ФУНКЦИИ ГРИНА

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Л. С. Левитов и А. В. Шитов

2

Л. С. Левитов, А. В. Шитов, Функции Грина. Задачи с решениями. 2-е изд., дополн.—М.:Физматлит. 2002 — 352 с.

Тема книги —— квантовая физика систем, состоящих из большого числа частиц. Выбранная форма сборника задач позволяет рассмотреть основные теоретические методы этого раздела физики и одновременно охватить большой круг конкретных физических явлений.

Задачи первой, вводной части книги, подобраны так, чтобы на примере известного читателю материала по нерелятивистской квантовой механике проиллюстрировать метод функций Грина. Все задачи решены и сопровождаются комментариями, поясняющими мотивировку задач и их связь с разнообразными вопросами современной теории конденсированного состояния. В начале каждой главы кратко излагается необходимый материал по фейнмановской диаграммной технике. Вторая часть книги построена по той же схеме, что и первая. В нее включены несколько разделов физики конденсированного состояния, представляющих интерес на сегодняшний день. Это — теория ферми-жидкости, неупорядоченные системы, сверхпроводимость и одномерные сильно коррелированные системы. Помимо этого, во второй части рассматриваются вопросы, связанные с измерением функций отклика и гриновских функций.

Книга предназначена для студентов старших курсов, специализирующихся в области теоретической физики, физики твердого тела и низких температур, а также для аспирантов-физиков и научных работников.

©Физматлит, 2002

©Л. С. Левитов, А. В. Шитов, 1997, 2002

Оглавление

I Теория возмущений9

Квазичастицы11

Канонические преобразования 11

Задачи 1-4 14

Решения 16

От спиновых операторов — к фермиевским 23

Функция Грина27

Представление взаимодействия 27

Задачи 5-10 30

Решения 32

Квантовая механика одной частицы45

Теория возмущений и функция Грина 45

Задачи 11-15 47

Решения 50

Взаимодействующие частицы61

Правила построения диаграмм 61

Блочное суммирование 64

Полюсы функции Грина — спектрквазичастиц 66

Двухчастичная функция Грина 67

Задачи 16-21 70

Решения 74

Идеальный ферми-газ89

Электроны на ферми-поверхности 89

Формула Кубо 90

Задачи 22-27 92

Решения 95

Электроны и фононы111

Электрон-фононное взаимодействие111

Задачи 28-33 115

Решения117

Эффект Пайерлса, теория среднего поля130

Диаграммная техника при конечных температурах137

Мацубаровское время137

Дискретные частоты140

Метод аналитического продолжения141

Задачи 34-42 144

Решения149

II Методы теории многих тел177

Теория ферми-жидкости179

Квазичастицы180

Кинетическое уравнение. Коллективные моды182

Приближение случайных фаз184

Задачи 43-49 190

Решения196

Вигнеровский кристалл214

Микроскопическое обоснование теории ферми-жидкости216

Электроны в случайном потенциале221

Усреднение функций Грина по беспорядку221

Усреднение функций отклика226

Задачи 50-54 229

Слабая локализация и мезоскопика (трудные задачи) 55-57 233

Решения238

Диаграммы без самопересечений 264

Электронный спектр неупорядоченной системы268

Хвост локализованных состояний270

Сверхпроводимость273

Микроскопическая теория сверхпроводимости 273

Образование куперовских пар273

Квазичастицы в сверхпроводнике277

Диаграммная техника для теории БКШ280

Рассеяние в куперовском канале280

Функции Грина в сверхпроводнике283

Задачи 58-64 287

Трудные задачи 65-67 292

Решения293

Измерение функций Грина323

Туннелирование323

Неупругое рассеяние 329

Задачи 68-74 333

Решения336

Бозонизация и латтинжеровская жидкость359

Гидродинамика одномерного ферми-газа360

Коммутаторы операторов плотности361

Модель Томонаги363

От бозонов к фермионам366

Задачи 75-82 369

Решения372

Предисловие

Метод функций Грина, впервые предложенный Р. Фейнманом в квантовой электродинамике, уже давно стал универсальным языком всей теоретической физики. Знание диаграммной техники и умение использовать функции Грина является неотъемлемой частью образования физика-теоретика, независимо от конкретной области его интересов. При этом студенту, желающему изучить эти методы, обычно приходится вначале знакомиться с ними в рамках курса квантовой теории поля, поскольку по историческим причинам в учебной литературе основное внимание уделялось именно этой области.

В теорию конденсированного состояния, изучающую квантовые свойства твердых тел и других многочастичных систем, диаграммная техника прочно вошла еще в середине 50-х годов. Как нетрудно проследить, практически все основные достижения в этой области теоретической физики были так или иначе связаны с развитием диаграммной техники. Применение функций Грина в теории твердого тела хорошо освещено в обширной литературе, центральное место в которой занимает хорошо известная монография А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и И. Е. Дзялошинского, «Методы квантовой теории поля в статистической физике» [1]. Эта замечательная книга, к сожалению, не может считаться учебником в полном смысле слова, поскольку в ней отсутствуют задачи, а кроме того предполагается, что читатель отчасти знаком с методами квантовой теории поля.

В настоящее время, однако, студенты часто изучают методы функций Грина, используя книгу [1] или другие аналогичные пособия, не после квантовой теории поля, а одновременно или даже несколько раньше. Это связано с тем, что современная физика твердого тела достаточно богата идеями и содержательными результатами, а теория конденсированного состояния имеет много связей с квантовой теорией поля. Поэтому нам казалось весьма полезным изложить необходимый для освоения диаграммной техники материал таким образом, чтобы он был доступен студенту, знакомому лишь с основами квантовой механики.

Предлагаемая читателю книга возникла как попытка устранить указанный пробел в учебной литературе. Основу книги составили материалы занятий по теории твердого тела со студентами МФТИ в 1992-94 гг, в которых в качестве учебника использовалась книга [1]. По собственному опыту авторам известно, что читателю «вечнозеленой книги о функциях Грина» приходится, как всегда при изучении трудного материала, самому придумывать себе примеры и простые задачи. Исходной идеей было ——систематизировать этот опыт и снабдить читателя [1] достаточно интересными, но не слишком трудными задачами.

В процессе написания книги мы, следуя советам коллег, постарались сделать нашу книгу по возможности независимой от других учебных пособий. Для этого в начале всех главы помещены вступительные разделы, в которых напоминается ноб- ходимый теоретический материал, сравниваются различные подходы, кратко суммируются основные теоретические положения, и т.п. После этого идут разделы с

задачами и их подробными решениями. Иногда, если в этом имеется необходимость, приведено несколько различных решений одной и той же задачи. Помимо этого, воспользовавшись преимуществами избранной формы задачника, более свободной, чем учебник или монография, мы включили в книгу разнообразные отступления и «вставные новеллы», объясняющие мотивировку тех или иных задач, или поясняющие связь с вопросами теории, представляющими интерес в настоящее время и недостаточно освещенными в учебниках. Эти отступления помещены в конце некоторых глав.

Книга состоит из двух частей, что соответствует разделению материала по двум различным уровням трудности. Часть I имеет вводный характер. Ее основная идея ——на примере фактов, известных читателю из курса квантовой механики, проиллюстрировать основные положения метода функций Грина и, так сказать, пересказать квантовую механику одной частицы на графическом языке диаграммной техники. Кроме того, в первой части вводится аппарат функций Грина, отдельно при нулевой и конечной температуре. При этом от читателя не требуется предварительного знакомства с физикой твердого тела, поскольку практически все используемые примеры имеют общефизический характер, а необходимый фактический материал изложен по ходу дела.

В часть II входят основные разделы современной теории твердого тела, такие как теория ферми-жидкости, теория неупорядоченных систем, включая возникшую за последние 20 лет теорию слабой локализации и квантовых эффектов в проводимости, а также теория сверхпроводимости, и теория одномерных сильно-коррелированных систем. Кроме того, в часть II включена глава «Измерение функций Грина», цель которой ——установить связь между развиваемой теорией, опирающейся на функции Грина, и экспериментальными методами физики твердого тела. Кроме того, в этой главе сообщаются некоторые сведения из физики твердого тела, не всегда знакомые студентам-теоретикам.

Следует сказать, что отбор материала, легшего в основу части II, в сильной степени определяется вкусами и научными интересами авторов. При составлении задач мы стремились рассмотреть вопросы теории, представляющие интерес в настоящее время. При этом, однако, мы постарались избежать превращения книги в обзор современного состояния науки. Затронутые вопросы были отобраны в основном с точки зрения их общефизического интереса, а также исходя из того, насколько хорошо они и ллю с трирую т общий метод функций Грина.

В заключении нам хотелось бы поблагодарить наших коллег, без участия которых эта книга не появилась бы: Д. А. Иванова, М. А. Скворцова, Д. Е. Фельдмана и В. П. Рубана, любезно предоставивших свои решения задач, которые впоследствии были переработаны и включены в книгу. Мы признательны также М. Ю. Рейзеру за ценные советы и указание на некоторые дефекты в ротапринтном издании части I (МФТИ, 1997). Разумеется вся ответственность за (неизбежные) ошибки, имеющиеся в настоящей книге, лежит на авторах. Мы будем крайне благодарны всем,

кто пожелает указать на ошибки, опечатки, или просто обсудить какой-либо связанный с книгой вопрос. Связаться с авторами проще всего по электронной почте: levitovOmit.edu, shytovOitp.ас.ru (см. также http://web.mit.edu/levitov/book).

Часть I

Теория возмущений

Плава 1.

Квазичастицы

Вторичное квантование. Канонические преобразования

Системы, состоящие из большого числа тождественных частиц, удобно изучать, пользуясь методом вторичного квантования. Напомним основную идею этого метода, не уточняя пока вид частиц. (В задачах физики твердого тела это могут быть, скажем, электроны, фононы, фотоны, экситоны и т. д.)

Рассмотрим вначале систему бозе-частиц, каждая из которых может находиться в одном из состояний ^(х), г = 1, 2,... Многочастичная волновая функция задается в представлении чисел заполнения^ указывающем сколько частиц занимают каждое из состояний 也⑺.В обозначениях Дирака такие состояния могут быть записаны как I ..., М—ь 2〉Л^+1,...), где числа заполнения N принимают произвольные целые неотрицательные значения, N = 0,1,... К анониче ские операторы рождения и уничтожения * и 出 вводятся следующим образом:

&г\N迂…N% — \)N泛…

a力N+b .. .〉=1 ...〉N + 1〉2+1〉...〉.(I」)

Нетрудно проверить, что выполняются коммутационные соотношения:

[a^,，^口百—6牙； [口百,^j\ — [a^~,，^] — 0(1.2)

Далее, вводятся ^-операторы:

力⑺=e%叭⑺;/+⑵=e前*⑵•(L3)

Функции 也⑺ выбирают таким образом, чтобы они образовывали полную ортонор- мированную систему. При этом коммутационные соотношения ^-операторов оказываются следующими:

^{х^^^х1^ = 6(/ — М), [/(/)〉@(#)] = ^^^х^^^х1^ = 0 .(1.4)

В случае ферми-статистики представление чисел заполнения, а также операторы рождения и уничтожения, их коммутационные соотношения и ^-операторы вводятся сходным образом. Остановимся на отличиях бозевского и фермиевского вторичного квантования. Во-первых, в силу принципа Паули, числа заполнения N принимают всего два значения: N = 0,1. Поэтому канонические операторы 出 и * действуют так:

а。1 •'

〉при Ni = при Ni =

=1, =0;

口力.

1 j

при Ni = )при № =

=1, =0 .

(1.5)

Во-вторых, антисимметрия многочастичного состояния по отношению к перестановке частиц приводит к антикоммутативности 出 и 碎：

〉dj ] _|_ = dj + dj —— 8牙〉[а°〉"/ + = [^^~〉]+ = 0.(1.6)

Для ^-операторов (1.3) соотношения антикоммутативности выглядят так:

[0(/),0+(#)]+= 6(/— #), [/(/),©(#)]+= [/+(/),©+(#)]+ = 0.(1.7)

Удобство представления вторичного квантования заключается в том, связь между одно- и многочастичной задачами на языке ^-операторов оказывается весьма простой. Например, нетрудно проверить, что гамильтониан системы невзаимодействующих бозе- или ферми-частиц, имеющих массу т и движущихся в потенциале U(r)〉записывается так:

А если частицы взаимодействуют по закону V(ri — Г2), то гамильтониан нужно просто дополнить членом

*nt = ； // /+(r1)/+(r2)u(r1 —r2)力(r2)力(门川3T也3?-2 •(L9)

Вторично квантованный оператор плотности частиц /(г) = @+(г)@(г) является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения |^(г)|2 для плотности вероятности. Интеграл от Д(г), взятый по всему пространству, есть оператор полного числа частиц в системе

^ = У @+(r)@(r)d%.(1.10)

Подчеркнем, что все операторы (1.8) — (1.10) в представлении вторичного квантования имеют один и тот же вид и для фермионов, и для бозонов.

Остановимся теперь на важном понятии канонического преобразования и на том, как эти преобразования выглядят в представлении вторичного квантования. Напомним, что в классической механике канонические преобразования фазового пространства (pg) — (У, qz) вводятся с помощью скобок Пуассона {...}, причем роль

этих преобразований заключается в том, что они сохраняют гамильтонову форму уравнений движения: р = {р, Я}, q = {q, Н}.

В квантовой механике роль скобок Пуассона переходит к коммутаторам. (Например, в представлении Гейзенберга уравнения движения имеют вид ihdtA = [Л,7Y].) Поэтому каноническими называют преобразования физических величин, сохраняющие коммутационные соотношения операторов. Как и в классической механике, канонические преобразования важны, поскольку они сохраняют форму уравнений движения.

Подобрав каноническое преобразование, часто возможно перейти от взаимодействующих частиц к невзаимодействующим кв азичастицам. Наиболее часто рассматривают линейные преобразования канонических операторов (бозонов или фермионов)

豆=e (%出+%对),3+ = £ (吗出+吗球),(i.ii)

называемые преобразованиями Боголюбова. Одной из часто встречающихся задач является отыскание спектра и собственных состояний гамильтониана, квадратичного по операторам рождения и уничтожения. Нетрудно проверить, что произвольный гамильтониан такого вида может быть приведен к диагональной форме с помощью соответствующим образом подобранного преобразования (1.11):

%f 碍)旬 + 磁九旬 + h.c.=也广0 +(0[%10).(1.12)

Энергии Si дают спектр квазичастиц, а константа (0|7Y|0) в правой части представляет собой так называемую энергию нулевых колебаний.

Преобразования (1.11) являются каноническими, если они сохраняют коммутационные соотношения

血)出]± = 0,[出)"打± =瓦/ ，(1.13)

Соответствующие условия на матрицы [7 и У в (1.11) в общем случае выглядят так:

и豌％ ± VkiUkj = 0, и机кВ ± 廳％ = ^(1.14)

где знак «+» соответствует случаю ферми-статистики, а знак «—» ——случаю бозе- статистики.

Структура преобразований (1.11) для бозе-операторов видна уже в простейшем случае одной бозонной степени свободы (примером является квантово-механический осциллятор). При этом U и 丿 ——не матрицы, а числа, и имеется всего два простейших однородных канонических преобразования:

5 = ch А а + sh А а+ а = ^ а(1 1 唱

где Хид —— вещественные параметры. Более общие преобразования представляют собой произведение (композицию) преобразований (1.15).

В случае же ферми-статистики линейные канонические преобразования задаются сходным образом. Для одной фермионной степени свободы все линейные канонические преобразования исчерпываются сопряжением, 3 = а+, 3+ = а, и умножением на фазовый множитель, а = ег^а+, @+ = е-г^а, а преобразования более общего вида в этом случае оказываются нелинейными —— см. задачу 3. Более общие линейные преобразования возникают в системе из двух фермионов, например,

3 = cos 0 а — sin 0 b+ 3+ = cos 0 а+ — sin0 b,、

В+ = sin 0 а + cos J b+ ' В = sin J а+ + cos в b 7'

где J — параметр. Интересно, что первое из бозонных преобразований (1.15) есть псевдоевклидово вращение, то есть не что иное, как преобразование Лоренца с быстротой А в двумерном пространстве-времени, в то время как для фермионов возникают преобразования вида (1.16), соответствующие вращению евклидова пространства.

Возможные канонические преобразования не исчерпываются однородными линейными преобразованиями. Иногда бывают полезны неоднородные линейные преобразования (как в задаче 6) или даже нелинейные преобразования (см. задачу 3, а также раздел 1.4).

Часто встречающаяся разновидность линейных канонических преобразований —— фурье-преобразование ^-операторов:

讽D/产Sp島 …+(r) = /尸砧島•

Принято выбирать нормировку операторов Зр и Зр так, чтобы

%】,砧/± = (27^6 ⑶(Р1 —Р2)・(1.18)

Такой выбор согласуется с определениями (1.4) и (1.7).

Имеется важный для теории твердого тела круг задач, когда ^-операторы или другие величины заданы на решетке. Фурье-преобразование (1.17) нетрудно распространить на этот случай, заметив, что если г пробегает узлы некоторой решетки, то р изменяется внутри периода обратной решетки (или, иначе говоря, внутри зоны Бриллюэна). Скажем, в одном измерении решетка есть rn = ап, а зона Бриллюэна ——это отрезок —тг/а < р < ^/а. Такое преобразование используется в задачах 1, 2 и 4.

Литература: Подробное изложение метода вторичного квантования можно найти в [3], гл. VI, а также в [2], § 64, 65 и [1], § 3. Понятие квазичастиц обсуждается в [1], гл. 1 и [6], гл. 1. Канонические преобразования Боголюбова для бозе-частиц рассматриваются в [1], §4 и [6], §25, а для ферми-частиц — в [6], §39.

Задачи 1 — 4

Задача 1. (Классическая цепочка осцилляторов1.) Рассмотрим цепочку атомов

ХС рассмотрения этой простейшей модели колебаний решетки начинаются почти все курсы

массы m,, соединенных одинаковыми пружинками жесткости К:

ОО

%= £ [成/(2人) + (К/2)(&-&+1冃(1.19)

где mi = m, если £ четно, и m^ = М, если £ нечетно. Определите нормальные моды для этой системы. Покажите, что их две: акустическая и оптическая.

Чему равна скорость звука с? Получится ли такой же ответ, если вычислять с по формуле Лапласа с = ^дР/др^ где Р —— давление, а р —— плотность?

Чему равна ширина щели между оптической и акустической ветвями? Покажите, что при М》т дисперсия оптической моды практически отсутствует. Как можно объяснить это качественно?

Задача 2. (Фермионная цепочка.) Найдите преобразование Боголюбова, диаго- нализующее фермионный г амиль тони ан

ОО

7Y = ^2 (/1 at®+i + /1+ /2 a。出+1 + /2- 2_B a^_出).(1.20)

£= — 8

Такой гамильтониан возникает при рассмотрении одномерной модели квантового магнетика, так называемой «XY-модели»(см. раздел 1.4).

Определите спектр квазичастиц £(к) гамильтониана (1.20). Обратите внимание, что при В = 0 и J]=办 дисперсия пропадает. Можно ли понять это без вычислений?

Задача 3. (Нелинейные канонические преобразования.) Рассмотрим фермиевские операторы а и а+, действующие в пространстве состояний фермиона, который может заполнять или не заполнять ровно одно состояние. В этом случае пространство многочастичных состояний двумерно и каноническим базисом в нем служат состояния |0) и |1).

Найдите все канонические преобразования операторов а и а+, сохраняющие соотношения а2 = (а+尸=0 и а+а + аа+ = 1. Убедитесь в том, что канонические преобразования наиболее общего вида не описываются линейными соотношениями вида (1.11).

Рассмотрите представление фермиевских операторов спиновыми матрицами Па-

ули:ули:= а + а* , ^у =。(口 — а*), с = 2а% — 1.= а + а* , ^у =。(口 — а*), с = 2а% — 1.(1.21)(1.21)

ули:

ули:

= а + а* , ^у =。(口 — а*), с = 2а% — 1.

= а + а* , ^у =。(口 — а*), с = 2а% — 1.

(1.21)

(1.21)

Покажите, что канонические преобразования а и а+ соответствуют вращениям в спиновом пространстве.

Связь между фермиевскими операторами и операторами спина 1/2 более подробно рассмотрена в разделе 1.4.

(1.22)(1.22)Задача 4. (Квантовая цепочка осцилляторов.) Пусть теперь гамильтониан (1.19) определяет квантовую задачу, т. е. 0° = —ihd/dxi，Перейдите к бозонным операторам рождения и уничтожения:

(1.22)

(1.22)

xi = а/石一，3 = VhmiU)i —.后

физики твердого тела.

Для случая М = т найдите каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к диагональному виду. Определите спектр фононов и вычислите энергию нулевых колебаний.

Решения

Решение 1. Гамильтониан (1.19) приводит к уравнениям движения:

mxi = К (у{ +- 2&), М* = К(Xi + &+i - 2g,(1.23)

(хг ——смещение атома массы т в г-й элементарной ячейке, yi ——смещение атома массы М). Будем искать решение в виде плоских волн:

хп = e"w-3t) % , Уп = е 如 5+1/2)ft］薪.(1.24)

Отсюда

ma)2xq = 2Kxq — 2Kcos(q/2)gq, 2gq = 2Kyq — 2Kcos(q/2)xq. (1.25)

(Здесь q ——волновой вектор в первой зоне Бриллюэна: —тг < q < тг.)

Нормальные моды имеют закон дисперсии, определяемый из условия

det()=0,(1.26)

2Kcos(q/2) 2K — Мз△丿、)

что дает w4 — (2К/从)幻2十(47<2/mM)sin2(Q/2) = 0, где 从=Мт/(М + т). Получаем

a話)=：(1 士 J-小唄〃2))(1.27)

Здесь «+» соответствует оптической, а «—» ——акустической моде. Дисперсия нормальных мод (1.27) показана на dhc. 1.1.

Рис. 1.1

При малых q разлагаем закон дисперсии акустической моды:

止(G止(G"/2)2,"/2)2,(1.28)(1.28)

止(G

止(G

"/2)2,

"/2)2,

(1.28)

(1.28)

и получаем скорость звука:

(1.29)(1.29)с= (“-/叽-о = ；(2К/(М + иг)) "2 .

(1.29)

(1.29)

При выводе пр едпол аг ало сь, что период решетки 2a равен единице. Чтобы получить выражение, имеющее размерность скорости, надо умножить результат на 2 出 где а — расстояние между атомами Мит. При этом получается скорость с = а ^2К/{М + т).

Проверим, что найденная скорость звука согласуется с формулой Лапласа с2 = дР/др^ связывающей скорость звука и сжимаемость системы. Для цепочки длины х, содержащей N атомов каждого типа, сила пропорциональна удлинению, dP = — {K/^N^dx (в одном измерении сила и давление ——это одно и то же), а изменение плотности есть

где xq = 2Na. Отсюда получаем с2 = 2Kdi〈M + m), как и следовало.

Верхний край акустической ветви спектра:

max[wi(Q)]=冠(7г)max[wi(Q)]=冠(7г)КмКмМ — т\ 2К М + т) ММ — т\ 2К М + т) М(1.31)(1.31)

max[wi(Q)]=冠(7г)

max[wi(Q)]=冠(7г)

К

м

К

м

М — т\ 2К М + т) М

М — т\ 2К М + т) М

(1.31)

(1.31)

(1.32)(1.32)(1.33)(1.33)

(1.32)

(1.32)

(1.33)

(1.33)

Аналогично, нижний край оптической ветви есть

min[aj(q)]= “；阮)=一,

и поэтому ширина щели、з = ^К/т — у При М》т частота оптической ветви

”+⑷=(1 + 誥 cos2(〃2) +。(鴉))

практически не зависит от q, что соответствует колебаниям легких атомов между почти неподвижными тяжелыми. Физическая причина отсутствия дисперсии — взаимная независимость колебаний соседних атомов массы т. При М》т неважно, колеблются ли соседние легкие атомы в фазе или же в противофазе, поскольку через тяжелые стенки (т. е. атомы массы М) влияние не передается.

Первое решение 2. Сделаем преобразование Фурье ат = J eikmak^. При этом члены гамильтониана преобразуются к такому виду:

тткгпк52=52 2 cos k a力 o>k)кгпк52=52 2 cos k a力 o>k)(1.34)(1.34)

т

т

кгпк

52=52 2 cos k a力 o>k)

кгпк

52=52 2 cos k a力 o>k)

(1.34)

(1.34)

где сумма по k есть сокращенное обозначение для / • ••霄• Пользуясь антикоммутативностью 耿 и 口_卜〉перепишем вторую сумму так:

^2 amGm+i = -。〉： sin к 口卜口―卜〉(1.35)

после чего гамильтониан принимает вид

cos к — В) а^а^ — iJ? sin к 口卜口_卜 + £办 sin k 吐卜畸)cos к — В) а^а^ — iJ? sin к 口卜口_卜 + £办 sin k 吐卜畸)(1.36)(1.36)

cos к — В) а^а^ — iJ? sin к 口卜口_卜 + £办 sin k 吐卜畸)

cos к — В) а^а^ — iJ? sin к 口卜口_卜 + £办 sin k 吐卜畸)

(1.36)

(1.36)

После «поворота» 口卜=d”&bk)aj = €~诉他吨 гамильтониан становится вещественным:

7Y = £ ((Ji cosk — В) 6^Ьк + Л sin k 涼匕_卜 + h.c. )(1.37)

к

Будем искать фермионное преобразование Боголюбова в виде

Ьк =乜◎ + vkctk ,疗=以成 + vkc_k ,btk = ~vkck + ukctk , I =—玖成 + ukc_kс вещественными и^ и причем 硫 + 遞=】• Получаем成佻 + «№(4C-fe + С—кСк) + vlc_kctk) +Ьк =乜◎ + vkctk ,疗=以成 + vkc_k ,btk = ~vkck + ukctk , I =—玖成 + ukc_kс вещественными и^ и причем 硫 + 遞=】• Получаем成佻 + «№(4C-fe + С—кСк) + vlc_kctk) +(1.38)(1.38)--

Ьк =乜◎ + vkctk ,疗=以成 + vkc_k ,

btk = ~vkck + ukctk , I =—玖成 + ukc_k

с вещественными и^ и причем 硫 + 遞=】• Получаем

成佻 + «№(4C-fe + С—кСк) + vlc_kctk) +

Ьк =乜◎ + vkctk ,疗=以成 + vkc_k ,

btk = ~vkck + ukctk , I =—玖成 + ukc_k

с вещественными и^ и причем 硫 + 遞=】• Получаем

成佻 + «№(4C-fe + С—кСк) + vlc_kctk) +

(1.38)

(1.38)

-

-

(1.39)(1.39)、+ ukvk(ctkC-k - Cfcc^) - /ct&) + he

(1.39)

(1.39)

Приравняем коэффициент при c_卜以 нулю, потребовав чтобы

2必玖(/ cos к — В) + (—磕 + 碓)办 sin А; = 0.(1.40)

Тогда будем иметь слкдующее

(1.41)(1.41)vk В - J] cos k ± J(Ji cos к — В)? + 务 sin? к

(1.41)

(1.41)

以办sin k

Решив это уравнение при условии 〃* + &^ = 1, найдем значения 〃卜〉&卜 и подставим их в г амильтониан:

7Y = const + £ [2(/ cos к — В)(磕—碓)+ ^J2^kukv^ c^ck к

=const + £〃或以.(1.42)

к

Спектр возбуждений, таким образом, есть

〃 =2 J(/ cos к — В)? + 务 sin? к •(1.43)

Отсутствие дисперсии при Ji = J2 и В = 0 означает, что возбуждения локализованы на одном или нескольких соседних узлах. Это можно понять с точки зрения преобразования Иордана-Вигнера (см. раздел 1.4), которое в данном случае приводит к изинговской спиновой цепочке:

ОО

% = £ Jy^i^i+l •(L44)

В такой цепочке каждый спин характеризуется определенной проекцией на ось у. Поэтому элементарное возбуждение в этой системе —— просто переворот спина на любом из узлов, никак не затрагивающий остальные узлы.

Таким образом, полная локализация возбуждения на одном узле эквивалентна отсутствию дисперсии. Обратим внимание на аналогию с задачей 1 в случае М ^> т^ когда оптическая мода колебаний становится почти без дисперсионной из-за того, что колебания соседних легких атомов почти полностью развязаны.

Другое решение 2. Приведенное выше решение иллюстрирует стандартный подход к преобразованию Боголюбова. Дадим другое решение, в котором физический смысл вычислений яснее, и сами они ——элегантнее. Вернемся к гамильтониану (1.36) и рассмотрим его коммутатор с фермиевскими операторами: [7Y, а^. Пользуясь соотношениями

[口+出 а] = а+аа — аа+а = —а , [аа+, а+] = —а+ ,(1.45)

вычислим коммутатор

[7Y, а/ = —2(/ cos к — В) + 2J2i sin k atk .(1.46)

(Напомним, что физический смысл коммутатора некоторой величины с гамильтонианом ——скорость изменения этой величины: гНА = [Л,7Y].) Теперь рассмотрим каноническое преобразование:

&к = ukbk + vkbtk , atk = u^>tk —碇瓦:,(1-47)

и предположим, что параметры 〃卜 и &卜 выбраны так, что гамильтониан принял диагональную форму

斤=昂+ e "以泳.(1-48)

к

Возьмем коммутаторы

[冗 bk] = -Екьк , [Я 戒=〃抹，(1.49)

и с их помощью перепишем коммутатор (1.46):

~ukekbk + vkekbtk = —2(/ cosk — 8)(必廉 + 玖吐后)+ 2J2i sin k^u^btk —碇廉)，(1.50)

откуда получаем два уравнения для £卜〉〃卜 и &卜：

〃k〃 = 2(/ cos A; — В) Щ + 2J2i sin A;^ ,(1.51)

=—2(/ cos к — B) Vk + 2J2i sin k 娱.(1.52)

Так как уравнения однородны по и^ и ”〉выражаем 玖 через и^ из (1.52):

2J2i sin k ul

Vk£^ + 2( Ji cos к — B)

и затем исключаем &卜 из (1.51). Получаем

£* — 4( Ji cos к)? = 4^2 sin2 k ,(1.54)

откуда находим закон дисперсии:

“ =2 J(% cos k — В)? + 务 sin? k •(1.55)

(Знак перед корнем выбираем, заметив, что энергия возбуждений над основным состоянием всегда положительна.) Параметры преобразования нетрудно найти из (1.53) И условия нормировки Л 2 + *|2 = 1.

Решение 3. Будем искать каноническое преобразование в таком виде:

af = иа + va+ + wa+a + q(1.56)

а'+ = 〃％+ ++ w*a+a + q*.(1.57)

Это наиболее общая форма, к которой может быть приведено любое полиномиальное по а и а+ выражение. Убедиться в этом можно следующим образом. Во-первых, с помощью коммутационных соотношений любое выражение может быть приведено к нормальной форме, в которой в каждом слагаемом оператор а+ (если он есть) стоит слева от а. Во-вторых, поскольку а? = (а*)? = 0, выражение (1.56) представляет собой нормальную форму наиболее общего вида.

Рассмотрим выражение а». Приведем квадрат правой части выражения (1.56) для а! к нормальной форме и потребуем, чтобы все коэффициенты обратились в нуль. Это дает два условия:

w + 2q = 0, w + q2 = 0.(1.58)

Аналогично, условие а!а!+ + 优+优=1 приводит к соотношению

Из полученных соотношении следует, что

\и\ + |г?| = 1.(1.60)

Таким образом, наиболее общее каноническое преобразование задается двумя комплексными параметрами и л vy удовлетворяющими условию (1.60). Коэффициенты q и w определяются таким образом: q = ±iy/uvJ w = —2q.

Нетрудно видеть, что в общем случае каноническое преобразование нелинейное, поскольку коэффициент w не обращается в нуль. Более того, линейными оказываются лишь тривиальные преобразования (с и или & равным нулю).

Решим теперь задачу другим способом, воспользовавшись представлением (1.21) фермиевских операторов через матрицы Паули. Обратим соотношения (1.21):

а = (ах- 5)/2 , / = (^ + 5)/2 .(1.61)

Нетрудно проверить, что условия а?=(小尸=0, а+а + аа+ = 1 эквивалентны со о тношениям антикоммутативности для а^:

®,吗］+ = 26小(1.62)

Преобразования, сохраняющие соотношения (1.62), можно записать в виде

《=Rij aj ,(1.63)

где R^ — вещественная ортогональная матрица 3x3. Поэтому канонические преобразования в данном случае образуют группу SO ⑶.

Первое решение 4. Выразим Н через 出 и а^ по формулам (1.22), не определяя пока частоту 幻。：

КПКП4m^o4m^o@ + a j —电+i —值J@ + a j —电+i —值JПКПК4m^o4m^o((出—&+i)(a^ — a^i((出—&+i)(a^ — a^i=£ №(а}& —或)+)+ (出—电+i 尸)+ h.c.=£ №(а}& —或)+)+ (出—电+i 尸)+ h.c.(1.64)(1.64)

КП

КП

4m^o

4m^o

@ + a j —电+i —值J

@ + a j —电+i —值J

ПК

ПК

4m^o

4m^o

((出—&+i)(a^ — a^i

((出—&+i)(a^ — a^i

=£ №(а}& —或)+)+ (出—电+i 尸)+ h.c.

=£ №(а}& —或)+)+ (出—电+i 尸)+ h.c.

(1.64)

(1.64)

(с точностью до константы, возникающей из-за коммутационных соотношений бозе- операторов). Выполним преобразование Фурье:

При этомПри этом= 工耿e*7 ak = ^2amь话6= 工耿e*7 ak = ^2amь话6(1.65)(1.65)(1.66)(1.66)

При этом

При этом

= 工耿e*7 ak = ^2amь话6

= 工耿e*7 ak = ^2amь话6

(1.65)

(1.65)

(1.66)

(1.66)

Подставляя эти выражения в (1.64), получаем

丸=£ (о(к)砧〃к + q(k)耿口-к + he ) ,(1.67)

где

Рассмотрим каноническое преобразование:

Ofe = ukbk + vkbtk, atk = Vkbk + ukbtk ,(1.69)

где 必=ch Afc,玖=sh% Нетрудно проверить, что при преобразовании (1.69)

гамильтониан сохраняет свой вид, причем 夕(к) и q(k) меняются так:

р'(к) = ch 2% 夕(k) + sh2“ q(k)〉

q'(k) = sh2Afc 夕(k) + ch2% q(k).(1.70)

Подберем Ад. так, чтобы q'(k) обратилось в нуль:

th2Afc = —q(k)/°(k)・(1.71)

При этом р'(к) = Jp2(k) — q2(k)= hyjК/тsin \k/2\. Обратим внимание на то, что частота 幻⑦ значение которой может быть произвольным, выпадает из выражения для р'(к) (но не из выражения для 入卜！).

Диагонализованный гамильтониан имеет вид

^=И (^(^)bkbk + h.c.) = £“(%)(抹旅 + I) ,(1.72)

где G(k) = 2p〈k) = 2h{К[m sin |k/2|.

Выражение (1.72) позволяет найти энергию нулевых колебаний, приходящуюся

на одну частицу:на одну частицу:EqEq,力G(k) dk/2 方—7Г,力G(k) dk/2 方—7Г(1.73)(1.73)

на одну частицу:

на одну частицу:

Eq

Eq

,力G(k) dk

/2 方

—7Г

,力G(k) dk

/2 方

—7Г

(1.73)

(1.73)

Другое решение 4. К ответу можно прийти заметно быстрее, если не фиксировать внимание на операторах рождения и уничтожения. Чтобы получить каноническое преобразование, достаточно проверить сохранение коммутационных соотношений для любой полной системы операторов. В этой задаче наиболее естественный выбор — координаты и импульсы частиц.

Сделаем преобразование Фурье

^т^т时 eimci时 eimcidqdqpqeimqpqeimqdqdq

^т

^т

时 eimci

时 eimci

dq

dq

pqeimq

pqeimq

dq

dq

и проверим, что коммутационные соотношения не нарушаются:

\xq,Pq'] = 2Trih5(q + d).(1.75)

Переписывая гамильтониан, имеем

—(L76)

J L/

т. e. каждой фурье-гармонике соответствует осциллятор с частотой

G(q) = уДк/т^= 2^К/т sin \q/2\ .(1.77)

Положив

=貪，(L78)

снова приходим к гамильтониану (1.72):

% = / 九“(9)(b^bq + -^ ^ .(L79)

и к выражению (1.73) для энергии нулевых колебаний.

Из хода решения очевидно, что и для неравных масс т ^ М спектр квантовой цепочки будет связан с частотами колебаний классической цепочки точно так же: каждой классической нормальной моде соответствует квантовый осциллятор.

От спиновых операторов ——к фермиевским

Здесь мы рассмотрим одно интересное применение канонических преобразований из теории одномерных магнитных систем. Одномерный магнетик в простейшем случае представляет собой цепочку спинов 1/2, в которой взаимодействуют только соседние спины. Как мы увидим, с помощью специального обобщения полученных в задаче 3 соотношений между фермионными операторами и матрицами Паули оказывается возможным перейти от одномерной спиновой цепочки к эквивалентной фермионной цепочке. Соответствующие правила перехода называются преобразованиями Иордана-Вигнера. Гамильтониан одномерного магнетика со спином 1/2 имеет вид

斤=e (4域+ (e汨厶1 +厶蟬成+1 - 8成). (L80)

Здесь af — матрицы Паули; Jx^ Jyj Jz — обменные константы; В — внешнее магнитное поле, приложенное вдоль оси /. В обычной изотропной модели Гейзенберга константы JXj Jy л Jz одинаковы, но нам будет полезно рассмотреть более общий анизотропный случай.

Преобразование Йордана-Вигнера выражает спиновые операторы а^ = ^(建 士 ia^) через операторы фермионов а^〉а° по следующему правилу:

或=2碇电—1, а" = вгПаЬ а^ = at ПаЬ(1-81)

Кj<i

т. е. каждый спин заменяется на фермион и «струну», идущую влево до бесконечности (струной принято называть фигурирующее в (1.81) бесконечное произведение). Цель введения струны состоит в том, чтобы перейти к операторам с фермиевским правилом коммутации. Для этого необходимо «подправить» коммутационные соотношения спиновых операторов на разных узлах. На одном узле, согласно задаче 3, коммутационные соотношения и так фермиевские (а+ — 口+〉。一 — а). На разных же узлах спиновые операторы коммутируют, но после умножения на оператор струны П^<г 吟 они становятся антикоммутирующими.

Нетрудно написать обратное преобразование, выражающее фермиевские операторы через спины:

а。= С 口 с：〉 * = П•(1.82)

Найдем как спиновый гамильтониан (1.80) выражается через йордан-вигнеровские фермионы. С помощью преобразования (1.81) гамильтониан (1.80) превращается в эквивалентный фермионный гамильтониан

ОО

%= e [(/1*电+1 + /2出出+i + h.c.) + /(2汽。 - l)(2n^+i - 1) - B(2rii - 1)],

(1.83) где п^ = 2а^出一1〉/ = —Jx — Jy)J?=八一Jy・ Нетрудно видеть, что при Jz = 0 гамильтониан (1.83) с точностью до константы совпадает с рассмотренным в задаче 2 гамильтонианом (1.20). Метод задачи 2 позволяет диагонализовать гамильтониан (1.80) при 厶=0. С помощью канонического преобразования ферми-операторов гамильтониан (1.83) можно привести к виду

—7 dk/

7Y = / £(k)诚@卜—,£(k) = ±2,(％ cos k — В)2 + Jj sin2 k.(1.84)

—7Г

Можно сделать вывод, что и в присутствии магнитного поля элементарные возбуждения в спиновой цепочке с 厶=0 подчиняются ферми-статистике. Оказывается, это верно и при произвольном 厶〉хотя решить задачу в этом случае уже не так просто.

Появление ферми-статистики может показаться парадоксальным, поскольку магноны (спиновые возбуждения в магнетиках) обычно являются бозонами. Однако здесь следует иметь в виду, что речь в данном случае идет о сильно взаимодействующей системе. В магнетике со спином на узле 1/2 между магнонами возникает большое эффективное отталкивание, поскольку никакие два магнона не могут одновременно оказаться на одном и том же узле. Именно это отталкивание и «моделирует» ферми-статистика. Таким образом, рассматриваемая система представляет

пример того, как отталкивание между бозонами приводит к появлению квазичастиц, являющихся невзаимодействующими фермионами.

С помощью фермионного представления одномерного магнетика можно решить разнообразные задачи. Например, найдем как намагниченность системы и магнитная восприимчивость зависят от приложенного поля. Для простоты ограничимся симметричным случаем: Jx = Jy = —^J < 0, Jg = 0. Эквивалентный фермионный гамильтониан в этом случае принимает вид

；dk

,2(/cos к — В)— ,(1.85)

—7Г

причем J > Q. Магнитный момент направлен вдоль оси /. Намагниченность, приходящаяся на узел, есть

〃=〈或〉=/(2〈砧a疝一1)方.(L86)

—7Г

С учетом (1.85) находим

Г (2/7Г)arcsinB/J при |8| <、

“1 sign В/ Jпри \В\ > J.

При \В\ = J происходит полное намагничивание системы. Нетрудно найти восприимчивость:

包=[(2/7Г)(尸—82尸/2 при |В|< J

Х дБ [0при |В| > J)

Знак восприимчивости парамагнитный.

Плава 2.

Функция Грина

Представление взаимодействия. Хронологическое упорядочение

В теорииВ теориивозмущении гамильтониан записывают в видевозмущении гамильтониан записывают в виде^ =丸о + %it〉^ =丸о + %it〉где /—где /—

В теории

В теории

возмущении гамильтониан записывают в виде

возмущении гамильтониан записывают в виде

^ =丸о + %it〉

^ =丸о + %it〉

где /—

где /—

невозмущенная часть, а 凡世一возмущенная. Наиболее удобно работать в предста

влении взаимодействия, т. е. в представлении Гейзенберга невозмущенной задачи. В

качестве базиса этого представления используются зависящие от времени собственные состояния невозмущенного гамильтониана %:

(2・1)(2・1)|а〉（" = е—（。佝石叫 а〉,

(2・1)

(2・1)

где Еа — спектр %. Уравнение Шредингера, записанное в этом базисе, принимает вид〜

。力=%mt⑴皿〉(2.2)

где TYint (力)=&("冇то^Т^^еТ"%)%。^〉а обозначение 皿 указывает, что 山 берется в представлении взаимодействия. Формальное решение записывается через 5-матрицу, 山(力)=S^t)^^)^ которая дается так называемой хронологической экспонентой:

(2.3)(2.3)о 00о 00S(t) = Т ехр ]—； / 火int(，)df =

(2.3)

(2.3)

о 00

о 00

/ 丸int (力1) • • •丸int (力?г) d" . . . dt\ ,

где 0 < tn < ... < ti < t. Преобразования (2.1)—(2.3) имеют общий квантовомеханический характер: они применимы и к одночастичной и к многочастичной задачам. В многочастичном случае, представляющем основной интерес, необходимо перейти к ^-операторам, после чего члены ряда (2.3) становятся полиномами по операторам рождения и уничтожения. Анализ операторной структуры этих выражений

приводит к простым правилам вычисления средних (теорема Вика) и к диаграммной техникедающей удобное графическое представление для разложения 5-матрицы в ряд по взаимодействию.

Введем хронологическое произведение операторов, которое часто называют также Т-упорядоченным произведением операторов, или просто Т-произведением. Для бозе-операторов

⑵夙")=｛篙；：：(2.4)

в то время как для ферми-операторов

了(2.5)

Иначе говоря, при Т-упорядочении операторов их переставляют так, чтобы моменты времени, в которые взяты операторы, возрастали справа налево. При этом знак перестановки соответствует их коммутационным со о тношениям: «+» для бозонов, «—» для фермионов.

С помощью Т-произведения операторов можно записать выражение (2.3) для хронологической экспоненты в более привычном виде:

•(2.6)

Основным объектом диаграммной техники является функция Грина. Она определяется через ^-операторы, взятые в представлении взаимодействия:

a(2)= e成。£%(r) 或。£,赠⑵=e成。* 硬(r) 成。t,(2.7)

где под х понимается совокупность четырех переменных ——координат г и времени 力；а ——спиновый индекс (для фермионов).

Так называемая причинная функция Грина есть среднее от хронологического произведения ^-операторов, взятых в представлении взаимодействия:

G^(/,/') = — 〃Та(/)若(а/)〉，(2.8)

где скобки 〈.. .〉означают матричный элемент (5о)-1(О| ... |0), взятый по основному состоянию системы с гамильтонианом TYq. (Фазовый множитель 〈S。〉 = 〈0|&7火叫0〉joo принято вводить для нормировки.) Таким образом, функции Грина бозонов и фермионов определяются одинаково, но операция Т-упорядочения имеет разный смысл.

В выражении (2.7) и всюду далее там, где это не приводит к недоразумениям, мы используем систему единиц, в которой ^ = 1, [t] = [Е]-1. Кроме того, мы также часто будем писать 山 вместо 山〉ибо основную роль в диаграммной технике играет именно операторы 山 в представлении взаимодействия, а операторы 山 в шредингеровском представлении практически не встречаются.

В однородной системе (скажем, в газе или в жидкости) функция Грина (2.8), очевидно, зависит только от разности координат г — г' и времен 力一/ . В этом случае удобно сделать преобразование Фурье и перейти в импульсно-частотное представление:

= ]J Ga0(* р) L( ~)+°Р(1)^||^ . (2.9) В этом представлении обычно и строится диаграммная техника. Функцию Ga/(*p) для идеального газа нетрудно найти, пользуясь определением (2.8). Например, для идеального ферми-газа она имеет вид

р)= £-€(Р)+ Хп(|р|-ро) ' (2Л0)

где £(р) = р2/2т — Ер ——закон дисперсии, а 夕。=у/2тЕр ——импульс Ферми, являющийся границей распределения ферми-частиц по импульсам.

Функцию Грина, если она известна, можно использовать для вычисления различных физических величин. Нетрудно проверить, что величина

pa0(r,r\t) = ±i lim Gali{x,x')(2.11)

есть одночастичная матрица плотности. (Знак соответствует статистике: «+» для бозонов, «—» для фермионов.) Зная Ра/з^у г\ ^^ нетрудно найти среднее любой величины. Например, плотность частиц выражается через функцию Грина как

п(х) = ±£ Jim Tr Ga^{x^ xz),(2.12)

а плотность тока как

*) = lim (Vr- ▽「，)П Ga^x,x^ ,(2.13)

где Tr обозначает взятие следа по спиновым индексам а, /3. Брать предел по tz > t в cooтношениях (2.11) - (2.13) необходимо из-за неоднозначности определения функции Грина при 力=У.

Представление взаимодействия и функция Грина являются основой при построении и использовании диаграммной техники. В этой главе собраны задачи, иллюстрирующие эти важные понятия на простых примерах.

Литература: Представление взаимодействия рассматривается в [1], § 6; [6], § 12.

Определение функции Грина можно найти в [1], § 7; [6], § 7.

Задачи 5 — 10

Задача 5. (Спин во вращающемся поле.) Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом 从 находится в постоянном вертикальном и вращающемся горизонтальном 2 магнитном полях

В = (В】 cos wt, Bi sins力 В。).(2.14)

Запишите уравнение Шредингера в представлении взаимодействия, считая переменную часть поля «возмущением». Решите уравнение и найдите 5-матрицу.

Пусть при 力=0 частица находится в состоянии «спин вверх». Какова вероятность найти ее в состоянии «спин вниз» в момент t > 0? Рассмотрите отдельно случай резонанса g = 2从В»

Задача 6. Заряженная частица массы т движется по прямой в параболическом потенциале U(/) = mwx2/2. На короткое время 丁 включают слабое электрическое поле Е)а затем выключают. Какова вероятность перевести частицу в состояние |п), если до включения поля она была в основном состоянии?

Решите задачу в представлении взаимодействия. Обратите внимание на то, что матричные элементы возмущения отличны от нуля только между соседними уровнями. Следовательно, при малом Е вероятность перехода в n-е состояние дается п-м порядком теории возмущений. При каком соотношении между _Е\ g и 丁 теория возмущений работает?

6)* Для произвольных Е и 丁 найдите точную 5-матрицу и вероятность перехода из основного в n-е состояние.

Задача 7. {Обход полюса.) Выразите плотность п ферми-газа через функцию Грина G(*p)〉воспользовавшись со о тношением (2.12). Вычислите интеграл и получите формулу = 3开2汽 для импульса Ферми р0-

Задача 8. а) Для невзаимодействующих ферми-частиц на прямой найдите функцию Грина (%/〉/').

То же для ферми-частиц на полупрямой х > 0 с граничным условием ^^^о = 0 (непроницаемая твердая стенка).

(Осцилляции Фриделя.) В случае б) покажите, что плотность ферми-газа, как функция расстояния до стенки, осциллирует. Чему равен период осцилляций?

Задача 9. (Возврат назад при случайном блуждании.) Функции Грина оказываются полезными и при изучении вопросов, не имеющих отношения к квантовой механике. В этой и следующей задачах мы приведем два таких примера. Первый из них ——задача о случайном блуждании.

Рассмотрим частицу, совершающую случайное блуждание по n-мерной кубической решетке. Движение начинается при t = 0 из начала координат. Попав на очередном шаге в какой-то из узлов решетки, частица на следующем шаге с одинаковой вероятностью переходит в любой из 2п соседних узлов. Пусть 夕(力 х)——вероятность того, что частица через 力 шагов оказалась в узле х = (xi,..., хп) решетки. (В этой

задаче время 力 является дискретным.) В теории вероятностей рассматривают производящую функцию

G(z,q) = £z%2xp(力 х)(力》0, |z| < 1).(2.15)

Свойства этой величины во многом аналогичны свойствам функции Грина. Покажите, что

11

1 — zW(q) ' W(q) = №。$史 + …+ cosqg).(2.16)

Рассмотрим производящую функцию G(z^ q) для блужданий, начинающихся из начала координат, но ни разу не возвращающихся туда на последующих шагах. Величина G(羽 q) по своим свойствам похожа на функцию Грина частицы в поле отталкивающего центра (см. задачи 11, 12 и 13). В частности, для нее можно написать такое же интегральное уравнение (напоминающее уравнение Дайсона). Выразите <5(羽 q) через G(羽 q). Найдите вероятность Р того, что частица никогда не возвращается в начало координат. Покажите, что

L=/G(l,q)总(2.17)

Здесь интеграл берется по зоне Бриллюэна, т. е. по периоду обратной решетки.

Вероятность возврата (2.17) имеет нетривиальную зависимость от размерности решетки п. Покажите, что

^ в ^п,^ в ^п,Р = 0 при 2;

^ в ^п,

^ в ^п,

О < F < 1 при п > 2;

Р — 1 при 汽》2.

скольку перечисленные свойства чувствительны только к поведению G(l,q) при малых q,

т. е. на больших масштабах, они имеют место для произвольного диффузионного движения, а не только для блуждания по решетке. Типичная диффузионная траектория имеет бесконечно много возвратов при n С 2, и конечное число при п > 2.

Задача 10. Второй пример использования функций Грина ——из электродинамики. Рассмотрим модель проводящей среды, представляющую собой n-мерную сетку из одинаковых сопротивлений. Сетка образует n-мерную кубическую решетку, сопротивление каждого ребра которой равно R. Обозначим через Rx полное сопротивление решетки между узлами 0 и х. Покажите, что

厂/(一产)+7，(2.18)

где G(羽 q)——функция Грина, введенная в задаче 9. Исследуйте поведение Rx при |х|》1 е зависимости от размерности п.

Решения

Решение 5. Представим гамильтониан в виде 7Y = TYo + 凡世〉где

尢= 〃8/z=(限—；з),尢= 〃8/z=(限—；з),(2.19)(2.19)

尢= 〃8/z=(限—；з),

尢= 〃8/z=(限—；з),

(2.19)

(2.19)

”世=i^B^a^os wt + aysma)t) = (0 卩氏丁^卩氏产 0)В представлении взаимодействия £皿=丸mt (力)我 гДв”世=i^B^a^os wt + aysma)t) = (0 卩氏丁^卩氏产 0)В представлении взаимодействия £皿=丸mt (力)我 гДв(2.20)(2.20)

”世=i^B^a^os wt + aysma)t) = (0 卩氏丁^卩氏产 0)

В представлении взаимодействия £皿=丸mt (力)我 гДв

”世=i^B^a^os wt + aysma)t) = (0 卩氏丁^卩氏产 0)

В представлении взаимодействия £皿=丸mt (力)我 гДв

(2.20)

(2.20)

凡 п№) =( 0 е_щВЛ 凡 nt (凡 п№) =( 0 е_щВЛ 凡 nt (〃8i〃8iLi^But0(0〈金24力Li^But0(0〈金24力0 、 d 私 Bot e-2?Qi00 、 d 私 Bot e-2?Qi0(2.21)(2.21)

凡 п№) =( 0 е_щВЛ 凡 nt (

凡 п№) =( 0 е_щВЛ 凡 nt (

〃8i

〃8i

Li^But

0

(0

〈金24力

Li^But

0

(0

〈金24力

0 、 d 私 Bot e-2?Qi

0

0 、 d 私 Bot e-2?Qi

0

(2.21)

(2.21)

где Q = а/2 — цВ0. Отсюда получаем уравнениягде Q = а/2 — цВ0. Отсюда получаем уравнения

где Q = а/2 — цВ0. Отсюда получаем уравнения

где Q = а/2 — цВ0. Отсюда получаем уравнения

(2.22)(2.22)

(2.22)

(2.22)

Введем новые переменные:Введем новые переменные:

Введем новые переменные:

Введем новые переменные:

8т =产叫，⑵=е-^^.8т =产叫，⑵=е-^^.(2.23)(2.23)

8т =产叫，⑵=е-^^.

8т =产叫，⑵=е-^^.

(2.23)

(2.23)

Уравнения для 屮& (力)не содержат явной зависимости от времени:

ИЛИИЛИ冶+ Q* = цВ^^冶+ Q* = цВ^^论-Q^I = 〃81 外论-Q^I = 〃81 外(2.24)(2.24)从Bi\从Bi\(2.25)(2.25)

ИЛИ

ИЛИ

冶+ Q* = цВ^^

冶+ Q* = цВ^^

论-Q^I = 〃81 外

论-Q^I = 〃81 外

(2.24)

(2.24)

从Bi\

从Bi\

(2.25)

(2.25)

Общее решение этих уравнений имеет вид

ь⑴=e+ь⑴=e+(2.26)(2.26)

ь⑴=e+

ь⑴=e+

(2.26)

(2.26)

где Q = у Q2 + (^Bi)2, X = C/Q〉а коэффициенты с± зависят от начальных условий.

Полная 5-матрица определяется из ^i(t) = S⑴也(0). Сравнивая с (2.26), получаем

S⑴=(0屮1 +旷/2义八(f 1/2S⑴=(0屮1 +旷/2义八(f 1/20 W (1 + 入)1/2产产丿(_"入)1/2产0 W (1 + 入)1/2产产丿(_"入)1/2产一(1 —入产/2(1 +入尸/2一(1 —入产/2(1 +入尸/2—2 (1 — 2) i/2e4t sin Q 力—2 (1 — 2) i/2e4t sin Q 力(]一入尸/2ь*(] + Х)1/2еЗ X W^e-^(]一入尸/2ь*(] + Х)1/2еЗ X W^e-^(2.27)-入2)1/2金一通力 sin Cot、仍(力产 丿，(2.27)-入2)1/2金一通力 sin Cot、仍(力产 丿，

S⑴=(0

屮1 +旷/2

义八(f 1/2

S⑴=(0

屮1 +旷/2

义八(f 1/2

0 W (1 + 入)1/2产产丿(_"入)1/2产

0 W (1 + 入)1/2产产丿(_"入)1/2产

一(1 —入产/2(1 +入尸/2

一(1 —入产/2(1 +入尸/2

—2 (1 — 2) i/2e4t sin Q 力

—2 (1 — 2) i/2e4t sin Q 力

(]一入尸/2ь*

(] + Х)1/2еЗ X W^e-^

(]一入尸/2ь*

(] + Х)1/2еЗ X W^e-^

(2.27)

-入2)1/2金一通力 sin Cot、

仍(力产 丿，

(2.27)

-入2)1/2金一通力 sin Cot、

仍(力产 丿，

где W(t) = coswt + iAsinwt.

Рассмотрим теперь вероятность переворота спина. Ее можно найти с помощью 5-матрицы, а можно и прямо из (2.26). В о спользуем ся вторым способом. Поскольку

при力=0夕=при力=0夕=С)С),то коэффициенты с± в,то коэффициенты с± ввыражении (2.26) есть с+ = (1 + А)х/2/2,выражении (2.26) есть с+ = (1 + А)х/2/2,с_ = (1 —入尸/2/2. Отсюдас_ = (1 —入尸/2/2. Отсюда

при力=0夕=

при力=0夕=

С)

С)

,то коэффициенты с± в

,то коэффициенты с± в

выражении (2.26) есть с+ = (1 + А)х/2/2,

выражении (2.26) есть с+ = (1 + А)х/2/2,

с_ = (1 —入尸/2/2. Отсюда

с_ = (1 —入尸/2/2. Отсюда

6⑴=|yi^(e-^ - e'°t)=噜 sinQ力.(2.28)

Вероятность обнаружения состояния | ］〉при t > 0 равна

2⑴=2l(切2 = О2^ в .2sin2^.(2.29)

Если выполнено условие резонанса g = 2^В0, то Q = О,(V =从В］ и выражение для 5-матрицы упрощается:

(2.30)(2.30)q（、_ / cos从В］力一Esin从В］力

(2.30)

(2.30)

‘丿〈一Esin从Bi力cos从Bi力

Соответственно, в этом случае вероятность переворота спина есть 夕］(力)=sin2 谓也 Решение 6 а. В представлении взаимодействия 丸也弋= —еЕ^^хе-^^^ откуда

例I冗nt⑴⑺=-еЕе^т-п)шЦт\х\п).(2.31)

Воспользуемся известными матричными элементами оператора координаты:

(2.32)(2.32)(т\х\п) = 10(т\а + а+|п)=石(“,兀+i >/^ + %+1,兀 >/й)

(2.32)

(2.32)

где 卜= Jh/2ma)——размер основного состояния осциллятора. Получаем

〈加|凡址⑴⑺=-eElo (<5m,n+i 5 产 + “+i,n Vn е-г^) .(2.33)

Теперь рассмотрим зависимость вектора состояния от времени. Из уравнения Шредингера в представлении взаимодействия, 〃力山=丸mt我 получаем

帆力)=以0) — ； / H^^dt1.(2.34)

О

Из такой записи видно, что проекция〈汽|山(力)〉отлична от нуля только начиная с п-го порядка теории возмущений. Поэтому

5 砂⑺⑴)=t /〈《#nt⑺hT)(，)〉d，=个 W / 产5-1砂(1)(，))必'， 00

(2.35) где индекс (п) состояния 山⑺)(力)означает порядок теории возмущений. Вводя функции un(t) =〈汽|山5)(力)〉〉получаем рекуррентные уравнения:

m也⑴=^ о А/^/ 产"〃也_i(，)d，(2.36)

о

причем 〃о ⑴=1. Решив их, находим

(2.37)(2.37)

(2.37)

(2.37)

Искомая вероятность W^n в приближении теории возмущений равна

(2.38)(2.38)/ е2Е2 \n 1 / .幻丁)2几1 е2Е2(1 — coswt)

(2.38)

(2.38)

y2mw3^у п! \2 /n! mw3^

Теория возмущений работает, если выражение в квадратных скобках много меньше единицы.

Первое решение 6 б. Запишем гамильтониан 7Y = TYo + 凡世 через бозе- операторы:

% =力g (а+а + 1/2), 7Yint = —еЕх = —еЕ1^{а + а+),(2.39)

(卜=y^/2mw). Найдем а(力)и а+(力)в случае, когда 7Yint = 0:

й = (i/^)[7Yo, а] = ш\а^а^ а] = —ша ,@+ = wa+ .(2.40)

Отсюда имеем

а⑴=ае~ш , а+⑴=а+е^ .(2.41)

Теперь пусть 丸也弋 * 0. Запишем уравнения движения для а в представлении взаимодействия:

а = (i/^)[7Yint, а] = ieEl^e-^ .(2.42)

Находим решение:

г

а(т) = а(0) — iEl()/ e-^dt = а(0) + 从,(2.43)

о

(2.44)(2.44)где а(0)——канонический бозевский оператор уничтожения, а

(2.44)

(2.44)

"元” -1).

Отсюда получаем зависимость n-го состояния от времени:

几力=7〉= —= 7〉=几力=7〉= —= 7〉=(a+(0) + 〃*)”(a+(0) + 〃*)”la 力=T〉•la 力=T〉•(2・45)(2・45)

几力=7〉= —= 7〉=

几力=7〉= —= 7〉=

(a+(0) + 〃*)”

(a+(0) + 〃*)”

la 力=T〉•

la 力=T〉•

(2・45)

(2・45)

Теперь разлагаем состояние |0, t = 0) по состояниям |n, t = 丁〉：

t = т|0, t = 0) = (0, t = т\-―10; t = 0)=

=—2=〈0" = т|0, t = 0).(2.46)

Здесь мы воспользовались тем, что а(0)|0〉= 0.

Из (2.46) находим связь между вероятностями переходов:

,(2.47)

причем условие нормировки J2 W^n = 1 дает IVq^o = е~^. Получается распределение Пуассона

(2.48)

с параметром |^|2 = е2^2//?!^3 (1 — cosgt). При малых 从 ответ совпадает с результатом, полученным по теории возмущений, как и должно быть.

Другое решение 6 б. Приведем решение, показывающее связь задачи с когерентными состояниями осциллятора, определяемыми как собственные состояния оператора уничтожения а.

Исторически, когерентные состояния впервые появились в задаче о минимизации бхбр для состояний осциллятора, рассмотренной Шредингером (1926). Позже оказалось, что они полезны и во многих других случаях. Специфическая координатно-временная структура когерентных состояний исследована в задаче 3 к § 23 [2].

Представим гамильтониан в виде

7Y =加j [口+а + ^ + 入(a+ + a)] ,(2.49)

где А = —eEl^/ha). Введем новые операторы

6 = а + А, Ь+ = а+ + \ .(2.50)

Поскольку [6, Ь+] = 1, переход от а и а+ к b и b+ определяет каноническое преобразование. При этом гамильтониан становится чисто осцилляторным:

并=%“0+Ь+^ —.(2.51)

Введем собственные состояния оператора уничтожения Ь:

b切〉=〃切〉.(2.52)

Здесь 〃 может быть любым комплексным числом. Нетрудно проверить, что

切〉(2.53)

где \п)——состояния гамильтониана (2.51), отвечающие энергии Еп = ^w(n+l/2—А2). Возьмем состояние осциллятора до включения поля: а|0а〉= 0. Используя связь а и 仇 находим

(2.54)(2.54)"о。〉= N。。〉,

(2.54)

(2.54)

а значит, &〉= еЗ/2£•(2.55)

Разложение по состояниям |п^) позволяет сразу написать зависимость от времени:

а〉⑴=ехр(—^/)|0а〉= 2T/2W%-"/21)也〉,(2.56)

n=o vn!

т. e.

b\Qa)(t) = Xe~^\Qa)(t),(2.57)

откуда

a|(U ⑴=Х(е-^ —1)虱〉⑴.(2.58)

Обозначив 从=А(е-г^ — 1), получаем

虱〉⑴=S(切(U =厂加2/2 £(2.59)

n=0 V

Отсюда находим столбец 5-матрицы: (n|5(t)|0) = e-^^^^/vW. Искомые вероятности переходов есть

1 \е2Е2(1 — coswt)ln "—g—]exp1 \е2Е2(1 — coswt)ln "—g—]expe2E2(l — cos utye2E2(l — cos uty(2.60)(2.60)

1 \е2Е2(1 — coswt)ln "—g—]exp

1 \е2Е2(1 — coswt)ln "—g—]exp

e2E2(l — cos uty

e2E2(l — cos uty

(2.60)

(2.60)

Остальные матричные элементы можно получить из соотношений для зависящих от времени операторов: Sb+ = b+Se-R Sa+ = a+Se-心* + 从S. Отсюда

58%〉58%〉^Se-^ + nS\k-V)^Se-^ + nS\k-V)(2.61)(2.61)

58%〉

58%〉

^Se-^ + nS\k-V)

^Se-^ + nS\k-V)

(2.61)

(2.61)

и получается рекуррентная формула:

VA;кVA;к(2.62)(2.62)

VA;к

VA;к

(2.62)

(2.62)

Применяя (2.62) достаточно много раз, выражаем (n\S\k) через〈。同。〉= е~Ы2/2 и получаем общую формулу:

{n\S\m)={n\S\m)=q一1从f/2 min(m,n)£vm!n! к=0q一1从f/2 min(m,n)£vm!n! к=0к\(п - к)\(т - к)Гк\(п - к)\(т - к)ГРешение 7. Используем причинную функцию ГринаРешение 7. Используем причинную функцию ГринаGa0 = — 〃Т 九(г") V^(r[/)〉= 6a0G,введенную в (2.8). Плотность частиц с проекцией спина а есть^а(Г")=丿屮c〈V^(r,f)九(Г")〉= —2аа(Г‘ = Г,У =力 + 0)Ga0 = — 〃Т 九(г") V^(r[/)〉= 6a0G,введенную в (2.8). Плотность частиц с проекцией спина а есть^а(Г")=丿屮c〈V^(r,f)九(Г")〉= —2аа(Г‘ = Г,У =力 + 0)(2.63)(2.64)(2.65)(2.63)(2.64)(2.65)

{n\S\m)=

{n\S\m)=

q一1从f/2 min(m,n)

£

vm!n! к=0

q一1从f/2 min(m,n)

£

vm!n! к=0

к\(п - к)\(т - к)Г

к\(п - к)\(т - к)Г

Решение 7. Используем причинную функцию Грина

Решение 7. Используем причинную функцию Грина

Ga0 = — 〃Т 九(г") V^(r[/)〉= 6a0G,введенную в (2.8). Плотность частиц с проекцией спина а есть^а(Г")=丿屮c〈V^(r,f)九(Г")〉= —2аа(Г‘ = Г,У =力 + 0)

Ga0 = — 〃Т 九(г") V^(r[/)〉= 6a0G,введенную в (2.8). Плотность частиц с проекцией спина а есть^а(Г")=丿屮c〈V^(r,f)九(Г")〉= —2аа(Г‘ = Г,У =力 + 0)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(при 力'=力一0 из-за перестановки 山 и 山 + получилось бы па — 1, по определению функции Грина). В нашем случае система однородна, и G зависит только от разности г — г' и 力一力Поэтому переходим в фурье-представление:

na = -z^J G^e~^^ =

(2.66)(2.66)———2 hm / /

(2.66)

(2.66)

—一。彳(2开)3 丿 2тг £ — ^(p) + iS sign(p — p0)

где 丁 =力一力1 £(0)= p2/2m -成.

Контур интегрирования по £ замыкаем в верхней полуплоскости, поскольку 丁 < 0. При этом при р > ро полюс не захвачен:

(2.67)(2.67)ds e-吐丁

(2.67)

(2.67)

2тг £ — ^ (р) + гд '

а при р < ро захвачен:а при р < ро захвачен:於 е~гет2тг £ — £(р) — i6於 е~гет2тг £ — £(р) — i6巫一吟）丁巫一吟）丁(2.68)(2.68)

а при р < ро захвачен:

а при р < ро захвачен:

於 е~гет

2тг £ — £(р) — i6

於 е~гет

2тг £ — £(р) — i6

巫一吟）丁

巫一吟）丁

(2.68)

(2.68)

Знак мнимой части £6 определяет, заполнено ли состояние с данным р. С учетом спиновой двойки

八=2 / 4言?=風/(ЗМ),(2.69)

откуда находим рд = Зтг2п.

Решение 8 а. Найдем

Ga。(*/,#) = —〃/产〈Т%⑵崂(#)〉dr,(2.70)

где т = t — tf. В импульсном представлении

Ga0(£,p) = £_&p：；c6sign"&°)= ^ — Ef・ ⑵ 71)

Поэтому

Ga^x,x,)= /班(1七。0(£,2)? = -2m^ /弋J-•(2.72)

/27r丿(0一01)(0一02)2开

Полюсы подинтегрального выражения

”,2 = 士〃〉(2.73)

где ” = у 2m(s + 風 + £bsigns). Если s > 0, то pi лежит в верхней полуплоскости, а 夕2 —— в нижней, а если е < 0, то наоборот.

При х > х1 замыкаем контур интегрирования сверху:

Ga^, с, #) = -2тгг^-——б。。—产+(1'),(2.74)

27Г 磔+p+

где 夕+ = хsigns тот из полюсов pi, 夕2〉который находится в верхней полуплоскости. Повторять вычисление при / < /' не нужно, поскольку 6&3(£〉/〉/‘)= Ga3(*/l/)・ (Это следует из четности 6@3(%夕)пор.) Окончательно имеем

Ga0 (%/,")Ga0 (%/,")(2.75)(2.75)

Ga0 (%/,")

Ga0 (%/,")

(2.75)

(2.75)

Решение 8 б. В присутствии стенки функцию Грина G⑴ находим с помощью метода изображений:

G^(£,2,a/) = С^(£,ж,ж9 - С^(£,ж,-ж7),(2.76)

где G дается (2.75). Обосновать такой ответ можно так же, как и при использовании метода изображений в электростатике. В самом деле, G：$ удовлетворяет уравнению

(£ — Я)6^(* X," = 6(/ -疗)баз(2.77)

и граничному условию 0, xz) = 0, а переход к изображениям обычным образом заменяет граничное условие условием антисимметрии.

Решение 8 в. Выразим плотность через функцию Грина, найденную в части б):

(2.78)(2.78)“/) = -?TlimoT¥ / G^(£,/,2)ef'^l，

(2.78)

(2.78)

где Tr означает взятие следа. Суммируя по спинам, получаем

]./ е-гет(1 — e-2w) dp de

т吗 J £ — €(p) + 2b sign &p) (27T)2

При интегрировании по % поскольку г < 0, замыкаем контур в верхней полуплоскости. Полюс захватывается при £(р) < 0, т. е. при р2/2т < Ер. Находим

“/) = —22У (1 - e~2ipx)^ dp.(2.80)

р2<2тЕр'

Интегрируем по р:

117Г7Г0000— 2ipx\ dp" 丿亦— 2ipx\ dp" 丿亦sin2po/、 Лsin2po/、 Л117Г7Г00/ e-2w00/ e-2w-ро sin2p()/'-ро sin2p()/'2“)/2“)/(2.81)(2.81)

1

1

7Г

7Г

00

00

— 2ipx\ dp

" 丿亦

— 2ipx\ dp

" 丿亦

sin2po/、 Л

sin2po/、 Л

1

1

7Г

7Г

00

/ e-2w

00

/ e-2w

-ро sin2p()/'

-ро sin2p()/'

2“)/

2“)/

(2.81)

(2.81)

где ng — плотность вдали от стенки. (Коэффициент в (2.81) можно проверить, подсчитав плотность частиц квазиклассически: noL = 2(2夕()£)/27?力.)

Плотность п(х) обращается в нуль на стенке, а вдали осциллирует с периодом Ло = 7Г^/ро：

Рис. 2.1

Сравним среднее расстояние между электронами d = щ =开力/2Po с периодом осцилляций Ло ——они отличаются в два раза. Это отличие связано со спином электронов. Фермиевские корреляции, приводящие к осцилляциям, имеются только для электронов с одинаковой проекцией спина. Плотность таких электронов есть Пд/2 = Х『\ что как раз соответствует периоду осцилляций.

Решение 9. Рассмотрим вероятность 夕(力 х) блуждающей частицы оказаться в узле х на шаге t. Вероятности на шаге t и t + 1 связаны простым со о тношением:

(2.82)(2.82)2(力+ 1,X)

(2.82)

(2.82)

(сумма берется по 2п соседям узла х). Перейдем к фурье-образу 夕(力 q) = £ e?qxp(t, x). Соотношение (2.82) дает X

1

夕(力+ l,q) = W(q)p(t,q), W(q) = -(cosqi + ... + cosQn).(2.83)

Находим производящую функцию

1

G(z,q) = ^z^,q)=「zw(q).(2.84)

Вероятности p(t, x) выражаются через G(%q) так:

P（力 X）=P（力 X）=(2/(2/dz/+1dz/+1d& giqx1 — zW(q)d& giqx1 — zW(q)(2.85)(2.85)

P（力 X）=

P（力 X）=

(2/

(2/

dz/+1

dz/+1

d& giqx

1 — zW(q)

d& giqx

1 — zW(q)

(2.85)

(2.85)

где интеграл по dnq берется по области —тг < ^ < тг (г = 1,..., п), а интеграл по z —по любому контуру, охватывающему точку / = 0.

Теперь, чтобы найти вероятность блужданий без возврата в начало координат, немного модифицируем правила игры. Предположим, что частица блуждает случайно, как и раньше, но, как только она попадает в начало координат, ее «удаляют с поля». В этом случае связь между p(t + 1, х) и 夕(力 х) будет такая:

Р…=11Pli(286)

[0при / = 0.

Переходя к фурье-образу 夕(力 q), получаем

p« + i,q) = w(q)p(力 q) —/ w(k)pC,k)^^.(2.87)

Производящая функция 6(% q) = £ 之勿(力 q) получается умножением (2.86) на ^+1 и суммированием по t 0. Находим

欧q) (1- zW(q)) = 1 — z / W(k)欧z, k)鶴(2.88)

Это уравнение можно записать в таком виде:

G(羽 q) = G(%q]где Е(г, к) = дт(%к) — 1. (Зам уравнение Дайсона (4.9).)Ищем решение (2.89) в виде@(где 入⑶一некоторая функция z.ЛЫ = 1-)+ G(羽 q) J U(d k) G(zy k) @开产〉(2.89):етим, что по форме уравнение (2.89) напоминаетN,q) = \{z)G{z^,(2.90)Подставляя (2.90) в (2.89), находимG(羽 q) = G(%q]где Е(г, к) = дт(%к) — 1. (Зам уравнение Дайсона (4.9).)Ищем решение (2.89) в виде@(где 入⑶一некоторая функция z.ЛЫ = 1-)+ G(羽 q) J U(d k) G(zy k) @开产〉(2.89):етим, что по форме уравнение (2.89) напоминаетN,q) = \{z)G{z^,(2.90)Подставляя (2.90) в (2.89), находимоткуда= /G(z"Рассмотрим вероятность Д того, что частица за начало координат. Производящая функция F(z)=尸(z) = @(z,q = 0) = ♦(27Г 广•(2.92),t шагов ни разу не вернулась в£ 凡 очевидно, есть力20^-.(2.93)откуда= /G(z"Рассмотрим вероятность Д того, что частица за начало координат. Производящая функция F(z)=尸(z) = @(z,q = 0) = ♦(27Г 广•(2.92),t шагов ни разу не вернулась в£ 凡 очевидно, есть力20^-.(2.93)

G(羽 q) = G(%q]

где Е(г, к) = дт(%к) — 1. (Зам уравнение Дайсона (4.9).)

Ищем решение (2.89) в виде

@(

где 入⑶一некоторая функция z.

ЛЫ = 1-

)+ G(羽 q) J U(d k) G(zy k) @开产〉(2.89)

:етим, что по форме уравнение (2.89) напоминает

N,q) = \{z)G{z^,(2.90)

Подставляя (2.90) в (2.89), находим

G(羽 q) = G(%q]

где Е(г, к) = дт(%к) — 1. (Зам уравнение Дайсона (4.9).)

Ищем решение (2.89) в виде

@(

где 入⑶一некоторая функция z.

ЛЫ = 1-

)+ G(羽 q) J U(d k) G(zy k) @开产〉(2.89)

:етим, что по форме уравнение (2.89) напоминает

N,q) = \{z)G{z^,(2.90)

Подставляя (2.90) в (2.89), находим

откуда

= /G(z"

Рассмотрим вероятность Д того, что частица за начало координат. Производящая функция F(z)=

尸(z) = @(z,q = 0) = ♦

(27Г 广

•(2.92)

,t шагов ни разу не вернулась в

£ 凡 очевидно, есть

力20

^-.(2.93)

откуда

= /G(z"

Рассмотрим вероятность Д того, что частица за начало координат. Производящая функция F(z)=

尸(z) = @(z,q = 0) = ♦

(27Г 广

•(2.92)

,t шагов ни разу не вернулась в

£ 凡 очевидно, есть

力20

^-.(2.93)

Находим вероятностьНаходим вероятностьPt = ^iPt = ^i. dz入⑶/+1 1 — N :г. dz入⑶/+1 1 — N :г(2.94)(2.94)

Находим вероятность

Находим вероятность

Pt = ^i

Pt = ^i

. dz入⑶

/+1 1 — N :г

. dz入⑶

/+1 1 — N :г

(2.94)

(2.94)

где 入⑶ дается (2.92), а радиус контура интегрирования г < 1.

Для нахождения вероятности того, что частица никогда не вернется в начало координат, необходимо перейти в (2.94) к пределу 力—ос. Это удобно сделать, рассмотрев

Pa,t = 4(Д)+ aPi + •.. + а* 1 兄一1)Pa,t = 4(Д)+ aPi + •.. + а* 1 兄一1)42тг£42тг£(1 — а*/-*)入⑶(1 —/)(/ —а)厶(1 — а*/-*)入⑶(1 —/)(/ —а)厶(2.95)(2.95)

Pa,t = 4(Д)+ aPi + •.. + а* 1 兄一1)

Pa,t = 4(Д)+ aPi + •.. + а* 1 兄一1)

42тг£

42тг£

(1 — а*/-*)入⑶

(1 —/)(/ —а)厶

(1 — а*/-*)入⑶

(1 —/)(/ —а)厶

(2.95)

(2.95)

где а ——вспомогательный параметр, принимающий значения 0 < а < г, а Л^ = (1 + а + ... + а*-1)-1 = (1 — а)/(1 — а"). Переходя в (2.95) к пределу t ос, получаем

(2.96)(2.96)р* = 1 — а f 入⑶ dz

(2.96)

(2.96)

а 2ж У (1 —— а)

\z\=r

Рассмотрим контурный интеграл (2.96). Функция 入(之)аналитична внутри единичного круга, поэтому внутри контура |/| = г подинтегральное выражение в (2.96) имеет один простой полюс z = а. Вычет в точке z = а есть Х(а))и поэтому Р* = Х(а). Искомая вероятность невозвращения, согласно (2.95), есть lim F*. Следовательно,

Р]/G(l,q)Uj.(2.97)

При п ^ 2 интеграл в (2.97) расходится на малых 仇 поэтому вероятность невозвращения Р = 0.

В другом пределе, при п — ос, величина суммы косинусов в W(q) порядка согласно закону больших чисел. (Это справедливо не для всех q, а только для «типичных», но для оценки интеграла в (2.97) этого достаточно.) Заменяя в G(l, q) величину 1 — W(q) на 1, находим, что при больших п вероятность невозвращения

Решение 10. Для того чтобы найти сопротивление сетки между двумя произвольными узлами, сначала рассмотрим более простую ситуацию. Допустим, что ток / втекает в узел х = 0 и растекается на бесконечность. Найдем распределение потенциала д(х) на узлах. Условие сохранения тока (закон Кирхгофа) гласит:

£ (^(х) - ^/R = {:(2.98)

где сумма, как и в задаче 9, берется по ближайшим соседям х‘ узла х. Обратим внимание, что выражение (2.98), по существу, определяет функцию Грина оператора Лапласа на решетке.

При переходе к фурье-образу уравнение (2.98) принимает вид

y?(q) [2п — 2(cosqi + ... + cosQn)] /R = I(2.99)

или, что то же самое,

g(q) = — G(l〉q) •(2.100)

То, что функция Грина уравнения Лапласа оказалась связана со случайными блужданиями, совершенно не удивительно, поскольку распределение вероятности для блужданий подчиняется уравнению диффузии, записывающемуся через п-мерный оператор Лапласа (в данном случае решеточный).

Теперь рассмотрим более сложное распределение токов и потенциалов, которое возникает, когда ток / втекает в узел 0, и такой же ток вытекает через узел а. Потенциал в этом случае можно выразить через д(х)〉пользуясь линейностью закона Кирхгофа (т. е. принципом суперпозиции). Находим

“(х) = g(x) — g(x — а).(2.101)

Для определения сопротивления между узлами 0 и а найдем разность потенциалов между этими узлами:

△夕=“(0) — “(а) = 2夕⑼一g(a)—夕(一a).(2.102)

Искомое сопротивление есть △g//. С помощью обратного преобразования Фурье выражаем д(0) и 屮(士а) через фурье-образ (2.100), и получаем

丛= ^/(「№)*7)謀，(2.103)

где интеграл, как и в задаче 9, берется по зоне Бриллюэна —тг < ^ < тг, г = 1,..., п.

Методом задачи 9 можно показать, что сопротивление между узлами решетки имеет простую вероятностную интерпретацию. А именно, Ra есть -R, деленное на вероятность того, что при случайном блуждании, начинающемся в точке 0, частица попадает в точку а до того, как возвращается в точку 0.

Рассмотрим сопротивление между двумя удаленными точками. В интеграле (2.103) при |а| 》1 вклад быстро осциллирующей экспоненты егча мал. Пренебрегая им, получаем такое же выражение, как для вероятности (2.97) в задаче 9, и находим соотношение между 凡一国 и Р:

R

Ri = / (汽 >2).(2.104)

Этот результат справедлив только при п > 2, поскольку при п ^ 2 вероятность Р обращается в нуль (интеграл в (2.97) расходится). Обратим внимание, что в этой задаче «критическая размерность» пс = 2 оказывается такой же, как в задаче 9 о случайных блужданиях. Это не случайно, поскольку, как уже отмечалось, и в том и в другом случае речь идет о функции Грина n-мерного уравнения Лапласа.

При п = 2 интеграл (2.103) для R&》\ определяется малыми q. Разлагая cos ^ =

— q^/2 + .. .〉находим с логарифмической точностью

R凡》1 = ^1п|—.R凡》1 = ^1п|—.(2.105)(2.105)

R

凡》1 = ^1п|—.

R

凡》1 = ^1п|—.

(2.105)

(2.105)

К такому же ответу приводит рассмотрение в приближении непрерывной среды, справедливом при \а\》1〉е котором (2.105) есть просто решение двумерного уравнения Лапласа.

(2.106)(2.107)(2.106)(2.107)Для двумерной сетки интересно найти сопротивления между близкими узлами. Это нетрудно сделать, вычисляя интеграл (2.103). Так, например,

(2.106)

(2.107)

(2.106)

(2.107)

2 丿丿 1 — j (cos 01 + cos 02)(2开)2 2开 / sinJ+ +

7Г 7-1 设2 — 132m — 1/

При вычислении интеграла (2.106) была сделана замена переменных。± = ^(。1 士。2) и использован известный интеграл / (а + bcosw)~1dw = 27r(а? — Ь2)-1/2.

о

Приведем также ответы и для некоторых других узлов:

凡。=(1/2) Я,凡1 = (2/О Я, Я20 = (2 - 4/О 凡

兄21 = (4/тг — 1/2) Я, Язо = (17/2-24/тг) R.(2.108)

Обратим внимание на то, что все приведенные в (2.108) значения сопротивления равны а + b/тг〉где а и b ——рациональные числа. Нетрудно показать, что это верно и для других узлов двумерной решетки.

Г^пава 3 •

Квантовая механика одной частицы

Теория возмущений и функция Грина

В этой главе мы рассмотрим задачи одночастичной нерелятивистской квантовой механики, решаемые методом теории возмущений. Наша цель ——продемонстрировать связь квантовомеханической теории возмущений с функциями Грина и диаграммной техникой.

Динамика нерелятивистской частицы во внешнем поле описывается с помощью волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера:

(3.1)(3.1)访0"?) = 一 必(г") + U(r)必(r").С/Сlib

(3.1)

(3.1)

В квантовой механике рассматривают два основных типа задач: отыскание спектра энергий системы и вычисление вероятностей переходов, вызванных рассеянием или зависящим от времени внешним полем.

Решение первой задачи требует отыскания собственных значений энергии для стационарного уравнения Шредингера:

£對r)=£對r)=п2п22m2m帆г).帆г).(3.2)(3.2)

£對r)=

£對r)=

п2

п2

2m

2m

帆г).

帆г).

(3.2)

(3.2)

Дискретный спектр соответствует связанным состояниям, а непрерывный ——свободным. В задачах второго типа (для определенности будем говорить о рассеянии) требуется найти решение уравнения (3.2), описывающее падающую и рассеянную волны, и определить амплитуду рассеяния в данное конечное состояние.

Напомним, что процессу рассеяния плоской волны егкг на потенциале У (г) отвечает волновая функция

必k(r) = e2 + xk(r),(3.3)

причем Хк(г) имеет асимптотически вид расходящейся сферической волны:

Xk(r) = /(k, kn) (№/|r|),|г| — оо,(3.4)

где n = г/|г|. Функция /(k, к7) называется амплитудой рассеяния.

Существует несколько методов решения задачи о рассеянии (и других подобных ей задач). Мы воспользуемся методом теории возмущений, поскольку в нем связь с диаграммной техникой проявляется лучше всего. Запишем волновую функцию 山(г)〉 являющуюся решением (3.2), в виде ряда по степеням потенциала У (г):

對г)=山⑼(г) + 山⑴(г) + 山⑵(г) + ... .(3.5)

Нетрудно убедиться, что члены ряда (3.5) удовлетворяют уравнениям:

£ + £『]山⑼⑺=0 ；

2m у

£ + -—V2 j 山⑴(г) = V(г)山⑼(г);

£ + -—V2 )山⑵(г) = V(г)山⑴(г) ;(3.6)

Решение свободного уравнения Шредингера обычно берется в виде плоской волны, 山(①(г) = exp(Ekr). Если потенциал У (г) слабый, достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда (3.5). Скажем, амплитуда рассеяния в борновском приближении определяется функцией 山(D(r).

С формальной точки зрения, ряд (3.5) можно рассматривать даже в случае сильного потенциала, если выполнить аналитическое продолжение по £ из области больших энергий |е|》|У(г)|, в которой ряд (3.5) сходится. Вообще говоря, таким способом можно найти амплитуду рассеяния при произвольной энергии, даже если потенциал не мал. Отметим, что обычно оказывается более удобным не выписывать члены ряда по-отдельности, а перейти от (3.5) к интегральному уравнению на амплитуду рассеяния (см. задачу 11, а также [2], гл. XVII, § 130).

Чтобы установить связь с диаграммной техникой, рассмотрим функцию Грина уравнения Шредингера:

(3.7)(3.8)(3.9)(3.7)(3.8)(3.9)- V(г)) G(r, t, М，)= 6(力—，)b(r — 1).С/С //Г"/

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

При У (г) = 0 движение свободное:

Go(力-九 r — Y) = " Go(* p)四(1'i(||黑,

1

°o(£,P)£ 一 p2/2/n + 2b •

Знак мнимой части +£6 выбран так, чтобы функция G°(e, р) была регулярна в верхней полуплоскости комплексной е. Это условие обеспечивает соблюдение причинности: Go (% — 4) = 0 при t < 力.

В общем случае функцию Грина можно записать как оператор:

(5 = (1/ — p/2m - U(r)) = (Gq1- У)-1 = (1 -『@о)т@о •(3.10)

При малом V выражение (3.10) можно разложить в ряд:

@ = @о + GqVGq + GqVGqVGq + ... ,(3.11)

причем произведения G° и 丿 следует понимать в операторном смысле (как свертку).

Для нас существенно, что между рядом (3.11) для функции Грина и рядом теории возмущений (3.5) имеется почленное взаимнооднозначное соответствие. Пользуясь этим соответствием, можно связать амплитуду рассеяния с функцией Грина (3.7). При этом оказывается, что интегральное уравнение Дайсона для собственноэнергетической части гриновской функции, с помощью которого обычно суммируют ряды типа (3.11), в точности соответствует интегральному уравнению для амплитуды рассеяния (см. задачу 11, а также гл. 4).

Функцию Грина можно использовать также и для отыскания спектра квантовомеханической системы. Известно, что амплитуда рассеяния, как функция энергии % имеет полюсы во всех точках дискретного спектра 】. Таким же свойством обладает и функция Грина (3.7), непосредственно связанная с амплитудой рассеяния. Поэтому функции Грина могут с одинаковым успехом применяться как в задачах, касающихся связанных состояний, так и в задачах о рассеянии. Примеры такого рода приведены в задачах 12 и 13.

Литература: Метод решения уравнения Шредингера, использующий потенциальную энергию в качестве возмущения, изложен в [2], §45. Определение квантовомеханической амплитуды рассеяния, а также доказательство теоремы унитарности и других полезных свойств можно найти в [2], § 123-126,133. Интегральное уравнение для амплитуды рассеяния в импульсном представлении выведено в [2], § 130.

Задачи 11 — 15

Задача 11. (Диаграммный ряд и интегральное уравнение для амплитуды рассеяния^) Покажите, что рассеяние частицы в статическом внешнем поле V(r) описывается суммой графиков (рис. 3.1):

Рис. 3.1

Какие выражения надо сопоставлять графическим элементам? (Используйте импульсное представление.)

Свяжите диаграммы на рис. 3.1 с амплитудой рассеяния /(ki, к2), определенной в (3.3)〉(3.4). Получите соотношение

/(ki,k2)=_方 2 f(匕上2))(3.12)

где _Г(кьк2)удовлетворяет уравнению

”К,к2)=『(к2 — к|) + 广的(3.13) 丿 £ — % qJ/2m + zi (2开尸

£ = ^2k^/(2m) = ^2к|/(2m).

Определенную так амплитуду _F(ki〉k2)называют амплитудой рассеяния 6 энергетической нормировке. Пользоваться ею часто бывает удобнее, чем обычной амплитудой рассеяния. Именно такая амплитуда рассеяния естественно возникает в диаграммной технике (см. другие задачи этой главы, а также задачи глав 9 - 11). По сравнению с обычной квантовомеханической амплитудой рассеяния /(k17 к2), она менее произвольна, поскольку никак не зависит от выбора нормировки плоских волн.

Задача 12. (Слабо связанное состояние 6 мелкой яме.) Мелкой называется потенциальная яма, глубина которой Uq 《^2/2ma2, где а ——радиус ямы. Размер связанного состояния в такой яме много больше ее радиуса, а энергия связи ——много меньше глубины ямы Uq. Рассмотрим мелкую яму в пространстве произвольной размерности D, и выясним, в каких случаях в ней может образоваться связанное состояние.

Решите эту задачу, используя связь амплитуды рассеяния (3.13) со связанными состояниями: энергия каждого связанного состояния соответствует полюсу амплитуды F(ki, к2)как функции энергии £. Покажите, что связанное состояние в мелкой яме существует только при 0,2.

Воспользуйтесь тем, что в пространстве размерности D амплитуда F(k17 k2) удовлетворяет уравнению, получающемуся из (3.13) заменой d^q/(2тг)3 — dDq®№)D. в уравнении (3.13) замените потенциал ямы на(5-функцию — при этом все интегрирования по импульсам станут независимыми. Сравните результаты, по л уч ающие ся при D = 1, 2, с известными квантовомеханическим выражениями (см. задачи в [2], §45).

Задача 13. (Двумерное рассеяние: логарифм и ренормгруппа.) Рассмотрим подробнее рассеяние в размерности два на короткодействующем потенциале. Это может быть яма, причем не обязательно мелкая, или потенциал положительного знака. Определим зависимость амплитуды рассеяния F от энергии в низкоэнергетической области.

Нас интересует область энергий много меньших еа = 俨/2m/)где а —— радиус ямы. Ясно, что зависимость от энергии £ возникает, как и в задаче 12, от интегрирования по \q\《а~1. Для правильного описания низкоэнергетической физики, как и при отыскании связанного состояния (задача 12), кажется достаточным заменить потенциал на(5-функцию. При этом интегралы по q начинают логарифмически расходиться при q — ос, и их придется «обрезать руками» при q ^ а。Такой «ремесленный» подход, хотя и приводит к качественно правильному ответу, является слишком грубым, т. к. полностью игнорирует, например, глубокие уровни в потенциале, если таковые есть.

Более рафинированный метод заключается в следующем. Вычислим производную dF(e)/de. Дифференцируя диаграммы рис. 3.1 по £ и собирая члены, получим 2 уравнение

справедливое при |е|《£а・ Решив это уравнение, можно связать обрезку логарифма и амплитуду F при большой энергии.

Задача 14. (Поляризуемость связанного состояния.) Заряженная частица находится в мелкой двумерной яме в основном состоянии. Определим поляризуемость системы в слабом внешнем поле.

Используя результат задачи 13, запишите функцию Грина в импульсном представлении. Сформулируйте правило обхода полюсов, выражающее, что связанное состояние занято, а состояния непрерывного спектра свободны.

Выразите дипольный момент системы через точную функцию Грина в импульсном представлении (см. [1], с. 75 и далее).

Рассмотрите поправку к функции Грина, линейную по электрическому полю. Нарисуйте графики, определяющие поляризуемость. Какие из них обращаются в нуль при интегрировании по энергии или импульсам?

Задача 15. (Теорема унитарности для амплитуды рассеяния.) Амплитуда рассеяния /(k, к7) частицы во внешнем поле удовлетворяет теореме унитарности:

/(к,к) — ЛКк) = ^〃(k,k〃)/*(Kk〃)do〃，(3.15)

(см. [2], § 125). Мы видели, что F(k, kz) = —(2тг^2/т) /(к, к7) дается простой суммой графиков (задача 11). Поэтому полезно уметь получать (3.15) на графическом языке. Как это сделать? Рассмотрите диаграммы, из о браженные на рис. 3.2, где

G»⑷(£，Р)= —2/9 , -е(3.16)

£ — р2/2т±гд

一 запаздывающая и опережающая функции Грина. Получите левую и правую части (3.15), просуммировав эти графики двумя разными способами.

Рис. 3.2

Аналогично получите соотношение унитарности в двумерном случае. Какова связь двумерной амплитуды рассеяния /(k, k‘) с F(k)k')? Убедитесь, что амплитуда F, найденная в задаче 13, обладает свойством унитарности.

Эта задача весьма важна для дальнейшего, поскольку в ней на простейшем примере показан прием, обобщающийся на более сложные случаи. Для любого процесса рассеяния, распада, перехода и т. д. имеется связь между его вероятностью и мнимой частью амплитуды. Эта связь описывается теоремой унитарности. В графическом представлении, мнимая часть какой-либо амплитуды может быть найдена путем разбиения соответствующих диаграмм каким-либо сечением, и заменой функций Грина по одну сторону сечения на комплексно-сопряженные функции. При этом следует просуммировать по всем возможным способам выбора сечения диаграммы. Состояния в сечении имеют смысл конечных состояний распада, рассеяния, и т. п.

Решения

Решение 11. Мы будем обращаться с функцией Грина несколько более вольно, чем это принято в учебниках по квантовой механике. Перед тем, как читать решение, полезно вспомнить стандартный вывод интегрального уравнения для амплитуды рассеяния, использующий уравнение Шредингера в импульсном представлении (см. [2], §130).

Чтобы найти состояние рассеяния (3.3),(3.4), запишем уравнение Шредингера для движения в потенциале V (г) через функцию Грина:

含-i 叽(г) = 0 или (<?] — Р)叽(г) = 0.(3.17)

Будем искать решение в виде (3.3). На массовой поверхности, при е — кР/2т^ получаем уравнение для Xk(r):

(备 1 —/) Xk(r)=『区〉•(3.18)

Записываем решение через функцию Грина, Xk(r) = (г|СУ|к), и разлагаем G в ряд по V:

Xk(r) =〈r|@o『+ G0VG0V + ... |к).(3.19)

Удобно переписать это выражение, введя оператор

х^.х^.х^. -^х^.х^. -^х^. -^х^.

(3.20)(3.20)ИмеемИмеемXk(r)=⑴备戶|к〉.Xk(r)=⑴备戶|к〉.(3.21)(3.21)F = V + VG0V + VG0VG0V +...

(3.20)

(3.20)

Имеем

Имеем

Xk(r)=⑴备戶|к〉.

Xk(r)=⑴备戶|к〉.

(3.21)

(3.21)

Смысл этой записи в том, что F описывает многократное рассеяние падающей волны на потенциале『(г), a G。一 свободное движение после последнего рассеяния.

В координатном представлении G。имеет вид:

eBD 砂0 е — p2/2m + i6 (2_)зeBD 砂0 е — p2/2m + i6 (2_)зт е均「ri 2»%2 1r - rz|т е均「ri 2»%2 1r - rz|(3.22)(3.22)

eBD 砂0 е — p2/2m + i6 (2_)з

eBD 砂0 е — p2/2m + i6 (2_)з

т е均「ri 2»%2 1r - rz|

т е均「ri 2»%2 1r - rz|

(3.22)

(3.22)

где 加〃 =y2ms. На массовой поверхности >t： = к.

Слагаемое £8 в знаменателе (3.22) введено для того, чтобы выбрать запаздывающее решение. С тем же успехом можно было бы выбрать знак —£6, что привело бы к ряду для /*(к[к). Комплексно-сопряженная амплитуда соответствует опережающему решению задачи о рассеянии.

Нас интересует асимптотика %(г), поэтому запишем г — Rn и будем считать R большим. Тогда |r — r[ = _R— |r[ cosJ + O(l/R), где 8 — угол между п и Р (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Подставляем G。в виде (3.22) в выражение (3.21) и разлагаем |г — г[:

Х(г)=Х(г)=27Г%2 R27Г%2 RУ e-aNo°s6〈r'|b|k〉d3r，.У e-aNo°s6〈r'|b|k〉d3r，.(3.23)(3.23)

Х(г)=

Х(г)=

27Г%2 R

27Г%2 R

У e-aNo°s6〈r'|b|k〉d3r，.

У e-aNo°s6〈r'|b|k〉d3r，.

(3.23)

(3.23)

.к2)- -新з■.к2)- -新з■(3.24)(3.24)Сравнивая этот ответ с определением амплитуды рассеяния, получаем требуемое соотношение:

.к2)- -新з■

.к2)- -新з■

(3.24)

(3.24)

где к2 = |A；i|n.-

Перейдем к выводу интегрального уравнения. Ряд для F может быть представлен графически, как показано на рис. 3.1. Запишем сумму

(3.25)(3.25)х^.х^. -^х^.х^. -^х^. -^х^.

(3.25)

(3.25)

F = V + VG0V + VG0VG0V + ...

в импульсном представлении: F(ki, кг) = F^\ki, кг) + W?)(ki,k2)+ ...,

^^(^,^) = ^2-^),

X)/『у,：.如

丿 £ — q /(2m) + го

戸к к/力*2 -q,i).. V(qi 一k) (/口一)...(#史)

1' 2 J J(£ _ qKi/(2/n) + 2(5).._ q；/(2/n) + 2b)，

где (d3qi) = с/3^/(2тг)3, £ =九2吧/(2加).

Связь этих выражений с рядом на рис. 3.1 очевидна: волнистым линиям соответствуют матричные элементы потенциала, прямым линиям ——функции Грина. По всем внутренним импульсам надо проинтегрировать, а входящий и выходящий импульсы взять на массовой поверхности.

Получаем интегральное уравнение для F:

х^.х^.х^. -^х^.х^. -^х^. -^х^.

F = V + VG0V + VG0VG0V +...=

=V + VG0(V + VG0V + ...) = V + VG0F(3.27)

Графически это можно изобразить, как показано на рис. 3.4.

Рис. 3.4

В импульсном представлении интегральное уравнение принимает вид

F(ki,k2) = У (к? — L) +F(ki,k2) = У (к? — L) +(3.28)(3.28)2m / V(k2 — q)F(ki, q) d^q%2 丿 k? — q2 + £6 (2тг)з '

F(ki,k2) = У (к? — L) +

F(ki,k2) = У (к? — L) +

(3.28)

(3.28)

Решая это уравнение последовательными приближениями, вновь получаем ряд для

Решение 12. Полюсы функции Грина 6(e) дают спектр системы. При этом, поскольку G и F связаны соотношением G = Gq + GoFG。〉каждому связанному

состоянию отвечает полюс 戸(£)•

Начнем со случая 0 = 1. Рассмотрим одномерную яму глубины Uq и ширины а. Заменяя потенциал на(5-функцию V(х) = — Uoab(/)〉получаем фурье-компоненту V(q) = —U^a = const. При этом уравнение для F(k)А/) принимает вид

尸住 V) = -Uoa + иоа / —f•(3.29)

J £ — q2/2т + z3 27r

Из (3.29) видно, что F(k)А/) не зависит от к1. Поэтому

2m dqq2 — / — £鼠2m dqq2 — / — £鼠+OQ

2m dq

q2 — / — £鼠

2m dq

q2 — / — £鼠

(3.30)(3.30)尸(％) = ~Uoa - -^F(k) /Z7T丿

(3.30)

(3.30)

что дает F-1 + 伤口尸=—im/k = —iJm/28^ где £ = к2/(2т). Получаем

(3.31)(3.31)

(3.31)

(3.31)

Амплитуда рассеяния 尸(£)имеет полюс при s0 = —mUla^/^t^Y что совпадает с известным ответом для одномерной(5-ямы.

