Глава 1

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИВЕСОВЫХ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО

Сведения из функционального анализа

Настоящая работа посвящена в основном оптимизации весовых методов Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода:

9(х)三 /左(x,x')9(x')dx'+% (х)(1.1)

или в векторном виде

屮= K^ + h,(1.Г)

где X 一 小мерное евклидово пространство, которое в дальнейшем иногда будет называться фазовым. Уравнение (1.1), как правило, будет рассматриваться в пространстве 厶8, т.е. в пространстве с нормой

II /г II = vrai sup I % (х) I < оо, К £ 区8 今丄8 ],(1.2)

причем

IIК II = vrai sup / I 左(к x') I dx'(1.3)

•x X

при условии, что ядро к(х, х‘)измеримо как функция аргумента (х, х‘). Соотношение (1.3) во всяком случае выполняется, ес・ лн 左(х, х‘)》0; в общем случае справедливо неравенство

IIК II & vraii sup J I к (x, x') | dx. x X

Заметим, что связанные с использованием пространства L <» символ vrai и выражение мпочти всюду по мере Лебега" в дальнейшем часто будут опускаться для простоты изложения.

Ядро к(хг х') может быть любой природы, лишь бы выполнялось второе из соотношений (L2). В частности, оно может включать в качестве множителей дельта-функции типа [32, с. 54]; при этом интегрирование в (1.1) фактически осуществляется по множеству меньшей размерности, чем X..

В случае 左(х, х‘)> 0 иногда целесообразно рассматривать уравнение (1.1) на конусе неотрицательных функций. В гл. 5 будет рас-

7

смотрено уравнение для ковариационной матрицы векторной весовой оценки на более сложном конусе функций со значениями в пространстве неотрицательно определенных матриц. Соответствующие операторы будут положительными. Элементы теории таких операторов используются лишь в гл. 5; поэтому они вводятся там по мере необходимости с соответствующими ссылками на [10, 48]. Здесь лишь отметим, что конусом называется выпуклое множество, содержащее нулевой элемент и обладающее следующим свойством: при изменении знака у ненулевого элемента этот элемент выбывает из множества.

При выполнении довольно простых и хорошо известных условий регулярности ядра (см., например* [39]) интегральный оператор К является вполне непрерывным.

Особую роль при исследовании погрешности и трудоемкости весовых методов Монте-Карло играет спектральный радаус оператора К, который определяется соотношением [39]

р(К)= lim IIГ II 什 〃 Т 8

причем

Р(К)<\1КП II1/и,尸

Если оператор К вполне непрерывен (р(К) < 1) и в инвариант- ных подпространствах, соответствующих собственным числам с модулями, равными р(К), нет присоединенных элементов, то выполняется неравенство [48]

\\Кп II <с[р(К)]\〃=1,2,.・.(1.4)

В общем случае имеем [48]

\\Кп ||<с(е) [р(К)^€]пVe>0.

Поскольку условия выполнения неравенства (1.4) являются достаточно общими, то оно будет в гл. 2, 5 использоваться без дополнительных оговорок (замена р f р + е также допустима).

Если р(К) < 1, то решение уравнения (1.1) можно представить в виде ряда Неймана:

屮玄К"九(1.5)

и = 0

На основе этого представления получается простая оценка для ре・ шения 屮(х) уравнения (1.1) с неотрицательными элементами.

Лемма 1.1. Пусть к (х, х') > 0,力(х) > 0, W (х)》0, Р(К) < 1. Тогда из неравенств

W&KW+/2, W》KW+力

следуют соответственно неравенства

Доказательств о. Для любой функции ⑴。G L^ имеем равенство

9二 lim 外，屮п=К屮…+ h= S K"%+K%. 〃 f 8ш =0

Отсюда, полагая 屮。=ф, на основе очевидного свойства монотонности интегрального оператора с неотрицательным ядром получаем утверждение леммы.

В гл. 2, 5 будет использоваться следующее утверждение о специальном нелинейном операторе, связанном с оператором К.

Лемма 1.2. Пусть q = || К || < 1,力(х) > 0. Тогда существует и единственно в £« решение g* уравнения

g = GG),

где G(g) - [(Kg)? +Л]1/2, причем g* > 0.

Доказательство. Пусть gt, g2 £ 丄8• В силу неотртца- тельнос1и h выполняются соотношения

|G3)-G出)|《||Kg|| — |Kg2 l|&

& IKgi -Kg2 尸 IK®-g2)I &Q Ilgi-g2 IL

т.е. для оператора G выполняется принцип сжатия (см., например, [39]), что обеспечивает существование и единственность решения g* £ 厶8. Поскольку G(g)》0 для любого g G Л«», то g* АО. Лемма доказана.

В § 1.3 будет показано, что интегральные уравнения теории переноса имеют по отношению к (1.1) сопряженный вид, а в форме (1.1) записывается сопряженное уравнение переноса, решение которого з обычно называется функцией ценности. Однако линейные функционалы теории переноса можно записывать и в виде

(< 3)= "(х)屮(x)dx,(1.6)

где f ^ Li — плотность распределения источника частиц. Поэтому оптимизация оценок функции 屮(х) достаточна для целей решения задач теории переноса, тем более что она, как правило, равномерна относительно х (см. гл. 2-5). Материалы настоящей работы пока* зывают, что использование (1.6) существенно упрощает исследование и оптимизацию весовых алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления линейных функционалов теории переноса.

Соотношение (L5) можно переписать следующим образом:

где [/ — К] т — резольвента оператора К (или резольвентный оператор) •

В настоящей работе в основном рассматривается решение интегральных уравнений методом Монте-Карло с помощью представления резольвенты в окрестности нуля (т.е. ее начального элемента) в виде сходящегося ряда Неймана. Такой подход становится малоэффективным, если этот ряд сходится медленно, и непри- годаым, если требуется решить уравнение

3*)=入皿 + 刀 (1.7)

при 入=入*: I 入* I > I 入」где 入 1 - минимальное по модулю характеристическое число, при котором ряд Неймана расходится. Таким образом, возникают две задачи:

при решении уравнения (1.7) в случае 入*《入】требуется ускорить сходимость медленно сходящегося ряда

9 = R入*%

где &入=/ + 入К + ХК2 + ... - резольвента;

при решении уравнения (1.7) в случае | 入* I > I 入i 丨 требуется приближенно построить резольвенту R入(являющуюся для вполне непрерывного оператора мероморфной функцией 入)，зная лишь ее начальный элемент.

В такой постановке задачи 1), 2) сформулированы в [85, 86], где построены, в частности, алгоритмы статистического моделирования для решения граничных интегральных уравнений теорти потенциала, в которых, как известно, необходимо вычислять резольвенту на границе и вне круга сходимости ряда Неймана. Обзор [85] возможных подходов к решению задач 1), 2) показывает, что вы* бор метода существенно зависит от характера расположения спектра интегрального оператора. Здесь будет рассмотрен лишь метод аналитического продолжения ряда Неймана по параметру 入 с помощью замены 入二 W (т?) • Этот метод подробно изложен в [49] для конформных отображений ф: ф (0) = 0 и в [85] для 0: W (0) ¥： 0.

Пусть ｛爲｝ — полюсы мероморфной функции R入,являющиеся характеристическими числами уравнения (1.7). Рассмотрим задачу построения решения этого уравнения при 入 £力,入力入左(左=1,2,・..)， где D - некоторая односвязная область, принадлежащая области определения функции К入.Области D принадлежит и точка 入=0, в окрестности которой R入 задана рядом:

RKh^ S %Х, с〃=Г力. (1.8) 〃 =о

На комплексной плоскости переменной i? выберем одно связную область △ (как правило, единичный круг), содержащую точку »』0, 10

и построим функцию W (»), осуществляющую конформное отображение области △ на область D. Тогда справедливо представление

^=2 勿展，(1.9)

〃 =о

которое получается путем подстановки 入=屮(")в (1.8). При этом

% = £《")%,《")=吃I也(硝’

k-iи• I Эт?丿n=o

а функция (1.9) является мероморфной с полюсами, являющимися прообразами полюсов функции &入.Отсюда видно, что можно подобрать области D, Д и функцию 屮⑺ так, чтобы точка 炉 = 厂(入*)принадлежала кругу сходимости ряда (1.9). Таким образом можно решать сформулированные выше задачи 1), 2) приближенного вычисления резольвенты.

Рассмотрим простой пример. Пусть все характеристические числа ｛入左｝ интегрального уравнения вещественны и отрицательны, т.е. ｛入左｝ £ (—8,旬，」де а > 0. В качестве 屮⑺ здесь естественно выбрать отображение круга | т? | < 1 на плоскость с разрезом по отрицательной вещественной оси от —а до —8：

入=W S) = 4от?/(1 -т?)2.

Построение алгоритмов метода Монте-Карло связано, с исполь зованием частичных сумм для ряда (1.9). Предположим для определенности, что необходамо решить уравнение (1.7) при 入=入* = L Тогда.

&・* Е %т? = 2 т? 2 dP сл - 2 сп1п > а я =0и =0 к *1и =0

где

тк = птк = пd（左）二左d（左）二左

т

к = п

т

к = п

d（左）二左

d（左）二左

Для исследования и оптимизации соответствующих алгоритмов метода можно использовать утверждения, полученные в [85]; величины а/ (/=1,2,...) в этих утверждениях определяются разложением

w g)=@i"+仅2D? + •• •

Утв ержд ени е 1. Пусть конформное отображение 入=W (т?) имеет на границе круга |т?| = 1 лишь простые полюсы и |л/1 <с< °°. Тогда при выполнении условия

С|Т?Г《| 1-1т?*||

величны 〃")равномерно ограничены.

Утверждение 2. Пусть конформное отображение 入=W О?) эбражает круг | т? | < 1 «л выпуклую область. Тогда величины равномерно ограничены при выполнении условия

Оценки трудоемкости методов Монте-Карло для некоторых классов отображений 入=W (т?) приведены в [85], где обсуждается также связь изложенного выше способа замены спектрального параметра с двух- и трехчленными итерационными процессами и методом итерации резольвенты, реализация которого методом Монте- Карло строится и детально исследуется в гл. 5 на основе векторного представления.

Дтя построения численных методов можно также воспользоваться представлением решения интегрального уравнения второго рода (1.1) в виде (см., например, [80])

D хD х</?(%) =й(х) + — / 曾(х, х') 9(x')dx'

D х

D х

с помощью рядов Фредгольма

D= S D(x,x')= S ―

где<?о = h BQ(xtxf) = k(x9x,), сп = /5и-1 ^x)dx (九 > 0),

Вп(х9х,) =

%(х, х')儿(х, &)...斤(х, х„)

= /.../ k(xlfx,)k(x1>x1). .Л(хъхп) 必]…dXn

X X

Это представление, справедливое во всяком случае для ограниченных ядра %(х, х') и пространства *, аналогично правилу Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений. В [15] предложен алгоритм метода Монте-Карло вычисления величин D и 曾(х, х'), основанный на их специальном представлении. При этом приближенное решение исходного интегрального уравнения представляется в виде взвешенной суммы решений набора систем линейных алгебраических уравнений невысокого порядка.

Сведения из теории сходимости случайных функций

Рассмотрим случайную функцию (с.ф.)

&")气&3),

которая при каждом фиксированном значении аргумента t является случайной величиной с заданной функцией распределения

A", x)=PG(r)Vx).

Подробная информация из теории случайных функций, необходимая для развития методов Монте-Карло, дана в [32]. Отметим, что определение с.ф. связано (см., например, [20]) с заданием семейства конечномерных функций распределения

耳(h,xi； •••；%, х〃)=Р售(厶)<%i,・•」«〃)</)•(2.1)

Семейство (2.1) должно удовлетворять естественным условиям согласованное™； например, соответствующие данной Fn частные (иначе, маргинальные) функции распределения должны входить в это семейство.一

Если Г 一 одномерный аргумент, то 扌(f) будем называть случайным процессом, а в противном случае - случайным полем.

Далее будут рассмотрены некоторые вопросы теории слабой сходимости последовательностей с.ф. Сначала укажем, что слабая сходимость конечномерных распределений здесь будет определяться как сходимость 仃酬)к 尸匕(加 г 8, и = 1,2,...) во всех точках непрерывности функции Fn (см., например, [9]).

Пусть в пространстве реализаций с.ф.与=& (f) введена некоторая метрика Z. Рассмотрим семейство Ф функционалов 9«), непрерывных относительно этой метрики:屮 £ Ф. Будем говорить, что поеледовательность {昴(?)} слабо сходится к 扌(г) относительно метрики £, обозначая это следующим образом:

% -巳

если для любого 屮 £ Ф функция распределения случайной величины 屮(&〃) слабо сходится к функции распределения случайной величины(/? (^).

Предположим теперь, что t е Т, причем Т — ограниченное замкнутое множество, а реализации Е (厶 з) непрерьшны (для п.в. з). Тогда в пространстве реализаций с.ф.扌 естественно ввести метрт- ку, определяемую соотношением

Р^Лг) = тах| 玄《)-&(а1・(2.2)

九

Следующее утверждение представляет известный (см., например, [20]) критерий Колмогорова слабой сходимости непрерывных с.ф. относительно метрики (2.2).

Лемма 1.3. Если конечномерные распределения непрерывных процессов ^n(t) слабо сходятся к конечномерным распределениям &(/),〃 для любых f 1,力 〃 некоторых с, у, а > 0 выполняется неравенство

м I 晶伪)一 &(г力卩 <c|r2-n |1+а,(23)

го f л => 5 относительно метрики (2.2).

На основе критерия Крлмогорова в 投3] изучена сходимость оценок в так называемом методе зависимых испытании, при использовании которого значения некоторой функции (например, интеграла как функции параметра) оцениваются по одному набору случайных чисел, т.е. на одних элементах з.

Пусть /(х) = МК,к, з) и е(х, з) = f (х, з) - /(х). Считаем, что g G Г/t, если выполняются условия

I а%® з) I 丨а/卜。心)，

/0(з)]”3) = % <8, р > 2.

Теорема 1.1 [98]. Если функция 扌(х, з) принадлежит каждому 卜％ (^ = 1,...,/), то случайная вектор-функция

節=«{"Т .£]虫^册-户k)(x)},左=о/-1,

слабо сходится к непрерывной гауссовской вектор-функции с ненулевым средним “ ковариационной функцией

勿(х',х")=

=м {住⑺(х',з)т⑺(х‘)虺⑺(х〃, 3)_f(Qx")]}・

Обобщение неравенства (2.3) на случайные поля дано в [105], а многомерный аналог теоремы 1.1 получается непосредственно из модификации этого обобщенного неравенства, построенной в [19].

При изучении случайных функций, реализации которых с вероятностью 1 не имеют разрывов второго рода, полезно рассматривать специальные функциональные пространства, обозначаемые через D (см., например, [20]). Пусть Г £ [0, 1 ]; тогда через D обозначается совокупность функций х (г), принимающих вещественные значения и имеющих в каждой точке пределы слева и справа. Предполагается также, что

х(Г)= х(Г + 0), х(0) = х(+ 0), х(1) = х(1 - 0).

Оказьшается, что равномерная метрика (2.2) для такого пространства малоэффективна, так как в этой метрике D не является се-

парабельным пространством. Поэтому в пространстве D вводится специальная метрика, несколько ослабленная по сравнению с равномерной.

Обозначим через А совокупность всех непрерывных монотонно возрастающих на [0, 1] числовых функций 入(г) таких, что 入(0 = 0,入(1) = 1. Далее метрика в D определяется формулой

PD^y) = inf [sup |х(0-J(X(O)l + sup "-入(Г)|]・(2.4)

入 w a rt

Если x (f), у (f) непрерывны, то

PdG，У)= 0®У)・

Пространство D с метрикой pD сепарабельно [20]. Следующее утверждение представляет собой критерий Колмогорова — Ченцова (см. [104]) слабой сходамости относительно метрики (2.4).

Лемма 1.4. Если конечномерные распределения процессов ^л (г), не имеющих разрывов второго рода, слабо сходятся к конечномерным распределениям процесса Е«) “ &閲 любых 0《Г】V Г? N ?з 之 1 выполняется соотношение

m[|扌依)一式厶州式力)一式八)1卩＜ е(Г3 Т J+a(2.5)

для некоторых с, % а〉U, то 扌體今 W относительно метрики (2.4).

Заметим, что в [105] дано обобщение неравенства (2.5) на случайные поля.

Интегральные уравнения теории переноса излученияй метода Монте-Карло

Сначала рассмотрим односкоростной процесс переноса, который представляет собой однородную марковскую цепь столкновений частицы с элементами вещества. В результате столкновения может произойти поглощение или рассеяние, которое меняет направление движения частицы. Прямолинейный участок траек- то{ми между двумя последовательными столкновениями (или между начальной точкой траектории и первым столкновением) называется свободным пробегом. Угол меаду предыдущим и последующим направлениями пробега в точке рассеяния называется углом рассеяния. Траектория частицы заканчивается поглощением или вылетом из среды.

Введем обозначения:

г = (х, у, z) — точка пространства R ；

з = Q Ь, с) - единичный вектор направления пробега частицы (д2 + д2 + с2 = 1), со € fi;

4s = (з, з') — косинус угла рассеяния;

w$(p,，) - индикатриса рассеяния;

。6) — полное сечение взаимодействия потока частиц со средой (коэффициент ослабления потока);

。$ (г) - сечение (коэффициент) рассеяния;

ос(г) — сечение (коэффициент) поглощения;

9*(г, з) - плотность столкновений;

力亿 з) - поток частиц (интенсивность излучения).

Поток частиц Ф определяется следующим образом: величина Ф(г, 3)d$ d3 равна среднему числу частиц, пересекающих площадку ds (ориентированную перпендикулярно з в точке г) в направлении, принадлежащем конусу [з, з+ 4з]・ Известно, что

屮*亿 з) = а(г)Ф(г, з).(3.1)

Длина свободного пробега / по направлению з распределена с плотностьюг

/)(0 =。&⑺)exp {-J а(г(П ))成J,(3.2)、

о

где r(r) = го +/ол Го - начальная точка пробега.

Величина

7о) = /。("厶))如 о называется оптической длиной отрезка [г0 ,，«)]•

Для того чтобы плотность (3.2) была нормированной, необходимо, чтобы среда была ограничена выпуклой поверхностью, вне которой а= ос ^0.

Косинус угла рассеяния в точке г распределен с плотностью %(д, г). Если задано несколько типов рассеяния с сечениями 《"&) и индикатрисами^ w?(〃，г), то

os(r) = S ajz)(r),

г) = uj (г) S о^(г)^\^ г).

Вероятности поглощения g(‘) и рассеяния q(r) при столкновении в точке г определяются соответственно формулами

g&) = oc(r)/o(r\ q&) = a^(r)/a(r).

Рассмотрим теперь вопрос о том, какие числовые характеристики процесса переноса можно оценить с помощью моделирования траекторий на ЭВМ. Среднее число столкновений частицы в некоторой области £>/ оценивает интеграл / 9*(x)dx (х =(八 з)).

Dt

Если учитывать столкновения с весом 1/а(г), то на основании (3.1) получаем оценку интеграла J dr /力(д\з)</з, где

Я/ — область координат г, а П — пространство направлений з. Известно также (см., например, [56, 91]), что этот интеграл равен среднему значению длины пути Л/, который проходит частица в области Я/,т.е.

Jdr / Ф&, 3)d3 = М&)・(3.3)

Дадим краткое обоснование этого соотношения. Вследствие (3.2) последовательность столкновений представляет собой неоднородный точечный пуассоновский процесс. Поэтому вероятность столкновения и тем самым математическое ожидание числа столкновений в бесконечно малом элементе траектории длины dl (т.е. с точностью до бесконечно малых более высокого порядка) независимо от предыстории частицы определяется выражением

P(d/) = o(，(/))d/・(3.4)

Можно отметить, что последнее соотношение представляет собой основное физическое предположение, которое приводит к (3.2) и вместе с предположением о характере рассеяния дает интегродафференциальное уравнение переноса (см., например, [26]). Вследствие (3.4) соотношение (3.3) является очевидным для элементарной области R* с бесконечно малым диаметром; суммируя (3.3) по всем элементарным областям, получаем требуемое представление для произвольной области R^

Соотношение (3.3) обобщается следующим образом. Пусть

N

4 = м 2 〃(％), л = О

гдё{гл} — цепь столкновений частицы в R. Тогда 厶 можно представить в следующем виде:

厶

4 = М/ %(*/))0&(/))由，(3.5)

о

где интеграл берется вдоль траектории в пределах физической области. Выражение (3.5) представляет собой общую оценку по пробегу [56], весовые модификации которой будут рассмотрены в § 22

Далее рассматривается известный [32, 46] метод Максимального сечения (или метод дельта-рассеяния), существенно упрощающий моделирование траекторий частиц в сложных средах.

Пусть w(3, з'; г) - плотность распределения направления з после рассеяния в точке г при условии, что з' — направление до рассеяния. Поток частиц Ф(г, со) удовлетворяет следующему

2. Г.А. Михайлов17

интегродафференциальному уравнению переноса: (з, grad Ф) + а(г)Ф(г, з)=

(3.6)(3.6)=/①(兀 3‘)％&)w(3, 3‘")d3‘ +Фо(А з),

(3.6)

(3.6)

где Фо (г, со) - плотность распределения частиц источника.

Пусть о&) &。皿 К обеим частям уравнения (3.6) прибавим соответствующие части равенства

[aw - а(г)] ФС，з) = /Ф&, 3‘)[。也-。⑺然(з‘ 一 3)do/

и объединим стоящие справа интегралы. Получаемое таким образом уравнение очевидно можио рассматривать как уравнение переноса в фиктивной среде, для которой от — полное сечение,. °$ 6) — сечение физического рассеяния с индикатрисой w(3, з‘； г) и а^ —。(夕)一сечение фиктивного рассеяния без изменения направления з・

Прямое моделирование описанного таким образом процесса переноса обеспечивает и правильное моделирование пробега между физическими столкновениями. Действительно, использованное преобразование уравнения (3.6) является тождественным и не、 меняет потока частиц Ф. С другой стороны, поток Ф определяет плотность любых столкновений по формулам вида (3.1). Далее достаточно рассмотреть случай а—ос при

Ф(Г, 3)= 5&-，о)“3 - 3q),

для которого плотность физических столкновений в точности совпадает с плотностью распределения длины пробега между такими столкновениями. Ясно, что здесь сечение от не обязательно постоянное, т.е. от = от(г), и метод максимального сечения можно использовать лишь в некоторой части системы.

Плотность столкновений 9* удовлетворяет интегральному уравнению переноса:

9*(х) = / МК х)，(х')必'+/(х),、(3・7)

или

(37)(37),=К” +/,

(37)

(37)

где / — плотность начальных столкновений, а

kg, х)=kg, х)=。5 6')必 з,二)ехр{-т(г >)} a (r)。5 6')必 з,二)ехр{-т(г >)} a (r)а(г,)2я 1y一а(г,)2я 1y一3 з3 з

kg, х)=

kg, х)=

。5 6')必 з,二)ехр{-т(г >)} a (r)

。5 6')必 з,二)ехр{-т(г >)} a (r)

а(г,)2я 1y一

а(г,)2я 1y一

3 з

3 з

Здесь д - косинус угла рассеяния, т.е.

функция к»', х) лмеет смысл плотности перехода в физической цепи столкновений.

Весовые модификации статистического моделирования процесса переноса строятся на основе представления решения уравнения (3,7) рядом Неймана:

Q = £ К”・(3.9).

п = О

Для сходимости этого ряда достаточно, чтобы нашлось такое 〃о, что II к*л° И < 1. Норму оператора в данном случае нетрудно оценить, если рассматривать его действующим из £】в £i. Это возможно, так как простые соображения показывают, что К*/£ 丄 1 при / G Z!. Из (3.8) следует, что

/ MY x)dx == «(「')，

Отсюда

НК* %《sup q(r')・

Таким образом, если q(r‘)《q。< 1, то || К* ||七】< 1. На практике возможны ситуации, когда ||^*|| = 1, но || К*п^ || < 1 для достаточно большого 〃о (т.е. верхняя граница вероятности выживания частицы через 〃о столкновений меньше единицы). Нетрудно заметить, что для ограниченной среды ||К*2^ < 1, лаже если q(r')三 1. Здесь оператор имеет вторую степень вследствие предположения, что среда окружена выпуклой поверхностью, вне которой о(у)尸 ос (г) > 0.

Метод Монте-Карло обычно применяется для оценки линейных функционалов вида

4 =(3*，力)=/ ^(x)h(x)dx.

Последний интеграл существует, в частности, если 屮* £ £】，а 力 £ 丄8・ Например, для оценки интеграла от 9* по некоторой ограниченной области D следует положить А(х) = 1 при х G D и h(x) = 0 при х 丰 D. Ввиду неотрицательности элемента уравнения переноса алгоритмы метода Монте-Карло имеют смысл для любой функции А > 0 при условии (屮，力)< 8. Если{х„ } - физическая цепь столкновений, то

N

4 二 М£ Е 二 S h(xn). 體=0

Для решения задачи можно смоделировать другую цепь Маркова, лишь бы в плотность перехода г(х\ х) входила 6-функция 2*19

из (3.8). При конструировании веса Qn (см. § 1.6) формально можно эти 5-функции сократить. Несмещенность оценки вида

N *

I = 20仙(曰) п = О

проверяется непосредственно [32].

Алгоримы, для которых。〃丰 1, объединяются под общим названием весового метода. Очевидно, что с помощью этого метода можно решать задачи теории переноса для различных сред на основе моделирования одной и той же цепи Маркова. С другой стороны, подбором характеристик цепи Маркова можно распорядиться таким образом, чтобы сделать как можно меньшими дисперсии, т.е. среднеквадратичные погрешности, оценок изучаемых величин.

Оказывается, изучение дисперсий весовых оценок функционалов типа Д значительно удобнее проводить, пользуясь сопряженным интегральным уравнением переноса:

9(х) = / к@, х')屮侬)dx' +%(х),(3.10)

или

9 = Кз +力，(3.10')

и представлением lh = (/, <^)(9 £ £ 8). Ь дальнейшем весовую оценку величины 屮(х) будем обозначать через ^х. Например, если х0 распределена с плотностью /, то

MW%。= (£ у)=厶.

Средние квадраты оценок величин Ih достаточно просто (см.

§ L6) выражаются через функцию

W(x)=晦，

которую, как правило, подбором цепи Маркова можно минимизировать равномерно. Поэтому почти весь дальнейший материал посвящен вопросам оптимального построения оценки fx, й уравнение (3.10) будет рассматриваться в качестве основного (а не сопряженного, как, например, в [32, 55]). Следует отметить, что такой способ исследования и оптимизации весовых оценок соответствует прямой схеме статистического моделирования в теории переноса. В частности, при аналоговом моделировании & строится на физической траектории частицы, начинающейся со столкновения в точке х.

В теории переноса функции типа 9 (х) принято называть функциями ценности, так как значение 9 (х). равно 厶 при условии, что f(x') = 3(х‘ 一 х), т.е. в точке х находится источник столкнове- 20

ний единичной мощности. В связи с этим заметим, что процессу переноса можно сопоставить разные цепи Маркова. Выше рассматривалась цепь состояний частицы непосредственно перед осуществлением столкновения.

Можно рассматривать и цепь состояний непосредственно после рассеяния. Решение соответствующего интегрального уравнения 91 (х) есть функция ценности частицы, начинающей движение из точки%, причем

仍(х) = Ф*(х), где Ф*(х) — решение сопряженного интегродифференциального уравнения переноса [52]. Пользуясь формулой полного математического ожидания и учитывая физический смысл функции ценности, получаем соотношение

^(х)- h(x)^ q(r) / w(3, з';г)Ф*(г, o/)d3‘.(ЗЛ1)

с・

Аналогичные связи можно установить между функциями ценности различных состояний частицы: перед столкновением, после рассеяния, перед выбором направления рассеяния и т.д.

Их можно получать и формальным способом, осредняя соответствующие интегральные уравнения. Например, (3.11) получается следующим образом. Уравнение для функции ценности 91 (х) частиц после рассеяний, имеющее вид

仍(х) = / &(х, x')%(x')dr'+比(х),

после замены х = (г, з) 今(/•, з‘)умножается на w(3, з‘； г) и интегрируется по з‘. Впрочем, легко заметить, что такая процедура эквивалентна применению формулы полного математического ожидания (в том числе и для перехода от/г к Л]).

Рассмотрим теперь используемые в теории переноса системы интегральных уравнений второго рода. Некоторые волновые свойства излучения отражаются с помощью введения характеристик поляризации. При этом вместо интенсивности излучения рассматривается вектор-функция Стокса

力(х) = {仍(х)“2(х),9з(х)，94(х)},

где 屮 1 (х) — интенсивность,屮2 (х) определяет степень поляризации, 屮3 (х) определяет степень эллиптичности поляризации,屮4 (х) определяет ориентацию плоскости поляризации (более подробное описание см. в [55]). Вектор-функции Ф образуют конус определяемый соотношениями

⑦(х) > 0,必(х) + 出(х) + 以(х) & 讨(х) •

Вектор-функция Ф удовлетворяет системе интегральных уравнений

4

Мх) = ‘у f kif(xt x,)ipi(x,)dx，+ Ь((х).(3.12)

В соответствии с принятой здесь методикой эта система сопряжена с системой интегральных уравнений переноса, записанной в [55]. Детальная конструкция матрицы ядер {кц (х, х')} будет приведена в § 5.4.

Запишем систему (3.12) в операторном виде: Ф = КФ+Н.

Нетрудно убедиться, что К имеет те же свойства, что и А*, т.е. К £ [S? — SJ. Через Кц обозначим скалярный интегральный оператор с ядром к、、(х, Р). На основе [55] можно утверждать, что если II Кх 1 II < 1, то оператор К является оператором сжатия на конусе век тор-функций Стокса.

Следовательно, если Н £ S「，то требуемое решение системы (3.12) представляется рядом Неймана:

ф = £ кпн9 я е у,(3.13)

и = 0

что само по себе еще не обеспечивает возможности применения метода Монте-Карло ввиду знакопеременности ядер (см. [32] и § 1.6). Однако при построении стандартной векторной оценки (см. § 5.4) выясняется, что все слагаемые ее первой компоненты не отрицательны. Поэтому первую компоненту оценки можно осредаять почленно, что действительно дает 弘(х) вследствие представления (3.13). Осреднение других компонент оценки производится на основе указанного выше мажорантного свойства первой компоненты вектора Стокса. Заметим также, что Н^ = (1, 0, 0, 0) £ S/, а для других Я оценку, соответствующую 〃⑴，можно использовать в качестве мажоранты.

Векторная оценка метода Монте-Карло для решения системы уравнений переноса с учетом поляризации рассматривается в литературе как наиболее соответствующая физической модели процесса. Нетрудно заметить, что, введя в фазовое пространство дополнительную дискретную координату со значениями 1, 2, 3, 4 и соответствующую дискретную меру интегрирования с четырьмя атомами, можно записать систему (3.12) в ви^е одного интегрального уравнения. Это дает возможность строить скалярные алгоритмы метода Монте-Карло (см. § 1.6), составной частью которых является моделирование скачков по дискретной коорди-

нате. Далее рассматривается многогрупповая система уравнений переноса, для которой также скалярные алгоритмы рассматриваются как наиболее естественные.

В простейшем варианте многогруппового приближения рассеяние частицы изотропно, а энергия при рассеянии меняется скачками; точнее, меняется номер / энергетического интервала - группы. Матрица вероятностей перехода определяется соотношением

切

P(i~/)二 Рц =—， т

где。" — сечения перехода, т - полное число групп. Предполагается, что номер группы может лишь возрастать, т.е. при рассеянии энергия не возрастает.

При этом предположении сопряженная многогрупповая система интегральных уравнений имеет треугольный вид:

т

屮i(x) = S J &j (x, x')诊(％ £)dx‘ + Л/ (x), где

,u”r)*)g exp {-/(「，)}。〃 &')

кн (x, x ) = •

4叫S(r) \r-r I2a^Vr')

Здесь。,‘) 一 полное сечение для Лй группы, Т/(г, /) - соответствующая этому сечению оптическая длина отрезка [г,г*].

Обозначим через К матрично-интегральный оператор многогрупповой системы, а через К〃 скалярный интегральный оператор с ядром Л^・(х, х') • В § 5.5 будет показано, что

pg = max p(^/z),

т.е. спектральный радиус оператора системы равен максимальному спектральному радиусу интегральных операторов, соответствующих процессам переноса в различных группах, для которых переход в другую группу рассматривается как поглощение.

Уравнение переноса является составной частью многих нелинейных задач. Так, например, радиационноковдуктивный перенос энергии в плоском слое 0《z《丄 вещества, нагреваемом внеш* ним излучением, описывается следующей системой уравнений

(см., например, [57]):

ЬТЪ ( ЬТ\

= 丁仅丁) +h厶]，A°，°VzVZ; (3.14) ofbz \ dz /

dr I

T(O,z) = T°(z); k — \= 0,

=0,L

1QO

户口灯=JdN生入s一厶Ь⑺)d入；(3.15)

о

4 ~ + "/入=

=%"入b(D + %入/以(从")厶g,")必：

0 < z < £,-1 < g < 1, 0《入《8；(3.16)

/(0,〃)= ；о(Д), 〃 > 0："厶 Д)= 0, 4 Vo.

Здесь Т - температура,入 一 длина волны излучения, с - удельная теплоемкость вещества, к - коэффициент теплопроводности, 厶占=%入т/[ехр{с2/(入Т)} - 1] - функция Планка,厶 一 интенсивность излучения, %入-сечеьше поглощения, % 入—сечение рассеяния,。入=о仅入 +。$入,g入-усредненная по азимутальному углу индикатриса рассеяния, д = cos i>, 6 - угол направления переноса с осью z.'

Уравнение (3.16} известным способом [3] можно преобразовать в интегральное уравнение относительно плотности столкновений^^) =0入厶(2,从)：

屮“)=“X)+ / %(』,х)屮(x')dx', x = (z, д,入)£ X (3.17)

Будем рассматривать оператор К: "(X) f Zi(X). Чтобы представить (3.15) в виде линейного функционала, дискретизуем (3.14) с помощью конечных элементов и метода Галерки- на (см. [57]). Ддя этого введем по z сетку zm = (0 = z0 < <Szi < . . .<z m - L) и рассмотрим на ней аппроксимацию температуры вида

7= 2刀⑺也G), "О

где Т £ Нт ([0, £]), Нт — некоторое конечномерное пространство с базисом {^Л? % - функции с конечными носителями.

Для вектора Т = (П, . . • , %) методом Галеркина получим систему уравнений вида

mdTi m/с、

(3.18)(3.18)Е &⑺ Т = Е Ви⑺T#Fl F<°>, / = о dt /= о'

(3.18)

(3.18)

i 二 0,…，m, Г > 0;

4 =寸 о),才=о；

尸严=?<fefd入/。。入厶Ь(力%(z),"； '00-1

厶%人1

吊=/ Wi(z)dz / d入 / 9(z, д,入)d〃，i = 0,..・，m. (3.19)

0入 -1

При условии ” > о。> 0 функции

厄 Q) = S(z)—

принадлежат пространству Z« (X) и величины (3.19) представимы скалярными произведениями:

吊=(闻屮)=/ hi(x)^p(x)dx9

которые можно оценить при решении уравнения (3.17) методом Монте-Карло на заданной временнбй сетке, определяющей процесс последовательного решения уравнений (3.16), (3.18). Различные аспекты такой методики решения задачи (3.14), (3.16) рассмотрены в [57].

§ 1.4. Другие интегральные уравненияв сфере применения методов Монге-Карло

Рассмотрим трехмерную задачу Дирихле

△況一с〃 = -& 〃1「= W(4.1)

в области D с границей Г; с = const > 0. Предполагаются выполненными условия регулярности фуюсций g, W и границы Г, обес

печивающие существование и единственность решения задачи (4.1), а также возможность его представления с помощью функции Грина для шара в виде [27]

"(р。)="(р。)=do \/Сdo \/С47r曲 sh (&)，F) S(j%)47r曲 sh (&)，F) S(j%)u(s)ds +u(s)ds +

"(р。)=

"(р。)=

do \/С

do \/С

47r曲 sh (&)，F) S(j%)

47r曲 sh (&)，F) S(j%)

u(s)ds +

u(s)ds +

(4.2)(4.2)shKdo — |r — Pol)vC]

(4.2)

(4.2)

lr - po I < j04?r "一 尸0 1sh & \/c )8''

где d0 = d (P()) - расстояние от точки Po До границы Г.

Первый интеграл в (4.2) - это интеграл по поверхности сферы S(Po), которая касается границы Г и имеет центром точку PQ. Соотношение (4.2) можно рассматривать как интегральное уравнение второго рода с обобщенным ядром, представляющим равномерное распределение на сфере S(PQ). После введения этого ядра первый интеграл становится трехмерным. Нетрудно понять, что стандартные алгоритмы метода Монте-Карло распространяются на такие интегральные уравнения, если особенности ядра включить в плотность перехода моделируемой цепи Маркова. В данном случае из точки 尸о следует переходить на поверхность сферы S (Ро), т.е. осуществлять блуждание по сферам (см. § 1.6).

Соотношение (4.2) необходимо дополнить равенством

"務)=W(A>), Роег,

которое означает, что ядро уравнения обращается в нуль, если его первый аргумент принадлежит Г. Таким образом, после выхода на границу цепь следует оборвать, прибавив к оценке величину ^(Р) с соответствующим весом. Указанные соображения приводят к вероятностной оценке решения, которая нереализуема, так как с вероятностью 1 блуждания по сферам не выходят на границу за конечное .число шагов. Это связано с тем, что норма интегрального оператора в естественном для данной задачи пространстве 丄 8 равна 1. Далее будет построена аналогичная смещенная, но реализуемая оценка.

Временно предположим, что решение задачи Дирихле известно в каждой точкеГ множества

Ге ={Р€РСГГ: d(P)<e}.

Тогг' для функции и (г) можно написать следующее интегральное уравнение:

u(r) = f 改6"')〃(?•)小'+〃O(4.3)

D

где

M「，j sh (d Vc )

1 f sh[(d"-r|)x/F]

- / —:=g(r)dr, 夕节 J,

=47r D I，一，I sh (d \/T)

Здесь d = d(r),台夕&‘) - обобщенная плотность, соответствующая равномерному распределению вероятностей на сфере S (г).

Поскольку dy/c/sh(d\/c)< 1 при с> 0,то

/ /^(r, r)k(ft r'ydrdr" < DD

《/3”)(/“(/')亦")办'=

D - Г€D

=/3"Г')办'41-%e),

D - Г€

причем “(е) = e2/(4dmax) (см. [32, с. 223]). Следовательно, в естественном здесь пространстве 七^ имеем

II II《1-"(е) < 1,

что обеспечивает сходимость ряда Неймана для.уравнения (4:3) и тем самым возможность применения метода Монте-Карло.

Кроме того, отсюда следует, что решение исходной дифференциальной задачи является единственным решением уравнения (4.3). В рассмотрение при этом включаются и обобщенные решения. Поэтому для оценки и(Р^ можно применить соотношение N

"(尸。)=膜，与=力俏)+ 20仙(尸) (4.4) h1

Здесь P„ — обрывающаяся в Ге цепь блуждания по сферам, которую при е > 0 целесообразно также называть е-сферическим процессом, а веса определяются формулами

Go = 1,Go = 1,01 = Qn-l01 = Qn-ld吁]5/?sh (%1T V?)d吁]5/?sh (%1T V?)

Go = 1,

Go = 1,

01 = Qn-l

01 = Qn-l

d吁]5/?

sh (%1T V?)

d吁]5/?

sh (%1T V?)

d〃 = d (Pn), л = 1,2,...

Теперь можно вспомнить, что мы временно ввели нереальное предположение: решение и (г) известно в Ге. Однако вместо точных значении и (г) в Ге можно использовать приближенные значения, например взяв их с ближайших точек границы, т.е. положив

"&)2心，「£県，r"6F, ir-r*| = d(r).

В результате получаем смещенную оценку fe, среднее значение которой отличается от и (Ро) на величину порядка е. Действительно, если рассмотреть выражение для разности оценок 扌 и ^е, то получим

I 〃 一 ％ II мд [〃(?%)-屮(尸卞)]} I《Ле,

где Л — некоторая постоянная, которая конечна вследствие ограниченности в области D производных от решения. (Здесь использовано соотношение 拆《L)

Приведенные рассуждения показьшают, что точность е-приближения можно существенно увеличить с помощью экстраполяции по е. Расчеты для различных значений е можно производить одновременно, т.е., проводя расчеты для некоторого значения е, можно получать результат для любого j〉е без дополнительных затрат времени ЭВМ; при этом ввиду сильной зависимости оценок разность ue - uCl вычисляется достаточно хорошо.

Для решения некоторых прикладных задач (например, задач электронноионной оптики) необходимо вычислять градиент потенциала, т.е. производные от решения задачи

(4・5)(4・5)Aw = —g, w If =屮.

(4・5)

(4・5)

Здесь нужно использовать весовой множитель для оценки решения уравнения Лапласа в двух точках по одним и тем же выборочным траекториям блуждания по сферам. Используя эту идею, можно построить алгоритм непосредственной оценки производных от решения задачи (4.5) в точке尸。=(х(),Уо,zо)•

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, получаем для точки Рох = "о +х, у。，Z。) уравнение

"(尸Ох)=

=/ p(3,x)〃(s)ds +/ Gx(rt dQ)g(r)drf (4・6)

S(P°)\r~ Р9 \< d9

х < d(P()) = d0.

Шаровая функция Грина G%&, d。) и ее нормальная производная рх) выражаются формулами

=丄 / 1^\

GxGdo)4万 \|r-Рох I 必2户 + 或-2d°xx 1 丿

% 储-X2)

尸47r(或+x2 -2分^)"，

где з - единичный вектор направления из Ро в Pi, а = а (х, з)- косинус угла между вектором з и осью х,打=х(г -Ро)« Путем дифференцирования (4.6) по х получаем

а〃，а

「(XoJo,z())=/g⑺丁 Gx(，,do)d，lx = o +

ЭхI—В1</ Bx

(8р(з,х)]

+ 47rMз[——— 〃(尸 1(з))卜=о =

=—/~Г73~ g&)〃 +

47r "-Pq|<% dl\r-P^

+м{^+м{^N 1S ——/./=1 47rdi I—PflVdfN 1S ——/./=1 47rdi I—PflVdf心—lr —Pjl—1 ~巴1心—lr —Pjl—1 ~巴1g（「）办 +g（「）办 +

+м{^

+м{^

N 1

S ——/

./=1 47rdi I—PflVdf

N 1

S ——/

./=1 47rdi I—PflVdf

心—lr —Pjl

—1 ~巴1

心—lr —Pjl

—1 ~巴1

g（「）办 +

g（「）办 +

+w(尸%力

Рассмотренным способом можно получить оценки и для производ

ных высших порядков.

Нетрудно заметить, что соотношение (4.6) дает возможность по одним и тем же траекториям цепиРо> А, • • • оценивать решение во всех точках шара |г -Ро1 < ^о- Это полезно по двум причинам: во-первых, экономится время ЭВМ; во-вторых, статистические оценки значений 〃&) получаются зависимыми, что обеспечивает более точную оценку функции в целом.

Рассмотрим теперь в ограниченной области G С： R" краевую задачу Рикье:

△小〃а)=0, xwd,(4.7)

△' 〃 IF =屮七，^ = 0,..., ш — 1,(4.8)

△% = м, Г - регулярная по Винеру граница области G. Полигар- моническая функция, удовлетворяющая уравнению (4.7), может быть представлена в виде [84]

〃(хо) =

(4.9)(4.9)

(4.9)

(4.9)

где Nxq/3 — среднее значение функции и(х) по сфере 5 (х0, г) радиуса г с центром в точке х0:

^0,r(w)= — / 〃(x+r3)d3.

Из (4.7), (4.9) получаем систему

(4.Ю)(4.Ю)^m^2u(xQ) = -cl^m^1u(x0^Nx^m^2u)9

(4.Ю)

(4.Ю)

М (Хо) = -% △〃 (xQ - . • . _ С吁 1 d〃 т 〃 (Хо) + 此"(u), где

⑵(守7阿吋)]•

Отсюда можно получить систему интегральных уравнений, связывающих значения u(x0), АиСхо)...., △^~1и(х0) с интегралами

*

по сфере Nx г(й)9 ^о>г(Ди), ..., %人旷-'叫.Для этого в .системе (4.10) первое уравнение подставим во второе, затем

первое и второе — в третье и т.д.; в результате получим

△w~1W(^o)=7Vxo.r(Aw-1w),

△〃 (Хо) = М…(△〃)- S1N%"(館“)一_ % 一必。"gm т 〃)，

(4.И)

u(xQ)=Nx^r(u)^SiNXotr(^

где %=仃，$2=^2—с】”，...，$『 = & — X cjSf^t.

На основе (4.11) строится векторный алгоритм блуждания по сферам для решения здачи (4.7), (4.8) с нулевой правой частью (см. [78, 84], а также § 1.6). Способ учета правой части уравнения рассматривается далее.

Рассмотрим краевую задачу с нулевыми граничными условиями:

£〃 (х)=/(х), хе G С Rn,(4.12)

5м|г = 0.(4.13)

Решение в точке х будем искать на основе представления

〃(х)=/ 〃b(x,y)f(y) dy,(4.14)

G

где функция Грина иб (х,у) находится из условий

奴(х,у) = 6 (х -у),Виь |г = 0

и оператор 丄 действует по переменной х.

Пусть 力(х,у) - фундаментальное решение уравнения (4.12), т.е.

"(х,у) = 3(х,у), xj£R〃.

Тогда 〃5 (х, у) ищется в виде

〃&"/)= b(x.,y)+ W(x j),

причем W(x9y) находится как решение задачи

LW(x,y)^0, BW\r = -BV(xfy)\x^r.

Пусть т?")(х,у)_ е-смещенная оценка для W(xyy), построенная на е-сферическом процессех0 =不,丸-хк_{ + 3%d(4-i) (к> 1), где { 3左} - последовательность независимых изотропных векторов единичной длины, d(Xk-i) - радиус очередной сферы. Тогда решение задачи (4.12), (4.13) в точке х вычисляется на основе

двойной рандомизации, поскольку (4.14) можно записать в виде (Г(х,?) + т?(е)(х,^)]

u(x) = MfM{必△ j福~—•卜0(e),(4.15)

где 卩(与)—некоторая,вообще говоря, произвольная плотность на G.

Изложенный алгоритм позволяет вычислить решение в одной фиксированной точке х. Используя симметрию функции Грина: 以б(х, У) = w6 (У, %)， можно построить алгоритм, позволяющий вычислять на одной траектории е-сферического процесса оценки решений одновременно в нескольких точкам. Действительно, в силу симметрии функции и^ (х, ^) в (4.15) можем х и 扌 поменять. местами, т.е. теперь 扌-точка, где ищется решение, х - точка, в которую помещен 6 -источник. В такой интерпретации представление (4.15) приводит к сопряженному "алгоритму, при этом необходимо лишь под М{х*} понимать усреднение по траекториям е-сферического процесса, выходящего из точки 久 распределенной в G с плотностью р. Поскольку в этом случае х становится параметром, от которого не зависит реализация е-сферического процесса, то данный алгоритм позволяет строить на одной траектории {х„} оценки для произвольного набора точек х.

Далее рассматриваются граничные интегральные уравнения теории потенциала, для которых в стационарном случае спектральный радиус равен единице и построение алгоритмов метода Монте- Карло осуществляется на основе аналитического продолжёния ряда Неймана (см. § 1.1) [86].

Рассмотрим уравнение Лапласа

△〃(х) = 0(4.16)

в ограниченной области G CR3 с кусочно гладкой границей 3G. Удобно рассматривать одновременно две краевые задачи для(4.16): внутреннюю задачу Дирихле

〃(f) = Wi(f), t^bG,(4.17)

и внешнюю задачу Неймана

Эи/дп = Ф2(0,t£8G,(4.18)

lim и (х) = 0.

Известно, что в (4.16)-(4.18) границу HG можно заменить на Г = Э(7 - Го, где Го - множество (меры нуль) граничных точек, в которых не определена нормаль. Решение задачи (4.16), (4.17) ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью д(0 (гег)： а 1

w(x)=/— ,； 〃(0d。(0,(4.19)

где o(f) - элемент поверхности,九(f) - внутренняя нормаль в точке z G Г.

Соотношение для разрыва потенциала двойного слоя на Г дает интегральное уравнение для плотности:

,屮 i(r)

(4.20)(4.20)〃«)=-J к(","〃(力)do(h)+,

(4.20)

(4.20)

где k(ti\ f) =cos9rj,r/(2灯 1厶一ГI?),屮小г - угол между векторами 〃(力)и t -tx. Решение внешней задачи Неймана ищется в виде потенциала простого слоя:

Соотношение для разрыва нормальной производной потенциала простого слоя дает уравнение для неизвестной плотности:

Ф2(0 "一尸川吟也h丁Ф2(0 "一尸川吟也h丁(4.21)(4.21)

Ф2(0 "一尸川吟也h丁

Ф2(0 "一尸川吟也h丁

(4.21)

(4.21)

Неймана решенияНеймана решенияЭто уравнение является сопряженным к уравнению (4.12).

Неймана решения

Неймана решения

Таким образом, решения краевых задач Дирихле и можно рассматривать как линейные функционалы от интегральных уравнений соответственно (4.12) и (4.21):

(4.22)(4.23)(4.22)(4.23)〃(x) = 4?r(h,〃)，

(4.22)

(4.23)

(4.22)

(4.23)

〃(х)=е&), где

hx (Г) = — , gx (г).

~ 4тг"-х|2|х —Н

Однако эти представления еще не позволяют нам применить стандартные методы Монте-Карло (см., например, § 1.6), поскольку ряды Неймана для (4.20), (4.21) расходятся.

Положим

К〃«) = -/ 左(％, г) “(力)d。(G)

и (4.20) преобразуем в интегральное уравнение с параметром 入:

(4.24)(4.24)(4.25)(4.25)〃入⑴=入К"入a)+г"),

(4.24)

(4.24)

(4.25)

(4.25)

а (4.21) - в сопряженное к нему уравнение:

恥⑺二入К*恥(f) + e(f).

Поскольку II Kll = IlK*11 = 1, то при I М < I решения уравнений (4.24), (4.25) представляются соответственно в виде сходящихся 32

(4.26)(4.26)абсолютно и равномерно рядов: 从人") = R入/W,

(4.26)

(4.26)

"入")=К入ё«),

где 火入=/ + 入К + МК2 + ... - резольвента.

Известно, что все характеристические числа интегральных уравнений (4.24), (4.25), т.е. полюсы резольвенты, действительны и отрицательны, а минимальное по модулю характеристическое число (простой полюс резольвенты)入 i равно -1. Так как 入=1 не является характеристическим числом, то уравнения (4.19), (4.21) имеют единственное решение, однако оно не может быть представлено рядом Неймана, поскольку 入】=-1. Для нахождения решения, однако, можно заданную в виде ряда Неймана резоль - венту 火入 продолжить за пределы круга | 入| < 1.

Наиболее простым способом продолжения является домноже- ние резольвенты на (入十 1)/2 в целях уничтожения полюса. В результате получаем ряд, сходящийся абсолютно и равномерно в круге 丄入I < |Х2|, где 入2 < —1 一 второе характеристическое число интегрального уравнения (4.24). В этом случае при 入=1 получаем решение уравнения (4.19) в виде

Д(0= 2 т(6(4.27)

/ = о где "о =〃o(r)=f。)， 加 i(0 = А «)/2,

“⑺=(的_ 1 (0 + 的 «))/2, />2,

〃i(f)NK的一寸(0, AL

Другой способ продолжения связан с использованием замены 入胃 з而，в результате которой (4.26) переходит в абсолютно и равномерно сходящийся ряд. Таким образом, при " =〃о =з~1(1) получаем решение в виде

〃⑺=£ 欣"《)•(4.28)

/=о

Например, в случае замены 入="/ (1 一 〃)имеем

Т?о = 1/2, /(0=从0"),

М[«) = 2山(Г),

m⑺=Кm一6+"一⑺，i)2.

Г.А. Михайлов33

Поскольку всюду использовалась лишь информация о спектре интегрального оператора, то решение сопряженного уравнения (4.21) также представляется в виде (4.27), (4.28) с заменами /(Г) f е«) и К ^К *, при 3ToM "「К*/•一 1, 〃о( j =е〃)・

Абсолютная сходимость полученных рядов позволяет оценить остаток и тем самым число членов ряда, достаточное для достижения заданной точности. Простые соображения дают оценку для членов ряда (4.27) ъкогда Г - сфера

M3fp ⑺M3fp ⑺i> 1.i> 1.

M3fp ⑺

M3fp ⑺

i> 1.

i> 1.

Теперь можем оценить остаток:

I京产⑼今照陪)".

Аналогично в случае замены 入=»/ (1 - ") получаем

| £ 4^f(0L< sup|/|(.

i = k+lг \ 2 /

Выпишем теперь явный, вид оценок, удобных в применении. Пусть “Г)- решение уравнения (4.21) со свободным элементом, равным h(f). На границе Г строится цепь Маркова {^}с переходной плотностью Р("-1 —厶)=方(厶，Г/-1), что в случае выпуклой области соответствурт равномерному распределению точки 力 по углу видимости из точки ”—1 (см. [86]). Эту цепь можно назвать изотропным блужданием по границе. -

Точка% разыгрывается по плотности 力％ (%), т.е. равномерно по углу видимости из точки х. Тогда если исходить из представления

〃(х) = 2(“,％)

и выбрать “(г) в виде (4.27) или (4.28), то можно построить стандартную оценку, для которой

(«Wi) = M0・Wi (幻，

где So = 1, 0 = (-1)‘.

Таким образом, решение задачи (4.16), (4.17) выражается приближенной формулой:

W(x) = M{2S 4Q”№)} +入(х),(4.29)

но

где постоянные Л； и остаточный член зависят от способа аналити* ческого продолжения. Например, для способа домножения имеем 34

Ло i・・=4_[ = 1, 4 = 0,5 и

I入(x)|《*p№】(r)| 团：

Для решения внешней задачи Неймана получаем оценки, аналогичные (4.29), используя (4.23) и представления типа (4.27), (4.28) с конечным числом слагаемых. Марковская цепь "J строится здесь следующим образом: начальная точка Г。выбирает* ся по какой-либо подходящей плотности Ро«о), а последующие - по переходной плотности к&,々_i)・ В результате получаем

〃(х)=м| Е Qi Ai+ 入(%),

где 4 = % «о)/ (2тгро«о)),必=一 0т • Для способа домножения

ИМееМ 1 1

|rfc(x)|<sup Н 丁 /1%1&т( —). г |х - f| 4я г \ 3 /

Отметим, что на одной цепи Маркова можно оценивать решение обеих рассмотренных задач в произвольном числе заданных точек. Для внешней задачи Неймана это очевидно, поскольку построение цепи Маркова не связано с точкой х. В случае задачи Дирихле изменяется лишь начальный вес. Действительно, пусть наряду с оценкой в точке х необходимо оценить решение в точке y^G. Тогда и{у) также представляется в виде (4.29), где

COS%°,y|X —环『

So =；ту •

cos%,xly То

на основе (4.29) строятся оценки для вычисления различных функционалов от решения, в частности, значений производных. Например, для bu(x)lbxx (х= (хь х2, ^з)) в (4.29) изменяется начальный вес:

Со =Со =Ix-M 8S%,xIx-M 8S%,x(%(?о) |х - ％1 - 3cos%,x(xi -“1))

Со =

Со =

Ix-M 8S%,x

Ix-M 8S%,x

где 〃(％)=(% (Го ),力(％ )，幫 з (% ) ) • Для задачи Неймана

3*3*а〃（х）а〃（х）а*】а*】(к=М 2 04(/ = 0(к=М 2 04(/ = 0F +5F +5|х — "3|х — "3乙="",厶2,丐3），ia（X）1《гМ2^Я 口乙="",厶2,丐3），ia（X）1《гМ2^Я 口+ 人(х),+ 人(х),3535

3*

3*

а〃（х）

а〃（х）

а*】

а*】

(к

=М 2 04

(/ = 0

(к

=М 2 04

(/ = 0

F +5

F +5

|х — "3

|х — "3

乙="",厶2,丐3），ia（X）1《

гМ2^Я 口

乙="",厶2,丐3），ia（X）1《

гМ2^Я 口

+ 人(х),

+ 人(х),

35

35

Изложенные выше алгоритмы блуждания по границе допускают обобщение на нестационарный случай, в частности, для решения начально-краевых задач для параболических уравнений и задачи Коши для гиперболических уравнении. Однако в этих случаях интегральные уравнения являются вольтерровскими, т.е. ряд Неймана сходится и применимы стандартные оценки метода Монте- Карло (см. § 1.6); специфическим здесь является учет особенностей ядра [50,84] •

Другим примером решения вольтерровских уравнений методом Монте-Карло может служить статистическое моделирование химических реакции на основе уравнения Колмогорова (см. [22]), например с целью изучения фазовых переходов.

