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова н экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
Лолиа Г, Сеаё Г. Задачи и теоремы нз анализа. М.: Наука, 1978. Т. 1, 2.
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука, J986.
Понтрягин 〃. С,, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.
Смирнов Г. М. Условие общности положения в нелинейных системах //Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1973. ^ 13. С. 96-102.
Хайлов Е. Я. О некоторых оценках экстремальных управлений для одного класса билинейных систем //Тр. ИММ УрО РАН. 1995. Т. 3. С. 202-210.
Шапиро М 3. Топология пространства невырожденных кривых //Изв. РАН. Сер. мат. 1993, Т. 57,粧 5. С. 106-126.
Agrachev A. A. On regularity properties of extremal controls // J. Dynam. and Contr. Syst. 1995. V. 1, N 3. P. 319-324.
Agrachev A. A., Gamkrelidze Я. V., Sarychev A. V. Local invariants for smooth control systems // Acta appl. math. 1989. V. 14, N 3. P. 191-237.
Agrachev A. A., Vakhrameev S. A. Morse theory and optimal control problems // Nonlinear Synthesis: Proc. Sopron Conf. Sopron, June, 1989. Boston: Birkhauser, 1991. P. 1-11.
Cerf Я., Mariconda C. Oriented measures with continuous densities and the bang-bang principle 〃 J. Funct. Anal. 1994. V. 126, N 2, P. 476-505.
Cerf R,, Mariconda C. Oriented measures // J. Math, and Appl. 1996. V. 197, N 3. P. 925-944.
Dmitruk A,V. A generalized estimate on the number of zeros for a class of linear differential equations // SIAM J. Contr. and Optim. 1992. V. 30, N 5. P. 1087-1091.
Krener A. J. A generalization of Chow*s theorem and the bang-bang theorem to nonlinear control problems // SIAM J. Contr. 1974. V. 12, N 1. P. 43-52.
Sussmann H. J. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 79. P. 171-188.
Sussmann H. J. A bang-bang theorem with bounds on the number of switchings // SIAM J. Contr. and Optim. 1979, V. 17, N 5. P. 629-651.
Sussmann H. J. Lie brackets, real analycity, and geometric control // Differentia] Geometrical Control Theory: Proc. Conf. Mich. Technol. Univ. June 28-July 2, 1982. Boston, 1983. P, 1-116.
Зиззтапп H. J. A weak regularity theorem for real analytic optimal control problems // Rev. Mat. Iberoam. 1986. N 2. P. 307-317.
Vakhrameev S. Д. On the reachable sets and bang-bang theorems for nonlinear smooth control systems of constant rank // Proc. First Asian Contr, Conf. (ASCC). Tokyo, July 27-30, 1994.
Vakhrameev S. A. A note of convexity in smooth nonKnear systems// J. Dynam and Contr. Syst. To appear.
Veliov 4 M On the bang-bang principles for linear control systems // Докл. Болг. АН. 1987. T. 40,粧 2. С. 31-33.
ТРУДЫ МА ТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ”М・ В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 113-129
УДК 517.9-h515.1
Точечные особенности условного минимумана трехмерном многообразии i
©1998 г. А« А. Давыдов, В. М. Закалюкин
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть на (С°°) гладком многообразии № без края задана пара, состоящая из гладкой функции: / : Nn —> 7? и гладкого отображения д : ^n Т Мт, т < п. Отображение д будем называть отображением ограничения и предполагать, что оно явяляется собственным. Многобразие Мт образа этого отображения будем называть пространством параметров^ а функцию / — минимизируемой. На пространстве параметров определим функцию условного минимума
歹(д) = min{/(p) I \д(р) = g, g С g(N)}・
Эта функция доставляет решение гладкой элементарной задачи /(р) Т min при условии д(р)=仆‘
Функции условного минимума естественным образом появляются при решении гладких экстремальных задач с ограничениями типа равенств, зависящими от параметров, а также при изучении времени быстродействия в гладких управляемых системах со строго выпуклыми индикатрисами. Список типичных особенностей таких функций на одномерных и двумерных пространствах параметров был получен в работах [10, 11].
Типичные особенности можно разделить на две группы ——образующие (точечные) особенности и особенности, получающиеся в результате типичного наложения образующих особенностей. Образующая особенность задается ростком пары в одной точке, а типичное наложение образующих особенностей ——мул ьт и ростком.
В настоящей работе типичные образующие особенности условного минимума для трехмерного пространства параметров расклассифицированы с точностью до Д+-эквивалентности (т.е. с точностью до гладких замен координат в пространстве параметров и прибавлений гладких функций от параметров). Размерность п многообразия N предполагается не меньшей т, поскольку в противном случа-е функция минимума определена только на подмножестве положительной коразмерности пространства параметров. Полученная классификация доставляет； конечно, и классификацию типичных особенностей границ областей определения функций условного минимума.
Сменой знака минимизируемой функции все результаты работы можно перенести на случай функции условного максимума. Особенности минимумов семейств функций, зависящих от параметров (т. е. условные минимумы в случае, когда отображение ограничения д является субмерсией), хорошо изучены (см. [5, 6, 14]). Известна их связь с особенностями волновых
‘Прн финансовой поддержке гранта Президента России, Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-01-00710) н международного фонда INTAS (грант 4373).
88113
8
8
фронтов [1, 2, 15, 16]. Описаны также особенности минимакса. Наша классификация типичных особенностей условного минимума является обобщением некоторых результатов этих работ. Она также связана с особенностями функций на многообразии с особым краем [13, 17], дискриминантами простых проектирований [8], особенностями диаграмм отображений [4].
КЛАССИФИКАЦИЯ ОБРАЗУЮЩИХ ОСОБЕННОСТЕЙ
Пара общего положения, или типичная пара, — это пара из некоторого открытого всюду плотного подмножества пространства пар, снабженного тонкой С^-топологией Уитни. Особенность условного минимума устойчива, если для всякой близкой пары найдется близкая точка с эквивалентной особенностью (другими словами, если особенность неустранима маг лнм шевелением пары).
Отображение
G:zt (f(x^g(x^
назовем отображением пары. В пространстве Rx М образа этого отображения, расслоенном над лежат графики функций условного минимума.
Точку графика условного минимума будем называть точкой с образующей особенностью^ если ее прообраз при отображении пары — одна точка.
Теорема 1. Список образующих особенностей условного минимума на трехмерном пространстве параметров для типичных пар стабилизируется при dim N = 4.
Иными словами, дальнейшее увеличение размерности п многообразия N при фиксированном m — 3 не приводит к появлению новых типичных образующих особенностей условного минимума. Эта теорема доказана в разд. 4. Отметим, что она не вытекает непосредственно из известного факта стабилизации при п = 4 списка устойчивых (относительно лево-правой группы замен координат) особенностей гладких отображений n-мерных многообразий в четырехмерные. В нашем случае группа эквивалентностей существенно меньше.
Таким образом, классификация типичных точечных особенностей условного минимума для трехмерного пространства параметров сводится к случаям трехмерного и четырехмерного многообразия N.
Пусть g 二(％, % %) — локальные координаты в пространстве параметров.
Теорема 2. При п = m = 3 росток графика условного минимума типичной пары в точке с образующей особенностью приводится R+-эквивалентностью к ростку в нуле графика одной из следующих шести функций:
\)/ \)/ \)/ \)/ \)/ \)/ с 1 2 3 4 5 6 р 厶 *\)/ \)/ \)/ \)/ \)/ \)/ с 1 2 3 4 5 6 р 厶 *О；
\)/ \)/ \)/ \)/ \)/ \)/ с 1 2 3 4 5 6 р 厶 *
\)/ \)/ \)/ \)/ \)/ \)/ с 1 2 3 4 5 6 р 厶 *
min{w I w3 + ATw + % = 0};
min{缈I缈4 +儿缈2 +工2缈+》з = 0};
min{±w2 I 炉 + хw2 + ^w + 及二0}, эти особенности устойчивы.
Теорема 3. При п = 4 u m = 3 росток графика условного минимума типичной пары в точке с образующей особенностью приводится R+-эквивалентностью к ростку в нуле графика одной из следующих семи функций:
⑴
⑵-
min{w I w3 + 尤缈 + 入2 = 0};
min{w I 仅4 + *炉 + 尤缈 + A3 — 0};
min{①4 + 尤必 + 尤加 I ж e m};
min{唱 + 尢勺 + 入2ylz2 + 炉二入з}；
min{a;2 + у2 + 尤勺 + Л2У | 犬一『=A3}-
Эти особенности также устойчивы.
Функция условного минимума, вообще говоря, не является гладкой и даже непрерывной. Особенности -таких функций наиболее естественно классифицировать с точностью до диффеоморфизмов пространства их графиков, сохраняющих расслоение над пространством параметров. Однако согласно теоремам 2 и 3 классификация типичных образующих особенностей условного минимума при m = 3 не содержит модулей и для меньшей группы, состоящей из Д+-эквивалентностей, несмотря на то , что для таких преобразований величина скачка значений функции в точке разрыва является инвариантом.
Следует отметить, что все особенности из списка теоремы 3, за исключением особенностей (6) и (7), реализуются как типичные образующие особенности условного минимума и при п > 4. Эти же две последние особенности встречаются неустранимым образом только при четырехмерном пространстве-прообразе. Они же в отличие от остальных неизоморфны типичным особенностям огибающей распространяющегося волнового фронта [16].
ПРИМЕРЫ ИЗ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Здесь приведены некоторые задачи быстродействия, решения которых имеют особенности из теоремы 3.
Рассмотрим распространение возмущения от точечного источника в трехмерном пространстве, происходящее по закону простого движения при наличии сноса с векторным полем (и, о, w). Оно описывается динамическим неравенством (ж —虱尸 + ® — v)2 + (2 — w)2 < 1.
При постоянном сносе (и, и,缈)=(0,0, v^) точки, в которые рано или поздно придет возмущение, заполняют конус с вершиной в источнике. Время, через которое возмущение достигает точки конуса, гладко внутри конуса (т.е. имеет особенность типа (1)) и доставляет особенность типа (2) на его границе (за исключением вершины) = Вне конуса функция условного минимума не определена, поэтому граница конуса представляет собой множество негладкост и этой функции. Это множество вблизи точечной особенности типа (2) является гладко вложенной гиперповерхностью.
Особенность типа (3) возникает в этой задаче при поле сноса (虱,и,缈)=(0,0, ж), если источник поместить в точку (2,0,0). Скорость распространения возмущения для нашего динамического неравенства и для управляемой системы ж = cosР-cos ф,у = cos Р• sin 0, 2 =『+sin 丛 Р G [—7г} тг], ф £ [一2打,2打],одинакова. Для нахождения экстремалей быстродействия управляемой системы в соответствии с принципом максимума Понтрягина введем сопряженный вектор ⑺=(耽,⑺2, ”з) и составим функцию Н = %、cos 8 cos。+ 耽 cos 0 sin，+ 现(『+ sin 8). На этих экстремалях 先« =九夕=0, а вектор ⑺ удовлетворяет системе уравнений =—先н,必2 =—先у, “з = —"z. Таким образом, на этих экстремалях должны быть выполнены следующие соот-
ношения:
-sin 6(耽 cos 0 + 呪 sin 0) + % cos P = 0, cos P(耽 cos 0 + ⑺2 sin 0)二 0,血=一他质2 - 0, 血=0.
Из этих уравнений для экстремалей быстродействия, близких при малых временах к анормальной экстремали, идущей от источника возмущения и лежащей в полуплоскости {у — —0} П {ж < 2}, получаем
sin, = _」一_- (呦+呦"
一(呦+也+斶产' 一(诡+幄+脆y，2' =(逐爲)而C…
Сама абнормальная экстремаль через время Т = ^1,о/^2,о5 где (^1,о)^2,о)0) — исходное значение сопряженного вектора для этой экстремали, приходит в точку плоскости ж = 1 и в последующее время перестает быть оптимальной. Нетрудно проверить, что время распространения возмущения в этой точке имеет особенность типа (3) списка теоремы 3 (см. также пример в работе [10]). Вблизи точечной особенности типа (3) множество негладкости условного минимума диффеоморфно пилиндру над ветвью полукубической параболы.
Так же как и в предыдущем случае, особенность типа (4) наблюдается на оптимальной анормальной экстремали и в момент времени, когда эта экстремаль перестает быть оптимальной. Однако если точка с особенностью (3) в любой последующий момент времени лежит внутри множества достижимости, то точка с особенностью (4) сразу с границы достижимости не уходит.
Чтобы получить особенность типа (4), вернемся к системе с постоянным сносом (0, 0, \/5), но в качестве источника возмущения возьмем теперь параболу а: = у2, z = 0. Особенность (4) наблюдается здесь в точке, в которой оптимальная анормальная экстремаль 7, выходящая лз начала координат и идущая с возрастанием ж, теряет свою оптимальность. Найдем соответствующий момент времени.
Поле индикатрис рассматриваемой управляемой системы постоянно, поэтому для каждой ее экстремали быстродействия сопряженный вектор постоянен. Он определен с точностью до умножения на по лож и те льную константу, и для абнормальной экстремали, идущей из точки (s2,s, 0) этой параболы с возрастанием z, его можно взять в виде
(如吵2,吻)=(1, -2爲一，「f展2).
Подставляя эти значения в уравнения экстремалей быстродействия нашей системы
.耽.耽.耽
，此+也+赭'，步3 +出+ 碎，此+呦+依'
находим
.§.—2s,1
〃2 +№2 У 〃2 +后， 陋
Рис. 1
Интегрируя последние уравнения от 0 до i, получаем
2.―2st. t
x(t.s 1 = s 4—.==, w(t,si = s -J—/. • c, zit.s) = —7=.
,2+ 8/,2 + 862, 5丿72
Экстремаль 7 теряет оптимальность в критической точке отображения (& s) т (ar(i, s),豺(t, s), z(£,6)), или, что равносильно, в момент времени Т, в который —(7,0) = 0, откуда Т = 1/V5. Таким образом, время быстродействия имеет особенность типа (4) в точке
(а 辺,z) = (1/2,0,1/2).
Особенности (6) и (7) списка теоремы 3 имеют простую геометрическую иллюстрацию.
Особенность (7) заменами переменных 免=%/2,敢=%/2, 土 =子一电一Q旅 приведем к виду
min{(a - .)2 + (у- й)2 | ■ - — = Л3}.
В новых переменных эта функция равна квадрату евклидова расстояния на плоскости。①扌 от точки (да, §2)до гиперболы а2—?/2 = А3. Множество негладкости такой функции состоит из оси симметрии гиперболы, отделяющей ветви гиперболы, и двух бесконечных лучей, выходящих из фокусов гиперболы и лежащих на другой оси симметрии гиперболы. При изменении А3 от —оо до +8 это множество заметает две перпендикулярные плоскости с “внрезами” (рис. 1).
Аналогично особенность (6) может быть приведена к виду
пйп{(а - Ai)2 + — - —)2 ] Y + 2/ = %}.
В такой записи значение условного минимума есть квадрат расстояния на плоскости。劣* от точки (Ai, Аг) до эллипса а2 + 2у? = %. Здесь при Л3 < 0 условный минимум вообще не определен, а при Л3 > 0 он теряет гладкость на отрезке, соединяющем фокусы эллипса. При изменении % от 0 до +оо этот отрезок заметает выпуклую оболочку параболы % = 0, % = 2#. Таким образом, здесь множество негладкости условного минимума состоит из этой оболочки и плоскости Аз = 0 (рис. 2).
Рис. 2
СТАБИЛИЗАЦИЯ ТИПИЧНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
Здесь доказана теорема 1.
Предложение 4. Условный минимум может достигаться только в критических точках отображения пары.
Действительно, если точка из N не является критической точкой отображения G, то вблизи нее отображение пары — субмерсия и образ G накрывает некоторую окрестность образа этой точки. Следовательно, имеются точки с меньшими значениями / при таких же значениях параметров.
Для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что для образующей особенности любой типичной пары при п > 4 найдется эквивалентный ее графику график функции условного минимума типичной особенности при не более чем четырехмерном пространстве-прообразе.
Итак, пусть п > 4 и пусть точка А — прообраз при отображении пары образующей особенности условного минимума. Предположим сначала, что отображение ограничения g регулярно в А, т. е. является субмерсией и имеет вид
g ： Z — % У1 = 3^1,纺=布,2/3 = %з,
в некоторых локальных координатах 敢,纺，热 в пространстве-образе с началом в точке д(4) и локальных координатах ai,«2t »чжп в прообразе с началом в А. Положим z = (а4, ...,ап). Поскольку А ——критическая точка пары, то дифференциал сужения функпии / на слой субмерсии g вырожден： Л (4) = 0・ Это равенство накладывает 爲一3 независимых условий на струю функции / в точке А . Падение на к ранга матрицы вторых производных fxx накладывает на струю функции в этой точке еще А(А + 1)/2 дополнительных условий. Итак, суммируя, получаем,что если коранг второго дифференциала сужения / на слой равен к, то струя / принадлежит подмногообразию коразмерности тг —3+А(А十Т)/2 в пространстве струй (достаточно высокого порядка). Следовательно, в случае общего положения появление таких точек возможно только при п — 3 4- к(к +1)/2 < п, т.е. при А < 3. В этом случае по лемме Морса с параметрами подходящим выбором координат «4,.. •, ап функция / может быть
приведена к виду
/(『)=^(Ж1,Ж2, ..., ж5) 士说士 .... 士 片，
где ф — некоторая гладкая функция. Используя правило множителей Лагранжа, находим, что вблизи точки 4 условный минимум может достигаться лишь при ж6 = … = жп = 0=
Рассмотрим теперь функцию。(勺匕..., ж5). Поскольку в точке А достигается условный минимум, то эта точка ——локальный минимум функпии двух переменных фо 二 ^>(0,0,0, ж4, ж5)« Предположим,что в этой точке 2-струя этой функции равна нулю。Тогда и 3-струя ф0 равняется нулю (иначе это не минимум), а равенство нулю всех третьих производных накладывает на струю функции в точке А еще четыре дополнительных условия. Таким образом, при нашем предположении на струю / в этой точке накладывается п + 4〉п независимых условий. Следовательно^ появления таких точек в случае общего положения можно избежать, а значит, можно считать,что во всяком прообразе 4 условного минимума типичной пары коранг матрицы вторых производных /гг не превосходит единицы. Снова используя лемму Морса с параметрами, приводим минимизируемую функцию к виду
/(『)二 0(化1,化2,化4)± 化；± 化^ ± ... ± 化：.
Применяя правило множителей Лагранжа, получаем, что вблизи точки 4 минимум / может достигаться только при ж5 = ... — жп — 0. Таким образом, сужение пары на это четырехмерное координатное подмногообразие N определяет такой же росток функции условного минимума. Итак, если А — регулярная точка отображения ограничения, то все типичные образующие особенности реализуются при размерности пространства-прообраза меньше пяти.
Пусть теперь А — критическая точка отображения ограничения (а значит, и отображения пары). При п > 3 коразмерность подмножества струй отображений n-мерного многообразия в трехмерное, имеющих ранг 1 или 0, равна соответственно 2(п — 1) > п и Зп > п. Появления точек с такими рангами для типичного отображения ограничения д можно избежать. Итак, типичное отображение ограничения в точке 4 имеет ранг 2 и, следовательно, в подходящих системах гладких локальных координат ж в прообразе и у в образе оно имеет вид д \ х ь-^ у, где у】=化1, у?—『2, Уз 二 а(①)на —— некоторая гладкая функция, причем ж(А) = 0 и а(4)二 0.
Ранг отображения пары либо совпадает с рангом отображения ограничения, либо больше его на 1. В первом случае в точке А выполнено 2(п — 2) независимых условий
也="=0%= " = 0
班 з 5ж31 dz dz '
Следовательно, в случае общего положения такая точка может появиться только при 2(п— —2) < п или при п < 4. Во втором случае отображение пары вблизи точки 4 имеет вид
G:zt (力 д),力=3, ?/2二3, % = «О t = ж3,
в подходящих системах локальных координат ж, (ж(А) = 0) в прообразе и (i, у) G й X М в образе. По аналогии с рассмотренным выше случаем падение ранга матрицы вторых производных Ozz в точке 4 на к накладывает на струю / в этой точке k(k +1)/2 дополнительных условий. В этом случае струя отображения пары в точке 4 принадлежит подмногообразию
коразмерности m — 2 + k(k + 1)/2 в пространстве струй. Следовательно, в случае общего положения коранг матрицы а?? в точке А может быть не более 1. Как и выше, используя лемму Морса с параметрами, отображение пары приведем к виду
У1 - ж15 у2 = ж2, д3 =矶勺 1,…，勺4)土片 土…土 片,力=g.
Теперь, снова применяя правило множителей Лагранжа, получаем, что вблизи точки А условный минимум достигается только в точках четырехмерного подмногообразия ж5 二... ♦ ♦ Е —- 3?П = 0.
Локально определенное отображение, сопоставляющее исходному отображению пары редуцированное, является открытым, т.е. типичным парам сопоставляются типичные.
Теорема о стабилизации списка типичных образующих особенностей доказана.
СЛУЧАЙ ТРЕХМЕРНОГО И ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРООБРАЗОВ
Сначала в п. 1 мы локализуем задачу, сводя исследования особенностей к изучению ростков отображения пары. Затем в п. 2, 3 мы доказываем соответственно теоремы 2 и 3 .
Локализация.
Лемма 5. Росток графика условного минимума в его точке с образующей особенностью принадлежит множеству критических значений соответствующего ростка отображения пары.
Доказательство. Действительно, пусть (д,尸(д)) — точка графика условного минимума с образующей особенностью. Пусть А ——единственный прообраз этой точки при отображении пары G, и пусть U — некоторая ее окрестность. Покажем, что эта окрестность содержит прообраз при отображении G достаточно малой окрестности точки (g, F(g))・
В силу собственности отображения ограничения g прообраз g"i(q) является компактом. Следовательно, множество V = g~i(g)\U ——также компакт. Минимум 耳 функции / на этом компакте больше 尸(д), иначе точка (g,F(g)) не была бы образующей особенностью. Ввиду непрерывности минимизируемой функции / существует такая окрестность W этого компакта У, на которой функция / принимает лишь значения, большие (F(g) + 8)/2. Поскольку отображение ограничения g собственное, то ^-прообразы точек, достаточно близких к д, содержатся в окрестности W\JU прообразаg~】(g) самой точки g . Следовательно, С-прообразы точек, достаточно близких к (g, F(g)), с одной стороны, принадлежат W \J U^ а с другой — не могут принадлежать ТУ, а, следовательно, принадлежат U、что и требовалось показать. Лемма 5 доказана.
Замечание. Лемма 5 означает, что для построения ростка графика условного минимума в точке с образующей особенностью достаточно взять множество критических значений отображения пары, суженного на малую окрестность прообраза рассматриваемой точки, рассмотреть пересечение этого множества с каждым слоем расслоения тг:йхМ—>Мив нем выбрать точку с наименьшим значением послойной координаты.
Таким образом, классы эквивалентности ростков множества критических значений отображения пары относительно группы расслоенных диффеоморфизмов R X М, сохраняющих ориентацию на слоях, доставляют нормальные формы образующих особенностей условного минимума (если, конечно, эти классы отвечают послойным минимумам).
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим точку А, образ которой при отображении пары ——точка с образующей особенностью условного минимума.
Предположим сначала, что А не является критической точкой отображения ограничения д. Тогда это отображение локально обратимо. Тем самым вблизи д(4) условный минимум совпадает с гладкой функцией /од-】и ее график локально ^-эквивалентен ростку нулевой функции, т. е. особенности (1) из списка теоремы.
Пусть теперь А — критическая точка отображения ограничения. Росток типичного ото- бражеия д : R3 т R3 в точке А может иметь одну из трех простейших особенностей Уитни [1] , записываемых в подходящих локальных координатах в виде
g : (ж,0) т ®,0),
p1=^1,p2=д,2/3 = 0(① 1,勺2,方),
где ф — одна из трех функций
0 =抬(складка)；
0 =化2①з + жз (сборка);
0 = 勺2勺3 +『1勺；+ ^з (обобщенная сборка).
Таким образом отображение ограничения уже приведено к нормальной форме. Рассмотрим теперь действие на графики условного минимума таких Д+-эквивалентностей, которые сохраняют нормальную форму отображения д.
Напомним, что Д+-эквивалентность расслоения тг : R х М —У М задается набором, состоящим из диффеоморфизма 9 : М —> М и функции Ф : М —> Д, и действует на расслоении по формуле
К X М 3 (力 д) т (力 + 屮(g), 6(g)).
Набор (О, Ф) назовем д-поднимаемым, если существуют диффеоморфизм С : N т N н функция ①：N т R такие, что
goC = eog, ф = ф o^f .
Обозначим через 碍 подгруппу ростков Д+-эквивалентностей расслоения R х N т N、состоящую из поднятий (Q, Ф) всех поднимаемых наборов (0, Ф).
Очевидно, что если две функции на N (точнее, их графики в R X N) являются Д+- эквивалентными, то графики их функций условного минимума (для заданного д) будут R+- эквивалентными.
Преобразования из Д+ для обобщенных особенностей Уитни-Морэна хорошо известны. Их инфинитезимальные аналоги содержат ^-опускаемые векторные поля, которые определяются сворачиванием инвариантов групп, порожденных отражениями серии А [3], или, что то же, векторными полями, касающимися устойчивых волновых фронтов этой серии [15].
Нормальные формы из теоремы 2 для типичной минимизируемой функции / получаются применением к случаям складки, сборки или обобщенной сборки следующего ниже более общего утверждения (леммы 6).
Пусть росток в нуле отображения до : Nn —У A1n имеет устойчивую особенность Уитни- Морэна Ак, 6《п, которую в локальных координатах запишем в стандартном виде
Яо'х^у,
д《=&, г - 1,п - 1,
Уn =p无+1 (。)，гле р用+1(优 ii …}"n)=岔n +。"1无+1，^ 1+♦•♦ + 3>n_j；cn.
Обозначим через ^(о страт (в окрестности нуля) особенности А*} состоящий из точек, в которых росток отображения д° эквивалентен этой особенности. При fc < п особенность Ak является тривиально надстроенной и, в частности, ее страт имеет положительную размерность. Он задается уравнениями жп = ... = xn^i；+i = 0.
Пусть /о : N т R — некоторая функция. На подмногообразии 笈无力 инвариантно (т.е. независимо от выбора систем координат) определено множество Е^д нулей производной функции / по направлению ядра отображения д0. В координатах z это ядро задается векторным полем х = ^~・ Инвариантно определенным подмножеством 3无」является множество Sfci2, состоящее из нулей первой и второй производных / вдоль х・ Далее по индукции определим вложенную систему подмножеств 2无山+1 С ^k,a, состоящих из точек, в которых все производные / по направлению х порядков от 1 до s + 1 обращаются в нуль.
Если функция / является функцией общего положения, то все подмножества ^无冷 при s < < п - k (если, конечно, они непусты) задаются регулярными системами уравнений
и являются гладкими вложенными друг в друга подмногообразиями 2无口 коразмерности 6, образующими флаг.
Лемма 6. Росток функции f : N Т R общего положения в любой точке £无曾 Д+- устойчив, В точке дополнения SK(fl \ 2无,，+1 он Д+-эквивалентен ростку 6 нуле одной из следующих функций:
勺士z无+- +勺n『1土吗+1 +時/+…+叫勺I±仁m勺士z无+- +勺n『1土吗+1 +時/+…+叫勺I±仁mпри 6 2 冗
勺士z无+- +勺n『1
土吗+1 +時/+…+叫勺I
±仁m
勺士z无+- +勺n『1
土吗+1 +時/+…+叫勺I
±仁m
при 1 < s < fc — 1, при 6 = 0.
Замечание 1. Во второй формуле при нечетных 靑 л s + 1 знакам 士 отвечают эквивалентные ростки, а в остальных случаях ростки неэквивалентны.
Замечание 2. Лемма 6 является аналогом для случая Д+-эквивалентности известного результата об устойчивости ростка объединения двух гладких гиперповерхностей общего положения в пространстве расслоения R X 兄"一1 —> R"~i, относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих это расслоение (другими словами, семейство функций одной переменной i, зависящее от параметров А и имеющее вид /(i, A)g(t, А) = 0} приводится к нормальной форме). Этот результат использовался в [7] для доказательства устойчивости важного класса особых лагранжевых многообразий, так называемых раскрытых зонтиков Уитни, а также в работе [12] для описания одного из простых классов особенностей уплощения проективных кривых.
Замечание 3. Лемма 6 означает также, что классические отображения Морэна 尺"+】Т Rn коранга 1 в прообразе устойчивы относительно специальной (Д+)-подгруппы лево-правых эквивалентностей.
Доказательство леммы 6. Группа Д+-эквивалентностей является геометрической (по Деймону [9]) подгруппой группы лево-правых эквивалентностей. Следовательно, для доказаг- тельства Д+-устойчивости ростка / достаточно проверить условие инфинитезимальной устой-
чивости, т. е. существования для ростка любой функции a(z) разложения a(x)^h(g(x))+vdf,
в котором h = A(g) —— некоторая гладкая функция и v ■ df — производная функции / вдоль ^о-опуска-емого поля и.
Напомним, что векторное поле и опускаемо при отображении д, если существует векторное поле о на образе, связанное с и формулой и(д(『))二 ^*и(ж), при этом поле и называется д- поднимгьемым. Поля, опускаемые при отображении д, образуют модуль над кольцом функций на образе, рассматриваемым как подкольцо К кольца функций на прообразе, образованным функциями вида ф{д{х)}.
Модуль ^о-поднимаемых векторных полей описывается следующим образом [15].
Рассмотрим функцию
歹(『п, 2/1,…,％) ~ В+1(У1, •••, Уп-11。“)— Уп,
заданную на расслоении (жп, у15^门)Т(Ui, Векторное поле и = 12 ^(у)-^ является oyi
дсгподнимаемнм тогда и только тогда, когда существуют такие гладкие функции un(^m У)и Д(жп, у), что справедливо разложение
Поднятием такого поля и является поле
虱=£ s(g。伍))腸 + ^n(xn,g0(x))~c
Заметим, что поскольку г не зависит от i/i,..., уп-к^ то поля —— являются ^-поднимаемыми. oyi
Всякое go-опускаемое поле представляется в виде суммы некоторого поля, все компоненты которого ——плоские функции, и линейной комбинации с коэффициентами из подкольца К следующих п базисных полиномиальных полей:
8石？8石？г = 1,..., пг = 1,..., п
8
石？
8
石？
г = 1,..., п
г = 1,..., п
и
伉=£ “а")方^ + %几灰~，г — 0,А; — 1. t=n-fc+l*П
Поля Uq, Ui, ..., Uk-i отвечают в указанном выше разложении функциям А = 1, ж„,. • •, ж^ соответственно.
Положим в этом разложении уг — у2 = ... = уп — Q ц h = х1^, получим
=(为 + 1)ж„ип(жп, 0) + y^%%_j(o).
Отсюда вытекает, что
5п(&,0) = ^yW+i и 匕…(0) = 0, j = 1,fc - 1.
Следовательно, над локальным кольцом Q, полученным факторизацией кольца ростков в нуле функций от ж по идеалу /, порожденному функциями ж15..., жп_!, ж*+1, модуль ^-опускаемых полей порожден полями
①二г = 0,— 1, и г = 1,- к.
ихп
Поскольку оба члена, стоящие в правой части условия инфинитезимальной устойчивости, образуют модули над кольцом функций от 化匕 …,Zn-i, В+1(『), то согласно подготовительной теореме Мальгранжа достаточно проверить выполнение этого условия с точностью до функции, принадлежащей максимальному идеалу в этом кольце, который, как легко видеть, совпадает с идеалом J.
Итак, нате условие инфинитезимальной устойчивости равносильно тому, что классы функций
" 打 df df df r
образуют над R базис Q.
Это в точности и означает, что подмногообразия Е^抖 образуют регулярный флаг. Тем самым мы доказали, что росток функции / общего положения в любой точке Ski0 устойчив и принадлежит одной из конечного числа орбит Д+-эквивалентности. Коразмерность его орбиты совпадает с коразмерностью соответствующего подмногообразия 2无田 в 笈卜,。,причем для росткоа функций / из Е无戸 \ 2无~+1 имеется не более двух различных орбит. Нормальные формы в формулировке леммы ——представители каждой из таких орбит. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы 2.
Особенности складки g образуют двумерный страт Е1>0. Минимизируемая функция в общей точке этого страта ( £ SI(0) имеет нормальную форму / — ж3, а в точках стратов Si^ и Ei,2 — единую нормальную форму / 二 ж2ж3. Минимальные значения функций ж3 и ж2ж3 при условии уз = Ж3 суть —^/^з и — |化2|^^3 соответственно, которые и доставляют соответственно нормальные формы (2) и (3) теоремы 2.
Для типичного д точки сборки образуют одномерный страт £2,0, в общих точках которого типичная функция / по лемме 6 имеет нормальную форму / = Z3 (для функции условного минимума получается случай (4)), а в отдельных точках, составляющих множество S2,i,— нормальную форму
/ =勺图± Ж3，
С помощью сдвига ж3 ь-> ж3 ± ^z】и соответствующей й^-эквивалентности в образе пару /, д приведем к виду
/ = ±W，g =遞+勺1公；+『2①3, отвечающему особенности (6) функции условного минимума.
Наконец, особенность "обобщенная сборка51 отображения д встречается в отдельных точках. В них типичная функция / имеет класс S3i0. Следовательно, по лемме 6 ее Д+-нормальная форма / 二『з・ Она определяет особенность (5) теоремы. Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Типичное отображение четырехмерных пространств имеет лишь простые устойчивые особенности [1]. Поэтому всякий росток отображения G типичной пары в подходящих локальных координатах ж15 ...,ж4 в прообразе н у】,...,д《в образе совпадает с ростком в нуле одного из следующих шести отображений:
у】=)i,…,％ 二『4 (диффеоморфизм);
У1 =『1,・・гУз =勺3, У4 - а^ (складка);
Pi =窃,…,Уз =『з, % =若 + 勺4窃(сборка)-,
Ji = Zi, •♦•, Уз =化3, s/4 = ж^ + ж^а；! + ж4а；2 (обобщенная сборка)'
у】=勺 1,..., уз = ж3, у4 = а^ + ж^Ж! + ж^2 + ①4公1 (бабочка');
У1 =耽,У2 =化2, Уз =遞 士 W + 化3幻1 + 化4『2, 2/4 —化3% (платок).
Заметим-, что в координатах gi,...,g4 в пространстве-образе расслоение тг : (Z, А) ь-> А на слои значений минимизируемой функции не имеет, вообще говоря, стандартного вида. Наша цель —— выпрямить поле ~ диффеоморфизмами, сохраняющими множество критических значений G, или , что равносильно, с помощью Д+-эквивалентностей привести это множество к стандартному виду.
Заметим также, что в случаях, когда росток G — диффеоморфизм, сборка или бабочка, его образ накрывает некоторую окрестность начала координат. Следовательно, критические значения таких ростков не лежат на графике условного минимума.
Рассмотрим случай складки. Множество ее критических значений 2 — гладкая гиперповерхность у4 二 0. Порядок касания S и слоя расслоения тг, проходящего через начало координат, для типичной пары не превосходит трех, при этом ограничение тг на эту поверхность имеет в каждой точке одну из уитневских особенностей Ао,..., А3. Эти особенности доставляют соответственно особенности (1)-(4)списка теоремы 3.
Действительно, пусть, например, этот порядок равен трем. По теореме деления функция % вблизи нуля представляется в виде % —①(力入)伊 + s(A)i3 + u(X)t2 + v(A)i + 缈(》)), где ①,s,虱,u,缈一гладкие функции,①(0,0)卢 0. После сдвига вдоль оси i на -|s(A), являющегося Д+-эквивалентностью расслоения тг, уравнение поверхности у《 = 0 можно выбрать в виде 方4 + 乜1(入)力2 + Ui(》)t + wx(A)二 0. Функции u1} v15 仅1 являются локальными координатами в пространстве А, так как отображение тг имеет в изучаемой точке особенность А3. В этих новых координатах Aj 二 и15 Аз = Vi, Аз =缈i гиперповерхность критических значений задается уравнением
力4 +》i产+ А?力+猫=0»
В этом случае функция условного минимума имеет особенность (4) из списка теоремы 3. Для особенностей 4°,…,儿2 рассуждения аналогичны.
Множество S критических значений отображения пары, имеющей особенность обобщенной сборки, диффеоморфно произведению ласточкиного хвоста на прямую. В точках прообраза I этой прямой отображение пары имеет коранг, равный единице, и поэтому в общих его точках отображение ограничения регулярно. В окрестности такой точки мы, следовательно, получаем случай “оборванного” ласточкина хвоста из задачи об особенностях функции минимума семейства функций от одной переменной, зависящего от трех параметров [1]. Другими слова-
ми, векторное поле 甚 выпрямляется и график функции условного минимума ^^-эквивалентен ростку в нуле множества критических значений отображения 工】=z】,А2 —①2,工з —化з, 力=z； +『1若 + Ж3Ж4, доставляющего особенность (5) списка теоремы 3.
Осталось рассмотреть те изолированные точки из 厶 в которых отображение ограничения особо.
Покажем, что образ такой точки Р не может лежать на графике условного минимума (или максимума). В подходящих гладких локальных координатах росток отображения пары в этой точке совпадает с ростком в нуле отображения 入】 二 勺1,工2 —勺2,，з — А(化)J =化3, где Л —— гладкая функция, ^(Р) = 0 = ^•(Р), поскольку Р — критическая точка отображения пары, К諳仍)=粉仍)="粉化))поскольку в точке Р отображение пары имеет особенность А3 ——обобщенную сборку. Для типичной пары второй дифференциал функции Л(0,0, ж3)『4)—— невырожденная квадратичная форма. Следовательно, показатели (1,1), (0,4)япляются вершинами диаграммы Ньютона этой функции. В этом случае, как легко видеть, уравнение Л(0,0,£, Z4) — 0 имеет вблизи нуля решение вида t = аж^ + ..., где а — ненулевая константа, а многоточие ——члены более высокого порядка малости по ж4. Итак, образ отображения пары накрывает некоторую окрестность нуля на оси £, отвечающей нулевым значениям》i, Л2, Аз, т.е. образ Р не является точкой графика условного минимума.
Наконец, в случа-е, когда отображение пары имеет особенность ——платок, нетрудно показать, что типичное векторное поле (а именно поле, вектор которого в особой точке не принадлежит касательному конусу к множеству критических значений платка) в пространстве-образе выпрямляется диффеоморфизмом, поднимаемым при этом отображении. Однако мы приведем другое, более короткое доказательство, связывающее рассматриваемую задачу с особенностями функции на многообразии с особым краем [17] . Как и в доказательстве теоремы 2, сначала мы приведем к нормальной форме отображение ограничения, затем найдем ^-опускаемые поля и докажем устойчивость и всюду плотность (для группы ^^эквивалентностей) соответствующих особенностей минимизируемой функции.
Если особенность ростка G — платок и пара (/, д) типичная, то росток отображения ограничения д лево-право эквивалентен отображению складки, т. е. в подходящих гладких локальных координатах совпадает с ростком в нуле отображения £f± : Ai = ж15 А2 = х2, А3 = ж| ± ж^, а минимизируемая функция / имеет в нуле невырожденную морсовскую критическую точку.
Доказательство теоремы завершает теперь следующая
Лемма 7. Росток в нуле такой функции Д^-эквивалентен ростку /0 = ~з化4 + 化i化з+ +化2化4 пРи условии, что в нуле достигается условный минимум.
Доказательство. Докажем инфинитезимальную устойчивость морсовского ростка / общего положения относительно группы ^-опускаемых Д+-эквивалентностей. Найдем снгн чала образующие модуля векторных полей, опускаемых при отображении д±. Компоненты этих полей представляют собой гладкие функции ⑦如 ж2,企3, ж4, удовлетворяющие следующей системе трех уравнений:
0 = 4(》)+ %, 0 = Аз(А) +ж4) 0 = 43(工)+ 2化3亦3 ± 2化4疝4
при некоторых гладких функциях А15 А2} А3, заданных на пространстве-образе. Из двух первых уравнений видно, что у таких полей две первые компоненты жп ж2 ——произвольные функ-
ции от А. Из третьего уравнения вытекает, что функция 4з лежит в идеале, порожденном ж3, ж4, и} следовательно, 4з（》）=工зВ（Х）, где В — некоторая гладкая функция. Эйлерово поле е0 二 х^д/дх^ + х^д/дх^ доставляет решение третьего уравнения при Аз — А3. Таким образом, удовлетворяющие третьему уравнению векторные поля х3д/дх^ -г х4дх4/дх4 представл яются в виде линейной комбинации поля е0 с коэффициентом ——функцией от А и векторного поля х3д/дх3+х^д/дх^ удовлетворяющего соотношению £3ж3±ж4а;4 = 0. Последнее поле, очевидно, пропорционально линейному полю о。二 *4»/班3 + ga/Ha^ с коэффициентом пропорциональности —гладкой функцией от ж.
Касательное пространство Т в точке / к орбите указаннной группы в пространстве ростков функций отождествляется с множеством функций ⑺ от ж, представимых в виде
宀（》）+£圖
с некоторой гладкой функцией А（А） и опускаемым полем с компонентами i（, 1 < г < 4.
Учитывая полученный выше вид опускаемых полей, находим, что Т состоит из функций ^?（ж）, представимых в виде
少（勺）= 4（》） + Е（》）（6（）./）+ J（：E）（W ，df） +61（》）黑+出2（入）£，
где v • d ——оператор дифференцирования вдоль поля о.