Пусть теперь D = 2. Снова считаем фурье-компоненту потенциала независящей от к: V(k) = —UqO2. Уравнение для F имеет вид

歹⑹=_Uoa2 + и"* / 歹⑹島，(3・32)

где F снова есть функция только £. Интеграл

логарифмически расходится на верхнем пределе. Но это не страшно: при q ^ а-1 фурье-компонента 丿(к) начинает быстро осциллировать, и интеграл с 丿(к) сходится. Следовательно, можно пользоваться выражением (3.33), обрезав его «вручную» при q а-1:

dq?1

/ 三二m(3・34)

Итак,

1 + (2пга2ио/4тг%2)1п(—к2a2

1 +(7nU()a2/27r%2)ln(—£772^2/力 2)

Дискретный уровеньДискретный уровень力2/ 27Г%2、— "XP「F 丿•力2/ 27Г%2、— "XP「F 丿•(3.36)(3.36)

Дискретный уровень

Дискретный уровень

力2/ 27Г%2、

— "XP「F 丿•

力2/ 27Г%2、

— "XP「F 丿•

(3.36)

(3.36)

Обратим внимание, что из-за неизвестного множителя порядка единицы, появившегося при обрезании в аргументе логарифма, уровень е0 дается выражением (3.36) только по порядку величины.

В размерности D > 2 интеграл

а 1г)_1 7

(3.37)(3.37)/ q dq

(3.37)

(3.37)

7 q2 —炉—「 о

остается конечным при к 一 0. Поэтому для слабого потенциала F(e) не имеет полюсов при |к|《 Q-i, что означает отсутствие связанного состояния.

Решение 13. Производную dF/de можно связать с F в общем виде, так, что получится выражение, справедливое при произвольном потенциале. Для этого надо продифференцировать ряд на рис. 3.1 почленно (рис. 3.5).

Рис. 3.5Рис. 3.5Линия с крестиком обозначает:Линия с крестиком обозначает:厶 1де ° (е — р2/2т + i6)2厶 1де ° (е — р2/2т + i6)2(3.38)(3.38)Группируя члены графического ряда и пользуясь графическим представлением амплитуды F (см. рисунки 3.1, 3.4), находим (рис. 3.6):Группируя члены графического ряда и пользуясь графическим представлением амплитуды F (см. рисунки 3.1, 3.4), находим (рис. 3.6):dFdEdFdEРис. 3.6Рис. 3.6Отсюда:Отсюда:gk \ = _ [*(如—(/%2)m走 式向，82丿 _ _ J(£ — g2/2- + -)2 (^ •gk \ = _ [*(如—(/%2)m走 式向，82丿 _ _ J(£ — g2/2- + -)2 (^ •(3.39)(3.39)Еще раз обратим внимание на то, что (3.39) — точный результат, а не приближенный.Чтобы применить соотношение (3.39) в низкоэнергетической области, заметим, что зависимость 尺的，心)от к\ и 心 имеет характерный масштаб 紅2 ~ а-1. ПоэтомуЕще раз обратим внимание на то, что (3.39) — точный результат, а не приближенный.Чтобы применить соотношение (3.39) в низкоэнергетической области, заметим, что зависимость 尺的，心)от к\ и 心 имеет характерный масштаб 紅2 ~ а-1. Поэтому

Рис. 3.5

Рис. 3.5

Линия с крестиком обозначает:

Линия с крестиком обозначает:

厶 1

де ° (е — р2/2т + i6)2

厶 1

де ° (е — р2/2т + i6)2

(3.38)

(3.38)

Группируя члены графического ряда и пользуясь графическим представлением амплитуды F (см. рисунки 3.1, 3.4), находим (рис. 3.6):

Группируя члены графического ряда и пользуясь графическим представлением амплитуды F (см. рисунки 3.1, 3.4), находим (рис. 3.6):

dFdE

dFdE

Рис. 3.6

Рис. 3.6

Отсюда:

Отсюда:

gk \ = _ [*(如—(/%2)m

走 式向，82丿 _ _ J(£ — g2/2- + -)2 (^ •

gk \ = _ [*(如—(/%2)m

走 式向，82丿 _ _ J(£ — g2/2- + -)2 (^ •

(3.39)

(3.39)

Еще раз обратим внимание на то, что (3.39) — точный результат, а не приближенный.

Чтобы применить соотношение (3.39) в низкоэнергетической области, заметим, что зависимость 尺的，心)от к\ и 心 имеет характерный масштаб 紅2 ~ а-1. Поэтому

Еще раз обратим внимание на то, что (3.39) — точный результат, а не приближенный.

Чтобы применить соотношение (3.39) в низкоэнергетической области, заметим, что зависимость 尺的，心)от к\ и 心 имеет характерный масштаб 紅2 ~ а-1. Поэтому

при малых энергиях |е|《 е。= /I2/(та2) интеграл no q в (3.39) сходится в области, где зависимость F от q несущественна. Вычисляя интеграл, получаем

(3.40)

Решение этого уравнения есть:

(3.41)(3.41)27Г%2

(3.41)

(3.41)

mln((e + £6)/ео)

где во — неизвестная константа. Точка ветвления логарифма при е = 0 смещена в нижнюю полуплоскость, поскольку вместо е стоит w + £6. Константа е° вещественна и отрицательна, поскольку при е < 0 амплитуда F вещественна. (Чтобы в этом убедиться, можно записать члены ряда для F, показанные на рис. 3.1, в координатном представлении, где функция Грина имеет вид G&(r) = — (т/2тгг) ехр(—хг), / — 2те. Это выражение вещественно при е < 0.)

Если Ео находится в низкоэнергетической области, |е0|《е© то полюс при е = е° имеет реальный смысл, и ему соответствует дискретный уровень. В противном случае полюс находится вне области энергий, где применимо сделанное приближение, и поэтому смысла не имеет. Такая ситуация возникает, например, для рассеяния на слабом отталкивающем потенциале, когда е° дается выражением (3.36) с отрицательным Uq.

Решение 14 а. Согласно задаче 11 функция Грина есть G = Gq + GqFGq^ где амплитуда F найдена в задаче 13. В импульсном представлении

п6 ⑵(Р-р')Щ 依

- 1 ； e-P2/(2m) + i8[е - р2 / (2m) + i5][e - р>2 / (2m) + i5]'

Положительный знак мнимой части id означает, что состояния непрерывного спектра пусты. При интегрировании по е эти полюсы надо обходить сверху. Осталось выбрать обход полюса в F(e) при е = е°* Это состояние заполнено, поэтому сдвигаем полюс вверх: Ео 一 Ео + £6. Получаем F(e) — 2тг%2/(пйп(е/ео)), причем обход полюса е = Ео и точки ветвления е = 0 такой, как показано на рис. 3.7.

£ = £°£ = £°

£ = £°

£ = £°

Рис. 3.7

Решение 14 б. Выражаем дипольный момент через функцию Грина:

=卜/…")• W/』G(“4P2聲甘 =

=—巫〃 Vi(5(pi - P2)£^sG(a,pi,p2)"台己产，(3.43)

где сумма вычетов берется по всем полюсам си функции G в верхней полуплоскости

е, что соответствует заполненным уровням. Интегрируя по частям, получаем

。=ie「％ £ 喈s GQ, p, p，)]凛•(3.44)

J Le」p'=p 丿

Другую (эквивалентную) форму записи можно получить, если заменить Vp на Vp/ и изменить знак.

Решение 14в. Взаимодействие с электрическим полем W = —еЕх меняет функцию Грина: ■Х^.Х^.-^ Х^..XV Х^. -^

G/ = G + GWG + GWGWG + ... ,(3.45)

♦w=—+"■-V—*- + ——Рис. 3.8В импульсном представлении взаимодействию W соответствует производная 5-функции:W(p) = — / еЕхе-'Рк dPr = —£е(2тг尸Е^W^W 卜 Y j V j V +...也линейному по координатам, 而 b(2)(p).(3.46)♦w=—+"■-V—*- + ——Рис. 3.8В импульсном представлении взаимодействию W соответствует производная 5-функции:W(p) = — / еЕхе-'Рк dPr = —£е(2тг尸Е^W^W 卜 Y j V j V +...也линейному по координатам, 而 b(2)(p).(3.46)где G — точная функция Грина при Е = 0. Графически это можно представить так (рис. 3.8):где G — точная функция Грина при Е = 0. Графически это можно представить так (рис. 3.8):Для вычисления поляризуемости нужен линейный по полю член ряда (3.45). С учетомДля вычисления поляризуемости нужен линейный по полю член ряда (3.45). С учетом

♦w=—+"■-

V—*- + ——

Рис. 3.8

В импульсном представлении взаимодействию W соответствует производная 5-функции:

W(p) = — / еЕхе-'Рк dPr = —£е(2тг尸Е

^W^W 卜 Y j V j V +...

也

линейному по координатам, 而 b(2)(p).(3.46)

♦w=—+"■-

V—*- + ——

Рис. 3.8

В импульсном представлении взаимодействию W соответствует производная 5-функции:

W(p) = — / еЕхе-'Рк dPr = —£е(2тг尸Е

^W^W 卜 Y j V j V +...

也

линейному по координатам, 而 b(2)(p).(3.46)

где G — точная функция Грина при Е = 0. Графически это можно представить так (рис. 3.8):

где G — точная функция Грина при Е = 0. Графически это можно представить так (рис. 3.8):

Для вычисления поляризуемости нужен линейный по полю член ряда (3.45). С учетом

Для вычисления поляризуемости нужен линейный по полю член ряда (3.45). С учетом

структуры G)согласно (3.42), имеем 4 слагаемых (рис. 3.9):

Рис. 3.9

Первое из них есть GoWG。. Оно не имеет особенностей над контуром интегрирования по энергии и, поэтому, дает нулевой вклад. Вычислим остальные члены.

Х^. х^.х^. х^.

Выражение GqWGqFGq^p^p^^ соответствующее второй диаграмме рис. 3.9, есть:

ТеЕ <Э/&рн 6⑵(р — Pi)■(£)

(е — р2 /2т + £6) (е — pl/2m + £6)(е — р,2/2т + £6)

/ 6(Р1 - р)/ 6(Р1 - р)д —beEF©д —beEF©др1х (е — р2/2т + £6)1др1х (е — р2/2т + £6)1XXх (в — pl/2m + i6) (в — pf2/2т + %8)х (в — pl/2m + i6) (в — pf2/2т + %8)d2Pld2PlieEieEРхРхтт(е — р2/2т + £6)з(е — у2/2т + £6)'(е — р2/2т + £6)з(е — у2/2т + £6)'(3.47)(3.47)

/ 6(Р1 - р)

/ 6(Р1 - р)

д —beEF©

д —beEF©

др1х (е — р2/2т + £6)1

др1х (е — р2/2т + £6)1

X

X

х (в — pl/2m + i6) (в — pf2/2т + %8)

х (в — pl/2m + i6) (в — pf2/2т + %8)

d2Pl

d2Pl

ieE

ieE

Рх

Рх

т

т

(е — р2/2т + £6)з(е — у2/2т + £6)'

(е — р2/2т + £6)з(е — у2/2т + £6)'

(3.47)

(3.47)

Третье слагаемое получается из второго комплексным сопряжением и перестановкой р и，：

G0FG0WG0(p, р，) = ?~з・(3.48)

(е — р2/2т + (е — pf2 /2т + 尸

Последний график GoFGqWGqFGq (p^pf) равен нулю:

ieER2⑹ a^^Go(£, p)G0(£, p2)G0(£, P1)G0(£, pz)V1;c(5(p2 - P1)=

=-ieEF\£)G0(E,P)G0(E,p,) У ^y(£-pl/2m + i6)3 = °，('49)

как интеграл от нечетной функции. Поэтому

£ResG(a,p,p') = Resb(£)—Е必Go(%,P)G汽％,Р‘)-％G雑o,P)Go(%,p')]・(3.50)

Из-за отмеченной выше симметрии по отношению к перестановке р и р‘ оба слагаемых дают одинаковый вклад в поляризуемо с ть, поскольку и в выражение (3.44)

для дипольного момента Р импульсы р и р‘ входят симметрично. Следовательно, достаточно взять только первое слагаемое и удвоить ответ:

% = —2^Е/(%_ 謡. + 2)5 崂s%£)£.("I)

К такому выражению можно прийти несколько быстрее, если заметить, что вершина взаимодействия с электрическим полем устроена точно так же, как и выражение для дипольного момента (3.44). (В координатном представлении (3.50) есть свертка производной(5-функции с функцией Грина по ее аргументам.) Поэтому все вклады в поляризуемость можно представить графически так (рис. 3.10):

Рис. 3.10

Здесь 6G дается суммой четырех слагаемых, показанных на рис. 3.9, а штриховая линия обозначает V5(p) в импульсном представлении, или г — в координатном. Первый график на рис. 3.9 дает нуль при интегрировании по энергиям, а четвертый, из-за нечетности г, — обращается в нуль при интегрировании по импульсам. Второй и третий графики отличны от нуля и равны в силу симметрии.

Итак, поляризуемость

_ 至 /0а0.(2叫5Ха" т2 丿(@2 + 〃2)5_ 至 /0а0.(2叫5Ха" т2 丿(@2 + 〃2)5通貰w£'通貰w£'(3.52)(3.52)

_ 至 /0а0.(2叫5

Ха" т2 丿(@2 + 〃2)5

_ 至 /0а0.(2叫5

Ха" т2 丿(@2 + 〃2)5

通貰w£'

通貰w£'

(3.52)

(3.52)

где 〃2 — 2т|во|-

Вычислим ResF(g). Положив е = е° + ?, разлагаем

27r27rmln(l + n/eo)mln(l + n/eo)27ГЕ0,откудаmz27ГЕ0,откудаmzRes久Res久27ГЕоm27ГЕоm(3.53)(3.53)

27r

27r

mln(l + n/eo)

mln(l + n/eo)

27ГЕ0

,откуда

mz

27ГЕ0

,откуда

mz

Res

久

Res

久

27ГЕоm

27ГЕоm

(3.53)

(3.53)

Находим

2 2 T 26汗 6迎 p3 dp 16e2m2£0 xdxe26azj小

Восстанавливая К по размерности, получаем x = e27i2/(6m£Q).

Решение 15. Суммируем диаграммы, изображенные на рис. 3.2. С одной стороны, раскрывая по линейности и группируя члены, имеем F(k)k‘) 一F*(k[ к), поскольку все остальные члены, содержащие GR и GA одновременно, взаимно сокращаются. С другой стороны,

GR-GA =-Л= _2府6(£ -?2/2加).(3.55)

в — р2/2т + го в — р2/2т — го、丿

И вдобавок, при собирании всех графиков, слева от GR — GA возникает выражение F(k, k')〉а справа —尸(k[ k)：

Сравнивая, получаем теорему унитарности для амплитуды F:Сравнивая, получаем теорему унитарности для амплитуды F:

Сравнивая, получаем теорему унитарности для амплитуды F:

Сравнивая, получаем теорему унитарности для амплитуды F:

网к,к') —尸(Кк)=—部 ^(^^(k^q) do.(3.57)

Связь с квантовомеханической амплитудой рассеяния, F = —@к"/т) /, была найдена в задаче 11. Выражая F через /, приходим к теореме унитарности (3.15).

Повторяя вывод в двумерном случае, получаем

F(k,k/)-F*(k/,k) = -|p У F(k,q)F*(k/,q) dO .(3.58)

В размерности 0 = 2 связь F и квантовомеханической амплитуды / другая. Чтобы ее получить, поступим как в задаче 11. Возьмем выражение (3.21) для расходящейся волны, Xk(r) = (r|GoF|k), верное в любой размерности, и найдем асимптотическое поведение функции Go：

G°(*r) = / 卓(3.59) 丿 £ — П2р2/2т + zb (2тг)2九2 ,2汕rI

при k|r| — ос (см. задачу 6 к § 126 [2]). Поэтому при 0 = 2 амплитуда / =

—(пг/%2,2тгк) F.

Поэтому теорема унитарности при 0 = 2 гласит:

(3.60)(3.60)/(к, к) - /*(К к)=《★//(к, q) /*(к[ q) doq .

(3.60)

(3.60)

Отметим, что в размерности 0 = 2 более удобно включать множитель Е& в определение расходящейся волны, как это сделано выше, а не в амплитуду рассеяния, как в [2]. При таком определении /, соотношение унитарности принимает наиболее простой вид. Поскольку амплитуда / есть коэффициент при расходящейся волне, включать фазовый множитель в определение / или в выражение для расходящейся волны —— дело вкуса.

Воспользуемся случаем, чтобы еще раз отметить суще с твенную разницу между обычной амплитудой / и амплитудой рассеяния в энергетической нормировке F («ужирненной вершиной»). Определение амплитуды F не допускает никакого произвола, поскольку не зависит от выбора выражения для расходящейся волны.

Плава 4.

Взаимодействующие частицы

4.1. Правила построения диаграмм

Функции Грина дают полную информацию об основном состоянии системы и спектре ее возбуждений. Кроме того, важнейшим свойством причинных функций Грина (2.8) является то, что с их помощью можно построить теорию возмущений, согласующуюся с интуитивными представлениями. Функция Грина G(/2,/i) = —“Т帆力2)吵+(力1)〉в координатном представлении есть амплитуда вероятности перехода из точки /1 пространства-времени в точку 徵.Естественно сопоставить ей линию со стрелкой, ведущую из точки 判 в точку 出(рис. 4.1):

Рис. J.I

2

Для невзаимодействующих ферми-частиц функция Грина в импульсном представлении дается простой формулой:

1

Go(*P)=--"、—、•£ — &P)+袱 P)

(4.1)

Здесь £(р) = p2/2m — Ер —■ #акон дисперсии частиц, а знак мнимой части зависит

от заполнения состояния с импульсом р:

6(р) = Osign(£(p))=

(+0 , если состояние не заполнено;

[—0 , если состояние заполнено.

(4.2)

Ряд теории возмущений для функции Грина допускает удобное графическое представление в виде диаграмм. Вывод правил диаграммной техники читатель может найти в гл. 2 [1]. Мы же приведем здесь лишь краткую их сводку для случая

двухчастичного взаимодействия

(4.3)(4.3)U {х — х1) = U [т — г[ t — У)

(4.3)

(4.3)

Вообще говоря, взаимодействие может быть запаздывающим.

Все диаграммы строятся из двух элементов: простых линий, описывающих распространение частиц, и волнистых, описывающих взаимодействие между ними.

Две простые линии и одна волнистая соединяются в вершинах.

п-у порядку теории возмущений соответствуют диаграммы с 2п вершинами. Если речь идет о вычислении функции Грина, то диаграмма должна иметь ровно два внешних конца.

Все диаграммы должны быть связными^ т. е. не должны распадаться на отдельные части, не соединенные между собой ни одной линией.

Каждой простой линии соответствует множитель Go(n—〃)，где х — начальная точка, xf ——конечная. Каждой волнистой линии сопоставляется множитель U{x — /).

Выражение, соответствующее данной диаграмме, следует проинтегрировать по координатам ее вершин.

После этого ответ следует умножить на in (—1 产 где п — число волнистых линий, a F — число замкнутых петель, отвечающих ферми-частицам.

Примеры диаграмм показаны на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Этим диаграммам соответствуют такие выражения:

—?2)U5 — 3)〉—?2)U5 — 3)〉6Gb = —г / d%i d%2 G(g — x) G⑼ G(# — g) U(x2 — Xi),6Gb = —г / d%i d%2 G(g — x) G⑼ G(# — g) U(x2 — Xi),X G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？2)G(/]_ — /) U(/3 — X\) U(/4 — ?2)〉X G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？2)G(/]_ — /) U(/3 — X\) U(/4 — ?2)〉XXx G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？4)G(/] — /) U(/4 — /]_) U(/3 — ?2)•x G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？4)G(/] — /) U(/4 — /]_) U(/3 — ?2)•

—?2)U5 — 3)〉

—?2)U5 — 3)〉

6Gb = —г / d%i d%2 G(g — x) G⑼ G(# — g) U(x2 — Xi),

6Gb = —г / d%i d%2 G(g — x) G⑼ G(# — g) U(x2 — Xi),

X G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？2)G(/]_ — /) U(/3 — X\) U(/4 — ?2)〉

X G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？2)G(/]_ — /) U(/3 — X\) U(/4 — ?2)〉

X

X

x G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？4)G(/] — /) U(/4 — /]_) U(/3 — ?2)•

x G(?2 — /].) G(/‘ 一 ？4)G(/] — /) U(/4 — /]_) U(/3 — ?2)•

Довольно часто удобным оказывается не координатное представление, а импульсное. Правила диаграммной техники в импульсном представлении оказываются почти такими же, как в координатном. Вместо функций Грина и потенциалов взаимодействия надо использовать их фурье-образы. При этом каждой вершине сопоставляется множитель (2тг)4(5(01 + к — 02)〉определяющий связь между 4-импульсами р1 и 02 функций Грина частиц, и 4-импульсом к линии взаимодействия. По всем независимым 4-импульсам производится интегрирование.

Различные диаграммы удобно представлять себе как вклады в амплитуду перехода частиц между точками / и /'. Например, переход, при котором не происходит взаимодействия с другими частицами системы, изображается свободной функцией Грина, а переходам с рассеянием на других частицах соответствуют диаграммы, подобные Ь) и с на рис. 4.2. Диаграммная техника позволяет думать о многочастичных задачах на «одночастичном языке».

Два основных вида взаимодействия между электронами, имеющих значение в физике твердого тела,——это кулоновское взаимодействие и взаимодействие за счет обмена фононами. Кулоновское взаимодействие в среде выражается через диэлектрическую проницаемость £(g). В импульсном представлении

UQ，k) = £(“)図2， Е|》а/с. (4.4)

Частотная дисперсия £(g) делает взаимодействие запаздывающим:

U(r — r\t —，)=U(r — r\t —，)=|г — rz||г — rz|£(g) 27r .£(g) 27r .(4.5)(4.5)

U(r — r\t —，)=

U(r — r\t —，)=

|г — rz|

|г — rz|

£(g) 27r .

£(g) 27r .

(4.5)

(4.5)

Это «квазистатическое» выражение справедливо при |г — rz| 《 с|力一力[.Запаздывание взаимодействия приводит к таким физическим эффектам, как перенормировка массы связанного состояния (см. задачу 19).

Взаимодействие, возникающее вследствие испускания и поглощения фононов, зависит от типа фононов, а также от характера электрон-фононного взаимодействия

в системе (подробнее см. гл. 6). В качестве простейшей, но в то же время реалистичной модели мы рассмотрим акустические фононы, взаимодействующие с электронами посредством деформационного потенциала. В этом случае взаимодействие принимает вид

U(“,k) = q2QQ,k) ,(4.6)

где д — константа электрон-фононного взаимодействия, а

О(“, к)О(“, к)*(к)/ —紹(к) + £0*(к)/ —紹(к) + £0(47)(47)

О(“, к)

О(“, к)

*(к)

/ —紹(к) + £0

*(к)

/ —紹(к) + £0

(47)

(47)

——функция Грина фононов. Для акустических фононов “о(к) — с|к|, где с ——скорость звука (подробнее о фононах и электрон-фононном взаимодействии — см. разд. 6.1).

4.1.1. Блочное суммирование.

В диаграммной технике можно не только выписывать вклад данного порядка теории возмущений, но и суммировать некоторые по следовательно с ти членов ряда. При этом оказывается достаточным вычислить относительно небольшое количество диаграмм (блоков^ после чего можно суммировать образованные из них по следователь- ности, подставлять их в другие диаграммы и т. д.

Техника блочного суммирования опирается на классификацию диаграмм на приводимые и неприводимые. Неприводимой называется собственно-энергетическая часть, которая не распадается при перерезании ни одной из линий частиц. В противном случае диаграмма называется приводимой.

Блочное суммирование для одночастичной функции Грина выполняется так. Рассмотрим произвольную диаграмму для функции Грина G(*p). Она либо приводима, либо нет. Если она приводима, то разделим ее на две части, соединенные одной линией. Каждая из этих частей либо приводима, либо нет. Будем дробить таким способом приводимые диаграммы до тех пор, пока процесс не закончится. Любая диаграмма для функции Грина может быть схематически представлена как одна из диаграмм на рис. 4.3:

Рис. 4-3

Кружки на рис. 4.3 могут изображать любые неприводимые диаграммы, показанные на рис. 4.4. Сумма по следов ательно сти всех неприводимых диаграмм называется

советеенно-энергетической частью и обозначается1 П(*р).

Рис. J./

Теперь просуммируем все диаграммы для функции Грина. Содержимое каждого кружка при этом превращается в £(%р). В результате ряд для G(%p) запишется так:

G = Go + GoSGo + Go'Go'Go + ... .(4.8)

Как нетрудно видеть, сумма этого ряда удовлетворяет уравнению

G = G^ + G^G,(4.9)

называемому уравнением Дайсона. Его решение выглядит так:

G-1(* р) = G「(£, р) - £(* р).(4.10)

Уравнение Дайсона дает точную связь между G(e)р) и U(* р), т. е. между суммами всех приводимых и всех неприводимых диаграмм.

Конечно, найти £(% р) в явном виде, как правило, не удается. Однако, вычислив, скажем, первую из диаграмм на рис. 4.4, мы можем сразу просуммировать целую по следовательно сть диаграмм для G(*p) (рис. 4.5):

g'2

Рис. J.5

】В теории поля Е©0)иногда называется массовым оператором.

Далее можно подставлять полученное выражение для G(£〉p) в другие диаграммы вместо Go(*p). Графически это изображают, рисуя вместо светлой линии жирную.

Может возникнуть вопрос, зачем вообще суммировать последовательность диаграмм из разных порядков теории возмущений. Дело в том, что функция Грина G(% р) обычно представляет интерес вблизи своего полюса (см. (4.12)). В этой области различные диаграммы на рис. 4.5 на самом деле оказываются одного порядка. А собственно-энергетическая часть, в отличие от функции Грина, имеет, как правило, не очень сингулярное поведение. Поэтому ее можно изучать с помощью одного или нескольких первых членов ряда теории возмущений.

42 Полюсы функции Грина ——спектр квазичастиц

Мы описали формализм диаграммной техники, не уточняя, о какой задаче идет речь ——одночастичной или многочастичной. Функции Грина позволяют легко переходить от одной задачи к другой. Разница между этими двумя случаями заключается в структуре затравочной функции Грина (4.1). Для ферми-газа мнимая часть

2Ь(р) = 20sign(|p| — 0)),(4.11)

где 0о —— импульс Ферми (этим выражается то, что все состояния с |р| < 0° заполнены, а остальные пусты). Такая функция Грина учитывает то обстоятельство, что при |р| >00 возбуждениями являются частицы, а при |р| < ^0 — дырки.

Если же речь идет об одночастичной задаче, то следует считать 6(р) > 0 для всех р, поскольку все состояния пусты. В этом случае диаграммный ряд сильно упрощается. Дело в том, что в этом случае все диаграммы с замкнутыми электронными петлями оказываются равны нулю. Формально это происходит потому, что интеграл по частоте в любой петле обращается в нуль, поскольку полюсы всех функций Грина находятся в одной и той же полуплоскости комплексной частоты. Физическую причину обращения петель в нуль можно пояснить, заметив, что в ферми-газе замкнутые петли описывают рождение электрон-дырочных пар. В одночастичной же системе рождение пар невозможно.

Функция Грина (4.10) имеет полюс, если сир удовлетворяют уравнению

G「(£,p) = £(£,p).(4.12)

В одночастичной задаче полюсы функции Грина определяют весь спектр системы. В многочастичной же задаче оказывается, что полюсы G(*p) определяют не весь спектр, а только так называемые одночастичные возбуждения.

В точной функции Грина

G(* р) = —2 /〈т 帆г, t)^+(0,0))ei£t-iprd3r dt,(4.13)

вычисленной с учетом взаимодействия, обычно выделяют вклад элементарных возбуждений или квазичастиц ——полюсы в комплексной плоскости % расположенные

недалеко от вещественной оси:

G(*P)=——々：丄./、+ Greg(* р). (4.14) £ —&P)+ z7(P)

(в выражении (4.14) выделен вклад Greg(s, р), регулярный вблизи £ = £(р) — 〃7(р)).

Спектр квазичастицы, соответствующей полюсу в (4.14), дается функцией £(р)〉 а затухание ?(р) можно записать как 1/(2т^), где 7^ — время жизни квазичастицы. Вычет а называют амплитудой квазичастичной функции Грина. Дисперсионное соотношение £ = £(р) определяет в 4-мерном пространстве (%р) так называемую массовую поверхность квазичастицы ([1], § 7, п. 3; [4], гл. 5, п. 1).

Вообще говоря, понятие квазичастицы имеет смысл только если время жизни велико: 7(р)《£(Р)・ Если оно мало, говорят о «затухающем возбуждении». В ядерной физике терминология несколько иная: вместо «квазичастицы» говорят о «резонансе».

Остановимся на физическом смысле собственно-энергетической части Е(е,р). Из дисперсионного уравнения (4.10) видно, что именно собственно энергетическая часть определяет спектр квазичастиц. Рассматривая по отдельности веще с твенную и мнимую части (4.10) и сравнивая с (4.14), находим

&Р)= &(Р)+ Re £(&Р), Р), )(р) = Im£(£(p), р). (4.15)

Как видно из (4.15), вещественная часть Е(е, р) характеризует перенормировку закона дисперсии квазичастиц. В частности, Е(е, р) описывает такой эффект, как изменение массы частицы, возникающее в результате взаимодействия. Причина изменения массы в том, что частица во взаимодействующей системе окружает себя «поляризационным облаком», движущимся вместе с частицей. Инерция такой «одетой» частицы описывается так называемой эффективной массой. Пример, демонстрирующий возникновение эффективной массы в случае электрон-фононного взаимодействия, будет рассмотрен в задаче 16 (см. также задачи 19, 21 и 33).

Что касается мнимой части Е(е,р), то она характеризует затухание квазичастиц. Величина 军=1/(2?(р)) есть время жизни частицы в состоянии с данным импульсом р. Например, электрон, взаимодействующий с фононами, если он движется достаточно быстро, может излучать фононы. В результате движение такого электрона замедлится, что формально проявится в появлении конечной мнимой части у £(%Р)(см. задачу 17). Разумеется, конечное затухание 7 = ImE(s, р) не означает, что сам электрон распадается. Правильная интерпретация затухания заключается в том, что с вероятностью Р(力)=I〈山(力)1 山(。)〉『=ехр(—2?力)состояние электрона за время 力 не изменяется.

Интересно, что в силу причинности ReE и ImE связаны между собой соотношениями, ан алог ичными со о тношениям Крамерса-Кронига. Таким образом, зная ReE, можно найти ImE, и наоборот.

Двухчастичная функция Грина

Из функции Грина G(*p)〉описывающей распространение одной частицы, невозможно получить информацию о связанных состояниях частиц. Поэтому вводится

так называемая двухчастичная функция Грина

k质(/1,死,/3,/4)= 士〈T心(/1)次(出池員冲)1#^/ •(4.16)

Знак «+» соответствует бозонам, а знак «—» — фермионам. Индексы q и b нумеруют частицы (здесь речь идет о различимых частицах).

В невзаимодействующей системе функция 心从/1,..., х^) распадается на произведение одночастичных функций Грина частиц q и Ь:

Kq6(N1 逆2,/3,/4)= Gq(/i - 磔)Gb(x2 一 /4)(4.17)

(если частицы тождественны, то нужно в зависимости от типа статистики прибавить или вычесть произведение функций Грина с переставленными аргументами).

Теория возмущений для функции К& строится точно так же, как для одночастичной функции Грина. Первые несколько диаграмм таковы (рис. 4.6):

Предполагается, что функции Грина в этих диаграммах — точные (т. е. все линии частиц — жирные).

Принято исключать из Kq6(/i,力2,/з,力4)тривиальные слагаемые, вводя вершинную часть「ab(/l,/2；/3,/4)：

к0ь(х1,х2,/3,/4)= Ga(/1 -方)Gb(/2 一/4)+ 2 / Ggi 一其)G—-方)X

xGb(/2 -右)Gb(必-/4)「而(九% 必)心)"%； /.一.-壮.(4.18)

Величина「。台 описывает взаимодействие частиц, ее иногда называют двухчастичной амплитудой рассеяния.

В импульсном представлении величина 几台 имеет вид

(4.19)(4.19)^^1,?2,PЗ,?4)= /「而(/1,/2；磔，/4)小@1"1+…+‘Р4a^) J%]…44/4 ,

(4.19)

(4.19)

где 0е ——4-импульсы. Диаграммы для Га^ выглядят так (рис. 4.7):

ГГ

Г

Г

рие.人.7

Сумма 4-импульсов р* сохраняется: р± + Р2 = @з +04・ Графическим элементам соответствуют обычные аналитические выражения: функции Грина G(p), линии взаимодействия U(p), интегрирование по каждому внутреннему импульсу.

Для двухчастичных функций Грина, как и для одночастичных, оказывается возможным суммирование бесконечных по следовательно с тей диаграмм. Назовем диаграмму дв ухчастично-неприв одимой^ если она не распадается при разрезании любой пары линий G(p). Сумма всех двухчастично-неприводимых диаграмм определяет так называемую неприводимую вершинную часть Г°:

Рис.《8

Пользуясь этим определением, представим любую диаграмму для「砧 как последовательность неприводимых частей, соединенных двумя линиями G(p). Классифицируя диаграммы по количеству двухчастичных сечений, можно убедиться, что амплитуда 「аь(0，удовлетворяет уравнению Бете-Солпитера:

口⑵)=嗚⑵)+ I /嗚侬)G“pi+)G貨S-)「而出)薪,(4.20)口⑵)=嗚⑵)+ I /嗚侬)G“pi+)G貨S-)「而出)薪,(4.20)

口⑵)=嗚⑵)+ I /嗚侬)G“pi+)G貨S-)「而出)薪,(4.20)

口⑵)=嗚⑵)+ I /嗚侬)G“pi+)G貨S-)「而出)薪,(4.20)

рие.人.9

Имея в виду такое графическое представление, неприводимую вершинную часть Г°(3)в (4.20) часто называют также «неразрезаемый кирпич».

Как и одночастичные функции Грина, двухчастичная амплитуда рассеяния может иметь полюсы. Эти полюсы соответствуют связанным состояниям пары частиц (см. задачи 18, 19, а также гл. 3).

Литература: Доказательство правил построения диаграмм приведено в [1], §8,9 и в [6], § 13. О суммировании диграммного ряда для функции Грина с помощью собственно-энергетической части и уравнения Дайсона можно прочитать в [1], § 10 и в [6], § 14. Двухчастичная функция Грина, её связь с амплитудой рассеяния, а также уравнение Бете-Солпитера рассмотрены в [6], § 15,16. Хорошее изложение основ теории полярона, включая применение функций Грина в случае слабой связи и вариационного принципа в случае сильной связи можно найти в [3], гл. 8.

Задачи 16 — 21

Задача 16. (Полярон 6 приближении слабой связи.) Электроны в зоне проводимости полупроводника образуют сильно разреженный газ. При малой концентрации электронов их взаимодействием друг с другом можно пренебречь. В то же время, каждый отдельный электрон, двигаясь в кристаллической решетке, поляризует среду вокруг себя и вызывает сопутствующую ему деформацию. Такой окруженный фононами электрон называется поляроном.

Закон дисперсии полярона Е(р)——не такой, как у электрона. При скорости движения, малой по сравнению со скоростью звука, полярон характеризуется энергией связи Ео и эффективной массой пг*: Е(р)= Е0 + р2/2"*・

Найдите собственно-энергетическую часть £(*Р)в низшем порядке по электрон-фононному взаимодействию (4.6),(4.7). Соответствующий график изображен на рис. 4.10.

£ =£ =

£ =

£ =

Рис.人.10

Электронная функция Грина на рис. 4.10 имеет вид

G(*p)=G(*p)=1е — р2/2т + £61е — р2/2т + £6(4.21)(4.21)

G(*p)=

G(*p)=

1

е — р2/2т + £6

1

е — р2/2т + £6

(4.21)

(4.21)

Положительный знак мнимой части 6 говорит об отсутствии электронов в зоне проводимости полупроводника.

Рассмотрите Е(е, р) вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых |р|《 тс. Получите разложение:

р) =—耿(£ — р2/2т) — а? р2/2^ •(4.22)

Покажите, что величина а2 определяет перенормировку массы т, величина «1 ——перенормировку амплитуды Z функции Грина (4.14), а е0 дает энергию связи. Найдите эффективную массу полярона.

Задача 17. (Черенковское излучение звука.) Величина Е(е, р), найденная в задаче 16, имеет отличную от нуля мнимую часть при v = р/т > с^ поскольку сверхзвуковой электрон может испускать фононы.

Запишите ImE как /W(0)d0, где J ——угол между направлением вылета фонона и импульсом р. Найдите угловое распределение излучаемого звука.

Эту же задачу решите с помощью теории возмущений. Найдите вероятность излучения фонона в единицу времени под углом 0, используя «золотое правило» для вероятности перехода в непрерывный спектр:

dW^ =發 |〈f|%int|i〉『6(瓦—Md%(4.23)

(см. [2], §43, формула (43.1); [3], гл. 8 ).

Сравните результаты. Обратите внимание, что при записи вероятности излучения как ImS, не нужно заботиться о нормировке состояний и о правильной размерности ——все уже предусмотрено определением функций Грина.

Задача 18. (Связанное состояние двух частиц.) Пусть две частицы с массами mi и m2 взаимодействуют по закону U(ri — Г2, й —力2)〉т. е. взаимодействие запаздывающее. Предположим, что запаздывание мало. Ситуации, в которых взаимодействие оказывается слабо запаздывающим, могут быть самыми различными. Например, экситон в полупроводнике ——водородоподобное связанное состояние электрона и дырки. Или, скажем, дейтрон ——слабо связанное состояние протона и нейтрона, взаимодействующих посредством ядерных сил.

Общая задача о связанном состоянии двух взаимодействующих частиц решается с помощью уравнения Бете-Солпитера для двухчастичной амплитуды рассеяния (4.20). Рассмотрим, какие упрощения возникают, если запаздывание взаимодействия отсутствует, или если оно невелико.

(Мгновенное взаимодействие: задача сводится к одночастичной.) Пусть запаздывания нет: «2 = и(Г] — г?) 6(力 1 —力2)・ Покажите, что в этом случае все диаграммы с пересекающимися линиями дают нуль при интегрировании по частотам, а следовательно 唸,р^+^皿=u(办

Выполнив интегрирование в уравнении Бете-Солпитера (4.20), перейдите к импульсам относительно центра масс:

Р = Pi + р2 = рз + Р4 ,(4.24)

к _ 62Р1 — WP2 к _ ЕаРз — WP4mi + m2 7mi + т2

и приведите (4.20) к виду

rP(k,kz)= u(k —『)+ уrP(k,kz)= u(k —『)+ у(4.26)(4.26)U(k —q)I>(q,k/) d?qQo —『/2从 + i0 (2тг)з

rP(k,kz)= u(k —『)+ у

rP(k,kz)= u(k —『)+ у

(4.26)

(4.26)

Здесь приведенная масса 从=mim2/(mi + m2), частота ◎()= ◎ — F2/2M, где полная масса М = mi + m2 и Q = c^i + w2 = ^з + 幻4・ Обратите внимание, что на массовой поверхности относительного движения, где Qq = k?/2从=卜"/2从〉уравнение (4.26) совпадает с уравнением для амплитуды рассеяния F (3.13) с точностью до замены массы на приведенную (см. [1], § 25, пп. 3,4).

б)卜Слабое запаздывание^) Пусть взаимодействие запаздывающее:

(4.27)(4.27)U12 = U(ri — Г2)e-MF/T/(27),

(4.27)

(4.27)

но 丁 много меньше всех других характерных времен. Тогда диаграммы, входящие в неприводимую часть Г°, будут тем меньше по параметру г, чем больше в них пересекающихся линий.

Покажите, что степень г, которой пропорциональна каждая диаграмма, определяется только числом линий взаимодействия. Верно ли это для диаграмм, дающих полную амплитуду Г?

Задача 19*. (Эффективная масса связанного состояния.) Из задачи 18 а следует, что, если составная частица массы М является связанным состоянием двух частиц массы т, взаимодействующих без запаздывания, то М = 2m. (Почему?)

Пусть теперь взаимодействие обладает небольшим запаздыванием, и дается выражением (4.27) задачи 186. Покажите, что масса составной частицы в этом случае есть: 2

М = 2m —胃-/ 腐(г) №иГ)d% , (4.28) где 山о(厂)——основное состояние частицы массы т/2, движущейся в потенциале U(r). Можно ли понять качественно, почему поправка отрицательна?

Для решения задачи перейдите в систему центра масс, движущуюся со скоростью V = Р/2т. Покажите, что взаимодействие в этой системе имеет вид

«2®а) = 1 ~• (4.29) ]+ 丁2(g一vq)2

В области шт《1 можно положить w = 0, т. е. считать взаимодействие мгновенным, и воспользоваться результатом задачи 18 а.

Примером реальной системы, к которой применим изложенный метод, является экситон в по л у пр ово днике, диэлектрическая проницаемость которого обладает частотной дисперсией e(g). Из-за частотной дисперсии кулоновское взаимодействие (4.4), (4.5) между образующими экситон электроном и дыркой становится запаздывающим, что приводит к уменьшению эффективной массы экситона.

Формула (4.29) подразумевает, что переносящие взаимодействие частицы ——нерелятивистские, т. е. подчиняются преобразованию Галилея, а не Лоренца. В релятивистской динамике инертная масса, определяемая с помощью р = М» тождественна массе покоя М = 2m — △石/с?, где ——энергия связи.

Интересно отметить, что знак перенормировки массы связанного состояния, даваемой нашим нерелятивистским вычислением, согласуется с ответом для релятивистского взаимодействия. (Скажем, масса дейтрона md = тр + тп — А^/с2, где А^ — энергия связи дейтрона.) Но, конечно же, рассматриваемый нами эффект не имеет никакого отношения к теории относительности. В частности, изменение массы за счет запаздывания взаимодействия как правило оказывается заметно больше, чем релятивистский дефект массы △石/

Задача 20. (Функции Грина для фермионной цепочки.) Спектр квазичастиц £(р) дается полюсами функции Грина G(%0). Используя этот факт, решим задачу 2 другим способом. Представим гамильтониан (1.20) в виде суммы «невозмущенного гамильтониана» и «возмущения», Нгде

ОО

% = £ (丿1口广电+1 + Jid^^i — 2В臂а) ;(4.30)

TYint =)：(/2电电+1 + /2a^1aj)•(4.31)

Найдите функцию Грина Gugp) для задачи, описываемой гамильтонианом TYq. Нарисуйте графики, сумма которых даёт точную функцию Грина. Обратите внимание, что только четные порядки теории возмущений по 丸也弋 дают вклад. Вычислите каждую из диаграмм, как функцию £ и 化 и просуммируйте ряд.

Задача 21*. (Тяжелая частица 6 ферми-газе.) Рассмотрим атом массы М, движущийся в ферми-газе и взаимодействующий с ферми-частицами. В условиях, когда масса атома М много больше массы фермионов т, рассеяние легких фермионов на тяжелой частице квазиупругое, поскольку при максимально возможном переданном при столкновении импульсе △〃 = 2^0 величина переданной энергии £м = ^р^/2М《Ер.

В отсутствие рассеяния функция Грина частицы дается обычным выражением:

1

G(£，P)= £ -少/2^ + 2()・(4・32)

Чтобы выяснить, как взаимодействие с фермионами влияет на динамику частицы, найдем функцию Грина частицы в присутствии слабого контактного взаимодействия U(r — г') = Х6(г — г').

а) Поскольку фермионы движутся намного быстрее частицы, естественно воспользоваться «адиабатическим» приближением, в котором динамика фермионов исключена и заменена эффективным запаздывающим взаимодействием частицы самой с собой. Покажите, что эффективное взаимодействие возникает во втором порядке по взаимодействию с фермионами А и представляет собой не что иное, как коррелятор плотность-плотность ферми-газа.

Найдите собственно-энергетическую часть частицы в первом порядке по эффективному взаимодействию. Изучите результат при энергии частицы £《ем и

£》^м- Покажите, что при не слишком малом А и е ^ ем перенормировка функции Грина может быть логарифмически велика. Пользуясь теорией возмущений, просуммируйте все логарифмически большие вклады и покажите, что в области энергий ем《£《Ef функция Грина имеет степенной вид

G(*p)=G(*p)=(£—р2/27И + 2О)1+а(£—р2/27И + 2О)1+а(4.33)(4.33)

G(*p)=

G(*p)=

(£—р2/27И + 2О)1+а

(£—р2/27И + 2О)1+а

(4.33)

(4.33)

где показатель степени а зависит от силы взаимодействия А.

Решения

Решение 16. Вычисляем собственно-энергетическую часть

Р)= Ед? / Go(£ — g, р — к) Оо(з)k) — ,(4.34)

где XС2 k2

G 乖，P)= —p2/2m + cUк) = /—c2k2 + id '(4.35)

Интеграл no g берем, замыкая контур в нижней полуплоскости:

71с2 k2ds i ск

丿云g— c2k2 + £0 2开 2 ck — V

где g = £ — (р — k)2/2m, к = |k|. Получаем

№Р)Т/№Р)Т/скd3kе — ск — (р — k)2/2m + £0 (2开尸скd3kе — ск — (р — k)2/2m + £0 (2开尸(4.37)(4.37)

№Р)Т/

№Р)Т/

скd3k

е — ск — (р — k)2/2m + £0 (2开尸

скd3k

е — ск — (р — k)2/2m + £0 (2开尸

(4.37)

(4.37)

Часть интегрирования по d?k можно выполнить точно, если воспользоваться известной заменой переменных ([1], § 21, п. 3) и перейти к интегрированию по |к| и q = |р — к|. Обозначим через х косинус угла между векторами к и р, тогда d?k = 2тгк? dk(lx)a q2 = |р — к|2 = р2 + к2 — 2ркх)и потому qdq = —рк dx. Полу

чаемчаемк®к|)“к®к|)“(4.38)(4.38)Это даетЭто дает2kDS = “У g [ к dk2 27r 20 J2kDS = “У g [ к dk2 27r 20 JР『 ск q dqР『 ск q dq|р-к||р-к|£ — Q2/2m — ск + iQ£ — Q2/2m — ск + iQ(4.39)(4.39)

чаем

чаем

к®к|)“

к®к|)“

(4.38)

(4.38)

Это дает

Это дает

2kD

S = “У g [ к dk2 27r 20 J

2kD

S = “У g [ к dk2 27r 20 J

Р『 ск q dq

Р『 ск q dq

|р-к|

|р-к|

£ — Q2/2m — ск + iQ

£ — Q2/2m — ск + iQ

(4.39)

(4.39)

Интегрируем по х = q2:

X =X =2д тс87r2 夕2д тс87r2 夕кр /1П окр /1П о£ —(0 — k)2/2т — ск£ —(0 + к)2/2т — ск£ —(0 — k)2/2т — ск£ —(0 + к)2/2т — скк2 dk —к2 dk —2д тсх87r02д тсх87r0кр (p+卜产/ к? dk / 6(/ — 2m(s — ck)) dx .О(p—k)2кр (p+卜产/ к? dk / 6(/ — 2m(s — ck)) dx .О(p—k)2(4.40)(4.40)При p < тс собственно-энергетическая часть E вещественна, т. e. полярон стабилен. Эффекты, связанные с распадом полярона при р > тс, мы рассмотрим в следующей задаче.Нас интересует Е вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых р. При малом р《тс вычисляем Е, раскладывая по малым параметрам △ = £ — р2/2т и V = р/т:При p < тс собственно-энергетическая часть E вещественна, т. e. полярон стабилен. Эффекты, связанные с распадом полярона при р > тс, мы рассмотрим в следующей задаче.Нас интересует Е вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых р. При малом р《тс вычисляем Е, раскладывая по малым параметрам △ = £ — р2/2т и V = р/т:X =X =2д тс87r2 夕2д тс87r2 夕к2/2т + (с — &)к — △ к2/2т + (с + v)k — △к2/2т + (с — &)к — △ к2/2т + (с + v)k — △2vk4ZXekск + k2/2m2(ck + к2/2т)22vk4ZXekск + k2/2m2(ck + к2/2т)2к2 dkк2 dk2д тс87r2 夕2д тс87r2 夕2外з〃з、一—一- + ...]k2dk. (4.41)3(乩+//2加)3/"'2外з〃з、一—一- + ...]k2dk. (4.41)3(乩+//2加)3/"'Три члена в скобках дают искомое разложение Е = е0 — &】△ — оь2 m2ml причем интегралы по к легко считаются, так как с《ko/пг〉и поэтому ск в знаменателях пренебрежимо мало по сравнению с к2/2т почти во всей области интегрирования.Три члена в скобках дают искомое разложение Е = е0 — &】△ — оь2 m2ml причем интегралы по к легко считаются, так как с《ko/пг〉и поэтому ск в знаменателях пренебрежимо мало по сравнению с к2/2т почти во всей области интегрирования.ПолучаемПолучаемк3 dkд%%тск + к2/2т47r2к3 dkд%%тск + к2/2т47r2(4.42)(4.42)и, с логарифмической точностью,и, с логарифмической точностью,Q]=Q]=22д т с开222д т с开2к? к3 dkк? к3 dk7 (F + 2тску7 (F + 2тскуg27722c kng27722c kn2^2m3c 23* m2^2m3c 23* m4g27722c4g27722c7 (/ + 2mск，з3*7 (/ + 2mск，з3*me 3me 3(4.43)(4.44)(4.43)(4.44)

X =

X =

2

д тс

87r2 夕

2

д тс

87r2 夕

кр /1П о

кр /1П о

£ —(0 — k)2/2т — ск

£ —(0 + к)2/2т — ск

£ —(0 — k)2/2т — ск

£ —(0 + к)2/2т — ск

к2 dk —

к2 dk —

2

д тс

х

87r0

2

д тс

х

87r0

кр (p+卜产

/ к? dk / 6(/ — 2m(s — ck)) dx .

О(p—k)2

кр (p+卜产

/ к? dk / 6(/ — 2m(s — ck)) dx .

О(p—k)2

(4.40)

(4.40)

При p < тс собственно-энергетическая часть E вещественна, т. e. полярон стабилен. Эффекты, связанные с распадом полярона при р > тс, мы рассмотрим в следующей задаче.

Нас интересует Е вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых р. При малом р《тс вычисляем Е, раскладывая по малым параметрам △ = £ — р2/2т и V = р/т:

При p < тс собственно-энергетическая часть E вещественна, т. e. полярон стабилен. Эффекты, связанные с распадом полярона при р > тс, мы рассмотрим в следующей задаче.

Нас интересует Е вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых р. При малом р《тс вычисляем Е, раскладывая по малым параметрам △ = £ — р2/2т и V = р/т:

X =

X =

2

д тс

87r2 夕

2

д тс

87r2 夕

к2/2т + (с — &)к — △ к2/2т + (с + v)k — △

к2/2т + (с — &)к — △ к2/2т + (с + v)k — △

2vk4ZXek

ск + k2/2m2(ck + к2/2т)2

2vk4ZXek

ск + k2/2m2(ck + к2/2т)2

к2 dk

к2 dk

2

д тс

87r2 夕

2

д тс

87r2 夕

2外з〃з、

一—一- + ...]k2dk. (4.41)

3(乩+//2加)3/"'

2外з〃з、

一—一- + ...]k2dk. (4.41)

3(乩+//2加)3/"'

Три члена в скобках дают искомое разложение Е = е0 — &】△ — оь2 m2ml причем интегралы по к легко считаются, так как с《ko/пг〉и поэтому ск в знаменателях пренебрежимо мало по сравнению с к2/2т почти во всей области интегрирования.

Три члена в скобках дают искомое разложение Е = е0 — &】△ — оь2 m2ml причем интегралы по к легко считаются, так как с《ko/пг〉и поэтому ск в знаменателях пренебрежимо мало по сравнению с к2/2т почти во всей области интегрирования.

Получаем

Получаем

к3 dkд%%т

ск + к2/2т47r2

к3 dkд%%т

ск + к2/2т47r2

(4.42)

(4.42)

и, с логарифмической точностью,

и, с логарифмической точностью,

Q]=

Q]=

22

д т с

开2

22

д т с

开2

к? к3 dk

к? к3 dk

7 (F + 2тску

7 (F + 2тску

g27722c kn

g27722c kn

2^2m3c 2

3* m

2^2m3c 2

3* m

4g27722c

4g27722c

7 (/ + 2mск，з3*

7 (/ + 2mск，з3*

me 3

me 3

(4.43)

(4.44)

(4.43)

(4.44)

Дисперсионное соотношениеДисперсионное соотношениедается уравнением Gg1 — X = 0. Получаем перенорми

Дисперсионное соотношение

Дисперсионное соотношение

(4.45)(4.45)ровку массы

(4.45)

(4.45)

=1 + &2 > 1 •т

Обратим внимание на то, что электрон действительно «одевается», а не «раздевается» ——поправка к массе положи те льн а.

Первое решение 17а. Рассмотрим мнимую часть ImE ——второе слагаемое в (4.40). Аргумент(5-функции попадает в область интегрирования, если

(4.46)(4.46)(0 — к)? < 2m (^ck) <(0 + к)?〉 к)р > 0 .

(4.46)

(4.46)

Это эквивалентно 0 < А; < 2(р — тс), и поэтому мнимая часть отлична от нуля при V = р/т > с. Полная вероятность излучения фонона в единицу времени есть

22)= —2 Im X = 287r022)= —2 Im X = 287r02m(v—с)/ к2dk = о2m(v—с)/ к2dk = оЗтг иЗтг и(4.47)(4.47)

2

2)= —2 Im X = 2

87r0

2

2)= —2 Im X = 2

87r0

2m(v—с)

/ к2dk = о

2m(v—с)

/ к2dk = о

Зтг и

Зтг и

(4.47)

(4.47)

Из ответа (4.47) видно, что излучение фонона происходит при v > с. Вероятность излучения уменьшается при & — с и оказывается равной нулю при v < с.

Теперь найдем распределение по углам. Рассмотрим выражение (4.47) и, вместо того, чтобы брать интеграл по 冗 выразим к через угол вылета фонона В. Конечный импульс электрона q = р —к, а значит q2 = к2 +р2 — 2рк cos В. Исключим q, пользуясь законом сохранения энергии Q2/2m + ск = 02/2пг. Находим

(4.48)(4.48)cos® = (к + 2тс)/2р .

(4.48)

(4.48)

Перейдем от интегрирования по А; к интегрированию по в:

2m(v-c)2m(v-c)8开0/g2(mc)38开0/g2(mc)32g me47r2g me47r/ \2pcos0 — 2mc]2 d\ cos^| о/ \2pcos0 — 2mc]2 d\ cos^| о7Г7Гбкрбкрcos® — 1) sin0 dd,cos® — 1) sin0 dd,00(4.49)(4.49)

2m(v-c)

2m(v-c)

8开0/

g2(mc)3

8开0/

g2(mc)3

2

g me

47r

2

g me

47r

/ \2pcos0 — 2mc]2 d\ cos^| о

/ \2pcos0 — 2mc]2 d\ cos^| о

7Г

7Г

бкр

бкр

cos® — 1) sin0 dd,

cos® — 1) sin0 dd,

0

0

(4.49)

(4.49)

где ®кр = arccos (c/&) — предельное значение угла вылета фонона. Выражение в интеграле (4.49) дает угловое распределение интенсивности излучаемого звука внутри конуса с углом раствора %•

Другое решение 17 а. Воспользуемся случаем, чтобы проиллюстрировать один весьма общий метод, следующий из теоремы унитарности. Он позволяет достаточно быстро находить мнимую часть любого заданного графика. В нашем случае распределение фононов по углам можно получить с помощью этого метода вообще без единого интегрирования.

Физический смысл ImE ——обратное время распада на электрон и фонон. Продукты распада ——реальные частицы, энергия и импульс каждой из них связаны дисперсионным со о тношением. Поэтому для нахождения ImE, достаточно в выражении (4.10) выделить вклад от массовой поверхности промежуточных частиц. Это достигается заменой:

Go(*p) ——> ImGo(*p)=—访6(£ — р2/2пг);(4.50)

7Г

Dq(3)к) —> Im Dq(w, k) = —z— G()(k) (6(g — G()(k)) + 6(g + G()(k))) . (4.51)

Иначе говоря, распаду соответствует ситуация, когда промежуточные частицы не виртуальные, а реальные. Поэтому сразу пишем

г ImE = ig2г ImE = ig2-w,p-k)(2тг尸 Z7T-w,p-k)(2тг尸 Z7T(4・52)(4・52)

г ImE = ig2

г ImE = ig2

-w,p-k)

(2тг尸 Z7T

-w,p-k)

(2тг尸 Z7T

(4・52)

(4・52)

Слагаемое 6(g + w0(k)) в Im Do опускаем, поскольку оно отвечает поглощению фонона, а не испусканию. Получаем

22(P —к)?、d3k da(P —к)?、d3k da(4.53)(4.53)

2

2

(P —к)?、d3k da

(P —к)?、d3k da

(4.53)

(4.53)

Одна(5-функция устраняет интеграл по g:

22」(P —k)2\ d3k」(P —k)2\ d3k(4.54)(4.54)

2

2

」(P —k)2\ d3k

」(P —k)2\ d3k

(4.54)

(4.54)

Берем £ на массовой поверхности:

(4.55)(4.55)( к 、 p 八 k2dk .

(4.55)

(4.55)

Im X = —-Q c / 8 I — + c — — cos J -—— sin J d0 .

4"丿\2m m /(2开产

Вторая(5-функция устраняет интеграл по /с, и мы вновь приходим к распределению (4.49).

Решение 17 б. Чтобы найти матричный элемент перехода, рассмотрим гамильтониан взаимодействия электрона с акустическими фононами:

(4.56)(4.56)注nt = g £，兑/2『辰冲…。©)+ &+e-z(kr-W0(k)t)]

(4.56)

(4.56)

(cm. (6.6)). Здесь Go(k) = c|k|, r — координата электрона, V — объем системы, а сумма по к, в соответствии с моделью Дебая, ограничена |к| < к。. Находим вероятность распада, пользуясь «золотым правилом»:

(4.57)(4.57)dW^t = (27Г/П) |(f|?iint|i)|2<5(^ - Е^ 如

(4.57)

(4.57)

В начальном состоянии импульс электрона р, в конечном имеются электрон и фонон с импульсами q и к соответственно. Находим матричный элемент

(4.58)(4.58)

(4.58)

(4.58)

Возводя его в квадрат, учтем что, согласно известному правилу, квадрат(5-функции записывается так:

(4.59)(4.59)(6⑶(Р — q — к))2 = (2开)3丿 6⑶(р — q — к).

(4.59)

(4.59)

Вероятность перехода d阴т есть:

(2开)3丿 6⑶(к + q — р) ^^ 27r S (ck +『/2/71 —状分加)；；；"•(4.60)

Интегрируем no q и переходим к новым переменным: длине вектора к и углу В. Получается

dW^i = ^~^6 (ск +(0 — k)2/2т — р2/2т^ d3k

= тд ск —cos® — с)) d(cosJ) dk .(4.61)

27r

Интегрируем по к:

2

dW^i = —д2m3(v cos® — c)2 sin В М .(4.62)

Это выражение отличается от (4.49) множителем 2, что в точности соответствует связи времени жизни 丁 с затуханием 7: г-1 = 2).

Решение 18. Диаграммы для запаздывающего взаимодействия двух частиц нетрудно получить из 5-матрицы:

ТХТ2 ехрТХТ2 ехрzпzп21 -/2)必+(/2)以此)21 -/2)必+(/2)以此)(4.63)(4.63)

ТХТ2 ехр

ТХТ2 ехр

z

п

z

п

21 -/2)必+(/2)以此)

21 -/2)必+(/2)以此)

(4.63)

(4.63)

где x =(力г). Хронологическое упорядочение мы обозначили через Т1Т2〉чтобы лишний раз подчеркнуть, что частицы различны. В импульсном представлении взаимодействие имеет вид

(27Г)4/圖賑3區％4 U(k)6(pi — Рз + %) 6(,2 — Р4 — %) d4k.(4.64)

Вершину Г определяем, как обычно, через двухчастичную функцию Грина:

(4.65)(4.65)К12,34 =(27Г)8%|,РЗ脇3G0)(P1)G俨S) + Gf)Si)G俨S) X x G0)(p3)G俨(p4)江piw2w3w4(2")%1+p2,р3+р4 ，

(4.65)

(4.65)

Разлагая 5-матрицу в ряд, получаем графики для Г, показанные на рис. 4.7. Переставляем члены ряда, выделяя сумму графиков, дающую неприводимую вершинную часть Г°. Затем действуем точно так же, как при выводе интегрального уравнения для амплитуды рассеяния F в задаче 11. Получаем уравнение Бете-Солпитера:

(4.66)(4.66)□ ,2,3,4 = Г；,2,3,4 + 2 /f；,2,1+,2-Go(Pi+) G。侬-)Г1+,2-,3,4^^ •

(4.66)

(4.66)

Если нет запаздывания, линия взаимодействия не зависит от переданной частоты: U(cu,k) = U(k). Рассмотрим поправки к Г второго порядка (рис. 4.11:

Рис. /."

В первом графике интеграл по частотам дает нуль:

/ G^(e1- ")G俨⑸一")加=/ Q -器_"2)= 0，(4・67)

поскольку оба полюса подинтегрального выражения:

“1 = Ei —慰+/2nzi + i6, “2 = &2 —虐_/2祖2 + £6,(4.68)

лежат в верхней полуплоскости. Нетрудно видеть, что по этой же причине обращается в нуль любой график более высокого порядка с пересекающимися линиями взаимодействия.

Отсутствие вклада графиков с пересекающимися линиями взаимодействия становится еще более очевидным во временном представлении, поскольку G。(力 г) = О при t < 0 в силу причинности. Например, первому графику рис. 4.9 соответствует выражение:

// U(ri2)U(r34)Gp)(方2 一%1#42)6/(方1 -12>31)也4切，(4.69)

тождественно равное нулю при всех 九 t2 (обозначение:「払=% — 口).

Второй график отличен от нуля, поскольку входящие в него функции Грина имеют полюсы по разные стороны от вещественной оси. Однако этот график не входит в Г°, поскольку он приводим: вертикальной линией его можно разрезать на два графика первого порядка.

Итак,

『М,Р23+%Р2Г = U^^

Подставив это выражение в уравнение Бете-Солпитера, замечаем, что если Г° не зависит от переданной частоты, то и Г обладает тем же свойством. Следовательно, вся зависимость от частоты определяется функциями Грина промежуточных состояний G⑴ и G⑵，а поэтому интегрирование по частоте точно такое же, как для второго графика на рис. 4.9:

2 (g0)© - a)G 俨他2 + “)史=,(4.71)

//2日 E1 + 52 — 01+/2机］一，2_/2机2 + £0

где Pi± = рь 土 к. Преобразуем знаменатель, разделив кинетическую энергию на энергию центра масс и энергию относительного движения:

(4.72)(4.72)р2 , р"р2 , Ротн п „ ,- mipz

(4.72)

(4.72)

оЬ о〉Р = р + р , Ротн =.

2mi 2ш2 2M 2从mi + m2

Для р = Р1+ = pi + q, pz = р2- = Р2 — q эти тождества дают

(4.73)(4.73)р*pj _ Г?q?

(4.73)

(4.73)

2mi2m2 2М 2从'

и мы получаем ядро интегрального уравнения (4.26).

(4.74)(4.74)Порядок графика по 丁 проще всего найти во временном представлении. Рассмотрим вклад в Г°, содержащий N пересекающихся линий взаимодействия. Интегрирование по временам производится по (2N — 1)-мерной области в координатах

(4.74)

(4.74)

丁1 =力2 一力1) T2 =力3 一力1) • • •) 丁2N_1 = ^2^ —力1 .

По последней ((2^ — 1)-й) временной координате нет необходимости интегрировать в силу трансляционной симметрии во времени. При этом величина области интегрирования по каждому из (2N — 1) времен порядка г.

Следовательно, степень 丁 можно оценить как 丁(2N—1)+(—N)_ 丁^—i Первое слагаемое в степени возникает от (2^ — 1)-кратного интегрирования, а второе — из-за нормировки потенциала. Получается, что степень по 丁 вклада Nro порядка в Г° определяется только количеством линий взаимодействия и не зависит от того, как именно они пересекаются.

Подчеркнем, что данная оценка эффективной величины области интегрирования по времени верна только в случае, когда никаким сечением график нельзя разбить на два вклада в Г° более низкого порядка. Поэтому оценка 丁~-1 дЛЯ величины вклада Л^го порядка в Г° подразумевает неприводимость диаграммы.

Распространим полученный результат на графики, дающие полную амплитуду рассеяния Г. Степень 丁 для таких графиков зависит не только от числа линий взаимодействия ^, но и от количества двухчастичных сечений М. Модифицируя оценки, приведенные выше, находим: 丁 .

Решение 19. Найдем закон преобразования фурье-компоненты взаимодействия при переходе в движущуюся систему отсчета. Будем считать, что частицы, передающие взаимодействие,——нерелятивистские, и значит, можно пользоваться преобразованием Галилея г' = г — v力 力/ = t. Переходя в систему отсчета, движущуюся со скоростью V вдоль оси х, получаем

“(q〉G)= /е~щг+г^и(г — vt, t) d3r dt = U^u — vq^ .(4.75)

Для взаимодействия U(r^ t) = (U(『)/2t) &一罔片 находим

" (仇g)=" (仇g)=1 + 丁2(g一 &&)21 + 丁2(g一 &&)2

" (仇g)=

" (仇g)=

1 + 丁2(g一 &&)2

1 + 丁2(g一 &&)2

При рассмотрении сдвига энергии, вызванного движением, порядок действий будет следующим. Сначала мы перейдем в систему центра масс, движущуюся со скоростью V = Р/М, а затем положим w = 0, что соответствует пределу взаимодействия без запаздывания. Преобразование (4.75) даст поправку к потенциалу, возникающую из-за движения. Зная ее, можно найти сдвиг энергии основного состояния для относительного движения. А этот сдвиг, в свою очередь, и определяет поправку к массе. Как мы увидим, такой метод является корректным, если 丁《 力/£()〉где во —— энергия связи.

Может показаться, что пренебрегать в (4.76) зависимостью от g〉сохраняя при этом зависимость от г?, не вполне правильно, поскольку и та и другая зависимости имеют одинаковую малость по г. На самом деле наши действия оправданы, и проще всего в этом убедиться можно следующим способом. Запишем формально скорость как V = А/т, и будем считать параметром разложения А, а не &. При этом в выражении (4.76) уже можно перейти к пределу г = 0, не нарушив при этом зависимости от А:

%(q, а)= 广U(q)- 2《U(q)+。①.(4.77)

丄十\tШ -人%丿

Пр ене бр ежение 幻丁 оправдано, поскольку частота g в уравнении Бете- Солпитера (4.20) оказывается порядка энергии связи £()〉 а с другой стороны, 丁 < ^До

полученное в результате приближения (4.77) взаимодействие не зависит от частоты, и, согласно задаче 18 а, уравнение на вершинную часть принимает вид

rP = U + UGQrP.(4.78)

Здесь Гр, U и Go ——операторы, действующие на состояние частицы массы т/2 в поле U〉а функция Грина С。= 1/(QO — ?2/т + ^0). Полная функция Грина, записанная в операторном виде, есть

G = G0 + GofpGo =/ J —•(4.79)

Взяв основное состояние \QV) уравнения Шредингера с потенциалом Uv (4.77) и массой т/2, находим закон дисперсии:

万2 с

◎о =〈。普|И Uv |0普〉•(4.80)

m

Для первой поправки к уровню энергии достаточно взять матричный элемент по невозмущенному состоянию |0普〉普=о. Подставляя ◎()= ◎ — F2/4m, а вместо Uv ——фурье- образ выражения (4.77), получаем

°— &2〈3 С u(q)l°〉•(4.81)

Для центрально-симметричного взаимодействия U(q) = U(|q|) основное состояние тоже симметрично, и можно усреднить j по направлениям:

〈或〉=厂/3 •(4.82)

Заменяем & на Р/2т и q2 на —V2:

◎ = £о + р2(^h —-―2 (0| V2U |O)o^ •(4.83)

Таким образом, эффективная масса есть

м=(^- + 工〈0| ^202m — (2t2/3)〈OV2u|0〉o .(4.84)

То что запаздывание приводит к уменьшению эффективной массы, можно понять так. В движущейся системе взаимодействие «отстает» от частиц, и эффективно уменьшается. Потенциальная яма становится более мелкой и уровень выталкивается вверх. Поэтому оба эффекта, возникающих вследствие движения, — кинетическая энергия центра масс и выталкивание уровня из-за ослабления потенциала, имеют одинаковый знак.

В действительности, задачу можно решить вообще без диаграмм. Из-за запаздывания частица «видит» вторую частицу не в точке г, а в точке г' = г — vt. Поэтому эффективный потенциал, действующий на нее, несколько отличается от U(『). Поправку к потенциалу, малую при vt《 厂“ где『о ——размер волновой функции связанного состояния, нетрудно найти, разлагая U(|r — v力)в ряд по малому t. При этом вклад от члена разложения первого порядка сокращается при интегрировании по углам, и необходимо рассмотреть второй член разложения:

и

8U^ = -—-vav^.(4.85)

огаог0

Усредняя это выражение по 力(по распределению (2т)-1 ехр(—|t|/r)) и по г (по распределению I以『)『)〉снова получаем (4.83).

Интересно сравнить результат (4.83) с массой полярона, которая всегда больше массы электрона. В обоих случаях изменение массы происходит благодаря запаздыванию взаимодействия. Разные знаки поправки к массе отвечают разной физике. В случае полярона, состояние, о массе которого идет речь, существует и без взаимодействия. Связанное же состояние двух частиц само возникает благодаря тому самому взаимодействию, которое перенормирует массу.

Решение 20. Перейдем в фурье-представление и, согласно (1.36), запишем гамильтониан в виде 7Y = % + где

7Г7Г

丸0 = / £q 口^"旬 2к〉丸int = / 〃丿2 Sin Q (a_q(2q + O^LqO^) ^〉(4.86)

—7Г—7Г

где eq = 2( J】 cosq — В). Функция Грина «невозмущенной» задачи:

Go (% q) = 1/(е — 与 + 6 signer).

(4.87)

В соответствии со структурой 7Yint, в диаграммной технике есть две вершины «взаимодействия», сопряженные друг другу (рис. 4.12):

V= ^^О^ +< •

Р〃с. J.I2

Этим двум вершинам соответствуют выражения 2£办 sinq и — 2分丿2 sinq соответственно. Поправки к функции Грина, вычисленные по теории возмущений, имеют вид (рис. 4.13)

一—+ -^~О y • А

Е,рЕ,р -Е,-р Е,р

+ —^-О—*―• - О < •~^ + …

Ер —Е,—р Е,р —Е,—р Е,р

Рис. 4^3

Обратим внимание на то, что знаки е чередуются. Так получается потому, что по правилу сохранения 4-импульса в вершине, сумма е& всех входящих линий равна сумме Е&/ выходящих линий, если они есть, или нулю, если выходящих линий нет. То

же самое справедливо для импульсов.

Из-за чередования знаков отличны от нуля только поправки четного порядка, причем в каждом порядке 2п имеется всего один график. Этому графику соответ

ствует выражение

(-4冴 sin2 q广 G”(* q)G^-£,-q).(4.88)

Сумма по п представляет собой геометрическую прогрессию. Получаем

G(*q)=

Go(* q)

1 + 4 因 siii2qGo(%q)Go(_E)—q)

E + 2(Ji cosq—5)

広2 — 4((Л cos q — В)? + J^ sin2 q) + £6

(4.89)

Спектр определяется полюсами: е = ±2,(Л cosq — В)2 + 因 sin2 q. Знак мнимой ча

сти £8 в (4.89) указывает, что верхняя ветвь соответствует пустым состояниям, а

нижняя ——заполненным.

Решение 21 а. Эффективное взаимодействие может быть выражено через двухчастичную функцию Грина фермионов:

n(w, г) = 2г / G(s+, r)G( j г)窮,£± = £ 士 g/2 .(4.90)

Функция Грина в координатно-частотном представлении,

= _^^e'sign»(e)m ,以£)=(風 + 2ms)1/2(4.91)

была найдена в решении задачи 22 (см. (5.25)), а множитель 2 в (4.90) возникает из-за спинового вырождения.

Выражение (4.90) есть не что иное как поляризационный оператор ферми- газа n(w, к) в координатно-частотном представлении. Поляризационный оператор n(w, к) будет найден в задаче 24 а при малых g《Ер и |к|《 夕。(см. выражение (5.39)). Однако, хотя характерная энергия отдачи при рассеянии тяжелой частицы на фермионах оказывается много меньше Ер^ характерный переданный импульс может оказаться порядка 夕＞ Поэтому нам потребуется более общее выражение для II(g〉к), справедливое при малых g《Ер и произвольных к. В принципе для отыскания n(w, г) можно было бы воспользоваться точным выражением (8.53) для II(G〉k)〉 которое будет получено в задаче 44, однако оказывается более удобным перейти к пределу g《Ер непосредственно в выражении (4.90).

Чтобы установить связь между эффективным взаимодействием 14任(G〉r) и поляризационным оператором, обратим внимание на роль частотной дисперсии 14任(幻〉г). Как было выяснено в задаче 18, в отсутствие частотной дисперсии (т. е. для мгновенного взаимодейстия) все диаграммы с замкнутыми петлями обращаются в нуль в силу аналитических свойств функции Грина частицы, выражающих принцип причинности. Поэтому в отсутствие частотной дисперсии все поправки к функции Грина частицы тождественно равны нулю. Принимая во внимание это обстоятельство, а также то, что нас интересуют малые переданные частоты g《Ер^ оказывается удобным явно выделить зависящую от g часть поляризационного оператора (4.90). В результате эффективное взаимодействие может быть записано следующим образом:

14任г) = A2 (II(g〉г) — n(w = 0, г)) .(4.92)

Величина 〃(£)в интересующей нас области |е| 《Ер практически постоянна, поэтому заменим 〃(£)в (4.91) на 〃(£ = °) = Ро・ Интеграл по £ в (4.90) после этого вычисляется элементарно:

Kffbr)=2^ sin=(4.93)

尸(г)=万車 Sin2(po|r|).(4.94)

Обратим внимание на то, что найденное выражение для 匕任(g〉к) есть произведение функций g и г. Такая факторизация справедлива лишь в пределе \ш\《Ер и не имеет места для точного поляризационного оператора (8.53).

Перейдем в импульсное представление:

匕住(“上)=-i|w| у Р(г)еТкрЗг = -i|w|F(k)(4.95)

Интеграл по d?r нетрудно вычислить в полярных координатах:

== ^2川｛卜Lпри jkj 5 瓷也96)

Отсечка при |k| = 2Po в полученном выражении (4.96) означает, что при рассеянии с малой передачей энергии переданный импульс не может быть больше диаметра ферми-сферы 2Po.

Решение 21 б. Рассмотрим собственно-энергетическую часть функции Грина тяжелой частицы:

»(* Р)= 〃 / Go(£ — g, р — k) %任(g〉k)(2开)з 万〉(4.98)

где

1〜

G。伍P)= е т/9а丄 X, 匕任(以上)=-zUF(k)・(4.99)

Поскольку %任(G〉k) ос |w|, интеграл по w в (4.98) формально расходится. Эта расходимость есть следствие приближенного характера нашего выражения (4.95) для 14fb справедливого лишь при \ш\《Ер. Регуляризуем интеграл по G〉улучшив его сходимость за пределами области —幻。< g < 幻。〉где 幻。^ Ер. Такая регуляризация требует некоторой осторожности, поскольку взаимодействие 14任(s〉k) должно удовлетворять общим требованиям аналитичности по G. Так, при аналитическом продолжении с полуоси g > 0 должно получаться запаздывающее взаимодействие (аналитичное в верхней полуплоскости Ims > 0), а при продолжении с полуоси g < 0 ——опережающее взаимодействие (аналитичное в нижней полуплоскости Ims < 0).

Требуемым условиям аналитичности можно удовлетворить, например, регуляризовав выражение для 匕任(s〉k) следующим образом:

W，k) = T|a|(. ?)凤k),(4.100)

十 |G| 丿

где п ——достаточно большое положительное число.

Теперь проинтегрируем выражение (4.98) по g. Заметим, что если бы функция 14任(g〉к) была аналитична в полуплоскости Ims < 0, то интеграл был бы равен нулю по теореме Коши. Поэтому удобно вычесть из интеграла (4.98) такое же выражение, в котором функция 14任(G〉k) при g > 0 заменена на результат аналитического продолжения с полуоси w < 0. Действуя таким образом, получаем

гдегде£(*р)£(*р)£,p-k)F(k)—,£,p-k)F(k)—,(4.101)(4.101)p?-2М~ ~p?-2М~ ~i8. (4.102)i8. (4.102)

где

где

£(*р)

£(*р)

£,p-k)F(k)—,

£,p-k)F(k)—,

(4.101)

(4.101)

p?-

2М~ ~

p?-

2М~ ~

i8. (4.102)

i8. (4.102)

(При интегрировании по w > 0 мы обрезали интеграл на g =幻。〉воспользовавшись быстрым убыванием подинтегрального выражения в (4.100) при g》幻。.)Заметим, что вторым слагаемым —з"不 в выражении (4.102) для /(£〉р) можно пренебречь, поскольку его вклад в Е(е, р) сводится к константе, дающей поправку к химическому потенциалу частицы из-за взаимодействия с ферми-газом. Кроме того, под знаком логарифма в (4.102) можно пренебречь Z,p по сравнению с g().

Интеграл по d?k в выражении (4.101) можно вычислить следующим образом. Перейдем к переменным А; = |к| и q = |р — к| по формуле (4.38):

£(*р)=£(*р)=(4.103)(4.103)

£(*р)=

£(*р)=

(4.103)

(4.103)

Интегрирование по области |р—к| < q < р + к дает

(4.104)(4.104)8е,р(к)=彥d [1 + 2 In(Wo/ж)] 1^ , /土 =⑦2 J£ -iS.

(4.104)

(4.104)

С учетом (4.96) получается следующее выражение:

(4.105)(4.105)

(4.105)

(4.105)

Интегрирование в (4.105) элементарно. Однако по л уч ающее ся выражение весьма громоздко и мы не будем его выписывать.

Рассмотрим собственно-энергетическую часть Е(е, р) отдельно при энергиях частицы £ больших и малых по сравнению с ем = 2优[М. Для нахождения асимптотик явное выражение (4.105) оказывается не очень удобным. Более простой путь ——вернуться к выражениям (4.101), (4.102) и выполнить разложение:

(4.106)(4.106)丄Т [ In (2Mw0/k2) + 1 при |р| < |к|,7Г £,р [ In (“о/£,р)при |р|》|к|,

(4.106)

(4.106)

где во всех случаях подразумевается, что £ ~ р2/2М, поскольку нас интересует окрестность массовой поверхности частицы. В разложении (4.106) мы опустили независящие от £ и р члены, поскольку они дают лишь не суще с твенный сдвиг химического потенциала частицы, а также члены пропорциональные рк, поскольку они обращаются в нуль при интегрировании в (4.101).

Нас интересует область не слишком больших энергий £《з? ^ Ер. В этой области логарифм в выражении (4.106) оказывается большим, и поэтому собственноэнергетическую часть (4.101) достаточно вычислить с логарифмической точностью:

(4.107)(4.107)ЖJ 1п Н/£м) при £

(4.107)

(4.107)

' Р £，Р [ In (“o/Z,p) при £м < £ < Wo , 7

где а = ^Е=о = ^т2"^/(2^). Поскольку 耍炉=—G-i(£,p), перенормированная функция Грина

&(%Р)= 1/(£ — р2/2М — Е(е, р)) (4.108) имеет полюс при £ = р2/2М. Получается, что взаимодействие с ферми-газом никак не влияет на закон дисперсии тяжелой частицы. Иными словами, найденная собственно-энергетическая часть дает только перенормировку вычета а в разложении G伍 р) = а/(£ — р2/2М + £6) вблизи полюса.

Обсудим перенормировку вычета а более подробно. Как следует из (4.107), поправка к вычету имеет порядок величины a In {ш^/бм\ А поскольку то даже при малом а эта перенормировка может быть весьма большой. Представляет интерес рассмотреть задачу при

а《1, а In 》1 • (4.109)

В этой области, с одной стороны, все еще можно пользоваться теорией возмущений по малому а, а с другой стороны ——перенормировка функции Грина оказывается весьма сильной.

Чтобы найти функцию Грина, воспользуемся приемом, носящим название метода ренормгруппы (см. задачу 13). Рассмотрим как функция Грина G伍р) зависит от параметра ультрафиолетовой обрезки w0- Зная эту зависимость, можно восстановить зависимость G от е и р, поскольку вся зависимость от 幻。может быть выражена через безразмерный параметр G()/Z,p. Чтобы получить зависимость от 幻。полезно рассмотреть производную dG/дшо и вычислить ее, дифференцируя по отдельности члены диаграммного ряда для G. (Ход рассуждений при этом напоминает решение задачи 13.) В низшем порядке по константе связи А уравнение ренормгруппы имеет следующий вид:

= -G(£,p). (4.110)

В уравнении (4.110) мы использовали выражение (4.107) в области ем《£《w0- Решая уравнение dinG/дшо = q/g()〉получаем степенную зависимость G ос 幻自.Отсюда получаем, что зависимость функции Грина от £ и р имеет степенную форму (4.33), причем коффициент а。в (4.33) есть 幻自.

Ренормгруппу в задачах такого типа, вообще говоря, следует применять более аккуратно, учитывая наряду с поправками к функции Грина также и поправки к вершине взаимодействия. Приведем для знатоков соответствующее вычисление.

Затравочные функция Грина и вершина взаимодействия есть G°(%p) = 1/(£ — р2/2М + Е8) и Г° = А. Запишем перенормированные величины в виде

G(% р) = Z⑹ Gog р), Г(0 = g⑹ А,(4.Ш)

где функции Z и д, зависящие от § = 1п(&о/е), описывают ренормировку в результате интегрирования по степеням свободы с энергиями е < Е < cjq. При этом уравнение (4.110) перепишется так:

dZ/d^ = aZ3g2(4.112)

(а = ^^р^/Зтг4, как и выше). Теперь необходимо замкнуть систему уравнений, добавив уравнение ренормгруппы для д(§)・ Нетрудно проверить, что поправка к вершине Г° = А в низшем порядке по взаимодействию дается диаграммой, показанной на рис. 6.2. Эта диаграмма содержит логарифмическую расходимость:

5Г = —аЛ1п(о；оА)(£》£ти) •(4.113)

С учетом вида перенормированных величин (4.111) получаем уравнение ренормгруппы для взаимодействия:

дд]д£ = -aZ2g3 .(4.114)

Решим теперь систему уравнений (4.112), (4.114) с начальным условием Z(0) = g(0) = 1. Нетрудно проверить, что эти уравнения оставляют инвариантной величину Zg. Поэтому g = 1/Z при всех §.

Это позволяет переписать уравнение для Z в виде dZ/d^ = aZ, что дает Z(g) = §°. Таким образом, более аккуратное рассмотрение приводит к той же самой степенной зависимости (4.33). При этом выясняется, что ослабление взаимодействия вследствие перенормировок тоже описывается степенной зависимостью:「(£)=入(£/公0尸.

Г^пава 5 •

Идеальный ферми-газ

Электроны на ферми-поверхности

В этой главе собраны некоторые задачи, касающиеся свойств идеального ферми- газа. Строго говоря, все они могли бы быть решены без применения диаграмм. (Идеальный газ —— вещь простая!) Однако, поскольку ферми-газ нас интересует, в основном, как возможность опробовать диаграммную технику, мы не будем использовать другие методы расчета.

Помимо этого, следует сказать, что в задачах с взаимодействием, которые будут рассмотрены в следующих главах, вычисления во многом опираются на более простые вычисления для идеального газа. Оказывается, что в диаграммах с взаимодействием можно выделить так называемые элементарные блоки. Выражения, соответствующие этим блокам, по своему виду такие же, как для идеального газа. Например, поляризационный оператор, возникающий в теории электрон-фононного взаимодействия и в теории ферми-жидкости, по своим свойствам оказывается близок к восприимчивости идеального газа (см. задачи 24, 31, 44 - 46).

Остановимся на важном свойстве симметрии ферми-газа. Речь идет о так называемой электрон-дырочной симметрии на ферми-поверхности^ имеющей место при энергии электрон-дырочных возбуждений малой по сравнению с энергией Ферми. Как правило, интересные длинноволновые и низкочастотные эффекты в ферми- газе и ферми-жидкости связаны с возбуждениями вблизи уровня Ферми. Поэтому логично при вычислении таких величин выделять этот вклад заранее. Для этого пользуются следующим техническим приемом. Во всех диаграммах пренебрегают зависимостью плотности состояний 〃(£)вблизи уровня Ферми от энергии £ = £(夕)〉 и полагают 〃(£)= % = ро^/(2тг2^3). При этом интегралы по импульсам преобразуются следующим образом:

Л.. т/ ...dndg,(5.1)

—OQ |n|=l

где n = p/|p| — единичный вектор. На жаргоне это называется «переход от инте-

грирования по р к интегрированию по £». Метод интегрирования по £ обязан своей популярно с тью обеспечиваемой им точной симметрии между частицами и дырками с произвольной энергией, а не при £ = £f (см. задачу 25), и помимо этого тому обстоятельству, что интегрировать по £ обычно легче (см. задачи 23, 24).

Следует отметить, что электрон-дырочная симметрия является приближенной. Однако, поправки, нарушающие эту симметрию, оказываются важны только если в задаче существенны состояния, далекие от уровня Ферми. Возможность перейти при рассмотрении какого-либо графика к интегрированию по £ означает, что изучаемый эффект «сидит на ферми-поверхности». В задачах этого и следующих разделов интегрирование по £ окажется весьма полезным.

Формула Кубо.

В этом пункте мы рассмотрим задачу о нахождении динамической восприимчивости, описывающей какой-либо линейный отклик системы на переменное внешнее поле. С практической точки зрения, вопрос о восприимчивости представляет существенный интерес, поскольку большинство величин, измеряемых экспериментально, имеют характер линейных откликов (см. гл. 11). Стандартный метод работы с восприимчивостью использует запаздывающие и опережающие гриновские функции (см. формулу (5.10)), а также, в более сложных случаях,——мацубаровскую температурную технику и аналитическое продолжение с мнимых дискретных частот на действительные вещественные (см. формулу (7.28)). Но если система невзаимодействующая, можно поступить проще.

.82 (.82 (Восприимчивость величины А по отношению к величине В, дается так называемой формулой Кубо

.8

2 (

.8

2 (

(5.2)(5.2)产dt ,

(5.2)

(5.2)

вывод которой приведен, например, в [5], § 126. Чтобы найти среднее коммутатора в (5.2) по основному состоянию системы невзаимодействующих частиц, запишем операторы Л и В в представлении вторичного квантования:

n⑴=e4^党次夙力）=n⑴=e4^党次夙力）=(5.3)(5.3)

n⑴=e4^党次夙力）=

n⑴=e4^党次夙力）=

(5.3)

(5.3)

Теперь подставим эти выражения в коммутатор ([Л(^), В(0)]), и раскроем среднее по теореме Вика. Результат выглядит так1:

(5・4)

х3десь мы будем считать температуру равной нулю. Отметим, однако, что вычисление по формуле Кубо всегда легко распространить на конечные температуры. При Г > 0 усреднение в (5.2) берется по равновесному термодинамическому состоянию, и при взятии среднего по теореме Вика возникают зависящие от температуры числа заполнения состояний частиц. Например, для фермионов в (5.4) следует положить п(Е) = 1/(еЕ^Т + 1).

Это выражение справедливо как для ферми-, так и для бозе-статистики. Если собственные функции и матричные элементы Ат^^ Вт^ известны, выражение (5.4) позволяет найти восприимчивость 2. В случаях же, когда собственные функции неизвестны, формула (5.4) не особенно полезна.

Для таких более сложных случаев полезно иметь выражение восприимчивости непосредственно через функции Грина. Как известно, причинные функции Грина

G%/,#) = -“Т%⑵若(а/)〉,(5.5)

введенные в (2.8), полностью описывают основное состояние системы и дают все статические свойства3. Однако, оказывается, что изучать динамику с помощью этих функций нельзя (см. решение задачи 246). Чтобы преобразовать выражение (5.4) к форме, содержащей гриновские функции, нужно использовать запаздывающие и опережающие функции Грина.

Напомним определение запаздывающей и опережающей функций G& (力〉力‘)и G* (力/). Эти функции связаны с причинной функцией Грина так:

У(56)

В частотном представлении GR(s) и GA(s) имеют простой смысл: они дают разложение G° на функции частоты, регулярные, соответственно, в верхней или в нижней полуплоскости. Например, в случае фермионов

GR⑷(*р) = 1/(£ —&р) 士汕(5.7)

соответствуют вкладам частиц и дырок в причинную функцию Грина:

GY* р) = (1 - n(p))GR(£, р) + п(р)Сл(£, р)=

= 1 — Мр) Мр)

—£ Т(р) + zb 十 £ Т(р)

/、/1, |р| < Ро ,,

где п(р) = j °jpj > 夕 —фермиевская функция распределения.

Чтобы выразить восприимчивость через GR(s) и G*(£)〉представим энергетический знаменатель в (5.4) в виде интеграла по вспомогательной переменной:

1 _

1

(de

Ek — Ет—ш — iS

2ttJ

(£— Ek — £6)(£ — Em+£6)

=^— У °置'+ “)°^(£)厶，(5.9)

2Например, для идеального ферми-газа собственные функции — плоские волны, а матричные элементы операторов — просто их фурье-компоненты, так что нахождение любого линейного отклика с помощью (5.4) — по существу, тривиально (см. задачи 24, 25).

3Например, распределение плотности, спина, статическую поляризуемость (задачи 7, 8, 14, 23)

где G^(e + а) и 6氣£)— запаздывающая и опережающая функции, взятые в диагональном представлении. Подставляя это выражение в (5.4), получаем выражение для во сприимчиво сти:

х(а) = ±/п( [»(£ + “)夙 0(£阈万)d£・(5.10)

Здесь р ——матрица плотности системы (в диагональном представлении 乐卜 = n(Em)6mk)] выражение в квадратных скобках представляет собой коммутатор операторов 6*(£ + ш)В и GR(e)A.

Основное преимущество выражения (5.10) по сравнению с (5.4) в том, что оно верно в произвольном базисе и, значит, может быть использовано даже если собственные функции неизвестны. Наиболее важный пример такой ситуации представляют задачи о проводимости и диффузии фермионов в случайном потенциале, которые мы рассмотрим в гл. 9. В случайном потенциале собственные функции меняются от одной реализации потенциала к другой, в то время как интерес представляют величины, усредненные по случайному потенциалу. Мы увидим, что усреднять функции Грина и их произведения оказывается гораздо удобнее, чем действовать «в лоб», используя (5.4).

Литература: Основное состояние и корреляционная функция идеального ферми- газа рассмотрены в [3], § 9.1-9.3 без использования вторичного квантования. Интересно сравнить этот подход с более стандартным изложением ——см. [5], § 53, 55 -58, а также [6], § 1 и [1], §2. Определение и свойства функции Грина идеального ферми-газа обсуждаются в [6], § 9,10. Обобщенная восприимчивость и формула Кубо рассмотрены в [5], § 123,126. С применениями идеального ферми-газа в теории многоэлектронного атома можно ознакомиться по [2], § 70, а с применениями в теории металлов ——по [3], гл. IX и [6], § 61.

Задачи 22 — 27

Задача 22. (Функция Грина 6 координатном представлении.) Найдите функцию Грина G伍巧—г2) при |巧—г21Po》1 двумя способами: сначала интегрируя по £ от —ос до +ос, а затем точно, интегрируя по d3p. Сравните результаты.

Задача 23. (Эффект Рудермана-Киттеля.) В ферми-газе находится локализованный спин S, взаимодействующий с локальной спиновой плотностью электронов:

注 nt = JS 皆(г = 0),(5.11)

где》')=W(r)成 0*)(г).7

Найдите распределение поляризации спина электронов аг(г) =〈3，(г)〉на больших расстояниях от спина S: |r|po》1. Покажите, что поляризация осциллирует, как функция координат, и определите период осцилляции. Считайте взаимодействие J малым.

Задача 24. а) Коррелятор плотность-плотность ферми-газа〈Т彷(г, %)旗(г[/)〉дается следующей диаграммой:

Рис. 5.1

Найдите этот коррелятор в частотно-импульсном представлении при малых “《 Ер,|к|《ри.

б) (Динамическая спиновая восприимчивость.) Найдите парамагнитный вклад в магнитную восприимчивость хЗ, к) электронного газа при Т = 0, т. е. отклик спиновой поляризации в ответ на приложенное переменное магнитное поле. Считайте, что Q|《 Ef \k\《 ро. Проверьте, что в пределе ш/k -^ 0, к 一 0, получается восприимчивость Паули х = 2//自〃°, где % = р。1ml(2汗2%3)— плотность состояний на уровне Ферми.

Задача 25. (Отклик плотность-плотность при 0=1.) Рассмотрим одномерный ферми-газ во внешнем переменном поле,

丸int(力)——У 3(劣,t) 4(/, t) dx.(5.12)

Рассмотрим линейный отклик плотности 彷(伤 ％) на поле 屮(伤 ％). Его можно записать так:

价(/,. = / / Q(* — — % —力.(#； f) dxf dtf,(5.13)

или, в Фурье-представлении,価卜川〉= Q^k^cu)屮卜川.Функцию отклика Q^k^cv) можно определить, пользуясь формулой Кубо, как в задаче 246, с заменой операторов плотности спина на операторы плотности числа частиц.

Найдите Q^k^cv) при малых к и “，|к|《 р” 1Gl《 Ер. Сравните с функцией Грина фононов (4.7).

Задача 26. (Флуктуации числа фермионов на прямой.) Для газа бесспиновых ферми-частиц на прямой запишите оператор N^ числа частиц внутри интервала О < х < L (см. [5], § 117). Для больших L》р/ получите формулу

〈6価=〈価-〈N力 2 = (1про“/ ..(5.14)

Любопытно, что флуктуации (5.14) неэкстенсивны (неаддитивны по длине интервала), в отличие от классических термодинамических флуктуаций. Неэкстенсивность есть проявление квантовых корреляций. При конечной температуре экстенсивность восстанавливается на масштабах, превосходящих тепловую длину: L》£『=hvp/T.

Более трудным оказывается вопрос о нахождении полной статистики распределения числа частиц в конечном интервале. С помощью метода бозонизации, изложенного в гл. 12, можно показать, что распределение вероятностей нормальное:

Р(п) ехр^—(п — а)2/2Ь), (5.15)

где а = (Nl), b =《N》). Элементарное решение этой задачи авторам неизвестно.

Задача 27*. (Катастрофа ортогональности.) В идеальный ферми-газ вносят примесь, на потенциале U(r) которой частицы могут упруго рассеиваться. Оказывается, основное состояние системы при этом полностью изменяется, даже если потенциал U(r) произвольно мал. В случае, когда рассеяние происходит только в s- канале, можно получить следующую оценку для интеграла перекрытия состояний:

〈0[0〉(,PoL)~a , а = <5оД2 ,(5.16)

где |0) и |0‘〉一 основные состояния ферми-системы до и после внесения примеси, 6° — фаза рассеяния в 5-канале при £ = Ер^ а £ — размер системы.

Этот удивительный и важный результат был вначале получен элементарными средствами, путем явного выписывания слэтеровского детерминанта и оценки интеграла перекрытия. Попытаемся перевести задачу о перекрытии основных состояний на язык диаграммной техники. Будем включать потенциал примеси плавно от 力=—ос до 力=0:

火 int(" = e"t/ и(г)"(г)2(г)(Л-.(5.17)

Рассмотрим среднее 5-матрицы по основному состоянию ферми-газа при U(r) = 0,

К? =(Т ехрг/ 7Yint(t) d%)〉.(5.18)

При 7To величина К? стремится к (0|0z). (Почему?)

Покажите, что ОО

1п%= £凡加，(5.19)

где

" = (一)"/…/《T注П№1)…秃int做)》阳，(5.20)

причем《…》означает, что учитываются только связные графики (см. теорему о разложении по связным диаграммам в [1], § 15).

Изобразите графически 月〉& 吊.Сколько графиков соответствует каждому Fn7 Какие выражения сопоставляются графическим элементам? Катастрофе ортогональности отвечает — 0, т. е.

Re In К? ——ос при 7 To.(5.21)

Покажите, что F1 дает чисто мнимый вклад, имеющий смысл перенормировки энергии основного состояния. А вот уже ReE 〜In 7. Считая U(r) слабым и используя приближение(5-функции U(r) = аЬ(з)(г)〉найдите ReE и оцените К» отбросив вклады Fn более высокого порядка.

Каким образом, зная К^^ можно оценить перекрытие основных состояний 〈0|0'〉? Покажите, что для этого следует положить 7 порядка обратного расстояния между уровнями в системе, соответствующими состояниям с угловым моментом Z = 0.

В приложениях часто возникает вопрос о катастрофе ортогональности для произвольного потенциала, не обязательно слабого. Как будет показано в гл. 12 (задача 78), и в этом случае можно выразить перекрытие старого и нового основных состояний через фазы рассеяния. Причем если имеется только 5-рассеяние, формула (5.16) остается справедливой.

5.3. Решения

Решение 22. Найдем функцию Грина, интегрируя по £. Начнем с интегрирования по углам:

cos，p dp sin Odd

1 71 7р sin pr dpр sin pr dp(5.22)(5.22)£ — £(。)+ £b sign£ (2开)2

1 7

1 7

р sin pr dp

р sin pr dp

(5.22)

(5.22)

27r2厂 J £ — £(夕)+ £b sign£，

где £(夕)= p2/2m—Ep. Выражаем p через £ и интегрируем по £ вычетами, представив синус как разность экспонент:

=]7 sin(po + §/oF)r Ро恋

'27r2厂 丿 £ — £ + £b sign£ Vf

(5.23)(5.23)_ m ?r(signepo+|e|/fF)

(5.23)

(5.23)

Найденная функция Грина осциллирует с периодом, равным фермиевской длине волны Ао = 2开力/夕0・ Из-за эффектов ферми-статистики фаза осцилляций меняет знак на уровне Ферми (при £ = 0).

(5.24)(5.24)Теперь выполним точное интегрирование по р. Выражение (5.22) есть четная функция р, поэтому можно распространить интеграл по р на всю веще с твенную ось и разделить результат пополам:

(5.24)

(5.24)

Разлагаем это выражение на простейшие дроби и интегрируем:

/]]、Туэ ..

,°sinp厂 dp =егsigner ,(5.25)

47r2厂丿 \ X — p x + p /271T

где ” = ^2т(Ер + е + i6signs). Видим, что интегрирование по £ дает хорошую точность при энергии £ много меньше фермиевской, |в| <^С Ер.

Решение 23. Запишем спиновую поляризацию с'(г) = 〈山^(г)с^/山/(г)〉через точную функцию Грина:

с?(г) = —2 ТУ ^G}=丄时(―沁：0G倣(г,力;r‘, f)) ,(5.26)

где подразумевается суммирование по спиновым индексам а, /3.

Функция Грина G выражается через функцию Go ферми-газа в виде ряда, аналогичного ряду (3.11) для амплитуды рассеяния, рассмотренному в гл. 3. При этом оператор

注 nt = j/ '6 ⑶(г)党(г)% 拙(г) fr(5.27)

играет роль потенциала возмущения.