Рассмотрим векторный скачкообразный марковский процесс Х(г) = (М(£), ..., Хт (Г)), компоненты которого представляют собой случайные количества молекул разного типа в изучаемой системе. Скачки процесса происходят в случайные моменты вследствие осуществления химической реакции, которая имеет л вариантов 一 стадий. Такие случайные события по аналогии с теорией переноса можно называть столкновениями. Они образуют неоднородный пуассоновский поток с заданной интенсивностью q(X), т.е. величина q(X(r)) dt представляет собой вероятность осуществления реакции в интервале времени (% t + dr). В результате столкновения случайно, с заданными вербягтностями, осуществляются одна из стадий и соответствующее изменение вектора X; это изменение с учетом различных стадий можно описать матрицей перехода 0(Х, X).

Пусть Р(Х; г) — вероятность того, что Х(г) =Х. При довольно общих условиях [16] эволюцию этой вероятности можно описать уравнением Колмогорова:

•雙У"' = -q(X) Р(X； f) + / Р(Г; 0 q (Г)б(Х\ Г)</Г.

Однако, как и в теории переноса (см. § 1.3), для построения и исследования модификаций статистического моделирования здесь удобнее использовать следующее интегральное уравнение для плотности столкновений:

屮* (X; Г) = 5(Х, Х(0)) q (J) exp{-q (X) г} +

+ j J' (X, s)G(r,X) exp{-q (X)(f - $)} q(X) dX&,

где 6(X, X') = 1 при X-X9 и 5(JV, X') = 0 прн X¥=X'. Интегральный оператор в этом уравнении является вольтерровским, и его спектральный радиус равен нулю.

Методом Монте-Карло можно оценивать средние значения различных функционалов от траектории процесса Х(г). Например, 36

можно вычислять среднее время пребывания процесса в некоторых областях фазового пространства и таким образом оценивать зна・ чение параметра системы, при котором происходит фазовый переход. В [22] с помощью численных расчетов и аналитических исследований было показано, что для решения такой задачи иногда достаточно рассматривать сравнительно небольшие объемы, т；е. числа реагирующих молекул.

Заметим, что в [22] для повышения эффективности статистического моделирования было предложено использовать представление

Х«) = Х(0)+5У«),

где вектор У«) = (%(/),..., 匕«)) представляет собой совокупность чисел стадий разного типа, происшедших в интервале времени fO, г), а ^ — матрица 加 X 九,составленная из матриц переходов, соответствующих различным стадиям. В [22] были также построены различные оценки для вычисления интегральных характеристик рассматриваемого процесса: по столкновениям, по пробегу, а также специальная оценка метода математических ожиданий. Оценка по пробегу здесь применима ввиду экспоненциальности распределения случайного времени между столкновениями (см. §1・3)・

Довольно сильно, развиты методы Монте-Карло для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана (см. [32]). Математическая сложность исходного уравнения, связанная с отсутствием эффективного математического аппарата для исследования нелинейности, с одной стороны, и простая, наглядная физическая интерпретация уравнения Больцмана, с другой стороны, породили большое количество приближенных методов решения. Условно их можно разделить на две группы.

Первую группу образуют так называемые алгоритмические методы. Они существуют в основном на описательном уровне и конструируются из физических соображений, аналогичных тем, которые положены в основу вывода уравнения Больцмана. Среди методов этой группы наибольшее распространение получили метод прямого моделирования Берда [8] и метод испытаний Бернулли, предложенный в [7].

Вторую группу образуют итерационные методы. Они основаны на различны^, итерационных процессах, для реализации которых строятся и методы статистического моделирования. С целью повы* шения эффективности схем моделирования этой группы применяется аппарат методов Монте-Карло для решения линейных уравнений. Наиболее известен подход Хэвиленда, основанный на последовательной линеаризации уравнения Больцмана. Однако, как и

большинство методов этой группы, он имеет лишь частичное обоснование. В работе [23] доказана сходимость этого метода при условии, что на каждой итерации искомая функция распределения вычисляется с пренебрежимо малой погрешностью. Исключение составляет подход, использующий связь между ветвящимися марковскими процессами и нелинейными уравнениями; этот подход достаточно подробно описан в [32].

Рассмотрим кратко некоторые упомянутые выше методы. Метод прямого моделирования Берда и метод испьпаний Бернулли строятся по следующему принципу: моделируемый газ заменяется на N частиц, а физический объем моделирования разбивается на ячейки. Характерный размер ячейки должен быть таким, чтобы изменение параметров течения в каждой ячейке было малым. Изменение времени производится дискретными шагами △/, малыми по ср^нению со средним временем между столкновениями молекул. Временной параметр А Г является одновременно параметром, по которому производится расщепление эволюции системы, имеющей Участии, на два этапа.

Этап I. Все ^ молекул перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями и шагом по времени △/. Производятся определенные действия, учитывающие граничные условия, если молекулы пересекают поверхности твердого тела, линии или поверхности симметрии, либо внешние границы выделенного объема. Новые молекулы генерируются на границах объема, через которые есть поток молекул внутрь области.

Этап 11. Производятся столкновения между молекулами, соответствующие интервалу времени △£. Скорости молекул до столкновения заменяются скоростями, приобретаемыми ими после столкновения. Поскольку изменения параметров течения в ячейках малы, то можно не учитывать относительное расстояние между частицами при выборе пары молекул для столкновения.—

Ради простоты рассмотрим о дно компонентный газ с сечением столкновений о. Пусть в ячейке объема V находятся Миастиц со скоростями и? (z = 1, .. ., TV). Алгоритм розыгрыша, столкновений по Берду состоит из последовательности следующих действий:

разыгрывается пара (/, /) в соответствии с распределением вероятностей

р// = ，入=Е Е з〃， з炉=；

入 一 / = 1 / = r+1. V

N

в счетчик времени Е т> заносится величина 丁〃+]虫 人л = 1

21-

=^^~и скорости иу заменяются ,на их значения 38

после столкновения, которые моделируются соответственно заданному распределению.

Эта действия производятся до тех пор, пока Ет> не станет ■ к

больше △£. Затем производится этап I и т.д.

Способ розыгрыша столкновений, использующий испытания Бернулли, заключается в следующем: производится поочередный перебор всех nap. (i,/) и для каждой пары:-

разыгрывается столкновение с вероятностью Р/у = з^Ан：

если столкновение осуществилось, то скорости и『，и, заменяются на их значения после столкновения, в противном случае остаются прежними.

Из второй группы, как уже упоминалось, наиболее известен подход Хэвиленда. Он заключается в применении метода последовательной линеаризации к уравнению Больцмана. Рассмотрим стационарный случай. В основе конструирования алгоритма лежит следующая итерационная схема:

=/ god“ [/„ (")力一(J)—倉(w)R_ 1 (叨 dC, (4.30) где w', и' - скорости после столкновения, g - относительная скорость, а — дифференциальное сечение рассеяния, С 二 угол между векторами w и w. Отсюда видно, что на каждом итерационном шаге нужно решать линейную относительно fn задачу. В силу аналогии (4.30) с уравнением переноса здесь можно применять различные методы Монте-Карло, позволяющие снизить трудоемкость метода.

Примером подхода к решению нелинейного уравнения Больцмана, сочетающего в себе конечно-разностный метод и метод Монте-Карло, может служить следующий метод. Рассмотрим пространственной) днородный случай и разобьем скоростное пространство на ячейки. Неявная разностная схема, используемая в этом подходе, имеет вид

Здесь интеграл столкновений разделен на Две части - интеграл частоты столкновений “％ (/') и интеграл обратных столкновений М (/ ). Эти интегралы вычисляются методом Монте-Карло в данной ячейке 0 скоростного пространства на временном шаге /. Для распространения метода на неоднородный по пространству

случай используется конструкция схем расщепления. Обоснование сходимости этого метода дано в [107].

В начале 80-х годов появился новый подход к построению и обоснованию алгоритмов решения уравнения Больцмана. Он основан на моделировании марковского процесса, который управляется уравнением”

~ 屮(w") +g (w) 9 (w, r) = /屮(3") P (w I 3)d3,〔4.31)

at

g(w) = /P(3 I w)d3,

где d屮Idt 一 полная производная по времени, w = (wj, . . . , w„), 叫=(и/, и/) — фазовые координаты z-й частицы.

Плотность 9(w, Г) описывает эволюцию кинетической системы из 〃 частиц. Функция P(w|uj) имеет следующее представление:

Р(W I з)=

SР⑵(“•，w/I з?・，з/) П 5(心一3女)，

у = 1 /' = / + !Л = 1

k丰L i、

где(吗,吗 I з『,з» полностью определяется эффективным

сечением столкновений частиц.

Однако поскольку физический процесс столкновения двух частиц является локальным в пространстве, то он, естественно, нереализуем точно при моделировании. Поэтому вместо физического используют регуляризованное сечение, ^^paзмaзaннoe^^ по области взаимодействия. Моделирование соотношения (4.31) в силу его полной аналогии с уравнением переноса осуществляется обычным способом. Интегрируя (4.31) по п - 1 переменным и стягивая область взаимодействия в точку, можно получить уравнение Больц* мана дая одночастичной плотности распределения при выполнении дополнительной гипотезы о молекулярном хаосе. Математически строгое обоснование этого метода дано в [47].

Сведения из теории методов Монте-Картодля вычисления интегралов

Здесь будет удобно рассматривать интеграл вида

/=/ f g(xfу)dxdy,

где X, У — конечномерные евклидовы пространства. Функция g(x, у) может быть и обобщенной, например включать множителем дельтач})ункцию. Это означает, что интегри^ювание осуществляется фактически по множеству меньшей размерности, чем размерность множества X X У (см. [28, с. 54]).

(5.1)(5.1)Пусть р (х, у) - плотность вероятности в XX У, причемр (х,у) ^Q на носителе функции g (х, у). Если g (х, у) включает множителем дельта-функцию, то такой же множитель входит и в р (х, у), причем в отношении g (х, у)/р(х, у) он не рассматривается. Тогда справедливо представление

(5.1)

(5.1)

/=J f P(xty)—-~ dx dy=^M —— = Mf, x у p(x,y)P(tT?)

причем вектор (К ") распределен в X X У с плотностью р(х, у), af =^(5,т?)/р(^,п).

(5.2)(5.2)На основе этого представления строится оценка интеграла, вероятностная погрешность которой определясчея соответствующей дисперсией, т.е. величиной

(5.2)

(5.2)

М? = / /—-~7 dxdy ху P (%, У)

В настоящей работе будет неоднократно использоваться так называемый принцип выборки по важности [32, 59].

Лемма 1.5. Определяемая выражением (5.2) величина М{ минимальна и равна

М 扭 s ( / !\g(xty)\dxdy)2 =/(?

тогда и только тогда, когда

P(x/) = lg(x,y) 1//о.

Представим р (х, у) в виде

4(%ynp1 (х)d20 b),

где pi (х) — частная (маргинальная) плотность К Р2& 1%) — условная плотность 1? при условии ^ = х Тогда

dx 代(хJ)dx 代(хJ)X Pl (x) Y P2 01 X)X Pl (x) Y P2 01 X)dy.dy.(53)(53)

dx 代(хJ)

dx 代(хJ)

X Pl (x) Y P2 01 X)

X Pl (x) Y P2 01 X)

dy.

dy.

(53)

(53)

Непосредственно отсюда и из принципа выборки по важности следует

Лемма 1.6. Пусть условная плотность Pt(y \х) задана. Тогда величина MJ*2 минимальна в том “ только том случае, если

J Р2(У1х)J Р2(У1х)]1/2]1/2(5.4)(5.4)

J Р2(У1х)

J Р2(У1х)

]1/2

]1/2

(5.4)

(5.4)

g (х, т?)g (х, т?)Р2 s I %)Р2 s I %)

g (х, т?)

g (х, т?)

Р2 s I %)

Р2 s I %)

Последний интеграл представляет собой средний квадрат оценки

величины

厶=/g(x, y)dy = M

Таким образом, лемма 1.6 показывает, что оптимальный выбор значения & осуществляется из распределения с плотностью, пропорциональной корню квадратному из среднего квадрата соответствующего "вклада” в оценку интеграла. Это правило соответствует принципу Беллмана" [6] и будет неоднократно упоминаться в следующих главах.

Предположим теперь, что вычисляется интеграл

1^И f(x9y)g (х,у)dx dyt

где /(х, у) — плотность совместного распределения случайных величин (векторов) f и т?. Введем обозначения

* = g#,咽 M[f|x] ^ff2(y\x)g(xty)dy,

力(x) = 〃(x,y) dy.

Здесь /i (х) - плотность абсолютного распределения Kf2 s 1%)- плотность условного распределения п при условии $ =х, М[^|х]- условное математическое ожидание случайной величины f при условии g =х.

Простейшим следствием теоремы Фубини о представлении двойного интеграла в виде повторного является известная формула полного математического ожидания. Таким образом, если величи* ну М [f I х] для каждого значения х можно вычислять каким-либо простым способом, то задача сводится к расчету методом Монте- Карло интеграла

Jfi(x)M[^x]dx.

П]ж этом дисперсия оценки уменьшается, т.е.

DM[f|^]<Df;

Это сразу следует из известного соотношения

'Df=MD[f|f] + DM[rif].

Последнее равенство показывает, что дисперсия условного математического ояшдания всегда меньше дисперсии исходной случайной величины.

Иногда целесообразно использовать несколько выборочных значений т? для одного значения 工 Далее изложена точная формулировка и рассмотрена оптимизация такого метода, называемого методом расщепления^ (второй этап выборки расщепляется на несколько независимых частей).

Пусть величина f распределена с плотностью /\ (х); л (^) 一 целое число, определяемое значением ?, w(?) > 1; случайные величины "1, • • • , "MQ независимы и одинаково условно распределе- 42

ны с плотностью Л (у Iх) при условии f =х Метод расщепления

состоит в использовании случайной оценки

11N g(Km). к = IN g(Km). к = I

1

1

N g(Km). к = I

N g(Km). к = I

Пусть q = (r?i, . . . , "〃(w))・ Используя формулу полного мате матического ожидания, получаем

m% = mm &1打=

М[ S g(K"Q%」k = 1М[ S g(K"Q%」k = 1〃⑸〃⑸М( m[门打几⑸I ~^М( m[门打几⑸I ~^

М[ S g(K"Q%」k = 1

М[ S g(K"Q%」k = 1

〃⑸

〃⑸

М( m[门打几⑸I ~^

М( m[门打几⑸I ~^

= MM[f I g] = Mf = / j /(x, y)g(xf y) dx dy,

т.е. & — несмещенная оценка интеграла. Далее,

D匕 = DM [匕 I 打+ MD图 闾=

^DM[ri|] + M {D[f|^]/n(|).

Пусть 11 — среднее время расчета, соответствующее одному выборочному значению 扌；г2 (х) — среднее время расчета, соответствующее одному значению т? при условии | = х Тогда среднее время расчета одного выборочного значения f„ равно

% =厶+m&旧售)厶信)].

Оптимальный вариант метода расщепления определяется функцией «(^), минимизирующей величину Sn = /„Df„. Для' упрощения вьь кладок мы найдем оптимальное и в более простом варианте мето- ца расщепления, предположив, что 〃伐)=const = п. В^этом случае

f宀 1 + 吟7 % =4 +4/%

где?2 = МГ2 (О, 4 = DM [f I 曰 4 二 MD [j | 打.Минимальное значение величины

必=G +*)⑷+4/九)

достигается при

〃 =\//2%/⑷?2).

Величины %, G，4, Л2 можно приближенно оценивать по результатам специальных предварительных расчетов.

Несмещенность и дисперсия методов Монте-Карлодля решения интегральных уравнений второго рода

Рассмотрим интегральное уравнение

屮(х) = J 左(х, х')屮(x')dx' + 力(х),(6.1)

или в операторном виде

9=к9+丸(6.1‘)

где X - конечномерное евклидово пространство, hEL^ (X), К £ [Zoo 今丄8 J. Будем предполагать, что р (X) < 1 и даже р(К\) < 1, где К] — интегральный оператор с ядром | k(x, xf) |. Для построения оценок метода Монте-Карло введем цепь Маркова {х„} (и = 0, . . . , ЛЭ с плотностью перехода р(х：х'), причем величина

р (х) = 1 — / р (х, x')dx'》О.

рассматривается как вероятность обрыва траектории при переходе из х в х\ N — случайный номер последнего состояния цепи. Далее, вводятся веса {Qn} по формулам

и так называемая оценка по столкновениям

N

&二 S 0/($), Хо=Х・ п = О

Лемма 1.7. Если p(KJ < 1. и р(к, х') ¥= 0 при к(х,х9) з(х‘)W0, то

М& =9(х)・

Доказательство. В знакопостоянном случае утверждение леммы легко проверяется с помощью почленного осреднения суммы, выражающей 扌、(см. [32]). Мажорируя величину ^х путем замены к ^\k\,h -^\h\.c учетом условия p(Ki) < 1 получаем соотношение I М与х I V с < °°, которое обеспечивает допустимость используемого дале^ повторного осреднения.

Представим теперь & в виде

& = 4(x) + Qi&_

откуда

M(&|Ki) = %(・v) + QM&「(6.2)

Далее, осредняя это выражение по xt с учетом вероятности 44

обрыва, получаем

M&=G(x) +J4(x,X])M& dxl9

т.е. M厶=з(х),таккакнзр(К1) < 1 очевидно следует,что р(К) < 1. Лемма доказана.

В связи с изучением величины М 匕 вводится интегральный оператор Кр с ядром 必(х, к') /р (х, х') •

Лемма 1.8. Если выполняются условия леммы 1.7 〃 р (Кр) < 1, тоМ&<8 “Ха с

Mg =Л (х) [2屮(х) -厶(х)] + / J」/ М及心'•(6.3)

* Р (% х )

Лемма доказывается по аналогии с леммой 1.7 с помощью повторного осреднения выражения

" = [〃(х)+а&/2.

Можно отметить, что впервые выражение для Mg было пртведе- но в [45].

В следующей лемме условие р(К「) < 1 не используется.

Лемма 1.9. Пусть к(х, х‘)》0,力(х)》0 〃 выполнены уело- вия леммы 1.7. Тогда фунгция Ф(х) = Mg выражается рядом Неймана для (6.3) "・е.

W = S Кр х, л = О

где х = 〃(25一厶).

Доказательство этой леммы дано в [32, с. 155] для более общего знакопеременного случая.

Итерируя (6.3) начиная с 屮？三屮,получаем представление

m — 1

W= S K；x+K；W, W(x) = Mg, n - Q

причем

[^Ф](х) =

= /.../—Г 屮(工也)公1 • ..dXm，(6.4)

P Gm — 1，xm )

где многоточие означает пропуск выражения, связанного со всеми переменными, кроме xm •

Из (6.4) на основе пртшципа выборки по важности получаем необходимое условие оптимальности р(х х‘)в смысле миниму-

ма величины Ф(х):

р (х, х') = с(х) I к (х, х') I W“2 (х‘).(6.5)

Это соотношение, как и лемма 1.6, соответствует принципу Беллмана и будет появляться в дальнейшем. Из (6.5), (6.3) уже можно получить нелинейное уравнение, необходимое для оптимальности р(х, х'). Однако в гл, 3 это будет сделано другим способом, с помощью которого удается разрешить и вопросы существования и достаточности. При к, Л > 0 возможно построе!Ше идеальных значений с нулевой дисперсией и, следовательно； реальных оценок с малой дисперсией (см. гл. 2).

Для решения ряда прикладных задач, например, теории переноса излучения, необходимо оценивать линейные функционалы вида

(<9)= 3*,〃)= /9*(x)%(x)dx,

гдеf £ £1,аз* — решение сопряженного уравнения 屮*=К*屮*+f, в котором / обычно представляет плотность физического -источника (см., например, § 1.3).Напомним,что уравнение

в теории переноса рассматривается как основное, а (6.1) - как сопряженное..

Пусть плотность вероятности 霏⑺ такова, что я(х) # 0 при /(х) 9(х) W 0, и точка х0 распределена с плотностью тг(х). Тогда

/(х0)

«9)= М&

万(X0)0

Нетрудно заметить, что выражение ^ совпадает с выражением стандартной оценки по столкновениям

А Ъ Qnh (%),2о=——,

« = оя(х0)

для величины (</?♦, Л) (см. [32, с. 151]). Легко также заметить, что если

Mg《/ 之 8, f(Х)/7Г (х)《С2 < 8,

то М尸 < 8. Если функция Ф(х) = М& определена, то оптимальная плотность 7г(х) вьхражается формулой

1г(х) = с |/(х) I 屮и? (х).

Поэтому равномерная минимизация функции W(x) (которой в значительной степени посвящена настоящая работа) дает фактически и минимизацию дисперсий оценок линейных функционалов (/,屮)для любой функции / Е £!.

Выше было использовано выражение

Можно отметить, что в [30] впервые было дано сопряженное представление дисперсии оценки линейного функционала:

• D± = ($,/? [2^-/?])-(/；(р)2,

причем

左 2(лг', X) ,,”J前丁3 +左 2(лг', X) ,,”J前丁3 +尸(x)尸(x)开（X）开（X）

左 2(лг', X) ,,”J前丁3 +

左 2(лг', X) ,,”J前丁3 +

尸(x)

尸(x)

开（X）

开（X）

В качестве первого примера использования (6.3) рассмотрим условия конечности дисперсии весового алгоритма моделирования переноса излучения, известного под названием экспоненциального преобразования [28, с. 174]. Этот алгоритм состоит в том, что длина пробега частицы моделируется соответственно фиктивному полному сечению (см. §1.3)

о' = о - ccos»,.

где о — сечение среды, » - угол между направлением пробега и фиксированной осью. Соответствующий длине пробега весовой множитель определяется выражением

左(х, х') qu

丁 = (。一 c cos») exp {-/c cos»},

P(xtx )^1 -p.

где q - физическая вероятность выживания частицы при столкновении, р - моделируемая вероятность обрыва траектории.

Отсюда для случая бесконечной среды имеем

q%21 exp {-/("”)} g(〃)

11= / / — diidl^

1 — Р о 一 1。- c〃

qW ； g (д) du

-p —1/

，Таким образом^ уравнение для критического значения с* имеет вид

qW 1 gpu)咖 ]-р _] а2 - с2д2

Если с < с *, то дисперсии оценок экспоненциального преобразования конечны, в противном случае могут быть бесконечными. Для случая изотропного рассеяния (т.е. при g(〃)三 1/2) уравнение

преобразуется к виду

а? о о/с +1

- jn= 1

1 - p со/с - 1

и при 1 - р = q совпадает с соответствующим характеристическим уравнением проблемы Милна (см. § 2.4). Следовательно, использование при р = 1 - q, g (〃)三 1/2 величины с = 1/L а где £ 一 диффузионная длина (см. § 2.4), не гарантирует конечности дисперсии.

Далее рассмотрим вопрос о трудоемкости алгоритмов блуждания по сферам для решения уравнения Пуассона (см. § 1.4). Нам потребуются следующие понятия: /)' 一 замыкание области D с границей Г; d(P) = min I Р- 2 I; Ге = {РG Dr: d(Р) < е} - еюк-

Q £ г,

рестность границы Г; 5(Р) = {Q^D": \ Q-P\-d{P)} 一 сфера с центром в точке Ро /касающаяся Г.

Приведем теперь формулировку алгоритма блуждания по сферам. Определим цепь Маркова {Р„ } с помощью следующих характеристик:^ (г) = 50 — 耳)—плотность начального распределения (т.е. цепь *,выходит,* из точки Fo);卩(夕丿‘)=“(N) — плотность перехода из г в г\ представляющая собой обобщенную трехмерную плотность равномерного распределения вероятностей на сфере 5(г); р(г) - вероятность обрыва цепи/определяемая выражением

[О, Г^Г€,

Р(「) =

геге.

Эта цепь и называется блужданием по сферам. Ее можно, очевидно, записать следующим образом:

Рп=Рпт+з/(Р*1), 〃 = 1,2,...,

где {з〃} - последовательность независимых -изотропных векторов единичной длины.

Нетрудно увидеть [32, с. 223], что вероятность рх (г) обрыва цепи после очередного перехода равна вероятности непосредственного попадания из точки г в окрестность Ге и удовлетворяет неравенству

Pi &)>"(£)= £2/(4*ах)・

Отсюда получаем, что среднее число переходов т (Ро, е), определяющее среднее время t€ расчетов на ЭВМ, не превосходит значения (с). Для получения более точной оценки можно определить плотность f (г) распределения среднего числа центров сфер S (Р/) вблизи границы, так как интеграл от f(r) расходится, если область интегрирования сходится к D, Из сказанного также ясно, что плотность f(r) достаточно определить вблизи плоской границы.

Обозначим через х расстояние до плоской границы. Из соображений подобия видно, что плотность распределения /(х) среднего числа центров сфер но X с точностью до постоянного множителя должна быть близкой к х"1. Отсюда следует неравенство

■w(Po,e)<c|lne|,

которое уточняется на основе теории восстановления, изучающей свойства последовательностей сумм независимых случайных величин [27,50].

Таким образом, трудоемкость алгоритма блуждания по сферам I In е I

оценивается величиной с— D^e, где |е - е-смещенная оцен-

ка решения задачи (см. [32, с. 235] и § 1.4). Поэтому особенно важным здесь является вопрос о равномерной ограниченности величины D^e при е f 0. Если считать точной полученную выше эврис* тическим путем асимптотику х-1 для плотности среднего числа центров сфер, то вопрос о равномерной ограниченности сразу решается положительно на основе (6.3) (см. [32, с. 236]). Достаточно ясно, что указанная асимптотика имеет место практически всегда, однако она строго обоснована лишь для плоской границы [32]. В связи с этим в [50] дано строгое обоснование ограниченности D& при е f 0 для областей, ограниченных по одной из переменных.

Рассмотрим теперь алгоритм метода Монте-Карло для решения бигармонического уравнения с граничными условиями первого рода в области G CRW с границей Г:

△△〃 = 0, w I г =/； Дм |г =^.

В этом случае соответствующая система интегральных уравнений при % 节 Ге записывается в виде

1

^М = -—г/ A〃(s)ds,

4W s(x°)

(6.7)

1 Г1

w (^о)=- -~/ △〃($)&$+ / u(s)ds .

47rdL 2m Sa。)s(x°) J

Напомним, что здесь dQ - расстояние от точки х0 до границы Г, a S (%) - сфера радиуса d0 с центром вх0-

Решение данной системы можно оценить с помощью векторного алгоритма метода Монте-Карло, который определяется выражением (см. гл. 5)

N

(6.8)(6.8)2 S &〃(•％), ,"=0

(6.8)

(6.8)

4. Г.А. Михайлов

где {х„} - цепь блуждания по сферам, {Qn} - матричные весй: Г 10 一

Со=, Qn^Qn~\ , 2,

ап 0 1— — 1

L 2w

а вектор Я(х„) равен нулю при хп ^ Ге и равен (gOov) Jgv))' при хдг £ 1\ . Дисперсии для такого алгоритма при е > 0 конечны (см. § 5.5).

Используя эвристическим путем полученную асимптотику х~| для среднего числа центров сфер здесь, как и для уравнения Пуассона, нетрудно установить равномерную ограниченность дисперсий при е -> 0; строго этот результат получен в [50] для областей, ограниченных по одной из переменных.

Нетрудно заметить, что соответствующая (6.8) оценка выглядит следующим образом:

где 0* - ближайшая к точке обрыва xN граничная точка.

В случае неоднородного бигармонического уравнения оценку решения можно строить (как указано в § 1.4) на основе представления (4Д4) через функцию Грина иб (х, у), которая в свою очередь представляется в виде

〃б(X, у) = Р(х,у) + W(x J), где V - фундаментальное решение бигармонического уравнения.

Весовые оценки билинейных функционалов

Билинейным функционалом назовем величину

(仍，9广)=/ 91 (х) & (х) f(x) dx,(7.1)

где Г G L^, а функции 力 &),9^(x) удовлетворяют соответственно уравнениям

9G)= / kv(x,y) ^(y)dy^h(x\(7.2)

или '

%=Ki仰+力，(7.2’)

& (x)= / 左2(乂*)&00 力+/(%),(7.3)

или,

屮》=K；wZ+/；(7.3')

причем уравнение (7.2) рассматривается в £<», а уравнение (7.3)- в，1 • Операторы &, К? ограничены в норме £<» и удовлетворяют условиям

р(К])< 1,р(К2)<1・

В приложениях метода Монте-Карло функционалы вида (7.1) возникают при использовании теории возмущений [34, 62]. Для простоты изложения здесь будет рассматриваться представленный в [62] случай, когда к2 (у, х) - субстохастическое ядро, т.е.

%2(Л х)>0，/ ^2(у, X)dx<l,

и /(х) — плотность вероятности. Соответствующее уравнение (7.3) допускает использование прямого моделирования для оценки функционалов вида 3\「), где г SLs.

Оценка прямого моделирования определяется выражением

A Z r(xw), п = О

где {%} •— цепь Маркова с плотностью перехода р(х, х') = =%2 (х, х‘)и начальной плотностью/(х).

Следовательно,

(%,&f) = M%

где N

"=Z Ds(x.)・(7.4)

и «О

Эта оценка прямо не реализуема, так как 屮 i — неизвестное решение уравнения (7.2) • Однако нетрудно понять, исходя из принципа рандомизации [32], что в (7.4) вместо 屮工(xw) можно подставить соответствующую случайную оценку:

N Л m = и + 1 где *{&} - веса, соответствующие уравнению (7.2) и цепи

.七2(X〃 —I，%)

В результате отсюда получаем

NNЛ

(7.5)(7.5)Г= 2 «〃)2弃 MxQ.

(7.5)

(7.5)

и = От = п + 1

Изменяя здесь порядок суммирования^ приходим к выражению

N

fo = S

4*…

Qm^i^m)

乙■‘”.

w =o Qn

Работа [62] посвящена строгому обоснованию соотношения МА =©,&/)

для уравнения (7.2) со знакопеременными элементами. В гл. 5 на основе векторных представлений оценок типа f о будут построены и изучены их весовые модификации, и, в частности, будут выведены простые условия конечности соответствующих дисперсий.

Применения оценок типа 扌。для вычисления возмущений линейных функционалов и групповых констант в теорт!и переноса разработаны в [34, 62]. В [76] даны соответствующие алгоритмы для оценки производных коэффициента использования тепловых нейтронов » в сложной реакторной ячейке, содержащей поглотители в виде цилиндров некоторого радиуса. Коэффициент 8 представим в виде

3 = m〃еm 加).

Здесь г% - точка последнего столкновения нейтрона; i^ - соответствующий номер столкновения, который рассматривается как дополнительная координата фазового пространства; / = 1 соответствует захвату;

(1, i=l,

№9 =

I 0, iWL

Далее выводится алгоритм приближенной оценки производных по радиусу и величине сдвига поглотителя. Для этого используется формула малых возмущений [52]:

3» = -(ФЗо, Ф*) + (Ф8о$,①* ')•(7.6)

Здесь Ф 一 поток нейтронов, Ф* 一 функция ценности (см. § 1.3), ф" = Ф(г, з'), где о>- направление нейтрона после рассеяния в точке г. При изменении радиуса или положения поглотителя в рассматриваемой задаче величина 5% значительно больше величины 5s (для тепловых нейтронов в 10 — 50 раз). Поэтому для приближенной оценки величины 5® можно учитывать лишь первую часть выражения (7.6); оценка, очевидно, улучшится, если в ней 6а заменить на 5%, т.е. использовать формулу

53*-(ФМс,Ф*)・(7.7)

.Одногрупповые корретшрованные расчеты типичной ячейки показали, что погрешность этого приближения не превосходит 10%. Далее сформулированы алгоритмы вычисления требуемых билинейных функционалов вида (7.7).

А л г о р и т м А (производная » по радиусу поглотителя). Интеграл в (7.7), соответствующий увеличению радиуса погло-

тителя на 5г, обозначим через （ • ）бг. Известно, что для оценки величины ”6% I Nt I т можно суммировать величины 5^60^1 厶〃 I - \ где ма - косинус угла между направлением нейтрона и нормалью к поверхности поглотителя в точке kro пересечения. Далее, для статистической оценки величины Ф при этом можно использовать последующую часть той же траектории. Отсюда получаем представление

（Ф5〃・，Ф*）5”М |（2^у）Л（г^,/л）| ,

где суммирование проводится по всем пересечениям данной траектории с поверхностью поглотителя. Для оценки производной достаточно поделить последнее выражение на В г.

Алгоритм Б （производная 3 по величине Я сдвига поглотителя） .Аналогичные рассуждения приводят здесь к формуле

（Ф5/,Ф#）бн = М （S—^-—Эй^,加），

где 〃比 ~ косинус угла между направлением сдвига и нормалью к поверхности поглотителя в точке kro пересечения.

Численные результаты, полученные с использованием алгоритмов А, Б, приведены в [76J..

Вы«мсление.производных от линейных функционалови слабая сходимость функциональных оценок

Предположим, что все элементы интегрального уравнения （6.1） зависят от параметра 入,т.е.

3（х, Х）= J *（х, х',入）9（х： X）dx' +Л（х,入）.（8.1）

Рассмотрим линейный функционал

/（入）н /Г（х,入）9（х，入）我

Уравнение （8.1） рассматривается в Ав, а / £ Ли При определенных в § 1.6 условиях имеет место представление

/（入）=М S 2“入）力（X〃，入） = м^（»（8.2）

л = О

где

%（入）=

ах0,入）

7Г（Хо）

%（Х〃-匕马，入）

……伍）eЗT

{*м} - цепь Маркова с плотностью перехода р(х, х') и начальной плотностью я(х).

Предположим, что выражение (8.2) можно дифференцировать ло 入 под знаком математического ожидания. Тогда

次入）一式 М 乙次入）一式 М 乙din®(入)+ din力(x% 入)din®(入)+ din力(x% 入)ИИ0" （入）力（x〃，入）.0" （入）力（x〃，入）.

次入）一式 М 乙

次入）一式 М 乙

din®(入)+ din力(x% 入)

din®(入)+ din力(x% 入)

И

И

0" （入）力（x〃，入）.

0" （入）力（x〃，入）.

Перестановка операций осреднения и дифференцирования в точке 入=入и здесь возможна, если найдется функция Ф(хп) такая, что

I dln&(入)I dXI dln&(入)I dXd\nh(xn,入)Id\nh(xn,入)I

I dln&(入)

I dX

I dln&(入)

I dX

d\nh(xn,入)I

d\nh(xn,入)I

《屮(xQIQ〃(入o)"(x〃，Xo) I

при 入о - е<入<入+ би

m 2 12"入0)力(*,入0)w(%)|<8. и = О

Заметим/ что последнее соотношение выполняется, например, если Ф(хи)《5, UK】II < 1 (определение оператора Кх дано в § 1.6).

Использование логарифмической производной существенно упрощает построение алгоритмов вычисления производных от линейных функционалов теории переноса. Пусть в какой-то зоне ，к

О системы полное эффективное сечение равно а = S s + at, ；I = 1

f》0 - параметр, tQ = 1. Для простоты будем считать, что функции 〃,/ не зависят от f, причем h (х) = 0 для х G £>, и проводится прямое моделирование при £ = г。= 1. После выбора очередной длины / пробега вес следует домножать на

。& Z)exp {-«£,/)}。&/)

=exp {-Uq&«j])} o(h，/)ехр {-т(%,/)}а (Г о» О

(△/ — длина пути, пройденного частицей в зоне 0, а после выбора i -го типа столкновения вес следует дополнительно домножать на

6G /) /内仇,/)=0仇,0 啾厶0

0(厶2)/。仇")。(九‘)6仇，/)

Следовательно, результирующий вес равен

2(0 =严％хр { -« — 1) E。6 & } ,(8.3)

где суммирование осуществляется по всем пробегам частицы, пт — 54 .

число столкновений типа, соответствующего сечению g. Далее,

din。")din。")=т- Zoo△厶 0(%) = L=т- Zoo△厶 0(%) = L

din。")

din。")

=т- Zoo△厶 0(%) = L

=т- Zoo△厶 0(%) = L

dlndlnДаким образом, в данном случае

dln

dln

=M S (w - S Qo^On A(x〃)・ % w = 0

Это соотношение получено в результате дифференцирования под знаком математического ожидания (т.ё. под знаком интеграла) выражения

/(f) = М S Qn(t)h(xn).

и = О

Такое дифференцирование возможно, если г0 принадлежит интервалу Vi, ^2), в котором

也⑺dt也⑺dt(8・4)(8・4)N

也⑺dt

也⑺dt

(8・4)

(8・4)

&q〃，M S qnh(xn)<^. » -0

В данном случае можно положить ^i = ^о - €, ^2 = ^о + ^ и

qfl =旧(1 +€)л~ 1 +(Sa0^V)(l +e)“] exp {e(Sao^0) •

Предположим, что зона D ограничена. Тогда II /f II < 1, Д/ < с, и если IIК II (1 + е) ехр {ес。。} < Г, то

М Z qnh(xn)< S /г(1 +e)wexp{ necoQ} {К*п fth) ^ и = Ои = О

+ оqс 2 и(1 + е)л exp {weca0} (К*п ft Л)<°°. л = о

Следует отметить, что в § 5.7 будет снято условие ограниченности О (на основе векторного представления суммы из (8.4)) и будет показано, что дисперсия оценки производной в_ теории переноса конечна практически всегда, когда конечна дисперсия оценки функционала, т.е. когда

N

D S Q"入)力&，人)с5 и = О

Нетрудно заметить, что если а0 ^ сечение поглощения, то т = =0 и

din 0")dtdin 0")dt=—2 о。△/.=—2 о。△/.

din 0")dt

din 0")dt

=—2 о。△/.

=—2 о。△/.

Отсюда непосредственно следует, что

с/In Q(“.)doeс/In Q(“.)doe=S д/.=S д/.

с/In Q(“.)doe

с/In Q(“.)doe

=S д/.

=S д/.

Нетрудно проверить, что это выражение справедливо и в случае, когда моделирование осуществляется для % = 0, т.е. для полного сечения, равного os.

Остановимся теперь на специфике вычисления производных при использовании метода максимального сечения (см. § 1.3). В качестве примера рассмотрим алгоритмы вычисления производных по сечениям захвата в различных зонах системы. Такие алгоритмы можно построить, дифференцируя веса, соответствующие изменениям указанных сечений. Ввиду сингулярности индикатрисы 6-рассеяния здесь для введения весов необходимо рассмотреть номер /-го типа столкновения как дополнительную координату фазового пространства. При этом столкновение как состояние моделируемой цепи Маркова вполне определяется после выбора типа физического столкновения' (в данном случае типа 6-рассеяния, рассеяния или захвата) , а плотность столкновений равна 9 二 9(г, з, z), т.е. расслаивается по типам столкновений. Ядро интегрального уравнения переноса для <р(г, з, /) определяется так:

к^；^, f->г, з, 0 =

(8.5)(8.5)内(力 ％&'，〃，『)ехр {-「6,戸)} а(г) /

(8.5)

(8.5)

Здесь w$(z*, 〃，/) - индикатриса f-го типа столкновения (н& = 0 для поглощения).

В интегральном уравнении переноса появляется сумма по значениям координаты /. Пусть в 左・而 зоне меняется сечение захвата 。,)так, что величина Ощах (см. § 1.3) остается неизменной. Тогда в ядре (8.5) меняются только величины

u仰"max - 耍=。产，

соответствующие 6-рассеянию и захвату в ^-й зоне. Следовательно, компенсирующий вес (см. § 1.6) домножается при каждом 6-рассеянии в 左・й зоне на величину

(0тах - *)-叫*)) / (отах -0仪)).

а после поглощения - на величину (。产+ △。尸)/d■

Дифференцируя результативный вес, приходим к выражению к 旷丿

Здесь ，以一число 6-рассеяний в кй зоне; А* - номер зоны, в которой произошел захват нейтрона; 5(J/) символ Кронекера; h (rj) - индикатор захвата в активной зоне.

Рассмотрим теперь вопрос о слабой сходимости функциональной оценки для /(入),который, очевидно, прямо связан со сходимостью случайной функции

у/М{М^ S建)(Х)-/(入)匕入1《入《入2・(8.6)

/ = 1

По теореме 1.1 имеет место слабая сходимость этой функции к некоторой непрерывной гауссовской случайной функции, если выполнено условие

1遍0)/3入1&耳，

причем MG^ < 8.

Вернемся теперь к примеру, в котором 入=Г имеет смысл коэффициента при некотором сечении о(> в определенной зоне D системы и осуществляется прямое моделирование процесса переноса. Пусть 1-€1<^<1+е2. Тогда

3^(0м

「 & 2 %Ю(8・7)

atи,=о

причем в общем случае можно положить

qn ^ [mQ +е2)и~1 +(SaoAO(l +е2)и] ехр {々(Е% △/)} •

Таким образом, теорема 1.Г здесь прт(менима, если выполняется условие

N

М[ 2 qnh(xn)]2 <оо.(8.8)

Предположим, что зона D ограничена. Тогда

Qn «с〃(1 +£2)" exp {e^Sao AZ)} = cnQ^\

Весовой множитель。£°)соответствует ядру

%(°)(х, х') = %(х, х')(1 +£2) exp{ei а0Д/}, где к (х, х') — моделируемое субстохастическое ядро уравнения переноса. В соответствии с леммой 1.8 условие (8.8) вьшолняется, если р(^0) )<1, где ^0) -оператор с ядром

М°)2(х, х'),

— =^(x,x )(1 +勺)exp{2ei%A/}. (8.9)

k(xt x )

Отсюда видно, что наиболее простая оценка получается при €1 = 0, т.е. когда моделирование осуществляется для наименьше-

го значения варьируемого сечения. В этом случае имеем

р(^0>)<Р(^)(1+е2)2.(8.10)

Как уже было указано выше, условие ограниченности £> здесь можно снять, используя результаты § 5.7.

Заметим также, что полученные результаты легко распространяются на случай непрямого моделирования, в котором р(х, х') W k(xf х). Для этого достаточно в сумму из (8.7) ввести дополнительные веса вида

Соответствующий дополнительный весовой множитель появится и в (8.9), а правая часть неравенства (8.10) до множится на величину sur 卜(х, х)/р (х, х*)].

Например, если моделируется цепь без обрыва, то

sup П(х,х')/р(х, х')] = sup q(x),

Х,ХX

где q (х) — вероятность обрыва траектории при переходе изхв х.

Если а0 — сечение поглощения, то, как было отмечено выше, в (8.3) имеем 從三 0, и условие (8.10) принимает вид

р(К”&р(К),

т.е. в случае е】=0 излучаемая слабая сходимость всегда имеет место.

Заметим, что рассмотренная выше слабая сходимость означает, что любые непрерывные в метрике пространства С функционалы of I (см. § 1.2) оцениваются со среднеквадратичной погрешностью порядка “Г?； в частности, это относится и к функционалу, представляющему собой максимум функции /(X)' на заданном ограниченном интервале значений 入.

Глава 2ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ О РЕШЕНИЙ

Эта глава посвящена моделированию по ценности, которое строится на основе использования априорной информации о решении данного интегрального уравнения. Дано краткое доказательство теоремы об идеальных оценках с нулевой дисперсией и построены функции ценности, оптимальные по среднеквадратично му критерию для одновременного решения уравнений с различными свободными элементами. Построена оценка дасперсии алгоритма, соответствующего приближённой функции ценное™, и разработано использование асимптотических решений теории переноса в рамках метода Монте-Карло. Эти результаты обладают определенной степенью новизны и более точны по сравнению с приведенными в [32, 55]; кроме того, несколько изменен стиль изложения - в качестве основной задачи здесь рассматривается вычисление'решения уравнения, которое по отношению к интегральным уравнениям теории переноса имеет сопряженный вид (см. § 1.6).

Моделирование по ценносш

Далее рассматривается теорема об идеальных оценках по столкновениям 1Х (см. § 1.6) и поглощениям »х = 0лгк(х%) [32, с. 156].

Теорема 2.1. Пусть р(К) V 1 〃 左(х, х), Л(х) > 0. Тогда: а) если р(х, х') = к(х, х') ip(xf)/[K^](x), то

М&”(х), D& = 0;

есаи р(х,х°) = к(х,х‘)屮(х，)1 屮(х), то

М% = 9(х)， D& = 0・

Доказательство. Проведем его только для случая а), так как для случая б) оно аналогично. Легко проверить (см. §1.6), что для случая а) выполняется равенство 屮？ = х + Кр屮',где X =力(2屮 -Л). Поэтому, итерируя уравнение W = х + Кр* начиная с * = получаем соотношение

，二 2 Kjx + K；d.

Далее,

【Крз](х) ^(х0)-Л(х0)?<P(xl)-h(xl)

= /.. /左(X,/) - 必占》2)——- …

9(占)3a2)

5(x〃-i)-〃(“i),

…左(X〃一1，/) "(xQdxidx?. •・d%《

9(x〃)

& c\\Kn^\\ 今 0,

Таким образом,

d =玄.К； х, х = Л(2^-Л), и =0

и в силу изложенного в § 1.6 теорема доказана.

Приведенное доказательство является, по-видамому, наиболее простым при условии р(К) < 1. Заметим, что в [61] дано более общее доказательство, в котором используется лишь сходамость ряда Неймана для данной Л(х). Это доказательство связано с использованием условных математических ожиданий вида

或=М(& I/,..・，/)= £ 以〃(4)+0〃9(&)・

Построение идеальной оценки на основе теоремы 2.1 можно назвать идеальным моделированием по ценносш. Оно эквивалентно моделированию элементарных переходов (см. § 1.6) с учетом функций ценностей соответствующих состояний траектории (см. § 1.3). Реальные" алгоритмы, которые строятся по аналогии с идеальным моделированием на основе какого-либо приближения к решению, называются моделированием по ценности (см. [32]).

Рассмотрим теперь моделирование по ценности для случая, когда по одному набору траекторий одновременно оцениваются решения многих уравнений, различающихся только свободными элементами, т.е. уравнений

屮尸К屮J%o£S.

Введем некоторую вероятностную меру А на S. В качестве крите- 1жя оптимальности алгоритмов моделирования рассмотрим ве и- чину средней дисперсии, т.е.

d£)(x)=/D&9) A(do) для оценки по столкновениям и d£)(x) = /D%(。) Л (do) для оценки по поглощениям).

Теорема 22 Пусть pg < 1 “ к® х'), %(х) > 0 для любого а Тогда величина Од1^ (х) минимальна и выражается формулой

Эд0*^) = ^(х)-/^(х) Л (da),

если р (х, х) = k(xr х')9о (xf)/\KipQ] (х) ; здесь 屮。есть решение уравнения

屮 0 =Kw +力()，

где

% = UX A (do)产.

Теорема доказывается путем непосредственного осреднения величины т?^ (а) по мере Л (см. [32]).

Т е о р е ,м а 2.3, Пусть \\К\\ = q < 1 〃 ％ (х, х'), h0(x)》0. Тогда величина D，°)(х) минимальна и выражается формулой

D，' * (%) = 9； (%)-加沁)А @о),

если р(х, х) = к(х9 х')51 (x')/“3i] (х)； зОесь 屮^ есть решение уравнения

S =[(К ⑦)2 +/]叱(1.1)

где 代二/%(2屮。-%。)A(do).

Доказательства. Осредняя ряд Неймана для М^^(о) (см. лемму 1.9), получаем, что величина f M^(a)A (da) представляется рядом Неймана для уравнения

W = p； +КрЗ・(1.2)

Далее, уравнение

0；=力1(2⑵一瓦)

подстановкой "* =屮】—Кб сводится к уравнению (1.1), существование и единственность решения которого следует из леммы 1.2. Следовательно, (1.2) можно рассматривать как уравнение для М^, соответстаующее уравнению 力 =К屮 i + 比.На основе теоремы 2.1 можно утверждать, что теорема доказана.

Установим теперь соотношение между минимальными значениями величин d£)(х) и D?)(х). Используя неравенство Буняковс- кого и теорему Фу бини, получаем

/M^(o)A(do) =

=/М [ S 0〃 ％ ho(xn) h0 (%)] A(do)= и, m = О

N

=м S Qn Qm fho(xtl) 3(%) A (da)《 n, WI=O

《2❷。切友(/) = M^・

九m = о

Следовательно, по теореме 2.1 при р(х, х) = к(х, х')9о(х')/ / [Кзо] (х) выполняется неравенство

D俨(х) & 就(х) - /%(х)、А(da)= d\°* (x) и тем более

D”(x)《D?)*(x).

Последнее неравенство показывает некоторое преимущество оценки 厶 перед оценкой % в случае, когда одновременно решает- ся' несколько уравнений вида ⑴。=Kg。+ %• Это преимущество связано с тем, что в оценке 厶 более равномерно используется информация о значениях ho (х), получаемая на траектории { х〃 }. Реальное преимущество ^ перед 厶 было выявлено при решении задач атмосферной оптики [77]. Заметим, что некоторое теоретическое обоснование преимущества ^ перед рядом других возможных несмещенных оценок дано в § 5.7.

Сделаем еще одно важное замечание о смысле результатов, полученных в настоящем параграфе. Формулировки теорем 2.2, 2.3 показьшают, что оптимальные функции ценности в точности совпадают с по л учимыми в результате их использования величинами U MW；, (о) A (do)] "2 и [jMi?^. (a)A(Ja)]l/2. То же самое .можно сказать и о теореме 1.1, так как для нее 守？住)=M^J. Таким образом, и здесь реализуется проявившийся в лемме 1.6 основной принцип оптимального моделирования, состоящий в том, что очередной переход в моделируемой цепи осуществляется с учетом функции ценности., равной среднеквадратичному значению соотв етствующего вклада в опенку; этот принцип будет особенно эффективно использован в гл. 3. Как было указано в § 1.6, он соответствует принципу Беллмана, лежащему в основа динамического программирования [6].

Весовые оценки по пробегу в теории переноса

Решение задач теории переноса иногда осуществляется с помощью так называемой оценки по пробегу, для построения которой используются функции вида hg,厶？+]), т.е. вклад в оценку после очередного перехода определяется новой и предыдущей пространственными точками в цепи столкновений [32. 56, 91]. В

качестве исходной модели здесь будем рассматривать физическую цепь столкновений

{х〃 =(%，з〃)} 〃=0丄…，№ =х = (，，з), и функцию h (г,，') такую, что выполняется условие несмещенности г

/「Мб。), . £)= 2 h(rntrn^) Vx, 〃 =о ,

где 1Х — требуемая величина (для простоты изложения рассматривается односкоростной случаи).

Например, если h(rn9 rn +i) представляет собой длину той части отрезка 卜八，％ + i ], которая лежит в области Z>, то 厶 равно полному потоку частиц в Dot единичного источника столкновений в точке х. Фазовую точку вылета частицы из физического источника будем рассматривать как начальное столкновение с дельта-рассеянием в специальной области фазового пространства, т.е. х。G DQ,

Соответственно приведенному выше примеру оценки потока частиц будем полагать

а/г)

4=/ Ws(33‘：r)力*(г, 3‘)d3‘，(2.1)

где w$ - индикатриса рассеяния, а Ф*(г, з) - ценность частицы, стартующей из точки г в направлении з‘，т.е. решение соответствующего сопряженного интегродифференциального уравнения переноса (см. § 1.3). Для простоты изложения рассмотрим односкоростной случай.

Целью настоящего параграфа является построение и исследова* ние весовых модафикаций оценок по пробегу. Такие модификации строились и в [38], однако предлагаемый здесь способ является более естественным, дает более удобные оценки, а также позволяет провести анализ и минимизацию их дисперсий.Заметим, что, по существу, предполагаемая здесь модификация впервые была ис・ пользована в [40].

Вместо цепи {x„} w = Oj ^ рассмотрим эквивалентную ей цепь {寸м + 1 = (х%, %〃 +1)} w=o,i,... в фазовом пространстве Г точек У к (х, х'). Очевидно, что переходная плотность для новой цели определяется следующим образом:

航 3，У；)=左("х；) 3(X1 -х'),(2.2)

где к(х\ xj) - переходная плотность для цепи {х„} (см. § 1.3).

На основе (2.2) стандартным способом строится весовая модификация оценки j，°) при условии, что моделируемая переход-

ная плотность p(yt 乃)также содержит множитель 3(修一工'), который в отношении к* (у, У\)!р\(У,%) можно сократить; обоснование такой, вообще говоря, формальной операции дано в § 1.6. Из (2.2) получаем, что весовые множители здесь выражаются формулой

储仇，左+1)=左(/，%+i)

Р必％+1)Р(/，/ +1)

Поэтому для построенной таким образом весовой оценки по пробе- ГУ

0= 2 。丿％)，Л1 =(х*1，х〃)，(2.3)

веса 0〃 совпадают с весами, которые строятся при реализации стандартной оценки по столкновениям.

Заметим, что в [38] весовая модификация оценки по пробегу строилась с помощью специального осреднения оценки по столкновениям, что дает менее удобною оценку, чем (2.3), и в теоретическом, и в практическом аспектах.

Поскольку (2.3) представляет собой весовую оценку по столкновениям для ядра (2.2) в новом фазовом пространстве К то на нее распространяется теорема 2.1 об идеальном моделирЬвании по ценности, причем функция ценности 屮】(у) удовлетворяет уравнению

О(X)= / 七 0'，J'') 91 0г) ^' +Л(7).(2.4)

у

Заметим, что пол ученный. таки м образом факт существования весовой оценки по пробегу с нулевой дисперсией был установлен в [58]. Получим теперь представление величины 9】(у) через, значения h и 1Х.

Очевидно, что безвесовая оценка по столкновениям 扌』 ，где у = (х, х'}, для уравнения (2.4) совпадает с ^^ при условии, что % =Г И = г . Поэтому

仍&) = М号)=м6У I大=几 后=c="(，"')十&

Таким образом, если среда имеет небольшой оптический размер или невелика вероятность выживания частицы при столкновении, то удовлетворительным является приближение 9i (у)弋〃(夕,歹')， Предположим, например, что для среды такого типа необходимо 64

оценить полные потоки частиц в заданных подобластях некоторого разбиения основной области. Тогда, если в качестве критерия оптимальности алгоритма рассматривать сумму дисперсий оценок, то длину пробега частицы целесообразно выбрать из распределения с плотностью clo(r(l)) ехр{-т(/)} (см. [77]), в то время как физическое распределение имеет плотность о(г (/)) ехр {—т(/)} . Отсюда при выполнении некоторых условий симметрии указанная плотность может быть практически оптимальной и по минимаксному кретирию (см. гл. 4).

Рассмотрим теперь уравнение для функции 屮(у) = М§ (см.

^1 0, Ji)

^О) = ХО)+ / —;屮 &i)dyi,

у PiO»)

или

w = x +《？屮.

,好8%)=sup / 7办]=,好8%)=sup / 7办]=I鳳)I鳳)Вследствие (2.2) имеем

,好8%)

=sup / 7办]=

,好8%)

=sup / 7办]=

I鳳)

I鳳)

火(x\x；)

=sup / ;一— dx[ = II勺 II ,

где Кр - оператор, определяющий средний квадрат стандартной весовой оценки по столкновениям для ядра 左(х, х')・ Аналогично вычисляются нормы степеней оператора/С^1^. Поэтому выполняется равенство1

р(К『) = р(К/

Таким образом, если р(Кр) < 1, ЛЕ L» (например,в задаче об оценке полного потока среда ограничена), то DJX < <». В § 5.7 на основе теории векторных алгоритмов будет показано, что условие 〃 W 丄8 здесь можно заменить на более слабое: || К；")|| < 8, где К?)一 оператор с ядром М (/, R ) к2 (х\ х； )/р(х\ х；).

Оценка величины D&для моделирования по ценности

Далее будут рассматриваться переходные плотности вида p(xtxf) = r(xfxf) [1 -р(х)],р(х)《6р,

причем

(3.1)65(3.1)65k(xtx) g(xf)

(3.1)

65

(3.1)

65

гX )=,

[Kg](x)

5. Г.А. Михайлов

где

g(x)=c[l +е(х)]9(х),le(x)|<5,(3.2)

т.е. функция g(x) в определенном смысле близка к ^ (х). Предполагается, что p(K) < 1 и к(хг х'), Л(х) > 0. Если 5 = 6р = 0, то в силу теоремы 2.1 Dfx = 0. Далее будет получена оценка величины D^k для заданных достаточно малых 6, 6р. В (3.2) положим с = 1, так как эта постоянная не влияет на (3.1).、

Сначала рассмотрим случай р (х)三 0. Функцию g формально можно представить как решение уравнения

g = Kg + %,%=g — Kg.

