Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
L ВВЕДЕНИЕ
содержание главы
В этой главе будут рассмотрены некоторые общие принципы аналогового моделирования. Она послужит введением к последующим главам, каждая из которых детализирует один из аспектов предмета. Мы начинаем с определения понятия «аналоговая вычислительная машина» и сопоставления аналоговой и цифровой вычислительных машин. Затем будут рассмотрены роль вычислительной машины в современной науке и история аналогового моделирования с античных времен до наших дней.
Далее мы остановимся на некоторых особенностях электронного дифференциального анализатора ——наиболее важной математической модели непрямой аналогии. Для решения задачи решающие элементы модели соединяются так, чтобы схема модели описывалась тем же математическим уравнением, что и сама задача. Это основной тип вычислительной машины, рассматриваемый в книге, и обсуждению его свойств отведена остальная часть главы. В ней будут освещены следующие вопросы: 1) выполняемые математические операции, 2) скорость и точность работы, 3) виды решаемых задач; они сравниваются с задачами, решаемыми на цифровых вычислительных машинах.
Мы обсудим, в какой степени цифровой дифференциальный анализатор моделирует человеческое мышление. В этой главе будет также рассказано о применении вычислительной машины для получения полезной информации, относящейся к рассматриваемой задаче, и о том, как вычислительная машина может быть использована для нахождения системы уравнений, адекватно описывающих физическую систему; эта процедура называется построением математической модели.
Глава заканчивается кратким описанием физического моделирования, которое основано на использовании комбинации элементов реальной системы и вычислительной машины, реализующей математические характеристики остальной части системы. Мы покажем, что иногда это является единственным способом решить задачу.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Древние греки, находившие слова для определения почти любого понятия, слово аналогия употребляли в смысле соответствие. Слово аналогия имеет греческий корень и означает сходство различных предметов или явлений в каком- либо одном или нескольких отношениях. Следовательно, если устройство решает задачу, имитируя характеристики соответствующей системы, то можно сказать, что это устройство работает на принципе аналогии 】).В современном значении термин аналоговая вычас л ительная машина (АВМ) относится к устройству, в котором величины обычно изменяются непрерывно. Однако случаи конечного разрыва, типа тех, что встречаются при анализе импульсных систем, также поддаются решению на аналоговых вычислительных машинах.
Важность метода аналогии и его использование в математических рассуждениях интересно трактуется в работе Пойа [1 ].
По способу решения задач аналоговые вычислительные машины делятся на две группы ——прямой и непрямой аналогии.
Математическая модель прямой аналогии —— это устройство, структура которого соответствует некоторой материальной системе. Примером такой модели является модель, основанная на аналогии между распределением плотности тока, пропускаемого через электропроводящую бумагу, и электростатическим полем зарядов, описываемым уравнением Лапласа. В качестве другого примера можно привести схемный анализатор, моделирующий со всеми подробностями некоторую механическую систему, причем в одном из вариантов устанавливается соответствие между следующими электрическими и механическими величинами: напряжением и силой, индуктивностью и массой, электрическим сопротивлением и трением, электрическим током и скоростью, емкостью и упругой деформацией, зарядом и перемещением г).
А1атематическая модель непрямой аналогии состоит из ряда отдельных элементов, каждый из которых преобразует некоторую измеримую величину (типа напряжения или длины) в соответствии с определенными математическими правилами, например правилами сложения и интегрирования. Эти элементы соединяются таким образом, чтобы полученная структура описывалась той же системой математических уравнений, которая характеризует исследуемую задачу. Подобие математической модели непрямой аналогии материальной системе выражается в идентичности решаемых уравнений таким уравнениям, которые описывают материальную систему. При моделировании посредством прямой аналогии существует прямое физическое подобие математической модели и материальной системы.
В цифровых вычислительных машинах в отличие от аналоговых информация представляется числами. Решение задачи является результатом выполнения последовательности операций. Однако в общем случае последовательность операций не связана непосредственно с характером исследуемой системы.
ЗНАЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Аналоговая вычислительная машина стала важным средством решения математических задач с того времени, когда в 30-х годах был разработан механический дифференциальный анализатор. В 50-х годах его сменил электронный дифференциальный анализатор, который стал использоваться инженерами, учеными и математиками для решения широкого круга задач. Эти машины, если их правильно применять, позволяют быстро получать точные решения, представленные в удобной для использования форме.
Хотя вычислительные машины применяются сравнительно недавно, они уже наложили существенный отпечаток на развитие науки и техники. Эрике [4] считает, что без них было бы невозможно быстрое развитие американской ракетной техники ). Это утверждение нетрудно понять. Уравнения, описывающие поведение ракеты, особенно при учете случайных возмущений, не могут быть решены аналитически. Не располагая вычислительной машиной, конструктор с целью выявления и устранения ошибок вынужден планировать большое число сложных наземных и летных испытаний). Такой метод требует много времени и больших затрат. Кроме того, неизвестно, даст ли вообще данный полет какую-либо полезную информацию, поскольку ракета может взорваться при запуске. Напротив, вычислительная машина определяет пове-
Поскольку вычислительные машины прямой аналогии в настоящей книге рассматриваться не будут, читатель, интересующийся такими устройствами, может обратиться к работам [2] и [3].
дение ракеты в контролируемых лабораторных условиях, когда каждый параметр можно легко измерить. Летные испытания требуют месяцев подготовки и стоят миллионы долларов, а вычислительная машина может выдать ту же информацию за несколько секунд, причем затраты будут невелики (порядка 100 долл.).
Однако полностью без летных испытаний обойтись нельзя. Физические характеристики ракет в условиях полета могут быть известны недостаточно точно, и, следовательно, вычислительная машина даст лишь приближенное решение. Однако конструктор обычно может определить характеристики ракеты настолько точно, чтобы основной объем проектных работ выполнялся с помощью вычислительной машины, а необходимые, относительно небольшие (но важные) изменения вносились на основе информации, собранной во время летных испытаний.
Решение реальных задач на аналоговой вычислительной машине называется моделированием. Важной частью анализа задачи с помощью вычислительной машины является составление уравнений материальной системы, другими словами ——построение математической модели. Этот вопрос будет рассмотрен в разд. 1.8.
При решении некоторых задач вычислительная машина может открыть новые области для исследования. Задачи, которые ставятся перед вычислительной машиной, непрерывно усложняются при одновременном повышении требований к скорости их решения. Чтобы вычислительная машина могла справиться с новыми проблемами, которые принесет следующее десятилетие, необходимо постоянно разрабатывать новые методы и оборудование.
Вычислительная машина освобождает ученого от утомительного решения тривиальных задач ^). Благодаря этому талантливые люди имеют теперь больше времени для творческой работы. Оглядываясь назад, мы можем посочувствовать И. Кеплеру (1571——1630 гг.), потратившему годы на однообразные вычисления, так как он не мог воспользоваться ни вычислительной машиной, ни даже логарифмами [6]. Будучи уверенным в том, что в устройстве вселенной царит определенный порядок, он открыл первые из основных законов движения небесных тел. Как много открытий мог бы сделать этот гений, если бы у него было больше времени?
Повышая производительность умственного труда, вычислительные машины окажут большое влияние в первую очередь на науку, а в конечном счете —— на развитие всего общества. Можно ожидать, что особенно существенным будет воздействие на экономику, высшее образование и научные исследования. Обсуждение этих вопросов, какими бы важными они нам ни представлялись, выходит за рамки данной книги 17].
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Стремительный рост использования вычислительных машин после второй мировой войны может создать впечатление, что аналоговые вычислительные устройства появились недавно. В действительности некоторые вычислительные устройства были изобретены еще на заре истории ).
В 3800 г. до н. э. в Вавилоне аналоговые расчеты использовались при землемерных работах и для составления карт. Около 80 г, до н. э. греки построили планетарий, с помощью которого они определяли положение Солнца и планет, используя птолемееву модель солнечной системы [10]. В начале XV в. аль-Каши построил в Самарканде механизм для определения момента времени,
когда две планеты находятся в одной земной меридиональной плоскости [111. Позже он построил еще одно вычислительное устройство, с помощью которого определялось положение Солнца, Луны и пяти известных в то время ближайших к Земле планет в заданный момент времени [12, 131. Этот последний механизм, как и его греческий предшественник, был основан на применении модели Птолемея.
Англичанин Гантер в 1620 г. создал первую счетную линейку, использовав понятие логарифма, введенное в 1614 г. Непером. Около 1814 г. баварский инженер Герман сконструировал первый планиметр, который измерял на плане площадь, ограниченную произвольной кривой.
Непосредственный предшественник современных математических машин появился в результате работы, выполненной Дж. Томсоном и его братом лордом Кельвином (У. Томсоном); сообщение о ней было напечатано в 1876 г. в Англии. Дж. Томсон изобрел интегратор с диском и шариком, а лорду Кельвину принадлежит идея соединения нескольких таких интеграторов для решения дифференциальных уравнений [14 + 17]. Принцип аналоговых расчетов, предложенный лордом Кельвином, применяется и поныне х). По-видимому, остроумные идеи лорда Кельвина некоторое непродолжительное время использовались в Европе, а затем их забыли ). Буш построил в 1931 г. механический дифференциальный анализатор, не подозревая, что лорд Кельвин уже сделал то же самое 55 лет назад [19].
В области цифровых вычислительных машин многие высказанные ранее основополагающие идеи были впоследствии забыты, а затем формулировались вновь. В период с 1812 по 1833 г. Ч. Бэббидж на средства британского правительства разработал (но не построил) «аналитическую машину, которая может решать математические уравнения». Когда в 1939 г. Айкен создал в Гарвардском университете цифровую вычислительную машину MARK I, он не знал об этой идее Бэббиджа, высказанной ста годами раньше [20]. Перечисленные примеры показывают, что иногда даже великие идеи оказываются забытыми и должны заново формулироваться следующими поколениями.
В начале XX в. было много сделано в области создания устройств для нахождения корней многочленов и гармонических анализаторов (механизмы для вычисления коэффициентов Фурье). В конце 20-х годов фирма GeneralElectric создала первый расчетный стол, который позволял измерять фазу и амплитуду. Как мы уже отмечали, д-р В. Буш из Массачусетского технологического института в 1931 г. построил первый механический дифференциальный анализатор, который являлся очень точным и надежным механизмом. Такой анализатор был способен решать задачи, в которых рассматривались функции многих переменных. Однако эта машина сравнительно мало повлияла на развитие научных исследований, так как была громоздкой, дорогой и работала медленно. В результате было построено лишь небольшое количество механических дифференциальных анализаторов.
Операционный усилитель ——основной элемент современных электронных моделей непрямой аналогии (называемых также электронными дифференциальными анализаторами)——был разработан в 1938 г. Филбриком (Philbrick) и независимо от него во время второй мировой войны Ловеллом (Lovell, фирма Bell Telephone Laboratories). В 1950 г. Голдберг (Goldberg, фирма RCA) сконструировал стабилизированный усилитель постоянного тока (УПТ), отличавшийся значительно меньшим дрейфом, чем более ранние усилители такого типа. Это явилось важнейшим шагом в развитии аналоговой вычислительной техники, в результате которого электронный дифференциальный анализатор (ЭДА) приобрел необходимую ученым и инженерам точность. В 50-х годах были зна-
Дальнейшее обсуждение работы лорда Кельвина см. в разд. 3.1.2.
чительно усовершенствованы высокоточные блоки умножения, записывающие устройства и ряд других приспособлений, которые придали вычислительной машине гибкость и точность, необходимую для решения задач, связанных с анализом сложных систем. В том же десятилетии новые методы компоновки блоков позволили уменьшить размеры решающих элементов, одновременно повысив их точность. Применение полупроводниковых приборов гарантирует сохранение этой тенденции и в 60-х годах. В это же время была разработана аппаратура для автоматической настройки потенциометров, задания функций и считывания результатов с выхода любого решающего элемента, причем для записи информации стала использоваться перфолента.
Предпринимались также попытки совместного использования аналоговых и цифровых вычислительных машин для моделирования ряда систем; некоторых успехов в этом удалось добиться фирмам Convair и Space Technology Laboratories. Цель этих работ ——сочетать высокую точность цифровой вычислительной машины со скоростью аналоговой вычислительной машины при расчете траекторий баллистических ракет. Однако достижения в этой области до сих пор весьма ограничены. Недавно было создано новое устройство, названное аналого-цифровой вычислительной машиной; оно может выполнять операции в аналоговой и дискретной форме '). В этих машинах дискретная часть используется скорее для управления аналоговой вычислительной машиной, чем для решения уравнений системы. Но судить о том, какое воздействие комбинированные устройства окажут на вычислительную технику, еще слишком рано. Их применение, однако, обещает значительно увеличить возможности анало- л'Овых вычислительных машин.
ЭЛЕКТРОННЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗАТОР)
Быстродействие ЭДА, повышенная точность и универсальность цифровых вычислительных машин привели к тому, что механический дифференциальный анализатор стал музейным экспонатом. Сегодня ЭДА является важнейшим вычислительным устройством, действующим на основе непрямой аналогии. Наша книга главным образом посвящена методам решения задач с помощью ЭДА и, в меньшей степени, с помощью родственной ему быстродействующей вычислительной машины с периодизацией решения.
Основное назначение ЭДА — решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Термин электронный используется в названии ЭДА в связи с тем, что все зависимые переменные представляются в вычислительной машине напряжениями и лишь независимая переменная является аналогом времени решения. Некоторые операции типа переключения, умножения и преобразования функций могут выполняться электромеханически. При этом механическая величина (например, угол поворота вала) перед вводом в вычислительную машину, должна быть преобразована в эквивалентное напряжение.
В распоряжении исследователя нар яду с ЭДА иногда имеется цифровые вычислительные машины, например машины типа IBM 7090. В этом случае необходимо выбрать, какой тип машины наиболее подходит для решения задачи. Если ЭДА наилучшим образом приспособлен для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, то на цифровой вычислительной машине удобнее решать алгебраические уравнения. Цифровая вычислительная машина решает системы алгебраических уравнений, находит обратные матрицы, производит оценку на основе метода наименьших квадратов и других аналогичных
В настоящее время имеется две невоенные вычислительные машины такого типа: HYDAC, выпущенная фирмой Electronic Associates, и SPAC, выпущенная фирмой Beckman Instruments С.
критериев. Цифровая вычислительная машина используется также для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Решение отдельных групп перечисленных задач не является привилегией только аналоговых или только цифровых вычислительных машин. Оба типа машин могут решать все перечисленные задачи, но ни один тип машин не подходит для решения всех этих задач лучше, чем другой. Цифровые вычислительные машины используются для решения дифференциальных уравнений, когда необходимая точность решения выходит за пределы возможностей аналоговых вычислительных машин. В других случаях все преимущества находятся на стороне ЭДА. Он решает задачи быстрее и обходится это дешевле. Кроме того, на ЭДА легче изменять запрограммированные уравнения, т. е. структуру системы. С другой стороны, не следует использовать аналоговую вычислительную машину для решения алгебраических задач, если нет серьезных нетехнических причин, заставляющих отказаться от цифровой машины.
В ЭДА каждый решающий элемент, являясь самостоятельным звеном, выполняет одну математическую операцию. Задача программируется путем соединения элементов в соответствующей последовательности. Это соединение выполняется проводами на съемном наборном поле. Окончательное соединение
Наименование
Условное обозначение
Пояснение к условному обозначению*
1. Усилитель с большим коэффициентом усиления
,^^%
^ — коэффициент усиления при разомкнутой цепи обратной связи
2. Сумматор
2S0kom
—АЛЛ/—
7 Mom
3. Инвертор
,^>Q
tf Wv-
R
Г—Л/W—-1
4. Интегратор
ct —VAr- 250 ком
}OOko^
--0>-L^
5. Потенциометр (с заземленной клеммой)
e，®p—%
Рис. I. I. Стандартные обозначения решающих элементов, предложенные коми N — т[исло, обозначающее номер реша
схемы происходит при установке поля в коммутационную секцию. Когда коммутационная панель поставлена на место и параметры заданы, вычислительная машина автоматически решает запрограммированную задачу. Для того чтобы показать последовательность соединений, программист пользуется схемой, в которой решающие элементы изображены условными обозначениями. Стандартный набор этих обозначений вместе с краткими характеристиками элементов приведен в таблице на рис. 1.1. На рис. 1.1 представлены основные математические операции, выполняемые вычислительной машиной. Можно сказать, что в таблицу включено много лишних элементов, так как для выполнения всех перечисленных в ней операций достаточно иметь в распоряжении элементы под номерами 1, 4, 6, 7, 8, 12, 14. Эти элементы выполняют основные операции вычислительной машины, и с их помощью можно составить программу для решения обыкновенного дифференциального уравнения любого типа. Однако применение дополнительных решающих элементов значительно облегчает составление программы. Важным свойством ЭДА является то обстоятельство, что хотя его действие основано на выполнении небольшого числа основных элементарных математических операций, при правильном подходе этого достаточно для решения сложных дифференциальных уравнений.