Интересующий нас эффект возникает в первом порядке по J:

G^(*r『)=JS。％0Go(*r)Go(£,—1).(5.28)

Подставляем G^ в (5.26):

尸(r) = —2"S。/ G^(*r)||.(5.29)

Воспользуемся результатом (5.23) задачи 22 для Gq(£, г) при p^r》1:

с_pe-2?r(por-s/vF)A q/ (發汴血)+&/普向£mpo co=с_pe-2?r(por-s/vF)A q/ (發汴血)+&/普向£mpo co=Получаем затухающие осцилляции с периодом 开/夕侪尸⑺=JS。图号二Точное выражение для плотности спина можно получить, Грина (5.25) и проинтегрировав ее квадрат в (5.29) по £：(5.31)взяв точную функцию(5.32)Получаем затухающие осцилляции с периодом 开/夕侪尸⑺=JS。图号二Точное выражение для плотности спина можно получить, Грина (5.25) и проинтегрировав ее квадрат в (5.29) по £：(5.31)взяв точную функцию(5.32)

с

_pe-2?r(por-s/vF)A q

/ (發汴血)+&/普向

£mpo co

=

с

_pe-2?r(por-s/vF)A q

/ (發汴血)+&/普向

£mpo co

=

Получаем затухающие осцилляции с периодом 开/夕侪

尸⑺=JS。图号二

Точное выражение для плотности спина можно получить, Грина (5.25) и проинтегрировав ее квадрат в (5.29) по £：

(5.31)

взяв точную функцию

(5.32)

Получаем затухающие осцилляции с периодом 开/夕侪

尸⑺=JS。图号二

Точное выражение для плотности спина можно получить, Грина (5.25) и проинтегрировав ее квадрат в (5.29) по £：

(5.31)

взяв точную функцию

(5.32)

где х = 2ро『. Видим, что в асимптотике, т. е. на больших расстояниях, результат все более приближается к (5.31), что согласуется с «идеологией» интегрирования по £. Кроме того, отметим, что сингулярность точного выражения (5.32) при малых г имеет характер г-1. Таким образом, при взятии интеграла по d3r расходимости для полной поляризации не возникает. Выражение (5.31) более сингулярно, но при малых г по самому своему происхождению оно неприменимо, поскольку интегрирование по £ гарантирует правильность ответа только на больших расстояниях.

Решение 24 а. Запишем выражение, соответствующее диаграмме на рис. 5.1: HQ,k) = —2с 〃Go(£+,q+)Go(jq_)黑,(5.33)

где £± = £ ±w/2, q± = q±k/2, а множитель 2 возникает при суммировании по спинам. В интеграле (5.33) суще с твенными оказываются q± вблизи ферми-поверхности, поэтому при |к|《ро удобно разложить |q±| так: |q±| = q± (k/2) cos% где J ——угол между векторами q и к. Тогда функция

1

Go(£±〉q±) =т —〉(5.34)

где &(q) = £(q土)= £(q) 士 (vpk/2) cos0. Интегрируем (5.33) по % замыкая контур в верхней полуплоскости g и раскладывая произведение Gq на простейшие дроби. Интеграл отличен от нуля, если полюсы функций Go лежат в разных полуплоскостях: /de

丿(£ + w/2 ~^+ + i6 sign ^+)(е + ш/2- ^_ + i6 sign —

=2欣—“€+)],(5.35)

g — vrkcosd + i6 (sign^+ — sign^_) '

где n(^)——фермиевская функция заполнения. Поскольку к мало, разность 汽(£_)— п(^+) отлична от нуля в тонком слое вблизи поверхности Ферми. Следовательно, можно проинтегрировать по £. В зависимости от знака cos® возможны два случая:

cos® > 0. Выражение (5.35) отлично от нуля при |£| < (vrk/2) cos0, причем 唸-)-唸+) = -1;

cos® < 0. Выражение (5.35) отлично от нуля при |£| < —(&干卜/2) cos0, причем 唸-)-唸+) = 1-

Итак, остается интеграл по углам:

cos"八cos"八(5.36)(5.36)

cos"八

cos"八

(5.36)

(5.36)

А = —2 + х0 In с。+ ： , ВА = —2 + х0 In с。+ ： , В(5.37)(5.38)(5.37)(5.38)

А = —2 + х0 In с。+ ： , В

А = —2 + х0 In с。+ ： , В

(5.37)

(5.38)

(5.37)

(5.38)

где % = три/Qn^ti3)——плотность состояний. Обозначим х = cos® и вычислим

——^= A + iB, где xq — х + го sign хо

0 при |х0| > 1,

—7ГХо при 0 < Хо < 1,

7ГХо при —1 < Хо < 0 .

Получаем

II(g〉к) = —2%II(g〉к) = —2%1 -1 -2kvp2kvpkvp + G kvF — Gkvp + G kvF — G2 kvp \2 kvp \(5.39)(5.39)

II(g〉к) = —2%

II(g〉к) = —2%

1 -

1 -

2kvp

2kvp

kvp + G kvF — G

kvp + G kvF — G

2 kvp \

2 kvp \

(5.39)

(5.39)

Первое решение 246. Диаграмма для спинового коррелятора отличается от диаграммы на рис. 5.1 лишь незначительно ——наличием спиновых операторов в вершинах. Соответствующее аналитическое выражение отличается от (5.33) спиновым множителем Тг ага^ = 26牙.Поэтому, на первый взгляд, для отыскания спиновой восприимчивости можно просто воспользоваться результатом решения задачи 24 а.

В том, что это неверно, легче всего убедиться, заметив, что выражение (5.39) для H(G〉k) как функции частоты g не обладает аналитическими свойствами восприимчиво сти, поскольку имеет особенности в полуплоскости Ims > 0. Последнее видно уже из выражения (5.35), устроенного так, что в зависимости от знаков £+ и £_ полюс по g может оказаться в верхней полуплоскости, в нижней, или на веществе- ной оси. Это автоматически приводит к нарушению причинности и в окончательном ответе (5.39).

С формальной точки зрения проблема состоит в том, что в петле на рис. 5.1 были взяты причинные функции Грина. Поэтому по своим аналитическим свойствам петля из причинных гриновских функций соответствует поляризационному оператору, а не восприимчивости, и аналитические свойства оказываются следующими: П(—g)= П(^), а не х(—幻*) = Х*(®)・ В результате особенности на плоскости комплексного g оказываются расположенными симметрично относительно g = 0.

Отметим, что на самом деле восприимчивость и поляризационный оператор можно связать друг с другом с помощью мацубаровской техники, используя мнимые частоты и метод аналитического продолжения (см. задачу 37, гл. 7). При этом выясняется, что надо взять выражение (5.39) для петли на рис. 5.1 при g > 0 и продолжить в верхнюю полуплоскость комплексного w, а с нее ——на w < 0. (Так что приведенное выше соображение не совсем уж и неправильное!).

Однако пока мы не будем использовать эту связь, а проделаем прямое вычисление по формуле Кубо. Возьмем в качестве 4(力)и В(力)в (5.2) оператор плотности намагниченности:

& (г,力)=МВ [^(г,力)6(Г,力)-©j(r,力)& (r, t)] .(5.40)

Раскроем среднее коммутатора в (5.2) по теореме Вика как сумму всевозможных парных средних операторов 山 и 山+〉и оставим только связные графики:

Хз,к = 2i 味 〃 е'з+кг[〈©；(г")0т(О,О)〉〈0т(г")0；(О,О)〉一

-〈0:(0,0)6(吟力)〉〈0[(0,0)0:(吟力川 dtd3r(5.41)

(двойка учитывает спин). Средние вычисляем непосредственно по определению one-

раторов вторичного квантования 8:

〈/；(г")6(г，#)〉= £е-&Р)(1+Р(г'г)М&р)),(5.42)

р

(V；T(r,t)^(r；t9) = £L(P)(l)+0P(f [1 —唸(р))] ,(5.43)

р

где п(^)——фермиевская функция распределения. Делая преобразование Фурье, получаем для х^к такое выражение:

2。虛 / / 口衣(£+〉q+)q_) —q+) G&(£+〉q_)]储开)，〉(5.44)

|q+ I>po

|q- I<po

где запаздывающая и опережающая гриновские функции есть

G"，q)lT(q) 士沙(545)

Интегрирование по £ дает

/ GR(e+, ц+) GA(e_, de = :7n 4 丄 к，(5.46)

丿g — vFk cos U +

где J — угол между к и q. Вместо (5.35) получаем

Хз,к = —/г 口 х— Г .丄 х d?q.(5.47)

|q+ I>po|q- I<po

Это выражение имеет ясный смысл: переменное внешнее поле возбуждает электрон- дырочную пару. Электрон имеет импульс q+, а дырка q_. Принцип Паули накладывает ограничение на фазовый объем: |q+| > р0? |Ч-| < Ро? откуда следует, что cos® > 0. Энергия пары есть £(q+) — £(q—) = vrkcosO^ и поскольку нас интересует предел малых к〉энергии электрона и дырки малы. Из приведенного выражения для энергии пары следует, что и электронное, и дырочное состояние отстоят от уровня Ферми не более чем на kvp. Нас интересуют малые 冗 поэтому в интеграле по q2 dq можно перейти к интегрированию по £:

一)(+))恋=ирисов^ 0, 丿'[0при cos 0 < 0.' 丿

Остается интеграл по углам 0 < 0 < тг/2. Обратим внимание на то, что замена g + £6 — —g — гд эквивалентна замене J — тг/2 — 仇 Поэтому:

2 f vFk cos6> .

sm 夕切•(5.49)

0

8Применяя теорему Вика, следует иметь в виду, что среднее в формуле Кубо не Т-упорядоченное.

Сделаем обычную подстановку х = cos J и вычислим

/ xdx丿 Xq — х + i6/ xdx丿 Xq — х + i6—2 + xo In—2 + xo InXo + z(5 + 1Xq + id — 1Xo + z(5 + 1Xq + id — 1(5.50)(5.50)

/ xdx

丿 Xq — х + i6

/ xdx

丿 Xq — х + i6

—2 + xo In

—2 + xo In

Xo + z(5 + 1

Xq + id — 1

Xo + z(5 + 1

Xq + id — 1

(5.50)

(5.50)

Полагая x0 =幻/既用 находим

3 = 2"加(「就 In3 = 2"加(「就 Inkvp + g kvp — gkvp + g kvp — g2 kvp \2 kvp \(5.51)(5.51)

3 = 2"加(「就 In

3 = 2"加(「就 In

kvp + g kvp — g

kvp + g kvp — g

2 kvp \

2 kvp \

(5.51)

(5.51)

Соответственно, в статическом пределе g/V&f -^ 0, к — 0〉получаем равновесную ПауЛИеВСКуЮ ВО СПрИИМЧИВО СТЬ ： Храга = 2从^%.

Другое решение 246. Можно действовать иначе: сначала найти мнимую часть Х^,к〉а затем восстановить по ней веще с твенную, пользуясь аналитическими свойствами восприимчивости. Физически мнимая часть х описывает диссипацию, т. е. возбуждение переменным полем электрон-дырочных пар. Поэтому, как и в задаче 17, в петле на рис. 5.1 виртуальные состояния электрона и дырки надо брать на массовой поверхности £ = £(q)・ Формально это соответствует замене

GA'R{e, q) — ±汴6(£ — &q))(5.52)

в выражении (5.33):

后=2/4戸// b(£+— &q+)) b — &q_)) ||.(5.53)

|q+l>po |q-l<po

Смысл данного выражения в том, что в результате поглощения кванта 力g переменного внешнего поля электрон с энергией £_ под уровнем Ферми возбуждается в состояние с энергией £+ над уровнем Ферми. Это выражение дает Imx только при w > 0, а при w < 0 оно равно 0, как и должно быть для вероятности распада. Получив Imx при положительных g〉мы распространим его на отрицательные g по свойству восприимчивости 幻)=X*Q)・

Интеграл по £ в (5.53) устраняет одну(5-функцию:

1тХз,后=忌/ 6(“ 一 €(q+)+ €(q-))(5.54)

|q+ 1>ро|q- 1<ро

Как и в предыдущем решении, поскольку нас интересует длинноволновый предел к《р『\ переходим от интеграла по ^dq к интегралу по £〉который дает kvp cos0 при cos 0 > 0, и 0 в противном случае. Остается интеграл по углам:

при 0 < g < kvp, при g > kvp .при 0 < g < kvp, при g > kvp .(5.55)(5.55)тг/2

при 0 < g < kvp, при g > kvp .

при 0 < g < kvp, при g > kvp .

(5.55)

(5.55)

/ vpk cos J 6(g — t^kcos J) sin® d® = о

Теперь, поскольку х(—幻)=X*Q)〉берем нечетную функцию

1тхз,后=Мв^о

при М < kVF , при М > kVF .

(5.56)

и восстанавливаем x(g) по аналитичности:

Х（“）=

1 / Imx(J)dJ

7Г 丿 ” 一G — £0

(5.57)

Это приводит к точно такому же интегралу, что и в предыдущем решении.

Заметим, что в более сложных ситуациях нахождение восприимчивости в два этапа (сначала мнимая часть, а затем вещественная) может оказаться удобнее прямого вычисления. Мнимая часть всегда связана с определенными процессами распада, поэтому она обычно имеет более прозрачную структуру, чем вещественная часть.

Решение 25. Нас интересует динамический отклик плотность-плотность. Вычислим его по формуле Кубо (5.2). Для бесспиновых электронов оператор плотности числа частиц есть

湫伤力)=-0+(х, t^^x^ t),(5.58)

поэтому

Q(a, %) = ^ /〈伉后⑴，添(0)］〉戸 dt.(5.59)

0

Раскрываем среднее коммутатора по теореме Вика, как и в предыдущей задаче, и после интегрирования по £〉получаем выражение, аналогичное (5.47):

1

g — qk/m + £6

Q(“,%)= /

+

1

dq

k+l>po '1<ро

—g — qk/m — £6 丿 27r

(5.60)

Ограничения, накладываемые принципом Паули, означают, что q меняется в пределах

Ро — к/2 < q < pQ + к/2 при к > 0, —Ро —肉/2 < q < —ро + 肉/2при к <0 .

(5.61)

Следовательно, при малых к《р. в подинтегральном выражении (5.60) можно просто положить q = ро при к > 0〉и q =—夕。при к < Q. При этом мы пренебрегаем зависимостью скорости q/m от энергии в малой окрестности уровня Ферми. Иначе говоря, мы линеаризуем закон дисперсии:

€(Р)=р2/2т- Ef — ^(р) = vF(\p\ -р0)

(5.62)

(что эквивалентно переходу к интегрированию по £). Получаем

Q（“，％）= ^

1

1

w — vp\k\ + id w + vp\k\ + i6J，

(5.63)

ИЛИ

Q(a，％)= 1.，(5・64)

U — Vpk2 + signs

где 〃io = \/^vf плотность состояний при 0 = 1 без учета спинового вырождения. Учет спина увеличивает 〃ю вдвое.

Решение 26. Оператор числа частиц в интервале 0 < х < L есть

Nl = У n(x) dx ,舟(/)=山+(/)以/)〉(5.65)

о

a Nl = f f 舟(/)舟(/') dx dxf. Плотность (n) = Po/开〉следовательно, о о

(Nl) = /伍(/)〉d/ = @£.(5.66)

о

Нас интересует

{6N]) = У У ((n(x)n(xz))) dx dxf,(5.67)

о о

где《•••》обозначает неприводимый коррелятор, получаемый «связным» усреднением. Переходим к импульсному представлению:山(/) = £口？&'°”. Тогда

〈籍〉=£ / /〈脸 ар2 ampJ产応-pD+MplP3)姦 d".(5.68)

PLP2W3W4^ q

Раскроем среднее по теореме Вика:(^p1^Р2ар3ар4)=(唁 а?2〉("Нас интересует только второе слагаемое.点 а?4〉+〈总a?4〉(aР2 哺〉•(5.69),поскольку первое есть〈NQ? и не даетРаскроем среднее по теореме Вика:(^p1^Р2ар3ар4)=(唁 а?2〉("Нас интересует только второе слагаемое.点 а?4〉+〈总a?4〉(aР2 哺〉•(5.69),поскольку первое есть〈NQ? и не даетвклада в неприводимый коррелятор. Получаем《П(Х)n=e〈a^(^2)〈(^(^4)产"2-Р1)+汝'3-Р3):РО7, +оо7Р=/ 金51(m一弋)^1 X ( / 产3 3一m)"03 _ у _ро-оо_р(-ро-ро=Sin2po(c —О Po _ /开2(X — /'У7r07С*з(£-М) “03 ) _心=(5.70)вклада в неприводимый коррелятор. Получаем《П(Х)n=e〈a^(^2)〈(^(^4)产"2-Р1)+汝'3-Р3):РО7, +оо7Р=/ 金51(m一弋)^1 X ( / 产3 3一m)"03 _ у _ро-оо_р(-ро-ро=Sin2po(c —О Po _ /开2(X — /'У7r07С*з(£-М) “03 ) _心=(5.70)

Раскроем среднее по теореме Вика:

(^p1^Р2ар3ар4)=(唁 а?2〉("

Нас интересует только второе слагаемое.

点 а?4〉+〈总a?4〉(aР2 哺〉•(5.69)

,поскольку первое есть〈NQ? и не дает

Раскроем среднее по теореме Вика:

(^p1^Р2ар3ар4)=(唁 а?2〉("

Нас интересует только второе слагаемое.

点 а?4〉+〈总a?4〉(aР2 哺〉•(5.69)

,поскольку первое есть〈NQ? и не дает

вклада в неприводимый коррелятор. Получаем

《П(Х)n=e〈a^(^2)〈(^(^4)产"2-Р1)+汝'3-Р3):

РО7, +оо7Р

=/ 金51(m一弋)^1 X ( / 产3 3一m)"03 _ у _ро-оо_р(

-ро-ро

=Sin2po(c —О Po _ /

开2(X — /'У7r

07

С*з(£-М) “03 ) _

心=

(5.70)

вклада в неприводимый коррелятор. Получаем

《П(Х)n=e〈a^(^2)〈(^(^4)产"2-Р1)+汝'3-Р3):

РО7, +оо7Р

=/ 金51(m一弋)^1 X ( / 产3 3一m)"03 _ у _ро-оо_р(

-ро-ро

=Sin2po(c —О Po _ /

开2(X — /'У7r

07

С*з(£-М) “03 ) _

心=

(5.70)

Интегрируя это выражение, находимИнтегрируя это выражение, находимdx dxfdx dxfПерейдем к новым координатам: и = х — x\v = x + x'Перейдем к новым координатам: и = х — x\v = x + x'1212Итак, находимИтак, находим〈6N》= ТТ_ 1п(5°) = ln&L),〈6N》= ТТ_ 1п(5°) = ln&L),(5.72)(5.72)что и требовалось.

Интегрируя это выражение, находим

Интегрируя это выражение, находим

dx dxf

dx dxf

Перейдем к новым координатам: и = х — x\v = x + x'

Перейдем к новым координатам: и = х — x\v = x + x'

1

2

1

2

Итак, находим

Итак, находим

〈6N》= ТТ_ 1п(5°) = ln&L),

〈6N》= ТТ_ 1п(5°) = ln&L),

(5.72)

(5.72)

Первое решение 27. Будем считать электроны бесспиновыми и восстановим зависимость от спина в конце. Возьмем среднее 5-матрицы по основному состоянию газа с U(r) = 0,

(5.73)(5.73)и разложим экспоненту в ряди разложим экспоненту в ряда) Выделим из суммы (5.74) часть с п > 0:а) Выделим из суммы (5.74) часть с п > 0:К, =〈Т ехр(-г / 先int«)必)〉

(5.73)

(5.73)

и разложим экспоненту в ряд

и разложим экспоненту в ряд

а) Выделим из суммы (5.74) часть с п > 0:

а) Выделим из суммы (5.74) часть с п > 0:

(5.75)(5.75)(5.76)(5.76)

(5.75)

(5.75)

(5.76)

(5.76)

К, = 1 + Л.

Можно обычным образом разложить In К, в ряд по Л:

11

1п^ = Л--Л2 + -Л3-.

'23

Подставим сюда выражение для Л в виде суммы средних от членов разложения Т- экспоненты в ряд и раскроем скобки. Изучив несколько низших порядков теории возмущений убедимся, что при раскрывании средних по теореме Вика сократятся все средние, за исключением связных графиков. Это наблюдение можно обобщить на графики произвольного порядка, и доказать так называемую теорему о связных графиках.

Теорема утверждает, что логарифм среднего 5-матрицы можно представить в виде ряда:

где каждое Fn дается единственным графиком (рис. 5.2):

Рис. 5.2

Доказательство теоремы о связных графиках нетрудно получить, заметив, что сокращение несвязных графиков есть факт чисто комбинаторного происхождения. Он опирается на свойства комбинаторных множителей, возникающих при раскрывании среднего (5.74) по теореме Вика, а также на свойства биномиальных коэффициентов, появляющихся из членов Лп в (5.76). Множители 1/п в (5.77) возникают потому, что способов «связного» усреднения《TYmt(力 1) •••%■(")》всего (n — 1)!, а способов упорядочения времен в графике — п!.

Теорема (5.77) напоминает известную теорему о связных графиках для термодинамического потенциала Q (см. [1], гл. III, § 15). Нетрудно заметить, что различие между усредняемыми величинами, ln(S〉в одном случае, и Q — в другом, сводится просто к замене реального времени на мацубаровское. (Напомним, что е℃ есть среднее от 5-матрицы во мнимом времени — см. гл. 7.) Ход доказательства в обоих случаях один и тот же.

Перейдем к рассмотрению членов ряда (5.77). Первые три графика ряда выглядят так:

Рис. 5.3

Вычисление удобно провести во временном представлении. Вклад 昼 имеет следующий вид:

оо

Fi = —i /〈秃int("〉dt = -i / (/®+(r)V；(r)U(r)〉d3r) J'就 —8—OO

где п ——плотность ферми-газа. Физически этот вклад связан со сдвигом энергии основного состояния, вычисленным в первом порядке теории возмущений. Поэтому он не имеет отношения к вопросу об ортогональности состояний. В самом деле, допустим, что в результате введения возмущения энергия основного состояния изменилась на fe, а само состояние осталось в точности тем же. Тогда

о

1пТ<7 = —г У See^dt = —i Se/y.(5.79)

— ОО

Вклад второго порядка F? есть

2 ° °0 力

三=T / /《T注nt(，而nt⑴》出血=-/ У《注nt⑴注nt⑺》出位.(5.80) — OQ — OQ—00 — 00

Выполняя усреднение в《7~6世(力)丸int(，)》по теореме Вика, получаем

6y弋” ]/ U(r)U(F) ®+(г")以r[Q〉〈對г")山+(匕，)〉d3rd31y.(5.81)

Теперь заменим потенциал рассеяния на(5-функцию, U(r) = а(5®(г), и вычислим парные средние в (5.81) следующим образом:

3+(г,力)帆г, У)〉г=о = £ е-&Р)(1)-货(Р%(р)=片―—,(5.82)

р0十« _ Е丿

〈以г,力)必+(г, У)〉г=о = £ е&Р)('т)+戈(Р)(1 - n(p))=片―—(5.83)

p0十« _ E丿

Параметр 6 ^ Ер1 введен в (5.82), (5.83), чтобы регуляризовать интеграл по р. Для вычисления этого интеграла мы воспользовались приближением постоянной плотности состояний в окрестности Ер и заменили интеграл по р интегралом по £. Такое приближение оправдано тем, что нас интересует инфракрасно расходящийся вклад в Е〉который определяется динамикой частиц с энергиями близкими к Ер.

Подставляя (5.82) и (5.83) в выражение (5.81), а последнее, в свою очередь, в (5.80), получаем

"К"：｝(5.84)

Этот интеграл нетрудно вычислить, если перейти к новым переменным 力+ = — (t+tz), t_ = t — tz, и учесть, что dtdt' = (l/2)dt+ dt_. Интегрирование выполняется так:

F2 = --(^о«)2 / dt+e~^+ /尸 / j +•(5-85)

2 JJ (0 +况—丿/2 J + го

В пределе ? — 0〉что соответствует медленному включению рассеивающего потенциала U(r)〉интеграл по 力+ есть — 1п(£бт) ^ 1п(_Е^/〃7)・ В результате получаем

ReE = —5(%а)2In(Ef/t) • (5.86)

Мы отбросили мнимую часть 乃〉поскольку она дает вклад только в неинтересующую нас фазу интеграла перекрытия

Для слабого потенциала U(r) величины Fn быстро убывают с ростом п, поскольку величина Fn пропорциональна n-й степени потенциала. Поэтому для оценки \КУ\ достаточно учесть только ReE〉отбросив вклады с п > 2. Итак, мы получаем следующее выражение для интеграла перекрытия:

[%1 = ()/瓦?)*/27r2 , 60 = 7ra"0 . (5.87)

Нетрудно убедиться в том, что 瓦 есть в точности фаза рассеяния в 5-канале на короткодействующем потенциале U(r) = а(5® (г), взятая в первом борновском приближении.

Напомним, что при вычислении F2 мы считали фермионы бесспиновыми. Учет двукратного спинового вырождения приводит к дополнительному множителю 2 в выражении (5.84) и далее. В результате множитель 1/2 в показателе степени в выражении (5.87) сокращается, и окончательный ответ выглядит так:

\КУ\ = b/EF)a , а = ^/7Г2 . (5.88)

Теперь, зная %〉оценим перекрытие основных состояний (0|0z). Для этого полезно подумать о пределах применимости нашего вычисления. Со стороны малых 7 имеется ограничение, связанное с конечностью размера системы. Мы считали плотность состояний непрерывной, как и полагается в теории ферми-газа. Однако в конечной системе уровни дискретны.

Оценим расстояние △ между уровнями в сферическом объеме радиуса L. Если говорить о всех уровнях вместе, то, разумеется, △=(萼乙飞尸 в нашей задаче, однако, важны только состояния с угловым моментом, равным нулю, которых гораздо меньше. Действительно, допустим, что потенциал расположен точно в центре сферы. Тогда угловой момент будет хорошим квантовым числом и, поскольку наш (5-потенциал рассеивает только 5-волны, состояния с Z > 0 «выходят из игры». Уровни же с Z = 0, принимающие участие в рассеянии, расположены на расстоянии порядкау До = hvp/L друг от друга. (Данная оценка справедлива в окрестности 風・)

Теперь заметим, что при достаточно малом ?《△()мы имеем дело со случаем адиабатически медленного включения возмущения. При этом как во время, так и после действия возмущения состояние системы остается экспоненциально близким к основному, и, следовательно,

阳= |〈0“| + О(еТ/7).阳= |〈0“| + О(еТ/7).(5.89)(5.89)

阳= |〈0“| + О(еТ/7).

阳= |〈0“| + О(еТ/7).

(5.89)

(5.89)

В принципе, пользоваться обычной теорией возмущений для вычисления 修 можно только для ?》△(). Однако по порядку величины правильный результат получится, если приравнять К,=^ и (0|0z). Поэтому полагаем

(5.90)(5.90)7 ^ До = hvp/L

(5.90)

(5.90)

что дает требуемую оценку перекрытия основных состояний:

〈0“(,p0L)~a , а =帚/М ,〈0“(,p0L)~a , а =帚/М ,(5.91)(5.91)

〈0“(,p0L)~a , а =帚/М ,

〈0“(,p0L)~a , а =帚/М ,

(5.91)

(5.91)

где 瓦=7га%).

Выражение (5.91) получено для слабого потенциала возмущения. Более точная оценка интеграла перекрытия (0|0z), не использующая предположение о слабом возмущении, потребовала бы суммирования всего ряда (5.19), поскольку в каждом порядке имеется логарифмическая расходимость, подобная найденной выше для Е. Эта более сложная задача может быть решена при помощи метода бозонизации (см. задачу 78, гл. 12).

Другое решение 27 б. Вычислим Е〉используя технику причинных функций Грина. Для этого рассмотрим первое из выражений (5.80) и раскроем среднее《Т・・.》 обычным образом как произведение причинных гриновских функций. Как и выше, заменяем потенциал U(r) на(5-функцию аЬ(з)(г). В частотном представлении гамильтониан возмущения 7Yint = ae7*3+(r")3(r")卜=о принимает следующий вид:

火int(“)=: £ 若а» •(5.92)

7 汝 р,р

Подставляя это выражение в (5.80) и переходя к интегралам по £(р) и £(р')〉получаем

_1 2 / GQh&)a G(G2,&)Q 加1加2位1恋2 _

22 ^0 7 7 - 。(g2 - G1) 7 - i(3\ -g2)(2开)2

=—да?帝 ///(£b&)d&d&.(5.93)

Мы ввели обозначение

丿丿(^1 - w2) + 7 (2开产

где G(g〉£) = 1/(g — £ + £bsign £). Как и выше, нам будет удобно считать фермионы бесспиновыми и восстановить зависимость от спина в конце.

Вычислим интеграл (5.94) по ^1；2, используя теорему Коши и теорию вычетов.

Рассмотрим сначала случай & > 0 (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Проинтегрировав по cui, находим

12?12?加2/2"加2/2"(“2 — & + 〃7)(G2 — & + 分6&)(“2 — & + 〃7)(G2 — & + 分6&)(5.95)(5.95)

1

2?

1

2?

加2/2"

加2/2"

(“2 — & + 〃7)(G2 — & + 分6&)

(“2 — & + 〃7)(G2 — & + 分6&)

(5.95)

(5.95)

Интеграл отличен от 0 только при & < 0 (рис. 5.5).

Рис. 5.5

В этом случае получаем

с е(&)е(—&)■ & — & + ■

(5.96)

Рассмотрим теперь случай & < 0 (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Проинтегрировав по cui, находим

(5.97)(5.97)/1 /如2/2开2) J (刃2 — & — £))(G2 — & + £6&)/1 /如2/2开2) J (刃2 — & — £))(G2 — & + £6&)

(5.97)

(5.97)

/1 /如2/2开

2) J (刃2 — & — £))(G2 — & + £6&)

/1 /如2/2开

2) J (刃2 — & — £))(G2 — & + £6&)

Рис. 5.7

Интеграл здесь отличен от 0 только при & > 0 (рис. 5.7) и равен

(5.98)(5.98)/ с е(-&■(&)

(5.98)

(5.98)

2) & — & + П Собирая эти результаты в одно выражение, получаем

Е

СЙ2<0

|& - &| - П

(5.99)

Как уже отмечалось, мнимая часть In К, не имеет отношения к вопросу об ортогональности. Поэтому оставляем только вещественную часть:

Re/Re/(& — &尸 + 72(& — &尸 + 72

Re/

Re/

(& — &尸 + 72

(& — &尸 + 72

-W。)/ ^7 = ~4W I"

Интеграл обрезается сверху при ^тах ^ Ер =夕彳/2пг》7, поэтому окончательно имеем

ReF2 =—(爲/2开2) 1ii(Ef/7)〉力=тга% •(5.100)

Учет двукратного спинового вырождения дает дополнительный множитель 2 в выражении (5.93) и всех последующих выражениях. В результате множитель 1/2 в (5.100) сокращается и мы приходим к выражению (5.88).

Глава 6.

Электроны и фононы

Гамильтониан фононов. Диаграммная техника

Рассмотрим взаимодействие электронов с фононами. Фононы представляют собой кванты колебаний кристаллической решетки. Различают два основных типа фононов ——акустические и оптические. Отличие между ними заключается в том, что частота акустических фононов обращается в нуль при к = 0, а частота оптических фононов положительна при всех к. Акустические фононы существуют во всех кристаллах, поскольку звук может распространяться в любой упругой среде. Оптические же фононы имеются только в кристаллах, содержащих более одного атома в элементарной ячейке.

Для описания закона дисперсии акустических фононов w (к) часто пользуются так называемой моделью Дебая. В этой модели закон дисперсии принимается равным Go(k) = c|k| при всех |к| < к。〉где величина к。выбирается так, чтобы объем шара радиуса к。давал правильное число колебательных состояний на единицу объема: (4тг/3)к% = (2тг)з&-\ где & ——объем элементарной ячейки кристалла. Аналогично, оптические фононы описываются моделью Эйнштейна, в которой частота фононов полагается не зависящей от волнового вектора: Go(k) = Qq = const, причем |к| < к。 Пример двухкомпонентного кристалла, в котором имеются как акустические, так и оптические фононы был рассмотрен в задаче 1, где, в частности, было показано, что дисперсия оптических фононов исчезает при сильном отличии масс атомов.

Для квантовомеханического описания фононов вводятся операторы смещения решетки u(r, t) и плотности импульса решетки p(r, t). (Для определенности мы будем говорить об акустических фононах.) Операторы u(r, t) и p(r, t) могут быть стандартным образом записаны через канонические бозе-операторы рождения и уничтожения фононов Ь± и %

u(r,%)=e ka辰a产+也 ь也…好叫，⑹1)

k,a yj2Vp Wo,a(k)

p(r,t)=俄ae-皿…(k) J bka^ki。，。(叫,(6.2)

где р^ V ——плотность и объем кристалла, а е^^ ——вектор поляризации фонона. Индекс а нумерует нормальные моды кристалла1. Операторы рождения и уничтожения с противоположными к равны: b_ка = b普.(Это следует из веще с твенно сти u(r, t) и 0(Г").)

Введенные операторы подчиняются следующим коммутационным со о тношениям. Коммутаторы бозе-операторов 显 и Ь± канонические: 瓜①匕山/ = (2?r)3V bg/b⑶(k — к'). Нормировочные множители в определениях (6.1) и (6.2) выбраны так, что коммутационные соотношения для операторов u(r, t) и p(r, t), следующие из (6.1) и (6.2), имеют вид

叵а(г"),扬(г',У)] = ih6a06(r - г1).(6.3)

Это в точности соответствует скобкам Пуассона соответствующих классических величин в теории упругости сплошной среды.

Гамильтониан фононов имеет следующий вид:

并=/ ((1/2р) р2 + (渇/2) u2) d3r = £ 九a(),a(k)住显 + 1/2)(6.4)

Нетрудно видеть, что г амиль тони ан (6.4) приводит к динамике операторов u(r, t) и p(r, t), заданной соотношениями (6.1) и (6.2).

Взаимодействие фононов и электронов является электрическим по своей природе. Колебания решетки приводят к отклонению электрического поля ионов, действующего на электроны, от своего среднего значения. Потенциал возникающего добавочного поля принято называть деформационным потенциалом. В отсутствие экранировки кулоновские силы являются дальнодействующими и взаимодействие электронов с фононами оказывается существенно нелокальным. Такая ситуация имеет место для взаимодействия электронов с оптическими фононами. Характер зависимости деформационного потенциала от волновых векторов электронов и фононов определяется симметрией кристаллической решетки.

В отличие от взаимодействия с оптическими фононами, деформационный потенциал акустических фононов обычно является локальным. Дело в том, что при акустических колебаниях решетки с малыми к смещения соседних атомов практически одинаковы (см. задачу 1). Вследствие этого, электрическая поляризация, возникающая при акустических колебаниях, оказывается пропорциональной градиенту деформации решетки: P(r) ^ V divu(r). Поэтому потенциал электрического поля поляризации Р(г) оказывается пропорциональным деформации решетки: [7деф(г) ^ divu(r).

Взаимодействие электронов с акустическими фононами принято рассматривать с помощью упрощенной модели, в которой пренебрегается взаимодействием с поперечными акустическими модами, имеющими векторы поляризации е^ 丄 к. Оказывается удобным выразить деформационный потенциал через поле

0(r,力)=eo(k)/2V {zBk,|| 产13。低)j 2% ь2+。3。(叫.(6.5)

k

XB дальнейшем мы будем рассматривать главным образом продольные колебания, для которых ®кск II к.

Для дебаевских фононов с законом дисперсии s(k) = c|k| имеет место равенство 0(r") = Cy/^divС(г"). (Поэтому в атомных единицах g(r) ^ divu(r).) Деформационный потенциал акустических фононов может быть записан как [7деф(г) = д0(г)〉 где д —— константа электрон-фононного взаимодействия.

В описанной модели гамильтониан взаимодействия электронов с фононами записывается через операторы поля (6.5) следующим образом:

秃int = 9 / 力+(r)力(r) 0(r) d3r(6.6)

(так называемый гамильтониан Фрёлиха). Хотя из сделанных оценок следует, что д ^ 1 в атомных единицах, надо иметь в виду что сила электрон-фононного взаимодействия может весьма сильно варьироваться от одной системы к другой.

Диаграммная техника строится с помощью функции Грина фононов, определенной следующим образом:

0(/〉" = —〃Т 0(/) 0(/')〉.(6.7)

В отсутствие взаимодействия функция Грина D® к) есть

*(к)

J —端(к) + £0

Правила диаграммной техники для электронов и фононов почти такие же, как и для случая двухчастичного взаимодействия:

Все диаграммы строятся из двух элементов: простых линий, описывающих распространение электронов, и волнистых, описывающих распространение фононов.

Две электронных и одна фононная линии соединяются в вершинах.

n-му порядку теории возмущений соответствуют диаграммы с 2п вершинами.

Каждой электронной линии соответствует множитель Go (/ — /') (х - начальная точка, xz - конечная). Каждой фононной —— множитель Dq(x — /').

Выражение, соответствующее данной диаграмме, следует проинтегрировать по координатам ее вершин. Каждой вершине соответствует множитель д.

Получившийся ответ следует умножить на £几(一1)F, где п ——число волнистых линий, a F ——число замкнутых петель, отвечающих ферми-частицам.

Вычислив собственно-энергетическую часть функции Грина электронов, можно определить спектр электронов с учетом электрон-фононного взаимодействия. Для того чтобы аналогичным образом найти спектр фононов, нужно рассмотреть полюса фононной функции Грина D® к). Как и для функции Грина электронов G(* р), для

фононной функции Грина можно проделать анализ, описанный в п. 4.1.1)выделить собственно-энергетическую часть и провести суммирование диаграмм с помощью уравнения Дайсона. Собственно-энергетическая часть фононов обычно называется поляризационным оператором и обозначается через П(си,к). Поляризационный оператор П(си,к) есть сумма следующих диаграмм:

++…

Рис. 6.1

Уравнение Дайсона для функции Грина фононов выглядит аналогично уравнению

D = Dq + Dq П D(6.9)

и решается стандартным образом:

O-i(g, k) = O『i(G,k) — IZ(G,k).(6.10)

Поэтому спектр фононов определяется уравнением

O『i(G(k), k) = XI(G(k), к).(6.11)

Вещественная часть “(к) определяет дисперсию фононов, а мнимая — их затухание из-за передачи энергии электронам.

При изучении эффектов электрон-фононного взаимодействия в металле оказывается удобным пользоваться безразмерной константой электрон-фононного взаимодействия 《=д2% (% = игр。/27r2%з — плотность электронных состояний без учета спинового вырождения). Оценка《из первых принципов дает значение《〜1. Поэтому, казалось бы, решение задачи в общем виде, эквивалентное суммированию диаграмм произвольно высокого порядка, должно быть невозможным. Однако оказывается, что в задаче присутствует другой малый параметр, позволяющий найти решение без предположения о малости《.Этот параметр есть 3d[&f ("о — ск。—— дебаевская частота), что по порядку величины равно ^т/М^ где m и М — массы электронов и ионов. Условие 3d[&f《1 означает, что ионы, ввиду их большой массы, двигаются намного медленнее, чем электроны. Поэтому электроны не могут раскачать решетку, вместо этого они просто подстраиваются под ее локальную конфигурацию. Другая интерпретация условия з/&f《1 — большое запаздывание фононов на временах порядка 力/*

Теория электрон-фононного взаимодействия в металле, использующая малый параметр gd/ef《1, называется теорией Мигдала. Упрощенно говоря, эта теория позволяет распространить идеи теории полярона (см. задачи 16,17,21,33) на случай электронной ферми-системы. Более формально, теория Мигдала представляет собой набор утверждений о свойствах гриновских функций, вытекающих из медленности динамики фононов по сравнению с динамикой электронов. В этой теории показывается, что перенормировки, хотя и велики, «не распространяются» из простых графиков в более сложные. Это проявляется в том, что нет обратного влияния перенормировки электронного спектра на фононы, а также в малости поправок к вершине электрон-фононного взаимодействия. Основные положения теории Мигдала сформулированы в задачах 29-31. Теория описывает влияние электрон-фононного взаимодействия в терминах перенормировки свойств квазичастиц (электронов и фононов). При этом не происходит какого-либо разрушения ферми-поверхности — утверждается, что картина невзаимодействующих квазичастиц остается справедливой.

В заключение следует сказать, что электрон-фононное взаимодействие ——не такая простая вещь, как может показаться из вышеизложенного. Как известно, это взаимодействие приводит к образованию куперовских пар и к сверхпроводимости (см. гл. 10). Кроме того, в одномерном случае электрон-фононное взаимодействие приводит к образованию пайерлсовского диэлектрика (см. задачу 32). Как в случае сверхпроводящего, так и в случае диэлектринеского состояний происходит полное «разрушение» ферми-поверхности, проявляющееся в исчезновении состояний с достаточно малыми энергиями. Поэтому, строго говоря, в присутствие электрон- фононного взаимодействия ферми-жидкость никогда не является устойчивым состоянием при нулевой температуре.

Литература: Вторично-квантованные операторы фононного поля определены в [1], § 7. Правила диаграммной техники для электрон-фононного взаимодействия приведены в [1], § 9. Весьма прозрачное изложение этих вопросов для модели оптических фононов содержится в [3], § 6.10. Теория электрон-фононного взаимодействия в металлах рассмотрена в [1], § 21, а также в [6], § 64,65.

Задачи 28 — 33

Задача 28. (Время жизни квазичастиц.) Рассмотрим вырожденный электронный газ при Г = 0, взаимодействующий с колебаниями решетки (см. задачи 16, 17). Найдите затухание квазичастицы с энергией |e|《£f〉 вычислив собственно-энергетическую часть Е(е, р) в низшем порядке по взаимодействию. Затухание дается мнимой частью ImE(s,р).

Задача 29. (Перенормировка спектра электронов.) Изучите влияние электрон- фононного взаимодействия на спектр электронов. Найдите вещественную часть ReE(s, р) и убедитесь в том, что она зависит от £ и практически не зависит от Р

Покажите, что ReE(s) может быть велика только в небольшой по сравнению

с &f области энергий |e|《go (мы отсчитываем энергию квазичастиц е от уровня Ферми). Выразите плотность состояний через £(е) и покажите, что вблизи уровня Ферми электроны «утяжеляются», а плотность состояний ——возрастает.

Задача 30. (Теорема Мигдала — нет перенормировки вершины.) Оцените поправку к вершине электрон-фононного взаимодействия (рис. 6.2):

Рис. 6.2

Покажите, что ее относительная величина порядка 3d[&f・

Для того чтобы прояснить роль параметра 3d]&f теории Мигдала, вычислите вершинную часть в смешанном «импульсно-временном» представлении, в котором функция Грина зависит от импульса и от времени.

Задача 31. (Фононы 6 металле^) Рассмотрим собственно-энергетическую часть H(g, к) фононной функции Грина:

(6.12)(6.12)

(6.12)

(6.12)

Рис. 6.3

Получите формулу для перенормированной скорости звука: с2 = С2(1-2(),

где《=д2% 一 безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия. (В металлах обычно параметр《не мал, но все же 1 — 2( > 0.)

Рассматривая ImII(cu, к) при малых “ и к, определите длину затухания звука в металле. Как она зависит от частоты? Сравните с затуханием звука в газе.

Задача 32*. (Пайерлсовская неустойчивость.) Найдите П(си, к) (см. рис. 6.3) в одномерном случае. Получите логарифмическую особенность П(си, к) при k = 2Po. Вблизи этого волнового вектора частота фононов становится мнимой, что означает неустойчивость системы по отношению к какой-то перестройке. Что именно при этом происходит? В какое состояние переходит система?

Задача 33. (А в толокализация полярона сильной связи.) Рассмотрим электрон, взаимодействующий с упругой изотропной средой:

dPr.(6.13)

Здесь u(r) — поле смещений среды, a w(r) = Vu(r) — деформация среды. Мы используем классическое выражение (р/2)й2 для кинетической энергии, поскольку нас

будет интересовать случай сильного взаимодействия, когда смещение u(r) достаточно велико. В этой ситуации поля u(r) и w(r) можно считать классическими. Более того, в духе адиабатического приближения можно считать, что деформация решетки следует за движением электрона, не имея какой-либо собственной динамики.

Рассмотрим ситуацию, когда электрон вместе с вызванной им деформацией среды w(r) покоится (в этом случае й = 0), и найдем w(r), минимизирующую энергию (6.13): w(r) = —(X/K)W(r)『. Это выражение означает, что электрон деформирует решетку вокруг себя, причем деформация такова, что энергия электрона в его собственном поле w(r) понижается. Если выигрыш энергии достаточно велик, то электрон «сам себе копает яму» и образует в ней связанное состояние.

Запишите уравнение Шредингера для волновой функции электрона 山(г)〉выразив потенциал через 山(г). Решение этого нелинейного уравнения легче всего получить в случае одного пространственного измерения. Найдите 山(г) в этом случае и определите выигрыш энергии за счет автолокализации. Обсудите, как размер локализованного состояния, энергия связи, и условие его суще с твов ания зависят от величины константы связи А и от размерности пространства.

Определим эффективную массу автолокализованного состояния полярона. В приближении классической деформации (6.13) найдите энергию состояния, движущегося с постоянной скоростью V, как функцию V и константы связи А. Из найденной зависимости получите выражение для эффективной массы полярона. При какой величине взаимодействия А справедливо использованное приближение сильной связи (т. е. классической деформации)?

Решения

Решение 28. Собственно-энергетическая часть дается диаграммой на рис. 4.10, в которой используется причинная функция Грина электрона в ферми-газе Gq(£, р)= (£ — £р + iOsign^р)-1. В задаче 16 эта же диаграмма рассматривалась для одного электрона, взаимодействующего с фононами. При этом была использована функция Грина электрона в пустом пространстве (см. (4.34)). Однако в задаче о ферми-газе эта функция не годится, поскольку она не учитывает, что электрон не может переходить в занятые состояния. Таким образом,

(6.14)(6.14)() ig2 / с2k2dw

(6.14)

(6.14)

* °(2开)4 丿 J — c2k2 + £0 £ — g — £p_k + i 0 sign £p_k

Основное отличие этого выражения от (4.34) заключается в способе обхода полюсов. Они находятся в точках q = £ — ^p_k + £ 0 sign ^p_k и ^2,з = 士 (ck — £ 0).

Замыкая контур интегрирования по g так, чтобы внутрь него попал только один полюс из трех, перепишем правую часть выражения (6.14) следующим образом:

(6.15)

|k|<fcn

Теперь воспользуемся стандартной заменой переменной в интеграле по(Рку использованной в решении задачи 16. Перейдем к интегрированию по |к| и pi = |р — к| по формуле (4.38) (см. также [1], § 21, п. 3). В этих переменных выражение (6.15) для р) можно переписать так:

х*p)=合止恭.(6.16)

87r2夕 J J ye — ck — ^P1 + гО e + ck — £也一zO,

Область интегрирования no 夕】в (6.16) есть |р — к\ < pi < р + к. Теперь удобно перейти от переменной интегрирования 夕】к переменной £ = pf/2m — £f：

»(£，Р)=教 7/ (一弋 + cO + 宀Цо)恋廿"％ '(6」7)

причем интеграл по в (6.17) берется по области

(夕—к)2/2т — £f<£ < (р + к)2/2т — eF .(6.18)

Вещественная часть Е(е,р) будет вычислена в следующей задаче, здесь же ограничимся мнимой частью. Применяя известную формулу

(6.19)(6.20)(6.19)(6.20)1

(6.19)

(6.20)

(6.19)

(6.20)

x + iQ

получаем

ImE(£,p)=鼻^ / /(8(—§)b(£ + ck —§) - 0(C)^£ -ck- ^)) d^dk .

Второе слагаемое (оно отлично от нуля при £ > 0) дает время жизни электронных состояний, а первое (отличное от нуля при £ < 0)——дырочных.

До настоящего момента все преобразования были точными. Теперь обратим внимание на то, что при 同《£f вероятность распада можно вычислять, интегрируя в (6.20) не по области (6.18), а просто по всем £. Дело в том, что сохранение энергии при распаде частицы с энергией £ на частицу с энергией £ и фонона с энергией ск гарантирует соблюдение неравенств (6.18), поскольку с《&f s ££р・

В силу сказанного интеграл по ^ в (6.20) берем по —ос < ^ < ос:

2

1тЕ(е,р)=1тЕ(е,р)=(6.21)(6.21)丁 с / (0(—£ —从)—J(£ — ck)) * dk .

1тЕ(е,р)=

1тЕ(е,р)=

(6.21)

(6.21)

о

При переходе от (6.20) к (6.21) мы заменили в коэффициенте р на р0-

Интегрируя по А; в выражении (6.21), получаем

2晨2 у 3

ImE(s,p) = — / с signg / * 林 = 一 signs，J & , k€ = min[kDj |e|/c](6.22)

/247rfF

Найденная мнимая часть ImE(s,p) при |e|《£f является функцией одного только г, и не зависит от р.

Переходя к безразмерной константе < электрон-фононного взаимодействия, д2 = </〃5 получаем

—历衿 s】gn£ j 媪 при з(6.23)

To обстоятельство, что ImE(s) оказалась нечетной функцией % является следствием электрон-дырочной симметрии, имеющей место при |е|《 £f・

Обратим внимание на то, что при малых энергиях

1тИ(£)《£〉(6.24)

т. е. время жизни квазичастицы с энергией вблизи уровня Ферми очень велико по сравнению с 力/% и растет при уменьшении энергии быстрее, чем е-1. Это означает, что электрон-фононное взаимодействие не разрушает ферми-жидкостную картину.

Зависимость 1тП(£ < 幻。)〜 £? можно объяснить качественно. Вероятность испускания электроном фонона с заданным волновым вектором к пропорциональна к〉 поскольку оператор электрон-фононного взаимодействия пропорционален градиенту смещения решетки (иными словами, фонон с к = 0 не должен испускаться вообще ——это просто трансляция кристалла, как целого). При этом, однако, если £ < 幻。〉то электрон не может испускать фононы с произвольно большими к. Дело в том, что испустив фонон с большой энергией, электрон перешел бы в состояние с энергией, меньшей £f・ Но такие состояния заняты, и перейти в них нельзя. По этой причине электрон будет испускать только фононы с волновыми векторами к，е/с. При этом число конечных состояний ——порядка площади поверхности сферы радиуса к. (Именно площади, а не объема — из-за законов сохранения!) Перемножая вероятность испускания фонона и число конечных состояний, получаем для вероятности распада ?〜 葬

Таким образом, в ферми-системе вероятности процессов рассеяния при малых энергиях сильно уменьшаются. Это означает, что вблизи ферми-поверхности можно говорить о хорошо определенных квазичастицах. Большие времена жизни квазичастиц ——ключевое свойство для обоснования теории ферми-жидкости.

Результат (6.23) в случае £ > 幻。также можно понять с помощью качественных соображений. При £ > 幻。электрон способен испускать фононы с импульсами вплоть до к。〉оставаясь снаружи ферми-сферы. Поэтому вероятность распада определяется фононами с к ^ к。и не зависит от £. Конечные состояния электрона лежат в тонком сферическом слое, имеющем толщину порядка g。《£f・

Нетрудно видеть, что даже при электрон-фононном взаимодействии，〜1 вероятность распада 7 сравнивается с £ только при £g。.

Решение 29. В задаче 28 было получено выражение (6.17) для Е(е,р) и вычислена его мнимая часть. Рассмотрим теперь веще с твенную часть ReE(s,p) и найдем перенормировку спектра квазичастиц. Запишем веще с твенную часть выражения (6.17) в виде

2к d

Re р) = У /(%) к dk,(6.25)

где интеграл

(6.26)

7 е-ск-С е + ск-С、 丿

gmin LJ

понимается в смысле главного значения, а область интегрирования по £ дается условием (6.18).

Интегрирование по £ дает

/(%) = In —+1П £ + М『п(6.27)

Это выражение нам будет удобно представить в таком виде:

(6.28)(6.28)1£ — ск е + ск — ^min

(6.28)

(6.28)

/(") = In , ? + Ь

£ + C%8 — Ск — £тах

Первое слагаемое в (6.28) после интегрирования по к < к^ дает вклад в Е(е,р), существенно зависящий от £ е области |е| W g。. Зависимость же этого вклада от р, возникающая благодаря коэффициенту |р|-1 в (6.25),——довольно слабая (величина (6.25) чувствительна только к большим изменениям р порядка ро).

В то же время второе слагаемое в выражении (6.28) дает «регулярный» вклад в Е(е,р), слабо меняющийся как функция £ и р при изменениях \6е\ W £宀 |6р| W Ро. Чтобы в этом убедиться, заметим, что ск《 |^min|,^тах, и поэтому во втором логарифме в (6.28) можно пренебречь ск по сравнению с 九也〉£max・

Имея это в виду, представим собственно-энергетическую часть в виде ЕОСОб(в) + Ерег и, имея в виду малые |е|《£f s |р| близкие к ро? включим Ерег в перенормировку затравочных химпотенциала 从=Ер и скорости vp = р^/т.

k2dk.k2dk.(6.29)(6.29)Таким образом, получаем

k2dk.

k2dk.

(6.29)

(6.29)

фонон мгновенно отстает. В результате поглощение и испускание фонона становятся локальными процессами.

Интеграл в выражении (6.29) нетрудно вычислить. Однако поскольку получающееся выражение достаточно громоздко, нам будет более удобно рассмотреть предельные Случаи

А. При £《G。можно разложить логарифм в (6.29), считая £《ск:

2/6儿产02k2

ReE(s) = kdk== —be) b = 'k|)/4就.(6.30)

87r气f /87r气f

Б. При £》wp, напротив, имеем £》ck〉и снова разлагаем логарифм в (6.29):

Re 夕（£）=Re 夕（£）=(6.31)(6.31)g2c2 7 к3 dkg%%i)匕幻3

Re 夕（£）=

Re 夕（£）=

(6.31)

(6.31)

87r2&f / £327r2&f£4e

Экстраполируя полученные выражения в область s ^ wp, можно сделать вывод, что в этой области возрастание ReE(s) сменяется убыванием, т. е. ReE(s) имеет там экстремум.

11Выпишем теперь перенормированную функцию Грина. При £《 幻。она имеет следующий вид:

1

1

(6.32)(6.32)G(*p)

(6.32)

(6.32)

где ?(£)дается выражением (6.23). При интересующих нас £《 幻。затухание ?(£)《

Сравним полученное выражение (6.32) с определением (4.14) квазичастичной функции Грина. Видим, что амплитуда функции Грина (6.32), даваемая величиной вычета в полюсе, есть Z = 1/(1+Ь). Закон же дисперсии квазичастиц, согласно (6.32), имеет вид

(6.33)(6.33)(6.34)(6.34)£ = €р/(1 + Ь) •

(6.33)

(6.33)

(6.34)

(6.34)

Отсюда находим перенормировку эффективной массы:

т* = (1 + Ь)т .

Видно, что электрон действительно «утяжеляется» (ибо он вынужден тащить за собой фононное «облако»). Следовательно, плотность состояний, пропорциональная эффективной массе, увеличивается. Обратим внимание на то, что при электрон- фононном взаимодействии，〜1 величина 仇 определяющая величину перенормировки, оказывается порядка единицы.

Перенормировка плотности состояний вблизи поверхности Ферми имеет простое качественное объяснение. Чем выше энергия электрона по сравнению с уровнем Ферми, тем более активно этот электрон испускает фононы (как видно из решения предыдущей задачи). В результате энергия электрона уменьшается, и он «прижимается»

к поверхности Ферми. (Эти рассуждения немного неточны, поскольку при £《 幻。 вклад в Е(е) дают, главным образом, не реальные, а виртуальные процессы. Поэтому следовало бы говорить об испускании и поглощении виртуальных фононов.)

Решение 30. Запишем выражение для поправки к вершинной части электрон- фононного взаимодействия, соответствующее диаграмме на рис. 6.2:

「⑴=—д3 / G(£l Pi)G(£i + pi + k)O(£ — ^i, P — Pi)•(6.35)

「⑴「⑴Мы не будем вычислять P(D точно, а попытаемся ее оценить по порядку величины. Вначале рассмотрим интеграл по £> Полагая характерную передачу импульса порядка к。^ ро? и учитывая, что О(£ —門)квадратично спадает при \е — е^\》wp, получаем, что основной вклад в интеграл дает область |е — cj g。. Оценив таким образом интеграл по £匕 находим

「⑴

「⑴

(6.36)(6.36)/g%D cP”

(6.36)

(6.36)

丿(£1 - €pi + 20sign&)(£i-ш-€pi+k + 20 sign&)'

Теперь рассмотрим интеграл по импульсу pi. Характерная передача импульса —— порядка ко Ро・ Поэтому мы можем оценить знаменатели как £宀 причем d3Pl 〜pg. Собирая все вместе, имеем

「⑴「⑴223 Ро3 Ро~ д ^d— f ~ д •V Bp VSf223 Ро3 Ро~ д ^d— f ~ д •V Bp VSf(6.37)(6.37)

「⑴

「⑴

22

3 Ро3 Ро

~ д ^d— f ~ д •

V Bp VSf

22

3 Ро3 Ро

~ д ^d— f ~ д •

V Bp VSf

(6.37)

(6.37)

О тно сительная величина этой поправки

〜〜Vp8 p〜〜Vp8 p(6.38)(6.38)「⑴

〜〜

Vp8 p

〜〜

Vp8 p

(6.38)

(6.38)

д

Здесь использована известная оценка gd/ef ~ у m/M, где m и М ——масса электрона и иона соответственно. Электроны намного легче ионов, поэтому рассмотренная поправка к вершинной части пренебрежимо мала.

Приведенное рассуждение не является вполне строгим: оно оказывается ошибочным при g kvF) g 《Go・ В этом случае полюса функций Грина сближаются, и интеграл надо анализировать более аккуратно. Однако в большинстве задач эта область не важна, поскольку скорость звука с много меньше &f・

Чтобы прояснить физический смысл полученного неравенства「&)《д〉вычислим вершинную часть в смешанном «импульсно-временном представлении». Это позволит нам лучше проследить за ролью различных характерных времен. Нам потребуются функции Грина фонона и электрона. Сначала найдем

(6.39)(6.39)О(к") = У О(а,к)е-^|^ = -汲罔.

(6.39)

(6.39)

Аналогично можно вычислить и электронную функцию Грина:

G(p<) = -ie-^G(p<) = -ie-^е(£р) при 力 > о,е(-《р) при t < о.е(£р) при 力 > о,е(-《р) при t < о.(6.40)(6.40)

G(p<) = -ie-^

G(p<) = -ie-^

е(£р) при 力 > о,е(-《р) при t < о.

е(£р) при 力 > о,е(-《р) при t < о.

(6.40)

(6.40)

Обратим внимание на то, что D(k, t)——более медленно меняющаяся функция времени, чем G(p") (при импульсе р, не слишком близком к ферми-поверхности).

На диаграмме, дающей поправку к вершине взаимодействия「⑴，расставим импульсы и времена, как показано на рис. 6.4.

Рис. 6.4

Получаем следующее выражение:

[⑴=-д3 〃6-‘3'G(pi"-右 1) G(pi + k,^ 一力)0(P _ Pi"i - [2)，丁、3 •(6・41)

При pi 弓 po электронные функции Грина меняются за времена порядка e^L По этой причине |ti — t\ ~ 优2 —力 ~ 优1 —力2丨 ~ £鼻 1. Это означает, что фононный пропагатор берется при ^ 弓 t2- Поэтому он оказывается пропорционален с|р — Pi| 弓"о, и, таким образом, возникает малый параметр 3d[&f・

Иными словами, электроны быстро (за время порядка е^1) поглощают фонон, подстраиваясь под деформацию решетки. При этом они не успевают за счет своего движения снова «раскачать» решетку ——на это требуется время порядка g$i. Это есть проявление адиабатичности движения ионов. В силу своей большой массы ионы движутся медленно и электроны всегда успевают подстроиться под их локальную конфигурацию.

Утверждение о малости вершинных поправок (теорема Мигдала) ценно тем, что позволяет оставить в диаграммном ряде наиболее существенные вклады и просуммировать их, не предполагая малости электрон-фононного взаимодействия. Однако не следует думать, что все фононные перенормировки малы и потому несущественны. Иногда они приводят к важным эффектам, один из которых ——сверхпроводимость.

Решение 31. Запишем выражение для поляризационного оператора фононов, соответствующее диаграмме на рис. 6.3:

(6.42)(6.42)2征 j<fe d3p

(6.42)

(6.42)

(2汗)4 丿(E 一 £р + £0 sign£p)(E + G — £p+k + £0 Sign^p+k)

(множитель 2 возникает из-за суммирования по спину). Заметим, что именно такое

n(w, k) = —2g2% 1 —n(w, k) = —2g2% 1 —2k&f2k&fg — kvp g + kvpg — kvp g + kvp2k&f \ kvp2k&f \ kvp(6.43)(6.43)выражение было рассмотрено в задаче 24 а. Поэтому мы можем просто воспользоваться ответом (5.39), справедливым при к《 夕。〉g《£f：

n(w, k) = —2g2% 1 —

n(w, k) = —2g2% 1 —

2k&f

2k&f

g — kvp g + kvp

g — kvp g + kvp

2k&f \ kvp

2k&f \ kvp

(6.43)

(6.43)

(6.44)(6.44)II(g〉к) —2д2% = —2《.II(g〉к) —2д2% = —2《.(6.45)(6.45)

(6.44)

(6.44)

II(g〉к) —2д2% = —2《.

II(g〉к) —2д2% = —2《.

(6.45)

(6.45)

Функция Грина фононов определяется из уравнения Дайсона:

D-1(w, к) = к) — II(g〉к),

а спектр фононов — из уравнения。［小卜)=0. Поскольку скорость звука много меньше скорости Ферми, то нас итересует g《kvp. В таком пределе поляризационный оператор есть просто

(6.47)(6.47)(6.48)(6.48)(6.50)(6.50)

(6.47)

(6.47)

(6.48)

(6.48)

(6.50)

(6.50)

Поэтому функция Грина акустических фононов есть

D-1(w, к) = _D「(g〉к) — II(g〉к)

где со — затравочная скорость звука. Получаем закон дисперсии фононов g = ск^ где

с2 = с^(1 —20.

Уменьшение частоты фонона вследствие взаимодействия с электронами можно объяснить тем, что электроны, быстро подстраиваясь под деформационный потенциал, скапливаются в его минимумах и тем самым понижают энергию системы.

Чтобы найти затухание фононов, рассмотрим мнимую часть поляризационного оператора:

1тП(с<;, к) = —« |g|/(Aw) •

Подставляя в уравнение Дайсона (6.44) ш = ск + £?〉получаем

(6.49)

Хотя затухание и оказывается пропорциональным частоте, оно все же мало по сравнению с w по параметру c/vp ~ ^т/М.

Сравним найденный результат (6.49) с затуханием звука в классической гидродинамике. В обычных жидкостях и газах затухание звука по порядку величины равно

7 ^ 攸2/*〉

где 斗 Р — вязкость и плотность среды. Поэтому можно сказать, что «эффективная вязкость» электронного газа растет с уменьшением частоты:

Физически, большая эффективная вязкость электронного газа связана с высокой плотностью электрон-дырочных возбуждений с энергией g < c|k|. Именно такие пары возбуждаются звуковой волной.

Решение 32. В размерности 0 = 1 поляризационный оператор, соответствующий рис. 6.3, равен

n(w, к) = -2ig2 [ G(p, £)G(p(6.52)

(множитель 2 учитывает спин). Вычисляя интеграл по £〉получаем

П(а, к) = -— /， ЛрЛ = sign&+后-sign& .(6.53)

Интеграл (6.53) дается суммой вкладов двух областей, в которых разность 汽(£?)— п(^р^) отлична от нуля:

А: & > 0〉£р+к < 0; Е: & < 0, £р+к > 0.

Рассмотрим к > 0. В этом случае области А и Б есть

А: -ро - к <р < —ро, Б: ро - ^ < Ро < Ро-

Поэтому можно переписать (6.53) следующим образом:

2一00-Ро~к2一00-Ро~кdpdpg — к2/2т — рк/т — £0g — к2/2т — рк/т — £02007?丿 РО-к2007?丿 РО-кdpdpg — к2/2т — рк/т + £0(6.54)g — к2/2т — рк/т + £0(6.54)

2一00

-Ро~к

2一00

-Ро~к

dp

dp

g — к2/2т — рк/т — £0

g — к2/2т — рк/т — £0

200

7?丿 РО-к

200

7?丿 РО-к

dp

dp

g — к2/2т — рк/т + £0

(6.54)

g — к2/2т — рк/т + £0

(6.54)

Интеграл по р легко вычисляется и равен

кр° 丄%Ро 丄丄

2оG + Z0 -h G + Z0

11Gx =F】nX, где X = ^~p^. 6.55

\ 2m m/ \ 2m m

Рассмотрим поляризационный оператор (6.55) при к = 2Po + х, w = 0:

2

HQ = 0〉к = 2р0 + /)HQ = 0〉к = 2р0 + /)(6.56)(6.56)W 1 Ро 7ф0 П |ж| '

HQ = 0〉к = 2р0 + /)

HQ = 0〉к = 2р0 + /)

(6.56)

(6.56)

Это выражение логарифмически расходится при к = 2Po.

Найденная логарифмическая особенность II(g〉к) проявляется в спектре фононов. Запишем дисперсионное уравнение

(6.57)(6.57)0T(幻〉к) = O「(g, к) — 口(幻〉к).

(6.57)

(6.57)

Нас интересуют значения к вблизи к = 2Po и малые g. В этой области дисперсионное уравнение принимает такой вид

(6.58)(6.58)J - 31Po +皿]n现

(6.58)

(6.58)

“凱寸о1^ - 2р0|

Строго говоря, следовало бы использовать II(g〉к = 2р0) при g * 0. Это, однако, не меняет качественных выводов. Получаем закон дисперсии

№ =嗚0№ =嗚02W ! Ро ш - ^Ро \к - 2р0|2W ! Ро ш - ^Ро \к - 2р0|(6.59)(6.59)

№ =嗚0

№ =嗚0

2

W ! Ро ш - ^Ро \к - 2р0|

2

W ! Ро ш - ^Ро \к - 2р0|

(6.59)

(6.59)

При к достаточно близком к 2Po второй член в правой части (6.59) превосходит первый, и потому частота фононов становится мнимой. Это означает, что в системе возникает неустойчивость вблизи волнового вектора k = 2Po ——кристаллическая решетка стремится деформироваться. На первый взгляд это кажется несколько странным — ведь деформация решетки требует энергии. Однако, оказывается, что из-за взаимодействия с электронами деформация становится энергетически выгодной. Неустойчивость одномерного металла по отношению к образованию модуляции плотности с периодом тг/ро приводит к так называемому переходу Пайерлса. Равновесная амплитуда возникающей модуляции определяется балансом электронной и упругой энергии (см. разд. 6.4).

Чтобы разобраться в происхождении пайерлсовской деформации и выяснить, чем выделен волновой вектор 2р0, предположим, что каким-то образом возникла спонтанная модуляция решетки с волновым вектором Q. Что происходит при этом с электронами? На них действует деформационный потенциал, период которого есть 2?r/Q. Как известно, в периодическом потенциале электронный спектр приобретает зонную структуру, и в нем открываются щели. Их появление связано с вырождением электронного спектра: состояния с импульсами р и —р в отсутствие потенциала имеют одинаковую энергию. Если внешний потенциал их перемешивает, то это вырождение снимается, и уровни расщепляются. Потенциал с периодом 2^/Q в низшем порядке теории возмущений смешивает состояние с импульсом р с состояниями с импульсами p±Q. Вырождение происходит при р = 士Q/2. Именно при этих значениях р в спектре и откиывается самая большая шель (dhc. 6.5).

Рис. 6.5

При образовании щели состояния над ней выталкиваются вверх по шкале энергий, а под ней ——вниз. Как при этом изменяется полная энергия электронов, зависит от положения уровня Ферми ер по отношению к щели. Если £f лежит существенно ниже, чем щель, то энергии состояний под ним почти никак не изменяются. А если £f лежит выше, чем щель, то, хотя энергии некоторых электронов изменятся сильно, но, поскольку состояния выталкиваются из щели вверх и вниз симметрично, суммарная энергия меняется незначительно. Однако ситуация станет совершенно иной, если уровень Ферми находится в точности там, где открывается щель. Тогда все занятые состояния выталкиваются из щели вниз, и энергия электронного газа понижается. Это происходит, если выполнено условие 夕。=Q/2.

Таким образом, модуляция решетки с волновым вектором Q = 2Po может привести к суще с твенному понижению энергии системы. Наше вычисление, предсказывающее неустойчивость, означает, что выигрыш в энергии решетки за счет взаимодействия с электронами превосходит энергию упругой деформации, что и приводит к неустойчивости. В результате образуется состояние, в котором смещение решетки и плотность электронов модулированы с периодом тг/ро- Такое состояние называется волной зарядовой плотности.

Пайерлсовскую неустойчивость можно также назвать «кооперативным эффектом Яна-Теллера». Напомним, что эффект Яна-Теллера в молекулах состоит в том, что симметричные конфигурации молекул оказываются неустойчивыми. Деформация молекулы, разрушающая симметрию, снимает вырождение электронных уровней, и если при этом вырожденный уровень был не полностью заполнен, то это приводит к понижению энергии молекулы. В эффекте Пайерлса трансляционно-инвариантная конфигурация решетки неустойчива по аналогичным причинам.

Решение 33 а. Рассмотрим случай одного измерения, 0 = 1. Мы предполагаем, что система покоится, т. е. й = 0. Минимизируя в этом случае энергию (6.13) по отношению к деформации w(x), находим связь w(x) с плотностью: w(x)= —(入/K) |山(/)『. Подставив это выражение в деформационный потенциал, действующий на электрон, приходим к нелинейному уравнению Шредингера:

] А2

一5少一而物2必=石" (6.60)

(6.61)(6.61)Ищем солитонное решение в виде

(6.61)

(6.61)

Находим В2 = 入2/2/7＜〉Е = —В2/2. Нед о стающую связь Л и В получаем из условия

(6.62)(6.62)нормировки:

(6.62)

(6.62)

Это дает энергию связи Ед = —()^/К)2/8 и размер локализованного состояния &1 = 2K “2.

Найдем энергию деформации

еупр =万 /m(/)d? =/ 山4⑺厶=•(6.63)

Полная энергия отрицательна:

/ ]1 \ A4 Y

Езн =瓦 + Еупр = (12 - 8)^ =—丽 < °(6.64)

и поэтому образование локализованного состояния выгодно при сколь угодно малом А.

При D > 1 все несколько сложнее. Решить задачу точно уже нельзя, но качественное поведение можно получить из «соображений размерности». Рассмотрим локализованное состояние электрона, сосредоточенное в области порядка а:

(6.65)(6.65)對厂)a~D^ f(r/a),

(6.65)

(6.65)

где /(г)——функция типа колокола размера порядка единицы. Эту функцию можно получить вариационным или каким-либо еще численным методом. Точный вид /(г) нам не потребуется, но можно иметь в виду, например, функцию вида /(г) = е~г . Найдем зависимость кинетической и упругой энергии от а:

Екин =才,ЕупрЕкин =才,Еупрс2Л2с2Л2(6.66)(6.66)

Екин =才,Еупр

Екин =才,Еупр

с2Л2

с2Л2

(6.66)

(6.66)

где с】？ — положительные константы порядка единицы. Для ответа на вопрос о локализации следует найти а, минимизирующее энергию

e 一自Luqj1H —9e 一自Luqj1H —9с2Л2с2Л2(6.67)(6.67)

e 一自

Luqj1H —9

e 一自

Luqj1H —9

с2Л2

с2Л2

(6.67)

(6.67)

имея в виду, что это выражение применимо только при а, большем постоянной решетки а。. Видим, что имеется критическое значение Ас ^ К*』такое, что при А < Ас локализованное состояние невыгодно, а при А > Ас оно образуется, причем сразу сжимается до размера порядка постоянной решетки.

Решение 33 б. Чтобы определить эффективную массу полярона, найдем энергию полярона, движущегося с постоянной скоростью v. Движение полярона удобно рассмотреть в сопутствующей системе отсчета. Для волновой функции электрона преобразование Галилея дает

以 г") = /(У") ехр以 г") = /(У") ехр(6.68)(6.68)

以 г") = /(У") ехр

以 г") = /(У") ехр

(6.68)

(6.68)

где rz = г — vt ——координата в движущейся системе отсчета (см. задачу к § 17 [2]). Поскольку преобразование меняет только фазу 山(г")> но не |山 |〉взаимодействие с

решеткой Aw(r)|-0(r)|2 в сопутствующей системе отсчета сохраняет свой вид, а из кинетической энергии электрона вычитается mv2/2.

Влияние движения на энергию решетки оказывается более суще с твенным. Поскольку при переходе в движущуюся систему отсчета временная производная оказывается связанной с пространственной производной (& = &/ + vVr/), скорость смещения среды в сопутствующей системе отсчета есть й = (vV)u. Следовательно, плотность кинетической энергии системы равна />((vV)u)2/2. Упругая же энергия зависит от деформации w = Vu, и поэтому не меняется при движении. Физическая причина отличия кинетической энергии от нуля в том, что локализованная деформация, движущаяся с постоянной скоростью, раскачивает атомы решетки.

В размерности один получается плотность кинетической энергии 0V2^?/2〉совпадающая по форме с плотностью упругой энергии Kw2/2. Поэтому в данном случае уравнение для 山 будет иметь вид (6.60) с точностью до замены: Е ——> Е — mv2/2 и К ——> К + 0V2. Используя результат (6.64) для энергии связи неподвижного полярона, получаем изменение энергии вследствие движения:

а、 mv2 А4А4

+ 24K2 - 24(K + pv2)2 •(869)

Раскладывая выражение (6.69) при малом v, получаем массу полярона

m* = m + 入“/(6К> .(6.70)

Как видно из зависимости (6.69), приближение эффективной массы (6.70) применимо при скорости движения полярона много меньшей скорости звука, &《с.

В размерности D > 1, как уже отмечалось, задача об отыскании минимума энергии (6.13) и волновой функции автолокализованного состояния может быть решена только численно. Изменение энергии полярона в результате его движения рассматривается при D > 1 аналогично одномерному случаю. Для массы полярона при этом получается формула вида (6.70), в которой коэффициент 1/6 заменяется на другое число, зависящее от размерности D и деталей взаимодействия на малых расстояниях.

Отметим, что масса полярона (6.70) может намного превосходить массу электрона. Например в случае, когда электрон-фононное взаимодействие не имеет никакой специфической малости, в атомных единицах 入〜1〉К 〜[а。^ М/т^ где М — характерная масса иона решетки. При этом ~ М. Разумеется в реальных полупроводниках масса полярона обычно не достигает массы иона, поскольку константа связи А, как правило, не превосходит 1/10, а поправка к массе в (6.70) пропорциональна А4.

Сравним перенормировку массы полярона сильной связи (6.70) с результатом т^/т = 1 + (4/3 7f2)g2 772 2c ln(A；p/mc) для полярона слабой связи, полученным в задаче 16 (см. выражение (4.45)). Прежде всего отметим, что константа связи А в гамильтониане сильной связи (6.13) связана с константой связи д в гамильтониане Фрёлиха (6.6) следующим образом: А = дК」？. Поэтому результат (6.70) можно

записать в атомных единицах как т*/т = 1 + (^2/с)2/6. Сравнивая эти два выражения для эффективной массы, видим, что переход из режима слабой связи в режим сильной связи происходит при относительно малой величине константы g《1.

Эффект Пайерлса, теория среднего поля

Электрон-фононное взаимодействие в металле может приводить к двум различным, хотя в чем-то и родственным, неустойчивостям: пайерлсовской, переводящей металл в диэлектринеское состояние, и куперовской, делающей металл сверхпроводником (см. гл. 10). Эффектом Пайерлса (см. задачу 32) называется неустойчиво с ть одномерной электрон-фононной системы, приводящая к образованию модуляции смещения решетки с волновым вектором k = 2Po (это соответствует периоду в пространстве, равному среднему расстоянию между электронами с одной проекцией спина). Из-за рассеяния электронов на периодическом деформационном потенциале с А; = 2Po в окрестности уровня Ферми в спектре электронов открывается щель, величина которой пропорциональна амплитуде модуляции. Энергия заполненных состояний, находящихся под щелью, понижается на величину большую, чем затраченная системой при возникновении модуляции упругая энергия. Такой баланс энергии делает пайерлсовское состояние более выгодным по сравнению с исходным металлическим состоянием. Пайерлсовское состояние является диэлектриком, поскольку в нем отсутствуют электронные возбуждения с энергиями, меньшими величины щели в спектре. Пайерлсовская неустойчивость наиболее ярко выражена в одномерной системе, но встречается также и в реальных трехмерных системах, структура которых в том или ином смысле «квазиодномерна».

Цель этого раздела ——изложить простую теорию, позволяющую обосновать описанную картину и выяснить некоторые интересные детали устройства пайерлсов- ского состояния. Мы ограничимся здесь случаем нулевой температуры (некоторые вопросы термодинамики перехода Пайерлса рассмотрены в задаче 39). По характеру применяемого приближения использованный ниже метод является так нызывае- мой теорией среднего поля^ поскольку модуляция решетки, на фоне которой двигаются электроны и фононы, рассматривается в этой теории как статическая. При этом предполагается, что действующий на электроны деформационный потенциал флуктуирует относительно слабо. Такое приближение позволяет найти гриновские функции электронов и фононов и определить, как их закон дисперсии меняется при переходе в пайерлсовское состояние.

Начнем с того, что явно выделим область импульсов вблизи поверхности Ферми. Запишем для этого ^-оператор в виде суммы вкладов частиц с энергиями вблизи 風〉движущихся направо и налево:

對/)=如⑺/р。” +出⑺e-泳” , (6.71)

где ^(х), £ = 1, 2, предполагаются медленными функциями х. После этого гамиль-

тониан свободных электронов принимает вид

%。=/必+⑺（-^一 ^）帆2）厶%。=/必+⑺（-^一 ^）帆2）厶dx (6.72)dx (6.72)

%。=/必+⑺（-^一 ^）帆2）厶

%。=/必+⑺（-^一 ^）帆2）厶

dx (6.72)

dx (6.72)

Предположим теперь, что в системе возникла статическая модуляция смещения решетки 〃(/) = uq cos(2p0^ + 屮)・ При этом на электроны действует деформационный потенциал U(/) = дди/дх. Соответствующий вклад в гамильтониан есть

(6.73)(6.73)"nt = U(x) ^(х^^х) dx ^ △/ (若1■(/)山2(/) + h.c.) dx ,

(6.73)

(6.73)

где △ = guop^e^. Нам будет удобно воспользоваться матричной формой записи. Будем считать 山 двухкомпонентным вектором (его компоненты —山i и 山2)・ Тогда гамильтониан можно представить с помощью матрицы, действующей на этот

вектор:вектор:△—vpk△—vpk(6.74)(6.74)

вектор:

вектор:

△

—vpk

△

—vpk

(6.74)

(6.74)

Здесь k = —id/dx. Перейдя к импульсному представлению, нетрудно найти собственные значения и собственные векторы оператора (6.74):

(6.75)(6.75)£±(" = ±/^№ + △2, |±,%〉=(工

(6.75)

(6.75)

гдегдеJ 1±J 1±(6.76)(6.76)

где

где

J 1±

J 1±

(6.76)

(6.76)

Таким образом, наш вывод о том, что в спектре возбуждений открывается щель, оказывается справедливым, причем величина щели есть 2|Д|.

Используя найденные собственные состояния и их энергии (6.75), найдем изменение полной энергии электронов, вызванное «внешним» деформационным потенциалом U(/). Все электронные состояния (6.75) с £ > 0 при Г = 0 будут пустыми, а состояния с £ < 0 — занятыми. Поэтому энергия системы равна

& = -2£，"爺2 + ]△『& = -2£，"爺2 + ]△『(6.77)(6.77)

& = -2£，"爺2 + ]△『

& = -2£，"爺2 + ]△『

(6.77)

(6.77)

(множитель 2 учитывает спиновое вырождение). Эта сумма расходится степенным образом при к — ±ос, благодаря электронным состояниям, расположенным глубоко под уровнем Ферми. Однако поскольку энергия этих состояний почти не меняется при включении потенциала U(/)〉они дают относительно небольшой вклад в изменение энергии

6ЕЭЛ = %(△) - ЕЭЛ(Д = 0) = -2 £ (，呜N + ]△『_ и问). (6.78)

Это выражение все еще расходится при больших к〉но уже лишь логарифмически. Обрезая эту расходимость при к 士夕。〉получаем

б£эл =б£эл =(6.79)(6.79)

б£эл =

б£эл =

(6.79)

(6.79)

где £* = ©fPO) а £ ——размер системы. Наше вычисиление 6ЕЭЛ корректно, поскольку |А|《£f・

Чтобы определить оптимальную величину энергетической щели Д, найдем изменение энергии решетки при возникновении модуляции:

ЕреЕрешш(6.80)(6.80)

Ере

Ере

ш

ш

(6.80)

(6.80)

Видно, что при самых малых | Д | отрицательное изменение энергии электронов (6.79) преобладает. Величина △ определяется из условия минимизации полной энергии 6ЕЭЛ + Ереш как функции Д, что дает

△о = £*ехр ( —7T&F/g2) • (6.81)

Величина До определяет характерный масштаб энергий, при которых имеет место эффект Пайерлса. Как видно из (6.75), именно при энергиях е ^ До происходят изменения в спектре электронов. Величина До также определяет температуру Тс До, при которой происходит фазовый переход в пайерлсовское состояние (см. задачу 39). В реальных материалах температура Тс может составлять от нескольких единиц до сотен градусов.

Рассмотрим теперь функции Грина электронов и фононов. Благодаря наличию правых и левых состояний, для описания электронов, рассеивающихся на модуляции с к = 2р0, необходимо использовать четыре функции:

Gii(/,a/) = -г (Т^Цж)^^)) ； ^(ж,^) = —2 红耽⑵对(а/)〉；Gi2(4“)= —2〈TV；//)对(#)〉； G2i(/,#) = -г (Т^^)^^)) •

Функции G^ (/〉/') можно вычислить, обратив матрицу е — Н:

(SS ^:；［六=(e_h)=£2_0箭2：@|2 + 20 ( ：f%). (6・82)

Полюсы электронных функций Грина (6.82) дают закон дисперсии квазичастиц £(%) = ±(* 嗚 +△?尸/2, в точности совпадающий с (6.75). Наличие щели в спектре подтверждает наш вывод о диэлектрическом характере основного сотояния.

Перед тем, как исследовать функцию Грина фононов, отметим некоторые качественные черты пайерлсовского состояния. При возникновении волны зарядовой плотности в системе спонтанно нарушается трансляционная симметрия движения

электронов относительно решетки (возникающая модуляция решетки понижает симметрию основного состояния). При этом, однако, исходный микроскопический гамильтониан своей симметрии не теряет. Поэтому в системе должна появиться мягкая ветвь спектра элементарных возбуждений подобная акустическим фононам, частота которой обращается в нуль при к = 0.

В данном мягкая мода возникает благодаря тому, что энергия системы никак не зависит от фазы волны зарядовой плотности ^, если последняя постоянна. Если же 屮 медленно изменяется в пространстве, то это эквивалентно тому, что волновой вектор к(/) отклоняется от 2Po на д(р/дх. Модуляция с волновым вектором, отклоняющимся от оптимального значения к = 2р0, приводит к некоторому увеличению энергии системы. Из этих рассуждений видно, что только изменение фазы модуляции д(/") в пространстве (или во времени) может привести к состоянию с большей энергией. Таким образом, фаза 屮(/〉力)и есть переменная, описывающая в данном случае мягкую моду, часто поэтому называемую «фазонной модой». Как мы увидим ниже, из-за взаимодействия с электронами фазонная мода приобретает скорость vf》с. Кроме фазонной моды, в системе есть также другая мода, связанная с отклонением IД| от До (так называемый «амплитудой»). Поскольку энергия системы явно зависит от IДI, мода колебаний амплитуды △ не является мягкой: спектр соответствующих возбуждений отделен от энергии основного состояния щелью конечной величины.

Имея в виду выше сказ анно е, рассмотрим функцию Грина фононов D® к). Уравнение Дайсона в этом случае имеет вид

к) = О「(а, к) - д2ц(“, к),%) = ?吗心,(6.83)

где Go(k) = с\к\. При интересующих нас к ^ 2Po поляризационный оператор II(g〉к) имеет нетривиальную зависимость от 6к = к — 2Po. В этой области он выражается через матричные функции Грина (6.82) следующим образом:

П(а, %) = —〃// ТУ (^^(£+, q+)(7xG(e_,q_)) ^| ,(6.84)

где £± = £ ± jw, q土 = q±^bk〉а матрица Паули ax и след Tr... определены в двумерном пространстве правых и левых состояний электронов, в соответствии с (6.82). Используя выражения (6.82) для матричных функций Грина, получаем

吟 %)= — 〃 _ FL 广”叱产\,(6.85)

'' 丿丿(£+ — vfQ+ — A2 +— v^qL — Д2 + гО) (2тг)2'

Рассмотрим сначала случай g = 0〉bk = 0 (т. е. к = 2р0)- Выражение (6.85) при этом дает

По^Щш = О,к = 2ро) = -~ / /(6.86)

где ? = Vpq. Вычислить интеграл в (6.86) можно следующим образом. Перейдем от вещественной частоты к мнимой по формуле £ ——> Ее. При таком преобразовании, как нетрудно видеть, направления обхода полюсов в выражении (6.86) остаются прежними. В результате получаем интеграл от функции, обладающей круговой симметрией:

]/ / 一于 + △? de dq 1 了 —г2 + Д2 1 £0

° vf J J (£2 + q2 + Д2 + гО)2 (2тг)2 2开学丿(河 + ^2)2厂厂 2tt&f П еД 7

(6.87) где г = (£? + q2)1/2, а значение энергии во? на которой обрезан логарифмически расходящийся интеграл, выбрано порядка Ер.

Частота фононов с к = 2р0, согласно рассуждениям о мягкой моде, должна быть равна нулю. Нетрудно видеть, что именно так и получается, если записать закон дисперсии D-1(w, к)^=2Ро = 0 с помощью уравнения Дайсона (6.83):

—1 — g看(g〉к))/ к=2ро—1 — g看(g〉к))/ к=2ро=0.=0.(6.88)(6.88)

—1 — g看(g〉к))

/ к=2ро

—1 — g看(g〉к))

/ к=2ро

=0.

=0.

(6.88)

(6.88)

Условие того, что данное уравнение на g имеет решение w = 0, есть 1 + ^2П0 = 0, что, согласно результату (6.87), эквивалентно соотношению (6.81) теории среднего поля, определяющему величину щели △.

С помощью изложенного метода можно найти поляризационный оператор II(g〉к) при произвольных g и к. Для этого перейдем к мнимым частотам £ ——> i" g ——> ш непосредственно в выражении (6.85). При этом получаем

U®心)=而 // (斗 Z+ + △?)(建 z— + △?) (27r)2，z± = z±^/2,(6.89)

где n = vpq+iSy w = &干6卜 + £幻・ В силу круговой симметрии интегрируемой функции, выражение (6.89) зависит только от абсолютной величины комплексного W)причем И® = 0) = Пд. При малых w выражение (6.89) принимает вид

n(w,w*) = no + a-—, М<Д,n(w,w*) = no + a-—, М<Д,(6.90)(6.90)

n(w,w*) = no + a-—, М<Д,

n(w,w*) = no + a-—, М<Д,

(6.90)

(6.90)

где а > 0 ——константа порядка единицы. Интеграл в (6.89) нетрудно вычислить точно, если сначала проинтегрировать по углу arg(^), а затем ——по |/|. Однако для анализа закона дисперсии при k ^ 2Po нам будет вполне достаточно разложения (6.90).

Закон дисперсии。[小卜)=0, с учетом уравнения Дайсона (6.83), в котором мы используем поляризационный оператор в форме (6.90), дает

д2 w*wд2 w*wG^ (k)k=2poG^ (k)k=2po(6.91)(6.91)

д2 w*w

д2 w*w

G^ (k)k=2po

G^ (k)k=2po

(6.91)

(6.91)

(мы учли, что 1+^2П0 = 0). Переходя в выражении (6.91) от мнимой частоты обратно к вещественной, “ ——> “/£, получаем линейный закон дисперсии вблизи к 弓 2р°:

△2^0 (к)к=2ро△2^0 (к)к=2ро+ а—J = а里心必2 .vf vf+ а—J = а里心必2 .vf vf(6.92)(6.92)

△2

^0 (к)к=2ро

△2

^0 (к)к=2ро

+ а—J = а里心必2 .vf vf

+ а—J = а里心必2 .vf vf

(6.92)

(6.92)

При малой константе электрон-фононного взаимодействия д величина △ экспоненциально мала, и поэтому фазовая скорость % = dcu/dk близка к &р. Качественный вид закона дисперсии фононов, получающегося в изложенной теории среднего поля, изображен на рис. 6.6. Исходный линейный фононный спектр и линеаризованный закон дисперсии (6.91) в окрестности k = 2Po показаны штриховой линией.

Рис. 6.6

Развитый выше аппарат во многом аналогичен теории сверхпроводимости (см. п. 10.2.2). Основное формальное отличие состоит в том, что в теории сверхпроводимости рассматриваются процессы рассеяния электронов с противоположными импульсами, а в данной задаче — процессы переброса электронов с одной стороны ферми-поверхности на другую (или, что то же самое, рассеяние электронов и дырок, двигающихся в противоположные стороны). Поэтому, как иногда говорят, в пайерлсовском диэлектрике имеет место спаривание электронов и дырок с противоположными импульсами.

Важное отличие от сверхпроводимости заключается однако в том, насколько теория среднего поля, пренебрегающая флуктуациями △, соответствует реальному положению вещей. Оказывается, что в сверхпроводниках флуктуациями можно пренебречь из-за малости температуры фазового перехода по сравнению с Ер (эта малость связана с тем, что температура сверхпроводящего перехода пропорциональна “о). В случае же с эффектом Пайерлса все не столь просто. Во-первых, температура перехода Пайерлса, как правило, выше, чем в сверхпроводниках, и поэтому флуктуации сильнее. Во-вторых, дополнительное усиление флуктуаций происходит

из-за квазиодномерности. Конечно, реальные кристаллы все-таки трехмерны, и поэтому флуктуации не разрушают дальний порядок полностью, как это должно было бы случиться в чисто одномерном случае. Соответствующие эффекты трехмерности обычно малы, однако совсем пренебречь ими нельзя ——они отвечают за поддержание дальнего порядка. Вследствие всего этого интервал температур вблизи Т = Т。 в котором эффекты флуктуаций существенны, обычно оказывается довольно большим.

Отметим также, что одномерность играет в эффекте Пайерлса существенную роль. Можно проверить, что в размерностях больше единицы сингулярность поляризационного оператора при k = 2Po (так называемая коновская особенность) оказывается более слабой и не приводит к неустойчивости.

Несмотря на одномерность, эффект Пайерлса ——часто встречающееся явление. Существуют кристаллы, в которых молекулы упорядочены в одномерные цепочки, вдоль которых распространяются электроны. В таких квазиодномерных сруктурах эффект Пайерлса приводит к фазовому переходу, при котором изменяется период решетки. Физика возникающих в таких системах состояний весьма разнообразна и интересна, поскольку помимо электрон-фононного взаимодействия часто оказывается суще с твенным также и электрон-электроннное взаимодействие. В результате в таких системах могут возникать не только волны зарядовой плотности^ рассмотренные выше, но и волны спиновой плотности^ а также сверхпроводимость. Кроме того, иногда эффект Пайерлса может проявляться в «недоразвитом» виде и в трехмерных кристаллах (например, в висмуте, ферми-поверхность которого имеет плоские области, и выглядит скорее как гладко обе тру г анный брусок, а не как сфера).

Плава 7.

Диаграммная техника при конечных температурах

Мацубаровское время

Рассмотрим теперь диаграммную технику для систем при конечной температуре. Обобщение нуль-температурной техники на конечные температуры оказывается удивительно простым и красивым. Оно называется диаграммной техникой Мацубары.

Основная задача, решаемая в статистической физике равновесных систем, состоит в усреднении различных величин по распределению Гиббса. При этом рассматриваются средние вида

=^2wn(n^A... В^п^ ,(7.1)

Т п

где индекс «т» указывает на то, что среднее берется по распределению вероятностей различных состояний при конечной температуре Т:

wn = e-匪” /Z, Z = £ е-°Е” .(7.2)

Здесь \п)——собственное состояние системы с энергией Еп)wn ——вероятность пребывания в этом состоянии, /3 = 1/Т — обратная температура, a Z — статистическая сумма. Выражение (7.1) можно записать так:

Теория возмущений, позволяющая находить подобные средние, строится следующим образом. Представим гамильтониан в виде 7Y = TYo + 凡世〉где 凡世一возмущение. В основе мацубаровской техники лежит аналогия между операторной экспонентой гамильтониана

% = ехр(—/3(秃о +冗J(7.4)

и квантовомеханическим оператором эволюции

0(力)=exp (一。力(Яо + 注世)).(7.5)

Переход от U(t) к % осуществляется простой заменой:力——i(3.

Оказывается, что такая аналогия имеет далеко идущие последствия. А именно, можно рассмотреть эволюцию системы во мнимом времени 力 = —ir (丁 называют иногда мацубаровским временем). Введем гейзенберговские операторы

Ам(т) = Ае~тП.(7.6)

Эволюция этих операторов во мнимом времени дается уравнением

学1 =固麻(77)

Далее можно ввести мацубаровское представление взаимодействия:

Л(т) = ет^° А е~т^°(7.8)

и мацубаровскую 5-матрицу:

6(7)=e-抵e抵。.(7.9)

Нетрудно проверить, что эта 5-матрица удовлетворяет уравнению

吃⑺=-%int(T)«(T)〉(7.10)

гдесс

⑺=e抵。注比厂历。(7.11)

——оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия. Решение уравнения (7.10) имеет вид

6(т) = Ттехр (— / 秃int(7)d，.(7.12)

Символ Тт обозначает xp оно лог иче ско е упорядочение операторов по мацубаровско- му времени г. Эта процедура аналогична обычному Т-упорядочению (ср. с выражением (2.3)).

В мацубаровском представлении взаимодействия средние (7.3) принимают следующий вид:

T

Для вывода этого соотношения надо воспользоваться тем, что операторы под знаком следа можно переставлять циклически. Таким образом,

где усреднение (.. .)т；о обозначает Тг(... 6~^°)/ Тг(е~^Но) — среднее по распределению Гиббса с невозмущенным гамильтонианом

Таким образом, возникающие формулы отличаются от случая Г = 0 в основном заменой времени 力 на —гт. Другое отличие заключается в следующем. Усредняя по основному состоянию при Г = 0, мы полагали, что возмущение при 力=—ос отсутствует, а затем медленно включается. Поэтому во всех выражениях возникали величины ©(力—ос), @(ос") и 5(ос, —ос). При конечной же температуре во все формулы входит £(т) только при 0 < г < /3. Поэтому в мацубаровской технике нас интересует эволюция системы во мнимом времени в интервале от 0 до /3.

Кроме того, в выражение (7.14) входит след, т. е. сумма вида ^п{п\... \п). Это означает, что на квантовомеханическую задачу накладывается дополнительное ограничение: через время /3 система обязана вернуться в исходное состояние. Поэтому оказывается удобным считать, что мацубаровское время — это переменная, принимающая значения на окружности, а /3 ——длина этой окружности.

Таким образом, мы приходим к важному выводу: вычисление средних по распределению Гиббса сводится к квантовомеханической задаче во мнимом времени О < г < /3 с периодическими по времени граничными условиями.

Теперь можно развить теорию возмущений для вычисления термодинамических величин. Для этого вводится так называемая мацубаровская функция Грина:

G(r, г； 7, /) = -〈Тт 以г,т)必+(Г—)〉т.(7.15)

(Для ферми- и бозе-статистики знак один и тот же.)

Поскольку в нашей задаче всегда 0 < т < /3, то —/3 < 丁一尸 < /3. Поэтому функция Грина (7.15) определена на отрезке [—/3,/3]. Кроме того, можно показать (см. [1], §11), что

G(t) = ±G(t + /3),(7.16)

верхний знак относится к бозевским частицам, а нижний ——к фермиевским.

С помощью функции Грина можно вычислять т-упорядоченные средние. Как и в диаграммной технике при Г = 0, в мацубаровской технике верна теорема Вика, поэтому т-упорядоченное произведение ^-операторов всегда можно выразить через парные средние. Это, в свою очередь, означает, что можно построить диаграммную технику для вычисления таких средних. В координатном пространстве правила практически совпадают с правилами диаграммной техники при Г = 0, за тем исключением, что область интегрирования по мацубаровскому времени 丁 есть отрезок [О, /3]. Кроме того, коэффициент перед мацубаровской диаграммой есть (—iy+F (汽 ——порядок теории возмущений, F ——число фермионных петель), а не 2^(—1)F, как в обычной технике.

Дискретные частоты

Вычисления в мацубаровской технике почти всегда проще производить не во временном, а в частотном представлении. Опишем, как выглядит соответствующий формализм. Поскольку функции Грина определены на отрезке [—/3, /3], их можно разложить в ряд Фурье:

г, г') = Tfe-5 г, г'), (7.17)

где wn = тгп//3, а множитель Т в (7.17) введен для удобства. Условие (ан- ти)периодичности (7.16) означает, что G(wn)丰 0 для 幻也=2ттаТ в случае бозе- частиц, и wn = (2п + 1)7гТ в случае фермионов. Поэтому в мацу б ар ов ской технике частота принимает дискретные значения ——четные для бозонов и нечетные для фермионов. Роль дискретной частоты шп в мацубаровской технике ——такая же, как у энергии в обычной технике. Поэтому основное отличие диаграммной техники в частотном представлении состоит в замене интегралов по энергиям в функциях Грина на суммы по дискретным частотам. При этом сумма частот в вершине обязательно равна нулю («закон сохранения энергии»).

Приведем выражения для электронной и фононной функций Грина в импульсном представлении:

1

G侬р) = -__, £п = (2п + 1)7гТ ;(7.18)

—КР丿

D(i3m k) = — -, “n = 2тгпТ.(7.19)

4 + ^o(k)

Заметим, что эти выражения можно получить из причинных функций Грина заменой 3 G — iwn)wn. Приведем также полную сводку правил диаграммной техники в импульсном представлении для случая двухчастичного взаимодействия (ср. гл. 4).

На каждой диаграмме нужно расставить импульсы р и мацу б ар ов ские частоты wn так, чтобы в каждой вершине выполнялись законы сохранения энергии и импульса. При этом линии бозе-частиц должны переносить четные частоты (幻也=27гпТ), а линии ферми-частиц ——нечетные (幻也=(2п + 1)тгТ).

Полученное выражение интегрируется по всем внутренним импульсам и суммируется по всем внутренним частотам.

Наконец, ответ следует умножить на

(7.20)(7.20)

(7.20)

(7.20)

где п ——порядок теории возмущений, a F ——число фермионных петель.

Итак, рецепт учета конечной температуры выглядит заманчиво просто. Нужно заменить энергии на геп, интегралы по энергиям / …庇/2K на T^£n ... и просуммировать по дискретным частотам еп. Хотя на первый взгляд кажется, что выражения,

полученные в мацубаровской технике при Г > 0, должны быть как-то тривиально связаны с нуль-температурными выражениями, в действительности это не совсем так (см. задачи 40, 41).

2.1. Метод аналитического продолжения.

Мацубаровская техника позволяет легко вычислять одновременные средние любых величин. На первый взгляд, при рассмотрении динамики в реальном времени мацубаровская техника бесполезна. Ведь разновременные средние, которые эта техника использует, имеют вид〈厶(丁) В(0)), где 丁 ——это мацубаровское время, а не настоящее. Однако оказывается, что при помощи специального приема, рассмотренного ниже, мацубаровская техника может быть использована для вычисления определенных разновременных средних.

Существуют весьма общие соотношения между мацубаровскими функциями, определенными во мнимом времени, и функциями Грина в реальном времени, такими как запаздывающие и опережающие гриновские функции. Эти соотношения следуют только из аналитических свойств функций Грина, и никак не используют конкретного вида этих функций в той или иной системе. Поэтому они имеют столь же общий характер, как, скажем, флуктуационно-диссипационная теорема или соотношения Крамерса-Кронига для восприимчивости.

Рассмотрим запаздывающую и опережающую функции Грина, определенные1 при конечной температуре следующим образом:

GR(£,ri,r2) = -^ У ei£t12 {4>^, ti) V?+(r2, t2) ± V^+(r2, t2) V^(ri, ti))T dti2 , (7.21) 0

0

GA(e,ri,r2) = i / e^12(0(r1"1)/+(r2"2)±沪(r2,力2)0(门,右))Т必12, (7.22)

где 力 12 =力1 —力2〉причем знак «+» соответствует фермионам, а знак «—» — бозонам. Оказывается, что мацубаровская функция Грина G^侬也〉巧宀)〉аналитически продолженная с дискретных значений частоты £也 > 0 на верхней мнимой полуоси дает GR(£y г17 г2), в то время как при продолжении с нижней полуоси, еп < 0, получается Ga(s, ri, г2). Принимая во внимание аналитичность GR(e^ ri, г2) и GA(e^ 1*1,1*2) соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексного % соотношение между G% GA и Gm можно записать так:

(7.23)(7.23)尸\ J GR(>n,ri,r2) при £п > 0 ；

(7.23)

(7.23)

при£п<0,

где мацу б ар ов ские частоты еп ——четные для бозонов и нечетные для фермионов.