Обозначим через Д = аж| + Ьж3ж4 + сж^ квадратичную часть функции /（0, 0,①з, ж4） и через / идеал в кольце С（ж3, ж4） ростков в нуле функций от ж3, ж4, порожденный ростками в нуле функций
入3 = Z3 ± W И （廿0 ■ ^）1x1—г2=0-
В случае общего положения фактор-алгебра С（х3у ж4）// порождена над вещественными числами классами четырех функций
/（1） = ^//^2*1（3：!=®2=0» /（2） = 8//8。21Hl=毋2=0, /е0 = （^0 '冴）|工1=土2=0«
Здесь “общее положение" означает выполнение двух неравенств:
dx3dx! 9化39化2дх4дх1 дхлдх2dx3dx! 9化39化2дх4дх1 дхлдх210±1
dx3dx! 9化39化2
дх4дх1 дхлдх2
dx3dx! 9化39化2
дх4дх1 дхлдх2
次 0, det аЬ с ^0.
b 2（с 干 а）干b
Верхний знак у коэффициентов второй матрицы отвеча-ет случаю д+ , а нижний — случаю д_. Это второе неравенство записывается в виде
干从一（а + с）2Mo
и в случае д+ равносильно условию а : 6 : с / 1 : 0 : 1, задающему связное подмножество пространства параметров а, 6, с. В случае же д_ множество его решений имеет четыре связные компоненты.
Таким образом, в случае общего положения для ростка любой функции，(①)имеется разложение
V5) = S + С1/(1) + 3/(2) + ©3 九。
по модулю идеала С(ж){а:1, ж2,入з, (^о ■ df)}. По подготовительной теореме для всякой функции 0(化)найдется разложение
以公)=G + 'i^^" + С2^~- + ез(6о •/)
с некоторыми гладкими функциями &(z^g, %, (v0 • /)),0 < г < 3. Положив 4 二。0(工“工2, Аз, 0), % — 6(儿，％, А3) 0),少2 =。2(儿，％,入3,0), J =。3(兀，А2, Хз, 0), получаем нужное разложение
以化)=4(》)+ ^(Л)(е0 • /) + 力(X)方工 + 出2(入)^~
по модулю {(内■ df)}.
Все опускаемые поля имеют особую точку в нуле, т.е. все опускаемые диффеоморфизмы действуют на пространстве ростков функций в нуле. Поэтому для нахождения R£- нормальных форм функций / достаточно взять по одному представителю из каждой связной компоненты множества устойчивых ростков. С помощью смены знаков у некоторых переменных ж, А (также являющейся допустимым преобразованием) нетрудно получить четыре различных случая: при Аз = жз + ж4 имеем одну нормальную форму / = х^х4 + хгх3 + ж2ж4, а при Аг = Ж3 - ж^ таких нормальных форм три:
/ = W + W +勺1勺3,
/ =『3①4 +加1z3 +加2g4,
/ = 一好一w+屯爲3 +岔2g4，
График функции условного минимума для двух последних нормальных форм не содержит рассматриваемую точку ——начало координат, а две другие нормальные формы соответствуют особенностям (6) и (7)списка теоремы. Лемма 7, а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Арнольд В. Я. Варченко А. Я., Гусейн~3аде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982. Т. 1. 304 с.
Арнольд В. Я. Особенности в вариационном исчнсленнн// Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 22. С. 3-55. (Итоги науки н техники).
Арнольд В. И. Теория катастроф. М.： Наука, 1990. 128 с.
Арнольд В. Я., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности- II: Классификация и приложения // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 39. 255 с. (Итоги науки и техники).
Брызгалова Л. Я. Особенности максимума функции, зависящей от параметров// Функцнон. анализ н его прнл. 1977. Т. 11, ^ 1. С. 59-60.
Брызгалова Л. Я. О функциях максимума семейства функций, зависящих от параметров // Функцион. аналнз н его прил. 1978. Т. 12,粧 1. С. 66-67.
Гивенталъ А. Б. Особые лагранжевы многообразия и нх лагранжевы отображения// Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 33： С. 55-112. (Итоги науки и техники).
Горюнов В. В. Векторные поля н функции на дискриминантах полных пересечений н бифуркационных диаграммах проектирований// Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1988. Т, 33. С。31-54. (Итоги науки н техники).
Damon J. The unfolding and determinacy theorems for subgroups of " and 汇 //Mem. Amer. Math. Soc. 1984. V. 50, N 306. 100 p.
Davydov А. Д. Singularities of the maximum function over the preimage// Geometry in nonlinear control and differential inclusions. Warzawa: Banach Center Publ. 1995. V. 32. P. 167-181.
И. Давыдов А. А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях// Тр. МИАН. 1995. Т. 209. С. 84-123.
Казарян М. 3. Особенности границы фундаментальных систем, уплощения проективных кривых и клетки Шуберта// Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 33. С. 215234. (Итоги науки н техники).
Ляшко О. В. Классификация критических точек функций на. многообразии с особым краем// Функцнон. аналнз и его прнл. 1983. Т. 17)粧 3. С. 28-36.
Мятое В. И. Топологическая классификация ростков функций максимума и мнннмакса семейств функций общего положения //УМН. 1982. Т. 37, № 4. С. 167-168,
Закалюкин В. М. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметров, нереальность отображений// Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 22. С. 56-93. (Итоги науки н техники).
Закалюкин В, М. Огибающие семейств волновых фронтов н теория управления // Тр. МИАН. 1995. Т. 209. С. 133-142.
Заиасюкин В. М. Особенности контакта окружностей с поверхностями и флаги // Функцнон. анализ н его прнл. 1997. Т. 31,2. С. 73-76.
ТРУДЫ МА ТЕМА ТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.4. СТЕКЛОВА,工998, т. 220, с. 130-141
УДК 517.977
Области однородности Картана—Зигелякак интегральные многообразиякомплексного уравнения типа Риккати
©1998 г. М. И. Зеликин
Поступило в июне 1997 г.
В работе найдены интегральные многообразия комплексных матричных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. В частности, интегральным многообразием для комплексифицированного уравнения Риккати, возникающего в классическом вариационном исчислении и в теории оптимального управления, служит обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля. Выделяются классы комплексных матричных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью, интегральными многообразиями которых служат области однородности Картана-Зигеля в пространстве многих комплексных переменных.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим квадратичный интегральный функционал
/(&)) = ；/K4(t)底分〉+ 2(C(t)瓦 h) + (B^h, A〉］ dt.(1)
io'
Здесь А, В, C — n X n-матрицы, гладко зависящие от i; матрицы А и В симметрические. 九(・)G (?|(面由］,頂")一гладкая на отрезке ［i01 £J функция со значениями в пространстве 頂". Угловые скобки означают скалярное произведение в 頂". В вариационном исчислении функционал I возникает как вторая вариация произвольного интегрального функционала.
Уравнение Эйлера для функционала (1) в гамильтоновой форме имеет вид
力=(-~CTA~lC^B}h^CTA-lp.I’
Обозначим матрицу коэффициентов системы (2) через K(t). Запишем эту систему в матричной форме
i = k(大)Г,
где Г — фундаментальная матрица решений системы (2). Матрица коэффициентов
~ \-СтА~1С^В 4T丿
при всех значениях £ принадлежит алгебре Ли 6p(n,R) группы Ли Sp(n,R)1 поэтому Г(^) определяет поток симплектических преобразований пространства R2n.
Использование комплексных переменных для исследования вопросов оптимизации позволяет при некоторых естественных условиях вдвое понизить размерность рассматриваемых задач.
Замечание. Рассмотрим задачу минимизации функционала
/К" А) + 2〈C(t)A, А) -〈(/ + C\t))h, A〉] dt,
где h(t) € lRn; C(t) — кососимметрическая n х 冗-матрица:。丁(力)=—C(i). Уравнение Эйлера имеет вид
/ X = -C^X + Y,()
= -X-C^Y.
В данном примере матрица коэффициентов системы уравнений Эйлера принадлежит не только симплектической, но и ортогональной алгебре Ли, поэтому система (3) допускает запись в комплексной форме
£=(—C-iI)Z,⑷
где Z = X + £У. Комплексная форма уравнений Эйлера дает возможность ответить на вопрос о сопряженных точках.
Пусть матрица Г — фундаментальное решение уравнения
文二—С(”，
т.е. Г = -СГ, где det Г 我 0. Тогда нетрудно проверить, что Z = Г cost — гГ sini ——решение уравнения (4). Сопряженные точки отвечают вертикальному положению плоскости (q,p)・ С точки зрения комплексной переменной Z = X -\- iY матрице X соответствуют переменные q, а матрице У — переменные р. Значит, условие того, что плоскость содержит вертикальное направление, записывается в виде условия detX = 0. Но X =「cost, где det Г 我 0. Следовательно, расстояние между сопряженными точками равно тг.
Данная заметка продолжает исследования, начатые в работах [1, 2], в которых изучаются, в частности, комплексные решения уравнения Риккати.
УРАВНЕНИЕ ТИПА РИККАТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ,МАТРИЦА КОТОРОЙ ПРИНАДЛЕЖИТ ДАННОЙ АЛГЕБРЕ ЛИ
Пусть ® — алгебра Ли (над полем 1R или над полем С) группы G. Пусть, далее, G* (国^) (или G*(Cn), когда основное поле констант есть С) — грассманово многообразие к-мерннх плоскостей в к-мерном пространстве.
Рассмотрим линейную матричную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
十=k(大)「(5)
Предположим, что при всех значениях независимого переменного 力 матрица К(力)принимает значения в алгебре Ли ®. Тогда Р(力)W С, если Г(0) W G. Иными словами, при начальном
условии Г(0) € G система (5) определяет однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства Rn (соответственно Сп), при котором каждое из преобразований принадлежит группе G. Эти преобразования, будучи невырожденными, переводят любое к-мерное подпространство пространства 眼"(или Сп) вновь в k-мерное подпространство и тем самым порождают поток преобразований соответствующего многообразия Грассмана. (Обычно в качестве начального условия рассматривается Г(0) = /. В этом случае эволюция начинается с тождественного преобразования.)
Найдем дифференциальное уравнение, которое описывает эволюцию этих преобразований в стандартных координатах на грассмановом многообразии. Введем для этого разбиение матриц К и Г на блоки. Верхняя пара индексов будет обозначать число строк и столбцов в соответствующей подматрице. Итак, пусть
必尸）（吁修）必尸）（吁修）J^fcfn —fc)J^fcfn —fc)p(n —k)(n —Л)p(n —k)(n —Л)
必尸）（吁修）
必尸）（吁修）
J^fcfn —fc)
J^fcfn —fc)
p(n —k)(n —Л)
p(n —k)(n —Л)
Пусть W —((冗-k) X к)-матрица, определяющая координаты точки W € G*(]R") (или 6*(0)).
Теорема 1. При действии потока решений уравнения (5) эволюция матрицы W(i) описывается матричным дифференциальным уравнением с квадратичной правой частью
⑹⑹W 二 К，?-" + К^(п-к^ - WKg - WK^~k)W.
⑹
⑹
Доказательство. Как известно, матрица W при преобразовании F(t) пространства 1Й2п преобразуется с помощью дробно-линейного преобразования
W（力）=（或或6）6-幻悠）（1^ +图"一"）伙广.⑺
В последующих вычислениях мы будем для краткости формул опускать верхние индексы. Дифференцируя (7) и используя дифференциальное уравнение (5), получаем
= (К21n1 + K22F2I + "21f12h^ 4" К22r22呼))(гh +г12w0)-
-31 +%%)(% +m2修广x
x(/Tur11 + K12r21 + K11F12 修 + K12F22 抵)(f11 + Г 12w0)-1.
Преобразуем полученное выражение, выделяя коэффициенты при К“. Получаем
-~- = ^21 (Гц + Г12И/о)(Г11 Ч- Г12^о) 1 + К22Т21 +「22抵)(「1土 +「12忆)i —
—(Гз1 + r22Wo)(rn +「12^)) '[K11(F11 + Г'12И/о)(Гц + 1\2叩0) +
+ "12(r21 +г22%)(г11 +г12%) 1].
Подставив сюда выражение W(t) из ⑺,получаем окончательно
W = К21 + K22W - WKn- WK12W.
Теорема доказана.
ПОТОК РЕШЕНИЙ КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИНА ВЕРХНЕЙ ОБОБЩЕННОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ЗИГЕЛЯ
В соответствии с теоремой 1 поток решений уравнения (2), определяемый матрицей Г(^), порождает на грассмановом многообразии Gn (眼？") матричное дифференциальное уравнение Риккати
W = 一9丁 + W)4T(С + 叩)+ В(8)
с действительными матрицами А, В, С, где А и В — симметрические матрицы.
Пусть W ——комплексная (п х п)-матрица с действительной и мнимой частью X и У соответственно. Тогда если W удовлетворяет уравнению Риккати, то для матриц X и У мы получаем систему уравнений
[北=В - (У + СТ)А~\Х + С) + УА^У,⑻
[У = -УА-1^ + с) - (У + CT)A^Y.I 丿
Покажем, что система (9) определяет поток на обобщенной верхней полуплоскости Зигеля 6П. Напомним [4], что обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля — это множество комплексных симметрических n х n-матриц с положительно определенной мнимой частью: €n = {X + iY\XT = Х,УТ = У,У > 0}.
Теорема 2. Пусть W(i) = Х(%) + £У(力)一решение системы (9) с начальным условием W(tQ) W 6П. Тогда W(t) W 6П при всех t.
Доказательство. Если матрица 1У(0) симметрическая, то W(t) остается симметрической при всех значениях t. Действительно, рассмотрим уравнение
宓 т = _(。丁 + WT}A~1{C^WT) + В,(10)
которое получено транспонированием уравнения (8). Очевидно, что если 勿(力) 一 решение уравнения (8), то W(i)T ——также решение этого уравнения. Эти решения удовлетворяют одинаковым начальным условиям, и по теореме о единственности решения уравнения (8)совпадают.
Обозначим через £(£) матрицу £(t) = —4一1(力)[X(t) +C(t)]・ Если X(t),Y(力)一решение системы (9), то матрица У (i) удовлетворяет линейному уравнению типа Ляпунова
У 二 YL + IJY.(11)
Рассмотрим несколько более общее уравнение
У =： УАЧ-МУ,(12)
где А&) и M(i) — некоторые фиксированные квадратные (р х р)-матрицы, элементы А будем обозначать через Л^, элементы М — через 杜屮
Пусть /,J — наборы из т < р чисел, каждое из которых не превосходит р. Обозначим через £ja(/) оператор, заменяющий элемент, стоящий на j-м месте, на зпемент а, т. е. £%(吼 …，号，…，£m) = (£厶 …,а,…,£m), а через △(/, J) минор матрицы У (力 составленный из строк с номерами из набора / и столбцов с номерами из набора J.
Докажем формулу, описывающую эволюцию миноров матрицы У(^), являющейся решением уравнения (12).
Лемма 1. Пусть У (i) — решение системы (12). Тогда
= Е £+(13)
“' ％Ja=l旧 0=1
Доказательство. Детерминант △ можно продифференцировать двума разными способами. В первом случае рассматривается сумма детерминантов, в которой поочередно дифференцируются столбцы △, а во втором — строки.
Правая часть системы (12) состоит из двух сумм
рр
У^ н〉3 Ха$У&а + 23 例3婚出*
При вычислении производной детерминанта △ мы будем последовательно подставлять £^=i》aj?ia вместо каждого из столбцов минора △, а £^=、卩丛yg вместо каждой из строк. Тогда получим
如1支如1支y»ljmy»ljmУилyimjiУилyimji£^=1 Mj3*2/j3jm£^=1 Mj3*2/j3jm
如1支
如1支
y»ljm
y»ljm
Уил
yimji
Уил
yimji
£^=1 Mj3*2/j3jm
£^=1 Mj3*2/j3jm
(14)(14)(15)(15)
(14)
(14)
(15)
(15)
=E£%Q(Ma(J)) + E£“2CM/),J).j £J a=lt£/ 0=1
Полученное равенство доказывает лемму.
Следствие 1. Для уравнения (11) справедлив аналог формулы Лиувилля
(detY)/ = 2(Tr£) det У.
Вернемся к доказательству теоремы 2. Если det Y(i0)我 0, то det У (力)^ 0 ни при каком значении 力 т. е. при движении по верхней полуплоскости Зигеля за конечное время траг ектория системы (9) не может попасть ни в одну точку границы 5©п обобщенной верхней полуплоскости Зигеля. Но у полуплоскости Зигеля есть бесконечно удаленные граничные точки.
Докажем, что траектория W(t) системы (9) не может за конечное время уйти на бесконечность. Все бесконечно удаленные точки многообразия 6“ принадлежат компактификации его Гранины §6П. Любую бесконечно удаленную точку 抬“ можно перевести в конечную точку, принадлежащую 5©„, при помощи обобщенного дробно-линейного преобразования с симплек- тической матрицей [3]. При таком преобразовании система (9) вновь переходит в систему
вида (9). Отсюда следует, что за конечное время решение системы (9) не может уйти на бесконечность, что и завершает доказательство теоремы.
Обозначим через s*, /г = 0,1,..., п - 1, аналитические компоненты (страты) границы 5бп верхней полуплоскости Зигеля. Компактификация страта Sk относительно действия симплек- тической группы будет обозначаться через В*. Покажем, что каждый страт §* границы 5бп также является интегральным многообразием системы (9).
Теорема 3. Уравнения (9) определяют гладкий поток на каждом из многообразий €*, =： 0,1,..., п — 1.
Доказательство. Заметим, что если rkY(to) = fc, то найдется минор матрицы У(i0) порядка к, отличный от нуля, а все миноры этой матрицы большего порядка равны нулю. В силу леммы 1 вектор из всех миноров фиксированного порядка т удовлетворяет однородной линейной системе уравнений (13). В силу теоремы единственности этот вектор либо тождественно равен нулю, либо никогда не обращается в нуль. Следовательно, ранг матрицы У (t) сохраняется, т. е. гкУ(力)=к. Тем самым решения системы (9) не покидают многообразие s*. Однако в отличие от решений, лежащих внутри обобщенной верхней полуплоскости Зигеля 6П, решения, лежащие на ее границе 06п, могут уйти на бесконечность за конечное время, поскольку вне рассматриваемой карты (на бесконечности) пет точек 6”, но есть точки Зб^. Покажем, что, даже проходя через бесконечность, траектория не может сойти со страта §*.
Действительно, преобразования Г С Sp(ntR)переводят §* в себя [3]. Поскольку при компактификации к страту s* присоединяются все образы его точек при действии Sp(n,R), бесконечно удаленную точку а € §* можно перевести в его конечную точку с помощью некоторого элемента из Sp(叫眼). Легко видеть, что это преобразование не меняет вида системы (8)и траектория, проходящая через а, не покидает 6*. Теорема 2 доказана.
Итак, комплексифицированное уравнение Риккати определяет (нестационарный) поток на обобщенной верхней полуплоскости Зигеля и на каждой из компонент ее границы. Другими словами, верхняя полуплоскость Зигеля и компоненты ее границы — интегральные многообразия системы (9). Обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля является областью однородности Картана-Зигеля П1 типа [4].
Найдем условия на коэффициенты общего комплексного уравнения с квадратичной правой частью, при которых оно определяет поток на других областях однородности Картана-Зигеля.
ПОТОК НА ОБЛАСТИ ОДНОРОДНОСТИ I ТИПА
Напомним [4], что область однородности Картана-Зигеля I типа— это множество прямоугольных (q х р)-матриц W (с комплексными элементами), удовлетворяющих условию
WTW < /(16)
(знак неравенства между матрицами означает, что разность правой и левой части есть положительно определенная эрмитова матрица, черта означает комплексное сопряжение). Граница области (16) является стратифицированным многообразием, страты которого s* задаются условиями
Ck=^{W\ WTW < /, rk(/ - ^W)=储，
причем s0 = {W I 阴疗屮=/} есть граница Шилова [5] области (16).
Рассмотрим уравнение, описывающее перенос р-мерных цлоскостей с помощью отображений, определяемых линейной (р + д)-мерно近 системой дифференциальных уравнений, матрица коэффициентов которой при всех значениях аргумента 土 принадлежит алгебре Ли группы, действующей на области однородности Картана-Зигеля I типа.
Полная группа аналитических автоморфизмов области (16) обозначается через V(р, д) и определяется как группа (р + д) х (р + ^)-матриц (с комплексными элементами), сохраняющих невырожденную эрмитову форму от (р + q) переменных сигнатуры q — р. Иными словами, группа U(p, q) состоит из таких матриц G, что
&не=Н\ (17)
где Н = ( ；* ； ) (через 1р обозначена квадратная р-мерная единичная матрица). Если G = (： ；) — соответствующее блочное разбиение матрицы G, то условие (17) принимает вид
^а-^с=1р,尹胃一庐下二乙，aTb = cTd.
Дифференцируя эти соотношения, убеждаемся, что алгебра Ли И(р, q) группы U(p, q) состоит из матриц
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (записанную в блочной форме) с коэффициентами из алгебры U(p, д)
(18)(18)1曲=仪土)①+ q("丸［方=可Т (大)①+ нбy,
(18)
(18)
где x е КР, y 6 限9,产(大)=-p(i),守(力)=一克力).
Положим
K(t\ - ( pW
屮)丿
и рассмотрим преобразование Г(力)：^+勺—> ^+厶 удовлетворяющее уравнению (5).
По теореме 1 уравнение, которому удовлетворяют координаты W р-мерных плоскостей
при сдвигах на время 力 по траекториям системы (18), имеет вид
W = -f +vW-Wp-WqW.(19)
Теорема 4. Решения уравнения (19) определяют поток на области однородности Кар- тана-Зигеля I типа. Каждый страт границы этой области есть интегральное многообразие уравнения (19).
Доказательство. Имеем
亲俨^_/)二 WT(^ + гТУ - Wp - W^W) + (q - И^г + pW7 - wT^wTyw =：
=%TqT + %T 沛-(俨遊-/)p-p-(疗讨-I)qVF -河 + 耳斤-
-W^^^iV^W- /) + p - WT(f(WTW - I)-W7^.(20)
Обозначим WTW - / через У и р — W7^ через Е. Тогда (20) принимает вид
(2D(2DР = еу + уЕ‘
(2D
(2D
Заметим, что если rk Y(t0) = к (У (i)——решение системы (18)), то найдется минор порядка к, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.
В силу леммы 1 вектор, составленный из всех миноров фиксированного порядка т, удовлетворяет однородной линейной системе уравнений (12), где Л = Е‘ r М = Е. Используя
теорему единственности, заключаем, что этот вектор либо тождественно равен нулю, либо никогда не обращается в нуль. Следовательно, ранг матрицы У (i) сохраняется: rk Y(i) = к. В частности, при к — р получаем, что решения системы (19), начинающиеся внутри области
(16), при всех i остаются внутри этой области; решения же, начинающиеся на страте s*, не сходят с этого страта по крайней мере до тех пор, пока остаются в рассматриваемой карте многообразия Грассмана. Разумеется, будучи решениями уравнения с квадратичной правой частью, они могут уйти на бесконечность за конечное время, что и означает выход за пределы данной карты.
Покажем, что и при прохождении через любую бесконечно удаленную точку а решение уравнения (19) не сходит со страта s*.
Комплексные автоморфизмы области однородности Картана-Зигеля сохраняют стратификацию границы [3]. Поэтому мы можем выбрать такой автоморфизм д € U(p, д), который
переведет бесконечно удаленную точку а в конечную точку 7 того же страта s*.
Для описания действия д на уравнении (19) поступим следующим образом. Вместо того
чтобы совершать дробно-линейную замену в самом уравнении (19) (что привело бы к гро
моздким вычислениям), мн найдем действие зпемента д на соответствующей линейной систе
Р(0qTWР(0qTW。⑴丿.。⑴丿.(22)(22)ме (18), записанной в матричной форме X = КХ, где К(力)= Полагая X = дУ, получаем
Р(0qTW
Р(0qTW
。⑴丿.
。⑴丿.
(22)
(22)
Y = g-xKgY,
Матрица коэффициентов этой системы д-'Кд также принадлежит U(p,q). Действительно, так как g W U(p, д) и К W Н(р, q), имеем д7Kg = Adg К € U(p, q).
Матричное уравнение с квадратичной правой частью, построенное по системе (22), очевидно, совпадает с уравнением, которое получится в результате дробно-линейного действия элемента д на уравнении (19). Следовательно, полученное в результате замены переменных уравнение имеет ту же структуру, что и уравнение (19). Поэтому при прохождении через точку 7 его решение не сойдет со страта s*.
Теорема доказана.
ПОТОК НА ОБЛАСТИ ОДНОРОДНОСТИ II ТИПА
Напомним [4], что областью однородности Картана-Зигеля II типа называется совокупность таких комплексных (п х п)-матриц W, что
(23)(23)WTW < /, WT = -W.
(23)
(23)
Рассмотрим дифференциальное уравнение с квадратичной правой частью, отвечающее линейной 2п-мерной системе дифференциальных уравнений, матрица коэффициентов которой при всех значениях 力 принадлежит алгебре Ли группы, действующей на области Картана- Зигеля II типа.
Полная группа G аналитических автоморфизмов области (23) определяется соотношениями
/я^=я, дтКд = Л；
где
Любая матрица g € G имеет вид
где А и В — такие (п х п)-матрицы, что
^А-В^В^Ц АТВ = ~ВТА.
Алгебра Ли группы G имеет вид
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
х — ах — В%J = " + ау.
Как и для области Картана-Зигеля I типа, из теоремы 1 легко получить уравнение, описывающее эволюцию n-мерных плоскостей в пространстве С2п, т.е. для комплексных (п х к)- матриц, определяющих координаты точек Gn(С2п):
W = /3^-^W-Wa^ ТГЖ(24)
где а『=—a, 0T — —&
Теорема 5. Уравнение (24) определяет поток на областщ описываемой условиями (23). Каждый страт границы этой области является интегральным многообразием уравнения (24).
Доказательство. Прежде всего проверим, что решение уравнения (24) — кососимметрическая матрица. Действительно,
WT =_疗3俨・
Складывая полученное уравнение с (24), получаем
+ ^^) = a{W + 疗)-(W + WT)a 一(W + wT次叩T + Wg(W + w7).(25)
Из теоремы единственности следует, что если (IV + W^)(力о) = 0, то ” + 14巾)(力)三 0. Далее имеем
^(屮『讶)二 V^W + WTW = -Ж - ^aW^aW^'W - H^^^W+И7Tg + V^aW - WTWa + V^W^W,
—(W^ —『)=(W『T7 - I)/3W - WT^TW — /)+@6)
+a(WTW-I) - (WTW-I)a.
Из уравнения (26) непосредственно следует, что граница Шилова области (23)
s0 = {W I WTW = I,WT = 一叩}
является интегральным многообразием уравнения (24).
Далее обозначим WTW — I через У. Тогда уравнение (26) записывается в виде
V =(衣一 WT^Y 一 У 依一 Ж).(27)
Применяя лемму 1, заключаем, что если гкУ (力°)二 к, то гкУ (力)=к.
В случае, когда траектория проходит через бесконечно удаленную точку, ранг матрицы У (力)сохраняется. Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 4.
Теорема 5 доказана.
ПОТОК НА ОБЛАСТИ ОДНОРОДНОСТИ КАРТАНА-ЗИГЕЛЯ IV ТИПА
Напомним [4], что симметрическая область однородности Картана-Зигеля IV типа £ есть область в пространстве ф, определяемая неравенствами
|^1|2 + • • ■ + |^р|2 < /{1 + |^i + • • ■ + 圖2} < I»(28)
На области £ действует подгруппа G индекса 2 группы О(р, 2), которая оставляет инвариантной квадратичную форму, имеющую два положительных и р отрицательных квадратов в канонической записи. Матрицы д, принадлежащие этой группе, удовлетворяют уравнениям
g =歹，дтНд = Н,(29)
где
Выведем дифференциальное уравнение с квадратичной правой частью, описывающее поток на области £. Дифференцируя (29) в точке е, находим
(庐)H + Hh = 0.
Это означает, что матрица Hh кососимметрическая. Так как умножение справа на матрицу Н~1 = Н меняет знаки у последних р строк, то алгебра Ли группы G состоит из матриц вида
(30)(30)0 —с 6、с 0 d I ,6Т Р А)
(30)
(30)
где с — скаляр; bad суть р-мерные вектор-строки; 4 — (р X р)-кососимметрическая матрица.
При замене переменных (打,力2) Т (力1 — 批2,力 1 + 计2)матрица (30) слева умножается на матрицу
а справа на обратную матрицу
В результате получаются матрицы вида
—гс0Ь — id、
0гс6 + £d ].
|(6 + 询)|(6 - id) А /
Обозначим выражение 6 + »d через q. В этих обозначениях, матрицы, принадлежащие алгебре
Ли группы Ли, действующей на области Т, имеют вид
-гс0q
(31)(31)0гс q
(31)
(31)
йт扩4
где q = (q* …，口)一 комплексная р-мерная вектор-строка; 4 =(叫一действительная кососимметрическая матрица размерности (р X р).
Применим теорему 1, взяв в качестве Кп элемент —гс матрицы (31) (оставшаяся часть разбиения матрицы К определяется этим выбором однозначно). При таком выборе W представляет собой (р+ 1)-мерный вектор, совпадающий с координатами (之1, •..,马,芍+i) проективного пространства Cipr+i. Уравнение (6) в координатах 左 имеет вид
Iр .1р .
以 二 2?Л + ZZ а*^' + 2^^p+1 + iCZk - S^^'» 府=1，…，，
Ер Q(32)
当+1 = 辽今+i + d弓+迎马+1 一 e守引窗+i.
Из теоремы 1 следует, что многообразие
(33)(33)
(33)
(33)
является интегральным многообразием системы (32).
Из уравнения (33) следует, что для начальных условий z € 2U последнее уравнение системы (32) является следствием первых р уравнений этой системы.
Таким образом, первые р уравнений системы (32) после подстановки в них zp+i 二 £；=i zj определяют искомое дифференциальное уравнение, действующее на X,——области Картана- 3 иге л я IV типа.
Теорема 6. Уравнение
(34)(34)湿=另丁 + e。露■ + 另寸 e学 + iczk~^z^z^j=lj=lj=i
(34)
(34)
k= 1,…，p,
где g = (q1, ... 5 qp)——комплексная р~мерная вектор-строкщ 4 = (а, — действительная кососимметрическая матрица размерности (рхр), определяет поток на области Картана- Зигеля IV типа, описываемой условиями
同2 + ... + 同『< ^{1 + 底 + ... + z；『} < 1.(35)
Каждая аналитическая компонента границы этой области является интегральным многообразием уравнения (34).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Зеликин М. Я. К теории матричного уравнения Риккати // Мат. сб. 1991. Т. 182, JS 7. С. 970-984.
Зелики» М. И. К теории матричного уравнения Риккати. II // Мат. сб. 1992. Т. 183,拂 10. С. 87—108.
Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Физматгиз, 1961.
Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М.: Изд-во иностр, лит., 1954.
Хёрмандер 〃. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968,
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ЛМ. В. А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 142-156
УДК 517.9
О некоторых обобщениях леммы Морса
©1998 г. А. Ф. Измаилов
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Пусть X и У — банаховы пространства, V — окрестность точки е* в X, F : V т У — достаточно гладкое отображение. Известно, что если F регулярно в точке X*, т.е. Im F'(①*)= =У, то в окрестности ①* оно адекватно аппроксимируется своим линейным приближением (первым дифференциалом). Для удобства ссылок приведем точные формулировки двух разных по силе (в зависимости от накладываемых требований) утверждений такого рода.
Теорема 1. Пусть X и Y — банаховы пространства, V — открытое множество в X, отображение F :V -^Y строго дифференцируемо в точке ①* £ V, ImF'(z*) = Y.
Тогда найдутся окрестности U точки О, ТУ U V точки х^ в X и дифференцируемые по Фреше в точках Out* соответственно отображения 屮：U т X,吵：W'T X такие, что
a)中(0)=/，心(?*) = 0,中(U) c V;
6)，(0) = “(z*)二厶；
F(中(『))=F(『*)+ 尸(『*)£ Ух € U, ^(ж) = F^x^) + F^^ix) Ух G W.
В частности, если оператор F'(①*) непрерывно обратим в классическом смысле, то такие отображения 屮 м “ локально единственны и взаимно обратны.
Теорема 2 (о линеаризации). Пусть X uY — банаховы пространства, V ——открытое множество в X и отображение F € 0a (V —> У) в'точке ①* € V удовлетворяет условиям: ImF'(①*) = Y, KerF，(①*) топологически дополняемо в X.
Тогда найдутся окрестность U точки 0 в X и отображение р: U Т X такие, что
р(0)=①*, P(U) — открытое множество в X, p(U) С V;
р осуществляет диффеоморфизм U на p(U), р'(0)=厶；
F(p(『))=F(『*) + 尸(『*)① V『€ U.
Оба приведенных результата легко следуют из теорем о неявной функции [1], и оба весьма полезны в приложениях. Например, из теоремы 1 очевидно вытекает классическая теорема Люстерника [1, 2]: для касательного конуса ТМ{х^ к множеству уровня
М = {z Е M|F(『)=F(t*)}
отображения F в его регулярной точке ①* справедливо равенство
ТМ(х„) = KerF〈z*).
Теорема 2 (с повышенными требованиями гладкости) более содержательна с точки зрения использования топологических методов. В конечномерной терминологии ее результат формулируется так: гладкое регулярное отображение в некоторой гладкой криволинейной системе локальных координат (совпадающей с исходной с точностью до членов высших порядков малости) становится линейным. Приведем одно очевидное следствие теоремы 2 [3].
Следствие 1. Для окрестности U и диффеоморфизма р, существование которых утверждается в теореме 2, справедливо
°(КегГ (『*) nU) — М П p(U).
Иными словами, в условиях теоремы 2 множество уровня М отображения F, содержащее его регулярную точку ①*, локально диффеоморфно касательному к нему подпространству ТМ{х^ = KerF，(①*). В частности, в пересечении с некоторой окрестностью t* множество М является гладким многообразием, т.е. не может быть “сложно устроено'5.
Если ①* — особая (критическая, анормальная) точка отображения F} т.е. ImF，(z*)我 У, то линеаризация F (в смысле теорем 1 и 2), вообще говоря, невозможна, в чем легко убедиться на примере квадратичного отображения. В таких случаях в представлении отображения F естественно использовать старшие дифференциалы. Хорошо известный результат такого рода — лемма Морса [3-5], в соответствии с которой в случае, когда X — гильбертово пространство, а У =眼,гладкая функция F в окрестности ее невырожденной критической точки ①* (P(z*) = 0 и оператор Р(①*) € £(Х, X) непрерывно обратим) может быть гладкой невырожденной заменой переменных сделана квадратичной. Если же dim У > 1, то полный аналог леммы Морса не имеет места (см. [6]; ниже будет пояснено, что здесь имеется в виду). Тем не менее теоремы 1 и 2 и при dim У > 1 допускают вполне содержательные обобщения на нерегулярный случай, которые и приводятся ниже. Подчеркнем, что приводимое в разд. 3 обобщение теоремы 2 содержит в себе лемму Морса как частный случай.
Основу аппарата статьи составляет конструкция 2-регулярности (соответствующие определения вводятся в разд. 2). В разд. 4 доказывается новый вариант теоремы о существовании неявной функции, основанный на этой конструкции.
Всюду в работе В(/Е)= {£ € Х| ||§ —圳 < е} — открытый шар в пространстве X радиуса Е > 0 с центром в точке ① С X;
P(S,z) = inf{||S-z|||zeZ}
— расстояние от точки £ до множества Z в X (по определению р(£, 0)= оо V£ € X)； coneZ = {tx\t W R+,ж W Z}
—— минимальный конус (не обязательно выпуклый!) в X, содержащий Z.
Кроме того, систематически будет использоваться семейство линейных операторов
^P,h)e£(X.Y),田2(P,h)二尸(『*) + PF"(/)回，РС£(У,У), h € X.
Условимся, что для линейного оператора А : X —> У запись А-1 означает правый обратный к А (вообще говоря, многозначный) оператор:
А-】：Ут2Х, А-% = {『еХ|тЬ = у}, ||AT|| = sup{p(3A-%|yGK||y|| = l}.
ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ 2-РЕГУЛЯРНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Теорема 3. Пусть X uY — банаховы пространства, V — открытое множество в X, отображение F : V —> У дважды дифференцируемо по Фреше в точке t* С V. Пусть подпространство 匕 二 ImF'(①*) топологически дополняемо в Y, Y2 — его топологическое дополнение, Р ——(непрерывный) проектор на 匕 вдоль 匕 8 y. Пусть, наконец,
8ир{||{Ф2(Р, h)}』I h € К, И川I = 1} < 8,⑴
где К ——некоторый конус в X.
Тогда найдутся окрестности U точки О, W С V точки х^, в X и отображения 屮: Ur\K—yX,^:Wr\ (z* + К) —> X такие, что
а)中(0)=『*, g(『*) = 0, V。) U V;
II屮5)-内一圳=。(1罔|), I他(0)-(~图)|] =。(肥-内|1);
F(屮(2)) = F(2«) + P(%)c + ^PF〃3*)®2 依€ ОС К,
F(c) = F(s) + Р(А)®(С)+ 壮F"®)他⑺产 Vz € Wn (s + К).
Доказательству теоремы предпошлем следующие леммы (аналоги которых имеются в [7, 8]), вытекающие из теоремы о среднем.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3 (за исключением, может быть, (1)).
Тогда для любого числа Е > 0 найдутся числа 5 > 0 w 7 > 0 такие, что
вд. s(i+ 7))и %
ИЖ + ① + 产)一F(g + е + 户)-尸(％)(产-f 川 < e||Si-S2||,iif(s +。+e) - f(。* +。+?)-尸，^.)® / -門 и <(e| 同 I + и 尸 g j|i)i^-e2!!依 €B(O,S), v已QeBQyimi).
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3 (за исключением, может быть, (1)), Тогда для любого числа е > 0 найдется число 5 > 0 такое, что
в(м/)ик
||F(g + z) - F(z*) - 尸(力同 < e||圳，||F(e* + с) - F(z.) - Pgg - ^F"(s)岡2|| < e||圳2抬 W В (0,5).
Доказательство теоремы 3. Пусть ?' > 0 — такое число, что В(х„, 2r) С V. Тогда Уж € В(0,『) корректно определено многозначное отображение
①z : В(0, г) т 2х,
導⑹=S - {田2(Р, е)}7(F(s + е + 9 - F(g) - F'(x.)x - gpw(%)®2), для которого в силу (1) справедливо
①式§) = 0 Vzw(B(0m)CK)\{0}, V£WB(O“).(2)
Фиксируем число ® С (0,1). Обозначим число, стоящее в левой части (1), через С, С > 0. Пусть Й = Ту — Р — дополнительный к Р проектор. Из леммы 1 вытекает существование чисел 5 € (0,г] и 7 € (0, г/6] таких, что Vrc =G В(0,6), V^1, ^2 W B(0,7||z||)
||R(F@" + 2 + 卢)一 F(^ +。+ 产)一尸(&)(产一《2))11 < |®||e1-€2||,(3)
1 ◎
||P(F(g + 2 + 9 - F(外 +。+ 8) - F"(x,)[x,产一e2])|| < -^И- lie1-€2||.(4)
Положим г(ж) — 7||z||,① € B(0,6). В силу леммы 2 найдется окрестность U С В(0, 6) точки 0 в X такая, что Yt С U
11-0
||R(F(% + ?)- ^.)-尸(图)叫I < 5〒，з),(5)
.I11—9
||P(F(e* + ?)-^.)- 5尸‘(0.)[鹤|| < 2-^|kl|r(x).⑹
Тогда в силу (1), (3), (4) для хаусдорфова расстояния h^} ■) в пространстве X имеем Vz W (и с к) \ {о},吧,£2 е в(о, «『))
А(6(9, ФДе2)) = М{||/-г=|||? е 弘("i = 1,2}=
=inf{||z|| |Ф2(Р, е/I罔I)z =田2(P, e/l同 1)(尸-『)一
-||R(FE + ① + f 1) - F(S + 2 + ?)) - I同|TP(F(S + е + 尸)一 F(叫 + е + У))} <
< C([[R(F(e. + e + 产)-F(①* + ^ + ?2) - F'Q*)(C - 1)并+〔罔「1[中(f(?* +?+尸)一
-F(①* + ?+8)- 尸，0)ёf-h川 < 0ц?1-?2ц.(7)
Кроме того, из (1), (5), (6) получаем V『W (Ud К)\ {0}
р(0,①式0)) = inf{||z|| |z W ①,(0)} = inf{||^| |Ф2(Р,，/||叫"二 A(F(z* + z) — F(z*)-
一г旧同 + I同「P(F(2. + ①)-Fe) - ^尸‘".)[疗)} < C(||R(F(s + e) - F(%)-
-PS.)圳 + I罔L||P(F(z* + e) - F(x.) - ^F"(。*)岡2)||) < (1 - ®)r(吗.(8)
Соотношения (2),⑺ и (8) в совокупности означают, что для любого х Е (U Г\ К) \ {0} отображение ①工 в шаре В(0, г(ж)) удовлетворяет всем условиям принципа многозначных сжимающих отображений [2]; поэтому найдется элемент ^(ж) € B(0,『(z)) такой, что
К?) е 導(€(?)),(9)
причем с учетом промежуточного неравенства в (8) и леммы 2
|Ш||<2р(0,Ф«(0))/(1-0) = 0(11^11).(Ю)
Положим £(0) = 0. Тогда из (9), (10) очевидно вытекает, что отображение
中：U С K t X、中(9)=% +①+ f(z),
обладает всеми нужными свойствами. Окрестность W и отображение “ строятся аналогично. Теорема доказана.
Пусть отображение F регулярно в точке ①*. Тогда Р = 0, Фг(-Р, ^) = F'(g*) VA € X и условие (1) очевидно выполнено при К = X. Утверждение теоремы 3 в этом случае совпадает с утверждением теоремы 1.
Используя обозначения теоремы 3, введем следующие определения [6, 8].
Определение 1. Отображение F называется 2-регулярным в точке с* на элементе А € X, если
Im%(mh) = X
Определение 2. Отображение F называется 2~регулярным в точке z* на множестве НиХ, если оно 2-регулярно в этой точке на любом элементе А € Н.