Уравнение
Примечания
— К%
В лучших вычислительных машинах /С> 106
ё0— -(分 + 4ё2+ 1。e3)
Элемент состоит из усилителя с большим коэффициентом усиления и пассивных элементов; то же самое относится к инвертору и интегратору
См. предыдущее примечание
i
ro-—[£ (ё1 + 4e2+ 10。3)* + /e]
0
IC—начальные условия в момент времени / = 0; задаются в виде величины заряда на конденсаторе
%=随
0《В《1； если общее сопротивление потенциометра R, а сопротивление от движка до точки заземления (включая нагрузку на выходе) равно Rb，то B = Rr/R・ (В большинстве вычислительных машин второй конец потенциометра заземлен постоянно и оператор не имеет к нему доступа.——Прим, перев.)
тетом по аналоговым вычислительным машинам Института радиоинженеров (IRE), ющего элемента.
Наименование
Условное обозначение
Пояснение к условному обозначению
6. Потенциометр (без заземленных клемм)
%1^2
или
7. Электронный блок умножения
%1
Опарное напряжение
Опорное напряжение фиксировано
8. Электронный функциональный преобразователь
9. Электрическое соединение
—
10. Механическое соединение
—
11. Следящее множительное устройство
44ZZI-卜。
Усилитель серводвигатель
\* Опорн.
12. Григонометрический блок
.力一'/，弘
13. Решающее устройство для перехода от прямоугольных координат к полярным
ш
14. Реле
i，3
Ди(р(реренциальнь1й 丄X
усилитель'‘
Продолжение
Уравнение
Примечания
ео =阿 + (1 — Р) е2
Определение 0 аналогично его определению в п. 5
0 Опорное напряжение
В настоящей книге опорное напряжение будет предполагаться равным 1 и в связи с этим не будет приводиться в формулах. Этот символ будет использоваться для обозначения общей операции умножения
ео — f (е%)
/ (ех)——произвольная функция, которая может изменяться от одной задачи к другой
е =е#У
0 Опорное напряжение
Величина опорного напряжения будет равна 1, если нет специальных оговорок.
Сервопотенциометр имеет то же обозначение, что и потенциометр с двумя незаземленными концами.
Условие, налагаемое на входной сигнал, имеет вид 1 ех 1 ^ величины опорного напряжения
汇丁 =修 + 尤2； х1 = А cos 0; х2 = В sin 0
Ут= —У1 + У2； У^^ sin 0; “2 = 8 cos 8 или в матричном виде
Г хт П _ Г cos0 sin0 ]「4]
[Ут」一 1 — sin® cos 9」[б」
Составляющие вектора (й, В) в одной системе координат (w, и) преобразуются в составляющие вектора (尤丁，у^ другой системы координат (х, у), повернутой относительно первой на определенный угол 0; когда Л или В и 0 подаются на вход блока, потенциометр преобразует полярные координаты в прямоугольные
8 = arctg 7- ^=УД2+В2
Прямоугольные координаты (Л, 8) преобразуются в полярные (R, 0); в гл. 6 обсуждается вопрос о вычислении полярных координат
Когда х〉у, Л+ соединяется с 4[ и 8] с 3十；когда 汇之 у,力-соединяется с А1 п В^ с Bi
2 Л. Левин
В связи с тем что все математические операции выполняются в ЭДА одновременно, он является вычислительной машиной параллельного действия. Следовательно, скорость решения и число использованных решающих элементов непосредственно не зависят друг от друга. Скорее, минимальное время решения задачи при заданной точности ограничивается шириной полосы частот решающих элементов, которая для электромеханических элементов (типа следящего множительного устройства) значительно уже, чем для чисто электрических (усилители). Работу вычислительной машины характеризуют разрешающая способность и точность. Разрешающая способность определяется наименьшим достижимым различием между двумя дискретными значениями измеряемой величины при вводе данных и записи результатов. Так, движок потенциометра при его настройке с помощью четырехразрядного цифрового вольтметра устанавливается в одно из десяти тысяч возможных положений. Решение, представленное в графическом виде, считывается с точностью не выше чем одна тысячная максимального значения переменной. Точность определяется степенью близости решения, полученного с помощью вычислительной машины, к точному решению. Решающие элементы выполняют математические операции приближенно. В гл. 7 будут описаны методы уменьшения влияния на результат ошибок, вызванных приближенным выполнением математических операций решающими элементами. Тем не менее при всей нашей изобретательности от определенных ошибок мы не сможем избавиться. На величину ошибки сильно влияет характер задачи. В общем случае мы считаем, что величина ошибки лежит в пределах от 0,1 до 1 % максимального значения машинной переменной.
Разрешающая способность и точность —— это независимые характеристики вычислительной машины, которые непосредственно не связаны друг с другом. Однако разрешающая способность должна быть достаточно высокой для того, чтобы не вносить ошибок в решение. Например, ошибка вычислительной машины при решении задачи составляет 0,1%, а ее разрешающая способность равна 0,01. Таким образом, в данном случае точность решения определяется разрешающей способностью вычислительной машины, а не рабочими характеристиками решающих элементов.
МЫСЛЯТ ЛИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ?
Мы определяем мышление как процесс, происходящий в человеческом мозге. Многие современные философы и ученые, среди них Норберт Винер и Джон фон Нейман [21], пытались ответить на волнующий вопрос о том, сколь глубоко могут мыслить вычислительные машины. Они размышляли о предельных возможностях вычислительных машин будущего, в то время как наш вопрос относится к ЭДА. Мы заинтересованы в рассмотрении этой проблемы, так как это удобный случай обсудить возможности вычислительной машины и то, что их ограничивает. Сравнение ЭДА с человеческим мозгом показывает, что у них есть много общего. Вот некоторые антропоморфические свойства ЭДА:
Обучаемость, теме которой посвящена гл. 8.
Память, которая обеспечивается интеграторами и функциональными преобразователями.
Принятие решения или альтернативный выбор, который производится сравнивающим устройством.
Решение математических задач, которое является «raison d'etre» х) вычислительной машины.
Любой из перечисленных видов деятельности, встречающийся при решении правильно сформулированной задачи, может выполняться вычислитель-
Смыслом бытия (франц.).
ной машиной быстрее, точнее, рациональнее (отсутствует эмоциональное напряжение), чем человеком.
Эти свойства вычислительной машины производят большое впечатление, и все же вычислительной машине еще далеко до того, чтобы конкурировать с человеческим мозгом. У вычислительной машины отсутствуют два важнейших свойства мозга: способность к самостоятельным действиям и приспособляемость к непредвиденным обстоятельствам. Человеческий мозг может по аналогии, методом индукции или просто по вдохновению выдвигать новые идеи и предсказывать явления, о существовании которых до этого ничего не было известно. Вычислительная машина следует курсу, полностью определенному программистом. Машина не дает оценки формулировке задачи и не предлагает иных способов решения, даже если они существуют. Если программист не заложит в нее программу самопроверки, вычислительная машина будет с одинаковой готовностью решать задачу, вне зависимости от того, сформулирована ли она правильно или неверно. Наконец, вычислительная машина, получив результат, не оценивает его значения. Короче говоря, хотя вычислительная машина и совершает некоторые простые операции мышления, она является рабом, подчиняющимся приказам программиста.
Роль ЭДА заключается не в замене человека, обдумывающего способ решения задачи, а скорее в том, чтобы служить ему в качестве вспомогательного вычислительного средства, поставляя данные, облегчающие работу. Роль вычислительной машины можно понять лучше, рассмотрев, как она используется при решении задач.
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
Как мы установили, аналоговая вычислительная машина обычно решает обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут представлять собой некоторую математическую абстракцию или описывать некоторую материальную систему. В первом случае уравнения интересны для нас сами по себе. Во втором —— они помогают нам понять работу системы. В любом случае, чтобы получить решение уравнений, мы используем вычислительную машину.
Решение математической задачи, которое мы ищем, может быть выражено в замкнутой форме х), в виде функции от параметров задачи. Если, например, нам нужно, чтобы вычислительная машина нашла значение интеграла синуса, мы бы хотели получить ответ в виде
/ (Л, /) =- ^ Л sin wx dx^ — (cos wt — i).о
В данном примере решение является функцией параметров Л, w и /. Имея решение в замкнутой форме, мы можем совершать математические операции над параметрами и оценивать их влияние на решение.
К сожалению, вычислительная машина не может давать решение в абстрактном виде, используя для этого буквенные обозначения. В ЭДА для представления количественных результатов используются напряжения. После обработки результатов мы можем получить функциональную связь в виде таблицы или графика, но не в замкнутой форме. Пока мы не введем в вычислительную машину программу обработки результатов (соответствующая методика описана в разд. 7.4 и гл. 8), она не выявит функциональную связь даже в количественной форме.
Замкнутая форма определяется как любая известная табулированная функция, например синус, функция Бесселя, интеграл вероятности ошибки.
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Прежде чем вводить программу в машину, следует убедиться в правильности уравнения, описывающего материальную систему. Процедура, при которой для реализации уравнений, описывающих материальную систему, используется вычислительная машина, называется построением математической модели. Это одно из наиболее важных применений ЭДА, Если для описания реальных явлений используются математические уравнения, то они полезны в той степени, в какой они достоверны.
Для всех систем, за исключением простейших, истинное явление можно описать с помощью уравнения лишь приближенно. Мы или не знаем всех факторов, или получаем уравнения слишком громоздкие для программирования. В обычных задачах рассматривается лишь небольшое число аспектов поведения системы. Поэтому математическую модель следует делать возможно более простой, чтобы сосредоточить усилия на изучении поведения основных параметров и не отвлекаться на мало существенные частности. Этот подход привлекателен также и с точки зрения применения вычислительной машины, поскольку упрощение задачи уменьшает вероятность ошибок в решении.
Следовательно, в качестве первого шага исследования мы должны убедиться в том, что модель правильна и притом предельно проста. Предположим, что нашей задачей является изучение влияния давления солнечного света на траектории спутников Земли, имеющих различные конфигурации. В дополнение к наиболее очевидным факторам — давлению солнечного света и гравитационному полю Земли ——могут учитываться:
Гравитационное поле Солнца, Луны и других небесных тел.
Сплющенность Земли.
Тормозящее действие земной атмосферы.
Приемлемость модели будет зависеть от характера результатов. Траектории, которые должны быть определены с точностью до метра и до километра, находятся с помощью разных математических моделей. Мы начинаем с изучения информации о спутнике, уже совершающем движение по орбите, параметры которой наиболее близки к рассматриваемому нами случаю. Программируется просекший вариант модели, например с учетом давления солнечного света и земного гравитационного поля. Если результаты, полученные с помощью такой модели, соответствуют экспериментальным данным, мы считаем, что модель удовлетворительна. В противном случае мы продолжаем ее уточнять, вводя дополнительные факторы до тех пор, пока отклонения расчетной орбиты от экспериментальной не будут соответствовать заданной точности.
При переходе к спутнику, имеющему другую конфигурацию и другую орбиту, нельзя быть уверенным в том, что прежняя модель применима, так как некоторые факторы, которыми в ней пренебрегали, могут играть важную роль в новой системе. Если нельзя заранее удостовериться в том, что их воздействие будет ничтожно, то они должны быть учтены при программировании. Если же при дальнейшем исследовании будет выяснено, что влияние этих факторов незначительно, они могут быть исключены из программы. При работе с упрощенной математической моделью следует соблюдать осторожность и постоянно проверять, согласуется ли модель с последними из имеющихся данных.
После составления математической модели вычислительную машину можно использовать при проектировании и анализе системы. Теперь характеристики спутников, имеющих различные формы и траектории, могут изучаться в вычислительном центре. Использование вычислительных машин существенно уменьшает время и стоимость проектирования спутника, предназначенного для движения вокруг Земли по определенной траектории.
Наиболее ценным является именно такой способ применения вычислительной машины, когда она служит вычислительным средством при анализе и проек-
тировании. За короткий срок вычислительная машина позволяет проверить и забраковать много систем и найти такую, которая удовлетворяет поставленным требованиям. Теперь ошибки конструктора могут быть исправлены на той стадии, когда это связано с минимальными затратами, т. е. при расчетах на вычислительной машине.
ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Если нас интересует работа некоторых элементов системы, которые нельзя описать математически г), то можно присоединить к ним соответствующим образом запрограммированную вычислительную машину и моделировать всю систему в целом. Этот метод называется физическим моделированием. Представление возможно большей части системы математической моделью облегчает изучение ее основных элементов, не вощедших в модель. Совместное использование реальных узлов и математической модели возможно только потому, что изучаемое явление в математической модели протекает точно в такой же временной последовательности, как и его аналог в физической системе ?)• Физическое моделирование должно осуществляться в масштабе времени, соответствующем работе реальных элементов, т. е. в натуральном времени, в отличие от математического моделирования, которое может осуществляться в сжатом или растянутом масштабе времени. Так как вычислительная машина оперирует электрическими сигналами, она может быть непосредственно соединена с внешними устройствами, входные и выходные величины которых являются электрическими сигналами. В противном случае для обеспечения совместной работы следует применять преобразователи. Например, если выходной величиной такого устройства, как это часто бывает, служит угол поворота вала, то перед вводом его в вычислительную машину он должен быть преобразован в эквивалентный электрический сигнал.
Преобразователи могут быть довольно сложными устройствами, стоящими иногда значительно дороже, чем исследуемые реальные узлы и вычислительная машина. Одним из примеров такого преобразователя является испытательный стенд, платформа которого может вращаться вокруг любой из трех ортогональных осей. Этот механизм используется при физическом моделировании элементов ракет с целью исследования влияния на их работу вращения.
Физическое моделирование дает возможность избежать непосредственных экспериментов при наличии неполной математической модели. Однако при физическом моделировании могут возникнуть серьезные трудности из-за невозможности создать преобразователь. Допустим, радиолокационная антенна и приемник используются в системе самонаведения летательного аппарата на радиолокационный маяк. Физическое моделирование будет в этом случае осуществляться по схеме, показанной на рис. 1.2. Сигнал радиолокационного маяка принимается антенной и преобразуется в приемнике, выход которого подключен к вычислительной машине. Задача вычислительной машины —— рассчитать, как выходные сигналы радиолокационного приемника преобразуются в маневры летательного аппарата. Выполнив эту задачу, вычислительная машина определяет кинематику летательного аппарата, которая в свою очередь определяет движение антенны приемника относительно маяка. Выходные сигналы вычислительной машины используются для обеспечения правильного положения маяка относительно антенны приемника. Модель
Человек, являющийся частью системы, например пилот космического корабля, движущегося в пространстве, как раз представляет собой такое звено, которое обычно нельзя описать математически. Физическое моделирование, при котором человек рассматривается как часть системы, иногда называется психофизиологической задачей.
Аналоговую вычислительную машину иногда называют «вычислительной машн- ной, работающей в натуральном масштабе времени» из-за ее способности моделировать физическую систему в таком масштабе.
оказалась несостоятельной, так как мы пытались действительное расстояние между антенной приемника и маяком, исчисляемое километрами, заменить расстоянием порядка метра. К сожалению, диаграмма направленности антенны радиомаяка сильно меняется при изменении расстояния между маяком и антенной приемника. Кроме того, дополнительные ошибки вносит отражение луча от стен помещения, в котором установлены маяк и антенна приемника. Таким
Рис. 1.2. Физическое моделирование радиолокационной системы.
I — радиолокационный маяк; 2 — антенна; 3 ——радиолокационный приемник; 4 — вычислительная машина; 5 — двигатель; 6 — испытательный стенд.
образом, характеристики антенны приемника при расстоянии между ней и маяком около метра отличаются от аналогичных характеристик в реальных условиях работы, что полностью обесценивает результаты моделирования.
Успех или неудача физического моделирования в значительной степени определяется пригодностью используемых преобразователей для решения конкретной задачи. Так как само по себе применение вычислительных машин для физического моделирования выдвигает сравнительно мало проблем, мы в настоящей книге не будем рассматривать этот предмет вообще.
2・ ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
Программирование и решение обыкновенных дифференциальных уравнений ——одна из самых легких задач для аналоговой вычислительной машины. В то же время решение этих уравнений по своей важности оставляет далеко позади все другие применения АВМ. Аналоговые машины настолько подходят для решения дифференциальных уравнений, что даже такие задачи, как извлечение корней многочленов или решение системы алгебраических уравнений, решаются проще, если их свести к эквивалентным дифференциальным уравнениям. Основательное знание теории дифференциальных уравнений необходимо для всех работающих на АВМ. Поэтому в настоящей главе мы рассматриваем эту теорию довольно подробно, обращая особое внимание на те свойства, которые используются при решении дифференциальных уравнений на АВМ.
Глава начинается с обсуждения некоторых общих свойств решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями 工).В отличие от краевых задач задачи с начальными условиями непосредственно программируются на электронном дифференциальном анализаторе; для этих задач существуют условия, при выполнении которых обеспечивается существование единственного решения. Очевидно, что если решение не единственно, то задачу бесполезно программировать на АВМ.
Затем будут рассмотрены некоторые аналитические методы, которые можно применять для решения этих уравнений. К сожалению, хотя мы и можем довольно много сказать об общем характере решения, получить аналитическую зависимость мы можем лишь в некоторых исключительных случаях. Тем не менее, несмотря на ограниченную область применения аналитических методов, читателю следует ознакомиться с ними. Аналитическое решение, когда его можно найти, значительно ценнее решения, полученного на АВМ, так как оно дает информацию о том, каким образом решение зависит от параметров задачи. При изложении материала дифференциальные уравнения разделяются на два класса: линейные и нелинейные уравнения. Аналитические методы, которые можно применять для решения этих двух классов уравнений, разительно отличаются друг от друга ).