Доказательство результата (7.23) приведено в задаче 40 а).

%м. [1] § 17, формулы (17.15) и (17.16).

Из соотношений (7.23) между запаздывающими, опережающими и мацу б ар ов ски- ми функциями следует весьма полезное интегральное представление:

G侬г» г?)=1тУ(*п,Г2)匠，

где интеграл по de берется по всей вещественной оси. Действительно, при > О это соотношение есть следствие аналитических свойств запаздывающей функции Грина в верхней полуплоскости. Чтобы получить G(£e也)при еп < 0, следует заменить запаздывающую функцию Грина на опережающую функцию G*(£)и изменить знак в (7.24). Но поскольку на вещественной оси 1тС&(£)= — 1тСл(е), соотношение (7.24) оказывается справедливым и при еп < 0.

Важным применением соотношений (7.23) является задача об отыскании линейного отклика системы, возмущаемой внешним полем. Согласно формуле Кубо, функция отклика выражается через среднее от коммутатора двух операторов в разные моменты времени:

ХАвЗ = М 产 QN⑴，夙0)][ dt. (7.25) о

Имеется очевидное сходство между выражением (7.25) и запаздывающей бозонной функцией Грина (7.21), означающее, что эти две функции имеют сходные аналитические свойства. Чтобы получить для функции отклика (7.25) соотношения подобные (7.23), вводится мацубаровская восприимчивость

X骋Зп)=⑴ Х(7)夙0)〉т (7.26)

Имеет место так называемая теорема об аналитическом продолжении: мацубаровская восприимчивость X黑)(〃幻也)，продолженная с дискретного множества точек на положительной мнимой полуоси g = wn (п > Q) на вещественную ось Ims = 0, дает восприимчивость Кубо x^b(g)・

Эта теорема, доказательство которой приведено в задаче 37, позволяет находить восприимчивость (7.25) с помощью функции X骋 3) которую, в свою очередь, можно вычислить с помощью мацубаровской диаграммной техники.

В отсутствие взаимодействия мацубаровская восприимчивость дается всего одной диаграммой ——петлей с операторами А и В в вершинах. Мацубаровская восприимчивость имеет такие же аналитические свойства, как поляризационный оператор. Напомним (см. задачу 24), что аналитические свойства восприимчивости Кубо и поляризационного оператора в нуль-температурной технике оказываются различными. А в мацубаровской технике между во сприимчиво стью и поляризационным оператором имеется простая связь. Согласно приведенной выше теореме, для получения восприимчивости достаточно вычислить петлю с мацубаровскими функциями Грина, и затем определенным образом продолжить ее на вещественные частоты.

Отметим, что иногда и случай Г = 0 бывает удобнее рассматривать в мацуба- ровской технике. Для этого нужно вернуться от суммирования к интегрированию, поскольку при Г = 0 точки ian сливаются в мнимую ось в плоскости комплексной переменной g. При этом Т£... переходит просто в f ..Яш/2тг. При таком методе вычисления не возникает сложностей с обходом полюсов гриновских функций, поскольку направление обхода оказывается правильным автоматически.

Для иллюстрации использования мацубаровских функций при нулевой температуре, докажем теорему об аналитическом продолжении для невзаимодействующей системы. В этом случае восприимчивость дается формулой (5.4), полученной из (7.25) по теореме Вика. Рассмотрим выражение (5.4) и заменим g — ш. Теперь запишем дробь в формуле (5.4) в виде интеграла по вспомогательной мнимой частоте:

Ek - Em — i(jj 27r J (0£ + g —— Em)

=—f / GP侬 + 汝)G*侬)de, (7.27)

Подставляя это выражение в (5.4), получаем

ХАВ® =—方 / Тг(GM(ie + гш)ВОм(ге)А)de. (7.28)

Возвращаясь к вещественной частоте, видим, что физическая восприимчивость (7.25) дейс тви те льно получается из во сприимчиво сти (7.28) на мнимой частоте аналитическим продолжением по w с положительной мнимой полуоси на вещественную ось. Выражение (7.28) не зависит явно от выбора базиса. Поэтому оно оказывается весьма удобным в случаях, когда собственные функции неизвестны, как например в задаче о ферми-газе в случайном потенциале (см. гл. 9).

Подведем итог. Хотя мацубаровская техника и использует динамику во мнимом времени, иногда имеющую не вполне ясный физический смысл, она оказывается полезной при описании динамики в реальном времени как при конечной, так и при нулевой температуре. Переход от мнимого времени к физическому времени достигается аналитическим продолжением с мнимых дискретных частот на вещественные. Отметим еще раз, что мацубаровская техника позволяет изучать неравновесные явления лишь на уровне линейного отклика. Более сложные кинетические задачи, в которых внешнее поле может возбуждать систему так сильно, что она не успевает возвращаться в равновесное состояние, таким способом решать нельзя.

Существует несколько разновидностей диаграммной техники, имеющей дело со средними, взятыми не по распределению Гиббса, а по произвольному неравновесному распределению. Наиболее популярной из них является диаграммная техника Келдыша. Эта техника использует запаздывающие и опережающие функции Грина, а также матрицу плотности, и описывает динамику с помощью квантового аналога кинетического уравнения. С помощью техники Келдыша можно

изучать любые отклики, линейные и нелинейные, как в равновесных системах, так и в системах выведенных из равновесия.

Однако, из-за своей большой общности техника Келдыша оказывается весьма громоздкой, и использовать ее в такой простой задаче, как вычисление линейного отклика в термодинамически равновесном состоянии системы, оказывается не очень удобным. Вместо этого обычно применяют описанный в этом разделе прием, основанный на аналитическом продолжении мацубаровских величин.

Отметим здесь же, что для невзаимодействующих систем имеется возможность избежать использования мацубаровских величин. В этом случае, как мы видели в п. 5.1.1, выражение (7.25) для восприимчивости Кубо может быть преобразовано к виду (5.10), содержащему запаздывающую и опережающую функции Грина. В отличие от мацубаровской восприимчивости, однако, результат (5.10) не имеет места для взаимодействующих систем. В известном смысле, техника Келдыша позволяет обобщить формулу (5.10) на случай произвольных неравновесных систем.

Литература: Доказательство правил мацубаровской диаграммной техники приведено в [1], гл. III и [6], гл. IV. Определение временных (запаздывающих и опережающих) функций Грина при конечных температурах можно найти в [6], § 36 и [1], § 17. Связь между мацубаровскими, з ап аз дывающими и опережающими функциями Грина рассмотрена в [6], § 37 и [1], § 17. Использование гриновских функций для вычисления термодинамического потенциала обсуждается в [1], § 16, § 17, п. 5.

Задачи 34 — 42

Задача 34. (Затухание осцилляций.) При конечной температуре распределение ферми-частиц по энергиям размывается на величину порядка Г, что соответстует неопределенности радиуса ферми-сферы 6р()~ T/vf，Пространственные осцилляции с к = 200〉имеющие место для неоднородной ферми-системы в основном состоянии соответственно видоизменяются.

Рассмотрите осцилляции а) Фриделя (см. задачу 8) и б) Рудермана-Киттеля (см. задачу 22), и получите для них выражения, верные при конечной температуре Т《Ер. Покажите, что осцилляции сохраняются на расстояниях меньше тепловой длины ZT = Hvf/^T и экспоненциально затухают при 厂》，т.

Задача 35. (Термодинамический потенциал и функции Грина.) Рассмотрим взаимодействующую ферми-систему, в которой суще с твенными являются диаграммы типа «собственно-энергетическая часть», а более сложные диаграммы, такие например, как поправка к вершине взаимодействия, несущественны. (Подобная ситуация имеет место для электрон-фононного взаимодействия в металле.) Для нахождения термодинамического потенциала Q в этом случае необходимо рассмотреть диаграммы, показанные на рис. 7.1. Сумма этого диаграммного ряда дает изменение термо-

динамического потенциала Q — Qq в результате взаимодействия.

Рис. 7.1

Покажите, что термодинамический потенциал Q выражается через функцию Грина

1

Gag, Р)=.——с , 、—г ,(7.29)

宏"-&(Р)_—a(ZW_P)

где а — спиновый индекс, следующим образом:

Q = Т £ е宏”lnGa(£",p), т 一 +0.(7.30)

n,p,Q

(Энтропия и теплоемкость.) Чтобы использовать формулу (7.30) для вычисления термодинамических функций, полезно привести ее к виду, содержащему вместо суммы по мацубаровским частотам интеграл по вещественным частотам. Воспользуйтесь для этого правилом

т£ f&) = ±j th ^ f(e) de (£„ = 7гТ(2п+ 1))(7.31)

и перейдите к интегрированию по контуру, обходящему мнимую ось, на которой расположены полюсы функции th(E/2T).

Найдите линейный по Т член в теплоемкости металла при низких температурах Т《си。с учетом эффектов электрон-фононного взаимодействия. Как известно, в этом случае собственно-энергетическая часть Х(*р) не зависит от р и при малых энергиях |е|《 “。с хорошей точностью дается выражением £(е) = —Ье (см. задачу 29 и [1], §21, п. 3).

Задача 36. (Термодинамический потенциал фермионной цепочки.) Рассмотрим фермионную цепочку (1.20)

ОО

Н —，2 Jl^t^г+1 + JlO^Y^CLi + 丿2。/成"+ 丿2出+1出—Ba(Qi ,(7.32)

г=—oo

обсуждавшуюся в задачах 2 и 20. Функция Грина для этой системы была найдена в задаче 20. Используя функцию Грина, найдите термодинамический потенциал Q.

Задача 37. (Мацубаровская восприимчивость.)

Докажите теорему об аналитическом продолжении, сформулированную в п. 7.2.1. Запишите мацубаровскую восприимчивость и восприимчивость Кубо при конечной температуре в базисе точных собственных состояний невозмущенной системы и покажите, что второе выражение получается из первого аналитическим продолжением частоты g с дискретных значений 2тпТ на верхней мнимой полуоси (п > 0) на вещественную ось (см. [1], § 17, § 37, п. 2; [6], § 91).

Используя теорему об аналитическом продолжении, решите снова задачу 246, в которой требуется найти динамическую спиновую восприимчивость идеального ферми-газа.

(«Парадокс».) Рассмотрим свободный спин s = 1/2 при температуре Т и найдем его восприимчивость х по отношению к слабому внешнему полю двумя различными способами: по формуле Кубо и методом аналитического продолжения. Поскольку в отсутствие внешних полей гамильтониан TYo = 0, в данном случае оператор спина не зависит от времени. Поэтому коммутатор в формуле Кубо обращается в нуль, [sa(t), s«(^)] = 0 и, на первый взгляд, х = °・ Покажите, что мацубаровская восприимчивость в данном случае дает закон Кюри: х = /З^2, где 从 ——магнитный момент. Разрешите возникающий парадокс.

Задача 38. (Флуктуации смещений решетки.) Флуктуации смещений (6.1) атомов кристаллической решетки, возникающие вследствие нулевых колебаний и теплового движения, описываются корреляционной функцией (иа(г)и/з(г/))т. Выразите коррелятор продольных компонент смещений

G(r) = 3||(r)wi(0)〉T , «||(г) = £ — (kuk)ezkr , (7.33)

через температурную функцию Грина фононов D(wn, к) (см. (7.15), (7.19)), и получите для G(r) общую формулу, справедливую при произвольном законе дисперсии фононов.

Найдите коррелятор смещений Ст(г) для однородной изотропной упругой среды в размерностях D = 1, 2, 3, считая закон дисперсии фононов линейным. Рассмотрите Ст (г) при 7vo и Т = 0, выделяя ДСт(г) = G(r) — С0(г). Найдите по порядку величины зависимость С。(г) и ДСт(г) от Г и г при Т — 0〉厂—ос. Определите способ обрезания интегралов, расходящихся инфракрасно (на больших расстояниях) и ультрафиолетово (на малых расстояниях).

Задача 39. (Переход Пайерлса: критическая температура и флуктуации.) Вернемся к задаче 32, где изучалась пайерлсовская неустойчивость одномерного ферми- газа, возникающая вследствие электрон-фононного взаимодействия. Рассмотрим температурную функцию Грина фононов D(ia)n)k) с учетом электрон-фононного взаимодействия.

Найдите поляризационный оператор II(wn, к) при \к\ ^ 2^0 и 7《風・ Рассмотрите корреляционную функцию фурье-компонент смещений:

(7.34)(7.34)СТ{к) = (ик^ j("〉t

(7.34)

(7.34)

при к близких к ±20о. Найдите температуру 么〉при которой Ст(к) — ос.

Вблизи температуры перехода Т = Тс спектр фононов «смягчается». Из-за этого возрастают тепловые флуктуации гармоник поля смещений u(r)t) с \к\ ~ 20°. Интересующую нас часть поля с к вблизи ±20° можно записать в виде:

〃(4力)=Re(Q(q %)e22Poi〃(4力)=Re(Q(q %)e22Poi(7.35)(7.35)

〃(4力)=Re(Q(q %)e22Poi

〃(4力)=Re(Q(q %)e22Poi

(7.35)

(7.35)

где Q(r)t)——плавно зависящая от координат функция. Покажите, что при Т немного выше Тс спектр флуктуаций Q(q 力)имеет лоренцев вид

〈Qk⑴Qi⑴〉=, 丁三(T — £)/么 <1, \k\ < Tc/vF. (7.36)

Найдите пространственную зависимость коррелятора смещений Ст(г\ определенного выражением (7.33). Обратите внимание, что при выделении в выражении для G (厂)сильно флуктуирующей части, из всей суммы по шп = 2ттТ остается только член с п = 0. Это соответствует переходу к классической термодинамике.

Выражение (7.36) называют законом Орнштейна-Цернике. Оно описывает корреляционную функцию параметра порядка вблизи Тс в теории среднего поля для любого фазового перехода.

Задача 40. (Связь между запаздывающими, опережающими и мацубаровскими функциями.)

Докажите соотношения (7.23), связывающие мацубаровскую функцию на верхней (нижней) мнимой полуоси с аналитическим продолжением запаздывающей (опережающей) функции Грина с вещественной оси в соответствующую полуплоскость комплексной частоты.

Существует весьма полезный метод вычисления мацубаровских диаграмм, опирающийся на аналитические свойства функций Грина. С помощью этого метода можно «автоматизировать» процедуру аналитического продолжения, необходимую для перехода от мацубаровских к запаздывающим и опережающим функциям. Кроме того, он позволяет выполнить в явном виде суммирование по мацубаровским частотам в любой диаграмме.

В качестве примера рассмотрим собственно-энергетическую часть Е(геп, р) ма- цубаровской функции Грина электрона, взаимодействующего с фононами:

與 £п,р)與 £п,р)(7.37)(7.37)

與 £п,р)

與 £п,р)

(7.37)

(7.37)

Соответствующая диаграмма изображена на рис. 4.10.

Выполните суммирование в (7.37) в общем виде, пользуясь аналитическими свойствами гриновских функций (7.23), (7.24). Получите формулу7

£"(%р)£"(%р)XXXXImGR(，pi) Im£>R(a,p — Р1〃у е — ш + iQImGR(，pi) Im£>R(a,p — Р1〃у е — ш + iQ

£"(%р)

£"(%р)

X

X

X

X

ImGR(，pi) Im£>R(a,p — Р1〃у е — ш + iQ

ImGR(，pi) Im£>R(a,p — Р1〃у е — ш + iQ

где интеграл берется по вещественным Н и g. Выражение (7.38) по своей структуре напоминает полученные в задаче 246 формулы (5.57), (5.53), дающие восприимчивость при Г = 0 и явно учитывающие аналитические свойства, следующие из принципа причинности.

Задача 41. (Динамика вблизи перехода.) Рассмотрим динамику электронов и фононов в одномерной системе при температуре вблизи перехода Пайерлса. Будем считать, что Т несколько выше Тс. При этом, как мы выяснили в задаче 39, в системе имеются сильные флуктуации поля смещений решетки с к вблизи ±20°. Естественно ожидать, что динамика фононов с такими к является медленной.

Найдите запаздывающую функцию Грина фононов, используя выражение для мацубаровской функции Грина, найденное в задаче 39.

Найдите запаздывающую функцию Грина электронов, описывающую эффект рассеяния электронов на флуктуациях поля смещений вблизи Тс. Считайте рассеяние слабым и найдите собственно-энергетическую часть (7.38) во втором порядке по взаимодействию с «мягкими» фононами, функция Грина которых получена в части а).

Задача 42*. (Взаимодействие ван-дер-Ваалъса при Т > 0.) Рассмотрим два атома на расстоянии г друг от друга. При г много большем размера атомов ав = h2/те2 обменное взаимодействие, обязанное своим существованием туннелированию электронов, становится экспоненциально малым, и основным является ван-дер-ваалъсово взаимодействие^ возникающее благодаря флуктуациям электромагнитного поля. Потенциал этого взаимодействия, как при нулевой, так и при конечной тампера- туре, можно выразить через поляризуемо с ти атомов.

Предположим, что область пространства, в которой находятся два атома, заполнена равновесным излучением с температурой Т. На каждый из атомов со всех сторон падает свет и, рассеиваясь, оказывает давление. Для одного атома силы давления компенсируются, поскольку распределение излучения по углам изотропно. Если же имеется второй атом, то он экранирует часть излучения, падающего на первый атом, и появляется результирующая сила притяжения .

Выразите эту силу через поляризуемо с ти атомов, считая их основные состояния изотропными, т. е. характеризующимися орбитальным угловым моментом £ = 0. Используйте температурные гриновские функции фотонов 0&/(厂1〉厂2〉丁1 一 丁2) = —(ТтЛа(Г1,Т1)Л^(Г2,Т2))т в кулоновской калибровке Ло = Ф = 0. В мацубаровском фурье-представлении они имеют вид

Da/3(i(vn,k) = —- с (7.39)

(см. [1], §28, формула (28.27 6); [6], § 79)

нимая часть функций Грина в (7.38) определена стандартным образом. В частности, для свободных частиц Im(s — § + 沁厂】=—тг(5(£ — §).

сли бы вместо атомов в пространстве, заполненном излучением, находились два одинаковых макроскопических поглощающих шара, то сила притяжения между ними спадала бы как 1/г2. Это справедливо при диаметре шаров а《丁《Та?/。亢 В XVIII в. подобный механизм предлагался для объяснения закона тяготения.

Ван-дер-ваальсово взаимодействие есть частный случай так называемой корреляционной энергии системы, состоящей из двух или большего числа взаимодействующих подсистем. Корреляционная энергия, найденная в низшем неисчезающем порядке по взаимодействию, всегда отрицательна, поскольку она представляет собой поправку к энергии основного состояния второго порядка по взаимодействию. Другой пример системы, в которой корреляционная энергия играет важную роль —электронная ферми-жидкость (см. задачи 48 б) и 49).

7.4. Решения

Решение 34 а. Будем решать эту задачу по аналогии с задачей 8. Рассмотрим ма- цубаровскую функцию Грина

ж, а/) = — (Тт 對倡 0)山+(认 丁)“(7.40)

и запишем плотность частиц п(х) в виде

п(х) = 2 lim G(t, ж, х)(7.41)

(множитель 2 учитывает спин). Как и в задаче 8, функция Грина при наличии стенки получается методом изображений:

Gg ж, #) = Go (г, ж, В) — Go (г,侣—В),(7.42)

где Go(г, ж,切‘)一гриновская функция ферми-газа на прямой —ос < ж < ос. Отсюда получается такое выражение для плотности частиц:

п(ж) = 2(Go(t = —о, 2 = 0) — Go(T = -0, 2х)) .(7.43)

Чтобы найти Go (г, ж), вспомним, что ее фурье-образ есть Go(wn, р) = 1/( wn — &)• Поэтому

Go(t,x) = THПерейдем в (7.44) к интегрированию по £G0^x) = -—Рассмотрим следующее выражение:' -——-上.(7.44)'丿 шп — £р 27rвыделяя области импульсов р ±0о：i^x/vFР p-i"/簿F 、_+ e-吵。”.——-^(7.45)Лг — £丿如也一£/Go(t,x) = THПерейдем в (7.44) к интегрированию по £G0^x) = -—Рассмотрим следующее выражение:' -——-上.(7.44)'丿 шп — £р 27rвыделяя области импульсов р ±0о：i^x/vFР p-i"/簿F 、_+ e-吵。”.——-^(7.45)Лг — £丿如也一£/Вычислим /(г, х) при X луплоскости, получаем/(7,2)=丿 ei^x/vF/(7, с) = £ 厂必门(7.46)> 0. Замыкая контур интегрирования по ^ в верхней по-—2тг2 У e-3”3+沁时)/叮_m.(7.47)340sh(7fT(訂 + "))Вычислим /(г, х) при X луплоскости, получаем/(7,2)=丿 ei^x/vF/(7, с) = £ 厂必门(7.46)> 0. Замыкая контур интегрирования по ^ в верхней по-—2тг2 У e-3”3+沁时)/叮_m.(7.47)340sh(7fT(訂 + "))

Go(t,x) = TH

Перейдем в (7.44) к интегрированию по £

G0^x) = -—

Рассмотрим следующее выражение:

' -——-上.(7.44)

'丿 шп — £р 27r

выделяя области импульсов р ±0о：

i^x/vFР p-i"/簿F 、

_+ e-吵。”.——-^(7.45)

Лг — £丿如也一£/

Go(t,x) = TH

Перейдем в (7.44) к интегрированию по £

G0^x) = -—

Рассмотрим следующее выражение:

' -——-上.(7.44)

'丿 шп — £р 27r

выделяя области импульсов р ±0о：

i^x/vFР p-i"/簿F 、

_+ e-吵。”.——-^(7.45)

Лг — £丿如也一£/

Вычислим /(г, х) при X луплоскости, получаем

/(7,2)=

丿 ei^x/vF

/(7, с) = £ 厂必门(7.46)

> 0. Замыкая контур интегрирования по ^ в верхней по-

—2тг2 У e-3”3+沁时)/叮_m.(7.47)

340sh(7fT(訂 + "))

Вычислим /(г, х) при X луплоскости, получаем

/(7,2)=

丿 ei^x/vF

/(7, с) = £ 厂必门(7.46)

> 0. Замыкая контур интегрирования по ^ в верхней по-

—2тг2 У e-3”3+沁时)/叮_m.(7.47)

340sh(7fT(訂 + "))

Нетрудно показать, что выражение (7.47) справедливо и при ж < 0. В результате

° T, ”2&f (sh(7гТ(切/5 + 打))° T, ”2&f (sh(7гТ(切/5 + 打))е~грохsh (ttT^x/vf —打))е~грохsh (ttT^x/vf —打))(7.48)(7.48)

° T, ”2&f (sh(7гТ(切/5 + 打))

° T, ”2&f (sh(7гТ(切/5 + 打))

е~грох

sh (ttT^x/vf —打))

е~грох

sh (ttT^x/vf —打))

(7.48)

(7.48)

откуда

(7.49)(7.49)T sin 0о 切vf sh (тгТх/vf)

(7.49)

(7.49)

Теперь, пользуясь (7.43), можно найти плотность частиц:

2T п(х)=——2T п(х)=——&F0O管&F0O管sin (200切) \/ 7гТ sin (2pQx)sh (2ttTx/vf) J "° [&f00 sh (2тгТ切/&f)sin (200切) \/ 7гТ sin (2pQx)sh (2ttTx/vf) J "° [&f00 sh (2тгТ切/&f)(7.50)(7.50)где ng = 2^0/^ — плотность газа вдали от стенки. При Т — 0 это выражение, очевидно, воспроизводит ответ задачи 8. Заметим также, что при х》v”2贞Т осцилляции экспоненциально затухают. Характерное число осцилляций N ^ p^pf^T велико при температурах, много меньших энергии Ферми.Решение 34 б. Эффект Рудермана-Киттеля рассмотрим по аналогии с задачей 23. В первую очередь нам понадобится мацубаровская функция Грина в координатно-энергетическом представлении. Вычислим ее, как в задаче 22:где ng = 2^0/^ — плотность газа вдали от стенки. При Т — 0 это выражение, очевидно, воспроизводит ответ задачи 8. Заметим также, что при х》v”2贞Т осцилляции экспоненциально затухают. Характерное число осцилляций N ^ p^pf^T велико при температурах, много меньших энергии Ферми.Решение 34 б. Эффект Рудермана-Киттеля рассмотрим по аналогии с задачей 23. В первую очередь нам понадобится мацубаровская функция Грина в координатно-энергетическом представлении. Вычислим ее, как в задаче 22:G(iun, г) = /G(iun, г) = /d3p егрг(27Г)3 2“п - &d3p егрг(27Г)3 2“п - &sm{p0 + ^/vF)rsm{p0 + ^/vF)rg£(Po+£/o尸)г _ g-£(po+£/o尸)r、d{ =0。г(/0+。N九/普产)S1g11公九шп — £2тггg£(Po+£/o尸)г _ g-£(po+£/o尸)r、d{ =0。г(/0+。N九/普产)S1g11公九шп — £2тгг(7.51)(7.51)Точно так же, как и в задаче 23, выразим плотность спина через функцию Грина. Все выкладки отличаются лишь заменой —г на —1 в определениях функций Грина и в операторе возмущения. ПоэтомуТочно так же, как и в задаче 23, выразим плотность спина через функцию Грина. Все выкладки отличаются лишь заменой —г на —1 в определениях функций Грина и в операторе возмущения. Поэтому<y\r)=2JSzT^G^n,r),<y\r)=2JSzT^G^n,r),(7.52)(7.52)

2T п(х)=——

2T п(х)=——

&F0O

管

&F0O

管

sin (200切) \/ 7гТ sin (2pQx)

sh (2ttTx/vf) J "° [&f00 sh (2тгТ切/&f)

sin (200切) \/ 7гТ sin (2pQx)

sh (2ttTx/vf) J "° [&f00 sh (2тгТ切/&f)

(7.50)

(7.50)

где ng = 2^0/^ — плотность газа вдали от стенки. При Т — 0 это выражение, очевидно, воспроизводит ответ задачи 8. Заметим также, что при х》v”2贞Т осцилляции экспоненциально затухают. Характерное число осцилляций N ^ p^pf^T велико при температурах, много меньших энергии Ферми.

Решение 34 б. Эффект Рудермана-Киттеля рассмотрим по аналогии с задачей 23. В первую очередь нам понадобится мацубаровская функция Грина в координатно-энергетическом представлении. Вычислим ее, как в задаче 22:

где ng = 2^0/^ — плотность газа вдали от стенки. При Т — 0 это выражение, очевидно, воспроизводит ответ задачи 8. Заметим также, что при х》v”2贞Т осцилляции экспоненциально затухают. Характерное число осцилляций N ^ p^pf^T велико при температурах, много меньших энергии Ферми.

Решение 34 б. Эффект Рудермана-Киттеля рассмотрим по аналогии с задачей 23. В первую очередь нам понадобится мацубаровская функция Грина в координатно-энергетическом представлении. Вычислим ее, как в задаче 22:

G(iun, г) = /

G(iun, г) = /

d3p егрг

(27Г)3 2“п - &

d3p егрг

(27Г)3 2“п - &

sm{p0 + ^/vF)r

sm{p0 + ^/vF)r

g£(Po+£/o尸)г _ g-£(po+£/o尸)r、

d{ =0。г(/0+。N九/普产)S1g11公九

шп — £2тгг

g£(Po+£/o尸)г _ g-£(po+£/o尸)r、

d{ =0。г(/0+。N九/普产)S1g11公九

шп — £2тгг

(7.51)

(7.51)

Точно так же, как и в задаче 23, выразим плотность спина через функцию Грина. Все выкладки отличаются лишь заменой —г на —1 в определениях функций Грина и в операторе возмущения. Поэтому

Точно так же, как и в задаче 23, выразим плотность спина через функцию Грина. Все выкладки отличаются лишь заменой —г на —1 в определениях функций Грина и в операторе возмущения. Поэтому

<y\r)=2JSzT^G^n,r),

<y\r)=2JSzT^G^n,r),

(7.52)

(7.52)

что приводит кчто приводит к©(г) = 2JS辽©(г) = 2JS辽^2ipor-2a)nr/vF^2ipor-2a)nr/vFI у^ e-2ipor+2cvnr/vf3九<UI у^ e-2ipor+2cvnr/vf3九<U(7.53)(7.53)Выполняя суммирование по wn, получаемВыполняя суммирование по wn, получаем

что приводит к

что приводит к

©(г) = 2JS辽

©(г) = 2JS辽

^2ipor-2a)nr/vF

^2ipor-2a)nr/vF

I у^ e-2ipor+2cvnr/vf

3九<U

I у^ e-2ipor+2cvnr/vf

3九<U

(7.53)

(7.53)

Выполняя суммирование по wn, получаем

Выполняя суммирование по wn, получаем

尸（厂）=尸（厂）=о m2T cos(20(yr) 27r2厂2 зЪ.(2тгТг/vf)о m2T cos(20(yr) 27r2厂2 зЪ.(2тгТг/vf)(7.54)(7.54)

尸（厂）=

尸（厂）=

о m2T cos(20(yr) 27r2厂2 зЪ.(2тгТг/vf)

о m2T cos(20(yr) 27r2厂2 зЪ.(2тгТг/vf)

(7.54)

(7.54)

При T — 0 это выражение переходит в полученное ранее. Длина, на которой затухают осцилляции, оказывается равной &f/(2ttT)〉как и для фриделевских осцилляций (7.50).

Решение 35 а. Как известно, суммирование ряда для термодинамического потенциала осложняется тем, что по сравнению с рядом для функции Грина каждая из диаграмм содержит дополнительный множитель 1/п, где п ——порядок диаграммы по взаимодействию. К анониче ский способ преодоления этой трудности ——дифференцирование диаграмм по константе связи, устраняющее множители 1/п. В случае же диаграмм, изображенных на рис. 7.1, в использовании подобного приема нет необходимости, поскольку имеющийся ряд легко суммируется. Действительно, n-й член ряда представляет собой замкнутую петлю из п функций G^a(ienj р) и п функций Еа(г£п, р). Его вклад в термодинамический потенциал есть

<5Qn = - Т £ (Go,。侬пр)%侬пр))" .(7.55)

Сумма этих вкладов есть не что иное как

Q — Qo = —Т £ In (1 — Go。侬g p^a(iemj p))=

m,p,a

(7.56)

С другой стороны, можно проверить, что для свободных фермионов

% = Т £ 染"In (Go,。侬g p)) , 7 т +0.(7.57)

m,p,a

Чтобы доказать соотношение (7.57), рассмотрим выражение

ОО

歹(а) = —Т £ ei£mTln {iem - а)(7.58)

где sm = 7гТ(2т + 1)〉т — +0. Дифференцируя это выражение по а, получаем

ОО少(а) = -Т £ОО少(а) = -Т £а — ^mа — ^m1或а + 11或а + 1(7.59)(7.59)

ОО

少(а) = -Т £

ОО

少(а) = -Т £

а — ^m

а — ^m

1

或а + 1

1

或а + 1

(7.59)

(7.59)

В справедливости последнего равенства можно убедиться, заметив, что полюсы выражения 1/(&8。+ 1) и вычеты в них совпадают с полюсами и вычетами выражения под знаком суммы в (7.59). Это условие определяет зависимость Fz от а с точностью до неизвестной целой функции а. Чтобы найти эту целую функцию (и убедиться в том, что она равна нулю) можно рассмотреть выражение (7.59) при больших Rea.

В пределе | Rea|》Т сумму в (7.59) можно заменить интегралом

(7.60)(7.60)1/ 金厶—[]ПРИ Rea < 0,

(7.60)

(7.60)

2ж 7 z — а I 0 при Re a > 0.

Получающаяся зависимость от а совпадает с асимптотикой выражения — (&。。+1)-1.

Зная R'(q), нетрудно найти F(q) прямым интегрированием:

ооО

F^) = - 1^а + 1)-Ча = Т У (1 + е—°а)—%е—加=—Т1п(1 + е—%)(7.61)

Данное выражение есть не что иное, как термодинамический потенциал одного фермиона с энергией £. Отсюда требуемое соотношение (7.57) получается суммированием по состояниям всех фермионов системы.

Решение 35 б. Рассмотрим общее выражение (7.30) для термодинамического потенциала и, не конкретизируя пока вид функции Грина, преобразуем это выражение к форме, удобной для вычисления термодинамических функций. Представим сумму по ет — 7гТ(2т + 1) в виде контурного интеграла:

Q = E / + / th — 1пСа(г, р)е^т,(7.62)

где контуры & и С? охватывают верхнюю и нижнюю мнимые полуоси Im г > 0 и Im г < 0, как показано на рис. 7.2.

Найдем энтропию S = —дО./дТ^ дифференцируя интеграл (7.62) по параметру Т:

2T2ch2(n/2T)' 以4兩2T2ch2(n/2T)' 以4兩(7.63)(7.63)

2T2ch2(n/2T)' 以4兩

2T2ch2(n/2T)' 以4兩

(7.63)

(7.63)

где Ga(z^ p) есть аналитическое продолжение мацубаровской функции Грина с положительной и отрицательной мнимой полуоси соответственно в области Im г > 0 и 1тг < 0.

Выражение (7.63) весьма удобно для вычислений, поскольку функция 1/ ch2(?/2T) эспоненциально быстро убывает при удалении г от мнимой оси. Это обстоятельство позволяет развернуть контуры, направив их вдоль вещественной оси, как показано на рис. 7.2. В получившемся выражении можно пренебречь множителем е〈 поскольку функция 1/ ch2(?/2T) обеспечивает сходимость интеграла по г.

Заметим теперь, что аналитическое продолжение мацубаровской функции в области Im г > 0 дает з апаз дыв ающую функцию GR(z^ р), а в области 1тг < 0 — опережающую функцию G*(羽р) (см. задачу 40). Поэтому интеграл по контурам С^ и С? можно представить в виде интеграла по вещественным / от выражения, содержащего разность lnGR(^, р) — In GA(z^ р). Это дает следующую полезную формулу:

272 由2(£/2T)272 由2(£/2T)Ig3(*p)丿 47n.Ig3(*p)丿 47n.(7.64)(7.64)

272 由2(£/2T)

272 由2(£/2T)

Ig3(*p)丿 47n.

Ig3(*p)丿 47n.

(7.64)

(7.64)

Отметим, что при веще с твенном £ величины G^(*p) и G^(*p) комплексно сопряжены, и значит выражение в скобках в (7.64) есть не что иное, как 2i arg G^(s, р). Поэтому выражение (7.64) можно переписать так:

S = 272 ch2(£/2Т)小呪 Р)£ (765)

Рассмотрим теперь функцию Грина электронов, в которую включена собственноэнергетическая часть, описывающая взаимодействие с фононами. Как было выяснено в задаче 29, в данном случае собственно-энергетическая часть практически не зависит от импульса, являясь функцией одной лишь энергии. Запаздывающая функция Грина в этом случае есть G&(*p) = (s —Е(е) — ^(р)+гО)-1. Считая для простоты П(£)вещественным, получаем

argGR(s,p) = {q^argGR(s,p) = {q^при €(р) > £ — S(£), при €(р) < £ — £(£).при €(р) > £ — S(£), при €(р) < £ — £(£).(7.66)(7.66)

argGR(s,p) = {q^

argGR(s,p) = {q^

при €(р) > £ — S(£), при €(р) < £ — £(£).

при €(р) > £ — S(£), при €(р) < £ — £(£).

(7.66)

(7.66)

Пр о суммируем теперь (7.66) по ипульсам и проекциям спина. Поскольку нас интересует вклад от состояний с энергиями вблизи 風〉перейдем к интегрированию по £ в конечных пределах —£о <£<£()〉где £о ~ Ер. Вычисляем интеграл:

£ arg GR* р) = —27г% / 8 (§ — £ + 夕⑹)d§ = 2тг% (е - £(е) - &)(7.67)

Множитель 2 возникает в результате суммирования по спинам. Подставим это выражение в (7.65) и заметим, что слагаемое —2тг〃о£()приводит к интегралу по £ от нечетной функции, равному нулю. В результате получаем независящее от параметра обрезки & окончательное выражение:

272 ch2(£/2Т)■272 ch2(£/2Т)■(7.68)(7.68)

272 ch2(£/2Т)■

272 ch2(£/2Т)■

(7.68)

(7.68)

Подставляя в (7.68) собственно-энергетическую часть в виде »(£)= —te, находим

ООS = (l + b)zVT У — ООООS = (l + b)zVT У — ОО2 ch2(〃2)2 ch2(〃2)=4《(2)(l + b)zVT,=4《(2)(l + b)zVT,(7.69)(7.69)

ОО

S = (l + b)zVT У — ОО

ОО

S = (l + b)zVT У — ОО

2 ch2(〃2)

2 ch2(〃2)

=4《(2)(l + b)zVT,

=4《(2)(l + b)zVT,

(7.69)

(7.69)

где《(2) = "2/6. Отсюда теплоемкость С = TdS/dT = (1 + Ь)С°(Т), где С。= (27f2/3)〃oT — теплоемкость идеального ферми-газа.

Приведенное вычисление нетрудно обобщить на случай ферми-системы с произвольным взаимодействием, не разрушающим ферми-жидкостную картину. В этом случае при малых е и £ собственно-энергетическая часть имеет вид S(e, £) = q£ — be. Как нетрудно видеть, при этом формула (7.65) приводит к линейной по Т энтропии и равной ей теплоемкости С(Т) = [(1 + Ь)/(1 + а)\С^(Т). Отметим, что та же самая константа дает перенормировку эффективной массы: m*/m = (1 + Ь)/(1 + а).

Решение 36. Как и в задаче 20, будем использовать представление гамильтониана фермионной цепочки (1.20) в виде суммы % и 尤世，где % содержит все члены, сохраняющие число фермионов, а 丸也弋—все члены, меняющие число ферминов на ±2. Графическое представление функций Грина, получающихся в этом представлении, было найдено в задаче 20. Соответствующая по следовательно с ть диаграмм для термодинамического потенциала показана на рис. 7.3.

Рис. 7.3Рис. 7.3

Рис. 7.3

Рис. 7.3

Выражение, соответствующее n-му члену по следовательно сти есть

60口=60口=反(⑵JasinQ2Go(飴gP)Go(一江口&7П (J反(⑵JasinQ2Go(飴gP)Go(一江口&7П (Jn dpn dp(7.70)(7.70)Суммируя по n = 1,2,..., получаем изменение потенциала вследствие присутствия «взаимодействия» TYmt-Суммируя по n = 1,2,..., получаем изменение потенциала вследствие присутствия «взаимодействия» TYmt-In (1—⑵办 sinq)2Go侬n@)Go(—〃£口 —0)) /In (1—⑵办 sinq)2Go侬n@)Go(—〃£口 —0)) /InIn唸 + 4(Л cosp — В)2 + 4因 sin，、dp 唸 + 4(Л cosp — 6)2 丿 27r唸 + 4(Л cosp — В)2 + 4因 sin，、dp 唸 + 4(Л cosp — 6)2 丿 27r(7.71)(7.71)Пользуясь соотношениями (7.57) и (7.61), полученными в задаче 35, находимПользуясь соотношениями (7.57) и (7.61), полученными в задаче 35, находимch дУ(Л cosp — В)2 + J^sm2рch Д(Л cosp — В)ch дУ(Л cosp — В)2 + J^sm2рch Д(Л cosp — В)*亿72)*亿72)

60口=

60口=

反(⑵JasinQ2Go(飴gP)Go(一江口

&7П (J

反(⑵JasinQ2Go(飴gP)Go(一江口

&7П (J

n dp

n dp

(7.70)

(7.70)

Суммируя по n = 1,2,..., получаем изменение потенциала вследствие присутствия «взаимодействия» TYmt-

Суммируя по n = 1,2,..., получаем изменение потенциала вследствие присутствия «взаимодействия» TYmt-

In (1—⑵办 sinq)2Go侬n@)Go(—〃£口 —0)) /

In (1—⑵办 sinq)2Go侬n@)Go(—〃£口 —0)) /

In

In

唸 + 4(Л cosp — В)2 + 4因 sin，、dp 唸 + 4(Л cosp — 6)2 丿 27r

唸 + 4(Л cosp — В)2 + 4因 sin，、dp 唸 + 4(Л cosp — 6)2 丿 27r

(7.71)

(7.71)

Пользуясь соотношениями (7.57) и (7.61), полученными в задаче 35, находим

Пользуясь соотношениями (7.57) и (7.61), полученными в задаче 35, находим

ch дУ(Л cosp — В)2 + J^sm2рch Д(Л cosp — В)

ch дУ(Л cosp — В)2 + J^sm2рch Д(Л cosp — В)

*亿72)

*亿72)

Отделяя вклад С。〉получаем искомое выражение для термодинамического потенци

ала:ала:Q =Q =Т тг—/ In(2 ch/3 J (J】 cos, — B)2 + 务 sinZp) dp . оТ тг—/ In(2 ch/3 J (J】 cos, — B)2 + 务 sinZp) dp . о(7.73)(7.73)

ала:

ала:

Q =

Q =

Т тг

—/ In(2 ch/3 J (J】 cos, — B)2 + 务 sinZp) dp . о

Т тг

—/ In(2 ch/3 J (J】 cos, — B)2 + 务 sinZp) dp . о

(7.73)

(7.73)

Решение 37 а. Докажем, что аналитическое продолжение мацубаровской восприимчивости (7.26) дает восприимчивость Кубо (7.25). Запишем формальные выражения для обеих восприимчивостей базисе точных собственных состояний \п) рассматриваемой системы: 7Y|n) = Еп\п). Во избежание недоразумений заметим, что речь идет о многочастичных, а не об одночастичных состояниях.

Рассмотрим сначала восприимчивость Кубо:

(7.74)(7.74)ХавЗ) =i У e^([^(t)B(O)])Tdt,О

(7.74)

(7.74)

где 〈• •・〉т = Тг(е-8无• •・)/Тг 无 —— усреднение по распределению Гиббса, a X(t) = е~гт X е'*% ——оператор в представлении Гейзенберга. Переходя к базису собственных состояний гамильтониана 7Y, получаем

一(7.75)

где шпт = Еп — Ет ——частота перехода, a Z = Trexp(—/37Y)——статистическая сумма. Меняя индексы m и п во втором члене суммы местами и интегрируя по t, находим

Хав^) = 52—- {п\А\т){т\В\п).(7.76)

m,n 幻—^nm 十 ZU

Мнимая часть £0 возникает из-за множителя ехр (—6力)〉который надо добавить в формально расходящийся интеграл по 力 для обеспечения его сходимости.

Теперь проделаем аналогичное вычисление для мацубаровской корреляционной функции

X爲(汝п) = 5产1口 N%7)G^(0)〉T dr.(7.77)

Здесь Xм(т) = е~тН X ет^ ——мацубаровский оператор. В базисе собственных состояний получаем

人人

Хав^п)=—— ^nT У2 e~^Ene~CVnmT{n\A\m){m\B\n) dr +

2Z Vo 宀

(7.78)(7.78)H——-产九丁* e~^En^nmT(ji\B\rri))(jn\A\T^ dr.

(7.78)

(7.78)

2Z J-В

Снова переставляем индексы во второй сумме и вычисляем интеграл по 丁 (при этом полезно учесть, что 3nB = 27nг):

(7.79)(7.79)р—ВЕп — р—ВЕт

(7.79)

(7.79)

X爲(汝П)= £ -~Z(п\А\т)(т\В\п).

m,n 丄 Зп — ^nm

Доказательство интересующего нас утверждения получается из сравнения (7.76) и (7.79). Вспомним, что восприимчивость x^b(g)——аналитическая в верхней полуплоскости функция g (это следует из того, что она есть фурье-преобразование функции, отличной от 0 лишь при 力 > 0). Значит, ее можно продолжить с вещественной оси на положительную мнимую полуось Ims > 0. При этом, согласно (7.76) и (7.79), в точках isn = 2тпТ, п > 0, оба выражения совпадают.

Теперь предположим, что существует аналитическое продолжение Хав(^п) с верхней мнимой полуоси на всю верхнюю полуплоскость g. Тогда это аналитическое продолжение должно совпасть с хав (^)? поскольку, согласно теореме теории функций комплексного переменного, две функции, аналитические в некоторой области и совпадающие на бесконечном множестве точек, имеющем предельную точку, совпадают во всей области.

Решение 37 б. Найдем динамическую спиновую восприимчивость ферми-газа при Т《Ер. В задаче 246 эта величина была найдена непосредственным усреднением операторов в формуле Кубо. Чтобы решить задачу с помощью мацубаровской техники мы вычислим мацубаровскую восприимчивость. Поскольку 廿^侬期 &)— хронологически упорядоченная величина (по отношению к мнимому времени), ее можно вычислять как петлю, составленную из мацубаровских функций Грина:

Вычислим мацубаровскую суммуВычислим мацубаровскую сумму(7.80)(7.81)(7.80)(7.81)X禺(〃幻期卜)=—2虚6昭 丁工/ G(i3ml p) G(i3m + wn, p + k) ：?.

Вычислим мацубаровскую сумму

Вычислим мацубаровскую сумму

(7.80)

(7.81)

(7.80)

(7.81)

1

(必m + %Зп — £p+k) (^m — £p)

разлагая произведение на простейшие дроби:

11::=

1

1

0G 也— £p+k + £p \^m — £p

(7.82)(7.82)Заметим, что поскольку шт = (2m + 1)7гТ и wn = 27гпТ, во втором члене в скобках можно сделать сдвиг переменной суммирования т — т — П)при котором из него исчезает g7v В каждом из слагаемых в скобках вещественная часть суммы сходится, а мнимая формально расходится. Однако она нечетна по т, и потому сокращается при приведении членов с противоположными т. Остается найти сумму вида

(7.82)

(7.82)

что нетрудно сделать с помощью известного соотношения

у—л17Г 丄］7Г а

/--= — th -.

(2n + 1)2 + а2 2a 2

Поэтому интересующая нас сумма есть

1夾111

S⑹=th 与=三三汽f(£) ,(7.84)

w 222e出+12

где 汽f(£) — ферми-распределение. Возвращаясь к выражению (7.81), мы получаем весьма полезное тождество

(7.85)(7.85)1— ^F {^р-\-к) — ^f (£р)

(7.85)

(7.85)

которое часто используется при вычислении поляризационных операторов и восприимчиво стей ферми-газа.

Используя соотношение (7.85), запишем мацубаровскую восприимчивость так:

KF&)一电(金+后) % 3 rt — ^p+fe + £pKF&)一电(金+后) % 3 rt — ^p+fe + £pd3p(2^)3'd3p(2^)3'(7.86)(7.86)

KF&)一电(金+后) % 3 rt — ^p+fe + £p

KF&)一电(金+后) % 3 rt — ^p+fe + £p

d3p(2^)3'

d3p(2^)3'

(7.86)

(7.86)

Поскольку нас интересуют достаточно малые Т《Ер и |к|《0“ перейдем к интегрированию по £. Так как /(汽f(£) — w(€ + vk))d£ = vk (независимо от величины Г), получаем

Xм(^П, %) = 2/4% / . kv：_ ¥ .(7.87)

丿 — kVF 47r

Вычисляя интеграл по телесному углу так же, как в задаче 246, находим следующее выражение:

х北(认办 ％) = 2i^y08af3 (1 +•(7.88)

，\ 2kvF + kvF /

Для того чтобы аналитически продолжить (7.88) на веще с твенную ось, достаточно сделать замену — g + £0. В результате получается

х а, к) = 2〃в% 1 + —— In —_— .7.89

\ 2kvF w + kvp + ^0/

Отделяя веще с твенную и мнимую части, находим

(7.90)(7.91)(7.90)(7.91)Rex “，％ = 2〃諷 1 + —— In,

(7.90)

(7.91)

(7.90)

(7.91)

\ 2kvF g + kvp I/

Imx(“, ％) = тгМв^о * ® (阮f —岡)•

Заметим, что эти выражения, верные при произвольной температуре 0，Т《 風〉в точности совпадают с вещественной и мнимой частями восприимчивости, найденной в задаче 246 при Г = 0.

Решение 37 в. Сначала рассмотрим мацубаровскую восприимчивость (7.26) спина во внешнем поле:

2 3Х®) = 4 /〈*“底(0)〉eFg2 3Х®) = 4 /〈*“底(0)〉eFg(7.92)(7.92)

2 3

Х®) = 4 /〈*“底(0)〉eFg

2 3

Х®) = 4 /〈*“底(0)〉eFg

(7.92)

(7.92)

где 从 ——магнитный момент спина. Поскольку гамильтониан TYq свободного спина в отсутствие внешнего поля равен нулю, динамика отсутствует. Поэтому s^(r)s^(0)= §：(丁) = 1 и, следовательно,

хЫ = [ при , т0Т » 1. (7.93) I 0 при О J 1 + rown ' ' 丿

Мы записали результат в виде, позволяющем продолжить *(幻也)с мнимых значений частоты на вещественные. Аналитическое продолжение дает xQ) = /З/i2/(1 — гт^ш). Переходя к статическому пределу g — 0〉убеждаемся в том, что мацу б ар ов ская восприимчивость дает закон Кюри.

Теперь найдем восприимчивость, используя динамику в реальном времени. Следуя логике, обычно приводящей к формуле Кубо, рассмотрим среднее значение намагниченности в какой-то момент времени:

〈网⑴〉=g 产1。)及(h)e-而i)0), Я =-屈%t, (7.94)

где р = Z-1 exp (—/37Y). Чтобы получить линейный отклик, надо разложить выражение (7.94) по Bext, выделив линейный вклад. В стандартном выводе формулы Кубо по степеням Bext разлагаются операторы эволюции &干'丸“-力。)〉что дает среднее от коммутатора операторов спина в различные моменты времени. При этом зависимостью матрицы плотности р от Bext пренебрегают на том основании, что в пределе 力一力о т ос зависимость от начальных условий в момент t0 отсутствует. Однако это справедливо только в том случае, когда эволюция системы характеризуется «потерей памяти» о начальном состоянии, либо в силу эргодичности, либо из-за релаксационного характера динамики. В нашем же случае, поскольку TYo = 0, эволюция невозмущенной системы вообще отсутствует, в результате чего система бесконечно долго помнит начальное состояние. Поэтому при нахождении линейного отклика следует разложить по Bext не только операторы эволюции, но и матрицу плотности р начального состояния. Как нетрудно видеть, это приводит к закону Кюри х = 8d・

Таким образом, формула Кубо в своей обычной форме дает правильный ответ для восприимчивости только в том случае, когда при эволюции система «забывает» о начальном состоянии. Если же это не так, следует либо поправлять формулу Кубо, вводя в нее члены, зависящие от начального состояния, либо использовать мацубаровскую восприимчивость.

Решение 38. Гриновская функция фононов определяется через поле деформации 0(г") (см. (6.5)). Сравнивая выражение (6.5) с оператором (6.1) поля смещений

решетки u(r, t), убеждаемся в том, что для дебаевских фононов с линейным законом дисперсии G(k) = c|k| поле деформации © есть Cy^divC. Следовательно, функция Грина фононов

с2

。(吟 7)=—万〈Тт0(Г,7)0(О,О)〉т =

(7.95)(7.95)=丁 /"(k)2 -гш„т+гкг

(7.95)

(7.95)

- 左丿 “ + а(k)2(2公产

представляет собой коррелятор div и, умноженный на рс2. Поэтому коррелятор самих смещений получается 9 делением фононного пропагатора на рш^.

戸 гdDk媛 + ^k (2»)D戸 гdDk媛 + ^k (2»)D(7.96)(7.96)

戸 гdDk

媛 + ^k (2»)D

戸 гdDk

媛 + ^k (2»)D

(7.96)

(7.96)

(7.97)(7.97)Выполним суммирование по мацубаровским частотам с помощью формулы:

(7.97)

(7.97)

F = - cth(7ra). n2 + а2 а

Получаем

1 / e*Г g化)dDk2pJ Цк) с" 2т .тт产•

Удобно разделить вклады тепловых и квантовых флуктуаций в выражении (7.98), воспользовавшись представлением

1】幻 111/、…

2272 一12、丿、 丿

где 汽石(幻) — функция распределения Бозе. Очевидно, что 1/2 есть вклад нулевых колебаний, а 汽石(幻)——тепловые флуктуации. Формулу (7.98) в таких обозначениях можно получить, не пользуясь мацубаровскими функциями Грина, а просто усредняя вторично квантованные операторы смещений (6.1) по гиббсовской матрице плотности.

Используя (7.99), представим (7.98) в виде Ст(г) = °о(厂)+ △&(『)〉где

1 г $kr jDk

=(7-100)

兰?二万/*Гв(“(к))而戸.(7.101)

9Строго говоря, это дает коррелятор продольных компонент смещений иц || к. Однако, поскольку корреляторы всех компонент смещений одинаковы по порядку величины, мы ограничимся рассмотрением лишь продольных компонент.

Коррелятор ДСт(г) будет интересовать нас при г》с/Т. В этом случае важен вклад лишь от достаточно малых к ~ 1/г, таких что G(k)《Т. Соответственно, разлагая бозевскую функцию распределения в (7.99) при малом g〉получаем

ДСт(г)ДСт(г)Т Г 产 г dDk p/J(k) (2开产Т Г 产 г dDk p/J(k) (2开产(7.102)(7.102)

ДСт(г)

ДСт(г)

Т Г 产 г dDk p/J(k) (2开产

Т Г 产 г dDk p/J(k) (2开产

(7.102)

(7.102)

Отметим, что (7.102) есть прямое следствие теоремы о равнораспределении из классической статистической физики.

После проведенной подготовки приступим к вычислению Со(厂)и ДСт(г) в разных размерностях. Вначале вычислим Сд(г).

А. 0 = 3:

=47r (27г)з“ кг ск — 4吟^2・丿

Здесь использована формула

/ ешпс/оп = 47r(sina)/a.(7.104)

Б. 0 = 2:

8 27Г8

。俨⑺』М「'" = — /姒①"丽•(7.105)

0 0о

В. 0 = 1:

cf (г)cf (г)ООООdkdk1 7, dk cos кг 丁 =27r0c 7к1 7, dk cos кг 丁 =27r0c 7к27r0c2r27r0c2r(7.106)(7.106)

cf (г)

cf (г)

ОО

ОО

dk

dk

1 7, dk

cos кг 丁 =

27r0c 7к

1 7, dk

cos кг 丁 =

27r0c 7к

27r0c2r

27r0c2r

(7.106)

(7.106)

При вычислении последнего интеграла, который формально расходится, необходимо обрезать логарифмическую расходимость. Как обычно, обрежем интеграл сверху на к ~ 1/г (при больших к осцилляции coskr обеспечивают сходимость), а снизу ——на к ~ 1/Ь, где £ — размер системы (гармоник с меньшими к не существует).

Теперь рассмотрим тепловые флуктуации.

А. 0 = 3:

ГТ1爭7 7ГТ1

△0?)(厂)= sin(Ar)— =.(7.107)

т ' 丿27r2pcR(' 丿 ％ ^pcr' 丿

Б. 0 = 2:

…=(7」。8)

Этот расходящийся интеграл вычисляется так же, как и интеграл для С?)(г):

△С，(г)△С，(г)-^—In-.27rpe2Г-^—In-.27rpe2Г(7.109)(7.109)

△С，(г)

△С，(г)

-^—In-.27rpe2Г

-^—In-.27rpe2Г

(7.109)

(7.109)

Табл. 7.1. Вклад тепловых и квантовых флуктуаций в корреляционную функцию

D

△G(r)

3

〜т/厂

2

〜1/r

〜Tln(L/r)

1

〜ln(£")

〜TL

В. 0 = 1:

△&】)(「) =寿 / cos(m 财=.戸 (7.110)

В этом случае интеграл при малых к расходится не логарифмически, а степенным образом. Поэтому определение коэффициента а в этом соотношении в общем виде невозможно: в частности, величина а зависит от граничных условий, а также от расположения точек, в которых измеряются смещения, по отношению к границе системы.

Полученные результаты позволяют исследовать вопрос о разрушении дальнего порядка квантовыми и тепловыми флуктуациями. Для этого необходимо изучить поведение Ст(г) при г ос. Если при этом 64(丁) т 0, то дальний порядок флуктуациями не разрушается ——даже значительное отклонение u(r) от среднего значения не оказывает сущуственного влияния на u(r') в далеких точках г'. А вот если G(厂)—ос, то это означает, что дальний порядок исчезает. Как видно из проделанных вычислений, такая ситуация имеет место для квантовых флуктуаций при D = 1, а для тепловых ——при D = 1, 2.

Изучая результаты, сведенные в табл. 7.1, можно также сделать наблюдение, что с понижением размерности системы D смещения и в далеких точках становятся более скоррелированными. Объяснить это можно следующим образом. Представим себе одномерный кристалл, в котором взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Предположим, что за счет флуктуаций один из атомов слегка сместился. Тогда соседние с ним атомы начнут подстраиваться под это новое «неправильное» положение. Затем перестроятся атомы, соседние с уже сместившимися, и так далее. Таким образом, смещение одного атома вызывает перестройку всей цепочки. Поэтому нескольких локальных флуктуаций оказывается достаточно, чтобы дальний порядок «забылся». Однако, с повышением размерности роль флуктуаций уменьшается, потому что каждый атом «слышит подсказку» о том, какое положения он должен был бы занять в идеальной решетке, от все большего числа соседей и более далеких атомов. Поэтому чем выше размерность, тем труднее перестроить систему, смещая один атом.

Решение 39 а. Запишем выражение для мацубаровского поляризационного one-

ратораратора2Т г亚叫,%)=方工2Т г亚叫,%)=方工dp£р+к) (^т — £р)dp£р+к) (^т — £р)(7.111)(7.111)

ратора

ратора

2Т г

亚叫,%)=方工

2Т г

亚叫,%)=方工

dp

£р+к) (^т — £р)

dp

£р+к) (^т — £р)

(7.111)

(7.111)

и найдем сумму по шт с помощью тождества (7.85), полученного в задаче 376:

П(汝к) = - [—dp.(7.112)

7? 丿 2g也一sp+k + е?

Нас интересуют значения к вблизи ±2ро- Пользуясь четностью II(wn, к) по к〉рассмотрим к 2ро и введем обозначения:

к = 2pQ + q, р = -р0 + х - q/2 , p+k=pQ + x + q/2 .(7.113)

При малых |х|, \q\《夕。можно линеаризовать закон дисперсии. При этом

口е, % = 2。。 + q)=丄 j 阪(叮(2 + 〃2)) -^(一叮(2- 〃2)) ^]

7Г 丿— 2vpX

Удобно переписать это выражение следующим образом:

ОООО— ОО— ОО- vFq — 2£ *+ vFq — 2§- vFq — 2£ *+ vFq — 2§(7.115)(7.115)

ОО

ОО

— ОО

— ОО

- vFq — 2£ *+ vFq — 2§

- vFq — 2£ *+ vFq — 2§

(7.115)

(7.115)

где £ = uf& "id = 1/(7tof). Интеграл no £ в (7.115) нетрудно вычислить, воспользовавшись известным представлением

th гth гОО[V =8 Z — 7П(6 + 1/2)ОО[V =8 Z — 7П(6 + 1/2)z =氏/2 .z =氏/2 .(7.116)(7.116)

th г

th г

ОО[

V

=8 Z — 7П(6 + 1/2)

ОО[

V

=8 Z — 7П(6 + 1/2)

z =氏/2 .

z =氏/2 .

(7.116)

(7.116)

(7.117)(7.117)Получаем

(7.117)

(7.117)

2 ―^ \m + 1/2 + w+ m+ 1/2 + w-j '4тгТ

(7.118)(7.118)Логарифмическая расходимость суммы по т должна быть обрезана так, чтобы максимальная энергия Eq = 2тгТ(2пг* +1) была порядка Ер. (При энергиях Е > Eq линеаризованный закон дисперсии перестает быть справедливым.) Преобразуем сумму (7.117), прибавляя и вычитая значение выражения (7.117) при w± = 0:

(7.118)

(7.118)

”"与 пг + 1/22 邑+ 1/2 + + m + 1/2 + w_ m + 1/2/

Удобство данного представления в том, что первая сумма не зависит от w±, а вторая ——сходится, и поэтому в ней можно распространить суммирование на произвольно большие т. Вычисляя первую сумму с логарифмической точностью, получаем окончательное выражение

Ц3办 %)Ц3办 %)Л。1П4^ + ^Т^ (l + W)+V；(l + W-) - 2必(I)) 'Л。1П4^ + ^Т^ (l + W)+V；(l + W-) - 2必(I)) '(7.119)(7.119)

Ц3办 %)

Ц3办 %)

Л。1П4^ + ^Т^ (l + W)+V；(l + W-) - 2必(I)) '

Л。1П4^ + ^Т^ (l + W)+V；(l + W-) - 2必(I)) '

(7.119)

(7.119)

гдегдеr'（z）" 1以2）=而=r一r'（z）" 1以2）=而=r一(7.120)(7.120)

где

где

r'（z）" 1

以2）=而=r一

r'（z）" 1

以2）=而=r一

(7.120)

(7.120)

7 = 0,5772157...постоянная Эйлера.

Теперь найдем мацубаровскую функцию Грина фононов. Запишем для этого уравнение Дайсона:

DT(i3n, к) = D,i@зп, к) - д2П(гшп, к)=DT(i3n, к) = D,i@зп, к) - д2П(гшп, к)=底 + 说(%)2m. а底 + 说(%)2m. а(7.121)(7.121)

DT(i3n, к) = D,i@зп, к) - д2П(гшп, к)=

DT(i3n, к) = D,i@зп, к) - д2П(гшп, к)=

底 + 说(%)2m. а

底 + 说(%)2m. а

(7.121)

(7.121)

Получаем

D(wn, к) = -1/ (1 + 片/届(%) + д2Щ^п, %)) •(7.122)

Интересующая нас корреляционная функция смещений 〈〃虱力)〃_虱力)“ есть не что иное, как

(以⑴ j⑴)Т = —теп(以⑴ j⑴)Т = —теп11

(以⑴ j⑴)Т = —те

п

(以⑴ j⑴)Т = —те

п

1

1

(7.123)(7.123)

(7.123)

(7.123)

0“"%) (1 + 媛/“"%) + ^2n(wn, %))

(см. решение задачи 38). При достаточно высокой температуре Т в сумме (7.123) при всех п знаменатель дроби не обращается в нуль. Однако, поскольку при уменьшении Т поляризационный оператор П(шп, к) становится все более и более отрицательным, при достижении некоторого значения Т = Тс один из членов в сумме по п может начать расходиться. Расходимость флуктуаций〈〃式力)〃_卜(力)“ свидетельствует о неустойчивости системы по отношению к возникновению модуляции с данным к.

Нетрудно показать, что чем меньше |幻也|〉тем выше температура, при которой знаменатель выражения (7.123) обращается в нуль. Аналогично, максимальное значение температуры, при которой расходятся флуктуации, достигается при k = 2Po. Поэтому волновой вектор модуляции, возникающей вследствие неустойчивости, есть к = 2 po.

Иными словами, температура фазового перехода определяется из условия обращения в нуль частоты фононов с k = 2Po. Подставляя = 0 в (7.122), получаем условие на температуру перехода: ^2П0 + 1 = 0, где По = 口(幻也=0〉к = 2р0)- Решая уравнение g^v^D ^-{Е^/Т^ = 1, находим

Тс Eoe-1/gFD . (7.124)

Заметим, что температура перехода Тс по порядку величины совпадает с выражением (6.81) для щели До при Г = 0.

Решение 39 б. Нас интересует окрестность температуры перехода 么〉при которой в сумме (7.123) расходится член с п = 0. При этом существенно то, что поскольку по следовательно сть частот шп = 2кТп дискретна, слагаемые с п ^ 0 имеют

регулярное поведение в окрестности к = ±2р0- Поэтому ими можно пренебречь по сравнению с особым вкладом с п = 0.

Поэтому рассмотрим поляризационный оператор II(wn, к) при шп = Q л к в окрестности 2Po. Разлагая выражение (7.119) при малом q = к — 2ро, получаем

口⑷三 И® = Q,k = 2Po + q) = -u1D (in ^ -句，。=一^g，亿⑵)

причем, согласно (7.120), величина 山"(1/2) есть

ОО[

""/2) = —2 £= -2(23 - 1)((3) = -14((3).(7.126)

к=0(б十2丿

Подставим разложение П(д) в коррелятор смещений (7.123), оставляя только член суммы с п = 0, и примем во внимание, что при Т = Тс выполняется равенство 1 + д2Ц(д = 0) = 0. Получается следующее выражение:

（以（力）J（"）T（以（力）J（"）Tg2〃iDpaW(2po) (ln(T/7；) + aq2).g2〃iDpaW(2po) (ln(T/7；) + aq2).(7.127)(7.127)

（以（力）J（"）T

（以（力）J（"）T

g2〃iDpaW(2po) (ln(T/7；) + aq2).

g2〃iDpaW(2po) (ln(T/7；) + aq2).

(7.127)

(7.127)

При T вблизи Тс разлагаем 丁 = 1п(Т/7^) = (Г — Т^/Т^ Получаем искомый лоренцев спектр (7.36) флуктуаций (7.33) поля Q(r, t):

{Qq(t)Q_q(t))T = —— 2〉/ = ~22?0V '(7.128)

т + aq2д*Мг)рз 乳 2pQ

Чтобы получить коррелятор поля смещений 〃(/")〉заметим, что зависимость (7.128) имеет место как в окрестности к 2ро, так и в окрестности к — 2ро- Поэтому

G(г) = / Л 9 (e"q+2po)「+〃 = Ае-|г|/ьт cos(2por),(7.129)

где Ьт = (а/т)1/2 —— так называемая корреляционная длина. Обратим внимание на то, что корреляционная длина Ьт обращается в бесконечность при приближении к 么 и корреляционная функция G (厂)перестает экспоненциально убывать. Это типичное для фазовых переходов второго рода проявление возникновения дальнего порядка в системе.

Рассмотренная задача иллюстрирует общий метод исследования фазовых переходов второго рода с помощью диаграммной техники. Вначале нужно исследовать флуктуации параметра порядка в квадратичном приближении. (В данном случае параметром порядка является фурье-компонента смещения решетки с волновым вектором к = 2р0-) Если фазовый переход действительно имеет место, то должна существовать температура, при которой система «размягчается» настолько, что корреляционная функция в импульсном представлении обращается в бесконечность. Это и есть температура перехода, полученная в рамках теории среднего поля.

Следующим шагом (который мы здесь не сделали) должно быть изучение длинноволновых флуктуаций параметра порядка. Взаимодействие флуктуаций друг с другом описывается диаграммой, показанной на рис. 7.4 (индексы 土 обозначают электроны с импульсами 土р°), а также подобными ей более сложными диаграммами. Эффекты взаимодействия флуктуаций важны для правильного понимания термодинамики системы в окрестности фазового перехода.

Рис. 7.4

Решение 40 а. Покажем, что аналитическое продолжение мацубаровской функции Грина G(痴加 р) с верхней (нижней) мнимой полуоси дает запаздывающую (опережающую) функцию Грина GR^ (си, р). Будем действовать по той же схеме, что и в задаче 37. Мы рассмотрим лишь случай фермионов, ибо для случая бозе-частиц доказательство получается аналогично.

Выразим запаздывающую и опережающую функции Грина (7.21), (7.22) через матричные элементы {n\^\m) в базисе собственных состояний. Выражая средние в (7.21), (7.22) через след и производя точно такие же преобразования, как в задаче 37, получим

G^⑷3“『)= Z~i £：—(n\^+ (rz)\m)(m|V?(r)|n)G^⑷3“『)= Z~i £：—(n\^+ (rz)\m)(m|V?(r)|n)m,n 3 — ^nm 土 °。m,n 3 — ^nm 土 °。(7.130)(7.130)

G^⑷3“『)= Z~i £：—(n\^+ (rz)\m)(m|V?(r)|n)

G^⑷3“『)= Z~i £：—(n\^+ (rz)\m)(m|V?(r)|n)

m,n 3 — ^nm 土 °。

m,n 3 — ^nm 土 °。

(7.130)

(7.130)

где “冷仇=En — Em. Вычисление мацубаровской функции Грина

G3n,r『)=--G3n,r『)=--/ Гш"т(тт ^м(г, г) ^M^\ °))И/ Гш"т(тт ^м(г, г) ^M^\ °))И(7.131)(7.131)

G3n,r『)=--

G3n,r『)=--

/ Гш"т(тт ^м(г, г) ^M^\ °))И

/ Гш"т(тт ^м(г, г) ^M^\ °))И

(7.131)

(7.131)

также совершенно аналогично тому, которое было проделано в задаче 37. Результат таков:

(7.132)(7.132)е—рЕп _|_ е~64

(7.132)

(7.132)

2“Аг 一 ^nm

Сравнивая это выражение с (7.130) и рассуждая так же, как в задаче 37, убеждаемся в том, что аналитическое продолжение G(icun, г, rz) с верхней мнимой полуоси дает G11® г, г) а с нижней — G”(g, г, г').

Первое решение 40 б. Перепишем мацубаровскую собственно-энергетическую часть (7.37), выразив при помощи интегрального представления (7.24) мацубаров- ские функции Грина через соответствующие запаздывающие функции. Получаем

夕侬n,p) = -g'Tf /夕侬n,p) = -g'Tf /(7.133)(7.133)ImG《(/,pi) ImDR(w,p — рх) dxdijj d3Pl/ - is^ ш - ien + ie'm 7Г2 (2тг)з

夕侬n,p) = -g'Tf /

夕侬n,p) = -g'Tf /

(7.133)

(7.133)

где оба интеграла no dx ds берутся по всей вещественной оси. Мацубаровскую сумму по efm можно вычислить с помощью разложения на простейшие дроби:

亍/一 ш - ien + ш + X - ien \х - iefm ш -ien +'

(7.134) Исходная мацубаровская сумма сходится, но каждая из сумм в (7.134) расходится. Поэтому добавим в (7.134) множитель сходимости ехр^с^т)〉где 丁 — +0. Тогда величину геп во втором слагаемом можно исключить, сдвинув переменную суммирования. После этого сдвига суммирование будет происходить уже не по фермиевским, а по бозевским частотам, так как обе мацубаровские частоты еп и 以 нечетны. Кроме того, каждый из членов в (7.134) можно представить как значение мацубаровской функции Грина в совпадающие моменты времени для системы с одним уровнем (в первом слагаемом энергия уровня равна (—х), а во втором ——g). Поэтому сумма (7.134) выражается через числа заполнения:

(aJ -\- X — Z£n 2(g + / —辽也)(aJ -\- X — Z£n 2(g + / —辽也)+ cth+ cth(7.135)(7.135)

(aJ -\- X — Z£n 2(g + / —辽也)

(aJ -\- X — Z£n 2(g + / —辽也)

+ cth

+ cth

(7.135)

(7.135)

Продолжение полученного выражения на вещественную ось выполняется с помощью замены геп — £ + £0. Таким образом, получаем требуемое выражение для запаздывающей функции

£R(*p) = д2 /£R(*p) = д2 /ImGf(/,pi) ImOR(a,p —pi)ImGf(/,pi) ImOR(a,p —pi)£ — G — / + iO£ — G — / + iO+ cth+ cthd3Pl d(ajdx7Г(27Г)4d3Pl d(ajdx7Г(27Г)4(7.136)(7.136)

£R(*p) = д2 /

£R(*p) = д2 /

ImGf(/,pi) ImOR(a,p —pi)

ImGf(/,pi) ImOR(a,p —pi)

£ — G — / + iO

£ — G — / + iO

+ cth

+ cth

d3Pl d(ajdx7Г(27Г)4

d3Pl d(ajdx7Г(27Г)4

(7.136)

(7.136)

Другое решение 40 б. Чтобы использовать аналитические свойства мацубаровских функций, применим стандартный прием, позволяющий преобразовать сумму (7.37) в контурный интеграл. Рассмотрим сумму

(7.137)(7.137)S = т£ G(£b Р1)О(£ — р — Р1)〉

(7.137)

(7.137)

где суммирование происходит по £】=(2n + 1) г^Т. Для определенности будем считать, что £ лежит в верхней полуплоскости. Одновременно рассмотрим функцию

(7.138)(7.138)/(z) = G(z, Pl) о(£ — Z, р — Pl) th ^ ,

(7.138)

(7.138)

имеющую полюсы при z = тгТ(2п + 1)2. Вычислим интеграл

/(z)dz,/(z)dz,(7.139)(7.139)

/(z)dz,

/(z)dz,

(7.139)

(7.139)

взятый по контуру а изображенному на рис. 7.5.

Im(z—£)=0

Imz=0

Рис. 7.5

Заметим, что в каждой из трех областей Im г < 0, 0 < Im г < Ims, Ims < Im г функция /(/) допускает аналитическое продолжение с дискретных точек на мнимой оси во всю область. Это позволяет вычислить контурный интеграл с помощью теории вычетов. Вычет /(/) в полюсе zn = 7гТг(2п + 1) равен

Res /(z) = 2 ТG(zn, pi) О(£ - гп,р - pi).(7.140)

Поэтому / = ^mS.

В то же время аналитичность /(/) позволяет деформировать контур интегриро-

Рис. 7.6Рис. 7.6

Рис. 7.6

Рис. 7.6

Таким образом интеграл по контуру С сводится к двум интегралам вперед и назад по горизонтальным прямым / = /и / = е + х, —ос < х < ос, и мы приходим к равенству:

ОО

/ = / (<7&(/)_<7*(/)) _□&(£ — /) th 提—Gr(x + £)(_0衣(/)__0幺⑺)th ‘^” dx .

(7.141) Зависимость гриновских функций от импульсов, опущенная в (7.141) для краткости, будет восстановлена ниже. Заметим, что поскольку £ = тТ(2п + 1), в выражении (7.141) можно заменить th[(£ + /)/2Т] на — cth[x/2T].

Выразим теперь все стоящие здесь величины через мнимые части функций Грина. Из (7.130) видно, что опережающая и запаздывающая функции Грина отличаются лишь знаком перед г0, поэтому

GR(£,p) - G*(%p) = 22 ImGR(£,p). (7.142)

Кроме того, из аналитических свойств функций Грина следует, что они удовлетворяют соотношениям типа Крамерса-Кронига:

gR(*p)gR(*p)1 7 ImG^dp)— ОО1 7 ImG^dp)— ООds, G^(* р)ds, G^(* р)1°°1°°ImGR(a,p),ImGR(a,p),(7.143)(7.143)

gR(*p)

gR(*p)

1 7 ImG^dp)

— ОО

1 7 ImG^dp)

— ОО

ds, G^(* р)

ds, G^(* р)

1°°

1°°

ImGR(a,p),

ImGR(a,p),

(7.143)

(7.143)

Подставляя эти выражения в (7.141), получаем

cth 之 j dxd3 .2Tcth 之 j dxd3 .2T2г у у /Im Gr{x) Im DR(a))x Im GR(a)) ImDR{x)

cth 之 j dxd3 .

2T

cth 之 j dxd3 .

2T

7? / 丿 y G - £+ / — i0 2T G — £ - X - i0

(7.144)

Воспользовавшись соотношением hnDR(—x) = — 1тО&(/)〉сделаем во втором слагаемом замену х — —х, после чего поменяем местами в этом слагаемом переменные / и g. Получаем окончательный результат:

/ =ImG"(2)Im°R(“)(仕-+姦如.(7.145)

7Г 7 7 g —— zO I 2T2T 丿

Теперь, пользуясь cooтношением I = 4тгг5, находим S. Восстанавливая зависимость от импульсов р и pi и интегрируя по d3pi, получаем искомое сотношение (7.38).

Как уже было отмечено, равенство (7.38) имеет совершенно общий характер и не зависит от конкретного вида функций Грина G&伍р) и О&(^〉р). Применение соотношения (7.38), однако, оказывается особенно удобным в случае свободных частиц, поскольку при этом мнимые части затравочных функций G&(*p) и О&(^〉р) пропорциональны(5-функциям — см. задачу 41 б.

Решение 41 а. Запаздывающая функция Грина может быть получена из мацуба- ровской функции (7.122) аналитическим продолжением с дискретных частот шп》0. Выполняя замену шп — g е поляризационном операторе (7.119) и разлагая по малым о)и q = к — 2р0, получаем

n(wn, к) = fin - aq2 + 1Ьш \ , b , а =.(7.146)

Подставляя это разложение в (7.122) и учитывая, что при Т = Тс имеет место равенство 1 + ^2П0 = 0, получаем выражение для запаздывающей функции Грина:

D® k = 2Po + q) = — У%。(1п(Т/么)+ aq2 — ib* —产/幻式卜)](7.147)

При T т Тс разлагаем 1п(77么)=(Г —么)/么=т. Поскольку в этой области характерные g малы, второе слагаемое в знаменателе выражения (7.147) не суще с твенно, и в результате функция Грина есть

D® k = 2pQ + q) = -2—,7(q) = (丁 + a『)/b •(7.148)

Полюсы этого выражения определяют закон дисперсии вблизи Тс. Как видно, частота оказывается чисто мнимой: G(q) = —〃7(q). Это соответствует релаксационной динамике: возмущение с волновым вектором k = 2Po + q затухает по закону е~^^^

Решение 41 б. Найдем собственно-энергетическую часть (7.38) функции Грина одномерных фермионов. Для определенности будем говорить о движущихся направо частицах с линеаризованным законом дисперсии £ = vpp. Рассеиваясь на мягких фононах с передачей импульса близкого к —2р0, правые «частицы» становятся «левыми» с законом дисперсии £ = —vpp. Соответственно в выражении (7.38) мнимая

(7.149)(7.149)часть функции Грина электронов есть —7rb(£i + vfPi)- Интегрируя(5-функцию по £]〉 получаем

(7.149)

(7.149)

£"(%р)=

— ОО

Мнимая часть функции Грина фононов, согласно (7.148), есть

1тО&3, q)=1тО&3, q)=1/112bg储 + 〃№)〃№)1/112bg储 + 〃№)〃№)g2%D(/ + 72⑷厂(7」50)g2%D(/ + 72⑷厂(7」50)

1тО&3, q)=

1тО&3, q)=

1/11

2bg储 + 〃№)〃№)

1/11

2bg储 + 〃№)〃№)

g2%D(/ + 72⑷厂(7」50)

g2%D(/ + 72⑷厂(7」50)

Поскольку 7(q = 0) = 丁/b《Г, основной вклад в интеграл (7.149) дает область \ш\《Т. Поэтому можно заменить cths/2T на 2Т/шу что физически соответствует переходу от рассеяния на квантовомеханических фононах к рассеянию на классическом поле. Получающийся в результате сделанного приближения интеграл по g находится с помощью метода вычетов:

^R^p)=^R^p)=2ж д2 /1bg2MD 2тг 7 £ + vFq + 2)(д)2ж д2 /1bg2MD 2тг 7 £ + vFq + 2)(д)(7.151)(7.151)

^R^p)=

^R^p)=

2ж д2 /1

bg2MD 2тг 7 £ + vFq + 2)(д)

2ж д2 /1

bg2MD 2тг 7 £ + vFq + 2)(д)

(7.151)

(7.151)

где £ = £ + vfP〉q = Pi — р. Интеграл по q в (7.151) определяется областью |q| W (т/с)】/?《 &f/T・ Поэтому можно пренебречь слагаемым th(&F(q + Р)/2Т) по сравнению с членом 2Т/)(д)〉а также ——заменить £)(д) в знаменателе первого сомножителя (7.151) на £0. В результате

HR^p) = — / 尸工~ *)(=,(7.152)

где A = (丁/a尸/2.

Представляет интерес мнимая часть выражения (7.152), описывающая забывание электронами своего импульса из-за рассеяния на мягких фононах:

1т£&(*р) = —/ //—、2 丄、，(7.153)

[а[р + e/vF)2 + т)

Время жизни квазичастицы с малой энергией £ = v^p — 0, согласно (7.153), оказывается весьма коротким, порядка т/Т = (Г —么)/賣.

Вообще, как следует из (7.153), рассеяние на мягких фононах существенно меняет функцию Грина в области |е| W 7^, \р\ W Tc/vf^ поскольку при таких £ и р величина ER(£,p) оказывается больше характерной энергии квазичастиц. Поэтому наши выводы о поведении GR{e^p) и ER(£,p) в этой области, основанные на использовании в выражении (7.38) функции Грина свободных электронов, вообще говоря, не имеют ко личе с твенног о смысла. Чтобы получить более надежные результаты, следует использовать перенормированную функцию Грина, в которую включена собственноэнергетическая часть. При этом соотношение (7.38) становится уравнением самосо- гласования для ER(£,p).

Решение 42. Нас интересует взаимодействие атомов, находящихся в равновесии с тепловым распределением фотонов. Гамильтониан взаимодействия атомов с внешним электрическим полем есть

Р = -Ё(Г1)”1)—：Ё(Г2)”)=£ 以(г°)瀬，(7.154)

£=1,2; a=x,y,z

где d(L2)——операторы дипольного момента атомов, а Е(г)——оператор электрического поля в точке г.

3…/〈R /(71)... V^^ dq …d7n ,(7.155)0< по флуктуациям дипольных моментов, так и3…/〈R /(71)... V^^ dq …d7n ,(7.155)0< по флуктуациям дипольных моментов, так иИзменение термодинамического потенциала системы, вызванное взаимодействием (7.154), можно записать так:

3

…/〈R /(71)... V^^ dq …d7n ,(7.155)

0

< по флуктуациям дипольных моментов, так и

3

…/〈R /(71)... V^^ dq …d7n ,(7.155)

0

< по флуктуациям дипольных моментов, так и

причем усреднение происходит

по флуктуациям электрического поля. Нас интересует слагаемое в (7.155), отвечающее взаимодействию двух атомов. Поскольку средний дипольный момент атома равен нулю, очевидно, что интересующие нас члены должны содержать каждый из дипольных моментов d(D и d(2)четное число раз. Поэтому наименьшим порядком теории возмущений, дающим отличный от нуля вклад, оказывается четвертый:

U = —— / ... / (Тт V^)... /(丁4)〉т dq ... dq .(7.156)

Для вклада в Q —Qq порядка п имеется (п — 1)! комбинаторных возможностей для образования неприводимого среднего. В нашем случае п = 4, и комбинаторный множитель равен 3! = 6. Кроме того, чтобы исключить эффекты самодействия атомов, мы должны выделить слагаемые, содержащее каждый из дипольных моментов d(D и d⑵ по два раза. Это дает еще две возможности для каждого из учтенных неприводимых средних. В результате полное число вкладов интересующего нас вида равно 3! • 2 = 12. Кроме того, усреднения по флуктуациям дипольных моментов различных атомов статистически независимы, а усреднение по флуктуациям электрического поля можно выполнить по теореме Вика. Таким образом,

«2 = -〈R 瀬）（71）磋D（72）〉t〈R 刃2） 8）題）S）〉t X

О о

X〈Тт 以（Г1, 71）瓦（Г2, 7з）〉т〈Тт ^（Г1,戏）瓦（「2, 74）〉总勺•..打4 .

Введем обозначения для коррелятора дипольных моментов:

第⑺=〈R /)(0)窈)(т)〉т ,3 = 12(7.157)

и электрических полей:

。阪(г, т)=⑴以(0, 0)瓦з(г, т)〉т .(7.158)

Для простоты будем считать, что атомы находятся в синглетном состоянии. Тогда а?4(т) = %(т)6а0,(7.159)

и взаимодействие «2 принимает следующий вид:

U12 = -— /…/«1 (Т1 - ^2) «2(Тз - т4) D^ (г, П - Тз) D^ (r,n-T2)dn... dn . (7.160) о о

Перейдем к мацубаровскому частотному представлению:

а(т) = Т £&-心九丁 сф%).(7.161)

Интегрирование по 丁 делает все частоты в выражении (7.160) равными, и мы получаем

«2 =52a；i(wn) a2(^n) [D^iun, г)『.(7.162)

(Здесь мы воспользовались четностью мацубаровских корреляционных функций по частоте.)

Функцию D^(wn, г) можно легко связать с функцией Грина (7.39), приведенной в условии. Поскольку в выбранной нами калибровке Ф = 0, то Е = —А/с. Поэтому

瑰謳зп,г) = ~^DaB(i3n, г)(7.163)

U12 =-豆 £ ,Чтобы найти функцию。^/(〃幻也〉 динатное, заменяя в выражении производные по правилу: к@ т -Da/3(iun,r) = -4тгВычислим интеграл/ eikr d3k 丿 / + a2 (2开)3^а^гшп) а2(гшп) [Ба^шп,门2)『•(7.164)г), перейдем из импульсного представления в коор- (7.39) компоненты вектора к на пространственные-id/dxa. ПолучаемА°2 严]/©'кг d3kг .昭蜀①a班/ J(2开)3 -/ 03丿1 У sin kr к2 dk27r2/kгk2 + a2U12 =-豆 £ ,Чтобы найти функцию。^/(〃幻也〉 динатное, заменяя в выражении производные по правилу: к@ т -Da/3(iun,r) = -4тгВычислим интеграл/ eikr d3k 丿 / + a2 (2开)3^а^гшп) а2(гшп) [Ба^шп,门2)『•(7.164)г), перейдем из импульсного представления в коор- (7.39) компоненты вектора к на пространственные-id/dxa. ПолучаемА°2 严]/©'кг d3kг .昭蜀①a班/ J(2开)3 -/ 03丿1 У sin kr к2 dk27r2/kгk2 + a2и выражение для энергии перепишется какТ / ,4и выражение для энергии перепишется какТ / ,4

U12 =-豆 £ ,

Чтобы найти функцию。^/(〃幻也〉 динатное, заменяя в выражении производные по правилу: к@ т -

Da/3(iun,r) = -4тг

Вычислим интеграл

/ eikr d3k 丿 / + a2 (2开)3

^а^гшп) а2(гшп) [Ба^шп,门2)『•(7.164)

г), перейдем из импульсного представления в коор- (7.39) компоненты вектора к на пространственные

-id/dxa. Получаем

А°2 严]/©'кг d3kг .

昭蜀①a班/ J(2开)3 -/ 03丿

1 У sin kr к2 dk

27r2/kгk2 + a2

U12 =-豆 £ ,

Чтобы найти функцию。^/(〃幻也〉 динатное, заменяя в выражении производные по правилу: к@ т -

Da/3(iun,r) = -4тг

Вычислим интеграл

/ eikr d3k 丿 / + a2 (2开)3

^а^гшп) а2(гшп) [Ба^шп,门2)『•(7.164)

г), перейдем из импульсного представления в коор- (7.39) компоненты вектора к на пространственные

-id/dxa. Получаем

А°2 严]/©'кг d3kг .

昭蜀①a班/ J(2开)3 -/ 03丿

1 У sin kr к2 dk

27r2/kгk2 + a2

и выражение для энергии перепишется как

Т / ,4

и выражение для энергии перепишется как

Т / ,4

=—/ 萨匕 dk = —= —e~ar .(7.166)

27r2厂 a丁丿k2 + a227r2厂 5r 2a471T

о

Наконец, дифф ер енцир ование дает

^—кпг

Da/3(io)n, г) =+ кпг + к^г2) - па 砍(3 + Зкпг + 箫,(7.167)

где кп = |g?i|/c・ Получаем, что величина, входящая в выражение (7.164) для «2 есть

K(“n, г) = к^ [Da0(iun, г)] = ——(3 + 6knr + 5^r2 + 2成戸 + %价4) _(7.168)

Перед тем, как непосредственно приступить к вычислению «2〉свяжем мацубаров- ские функции a(1；2)(wn) с поляризуемостью атомов. Это возможно, поскольку определяемая по формуле Кубо поляризуемость есть

ОО

aw(a) = г / е『％⑴，d/3(0)])T dt.(7.169)

О

Выражение (7.169) при аналитическом продолжении на верхнюю мнимую полуось дает как раз мацубаровскую функцию а(шп). Воспользовавшись этим, выразим a(wn) через q(g). При g也 > 0 по формуле Крамерса-Кронига имеем

(7.170)(7.170)1 у2

(7.170)

(7.170)

7Г 丿 G 九7Г J

-oo0 n

где q"(g)——мнимая часть поляризуемости (мы воспользовались здесь ее нечетностью). Таким образом, получаем окончательный результат:

«2«2加1加2 .加1加2 .(7.171)(7.171)

«2

«2

加1加2 .

加1加2 .

(7.171)

(7.171)

Общее выражение (7.171) справедливо при произвольном расстоянии между атомами. Это выражение упрощается в нескольких интересных предельных случаях. Определим характерные длины

(7.172)(7.172)Ло = с/^о , Ат = с/Т,

(7.172)

(7.172)

где Go ——частота, определяемая частотной дисперсией поляризуемости (фактически, в атомных единицах всегда 幻。〜1). Поскольку Ао много больше радиуса атомов, а Ат, в свою очередь, много больше До? имеется три различные области,

А:厂《Ao； Е: %)《厂《Ат； В: %г < г.

Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.

А: В этом случае кпг《 1〉т. е. запаздывание электромагнитного взаимодействия пренебрежимо мало. Согласно (7.168), при этом К(шпу г) = 6/г6.

Поскольку в этой области кпХт《1, мацубаровскую сумму можно заменить на интеграл по g:

U^)=U^)=(7.173)(7.173)12% / / f 3132a (“i)a (“2),,,3 J J J (J + /) (J + 状)加1 如2 如•

U^)=

U^)=

(7.173)

(7.173)

Интегрируя no g〉получаем:11

叫勾/蝕)G1 + g2叫勾/蝕)G1 + g2加1加2 .加1加2 .(7.174)(7.174)

叫勾/蝕)

G1 + g2

叫勾/蝕)

G1 + g2

加1加2 .

加1加2 .

(7.174)

(7.174)

В области 厂《Хо ван-дер-ваальсово взаимодействие можно вывести и без использования диаграммной техники. Чтобы получить выражение (7.174), надо найти сдвиг энергии основного состояния двух атомов по квантовомеханической теории возмущений:

(т|Я12|0)|2

д^о = - X 斤—斤，(7.175)

где

(7.176)(7.176)—1

(7.176)

(7.176)

丸12 = — [Р1Р2 - 3(Р1П)(р2П)]

——гамильтониан дипольного взаимодействия двух атомов в пренебрежении запаздыванием.

Б: В этом случае кпХ^》1 и〉значит, необходимо учитывать запаздывание электромагнитного взаимодействия. В то же время, поскольку кпХт《1, температура по-прежнему эффективно мала, и мацу б ар ов скую сумму в (7.171) можно заменить на интеграл. Этот интеграл определяется областью частот 3口 с]т《з» (из-за экспоненциального множителя в K(g〉г)), вследствие чего можно пренебречь шп в знаменателях (7.171). В результате интегрирование по Gi? даст Qi,2(°) е силу соотношений Крамерса-Кронига. Остающийся интеграл по w в выражении для взаимодействия,

U(r)=-叫出⑼ / KQ, г)如，(7.177)

О вычисляется с использованием формулы

/ xm е~ах dx =О/ xm е~ах dx =Оm!am^m!am^(7.178)(7.178)

/ xm е~ах dx =

О

/ xm е~ах dx =

О

m!

am^

m!

am^

(7.178)

(7.178)

В результате получаем так называемое взаимодействие Казимира:

23%с&1 ⑼ &2(0)

Отметим, что в области 厂》入。существенно запаздывание электромагнитного взаимодействия и квантовомеханичность фотонов. Формально это проявляется в том, что взаимодействие (7.179) явно зависит от скорости света и постоянной Планка. Физически сила Казимира (7.179) возникает из-за квантовых флуктуаций электро- магнитого излучения в вакууме при Г = 0.

При 厂》%г все члены в выражении (7.168) с 幻也 * 0 оказываются экспоненциально малыми. Поэтому в мацу б ар ов ской сумме в (7.171) достаточно оставить лишь член с п = 0. Тогда интегрирования по Gi? дадут, как и раньше, статическую поляризуемость, а в К(г)^^ достаточно удержать лишь первый член 6/г6. Получаем

U(厂)=_37з(0)a2(0)"6.(7.180)

Выражение (7.180), соответствующее пределу «высокой» температуры Т》c/仆 по существу элементарно. Его можно получить в рамках классической статистической физики, рассматривая взаимодейстие классических диполей (7.176). Термодинамическое среднее выражения (7.176) равно нулю. Поэтому энергия взаимодействия дается вторым порядком термодинамической теории возмущений:

1

U(r) =-疔〈抬(7.181)

Среднеквадратичные флуктуации дипольного момента можно найти с помощью флуктуационно-диссипационной теоремы (или даже с помощью теоремы о равнораспределении) :

〈厶兩〉1 = Та(0)6аз・(7.182)

В результате получается классическое выражение (7.180).

Часть II

Методы теории многих тел

Плава 8.

Теория ферми-жидкости

Теория ферми-жидкости изучает систему, состоящую из макроскопически большого числа взаимодействующих фермионов. Гамильтониан ферми-жидкости Н =丸o+%int есть сумма кинетической энергии фермионов и потенциальной энергии их взаимодействия. Выражения для TYo и 丸也邑 записанные в импульсном представлении через операторы вторичного квантования а] и 陶户〉имеют такой вид:

火о = £ €(р)ар,стар,<7, 火int = 5 £ KPkP-k , (8.1)

где £(p) = p2/2m —从一спектр свободных частиц, R — фурье-образ потенциала взаимодействия 丿(г — г')〉a 0k = £ 口^+卜仃口卩户—фурье-гармоники оператора плотности фермионов. Как правило предполагается, что ферми-жидкость однородна и имеет фиксированную плотность.

Главная задача теории ферми-жидкости — выяснить характер основного состояния и возбуждений системы, описываемой гамильтонианом (8.1). Вообще говоря, характер основного состояния весьма сильно зависит от свойств взаимодействия между фермионами. В некоторых случаях может возникать сверхпроводящее или ферромагнитное состояние, вигнеровский кристалл, волна зарядовой или спиновой плотности, и т. п. Однако большинство взаимодействующих ферми-систем устроено относительно просто ——их свойства в основном подобны свойствам невзаимодействующего ферми-газа. В таких случаях принято говорить о ферми-жидкостном состоянии. Элементарные возбуждения ферми-жидкости ——это электрон-дырочные пары в окрестности ферми-поверхности. Эффекты взаимодействия проявляются лишь в перенормировке нескольких констант, определяющих теплоемкость, сжимаемость и другие свойства. Кроме того, в ферми-жидкости имеются специфические ветви коллективных возбуждений ——нуль-звук, плазмоны, спиновые волны.

Существует несколько подходов к проблеме ферми-жидкости, отличающихся степенью «квантовомеханичности». Во-первых, имеется квазиклассическая (или феноменологическая) теория ферми-жидкости (см. разделы 8.1 и 8.2). Существует также более микроскопическая теория, основанная на так называемом приближении случайных фаз (см. разд. 8.3). И, наконец, наиболее строгая микроскопическая теория

строится с помощью функций Грина (см. разд. 8.7). Хотя результаты всех трех теорий, по существу, одинаковы, каждая из них имеет свои методические достоинства. Поэтому в задачах этой главы мы уделим равное внимание всем трем методам и постараемся продемонстрировать связи между ними.

Известно много разнообразных ферми-жидкостных систем. Классические примеры ——нуклоны в атомном ядре, а также жидкий 3Не. Но наиболее важные для нас применения теории ферми-жидкости относятся к электронам в металлах. Основное различие между этими видами ферми-жидкости заключается в характере взаимодействия. Взаимодействие между нуклонами, а также между атомами 3Не, —— короткодействующее, в то время как электроны взаимодействуют по закону Кулона. В первом случае фурье-образ взаимодействия R в (8.1) весьма слабо зависит от к, в то время как во втором случае зависимость от к имеет сингулярный характер: 14 = 4тге2/к2.

Для математически корректного описания кулоновского взаимодействия в металле обычно используется так называемая модель желе: электроны, движущиеся в потенциале равномерно размазанного статического положительного заряда, обеспечивающего электронейтральность. При этом пренебрегают динамикой ионов и всеми эффектами, связанными с фононами. Модель желе весьма неплохо описывает ферми-жидкостные свойства электронов в металлах.

Квазичастицы

Наиболее простое обоснование теории ферми-жидкости можно получить, следуя ква- зиклассической аргументации Ландау. Основная идея этого подхода та же, что и в теории многоэлектронного атома Том ас а-Ферми. Напомним, что в мног оэлектр окном атоме распределение электронов по импульсам в каждой точке пространства описывается ферми-сферой, радиус которой ро(г) есть функция координат. Взаимодействие учитывается заменой потенциала ядра, в поле которого движутся электроны, на эффективный потенциал, включающий среднее электрическое поле, создаваемое электронами. В свою очередь, кулоновский потенциал поля электронов находится по электронной плотности 0(г) = рд(г)/(3тг2) и, таким образом, картина оказывается самосогласованной. Теория Том ас а-Ферми позволяет найти распределение заряда в многоэлектронном атоме, энергию связи, и т. п.

Теория ферми-жидкости Ландау является своего рода обобщением теории Томаса-Ферми, описывающим динамику частиц в бесконечной однородной системе взаимодействующих фермионов. Предполагается, что равновесное распределение по импульсам есть ферми-сфера радиуса 夕。=(Зтг2^)1/3, где п ——плотность частиц. Теория утверждает, что динамику такой системы можно рассматривать при помощи квазичастищ описывающих локальные отклонения распределения по импульсам от ферми-сферы. Слабо неравновесные состояния описываются распределением квазичастиц по импульсам и координатам, близким к фермиевскому в каждой точке пространства.

Квазичастицы являются элементарными возбуждениями в ф ерми- жидко с ти. Они образованы фермионами невзаимодействующего ферми-газа, «одетыми» взаимодействием с другими фермионами. Математическое описание «одевания» достигается введением в теорию эффективного поля, действующего на квазичастицы. Это поле определенным образом зависит от распределения всех остальных квазичастиц. В результате динамика и взаимодействие квазичастиц определяются самосогласованно.

Чтобы выяснить, какие эффекты вз аимо действия в ф ерми- жидко с ти являются наиболее существенными, рассмотрим ферми-газ, в котором одна из частиц имеет небольшую энергию £ > 0 над уровнем Ферми. Благодаря межчастичному взаимодействию рассматриваемая частица может перейти в состояние с меньшей энергией О < Н < % одновременно родив электрон-дырочную пару с энергией 6s = е — Н. При г, Н《Ер плотность состояний пар с энергией Ье можно оценить как 〃^6* и поэтому, согласно золотому правилу, вероятность распада на частицу с меньшей энергией и электрон-дырочную пару есть ?（£）= Ле2, где А ^ （合/力叮尸/風・ Из сказанного следует, что ?（£）《£〉т. е. время жизни частицы очень велико. Таким же образом можно показать, что рассеяние частиц с малой энергией друг на друге происходит очень редко, поскольку при малой энергии фазовый объем конечных состояний рассеяния оказывается очень мал. Отметим, что эти выводы справедливы даже при силе взаимодействия порядка единицы. Требуется лишь, чтобы энергия частицы была близка к уровню Ферми.

Таким образом, наиболее существенным эффектом в динамике частиц ферми- жидкости оказывается рассеяние вперед1. При рассеянии частицы вперед остальная ферми-система образует своего рода однородную преломляющую среду, взаимодействие с которой дает поправку Set к фазе волновой функции частицы &7（式"+於）\ где

生=/ /（р, Р‘）阮（р‘,吟工^ （8.2）

—так называемый функционал Ландау. Рассеяние вперед не приводит к рождению других частиц или дырок. Таким образом, возникает представление о «квазичастицах», каждая из которых движется в самосогласованном поле окружающих квазичастиц.

Энергия квазичастицы £ в самосогласованном поле зависит от распределения по импульсам всех остальных квазичастиц:

£（Р,阮）=£（О）（Р）+ //（Р,Р‘）6к（Р'，г）^|^ （8.3）

Здесь р — импульс квазичастицы, £（°）（р） = &f（0 — 0о） — энергия квазичастицы, а дп = п—пр ——отклонение распределения квазичастиц от равновесного фермиевского распределения. Функция /（р〉р‘） определяет зависимость энергии квазичастицы с импульсом р от состояния квазичастицы с импульсом р‘.

ХЛ. Д. Ландау, ЖЭТФ, т. 30, с. 1058-1064 （1956）.