Определение 3. Отображение F называется 2-регулярным в точке ①*, если оно 2-регу- лярно в этой точке на множестве 写(①*) \ {0}, где
公仅*) = {А € КегГ^ЛР^^.)^]2 = 0}.
Определение 4. Отображение F называется сильно 2-регулярным в точке z*, если существует число а > 0 такое, что
зир{||{Ф2(-Р, h)}T||| h € Н2ag) II川I = 1} < 8,
где
Н^х.) = {/» € X|||F3)川I < а,假PF"Q.)[叫 < а}.
Отметим, что условия 2-регулярности на самом деле инвариантны по отношению к выбору проектора Р (т.е. к выбору дополнения подпространства ImF'(①*)).
Из теоремы Банаха об открытом отображении и из теоремы о малом возмущении сюръективного оператора [8] следует, что в конечномерном случае сильная 2-регулярность равносильна 2-регулярности, а условие (1) — 2-регулярности отображения F в точке ①* на множестве К \ {0}- В общем же случае из сильной 2-регулярности вытекает 2-регулярностьу а из (1)— 2-регулярность на множестве К \ {0}, но не наоборот.
Некоторые частные варианты теоремы 3 (для случаев К = lin{A}1 h ^ X, и К = X) рассматривались и ранее [8].
Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 3 вместо (1) предполагается 2-регулярность отображения F в точке на элементе h Q X.
Тогда найдутся число 5 > 0 w отображения % : (—8,8) Т X, £ = 1, 2, такие, что
a)门(0), £ = 1,2,①* + m W 匕 ж* + 机 +『式方)W V V大 W (-5,6);
b) V力 W (一4 5) : F(" +出 + 力(大))=F(勺*) + 尸(①*)[抗]+ 狂f@*)攸用2, F(9*+出)=
=F0) + F\x^\th +『2閒 + ^PF〃(％)[抗 + 万(切 2.
Доказательство получается немедленно применением теоремы 3 к конусу К = Нп{А}.
Из следствия 2 очевидно вытекает обобщенная теорема Люстерника [8, 9]: если отображение F 2-регулярно в точке а\, то
гм(о = 72(图).
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
Что же касается случая К = X, то при этом результат теоремы 3 значительно менее содержателен. Дело в том, что выполнение условия (1) при К = X, вообще говоря, патологично (по крайней мере при конечной и нечетной размерности пространства X и dim У > 1), за исключением регулярного случая. Именно этот факт использовался в [6], где отсюда было выведено, что лемма Морса не может быть полностью обобщена на отображения с пространством образа произвольной размерности. Тем не менее в терминах 2-регулярности на произвольном конусе (точнее, на конусе без вершины) такое обобщение возможно — оно приводится в разд. 3.
3. ОБОБЩЕННАЯ ЛЕММА МОРСА
Теорема 4. Пусть X и Y — гильбертовы пространства, V — открытое множество в X и для отображения F С C3(V —> У) в точке ①* € V подпространство 匕=ImF'(z*) замкнуто в Y, Y2 — топологическое дополнение 匕,Р — (непрерывны^ проектор на 力 вдоль Yi в Y. Пусть для некоторого конуса К в X выполнено (1).
Тогда найдутся окрестность U точки 0 в X и отображение р; U Т X такие, что
р(0)=①*, P(U) — открытое множество в X,夕(U) С V；
р осуществляет диффеоморфизм U на p(U), р'(0)=厶；
b) F(p⑺)= F0)+ 尸(图)①+注F"(O罔2 以 wUCK.
Отметим, что в этой теореме всегда можно взять в качестве Р ортопроектор на 力= =(Im 尸伯*))丄，но конкретная реализация проектора Р не имеет значения.
Доказательство фактически дословно повторяет доказательство теоремы 1 в [6] (результат этой теоремы приводится ниже), и давать его полностью смысла нет. Отметим лишь, что основано оно на гомотопическом методе, восходящем к Р. Тому [10]. А именно, рассматривается линейная деформация
Ф:(У-^)х[0,1]->У,
屯(z,t) = F(%)h+ ^PF"(c*)同2 + t(F(s +?)_ FM-F1^-疗F"(外)岡2),
Ф(а;, 0) = F^x^x + ^PF"^.^, Ф(ж, 1) = F(x. + ж) - f^.) Vx e V - «.,(11)
и строятся окрестность U точки 0 в X л отображение £ : [0,1] х U т X, удовлетворяющие условиям:
£(1,0) = 0, £(1, U) — открытое множество в X,貿力 U) U (М —『*) Vi W [0,1];
£(1, ■) осуществляет диффеоморфизм U на £(1, U),&(1,0)=厶；
£(0, z) = х Vrc € U, причем Yz € U С К отображение Ф постоянно вдоль траектории £(“)，т.е.
①(貿力『)/)=①(£@叫,0)=①(『,0)祖€ [0,1].
При этом с учетом (11) окрестность U и отображение р : U Т X、р(ж)=①* +£(1,①)，являются искомыми.
В регулярном случае утверждение теоремы 4 совпадает с утверждением теоремы 2.
Пусть теперь У =眼.В этом случае невырожденность критической точки ①* функции F равносильна выполнению (1) при К = X, а сама теорема 4 превращается в лемму Морса.
Из теоремы 4 легко вытекает основной результат работы [6].
Следствие 3. Пусть X и Y ——гильбертовы пространства, V — открытое множество в X и для отображения F € C3(V —> У) в точке н* € V подпространство ImF，(①*) замкнуто в У. Пусть F сильно 2~регулярно 6 точке ж».
Тогда найдутся окрестность U точки Q в X и отображение р : U Т X такие, что
р(0)=①*, P(U) — открытое множество в X, p(U) С V；
р осуществляет диффеоморфизм U на p(U);
для множества уровня М = {ж € U| F(z) = F(①*)} справедливо。(，次①*) C U)= = MCp(U),
Доказательство. Воспользуемся теоремой 3 при К = cone{A € Н2a(勺*)丨 ||川| = 1}, где а ——число из условия сильной 2-регулярности. Это и даст требуемый результат, если еще убедиться, что Va > 0 найдется окрестность W CV точки ①* в X такая, что
Ж - ж# € Н2a(厶)Ух М nW.
Но это очевидно следует из того, что Vrc € М
О 二 F(『)-F(rr*)=尸(£*)(£ -厶)+ о(||ж - z/D，О = P(F(z) - F(以))=^PF"(z*)[①-①于 + 矶牍一『*If).
Следствие доказано.
Иными словами, в условиях следствия 3 множество уровня М отображения F, содержащее его сильно 2-регулярную точку ж*, локально диффеоморфно касательному к нему конусу ТМ(е*) = Т2(『)
Пример 1. Рассмотрим отображение F ;限"т Km, F(『)=^凤①卩 + G(D где В : R"-> Т ]Rm — квадратичное отображение, а отображение G € С3(1ЙП т Rm) таково, что G(0) = О, G'(0) = О, G"(0) = 0. Предположим, что F 2-регулярно в точке 0 хотя бы на одном элементе, т.е. ЗА € ]Rn такой, что rang В[Д] = т. Введем конус
Нв = {h € 财I rang В同 < m}.
Несложно показать, что в сделанных предположениях множество Rn \ Нв открыто и плотно Кп, причем Кв = (Кп \ Нв) U {0} — конус.
Условия теоремы 4 выполнены для любого замкнутого конуса К С Кв- Для всякого такого конуса К найдутся (зависящие от К) окрестность U точки 0 в R" и гладкая криволинейная система локальных координат на U (совпадающая с исходной с точностью до членов высших порядков малости), в которой отображение F на конусе К совпадает с ^В (в исходной системе координат). Отметим, что если / 卢 {0}, то по мере стремления К к Кв (например, в смысле стремления {А € ^| ||А|| = 1} к {А € Кв\ ||А|| = 1} в метрике Хаусдорфа) окрестность U, вообще говоря, стягивается к точке 0 и при К = Кв, а тем более при К — Кп} указанный результат не имеет места.
Что же касается случая Hr = {0}, то, как отмечено выше, он патологичен по крайней мере при нечетном п и m > 2.
В этом примере 不(0) = {А € IR"|B[川2 — 0} — пересечение т квадрик. Следствие 3 утверждает, что если это пересечение содержится в Кв, то множество уровня отображения F, содержащее точку 0, ему локально диффеоморфно.
В бесконечномерном случае заменить в следствии 3 условие сильной 2-регулярности условием 2-регулярности нельзя.
Пример 2. Рассмотрим функцию
Fd-IR,f他)=^>訥-1罔忆
Для нее F(0) = 0, £(0) = Кег2 ^(0) = {0}, т.е. условие 2-регулярности в точке 0 выполнено тривиальным образом. Вместе с тем последовательность {ж*}, хк = (0,..., 0, /г'1,0,...), к = =1,2,..очевидно, удовлетворяет условиям
{У} Т 0, к т 8, F(d) = 0 Vfc = 1,2,...,
т.е. множество М содержит сходящуюся к нулю последовательность ненулевых элементов. Ясно, что множества М и 6(0) не могут быть не только диффеоморфны, но даже гомео- морфны.
Объясняется это тем, что, например, для последовательности {е*}, е* = (0,..., 0,1, 0,...), к = 1,2,...,
F〃(0)[e叩=2/Ю, к too, 1dh = 1 Vk = l,2, |]{F〃(0)d]}T|| 二 sup{inf{||rc|| I 2xk/k = y}| у = ±1} = k/2 т oo, кт oo,
т.е. условие сильной 2-регулярности здесь не выполнено.
4. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 2-РЕГУЛЯРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Использованная выше конструкция 2-регулярности на конусе оказалась весьма эффективным инструментом- анализа нелинейных отображений с особенностями. Рассмотрим ее приложения к вопросу о существовании неявной функции в нерегулярном случае. Вопрос этот весьма актуален, так как до сих пор результаты такого рода получали лишь в весьма частных ситуациях (предполагалось либо выполнение условия типа (1) при К = X [8], либо неизоли- рованность рассматриваемого решения параметрического уравнения при заданном значении параметра [11]). Предлагаемый результат в какой-то мере восполняет этот пробел.
Теорема 5. Пусть £ — топологическое, а X и Y — банаховы пространства, У — окрестность точки cr0 в S； V — точки ①* в X. Пусть для отображения F : V х V —^ Y такого, что F(cro,①*) = 0, выполнены следующие условие
отображение сг -> F(cr,①*) : У -> У непрерывно в точке сг0;
2)отображение F дважды дифференцируемо п。Фреше по переменной х на V х V, причем отображения 冗：У х V т £(Х, У) а Fxx :丿 х V т £?(Х, У) непрерывны в точке (сг0) %);
подпространство 匕=1шК；(сг0)ж+) топологически дополняемо в Y)Y2 — его топологическое дополнение, Р ——(непрерывный) проектор на % вдоль 匕 в Y, R ~ 1у — Р ―■ дополнительный к Р проектор]
для любого числа Е > 0 существует окрестность W С У точки сг0 в £ така% что
||Р冗(d%)|| 0E(||RF(%g)|| + ||PF(3*)H) V^ew；
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
для некоторого конуса К в X
(乂 z*) U ①2(Р,К),(12)
sup{||{%(P, А)『|| |А е К, |岡| = 1} < оо,(13)
где
①2(p, •) ： X T К ①2(P,z)二月3,①*)з + *月=(00,z*)回2,
田2(巴3 С£(Х,У), Ф2(Р, h) = Ф21(Р, A) =： ^^0, xj + PFXX^ xJ[A], heX.
Тогда найдутся окрестность 〃 U П точки(70 в £, отображение 屮：〃 т X и число £ > 0 такие, umo
a)以")c V；
F9,r9)) = 0 VbG";
11r9)-鹏4£(|出F(<7,S)|]+||PFg,%卅/2) VbC".
Для доказательства потребуется следующая
Лемма 3. Пусть X)Уг и Y2 — банаховы пространства, У =匕 义 %, Для операторов 4 С £(Х,匕)и симметричного В € £?(Х,匕)введем отображение
Q:XtY, Q(z) = (4d,B 网 2).
Пусть Im 4 =匕,К ——некоторый конус в X, причем существует число е > 0 такое, что
Ker AQ{heX\В[用 2 = °} с к, = {0},(14)
где
К = U В(『，е|罔}(15)
сек
Пусть, наконец, существует число а > 0 такое, что
sup{||{Q/(A)}-,|i \heKQH2a, ||Л|| = 1}<оо,(16)
где
%а = {A G Х| II餉I 4 а, ||ВИ2|| < а}.
Тогда существует число с > 0 такое, что
I阿 4с(||甸+ NB同2产)打 ем(17)
Доказательство. В условиях леммы к отображению Q и конусу К в точке 0 применима теорема об оценке расстояния до множества уровня сильно 2-регулярного отображения [8, 11] (здесь работает условие (16)). Нужно отметить, что в указанных источниках эта теорема приведена для случая К = X, но ее распространение на общий случай не составляет труда. Поэтому найдутся окрестность U точки 0 в X и число Cj > 0 такие, что
р(%?2)4&(||4叫+ ||В回2『")VzeUDK,(18)
где
Е = Ker AQ{heX\В 同2 = °}.(19)
Далее, в силу (14), (15), (19)
не-^11 >^11^11 veeT2\{0}, Ухе к.
Поэтому, вводя число С2 = тах{1,Е-1}, в силу (18) имеем
I同I < CG(||4矶I + ||В岡2『")yxeUn к.(20)
Учитывая, что функции в левой и правой частях (20) однородны, отсюда получаем (17) при c = CQ2・ Лемма доказана.
Кроме того, приведем следующие несложные обобщения лемм 2 и 1 соответственно.
Лемма 4. Пусть £ — топологическое, а X uY — линейные нормиров анные пространства, У — окрестность точки о。8 Е, V — точки ①* в X. Пусть отображение F : V xV —^ —> У дважды дифференцируемо по Фреше по переменной х на V х V； причем отображение Fxx : V х V —> £2(Х,У) непрерывно в точке (сг0, ж+).
Тогда для любого числа е > 0 найдутся окрестность W и У точки сг0 в S w число 6 > 0 такие, что
B (小)U К
|]F(d Z* +/)-F(cr,a*)-居9，①*岡] < £1罔I,卜(d『* + ①)-^(cr, a:J -凡(cr,£*)z - |к.Е(сг, х^[х]2 I < 矶罔Е，II^L (% z* + £)— Fh (ст, z*) 1 Fx (ст, £*) — ^Lh 9，①*)[勺]I < e||~ II
Ver w w, Ух e B(0/).
Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 4 w, кроме того, отображение Fx : У х V —> ->£(Х, У) непрерывно в точке (сг0, жф).
Тогда для любого числа г > 0 найдутся окрестность W С У точки о。6 Е а числа 6 > 0 а)> 0 такие, что
B(%*(1 + 7))UK
||F(cr,s +『+ F) - F(cr,z* + 勺 + F) — Fh9o,£*)(fi —乎州 < file - £2||,||F(cr,6 十① + f) - F(o,% 十胃 + F) - Eh9o,z*)阮£1 -円|| < (矶罔 1 + I因(cr,£*州)IF - 円|
Voew,依 WB(O,8), ve1,€2eB(0,7lkll)«
Доказательство теоремы 5. Если предположить, что для семейства конусов ^, Е > 0, вводимого формулой (15), выполнено
依 ек/①2(р,£)= 0}#{0} Vf >о,
то, привлекая (13) и теорему о малом возмущении сюръективного линейного оператора, легко убедиться, что найдется элемент Д € X такой, что ①2(Р,八)—0, Im Ф2(-Р, /г) = У. Но в таком случае выполнены все условия теоремы 4 в [11], откуда и следует требуемый результат.
Поэтому в дальнейшем будем считать, что при некотором г > 0 и А = F式g)*), В = =^РЕн(сго,①*) выполнено (14). Но тогда в силу леммы 3 найдется число с > 0 такое, что
Mil <项及(%,内岡I + 版凡式。。,厶)叫J")打e K.
В частности, Vy € ①2(R К) и Yz € К такого, что ①2(巴勺)=У, выполнено
ll^ll <E(ll-Ry|| + ll^ll1/2)-
Тогда в силу условия (12) можем определить отображение А : У -> X такое, что
М。)€ К, Ф2(Р, MG) - -F(。, ％*) Ver е 叭(21)
ll/i^H < 0(||№(^, x.)|| + HP^cr, x.)HI/2) Vere V.(22)
В силу второй формулы в (21)
(II及(％,s)|| + IIP%(西,2*)『")|也(叫I > ||ЛФ2(Р, 〃。))|| + (2||Р j(p, A(b))||严=
=||AF(。,爆并 + ⑵|PF(。, h)И)"? V。€ У.
Но условие (13) гарантирует, что хотя бы одна из величин 117^((70,3^)11 или ||Р7^х(сг0, ^*)|| отлична от нуля, поэтому существует число е > 0 такое, что
||А⑺||2c(]|_RFg,%)|| + |]PF9,s)H)v^ev.(23)
Введем множество М — {о ^ V\F(a, xj 二 0}. В силу (22), (23)
А(<7)= 0 No ЕМ,(24)
№)#0 ^aeV\M.(25)
Выберем такое число г > 0, что В (ж*, 2r) С V. В силу оценки (22) и условия 1) теоремы можем выбрать такую окрестность W/ С У точки % в £, что
||А(сг)|| < г Ver €，
поэтому
①*+ Мсг)+£С V Vce〃〈 WWB(0,『).
Тогда для любого a ^W корректно определено многозначное отображение
Фа : В(о, г) f 2Х, %(£)=£-{%(「, А9))}Тр(а с* + А(。) + f).
В силу (13), (25)
①。(£)*0 YgeU'M VeeB(0,r).(26)
Фиксируем число ® е (0,1). Обозначим число, стоящее в левой части (13), через С, С > 0. В силу условия 4) теоремы и оценки (23) найдется окрестность 〃' С 〃‘ точки сг。в Е такая, что
ll^(^^)||<^mil VFe"'.
Отсюда в силу леммы 5, оценки (22) и условия 1) теоремы получаем существование окрестности 〃“ С U' точки сг0 в £ и числа 7 W (0,1] таких, что Ver w 〃“，VUF С В(0,7旧9州)
||Я(^(<т,①* + А(。)+ 8) - F(。, х. + A(。)+『)-凡(西,爆)6 一 d))|| < lg||e1-e2||, (27) ||P(F(°,①* + M。)+ 产)-F(b, % + A9) + d) _ 凡式。。,s)[AS),e - 厂]川 <
4 50m9)]|.1笈一门|,(28)
Положим r(cr) = 7ll^(cr)||> о € 〃“，В силу леммы 4, оценок (22) и (23) и условий 1) и 4) теоремы найдется окрестность U С 〃” точки сг0 в S такая, что V。€ 〃
I岡(F(cr,『* + Mcr)) - F(dM)- 冗9, %)厶9)川 < -—^―r(cr),
I風月g宀)-凡d自)11 .阿叫I < 4丁电)，
卜(F(cr,2 + h(cr)) - F(cr,⑴*)-月(e0,容m9) - ^%(d %)[№)]，卜 ^^^м(0川『(吟^1口耳式62)-Fxx(^x^\\ ，旧9)|[ < ^丄*『9),
IIP凡(。皿)1[ < ^丁r(。).
Но тогда, учитывая эти оценки, вторую формулу в (21) и вид ①2(Р, •), имеем Ver € 〃
||RF(6 z* + h(G)|| < ||R(F(。, &) + EG ^)A(cr))|| + I毋(F(d 图 + 夙。))二
-F(d6)-月(d £*)h9)川 < ]|RF(6z*) + 月(九,办)h9)|| + II尺及(d 2)一
一凡3,^)||- IIMGII + 7丁Г(0)< 5丁Г(办(29)
||PF(cr,£* + h(c)M < |p(F(c, A)+冃9,爆)左。)+ 月KdsHMGF)卜
+ 卜P(F(q s + h(cr)) - F(d %) - 月(6 X^h(a) - ^月К死,力)也(e)f)|| <
e !p(F(3*) + 久式九卩*泅9)]2)卜 11P刃9,%)||. 1Iа(сг))||+ |!P^дсг0,жф)-
一 еН®,z*)) J • [1h9)『+ 歹 c。lMg州Г9) < 5"。 J[|h(0■州『9).(30)
Дальше действуем аналогично доказательству теоремы 3. Из (13), первой формулы в (21), (25) и оценок (27), (28) для хаусдорфова расстояния в пространстве X имеем Vo € W \ ;Ч,
^\еев^г(а))
М ①Ю ФД€2)) = inf{||?-^2|||? € ®6), i=l,2}<
$ C(||R(F(q А + MG + 4) — F0, % + М。) +1)-冗g,厶)(产-£2)川++]|h(cr)||T||P(F(d『* + h(o) + 产)-①* + A(c) + 円一
一月.(0,%)他9)f-门川 < 创产一口1.(31)
Кроме того, из (13), первой формулы в (21), (25) и оценок (29), (30) получаем Ver W U \М
р(0,ФД0))=：Ы{И |^€ФД0)}<
< C(||RF(。,①* + MG)|| +1阿。)||T|PF(d z* + h(b))||) <(i- e)N。).(32)
Соотношения (26), (31) и (32) в совокупности означают, что Ро СК\М отображение Фст в шаре В(0, г(с)) удовлетворяет всем условиям принципа многозначных сжимающих отображений [2]; поэтому найдется элемент £(сг) € 5(0, г(с)) такой, что
£9)2(8。))，(зз)
причем с учетом (32)
||£9)|| < 2P(0, ®(0))/(1 - ®) < 2『0) = 2)依⑺||.(34)
Доопределим £(•) на М нулем:
§9) = 0 уаеипм.(35)
Из (24), (33), (35) очевидно вытекает выполнение утверждения б) теоремы для отображения
中：〃 тХ,中(сг)=『*+ h(cr)+S9)(36)
(выполнение а) очевидно по построению). Кроме того, в силу (22), (24), (34)-(36)
II中0)- A[| = [|№) +ё9)[| < (1 + 2了)|画叫 << a + 27)Z(||AF©『J|| + ||PF(ds)||i") we%
те выполнено утверждение в) при £ = (1 + 27)с. Теорема доказана.
Пусть Im 月(ст。,①*) = Y. Тогда R = 1丫, P = 0,
Ф2(Р,Х)=1тГх(а0,х#) = У,田2(Р,h)=兄缶,&) Vh W X,
и условия (12), (13) очевидно выполнены при К = X. Условие 4) теоремы 5 выполняется тривиальным образом, а ее утверждение в этом случае совпадает с утверждением стандартной теоремы о существовании неявной функции для регулярного случая [1].
Отметим, что отказаться от каких-либо условий в теореме 5 нельзя. Невозможность отказаться от условия (12) иллюстрируется тривиальным примером отображения F \^х^-^ ^ F(cr, ж) = ж2 — ст, к которому теорема 5 в точке (0,0) применима, если рассматривается £ = 1R+
(но не £ =眼).Рассмотрим условия (13) и 4) (последнее может показаться неестественным; подчеркнем, что именно это условие в теореме 5 не позволяет утверждать, что она обобщает соответствующий результат в [11]).
Пример 3. Рассмотрим отображение
F г^ х^ R2, F(cr,①)=及(『)一d
где
F。:项 2 T.毗 F。 ⑺.\ 也22 一(①1 + g)3 /
В точке (ст。，①*) — (0,0) в качестве R можем взять ортопроектор на первую координатную ось в JR? , а в качестве Р — на вторую. В этом случае
хе«2-(37)
必广Ле»2.(38)
Отображение ①2(Р, •) переводит плоскость JV — R2 в множество {у € 呼力 S 诉/4} на плоскости У =眼2. При этом точки правой ветви параболы у? = У；/4 не попадают в 瓦(X), т.е. при сг = (а,а?/4), а > 0, уравнение
F(cr, х) = 0(39)
относительно ж не имеет решений. Это объясняется тем, что такая парабола является образом прямой / = {① £ 眼2| ① 1 二 ①2} при отображении ①2(尸,•)，а при 八 € / оператор Ф2(Р} А) несюръективен. Иными словами, если, например, £ С {ст 6 赎| cr2 < crf/4} (с индуцированной топологией) выбрано так, что его замыкание содержит правую ветвь параболы сг2 = сг?/4, то именно вследствие невыполнения (13) утверждение теоремы 5 в этом примере не выполнено.
Пример 4. Рассмотрим отображение
F:lRx 限2 T 限2成)=(*'+')+； 丄、№2/q)・
''(勺 + "2)(勺2+。/2) - ег(① 1 + ①2 + G/8 - Сг /8 у
В точке (сг0, ж*) = (0,0) проекторы А и Р определим так же, как и в примере 3; при этом останутся справедливы формулы (37), (38).
Всякому числу " > 0 поставим в соответствие конус
К = К(”)= {『W 限2| 勺2 W (1 + 〃)『1,胃2 S (1 - 〃)『l}UU{①W 限2| z2 2 (1 + ")也，z2 之(1 - ^)^1}.
Очевидно, при этом V〃 > 0 выполнено (13). Кроме того, Ver К
一成。,0) = -( ； ) =4(p，m。))，
где
①9) = (—dO)EK(〃)v〃e(oj]・
Иными словами,
—F(吗 0)U ①2(兄 К(〃))V^€ (0,1].
Таким образом, здесь выполнены все условия теоремы 5, кроме 4) — оно не выполнено, так как
1中冃9,0)|| = 375"8, иаГ(<7,0)|| + (!p^(<7,0)||1/2 = <7 v<7 e».
Именно вследствие невыполнения 4) утверждение теоремы 5 в этом примере пе выполнено —легко проверяется, что уравнение (39) относительно 勺 не имеет решений ни при каком ьЕК\{0}.
Пример 5 (ср. с примером 2). Для отображения
F :联 х /2 T 吗 F(d ①)=£ ж?/г - ||ж||^ - d
все условия теоремы 5 выполнены при £ = К+; в качестве К можно взять
К 匸 к(") = {z W м £『/2 > 川同I：},
где 〃 W (0,1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Алексеев В. М., Тихомиров В. М,, Фомин С. В. Оптимальное управление. М,: Наука, 1979.
“о00е А.Д., Тихомиров В. М Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
Обен Ж.~П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.
Лена С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.; Мир, 1967.
Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
Аваков Е. Р., Аграчев 4 4, Арутюнов А. А Множество уровня гладкого отображения в окрестности особой точки и нули квадратичного отображения // Мат. сб. 1991. Т. 182)堆 8. С. 1091-1104.
Измаилов А. Ф. Проблема корректности нелинейных операторных уравнений // ЖВМиМФ. 1994. Т. 34, 排 11. С. 1567-1584.
Измаилов А. Ф., Третъяков Д. 4. Фактор-анализ нелинейных отображений. М-： Физматлит, 1994.
Аваков Е« Р. Условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств // ЖВМиМФ. 1985. Т. 25,排 5. С. 680-693.
Арнольд В. И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С. М Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, М.: Наука, 1982.
Аваков Е. Р, Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Мат. заметкн. 1990. Т. 47, 皤 5. С. 3-13.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА НМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 157-172
УДК 517.926
Внешнее воздействиекак метод регуляризации разрывных колебанийв нелинейном телеграфном уравнении
©1998 г. А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
Поступило в июне 1997 г,
В работах [1-3] выявлена роль резонансности как источника ре л аксапи онных и разрывных колебаний в нелинейном телеграфном уравнении. В настоящей статье, продолжающей исследование данного вопроса, на примере простейшей квазилинейной резонансной гиперболической краевой задачи показывается, что разрывные колебания могут быть сглажены введением в уравнение периодической внешней силы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД НОРМАЛИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ
На отрезке 0 < х < тг/2 рассмотрим краевую задачу
w« 十£(乜2 — 1)叫=usr + facosrsinx?(1.1)
(L2)
где т = (1 + e6)力 0<£《l, a>0, 6 卢 0. В качестве ее фазового пространства (пространства начальных условий (и, и/) возьмем W^ (0, тг/2) х£2(0, ^/2), где W^ состоит из функций класса W^ обращающихся в нуль при ①=0.
Для доказательства локальной однозначной разрешимости краевой задачи (1.1), (1.2) в указанном фазовом пространстве сначала перейдем от нее обычным образом к системе в Е = =£г(0, тг/2) х 工2(0,尸/2), положив /и = В% 八2 =如,где В — арифметический квадратный корень из оператора —d^/dx с граничными условиями (1.2). В итоге для h = colon(Aj, А2) получим уравнение'
雾二口…f伍⑺，(1.3)
где
/ 0 В、
口 =(丿，F = colon(0, [1 - (B~1hiy]h2 + a cost sin ①).
Рассмотрим, далее, сильно непрерывную по t группу Т($) линейных ограниченных операторов, порожденную в Е оператором П. Под решением уравнения (1.3) с произвольным начальным
условием А(0, х)=坛(①)С Е будем понимать решение интегрального уравнения
A(t, z)二 T(t)hQ(x) + f у T(t - s)F(h(s, ж), (1 + 的间曲.(1.4)
о
Наконец, применив к уравнению (1.4) принцип сжимающих отображений, убедимся, что его решение однозначно определено на некотором отрезке вида 0 < i < сД, с = const > 0, и гладко (по Фреше) зависит от начального условия 尻(仍)и параметров а, 6.
Будем интересоваться существованием и устойчивостью периодических решений краевой задачи (1.1), (1.2) и их эволюцией при изменении амплитуды внешней силы а и расстройки 8.
В задаче (1.1), (1.2) положим g = 0. Без труда убеждаемся, что спектр устойчивости нулевого решения этой вырожденной задачи состоит из чисто мнимых собственных значений
入= ±£“п, wn = 2п — 1, n = 1,2,...
Заметим, что собственные частоты wn находятся во всевозможных резонансных соотношениях нечетных порядков, а отвечающие им периодические решения описываются формулами
exp(±zwni) sinwna:, n =： 1,2,...(1.5)
Отсюда, в частности, становится понятен выбор внешней силы в уравнении (1.1): она пропорциональна сумме двух гармоник (1.5) при к = 1 и находится в резонансах 1 : (2п — 1), п = 1, 2,..., с собственными частотами.
Подчеркнем, что резонансность краевой задачи (1.1), (1.2) не позволяет применить к ней развитые в [4] методы построения колебаний. Поэтому ниже для этих целей используется специальный вариант асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского, предложенный в [5] для исследования параболических систем с малой диффузией и получивший название метода квазинормальных форм.
Суть метода квазинормальных форм состоит в следующем. Выполним в задаче (1.1), (1.2) замену времени т = (1 + g6)t и подставим в нее ряды
u = u0(7,邑①)4-fWi(r,s,①)+ …， s = E力(1.6)
“。=£ —[&⑻ ехр(СзпТ)+ 詳(s) exp(-凉附)]sin %/(1-7)
n=l
где неизвестные комплексные “амплнтудьг" & таковы , что
总…)m
(в этом случае u。С W^ (0, тг/2) при любых т, s). Приравнивая затем коэффициенты при е, для определения Wi получим краевую задачу
Необходимым и достаточным условием разрешимости этой задачи в классе 2тг-периоди- ческих по т функций является отсутствие в правой части уравнения (1.8) слагаемых, пропорциональных гармоникам (1.5) (при замене 力 на г). Приравняв указанные слагаемые к нулю, приходим к системе для нахождения амплитуд £“ из (1.7):
2厶=(—2期)4 +患^終-瑞营统+
+茲箝-唯體-壷^….，(1.9)
где *1 = а/2г,死门=0 при n > 2；
An = {(&p,m) : k,p,m € K, 3n =七氏 +5 +3m},
Pn = {(瓦 p,-m),(E-m,-p), (—m,冗 p):瓦 p, m W K, 5 = w* 4-wp - wm, k # m,p/m}, Qn = {(瓦一” 一咽，(-P«m),(—力一m,k) : k,p,me K, % =郁 一 ” 一"m}・
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
и 二 22un(s) exp(zwn?/) + vn(s) exp(-iwn2/), % 二—&/23n.(LIO)
Непосредственная проверка показывает, что, во-первых, счетная система уравнений (1.9) “свора^иваетса” в интегродифференциальную краевую задачу для w = w(s, у):
2勿=-/Wy + (1 ~M(y2^v - у - ^cosy, u(s,y + тг)三-v(s, у),(1.11)
где 从=26, М(/)——среднее значение функции /(邑 у) по у; во-вторых, для первых двух членов ряда (1.6) справедливы представления
w0 = v(s, y^-v^s, ?/2),(1-12)
(1-13)(1-13)«1 = “®2(邑如)一 "(М)]奴邑 2/2)+ 沙® y2)g(s,yi)—一[产(邑 У2)— М®2)]奴邑曲 一 b(s, У1)心(s, У2)},
(1-13)
(1-13)
глеу1 = т^х,у2 = г-①,
3(6,g) = / u(s,cr)d(7-M(/ w(s,cr) dcrV
心(％?) = У^2(«, ^) - M(w2)] da - M(J [w2(s, cr) - M(v2)]dcrV
а и = o(s,g) — произвольное решение задачи (1.11).
Краевую задачу (1.11) будем называть нормальной формой исходной задачи (1.1), (1.2) (правомерность такого названия разъясняется ниже). В качестве ее фазового пространства возьмем гильбертово пространство V функций и(у) таких, что и(у + тг)三—u(g), w(y) € e*(0 产)。
Остановимся на связи краевых задач (1.1), (1.2) и (1.11). Предположим, что последняя имеет состояние равновесия w = ^。(沙).Учитывая его в первых двух членах ряда (1.6), получим приближенное (с точностью до г2 по невязке) периодическое решение
и 二 uQ(г, ж) +Etii(「i х), т = (1 + е6)力(1.14)
краевой задачи (1.1), (1.2); здесь (см. (1.12))
的)(T, ж) = w(T +①)一ь0(T -①)，
а 2тг-периодическая по т функция иг(т, ж) аналогичным образом определяется по формуле (1.13). Условия, при которых этому приближенному решению (1.14) отвечает точное периодическое решение задачи (1.1), (1.2), предоставляет следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть краевая задача (1.11) имеет состояние равновесия и = °о(у), экспоненциально устойчивое или дихотомичное. Тогда при всех достаточно малых е > 0 ему отвечает 2тг/(1 Ч- £б)-периодическое решение исходной задачи (1.1), (1.2) с главной асимптотикой (1.14) и теми же свойствами устойчивости.
Перед обоснованием теоремы сделаем некоторые замечания. Линеаризуя задачу (1,11) на состоянии равновесия и0(у), убеждаемся, что за его устойчивость отвечает расположение спектра задачи
一n空 +[1 - "(*)-呜(/]八 - 2M(v0h)vQ(y)=》儿
a丿 h® + 7Г)三—A(y).
Из общих утверждений монографии [6] о спектре дифференциальных операторов следует, что в данном случае он состоит из счетного числа собственных чисел Лп, п = 1,2,..., причем
Re Ап —> 1 — 2M(Wg) при п оо,(1.16)
а совокупность отвечающих числам Лп собственных и присоединенных функций образует базис Рисса в пространстве V.
Из соотношения (1,16) вытекает, что условие экспоненциальной устойчивости состояния равновесия Uo(y) в теореме 1.1 автоматически предполагает выполнение неравенства
1-2М(喲 < 0.(1.17)
Если же имеет место строго противоположное (1.17) неравенство, то состояние равновесия Vq(j) заведомо неустойчиво, причем его неустойчивое многообразие бесконечномерно.
Наконец, возможна и следующая ситуация (не оговоренная в условиях теоремы 1.1): состояние равновесия 1^(“) абсолютно неустойчиво — весь спектр задачи (1.15) лежит в полуплоскости Re Л > 0 и выполнено строго противоположное (1.17) неравенство. Отметим, что в этом
случае утверждение теоремы 1.1 остается в силе. Добавим еще, что такая ситуация заведомо реализуется, так как, например, при 0 < а《1 краевая задача (1.11) имеет абсолютно неустойчивое состояние равновесия w0 = и*, а), обращающееся в нулевое при а — 0.
Доказательство теоремы 1.1. Центральный момент доказательства теоремы 1.1
——выполнение в краевой задаче (1.1), (1.2) нормализующего преобразования переменных. Для его осуществления сначала заменим т на 力 в первых двух членах ряда (1.6), а затем в формулах
щ —-Bu = Huq + eBui
положим zn = £n exp(£sn力),к = 1,2,... В результате приходим к равенству
h = Hq(z,①)+ eH\(z,『)，(1.18)
где
A = colon(Bu, w(), z =⑵，彳h 电当，…)€ b,
описывающему искомую замену переменных. В самом деле, из явного вида (1.12), (1,13) функций w0} wi вытекает, что, во-первых, равенство (1.18) задает нелинейный изоморфизм пространств 6 и Е； во-вторых, после выполнения этой замены в уравнении (1.3) получаем уравнение в %：
写=£z + ef^z.r) + s2f2(z,r,s),(1-19)
где
£z =(心1分1 一笳 1刃，e“nZn,-?6Jn^n,.,.),
a 力(*,「)： b T 厶,厶国「, £)：丄2 Т % — гладкие по совокупности переменных (в смысле Фреше) 2тг-периодические по т нелинейные операторы. Более того, для первого из них справедливы представления
/1(^1 Г) — (Л>11 /1,1) /1,2, /1,2т …)，
5一5『“12 ^ WjfcWpWm 12 ^ Wfc6JpWm(1.20)
12^з、3小 仁^4旧' ‘J
где множества Й„, В, Qn и постоянные хп те же, что и при описании системы (1.9). Выполним в уравнении (1.19) замены
zn exp(-zwnr) гп, n = 1,2,...,
в результате которых оно преобразуется к виду
~ = —Е红n+Е五(N)+g2£(N,T,E).(1.21)
Здесь операторы 五,f2 обладают теми же свойствами, что и 力,力 (см. (1.19)), причем для Д справедливы формулы типа (1.20), в которых теперь xn exp(iwnr) следует заменить на хп. Рассмотрим отвечающую уравнению (1.21) “укорененную” нормальную форму
—=：—e^Lz + f/i(3).(1.22)
Выполняя в ней замену s = Et и сравнивая представления типа (1,20) для 力 с формулами (1.9), убеждаемся, что (1.22) t^cвopaчивaeтcя^^ в краевую задачу (1.11) для функции (1.10). А так как задача (1.11) в силу условий теоремы 1.1 имеет состояние равновесия w = w0(y), экспоненциально устойчивое или дихотомичное, то и уравнение (1.22) будет иметь состояние равновесия
” = (z；,^,z^%...), Z^ = 2i3“ 喙 n = l,2,...,(1.23)
где w° — коэффициенты Фурье функции Ьо(у), с теми же свойствами устойчивости.
Остается добавить, что при возмущении правой части уравнения (1,22) гладким периодическим слагаемым г2Д грубое состояние равновесия (1.23) перейдет, очевидно, в периодическое решение /(「,&), z(「, 0) = ?о. Теорема 1.1 доказана.
В заключение сделаем одно замечание терминологического характера. В работах [1, 5] для краевых задач, аналогичных задаче (1.11), использовалось название “квазинормальная форма". Связано это с тем, что в рассматриваемых там ситуациях, несмотря на справедливость аналогов теоремы 1.1, методу формальной нормализации заведомо нельзя придать строгого смысла посредством некоторой корректной замены, В нашем же случае ситуация иная, что позволяет говорить именно о нормальной, а не о квазинормальной форме.
АНАЛИЗ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ
2」.Исследуем теперь динамику краевой задачи (1.11) в предположении, что
0 < М《1(2.1)
(случай 从 < 0 сводится к рассматриваемому заменой у Т —у). Подчеркнем, что случай (2.1) наиболее сложен и интересен, так как он соответствует максимально точной настройке внешней силы на резонансы.
Изучим сначала нормальную форму (1.11) при отсутствии внешней силы, т.е. при а = 0. Выполняя в (1.11) замену у - ^s/2 т у, приходим к краевой задаче
2s = (1 - M(v2))v- у, 〃邑 у + тг)三-u(s, у).(2.2)
Пусть u(s, у) — ее решение с произвольной начальной функцией u(0,g) С V. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Решение u(s, у) краевой задачи (2.2) определено при всех s > 0, а при s т оо, оставаясь ограниченным в С-норме, поточечно сходится к функции
ade G = {у W [0,7г] : w(0, g) / 0}.
Доказательство. Установим сначала нелокальную продолжимость и ограниченность решения w(s,у). Из структуры уравнения (2.2) следует, что если и(0,у) = 0(/0) при некотором у。€ [0, тг], то u(s, у。) = 0 (卢 0) при всех s > 0. Поэтому рассмотрению подлежат лишь точки у € G.
Фиксируем точку yQ ^ G R будем считать, что и(0,如)> 0. Тогда в силу уравнения (2.2) для функции
屮(s) = w(s,?/o) > 0(2.4)
имеем дифференциальное неравенство 2 S« 屮—，/3, откуда в свою очередь выводим оценку
0 < u(s,y0) < М, s > 0(2.5)
(константа N\ не зависит от s, у。и определяется только начальной функцией "(0, у)). Заметим, что при 少(0,沙0)< 0 справедливо аналогичное неравенство
0 < -u(s, ?/о) W №, s > 0(2.6)
(этот случай сводится к предыдущему заменой и —> —w). Теперь, объединяя (2.5) и (2.6), заключаем, что функция。(邑 у) определена при всех s > 0 и допускает оценку
sup 〔и® у)| 0 N = max{M,№}.(2.7)
j>O,O<y<ir
Следующий этап — доказательство равенства
Нт 心⑻=丄c^mesG,(2=8)
где “(s) = М(и2), а константа с0 указана в (2.3), при условии, что mesG > 0 (в противном случае “(s) = 0). Для его обоснования домножим уравнение (2.2) на v, а затем проинтегрируем по 0 < у < тг левую и правую части. В итоге для “ получаем уравнение
心=V -状-a"®4).(2.9)
Используя, далее, вытекающую из неравенства Буняковского-Коши оценку
M(w2) = ^ / 产6 g) dy < 俨曰色,以"),GY
в силу уравнения (2.9) приходим к дифференциальному неравенству
ф> ^ — (1 4- тг/З mesG)^2*(2.10)
Фиксируем произвольное достаточно малое ст > 0. Из положительности “(0) и неравенства (2.10) следует существование такого s0 = s0(cr) > 0, что
g(s) > (1 + тг/ЗтезС)-1 - сг(2.11)
при всех s > s0. Возьмем, далее, такое замкнутое множество F С G, что mes(G \ F) < сг, и разобьем его на два замкнутых подмножества
F+ = {у е F : v(0,y) > 0}, К. = {у С F :廿(0, у) < 0}.