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙЗ)
Определения
Ниже вводятся две системы терминов, которые могут быть незнакомы лицам без математической подготовки. Прежде чем перейти к разд. 2.2.2., читатель должен разобраться в этих определениях.
Существование и единственность. Если для заданных начальных условий имеется одно и только одно решение, то говорят, что решение существует и является единственным. Как мы покажем, могут встречаться и такие случаи, когда одна система начальных условий порождает более одного решения. В этом случае решение существует, но не является единственным. Для граничных задач могут быть заданы такие условия, при которых решений не существует. Итак, дифференциальные уравнения распадаются на три класса, для которых:
решение существует и является единственным;
решение существует, но не является единственным;
решение не существует.
АВМ может решать только такие задачи, которые принадлежат к классу 1 Если решение не единственно, то нельзя предсказать, как будет вести себя АВМ при решении этой задачи. Задача, которая не имеет единственного решения, накладывает такие требования на работу АВМ, которые нельзя удовлетворить. Кроме того, из-за ограничений, свойственных отдельным элементам вычислительной машины, иногда нельзя решить и уравнения с единственными решениями.
Необходимость и достаточность. При математическом доказательстве исходят из некоторого условия (гипотезы) и методом логической дедукции приходят к заключению. Условие и заключение сами по себе могут представлять некоторую систему утверждений.
Необходимое условие ——это такое условие, которое нужно обязательно удовлетворить, чтобы получить заключение, но которое может также привести и к другим заключениям.
Достаточное условие ——это такое условие, из которого логически следует заключение. Достаточное условие содержит более сильные ограничения по сравнению с условиями, которые необходимы для вывода заключения.
Необходимое и достаточное условие —— это условие, которое приводит только к одному заключению. Обратно, если дано заключение, то известно, что оно может быть выведено только из одного условия.
Выводы. 1. Если удовлетворяется необходимое условие, то, не имея дополнительной информации, нельзя сказать, имеет ли место заключение. Если необходимое условие не выполняется, то заключение не имеет места.
Если удовлетворяется достаточное условие, то заключение имеет место。 Когда достаточное условие не удовлетворяется, то, не имея дополнительной информации, нельзя сказать, имеет ли место заключение.
Если удовлетворяется необходимое и достаточное условие, заключение имеет место. Если необходимое и достаточное условие не удовлетворяется, заключение не имеет места. Только необходимое и достаточное условие своей справедливостью или несправедливостью указывает на справедливость или несправедливость соответствующего заключения. Поэтому при доказательстве математических теорем всегда стараются получить необходимые и достаточные условия. К сожалению, фактически нет необходимых и достаточных условий, которые бы подходили для обыкновенных дифференциальных уравнений. Почти все условия являются только достаточными.
Пример 1. Чтобы сделать заключение, что четырехугольник является прямоугольником, необходимо, но не достаточно, чтобы две противоположные стороны четырехугольника были равными. Достаточно, но не необходимо, чтобы все стороны были равными и один угол равнялся 90°. Необходимо и достаточно, чтобы две его противоположные стороны были равными н параллельными и один угол равнялся 90°.
Уравнения системы "-fo порядка
Система /z-пэ порядка может быть представлена в виде дифференциального уравнения /г-го порядка, системы п дифференциальных уравнений первого
порядка или системы уравнений, ряд которых (или все) имеет порядок выше первого. Дифференциальное уравнение и-го порядка имеет вид г)
+ …黑十a。学=，(Х；学，% …，^кЛ) ‘(2.1)
где 光 называется независимой переменной, у ——зависимой переменной, 〃о, ел, . . ., ап ——коэффициентами. Обычно в качестве решения уравнения принимается такая функция у, зависящая только от независимой переменной х, скажем // = g (%), которая удовлетворяет уравнению (2.1). Однако производные такого ретеннА dy)dx, ^Ру /dx{ . . ., dny Id^ также можно вполне законно рассматривать как решения уравнения (2.1). Коэффициенты а。, оъ 。2> • • могут быть постоянными или явными функциями любой комбинации переменных %, у и производных от переменной у. Коэффициент ап не может равняться нулю ни в одной точке диапазона изменения переменной х, для которого получено решение ). На любой другой коэффициент это ограничение не распространяется.
Система п уравнений первого порядка имеет вид
磐=厶(*；儿，先，• • •，У")，i = l,2, 似(2.2)
Уравение n-го порядка (2.1) может быть сведено к следующей системе 九 уравнений первого порядка:
(2.3)
dx 一
-^ —历^ [/(X； g1,у2, •一，уh)-(a77协1 十а"一2协1 +a0％)],
где
и в общем случае
Это преобразование играет важную роль в связи с тем, что для проверки условий единственности исследуется система уравнений первого порядка^ К уравнению м-го порядка рассматриваемые нами критерии неприменимы (см. подразд. 224) ).
Пример 2. Мы хотим свести уравнение
i需+ 2需+ 3х僕)= 輯⑵书
к системе трех уравнений первого порядка. В соответствии с процедурой, указываемой уравнениями (2.3), получаем следующий окончательный результат:
—^ — еу1 — 2у3 — Зх (г/2)2 —sin //J.
Переход от уравнения м-го порядка к п уравнениям первого порядка тривиален, так как процедура перехода во всех случаях полностью определяется уравнениями (2.3). Для обратного перехода от системы п уравнений первого порядка к одному уравнению п-го порядка такой общей процедуры не существует. Таким образом, обратное преобразование представляет собой более трудную операцию и иногда вообще не может быть выполнено. Однако почти никогда не требуется производить обратное преобразование. АВМ решает задачу одинаково легко как для случая уравнения м-「о порядка, так и для случая, когда задано п уравнений первого порядка. Иногда имеются убедительные причины, указывающие на невозможность обратного преобразования. Система уравнений первого порядка часто получается в результате описания некоторой физической задачи. В этом случае переменные характеризуют величины, которые имеют физический смысл, и, следовательно, представляют определенный интерес. Если выполнить обратное преобразование, то единственное получающееся уравнение может быть решено относительно только одной из переменных. Сделать выводы о поведении остальных переменных на основе решения этого уравнения нельзя.
Иногда система может быть также описана системой уравнений, которая по некоторым переменным имеет порядок выше первого. В этом случае порядок системы равняется сумме порядков старших производных по каждой переменной. Например, в системе уравнений
d2g 卜 d8 * dy 懣■十自= ，
,2 (2.6) 加十自协一色
высший порядок по переменной 0 равен двум, а высший порядок по переменной у — трем. Следовательно, система имеет пятый порядок.
Начальные условия
Задача с начальными условиями ——это такая задача, решение которой должно удовлетворять некоторым условиям при одном и том же значении независимой переменной х. Для системы м-го порядка необходимое условие единственности решения состоит в том, чтобы было задано ровно п независимых условий 1). В уравнениях м-го порядка эти условия налагаются на переменную у и ее производные. Аналогичным образом для системы уравнений первого порядка условия налагаются на переменные у^ у?, • • •, У『厂
Если задача имеет единственное решение, то начальные условия при некотором фиксированном х полностью определяют любую переменную системы при всех значениях переменной х. Конкретное значение переменной х, выбранное в качестве начального условия, определяется исключительно характером задачи. С точки зрения решения задачи любое из значений переменной может быть начальным значением.
Условие называется независимым, если оно не может быть выражено в виде линейной комбинации других п — 1 условий. Независимость переменных в линейных алгебраических уравнениях рассматривается в учебниках математики, например [23, стр. 3—5]. (На русском языке см., например, работу [ 168].)—— Прим. ред.
Предположим, что для некоторой системы первого порядка мы выбрали при х = а начальные значения yia, у2g • • •, упа* Пусть задача решена, и при % =方 мы получили следующие значения переменных: у^, у?%.., упЪ, Теперь предположим, что мы решили задачу для случая, когда yibl У2ь,・・・ ...,упъ выбраны в качестве начальных условий. Тогда при х^ а мы найдем, что зависимые переменные принимают значения у^а, у%, . . ., уПа- Более того, решения, которые получены при начальных условиях, заданных в точках х ~ а и х = Ь, будут тождественны при всех значениях переменной %. Мы используем это свойство дифференциальных уравнений при аналитическом решении некоторого класса нелинейных уравнений (разд. 2.5.3).
Дифференциальное уравнение м-го порядка зависит от 〃 十 1 величины: зависимой переменной и ее первых п производных. Соответствующая система уравнений первого порядка имеет в своем составе 2п членов: каждую из п переменных и ее первую производную. Другими словами, общее число членов равно числу начальных условий плюс число подлежащих решению уравнений. Можем ли мы получить единственное решение системы м-го порядка, если мы выберем начальные условия для и произвольных членов? В одном специальном случае мы не имеем такой свободы выбора.
Рассмотрим уравнение
寫+叫=о (2.7) или эквивалентную ему систему
Т = У2, (2・8а) 喈=一屮九 (2.86)
Уравнение (2.7) представляет собой одно уравнение, следовательно, оно имеет только одно неизвестное. Это означает, что нужно определить одну из переменных (либо у, либо одну из ei о производных) как функцию других переменных при всех значениях независимой переменной х, включая начальное значение. Уравнения (2.8) можно разрешить относительно двух переменных, представив их в виде функции других переменных.
Предположим, что мы попытаемся решить уравнение (2.7) с начальными условиями для переменных у и d^yIdd. Если подставить эти начальные значения в уравнение (2.7), то вычислить начальное значение оставшейся переменной dy ；dx мы не сможем. Из-за того что этот член не определен, уравнение не будет иметь единственного решения.
Читателю может показаться странным, что необходимо иметь начальное условие для члена, который даже не входит явным образом в дифференциальное уравнение. Уравнения (2.8) показывают, почему нельзя игнорировать начальное условие для производной. Начальные условия на бРу/^х? и // в уравнении (2.7) такие же, как начальные условия для dy2/dx и у「Таким образом, неизвестны начальные значения ни для одного из членов уравнения (2.8а). Следовательно, его нельзя решить, и уравнение (2.8) не может иметь единственного решения. При задании начальных условий следует руководствоваться следующими общими правилами:
В дифференциальном уравнении п-го порядка каждый член от у до di /dxnT, не входящий в уравнение, должен быть одним из начальных условий задачи.
В системе уравнений первого порядка каждый член, за исключением одного 8 каждом уравнении, должен иметь начальное значение.
Если в уравнении м-го порядка в качестве начальных условий выбраны значения переменно访 у и ее первых п ——1 производных или если для системы уравнений первого порядка в качестве начальных условней выбраны значения переменных ^厶 уъ . . ., уп, то критерии, определяемые правилами 1 и 2,
будут всегда выполняться. Заметим кстати, что на АВМ начальные условия программируются именно таким образом, так как каждый интегратор снабжен, устройствами, позволяющими создавать начальные условия на его выходе.
Существование и единственность решений %
Перед тем как начать решать задачу на АВМ, нужно убедиться в том, что решение существует и является единственным. Если уравнения описывают некоторую физическую систему, которая имеет решение при заданном наборе начальных условий, то существование и единственность решения как будто очевидны. Однако мы должны помнить, что уравнения могут описывать физическую систему лишь приближенно. Поэтому, каково бы ни было поведение физической системы, всегда следует убедиться в том, что при решении уравнений, описывающих эту систему, не возникнет трудностей.
Если, например, мы рассматриваем уравнение первого порядка
то достаточные условия единственности решения состоят в следующем: 1) функция f (х, у) непрерывна при всех значениях х и у, для которых определено решение, и 2) удовлетворяется условие Липшица по переменной у. Условие Липшица удовлетворяется только в том случае, когда справедливо следующее неравенство:
Уа) —f(X, №)\<К\Уа — Уь\,(2.9>
где уа и уъ ——два произвольных значения переменной у, а К ——некоторое положительное число.
Пример 3. В уравнении
(2.Ю)
функция f (х, у) = Д/ \ у \ непрерывна при любом конечном у. Чтобы проверить условие Липшица, предположим, что справедливо неравенство
\~\^i Уа I —~V\ Уъ\\^ ^ \ Уа — Уь\ •(2」1>
Однако при положительных уа и % имеем
：I —"VT^bl ) —,— ~VУъ I(2.12)
И____
I Уа — Уь | = | (V(/a™V^) CVya + Vyb) 1 = 1 CVУа — ^/уь) I | Vya + Vyb !•(2.13)
Подставляя это соотношение в уравнение (2.11), получим
I ~V У а — ~V Уъ I V к I V^a +V yb\\~V У а— ^ Уь\^(2.14а)
1<^1№ + У^1-(2.146)
Затем выберем произвольное ограниченное значение для постоянной К и п^сть уа и рь, оставаясь положительными, становятся очень малыми (на языке математики это записывается следующим образом: при уа > 0, i/a > 0 имеем уа 0,+0). Тогда
величина правой части уравнения (2.146) станет меньше единицы. Следовательно, вопреки нашему первоначальному допущению условие Липшица не удовлетворяется в точке у ~ 0 3). Из уравнения (2.146) можно видеть, что условие Липшица для всех других значений переменной у справедливо. Другим и словами, если уравнение (2.10) решается либо на промежутке —оо V у V 0, либо на промежутке 0 V у V 8, то решение будет единственным.
Вопросы существования и единственности решений подробно рассматриваются в работе [24, стр. 62—91 ]. Решение примера 3 взято из этой работы^
Мы будем предполагать, что рассмотренные в разд. 2.2.3 требования к начальным условиям выполняются.
Для доказательства того, что некоторое утверждение не справедливо, нужно- лишь показать, что это утверждение не имеет места лишь в одном случае.
Если включается точка у = 0, то пока еще мы не можем сказать, будет это решение единственным или нет. Условие Липшица — это только достаточное условие (см. разд. 2.2.1). Для проверки того, существует ли на самом деле более одного решения, нужно провести более глубокие исследования, а это для большинства уравнении, порядок которых выше первого, является почти невыполнимой задачей. Наше положение -омрачается тем обстоятельством, что мы никогда не можем доказать единственность решения. Если мы найдем, что существует более одного решения, то этим мы докажем, что решение не единственно. Однако если мы найдем только одно решение, то это еще -не означает, что не существует другого решения.
В данном примере для начального условия I/ = 0 при % = 0 имеется два решения:
//=0,(2.15)
при х>0,
(2-16) у =———при % < 0.
Между прочим, даже не находя этих двух решений, мы все же могли бы узнать, что решить уравнение (2.10) на АВМ нельзя. Когда одна из первых частных производных -функции становится большой, эту функцию трудно сформировать на АВМ. Здесь мы имеем наихудший из всех возможных случаев, так как
df (х, у)
^ 7 — аэ при у = 0.
В гл. 6 и 7 мы обсудим некоторые другие ограничения, накладываемые АВМ на решаемые уравнения.
Для системы п-го порядка вида (2.2) достаточное условие единственности решения состоит в следующем：
Каждая из функций 九(х, у】，‘2,Уп) непрерывна по всем своим -аргументам.
Для каждой из функций 力(х, у,, у?, • • •, ZM)должно ^удовлетворяться следующее неравенство Липшица:
厶(X, У lai У^ач • • • » ZMa) — fi (尤，У1Ь, У 泌、УпЪ^ [
V К ( ! У皿 一 У1Ь I[ У2a —先“ +Т Упа 一 УпЬ | )•(2.17)
Условие Липшица будет всегда удовлетворяться, если частные производные каждой из функций 厶(х, //ь . . ., у^ по всем зависимым переменным, входящим в эту функцию, ограничены:
df i, м,
ОО .
Непрерывности частных производных не требуется. Если скачки производных ограничены, то условие Липшица будет удовлетворено.
Вариация начальных условий и параметров
Любой постоянный коэффициент в системе м-го порядка будет называться параметром. Согласно этому определению, а и § являются параметрами уравнения (2.18). Решение уравнения
鬻十。碎+ sin0^ = e7 (2.18)
зависит от величин параметров а и 0, так же как и от начальных условий. В типичных задачах нам могут потребоваться решения при нескольких наборах значений параметров а и 0 и начальных условий. Можем ли мы что-либо ■сказать о характере изменения решения при вариации численных значений этих величин?
Обозначим параметры через 入》и начальные условия для производных d°)y/d%(r)——через у^ (0). Теперь изменим правые части уравнений в системе (2.2) так, чтобы показать в явном виде функциональную зависимость правых
частей от m параметров, например 厶(％, у、, %, • • •, %； 儿，入2,.…，Zm). Тогда если все функции 力 непрерывны по %, у и 九 и удовлетворяют условию Липшица (2.17), то частные производные решения у, а именно ду 咸》и Оу/Оу⑺(0), непрерывны по всем параметрам и начальным условиям.
При решении дифференциальных уравнений на АВМ это свойство имеет большое значение. Действительно, предположим, что мы получаем семейство решений системы /г-го порядка, в которой все параметры, за исключением одного 无，фиксированы. Если нам нужно было бы изобразить результат графически при некотором конкретном значении переменной 尤，скажем при % = %。, и если соответствующие условия для функции Д удовлетворяются, то мы знаем, что наклон кривых при любом значении переменной % ни в одной точке не будет испытывать разрыва. Не зная точного характера решения, мы все же можем ожидать, что при изменении начальных условий и параметров поведение АВМ будет вполне нормальным. Большое изменение решения при малом изменении параметра является сигналом о том, что АВМ, может быть, работает неправильно.
СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
В разд. 2.2 мы обсуждали свойства дифференциальных уравнений, которые дают нам некоторую информацию относительно общего характера решения, и в том числе указывают на то, существует или не существует решение. Однако этот раздел, сколь бы он ни был важен для понимания общих свойств дифференциальных уравнений, является лишь введением, поскольку нам действительно нужно знать те свойства уравнений, которые позволят находить точное решение конкретного уравнения. Это решение можно получить либо аналитически, либо на вычислительной машине. Если мы можем найти аналитическое решение, то мы сможем выразить у как функцию от %, а именно у = f (х). Решение, полученное на АВМ, может дать нам функциональное соотношение, однако не в замкнутой форме. Теперь мы рассмотрим аналитические методы, которые можно использовать для решения уравнений, а в гл. 3 изучим вопрос о решении этих же задач на АВМ.
Определения
При обсуждении аналитических методов обычно разделяют дифференциальные уравнения на два класса:
Линейные уравнения.
Нелинейные уравнения.
Между этими двумя классами существуют заметные различия. Решать любые линейные уравнения гораздо легче, чем нелинейные.
Уравнение м-го порядка вида
+…+ % 黑十 W' (%)(2.19)
линейно тогда и только тогда, когда все коэффициенты а^ либо постоянны, либо являются функциями только от х. Приведем несколько типичных примеров линейных и нелинейных уравнений.
需十sinx黑 g-//lnx = 30, 爲十3黑TH.需十sinx黑 g-//lnx = 30, 爲十3黑TH.Линейные уравнения
需十sinx黑 g-//lnx = 30, 爲十3黑TH.
需十sinx黑 g-//lnx = 30, 爲十3黑TH.
Нелинейные уравнения
黑+HZ=。，
瑞-g^ + sin
Линейные уравнения и принцип суперпозиции
Линейные уравнения обладают важным свойством, которое отсутствует у нелинейных уравнений. Это свойство мы обсудим на примере уравнения 几-го порядка. Предположим, что решение этого уравнения обозначено через f (z, х), где z ——набор входящих в задачу параметров. При этих обозначениях переменная z используется для указания функциональной формы зависимости от х [например, если f (z, х) = sin х, то f (z;) = sin ( )]. Тогда свойство линейности определяется следующим соотношением:
/ (ав + a2z2； х) = а"⑵；х) + a2f (г2, х),(2.20)
где at и а2 ——постоянные.
Свойство, определяемое уравнением (2.20), иногда называют принципом суперпозиции. Из него следует, что если мы хотим получить решение для комбинации двух параметров,仪成丄 十 а2г2, то мы можем решить задачу, непосредственно используя сумму 仪丄刁 亠 а2г2. Однако мы также можем вместо этого решить задачу отдельно для каждого из параметров z】и z2 M затем удовлетворить условию, определяемому правой частью уравнения (2.20).
Заметим, что ничего не препятствует тому, чтобы в z2 входил некоторый параметр из набора параметров Zp Например, если z2 = Z1 + Z3, то уравнение (2.20) будет выглядеть следующим образом:
+ x) = (ai + ct2)f(4； х) + a2f ⑵；х).(2.21)
Решение любого дифференциального уравнения зависит от следующих параметров: 1) от начальных условий, 2) от вынуждающей функции, 3) от коэффициентов дифференциального уравнения. Свойство линейности справедливо только для начальных условий и вынуждающих функций. В разд. 3.2 мы покажем, что свойство линейности позволяет получить фундаментальную систему решений уравнения п-го порядка х) путем (几——1)-кратного решения задачи на АВМ. Имея фундаментальную систему решений, мы можем вычислить решение для любой вынуждающей функции и любых начальных условий.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 2)
Введение
Вклад в развитие теории дифференциальных уравнений внес буквально каждый из плеяды выдающихся математиков, живших в период с 1650 по 1900 г. Вот неполный список этих великих ученых: Лейбниц, Ньютон, Бернулли Тейлор, Клеро, Лагранж, Лаплас, Фурье, Коши, Гаусс и Вейерштрасс 3). Поэтому читатель может быть удивлен, узнав, что, несмотря на громадные
Фундаментальной называется любая система из п линейно независимых решений линейного однородного уравнения.——Прим. ред.
Читатель может воспользоваться любым учебником по дифференциальным уравнениям, чтобы получить более обширные сведения по этому предмету. Я лично предпочитаю работы [25] и [27] и рекомендую их читателям.
з)Монографии [28] и [29], посвященные истории математики, излагают в соответствующей перспективе работы этих и других ученых.
достижения этих ученых, лишь очень небольшое число дифференциальных уравнений можно решить аналитически. Из всех существующих дифференциальных уравнений в любом случае могут быть решены только линейные уравнения первого порядка (см. разд. 2.4.2).
Однако имеются методы, которые можно применять и к системам более высокого порядка. Мы исследуем эти методы, обращая особое внимание на вопрос о том, когда эти методы можно применять и когда они не приводят к цели. Не ограничивая общности, мы сосредоточим внимание на одном дифференциальном уравнении, так как если система линейна, то при любой другой форме задания уравнений, например в виде системы уравнений первого порядка (или любого другого порядка), их всегда можно свести к одному дифференциальному уравнению [30].
Линейное уравнение вида
°"霖+ • • • +ai^ + aoy=J W (2.22)
в связи со свойством суперпозиции может быть разложено на два уравнения:
(2.23)(2.24)(2.23)(2.24)а几一]，戸"... + 嚮е^ун = 0,
(2.23)
(2.24)
(2.23)
(2.24)
°"2挚 + • • • +а^ + аоур = f(X),
которые затем можно решать раздельно.
Однородное уравнение. Уравнение (2.23) называется однородным уравнением. Переменная ун и ее производные принимают те же самые начальные условия, что и переменная г/ и ее производные. Решение однородного уравнения можно всегда записать в следующем виде:
У" (х)=力卫1 (х) + &卫2 (х) + • ••十 спип (х)・(2.25)
В это выражение входят п различных функций ut (х); их число равно порядку дифференциального уравнения. Каждая из функций щ (х) порознь является решением уравнения (2.23). Заметим, что начальные условия не играют роли при решении вопроса о том, является ли функция щ (х) решением, однако при вычислении постоянных сп с?, . . ., сп нужно использовать все п начальных условий. Хотя эти п решений являются линейно независимыми х), они не единственны. Например, мы можем умножить каждое решение на постоянную, и при этом образуется новая система линейно независимых решений дифференциального уравнения. Таким образом, существует бесконечное множество линейно независимых систем, которые удовлетворяют однородному уравнению. Тем не менее, какова бы ни была фундаментальная система, существует лишь одно решение ун для заданного набора начальных условий. Для каждой фундаментальной системы решений постоянные Q, с& ・..,с几 принимают такие значения, что функция уп всегда остается одной и той же.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы решения однородного уравнения а〕(х), . . ., ип (х) были линейно независимыми, состоит в том, чтобы в области изменений независимой переменной (х« V х V х» определитель Вронского W нигде не обращался в нуль. Определитель Вронского имеет вид а,)(%)吟)“)…吟(х)
呼=и^(х)и^(х)…叫(х)(2.26)
卫『D (x)(x)… 礫Г (х)
1) Система функций и、(%),辽2(尤)，• • •，〃几(％) называется линейно независимой на интервале ха <Z х <Z %ь，если не существует постоянных а1( а21 . . ., а九，где а^ + а| + ... ... + а^〉0, таких, что щщ (х)十 а2и2 (%) + * . . +(!"% (х) — 0 на всем рассматриваемом промежутке.
гдегде限)(х)=需" •
где
где
Пример 4. Решениями уравнения
(2.27)(2.27)g+.=0
(2.27)
(2.27)
являются функции
% (x) = sin х(2.28а)
«2 (x) = cos х.(2.286)
Читатель может проверить это, подставив либо (2.28а), либо (2.286) в уравнение (2.27).
Для того чтобы определить, являются ли решения независимыми, используем определитель Вронского
sinx + cosx—C°s2x=—1.(2.29)
4~cos x — sin x I
Решения линейно независимы при всех значениях переменной х. Тогда общее решение можно записать в виде
у—с^ sin с2 cos
где Ci и с2 ——постоянные, определяемые начальными условиями.
Неоднородное уравнение. Уравнение (2.24) называется неоднородным уравнением, а его решение ур — частным решением. Решение при нулевых начальных условиях может быть представлено в виде интеграла, называемого интегралом свертки
Ур(х)』j К(Х, Ct)f (а)da,(2.30)
где ха ——начальное значение независимой переменной.
Функция К (х, а) называется по-разному: весовой функцией, импульсной переходной функцией или системной функцией. Весовая функция играет очень важную роль при анализе линейных систем. Ее свойства обсуждаются ниже в разд. 2.4.6, 3.3 и приложении 2.
Решение уравнения (2.22) можно выразить через решения уравнений (2.23) и (2.24) в виде
У = Ун + Ур'
или
у = J% (х) + &卫2 (%)+•••+ Спип(X)+ j К(X, a) f (a) da. (2.31)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно решить. Уравнение вида
案+ P(x)g = Q")(2.32)
имеет решение вида
У(%)=[ j V(w)Q(w) dw + c] ‘(2,33)
где
ас ——произвольная постоянная.
3 Л. Левин
Однородное уравнение с постоянными коэффициентами
Определение корней характеристического многочлена. Задача решения дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами может быть сведена к задаче определения корней многочлена n-го порядка.
Так, уравнение
霜 +〃i北十®)У = °(2.34)
переписывается в следующем виде:
g" + 〃几-1夕"一'cl^c] + a。= 0.(2.35)
Если уравнение (2.35) имеет 几 различных корней g^, д* - • •, g几,то решение уравнения (2.34) имеет вид
У — %£°产-j- с^е"2K + ... + сп^^п^х 十 сп^^,(2.36)
Если имеется кратный корень, то выражение (2.36) должно быть изменено так, чтобы опять получить 几 независимых решений. Предположим, что уравнение (2.35) имеет кратный корень % порядка т; а именно д"亠 g—ig 1-1 + ... + 〃i% 十 〃о =
= (^-<71Г(^ + ^-ш^™(2.37)
Тогда составляющая решения, соответствующая этому кратному корню, имеет вид
(Q +。冰 + &炉 + ... + cn-iXin~ + cmxl7t~1) е"产，
а остальная часть решения соответствует уравнению (2.36).
Интегральные преобразования Лапласа и Фурье】). Пара интегральных преобразований связывает функцию действительного переменного с функцией комплексного переменного при помощи двух интегралов. Наиболее известными интегральными преобразованиями являются преобразование Лапласа и преобразование Фурье. Несмотря на то что для анализа однородных уравнений с постоянными коэффициентами можно использовать одно только преобразование Лапласа, в данном разделе будут обсуждаться оба этих преобразования, так как они имеют очень много общих черт.
Соответствующие пары интегральных преобразований 2) приведены ниже：
Преобразование Лапласа
尸(s) = \ f ⑴味5' dt,
c+ioQ(2.38)
fW^^u ] F 6) e't ds.
Преобразование Фурье
G (co) = \ g (/) 6-心* dt,
к 8(2-39)
g ⑺=击 \ G(s)eS，ds.
Более подробно преобразования Лапласа и Фурье обсуждаются соответственно в работах [31, 32 и 163].
В этих уравнениях / ——действительная переменная, a s и йо ——комплексные переменные, F (s) — преобразование функции / (f), a G (со) — преобразование функции g (/). Функция f (/) —— это обратное преобразование для функции 户(s).
Каждый член дифференциального уравнения является функцией независимой переменной, которая действительна. Следовательно, можно взять пре* образование от каждого члена дифференциального уравнения и получить новое уравнение относительно комплексной переменной преобразования. После того как это проделано, решают уравнения в преобразованиях. Обратное преобразование этого решения является решением дифференциального уравнения.
В принципе этот метод можно применять к любому дифференциальному уравнению, для членов которого имеются соответствующие преобразования. Однако, за редким исключением, решить уравнение в преобразованиях можно только в том случае, когда дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты. В этом случае для линейного дифференциального уравнения n-го порядка уравнение в преобразованиях становится многочленом /z-го пор яд- ка, члены которого являются степенями комплексной переменной (iw или s). Что же касается почти всех других дифференциальных уравнений, то соответствующие им уравнения в преобразованиях превращаются в интегро-дифференциальные уравнения, решить которые не легче, чем первоначальные.
Метод преобразования Лапласа можно использовать теоретически для решения любого уравнения с постоянными коэффициентами /однородного или неоднородного) при произвольных начальных условиях. Метод преобразования Фурье может быть использован только для решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях. Оба эти метода особенно полезны при получении частного решения уравнения. Как мы увидим в разд. 11.2.5, преобразование Фурье может также применяться при анализе свойств шумов.
Модификация преобразования Лапласа, называемая ^-преобразованием, может быть использована для решения разностных уравнений с постоянными коэффициентам и. Этот метод находит широкое применение при анализе им* пульсных систем х).
Однородные уравнения с переменными коэффициентами
Для получения решения однородного линейного уравнения, переменные коэффициенты которого являются многочленами по х, можно использовать метод Фробениуса. Другой метод ——это итерационный метод Пикара. Так как метод Пикара применим также для решения нелинейных уравнений, мы его обсудим в разд. 2.5.2. Кроме этих двух методов, мало чем можно воспользовать^ ся для решения уравнений с переменными коэффициентами ); можно еше попытаться угадать решение и затем посмотреть, удовлетворяет ли оно уравнению.
Уравнение с однородными членами. Уравнение вида
х"需 +6"宀~e^ +…+ 为Х黑+瓦片 0, (2.40)
где 九 —— постоянные, называется уравнением с однородными членами, пли уравнением Эйлера. Его можно свести к линейному уравнению с постоянными коэффициентами путем замены независимой переменной
х = е\ (2.41)
Имеется обширная литература по импульсным системам, например [33, 34 и 35]. (См. также [167].)— Прим. ред.
Особые точки и метод Фробениуса, Как мы показали, линейное уравнение n-го порядка вида
釁+%т(%)^5^+ •. . + % (х)黑+а° (х) 9 = °(2.42)
может быть эквивалентным образом представлено в виде системы уравнений первого порядка:
/1 _
(2.43)
-^~ = —~ [а»-! (х) уп +。"-2 (х) Уп-i + • • • + а。(х) yd •
Значение переменной х, при котором коэффициент 0n (х) обращается в нуль, называется особой точкой. В этой точке условие Липшица не удовлетворяется, и не существует единственного решения. Айне [24, стр. 396——415], показал, чго метод Фробениуса дает решение уравнения (2.42), справедливое везде, кроме особой точки. Если особенность имеет место при х = d, то метод Фробениуса дает явное решение уравнения (2.42) в виде бесконечного ряда, представляющего собой разложение в окрестности особой точки
у (%—■ d, о) — (% —d)。2 cj (х — d)，.(2.44)
Выражение (2.44) подставляется в уравнение (2.42), где все коэффициенты аг представлены в виде многочленов по (х — d). После того как подобные члены будут приведены, останется п неизвестных коэффициентов J, соответствующих наинизшим степеням переменной % в уравнении (2.44) (а именно Q),...,味0. Через эти коэффициенты можно выразить все другие коэффициенты J. Величины этих неопределенных коэффициентов с} находятся по начальным условиям. Кроме того, имеется многочлен n-го порядка, по о вида
о (о — 1).…(о — /2 -j-1) -j- о- (о — 1) ... (о —几 + 2) Q^—qd
•…+ о Qi (d) + Qo (d) = 0,(2.45)
n решений этого многочлена дают п значений, с помощью которых находится л независимых решений уравнения (2.42). Особая задача возникает, когда одно или несколько из полученных решений для о являются целыми числами. Если имеет место этот случай, то для получения независимых решений нужно использовать специальные методы.
Метод Фробениуса можно также применять для решения системы из п уравнений без особенностей, коэффициенты которых являются многочленами ио 九.К настоящему времени с помощью этого метода было получено решение ряда важных уравнений второго порядка, среди них:
уравнение Бесселя
炉+("2 —"2)" = ° особенности при 0;
уравнение Лежандра
(1—炉)鼻一2х祭+ 〃(〃+1)у = 0, особенности при %=±1；
уравнение Гаусса
х(1 — х) -|||- + [с — (^ + &+ \ )х] ^ — 〃Ьу = О, особенности при % =1,
где а, > с — постоянные.
Главная трудность при использовании метода Фробениуса состоит в том, что решение получается в виде бесконечного ряда. Если этот ряд нельзя представить в сжатой, замкнутой форме, то, по сути дела, о решении ничего сказать нельзя.
Предположим, что дан бесконечный ряд
/(%) = £ (-严謀今(2・46)
и нужно ответить на следующие вопросы:
Каковы нули функции f (х)?
Каковы максимальные значения этой функции и при каких значениях х они имеют место?
Каково значение функции f (х) при х = 45?
Каковы ответы на первые три вопроса для функции d^f/d%?? Основываясь лишь на уравнении (2.46), на эти вопросы очень трудно ответить, но они оказываются почти тривиальными, когда вместо уравнения (2.46) можно использовать равенство
/ (х) = sin х・(2.47)
По этой причине метод Фробениуса следует рассматривать как последнее из возможных средств, которое нужно применять, лишь в случае когда в нашем распоряжении не имеется других методов.