Теория ферми-жидкости дает связь между функцией /(р〉р‘) и наблюдаемыми величинами, такими как теплоемкость, магнитная восприимчивость и т. п. (см. [1], § 19,22). При этом, как мы убедимся, функционал (8.3) полностью определяет динамику квазичастиц.

Кинетическое уравнение. Коллективные моды

Выражение (8.3) представляет собой гамильтониан Н одной квазичастицы, движущейся в самосогласованном поле других квазичастиц. Динамика квазичастицы описывается уравнением Гамильтона dn/dt = {Н)п}, где {...} = [д/дг, д/др\ —— скобки Пуассона. Вычисляя скобки Пуассона с гамильтонианом (8.3), получаем кинетическое уравнение теории ферми-жидкости:

дп дп де дп де,,、

+=8.4

от от др др от

Рассмотрим колебания системы, отвечающие малым отклонениям от равновесия. Для этого представим функцию распределения в виде п = п()+ 6п л линеаризуем уравнение (8.4) по дп. Получим

dSn ддп де^ дде дп^ 八—

от от др от др

где 夾 一 функционал Ландау (8.2).

Нас интересуют решения уравнения (8.5), зависящие от времени и координат как &-心*+而.Нетрудно показать, что все решения дп имеют(5-функционную зависимость от |р| и локализованы на ферми-поверхности |р| = ^о- Поэтому, оказывается удобным использовать в качестве независимой переменной функцию единичного вектора п на ферми-поверхности:

u(n) = / 阮(p)d|p| ,(8.6)

где интеграл берется вдоль луча р || п. Величина 〃(п) имеет смысл нормального смещения ферми-поверхности в точке 00n.

Из (8.5) можно получить уравнение для и(п), которое имеет следующий вид:

— kv)u(n) = kv У F^n^u^)^- у(8.7)

где V = &干口〉а функция F связана с функцией / в функционале Ландау (8.2) следующим образом:

Р(п,п‘) = 〃о/(р,р')|р|=|Р‘|=Р0〉(8・8)

где % ——плотность состояний с одной проекцией спина.

Полученное соотношение (8.7) следует рассматривать, как уравнение на собственные значения G(k). Оно имеет решения двух типов: квазичастичные и коллективные. Для квазичастичных решений связь g и к есть g = kv, а соответствующая функция 设(п) описывает частицу с определенным направлением скорости v. Из-за этого функция 设(п) на ферми-поверхности имеет сингулярный характер:

(8.9)(8.9)U(n‘)= 6⑵(П‘ - П)+ Ureg(n'),

(8.9)

(8.9)

Кроме(5-функции, локализованной в точке n = v/|v| ферми-поверхности, выражение (8.9) содержит wreg(n) — более плавную функцию, обычно имеющую полюсы при kv = g (см. задачу 43).

Решения другого типа описывают коллективные моды колебаний ферми- жидкости, или так называемый нулевой звук. Рассмотрим простейший случай, когда взаимодействие локально и изотропно, т. е. функция F есть просто константа: F(n, п‘)= 及.(Примером системы с функцией Ландау подобного вида является жидкий 3Не.) В этом случае, ввиду симметрии задачи, функция 设(п) зависит только от угла J между векторами пик. Поэтому уравнение (8.7) принимает вид

(8.10)(8.10)s — cos е)〃(е)= ^ cos е / 〃(夕)曲\ где s = :м .

(8.10)

(8.10)

(8.11)(8.11)Решение уравнения (8.10) есть 设(n) = Acos6/(s — cos0), где Л — произвольная константа. Подставляя это решение в (8.10), находим

(8.11)

(8.11)

2 s — 1Fo

При любом отталкивательном взаимодействии (т. е. при 吊 > 0) это уравнение имеет ровно одно вещественное решение s > 1 и, таким образом, определяет функцию 6(瓦).Поэтому закон дисперсии нулевого звука оказывается линейным: Go(k) = s(FQ)vF\k\.

Поскольку 6(及)> 1, частота w0(k) при любом к лежит выше границы квазича- стичного спектра: Go(k) > &F〔k|. Это означает, что распространение нуль-звука и динамика отдельных квазичастиц «развязаны», вследствие чего нуль-звуковая мода оказывается нез ату хающей. Отметим, что более точное микр о скопиче ско е рассмотрение показывает, что эти результаты справедливы лишь при не слишком больших к (см. задачи 446, 47б). Обычно законы дисперсии коллективных мод в ферми- жидкости имеют точку окончания А;тах, в которой происходит слияние с квазича- стичным спектром — см. рисунки 8.2, 8.9, а также задачу 73 б).

Коллективные моды в ферми-жидкости могут затрагивать не только распределение плотности частиц, но и поляризацию спина. В этом случае говорят о спиновых волнах (см. задачу 47).

Остановимся на том, как видоизменяются коллективные моды в металле, где взаимодействие между частицами кулоновское, т. е. дальнодействующее. В этом случае вместо нулевого звука возникают так называемые плазменные колебания. Запишем уравнение (8.4) с учетом силы, возникающей благодаря электрическому полю

Е = — VФ:Е = — VФ:(8.12)(8.12)Ф(г)Ф(г)d3rz|г — г[d3rz|г — г[

Е = — VФ:

Е = — VФ:

(8.12)

(8.12)

Ф(г)

Ф(г)

d3rz

|г — г[

d3rz

|г — г[

^ + (vVr)n + e(EVp)n = 0,

где ng — плотность фонового положительного заряда. Как и выше, линеаризуем уравнение и перейдем в импульсное представление.

Получающиеся уравнения оказываются точно такими же, как и в случае нулевого звука, с точностью до замены Fq — 4开&2〃/1<2〉где 〃 = 2% ——плотность состояний с учетом спина. Это происходит потому, что уравнение (8.12), если выразить в нем электрическое поле через плотность частиц, приобретает такую же форму, как кинетическое уравнение ферми-жидкости (8.7) с нелокальным функционалом Ландау:

/ / е2<5п(р,г9 #г%3р

Как и в случае изотропного взаимодействия, энергия зависит только от полной плотности частиц. Поэтому и угловая зависимость смещений ферми-поверхности, и дисперсионное уравнение выглядят точно так же, как для нуль-звука:

2*k| g —*k|4开e2〃2*k| g —*k|4开e2〃(8-14)(8-14)

2*k| g —*k|4开e2〃

2*k| g —*k|4开e2〃

(8-14)

(8-14)

Частота w(k), определяемая из уравнения (8.14), остается конечной при малых к: 幻0 三 G(k — 0) = (4тгпе2/т)1/2, что совпадает с известным классическим результатом для плазменной частоты. Подробнее закон дисперсии плазменных волн будет рассмотрен в задаче 44.

Подведем итог. Большая часть возбуждений в ферми-жидкости ——квазичастицы ——имеет точно такой же спектр и динамику, как и в невзаимодействующей системе. Кроме того, благодаря взаимодействию могут появиться коллективные моды плазменных или нуль-звуковых колебаний. Появление коллективных мод и есть основной качественный эффект, к которому приводит взаимодействие.

Приближение случайных фаз

Обсудим теперь, как можно проквантовать динамику ферми-жидкости, используя гамильтонов формализм. Для этого потребуется ввести операторы электрон- дырочных пар, удовлетворяющие бозонным коммутационным со о тношениям. Гамильтониан ферми-жидкости (8.1), записанный через такие операторы, содержит квадратичные члены, а также члены более высокого порядка, которыми можно пренебречь, если энергия рассматриваемых возбуждений мала по сравнению с Ер. Динамику, определяемую этим квадратичным гамильтонианом, можно исследовать точно

и установить ее эквивалентность кинетическому уравнению ферми-жидкости. Возможность описать систему взаимодействующих фермионов (8.1) с помощью эквивалентного бозонного гамильтониана имеет разнообразные интересные применения. Одним из них является так называемый метод бозонизации, который мы рассмотрим в гл. 12.

Как и теория ферми-жидкости Ландау, метод бозе-операторов электрон- дырочных пар основывается на предположении, что функция распределения по импульсам имеет такой же вид, как и для свободных частиц, т. е. что ферми- поверхность не разрушается взаимодействием. Чтобы выяснить, как взаимодействие меняет характер возбуждений, мы приведем гамильтониан системы (8.1) к виду, содержащему операторы рождения и уничтожения пар. При этом будет использовано так называемое приближение случайных фаз Бома и Пайнса, впервые введенное при рассмотрении плазменных колебаний в вырожденном электронном газе. В рамках этого приближения коммутационные соотношения для операторов пар сильно 4 упрощаются .

С формальной точки зрения, рассматриваемый здесь метод является корректным в пределе высокой плотности, когда взаимодействие можно считать слабым. Для простоты изложения будем считать фермионы бесспиновыми. При необходимости, восстановить спиновую зависимость в окончательных выражениях можно без особого труда.

Введем бозе-операторы ср ^ Ср к электрон-дырочных пар следующим образом:

Ср,к = Орвр+к , с+к = Ор+квр , где |р| < Ро, |р + к| > Ро .(8.15)

Обратим внимание читателя на ограничение, наложенное на импульсы р и к. Оно выбрано так, чтобы при действии оператором с^к на основное состояние невзаимодействующей системы всегда рождалась ровно одна пара частица-дырка, а при действии оператором ср；к на любое возбужденное состояние число пар всегда уменьшалось.

Условия |р| <0о и |р + к| >05 при фиксированном к определяют подмножество

ферми-сферы, имеющее в сечении серповидную форму (рис. 8.1).

Рис. 8Л

Мы будем обозначать эту область 丛 и записывать ограничение (8.15) на р и к в виде р G 丛.

Стратегия наша теперь состоит в том, чтобы представить гамильтониан системы в виде выражения, квадратичного по операторам ср?к, с：*, и показать, что эти операторы подчиняются обычным бозевским коммутационным соотношениям. При этом интересующая нас задача сведется к задаче о невзаимодействующих осцилляторах. Хотя такое преобразование, разумеется, является приближенным, выясняется, что неточность допускается только для сильно возбужденных состояний, в то время как сотояния с относительно небольшим количеством электрон-дырочных пар описываются совершенно правильно.

Начнем с оператора плотности частиц и рассмотрим приближенное выражение для гармоники плотности:

0k = £(Cp,k + ctp,—k) •(8.16)

Заметим, что наложенное условие р е 丛 не нарушает вещественности оператора ПЛОТНОСТИ 0k = pt к- Смысл приближения (8.16) состоит в том, что из точного выражения рк = EpQ^Qp+k исключены матричные элементы, соответствующие «чересчур многочастичным» процессам. Говоря более точно, мы отбрасываем все слагаемые Q：Qp+k, дающие нуль при применении к любому состоянию с ровно одной электрон-дырочной парой, а также к основному состоянию невзаимодействующей системы.

Подставим выражение (8.16) в гамильтониан (8.1). Получающийся при этом приближенный гамильтониан совпадает с исходным гамильтонианом на состояниях, содержащих небольшое количество пар. Отличие между приближенным и точным гамильтонианами появляется только для достаточно сильно возбужденных состояний.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим коммутационные соотношения получившегося гамильтониана 凡世=(1/2) £ К0k"к с операторами рождения и уничтожения к

пар Ср к, ср；к- Коммутатор [丸也邑 Ср,к] описывает динамику флуктуации плотности (8.16). Выразим операторы р^ с^k и ср；к через фермиевские операторы, согласно (8.15), (8.16), подставим в интересующий нас коммутатор, и вычислим его, пользуясь фермионными коммутационными соотношениями. Мы не будем выписывать результат явно, а заметим лишь, что поскольку оператор 丸也弋 — 4-го порядка по фермиевским операторам а Срк и ср；к — 2-го, результат будет содержать члены 2-го и 4-го порядка по 初 若.

Исключим из коммутатора все члены, содержащие операторы пар с к' * к. Эти члены либо не сохраняют число пар, либо описывают одновременные переходы с участием нескольких пар. Получающееся приближенное выражение для коммутатора имеет вид

画nt, Cp,k] = —к0k，[注nt, c+k] = Vkp+.(8.17)

Физическим основанием для процедуры, примененной выше к оператору плотности и к коммутаторам [丸也幻 Ср*]〉является сделанное в разд. 8.1 наблюдение, заключающееся в том, что время жизни пары с малой энергией становится очень большим при уменьшении энергии. Поэтому при рассмотрении коммутаторов законно пренебречь процессами, не сохраняющими число пар и приводящими к превращению одной пары в несколько.

Рассмотрим теперь коммутаторы операторов ср；к и с^/ к/. Используя определение (8.15), получаем

[сР,к?若 к] = брр/а^+к/Ср+к + Ьр^+Кр+к 若 〃pj(8.18)

причем р G 兄卜〉р‘ G Rk，・ Применяя приближение случайных фаз, необходимо выделить в правой части (8.18) члены, не создающие новых пар при действии на основное состояние или на состояние с уже имеющимся небольшим количеством пар. Это достигается заменой правой части (8.18) на среднее, взятое по основному состоянию. В результате коммутатор [cp；k, с^,кх] оказывается с-числом:

卜р,к〉С^к] = 8pp/8kkJ[^р,к? Cpz,к] = 0 .(8.19)

(Второй коммутатор в (8.19) получается аналогично.) Таким образом, мы установили, что операторы рождения пар удовлетворяют бозевским коммутационным соотношениям. Отметим, что найденные выше коммутаторы (8.17) могут быть получены

непосредственно из (8.19) и найденного выше выражения 尤世=^ £ К0k0—к・ Таким

к

образом, приближение случайных фаз оказывается самосогласованным.

Займемся теперь оператором кинетической энергии TYq = ^2(р2/2т) а^ар. Его

р

коммутаторы с операторами рождения и уничтожения пар нетрудно вычислить точно:

[^0? cp,k] = ^р,кСр к ?[^0? ср,к] = —Gp,kCp,k〉(8.20)

где Gp,k = (р + к)2/2т — р2/2т. Попытаемся представить оператор кинетической энергии через операторы пар с^k и ср；к таким образом, чтобы это представление обеспечивало правильные коммутационные соотношения (8.20). Для этого достаточно просто взять сумму по р и к от с^р кСр кср；к- Заметим, что условие р G 必 обеспечивает положительность

Вследствие всего сказанного выше, гамильтониан системы можно представить в следующей эквивалентной форме:

丸RPA = £ ( £ ^p,kCp；kCp,k + |^к^_к j .(8.21)

k \peRk//

Это выражение квадратично по бозе-операторам ср；к и с^ k и поэтому его изучение оказывается весьма простой задачей.

Удобно перейти к каноническим операторам координат и импульсов осцилляторов:

Dp,k = gtp,—к = (2%,к) /(Ср,к + с-р,-к)〉

Ьр,к = "р,_к = £ (^®р,к) (ср,к — С-р,-к) •(8.22)

В представлении осцилляторов оператор кинетической энергии есть сумма невзаимодействующих осцилляторов

丸。=£2 (^k^p^ + ^р^^р^^р^) •(8.23)

k； ре&「

Взаимодействие в этом представлении записывается так:

Теперь можно диагонализовать гамильтониан % + 尤世 с помощью канонического

преобразования и найти нормальные моды колебаний системы.

Рис. 8.2

Получающийся спектр частот нормальных колебаний состоит из двух компонент (рис. 8.2). Первая компонента —— непрерывный спектр “ = “р*, совпадающий со спектром невзаимодействующей системы. Вторая компонента — коллективная мода с законом дисперсии “(к), определяемым из уравнения

if £

pci - к

Это выражение справедливо для бесспиновых частиц. В случае частиц со спином 1/2, суммирование по спинам приводит к дополнительному множителю 2 в правой части (8.26). В задаче 44 будет показано, что при малых |к|《р()выражение (8.26) тождественно дисперсионному соотношению для коллективных мод, полученному из кинетического уравнения ферми-жидкости (8.7).

В случае кулоновского взаимодействия,玖=4тге2/к2, коллективные возбуждения представляют собой плазменные волны, имеющие конечную частоту си。= (4тге2п/т)1/2 при к 一 0. Плазменные колебания существуют в конечном интервале 0《|k| < ктах, причем их частота выше верхней границы непрерывного спектра. При |k|》ктах》(4тге2//)1/2 ветвь плазменных колебаний вливается в непрерывный спектр (см. задачу 44). В этой области частота си, определяемая из дисперсионного

6Мы опускаем константу

Ео = - £ 3p,j2,(8.25)

к； реЯк

появляющуюся из-за некоммутативности операторов ср)к и к.

уравнения (8.26), оказывается комплексной, т. е. колебания приобретают конечное затухание.

Коллективные возбуждения, полученные в приближении случайных фаз, оказываются такими же, как в теории ферми-жидкости Ландау. Некоторое отличие имеется только в поведении, предсказываемом в области больших |к| > кшт где теория ферми-жидкости теряет применимость, поскольку 1/kmax — это размер квазичастицы. Если взаимодействие слабое, то приближение случайных фаз дает правильный ответ даже при |k|》А;тах.

Однако, приближение случайных фаз, основывающееся на гамильтониане электрон-дырочных пар, неприменимо в случае сильного взаимодействия. А теория ферми-жидкости, полученная весьма общим феноменологическим образом, имеет смысл и при сильном взаимодействии, и утверждает, что при |k| W А;тах можно пользоваться квадратичным гамильтонианом пар TYrpa с перенормированными константами, которые определяются функцией Ландау. Таким образом, пертурбативное приближение случайных фаз и феноменологическая теория ферми-жидкости прекрасно дополняют друг друга.

Литература: Теория ферми-жидкости Ландау, включая кинетическое уравнение и коллективные возбуждения, изложена в [6], § 1-6 и [1], § 2. Простой вывод закона дисперсии плазмонов с помощью приближения случайных фаз можно найти в [3], § 9.5,9.6. Корреляционная и обменная энергии кулоновского взаимодействия в электронной ферми-жидкости рассматривается в [3], § 9.4,9.8,9.9, [6], § 85 и [1], § 22. Микроскопическое обоснование теории ферми-жидкости, базирующееся на функциях Грина, приведено в [1], § 18,19, а также в [6], § 15-21. Полезно также обратиться к оригинальным работам (см. сборник статей, процитированный на с. 185).

Задачи 43 — 49

Задача 43. (Классификация возбуждений ферми-жидкости.) Рассмотрим двумерную ферми-жидкость с модельной функцией Ландау, отличной от нуля только в s-канале. Взаимодействие квазичастиц в этом случае есть F(n — nz)=瓦.Ферми- поверхность представляет собой окружность, параметризуемую углом —тг W J W тг. Отклонение функции распределения квазичастиц от равновесия описывается функцией 设(J). Удобно разложить ее по фурье-гармоникам 设(J) = ^т егтеит и записать кинетическое уравнение (8.7) в виде

—^kvF(um+1 + u噜 1), где { q + f^Uq 11PH 加=°. (8.27)

Полную систему решений этого уравнения можно построить, воспользовавшись методами теории рассеяния. Действительно, уравнение (8.27) трансляционно инвариантно по отношению к сдвигам m m ± 1 всюду, за исключением m = 0. Поэтому можно искать решения в виде ит = /土 &2°加 отдельно при положительных и отрицательных т, а затем сшить эти выражения при m = 0.

Покажите, что при любом вещественном 0 < а < тг имеется два независимых решения указанного вида, описывающие квазичастичные возбуждения с 8 = 士а. Покажите, что кроме них при 吊 > 0 имеется одно решение ит с комплексным а, затухающее при т ^ ±оо. Это решение описывает коллективную нуль-звуковую моду. Квазичастичные решения характеризуются частотами \ш\ < kvp^ а частота коллективной моды лежит за пределами квазичастичного континуума: cu(k) > kvp.

Можно заметить аналогию с задачей о спектре оператора Шредингера для потенциала, убывающего на бесконечности. В общем случае спектр этого оператора содержит непрерывную и дискретную компоненты. Первая соответствует состояниям рассеяния, а вторая — локализованным состояниям.

Задача 44. (Плазменные колебания.) Рассмотрим диаграммы на рис. 8.3 при конечной передаваемой частоте “ и импульсе к. Говорят, что сумма диаграмм на рис. 8.3 описывает эффект динамической экранировки затравочного взаимодействия & изображенного волнистой линией. Закон дисперсии коллективных возбуждений “(к) определяется полюсами заэкранированного взаимодействия.

уч + у^у^ + х^С^О^

+ у^О^^С^ +...

Рис. 8.3

Найдите поляризационный оператор П(“,к) при |к|《 р。, “《 Ер. Считая затравочное взаимодействие кулоновским, К = 4тге2/к2, просуммируйте ряд и получите заэкранированное взаимодействие 兀,к・ Покажите, что в этом приближении закон дисперсии плазменных волн “(к) дается соотношением (8.14), полученным из кинетического уравнения ферми-жидкости. Определите поведение "(к) при малых и больших к.

(Точка окончания спектра.) Оказывается, что закон дисперсии плазменных волн заканчивается при некотором kmax, вливаясь в континуум квазичастичных возбуждений. Чтобы исследовать этот эффект с помощью диаграмм, показанных на рис. 8.3, необходимо найти поляризационный оператор более точно, чем это было сделано в части а).

Найдите поляризационный оператор при произвольных “ и к. Решая уравнение “H(G,k) = 1, определите точку окончания спектра А;тах, “тах・

Убедитесь, что уравнение для частоты плазменных волн “(к) совпадает с соотношением (8.26), полученным в результате диагонализации гамильтониана TYrpa электрон-дырочных пар.

Задача 45. (Кулоновское экранирование.) а) Электроны в металле экранируют любой внешний электростатический потенциал. Этот эффект можно изучить,

рассмотрев диаграммный ряд, показанный на рис. 8.3. Просуммируйте этот ряд в статическом пределе k》g/&f〉считая также, что к <^ р^. Получите формулу Дебая для экранированного кулоновского взаимодействия:

Ф(г) = е~^/\г\, где х2 = 4开経〃. (8.28)

Разумеется, экранировка кулоновского взаимодействия в заряженной системе есть чисто классический эффект, возникающий из-за дальнодействия потенциала 1/『. Для иллюстрации этого обстоятельства, напомним, как решается задача об экранировании в классической плазме.

Внесем в плазму статический заряд ро(г)- Возникающий при этом потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона У2Ф(г) = —4тг(5р(г) + 0о(г)), где 5р(г) — плотность экранирующего заряда, связанная с потенциалом формулой Больцмана: 5р(г) = еп 金①(「)/『—1). Получившуюся систему уравнений Пуассона-Больцмана нетрудно линеаризовать:

Х72Ф(г) — х2Ф(г) = —4тг0о(г), где № = 4тге2п/Т. (8.29)

Следовательно, экранированный потенциал точечного заряда дается таким же выражением (8.28), как и при Г = 0. Отличие состоит только в величине длины экранирования х-1.

Другое явление, имеющее место не только в ферми-жидкости, но и в классической плазме,— это плазменные колебания.

Поучительно решить эту задачу другим способом, используя гамильтониан для электрон-дырочных возбуждений (8.21), выведенный в разд. 8.3. Рассмотрим внешнее поле, взаимодействующее с электронной плотностью. Используя представление (8.16) для оператора плотности, запишем взаимодействие электронов с внешним полем U(ext) (г) так:

元xt = £ (巾廿)Е(Cp,k + ctPj_k)) (8.30)

Это выражение линейно по бозе-операторам cp；k, а гамильтониан (8.21)——квадратичен. Поэтому можно найти отклик плотности на внешнее поле, спроецировав возмущение (8.30) на нормальные моды системы осцилляторов, найдя отклик каждой из этих мод, а затем просуммировав по всем модам. Найдите таким способом отклик электронной плотности на кулоновский потенциал и покажите, что результирующий заэкранированный потенциал совпадает с (8.29).

Задача 46. (Парамагнитная восприимчивость.) Рассмотрим ферми-жидкость со спином 1/2 и контактным взаимодействием между частицами: У(г—rz) = gb(r—г'). К системе приложено однородное внешнее магнитное поле В. Будем считать, что фермионы незаряжены, так что поле действует только на спин. В этом случае ферми- жидкость описывается гамильтонианом (8.1), к которому добавлен член

丸в =幻石工(唁т^р/ -唁j^pj)〉 (8.31) р

где 幻石=从В ——зеемановская энергия. Поскольку энергии состояний со спином вверх и вниз отличаются на 2G办 основное состояние системы описывается двумя ферми-сферами, имеющими разные радиусы 孰),ир。/. В отсутствие взаимодействия радиусы ферми-сфер даются соотношениями р^^^/2т = Ef 士 gr・

(Метод среднего поля.) Найдите функции Грина Gf(* р) и Gj(* р). Для этого вычислите собственно-энергетическую часть в низшем порядке по взаимодействию д, рассмотрев два вклада, прямой и обменный, показанные на рис. 8.4.

Рис. 8.4

Определите плотности частиц 々丁 и 心 Рассмотрите поляризацию 阮=久一々丁 в слабом поле цВ《Ер и покажите, что парамагнитная восприимчивость есть

1 一 ”о1 一 ”о(8.32)

1 一 ”о

1 一 ”о

где Хо — 从2〃 一 восприимчивость идеального ферми-газа (см. задачу 24). Знаменатель в (8.32) описывает так называемое обменное усиление восприимчивости, возникающее из-за взаимодействия.

(Спиновая лестница.) Поучительно получить восприимчивость (8.32) другим способом, не рассматривая изменение основного состояния в статическом внешнем поле. Вместо этого можно найти восприимчивость непосредственно, вычисляя линейный отклик спиновой поляризации на слабое внешнее поле на фоне неполяризо- ванного основного состояния.

Рис. 8.5Рис. 8.5

Рис. 8.5

Рис. 8.5

Покажите, что при суммировании лестничных диаграмм, показанных на рис. 8.5, воспроизводится результат (8.32). Вычисление удобно проводить считая, что возмущающее поле направлено вдоль оси /, и используя гриновские функции из части а), т. е. проквантовав г-проекцию спина. Интерпретируйте расходимость восприимчивости (8.32) при о% 一 1.

Задача 47. (Спиновые волны.) В ферми газе, находящемся во внешнем магнитном поле (см. задачу 46) можно наблюдать парамагнитный резонанс. Для этого прикладывают слабое переменное поле в плоскости, перпендикулярной постоянному полю, и выбирают частоту “ переменного поля так, чтобы “ равнялось зеемановской энергии 2Gв, требуемой для переворота спина.

(Теорема Лармора) Найдите поперечную восприимчивость х丄3，к), суммируя лестничный ряд, изображенный на рис. 8.5. Считайте переменное поле пространственно однородным, т. е. передаваемый импульс к — 0. Используйте функции Грина, найденные в задаче 46 а. Покажите, что поперечная восприимчивость имеет полюс при g = 2Gв, независимо от величины взаимодействия д.

Покажите, что этот результат оказывается справедливым не только для точечного, а для произвольного взаимодействия между частицами (8.1), независящего от спинов. Общее утверждение об отсутствии сдвига частоты парамагнитного резонанса вследствие межэлектронного взаимодействия называется теоремой Лармора.

Аналогичное утверждение, известное под названием теоремы Кона, имеет место для циклотронного резонанса. Независимо от величины взаимодействия в гамильтониане (8.1), частота циклотронного резонанса в однородном поле В есть 5 = еВ/тс, где т — истинная (а не эффективная!) масса электрона.

(Закон дисперсии спиновых волн.) Полюсы двухчастичных функций Грина связаны с коллективными модами. Полюс в поперечной восприимчивости х丄3，к) соответствует спиновым волнам ——специфической коллективной моде, возникающей в спин-поляризованной ферми-жидкости.

Найдите закон дисперсии спиновых волн. Для этого про суммируйте диаграммный ряд, показанный на рис. 8.5, при конечных “ и к. Рассмотрите полюс %_l(cu, к), даваемый cu = 2GB при к — 0.

Задача 48. (Энергия взаимодействия электронов 6 металле.) При высокой электронной плотности металл является почти идеальным ферми-газом. Эффекты взаимодействия малы, и их можно вычислять, разлагая интересующие величины в ряд по степеням е2/^^-

(Обменная энергия.) Поправки к энергии системы первого порядка по взаимодействию даются двумя диаграммами, показанными на рис. 8.6.

Рис. 8.6

Первый вклад, называемый энергией Хартри, хотя формально и расходится, на самом деле в данном случае полностью компенсируется взаимодействием с положительным фоном и вклада не дает. Второй же вклад, называемый обменной энергией, или энергией Фока, отличен от нуля. Вычислите его и покажите, что обменная энергия отрицательна и зависит от плотности электронов п, как — е2п4/3.

(Члены второго порядка.) Во втором порядке по взаимодействию есть два

существенных вклада:а)существенных вклада:а)

существенных вклада:

а)

существенных вклада:

а)

Рис. 8.7

Остальные графики второго порядка сокращаются благодаря компенсирующему фону, подобно первому графику на рис. 8.6.

Покажите, что сумма вкладов, изображенных на рис. 8.7, есть

(8.33)(8.33)у у Vq(2Vq- «—к，)

(8.33)

(8.33)

q keRqKe% & + &+q — &+q — &

где £р = p2/2m — Ер. Первое и второе слагаемое в квадратных скобках соответствует диаграммам а) и Ь) на рис. 8.7.)

Покажите, что первый вклад расходится логарифмически на малых q, а второй конечен. Интерпретируйте найденную расходимость.

Задача 49. а) (Корреляционная энергия.) Как мы убедились в задаче 48, начиная со второго порядка, формальный ряд теории возмущений по e2/^F для энергии кулоновского взаимодействия в металле содержит расходящиеся члены. Общий порядок действий в подобных случаях ——найти наиболее сильно расходящиеся графики в каждом порядке теории возмущений и просуммировать их. Покажите, что в данном случае по следовательно сть наиболее сингулярных графиков имеет вид

Рис. 8.8Рис. 8.8

Рис. 8.8

Рис. 8.8

Вычислите сумму этих графиков. Покажите, что с логарифмической точностью по ^/hvp ответ можно получить, заменив исходное кулоновское взаимодействие на заэкранированное взаимодействие 灰з, рассмотренное в задаче 44 (см. рис. 8.3). С этой точностью энергия дается графиком q) на рис. 8.7, в котором одна из линий взаимодействия станет жирной, а другая останется тонкой.

Эту задачу можно решить и другим способом, воспользовавшись гамильтонианом электр он- дыр очных пар (8.21), квадратичным по бозе-операторам ср；к- Как обсуждалось в разд. (8.3), этот гамильтониан с помощью канонического преобразования может быть представлен в виде суммы невзаимодействующих осцилляторов. Интересующая нас часть энергии системы может быть представлена как суммарная энергия нулевых колебаний всех осцилляторов.

(8.34)(8.34)Вклад взаимодействия в энергию системы может быть записан в виде

(8.34)

(8.34)

а /k; peRk /

где Gp,k ——частоты нормальных колебаний в невзаимодействующей системе, a G& ——частоты колебаний во взаимодействующей системе. Найдите энергию взаимодействия электронов (8.34) и покажите, что результат совпадает с корреляционной энергией, найденной в части а).

(Корреляционная энергия классической плазмы^) Рассмотрим предел высокой температуры Т》Ер. Вычислите корреляционную добавку к термодинамическому потенциалу ^冗磔.Ответ легко получить из графиков рис. 8.8, оставив один член с wn = 0 из всей мацубаровской суммы (см. [1], §22; [6], §85).

Решения

Решение 43. Уравнение (8.27) инвариантно относительно замены т — —т, поэтому решения можно искать в виде четных и нечетных функций:

{

cos(am + А) при m > О, cos(am — А) при m < 0,(8.35)

при m = 0.

Подставляя выражения (8.35) в уравнения (8.27) при |m| > 1, находим g = k&FCOsa. При этом нечетное решение v^em удовлетворяет (8.27) автоматически при всех т. Четное же решение, если подставить его в (8.27) при m = 0,1, дает

G〃o = kVF cos(a + А),

1

g cos(a + A) = -kvF((l + Fq)uq + cos(2a + A)).

Решая эти уравнения совместно с cooтношением g = kvp cos а, находим

、Fqcos А/.

tan A tan a = — , uq = — .(8.36)

1 + 瓦 1 + го

Угловая зависимость 〃“。^(^) и 〃况°"°6(。) оказывается довольно интересной. Функция упечет есть просто суперпозиция двух свободных одночастичных состояний:

изт ⑼=,6(® —① _ в” + ①).изт ⑼=,6(® —① _ в” + ①).(8.37)(8.37)

изт ⑼=,6(® —① _ в” + ①).

изт ⑼=,6(® —① _ в” + ①).

(8.37)

(8.37)

Функция же 〃“em(j) выглядит более сложно. Она имеет при J = 士а как 6- функционные, так и полюсные особенности, в соответствии с (8.9).

Решение, описывающее коллективную моду, будем искать в виде

{g—ат{g—атпри т > О, при т < О, при т = 0.при т > О, при т < О, при т = 0.(8.38)(8.38)

{g—ат

{g—ат

при т > О, при т < О, при т = 0.

при т > О, при т < О, при т = 0.

(8.38)

(8.38)

Уравнение (8.27) удовлетворяется при |m| > 1, если g = kvp ch а, а при m = 0,1 дает систему уравнений для а и uq. Решая их, находим

"о = —— ,е2a = 1 + 2及.(8.39)

丄十f 0

Таким образом, скорость нуль-звуковой моды есть

S = ^ =手(а + 2砲"2 +(1 + 2砲т/2)•(8.40)

Выпишем явно угловую зависимость нуль-звуковых колебаний:

М°)=М°)=(8.41)(8.41)及 ("2 -兴嗚У/2

М°)=

М°)=

(8.41)

(8.41)

1 + Jb G — kvp cos J

Качественная картина такова. При 瓦《1 е нуль-звуковых колебаниях принимает участие малая область ферми-поверхности с J ^ 瓦).А при 瓦)》1 вся ферми- поверхность колеблется как целое:设(J)〜cos®.

Решение 44. Заэкранированное взаимодействие 匕;* дается совокупностью диаграмм, показанных на рис. 8.3. Этот ряд суммируется, как геометрическая прогрессия:

@к = К + 片口(“, k) + WlTQ, к) + ... =、•(8.42)

Поляризационный оператор есть

П(й；,к) = 2г /G( jp_)G(£+〉p+) °〉(8.43)

где £± = £ ± g/2〉р± = р ± к/2, а множитель 2 возникает при суммировании по спинам.

Интегрируя по частоте % находим

m / MP-i(P+) #Р

)/“Т(Р+) + ®)(2成з'(&)

где п(р) — распределение Ферми (ср. с выводом (7.85)).

Решение 44 а. Рассмотрим случай малых |к|《р^. Приближенно можно записать

(8.45)(8.45)п(р_) - п(р+) = kcoseb(|p| — Ро),

(8.45)

(8.45)

где J — угол между векторами р и к. Из-за(5-функции интеграл в (8.44) оказывается ограничен на поверхность ферми-сферы:

7ГП(с<;,к) = 2% / о7ГП(с<;,к) = 2% / оkvp cos®g — kvp cos®kvp cos®g — kvp cos®d cos e.d cos e.(8.46)(8.46)

7Г

П(с<;,к) = 2% / о

7Г

П(с<;,к) = 2% / о

kvp cos®g — kvp cos®

kvp cos®g — kvp cos®

d cos e.

d cos e.

(8.46)

(8.46)

Интегрируя no % находим

H(a,k) = 2% (^|lnH(a,k) = 2% (^|ln(8.47)(8.47)

H(a,k) = 2% (^|ln

H(a,k) = 2% (^|ln

(8.47)

(8.47)

где s = a)/kvF，Мы убеждаемся, что уравнение !4П(^〉к) = 1, определяющее полюс заэкранированного взаимодействия &七 тождественно соотношению (8.14), выведенному из кинетического уравнения ферми-жидкости.

Закон дисперсии плазмона при малых к можно получить, разложив выражение (8.47) по 1/s:

口Q〉k) = 2%.(8.48)

Тогда уравнение RII(G〉k) = 1 принимает вид

"(l + |T)i(&49)

где с<^ = 4тгпе2/т (п = рЦ(Зтг2)——плотность частиц). Следовательно, закон дисперсии при малых к есть

“2(к)=届 + О (.(8.50)

Закон дисперсии при больших к можно определить, заметив, что выражение (8.47) стремится к бесконечности при s — 1. Поэтому уравнение 唯口⑻=1 имеет решение при произвольно большом к, причем s — 1 при к — ос. Это означает, что G(k) приближается к vpk при больших к〉все время оставаясь выше границы квазичастичного континуума G(k) = vpk.

Решение 446. Как мы сейчас покажем, на самом деле закон дисперсии плазменных волн имеет точку окончания при некотором А;тах, где происходит слияние с квазичастичным континуумом. Дело в том, что поляризационный оператор (8.44) на самом деле остается конечным на границе континуума. Расходимость же II(s — 1) — ос, полученная в части а), есть следствие принятого приближения (8.45). Конечность поляризационного оператора приводит к тому, что уравнение !4口(幻〉к) = 1 не имеет решений за пределами квазичастичного континуума при достаточно больших |к|.

Найдем n(w, к) точно, не используя приближение (8.45). Для этого перепишем выражение (8.44) в виде

UQ，к) = 2 / Q —к黑—kvUQ，к) = 2 / Q —к黑—kvМр)Мр)d3pd3pw + k2/2m — kv/ (2тг%)з 'w + k2/2m — kv/ (2тг%)з '(8.51)(8.51)

UQ，к) = 2 / Q —к黑—kv

UQ，к) = 2 / Q —к黑—kv

Мр)

Мр)

d3p

d3p

w + k2/2m — kv/ (2тг%)з '

w + k2/2m — kv/ (2тг%)з '

(8.51)

(8.51)

где v = p/m. В этом выражении удобно сначала проинтегрировать по компонентам р перпендикулярным вектору к. Получается

00II(g〉к) = 2 /-ро00II(g〉к) = 2 /-роW定-屐)g — k2/2m — kpx/mW定-屐)g — k2/2m — kpx/m7r (定一屐) 、®g + к2/2т — kpx/mу (2开力)37r (定一屐) 、®g + к2/2т — kpx/mу (2开力)3(8.52)(8.52)

00

II(g〉к) = 2 /

-ро

00

II(g〉к) = 2 /

-ро

W定-屐)g — k2/2m — kpx/m

W定-屐)g — k2/2m — kpx/m

7r (定一屐) 、®

g + к2/2т — kpx/mу (2开力)3

7r (定一屐) 、®

g + к2/2т — kpx/mу (2开力)3

(8.52)

(8.52)

где рх есть компонента р вдоль к. Оставшееся интегрирование по рх выполняется элементарно. Результат удобно записать в виде

П(<^, к) = — (F(s — а) — F(s + а)) ,а = -—, s = —р(8.53)

8a200 vFk

где1

F(u) = / -—dx = 2u+ (1 — и2) In " * 1 .(8.54)

/и — 1

-1

Выражения (8.53), (8.54) определяют точный поляризационный оператор.

Проверим, что при к《0° получается выражение (8.47), найденное выше. Дей

ствительно, при а = к/20о — 0 выражение (8.53) упрощается:

П(а,к) = —三少⑶^(4 —2sln|^) ,(8.55)

что совпадает с (8.47).

Теперь воспользуемся выражениями (8.53), (8.54) и определим точку окончания спектра плазмонов. Граница квазичастичного континуума есть g = vpk + к2/2т. Это условие можно записать как s — а = 1. Поэтому точка окончания спектра, если таковая имеется, должна удовлетворять уравнению

7丿％2茹ь⑴5(1 +2.))=后.7丿％2茹ь⑴5(1 +2.))=后.(8.56)(8.56)

7丿％2

茹ь⑴5(1 +2.))=后.

7丿％2

茹ь⑴5(1 +2.))=后.

(8.56)

(8.56)

Это уравнение нетрудно переписать в виде

(1 + а)1п—_1 =—,(1 + а)1п—_1 =—,(8.57)(8.57)

(1 + а)1п—_1 =—,

(1 + а)1п—_1 =—,

(8.57)

(8.57)

где ”2 = 4开&2〃. Покажем, что в интервале 0 < а ^ 1 у уравнения (8.57) всегда имеется ровно одно решение. Действительно, левая часть (8.57) при 0 < а < 0.5 монотонно убывает от ос до значения порядка единицы, в то время как правая часть (8.57) монотонно возрастает от 0 до значения порядка 妳/储.В то же время е?/辰f《1,

поскольку мы занимаемся теорией возмущений в пределе большой плотности. Поэтому р^/х2》1〉и значит у уравнения (8.57) имеется корень, причем ровно один.

(8.58)(8.58)Из сказанного также следует, что решение лежит в области а 《1. Поэтому уравнение (8.57) можно упростить, отбросив в левой части малые члены. Получаем ln(20()/ek) = 2k2/〃2〉где е = 2,71828.... С логарифмической точностью решение этого уравнения есть

(8.58)

(8.58)

\2 и J

Находим частоту при k = ктах：

GmaxGmaxVp fcmax =幻0Vp fcmax =幻0(8.59)(8.59)

Gmax

Gmax

Vp fcmax =幻0

Vp fcmax =幻0

(8.59)

(8.59)

При &2/力&f《1 частота в точке окончания спектра 幻。，wmax《*

Подчеркнем еще раз, что ключевым обстоятельством является отсутствие расходимости n(w, к) на границе квазичастичного спектра. Оценить величину поляризационного оператора можно и не вычисляя II(g = &F〔k|) точно. Достаточно заметить, что ширина пояска, в котором сосредоточена функция п(р_) — п(р+) при малых к порядка |к|. Поэтому(5—функция в (8.45) имеет ненулевую «ширину» порядка |к|. В результате, при s =幻/&干卜=1 логарифмическая расходимость выражения (8.47) обрезается на s — 1 ^ к/ро^ и получается II(g = &F〔k|) = %)1п(0о/к). Нетрудно видеть, что уравнение 14П = 1 с логарифмической точностью совпадает с (8.57).

Решение 44 в. Рассмотрим теперь коллективные моды, пользуясь представлением осцилляторов электр он- дыр очных пар. Гамильтониан TYrpa, даваемый суммой (8.23) и (8.24), квадратичен. Поэтому диагонализация производится так же, как в задаче о многомерном классическом осцилляторе. Уравнения на собственные значения

имеют вид

G2gp,k = G；,kDpK + 2Gp(кИ< ( £ %彳kW,k) •(8.60)

Находим

DpK =% 恥(工"p彳kDp-k)(8.61)

"-Gp,k 4仁玖/

Умножая эти равенства на %[ и суммируя по к, р и спинам, получаем уравнение

само согласования:само согласования:(8.62)(8.62)

само согласования:

само согласования:

(8.62)

(8.62)

(коэффициент 2 перед 14 — спиновое вырождение).

Итак, мы убедились в справедливости соотношения (8.26). Проверим теперь, что оно совпадает с 1 = RII(G〉k). Для этого в выражении (8.44) для поляризационного оператора разделим область интегрирования по р на две под-области: п(р_) > п(р+) = 0 и п(р_) < п(р+) = 1. Простым сдвигом р т р + к/2 в первом случае, и р — р — к/2 ——во втором, получаем области R^ и R_k・ Делая в

интеграле по R—卜 замену к — —к, р — —р, не меняющую результата, приводим поляризационный оператор (8.44) к виду:

(8.63)(8.63)П(а,к) = 2 V (

(8.63)

(8.63)

PeRk \Ш — GpK 幻 + %К

Таким образом, действительно, соотношение 1 = RII(G〉k)〉полученное суммированием диаграмм, есть не что иное, как (8.62).

В заключение отметим, что хотя точный поляризационный оператор (8.53), (8.54) и может оказаться полезным в некоторых случаях, обычно бывает совершенно достаточно пользоваться выражением (8.47), соответствующим приближению кинетического уравнения ферми-жидкости.

Решение 45 а. Сумма ряда на рис. 8.3 в статическом пределе g = 0 равна

①闵=二向"(&64)

Поляризационный оператор (8.47) при g = 0 есть H(s = 0) = —z/, а 14 = 4тге2/к2, поэтому

①位)=二，(&65)

где а? = 4开&2〃. Делая преобразование Фурье, получаем искомое выражение (8.28). В справедливости последнего шага легче всего убедиться, не вычисляя фурье-образ непосредственно, а проверяя, что (V2 — х2) Ф(г) = —4тге2(5® (г).

Интересно отметить следующее. Вопреки ожиданиям, потенциал на большом расстоянии от заряда в ферми-газе спадает вовсе не экспоненциально. Дело в том, что вокруг внесенного заряда возникают фриделевские осцилляции плотности наведенного заряда (см. задачи 8,23), амплитуда которых спадает степенным образом, как 1/г3. Формально это проявляется в том, что поляризационный оператор nw=o(k) имеет слабую особенность при |k| = 2Po. Чтобы ее найти, воспользуемся точным выражением (8.53), (8.54). Получаем

Щ>=о(к) = —-—(2а — (1 — a2) In ) ,(8.66)

где а = |к|/2р0- Особенность при а = 1 и дает главный вклад в потенциал при больших г.

Оценим осциллирующую компоненту потенциала, возникающего при возмущении электронной системы внешним потенциалом V(ext)(r). Заэкранированный потенциал в этом случае дается выражением (8.64) с в числителе. Выделяя особенность при |k| = 2Po и делая фурье-преобразование, получаем

(8.67)(8.67)Ф ⑺〜е2 y(ext)cos(2po|r|) 久sc⑺〜47rZw %=2р。|Г|3

(8.67)

(8.67)

Отметим, что при 〃《夕о относительно медленно убывающий фриделевский вклад (8.67) не противоречит экспоненциальной зависимости (8.28). Чтобы в этом убедиться, достаточно усреднить распределение потенциала (8.64) по большому числу осцилляций. Усредненный потенциал спадает экспоненциально, в соответствии с (8.28).

Решение 45 б. Рассмотрим задачу об экранировке в ферми-жидкости, пользуясь представлением осцилляторов (8.23), (8.24). Взаимодействие с внешним полем (8.30) линейно по смещениям осцилляторов:

秃ext = Е+ h.c.(8.68)

k peR/c

Нам понадобятся средние смещения осцилляторов, которые нетрудно найти из уравнений

吟,kBp,k + (“р,к>/2K £ (“p，,k尸"Вр'к = - ЗркТ^ех" •(8.69)

Пользуясь выражением (8.16), записываем гармоники плотности

0k = e (2小k户23P*(8.70)

и, решая уравнения (8.69), находим

Рк(1 — П(к)К) = n(k)^Jext) , где П(к) = — £ 4/“р,к(8.71)

Согласно задаче 44 в, П(к) есть не что иное, как поляризационный оператор II(G〉k) при g = 0. Поэтому заэкранированный потенциал

y/(ext)

吧。t)=吆 ext) + Ra = 1 — ^口位)(8.72)

совпадает с (8.64).

Решение 46 а. В первом порядке по взаимодействию имеется два вклада в собственно-энергетическую часть, показанных на рис. 8.4. В случае короткодей- ствия интегрирование по внутренним частоте и импульсу дают просто плотность частиц, в первой диаграмме щ + п^ а во второй ——п^ или п^ в зависимости от спинового индекса внешней линии. При этом существенно, что знаки первого и второго вкладов пр о тивоположны, поскольку во второй диаграмме на рис. 8.4 отсутствует фермионная петля. Поэтому

= М +九/-gщ = 呐

』=М + 八卩-9П[ = дщ(8.73)

Величина Е есть сдвиг химпотенциала в результате взаимодействия. То обстоятельство, что Е для частиц с одной поляризацией спина зависит только от плотности

частиц с противоположной поляризацией спина, имеет простой смысл. По принципу Паули фермионы с одинаковым спином никогда не оказываются в одной и той же точке. Поэтому контактное взаимодействие между такими фермионами отсутствует.

Теперь записываем функции Грина:

11

5(*р)=~Gj(*p)=~旷・(8・74)

Эти выражения позволяют найти плотности частиц:

4嗝［

nl =

4嗝］

3(2成3 '

(8.75)

где

2m

2m

=Ef + @в —鼻•

(8.76)

Из этих соотношений нетрудно найти, как меняются плотности п^ и п^ при включении слабого поля Зв《 風：

8щ = Уо{-Шв - д8пу), 阮］=〃о(“в — 9阮Т)•(8.77)

Решая систему, находим

driy =—配т = 〃2в/(1 — д%).(8.78)

Намагниченность равна 从(6汽丁 — 6汽卩.В результате получаем восприимчивость

х = 2〃2"о/(1 — д^ ,(8.79)

что есть требуемый результат (8.32).

Решение 46 б. Лестничный ряд, показанный на рис. 8.5, суммируется как геометрическая прогрессия:

3)…(8.80)

Множитель 2 возникает из-за того, что направления поляризации спина в верхней и нижней ноге лестницы можно выбрать двумя различными способами. (Более формально, 2 = тT 片)

Очень существенное отличие ряда (8.80) от ряда (8.42) для экранированного потенциала, рассматривавшегося в задачах 44 и 45, заключается в знаке «+» в знаменателе (8.80). Знак оказывается другим из-за того, что в ряде (8.42) для экранировки п-й член содержит п — 1 фермионную петлю, что дает множитель (—1)п-1. В то же время, каждая из диаграмм, из о браженных на рис. 8.5, образована всего одной петлей, поэтому дополнительного множителя (—1)п не возникает.

В статическом пределе 冗幻—0〉k》g/&f〉поляризационный оператор П = —%. (В данном случае суммирования по спинам в П не производится, поэтому ответ дается плотностью состояний % с одной проекцией спина.) Подставляя П = —z/q в (8.80), получаем восприимчивость (8.32).

Расходимость восприимчивости при д% — 1 означает, что система становится неустойчивой по отношению к спиновым флуктуациям. Эта неустойчивость связана с переходом в ферромагнитное состояние.

Критерий ферромагнитного перехода %g > 1 называется соотношением Стонера. Оно может быть получено элементарными средствами. Пусть п^ и п^ —— плотности электронов со спинами вверх и вниз соответственно. Тогда средняя плотность спина равна т = щ — п^ е. полная плотность частиц ng = + п^. В основном состоянии ферми-газа =汽о/2. Пусть в системе каким-то образом число электронов со спином вверх превышает число электронов со спином вниз. Энергия такого состояния отличается от энергии основного состояния. Вычислив энергию идеального ферми-газа как функцию его плотности и разложив до второго порядка по отклонению плотности от равновесной, получим

bEfree = — (ь甯 + ь甯)=m2/(4z/0) • (8.81)

Теперь вычислим энергию взаимодействия электронов. Поскольку У(г —rz) = д6(г — г')〉то взаимодействуют лишь электроны с противоположно направленными спинами (ибо два электрона с одинаковыми спинами не могут одновременно находиться в одной точке). Поэтому энергия взаимодействия электронов есть дщп^ откуда

(JE'int = д дщ дп^ = -(д/4) т2 . (8.82)

Таким образом, энергия системы зависит от магнитного момента следующим образом:

bEtot = (m2/4^o) (1 - 9%) •(8.83)

Теперь видно, что при g% < 1 появление ненулевого магнитного момента энергетически невыгодно, а при g% > 1 — выгодно. В этом и состоит причина обнаруженной нами неустойчиво сти.

Решение 47. В о сприимчиво с ть х 丄(幻〉к) дается в общем виде диаграммами лестничного ряда, изображенного на рис. 8.5. Сумма этого ряда есть

х 丄(а,к) = —2/?х 丄(а,к) = —2/?口口 (“, к)1 + 9口口(а, k)口口 (“, к)1 + 9口口(а, k)(8.84)(8.84)

х 丄(а,к) = —2/?

х 丄(а,к) = —2/?

口口 (“, к)

1 + 9口口(а, k)

口口 (“, к)

1 + 9口口(а, k)

(8.84)

(8.84)

Это выражение получается точно так же, как (8.80), причем в данном случае поляризационный оператор II门(g〉к) нужно найти для состояния, поляризованного внешним полем.

Интересующий нас поляризационный оператор есть

口口(“上)=г / Gt(£_,p_)G](£+,p+),(8.85)

где £± = £ ± w/2, р± = р ± к/2, а соответствующие функции Грина были найдены в задаче 46 а.

Подставляя в (8.85) выражения (8.74) для G〔 и G^ и интегрируя по частоте £〉 находим

(&86)

где 汽т(р) и пДр)——распределения Ферми для двух поляризаций спина. Величины 12T и 3 даются выражениями (8.73), как и раньше.

Решение 47 а. Пусть к = 0. В этом случае подинтегральное выражение в (8.86) зависит от р только через 汽т(р) и 汽](р)・ Поэтому интеграл по d^p дает

口口（"上）=口口（"上）=g — 2GB — g汽]+ g汽т〉g — 2GB — g汽]+ g汽т〉(8.87)(8.87)

口口（"上）=

口口（"上）=

g — 2GB — g汽]+ g汽т〉

g — 2GB — g汽]+ g汽т〉

(8.87)

(8.87)

где щ и П[——плотности частиц со спином вверх и вниз. Подставляя (8.87) в (8.84), получаем

X丄(а)к=оX丄(а)к=о(8.88)(8.88)

X丄(а)к=о

X丄(а)к=о

(8.88)

(8.88)

Таким образом, при к = 0 поперечная восприимчивость совершенно не зависит от взаимодействия. В частности, резонансная частота g = 2GB остается такой же, как в невзаимодействующей системе.

Нетрудно убедиться в том, что утверждение теоремы Лармора об отсутствии сдвига резонансной частоты справедливо для произвольного взаимодействия, не зависящего от спина. Гамильтониан фермионов в магнитном поле есть сумма (8.1) и (8.31). При этом члены (8.1) коммутируют с оператором полного спина системы 後 = / 2a(r)%評в (г)d3г)а зеемановский член (8.31) —— нет. Поэтому

/7g

凉=i[7itotai,s] = Н%в同=—2〃в х s (8.89)

То обстоятельство, что свободная прецессия s происходит с частотой 2G石〉как раз и означает, что при возбуждении внешним переменным полем резонанс имеет место при g = 2GB.

Решение 47 б. Рассмотрим теперь х丄(G〉k) при к * 0. Мы хотим найти зависимость положения полюса х丄 〜(g — s(k))~i от к. Как станет ясно ниже, интерес представляют относительно малые |к| ^ д(汽]—汽t)/&f・ Поэтому в слабом магнитном поле зв《 風〉когда tzj —汽丁《ntot, в числителе (8.86) можно сделать замену:

(8.90)(8.90)^l(P-) — т(Р+) —^ ^п5(\р\/р0 - 1),

(8.90)

(8.90)

где Дп = П[ — щ. Интеграл по поверхности ферми-сферы легко вычисляется:

『/ _.、 Дп 7 sin%。Пп ^k =—―7z2 丿 g — kvF cos J 0『/ _.、 Дп 7 sin%。Пп ^k =—―7z2 丿 g — kvF cos J 0Дп2kvFДп2kvF1 g + kvp In,Q — kvp1 g + kvp In,Q — kvp(8.91)(8.91)

『/ _.、 Дп 7 sin%。

Пп ^k =—―7z

2 丿 g — kvF cos J 0

『/ _.、 Дп 7 sin%。

Пп ^k =—―7z

2 丿 g — kvF cos J 0

Дп2kvF

Дп2kvF

1 g + kvp In,

Q — kvp

1 g + kvp In,

Q — kvp

(8.91)

(8.91)

где ◎ = “ 一 2GB — g△九

Полюс х丄(",к) определяется уравнением ^ЩЦси, к) = — 1, решение которого в данном случае нетрудно выписать в явной форме:

“(к)二 2GB + g△几—kvp ctha, и = kvp/^gAn).(8.92)

Закон дисперсии спиновых волн (8.92) обладает следующими свойствами: при а《1

q(k) = 2GB — k2v^/(З^Дп),(8.93)

gpn а》1 выражение (8.92) стремится к 2GB + д△几 一 kvp. При этом частота "(к) вещественна для всех п, т. е. затухание отсутствует.

Описанное поведение при больших и определяется сингулярностью выражения (8.91) при ◎ = —kvF・ Как мы убедились в задаче 446, эта сингулярность есть следствие принятого приближения (8.90), сводящего интегрирование в (8.86) по тонкому трехмерному слою к интегралу по двумерной ферми-поверхности. На самом же деле поляризационный оператор (8.86) на границе квазичастичного спектра, т. е. при ◎ = 士Ер, принимает конечное значение. По тем же причинам, что и в задаче 446, логарифмическую сингулярность в (8.91) следует обрезать при |必 土 kvp\ ~ к2/2т.

Рис. 8.9

(8.94)(8.94)В результате уравнение ^Пц(си, к) = —1, дающее закон дисперсии спиновых волн, имеет решение только при к меньших некоторого А;тах. Точка окончания закона дисперсии ктах находится из уравнения

(8.94)

(8.94)

2kvp к

С логарифмической точностью kmax = (gAn/2vF)In (Ер/дАп). При к > %ах часто

та спиновых волн оказывается внутри квазичастичного континуума 圖 < vp\k\

(рис. 8.9). Спиновые волны с такими к характеризуются конечным временем затухания, т. е. комплексной частотой s(k).

Решение 48 а. Вычислим обменную энергию, даваемую второй диаграммой на рис. 8.6. Соответствующее выражение для плотности термодинамического потенциала на единицу объема в мацубаровской технике равно

1

△%бм =1血 £ G侬 1, P1)G侬2, P2)^_₽2吋2,(8.95)

где G(辽〉р) = 1/(辽一£р) — функция Грина электронов, а 14 = 4тге2/к2 — фурье- компонента потенциала взаимодействия.

Отметим, что при выписывании выражения (8.95) имеется следующая тонкость. Поскольку взаимодействие в (8.1) считается мгновенным, в аналитических выражениях для диаграмм на рис. 8.6 возникает функция Грина, взятая при совпадающих временах. Но G(r, г) имеет скачок при г = 0, и из-за этого выражения оказываются формально неопределенными. Эта трудность обычно преодолевается следующим образом. Оператор взаимодействия (8.1) содержит нормально упорядоченное произведение ^-операторов, в котором 山 всегда стоит правее 山+〉поэтому функцию Грина с совпадающими временами следует понимать как

G(r, 0) =rlimoG(r, -т).G(r, 0) =rlimoG(r, -т).(8.96)(8.96)

G(r, 0) =rlimoG(r, -т).

G(r, 0) =rlimoG(r, -т).

(8.96)

(8.96)

Это соглашение и использовано в (8.95).

Суммирования по 門 и £2 е (8.95) оказываются независимыми. Воспользовавшись выражением

Тр) = W(ep)(8.97)

(см. формулу (7.59) в решении задачи 35), получаем

△◎обм△◎обмd301d汨2(2开)6d301d汨2(2开)6(8.98)(8.98)

△◎обм

△◎обм

d301d汨2(2开)6

d301d汨2(2开)6

(8.98)

(8.98)

(множитель 1/2 исчез при суммировании по спину).

Теперь удобно перейти в координатное представление. Подставляя в (8.98) /1—Р2 = J V(r)e^pi-P2)rd3r, получаем

△%бм = ~/ U(r) |/(r) 12dз「，где /(г) = / w(eP) е’рг/ •(8.99)

Рассмотрим случай Г = 0. Интеграл /(г) легко вычисляется:

/(r)= /产黑|p|<po/(r)= /产黑|p|<poPf sinp厂 47rp2 dpsinpo^ 一 Po厂 cos。。厂Pf sinp厂 47rp2 dpsinpo^ 一 Po厂 cos。。厂/ pr (27Г)3/ pr (27Г)327r2『327r2『3(8.100)(8.100)

/(r)= /产黑

|p|<po

/(r)= /产黑

|p|<po

Pf sinp厂 47rp2 dpsinpo^ 一 Po厂 cos。。厂

Pf sinp厂 47rp2 dpsinpo^ 一 Po厂 cos。。厂

/ pr (27Г)3

/ pr (27Г)3

27r2『3

27r2『3

(8.100)

(8.100)

Отсюда обменная энергия (8.99) есть

47r4片0

Путем трехкратного интегрирования по частям получаем

△%бм = -е2ро/(4тг3) = -е2 (З^п)^3/(4тг3).(8.102)

Мы видим, что из-за достаточно быстрого убывания функции /(г) обменная энергия определяется масштабом |r| ^ pg1 порядка характерного расстояния между электронами. Это можно понять качественно, заметив, что только при сближении электронов на расстояние 厂 W 夕丁】их волновые функции начинают перекрываться, и эффекты неразличимости частиц становятся важны. Таким образом, обменная 2 энергия на один электрон оказывается порядка е р^.

Интересно отметить, что масштаб 夕『* определяющий обменные эффекты, при е?/力&f《1 оказывается много меньше длины кулоновского экранирования 〃一\ которая определяет корреляционную энергию (см. задачу 49). Поэтому говорят, что обменное взаимодействие локально.

Отрицательный знак ДЛобм тоже нетрудно понять. В силу принципа Паули, электроны избегают друг друга на расстояниях г р^1^ в результате чего энергия кулоновского отталкивания уменьшается.

Решение 48 б. Рассмотрим вклады второго порядка по е?/力&f〉соответствующие диаграммам на рис. 8.7. Им соответствуют такие выражения:

△必2P = / £ / G侬,k) G阻 + a, k + q) x

X G(幅,3) G阻—a, k— q) %，:户,；(8.103)

△Q^pp = — #3 £ у G侬,k) G侬 + a, k + q) x

X G(幅,3) G侬'—a, k— q) % k，+q 户 (8.104)

Принятые обозначения показаны на рис. 8.10. Знаки диаграмм а) и Ь) отличаются из-за разного числа фермионных петель, а коэффициенты ——из-за того, что в диаграмме а суммирование по спину происходит два раза, а в диаграмме 6 — один

раз.раз.

раз.

раз.

Рис. 8.10

Импульсы на рис. 8.10 выбраны таким образом, чтобы было удобно объединить вклады q и Ь. Суммирование по е и е‘ выполняется с помощью тождества (7.85). В результате приходим к такому выражению для △%产：

△Q(a)+(b) _ 工 丁 / >F(&) — —F(&+q) . >F(&)—。戸(&一口) *

K°P 2 3 丿痴—& + &+q—如—& — &-q

(8.105)(8.105)X (2%- %K-k，+q)^g^,

(8.105)

(8.105)

где первый член в скобках соответствует диаграмме а/ а второй ——диаграмме Ь). Нас интересует случай нулевой температуры. Поэтому заменим суммирование по “ интегрированием. При этом

(8.106)(8.106)/ d“eg) — е(—а

(8.106)

(8.106)

丿 27r(如—£)(—如—F) £ + F

Получаем

△。然"⑥=I /®(&) - ^F(&+q)) ,F(&) - KF(&'-q)) X

x。(& — &-q) — 0(&+q — &)\ d^k d?k' d?q 〔価)

X IL &+q + &- &，-q 匕 Ki'+q) (2寸• (GW

Проанализируем область интегрирования в (8.107). Одна из двух ^-функций в этом выражении должна быть равна 1, а другая — 0. Пусть от нуля отлична первая 8- функция. Тогда, поскольку в (8.107) входит также множитель 々р(&/)— 々F(£k‘_q), то |k[ > ро, a |k‘一 q| < p> Аналогично получаем |к| < 为，|k + q| > р°. Если же от нуля отлична другая ^-функция, то ответ получается заменой к — к[ q т —q. Поскольку выражение симметрично относительно этой замены, достаточно просто удвоить ответ. Поэтому

(8.108)(8.108)△О(а)+(Ь) =(2吗-匕 K-k，+q)d3kd3取冏

(8.108)

(8.108)

KOP —(& — &+q + & — &，-q)3)9

(интеграл берется по области к 6 %〉kz —q 6 %). Это выражение совпадает с (8.33).

Отметим, что формулу (8.33) можно получить и без диаграмм, вычисляя энергию основного состояния ферми-системы по обычной квантовомеханической теории возмущений до членов второго порядка (см. [6], § 6).

Теперь рассмотрим поведение подинтегрального выражения в (8.108) при q — 0. Области интегрирования по к и kz представляют собой в этом случае слои толщины порядка q на поверхности ферми-сферы (см. рис. 8.1). С другой стороны, знаменатель при этом оказывается порядка qvp. Поэтому первый член оказывается порядка q-з, а второй ——порядка q-1. В результате оказывается, что при интегрировании по q первый член дает логарифмическую расходимость на малых 仇 а второй остается конечен.

Чтобы понять причину найденной расходимости, рассмотрим физический смысл диаграмм на рис. 8.7. Поляризационные петли на диаграмме а ——это коррелятор плотность-плотность. Поэтому эта диаграмма описывает вклад взаимодействия флуктуаций плотности в энергию системы. Ее расходимость при q = 0 означает, что основной вклад дают флуктуации плотности в далеких точках. Но подсчитывать взаимодействие флуктуаций в точках, расположенных на расстоянии, большем радиуса экранирования, используя незаэкранированный потенциал 1/г (как это и происходит в (8.108)), совершенно неправильно. Можно ожидать, что при правильном учете экранирования логарифмическая расходимость обрежется на обратном радиусе экранирования, q

Что же касается диаграммы 6)она описывает обменный эффект второго порядка. Как и все обменные эффекты, этот вклад в энергию определяется расстояниями порядка фермиевской длины волны 1/ро, и потому в нем не возникает расходимости на малых q.

Решение 49 а. Расходимость в диаграмме а на рис. 8.7, найденная в задаче 48,— серьезная неприятность. В рамках теории возмущений обрезать эту расходимость негде, и поэтому возникает необходимость суммировать диаграммы высших порядков. С физической точки зрения, требуется всего лишь корректно учесть экранирование (см. решение задачи 486). Это достигается суммированием «пузырьковых» диаграмм, показанных на рис. 8.8.

Оценим эти диаграммы по порядку величины. Произведение п волнистых линий зависит от передаваемого импульса q как q~2n и не зависит от передаваемой частоты g (q и g одинаковы для всех линий). Поляризационная петля П(ш, q) ~ 〃 при w < qvp и убывает при g > qvp. Интегрирование по 0 < w < qvp дает qvF〉и в результате диаграмма п—го порядка расходится при малых q как ^(q2/^-1)^. Чем выше п, тем сингулярней диаграмма. При п = 2 расходимость логарифмическая, в соответствии с решением задачи 486. Из сделанной оценки видно, что кольцевые диаграммы, из о браженные на рис. 8.8, обеспечивают м аксим альную расходимость в каждом порядке теории возмущений. Уже само по себе, и без аппеляций к физике экранирования, это дает достаточные основания для рассмотрения ряда на рис. 8.8.

Пр о суммируем последовательность кольцевых диаграмм. Для этого, как обычно, продифференцируем термодинамический потенциал по константе связи е2. Это

устраняет множители 1/п перед диаграммами, после чего ряд суммируется, как геометрическая прогрессия. Выражение, которое при этом получается, есть произведение П(ш, q) и заэкранированного взаимодействия V^^ из которого вычтено затравочное взаимодействие 匕 (потому что ряд начинается с п = 2). Таким образом,

е2為Qkop = —/T£/n3，q) (%3,q — • (8.109)

Согласно задаче 44, заэкранированное взаимодействие есть (8.42). Что касается поляризационного оператора П(ш, q), то аналитическое продолжение формулы (8.47) дает

口(辺 q) = 一〃 ( 1—arctg口(辺 q) = 一〃 ( 1—arctgqvFqvF33(8.110)(8.110)

口(辺 q) = 一〃 ( 1—arctg

口(辺 q) = 一〃 ( 1—arctg

qvF

qvF

3

3

(8.110)

(8.110)

口2(必,q)* dwd^q1 一П(如7)吟(2开)4口2(必,q)* dwd^q1 一П(如7)吟(2开)4Заменяя при Г = 0 суммирование по g интегрированием, и подставляя 匕㊁口 из (8.42), приводим (8.109) к виду

口2(必,q)* dwd^q

1 一П(如7)吟(2开)4

口2(必,q)* dwd^q

1 一П(如7)吟(2开)4

(8.111)

Удобно ввести s = ^jqvp и обозначить II(w, q) = —〃P(s). Получаем

2 a7 (4开&2『〃2 P2(s) qvF ds 47rq2 dq

° de2 Kop / q2(g2 + 〃2P(s))27r (2开尸

=—-—万〕dsqdq,(8.112)

где а? = 4开&2〃. Интегрируем по q, обрезая интеграл сверху на 夕。:

424仆5一工吟424仆5一工吟dsds(8.113)(8.113)

424

仆5一工吟

424

仆5一工吟

ds

ds

(8.113)

(8.113)

(последний шаг верен с логарифмической точностью, поскольку 夕彳/〃？=

(开/4)力ef/e2》1). Интеграл

ОО

J = У p\s) ds(8.114)

о

удобно вычислить с помощью следующего представления F(s), которое следует из определения поляризационного оператора:

р⑶р⑶丿峭+ ?2丿峭+ ?2dx = 1 — s arctg(l/s).dx = 1 — s arctg(l/s).(8.115)(8.115)

р⑶

р⑶

丿峭+ ?2

丿峭+ ?2

dx = 1 — s arctg(l/s).

dx = 1 — s arctg(l/s).

(8.115)

(8.115)

Интегрируем:

ОО 1 11 1

J= [ [ [( 2 亠J 2 亠 dx dy ds = n j /dx dy =

о о о v'о о

=^ / /d/ 1 — /In ^1 = 7r(1[足2).(8.116)

0

Учитывая соотношение 〃？ = 4开&2〃 и интегрируя по е2, получаем окончательный ответ:

- ^^繕叮т史(8.117)

Таким образом, просуммировав кольцевые диаграммы, мы действительно получили конечную корреляционную энергию. При этом логарифмическая расходимость, найденная во втором порядке теории возмущений, автоматически обрезалась на обрат

ном радиусе экранирования, q

ОООО—оо—ооРешение 49 б. Найдем энергию взаимодействия, представив ее как энергию нулевых колебаний осцилляторов электрон-дырочных пар. В о спользуем ся формулой

ОО

ОО

—оо

—оо

G1 ^2G1 ^2(8.118)(8.118)1 W2 + dwЬ^——2 —

G1 ^2

G1 ^2

(8.118)

(8.118)

U + 3$ 47r

которую нетрудно проверить интегрированием по частям. Применим ее к операторам

£建,kDp,k〉^ = 2 J2 14 I £k; peR/ck \pERk£建,kDp,k〉^ = 2 J2 14 I £k; peR/ck \pERk£ Gp/kDpKp'eRk,£ Gp/kDpKp'eRk,(8.119)(8.119)

£建,kDp,k〉^ = 2 J2 14 I £

k; peR/ck \pERk

£建,kDp,k〉^ = 2 J2 14 I £

k; peR/ck \pERk

£ Gp/kDpK

p'eRk,

£ Gp/kDpK

p'eRk,

(8.119)

(8.119)

сумма которых есть удвоеннная «потенциальная энергия» осцилляторов, описываемых гамильтонианом TYq + TYint (см. (8.23) и (8.24). Получаем

(8.120)(8.120)△Е = п/ 1п[р + Л + ^р + Л)_1] II— ОО

(8.120)

(8.120)

Разложим это выражение в ряд:

ОО / — [ \п—1

—тС (后(产 + 么尸).(8.121)

Вычисляя след, находим

ш>0п=1 八 к \ \peRk 十 “Р,кш>0п=1 八 к \ \peRk 十 “Р,к(8.122)(8.122)

ш>0п=1 八 к \ \peRk 十 “Р,к

ш>0п=1 八 к \ \peRk 十 “Р,к

(8.122)

(8.122)

= ЕЕЕ(—кп(“, к)广=/ / in(1 — кп(“, к))怨.

3>U к n=l “」」/〈/7Г丿

Чтобы установить соответствие с вычислением обменной и корреляционной энергий в задачах 48 и 49 а, заметим следующее. Первый член формального разложения логарифма в выражении (8.122) в ряд по степеням R дает не что иное, как обменную энергию, вычисленную в задаче 48 а. В этот первый член 14 входит в первой степени, что дает сходящийся при малых к интеграл. Нетрудно убедиться, что если вычесть из (8.122) обменную энергию (в силу сходимости интеграла, такое вычитание — корректная процедура), то получившееся выражение при дифф ер енцир овании по е2 дает выражение (8.111), определяющее корреляционную энергию. Поэтому выражение (8.122) есть сумма обменной и корреляционной энергий.

Результат (8.122), выведенный при Г = 0, нетрудно обобщить на случай конечной температуры. Это делается по аналогии с задачей 35, где была получена связь между термодинамическим потенциалом и функцией Грина ферми-частиц. В результате получается выражение, подобное (8.122), в котором интегрирование / ... ds/27r заменено суммированием Т£п ... по = 27nzТ.

Решение 49 в. Рассмотрим корреляционную энергию невырожденной плазмы.

吗叫叽=0 d3q1 - Vqn(q)w=0 W吗叫叽=0 d3q1 - Vqn(q)w=0 WМожно воспользоваться формулой (8.109), оставляя в ней лишь член с g = 0:

吗叫叽=0 d3q

1 - Vqn(q)w=0 W

吗叫叽=0 d3q

1 - Vqn(q)w=0 W

(8.123)

Величина n(q)w=o при малом |q|《夕。есть

〜/珈f&) 2 d3p〜/珈f&) 2 d3p(8.124)(8.124)— Q / kF&) - kF(gp+q) 2 "3p

〜/珈f&) 2 d3p

〜/珈f&) 2 d3p

(8.124)

(8.124)

11…+q 河

(мы использовали тождество (7.85)). Поскольку нас интересуют большие температуры (Т》風)〉можно заменить распределение Ферми распределением Больцмана, для которого 3汽石(£)/夾= —пв{^)/Т. Поэтому

(8.125)(8.125)Пn=0向-0) = -n/T,

(8.125)

(8.125)

где п —— плотность частиц. Отсюда

匕=1-^n^OUo ='(8.126)

где а? = 4开&2汽/7 ——классический дебаевский радиус экранирования. В результате e 疹"кор =—万 / 濟⑷ + 力)=—(8.127) Интегрируя по е2, получаем

Qk°p = -Тх3/(127Г),(8.128)

что совпадает с результатом, известным для классической плазмы (см. [5] § 78).

Обратим внимание на неаналитическую зависимость выражений (8.117) и (8.128) от е2. При Г = 0 корреляционная энергия пропорциональна е4 Ine2, а при Т》Ер выражение (8.128) дает QKop ~ е3. В результате формальное разложение QKop по целым степеням е2 оказывается невозможным. Эта неаналитичность и есть формальная причина того, что в ряду теории возмущений присутствуют расходящиеся члены.

Энергия взаимодействия в металле. Вигнеров- ский кристалл

Рассмотрим энергию основного состояния электронов в металле, используя модель желе. В пределе высокой плотности электронов п система будет почти идеальным ферми-газом с ферми-жидкостными поправками, малыми по параметру ^/hvp《1 Наиболее существенной энергией в этом случае будет кинетическая энергия, величина которой порядка 向2m на частицу. Это дает термодинамический потенциал на единицу площади QKHH 〜n5/3.

Поправки первого порядка по межэлектронному взаимодействию были найдены в задаче 48 а. Энергия Хартри в модели желе равна нулю из-за компенсации взаимодействия электронов с положительным фоном. Обменная же энергия Qo6m отлична от нуля и отрицательна. Как нетрудно видеть, сумма кинетической и обменной энергий Скин + Cq6m есть просто среднее (TYq + 丸也丿 от гамильтониана (8.1), взятое по основному состоянию идеального ферми-газа, т. е. по слэтеровскому детерминанту, построенному из плоских волн с |р| < ро-

Поправки второго порядка и выше по е?/力&口 рассмотренные в задачах 486 и 49, учитывают изменение основного состояния благодаря взаимодействию. Эти поправки принимают во внимание изменение корреляций взаимного расположения электронов по сравнению с идеальным ферми-газом. Поэтому соответствующий вклад в энергию системы называют корреляционной энергией. Согласно задачам 48, 49, обменная и корреляционная энергии отрицательны и зависят от заряда е и плотности п так: Qo6m 〜—e2n4/3, QKop 〜—e4nln(nx/3/e2).

Интересно, что корреляционная энергия имеет неаналитическую зависимость от параметра теории возмущений 巒/力&f・ Поэтому формальное разложение QKop по целым степеням ^/hvp не имеет смысла. В этом и состоит причина того, что, как мы убедились в задаче 486, в ряду теории возмущений появляются расходимости.

Здесь уместно отметить, что для отсутствия аналитичности термодинамического потенциала Q как функции константы связи е2 при малых е имеются весьма общие основания. Действительно, если бы аналитичность имела место в некоторой окрестности е = 0, то выражение для термодинамического потенциала, полученное при е2 > 0, было бы применимо и к системе с е2 < 0, т. е. с притяжением между частицами. А в ней, как известно, возникает куперовское спаривание и происходит перестройка основного состояния. Отметим аналогию с квантовой электродинамикой, в которой с помощью сходного рассуждения доказывается (Дайсон, 1952), что любая физическая величина, как функция е2, имеет особенность при е = 0 (см. [4], гл. 1, §3).

Рассмотрим теперь, как меняется состояние металлической системы при изменении плотности. Зависимость кинетической и обменной энергии от плотности такова, что при высокой плотности Qo6m пренебрежимо мала по сравнению с QKHH. Однако при уменьшении плотности взаимодействие начинает давать основной вклад в энергию. При этом, поскольку QO6m отрицательно, состояние с однородной плотностью

становится неустойчиво по отношению к возникновению неоднородностей, и жидкость превращается в кристалл (Вигнер, 1934).

Сравним энергии кристалла и ферми-жидкости. Рассмотрим кристаллическое состояние, в котором волновые функции электронов локализованы вблизи узлов некоторой решетки. Для конкретности будем говорить о кубической решетке с периодом а = п-1/3. Убедимся в том, что кинетическая энергия, оцениваемая как энергия нулевых колебаний, будет выше, чем в однородной системе с той же плотностью, а потенциальная ——ниже. Поскольку при низкой плотности потенциальная энергия важнее кинетической, кристалл оказывается более выгодным состоянием, чем жидкость.

Начнем с того, что оценим изменение кулоновской энергии. При образовании кристалла она понижается, поскольку в жидкости электроны могут находиться ближе друг к другу, чем в кристалле при той же плотности. Уменьшение потенциальной энергии на один электрон будет порядка энергии взаимодействия соседей:

现舉—现2= —е2»/з现舉—现2= —е2»/з(8.129)(8.129)

现舉—现2= —е2»/з

现舉—现2= —е2»/з

(8.129)

(8.129)

Теперь займемся кинетической энергией электронного кристалла. Электрон совершает нулевые колебания около одного из узлов решетки. Причем когда электрон находится точно в узле, кулоновские силы, действующие на него со стороны других электронов, в точности компенсируются. При отклонении же от узла на небольшое расстояние, из-за нескомпенсированного кулоновского отталкивания от соседей появляется возвращающая сила. При смещении х возвращающая сила будет порядка е2/(а — с)? — е2/(а + х)2 ^ е^с/а?. Записав ее как mw2x, получим частоту колебаний электрона и радиус локализации волновой функции:

где Vp ——скорость Ферми в идеальном ферми-газе данной плотности. Оценим энергию нулевых колебаний на один электрон:

где Е儕2 ^ П2/(2та2).

Сделанные оценки показывают, что в пределе низкой плотности, т. е. при e2/^f^》1, имеют место такие неравенства:

<2 < E窯 < (出2 -出据).(8.132)

Это означает, что образование кристалла энергетически выгодно. Отметим, что для применимости сделанных оценок требуется, чтобы электронные состояния были хорошо локализованы вблизи узлов. Но, как мы видели, г()а при e2/^f^》1, что подтверждает корректность наших рассуждений.

Итак, при переходе в состояние вигнеровского кристалла кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная уменьшается. Поэтому при высокой плотности такое состояние невыгодно, а при низкой — выгодно.

Микроскопическое обоснование теории ферми-жидкости

Диаграммная техника позволяет обосновать теорию ферми-жидкости весьма общим образом, а также установить границы ее применимости. Такой квантово-полевой подход к проблеме ферми-жидкости весьма полезен, поскольку он дает возможность использовать идеи и результаты этой теории в сильно взаимодействующей системе. В этом состоит преимущество по сравнению, скажем, с рассмотренным в разд. 8.3 гамильтоновым методом, в котором предполагается, что взаимодействие слабое. Кроме того, гамильтонов метод опирается на несколько эвристическое по своему характеру приближение случайных фаз, в то время как квантово-полевой подход является совершенно строгим.

Микроскопической теории ферми-жидкости уделено большое внимание в литературе (см. [1, 6, 4]), поэтому здесь мы ограничимся кратким перечислением основных результатов. Предполагается, что особенности одночастичной функции Грина, как функции энергии, качественно такие же, как для идеального ферми-газа. А именно, G(*p) имеет простой полюс при £ = £(Р)〉где закон дисперсии квазичастиц £(р) определяется самосогласованно через уравнение Дайсона. Показывается, что вычет а в полюсе

G(*P)~ ——々：с •—ё (8.133)

—£(P)+ zOsign£

удовлетворяет условию 0 < а < 1. Величина а имеет смысл спектрального веса квазичастицы в одночастичной функции Грина (ср. с (4.14) в гл.4). Единственной величиной, которая не перенормируется взаимодействием, оказывается импульс Ферми, выражающийся через плотность:夕。=(3开2汽)1/3.

Оказывается возможным выяснить, какие диаграммы описывают динамику квазичастиц, и проследить связь с кинетическим уравнением ферми-жидкости. Для этого следует рассмотреть двухчастичные функции Грина и выделить в них вклады, соответствующие электр он- дыр очным парам вблизи уровня Ферми. Следуя традиции, будем говорить о двухчастичной амплитуде рассеяния, имея при этом в виду, что другие двухчастичные функции рассматриваются аналогично.

Амплитуда рассеяния Г есть, как обычно, сумма всех фейнмановских диаграмм с четырьмя концами. Она зависит обычным образом от входящих и выходящих импульсов, а также спинов. Выделим из диаграммного ряда все вклады с определенным количеством двухчастичных сечений, и пересуммируем ряд, как при выводе уравнения Бете-Солпитера (4.20). Для этого требуется использовать так называемую неприводимую вершину №)〉не содержащую двухчастичных сечений. Пересуммиро- ванный ряд для амплитуды Г изображается графически, как показано на рис. 8.11,

где неприводимая вершина №)обозначена заштрихованным кружком.

Рис. 8.11

Отметим, что при этом предполагается, что суммарные импульс к и частота “ в двухчастичных сечениях малы по сравнению с 为 и Ер^ соответственно. Именно это ограничение на к и си позволяет ограничиться лестничными диаграммами, изображенными на рис. 8.11.

Полученный ряд сводится к интегральному уравнению почти так же, как при выводе уравнения Бете-Солпитера (4.20). Разница состоит только в том, что надо пользоваться причинными функциями Грина, а не запаздывающими. В результате получается уравнение вида

Г(Р1,Р2； %) = Г(О)(Р1,Р2； к) — i j F(°)(pi,q； k)P(q,p2； к) G(q) G(q + к) ^j , (8.134)

где pi,2 — импульсы входящих частиц, а к ——передача импульса. Мы для простоты опустили все спиновые индексы и суммирование по ним.

Задача теперь состоит в том, чтобы выделить в (8.134) вклады полюсов функций Грина G(q) и G^q+к)^ поскольку именно полюсные вклады отвечают квазичастицам. Для этого требуется выполнить еще одно пересуммирование ряда для Г, в результате которого получается очень похожий ряд, с тем, однако, единственным отличием, что двухчастичные сечения содержат только полюсные вклады.

Формально это происходит так. При малых “ и к в двухчастичных сечениях, произведение функций Грина можно разложить на сингулярную и регулярную части:

27ro2

—iG(q) G(q + k) =可冋—A) + 奴9),(8.135)

Vf 3 — KV

где q =(E)q), k = (cu,k), v = Vk£(k). Поясним происхождение сингулярного вклада в (8.135). Он возникает в тех случаях, когда полюсы функций Грина G(q) и G(q + к) зажимают контур интегрирования по е в уравнении (8.134). Зажимание контура происходит, когда полюсы выражения G(q)G(q + к) находятся по разные стороны от вещественной оси. Это имеет место при |q| < 为 и |q + k| > 加 или наоборот. Но поскольку |к|《ро, импульс q при этом оказывается на малом расстоянии порядка |к| от ферми-поверхности. А значит, одновременно и е = % оказывается почти на уровне Ферми.

Запишем соотношение (8.135) в виде —iGG =。+。и проведем пересуммирование ряда на рис. 8.11, используя операторную запись:

Г = Г(°)—泞(°)GG「⑼ + (—^2「(o)GG「⑼GG「⑼ + ... = Г(о) (1 —(方 + 0)「⑼)"=

Г(о) (1 - 0Г(О))Т (1 —方：Г(。)(1 - 0Г(。))-) 1 = гш (1 -方:Гз)-\(8.136)

где введено обозначение Г^, = W。)(1 — ©W。)) . Обратим внимание, что результат этой цепочки преобразований имеет форму, соответствующую ряду на рис. 8.11. Отличие этого представления от исходного в том, что теперь все несингулярные вклады собраны единым образом в вершину 几.

Как всегда, элементарные возбуждения определяются полюсами соответствующей функции Грина. В данном случае необходимо рассмотреть полюсы амплитуды рассеяния Г, как функции g и к. Из представления (8.136) следует, что полюсам соответствуют нулевые собственные значения оператора 1 — РГ^. Пользуясь явной формой (8.135) для оператора D)уравнение на собственные значения можно записать в виде

(g — kv)设(р) = kv^^-几〃(р), (8.137)

где 设(р) — соответствующая собственная функция, а действие 几 понимается в операторном смысле. Получившееся уравнение совпадает с кинетическим уравнением ферми-жидкости, причем функция Ландау F(n, п‘) оказывается связанной с амплитудой взятой на ферми-поверхности:

Р(п, п‘)=生-Гз(р, Р‘)|р|=|р，|=ро. (8.138)

Отметим, что амплитуда Г^, получается простым образом из полной амплитуды рассеяния Г, если рассмотреть предел kv《g. При этом, согласно (8.135), величина О — 0 и〉вследствие этого, Г^, = Г.

Заметим, что связь между оператором D и кинетикой квазичастиц становится особенно наглядной, если перейти в координатно-временное представление. Чтобы избежать неоднозначностей, связанных с обходом полюсов, рассмотрим запаздывающую величину, заменив g на g + £0. Тогда

方(г 八一/ kvef+kr d3 d3k _ r vVr 6(r — v" при 力 > 0,

J kv + zO 方闻при t < 0. 岱」39)

Это вычисление демонстрирует, что сингулярная часть произведения G(q)G(q + к) описывает распространение электрона по прямой между моментами, когда происходит взаимодействие с другими электронами. (Читатель, сталкивавшийся с задачей об определении кинетических коэффициентов из уравнения Больцмана, узнает в vk/Q — vk) стандартное выражение, возникающее при подобных расчетах.)

Следует сказать, что связь между лестничными диаграммами с малым переданным импульсом и кинетическим уравнением, продемонстрированная на примере амплитуды рассеяния Г, имеет более общий характер. Аналогичные рассуждения применимы к произвольной двухчастичной функции Грина. Примером тому могут служить лестничные диаграммы, рассмотренные в задачах 44 —— 47.

Как мы убедились, теория ферми-жидкости на диаграммном языке соответствует учету определенных диаграмм с малой передачей импульса в двухчастичных сче- ниях. Исчерпываются ли описанными выше лестничными диаграммами все возможности? Чтобы в этом разобраться, рассмотрим диаграммы с ровно одним двухчастичным сечением. Как видно из рис. 8.12, их всего три.

Рис. 8.12

Определим, при каких значениях внешних 4-импульсов pi, ?2 и к эти диаграммы могут оказаться сингулярными. Как и выше, нас интересуют сингулярности, возникающие из-за интегрирования произведения двух функций Грина. При данном значении энергии е в петле полюсы этих двух гриновских функций таковы:

£ = €q — 20 sign €q , Е = ш + €q+k — 20 sign ^q+k .(8.140)

При этом, как всегда, отличный от нуля вклад в интеграл по е возникает лишь если полюсы находятся по разные стороны от контура интегрирования (ср. с задачей 24). При определенных значениях внешних импульсов полюсы могут сблизиться и зажать между собой контур интегрирования. Тогда этот контур будет невозможно увести из окрестности полюсов и возникнет сингулярность.

Выясним, при каких условиях это происходит в диаграммах на рис. 8.12. Пренебрегая частотой си, передаваемой через двухчастичное сечение, получим

|р+ + q| = |р+ - q|, где р+ = (pi + р2)/2;

|p2 + q| = |q + Pi + k|;

⑹ |q| = |q-k|.

При этом следует учесть, что сингулярность может исчезнуть при интегрировании по q, если условие выполняется в слишком малой области q. Поэтому условие возникновения сингулярности выглядит теперь следующим образом:

pi + Р2 ^ 0;

Р2 — Pi — к ^ 0;

к 七 0.

Итак, мы видим, что только диаграмма (с) сингулярна при к = 0. Именно она и определяет динамику возбуждений в ферми-жидкости.

Что же касается остальных диаграмм, то диаграмма (Ь) бывает важна очень редко из-за того, что в ней налагается условие pi ~ Р2- А вот диаграмма (а) оказывается важна в теории сверхпроводимости, и в гл.10 мы ее подробно изучим. Степень важности диаграммы (а) и подобных ей более сложных диаграмм оказывается зависящей от знака взаимодействия. В случае притяжения ферми-жидкость исчезает, а взамен образуется сверхпроводящее состояние. В случае же отталкивания все выводы терии ферми-жидкости, полученные без учета диаграммы (а), остаются в силе.

Плава 9.

Электроны в случайном потенциале

Усреднение функций Грина по беспорядку

Рассмотрим еще один вид задач, решаемых с помощью диаграммной техники — задачи о невзаимодействующих электронах, упруго рассеивающихся на примесях. Традиционно такие задачи описываются кинетическим уравнением Больцмана для функции распределения вероятности в фазовом пространстве n(p,г,t). Кинетическое уравнение принимает наиболее простой вид в так называемом г-приближении, предполагающем изотропное рассеяние на примесях:

(& + vVr + FVp) n(p,г") = -- (n(p,r,力)-n(|p|,r,力)). (9.1)

Здесь F = eE+(e/c)vxB — сила, действующая на электроны, n(|p|, г, t) — среднее от функции распределения по направлениям импульса р, а 1/т ——частота столкновений с примесямих.

Применение кинетического уравнения (9.1) в квантовых задачах подразумевает квазиклассическое описание, поскольку кинетическое уравнение определяет эволюцию функции распределения n(p, г, t) в фазовом пространстве. Кинетическое уравнение учитывает только те квантовые эффекты, которые относятся к статистике частиц. Диаграммная техника позволяет выяснить границы применимости кинетического уравнения, обосновать т-приближение, а также предсказать интересные квантовые эффекты в кинетике металлов, которые не описываются кинетическим уравнением.

Модель невзаимодействующих электронов представляют не только чисто методический интерес. Как известно, при рассмотрении динамики квазичастиц в ферми- жидкости роль взаимодействия сводится, главным образом, к переопределению раз-

Обобщение интеграла столкновений в правой части (9.1) на случай более общего неизотропного рассеяния достигается введением своего времени релаксации для каждой сферической гармоники функции распределения.

личных констант ферми-газа (см. гл. 8). Поэтому в теории электронного транспорта в металлах пренебрежение электрон-электронным взаимодействием, в качестве первого приближения, вполне оправдано.

Рассмотрим, как формулируется диаграммная техника для задачи о рассеянии на примесях. Введем потенциал примесей в гамильтониан электронного газа. В простейшей модели потенциальное поле t/(r), в котором движутся электроны, создается рассеивающими центрами, расположенными в точках г°:

秃int = jи(у)^(y^iy^v ,u(r) = £ u(r — г, .(9.2)

Положения примесей г^ будем считать случайными, а их концентрацию п ——малой по сравнению с плотностью электронов пе = *(ро/2тг%)з (слабый беспорядок). Для упрощения вычислений мы примем, что потенциал примесей короткодействующий, 〃(г — г, = 〃()Ь(з)(г — rj, —— иными словами, пренебрежем зависимостью амплитуды рассеяния от энергии и угла рассеяния. Помимо этого мы будем считать амплитуду рассеивающего потенциала и。малой, что позволит рассмотреть рассеяние на одной примеси в рамках борновской теории возмущений для амплитуды рассеяния.

丄+Рис. 9.1丄+Рис. 9.1++++

丄+

Рис. 9.1

丄+

Рис. 9.1

+

+

+

+

Функция Грина электрона, движущегося в потенциале (9.2), дается суммой диаграмм, показанных на рис. 9.1. Здесь волнистые линия обозначают потенциал примесей U(r) (см. рис. 3.1). Функция Грина в случайном внешнем поле (9.2), вообще говоря, не является трансляционно инвариантной. Однако практический интерес обычно представляют величины, усредненные по расположению примесей. Такие величины являются трансляционно инвариантными.

Выполним усреднение функции Грина по беспорядку. Для этого заметим, что потенциал U(r) в (9.2) есть сумма потенциалов отдельных примесей. Поэтому каждой вершине на рис. 9.1 может быть приписан номер примеси, по которому затем надо просуммировать:

+Рис. 9.2+Рис. 9.2

+

Рис. 9.2

+

Рис. 9.2

Вначале рассмотрим диаграммы, в которых все номера примесей разные. Это означает, что рассеяние на каждой примеси рассматривается в первом борновском приближении и что все вершины в диаграмме статистически независимы. После усред-

нения по положениям примесеи мы получим, что все такие диаграммы приводят к сдвигу химпотенциала на величину 6从=пщ. Это естественно: средний потенциал примесей, равномерно размазанных по объему, равен именно этой величине.

Существенно однако то, что при рассмотрении рассеяния на одной примеси мы не можем ограничиться первым борновским приближением, ибо оно дает лишь тривиальный сдвиг химпотенциала, описанный выше. Нас интересует мнимая часть амплитуды рассеяния 1т/, которая появляется лишь во втором борновском приближении по амплитуде рассеивающего потенциала uq. Поскольку мнимая часть амплитуды рассеяния 1т/ возникает во втором порядке теории возмущений по 〃о〉она оказывается много меньше вещественной части Re/. Однако, согласно теореме унитарности (см. задачу 11, гл. 3), именно 1т/ определяет полное сечение рассеяния на потенциале примеси.

Поэтому нам необходимо изучить диаграммы, в которые одна и та же примесь входит два раза. Чтобы отметить этот факт, соединим штриховой линией вершины, отвечающие совпадающим примесям:

Рис. 9.3

Как и раньше, несвязанные штриховой линией вершины, с точки зрения усреднения по положениям примесей, являются статистически независимыми. Вершины же, соединенные штриховой линией, соответствуют одной и той же примеси. Мы будем рассматривать такую штриховую линию как новый элемент диаграммной техники. Усреднение по примесям дает для нее такое выражение:

£〈〃(г — rjw(rz — rj) = тш箭⑶(г — г) . (9.3) i

Статический характер потенциала примесей U(r) выражается математически отсутствием какой-либо зависимости выражения (9.3) от моментов времени t и tz, в которые происходит первое и второе рассеяние.

Далее можно было бы учесть высшие порядки теории возмущений для рассеяния на одной примеси. Однако оказывается, что это эквивалентно замене амплитуды и сечения борновского рассеяния на соответствующие точные выражения (см. гл. 3), что, очевидно, не приводит к качественно новым эффектам. Поэтому разумно пренебречь такими поправками и принять, что рассеивающий потенциал слабый.

Подведем итог. На каждой примеси электрон рассеивается либо один, либо два раза. Однократные рассеяния просто сдвигают химпотенциал и потому могут вообще не учитываться. Вклад же двукратного рассеяния можно получить, вычисляя

диаграммы следующего вида:

I//\\I// \\I

_•1 • 十 ■ • /_•1 • I 十 / •/ • I ■ 1 十

Рис. 9.4

При этом штриховой линии соответствует выражение пт/д(5® (г — г').

В результате получается диаграммная техника усреднения по беспорядку2. Формально она напоминает диаграммную технику для электрон-фононного взаимодействия (с заменой функции Грина фононов на примесную штриховую линию). Однако имеются два существенных отличия:

Передача энергии по штриховой линии равна нулю (упругое рассеяние).

Отсутствуют поляризационные петли, одевающие штриховые линии, подобно диаграммам на рис. 6.1.

Первое очевидно, а в справедливости второго легко убедиться, взглянув на диаграммы, показанные на рис. 9.1. Еще до усреднения по беспорядку в этих диаграммах отсутствуют замкнутые электронные петли.

Физически замкнутые петли отсутствуют из-за того, что потенциал примесей, как говорят, «вмороженный», т. е. статический. Дело в том, что динамические величины, такие, например, как смещение атомов решетки, могут подстраиваться под заданную электронную плотность (и именно этот эффект и описывается поляризационными петлями в диаграммах на рис. 6.1). Статический же потенциал примесей не меняет свою реализацию с течением времени. Усреднение по нему происходит принципиально иным образом, чем по динамическим степеням свободы.

Напомним как определяется усреднение в системе электронов, взаимодействующих с фононами. В электрон-фононной диаграммной технике электронная функция Грина есть

=(9.4)

〈S〉o

где среднее (.. .)0 берется и по колебаниям решетки, и по основному состоянию ферми-газа. Обратим внимание, что усреднение происходит по-отдельности в числителе и в знаменателе.

Усреднение же по «вмороженному» беспорядку происходит иначе: вначале вычисляется функция Грина при заданной реализации беспорядка, и только потом происходит усреднение. Иными словами, по беспорядку усредняется сразу вся дробь

4):2По традиции ее также называют крестовой^^А,(9.5)〈S〉。/ беспдиаграммной техникой.4):2По традиции ее также называют крестовой^^А,(9.5)〈S〉。/ беспдиаграммной техникой.

4):

2По традиции ее также называют крестовой

^^А,(9.5)

〈S〉。/ бесп

диаграммной техникой.

4):

2По традиции ее также называют крестовой

^^А,(9.5)

〈S〉。/ бесп

диаграммной техникой.

где среднее (.. .)0 берется по основному состоянию ферми-газа. Усреднение функции Грина по беспорядку будет рассмотрено более подробно в задаче 50.

При оценке различных диаграмм, возникающих при усреднении по беспорядку, полезно иметь в виду их интерпретацию в координатном представлении. Выражение 6(з)(г — г') в правой части (9.3) описывает возврат электрона на ту же примесь. Интересно, что в координатном представлении среднее от функции Грина принимает весьма простой вид (см. задачу 506):

〈G(*r)〉= G0(£,r)e~^21〈G(*r)〉= G0(£,r)e~^21(9.6)(9.6)

〈G(*r)〉= G0(£,r)e~^21

〈G(*r)〉= G0(£,r)e~^21

(9.6)

(9.6)

где Go(£〉г)——неусредненная функция Грина, а I = vft ——длина свободного пробега. Экспоненциальный множитель е~^г^21 означает, что вероятность пролета электроном пути |г| без столкновений с примесями равна е~^/1 (вероятность есть квадрат амплитуды, т. е. квадрат модуля функции Грина). Такая же вероятность получается из кинетического уравнения (9.1).

В задачах, рассматриваемых в настоящей главе, электроны считаются невзаимодействующими, а рассеяние на примесях — упругим. Поэтому все обсуждаемые явления ——одночастичные. Это означает, что, в принципе, можно было бы изучать поведение не ферми-системы, а одной частицы с заданной энергией Е)найти ее вклад в кинетические величины, а затем просуммировать результат по всем занятым состояниям. Вместо этого мы будем пользоваться гриновскими функциями ферми-газа.

Естественно, при отсутствии взаимодействия эти два подхода, одночастичный и использующий ферми-газ, приводят к тождественным результатам. При одночастичном вычислении с последующим усреднением по фермиевскому распределению начальных состояний, вклады всех состояний, расположенных глубоко под ферми- поверхностью Е = Ер^ сократятся, поскольку в этой области энергий все состояния заполнены («дираковский вакуум»). Поэтому основной вклад всегда будет даваться только состояниями с энергиями в относительно узком интервале вокруг 風〉определяемом температурным размытием фермиевской ступеньки, частотой внешнего поля, и т. п. Сокращение вкладов состояний с энегриями, далеко отстоящими от Ef、 означает, что при рассмотрении динамики в ферми-системе мы эффективно все равно имеем дело лишь с одной частицей на ферми-поверхности.

Кроме того (и это главное), использование функций Грина ферми-газа становится полностью оправданным, когда речь идет о взаимодействующих электронах. Хотя ситуации такого рода нам встретятся только в последующих главах (см. задачи 64, 65, 66, 67, 71), оказывается весьма полезным иметь некоторую преемственность.