Поэтому для цепи { х„} с переходной плотностью (3.1) выполняется соотношение

峻)=0,

где 白)=2 Qnh (х^.%=0

Соответствующее обобщение теоремы 2.1 для знакопеременной й установлено в [13] (см. также § 3.5). Воспользуемся последним соотношением для выделения главной части из оценки ^:

у/+喫，

^о)= s。"也(x”)-g(/) + (Kg)(xJ, н = 0

причем

Далее,

力0 =h -g +Kg = K(ё9)一定9.

Поэтому

|Ло(х)| <е06,”£)丨《“此？)，(3.3)

где ^о = S 以儿(匕)，Л1 (X)= 1. и = 0

Для получения оценки величины DW^ теперь достаточно показать, что норма функции 屮(х) = М^1^ 2 ограничена. Согласно лемме 1.9, функция W выражается рядом Неймана:

W= S К；х, Х = Л1 (2^ -ЛО, if =0

где 9i = К屮* + Л, а ядро оператора Кг определяется формулой R(x,x') “、【Kg](x)

"x,x)g(x )

二 9(x)-〃a)+ [K(ew)](x)

口 +e(x')]5(x')

Осуществим под знаком интеграла, выражающего К：х, сдвиг числителей 屮一h + К (ср) влево так же, как при доказательстве теоремы 2.1. В результате получим произведение дробей вида

5(х')-%(х')+К(£9)](х') _ ,

2(%,х)=；； 七(х,х),

[1 +е@)]屮(х )

причем

,9(x') + b9(x'),1+3,

|0®x)|《g「、'上 ％®x')=—七(x,x')・

(1 -6)^(xr)1-3

Следовательно, если выполняется условие 1+3 f P(K)V1,(3.4)

то ряд Неймана для Ф сходатся. Тем самым || Ф || < 8, и с учетом (3.3) полуадм

D& = Dd°《c"2.

Пусть теперь p(x„_!)^ 0 для л < w и р (х„ _ J < 6р для п > т. Поскольку при возрастании р(х) величина DW* не убывает (см. § 1.6), то далее будем полагать, что p(x〃_i) = 6р для п > т. Оценку по столкновениям, соответствующую р(х) = %, т.е. переходной плотности г (х, х')(1 - 5р), будем обозначать символом т?), а оператор в уравнении для M^J" 2 - символом^.

Представим Df^ в виде

D& = DM& I/,％)+MD(& I %,…,％)・(3.5)

Очевидно, что

DMGJx。，，工他)《G”.(3.6)

Поскольку

&= S Qnh{xn)^Q^(3.7)

"二0м

MD (厶 I %, • •., %)《И К】II II D 扌？)H •(3.8)

Далее,

D日)=M言y" 一炉8《Ме一 "(X)+

+ М^р)2-М兑《仃产+dp.

причем

dp = || S [1 一(1-6p))K£xll《ll 2 nbpK^xt м =0л = 0

(3.9)(3.9)(3.10)(3.10)Таким образом, при выполнении условия 1 +6 р(К) < 1 (1-6)(1-“)

(3.9)

(3.9)

(3.10)

(3.10)

имеет место оценка dp《с；6р и D型《с户+ с?%.

Используя соотношения (3.5), (3.6), (3.8), (3.10) и оценку IIXw II <epw (/Г),получаем

D& & 仃辟 + c2 3P p(К)D& & 仃辟 + c2 3P p(К)(ЗЛ1)(ЗЛ1)

D& & 仃辟 + c2 3P p(К)

D& & 仃辟 + c2 3P p(К)

(ЗЛ1)

(ЗЛ1)

при вьшолнении условия (3.9). Оценка (3.11) более точна по сравнению с результатами работы [63]; это уточнение является следствием использования вьзделения главной части, т.е. перехода к 与； . Заметим, что более точная (в смысле определенности постоянных) оценка D&* получена в [92].

Рассмотрим теперь вопрос о поведении npi 5fo величины трудоемкости S = f DW*, где Г — среднее время ЭВМ, требующееся для построения реализации 匕.При т 11п52 | имеем

S 〜62(|1пб |+сб£1)〜62 ! In 6-|.

/

Следует отметить, что в [63] такой же порядок малости S был получен при дополнительном условии 6р~Л. Отсюда видно, что величину т целесообразно связывать логарифмической зависимостью с погрешностью приближения 屮.

Покажем теперь, как можно использовать полученные оценки в'знакопеременном случае. Дпя этого рассмотрим вспомогательное 68

уравнение

9i(х) = / |%(x“)|9i(x')dx，+ |%(x) I,

интегральный оператор которого обозначим через &. Пусть

р(х,х')二р(х,х')二1Мк ¥) |g(x')[K|g](x)1Мк ¥) |g(x')[K|g](x)

р(х,х')二

р(х,х')二

1Мк ¥) |g(x')[K|g](x)

1Мк ¥) |g(x')[K|g](x)

或)二欧)%3 р(х, х )

N

裁二s 001心〃)1,

л = 0

广 2 QnhM л = 0

Тогда

MR・”(x), | & I & Y? M氐《MK。？

b& &Q与e)+ dа)-公⑺.

Для оценки величины D^ j°^ при g = (1 + e)(pi можно применить неравенство (3.11). Соответствующий алгоритм целесообразно использовать, если знакопеременность несущественна в среднем, т.е.屮1 (х) х I и(х) I.

Использование асимптотического решенияодноскоростногр уравнения переноса

Пусть полупространство z》0 трехмерного пространства запол* нено однородным веществом, поглощающим и рассеивающим частицы. Направление движения частицы определяется величи* ной 〃 косинуса угла с осью z. Заданы: I — средняя длина свободного пробега; q < 1 — вероятность выживания частицы при столкновении; w(〃, 〃') - функция, описывающая рассеяние, такая, что

1

wi^^y^w^, д),/ w(〃,“)d〃' = 1.

Оператор К определяется соотношением (см、§ 1.3) [K%](z, д)=

/|〃1 0 I /1д1 丿-х

у /w(0,|T)/z(z, 〃')d/A 〃 = 0,&1)

—J exp;—}dz' / w(〃, 〃')/?(?'. j/)d", д >0,

где z > 0, —1 < д < 1.

Пусть, далее, функция g(z, 〃)при — 8 < z V 8 удовлетворяет однородному уравнению g 二 Kig, где К〔 определяется выражением (4.1), если для д < 0 интегрировать в пределах от — «> до z. Известно [26], что можно положить

g(z, д) = ехр{-2/Л}д(д),

где длина диффузии 丄〉/ и функция 〃(〃) удовлетворяют уравнению/

(“В +“〃(")= 4 i ^^l)a{^}dii,.(4.2)

В дальнейшем мы будем предполагать, что

0<М &心)《М2 <8.

Это, в частности, выполняется, если аналогичному условию удовлетворяет функция w(p, 〃').

Рассмотрим задачу определения вероятности вылета частицы, стартующей в точке (z, д.) из полупространства z》0. Эта вероятность равна 屮(z, а), если

exp{-z/ I д I),〃 < 0,

〃(z, д)=

10,“》0.

Непосредственно из определений К, Х.ьg，//.следует, что

[Kg](z, 〃) = [Eg]亿 “)-〃(z, 〃)g(0. д)=

= g(z, д)-力(z, 〃)〃(〃)•(4.3)

Следовательно, Kg/g < 1. Сравнивая (4.3) с уравнением 夕= =Kg + h9 получаем также

g 二 &9, Mi < a(z, д) & М2 ・

Отсюда, полагая 0 G 2/(% + Л/2), имеем

cg = (l+£)9,|e(z,〃)l《(M2 -"|)/(“2 +MJ(4.4)

Заметим,что для изотропного рассеяния,т.е. npi w(“,从')=1/2,

q(〃) = (1 Яд/!)'1, (№-Mi)/("2+Mi) = 〃L

Получим теперь специальную оценку величины D^ с учетом соотношения Kg /g & 1, а также (4.3), (4.4). Используя указанный в § 2.3 сдвиг числителей под знаком интеграла, нетрудно убедиться, что здесь

[К1；%]^)^ c^Kg^xn^hKx)^ с^

Поэтому

D & £ “2&)・

Таким же образом на основе (3.7) получаем

М D(?x \xQi...,xfH) & 5屮(％)4用

при условии q( 1 — 3〃尸 < 1.

Следовательно,

D& & 9(х)[су(х) + cxqmY

Если число т столкновений без поглощения здесь выбрать равным I In 守 / Inq I, то

D& & 0М(х).

Таким образом, получена оценка относительной вероятностной погрешности, не зависящая от величины 屮 при объеме вычислительной работы порядка 11 п 9 I. Для прямого моделирования такую оценку обесценивает объем работы, пропорххиональный величине \j^.一

Сделаем несколько замечаний о практической реализации изучаемого алгоритма. Выражение

乂z, 〃，z〔〃')g(z',“)=

^^'(^li^a^yk^, “, z')exp {-z'/L}

показывает, что длину свободного пробега надо моделировать, как при экспоненциальном преобразовании с параметром 1/L , без вы-

лета (см. § 1.6). Рассеяние моделируется соответственно функции w(〃，〃')〃(〃')，интеграл от которой можно вычислить из (4.2), если L, 〃(〃)оценены достаточно точно. При q, близких к единице, можно воспользоваться транспортным приближением, т.е. использовать L, 〃(“)，соответствующие изотропному рассеянию с эффективным значением средней длины свободного пробега

/

А = ;~;,

где 〃 - средний косинус угла между направлениями до и после рассеяния [26].

Достаточно ясно, что полученные выводы об эффективности рассматриваемого алгоритма непосредственно переносятся на случаи, когда необходимо оценивать вероятность прохождения <^i(z0,M) через плоский слой вещества 0 & z & z' Истицы, стартующей с правой границы в направлении, для которого 〃 < 0. Дело в том, что средние квадраты оценок по столкновениям: i — для конечного слоя и ? — для полубесконечного слоя — связаны соотношением М阡《М尸(см. [92]), a^i (z,〃)/w(z, 〃)f cnpnz — g (см. [26]). Неравенство М^；《М^? выполняется, так как при моделировании вылета вправо П & К а немоделирование вылета только уменьшает величину М 儲.

В построенном алгоритме основную трудность представляет собой моделирование д соответственно плотности

/(館)二 c^ix^^a^'Y

так как метод исключения [32, с. 22] здесь малоэффективен вследствие сильной вытянутости индикатрисы рассеяния. Однако если плотности w(〃，〃')и а(〃')имеют явно выраженные разделенные максимумы, то может быть удовлетворительным (за исключением некоторой окрестности точки 以=-1) приближение вида

/(“)* р(“)w(〃,〃')+[1 -「(〃)]〃(“)(4.5)

которое легко распространяется и на случай трехмерной системы.

Если плотности w(〃，〃')и 〃(从')вне достаточно узких областей максимумов аппроксимируются постоянными, то (4.5) можно получить из представления

wi^n^ai^)弋 а(^)\^(ц9 ц) + w(n, ^)а(ц )ч(4.6)

где 〃3 〃； — точки максимумов соответственно функций 72

w(小〃，)，Q(“)・ В [42] такое приближение было успешно апро- воровано на примере моделирования переноса излучения через слой морской воды, причем для Q (〃 ) использовалось транспортное пр<бпижение и соответствующая представлению (4.6) функция р(〃о) выражалась формулой

Р(〃)= 4卜1 +2м/(д, -1)^1 +^2)] ，(4・7)

где о】=/” 一 полное транспортное сечение (коэффициент ослабления) ,qi — транспортное значение коэффициента выживания кванта при столкновении,丄一соответствующая транспортному приближению диффузионная длина (см., например, [26]). Транспортное приближение здесь удовлетворительно, так как индикатриса рассеяния морской воды имеет весьма существенный максимум для направлений рассеяния вперед и не слишком сильно меняется в остальной области определения.

Заметим, что задача оптимизации выбора функции р(〃)из (4.5) была точно решена в [93] с помощью методики, изложенной в гл. 3. Представленные в [93] численные эксперименты подтвердили высокую эффективность приближения (4.7) в условиях примера из работы [42] (см. также §3.5).

Можно также отметить, что результаты гл. 3 позволяют определять оптимальное значение параметра L экспоненциального множителя в асимптотическом выражении функции ценности для заданного способа моделирования д, который здесь определяется функцией р(д). В работе [25] с помощью численного моделирования было показано, что использование оптимального значения L имеет большое значение, а именно даже 口理 небольших отличиях используемого значения L от оптимального получались существенно заниженные оценки результатов. Отметим, что в [93] была также решена более сложная и практически важная задача согласованной оптимизации L и р(“)(см. § 3.5).

В заключение параграфа заметим, что полученные здесь результаты непосредственно распространяются на случай, когда вероятность вылета оценивается путем суммирования весов вылетающих частиц. При этом, например, для полубесконечного слоя (z > 0) используется функция

h(z, д)=h(z, д)=О,z > О,

h(z, д)=

h(z, д)=

z & 0.

Напомним, что вне слоя вещества, т.е. при z & 0, располагается фиктивный поглотитель с о = %〉0 (см. § 1.3), в котором

73

процесс переноса не модифицируется. Используя сопряженное представление среднего квадрата оценки по столкновениям (см. § 1.6), нетрудно получить, что с точностью до постоянного множителя асимптотика дисперсий для- двух рассмотренных вариантов функции h одинакова и для случая прямого моделирования.

Изложенное в настоящей главе показывает, что эффективное использование приближенных решений в качестве функций ценности для модификации статистического моделирования в основа ном ограничивается сферой применения асимптотических- решений. Можно отметить, что ко времени написания настоящей моно- храфии такие модификации были разработаны лишь для решения стационарньЕС задач теории переноса и, таким образом, остался открытым вопрос о возможности использования асимптотик для улучшения методов Монге-Карло при решении нестационарных задач, нелинейного уравнения Больцмана, задач стохастической теории управления и др.

Глава 3

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИСТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯРЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ГОДА

Построены и исследованы нелинейные уравнения, определяющие характеристики цепи Маркова, которая дает наименьшую дисперсию оценок решения, если оптимизируется только часть перехода (например, только распределение длины пробега). Одаовре- менно получены оценки соответствующей дисперсии. Для оптимизации полного перехода построено нелинейное уравнение, единственным решением которого в знакопостоянном случае является стандартная функция ценности. Построена асимптотическая оптимизация моделирования пробега и углсв рассеяния 口理 решении задач теории переноса излучения.

Постановка задачи

Рассматривается интегральное уравнение второго рода

9(х)= /左(х, х')9(х')4л：'+〃&), х, х“£Х, ,(1.1)

или в операторном виде

屮=К@ + h,(1.Г)

где X - «-мерное евклидово пространство; К G [Z^];

% £ L 8 • Настоящая глава ориентирована в основном на приложения в теории переноса излучения; поэтому вначале для сокращения рассуждений предположим, лго ядро k(x,xf) является субстохастическим, т.е.

左(х, х') > О, J к(х, x')dx'《1.

Более того, будем предполагать, что

f k(xt x')dxf & J < 1.

Рассмотрим теперь однородную цепь Маркова х0 = х,勺，••・，к% с субстохастической переходной плотностыор(х -> хг) = р(х,х‘).

75

Здесь N - случайная длина цепи, обрывающейся при переходе из точки х с вероятностью р(х) = 1 — f р(х, xr.)dxf Если

p^ctxf) НО при 々(х, х')屮(х‘)# 0,(1.2)

то (см.,например, § 1.6)屮(％) = М^х, где

&= 2 Qnh(xn)9 0о = 1,。宀一乎

匕=0Р\хп— 1 » хп )

а величина М^ выражается рядом Неймана для уравнения (см. § 1.6):

Mg = %(х)[2з(х) _%(х)] + / ——:~- Mg，dx‘ ・(1.3)

х Р(х, "J

Заметим, что это уравнение представляет собой формулу полного математического ожидания относительно 与^ = [h (х) + Qi & J ? • Известно (см. § 2.1), что если р(х, х!) = к(х, х9.)ф(х,)[[К^](х), то М咏=广(х) (т.е. D & = 0) •

Напомним, что уравнение (1.1) в терминологии стандартной теорш методов Монте-Карло является Сопряженным (см., например, [32, гл. 3]). Методом Монте-Карло обычно оценивают функционалы вида (力屮)=f f(x)(p(x)dx9 где /(x) — некоторая

плотность вероятностей. Если начальную точку х0 траектории цепи Маркова выбрать из распределения с плотностью / (х), то

(工屮)=М^(х0) = М(М?Хй),

M(Mg。)= ff(x)M^dx.

Таким образом, минилшзация функции М^ прямо связана с минимизацией дисперсий оценок указанных линейных функционалов. Заметим также, что разработанная далее методика уменьшения М^ почти прямо переносится на случай использования так называемой оценки по поглощениям, которая имеет вид 2n%(xn)/p(Xn) . Однако практически используются в основном оценки по физическим поглощениям (или вылетам из системы) ,которые естественным образом представляются в виде оценки по столкновениям К с помощью введения специальных поглощающих состояний. Поэтому рассматриваемая схема является достаточно общей.

Предположим, что переход к — х реализуется последовательным выбором двух определенных компонент вектора х9 = =(х⑴，х ⑴ *), т.е.

X X = X у X t у = (х^1^, х^).

Соответственно этому будем считать, что

%(х, х‘)= f кi(xfy)k2(yix,)dyf

х

р(х,х')= /pi(x」)P2(y,x')dy, х

причем обобщенные плотности *“》содержат множитель 5 (у ⑵- 一 х^ ), a k2t Р2 — множитель 3(x(D‘ — у(D).

Например, при моделировании переноса излучения в качестве х⑴ можно рассматривать скорость, ав качестве х^ — пространственные коорданаты частицы. Пр! таком описании перехода интегралы по у и х‘ представляют собой фактически интегралы соответственно тюх⑴'и х^ * (возможность повторного интегрирования здесь обеспечивается измеримостью и неотрицательностью рассматриваемых функций).

Введенная схема интегрирования делает более компактными и ясными последующие выкладки и обозначения. Кроме того, она позволяет непосредственно обобщить полученные выводы на случай, когда ядро искусственно рандомизируется случайным выбором промежуточной точки у с введением весовых множителей на этапах х^у и у — х' отдельно.

Пусть

ik2{ytx}dx = J р式у,х'“х'三 1,

тогда

А(х, y)dy = J fki(xty)k2(ytxt)dydx, <q0 < 1.(1.4)

хх х

Настоящая глава посвящена решению следующей практически важной задачи: для фиксированной плотности р】(х, у) определить плотность Р2 (乂 х) таким образом, чтобы величина М屐[Vx] была минимальной при выполнении условия (1.2). Такую плотность Р2 (у, х) будем называть равномерно наилучшей. Обозначение [Ух] будем понимать как почти все по мере Лебега.

Учитывая (1.4), предполагаем, что

,々彳(х, У)

(1.5)(1.5)丄一^4力《q V 1.

(1.5)

(1.5)

x Pi(x/)

k(x, x')k(x, x')Обозначим решение уравнения (1.3) при р(х, хг) =

k(x, x')

k(x, x')

через М峻(&), а при р(х,х!) = /pi (х,у)к2 {y9xf)dy через

Mg(pi). Поскольку при р(х, х!)=々(х, У) интегральный оператор уравнения (1.3) совпадает с интегральным оператором уравнения (1.1), а 〃(2<р - Л)《2 ||屮 ||力，то

М£“&) К cog).

Вследствие этого естественно предположить, что

(1.6)(1.6)Mg(pJ《СМ%).

(1.6)

(1.6)

Вывод и исследование основного уравнения

Для произвольной плотности Р2 («У, х‘)，обеспечивающей выполнение уравнения (1.2), соотношение (1.3) перепишем следующим образом:

М匕=Л(х)[2^(х) 一 〃(%)] +

+ /吗[/^^M£,dx[dy(2.1)

Рассмотрим внутренний интеграл, зафиксировав М^；., т.е. варьируя плотность вероятностей только первого перехода у f х‘. Согласно принципу выборки по важности, этот интеграл минимален и равен

[/后(К』)(МС，)"%ХТ

при

Р2(乂 Х‘)=

=心(乂犬)(M戏,)1/2[/左2(乂Н)(M戏,)"2厶)1.

Следовательно,

g】(x)三 h{x)[2^(x)-h{x)]^

+【必 2%,Х')(ММ，产 dx'fdjY

X Pi(x,y) x •

&go(x) = M^.(2.2)

Заметим, что условие (1.2) при этом не нарушается, так как

МК)(m显)2 =92a).

В операторном виде соотношение (2.2) запишем в виде g i = = G(go) &go・ Подставив сюдад】 вместо go, получим

g2 = G(G(go))《gi《go •

Заметим, что такая подстановка имеет смысл оптимизации плотности распределения второго перехода у ^ х9 с вытекающей отсюда повторной оптимизацией первого перехода.

Далее, имеем

g〃(x) = [Gn(gQ)](x) J g(x)[ vx ],

причем g (x)》屮 2 (x) и

g(x) = Л(х)[ 2夕(％) - h(x)] +

+ / *卢：卓[/ 左2(乂 xyg^^ix^dx9 ]2dy.(2.3)

x Pi(Ky)x

Приводимые ниже утверждения показывают, что это уравнение определяет равномерно наилучшую модификацию моделирования переходов у^хг при условии Mg £.

Лемма 3.1. Если g ^L^ - решение уравнения (2.3), то для цепи Маркова с

Р2 0, X')=心 0, X ')g"2(х') и左2 О, x')g1 /2(Х‘)dx]T(2.4)

имеем M”=g(x).

Доказательство. Обозначим интегральный оператор уравнения (2.1) при условии (2.4) через勺，т.е.

[勺门(х) = / ¥巴々 U%2仇 x')gi/2(x')dx'] X x Pi(xty) x

左 2 0，/)儿 к ,，

* gi/23)/С)必.

Тогда очевидно, что из (2.3) следует равенство g = й(2<р 一 力)+ Kgg.

Строя итерации последнего уравнения начиная с go =g, получаем

g= 2 (口(29-初 + lim Kfg.

W =0〃 f 8

Рассмотрим функцию Kjg:

吋画期磊"。"/4中)抄

XX左 2（У，Х‘）左 2（У，Х‘）韜(x'/l) Р1(х',У1)韜(x'/l) Р1(х',У1)U左2仇,X")g1/2,，)公"]XU左2仇,X")g1/2,，)公"]X左 2(У1,х")g。』') —左 2(У1,х")g。』') —g(x")dydx'dyidx".g(x")dydx'dyidx".

X

X

左 2（У，Х‘）

左 2（У，Х‘）

韜(x'/l) Р1(х',У1)

韜(x'/l) Р1(х',У1)

U左2仇,X")g1/2,，)公"]X

U左2仇,X")g1/2,，)公"]X

左 2(У1,х")g。』') —

左 2(У1,х")g。』') —

g(x")dydx'dyidx".

g(x")dydx'dyidx".

Из уравнения (2.3) следует, что

/ 竺Х'2? /±2 S，x ')g 1J(x') dydx У q и? g 1J(x) •(2.5)

Pi(")

Поэтому Kgg《llg II qqi/?. Легко аналогично получить неравенство K；g&||g||qqST”

Таким образом, функция g равна ряду Неймана для уравнения (1.3) при условии (2.4), и, согласно утверждению, предшествующему (1.3), лемма доказана..

Лемма 3.2. Если g £ L^ — решение уравнения (2.3), то <р2 < 《g《ci屮.

До к а за тел ьство. Оператор G】,определяемый выражением

[GO](x) = {〃(x)[29(x)-Hx)] +

+ [/М1(Х/)%2(Кх')Г(х')^"]2}1/2,

является оператором сжатия в L 8, так как

伙(29- 〃)+ (七；)2 F /2 -m(29一力)+ (必)2 r /2《1灯-酬I •

Нетрудно проверить, что G\ (屮)=屮.

Минимизируя (23) выбором Pi(x, j), получаем неравенство G/gi J)《g"Г откуда (см. лемму 1.1)

屮=lim G?(gi/2)《gi/2 〃 f 8

и <p2 &g. Далее, оператор уравнения (2.3) мажорируется оператором уравнения (2.1) ср2 =女2, поэтомуg(х) <М^(р!)&С19(х) в силу леммы 1.1 и (1.6).

Лемма 3.3. Решение уравнения (2.3) в L^ единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют два ре- шенияg 1, ga С Zoo. В цепи Маркова, соответствующей (2.4) с g = =gi, будем менять последовательно плотности переходов у — х на (2.4) eg = g2• При этом свойство оптимальности распределений переходов нарушается и величина M^J возрастает. Последовательно используя формулу полного математического ожидания 80

относительно

约="(/) + (0〃+1/以)五+1匕九=Q, 1,.•.，

• в пределе получаем

g1《 W 堂 (力[2"川)+ lim K；g].

〃=02“too 占 2

1 /2

Вследствие леммы 3.2 выполняется соотношение gjgz &%.

Отсюда по аналогии с доказательством леммы ЗЛ можно получить

К:戸I1g2 卜“1)/2

Таким образом, g 】《g? • Ввиду равноправия функцийg i ,g2 лемма доказана.

Т е о р е м а 3.1. Существует и единственно решение g уравнения (2.3) 8 丄 8. Соответствующая плотность (2.4) дает равномерно наименьшее значение M^J £ £».

Доказательство. Существование следует из того, что g(x) = limG〃(MgS))

удовлетворяет (2.3), а единственность следует из леммы 3.3. Равномерная оптимальность плотности (2.4) следует из того, что G "(М^З 1 g(x) для любого МК G £«.

Легко понять, что указанная в теореме плотность (2.4) вообще равномерно наилучшая, если нет решений уравнения (2.3), не принадлежащих 丄8 . Рассматривая ряд Неймана для уравнения (2.1), можно показать, что если (屮 一")/屮 & г < 1, то М^? £ £«> для плотности (2.4) с g 三 9 при 仍 三左i. Следовательно, такой вариант равномерно улучшается с помощью доказанной теоремы.

Из теоремы следует, что оптимизация полного перехода х — X’ Связана с уравнением

g(x) = h(x) [2<^(х) 一 h(x)] + [ JI k(xr x)\gx ^(x^dx^ 9(2.6)

так как x f x' = x f x f x〔 Нетрудно проверить, что этому уравнению удовлетворяет 9?(%); отсюда вытекает единственность цепи Маркова, для которой D^； = О, М^% = з(х). Заметим, что этот результат искусственным способом был получен в [59].

Если h(x) W 0, лишь когда /欠(х, x)dxf = 0, то (2.6) переходит в (1.1). В теории переноса это имеет место, например, при оценке вероятности вылета частиц из системы путем прямого моделирования. Заметим, что в таком случае доказанная теорема дает новый содержательный результат: если в точке столкновениях моделируется поглощение с вероятностью Р(х), то оптимальная модификация перехода х 今х' после выживания определяется урав-

8181Г.А. Михайлов

81

81

нением (1.1) с заменой физической вероятности выживания <?(х) на вероятность q(x) [1 — Р(х)] 一 丨 /'. Например, если моделируется физическое поглощение, то для определения оптимальной модифи^ кации следует использовать уравнение (1.1), заменив к® х') на к(х, x')q-i/2(x)・ Этот вывод легко получить, введя^в фазовое пространство новую координату с двумя значениями - поглощением и выживанием - и заменив в (2.3) первый интеграл на соответствующую сумму.

Заметим также, что уравнение (2.6) определяет оптимальное моделирование полного перехода в знакопеременном случае, например если Л [2屮-川》0, так как при этом •

ll[^(ki)]1/2 г [G^)]1/2 ||&4о llgi -g2 II,

т.е. существует единственное решение (2.6) и верна лемма 3.1, а (2.2) заведомо выполняется.

Обоснованию возможности использования уравнения (2.6) для более общего случая посвящен § 3.6, в котором в качестве исходного рассматривается класс немарковских цепей {%〃}, а оптималь ная цепь получается марковской. Такое сужение класса подходящих моделей в аппарате настоящего параграфа осуществляется автоматически при построении неравенства (2.2). В то же время (см. § 3.5) немарковость цепи существенно усложняет исходные построения, поэтому рассмотрение здесь формально было ограничено классом марковских цепей.

Методическая задала

Уравнение [32s, с. 184]

0《z&〃,z〉H,0《z&〃,z〉H,(3.1)(3.1)qfexp{-(z'-2)}9(z')dz〔 9(z)J z

0《z&〃,

z〉H,

0《z&〃,

z〉H,

(3.1)

(3.1)

Mz)三 1,

можно решить прямым моделированием следующей цепи Маркова.

Частица движется вдоль оси случайными пробегами, длины которых распределены с плотностью L (х > 0). В конце пробега (в точке z ) частаца мджет поглощаться с вероятностью P(z‘)= =1 - ^(z1), причем q(z') =q для z* V Н н q(z‘) = 0 для2‘ > Н. В качестве состояния цепи Маркова рассматривается положение частицы в конце пробега, т.е. непосредственно перед выбором поглощения или выживания. Величина 9(z) nmi z < Я имеет смысл вероятности вылета частицы за границу z =МЙрй условии, что цепь начинается в точке z. Легко проверить, что

3(z) = q ехр{ — (1 -q)(H-z)},0<z<H.

Согласно сказанному в конце § 3.2, оптимальная плотность распределения длины пробега при указанной P(z') получается из (3.1) заменой q — q'^.в результате имеем

1/2」qi/2exp{-(l -/©(8一)}, OVzC用

g 1,z>H

Подстановка этой функции в (2.4) дает следующую плотность распределения длины пробега, начинающегося из точки z<H:

j qi/2exp{_q"2犬},z + х <Я,

'")I exp {- ^1/2Я- (x - Я)}, z +x >Я

Такому распределению длины пробега при указанной вероятности поглощения соответствует

М&* Jg2(z)=q ехр{-2(1 -q"2) ("—)}《

&qexp{-(l -q)(H-z)} = 9(z), zVH

Таким образом, оптимальный вариант моделирования длины пробега действительно равномерно лучше прямого моделирования, для которого, очевидно, М与;=9(z). Заметим, что выражение для функции MW；? легко проверяется прямыми вычислениями, так как состояния цепи Маркова здесь образуют однородный пуассоновский поток точек на интервале (0,疥.

Для сравнения рассмотрим также моделирование длины пробега согласно (2.4) с заменой g"?今 9, т.е. так называемое моделирование по ценности (см. § 2.1). Поглощение при этом моделируется, как и прежде, с вероятностью 1 一 q(z'). Соответствующая функция М^： определяется уравнением

М&： = / exp{-(2 -q)(z，-z)} M^dz，+

+ qexp{ —(2-q)(H-z)}, z<H.

Нетрудно проверить, что единственным решением этого уравнения является функция

3(z) = qexp{ — (l -q)(〃-z)}.

Таким образом, дисперсия для моделирования пробега по ценности здесь совпадает с дисперсией для прямого моделирования.

Асимптотическая оптимизация моделированияпереноса излучения через слой вещества

Рассмотрим задачу об оценке вероятности прохождения частиц через оптически толстый слой вещества 0《z《Н Будем считать, что вне слоя находится абсолютный поглотитель, причем средний 6* 83

свободный пробег L = 1 во всем пространстве. Прт этом вылет через плоскость z = Я эквивалентен столкновению при z > Н? для которого 无=9 = М|2 = 1, иначе 丸=0. Рассеяние частицы в точке столкновения описывается симметричной плотностью w(/z, 〃'), где д - косинус угла между направлением пробега и осью z; вероятность выживания при столкновении внутрт слоя равна q V 1.

Процесс переноса является односкоростным^

Сначала рассмотрим оптимизацию распределения длины свободного пробега /, физическая плотность распределения которой равна При этом в уравнении (2.3) &(х, у) = qw(〃“)8 (z^-z), 左2 (У, x) = l〃「%xp{-(z，- 2)/4}3加 一 〃')，(z' 一 z)加 > 0. Рассеяние и поглощение моделируются физически, т.е. р】 三改「 Уравнение (2.3) здесь имеет вид

g(z, Д)=

в' z' — Z

=q / w@,“)U |“「％хр{г gi/2(z")dz'f如；

-1АД

g 三 1 при z>Н, причем (48) = (z, 8)при д; >0 и (Л,8) = (0,z) при 〃‘<0.

Заменим приближенно это уравнение на соответствующее уравнение для бесконечного пространства, опираясь на то, что асимптотическое решение линейного уравнения переноса с точностью до постоянного множителя, который в (2.4) не играет роли, совпадает с решением для пространства. Це ле соо бразно сть такой замены подтверждается естественностью полученного далее решения, которое ищется в виде g"? (z, 〃)= 〃(〃)产.Простые выкладки приводят к уравнению

q2® =0 / W(〃,“)Q2(g)(l _qZ)-2d“.(4.1)

Для его-решения используем транспортное приближение

wQ Д)= До§(М-Д)+ (1 - До )/2,

где До - средний косинус угла рассеяния. В силу однородности 1

можно предположить, что / а2(дХд = 1. Проинтегрировав

с учетом симметрии 】心,“),отсюда получаем также

/公(心(1 一3’尸加=qT .

Подставив в это равенство полученное\ в транспортном приближе- 84

нии выражение。？(从)，приходим к следующему уравнению для с: [с - д〃о)"2『一 1 — 4 / 也 \1/2

11 [c + (q%)i/2f _ 1 С 1 - До \ ^ /

Для рассеяния фотонов оптического диапазона в морской воде характерны величиныq = 0,7,从。=0,9 (см. [55, с. 182]), для которых последнее уравнение дает с 七 0,206, в то время как асимптотика 9 тоже экспоненциальна, но с параметром % 弋 0,370. В случае изотропного рассеяния из (4.1) имеем с = (1 ~q)x^2. При 4/ = 0,7 • эта формула дает с ^0,548, а для асимптотики 9 здесь % 弋 0,829.

В обоих рассмотренных выше вариантах асимптотически оптимальная модифицирующая функция g1 /2 близка к 屮 ”？, ПрИ этом она меняется несколько слабее последней. Это вполне естественно, так как для прямого моделирования М^：=9(х), а оптимальная модификация приближает М代 к <р2(х). Заметим также, что из (4.1) при д = 1 следует, что с = 1 — q"?. Это значение соответствует точному решению уравнения (2.3), полученному в § 3.3 для задачи, фактически связанной с прохождением частиц через слой вещества при дельта-рассеянии (т.е. при “о = 1).

Для оптимизации распределения длинь】 пробега при моделировании траекторий без поглощения следует в (4Л) сделать замену qf д? (см. заключение § 3.2). Для q=0,7 имеем 〃()= 0,9, при этом из (4.2) получаем с〕弋 0,336.

Известно, что использование функции g1^2^) -ecz в (2.4) приводит к модификации распределения длины пробега, состоящей в замене。'=。一叫 т.е. к так называемому экспоненциальному преобразованию (см., например, [59] и § 1.6). Полученные результаты можно, таким образом, рассматривать как оптимизацию экспоненциального преобразования.

Изложенный метод оптимизации одновременно дает и асимптотику уменьшения дисперсии по сравнению с прямым моделированием. Ясно, что М^； при z=〃 во всех вариантах моделирования несущественно отличается от единицы. Поэтому дисперсию D扌 оценки вероятности прохождения через слой 0 &z &" можно приближенно полагать равной eg (//). Связанный с граничными эффектами множитель с будем приближенно считать одинаковым для всех перечисленных ниже алгоритмов.

Алгоритм I: прямое моделирование, при котором М^；= =9(z). Асимптотика дня g(z) определялась на основе транспортного представления w(〃, 〃'), которое приводит к изотропному рассеянию с q =q(l -〃 о)(1 —施尸，。‘=山(1 - До) + 1 -q]・

Алгоритм II: прямое моделирование без поглощения, для которого М^ удовлетворяет уравнению (1.1) с заменой q — q?.

Алгоритм III: оптимальное моделирование длины пробега с физическим поглощением.

Алгоритм IV: оптимальное моделирование длины пробега без поглощения.

Алгоритму： моделирование длины пробега согласно плотности qe~qx (х > 0) без поглощения. При таком моделировании траектория в точке вылета из слоя имеет вес

0(G) = exp{-(l-q)S，

где Lz — полная длина пути частицы, начинающегося в точке z. Очевидно, что здесь величина

М^ = М(22(А2) = М ехр{ - 2(1 -q)"}

удовлетворяет уравнению (1) с заменой 1 - q — 2(1 -д),т.е. при q' = q/(2 -q), о' = 2 -q.

трудоемкости вариантаТ _ D^ In Ф/in q + fтрудоемкости вариантаТ _ D^ In Ф/in q + fУказанные алгоритмы будем сравнивать по величине трудоемкости rD^, где Г — эффективное среднее число столкновений на одну траекторию. Если не учитывать граничные эффекты, то для моделирования с поглощением можно положить г = 1/(1 - q). Достаточно ясно, что без поглощения можно моделировать лишь число столкновений порядка In Ф1п(/, где Ф - вероятность прохождения частицы через слой. Поэтому в качестве относительной без поглощеШ1Я будем рассматривать

трудоемкости варианта

Т _ D^ In Ф/in q + f

трудоемкости варианта

Т _ D^ In Ф/in q + f

炙 、МФ=—I 10 ) i ' +

叫 L Inq

где D8 - дисперсия - прямого моделирования. Об асимптотических свойствах рассматриваемых алгоритмов моделирования говорят приводимые теоретические оценки, полученные (q = 0,7) при до = 0,9,Я = 20 (табл. 1) и при д0 =0,Я= 10 (табл. 2).

Таблица 1 показывает, что при сильно анизотропном рассеянии, алгоритм V почти оптимален. Это связано с тем, что при 例=1 такой алгоритм представляет собой точное моделирование по ценности без поглощения и дает D^ = 0. Интересно, что при изотропном рассеянии алгоритм II, состоящий в учете поглощения весовым множителем q, проигрывает по сравнению с прямым моделированием. Проведенные для контроля расчёты методом Монте- Карло дали результаты, хорошо согласующиеся с приведенными в табл. 1,2 теоретическими оценками.

Для оптимизации распределения величины 〃‘ после рассеяния достаточно поменять очередйость выбора 〃' и /, т.е. рас-

Таблица 1

Величина

Алгоритм III111IVV

-1пМ/Н 件DE

0,37005590,4120,6720,670

1442,3420403

16,12,35856

Величина

Таблица 2

Алгоритм.

IПШIVV

-InDW/H 叫/现

0,8290,9611,0961,4281,223

13,7-14,439951

10,514,4506,4

сматривать в качестве х состояние частицы непосредственно после рассеяния. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным в начале настоящего параграфа, приходим к следующему уравнению для модифицирующей функции а (//):

(1 - 1с^12а(^ = //2 f ^.^(/л^ц.(4.3)

Предположив, что

1

/q(M)d〃 = 1,

в транспортном приближении отсюда получаем

_ «"Г - 〃о) i

где

с =上;*2 1a +2с)1/2 _ (1_ 2с)1/2 +

(1+2с)1/2-д0^1/2 1

+ 饱а—»/?—”/?}

Для изотропного рассеяния, т.е. при д0 = 0, это уравнение переходит в следующее:

(1+2ср/2—(1—2с)1/2 = 2“т/2.

Последнее имеет решение лишь при q〉0,5, так как (1 + 2с) 1 /2 - -(1-2с)1/2<2-21/2сприк| <0,5.

=W(l-冲/2,=W(l-冲/2,Для q > 0,5 получаем а(д) = (1 - 2c4)т/2,

=W(l-冲/2,

=W(l-冲/2,

в то время как асимптотике 屮 соответствует функция 〃® (д)= =(1 - %〃)т ; например, для q =0,7 имеем 2c = 0,458,喙=0,370.

Асимптотическая оптимизация вспециальном классе угловых плотностей

В настоящем параграфе строятся и исследуются нелинейные уравнения, определяющие оптимальные характеристики цепи Маркова в случае, когда по угловой переменной (см. § 3.4) оптимальная плотность перехода ищется в специальном классе плотностей, удобном для моделирования, а по пространственной переменной осуществляется полная оптимизация. Материал параграфа представляет собой несколько сокращенное содержание работы [93].

Как и в § 3.4, здесь рассматривается задача переноса излучения через оптически толстый слой вещества. Заданы: вероятность выживания частицы при столкновении q, средняя длина свободного пробега /о 二 ^-1» угловая функция w(〃，〃'). вполне определяемая индикатрисой рассеяния 恥(〃$), где 4s - косинус угла рассеяния (см. § 1.3). Искомая вероятность / =屮(0, 1), где屮 - решение интегрального уравнения переноса вида (1.1) для плоского слоя при

ехр {-о(4 - z)/〃}, 〃 > 0,

从《0.从《0.〃(z, “)=

从《0.

从《0.

(5.1)(5.1)Моделирование траектории частицы состоит в последовательном моделировании случайных величин: косинуса // угла между направлением пробега и осью z, длины свободного пробега z', а также координаты с двумя значениями - поглощением и выживанием. Из § 3.2 следует, что для заданной вероятности qp выживания моделируемой траектории в точках столкновения при условии

(5.1)

(5.1)

а?/% < 1

оптимальные плотности распределения случайных величин z' асимптотически определяются уравнением

+ 厶 〃)“〃)=~=L /w(〃,/)q(“)dd к > /0.(5.2)

\ к /7qp -1

Длина свободного пробега при этом моделируется как при экспоненциальном преобразовании с параметром 1/к без вылета, а рассеяние моделируется по плотности

(5.3)(5.3)w3 d)q(d)

(5.3)

(5.3)

工3'3"

Замечание. В дальнейшем будем предполагать, что 0 < VM]《〃(М)《М <8. Это, в частности, выполняется, если аналогичному условию удовлетворяет функция т(д, д1).

В случае анизотропного рассеяния моделирование по плотности (5.3) связано со значительными трудностями. Поэтому имеет смысл замена (5：3) плотностью вида

pw(ju, “)+ (1-р)〃(я'), p=p(z, 〃)， 0 < р < 1. (5.4)

Данный параграф посвящен решению следующей практически важной задачи: для фиксированного значения q力,удовлетворяющего условию (5.1), определить вероятность p(z,〃)в разложении (5.4) и плотность г = *z ^z, 1^) распределения z* таким образом, чтобы величина была равномерно минимальной. Цепь Маркова, соответствующую такой модификации, будем называть оптимальной и обозначать парой (，*, р *).

Для произвольных вероятности р и плотности г соотношение (1.3) после подстановки значений переходных плотностей примет вид

W(z, “)=力(z,从)[2w(z, 〃)-力(z, д)] +

XX(5.5)(5.5)+ — f,

X

X

(5.5)

(5.5)

qp T P(z, 〃)W@, “) + (1 - P(Z, 〃))〃3')

〃 ％ < r(z -z |д).

или

屮二 ％(2з-〃)+“(「, p),

где (Л, В) = (z, Я) при д >0, (4 5) = (0,z) при д< 0.

Далее, будем предполагать, что Ф < сцр\ где Ф 一 ряд Неймана для уравнения

Ф = %(29一 ")+"(左厶 1)杀

Рассмотрим внутренний интеграл в (5.5), зафиксировав W(z', 〃') и варьируя плотность вероятностей перехода (z；从')f f (z‘，а'). Согласно принципу выборки по важности, этот интеграл минимален и равен

[/ &(z, z'|“)Wi/2(z',“)dz'尸 при

ВТ

=&(Z6Z‘ |〃')Wl/2(z', “)U &(zf z' IM)屮 1/2(2： “)成」 Л

Фиксируя далее точку (z,从),рассматриваем функцию

-1 p(z, Д>(Д, д) + (1 - p(z 〃))Q(/Z)

В2

x [/ "(z+2' 1")屮1/2e,")血」d"，

ИЛИ

尸(Р) = hp)W・

В силу предполагаемой отделимости от нуля и ограниченности положительной функции 〃 для любой Ф G L» (X) функция 尸(р) к раз дифференцируема на компакте [0, 1], где А: = 1, 2,... Причем легко видеть, что F” > 0 при w 丰 а. Следовательно, существует и единственна функция р()(z, д), минимизирующая F0=F (см. [100]). Поэтому

Wi(z, д)=力(z, m)[2^(z,冷一方(z, 〃)] +

+ — J‘, —尸X

qP -I PqQ, a)w(/A Д ) + (1 -Po(z, G)0(M )

X [/ kt(z ->zr |д )Ф^/2(г\ Ii)dz Yd у! < A

《屮o(z, 〃)=屮(z, д),(5.6)

или

屮 1 = h^-h)^G(p^Q & 屮°.

Подставляя сюда 屮〔вместо Фо и минимизируя функцию Fj (р)= =Р (р)屮1, получаем

屮2 二 h(2 屮一h) + G(pi)Wi《屮i, Pi e min Fj (p).

Таким образом, получаем монотонно убывающую последовательность положительных функций"

屮八+i = hQ屮-h) + G(pQWn，p〃 = min耳(p), м = 0, 1,...

(5.7)

Очевидно, имеет место поточечная сходимость:

立(х)今 W*(x),耳(р)к~尸(p)3Pn(x)^p*(x) VxWX

где 尸*(p) = P(P)W\ P* = mm尸*(p).

Переходя в (5.7) к пределу при л f 8, получаем

W*(z, g)=丸② ")[290, д)-力(z, m)] +

q -i p*(2,/z)wQ,〃)+ (l-p*(z, 〃))〃&)

в(5.8)

X [/ &(Zf 2’ |“)W*1/2Q',“)虑｝&/,

；М(д,“)

p* = mm J ； X

p -i p(zt дХд, д ) + (1 - p(z, д)>(м )

X [/ k^z-^z \p!)^*1/2(z.^ydz^d^

屮* = Л(2^-Л) + 6(р*)Ф\ р* = min Г(р)Ф*. р

Полученное уравнение нелинейно. Приводимые ниже утверждения показывают, что оно определяет оптимальную цепь Маркова.

Лемма 3.4. Если Ф* G L^ (%) 一 решение уравнения (5.8), то для цепи с характеристиками

г 三 r*(z — z' I 〃)=

=&(Z f z' I 〃')▽* i/2(z",M)[『Mz fz' I d)W* 1/2(^, M‘)dz〕T, A

p(z, 〃)= p*(z, Д)

выполняется соотношение

МЙ = W*(x).

Лемма 3.5. Если Ф* - решение уравнения (5.8), то вы пол- няется неравенство

炉《屮*《49.(5 9)

Лемма 3.6. Решение уравнения (5.8) 8 £«, (X) единственно.

Приведенные леммы доказываются по аналогии с соответствующими леммами из § 3.2.

Теорема 3.2. Существует и единственно решение ^уравнения (5.8) в L«о (X). Соответствующая цепь Маркова (г*, р*) является оптимальной.

Доказательство. Существование следует из того, что lim Ф„ при % =屮 удовлетворяет (5.8) . Единственность утверждается в лемме 3.6. Оптимальность цепи с г = г* р = р* следует из монотонной сходимости:

W〃(x)l 屮*(х)В%££8(К・

Известно [26], что асимптотическое решение уравнения переноса с точностью до постоянного множителя совпадает с решением g для пространства, поэтому приближенно заменим уравнение (5.8) на соответствующее уравнение для пространства. При этом естественно предположить, что асимптотически оптимальная вероятность р* слабо зависит от координаты z точки столкновения и является функцией только д.

Подставив решение в виде

W*〃2(z,从)=b@”cz

и проделав простые выкладки, получим уравнение

Ь2 =—尸(加，&р*),(5.10)

где

-I P®wQ,“) + (l-p®)a«)-I P®wQ,“) + (l-p®)a«)XXF(b2fctp)\^ =

-I P®wQ,“) + (l-p®)a«)

-I P®wQ,“) + (l-p®)a«)

X

X

X户旧)

(1 一%以')2

p* = min 尸(从，с, p).

Если предположить, что р*@) ^ 0, 1, то для значений р*(д) из интервала (0,1) имеет место соотношение

；М(〃,从) х

-1 poowq 〃')+(1 — pa)MQ‘)

尸3)

(1 - “о")?

(х^^^У-аОл^ц = 0

с индикатрисой Хеньи - Гринстейна

(i+总 一2以必)3/2'

средним косинусом угла рассеяния д0 = 0,9, вероятностью поглощения при столкновении 1 - <? = 0,1 от источника с плотностью f(z, 〃)= 63-l)6(z).

Вероятность qp выживания частицы в точках моделируемой траектории выбиралась следующим образом:

% = 1 при п<т, qp = 0,901 при п> т,

где тэт = I lng(0, l)/lnq I = 14.

Используя транспортное приближение для нахождения а(д), к, из (5.2) получаем

а® = — ―у-.

Здесь

~?([-也)人 4

q 二-：~a—，/ = ；~"a— , q = -r=->

а к является решением трансцендентного уравнения

2厂 к+厂

—=In

Рассмотрим, далее, приближенное решение (5.10) в случае сильно вытянутой индикатрисы рассеяния. Покажем, что при До (среднем косинусе угла рассеяния), близком к единице , приближенная асимптотически оптимальная цепь (г0, Ро) определяется следующим образом: плотность r0 (^ ~ z'|〃) соответствует экспоненциальному преобразованию (см. § 1.3) с параметром c^Cq = 1/к, а рЗ)удовлетворяет уравнению

j m3")42з) х

-i [Po(M)w@, “)+ (1 - PQ^aQi^

X (w3d)_ 山))d“ = 0.(5.11)

Действительно, производя замену

b® = (1—"。〃)》®,

из (5.10) получаем уравнение относительно функции »:

炉 1

仪3)=-- --Ф(^2,p*),

Qp (1 - с/оД)2

где

ф俨，叽;/ -叱®?——T加

-I р(д)и/(д,д) + (1 -р^У)а(ц)

р* = min Ф(^2, p). p

Используя, далее, транспортное приближение

w&,“)=削 6 @ — “)+ (1 - До )/2,

и пренебрегая величинами порядка (1 - д0)2, получаем

①(〃2，Ро) = (\4^Q+ (1-的)/2)2.

Отсюда при значениях 饱，близких к единице, получаем приближенное равенство

12

(5.12)(5.12)①(q2，Po) Q [ / win.^a^d^ ]

(5.12)

(5.12)

и вследствие принципа выборки по важности р0 一 приближенный минимум функции 步(〃2, р) •

Кроме того, из (5.2), (5.12) следует, что уравнение (5.10) при В 三 q, с = 1/к, р* = р0 приближенно выполняется.

Численно решалась задача об оценке вероятности 1Н прохождения частиц через слой вещества 0《2《〃 при Я = 20/о,厶=L Производя соответствующие вычислешя, получаем

2 = 0,9, 7= 0,4737,『=5,2632, к = 5,4

при м < т\

$ = 0,9 5, 0 = 0,6552,『=6,8966, к = 7,9

при п > т.

Замечание. Из смысла функции w(pt, д') следует, что

w(l,M)=叱”)，w(-l,〃')= %(-“)•

Поэтому моделирование рассеяния по плотности (53) в конусах К±е={±〃 >1-е) можно приближенно производить соответственно по плотностям

％(± ")〃&')

广(м ) = •

Расчеты показали, что оптимальное значение е приближенно равно 0,12. Результаты сравнения эффективности алгоритмов видны из табл. 3,4.

94

Рассеяние моделируется по плотности^-0,88 < д < 0,88 0.88 &м〃 & —0»88Рассеяние моделируется по плотности^-0,88 < д < 0,88 0.88 &м〃 & —0»88

Рассеяние моделируется по плотности^

-0,88 < д < 0,88 0.88 &м

〃 & —0»88

Рассеяние моделируется по плотности^

-0,88 < д < 0,88 0.88 &м

〃 & —0»88

Описание

Алгоритм

А

В

С

Таблица 3

Описание сравниваемых алгоритмов

Длина свободно го пробега моделируется без вылета, как при экспоненциальном преобразовании с параметром

p0川 + (1 -&)0 P]W + (1 -%)〃0 卩 2м'十(1 -p2)%> /+ /о 匕W + U-%)% 广 启 %"' +(1-p2)"。

Таблица 4

Результаты расчетов

Алгоритм

S

о, %

t, с

02 f

А

1,9439 • 10-2

2,95

5,71 • 102

0,4960

В

1,9424 IO、

3,19

5,62 • 102

0,5710

С

1,9398 • 10-2

3,96

5,47 • 102

0,8568

Здесь 丄=5,4 - диффузионная длина (см., например [52]), Ро(4) 一 решение уравнения (5.11), функции а0 (д), Pi (д) определяются так же, как функции д(д), Ро(〃) с заменой ? f q,

启(〃)=%(±〃)〃о(д)〃 ％(土〃)a()(〃)d〃

а р2 (〃) определяется выражением (4.7), т.е. соответствует простому способу аппроксимации функции w(小 ц)а0 (д*), рассмотренному в § 2.4. Заметим, что к =丄 для п < т и к >L для 〃》т.

Для каждого варианта моделировалось 104 траекторий. Приняты обозначения; YH оценка функционала 1ц ,а - соответствующая YH оценка относительной вероятностной погрешности (в процентах), г — время расчета (в секундах) на ЭВМ БЭСМ-6. Анализ показывает, что величины относительной трудоемкости алгоритмов А,В,С соотносятся приблизительно как 58 : 67 : 100.

Минимизация дисперсии оценки постолкновениям в задачах со знакопеременными элементами [13]

Как ив § 3.1,рассмотрим уравнение

9(х) = / k(xf x')9(x')dx' + 〃(х),(6.1)

или в операторном виде

屮=K^ + h,(6. Г)

где X = R", 〃 W 上8 (X), К - линейный оператор в £» (X). Пусть х(), • • • , х〃, • • • — траектория случайного процесса в X, заданного переходными плотностями р„(х0> …，х” i，х) = [1 一 Р& - i)] X X rn(xQt . . . , х„ _ ь х), где 入(х(), . . •，亏 _ - х) - плотность вероятности перехода на и-м шаге, Р (х〃一 i) - вероятность поглощения (обрыва траектории) при переходе из точки х總 _ ]. Определим случайные веса Qn соотношениями

Qo ~ 1， Qn - ^и — 1 Qn — 1, n^ 1,

Pn v^O, • • • » ^n~ 1» X/i丿

где 6„ _ J = 0, если на 小м шаге произошел обрыв траектории, и 3〃 _ 1 = 1 в противном случае.

Будем предполагать следующее:

Рл(х0, •.. ,хи_1,х„)^0 при 左(X〃 —I’xQwQQWO;

спектральный радиус интегрального оператора К、с ядром \k(xtx)\<l:p(Kl)<l.

Известно (см., например, § 1.6), что при выполнении этих условий оценка по столкновениям

気=£ Qkh(xk)(6.2)

° 女=о

является несмещенной оценкой решения уравнения (6.1) в точке х0, т.е. М；% = <^(х0)« Здесь £( рассматривается как случайная величина, заданная на множестве траекторий, начинающихся в х0, а математическое ожидание берется по вероятностной мере, определенной на этом множестве переходными плотностями. В дальнейшем часто будет опускаться индекс х0 и записываться просто М? = ^ или М^? > g, если эти соотношения выполнены почти всюду в X но мере Лебега.

Зафиксируем р(х) для всех х Е X и выясним,каким при этом должны быть плотности вероятности r„ (.v0, . . . , х„ _ 1，х), чтобы дисперсия оценки ^。 была минимальной равномерно по х0. Для неотрицательных ядра к(хг х') и свободного члена "(х) этот вопрос решен в § 3.2, причем полученные там выводы непосред- 96

ственно распространяются на знакопеременный случай лишь при выполнении условия 〃(2屮一％)》0. Это условие эквивалентно условию I з I》I Кз I и весьма ограничительно; оно не выполняется, например, для интегральных уравнений в задачах дифракции. Кроме того, в § 3.2 предполагалось, что ||/С|| < 1 й р(х) &р < < 1 - IIК II2 • Здесь будет рассмотрен другой подход, позволяющий получить ответ на поставленный вопрос в общем случае.

Положим

л - 1

脚)=“Хо), W)= £ Qkh(xk)^Qn^p(xn)9 〃》L

fc = о

При всяком л случайная величина 叮(整)есть условное математическое ожидание случайных величин 扌 и всех 叮⑺ + *) (к > 0) при фиксированных хь . . . , х„, т.е. последовательность п《") образует мартингал, замкнутый справа величиной 扌.Поскольку 刀⑺ 一 мартингал, то (小“))？ 一 субмартингал. Таким образом, последовательность М历(“)]2 возрастает и ее предел (не обязательно конечный) не превосходит М尸 (см. [51]). С другой стороны, поскольку

М|?-^>| = М|(2^(х„) + 玄以力％)1《 к = п

《К"# +. S K[\h\ к = п

и, кроме того,

К『I 屮 I + £ Kf4 力 I - 0, 〃斗 8, к = п

то в силу известных свойств мартингалов (см., например, [51]) последовательность т/“) сходится к 三 с вероятностью единица. Отсюда

М俨=lim М { infg(幻Р }《Hm М旧⑺产

к > п

Итак, имеет место соотношение

吋二 limMmW(6.3)

Заметим, что 与 можно представить в виде

&о = hM^Q^xe(6.4)

где случайная величина 扌 определена по формуле (6.2) последовательностью переходных плотностей г2 (х0, хь х),...