Понижение порядка уравнения. Если известно одно или несколько независимых решений уравнения n-го порядка, то можно понизить порядок уравнения на число этих решений. Иногда, но не часто это укороченное уравнение можно решить.
Чтобы уменьшить порядок уравнения, пользуются следующим методом. Предположим, что известны г решений: uk (х), . . ., иг (х). Тогда подстановка вида
W
1У Q⑴，(2.48)
w)…af).../)
где Q (x)——некоторая удобная для нас функция, а
приведет в результате к уравнению (п ——г)-го порядка по z.
Когда известно только одно решение 卫丄(х), то, производя в первоначальном дифференциальном уравнении n-го порядка замену переменных
у = а】(х) и(%),(2.49)
получим новое уравнение (п——1)-го порядка относительно переменной dv/dx [23, стр. 31—35].
Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Интегральные преобразования. В общем случае при произвольной вынуждающей функции, для которой можно вычислить соответствующие преобра* зования, метод интегральных преобразований является наилучшим для получения частного решения уравнения с постоянными коэффициентами. Преобразования Фурье и Лапласа описаны в разд. 2.43
Метод неопределенных коэффициентов. Если вынуждающая функция состоит из конечного числа комбинаций многочленов, синусов, косинусов
и экспонент, то метод неопределенных коэффициентов даже лучше, чем метод интегральных преобразований.
Если f (х)——один из членов вынуждающей функции, то те производные от функции f (х), которые совместно с f (х) образуют самую большую систему линейно независимых функций, составляют семейство функции f(x). Например, семейство функции
/ (х) х sin 2х(2.50)
имеет вид
{х sin 2х, х cos 2芻 sin 2х, cos 2х}.
Чтобы найти частное решение, предположим, сначала, что решение состоит из суммы членов семейства, где перед каждым членом стоит неопределенный коэффициент. Предполагаемое решение подставляется в первоначальное уравнение и вычисляются неизвестные коэффициенты.
Если один из членов семейства является, кроме того, решением однородного уравнения, то каждый член семейства нужно умножить на переменную х в достаточно высокой степени, так чтобы ни один из членов не был решением однородного уравнения.
Неоднородные уравнения с переменными коэффициентами и метод вариации постоянных
Если уравнение имеет переменные коэффициенты, то маловероятно, что мы найдем частное решение, если только мы не знаем полного семейства решений неоднородного уравнения. В последнем случае частное решение можно искать в следующем виде:
п
Ур — W (х) и^ (х),(2.51)
1
где с〕(х), с? (х), . . . сп (х)——неизвестные коэффициенты, являющиеся функциями независимой переменной, а а〕(х), u2 W, • • •,卫九(х)——нормализованная система решений однородного уравнения.
Если соотношение (2.51) подставить в первоначальное дифференциальное уравнение, то, как можно показать, частное решение примет вид
z/p= I厂不~ f (a) da,(2.52)
p I 呼3(。)，&⑷，％ (SI'
где / (й) — вынуждающая функция, ха — начальное значение переменной х, W (a) = W [щ (а),и2а, ..., un (^)] — определитель Вронского, а ^(^ — определитель Вронского W [щ (й),...,卫九(〃)],i-й столбец которого заменен так, как это показано ниже:
Wt (а)=
齊)(а) 吋)(a)
嘤(а).. 吗)(a)
.№3 (〃)0 ^<1 (〃)• 0
..噌(a)
・(2.53)
41)(a)
卫贤т) (а).
1
礎一"(a)
Сравнение уравнений (2.30) и (2.52) показывает, что весовая функция К(х, 〃)имеет вид
3 % (%)吟(а)
К(Х, а)=1 帀可—一 •(2.54)
Так как решение единственно, то имеется лишь одна весовая функция, соответствующая каждому линейному дифференциальному уравнению. Эта функция полностью характеризует неоднородное уравнение. Зная весовую функцию, можно с помощью уравнения (2.52) определить частное решение при произвольной вынуждающей функции.
К сожалению, весовую функцию можно найти в аналитическом виде только тогда, когда известна линейно независимая система решений однородного уравнения. Вероятность найти такую систему решений для уравнения с переменными коэффициентами очень мала. Однако с помощью АВМ мы можем получить график весовой функции —— наилучшее, что можно сделать, не зная аналитического решения.
Чтобы получить эту функцию на ABR4 в результате однократного решения, нужно особым образом преобразовать дифференциальное уравнение. В разд. 3.3 мы обсудим основные свойства весовой функции и опишем метод получения ее на АВМ.
Пример 5. Рассмотрим уравнение
必*必*t出2 一t出2 一Решение соответствующего однородного уравнения имеет видРешение соответствующего однородного уравнения имеет видгдегдеВ соответствии с уравнением (2.26)В соответствии с уравнением (2.26)dе~ж хF(x) =е* — с-? 1—2х.d 『 0dе~ж хF(x) =е* — с-? 1—2х.d 『 0力(/)=风 "2«)=еТ, 我3 (分=丄力(/)=风 "2«)=еТ, 我3 (分=丄Тогда соотношения (2.53) примут вид0 L хW\(x) =0—L 1= е-х(1 十 ％)1 L 0Тогда соотношения (2.53) примут вид0 L хW\(x) =0—L 1= е-х(1 十 ％)1 L 0ех 0 х%(*) =d 0 1=叫尤一1),ех 1 0/с—0%(*) =eX -g一务0=2.ехет1ех 0 х%(*) =d 0 1=叫尤一1),ех 1 0/с—0%(*) =eX -g一务0=2.ехет1(2.55)(2.56)(2.57)(2.58)(2.59)(2.60)(2.61)(2.55)(2.56)(2.57)(2.58)(2.59)(2.60)(2.61)
必*
必*
t出2 一
t出2 一
Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
где
где
В соответствии с уравнением (2.26)
В соответствии с уравнением (2.26)
dе~ж х
F(x) =
е* — с-? 1
—2х.
d 『 0
dе~ж х
F(x) =
е* — с-? 1
—2х.
d 『 0
力(/)=风 "2«)=еТ, 我3 (分=丄
力(/)=风 "2«)=еТ, 我3 (分=丄
Тогда соотношения (2.53) примут вид
0 L х
W\(x) =
0—L 1
= е-х(1 十 ％)
1 L 0
Тогда соотношения (2.53) примут вид
0 L х
W\(x) =
0—L 1
= е-х(1 十 ％)
1 L 0
ех 0 х
%(*) =
d 0 1
=叫尤一1),
ех 1 0
/с—
0
%(*) =
eX -g一务
0
=2.
ехет
1
ех 0 х
%(*) =
d 0 1
=叫尤一1),
ех 1 0
/с—
0
%(*) =
eX -g一务
0
=2.
ехет
1
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
Из уравнения (2.54) получаем весовую функцию
к (£,(')吃(*)+ 〃2 (£) W*2 (x)~h“3 (£) % (%)(2 62)
Подставляя соответствующие величины в уравнение (2.62), получим
К© *) =(上±1)2/(2.63)
Частное решение уравнения (2.55) с начальными значениями при t — t0 имеет вид
g= \ К"，%)或工 d%・(2.64)
После некоторых алгебраических преобразований получим окончательный результат: g = e‘ [W1纟(冲十036)_^鼠_今 熙_必『[.(2.65)
Выводы
Решение неоднородного уравнения n-го порядка общего вида всегда является суммой п независимых решений однородного у равнения плюс интеграл, в который входят весовая функция и вынуждающая функция. Решение всегда может быть выражено в виде
у = с^иу (х) + с2a2 (х) + • • • + спип (х) + \ К (х, а) / (а) da. (2.66)
Ввиду линейности любая функция 卫与 или комбинация функций иг является решением однородного уравнения. Весовая функция К (尤,а) зависит только лишь от функций Ut，Функции Ui определяются порядком дифференциального уравнения и характером его коэффициентов. Они не зависят от вынуждающей функции и от начальных условий.
Система функций а〃 если она найдена, может быть использована для вычисления весовой функции. Функции а* и весовая функция ——вот все, что требуется знать для решения линейного дифференциального уравнения при любой комбинации начальных условий и произвольной вынуждающей функции.
В табл. 2.1 указаны методы, которые можно применять для решения этих уравнений. В каждом разделе эти методы перечисляются в порядке возрастания трудности их применения.
Таблица 2.1
Методы решения линейных дифференциальных уравнений,порядок которых выше первого
Однородные уравнения
А. С постоянными коэффициентами
Метод определения корней характеристического полинома
Метод преобразования Лапласа
Итерационный метод Пикара х)
Б. С переменными коэффициентами
Метод Фробениуса
Итерационный метод Пикара 1)
Неоднородные уравнения
А. С постоянными коэффициентами
Метод неопределенных коэффициентов
Метод преобразования Лапласа или Фурье
Метод вариации постоянных
Итерационный метод Пикара
Б. С переменными коэффициентами
Метод вариации постоянных
Итерационный метод Пикара
1)Итерационный метод Пнкара можно также применять для решения нелинейных уравнений. Он обсуждается в разд. 2.5.2.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [37—39]
Введение
В разд. 2.4 мы показали, что структура решения любого линейного дифференциального уравнения имеет один и тот же вид. Более того, мы располагаем систематическим методом решения любого линейного уравнения: необходимо решить отдельно однородное и неоднородное уравнения и сложить получен-
ные решения. Такими априорными сведениями относительно нелинейного уравнения мы не обладаем. Функциональный вид решения зависит не только от самого дифференциально! о уравнения, но также от вынуждающей функции и конкретно выбранных начальных условий. Каждый раз, когда мы изменяем начальные условия или вынуждающую функцию, мы должны решать нелинейное уравнение заново. Другими словами, мы не можем найти общее решение нелинейного дифференциального уравнения, из которого можно было бы получить решение при заданных начальных условиях и заданной вынуждающей функции.
Несмотря на то что для линейных уравнений справедливо свойство суперпозиции и известен общий вид решения, даже такие уравнения в случае переменных коэффициентов почти никогда нельзя решить. Пытаться же получить аналитическое решение нелинейного уравнения практически безнадежно.
Мы обсудим пять различных методов, которые можно будет использовать для решения нелинейных дифференциальных уравнений > а именно: 1) итерационный метод Пикара, 2) метод кусочно-линейной апроксимации, 3) метод возмущений, 4) метод фазовой плоскости, 5) метод описывающих функций 2). Все эти методы имеют весьма ограниченные области применения, и только итерационный метод Пикара применим ко всем нелинейным уравнениям. Метод кусочно-линейной апроксимации и метод возмущений сводят нелинейные уравнения к линейным, которые легче поддаются решению. Метод фазовой плоскости представляет собой графический метод, который можно использовать для получения решения частного вида нелинейных уравнений второго порядка. Метод описывающих функций позволяет определить, является ли синусоида приближенным решением уравнения; получить этим методом истинный вид решения нельзя.
Итерационный метод Пикара
Итерационный метод Пикара можно использовать для решения любого дифференциального уравнения, линейного или нелинейного, которое удовлетворяет условиям единственности. Рассмотрим уравнение первого порядка:
票=№，办(2.67)
Проинтегрируем обе части этого уравнения:
、黑(2.68)
В результате интегрирования получим
4 (%)=丸 + j f (а, у) det,(2.69)
где уо —— начальное значение переменной у при % = х0-
Уравнение (2.69) — эго интегральное уравнение, решение которого относительно функции у совпадает с решением уравнения (2.67). В методе Пикара используется уравнение (2.69); вначале в правую часть этого уравнения вместо у подставляется любая удобная функция, обозначаемая через у】； при этом в левой части получаем некоторую функцию у?：
У2=Уо+，/(а, Ух) da.(2.70)
Некоторые дополнительные методы рассматриваются в работе [40, стр. 335—353].
Этот метод в русской литературе обычно называют методом гармонического баланса.— Прим、ред.
Затем функцию у2 подставляют в то же уравнение и получают функцию уз：
Уз = Уо +，f (а, Упт) da.(2.71)
Процесс повторяют, так что в общем случае
Уп = Уо-г ^ f (а, Уп^ da.(2.72)
При большом п функция уп будет стремиться к функции у, удовлетворяющей уравнению (2.67), независимо от того, какая функция была выбрана в качестве У\ в начале итерационного процесса.
Пример 6. Для уравнения
囁— У У=1 при х=0(2.73)
общая формула итерации в методе Пикара имеет вид
!友(%) = 1+\【а — упт (a)] da.(2.74)
0
В качестве начальной функции у】 возьмем у】=1. Этот выбор сделан лишь из соображений удобства. Функции уп будут сходиться к правильному решению независимо от того, с какой функции мы начинаем. Тогда
92(%)=1 + g 3-l)da=l-x~\-^-,(2.75)
О
93 (x)r 1 + \a- (1-a+ ~^-) da = l -不 + 抬--,(2.76)
о
(*/@3、уЗ у4
%(%)=1+ \ a - (1-a +a2 -可-) da=l-% + x2 一费 +石.(2.77)
Эта процедура в конце концов приводит к правильному решению
p = 2L —1—尤(2.78)
Рассмотрим теперь систему уравнений первого порядка:
~ "(尤,У+ //2，-…，Уп)‘
讐=% (居玖，次，• . •，Уп),(2.79)
Тх = %("，刑，//2，* ♦ •，Уп)*
На первом шаге итерационного процесса производим вычисления по следующим формулам:
412 " Ую + \ fi (% Ун, У21, Уп1) da,
У22 = У20 + j % (а, Ун, %4,.…Ут) da,(2.80)
久0
Уп2 = Упо + \ % (а, уи, у21з • • •) Ут) da,
「де
Ufo, У21), • • •, У по一значение соответствующих，> при х0;
Уи, Ум，.. ., ^Tii — начальные приближения для получения решений yiу* Уп,//7i2 — первые итерации решений.
После m итераций получим
Ух, mt-i =，iQ 十 \ 九(电狐承)da
ко
(2.81)
Уп, п?41 У/г 0 十 \ f п (а，У\т^，/2т * Унт) &。・
Итерационный метод Пикара имеет три серьезных недостатка:
Может оказаться, что мы не сумеем проинтегрировать необходимые функции.
Скорость сходимости к правильному решению может быть очень небольшой. Насколько быстро уп стремится к правильному решению у, зависит в большой степени от того, насколько правильно выбрана первоначальная точка у〕. Чем меньше скорость сходимости, тем больше шагов требуется для получения хорошей апроксимации решения.
Решения почти всегда получаются в виде бесконечного ряда. Если этот ряд нельзя заменить некоторой известной функцией, например е", sin % и т. д., то мы сталкиваемся с той же проблемой, как и в случае использования метода Фробениуса: решение представляет собой бесконечный ряд, с которым мало что можно сделать.
По этим причинам метод Пикара удается применять довольно редко.
Метод кусочно-линейной апроксимации
Как было сказано в разд. 2.2.3, решение дифференциального уравнения может быть найдено для всей области изменения независимого переменного либо получено на системе смежных интервалов, покрывающих всю эту область. Когда уравнение решается на интервалах, то конечные значения переменных для одного интервала становятся начальными значениями переменных для следуюшего интервала. Для некоторых уравнений, нелинейных во всей области их определения, можно разбить эту область на интервалы, в каждом из которых уравнение линейно. Задача решается на каждом интервале и затем полученные решения согласовываются друг с другом, образуя полное решение. Этот процесс сведения нелинейного уравнения к системе линейных уравнений называется методом кусочно-линейной апроксимации.
Пример 7. Уравнение
將=〃力(2-82)
где
”力―J У ПРИ —8<у<10，(2.83а)
/— у 10 при //>10(2.836)
нелинейно, если его рассматривать на всем диапазоне изменения переменной t. Оно, однако, линейно на любом интервале, удовлетворяющем условиям (2.83а) или (2.836).
Выберем следующие начальные условия:
р=1 при / —0.
Решая уравнение (2.83а), получим
(2.84)(2.84)y = eL
(2.84)
(2.84)
(2.85)(2.86)(2.85)(2.86)(2.87)(2.87)Фиг. 2.1 Решение кусочно-ли- Фиг. 2.2. Простой маятник, нейного дифференциального уравнения.Фиг. 2.1 Решение кусочно-ли- Фиг. 2.2. Простой маятник, нейного дифференциального уравнения.
(2.85)
(2.86)
(2.85)
(2.86)
(2.87)
(2.87)
Фиг. 2.1 Решение кусочно-ли- Фиг. 2.2. Простой маятник, нейного дифференциального уравнения.
Фиг. 2.1 Решение кусочно-ли- Фиг. 2.2. Простой маятник, нейного дифференциального уравнения.
Уравнение (2.83а) справедливо при у V Ю. Найдем момент времени, в который у ——10:
10=et,
t = ln 10 а 2,30.
При £ = 2,30 решаем уравнение (2.836):
乡2 = 10/+4
Подставляя в качестве начального условия
y2=10 при t=2,30, находим
4= —220.
Следовательно, решение уравнения (2 82) имеет вид
y=et0<. / < 2,30,
у= 15 — 2202,30 & У 8.
Это решение приведено на рис. 2.1.
Метод возмущений〔)
Хотя метод кусочно-линейной апроксимации является точным, для определения решения надо затратить много усилий, особенно если приходится рассматривать несколько интервалов.
Если переменные, входящие в состав каждого из нелинейных членов, лишь незначительно отклоняются от некоторых номинальных значений,
то можно разложить нелинейные функции в ряд Тейлора и опустить члены с порядком выше первого. Таким образом, метод возмущений позволяет свести нелинейное уравнение к линейному.