Одночастичный характер рассматриваемых процессов упрощает физическую интерпретацию выражений, поскольку любой график, хотя формально и состоит из функций Грина ферми-газа, на самом деле описывает динамику всего одной частицы. Имея это в виду, можно считать электронную функцию Грина амплитудой перехода частицы из одной точки в другую, а дырочную ——комплексно-сопряженной амплитудой той же самой частицы.

Усреднение функций отклика

Рассмотрим функции отклика ферми-газа в присутствии беспорядка. Вообще говоря, функции отклика в неупорядоченной системе зависят от конкретной реализации беспорядка. Однако физический интерес в основном представляют функции отклика, усредненные по распределению всех возможных реализаций. Ниже мы обсудим, как выполняется такое усреднение.

Рассмотрим, например, линейный отклик плотности частиц n(r, t) = 山+(г")山(г") на слабое переменное внешнее поле У(г, t), взаимодействующее с плотностью:

Hint = - У n(r, t) V(r, t) d3r.(9.7)

Функция отклика плотности после перехода в представление Фурье по времени определяется соотношением:

〈纵Г1, а)〉= / KtshQ, Г1, Г2)『(Г2, u)d3r2 .(9.8)

Ядро Кточп(шу ri, Г2)проще всего вычислять по мацубаровской технике, рассматривая отклик при дискретной мнимой частоте внешнего поля, который затем аналитически продолжается на веще с твенные частоты. Поскольку электрон-электронное взаимодействие в рассматриваемой задаче отсутствует, мацубаровский коррелятор плотность-плотность можно записать через точную функцию Грина электрона, движущегося в случайном потенциале:

Кт8н(2“п, Г1, Г2)= т£ GM(iEk, ri,r2)GM(i£fc + wn, rbr2).(9.9)

В графическом представлении этот коррелятор выглядит так:

Жирная линия обозначает точную функцию Грина, т. е. сумму диаграмм, изображенных на рис. 9.1.

Коррелятор 7<точн(шп,ri,Г2) зависит от расположения примесей и поэтому зависит от обеих координат 门 и Г2, а не только от их разности. Однако система «в

среднем» трансляционно инвариантна, поэтому усредненный по беспорядку коррелятор должен зависеть только от разности ri — Г2：

K(a,ri - r2) = (7<TO4H(w,ri,r2))6ecn.(9.10)

Чтобы вычислить К(шу г), нужно усреднить произведение двух функций Грина в (9.9) по беспорядку. Как и при усреднении одной функции Грина, нужно попарно связать примеси штриховыми линиями. Штриховые линии, начинающиеся и заканчивающиеся на одной электронной функции Грина, можно про суммировать, получив усредненную функцию Грина (см. задачу 50). Линии же, связывающие различные электронные функции, описывают отличие среднего произведения функций Грина в (9.9) от произведения средних. Таким образом, для вычисления среднего коррелятора в (9.10) надо просуммировать такую по следовательно сть диаграмм:

+ ч^> +

Оказывается, однако, что не все диаграммы в этом ряду одинаково важны. В соответствии с основным принципом техники усреднения по беспорядку (см. разд. 9.6), основной вклад дается диаграммами, в которых примесные линии не пересекаются. Такая по следовательно сть диаграмм называется лестничным рядом:

•

Рис. 9.7

При этом все функции Грина надо считать уже усредненными по беспорядку. Суммирование этой последовательности диаграмм будет выполнено в задаче 52.

Вычисление функции отклика тока j(r, t) производится аналогично. В этом случае, однако, надо учитывать следующее обстоятельство. Оператор тока

j(r,力)=戸(一削+(r, t)V^(r,力)+ h.c.) - — A(r,力)V；+(r,力)以г,力)(9.11)

содержит векторный потенциал А(г") в явном виде. Поэтому при добавлении в

гамильтониан системы внешнего поля,

(9.12)(9.12)秃kinetic = / ^^+W (—访▽ - ；А(Г")) ^Wd3r,

(9.12)

(9.12)

изменяется не только среднее значение оператора тока (как в случае с функцией отклика плотности), но и само выражение для этого оператора. Этот эффект не учитывается формулой Кубо, поэтому в нее необходимо добавить соответствующий вклад (второе слагаемое в (9.11)).

Таким образом, в операторе тока (9.11) имеется два вклада: градиентный и диамагнитный. Поэтому проводимость дается суммой выражений существенно разной природы. Во-первых, среднее от диамагнитного тока по основному состоянию есть 〈j(i)〉= —(ne2/mc)A, где п ——электронная плотность. Во-вторых, находя мацуба- ровский отклик градиентной части тока на переменное поле, мы получаем

012)W) = —： / U^)3n,r —1)4。(1川31,(9.13)

где II^(wn, г — г') есть мацубаровский коррелятор ток-ток:

口胃3…一f) = -2 J(T丁 九(丁m石(01))ег^Тdr(9.14)

(здесь 丁 ——мацубаровское время, ja ——компоненты градиентной части оператора тока). Поэтому полная мацубаровская корреляционная функция токов дается суммой двух слагаемых:

2

К^М\гшп) = П^\гшп,г - г') + 彳 ⑶(г — 1).(9.15)

Отклик на вещественной частоте получается из (9.15) аналитическим продолжением i3n — g (n > 0).

Хотя, на первый взгляд, два члена в (9.15) имеют совершенно различную природу, на самом деле между ними имеется определенное соотношение. Действительно, в пределе низкой частоты проводимость должна быть конечной. Иными словами, однородный в пространстве и времени вектор-потенциал, не создающий электромагнитного поля, не должен создавать и ток. Поэтому должно выполняться тождество:

(9.16)(9.16)2

(9.16)

(9.16)

口@3(幻〉к)|к=0#т0 = — ^-Ьа/З〉

где IIa3(G〉k) = JПа^(w,г)е~гкг(Рг ——поляризационный оператор (9.14) в частотноимпульсном представлении. Соотношение (9.16) аналогично известному из теории поля тождеству Уорда, гарантирующему калибровочную инвариантность поляризационного оператора. Подобно тождеству Уорда, в нашем случае равенство П(0)= —п^/т обеспечивает калибровочную инвариантность проводимости.

В нормальном металле из-за калибровочной инвариантности запрещено соотношение между током и векторным потенциалом вида] = const А. Сокращение вкладов такого типа и обеспечивается тождеством (9.16). А вот в сверхпроводниках, из-за того, что калибровочная инвариантность нарушена, соотношение указанного вида справедливо (оно называется «уравнением Лондонов» и будет рассмотрено в задачах 63 и 65). В сверхпроводниках тождество (9.16) не имеет места.

Таким образом, хотя в токовой функции отклика (9.15) и появляется дополнительный диамагнитный член, «неправильно» ведущий себя на малых частотах, обычно он сокращается аналогичным вкладом из градиентной части функции отклика (9.14). Сама же градиентная часть вычисляется так же, как и функция отклика плотности. Она точно также описывается суммой диаграмм на рис. 9.7, только теперь на концах диаграмм стоят токовые вершины. Основной принцип, разумеется, работает и в этом случае, поэтому функция отклика тока тоже определяется лестничным рядом. В простейшем случае суммирование этого ряда проведено в задаче 51. Литература: Техника усреднения функций Грина по беспорядку рассмотрена в [1], § 39, п. 2, а также в обзоре: Р. A. Lee, Т. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys., v. 57, p. 287 (1985).

Задачи 50 — 54

Задача 50. (Функция Грина, усредненная по беспорядку.) Основной «принцип» техники усреднения по беспорядку состоит в том, что при усреднении какой-либо величины по беспорядку основной вклад дают графики, в которых примесные линии не пересекаются. Параметр, по которому графики с пересекающимися линиями оказываются малыми по сравнению с графиками, в которых линии не пересекаются, есть (Po')-i ——отношение фермиевской длины волны к длине свободного пробега I = vpr. Обоснование этого «принципа» мы обсудим ниже, в разд. 9.6.

Усредните функцию Грина по беспорядку, рассматривая только графики с непересекающимися линиями. Получите среднее функции Грина в импульсном пред

ставлении:

(9.17)(9.17)11

(9.17)

(9.17)

〈G伍 р)〉=——[一^—：〉 丁 = ^о^о〉

£ —£(Р)+就 Signe 2 丁

где и0 = f u(r)d3r, a z/0 = mpg/2K?方 —— плотность состояний на уровне Ферми с одной проекцией спина.

Найдите〈G(*r)〉в координатном представлении при |г|р()》1. Выведите формулу (9.6). Покажите, что в случае усреднения функции Грина по беспорядку аналог квазиклассического выражения (5.23) принимает такой вид:

G(*r)=G(*r)=т2тг|г|т2тг|г|ехр [(гр0signs + i\e\/vF - l/2Z)|r|]ехр [(гр0signs + i\e\/vF - l/2Z)|r|](9.18)(9.18)

G(*r)=

G(*r)=

т

2тг|г|

т

2тг|г|

ехр [(гр0signs + i\e\/vF - l/2Z)|r|]

ехр [(гр0signs + i\e\/vF - l/2Z)|r|]

(9.18)

(9.18)

Это выражение справедливо при |е|《£f и |r|p0》1.

Задача 51. (Проводимость электронного газа3.) Проводимость газа электронов, рассеивающихся на примесях, дается хорошо известной формулой Друде:

i―，ао = n^r/m .(9.19)

—

Здесь с。—— статическая проводимость, п —— концентрация электронов, 丁 —— время свободного пробега. Нашей задачей будет получить соотношение (9.19) с помощью техники усреднения по беспорядку. Такой вывод представляет большой методический интерес, поскольку он позволяет проследить связь между диаграммной техникой и теорией кинетического уравнения.

Разумеется, наиболее простой вывод (9.19) использует кинетическое уравнение (9.1). Напомним, как это делается. В однородном электрическом поле 厂”幻* е функция распределения, возмущенная полем, не имеет явной зависимости от координат. Поэтому кинетическое уравнение (9.1), разложенное до членов, линейных по полю Е, принимает вид

—i<uj(5n(p) + eEVpno(p) = —-5n(p).(9.20)

Здесь 5п(р)——поправка к равновесной функции распределения по(р), линейная по полю Е. Решая уравнение (9.20), получаем 5n(p) = (eEVpno(p))/(i<uj — т-1) и находим ток:

尸 J…(9.21)

Напомним также, что в случае рассеяния более общего вида классическая проводимость определяется транспортным временем дг, вообще говоря не совпадающим со временем свободного пробега 丁. Однако для точечных примесей, рассеивающих изотропно, т. е. только в S-канале, эти два времени равны: дг = 丁.

Для вычисления проводимости с помощью диаграмм необходимо воспользоваться со о тношением (9.15), связывающим функцию отклика с мацубаровским коррелятором ток-ток. Упростите мацубаровский коррелятор (9.14), предварительно записав его в форме

%(гзп) = Т Е Тг(См(г£т + гШп)ЗаСм(г£т)3^ ,(9.22)

em=(2m+l)7rT

справедливой для невзаимодействующих частиц (см. п. 7.2.1). Выполните усреднение по беспорядку, рассматривая только диаграммы с непересекающимися линиями. С помощью соотношения (9.15) найдите проводимость.

Задача 52. (Уравнение диффузии.) Выведите уравнение диффузии, рассматривая отклик плотности частиц на слабое переменное внешнее поле (9.7). Для этого просуммируйте лестничный ряд на рис. 9.7 (его в этой связи часто называют диффузионной лестницей или диффузоном). Покажите, что при |q|Z《1 и зпт《1 усредненный коррелятор плотность-плотность есть

〃Oq2〃Oq2&| + Oq2〉&| + Oq2〉1D = ~vFl,1D = ~vFl,(9.23)(9.23)

〃Oq2

〃Oq2

&| + Oq2〉

&| + Oq2〉

1

D = ~vFl,

1

D = ~vFl,

(9.23)

(9.23)

где 〃 = 2% ——плотность состояний на уровне Ферми для обеих проекций спина.

Рассмотрите графики, из о браженные на рис. 9.7, в координатном представлении и объясните, почему они соответствуют процессу диффузии.

Выражение (9.23), аналитически продолженное с i(jjn на верхней мнимой полуоси, согласуется с ответом, получающимся из классического уравнения диффузии. Действительно, уравнение диффузии в присутствии внешней силы F = —W записывается так:

dtn = DV2n - T)V(Fn),(9.24)

где г/ = pD/по — подвижность. Поэтому, переходя к фурье-компонентам, имеем /C(&,q) = —pDq2/(—〃& + Dq2).

Обратим внимание на то, что коэффициент диффузии D и проводимость, найденная в задаче 51, удовлетворяют соотношению Эйнштейна,

а = e2z/D ,(9.25)

как и должно быть.

Задача 53. {Интерференционное удвоение вероятности возврата.) Рассмотрим вероятность 夕(力)того, что электрон после рассеяния на примесях возвращается в момент времени t в ту же точку, откуда он вышел при 力=0. В предыдущей задаче мы вывели уравнение диффузии, функция Грина которого, как известно, есть

P(r, t) = (2TvDtrn/2e-r2/2Dt,(9.26)

где п ——размерность пространства. Для вероятности возврата это дает р(力) = (2开0力)一也/2.

Оказывается, благодаря эффектам интерференции рассеяния на разных примесях, которыми мы пренебрегли при выводе уравнения диффузии, вероятность возврата p(t) удваивается. Поясним физическое происхождение этого эффекта иллюстрацией из оптики. Пусть внутри большого ящика со случайно расположенными рассеивателями (примесями) находится монохроматический источник. Найдем интенсивность излучения, рассеянного точно обратно в источник. Интенсивность есть квадрат амплитуды, а амплитуда есть сумма амплитуд всех процессов многократного рассеяния на примесях: Лtot = £& Аа. Если примеси точечные, то вклады многократного рассеяния удобно характеризовать последовательностью примесей, пройденных излучением. Скажем, рассеявшись сначала на примеси 1, свет попадает на примесь 2, которая затем рассеивает его обратно в исходную точку. В общем случае

71a — А^^тАт^п . . . /stO .(9.27)

Поскольку расположение примесей случайно, фазы амплитуд Л^-, соответствующих различным последовательностям прохождения примесей, не скоррелированны. Поэтому интерференцией почти всех вкладов можно пренебречь ——за одним единственным исключением, когда одна и та же (случайная!) последовательность примесей проходится один раз в прямом, а другой ——в обратном порядке. Каждые две такие амплитуды Аа и Аа> в точности равны друг другу и полностью интерферируют. Теперь заметим, что если бы интерференции вообще не было, интенсивность подчинялась бы уравнению диффузии, а из-за интерференции пар путей, проходящих

по одной и той же траектории в противоположных направлениях, она оказывается в два раза больше:

丨= 2工 \Аа\2.(9.28)

(В сумме, помеченной штрихом, суммирование идет по последовательностям примесей без учета направления обхода.) Интерференционный вклад крайне чувствителен к положению конечной точки: уже на расстоянии нескольких длин волн от источника интенсивность рассеянного излучения уменьшается до «классического» значения, т. е. падает в два раза. Происходит это потому, что, как легко убедиться, для несовпадающих начальной и конечной точек одна и та же последовательность примесей при прохождении в противоположных направлениях дает разные набеги фаз.

Рассмотрим интерференционную часть коррелятора плотность-плотность электронов, соответствующую описанной картине. Покажите, что эта так называемая «квантовая поправка» дается веерными графиками вида

Рис. 9.8

(Рассеяние точно назад.) Нарисуйте веерные графики в координатном представлении. Пусть начальная и конечная точки совпадают. Покажите, что каждый вклад с фиксированным числом линий в веере на рис. 9.8 равен соответствующему вкладу из диффузионной лестницы, рассмотренной в задаче 52 (см. рис. 9.7), и значит вероятность возврата в два раза больше классического значения.

Обратим внимание на то, что почленное соответствие между веерным и лестничным рядами неполное, поскольку первым двум членам диффузионной лестницы в веерных графиках сопоставить нечего. Однако, на больших временах 力》丁, когда справедливо диффузионное приближение, каждое слагаемое диффузионной лестницы много меньше их суммы (см. решение задачи 52). Поэтому поправка, возникающая из-за несоответствия первых двух членов диффузионного и веерного рядов, оказывается малой и не влияет на удвоение вероятности возврата.

(Координатная зависимость.) Теперь рассмотрим случай, когда начальная и конечная точки находятся на расстоянии г. Найдите зависимость квантовой поправки от г. Вычисление удобно проводить в координатном представлении, пользуясь функцией Грина, найденной в задаче 22. Покажите, что интерференционная поправка ослабляется при p^r ~ 1 и определите характер ее убывания при p^r》1.

Задача 54. (Квантовая поправка к проводимости.) Рассмотрим статическую

проводимость со двумерного электронного газа. Хотя в задаче 51 речь формально шла о трехмерной системе, все ее результаты, как нетрудно видеть, переносятся без каких-либо суще с твенных изменений на случай произвольной размерности. Поэтому проводимость двумерной системы в главном порядке по параметру (ро，)-】 дается формулой Друде.

В этой задаче нас будет интересовать следующий член в формальном разложении проводимости по степеням (p")~i. Для того чтобы его найти, нужно рассмотреть всевозможные способы усреднения петлевой диаграммы для коррелятора ток-ток (см. рис. 9.13), при которых примесные линии пересекаются, но делают это «минимальным образом».

Покажите, что при этом получаются веерные графики, подобные изображенным на рис. 9.8 и что ими исчерпываются все минимально пересекающиеся диаграммы. Эти графики определяют главную квантовую поправку в любой размерности, но наиболее интересной оказывается двумерная ситуация.

Просуммируйте последовательность графиков на рис. 9.8 при D = 2, перерисовав их в виде, показанном на рис. 9.9, и обращаясь с получившейся лестницей так же, как с диффузионной лестницей в задаче 51.

Получите поправку к проводимости

(9.29)(9.29)1 е2 1

(9.29)

(9.29)

“@) = — In —,7Г h

где g ——частота внешнего поля. Поправка расходится при g—О. Формально это означает, что теория кинетического уравнения неприменима на больших временах 力》техр(д)，)〉поскольку в этой области 6。сравнивается с с。. Поправка отрицательна и растет по абсолютной величине когда g—0〉что указывает на отсутствие проводимости в двумерной системе при Г = 0 и локализацию электронных состояний.

Слабая локализация и мезоскопика (трудные задачи) 55 — 57

В задачах 53 и 54 было показано, что интерференция амплитуд геометрически тождественных путей, пройденных частицей в противоположных направлениях, приводит к особому, квантовомеханическому по своему характеру, вкладу в проводимость. В этой поправке к проводимости, отрицательной по величине, проявляется

234 ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ тенденция к локализации квантовых состояний в случайном потенциале (см. п. 9.7.1). Величина квантовой поправки (порядка e2/h) может быть много меньше классической друдевской проводимости акл ~ (е2/Л) ро^- Тем не менее, интерференционный характер этого вклада в проводимость приводит к целому ряду ярких эффектов.

Возникновение совешенно нового круга явлений, связанных с квантовой когерентностью омической проводимости, обусловлено весьма большим размером наиболее суще с твенных интерферирующих траекторий по сравнению с длиной свободного пробега. Длины траекторий, определяющих «слаболокализационную» поправку к проводимости, оказываются большими, поскольку характерные времена диффузии, в течение которых имеет место фазовая когерентность, велики по сравнению с временем свободного пробега между соударениями с примесями. Наличие же большого временного масштаба приводит к весьма сильной чувстительности этой поправки к внешним полям и другим факторам, влияющим на когерентность распространения электронных волн.

Уточним это утверждение. Интереференция имеет место для траекторий, время движения по которым не превосходит некоторого характерного времени сбоя фазы 传.Величина т屮 представляет собой новый временной масштаб, не имеющий аналога в классической кинетике. Это время, характеризующее скорость потери фазовой когерентности из-за неупругих процессов, зависит от характера взаимодействия в системе и от температуры. (В отсутствие электрон-электронного и электрон- фононного взаимодействий динамика была бы чисто упругой и сбоя фазы не было бы.) При низких температурах время т屮 обычно имеет степенную температурную зависимость,传 〜Т~ау где величина а положительна и зависит от вида доминирующего взаимодействия .

Введем в рассмотрение внешнее магнитное поле. Интерференция траекторий размера £ подавляется полем В ^ Ф0/Ь2, где Фо = hc/e ——квант потока. Однако в отсутствие магнитного поля, если имеет место сбой фазы, в квантовую поправку к проводимости вклад дают траектории, время движения по которым не превосходит 传.Поэтому, для подавления квантовой поправки достаточно приложить такое поле, чтобы tB = £2/0 = Фо/(-ОВ) стало меньше 传.Этот критерий определяет характерное поле Вс =①о/О%〉величина которого достаточна, чтобы подавить квантовую поправку. Поле Вс оказывается заметно меньше полей, необходимых для подавления классической проводимости. Вследствие этого, в условиях слабой локализации возникает большое по величине и отрицательное по знаку магнитосопротивление в классически слабых полях: 6а(В) —{^/h^^B/Bc^ (см. задачу 55). Это так называемое «аномальное магнитосопротивление» является характерным признаком слабой локализации.

Наиболее красивым явлением, возникающим в режиме слабой локализации, явля-

Вопрос о температурной зависимости времени сбоя фазы и о влиянии неупругих процессов на слабую локализацию рассматривался в работах: В. L. Altshuler, A. G. Aronov and D. Е. Khmelnitskii, Solid State Comm., v. 39, p. 619 (1981), ibid., J. Phys. C, v. 15, p. 7367 (1982); см. также обзоры: В. L. Altshuler, A. G. Aronov, in: Electron-Electron Interactions in Disordered Systems, North-Holland, Amsterdam, 1985; P. A. Lee, T. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys., v. 57, p. 287 (1985).

ется эффект Ааронова-Бома (задача 56). Он проявляется в периодической зависимости проводимости неодносвязного оразца (цилиндра или кольца) от величины пропущенного через него магнитного потока. То обстоятельство, что проводимость зависит от магнитного потока даже в том случае, когда поле непосредственно внутри проводника пренебрежимо мало, подчеркивает интерференционный характер слабой локализации.

Другое важное явление, наблюдающееся в тех же условиях, что и слабая локализация, — несамоусредняемость проводимости . Оказывается, проводимость может флуктуировать при изменении реализации беспорядка или внешнего поля на величину порядка е2/Л. Величина этих флуктуаций не зависит от размера системы, если он меньше длины сбоя фазы £夕=(。传户？. В системах же большего размера, при L > L^, флуктуации проводимости убывают в соответствии с центральной предельной теоремой, как (L^/L^^e2/h (в размерности 3).

Интересно, что физические свойства несамоусредняющейся части проводимости могут заметно отличаться от свойств средней проводимости. В частности, как мы убедимся в задаче 57, в условиях эффекта Ааронова-Бома эти два вклада в проводимость осциллируют как функция магнитного потока с различными периодами —— ①О И Фд/2.

Подведем итог. При достаточно низкой температуре, транспортные свойства систем с размерами много больше атомных оказываются существенно квантовыми. Для этого требуется лишь, чтобы выполнялось условие L W L屮.Раздел физики твердого тела, изучающий свойства таких систем, называется мезоскопикощ поскольку размеры системы должны быть достаточно велики, чтобы их можно было описывать макроскопически (и проводить измерения!), но одновременно достаточно малы, чтобы можно было наблюдать квантовые эффекты .

Задача 55*. (Аномальное магнито сопротивление.) Слабая локализация подавляется магнитным полем, что приводит к так называемому отрицательному магнитосопротивлению. Чувствительность по отношению к магнитному полю качественно объясняется следующим образом. В присутствии поля интерференция амплитуд прохождения электроном одного и того же (случайного) пути в противоположных направлениях ослабляется, поскольку поле делает фазу волновой функции зависящей от направления прохождения траектории, подавляя тем самым интерференцию. Величина эффекта определяется тем, насколько велик вклад в проводимость от траекторий большого размера L. Магнитное поле В как бы исключает вклады траекторий с BL2》Фо, охватывающих больше одного кванта потока Фо = hc/e.

Найдите зависимость квантовой поправки к проводимости от магнитного поля в размерности D = 2, 3. Считайте поле классически слабым. Используйте выражение

① о/(。％).① о/(。％)..96) для слаболокализационной проводимости через куперон, введя в него время сбоя фазы 传.Поскольку время диффузионного движения по траектории размера L есть 力=L2/D, в магнитном поле В «работают» только траектории, время движения по которым меньше 力в =①о/(ВО). Соответственно, следует ожидать зависимости слаболокализационной проводимости от магнитного поля при 力石 ^ %〉т. е. при В ^

① о/(。％).

① о/(。％).

Для сравнения оценим величину магнитного поля, подавляющего классическую проводимость Друде-Лоренца

где &в = еВ/тс — циклотронная частота, 丁 一 время свободного пробега. Согласно (9.30), подавление начинается с полей В*> при которых 公石 ^ 1/т. Сравнивая с характерным полем В©, подавляющим квантовую поправку, видим, что В* и Вс отличаются примерно в Ерт^/h》1 раз. Поэтому квантовая поправка подавляется полностью уже в классически слабых полях. Кроме того, классический и квантовый эффекты имеют противоположные знаки. Подавление магнитным полем квантовой поправки, отрицательной по знаку, приводит к отрицательному магнитосопротивлению, наблюдаемому в области весьма слабых полей. Классическое же магнитосопротивление положительно.

Задача 56*. (Эффект Ааронова-Бома10.) В задаче 55 было показано, что подавление слабой локализации магнитным полем приводит к аномальному магнитосопротивлению. Но этот эффект накладывается на классическое магнитосопротивление. Нельзя ли сделать так, чтобы эффект классического магнитосопротивления исключался автоматически? Оказывается, можно. Для этого необходимо сделать так, чтобы магнитное поле в образце вообще отсутствовало, но вектор-потенциал был бы отличен от нуля. Поскольку в уравнение для куперона, полученное в задаче 55, входит именно вектор-потенциал А(г), слаболокализационная проводимость будет «чувствовать» такое поле. Конечно, поскольку проводимость калибровочно инвариантна, интересующий нас вектор-потенциал А(г) не должен сводиться к чистой калибровке.

Учитывая эти соображения, рассмотрим неодносвязный образец, а именно, металлический цилиндр, через который пропущен магнитный поток Ф. Представим себе, что магнитное поле отлично от нуля только в полости цилиндра. Тогда на поверхности цилиндра имеется отличный от нуля вектор-потенциал А(г), такой, что

(9.31)(9.31)^ Adr = Ф ,

(9.31)

(9.31)

где интеграл берется по любому контуру, охватывающему полость. Такой вектор- потенциал меняет фазы волновых функций электронов и влияет на интерференционные явления (это влияние называется эффектом Ааронова-Бома).

Найдите зависимость проводимости цилиндра, усредненной по беспорядку, от магнитного потока Ф. Покажите, что эффект Ааронова-Бома приводит к осциллирующей зависимости проводимости от Ф с периодом Фо/2 = hc/2e.

10см. работу: Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, Б. 3. Спивак, Письма в ЖЭТФ, т. 33, с. 101 (1981).

Задача 57*. {Мезоскопическая проводимость.) Найденные в задаче 56 осцилляции проводимости цилиндра, как функции магнитного потока, с периодом Фо/2 выглядят несколько подозрительно. Ведь и энергия, и волновая функция каждого электрона системы периодичны по магнитному потоку с периодом ①°. Например, для электрона, двигающегося по кольцу без примесей, уровни энергии есть Ет = ^/(^тПеР2) (т - Ф/Ф0)2, где те ——масса электрона, а т ——его магнитное квантовое число. При Ф = Фо/2 система совершенно не похожа на систему с нулевым потоком. Электрон, обходя цилиндр, меняет при Ф = Фо/2 знак своей волновой функции, т. е. эффект магнитного потока оказывается наиболее сильным. Каким же образом период осцилляций проводимости оказывается равным Ф0/2?

Ответ состоит в том, что это есть результат усреднения по беспорядку. Действительно, вычисляя с л аб о локал из ационную поправку, мы учитываем только интерференцию двух траекторий, возвращающихся в исходную точку. Иными словами, мы вычисляем интерференционный вклад в вероятность «застревания» электрона в какой-то точке образца. Однако имеется также интерференционный вклад в вероятность перемещения электрона из одной точки в другую, и он устроен иначе. Этот вклад определяется траекториями, соединяющими две различные точки Л и В и обходящими полость цилиндра с разных сторон. Разность фаз между такими траекториями равна 2тгФ/Фо. Таким образом, интерференция между ними приводит к осцилляциям с периодом Фо. Однако вклад этих траекторий содержит также большую фазу порядка J = p^L, где L — длина траектории. Эта фаза зависит от формы траектории, т. е. от реализации беспорядка. Если мы теперь усредним проводимость по беспорядку, то этот вклад исчезнет из-за усреднения по фазе В. Если же по беспорядку не усреднять, а рассматривать образец с конкретной реализацией беспорядка, то его проводимость должна иметь период ①°.

При этом возникает необычная ситуация: неусредненная по беспорядку проводимость, зависящая от конкретной реализации случайного потенциала, осциллирует как функция Ф с периодом Фо, в два раза большим, чем период Фо/2 осцилляций усредненной проводимости. Чтобы проверить справедливость этой качественной картины, нужно вычислить величину, в которой вклад с периодом Фо не выпадает при усреднении по беспорядку. Чтобы изучить, как проводимость образца с данной реализацией беспорядка зависит от магнитного потока, рассмотрим произведение проводимостей при разных значениях потока и усредним его:

к①會=((Ta3(①)(7川〃(①))бесп -(ea/3(①)〉6ecn(C;zz/(①))бесп • (9.32)

Каждая из проводимостей в этом выражении дается до усреднения по беспорядку диаграммой на рис. 9.5, в которой жирная линия обозначает точную функцию Грина, из о браженную на рис. 9.1. При усреднении по беспорядку нас интересуют перекрестные члены, поэтому мы должны связать примесными линиями функции Грина в разных петлях. Из-за усреднения по направлениям импульсов примесную

лестницу в каждую из петель вставлять не надо. При этом мы должны постараться сделать так, чтобы примесные линии не пересекались. В результате получаются две диаграммы, показанные на рис. 9.10.

Рис. 9.10Рис. 9.10

Рис. 9.10

Рис. 9.10

Вычислите эти диаграммы и найдите коррелятор проводимостей (9.32) при разных значениях магнитного потока. Данная задача иллюстрирует то любопытное обстояельство, что физические свойства усредненной по беспорядку величины (в данном случае, проводимости) могут принципиально отличаться от свойств точной, неусредненной величины.

Решения

Решение 50 а. Найдем функцию Грина, усредненную по беспорядку, используя импульсное представление. Гамильтониан имеет вид 7Y = TYo + 丸也邑 где TYo — кинетическая энергия, а 凡世=£ 尤一потенциал примесей:

兄=〃必+(p)u(p - d)以p) &P-P')4 胃罕•(9.33)

(Здесь 设(p) = / и(г)е~грг(Рг — фурье-образ потенциала одной примеси.) Считая TYint возмущением, разложим функцию Грина в ряд по потенциалу (см. рис. 9.11) и усредним почленно.

丄丄

丄

丄

Рис. 9.11

Первое слагаемое от потенциала не зависит, и есть просто функция Грина свободной частицы:

G⑼(£,р,р‘)= (27Г)3Gо(£,р)6(р - pz).(9.34)

Второе слагаемое имеет вид & G^, где

G。(£, р, р‘)= Go(* p)u(p - p，)e“P-P')4Go(£, pz).(9.35)

Усреднение по положениям примесей г^ можно выполнить с помощью формулы

1 г&1Q

(9.36)(9.37)(9.38)(9.39)(9.36)(9.37)(9.38)(9.39)〈产Г〉= " /产"4="(2外36(力

(9.36)

(9.37)

(9.38)

(9.39)

(9.36)

(9.37)

(9.38)

(9.39)

Получаем

〈G尸)(£,р,р')〉= [Go(p)]2(27T)3b(p — р，)В

Сумма по i дает

〈G⑴(£,р,р')〉= пи0(2тг)36(р - p，)[Go(p)]2,

где n = N/V концентрация примесей.

Перейдем к третьему слагаемому, имеющему вид £刃 G^\ где

G§)(£,p,p) = Go(p)Go(d) х

х /и(р — pi)u(pi — p')Go(pi)er(P-Pi)r「(PLPg 粤

Это выражение содержит вклады двух различных процессов: двукратного рассеяния на одной примеси (г = J), и однократного рассеяния на двух различных примесях (г * /)• При усреднении эти вклады надо разделять.

В случае i = j усредняем по формуле

〈еТ(Р-Р‘)4〉= _(27г)3(5(р - р‘)(9.40)

и получаем

〈G?)(*p,p')〉= —(2тг)3(5(р - p，)G^(*p)/|u(p - pi)|2G0(£,Pi)(?* •(9.41)

Во втором случае (г # /) усреднение выглядит так:

〈eT(P-Pi)rl(pi-p，)r八=^(2тг)бб⑶(р _ р1*(р1 - р9 .(9.42)

Таким образом, находим

〈g£(*P,P》=^(2тг)3б(р — p，)G^(£,p)唸(9.43)

После суммирования по всем примесям выражение (9.41) умножается на ^, а выражение (9.43)——на N2. Получаются два вклада, пропорциональные первой и второй степени концентрации примесей n = N/Vсоответственно.

При усреднении следующих членов разложения функции Грина по потенциалу примесей, третьей и более высоких степеней, обозначенных точками на рис. 9.11, поступим так. В каждом порядке выделим процессы рассеяния, когда на каждой примеси электрон рассеивается либо один раз, либо два. Более высокими порядками

будем пренебрегать, поскольку потенциал слабый. После усреднения и суммирования ряда, сводящегося, как обычно, к геометрической прогрессии, вклады однократных и двукратных процессов рассеяния выражаются как собственно-энергетическая часть усредненной гриновской функции. Ее нетрудно найти, сравнивая выражения (9.38), (9.41), и (9.43) с разложением

〈G(£, Р, Р)〉= (27г)3(5(р - p)(G「(* р)—⑵)1(9.44)

в ряд по Е.

Отметим еще раз, что пренебречь двукратным рассеянием по сравнению с однократными нельзя. Согласно теореме унитарности (см. задачу 15), именно двукратные процессы рассеяния и определяют борновское сечение рассеяния. Действительно, сечение рассеяния равно мнимой части амплитуды рассеяния, в то время как борновская амплитуда первого порядка чисто вещественна.

Выражение (9.38) дает вклад в Е, равный

(9.45)(9.45)Q ⑴〉=пи0 ,

(9.45)

(9.45)

где n = N/V. Выражение (9.43) поправок к Е не дает. Оно представляет собой просто член второго порядка в разложении〈G(*p〉p')〉по ^Е^1^. Вклад〈夕("〉действителен и не зависит от р. Поэтому его можно интерпретировать как перенормировку химического потенциала

(9.46)

Гораздо больший интерес представляет вклад от двукратных процессов рассеяния. Выражение (9.41) дает

8⑵〉网=£ /|«(p-pi)|2G0(p, а)К^ •(9.47)

Как мы видели в гл. 3, с точки зрения теории рассеяния это выражение представляет собой второй член борновского разложения амплитуды рассеяния вперед. Его мнимая часть, с точностью до коэффициента, есть просто полное борновское сечение рассеяние, пропорциональное квадрату борновской амплитуды первого порядка, проинтегрированной по углам.

Найдем П(2)для(5-функционных примесей (для краткости знак усреднения по примесям здесь и далее будем опускать). Фурье-разложение потенциала 设(г) = 〃о(5⑶(г) есть константа:设(q) = / и(г)е~щг d3r = 〃(). Поэтому

夕⑵=/ |u(p - Pl)12Go(P1)^^ =呜/Go(Pi)^|^ =

=嗡 / d3p = 47Г% 就 / 恋 =(2开)3 丿 £ — £ + £0 sign £ (2тг)з Vq J £ — £ + £0 sign £

=7Г 初 signe = -—u^mpo signs.(9.48)

Интегрирование по импульсу pi в ^-приближении выделяет вклад, связанный с резкой ферми-поверхностью. Он ——мнимый, и его знак меняется на ферми-поверхности скачком, как и должно быть согласно аналитическим свойствам причинной гриновской функции. Более точное интегрирование, с учетом вкладов от импульсов, далеких от ферми-поверхности, могло бы дать вклад в веще с твенную часть ^2\ регулярную вблизи ферми-поверхности. Рассматривать такие вклады, представляющие собой поправки более высокого порядка к химическому потенциалу 从〉мы не будем. Таким образом, находим

12⑵=sign г ,(9.49)

где время рассеяния 丁 дается выражением

1丁1丁троп7Гтроп7Г(9.50)(9.50)

1

丁

1

丁

троп

7Г

троп

7Г

(9.50)

(9.50)

Окончательно получаем функцию Грина в виде

〈G(*p,p')〉=〈G(*p,p')〉=(27г)3б(р — р，)£ — р2/2т + 从* + 柒 signs(27г)3б(р — р，)£ — р2/2т + 从* + 柒 signs(9.51)(9.51)

〈G(*p,p')〉=

〈G(*p,p')〉=

(27г)3б(р — р，)

£ — р2/2т + 从* + 柒 signs

(27г)3б(р — р，)

£ — р2/2т + 从* + 柒 signs

(9.51)

(9.51)

К такому же результату можно прийти и другим, несколько менее тяжеловесным способом, используя уравнение Дайсона. Снова представим точную функцию Грина в виде ряда рис. 9.11 по потенциалу. Усредняя каждый член по положениям примесей, будем пользоваться стандартными обозначениями: потенциал примеси обозначим волнистой линией, причем в случаях, когда рассеяние на одной и той же примеси происходит два раза, будем вместо двух волнистых линий рисовать одну штриховую линию, соединяющую точки взаимодействия.

Далее, каждую диаграмму, дающую вклад в среднее гриновской функции, разобьем на связные графики, причем, естественно, будем считать штриховые линии составной частью графиков. (Напомним, что связным называется график, который нельзя разбить на части, удалив какую-нибудь одну гриновскую функцию.) Сумма всех таких связных графиков есть собственно-энергетическая часть Е. С помощью уравнения Дайсона функция Грина G может быть выражена через Е и затравочную гриновскую функцию Go (см. (4.9)). Таким образом получаем:

〈G〉= G0 + G^{G}, или(9.52)

Здесь затравочная функция Грина есть G「= £ — £ + £0 signc.

Собственно-энергетическая часть, взятая в борновском приближении, содержит вклад от однократного взаимодействия с потенциалом примесей, которому сопоставляется среднее от этого потенциала пт/о, а также вклад от двукратного рассеяния, изображаемый на диаграммах штриховой линией, которой соответствует борнов- ская амплитуда второго порядка. При этом, следуя «основному принципу» техники

усредненния по беспорядку (см. разд. 9.6), мы пренебрегаем графиками с пересекающимися линиями. Графически, уравнение Дайсона для собственно-энергетической части имеет вид

. =—+ -

I I © = 1 + / 1 Рис. 9.12

т. e.т. e.£(% P)=汽〃 о + 汽£(% P)=汽〃 о + 汽IMP-Pi)Fd3Pl£ - €P1 - £(* Pi) + 20 sign £ (27T)3IMP-Pi)Fd3Pl£ - €P1 - £(* Pi) + 20 sign £ (27T)3(9.53)(9.53)

т. e.

т. e.

£(% P)=汽〃 о + 汽

£(% P)=汽〃 о + 汽

IMP-Pi)Fd3Pl

£ - €P1 - £(* Pi) + 20 sign £ (27T)3

IMP-Pi)Fd3Pl

£ - €P1 - £(* Pi) + 20 sign £ (27T)3

(9.53)

(9.53)

Чтобы решить это уравнение, заметим, что в случае (5-функционных примесей фурье-компонента 设(р — Pi) = 〃о выносится из-под интеграла (9.53). Это позволяет искать решение в виде функции Е(е), зависящей только от £. Будем искать решение в такой форме: »(£)= 6从一(£/2丁) signc. Подставив эту функцию в уравнение Дайсона (9.53), убеждаемся, что решение дается суммой выражений (9.45) и (9.49). Итак, усредняя по беспорядку, находим

〈G(*p)〉=〈G(*p)〉=1一昙+ 〃* + ^ Signe1一昙+ 〃* + ^ Signe(9.54)(9.54)

〈G(*p)〉=

〈G(*p)〉=

1

一昙+ 〃* + ^ Signe

1

一昙+ 〃* + ^ Signe

(9.54)

(9.54)

Решение 50 б. Теперь нетрудно получить среднее гриновской функции в координатном представлении. В фурье-образе функции Грина G(s, г) = / G伍 р)№*居^ переходим к интегралу по £:

〈G(*r)〉=〈G(*r)〉=47r /(2开)3/47r /(2开)3/Po sin |r|p(€)恋%|r| £ — {+ ^signePo sin |r|p(€)恋%|r| £ — {+ ^signe(9.55)(9.55)

〈G(*r)〉=

〈G(*r)〉=

47r /

(2开)3/

47r /

(2开)3/

Po sin |r|p(€)恋%|r| £ — {+ ^signe

Po sin |r|p(€)恋%|r| £ — {+ ^signe

(9.55)

(9.55)

где 夕(£) = po + £/&f・ Выполнить интегрирование по £ можно точно таким же способом, как в задаче 22 (см. формулы (5.23) и (5.25)). При этом сдвиг полюса

£ т £ + £sign£/2丁 приводит к дополнительному экспоненциальному множителю:

〈G(£,r)〉= Go(£,r) е-М/”〈G(£,r)〉= Go(£,r) е-М/”(9.56)(9.56)

〈G(£,r)〉= Go(£,r) е-М/”

〈G(£,r)〉= Go(£,r) е-М/”

(9.56)

(9.56)

где Gq(£,г) = —^^| exp [гsign£(p0 + £/&F)|r|]〉a I = vft —— длина свободного пробега, вычисленная по борновскому сечению рассеяния. В результате получается ква- зиклассическое выражение (9.18).

Решение 51. Вычислим проводимость в однородном переменном электрическом поле, используя теорию возмущений по малой концентрации примесей. Воспользуемся приведенным в условии задачи со о тношением (9.15) между проводимостью и мацубаровским коррелятором ток-ток na/3(wn).

Даже если нас интересует статическая проводимость, лучше сначала рассмотреть проводимость на конечной частоте, а затем устремить частоту к нулю. Дело в том, проводимость «плохо себя ведет» в пределе нулевой концентрации примесей. Действительно, статическая проводимость чистого металла, т. е. идеального ферми-газа, обращается в бесконечность, в то время как проводимость на переменном токе конечна: <т(&) = ine2/тш. Поэтому, даже в присутствии рассеяния, правильно сначала рассматривать ток в переменном поле, и уже потом переходить к статическому пределу.

Согласно (9.22), для невзаимодействующих частиц коррелятор ток-ток выражается через произведение двух гриновских функций. Графически выражение (9.22) для Па/з(шп) изображается петлевой диаграммой, показанной на рис. 9.13. Волнистые линии в вершинах обозначают компоненты оператора тока ja = —£瑞山+▽&山 +

Запишем среднее коррелятора 口@3(£幻也)п0 беспорядку:

〈Ha0(z“n)〉= е2 Т £侬后 + гшп)уасм(гек)^ ) ,(9.57)

где £卜=(2k + 1)7гТ, а 丸=Ра/т ——компоненты оператора скорости. Результат усреднения можно представить как сумму графиков, имеющих вид петли из мацуба- ровских функций Грина, показанной на рис. 9.13, всевозможными способами одетой примесными линиями.

Главный вклад при усреднении по беспорядку в случае малой концентрации примесей р()1》1 дают графики с непересекающимися примесными линиями:

Рис. 9.14

Если рассматривать только графики такого типа, то усреднение сильно упрощается.

Заметим что, вообще говоря, среднее {GM(s)GM(sf)) по беспорядку не равно произведению средних〈G4£)〉〈G^(£‘)〉. В рассматриваемом приближении непере- секающихся примесных линий в разность (GM(e)GM(ef)) — (GM(е))(GM(ef)) дают вклад диаграммы, содержащие примесные линии, соединяющие GM(s) и GM {ef\

подобные второму и четвертому графикам на рис. 9.14. Иными словами, отличие (GM{e)GM{ef)} от (GM{e)}(GM{ef)} обусловлено примесями, входящими одновременно и в и в g^(u).

Однако, оказывается, что для точечных(5-примесей любые такие диаграммы с не- пересекающимися примесными линиями оказываются равными нулю. Причина этого заключается в том, что для точечных примесей величина диаграммы не зависит от передаваемого по примесной линии импульса. Поэтому, соединив две функции Грина на рис. 9.13 штриховой линией, мы «развязываем» импульсы в вершинах диаграммы. В результате, поскольку токовая вершина нечетна по импульсу, любая такая диаграмма обращается в нуль при интегрировании по импульсам. Итак, в задаче о проводимости в приближении непересекающихся примесных линий отличие {GM(e)GM(ef)) от〈G^(£)〉〈G^(U)〉можно не учитывать.

Заметим, что с точно такой же ситуацией мы уже встречались в задаче 14, где точечность рассеивателя приводила к занулению диаграмм с разделенными токовыми вершинами при интегрировании по импульсам.

При этом существенно, что рассеяние чисто изотропное, т. е. при рассеянии отсутствует какая- либо корреляция между направлениями начальной и конечной скорости. Поэтому описанное упрощение имеет место только для точечных примесей, рассеивающих в s-канале, когда дг = 丁. Для примесей, рассеивающих не только в s-канале, эти два времени не равны. В этом случае приходится суммировать лестницу, напоминающую диффузионную (см. рис. 9.7), но с векторными вершинами, в результате чего и происходит замена 丁 на дг.

Учитывая это обстоятельство, мы видим, что усреднение двух функций Грина в (9.57) расцепляется в произведение средних:

(ДаЛ^п)) = e2 т е П ((砂侬后+汝我勿(砂侬后)〉衍).(9.58)

Функция Грина, усредненная по беспорядку, согласно (9.17), имеет вид {G^s^j р)) = 1/侬卜—£(р) + ^：sign£k). Поэтому выражение (9.58) можно записать так:

〈1^3/ =,(9.59)

(以 T(p))(z〃 Т(р)) (2?Г)3

где ё'к = Ек + шп + ^ sign(sfc + wn), ёк = ек + ^ sign〃.

Прежде чем приступить к вычислению выражения (9.59), проверим, что выполняется тождество〈口@3(0)〉= —(п^/т) 6а^. Для этого воспользуемся соотношением

Р侬,р)〉2 = m Vp ^GM(is,p)^ ,(9.60)

и представим выражение (9.59), взятое при 丛=〃〉в таком виде:

〈口昭⑼〉=粵•(9.61)

Интеграл по d?p возьмем по частям, перенеся действие ▽?/ на 夕&:

〈口昭⑼〉= 8а^Т £ /〈G%£〃,p)〉^~^.(9.62)

Учитывая известное соотношение (2.12) между плотностью частиц и функцией Грина, получаем требуемое тождество.

Перейдем теперь к вычислению выражения (9.59). С технической точки зрения, наиболее просто было бы проинтегрировать вначале по d?p. Однако формально этот интеграл расходится при |р|》夕＞ Чтобы обойти эту трудность, рассмотрим разность 〈Па/З也)〉—〈口昭⑼〉и представим ее в таком виде:

2 Т £ [РаР0 [佇飞。〃 +Р)) —(GM(iekj р)〉]佇^侬卜〉р)〉Р .(9.63)

В этом выражении интеграл по d?p сходится, и более того, как нетрудно видеть, его величина определяется малой окрестностью ферми-поверхности: b£ ^ max[wn, т-1]. Поэтому в (9.63) можно перейти к интегрированию по £〉заменив среднее по углам от РаР/з на ^夕彳6&3・ Интеграл по £ от двух слагаемых в (9.63) можно вычислять по отдельности. (Отмеченная выше расходимость при больших р не имеет отношения к вкладу окрестности ферми-поверхности £ ^ 力/丁〉который учитывается интегрированием по £•)

Взяв интеграл по £ от первого слагаемого в (9.63), получаем:

7r 2 2 т「sign《一sign”7r 2 2 т「sign《一sign”(9.64)(9.64)

7r 2 2 т「sign《一sign”

7r 2 2 т「sign《一sign”

(9.64)

(9.64)

где V% и 巨卜 имеют тот же смысл, что и в (9.59). Нетрудно видеть, что интеграл по £ от второго слагаемого в (9.63) обращается в нуль. Наконец, вычисляя тривиальную сумму по Sky имеем

(9.65)(9.65)

(9.65)

(9.65)

Мы воспользовались здесь тем, что |z/o^f =汽/加・

11Чтобы найти проводимость, воспользуемся доказанным тождеством (9.16). Поскольку векторный потенциал А и электриче ско е поле Е связаны со о тношением Е = -|А, выражение для проводимости можно записать в таком виде:

1

1

(9.66)

Подставляя в (9.66) найденный результат (9.65), получаем

◎аВ (^^п)◎аВ (^^п)т(\шп\ + Ет(\шп\ + Е(9.67)(9.67)

◎аВ (^^п)

◎аВ (^^п)

т(\шп\ + Е

т(\шп\ + Е

(9.67)

(9.67)

Для перехода к функциям вещественной частоты надо выполнить аналитическое продолжение с верхней мнимой полуоси: ian — g. В результате получаем искомую формулу Друде (9.19).

Обратим внимание на то, что результат не зависит от температуры. Этого и следовало ожидать, поскольку проводимость ——одночастичный эффект. Поэтому, если время рассеяния 丁 не зависит от энергии, проводимость не должна зависеть от теплового размытия фермиевской ступеньки.

Решение 52. Нам необходимо усреднить коррелятор плотность-плотность (9.9) по беспорядку. На этот раз, в отличие от предыдущей задачи, уже нельзя игнорировать отличие (GMGM) от(Дело в том, что теперь мы имеем дело не с векторными вершинами, как при вычислении коррелятора ток-ток, а со скалярными, соответствующими плотности частиц.) В главном порядке по параметру (p()Z)-i интересующее нас среднее дается последовательностью лестничных диаграмм, показанной на рис 9.7.

Чтобы просуммировать эти диаграммы, обратим внимание на то, что каждая лестничная диаграмма разбивается на отдельные блоки («пузырьки»), окруженные с двух сторон линиями примесей («перекладинами»). При этом интегрирования по импульсам в каждом блоке независимы, так как примесная линия не зависит от переданного импульса. Заметим также, что из-за закона сохранения импульса разность импульсов в каждом блоке постоянна и равна импульсу q, входящему в вершину. Кроме того, поскольку рассеяние на примесях упругое, частоты во всех ступенях лестницы попарно совпадают. Иными словами, независимо от числа перекладин, интегрирование происходит всего по одной частоте. Рассмотрим сначала первый член суммы («пузырек без перекладин»). Выражение для него выглядит так:

Т£ [ (GM(i^k + P+)K^M(^fc?Р-)) /9 ?з， (9.68)

где £卜=(2k + 1)7гТ, wn = 2п7гТ, р± = р 士 jq, а функции Грина, усредненные по беспорядку, имеют стандартный вид:

®4бр)〉=.—门」.—,(9.69)

^-€(р) + ^ signs

где, как обычно, £(р) = р2/2т —从.При интегрировании по р, как нетрудно видеть, выражение (9.68) дает существенно различные результаты, в зависимости от того, находятся ли полюсы двух гриновских функций по одну или по разные стороны от вещественной оси.

Рассмотрим этот вопрос более подробно. В о спользуем ся известной связью мацу- баровских функций с запаздывающими и опережающими функциями Грина:

GM{i£k. Р)= 0{£k)GR{i£k, р) + О^-^Сл^к. Р)=

=Г Gr(2〃, р) при 勿 > 0,70)

-\ GA(i£k^ при £fc < 0.「 丿

При вычислении выражения (9.68), в зависимости от относительного знака частот £卜 и £卜 + wn, возникает два принципиально разных случая, которые следует рассматривать по-отдельно сти.

Знак частоты определяет, будет ли соответствующая гриновская функция запаздывающей или опережающей. В случае, когда знаки £卜 и Sk + ^п одинаковы, возникают средние вида GrGQ и〈G4G幺〉.Они дают так называемый статический вклад в коррелятор, не обладающий дисперсией при шт ~ 1 и |q|Z ^ 1. В случае же различных знаков частот £卜 и £卜 + g也〉получаются средние вида〈GrG^〉и〈G幺G&〉. Они дают так называемый кинетический вклад в коррелятор, обладающий существенной дисперсией при шт ~ 1 и |q|Z 1.

Обоснование утверждения о характере частотной дисперсии статического и кинетического корреляторов будет дано ниже. Здесь же приведем следующее простое соображение, касающееся пространственной дисперсии. В координатном представлении

〈Gr(D〉2 〜ехр (2ф0|г| - |r|/0 ,代厶⑺尸〜exp (―2淞|r| — |r|〃).(9.71)

В то же время〈G^(r)〉〈GR(r)〉ехр(—|r|/Z), т. е. медленно затухает, не осциллируя. Поэтому пространственная дисперсия статического коррелятора должна иметь место при |q| 夕「〉а динамического — при |q| 1〃.

Перейдем к вычислению.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда sign^k = sign(£fc + g也).В этом случае, поскольку полюсы выражения (9.68) находятся по одну сторону от вещественной оси, контур интегрирования по £ можно деформировать так, чтобы он проходил далеко от полюсов. Такой интеграл набирается, в основном, в области £ ^ Ер. Поскольку нас интересуют \шп\《 Ер и |q|《 夕。〉а раздвижка полюсов в выражении (9.68) есть шп — kv, этой раздвижкой можно вообще пренебречь.

Поэтому достаточно рассмотреть выражение (9.68) при wn = 0 и q = 0. В этом случае можно воспользоваться тождеством (G(is, р))2 = —a〈G(£* р)〉/^//〉где подразумевается, что при дифференцировании по 从 можно пренебречь зависимостью 丁 от 从.Это тождество позволяет представить выражение (9.68) в виде

Заметим теперь, что сумма по 〃 и интеграл по р дают среднюю плотность частиц в системе. Поэтому выражение (9.72), с точностью до знака, есть просто плотность состояний: /Со = —〃 = —дп/д/л. Такой результат можно было бы предвидеть, поскольку в статическом пределе g = 0 коррелятор плотность-плотность должен давать сжимаемость, т. е. термодинамическую плотность состояний.

Теперь рассмотрим случай signE^ = — sign(£fc + wn). При этом, поскольку полюсы подинтегрального выражения в (9.68) находятся по разные стороны вещественной оси, интеграл (9.68) определяется малой окрестностью поверхности Ферми.

Например, пусть wn > 0 и —шп < е^ < 0. Для дальнейшего полезно рассмотреть выражение (9.68) без суммирования по 〃：

Bra(3h)q) = / GR(i&k + ^n? P+) G幺侬w p_) @*з •(9.73)

Вычислим интеграл по £:

Bra(3h)q)Bra(3h)q)гг(9.74)(9.74)

Bra(3h)q)

Bra(3h)q)

г

г

(9.74)

(9.74)

Аналогично, при wn < 0 и 0 < е^ < —шп выражение (9.72), непросуммированное по 〃〉принимает такой вид:

BAR(3n)q) = / GА@£к + 〃g彳BAR(3n)q) = / GА@£к + 〃g彳%%%〉P+) GR(i£k)P-)(2^3 do%〉P+) GR(i£k)P-)(2^3 do1.-—wn — zqv1.-—wn — zqv(9.75)(9.75)

BAR(3n)q) = / GА@£к + 〃g彳

BAR(3n)q) = / GА@£к + 〃g彳

%

%

%〉P+) GR(i£k)P-)(2^3 do

%〉P+) GR(i£k)P-)(2^3 do

1.

-—wn — zqv

1.

-—wn — zqv

(9.75)

(9.75)

Выполняя суммирование no £卜〉получаем ^^B(wn, q), где

В (wn, q)=В (wn, q)=■8五4(g也7) при ^n > О 1 =

В (wn, q)=

В (wn, q)=

BAR^n^ при Wn < 0 J -

(9.76)(9.76)% /do

(9.76)

(9.76)

2 丿 ^ + knl + ^qvsignwn

Теперь все готово для того, чтобы найти сумму лестничного ряда диаграмм, изображенных на рис. 9.7. Примесная линия («перекладина лестницы») дается выражением П7/о = 1/(2开〃0丁).

Поскольку все ступени лестницы совершенно одинаковы, удобно рассмотреть всего одну ступень, изображающуюся такой диаграммой:

Г^1 —I I -I I

ВВ一

В

В

Рис. 9.15

(Мы не включаем примесные линии в определение ступени.) Нетрудно видеть, что получающееся выражение оказывается точно таким же, как рассмотренное выше выражение для первой ступени, непросуммированное по £卜.Поэтому, как и выше, рассмотрим по отдельности статический и кинетический случаи, когда знаки е^+шп и 〃 совпадают, и когда они различны.

В первом случае, как нетрудно видеть, суммирование лестничного ряда дает несуще ственную поправку к первому члену (()= —〃〉полученному выше. Действительно, если знаки £к+зп и £卜 совпадают, то полюсы всех гриновских функций находятся по одну и ту же сторону вещественной оси. Поэтому, как и при рассмотрении первого члена ряда, можно положить g也=0 и q = 0. Тогда весь ряд сворачивается в

производную от функции Грина по химическому потенциалу 从.(Сумма членов лестничного ряда, начиная со второго, дает вклад, связанный с зависимостью амплитуды рассеяния на примеси от энергии 从〉которым мы пренебрегли выше.)

А вот во втором случае, когда знаки £卜 + g也 и £卜 различны, все члены лестничного ряда, включая произвольно далекие, оказываются одинаково важными. Чтобы понять, почему так получается, рассмотрим сначала случай q = 0, и покажем, что сумма лестничного ряда в точности сокращает вклад —z/, рассмотренный выше.

Действительно, при q = 0 одна ступень лестницы есть B(wn)q=0 = 2开〃()/(|幻"+ l/丁). Весь же ряд в целом дается суммой геометрической прогрессии:

q = 0) = 2 用 ( 8 +…=

7Г 1 — В/27Г%)丁 “ •

Тождественное сокращение /С = /C0+/Ci = 0, получающееся при q = 0, имеет простой физический смысл. Коррелятор плотность-плотность при q = 0 и g * 0 описывает отклик электронной плотности на независящий от координат переменный внешний потенциал. Очевидно, что поскольку полное число частиц сохраняется, а внешний потенциал один и тот же во всех точках пространства, отклика плотности в ответ на такое возмущение быть не должно. Поэтому указанное сокращение выражает сохранение числа частиц в системе.

Теперь повторим вычисление лестничного ряда при q^O. Выражение B(wn, q) интересует нас при |wn|r, |q|Z《1〉и поэтому его можно разложить:

в(зп)q) =/в(зп)q) =/do

в(зп)q) =/

в(зп)q) =/

1 + \шп\т + iqvr signwn

1 - knk - ivqr signwn - (vq)2r21 - knk - ivqr signwn - (vq)2r2do =do =2开%丁 1 - |^n|Т2开%丁 1 - |^n|Т(9.77)(9.77)

1 - knk - ivqr signwn - (vq)2r2

1 - knk - ivqr signwn - (vq)2r2

do =

do =

2开%丁 1 - |^n|Т

2开%丁 1 - |^n|Т

(9.77)

(9.77)

где D = &節/3 — коэффициент диффузии.

(9.78)(9.78)Как и выше, при q ^ 0 вычисление ряда сводится к суммированию геометрической прогрессии:

(9.78)

(9.78)

m ‘⑴2开(1 一 b/27r/丁)-5I + Oq2 •

Полный ответ для коррелятора плотность-плотность дается суммой двух слагаемых:

((幻也〉q) =(o(g?i〉q) + ^Ci (^n? q)=((幻也〉q) =(o(g?i〉q) + ^Ci (^n? q)=〃Oq2|wn| + Dq2〃Oq2|wn| + Dq2(9.79)(9.79)

((幻也〉q) =(o(g?i〉q) + ^Ci (^n? q)=

((幻也〉q) =(o(g?i〉q) + ^Ci (^n? q)=

〃Oq2

|wn| + Dq2

〃Oq2

|wn| + Dq2

(9.79)

(9.79)

что и требовалось показать.

Выражение для B(c(jn,q) можно вычислить точно:

TTPosign^ 1+ 公冗 丁+ 2 q 2signuM

q) = —— In ―――..(9.80)

2内|七干 1 + \^n\r - ^|q|Zsignu;n

Точное значение 8(公冗,4)оказывается полезным в режиме баллистической динамики: зт》1 или |q|2 》1. Обратим внимание, что при таких & и q величина 8/(2тг〃о丁) не близка к единице, и поэтому члены лестничного ряда достаточно быстро убывают. Из-за этого ряд оказывается быстро сходящимся, и существенный вклад дает только первый член.

Остановимся на соответствии между диффузионной лестницей и классической картиной диффузии. Из проделанных вычислений ясно, что отдельная ступень лестницы B(wn, q) соответствует траектории частицы, движущейся по прямой между двумя примесями. Чтобы продемонстрировать это более явно, перейдем от мацуба- ровских частот и времени к обычным. Выражение для B(g〉q) может быть получено из (9.80) аналитическим продолжением wn — g (n > 0):

8(“,q)8(“,q)7Г〃0i\q\vF7Г〃0i\q\vF1 —汝丁 + г q Z In.—-.1 — шт — г q Z1 —汝丁 + г q Z In.—-.1 — шт — г q Z(9.81)(9.81)

8(“,q)

8(“,q)

7Г〃0

i\q\vF

7Г〃0

i\q\vF

1 —汝丁 + г q Z In.—-.

1 — шт — г q Z

1 —汝丁 + г q Z In.—-.

1 — шт — г q Z

(9.81)

(9.81)

Теперь запишем величину В® q) в координатно-временном представлении. Сделать это можно, либо используя выражения (9.18) для гриновских функций в координатном представлении, либо взяв фурье-образ точного выражения (9.81):

8(力 г)=肃^川г| — tW)e-W.(9.82)

/ lrl

Нетрудно видеть, что это есть просто вероятность того, что частица пролетит время 力 после столкновения с примесью, не столкнувшись с другими примесями. Величина г) правильно нормирована:

У B(t, г) d3r = 2Kl.(9.83)

Поэтому величины г и Z, введенные выше, есть в точности классические время и длина свободного пробега.

Отметим любопытное формальное сходство между приведенным выше выводом /C(&,q) и вычислением распределения вероятностей для случайных блужданий в задаче 9. Геометрическая прогрессия, которую приходится суммировать и в том, и в другом случае, соответствует сумме по случайным путям с различным числом шагов. Каждому шагу ставится в соответствие «одношаговый формфактор»: 8(&,q)——в случае диффузии, ^ (cos q± + .…+ cosq^)——в случае блужданий по п-мерной решетке, причем видно, что n имеет смысл егш. (Более точно, n = €"幻丁0, где 飞=1 —время, за которое делается один шаг.) Чтобы перейти к диффузионному пределу в задаче о блужданиях по решетке, рассмотрим &《1 и @《1. При таких & и @ можно просто разложить знаменатель в выражении (2.16) для производящей функции:

G(z. q) = ~7=

1 —叫(C0SQ1 + …+ COS ^п)/п

1 一(1 + i3)(n - |(^i + …+ *))/几+ q2/2n '(9.84)

Таким образом, коэффициент диффузии для блужданий по n-мерной решетке равен (2п)-1.

Решение 53. Сформулируем задачу о частице, которая при t < 0 находилась в начале координат, а при t > 0 стала двигаться свободно, следующим образом. Рассмотрим потенциальную яму V(г) с центром в начале координат, существующую при —ос < t < 0, а затем мгновенно исчезающую. Основное состояние ферми-системы характеризуется избыточной плотностью, притянутой ямой («бугорком»). После выключения потенциала эта плотность начинает рассасываться, диффундируя в поле примесей.

Может показаться, что более естественно — рассмотреть эволюцию во времени состояния 吵+(г = 0, t = 0)|0), получающегося добавлением к невозмущенному ферми-морю одной частицы в начале координат в момент t = 0. При этом, однако, энергия добавленной частицы имеет очень широкий спектр и, вообще говоря, не близка к уровню Ферми. В результате, поскольку выбранный источник имеет большую немонохроматичность, при такой постановке задачи интересующий нас эффект, хотя и существует, оказывается весьма малым по величине.

Отклик ферми-системы на потенциал, зависящий от координат и времени, как мы выяснили в задаче 52, дается сверткой коррелятора плотность-плотность с потенциалом. В данном случае удобно воспользоваться координатно-частотным представлением, в котором возмущающий ферми-систему потенциал имеет вид —£U(r)/(G — £0). Нам потребуются выражения для запаздывающей и опережающей функций Грина:

G&伍 г) = —^- ехр (Ер。厂 + ire/v — r/2Z),

(9.85)(9.85)G若伍 г) = —-— exp (—ip^r — ire/v — r/2Z),

(9.85)

(9.85)

которые нетрудно получить из выражения (9.18) для усредненной причинной функции, если вспомнить, что G(〃£ > 0) = G^r^ s) и G(q£ < 0) = G^(q£).

При вычислении отклика, как и в задаче 52, следует различать статические и кинетические вклады, соответствующие средним двух одинаковых функций GrGQ и {GaGa) или двух различных функций {GrGa) и〈G幺G&〉. Нетрудно видеть, что статический вклад описывает часть плотности, суще с твов авшую в то время, когда потенциал ямы был включен, но не описывает рассасывание плотности на временах 力》£鼻1. Динамический же вклад, наоборот, описывает только динамику на временах 力》£鼻1 после выключения ямы.

Поэтому при усреднении коррелятора плотность-плотность по беспорядку нам будет достаточно учесть только динамический вклад. В главном порядке по (poZ)~i ——это лестничные графики, рассмотренные в задаче 52 (см. рис. 9.7). В следующем же порядке по (p()Z)-i возникает еще одна последовательность диаграмм ——веерные графики, показанные на рис. 9.8. Рассмотрим их более подробно.

Пусть начальная и конечная точки совпадают. Тогда мы можем нарисовать лестничный и веерный графики, проходящие через одни и те же примеси (с номерами от 1 до ^ ^ 2), как показано на рис. 9.16. Здесь буквы Я и Л обозначают запаздывающую и опережающую функции Грина соответственно. Сравнивая, мы видим, что в обоих графиках берется произведение одних и тех же величин. Единственное отличие состоит в порядке аргументов в G^(i\〉г^). Но поскольку G幺 зависит только

от |г^ — г7-|, порядок г^ и Г/ несуществен, и значит графики в точности равны. Поэтому, с точностью до отмеченного в условии задачи несоответствия в первых двух членах (^ = 0,1), веерный и лестничный ряды совпадают.

Рис. 9.16Рис. 9.16

Рис. 9.16

Рис. 9.16

Теперь раздвинем начальную (0) и конечную (г) точки (см. рис. 9.17). В этом случае отличие веерного графика от лестничного заключается в том, что аргументы функций Ga на концах другие. Заметим, что части графиков от 1-й примеси до Жй есть в точности диффузионная лестница. Следовательно, как лестничный график, так и веерный можно представить в виде свертки диффузионного пропагатора, взятого в точках г】и г^〉с четырьмя функциями Грина. Поскольку диффузионный пропагатор медленно меняется на расстояниях порядка длины свободного пробега, то достаточно просто проинтегрировать произведение функций Грина. Поэтому получаем, что вклады концов лестничного и веерного графиков соответственно равны

Wz(r) = / GrKi) G4(ri) Gr^n - r) Ga"n - Г)d3rl d3rN , (9.86)

W(r) = / GrKi) GaKn) GrKn - r) G^(ri — r) d3ri d3rN , (9.87) причем все запаздывающие функции Грина берутся при энергии е + ш/2у а опережающие —при £ — g/2.

Нас интересуют возвраты на больших временах 力》丁〉т. е. при gt《 1. Динамика на таких временах имеет диффузионный характер. Это позволяет пренебречь зависимостью функций Грина в (9.86) и (9.87) от g. Дело в том, что, как будет видно из дальнейших вычислений, все четыре расстояния

(9.88)(9.88)kll, \rN\, |r-rx|, \r-rN\

(9.88)

(9.88)

оказываются порядка длины пробега Z, которая при gt《1 много меньше диффузионной длины

Поэтому полагаем в (9.86) и (9.87) частоту w = 0 и, пользуясь выражениями

(9.85), находим вклад концов лестничного графика:

(9.89)

Веерные графики представляют интерес в области, когда расстояние между начальной и конечной точкой порядка р『\ т. е. при |r|《I. Тогда, поскольку характерные |г]|〉|i*n| определяются медленно убывающими множителями ехр(—|i*n|/Z)〉 ехр(—|г — ri|/Z), и т. п., имеет место соотношение |ri|, |г^|》|г|. Поэтому можно разложить расстояния между рассматриваемыми точками по малому г:

(9.90)(9.90)|Г1 - г| = |Г1| - ГП1 , \rN - г| = Tn| - rnN ,

(9.90)

(9.90)

где ni = ri/|ri|, Пдг = rjv/|rjv| — единичные векторы. Таким образом, получаем WW =凿У 〃 exp (耽r(n\：[『/「|rN|〃)不门 ^n .(9.91)

Используя формулу

/ ”П = 4开亜厶山(9.92)

интегрируем в (9.91) по направлениям:

WW = (М2(9.93)

7r丿 \ Ро「/ о о

Вычисляя оставшиеся интегралы по |日 и |гдг| и сравнивая результат с (9.89), находим относительную величину веерного и лестничного вкладов:

伍⑺Wz(r)伍⑺Wz(r)где X =po|r| .где X =po|r| .(9.94)(9.94)

伍⑺

Wz(r)

伍⑺

Wz(r)

где X =po|r| .

где X =po|r| .

(9.94)

(9.94)

Характерный масштаб, на котором интерференционная поправка оказывается важна, равен 力/ро〉в полном соответствии с изложенными в условии качественными рассуждениями. Отметим сходство между полученным ответом и формулой для распределения интенсивности света при фраунгоферовской дифракции на щели. Это сходство лишний раз подчеркивает интерференционную природу рассматриваемого явления.

Решение 54. Как мы видели в решении предыдущей задачи, суммы веерных и лестничных диаграмм отличаются не суще с твенно, а именно, только первыми двумя членами. Поэтому в дальнейшем всегда подразумевается, что веерные графики преобразованы (развернуты) так, что получается лестничный ряд. Рассмотрим сумму соответствующих лестничных диаграмм C(w, q), так называемый куперон:

I I ~ I I I ~ I I I I ~

Рис. 9.18

Эта лестница напоминает диффузионную лестницу из задачи 52, и, как мы увидим, дается похожим выражением (9.100). Это не случайно: как функции координат, куперовская и диффузионная лестницы совпадают, если система обладает инвариантностью по отношению к обращению времени. В самом деле, если мы обратим одну из электронных линий на рис. 9.18, то мы получим диффузионную лестницу (рис. 9.7). Обратим внимание на то, что в купероне закон сохранения импульса приводит к постоянству суммы импульсов в каждом блоке диаграммы, и куперон оказывается функцией суммы импульсов q и внешней частоты g. Из дальнейшего будет видно, что главный вклад в C(w, q) происходит от малых импульсов |q|Z《1.

Куперонную лестницу нетрудно связать с поправкой к проводимости. Для этого воспользуемся формулой (9.66) из решения задачи 51, связывающей проводимость с коррелятором П(шп). Как мы выяснили в задаче 51, проводимость определяется кинетическим вкладом в II(wn), продолженным с дискретных мнимых частот 幻也》0 (см. также задачу 52). Поэтому запишем кинетический вклад как среднее от произведения запаздывающей и опережающей функций Грина и усредним по беспорядку,

выделяя куперонный вклад (т. е. веерные графики). В результате получим

е2 з/2

8°a° = Z / 卷 Jpg厂脸 С® ① X

—n/2

Gr(£+〉p) Gr(£+〉q — p) G幺p) q — p) , ^2 ,•

Интегрируем по р, считая q малым:

_ 2〃20巒&^ / dq 7 cfe / C(G,q)恋

c - 五/(2开)2_/2 万 J(£ — £ + "27)2(£ — £ — "2丁)2

(здесь 〃2O = m/27r плотность состояний в двумерии с одной проекцией спина). Вычисляя интеграл по и е, находим

要，(9.96)

Теперь вычислим C(w, q). Для этого вначале найдем, чему равна ступень купе- ронной лестницы:

8 = /1曲97)

J(£ + а/2 — £р + с/2т)(£ - а/2 - &_р - г/2т) (2тг)2 '

Считая q малым и заменяя поэтому ^q_p ^ ^р — qv, точно так же, как и в задаче 52, получим

Bc(w, q) = 27rzy20丁(1 + т(ш — Dq2)),(9.98)

где на этот раз D = &^т/2 - коэффициент диффузии в размерности 2. Как и в случае диффузионной лестницы, наиболее существенной оказывается область шт《1, |q|Z《1, вне ее слаболокализационные поправки несущественны. Сама же лестница равна

(9.99)(9.100)(9.99)(9.100)с(Х q) =—I—)

(9.99)

(9.100)

(9.99)

(9.100)

(2开〃20丁)2 \27rzz20丁/

Таким образом,

1

"27rzy2。丁％+ -Dq2)'

Осталось лишь подставить это выражение в (9.96):

(9.101)(9.101)De2 / d2q" 2川丿£>q2 -必，

(9.101)

(9.101)

Этот интеграл логарифмически расходится. Снизу он обрезается на обратной диффузионной длине Qmin = Jg/Q а сверху ——на Qmax 1/Z, ибо при |q|Z》1 лестничный ряд мал. В результате получаем квантовую поправку к проводимости:

е2 1

m(9.102)

Интересно отметить, что логарифмическая сингулярность квантовой поправки на малой частоте g не размывается при конечной температуре. Формально это проявляется в том, что в приведенном выше вычислении, выполненном при конечной температуре, в конце концов температура полностью выпадает. (Точно так же, как при выводе классической формулы Друде в задаче 51.) Физическая причина этого та же, что и в задаче 51 ——одночастичный характер проводимости в случае упругого рассеяния. При упругом рассеянии состояния с различными энергиями не перемешиваются и, поэтому, степень размытия фермиевской ступеньки несущественна. Однако, если в системе имеется какое-либо неупругое рассеяние, скажем, из-за взаимодействия с электронами или фононами, сингулярность квантовой поправки на малой частоте размывается (см. разд. 9.4).

Другое любопытное свойство квантовой поправки ——ее локальный характер в пространстве. Если рассмотреть проводимость на конечном волновом векторе, то пространственная дисперсия квантовой поправки будет иметь место при |q| ^夕⑦ в то время как для классической проводимости Друде дисперсия гораздо сильнее: |q| ~ 1/Z. Причина этого в том, что, как мы видели в задаче 53, интерференционный вклад в вероятность рассеяния назад спадает на очень малых масштабах ^ р^1. Поскольку рассеяние назад — это и есть механизм возникновения квантовой поправки, она тоже должна иметь масштаб локальности порядка pjL В то же время классическая проводимость определяется рассеянием на (большой) длине свободного пробега и поэтому ее пространственная дисперсия намного сильнее.

Решение 55. Найдем зависимость квантовой поправки от магнитного поля в трехмерном случае. Это можно сделать с помощью соотношения (9.96), которое в координатном представлении принимает следующий вид:(

Sa = —4e2z/0^2-D C(w, г = r‘).(9.103)

Выражение для куперона C(g〉г, г') в присутствии магнитного поля можно получить следующим образом. Калибровочная инвариантность требует, чтобы при включении магнитного поля производные по координатам в уравнениии для куперона изменялись по такому закону:

—iV — —iVА(9.104)

с

Обратим внимание на то, что в калибровочно инвариантном выражении (9.104) появляется удвоенный заряд электрона. Это связано с тем, что куперон описывает интерференцию двух электронных волн, распространяющихся по одному и тому же

пути в прямом и обратном направлениях.

Теперь, чтобы получить уравнение для куперона, воспользуемся со о тношением (9.100), помножив обе его части на — ш + Oq?. В координатном представлении, согласно (9.104), следует заменить q на —iV — 2е/сА. Потерю фазовой когерентности можно учесть в уравнении для куперона феноменологически, сдвинув частоту —w на величину 女\ так чтобы однородное решение этого уравнения затухало как ехр(—力/传).Таким образом, мы приходим к следующему уравнению:

1^6(г — г')2开〃0 丁 21^6(г — г')2开〃0 丁 2(9.105)(9.105)/ 2е 、2

1

^6(г — г')

2开〃0 丁 2

1

^6(г — г')

2开〃0 丁 2

(9.105)

(9.105)

—w + D ( —iVA(r) ) НC(g〉г, г)

В конечной системе уравнение (9.105) должно быть дополнено граничными условиями. В случае непроницаемой границы поток частиц через границу должен отсутствовать. Соответствующее граничное условие записывается так:

А 2ге а、八

(9.106)(9.106)而 + 工n・A С(“,г,г) = 0

(9.106)

(9.106)

где п ——единичный вектор нормали к границе. Обратим внимание на то, что векторный потенциал входит не только в уравнение для куперона, но и в выражение для потока.

В качестве простейшего применения уравнения (9.105) рассмотрим квантовую поправку к проводимости бесконечного трехмерного металла в однородном магнитном поле В. В этом случае выражение (9.105) имеет вид уравнения на функцию Грина для частицы с зарядом е* = 2е и массой т* = К [2D、находящейся в поле В. Собственные значения и собственные функции этой задачи хорошо известны (например, см. [2], § 112). Поэтому можно сразу записать решение в таком виде:

С(а,г,г‘)=С(а,г,г‘)=1 旷 ％,n(r)M,n(r')2汀”2 幺-w +0修 + ^(П+ j) +1 旷 ％,n(r)M,n(r')2汀”2 幺-w +0修 + ^(П+ j) +(9.107)(9.107)

С(а,г,г‘)=

С(а,г,г‘)=

1 旷 ％,n(r)M,n(r')

2汀”2 幺-w +0修 + ^(П+ j) +

1 旷 ％,n(r)M,n(r')

2汀”2 幺-w +0修 + ^(П+ j) +

(9.107)

(9.107)

где С* = he^B/m^c = 4eDB[Tic есть «циклотронная частота», a ^^(r)——собственные функции, соответствующие уровням Ландау (а ——квантовое число, различающее состояния на одном уровне Ландау, например, импульс). Из-за функций 山@也 сумма в (9.107) выглядит весьма устрашающе. Но нас, как следует из (9.103), на самом деле интересует куперон в совпадающих точках. При г = г' куперон не должен зависеть от абсолютного расположения точек гиг'. Поэтому, усредняя по положению г в объеме проводника V и используя условие ортонормированности собственных функций, получаем

打0("“"Т=而3 e 亠 + ^ + 院+川^ (9」。8)

Суммирование по а (то есть суммирование в пределах одного уровня Ландау) можно

легко выполнить, использовав выражение для числа состояний на уровне Ландау (см.

dN = dqz(9.109)

Таким образом, получаем выражение для куперона в совпадающих точках:

CQ, г = г')=CQ, г = г')=47r2/肌丁2 / 2开 % -w + 0碎 + ^(n + j) + ^47r2/肌丁2 / 2开 % -w + 0碎 + ^(n + j) + ^(9.110)(9.110)

CQ, г = г')=

CQ, г = г')=

47r2/肌丁2 / 2开 % -w + 0碎 + ^(n + j) + ^

47r2/肌丁2 / 2开 % -w + 0碎 + ^(n + j) + ^

(9.110)

(9.110)

С учетом этого поправка к проводимости (9.103) равна

(9.111)(9.111)D^B / d% у1

(9.111)

(9.111)

№hc 丿 27r % —Eg +。蟾 + C*(7Z + ^) + ^

В дальнейших выкладках мы для простоты опустим частоту внешнего поля G. Вычислим интеграл по %:

6а6аVd^b V 127r2呢巫 V ,八 + ^ + 2Vd^b V 127r2呢巫 V ,八 + ^ + 21力С◎*丁34e_60丁31力С◎*丁34e_60丁3(9.112)(9.112)

6а

6а

Vd^b V 1

27r2呢巫 V ,八 + ^ + 2

Vd^b V 1

27r2呢巫 V ,八 + ^ + 2

1力С

◎*丁34e_60丁3

1力С

◎*丁34e_60丁3

(9.112)

(9.112)

(9.113)(9.113)Полученная сумма расходится на верхнем пределе. Очевидно, это в точности та же расходимость, что и в задаче 54 при вычислении интеграла по q, и поэтому её следует обрезать на |q| порядка обратной длины свободного пробега. Для этого оборвем сумму (9.112) на некотором г1m虱①)определяемом cooтношением

(9.113)

(9.113)

^*^тах。/，

(9.114)(9.114)(^^птах есть собственное значение оператора в (9.107), которое не должно превышать D/Z2). Тогда сумма равна 2,%^〉и поправка даётся выражением

(9.114)

(9.114)

"(°) = —~9 V • 2,汽maz ~ —~^7 •47r2 V %С V47r2瓦

Это выражение не зависит ни от 传〉ни от магнитного поля, поскольку оно определяется малыми масштабами порядка I. Интересные эффекты (зависимость от магнитного поля и т. п.) определяются большими масштабами и представляют собой поправки к (9.114).

Обрезание суммы после интегрирования по qz может показаться внимательному читателю некорректным, поскольку при этом допускаются как угодно большие ^2, но только конечные п. Но ^2 и п есть разные части квадрата волнового вектора q2. Можно более корректно обрезать сумму «вращательно-инвариантным образом», ограничивая как максимальные п, так и максимальные qz. Это нетрудно сделать, например, вводя в (9.111) множитель сходимости ехр(—/z(Dq^+C*(?i+l/2))), где д ——малое число порядка Z2/D. При этом оказывается, что простая процедура обрезания по п приводит к тем же ответам.

Вычитая из 8(7 независящую от магнитного поля часть 6с(0), получаем

阿8)…。)=-爲⑺，(9」15)

где

= lim I * /1— 2y/N I .(9.116)

丿

Сумму в (9.116) можно найти в пределе сильных и слабых магнитных полей. Наиболее интересен случай сильного поля (切《1)〉который мы и рассмотрим. При малых х функция /(切)стремится к постоянному пределу, выражающемуся через (^-функцию Римана:

/(切 一 0)=—館-1乂居)0.6049(9.117)

Таким образом,

Итак, слаболокализационная поправка в трехмерном случае пропорциональна корню из магнитного поля. Выход на этот режим происходит при1 е согласии с

приведенными выше качественными рассуждениями.

Аналогично можно рассмотреть поведение слаболокализационной поправки в двумерном случае. Он отличается от трехмерного случая только отсутствием ин

тегрирования по qZJ и поэтому

р2 flmax]

ь W -2 八+1/2 + 2 •(9.119)

Эту сумму можно выразить через дигамма-функцию 叭х) = Р(切)/Г(切)следующим образом:

6c2d(8) = уФ(птах + ^ + с)—帆^ + с)) .(9.120)

При 切》1 дигамма-функция растет логарифмически,山(切》1) ^ In 倡 и поэтому в слабых полях

М/(0)=-鸟 In 3 =—』”，(9.121)

27r2%X 27r2% M

то есть слаболокализационная поправка определяется 传 и е первом приближении не зависит от магнитного поля. В сильных же полях можно положить 切=0:

‘2 / 4方广\

呪п(8)=—而 УП^~^) •(АЗ)

Как видно из этой формулы, в больших магнитных полях проводимость не зависит от 传.Это происходит потому, что магнитное поле подавляет вклад длинных

траекторий, и механизмы сбоя фазы просто не успевают сработать на оставшихся траекториях. Вычитая из (9.122) проводимость в нулевом поле (9.121), получим магнитосопротивление:

6a2D(B) - <5^(0) = — In —.(9.123)

ЛА \ ЛАС/

Таким образом, как в двумерном, так и в трехмерном случае квантовая поправка к проводимости приводит к весьма необычному поведению магнитосопротивления в классически слабых полях, что позволяет выделять эффекты слабой локализации на фоне классического магнитосопротивления. При этом речь идет об изменении проводимости на величину порядка ^/h в довольно слабых полях порядка Вс, так что эффект оказывается вполне измеримым. Вдобавок квантовое магнитосопротивление, в отличие от классического, в трехмерном случае не зависит от угла между током и полем и отлично от нуля даже если ток параллелен полю. Измеряя магнито сопротивление, можно найти время сбоя фазы т^, которое определяется взаимодействием электронов. Поэтому данные по аномальному магнитосопротивлению —— важный источник информации о квантовых эффектах в металлах.

Помимо этого, квантовая поправка оказывается чувствительна к любым эффектам, нарушающим симметрию по отношению к обращению времени. Например, сильное спин-орбитальное взаимодействие приводит к изменению знака квантовой поправки. Подробное изложение многочисленных эффектов слабой локализации не входит в задачу этой книги. Интересующийся читатель может обратиться к обзорам, посвященным этой теме (см. примечание на с. 234).

Решение 56. Итак, пусть имеется тонкая металлическая пленка, свернутая в цилиндр радиуса Я, через который пропущен магнитный поток. Будем рассматривать задачу в цилиндрических координатах, выбрав ось / вдоль оси цилиндра. Вектор- потенциал внутри пленки выберем в виде

Ф

厶屮=2teR， 4 = 4 = 0.(9.124)

Положим частоту внешнего поля g = 0. Тогда уравнение (9.105) перепишется так:

击］С(г『)=宀•(9.125)

I oz2 R2 \d 屮uric у2

Оно легко решается переходом в представление Фурье:

C(z“, У, d) = £ Cm,kz е湿(”")+皿(屮屮)(9.126)

m,kz

Подставив (9.126) в (9.125), получим

г2~| — 1

= g + O^ + ^ 1m—，(9.127)

где Фо = hc/e ——одноэлектронный квант магнитного потока. Выражая слаболокализационную поправку через С(г = г')〉получаем

6(7(①)=6(7(①)=2е2~1 /221 1dkz2е2~1 /221 1dkz(9.128)(9.128)Это выражение периодично по магнитному потоку Ф, поскольку изменение Ф на целое кратное Фо/2 можно компенсировать сдвигом т. Имеет смысл преобразовать это выражение так, чтобы периодическая зависимость стала явной. Для этого воспользуемся формулой суммирования Пуассона:Это выражение периодично по магнитному потоку Ф, поскольку изменение Ф на целое кратное Фо/2 можно компенсировать сдвигом т. Имеет смысл преобразовать это выражение так, чтобы периодическая зависимость стала явной. Для этого воспользуемся формулой суммирования Пуассона:Е /И= £ / f^^kxdx.Е=—8k = —ОО — мЕ /И= £ / f^^kxdx.Е=—8k = —ОО — м(9.129)(9.129)Применяя эту формулу, затем сдвигая переменную интегрирования и вычисляя интеграл по 從〉находимПрименяя эту формулу, затем сдвигая переменную интегрирования и вычисляя интеграл по 從〉находим^2 оо ^27r 沃 Q+2①/①°)打(①)=_ -- у ,= dx.^2 оо ^27r 沃 Q+2①/①°)打(①)=_ -- у ,= dx.(9.130)(9.130)Теперь видно, что k-й член этой суммы представляет собой k-ю гармонику(5а(Ф). Вычислим интеграл по х, используя формулуТеперь видно, что k-й член этой суммы представляет собой k-ю гармонику(5а(Ф). Вычислим интеграл по х, используя формулуcos to dt (x\v Г(|)cos to dt (x\v Г(|)(9.131)(9.131)где Kv{x)——функция Макдональда. Окончательно имеемгде Kv{x)——функция Макдональда. Окончательно имеемk=—оо\9k=—оо\9(9.132)(9.132)

6(7(①)=

6(7(①)=

2е2~1 /221 1dkz

2е2~1 /221 1dkz

(9.128)

(9.128)

Это выражение периодично по магнитному потоку Ф, поскольку изменение Ф на целое кратное Фо/2 можно компенсировать сдвигом т. Имеет смысл преобразовать это выражение так, чтобы периодическая зависимость стала явной. Для этого воспользуемся формулой суммирования Пуассона:

Это выражение периодично по магнитному потоку Ф, поскольку изменение Ф на целое кратное Фо/2 можно компенсировать сдвигом т. Имеет смысл преобразовать это выражение так, чтобы периодическая зависимость стала явной. Для этого воспользуемся формулой суммирования Пуассона:

Е /И= £ / f^^kxdx.

Е=—8k = —ОО — м

Е /И= £ / f^^kxdx.

Е=—8k = —ОО — м

(9.129)

(9.129)

Применяя эту формулу, затем сдвигая переменную интегрирования и вычисляя интеграл по 從〉находим

Применяя эту формулу, затем сдвигая переменную интегрирования и вычисляя интеграл по 從〉находим

^2 оо ^27r 沃 Q+2①/①°)

打(①)=_ -- у ,= dx.

^2 оо ^27r 沃 Q+2①/①°)

打(①)=_ -- у ,= dx.

(9.130)

(9.130)

Теперь видно, что k-й член этой суммы представляет собой k-ю гармонику(5а(Ф). Вычислим интеграл по х, используя формулу

Теперь видно, что k-й член этой суммы представляет собой k-ю гармонику(5а(Ф). Вычислим интеграл по х, используя формулу

cos to dt (x\v Г(|)

cos to dt (x\v Г(|)

(9.131)

(9.131)

где Kv{x)——функция Макдональда. Окончательно имеем

где Kv{x)——функция Макдональда. Окончательно имеем

k=—оо\9

k=—оо\9

(9.132)

(9.132)

где £夕=«Dt屮 ——длина сбоя фазы. В этом выражении член с к = 0 сингулярен. Соответствующий интеграл в (9.130) расходится при больших х. Это та же самая расходимость, что и в (9.101), поскольку величина х/R играет роль х-компоненты волнового вектора. Поэтому расходимость следует обрезать при х ~ R/1.

Имеется и другой, более удобный способ избавиться от расходимости ——вычесть из бе(①)ее усредненное по варияциям потока значение:

4 戶 2 ооИф)-(Иф = ^-Е^о4 戶 2 ооИф)-(Иф = ^-Е^о2тгкК\2тгкК\/ 4тгА;Ф\cos — •卜ф0 // 4тгА;Ф\cos — •卜ф0 /(9.133)(9.133)

4 戶 2 оо

Иф)-(Иф = ^-Е^о

4 戶 2 оо

Иф)-(Иф = ^-Е^о

2тгкК\

2тгкК\

/ 4тгА;Ф\

cos — •

卜ф0 /

/ 4тгА;Ф\

cos — •

卜ф0 /

(9.133)

(9.133)

Таким образом, сопротивление цилиндра периодически зависит от пропущенного через него магнитного потока19. Период осцилляций оказывается равен Ф0/2. Так

262 ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ происходит потому, что слаболокализационная поправка связана с интерференцией двух обращенных по времени замкнутых траекторий. Если такие траектории «наматываются» на цилиндр, то вдоль одной из них электрон набирает дополнительную фазу 6屮=2тгФ/Фо, а вдоль другой —bg. Разность фаз равна 2开〉если Ф = Фо/2. Таким образом, величина интерференционных эффектов одна и та же при Ф = 0 и Ф = Ф0/2.

Результат (9.133) допускает простую интерпретацию. Амплитуда осцилляций Ко^ккН]L打 есть вероятность того, что случайная траектория успеет уйти от начальной точки на расстояние 2飘kR (т. е. обмотаться вокруг цилиндра к раз) за время 传〉в течение которого сохраняется фазовая когерентность. При 2飘kR》£夕 функция Макдональда экспоненциально затухает. Это значит, что наиболее существенны гармоники с к < L^/2ttR. Поэтому для того чтобы эффект был наблюдаемым, нужно, чтобы цилиндр был маленьким: 2тгЯ《L屮.Поскольку 传 растет с понижением температуры, то этому условию можно удовлетворить лишь при низких температурах или в достаточно маленьких образцах.

Решение 57. Диаграммы на рис. 9.10, дающие коррелятор проводимостей при разных значениях магнитного потока, представляют собой два вклада —— диффу- зонный и куперонный. При этом на электрон во внешней петле диаграммы действует магнитное поле, пропорциональное Ф, а во внутренней ——пропорциональное ①'. В этом случае уравнения для куперона и для диффузона можно получить тем же способом, что и в задаче 56. Нужно только учесть, что, поскольку куперон пропорционален 〈山山〉〉то в нем векторные потенциалы внутренней и внешней петель на диграммах рис. 9.10 складываются, в то время как диффузон пропорционален〈山山+〉〉 и поэтому в нем векторные потенциалы вычитаются. (Тогда при ①=①/ получаем, что магнитное поле не меняет уравнение диффузии, как и должно быть.) Это означает, что в куперонных диаграммах эффективный магнитный поток есть (Ф + Фх)/2, а в диффузонных — (Ф —Фх)/2. В остальном же куперонный и диффузонный вклады совпадают.

Строго говоря, это не совсем правильно. Куперонный вклад, в отличие от диф- фузонного, экспоненциально затухает на временах t > т^. (А диффузионный полюс при к = 0 всегда остается при g = 0 из-за сохранения числа частиц.) Тем не менее, поскольку фазочувствительная часть диффузонного вклада, отвечающая за зависимость проводимости от Ф, все равно исчезает при t〉“)мы для простоты игнорируем это различие между диффузоном и купероном.

Как мы увидим ниже, в ответ дают вклад только большие масштабы, поэтому характерный суммарный импульс в купероне и разность импульсов в диффузоне оказываются порядка Я-1. Это означает, что импульсы, бегущие по разные стороны каждой примесной лестницы, отличаются мало. Поэтому произведение токовых

19На самом деле в реальный металлический цилиндр магнитное поле все-таки слегка проникает, и поэтому строгая периодичность разрушается.

вершин и функций Грина на концах дается множителем

Аа峥=/ / VaV^v^G^p) G%(p) G|j(y)G%(")^|^i ^^(9.134)

(при выводе этой формулы несущественная зависимость функций Грина от энергии была опущена). Интегралы легко вычисляются переходом к интегрированию по £〉 что дает

4 4

Аа1Л^ =47r%тЗ)2 =.(9.135)

Интегрирование по энергиям дает, как обычно, ^/2тг, причем g сокращается после подстановки функции отклика в определение проводимости. Поэтому коррелятор проводимостей (9.32) есть

Кф,& = 2е47r2布切2%队/ (|С(Г,0®)|2+ |£>2(г,0®)|2)^ .(9.136)

Квадрат куперонной амплитуды можно найти по теореме Парсеваля:

IC = jc^^r= / £ 以長(9.137)

Это выражение можно преобразовать, как и ранее, проинтегрировав по kz и применив формулу суммирования Пуассона (9.129):

=167r2 呜丁 4Q2=167r2 呜丁 4Q2ОО 彳 е27r沃Q+(①+®)/①о)⑵+用/必)3/2姦•ОО 彳 е27r沃Q+(①+®)/①о)⑵+用/必)3/2姦•(9.138)(9.138)

=

167r2 呜丁 4Q2

=

167r2 呜丁 4Q2

ОО 彳 е27r沃Q+(①+®)/①о)

⑵+用/必)3/2姦•

ОО 彳 е27r沃Q+(①+®)/①о)

⑵+用/必)3/2姦•

(9.138)

(9.138)

Интеграл по х, согласно (9.132), выражается через функцию Макдональда:

/0=16»2*74。2人工ь" e 尸/0=16»2*74。2人工ь" e 尸(9.139)(9.139)

/0=16»2*74。2人工ь" e 尸

/0=16»2*74。2人工ь" e 尸

(9.139)

(9.139)

①+①‘ на①+①‘ на(9.140)(9.140)

①+①‘ на

①+①‘ на

(9.140)

(9.140)

Аналогичное выражение для диффузонного вклада отличается заменой Ф —①'.Подставив (9.139) в (9.136) и приведя подобные члены, получим

е4д2

к①，①/ = 开2%2l2 8cф8/?” X

誤 2KkR/2тгкЯ\2тгкФ2тгкФ/

XX]+ 2 £ KiCOS —— cos ——

X

X

k=i L屮\ L屮) Фо Фо

(в члене с k = 0 нужно взять предел малых к и использовать асимптотику функции Макдональда К(/《1)1/х).

Результат (9.140) подтверждает ожидаемую качественную картину. Основная гармоника имеет период Фо, а не Фо/2. (Это видно из того, что зависящая от магнитного потока часть пропорциональна произведению двух косинусов с периодом Фо). Однако при усреднении проводимости по беспорядку этот вклад исчезает, поэтому он проявляется лишь в корреляции проводимостей одного и того же образца.

Обратим внимание на интересную немонотонную зависимость результата от параметра 2《R]L屮.При 2тгЯ》£夕 функции Макдональда, определяющие зависимость от магнитного потока, экспоненциально малы. В этом пределе электроны не могут обойти цилиндр, не потеряв при этом фазовую когерентность, так что исчезновение эффекта в этом пределе вполне естественно. Более интересно, что в пр о тивоположном пределе (2тгЯ《 L^ эффект тоже мал как В2/^. Это происходит потому, что в этих условиях вклад дает большое число траекторий, проходящих в разных местах поверхности цилиндра, что эффективно приводит к усреднению по беспорядку. А вот при 2тгЯ ~ £夕 электроны, дающие вклад в интерференционную поправку, обходят цилиндр по траекториям, не слишком далеко отстоящим от наикратчайшей, поэтому усреднения по беспорядку не происходит.

Заметим, что отличие проводимости конкретного образца от средней может быть довольно заметным. При £夕 ^ 2тгЯ (необходимое условие наблюдения эффекта Ааронова-Бома) коррелятор проводимостей оказывается порядка (е2/Л)2. Таким образом, при изменении беспорядка проводимость может измениться на величину порядка ^/h^ хотя образец при этом остается макроскопическим и содержит большое количество примесей (Я 》Z). Это означает, что интерференционная часть проводимости является макроскопически измеримой несамоусредняющейся величиной. Этот неожиданный эффект есть проявление фазовой когерентности электронов при низких температурах.

Диаграммы без самопересечений

Остановимся на вопросе о связи между разложением по параметру(0oZ)~i и классификацией диаграмм, возникающих при усреднении по беспорядку. Диаграммы для рассеяния электронов на случайном потенциале содержат два элемента: электронные линии (функции Грина) и примесные штриховые линии, которые, вообще говоря, могут пересекаться произвольным образом. Основной результат, на котором основаны все применения этой техники, состоит в том, что вклады наинизшего порядка по (0o')-i даются одними лишь непересекающимися графиками. Такие графики определяют так называемое «приближение кинетического уравнения». Условие p^l》1 в точности соответствует больцмановскому параметру, используемому при выводе классического кинетического уравнения, т. е. большой величине длины свободного пробега по сравнению с радиусом взаимодействия. Оказывается, что результаты, получающиеся при отбрасывании всех графиков с пересекающимися примесными линиями, в точности совпадают с результатами, выведенными из кинетического уравнения.

Попробуем понять, почему графики с непересекающимися линиями оказываются выделенными, используя координатное представление. Рассмотрим для этого два графика, дающие поправки к собственно-энергетической части Е:

Рис. 9.19Рис. 9.19

Рис. 9.19

Рис. 9.19

Эти графики дают поправки второго порядка к простейшей собственноэнергетической части Е = —6从—^ signs, найденной в задаче 50 в низшем порядке по рассеянию на примесях. Как мы увидим, вклад первого графика много больше вклада второго графика.

Перерисуем диаграммы, показанные на рис. 9.19, в координатном представлении (см. рис. 9.20). Все гриновские функции, за исключением первой и последней, прикрепляются обоими своими концами к примесям. В координатном представлении усреднение по взаимному расположению примесей производится интегрированием по радиус-вектору г = гх — г2. Зависимость функций Грина от координат дается выражением (9.18).

Найдем вклады графиков, показанных на рисунках 9.19 и 9.20, в мнимую часть ImE. Заметим, что ImE — это мнимая часть амплитуды рассеяния на двух примесях. Воспользуемся теоремой унитарности, связывающей мнимую часть амплитуды рассеяния с сечением рассеяния. Чтобы получить графическое представление этой теоремы (см. задачу 15), надо в каждой диаграмме, описывающей рассеяние во внешнем поле, пометить одну из функций Грина G и заменить ее на GG*〉где G* —комплексно-сопряженная функция. Одновременно с этим, все функции, идущие после помеченной функции Грина, надо заменить на комплексно-сопряженные. При этом, с одной стороны, суммирование по различным графикам и по всем способам

266 ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ пометить одну из функций данного графика дает мнимую часть амплитуды рассеяния. С другой стороны, независимое суммирование по различным частям графиков, встречающимся до и после помеченного места, дает произведение амплитуды рассеяния на комплексно-сопряженную амплитуду с коэффициентом, равным плотности состояний.