Рассмотрим семейство функций (2.4) при уо € 耳. Учитывая в уравнении (2.2) оценку (2.11), для этих функций получаем дифференциальное неравенство
2^ < [1 - (1 + "/3 mesG)T + о]夕-d/3, s > sOj(2.12)
которое дополним неравенствами для начальных условий
0 < тг < 中(б。)< 皿2,(2.13)
где
^i = min и(во,?/о), m2 = max w(s0,i/0).Uo£F+/Uo£F+
Из соотношений (2.12), (2.13) очевидным образом следует существование такого не зависящего от jo С 耳 значения s】=Si(cr) > 財，что при всех s > Sr, у0 G F+
中⑻ < ,3[] — (1 + 7г/3 mesG)T +。] + с.(2.14)
Случай ?/о € К_ сводится к рассмотренному заменой w т —w. Поэтому существует такое не зависящее от 如 W F_ значение s2 = 52(<7)> So, что при всех s > s2, т/о G F_ оценка (2.14) справедлива для функции -屮(s). Таким образом, при всех s > s3 = max(si, s2) имеем неравенство
口^含 W(s, g)| <，3[1 - (1 + тг/З mesG)-”。] + сг.
Отсюда, учитывая и (2.7), приходим к выводу, что
屮(S)< W^ (，3[1- (l + 7r/3mesG)T+b +。『+ n2mes(：\F).
при всех s > s3. Объединяя это неравенство с оценкой (2.11) и устремляя о к нулю, получаем равенство (2.8).
Завершающий этап доказательства связан с уравнением
S= (l-g(s))" у,
где 屮一функция (2.4) при любом фиксированном у0 € [0,7г]. Применяя уже использовавшийся метод дифференциальных неравенств и учитывая равенство (2.8), без труда убеждаемся, что 屮(s) т 以仅0)ПРИ s т 8, где 办(у) определена в (2.3). Теорема доказана.
Из теоремы 2.1 следует, что при а = 0 в нормальной форме (1.11) реализуются разрывные колебания. В этом случае никаких строгих утверждений относительно поведения решений исходной задачи (1.1), (1.2) получить не удается. Ясно лишь, что оно тоже носит достаточно
нерегулярный характер (в работе [1] высказана гипотеза, что в подобной ситуации исходная краевая задача также имеет разрывные колебания). В связи с этим возникает проблема сглаживания разрывных колебаний, которая, как показано ниже, может быть решена с помощью введения внешнего воздействия подходящей амплитуды.
Для нахождения состояний равновесия задачи (1.11) применим следующий прием. Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение
dvи3 а
从-_cw _ -cosy,dy32
где с > 0 — параметр порядка единицы. Из результатов работы [7] вытекает существование у этого уравнения (при условии (2.1)) единственного антипериодического с периодом тг решения
廿二 и(у,с,а,м), 研弘厶硏0) = w0(y,c, а),(2.15)
достаточно гладкого по совокупности переменных (имеющего при подходящем уменьшении 从 любое фиксированное число непрерывных производных). Здесь "о(д,с, а) определяется как неявная функция из уравнения
CWQ + у + - cosy = 0.
Из структуры уравнения (1.11) следует, что построенное решение (2.15) является решением задачи (1.11) в том и только в том случае, когда параметр с удовлетворяет равенству
①(с,硏 м) = % Ф = Л1(г?(у,с,а,м)) — 1.(2.16)
Тем самым проблема сводится к анализу уравнения (2.16).
Несложная проверка показывает, что
$(0,a,0) = M(gcoSy)2/3)-l,戮 c,a,Q) = -2M (黑謂
Отсюда без труда выводим, что при
а〉а* = g pW(cos2"y)] /(2.17)
(в этом случае ①(0, а, 0) > 0) уравнение ①(с, а, 0) = с имеет единственный корень с0 — с°(а) > > 0, с0(аф) = 0. А затем с помощью теоремы о неявной функции заключаем, что уравнение (2.16) при всех достаточно малых ^ > 0 также имеет единственный корень с = с(а,从),с(а, 0)= Со(а). Подставляя его в (2.15), получаем искомое состояние равновесия
ь=m丸他儿)(2.18)
задачи (1.11).
Теорема 2.2. При условиях (2.1), (2.17) краевая задача (1.11) имеет состояние равновесия (2.18), являющееся экспоненциально устойчивым.
Доказательство. В части существовани я теорема уже доказана. Обоснование устойчивости связано с рассмотрением аналогичной (1.15) спектральной задачи
(2.19)(2.19)一m^ 一 △(弘 %m浊一f"&№")=*耳 m? + ")三一Ma),
(2.19)
(2.19)
где
△ = с(а,м) + d(y,&,M), § = 2胫仅也％从)八).(2.20)
Для ее исследования применим прием, аналогичный описанному выше.
Рассмотрим вспомогательное уравнение
(2-21)(2-21)(2.22)(2.22)№ + [△(у,а,м) + A]h 二-Му,а,м),
(2-21)
(2-21)
(2.22)
(2.22)
где комплексный параметр А таков, что
Re Л > Со, % = min А®, а, 0) > 0
Условие (2.22) и результаты работы [7] гарантируют существование у уравнения (2.21) единственного антипериодического с периодом тг решения
h = А(у,а,Л,м), h(y, а, Л, 0) = -w(y, а, 0)/[Д(у, а, 0) + Л],(2.23)
аналитического по Л в полуплоскости (2.22). Выражая теперь из уравнения (2.19) величину h = §/i(y, «,入〃)и подставляя во второе равенство (2.20), для нахождения собственных значений задачи (2.19), лежащих в полуплоскости (2.22), приходим к уравнению
Р(А,а,М)= 0, Р 三 2М®(у,а 卅)М丸 a,%M))-L(2.24)
Из формул (2.15), (2.23) вытекает, что функция (2,24) обладает следующими свойствами:
№Р(",0) = -2贝嗤爲(繆)- 1 < 0 при
Р(Л, а, 0) —> —1 при ]Л| т оо, Re Л > 0.
Отсюда и из принципа аргумента заключаем, что уравнение Р(А, а, 0) = 0 (а значит, и уравнение (2.24)) не имеет корней в полуплоскости Re Л > 0. Остается добавить, что неравенство (1.17) выполняется в данном случае очевидным образом (см. формулу (2.20) для △). Теорема 2.2 доказана.
Из теоремы 2.2 следует, что при а > а* в задаче (1.11) наступает регуляризация колебаний ——появляется экспоненциально устойчивое состояние равновесия (2.18), гладкое по своим переменным вплоть до значения 从=0. Если же а < а*, то, как показано ниже, подобного сглаживания колебаний не происходит.
Для того чтобы проследить за эволюцией состояния равновесия (2.18) при а < а*, снова воспользуемся описанным выше приемом. Рассмотрим вспомогательное уравнение
(2.25)(2.25)dv г?3 а
(2.25)
(2.25)
где теперь 0 < с < 1, а параметр а считаем таким, что
4
-с3/2 < а.(2.26)
Последнее условие означает, что отвечающая уравнению (2.25) кривая медленных движений (по поводу терминологии см. [8])
Г 二{(仇廿):cw - у - ^cosy = О, О < у < тг|
распадается на три1 части (рис. 1)——две устойчивые
П- = {(У, и) € Г : с - w2 < О, V < —л/ё}, Г2_ = {(丸 w) € Г : с - w2 < 0, и > v^}
и одну неустойчивую
Г+ = {(у, w) € Г : с - w2 > 0}, разделяемые точками
(汗一如，一，ё), (уо, Vc), где у0 = arccos(4c3/2/3a).
Отметим, что кривая Г обладает центральной симметрией относительно точки (тг/2,0).
Введем в рассмотрение функции w = г?Ду, с,a), j = 1,2, определенные при 0 < ?/ < тг — т/о и ?/о < ?/ < тг соответственно и задающие устойчивые участки 1\一 и Г2_ кривой Г. Из результатов монографии [8] следует, что при условиях (2.1), (2.26) уравнение (2.25) имеет единственное релаксационное антипериодическое с периодом тг решение
и = и®с,а,М)(2-27)
с нулевым приближением (рис. 2)
= (ПрИ。4 У〈二У。，(2.28)
[力(弘厶&) при 7Г - у0 < ?/ < 7Г.、 丿
Вспоминая, далее, о связи уравнения (2.25) с исходной задачей (1.11), заключаем, что функция (2.27) будет решением последней тогда и только тогда, когда с ——корень уравнения
Ф(с,а)/х) = с, Ф = 1 - М(и2).(2.29)
Из результатов монографии [8] следует, что функция Ф(с, а^ достаточно гладко зависит от (с, а), причем все ее производные по этим переменным непрерывны по 从 вплоть до значения М = 0.
Изучим сначала получающееся из (2.29) при 从=0 уравнение (см. (2.28))
中0(с,а) = e, Фо = 1 - ^ / 哝也da)电一§ / w(丸 c,a)dy.(2.30)
0卄一Uo
Отсюда непосредственно выводим, что
必⑼а)二 1 — M((^cosy)),
8%2 7 听」2 ；吗18c3/2⑵3D
而="一三(吻+ тг西二必
В свою очередь заключаем, что %(0,а*) = 0,絵(0, а*) < 0. Таким образом, при 0 < а*-а《1 уравнение (2.30) имеет корень
с0 = со (a), s(a*) == 0,(2.32)
удовлетворяющий условиям
-с^2(а) < а, ^^(Си(а), а) < L(2.33)
Отметим, что при дальнейшем уменьшении параметра а корень (2.32) непрерывно продолжается до тех пор , пока не нарушится одно из неравенств (2.33). Заметим, далее, что 屮о Т 1 при с, а Т 0, jc3/2 < а, т.е, при малых а уравнение (2.30) заведомо не имеет корней. Следовательно, существует такое значение а = а** € (0, а) что, во-первых, корень (2.32) непрерывно продолжается на интервал
а** < а < а*(2.34)
с сохранением неравенств (2.33) и, во-вторых, при а 二 а** одно из этих неравенств обращается в равенство. А так как (см. (2.31))
8%/За、2/з
Т оо при ст (彳丿 -0, то обязательно
gCq' (а**) < а**, @с-(。。(％*), а**) = 1*(2*35)
Возвращаясь к уравнению (2.29) и опираясь на теорему о неявной функции, убеждаемся в существовании у него при условии (2.34) и при всех достаточно малых 从 корня с =。(％从)， с(а, 0) = с0(а). Подставляя этот корень в (2.27), получаем интересующее нас состояние равновесия
и = и(д,а,а)(2.36)
задачи'(1.11), являющееся (в силу равенства с°(а*) — 0) продолжением по параметру а состояния равновесия (2.18).
Теорема 2.3. При условиях (2.1), (2.34) краевая задача (1.11) имеет экспоненциально устойчивое релаксационное состояние равновесия (2.36).
Доказательство. Как и в случае теоремы 2.2, в обосновании нуждается только факт устойчивости. В связи с этим снова обратимся к спектральной задаче (2.19), в которой теперь
△(弘а,М)= v2(y,a^~c(a,^.
Учитывая в этом представлении равенство (2.28), заключаем, что в данном случае величина сг0 из (2.22) обращается в нуль. Последнее обстоятельство, означающее наличие у задачи (2.19) точки поворота, значительно усложняет ее исследование ——ниже для этих целей применяется специальная техника релаксационных колебаний из [8].
Действуя описанным в п. 2.2 способом, для нахождения собственных значений задачи (2.19), лежащих в полуплоскости ReA > 0, приходим к уравнению (2.24). Вычисление предела его левой части при 从 т 0 базируется на асимптотических свойствах антипериодического решения (2.23) уравнения (2.21), которые устанавливаются с помощью развитой в [8] техники.
При фиксированном Л, удовлетворяющем условиям ReA > 0, Л 7^ 0, предел Р(Л, а,/х) при 从 т 0 вычисляется просто, так как согласно результатам из [8] в этом случае можно воспользоваться аналогичной (2.23) формулой
h(y, а, А, 0)= 一砲(弘 а)/觴(丸 а)-却⑷ + А],(2.37)
где vQ{y, а) — функция (2.28) при с 二 Со (а). Подставляя ее в (2.24), получаем уравнение
/о(Л, а) = 0,居三一2Л1(—^： ® ?、J 1) - L(2.38)
\^(у,а)-с0(а)Ч-Л/'7
Отметим, что функция (2.38) обладает свойствами, аналогичными свойствам функции (2.24), а значит, уравнение (2.38) не имеет корней в полуплоскости Re А > 0.
При малых значениях Л за счет наличия точки поворота
у* — тг — arccos [4с^2(а)/3а](2.39)
асимптотические свойства решения (2.23) существенно усложняются. Из результатов монографии [8] следует, что в этом случае функция 八(？, &,入,从)ПРИ 〃 т 0 равномерно сходится к функции, стоящей в правой части формулы (2.37), лишь на отрезках ^<у< у* ~^и У* + 8 S У W 尸,где 6 > 0 произвольно фиксировано. В окрестности же точки (2.39) решение (2.23) становится(5-образным, Точнее говоря, при Л =必з% (согласно [8] это характерный порядок малости) справедливо равенство
У**63/2/、
?1叫叫2 / b®, a, M)h® a，犷"瑞m)电= /^里不綜千奴m),(2.40)
JOAO J 6-уЭа2 - 16Со(а)
где
[，S(a)/ - 16孤)]丿,
中(n) = У [s2 + w0(s)]-2exp {- /[炉 + w0(u)]~2du - ^(Qo - w0(s)) j ds,
a функция Wo(s) — такое решение (ср. с [8]) уравнения
dwo —1
ds $2 + W()，
что
Wq(6)+ У = O(l/s), 6 T —8；也0(6)= Qu + O(l/s),6 T 8；
Qo — Wq(s) > 0, —00 < s < 00; Qq = 2,338 …
Отметим, что аналогичный (2.40) предел впервые был вычислен в работе [9] в связи с задачей об устойчивости релаксационного цикла в среде с диффузией.
Полагая в (2.24), что Л =少掲鋼 и опираясь на описанные выше асимптотические свойства решения (2.23) (в частности, используя формулу (2.40)), при 从 т 0 приходим к уравнению
(2.41)(2.41)H(z,a) = 0,
(2.41)
(2.41)
где
H = a(a)<p(rz)-0(a),
。（。）=号里"既,…+ 2“6^t^）・
Заметим, что 屮(z) -> 0 при \z\ -> oo, Rez > 0. Поэтому H(z,a) -> R(0,a) при z -> со, т.е. при z т со и * т 0 происходит "сшивание” функций Н(г, а) и В(А,а).
Перепишем уравнение (2.41) в форме
(2.42)(2.42)а(а)(^(гг)=卩(а).
(2.42)
(2.42)
Из явного вида функции 屮(z) заключаем, что при Re г > 0 имеет место оценка
I^MI < У [s2 + w0(s)]~2I^MI < У [s2 + w0(s)]~2
I^MI < У [s2 + w0(s)]~2
I^MI < У [s2 + w0(s)]~2
Объединяя ее с неравенством а(а) < 卩(а), эквивалентным второму неравенству (2.33) и справедливым в интервале (2.34), убеждаемся, что при всех z таких, что Rez > 0, модуль левой части равенства (2.42) строго меньше правой.
Проведенный анализ показывает, что уравнения (2.38) и (2.41) не имеют корней в полуплоскостях ReA>0nRe2i>0 соответственно. А отсюда и из факта их “стиваниа" при z —> 8 и Л —> 0 вытекает отсутствие при всех достаточно малых 从 корней в полуплоскости Re Л > 0 и у уравнения (2.24). Остается добавить, что неравенство (1.17) здесь, как и в случае теоремы 2.2, выполняется автоматически. Теорема 2.3 доказана.
Вопрос о судьбе состояния равновесия (2.36) при а < а** остается открытым. По- видимому, при некотором а = *3), &г(0)二 а**, оно “спивается” с неустойчивым состоянием равновесия и исчезает при а < асг(/х).
В пользу этой гипотезы свидетельствуют следующие факты. Во-первых, равенство из (2.35) означает, что при а = а** корень с0 уравнения (2.30) становится кратным- Во-вторых, из отмеченных выше свойств функции Фо (см. (2.30)) с необходимостью вытекает существование у уравнения (2.30) при некоторых значениях параметра а < а* хотя бы одного такого корня с = Ci (а), что
^^■(61 (а), а) > 1- (2.43)
В-третьих, корню с = q(a) в задаче (1.11) соответствует дихотомичное состояние равновесия. Действительно, неравенство (2.43) означает, что а(а) > 卩(а). А так как функция 屮(/),屮(0)= 1, при вещественных г > 0 монотонно убывает и стремится к нулю при z —> 8, то в данном случае уравнение (2.42) имеет, очевидно, положительный корень.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, при условиях (2,1), (2.17) в краевой задаче (1.1), (1.2) наблюдается "сглаживание” колебаний: из теорем 1.1 и 2.2 вытекает существование у нее устойчивого периодического решения, гладко зависящего от % 从. Если же выполнены неравенства (2.34), т.е. внешнее воздействие недостаточно интенсивно, то происходит лишь частичное “сглаживание”： в этом случае краевая задача (1.1), (1.2) в силу теорем 1.1 и 2.3 имеет при подходящем согласовании малых параметров Е,从 устойчивое релаксационное периодическое решение.
Следует также отметить, что полученные результаты проливают дополнительный свет на природу релаксационных колебаний в системах с распределенными параметрами. А именно показано, что источником релаксационности может служить исключительно резонансность, а не сингулярные возмущения, что исследовалось подробно в монографии [8]. При этом существенно наличие обязательно счетного числа резонансов, а потому данный феномен заведомо невозможен в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.
Наконец, подчеркнем, что вопрос об описании полной динамики нормальной формы (1.11) по параметру а остается открытым и является очень трудным. Как показано, например, в работе [10], аналогичный вопрос весьма сложен даже при наличии только одного резонанса 1:1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Колесов А. ТО., Розов Н. X. Построение периодических решений уравнения типа Буссинеска с помощью метода квазинормальиых форм // Фуид. и прикл. математика. 1995. Т. 1,拂 1. С. 207-220.
Колесов Д. Ю. Релаксацоииые циклы нелинейного волнового уравнения, гладко зависящего от параметров // Докл. РАН. 1995. Т. 341,城 2. С. 158-160,
Камбулов В. Ф. Резоиансность как источник релаксационных колебаний в системах телеграфных уравнений // Докл. РАН. 1994. Т. 334, MI 5. С. 569-570.
Колесов Д. 10. Устойчивость автоколебаний телеграфного уравиеиия, бифурцирующих из состояния равновесия // Мат. заметки. 1992. Т. 51,拂 2. С. 59-65,
Колесов ТО. С. Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией // Мат. сб. 1993. Т. 184,排 3. С. 121-136.
Наймарк М. 4= Линейные дифференциальные операторы. М.:力нзматгнз, 1969.
Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Мат. сб, 1960. Т. 50, № 3, С. 299-334.
Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов Д. Ю., Розов Н. X. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.
Колесов А. ТО. Устойчивость однородного цикла в системах с диффузией: Канд. дне. М.: МИАН, 1987.
Федотов Я. 5. Влияние внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1979. С. 86-110.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ЛМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 173-194
УДК 517.9
Аппроксимационная линейная редукцияв дифференциальной игренаведения-уклонения
©1998 г. А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Антагонистическая позиционная дифференциальная игра в формализации Н. Н. Красовского (см. [1]) есть совокупность двух задач об управлении с гарантией. Задачи ставятся перед игроками-антагонистами, управляющими различными входами динамической системы. Игрок, решающий задачу, выбирает закон управления в классе обратных связей (позиционных стратегий), его антагонист не ограничивается в выборе закона управления. Различаются два типа позиционных дифференциальных игр — игры на минимакс-максимин платы и игры наведения-уклонения. В игре на минимакс-максимин платы качество траекторий системы оценивается некоторым функционалом — платой. Задача первого игрока состоит в выборе позиционной стратегии, минимизирующей максимально возможное значение платы, задача второго игрока — в выборе позиционной стратегии, максимизирующей минимально возможное ее значение. При игре наведения-уклонения в фазовом пространстве системы фиксируется некоторое целевое множество. Перед первым игроком ставится задача о выборе позиционной стратегии, гарантирующей наведение системы на целевое множество, перед вторым игроком ——задача о выборе позиционной стратегии, гарантирующей уклонение системы от целевого множества (задачи могут дополняться условиями соблюдения и соответственно нарушения заданных фазовых ограничений до момента наведения). Теория позиционных дифференциальных игр представлена в монографиях [1-7]. Ключевой факт теории — взаимодополняемость задач дифференциальной игры. В игре на минимакс-максимин платы — это равенство оптимальных значений платы в задачах первого и второго игроков и существование седловой точки в пространстве пар позиционных стратегий, в игре наведения-уклонения — это альтернатива разрешимости: разрешима либо задача гарантированного наведения первого игрока, либо задача гарантированного уклонения второго игрока.
Основные дифференциально-игровые методы, развиваемые в последние годы, — метод стохастического программного синтеза [4, 6] и метод минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби [5, 7]. Эти методы более адекватны игре на минимакс-максимин платы; поэтому большая часть современных публикаций связана с этим типом дифференциальной игры. В настоящей работе мы, рассматривая новую интерпретацию игровых задач, возвращаемся к более простой игре наведения-уклонения. Отметим, что решения задач на минимакс и максимин платы могут быть построены с помощью решений семейства задач наведения и уклонения [1].
В статье предлагается аппроксимационная линейная редукция игры наведения-уклонения. Именно, строится однопараметрическое семейство задач линейного программирования повышающейся конечной размерности такое, что достижимость нулевого оптимального значения в каждой из этих задач есть критерий разрешимости задачи наведения. Метод редукции объединяет идею рандомизации, идущую от метода стохастического программного синтеза [4, 6], с методом квазистратегий, восходящим к [8, 9] и развитым в [3]. Квазистратегия того или иного игрока — это неупреждающая программная реакция на программные управления противника. Как показано в [3], задача наведения (уклонения) в классе квазистратегий эквивалентна такой же задаче в классе позиционных стратегий. Мы рассматриваем аппроксимационные задачи наведения в классах специальных стохастических квазистратегий. Эти задачи, с одной стороны, представляются в виде задач линейного программирования, с другой стороны, оказываются — в подходящем аппроксимационном смысле ——эквивалентными задаче гарантированного позиционного наведения.
В разд. 2 дается сводка используемых фактов. В разд. 3 строятся задачи линейного программирования и формулируется теорема о редукции. В разд. 4 теорема доказывается.
Далее исследуется вопрос об устойчивости критерия разрешимости, приведенного в теореме о редукции. В более широкой постановке это вопрос о построении позиционных аппроксимаций стохастических квазистратегий. В качестве таких аппроксимаций предлагаются стохастические процедуры управления с поводырем, аналогичные тем, которые ранее применялись при стохастической аппроксимации смешанных стратегий [1, 10].
Раздел 5 посвящен определению стохастических процедур управления с поводырем. В разд. 6 строятся процедуры, служащие аппроксимациями стохастических квазистратегий, для них указываются вероятностные оценки точности в задаче наведения и формулируется утверждение об устойчивости критерия разрешимости теоремы о редукции. В разд. 7 дается доказательство центральной оценки разд. 6.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА НАВЕДЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ
В данном разделе мы кратко воспроизводим постановку позиционной дифференциальной игры наведения-уклонения в формализации Н.Н. Красовского [1] и даем точную и аппроксимационную формулировки теоремы об альтернативе. Эти результаты составят базу предлагаемой ниже линейной редукции.
Рассматривается управляемая динамическая система, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением
而(力)=f(t,x(t),u(t),v(t))(1)
в n-мерном евклидовом пространстве Кп на ограниченном отрезке времени [力о, Т]. Функция / ： [i0, Т]х Rnx Р х Q Т IRn, где Р и Q — компакты в евклидовых пространствах, непрерывна, удовлетворяет условию роста max{|/(i, х, и, и)| ： и W Р, и € G} « *(】+ 罔)(力 С [%,Т], z € R") с некоторой константой х, условию Липшица |/(i, ж, u, v)— /(i, у, и, w)| < A(O)|z — у\ (力 € 仗о,刁，①,У € 0) с некоторой константой 入(0) для любого ограниченного множества 7? С Rn и условию седловой точки
min max(Z, /(i, ж, и, w)) = max min (Z, /(t, x, n, v)) (t W [%,Т],『,/W 1R“).(2)
Здесь и далее | ■ | — евклидова норма и (•, •) — скалярное произведение в Кп. Параметры 〃(力)€ Р и w(f) € Q суть управляющие воздействия на систему первого и соответственно
второго игрока в момент времени 力 Всякая измеримая функция и(-) : [gT] Т Р называется (программным) управлением первого игрока, всякая измеримая функция “(•) ： [io, Т] т Q ——(программным) управлением второго игрока. Совокупность всех управлений первого и второго игрока будем далее обозначать через 〃 м У соответственно. Элементы произведения [力о,Т] х lRn называются позициями. Движение из позиции (J,①*), соответствующее управлениям п(-) € 〃 и w(-) € У, определяется как решение в смысле Каратеодори дифференциального уравнения (1) на отрезке [t*,T] с начальным условием z(£*)=①*; приведенные выше условия на функцию / обеспечивают его существование и единственность (см. [11]). Далее зафиксирована начальная позиция (力°,峦о). Всякая функция U :[力о,Т] х 3R" т Р называется позиционной стратегией первого игрока, всякая функция V : [iOjT] X IR" н-> Q — позиционной стратегией второго игрока. Позиционные стратегии корректируют управляющие воздействия в дискретные моменты времени, определяемые тем или иным разбиением отрезка [i0> Г]. Разбиением называется всякое конечное семейство △ = (&)之о, где i0 < ... < im = Т; число d(A) = max{友+1 —力:г = 0,..., m — 1} называется диаметром разбиения △. Пошаговое движение^ порожденное позиционной стратегией U на разбиении △=(友)陰°, определяется как движение ж(-) из (力*，①*), соответствующее управлению и(-) € 〃, формируемому по правилу 口(力)= 0(我，2：(友))(力 С [力门力+i), i = 0,..., m - 1), и некоторому управлению w(-) € У. Множество всех таких пошаговых движений будем обозначать X(U, △)• Ясно, что X(U, А) непусто. Предельным движением, порожденным позиционной стратегией U первого игрока, называется равномерный предел какой-либо последовательности (『*(•)) вида z*(・)С X(U, А*), где d(A*) Т 0. Множество всех таких предельных движений будем обозначать X(U). Эквивалентное определение: X(U) = Сб〉。" U {У (С/, А) : d(A) < 6}; здесь cl — символ замыкания в пространстве С([%,Т],限")(см. [12, 1.5]). Множество X(U) непусто, поскольку X(U,A) при всех разбиениях △ непусты и, очевидно, лежат в компактном множестве пространства C([io, T],Rn). Симметричным образом определяются (непустые) множества X(V, А) пошаговых движений, порожденных позиционной стратегией V второго игрока, и (непустое) множество Х(У) предельных движений, порожденных этой стратегией.
Пусть задано ограниченное замкнутое целевое множество М С Rn. Позиционную стратегию U первого игрока такую, что z(T) С М для всех ①(•) С X(U), будем называть наводящей. Позиционную стратегию V второго игрока такую, что при некотором 卩 > 0 для всех z(・)£ X(V) выполняется ж (У)任 М^, будем называть ^-уклоняющей. Здесь и далее Ме — замкнутая е-окрестность множества М. Будем говорить, что разрешима задача наведения, если существует наводящая позиционная стратегия первого игрока, и будем говорить, что разрешима задача ^-уклонения^ если существует ^-уклоняющая позиционная стратегия второго игрока. Задача наведения и задача ^-уклонения при произвольном /? > 0 в совокупности образуют позиционную дифференциальную игру наведения-уклонения»
Замечание 1. Предлагаемый ниже метод редукции может быть без труда распространен на более общие постановки задач наведения и уклонения - с нефиксированным моментом наведения (уклонения) и фазовыми ограничениями [1, 3]. В целях компактности изложения мы рассматриваем простейшую постановку.
Теорема 1 (об альтернативе [1, теорема 17.1]). Верно одно а только одно из двух утверждений-.
разрешима задача наведения,
для некоторого 卩 > 0 разрешима задача ^-уклонения.
Следующая теорема есть несколько измененная формулировка теоремы 17.2 из [1].
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
если разрешима задача наведения, то найдется наводящая позиционная стратегия U первого игрока со свойством： для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что при каждом разбиении △ с диаметром d(A) < 6 для всех пошаговых движений ①(•) € X(U, А) выполняется 『(Т) W Л1е;
если разрешима задача ^-уклонения при некотором 夕 > 0, то найдется /3-уклоняющая позиционная стратегия V второго игрока со свойством: для любого е > Q существует 6 > 0 такое, что при каждом разбиении △ с диаметром d(A) < 6 для всех пошаговых движений z(。) € Х(К △) выполняется ①(Т) $
Для аппроксимационной редукции понадобится слегка модифицированная формулировка теоремы 2, данная ниже в лемме 1. Для каждого а > 0 фиксируем конечную а-сеть Ра множества Р, содержащуюся в Р, и конечную a-сеть Qa множества Q, содержащуюся в Q.
Лемма 1. Существуют определенные на (0} оо) положительные функции £ т 6(e) w е т а(£), !imj"(e) = 0, linuо а(е) = 0, со следующими свойствами'.
если разрешима задача наведения, то для любых е > 0, разбиения △ с диаметром d(A) < 8(e) и положительного а < а(е) найдется позиционная стратегия U первого игрока со значениями в Ра такая, что для всех пошаговых движений z(・)€ X(U, А) выполняется z(T) € М£;
если при некотором 卩 > 0 разрешима задача ^-уклонения, то для любых £ € (0,卩), разбиения △ с диаметром(/(△) < 6(e) а положительного а < а(@ найдется позиционная стратегия V второго игрока со значениями в Qa такая, что для всех пошаговых движений ж(-) W Х(У, △) выполняется t(T) g М^~е.
Доказательство опустим: оно лишь с незначительными изменениями воспроизводит известные рассуждения, применяемые для обоснования теорем 1 и 2 (см. [1, с. 58-70]).
Замечание 2. Функции е i 6(e) ист а(е) могут быть указаны конструктивно (см. вышеприведенную ссылку).
АППРОКСИМАЦИОННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕДУКЦИЯ
В этом разделе конструируется семейство конечномерных задач линейного программирования, специальным образом согласованное с задачей наведения, и формулируется теорема о редукции.
Временно зафиксируем разбиение △ = (&)之° и параметры а > 0 и е > 0. Обозначим через 么,а множество всех управлений и(-) £ 〃, принимающих значения в 2 и постоянных на каждом из полуинтервалов 收,&+i) (£ = 0,..., m - 1), и через П△户 множество всех управлений w(-) С У, принимающих значения в Qa и также постоянных на каждом из вышеуказанных полуинтервалов. Кусочно постоянные управления w(-) € %户 и v(-) € 弘。будем отождествлять соответственно с векторами и =(耽，...,%) € 匕1 и о =(也，...,wm) € Q*, где 修=匂(&_1), q 二 u(&-i) (£ = 0,…,m — 1); при этом для движения $(•) из начальной позиции (如猊),соответствующего управлениям 口(・)и и(・), будем использовать обозначение ①(•|口,少).В целях унификации обозначений будем чаще писать 区,& и Qa,a вместо Р^ и Q* соответственно.
Ниже будет рассматриваться следующая функция 7е)д(а на 厶,аХ Qa,a：
7ё,д,а(u,и)=生伯(T1%叫；(3)
здесь 生⑶一расстояние от z до Ме в Rn.
Замечание 3. Вообще говоря, в качестве ре можно взять любую непрерывную неотрицательную функцию на Rn, принимающую нулевое значение на множестве М6 и только на нем; рассуждения при зтом меняются несущественно.
Заметим, что множество 区,& конечно. Пусть 办© = {w^\ ..., ii(N(A>a))}. Всякий вектор р — (р(1),... ,pN(da))£ 眼N(A,a)с неотрицательными координатами, сумма которых равна единице, будем трактовать как вероятностную меру на множестве всех подмножеств Р^>а (кратко — вероятность на 办,&), однозначно определяемую равенствами р({匂(*)}) — р^ (к = =1,..., ^(AJа)). Через pm(办,&) обозначим множество всех вероятностей на /д(а.
Возьмем произвольную вероятность р € рш(/д1О) и произвольное и € ”△©• Функция w т 7eq,a(u,u) есть случайная величина на вероятностном пространстве (办,а,р). Ниже будет рассматриваться ее математическое ожидание'
%Aa(P,b)= P(du)%Aa(%b) = £ ye>£iia^k\v)p^.⑷
Замечание 4. Ясно, что %,△©(>, и) = 0 тогда и только тогда, когда x(T\u,v) С МЕ с вероятностью 1, т.е. р({и е /д(а : s(T|u,и) € Ме}) = 1.
Для всякой вероятности р € рт(%,а) через р「будем обозначать ее проекцию на первые г компонент произведения /д а = Р^ (г < т), т.е. вероятность на 笈(на множестве всех подмножеств 斤)такую, что
РЛ{у}) = Р(М ^ РГ1) (〃€Р：).(5)
Явное выражение для >「({〃}), очевидно, таково:
N(A,a)
/({〃})= Е х*(〃)幽⑹
где
1,同),…，承)=/0,(点,…，唄)/ ".
Рассмотрим множество всех отображений s из 统户 в 辺义分叫 которое обозначим через R&n Введем на /?△© естественную структуру линейного пространства и норму | • |A,Q:
1山a二(e ]s(叫) •
Это превращает Лд(а в конечномерное евклидово пространство.
Выделим в Лд|а отображения s со следующими свойствами: (a) s принимает значения в pm(办,а)，(6)для любых w и w из Q^ta таких, что 叨 = Wf (г = 1,..., г) при некотором г С {1,..., ш}, вероятности р = s(w) и q = s(w) удовлетворяют равенству р^ — qT. Каждое та^ кое отображение s будем называть стохастической (△, аУквазистратегией первого игрока. Условие (б) есть требование неупреждаемости (физической осуществимости), аналогичное тому, каким определяются детерминированные квазистратегии (см. [3]). Множество всех стохастических (△, а)-квазистратегий первого игрока будем обозначать через 5д)а.
Замечание 5. Легко видеть, что в евклидовом пространстве R&& множество 5&田 есть выпуклый компакт, задаваемый конечной системой линейных равенств и неравенств.
Для каждого v € Qa© распространим функцию р Т 彳е,а,а(Р,о) с рт(%>а) на R^a по формуле (4). Зададим на R^<a функцию J£i^a вида
Л,Д,а(5)— £ %Аа($е)，и).⑺
В силу линейности функций р т 彳eq©(p, и) (см. (4)) функция Jga линейна.
Необходимые предварительные построения закончены, и мы можем сформулировать базовую задачу линейного программирования. Она имеет вид:
Минимизировать JCiA,a(s), s € S^ia.(8)
Через」?△© будем обозначать оптимальное значение в задаче (8).
Теперь расфикслруем △а>0ие>0и зафиксируем функции е т 5(e) и £ т а(е), охарактеризованные в лемме 1. Для каждого е > 0 выберем разбиение △(£)с "(△(€)) < 5(e) и положительное а(£)< &(£). Примем обозначение J° = /瞋⑺匸⑴* Сформулируем теорему о редукции дифференциальной игры наведения-уклонения к однопараметрическому семейству задач линейного программирования вида (8).
Теорема 3. Задача наведения разрешима тогда и только тогда, когда J? = 0 при всех £ > 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О РЕДУКЦИИ
Данный раздел посвящен доказательству теоремы 3.
Лемма 2. Пусть для е > 0, а > 0 w разбиения △ = (а)£о существует позиционная стратегия U первого игрока со значениями в Ра такая, что для всех пошаговых движений х(-) £ X(U, △) выполняется х(Т) W Ме. Тогда 7°Д а = 0.
Доказательство. Пусть для произвольного кусочно постоянного управления и С Q^,a второго игрока кусочно постоянное управление а(и) С /д(а первого игрока таково, что движение ①(•) = ж(-|и(1?)} w) порождается стратегией U на разбиении А, т.е. справедливо а(и)；+1 = =U(七,胃佗))估 W [^-Д：+1)1 i = 0,..., m - 1). Поскольку х(-|и(и)} и) W X(U, △), по условию леммы имеем н(Т|а(о),и) € Ме. Рассмотрим отображение s из Qa© в pm(区,а) такое, что при всяком и € Qa© мера s(u) сосредоточена в точке u(w), т.е. s(v)({u(w)}) = 1. Тогда по определению проекции рг меры р £ pm(年&) (см. (6))
6®)r({〃})二6®)r({〃})二1, 〃= ^(w)!,...^^), 0, " (u®)i,…，u®)J1, 〃= ^(w)!,...^^), 0, " (u®)i,…，u®)J⑼⑼
6®)r({〃})二
6®)r({〃})二
1, 〃= ^(w)!,...^^), 0, " (u®)i,…，u®)J
1, 〃= ^(w)!,...^^), 0, " (u®)i,…，u®)J
⑼
⑼
Для любых и и w из Q^a таких, что vt = W{ (г = 1,…，『)при некотором г £ {1,…，т}, очевидно, выполняется м(и), = u(w), (г = 1,..., г)； стало быть, как показывает (9), р = s(w) л q = s(w) удовлетворяют условию рг = qr. Таким образом, отображение s неупреждающее, т.е. является стохастической (△, а)-квазистратегией первого игрока: s С $△,&• Для любого V С Q^,a согласно ⑷，(3) имеем
%Aa(S(b),ь)=%Aa(U⑻n)=d佔(T1矶廿),叫)=0；
последнее равенство вытекает из упомянутого выше включения х(Т\и^)^) € Мс. Тогда по определению (7) справедливо Jc^ta(s) = 0. Поскольку функция рс неотрицательна, функция Jeq,a ⑺ неотрицательна на 5д(а. Поэтому нуль есть оптимальное значение в задаче (8): /：△,& = 0. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть для 卩 > 0, £ € (0,卩/2), а > 0 w разбиения △=(幻之о существует позиционная стратегия V второго игрока со значениями 6 Qa такая, что для всех пошаговых движений х(-) е Х(У, △) выполняется t(T) g М^_£. Тогда J%©〉0-
Замечание 6. При доказательстве указывается положительное число, отделяющее 7°Д а от нуля.
Доказательство леммы 3. Введем два обозначения, которыми будем пользоваться в ходе доказательства. Через ①(・|舞，①*，幺哈 где (t*,s) С [i0, Т]义眼"，〃 С Р, 〃 C Q, будем обозначать движение из (九,①*), соответствующее постоянным управлениям первого и второго игроков со значениями 〃 и 〃 соответственно. Для всяких ult... ,иг € Ра (г < т) будем обозначать
办尸(询，…，%) = {(wb Ur)} x 磯".(10)
Зафиксируем произвольную стохастическую (△,а；)-квазистратегию s. Пусть и； = V(t0ix0). Неупреждаемость s влечет, что для всех кусочно постоянных управлений и С Q^,a второго игрока таких, что 内=纥，проекции s(u)i совпадают. Обозначим их общее значение через р；. Напомним, что р； — вероятность на Ра. Так как Ра конечно, найдется % С 巴，для которого
Р；({%}) > 1〃，(И)
где I — количество элементов в Ра. Таким образом, при всех w С Qa。таких, что wi = w*, имеем
电)1({呜}) > 1/L
Положим ①；=①(力毋°,猊，若，呜).Пусть 纥=V(力i,z；). Ввиду неупреждаемости s для всех кусочно постоянных управлений w € Q&a второго игрока таких, что Wj = v^ v2 = v^ проекции s(u)2 совпадают. Обозначим их обшее значение через р；. По определению проекции s(u)i (см. (5)) имеем
s(u)式{“；}) = s®)(Pa,“(u：)).(12)
Как следует из (10),
?△,*；)= и
Множества 厶а (% А соответствующие различным 〃，не пересекаются, поэтому
в(и)(-Рд,а(^)) = £ 6(廿)(办冲(呜
или по (12) и определению проекции s(w)2
s®)i({%})二 Е s®)2({(峭/)})•
При Vj_ = v^j v2 = % это равенство преобразуется в
讲({研})= e质({(研,")}).
Так как Ра /'Элементно, найдется ^ ^. Ра такое, что
质({(〃;, ％)})?「:({";})//•
Тогда вследствие (11)
Р^{^,и^)>1/р.
Таким образом, при всех и € Q^,a таких, что 内 = 纥，v2 二 吃
S®2({(吟吟}) “户.