…，入 “о,…•，х„ _ !, х) и может в общем случае зависеть от х0

97977、. Г.А. Михайлов

97

97

как от параметра. Зафиксировав точки х0, . . . , х„ и проинтегрировав обе части равенства (6.4) по остальным переменным, получим

т?$?=力(№)+ & 噌 Г, (6.5) где 彳*-D - условное математическое ожидание случайной величины £ при фиксированныхх2,... ,хЛ.

Определим теперь. последовательность функций gn, полагая g〃(x) = inf М[^л)]2, м > О,

где нижняя грань берется по всем последовательностям плотностей ，打"о, ..., хп^ х，х)9 удовлетворяющих условию а). Поскольку при любом 〃

Mgr > M[t?("D]2》g…， то последовательность gn поточечно возрастает и имеет предел, конечный или бесконечный. Положим g = lim gn.

Из (6.5) следует, что

М[嘅)Г = Mlhix^^Q^J^]2 =

=%(*0)[29a0)一 力(X0)] + 7—- / —；7 X

1一P(XO)* 门a0,*1)

X М 历?т)]2必i.(6.6)

Отсюда, в частности, легко выводится утверждение о том, что при неизменных плотностях rn(xQf..., х„ _ ь х) увеличение вероятности поглощения р(х) всегда ведет к увеличению дисперсии оценки &•

Отметим, что М[^0^]2 =絃=go для любой 干.Далее, пусть при некотором натуральном и случайная величина g такова, что М[才〃 一 1)]2 gn lt Тогда в силу принципа выборки по важности (см. § 1.5) для случайной величины &。= h(xQ) +01^ с плотностью г 1 (х0, %), пропорциональной | k(xQt х) | g： ?】(х), имеет место равенство М历⑺]2 =^„; при этом

gn(x) = h(x) [2^(x)-/i(x)] + — [/|%(х,х')|Х

21 -PW X

X g：%(x')&] •(6.7)

При 牌8 получаем уравнение

g(x) = h(x) [2^(х)-Л(х)] +2

+ 丁 丄/、UIMx,x')|gi/2(x')dx'] ,(6.8)

l-p(x) X

изучавшееся в § 3.2 при упомянутых выше предположениях. В частности, было доказано, что при этих предположениях уравнение (6.8) имеет в £ 8 (J) единственное решение.

В силу (6.3) для любой &

М/ = ИтМт(")]2 > limg„ = g.(6.9)

Теорема 3.3. Если функция g конечна почти всюду в X то соотношения

Ги(X。，• • •，Хц — 1, 'X)1—1

=f%(x*i，x)lg"2(x)[/ 1%%-1，%)18"2@)必],n>\,

(6.10)

определяют единственную оценку ?, имеющую дисперсию, равную g 一9乙

Доказательство. Учитывая (6.10), равенство (6.6) переписываем в виде

М [嘅〃2 = Мх" [29%)-%&())] +

+ ；— / l^(xo,xi)|g1/2(x1)dvi / |A;(x0,Xi)| X

1 -pQo) xx

x 出*T g"2(Xi)

Сравнивая это соотношение с (6.8), получаем, что 口血 любом м > 0 из неравенства М 历("-1)『《g следует неравенство Mg(〃)]2《g； ПрИ w = о неравенство М [т?^0^ ]2 < g очевидно выполнено. Следовательно, lim Мд5)『《див силу (6.9) М 尸=g.

Докажем единственность. Из (6.4) получаем

%2(Xq,Xi)%2(Xq,Xi)1 + 1 + 1 -P«0)X，l(Xo,Xl)1 -P«0)X，l(Xo,Xl)м*м*MW：。= Л(хо)[2^(хо)-Л(хо)] +

%2(Xq,Xi)

%2(Xq,Xi)

1 +

1 +

1 -P«0)X，l(Xo,Xl)

1 -P«0)X，l(Xo,Xl)

м*

м*

Поскольку Mg 2》g, то в силу принципа выборки по важности равенство М^ = g возможно лишь в том случае, если плотность г Г (xQ, х) пропорциональна | k(x09 х) |g1/2 (х) и Mg? =g. Проводя подобные рассуждения для g, получаем, что плотность г2 (х(ь хь х) также должна удовлетворять условию (6.10), и т.д.

Следствие. Если р(х) =0 для почти всех х ^ X и произведение к(х, х')9(х‘) как функция х имеет постоянный знак, 7* 99

то 纟=守2 “, следовательно, соотношения (6.10) определяют оценку, имеющую нулевую дисперсию, т.е. тождественно равную 9.

Действительно, так как2

h(x) [2(^(х)-Л(х)] = ^(^)-Ц k^x^tx^dx'],

то, рассматривая (6.7) последовательно при и = 1, 2,. .*., получаем, что gn =絃 при любом м.

Теорема 34. Если vraisup{p(x): x£X} = pVl — [p(^i)]2, то gEJ⑺.

Доказательство. Пусть натуральное число s таково, что р < 1 一(II К； II1"У. Рассмотрим оценку f, определенную периодической с периодом s последовательностью плотностей вероятности rn(xQt... ,хЛ_!,х), которые при 川《$ пропорциональны

I 左(X л— 1» х)1/・・・/1" (“О，X1) . . • X X

к а〃— 2，*^и— 1) I dX]dXn一 1,

Н rms+n(^o» • • • > ^ms^n— Ь ^) = rn^ms» • • • » xms+n+l» ") 取以 1.

Нетрудно убедиться, что в этом случае норма (в пространстве 丄 8《X ) ) интегрального оператора Кр с ядром

公-о,/)七2(х.ь х),

j j —:;у ахг... 4х$_ ]

х ГР1"о，Х1) PsQo-• •,

строго меньше единицы.

Так же как это делается, например, в [32], можно показать, что тогда MW? — сумма ряда Неймана для уравнения Ф =勺屮 + Л, где

力 а) - z / • • • / " г • • •

&=0х хР1(Хо,

• . , ---h(xk) [25"。-hGQ]dx….(1卄,

свободный член которого принадлежит пространству L^ (X). Значит, МЕ? £ 丄8 (X), и доказываемая теорема сразу следует

из неравенства g V М尸.

Замечание. Пусть при любомх

无(х)【2з(х) -h (х)] >0, l3(x)|〉Q 0, / |k(x“)|dx'= q< 1;

при этом p(S ) = q. Положив р (х) = 1 - ^2 для всех х £ X, получим, обратившись к (6. 7), что последовательность g„ неограниченно возрастает. Таким образом, неравенство в условиях теоремы 3.4, вообще говоря, не может быть ослаблено.

Обобщим часть полученных результатов на случаи нелинейного интегрального уравнения т

9(Х)=J…/左(文，y】，一，y加)口9(乂)4%・+右(X),(6.11)

X Xf = 1

или в операторном виде

9=定95)+ %.(6.1f)

Будем предполагать, что для уравнения 屮=留1。(小)+ |%|, где JTi - оператор с ядром | k(xf yXi. t ут) \ , сходится метод последовательных приближений:，о = I 川，。小 1 =仇* 1，")+ h .

,Пусть 扌一аналог оценки по столкновениям для уравнения (6.11) (ее построение см. в [32]). Снова будем считать, что вероятность поглощения р(х) зафиксирована, и выясним вопрос об оптимальном выборе плотностей вероятности перехода

лС^» УI» * • • »УтУ •

Пусть "⑺ —условное математическое ожидание случайной величины 扌 при условии, что первые п + 1 поколений дерева, на котором строится эта оценка, зафиксированы. Равенство М^2 = =lim М т("‘ ]2 доказывается так же, как (6.3).

Положим

go =92, g〃(x)=世工) [2g(x) —似幻]+

1m

-l^--- f\k^y^-^ Уm)\ n &±(匕・)勿打2,

1 -р(х) XX« = 1 и 1

п> 1,

и g = limg〃. Имеет место

Теорема 3.5. Если функция g конечна почти всюду в X, то плотности вероятности г„(х, уь ..., ут), пропорциональные т

|%(х, у】yw)| П gi/2(爲),определяют единственнуюоцен-

ку & имеющую минимальную дисперсию, равную g - 9?.

Доказательство почти дословно ' повторяет доказательство теоремы 3.3.

С л е д ст в и е. Если рт (х) = 0 для почти всехх £ X〃 произве

дение k(xt у{ут) П 9(乃)как функция т переменных

У\^, Ут ^еег постоянный знак почти всюду в Xmt то g =屮?

“，следовательно, существует оценка 与 с нулевой дисперсией.

101

Отметим, что для случая неотрицательных функций Л(х, jb ... ...,ут) и h(x)9 когда указанные условия выполнены, этот результат был получен в [88] •

Основные результаты настоящего параграфа могут быть получены для оценки по поглощениям и ее аналога в нелинейном случае, если всюду заменить Л (2<р — Л) на %?/р; при этом доказательства останутся почти без изменении.

Резюмируя содержание настоящей главы, можно сказать, что нелинейная теория оптимизации статистического моделирования дала возможность строить и исследовать оптимальные алгоритмы (в смысле величины дисперсии) в тех случаях, когда нулевая дисперсия недостижима, например при использовании оценки по столкновениям для решения интегрального уравнения второго рода со знакопеременными элементами. Особо следует отметить построенную таким образом, точную теорию экспонешщального преобразования и уточнение параметров приближенной асимптотической функции ценности дл@ односкоростного уравнения переноса.

Глава 4

МИНИМАКСНЫЕ ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ

Как уже отмечалось в n. 1, одним из положительных свойств метода Монте-Карло является возможность решения многих задач на основе моделирования одного вероятностного распределения. Несмещенность оценок при этом достигается с помощью специальных весов, вследствие чего такие методы Монте-Карло и принято называть весовыми. Характерной чертой этих методов является возможность построения зависимых оценок искомых величин, которые улучшают оценивание функции [98].

Весовые методы могут существенно снижать трудоемкость вычислении, особенно при использовании вычислительных систем даже с синхронно работающими арифметическими процессорами. Поэтому практически важной и актуальной является задача оптимизации выбора моделируемого распределения, например, с целью расширения диапазона значений параметров, для которых используемые оценки имеют конечную дисперсию.

В настоящей главе рассматривается задача равномерной оптимизации весовых оценок метода Монте-Карло, состоящая в минимизации максимума дисперсий оценок. Для оценок многих интегралов дано точное и специальное приближенное решение этой задачи. Аналогичное точное решение построено и для стандартных оценок функционалов от решения интегрального уравнения второго рода. Показало, как можно приближенно равномерно оптимизировать весовые оценки при решении мйогих интегральных уравнений и задач теории переноса излучения; в частности, удалось улучшить так называемый метод подобных траекторий.

Следует отметить； что далее существенно -используется оптимизация весовых оценок метода Монте-Карло по критерию минимума взвешенной суммы дисперсий оценок (см. § 1.5, 2Л).

Постановка задачи. Основная лемма

Оценки интегралов методом Мбнте-Карло строятся на основе соотношения 女

Ik= J gH)dx = мум ^k =——,衣=1,...，九.

гдер(х) - плотность распределения f. При этом

= / 且乌？毋,&(Р)= max{*(P)}・

Рассматривается задача: определить плотность р = р *(х), на которой достигается min&(p). Известное [17] соотношение между минимаксными и байесовскими решениями здесь целесообразно сформулировать в виде следующего утверждения.

Лемма 4.1. Пусть 与左(А) - случайные величины, связанные с вероятностной моделью 尸 из некоторого класса допустимых моделей, 〃尸а - модель, на которой достигается

minS Х^О^(Р) =G(A), 0《入％<8, А=(入….•，入3 k

(11)

причем О^(Рд) дифференцируемы no N (/, к = 1,...,〃)и G(A) V 8 Здя любых А Тогда min 7^ (Р) достигается на Рдо, где Ао - решение задачи

max{ S 入％D&(P)| S 入к»(1.2)

Л k=l左=1

Доказательство. Поскольку Рл - решение задачи (1.1), то

Е 入& П>°，2=°，(13)

“ а” [《о,入广1.

Продифференцируем функцию

GQ1，...，入〃)=^入*d与k(/\)=吧^入к9扌к(尸)

по 入『в точке Л =(入$ °)，…，入屮)),используя правило дифференцирования произведения и соотношение 入践=1 - Z；入；，где штрих означает отсутствие в сумме слагаемого 入底 > 0. В результате получим

•^^= D力(厶。)一 D&。 (厶。)+ S "。)经沪)• (1.4)

Если 0< Л<0) < 1, то (1.4) равно нулю и с учетом (1.3) имеем

%(尸A。)=叫(尸л)

Если 入严 =0, то (1.4) не больше нуля и с учетом (1.3) имеем

D&(尸Q4叫(尸a)

Особым здесь является случай 入，? = 1, для которого 入，°)= О при i # i о, однако и тогда последнее утверждение верно.

Таким образом, на .носителе меры Ло дисперсии равны, а для остальных значений i принимают меньшее значение. Вторая часть доказательства представляет собой стандартный прием теории минимаксных статистических решений.

Очевидно, что из полученных соотношений следует равенство

& (%)= S X<O)D|Z(AO)= G(A0).

С другой стороны,

0 (尸)》予寸0)叫(p)> S "。)Dg(PAo)= G(Ao).

Лемма доказана.

Совершенно ясно, что в этой лемме величины Ь^к(Р) не обяза* тельно являются дисперсиями случайных величин 与北・ Обозначение D^ здесь принято для большего соответствия леммы основному материалу главы.

Заметим, что доказанная лемма не может быть получена прямо из [17], где предполагается компактность множества решений {Р}. Формально ее можно рассматривать и как частный случай теоремы о минимаксе [21], поскольку

max D& = max { Е 入七 D& | £ 爲=1,入％》0), кA fc = 1к

и далее для получения и требуемого результата достаточно лишь переставить min и max. Однако стандартная теорема о минимаксе также требует компактности множества {Р}, поэтому приведенное элементарное доказательство леммы вполне целесообразно.

Минимаксные оценки интегралов

Прежде всего отметим, что решение задачи оптимизации оценок интегралов по критерию взвешенной суммы дисперсий хорошо известно (см., например, § 1.5) и выражается соотношениями

min S 型Dh(p)= S ^k(pA) = Gn(A), ★ = 1七=1

где

Ra(x) = “ S 入^工(初忆 c-1 = J [ S 底員 а)]"%%, & = 1X Jt = 1

wn

^(A) = {/[ 2 爲gXx)]hdx}2 一 S 爲笈.

X Jt = 1A: = l

Конкретизация пространства X и меры интегрирования здесь роли не играет, однако для определенности будем полагать, что X — конечномерное евклидово пространство, а интегралы берутся по мере Лебега в X. Ниже рассматривается теорема о минимаксе дисперсий оценок и интегралов.

Теорема 4.1. Пусть

Ро = J sup \gk (х)| dx < 8. • х к

Тогда оптимальная плотность определяется равенством р*(х)= =Ра*(х) , где А* 一 точка максимума функции % (А).

Доказательство. Поскольку здесь

6…篦0)《2( S入Q代，

Л = 1

то условие конечности выражения (1.1) выполнено.

Далее, достаточно убедиться в дифференцируемости величин М% (А) =

=/[ S Xfc^(x)]^dxfgfnCx) [ S 入jtg±(x)】T/2dx =

X Jt = 1XJt = l

= SmgRm2

Взяв производную no 入步 от подьштегральной функции в Sm, получим

Sy)(A) = =/g；(x) [ S Ng沁)F'2dx・

Подынтегральная функция в S#(A) монотонна по 入$ при X/ > О, поэтому проведенное дифференцирование под знаком интеграла допустимо, т.е.

& (A)][・ = S似А)・

Аналогично обосновывается дифференцируемость функции Rm (А). Теорема доказана.

Рассматривается также случай, когда go =g(x,。)зависит or。 непрерывно на конечном отрезке [。⑴,。⑵]• Вводятся обозначения: Л — вероятностная мера на [。⑴，о⑵],

i(P)= «(P, <0,

Ро =/ [ар|(х, а)| ]dx,

j&Ai：? g2(x,a)A* (da),

где 假=(X*, ..., %+i)— оптимальная в смысле теоремы 4.1 дискретная мера для множества значений о, совпадающих с узлами равномерного разбиения отрезка [а^\。偉)]на к частей.

Теорема 4.2.Пусть Ро<°°, 1^(^,^)^а(х，а)1 ^ЛW，

g2 (х, о)无(х)

fS-^-1dx<cl<^ / 々dx<C2 <8.(2.1)

х 9(х)х w(x)

Тогда

Р* (х) = Р(х, А*) = с[/炉(х,о) A* (do)]",

где Л* - точка максимума функции С(Д), определяемой аналогично Gn с заменой сумм на интегралы по мере A(dа), т.&

G(A) = {/ [/g2(久 a)A(do)产 dx}? —//2(o)A(do). x x*

Доказательство. Пусть。「)，. •.，о£")- узлы равномерного разбиения этого отрезка на 〃一 1 = 2加 частей (т.е. при увеличении л старые узлы сохраняются) и /〃(х) =g(x, о^). Тогда при 〃今8 имеем

G； = G〃(X；〃，…，入/)9.(2.2)

Множество вероятностных мер на конечном отрезке относительно компактно [9]. Поэтому из последовательности дискретных мер

{(0p,入;體)，…，储?入/)}, n = 1, 2，….

можно извлечь подпоследовательность мер &, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Л*. На основе (2.2) отсюда получаем G；fG(A*)=G*. Использованный при этом предельный переход под знаком интеграла допустим, так как Ро < °°-

Далее, условия (2.1) обеспечивают равенство

F(p*) = sup Di (р\а) =

=^1 "" -/⑺卜麗尸(哨=

= limsup[/，dx-I2^(2.3).

так как

(X

g2(x,。)=[疗",。)A} (do)产 《 —7- •

9а)

Для сравнения 尸(现)и G； заметим, что

吸"?/吸"?/g；(y,。)P%“)g；(y,。)P%“)dx.dx.

吸"?/

吸"?/

g；(y,。)P%“)

g；(y,。)P%“)

dx.

dx.

где

gi(x, a>«g(x, а(.Л)), и尸 VuC 哨,i= 1,...,以 _ 1, gi(x,o^) = g(x,o^ ), i= 1,…，以.

Поэтому

I尸(PD-Gjfl《尸Yo(暧)(2.4)

Из (2.2)-(2.4) следует, что 尸(р*) =G(A*), откуда, применяя прием из второй части доказательства нашей леммы, получаем, что р* оптимальна. Мера Л* действительно максимизирует G(A), так как

尸(p*)》/D，(p*,o)A(do)>G(A) VA.

Теорема доказана.

Условия этой теоремы носят особенно простой характер, если g(x, о) задана и отделена от нуля в прямоугольнике. Теорема автоматически распространяется на случай интегралов по мере 尸(dx) и многомерного 入；она остается верной, если интервал (入⑴，入⑵)заменить на ограниченную о&тасть, составленную из отрезков и точек.

Практически можно рассматривать приближенную дискретную задачу. С помощью соотношения F(p) > G*> G^ осуществляется контроль над приближенным решением: если для некоторых р(х) и и имеем 尸(p)》G；, то р(х) приближенно оптимальна.

Изучение ряда конкретных примеров показало, что иногда целесообразно использовать

Р 三 Ро(х) = ^о1 sup lg“，。)1 a Dj(ро, и)《

&厶 g)Oo-/2(a)〃J

Если производится минимизация относительных дисперсий

Df (р, о)//2(о), то g(х, ст) здесь заменяется на

lg(x, 0)1厶(。)lg(x, 0)1厶(。)‘口 W*‘口 W*

lg(x, 0)1厶(。)

lg(x, 0)1厶(。)

‘口 W*

‘口 W*

При вычислении двух интегралов от неотрицательных функций gi,g2 целесообразно рассмотреть плотность

р(°)(х) =

&@) + g2 00

Поскольку

“=& +А)-М, 0[Г1(Р(0)) + ?2(Р(0))1 =0,

то Df i(p(0)) =Щ*2(Р(°))・ Следовательно, если gig2 = 0, то р* = 二р(°), так как в этом случае g； +g；三(gi + f2)2• С другой стороны, p(°)оптимальна, если gi 三 & • Поэтому можно ожидать, что р(°)дает хороший результат в широком классе случаев (см. § 4.3). Нетрудно также заметить, что дл只 р「)=gi/A ^ 82lh имеет место равенство относительных дисперсии оценок.

Оптимизация оценок при решении интегральных уравнений

Пусть необходимо оценить линейный функционал /-(屮*, Л), г дед* = К*屮*+ /*, а К*— интегральный оператор с ядром Л(х\ х); предполагается, что спектральный радиус р(К；)之 1, где К* 一 оператор с ядром I左(％', х)|. Определим цепь Маркова Р ={%„} начальной плотностью тг(х) и переходной плотностью р(х‘，л)= =р(х；х); вероятность обрыва цепи в точке х равна g(x')= =1 -/р(х', х) dx; N - случайный номер последнего состояния.

Оценка по столкновениям W и оценка по поглощениям 乃 определяются формулами (см. § 1.6)

N&= Е Qnhix^ л = 0N&= Е Qnhix^ л = 0Qn〃“n)g“N)Qn〃“n)g“N)

N

&= Е Qnhix^ л = 0

N

&= Е Qnhix^ л = 0

Qn〃“n)g“N)

Qn〃“n)g“N)

где

Оо =f(Xo)/W

Qn = Gn- 1 ^(^л- 1，Хп)/р (х„^ i, Х„),川》1.

Если р(х, х) W0 при к(х'9 х) W0 и тг(лг)》0 при『(х) НО, то М^ =(9*,力)，если же дополнительно W0 при h(x) W0, то и Мт?=(з\ Л) (см., например, § 2.1). Далее предполагается, что все указанные выше функции неотрицательны.

Результаты § 4.2 можно непосредственно применять для равномерной оптимизации оценок т?а, связанных с функциями ha = = 〃(х, и), так как оценка 17 с нулевой дисперсией соответствует выборке по важности для интеграла по мере, выражающего Mi? (см. § 2.1). Оптимальной здесь оказывается цепь Маркова РЛ*, соответствующая функции ценности

З + К^ + А*,无* = [f hl Л*(^)]1/2,

где Л* - решение задачи

max { (9*, [/觴 Л @。)]〔АУ - /(9*, Л)2 А®。)}.

л

Для такой цепи

р(х,х) = к (х‘, х) 9 (х)/з，), я(х)=/(х)^(х)/(^,Л*).

Переходя к оптимизации оценок по столкновениям

& =式p,0七)，左=1,…，%

заметим, что существует и единственна (см. § 2.1) цепь 尸，) (Л= (Xi, ..., Х„)), на которой достигается minE入左口£. Итак, применима лемма 4.1, т.е.

min max D^(P, %) к

достигается на цепи 尸£), где А=(入「)，...，入£)) - решение задачи。

max[ S \D^\ok)\ S 入片巾(3.1)

A k=l八々=1

Теорема 4.3. Пусть

D* = min maxDq(尸,oQ, D(。)= min max DW(尸,。力• P кP 七

Тогда 即 &ZT.

Доказательство. Известно (см. § 2.1), что

S爲DK砍0),%)《.2入^伏尸小外).

Ar = l八Л = 1

Позтому，используя лемму 4.1, получаем Иft

0(。)=s入£)*(以。)，%)《s入(？d"尸a,以)ed上 ^ = 1 * Zk =]

Теорема доказана.

При 〃二 2 мера Л определяется одним числом 入 и оптимизация оценок f,i? сводится к решению уравнений

М(Р",5)=М(Р£),б),

D т?(尸入,5 ) = D т?(尸入,& ) •(3.2)

Если 〃1力()三 0, то h* = c(hi +Л2), поскольку легко проверить, что при таком Л* второе из приведенных уравнений выполняется; это же олюсится к оценкам 3, ^2,оптимальным в классе цепей /\ при g 三 0.

Для сравнения оценок по поглощениям и по столкновениям показателен следующий пример. Методом Монте-Карло, как указано

но в [32, с. 189], оцениваются компоненты решения системы уравнений

х = ах + by + 1,

у = bx •¥ ay ^ 1,

причем Q, b》0, 〃+b=qVl. Поскольку здесь hxh2 = 0, то оцен* ки Th, th оптимальны, если D(th +1?2) = 0. В силу симметрии зада* чи та же цепь Маркова, но с нулевой вероятностью обрыва дает наилучшие П, 8. С помощью стандартных фор®л (см. § 1.6) получены следующие выражения для соответствующих дисперсий:

Dt7*(1 - .У，

D^0) = (l-Z>+e)/[(l-^)(l +b-a)]9 々=1,2.

Деля первое выражение на второе, получаем

«% />) = (1 + q)(l 十 b — а)/[(1 -。)(1 - b +。)]》1, например г(0,6, 0,2) =21, r(0,2, 0,6) = 27/7.

Рассмотрим практически важную задачу построения весовых оценок, эффективных при вычислении функционалов от решений многих уравнений с помощью моделирования одной цепи Маркова^ В принципе, интерпретируя весовые алгоритмы как векторные, можно записать решение такой задачи в форме (3.1), так как по аналогии с [70] здесь получается существование и единственность цепи, на которой достигается минимум из (3.1)： Однако эта цепь немарковская и практически трудно реализуется. Поэтому далее предполагается специальное приближенное решение рассматриваемой задачи; дополнительные соображения в пользу этого решения будут приведены в § 4.1, 4.2 на основе векторной интерпретации весовых алгоритмов.

Средние квадраты оценок по столкновениям и поглощениям выражаются в виде (X, q〃), где qh (х) - связанные с h(x) весовые функции, а х определяется уравнением (см. § 1.6)

Х(х)=/Х(х)=/р(К,х) )吨)*р(К,х) )吨)*

Х(х)=/

Х(х)=/

р(К,х) )吨)*

р(К,х) )吨)*

Это уравнение показывает, что для равномерной оптимизации оценок целесообразно р(х',力 подбирать так, чтобы возможно меньшей была величина

后2年,%)Р(х',х)后2年,%)Р(х',х)

后2年,%)Р(х',х)

后2年,%)Р(х',х)

если эта величина меньше единицы, то, во всяком случае, дисперсии оценок по столкновениям конечны.

Далее, если рассматриваемая задача зависит от параметра а, то следует минимизировать величину

±2(х',х,。)к2

R(p) = sup sup J —dx = sup sup J — dx.

Это можно осуществить путем решения задачи

inf sup / 卜 @ 广。)dx V хУ %,(3.3)

р ор(X , X)

которое основано на теореме 4.2, с заменой D{ на М找，т.е. при

G(A)={/[/H(x',x, о) A (do)]〔J dx}2.

Рассмотрим задачу теории переноса излучения, для решения которой можно использовать так называемый метод подобных траекторий (см. § 1.6). Интегральные уравнения переноса решаются для среды определенной конфигурации, но с различными значениями полного сечения о из интервала (5, д) путем моделирования одной цепи Маркова с переходной плотностью р(х', х). Для простоты будем полагать, что среда ограничена выпуклой поверхностью, вне которой находится абсолютный поглотитель; вследствие этого пространственный множитель ядра уравнения нормирован (см. § 1.3). Кроме того, производится прямое моделирование рассеяния, т.е. угловой множитель плотности р(х', х) равен угловому множителю ядра %(х', х, о) и в (3.3) он опускается после интегрирования по углу рассения. Поэтому можно считать, что

±6(х',х, o) = oe"ot9 г >0,

где г - длина свободного пробега между х и х. Следовательно, минимизация R(p) здесь сводится к построению плотности 〃*(£), на которой достигается minR (р). где

a2 ехр{-2ог} 々(р)= max / —dt,

Oj < а< o2p

Заметим, что метод подобных траекторий состоит в использовании плотности вида p；(f) = a*e~ot (г > 0). Простые выкладки показывают, что оптимальным в рассматриваемом смысле является о*н2од/。+ а2), причем

&5：)=1 +&5：)=1 +丄但 4\а2丄但 4\а2

&5：)=1 +

&5：)=1 +

丄但 4\а2

丄但 4\а2

Оказалось, что с большой степенью точности оптимальная плотность

〃*«)=[入山ехр{-2о"}+，(1 一入)质ехр{-2(М}产Г

т.е. мера A*(do) здесь сосредоточена на концах интервала (аь а2). Так же как во второй части доказательства леммы 4.1, это следует из соотношений

М?(5,р*) = М 尸 S，P*),

М^9，р*)《МЕ2(С1,р*),力《。《。2,

которые были с достаточной точностью проверены численно для широкого диапазона значений © при s = 1. Расчеты показали, что значение 吊(р*) = 1,54 при 力=1, а2 = 10, в то время как &(Р；)= 3,525.

Однако плотность р*(£) неудобна для практической реализации весового моделирования в теории переноса. Поэтому целесообразно использовать более простые приближенно оптимальные плотности. Поскольку минимаксная плотность р* здесь также мини* максна для задачи всего лишь с двумя значениями параметра, то целесообразно использовать (см. § 4.2)

Р(0) (0 = (^1 片。"+ де'")/2.

Расчеты показали, что для рассматриваемой задачи D{(a, р(°)) & &D貝s, р^) (。1《。《02)и 尸МР(°))=戋(％, р(6) = 1,56 (01 = 1, о? = 10), т.е. простая для реализации плотность p(°)(f) здесь высокоэффективна.

Заметим, что в данном случае практически не обязательно проверять условия теоремы 4.2, так как условия теоремы 4.1 для двух интегралов выполнены'и заведомо выполняются неравенства G*》G；, F(p^)>G\ т.е. 1,54<G*< 1,56, где G* = min尸(р).

Для решения систем интегральных уравнений можно использовать векторные алгоритмы метода Монте-Карло, основанные на использовании матричного веса, который после перехода х f х домножается слева на К(х', х)/р(х\ х), где K(xft х) - матрица ядер системы. При этом ковариационная матрица векторной оценки решения определяется специальным матрично-интегральным уравнением второго рода; норма соответствующего оператора определяется выражением вида [68] т

sup / [ Д ] I 闻• М х)| F [р “',X)]-1 dx.

Таким образом, для равномерного улучшения векторных оценок целесообразно решать минимаксную задачу типа (3.2) способом, указанным в теореме 4.1. Такая методика оптимизации векторных алгоритмов будет детально рассмотрена в гл. 5.

113113Г.А. Михайлов

113

113

Минимаксный выбор первого шага в цепи Маркова

Рассмотрим стандартную оценку решения интегрального уравнения з + Л в виде (см. § 1.6)

k(x,xi)

5岭)+又而".•

Предположим теперь, что первый шаг х 今 х〔 осуществляется соответственно плотности р()(Xi), не зависящей от хи такой, что Ро &1) # 0, если Е(х, к】)W 6 для любогохЕ DC X. Тогда случайная величина

(4.1)

представляет собой несмещенную оценку решения 9(х), т.е. М“°) =9(х) для любого х Е D. Следовательно, (4.1) дает возможность оценивать методом Монте-Карло решение во всех точках области D на одном и том же наборе реализаций траектории {хл} (w = 1,2,...).

Дисперсия оценки &〕°)выражается формулой

炉(X,Xi)炉(X,Xi)/ РоМ)/ РоМ)崂,“Tj%(x,/)9g)注产崂,“Tj%(x,/)9g)注产Рассмотрим теперь задачу определения плотности р^(%1), на которой реализуется минимаксРассмотрим теперь задачу определения плотности р^(%1), на которой реализуется минимаксmin max *，).min max *，).(4.2)(4.2)

炉(X,Xi)

炉(X,Xi)

/ РоМ)

/ РоМ)

崂,“Tj%(x,/)9g)注产

崂,“Tj%(x,/)9g)注产

Рассмотрим теперь задачу определения плотности р^(%1), на которой реализуется минимакс

Рассмотрим теперь задачу определения плотности р^(%1), на которой реализуется минимакс

min max *，).

min max *，).

(4.2)

(4.2)

Для простоты изложения, а так/ учитывая специфику реальных расчетов, будем полагать, что множество D состоит из.конечного числа точек. Предположим далее, что выполняется достаточно реальное условие

/S叩[1先(%,x1)[厶叁]必1 < 8.

Тогда лемма 4.1 и теорема 4.1 непосредственно распространяются на рассматриваемый случай и

P8^i) = Po(^i,A*)= —~г~^——，

J [Mg I / 改2 a, %])а* @х)] i/2厶 1

где A* — точка максимума функции

G(A) = (/[M腔 必2(X,修)a(必产2公丿2 一

- /["住》1)3(X1)分1]2A(公). X D •

Здесь A — вероятностная мера на множестве 曾.

114

Выражение для pj (х) существенно упрощается, если использовать приближенное равенство Mg * const, которое имеет смысл в тех случаях, когда функция

fk2(xtXi)A*(dx) D

меняется существенно сильнее, чем М?^ . Иногда более подходящим может оказаться приближение М些］^с，(%).

88Частным случаем (4.1) является известная оценка решения уравнения Пуассона внутри шара с центром в точке %, целиком лежащего в заданной области (см. § 1.4, 1.6). Рассматриваемая методика, таким образом, может быть использована для оптимизации этой оценки. Ядро к(х, Xi) здесь представляет собой нормальную производную от соответствующей функции Грина в точках сферы 5(%о), на которой сосредоточена мера интегрирования по Xi (см. § 1.4). Величина А (г) выражается интегралом от правой части уравнения Пуассона с весом функции Грина по объему шара. Если этот интеграл оценивается по одному узлу, то его следует выбирать соответственно минимаксной плотности, построенной в § 4.2. Заметим, что если используется приближение 而 ccSist и область D обладает симметрией вращения относительно xQ, то минимаксное распределение Xi равномерно на S (jco) в силу симметрии функции Ерша.

8

8

И5

Глава 5ВЕКТОРНЫЕ АЛГОРИТМЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

Векторные алгоритмы метода Монте-Карло используются для решения систем интегральных уравнений. Их характерной особенностью является матричный вес, который после каждого перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на матрицу ядер системы, поделенных на переходную плотность. Известны векторный алгоритм решения системы уравнений переноса с учетом поляризации [55], векторный алгоритм решения многогрупповых уравнений переноса -[90], векторный алгоритм сочетания метода Монте- Карло с методом конечных сумм [66], векторный алгоритм решения метагармонического уравнения [84]. К векторным можно отнести также весовые алгоритмы типа метода подобных траекторий (см. § 1.6) [32], используемые для одновременного решения уравнений с ядром, зависящим от параметра.

В § 5:1 выводится матрично-интегральное уравнение, определяющее дисперсию векторных оценок. На основе этого уравнения и результатов гл. 4 предлагается достаточно простой способ построение весовых векторных алгоритмов с гарантированной рав> номерно минимальной оценкой дисперсии. Рассмотрены применения этого способа для улучшения алгоритмов решения многогрупповой системы уравнений переноса и алгоритмов сочетания метода Монте-Карло с методом конечных сумм. Исследована дисперсия оценок для системы уравнений переноса с учетом поляризации. Изучаются также векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения систем интегральных уравнений е треугольными матричными ядрами.

На основе полученных общих оценок сформулирован простой криерий конечности дисперсий для векторного алгоритма реше* ния многогрупповой системы уравнений переноса. Построены системы, компонентами решений которых являются итерации резольвент интегральньзх операторов, а также в некотором смысле более общие системы функций. На этой основе построены новые векторные алгоритмы для реализации специальных итерационных процессов решения интегральных уравнений второго рода в слу-

чаях; когда не сходится стандартный ряд Неймана. Кроме того, построены векторные весовые оценки используемых в теории возмущений билинейных функционалов; изучен вопрос о конечности дисперсий оценок производных от линейных функционалов по параметрам задачи. Предложен также, новый векторный алгоритм метода Монте-Карло для расчета эффективного коэффициента размножения. В заключительных параграфах рассмотрены общие принципы минимизации дисперсий векторных оценок и асимптотические свойства рандомизированного метода конечных сумм.

Дисперсия векторных алгоритмов

Рассмотрим систему интегральных уравнений второго рода:

(1.1)(1.1)т

(1.1)

(1.1)

例(х)= jg』&/• (xty)^(y)dy+hi(x),

или в векторном виде

Ф=КФ+Н,(1.Г)

где Н = (〃 1,...,厶加)£丄8, KWLg f Lt», Ф —(仍,• • •,屮т ),

仍卜=vrai sup I hi(x) |; 00 i,x

интегрирование производится по мере Лебега в евклидовом пространстве X.

Предполагается, что спектральный радиус р(К) < 1. Рассмотрим также цепь Маркова {х/ (и = 0,..., ^ с плотностью перехода р(х, у), причем величина 1 一 /р(х, y)dy > 0 рассматривается

как вероятность обрыва цепи в точке х, N — случайный номер последнего состояния х0 =х.

Стандартная векторная оценка метода Монте-Карло для Я(х) строится на основе соотношений

N

Ф(х) = m也, & ="(X)+ S0〃"(二), и = 1

2。=/， Qn^X =QnK(XnfXn+1)lp(XnfXn^x),几=0, 1,. • •,

где / - единичная матрица, а К(х, у) - матрица ядер {&/(х, v)} (/, / = !,...,«). Заметим, что соотношение Ф(х) = М自丫 справедливо при выполнении аналогичных рассмотренным в § L6 условий несмещенности и дополнительного условия p(Xj) < 1, где Ki — оператор, получаемый из оператора К заменой ядер на их модули [68].

В [68] получено уравнение для ковариационной матрицы:

■ /、/г К(х,у)屮(у)К'(х,у)

中(х) = x(大)+ /；_；也(L2)

х P(xj)

где х = 〃◎'+ Ф"'- НН： Это уравнение рассматривается в пространстве L « матричнозначных функций с нормой

II 屮IIu vrai sup I Wj/(x)I;

x,ij

в дальнейшем символ vrai будем опускать. Далее приведен более простой, чем в [68], вывод уравнения (1.2), который будет использован, по существу, в § 5.2. Приведен также отсутствующий в [681 вывод выражения нормы матрично-интегрального оператора Кр Е [L^ —丄8卜 о пределяемого ^интегралом из (1.2). Оператор, получаемый из Кр. заменой ядер &/ на модули, будем обозначать символом 龜].

Лемма ЗЛ.Если р(К}) < 1, p(Kpj) < 1, го Ф(х) = М(^С) является решением уравнения (1.2).

Доказательство. Учитывая значение 扌 v, получаем

,К(х, х) ,, K'(x,xi)

= "/' +」一~吟-——+

р(х, Х1)Р(х,х】)

I К(у,М),К'(х，Н)

*р(х,м)勺 р(х, Х|)'

где Я = Я(х). Математические ожидания второго и третьего слагаемого здесь равны соответстйенно (Ф - 切〃'и Н(Ф‘ - 〃'), причем эти величины в сумме с НН' дают х • В силу того что「(％) < < 1, математическое ожидание модуля последнего слагаемого конечно. Поэтому его можно осреднять повторно - сцачало условно при фиксированном 勺，а затем по х〕，что и дает интеграл из (1.2). Лемма доказана.

Лемма 5.2. Пусть ядра системы (1.1) измеримы как функции (х, у) 6 X X X. Тогда

/И

(三％・(Х」)|)2

II Кр・ В =sup /dy.(1.3)

Доказательство. Оператор Кр является линейным интегральным оператором, действующим в пространстве векторных функций Ф с компонентами 屮炉.Согласно общей теории интеграль*

ных операторов с измеримыми ядрами,

где Ki - матрица из модулей ядер,丄-матрица, состоящая из единиц:厶j 三 1. Поскольку L = 〃‘，где/' = (1,.. ., 1)，тоК】£К〔= = (KJ)(K")',

(K.LK^^i^ I ^u^dc.S^ IM^^)D-

В силу неравенства Шварца недиагональные элементы матриц- функций &1 丄 мажорируются диагональными, поэтому лемма доказана.

Методом Монте- Карло обычно оценивают линейные функционалы вида

/-(F, Ф)= / 尸(х)Ф(х)〃.

где U(x)=(力(х),...，力〃 (х)), причем

、1丿匕=g / I力(x)|dx<8.

/ = м/ = мl я(х0)l я(х0)Пусть точка х0 распределена с плотностью вероятностей я(х) такой, что я(х) # 0, если 尸'(х) Ф(х) W 0. Тогда очевидно, что

/ = м

/ = м

l я(х0)

l я(х0)

{ N 尸'(X。)]( N

2 -—еиЯ(х/?) =М 2 Hf(xM л =0 Я(Хо)J( и =0

Случайные векторные веса 0? =07户a0)/行(x0у вычисляются по формуле

0? = [Kf(xn - 1, хп)/р(хп _ 1, х„)] 43 •

Именно такой векторный алгоритм, соответствующий представлению / = (Ф* Я), и сформулирован в [55]. Заметим, что в [55] уравнение Ф* = К*Ф* + F рассматривается как основное и веса преобразуются нетранспонированным матричным ядром, ая

* =尸也)&“(Хо), получаем

Mf2 =М{Г(хо)<Хо ^оГ(Хо)/7г2(хо)}=

= М{Г(хо)Ф(Хо)Яхо)/я2(хо)}.

Таким образом, дисперсия Dj определяется матричнозначной функцией Ф(х) .В частности, Df <°°, если р(Кр) < 1,| Е(х)/тг(х) | < < б < °°.

Оператор Кр оставляет инвариантным конус ковариационных матриц-функций, поэтому естественно предположить, что максимальному собственному числу р(Ар) соответствует собственная ковариационная матрица S (х) (для этого достаточно, чтобы оператор Кр был вполне непрерывным). Далее будем существенно использовать неравенство

a[l-ll%ll]T《 sup 11Ф11<[1- ^Кр II]'1.(1.4)

II X И = 1

Можно надеяться, что в некоторых случаях постоянная а в (1.4) не слишком отличается от единицы. Это, в частности, показывает следующее утверждение, в котором предполагается, что матрица К(х, у) диагональная (что имеет место для метода подобных траекторий).

Теорема 5.1. Пусть %〃 = 0 для i W /, собственному числу р(Кр) соответствует собственная ковариационная матрица 5 (х), II5 II = 1 u II Кр II < \. Тогда

[1 -р(Кр)]'1 < sup 11Ф11<[1 -Up II]'1.(1.5)

II х II = 1

Доказательство. Правая часть неравенства (1.5) очевидна, а левая верна, если отсутствует такое Я, что х = 5, так как при этом норма решения уравнения (1.2) равна [1 — р(К^)]^. Уравнение х = S в данном случае эквивалентно совокупности уравнений

hi(x)\2^i(x)-hi(x)] = S〃・，

6 = Кцб + 比，

i= 1,…，m,

разрешимость которых известна (см. теорему 2.3). Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что р(Кр) = II 勺 II, если К(х, у) и р(х, у) зависят только от разности аргументов. Теорема 5.1 показывает, что в этом случае для К(х, у) с диагональным преобладанием границы в неравенстве (1.4) действительно близки. Это верно и для верхних треугольных К(х, у) при условии, что в (1.3) последний интеграл играет существенную роль (такое условие выполняется для многогрупповых моделей теории переноса). Таким образом, при решении ряда задач в качестве практического критерия равномерной оптимальности весового метода, т.е. цепи Маркова, можно рассматривать величину ^Кр II, т.е. р(х, у) целесо-

образно определять путем решения задачи т

(У】 |%(Х，У)|)2

、inf sup i^~力，x£X(1.6)

P I x P(”)

Решение минимаксных задач такого типа рассмотренно в гл. 4.

Можно заметить, что критерий (1.6) несколько сильнее критерия inf II Кр II. Оптимизация по критерию (1.6) равномерна относительно х, т.е. и относительно линейных функционалов вида (尸'，Ф) (см. [68]). При численном решении задач теории переноса максимум дисперсии вычисляемых оценок при вариации р (х, у) всегда рос или убывал вместе с II Кр II, что подтверждает практическую эффективность критерия (1.6). Заметим также, что этот критерий точен, если№ 1 в выражении для ^х.

Равномерная оптимизациявесовых методов Монте-Карло в теории переноса

Весовым методом, например, пользуются для одновременного решения многих интегральных уравнении с ядрами к(х, у; », где о .- параметр, например плотность среды (см. § 1.6). Соответствующий алгоритм можно рассматривать как реализацию векторной оценки решения системы уравнений с диагональнь^м ядром. Простое изучение стандартных весовых модификаций моделирования процесса переноса [32] показывает, что для них границы неравенства (1.4) действительно близки, если среда имеет большой оптический размер т:

Таким образом, оптимизацию весовых методов в теории переноса целесообразно осуществлять путем решения задачи

inf sup /；止 力，X £ X(2.1)

pox p(x,y)

Решение этой задачи упрощается при зависимости ядра к только от разности аргументов, что приближенно выполняется, если среда достаточно близка к однородной. Заметим, что соответствующая оптимизация метода подобных траекторий (см. § 1.6) сводится к следующей простой задаче:

а2 екр ｛亠2叫

min max /<(2.2)

p J《о v。2 О р(/)

сформулированной из эвристических соображений в § 4.4. Детальные численные исследования (в том числе и моделирование процесса переноса) в [72] показали, что при больших г практичес-

ки почти оптимальной здесь является плотность

P(0 = (。1e_% 1 + б^一厶 ‘)/2. (2.3) Заметим, чго в случае одного уравнения оптимальным в смысле (1.6) оказывается прямое моделирование.

При маленьком значении т использование плотности (2.3) является необоснованным. Однако в этом случае целесообразно использовать плотность вида (2.3), но с заменой функции 庞一必 на функции ое^а1(1 — e~a/max)-1 (0<Z< /тах), т.е. разыгрывать для обоих значений а пробег без вылета [32, с. 178]. Согласно § 4.2, при этом можно надеяться даже на некоторое уравнивание относительных среднеквадратичных погрешностей оценок вычисляемого функционала для различных значений а

Рассмотрим теперь оптимизацию векторного алгоритма для решения многогрупповой системы уравнений переноса при изотропном рассеянии [90]. В случае однородной среды здесь имеем (см. § 1.3)

Ц^ У)= соуе~^1г

где s - полное транспортное сечение для i-й группы, а；/ — сечение перехода из Ай группы в /-ю, а / - расстояние между точками пространства, соответствующими фазовым точками х и у. Таким образом, (1.6) сводится к задаче

min шахр «min шахр «了 q”；exp{-2。"}了 q”；exp{-2。"}ооР(0Р(0

min шахр «

min шахр «

了 q”；exp{-2。"}

了 q”；exp{-2。"}

о

о

Р(0

Р(0

(2.4)(2.4)

(2.4)

(2.4)

причем qi < 1, если не учитывается процесс размножения частиц.

Сравнение (2.2) и (2.4) показывает, что практически эффективной здесь может быть плотность вида (2.3) с заменой4^,内 на сечения групп, близких к границам спектра системы. Это предположение было подтверждено численными экспериментами с использованием 26-группо вой системы постоянных для критического шара из стандартного делящегося вещества [1, с. 183J со спектром, возникающим в результате замедления спектра деления неупругим рассеянием (пространственная плотность делений была взята в виде sin (кг)/г). Величина (2.4) с точностью до двух десятичных знаков оказалась равной 0,72. Спектр системы сосредоточен в группах от нулевой до одинадцатой, а практически оптимальна плотность

p(/) =入020-°2‘+(1 -入)5/ 「% 。‘,入= 0,394.(2.5)

Поясним, как долучены эти результаты. Согласно § 4.2, минимакс (2.4) достигается на плотности вида

尸а (?) = с [干入/ q?o；exp {-2ar7}]1/2, А = { 2 }, для значения вектора А= А*, максимизирующего функцию

G(A)=[ 了 [ZXiqjo] exp{-2a/Z}],/2 dl} 2 0 i

при условии

S\= 1,为>0, z = 0,...,ll.

Значение G(A*) при этом равно минимаксу (2.4). В § 4.4 указано, что при ^/ = 1 минимаксная мера А* для совокупности экспонент сосредоточена на концах интервала значений а, т.е.

А*=(Л*,0,...,0,1 -入 *).

и практически оптимальна плотность вида (2.3).

В данном случае величины 伙 варьируют не сильно, за исключением значении q@, qi, q^, которые существенно меньше остальных. Поэтому была найдена величина

G；jQ=max {G(A)|“ =入，入 io = 1 -入,0 V入 < D =0,716

и соответствующее значение 入二入* = 0,30. С другой стороны, оказалось, что для плотности (2.5)

~ q；o；exp {-2。〃}

尸g)= max一《— dl = 0,72k

i оp(0

Поскольку для точного значения минимакса (2.4) очевидно выполняется неравенство

G；,io《G(A*)《勺О,

то плотность (2.5), действительно, практически оптимальна.

За 14 с времени счета на ЭВМ БЭСМ-6 с помощью соответствующего векторного алгоритма была получена погрешность 0,02 一 0,03 в отношениях значений спектра вылетающих из шара частиц к соответствующим значениям спектра деления; указанные отношения леж^т в пределах 0,4 一 1,4. Для получения такой же погрешности прямым моделированием необходимо примерно в 100 раз больше расчетного времени. Было также выяснено, что векторный алгоритм удовлетворительно оценивает даже малые (сравнительно с вычислительной погрешностью) флуктуации спектра. Заметим, что предположение о близости границ в (1.4) здесь также выполняется — это показывают, простые исследования спектрального радиуса оператора Кр в бесконечной среде.

В нейтронно-физических расчетах по методу Монте-Карло часто используют так называемую оценку по пробегу, для которой

функции Л зависят от двух смежных пространственных точек цепи столкновений (или рассеяний), т.е.厶 =Л (гл,『〃 + 】). Для таких оценок можно построить весовые модификации, перейдя к новой цепи Уо, • • • , уп, где уп = (%, г篦 + i) • Соответствующие уравнения для средних квадратов оценок фактически имеют вид (1.2) (см. § 2.2). Следовательно, для равномерного улучшения весовых оценок по пробегу также целесообразно использовать соотношения (2.2), (2.3).

Векторный алгоритм, связанный с расслоениемпо одной из переменных

Интегральное уравнение 9 = Kw + h можно записать в виде системы [66]

9(Х)= S М%у)屮 00® + 力(х),х£。)叫 i=l …・，ДИ.

К Di (3.1) С помощью замены переменных далее можно свести эту систему к виду (1.1). В [66] получены некоторые асимптотические оценки трудоемкости соответствующего векторного алгоритма при равномерном уменьшении диаметров областей l/^ . Они, в частности, показывают, что если размерность задачи больше единицы, то существует некоторое оптимальное конечное значение 九 т.е. при использовании метода конечных сумм в сочетании с методом простой итерации целесообразно остановиться на некотором значении т, а возникшую погрешность уменьшить путем осреднения независимых реализации соответствующего алгоритма. Заметим, что в [66] рандомизированный метод конечных сумм сформулирован в несколько более общем виде^ а именно: не осуществляется указанная выше замена переменных, а вместо случайной точки хп рассматривается случайный вектор Хп с компонентами %：)W G Д (i = 1,…，т) н соответственно в знаменателях весовых множителей вместо р(хп_ i9 х„) используются значения маргинальных плотностей точек х*)(см. § 5.10).

Рассмотрим теперь случай, когда х = (z, 〃)，причем 2 - одномерная переменная, меняющаяся на конечном интервале (0, Т). Все элементы уравнения предполагаются неотрицательными. Для построения системы (3.1) слой X = {(z,&: 0《z & Т} разобьем на слои D.^ (z = 1, ..., ш) одинаковой толщины Т『т. С помощью сдвига переменных эти слои переводятся в один элементарный слой D^ = {心,〃)：0 &z & Т/т}.

В результате получаем систему

т屮 Gi) = h(x» S > =1т屮 Gi) = h(x» S > =1几/*")9伪)物，e，•几/*")9伪)物，e，•，“，“(3.2)(3.2)

т

屮 Gi) = h(x» S > =1

т

屮 Gi) = h(x» S > =1

几/*")9伪)物，e，•

几/*")9伪)物，e，•

，“

，“

(3.2)

(3.2)

где у,=出，从')，z/ = z' + (/ - 1) T[m, у = (z\ M)Q《zYT/m, а х определяется аналогично, но без штрихов. Легко заметить, что yjCDj, yED^.

Пусть рт(х, у) - некоторая плотность перехода в D^, а {与^)} — соответствующая векторная оценка решения системы (3.2). Построим оценку сверху для дисперсий на основе матрично-интегрального уравнения (id),воспользовавшись неравенством Шварца:

М(爵 W；7))& 倒歌21Vцу)2]1/2,

из которого следует, что матрица Ф(у) мажорируется матрицей 3黑)屮黑)'，где w黑)一 Вектор с компонентами "外”"？/2 (/ = 1, ..., w). Элементарный анализ соответствующей оценки подьштегрального выражения в (1.2) показывает, что

Mg严《 т

&х(х。+^)1^ k(xbyj)\^^2] 1/2] 2 р^(х, у) dy. (3.3)

Рассмотрим теперь уравнение

g配(X)=

т

=х(х) + 从m) [.?]絵，y^^l2(ydVP^ixDf y)dyt x £X, (3.4) правая часть которого получена путем склеивания правых частей системы неравенств (3.3) по i; значение xD определяется равен* ctbomz = Z£> +(z — l)T/m (х£0).

Предположим, что ограниченное решение уравнения (3.4) единственно и'может быть определено итерациями, начинающимися с g(°)для любого g(°)£ Лоб (А"). Тогда на основе леммы 1.1 из (3.3) следует неравенство mC^J, < gm (х), которое можно записать следующим образом:

М&”《^(х), #£*,(3.5)

где 扌]力)2 получается путем склеивания величин 与У 2.

Сделанное выше предположение о свойствах решения (3.4) вытекает из § 3.2 в условиях приводимой далее теоремы 5.2 об оценке предельного значения величины М^ш^2. В этой теореме

использованы представления ядра k(xf у) и плотности перехода р(х,у) вида

左(工 у) = %Q)(х, 〃')左S)((z> 〃'),z'), jk^ dz

Кроме того, предполагается, что увеличение w производится путем введения дополнительных границ разбиения, т.е., например, т =

=2上

Теорема 5.2. Пусть выполняются условия:

D Рм(х,少)=Р⑴3〃')Р俨Qz'),

T/m

"^)(〃,Z)=/(2)@,Z)[ j p(2)@,z)dz『，

причем плотность p^ обладает следующим свойством однородности: ее сужение на интервал заданной дллны инвариантно (с точностью до сдвига переменной) относительно положения интервала на вещественной оси;

дляп.в. (z, “) полное множество точек разрыва функций М" ((z, “), z‘), рС) Q',z'),gm(y) (m '= 1, 2, ...) по z' конечно, причем плотность р^> 0 и непрерывна при z' = 0;

gw(x) V с < 8 для некоторого значения m “

公 2)((z, д'), z') < c@') V 8；

咖 YqCl.咖 YqCl.

咖 YqCl.

咖 YqCl.

Тогда

lim Md^g = G(x)《g(x),, m f °0

где Н (х) - единственное в L^ решение уравнения

g(x) = х(х) +

+ / & 弋 咖[/ k^^z, H，\z)g1/2(y)dzf.(3 6)

Доказательство. Достаточно ясно, что при выполнении условия 1) оценка g“?)при введении новых границ разбиения получается из исходной путем условного осреднения. Поэтому

m扌")2 1G(X),加 f 8.

Далее, уравнение (3.4) определяет средний квадрат скалярной оценки для следующего способа моделирования значения z': сначала оптимально выбирается номер слоя /, а затем в D严 выби* 126

рается z' соответственно рт (w = 1, 2, .. .) (см. § 3.2, где также доказано существование единственного решения уравнения вида (3.4), (3.6) при условии 4)). Поэтому

帥(х) I g* (х) & с,

С учетом условий 2), 3) интеграл в правой части уравнения (3.4) можно представить в виде

左⑴ 2(x, d),Lx

X Ц k(2)((zGz?g了圻)三[1+0伐加. (3.7) По теореме Егорова (см., например, [10]) сходимость gm(х) 1 I g*(x) почти равномерна, поэтому с. учетом условия 3) можно утверждать, что (3.7) сходится к интегралу из правой части равенства (3.6) с заменой g nag*. Таким образом, в (3.4) можно перейти к пределу, и g*(x) =g (х). В силу (3.5) теорема доказана.

Заметим, что реальными вариантами р^ являются плотности экспоненциального и равномерного распределений. Такой ограниченный выбор варианта р О не имеет, однако, существенного значения при больших значениях т, так как для малых толщин элементарного слоя подходящие плотности практически эквивалентны равномерной.