Следуя этому рецепту, представим мнимую часть графиков, показанных на рис. 9.20, в виде суммы по помеченным графикам. Обратим внимание на то, что в зависимости от количества функций G и G* осциллирующие фазовые множители G(*r)〜ew|r|signs, G*(%r)〜е-Фо|г|signs МОГуТ сократиться, а могут и не сократиться. Например, если на первом графике на рис. 9.20 помечена функция, выходящая из примеси 2 и возвращающаяся в нее же, то фазовые множители функций, идущих из примеси 1 в примесь 2, и обратно, сокращают друг друга. В то же время, на втором графике рис. 9.20 никакой способ пометки не приводит к сокращению фазовых множителей.

При усреднении по расположению примесей вклады с сокращающимися и с несо- кращающимися фазовыми множителями е±'Р°1Н ведут себя по-разному. Осциллирующий как функция расстояния между примесями |г| множитель обрезает интеграл по d?r на |r| ^ 0『i. Если же происходит сокращение &吵°网 и е~гр^^ то обрезка интеграла по d?r определяется медленно убывающим множителем е~^^21 в выражении (9.18). Соответствующий масштаб есть |r| ^ Z, что много больше 0「. Поэтому главный по р()1 вклад в ImS дается графиками, которые можно пометить так, чтобы все фазовые множители е±'Р°1Н сократили друг друга.

Вследствие этого, вклад первого графика на рис. 9.20 будет порядка 丁一\ а второго ——порядка 丁-2. Сделанное наблюдение нетрудно обобщить на более сложные графики, в которые входит произвольно большое число примесей. Действительно, условие непересечения примесных линий означает просто, что функции Грина проходят одну и ту же (случайную) последовательность примесей, сначала в прямом порядке, а потом в обратном. Пример графика такого рода приведен на рис. 9.21. При этом всегда можно добиться сокращения фазовых множителей, если пометить любую из гриновских функций с совпадающими концами. Следовательно, произвольный график с N непересекающимися линиями по порядку величины равен 丁-一№_\ _ 丁一\ где первый сомножитель есть вклад N примесных линий, а второй ——есть результат ^ — 1 интегрирования по взаимному расположению примесей.

Обратим внимание на то, что вклады всех графиков с непересекающимися линиями оказываются того же порядка, что и ImE = — * sign% найденное в нулевом приближении (см. задачу 50). Вообще говоря, это означает, что при вычислении Е ограничиваться нулевым приближением некорректно. Однако, как мы увидим в разд. 9.7, при суммировании всех графиков порядка 丁一^

получается ответ, совпадающий с нулевым приближением.получается ответ, совпадающий с нулевым приближением.

получается ответ, совпадающий с нулевым приближением.

получается ответ, совпадающий с нулевым приближением.

Итак, если в каком-то графике примесные линии пересекаются, то становятся важны корреляции в расположении примесей на расстояниях порядка 0『L (Это происходит из-за несокращения фазовых множителей, приводящего к интерференции волн, рассеянных на различных примесях.) Если же линии не пересекаются, то такой корреляции нет, поскольку фазы волн, идущих в прямом и обратном направлении, компенсируются. В результате, когда линии не пересекаются, интегрирования по положениям разных примесей оказываются независимыми. В противном случае интегрирования оказываются зависимыми. Каждое зависимое интегрирование дает лишний множитель(0oZ)~i по сравнению с независимыми интегрированиями.

При таком рассмотрении становится ясно, что пренебрежение пересекающимися линиями эквивалентно пренебрежению корреляциями между последовательными столкновениями с примесями. Это в точности то же самое приближение, как и то, что используется в теории кинетического уравнения. Поэтому параметр 侬乙尸一 это обычный больцмановский малый параметр кинетической теории.

Следовательно, любые кинетические коэффициенты, такие как проводимость или коэффициент диффузии, найденные с помощью диаграммной техники в главном порядке по(0о，)-\ должны совпадать с результатами, полученными с помощью классического кинетического уравнения. В том, что это действительно так, мы убедились в задачах 51 и 52. Разумеется, с помощью диаграммной техники можно не только обосновать кинетическое уравнение квантовомеханически, но и рассмотреть эффекты следующего порядка по(0“)一\ не описываемые классической кинетической теорией. Оказывается, что в этом порядке возникают принципиально квантовые физические эффекты, требующие учета интерференции электронных волн (см. задачи 53 и 54).

С несколько более формальной теоретико-полевой точки зрения, ситуция при Pol》1 аналогична 1 /^разложению в теориях поля с большим изоспином. Напомним, что 1 /^разложение вводится для теории, содержащей N 》1 свободных полей ^(хм), взаимодействие между которыми изотропно по изоспину:

(9.141)(9.141)

(9.141)

(9.141)

Оказывается, что в главном порядке по l/^ важны только диаграммы, в которых линии, соответствующие полю 屮诵 не пересекаются. В теории поля такие диаграммы обычно называют планарными^ поскольку, с топологической точки зрения, их всегда можно уложить на плоскость без самопересечений. Кроме того, для диаграмм произвольного вида в теории поля доказывается, что порядок диаграммы по l/^ определяется минимальным родом поверхности (т. е. числом ручек), при котором диаграмму можно изобразить на этой поверхности без самопересечений.

В задаче об упругом рассеянии на случайно расположенных примесях состояния частицы характеризуются импульсом, принимающим значения на ферми- поверхности. Из-за конечной длины свободного пробега, имеется неопределенность в импульсе порядка др =，一丄 Поэтому количество различных состояний частицы оказывается порядка

No =(0)側)2 =(0)炉т , (9.142)

где d —— размерность системы. Для объяснения роли непересекающихся диаграмм в [1] приводится рассуждение, использующее ограничение фазового объема при интегрировании по импульсам в диаграммах с пересекающимися примесными линиями. Обратим внимание на то, что эта аргументация точно такая же, как для теории взаимодействующего Жкомпонентного поля с ^ = Nq.

Электронный спектр неупорядоченной системы

Выше мы рассмотрели ряд теории возмущений для собственно-энергетической части и показали, что главный вклад дается графиками с непересекающимися линиями. При этом оказалось, что вклады графиков с произвольно большим количеством линий одинаковы и равны по порядку величины г-1. Поэтому, вообще говоря, необходимо выполнить суммирование всех таких графиков. Это нетрудно сделать с помощью метода блочного суммирования.

Чтобы не загромождать формулы выражениями, зависящими от знака % рассмотрим запаздывающую функцию Грина, полагая 从=0. Невозмущенная функция Грина есть G^)(*p) = (е — р2/2т + гО)-1. Введем собственно-энергетическую часть Е(е,р), определив ее обычным образом, как сумму всех неприводимых диаграмм. Из графического представления Е(е, р) (рис. 9.22) ясно, что любой вклад в Е(е, р) можно представить в виде вклада в усредненную функцию Грина с концами, замкнутыми примесной линией.

I + : \ + +

I ■ f

Рис. 9.22

(9.143)(9.143)В этом случае уравнение Дайсона выглядит весьма просто:

(9.143)

(9.143)

*(£,Р)= пи. + 闻丿—p〃/2m Т(£,р，)，

и его нетрудно решить. Выражение в правой части не зависит от р, поскольку примеси точечные. Поэтому Е(е, р) является функцией одного лишь £.

В главном порядке по пи^ решение получается, если заменить E(s, pz) в правой части (9.143) на —£0. В случае, когда величина ImE(s) отлична от нуля, но мала по сравнению с % значение выражения в правой части (9.143) останется таким же, как и в нулевом приближении (с точностью до членов более высокого порядка малости по(0о，)-1)・ Поэтому собственно-энергетическая часть Е(е, р), найденная в задаче 50 в низшем порядке по(00，)一\ в действительности является самосогласованным решением уравнения Дайсона (9.143) при условии p^l》1.

Поучительно решить уравнение (9.143) явно, не предполагая малости »(£)по сравнению с £. Чтобы вычислить интеграл в правой части (9.143) надо регуляризовать расходимость при больших |р|. Для этого обрежем интегрирование на а-1, где а — радиус примеси. (Напомним, что примеси можно считать точечными при энергиях (2ni£)i/%《 1.) Перепишем уравнение (9.143) таким образом:

X—д[ ^р，"(£)=…9 =端勿# (9.144)

Интеграл в (9.144) есть a~i — тгА/2. Используя связь А и Е, получаем уравнение на А:

дХ — Л2/ш = 2е,(9.145)

где 8 = е — пт/о + д/а> Решение этого уравнения имеет вид

入⑹=Iпри(9.146)

I ^тд + i^2m(e — £0) при 云 > “〉

где “ = 7г2пгд2/8. Отсюда находим

Х(£)= 2g入(£)+ д/а.(9.147)

При больших положительных £》пт/о, разлагая квадратный корень в (9.146), полу

чаем

И(£)= 2а — uuq + д/а —油汽呜〃(£),(9.148)

где 〃(£)= 771(2772£)1/2/2开2 ——плотность состояний в отсутствие примесей. Нетрудно видеть, что вещественная часть Е просто сдвигает дно электронной зоны (т. е.

меняет химический потенциал) и поэтому несущественна. Мнимая же часть определяет время жизни электрона в данном состоянии и при больших £ совпадает с результатом, найденным в задаче 50.

Полученное решение (9.146) уравнения Дайсона (9.143) часто используют не только при больших, но и при произвольных энергиях. Разумеется, формально это некорректно, поскольку (9.143) было выведено в предположении p^l》1. Тем не менее, такое самосогласованное борновское приближение часто приводит к качественно правильным результатам.

Например, рассмотрим одночастичную плотность состояний. Воспользуемся известным соотношением между плотностью состояний и функцией Грина: 〃(£)= -ImTr G. Нас интересует плотность состояний, усредненная по беспорядку. Поэтому, используя найденное выражение для усредненной функции Грина, получаем

/、1 т / d?pт 7 p2dp

£* = пи^ — g/а + £(),£* = пи^ — g/а + £(),"£ - 7Г(27Г)3歳р2 — #(£)— Ш7Г3 / ^2 +А2(£)

£* = пи^ — g/а + £(),

£* = пи^ — g/а + £(),

(9.149)

где Х(£)дается выражением (9.146). Итак, самосогласованное борновское приближение дает плотность состояний (9.149), отличающуюся от плотности состояний чистой системы лишь сдвигом энергии на определенную величину. Выражение (9.149) имеет качественно правильное поведение: ниже порога £ = £* плотность состояний 〃(£)обращается в нуль, а при больших £ переходит в 〃(£)чистой системы.

Хвост локализованных состояний.

Следует отметить, что самосогласованное борновское приближение несправедливо непосредственно вблизи порога £ = £*. В этой области выражение (9.149) сильно упрощает истинную картину. Дело в том, что состояния в нижней части спектра в случайном потенциале всегда локализованы и поэтому приближение слабого рассеяния в этом случае не имеет смысла. Для изучения локализованных состояний требуются совершенно иные методы, выходящие за рамки теории возмущений.

Локализация приводит к качественным изменениям в поведении плотности состояний системы. Рассмотрим, например, случай отталкивательного потенциала примесей, 〃о > 0. Согласно формуле (9.149), пороговая энергия выше которой плотность состояний отлична от нуля, положительна (поскольку д/а ^ пт/о для точечных примесей). Однако в реальной системе имеются состояния с любыми неотрицательными энергиями. Причина этого в том, что из-за случайного расположения примесей с какой-то вероятностью произвольно большая область пространства может оказаться свободной от примесей. Состояния с энергиями 0 V £ V £* образуют так называемый хвост локализованных состояний. Эта часть плотности состояний не

может быть получена по теории возмущений, поскольку при энергиях £ ^ £* формально 0“《1.

При самых низких энергиях О V £《£* плотность состояний допускает простую оценку. Вероятность найти состояние с энергией £ определяется тем, что найдется достаточно большая область объема 14, свободная от примесей, в которой имеется состояние с требуемой энергией. Поскольку вероятность найти такую область экспоненциально мала по 14, возникает задача о выборе оптимальной области как можно меньшего объема, так называемой оптимальной флуктуации случайного потенциала. Можно показать, что такая область должна быть сферической. Условие того, что сферическая полость содержит состояние с энергией % есть ，2m£R = 7г/2, где R — радиус полости. Поэтому %mm = 47r岳/3 = ^/Q^(2me)~3^. Вероятность того, что имеется такая свободная от примесей сферическая область, есть Р(£)= ехр (—zzV^11n^. В результате плотность состояний при самых малых энергиях ведет себя как exp (—const (以/^尸分).

Вопрос о плотности состояний вблизи «самосогласованного порога» £ = £* также может быть решен. При этом, как и в предыдущем случае, ответ дается вероятностью оптимальной флуктуации. Однако, задача об отыскании такой флуктуации оказывается менее простой.

Плава 10.

Сверхпроводимость

Микроскопическая теория сверхпроводимости

Образование куперовских пар.

Сверхпроводимость в металлах возникает из-за электрон-фононного взаимодействия, приводящего к притяжению между электронами. Качественно это можно понять так. Двигаясь в металле, электрон притягивает ионы. За счет этого, кристаллическая решетка слегка деформируется. Поэтому в области, через которую прошел электрон, на некоторое время остается нескомпенсированным положительный заряд ионов, который, в свою очередь, притягивает другие электроны.

На первый взгляд, электрон-фононное взаимодействие не должно существенно влиять на физику электронной системы. Ведь ядра решетки тяжелые, и электронам трудно сдвинуть их с места. Как мы выяснили в гл. 6, где обсуждалась теория Мигдала, принимающая во внимание большую разницу масс электронов и ионов, это в каком-то смысле справедливо. Действительно, даже при величине электрон-фононного взаимодействия порядка единицы, поправки к различным физическим величинам оказываются либо малыми, либо сосредоточенными в интервале энергий порядка дебаевской, т. е. много меньше энергии Ферми.

Однако оказывается, что электрон-фононное притяжение весьма эффективно, если импульсы взаимодействующих электронов направлены в противоположные стороны. Один электрон, двигаясь сквозь кристалл, встряхивает решетку вдоль линии своего движения. Колебания решетки ——это медленный процесс, поэтому электрон оставляет за собой сравнительно долгоживущий след. Характерная частота колебаний решетки порядка дебаевской частоты 幻。〜^т)Мер^ где т/М - отношение массы электрона к массе иона. Поэтому время рассасывания возмущения решетки оказывается примерно в М/т раз больше, чем время, за которое электрон проходит расстояние между соседними ионами. Это означает, что возмущение решетки, созданное движущимся электроном, образует след, вытянутый вдоль траектории электрона примерно на ^М/т межатомных расстояний. Второй электрон, если он движется точно навстречу первому, проходит через те же самые точки простран-

ства, но в обратном порядке. Все то время, пока рассасывается возмущение, этот электрон находится внутри следа, оставленного первым электроном. Поэтому притяжение между электронами с противоположными импульсами оказывается гораздо сильнее, чем между электронами, движущимися под углом.

Более формально электрон-электронное притяжение получается так. Взаимодействие между электронами за счет обмена виртуальным фононом описывается такой диаграммой:

Рис. 10.1

Мы будем рассматривать этот процесс, как эффективное взаимодействие двух электронов с передачей импульса к. По правилам диаграммной техники, описанным в главах 4 и 6, линии взаимодействия соответствует такое выражение:

g5

Интерес для нас представляют процессы, в которых переданный импульс к порядка фермиевского, а переданная энергия мала: g《wp. Поскольку 以 ~ @d〉выражение (10.1) оказывается равным просто —д^_р» Отрицательный знак амплитуды рассеяния на рис. 10.1 означает, что эффективное взаимодействие является притяжением. Заметим, что передача импульса порядка 0° возможна, лишь если суммарный импульс мал. В противном случае, поскольку все состояния под ферми-поверхностью заняты, а суммарный импульс сохраняется, передача импульса от одной частицы к другой при взаимодействии оказывается малой. (Это наиболее очевидно, если суммарный импульс близок к 20“ т. е. взаимодействующие электроны находятся в близких точках ферми-поверхно сти. В этом случае возможная величина переданного импульса много меньше 0°.) Таким образом, взаимодействие (10.1) наиболее эффективно для электронов с пр о тивоположными импульсами.

Оказывается, что эффективное притяжение приводит к образованию связанного состояния. Электроны группируются в так называемые куперовские пары с противоположно направленными импульсами. Спины электронов в паре оказываются при этом направленными в разные стороны, так чтобы спиновая часть волновой функции пары была нечетной, а координатная ——четной. При этом выигрыш в энергии пары из-за электрон-фононного взаимодействия максимален. Таким образом, купе- ровская пара представляет собой спиновый синглет, а ее орбитальный момент равен нулю.

Такое спаривание называется s-спариванием. Существуют и другие виды сверхпроводящего спаривания более общего вида, характеризующиеся отличным от нуля орбитальным моментом пары или спином пары равным единице. Такое спаривание реализуется, например, в 3Не, а также в некоторых сверхпроводящих материалах,

относящихся к классам так называемых «купратных» и «тяжелофермионных» сверхпроводников.

Наконец, остановимся на связи эффекта спаривания с явлением сверхпроводимости. Заметим, что куперовские пары подчиняются бозе-статистике, и поэтому при низкой температуре они формируют бозе-конденсат. В такой бозе-жидкости из куперовских пар все механизмы рассеяния электронов становятся неэффективными, потому что при рассеянии одного из спаренных электронов пара разрушилась бы. Но разрушение пары требует затраты энергии порядка энергии связи электронов в паре. Поэтому при температуре меньше энергии связи пары рассеяние отдельных электронов оказывается энергетически невыгодным. Вследствие этого при низких температурах электрический ток может течь без диссипации.

Остановимся на влиянии кулоновского взаимодействия на сверхпроводимость. Можно было бы ожидать, что сверхпроводимость должна подавляться прямым электрон-электронным взаимодействием. Действительно, эффекты кулоновского взаимодействия обычно порядка единицы. При этом фононное притяжение между электронами короткодействующее, а кулоновское отталкивание ——дальнодействующее. Поэтому, казалось бы, отталкивание должно перевесить. Однако все не так просто. Дело в том, что кулоновское взаимодействие запаздывает на время порядка обратной плазменной частоты, а электрон-фононное ——на время порядка g$L Иными словами, электрон оставляет вдоль своей траектории фононный след, который не рассасывается относительно долго (см. задачу 64). Поэтому взаимодействие между электронами за счет обмена фононами происходит гораздо дольше, чем кулоновское отталкивание. Следствием этого является относительная малость эффекта кулоновского взаимодействия (см. задачу 61). В результате электрон-фононное взаимодействие оказывается более существенным для сверхпроводимости, чем кулоновское.

Чтобы лучше понять механизм образования пар, мы упростим задачу и, следуя первоначальной идее Купера, рассмотрим всего два взаимодействующих электрона, движущихся на фоне ферми-моря. При этом мы будем пренебрегать эффектом рождения электрон-дырочных пар, и учтем влияние остальных электронов только в том смысле, что импульсы выбранных нами двух электронов будут обязаны лежать вовне ферми-сферы.

В импульсном представлении состояния пары электронов описываются волновой функцией Wa/(p〉pz), где р и р‘ ——импульсы, а а и /3 ——спиновые индексы. Взаимодействие между электронами сохраняет спин, поэтому будем рассматривать только синглетные состояния ЗаЗ(Р〉Р‘) = 3(Р〉Р‘)(丨 ТВ — | И))- Орбитальная часть волновой функции Ф(р, pz) удовлетворяет уравнению Шредингера в импульсном пространстве:

еф(р,р9 =(ер + Ер^^р,^) + £ Vpp，qW(q,q')・ (ю.2) p+p'=q+q‘

Здесь Ер = 02/2пг —从一одночастичная энергия, a V^p/qq/ — эффективное взаимодействие между электронами. Как указано выше, мы предполагаем, что импульсы р и р，находятся снаружи ферми-сферы: |р| > 0“ |р[ > Pq.

Следует заметить, что характерная энергия, переданная при электрон-фононном взаимодействии, не может быть больше дебаевской частоты g。. Поэтому будем считать, что взаимодействие 吟р/qq/ отлично от нуля только в узком интервале энергий порядка G。：

Vpp/qq/ = ( при 磔，瓦"< 3d、(10.3)

"е противном случае.

Здесь мы ввели обозначение для эффективной константы взаимодействия: А = д^_р»

Рассмотрим вначале случай нулевого суммарного импульса пары Р = р + р‘ = 0. При этом уравнение (10.2) принимает вид

(Е — 2Ep)W(p, —р) = — X £ W(q, —q)(Ю.4)

Поскольку правая часть этого уравнения не зависит от р в области \ЕР\ < 幻。〉решение уравнения есть

田(Р,-Р)=".(10.5)

Такое решение существует, если

1

-А £= 1-(10.6)

Напомним, что условие Eq > Q в (10.6) возникает, поскольку в задаче присутствует ферми-море, из-за чего рас см атрив аемые два электрона не могут переходить в состояния под ферми-поверхностью. Условие же Eq < 幻。в (10.6) отражает тот факт, что электроны обмениваются фононами, и поэтому переданная при взаимодействии энергия не может быть больше

Нас интересует связанное состояние электронов пары, поэтому энергия Е должна быть отрицательной. Переходя в (10.6) к интегрированию по £〉имеем

11п О + 爷)'а°・7)

где % = три/(2тг2^)——одночастичная плотность состояний на уровне Ферми. Решая уравнение (10.7), получаем энергию связи пары:

Е = —…(10.8)

При малой константе связи 入％ 《 1 выражение (10.8) превращается е Е = —2幻£)&-2""°. Итак, связанное состояние двух электронов действительно существует. Обратим внимание на существенную роль ферми-статистики. Электроны не могут перейти в занятые состояния под ферми-поверхностью, поэтому в импульсном пространстве они всегда находятся в тонком двумерном сферическом слое между |р| = 0о и |р| ^ pQ + 3d］屯f・ Аналогично можно рассмотреть образование пары с

суммарным импульсом к отличным от нуля. Нетрудно показать, что в этом случае минимальная энергия связи достигается при к = 0.

Отметим интересную аналогию между рассмотренной задачей об одной куперовской паре и задачами 12 и 13, в которых обсуждается образование связанного состояния при движении частицы в поле мелкой ямы. Связанное состояние имеется только в пространстве размерности D》2, причем при D = 2 ситуация логарифмическая, как в (10.6), и энергия связи оказывается экспоненциально малой по глубине ямы. Особая роль размерности D = 2 связана с тем, что плотность состояний 〃(е) при D < 2 расходится при энергии е т 0, в то время как при D = 2 плотность состояний 〃(е) остается конечной при сколь угодно малом е. В то же время при D > 2 плотность состояний обращается в нуль при е т 0, чем и объясняется отсутствие связанных состояний в мелкой яме. Нетрудно видеть, что при D = 2 задача о мелкой яме формально эквивалентна задаче о куперовской паре. Поэтому иногда говорят, что динамика куперовской пары эффективно двумерна.

Интересно оценить размер куперовской пары. Это можно сделать, например, из соотношения неопределенности. Энергия каждого из электронов в паре имеет неопределенность порядка △ (потому что фиксирована лишь суммарная энергия). Соответствующая неопределенность импульса есть др ~ Д/fj? и, следовательно, положение каждого из электронов определено с точностью до

£ = h/бр力 1暗心・(10.9)

Это и есть размер пары. Поскольку при слабом взаимодействии X% 《1 энергия связи △ экспоненциально мала, расстояние между электронами в паре оказывается гораздо больше, чем среднее расстояние между электронами. Это означает, что пренебрежение взаимодействием электронов пары с электронами ферми-моря, вообще говоря, некорректно. Поэтому рассмотренная нами задача об одной куперовской паре представляет собой лишь наводящее соображение. Тем не менее, как будет показано ниже, полученная оценка энергии связи (10.8) не очень далека от значения, предсказываемого точной теорией. Кроме того, представление о куперовских парах оказывается весьма полезным при качественных рассуждениях.

Квазичастицы в сверхпроводнике.

Перейдем к более формальному анализу задачи о сверхпроводящем спаривании. Запишем г амиль тони ан системы с притяжением:

^БКШ =〉：&- о 〉：%p，q『 ^ра^р'(10.10)

Рp+p/=q+q‘

Как и раньше, будем считать, что взаимодействие отлично от нуля только вблизи ферми-поверхности:

Vpplqql = П при К < 3D,(10.11)

I о при &1ax >'

где gmax = max{|£p|/£p"/£q|/£q"}. Выражение (10.10) называется гамильтонианом теории Б ар дина-Купера-Шриффера (БКШ).

При слабом взаимодействии между электронами, константу А можно выразить через безразмерную константу《электрон-фононного взаимодействия: А = 5^—ph =

</% (см. с. 114). Следует отметить, что в реальных системах (т. е. при < ^ 1) связь между X и С не такая простая. В этом случае из-за сильной перенормировки электронного спектра теория сверхпроводимости должна самосогласованно учитывать все эффекты электрон-фононного взаимодействия, обсуждавшиеся в гл. 6. Тем не менее, гамильтониан БКШ с X ^ 5^—ph оказывается вполне разумным приближением даже при <1.

Упростим гамильтониан БКШ, оставив в нем лишь члены, отвечающие за взаимодействие с противоположными импульсами:

丸=若- р 若(10.12)

Получившийся гамильтониан все еще довольно сложен. Поэтому для его анализа мы воспользуемся теорией среднего поля.

В задаче о сверхпроводящем спаривании теория среднего поля оказывается весьма нетривиальной. Введем операторы Ва^ = £ 脸Мр/〉описывающие рождение куперовской пары с конфигурацией спинов \а/3). Взаимодействие в гамильтониане (10.12) можно представить в виде —(А/2) £&/ 瓦^瓦夕 Далее, нетрудно показать, что 片ТТ = Вд = 0, а 月〔J = —В^. (Для этого надо рассмотреть тождества ^(r)^(r) = 0 и {山：(厂)〉山：(『)}+ = 0, и перейти в фурье-представление.) Поэтому взаимодействие в (10.12) можно представить в виде —ХВ^В门.

При бозе-конденсации пар все они оказываются в одном и том же квантовом состоянии, поэтому мы предполагаем, что в сверхпроводящем состоянии среднее от оператора рождения пары отлично от нуля: {В)千 0. Такое предположение может показаться противоречивым, ведь оператор В не сохраняет число частиц, а состояния с различным числом частиц должны быть ортогональны. Дело, однако, заключается в том, что мы рассматриваем систему с очень большим числом частиц ^, и изменение N на величину порядка единицы есть в некотором смысле «малая поправка». Поэтому можно считать, что основные состояния с ^ и с ^ + 2 частицами практически тождественны. Более подробно смысл так называемых «аномальных средних» мы обсудим ниже (см. пункты 10.2.1 и 10.2.2), а пока просто заменим в гамильтониане (10.12) операторы = £ 咕а% и 历］=£口现口—?т на их средние. При этом получается так называемый гамильтониан Боголюбова:

丸=〉(10.13)

где

△=入 工(％1a-加)△=入 *〈哺а%〉•(10.14)

(В выражении (10.13) мы пренебрегли не суще с твенной константой —А| Д|2.) Гамильтониан (10.13) квадратичен по операторам арау 若卅 и поэтому его можно легко диа- гонализовать с помощью канонического преобразования. Введем для этого новые

фермионные операторы:

срТ = 〃рарТ + &patp「ср] = —&p4j. + 〃ра_рТ •(10.15)

Постараемся подобрать ир и vp так, чтобы гамильтониан (10.10) перешел в гамильтониан свободных частиц

% = Ео +££рС^Ср.(10.16)

Это можно сделать любым из методов, рассмотренных в задачах гл. 1. Получаем

где ер = у^ _р |Д|2 (см.〉например, задачу 2).

Таким образом, мы нашли квазичастицы гамильтониана БКШ, упрощенного методом Боголюбова. Как видно из соотношений (10.15) и (10.17), квазичастицы очень сильно отличаются от исходных электронов в интервале энергий & 〜△ вблизи ферми-поверхности, а за пределами этого интервала отличие невелико. На поверхности Ферми & = 0〉и поэтому энергия квазичастицы есть Д, а энергия квазидырки равна —Д. Таким образом, в спектре квазичастиц открывается щель ширины 2Д.

Чтобы определить величину Д, нужно учесть условие самосогласования (10.14). Вычисляя среднее (aqia-q^} с помощью преобразования (10.15), получаем

(10.18)

В этом выражении можно перейти к интегрированию по £:

(10.19)(10.19)、3d

(10.19)

(10.19)

△ = —0/

—3。

При △《G。интеграл в правой части (10.19), с логарифмической точностью, есть 1п(2с＜；р/Д). Поэтому уравнение (10.19) принимает вид △ = АД In (2с＜；р/Д) и соответственно имеет нетривиальное решение

(10.20)(10.20)△ = 2“/е-1""。.

(10.20)

(10.20)

Итак, с помощью канонического преобразования мы диагонализовали гамильтониан БКШ и показали, что в спектре квазичастиц открывается щель. При этом были учтены все эффекты взаимодействия, как над, так и под ферми-поверхностью. Интересно, что при таком более строгом рассмотрении ответ для ширины щели в спектре системы не слишком сильно отличается от результата (10.8) задачи об одной паре.

Отметим интересную аналогию между теорией БКШ и теорией пайерлсовского диэлектрика в одномерной системе электронов, взаимодействующих с фононами (см. разд. 6.4). Можно проследить сходство между гамильтонианами, процедурой их диагонализации, спектрами получающихся

квазичастиц, и уравнениями самосогласование для щели в спектре. Несмотря на формальное сходство, физика возникающего из-за взаимодействия основного состояния в этих системах совершенно разная. В теории БКШ спариваются электроны на противоположных участках ферми поверхности, а в теории Пайерлса спариваются электроны и дырки. В первом случае получается сверхпроводник, а во втором — диэлектрик. Сверхпроводящее состояние пространственно однородно, а в пайерл- совском состоянии имеется волна плотности.

Диаграммная техника для теории Бардина-

Купера—Шриффера

Рассеяние в куперовском канале.

Образование пар — явление существенно квантовое. Поэтому в задаче о сверхпроводимости формализм функций Грина оказывается весьма подходящим средством. С помощью соответствующим образом введенных гриновских функций теорию сверхпроводимости можно развить весьма далеко и рассмотреть такие вопросы, как термодинамика сверхпроводников, роль кулоновского взаимодействия в спаривании, отклик сверхпроводников на внешнее электромагнитное поле, и т. д. Кроме того, большое значение имеет обобщение теории БКШ на случай так называемых «грязных» сверхпроводников, т. е. металлов с примесями. В последнем случае, как мы увидим, преимущества функций Грина особенно значительны.

В предыдущих главах мы рассматривали либо невзаимодействующие, либо слабо взаимодействующие системы, в которых квантовые эффекты, в основном, возникали из-за квантовой статистики (как, например, в ферми-газе). По этой причине многие из результатов предыдущих глав можно получить, используя вместо функций Грина какой-нибудь обходной прием. (Например, отклик ферми-газа на внешнее поле можно найти либо с помощью кинетического уравнения, либо выписывая явно второй порядок теории возмущений.) Теория же сверхпроводимости имеет дело с сильно взаимодействующей системой, в которой взаимодействие приводит к качественной перестройке основного состояния. Поэтому функции Грина оказываются не только наиболее естественным, но и во многих случаях единственно возможным инструментом.

Рассмотрим теперь, как задача о сверхпроводящем спаривании переводится на язык диаграммной техники. Сначала разберемся, что на языке диаграмм означает утверждение об образовании связанного состояния для пары электронов с противоположными импульсами. Как известно, связанному состоянию соответствует полюс в амплитуде рассеяния (см. задачи 12, 13 в гл. 3), поэтому естественно рассмотреть вершинную часть рассеяния электронов с противоположными импульсами друг на друге. Вклады первого и второго порядка по взаимодействию имеют вид

ах

Рис. 10.2

Первой диаграмме соответствует

г，/3g=2 0g@#-%伊3呢).г，/3g=2 0g@#-%伊3呢).(10.21)(10.21)

г，/3g=2 0g@#-%伊3呢).

г，/3g=2 0g@#-%伊3呢).

(10.21)

(10.21)

Вторая диаграмма на рис. 10.2, представляющая собой поправку второго порядка теории возмущений, логарифмически расходится:

入"о 1п(2“п/а) ^а1^,.入"о 1п(2“п/а) ^а1^,.(10.22)(10.22)

入"о 1п(2“п/а) ^а1^,.

入"о 1п(2“п/а) ^а1^,.

(10.22)

(10.22)

Здесь g ——суммарная энергия взаимодействующих электронов. Соответствующая диаграмма будет вычислена в задаче 58 (см. также [1], § 33).

Диаграммы более высоких порядков, наиболее сингулярные при g — 0〉образуют такой ряд:

QX+RI+

Рис. 10.3

В этом ряде диаграмма n-го порядка по А имеет п — 1 «опасных» сечений, импульсы частиц в которых попарно противоположны. Каждое такое сечение приводит к логарифмической расходимости, поэтому n-й член ряда (10.3) ведет себя как (—Х〃о 1п(2с<；р/с<;))п_1Г^а>^^. Суммируя геометрическую прогрессию, получаем

1 -入固 1п2а//а ^1^" (1°・23)

Амплитуда рассеяния электронов с противоположными импульсами, даваемая суммой ряда (10.3), называется амплитудой рассеяния 6 купер о веком канале. Полюс в выражении (10.23) следует интерпретировать, как неустойчивость ферми-газа, связанную с образованием куперовских пар.

Оказывается, неустойчивость возникает только при достаточно низкой температуре. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим ферми-газ с притяжением (10.10) и найдем «куперовскую восприимчивость». Введем в гамильтониан (10.10) возмущение

Hpert = / {必；(г)必 j (r)4(r) + 叫(г)%(!•)△* (г)} , (10.24) и определим линейный отклик

а〈*(г)叽(г)〉а〈*(г)叽(г)〉(10.25)(10.25)

а〈*(г)叽(г)〉

а〈*(г)叽(г)〉

(10.25)

(10.25)

по отношению к возмущению (10.24). Среднее〈山〔(г)山］(г)〉представляет собой, как обсуждалось выше, амплитуду куперовских пар, а △ играет роль вспомогательного внешнего поля.

Операторы 山丁 (г)山］(г) и 山：(г)山：(г) выглядят несколько непривычно, поскольку они не сохраняют число частиц. Среднее от такого оператора, взятое по состоянию с фиксированным числом частиц, обращается в нуль. Тем не менее, подчеркнем, что куперовская восприимчивость есть корректно определенная величина: в присутствии возмущения (10.24), не сохраняющего число частиц, среднее〈山〔(г)山］(г)〉отлично от нуля.

Перед тем, как вычислять восприимчивость хс〉отметим, что она отличается от отклика на воздействие какого-либо реального поля тем, что поле △ нельзя приложить. Однако нас интересует на самом деле лишь, устойчива ли система по отношению к такому возмущению. Неустойчиво с ть, если она имеется, означает, что система сама перестраивается так, чтобы появился конденсат куперовских пар ®Т(г)%(г)〉* 0 (а вместе с ним и отличная от нуля △).

Покажем, что куперовская во сприимчиво сть хс конечна при Т > T,s обращается в бесконечность при Т = ТС^ где 么 ^ △ — температура перехода в сверхпроводящее состояние. Интересующая нас восприимчивость есть термодинамическая величина, поэтому ее следует вычислять с помощью мацубаровских функций Грина. Соответствующая по следовательно сть диаграммы образует так называемую купер о в скую лестницу:

O + 8 + C0O+ •

Рис. 10.4

Нетрудно видеть, что эти диаграммы получаются из диаграмм для амплитуды рассеяния замыканием внешних концов. Поэтому восприимчивость хс равна

ХсЗп) = ПсЗп) + АП^(ШП) + • • • =,(10.26)

丄—Alleyn)

где одна ступень куперовской лестницы есть

n川)=咚 / 侬" +汝. — ；)(一£“ —&) •a。・27)

Нас интересует термодинамическая восприимчивость, поэтому положим g也=0. Суммируя по m с помощью формулы (7.85) (см. также (7.83)) и переходя к интегрированию по £〉получаем

Пс(О)=Пс(О)=у / th(£/2T) g — 3Dу / th(£/2T) g — 3D(10.28)(10.28)

Пс(О)=

Пс(О)=

у / th(£/2T) g — 3D

у / th(£/2T) g — 3D

(10.28)

(10.28)

что с логарифмической точностью есть z/0 ln ^d/T (см. задачу 58, а также ［1］, § 33).

Итак, условие ХПс(О) = 1, определяющее температуру, при которой куперовская восприимчивость (10.26) расходится, принимает вид

入％ In (*) = L(10.29)

Решение этого уравнения дает температуру перехода в сверхпроводящее состояние:

Тс = —Wo .(10.30)

Здесь 7 = ес, где С = 0, 577...——постоянная Эйлера. Коэффициент 2?/开 в этой формуле получается в результате более аккуратного вычисления (см. задачу 58). Как и следовало ожидать, температура Тс оказывается порядка величины энергетической щели (10.20), отделяющей основное состояние конденсата куперовских пар от возбужденных состояний, а также порядка частоты, при которой куперовская амплитуда рассеяния (10.23) имеет полюс.

Функции Грина в сверхпроводнике.

С формальной точки зрения, последовательность диаграмм на рис. 10.3 сильно напоминает ряд, соответствующий уравнению Бете-Солпитера (4.20) для двухчастичной амплитуды рассеяния (см. гл. 4). Важное отличие, однако, состоит в том, что теперь задача многочастичная, а не двухчастичная. (Функции Грина на рисунках 10.2,10.3 учитывают эффекты ферми-статистики.) Многочастичность задачи означает, что в действительности спаривание есть не двухчастичное, а коллективное явление. Поэтому для его описания было бы недостаточно просто заменить затравочную амплитуду рассеяния на полную, как мы поступали в одно- и двухчастичных задачах в главах 3 и 4.

Куперовская неустойчивость означает, что при включении взаимодействия основное состояние ферми-газа перестраивается нетривиальным образом. Эта перестройка и есть образование бозе-конденсата куперовских пар. Оказывается, что функции Грина, необходимые для описания этого явления, совершенно отличаются от обычных функций Грина ферми-системы.

Чтобы правильно ввести гриновские функции, приведем такое наводящее соображение. При g вблизи полюса выражения (10.23) куперовская лестница, показанная на рис. 10.3, становится «бесконечно длинной». (Имеется в виду, что знаменатель геометрической прогрессии (10.23) близок к единице, поэтому все члены ряда одинаково важны.) Поэтому для вычисления функций Грина нужно суметь просуммировать диаграммы, изображенные на рис. 10.5. Мы намеренно не изобразили на этом

рисунке концы лестниц, поскольку их длина оказывается ничем не ограниченной.

Для суммирования таких диаграмм оказывается удобным ввести две функции Грина:

Ga0(/,a/) = —2〈Т%⑺若(а/)〉，凡。(伤 а/) = —2〈Т^⑵物(а/)〉. (10.31)

Функцию F часто называют аномальной функцией Гринщ потому что в нормальном металле она равна нулю. Выражение ^^(х)山/(/')〉выглядит несколько загадочно, поскольку обычно средние от операторов, не сохраняющих число частиц, обращаются в нуль. Однако в сверхпроводнике это не так. Впрочем, при желании можно считать, что F ——это просто удобное обозначение, введенное для облегчения суммирования диаграмм, подобных изображенной на рис. 10.5.

Роль функции F можно понять, сравнив переход в сверхпроводящее состояние с переходом в магнетике из парамагнитной фазы в ферромагнитную. При таком переходе возникает спонтанная намагниченность М, причем ориентацию вектора М нельзя определить из гамильтониана ферромагнетика, обладающего вращательной симметрией. Ниже температуры магнитного перехода симметричное парамагнитное состояние неустойчиво, и произвольно малое внешнее поле h ориентирует спины s(r) по полю, т. е. приводит к М =〈s(r)〉丰 0. Формально это выражается в том, что магнитная восприимчивость х = AM/Ah обращается в бесконечность в точке перехода. Ситуация в сверхпроводнике в значительной мере сходная: роль магнитной восприимчивости играет куперовская восприимчивость х。обсуждавшаяся в п. 10.2.1. Мы видели, что Хс(Т) расходится при Т = Тс (см. (10.30)). Поэтому при Т < Тс как угодно малое возмущение может создать конечное аномальное среднее

Какая же симметрия нарушается при этом переходе? В ферромагнетике нарушенная симметрия — это Т-инвариантность, а также симметрия по отношению к повороту спинов, а в сверхпроводнике — калибровочная инвариантность. При калибровочном преобразовании 山 — 山&屮 функция F преобразуется так: F — Fe2^. Поэтому она калибровочно неинвариантна и появление R * 0 означает нарушение калибровочной инвариантности. Как и в случае магнетика, гамильтониан которого

обладает полным набором симметрий, исчезновение калибровочной инвариантности в сверхпроводнике не означает неинвариантность гамильтониана относительно калибровочных преобразований. Калибровочно неинвариантным оказывается лишь основное состояние сверхпроводника. Вместо калибровочной инвариантности мы имеем теперь калибровочную ковариантность. Если при калибровочном преобразовании изменять основное состояние так, что R и △ будут тоже преобразовываться, то все физические величины останутся неизменными.

Вернемся к гриновским функциям G и R. На рис. 10.5 показаны не все диаграммы, дающие вклад в G и F, а только простейшие. Более сложные диаграммы, которые также надо учесть, получаются вставкой по л у б е сконечных куперовских лестниц в гриновские функции, входящие в куперовские лестницы, показанные на рис. 10.5. Говоря иначе, все гриновские функции в лестницах на рис. 10.5, следует ужирнитъ. Формально это выполняется введением в графики нового элемента, внешнего поля

L + »е J △宀 + •

^^ = 二 a %1二A g △ _? ▲尾h

Puc. Ю.6

причем △&/ удовлетворяет уравнению самосогласования:причем △&/ удовлетворяет уравнению самосогласования:Рис. 10.7Рис. 10.7+ .+ .

причем △&/ удовлетворяет уравнению самосогласования:

причем △&/ удовлетворяет уравнению самосогласования:

Рис. 10.7

Рис. 10.7

+ .

+ .

Величина △&/ имеет смысл амплитуды куперовских пар.

Графики на рисунках 10.6 и 10.7 означают, что функции Грина сверхпроводника G&3 и 凡з связаны с гриновской функцией G^/(* р) идеального ферми-газа и полем такими уравнениями:

Ga0(* р) =р) + G厶(％ р) △；〃 F^(e, р),(10.32)

Fa^e, р) = G厶(—* р) G〃0(* р)(10.33)

(подразумевается суммирование по спиновым индексам X и 从).

Прежде чем решать уравнения (10.32), сделаем замечание о спиновой структуре функций G и R. Зависимость G от спина такая же, как в нормальном металле: G&3 = ba/G. А вот функция F устроена иначе. Поскольку куперовская пара есть спи-

новый синглет, амплитуда △&/ = △(—£)с^夕 Нетрудно видеть, что уравнения (10.32) совместны только если спиновые структуры △&/ и 凡одинаковы. Поэтому

△а。= ( ；凡詬，Р) = ( I 二)"％ Р) •

(10.34)

С учетом спиновой структуры (10.34) уравнения (10.32) нетрудно решить:

Ga0(* Р)- £2 _ ^2 _ Д 2 8a0

Р)—戸—— △ 2 沁.

(10.35)

(10.36)

Из выражений (10.35), (10.36) следует закон дисперсии квазичастиц

£р =

(10.37)

Наконец, с помощью (10.36) можно определить щель из уравнения самосогласования,

(10.38)

часто также называемого уравнением Горькова, и таким образом замкнуть теорию (см. рис. 10.7).

Для изучения термодинамики сверхпроводников нам потребуются мацубаров- ские функции Са/з(шп, р) и Fa^(i(jjn^ р). Они получаются из нуль-температурных функций (10.35), (10.36) аналитическим продолжением на дискретные частоты, т. е. просто заменой £ — шп. При этом уравнение (10.38) принимает вид

△"咚"^ P)3)3 "咚/腸 + * + /27r

(10.39)

Описанный формализм оказывается весьма эффективным в широком круге задач теории сверхпроводимости.

В заключение отметим, что вычисления гриновских функций сверхпроводника можно «автоматизировать», если работать не с функциями G и F по отдельности, а с так называемыми матрицами Горькова-Намбу, составленными из них (см. [1], (34.32)). Приведем канонический способ записи этих матриц в температурной технике. Определим функции Грина,

G^(r1,r2,T1,T2) = 一(IV 必伞1,71)吋(「2"2))，

G]](ri,r2,71,72)= —〈TV 例 8,71)吋(丁2"2)〉，

(10.40)

(10.41)

и, аналогично, F^^ F^. Составим из них матричную функцию Грина:

(10.42)

Матрица G удовлетворяет уравнению

- -(д(п)т+ +д*(п)т_)) <5Ш(Г1,Г2) = $(Г1 —Г2), (10.43)

где 北 и т± = rx±iry — матрицы Паули (мы обозначили их так для того, чтобы отличать от спиновых операторов). Матричное уравнение (10.43) есть сокращенная форма записи уравнений (10.32).

Основное удобство представления Горькова-Намбу заключается в том, что при работе с матричными величинами относительные знаки различных диаграмм, содержащих функции F и G автоматически получаются правильными. Кроме того, матричная запись весьма компактна (см. задачи 59, 63, 64).

В частности, матричный формализм весьма удобен при расчете отклика сверхпроводника на внешнее электромагнитное поле (см. задачи 63, 65). Магнитное поле включается в матричную запись заменой р^р — -т^А и соответственно оператор тока есть

j(r)= @т А(г)] (10.44)

(ср. с формулой j = —cSH/SA).

В теории сверхпроводимости имеется много интересных и красивых явлений. Однако подробное их изложение увело бы нас слишком далеко. В задачах этого раздела мы постарались отразить наиболее важные с нашей точки зрения факты микроскопической теории сверхпроводимости. Физика сверхпроводимости подробно освещается в учебной литературе, к которой мы и отсылаем заинтересованного читателях.

Литература: Относительно компактное изложение основных фактов физики сверхпроводимости содержится в [3], гл. X, а также в [6], гл. V. Метод функций Грина в теории сверхпроводимости подробно рассмотрен в [1], гл. VII.

Задачи 58 — 64

Задача 58. {Куперовская неустойчивость.) В п. 10.2.1 при вычислении температуры перехода мы использовали приближение (10.11), для того чтобы ограничить сверху область интегрирования по энергии £(р) (см. также (10.3)). На самом деле, поскольку сверхпроводимость возникает из-за обмена фононами с относительно большим временем запаздывания, более корректно рассматривать нелокальное во времени взаимодействие, которое обрезало бы не интегралы по импульсам, а интегралы по частотам.

В. В. Шмидт, «Введение в физику сверхпроводимости» (М., Наука, 1982); А. А. Абрикосов, «Основы теории металлов» (М., Наука, 1987); П. де Жен «Сверхпроводимость металлов и сплавов» (М., 1968); М. Тинкхам, «Введение в сверхпроводимость», перевод под ред. К. Лихарева (М., Атом- издат, 1980);

Рассмотрим м ацубар ов скую амплитуду рассеяния в куперовском канале Гс(ге, isf)) (энергии сталкивающихся частиц равны ±* а разлетающихся — ±Н). Она дается суммой лестничных графиков, из о браженных на рис. 10.8.

工+共+女+ •

Рис. 10.8

Пусть каждой волнистой линии соответствует множитель Г°(ге, ief). Будем считать взаимодействие точечным и соответственно пренебрежем зависимостью Г° и Г° от импульсов.

Суммируя куперовскую лестницу, выведите интегральное уравнение, определяющее 「。(辽)*).

Рассмотрите модель, в которой Г°(ге, is7) факторизуется:

「。(辽)*)=入&侬)"*),(10.45)

где А ——константа взаимодействия, а функция & (Ее)——формфактор, определяющий масштаб энергий (спиновая структура опущена). Найдите температуру, при которой обращается в бесконечность.

В случае, когда

найдите связь между Тс и 仞>

Модель (10.45) нефизична, поскольку настоящее электрон-фононное взаимодействие приводит к затравочной вершине Г°, зависящей от переданной энергии е — У. Тем не менее, поскольку эта модель учитывает запаздывание притяжения между электронами на временахона дает

качественно правильные предсказания.

Задача 59. (Температурная зависимость щели △(Т).) Определите температурную зависимость Д(Т) для запаздывающего взаимодействия (10.45), (10.46) из задачи 58. Примите во внимание, что из-за запаздывания щель △ становится функцией энергии £ спаривающихся частиц.

Соответственно рассмотрите величину △(£)и, модифицируя уравнения (10.38), (10.39), получите для А(£)уравнение само согласования.

В найденном уравнении вычислите интеграл по £. Изобразите качественное поведение решения уравнения Д(Т) на графике. Как Д(Т) ведет себя при Т — 0 и при Т — Т/

Найдите сверхпроводящую щель △(Т) е пределе низких температур (Т — 0) и вблизи точки перехода (Т —么).

Задача 60. (Теплоемкость при Т < 么.)Покажите, что вклад электронов в термодинамический потенциал Q сверхпроводящего металла дается диграммным

рядом, показанным на рис. 10.9.

ООО

Рис. 10.9

Какие выражения сопоставляются различным диаграммам?

Выразите сумму графиков рис. 10.9 через функцию △(Т)〉считая ее известной. Найдите температурную зависимость теплоемкости сверхпроводника:

при Т《Т&

при Т Тс. В этом случае достаточно взять первый график, показанный на рис. 10.9, поскольку вблизи Тс величина △ мала. Сравните ответ с тепло емко с тью нормального металла (см. [1], §36).

Вычисляя мацубаровскую сумму при низких температурах, удобно пользоваться формулой суммирования Пуассона

/⑺dx./⑺dx.(10.47)(10.47)= £

/⑺dx.

/⑺dx.

(10.47)

(10.47)

п—— ООfc—— ОО

оставляя в сумме по к лишь члены с к = 0, ±1. Напомним, что применять формулу Пуассона следует с осторожностью, поскольку она справедлива лишь для функций, аналитических на всей вещественной оси.

Задача 61. (Влияние кулоновского взаимодействия2 на сверхпроводимость.) Как уже обсуждалось в п. 10.1.1 влияние кулоновского взаимодействия на сверхпроводимость невелико благодаря сильному запаздыванию фононов (см. с. 275). Рассмотрим вопрос об относительной важности электрон-электронного и электрон- фононного взаимодействий более подробно.

Оказывается удобным ввести упрощенную модель взаимодействия, в которой между электронами имеется мгновенное отталкивание и запаздывающее притяжение, причем как отталкивание, так и притяжение считаются точечными. При этом затравочная амплитуда рассеяния в куперовском канале имеет вид

「0侬)辽’)=1&侬)"*)-从,「0侬)辽’)=1&侬)"*)-从,(10.48)(10.48)

「0侬)辽’)=1&侬)"*)-从,

「0侬)辽’)=1&侬)"*)-从,

(10.48)

(10.48)

где параметр 从 характеризует величину отталкивания между электронами.

Найдите температуру, при которой амплитуда рассеяния в куперовском канале обращается в бесконечность. Покажите, что эффект отталкивания сводится к замене константы А в выражении (10.30) для Тс на

А* = А —А* = А —1 + %м1п(Хг7Gо)1 + %м1п(Хг7Gо)(10.49)(10.49)

А* = А —

А* = А —

1 + %м1п(Хг7Gо)

1 + %м1п(Хг7Gо)

(10.49)

(10.49)

Безразмерная величина кулоновского взаимодействия в металле есть %从 ^ е?/力&f в пределе высокой электронной плотности и %从 ^ 1 при обычных значениях плотности. Соответственно максимально возможная поправка к эффективной константе взаимодействия А*, согласно (10.49), имеет относительную малость 1/1h(£f/gd)・ Поэтому кулоновское взаимодействие в нормальном металле не может превратить притяжение в отталкивание и, следовательно, не подавляет сверхпроводимость.

Чтобы установить соответствие между моделью (10.48) и реальным кулоновским взаимодействием V(q) в первом приближении достаточно подставить вместо д среднее значение V (q) в s-канале. Для случая экранированного кулоновского взаимодействия

V(q)= 产2 ； 绪=8兀％巒 (10.50)

(см. задачу 45) получаем следующее выражение:

〃=М(р-р6 = gin (1+替)， (10.51)

где усреднение производится по положениям импульсов р и р‘ на ферми-поверхности.

Задача 62. (Тождество Уорда 6 нормальном металле.) При вычислении электромагнитного отклика сверхпроводника центральное место занимает рассмотренное в гл. 9 тождество Уорда (9.16), следующее из калибровочной инвариантности. Оно приводит к сокращению градиентного и диамагнитного вкладов в электрический ток, с которым мы уже сталкивались в задаче 51 при выводе формулы Дру- де. Прежде чем заниматься электродинамикой сверхпроводников, изучим тождество (9.16) более подробно в случае нормального металла.

Рассмотрим линейный отклик тока j в идеальном ферми-газе электронов на неоднородный статический векторный потенциал А. В импульсном представлении линейное соотношение j и А записывается как jk = Q(k) Ak・ Калибровочная инвариантность требует, чтобы для ядра Q(k) выполнялось свойство Q(k = 0) = 0. Согласно тождеству Уорда, это равенство обеспечивается сокращением градиентной 〈vGvG〉и диамагнитной частей тока j = —訂〈山+(г)山(г)〉А(г) (см. задачу 51).

Проверьте это сокращение еще раз в более общем виде, не предполагая спектр электронов £(р) квадратичным, а считая его произвольной функцией. Используйте соотношение v(p) = Vp^(p).

(Диамагнетизм Ландау.) С помощью тождества Уорда можно найти орбитальную магнитную восприимчивость хо газа невзаимодействующих электронов. Согласно результату части а), разложение Q(k) по к начинается с члена второй

Разложите петлю, показанную на рис. 10.10, по к и определите константу а. Как а связана с Хо? Проверьте, что Хо = — |хпара? где Хпара — парамагнитная восприимчивость, найденная в задаче 23 (см. [1], §37).

Если бы нас интересовало не сокращение Q(0), а одно только вычисление хо, можно было бы действовать иначе. Рассмотрим оператор орбитального магнитного момента д = ^ [гхр] и найдем его среднее, используя функцию Грина в слабом магнитном поле: Gh(瓦门，「2)= exp(〃訖 / A(r')dr') Go(瓦 Г1,Г2)・ (Интеграл берется по прямому пути, соединяющему 口 и Г2-) Восприимчивость хо получится, если выделить из Gh линейный по Н член (см. [1], § 38, с. 416).

Задача 63. (Уравнение Лондонов^) Найдите отклик тока в сверхпроводнике на статический векторный потенциал. Отличие от задачи 62 состоит в том, что теперь сокращения при q = 0 нет. Положив q = 0 в соотношении jq = Q(q) Aq, получим так называемое уравнение Лондонов:

j(r) =nsA(r).(10.52)

тс

Величина ns называется сверхтекучей плотностью. Как связаны ns и Д при \Т — ТС\<Г^

Физическая причина отсутствия сокращения вкладов в Q(0) заключается в том, что калибровочная инвариантность в сверхпроводнике спонтанно нарушена. В нормальном металле сокращение Q(0) обеспечивается тождеством Уорда (9.16), следующим из калибровочной инвариантности. А в сверхпроводнике калибровочная инвариантность отсутствует.

Определите глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Для этого с помощью уравнения Лондонов решите задачу о проникновении магнитного поля в объем сверхпроводника вблизи поверхности. Покажите, что магнитное поле затухает в глубину по экспоненциальному закону: Н(х) = H(Q) ехр(—х/(5д), х > 0, и найдите связь Ьа с

Покажите, что пренебрегать зависимостью ядра Q(q) от q законно, если лондо- новская глубина проникновения 6八 достаточно велика: 6а》£о = ^f/До (см. [1], § 37, п. 1).

Задача 64. (Теорема Андерсона.) Обычно говорят, что куперовские пары образованы электронами с противоположными импульсами и спинами. Оказывается, беспорядок не разрушает куперовские пары^ хоть импульс и становится плохим кванто-

вым числом. Качественно это можно пояснить так. В присутствии примесей электроны двигаются по ломаным, от одной примеси к другой. За каждым электроном вдоль линии его движения остается деформация решетки, представляющая собой шлейф из виртуальных фононов, рассасывающийся за время порядка g$L Этот «ароматический след» притягивает другие электроны, причем эффект притяжения максимален для электрона, движущегося в точности по той же траектории, но в обратном направлении. Такие состояния есть при любой степени беспорядка, поскольку увеличение концентрации примесей лишь делает траектории более изломанными, но не выделяет определенного направления движения на каждой из них (в отличие, скажем, от траекторий в магнитном поле). Из этого рассуждения видно, что чисто потенциальное рассеяние на примесях, оставляющее систему инвариантной по отношению к обращению времени, не подавляет сверхпроводимость. А магнитное поле, например, подавляет.

Рассмотрите куперовскую восприимчивость хс в присутствие примесей. Чтобы получить хс〉усредните по беспорядку диаграммы куперовской лестницы, изображенные на рис. 10.8. При этом каждый блок куперовской лестницы на рис. 10.8 превращается в диффузионную лестницу, подобную из о браженной на рис. 9.7. Покажите, что наличие примесей не меняет хс(к = 0) и, следовательно, не приводит к изменению Тс.

Трудные задачи 65 — 67

Физика сверхпроводимости охватывает большое количество различных интересных явлений. При этом ко личе с твенный анализ многих эффектов оказывается достаточно трудным. В этот раздел вынесены некоторые относительно сложные задачи о сверхпроводниках с примесями.

Задача 65*. (Лондоновская длина 6 сплаве.) Рассеяние на примесях уменьшает сверхтекучую плотность ns в формуле Лондонов (10.52). Чтобы найти зависимость ns от концентрации примесей, определим ядро Q(0) с учетом беспорядка. Процедура усреднения по беспорядку аналогична рассмотренной в задачах 50 и 51, с той только разницей, что вместо функций Грина свободных фермионов в сверхпроводнике надо использовать нормальную и аномальную функции (10.35) и (10.36).

Усредните по примесям матричную функцию Грина G. Используйте введенную в гл. 9 модель(5-функционных примесей. Получите формулу

©3，Р)〉=卜 оЗ，Р)т +2т^2；^1/2) •(1°・53)

Не теряя общности, вычисления можно упростить, считая △* = △. При этом в матричной записи 匕「3〉р) = w —皂£(р) — △%.

Усредните по беспорядку диграмму для Q(k)〉изображенную на рис. 10.10. Вычислив Tr(/G/G) получите Q(k)〉после чего по Q(k = 0) определите сверхтекучую плотность (см. [1], формула (39.28)).

Задача 66*. (Влияние магнитных примесей на сверхпроводимость'.) Пусть кроме обычных примесей имеются также и магнитные:

% = Е 晖+(%)/磁以％) .(10.54)

Га

Здесь S^ ——оператор спина а-й примеси. Спины примесей будем считать некоррелированными. Такие примеси нарушают симметрию по отношению к обращению времени и поэтому легко подавляют сверхпроводимость. Найдите Тс как функцию концентрации примесей пмаг. Покажите, что сверхпроводимость подавляется при относительно малой концентрации пмаг ~ Tcfvpo^ где а ——сечение рассеяния на магнитной примеси.

Задача 67*. {Верхнее критическое поле Яс2 6 грязном сверхпроводнике.)

Сверхпроводимость можно подавить магнитным полем, поскольку оно нарушает симметрию по отношению к обращению времени. Как именно происходит это подавление, зависит от характеристик сверхпроводника. Рассмотрим грязный сверхпроводник, в котором Z《£о〉и〉начиная с сильного поля Н)в котором сверхпроводимость подавлена, будем постепенно уменьшать величину Н и определим пороговое значение Н、при котором сверхпроводимость восстанавливается. Оказывается, для этого нужно изучить устойчивость системы по отношению к малым неоднородным флуктуациям Д(г). Формально, для этого надо рассмотреть куперовскую лестницу в слабом статическом поле А(г), таком что rot А = Н. Записав для этого случая уравнение самосогласования (10.38) в пределе △ — 0〉найдите, при каком поле существует нетривиальное решение этого уравнения. Это поле называется верхним критическим полем 及2・

Решения

Решение 58 а. Выведем уравнение на Г°侬〉辽')〉суммируя диаграммы на рис. 10.8. Заметим, что в этих диаграммах сумма 4-импульсов s = р±+ р2 одинакова в каждой петле. Поэтому интегральное уравнение, соответствующее этим диаграммам, имеет вид

М(，“; s) = Г°(р,У) + / F°(p, k)G(k)G(s - к)Гс(к,р'; s)詣j(10.55)

(конечно, по частотам следует брать не интеграл, а мацубаровскую сумму). Это уравнение отличается от аналогичного уравнения теории ферми-жидкости знаком перед интегральным членом. (Отличие возникает из-за того, что ф ерми- жидко с тные

диаграммы содержат фермионные петли, а куперовские диаграммы ——нет.) Полагая s = 0 и пренебрегая зависимостью Г° и Г° от пространственного импульса, перепишем уравнение (10.55) так:

Гс(ге, is7) = Г°(ге, is7) +(10.56)

+ Т^ / q* Г°(〃£, Q)G侬〃,р) G{—ie", —р) rc(ie", is7).

Интеграл по импульсам вычисляется переходом к интегрированию по £:

/1畑=吆2(10 57)

(£〃)2 + ^(27Г)3— I丿

Поэтому уравнение на куперовскую амплитуду принимает вид

Гс(ге,辽')=辽')+工 Г°(。％ 辽")Г°(*[ is1)/\£,1\(10.58)

Решение 58 б. Уравнение (10.58) можно решить, если зависимость от £ и Н факторизуется. Тогда уравнение становится вырожденным. Перепишем его, явно выделяя зависимость от Н:

Таким образом, оба члена в уравнении пропорциональны f (is), поэтому Г。侬〉辽')^ &(〃£). Из соображений симметрии следует, что зависимость от Н такая же:

[С(ij id) = а&(辽)&(辽'),(10.60)

где а — константа, которую можно определить, подставив (10.60) в (10.59):

а = X + 7г〃оаУГ £ Т(辽")/〔£“I •(10.61)

Таким образом, а = А ^1 — tti/qAT^v2(ze//)/|e//|^.(10.62)

Это выражение обращается в бесконечность, если ^Т^^^ПУ\^\ = 1"%・(10.63)

Условие (10.63) и определяет температуру перехода Тс.

Решение 58 в. В случае

(10.65)(10.65)уравнение на температуру перехода (10.63) принимает такой вид:

(10.65)

(10.65)

与(媪 + 7f2支(2八+1)2)(2八+1)Az/0

Удобно вначале решить это уравнение с логарифмической точностью, а затем найти Тс более точно. Множитель &?(££)обрезает сумму в (10.63) при n ^ nmax =幻少/开么. Если считать nmax》1 и пренебречь множителем v2(ie)^ заменив верхний предел суммы на nmax, получим

冷 max]]

Г 厂 =In nmax = —- ,(10.66)

总汽+1/2 max %卜

откуда

么.(10.67)

Значение коэффициента в этой формуле таким образом найти нельзя. Для этого надо точнее вычислить сумму в (10.65).

Заметим, что в сумме (10.65) имеются два масштаба: Тс и 幻。〉причем, согласно (10.67), Тс《G。. Поэтому вклады этих масштабов можно разделить, используя следующий стандартный прием. Разобьем сумму на две части: по п < по и по п > по, причем точку разбиения п0 выберем так, что 几。》1, и одновременно 27r么几。《g。. Найдем сумму по каждой из областей, а затем сложим результаты. В области п < По можно заменить функцию &(Ее) на единицу, после чего эта часть суммы легко вычисляется с помощью тождеств

ОО/ п\

£(—1 产+i/k = ln2, Jim 521/A; - Inn =С,(10.68)

где С = 0, 577...——постоянная Эйлера. Складывая эти два тождества, получаем вклад области п < по：

(10.69)(10.69)九。 2

(10.69)

(10.69)

5(п < по) = 52 ° 丄 1 ~ Ь(2п0) •n=0 N汽十丄

В высокочастотной области п > По можно пренебречь Тс по сравнению с 幻。и заменить сумму интегралом, который легко вычисляется:

ООWp de1 ] 發ОО0^/6 / / "и 丿2тгТпо：2 + 必 £2 F +媪2тгТпоООWp de1 ] 發ОО0^/6 / / "и 丿2тгТпо：2 + 必 £2 F +媪2тгТпо(10.70)(10.70)

ОО

Wp de

1 ] 發

ОО

0^/6 / / "и 丿

2тгТпо

：2 + 必 £

2 F +媪

2тгТпо

ОО

Wp de

1 ] 發

ОО

0^/6 / / "и 丿

2тгТпо

：2 + 必 £

2 F +媪

2тгТпо

(10.70)

(10.70)

В пределе 幻。》2тт()Тс находим

(10.71)(10.71)S(n > n0) = In —.

(10.71)

(10.71)

Теперь, суммируя вклады от областей п < По и n ^ ng, приводим уравнение (10.63) к виду

4 =+(10.72)

Решая его, находим уточненное выражение для температуры перехода Тс:

(10.73) где 7 = е .

Решение 59 а. Диаграммы на рисунках 10.6, 10.7 показывают, что щель △ возникает в результате свертки аномальной функции _F(£*p) и куперовской вершины Г°(ге, ief). Поэтому в общем случае щель зависит от энергии и, соответственно, мы будем использовать обозначение А (Ее). При этом уравнение самосогласования принимает следующий вид:

A(辽)=т工Г°(辽,*)r(辽」=f),(10.74)

а величина F(ie^ г = rz) равна

(10.75)(10.75)

(10.75)

(10.75)

Таким образом, в общем случае щель следует определять из интегрального уравнения. Оно несколько упрощается, если зависимость Г°(ге, is7) от энергии факторизуется. Тогда легко видеть, что щель △(〃£)пропорциональна &(Ее). Таким образом, сверхпроводящие эффекты «выключаются» при 同》wp. Записывая △侬)в виде

(10.76)(10.76)A（辽）=△（r）&侬）,

(10.76)

(10.76)

△(Т)△(Т)&2 侬)△(「)d3p掇 +卷+ &2(辽)△Z(T) (2тг)з&2 侬)△(「)d3p掇 +卷+ &2(辽)△Z(T) (2тг)зполучаем уравнение

△(Т)

△(Т)

&2 侬)△(「)d3p

掇 +卷+ &2(辽)△Z(T) (2тг)з

&2 侬)△(「)d3p

掇 +卷+ &2(辽)△Z(T) (2тг)з

(10.77)

Решение 59б. Вычисляя интеграл по ^ в соотношении (10.77), получаем

1Х〃о1Х〃о,£2 + 42(7加2 0£),£2 + 42(7加2 0£)(10.78)(10.78)

1

Х〃о

1

Х〃о

,£2 + 42(7加2 0£)

,£2 + 42(7加2 0£)

(10.78)

(10.78)

Рассмотрим качественно, как ведет себя решение этого уравнения. При Т《△(Т) сумму в правой части можно заменить интегралом. Таким образом, в этом пределе зависимость от Т исчезает, и △(Т) стремится к постоянному пределу. Зависимость от Т должна быть очень слабой, поскольку для гладкой функции сумма очень хорошо аппроксимирует значение интеграла.

Ясно также, что при увеличении температуры величина щели Д(Т) будет уменьшаться. Формально это следует из того, что сумма в правой части (10.78) переоценивает значение интеграла тем больше, чем больше расстояние между мацубаровскими частотами. Поэтому для того, чтобы удержать правую часть постоянной, рост температуры следует компенсировать убыванием △(Т)・ Заметим, что при Д = 0 уравнение (10.78) совпадает с уравнением для определения температуры перехода (10.63), рассмотренным в предыдущей задаче. Это означает, что при Т = Тс щель △(Т) обратится в нуль. Вблизи этой точки правая часть (10.78) зависит линейно от Т—Тс и квадратично от △(Т)・ Поэтому △(Т) ~，么—Т. Из этих рассуждений также следует, что Д(0) ~ Тс. Полученная таким образом качественная зависимость Д(Т) согласуется с результатом численного решения уравнения Горькова, изображенном на рис. 10.11.

Рис. 10.11Рис. 10.11

Рис. 10.11

Рис. 10.11

Решение 59 в. Теперь вычислим Д(Т) при Т — 0. Вначале мы просто заменим сумму в (10.78) интегралом и получим, что До = △(Т = 0) удовлетворяет уравнению

1/&2(辽)/

Найдем этот интеграл для нашей модельной функции &(辽)=wp/(s + g^)i/2. Вычисление сильно упрощается, если заметить, что △()^ 么《g。. Множитель v2(ie) в подкоренном выражении важен лишь при е < До, но при таких энергиях &?(辽)^ 1. С учетом этого обстоятельства уравнение на щель переписывается так:

В этом интеграле имеется два существенно разных масштаба энергий: До и g。. Поэтому можно применить прием, использованный при решении предыдущей задачи: разбить область интегрирования на две части: s < Sqhs > Sq^ причем △()《 “《 @d. Тогда интеграл в правой части (10.80) равен

Промежуточная энергия во выпадает. Окончательно получаем

入% Ao

(10.82)(10.82)Сравнивая это соотношение с выражением (10.73) для температуры перехода £〉 получаем соотношение

(10.82)

(10.82)

7Г7Г(10.83)

7Г

7Г

Заметим, что коэффициент в формуле (10.73) для Тс связан с конкретной формой обрезания по энергии. Что же касается соотношения (10.83) между До и 么〉то при Тс《G。оно определяется только физикой низкоэнергетической области £《幻。и поэтому не зависит от выбора обрезающей функции & 侬).Кроме того, точно такое же соотношение между △()и 么 получается и при обрезании по £. Таким образом, соотношение (10.83) носит универсальный характер.

Теперь найдем поведение Д(Т) при конечных, но малых температурах. Для этого надо вычислить отличие суммы в правой части (10.78) от интеграла. Это можно было бы сделать с помощью формулы суммирования Пуассона (10.47). Однако гораздо проще получить ответ, заметив, что самым малым масштабом, на котором меняется правая часть (10.78), является △(). Поэтому при расчете низкотемпературных поправок структурой правой части на масштабе 幻。можно пренебречь. Тогда можно переписать (10.77) как

1

Х〃о

Преобразуем правую часть, используя (7.83):

Этот интеграл логарифмически расходится, но его значение при Г = 0 мы уже нашли, и сейчас нас интересуют поправки, возникающие при Г ^ 0, которые, как мы сейчас увидим, описываются сходящимися интегралами. Минимальное значение аргумента гиперболического тангенса есть △/(2Т)》1, поэтому можно заменить thx на signx (1 — 2ехр(—|х|)). Таким образом,

Так как при интегрировании второго члена вклад дают лишь £《△〉можно разложить квадратные корни следующим образом:

откудаоткудаm3m3"о入△"о入△6-日/2▽6-日/2▽竺 △竺 △(10.87)(10.87)(10.88)(10.88)

откуда

откуда

m3

m3

"о入△

"о入△

6-日/2▽

6-日/2▽

竺 △

竺 △

(10.87)

(10.87)

(10.88)

(10.88)

где До = 7么/开 — щель при Г = 0. Выписанная поправка к До понадобится нам при вычислении термодинамического потенциала в задаче 60. (Точность выражения (10.88) может показаться чрезмерной, но оказывается, что главный член в выражении (10.88) не дает вклада в термодинамический потенциал, и нам придется учесть выписанную поправку.) Окончательно получаем

Д(Т<7；) = ДоД(Т<7；) = До(10.89)(10.89)

Д(Т<7；) = До

Д(Т<7；) = До

(10.89)

(10.89)

Теперь рассмотрим случай Т Тс. В этом пределе Д(Т)《Г, поэтому правую часть (10.78) можно разложить по △:

(10.90)(10.90)

(10.90)

(10.90)

Как показано в задаче 58, первый член в правой части логарифмически зависит от

Т и сравнивается с левой частью при Т = Тс. Поэтому его можно объединить с левой частью, получив ]пТс/Т. Что же касается второго члена, пропорционального Д2, то он определяется областью £ ~ тгТ, и в нем можно заменить &4(〃£)На единицу. Таким

образом,образом,(10.91)(10.91)

образом,

образом,

(10.91)

(10.91)

Сумма по мацубаровским частотам легко выражается через (^-функцию:

^(2门+1尸^(2门+1尸Разлагая логарифм в левой части, получаемРазлагая логарифм в левой части, получаемоткудаоткудаТ-Тс _ 7((3) Д2 tс =2Т-Тс _ 7((3) Д2 tс =2(10.92)(10.93)(10.92)(10.93)

^(2门+1尸

^(2门+1尸

Разлагая логарифм в левой части, получаем

Разлагая логарифм в левой части, получаем

откуда

откуда

Т-Тс _ 7((3) Д2 tс =

2

Т-Тс _ 7((3) Д2 tс =

2

(10.92)

(10.93)

(10.92)

(10.93)

Таким образом, и в этом случае обрезка при g ^ 幻。оказалась несущественной для вычисления щели.

Подводя итог, можно сказать, что конкретный вид обрезания важен в основном для определения Тс. Все остальные физические величины сверхпроводника могут быть выражены через Тс с помощью универ с альных соотношений, не зависящих от вида конкретной функции запаздывания &(辽).Это происходит потому, что физика сверхпроводника определяется масштабами энергий порядка Тс《g。. Это оправдывает применение популярной модели, в которой запаздывание на временах порядка g$i учитывается с помощью обрезания интегралов по £〉а не по % т. е. запаздывающее взаимодействие заменяется на взаимодействие нелокальное в пространстве.

Решение 60. Приступим теперь к расчету термодинамических величин сверхпроводника. Характерный масштаб энергий, дающих вклад в термодинамику, оказывается порядка тах{Дд, 7L}, и следовательно эффектами запаздывания на временах порядка g$i можно пренебречь, выражая все величины через Тс или △().

Рассмотрим диаграммное разложение термодинамического потенциала, показанное на рис. 10.9. Как обычно, продифференцируем термодинамический потенциал по константе связи А для того, чтобы убрать множитель 1/п перед диаграммами. Как нетрудно заметить, если в каждой из диаграмм на рис. 10.9 перерезать одну из электронных линий, то получается одна из диаграмм на рис. 10.6, причем соответствие взаимнооднозначное. Поэтому

"赤■ = Т£/G^^n, p)(G(wn, р) - G«i3n, р))(2^з =

= -T^/^F^n, p)^ = —F・ (10-95)

Делая преобразование, мы воспользовались соотношениями (10.32) и (10.39).

помощью (10.39):помощью (10.39):Термодинамический потенциал получается интегрированием д^1/дХ по А от А = 0 до истинного значения. Чтобы проинтегрировать по А, выразим dX через с/Д с

помощью (10.39):

помощью (10.39):

(10.96)(10.96)dX 『/ 2Д с/Д d3p

(10.96)

(10.96)

¥(媛 + €р +'

ПоэтомуПоэтому% — Qg = —2 j Т У [△%△ d3P% — Qg = —2 j Т У [△%△ d3P(10.97)(10.97)

Поэтому

Поэтому

% — Qg = —2 j Т У [△%△ d3P

% — Qg = —2 j Т У [△%△ d3P

(10.97)

(10.97)

Интегрируя по ^ и Д, получим

(10.98)(10.98)

(10.98)

(10.98)

Снова рассмотрим предельные случаи.

Т — 0. При очень низкой температуре мацубаровская сумма Т£ …хорошо аппроксимируется интегралом J ... ^. Поправки нетрудно найти, перейдя от суммы к интегралу по формуле Пуассона, и удержав в ней только первые три члена:

工/⑺=//(/)d? + / e2^ f {x)dx + / 2Kq(x)dx + ...(10.99)

ЗдесьЗдесь4тгТ|х|.4тгТ|х|.(10.100)(10.100)

Здесь

Здесь

4тгТ|х|.

4тгТ|х|.

(10.100)

(10.100)

(Заметим, что неаналитичность \х\ не мешает использовать формулу Пуассона, поскольку для последнего слагаемого сумму в формуле Пуассона можно вычислить явно, не делая никаких приближений.) После громоздких вычислений, приведенных в конце решения, получим

尸一“黑）尸一“黑）(10.101)(10.101)

尸一“黑）

尸一“黑）

(10.101)

(10.101)

Подставляя сюда △(Т) из (10.89), находим

%丿△彳2%丿△彳2(10.102)(10.102)

%丿△彳

2

%丿△彳

2

(10.102)

(10.102)

Обратим внимание на происходящее здесь сокращение главного температурно- зависящего члена. Из (10.102) найдем теплоемкость, дифф ер енцируя энтропию по Т:

$ ат — 力$ ат — 力2…V1j2…V1j(10.103)(10.103)

$ ат — 力

$ ат — 力

2…

V1j

2…

V1j

(10.103)

(10.103)

Т — 么.В этом случае достаточно просто разложить (10.98) до четвертого порядка по △ (член второго порядка обращается в нуль):

(10.104)(10.104)

(10.104)

(10.104)

(10.105)(10.105)(10.106)(10.106)

(10.105)

(10.105)

(10.106)

(10.106)

Сумма, как и в задаче 59, выражается через (^-функцию:

fis - fin = 7((3) Z7O А4

~- — — 16汀2 岂•

Подставляя сюда △ из (10.94), получим

47r2

Qs — Qn = —7,(3)U % (T —么)2 .

Дифференцируя по температуре, находим теплоемкость:

87r2

Cs — Сп =, 、vqTcV .

丿

Напомним, что теплоемкость нормального металла есть

еп = -^- 〃0 丿 t)

поэтому

Cs — Сп — 12

Вычислим сумму в (10.98) при Т т 0. Согласно формуле суммирования Пуассона,

2一8

(10.107)(10.108)(10.109)(10.110)(10.107)(10.108)(10.109)(10.110)Заметим, что первые два члена — плавные функции &, поэтому интегралы от них экспоненциально малы. Поэтому нам достаточно удержать их лишь при к = 0, ±1. Что же касается последнего члена, то интеграл от него легко вычисляется и равен —4Т2//с2. В результате выражение для термодинамического потенциала приводится к виду

(10.107)

(10.108)

(10.109)

(10.110)

(10.107)

(10.108)

(10.109)

(10.110)

^^Ь = _р0 / S + 厶2 + ^^ — 2з)加 +(10-Ш)

1-0

- 00們-丄 」

Первый интеграл есть

/ (,з2 ++ ,；厶2 - 2з) d3 =,(10.112)

о

а сумма равна

= у(16113)

Оставшийся интеграл вычисляется так. Функция 7© + Д2 имеет скачок на разрезе, идущем от точки гА до бесконечности. В остальной же части верхней полуплоскости функция аналитична, поэтому контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он огибал этот разрез (рис.

10.12).

\0

込0

0

Рис. 10.12

Вводя переменную интегрирования и по формуле з = гА + iu, приведем интеграл к виду

Г А2 + 2炉 +《〃△

7 д/2Аи + и2 о

е~^+и^т du.

(10.114)

В этот интеграл дают вклад u ^ Т, поэтому подинтегральное выражение можно разложить по и:

(10.115)

В результате

2—" / (]+劈)去=小L"(1+絞 о

(10.116)

Заметим, что последний член в этой формуле есть не что иное, как взятый с обратным знаком термодинамический потенциал нормального металла.

Решение 61. Рассмотрим уравнение (10.58) для куперовской амплитуды рассеяния, полученное в решении задачи 58. Если куперовская амплитуда Г°(££〉〃£‘) имеет полюс при Т —么〉то е уравнении (10.58) можно пренебречь свободным членом:

Г°侬,*) = 7Г%Т£Г。侬,/)М侬〃，幅)/|J| .(10.117)

Зависимость от Н в этом уравнении «сокращается». Поэтому можно считать, что решение факторизуется:

рС(£%*)=①(辽)①(*).(10.118)

(Зависимость Г° от £ и £‘ должна быть одинаковой ввиду симметрии куперовской лестницы.) Тогда функция ①(£)удовлетворяет уравнению

①侬)=7Г"0те (r°侬,*)/田)①侬‘).

(10.119)

Для Г° из условия задачи это интегральное уравнение оказывается вырожденным и легко решается. Видно, что функция ①(£)содержит два члена: пропорциональный &(辽)и не зависящий от £. Ищем решение в виде

①(£)= av(ie) + b.(10.120)

Подставляя это выражение в (10.119) и приравнивая коэффициенты перед &侬)и перед константой, получаем

а = 7гХ〃оТ£ [а&2(*) + Ь&(*)] /|У| ,(10.121)

b = —7ф%Т工[av(ie) + “ /|/| •(10.122)

На этот раз мы не будем заниматься точным вычислением сумм в этом выражении, а найдем их с логарифмической точностью, поскольку основной интерес будут представлять величины, стоящие перед логарифмами. Суммы, содержащие &(Ее) и &2 侬)следует обрезать сверху при £ ^ g。. Сумму, не содержащую факторов запаздывания, мы обрежем сверху при £ ^ 5 (^ £f)——на плазменной частоте, которая играет в физике электрон-электронного взаимодействия роль, аналогичную G。для электрон-фононного взаимодействия. Таким образом, получаем

а = 〃()Х1п 筝(а + 6),(10.123)

Ь = а In 享 + b (in 享 + In .

Перенося во втором уравнении член с ln(wp/c＜；p) в левую часть, можно переписать его в таком виде, что оно становится похоже на первое:

Ь = -〃0〃*1п 禁(а + Ь) ; //* = —_/_г •(10.124)

Мы ввели здесь эффективную куперовскую амплитуду 从*〉которая отличается от 从 из-за запаздывания фононов. Теперь, складывая первое из уравнений (10.123) с уравнением (10.124), приходим к условию совместности системы (10.123):

1 = (Х —&)1п 洋(10.125)

из которого находим температуру перехода:

Tc^3d e-寸爲叭，% =入—〃*.(10.126)

Таким образом, кулоновское взаимодействие дейс тви те льно понижает температуру сверхпроводящего перехода, но не очень сильно. При %从 Ihef/gd》1 относительная поправка к А мала как 1/1h(£f/gd)・

Решение 62 а. Прежде чем вычислять Q(0) для произвольного электронного спектра £(р)〉уточним выражение для тока. Гамильтониан частиц со спектром £(р) во внешнем магнитном поле А(г) есть

% = / 山£(0 — §А)對г) d?r.(10.127)

где р = —£▽「. Ток, согласно общим принципам, получается варьированием гамильтониана по А:

j = е V^+ (г) Vp^p - IА)^(г) •(10.128)

Выделим линейный по А член:

j = e^+(r) Vp^ (р)以г) — — ^+(r) Vp[(AVp)^(p)] V^W .(10.129)

При £(р) = p2/2m — Ef это выражение для тока переходит в обычную квантовомеханическую формулу.

Проще всего вычисляется вклад в Q(0) второго члена:

Q⑵心—е2 /«Э2&Р)_ е2 г <Э2^(р)2dЗр

Qa°(k)= F《 В Т. (ПИЗО)

Чтобы найти вклад первого члена, поступим стандартным образом. В линейном по А приближении взаимодействие тока с полем есть

注 nt = — ； / j(r) A(r) fr .(10.131)

Находя, как обычно, поправку первого порядка к функции Грина и вычисляя с ее помощью (j ), получаем, что этот вклад дается петлей:

耳0〃 T(p)汝〃 + 4 Т(р + к) (27Г)3 •( •)

Мы ввели здесь множитель сходимости егШпТ (丁 — +0), который отвечает за правильный порядок 山 и 山 + (ср. с задачей 35).

При Q = 0 и к = 0 это выражение сводится к такому:

Q*。)Q*。)(10.133)(10.133)(10.134)(10.134)岂 Ит ТА，/ 必(Р)*(Р)叫с —+。士 丿(2-&Р)) (И

Q*。)

Q*。)

(10.133)

(10.133)

(10.134)

(10.134)

Учитывая, что v =阵^①)，перепишем Q*0) в виде

Q*。)=彳 т叫Т"К / 必(р)v^—^(р) W'

после чего проинтегрируем по частям:

Q*o)= +f 映 т£е—/Q*o)= +f 映 т£е—/12dЗрН - &Р)(2?г)з12dЗрН - &Р)(2?г)з(10.135)(10.135)

Q*o)= +f 映 т£е—/

Q*o)= +f 映 т£е—/

12dЗр

Н - &Р)(2?г)з

12dЗр

Н - &Р)(2?г)з

(10.135)

(10.135)

(суммирование по мацубаровским частотам производится так же, как в выражении (7.59) в решении задачи 35). Итак, Qa3(0) = 0.

Решение 62 б. Чтобы найти диамагнитную восприимчивость ферми-газа хо? свяжем ее с константой а в разложении Q(k) = ak? + ... По определению Q(k)〉

j = QA = -Ра.(10.136)

С другой стороны, ток связан с намагниченностью:

j = с rot М = crotxoB = xocrot rot А .(10.137)

Поскольку div А = 0, ток можно записать так:

j = -XocV2A.(10.138)

Отсюда находим хо = а/&

Теперь вычислим а. Предположим, что волновой вектор к направлен вдоль оси 羽 и найдем Qxx:

QxxQxx一 г /*-lim —Т*…— 丁-+о е м /(°必一 г /*-lim —Т*…— 丁-+о е м /(°必。式р + к)%(р)2dЗр- €р+к) 3n - §р) (2тг)з •。式р + к)%(р)2dЗр- €р+к) 3n - §р) (2тг)з •(10.139)(10.139)

Qxx

Qxx

一 г /*

-lim —Т*…— 丁-+о е м /(°必

一 г /*

-lim —Т*…— 丁-+о е м /(°必

。式р + к)%(р)2dЗр

- €р+к) 3n - §р) (2тг)з •

。式р + к)%(р)2dЗр

- €р+к) 3n - §р) (2тг)з •

(10.139)

(10.139)

В отличие от спиновой восприимчивости, орбитальная восприимчивость определяется не только окрестностью поверхности Ферми, но и всеми состояниями под ней, потому что квантование Ландау затрагивает все состояния с Е < 風〉и конечная восприимчивость Хо возникает из-за отличия суммы квантованных энергий от интеграла по непрерывному спектру. Поэтому мы ограничимся случаем £(Р)= р2/2т — 風・ Разлагая Q(k) по kz = к^а имея в виду, что для квадратичного спектра %(р + к) = %(р)=。"次 запишем

=/^ а2 12dЗрХХ с X丿汝п - €р dpi i3n - Ер (27Г)3Проинтегрировав по частям, получим3 J (eg — Ер)' 3)3 •Теперь усредним по углам (〈娉吸=&’/15)：V _ e2/ 状2dзР015c2加4J (沁 Tp)4 (27Г)3 •=/^ а2 12dЗрХХ с X丿汝п - €р dpi i3n - Ер (27Г)3Проинтегрировав по частям, получим3 J (eg — Ер)' 3)3 •Теперь усредним по углам (〈娉吸=&’/15)：V _ e2/ 状2dзР015c2加4J (沁 Tp)4 (27Г)3 •(10.140)(10.140)(10.141)(10.141)(10.142)(10.142)

=/^ а2 12dЗр

ХХ с X丿汝п - €р dpi i3n - Ер (27Г)3

Проинтегрировав по частям, получим

3 J (eg — Ер)' 3)3 •

Теперь усредним по углам (〈娉吸=&’/15)：

V _ e2/ 状2dзР

015c2加4J (沁 Tp)4 (27Г)3 •

=/^ а2 12dЗр

ХХ с X丿汝п - €р dpi i3n - Ер (27Г)3

Проинтегрировав по частям, получим

3 J (eg — Ер)' 3)3 •

Теперь усредним по углам (〈娉吸=&’/15)：

V _ e2/ 状2dзР

015c2加4J (沁 Tp)4 (27Г)3 •

(10.140)

(10.140)

(10.141)

(10.141)

(10.142)

(10.142)

Интеграл по модулю импульса трехкратным интегрированием по частям приводится к виду

ООООр6 dpр6 dp5m (5m (dpdpО(2“п + EF - р2/2пг『О(2“п + EF - р2/2пг『2 V шп + Ер — р2/2т 72 V шп + Ер — р2/2т 7(10.143)(10.143)

ОО

ОО

р6 dp

р6 dp

5m (

5m (

dp

dp

О(2“п + EF - р2/2пг『

О(2“п + EF - р2/2пг『

2 V шп + Ер — р2/2т 7

2 V шп + Ер — р2/2т 7

(10.143)

(10.143)

после чего суммирование по шп дает, как обычно, распределение Ферми (см. формулу (7.59) в решении задачи 35):

Хо =~2 / KF®) dP =2 •(10.144)

о

Используя выражение для спиновой восприимчивости, найденное в задаче 24

2

Хпара = 2 虚％ =-,(10.145)

находим соотношение между орбитальной и спиновой восприимчивостью:

1

Х0 = — J Хпара •(10.146)

Отметим, что это соотношение не универсально. Как видно из нашего вычисления, вклад в хо дает весь спектр, а не только поверхность Ферми. Поэтому полученное соотношение между хо и Хпара верно лишь для квадратичного спектра. При более общем законе дисперсии £(р) восприимчивость хо по величине может оказаться даже больше, чем Хпара- В этом случае нормальный металл оказывается диамагнетиком.

Решение 63. В этой задаче мы вычислим Q(0) для сверхпроводника. При этом основное отличие от вычисления для нормального металла, проделанного в задаче 62, возникает из-за необходимости учесть как нормальные, так и аномальные средние.

Среднее от диамагнитного вклада в ток есть просто

Q⑵(0) = —п^/тс.(10.147)

Что же касается градиентного вклада Q^(i^l^ к), то он получается усреднением произведения токов и дается следующим выражением:

Q*4s,k)=五 £ / 产丁加 / 产「X(10.148)

X (Тт < (г, т) %观(г, т)^(0, 0)%%，(0, 0)〉#г

9〉af — спиновые индексы, a j = —曦▽「).

Теперь необходимо спарить ^-операторы, учитывая как нормальные, так и аномальные средние. При этом теорема Вика по-прежнему справедлива, поскольку операторы 山 и 山 + можно выразить линейным образом через операторы рождения и

уничтожения квазичастиц сверхпроводника, для которых аномальные средние равны нулю. Таким образом,

0麓 к 7)%%(Г, т)^(0, 0)%观，(0, 0)〉=(10.149)

=—%Gg(r, 7)%6"。(一Г, —т) — %JX，(r, 7)%%%( —Г, -т).

Тогда Q*4, к) принимает вид

Q*4, к) = £/

(10.150)(10.150)х [2%G(r, t)%G(—г, —т) + 2%R(r, r)^F*(-r, -г)]

(10.150)

(10.150)

Заметим, что знаки петель, содержащих функции G и £ оказываются одинаковыми.

Переписывая выражение (10.150) в импульсном представлении, получаем

Q*4, к)

+ F wn, р+ F wn, р(10.151)

+ F wn, р

+ F wn, р

Тогда при к = 0

Q⑴(0) = \q^ = -^L/ Р2 СЗп, р) + F3n, Р)『)部.(10.152)

гь — ns =гь — ns =2 7%爲2 7%爲н+е + д^)н+е + д^)2" "£ •2" "£ •(10.153)(10.153)Собирая вместе Q&)и Q^ и учитывая определение ns, получим

гь — ns =

гь — ns =

2 7%爲

2 7%爲

н+е + д^)

н+е + д^)

2" "£ •

2" "£ •

(10.153)

(10.153)

Обратим внимание на то, что при интегрировании по g выражение (10.153) обращается в нуль, в то время как при интегрировании по £ этого не происходит. Следовательно, оно не вполне корректно определено. Дело в том, что эта величина не «сидит» на поверхности Ферми, и для правильного учета состояний вдали от уровня Ферми следовало бы брать плотность состояний, зависящую от энергии. Однако сверхтекучая плотность, несомненно, определяется поверхностью Ферми, потому что только там и происходит перестройка электронных состояний. В глубине же фермиевского моря (т. е. при £ 〜 風)ничего не происходит. Поэтому можно поступить так: вычесть из этого выражения аналогичное с Д = 0, т. е. для нормального металла.

Тогда вклад глубоких состояний выпадет. При этом, как мы знаем, для нормального металла ns = 0. В результате

汽S =汽S =МРо 3mМРо 3m- £2 一底 G +喲2- £2 一底 G +喲2干 一底 + △20 +媛+旷干 一底 + △20 +媛+旷(10.154)(10.154)

汽S =

汽S =

МРо 3m

МРо 3m

- £2 一底 G +喲2

- £2 一底 G +喲2

干 一底 + △20 +媛+旷

干 一底 + △20 +媛+旷

(10.154)

(10.154)

Получившееся выражение можно интегрировать в любом порядке. Лучше всего сначала проинтегрировать по £. При этом оказываются полезными следующие соотно

шения:

(10.155)(10.155)ОООО9

(10.155)

(10.155)

У (ж2 + а2)2 =犷 _£ (ж2 + а2)2 = 2а

После интегрирования получаем ответ:

(10.156)(10.156)2^oPo^v- 7r

(10.156)

(10.156)

36 金 (% + д2)3/2

Рассмотрим различные предельные случаи, а) Т — 0. Заменим сумму интегралом:

(10.157)(10.157)2%届必2 7 da_ 2%届 _ _Po_

(10.157)

(10.157)

3m 27r 丿(J + △zf/z зт 37r2

Видим, что при Г = 0 сверхтекучая плотность равна полной, как и должно быть в трансляционно-инвариантной системе.

Т —么.В этом случае достаточно пренебречь △ в знаменателе. Тогда сумма выражается через (^-функцию (см. задачу 59), что дает

ns 7Д2n 47r2童ns 7Д2n 47r2童(10.158)(10.158)

ns 7Д2

n 47r2童

ns 7Д2

n 47r2童

(10.158)

(10.158)

Таким образом, при Т ^ Тс сверхтекучая плотность уменьшается до нуля. Теперь свяжем ns с глубиной проникновения. Запишем закон Ампера:

(10.159)(10.160)(10.159)(10.160)47r. 47mse2rotH = —j =厂 A.

(10.159)

(10.160)

(10.159)

(10.160)

Поскольку Н = rot А, имеем

тс2

Пусть граница образца перпендикулярна оси х, а магнитное поле параллельно оси Тогда

гдегдеАу(х) = /，0) е—»玩，(10.161)

где

где

(10.162)(10.162)2тс

(10.162)

(10.162)

47nzsg2

Отсюда получаем, что магнитное поле

兄e-工/坛=Hz(Q)e~x/s^(10.163)

экспоненциально затухает в глубь сверхпроводника, причем глубина проникновения равна 6а・

В нашем расчете мы пренебрегали дисперсией Q(k). Выясним, при каких условиях это законно, или, иными словами, каков масштаб пространственной дисперсии в сверхпроводнике. Чтобы определить этот масштаб, следует сравнить kv (это и есть величина, которой мы пренебрегли) со всеми остальными величинами в знаменателях функций G и R е (10.151). Сравнивая £ с △〉получаем характерный волновой вектор ко ^ £Т(Т) ^ △(Т)/(力&f)・ Заметим, однако, что при Т 一 么 ZT) 一 0 и основную роль в знаменателе играет wn=o =开么 △(). Поэтому на самом деле характерный волновой вектор при любых температурах есть 屈 ^ ^1 ^ △“(力&f)・ Для того чтобы наш расчет был применим, должно быть 6八》£о・ В этом случае сверхпроводник называют лондоновским. Противоположный предельный случай на

зывается пиппардовским.

Оказывается, что в сверхпроводниках есть два пространственных масштаба. Один из них, £(Т)〉——это масштаб корреляций параметра порядка △. Другой, ^0?—— это размер куперовской пары. При Т —么 различие между ними становится весьма ощутимым, поскольку при приближении Т к Тс корреляционная длина £(Т) расходится, в то время как размер пары & (он же масштаб пространственной дисперсии)

при этом остается конечным.

В заключение покажем, как производить подобные расчеты с помощью матричной функции Грина

G=\^ 黑 1 .(10.164)

Она удовлетворяет такому уравнению:

- ^(р)т^ - ^тх - A2Ty) G = 1(10.165)

(△ = △] + 込2)・ Оператор тока равен

(10.166)(10.167)(10.166)(10.167)个 6еt ,e2

(10.166)

(10.167)

(10.166)

(10.167)

J = С = ev(p) 1•

ЗАтс

Сама G равна

--%+ €2 +△2 (△"丿，

Вычисляя

Tr 伉 C(i3n, p) % @(2, p))=

=(：2；g；噴2 П((2“п + "z + △底)(汝n + "z + △底))=

=2e2 %(p)好(p)，(10.168)

(媛 + §2 +

получим то же выражение, что и ранее (см. (10.156)).

Решение 64. Для того чтобы изучить влияние примесей на £〉рассмотрим диаграммы, образующие один блок куперовской лестницы, и усредним их по беспорядку:

□+CD+匸+

Рис. 10.13

Они имеют ту же структуру, что и диаграммы на рис. 10.8. Отличие состоит в том, что куперовская петля теперь содержит примесную лестницу, описывающую рассеяние куперовской пары на примесях. Поэтому

(10.169)(10.169)А

(10.169)

(10.169)

1 +АПС，

где

ПсПс++++++Рис. 10. ЦРис. 10. Ц—сумма лестничных диаграмм. По сути дела, такая сумма уже была вычислена нами в задаче 54. Напомним, что усредненная по беспорядку функция Грина в грязном металле равна—сумма лестничных диаграмм. По сути дела, такая сумма уже была вычислена нами в задаче 54. Напомним, что усредненная по беспорядку функция Грина в грязном металле равнаG(j р)G(j р)1ZG也—&+ 丁 SlgllG也1ZG也—&+ 丁 SlgllG也(10.170)(10.170)Каждая ступенька куперовской лестницы, состоящая из двух функций Грина, взятая при Q = 0, s = 0, естьКаждая ступенька куперовской лестницы, состоящая из двух функций Грина, взятая при Q = 0, s = 0, естьBc(i3n) = / 6(£幻期 p) G(—辰期—p)(2^зBc(i3n) = / 6(£幻期 p) G(—辰期—p)(2^з(10.171)(10.171)ОООО2тг〃о 丁2тг〃о 丁—оо—оо^п+ — Slgnwn^п+ — Slgnwn2 + #1 + 2т|^п| '2 + #1 + 2т|^п| '

Пс

Пс

+

+

+

+

+

+

Рис. 10. Ц

Рис. 10. Ц

—сумма лестничных диаграмм. По сути дела, такая сумма уже была вычислена нами в задаче 54. Напомним, что усредненная по беспорядку функция Грина в грязном металле равна

—сумма лестничных диаграмм. По сути дела, такая сумма уже была вычислена нами в задаче 54. Напомним, что усредненная по беспорядку функция Грина в грязном металле равна

G(j р)

G(j р)

1

ZG也—&+ 丁 SlgllG也

1

ZG也—&+ 丁 SlgllG也

(10.170)

(10.170)

Каждая ступенька куперовской лестницы, состоящая из двух функций Грина, взятая при Q = 0, s = 0, есть

Каждая ступенька куперовской лестницы, состоящая из двух функций Грина, взятая при Q = 0, s = 0, есть

Bc(i3n) = / 6(£幻期 p) G(—辰期—p)(2^з

Bc(i3n) = / 6(£幻期 p) G(—辰期—p)(2^з

(10.171)

(10.171)

ОО

ОО

2тг〃о 丁

2тг〃о 丁

—оо

—оо

^п+ — Slgnwn

^п+ — Slgnwn

2 + #1 + 2т|^п| '

2 + #1 + 2т|^п| '

Суммировать Bc по g也 не следует, поскольку столкновения с примесями ——упругие.

Теперь вычислим всю примесную лестницу. При этом полезно вспомнить, что примесная штриховая линия равна пи^ = (2тг〃()т)-1 (см. гл. 9). Суммируя геометрическую прогрессию, получаем

Ь(wn)=凡(必也)+Ь(wn)=凡(必也)+112тг〃о 丁2тг〃о 丁区（必也）+ • • •区（必也）+ • • •

Ь(wn)=凡(必也)+

Ь(wn)=凡(必也)+

1

1

2тг〃о 丁

2тг〃о 丁

区（必也）+ • • •

区（必也）+ • • •

(10.172)(10.172)8с Зп) _ 7Г〃0

(10.172)

(10.172)

1 - Bc(wn)/(27TZ7OT) 必I

Как мы видим, 丁 полностью исчезло из этой формулы. Отметим, что выпадение 丁 из ответа формально обязано тому же сокращению, которое обеспечивает сохранение числа частиц при вычислении коррелятора плотность-плотность в ферми газе с примесями:

—q)〉q=o = тг〃о/3)(10.173)

(см. задачу 52). Находим куперовскую петлю:

Пс = —Т £ L(wn) = —2тг〃()Т £ I г о In 7r •(10.174)

Поэтому

К =(10.175)

как и в отсутствие примесей.