Положим z；=勺(力2~1,①;,少扣 и；). Повторяя данное построение т раз (по числу полуинтервалов 也一1,勿)，определяемых разбиением △), мы сконструируем семейство (и^, и-1, ж*)^_1 элементов произведения 為义 巴义 眼"такое, что при каждом г € {1,... ,ш}
и； = У&т,2；т),(13)
s(吟({(吟…，吟})""，(14)
для всех v € Qa,a таких, что 内=”；…，叫=%
①;=z(力品一1, W-i,哈若)；(15)
здесь мн положили 猊 二 页°. Пусть 匂* =(〃；,…,〃^),十=(%,…国詳).Из (15) видно, что движение ①*(•) = ж(-|и*, w*) набрано из отрезков движений ①；(•)=勺(・|友一i, z；.； и；,吗)；точнее, z*(力)=若伍)при i W [it-i, ^i]. Тогда в силу (13) и? = U色一匕『*(力一1)) (г 二 1,..., m), что означает, что движение ①*(•) порождено стратегией V на разбиении △:①*(•) € X(V,△). По условию леммы ж* (Г) $ ^户一。Стало быть, расстояние от ж* (Г) = z(T|匂\ и*) до Ме не меньше ием С =卩一2е; привлекая ⑶，запишем
%Aa(u*W*) = p£(x(T\u\v*)) > 以(16)
Заметим, что по условию леммы《> 0. При г = m неравенство (14), справедливое для w = w*, дает s(u*)({a*}) > l//m. Согласно (4) и (16)
%Aa(sS*)W*) = £ 7Ё1Д,а(Ч U*)s(v*)({w}) > *,A,a(炉№*)6®*)({u*}) >《//T uWPa.c
Обращаясь к виду функции 丄厶《 ⑺，заключаем, что 几厶©($) 2《//，Оценка верна для любой стохастической (А, а)-квазистратегии s. Следовательно, и для оптимального значения в задаче (8) верно 丿?厶僧？ С/^т- Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3. Пусть разрешима задача наведения. Рассмотрим произвольное е > 0. По определению разбиения А(е) и параметра а(е) выполняются неравенства d(A(£)) < 8(e) и а(е) < а(е). Тогда по утверждению 1) леммы 1 найдется позиционная стратегия U первого игрока со значениями в Ра(€)такая, что для всех 勺(・)£ X(U, А(е)) выполняется ①(Т) W Ме. Отсюда по лемме 2 J? = /；&(• МП ~。・ Обратно, пусть J? = 0 при всех Е > 0. Допустим, что задача наведения неразрешима. Тогда по теореме 1 для некоторого 卩〉0 разрешима задача ^-уклонения. Возьмем произвольное е С (0,卩/2). Ввиду неравенств d(A(£)) < 6(e), а(е) < а(е) по утверждению 2) леммы 1 найдется позиционная стратегия V второго игрока со значениями в 為⑷ такая, что для всех ①(•)С Х(匕 А(е)) выполняется ①(Т) € MX、Отсюда по лемме 3 J? > 0, что противоречит предположению. Теорема доказана.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ УПРАВЛЕНИЯ
Теорема 3 естественно влечет за собой вопрос об устойчивости сформулированного в ней критерия, т.е. о том, насколько точно может быть решена задача наведения при отклонении оптимальных значений J? от нуля (отклонения возможны лишь в положительную сторону, поскольку функция Jga (7) неотрицательна на 8^>а). Мы поставим вопрос шире: при существовании стохастической (△,а)-квазистратегии 邑 обеспечивающей значение JjA,a(s) = ст, оценить точность решения задачи наведения. В следующем разделе дается вероятностная оценка точности, из которой вытекает результат об устойчивости: при достаточно малых е,(/(△), а и о гарантируется сколь угодно большая вероятность наведения системы на сколь угодно малую окрестность множества М. Гарантирующие законы управления первого игрока представляют собой аналоги стохастических позиционных процедур управления с поводырем, ранее применявшихся при стохастической аппроксимации смешанных стратегий [1, гл. XIII; 10]. Настоящий раздел посвящен описанию этих процедур.
Под поводырем понимается вспомогательная управляемая система, описываемая тем же уравнением, что и система (1):
€(i) = /(i,eW-^)^(i))； (И)
в отличие от системы (1) управляющие воздействия 〃(力)и 〃(力)в поводыре формируются лишь первым игроком; начальное состояние поводыря есть Zq. Стохастическую процедуру управления с поводырем первого игрока формально определим как пятерку S — (△, a, U, б\ W), где △=(幻之и — разбиение, а > 0, U : (^,жь$) т U依,д,&) и W : (&,%,&) Т W(忆吃,6) —функции из {to,..., tm-i} х Rn х Rn в /^ и Qa соответственно и U — функция, ставящая в соответствие каждому набору вида (友，①亦&,氏，布+J где 友 € {力и,… Jm-i}, 3,& € 限“， 氏 二(％,...,%) W P：,咕+1 二(小,...,/+1) W Q$* вероятностную меру U(ti,Xi^i,氏，布+i) W € pm(2). Содержательный смысл указанных компонент таков. Функция U есть обратная связь для системы (1), функции U r W — обратные связи для поводыря (17). Аргументы ж, и 五 обратных связей U^WrU суть соответственно состояние системы и состояние поводыря
в момент 友.В обратной связи U аргументы %,...,% С Ра и 仍，...，木 € Qa суть значения кусочно постоянных управлений 〃(力)и 〃(力)，реализовавшихся в поводыре (17) до момента 力： 〃(力)=4,爪力)=勿(方 € [G-i，G), / = 1, •..)г)> аргумент 左+i есть значение управления ?/&), запрограммированное для поводыря на время от & до 友+「Обратные связи U и W детерминированные, обратная связь U вероятностная.
Процедура S в паре с произвольным управлением w(-) второго игрока порождает случайный процесс движения расширенной системы (1), (17). Дадим его содержательное описание. В каждый момент времени & первый игрок фиксирует состояние(3,&)=(勺依)，£(幻)расширенной системы и истории ul}. ,.^i и 小)…,/ кусочно постоянных управлений i/(t) и 77(方) поводыря: i/(t)=今,〃(t) = % (力 € [它一1,力),J == 1,..., г). С помощью обратных связей U и W игрок находит элементы м€+1 = U(力订з,&) € 巴 и 木+i =屮(友,①力&) С Qa・ Элемент 〃i+i первый игрок присоединяет к истории 〃1,...,小,образуя новую историю ?/i,..., ^, тц+г. С помощью обратной связи U игрок находит вероятностную меру Д£+1 — Ь(&, х：, &, "1,..., %, 〃1,..., 〃门 木+i) С pmg и в соответствии с ней производит случайное испытание, в результате которого реализуется некоторый элемент fi+1 £ Ра. С момента 友 до момента ^+1 первый игрок подает постоянное управляющее воздействие u(i) = W£+i на вход системы (1) и постоянные управляющие воздействия 〃传)=%+i, 〃Q)=木+i на вход поводыря (17). Параллельно на вход системы (1) поступают неизвестные первому игроку управляющие воздействия u(t) второго игрока.
Допустимые состояния описанного случайного процесса в момент 友,как видим, объединяют состояния (2,&)=(①(力i),W(力))расширенной системы (1), (17) и истории 〃“...,％, т/х,..., т/i управляющих воздействий 〃(力),〃(力)на входе поводыря до момента,左. Для удобства формализации мы расширим эти наборы за счет историй фазовых векторов системы ① 1 =勺(右),…，Zji =①(力i-i) и поводыря & = £(力1),…，&-1 = WQ"i). Таким образом, состояния рассматриваемого случайного процесса в момент ^ суть наборы (х15».., х», ^i,...,^;, 〃i,..., %, 7/1,..., 7^1). Начальное состояние процесса не включает управлений; оно задается начальным состоянием (ж0) ж0) расширенной системы.
Перейдем к точному определению намеченного выше дискретного случайного процесса. Следуя [13], зададим его семейством пространств допустимых состояний и переходных вероятностей = Через ①(・|九，①*, а(・)，и(・)) будем обозначать движение из 0*,н*), соответствующее управлениям и(-) € 〃 и w(-) € У; если 〃(•) принимает постойное значение 〃, указанное движение будем записывать как ①(也，①*, 〃, ?;(•))，а если при этом и w(-) принимает постоянное значение ?/, — как z(•他*，①*，幺〃))(последнее обозначение использовалось при доказательстве леммы 3). Данные обозначения будут применяться к движениям как системы (1), так и идентичного ей поводыря (17). Пусть S 二(△, a, U, U, W) ——стохастическая процедура управления с поводырем первого игрока и w(-) — управление второго игрока; полагаем △=(幻之о・ Через Xj(S, и(・)) будем обозначать множество всевозможных состояний, достижимых системой (1) в момент t{ под действием произвольных кусочно постоянных управлений w(-) € 〃△,& первого игрока и управления и(-) второго игрока:
М(6,廿(•))= {『&也，猊,&(•)#(•)) ： 〃(•) W 〃da}, (18)
через Ef(S) обозначим множество всех состояний, достижимых поводырем (17) в момент 力
под действием произвольных кусочно постоянных управлений 〃(•) € 〃△© и 〃卜)€》△.：
三(6) = {①色隔,猊，m1攸(•))： "(•)g "Am 〃(，)W Va.o}.(19)
Для определяемого случайного процесса множество допустимых состояний в момент 友(г > 1) есть
%($,。(・))=П х”, и(.)) х П 弓(S) ХР- х Q：.(20)
Начальное множество допустимых состояний одноэлементно; определяем его как Z0(S, w(-))= ={(历о,峦о)}. Множества Z；(S, и(・)), очевидно, конечны. Множество
жч-))= п^(5-«(-))
описывает совокупность всех допустимых траекторий случайного процесса. Каждое из множеств Z{(S, u(-))i а также множество Z(5, w(-)) мы трактуем как измеримое пространство с с-алгеброй всех его подмножеств. Для пространств Z；二 Z,(5, и(-)) и Z；+i 二 Zf+i(S5w(-)) переходную вероятность тг-+1 = тг-+1(5, и(-)) : zi Т 心+1(侶)：% т pm(2»+i) (pm(Zi+1) — множество всех вероятностей на Z；+1) зададим условиями: при г = 0
冗:（｛也怎e:以m力同,呪）=冗1（｛也,&3）/iEi｝） = 口式｛%｝）
(〃i e Pj
小=w伍)，猊,猊)，
/二①出闷u(s峦0,同，矶•))，
口1 = U(力0,猊，历o,〃l)；
при г = 1,..., m — 1 для каждого набора 〃 = (ж,, &,区,勿)€ %, где
露=(^1)■ • • 1『i)i
瓦=(%,…，％)，
齿=(小，…1喇，
полагаем
肝：+i（｛（蜕，勺+1），（&怎+1（%+1），（比，片+1）,（布，/+1）,｝保）=风+1（｛/+1｝）
(21)(21)(22)(22)(23)(23)(24)(24)(%+1 6 2)；
(21)
(21)
(22)
(22)
(23)
(23)
(24)
(24)
здесь
(以，2+1)=(也，g,g+i)i
(几 ％+i) = (%,…，％,%+i),(25)
(辰，/+i)=(小,，一,修,修+1)；
&+18+1)=z(力+11办&现+1,行+1)，(26)
口i+i = U色,保,木+1)).
Такое формальное определение переходных вероятностей отвечает данному выше содержательному описанию процесса управления, порождаемого стохастической процедурой управления S и управлением w(-). Согласно [13, следствие 2, с. 232] переходные вероятности тг-+1 (г = =0,..., m— 1) задают единственную вероятность 亓 二 亓(S, v(*)) на множестве 2 — 2(S,矶・))= = Zi X ... X Zm такую, что для любой скалярной функции g на 2 справедлива следующая формула последовательного интегрирования:
/亓(dz)g(z) = У 7Г1@1) /君@2%)…/ 吃T@m|z吁i)g(办Zm).(27)
ZZiZ?Zm
Реализации процесса управления при стохастической процедуре управления S первого игрока и программном управлении w(-) второго игрока представляются элементами множества
Z(S，M・)) = Zm(S,矶•))，(28)
их вероятностное распределение описывается проекцией тг(5, v(-)) меры 亓(S, w(*)) на пространство Z(S, w(-)). В соответствии с (27) тг = ?r(S, и(-)) задается условием
ТГ(Е) = / 7Г1 (<//；!)/ 芯(厶2因)…/"*T(dZm|Zm-l) (EUZ)；(29)
здесь Z = Z(S, w(-)). При этом для каждой скалярной функции g на Z справедлива формула последовательного интегрирования:
/7r(dz)g(z) = /Md/)/тг；@2|%)…/ ^^(dz^z^.^g^).(30)
ZZlZ?Zm
ПОЗИЦИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ КВАЗИСТРАТЕГИЙ
Зафиксируем е > 0, а > 0, разбиение △=(幻忆)и стохастичес кую (△, а)-квазистратегию s первого игрока. Положим /,△©($) = с. Построим стохастическую процедуру управления с поводырем первого игрока вида S = (^ta,U^U, W) такую, что при достаточно малых j
(/(△), а и сг вероятностная мера тг(5, w(-)) реализаций (峦m,^n,万m,力m) (см (23)), для которых конечные состояния жт = x(im) = z(T) системы (1) мало отклоняются от множества М, сколь угодно близка к единице, причем эта близость равномерна по v(-).
Приступим к определению обратных связей U, 0, W процедуры S. Значения U(九/,&) и W(t{, xi}^) детерминированных обратных связей U и W (как в случае детерминированной схемы управления с поводырем [1, с. 248-254]) определим из правил экстремального сдвига состояния системы Xi к состоянию поводыря £i и, наоборот, состояния поводыря £： к состоянию системы х,- Единственная модификация этих правил состоит в том, что U(力号①力无) и W(ti, ж(, ^；) выбираются из конечных подмножеств Ра С. Р R Qa С Q. Точные условия, задающие U и W, таковы:
U(左，g,&) С Argmin {i^c〈叫一& J(&g,u,u)〉： а Е 旦}, '31) 巾依,％&) W Argmax{理臥雹-&,/($№,%〃)〉： 77 G Qa} (32)
(использованы обозначения: Argmin{g(z) : z € Е} и Argmax{g(z) : z ^ Е} — множества всех точек мимлмума и соответственно максимума функции д на множестве Е).
Определим вероятностную обратную связь U по (△, а)-квазистратегии s. Для каждого 力m € Q『декомпозируем вероятность s(^m) на Р： в систему условных вероятностей, т.е. построим вероятность Si(^m)(-) на 2 и семейства вероятностей 北(力m)(，|〃i) @1 € 2),… • • •, Sm(力m)(・|〃m-i)(万m-i € ^Т) на 2 такие, что для любой функции д на Р? выполняется
6(小71)(d〃m)g(〃m) ~6(小71)(d〃m)g(〃m) ~62（%1）（阪2同）…62（%1）（阪2同）…(33)(33)
6(小71)(d〃m)g(〃m) ~
6(小71)(d〃m)g(〃m) ~
62（%1）（阪2同）…
62（%1）（阪2同）…
(33)
(33)
здесь переменные 氏 и 弘 связаны по (23). Заметим, что неупреждаемость отображения s и (33) влекут, что Si^m)。зависит только от первой координаты ^m, a s^+i(力^)(・|%) при г > О —только от первых £ + 1 координат ^т:
S1(诟)(•)= S1(而m)3 (而m W Qda,而 1 =后)，
贵+1(办)(，同)=&+1(小)(，同 Wm W Q^ 而用=Ml).
Поэтому будем обозначать
61(必)(•)二 S!(^)(-),外1(加)(•同=&+1 傣+1)卜同)(34)
и перепишем (33) в виде
/ 6(力 m)(d%)g(»m) = / % 保)(d»l) / 62 保 2)@2同)…/6m (力 m)(电m [%-1)9(%) .(35)
Значения вероятностной обратной связи U в процедуре S зададим равенствами
U面，①0,近勿)({%})=立保 1)({"1}) (/ g 2),
方(*/怎，%毎+1)(%+1) = S计1(勿+1同)({%+1}) 3+1 eg, г > о).(36)
Описанную стохастическую процедуру управления с поводырем S = (△, a, U, Ё/, W) будем называть согласованной со стохастической (△, а^-квазистратегией в.
На вероятностном пространстве (Z(S, и(-)))^(^)少(・)))реализаций случайного процесса управления, соотйетствующего стохастической процедуре S и управлению и(*), зададим случайную величину A£i5tU(.), значение которой на каждой реализации есть отклонение конечного состояния Нт = ж (Г) системы (1) от множества Ме. Точнее, в обозначениях (23) положим
历(z)=『m (Z =(历mKm,%mm) € z(6n()))，(37)
%s")(z)=佻传(明(z W Z(S, V(-))).(38)
Базовый результат данного раздела — теорема об оценке математического ожидания этого отклонения.
Теорема 4. Существуют с > 0 w положительная функция з на (0,оо), lima-oG(a)= =0, со следующим свойством. Пусть △ — разбиение, е > 0, а > 0, s — стохастическая (△, а)-квазистратегия первого игрока и S — согласованная с s стохастическая процедура управления с поводырем первого игрока. Тогда при любом управлении и(-) второго игрока имеет место оценка
/ 开(6,m.))(厶)瓦声m)(n) 0 e(з(а)+(/(△)) +0，(39)
z(s,v(・))
ade。—- JEjAjQ (s)-
Доказательству теоремы посвящен следующий раздел.
Замечание 7. При доказательстве константа с и функция w строятся конструктивно (см. ниже лемму 5).
На вероятностном пространстве (Z(S, и(")),尸⑶Ю)) рассмотрим событие, состоящее в том, что отклонение конечной точки траектории системы (1) от Ме не превосходит С; событие характеризуется множеством
Zf (S,u(・))={z G Z(S,u(.)) : hc,s,^z) <《}.(40)
Теорема 4 влечет следующее аппроксимационное свойство построенных стохастических процедур управления.
Теорема 5. Для любого 卩 > 0 существуют 6Q > Q, aQ > Q и и0 > 0 такие, что, каковы бы ни были e > 0； положительное а < а。, разбиение △ с(/(△) < 50 w стохастическая (△, а)-квазистратегия в, для которой Je,A,a(s) V Со, стохастическая процедура управления с поводырем первого игрока S, согласованная с в, обеспечивает оценку
"(国矶"⑵外目或)))21-^(41)
при любом управлении и(・) второго игрока.
Доказательство. Не нарушая общности, считаем 卩 < 1. Положим《=炉 и введем множество, дополнительное к Z£(S#(・))：
%"£№(•)) = {% С Z(S,u(・)):瓦,s,u(.)(z)〉О»
Имеем
C^(S,v^Z<(S,v^)) < у "($,咐)@也咼心(z).
Z(5，M・))
Поэтому вследствие оценки (39) теоремы 4
《"(S,u(・))(Zf(S,u(.))) < с(з(а) + d(Q) + <7,(42)
где сг = JeAa(s)・ Отметим 60 > 0, сио > 0 и сг0 > 0 такие, что при а < а。，d(A) < 60 и сг < сг0 правая часть неравенства (42) не превосходит 己2. Возьмем а, А и сг, удовлетворяющие этим ограничениям. Для них
"(S,砲)⑵(5,m.)))4产
и, следовательно, "(S,m.))(25(5,矶.)))2 1-c1/2 = 1-8
Так как《 < 仇 то по (40) Z^(S,v(-)) С Z?(S,廿(•)). Поэтому
"(s,研.))(Z/(S,u(.)))^ 1-0.
Доказательство закончено.
Из теоремы 5 вытекает вероятностная устойчивость критерия разрешимости задачи наведения, данного в теореме 3.
Теорема 6. Пусть Пш^о ^ — 0- Тогда существует семейство (5е)е>о стохастических процедур управления с поводырем первого игрока такое, что для любого《> 0
㈣睫/(S，，u(・))(Zf(S,u(・))) = L(43)
Доказательство. Возьмем произвольное 卩 > 0, меньшее чем & По 卩 подберем 8° > 0, а0 > 0 и Со > 0, описанные в теореме 5. Выберем е0 > 0 так, что при е < е0 для разбиения А = △(£)и параметра а — а(£)(см. разд. 3) выполняется d(A(£)) < 6。, а(е) < а。, и, кроме того, J? = /：△(£),&⑹ < 死・ Фиксируем произвольное такое е. Пусть s — стохастическая' (А, о!)-квазистратегия первого игрока такая, что /,△(£),a(°(s) < ^о (см. экстремальную задачу (8)), и S — согласованная с ней стохастическая процедура управления с поводырем первого игрока. По теореме 5 верна оценка (41). Так как 卩 < & левая часть (41) не больше чем 7г(5е, w(-))(Zf (5, и(-)))- Таким образом,
"(S,u(.))(»(S,u(.)))^lT.
Ввиду произвольности 卩 > 0 равенство (43) установлено. Доказательство закончено.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4 ОБ ОЦЕНКЕ
Данный раздел посвящен доказательству теоремы 4. Доказательство состоит из трех частей, данных в леммах 4, 5 и собственно доказательстве теоремы. Лемма 4 показывает, что на вероятностном пространстве (2(5, и(-))?тг(5,w(-))) математическое ожидание отклонения
конечного состояния ^т = £(Т) поводыря от множества М£ не превосходит величины сг — значения функции 7д(а на (△, а)-квазистратегии s. Леммой 5 устанавливается верхняя оценка для математического ожидания расстояния между конечными состояниями ^П1 поводыря и ①^ системы; оценка определяется параметрами дискретизации а и d(A); она мала при малости этих параметров и вносит зависящие от них слагаемые в окончательную оценку (39) теоремы 4. Собственно доказательство теоремы соединяет оценки лемм.
Итак, пусть △ —(左)之о —— разбиение, £ > 0, а > U, s —— стохастическая (△, ^-квази- стратегия первого игрока, S = (△, a, U, U, W) — согласованная с s стохастическая процедура управления с поводырем первого игрока и w(-) — управление второго игрока. Для множеств состояний случайного процесса, порожденного процедурой S и управлением w(-) (см. (20), (28)), переходных вероятностей этого процесса и порождаемой ими вероятности на множестве траекторий введем краткие обозначения： полагаем
Z； = 4(S,u(.)), Z = Z(S,U(.)), * = *+©咐)，"MS,□(•)).(44)
Как раньше, имея в виду определение множеств Zj (20), элемент z： С Z； покомпонентно расшифровываем следующим образом:
後=(融,& %,力；
состав компонент раскрываем записью (23) и для случая, когда г заменяется на г + 1, записью (25). Для функции %s,u( ) (38) примем упрощенное обозначение, опуская индексы:
h(z)=瓦 £u(・)(z)= 〃(双 z))・(45)
Положим
e=儿4户(5).(46)
Перейдем к формулировке леммы 4. Введем аналогичную h случайную величину А*, значение которой на каждой реализации есть расстояние от конечного состояния ^т поводыря до множества Мс. Точнее, подобно (37),(38) положим
f(z) = £m (/ =(『m, fm, ^m,力m) W Z),(47)
h*(z) = d(S)) (zWZ).(48)
Лемма 4. Справедлива оценка
7F(dz)h*(z) < a.(49)
Доказательство. По формуле последовательного интегрирования (30)
(50)(50)/ TT^dz)^^ = / 冗1("分) / 芯@2品1)…/^^(dzrn^^h*(zm).
(50)
(50)
Рассмотрим внутренний интеграл в правой части:
По виду переходной вероятности 冗累一| (24), (26)
'm(Zm-l) — У 口m(d〃ni)八((峦тп-l,①m), (Cm-1)Sm(〃ni)), (*m-li 〃m), (^m-1, ^m))?
здесь
4m = ^^(tm-l, Zm-l 1 ^m—1) , ^m ~ 2-(力m |『m—l, U(力m— 1)^m-li gm—l),廿(*)),
^77i (^m) ~ ^ (^m|^m-l J €m—1)^m j ^n)(51)
и вероятность Дт на Ра задается равенством
从m = U(力m—1 j 勺m—1, £m-l,(〃m-1, ^?m))・
По определению функции A* (48), (47)
八((①m—1 > Zm), (£m—l, SmQm)), (〃m—l，"m) , (^m—1, 4m)) = Pt(fm (〃m)))
а по определению обратной связи U (36)
〃m({"m}) =(Sm—1, 〃m) |〃m-l) ({”m})•
Поэтому
/>n(Zm—l) = / $m ((^е—1, 〃m)|〃m—l) (d〃m)PE(fm(〃m)) •
Заменим &i(〃m) полным выражением (51):
Ijn(Zm—1) = / ^m (Sm—11 〃m) |"m—1) (d〃m)P£(『(±m ［力m—lfm— 1, "m)〃m)) ♦
Мажорируем правую часть, заменяя выражение, зависящее от (фиксированного) %n € Qa, на сумму таких выражений, зависящих от свободного wm С Qa. Получим
^т (^т—1) V /т("т-1), где
C(Nm-l) = $： / Sm((力m—li 纺m)|"mFl)(d〃ni)Pe(Z(tm|力m-lSm-1, 〃m, Wm))・(52)
Тогда по формуле (50) последовательного интегрирования
/ 7F(dN)h* ⑶ < / 冗1(公1)/ 冗:@2设1)…/ 時二式 dz吁 i1Zm - 2)з(^-1).(53)
ZZ1Z?Zm—L
Рассмотрим внутренний интеграл
1 (^т—2)= / "m—У ("之皿一1 |%т—2)『m (%е—1) *
Повторим предыдущие выкладки, заменяя m на m — 1 и А*(гт) на /mt^m-i)- 口。виду переходной вероятности тг*二;(24), (26)
Лп—l(Nm-2)=
/ Mm—1 (d^m—1)『m ((①m—2,①m—1),(£m-2, £m—1 (〃m—1)),(沙m-2, 〃m—1), (^m—2, ^/m — 1))；
Pa
здесь
4m—1 二 0’ 传m—1,『m-2, gm-2),『m—1 =①(力m-] |『m-2, U (力m—2,『m—2, gm—2)，廿("))，
gm-1 ("m—l) ~『(力m-l Rm—2, gm—2, %i—1, %i-l)(54)
и вероятность /-i на Ра задается из равенства
Mm—1 ~ U(tm—2,^т—2, £т—2, "т—2, (^7т—2)^?т—1))•
По определению обратной связи U (36)
丛m—1 ({"т-1}) = 6т—1 ((Пт-2, 7т—1) |〃т-2)({〃т—1}) ■
Поэтому
/m一1 (z771-2)二 / Sm—1 ((^т—2, 7т-1) |〃тп—2)(""т—1)/т ((*т-2,『m-l)，
(£т-2, ^т— 1 (^т— 1) ) > (〃т—2, ^тп—1) j (小2,1) ) •
В правой части заменим £m-i("m—i) полным выражением (54) (важна его зависимость от 〃m-i) и затем мажорируем правую часть, заменяя в ней выражение, зависящее от (фиксированного) 4m-i € Qa, на сумму таких выражений, зависящих от свободного w^—i € Qa. Получим
/m-l(Nm—2)V Лп—1(之小-2),
где
/т-К^т—2)—У： / 6щ—1 ((Пш—2, Wm—1) |〃m-2)("%i—l)』m((由m—2, Нщ-1),
@1 WQapg
(£m—2,，(力m—1 ^m—2, £m-2, "m—1, ^m—1)), (〃m—2, "m—1), ®m—2, ^m—1)) *
Подставляя выражение (52) для /*(Nm-i), получаем
/m—l(Nm—2)~〉： У： / Sm-1 ((^m—2, ^т—1) |〃m—2)(d"m-l) 乂 ш m— 1 £Qa *^m EQop^
X / S?n ((^тп—2)Wm-l, Wm) |沙m—1) (d〃m)pe(z (力m 优m—2)§m-2, ("m—l, ”m), (^m—1)攸m)))；
здесь (号m—2,Wm_l,Wm) = (@m-2, ^m-l), ^m) И (『(“力m-2, fm-2, ("m-1, 〃m),(也忆一 1, ^m)))——ДВИ- жение из (£吁2,6-2), которое соответствует управлениям первого и второго игроков, принимающим на [im-2, ^m-i) постоянные значения ^т_! и гит_2 и на [im-i,^m) постоянные значения “т и wm соответственно.
По формуле (53) последовательного интегрирования
/ 7V(dz)h^Z)< / 7Г1@1) / 肝；(血2%)…/ 肝義二買 dNm-2|Zm-3”2-l(Zm-2).
zZ1ZzZm-2
Проводя такие же выкладки последовательно еще m — 2 раза, приходим к оценке
/"(dz)A*(z) < /；,(55)
где
/； = £ £ …£ Ja
也 EQa ш2£<3а ^>m^Qapa
J 3m))*
Пользуясь формулой интегрирования (35), перепишем
4= ££ …£/S(^m)("沙70)氏(①(+771 [〃?n, ^m))=
Ш1 EQa Шг£<3а WmGQopm
= £/ 6(峦m)(d»m)p£(①(力m|»m,而m))・
Подынтегральная функция согласно (3) есть 佻,△©; по определению Р= = 厶a, Qq = Q&、a。 Таким образом,
『；=£/ s(w)(d〃)％Aa(〃,w)・
Привлекая определение ⑷ функции %,△© и определение ⑺ функции 几厶内，завершим преобразования следующим образом:
'；=£ %q,a(s(w)，也)=/,△©($) = С
(см. также (46)). Отсюда и из (55) вытекает окончательная оценка (49). Лемма доказана.
Перейдем к следующей лемме. Введем случайную величину А* на Z, значение которой на каждой реализации есть расстояние между конечными состояниями жт системы и £т поводыря. Точнее, в обозначениях (37), (47)
瓦(z) =囹 z)-&z)| (zeZ).(56)
Лемма 5 (см. ниже) дает верхнюю оценку для математического ожидания этой случайной величины. Доказательство проводится по схеме, стандартной для метода управления с поводырем (см. [1, с= 248-254]). Зададим участвующие в формулировке леммы константу с и функцию s : (0, со) т (0,оо); позднее они войдут в окончательную оценку (39) теоремы 4. Возьмем ограниченное множество 0 и 眼"такое, что при любых управлениях w(-) С 〃，w(-) € У соответствующее им движение х(-) из начальной позиции (i0, ^о) удовлетворяет включению z(方)€ D при всех 力 € [io, Г]. Пусть Ki ——супремум расстояний между всеми парами точек из R & = 2入(0), где 入(0) — константа Липшица функции / по второму аргументу на множестве D (см. условия на / в разд. 2), наконец, К3 — константа, ограничивающая значения 4|/(i, x,u,v)p при 力 G [i0, Ч> x e Dy и e P, v e Q. Положим
c = Ki(K + Кз)(Т - t0)eK^T^.(57)
Зададим 以卩)(卩 > 0) как супремум отклонений |/(i, x,ii*)w*)- /伯勺,〃*,。*)| по всем 力 € [io, T], х Dt u*,u* € P,优'队 € Q, удовлетворяющим |u* — u」< 仇 |v* — иФ| < 仇 Заметим, что lim^ioG (卩)=0 и в силу условия (2)
min max(x - £J(力w)〉— max min (ж - ^,/(^ж,и, v)) < 2Kw(a)(58)
(te 面,T], x^eD).
Лемма 5. Справедлива оценка
/ 7r(dz)h*(N)< c(館(a) +(/(△)).
Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент Nm =(峦m,Em, ^m, ^m) € Z, для которого 7T(Zm) > 0, и покажем, что
K(N)< с(з(а) + d(a);(59)
это, очевидно, завертит доказательство.
Полагая
Хт —■ (Ж1, . » .,『m) 1 ^т =(£1)• • • j £m)) ^т = (〃1, • • • j 〃m), Пт = (〃11 • • • i 〃m), суженные наборы длин г < т будем обозначать в соответствии с (23)
Xi = (^1, . . ., Xj), & = (fl, • • •)&),片=("1,…•，％),帝=(小，…• 1 〃£)•
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
АППРОКСИМАЦИОННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕДУКЦИЯ193
В этих обозначениях согласно определению А* (см. (56), (37), (47)) неравенство (59) приобретает вид
Wm — fml < ф(а) +(/(△)),(60)
Условие 7T(Zm) > о и представление тг(2т) (29) влекут, что 皿⑵)> 0,姆+1(分+1|级)> 0 (г = =1,..., m — 1), где Zi =(峦订&,况,勿).По определению переходных вероятностей tfJ+1 (21), (24) ненулевые значения тг1(2,1),汗；+1(々+1|2，(£ = 1,..., m — 1) возможны лишь тогда, когда (см. (22), (25))
% =①(川混,U(如峦О，局田•))，8二勺的h历Q,〃l,w(大Q,猊抵))，
g+i = z(&+M，U®g,&),u(.)), &+1 = x^+^ti^^Ui+uWiti.Xi,^
(z > 0). Теперь воспользуемся тем, что обратные связи U nW заданы условиями экстремального сдвига (31) и (32). Копируя с незначительными модификациями построения [1, с. 59-61], получим, что при всех г = 0,..., m — 1 верно
包+i - &+i『< Kw(a)d。) + |g - &『(i + к2d(△)) + Кз*А)2
с определенными выше константами Ki, К2, Кз 山 функцией w (полагаем ^0 —峦°). Здесь используется тот очевидный факт, что точки ж； и & лежат в пределах указанного выше множества D、а также оценка (58). Отсюда с учетом того, что ® - &] = 0, легко выводится, что
|xm-U|2 < (Kw(a) + K3dQ))(T-t°)e$(TT。).
Поскольку xm, fm W D, то по определению константы К верно |жт - &| < К» Поэтому
"к - 61 < K(Kw(a) + /<3d(A))(T-<o)e^T-t°)< с(з(а) + d。))
(см. определение (57) константы с). Неравенство (60), или, что то же, (59), доказано. Доказательство леммы закончено.
Доказательство теоремы 4. Как видно из определений функций h (45), А* (48) и А* (56), при всех z € Z имеем 八⑶ < 底⑶ + h*(z). Поэтому
J Mdz)h(z) < / ?r(dz)h*(N)+ / 7F(dz)/i*(z).zzz
Отсюда, используя оценки лемм 5 и 4, получаем
/Tr(dz)h(N)W с(з(а) + d。))+ cr,
что в принятых обозначениях (см. (44), (45)) есть требуемая оценка (39). Теорема 4 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Красовский Я. Я., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
Красовский Я. Я. Игровые задачи о встрече движений, М.; Наука, 1970.
Субботин Л- Я., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
Субботин Д. Я. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М,: Наука, 1981.
Krasouskii A.N, Krasovskii N. N. Control under lack of information. Boston: Birkhauser, 1995.
Subbotin A. I. Generalized solutions of first-order PDEs. Boston: Birkhauser, 1995.
Rull-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion. //Advances in game theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. P. 113-126.
Roxin E. Axiomatic approach in differential games// J. Optim. Theory Appl. 1969. V. 3, N 3, P. 153-163.
Кряжимский А. В. О стохастической аппроксимации в дифференциальных играх// ДАН СССР. 1978, Т. 241,堀 5. С. 1020-1023.
Коддингтон 3. 4., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр, лит., 1958.
Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977.
Яеве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 195-209
УДК 517.9
О динамическом решении уравненийв банаховых пространствах
©1998 г. В. И. Максимов
Поступило в июне 1997 г.
В работе указываются динамические алгоритмы решений операторных уравнений в банаховых пространствах, которые в идейном плане опираются на метод управления по принципу обратной связи. В их основе лежат подходящие модификации известного в теории позиционных дифференциальных игр принципа экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [1-3].
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
Пусть (V, II ■ II) — сепарабельное и рефлексивное банахово пространство, (Я, | ■ |я) — гильбертово пространство, отождествляемое со своим сопряженным: Н = Н*. Предполагается, что V вложено в Н плотно и непрерывно. Заданы равномерно выпуклое банахово пространство (U, I • |и), выпуклое ограниченное и замкнутое множество Р С U, а, также семейство операторов В®), удовлетворяющих условию 1.
Условие 1.
Отображение В(勺)：U Т V* линейно € V;
II {石⑺-8®)}u Ik* < "1$ - у|| \и\ц V ж, у € V, и € Р; В(0)а = 0;
0(8($)) -=DCU \/xeV, PcD,D = U.
Здесь 0(B(z))——область определения оператора B(z) : U т V*, символ D означает замыкание множества D в норме пространства U. Пусть также задан оператор В】(•)： V т V* со свойствами:
||В1($)-石1(/|广 < 厶眠-у|| V/ У € К 81(0) = о.
Рассмотрим операторное уравнение
В®吁В】⑺=『,(1)
где f € V* ——фиксированный элемент. Обсуждаемая задача состоит в следующем. Параметр и е U, а, также элемент / неизвестны. Известен параметр 九€俨—приближение f:
||А — f\\v- S 瓦
Кроме того, известно, что и принадлежит множеству Р \ и Е Р С U. Требуется указать алгоритм, позволяющий по неточным измерениям решения『(а) уравнения (1) и правой части
/ вычислить (приближенно) параметр и. Результат измерения 『(〃) —— величина ^Л € V удовлетворяет неравенству
II蠱-T&州W儿(2)
где h W (0,1) — параметр точности измерения. В дальнейшем предполагается, что неизвестному параметру и отвечает единственное решение ж = ж(u) € V уравнения (1), т. е. единственный элемент я; € V такой, что
(8(2)我一石m①)-三0 Vp G V.
Здесь символ (■, •) означает двойственность между пространствами V и V*. Сам же элемент ж —『(а) может порождаться неединственным параметром и Е Р. Именно множество
U(①(а)) = {и W Р : 8(①(а))и —石式①)=/}
может быть не одноэлементным. В этом случае предположим, что нас интересуют не все параметры из этого множества, а лишь некоторые — те, которые выделены с помощью того или иного принципа выбора. В теории некорректных задач за принцип выбора часто принимается принцип минимума некоторого функционала. Следуя этому подходу, будем считать, что на множестве U определены функционал J : U т R、оператор F : U т % (% — некоторое гильбертово пространство, отождествляемое со своим сопряженным Н；) и элемент 6 W Нг. Причем известно, что функционал J достигает своего наименьшего значения на множестве
5(①(u)) = i7(a;(w)) П {и е U \ Fu = b}.
Впрочем оператор F и элемент 6 могут и отсутствовать.
Итак, обсуждаемая задача состоит в построении алгоритма приближенного вычисления экстремального значения
J° = min { J(u) : и W 5(『他))}(3)
и экстремального входа
乜0 W U*(『(u)) = argmin{J(v) : и W Ui(z(u))}(4)
по измерению с ошибкой решения уравнения (1) ж = ж(и) и неточно известной правой части /.
В дальнейшем полагаем, что J ——выпуклый собственный слабо полунепрерывный снизу функционал, a F ——линейный непрерывный оператор. В этом случае задача (3), (4) имеет решение, ибо, как легко видеть, множество U(t(〃))выпукло, ограничено и замкнуто.
В качестве примера можно указать задачу восстановления матрицы а(°)(ту) = {a!：?(q)}N/=i неизвестных коэффициентов в эллиптическом уравнении
玄{(成仙)+啜仙》/卜①)}^ = 〃叫叮W &(5)
ж = 0 на Т X Г,
по неточно известной правой части f. Здесь Q £ 庾"一односвязная область с достаточно гладкой границей Г. Решение уравнения (5) ж = z(a) однозначно определяется матрицей
矶⑺={&工，(叨 + 國!①)}幻=i, ?? e Q Это решение, а также матрица а^°^(?;) неизвестны. Известно лишь, что а⑼⑺ принимает значение из множества Р* w JS2(^；^nxn)- Кроме того, часть коэффициентов, а именно матрица а⑴⑺={*4?(??)}&=卜 также известна. Требуется указать устойчивый к погрешностям вычислений алгоритм, восстанавливающий по приближенным значениям z(a) и / минимальную в смысле нормы пространства 厶(口； Knxn) матрицу а(°)(・)W А коэффициентов, порождающих ж = ж (а).
Пусть, например, матрица а(°)(77)диагональная: &!?(叨=0,靑 # 乙 причем элементы 佻(力=a農⑺ удовлетворяют неравенствам
(^к < Ofc(7?) < ^к При П.В. 7? € Q.(6)
В этом случае удобно считать 乜足(7?) = -0*(7?), ?? € fi,
Р = -Л = {乜式力：一仇 < uk{r}) < -ак при п. в. ^ W ◎} U U = L2(Q^n).
Уравнение (5) может быть формализовано в операторной форме в виде уравнения (1). При этом Н =厶⑸)，卩=Яо (Q), семейство операторов B(z) \U -^ У — №X(Q) имеет вид
(В{х)и,у} = 52 ММк⑺Упь⑺如 ^x,yeV,
оператор 历卜)：V т V* — вид
а функционал J(u) — вид
I矶 и = (/ 砌n У
Оператор F в данном случае отсутствует. Результат неточного измерения решения ж — ж(а) эллиптического уравнения (5) ^Л(т/) W 现(口) удовлетворяет неравенству
||&一方(叫矶8)=(/玄%("；办一&心(力)^) /2 < h.
Заметим, что при выполнении неравенств (6) выполнено условие 1, если D = ^(Q;Rn).
Еще одна задача, обсуждаемая в работе, — задача решения операторного уравнения
Ви = feV^(7)
в банаховом пространстве V*. Здесь В : U т V* — оператор, удовлетворяющий следующему условию.
Условие 2.
В —— линейный оператор;
||Bu||v. < L\u\u Vu е Р；
0(8) = О U U, PCD, R = U.
Если в уравнении (1) Вг (ж) = 0 и операторы В не зависят от ж, т. е. В^и 三 Ви, то это уравнение примет вид (7). При этом сформулированная выше задача естественно трансформируется в задачу нахождения приближенного решения уравнения (7) по неточно известной правой части А (элемент £八 отсутствует). Последняя, однако, может иметь не единственное решение. В таком случае согласно изложенному выше подходу следует находить минимальное (в смысле заданного функционала J) решение при дополнительных ограничениях Fu = b. Итак, мы приходим к задаче построения алгоритма приближенного вычисления экстремального значения
J。= min{J(v) : и W В F” = “ Bv = f}(8)
и экстремального входа
(9)(9)W W U* = arg min{J(v) : v € Д Fv = b, Bv = /}.
(9)
(9)
Если же уравнение (7) имеет единственное решение, то последняя задача по существу является задачей нахождения
% = argmin{||Bv -川$? : v W P}.(10)
Здесь символ || • ||$? означает некоторую норму в пространстве V*, не обязательно совпадающую с нормой В • \\у. При решении (10) в настоящей работе мы используем “слабую" норму (точнее, так называемую а-норму).