Заметим, также, что уравнение (3.6) соответствует скалярному алгоритму с оптимальным моделированием длины пробега частицы. Из этого, в частности, следует, что если рассеяние моделируется по ценности (см. § 2.1), Tog(x) = (М^х)2 (см. § 3.2) и при m — 8 дисперсия векторной оценки стремится к нулю.

В качестве примера использования полученных выше теоретических оценок рассматривается уравнение переноса односкоростного излучения в плоском слое вещества 0《z & Т с функцией рассеяния w(〃，〃')，средней длиной свободного пробега 1/а = 1, вероятностью выживания при столкновении q (〃 - косинус угла между направлением пробега и осью z). Для этого уравнения (см. § 1.3) %(z,〃； z 9^) = ^9^) exp{-(z‘一z)/〃}| 41Tliри (z‘ -z)“ > 0 и %(z, “; z[ д') = 0 в противном случае; здесь -1 & 《〃& 1, 0《z《1. Если положить 力(z, 〃)= ехр{ -| 7 - z | 仅} при д > 0 и Л (z, д) = 0 в противном случае, то значение 屮(z, 〃) имеет смысл вероятности вылета частицы через границу z = 7 для источника единичной мощности в точке (z, д).

Слой 0 & z《Т разобьем на т слоев одинаковой толщины Т/т\ векторный алгоритм решения полученной таким образом системы состоит в том, что точка столкновения моделируется в пределах

элементарного слоя, а несмещенная оценка з строится с помощью соответствующего матричного веса.

exp {-Q-z〃t)/%t}ап — 1 Дп— 1exp {-Q-z〃t)/%t}ап — 1 Дп— 1Z〃一 1 &Z《"m,Z〃一 1 &Z《"m,В [66] из эвристических соображений был использован следующий алгоритм (А) моделирования пробега частицы (т.е. выбора нового столкновения): частица движется по направлению пробега до границы элементраного слоя, затем переходит на противоположную границу и движется в том же направлении; длина пробега экспоненциальна в интервале (О, Т/\ 加〃 | ). Соответствующая плотность р〃(2)распределения z' при фиксированном зна- чении^„ _ 1 выражается для д„ _ ! > 0 формулой

exp {-Q-z〃t)/%t}

ап — 1 Дп— 1

exp {-Q-z〃t)/%t}

ап — 1 Дп— 1

Z〃一 1 &Z《"m,

Z〃一 1 &Z《"m,

Рп Q)=

где ап_х = 1 - exp { -7/ (mдл_ х) } . Пространственный весовой множитель q* = О ®, z»)亩 этом случае имеет вид

an-i [ехр {~~—~}](')'i>/Cz“《z”一1,

ехр|-^, i>j ^zn

0,Z</U(/ = znzw<zw_1).

Для 〃〃一 1 < 0 плотность p〃(z) и весовой множитель строятся аналогично.

Можно использовать также более простой для теоретического исследования алгоритм (Б): z' выбирается в интервале (0, Т/т) с плотностью с I 〃 I т ехр {т/1 〃 ]}.

Рассеяние в обоих алгоритмах моделируется согласно w@,〃').

Лемма 5.2. Для алгоритма (Б) существует такое mQt что Sm(x) <с<°° Хр〃 m>mQ.

Доказательство. Как было указано выше, величина gm (х) равна среднему квадрату скалярной оценки, которая получается в результате оптимизации выбора слоя при моделирова* нии z‘. Ясно, что в качестве первого этапа такой оптимизации можно рассматривать сужение плотности на те слои, которые пересекают направление пробега частицы. При этом получается алгоритм (Бо) с весами, отношения которых к весам оценки прямого моделирования без вылета [32, с. 176] равномерно стремятся к едини- 128

це при 加 今°°・ Поскольку дисперсия для прямого моделирования конечна, то, начиная с некоторого значения w, конечна также дисперсия для алгоритма (Бо) и тем более конечна величина gm (х), соответствующая полной оптимизации выбора слоя. Лемма доказана.

Лемма 5.3. Алгоритм (А) асимптотически при Т ->°° оптимален по критерию (1.6).

Доказательство. Для определенности будем считать, что д > 0. Тогда

mm

ZMj(x,y)》2 局(х,У),i=l,・.・，加.

/= 17=1

Следовательно, для достижения минимакса достаточно минимизировать первый интеграл в (1.6). Отсюда, используя принцип выборки по важности (см. § 1.5), получаем оптимальную плотность

m

р*(х,у) = с / У] &№，у) =

= cpA(xty)卜+小卜击川，

где Ра(х，У)— плотность перехода для алгоритма (А). Лемма доказана.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости теоремы 5.2 для алгоритма (Б). Справедливость условий 1), 2), 4) здесь очевидна, а условие 3) выполняется в силу леммы 5.2. Таким образом, при достаточно больших ли алгоритм (Б) дает дисперсию, практически не превосходящую дисперсии скалярного алгоритма с оптимальным моделированием длины пробега. Если при этом рассеяние моделируется по ценности, то дисперсия близка к нулю.

Ясно, что асимптотически при т -*'«> алгоритм (А) эквивалентен алгоритму (Б), а для w = 1 алгоритм (А) существенно лучше; этот алгоритм лучше и в вычислительном отношет»ии, так как в нем особенно просто вычисляются веса. Поэтому с учетом леммы 5.3 можно заключить, что практически следует использовать именно этот алгоритм.

В [66] рассматривалась конкретная задача переноса излучения через плоский слой вещества с изотропным рассеянием при Т 三 20, q = 0,8; частицы "стартуют" с плоскости z = 0 в направлении оси z, т.е. х = (0, 1). Были проведены расчеты вероятности прохождения Р = М^т методом Монте-Карло с различными значениями параметра т. Одновременно оценивалась дисперсия 唸=D%. Повторные расчеты показали, что Р ^ 0,91 • 10~6. Хорошо известно, что статистические оценки математического ожидания и диспер-

1291299. Г.А. Михайлов

129

129

Таблица 1

Результаты расчетов

т±*ат * 1®7^ат' 1®1

о 5 7 1 275379251 666666712о 5 7 1 275379251 6666667123634867774695446443634867774695446442 7 2 5 7 9 1 788024441 4581112712 7 2 5 7 9 1 788024441 458111271124567102025124567102025

о 5 7 1 275379251 666666712

о 5 7 1 275379251 666666712

363486777469544644

363486777469544644

2 7 2 5 7 9 1 788024441 458111271

2 7 2 5 7 9 1 788024441 458111271

124567102025

124567102025

сии связаны сильной положительной корреляцией. Поэтому оценка aw уточнялась умножением на величину 0,91 • 10"6, поделенную на оценку М J. Результаты расчетов сведены в табл. 1, где tm — выраженное в секундах время Моделирования одной траектории на ЭВМ БЭСМ-6.

Из приведенной табл. 1 видно, что оптимальное значение 加 здесь равно 5.

Сформулированный в этом параграфе алгоритм практически без изменений применим для расчета переноса частиц через неоднородный по координате z слой вещества с произвольным законом рассеяния, изменяющего энергию. Алгоритм может быть особенно эффективным по сравнению с другими алгоритмами метода Монте-Карло, если требуется оценить распределение потока частиц по z. В этом смысле показательным является следующий результат.

Для ш = 20 кроме вероятности Р была оценена вероятность Pi прохождения частицы через слой 0《z《10. Числовые значения таковы:

Р^Р(1)= о,9116 • 10'6, Pi ~p[i)=0,1094 • 10々•

Вычисленные среднеквадратичные погрешности о этих оценок составляют соответственно 16 и 8% указанных значений. Тем не менее величина

Р⑴/Р?)= О,833 ТО-з

всего лишь на 1% отличается от значения Р/Р】=0,825 • 10*"3, рассчитанного с помощью асимптотического решения проблемы Милна (см. § 1.3).

Аналогичный алгоритм можно построить для расчета переноса частиц в условиях сферической симметрии. Он может быть особен- 130

но эффективным, если необходимо оценить поток частиц в центре сферы.

Изучаемую методику нельзя использовать непосредственно для решения общего уравнения переноса частиц (см. § 1.3), так как его ядро содержит 6-функцию, связывающую точку столкновения с направлением предыдущего пробега. Однако стандартным способом уравнение f =好 + ¥ преобразуется к уравнению

/=№/ + /СФ + Ф

с итерированным ядром

储(г： х) = / к (х\ хп)к (xw, x)dx",

которое является регулярным. Очевидно также, что при численной реализации интеграл, входящий в выражение весов, можно оценивать методом Монте-Карло, включая в плотность распределения случайного квадратурного узла х" особенность ядра [67].

В заключение заметим, что поскольку масштаб интегрирования в (3.6) и масштаб корреляции величин 任吟 приближенно одина* ковы, то можно ожидать, что M^w^2 и^(х) в пределе довольно близки. Для рассмотренного выше примера было получено

g (х) -，(х)m『一炉(Х)g (х) -，(х)m『一炉(Х)1/2^1,23,1/2^1,23,m > 20.m > 20.

g (х) -，(х)m『一炉(Х)

g (х) -，(х)m『一炉(Х)

1/2

^1,23,

1/2

^1,23,

m > 20.

m > 20.

т.е. векторный алгоритм фактически не лучше скалярного с оптимальным моделированием длин пробегов, если рассматривать поточечную оценку 屮(х) для одного варианта h (х). Однако векторный алгоритм дает сильно коррелированные оценки значений ⑵(х) (i= 1,…，加)и может быть сравнительно эффективным в тех задачах, которые связаны с оценкой решения <р (х) в целом; кроме того, он эффективен для одновременного решения задач с разными h (х).

Погрешность метода Монте-Картопри решении векторного уравнения переноса

Рассматривается система интегральных уравнений переноса излучения с учетом поляризации (см. § 1.3):

4

仍(х) = / S 局・(х,у)仍(y)dy + 加(х),Г=1,...,4.(4.1)

/ = 1

Используются обозначения: Н(х) — векторстолбец функций 力 1 (х),.・./《а)； К(х，У)- матрица ядер системы (4.1). Здесь х 二(г, з), где г — точка физического пространства R, а.з £ С — 9*131

единичный вектор направления скорости кванта; у = (，у, Зу). В терминах §1.3 система (4.1) является сопряженной, поэтому (см. §13)

к (х,у) = К(х, (гу, з))尸'(з, Зу),(4.2)

где к — субстохастическая плотность перехода из г вгу вдоль з, а

Р' (з, з0 = Z (F ) К ® Z (тг — ％ )/(2тг),(4.3)

从=(3, Зу),

「11 г 12 0 0

1 000

，21，220 U

0 cos 2/ sin 2f 0

к® =

Z(/) =

00『зз『34

0 -sin 2z cos2i 0

.00— У 43 % 4.

0 001 .

причем 〃/ =向(д), ri 1 > 0, /「11 (〃)如=1.

—1

Заметим, что приведенный вид R (д) соответствует изотропной среде. Предполагается также, что 尸 не зависит от г.

Для оценки методом Монте-Карло ретешш системы (4.1) строится векторная случайная величина ^х такая, что М^* = Ф (х). При этом обычно [55] используется плотность перехода вида

Р^у^^р^^у, ^))р2(м)/(27г).

Уравнение (1.2) для ковариационной матрицы Ф(х) .= М (与工扌， рассматривается в пространстве E(R X П) непрерывных на А 又 А матричнозначных функций с нормой

II ^ II = sup I Ф/у (х) I. Л Л X

Оказывается, для справедливости (1.2) здесь достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие р(К^) < 1 — более слабое, чем в лемме 5.1.

Действительно, если р(К^) < 1, то M|JX < °°. Это следует из того, что выражение для 扌为 можно осредняуь почленно, поскольку первая компонента вектора Стокса всегда неотрицательна, причем в результате такого осреднения получается разложение в ряд Неймана для Wii, т.е. первой компоненты решения уравнения (1.2) (см. [68]). Далее, в силу свойств вектор-функций Стокса (см. § 1.3) имеем

&1》0, 1&,1w。&1.(4.4)

Поэтому допустимо использованное в лемме 5.1 повторное осреднение, которое и дает уравнение (L2)・

Нетрудно определить, что при выполнении условия

%3[Р2®]Т/2£С[-1,1],力/=1,・・・，4,(4.5)

матрично-интегральный оператор Sp, получаемый из Кр заменой х -> з, у 今 Зу, р f 〃,左-*р\ является вполне непрерывным.

Лемма 5.4. Справедливо неравенство

р(кр)&О0(5р),

,炉(х,(х+/з,з))

q = sup / - 或.

х,з pi(x, (х+/з,з》

Доказательство. Заметим, что в формулировке леммы интеграл берется по длине перехода из точки х в направлении з. В интеграле, выражающем первую компоненту и-кратной итерации оператора Кр, последовательно оценим интегралы по длинам первого, второго и т.д. переходов с помощью величины q. Таким образом, пользуясь свойствами вектора Стокса, получаем'оценку

IIKJII”"《с"% 1闻||”

Пределышй переход по и завершает доказательство.

Рассмотрение итераций оператора Кр показывает, что полученная величина коэффициента q завышена, и его реальное значение может практически совпадать с р(£р), где Lp - интегральный оператор с ядром к'р21P工.Во всяком случае, если q < l/p(Sp), то оценки вида Ff^x/ir(x) имеют конечную дисперсию при надле* жащем выборе я(х) (см. § 5.1), Далее вычисляется величина Р(“)・

Лем м а 5.5. Пусть выполняется условие (4.5). Тогда оператор Sp оставляет инвариантным конус Т UE(Q) непрерывных на С функций со значениями в классе неотрицательно определенных матриц и р(5р)=入о，где 入о > 0 максимальное позитивное, т.е. конусное, собственное число оператора Sp.

Доказательство. Первая часть утверждения леммы следует из того, что преобразование К业К’ сохраняет свойство неотрицательной определенности матрицы, а условие (4.5) обеспечивает непрерывность матричного ядра системы (1.2). Поскольку Sp вполне непрерывен и замыкание линейной оболочки £ (Т) = Е (£2), то p(Sp) — позитивное собственное число [10, с. 401]. С другой стороны, вполне непрерывность обеспечивает равенство p(Sp) = X*, где 入* — максимальная абсолютная величина собственных значений оператора Sp. Лемма доказана.<

Будем теперь искать собственную матрицу W(°)(з) оператора Sp в виде диагональной матрицы с неотрицательными элементами 1ц, а? на диагонали. Простые выкладки показывают, что

133

матрица Sp^°^ диагональная; приравнивая ее элементы соответствующим элементам матрицы 入必，получаем систему уравнений

q 1 +%201 =入 0,

С21 +(С22 +Сзз)〃1 +С34& =2Х0^Ь(4・6)

C43"l +C44Q2 =\)口2，

е (〃)％/(〃)е (〃)％/(〃)Р2(〃)Р2(〃)т.т.

е (〃)％/(〃)

е (〃)％/(〃)

Р2(〃)

Р2(〃)

т.

т.

Лемма 5.6. Если существует решение системы (4.6) с положительными компонентами 入°,。1，а2» то 入о максимальное позитивное собственное число Sp.

Доказательство. В условиях леммы 入 о — позитивное собственное число Sp, соответствующее диагональной собственной матрице Фо с положительными диагональными элементами. Поскольку Фо — внутренний элемент конуса 刀 то 入о — максимальное позитивное собственное число Sp (см. [10]), т.е. лемма доказана.

Теорема 5.3. В условиях лемм 5.5, 5.6 выполняется равенство p(Sp)=入0, где Хо - положительное решение системы (4.6).

Полученные соотношения позволяют численно решать задачу минимизации величины р(“)как функционала от р?・ При этом целесообразно рассматривать р2 из класса

41/2

Р2 (〃) = С [ S 入炉 I Гц (м)г//(д)1 ]. ,%/》о,

幻=1

на котором достигается минимакс (см. § 4.2) коэффициентов сц оператора “. Минимаксную точку можно использовать как исходную при поиске оптимальной точки {入& }.

Рассмотрим случай рэлеевского рассеяния [55]. Матрица рэлеевского рассеяния — это частный случай матриц, для которых

九 1 三々2，「21 三'12，，33 三「44，「34 三 0,

причем г?! =Г12 +，；з• Для таких матриц система (4.6) разделяется на систему

41 +С12〃1 =入 о, С12 +(С11 +%3)々1 = 2 入/1(4.7)

и равенство Х4 = с33, так как в исходной системе (4.1) последнее уравнение отбрасывается. Если р2 = ^и»то Ci 1 = 1, и из последней системы получаем

а】=1/2,入=1 + Ci 2/2.

Для рэлеевского рассеяния

^11(Д)= 3 (1 +М)/8,^ 2 (я) = 3(1 -ju2)/8,%з® = 3〃/4,

134

и для р2 = ri 1 получаем

入о = 1 + (37Г - 8)/8 = 1,178, 入1 = 0,643.

Рассмотренный выше способ минимизации 入о сводится здесь к минимизации 入о @ Ь) решения системы (4.7) при p2(4) = e(1 + 叩2 +配4//2

Практически минимальным оказалось значение 入° (0,7, 1,0)= 1,171, причем 1,171《入° < 1,172 для всех точек отрезка

〃⑺=1”， b «)= 1.7(1 -f), 0&У1.

Интересно отметить, что минимакс коэффициентов с здесь достигается при 〃 = 2, b = 1, т.е. при 卩2 = ^i 1 — это объясняет высокую эффективность данного случая.

Спектральный радиус оператора Кр можно также оценивать, приближенно итерируя этот оператор с помощью метода Монте-Карло [18]. В данном случае при этом удобно использовать линейные функционалы вида (尸—вектор-функция)

% =JP“)闻屮(叫(x"(x)dx,

причем в качестве 3°)естественно рассматривать диагональную матрицу с элементами 1, alf alf а2 на диагонали, т.е. собственную матрицу для бесконечной однородной среды. При этом для всех итераций сохраняется свойство

中11《屮22书屮33 +屮44,

и, следовательно, таким свойством должна обладать получаемая собственная матрица. Далее рассматривается алгоритм метода Монте-Карло для оценки ап.

f(/)]2f(/)]2Обозначим через а^ величину вида ап с заменой 屮(°) на матрицу НкН^, где Нк - орт %•而 оси, например Н! = (1、0, 0, 0). Согласно § 5.1, имеем

f(/)]2

f(/)]2

q俨= m 现(出)0;

где 灯(Хо) - плотность распределения начальной точки моделируемой цепи Маркова, а веса Qn строятся, как указано в § 5.1. Таким образом, qf - средний квадрат к^ компоненты весового вектора Стокса на мм шаге цепи Маркова [55] и

ап = ^и +01q〃)+q10n)+q2 /

При условиях, обеспечивающих вполне непрерывность оператора К>, выполняется соотношение

4匕+1/4m f Р (кp) ё

Для случая рэлеевского рассеяния в бесконечной среде такой способ оценки при р2 三/ч i дал значение p(Sp), практически совпадающее с приведенным выше значением 入().

Методом итераций для плоского слоя вещества оптической толщины 2 с рэлеевским рассеянием без поглощения были получены оценки

р (勺)=0,93, q = р (勺)/入° = 0,79, р (Лр) = 0,80,

соответствующие варианту cpi = к, р2 — для которогоLp представляет собой скалярный интегральный оператор переноса с индикатрисой рассеяния Гц(д).

Хорошее выполнение приближенного равенства

P(Kp)^p(Sp)p(Lp)

можно объяснить следующим образом. Для максимального собственного числа оператора Кр справедливо выражение

^Р)= (Ф*,^ФО)/(Ф*,ФО),(4.8)

где % определяется, как и ранее, а Ф* - собственный элемент оператора К；, соответствующий 入、” .Простой анализ показьша- ет, что если положить Ф* 弋 屮；屮*住),где 9* = XL；屮*, причем 入=p(Zp), то из (4.8) получаем 入£)& 入入°. Заметим, что, по существу, здесь использована теория малых возмущений, которая в теории переноса обычно дает хорошие результаты.

Векторные оцшкив случае треугольного матричного ядра

Далее рассматриваются системы виад

Х『 = %+ S KjjXi， i=l,…，加，(5.1)

где K〃 一 интегральный оператор с ядром 4y (х, у).

Теорема 5.4. Если К^ - ограниченные операторы, то для системы (5.1) выполняется соотношение

p(K)&m：x{p(KQ} =р0.(5・2)

Если, кроме того, %〃(х, у) > 0, го р (К) = р0.

Доказательство. Проведем следующие преобразования системы (5.1). Сначала сделаем замену К 今入К (X >0), т.е. перей< дем к системе

Х/ = ^ + Х 2 К у х/, i=l,…，m,(5.3a)

/ = 1

Далее, для Г > О рассмотрим систему

xf)= J-%f +入 Е 产旧公",i=l,.・・，m,(5.36)

/= 1

Методом индукции нетрудно показать, что решения систем (5.3а) и (5.36) связаны соотношением х$" = ^f ~ ^р a i -я компонента ряда Неймана для (5.36) выражается следующим образом:

f ^(к^пн)^ S *户1«叮力. л = ол = о

Таким образом, ряд Неймана (5,36) сходится или расходится одновременно для всех значений Г〉0. Рассматривая выражение нормы оператора К , с учетом ограниченности операторов К炉 получаем

犬 IIК“" II今Xй sup {||^ ||},…0・(5.4)

С другой стороны, если 入 V р『，то

Xwsup{)i^ 11}今0, г今0.

Таким образом, ряд Неймана для (5.36) при любом Г > 0, т.е. и для (5.3а), сходится, если 0 < 入< р；'・ Следовательно, р(К) <р0 (см., например, [24]).

Если ^(х, у) > 0,то sup { ||/^ ||}<||.КЛ И иPo<PW.Теорема доказана.

Заметим, что первое утверждение этой теоремы очевидным образом распространяется на случай произвольных линейных операторов.

Далее, символом 勺田 будет обозначаться интегральный оператор с ядром 畸(х, у) /р ", у).

Т е о р е м а 5.5. Если 勺用一ограниченные операторы, то для системы (5.1) выполняется соотношение

p(^)<max{p(^f/)} ^р^\

Если, кроме того,左引(х/) > 0, го р (Кр) = р\" •

Доказательство. Проводя те же рассуждения, что ицри доказательстве теоремы 5.4, и рассматривая сходимость ряда Неймана для уравнения (1.2), соответствующего системе (5.36), приходим к необходимости обоснования следующего соотношения:

N-心"""入 2" sup {II k；,加I },-0.(5.5)

Выражения (1.2), (1.3) показывают, что для выполнения этого соотношения достаточна ограниченность операторов с ядрами вида

心(х,у)砧(х,у)/р (х, у).

Эта ограниченность следует из легко проверяемого неравенства

/dy《IIк,,111"нКр,г ||】/2.

Р(X, У)

Теорема доказана.

Последняя теорема показывает, что дисперсия { D&,x} оценок компонент решения системы (5.1) конечна, например, если выполняются неравенства || Кр^ ||< 1 (i = 1】...,т)・ Это, в частности, дает простой критерий конечности дисперсий для векторного алгоритма решения многогрупповой системы уравнений переноса (см. § 5.2). При построении ядра кц (х, у) переход в другую группу здесь рассматривается как поглощение. Поэтому для задач с не слишком жестким спектром вполне реальным является соотношение

max \\KPfii II = ||^з JI,

т.е. максимум норм операторов 勺,开 реализуется на самой ^мяг- кой” группе (в системе (5.1) нумерация противоположна обычной нумерации групп).

Заметим также, что рассмотренная в [78, 84] специальная система интегральных уравнений, соответствующая полигармони- ческому уравнению, также имеет треугольный вид, причем на диагонали стоят интегральные операторы, соответствующие оператору Лапласа. Следовательно, на основании теоремы 5.5 можно утверждать, что если алгоритм моделирования обеспечивает конечность дисперсии для уравнения Лапласа, то это же свойство выполняется и для полигармонического уравнения. Более точные результаты в этом направлении получены в [50].

Векторные оценки итераций резольвент

Нетрудно проверить, что системе

Х»(х)= И 〃(х)+ S [ П tk (х)] \ / ^ (х, у) х/ 00 dy fc = 1/ = 1 л = /+1

(6.1) удовлетворяют функции 为(『=1, • • •,加),связанные соотношениями

Xi = NKiXt + hXi-i, Хо = 1, i=l,…，т.(6.2)

138

Далее выписана система (6.1) для 加=3:

xG) = fi(x) + 3 /&(%y)XiO)dy,

Х2(х) = М2 I* +%2(х)入 1 /&(xj)Xi(P)dj\十

+入2 /左2(Х,y)x20)力，

Хз(х)」1?2Гз L +力忆 lxXt J^1(X,J)X1O)# +

+ £з(х)入2 f^2(xfy)X2(y)dy +一入3 «Мз(х,у)ХзО)6・

Переход от Лго уравнения к i + 1-му в системе (6.1) соответствует (6.2), а именно правая часть z-ro уравнения умножается на 勿 и добавляется к ХКх「Теоремы 5.4, 5.5 непосредственно распространщотся на систему (6.1).

В § 5.7 будет рассмотрена также система уравнений вида

Xi=KiXi+RiXi_「 i= 1,.. •,加，(6.3)

где ® — интегральный оператор. Заметим, что здесь бесполезно рассматривать (6.2) как частный случай (6.1), так как при этом необходимо использовать интегральный оператор с дельта-ядром, который не допускает построения весов.

Далее будем полагать &(х, у)三々G，у), f i(х)三 с0Л(х),入» =入, &+1 三 h (/= 1,... , w). Соответствующая система (6.1) имеет вид

Х»а)нГ；Тсо〃а)+ 2 J："' X J kj(x,y) Xj(f)dy.(6.4)

Будет показано, что при определенных значениях параметров с0, %,入 решение этой системы (6.4) эквивалентно реализации специальных итерационных процессов для интегральных уравнений второго или первого рода.

Системе (6.4) соответствуют соотношения

XL 入《Xi +%丸Xt = XKXi + EXj, i=2,.

m

т.е. функция E Xt представляет собой частичную сумму ряда i = i

Неймана для уравнения

^=Г0[/ - 4к「15+ “卩一入К]7九(6.5)

Это уравнение рассматривается в 丄 8, оператор К предполагается ограниченным. Если значение 1/Х не принадлежит спектру о(К) оператора К, то справедливо (см., например, [24]) равенство

“％[/ - М『)=%[1 -入о(К)『.

При h = 1 —入，％ =入 из (6.5) получаем уравнение 屮=К^р +h, и при выполнении условий

|о(К)|《1,|о(К)-1]》е, ОС入VI,

ряд Неймана для (6.5) сходится. Эти условия можно расширить. Например, при。庆)>р> 1 подходящими являются значения 入 V0. Значение 入 ^d(k) следует выбирать так, чтобы спектральные радиусы оператора ХКг с ядром 入 I Е(х; у)| и оператора Кр с ядром М/(х, у)/р(х,у) были меньше единицы* Это так, если выполняются соотношения

M£x=Xf(x), D&x<8,

где 扌改-7-я компонента векторной оценки решения уравнения (6.5); тем самым конечны дисперсия и сумма значений 扌收，которая оценивает части вдую Сумму ряда Неймана для (6.5).

При Го = 1, с0 = - X уравнение (6.5) переходит в уравнение первого рода: К屮=К Рассмотренная выше методика здесь применима, если

1№(К])|<1, II - 入。(К)|>，>1,

например когда о(К)》с>0. Аналогичную оценку можно построить и в случае знакопеременного о(к) прт

爲=(- 1)'入(-I)"2,h 三人?儿

суммируя четные значения ^х.

Теорема 5.6. Пусть Го = 1 —入 >5 %=入〃 0Vq<

<(1-\\\\\Кр\\^2)(1^Ху\：Тогда

D%x《с II 力 ||2(1-||X^)||)~3/2XV2/,i= 1,2，…，(6.6)

причем

ll^Q)||<X2[1-^(1 -入)I，H^IKl,

Доказательство. Рассмотрим бесконечную систему вида (6.4) и сделаем замену 1 —入 今乌(1 —入).Нетрудно проверить, что

32入2 11KH 2⑷入2 II 勺 II

II K；II《-7《II к胃 IK ———；< 1.

[1 — q(l —入)][1 — q(l — X)]

入2 || 力 || 2、-l|K”l「入2 || 力 || 2、-l|K”l「Кроме того,

入2 || 力 || 2、

-l|K”l「

入2 || 力 || 2、

-l|K”l「

II 川 l = ll//x' + xH'-Wll《3 入2||们12

(Г^ K黑 11产•

Поскольку

||W||《H 川|(1-11/|| 尸

и при замене 1 — X 今q(l -入)оценка 与方 умножается над', то теорема доказана.

140

Рассмотрим теперь трудоемкость S(e) построенной методики, где е — требуемая погрешность. Величина т определяется формулой

w = Ci In epn^CX)]"1, где К(入)=Р仇口-XJqr)・

Оценки &х (i = 1,…，м) можно реализовать с помощью с2т операций, так как после вынесения множителя fo из ^х матрица К(х, у) становится треугольной с одинаковыми ненулевыми элементами.

Пусть т fmx= 2 U, D(JQ《g(m)・

Тогда

S(e)<€~2g(m) с2 т.

т

Дия функций Sm= 工 Kt выполняются соотношения

Sm = ^KSm + ^o^m —1 ^CqH, Sq 三 °, a jmx суть компоненты векторной оценки для соответствующей системы интегральных уравнений, которая получается из (6.4) следующей заменой свободных элементов:

h~ %%(х)今 2 f0 сой(х). к =0

Это дает для 口(寸加方)при 0 = II 勺 II"? > 1,入〉0 оценку вида (6.6), но без множителя X.

Полагая, далее.

Го = 1 -X>0,%=入， w — (a I X |)-11п €,

q * 1 -，I 入 I (0 - sing 入)，г > 1,

при 入―Q получаем

5(6)&1入C111£|/(£), где

Л(е)= c3(r- i)-3€-2ii+(2-signx)a-lr]

Если в выражении величины ^тх объединить слагаемые с одина* ковыми произведениями ядерх„), т.е. с одинаковыми

скалярными весами 0,", то получим представление ~

2 Qn}aiT}h(x^ п =0

причем ап можно вычислить заранее через итерации треугольной матрицы с единичными ненулевыми элементами; это приводит к алгоритму, для которого S(e)(е).

При 0 = 1,入 > 0, используя (6.6) и q = 1 — 5〃入(5〉0), приходам к оценке

4(e)《q5~3£-2(i+b)

При 0 V 1,入 > 0 из (6.6) легко получить неравенство

/(£)《％「•

Оценка (6.6) также показьшает, что при 0 < 1 возможно построение несмещенной, рандомизировэнной по м оценки 屮(工)рассматриваемого типа, для которой S(e)<ce~2. При этом значение m выбирается с вероятностью

Рт =(1 -р)р"1 Р >4，

а величины ^тх складываются с весами p-(w-O

Векторные представления билинейных оценок

Билинейными будем назьшать рассмотренные в § 1.7 оценки метода Монте-Карло для вычисления функционалов вида

(91,冠。=/91(х)& (x)f(x)dx,(7.1)

&“&*•) = /s(x)必 / ”У，x)^2(y)dyt(7.1а)

XX

где X 一 w-мерное евклидово пространство, f £ 丄8 (X), а функции 91(%), 9；(х) удовлетворяют соответственно уравнениям

仍(х) = /&(х, »)91&)砂 + h(x),(7.2)

3 = K1S +Л,(7.2')

или

d(X)=/ 左 2 0, X)冠 00 力 + f (к)、？(7.3)

или

92=К；92 +/；(73)

причем уравнение (7.2) рассматривается в 丄8(犬)，а уравнение (7.3) - в L^X), операторы К^, К?, R ограничены в норме 人, и спектральные радиусы операторов К*、К? удовлетворяют ус-, ловиям

Р(^1)<1, Р(^2)<1.

В приложениях метода Монте-Карло функционалы вида (7.1), (7.1а) возникают при использовании теорти возмущений; билинейные оценки используются также для вычисления производных от линейных функционалов по параметрам задачи (см； § 1.8).

Очевидно, что функционал (7.1) можно представить в виде (91,9») = ([/ - £2「〃[/ - KJ"丸J).

Отсюда, используя результаты § 5.6, получаем равенство

3,5力) = (X2 J),

где Х2 определяется из системы

X1 (х) = 〃(х) + /& (% У) Xi S)dy, .*(7.4)

Х2(Х)= «Х)〃(Х)+ f(x) /Е1(Х,У)Х1О)力 +/%2(Х, У)Х2&)0・ XX

Соответствующие алгоритмы метода Монте-Карло строятся и исследуются непосредственно на основе § 5.1, 5.5. В частности, справедливо у тв е ржд ение: если p(^pi) < 1, Р(Кр2) < 1, п? М&2х=Х2(Х), D&x<8.

Отсюда, рандомизируя подходящим способом х, нетрудно получить несмещенную оценку для (⑴八 9；г) с конечной дисперсией (см. § 5.1).

Функционал (7.1а) представляется в виде

(^1,^М) = ([/-^2Г1Л[/-^1Г1Л,/) = (X2,/),

а соответствующая система уравнений такова:

Xi S+KiXi, Х2 =RXi +&Х2・

Для конечности дисперсии оценки здесь дополнительно требуется ограниченность оператора Rp.

Построенные таким образом векторные оценки функционалов (7.1), (7.1а) можно преобразовать к виду весовых билинейных оценок из § 1.7, однако векторные представления не менее удобны для вычислений. Следует отметить, что в [62] билинейные оценки были построены только для случая р(х, у)=左2 (%, У), который соответств уе т прямо му моделированию уравнения (7.3).

Заметим, что в принципе возможно построение оценок величин (7.1), (7.1а) с нулевой дисперсией, если все функциональные характеристики задачи неотрицательны. Для этого надо записать систему (7.4) в виде одного интегрального уравнения, представив сумму интегралов во втором уравнении как один интеграл на соответствующей непрерывно дискретной мере, и затем воспользоваться принципом моделирования по ценности, т.е. построить р(х,у) (ирандомизациюх0) через х@) (см. § 2.1).

Оценки метода Монте-Карло для производных от линейных функционалов по параметрам задачи иногда строят путем дифференцирования соответствующих линейных оценок (см. § 1.8); возможность такого дифференцирования требует специального обоснования. Например, дифференцирование линейных оценок в теории переноса по коэффициентам рассеяния и поглощения возможно и дисперсии получаемых оценок конечны (см. § 1.8), если конечны дисперсии случайных величин

Nл

Si(e) = 2。尸(1+е)"ехр{е S 4}, п = ол = 1

NеN

&(е) = S С„(1+€)л( S 4)ехр{е 2 1к}9 體=0k=lk=l

где Ik 一 длина предшествующего кму столкновению свободного пробега частицы, е >0 — сколь угодно малая величина.

Обычными методами [32] неравенство Dg/(e) < 00 (/ = 1,2) можно получить лишь для ограниченных сред, т.е. при условии 1к < с < °°. С помощью теоремы 5.5 удается легко установить конечность величин Dti(e), D扌 2(е), не привлекая этого условия.

Для этого достаточно заметить, что, например, ?2(^) имеет вид <2х для системы уравнений

Х1“)= 1 +/%£(% >)X10)匕，

X2(x)=7h(xj)XiOO沙+ /I入一丐 1к(х,У)Х2(Г)少. XX

Здесь rx - пространственная составляющая фазовой точки

化 е® У) = (1 — £)ехр {^\гх-гу 1} k(xt у),

где к(х, у) 一 ядро интегрального уравнения переноса. Операторы с ядрами к2(х, у)/р(х, у), %；(х, у)1р& у) обозначим соответственно через К“ Кре. Баш网修)< 1,то Р(Кре) < 1,ив ашу теоремы 5.5 D^(e) < 8 ддя достаточно малых е. Например, Dg(e) < < 00 (при малых е), если реализуется прямое моделирование процесса переноса [32].

Покажем теперь, что развитый здась аппарат дает возможность установить конечность дисперсий оценок по пробегу при достаточно слабых условиях, как это было указано в конце § 2.2. Рассмотрим систему уравнений

X1 (х) = 1 + /^(х, J)Xi(r)沙，

X2(x)=^k(xf y)xi(y)dy + fh(rXiry)k(xf j)X2&)dy

Для этой системы, элементы которой предполагаются неотрицательными, имеем

^лN

Ьх= 2 Qn[ 2 的1,大)]》S QnKr^^r^. и = 1 к =0n=l

Последняя сумма представляет собой весовую оценку fx по пробегу, введенную в § 2.2. Следовательно, по теореме 5.5 Dfx < °°, если р(Кр) < 1, IIСII < °°, где К丁)一 оператор с ядром 1^{гх, гу)к2(х, у)/р(х, у). Условие || К,)II V 8 заведомо выполняется, если осуществляется прямое моделирование процесса переноса, и

力("y)= I后一亏I.

В заключение этого параграфа сделаем замечание о связм между билинейными оценками и классом несмещенных оценок функционалов вида(9；, г) (см. [102]). Дия некоторого определенного ядра 疋i(x,y) такого, что р(^х}< 1,положим

力(х)= 1 -Jk№y)dy.

При этом(pi(x) = 1,(31,9立)=(9：; f)・ Следовательно, имеется множество несмещенных билинейных оценок функционала (з；,看)， для которых вопрос о конечности дисперсии легко решается на основе векторного представления. Нетрудно заметить, что оптимальной по критерию (1.6) в этом множестве является оценка, соответствующая к\ = 0, т.е. стандартная линейная оценка по столкновениям (см. § 1.6).

Векторный алгоритм расчетаэффективного коэф^циента размножения

Эффективный коэффициент размножения частиц на одно поко* ление ^Эф (см. [32]) является максимальным собственным зна%> нием интегрального оператора L с ядром / (х, у) таким, что / 8 y)dy есть среднее число столкновении частиц в элементе 力, происшедших в течение одного поколения от одного столкновения в точке х фазового пространства; деление при этом рассматривается как поглощение. Величину 自ф оценивают методом Монте-Карло на основе соотношения

U工力)府

"—►左通 m 今 8.

(厶1工力)8

Ввиду возможности вырождения цепи размножения обычно используют модификацию, которая называется методом поколений 10； Г.А. Михайлов 145

с постоянным числом точек [32]. Известно, что такой метод поколений плохо сочетается с весовыми модификациями и коррелированной выборкой из-за сильных флуктуаций весов в цепочке поколений и необходимости специального дополнительного перемешивания делений для построения нового поколения.

Следовательно, при использовании указанной модификации трудно вычислять малые возмущения изучаемых функционалов и уменьшать дисперсию оценок с помощью весовых методов; кроме того, метод поколений с постоянным числом точек плохо распараллеливается. Далее предлагается векторный алгоритм оценки кэф, свободный от этих недостатков.

Кроме оператора L рассмотрим стандартньш для теории переноса интегральный оператор К с ядром 左(х, у) таким, что k(xf y)dy есть среднее число столкновений в элементе dy, происшедших непосредственно от столкновения в точке х Очевидно, что при использовании одногруппового приближения с изотропным рассеянием имеем

L = cK* [Р- К*『，с = const.

Следовательно,

{Lmffh)^cm{fA\I-KVlKT^

и функции Xj 二([I — К]^1^1 h удовлетворяют системе уравнений (см. § 5.6)

Х『=KXi+Kx”i， /= 1,. -., w, х。三九

Соответствующий векторный алгоритм строится и исследуется, как указано в § 55,5.6.

Коэффициенты а%" при скалярных весах Q^ (см. § 5.6) здесь можно вычислять заранее на основе представления

([/-《『КУ11 = \1^кутКт

связанного ртем, что операторы К1 и 口 一 К「‘ перестановочны. Поскольку а^ = 0 при п </, то первые т столкновений целесообразно моделировать без поглощения и вылета [32, с. 178].

Весовые модификации и коррелированная выборка для построенного алгоритма реализуются точно так же, как и при решении задач теории переноса без размножения; алгоритм автдмати* чески распараллеливается. Если ввести номер типа столкновения в число координат фазового пространства, то функцию 力(х). можно сосредоточить на делениях, т.е. рассматривать величину (Lmf^ Л) как функционал от плотности делений для поколений номера т. Алгоритм легко распро страняется на много групповой случай при использовании векторного весового способа моделирования траекторий из.§ 5.2.

Минимизация дисперсий векторных оценок

В настоящем параграфе На основе общих принципов теории оптимизации строятся весовые векторные оценки заданных функционалов с наименьшими дисперсиями. Для удобства изложения снова запишем исходную систему интегральных уравнений:

т

号°)= /У1 / ki^9 y^i^dy + %G)，(9・1)

или

Ф = ХФ + Я.(9.Г)

Предположим, что все элементы этой системы неотрицательны. В этом случае нетрудно осуществить абстрактное построение оценки метода Монте-Карло с нулевой дисперсией для вычисления величин (х)} • Для этого достаточно записать (9.1) в виде одного интегрального уравнения (использовав соответствующую дне* кретно непрерывную меру интегрирования), а затем применить принцип моделирования по ценности (см. § 2.1). Получаемая таким образом идеальная оценка является скалярной. В [29] показано, что фактически на той цепи Маркова имеет нулевую дисперсию специальная векторная оценка, которая строится по другому принципу, без использования матрицы весов {无耳(к, у)/р(х, у)}. В качестве веса в этой оценке используется отношение некоторых скалярных агрегатов, соответствующих элементам рядов Неймана для (9.1) и для системы уравнений, связанной с моделируемой цепью Маркова. Для такой оценки невозможно получить результаты, аналогичные приведенным в § 5.1, что существенно затрудняет решение вопроса о конечности ее дисперсии в общем случае.

Для решения задачи минимизации дисперсий заданных функционалов от введенных в § 5.1 векторных оценок далее будет использована немарковская вычислительная модель. Определим цепь случайных точек х0 = л:, Xi, ..., х^ переходными плотностями

Р(п — *)п — Р(〃 — 1 )п (“О，…•，％ — 1, %) ‘

причем величина 1 - ip{п-\)п^^ • • • ,%〃一i，x)dx представляет собой вероятность обрыва цепи при переходе %〃 _ i хп. Далее вводятся матричные случайные веса

0о=11%・11, Q^Qrt 先二丝,

P(n — 1)л где

К5-1” = K(x〃-i,亏)=||&j(x篦т,х〃)||,/,/= 1,..., w,

и векторная случайная величина N

£= 2 QnHn9 H〃=(hO …，“％» л =0

Следуя § 5.1, будем предполагать, что

KEZoofZ", HWJ р(^)<1,

где Ki - оператор, получаемый из К заменой

кцб\к『\, 订=1,…，m・

Тогда, если р(л_1)л # 0 при 长储一賞加力 НО, то М^% = Ф(х), т.е. 厶—несмещенная оценка векторной функции 6(х) (см. [68]).

Пусть W(x) = М»х&；). Используя повторное осреднение, получаем

W。= W(x°) = М КН。+ 2Л 厶 J (Яо + 01 &*)']=

г K(hWiK(h

=人 +/:—必 i,

厶] где

Ло =Я0Ф； +0W-H«H\, Wi = W](Xo,xl = M(&,弘 J・

Заметим, что ввиду немарковости цепи здесь &】при фиксированном %1 зависит и от х0- Применяя индукцию, приходим к выражению

Фо =4 +/к + …

Poi

г г 《о 1 • • • К(篦一1)〃/〃К(〃一 1)篦• • • КоI,

•・・ + J • • • J — I ■ I ах] • •・ иХп +

'~^Poi -Pg-i”

--К。Т . • • ^n(n + l )^л+ 1^л(л+1 ) • • • К。1, J

+ /.../ 必1 …飙+],

л +1Poi …Ря(л+1)(9.2)

где

屮匕 +1 = W〃 +1(%0, • • • , х〃 + i) = М(&打+j&n*[),

Ап^НпФ^ФпН；-НпН^

По аналогии С [68] можно получить

% =4 +

+ £ //К。： . . . К〃(篦+1/打+1 “(篦+ 1)• • •

Ро 1* Рп (п +1)

Ко 1

—^dxv..,dxn^

(9.3)

при условии, что последний ряд сходится и после замены 左讶 f -> I kij I, hi^\hi\ (i,/= 1,... ,m).

Далее рассматривается задача оптимизации векторной оценки &х，состоящая в определении совокупности переходных плотностей {Р〃5+1)} таким образом, чтобы минимизировать дисперсию случайной величины т.е. величину

,,,ГК^А^х!

/>0/ = /Ло/ + /dx、+.. .

Poi

,р /Kqi• • •+1)屮〃 + iК力(％ +1)• • • К。1」

poi • • -Рл(п+1)poi • • -Рл(п+1)л +1л +1.+J …Jax\,,^axn + ].

poi • • -Рл(п+1)

poi • • -Рл(п+1)

л +1

л +1

,(9.4)

Например, при // = (1, 0, ..., 0) рассматриваемая задача состоит в минимизации дисперсии первой компоненты вектора 古％・

В соответствии с принципом Беллмана [6] оптимальная переходная плотность р〃(篦+1)должна минимизировать последний в (9.4) интеграл по x〃+i, т.е. в оптимальном варианте имеем

— (/'Koi …• К〃(篦+i)W〃 +1《二(篦+i), • • К；】/)'/?

(9.5)

Таким образом, справедлива

Теорема 5.7. Для оптимального варианта совокупности {Р〃(篦+1)} выполняются соотношения

Теорема 5.8. Пусть Ап> 09q < 1. Тогда решение системы (9.7) существует и единственно 8 上 8, причем

^л(х0,.. . , х„) = Ф(х„),W=4 +(&W I/?,

Р〃5+1)=Р($，％+1)=

= mхП，% + 1)，"2(*/1 + 1) U左&，马 + 1)W"2(%+1)公〃+1尸.

Заметим, что уравнение Ф = Л +(Х1Ф^2)2 получено и детально исследовано в § 3.5.

Практически интересна следующая теорема о единственности решения системы (9.5), (9.6), удовлетворяющего универсальному условию конечности функций {Ф„}.

Теорема 5.9. Пусть решения {屮1匕}, {屮2п} удовлетворяют …Ю("於/)1 产

vrai sup /力《q < 1.

Рм (匕 +1 )("。» • • • » *〃 — 1» %，У)

%2加％〃(・)= %〃(•)5 = 0,1, • • •)•

Доказательство. Пусть величина Вп определяется выражением (9.4), В КОТОРОМ p(fc + 1)jt =P；,(jt+i)", ^л+1 =屮2,〃+1・ Нетрудно показать, что Вп》/ %,о，・ Последнее слагаемое в выражении для В„ сходится к нулю вследствие условия теоремы. Позто・ му 8〃 -/'W1,0/ и /'屮 1 ,о/'》/'屮2У，т：е. /'Wi,。/ = /'屮2Аналогично устанавливается равенство для функций вида /’К。]. •. • •・K〃(〃+i)W〃+iK；(〃+i)・•・K】i厶опре口еляющих{р〃(刁+1)} ,атем самым и {% } в силу (9.3).

Рассмотрим теперь задачу оптимизации & при дополнительном условии

P〃5 + i)=P(%，x〃+i)，

причем /р(х, y)dy 三 q(x), т.е. задачу определения оптимальной однородной цепи Маркова с заданной вероятностью обрыва. Для решения этой задачи будем искать условный минимум по р ( •, •) выражения

”7 = /%о/ +

+ 2 /…/X

л = 0 п + 1^Ро 1 ••• Рп(п + 1)

X / К。]…К〃(〃+1)4僧+1 К〃(п+])…К。】I dx] ... dx?i+1,(9*8)

где Рм(〃+i)= р(%,%+1)5 = о, 1,・..).

Пусть переходная плотность р(х, у) оптимальна. Положим Р^х, у) = Р*(х, у) + 〃(х,у),

причем Jr® y)dy = 0. Сделав подстановку р( •, •) ^Ра( •, •), продифференцируе м (9.8) по а, меняя (пока формально) порядок суммирования и дифференцирования. В результате получаем

_ s S 了…/但纟加x

/'К(и …A„5+iyln + iK；5+i)…&JJ

X ——dx! ... dxn+i. (9.9)

^a,oi • • • P% 篦(7+1)

Изменив здесь (пока также формально) порядок суммирования, переходим к следующему выражению:

—〃 J J '— А

s = Q"7^ %(%,%+】)

X 虫".…"("1)3些怨l二用‘ dx….办"1. (9.10) %01 …P*$($+1)

Вследствие оптимальности р*( •, •) это выражение при а = 0 дс^жно обращаться в нуль. Запишем соответствующее уравнение, изменив в каждом интеграле нумерацию переменных на противо

положную:

dyQdyx XdyQdyx X"心"0) 加8“。)

dyQdyx X

dyQdyx X

v у r 「' K(s+i)$ • • • "oWoSo ... *($ + ])/

X 2 厶• /；«— dy2...dys^

s = l $一1P(s + ps・ ・P21

Рассмотрим вопрос о корректности вывода соотношений (9.9) — (9.11). Можно, считать, что функция г (х, j) ограничена, т.е. |>(х,у) I《с(г). Предположим также, чтоp*(x, j) >е>0 и

(2|&/(х,у)|)2

vrai sup J dy = q<A.(9.12)

P (% J)

Это условие вполне реально, так как оно представляет собой естественный критерий выполнения и конечности (9.3), сформулированный в § 5.1.

В силу сделанных предположений для любой функции г(х, у) здесь можно определить достаточно малое значение а0(г) >0 такое, что (9.12) выполняется и после замены Р*^Ра =р* + аг с некоторым значением q = Qi < 1 при I а Г< а0(г)- При этом

P&xQ *

х Z Kq 1... i^n(n^\)^n^x^n{n^i)♦ ♦ • ^oi dx dx [《eq"] Рлг01 * * ^а,л(л+1)I

что и обеспечивает корректность перестановки суммировашш и дифференцирования, а также изменения порядка суммирования при выводе соотношений (9.9)—(9.11) .Таким образом, получена^следующая

Тео рема 5.Ю./Тусть плотность р* (•, •) оптимальна при условии ，Р(х/)力二 q(x)《l.

выполняется условие (9.12) и р*(х,у)》е〉0・ Тогда р*(・，・) удовлетворяет уравнению (9.11), в котором Фо определяется выражением вида (9.6).

Заметим, что при рассмотрении различных q ( • ) оптимальным является значение q(x)圭 1, так как*на основе (9.4) легко получить, что при переходе р(х,у) — р(х, y)/q(x) велишна /'W7 убывает. Дия положительно определенной матрицы А это сразу видно из (9.8).

Построим теперь некоторое пртближение к (9.11), более удобное для практического использования. Для этого предположим, что все члены суммы, входящей в (9.11), пропорциональны (Z^io^o^ioO1^2； это предположение выполняется точно при m = 1. В результате получаем систему уравнений

r ^01^1^01Ф0 =人 + J —：必r ^01^1^01Ф0 =人 + J —：必Poi二（?&$&； J）】/22而&）；屮聞//2陷Poi二（?&$&； J）】/22而&）；屮聞//2陷Qo,Qo,(9.13)(9.13)

r ^01^1^01

Ф0 =人 + J —：必

r ^01^1^01

Ф0 =人 + J —：必

Poi

二（?&$&； J）】/22而&）；屮聞//2陷

Poi

二（?&$&； J）】/22而&）；屮聞//2陷

Qo,

Qo,

(9.13)

(9.13)

где W* = W(Xf), poi =p(x0,^i). При 加=1, q 三 1 из этой системы получаем уравнение

少-А +(К1В "2)2,

фигурирующее в теореме 5.8, т.е. система (9.13) может быть удовлетворительной, например когда необходимо минимизировать дасперсию наиболее существенной компоненты вектора 匕.Систему (9.13) можно пытаться решать методом последовательных приближений относительна р( •, •). Прт этом новое значение р( •, •) вычисляется на основе выражения

Z^oi^i^oi/ = Mf^U^xJ.

Были проведены численные эксперименты с системой четырех линейных алгебраических уравнений, записанной в виде системы двух интегральных уравнений второго рода следующим образом:

9#) = %(/，l)3i⑴"“(/, 2)51 ⑵+心2(/, 1)32(1) +

+ &・2(Л 2)6(2) +МД /,/=1,2.

Коэффициенты системы имеют следующие значения (построчно): 0,2, Ц15, ОД,-0,1, 0,15,-ОД, 0,25, 0,15, 0,15, Q25, -0,2, 0,1,-0,1, 0,1,0,1, 0,2, а вектор Л равен (3,1,2,1,1,1). Вектор / равен (1,0), т.е. минимизировались дисперсии оценок величин q(i) (z = 1,2).

Методом прямого подбора было получено следующее оптимальное значение матрицы вероятностей перехода Р* = (0,76,0,24, 0,82, 0,18), в то время как система (9.13) дала значение Р = (0,78, 0,22, 0,83, 0,17). Соответствующие значения М^?" практически совпали. Таким образом, система (9.13) здесь удовлетворительна, хотя интегральные уравнения существенно связаны. Интересно Отметить, что одна итерация сиетемы (9.13), начиная с Р^ = =(0,4, 0,6, ОД 0,6), дала уже значение 尸")=(0,75,0,25,0,82,0,18).

Асимптотаческое исследование сочетания методаконечных сумм с методом Мояте-Карло

В отличие от § 5.3 здесь в Качестве основного будет рассматри： ваться интегральное уравнение второго рода вида

9(x) = j4(x',x)W(x')dx' +f(x),(Ю.1)

D

или

9 =皿+工(Ю.r)

т.е. уравнение, которое А остальной части работы принято рассмаь ривать как ^сопряженное (в ZJ. Предполагается, что || К || < 1.

Для 力 £丄8 определяется линейный функционал

厶=(9, h) = f^p(x)h(x)dx. D

Предположим, что D — ограниченная область /-мерного евклидова пространства. Разобьем X на м попарно непересекающихся частей DLDm・

Рассматриваемые далее алгоритмы метода Монте-Карло основаны на представлении уравнения (10.1) в виде следующей системы уравнений:

т

3(х)= S / к(х\ x)^(xf)dxf +/(x), xWD%加.

/ = 1 О/

(10.2)

Пусть {Х〃} — цепь случайных векторов с многомерными компонентами %，)£ Р/, определенная плотностью вероятностей перехода %(爲,..., 爲 _ 1，JQ〉0, плотностью го(Х) распределения начального вектора Хо и вероятностью обрыва ри(Х0,...,爲)< 1 при переходе из состояния Хп\ ^— случайный номер последнего состояния цепи. Обозначим через rni(Xo,..., 爲一】,х“)) абсолютную (иначе маргинальную) плотность распределения компоненты х„ вектора Хп.

Символом М в дальнейшем будет обозначаться операция осреднения по распределению рассматриваемой цепи. Аналогично тому, как это делается для случая системы линейных алгебраических уравнений [32], можно показать, что

М S S q?屮G，) = (f,*=Ih,(ЮЗ)

rQi(X^)rQi(X^)

rQi(X^)

rQi(X^)

q?Н ? %*…竺;LX")万!

‘ 7%i(X。’ • • •，爲-1，xn ) 1 —乙一](爲，• ♦ • , X〃- 1)

Соответствующий равенству (10.3) алгоритм метода Монте-Карло можно рассматривать как вариант метода конечных сумм, в котором используется простейшая кубатурная формула прямо* угольников, а система линейных уравнений решается итерациями со случайным выбором кубатурных узлов х„ на каждой итерации. Случайный выбор узлов обеспечивает выполнение (10.3), т.е. несмещенность оценки искомого функционала. При увеличении числа т дисперсия указанной оценки, по*видимому, убывает, а

время моделирования одной траектории цепи на ЭВМ растет. Далее рассматривается вопрос об оптимальном значении т при некоторых дополнительных предположениях относительно функциональных характеристик задачи.

Пусть выполняются условия:

А) точки xf" (i = 1,...,加)распределены равномерно в соответствующих областях Dj, которые имеют диаметры порядка 加%(%)三%;

Б) функции『(х), h(x) удовлетворяют в области D условию Липшица порядка а, а функция %(х； х) удовлетворяет такому же условию в области DXD.

Введем также следующие обозначения: Ктп — интегральный оператор с кусочно постоянным ядром ктп (х', х) =к (%：? »х')) при л/ £ Q, к W % fm9hmn — кусочно постоянные функции, принимающие в t)i соответственно значения /(£"), 〃(£")； Lmn = =^т и • • • ^т 1 fm» ^mл) (Л = 1,2,...).

Очевидно, что при сделанных предположениях соотношение (10.3) можно переписать следующим образом:

/"=m%, где

銹=(%'，《i0)+ Z (丄m〃 П) .(10.4)

〃 =1 \^=0 1 -Р^ /

Теперь займемся оценкой дисперсии D^^ случайной величины 与加• Рассмотрим сначала два вспомогательных утверждения.

Лемма 5.7. Если выполняются условия А), Б), то

II加《尸〃，.