Решение линейного уравнения будет апроксимировать решение первоначального уравнения в том диапазоне значений переменных, в котором справедлив ряд Тейлора без членов высшего порядка. Так как метод возмущений дает лишь приближение к правильному решению, то пользоваться этим методом надо весьма осторожно. Границы области изменения переменных, в которой можно применять этот метод, определяются наибольшей допустимой ошибкой.
(2.88)(2.88)Пример 8. На рис. 2 2 изображен маятник, состоящий из тяжелой точки с массой 加， прикрепленной к невесомому стержню. Уравнение движения этой системы имеет вид
(2.88)
(2.88)
Более подробно метод возмущении обсуждается в разд. 7.3.
Это нелинейное уравнение, которое можно решить, лишь используя эллиптические интегралы [41 ]. Решение получается в виде
(2-89) где
—начальное значение при E = U,
0О — значение переменной 0 при / = 0.
Однако если угол 0 мал, то можно принять следующее приближение:
sin 0 ^ 0 и уравнение (2.88) принимает вид
-^ + -^0А = О.(2.90)
Решая это уравнение, получим
0Л —С-( sin ^^ + C2cos ktt(2.91)
где
В обоих решениях (6丁 и 6厶)угол достигает максимальной величины в начальный момент. Основная неточность, вносимая апроксимацией, состоит в том, что период приближенного решения 6厶 становится независимым от начальных условий. Период же колебаний точного решения 6丁 увеличивается при увеличении угла. Это обстоятельство известно часовым мастерам со времен Христиана Гюйгенса (1659 г.) и доставляет им много хлопот.
Метод описывающих функций г)
Метод описывающих функций применяется для выяснения того, является ли синусоидальная волна приближенным решением нелинейного однородного уравнения п-го порядка. Если синус является решением, то с помощью метода описывающих функций можно определить амплитуду и частоту. Если синус не является решением, то этот метод позволяет выявить некоторые специальные условия, при которых решение будет гармоническим.
Метод описывающих функций применялся при расчете устойчивости следящих систем. Система называется устойчивой, если при произвольных начальных условиях решение стремится к постоянной величине ). В линейных однородных системах возможны три альтернативы, ни одна из которых не зависит от начальных условий. Все случаи имеют место при увеличении независимой переменной.
Решение сходится к нулю и называется абсолютно устойчивым.
Решение является колебательным и называется условно устойчивым.
Решение расходится и называется неустойчивым.
В нелинейной системе возможны все три типа устойчивости, характерные для линейной системы, и еще один тип поведения, называемый предельным циклом. (Решение нелинейной системы может сходиться как к нулю, так и к некоторой постоянной.) Предельный цикл представляет собой периодическое колебание. Однако процесс может либо сходиться к этому колебанию, либо удаляться от него в зависимости от выбранных начальных условий. Более того,
')См. работу [35, гл. 10]. Этот метод был обобщен на статистические задачи Р・ К- Бутоном. Описание его работы приведено в [39, стр. 213—271].
могут иметь место два или большее число различных предельных циклов. В этом случае предельный цикл, по которому будут проходить колебания, зависит исключительно от начальных условий.
Метод описывающих функций можно применять только в тех случаях, когда удовлетворяются некоторые условия.
В системе уравнений
栗=九(刑，^，х)
(2.92)
鹄=卜例,Уn, х)
все функции 力(yi, у?, Уз, •・•> Уп^ 尤)，за исключением одной, должны быть линейными по переменным у/. Единственная функция, являющаяся исключением, должна иметь вид
需= 〃3т)・(2.93)
Кроме условия, что функция 力 зависит лишь от одной переменной у/, на нее накладываются следующие ограничения:
Если уп-1 синусоида, то fj (yn-i) обладает тем же периодом, что и у^т.
При анализе учитывается лишь первая гармоника разложения в ряд Фурье функции fj(Уп—i). Следовательно, fj (yn~i) считается синусоидальной волной того же периода, что и у九_「
Используя терминологию теории следящих систем, эти ограничения можно выразить следующим образом:
В заданной системе имеется только одна нелинейность.
Нелинейность имеет только один вход, сигнал на ее выходе ни в коей мере не определяется независимой переменной, т. е. нелинейность является устройством без памяти.
Если на вход нелинейности подается синусоидальный сигнал, то выходной сигнал является периодическим и имеет тот же период, что и входной сигнал.
При анализе системы рассматривается только первая гармоника сигнала на выходе нелинейности.
Наиболее легко получить решение графически с помощью диаграммы Найквиста. Основное преимущество этого метода состоит в том, что его можно использовать для анализа системы любого порядка.
Метод обладает следующими основными недостатками:
Метод дает приближенное решение, так как учитывается только первая гармоника сигнала на выходе нелинейности. Удобного метода определения ошибки приближенного решения не существует.
Поведение системы анализируется только в связи с существованием колебательного режима. Даже когда колебания имеют место, метод не позволяет определить процесс их установления.
Относительно системы, которая не находится в режиме колебаний, метод дает очень мало информации. Этим методом нельзя получить решение при произвольных начальных условиях и произвольной вынуждающей функции.
2.5.6. Метод фазовой плоскости ')
Метод фазовой плоскости является графическим методом, с помощью которого можно вычертить график зависимости между искомой пере-
Работа [42]— классический учебник по этому вопросу. Содержание его изложено очень ясно и основательно. См. также работу [35, гл. 11].
менной и ее первой производной. Этот график используется для получения решения системы второго порядка при любых начальных условиях.
Уравнение второго порядка можно записать в следующем виде:
(2.94)(2.95)(2.94)(2.95)^ = Р(х，У)，
(2.94)
(2.95)
(2.94)
(2.95)
4bQ(x，у) или
где С — постоянная.
В этих уравнениях явно выступают два ограничения на дифференциальное уравнение, которые можно решать рассматриваемым методом:
Ни одна из величин 尸，Q, а, Ь не зависит явно от независимой переменной.
Не может быть другой вынуждающей функции, кроме постоянной С.
Анализ уравнений (2.95) методом фазовой плоскости производится в таком порядке:
Введя обозначение у = dxldt, перепишем уравнение (2.95) следующим образом：
(2.96)(2.97)(2.98)(2.96)(2.97)(2.98)辞 + а (х, у) у + b (х, у) х = С.
(2.96)
(2.97)
(2.98)
(2.96)
(2.97)
(2.98)
Разделив обе части на у, получим
手=黑='一(芻 У)一 ь(X,呜+ 3
так как
dy dy dxdt — dx dt — dyу — dx dx '
Если на фазовой плоскости вычерчивать кривую у в зависимости от х, так что при любых значениях переменных хну наклон кривой dy Idx удовлетворяет уравнению (2.97), то 尤 и у являются решениями уравнений (2.94) или (2.95).
Чтобы облегчить вычерчивание фазовых траекторий, сначала строят семейство изоклин (линий постоянного наклона). Изоклины определяются уравнением dyIdx = k. Если, например, dyIdx ———1, то эта изоклина отмечается на графике индексом ——1. Через точки этой изоклины проводят пересекающие ее отрезки, наклон которых х ар актер изуется индексом этой изоклины, в данном случае равным ——1. Аналогичным путем можно рассчитать и построить другие изоклины. Имея изоклины, можно ле! ко построить фазовый портрет для любых начальных условий.
Таким путем получают непосредственно соотношение мс;кду зависимой переменной х и ее первой производной у = dx/dt. Обычно интересуются графиком переменной х в зависимости от независимой переменной Л Его можно также получить путем соответствующей обработки этой кривой. Время £ определяется интегралом В
\}dx,(2.99)
где t ——время, за которое изображающая точка проходит от х【до х2.
В заключение перечислим основные свойства метода фазовой плоскости.
Время также можно получить графически [35].
Преимущества
Как только определены изоклины, можно получить графическое решение при любых начальных условиях.
Недостатки
Уравнение должно быть второго порядка, причем вынуждающая функция должна либо равняться нулю, либо быть постоянной. Члены уравнения не могут быть функциями независимой переменной.
Графическое решение является приближенным. Ошибка уменьшается при увеличении числа изоклин.
Между прочим, заметим, что фазовый портрет системы легко получить на АВМ. В результате этого метод изоклин в большинстве случаев заменяется решением задачи на АВМ, с помощью которой фазовые портреты получаются гораздо легче.
2.5.7. Выводы
Линейное дифференциальное уравнение решается в два этапа. На первом этапе находятся независимые решения однородного уравнения и весовая функция, а затем при любых начальных условиях и вынуждающей функции можно найти точное решение. При решении нелинейных уравнений нельзя получить никакого частичного решения, если не известны точные начальные условия и вынуждающая функция. Различные методы решения дифференциальных уравнений перечислены с соответствующими примечаниями в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Метод
Примечания
1. Итерационный метод Пикара
Метод годится в принципе для решения любого нелинейного уравнения. Однако довольно часто не может быть выполнено необходимое интегрирование. Решение в пределе является точным
2. Метод кусочно-линейной апро- ксимации
Этот метод годится лишь в случае, когда диапазон изменения независимой переменной можно разбить на интервалы, на каждом из которых нелинейное в целом уравнение сводится к линейному. Решение является точным
3. Метод возмущений
Этот метод имеет широкое применение для решений нелинейных уравнений. Уравнение линеаризуют, исходя из тою, что некоторые величины меняются мало. Решение является приближенным
4. Метод описывающих функций
Этот метод определяет, при каких условиях синусоида является приближенным установившимся решением. Метод годится для решения уравнения любого порядка, имеющего только одну нелинейность особого вида
5. Метод фазовой плоскости
Это графический метод, дающий приближенное решение 乃ля одного типа уравнений второго порядка
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ АВМ
Введение
В ходе обсуждения аналитических методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и особенно нелинейных дифференциальных уравнений стала очевидной важная роль, которую должны играть вычислительные машины. Для решения почти всех дифференциальных уравнений необходимы аналоговые или цифровые вычислитель}!ые машины. В этой главе мы обсудим три основных метода составления программ для решения дифференциальных уравнений на ABM: 1) общий метод, 2) метод канонической формы и 3) метод вспомогательной переменной. Мы рассмотрим условия, при которых может быть использован каждый метод.
Затем мы покажем, как с помощью АВМ можно получить нормализованную систему решений линейного дифференциального уравнения. Эту систему решений можно использовать для нахождения решения при произвольных начальных условиях. Одной из функций нормализованной системы является весовая функция, значение которой обсуждалось в разд. 2.4, где изложены свойства линейных дифференциальных уравнений. Если на АВМ запрограммировано само дифференциальное уравнение, можно получить лишь дискретную апроксимацию его весовой функции, являющейся непрерывной функцией. Однако если решать сопряженное дифференциальное уравнение, то можно получить точную весовую функцию. Методы, основанные на применении сопряженных уравнений, находят широкое применение при решении дифференциальных уравнений. Мы покан<ом, как составляется сопряженное уравнение, и дадим несколько простых правил его программирования.
Мы закончим главу исследованием линейной краевой задачи. В то время как задача Коши для случая линейного дифференциального уравнения всегда имеет единственное решение, этого нельзя сказать о краевой задаче. Следовательно, задачу Коши всегда решить легче. Мы покажем, как, используя нормализованную систему решений, можно определить, существует ли решение, а затем найти начальные условия, которые ему соответствуют.
Общий метод
Дифференциальные уравнения первой степени программируются на АВМ довольно просто. Так как для любого такого уравнения, линейною и нелинейного, используется один и тот же метод, мы рассмотрим только простейший случай, а именно линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Предположим, что нам необходимо запрограммировать следующее уравнение:
^1 +4事+的y ='(")，(3」)
В качестве первого шага приравняем производную высшего порядка остальной части уравнения:
^^ = —а{黑—ад-г f О(3.2)
4 Л, Левин
Затем, считая, что производную dy/dt2 мы имеем, соединим последовательно достаточное число интеграторов для получения производной нулевого порядка (рис. 3.1) 1).
С помощью структурной схемы программы решения уравнения, изображенной на рис. 3.1, можно получить все производные переменной у, которые входят в правую часть уравнения (3.2). На следующем шаге надо умножить каждую из этих производных на соответствующий коэффициент, затем сложить
Рис. 3.1. Общий метод; первый шаг программирования уравнения (3.1).
полученные результаты и добавить вынуждающую функцию. В результате получим схему, изображенную на рис. 3.2.
В соответствии с уравнением (3.2) выход усилителя 4 равен входу интегратора 1. Следовательно, если соединить эти точки, контур замкнется и АВМ начнет решать уравнение (3.1). Чтобы закончить программирование, необходимо задать начальные условия на интеграторы / и 2. Окончательный вид
Рис. 3.2. Общий метод; промежуточный шаг программирования.
структурной схемы программы решения уравнения на АВМ показан на рис. 3.3 2).
Так как при составлении программы наша основная задача сводилась к тому, чтобы с наибольшей ясностью проиллюстрировать процесс программирования, то полученная программа содержит лишний усилитель 3. Его можно устранить, если соединить выход потенциометра / непосредственно со входом интегратора 4, минуя усилитель 3, Однако в этом случае мы не сможем считывать величину d%/d/2, так как при таком соединении она не будет выходом ни одного из элементов машины.
Таким же образом составляется программа для решения уравнения /2-го порядка. В этом случае последовательность шагов будет такова:
Производная высшего порядка приравнивается остальной части уравнения.
На структурной схеме изображаются последовательно соединенные интеграторы, число которых равно порядку уравнения.
Допустим, что мы располагаем производной высшего порядка и подаем ее на вход первого интегратора. Тогда на выходах интеграторов мы будем иметь зависимую переменную и ее первые " — 1 производные.
Из выходных величин этих интеграторов и вынуждающей функции образуется выражение, равное производной высшего порядка.
Контур замыкается путем подачи этой величины на вход первого интегратора.
Соответствующим интеграторам задаются начальные условия. Каждое начальное условие появится на выходе соответствующего интегратора. Из изложенного в разд. 2.2.3 следует, что если на вход каждого интегратора задано определенное начальное условие, то решение будет единственным.
Р и с. 3.3. Структурная схема программы решения уравнения (3.1) на АВМ, составленная по общему методу.
/С — начальные условия.
Общий метод программирования был предложен Кельвином, который впервые изложил его в своем докладе Королевскому обществу в 1876 г. [16]. Кельвин начинает свой доклад с утверждения, что уравнение вида】)
/[誌)藥]j(3-3)
может быть решено методом последовательных приближений:
(3.4)
Уп.= \р (а) (с— ] yn^d^ da.оо
Такой способ решения представляет собой видоизмененный итерационный метод Пика ра, где yQ — любая удобная функция, а начальными условиями являются у = 0 при х = 0. Кельвин показал, как механический интегратор (с диском и шариком), сконструированный его братом, может быть использован для выполнения итераций. Далее он писал:
«Дойдя до этого этапа исследований, я был удовлетворен, чувствуя, что достиг того, что мне хотелось сделать в течение многих лет. Но затем я обнаружил приятный сюрприз. Между функцией, вводимой в машину, и функцией,
В статье Кельвина имеется ошибка. Уравнение (3.4) справедливо, когда уравнение (3.3) имеет вид
dx L р(%) dx J —小
выдаваемой ею, существовало полное согласие. Это привело меня к заключению, которое было совершенно неожиданным и, мне кажется, особенно замечательным: дифференциальное уравнение второго порядка общего вида с переменными коэффициентами может быть решено машиной строго, непрерывно и в ходе одного процесса...»
Рис. 3.3 иллюстрирует одну из наиболее полезных характеристик аналоговой вычислительной машины. Зависимая переменная у, ее производные, а также суммы этих величин проявляются одновременно в виде напряжений, которые легко измерить 】).Обратите внимание на то, что переменная // и ее производные всегда появляются на выходах интеграторов, а также на то,
Рис. 3.4. Первый шаг программирования уравнения (3.5) по общему методу.
что на схеме обозначены величины на входе и выходе каждого элемента, а каждый элемент машины определяется своим номером. Введение таких обозначений при программировании уменьшает число ошибок и облегчает работу на машине.
При решении задачи АВМ находится в одном из трех режимов: исходном состоянии, режиме решения или режиме фиксации [43, стр. 500——501 или 44, стр. 43——44]. В исходном состоянии напряжения на выходах интеграторов имеют начальные значения и входы интеграторов отсоединены. Из исходного состояния машину можно перевести в режим решения, в котором входные цепи интеграторов замкнуты и машина решает задачу при возрастании независимой переменной ——времени ). Из режима решения машину можно перевести в режим фиксации. При этом процесс прерывается отключением входов интеграторов, а на выходах усилителей сохраняются напряжения, имевшиеся там в момент фиксации. Этот режим особенно полезен в том случае, если нас интересуют некоторые зависимые переменные при определенных значениях независимой переменной. Из режима фиксации можно перейти либо в режим решения, либо в исходное состояние. Можно также перейти в исходное состояние и из режима решения. Режим фиксации может быть также использован, когда мы хотим остановить процесс решения для изменения или масштаба (см. гл. 7), или некоторых параметров (см. гл. 8).
Пример 1. Дано уравнение
需+ 2(罂(3.5) с начальными условиями при / ~ 0
Запрограммируем это уравнение по общему методу.