В качестве примера задачи (10) можно указать задачу приближенного решения эллиптического уравнения
上{恤j①)%‘m)}用+恤⑺矶n)= /①)，9 e 2(11)
u = 0 на Г,
по неточно известной правой части f. В этом случае U — V ~ ^J(Q), Н =工2(口)，В :V —> V* ——стандартный эллиптический оператор:
〈8% у)〈8% у)йо(??)«(??)У(??) d^ Vy е Кйо(??)«(??)У(??) d^ Vy е К
〈8% у)
〈8% у)
йо(??)«(??)У(??) d^ Vy е К
йо(??)«(??)У(??) d^ Vy е К
Как известно, если область fi имеет ^достаточно гладкую” границу Г, / € V*, а*/, а。€ 工8(口),^> а^Й V? е Rn п.в. в fi,
询①)> а > 0 п.в. в Q,
то уравнение (11) имеет единственное решение и eV.
Итак, мы рассматриваем две задачи. Первая задача заключается в построении алгоритма, позволяющего по величинам £八 и 九 вычислять приближение 〃八 параметра а, а вторая — по значению Д находить приближенное решение уравнения (10). Эти приближения должны быть тем лучше, чем меньше Д. Для решения сформулированных выше задач мы применим развитый в работах [4-8] подход. При этом, используя “усеченную'' a-метрику в банаховом пространстве, мы избежим трудностей, связанных с решением экстремальных задач в сопряженном пространстве (см. [9]). Заметим, что а-метрика была введена в работе [10] при изучении задач позиционного управления. Для решения динамических обратных задач она использовалась, в частности, в работах [11-13].
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (3), (4)
Перейдем к описанию алгоритма решения первой задачи. Рассмотрим две последовательности
{а；} € ® и {wj} € V, 1 > % > 0, %• т 0 при / —> оо,
IEII = L 4 =玄学 <
множество линейных комбинаций з§ плотно в V. Символами || • ||а и (•, % обозначим а-норму в пространстве V* и отвечающее ей скалярное произведение
IMIa =(еa沁9力2)"： (тУ〉a = еa沁宀〉〈%%・〉
Среди свойств a-нормы можно выделить следующие:
на ограниченных множествах сходимость в а-шэрме эквивалентна слабой сходимости；
\\х\\а < K\\x\\v^ v^e V*;
если в е е(и；н)，Tо 1小矶к < К111矶1h.
Пусть номер N® таков, что
j=N(h)+l
Фиксируем величины Д > 0, ^ и функцию
&(厶)：(0 J) — R+ = {г € R : г > 0}
(регуляризатор). Обозначим
^М = min { J(v) : и € Р, \Fv~b\]Ii + \\B(x)v ~ В^х) ~ f\\l < 7}.
Ясно, что
Пусть U^[y,/3] (В ^ 0, 7 > 0) — множество всех элементов a W Р таких； что
从他,u) = 11月(方)"81(方) - /陪 + 回一嶋I < 7,
J(叫KJ? +仇
Введем дискретную(5-траекторию i —> {泥几⑴，线几⑴} W U X 峡“⑺(5 > 0，a > 0，无 > 0)】 i е Л^ = {0； 1,2,...}, порождаемую отображением
К :值 у,叫屈，九} W М X U х М® х U X『т ：
""=匕位墙.⑴，%.⑴,&J) г W M(12)
涼/(С + 1)=嵬h ⑴ + 讨"g証(0) = 0,
叫禹川+ 1)=啕j⑴+阻(&)啥吗* 亍W卩：N(h)],嘴瓦式0) = 0.
Легко видеть, что в силу выпуклости и замкнутости множества Р справедливо включение
吃九⑴/国)W B i>0.(13)
Отображение Уа определим соотношением
2{Fy-i5b, Fv}Hl +
+ 2 £ 考{吗•一话弓}仍(&)u№》+ aj(i;) ： v W Р}・(14)
Здесь (•, *)Hj — скалярное произведение в Hi,弓=〈石式&) + 九,仍〉，j € [1 ： N(h)]. Заметим, что в силу наших условий существуют сопряженные операторы F* и B"^h). Поэтому задача (14) имеет решение.
Вместо дискретной 6-траектории г т {鍔也(‘),嚨/,(〃)} W U х IR*® (6 > 0)ci > 0, Д > 0), г € X = {0,1,2,...}, можно использовать решение системы дифференциальных уравнений
Й(г)=吗办力 W [0,8),
而弘(方)=(8(蠱)吗方)9力，于e U ： N®],
у«(0) = 0€Г, w^(0) = 0€®.
Если полагать г?(力)=廿 при t € [г(5)(г+ 1)5),力€乂 то, как нетрудно видеть, справедливы равенства
虱К9 =诚(汕，吒,/"5)=嵋儿川)，W m
Пусть постоянные Kj, Кр и Кх таковы, что \J(v)\<Kj, \Fv-b\H1<KF VvGP, ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
\\B^h)v-B^h)-f\\v.<Kx VvSP, &£匕 匝一端《1.
Введем обозначения
d(P)=：^WM爲=40兄，
IQ =(厶 + Ld(P))A, Ки = 4£(1 + ||$(矶)d(P),К了 =闽11/1|h +e1(1 + ][%'(叫])}。
Имеет место
Лемма 1. 8-траектория у^д(«) удовлетворяет включениям
脱К9/(汕 е и° [(2К^/(й) + 电(8,无))，d(8,无)/а],(15)
[2К」а/(初 + &Q, Д)]-J^< J(哧⑴/(也)-J°< 片(4 无)/а,(16)
где
支=4(№ + Kj + 4(1 + Це® ||»®(Р) + %},宮(6)=陷 + К旅,а® А) = (а + Kl + K"W + ?2伍)/(喇，舊(S, A) = &(S, A)/
Доказательство. Оценим изменение величины
fa,M'i W6.h,^y?,h)=尤G；嗝卜蠱)+ Aa①蜀)，г € М
где
AaG；吟.)=IF城^) TS6風 + н6 J(哨-aiSJ»,
儿(?;％,&) = I嚼⑴-混"鼠⑺，z"=拦}处？，
I此n3) = C 脅疗 Vy ={紡}曾 £Z/=也 1(&) +
траектория {y£h，ws,h} определена согласно (12). Имеем при г = 0
Л(о；泥.)=0,尤(о；稣外&) = 0.(17)
Пусть
% W d = arg min { J® : v e P, Fu = " B(x)v - Bi(a?) - f = 0}.
Верно неравенство
ла(г + 1；呢/J =人口:呢 J + 2"%, (Fv? 一 6)瓜 +
+ |Fv? — b\U2 + aSJ(*) - aSJ^ <0 Aa(£； у^л) + [2(A,, Fv? — За】+ cvJ(v^)]5 —
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
202МАКСИМОВ
一[2(%, F%-S%+aJ(%)]S + K箭2,% =冲无(e)一6儿
Кроме того,
N(h)
爲G + 1；%片怎)=e考｛嵋也№) + 5(成&)哈們〉一(£ + 1)位分2 =
NS)
<儿(啻嵋.,&) + A"&;线.⑴，噌+ 52 e学I也(&)廿一巧(&) -九牝•)|2,
где
Ng)
A打(&；喝⑴，噌=28£ 唄吗/⑴-滋1｝/(&"),
以&,心)=(砌&)理一巧(屈)一工吗・)=
=(8(&)廿一8($(我))%-月1(蟲)十月1(初明),吗・).
Таким образом,
Wa,Me+l；吗卅&，或J KWaM。； ^М^»У^) +
一 [2(*, F% — &〉a】+ A,h,i + nJ(%)]8 + §厶力』+ (-^i + K^)?户/(18)
Здесь
厶修=2 £ 圖啕，旭-iSz^B^x^v^叫•〉，
= 2 £ ｛线儿普)- "考｝阻1(方他))-8式&),啕.
Учитывал условие 1, а также неравенство (2), имеем
1阻(&)4仍)I < 1(玖$(*4毋)[ + 上^(p)<
< Е(无 + ||$(a)||)d(P) < Е(1 + ||М叫||)d(P) VveF,
I S & ‘8 12 哽用阻(&)小<
V iS e 唄sup |1B伯(明叫ь.+ 工1岡")- &1|}||3,1| <
< K4E(1+ I岡叫|)d(P) = i6KUt
N(h)N(h)
I t>；W| s £ 学IB(&) + Л ч-)1 < 4{||川入 + Л(1 + ||$(叫|)}=勺•
Следовательно,
NS)
~A.h.i S 一2 £ a；{缈証№)一e5弓}(8(&)%，3/+
+ 24mli石(&)%||厂十 2c5(Ku + K『)Ed(P)/i < N(h)
4 -2 e明嵋一码}网&)年,g力+
+ 2K(Ku + К』+ 4(1 + Hu^Ld^h,(19)
A.i < 2 £ 明骑/•®T%}(砌&)哈句)+ 24源上(1 + I岡叫])d(P),
厶,%42ё北1(/^ + 匕)儿(20)
В силу правила определения и/1 из (18)-(20) выводим
Wa/G + L 纥卜&,城J < eaih^ ^Л,^,у^) +
+ ihiS\Kv + Kj+ 4(1 + 呢(叫 A{zd(P) + 厶} + 陷 + 砧此
Отсюда и из (17) получаем
^Л(« + I； %&，嘛)<
< 4(Ки + К； + 4(1 + 设(叫|)){zd(P) + "}(i + 1尸6%+
+ (Л1 + K^i + 1)户=G (i + 1尸6 空 + (К^ + 兄)(i + 1)产.(21)
Далее в силу (13) справедлива оценка
血(4 啼⑴/(汕)-\F^i)/(,i5))-脸-
-尢d嗝2-⑴,&)/(汕I = I e学(仍⑺-2僞))(喝(?)/(砌一
-218)-2式&), 3* < {L^h + Lhd^A = KLh.(22)
Здесь
团($№)= £ Oi](B[x)u- в^x) - /,吗户 + 1人-"铸
Заметим, что
М(吃眠h0)/0S))一 国(/喝⑴/(汕)1 < kз
(吃崎⑴/(砌 < 双瑞况h⑴&8)) + MJ® - ^)/R,(23)
Л0(ж, u) = //(Д, и) + aJ(u) - aj°, а > 0.
В силу выпуклости функционала J
J(号)/(") 2 J⑴/岡).
j=0、=0)
Обьединив (21)-(23), получим
<(0i + 乩)无+ 020)/侬)+ a产尸 £ J(哨-aJ〃(*. 3=0
Таким образом,
Кроме того, как нетрудно видеть, если р € 尸，》&(£,У)0 ^)то имеют место соотношения
yGV^Kja + e^/a],(24)
J° [2K」a + 目一寸 V J®) - J° < e/«.(25)
Из (22)-(25) и следуют оценки (15), (16). Теорема доказана.
Следствие 1. Если измерения z(a) точны, т. е. ^Л — z(a), mo справедливы включения 哧⑴/(") е ^[(2К」а/(汕 + 為(S)/侬)),g(S)/a],
J? [(2K』a/(汕 + 心(6)/(汕)]-J°< J®^(£)/(初)-J°< q(S)/a.
Из леммы 1 вытекает
Теорема 1. Пусть о(Д) > 0, 6(Д) > 0, г = г(Д) € М таковы, что а(/г) т 0, 5[h) т 0, 5(无)£(无)т оо,
(hi^S^h) + S^h^/a^h)0 при Д —> 0.
Тогда семейство
d 二 У體，h(，®)/(£(八)5(无)).
обладает следующими свойствами:
J[uh) J；, иЛ —> u0 € U*(z(a)) слабо в U при 无 т 0.
Если J(叫=I矶3，mo 屁"T 询 сильно e U при 无 т 0.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (8), (9)
Алгоритм решения операторного уравнения (7) — экстремальной задачи (8), (9) по существу описан в предыдущем пункте. В этом случае дискретная 5-траектория i т {у^л(2), 吗几⑴} W U X 展“⑷(5 > 0, а > 0, /i > 0), 〃 € М = {0,1,2,…}, порождается отображением
К :伍弘叫 wMxUxIRMh)Tp：(26)
吵= %(*£№),%/)), ewM
编力口 + 1)=编/⑷+*R磊小(0) = 0,叫冏/+ 1)=明川(〃)+〈8哈句〉"7g [1 : N®],嘲m(0) = 0,которое определяется по правилу
匕(МУ，{叫}赴？)二 argmin,〈Pg -i6b,Fv)ffl^
+ 2£若{吟 一 iS^NBvwQ + aJ(u) : v e P>,(27)
где z?=〈九№力,；e [1 ： N®].
Пусть постоянная Ki такова, что
玄学件一7川产VH VveF.
Введем обозначения
*/°Ы = min { J(v) : V ё Р, |F力-喝 1 + llBu - /На < 7),力=日叩|跳||吁
U°[% 仞 (/? > 0, 7 > 0)——множество всех элементов а W Р таких, что \\Bu-f\\l + \Fu-b\^<y, J(«) < J° + /3. Имеет место
Лемма 2. 6-траектория Й1Л(1), определяемая согласно (26), (27), удов лет воряет включениям
城八⑴/(") е > [(2К」а/(初 + П；(6, А)), П；(6, А)/а],(28)
J。[2К」а/(初 + И,(6, Д)] -J°< J(y；,ft(i)/(«)) ~J°< 国© ^)/«,(29)
где
口(4 Д)二(4AdP + К；浊 + @(5)/(К), И：(“ Д) = %® 无)沮 Доказательство леммы 2 проводится по схеме доказательства леммы 1, при этом используется оценка
V(h)N(h)
I f喲%,/)- iSz^}(Bv^j) - f唄咻式2)-彳位打(质川I <
206МАКСИМОВ
< AiShdp, gi)=(八叫).
Из леммы 2 вытекает
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда семейство
d = *s)/(2«))/(通州(初
обладает следующими свойствами:
J(d) т J°,虱? т 〃о W U* слабо в U при 无 т 0.
Если J(叫=\u\uf mo 渺 Т 〃о сильно в U при А т 0.
Обратимся к задаче (10), полагал
II • I战=11 -Ik-
Итак, мы укажем алгоритм решения уравнения (7) в предположении, что это уравнение имеет единственное решение а。：
Ви0 三 /.
Дискретную 6-траекторию определим согласно (26), считая
匕(* g, ｛吗｝於？)=ua｛叫｝言？)= argminb j2 齊｛叫- iSz^(Bv^j) : u W ".(30)
Имеет место
Лемма 3. 6-траектория yjh, определяемая согласно (26), (30), удовлетворяет неравенству
||2(成.8)/(砌)一川Z < К力 + ^/(«)2 + 2A4&,(31)
где
К? = sup ||Bv - /||г..
Доказательство. Оценим изменение величины
M"(C；%/i) — l%/i⑴ Т$*|^м/ф 吟=｛z；｝赴？，
где z? = (/,iVj), j W N®. Имеем в силу (30)
規％ + 1;%J = I%/1G + 1) -(£ + 1)84rHns)=
=12学｛啕川⑴+ 5也咽g - (C + 1州哨2 <
Ng)
< 簿％; <J + 28 £ 名｛%"•⑴ T8岁｝冲？ 一 f,g +
^(h)N(h)
+ 経 t 考1〈8廿—/ij〉『+ 2ih62 £2 aj\\^vi _ /||v* <
< K)优嗡力)+户к； + 2加324K2.
Суммируя ПО 2 от 0 до n — 1, получим
第)(П； ”标)< П户К； + ЩпбУАК2, п е М(32)
Заметим, что
%hj⑴=3编曲)闷,г е м
В таком случае неравенство (32) можно записать в виде
£ 若阻城八⑴-iSf,^2 < 赤財 + 2A(iS)24K2, г e M
Поделив правую и левую части последнего неравенства на iS и воспользовавшись включением
У；力⑴/(t5) W Р, а также неравенством
纟讨祖城心八汕-上犷4陷, j=N(h)+l
получаем
1|В(у；Л(г)/Я)-/^ < (汾用 + 九抬)/(汕2 + 2/MK.
Лемма доказана.
Из леммы 3 вытекает
Теорема 3. Пусть 5(无)> 0, г = г(Д) W N таковы, что
г(Д) оо, h/^^h^i^h))2 —0 при Д 0.
Тогда семейство
弥=川⑻,.(id))/«(无)5(无))(33)
обладает следующим свойством
uh —> а。 слабо в U при 无 т 0.(34)
Пусть 0(B) — U — V ^ оператор В наряду с условием 2 удовлетворяет следующему условию.
Условие 3. В ——положительно определенный самосопряженный оператор.
Таким свойством обладает эллиптический оператор (см. уравнение (11)). Как известно [14, 15], в пространстве V может быть введено скалярное произведение
(图g)У)=(8$働 ^x.yev
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
и отвечающая ему норма
I 矶9)= 丁(84$)=，(瑞 g)9).
Пусть априори известен шар радиуса R с центром в начале координат S(R) = ｛沙 W U : ®伊 < К｝, которому принадлежит и0. Пусть также пространство U гильбертово. Положим Р = S(jR). Определим дискретную 6-траекторню согласно (26), считая
｛ ：R%/闷伊器J±31a(35)
где
Ng)
匕=2 £ %•｛吋-iSz^j,
Анализ доказательства леммы 3 позволяет сделать вывод, что справедлива
Теорема 4. Пусть выполнены условия 2 и 3, а также условия теоремы 3. Тогда ^-траектория g；,h(t), определяемая согласно (26), (35), удовлетворяет неравенству (31). Кроме того, семейство (33) обладает свойством (35).
Таким образом, для решения эллиптического уравнения может быть использован алгоритм (26), (35). Если же отображение Va определено следующим образом:
匕仏｛叨｝*?) = argmin" e考｛%一丐｝(庚同+к叫伪产:v g PkI丿
то при соответствующем согласовании параметров а(А), г(А), 5(无)и А (см. теорему 1) сходимость 〃八 к 〃о будет сильной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Красовский Я. Я. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.
Красовский Я. Я., Субботин А. Я. Позиционные дифференциальные игры. М.; Наука, 1974.
Красовский Я. Я. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. К регуляризации выпуклой экстремальной задачи с неточно заданными ограничениями. Приложение к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. С. 34-54.
Kryazhimskii A.V., Osipov Yu. S. Input reconstructibility for linear dynamics. Ordinary differential equation: Work. Pap. WP-93-65. IIASA, Laxenburg (Austria), 1993.
Kryazhimskii A. К Convex optimization via feedbacks: Work. Pap. WP-94-109. IIASA, Laxenburg (Austria), 1994.
Кряжимский А. В., Осипов Ю. С., Максимов В. Я. О реконструкции экстремальных возмущений в параг- болических уравнениях //ЖВМиМФ. 1997. Т. 37,拂 3. С. 291-301.
Ermoliev Yu. Мч Kryazhimskii А. V., Ruszczyiiski A. Constraint aggregation principle in convex optimization: Work. Pap. WP-95-015. IIASA, Laxenburg (Austria), 1995.
Osipov Yu. S” Korotkii A. V. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems// Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М,: ТВП, 1992. С. 108-117.
Осипов Ю. С” Охезии С. 〃. К теории дифференциальных игр в параболических системах// ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1267-1270.
Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных си- стем//Дифференц. уравнения. II. 1991. Т. 27, №4. С. 567-573.
Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами: Препринт ИММ УрО РАН. Свердловск, 1991.
Maksimov V.Z On dynamical reconstruction in nonlinear parabolic systems //Leet. Notes Contr. and Inform. Sci. 1992. V. 180. P. 404-413.
Ладыженская О. А., Уральцева Я. Я. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.
КгаЪз W. Optimal control of undamped linear vibrations, Lemgo (Germany): Heldermann Veil., 1995.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 210-216
УДК 5".9
О системах линейных интегральных уравненийтипа Вольтерра в свертках
©1998 г. М. С. Никольский
Поступило в июне 1997 г.
Для систем линейных уравнений типа Вольтерра в свертках получены конструктивные условия общего вида для их разрешимости при f > 0. Основным аппаратом исследования является операторное исчисление Я. Микусинского, которое позволяет рассматривать изучаемую систему как систему линейных алгебраических уравнений над кольцом непрерывных функций.
ВВЕДЕНИЕ
Системы линейных интегральных уравнений возникают в различных вопросах анализа и представляют большой интерес для приложений. Из более новых областей их применения можно отметить теорию дифференциальных игр убегания (см., например, [1-4]). Аппарат теории интегральных уравнений нашел также применение в задачах трекинга (отслеживания заданного движения) из теории управления (см*, например, [5]).
Для систем интегральных уравнений, рассматриваемых в [1-5] и других работах по теории управления, характерно то, что они являются вольтерровскими и содержат свертки. Поэтому определенный интерес представляет задача исследования таких систем интегральных уравнений современными средствами анализа в общем виде. Удобным аппаратом для этого является операторное исчисление Я. Микусинского, которое мы активно используем.
Настоящая работа продолжает исследования [6].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИ51Я. МИКУСИНСКОГО
При £ > 0 рассматривается следующая система интегральных уравнений в свертках:
Ax(t) + / B(f — s)a:(s) ds = c(f),(1.1)
о
где 4 —— постоянная матрица размерности m х п, В(г) — целая аналитическая матричная функция комплексного переменного г размерности m х п, с(г) — целая аналитическая п-мер- ная векторная функция комплексного переменного г,①传)——неизвестная n-мерная векторная функция при 方之 0. Все матрицы и векторы предполагаются действительными при действительных г.
Будем искать условия на А, В(・), с(-), при которых система интегральных уравнений (1.1) имеет хотя бы одно непрерывное решение при f > 0.
Если ранг матрицы 4 равен т, то, как нетрудно доказать, система уравнений (1.1) имеет хотя бы одно непрерывное решение zR),方之 0.
Если ранг А < т, то рассматриваемый нами вопрос о разрешимости системы уравнений (1.1) является весьма сложным.
Как и в [6], мы будем здесь использовать операторное исчисление Я. Микусинского (см. [7, 2]). Приведем некоторые факты, обозначения и определения из этого исчисления.
Обозначим через С кольцо скалярных действительных непрерывных на полуоси t > 0 функций. Если функция f (t), t > 0, является элементом С, то этот элемент удобно обозначать символом f, итак,
/ = {“》，«>0.
Сложение в кольце С вводится поточечным образом, а умножение — с помощью свертки Дюамеля:
f + 9 = {f(f) + 9(f)}. i > 0,
/*g= {//代-5%(5)盛}, t > 0,
где f, д — произвольные элементы из С. С является ассоциативным коммутативным кольцом без единичного элемента. Роль нулевого элемента 0 выполняет функция
= 0, t>0.
Операция сложения в С обозначается знаком +, а операция умножения ——знаком *•
Так как кольцо С не имеет делителей нуля, то на основании известной в алгебре конструкции кольцо С естественным образом вкладывается в поле дробей (отношений)耽一поле Микусинского (см. [7]). Элементами поля 耽 являются формальные дроби 分 где /, ^ € С и g 次 0, т.е. функция g(t) не тождественно равна нулю при f > 0. Две дроби % |, где g 次 0, к 我 0, считаются равными, если
/ * к 二 g * 儿
Операции сложения и умножения в 9И, как и в кольце С, будем обозначать знаками +, *• Эти операции производятся по правилам
/Дf * к + д * h/h 无
1- у = , 一* у =-,дк* кдкд * к
где g 次 0,用次 0. Элементы / кольца С отождествляются с дробями вида —, где g 次 0。 Элементы 耽 называются операторами.
С формальной точки зрения правила оперирования с элементами поля 耽 напоминают правила оперирования с дробями в арифметике. Функцию f (t)三 1 при t > 0 обозначим через 2. Известно (см. [7]), что для k-й степени элемента 2 в С справедлива формула
где к = 1,2,…Единичный элемент из 耽 обозначим через 8. Положим 2" = 3. В 力I есть обратный элемент для элемента 2:
2 * 1 =纟~ 1 * 纟=5*
Для постоянной функции / = {a}, t > 0, где а — действительное число, положим
В частности ,1 = 5. Если функция g = {^(t)}, f > 0, является элементом кольца С, то при произвольном действительном а
д == {oig{t)}, t > 0.
Если G = (д；/)——постоянная матрица с действительными элементами, то положим
@=匾).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Обратимся к уравнению (1.1). Положим
В = {B(t)}, с = {c(t)}, $ = {$伍)}, t > 0.
Элементы этих операторных матриц принадлежат кольцу С. Рассмотрим операторную матрицу
D = А + В, где сложение производится покомпонентно.
Используя введенные обозначения, можно переписать (1,1) в виде следующего линейного уравнения над полем ЭЛ:
D ^ х — с^(2,1)
где умножение операторной матрицы D на операторный вектор ж производится известным в алгебре способом, только в качестве операций сложения и умножения используются операции поля 9И.
Для решения уравнения (2.1) над полем ЭЛ можно применить богатый арсенал линейной алгебры (см., например, [8-11]). Отметим, что упорядоченные наборы п*элементов из 9И, записываемые в виде столбцов, образуют п-мерное арифметическое векторное пространство 9ИП над полем 耽(см., например, [11]).
Если F = (fij) — операторная матрица, то через rank F условимся обозначать ее ранг над полем 耽. Если G = (д^)——квадратная операторная матрица, то через det G будем обозначать ее детерминант над полем 吼
Согласно теореме Кронекера-Капелли для разрешимости уравнения (2.1) над полем 9И необходимо и достаточно, чтобы
rank D =rank (D; с),(2.2)
где справа стоит расширенная операторная матрица.
Обозначим через р величину rank D. Если р = 0, то в (1.1) матрицы 4 и В(г) при г > О оказываются нулевыми. В этом случае система уравнений (2.1) разрешима над полем 耽 (соответственно над кольцом С) тогда и только тогда, когда c(t)三 0 при t > 0.
В дальнейшем будем считать, что
р =гапк 0〉0.
Средствами линейной алгебры (см., например, [4, 7]) показывается, что при выполнении равенства (2.2) общее решение уравнения (2.1) над 耽 будет (п - р)-мерной плоскостью в 耽".К сожалению, при выполнении равенства (2.2) не всегда имеет место разрешимость уравнения (2.1) над кольцом С. Например, одномерное уравнение
/$(5)ds = 3, t > 0,о
не имеет непрерывного решения, хотя над полем 耽 соответствующему уравнению (2.1)
纟* $ = 3 *纟
удовлетворяет оператор ж = 3. Таким образом, для обеспечения разрешимости уравнения (2.1) над кольцом С нужно как-то усилить условие (2.2).
Для дальнейшего нам понадобятся следующие определения (см. [2]).
Определение 1. Степенной операторный ряд
自曲(23) ;=о
называется сходящимся (в 耽),если при каждом комплексном t обычный степенной ряд
8xi-l
少中加)
является сходящимся. Суммой сходящегося степенного ряда (2.3) объявляется оператор а = =&о + 无,где Д € С и является суммой ряда (2.4) при i > 0.
Определение 2. Элемент a W 耽 называется целым элементом, если его можно представить в виде суммы некоторого сходящегося степенного операторного ряда (2.3).
Нетрудно показать, что целые элементы поля 9И образуют коммутативное кольцо с единичным элементом относительно операций поля 耽.Обозначим это кольцо 9Hl.
Нетрудно доказать следующую лемму.
Лемма 1. Если элемент a W 耽i, mo действительные числа а», входящие в его разложение вида (2.3), определяются однозначным образом.
Определение 3. Индексом ненулевого элемента а £ 耽】называется номер первого отличного от нуля действительного числа а；, входящего в его разложение вида (2.3). Индекс
нулевого элемента полагается равным +оо. Для a W 耽】условимся обозначать его индекс символом ind а.
В [6] были получены необходимые и достаточные условия для разрешимости системы интегральных уравнений (1.1) в классе n-мерных целых аналитических функций x(t) (см. в [6] теорему 3). Таким образом, теорема 3 из [6] дает достаточные условия для разрешимости системы уравнений (1.1) над С. Покажем, что требования теоремы 3 из [6] и необходимы для разретйимости системы уравнений (1.1) над С.
Пусть система уравнений (1.1) имеет непрерывное решение 定(方),i > 0. Известно (см. [2]), что цел ал операторная матрица D (см. (2.1)) допускает следующее представление：
D^F^G^H,(2.5)
где операторные матрицы F, G, Н с элементами из 耽】имеют размерности т х т, т х п, n х п соответственно；
、F =瓦)+ 网，Н = Hq 十 Hi
и элементы операторных матриц 网,Ях являются целыми аналитическими функциями, причем det 风 我 0, det Н()我 0, т.е. матрицы 氏,Но невырожденные; все элементы д^ операторной матрицы являются нулевыми, за исключением дц, t = 1,..., р, которые имеют вид
причем Q < кг < ... < kp vl ki — целые числа.
Отметим, что операторные матрицы F, G, Н могут быть построены эффективным способом, причем F н Н обратимы над 耽】(см. [2]). В соответствии с бытующей в алгебре терминологией операторную матрицу G естественно назвать канонической формой Смита операторной матрицы D.
Из равенства
D ^х — с
и формулы (2.5) вытекает следующее равенство:
G * z — d^(2.6)
где
z ~ Н *х, d = F~i * с.
Можно показать с помощью результатов из [2], что d — целая аналитическая m-мерная вектор- нал функция, а компоненты n — непрерывные функции при £ > 0. Из определения операторной матрицы G и формулы (2.6) получаем следующие равенства для компонент ^, d； векторных функций n, d:
伸* 右=&, г = 1, • • •, р,(2.7)
& = 0, г = р+ 1,..., т.(2.8)
Из (2.7) следует, что
где дроби являются элементами из 耽.Так как левые части равенств (2.9) принадлежат кольцу С, то, пользуясь включениями dt W 耽i н определением целого элемента поля 耽,нетрудно показать, что 分 е 耽】и ind ^ > 1 при £ = 1,…，р.
Рассмотрим далее вектор w £ 耽° с координатами
w, = Zi при t = 1,…，〃叫=0 при t =
где 0 (как и в (2.8)) означает нулевую функцию из С. Нетрудно видеть, что компоненты вектора w принадлежат С)являются целыми аналитическими функциями и
G ^w = d.
Положим
Можно показать с помощью результатов из [2], что компоненты вектора ж0 W 耽"принадлежат С и являются целыми аналитическими функциями. Из сказанного вытекает, что
D * xq — с.
Итак, показано, что при наших предположениях из наличия решения ж уравнения (2.1) с компонентами из С следует существование решения ж0 того же уравнения (2.1) с компонентами, являющимися целыми аналитическими функциями. Поэтому требования теоремы 3 из [6] при наших предположениях являются и необходимыми для разрешимости системы уравнений (2.1) над С.
Таким образом, доказана
Теорема. Пусть в (2.1) р —rank D > 0. Тогда для разрешимости системы уравнений (1.1) над кольцом С при сделанных предположениях необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
1°. Справедливо равенство (2.2).
2°. Наименьший из индексов всевозможных миноров порядка р операторной матрицы 2*0 равен наименьшему из индексов всевозможных миноров порядка р расширенной операторной матрицы (2 * 0; с).
Замечание. Миноры, о которых говорится в теореме, вычисляются над полем 耽 с применением полевых операций +, *.
Приведем пример линейного уравнения (2.1), иллюстрирующий нашу теорему. Переход к системе уравнений (1.1) производится просто, и мы на этом останавливаться не будем.
0 =0 =Пример. Пусть в (2.1) тп — 2, п = 3,
0 =
0 =
Пусть, далее, в (2.1) первая компонента функции c(t) есть функция sin t, а вторая — нулевая функция. Рассматривая всевозможные миноры 2-го порядка для операторных матриц 0, 2* 0
и (2* D; с) (вычисляемые над полем 耽),нетрудно убедиться, что в этом случае: 1) р = 2; 2) условие 1° теоремы выполняется; 3) условие 2° теоремы не выполняется.
Поэтому в этом случае интересующей нас разрешимости уравнения (2.1) над С нет.
Пусть теперь в (2.1) первая компонента функции c(t) есть функция 2 * {sin t} = / sins ds, о
£ > 0, а вторая — нулевая функция. С помощью нашей теоремы нетрудно доказать, что в этом случае имеет место разрешимость уравнения (2.1) над С.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Понтрягин Л. С. Линейим дифференциальим игра убегания// Тр. МИАН. 1971. Т. 112. С. 30-63.
Gamkrelidze Я. V,, Kharatishvili G. Z. Differential game of evasion with nonlinear control //SIAM J. Contr. 1974. V. 12, N 2. P. 332-349.
Никольский M. С. Об одном способе убегания //ДАН СССР. 1974. Т. 214, № 2. С. 287-290.
Nikolskii М. S. Methods of factorization applicable to the solution of convolution equations//Integral Transforms and Spec. Funct. 1994, V. 2, N 1. P. 51-64.
Никольский M. С. Об одной задаче отслеживания движения//Докл. РАН. 1992. Т. 322, № 5. С. 851-854.
Nikolskii М. S. On solvalibity of systems of integral equations in convolutions //Integral Transforms and Spec. Funct. 1995. V. 3, N 1. P. 37-48.
Микусинский Я. Операторное исчисление. М.: Изд-во иностр, лит., 1956.
Бурбаки Я. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейим и полилинейная алгебра. М,; Физматгиз, 1962.
Бурбаки Я. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966.
Елизаров В. Я. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом //УМН. 1993. Т, 48, № 2. С. 181-182.
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш, шк., 1979.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА WM. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 217-235
УДК 517.9
Об экстремальных управленияходнородной билинейной системы,управляемой в положительном ортанте©1998 г. Е. Н. Хайлов
Поступило в июне 1997 г.
В работе исследуется однородная билинейная система, управляемая в положительном ор- танте при помощи скалярных ограниченных по абсолютной величине управлений. Она описывает математические модели целого ряда процессов в биологии [1-3], экономике [4, 5], медицине [6-8] и энергетике [9-13]. При определенных предположениях некоторые свойства множества достижимости такой системы позволяют установить релейную структуру экстремальных управлений, соответствующих граничным точкам этого множества, а затем показать, что число переключений таких управлений не превосходит размерности рассматриваемой системы.
СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
Рассмотрим в пространстве Жп следующую билинейную управляемую систему:
(出他)=(4 + 矶方»产)方(方)，t е [o, т], т > о,⑴
[$(0) = ж° ^ 0.I 丿
Здесь 4 — матрица порядка n х п и 6, с € ®п ——ненулевые векторы. Индекс Т означает транспонирование.
Под классом допустимых управлений 0(Т) понимаем всевозможные измеримые функции u(t), удовлетворяющие неравенству
IW)|W1, t€[0,T]n.B.(2)
Найдем условия, при которых неотрицательны все компоненты а^(±), г = 1)..., п, решения z(方)системы (1) при всех t w [0,Т].
Для некоторого управления u(-) W °(Т) обозначим Аы(t) = 4 + и^Ьс' и рассмотрим матричную задачу Коши
/以⑴=4(方)Z”&), f€[0,T],小
[九(0)=瓦()
где Е есть единичная матрица. Тогда справедлива
218ХАЙЛОВ
Лемма 1. Решение системы (1) выражается формулой x(t)^Zu{t)x\ te[0,T],(4)
Считаем в дальнейшем, что п > 2. Сформулируем
Условие 1. Матрица А, векторы Ь, с и х° таковы, что справедливы неравенства a沦岡勺，= …，叫(5)
±q啖=(")> 0,(6)
ж? > 0, с{ > 0, 4 = 1,…,％⑺
где через а； обозначены элементы матрицы А, а через Ь「с；,勺? — компоненты векторов Ь, с, ж0 соответственно.
В дальнейших рассуждениях считаем условие 1 выполненным. Имеет место
Лемма 2. Для всех t W [0,Т] и любого управления u(-) W 0(Т) компоненты 片(£), i = ==1,..., п, решения ①仅)системы (1) неотрицательны. Кроме того, скалярное произведение (с, z 传))положительно.
Доказательство, Прежде всего из (2) и (5) вытекает неотрицательность каждого недиагонального элемента матричной функции Au (t). Далее, введем множество
/0 = {г : aj — |&(|с{ < 0, г = 1,..., п}(8)
и величину
以=max|aj —岡&| > 0.(9)
Если То пусто, то полагаем рф = 0. Теперь уже каждый элемент матричной функции (4口(方)+ +〃*Е) неотрицателен.
Рассмотрим задачу Коши
[2(方)=(人传)+ 厶E)z(9， t e [0,T],门)
(z(0) = MI °丿
и для нее следующий итерационный процесс:
.#+»(£) = н° + 厶人(s) + %E)#)(s) ds,
.y(0)(t) = x0, te[o,T], k>i.
Легко видеть, что для каждого г — 1,..., п и всех к > 1
y[k4t)> о, te [О,Т].(11)
Более того, решение z(方)системы (10) является равномерным пределом семейства функций {g*)e)}, t W [0, Т]. Поэтому из (11) вытекает неотрицательность компонент ^(t), V = 1,..., п,
для всех t W [О, Т]. На основании этого из (10) следует неотрицательность для почти всех t € [0, Т] величин %(方),i = 1,...)п. Последнее означает, что для почти всех t € [0,幻 имеет место неравенство
(с,即))^0.(12)
Из формулы Ньютона-Лебнипа [14] для абсолютно непрерывной функции (с, n(方))находим равенство
(с, z(9) ~ (с, z(0)) = У (с, 2®) ds.(13)
Здесь Eq — множество точек дифференцируемости функции (с,z(±)) на отрезке [0,力]. Из соотношений (12),(13) и определения величины z(0) следует, что
(с/©) > (с, ж0).
Тогда из (6) немедленно следует положительность функции (с, n(方))для всех t W [0, Т].
Наконец, рассмотрим функцию『*(方)=exp(—必方)z传).Из (10) имеем очевидные равенства
i+(f) = Au(t)x^t), £*(0) = $°,
означающие, что z(t) = z*(方),t W [0,Г]. Отсюда и из проведенных ранее рассуждений для функции z(方)вытекает справедливость сформулированных в условии леммы утверждений.
Обозначим через Х(Т) множество достижимости системы (1) из точки х°, т.е. множество значений х(Т) решений (1), отвечающих всевозможным управлениям 〃(•) W °(Т).
Выясним теперь, какими свойствами обладает множество X (Т) при выполнении условия 1.
Имеет место
Теорема 1. Для всех Г > 0 множество достижимости Х(Т) компактно, а многозначное отображение Х(Т) непрерывно в метрике Хаусдорфа.
Доказательство. Компактность Х(Т) установлена в [15, 16]. Непрерывность Х(Т) обосновывается рассуждениями, подобными приведенным в лемме 1 работы [17], с использованием при этом липшицевой зависимости траекторий системы (1) от интеграла управления, полученной в [18].
Из леммы 2 и рассуждений, представленных в работах [19-21])следует
Теорема 2. Для произвольного значения Т > 0 множество достижимости Х(Т) выпукло.
Установим теперь условие максимума.
Теорема 3. Пусть допустимое управление 〃(方)переводит систему (1) на отрезке [0, Г] из точки『° в точку ж границы множества достижимости Х(Т). Тогда для почти всех t £ [0, Т] справедливо соотношение
(Z“(T)Z；1 (加,”)〃(t) = ^{Zu(T)Z^(t)b,枷，(14)
ade вектор 吵 W S = {〃 W 庾"：||用| = 1} является опорным к множеству Х(Т) в точке х； а индекс -1 обозначает обратную матрицу.
Доказательство проводится по схеме рассуждений работ [20, 21] с привлечением результатов лемм 1, 2 и теорем 1, 2.
Всякое управление 屁(•) W °(Т), переводящее систему (1) из точки『° в точку границы множества достижимости Х(Т) на отрезке времени [0,Т], называем экстремальным.
Сформулируем теперь
Условие 2. Векторы 6, АЬ,..., ^^Ь линейно независимы в пространстве Rn.
С этого момента считаем условия 1 и 2 выполненными одновременно. Справедлива
Теорема 4. Каждое экстремальное управление 虱(方)кусочно постоянно, принимает лишь значения —1 и +1 и имеет на интервале (0,Т) конечное число переключений.
Доказательство. Покажем вначале, что определяющая экстремальное управление 〃(方)
из условия максимума (14) функция переключений
L(t} = {Z^{t)b,4>), r = Zf(T)“B0, t€[0,T],(15)
не обращается в нуль на множестве положительной меры. Предположим противное, т.е. существует множество Д С [0, Г] ненулевой меры, на котором
(Z；1(加，屮) = 0.(16)
Далее, на множестве △ U [0?
%) = -(Z「(t)4b“) - (b,c)(Z；i(圾，⑴矶t) = 0.(17)
Из соотношений (16), (17) вытекает равенство
(Z「(94b“)= 0,力 €△.(18)
Проводя подобные рассуждения, получаем соотношения
(Z；i(t)4^“) = 0, te △,(19)
выполняющиеся для всех г = 2,..., (п — 1). Поскольку 屮我 0, а преобразование Z„ x(t) не вырождено для всех t W [0,Г], то из равенств (16), (18), (19) следует линейная зависимость векторов Ь, ЛЬ,..., АП-1Ь, что противоречит условию 2. Значит, функция переключений L(t) не обращается в нуль на множестве положительной меры.
Покажем теперь, что функция Е(±) имеет лишь конечное число нулей на интервале (0, Т). Для этого снова предположим противное, т.е. множество нулей функции Е(±) имеет хотя бы одну предельную точку t0 на отрезке [0,Т]. Ради определенности считаем, что последовательность {ifc} нулей функции Lit) сходится к t0. Введем последовательность {п} следующим образом: п = h —方о, ^ > 1. Очевидно, что {以} т 0. Для нее имеем равенства
L(tk) = (^(to + r^b^) = 0, fc > 1.(20)
Следуя схеме рассуждений работы [22], рассмотрим функции
г, (г) = (Z『(力o +「)4J%“)， re [~t0,T -tQ], i~ l,...,n.(21)
При этом, как нетрудно заметить из (20), rifn) = 0 для fc > 1.