Решение 65 а. Начнем с усреднения функций Грина сверхпроводника по примесям. Для этого мы вычислим матричную собственно-энергетическую часть

Рис. 10.15Рис. 10.15

Рис. 10.15

Рис. 10.15

2тг〃о 丁2тг〃о 丁При этом матричное выражение для примесной линии таково:

2тг〃о 丁

2тг〃о 丁

(10.176)

(примеси одинаково хорошо рассеивают как электроны, бегущие вперед, так и назад, и при этом не переводят одно из спаривающихся состояний в другое, поскольку у них разный спин). Вычисляем собственно-энергетическую часть в первом порядке по концентрации примесей, следуя методу задачи 50:

也）=也）=12тг〃о 丁12тг〃о 丁d3p(2力d3p(2力]/汝g1 + €p花—△乙 淤Р2тг〃от 丿 ％ + △? + * (2тг)з]/汝g1 + €p花—△乙 淤Р2тг〃от 丿 ％ + △? + * (2тг)з(10.177)(10.177)

也）=

也）=

1

2тг〃о 丁

1

2тг〃о 丁

d3p

(2力

d3p

(2力

]/汝g1 + €p花—△乙 淤Р

2тг〃от 丿 ％ + △? + * (2тг)з

]/汝g1 + €p花—△乙 淤Р

2тг〃от 丿 ％ + △? + * (2тг)з

(10.177)

(10.177)

Интегрируя по £, получаем

Таким образом,Таким образом,$3n)$3n)1 2а)Л +△乙万，%+ △21 2а)Л +△乙万，%+ △2(10.178)(10.178)@-1 = @『1 - $ = Wnl -行z - A 办,@-1 = @『1 - $ = Wnl -行z - A 办,(10.179)(10.179)

Таким образом,

Таким образом,

$3n)

$3n)

1 2а)Л +△乙万，%+ △2

1 2а)Л +△乙万，%+ △2

(10.178)

(10.178)

@-1 = @『1 - $ = Wnl -行z - A 办,

@-1 = @『1 - $ = Wnl -行z - A 办,

(10.179)

(10.179)

где

шп=шп[1 + —. 1 I , Д = Д I 1 + —/ 1 I(10.180)

Обратим внимание, что

Qn/A = “q.(10.181)

Как мы убедимся в дальнейшем, это свойство очень важно.

При вычислении Е мы использовали затравочные функции Грина G и R. Что произойдет, если теперь подставить исправленные функции Грина в выражение для Е? Оказывается, Е при этом не изменится. Это легко видно из (10.178), поскольку при изменении в этом выражении wn и Д в одно и то же число раз величина Е не меняется. Поэтому полученный нами ответ автоматически оказался решением интегрального уравнения для Е, точно так же, как и для нормального металла (см. задачу 50).

〃о d£ Д銖 + А2 + 0〃о d£ Д銖 + А2 + 0В принципе, щель в грязном сверхпроводнике следует определять заново, решая уравнение самосогласования (10.38), принимающее вид

〃о d£ Д

銖 + А2 + 0

〃о d£ Д

銖 + А2 + 0

(10.182)

Интегрируя по £〉приходим к уравнению

心+A2心+A2(10.183)(10.183)

心+A2

心+A2

(10.183)

(10.183)

не содержащему концентрации примесей. (Во втором равенстве мы использовали (10.181).) Таким образом, примеси не влияют не только на £〉но и на термодинамику сверхпроводника вообще. Так происходит потому, что для термодинамических свойств существенна лишь полная плотность состояний (или, грубо говоря, сколько длин волн укладывается на каждой квазичастичной траектории) и совершенно не важно, как эти состояния устроены (т. е. по каким конкретно траекториям движутся квазичастицы, по прямым, или по ломаным, рассеиваясь на примесях).

Решение 65 б. Теперь рассмотрим отклик сверхтекучего тока на внешнее магнитное поле. В отличие от 么〉эта величина гораздо более чувствительна к форме траекторий и сильно изменяется даже при малых концентрациях примесей. (Достаточно, чтобы длина свободного пробега стала меньше, чем размер куперовской пары £о.) Определим сверхтекучую плотность. Как и в задаче 51, для вычисления отклика достаточно провести вычисления с усредненными по примесям функциями Грина, потому что диаграмма с примесной линией, соединяющей разные функции Грина, равна нулю (из-за того, что вершина взаимодействия с электромагнитным полем векторная). Усредненные же функции Грина отличаются от затравочных лишь заменой шп шпу Д Д. Поэтому можно сразу написать формулу для ns по аналогии

с задачей 50:с задачей 50:гь — nsгь — nsоооо)22))22)(10.184)(10.184)

с задачей 50:

с задачей 50:

гь — ns

гь — ns

оо

оо

)2

2)

)2

2)

(10.184)

(10.184)

Как и ранее, вычтем из этого выражения его значение при Д = 0, г = ос, чтобы исключить вклад ферми-моря. Интегрирование по £ дает:

Итак,Итак,m(Q2 + △2)/m(Q2 + △2)/(10.185)(10.185)(10.186)(10.186)

Итак,

Итак,

m(Q2 + △2)/

m(Q2 + △2)/

(10.185)

(10.185)

(10.186)

(10.186)

При малой концентрации примесей, когда г До》1, это выражение воспроизводит результат задачи 63, а в противоположном «грязном» пределе тДо《1 дает следую

щее:щее:ns Е L А2——=2тгтТ *汽 еи+д2)ns Е L А2——=2тгтТ *汽 еи+д2)7гтД th . 2T7гтД th . 2T(10.187)(10.187)Интересно, что в грязном сверхпроводнике даже при Т — 0 сверхтекучая плотность много меньше полной:Интересно, что в грязном сверхпроводнике даже при Т — 0 сверхтекучая плотность много меньше полной:ns(T — 0) а =7ГтД0 < 1 .ns(T — 0) а =7ГтД0 < 1 .nn(10.188)(10.188)Это связано с нарушением трансляционной инвариантности и «торможением» электронов примесями.Подставляя ns в формулу для глубины проникновения 6八〉получаемЭто связано с нарушением трансляционной инвариантности и «торможением» электронов примесями.Подставляя ns в формулу для глубины проникновения 6八〉получаем<5Л = Д△Tth0/2T)]. 27r v<5Л = Д△Tth0/2T)]. 27r v(10.189)(10.189)

щее:

щее:

ns Е L А2

——=2тгтТ *

汽 еи+д2)

ns Е L А2

——=2тгтТ *

汽 еи+д2)

7гтД th . 2T

7гтД th . 2T

(10.187)

(10.187)

Интересно, что в грязном сверхпроводнике даже при Т — 0 сверхтекучая плотность много меньше полной:

Интересно, что в грязном сверхпроводнике даже при Т — 0 сверхтекучая плотность много меньше полной:

ns(T — 0) а =7ГтД0 < 1 .

ns(T — 0) а =7ГтД0 < 1 .

n

n

(10.188)

(10.188)

Это связано с нарушением трансляционной инвариантности и «торможением» электронов примесями.

Подставляя ns в формулу для глубины проникновения 6八〉получаем

Это связано с нарушением трансляционной инвариантности и «торможением» электронов примесями.

Подставляя ns в формулу для глубины проникновения 6八〉получаем

<5Л = Д△Tth0/2T)]. 27r v

<5Л = Д△Tth0/2T)]. 27r v

(10.189)

(10.189)

Решение 66. Вначале найдем усредненную по парамагнитным примесям функцию Грина. Для того чтобы ее вычислить, мы используем модифицированную крестовую технику. Введем четырехкомпонентные функции Грина

(10.190)(10.190)/〈R 党(г, 7)%(0,0)〉(Тт^а(г, Т)^(0,0)) \

(10.190)

(10.190)

I〈Тт党(г, т)若(0,0)〉〈Тт%(г, т)必(0,0)〉丿

(а и /3 — спиновые индексы). При этом функция Грина в отсутствие примесей равна

@о =@о =媛 + §2 +(—△Хз ®п — W)%3媛 + §2 +(—△Хз ®п — W)%3(10.191)(10.191)

@о =

@о =

媛 + §2 +(—△Хз ®п — W)%3

媛 + §2 +(—△Хз ®п — W)%3

(10.191)

(10.191)

а △&/ = гДа^ (а^ - спиновые матрицы Паули). Как и в предыдущей задаче, найдем собственно-энергетическую часть из диаграммы на рис. 10.16:

Q 4 "万Q 4 "万

Q 4 "万

Q 4 "万

Рис. 10.16

В случае парамагнитных примесей штриховая линия имеет нетривиальную спиновую структуру. Ее можно найти, вычислив коррелятор флуктуаций примесного потенциала:

(e%(r -必)%声；e分(r一 rЬ)a£词)=小卩2® - 1)〈S守储0脸=

=S(寸 1)小J2® - r>^a^ .(Ю.192)

Стоящее здесь скалярное произведение матриц Паули можно преобразовать, используя тождество Фирца (см. [9], §28):

26az/6/3儿—6а/6乩〃 •26az/6/3儿—6а/6乩〃 •(10.193)

26az/6/3儿—6а/6乩〃 •

26az/6/3儿—6а/6乩〃 •

Таким образом,

簿0(汝兀)=-*j2sls + 1) (2Ьа0Ь“ — 8aM У G^n, С 固恋.(10.194)

Подставим вначале в этот интеграл Gq. Интегрирование производится довольно просто, и мы получаем

гдегде1 z(vnl 一 250cB 丛冲5冲丁工 + △&//£1 z(vnl 一 250cB 丛冲5冲丁工 + △&//£2开禽2开禽《3^ + △?《3^ + △?(10.195)(10.195)tsts33^n^rJ2S{S + 1)^n^rJ2S{S + 1)(10.196)(10.196)

где

где

1 z(vnl 一 250cB 丛冲5冲丁工 + △&//£

1 z(vnl 一 250cB 丛冲5冲丁工 + △&//£

2开禽

2开禽

《3^ + △?

《3^ + △?

(10.195)

(10.195)

ts

ts

3

3

^n^rJ2S{S + 1)

^n^rJ2S{S + 1)

(10.196)

(10.196)

——время релаксации спина на примесях. Поскольку таким образом, что G~i = G「— Е отличается от Gq——время релаксации спина на примесях. Поскольку таким образом, что G~i = G「— Е отличается от Gq*冲6冲 = 0, то мы получаем заменой и Д на*冲6冲 = 0, то мы получаем заменой и Д на

——время релаксации спина на примесях. Поскольку таким образом, что G~i = G「— Е отличается от Gq

——время релаксации спина на примесях. Поскольку таким образом, что G~i = G「— Е отличается от Gq

*冲6冲 = 0, то мы получаем заменой и Д на

*冲6冲 = 0, то мы получаем заменой и Д на

11^п = ^п 1 Н/〈2心+ △?^п = ^п 1 Н/〈2心+ △?,Д = Д 1-,Д = Д 1-112т"媛+ △?2т"媛+ △?(10.197)(10.197)

1

1

^п = ^п 1 Н/

〈2心+ △?

^п = ^п 1 Н/

〈2心+ △?

,Д = Д 1-

,Д = Д 1-

1

1

2т"媛+ △?

2т"媛+ △?

(10.197)

(10.197)

Однако заметим, что теперь, в отличие от задачи 64,

(10.198)(10.198)Q/A 丰 、.

(10.198)

(10.198)

Поэтому если теперь подставить G в (10.194), то получится другое значение Е. Попробуем решить задачу самосогласованно, подставляя в (10.194) G с неизвестными

Q и △. Тогда

27r7s ^ш^ + Д227r7s ^ш^ + Д2(10.199)(10.199)

27r7s ^ш^ + Д2

27r7s ^ш^ + Д2

(10.199)

(10.199)

Уравнение Дайсона теперь приводит к условию самосогласования, определяющему Q и

(10.200)(10.201)(10.200)(10.201)G = G Н/,

(10.200)

(10.201)

(10.200)

(10.201)

~Д

△ = △ .

Теперь запишем уравнение Горькова (10.38), определяющее щель:

ОО

△ = 入те / 〃0庶支(汝办0 =

Д % d£%+A2 + g2Д % d£%+A2 + g2=7ГХ%Т Е / 2~v^n + А2=7ГХ%Т Е / 2~v^n + А2(10.202)(10.202)

Д % d£%+A2 + g2

Д % d£%+A2 + g2

=7ГХ%Т Е / 2~

v^n + А2

=7ГХ%Т Е / 2~

v^n + А2

(10.202)

(10.202)

Из-за того, что Q/A 丰 w/Д, это уравнение отличается от уравнения для чистого сверхпроводника.

д(1 + ад) =д-д(1 + ад) =д-Выведем отсюда уравнение, определяющее температуру перехода сверхпроводника с парамагнитными примесями Т*. Полагая △ — 0〉решим уравнения (10.200), (10.201):

д(1 + ад) =д-

д(1 + ад) =д-

(10.203)(10.203)1 Q g Нsign g ,

(10.203)

(10.203)

Тогда уравнение на Т* выглядит так:

12"""°式 2)Qg + 1/2禽12"""°式 2)Qg + 1/2禽27^7； £3九＞027^7； £3九＞01^n + 1/禽.1^n + 1/禽.(10.204)(10.204)

1

2"""°式 2)Qg + 1/2禽

1

2"""°式 2)Qg + 1/2禽

27^7； £

3九＞0

27^7； £

3九＞0

1

^n + 1/禽.

1

^n + 1/禽.

(10.204)

(10.204)

Остановимся на физическом смысле этой формулы. При рассеянии на парамагнитной примеси спин электрона может перевернуться, и rs есть среднее время между двумя переворотами спина, т. е. время жизни куперовской пары. Знаменатель в

описывает развал куперовских пар из-за рассеяния на магнитных примесях и уменьшение эффективного времени взаимодействия.

Если ts велико по сравнению с 力/當〉то парамагнитные примеси лишь слегка сдвигают Тс. Но при rs ~ 力/當 сверхпроводимость полностью подавляется. Найдем критическое т；〉полагая £ = 0 и заменяя сумму на интеграл:

▲=后2 =入〃0 ь么▲=后2 =入〃0 ь么/ a + 1/寸/ a + 1/寸= lnW= lnW(10.205)(10.205)

▲=后2 =

入〃0 ь么

▲=后2 =

入〃0 ь么

/ a + 1/寸

/ a + 1/寸

= lnW

= lnW

(10.205)

(10.205)

откуда

W = 27%/(开么).(10.206)

Таким образом, парамагнитные примеси даже в малых концентрациях могут существенно повлиять на свойства сверхпроводника и даже полностью подавить сверхпроводимость. При этом оказывается, что в определенном интервале по концентрации примесей существует режим так называемой бесщелевой сверхпроводимости, в котором сопротивление металла равно нулю, но энергетическая щель отсутствует. Так получается из-за того, что примеси меняют энергию связи электронов в паре по-разному в разных частях образца. Читатель, интересующийся этим эффектом, может обратиться к оригинальной работе.

Решение 67. Как и в задаче 64, мы вначале найдем куперовскую примесную лестницу, а затем подставим ее в уравнение самосогласования. Вычисление купе- ровской лестницы во внешнем магнитном поле в общем случае довольно сложно. Однако если поле медленно меняется на длине свободного пробега, эта задача сильно упрощается. Заметим, что две ступеньки примесной лестницы находятся друг от друга на расстоянии порядка I. Это позволяет пренебречь изменением поля на одной ступеньке и рассмотреть ступеньку в постоянном поле. Изменение поля мы учтем, переходя к суммированию ступенек, каждая из которых чувствует магнитное поле на своем отрезке траектории.

Поскольку нас интересуют неоднородные решения уравнения самосогласования, мы вначале вычислим примесную лестницу при ненулевом суммарном импульсе s в нулевом магнитном поле. Это можно сделать так же, как и в задаче 54. Одна ступенька лестницы вычисляется точно так же:

(10.207)(10.207)ш — ^ + ^- signs) (—Eg — ^ + sv — ^- signs

(10.207)

(10.207)

4开 1 + 2M 丁 + irsv1 + 2M 丁 + tDs2

(О ——коэффициент диффузии). Суммируя лестницу, получаем

4(s)=—乌=I ° .(10.208)

1 — Вс/2^и^т 2M + Ds2

Теперь попробуем учесть магнитное поле. Пусть сначала его векторный потенциал А(г) постоянен. Тогда его учет сведется к сдвигу импульсов р — р — еА/с в функциях Грина. Поэтому в примесной лестнице s заменится на s —2еА/с. Следовательно,

2тг〃о2тг〃о2М + О2М + О(10.209)(10.209)

2тг〃о

2тг〃о

2М + О

2М + О

(10.209)

(10.209)

Удобно записать это выражение в координатном представлении. Будем считать Cw(r, г') функцией начальной и конечной точек. Заменяя s на —£▽「перепишем выражение для куперона в форме дифференциального уравнения:

2M + D (-г— - —A j СЦг, г) = 2тг〃()Ь(г - г) .(10.210)

Что изменится, если А(г) — медленно меняющаяся функция? Если мы намерены учитывать лишь первые два порядка по А в знаменателе (10.209), то легко понять, что все возможные усложнения связаны с появлением членов, зависящих от div А, поскольку это единственная вращательно инвариантная комбинация из производных А. (Иными словами, если А становится функцией г, возникает вопрос о порядке операторов А(г) и V в купероне.) Но выбирая калибровку, в которой div А = 0, мы всегда можем добиться исчезновения подобных поправок. Поэтому для того, чтобы вычислить примесную лестницу, достаточно решить уравнение

2…「A(rJ2…「A(rJСш(г, г') = 27rz7()Ь(г - г').Сш(г, г') = 27rz7()Ь(г - г').(10.211)(10.211)

2…「A(rJ

2…「A(rJ

Сш(г, г') = 27rz7()Ь(г - г').

Сш(г, г') = 27rz7()Ь(г - г').

(10.211)

(10.211)

Это уравнение можно вывести и напрямую. Для этого надо рассмотреть такие поправки к одной «ступеньке»:

1111++I+ : : +I+ : : +

11

11

+

+

I+ : : +

I+ : : +

(Волнистые линии на этом рисунке изображают взаимодействие с внешним магнитным полем.) После этого суммирование лестницы дает уравнение (10.211).

(10.212)(10.212)Теперь запишем уравнение самосогласования, полагая △ — 0. Вблизи Нс2 состояние неоднородно, поэтому △ зависит от г. Уравнение Горькова имеет вид

(10.212)

(10.212)

△ (г) = X Р(а, г, г)—.丿Z7T

Аномальная гриновская функция 尸(幻〉г, г) дается при △ — 0 единственной диаграммой:

Сравнивая ее с диаграммой для примесной лестницы, находим

F(w, г, г) = / △『)4(% г)产〃 .(10.213)

Поэтому уравнение самосогласования записывается так:

△ (г)=入 / ^ /а(г, Y) △(*)瀬人(10.214)

Чтобы найти его решения, удобно разложить Д(г) по нормированным собственным функциям у?п(г) оператора в левой части (10.211). Эти функции обладают такими свойствами:

D 孫-—Bn(r)= 〃嗣/г),(10.215)

/ Bn(r)嗚(г)舟=6пт(10.216)

(从也 ——n-е собственное значение). Запишем Д(г) в виде

△ (г) = £ △宀г).(10.217)

Куперон можно выразить через у?п(г):

СЦг, г') = 27TZ70 Е•(10.218)

п ^1^1 + Мп

Это соотношение легко проверить, заметив, что эта функция в силу (10.215) удовлетворяет уравнению при г ^ г\ а при г — г' левая часть уравнения совпадает с (5-функцией, поскольку интеграл от нее по г равен 1 в силу (10.216).

Тогда уравнение (10.214) перепишется так:

п 丿 2M + % 27r

Оно имеет нетривиальное решение при

1

(10.219)(10.219)(10.220)(10.220)1〃八1〃八=1п込Мп=1п込Мп(10.221)(10.221)Интеграл следует обрезать сверху при ш = wp, как и ранее. В результате

(10.219)

(10.219)

(10.220)

(10.220)

1

〃八

1

〃八

=1п込Мп

=1п込Мп

(10.221)

(10.221)

Найдем собственные значения 从也.Для этого нужно решить уравнение (10.215). Выберем калибровку Ау = —Нх. Тогда можно заметить, что уравнение (10.215) совпадает с уравнением Шредингера для частицы с массой т = (2D)-1, зарядом q = 2е и энергией 从也 в магнитном поле Н. Из квантовой механики известно, что в этом случае собственные знвчения таковы:

Это означает, чтоЭто означает, что小+5)+而;小+5)+而;Зн =Зн =qHтсqHтс(10.222)(10.222)4DeH 从？! =4DeH 从？! =g+ 5) +0成•g+ 5) +0成•(10.223)(10.223)

Это означает, что

Это означает, что

小+5)+而;

小+5)+而;

Зн =

Зн =

qH

тс

qH

тс

(10.222)

(10.222)

4DeH 从？! =

4DeH 从？! =

g+ 5) +0成•

g+ 5) +0成•

(10.223)

(10.223)

Поскольку собственные значения растут с ростом Н、критическое магнитное поле определяется наименьшим собственным значением. Оно равно 从о = 2DeH/c. Таким

(10.224)(10.224)образом,

(10.224)

(10.224)

〃0入 DeHc2

Выражая А через Тс с помощью (10.73), получаем окончательно

(10.225)(10.225)

(10.225)

(10.225)

где Фо =力с/2е — квант потока.

Заметим, что собственные функции, отвечающие минимальному собственному значению, локализованы:

гдегде夕叫⑵y，Z)=/?厂(1。产/2总,夕叫⑵y，Z)=/?厂(1。产/2总,(10.226)(10.226)1н =，九c/(qH), g = cky/^qH).1н =，九c/(qH), g = cky/^qH).(10.227)(10.227)

где

где

夕叫⑵y，Z)=/?厂(1。产/2总,

夕叫⑵y，Z)=/?厂(1。产/2总,

(10.226)

(10.226)

1н =，九c/(qH), g = cky/^qH).

1н =，九c/(qH), g = cky/^qH).

(10.227)

(10.227)

Таким образом, сверхпроводимость возникает в «нитях»толщины 1^. При понижении поля концентрация нитей быстро возрастает, пока они не заполнят собой весь объем.

В каких случаях переход от сверхпроводимости к нормальному металлу в магнитном поле устроен так, как описано в решении? Чтобы ответить на этот вопрос, надо сравнить магнитные поля, соответствующие различным сценариям разрушения сверхпроводимости. Мы вычислили магнитное поле, соответствующее разрушению сверхпроводимости неоднородным образом. Оценим поле, соответствующее разрушению сверхпроводимости сразу во всем объеме. Для этого надо сравнить энергию магнитного поля в объеме сверхпроводника с энергией конденсации. Энергия магнитного поля на единицу объема есть

Емаг = Н2/87Г.(10.228)

Энергию конденсации легко оценить, считая, что частицы в интервале энергий △ за счет конденсации понижают свою энергию на △. Число таких частиц в единице объема есть %△〉поэтому энергия конденсации равна

Ес%7^ .(10.229)

Таким образом, магнитное поле, соответствующее однородному разрушению сверхпроводимости (термодинамическое критическое по@6)есть

НС^ТС^.(10.230)

Сравним его с 及2：

где 8^ ——лондоновская глубина проникновения в чистом сверхпроводнике, определенная в (10.162). Таким образом, Нс2》Нс при I 6^. В этом случае Нс2 действительно определяет границу сверхпроводящей фазы. Если же НС2《Нс (т. е. Ьа《，)〉 то переход происходит однородно по всему объему при поле Нс. В этом случае при Н = НС2 < Нс ничего особенного не происходит.

Плава 11.

Измерение функций Грина

Одночастичные и двухчастичные функции Грина представляют собой корреляционные функции операторов 山 и 山 + (см. гл. 4). Физические характеристики, такие, как теплоемкость, проводимость, и др., в принципе всегда можно выразить через гриновские функции. Однако эта связь довольно часто оказывается весьма сложной и «односторонней», поскольку она вообще говоря не позволяет восстановить функции Грина по экспериментальным данным. (Например, термодинамические величины даются интегралами от выражений, содержащих функции Грина,——см. задачи 35, 36, 49, 60.) Поэтому представляет интерес обсудить методы, позволяющие напрямую «измерять» функции Грина и получать информацию о свойствах систем взаимодействующих частиц, которую можно легко интерпретировать теоретически.

Туннелирование

Рассмотрим сначала вопрос об измерении одночастичной функции Грина

G(/〉М) = —£〈Т對/)山+(/)〉.G(/〉М) = —£〈Т對/)山+(/)〉.(11.1)(11.1)

G(/〉М) = —£〈Т對/)山+(/)〉.

G(/〉М) = —£〈Т對/)山+(/)〉.

(11.1)

(11.1)

Для определенности будем говорить о гриновской функции электрона в металле. На первый взгляд, эксперимент, в котором корреляционная функция G(/〉/‘) определялась бы напрямую, кажется невозможным. Ведь пропорциональное @+ или @ поле к системе приложить невозможно (для этого нужно было бы создать электрон «из ничего»), и поэтому корреляционная функция G(/〉/‘) не может быть связана ни с какой функцией отклика. Можно, однако, рассмотреть ситуацию, когда происходит перенос электронов из одного металла (который мы будем называть «пробником») в другой (исследуемый образец). Если перенос заряда происходит мгновенно, то его можно описывать как уничтожение электрона в пробнике и рождение его в образце. Вероятность этого процесса оказывается связанной с функциями Грина исследуемого образца и пробника. Если свойства пробника известны и достаточно просты, то можно считать, что в таком эксперименте «измеряется» функция Грина электрона в образце.

Для того, чтобы реализовать эту идею, нужно создать такую связь между пробником и образцом, чтобы переносимый электрон в каждый момент времени был или на пробнике, или на образце. (Иначе говоря, заряды пробника и образца должны быть хорошими квантовыми числами.) Это означает, что связь пробника с образцом должна быть слабой, и поэтому обычный омический контакт между двумя металлами не годится. Слабую связь можно получить, используя туннельный эффект. Рассмотрим так называемый туннельный контакт ——два металла, разделенных потенциальным барьером, так что область между металлами оказывается классически запрещенной (см. рис. 11.1). На практике в качестве потенциального барьера обычно используется тонкий слой диэлектрика, например, окисла, образующегося на поверхности металла. На рис. 11.2 показано заполнение энергетических уровней по обе стороны контакта и распределение потенциала в случае, когда к контакту приложено постоянное напряжение V.

Электроны могут туннелировать из одного металла в другой, причем прозрачность туннельного барьера, согласно формуле ВКБ, является экспоненциальной функцией

ТУ ^ е~л, Л= y^i^d/%,ТУ ^ е~л, Л= y^i^d/%,(11.2)(11.2)

ТУ ^ е~л, Л= y^i^d/%,

ТУ ^ е~л, Л= y^i^d/%,

(11.2)

(11.2)

где [7q — высота потенциального барьера, ad — его толщина. Если прозрачность W мала, то такой туннельный контакт обеспечивает слабую связь между двумя металлами.

В равновесии вероятности перехода электронов справа налево и слева направо равны, и ток через контакт отсутствует. Однако если к туннельному контакту приложить разность потенциалов, выводящую систему из равновесия, через контакт потечет ток. измеряя который можно определить вероятность туннелирования и, как следствие, функцию Грина.

Перейдем к количественному описанию туннелирования. Поскольку вероятность прохождения через высокий барьер экспоненциально мала, то можно вначале рассмотреть задачу, пренебрегая туннельными эффектами, а затем учесть их по теории возмущений. Пусть 9a⑹(г)——оператор рождения электрона соответственно на пробнике или на образце в отсутствие туннелирования. Рассматривая туннелирование как мгновенный перенос заряда, можно записать гамильтониан для туннелирования следующим образом:

Нт = / / (tKDV^F)耽(г)+ h.c.) d31d% (11.3)

/<0 〃>d

Интегрирование по г в этой формуле производится по левому берегу, а интегрирование по г'——по правому. Туннельный гамильтониан вида (11.3) можно вывести1 в пределе бесконечно тонкого и очень высокого барьера. При этом выражение (11.3) обычно используется и в более общем случае как наиболее простая формула, правильно отражающая физику в пределе малой амплитуды туннелирования Т(г〉г‘).

Перейдем в представление собственных состояний 山⑥卩〉山ь/：

耽(г) = £%,р(г)6р, 觇(г) = £次,р，(г)Вр，.(11.5)

рр/

Собственные состояния в (11.5) вдали от барьера представляют собой линейные комбинации двух плоских волн, падающей и отраженной, удовлетворяющие граничным условиям на поверхности барьера. В представлении (11.5) туннельный гамильтониан принимает вид

= £ 小，結 Bp + h.c.(п.6)

р,р‘

Следует иметь в виду, что нередко отражением от барьера пренебрегают и заменяют истинные собственные состояния в (11.5) на плоские волны. Хотя такое приближение на первый взгляд кажется весьма грубым, оно оказывается вполне достаточным для описания эффектов, в которых существенны только состояния с энергиями вблизи Ер. Более аккуратное рассмотрение приводит к более сложным выражениям, с которыми труднее работать. Согласие же с экспериментом, и без того обычно неплохое, при этом практически не улучшается.

Зависимость амплитуды туннелирования Т^р/ от импульсов р, р‘ в общем случае может оказаться довольно сложной. Обычно рассматривают две основные модели, соответствующие «шероховатому» и «гладкому» барьерам. В первом случае, поскольку вероятность туннелирования (11.2) экспоненциально зависит от толщины барьера, основной вклад в туннельный ток вносится тем местом, где барьер наиболее тонок и где поэтому вероятность туннелирования наибольшая. Обычно можно считать, что туннелирование происходит в какой-то определенной точке барьера. Амплитуда туннелирования Т^р/ в этом случае есть константа, не зависящая от р и р‘. Другая ситуация возникает в случае достаточно гладкого барьера, имеющего постоянную толщину. При туннелировании через такой барьер должна сохраняться компонента импульса электрона вдоль барьера рц. Поэтому в данном случае амплитуда туннелирования имеет вид Т^р/ = ^р±р1^(Р|| — Р||)- В этой главе мы будем рассматривать более часто встречающийся случай шероховатого барьера и соответственно считать амплитуду туннелирования константой: 7^р/ = Tq.

^В случае бесконечно высокого и тонкого барьера с резкими краями, находящегося в плоскости ①=0, граничные условия в отсутствие туннелирования имеют вид:吵а(①=+0) = 0,吵ь(①=—0) = 0. При этом туннельный гамильтониан есть

Нт = - [ dydz T(y,z) ^-^(r)|°с + he(皿4)

丿OX I +0 ОХI ж——о

о

где T(g, N)— прозрачность барьера, являющаяся в общем случае функцией координат.

Теперь найдем оператор туннельного тока. Полный гамильтониан системы есть

Я =斤1(欧 @+) + 冗&戸)+ Нт ,(11.7)

где Hi⑵一гамильтонианы соответственно пробника и образца. При этом Н1 и % сохраняют заряд каждого из берегов контакта, а Нт приводит к переносу заря

да. Запишем скорость изменения заряда пробника, используя уравнения эволюции в представлении Гейзенберга:

(11.8)(11.8)Qa = i[H,Qa], @а = е£б^6р.р

(11.8)

(11.8)

Нетрудно видеть, что вклад в коммутатор (11.8) дает только Н「Определяя оператор тока / как скорость изменения заряда и вычисляя коммутатор [Н^ Q/〉получаем

7 = За =巫工小用爲 + h.c.(11.9)

р,р‘

Чтобы найти средний по времени туннельный ток, нужно вычислить среднее от оператора (11.9) по состоянию, в котором химические потенциалы берегов различаются на eV, где V — приложенное к контакту напряжение. Это состояние — неравновесное, поэтому усреднение по нему нельзя выполнять с помощью обычной равновесной диаграммной техники. Можно однако воспользоваться полезным стандартным приемом, позволяющим перейти к эквивалентной задаче, в которой усреднение выполняется по равновесному состоянию. Для этого рассмотрим калибровочное преобразование

◎р — ЗрегеУ^, %/ — %j(11.10)

сдвигающее энергии всех состояний справа на —eV и выравнивающее таким образом химические потенциалы. После этого преобразования туннельный гамильтониан принимает вид

нт = xeeVt + X+e-ieW ,(11.11)

где

р,р‘

Туннельный ток в этом представлении равен

7 = iXeieVt - gF+eTeVt.(11.13)

Таким образом, после калибровочного преобразования (11.10) мы получили зависящее от времени возмущение, действующее на равновесное состояние. Это означает, что с формальной точки зрения задача о вычислении туннельного тока сводится к вычислению отклика зависящего от времени оператора туннельного тока (11.13) на «внешнее поле», пропорциональное туннельному оператору (11.12), причем разность

потенциалов eV играет роль частоты «внешнего поля». Соответствующая диаграмма приведена на рис. 11.3.

Рис. 11.3

Кружком обозначен оператор туннелирования X. Вычисление функции отклика (см. задачу 68) приводит к такому выражению для туннельного тока:

/”)= 4е£ Мр，『/ ImGf(p,£ + eV) ImGf(p» [nF(e) - nF(e + eV)] / , (11.14) P,P‘—OQ

где 汽f(£)— фермиевская функция распределения, a G^(p^ £)——фурье-образ запаздывающей функции Грина

ОО

Gf(p,£)= -2/〈[若⑴,ар(0)]〉е。"威.(П.15)

О

Для модели шероховатого барьера 写衣/ = То, и результат (11.14) принимает вид

ОО

/”)= 4тге|7Ь|2 / %(£ + е『)％(£)(八尸(£)- nF{e + eV)) de ,(11.16)

где

忆(b)(£)= -鼠(p,£)(И-17)

p

——так называемая туннельная (или одночастичная) плотность состояний. Происхождение этого названия становится яснее, если рассмотреть туннелирование между двумя металлами, пренебрегая эффектами взаимодействия. Тогда скорость перехода из пробника в образец можно найти по золотому правилу Ферми:

=百%г%值)〉(11.18)

где %(£)——плотность состояний в образце. Суммируя по всем заполненным состояниям в пробнике, получаем ток, текущий из пробника в образец:

тге 7

/аТ = —-—|К|2 у %(£ + е^)%(£)汽f(£)(1 - nF(e + eV)) de (11.19)

(коэффициент 2 учитывает спиновое вырождение, а множитель 1 — пр^е + eV) возникает вследствие принципа Паули). Аналогично, ток из образца в пробник равен

тге 7

76Tа = —-—|7Ь|2 У + eV)z/6(£)+ eV)(l - w(£)) de .(П.20)

Вычисляя суммарный ток I = 厶一匕— 厶一① получаем соотношение (11.16). Итак, выражение туннельного тока через плотность состояний в отсутствие взаимодействия оказывается точно таким же, как и во взаимодействующей системе, если плотность состояний 〃(£)определена с помощью соотношения (11.17).

Заметим, что туннельная плотность состояний (11.17), вообще говоря, отличается от термодинамической плотности состояний

网 £)= (<W勿)|〃= ,(И-21)

которая определяет сжимаемость системы в равновесии. В отличие от туннельной плотности состояний, термодинамическая плотность состояний учитывает равным образом все состояния в системе, независимо от степени их одно- или многочастич- ности. Только в невзаимодействующей системе туннельная и термодинамическая плотности состояний совпадают, поскольку в этом случае многочастичные состояния есть простые комбинации одночастичных (слэтеровские детерминанты). Во взаимодействующей же системе это не так, и поэтому 〃(£)# 方(£)•

По одночастичной плотности состояний (11.17), найденной из туннельных измерений, можно в принципе восстановить функцию Грина, используя соотношения типа Крамерса-Кронига. Туннельные измерения, таким образом, предоставляют важную информацию о системе взаимодействующих частиц, которую трудно получить другими методами. Особенность процесса туннелирования, как уже отмечалось, заключается в том, что при туннелировании из системы вырывается электрон, в то время как при измерении таких величин, как проводимость, теплоемкость или сжимаемость, происходит лишь перераспределение квазичастиц внутри системы. Поскольку квазичастицы в основном ведут себя подобно невзаимодействующим частицам, такие методы оказываются относительно менее чувствительны к эффектам взаимодействия. При туннелировании же отличие квазичастиц от реальных частиц оказывается весьма существенным. Поэтому иногда говорят, что туннельное измерение показывает в какой мере квазичастицы во взаимодействующей системе отличаются от «голых» электронов.

Одночастичную функцию Грина можно определить не только из туннельных экспериментов, но и из некоторых других, например оптических. При поглощении оптического фотона в кристалле происходит практически мгновенный переход электрона с одной ветви электронного спектра на другую. Этот процесс можно описать как рождение электрона в одной энергетической зоне и одновременное уничтожение в другой. Так, скажем, при оптическом переходе в собственном полупроводнике электрон поглощает энергию, большую энергии запрещенной зоны, и при этом переходит из (заполненной) валентной зоны в (пустую) зону проводимости. При этом валентная

зона играет роль пробника, а зона проводимости ——роль исследуемого образца. Вероятность поглощения выражается через одночастичные функции Грина в каждой из двух зон точно таким же образом, как это было проделано выше для вероятности туннелирования. При этом амплитуда туннелирования Тр р/ заменяется на амплитуду перехода в присутствии внешнего электромагнитного поля, а энергия eV —— на энергию квантов поля Нш. Единственное отличие ——(5-функционная зависимость амплитуды 写衣/ от переданного импульса р‘ — р〉отражающая сохранение импульса при поглощении фотона. В общем случае 吟,р/ = 7^,р/6(р‘ — р — к), где к —— импульс фотона, а 写衣/ ——матричный элемент дипольного момента между начальным и конечным состояниями. Исследование спектра поглощения, т. е. зависимости интенсивности поглощения от частоты фотонов, позволяет определить функцию Грина электрона в зоне проводимости и дает полезную информацию о динамике электрона.

Отметим также, что факторизация вероятности туннелирования в произведение туннельных плотностей состояний образца и пробника имеет место далеко не всегда. Изложенная теория туннелирования, как нетрудно видеть, существенным образом опирается на предположение о независимости динамики в исследуемом образце и в пробнике. В случае же когда в системе имеется взаимодействие с радиусом превышающим толщину барьера, это предположение, вообще говоря, несправедливо. Наиболее опасным в этом смысле как правило является кулоновское взаимодействие, приводящее к притяжению протуннелировавшего заряда и оставшейся на другом берегу дырки. В результате этого динамика электрона и дырки становится скоррелированной, что меняет вероятность туннелирования и усложняет интерпретацию результатов. Точно такие же оговорки, причем еще даже в большей степени, относятся к оптическому поглощению. В этом случае взаимодействие может привести к образованию экситона — связанного водородоподобного состояния поглотившего фотон электрона и дырки в исходной зоне. При этом спектр поглощения оказывается определенной комбинацией вкладов свободных электронов и дырок, а также их связанных состояний. Эффекты подобного рода имеют место не только в полупроводниках, но и в металлах. Например, экситонные корреляции в конечном состоянии оказываются существенными при анализе спектра рентгеновского поглощения в металле (см. задачу 79).

Неупругое рассеяние

Двухчастичная функция Грина в общем случае зависит от четырех аргументов:

к(21,/2,/3,/4)=〈T 以21)必+(磔)以/2)必+(/4))•(П.22)

Измерить такую функцию было бы непросто, однако это обычно и не требуется. Достаточно интересную информацию можно извлечь из функции (11.22) в случае, когда её аргументы попарно совпадают, g = д〉效=?4・ Эта функция представляет собой коррелятор плотности

尤(21,/2)=〈Т0(/1)0(/2)〉, 0(2)=必+⑵以/) .(П.23)

Непосредственно измеряемой величиной является связанная с (11.23) запаздывающая корреляционная функция

(气21,死)=(:〈血r1"1)"(r2,力2)]),? > ?(11.24)

[и力12

Функцию (11.24) можно измерить, исследуя рассеяние на изучаемой системе пучка каких-либо пробных частиц (обычно нейтронов или фотонов). В этом разделе мы изложим основные факты, относящиеся к теории рассеяния частиц в коденсированных средах, а в задачах 72, 73 и 74 приведем соответствующие примеры.

Имеется два основных вида процессов рассеяния, представляющих интерес: упругое и неупругое рассеяние. Упругое рассеяние широко используется для изучения кристаллической структуры твердых тел, и поэтому этот вид рассеяния весьма важен с прикладной точки зрения. Неупругое рассеяние обычно используется для исследования элементарных возбуждений в кристаллах, жидкостях и других системах, и нас будет интересовать именно этот вид рассеяния. Вероятность неупругого рассеяния пробной частицы на атомах какой-либо среды с передачей среде энергии о)= Е — Ef и импульса q = к — к' оказывается пропорциональной мнимой части фурье-образа функции (11.24),

(R(a, q) = / (Ra 22)户门2-也12位 12d3门2 , (11.25)

где 力12 =力1 -力2)r12 =巧一г2.

Вид частиц, используемых в эксперименте, а также выбор их энергии Е определяется тем, в какой области & и q функция (11.25) представляет наибольший интерес. При этом следует иметь в виду, что энергии Е 且 Е‘ частиц до и после рассеяния связаны с их импульсами к и к' дисперсионным соотношением. (Например для нейтронов Е = k/2mn, Ef = k/2/2mn, где тп — масса нейтрона, а для фотонов Е =万е|к|, Ef =万е|к[, где с ——скорость света.) Поэтому, вообще говоря, при фиксированной энергии частиц Е можно исследовать только определенную область & и q.

Теоретическое описание рассеяния частиц разного вида оказывается практически одинаковым. Ниже мы будем для определенности говорить о рассеянии нейтронов. Нейтроны удобно использовать в качестве пробных частиц при исследовании динамики атомов или ядер, поскольку они взаимодействуют с ядрами контактно. Рассеяние нейтронов с не слишком большой энергией на ядрах происходит преимущественно в s-канале, вследствие чего реальный довольно сложный потенциал взаимодействия нейтрона с ядром можно заменить2 на так называемый «псевдопотенциал» Ферми

U(r —Y) = «&(r —Y), (11.26) 从 т +

где а ——длина рассеяния нейтрона на ядре,从 ——приведенная масса, т и rr1n ——массы ядра и нейтрона соответственно. Коэффициент в псевдопотенциале (11.26) подобран так, что сечение рассеяния нейтрона на одном ядре равно 4тга2, как и должно быть при полностью изотропном s-рассеянии.

Взаимодействие нейтрона с атомами какой-либо среды, скажем жидкости, можно выразить через оператор плотности частиц среды Q(r"). Контактное взаимодействие (11.26) означает, что оператор взаимодействия нейтрона с системой есть

秃int = 2^依,， (11.27)

где R — координата нейтрона. Можно показать (см. задачу 72), что сечение неупругого рассеяния нейтронов с передачей среде энергии g и импульса q выражается через мнимую часть коррелятора плотности (11.25) следующим образом:

dc(G〉q) Im(R(G〉q)

(11.28)(11.28)—一= const — —

(11.28)

(11.28)

dw do11 —

где d。'——элемент телесного угла рассеяния. Величина

q) = 2 Im(R(G, q) (П.29)

называется структурным фактором неупругого рассеяния.

Наибольший интерес обычно представляют полюсы двухчастичной функции Грина, поскольку они определяют спектр коллективных возбуждений системы g = Go(q) — 〃7(q)・ При малой величине затухания ?(q)《Go(q)〉полюсу двухчастичной функции Грина соответствует узкий пик в структурном факторе S(G〉q) при g ~ Go(q)〉имеющий ширину порядка ?(q)・ Таким образом, положения пиков в S(G〉q) «прорисовывают» ветви спектра коллективных возбуждений жидкости. Иллюстрирующие это обстоятельство примеры будут рассмотрены в задачах 73 б) и 74.

Неупругое рассеяние является практически единственным методом, дающим информацию о коллективных возбуждениях с волновыми векторами q порядка обратного расстояния между частицами. Например, гипотеза о существовании ротонов в сверхтекучем гелии была проверена именно с помощью измерений структурного фактора. При этом спектр возбуждений при достаточно малых & и q обычно можно определить и другими методами, изучая макроскопические свойства или функции отклика.

Рассмотрим пример реальных данных по неупругому рассеянию нейтронов. На рис. 11.4 показаны линии уровня структурного фактора жидкого 3Не. Интересно сравнить эти данные со структурным фактором идеального ферми-газа (см. задачу 73) с импульсом Ферми р()= 0, 786 х Ю^см-1^ что соответствует плотности 3Не при Р = 1 атму и массой равной атомной массе 3Не. Линии уровня структурного фактора идеального ферми-газа показаны на рис. 11.5. Для удобства сравнения мы перенесли на рис. 11.4 границу области S(G〉q) > 0, «квазичастичный гребень» g = vpk — kP/2т^ а также параболу g = к2/2т ——линию максимумов S(G〉q) при фиксированном |q|.

Ld(meV)Ld(meV)q, Аq, АРис. II.4Рис. II.4Рис. 11.5Рис. 11.5

Ld(meV)

Ld(meV)

q, А

q, А

Рис. II.4

Рис. II.4

Рис. 11.5

Рис. 11.5

Видно, что качественно элементарные возбуждения в 3Не такие же, как в ферми- газе: граница области S(cu)q) > 0 выглядит похоже и имеет правильный масштаб. Однако центральный максимум лежит на большом расстоянии от параболы си = к2/2т. Причина этого расхождения состоит в отличии эффективной массы в жидком 3Не от массы атома в пустоте: m* ~ 3m (это значение получено из данных по теплоемкости при Т《 瓦?，т. е. из низкоэнергетических измерений). Если учесть трехкратное различие масс, то положение центрального максимума оказывается примерно на месте. В то же время было бы неправильно просто заменить т на т* в формуле для S(cu, q) идеального ферми-газа, поскольку при этом верхняя граница области S(cu,q) > 0, дающаяся выражением “ = к2/2т + кр^/т^ оказалась бы значительно ниже, чем на рис. 11.4.

Таким образом, в окрестности верхней границы спектра имеет смысл пользоваться массой атома в пустоте, а вблизи максимума —— эффективной массой. Причина состоит в том, что на коротких временах, соответствующих большим энергиям, взаимодействие между атомами жидкости не успевает проявиться, и они эффективно ведут себя как свободные.

Обратим также внимание на максимум структурного фактора 3Не при q 弓 1.75 А-, g 弓 0.5 meV, отсутствующий в структурном факторе идеального ферми- газа. Этот максимум есть следствие взаимодействия. Более сильное чем в идеальном газе рассеяние при q порядка обратного расстояния между атомами 3Не можно объяснить существованием в жидкости ближнего порядка, возникающего вследствие взаимодействия атомов и приводящего к кристаллизации при достаточно высоком давлении или низкой температуре.

Литература: Туннелирование из сверхпроводника в нормальный металл рассматривается в [3], § 10.8, а эффект Джозефсона ——в [3], § 10.12. Обсуждение структурного

фактора для неупругого рассеяния можно найти в [1], § 17 и в [6], § 86, 87,91.

Задачи 68 — 74

Задача 68. а) Выведите формулу (11.14) для туннельного тока, используя мацуба- ровскую технику. Для этого рассмотрите отклик туннельного тока (11.13) на поле, пропорциональное туннельному оператору X〉——см. (11.12). Используя аналитические свойства мацубаровских функций Грина, перейдите от мнимых частот к вещественным и тем самым свяжите функцию отклика с величинами в реальном времени.

Рассмотрите туннелирование между двумя идеальными ферми-газами с постоянной плотностью состояний. Покажите, что при eV《Ер вольт-амперная характеристика линейна, т. е. выполняется закон Ома V = Я/, причем сопротивление контакта R не зависит от температуры и определяется со о тношением

R-1 = ^е\а^ь\Т0\2 ,(П.ЗО)

где % s % —— плотности состояний берегов контакта.

Пусть в одном из ферми-газов имеется взаимодействие между частицами, так что собственно-энергетическая часть оказывается равной

Х(&£)=晒—妇(П.31)

где £ ——энергия частицы, а £ = &f(0 — 0о)〉причем £〉£《Ef . Найдите туннельное сопр о тивление.

Для электрон-фононного взаимодействия собственно-энергетическая часть есть функция % а от § не зависит (см. гл. 6). Поэтому в этом случае а = 0. Для электрон-электронного взаимодействия собственно-энергетическая часть зависит как от §, так и от % и поэтому а，0 и b，0.

Задача 69. (Туннельный ток 6 NS контакте.) Рассмотрим туннельный контакт между нормальным металлом и сверхпроводником, к которому приложено напряжение V. Выразите туннельный ток при Т < Тс через сопротивление контакта R в нормальном состоянии, т. е. при Т > Тс. Покажите, что при нулевой температуре зависимость туннельного тока от V имеет порог:

/— 0/е)2 sign『,(11.32)

где △——сверхпроводящая щель при Г = 0. Найдите зависимость туннельного тока от температуры при 0 < Г < К?

Задача 70. (Эффект Джозефсона.) Туннельный ток через контакт, связывающий два сверхпроводника, обладает весьма интересными свойствами. В этом случае помимо одночастичного вклада в ток, рассмотренного в задачах 68 и 69, появляется дополнительный вклад, связанный с туннелированием куперовских пар. Формально этот вклад можно описать, заменив нормальные функции Грина в диаграмме на

рис. 11.3 на аномальные —— см. рис. 11.6. Таким образом, туннельный эксперимент позволяет «измерить» аномальную функцию Грина в сверхпроводнике.

Рис. 11.6

Покажите, что в равновесии, при У = 0, двухчастичный ток отличен от нуля и равен

/ = То sin（Da -屮匕）, （11.33）

где 屮矶匕）一значения фазы сверхпроводящего параметра порядка △矶匕）=!△«（&）|ег^а（6） на разных берегах контакта. Туннельный контакт между двумя сверхпроводниками, в котором имеет место эффект Джозефсона （11.33）, называется соответственно джозефсоновским контактом.

Рассмотрите случай, когда сверхпроводники по обе стороны контакта одинаковые, т. е. △а（ь）= △е'3а（ь）. Получите формулу для максимального тока в джозефсо- новском контакте:

7ГД △

Io = ^Rth2T^

где R — сопротивление контакта при Т > Тс. Связь между максимальным джозефсоновским током То и сопротивлением контакта в нормальном состоянии называется соотношением Амбегаокара-Баратова.

Задача 71. （Плотность состояний 6 грязном металле'.） В неупорядоченном металле туннельная плотность состояний 〃（£）имеет особенность на уровне Ферми. Сингулярность 〃（£）при £ — Ер свидетельствует о том, что ферми-жидкостное состояние в металле в присутствие рассеяния на случайном потенциале весьма сильно модифицируется. Чтобы найти поправку к туннельной плотности состояний, возникающую из-за кулоновского взаимодействия, проделайте следующее.

Вычислите вершину взаимодействия электрона с электрическим полем с учетом беспорядка, используя мацубаровскую технику; просуммируйте для этого диаграммы на рис. 11.7.

▲=/\+/\+А+ •=人+А

Рис. 11.7

Считайте, что переданный импульс q и переданная энергия wn удовлетворяют условиям |q|Z《1, шпт《1, где г и I ——время и длина свободного пробега. Покажите, что вершинная часть равна

貝…,q)= ｛；/【w + oq2)]貝…,q)= ｛；/【w + oq2)]при £m(£m - wn) < О при £m(£m — “兀)> Опри £m(£m - wn) < О при £m(£m — “兀)> О(11.35)(11.35)

貝…,q)= ｛；/【w + oq2)]

貝…,q)= ｛；/【w + oq2)]

при £m(£m - wn) < О при £m(£m — “兀)> О

при £m(£m - wn) < О при £m(£m — “兀)> О

(11.35)

(11.35)

где D — коэффициент диффузии. Диффузионный полюс выражения (11.35) описывает эффект усиления взаимодействия с внешним полем вследствие диффузии.

Изменение величины взаимодействия можно качественно объяснить тем, что из- за диффузионного замедления динамики электроны проводят больше времени в области действия внешнего поля и поэтому взаимодействуют с ним более сильно. То, насколько сильно диффузия замедляет динамику, зависит от размерности системы. Как мы знаем из задачи 9, критической размерностью является D = 2, поскольку при О，2 число возвратов диффузионной траектории в исходную точку расходится, а при О > 2 ——сходится. Поэтому эффекты усиления взаимодействия в грязном металле оказываются наиболее интересными в двумерном случае.

Найдите эффективное электрон-электронное взаимодействие 丿(s^q) с учетом динамической экранировки. Для этого вычислите сумму диаграмм на рис. 8.3 и покажите, что заэкранированное взаимодействие есть

VK，q) = %(q)「丄出丁F ， (1L36)

где Vg(q)——затравочное взаимодействие. В качестве поляризационного оператора используйте мацубаровский коррелятор плотность-плотность, найденный в задаче 52.

Найдите собственно-энергетическую поправку к функции Грина первого порядка по заэкранированному взаимодействию V(wn, q), соответствующую диаграмме на рис. 11.8.

Рис. 11.8

Используя найденное выражение, найдите поправку 6〃(£)к плотности состояний двумерного металла в случае кулоновского взаимодействия % (г) = е2/|г|. Покажите, что в этом случае поправка к плотности состояний есть

(П.37)(П.37)%(£)=62 卜丄 7°2経2)4

(П.37)

(П.37)

〃87r2%c |s|r 同

где о— двумерная проводимость. Расходимость 6〃(£)при £ — 0 означает, что квазичастицы в двумерной неупорядоченной ферми-системе сильно отличаются от свободных фермионов. Усиление эффектов взаимодействия в плотности состояний (11.37)

при малых £ свидетельствует о неприменимо с ти теории возмущений в двумерном неупорядоченном металле при энергиях вблизи уровня Ферми.

Задача 72. (Рассеяние нейтронов.) Покажите, что сечение неупругого рассеяния нейтронов выражается через мнимую часть двухчастичной гриновской функции /C(q,ш). Получите соотношение (11.28).

Задача 73. а) Найдите структурный фактор S(g〉q) = 21т/С&(^〉q) идеального ферми-газа при Г = 0.

б) Рассмотрите структурный фактор S(g〉q) ферми-жидкости. Это можно сделать либо с помощью кинетического уравнения ферми-жидкости ([1], (2.21)), либо вычислив мнимую часть нуль-звуковой лестницы (см. рис. 8.3). Покажите, что вклад нуль-звуковой моды в структурный фактор при \q\《0° и Т = 0 имеет вид So(q〉g) = А6(а)— уд)^ где & ——скорость нуль-звуковой моды. Считая взаимодействие короткодействующим, определите константу А (см. [6], §4,91).

Задача 74. (Спектр фононов.) Неупругое рассеяние нейтронов используют для определения закона дисперсии фононов в твердых телах. Нейтроны рассеиваются на ядрах, взаимодействуя с ними контактно, согласно (11.26) и (11.27). Рассмотрим фононы в рамках модели Дебая (см. с. 111), считая, что ядерная плотность представляет собой однородное желе. Тогда флуктуации плотности, на которых происходит рассеяние, записываются через поле смещений решетки (6.1) как Ьо(г) = —0° div u(r), где Pq ——средняя плотность ядер.

Найдите вклад дебаевских фононов в структурный фактор S(g〉q) неупругого рассеяния нейтронов.

(Коновская аномалия.) Спектр фононов в металле перенормируется из-за взаимодействия с электронами. Этот эффект был рассмотрен в задаче 31 в рамках теории Мигдала. Покажите, что перенормированный фононный спектр имеет особенность при q = 20“ и найдите соответствующий структурный фактор S(g〉q).

Особенность при q = 2@о, называемая коновской аномалией, имеет то же самое происхождение, что и рассмотренное в задаче 32 смягчение спектра одномерных фононов вблизи q = 2@о, приводящее к эффекту Пайерлса. В размерности больше единицы коновская аномалия является относительно слабой и, в отличие от одномерного случая, не приводит к неустойчивости.

11.4. Решения

Решение 68 а. Согласно формуле Кубо, среднее от оператора туннельного тока (11.13) в низшем порядке теории возмущений по туннельному гамильтониану (11.11) равно

/⑴=2 у([济(，)力(切)d，. (11.38)

Благодаря фазовым множителям ^eVt операторы 7?丁(力)и I(t) явно зависят от времени. Чтобы свести задачу вычисления туннельного тока к стандартной задаче о нахождении функции отклика в равновесном состоянии, введем обобщенную воспри-

ИМЧИВОСТЬ Х(“),ИМЧИВОСТЬ Х(“),

ИМЧИВОСТЬ Х(“),

ИМЧИВОСТЬ Х(“),

(П.39)(П.39)Х(“) = с/ (\x(t),I(O)])e^dt,О

(П.39)

(П.39)

описывающую отклик туннельного тока на поле X〉определенное со о тношением (11.12). Нетрудно видеть, что туннельный ток как функция напряжения V на туннельном контакте связан с x(g) следующим со о тношением:

/⑺=2RexQ = eV).(П.40)

Чтобы вычислить x(g)〉найдем мацубаровскую восприимчивость

X加阿=^ /〈Т*（т）7（о）〉…也X加阿=^ /〈Т*（т）7（о）〉…也(11.41)(11.41)

X加阿=^ /〈Т*（т）7（о）〉…也

X加阿=^ /〈Т*（т）7（о）〉…也

(11.41)

(11.41)

а затем продолжим ее на вещественные частоты. Подставляя в (11.41) операторы / и X из (11.9) и (11.12), получим

〈R三⑺了(0)〉=£ 7Pm〈R唸⑺羸⑺(7P必砧2(0)Вр$(0)-

Pl 5 Pl , P2 , p$

-$p/p2(0)岐(0))〉•(11.42)

В отсутствие сверхпроводящих корреляций в пробнике и образце средние вида (Зр Зр/) и〈bpbp" равны нулю. Поэтому только вклад второго члена в (11.42) оказывается отличным от нуля. Спаривая операторы в (11.42), находим

〈R文⑺ 7(0)〉= TeEMdGaG p)Gb(—7, Р‘)，(П.43)

рр/

где G/m р) = -(Тт ар(т) 3+(0)) и G", р) = —〈「图⑺砧⑼〉一мацубаровские функции Грина соответственно пробника и образца. Записав функции Грина в частотном представлении и подставив в (11.41), получим

Хм(施п) = —2сеТ ££ Мр，『 Gm3m + 汨兀，р) G^(汝皿 р‘),(П.44)

37n рр/

где множитель 2 учитывает суммирование по проекциям спина.

Теперь выполним аналитическое продолжение выражения (11.44). Используем для этого интегральное представление (7.24), с помощью которого мацубаровские функции Грина выражаются через мнимые части запаздывающих функций. В результате мацубаровская восприимчивость (11.44) принимает следующий вид:

XmS = -2%eT ££ |Tppf37n pp，XmS = -2%eT ££ |Tppf37n pp，/ / Im Gf (г, p) ImG貿《p) de d^ J J T/ / Im Gf (г, p) ImG貿《p) de d^ J J TОООО5^ш + zC^ — £)(2Gm5^ш + zC^ — £)(2GmВ)开2В)开2(П.45)(П.45)

XmS = -2%eT ££ |Tppf

37n pp，

XmS = -2%eT ££ |Tppf

37n pp，

/ / Im Gf (г, p) ImG貿《p) de d^ J J T

/ / Im Gf (г, p) ImG貿《p) de d^ J J T

ОО

ОО

5^ш + zC^ — £)(2Gm

5^ш + zC^ — £)(2Gm

В)开2

В)开2

(П.45)

(П.45)

Сумма по шт в (11.45) вычисляется с помощью тождества (7.85). Таким образом,

Хм^п) = —-^£ I^ppT / / ImGfO, p) ImG貿У, p，)^^—曲餌.

PP-0^00n

(11.46)

Аналитическое продолжение (11.46) на вещественные частоты достигается заменой Шп на g + £0. Вещественная часть полученного выражения дает туннельный ток

^ = ^\Т^ j /— eQx

PP'-OQ

x Im Gf (s, p) ImG^U〉P‘)(汽f(£)—汽f(£’))de de1.(11.47)

Интегрирование по £ уничтожает(5-функцию и мы получаем искомое выражение для туннельного тока:

400

/”)= ТЕ 霹р，『/ ImGf(£ + eV, р) ImG貿％ р)(八尸⑹-nF(e + eV)) de. PP，-OQ

(11.48)

Формула (11.48) имеет совершенно общий характер, поскольку при её выводе не делалось никаких предположений о спектре и характере взаимодействия в пробнике и образце.

Решение 68 б. Применим результат (11.48) к задаче о туннельном контакте между двумя нормальными металлами. Мнимая часть запаздывающей функции Грина G&(* р) =(£ — £р + £0)-1 равна

ImG&伍 р) = —7гЬ(£ — £р).(П.49)

Рассмотрим более простой случай шероховатого барьера, когда туннельный матричный элемент не зависит от импульсов: Т^р/ = То. Величина То есть значение туннельного матричного элемента при энергии вблизи Ер. При этом каждая из двух функций Грина в (11.48) интегрируется по импульсам отдельно и соответственно вклад каждой из них есть

/ ImGf(, где %(ь)——плотность состояний сЬ)(*Р)(2^3 = ~^^а(Ь) ,(П.50)одной проекцией спина./ ImGf(, где %(ь)——плотность состояний сЬ)(*Р)(2^3 = ~^^а(Ь) ,(П.50)одной проекцией спина.Нетрудно проверить, что/кпри произвольной температуре, видеI{V) = V//(£)— tzf(£ + eV)) de = eV(11.51)Поэтому туннельный ток (11.48) можно записать в2, где Л=(4тге2|7Ь|2 ^а^(И-52)Нетрудно проверить, что/кпри произвольной температуре, видеI{V) = V//(£)— tzf(£ + eV)) de = eV(11.51)Поэтому туннельный ток (11.48) можно записать в2, где Л=(4тге2|7Ь|2 ^а^(И-52)

/ ImGf(, где %(ь)——плотность состояний с

Ь)(*Р)(2^3 = ~^^а(Ь) ,(П.50)

одной проекцией спина.

/ ImGf(, где %(ь)——плотность состояний с

Ь)(*Р)(2^3 = ~^^а(Ь) ,(П.50)

одной проекцией спина.

Нетрудно проверить, что

/к

при произвольной температуре, виде

I{V) = V//

(£)— tzf(£ + eV)) de = eV(11.51)

Поэтому туннельный ток (11.48) можно записать в

2, где Л=(4тге2|7Ь|2 ^а^(И-52)

Нетрудно проверить, что

/к

при произвольной температуре, виде

I{V) = V//

(£)— tzf(£ + eV)) de = eV(11.51)

Поэтому туннельный ток (11.48) можно записать в

2, где Л=(4тге2|7Ь|2 ^а^(И-52)

——сопротивление туннельного контакта. Таким образом, для контакта между нормальными металлами справедлив закон Ома, причем сопротивление при Т《Ер не зависит от температуры.

Нетрудно убедиться в том, что закон Ома с независящим от температуры сопротивлением получается и при произвольной зависимости туннельного матричного элемента Т^р/ от импульсов р и р'. Интересно, что даже в случае туннелирования через идеально гладкий барьер, при котором сохраняется параллельная барьеру компонента импульса, закон Ома по-прежнему имеет место при Т《 Ер. Эффект сохранения импульса при туннелировании существенно влияет на характер зависмости I(V) при eV, Т《Ef только в тех случаях, когда и образец, и пробник представляют собой достаточно низкоразмерные системы.

Решение 68 в. Одночастичная функция Грина с собственно-энергетической частью вида (11.31) имеет вид

11

(П.53)(П.54) оказыва- Функция(П.55)(П.53)(П.54) оказыва- Функция(П.55)(Р)— Р) £(1 + Ь) — £р(1 + а) + £0 При этом туннельная плотность состояний

(П.53)

(П.54) оказыва- Функция

(П.55)

(П.53)

(П.54) оказыва- Функция

(П.55)

=_~ /lmG(£,p) , Р = /6(£(1 + Ь) — €Р(1 + G) z ?3 = ту—, где % ——плотность состояний без учета взаимодействия. Таким образом ется, что туннельная плотность состояний не зависит от константы Ь.

Полезно сравнить этот ответ с перенормировкой спектра квазичастиц. Грина имеет полюс при

£ = %(Р)= ofQpI - Ро) •

Таким образом, константа b дает вклад в перенормировку спектра, не меняг при этом туннельный ток. Так происходит потому, что константа b определяет величину скачка в распределении частиц по импульсам на ферми-поверхности, равную вычету функции Грина в квазичастичном полюсе

Z = 1/(1+ b).(П.56)

Но поскольку перенормировка туннельной плотности состояний пропорциональна

〃(£)^ Z (庆/焚尸，(П.57)

вклады константы b в эффективную массу и в вычет Z взаимно сокращаются. Таким образом, туннельный ток зависит не только от перенормированного спектра квазичастиц £ = £(0)〉но и от их структуры, описываемой величиной Z.

В случае электрон-фононного взаимодействия а = 0, и поэтому туннельный ток оказывается точно таким же, как и в отсутствие взаимодействия. Качественно это

объясняется адиабатичностью фононов. Туннелирование электрона в металл происходит мгновенно, поэтому при туннелировании решетку можно считать неподвижной. Таким образом, вероятность туннелирования определяется свойствами свободных электронов. Фононы же затем за время порядка g$i подстраиваются под конечное состояние электронов после туннелирования, каким бы оно ни было.

Заметим, что наш вывод об отсутствии влияния электрон-фононного взаимодействия на туннельный ток имеет весьма общий характер. Как нетрудно видеть, туннельная плотность состояний (11.54) не меняется, если собственно-энергетическая часть Е(е) зависит от энергии £ произвольным образом. Для полного сокращения эффектов взаимодействия требуется лишь отсутствие зависимости Е от р, которое в случае электрон-фононного взаимодействия обеспечивается адиабатичностью фононов.

Решение 69. Для нахождения туннельного тока между номальным металлом и сверхпроводником можно воспользоваться общим со о тношением (11.42). При этом в сверхпроводнике аномальные средние вида〈G^G^〉отличны от нуля, и поэтому требуется заново проанализировать вклад двух членов (11.42) в туннельный ток. Однако оказывается, что поскольку в номальном металле средние〈Ьр； Ьр0 равны нулю, первый член в (11.42) по-прежнему обращается в нуль при усреднении. Поэтому, как и в задаче 68, можно перейти от (11.42) к выражению (11.48), в которое входят туннельные плотности состояний пробника и образца.

Туннельная плотность состояний дается мнимой частью функции Грина. Аналитическое продолжение функции Грина сверхпроводника (10.35) с положительных мацубаровских частот на веще с твенную ось дает

=戸—孫—厶2^ 20Signe ■ (П・58)

Следовательно туннельная плотность состояний есть

^И = ~~ f ^Gr(e, р) = Z7O /(£ + €)6(£2 —『—△2)sign£d§. (11.59)

Вычисляя интеграл от(5-функции, находим

"⑹=卜0同/俨一△2尸/2 при и>Д,J [о при |е| < △ •

Обратим внимание на то, что этот результат может быть записан в виде 兀内史/。％ т. е. как плотность состояний квазичастиц с законом дисперсии е? = А2 + §4 Хотя такой подход игнорирует различие между туннелирующими электронами и квазичастицами, в которые они превращаются в сверхпроводнике, результат в данном случае оказывается верным. Причина состоит в том, что квазичастицы теории БКШ состоят из двух электронов с одинаковой энергией. Их вклады в туннельную плотность состояний равны \ир^ и %匕 где ир и vp — коэффициенты преобразования Боголюбова. Но поскольку 呜 + 嗚=1, суммарный вклад двух компонент квазичастицы в туннельный ток определяется только свойствами квазичастичного спектра. Так происходит потому, что

эффекты взаимодействия в теории БКШ учитываются только в рамках теории среднего поля, и поэтому многочастичные эффекты оказываются относительно простыми.

Подставляя туннельную плотность состояний (11.60) в (11.48), находим туннельный ток:

Ins(V) = ^evavb I7ЬI2 y (八f(а)一八f(a + m))Ins(V) = ^evavb I7ЬI2 y (八f(а)一八f(a + m))山2 -△2山2 -△2(11.61)(11.61)

Ins(V) = ^evavb I7ЬI2 y (八f(а)一八f(a + m))

Ins(V) = ^evavb I7ЬI2 y (八f(а)一八f(a + m))

山2 -△2

山2 -△2

(11.61)

(11.61)

Рассмотрим случай нулевой температуры. Пусть eV > 0. Тогда интегрирование по энергиям производится в интервале —eV < £ < 0. При eV < △ интеграл (11.61) обращается в нуль, поскольку в этой области не выполнено условие |е| > △. Для eV > △ находим

(11.62)(11.62)

(11.62)

(11.62)

Таким образом, зависимость туннельного тока от напряжения имеет порог, равный Д/е. Рассматривая аналогично случай eV < 0, получаем искомую зависимость (11.32), обладающую свойством антисимметрии: ^-5(—V) = —/n—s(U)・

Порог при eV = △ является резким только при нулевой температуре. При конечной температуре в нормальном металле всегда имеются квазичастицы с энергией £ > △〉которые могут туннелировать в сверхпроводник. Поэтому естественно ожидать, что при Г > 0 корневая особенность размывается и туннельный ток оказывается отличным от нуля при всех напряжениях.

Чтобы убедиться в том, что это действительно так, найдем туннельный ток под порогом при малых температурах Т《△. Интеграл в (11.61) при таких Т определяется окрестностями точек £ = ±Д. Введем обозначение £ = ±(4 + /) е каждой из областей. Как будет ясно из дальнейших вычислений, характерное значение / оказывается порядка Г, поэтому можно разложить плотность состояний по //△. Выражение для туннельного тока соответственно принимает вид

ОО

In—sV Т) = 4тге〃а%|Г|2 / [w(^ + /) + 汽 F( —△ — /) —о

(П.63)(П.63)nF(^ + eV + x) — nF(—^ — x + eV)] /.

(П.63)

(П.63)

Упростим полученное выражение, воспользовавшись тождеством 汽f(—£)= 1 —w(s), которому удовлетворяет фермиевская функция распределения. Получаем

In—s(VQ =In—s(VQ =(П.64)(П.64)

In—s(VQ =

In—s(VQ =

(П.64)

(П.64)

(мы выразили туннельный матричный элемент То через сопротивление контакта в нормальном состоянии).

При больших положительных значениях энергии фермиевская функция распределения переходит в больцмановскую,

пр(е》Т) 金-°/丁 ,(11.65)

и поэтому выражение для туннельного тока принимает следующий вид:

s(KT) = Ne-A/'sh /^^^&一”/丁厶・(П.66)

eRТ J \ х

о

Вычисляя интеграл по х с помощью известного представление гамма-функции, находим

In-sM Т) = 宀 Jh 牛.(П.67)

Это выражение неприменимо в узкой окрестности порога при (eV — △)〜Т〉поскольку при таких напряжениях приближение (11.65) нельзя применять к первому члену в (11.64).

Итак, при 0 < Т《△ ток (11.61) при eV < △ экспоненциально мал. По мере роста температуры ток под порогом eV < △ возрастает, и когда температура достигает Ts вольт-амперная характеристика становится омической, как для контакта между двумя нормальными металлами.

Помимо термоактивационного вклада в ток, описываемого формулой (11.67), под порогом eV = △ существует еще один весьма интересный вклад, не исчезающий при Т — 0. Он связан с когерентным туннелированием пары электронов с противоположными импульсами и спинами. Оказавшись в сверхпроводнике, такие два электрона могут образовать куперовскую пару. Туннелирование пары, в отличие от одночастичного туннелирования, не требует затраты энергии △ на каждую частицу, и поэтому такой вклад не «вымерзает» при низких температурах. Когерентное туннелирование пар электронов часто называют андреевским отражением^ поскольку описанный процесс перехода двух электронов из нормального металла в сверхпроводник можно рассматривать как превращение электрона в дырку при отражении от поверхности сверхпроводника. Вероятность двухчастичного туннелирования пропорциональна |7о|4, а не |7о|2, как для одночастичного туннелирования. Поэтому при |7о| <^С 1 и не слишком низкой температуре двухчастичные процессы очень редки по сравнению с одночастичными. Вследствие этого андреевское отражение вносит существенный вклад в туннельный ток лишь при достаточно низких температурах .

Решение 70. Поскольку теперь у нас с обеих сторон контакта находятся сверхпроводники, первый член в выражении (11.42) оказывается отличным от нуля. Поэтому усреднение (11.42) необходимо выполнить заново. Как нетрудно видеть, усреднение первого члена (11.42) выполняется так же, как и раньше, с единственной разницей, состоящей в замене нормальных средних на аномальные. Соответствующий

вклад в восприимчивость хм выписывается по аналогии с задачей 68 и оказывается равным

XMS-s(4g) = 2еТ £ £ |ТрРТ 唠“(4〃 + ^m, Р)班咋@3口 р‘),(П.68)

Зт рр/

где Fa(ienj р) и F^ienj р) —— аномальные функции Грина берегов контакта, а 从 и 〃 ——спиновые индексы. Суммируя по ^ и z/ с учетом спиновой структуры аномальных функций Грина, получаем выражение по виду сходное с (11.45) с точностью до замены нормальных функций Грина на аномальные:

XMS-S(4n) = —2сеТ£Е 图k『球(4兀 +汝g P)兄(汝S к).(П.69)

37n pk

Обратим внимание на то, что знаки выражений (11.45) и (11.69) совпадают. Это соответствует общему наблюдению о совпадении знаков «нормальных» и «аномальных» петель, сделанному в решении задачи 63.

Поскольку, как мы увидим, джозефсоновский ток отличен от нуля в равновесии, т.е. при У = 0, нам будет достаточно вычислить Хм,5-5(^п) при Qn = 0. Аналитическое продолжение оказывается ненужным, и можно сразу записать выражение для туннельного тока:

4?г2е 1г12Ime4?г2е 1г12Ime(П.70)(П.70)A/ d&&%抬“^ + 孫+ 仆/^4+ 后 +〔△"A/ d&&%抬“^ + 孫+ 仆/^4+ 后 +〔△"

4?г2е 1г12Ime

4?г2е 1г12Ime

(П.70)

(П.70)

A/ d&&%抬

“^ + 孫+ 仆/^4+ 后 +〔△"

A/ d&&%抬

“^ + 孫+ 仆/^4+ 后 +〔△"

Полученное выражение отлично от нуля когда фазы параметра порядка по разные стороны контакта различны. Пусть =〔△а,ь| ег^а-6. Выражая туннельный матричный элемент Tq через сопротивление контакта в нормальном состоянии, получаем соотношение Джозефсона:

/ = Л) Sin(Db - За),/ = Л) Sin(Db - За),гдегде證々，嗚+ 412vQ + af證々，嗚+ 412vQ + af(11.71)(11.71)

/ = Л) Sin(Db - За),

/ = Л) Sin(Db - За),

где

где

證々，嗚+ 412vQ + af

證々，嗚+ 412vQ + af

(11.71)

(11.71)

——максимальный ток через контакт. Отметим еще раз, что, в отличие от других разновидностей туннельного тока, джозефсоновский ток не связан с релаксацией к равновесному состоянию. Эффект Джозефсона (11.33) имеет место в термодинамическом равновесии, и соответственно ток (11.71) между двумя сверхпроводниками с различающимися фазами параметра порядка может течь неограниченно долго.

Формула (11.71) для /0 упрощается в случае, когда параметры порядка по обе стороны контакта отличаются только фазой: |Да| = lAI = Д. При этом

/о =/о =7r △2曲2嗚+△2，7r △2曲2嗚+△2，(П.72)(П.72)

/о =

/о =

7r △2

曲2嗚+△2，

7r △2

曲2嗚+△2，

(П.72)

(П.72)

после чего суммирование легко производится с помощью тождества (7.83). В этом случае мы получаем соотношение (11.34) для максимального джозефсоновского тока

Что произойдет, если пропустить через контакт ток, больший чем То? Детальный ответ на этот вопрос зависит от свойств цепи, в которую включен контакт. Однако джозефсоновский контакт используемый в таком режиме обладает одним весьма общим свойством. При токе превосходящем То на контакте появится конечное напряжение V(t), в общем случае зависящее от времени. Это напряжение приводит к изменению фазы g =(р& —夕。согласно соотношению Джозефсона для фазы

啜=2ек ⑴， (11.73)

которое следует из калибровочной инвариантности. Таким образом, фаза и ток оказываются зависящими от времени. Зная свойства внешней цепи, можно самосогласованно связать напряжение на контакте V(t) и туннельный ток /⑴，и таким образом определить динамику системы. Читатель, интересующийся этим режимом работы джозефсоновского контакта, обычно называемым нестационарным эффектом Джозефсона, может найти обсуждение соответствующих вопросов в литературе, процитированной на с. 287.

Решение 71 а. Рассмотрим вершинную часть взаимодействия электрона с внешним полем. Затравочная вершинная часть (в отсутствие примесей) равна единице. Вычислим вершинную часть, дающуюся диаграммами на рис. 11.7, используя усредненные по беспорядку мацубаровские функции Грина (см. (9.17)). Рассмотрим вначале поправку к вершине, соответствующую изображенной на рис. 11.9 диаграмме с одной примесной линией:

Рис. 11.9

Интересующее нас выражение

вычисляется таким же образом, как ступенька примесной лестницы в задаче 52. Заменяя интеграл по d2P интегралом по ^ и вычисляя его методом вычетов, нетрудно показать, что выражение отлично от нуля только в том случае, когда знаки энергий ет и ет — шп различаются. (В противном случае оба вычета интегрируемого выражения попадают в одну и ту же полуплоскость комплексного £.)

В случае, когда знаки энергий различны и wn > 0, получаем выражение

Г⑴(£пq)=————(п.75)

подобное найденному в задаче 52.

Теперь просуммируем всю примесную лестницу, показанную на рис. 11.7. Как и в задаче 52, интересующий нас лестничный ряд образует геометрическую прогрессию. Поэтому

11

r(£g q)=匸w ~+ Oq2) •(П・76)

Рассматривая аналогично случай g也 < 0, можно убедиться в том, что 幻也 в (11.76) следует заменить на \шп\.

Если же знаки энергий ет и ет — а)п в функциях Грина в (11.74) совпадают, то зануляется не только первая поправка Г^\ но, как нетрудно видеть, и все остальные члены диаграммного ряда на рис. 11.7. Это является следствием общего правила, отмеченного в гл. 9 ——примесная лестница отлична от нуля только если энергии в функциях Грина имеют разные знаки.

Решение 71 б. Эффективное взаимодействие с учетом динамической экранировки вычисляется суммированием последовательности «пузырьковых» диаграмм (см. задачу 45):

通 q)= 1 J?/ ,(П.77)

- П(^п, q)Vb(q)

где 口(幻期 q)——поляризационный оператор, a K)(q)——затравочное взаимодействие. Подставляя поляризационный оператор 口(幻也〉q) = —z/Dq2/(|wn| + Oq?) из (9.23), получаем искомое выражение (11.36).

Для дальнейших вычислений нам понадобится двумерный фурье-образ кулоновского потенциала взаимодействия. Его проще всего найти, проинтегрировав известный фурье-образ трехмерного кулоновского потенциала по qz\

）（q） = К）（）（%〉％〉/ = о））（q） = К）（）（%〉％〉/ = о）4»е2 dqz 27ге24»е2 dqz 27ге2

）（q） = К）（）（%〉％〉/ = о）

）（q） = К）（）（%〉％〉/ = о）

4»е2 dqz 27ге2

4»е2 dqz 27ге2

где q= (%,%).

Решение 71 в. Поправка к туннельной плотности состояний 〃(£)получается из поправки к функции Грина интегрированием по импульсам, которое можно заменить интегрированием по £:

6〃（£）6〃（£）(П.79)(П.79)

6〃（£）

6〃（£）

(П.79)

(П.79)

Вычислим SG^iSy р) при Г = 0, заменяя суммы по мацубаровским частотам интегралами. Будем для определенности считать, что £ > 0. Выражение, соответствующее диаграмме на рис. 11.8, есть

6GO，p) = G^O，p)6GO，p) = G^O，p)q）『（“，q）^-^p-q）^-q）『（“，q）^-^p-q）^-(П.80)(П.80)

6GO，p) = G^O，p)

6GO，p) = G^O，p)

q）『（“，q）^-^p-q）^-

q）『（“，q）^-^p-q）^-

(П.80)

(П.80)

Наибольший вклад в интеграл по энергии возникает от области g > % так как в этой области вершинная часть Г (% g〉q) имеет диффузионный полюс и поэтому велика —— см. (11.35). Пренебрегая вкладом области g < % имеем

5G(i£)р)=5G(i£)р)=%(q)(g + Oq2) (g + Dq2 + 〃Oq2Vb (q)) (2开尸%(q)(g + Oq2) (g + Dq2 + 〃Oq2Vb (q)) (2开尸xx(11.81)(11.81)

5G(i£)р)=

5G(i£)р)=

%(q)

(g + Oq2) (g + Dq2 + 〃Oq2Vb (q)) (2开尸

%(q)

(g + Oq2) (g + Dq2 + 〃Oq2Vb (q)) (2开尸

x

x

(11.81)

(11.81)

Удобно сразу проинтегрировать это выражение по £. При этом мы пренебрегаем членами g и qv в знаменателе по сравнению с г-1, поскольку нас интересует вклад малых энергий и импульсов. Таким образом, получаем

/ 6G 侬,8 dg = 2/ 6G 侬,8 dg = 2(11.82)(11.82)%(q)

/ 6G 侬,8 dg = 2

/ 6G 侬,8 dg = 2

(11.82)

(11.82)

(g + Oq2) (g + Dq2 + 〃Oq2Vb(q)) (2开尸

Подставляя в это выражение фурье-образ затравочного взаимодействия (11.78), получаем

ОО ОО

(11.83)(11.83)/6G(£%£)位=-2е2 [du [ 7.

(11.83)

(11.83)

丿丿 / (g + Dq2) (w + Dq2 + 2?rz/e2DQ)

Проинтегрируем найденное выражение по q. Наибольший вклад в интеграл вносит

областьобласть2тп/Пе22тп/Пе2(П.84)(П.84)

область

область

2тп/Пе2

2тп/Пе2

(П.84)

(П.84)

в которой можно пренебречь Dq2 по сравнению с g〉и g — по сравнению с v^Dq. Обрезая логарифмически расходящийся интеграл на границах области (11.84), по

лучаемлучаем14тг〃О14тг〃О((z/e2)2 dsIn .((z/e2)2 dsIn .(П.85)(П.85)

лучаем

лучаем

1

4тг〃О

1

4тг〃О

((z/e2)2 ds

In .

((z/e2)2 ds

In .

(П.85)

(П.85)

Интеграл по частотам также логарифмически расходится на верхнем пределе. Чтобы получить вклад диффузионной области обрежем интеграл по g на шт ~ 1, (При больших значениях g электроны движутся баллистически, поэтому эта область описывается теорией ферми-жидкости и не приводит к сингулярности в плотности состояний.) Вычисляя интеграл по w и удерживая при аналитическом продолжении

с мнимых частот на вещественные лишь главный дважды логарифмический член, получаем поправку к туннельной плотности состояний:

_e1 = 1 后0合)4丁02 丄〃 87r2〃О 同 同丁

Вклад (11.86) в плотность состояний имеет отрицательный знак и сингулярен на малых энергиях £ — 0. С помощью соотношения Эйнштейна а = e^z/O произведение vD можно выразить через проводимость, что дает искомое выражение (11.37) для плотности состояний двумерного металла.

Остановимся на физическом смысле результата (11.86). Туннельная плотность состояний описывает реакцию электронной жидкости на добавление в нее электрона. Роль кулоновского взаимодействия в этом процессе состоит в следующем. Сразу после того, как электрон протуннелировал в металл, его заряд незаэкранирован и создает кулоновское поле. Под действием этого поля остальные электроны начинают двигаться так, чтобы заэкранировать вновь прибывший электрон. Макроскопически этот процесс приводит к максвелловской релаксации заряда. Таким образом, туннелирование одного электрона сопровождается коллективным растеканием заряда многих других электронов, что приводит к уменьшению вероятности туннелирования. В чистом металле максвелловская релаксация происходит почти мгновенно (за время порядка обратной плазменной частоты). Соответственно в этом случае поправки к G(力—丿)из-за взаимодействия достаточно быстро затухают на больших временах, и сингулярности в G(£)при £ — 0 не возникает. В то же время в неупорядоченной системе, характеризующейся омической проводимостью, максвелловская релаксация происходит более медленно. Поэтому в этом случае влияние индуцированного туннелирующим электроном растекания заряда на амплитуду туннелирования оказывается суще с твенным и соответствующая поправка к плотности состояний расходится на малых энергиях. Можно сказать, что плохо проводящая система сильнее «сопротивляется» попыткам добавить в нее электрон. Этот эффект и приводит к уменьшению одночастичной плотности состояний.

Поправка (11.86) приводит к специфической температурной зависимости туннельного тока, а также к его неомичности. Повторив проделанное выше вычисление 6〃(£)при конечной температуре, нетрудно убедиться в том, что результат (11.86) остается в силе с точностью до замены е ет = 7rT(2m + 1). Соответствующая зависимость туннельного тока от Г и У оказывается следующей:

G = К = Go (1 + 6〃(丿V)) , = max [Г, eV] . (11.87)

Как видно из этого выражения, при уменьшении температуры и напряжения имеет место подавление туннельного тока, причем насыщения при eV, Т — 0 не происходит. Сингулярное поведение туннельного сопротивления при малых температурах или напряжениях, возникающее вследствие сингулярности 〃(£)при £ — Ер^ называется туннельной аномалией.

Первое решение 72. Найдем сечение рассеяния нейтрона, взаимодействующего с флуктуациями плотности среды. Согласно золотому правилу Ферми для квантовомеханических переходов, общее выражение для вероятности перехода в единицу времени имеет вид

?//22 \

正 K/〉Pl%int|3p〉|2 8 ( Е/ + 5Е»_ -) ,(П.88)

где р и р，——начальный и конечный импульсы нейтрона, а |£〉и |/)——исходное и конечное состояния среды. Нормируем начальную волновую функцию нейтрона на единичный поток,山也"(г) = &叩上/小、где v = р/т. Функцию же, описывающую конечное состояние, нормируем на 6(р/2тг%)〉что дает 山％/(г) = егр/г/vV, где V —— объем системы. При этом выражение для вероятности перехода приобретает следующий вид:

d例=丸2Vу (~Д-)何/万(Deyfrl/〉8(Ef - Ei - Кш) ^^ ,(П.89)

где q = р — р［力幻=p2/2m — p/2/2m ——импульс и энергия, переданные нейтроном среде. Записывая элемент объема в импульсном пространстве как

d?P‘ =俨dp'dd = "° ""而,(П.90)

получим выражение для сечения рассеяния, дающего парциальную вероятность перехода:

耗=办闿 2б(М — Е「^).(п.91)

Теперь усредним (11.91) по начальным состояниям системы и просуммируем по конечным:

^ = ^6(Ef -Ег- Пш) /万(г)/〈/向1)©еУ(гг%3rd3*, (П.92)

где w(EQ = Z-IqS ——распределение Гиббса, и 5 = атп/ц = а(1 + тп/т). В силу пространственной однородности системы выражение под знаком интеграла зависит лишь от г—г\ и поэтому один из интегралов по d?r d3rz сокращается с объемом системы V. Принимая это во внимание, получаем окончательное выражение для сечения рассеяния:

名-=现£ / 6(Ef -Ег- {z\p(r)\f){f\p(Q)\z) e^d3r. (11.93)

Чтобы связать полученное выражение со структурным фактором, определенным в (11.29) через мнимую часть двухчастичной функции Грина, S(g〉q) = 21m(衣(幻〉q),

рассмотрим выражение (11.24) для запаздывающей корреляционной функции плотности и перепишем его в базисе собственных состояний системы. Повторяя вычисления, подобные проделанным в задаче 37, запишем фурье-образ (衣(幻〉q) в следующем виде:

(П.94)(П.94)S q) = £ / 吧？力沙？ j ®(M)—汰现)еУ^Зг.

(П.94)

(П.94)

Е/ 丿 G 十 E/Е — 十 ZU

Рассмотрим мнимую часть функции (11.94):

Заметим, что w^Ei) — w(Ef) = w^Ei) [1 — &-3(石/-瓦)]= ^(^)(1 — &一侬).Сравнивая результаты (11.93) и (11.95), получаем

(П.96)(П.96)de彦勿 Im(R(G, q) 32У S® q)

(П.96)

(П.96)

dd do)7Г01 —27r0 1 —'

что и доказывает соотношение (11.28).

Другое решение 72. Выведем соотношение (11.28) между сечением рассеяния нейтрона и функцией Грина 七区(幻〉q), не используя золотого правила. Изложенный ниже вывод опирается на полученный в задаче 40 общий результат (7.38), связывающий мацубаровские и запаздывающие функции Грина.

Идея заключается в том, чтобы рассмотреть функцию Грина нейтрона, рассеивающегося на флуктуациях плотности среды. Вероятность рассеяния в единицу времени может быть получена из соответствующей собственно-энергетической части по формуле 歳=—ImE(s,р). Поскольку взаимодействие нейтрона с атомами системы можно описать с помощью псевдопотенциала (11.26), нам будет достаточно рассмотреть изображенную на рис. 11.10 диаграмму для собственно-энергетической части низшего порядка:

Рис. 11.10

На этой диаграмме прямая линия обозначает гриновскую функцию нейтрона

Gg(*p)Gg(*p)£ — p2/2mn + ^n + i0 signs£ — p2/2mn + ^n + i0 signs(П.97)(П.97)

Gg(*p)

Gg(*p)

£ — p2/2mn + ^n + i0 signs

£ — p2/2mn + ^n + i0 signs

(П.97)

(П.97)

а волнистая ——пропагатор флуктуаций плотности ((/〉/'). Величина 从也 есть химический потенциал нейтронов, который следует устремить к —ос, поскольку в системе отсутствуют равновесные нейтроны. Рассматривая среду при конечной температуре, удобно воспользоваться мацубаровской техникой. При этом собственноэнергетическая часть нейтрона равна

夕（辽n p）夕（辽n p）-p’)((必也)p’ - p)(2^3 .-p’)((必也)p’ - p)(2^3 .(П.98)(П.98)

夕（辽n p）

夕（辽n p）

-p’)((必也)p’ - p)(2^3 .

-p’)((必也)p’ - p)(2^3 .

(П.98)

(П.98)

Аналитическое продолжение м ацубар ов ской собственно-энергетической части (11.98) может быть выполнено методом, рассмотренным в задаче 40 б).

Чтобы установить соответствие с использованными в задаче 40 б) величинами, заметим, что корреляционная функция плотности /С(шп, q) по своим аналитическим свойствам аналогична фононному пропагатору, а функция Грина нейтрона ——электронной функции Грина. Выражение (11.98) имеет тот же вид, что электрон- фононная собственно-энергетическая часть (7.37). Поэтому в результате аналитического продолжения получается следующее:

»(%Р)»(%Р)ImG《(《p/) Im(R(G,p —р/)£ — £‘ 一 G + £0ImG《(《p/) Im(R(G,p —р/)£ — £‘ 一 G + £0产0/ d(jjdef 7г(2тг)4产0/ d(jjdef 7г(2тг)4(11.99)(11.99)

»(%Р)

»(%Р)

ImG《(《p/) Im(R(G,p —р/)£ — £‘ 一 G + £0

ImG《(《p/) Im(R(G,p —р/)£ — £‘ 一 G + £0

产0/ d(jjdef 7г(2тг)4

产0/ d(jjdef 7г(2тг)4

(11.99)

(11.99)

Мнимая часть (11.99) есть обратное время рассеяния, ^： = ImE(s,р), поэтому

； =/"昌『 卜h^ + cth^) Im(R(a,p —р')6(£ — а — У) , (11.100)

где £‘ = О?/2тп — 11n — энергия рассеянного нейтрона. Как уже было отмечено, переход к пределу одного нейтрона соответствует большим отрицательным 从也.В пределе |从"》Т гиперболический тангенс th £//2Т в (11.100) можно заменить единицей, после чего выражение в скобках в (11.100) оказывается равным 2/(1 — е~^). Последним необходимым шагом является интегрирование по |р\ устраняющее оставшуюся (5-функцию. Получаем

7I -1 — е-з/т~ &3do ,(П.101)

где |р[ определяется из закона сохранения энергии при рассеянии, p/2/2mn = p2/2mn — g.

Сечение рассеяния связано с временем рассеяния по формуле г-1 = ov)где & = р/тп ——скорость нейтрона (мы считаем нормировочный объем равным единице).

ПолучаемПолучаемa2呼7ф2a2呼7ф20’ Im(R(G, р — р‘) р 1 — Q-n/T0’ Im(R(G, р — р‘) р 1 — Q-n/T(11.102)(11.102)

Получаем

Получаем

a2呼7ф2

a2呼7ф2

0’ Im(R(G, р — р‘) р 1 — Q-n/T

0’ Im(R(G, р — р‘) р 1 — Q-n/T

(11.102)

(11.102)

-——ds dof dado'-——ds dof dado'Представив полное сечение в виде

-——ds dof dado'

-——ds dof dado'

(11.103)

и сравнивая это выражение с (11.102), приходим к (11.96).

Решение 73 а. Вычислим структурный фактор S(G〉q) идеального ферми-газа. Рассмотрим для этого мацубаровский коррелятор плотность-плотность

元мЕ，q) = | /〈R万(г, dWnfdhdT.(П.Ю4)

Спаривая ^-операторы, получаем, что неприводимая часть среднего (11.104) дается обычной петлевой диаграммой и равна

元м(%3п)q) = Т £ / G 侬g р — q/2) G (iwm + Р + q/2) /•(11.105)

(приводимая часть (11.104) не зависит от г и потому не дает вклада в структурный фактор при ненулевой частоте). Суммируя по £加 с помощью тождества (7.85), получаем

不 Л；,万 _ /汽F(£p—q/2)-汽F(£p+q/2)2d?p丿 汝也一€p—q/2 + €p+q/2 (2ь)

Аналитическое продолжение этого выражения достигается заменой wn на g + £0. Вычисляя мнимую часть и связывая ее со структурным фактором согласно S(g〉q)= 2Im(R(G〉q)〉получаем общую формулу

S® q) = 27Г / (汽F(£p—q/2)—汽F(£p+q/2)) 6 (幻 + £p—q/2 — £p+q/2)3' • (11.107)

Упростим интеграл no d?p в выражении (11.107). Пусть ось / направлена вдоль вектора q. Введем обозначение х = cos% где J — угол между р и q. Тогда интеграл (11.107) перепишется в таком виде:

s(“, q) = 2 J/,(11.108)

0 -1

(11.109)(11.109)где

(11.109)

(11.109)

2m 8m 2m

Интегрирование по x сводится к замене x на xq = тш/pq. При этом следует учесть, что интеграл равен нулю при |xq| > 1. Таким образом, структурный фактор есть

(11.110)(11.110)S(“, q) = —(W(€-) - W(€+)) Pdp •

(11.110)

(11.110)

До сих пор мы не делали никаких предположений о величине температуры. Хотя интеграл в (11.110) вычисляется элементарно при произвольной температуре, мы найдем структурный фактор S(G〉q) только в пределе нулевой температуры. При Г = 0 фермиевская функция распределения принимает значения 0 и 1. Поэтому выражение (11.110) можно записать в виде

ООs(",G =?/ (ё(止一状)一伙苏-状))出?，(п.ш)

m\cu\/q

где

0 j 『/4 干(11.112)

—— корни уравнений £± = 0. Рассмотрим для определенности случай g > 0. Тогда 0— > 0+・ В зависимости от того, как нижний предел интегрирования тз]q соотносится с 0+ и возможны разные случаи:

Во-первых, при ma)/q > р_ интеграл (11.111) оказывается равным нулю. Это происходит при

(nw/q)2 > 0о + nw —厂/4 .(11.113)

Выделяя полный квадрат, получаем уравнение границы области S(G〉q) > 0:

\mcu/q — q/2\ = “•(11.114)

Эта граница состоит из двух несвязных частей:

Gi,2(q) = ±PQq/m +『/2/71.(11.115)

Во-вторых, при m(aj/q < 0+ интегрирование в (11.111) производится от р_ до

0+〉что дает

(11.116)

Это выражение справедливо в области

(nw/q)2 < 0о — nw —『/4 ,(11.117)

т. е. при

幻 < 5(д) = 0o〃m + q2/2m .(11.118)

Наконец, если р+ < тз]q < р_, то интегрировать по dp следует от 0 = тш/q до 0 = 0_. В этом случае структурный фактор равен

s（“，q）=鳶侦s（“，q）=鳶侦(11.119)(11.119)

s（“，q）=鳶侦

s（“，q）=鳶侦

(11.119)

(11.119)

Удобно переписать это выражение, выделив полный квадрат:

SQ,q)=SQ,q)=誥 便-(тш/q - 〃2『).誥 便-(тш/q - 〃2『).(11.120)(11.120)

SQ,q)=

SQ,q)=

誥 便-(тш/q - 〃2『).

誥 便-(тш/q - 〃2『).

(11.120)

(11.120)

Собирая результаты для различных предельных случаев вместе и вводя безразмерные переданные энергию Со = тш/р^ и импульс ] = q/@o, приходим к следующему ответу:

(0при ш > q +『/2;

S嘗 黑приО<^<^/2-^(11.121)

27rq I 2Gпри 0 < g < q — q?/2 ;

[1 — @/W — G/2『прИ 必 > 0 — q2/2 .

На рис. 11.11 изображены линии уровня S(cu, q) и показаны границы области, где S® 4)# 0. Изображены также кривые g = q2/2m и тз = p^q — //2.

Рис. 11.11

Граница области S(g)q) > 0 пересекает прямую “ = 0 при q = 2р0- В этой же точке оканчивается граница области пш = p^q—q2/2. Таким образом, точка q = 2Po оказывается особой точкой структурного фактора. Эту особенность можно интерпретировать, рассматривая рассеяние нейтрона жидкостью как рождение пары частица- дырка. При этом си ——это энергия пары, a q ——ее импульс. Если q < 2р(), то энергия пары может быть как угодно мала, потому что пару с таким импульсом можно создать, переместив частицу вдоль ферми-поверхности в состояние с другим импульсом, но с почти той же энергией. Если же q > 2@°, то частицу придется перевести в состояние с другой энергией, поскольку на ферми-поверхности нет состояний с требуемым импульсом. Именно этот эффект и создает особенность при q = 20°.

Интересно отметить, что максимум структурного фактора S(g, q) при фиксированном |q| > pq достигается при cu = q2/2m, что соответствует закону дисперсии частиц (см. (11.120)). Парабола cu = q2/2т изображена на рис. 11.11.

Решение 736. Рассмотрим структурный фактор ферми-жидкости. Естественно ожидать, что он будет похож на структурный фактор ферми-газа, с тем лишь

отличием, что в нем должно быть слагаемое, отвечающее процессам рассеяния с испусканием кванта нуль-звука.

Гамильтониан взаимодействующих фермионов имеет вид (8.1). Для простоты будем считать, что взаимодействие между частицами слабое и короткодействующее: У (г — г') = gb(r — г'). Мацубаровский коррелятор плотность-плотность K(g〉q), через который выражается структурный фактор, получается суммированием «пузырьковых» диаграмм, из о браженных на рис. 11.12.

•

Рис. 11.12

Вершина взаимодействия на рис. 11.12 с учетом спиновой структуры есть

(11.122)(11.122)

(11.122)

(11.122)

где первое слагаемое (11.122) представляет собой хартриевский вклад, а второе —— фоковский, или обменный вклад. В случае коротко действия оба эти вклада имеют одну и ту же координатную зависимость и должны быть рассмотрены одновременно.

Отметим, что в задаче 44 при рассмотрении последовательности диаграмм для динамически экранированного кулоновского взаимодействия V(&, |q|) мы ограничились учетом одного лишь хар- триевского вклада в вершину взаимодействия. Такое упрощение было возможно из-за того, что для кулоновского взаимодействия при малом переданном импульсе |q|《@о хартриевский вклад много больше фоковского. Более того, именно хартриевское взаимодействие 4?re2/q2 расходится при q т 0, из-за чего и возникает необходимость рассматривать задачу об экранировании. В случае же коротко действия ситуация совершенно другая. Это видно уже из того, что хартриевский и фо- ковский вклады полностью сокращают друг друга для частиц с одной и той же проекцией спина. Короткодействующий потенциал приводит к взаимодействию только для фермионов с противоположными спинами. Чтобы принять во внимание это обстоятельство необходимо просуммировать лестничные диаграммы на рис. 11.12 с учетом спиновой структуры взаимодействия (11.122).

Диаграммам на рис. 11.12 соответствует запаздывающая двухчастичная функция Грина

К~® q) = —HQ〉q) — 0口2(幻〉q) — ^2П3(w, q) — ... = —-(口:―г〉(11.123)