Шаг /. Приравниваем производную высшего порядка остальной части уравнения (3.5):
Шаг 2. Рисуем структурную схему с двумя каскадно соединенными интеграторами (рис. 3.4).
Шаг 3. Предполагаем, что на вход интегратора / подается d?yld伊,и обозначаем выходы интеграторов соответствующим образом.
Шаг 4. Образуем члены правой части уравнения (3.6).
Шаг 5. Подаем все эти члены на вход интегратора 1.
Шаг 6. Задаем начальные условия.
Структурная схема программы решения уравнения на ЛВМ для шагов 4——6 показана на рис. 3.5.
При составлении схемы мы предполагаем, что у нас есть функция e~L Возможные способы образования этой функции на АВМ рассматриваются в гл. 5. (Заметьте, что сумма трех входных величин интегратора / равна производной ”〃川.)
/С — начальные условия./С — начальные условия.
/С — начальные условия.
/С — начальные условия.
(3.7)(3.7)Другое применение общего метода. В равной степени общий метод применим и в том случае, когда подлежащая программированию задача задана системой уравнений первого или более высокого порядка. Составление программы решения системы уравнений
(3.7)
(3.7)
瞥=%(火,%)
начнем с того, что предположим известными производные первого порядка dyX/dt и 山/2/d厶 которые мы однократно интегрируем.
Затем, используя переменные 班 н % в качестве входных величин, образуем функции 〃(Di, %) и % (Di, У2)・ Выходные величины этих функциональных блоков fx и % подаются на входы интеграторов; выходными величинами интеграторов являются переменные ух и ^2, которые и должны замкнуть контуры. Набор задачи завершает введение начальных условий. Составляя программу для системы уравнений
物 1 〃 dy2 n
d2P2 I 蓟/2 d/2 十 ％d2P2 I 蓟/2 d/2 十 ％+ % sin t —尤=+ % sin t —尤=e~l.e~l.(3.8)(3.8)
d2P2 I 蓟/2 d/2 十 ％
d2P2 I 蓟/2 d/2 十 ％
+ % sin t —尤=
+ % sin t —尤=
e~l.
e~l.
(3.8)
(3.8)
■^ + Di + D2 = °
с начальными условиями yx (0), У2 (0), ^2(°), ^з (0), действуем следующим образом:
dt 一dt 一Шаг 1. Приравниваем в каждом уравнении производную высшего порядка остальной части уравнения:
dt 一
dt 一
(3.9а)
需=喏一%sin/十居，(3.96)
■^ =—一^2-(3.9в)
Шаг 2. Предполагаем, что производные высшего порядка в уравнениях (3.9а) — (3.9в) существуют. Вводим последовательно соединенные инте-
Рис. 3.7. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения (3.8)./С — начальные условия.Рис. 3.7. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения (3.8)./С — начальные условия.
Рис. 3.7. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения (3.8).
/С — начальные условия.
Рис. 3.7. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения (3.8).
/С — начальные условия.
Рис. 3.6. Первый шаг программирования системы дифференциальных уравнений (3.8) по общему методу.
граторы в количестве, достаточном для получения в каждом случае производной нулевого порядка (рис. 3,6).
Шаг 3. Образуем выражение, стоящее в правой части уравнения (3.9а), и подадим его на вход интегратора 1, Члены правой части уравнения (3.96)
подаются на вход интегратора 2, а члены правой части уравнения (3.9в)— на вход интегратора 4. Окончательная структурная схема программ решения с начальными условиями показана на рис. 3.7.
Программирование при наличии ограничений на вынуждающую функцию. Общий метод программирования пригоден для всех уравнений, для которых известна вынуждающая функция. Однако встречаются задачи, когда нужно программировать уравнение вида
dny d"Ty 1 , dy .
詔+ +а°У =
"dmx " dm~x , I人d尤 人 ZQ , пЧ =^m 位^ + ЬтТ Z/m—T + +"冬+瓦居 (3」0)
где вынуждающая функция состоит из переменной х и ее производных dx/dZ, ... ..сГ'х !dtn\ но мы располагаем только переменной х. Такая ситуация часто возникает в задачах, связанных с исследованием следящих систем. Для системы, в которой переменная х является вынуждающей функцией (вход), у —— зависимой переменной (выход), а коэффициенты а и 6 ——постоянные, уравнение (3.10) представляет собой цепь упреждения ——запаздывания. Когда п = 0, уравнение представляет цепь упреждения; когда ш = 0, уравнение является цепью запаздывания.
Так как в АВМ используются интеграторы, но нет дифференциаторов > у нас нет возможности получить производную непосредственно. В этом случае общий метод непригоден и мы должны искать другие пути программирования задачи. Для этого можно воспользоваться методом канонической формы или методом вспомогательной переменной. Оба метода требуют выполнения неравенства m^Ln. Более того, для метода вспомогательной переменной коэффициенты 出 и 仇 должны быть постоянными ).
Метод канонической формы )
Чтобы упростить наши рассуждения, введем оператор дифференцирования р, определяемый соотношением)
Аналогично
пр^ем,〃 dmy
р У = "ТТйГ .
Оператору дифференцирования соответствует оператор интегрирования
р” = \ i ] da,
о
причем£
рТу = \ У (a) da.
О
Таким образом, оператор р~т ~ это m-кратный интеграл, а именно
%『q+l хт芯4 亭 Л-2
二 \ \\ \ \ У dXi dx2- • -dxm.
000 0 0
Если начальные значения функции под знаком оператора и ее производных до определенного порядка равны нулю, то
Для иллюстрации этого метода используем следующее уравнение второго порядка:
左^十Qi累+ 0。"-仇霄+瓦尤.(3.11)
В операторных обозначениях уравнение (3.11) принимает вид
Р2y + Мру-i- Qo" = bipx + 瓦尤.(3.12)
Как и в общем методе, мы начинаем с приравнивания производной высшего порядка остальной части уравнения
р2y 亠仇/〃 — a^py + box — Qo“.(3.13)
Уравнение (3.13) с постоянными коэффициентами можно переписать в виде р-у = р(6]尤—〃1")-卜仇尤—^оУ•(3.14)
Затем дважды интегрируем обе части этого уравнения. В операторной форме это равноценно умножению обеих частей уравнения на оператор ^-2. В результате получим уравнение
万("" 一Qi")十青(瓦尤一a0“)，(3.15)
Составление структурной схемы программы решения уравнения мы начинаем с последовательного соединения интеграторов, число которых равно порядку дифференциального уравнения, в данном случае двум. Выходная
Р и с. 3.8. Первый шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
величина последнего интегратора обозначается через у, а переменная х изображается на входе и рассматривается неподсоединенной. Этот шаг отражен на рис. 3.8. Уже здесь видно существенное различие между методом канонической формы и общим методом. В первом случае мы исходим из допущения, что на выходе последнего интегратора имеется производная нулевого порядка. В общем методе мы исходим из допущения, что на входе первого интегратора имеется производная высшего порядка.
Составляя программу методом канонической формы, мы должны удовлетворить допущению, что функция у существует. Этого можно достичь, обеспечивая появление на выходе интегратора 2 каждого члена из правой части уравнения (3.15).
Рассмотрим сначала члены с переменной у. Чтобы полупить ——(1 /р) Q]〃， мы должны взять выходную величину у, умножить ее на коэффициент 仪厶 а затем произвести над а^у такую операцию, чтобы после однократного интегрирования необходимое нам выражение появлялось на выходе интегратора 2. Этот шаг отражен на рис. 3.9.
Затем для получения на выходе —— (1 /р?) aQy мы должны взять предполагаемую величину у с выхода интегратора 2 и проинтегрировать се дважды, прежде чем сигнал снова поступит на выход интегратора 2. Результат показан на рис. 3.10. Мы повторяем те же операции с членами, содержащими %. Выраже-
ния (1 /р) Ь^х и (1 /р2) Ь()х получаются соответственно однократным и двукратным интегрированием переменной х к моменту прихода сигнала на выход интегратора 2. Окончательный результат иллюстрируется рис. 3.11.
Рис. 3.9. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.Рис. 3.9. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
Рис. 3.9. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
Рис. 3.9. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
Метод канонической формы и начальные условия. Начальные условия задачи представляют собой значения зависимой переменной у и се производных. Наиболее удобно при программировании задачи устанавливать эти начальные
Ф и г. 3.10. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.Ф и г. 3.10. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
Ф и г. 3.10. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
Ф и г. 3.10. Промежуточный шаг программирования уравнения (3.11) по методу канонической формы.
условия на выходах интеграторов. В общем методе это не вызывает никаких затруднений, так как выходными величинами интеграторов являются также переменная у и ее производные. В методе канонической формы дело обстоит
иначе, если не считать интегратора с выходной величиной у. Из структурной схемы на рис. 3.11 видно, что выходом интегратора 2 является переменная уу начальное значение которой известно. Однако выход интегратора 1 представляет выражение (1/р) (а()у—— b()x), начальное значение которого необходимо вычислить. Мы достигаем этого путем однократного интегрирования уравнения (3.14) и перестановки членов, в результате чего получаем
万（的"一瓦 工）—（儿Хa1"） 一 pУ万（的"一瓦 工）—（儿Хa1"） 一 pУ(3.16)(3.16)
万（的"一瓦 工）—（儿Хa1"） 一 pУ
万（的"一瓦 工）—（儿Хa1"） 一 pУ
(3.16)
(3.16)
Начальные значения всех членов в правой части этого уравнения известны. Следовательно, можно вычислить начальное значение выходной величины интегратора ]. В случае уравнения более высокого порядка можно проделать подобную операцию для вычисления начальных значений, задаваемых на другие интеграторы. Однако существует более простой метод, изложение которого мы отложим до примера 3 гл. 4.
В разд. 4.3 мы также покажем, что ввиду отсутствия производных переменной х в схеме, изображенной на рис. 3.11, можно получить все члены, из которых составляются первые (几——m) производных функции у из уравнения (3.11). Для уравнения п-го порядка без производных в правой части из программы, составленной по методу канонической формы, мы можем извлечь все первые п производных зависимой переменной.
Пример 2. Дано уравнение
需十3#+创= 0,5第+ 2"需十3#+创= 0,5第+ 2"(3.17)(3.17)
需十3#+创= 0,5第+ 2"
需十3#+创= 0,5第+ 2"
(3.17)
(3.17)
причем мы располагаем переменной 尤，но производная dx/dt отсутствует. Реш им его относительно переменной у. По общему методу это уравнение запрограммировать нельзя.
Сначала запишем уравнение (3.17) в операторной форме и приравняем производную высшего порядка остальной части уравнения
(3.18)(3.18)р2y=о,5рх -I- 2% — 4P — Зру.
(3.18)
(3.18)
Интегрируя дважды, получим
(3.19)(3.19)y=万(0,5% - зу) +词(2%-4g).y=万(0,5% - зу) +词(2%-4g).Следуя изложенной методике, допустим, что мы располагаем переменными хну, причем цепь % не подсоединена к другим блокам, а переменная у реализуется на выходеСледуя изложенной методике, допустим, что мы располагаем переменными хну, причем цепь % не подсоединена к другим блокам, а переменная у реализуется на выходеинтегратора 2. Используя обе эти величины, мы воспроизводим на выходе интегратора 2 все ч^ены правой части уравнения (3.18). Соответствующая структурная схема дана на рис. 3.12.интегратора 2. Используя обе эти величины, мы воспроизводим на выходе интегратора 2 все ч^ены правой части уравнения (3.18). Соответствующая структурная схема дана на рис. 3.12.
(3.19)
(3.19)
y=万(0,5% - зу) +词(2%-4g).
y=万(0,5% - зу) +词(2%-4g).
Следуя изложенной методике, допустим, что мы располагаем переменными хну, причем цепь % не подсоединена к другим блокам, а переменная у реализуется на выходе
Следуя изложенной методике, допустим, что мы располагаем переменными хну, причем цепь % не подсоединена к другим блокам, а переменная у реализуется на выходе
интегратора 2. Используя обе эти величины, мы воспроизводим на выходе интегратора 2 все ч^ены правой части уравнения (3.18). Соответствующая структурная схема дана на рис. 3.12.
интегратора 2. Используя обе эти величины, мы воспроизводим на выходе интегратора 2 все ч^ены правой части уравнения (3.18). Соответствующая структурная схема дана на рис. 3.12.
Метод вспомогательной переменной
В сравнении с методом канонической формы метод вспомогательной переменной имеет один основной недостаток: как коэффициенты о,, так и коэффициенты Ьг дифференциального уравнения должны быть постоянными. Однако в задачах, где требуется найти производные, программа, составленная по методу вспомогательной переменной, может оказаться на практике более удобной. Эти производные здесь получить легче, чем в программе, составленной по методу канонической формы.
Проиллюстрируем метод вспомогательной переменной, снова воспользовавшись уравнением (3.11). Начнем с введения вспомогательной переменной ykj
которая является решением следующего уравнения:
卩2^力」%p?h + 〃oD左=x・(3.20)
Сначала умножим обе части этого уравнения на bQ:
Ь^ук + Ъ^рук + Ь^ук = bQx,(3.21)
затем продифференцируем уравнение (3.20) и результат умножим на 匕入 Это равносильно умножению на Rp. Тогда получим
biP (6^)+ 方山(Q/勿)+ 仇Р (的痂)=bw・(3.22)
Теперь сложим уравнения (3.21) и (3.22) и сгруппируем члены:
(九0 十 篇)02^ + ("0 + %)(aipyk) + (仇0 + 瓦)aQyk =:仇з十 bQx. (3.23)
Так как коэффициенты 出 и & —— постоянные, можно изменить порядок операций и переписать уравнение (3.23) в следующем виде:
p2 [(Ь^p + 仇)yh] + 的。Kap十仇)yk] + 0о[("p + m)以]=仇兴十 V- (3.24)
Для сравнения снова запишем уравнение (З.Н):
照/ + Qi网/ 4- аоу = b^px 4-仇力・(3.25)
Заметим, что два последних уравнения равносильны при условии
У -(6ip + 6o) У^(3.26)
Это уравнение связывает зависимую переменную у, которую мы хотим найти, с вспомогательной переменной у^, которую легко найти, используя для программирования уравнения (3.20) общий метод. Более того, простым дифференцированием обеих частей уравнения (3.26) можно найти соотношение между любой производной функции у и производными переменной у&. Соотношение между переменными в общем виде можно записать в такой форме:
РТУ 二(dp -I- ь仆 рТук 二“严切А + bopryk.(3.27)
Необходимо отметить, что 少。и ，】являются коэффициентами уравнения (3.11) при переменной % и ее производной рх. В общем случае для уравнения
£ 的「切=』仇「％(m<n)(3.28)
『0t=0
уравнение для вспомогательной переменной имеет вид
У а^ук = х.(3.29)
Следовательно,
У = g bip^k(3.30)
и
pry= 2 b^yh.(3.31)
Чтобы получить у, сначала по общему методу составляем программу для уравнения (3.20). Окончательная структурная схема показана на рис. 3.13, где она заключена в прямоугольник. Теперь мы располагаем переменной yh и ее первыми двумя производными. Для получения у суммируем у^ и ее первую производную так, чтобы удовлетворялось уравнение (3.26). Последнее изображено на рис. 3.13 пунктирными линиями. Как показано на схеме, выходная величина усилителя 5 представляет собой переменную ——у.
Подставляя в уравнение (3.27) значение 厂=1, можно также получить производную ру. Обратите внимание на то, что сумма входных величин интегратора 7 является производной 02y左.Если бы мы захотели получить производную р2协 нам потребовалась бы производная рЗу& которой мы не располагаем. Таким образом, производная ру является наивысшей производной функции у, которую мы можем получить. В общем случае наибольшее чиc^o производных функции 协 которое можно получить при использовании метода вспомога гельной переменной, ограничено высшей производной переменной 第
Фиг. 3.13. Структурная схема, составленная по методу вспомогательной переменной.
Часть схемы, заключенная в прямоугольник, является программой для решения уравнения (3.20). Ответвления, показанные пунктиром, требуются для получения решения уравнения (3 13).
в вынуждающей функции. Это видно на примере уравнения п-го порядка (3.28) с производной m-го порядка переменной %. Как показывает уравнение (3.29), высшая производная переменной yh также имеет н-й порядок. Уравнение (3.31) ставит в соответствие производной от функции у сумму производных переменной у&. Порядок высшей производной переменной yk в этом уравнении равен m -[- г. Высшей производной переменной у&, которой мы располагаем в машине, является производная р^у互；отсюда следует, что мы не можем получить гчо производную, если не выполняется неравенство
m Ч- г < п
или
г&п — т.
Этим нам приходится расплачиваться за то, что мы избегаем дифференцирования переменной х. Каждое дифференцирование переменной х, которого мы избежали, уменьшает на единицу число производных функции у, которые мы можем получить.
Начальные условия. Как и в методе канонической формы, мы сталкиваемся здесь с той же задачей: начальные условия заданы для переменной г/ и ее производных, а выходными величинами интеграторов являются переменная yk и ее производные. В случае структурной схемы, изображенной на рис. 3.13, мы можем получить начальные условия для переменной "在 и производной pyk из системы уравнений
Ь].рУк -卜 bo"左 ~ У,
Ь\Р2yh+ЬдУк = W(3.32>
р^Уh -卜 ^1руh +а0"在 ~ %，
Подставляя в эту систему начальные значения функций 协 ру и х, находим начальные значения переменных у左 и pyk х).