Функции (21) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
汽(丁)= 一矶} + т)(л/т“с)%(丁)-ri+1(r), £ = 1,— 1),
儿(丁)二+矶如+ Т)(4A14明勺(Т) -玄%仃(丁)，@2)
片2
где а〃 г = 1,..., n, — известные коэффициенты разложения Ап = £乜1 ci.A*-1.
Введем числа
p = »<^薜1)к*tа 哄 Q 二 2?袋岡，r=同 + 1(4“一"，e)1.
Тогда, как следует из [23] применительно к системе (22), для значения /?0 = max{l,P, Q,R} существуют такие「：，成 что т； < 0, Тд > 0,「； < т£ и на отрезке [『；,「；] сосредоточено не менее п различных нулей функции rj(г). Там же установлено, что в этом случае на множестве [「；，&]片(т) = 0, г = 1,...)п. Значит, в частности,
鋒(°) = (А'』％,7/) = 0, г =п =区丁(用)产屮次 О,
и поэтому векторы b, АЬ,..., Аг*~16 линейно зависимы, что противоречит условию 2. Следовательно, число переключений экстремального управления 〃(方)на интервале (0)Г) конечно. Теорема доказана.
Наконец, результаты леммы 2, теоремы 4 и рассуждения, подобные приведенным в работах [20, 21], позволяют установить справедливость следующих утверждений.
Следствие 1. Каждой точке ж границы множества достижимости Х(Т), Г > 0； отвечает единственное экстремальное управление 〃(方),方 W [0,Т].
Следствие 2. Для ecez Т〉0 множество достижимости Х(Т) строго выпукло.
Далее, в работе [24] наряду с множеством достижимости Х(Т) из точки ж° рассматривается и множество управляемости У(Т) в точку ж0:
У(Т) = е-таХ(Т), Г > 0,(23)
где ев — экспоненциал матрицы В. Поскольку множество У (Т) при каждом Т > 0 отличается от Х(Т) лишь линейным преобразованием е-?", то множество управляемости У(Т) обладает всеми свойствами, установленными в теоремах 1-4. Там же приводится еще одно важное свойство множества У (Т), не имеющее места для Х(Т). Именно, справедлива
Теорема 5・ Множество управляемости У(Т) монотонно по включению, m.e. У(Т1) С С У(『2)для 0 < Т1 < 4.
Определим теперь величину dimY(T) — размерность несущего подпространства множества управляемости У (Т). Имеет место
Теорема 6. Для произвольного Т > 0 выполняется равенство dimV(T) = п.
Доказательство. Для доказательства утверждения воспользуемся схемой рассуждений, использованной при обосновании теоремы 14 работы [25]. Определим функцию о•(厶 т,叫
переменного t, где гит?——действительные параметры, считал ее равной sgn ?; на интервале (г + min(0,7?),т + тах(0, ??)) и равной нулю вне этого интервала. Наконец, для малых положительного числа £ и действительных параметров (??i,..., ^п) рассмотрим управление
矶&小….，%) = еег&祐,阪)，± W [0,T].(24)
В множестве управляемости У (Т) каждому управлению (24) соответствует точка
$(小，…方n) = Qn(%)Q”i(?M-i)…Q2(m)Qi(小)犬，(25)
где
Qi^i) = е-(^+шах(О1Ч;))Л . e 乐 15+咏小山戸).e(ie+min(OiI)i))4,£ =,乩(26)
Очевидны равенства
Qi(0) = E, г = l,...,n.(27)
Поэтому при 齿=0, £ = 1,…，％ имеет место соотношение
ж(0,...,0) = ж°€У(Т).
Рассматриваем отображение ж : Rn —)■ Rn, задаваемое формулами (25), (26), окрестности начала координат
{①1, •••,%)「W 财：蚀I < 0.5г, г = 1,...,п}
в соответствующую окрестность точки ж0 множества управляемости У (Г). Дифференцируя в указанной окрестности соотношения (26) и выполняя затем несложные преобразования, находим формулы
醬(0) = е-""©%", г = 1,...,п.(28)
г = 1,..., п.г = 1,..., п.Учитывая (25), (27), (28), немедленно получаем равенства
г = 1,..., п.
г = 1,..., п.
(29)
Из (29) вытекает, что якобиан переменных Ж1,..., жп по переменным %,…,％ исследуемого отображения при 木=0, i = 1,п, равен
徐,也。心，(Зо)
где А — определитель матрицы, составленной из векторов e~ieA6, г = 1,..., п. Из условия 1 и результатов леммы 2 для u(t) = 0,方 W [0, Г], следует положительность первого множителя в (30), а из условия 2 при достаточно малом £ ——не равенство нулю величины А [25]. Поэтому якобиан (30) отображения (25), (26) отличен от нуля. Из этого в силу теоремы об обратном отображении [26] вытекает существование некоторой окрестности V точки ж0 € € /(Т), каждая точка x^i, ^ .^п) которой принадлежит множеству У (Т). Это означает, что『° —
внутренняя точка множества управляемости У (Т). Отсюда следует справедливость утверждения теоремы.
Из доказанного выше находим
Следствие 1. Для произвольного Т > 0 z° является внутренней точкой множества управляемости У(Т).
Поскольку в силу (23) dimX(T) — dimY(T) для всех значений Г > 0, то справедливо
Следствие 2. Для произвольного Т > 0 выполняется равенство dim X(Г) = п.
ОЦЕНКА ЧИСЛА ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ
Исследуем вопрос о числе переключений экстремальных управлений системы (1). Прежде всего выделим работу [19], в которой доказывается следующее, не вполне корректное утверждение —при выполнении условий 1, 2 и вещественности собственных значений матрицы 4 изучаемой системы каждое экстремальное управление 〃(方)имеет на интервале (О, Т) не более (п — 1) моментов нереключения. Действительно, в случае п = 2 требование вещественности собственных значений матрицы А излишне. Это будет видно из последующих рассуждений. При 九=3 можно привести пример, опровергающий рассматриваемое утверждение. Достгь- точно в системе (1) взять матрицу 4 и векторы Ь, с следующего вида:
1 о\ /0\/0\
А = I 0 0 1 I) & — I О I , с = I О I ,
где 0 = —~2=. Несложные вычисления показывают, что каждой начальной точке ж0 отвечают
такие момент времени 乳 и точка ж границы множества достижимости Х(7Ь), что соответствующее им экстремальное управление u0(t) имеет на интервале (0,乳)ровно три момента переключения.
Отметим также, что упомянутый выше результат при малых Т、0 и выполнении условия 2 установлен в [20, 21].
Далее, следует выделить и работы [27, 28], в которых получены оценки числа переключений экстремальных управлений для системы (1) в случаях п = 2 и п = 3 без предположения о справедливости условия 1. Это связано с тем, что такого рода системы играют значительную роль в теории автоматического управления [29, 30].
Целью последующих рассуждений является нахождение достаточных условий, при которых каждое экстремальное управление 〃(方)имеет на интервале (0, Т) не более (п — 1) переключений. А для этого в свою очередь следует определить, в каких случаях собственные значения матрицы (А + 〃Ьс「) являются вещественными при всех 从 W [—1, +1].
Наряду с матрицей 4 введем в рассмотрение вспомогательную матрицу А* = А + 〃*Е, где величина “* определяется равенствами (8), (9), а также матрицы D = Ат и Г)* — А^. Легко убедиться в том, что имеет место
Лемма 3. Для произвольного 从 W [—1, +1] все элементы матрицы (А* + //be?) неотрицательны. Кроме того, векторы 6, АЩЬ,..., A"~T6 линейно независимы в пространстве R".
Дальнейшие рассуждения разобьем на два случая. Сначала рассмотрим ситуацию, когда наряду с выполненйем условий 1 и 2 векторы с, De,... ,Dn~1c линейно независимы. Установим следующий факт.
Теорема 7. Пусть для матрицы А векторы с, De,..., Dn~lc линейно независимы в Жп. Тогда для каждого 从 £ (—1, +1) существует действительное собственное значение》о(/х) матрицы (4+〃Ьс「), являющееся простым корнем соответстеующего характеристического уравнения. Модули всех остальных собственных значений》(〃) при этом 从 удовлетворяют неравенству |А(^) +〃*| ＜》о(〃) + 厶.
Доказательство состоит из нескольких этапов. Сначала покажем, что определенная ранее матрица 4* неразложима [31]. В самом деле, из леммы 3 вытекает неотрицательность элементов матрицы 4*, а из условия теоремы — линейная независимость векторов с, 0*с,...)0：~ic. Далее, рассуждаем от противного. Предположим, что матрица 4* разложима. Это означает [31], что перестановкой строк (столбцов) она приводится к виду
(31)
где Ац ——неразложимая и %22 '~ квадратные матрицы порядков тц х п】,n2 X n2, ni +^з =九, соответственно и 4* = РА^Р"1. Здесь 尸—ортогональная матрица, в каждой строке и каждом столбце которой один элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю. В силу особенностей матрицы Р и результатов леммы 3 матрица (4* + 从石尹)также состоит из неотрицательных элементов при всех 〃 W [—1, +1]. Здесь Ь — PF и с = Р-1с. Пусть
где Ьй Cf W Rni, г = 1,2. Тогда из представления (31) немедленно вытекает неотрицательность элементов матрицы 从入芍 для всех 从 £ [—1,+1], что влечет за собой равенство 友胃=0. Из него следует, что либо 友=0, либо с2 = 0. Рассмотрим каждую ситуацию отдельно.
Случай 1. Пусть %i = 0. Тогда вектор b имеет вид
(32)
и справедлива формула
det [ Ь 464：Tb]=det[2 ЛЬ 用厂唏].(33)
Поскольку в силу представлений (31), (32)
i = 1, ♦ ♦ ♦, 71,
ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЯХ равенство (33) продолжаем следующим образом:
det [ 6 4*6 …A^~lb ] = det ?彳。工 … 彳Si = 0.
Последнее означает линейную зависимость векторов 6, А^Ь,..., А"_1Ь, что противоречит результатам леммы 3.
Случай 2. Пусть с2 — 0. Тогда вектор с имеет вид
(34)(34)
(34)
(34)
и справедлива формула
det [ с D^c] =det [ с Де次一左],(35)
где 力* = 4f. Обозначим 力ц = 4北.Поскольку в силу представлений (31), (34)
瓦一土 =("瓦)，i =
равенство (35) продолжаем следующим образом:
det [ с D*c ... D尸c]=det 扌力尸… 吨％ = °.
Это означает линейную зависимость векторов с, 0*с,…，。：一乜 что противоречит рассуждениям, проведенным в начале доказательства этой теоремы. Таким образом, матрица 4* неразложима.
Теперь, используя только что установленный факт, покажем, что матрица (4* + 浊严) неразложима при всех 从 W (—1, +1),从我 0. Для этого фиксируем произвольное 从о W (-1, +1), 从о 我 0, и рассмотрим матрицу 4 = 4*+ 从obc?. Для нее справедливо равенство 4* + 〃Ьс「= =么+例产, где 0 =从一〃0. Очевидно, что элементы матрицы (А + ^Ьст) неотрицательны для всех таких 仇 что |^| < 1 — |/z0|- Из [27] для力=* вытекает, что векторы &, Ab,...,An~lb и с, De,...,力п~】с линейно независимы в Жп. Значит, к матрице А применимы рассуждения первой части теоремы. Следовательно, матрица А неразложима. Требуемый факт обоснован.
Теперь уже утверждение теоремы вытекает из теоремы Фробениуса-Перрона [31] применительно к матрице (4* + цЬ严)при каждом 从 С (—1, +1) и легко устанавливаемой связи собственных значений матриц 4 и А*. Теорема полностью доказана.
Следствие. Пусть 九=2 а векторы с, De линейно независимы. Тогда для каждого 从 W С [—1, +1] собственные значения матрицы (4+/хЬс「) вещественные, причем для 从 W (—1, +1) они различные и являются простыми корнями соответствующего характеристического уравнения.
Доказательство. Справедливость этого утверждения для 从 W (—1)+1) следует из теоремы 7 и того факта, что 九=2. При 从=±1 следует рассмотреть матрицы (4* ± Ьс「) и
применить к ним также теорему Фробениуса-Перрона, а затем учесть связь между собственными значениями вспомогательных матриц （4* ±6严）и матриц （4 土 bc「）.
Сформулируем теперь условия, при выполнении которых подобное утверждение было бы справедливо и для п > 3. Рассмотрим характеристический многочлен 九（入）матрицы （4+ +从6产），// W [-1, +1]：
厶（入）=det RE - （A + 血Т）] ,（36）
ИЛИ
%（入）—An + fn-i（M）^n 1 + • • ■ + 也（从州 + ^o（M）*（37）
С помощью коэффициентов 内（从）,г = 0,..., （п — 1）, многочлена （37） построим квадратную матрицу Q» вида
/1
^п~1
… СГ3
©
内
bo
0
...0
0、
0
1
…04
内
O"2
6
… 0
0
0
0
...1
071 -]
bn —2
bn-3
^n—4
… СТО
0
0
0
...0
1
^n—1
°n—2
di-3
… СТ!
bo
0
0
...0
0
n
1^n-l
%-2
...%
&
0
0
...0
n
%-2
办.3
•■•办
0
0
0
… n
%-2
%—3
办一4
0
0
0
п
二%
仇
办
办
0
0
0
\冷
%一1
...仇
办
办
0
0
...0
0丿
порядка（2k — 1） х （2п — 1）. Здесь 济（从）=〃G（〃），匕=1,…,（n — 1）. Обозначим через Л,-（/х）, г = 1,3,, （2冷-3）, следующие миноры этой матрицы:
det n , detdet n , det°n-2 %一1办一2°n-2 %一1办一21 crn-i
det n , det
det n , det
°n-2 %一1
办一2
°n-2 %一1
办一2
О п
冷办t
а через Д2п-1（М）определитель самой матрицы Q〃.
Сформулируем теперь
Условие 3. Векторы с, De,...）Dn~1c линейно независимы в Rn и при 九之 3 для всех 〃 W （—1, +1） положительны определители А；（〃）, г = 1,3,..., （2п — 3）, （2п — 1）.
Учитывая следствие из теоремы 7, заключаем, что имеет место
Теорема 8. Пусть условие 3 выполнено. Тогда для каждого 从 W [—1）+1] собственные значения матрицы （4 + 浊产）вещественные, причем для 从 W （—1,+1） они различные и являются простыми корнями характеристического уравнения fM（A） = 0.
Доказательство утверждения для 九之 3 и 从 W （—1, +1） немедленно вытекает из результатов работы [32]. При таких п и 〃 = ±1 достаточно воспользоваться непрерывной зависимостью собственных значений матрицы （4 + 〃ЬсТ） от 从[33].
Замечание. Сложность анализа условия 3, заключающаяся в вычислениях определителей △i(//), i = 1,3,..., (2n — 1), и последующей проверке их положительности при 从 W (—1, +1), обсуждается в [30, 32]. В работе [32] приведены алгоритмы вычисления этих определителей.
На основании теорем 7 и 8 можно установить справедливость следующего утверждения.
Следствие. Пусть условие 3 выполнено. На сегменте [—1, +1] определены непрерывно дифференцируемые функции *(〃), г = 1,..., п, являющиеся при каждом 从 простыми корнями характеристического полинома (36). При этом для в сеж 从 W (—1, +1) имеют место неравенства
入i(M)> ^2(М)> • • ■ > 儿一式从)> An (/z),(38)
а производные 3(从),г = 1,..., n, отличны от нуля и имеют определенный знак.
Замечание. Величины %(〃), г = 1, - -., п, одновременно являются и собственными значениями матрицы (А + 从be?) для 从 W [―1, +1].
На основании сформулированного выше утверждения обоснуем следующий факт.
Лемма 4. Пусть условие 3 выполнено. Существуют постоянные р,, г = 1, s.., (п — 1), удовлетворяющие неравенствам
〃1 > 砲 > ••• > %-1,(39)
для которых при всех 从 W [—1, +1] выполняются соотношения
木3) > i7! > 尤(从)> ^2 > А3(М)> • • ■ > 入吁i(M)> 〃吁 1 > 儿(从)・(40)
Доказательство проведем для произвольного индекса г, г = 1,. п., (п — 1). Требуется установить для функций 入(从),入i+i(〃)> связанных неравенством (38), наличие числа %, для которого
%(从)> 片 > %+i(M)(41)
при всех 从 W [―1, +1]. Для этого ради определенности считаем, что функция %(〃) возрастает на интервале (—1,+1)} т.е.
*(从)> 0,从 W (—1, +1).(42)
Случай убывания функции Л* (从)рассматривается полностью аналогично. Из (42) вытекаг- ет, что наименьшего значения функция %(〃) достигает при 从=-1. Поэтому величину 片 определим следующим образом：
片=%(—1) = min А, (//).(43)
^e[-i,+i]'
Тогда для всех 从 W (-1, +1] в силу (42)
%(从)> Ц -(44)
Покажем теперь, что при 〃 W (—1, +1] имеет место неравенство
片 > %+i(从)•(45)
Предположим противное. Значит, существует значение 〃* С (-1, +1], для которого, как следует из неравенств (38), выполняется равенство
%+1(从*)=弘.(46)
Воспользуемся установленной в [28] формулой
九2(入)=GO + 3 - Mi)det °% * : ,(47)
справедливой для всех /х1}//21 A W К1. Положим в ней 大= 片,从】= —1 и 〃2 = 从*• Тогда в силу соотношений (36), (43), (46) /**(%) = 0 и f-i^i) = 0.
Следовательно, выражение (47) превращается в равенство
det [ сг О ] =0-
которое легко преобразуется к виду
det [(%Е-=0.(48)
Из соотношения (48) вытекает существование вектора у € Кп и числа уп+1, для которых выполняются равенства
(片Е -(4 + N*bP》y = Уп+ib,(49)
(с, У)= 0.(50)
Возможны следующие ситуации.
Случай 1. Пусть y„+i = 0. Из (49) немедленно заключаем, что у 我 0 является собственным вектором матрицы (4 + р.^Ьс1'), отвечающим собственному значению 也.Отсюда, используя индукцию, нетрудно показать, что для всех j = 1,...)п
(0-%,?) =。.(51)
Действительно, равенство (50) образует базу индукции. Пусть (51) выполнено для некоторого j = к:
(D*-匕 у) = 0,(52)
и установим (51) для / = k + 1. На основании (50) и (52) имеем равенства
(_D%,y) = (Dk~lc, Ay)=(加-七(4 + 〃/сТ)у) = Vi[Dk~lc, у) = О,
которые и завершают обоснование требуемого факта. Из соотношений (51) вытекает линейная зависимость векторов с, De,..., Dn~lc, противоречащая условию 3. Значит, рассматриваемая ситуация места не имеет.
Случай 2. Пусть уп+1 次 0. Введем вектор n W 峡"формулой z = ^^у 次 0. Тогда перепишем (49) следующим образом:
& = (ц-К - (А + ^bcT))z.(53)
Домножал (53) последовательно на матрицу (弘Е - (4 + 从*。，？)), получим векторы
(%Е - (А + 从屍丁))$-％ = (%Е - (А + ^bcT)yz, j = 2,..п.
Для них и (53) справедливо равенство
det [ Ь 仏Е-(4 + % 儿 т))6(^Е - (А + ^Ь^у-Ч ]=
=det [(也е -(4 + 从*6产))]х
х det [ z (片E — (4 + 从*6产)” ...[i>iE ~ [A + ^bcr))n~1z j =0,(54)
поскольку, как следует из (46),弘 一 собственное значение матрицы (4 + ^Ьс1*). Из (54) немедленно вытекает линейная зависимость векторов (匕Е—(4+从*6，「)>一1仇 J = 1,..., п, что в свою очередь, как показано в [27], приводит к линейной зависимости векторов Ь, АЬ,..., А^^Ь. Последнее противоречит условию 2. Значит, и эта ситуация также не имеет места.
Следовательно, получили противоречие при обосновании и основного утверждения. Поэтому неравенство (45) выполняется для всех 从 W (-1,+1].'
Наконец, перейдем в (45) к пределу при 从 т -1. Получим соотношение
片 > Ai+i(-l),
которое вместе с (43)-(45) подтверждает справедливость (41). Истинность неравенств (39) вытекает из монотонности функций %(〃)，i = 1)..., п. Таким образом, неравенства (40) доказаны. Обоснование леммы завершено.
Установим теперь следующее утверждение.
Теорема 9. Пусть условие 3 выполнено. Для системы (1) каждое экстремальное управление 〃(方)имеет на интервале (0, Г) не более (п — 1) моментов переключения.
Доказательство проведем от противного. Пусть некоторое экстремальное управление 〃*(方),соответствующее точке z* границы множества достижимости Х(Т), имеет на интервале (0,Г) п переключений. Это означает, что функция переключений Е(±), определяемая (15), обладает п различными нулями на (0,Г). Обозначим их через (「；, W,・・•，片)・ Пусть также а = sgn а*(+0).
Используя условие 2, вид экстремального управления 〃*(方),установленный в теореме 4, и исходное предположение, получим подобно тому, как это сделано в работе [34], линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
z(“)(t) + Pi(t)z(”7(t) + ... + P“(t)z(t) = О, te (0,Г),(55)
которому функция Е(±) удовлетворяет с некоторыми начальными условиями
Е ⑴(0)=瓜 г = 0,...,(п-1).(56)
В равенстве (55)仍(方),г = 1,...,冷,一кусочно постоянные функции, имеющие следующий вид:
Г 7г-, если t е 0 = [0, т*] U (т*, т；] U ... U (г*-, т*.+1] U ..., pi(t)= <-
I 储 если 方 W a=( 丁:,W]U(W,优]U …U(丁方+1"窃+以u …丨
где 7ь ^ = 1,..., n, — коэффициенты характеристического уравнения матрицы —(4 + abc「), а 6/ = 1,…，71, — коэффициенты характеристического уравнения матрицы —(А — abc1').
Следуя работе [35], поставим в соответствие (55) обобщенное характеристическое уравнение
Р” + Pi(^)pn 1 + ... + Pn-i(t)p Pn(t) = 0.(57)
При каждом значении t его корнями являются собственные значения матрицы — (4 + abc?), когда f € 0, и собственные значения матрицы —(А — a)bc「, если 士 W А. Поэтому для корней pv(t), г = 1,...,% уравнения (57) при всех 土 W [0,Т] на основании леммы 4 имеют место неравенства
Pi (方)0 — % 0 Р2(土)S -〃2 0 Рз(方)S …S Pn-i(i) 0 —％-i S Pn (母
Согласно результатам работы [35] любое решение уравнения (55) на (0, Т) имеет не более (п — 1) нулей с учетом кратности. В частности, этим свойством обладает решение Е(±), удовлетворяющее начальному условию (56). Имеем противоречие с предположением. Тем самым утверждение доказано.
Теперь разберем ситуацию, когда при выполнении условий 1 и 2 векторы с, 0с,..., Dn~xc линейно зависимы. Поэтому
rank ( с De ... Dn~lc ) = m < n.(58)
Справедлива
Теорема 10. Пусть для матрицы А векторы с, 0с,..., Dn~lc линейно зависимы. Перестановкой строк (столбцов) матрица А и вектор с приводятся к виду
где Аи)А21, А2з — матрицы порядков тхт, (n —m) X m, (n —m) х (п — т) соответственно, а & W Rm. Величина m определена в (58).
Доказательство состоит из нескольких этапов. Сначала установим, что при сделанных предположениях определенная ранее матрица 4* разложима [31]. Действительно, из условий теоремы и результатов работы [36] вытекает существование невырожденного преобразования, под действием которого соответствующая матрица 0* и вектор с преобретают вид
где 力и,力12,力22 — матрицы порядков т х т, т х {п — т), (п — т) х (п — т) соответственно, а вектор 瓦 W Rm. При этом равенство (58) выглядит следующим образом:
rank ( & 力и瓦...D^^Ci ) = m.
Из (60) немедленно вытекает, что
'(б1)
где Ац =力^,胃21 =力^,么22 =力^・ При этом характеристическое уравнение матрицы 4* вычисляется по формуле
det [》Е 1 4*] — det 卜£\] — Anj det 卜E22 — ^22],
в которой Ен, Е22 —■ единичные матрицы порядков m X ттг и (n - m) х (n - m) соответственно.
Пусть Ао — вещественное собственное значение матрицы 4*, существование которого гарантирует теорема Фробениуса-Перрона [31]. Рассмотрим следующие ситуации.
Случай 1. Пусть
det b0/1 -胃口] = 0, det b()瓦2 -42]次 0.
Тогда из (61) вытекает равенство нулю главного минора <5*(大о) (п — 1)-го порядка матрицы (笳 е-4).
Случай 2. Пусть
det ^AqBii — Anj 次 0, det 卜0Е22 ~ 4z] — 0.
Тогда аналогично из (61) следует равенство нулю главного минора(9j(A0) (п — 1)-го порядка матрицы (入оЕ — 4).
Случай 3. Пусть
det ^Ao-^ii — %ii] — 0, det 卜оЕ??—友?] — 0.
Подобным образом из (61) имеют место равенства @；(入о) = 0 и (5^(А0) — 0. Следовательно, в силу свойства 6 из [31] матрица 4* разложима.
Покажем теперь, что представлений (61) для матрицы 4* и (60) для вектора с можно добиться с помощью ортогональной матрицы Р, в каждой строке и каждом столбце которой один элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Это соответствует перестановке строк (столбцов) матрицы 4*, и при этом с = Р-1с. Кроме того, матрица Ац из (61) оказывается неразложимой.
Действительно, поскольку, как ранее было установлено, матрица 4* разложима, то перестановкой строк (столбцов) она приводится к виду
где Аи — неразложимая и А22 ——квадратные матрицы порядков Z х/, (п —/) X (n —Z). Векторы бис при этом преобразуются в
(63)(63)
(63)
(63)
232ХАЙЛОВ
где б,厶 W IR’. Из условия 1 и рассуждений, подобных приведенным в теореме 7, вытекает равенство с2 = 0 и, значит,
Поэтому имеем соотношение
из которого в силу (58) вытекает равенство
Здесь 力=Zf и 力и = А^. Учитывал, что Ь^сх W 紋для г = 1,..., п заключаем, что т <1. Покажем, что т — I. Для этого предположим противное, т.е. т < I. Тогда из (65) находим, что
rank ( & £>цС1 …Ь^Су ) = m.(66)
При этом из (63) и условия 2 имеем равенство
rank ( % Ац^ ... /『к ) = L(67)
Поскольку матрица Au и векторы 右】，厶 удовлетворяют в силу (66), (67) условию 2 и условию теоремы, применим к ним рассуждения первой части доказываемого утверждения. Находим разложимость матрицы 自〉Полученное противоречие приводит к равенству т — I. Значит, представления (62))(64) и (60), (61) для матрицы 4* и вектора с совпадают. Требуемый вид (59) матрицы 4 немедленно следует из определения матрицы 4H.. Теорема полностью доказана.
На основании этого утверждения и теоремы 7 справедливо
Следствие 1. При всех 从 W [—1, +1] имеет место представление
(А +从立Т)=(А +从立Т)=(41 +从®宵)(^21 + 从％W)(41 +从®宵)(^21 + 从％W)(68)(68)
(А +从立Т)=
(А +从立Т)=
(41 +从®宵)
(^21 + 从％W)
(41 +从®宵)
(^21 + 从％W)
(68)
(68)
где & W Rm. Причем для матрицы (An + 〃%可)справедливо утверждение теоремы 7.
Отсюда находим, что имеет место
Следствие 2. Пусть п — 2 и векторы с, De линейно зависимы. Тогда для каждого 从 W [—1)+1] собственные значения матрицы (4 + /хЬс「) еещестеенные.
Сформулируем теперь
Условие 4. Векторы с, De,..., Dn~yc линейно зависимы в пространстве Жп и при п > 3 выполняются следующие предположения:
матрица А22 из представления (59) имеет вещественные собственные значения;
для всех 从 £ (—1, 4-1) положительны определители &(从),〃 =1,3,..., (2m — 3), (2m— —1), построенные no определенным ранее формулам для матрицы An и векторов 6], Ci из соотношений (59), (68).
Рассуждая далее, как и при обосновании теоремы 8, легко убедиться, что справедлива
Лемма 5* Пусть условие 4 выполнено. Тогда для каждого 从 W [—1, +1] собственные значения матрицы (Аи + 从方i芍)вещественные； причем для 从 W (―1, +1) они различные u являются простыми корнями соответствующего характеристического уравнения.
Теперь уже имеет место
Теорема 11. Пусть условие 4 выполнено. Для системы (1) каждое экстремальное управление 〃(方)имеет на интервале (О, Г) не более (п — 1) моментов переключения.
Доказательство проведем по схеме рассуждений теоремы 9. Именно предположим противное, т.е. нашлось экстремальное управление u*(t), имеющее на интервале (О, Г) п переключений. Тогда соответствующая функция переключений Е(方)обладает на (О, Т) п различными нулями. Следуя работе [34], получим линейное дифференциальное уравнение п-го порядка (55), которому удовлетворяет функция L(t). В (55) для каждого t W (°,Т) величины р；(±), i = 1,..., п, являются коэффициентами характеристического уравнения матрицы —4%(方).Поэтому (55) переписываем следующим образом:
*'[石Е 一(-<u* (力))]z(±) = 0,(69)
где
*'[石"一(-4«)](7°)
——линейный дифференциальный оператор n-го порядка. В силу условия 4 и представления (68) оператор (70) преобразуем следующим образом:
辰f[应刃-(-4.仅))]=
="t[应 еh +(击1 + u* (方)瓦穹)卜 det [石瓦2 + 42],(71)
где матрицы Ап, А22 порядков m х m,(冷一m) X (九一m) и векторы б】,с1 были уже определены ранее. Благодаря выполнению условия 4 матрица А22 имеет лишь вещественные собственные значения. Поэтому [35] справедливо представление
det [^“2+ 4?] = /3n-m+l(t)±Bn-m(t)器…^仇0)1(72)
где /3i(t), г 二 1,..., (n — m + 1), — известные гладкие положительные функции. Лемма 5 определяет подобное разложение и для первого множителя из (71):
^•係% +('ii + a*(方血可)]=7*"+1&)岳)171ё)^ …^七(力),(73)
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
где функции 7j(t))г = 1,..., (m + 1), обладают теми же свойствами, что и Д. Объединяя (71)-(73) и вводя обозначения
&伍)=ft(i), i =$„_m+i(t) = %e)/3n-m+ie),
&(方)=%_n+m(9, г= (n-m + 2),...,(n+l),
находим разложение для дифференциального оператора (70). Значит, уравнение (69) преобразуется к виду
&+式"^&伍)^…^8e"他)="' ±
Это означает, что любое решение (69) обращается в нуль на (0,Т) не более (п 一 1) раз с учетом кратности. В частности, функция Е(±) обладает этим свойством. Имеем противоречие с предположением. Утверждение доказано.
Таким образом, найдены достаточные условия, при выполнении которых каждое экстремальное управление 〃(方)системы (1) имеет на интервале (0,Т) не более (п — 1) моментов переключения. Ими являются условия 1-4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Luenberger D. G. Introduction to dynamic systems. N. Y.: John Wiley and Sons, 1979. 446 p.
Oster G. Bilinear models in ecology//Leet. Notes Econ. and Math. Syst. 1978. V. 162. P. 260-271.
Bogner H.L.t Biey T., Schneider K.R. Time-optimal control for a growth model//Syst. Anal. Model. Simul. 1984. V. 1, N 5. R 425-437.
Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления. М.： Мир, 1981. 184 с.
AUesaandro Р. D. Bilinearity and sensitivity in macioeconomy//Leet. Notes Econ. and Math. Syst. 1975, V. Ill, P. 170-199.
Perebon A. S. Applications of optimal control theory to immunology〃Lect. Notes Econ. and Math. Syst. 1978, V. 162. P. 272-287.
Swierniak A. Some control problems for simplest differential models of proliferation cycle//Appl. Math, and Comput. Sci. 1994. V. 4, N 2. P. 223-232.
Swierniak A. Cell cycle as an object of control// J. Biol. Syst. 1995. V. 3, N 1. P. 41-54.
Mohler R. R., Shen С. M Optimal control of nuclear reactor. N. Y.: Acad. Press, 1970. 326 p.
Сейдж Э. Я., Уайт Ч. С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.
Афанасьев В. Я., Колмановский В. £, Носов В.Р. Математически теория конструирования систем управления. М.: Высш, шк., 1989. 448 с.
Рудик А. Я. Ядерные реакторы и принцип максимума Поитрягииа. М.: Атомиздат, 1970. 224 с.
Рудик А. Я. Оптимизация физических характеристик ядериых реакторов. М.: Атомиздат, 1979. 276 с.
Колмогоров А. Я., Фомин СВ. Элементы теории функций и функциоиальиога анализа.. М.: Наука, 1972. 496 с.
Филлипов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования//Вести. МГУ. Математика, механика, астрономия, физика, химия. 1959. М 2. С. 25-32.
Sussmann Я. J. The "bang-bang” problem for certain control systems in GL(n, fl)//SIAM J. Contr. 1972. V. 10, N 3. P. 470-476.
CtMtm 〃. Б. О линейных инерционных управляемых системах// Вести. МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. 1982. № 3. С. 44-49.
Челиковскы & Множество достижимости для билинейных систем // Вести. МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. 1985. № 4. С. 52-57.
Brockett Я. W. On the reachable set for bilinear systems// Leet. Notes Econ. and Math. Syst. 1975. V, 111, P. 54-63.
Hajek О. Control theory in the plane. N. Y. ets.: Springer, 1991, 269 p. (Leet. Notes Contr. and Inform. Sci.; V. 153).
Hajek 0. Bilinear control: rank-one inputs//Funkcialaj Ekvacioj. 1991. V. 34, N 2. P. 355-374.
Sussmann HJ A bang-bang theorem with bounds on the number of switchings//SIAM J. Contr. and Opthn. 1979. V. 17, N 5. P. 629-651.
Dmitruk A. V. A generalized estimate on the number of zeros for a class of linear difierential equations // SIAM J. Contr. and Optim. 1992. V. 30, N 5. P. 1087-1091.
Hajek 0., Loparo K. A. Bilinear control: geometric properties of reachable sets//Lectn Notes Econ. and Math. Syst. 1988. V. 302. P. 262-273.
Понтрлгин Л. С” Болтянский В. Г., Гамкредидзе Р. В., Мищенко Е, Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.
Райков Д.А. Многомерный математический анализ. М.: Высш, шк., 1989. 272 с.
Питтель Б. Г. О некоторых задачах оптимального управления. Ч. 2//Автоматика и телемеханика. 1963。 Т. 24, № 11. С. 1441-1453.
Питтелъ Б. Г. Об оптимальном управлении в одной системе уравнений регулирования второго и третьего порядков // Оптимальные системы автоматического управления. М.: Наука, 1967. С. 27-44.
Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем//Автоматика и телемеханика. 1970. № 1. С. 5-15.
Либерзон М. Р. Признак абсолютной устойчивости нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 2. С. 39-46.
Гантмахер 力.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
Джури 3. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979. 300 с.
Хорн Р., Джонсон J Матричный анализ. М.; Мир, 1989. 656 с.
Тонков Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной иестациоиарной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2180-2185.
Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения 工⑴)+力(£)工("-"+ …+ pn(t)x = 0 // УМН. 1969. T. 24, 擁 2. С. 43-96.
Красовский Я. Я, Теория управления движением: Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 с,
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220, с. 236-255
УДК 517.9
Нелинейная задача оптимального управленияс переменными запаздываниями,нефиксированным начальным моментом икусочно непрерывной предысторией
©1998 г. Г. Л. Харатишвили, Т. А. Тадумадзе
Поступило в июне 1997 г.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование нижеприведенной задачи проводится в рамках аксиоматической теории экстремальных задач [1-3], в основу которой положено понятие квазивыпуклого множества, введенное Р.В. Гамкрелидзе [4]. Центральным результатом этой теории является необходимое условие критичности, из которого следуют все необходимые условия первого порядка вариационных и оптимальных задач для функций от одной независимой переменной.
Задачи оптимального управления для систем с постоянными запаздываниями и нефиксированным начальным моментом времени, в котором значения начальной функции и траектории совпадают, были изучены в [5, 6]. Полученное в этих работах условие для начального момента времени по форме совпадает с известным условием [1-3].
Вывод необходимого условия критичности основан на вычислении дифференциала отображения, критичного на квазивыпуклом фильтре [1-3]. В рассматриваемом случае при несовпадении в начальный момент времени значений начальной функции и траектории вычисление дифференциала вышеупомянутого отображения существенно осложняется, а его вид меняется по сравнению с известным [5, 6] (см. (34)). Это обстоятельство влияет на форму и содержание условия трансверсальности (см. (9)).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Пусть Ох С ®n, О2 С ®г — открытые множества, Rm — тп-мерное евклидово пространство; J - [а, Ь]——конечный отрезок; / : J х О； X 0g т 庾"一непрерывная и непрерывно дифференцируемая по (а:，ж2) W О； функция; 7 : IK】т R1, ^ : R1 —)■ Ж1 ——непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям r(t) < 力 r(t) > 0,弊)< t, 6(方)> 0; д' \ J2 х Ol -^ R1, г = 0,..., /, — непрерывно дифференцируемые по всем аргументам функции; А = △(/],№) —множество кусочно непрерывных функций 屮：J、т N с конечным числом точек разрыва, 厶=[т(а),6], N С。1 ——выпуклое ограниченное множество, ||屮|| = Sup |y>(i)|,方 W 厶；Q —— множество измеримых функций 屁：办 т U, удовлетворяющих условию: cl u(J2)——компакт и лежит в 5,丿2 =[恤)，b], U С О2 — произвольное множество.
Каждому элементу о =(£0Д1, ж0, у>, u) W 4 = J? х О】X △ х Q поставим в соответствие дифференциальное уравнение
由传)=f (t, x(t), x{r(t)),u(t),u{e(t)))}方 e [i0,ii],(1)
с начальным условием
$（方）=中（方），方W ［丁仇），用），①仅0）=旳.（2）
Определение 1. Функцию 勺（方;о） e Oi, определенную на отрезке ［「（加）由］,назовем решением, соответствующим элементу о £ 4, если она на ［『（％）,方J удовлетворяет условию （2）, а на 仅由］абсолютно непрерывна и почти всюду （п.в.） удовлетворяет уравнению （1）.
Определение 2. Элемент о W 4 назовем допустимым, если соответствующее решение z 传）=z（玄 о） удовлетворяет условиям
g■（土о,$о, $（土1）） = о, е = 1,...,（з）
Множество допустимых элементов обозначим через До
определение 3. Элемент 3 — （^）Д, ж0,0, й） £ 4° назовем локально оптимальным, если существуют такие число 5 > 0 и компакт К U О, что для произвольных элементов <т W 4°, удовлетворяющих условию
|Л — io| + |Л — ^11 + |^о — $о| + II。- ^11 + ||f ~ 川附 S £
выполняется неравенство
9°（Zh 五，或ь 密（£）） <九 $o,$（h））・⑷
Здесь
疗一/1|用=I H^t-JjQdt, 号方" К） = £爲J|f（力①i,g） - /（& $1,$2）1+
+自以（，） 一加（）1h 貝力/,此）=№用2,6（力）毎（弊））），
/（力z1,$2）=八力也,％2,矶方），乜（6（切），费方）=$（*万）.
Задача оптимального управления заключается в нахождении локально оптимального элемента.
Теорема 1 （необходимые условия оптимальности）. Пусть 3 W 4° — локально оптимальный элемент и 力 W （а, Ь）, г = 0,1; функция @（方），窃（J（方）））непрерывна в точках f0,70, fi （/о < 7о 我 /i）； функция （0（土）,。（7（方）））непрерывна в точке f0. Тогда существуют такой ненулевой вектор П = （По,. • ■, П/）; И。£ 0, и такое решение Ф（^）, t W ［f017（/i）］f Уравнения
虾）=一叫方）£（方）-屮（7信））几（7（切夕胤 方W同用，（5）
屮（方）=0,方e（五,7（五）］,⑹
что выполняются следующие условия'.
интегральный принцип максимума
/о/о
/ W（7（t））戏（7（切弘t）0（t）dtz / W（7（t））£,（7（t））/）屮（t）dt WeA ⑺
T（Ju）T（/o）
У ®(t)7(t)*> У ^^fit^^mr^'j^^lu^'idt v^efi;(8)
/о/о
условия трансверсальности
П@м = Ф(А)7(Л) +Ф(7о)[/(7о^(7о)^(Л)) - 7(7о,^(7о),жо)]7(/о),(9)
n@" = 一屮(五)五五)，П或。=-ф(Л), П❷，=屮(力.(Ю)
Здесь 也)=〃方①(力),金(T(方))), A,(i)=:忆(方m(力，窗(丁传))). Тильда над Q = (g0,...,^) означает, что соответствующий градиент вычисляется в точке (无，五，窓о,花(£)), 7(t)функция, обратная r(t), 70 = 丁(云).
Замечание 1. Если условие (2) заменено условием z(方)=屮(力)，力 W [r(i0), t0], то теорема 1 справедлива в том случае, когда 0(方)непрерывно дифференцируема в точке fQ и 0(%) W int N. Очевидно, в этом случае второе слагаемое в правой части равенства (9) равно нулю. Если галк(@ь@к@но,@т) = l + 厶 то 屮伍)壬 0.
Замечание 2. Из интегрального принципа максимума 1) стандартным способом можно получить точечный принцип максимума относительно начальной функции и управления：
w(7(切盘(7⑼夕(方)0(方) > 屮(7⑼詳(7⑼々(方)少Y”N п.в. на卜向伪；
f；ei-l(t)®(^'-1(t))f(ei-1(t))+12《'®wC(t))fC(t)) > i=li=l
2*广1(犷(尸(切"尸(±№(产(切，2(伊T(t))),"mT+
+ £d(t)WC(t))〃U(t)»C(t)),F(rC(t))),%+；,〃m+，y)
V(uo,...,up) e U1+p П.В. на [§m,6m+l],
Здесь Em 二 C(Em-l), m = 1,…也 &二 6(岳)，&+1 = Л; #0)=力犷0) = 6(伊T(±)); C(t)— функция, обратная ^(t), 《i(t) = £(方)；мн предполагаем, что £；=】ct* = 0.