II hmn - й И <CiWa//,

\\K~Kmn\\<c2m-a^.

Утверждение этой леммы непосредственно следует из определения нормы в Lp н выполнения, условия Липшица в ограниченной области.

Исходя из леммы 5.7, мы будем предполагать, что

IIK^IICq,' ||K||&q<l.(Ю.5)

Лемма 5.8. Если выполняются условия А), Б) и неравенство (10.5), то

I Lmn ~(KnfJt)\<c3(n + 2)q"%「a〃

Д о к а з а т е л ьство. Оно очевидно, если использовать соотношение

上朗〃 一 (""工力)=[^тп - (KK^s —i) . . . Km Eби力m篦)]+

+ ЦККт 5 — 1). ♦ •' Km *fm，%篦)—(К 2Km (而—2) • •

…^ml/m,^W)]十• • • + 心勺 hmn) - (Г/ Л)].

Теперь нетрудно получить оценку дисперсии Dgm при некоторых дополнительных предположениях относительно вероятности обрыва цепи р% •

Теорема 5Л1.Пусть Рл = 0 при п <s,0 < р &р〃《1 — q при h>s и выполняются условия А), Б). Тогда

D% <^m~2a/l ±csp'2q2s.(10.6)

До к а з а тел ьство. При выполнении условий теоремы имеет место соотношение

Sm =方m ^ %,

где

sN /n-11\

"m = 2 ^mn ^ С/m» ^m0)» J = Z ( ^mn 口 -

n = lл = j + 1 \ 化―卩化 /

В силу леммы 5.8 имеем、

/1 «оt 1\2 с4

Далее, вследствие (10.5) и условия 0<pVp 篦 &1 - q получаем

IU Kc^N^s), N》s + L

Случайная величина N — s распределена геометртчески. Поэтому 叫《Mj* <q2s亲•

Вследствие соотношения

D^m《2(Di7m + Dfw)

теорема доказана.

Простые соображения показывают, что порядок оценки величи* ны D^m нельзя улучшить для рассмотренного класса функциональных характеристик задачи. Поэтому дальнейшие рассуждения будут проводиться.в^ предположении, что D^m имеет порядок величины, стоящей в правой части неравенства (10.6). Эффективность алго* ритма определяется временем расчетов на ЭВМ, необходимым для достижения заданной точности. В・ данном случае это время пропорционально величине Дт = /D^m, где tm — время моделирования одной траектории цепи {Х〃}・ Очевидно, что tm =。(加？).

Пусть р〃三 Р《1 — q при 〃 2 s. Тогда

(Ю.7)

Нетрудно заметить, что это выражение минимально по порядку, если q2$ * ?п-2а" , т.е. при s % a Inm/ 171nq |. Подставляя это значение s в (10.7), получаем

аm芯的加2(1-а")111加今8, "今吗

так как значение а > 1 возможно лишь для функции, тождественно равной постоянной. Следовательно, оптимальное значенйе т конечно. Поэтому сочетание метода Монте-Карло с рассматриваемым вариантом метода конечных сумм для оценки одного функционала является целесообразным при любом значении а & 1.

Рассмотрим теперь вкратце вопрос об оценке решения уравнения (10.1) в целом. Пусть в пределах каждой области £>» решение оценивается с помощью гистограммы аналогично тому, как это делается для оценки плотности вероятности (см., например, [106]). В [106] показано, что £2 — уклонение оптимальной гистограммы от искомой функции — при некоторых дополнительных предположениях асимптотически по вероятности равно qNx , где а — постоянная, ^l - число испытаний. Отсюда непосредственно следует, что эффективность алгоритма метода Монте-Карло относительно оценки решения гистограммой определяется величиной вида △( D = =о?4*' Г, где Г — время моделирования одной траектории на ЭВМ.

С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно показать, что получаемое в результате моделирования одной траектории цепи ｛爲1 приближенное кусочно постоянное решение уравнения (10.1) уклоняется от точного решения на величину порядка 加-叫 если

s = a]nm/ \ llnq |.

Поэтому при указанном способе выбора s имеем

a = om^clQm^a/l：

△m? =。丁％ W a im"a(2 +')/"n m,

Таким образом, если &〉2/ /(2 + 7), то А*)今Опри т f 8. Это означает, что применение метода Монте-Карло здесь нецелесообразно, т.е. более выгодно увеличить число узлов для чистого метода конечных сумм, чем • моделировать несколько траекторий цепи ｛爲｝ . Заметим, однако, что неравенство Q〉2//(2 + /) возможно лишь при /= 1.

Глава 6

РАНДОМИЗАЦИЯ ВЕСОВЫХ АЛГОРИТМОВ

В литературе, посвященной методам Монте-Карло, описаны различные примеры введения дополнительной случайности при построении эффективных алгоритмов статистического моделирова* ния [32]. Настоящая глава посвящена оптимизации таких рандомизированных алгоритмов для оценки вероятностных характеристик некоторых уравнений со случайными параметрами. В связи с этим рассматриваются рандомизированные модели случайных полей, а также способ приближенного осреднения экспоненциальных множителей ядер интегральных уравнений переноса.

Рандомизированная оценка моментов решения

Пусть линейное функциональное уравнение 丄 9=/ решается методом Монте-Карло на основе моделирования случайного процесса, траектории которого обозначим через з. Это означает, что заданы случайные величины ^«(з) такие, что М^к(з)=厶,где 4 - вычисляемые функционалы от 屮 (％ = 1,...,，九).

Предположим далее, что оператор L и функция /' зависят от некоторого случайного поля а (случайной среды в теории переноса, случайных сил в теории упругости и т.д.). При этом & =穽(з, о), М [^ (з, о)卜о] = 1к (о), причем зи。, вообще говоря, зависимы.

Рассмотрил* задачу вычисления величин

厶=Е/“о), Rkj 二 Е {厶(о)〃(о)},%,/= 1,.. . ,m,

где символом Е обозначено математическое ожидание по распределению о. Оценивать такие математические ожидания можно, например, следующим очевидным комбинированным способом.

Численно строятся реализации о (см., например, § 6.3) й для каждой реализации достаточно точно решается уравнение £。9。= -fa каким-либо численным или аналитическим методом; затем строятся статистические оценки требуемых величин.

Однако при решении сложных многомерных задач такой способ может быть практически нереализуемым из-за большой трудоемкости точного решения указанного уравнения. Поэтому иногда 158

целесообразно применять метод двойной рандомизации [67], который здесь вытекает из следующих соотношений:

E/jt9)= ЕМ乐(з, о) =М(з,°)8(з, о),Г D

Е {乙 3)7,9)} =М(з「з「°)出(3i,O)"・(32,。)},

где з】，32 — условно независимые траектории, построенные для одной реализации и, а индекс при знаке математического ожидания указывает, какому распределению оно соответствует. Эти соотношения показывают, что для оценки величин 厶 достаточно строить лишь одну траекторию при фиксированном о, а для оценки величин Rki — две условно независимые траектории.

Естественным способом оптимизации рассмотренного метода рандомизации является метод расщепления (см., например, § 1.5). Для оценки величин /^ он реализуется следующим образом. При фиксированном о строятся п условно независимых траекторий, т.е. строится вектор з = (з】,...,з〃) и вместо случайной величины 古/")(з, а) используется

丈小(3,。)= — Е ^k(coh а). п / = 1

Оптимальное значение и вычисляется по формуле (см., например, § 1.5)

(1.2)

где 〃i = ЕМ^ 1к - /^;。2 二 ED3 扌&;门-среднее время ЭВМ, соответствующее реализации a; t2 — среднее время ЭВМ, соответствующее выбору одной реализации з.

Непосредственная оценка величин aXt a2,tx,t2 затруднительна. Однако можно получить статистические оценки дисперсий и времени для двух значений параметра расщепления:几i, 〃2 - и решить соответствующие системы линейных уравнений, т.е. воспользоваться равенствами

a1 = -^- SzD^%) - 九20然))，

冷 2 —“I'

曾 И(1-3)

q2=亠7吗2-"约)，

九 2八%)("2)f(%)—Г(吃)

f I =, f 2 = ""^,^~e,—~"""^ .

〃2 -«I几2 一〃1.

При этом полезно коррелировать выборку значений，"С ‘ 立"•

Рассмотрим теперь оптимизацию рандомизированной оценки величин Rkj с помощью расщеплёния. В 9ToM случае естественно использовать случайную величину

暗、"T烹上宀3,叫•3,叽m喑）=3.

Оказывается, вместо величины 喈)можно использовать другую, численно эквивалентную, но более удобную для вычислений. Дело в том, что справёдливсг следующее, легко проверяемое соотношение для корреляционных моментов:

К^，)(3,叽勺g(3,。)]=

1

=К[厶(GMSH+rEK^,切・

Рассматривая последнее соотношение также для w= 1 и решая полученную таким образом систему уравнении, получаем

Kjk=m奴力，;竺空军产S《4)

Нетрудно проверить, что подстановка вместо ковариаций в правой части (1.4) их статистических оценок дает оценку К^ величины Kjk, численно совпадающую с оценкой, построенной на основе 幽).Заметим, что при использовании (1.4) среднее время расчетов, как и в стандартном варианте расщепления, выражается формулой вида

7⑺=Гх + %T2.

Точное выражение дисперсии D 霄〉весьма громоздко, однако ясно, что при достаточно больших w имеет место приближенное равенство

йК^^А. + Л2М.

Следовательно, и при оценке величин К^к целесообразно оптимизировать расщепление с помощью формул вида (1.2), (1.3). Заметим, что остался открытым вопрос о выборе значения w, в каком- либо смысле оптимального для оценки совокупности величин К* (/,左=1,・•・°加)・

Предположим теперь, что поле а вполне определяется конечным числом случайных параметров %…，。宀 причем изучаемые функционалы 1к (о) зависят от о, (i = 1 в достаточной степени линейно (это предположение можно отнести к окрестности точки 。(°〔 = Ма, вероятность попадания в которую близка к единице).

Тогда корреляционные моменты вектора / = \ 〃(。)}, а также автокорреляционные моменты векторов 。, / можно вычислять путем линеаризации 7 (а) на основе оценки производных 3厶/8的 методом Монте-Карло (см. § 1.8). Соответствующая вычислительная методика для кусочно постоянного случайного сечения о в теории переноса развита в [4]. Более общие алгоритмы для других представлений, например в виде разложения по ортонормирован- ной системе функций, построены в [3].

Рассмотрим теперь оптимизацию метода двойной рандомизации для вычисления функционалов вида

/ = Е/(。)= ЕМНз, о)

с учетом трудоемкости приближенного моделирования поля о.

Пусть от — некоторая приближенная модель поля о (см. далее § 6.3, 6.4), причем удается установить, что

(%—/)飞 с”『/ш= EZ(am), а>0.

Символ W означает, что оценка достаточно точна. Неравенства такого типа можно получить, пользуясь спецификой задачи, на основе оценок соответствующих норм случайной функции а - Будем предполагать также, что величина полной дисперсии

d = D〃3,。力)=ЕМ [&(з, от)-1т]2

не зависит от т. Вероятностная погрешность оценки /(з, ош) определяется величиной

ЕМ[Нз, Om)-/]2=d+(/m-/)2.

Для среднею значения Ем(з,。力)из N независимых реализаций 扌(з,。力)получаем оценку

ЕМ 叵м(з,。力)-irWd/N+cnT —

В качестве критерия эффективности алгоритма рассмотрим среднее число операций, необходимое для достижения заданной погрешности е, и предположим, что средняя трудоемкость моделирования 古(3, о) при о=о小 определяется величиной cj加。 (S > 0). Заметим, что для рассмотренных в § 6.3, 6.4 моделей от9 по-видимому, должно выполняться равенство 0=1. Таким образом, для оптимизации рандомизированного алгоритма оценки величины / необходимо решать следующую задачу на условный минимум:

min (7Vm°), d/N + ста 飞？.(1. 5)

^, т

Из последнего равенства имеем

т=『(J -#%)]Т/а, 11. Г.А. Михайлов161

т.е. необходимо минимизировать величину

7V(e2 -d/N)~^a = /(У).

Решение уравнения /z(N) = 0 выражается следующим образом:

^ = (d + £/a)f-2, или

d + 6/Q

1

Далее, на основе (1.5) имеем d + 0/а

откуда

асас

ас

ас

Главной проблемой при решении конкретной задачи здесь является достаточно точное определение величин с, а. Интересно отметить, что выражение (1.6) остается справедливым и при использовании метода расщепления, т.е. при замене ^(з,。加)f f W (з, о), если средняя трудоемкость построения одной реализации j 5)(з, о) при а = аш также пропорциональна величине 麓

Оценка дисперсий снизуи осреднение экспоненциалшых ядерРассмотрим интегральное уравнение

9(х; а) = Д(х,х\ о)з(х'; o)dx'+ 力(х; а),(2.1)

или

中。=k⑷中。+ h。,(2.J)

где。一 некоторое случайное поле. Предполагается, что

р(К(。))《死＜1 В，

Соответствующую оценку по столкновениям обозначим 扌产• Пусть требуется оценить величину

Ез(х; о)= ЕМ&，・

Для решеция этой задачи в настоящем параграфе будем рассматривать рандомйзированную (см. § 6.1) оценку , которая 162

строится для различных значении о на одной цепи Маркова с переходной плотностью р(х, х'). Дисперсия такой оценки определяется выражением

Ф(х) = ЕМ扌产 2 = Е X*； а) +

х р(х，х')

Пользуясь принципом Беллмана, так же как в § 5.9, можно построить оптимальную переходную плотность, которая оказывается немарковской; кроме того, можно построить соотношения, формально определяющие оптимальную цепь Маркова. Как видно из § 5.9, Практическое использование соответствующих оценок довольно сложно. Поэтому здесь будет построено лишь уравнение, определяющее некоторую нижнюю границу для Ф(х). Будут приведены эвристические соображения, показывающие, что эта нижняя граница может служить и неплохим приближением для Ф(х) в некоторых стохастических задачах теории переноса.

В дальнейшем будем обозначать ЕХ(х; о) = Хо (X)- Очевидно, что

屮(х) > Хо(х) + /屮(х) > Хо(х) + /Е %2 G，хг; о)屮(X’)Е %2 G，хг; о)屮(X’)р(% х')р(% х')

屮(х) > Хо(х) + /

屮(х) > Хо(х) + /

Е %2 G，хг; о)屮(X’)

Е %2 G，хг; о)屮(X’)

р(% х')

р(% х')

Обозначим символом К^} интегральный оператор с ядром

乂 а, %')_ е/(у, /；。)

р(х, х')р(х,х')'

Предположим, что р(К^ ) < 1. Тогда, согласно лемме 1.1, имеем 屮(х) > Фо (^), где Фо - решение уравнения

々*х, х‘)，，

屮о(х) = Хо(х) + / 屮о(х )dx .

х Р(х，х )

Если выполняется соотношение

/左о(х, xf)dx,<qQ< 1,

То величина 屮 о G) заведомо конечна при р (х, х')三改о (х, х，). Построенную оценку можно минимизировать с помощью теоремы 2.3 при р? = Хо, %», х')二々о (х, х ' ) • В тех случаях, когда можно надеяться на приближенное равенство 屮 ％ Фо, это дает эффективный алгоритм метода Монте-Карло.'

163163Подстановка вместо ЕЛ2 произведения.средних значений сомножителей ядра %? только усиливает рассмотренную оценку. На этой

163

163

11*

основе, используя также вогнутость экспоненты:

Еехр{-2т} > ехр{-2Ет},

для интегрального уравнения переноса (см. * § 1.3) излучения в стохастической среде легко получить соотношение

ЕМ^)2> М抬，

где & - оценка решения интегрального уравнения переноса в средней среде, т.е. в среде со средними значениями коэффициентов рассеяния, ослабления и индикатрисы рассеяния. Более точная оценка получается, если используется точное значение величины Ее-2т

Предположим теперь, что среда стохастически однородна, и рассмотрим интегральное уравнение переноса по рассеяниям (т.е. фактически для ценности частиц; см. § 1.3). Описанное в § 1.3 выражение соответствующего ядра показывает, что в случае, когда масштаб корреляции среды существенно меньше средней длины свободного пробега частицы, можно считать слабо зависимыми величину м£(?)2 и величины следующих сомножителей ядра:“

「7, G(〃s，Г')=。$(/)/(%，/).

Таким образом Фо дает здесь хброшую оценку величины Ф, если ядро в (2.1) строить путем перемножения величин Ее-?' и Е G2 (从s, г'). Если, кроме того, выполняется соотношение

Еехр{-2«)}芯 ехр{-2。。/},(2.2)

то построенное таким образом ядро близко к ядру оператора Кр для детерминированной однородной среды с характеристиками

^ = J【EG2(〃，/)]1/2如，％他)=[EG?他“)浊厅，(2.3)

причем полный коэффициент ослабления равен а0- При выполнении условия 。$/。0 < 1 ядро %i (х, х') соответствующего уравнения переноса является субстохастическим (см., например, § 1.6), и дляр (х, х‘)三 ki (х, х1) величина 屮 с определенной степенью надежности конечна.

Приведенные рассуждения показывают, что при использовании одной цепи Маркова {х„} для построения 目°)целесообразно в качестве { х„} рассматривать физический процесс переноса излучения в детерминированной среде со среднеквадратичными харак- геристиками, а не со средними, как это иногда делается. Практическим критерием конечности дисперсии при этом может служить выполнение неравенства о^/оо < 1, где о$ определяется из (2.3).

Дйлее рассматривается метод вычисления ввтичины Ее~т^ для специальной пуассоновской модели стохастической среды; 164

здесь

t(z) = /o(z‘ )dzr. о

Предполагается, что реализации случайной функции o(z) строятся следующим образом. На оси z строится пуассоновский поток точекzо =0, z 1,?2 …？ такой, что случайные величины

% = Zi-z^^ i = 1,2,,

независимы и распределены с плотностью 入£一入" (г > 0); для каждого интервала (z^j, z『)выбирается свое независимое значение о из заданного одномерного распределения этой величины. Таким образом построенная случайная функция o(z) однородна и имеет заданное одномерное распределение, а соответствующая нормированная корреляционная функция равна e~Xz (см. § 6.3). Эта модель является марковской, так как перескок через заданный уровень z для экспоненциального распределения также экспоненциален; она является естественной для сред, включающих в себя не слишком плотно упакованные случайные конгломераты каких- либо неоднородностей.

В § 6.3 будет показано, что если в рассмотренной модели 入 выбирается случайно из распределения 〃 (d 入)，то соответствующая корреляционная функция выражается формулой

K(z)= ； е宀(d入)， (2.4) о

которая задает произвольную абсолютно монотонную функцию (свойство марковости при этом уже не выполняется). Такую модель o(z) можно называть обобщенной пуассоновской. Далее будет использовано обозначение/(z, о) = е 一丁⑺.

Сначала заметим, что условное математическое ожидание случайной величины /(z, о) при фиксированном значении z 】в пуассоновской модели o(z) выражается формулой

ЕЕz 1《z, Zi > Z,z 1《z, Zi > Z,

Е

Е

z 1《z, Zi > Z,

z 1《z, Zi > Z,

где % — случайное значение o(z). в интервале (z0, zj. Осреднив это выражение по значению z〔, приходим к уравнению

E«z, а)=

=入 j ELiiefZ|E/(z-2], Gdzi + L ze「i z(2.5)

о

Это частный случай так называемого несобственного уравнения восстановления.

Асимптотическое решение этого уравнения при z 今 8 равно [96, с. 443]

1ОО

E/(z,。)比一с" / cSLeL% = 〃0

=丄 Е (入-q * о 1)т е~^ ,(2.6)

где a - единственный корень уравнения

①(q)二入 Г ELLba% = 1,(2.7)

о

а величина g выражается формулой

从=入『f eL%e产%=入e(入-Q+oJf. о

Уравнение (2.7) можно переписать так:

入 Е(入 _Q + %)T = 1.(2.8)

Итак, асимптотика средней интенсивности для пуассоновской модели a(z) определяется выражением

E/Q, о)比入-[Е(入一q + 5)t/E(入一Q + s)-2]e-az 二/。^),

(2.9)

где а определяется из уравнения (2.8).

Очевидао, что ®(а) монотонно возрастает и Ф(0) < 1, поэтому решение уравнения (2.8) существует и единственно в (0, 8). Применяя неравенство Йенсена (см., например, [96]) для оценки величины Ee~°l г в (2.7), получаем неравенство

a < Е а.

На основе полученных результатов можно построить асимптотику функции Е / (z, о) и для обобщенной пуассоновской модели u(z) с корреляционной функцией (2.4), осреднив выражение (2.9) по 入 с весом 〃(d 入).

Численные расчеты, проведенные при выполнении работы [74], показали, что асимптотика (2.9), как правило, является хорошим приближением для Ee-^'z) Можно дополнительно заметить, что это приближение снизу, так как Ее~т^ = 1, а вследствие (2.8) имеем

Е(入— q+s)t — [Е(入-q+s)T]2

/о (0) -―、)— у" "”・ & 1.

入 EQ-q+Qi)-2 E(入 _q + O])-2

Специальные модели негауссовских полей,связанные со стационарными точечными потоками

Для решения стохасцмеских задач методом статистического моделирования необходимо численно строить реализации случайных процессов и полей. При этом иногда наиболее важно передавать корреляционную функцию и одномерные распределения, тем более что в негауссовском случае зачастую нет удовлетворительной информации о многомерных распределениях. Однако все-таки желательно иметь набор моделей случайных полей, дающий возможность проверять чувствительность изучаемых функционалов к изменению многомерных распределений при их сходимости к распределениям некоторого поля с подходящими, например непрерывными, реализациями. Модели такого рода, достаточно близкие к предельным в смысле слабой сходимости и реализуемые на ЭВМ, естественно называть приближенными; тру^оем、 кость их реализации, как правило, тем больше, чем выше степень приближения.

В настоящем параграфе рассматриваются специальные случайные процессы, связанные со стационарными потоками точек вида к

У 2 %,^ = Ь2,..., т0 =0,(3.1)

где 1?/ 一 независимые неотрицательные случайные величины, распределенные с плотностями力(х) (/ = 1, 2,. . .)• Потоки такого типа в [101] названы потоками Пальма. Для них выполняются соотношения

А(х)=/(х) = F'(x),左=2,3,...,力(х) = 〃т 口 一 F(x)].(3.2) Предполагается, что

〃 =fxf(x)dx < 8 •

С другой стороны, условия (3.2) обеспечивают стационарность потока О (см., например, [96, гл. XI]).

Для целей настоящей работы необходимы потоки ввда (3.1) с заданной вероятностью

Ро(г) = Р(% = О“)

в интервале длины Г. Известно [101], что функция Po(f) вполне определяет поток Пальма, причем

/(х) = -Ро (х)/尻(0),Л (х) = -р】(х), х>0.(3.3)

Непосредственно из (3.2) следует, что

1 00,

Po(f) = — / [1 -F(r )]dC

и поэтому

Ро(О>О, Ipi (0)1 <<*>,Ро(О)=1, Ро(8)= О・(3.4)

Нетрудно показать, что непосредственно отсюда следует неравенство ро 《0.

Пусть для f > 0 задана некоторая неотрицательная функция Й)(^), удовлетворяющая условиям (3.4). Нетрудно проверить, что при этом функции (3.3) являются плотностями распределений, для которых выполнено второе из условий (3.2). Таким образом, получена

Лемма 6.1. Пусть функция д)(г) такова, что Д)(0) = 1, Ро(8)= 0, I К (0) I V 8 w pj (f) > о при Г > 0. Тогда потоку

при выполнении (3.2), (3.3) соответствует

Р(^ = О；г)=ро(О.

Посмотрим теперь стационарный случайный процесс Е(г) в интервале (0,Г) с заданной одномерной функцией распределения 尸& (%) на основе потока Пальма {〃} с Р (Л = 0; г) =д)«) следующим образом:

моделируется последовательность {九} до первого выхода из(0,Т)；

для каждого интервала (乙一匕门)(i =1,2,...) полагаем & (г)三打，где & - независимые случайные величины с функцией распределения 尸 ^ (*) •

Такой процесс обозначим через | (г； р0). Нормированная корреляционная функция процесса (г； р0) равна Ро«), так как

^{^^)^^Г9р0)} =ро(ОМ^2 + [1 -ро⑺](М^)2.

Предполагается, что М|2 < 8.

Итак, построен стационарный процесс 扌(£,%) с заданными одномерной функцией распределения 尸& (х) и выпуклой нормированной корреляционной функцией 左(f). Заметим, что, согласно методу обратной функции распределения (см., например, [32, с. 17]), реализацию потока { т^} здесь можно строить с помощью решения уравнений~

左包) = ^1,К(/) = Q*(0), i = 2,3,…，

где s - независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале (0, 1).

Рассмотрим отдельно случай абсолютно монотонной функции k(t), которая представима в ввде

^(0 = 7 к "Md入)， о

где д - вероятностная мера на (0, 8)такая, что Р (入=0) =0 и 168

/ 入〃 (dX) < °°. В этом случае дляро(Г)= %(/) выполнены условия о

и

/(х) = ; 3-m40入)[，入网也『， оо

Г1(х) = 7 入 e-M〃(d入). о

Если меры 从 и 入从 удобно моделируются, то для построения реализаций величин 力 здесь целесообразно использовать метод суперпозиций [32, с. 20].

Заметим, что возможен рандомизированный способ построения процесса с абсолютно монотонной корреляционной функцией 左(г), состоящей в построении процесса g(r； е~入，)для случайного значения 入，предварительно выбранного соответственно д. Такой процесс, очевидно, не эргодичен, в то время как введенный здесь процесс 扌(£; R) является эргодичным, что делает его более естественным и важным для приложений.

Пусть D — область и-мернрго евклидова пространства, целиком лежащая в кубе [0, Т]". Построим случайное поле 扌(г) (г = =(Xi,…,х„)) в D следующим образом:

на i-й координатной оси строится поток Пальма {т^Ъ с Р?)«)=&«)；

для каждого параллелепипеда вида 1У?3"У'】X... ...X 1т 工^_ 1 "£?】выбирается свое независимое значение 扌(г) соответственно функции распределения 尸古(v).

Такое поле обозначим через 扌(г; Л), где % = 的，…，左J • Поле ? G； %) однородно с нормированной корреляционной функцией

К(г;к)= П ^(|xf I), r = (xi,... ,хл).(3.5)

«=1

Класс моделируемых корреляционных функций можно расширить, сделав в (3.5) замену 勺今入К», причем 入=(入i,...，入 J выбирается случайно для каждой реализации поля соответственно вероятностной мере д (dX), заданной на [0,8] ". Так можно построить поля с корреляционными функциями

К(г) = / ехр {-入 1 Ixi I - ... - Х„ \хп l}/x(dX).(3.6)

о

Для моделирования изотропного случайного поля воспользуемся следующим естественным приемом. Построив реализацию поля

& (г; %), повернем ее, ориентировав соответственно единичному изотропному Лектору з= (з】,...,з„). При вычислении корреляционной функции такого поля можно считать ориентацию реализации фиксированной, а г — изотропным, т.е. г = гз. Поэтому здесь

к6) = /自(1伙⑺...“|3篦 1ad3.

Наиболее простая модель такого типа получается следующим образом:

строится поток Пальма {т左} с р()(г)二左(Г) вдоль изотропного направления з в пределах области Z);

для каждого из слоев, ограниченных плоскостями, перпендикулярными з в точках {?>}, выбирается свое независимое значение 扌 соответственно 尸占(х).

Такую модель поля назовем изотропной слоистой. Для нее

《&)二 ％ / k(，cos6)sin"-29dB. о

Например； если к абсолютно монотонна и м = 3, то

] — е —入г

Кб) = 〃〃(dX)d» = / —;—— 从@入)• О ЛА Ат

Распределение изотропного слоистого поля для ряда приложений неестествещю, но его в некоторых случаях можно улучшить с помощью простой модификации, которая предлагается далее.

Предположим, что распределение 与 безгранично делимо, т.е. для каждого натурального т характеристическая функция удовлетворяет соотношению

9® =%(〃)=屮二(〃)，

и можно использовать представление

V+.•宀怨 .(m)

где 巳 независимы и одинаково распределены с характеристической функцией 屮 т (“).

Рассмотрим процесс

т / 、

*«)= 2 У £ %),(3.7)

где £：т)(г； к) — независимые реализации процесса У")(" %) с одномерным распределением, соответствующим 9小(〃)・ Ясно, что функция одномерного распределения процесса《也(Г) равна

170

& (x), а корреляционная функция равна % (г). Реализации процесса 匕切(/) улучшены по сравнению с 扌(г； к) в смысле близости к непрерывным функциям, так как j加(г) принимает постоянные значения в меньших областях и эти значения зависимы.

Рассмотрим вопрос о слабой сходимости процессов fw (Г). Сначала необходимо установить сходимость соответствующих частных распределений. Для гауссовской функции распределения % (х) такая сходимость сразу вытекает из центральной предельной теоремы, т.е. в этом случае частные распределения fw (Г) сходятся к гауссовским с числовыми характеристиками, соответствующими 线(%) и%(г).

Для вывода предельных распределений в общем случае заметим, что каждая реализация потока точек разбивает фиксированную последовательность точек Тк =(九—• •，％) на последовательности длины К",..., к^, где s - номер варианта разбиения. Полное количество таких вариантов равно 2*т. Вероятность осуществления s-ro варианта обозначим через р$.

Лемма 6.2. Пусть 屮改中(北;〃i, • • •, 〃л) - характеристическая функция k-мерного частного распределения процесса 扌(力)(Г; %). Тогда:

при 加今8& I

中 km(t左；"1，…,眼)~ J J 尸 13(%(£了) + …+ Uq (s，i ^1)-1^ " =

q ($,/) = }] %f)+ 1, q (s, 1) = 1：

屮改-характеристические функции распределений, удовлетворяющие условиям согласованности.

Доказательство. Проведем его подрооно для случая 左=2. Обозначив 扌(力)(口；左)二 & и | 力 一 h I = △£, получим

&"?(丁2； 〃i,〃2)=Mexp{i(K〃i +&〃2)}=

=Po (△£) 3 W Qi + 〃2) + 口 -Po (△£)] 〃仰 3 ) 3屮” &2)=

=1 + w'1 { po (Ar) In 9 (〃] + w2) +

+ [1 -po(AO] In [gQi) 9(〃2)]} +。(加T).

Следовательно,

以(T2 ； Ю, "2)f

f [9® + 〃2 )] P° (△” № (如)9 (〃2 )「- P° (△” =屮2 (丁2 ： 〃1，〃2 )，

171

Легко заметить, что ф2 (Гг ； “1, “2)— характеристическая функция. Кроме того,

屮2 (丁2 ； Г, 0) = S (Гг ； 0, £)= 3 (f),

т.е. условия согласованности для 左=2 выполнены. Ддя /г > 2 доказательство проводится аналогично.

Заметим, что для пуассоновского потока с параметром 入 вероятности р5 таковы:

%

%=eхp{-入三爲(小 1)Т -%(&/))} X

X П [1 -exp{-入(f(s/)-Q(sj)_i)}]・

Лемма 6.3. Если |Po (r) I V с V g на [0, Г] « { > 0, то

М{| J (片)一39)11 屬色)一 J (厶)I }《"(Гз— fl)?

при h《Г2 V Гз・

Доказател ьство. Непосредственноиз (3.7) следует,что

I U (尸)I《货吃"+严')， / = 1

где Дг = "” 一 / 丨；〃(△/) - случайное число соотв етствующих { 5/ (С %) } реализаций потока, имеющих хотя бы одну точку в (г , Г ); величины 第 и & независимы и одинаково рас・ пределены соответственно ^m (u) = w^Q). Используя тождество Вальда (см. [96]), далее получаем

M{|fw(Гз)- rw«2)11 и(々)-3?(厶)I} & 《41\/1{〃03-5a2-1)}倒旷]2+

+ МР{ [У)&) 7严《2)НУ «2)- У (Г/ > 〉0 } М@т'2《％ Оз —才2)(才2 —厶)《Н«3 —厶)2 ,

так как очевидно, что выполняются соотношения

Р {住尸(f 3)-У%2 )НУ %2 ) -У 色)1 > 0 }《

a3-f2)(Г2-厶)，

m{"03-")〃«2-h)} & 4m2 (£3 一?2 )(г2 - f 1 ),

M&")= М〃м, D^w) = De/ш.

Лемма 6.3 показывает, что в данном случае выполняется критерий Ченцова — Колмогорова (см. § 1.2) для процессов без разрывов второго рода. Поэтому справедлива

Теорема 6.1. В условиях леммы 6.3 процессы fw (г) слабо сходятся к процессу, определяемому предельными конечномерными распределениями леммы 6.2, с корреляционной функцией 左(Е) и функцией одномерного распределения 耳(х).

Данная теорема не включает вариант гауссовского распределения, однако в этом случае сходимость fw (г) легко получается на основе следующего известного обобщения указанного критерия:

p{1^(") —2"2)1)入，仆"2)一J (九)1》入}&

Все сказанное в этом параграфе до леммы 6.2 переносится на случайные поля с изменением конкретных выражений функций 屮左 при Л:> 2.

Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности определяемого теоремой 6.1 предельного процесса f (/). Практически наиболее удобным критерием непрерывности с вероятностью 1 реализаций процесса j (г) является критерии Колмогорова (см., например, [20]) в таком виде:

切①,无) = M|j(r+〃)T(f)|P &с", (3.8)

где р > 0, г > 0. Таким образом, для решения вопроса о непрерывности реализаций предельного процесса f (г) прежде всего целесообразно оценить для него величины m(pt Л), которые определяются распределением векторов { f (г), f (г +/?)}, т.е. двумерными распределениями f (г). Заметим, что в силу леммы 6.2 характеристическая функция вектора {f (г), j(f + 〃)} выражается формулой

9丸3, "2)= 2(% +〃2)]PQ?93)9(〃2)]f), (3.9) где 9(〃) = 3*(") — характеристическая функция одномерного распределения процесса.

Покажем, что случайный вектор с характеристической функцией (3.9) может быть представлен в специальном простом виде. Прежде всего отметим, что функция 屮& (и) для любого а > 0 является характеристической. Это следует из того, что: 1) а можно представить как предел последовательности рациональных чисел вида 加/疋 2) функция 屮力/“ (〃) явлйется характеристической вследствие безграничной делимости распределения W; 3) предел последовательности характеристических функций есть характеристическая функция.

Таким образом, оба сомножителя в правой части (3.9) являются характеристическими функциями некоторых случайных векторов. У первого из этих векторов компоненты с вероятностью 1 совпадают, а компоненты второго вектора { 7?(/), ^G + Л)} независимы и распределены с характеристической функцией [^ (и) ]1 ~ Ро . Поэтому

加 3 %) = М 丨 т? (f + 力)一 "«) IJ М I 〃友 |"・

Здесь практически достаточно оценить т (р, Л) для четных значе* ния р, так как для непрерывного процесеа величины т(р, Л) должны в основном убывать при р 今8.

Далее, характеристическая функция случайной величины 〃“ равна

6 ®= К(〃)屮

Поэтому семиинварианты распределения дЛ, т；е. коэффициенты в разложении In ⑦(〃)по функциям вида «〃)"/〃，имеют при 〃 ~ О порядок величины

-р。(五)=0(力).

На основе известной связи семиинвариантов с центральными моментами распределения (см., например, [96, с. 210]) отсюда получаем требуемую оценку:

m(pth}^^\Ut^^-^^\p-O(h)

для четных р. Следовательно, критерий (3.8) действительно не дает возможности установить непрерывность предельного процесса §(/)• Однако процесс такого типа иногда все-таки является непрерывным.

Например, для гауссовских процессов известен [20] следующий критерий непрерывности с вероятностью 1:

D{S»-j(f)} <K\\n\h\rPf Р〉3・

Этот критертй очевидно здесь выполняется, т.е. в случае гауссовской функции распределения 扌 процесс (3.7) слабо сходится к непрерывному гауссовскому процессу. По-видимому, и для некоторых других конкретных распределений 工 например для гамма-распределений с достаточно большим значением параметра, предельный процесс может бьпь непрерывен (или практически непрерывен). Это предположение для случая гамма-распределения было подтверждено с помощью численного моделирования [79].

Достаточно ясно, что приведенную теорему можно обобщить на лоля с помощью соответствующего обобщения критерия Чен-

цова — Колмогорова [105]. Во всяком случае конечномерные распределения рассмотренных модельных путей улучшаются путем суммирования типа (3.7). Таким образом, на основе слоистой изотропной модели можно строить поля с довольно естественными реализациями. Заметим, что при использовании моделей случайных сред типа (3.7) в теории переноса излучения достаточно выбирать такое значение w, для которого характерный размер области постоянства j切(г) меньше длины свободного пробега кванта излучения.

Отметим еще одно полезное свойство рассмотренных моделей случайных полей: они допускают зависимое моделирование (на одном пальмовском фундаменте, соответствующем заданной функции k(f)) полей с разными одномерными распределениями. Путем реализации таких моделей в [79] было показано, что негауссовские поля могут радикально отличаться от гауссовских наличием областей практически постоянного значения с дааметра* ми, существенно превосходящими масштаб корреляции. Этот факт можно рассматривать кгЬс проявление свойства максимальности энтропии гауссовского распределения при заданных ковариациях.

§ 6.4. Моделирование однородных гауссовских полейпутем рандомизации спектрального представления

Пусть 纟(х) — случайное гауссовское вещественное поле с корреляционной функцией Е(х), для которой задано спектральное разложение

%(х) = Jcos(Xx) р (入)d入， (4.1)

где р(Х) - спектральная плотность,入 £ А = R". Заметим, что представление (4.1) существует,в частности, если J|Z:(x) \dx< о©,. 加я простоты изложения будем предполагать, что МЦх) = 0, “(x)=L

Разработаны методы моделирования (см., например, [32]) гауссовских случайных процессов и полей с дробно-рациональными спектральными плотностями, в основе которых лежат линейные преобразования белого шума с подходящими спектральными характеристиками. Эти методы могут быть слишком трудоемкими, так как требуют решения диференциальных уравнений (в случае поля — с частными производными). Далее рассматривается не вполне адекватньш, но весьма простой метод приближенного построения гауссовского случайного поля с заданной корреляционной функцией вида (4.1), который состоит в следующем.

Разобьем пространство А на части Ai,..., Аш, и пусть случайные Точки 入1,…，入也 распределены в этих частях в соответствии

с плотностями

玖(X) = p(入)Up(入)办『，入6&•

Тогда в силу (4.1) имеем ЛИ к (х) = М Е pk cos (ХЛ х), 卩女=J р (х) dx.

Отсюда получаем следующую процедуру построения случайного поля с заданной корреляционной функцией:

выбираются значения 入i,...,入小；

строится реализация поля по формуле

幫? (х) = S pj 嵐 Sin (底 x) + “ cos (% x)],(4.2)

Л = 1

где {&, %} — независимые в совокупности стандартные гауссовские величины.

Заметим, что при т = 1 выражение (4.2) представляет собой известную модель однородного случайного поля (см., например, [16, с. 66]).

Условное одномерное распределение поля (4.2) при фиксированных значениях 入i,…，入является стандартным гауссовским. Следовательно, абсолютное одномерное распределение (4.2) тоже стандартно. Аналогичные соображения показывают, что многомерные распределения поля (4.2) не нормальны и оно не эргодач- но, но эти недостатки могут ослабевать при w -> 00 и достаточно равномерном измельчении разбиения пространства Л. Сходимость процессов и полей вида (4.2) при 加 今 8 рассматривается далее.

Для удобства изложения перепишем (4.1) в более общем комплексном виде:

似х) = /£Хр (入)d入.(4.3)

Соответствующее корреляционной функции (4.3) гауссовское комплексное поле можно определить [16] спектральным представлением

j(x) = /J" Ф©入).(4.4)

Здесь Ф@入) —комплексная стохастическая мера такая, что для любой измеримой области Ajt С Л случайная величина / 力(d入) нормальна, причем八七

М / Ф (d入)=О, D / Ф (d入)=/ р (X) t/入=Рк，

М { / Ф®入)/ Ф@入)} =0, 勺

если области А" и Лу не пересекаются. 176

Поле (4.2) в более общем комплексном виде можно записать так:

J(x)= 2 exp {i\kx } / Ф@入).(4.5)

Представление (4.5) переходит в (4.2), если мнимая часть Ф нечетна как функция 入，а совокупность (人改，入Q инвариантнаотно- «цельно изменения знака.

Рассмотртм теперь вопрос о сходимости поля 色加(%) к гауссовскому полю с заданной спектральной плотностью р(Х). Как уже указывалось выше, эта сходимость связана с характером разбиения пространства А на области А左.Обозначим через и左 объем области 八改,а через dk диаметр А". Далее будут рассмотрены равномерные по объему разбиения области ЛХАт такие, что

dk <cv^n9 ^ = 1,

причем ”0 при 加-> 8； такое раз&«ение, очевидно, можно по

лучить, например используя равномерную прямоугольную решетку с шагом по каждой оси порядка к "“•

Теорема 6.2. Пусть §(х), fm(х) задаются соответственно формулами (4.4), (45) при |х | V R, А^ = {入：I入 I〉〃} 〃 dk < clm гм-"" (Л = 1,..., m - 1). Тогда:

если 1mmTn 今о〃 % —8 при m^ootro

m /臨а)-"初2厶今0；

|x| VK

если для некоторого e >0

/I 入 |£p(X)d 入 <8,

то при lm - cm2^n^€^ выполняется оценка

М / ,[fw (x)-f(x)]2 dx《cm-^n^€^.

lx\<R

Доказательство. На основе (4.4), (4.5) имеем

М /©и(х)-К%)]2 dx =

\x\<R

m

=M / dx{ S [ / [exp.%%} - exp{i入x}] X

lxl<R %J=1 A%

X ①(d入)/ [exp{i~・x} -exp{^x}]®((A)]}= л/ m

=/ dx 2 Ml / [exp{认&x} -exp{i入x}]Ф0入)『=

|x|VR Л = 1 A"

=/ dx E /「exp｛认у｝-exp｛认灯 12P(X)d入& |x| <Л 衣=1 A左

《c鳥 m“m /p(X)d 入+ %J p(X)dA(4.6)

I 入1V%lM>im

Таким образом, первое утверждение теоремы доказано. Второе следует из того, что

/ Р(Х)《疗 / I入|£pQ)n

IM>/W1М>/Ш

Теорема доказана.

Нетрудно заметить, что оценка (4.6) оптимальна по порядку, если 1т определяется уравнением

/Р(Х) а\ = 1^т^п.

I入>%

При этом если р(入)достаточно быстро, например экспоненциально, убывает при | 入| -*°°, то (4.6) не превосходит величины с*nT^nL2(<m), где応 一 медленно растущая функция.

Таким образом, в силу неравенства Чебышева доказана сходимость по вероятности к нулю £? -уклонения поля f„ (х) от некоторого гауссовского поля с заданной спектральной плотностью. Заметим, что нетрудно сформулировать и доказать аналогичные утверждения о сходимости производных поля f„(x) при условии существования соответствующйх моментов спектральной плотности. Например, если

/I 入 |2+'р(Х” 入 <8,(4.7)

то

м /长俨(х) - 十⑺(х)]2dx < cm~2e/S(2+€)L(4.8)

где j(")- частная производная поля j тю 入(“) (左=1, • • •, %).

Далее, на основе теорем вложения иногда можно получить сходимость по вероятности к нулю равномерного уклонения % от j. В частности, если м= 1, т.е. §=«(/) — процесс, и выполняется (4.7), то из (4S) вследствие теоремы вложения W^ в с имеем

Msupl% 0) _ j(f)|《%现一ё八m2+ё)丄 t

Полученные оценки можно использовать при исследовании сходимости изучаемых функционалов, так как сходимость по вероятности здесь влечет слабую сходимость^ связанную с соответствующей метрикой [9, с. 42] •

Заметим, что дальнейшему развитию представленного здесь метода моделирования посвящена работа [19], где, в частности, доказано первое утверждение теоремы 6.2 без ограничения |х| < R. 178

Там же с помощью преобразования критерия слабой сходимости случайных функций Ченцова [105] получен простой критерий слабой сходимости построенной модели относительно метрики с в терминах спектральных моментов моделируемого поля.

Стохастические задачи теории пераюса излучения

В качестве первого примера рассмотрим задачу теории переноса излучения в среде, которая представляет собой случайный конгломерат шаровых неоднородностей. Предполагается, что центры шаров образуют пространственный пуассоновский поток точек, т.е. числа центров в непересекающихся областях независимы и подчинены закону Пуасоона; возможно пересечение шаров. Полное сечение (см. § 1.3) вещества внутри сфер равно Qi и равно 。2 в остальной части рассматриваемой области; для определенности будем полагать, что max (。1,。亡)=<h.

Моделирование траекторий в реализации такой среды можно осуществлять методом максимального сечения (см. § 1.3). Соответствующий алгоритм состоит в том, что длина свободного пробега частицы выбирается по формуле

/ = -1па.

где а - случайное число, равномерно распределенное в (0, 1), и если полученная точка столкновения не находится внутри какой- либо сферы, то моделируется дельта-рассеяние, т.е. частица снова двигается в том же направлении с вероятностью (j -©)/。1・ Иногда целесообразно использовать весовой способ моделирования, дисперсию которого для сред рассматриваемого типа можно оценивать на основе методики, изложенной в § 6.2.

Для построения реализации среды здесь достаточно выбрать значение ^ числа центров сфер из соответствующего распределения Пуассона и затем выбрать точки каждого из ^ центров независимо и равномерно по объему области (см., например, [96]). Для уменьшения числа вычислительный операций можно разбить область на части и довыбирать в этих частях реализацию потока центров по мере попадания в них траектории частицы. Очевидно, что линейные размеры указанных частей должны быть велики по сравнению с радиусами сфер. Уже выбранные части потока точек, вообще говоря, следует запоминать, так как возможно возвращение частицы в соответствующие части области. Перевыбор частей потока не соответствует изложенному в* § 6.1 принципу рандомизации и дает смещение оценки, которым можно пренебречь лишь при сильной анизотропии рассеяния.

Известно, что рассмотренная выше модель стохастической среды вполне удовлетворительна для описания кучевой облачности

при решении задач переноса солнечного излучения в атмосфере.

Известно также, что при описании дымов более подходящей является модель, в которой плотности для общих точек шаровых областей являются суммарными, т.е. о】 заменяется на мох, где 〃 一число шаров, которым принадлежит данная точка.

Другая общая модель стохастической среды определяется представлением полного сечения о(г) в виде

。(叫「)= S。产(「)， (5.1) /=1

где 0严 «= 1,...,加) 一независимые реализации некоторого однородного случайного поля, связанного со стационарными точечными потоками, как это указано в § 6.3. Напомним, что корреляционная функция поля о совпадает с корреляционной функцией отдельного слагаемого о^, а одномерное распределение определяется правилом композиции, т.е. представление (5.1) удобно, если одномерное распределение моделируемого поля безгранично делимо.

Различные свойства полей вида (5.1) представлены в § 6.3. В частности, там определен класс корреляционных функций 左(，) для изотропных полей (5.1), который оказывается близким к классу выпуклых функций, что вполне достаточно для создания удовлетворительных моделей при решении многих практических задач теории переноса.

Следует отметить, что практически достоверной информацией о корреляционных характеристиках реального случайного поля бывает только величина масштаба, иначе длины корреляции р. Величина р обышо определяется формулой

р = , k(r)dry о

но может быть определена и выражением [79]

Г左(0)产

Заметим, что для рассмотренного в § 6.3 изотропного слоистого поля имеем р->«>, поэтому при использовании такой модели корреляционный масштаб определяется согласно (5.2). Для более сложной параллелепипедальной модели, связанной с независимыми точечными потоками вдоль каждой из координатных осей (см. § 63), имеем р< °°.

Согласно изложенному в § 6.3, целесообразно использовать представления (5.1) с большими значениями w, так как при 小今8 конечномерные распределения поля о^ становятся абсолютно 180

непрерывными, а это наиболее естественно (для полей с абсолютно непрерывными одномерными распределениями). Однако при решении задач теории переноса вполне удовлетворительным является значение т, для которого характерный размер областей постоянства о^ существенно меньше средней длины свободного пробега частицы； такое значение т целесообразно определять с помощью специальных предварительных расчетов.

Различные алгоритмы моделирования длины свободного пробега частицы в среде с полным сечением вида (5.1) рассмотрены в [94]. Наиболее простым (но, возможно, не самым экономичным) здесь является алгоритм, состоящий в том, что длина пробега моделируется независимо для каждого из слагаемых а^ \г), а затем выбирается минимальная из полученных длин; распределение такой величины совпадает с физическим распределением длины свободного пробега [81].

В [94] приведены некоторые результаты решения методом Монте-Карло задач теории переноса излучения в стохастических плоских средах. Как оказалось, эти результаты хорошо согласуются с полученной в [74] асимптотикой средней интенсивности излучения, проходящего через такие среды. Эта асимптотика показывает важность учета стохастической неоднородности реаль* ных сред и дает тестовые значения для алгоритмов статистического моделирования; кроме того, в некоторых случаях коэффициент при асимптотическом выражении целесообразно вычислять с помощью метода Монте-Карло. Поэтому далее кратко представлена указанная асимптотика.

Хорошо известно (см., например, [24]), что асимптотика шиен- сивности в плоском слое с точностью до постоянного множителя определяется решением уравнения переноса в бесконечной среде, поэтому в [74] была введена следующая математическая модель.

Плотность среды представляет собой однородное случайное поле с плоской симметрией; точнее, коэффициенты рассеяния и поглощения зависят лишь от одной координаты z следующим образом:

os = os(z) = qo(z)9

Oc = %(z) = (l -q)o(2), O&qV 1,

а индикатриса рассеяния везде одинакова. Случайная функция o(z) однородна no z и удовлетворяет условиям, обеспечивающим выполнение центральной предельной теоремы [36] для

т = / aiz^dz.

о

Источник распределен равномерно на плоскости z = 0, причем угловое распределение интенсивкюсти источника удовлетворяет характеристическому уравнению теории переноса [24]. Поэтому интенсивность излучения для данной реализации о определяется оптическим расстоянием точки наблюдения от плоскости z = 0:

Z(z;o) = Z(r(z)) = e~r/£, т = j o(z,)dz,9

где L - длина диффузии, являющаяся первым собственным числом характеристического уравнения для случая а= 1, а^ =^; иначе говоря, L -безразмерная длина диффузии для данных индикатри* сы рассения и вероятности выживания кванта в акте однократного рассеяния,

Необходимо определить асимптотику при z 今8 средней ин・ тенсивности, т.е. математического ожидания Е/(z, а). Таким образом сформулированная задача обобщается на случай произвольного момента случайной интенсивности E/*(z, 0 путем замены £ 今丄/%.

Поскольку е~" — выпуклая функция, то в силу неравенства Йенсена [96, с. 193] имеем

E/(z;o)= Ee-”丄》е-Е"丄”-。(同七，а0 = Е а.

Отсюда следует, что если

Е /(Z； О)〜С^з, z f 8,

то а&Оо/丄.На основе предельной теоремы для однородных случайных функций в [74] была получена следующая асимптотическая формула:

Е /(z; о)七 ехр|- №—

где s' = Do, р— корреляционная длина случайной функции o(z).

В [74] указано, что для применимости формулы (5.3) необходимо выполнение неравенства

2s2”£оо.

Формула (5.3), таким образом, неприменима для оценки старших моментов случайной интенсивности. Следовательно, целесообразно попытаться оценить требуемую асимптотику в более широких условиях для какой-либо физически обоснованной модели распределения т или для специальных простых моделей o(z). Поэтому далее строится асимптотика средней интенсивности для почти- гауссбвской модели распределения вероятностей оптической толщины.

Упомянутая выше предельная теорема означает, что распределение величины r(z) асимптотически нормально с параметрами o0zf 182

2zps2, т.е. асимптотическиN(poZ, 2zps2). В связи с этим предположим теперь, что распределение г получается путем следующей мо・ дификации N(pQ^t 2zps2): "хвост" отрицательных значений собирается в "атом" при т = 0, т.е. для т? = (т — Oqz)/(2zps2)^2 имеем

^ = ^12 : W +年怎 a(一三名)，(5 4)

где 尸(•)- функция стандартного нормального распределения 7V(0, 1). Распределение с плотностью (5.4) будем называть почти- гауссовским.

Подставляя (5.4) в интеграл, выражающий среднюю интенсив* ность E/(r(z)j, получаем

E"z)= exp{-^(1-/)}+ 4(z).

Здесь._、,

"0尸(-一怎)ер卜蹙(1 -設)} X

ХФХФ$V2zp$V2zp

ХФ

ХФ

$V2zp

$V2zp

где ①(• ； М) - функция распределения N(M91).

Проводя асимптотический анализ величины Л (z) отдельно для случаев 2s2р< LoQ и 2s2p>LaQ на основе известной асимп* тотики "хвоста" нормального распределения:

—- J 广产号 dt占=ё一*"2, Х今8,

\/2# —о©х/2тгх

получаем требуемую асимптотику для почти-гауссовского распределения оптической толщины:

E/(z)〜

exp卜2s2p<LoQi

I L \ Lu。丿)(5.5)

2Ps3，^pf z о。£。0 ]

OoQpf 一£%)的 exp卜 z' 2s

Заметим, что. множитель при zoQ/L в первом случае больше 0,5, а во втором случае меньше 0,5. Интересно также отметить, что при выводе второй из формул (5.5) были существенно использо- 183

ваны асимптотики двух "хвостов”： левого для распределения N(0, 1) и правого для распределения N(-s^2zp/L9 1). Замеча> тельно, что эти асимптотики с точностью до постоянного множителя оказались одинаковыми, i.e. асимптотически средняя интенсивность E/(°)(zj излучения, проходящего через реализации с нулевой оптической толщиной, имеет тот же порядок малости, что и полная средняя интенсивность E/(z). Нетрудно определить,™

E/(°)(2)/E/(z)〜1 一丄 Oo/Qpf).

Выражение (5.5) показывает, что эффективная длина диффузии С в рассматриваемой стохастической среде больше, чем в детерминированной среде:

Н=卜口72#a00)『，2?р<лgо,

~l LE丄/(4? p)]-1, 2s2p>LoQ.

Таким образом, стохастичность среды может в среднем существенно усиливать прохождение излучения.

В заключение рассмотрим вопрос о реальности почти-гауссов- ской модели распределения оптической толщины. Прежде всего заметим, что на практике зачастую не бывает удовлетворительной информации о случайной функции o(z) и рассмотрение некоторой математической модели непосредственно для распределения оптической толщины т может быть наиболее целесообразным. Одной из самых подходящих моделей в таких случаях является почти- гауссовская.

Например, в атмосферной оптике используется следующая модель стохастической облачности. Нижней границей облачности является фиксированная горизонтальная плоскость, а верхняя граница представляет собой гауссовскую поверхность, а которая в местах выхода за нижнюю границу заменяется на последнюю. Одномерное распределение толщины облака при этом, очевидно, является почти-гауссовским. Заметим, что формула (5.5) вполне удовлетворительны для такой облачности, например, если излучение падает вертикально, а индикатриса рассеяния сильно вытянута вперед. В качестве толщины слоя z здесь естественно брать величину Е т/а0, а в качестве значения 2ps2 - величину Dt/z.

Полученные выше результаты указывают на следующее интересное свойство рассматриваемой модели при условии 2s2p>aQL: относительная доля излучения, пропущенного незакрытыми местами, асимптотически постоянна, хотя относительная площадь таких мест экспоненциально убывает при z 今8. Отметим также, что здесь параметр экспоненциальной асимптотики не зависит от L, т.е. средняя интенсивность асимптотически слабо зависит от индикатрисы рассеяния и коэффициента q вещества облака.

Кроме указанных выше результатов в [74] была построена точная асимптотика средней интенсивности излучения Ее~〃' для пуассоновской модели o(z) с параметром 入.Эта асимптотика определяется выражением (2.9) с тем отличием, что 内 заменяется на OilL. В [74] было показано, что приближенная асимптотика (5.3) хорошо согласуется с точной при выполнении условия 2s2P < < oqL. Заметим, что на основе приведенных асимптотических формул мСЬкно оценивать асимптотику средней интенсивности и для более сложных неодномерных моделей о(「) типа (5.1) путем перемножения и осреднения соответствующих одномерных асимптотик; особенно просто это сделать для изотропного слоистого поля (см. § 6.3).