Теорема 2. Пусть а £ Ао — локально оптимальный элемент u f； € (а, 6), i = 0,1; функция @(方),6(f(方)))непрерывна слева (справа) в точках f0, % (启 < 7。我 Д) и непрерывна в точке 6・ Тогда существуют такой ненулевой вектор П~ = (П『,...,П>) [П+ = (IIJ,».., П/)], По < 0 [Ilf < 0] и такое решение 屮一(力)[屮+(切，方 W[五,丁(五)], уравнения (5), что выполняются условия (7), (8), (10), в которые вместо П и Ф(^) нужно подставить По [IIJ] и 屮JR) [Ф+(^)] соответственно. Равенство (9) заменяется неравенствами
Г杀。> Ф-(7о)7(7о-) + Ф"(7о)[7(7о-^(7о)^(Л-)) - 7(7o-J(7o)^o)]t(^)[П+电。< Ф+(Л)7(Л+) + Ф+(7о)[/(7о+^(7о)^(/о+)) - fd+向淘吊)竹伍)],
а* /(Л - [+]) = 7(Л 一 [+]抵母(丁伍-[+])))■
Замечание 3. Теоремы 1, 2 справедливы и в том случае, когда правая часть уравнения (1) имеет вид
/(力 $(「1(9),…,$(%(£)), а(& &)),...,虱(公(力)))，(П)
где /(方),г = 1,..., s, удовлетворяют тем же условиям, что и r(t);仇0) = 9附'(方),Kj i = 1,..., i/, —— натуральные числа.
В этом случае при определенных предположениях относительно правой части (11) и запаздываний Ti(t^ 力=1,..., s, условия (8), (10) сохраняют свою форму, а уравнение (5) и условия ⑺，(9) принимают соответственно вид
山传)=一£屮仅)=0, i> Л,
弍/屮(鹏(切以(工传))%(土)0(方)威^弍/屮(%电)点(7(方))%(土)少(方)或V" △，
7；(/0)т；(/о)
n@加=w(7o)f(五)+方屮(汨[貝%田"(%»…к(丁1(%))母(五)，乳管+1 (汨)，…点(丁"(田))-一五、・,应(丁1(%)),一.而(看-1(%)),況3(/ + 1(%)),...田(丁8(%)))]%(宕)，
где 7:(方)一обратная функиия 方(方),7» = 7i (五)，
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Необходимые условия оптимальности доказываются по схеме, данной в [1-3]. При использовании этой схемы основным моментом является построение непрерывного и дифференцируемого отображения, играющего основную роль при выводе необходимых условий оптимальности. С этой целью ниже приведены и доказаны соответствующие теоремы.
1. Непрерывная зависимость и дифференцируемость решения. Пусть Е『 — пространство n-мерных функций / : J х О； т Rn, удовлетворяющих условиям:
при фиксированном t € J функция f (t,①乂 z?) непрерывно дифференцируема по (①的 z?) W 2；
при фиксированном (g,①2)W О； функция / измерима по 力 а также измеримы матричные функции fXii i = 1,2; для произвольного компакта К £ О】и произвольной функции / существует такая функция т/,к(±) W LX(J^ R^_),庾；=[0, оо), что
2
1〃力也，①2)| + £|"•(&$1,$2)| < 加力附仅)V(&Z1,$2)€ J X №.
В пространстве Е『введем две локально выпуклые отделимые топологии [1-3] с помощью базисов окрестностей нуля:
{匕(К;5) С Е/| компакт К СО а число 6〉0 произвольны}, г = 1,2,
где
匕(K；S) = WwE/M"K)K8},
%(К/) = {打W E/| /风传打,K)或4 8卜(12)
h®K) = max]/5/(力也,①2)威],储匕①i,$2)e J2 X №;
H0(t]6f,K) = тах(|8〃&а；1,：Е2)| + ^|5Л；,•(&也,仁2)|}(也,出)W №.
Эти топологии обозначим соответственно через Тх, Тд.
Каждому элементу 从=(t0)ж0, у>, /) w G = Jx。】х A(J\,Oi,) хЕ/ поставим в соответствие уравнение
&8 = "力 У(0> ?伍)"，y)(「0)))(13)
с начальным условием
У%)=窃，
где
力
Определение 4. Абсолютно непрерывную функцию y(t) = ?(方；从)W 0，方 С [「1/2] C J, назовем решением, соответствующим элементу 从 W G, если t0 W [r1} г2],攻力°) = а；о и на 卜加勺] функция y(t) п.в. удовлетворяет уравнению (13).
Теорема 3. Пусть 歹(方)——определенное на [云,/(] С (а, Ь) решение, соответствующее элементу Д = (Ли^о,。,/) ^ G; Кг С О — компакт, содержащий некоторую окрестность множества
к。=矶{0(那 е Л} и {y(t)|t е[Л,月}].
Тогда для любого е〉0 существует такое число 6 = 5(f) > 0, что каждому элементу
М W 卩3； К/ СО)二 М忌 5) х 卩仇;5) х М0; 5) х K(f; Ki/) С 匕(五 К], Со) (14)
соответствует решение, определенное на [fQ — 5,力 + 3] С J・ При этом если 从$ W V(口； Л\, 6, 6), г = 1,2, то
1凯方；Mi) -y(i；也)I S % i^[fo-^fi+^
Здесь U(/o；S), V(J0; 6), V(0;5) — 6-окрестности точек fQ,金°, 0 в пространствах R1, Rn； Д(Л,1ЙП) соответственно-, V^K^S)二产+匕(糸;5), V2(f]K^6) = 7+1^(^; 6); c0 > 0 — фиксированное число.
Теорема 3 доказывается методом, данным в [7] (см. гл. 4).
Введем множество
U = {办=(5如踊0,8仍打)eG - 4mol < c1} I 舐 J < ex, 1%1| < 内，Sf =玄 (?8 九
(15)(15)a‘ W R1, |a,| < Ci, i = 1,...,衣},
(15)
(15)
где 6/i W Е/, г = 1)...)/г, — фиксированные точки, к, сг — фиксированные числа.
Из теоремы 3 непосредственно вытекает следующая
Теорема 4. Существуют такие положительные числа 5°, £0, что для произвольного (邑 5从)W [0,£о] х V элементу 口 + &8从 соответствует решение д(±;" + £б〃), определенное на [/о 一 必 £ + 岳]С J. При этом lim y(f; Д + g5/x) = y(t; Д) равномерно по (& 5从)W 伍-加 Д+ +&)] X V.
Замечание 4. В силу единственности решение y(t;访 на отрезке [豆-60( Д+50] является продолжением решения y(t). Поэтому в дальнейшем мы можем считать, что траектория y(i) определена на всем отрезке [fQ — 50, Д + 尻].
Введем обозначение
А/佃药М)= y(t；M + ^M)~ У佃汾.
Замечание 5. В дальнейшем фиксированные числа е】W [О,&о], & W [0,6о] будем считать настолько малыми, чтобы были выполнены следующие условия:
1°) 7о + ^1 < А - &;
2°) для произвольного(Е, 6从)W [0,^] х V
[Л» — ®|5力о|,五 + 研皤|] С 伉—51, £ + &];
3。)для произвольного (е, £, 6从)W [0, &] X [0,1] х V
。(土) + Х5з0) W Ki, i € Л,歹(力)+ f△№；£〃)W Ki, 土七伉一&,五 + &].
Теорема 5. Пусть функция f (t, a：!, ^(r(i))) непрерывна в точке (f0, ж0); функция f (t, хх, $2)непрерывна в точках (制，歹(丁力田о),(7о,У(7о)>^(Л)), 7о = 7(Л)； 0(方)непрерывна в точке /о. Тогда существует такое число &2 € [°,&1]，что справедлива оценка
|△y(i；^м)l < О{е5р.) \/伍,％以)е 伉一 &j + &] х [0,g] x К(16)
Доказательство. Для краткости функцию △g«；f6〃)обозначим через Ау(±). На отрезке [Л — <51； А + Si] функция Ад(方)удовлетворяет уравнению
^△贝方)= f(t, y(t) + △№), z陶“，歹 + ay)(丁(方)))-貝力贝方),z(五,0,百)(丁(方)))+
+ e仃(&百代)+ Ay传),z(%",歹 +△»(丁传)))=a(方；0以)+з依e以)， (17)
方0 =五+药&中(方)=0(方)+e6W(方).
Оценим а(岩出从)"W 伉 一 & ,五 + &]. Пусть 方 6 伉 一 5丄,sj,玩=min(7(io),7о). Учитывая 3°) и определение функции /(•), получаем
|&佝€以)| = |f(t,y(t) + ^y{t)^(r(t))-i-€8<p(T(t)))-貝&歹⑴,0(丁传)))| =
Пусть t W [$1,52], $2 = max(7&o), %). Рассмотрим случай, когда 8用 < 0, т.е.仃=丁(士°), $2 = -у。. Имеем
а«；Е〃) = f(iJW + A/R),观т•(切 + △以丁(方)))-/^^^(т^))).
Очевидно, при £ Т 0, s】т $2 так как по условию функция 0(方)непрерывна в точке /0, i W [sns2], и Ag(t) т 0 при Е т 0, то справедливы следующие равенства:
㈣伯式方)母(项))=既依歹(方),0(丁(切)=(7。,沁0),0(丁伍)))，(19)
!吧&孤) + 4/( 土),2&))+ A/m 方)))=回* 孤)例咐))= 6。用(田高)(20)
равномерно по 8从 w = {8从 W V|6t0 < 0}.
По предположению функция f(力 片,雹)непрерывна в точках ()(), у(7о),^о) и(7о»У(7о),^(^о))- Следовательно, сушествуют такие числа 当 w [0,£i] и Mj > 0, что
|a(方;em)1 < Mi 中也75n)e 闻,S2] X [0,Sg] X
Далее, цусть 皤 > 0, т.е.仃=也，s2 = 7(%), тогда
Легко заметить, что
!5佑贝方)+ */(9 母(丁 (切)=愿伯詠),0(砲))=(70,y(70),^(T(Л))),lim(f,y(f),y(r(£))) =tlim(^y(t),y(r(f))) = (70, У(7о), ^0)
равномерно по 6〃 W U+ = {6〃 W V|6t0 > 0}.
Существуют такие числа fg w [0,£i] и М2 > 0, что
|a(友前从)1 < m? \/(方,e,6从)W [si,s2] x [0,朗 х V+.
Следовательно, V(t,s,(5^) W [si, s2] x [0,^2] x V, г2 = min(E；,gg),
\a(t;s5p}\ < M3 = max(Mi,M2).(21)
Пусть t W [散,五 + So], тогда
\a(t；£6p.)\ = \f(t,y(t) + △y(t),y(r(t)) + △凯丁⑴))-f&贯力),歹(丁(方)))|・
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 220
Аналогично (см. (18)) получаем неравенство
3伦茄从)1 <恤(方)(|询⑼+ |Дy(T(f))I).
Наконец, оценим /?0;а5〃)： учитывал 3°) и вид функции 6f (см. (15)), будем иметь
|夕(方；长从)| < Ci£m%K(9 = m2(t), t€[^-仄,£ +&]•
Уравнение (17) запишем в интегральном виде
Из (24) с учетом (18), (21)-(23) следует
|△好)1 = l△y(埔l + y [1a(s;必从)|+Е1夕(5；长从)|]曲卜
< |△y伍o)| + J m1(s)(|Ay(s)| + £c1) ds + M3|7(t0) - 7o|+
+ У mi(s)(|Ag(s)| + |△贝丁(s))|)曲 +£ / m2(t) dt.
Легко заметить, что
1丁佐)一仙1 = |y tW 威卜 о (гад,
夕(s)mi(7(s))Qy(s)|dq 0 / T(5)?n1(7(s))|Ay(s)| (Zs.
Вычислим теперь Ay(t0): при 5扣 < О
'。一〜/' fo+eito'。一〜/' fo+eito△у%)=说 + wS窃-歹伍)=So + eSg -卜
'。一〜/
' fo+eito
'。一〜/
' fo+eito
= eS$o+〜/ /(&百(方)母(「他)))威. /□+eS*0
Аналогично при 6t0 > 0 получаем
△У面)=wSg- У /(力贝方),0(丁(切)威.
/o4-efito
Используем теперь теорему о среднем, что дает
А/(%)=叩$о - 7(Л)^о] + о(^) = O(e5/x),貝五)=f(岳品,0(丁(加)•(28)
Из (25) на основе (26)-(28) получаем окончательную оценку
|Aj传)1 W ORE) + / m3(s)\^y(s)\ds, m3[s) = 2тх(5)+ 7(«)mi(7(s))-
Воспользовавшись леммой Гронуолла, будем иметь
|Ay(i)| < О(^ЗД expf / m3(t) dt \ = О(£бц). □
Аналогично может быть доказана более общая
Теорема 6. Пусть выполнены условия
lim 加,①1,中(T传)))=貝% j % 0(丁伍一)))< 8,
lim 及,$1】$2)= /(7о-,У(7о),^о) < 8
®1-*У(7о)
H21atО
Um f(力窃“(丁传)))二 7(io+,^o,^(r(/o+))) < oo, .J/o +
lim 貝& $i,$2)=力%)+e(力)),洗)< 8 •
；ci-*y(-yo)
Тогда существует такое число 已2 W [O,fi], что для произвольного (£,£,(5^) е [五一3], /1 + ^i] X [0,£2] X V~[V+] справедлива оценка (16), а формула (28) соответственно имеет вид
△Wo)=mSo - 7(Л - [+])此]+ 0标从)，
7(A) ~ Ы)-穴石-[+]抵,0(丁伉-[+])))•
На основе теорем 4-6 ниже сформулированы и доказаны теоремы 7-9, используемые в дальнейшем для доказательства непрерывности и дифференцируемости отображения.
Каждому элементу 从 W G поставим в соответствие уравнение
国(方)="&双方),方(丁(切)(30)
с начальным условием
$(方)=少(方，方 W[r(%)Jo), $(%) = $().(31)
Определение 5. Функцию x(t)=①也从)W О：,方 € [r(t0), ^], назовем решением, соответствующим элементу 从 W G, если на отрезке「(％),%] она удовлетворяет условию (31), а на отрезке 体°,右]абсолютно непрерывна и п. в. удовлетворяет условию (30).
Теорема 7. Пусть 花(方)一решение, соответствующее элементу 口 W G, определенное на T(/o),/i] С (т(а),Ь), К】U Q компакт, содержащий некоторую окрестность множества
К。= ci[{x(t)\t е [Л, AD U {^(t)|t € JJ] с 5.
Тогда для каждого £〉0 существует такое число 8 = 5(g) > 0, что для произвольного 从 W U@,Ki,5, с。)(см. (14)) соответствующее решение z(玄从)определено на [「(％),£ + <5] С С (т(а),Ь). При этом если % =优,用，例,力)W V(区宦小 5, c0), t = 1,2, то
1$(*从1) - 方他；从2)[ S % i 6 [max(tJ,^),A +(S].(32)
Теорема 7 является простым следствием теоремы 4, так как
①他;生・)= g(方;生)，方W[刍,五 +可，i = l,2.
Замечание 6. Существует такое число 5 W [0,(5] (см. (12)), что
v2(7； kJ) с и(7； &/)и 匕(五 к】, Со).
Следовательно, неравенство (32) справедливо тем более при
%• W m忌切X У您。；5) x у(0污)x%(五К],"
Это обстоятельство используется при доказательстве открытости множества 0。 (см. п. 3.2).
Замечание 7. В силу единственности решение x(t; Д) на отрезке [「(/o),/i + ^о] (см. теорему 4) является продолжением решения 花(方).Поэтому в дальнейшем мы можем считать, что решение x(t) определено на всем отрезке [т(冗),五 + 5(J.
Используя числа б】,&2 (см. замечание 5, теорему 5), введем обозначение
а %、 f £削(土)，土 W「(a)也)，to = min(t0,b), € [0,e2],
Доказанная ниже теорема применяется при вычислении дифференциала отображения.
Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 5 а /о < 丁。我 Д. Тогда существуют такие числа &з W [0,匐 u & W [0,6J, что для произвольного (&£, 6从)W 伉一&,员+82]х[0,£з]хР справедлива формула
△①(方;wS/x) = eSx (t) + 0(方；e6从)，(33)
где
融(方)=У国方)5$。- {У伍力五兀)+ У(7。;川〃州秋喻0(%) 一
-7(7o,x^.Xo^f^Sto / У(7(s)；t)Д2(7(5))T(s)^ ^+
+ / У (s； i^f[s, ж(в), s(T(s))) ds,(34)
f (t) = /(力花(方)，赛(丁(方)))；Y(s；方)матричная функция, удовлетворяющая уравнению
0号:"=-Y(s；方)3(5)一У(7(5)；方)金式7⑻)夕(5)，5 e 伉,斗
и условию У(i; f) — E,Y(s; t) = Q, s > t.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда % < Д. Пусть £3 W [0,г2], & € [0,&] настолько малы, что
max(7(f0),70) < Л - 62> ^о = Л + ^io,(35)
для произвольного £ W [°,£з], §方о W [—e^Ci].
Для краткости функцию Джр^б/х) обозначим через Az(t).
Легко заметить, что на отрезке 区山五 + &],瓦=max(tOj Л»)> функция △x(t) удовлетворяет условию (см. (16))
〕△$⑴I = |А/伍)| <。(抬从)(36)
и уравнению
^△$R) = f(t,ж(£) + Дж(^), J(r(t)) + ^(rft))) - 7(t, s(f), s(r(t))) +
+ wS/(力石(方)+ △方(方)3( 丁传))+ △$(丁传)))*(37)
Уравнение (37) перепишем в следующем виде：
d2
訴 А$(±) = fXl(t)^x(t) + fX2(t)^x(r(t)) + £Sf(t,x(t),x{r(t))) +
где
/(力找乩)=f (t, жр) + Дж^), ^(r(t)) + Дж^р))) - f (t) - Лх(t)^^(f) + K3 W^^t^W),见(方;w5/x) = e[Sf(t,x[t) + ^x(t),x[r(t)) + △①(T(方)))-5〃力 方(方),t(T(力)))].
Решение △仁心)，£ W [加，五 + &], с помощью формулы Коши можно представить так：
*2
△$(方)=У@о；方)△$(%)+w /У(5；^)6/(5,ж(в),ж(г(5))) ds+ ^hi^eS^^(38)
Г1=0
гдегде
где
где
无山;&〃£）= У y（7（s）;i）A3（7（5））A;c（5）T（s）rfs> 加传;长从）=/凡（5；€办）盛，« = 1,2.
т«о)
△$0о) = Ду(/о)=△$0о) = Ду(/о)=Вычислим теперь △zQo). Пусть 6% < 0, тогда
△$0о) = Ду(/о)=
△$0о) = Ду(/о)=
(39)
△ж(10)二贪5$о -△ж(10)二贪5$о -+ 以3(方;Е“г)] dt + o(eS/z).+ 以3(方;Е“г)] dt + o(eS/z).Из (39) с учетом (17), (28) получаем
△ж(10)二贪5$о -
△ж(10)二贪5$о -
+ 以3(方;Е“г)] dt + o(eS/z).
+ 以3(方;Е“г)] dt + o(eS/z).
(40)
Используя оценки, полученные при доказательстве теоремы 5, и неравенство (36), заключаем, что при 5瓦 < 0 равенство (40) имеет вид
△方（加）=фж0 -貝冗）品］+0（前从）.△方（加）=фж0 -貝冗）品］+0（前从）.(41)(41)
△方（加）=фж0 -貝冗）品］+0（前从）.
△方（加）=фж0 -貝冗）品］+0（前从）.
(41)
(41)
Пусть 况о > 0. Тогда
△$(力 о) = △у(^о)*
Таким образом (см. (28)) формула (41) справедлива и при 况о > 0.
Преобразуем теперь выражение Д(, i = 0,1,2.
Пусть 储 W 0. Имеем
坛=坛=+0信收从）,+0信收从）,(42)(42)小小
坛=
坛=
+0信收从）,
+0信收从）,
(42)
(42)
小
小
где
7；
。佃Е〃) = -г/у(7(5)#)£?(7(5))夕(5)6 屮(5)ds.to
Так как y0 < fi - S2 и t e [fi - 621 fi + 闻，для 月 имеем
7(*о)7оt
月=/ У (s; t)jRi(s； гб/х) ds + / У (s; t)R^s；гб^) ds + /у(5；方)丛(5；药从)曲. (43)
"?。）
Оценим первое слагаемое выражения (43). Имеем
，(t。)
/ y(s; t)Ri[s;e6^) ds
/о
+ △$($), 0(т(5)) + е5奴丁(5)))-
-f(s,密(s),0(丁(5))) - k(s)Aw(s) +e£?(s)8w(丁(5))|] ds <
71+S11
< ll^ll / [/(历】(5看(5)+^^(5),0(丁(5))+桀5中(丁(5)))-_^(5)1.4$(0] +
A 0
+ 研裔(%.・..)- 五?(s)1 • IM(丁(5))1) <| 面 < |1У110(e5//)eТ1 伍M) +"1(72cM)],
(44)
где
||y|| = Sup|Y(s;t)!, (5淌w国五+&] X 伍 一& j 十 m], 五+历1
5 c以)=/ /(I以(5田(5)+St
ds, t = 1, 2.
Так как Лж(^) т 0 при £ -> О (см. (36)), поэтому
Jim(tj(s6/x) = 0, i = 1,2, равномерно no S/x w U~.
(45)
Таким образом,
I / У(6； 方)r1(5； г^М)曲卜。(em)1^ G [/1 - ^2i /1 + 62].
/о
(46)
Теперь преобразуем второе слагаемое выражения (43):
7。
/ У（5；方）jR1（5；oS/X）ds = / У（5；力）
7g。）
7(*o)
7o
-f(5,W(7o)品"曲+ /
7"。)
+△①（丁（5））） 一
7o
一W / У(5；方)£?(5)А$ 7(*o)
(47)
При 方 е [7^0))7о] имеем
(48)(48)£(r(s)) + △e(r(s)) = ?(T(s)) = y(r(s)) = J(r(s)) + ^y(,T(s)).
(48)
(48)
На основе (20), (36), (48) справедливо
J 吧 0(5)+ Ae(s)M(丁⑻)+ △$(「($))) = (ж(7о),жо).(49)
Функция f (t, $1, $2)непрерывна в точке(70j 应(7o)i 成о), а 丁(方о) т 7о при 右 т 0, поэтому
lim Sup |f(s,应(5)+ △£($),0(丁(5)) + △$(「($)))-貝州 ж(7о),жо)| = 0.
-kh%)加
Следовательно, ьз(左 0如)=o(t;e5^).(50)
Заметим, что &, % выбраны так (см. (35)), что
[7(^о)，7о] П [Л - ^2, А + 4 = 0・
Поэтому матричная функция У(s； t) непрерывна на [7(^0),7о] X 医一52» Л +<У. При этом в точке 7q непрерывны функции f (s, ж(70), ж0), f (s,密(s),0(r(s))). Учитывая все вышесказанное, для % получаем
%(鸯出从)=У(м；川貝％)，应(7о),0(%})) - f^x^.XQ^y^Sto + 0(方;长从).(51)
Далее,
ioio
io
io
На основе (36) имеем
а6 (t\s6^) = o(t;&5〃).(53)
Для последнего слагаемого выражения (37) аналогичным способом (см. (44), (36)) получаем
|У Y^^R^eSp.)曲卜
0||У||О(») У У ^fX1{S^S)+^x{S),x{T{S))+- ЛгИ| +
7о О
+ I爲(do抬)-忆(5)|) df] ds = ||У||О(гад(т7(гад.
Используя (36), установим, что
Ит(т7(г6^) — 0 равномерно по 8ц ^V~.
Таким образом
(54)(54)
(54)
(54)
Для 尼 с учетом (46), (50)-(54) можно выписать окончательное выражение
尼依®М) = y(7o；i)[/(7o,^(7o),^(7o)) - 7(7о J(7o),^o)]7(tO)^o -
Остается оценить Д2. Легко заметить, что
电(方;e以)1 < 耳因](08(必从)+(79(吨f)), где
(7乖 以) = / I 疗(方3传)+Z\$e),0( 丁伍))+的)(丁(方)))一疗(%WR),0(r(9))l 威+
/1 + ^2
+ / 15貝力W) + △$电, W(丁⑼+ △叫「⑼)-疗(力费力)，金(T0)))1就，
70
70
内終从)=/ \6f(t,x(t) + Дж^)^^^))) - 6f(t,x(t),x(T[t)))\dt.(56)
Очевидно,(т8(е(5/х) т 0 при £ т 0. Подынтегральная функция в (56) ограничена не зависящей от 5〃 W V" суммируемой функцией (см. (25)). Поэтому。式茄从)т 0 при е т 0. Спедовм тельно,
Д2 (i；^M)= o(i；^M)-(57)
Из (38) с учетом (41), (42), (55), (57) и f0 = /J)получаем (33).
При 6方° > 0, проведя аналогичные рассуждения, что и в предыдушем случае, и используя (19), можно доказать следующие равенства:
厄=У(7о； 0[/(7о, ^(7о), ^(Л)) - f{7o^bo)^o)]^o-
toto无2（方;gm） = 0（方;e6从）.无2（方;gm） = 0（方;e6从）.(59)(59)
to
to
无2（方;gm） = 0（方;e6从）.
无2（方;gm） = 0（方;e6从）.
(59)
(59)
Очевидно, £q = /о)а матричная функция У (% 方)непрерывна на
[fo — &宙 + 82] X 伉一％,五 + &]
(см. 1°) в замечании 5), поэтому
lim|y(t0;t) -У(/о；^)| = 0 равномерно по (t,s, 8^) W 医一 М 五 + %] х [0,g] х U+.(60)
Из (38) с учетом (41), (58)-(60) получаем (33).
В заключение заметим, что при % > 力 все полученные оценки остаются в силе, более того, их получение существенно упрощается, так как У(70; £)=0 при t < 70. В этом случае формула (33) также справедлива, а в формуле (34) второй член равен нулю.
Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 6 〃 /о < 丁。我 Д. Тогда существуют такие числа г3 W [0,е2] и 灰 W [0,&], что для произвольного (t,e,弘)W 伉一灰,五+&] X [0©] X V- [V+] справедлива формула (33), а в формуле (34) перед 6t0 будут стоять соответственно выражения
y^\t)f(fQ^ + Y^t)[f(yQ-
[^(/о；i)7(7o+) + У(7o；i)[/(7o+,^(7о),^(7о+)) - 7(7о+,ж(70),ж0)]у(Л)].
Теорема 9 доказывается аналогично теореме 8.
Вычисление дифференциала отображения. Рассмотрим пространство
反二 / X Г1 X △(几财)x e/
точек С =(力0,厶,『о, 3,/)• Топологии Т1} Т2 задают в Е《две локально выпуклые отделимые топологии; обозначим их соответственно через 仇,02.
Через Do обозначим множество элементов С Е J2xOi х A(J\,Oi) х Е/, каждому из которых соответствует решение (см. определение 5), определенное на отрезке £0 < t < 厶.
Множество Dq открыто в топологии 02 (см. замечание 6) и тем более конечно■ открыто [1-3].
На множестве Do определим отображение
6 : А т Г*(61)
по формуле S(C) = z(〃)= а:®;С).
Пусть《=(五，五，窓и,0, f) £ D^ vi L^ ——проходящее через точку f конечномерное многообразие:
Е? = {《W Е《С =7 + 5& 5c = ^<?簿，a1' W Ж1, 8备 W 段一《}・
Пусть
V =卜e = ^分阈 Wl < q}
——ограниченная окрестность нуля в Е} — &
Из конечнооткрытости множества 0。следует существование такого числа % W [0,&з], что для произвольного г € [0, е4] н S《W V точка f + 药《w。С £展・ Мы будем предполагать £4 настолько малым, что 研 况j < 灰 при (&,6《)W [0, г J х V.
Теорема 10. Пусть выполняются условия теоремы 8. Кроме того, /(& б,»2)^прерывна в точке (/1,定(方1),麥(「(〃))). Тогда дифференциал^ отображения (61) имеет вид
dS^^Q^Sx^^Jd^.(62)
Доказательство. При (s,(5f) W 似％] х V имеем (см. (33))
s(f+^с)- 6© = $(£ + 总晶；0必)-ж(д)= △$(£ + €%)- w(五 + 长幻-乳五)=
= e5$(元 + e%)+ / f(t) dt + o^eSQ,%)=f(五窈(方)，窈(T(方))).(63)
Функция f(t) непрерывна в точке Д, а разность 5$(五 +w施】)—<?$(£) стремится к пулю при е т 0 равномерно по 5《W V. Поэтому по теореме о среднем из (63) непосредственно вытекает
Теперь рассмотрим отображение
尸：а 7 岷+1(64)
определенное по формуле Р = Q о L, Е(0 = (t0,厶,ж0,仁(土i)), Q =(0* • • •, d).
Теорема 11. Пусть выполняются условия теоремы 10. Тогда дифференциал отображения (64) в точке《имеет вид
唄照={爵-患，优А)7(Л) +У(70；五)(貝7。,成(7。),0(宕))-
- /(7o,?W,Jo))]}Лo + {缁+證Ж)卜厶+儼+製у伉力卜Н。+
+ 患 / y(7(s)；A)K2(7(s)h(s)<5¥,(s)^+^-У Y^s-J^Sf^x^s^x^s))) ds. (65)
Доказ ателье т в о. Легко видеть, что
dp(^ =屈皤+乐犯+脇&。+萌限阳).
Принимая во внимание (62), (34) и группируя члены подходящим образом, получаем формулу (65). 口
Необходимые условия критичности. Вывод необходимого условия опти- мгшьности. Рассмотрим пространство 瓦=IRi X Е《.Пусть
D — {z = (s,C)|s W IK1, C W -Do}-
2См. [1-3].
Из конечнооткрытости множества Do следует конечнооткрытость D.
На множестве D определим отображение
Р : О т R1+，(66)
по формуле P(z) = Р°(С) + (s, 0,...)0).
Топология 01 определяет в Ez локально выпуклую отделимую топологию, которую обозначим через 0.
В Ez зададим фильтр Ф^, i = (0,0 элементами
W~-=^nVQxV^xV^xV^oxW~xWp
где Vq； V~, V~；曦——произвольные окрестности точек 0 е R1, ^, Д е (а*), ж0 W О】；= =АС叱,叱 С △(./!,Rn)——произвольная окрестность точки 0; W^ ——произвольный элемент фильтра ①？，f = f(力① 1,勺2)= f (t, Xi, ж2, u(t\u[0(t))). Элементами фильтра Фу являются
叮=F П丐
где VfUEj — произвольная окрестность / в топологии Т2,
F = {f(t,x1,x2,u(t')iu(0(t')))\u е Q}-
Фильтр Ф~ является 0-квазивыпуклым, так как представляет собой прямое произведение выпуклых фильтров на квазивыпуклый фильтр Ф^П-З]. Доказательство квазивыпуклости Ф? дано в [8].
Из локальной оптимальности 3 стандартным способом [1-3] следует критичность отображения Р на Ф~.
Из замечания 6 и теоремы 7 следует существование такого элемента 吒•，что C6W~ U 0 и отображение (66) на CoW~ непрерывно в топологии 0. Предположения теоремы 1 гарантируют выполнение условий теоремы 11, что в свою очередь обеспечивает дифференцируемость отображения (66) в точке %
dP^^6z) = dP~{dQ + (5心 0,..., 0), Sz = (6s, 5《).(67)
Таким образом, выполнены все предпосылки необходимого условия критичности [1-3]. Следовательно, существуют ненулевой вектор П = (По,..., ГТ】)и такой элемент 吒 е Ф7, что
Hd8(Sz) < 0 V5z W К(Со庵-可，(68)
К(М) означает выпуклый конус, натянутый на множество М. Ниже из необходимого условия критичности (68) будут выведены необходимые условия оптимальности.
Условие Sz W K(CoW~ —可 эквивалентно условию Ss W 峡；,6t0 W 岷,必i W Ж1, 5$o W Rn, 5屮 e K(%_ 0),疗 W K(Co叫一 f).
Используя выражение (65), полагая в (68) 5/ = 8屮=0, 8s = 0 и учитывал, что 8%, 8右,Sz。 могут принимать произвольные значения, получим
^ = ^{Y{f0J1)f^+Y^0J1)^0^0),^fa))-f(y0^
П停 + 河£))=0,(69)
\a»i az】 /
Полагал в (68)乱i = 0, Sg = 5/ = 0, 5s = 0, получим
口爾 / У^У^1^^^^§^ ^ - 0 V^ € к^~^'(70)
При 乱° = 5右=0, ба:。= &р = 0, 6s = 0 имеем
(71)(71)口製/у('；А""*¥(')，£(т(±)))<Й4 0, if ё K(CoWT- f).
(71)
(71)
Если 6t0 = 5厶—0, Sa:。= 8屮=8/ = 0, получаем, что По < 0. Введем обозначение
®(t) = n^y(t；A) vte[b,7(A)].(72)
Очевидно,屮(t) удовлетворяет уравнению (5))условию (6) и
* =喘(73)
Условия (69), (73) с учетом (72) дают условие трансверсальности 2). Из выпуклости и ограниченности множества ^ вытекает включение
△ -0U K(%-0).(74)
Условие (70) с учетом(72), (74) и 6屮 = 屮一0 дает относительно начальной функции принцип максимума (7).
Докажем теперь условие (8). Отображение
Sf^ jY^-J^f^x^^T^dt, 6/е 匕(&;со),(75)
непрерывно в топологии 7\ (см. [8]).
Непрерывность отображения (75) позволяет заключить, что неравенство (71) справедливо для произвольного
SfEK^^-f), M^V^c^,
где [Wj]} обозначает замыкание относительно М множества W-П М в топологии 7\.
Используем теперь доказанное в [8] включение
F-fGK^M-f).
Тогда неравенство (71) справедливо для произвольного Sf^F — f. Из (71) с учетом (72) и
5/ = /(& ^1,^2,矶方)，矶6传)))-負&£1, $2,制方),双份(方)))e F-f
получаем относительно управления принцип максимума (8). Теорема 1 полностью доказана.
В заключение отметим, что теорема 2 доказывается аналогично теореме 1. В этом случае для вычисления дифференциала используется теорема 9)а в фильтре Ф~ окрестность 号 заменяется окрестностью R- С% или окрестностьюЖ±- П V- соответственно, где R- = (—оо,/о],
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Gamkrelidze Я. V., Kharatishviii G. £. Extremal problems in linear topological spaces. I//Math. Systems Theory. 1967. V. 1, N 3. P. 229-256/
Гамкрелидзе P. В, Харатишвили Г. Л. Экстремальные задачи в лииейиых топологических простран- ствах//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 4. С. 781-839.
Гамкрелидзе Р. В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач // Тр. МИАН. 1971. Т. 112. С. 152-180.
Gamkrelidze R. К On some extremal problems in the theory of differential equations with applications to the theory of optimal control//SIAM J. Contr. 1965. V. 3. P. 106-128.
Kharatishvili G.E. A maximum principle in extremal problems with delays//Mathematical theory of control. New York; London: Acad. Press, 1967. P. 26-34.
Харатишвили Г. Л. Принцип максимума в экстремальных задачах с запаздываииями//Тр. Тбил. гос. унта. 1968, Т. 128. С. 149-156.
Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. гос. ун-та, 1977,
Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Нелинейные оптимальные системы управления с переменными за- паздываииями//Мат. сб. 1978. Т. 107, № 4. С. 613-633.
尸/
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ТРУДЫМАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТАимени В. А. СТЕКЛОВА
Год основания издания — 1931
220
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ,ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ГЛАДКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
СБОРНИК СТАТЕЙ
К 70-летию со дня рождениячлена-корреспондента РАНРеваза Валериановича ГАМКРЕЛИДЗЕ
Москва“НАУКА”，МАИК “НАУКА”
1998
УДК 517.9
ББК 22.161
О 60
Редколлегия юбилейного сборника:академик Е.Ф. МИЩЕНКО (главный редактор),доктора физико-математических наук А. А。АГРАЧЕВ (зам. главного редактора),
С.М. АСЕЕВ, М.С. НИКОЛЬСКИЙ
Ответственный редактор Трудов МИАН академик Е. Ф. МИЩЕНКОЗаместители ответственного редактора Трудов МИАН :академик А. А. БОЛИБРУХ,доктора физико-математических наук В. И. БЛАГОДАТСКИХ, Е. А. ВОЛКОВ
Рецензенты:
доктора физико-математических иаук В. В. ДИКУСАР, Н. Л. ГРИГОРЕНКО
Оптимальное управление, дифференциальные уравнения и гладкая оптимизация: Сборник статей, К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Реваза Валериановича Гамкрелидзе — М.: Издательство “Наука” ——МАИК “Наука”, 1998. — 255 с. — (Тр. МИАН;工 220)
ISBN 5-02-003718-4
Сборник посвящен 70-летию со днх рождения Реваза Валериановича Гамкрелидзе, одного из основателей математической теории оптимального управления. В сборник вошли статьи, посвященные различным аспектам теории оптимизации, оптимального управления, а также смежным вопросам теории особенностей, дифференциальных н интегральных уравнении. Средн рассмотренных тем: необходимые и достаточные условия оптимальности, теоремы реленностн, релаксация, типичные особенности условных экстремумов, разрывные колебания, уравнения Вольтерра и другие вопросы.
Сборник предназначен для широкого круга специалистов в области оптимизации, дифференциальных уравнений, динамических систем, вариационного нечисленна н смежных областей.
Optimal Control, Differential Equations and Smooth Optimization: Collection of articles. To Corresponding Member of RAS Revaz Valerianovich Gamkrelidze on occasion of his 70th birthday — M.: Nauka PubL — MAIK Nauka, 1998. — 255 p. — (Proc. V. A. Steklov Inst. Math.; Vol. 220)
ISBN 5-02-003718-4
This volume is dedicated to the 70th anniversary of Revaz Valerianovich Gamkrelidze, one of the founders of the mathematical Optimal Control Theory. The volume includes papers devoted to various aspects of the Optimization Theory and Optimal Control as well as related topics of Singularities Theory, Differential and Integral Equations. Among them: necessary and sufficient optimality conditions, bang-bang theorems, relaxation, typical singularities for conditional extremum, discontinuous oscillations, Volteria equations etc.
The volume is intended for specialists in the Optimization, Diiferential Equations, Dynamical Systems, Calculus of Variations and related domains.
TH-98-L77ISBN 5-02-003718-4TH-98-L77ISBN 5-02-003718-4©Коллектив авторов, 1998
TH-98-L77
ISBN 5-02-003718-4
TH-98-L77
ISBN 5-02-003718-4
©Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 1998
©Российская академия наук, 1998
СОДЕРЖАНИЕ
Вместо введения. О работах Р. В. Гамкрелидзе
А. А. Аграчев, Е. Мищенко5
Сильные минимумы в оптимальном управлении
А. А. Аграчев, П. Дзедза, Стефани8
Расширения и возмущения задач оптимального управления
А. В. Арутюнов27
К теории необходимых условий оптимальности для задач с фазовыми ограничениями
С. М. Асеев35
О выпуклости семейства решений дифференциального включения с запаздыванием
В.笈.Благодатских, П. Ндии45
Теоремы релейности и смежные вопросы
С. А. Вахрамеев49
Точечные особенности условного минимума на трехмерном многообразии
А. А. Давыдов, В'. М. Закалюкин113
Области однородности Картана—Зигеля как интегральные многообразия комплексного уравнения типа Риккати
М.及 Зеликип130
О некоторых обобщениях леммы Морса
А. Ф. Измаилов142
Внешнее воздействие как метод регуляризации разрывных колебаний в нелинейном телеграфном уравнении
А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. Л. Розов157
Аппроксимационная линейная редукция в дифференциальной игре наведения-уклонения
А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов173
О динамическом решении уравнений в банаховых пространствах
В.及 Максимов195
О системах линейных интегральных уравнений типа Вольтерра в свертках
М. С. Никольский210
Об экстремальных управлениях однородной билинейной системы, управляемой в положительном ортанте
Е. Н. Хайлов217
Нелинейная задача оптимального управления с переменными запаздываниями, нефиксированным начальным моментом и кусочно непрерывной предыЬторией
Г. Л. Харатишвили, Т. Л. Тадумадэе236
Contents
Introduction. On works of R.V. Gamkrelidze
j4. A. Agrachev, E. F. Mishchenko5
Strong minima in optimal control
A. Agrachev, P. Zezza, G. Stefani8
Completions and perturbations of optimal control problems
V. Arutyunov27
On necessary optimality conditions for the problems with state constraints
M. Aseev35
On convexity of solution set of differential inclusion with delay
V. Z. Blagodaiskikh, P. Ndii45
Bang-bang theorems and related questions
4 Vakhrameev49
Point singularities of the conditional minimum on a three-dimensional manifold
A. A. Davydov, V. M. Zakalyukin113
Cartan—Zigel homogeneity domains as integral manifolds of the complex Riccati type equation
MJ. Zelikin130
On generalizations of the Morse Lemma
■A. F. Izmailov142
External interaction as a method for the regularization of discontinuous oscillations in the nonlinear telegraph equation
A. Hi. Kolesov, E- F. Mishchenko, N. Kh. Rosov157
An approximative linear reduction in the guidance-avoidance differential game
V. Kryazhimskii, Hz. £ Osipov173
On dynamical solution of the equations in Banach spaces
Z. Maksimov195
On systems of linear integral convolution equations of the Volterra type
M.S. NikoVskii210
On extremal controls for the controllable in the positive orthant homogeneous bilinear system
E.M Khajiov217
Nonlinear optimal control problem with variable delays, a nonfixed initial time and a piecewise continuous pre-history
X. Kharaiishvili, T. Л. Tadumadze236