Сделаем некоторые замечания о практическом использовании приведенных асимптотических формул. Рассмотрим модельную задачу радиационной энергетики для плоской стохастической облачности, расположенной в слое h《z《H+h. Предположим, что полный коэффициент ослабления o(z) является пуассоновской случайной функцией. Например, если o(z) - пуассоновская случайная функция с простейшим одномерным распределением:

P(o(z) = o) = p, P(o(z) = 0)匸 1 -р, то имеем довольно естественную марковскую модель разорванной (по вертикали) слоистой облачности. Для такой модели осред- ненную по реализациям o(z) интенсивность проходящего через облако солнечного излучения Е/(2)при больших значениях о()Н (например, .о^Н»10) можно оценить величиной се-аЯ, где Q определяется из (2.8). Можно оценить и флуктуации величины /(2), так как, подставляя в (2.8) вместо L величину L/2, получаем значение параметра асимптотической формулы для E/?(z). Далее обсуждаются некоторые вопросы, определяющие физическое значение таких оценок.

Коэффициент с связан с переходом к конечному слою и практически совпадает с соответствующим коэффициентом детерминированной асимптотической формулы, если малые значения т(Я) не играют существенной роли при определении EZ(z). Таким свойством обладает оценка (5.3), т.е. асимптотическая формула для Е/(2), полученная при условии 2s^”七。。.Если это условие нарушается, то коэффициент с нужно определять с помощью специальных расчетов, например методом Монте-Карло.

Реальная функция o(z) может существенно отличаться от пуассоновской, в частности, если ее корреляционная функция знакопеременна. Поэтому особенно важной представляется универсальная асимптотическая формула (5.5), эффективность которой при условии 2s2р <丄。0 подтверждается сравнением с точной

асимптотикой для пуассоновской модели среды. При условии 2s2p>Loq формула (5.5) дает верхнюю границу для средней интенсивности. Реальность последнего утверждения видна также из способа получения (5.5), состоящего в том, что отличие распределения т от гауссовского ^собирается95 в точку т = 0.

Обсудим возможность использования полученных асимптотических формул для горизонтально-неоднородного облака. Вертикальную и горизонтальную длины корреляции поля плотности обозначим соответственно символами р^ и р. Рассеяние в слое предполагается анизотропным настолько, что горизонтальная матрица кванта (при прохождении слоя толщины %р〃) мала по сравнению с р, причем реализации среды в последовательных слоях толщины kph практически независимы. При этом можно считать, что в пределах слоя толщины kph квант двигается в реализации одномерной среды, а затем попадает в слой с другой независимой реализацией поля плотности. Отсюда при сформулированных условиях для средней интенсивности излучения, проходящего указанную трехмерную среду, могут быть удовлетворительными полученные асимптотические формулы. Если поле плотности обладает свойством эргодичности, то осреднение интенсивности по ансамблю реализаций эквивалентно осреднению по достаточно большой области нижней границы, на которой регистрируется проходящее излучение. Таким образом, например, стохастическое облако может пропускать значительно больше радиации, чем детерминированное, равномерно распределенное в том же слое. Это явление, конечно, известно специалистам, но полученные здесь результаты дают возможность количественно оценить эффект.

Применение асимптотических решений уравнения переноса затрудняется тем, что в” реальных средах меняются индикатриса рассеяния и вероятность q выживания кванта, от которых зависит параметр экспоненциальной асимптотики. Однако формулы (5.5) показывают, что в стохастической среде эта зависимость существенно ослабляется, т.е. более реальна экспоненциальная асимптотикам при переменных индикатрисе и q.

Таким образом, при вьшолнении достаточно ясных условий полученные асимптотические формулы дают возможность количественно оценить среднюю интенсивность излучения, проходящего через стохастическую облачность, и ее флуктуации.

Одна стохастическая задача теории упругости

Рассмотрим задачу о колебании квадратной пластинки G={X1,%2： 0<Xi,X2 < 1}

при условии свободного опирания на границе 8G под действием 186

случайного поля нагрузок а= а(хь х2), которое будем предполагать однородным со спектральной плотностью р(入)(入 WR?). Ясно, что решение соответствующей краевой задачи

△△« = а, и|эс = Дм|дб? = 0 (6.1) также является случайным полем. Требуется определить его вероятностные характеристики, например среднее значение и ковариационную функцию.

При решении задач типа (6.1) детерминированными методами здесь поступают следующим образом: для ряда реализаций о решают задачу избранным, например конечно-разностным, методом и затем статистически оценивают требуемые характеристики, пользуясь полученными реализациями 儿

Нетрудно понять, что рандомизированные алгоритмы метода Монте-Карло могут иметь существенное преимущество перед таким способом вычислений, так как из принципа рандомизации (см. § 6.1) следует, что для данной реализации а достаточно строить какие-либо несмещенные статистические оценки решения (если необходимо оценить ковариационный момент, то используются две условно независимые оценки). Дополнительное преимущество появляется, если необходимо оценивать средние значения и ковариации решения в небольшом количестве точек.

В работе [84] (материал которой использовался при йаписании данного параграфа) был поставлен численный эксперимент для р(入)=сеГаК9 причем в качестве о использовалась рандомизиро* ванная спектральная модель (см. § 6.4) при 加=1. Такое значение 加 здесь вполне достаточно в смысле приближения к результатам для гауссовского поля, так как о входит множителем под знак интеграла, выражающего w (см. § 1.4). Оценивалась ковариационная функция

В г = Е{“ (х) и (х(%}, г = [х - х(0) I,

для точек х= (1/2 +г, 1/2), х(°)= (1/2, 1/2) путем моделирования двух условно независимых траекторий е-сферического процесса (см. § 1.6), выходящих из точек x(Q)их. При этом использовался указанный в § 1.6 способ учета правой части. Фундаментальным решением уравнения △△〃 = 3 (尸一月)здесь является функция

К(г) = (8тг)^1г21пг, г = I 尸一号 I,

ПОЭТОМУ ( I 尸一孕2

W (尸，尸/) = m -In I 尸一弓• I +

+一研，(6.2)

187

где {±к-1)(左=1,2,...) — траектория асферического процесса, исходящего из точки Р, которая здесь выбирается равномерно в G, т.е. р(х) = 1.

В таблице приведены результаты численных расчетов по методу Монте-Карло и по методу переменных направлений с чебышевским ускорением, который применялся после расщепления задачи (6.1) на два уравнения Пуассона.

Г = 1 X - Х° 1

Двойная ^рандомизация

Разностный метод

0,0

0,808

0,812

0,2

0,703

0,725

0,4

0,654

0,669

0,5

0,433

0,491

Погрешность метода МонтеКарло с использованием двойной рандомизации (здесь фактически применялась тройная рандомизация, так как был использован рандомизированный учет правой части на основе (6.2)) не превосходит 8 %, погрешность разностного метода 4—6%. Для 1 000 реализаций случайного поля нагрузок время вычислений на ЭВМ БЭСМ-6 для всех точек составило: для метода Монте-Карло около 4 мин, для разностного метода более 90 мин.

Моделирование диффузии примесив стохастических полях «Фростей

Известно, что для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия, более удобным (по сранению с эйлеровым) иногда оказывается лагранжев метод описания движения среды. В лагранжевом методе за основу берется движение фиксированных частиц, прослеживаемое с некоторого начального момента времени £ = %. Поэтому для развития теории диффузии примеси и ее приложений полезны методы моделирования траекторий частиц в стохастических полях скоростей. Однако такое решение диффузионных задач мо火ет оказаться весьма трудоемким прежде всего из-за сложности численного построения несжимаемого гауссовского векторного поля скоростей с заданным сложным спектром.

Прямая реализация спектрального представления такого поля (см. § 6.4) возможна лишь в случае конечного спектра со сравнительно небольшим числом частот. Методы, основанные на линейных преобразованиях белого шума (см., например, [32]), не универсальны и требуют решения дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому большое значение имеют простые методы численного построения однородных полей с заданной кова-

риационной функцией и одномерным гауссовским распределением, представленные в § 6.4. Воспроизведение только этих характеристик поля скоростей оказывается достаточным для решения ряда задач турбулентной диффузии, что, в частности, подтверждается результатами численных расчетов, приведенных в [27]. Отметим, что при использовании приведенных в § 6.4 конструкций можно контролировать результаты расчетов концентрации частиц путем последовательного уточнения моделирования поля.

Экономичные алгоритмы моделирования поля существенно уменьшают трудоемкость решения задач турбулентной диффузии частиц, поэтому появляется возможность оценить и другие, Алее сложные характеристики процесса турбулентной диффузии. В свя* зи с этим разработана представленная далее методика оценки ковариационной функции поля концентрации примеси, переносимой из распределенного источника. Получены также оценки некоторых специальных характеристик диффузии, аналитическое определение которых возможно лишь в ограниченной области изменения параметров [27].

Пусть 〃(х, 0 — гауссовское векторное поле скоростей. Будем предполагать, что оно однородно и изотропно в пространстве и стационарно во времени. Такое поле полностью характеризуется своим ковариационным тензором

5扒х, т) = Е{山& + х" + r)Uj(rt 0} или соответствующим пространственным спектральным тензором

①扒к, ^) = "^7 /5〃・(х, т)ехр{—iKx}dx.

В силу изотропности векторного поля имеем

5广电5/3,

где 6耳一символ Кронекера, поэтому задача моделирования векторного поля сводится к построению трех скалярных полей. Это можно осуществить, например, по формуле (4.2), заменив в ней 尿，Пл на векторы 厶，"左， компоненты которых суть независимые стандартные гауссовские случайные величины. Если указанные векторы выбирать в плоскости, перпендикулярной случайному вектору 入无，так, что

М|&|2=М|%『=1, то результирующее поле будет, очевидно, соленоидальным с требуемой корреляционной функцией. Соленоидальность (иначе, несжимаемость) поля означает, что

—+ —”■ + -—三 0.

Эх by 8z

Векторное поле скоростей, для которого были получены численные результаты, приведенные в [27, § 7, 5], строилось именно по такой схеме, причем в представлении (4.2) полагали ) = R3.

Далее выводится рандомизированная оценка ковариационной функции поля концентрации примем Пусть консервативная, т.е. нераспадающаяся, примесь распространяется в поле скоростей u(r, Г) от источника мощности q(r, г), нормированного так, что

ffq(rt t)drdt=l.

Стохастическое поле s(rt г) концентрации примеси удовлетворяет следующему уравнению:

Эх8s8sds

—+ Ui — + u2 — +〃з 丁 =4(7.1)

Э/Эхоуdz

Построив реализации поля “ и решив для каждой реализации уравнение (7.1), далее нетрудно получить статистические оценки различных характеристик поля концентрации: математического ожидания so (г, f) = Es(r, г), ковариационной функции Rg, г2 ； Гь г2) и тд. Однако в связи с необходимостью многократного решения уравнения (7.1) такой процесс является слишком трудоемким. В то же время достаточно ясно (см. § 6.1), что оценку средней концентрации s0 можно получить, моделируя для каждой реализации поля лишь одну случайную траекторию р(г) частицы примеси. Оказывается, что аналогичную рандомизированную оценку ковариационной функции及(厶,r2;titt2) можно построить, моделируя только две независимые траектории Pi(f), Pi (0 для каждой реализации 〃(匸 г). Эти траектории начинаются из точек, независимо выбираемых соответственно плотности q(r, г).

Такой способ оценки непосредственно вытекает из равенства

E{s(a, h)s(「2,力丿)=PS，々；九，％),(7・2)

где p(「i"2； G, ^2)— плотность совместного распределения случайных векторов Pi(f), P2(h)- Это равенство справедливо, так как

Р(「1〃2； %, /)=

= 〃Р(Р1,Р2； П, /2)“Р1 -『1)3(02 -，2)如1加2 =

= 〃E{p(z,「2； Г1, t2 1〃)} s(Pl -ri)^ -r2)dpidp2 =

=E〃pSi/2； G, G |m)5(Pi -n)5(p2 -rQdpidpn =

=E{&, h)s(「2, ")}•

Таким образом, моделируя пары условно независимых (при фиксированном и) траектории р^г), р2(0 и используя стандартные методы математической статистики для оценки многомерной

плотности вероятности p(『i,尸2 ； f 1,才2), можно получать оценки ковариационной функции

火(Г1,々；门，力)=

= E{s(Гi,h)S(г2, Г2)}-$0(后，%)So&2,力).

Нетрудно заметить, что здесь осреднение по реализациям поля и по траекториям частиц производится одновременно.

Обычно строят среднеинтегральные оценки плотности по наблюдениям, т.е. пользуются методом гистограмм. В данном случае такой способ эквивалентен построению оценок ковариаций между интегралами от случайной концентрации примеси по некоторым непересекающимся пространственным областямDk (左=1,2,...). Эта оценки можно получать непосредственно по парам условно независимых траекторий 仰()Р2"), так как справедливо равенство

9{^(т^^О{С\р2^)^Ок)=

=E{/sS,ri)dri / s(r29.t2)dr2}9(7.3)

D/Dk

которое доказывается так же, как (7.2), с тем отличием, что дельта-функция заменяется на индикаторы областей Dh Dk. Результаты конкретных расчетов с использованием формулы (7.3) приведены в [27].、

Глава 7МЕТОД МНОГОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

Метод многократного расщепления представляет собой естественное обобщение изложенного в § 1.5 метода однократного расщепления. Кроме общей теории оптимизации метода в настоящей главе рассмотрены специальные модели и численные алгоритмы, которые позволяют в некоторых случаях достаточно просто оценить оптимальные значения параметров. Рассмотрены также минимаксные и рандомизированные алгоритмы расщепления.

Оптимизация метода расщепления

Метод многократного расщепления применяется для оценки функционала, представленного (может быть, формально) многомерным интегралом вида

/=Мз(6 = /з(Х14-+i)P(dxi •. .d/+i),

где случайный вектор произвольной природы S = (Ji, . . . , ^+i) распределен соответственно вероятностной мере P(dxp.. dxjt+i). Введем вектор 九=(〃i,...,九厶) с натуральными компонентами и случайиую величину

т?л= - 22 9隔*‘1)扌倦))，(1.1)

причем для любого i = 2,...,* + 1 случайные величины «?•••*”-" независимы в совокупности и одинаково распределены соответственно вероятностной мере P(dx, |х】i),

которая является условной для P(d%i ...必左+]) при условии

Для к = 1 введенная оценка многократного расщепления совпадает с оценкой из § 1.5, т.е. при к =1 имеем

М%=/.(1.2)

Для прочих значений 无 это соотношение устанавливается методом

математической индукции на основе выражения

М% = ММ(%|£),

где М(п„ I Ei) — условное математическое ожидание величины т?„ при условии, что значение 工 фиксировано; заметим, что М(% | £) есть функция от П • Аналогично методом математической индукции доказывается равенство

где

D\ = DMd%),

D/+1 =MD[M(i7„ I £, •••,&+i) I Si,..., J(], i= 1,

Среднее число операций, необходимых для построения одной реализации 衣篦,определяется выражением

^и = Л +%丁2 +%%Тз +…пкТк^,

где

7}+1 = М7}+1(£ ,…』)

причем 77+1 (51, ..., К) представляет собой среднее число операций, соответствующее одной реализации 5/+1 при фиксированных значениях П,…，&.

Оптимальное значение п-п^ является решением задачи

minS* Sn^Txin Dr)ny(1.4)

л

на множестве векторов и с натуральными значениями.. Однако практические расчеты (см., например, [82]) показывают, что обычно удовлетворительной является следующая приближенная процедура поиска п^ ; задача (1.4) решается на множестве вещественных векторов, а в качестве приближенного значения рассмат* ривается вектор, образованный целыми числами, ближайшими к компонентам оптимального вещественного вектора. Удовлетворительность такой процедуры связана с тем, что метод расщепления целесообразно применять в тех случаях, когда значения 〃，°)достаточно велики: п^》3 (z = 1,...,七).Впредь под 〃⑵ будем понимать решение задали (1.4) на множестве вещественных w.

Г.А. Михайлов193

В [82] даны следующие соотношения:В [82] даны следующие соотношения:(1・5)(1・5)

В [82] даны следующие соотношения:

В [82] даны следующие соотношения:

(1・5)

(1・5)

S (О) = (\/ 兀曾 1+ …+，丁比 + 1 曾Jt+l j?.(1.6)

Эти соотношения можно обосновать с помощью метода математической индукции.

D*=Di +/(。2D*=Di +/(。2+0+…+区1+0+…+区1Для 左=1 они проверяются элементарно (см. § 1.5). Предположим, что значения 仍，…,寿左 фиксированы, и представим соответствующие значения Dr?〃,野方篦 в виде

D*=Di +/(。2

D*=Di +/(。2

+0+…+区1

+0+…+区1

Т〃п =北 +〃1 (丁2 +〃2 T3 + ••• + 〃2 ••• 〃比 Tjt+” ) = 7\ +〃1 Т$')・

Минимизируя величину Sn только по 〃】,получаем выражения

九？）九？）(1・7)(1.8)(1・7)(1.8)

九？）

九？）

(1・7)

(1.8)

(1・7)

(1.8)

Следовательно, для проведения индукции необходимо дополнительное соотношение вида

(1.9)

которое легко устанавливается для случая 左=L Заметим так*% что на основе (1.8) задача минимизации S„ сводится к аналогичной задаче минимизаций Т^D^ меньшей размерноста.

Предположим теперь, что соотношения (1.5), (1.6), (1.9) выполняются при условии, что значение * заменено на 左一L Тогда из (1.7), (1.8), (1.9) получаем их справедливость и для значения ^, т.е. метод индукции здесь действительно обеспечивает требуемое обоснование.

Обозначим величины D% Т% при п = (1,..., 1) соответственно через Dt Т. Выигрыш в-трудоемкое™ за счет применения опта- 194

мального расщепления определяется выражением

TD 二（7\ +・・・ + %+1）（01 +...+5+1 ）

S（0）（\/Л^1 + ••• +，Т" + 1 0Л+； ）2

Оптимизация расщеплениядля оценки вероятности прохождения частицы

Предположим, что необходимо оценить вероятность р прохождения частицы через слой вещества. Для построения алгоритма расщепления разобьем спой на Д: + 1 частичных слоев равномерно по вероятности, т.е. таким образом, что вероятность прохождения через каждый частичный спой равна pi/（*+D. При прохождении z-й поверхности траектория расщепляется на траекторий с весом, дополнительно умноженным на 〃丁（i = 1, ..., Д:）_. Значение i = 0 соответствует поверхности источника, а значение / 三％ + 1 — поверхности, на которой регистрируются проходящие частицы. С этой задачей естественно связать случайный вектор 扌= =（久，・・・&+1）, причем & = 1, если траектория пересекла поверхность номера i, и & = Ов противном случае. Далее,

p - m 9（三1,…,&+1）,

где з 三 1, если Ел+i = 1, и 屮三 0, если U+i = 0.

Таким образом, рассмотренная схема расщепления траекторий приводится к схеме § 7.1. Проведя элементарные выкладки, в данном случае получим

Di^p^^^pil^^^19^,к^1.

Предположим, что

刀+1 = TiP”3,

т.е. среднее время моделирования одной траектории от /-го до i + 1-го расщепления не зависит от i. Тогда

。А+1

причем

от?л（0）=0］（左 + 1）, T叮〃（0）=北（左 + 1）■

13*195

Выигрыш в трудоемкости за счет расщепления здесь определяется формулой

TD (1 5

S/o)(k + l)2p^^+D(i 一р"棘+D)2 •

При использовании оптимального значения и добавление новых поверхностей расщепления, очевидно, не увеличивает трудоемкость алгоритма. Однако практически целесообразно выбирать такое

значение Д:,чтобы выполнялись соотношения 〃j。)》3 (f =1, ...,^)> иначе округления этих величин будет существенно ухудшать эффективность оценки (эта было проверено расчетами [95]).

Предположим теперь, что толщина слоя увеличивается путем добавления новых частичных слоев, т.е.

p =浦+1, р0 = const,左今8,

Нетрудно определить, что при этом условии выполняется асимптотическое соотношение

TD]

Г^ ~ (i+k)2p・

Отсюда, поскольку Т 〜const н D 〜р, имеем

S )〜(1+左)2р2.(2.1)

Если в качестве трудоемкости рассматривать среднее шюло операций, необходимых для достижения заданной относительной погрешности, то (2.1) преобразуется в соотношение

S%~(1+疗，

т.е. относительная трудоемкость оптимального расщепления растет как квадрат толщины слоя. Это утверждение также подтверждается расчетами, представленными в [95].

§ 73. Численная оценка опггимальных параметров расщепления

Прямая статистическая оценка величин 曾厶 7} затруднительна, так как требует создания вспомогательных вычислительных программ [82]. Однако, проведя оценки величин D"刁.Т% для набора значений н, можно построить системы уравнений для неизвест- 196

ных величин D/, П：

С о24+1

Di + +... +

叫⑴，叫⑴，Л +不工+…+ 〃f)…蹈〃+「Tn⑺,Л +不工+…+ 〃f)…蹈〃+「Tn⑺,r = 1,...,々+1.r = 1,...,々+1.4" n^ -n^

叫⑴，

叫⑴，

Л +不工+…+ 〃f)…蹈〃+「Tn⑺,

Л +不工+…+ 〃f)…蹈〃+「Tn⑺,

r = 1,...,々+1.

r = 1,...,々+1.

Т叮m] Tr?mТ叮m] Tr?m=(1+ 2 小：6,(1 + 2 m部)=(1+ 2 小：6,(1 + 2 m部)=w2 0).=w2 0).(3.3)(3.3)

Т叮m] Tr?m

Т叮m] Tr?m

=(1+ 2 小：6,(1 + 2 m部)

=(1+ 2 小：6,(1 + 2 m部)

=w2 0).

=w2 0).

(3.3)

(3.3)

(3.1)

Если проводить расчеты для вектора л* с равномерно максимальными компонентами, то оценки правых частей в (3.1) можно получать одновременно.* Возникающая при этом положительная корреляция существенно уточняет результаты. Эта методика оценки п^ была успешно апробирована при выполнении работы [55]. В частности, таким образом были оценены параметры расщепления для примеров из [82]; полученные при этом результаты практически совпадают с результатами, приведенными в [82].

В некоторых случаях алгоритм расщепления можно конструировать так, чтобы цепочка расщеплений была практически однородной и выполнялись равенства

(3.2)(3.2)5/。什1=% Til Tf+i =br i=l, ・..，％・

(3.2)

(3.2)

Именно таким свойством обладает модельный пример из § 7.2. Результаты расчетов, приведенные в [82], также хорошо согласуются с (3.2). При выполнении (3.2) имеем

〃「)=礎)=加=Vb /«.

Вычислив D$ и Г для двух значений тг,т29 получим уравнения относительно а, Ь:

5Z5Z= S —V1+ S —) = “а),\/=1 т{Д "1 掰〃

5Z

5Z

Элементарное исследование показывает монотонность функций Wi (Z), W2Q) в (0, оо). Рассмотрим, например, функцию W2Q) при условии 初1 > 加2・ Монотонное возрастание этой функции при 197

% = 1 легко проверяется. Запишем теперь ^2 （Ь） в виде 当（4目 1+6"/（瓦左-1） 屮20）=屮2（力,％）=胃 /Т77 = m；~7Г- B2（bt 左） 1 ^bn2B2（br 左 一 1）

Отсюда нетрудно получить

Bl{bt k）^2（b） = b2nin2Bl （bfk-l）^2（btk- 1） + 7bn、Bi3，k-饰'一3〃252（瓦左-1）]'.

Полученное соотношение, очевидно, обеспечивает индуктивное доказательство моно^ощюго возрастания функции 必（力 欠）• Аналогично устанавливается монотонное убывание функции 办（а） при условии 加 1〉加2・ Таким образом, решения уравнений （3.3） единственны. Рассмотрим теперь вопрос о существовании этих решений.

Пусть т ! > 加 2 • Очевидно, что выполняются неравенства

т~т；‘《Фг（а） < 1, а > О,

《 w2（Ь）《 加；加丁，Ь > 0.

Следовательно, уравнения （3.3） могут быть неразрешимы.

Отсутствие решения означает, что либо недостаточно хорошо оценены значения величин Di?w, 丁刀也,либо неприменима модель （3.2） • Заметим также, что для численного решения рассматриваемых уравнений их удобнее записать в виде

6Т?m =]_户1 /喈+11一0/也2

西人1-0/加1 1一个1/加产’（34）

7叮т] 1 — АМ101—”2a

力用21-M]b1-"+ %*+1

В качестве первого примера в [82] была рассмотрена задача переноса излучения через плоский слой вещества с изотропным рассеянием и вероятностью выживания в акте столкновения q = 0,9. Методом расщепления оценивалась вероятность прохождения, значение которой р с достаточной степенью точности равно 0,0007. Было использовано шестикратное расщепление на геометрически равномерно распределенных плоскостях. Определенные с помощью прямой статастической оценки величин Dp Т{ значения 〃/°） таковы [82]:九（°）= （2,3,3,3, 3, 3）.

При выполнении работы [95] с помощью уравнений (3.3) для этого примера было получено значение mm3. Таким образом, хотя соотношения (3.2) здесь выполняются не точно, уравнения (3.3) дают вполне удовлетворительный вариант расщепления. Интересно также отметить, что модель § 7.2 здесь дает т = р-"' = 2,83.

Равномерная оптимизация метода расщепления

Предположим, что метод расщепления применяется для одновременной оценки многих интегралов вида

4 = Мр・&)二 /в/"】，…，/+1)Р®Х1,…，dx&+i),

j = 1, ...,m・(4.1)

Введем конечную вероятностную меру Л =(入i, •••,入切),компоненты которой отражают важность оценок соответствующих интегралов, и среднюю трудоемкость алгоритма расщепления 5〃(А)=

二 T(w)t?„EDt?„, где ED% = S 入严刀?'，примем п?' 一 / = 1

оценка метода расщепления для // и 一 среднее время, необхо- (/ ) димое для построения реализации совокупности оценок т?„ (/ = 1,...,^), т.е.

行，)=小制+勺小切)+…+ ©…九衣"弋•

Заметим, что иногда величины Т, )могут слабо зависеть от т. Соотношения Т：'比 Т，(z = 1,^ + 1) могут практически

выполняться, например, в задачах теории переноса излучения, если для вычисления {屮/} регистрируются такие простые события, как пересечевдя различных поверхностей, столкновения разного типа и т.д.

Таким образом, имеем

%(А) = (Т” + “"” ++ П1 Пкт^) X

X / EZ>! + В2" + ... + ―——1

\〃1«1...

Заметим, что при выводе соотношений (1.5), (1.6) не было использовано каких-либо специальных связей между величинами D〔, и 199

выражение Е Dq〃 имеет тот же вид, что и (1.3). Поэтому здесь

S (0)(А)=(〃吟^ + + /谓)e* j .

Рассмотрим теперь задачу равномерной оптимизации метода расщепления, которая сводится к решению задачи

min max D 叮?).(4.2)

На основе известного соотношения между среднеквадратичными и минимаксными решениями (см. § 4.1) справедлива следующая

Лемма 7.1. Оптимальное в смысле (4.2) значение п= п* определяется формулой

причем Е * соответствует мере Л*, которая максимизирует величину S (0)(Л).

Заметим, что для определения “; особенно целесообразно использовать методику § 7.3, основанную на рассмотрении уравнений вида (3.1), (3.4).

Рандомизированные алгоритмы метода расщепления

Предположим теперь, что необходимо оценить величину

/ = Е/(о) = ЕМ9«,о)=

二 / A(do)/w(xi,...,x«+i； o)P(dxi，...,dX" + i)・(5.1)

Здесь Л — некоторая вероятностная мера в пространстве значений параметра о, может быть, функциональном.

Рандомизированный алгоритм метода расщепления строится на основе соотношения

/ = ЕМ〃〃(。)(5.2)

и состоит в том, что для каждой реализации о строится одна реали-* зация величины % (о). Оптимизация такого алгоритма очевидно сводится к определению значения, которое минимизирует величину

S〃 = ЕТпп(о)[ЕМ^(а)-厂】=

=E7%(0)旌D"其0)+ D/(0)]=

=(Е7\ + 勿区丁2 + ... + «1 ... nkETk+1) X

/E02E% \

X(E5 + D/(o) + —- + ... +—

\相i勺…以+1/

Следовательно,

ЕЛ +D/(o)

&=(“E n [也 + D/(/ +人 丁2 E瓦 + +х/Е7\+1Е%4 )2.

Заметим» что условия вида (5.2) обычно выполняются в задачах теории переноса излучения типа рассмотренных в § 7.2,7.3. Для оптимизации рандомизированного метода расщепления методика § 7.3 может быть особенно эффективной.

РааЦепление оценки по столкновениям [15]

Рассмотрим оценку по столкновениям для решения интегрального уравнения второго рода и изучим возможность уменьшения трудоемкости алгоритма выбором подходящего расщепления. Под трудоемкостью будем понимать произведение rD^, где Г — средние вычислительные затраты на получение одного выборочного значения, D^ — дисперсия оценки. Вычислительные затраты включают затраты на моделирование цепи, на которой строится оценка, вычисление значений функций и выполнение арифметических действий. Будем предполагать, что эти затраты можно естественным образом разбить на сумму слагаемых, соответствующих различным этапам алгорима. Интересно, что по формуле полной вероятное™ дисперсия оценки представима в виде аналогичной суммы.

Основная идея состоит в том, что затраты на различные этапы алгоритма должны быть пропорциональны соответствующим вкла-

201

дам в дисперсию. Более точно, воспользуемся тем фактом, что для неотрицательных 勺，bf произведение Еа^ЕЬ/ не меньше (S \fatbt )2 (неравенство Шварца), причем равенство имеет место только тогда, когда отношение @〃Ь『 не зависит от i.

Вопрос об оптимизации расщепления для задачи о прохождении излучения через толстый слой вещества рассматривался.ранее в работе [1], причем в ней использовались указанные выше соображения (см. также § 7.1). Обычно расщепление производится при пересечении частицей, заданных плоскостей, при этом не исполь* зуется связь параметров расщепления со способом моделирования переходов в цепи. Более общая постановка задачи позволяет получить и новые результаты. В частности, увидим, что среднее число частиц, рождающихся в данной точке, должна；по-видимому, зависеть и от предыдущей*точки траектории.

Пусть требуется оценить решение уравнения

3(х) = /々(х, х') 3(x')dx'+%(х), х £ X, (6.1) или

屮=К@ + h, (6.1‘) в заданной точке х0 £ Х・ Здесь X С R", h WL^ (X), К — интегральный оператор в L^ (X). Предполагается, что спектральный радиус оператора К с ядром | Н(х, х!) [ строго меньше единицы.

Определим ветвящийся случайный процесс в X следующим образом. В начальный (нулевой) момент времени в точке х()= х существует одна частаца. Далее она переходит в точку хь распределенную с плотностью вероятности г v{x9 Xi), где порождает в среднем Qi (%, X]) аналогичных частиц первого поколения (с вероятностью {^1} рождается [^i ] + 1 частиц, а с вероятностью 1 — {q】} рождается [^i] частиц; квадратные и фигурные скобки означают взятие соответственно целой и дробной частей числа). Величину 〃i будем называть коэффициентом выживания.

Далее, если частица i — 1-го поколения рождается в точке х, то она независимо от других частиц, рожденных в этой точке, переходит в точку х\ распределенную с плотностью вероятности г 1 (х, х') ； где порождает в среднем 办(х, х‘) частиц следующего (f-ro) поколения; при этом предполагается, что функции г if q{ могут зависеть не только от х, х! 9 но и от всей предыстории частиць!.

На дереве, являющемся траекторией такого процесса, можно определить аналог 八 оценки по столкновениям (см., напри- 202

мер, § 1.6). Важно то, что для этой оценки будет вьшолнено соответствующее виду уравнения (6.1) рекуррентное соотношение

厶=/i(x) +厶=/i(x) +Н%, Х1)Н%, Х1)厶(х, Xi)厶(х, Xi)力(jq ) +Xqi(x, Xi)力(jq ) +Xqi(x, Xi)

厶=/i(x) +

厶=/i(x) +

Н%, Х1)

Н%, Х1)

厶(х, Xi)

厶(х, Xi)

力(jq ) +X

qi(x, Xi)

力(jq ) +X

qi(x, Xi)

X [ S (?f - %(占))+ 5(望2 -无(/))".(6.2)

〜⑴ 〜

Здесь 与 一независимые реализации оценки 扌,которая также является оценкой по столкновениям; 5 = 0, 1 в зависимости от того, сколько фактически было рождено частиц в точке 修.В фигурных скобках стоит выражение, среднее которого (при фиксированном JQ)равно 屮(xi), а дисперсия равна

Qi(x,Xi)Qi(x,Xi)++{Qi} (1 - {qJ)Q；O,Xi){Qi} (1 - {qJ)Q；O,Xi)你用2（八）.你用2（八）.(6.3)(6.3)

Qi(x,Xi)

Qi(x,Xi)

+

+

{Qi} (1 - {qJ)Q；O,Xi)

{Qi} (1 - {qJ)Q；O,Xi)

你用2（八）.

你用2（八）.

(6.3)

(6.3)

+ / %2(Х，Х1)厶(Х,Х1)+ / %2(Х，Х1)厶(Х,Х1)dxi +dxi ++ /+ /Н(х, xi) {qJQ -《С) rAxt xj q；(x, Xi)Н(х, xi) {qJQ -《С) rAxt xj q；(x, Xi)体内2（山川/，体内2（山川/，(6.4)(6.4)

+ / %2(Х，Х1)

厶(Х,Х1)

+ / %2(Х，Х1)

厶(Х,Х1)

dxi +

dxi +

+ /

+ /

Н(х, xi) {qJQ -《С) rAxt xj q；(x, Xi)

Н(х, xi) {qJQ -《С) rAxt xj q；(x, Xi)

体内2（山川/，

体内2（山川/，

(6.4)

(6.4)

По формуле полной вероятности с учетом (6.3) получим

D&=5(x)

где через % (x) обозначена величина

т.е. дисперсия оценки интеграла

/(х) = SK^xx)^{xx)dxx,

использующей плотность вероятности г i.

Средние затраты на получение одного выборочного значения представим в виде

f(x) = /(x) + J>i(x,X[)qi(x, xi)7(xjdx,(6.5)

где Г! (х) —средние затраты на моделирование перехода из х в Xi, вычисление веса k(xt xt)/r i (х,修) и правой части % (% ); f (修)-средние затраты на получение выборочного значения 与修.

Теперь в соответствии с программой нужно было бы попытаться минимизировать произведение выражений (6.4) и (6.5). Однако сделать это весьма трудно (если вообще возможно) из*за наличия третьего слагаемого в сумме (6.4), в которое входит дробная часть коэффициент! выживания. Поэтому, предполагая малость этого слагаемого, пока отбросим его и, обозначая через Dx сумму двух первых слагаемых в (6.4), исследуем произведение t(x)Dx. В дальнейшем увидим, в каких случаях это отбрасывание слабо влияет на результаты, а в каких к нему надо относиться с осторожностью.

Запишем цепочку из двух неравенств:

Г(х)厶=(〃(х) + J>l(X,Xi)qi(X,Xi)7(Xi)dXi) X

X %(х) + /X %(х) + /斤 2(Х,Х[)И(X, Х1)斤 2(Х,Х[)И(X, Х1)qi(x,xi)qi(x,xi)

X %(х) + /

X %(х) + /

斤 2(Х,Х[)

И(X, Х1)

斤 2(Х,Х[)

И(X, Х1)

qi(x,xi)

qi(x,xi)

》(”1(х)5(х) + ( / 〃(х, xjqi(x,x；)r (xi)dxi X

А(х,Х1) q/x,Xi) //

> (\Л1(х)"(х) + JU(X,X1)|(6.6)

Нетрудно проверить, что независимо от того, что используется в качестве оценки 久 и при любой плотности г i (х, Xj) оба эти неравенства превращаются в равенства, если положить

“心用)=^б^т^г^^-(6.7)

При таком Qi имеет место также равенство

55(х)

—=.・‘.(6.8)

«X)hQ)

Понятно, что на практике может быть известно лишь приблизительное поведение функций Г1(х)/Рх(х) и D%jr(xi), однако из рассмотрения разности левой и правой частей (6.6) (из-за громоздкости этих выражений они здесь не выписываются) ясно, что. даже весьма грубое приближение к этим функциям может (примерно с той же степенью грубости) приблизить левую часть (6.6) к правой.

Из (6.6) видно, что при предлагаемом способе определения коэффициента выживания плотность вероятности，i должна выби- 204

раться из условия минимизации величины Г1(х)/)1(х), т.е. из условия минимизации трудоемкости вычисления интеграла /(х). При этом надо еще стремиться к тому, чтобы отношение t\(x)lDv(x) можно было оценить по возможности более точно. Эта задача, по<вшшмому, трудно поддается формализации.

Будем считать, что решение о выборе ri принято на основе общих соображений или предварительных расчетов. Отметим только, что во многих случаях все более или менее удовлетворительные плотности с будут далеки от того, чтобы описьгеать моделирование по ценности. Например, это будет так, если ядро %(х, х') уравнения (6.1) сложное и для любой функции g(x) при вычислении [Xg] (х) возникают большие трудности. П{Ж этом можно ожидать больших величин относительной дисперсии Di(x)/I(x). Наши результаты имеют значение именно для таких случаев.

Формула (6.6) показывает также, что оценка | должна выбираться из соображений минимизации ее трудоемкости rDg Таким образом, для 石 можно повторить все предыдущие рассуждения. При этом нет видимых оснований вводить зависимость | от х. Будем считать, что плотность 々(х”)совпадает с，i(x, хг), .поскольку выбирается из тех же соображений. Полагая q2 равным q】. из (6.7), получаем аналогичное (6.8) соотношение

& %(Х1) 5(X1)

7(X1) Eg) fig)

Пусть теперь

Qi(x, %)=Qi(x, %)=(6.9)(6.9)

Qi(x, %)=

Qi(x, %)=

(6.9)

(6.9)

При таком qi рассмотрим третье слагаемое в (6.4):

左 2(Х,Х1) 3}(1 —{Q1})2/ 、力

—；Г；—麻]2(/)&

T1(X,X1) qi(x,Xi)

AS) rZu] Qi)

=J>iQ,xi){qJ(l — {Qi})、•乙ig)办i・

fl(x)A“l)

Это выражение мало по сравнению с Dx(x), если, например, “(х) слабо зависит от х, а плотность гх такова, что относительная дисперсия оценки интеграла /(х) достаточно велика (скажем, порядка 10; при этом рассматриваемое выражение составляет не более 2—3%Z)i(x))・ Напротив, если плотность 片 реализует моделирование по ценности, то это выражение может играть существенную роль в (6.4).

Малость третьего слагаемого в (6.4) позволяет заключить, что D& */>х и аналогично 6厶DXj. Поэтому, во-первых, коэффициент выживания (6.9) близок к оптимальному (6.7) и, во-вторых, произведение Г (x)Dx, минимизируемое таким выбором коэффициента выживания, близко к трудоемкости t (х)D扛.

Итак, моделируемый процесс должен быть, по-видимому, однородным марковским. Если "х, х') — его плотность вероятности перехода и функция а(х) приближенно описывает поведение \/5(х)〃1(х), то коэффициент выживания qi надо положить равным

11^(х,х')|

;—q(x ).

q(x) r(x, x)

Заметим, что во всех предыдущих рассуждениях неявно предполагалась конечность величин D^ и г, поэтому конечность дисперсии и трудоемкости такой однородной оценки требует отдельного доказательства.

Пусть 1?(т)— условное математическое ожидание | при фиксированных точках первых т поколений дерева, при этом

m — 1 Ге 1

D忌т)= 2 @(х) Xf (х), “о L a J

где е — третье слагаемое в сумме (6.4). Поскольку

M|W-T?(m)|《 KFlwl+ £ К? mi w =m

и правая часть здесь стремится к нулю с ростом т, то 彳(切)сходится к W но вероятности. Следовательно, из последовательности "(切) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся. к 与 с вероятностью 1. Используя теорему Лебега, получаем

D& =lim D忌М =q(x) S [к? 口 +，卜х) •

Нетрудно проверить, что среднее число точек /ьго поколения равно —- [Kfa] (х). Поэтому среднее число переходов в цепи о(х) 1 «*>

равно Е [К?〃](х).

4(Х)/1=0

Глава 8

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ И ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ

В настоящей главе рассмотрены некоторые способы преобразования интегральных уравнений, позволяющие более эффективно использовать методы Монте-Карло для их решения. Показано, что с помощью преобразования исходного уравнения можно улучшать оценку решения в смысле слабой сходимости.

Преобразование осреднения

Рассмотрим в Z 8 (X) интегральное уравнение

9(х)= /后(x,x')9(x')dx‘+ 力(х),(1.1)

или

9 =仙 + 九(1.r)

Применяя к обеим частям этого уравнения оператор К, приходим к уравнению

Rp = Kg)+Kh,(1.2)

т.е. функция К屮 удовлетворяет также уравнению вида (1.1) с тем отличием, что А(х) заменяется на

(Kh) (х) = /kix^x^hix^dx .(1.3)

С другой стороны, из (1.1) имеем

к9 = 9 _ 〃.

Поэтому соответствующая уравнению (1.2) оценка имеет вид

N

壮 1)=〃(х)+》Qn(Kh)(xn).(1.4)

На основе этой оценки можно построить локальную оценку (см., например, [32]) решения сопряженного уравнения вида 3*(х)二 fk(xrtx)^(xf)dx^8(x -х0)(1.5)

в заданной точке х*. Для этого достаточно представить 9*(х*) в виде

9*(Х*) = ('* )=，屮*(x»G -x*)dx.(1.6)

Предполагается, что х* - точка непрерывности функции 屮*, а х0 - точка непрерьшности функции 屮.Напомним, что для пары уравнений 屮=К@ + h, 屮* =女*9* +『имеет место соотношение

(5*，〃)=(f3).

Используя это соотношение и (1.6), получаем, что 屮*(%*)= = ^(х0) при Л(х) = 6 (х -х*). Следовательно, в соответствии с (1.4) имеем

9 *(х*) = m匕。， где

N

妙=“х-х*)+ S。鹏($»*)•(1.7)

°л=0

Оценку величины з*(х*) вида (1.7) принято называть локальной [32]. Если в (1.5) вместо 6(х ~ х0) рассматривается некоторая функция / 6 Z J, то соответствующая локальная оценка строится с помощью очевидной рандомизации (1.7) по х0 (см. § 1.6).

Отметим, что в знакопостоянном случае для построения оценки вида (1.4) с нулевой дисперсией следует использовать функцию ценности з -方，которая может меняться слабее, чем 屮，как это видно из приведенного выше примера с 力(х) = 6(х -х*).

Локальная оценка интенсивности Ф(z, д ) излучения в плоском однородном слое вещества определяется соотношением например, § 2.4)

^(д.д*)ехр{-а(г* —z)/〃*}/〃*,

(1・8)(1・8)a~4(z, д;г*,р*)=(z* -z)〃* >0,

(1・8)

(1・8)

、0,(z* -z)*《0.

стол-стол-Это соотношение представляет собой функцию от точки

стол-

стол-

кновения (z, 〃), т.е. от положения частицы непосредственно перед выбором типа столкновения.

Предположим теперь, что необходимо оценить величину

©оС)= /力O、〃)d〃・

Для этого, очевидно, следует использовать равенство

力亿 〃)= 5(二-н*)/о.

При этом

Р , ехр{-О(2* — 2)“}.

(K/i) (z, 〃)= q / w(〃, 〃 ) ；^〃，(1.9)

где (4 5) = (0,1) npi z* >z и (Л, Я) = (-1,0) при z* < z.

оценка(1.10)(Ml)оценка(1.10)(Ml)Величина вида (1.9) на основе принципа рандомизации [32] может оцениваться с помощью Одного случайного значения 〃‘. Если такие значения выбираются независимо от траектории цепи столкновений частицы, то по сравнению с точным вычислением (1.9) дисперсия возрастает; выражение дисперсии рандомизированного таким образом алгоритма получается на основе формулы полной дисперсии (см. § 1.5). Однако для рандомизации (1.9) можно использовать и полученное после моделирования рассеяния значение д\ В этом случае фактически используется схема моделирования по рассеяниям (см. § 1.3), и вычисляемая приобретает вид

оценка

(1.10)

(Ml)

оценка

(1.10)

(Ml)

也=e ®加(z〃,乐)， п =0

где х = Go, до) - точка "старта” частицы, а

.z f exp{-o(z*-2)/从}/从，(z*-2)〃>0, h0(zt д)= <

I 0,(Z*-2)〃《0.

Для построения алгоритмов метода Монте-Карло можно использовать также уравнения, получаемые из (1.1) путем многократного применения оператора К. Например, двукратное применение оператора дает следующую оценку величины 9 (х):

壮2) =%“)+(《〃)“)+ 2 Qn(K2h)(xn).(1.12)

и=0

Иотользуя значение h(x) = 6(х - к*), отсюда можно получить так называемую двойную локальную оценку величины рандомизация такой оценки в теории переноса обычно осуществляется и по направлениям, и по длине вспомогательного пробега из точки гп в случайно выбранном вспомогательном направлении [32, с. 180].

Дальнейшее обобщение (1.4) приводит к оценке m -1N

壮吟二 Е К川Е Qn(Kmh)(xn).(1.13)

л=0и =0

Вопрос о дисперсии оценок этого вида будет в какой-то степени рассмотрен в § 8.3.

209209Г.А. Михайлов

209

209

Преобразование сдвига

Предположим, что требуется оценить решение уравнения (1.1) в нескольких точках 工⑴，…，х^. Очевидно, что с помощью операций сдвига координат можно перевести все указанные точки в одну заданную точку х, В результате получится п уравнений, решения которых нужно определить в одной точке х. Эти решения можно оценивать с помощью весовых оценок метода Монте-Карло путем моделирования одной цепи Маркова. Ясно, что такой способ оценки может бьпь эффективен, если ядро уравнения (1.1) обладает' какими-либо свойствами симметрии относительно используемых сдвигов. Поэтому такой прием будет далее подробно описан в применении к специальной оптической задаче передачи контраста яркости через слой вещества.

Ввиду разнообразия задач, в которых требуется оценка функции передачи контраста яркости, трудно дать содержательную постановку задачи, не прибегая к конкретным геометриям и моделям. Поэтрму в дальнейшем будем пользоваться атмосферно-оптической терминологией и для описания взаимодействия света с веществом —характеристиками, принятыми в атмосферной оптике. Различия в оптических свойствах сред не существенны для рассматриваемого алгоритма. Они отражаются лишь на деталях построения траекторий фотонов и вычисления искомых функционалов. Способы построения траекторий и вычисления связанных с ними функционалов описываются общей теорией методов Монте- Карло (см.,например, [55]).

Пусть слой 0 < z < Я трехмерного пространства заполнен рассеивающим и поглощающим свет веществом. Граница слоя z = 〃 освещается потоком фотонов /0 (Е з), где з — направление падения лучей,尸一точка на плоскости z = 〃 с координатами (Хр，Ур, Я). Взаимодействие света с веществом определяется заданием коэффициента ослабления а(г) вероятности выживания q(r) фотона при столкновении в среде и индикатрисы рассеяния w式生")такой, что

1

/ws(〃$")d〃=l,

где pi, — косинус угла рассеяния, г — точка внутри среды с координатами (х, у, 2).

При попадании света на плоскость 2=0 происходит отражение, которое будем характеризовать коэффициентом яркости А (2, з, з'), равным отношению яркости света, идущего из точки Q в направлении з',к освещенности единичной площадки в точке 0, перпендикулярной направлению з. Здесь Q - точка

на плоскости z = 0 с координатами (女,片，0), з и з' - направления соответственно падения и отражения света от плоскости z = 0. Для решения рассматриваемой задачи — оценки функции передачи контраста яркости для заданных параметров среды — необходимо задать функции /0(Л з), 4(0, з, з') (сформировать исходный контраст) и вычислить в зависимости от принятого критерия оценки качества передачи либо распределение в плоскости z = Н яркости света, выходящего из слоя, либо некоторую функцию от этой яркости.

Fig расчетах фотографических систем и фотометрических характеристик люминесцирующих экранов обьяно контраст яркости формируют с помощью источника - функции То (Е з). П|ж этом, как правило, принимают либо Я->°°, либо 4 (Q, з, з‘)= 0.

Для изучения влияния атмосферы на функцию передачи контраста яркости при наблюдении поверхности Земли из космоса необходимо формировать исходный контраст с помощью функции 4(0, з, з‘). В дальнейшем для определенности будем рассматривать задачу оценки яркости света, выходящего из слоя через границу z = А в направлении з* в точках Pf,...» 尸:,те. векторы

/(Р*,з*)={/(&,з*),…/⑶,з*)}

ДЛЯ

/о(Р, з) = /о(Р)3(з -Зо).

Рассматриваемая задача имеет две специфические особенности, которые необходимо учесть для построения эффективного алгоритма метода Монте-Карло. Во>первых, некоторые значения яркостей вычисляются в фиксированных точках для заданного направления визирования. Во-вторых, исследуется зависимость искомой функции /(尸*, з*) от распределения яркости в исходном контрасте, причем наиболее трудной и практически важной задачей является изучение зависимости 7(Р*, з*) от малых изменений исходной яркости, приводящих к небольшим изменениям функции 7.

) Использование сопряженных блужданий. Обычная схема метода Монте-Карло (прямое моделирование), при которой траектории фотонов строятся из источника до вылета из среды или поглощения, из-за указанных особенностей задачи практически неприемлема; к тому же источником света является бесконечйо широкий поток фотонов, что создает определенные трудности при моделировании начальных точек траекторий. В дан> ном случае полезно применять метод сопряженных блужданий [55], при котором траектории строятся из точки наблюдения 尸* в направлении — з二 обратном направлению визирования со*, и в 14* 211

каждой точке столкновения суммируются плотности источника однократно рассеянных фотонов.

Для пояснения схемы построения траекторий и оценки значений яркости рассмотрим произвольную траекторно

{(го» —<^*^ Оо), (「1，31,Qi),…，(人,з衣,0Q}.

Здесь r；(X|, j/, z；) — точка z-го столкновения фотона в среде (，о =Р*); 3/ — единичный вектор направления движения фотона после z-ro столкновения; 纟 一вес фотона после /-го столкновения (2о = 1) ； Ул - точка Ar-го столкновения, предшествующего вылету.

Хорошо известно, что эффективность алгоритма можно увеличить, если моделирование траекторий производить по схеме без поглощения, при которой поглощение фотона учитывается путем умножения вспомогательного веса на вероятность выживания q(r) при столкновении фотона в точке г в среде; при отражении от плоскости z = 0 вес необходимо умножить на величину

“Q, з')= /4(0 3,3‘)cos(3, 〃)d3, а

где п - единичный вектор нормали к плоскости z = 0 в точке Q направленный внутрь слоя. Оценка искомого значения яркости /(Р*, з*) получается путем осреднения по всем траекториям значений следующей случайной величины:

(2.1) /=1

Здесь т, - оптический путь от точки f-го столкновения до точки 尸『на границе z = Я вдоль луча —з(); величина 3t определяется равенствами

9广 w$ L® _ 1, -с^о), г],

если it столкновение произошло в среде в точке г,

⑵=4(0, — Зо,з『_ 1)cosj(- з(ь九)2tt/q(0, co,_i),

если фотон попал в точку Q на плоскости z = О*).

) Использование коррелированных оце - но к. В изучаемой здесь задаче требуется оценить зависимость искомой яркости от расположения точки наблюдения. Рассмотрим две Произвольные точки 尸；，左 на плоскости z =Н соответственно с координатами (х；, ”；，Я), (х；, у；, Я), в которых необходимо вычислить значения яркостей Д =/(尸;，з*), /2 =/(Р；, з*). Пр! оценке значении 厶，厶 с помощью двух независимых расчетов с Соответствующими погрешностями бЛ, 6/2 может оказаться, что

6(a -?2)=(产力 +产?2)1/2〉1人一厶1.

♦) Сначала вычисляется вес, а затем д.

212

Эффективным средством преодоления этой трудности является метод коррелированной выборки, другими словами, метод зависимых испытаний (см., например, [32]), состоящий в том, что

различные варианты оценок строятся с использованием одних и тех же псевдослучайных чисел {«„}.人 人

При этом между случайными величинами 厶 и /2 возникает

положительная корреляция, - а соответствующая величина дис

персии

D& 一力)=(吟>+(5&)2-2p(九？2)

может оказаться значительно меньше величины (立尸 + (5/^)2, соответствующей независимым расчетам. Здесь р(厶，厶)> 0 — ковариация случайных величин Д и /2-

Стандартный метод использования псевдослучайных чисел ''подряд" не дает возможности прямо реализовать коррелированные испытания, например, из-за различных длин траекторий в различных вариантах расчета. Однако можно предварительно разбить последовательность {%} на достаточно большие част, которые используются для .моделирования траекторий соответствующих номеров. Особенно просто это делается при использовании мультипликативного варианта метода вычетов [32, с. 46]:

〃о = 1, мЛ 52p+1(mod 2W), аи =ип2~т.

Для этого метода имеем

心=% ={(5(2Р+])勺2-也},

т.е. начальные числа участков длины к строятся также методом вычетов с множителем 5(2p+i)", который определяется значением 腺(так как нужны только, т младших разрядов). Таким образом, моделирование траекторий в различных вариантах расчета начинается с использования одинаковых псевдослучайных чисел, и значительные участки траекторий могут быть похожими или даже совпадать.

Изложенный способ является универсальным. Он позволяет,, например, коррелировать оценки яркостей /(РД о>*), изменение которых обусловлено рельефом поверхности при моделировании аэрокосмических фотоснимков.

В рассматриваемой здесь задаче, характеризующейся тем, что отражающей поверхностью является плоскость z = 0, более эффективным способом достижения корреляции является использование одного и того же набора траекторий, например соответствующего точке Р*, с введением веса. При таком способе задача оценки яркости /2 в точке Pf заменяется эквивалентной ей задачей оценки яркости 7 =衣尸；,з*) в системе с характеристи-

ками То,庁，。，彳，济$, полученной из исходной сдвигом на вектор 尸：-尸；=（ХГ ~Х2»У1 —>*2,0）-

Для краткости точку Р-Р* 4•尸;будем обожачать Р, Тогда, например,

彳（0, з,з‘）=/（0,з, з'）.

В соответствии с принципом весового метода для ^получения несмещенной оценки яркости /? = Л соответствующий вес фотона необходимо пересчитывать следующим образом. После каждого столкновения фотона в среде, например в точке r（x, yf z）, вес необходимо умножить на （г）, а после отражения из точки 2 = （XQ,y.,0） на плоскости z = 0 вес умножается на величину 4（0, з,з‘）. После моделирования длины свободного пробега / = I ^ - г,+11 между точками 万 и г/+1, находящимися внутри среды, вес необходимо умножить на величину

半W ехp {-/［0（方 + 心0-网片 + /30］ dr}.

叫+1）о

Если 厶+］ — точка попадания фотона на плоскость z = 0,. то соответствующий множитель равен

^i+l-ri^

eхp{- /［。（芯 + £3»） -。（〃+ 心川由};

после моделирования угла рассеяния при столкновении в точке 々 вес умножается на величину ws ^, （з»「［, 3j）］/w$ ［q, （з»_1，з/）］.

Случайная величина, определяющая величину вклада траектории в искомое значение яркости, имеет вид

五=e"忆/。（厶）,

f='27r（2 2）

（Н-г（）К^9,п）'

多= /。（三一г30）〃

0

Здесь п -^ единичный вектор внешней нормали к границе слоя z =〃; @=%［（3一,一30）用

при столкновении фотона в среде в точке г;

爲=4（。, 一3（>,3f_i）cos（— Зо,〃）2тг/а（0, з”»

при отражении фотона из точки Q на плоскости z = 0.

Таким образом, алгоритм вычисления искомой функции /（尸*, з*） сводится к построению указанным способом набора из 214

некоторого количества ^ сопряженных траекторий для одной из интересующих точек и оценок с помощью формул (2.1), (2.2) и описанной выше процедуры пересчета весов яркостей для всего множества точек наблюдения Р；,…，Р：・

Особенно просто этот алгоритм реализуется в случае горизонтально-однородной среды. При этом первый вариант метода коррелированной выборки приводит к тому, что для всех точек наблюдения траектории с одинаковыми номерами будут геометрически с точностью до сдвига тождественными, так как поглощение на плоскости z = 0 учитывается изменением веса. Поэтому оба алгоритма ко ррели ров анной выборки здесь численно эквивалентны, но второй значительно экономичнее, так как дает все оценки по одному набору траекторий.

Описанньш выше алгоритм использовался для оценки пограничной кривой — функции размьпия в однородной атмосфере границы между двумя полуплоскостями с различными коэффициентами отражения в плоскости z = 0. Рассматривалась следующая математическая модель задачи.

На верхнюю границу однородного плоского слоя атмосферы с оптической толщиной т под углом 〃 = arccos (—з(), и) к внешней нормали п падает бесконечно широкий пЬток фотонов /о(2 з) = 5(з — Зо). Выберем систему координат так, чтобы ось 0z совпадала с внешней нормалью п, а плоскость z = 0 — с подстилающей поверхностью, отражающей фотоны с альбедо

по закону Ламберта, которому соответствует плотность вероятностей Р (д ) косинуса угла отражения д, равная 2д.

Пограничная кривая 7Т (х) описывает изменение яркости при фиксированном з = з* вдоль прямой на плоскости z = Я, перпендикулярной границе между двумя отражающими полуплоскостями. Нас интересует поведение этой функции вблизи плоскости х = 0.

Для оценки искомой функции зададим на плоскости z =Н точки 尸;，尸；с координатами {〃(/ - (w + 1)/2), 0,Я}, в которых вычислим значения функции

厶内)=/因3].

Здесь / = 1,..., 〃 (〃 нечетное), h - расстояние между точками.

Предположим, что набор траекторий, по которому вычисляются искомые яркости для всей совокупности точек наблюдения, строится из точки 尸；〃+])/2 = (0, 0, Я). Каждая траектория, как указывалось выше, дает вклад в искомое значение яркости сразу

215

для всех точек наблюдения. Величину вклада от некоторой траектории в значении яркости в точке Р； обозначим через 当 (/ = 1,... ...,w). Вследствие (2.1) с учетом условий задачи величина 务 вычисляется по формуле

比1fH-Zi]

务二'k exP I 1 仍

：=i 2яI cosp J 丿

Здесь % = Ws(3g_i，—3o), 0炉= 0_ijq, если z-e столкновение фотона произошло в атмосфере, и ⑦=2cos〃， Q“ = = Qi^^i + 力(/ 一 (м + 1)/2)], если фотон отразился из точки xf плоскости z = 0.

Таким образом, для всех точек наблюдения соответствующие им значения вкладов от траекторий, которые не достигли5 плоскости z=0, равны. Величины этих вкладов от траекторий фотонов, испытавших отражения от плоскости z = 0, равны также для тех точек наблюдения, у которых соответствующие им веса при каждом отражении умножаются на одинаковый коэффициент отражения. Во всех иных случаях для разных точек наблюдения значения вкладов, вообще говоря, различны вследствие отличия весовых множителей.

Результаты оценки функций /г (х) получены для индикатрисы рассеяния w$(〃)，соответствующей длине волны 入=0,55 мкм (см. [55]). Вычисления проводились для различных оптических толщ т от 0,1 до 0,8 с шагом 0,1 и для трех различных углов падения солнечной радиации: 9=0°, 30°, 60°. Изучалась также зависимость функции /т (х) от значений коэффициентов отражения Л_, Л+ и от вероятности выживания кванта при столкновении. Для этого расчеты проводились для различных комбинаций значений /_, 4 + от 0 до 0,8 с шагом 0,1 и для шести значений вероятности выживания q = 1,0,9,0,8,0,7,0,4,0,2.

Все приводимые здесь результаты получены для вертикального направления визирования, т.е. прт w = 21, Л =0,1Я (т.е. в отрезке [-Л, Я]). Для каждого значения т при указанных значениях п, h с помощью описанного алгоритма одновременно оценивалось около 300 вариантов функций 7T (х) по одному и тому же набору из ^ = 1000 траекторий за время ЭВМ БЭСМ-6, которое изменялось в зависимости от величины т в пределах от 13 до 23 мин. При этом достигалась погрешность от 1 до 4% в оценках яркости, и вследствие сильной коррелированности этих оценок точность вычисления функций 4 (х) здесь весьма высока. Результаты расчетов подробно описаны в [41].

§ 8・3・ Некоторые соотношения между дисперсиями

Рассмотрим сначала дисперсию оценки (1.13). Если р(К) < 1, й GLccTO

II/^ g °,初今 у(3.1)

Полагая также D&% < 8 для 力=const, отсюда получаем, что D壮吟今0, 加今8.

Заметим, что случайное слагаемое в (1.13) оценивает функцию 屮叫)=屮⑺一m£' кП%, л =0

которая может быть сравнительно близкой к постоянной и при небольших значениях 加.Поэтому в случае субстохастического ядра k(xt х‘) прямое моделирование может иногда обеспечивать малую дисперсию оценки вида (1.13) npi небольших т.

Поскольку

п=т

то при известных дополнительных предположениях (например, оператор К сильно положителен и вполне непрерывен [10])屮(加) относительно близка к первой собственной функции з* оператора К. В теории переноса такая функция слабо меняется для оптически толстых однородных сред, пртчем сходимость 屮(用)> f cmip(x) довольно быстрая (см. § 5.4). Однако неправильно думать, что преобразование осреднения всегда уменьшает дисперсию оценки. Нетрудно построить примеры, для которых

D®〉D&.

Предположим, например, что оценивается вероятность вылета частицы из полупространства z > 0, заполненного средой с заданными в ней источником частиц и параметрами процесса переноса (см. § 1.3), причем вероятность выживания при столкновении q 三 1« В этом случае, очевидно, физическая оценка, получаемая путем прямого подсчета вылетающих частиц, имеет нулевую дисперсию. Оценка 扌，】)строится здесь с помощью выражения (1.9) с тем отличием, что под знак интеграла вводится дополнительный множитель I дх|, — это связано с тем, что вероятность вылета через границу z = 0 определяется функцией Л вида, указанного в гл. 2. Ясно, что npi этом D壮D〉0.

Если в рассмотренном выше примере q < 1, то дисперсия физической оценки отлична от нуля и может быть больше вели-

чины D^ а). В этом плане показателен следующий пример, в котором рассматривается задача оценки эффективного коэффициента размножения к3^ (см. ж 5.1) для простейшей однородной вероятностной модели реактора. Два основных способа применения метода осреднения для расчета вероятности деления нейтронов некоторого источника:

вместо подсчета случаев деления рассчитывают после каждого соударения вероятность того, что нейтрон вызовет деление в результате следующего столкновения;

в качестве оценки числа делений используется сумма вероятностей делениячпри каждом соударении (те. вероятность вида oy/af, где оу — сечение деления,。？ 一 полное сечение).

(3.2)(3.2)Для приближенной оценки эффективности приведенных ниже схем (1), (2) в расчетах к3ф рассмотрим модельную критическую систему (т.е. к3^ = 1), в которой вероятности: / — деления, с — поглощения, s — рассеяния 「постоянны для каждого соударения; / — вероятность вылета — постоянна для каждого пробега (f + c + s = 1). Пусть В — количество нейтронов, вылетающих при одном делении. Ввиду того что 左^ф = 1, имеем

(3.2)

(3.2)

/ + с(Г 7)—二 1

Далее получены выражения дисперсий оценок %эф для схем ⑴，(2}・

Схема (1). Случайная оценка имеет вид

五=財(1-2),

где%- случайное количество пробегов нейтрона в системе.

Легко показать, что распределение вероятностей для ^ задается формулой

尸(〃)=(1-7尸-打"-1口-(1一))S], n = 1,2,...

Применяя метод производящих функций, получаем

D(/V)=D(&)=D(/V)=D(&)=MI

D(/V)=

D(&)=

D(/V)=

D(&)=

尸 s(「/)3

U-(f 丁

Очевидно, что дисперсия, соответствующая прямому подсчету случаев деления, равна

/(1-Z) [с(1-/)+/]

口一（1一7 间2口一（1一7 间2Dg

口一（1一7 间2

口一（1一7 间2

Отсюда, учитывая (3.2), получаем

戋 с(1-/) + 11

-=一'"‘ ‘〉 > В — L

D& r(l-ZMl-Z) s(l-/)

Известно, что трудоемкость оценки метода Монте-Карло определяется произведением соответствующих дисперсии и времени расчета одной траектории. Увеличение времени расчета при использовании схемы (1) по сравнению с прямым моделированием обычно составляет 20 — 30%.

Схема (2). Таким же образом, как и для схемы (1), здесь можно ^получить

/(「/Ж]-/)]

吗-[1-(1-Os]2 — •

Следовательно,

D五=/ + s(l-/) = 1+М(1 -/尸 > г

Практические расчеты подтверждают неравенство D 丘/D久 > 1, но тем не менее в некоторых случаях целесообразно применять схему (2), так как она требует меньших затрат времени ЭВМ.

Опыт решения различных задач по поколениям показывает, чго применение метода осреднения почти всегда приводит к заметному улучшению вычислений, которое достаточно хорошо описывается вышеприведенными формулами с эффективно подобранными константами.

§ 8.4. Замечания о функциональной сходимоста оценок

Достаточно ясно, что рассмотренные в § '8.1 преобразования осреднения могут улучшать свойства функциональной сходимости оценок метода Монте-Карло. Рассмотрим, например, с этой точки зрения локальную оценку (1.8) интенсивности излучения в плоском слое вещества. Соответствующая оценка £х дифференцируема по д*, и получаемая при этом производная равномерно в интервале | д* |>е>0 ограничена случайной величиной с конечной дисперсией (в предположении, что моделируемая цепь Маркова обеспечивает конечность дисперсии для h = const). Следовательно, с помощью локальной оценки (1.8) можно получать функциональную оценку интенсивности Ф(г* д) в заданной точке z *, удовлетворяющую теореме 1.1 при | д [>е>0.

Аналогичный анализ оценки (1.10) интегрального потока частиц

力 o(z*) = /Ф&*,〃)</从

-1

как функции z* дает отрицательный результат вследствие того, что производная величины (1.10) no z* терпит разрыв в точке z* = z (как, впрочем, и сама функция (1.10)).

Лучшими функциональными свойствами обладает оценка (1.9), но и она терпит разрыв в точке z* = z, так как выполняются соотношения

z%Rw&“)exp 卜竺#“咖

Нт / [w3d)Z* I z -1 LНт / [w3d)Z* I z -1 Lexp{ — W — z)/“}卜"exp{ — W — z)/“}卜"

Нт / [w3d)

Z* I z -1 L

Нт / [w3d)

Z* I z -1 L

exp{ — W — z)/“}卜"

exp{ — W — z)/“}卜"

Таким образом, рассмотренные в § 8.1 локальные оценки не обеспечивают слабую сходимость (относительно метрики С) оценки интегрального потока частиц. Поэтому особенно важным представляется использование представленного в §5.3 векторного алгоритма, связанного с расслоением по переменной z.

Заметим, что рассмотренный в § 8.2 способ оценки функции

/(Е з*) = d(P)

очевидно обеспечивает требуемую слабую сходимость» если альбедо а (б, з) является гладкой функцией точки 0

Дополнение

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В дополнении рассмотрены основные стандартные и некоторые специальные методы моделирования случайных величин и векторов. Особое внимание уделено методу повторения для построения специальных случайных векторов с заданными одномерными распределениями (одинаковыми для всех компонент) и неотрицательными коэффициентами корреляции. Кроме того, рассмотрено обобщение этого метода на более широкий класс случайных векторов.

Моделирование случайных величин

Моделирование случайной величины 扌 с заданным распределением, как правило, осуществляется путем преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа а равномерно распределенного в интервале (0, 1), т.е. с помощью моделирующей формулы вида

与=3(%,...,aП).(1.1)

Последовательности выборочных значений а обычно получают на ЭВМ, с помощью которых наиболее часто используется метод вычетов в таком виде:

〃о = 1, «л =«w-i52p + ,(mod 2W), ап=ип2~т9

тде т - число разрядов мантиссы ЭВМ, ар = max {q: S2q + l < 2W}. Числа такого типа называют псевдослучайными. Длина периода для указанного варианта метода вычетов равна 2^—2. Заметим, что в § 8.2 был представлен специальный способ использования псевдослучайных чисел, обеспечивающий коррелядаю результатов решения серии задач методом Монте-Карло. Для реализации такого способа метод вычетов особенно удобен.

Стандартный метод моделирования дискретной случайной величины 与 с распределением

Р(1 = ^л) = Рь % = о,1,…，

состоит в следующем: полагают W = х“ если для выбранного значения а выполняется соотношение

m — 1т

★ = о左=о

Стандартный метод моделирования непрерывной случайной величины (методы обратной функции) состоит в использовании легко проверяемого представления

S =尸畑，

где 尸—функция распределения с заданной плотностью /(х). Иногда полезна рандомизация моделирования (метод суперпозиции) на основе выражения

『(х)=工 Pkfk&)・ к

При использовании рандомизации сначала выбирают номер с распределением

Р(м")= рк9

а затем получают выборочное значение & из распределения с плотностью fmG*

Другим общим методом моделирования непрерывной случайной величины является метод исключения (отбора), в основе которого лежит следующее утверждение.

Если точка (久")распределена равномерно в области

G = {(х,у)： 0《у&g(x)},

то

4«) = g(x)/|G|.

В методе исключения выбирают точку (无，q). равномерно по области G] D G и полагают | = ^0, если (?0> 力 W G; в противном случае повторяют выбор (^0, т?) и т.д.

Для выбора точки (扌о,т?) равномерно по области

5 = {(“)： 0《”gi(x)}

достаточно выбрать 无 из распределения с плотностью gi (x)/Gi положить 1? = Qgi&)・ Функцию gi (х) > g(x) целесообразно подобрать так, чтобы случайную величину 乳 можно было моделировать стандартным методом. Например, если а<^<Ьи^(х) = =cf (х)《凡 то можно полагать

to = a + (b - а)«1, q = Ла2 .

Среднее число операций в методе исключения пропорционально величине | & |/| G |「

222

Величину м обычно называют размерностью моделирующей формулы (1.1). Требуемое распределение случайной величины 扌=3(Qi, . • • , Q〃) является следствием того, что вектор 储，...，а〃)распределен равномерно в соответствующем гиперкубе, т.е. следствием м-мерной равномерности используемых случайных чисел. В литературе имеются указания на то, что такая равномерность для псевдослучайных чисел ухудшается при увеличении п. Поэтому целесообразно использовать моделирующие формулы малой размерности и. С этой точки зрения опасно использовать метод исключения, так как он описывается формулой вида (1.1) лишь со счетным числом аргументов.

Стандартный метод обратной функции:与=F-1 (а), практически редко используется из-за сложности реализации функции 尸т, особенно при наличии параметров, меняющихся в процессе решения задачи. Далее приведены специальные моделирующие формулы для ряда вероятностны^ распределений [32].

Геометрическое распределение с параметром р:

W = entier (In a/ln (1 -р))・

Равномерное дискретное распределение на множестве^ чисел 1,..., л:

t = entier (q〃)+ 1.

Эту формулу можно использовать для улучшения моделирования произвольных дискретных распределений путем равномерного расслоения вероятностей и повторения соответствующих возможных значений.

3・ Стандартное нормальное распределение ^0,1):

I = (-2InQi)"2 c6s (2тга2),

» = (-21nQi)i/2 sin (2тга2).

Случайные величины g, q независимы и распределены N(0, 1). 4. Бета-распределение с параметрами р, q на интервале (0, 1). a') q = m — целое:

古=ехр{ S };

U= 1 p+k — l

а") р =加一целое: после замены f = 1 - g получается случаи а'). 6‘)Р, q - нецелые, причем q > 1:

{m +1{m +1In Qk 9 +p +Z- 1In Qk 9 +p +Z- 1

{m +1

{m +1

In Qk 9 +p +Z- 1

In Qk 9 +p +Z- 1

где m = entier q, a S — целочисленная случайная величина с распре-

223

делением Р(» = м) = рП9 причем вероятности р^ последовательно вычисляются по рекуррентной формуле [32]

(л + р) (w + 1 -т - q) _ S(p, m + 1)

Pn + 1 = Pn , . 1 \. 1 .. \ ， Po 一、；

(и + 1) (w + 1 + ш + p)S(p, q)

6") P, q - нецелые, причем p > 1: после замены f = 1 Y получается случай бг).

в) р V 1, q V 1: применив метод суперпозиции на основе соотношения

fpq(x) 力> + l,q(X)十——%q+O， p+qp+q

переходим к случаям 6’ н 6").

Гамма-распределение с параметром 〃： т

L -m(』i 打)一“1п% + 1，

где т = entier “, а §从一бета-распределенная случайная величина с параметрамир = » — т, q-\^m-v.

§ 2. Моделирование случайных векторов

Стандартный ал горим моделирования непрерывного случайного вектора 扌=(П, • • •,与匕)состоит в последовательном*выборе значений его компонент из условных распределений соответственно представлению

金(勺，...，Хп )一力(X1 )/2(Х2 丨 X1 ) .…fn о^m I Xj , . . . , Xn — 1 ).

Метод исключения и методы суперпозиции переносятся на многомерный случай без изменений, надо лишь в их формулировке рассматривать f их как векторы.

Рассмотрим теперь специальные методы моделирования случайных векторов.

Гауссовский вектор S =(^i,.. . Лл) не слишком большой размерюсти можно моделировать по формуле

& = Лтг + Mf,

где т? = (т?!,.. ., т?„) 一 совокупность независимых стандартнонормальных случайных величин, а А - треугольная матрица, элементы которой вычисляются по рекуррентным формулам

修一〃g J仇仇

為•一工味

где К〃・=М[£• — 叫•)崗一w/)] (g = М&).

224

Под знаком радикала в выражении для 的/ стоит соответствующий главный минор матрицы К, Если эта матрица определяется приближенно, например оценивается статистически, то она может оказаться не положительно определенной, т.е. некоторые главные миноры могут быть неположительными. В этом случае можно подправить матрицу К следующим образом. С помощью стандартной процедуры находится матрица Т перехода к базису, в котором корреляционная матрица приобретает диагональный вид, т.е.

TXL = Л = {入,〃}, i =

Отрицательные значения 入"заменяются на их модули, а к нулевым добавляется малая положительная величина е. Полученная таким образом матрица А（°）приводится к исходному базису, где она имеет вид

к（0）=广5（0）工

Далее в формулах для 〃# используются элементы матрицы К（°）.

Случайный вектор с заданными одномерными функциями распределения Fk и корреляционной матрицей можно пытаться строить по формулам

短=尸Г 俚（％）], % =1,,•••,%

где Ф — функция стандартного нормального распределения, а （%, • • • , %） — вектор из стандартных нормальных величин с ковариациями, которые должны удовлетворять очевидной системе трансцендентных уравнений [32], далеко не всегда имеющей решение.

В [65] для построения случайного вектора с положительными коэффициентами корреляции и заданным одномерным распределением был разработан метод повторения.

При моделировании случайного вектора методом повторения в каждой реализации компоненты разбиваются на группы одинаковых значений, причем для фиксированного разбиения в различных группах значения независимы и подчинены одномерному закону распределения.

Отсюда вытекает общий принцип построения алгоритма метода повторения: для всевозможных вариантов разбиения множества компонент на указанные группы необходимо определить вероят- ностй рт так, чтобы в результате получить случайный вектор с заданной корреляционной матрицей. Очевидно, что при фиксированном разбиении Дт моделируется случайный вектор с корреляционной матрицей 火（А^） = IIг終）II, составленной из нулей и единиц так, что гц = 1, если компоненты 扌,，务 принадлежат одной группе.

Таким образом, для определения величин рт следует рассмотреть соотношение

R = 2 РШК(ДШЬ(2.1)

ЛИ = 1

где N- полное число вариантов разбиения.

Для определенности будем считать, что нумерация разбиения Aw проводится в порядке убывания числа единиц в матрицах R(^m) (для одинакового числа единиц нумерация произвольна). Тогда ^(△i) — матрица, состоящая из единиц, а в &(△%) единицы стоят только на диагонали. Учитьшая это, соотношение (2.1) можно переписать в виде следующей системы из и (и — 1)/2 алгебраических уравнений:

N - 1

Pi + ^2^^} = rikf ； < *，(2.2)

N

причем рт > 0,2 Pm = 1.

т - I

Если решение с указанными свойствами существует, то вектор (&,…，晶)можно моделировать методом повторения, в противном случае такое моделирование невозможно. Сформулированную задачу можно решать следующим образом. Стандартными приемами линейного программирования (например, симплекс- методом [21]) определяется неотрицательное решение ①；,.•. • • . , Рдг — 1) системы (2.2) с минимальной суммой компонент 尸*. Если 尸*《1, то полагаем р^= 1 一尸 *, н случайный вектор можно моделировать методом повторения соответственно рандомизированному представлению (2.1); если 尸* > 1, то метод повторения неприменим.

Следует отметить, что существенную роль в рассматриваемой методике играет алгоритм перебора на ЭВМ всевозможных вариантов разбиения множества компонент и определения величин г%) (т.е, матриц &(4加)).Полное число вариантов разбиения равно сумме по к чисел Стирлинга S (% 左)(左产 1 ,.・.，〃). Величина S(n, к) равна числу различных вариантов разбиения множества из w различных элементов на к частей и выражается формулой

1 к

S(nt к) = - S (一1)必伏-/)“・ к\ / = о “

Числа Стирлинга можно вычислять на ЭВМ с помощью рекуррентного соотношения S(〃 + 1, «) = S(n, к - 1) + kS (м, к). Для них справедливо асимптотическое выражение S(〃，к)〜knjK)!. 226

Таблица 1

Сумма чисел Стирлинга

п

1

23 科 56

7

8

9

10

Е S (% к) к

1

2515 52 203

877

4140

21 147

115 675

Таблица

2

Коэффициенты системы (2.2) для л =

М

т

12

3

4

『1 3

11

0

0

人3

10

1

0

「2 3

10

0

1

Здесь приведена табл. 1 значении числа вариантов разбиения (т.е. значений суммы чисел Стирлинга) для различных 几

Таблица 1 показывает, что прямое вьпшсление значений рт стандартными процедурами линейного программирования является нереальным при больших 几 Далее будет сформулирован простой алгоритм решения Системы (2.2), который в ряде случаев может дать требуемые значения вероятностей рт. Сначала рассмотрим подробно случай 〃 = 3.

п = 3. Здесь система (2.2) определяется табл. 2.

Каз^дый столбец представляет собой некоторую матрицу R (△切). Простой анализ показывает, что оптимальное (т.е. имеющее наименьшую сумму компонент) решение здесь таково:

р； = p = min(「i2"i3"2 3)，Р； =「i2 -Р,

Рз =rl3-pt Р；=「23-Р・

Следовательно, метод повторения применим для моделирования трехмерного вектора в том и только том случае, если

р*=р+ S (力一Р)<1・ f < к

Соответствующий-алгорйтм легко строится по табл. 2.

л =4. Здесь система (2.2) определяется табл. 3.

По аналогии со случаем м = 3 здесь можно определять величины рт следующим простым (но, может быть, не оптимальным) способом.

15*227

Таблица 3

Коэффициенты системы (2.2) для и = 4

12

34567

к11

к11

к1о

「2 311

，2410

「3 410

10 0 10 0 10 0 1 110 0 0 0 0 10 0

10 10 1 0 1110

т

8

91011121314

厶20

Пэ0

g41

尸2 31

，2 4°

&4°

100000

010000

001О00

000100

000010

000001

Этап I. Полагаем

Pi =% 二 min “ i<k

После этого система (2.2) преобразуется к вцду

乙 Pmrik fk — PL • m = 2

Если Pl = Pl + Z tik — Pl )《1, TO МОЖНО положить I < к

P9 = 312，Pl 0 = 51 3，Pl 1 =814，P12 = ^2 3，Pl 3 = ^2 4,

P14 =834, P2 =Рз =P4 =P5 =，6=P7 =P8 =0,

после чего алгоритм метода повторения определяется полностью.

Этап II. Полагаем

% =Р2 =mkl 传 12；513；б23),

после чего поступаем так же, как на этапе I.

Далее решение строится по индукции. На этапе s получаем ps и систему

N-1т = $ + 1N-1т = $ + 1%鹿）二碗）.%鹿）二碗）.

N-1

т = $ + 1

N-1

т = $ + 1

%鹿）二碗）.

%鹿）二碗）.

Если Ру = Е pm + Е з£'< 1, то вычисления заканчиваются m = 1i < к

по аналогии с этапом I, в противном случае переходим к следующему этапу. Легко заметить, что величины Р5 не возрастают. После определения величины pi 4 проверяется условие Z р^ & 1; если оно не выполняется, то алгоритм метода повторения таким образом получить нельзя.

В качестве примера таким образом были получены значения рт дляrik^ru^k^ (0<г < 1):

Pi =尸，％ = % =户— I, A = r-r2t

Pi2 =Г- 2产 +「3, Рз =04 =Р7 =Р8 =Р9 =Р10 =Р11 = °・

Сумма этих величин равна 1 - (1 —г)2. Нетрудно заметить, что такое же значение имеет минимальная сумма величин 〃切 для 〃 = 3 при 门卜 и у"-" I： Ясно, что при добавлении компонент минимальная сумма рт не убывает. Отсюда вытекает оптимальность решения в приведенном примере. Вследствие аддитивности алгоритма такое решение при 〃 = 4 будет оптимальным и дляrik = Zq(r/~k 血 > 0).

Рассмотренный алгоритм фактически без изменений распространяется на другие значения «. В получаемом решении многие значения рт равны нулю, что существенно облегчает реализацию метода повторения. Количество положительных рт не. превышает числа п(л — 1)/2, так как после получения каждого ненулевого значения рщ обращается в нуль одна из компонент правой части системы (2.2) (соответствующее уравнение при этом исключается).

Сформулированный способ вычисления значений рт можно определить как метод пцследовательного исключения искомых величин соответственно убыванию числа единиц в матрицах Л (△,„). Качественные соображения показывают, что получаемое при этом решение близко к оптимальному, однако точное исследование в этом направлении пока провести не удалось.

Далее излагается разработанный в [87] обобщенный метод повторения. Рассмотрим следующую задачу. Пусть || г“ || — некото- 229

рая положительно определенная квадратная матрица порядка п, a F(x) — функция распределения. Требуется построить л-мерный случайный вектор (久，.• •，，)такой, что

尸(&<х) = /х), /= 1, • • •

p (&，右) = %，仃=1 ….，%(23)

Здесь р(&,己)есть коэффициент корреляции случайных величин £ н & . Эту задачу при дополнительном предположении F (х)= =1 ~ Ь(-х + 0) мы далее будем называть основной. Условимся, что всюду ниже ти, • • • , т?篦 есть независимые случайные величины с функцией распределения F(x), а числа & могут принимать только значения 1,-1.

Для решения данной задачи в [65] было предложенолрименить метод повторения, идея которого состоит в построении решения (11» • • • , ?п) по случайным величинам th, • • •, "〃• Далее рассматривается вопрос о возможности построения решения по одной случайной величине при сделанном уже дополнительном предположении, что случайные величины 储 имеют симметричное распределение.

Пусть р(/1, ...,/„; 51, . . . , 6„) - неотрицательные числа, причем индексы ij могут принимать значения 1, . . . ,п,а сумма чисел p(fi, ...,zw; 61,... ,6и) по всем возможным значениям ?!,...,/„ и 6!,..., б„ равна 1. Определим случайный вектор (£,..., 8) следующим образом: с вероятностью р(ii,...., 〃； 61,..., 6И) будем полагать (3，•…，扌曾)равным (Sj т?/1,..., 5лт?/л)

Из формулы полной вероятности вытекает, что случайные величины К имеют функцию распределения 尸(х), а их коэффициенты корреляции вычисляются по формуле

「(&,%!)=

=2 »% p (g….，勺;31,…，必)p (初,riim),(2.4)

где суммирование ведется по всем возможным значениям и 61, . . . , 6Л. Задача, таким образом, свелась к нахождению такого набора вероятностей р(/!, . ..,/„;' 6Х,..., 6„), для которого величины р(?/, 8), вычисленные по формуле (2.4), удовлетворяют условиям (2.3).

Описанный выше способ нахождения решения основной задачи мы в дальнейшем будем называть обобщенным методом повторения. Метод повторения [65] представляет собой частный случай этого метода, ибо он требует, чтобы решение удовлетворяло условию 「&,•••,〃； 61,; . . , 6Л) > 0, только если % = ... = 6„ = 1. Однако обобщенный метод непосредственно не применим к несимметрично распределенным величинам.

Обобщенный метод по сравнению с простым методом повторения обладает двумя преимуществами. Во-первых, он позволяет решать интересующую нас задачу при отрицательных . Во-вторых, при неотрицательных 勺/ он дает возможность решить больший класс задач. Например, для матрицы || Гц ||, равной

1

1/2

1/2

0

1/2

1

1/2

1/2

1/2

1/2

1 г

1/2

0

1/2

1/2

1 一

не существует решения методом повторения, но существует решение обобщенным методом, а именно

Р 詹1 = "f； & =力，皂="i, £ =小)=1/2,

P(焉=%，& =小，扌з =*,久=-%)= 1/2.

Рассмотрим другой пример. Пусть м = 2. В этом случае можно привести два качественно различных решения основной задачи. Первое решение:

Р«1 =%，& =勿 signr12j = |r12 I,

P (Si = r?i,=t?2)= 1 - 1^12

Второе решение:

P(Si =7?i,丘="i) = (l +士)/2,

P (K = % ,无= -%) = (1一?12)/2.

Последнее решение имеет ту особенность, что обе случайные величины К,丘 построены по одной случайной величине.

Этот пример наводит на мысль, что, быть может, всегда можно построить требуемые величины ?!,..., ^„ по одной случайной величине. Положительный ответ на этот вопрос содержится в приводимой ниже теореме.

Предварительно введем еще одно определение. Пусть р(52,…，必)неотрицательные числа, сумма которых по всем возможным значениям 62, • • • > 5„ равна 1. Определим случайный вектор (Wie• • • ,Ем), полагая его с вероятностью р(62, . . . , 5П) равным (П ? 6? П,.: •, 5篦£ ), где случайная величина 久 имеет функцию распределения 戶(х). Основная задача сводится в этом случае к нахождению таких чисел р(^2^ * • ^п) 9 чтобы построенный выше вектор (Е1,・・.,^м) удовлетворял условию (2.3). Такой способ решения основной задачи назовем вырожденным методом повторения. Коэффициенты корреляции p(Wi，扌/) в этом случае вычисляются по формуле

p(Wi 忐) = E8i6jp@2、・・・eQ,(2.5)

231

где б】=1, а суммирование ведется по всем возможным значениям 5?,..., 5〃.

Ясно, что вырожденный метод является частным случаем обобщенного метода повторения. С другой стороны, приводимая ниже теорема показывает, что он не уменьшает возможностей последнего.

Теорема. Если существует решение основной задачи обобщенным методом повторения, то существует и решение ее вырожденным методом повторения.

Доказательство. Пусть решение основной задачи обобщенным методом повторения существует. Заметим, что если фигурирующие при построении этого решения независимые случайные величины %,…，т?〃 заменить на некоррелированные случайные величины i^i,..., р„ с функцией распределения 尸(х), то получившиеся после этой замены случайные величины ^,• • • по-преж

нему в силу формулы (2.4) будут решением основной задачи.

Возьмем теперь в качестве вектора ("i, • •・,^л) вектор, кото- .рый с равной вероятностью может быть равен любому из 2" случайных векторов (б】"],BzTh, •.. , З^тн). Легко проверить, что построенные случайные величины "】,• • •, 〃〃 не коррелированы. Получающийся при этом указанным способ вектор (£i, • • •, 8) зави* сит только от %. То есть (К,…&) такое решение основной за- зачи обобщенным способом повторения, у которого р(/п ...

^!,... ,5„)>0, только если /х = ... = /„ = 1.

Положим

Р 传2» • • • , ^л) = Р(1,・・・，1； 1, ^2, • • • , 8篦)+

+ Р (1, . . . , 1 ； —1, —§2 > • • • , —^л) •

Из формул (2.4), (2.5) немедленно следует, что построенные таким образом вероятности р(62, . . . , 5„) являются требуемый решением основной задачи вырожденным методом повторения.

Доказанная выше теорема позволяет уменьшить число неизвестных с (2м)" в обобщенном методе повторения до 2"一1. Дальнейшее уменьшение числа неизвестных можно проводить методами линейного программирования точно так же, как это делается в [65].

Пример. Если выполнено условие

1+ М 产卢产0 V(5l・・&),(2.6)

то легко проверить, что числа

p(62,...,5„) = 2-w+1(l +J.咕喷，(2.7)

где 31=1, являются решением основной задачи вырожденным методом повторения. Заметим, что при и = 3 числа (2.7) определяют

единственный метод повторения. Поэтому условие、(2.6) при и = 3 является не только достаточным, но и необходимым для существования решения основной задачи обобщенным методом повторения.

В заключение заметим, что метод повторения дает случайный вектор со специальным вырожденным многомерным распределением, плотность которого, например, в двумерном случае имеет вид rf(x) 6 (у - х) + (1 — г) /(х) /(у). Если распределение с плотностью /(х) безгранично делимо, то моделируемое многомерное распределение можно улучшать путем суммирования независимых реализаций вектора 与(用)，как указано в § 6.3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А б а г я н Л.П. и др. Групповые константы для расчета реакторов и защиты. - М.: Энергоиздат, 1981.

Антюфеев В.С. Метод математических ожиданий для решения задач переноса излучения с плоской геометрией//ЖВМиМФ. - 1979. - Т. 19, №6. - С. 1598-1601.

Антюфеев В.С. Вычисление корреляционных характеристик поля яркости в стохастической среде методом Монте-Карло//ЖВМиМФ.- 1984. - Т. 24, № 10. - С. 15 74-15 7 7.

Антюфеев В.С., Михайлов Г.А. Восстановление высотного хода коэффициента рассеяния и вычисление корреляционных характеристик яркости дневного горизонта с помощью метода Монте-Карло//Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1976. - Т. 12, N®5.

Бахвалов Н.С. Об оптимальных оценках сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций//Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. 一 М.: Наука, 1964. - С. 5-63.

Веллман Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ, 1960.

Белоцерковский О.М., Я н и ц к и й В.Е- Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа. 1//ЖВМиМФ. - 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1195-1208; П//ЖВМиМФ.- 1975. - Т. 15, №6. - С. 1553-1567.

В е р д Г. Молекулярная газовая динамика. - М.: Мир, 1981.

Биллинсгли П. Сходимость вероятностных мер. - М.: Наука, 1977.

Б и р м а н М.Ш. и др. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1972.

Боровков А.А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984.

Б р а у н Дж. Методы Монте-Карло//Современная математика для инженеров. -М.: ИЛ, 1959. - С. 275-301.

Булавский Ю.В. Минимизация дисперсии оценки по столкновениям в задачах со знакопеременными элементами//ЖВМиМФ. - 1984.- Т. 24,№ L - С. 148-152.

Б у л а в с к и й Ю.В. Метод рандомизацци интегрального оператора для решения уравнений второго рода//ДАН СССР. - 1985. - Т. 283, № 4. - С. 797 - 800.

Булавский Ю.В. О выборе коэффициента выживания в схеме Неймана-Улама//Методы и алгоритмы статистического моделирования. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 13-20.

В е н т ц ел ь А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

В ал ь д А. Статистические решающие функции//Позиционные игры.- М.: Наука, 1967. 一 С. 300-5 22.

Владимиров В.С. О применении метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей соб-

ственной функции линейного интегрального уравнения//Теория вероятностей и ее применения. - 1956. - Т. 1, № 1. — С 113—130.

Войтишек А.В. Рандомизированная численная спектральная модель стационарной случайной функции//Математические и имитационные модели отстем. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 17-25.

Г и X м а н И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1 -М.: Наука, 1971.

Гольдштейн Е.Т. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. - М.: Наука, 1971.

Гречанки ков АВ Решение задач флуктуационной химии методом Монте-Карло: Дис. на соискание учен. степ. канд. физ.-мат. наук.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.

Г р и г о р ь е в Ю.Н. и др. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений динамики разреженных газов методом Монте-Кдр- ло//Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1971. -Т. 2, №4. -С. 101-107.

Д а н ф о р д Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (общая теория) •- М.: ИЛ, 1962.

Джетыбаев Е.О. Сравнение методов моделирования длины свободного пробега при использовании локальной оценки. - Препринт/ВЦСО АН СССР. - Новосибирск, 1985. - № 597.

Д э в и с о н Б. Теория переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, I960.

Е л е п о в Б .С. и др. Решение краевых задач методом Монте-Карло.- Новосибирск: Наука, 1980.

Е р м а к о в С.Му Метод Монте-Карло и смежные вопросы. - М.: Наука, 1975.

Е р м а к о в С.М. О суммировании рядов, связанных с интегральными уравнениями//Вестн. ЛГУ. - 1983. - № 1. - С. 48—54.

Е р м а к о в С.М., Золотухин В.Г. Применение метода Монте-Карло к расчету защиты от ядерных излучений//Вопросы физической защиты реакторов. - М.: Госатомиздат, 1963. - С. 171-182.

Е р м а к о в С.М., К а р ю к и н В.В. Двухгрупповая оптимизация метода статистического моделирования поля излучения для водородосодержащих сред//ЖВМиМФ. - 1985.. - Т. 25, № 4. - С. 588 - 589.

Е р м а к о в С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. -М.: Наука, 1982.

Е р м а к о в С.М. и др. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. - М.: Наука, 1984.

3 о л о т у хин В.Г. Решение задач переноса излучения методом Монте-Карло. -Пренринт/ФЭИ. - Обнинск, 1967. - №91.

Золотухин В.Г., Усиков Д.А. Оценка реакторных параметров методом Монте-Карло. - М.: Атомиздат, 1979.

Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связан* ные величины. 一 М.: Наука, 1965.

К а л о с М.Н. (Kalos M.N.) On the estimation of flux at a point by Monte- Carlo//Nucl. Sci. and Engng. - 1963. - V. 16. - P. 111-117.

К а м a e в а О.Б. Оценка по пробегу в весовых методах Моите-Кар- ло//ЖВМиМФ. - 1984. - Т. 24, №4. - С. 514-519.

Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1984.

Каргин Б.А. и др. Оценка коэффициентов аэрозольного поглощения по измерениям поглощенной радиации//Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1976. - Т. 12, №7. - С. 720-725.

К а р г и н Б .А. и др. Оценка методом Монте-Карло функции передачи контраста яркости через светорассеивающую среду//Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1979. - Т. 15, № 10. - С. 1027-1035.

К а р г и н Б.А., Михайлов Г.А. Исследование эффективности использования асимптотических решений в расчетах по методу Монте-Кар- ло//ЖВМиМФ. - 1972. - Т. 12, № 1. - С. 150-158.

Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. 丁 М.: Мир, 1965.

Кей з К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. - M# Мир, 1972.

Кертисс Д. Методы Монте-Карло для итерации линейных операто- ров〃УМН. - 1957. - Т. 12, №5. - С. 149-174.

К о л е м а н В.А. (Coleman W.A.) Mathematical -verification of a certain Monte Carlo sampling technique and applications of the techniques to radiation transport problems//Nucl. Sci. and Engng. 一 1968. - V. 32, №1.- P. 76-81.

Кондюрин Ю.Н. Об одном имитационном методе Монте-Карло решения уравнения Больцмана//Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск:ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 126136.

Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969.

Кублановская В.Н. Применение аналитичедкого продолжения посредством замены переменных в численном анализе//Тр. мат» ин-та. им. В.А. Стеклова. - .1959. - Т. 5 3. - С. 145-185.

Курбанмурадов О. Разработка алгоритмов случайного блуждания для решения нестационарных задач математической физики: Дис. на соискание учен. степ. канд. физ.-мат. наук. - Новоси&срск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

Л о эв М. Теория вероятностей. - М.: ИЛ, 1962.

М а р ч у к Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. - М.: Госатомиз- дат, 1961.

Марчук Г .И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач//Космические исследования. -1964. 一 Т. 2, № 3. - С. 462-47 7.

М а р ч у к Г.И., Михайлов Г.А. О решении задач атмосферной оптики методом Монте-Карло // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1967. - Т. 3, № 3. - С. 258-273.

Марчук Г.И. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике.- Новоси血рек: Наука, 1976.

М а й о р о в Л.В., Ф р ан к-К аменецкий А.Д. Сравнительная эффективность различных оценок в методе Монте-Карло. - Препринт/ ИАЭ.-М., 1969.-№1791.

Махоткин О .А. Решение задач ради ацио нно-ко иду ктив но го теплопереноса методом Монте-Карло. I И Численные методы и статистическое моделирование в теории переноса. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. - СЛ19-130.

Махоткин О.А., Михайлов Г.А. Весовая оценка по пробегу с нулевой дисперсией // Теория и алгоритмы статистического моделирования. 一 Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. - С. 21-28.

Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло.- Новосибирск: Наука, 1974.

М и хайлов Г.А. О расчетах возмущений ядерных реакторов методом Монте-Карло 〃 ЖВМиМФ. - 1966. 一 Т. 6, № 2. - С. 380-384.

М и хайлов Г.А. Об одном принципе оптимизации расчетов по методу Моите-Карло // ЖВМиМФ. - 1968. - Т. 8, № 5. - С.Д085-1093.

Михайлов Г.А. Оценка некоторых нелинейных функционалов и приближенный расчет групповых констант теории переноса методом Монте-Карло // ЖВМиМФ. - 1968. 一 Т. 8, № 3С. 590-599.

Михайлов Г.А. Использование приближенных решений сопряженной задачи для изучения алгоритмов метода Монте-Карло Ц ЖВМиМФ.- 1969. -Т. 9, №5. - С. 1145-1152.

Михайлов Г. А. Об одном классе оценок по методу Монте- Карло II Теория вероятностей и ее применения. - 1970. - Т. 15. № 1 С. 142-144.

Михайлов Г.А. О методе *'повторения'* для моделирования случайных векторов и процессов (рандомизация корреляционных матриц) // Теория вероятностей и ее применения. - 1974. - Т. 19, № 4. - С. 873- 878.

М и хайлов Г.А. О сочетании метода конечных сумм С методом Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода // Мат. заметки. -1971. —Т. 9, № 4. - С. 425-433.

Михайлов Г. А. О рандомизации алгоритмов метода Монте- Карло // Статистическое моделирование в математической физике.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. - С. 5 — 16.

М и хайлов Г.А. Дисперсия векторных алгоритмов метода Монте- Карло // ДАН СССР. - 1980. - Т. 25 3, №5. - С. 1047-105 0.

Ми хайлов Г.А. Нелинейная теория оптимизации статистического моделирования для решения интегральных уравнений II рода // ЖВМиМФ. - 1981. - Т. 21, № 6. - С. 1435-1444.

М и хайлов Г.А. Оптимизация векторных алгоритмов метода Мон-. те-Карло // ДАН СССР. - 1981. - Т. 260, № 1. - С. 26-31.

Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процессов и полей // ЖВМиМФ. - 1983. - Т. 23, № 3. - С. 558-566.

М и хайлов Г.А. Минимаксные модели метода Монте-Карло // Методы и алгоритмы статистического моделирования. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 3-12.

М и хайлов Г.А. Минимаксная теория весовых методов Монте- Карло // ЖВМиМФ. - 1984. - Т. 24, № 9. - С. 1294-1302.

Михайлов Г.А. Асимптотика средней интенсивности излучения для некоторых моделей стохастических сред // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1982. - Т. 18, № 12. - С. 1289-1295.

Ми хайлов Г.А. Исследование и уменьшение дисперсии весовых векторных алгоритмов метода Монте-Карло // ЖВМиМФ. - 1985.- Т. 25, № 11.-С. 1614 - 1627.

Михайлов Г.А., М у с и х и н С.Г. Алгоритмы расчетов сложной реакторной ячейки методом Монте-Карло // ЖВМиМФ. - 1981. - Т. 21, №2.-С. 432-440.

Михайлов Г.А., Назаралиев М.А. Оптимизация оценки функциональных зависимостей методом Монте-Карло // ЖВМиМФ. 一 19 70. - Т. 10, № 3. - С. 7 34-740.

Михайлов Г.А. и др. Векторно-стохастические модели некоторых задач математической физики // Актуальные проблемы прикладной математики4 и математического моделирования. - Новосибирск: Наука, 1982」С. 69-82.

Михайлов Г.А., Тройников ВС. Моделирование случайных полей при решении стохастических задач методом Моите-Карло (свойства реализаций) // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. - Новосибирск: Наука, 1983. 一 С. 122- 127.

М и x л и н СТ. Лекции по линейным интегральным уравнениям.- М.: Физматгиз, 1959.

Назаралиев М.А., У х и н о в С.А. Расчет светимости аэрозольных образований сложной структуры // Статистическое моделирование в Математической физике. - Новосибирск: 1976. - С. 29-37.

О г и б и н В.Н. О применении "расщепления и рулетки" в расчетах переноса частиц методом Монте-Карло 〃 Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. 一 М.： Атомиздат, 1967. 一 С. 72 -82.

Р озанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1982.

С абельфельд К.К. Принцип выметания и усреднения при построении алгоритмов метода Монте-Карло для решения* краевых задач 〃 ЖВМиМФ. - 198 3. - Т. 23, № 2. - С. 336-379.

Са6ельфельд К.К. Некоторые способы построения резолызенты при решении интегральных и дифференциальных уравнений методом Монте-Карло 〃 Теория и приложения статистического моделирования.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 28-36.

Сабельфельд К.К., С и монов Н.А. Алгоритмы случайного блуждания по границе для решения краевых задач // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1983.- Т. 14, №1. - С. 116-134.

С аханенко А.И. О вырожденном методе повторения // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. - С. 42-46.

С и з о в а А.Ф. О дисперсии оценки по столкновениям для решения нелинейных задач методом Монте-Карло /I Вести. ЛГУ. 一 1976. - № 1.

С о б о л ь И.М. Численные методы Монте-Карло. 一 М.: Наука, 1973.

С о б о л ь И.М. Метод Монте-Карло для расчета критичности в многогрупповом приближении // Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. - М.: Атомиздат, 1967. - С. 232-254.

Спанье Дж., Г е л б а р д 3. Метод Монте-Карло и задали переноса нейтронов. - М.: Ато ми здат, 1972.

С т а р к о в А.В. Новые оценки дисперсии в методе Монте-Карло при использовании приближенной функции ценности // ЖВМиМФ. - 1986.- Т. 26,№5. - С. 655-663.

Старков А.В. Некоторые вопросы нелинейной теории оптимизации статистического моделирования переноса излучения в слое вещества с анизотропным рассеянием. - Препринт / ВЦ СО АН СССР. - Новосибирск, 1985. -№597.

Т ройников В.С. Численное моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в облачной среде // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.- 1984. - Т. 20, № 4. - С. 2 74-2 79.

Тройников В.С. Алгоритмы статистического моделирования для изучения радиационных процессов в облаках: Ди с. на соискание учен, степ. канд. физ-мат. наук. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1984.

Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.- М.: Мир, 1967.

Фран к-К аменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. - М.： Атомиздат, 1978.

Ф р о л о в А.С., Ченцов Н.Н. О вычислении методом Монте-Карло определенных интегралов, зависящих от параметра // ЖВМиМФ.- 1962. -Т. 2, №4.-С. 714-717.

Ф р о л о в А.С., Ченцов Н.Н. Решение трех типичных задач теории переноса методом Монте-Карло // Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. - М.: Атомиздат, 1967. — С. 25 -52.

Харди Г., Литтльвуд Дж., Полна Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948.

X и н чи н А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. 一 М.: Физматгиз, 1963.

X асамутдинов А.И. Единичный класс оценок для вычисления по методу Монте-Карло функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода 〃 ЖВМиМФ. - 19 70. - Т. 10, №5. - С. 1269-1280.

Холтон Дж. X. (Holton J.H.) A retrospective and prospective survey of the Monte Carlo method 〃 SIAM rev. - 1970. - V. 12, № 1. - P. 1 - 63.

Ч e н ц о в Н.Н. Слабая сходимость случайных процессов с траекториями без разрывов второго рода // Теория вероятностей и ее применения. -1956. — Т. 1, №1. - С. 154-161.

Ч е н ц о в Н.Н. Предельные теоремы для некоторых классов случайных функций // Тр. Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. - Ереван: 1960. - С. 280-285.

Ченцов Н.Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям 〃 ДАН СССР. - 1962. - Т. 14 7, № 1. - С. 45 -48.

Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа // ЖВМиМФ.- 1970. - Т. 10, № 3. - С. 654-665.

Я г л о м АМ Корреляционная теория стационарных случайных функций. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

Геннадий Алексеевич Михайлов

ОПТИМИЗАЦИЯВЕСОВЫХ МЕТОДОВМОНТЕ-КАРЛО

Редактор И.В. ВикторенковаХудожественный редактор Т.Н. КольченкоТехнические редакторы С,В.Геворкян, В.Н. НикитинаКорректоры 〃.〃. Круглова, Т.В. Обод

Набор осуществлен в издательствена наборно-печатающих~ автоматах

ИБ № 12829

Сдано в набор 31.07.86. Подписано к печати 2 8.11.86. Т-2 3 946

Формат 84Х 108/32. бумага ТИП. 3

Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетнаяУсл.печ.л. 12,6. Усл.кр.-отт. 12,6. Уч.-изд. л. 13,84Тираж 5150 экз. Тип. зак. ?4Q Цена 2 руб.

Ордена Трудового Красного Знаменииздательство ''Наука''Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства **Наука**630077 г.Новосибирск-77, ул.Станиславского, 2 5

Г А. МИХАЙЛОВ

Оптимизациявесовыхметодов

Монте-Карло

Г. А. МИХАЙЛОВ

ОПТИМИЗАЦИЯВЕСОВЫХМЕТОДОВМОШККАРЛО

МОСКВА “НАУКА”ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ198 7

ББК 22.19

М 69

УЖ 519.6

Михайлов ГА. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. —М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 240 с.

Методы Монте-Кафло (методы статисшческого моделирования) находят самое широкое применение при решении многих прикладных задач. Юшга посвящена построению практически эффективных весовых и векторных оценок - по столкновениям и по поглощениям -для решения многомерных интегральных уравнений второго рода. Одна из глав, содержит сравнительно мало освещенную в публикациях теорию метода расщепления траекторий. Приводятся важнейшие приложения. Специальный до пол нительный материал посвящен моделированию случайных величин и векторов.

Для специалистов в области прикладной мгггематики и информаг тики, а также для инженеров, принимающих участаев решении задач иа ЭВМ.

Табл. 8. Библиогр. 108 назв.

Рецензент

доктор физико^матемапшеошх наукММ Соболь

ММ1702070000-035053(02)-871702070000-035053(02)-87© Издательство "Наука”. Главная редакция фи зи коматематической литературы, 1987

М

М

1702070000-035

053(02)-87

1702070000-035

053(02)-87

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие'•5

Глава 1. Основные математические модели теории весовых методов №нте*Карло 7

Сведения из функционального анализа 7

Сведения из теории сходимости случайных функций ....13

Интегральные уравнения теории переноса излучения и мз тоды Монте-КЙ>ло 15

Другиеинтегральные уравнения в сфере применения методов Монте-К^ло 25

Сведения из теории методов Монте4Сарло для вычисления интегралов 40

Несмещенность и диспероия методов Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода44

Весовые оценки билинейных функционалов 50

Вычисление производных от линейных функционалов и слабая сходимость функциональных оценок53

Глава!. Использование информации о решении 59

Моделирование по ценности . . . ; 59

Весовые оценю! по пробегу в теории переноса 62

Оценка величины D^x для моделирования по ценности . .65

Использование асимптотического решения односкорост* ного уравнения переноса 69

Г л ав а 3. Нелинейная теория оптимизации статистического моделирования для решения интегральных уравнений второго рода . . . .75

Постановка задачи 75

Вывод и исследование основного уравнения 78

Методическая задача 82

Асж мптотичес кая оптимизация моделирования переноса излучения через слой вещества 83

Асимптотическая оптимизация в специальном классе угловых плотности 88

Минимизация дисперош оценю! по столкновениям в зада* чах со знакопеременными элементами 96

Глава 4. №нимаксные весовые оценки ЮЗ

Постановка задачи. Основная лемма ЮЗ

Минимаксные оценки интегралов 105

Оптимизация оценок при решении интегральных уравне* ний 109

Минимаксный выбор пфвого шагав цепи Маркова . . . .114

Гл ав a 5. Векторные алгоритмы метода Монте*Карло 116

Дисперсия векторных алгоритмов . 117

Равномерная оптимизация весовых методов Монте4Сарло в теории переноса 121

Векторный алгоритм, связанный с расслоением по одной из переменных 124

Погрешность метода Моиге-Карло при решении векторного уравнения переноса 131

Векторные оценки в случае треугольного матричного ядра 136

Векторные оценки итераций резольвент 138

Векторные представления Нелинейных оценок 142

Векторный алгоритм расчета эффективного коэффициен* та размножшия 145

Минимизация дисперсий векторных оценок 147

Асимптотическое исследование сочетания метода конеч* ных сумм с методом МонтеЧСарло . . . . ： 153

Гл ав а 6. Рандомизация весовых алгоритмов 158

Рандомизированная оценка моментов решения 158

Оценка дисперсий снизу и осреднение экспоненциальных ядер 162

Специальные модели не гауссовских полей, связанные со стационарными точечными потоками 167

Моделирование однородных гауссовских полей путем рандомизации спектрального щ)ецставления .. . .' 175

Стохастические задачи теории переноса излучения179

Одна стохастическая задача теории упругости 186

Моделирование диффузии хфимеои в стохастических полях скоростей 188

Гл ав а 7. Метод многократного расщепления 192

Оптимизация метода расщепления 192

Оптимизация расщепления для оценки вероятности прохождения частицы 195

Численная оценка оптимальных параметров расщепления 196

Равномерная оптимизация метода расщепления 199

Рандомизированные алгоритмы метода расщепления. . • .200

Расщепление оценки по столкновениям 201

Гл ав а 8. Преобразования уравнений и весовые оценки 207

Преобразование обеднения 207

Прео&азованне сдвига 210

Некоторые соотношения между дисперсиями217

Замечания о функциональной сходимости оценок219

Дополнение. Некоторые математические модели случайных величин 221

Моделирование случайных величии 221

Моделирование случайных векторов 224

Список литературы 234

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение ряда задач прикладной математики можно свести к оценке функционалов от решений интегральных уравнений, напри* мер значений таких решений в заданных точках фазового пространства. В частности, это связано с тем, что за основу математической модели часто можно брать обрывающуюся цепь Маркова, переходная плотность которой является субстохастическим ядром интегрального оператора, описывающего эволюцию субстанции за один шаг изучаемого процесса. Прямое статистическое моделирование на ЭВМ такой цепи дает возможность оценивать фунюшо- налы от решения интегрального уравнения второго рода, выражающего баланс субстанции в фазовом пространстве, например баланс частиц в теории переноса.

Однако зачастую прямое моделирование не позволяет оценивать изучаемые величины с требуемой точностью. Кроме того, существует целый ряд практически важных типов интегральных уравнений со знакопеременными ядрами, например граничные интегральные уравнения теорш потенциала. Для решения рассматриваемых задач в этих случаях можно использовать весовые ме： тоды. Монте-Карло, состоящие в том, что на ЭВМ моделируется подходящая цепь Маркова, а требуемые функционалы оцениваются с помощью веса, который после очередного перехода в цепи домножается на отношение ядра интегрального уравнения к переходной плотности. .

Весовые методы статистического моделирования конструируются в целях уменьшения погрешностей оценок искомых величин, а также для построения зависимых оценок функционалов, соответствующих различным значениям параметров задачи, т.е. для улучшения оценки изучаемой функциональной зависимости. Кроме того, на основе весовых методов можно строить оценки важных специальных функционалов, например производных от изучаемых величин по параметрам задачи.

Известно много работ, посвященных развитию указанных выше концепций весового статистического моделирования. В гл. 1 (вводной) дана необходимая для изложения основного материала книги

5

информация об этих работах, систематизированная и дополненная рядом показательных примеров.

Дальнейшие главы посвящены решению ряда содержательных математических задач, связанных с оптимизацией весовых методов Монте-Карло.

В гл. 2 рассматривается моделирование по ценности, в частности использование асимптотических решений теории переноса излучения для уменьшения трудоемкости соответствующих весовых алгоритмов. Основные и наиболее интересные гл. 3—6 бажруются на оригинальных работах автора. Эти главы посвящены нелинейной и минимаксной теориям весового статистического моделирования, весовым векторным и рандомизированным алгоритмам метода Монте-Карло. Глава 7, посвященная методу расщепления, в значительной степени восполняет пробел в литературе, связанный с отсутствием систематического изложения этого, пожалуй, наиболее универсального весового способа уменьшения дисперсий оценок в методе Монте-Карло.

В гл. 8 устанавливаются некоторые связи между преобразованиями интегральных уравнений и эффективностью весовых методов.

Дополнение о некоторых основных методах моделирования случайных величин и векторов включено в работу ввиду особой важности этих методов для реализации статистического моделирования; здесь детально изложен метод повторения для построения специальных случайных векторов с негауссовскими распределениями.

Автор с благодарностью отмечает вклад сотрудников руководимого им отдела статистического моделирования Вычислительного центра Си&1рского отделения АН СССР в подготовку материала рукописи к печати. Особо благодарен автор К .К. Сабельфельду, любезно предоставившему для § 1.1, 1.4 материалы, связанные с решением методом Монте-Карло граничных интегральных уравнений теории потенциала.