Из этой системы можно также найтн начальные значения для р2y左，но вводить их в АВМ не требуется.— Прим. ред.
Для уравнения л-го порядка, имеющего вид уравнения (3.28), начальные условия определяются решением системы уравнений
2 bipi+hyh^- р!у, 丸=0, 1Т ...,几=];п уравнений,
亍(3.33)
2 GjpJ+ry^ = г 0, 1, . ..,1; т уравнений
3 =0
относительно переменной yh и ее первых п ——1 производных. Число совместных уравнений, которые необходимо использовать для получения начальных значений, определяется следующим образом:
Число совместных уравнений = Порядок дифференциального уравнения (п) + Порядок высшей производной в вынуждающей функции (т).
В случае системы высокого порядка определение численных значений начальных условий связано со значительными трудностями.
(3.34)(3.34)Пример 3. Дано 'равнение
(3.34)
(3.34)
Z" 一 7"叁十5而十2广1,53,2n一4,阮
с начальными условиями при t 二一 0:с начальными условиями при t 二一 0:dy dtd2y 山2dy dtd2y 山22,4;2,4;8；8；% = 3,3;Im% = 3,3;Im16.16.
с начальными условиями при t 二一 0:
с начальными условиями при t 二一 0:
dy dt
d2y 山2
dy dt
d2y 山2
2,4;
2,4;
8；
8；
% = 3,3;
Im
% = 3,3;
Im
16.
16.
Уравнение запрограммировано по методу вспомогательной переменной; мы хотим найти начальные условия для переменной у^ и ее производных.
Для уравнения (3.34)
м = 3,"1 = 2.
Следовательно, для решения дифференциального уравнения относительно у^ требуются три начальных условия и нам нужно иметь пять уравнений для их отыскания. Согласно уравнениям (3.33), эти уравнения имеют вид
L5p2№~3,2p^ —4,8(/^ = 1,
1，5p3g在-3,2p2D在一4,8〃g在=2,4,
1,5р4!е — 3,2рЗу^ — 4,8р2у^ = 8,(3.35)
Р* — 7P2^ + 5pyk + 2以=3,3,
p4y& 一 7рЗр& -|- 5炉 吸 4- 2р№ = 6,5.
Следуя правилам решения системы линейных алгебраических уравнений, мы получим в качестве начальных условий такие значения:
у 在=0,4383
(3.36)(3.36)PDk = °,4976卢勿=1,0077
(3.36)
(3.36)
НОРМАЛ ИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
В разд. 2.4 мы упоминали, что линейное уравнение вида
£ a"/)P% = g(/)(3.37)
имеет решение
У (0 = 2 c*j (/)十 \ К (/, a) g (а) da,(3.38)
3= 1
где /0 — начальное значение переменной /, а коэффициенты с3 — постоянные, значения которых определяются начальными условиями.
Мы показали, что если известна линейно независимая система решений 勾(')，/ = 1, 2,..., п,
однородного уравнения, то можно найти весовую функцию К (/, а). К сожалению, если один или несколько коэффициентов а? в уравнении (3.37) не постоянны, то найти все решения Uj почти невозможно, а без них мы не сможем определить весовую функцию.
С помощью АВМ нельзя найти аналитические выражения, однако можно получить графики п линейно независимых решений и весовой функции. Все эти величины можно определить путем (п + 1)-кратного выполнения программы. С помощью этих п + 1 графиков можно построить решение для уравнения (3.38) при любых начальных условиях и произвольной вынуждающей функции. По этой причине мы называем эти графики нормализованными решениями дифференциального уравнения.
Мы отложим обсуждение весовой функции до следующего раздела, так как это является особой задачей, а сейчас рассмотрим метод получения графических решений для однородного уравнения вида
$а”д = 0.(3.39)
Для упрощения анализа будем использовать следующие обозначения:
o^yS) —— начальное условие величины ап для п-й производной функции у.
2)，將(/)——решение (у) уравнения (3.39), соответствующее начальному условию у"% т. е. решение при a7t = 1, а」=0, если j ^ п. Вообще символ /(9)(/) обозначает д・ю производную решения, соответствующего единичному начальному условию для п-й производной при нулевых начальных условиях для остальных производных.
Предположим, что для уравнения (3.39) заданы начальные условия а0^(0\ а") . . ., о^туи-ь. Тогда решение как функция этих начальных условий выразится следующим образом:
// = %(a0*> +a也(1>+. .. I %_田?).(3.40)
Как показано в разд. 2.3.3, влияние начальных условий можно учитывать раздельно:
У = (ОН 5片)(/)十。…霏 f (/)•(3.41)
Уравнение (3.41) показывает, что система из 孔 решений, каждое из которых является функцией только одного ненулевого начального условия^ составляет полную систему линейно независимых решений уравнения (3.39) г).
На машине эти решения получить довольно просто. Уравнение (3.39) программируется. Затем оно решается, причем все условия нулевые, за исключением одного. Ненулевое начальное условие равно единице. На выходе интегратора, который соответствует переменной у, будем иметь решение, отвечающее этим начальным условиям. Если бы, например, ненулевое начальное условие было 严* то решением была бы функция
У = /『(/)•(3.12)
Производя n-кратное решение задачи, каждый раз с другим ненулевым начальным условием, мы получим полную систему независимых решений. После этого в соответствии с уравнением (3.41) можно найти решение при любой комбинации начальных условий, единичных или ыеединичных.
Такая система из 几 решений f) 〃 = 0,..几 —— 1) называется нормальной фундаментальной системой решений (см. [150]).— Прим. ред.
Эта методика может быть распространена и на случай, когда требуется получить выражение для производных переменной у в нормализованном виде. Если мы хотим выразить производную d「y/d/r в нормализованном виде, то, дифференцируя уравнение (3.41), получим
醬=询惨；(0 卜 а丿羽(/)十.• • + а“-/7").(3.43)
Нормализованные величины в уравнении (3.43) получаются таким же образом, как и в уравнении (3.41). Единственное различие заключается в юм, что при тех же начальных условиях вместо переменной у записывается переменная dry/dt7.
ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ】)
Весовая функция К (/, а) есть решение неоднородного дифференциального уравнения [45, стр. 144]：
2 arpry=8(t—a),(3.44)
причем все начальные условия нулевые, а 6 (/ ——а) является дельта-функцией ).
Точно смоделировать дельта-функцию нельзя. Однако однородное уравнение
S агрту = 0(3.45)
0
с начальными условиями агуг (г = 0, 1, . . м— 1), где
{
0 при г 1 т
к при г — 1, аг (а)1
имеет то же решение, что и уравнение (3.44), и может быть решено точно.
Весовая функция К (玄 а) является функцией двух переменных —— / и а. Переменная а характеризует момент времени ), в который на (л ■— 1)-ю производную накладываются ненулевые начальные условия; переменная / характеризует моменты времени, в которые измеряется функция у. На рис. 3.14 изображен типичный график весовой функции. Этот график отражает важное свойство весовой функции
К(/, а) = 0 при а> 九(3.46)
Если нас интересует решение в какой-то определенный момент времени, скажем /2, мы должны вычислить значение интеграла свертки )
У «2)= \ К (似 Ct) f (a) da.(3.47)
紀
Для этого требуется весовая функция, у которой переменная 方 фиксируется при значении /2； а переменная а изменяется от /0 до /2- На рис. 3.14 функция К «2, а) изображена в виде траектории 1.
Предположим, что с помощью уравнения (3.45) мы хотим воспроизвести К (£?, а). В исходном состоянии АВМ настраивается на некоторое начальное значенис времени а, скажем аР Значения всех коэффициентов устанавливаются в соответствии с этим значением времени, и (几一1)-я производная с учетом
Рис. 3.14. График типичной весовой функции.
Траектория 2 — полученное на АВМ решеине дифференциального уравнения с начальным моментом / = ai. Траектория / — решение на АВМ сопряженного дифференциального уравнения.
начального условия приравнивается 1 [с1n (а°. Затем АВМ переключается в режим решения и, начиная с момента времени а〕，воспроизводит решение при возрастающих значениях времени. Решение имеет вид
у")=К (О・ (3.48)
На рис. 3.14 оно соответствует траектории 2. Стрелка показывает направление изменения независимой переменной ——времени. При f = % уравнение (3.48) принимает вид
У(3=К (負匕). (3.49)
Это значение — одна дискретная точка весовой функции. Аналогично при начальных значениях а2, aJf . . ., ат мы можем получить другие точки весовой функции К «2, а?), К «2, а」)，• • .，К (3 仪冷・
Мы хотим иметь возможность вычертить траекторию / (рис. 3.14). Сколько бы раз мы ни решали задачу на АВМ, мы можем получить только дискретную апроксимацию этой кривой. Число решений, требуемых для вычерчивания весовой функции, будет зависеть от поведения кривой и необходимой точности.
В частном случае, когда коэффициенты уравнения постоянны, решение уравнения (3.45) дает возможность вычертить непрерывную весовую функцию. Так как все коэффициенты являются постоянными, они остаются одними и теми же для любых начальных значений о^ и времени считывания результата /2. Весовая функция является функцией разности этих переменных. Следо* вательно, имеет место соотношение
К (看2, 5)= К(/2—сц). (3.50)
Таким образом, весовую функцию можно получить путем однократного решения на АВМ, причем ее можно изобразить как функцию разности между начальным моментом времени и моментом считывания результата. На рис. 3.14 все кривые, начинающиеся у линии / = а и соответствующие возрастанию аргумента t (например, траектория 2), будут совпадать с кривыми, соответствующими уменьшению аргумента а (например, траектория /).
Для случая уравнений с переменными коэффициентами АВМ вычертит весовую функцию в ходе однократного решения, если будет решать уравнение, определенным образом связанное с уравнением (3.45), а именно так называемое сопряженное уравнение.
СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ1)
Термин сопряженный употребляется в связи с использованием линейных операторов. Сопряженный оператор получается из исходного оператора при полющи преобразования, удовлетворяющего определенным условиям. Как и исходный оператор, сопряженный оператор также является линейным. Наиболее употребительны следующие линейные операторы, обладающие сопряженной формой:
Матрица коэффициентов системы алгебраических уравнений.
Оператор дифференциального уравнения.
Математики, начиная с Лагранжа, изучают сопряженные операторы уже в течение более двух веков. Интерес к операторам был вызван, вероятно, тем, что, анализируя свойства решений однородных сопряженных уравнений, можно получить значительную информацию о существовании решений исходных неоднородных уравнений. Одним из побочных результатов этой рабо1Ы явилось открытие свойства сопряженного уравнения, которое позволяет нам вычертить график весовой функции за однократное решение уравнения на АВМ. Мы сосредоточим наше внимание именно на этом вопросе.
Если мы имеем уравнение
2, агргу =Ly -0,(3.51)
где
п
厶=Е агргг—О
——линейный дифференциальный оператор, то уравнение, сопряженное уравнению (3.51), имеет вид
2 {-^Ypr(aru) = Mu = 0.(3.52)
Оператор М называется сопряженным оператором. Если выполняется условие
L =
то говорят, что уравнение (3.51) является самосопряженным. Уравнение (3.53), которое называется уравнением Штурма ——Лиувилля, является самосопряженным:
рМ)рМ)d^yd%2d^yd%2dp dy dx dxdp dy dx dxq⑺У = °・q⑺У = °・(3.53)(3.53)
рМ)
рМ)
d^yd%2
d^yd%2
dp dy dx dx
dp dy dx dx
q⑺У = °・
q⑺У = °・
(3.53)
(3.53)
Для сравнения отметим, что когда мы решаем задачу в обратном времени (см. гл. 4), мы производим замену независимой переменной，=——/. Таким образом получаем преобразование
=£ (—1)гаТргу.(3.54)
Сопряженный оператор М и оператор L' равны между собой, т. е. Lfy = Му, тогда и только тогда, когда все коз屮^нинентн аг постоянны.
Для уравнения
'山 3 + “ N7^^ sin(3.55)
Превосходное изложение теории линейных и сопряженных с ними операторов см. в работе [45, стр. 42——50, 173 — 174]. См также описание сопряженных уравнений и их приложений к аналоговой вычислительной технике в работах [44, стр 233—246] и [46, стр. 1052 — 1083].
сопряженным является следующее уравнение:
一磊(е~)十备(时一备(За)-| asin/ = 0.(3.5G)
Для уравнений
/^=6(/' —а),
Ми=8 (а-f)В )
соответствующие весовые функции равны
У = К (，а),
" (。/).
Так как L и М — сопряженные операторы, то имеет место равенство
к(， a) = "a/‘)•(3.59)1)
В частности, при f = t2 имеем
К & a) h " (а, %2)・(3.60)
Иначе говоря, из уравнения (3.59) следует, что если мы хотим получить весовую функцию К (В, а), то вместо этого можно воспроизвести Я (а, %)— весовую функцию сопряженного уравнения, причем начальные условия следует задавать в момент времени Z2, а выход считывать в момент времени а. Так как f?——постоянная, а а ——переменная, то решение сопряженного уравнения даст весовую функцию для всех значений а. Таким образом можно получить весовую функцию при однократном решении на АВМ ).
На первый взгляд может показаться [см. уравнение (3.52)1, что для перехода от исходного уравнения к сопряженному и для его последующего программирования могут потребоваться значительные усилия. Однако все эти трудности можно обойти путем преобразования исходного уравнения.
Мы продемонстрируем эту методику на примере составления программы получения графика весовой функции для уравнения (3.55). С целью иллюстрации основного момента мы немного преобразуем уравнение, заменив коэффициент при dy/dt на aQ. Процесс программирования сопряженного дифференциального уравнения для его решения на АВМ состоит из следующих шагов:
Шаг / ). Программируется исходное неоднородное дифференциальное уравнение с дельта-функцией в качестве вынуждающей функции [представленное в форме (3.44) L На рис. 3.15 приведена структурная схема программы решения на АВМ уравнения (3.58) с заданной дельта-функцией.
Шаг 2. Все элементы на рис. 3.15 разъединяются и устанавливаются в положение, показанное на рис. 3.16.
Шаг 3. Повернутые элементы соединяются так, чтобы вход каждого элемента, изображенного на рис. 3.15, стал выходом того же элемента в схеме программы решения сопряженного уравнения (в сопряженной схеме). Аналогично выход элемента на рис. 3.15 становится входом того же элемента. На этом шаге исключаются из рассмотрения дельта-функция и все переменные коэффициенты (И, У, sin / и т. п.).
Например, на схеме рис. 3.15 выход интегратора / соединен с входом интегратора 2 и умножителя 2. В сопряженной схеме интегратор / имеет два
входа. Один вход связан с выходом интегратора 2, а другой—с выходом умножителя 2. Соединения между элементами, выполненные по правилам, указанным в шагах 2 и 3, изображены на рис. 3.16.
Шаг 4. Во всех переменных коэффициентах производится замена переменной / на t2 —— t (например, 3 преобразуется в ) и их выходные величины подаются на входы тех же умножителей, что и на рис. 3.15.
Шаг 5. На вход элемента (интегратора 3), с выхода которого в схеме на рис. 3.15 получалась функция Грина К (t2, /2 一 9，подается дельта-функция
Рис. 3.16. Шаг в программ и ров ан и и уравнения, сопряженного уравнению (3.58).
6 (/——0). С выхода элемента (усилитель /), на вхо^ которого подавалась дельта-функция, снимается функция Грина.
Полная структурная схема программы, полученная объединением результатов шагов 4 и 5, изображена на рис. 3.17.
Мы воспользовались потенциометром о。, чтобы продемонстрировать, как надо преобразовывать отличные от единицы коэффициенты усиления на входах усилителей и интеграторов. На рис. 3.15 потенциометр а0 определяет коэффициент усиления усилителя 1. В сопряженной схеме, показанной на рис. 3.17, коэффициент усиления вводится на входе интегратора 2. В обонх случаях коэффициент усиления вводится между одними и теми жо элементами (усилителем / и интегратором 2)* Так будет обстоять дело с лю'бым коэффициентом усиления.
Потенциометр является устройством, которое может иметь любое число выходов и только один вход. Если на первом шаге мы имеем потенциометр с несколькими выходами, то в сопряженной модели тот же потенциометр будет обладать несколькими входами. Можно обойти это затруднение, заменив
Р и с. 3.17. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения, сопряженного уравнению (3.58).Р и с. 3.17. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения, сопряженного уравнению (3.58).
Р и с. 3.17. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения, сопряженного уравнению (3.58).
Р и с. 3.17. Структурная схема программы решения на АВМ уравнения, сопряженного уравнению (3.58).
любой потенциометр с несколькими выходами на ряд параллельно включенных потенциометров, с одним выходом каждый, как показано на рис. 3.18, а м 6. Схема на рис. 3.18, 6 используется для перехода к сопряженной схеме.
Имеется случай, когда можно упростить построение сопряженного уравнения. Пусть даны блок-схема программы для воспроизведения на АВМ весовой функции (рис. 3.19, а) и блок-схема программы решения сопряженного
Рис. 3.18. Два способа изображения фрагмента программы решения на АВМ.Рис. 3.18. Два способа изображения фрагмента программы решения на АВМ.
Рис. 3.18. Два способа изображения фрагмента программы решения на АВМ.
Рис. 3.18. Два способа изображения фрагмента программы решения на АВМ.
Если схема содержит потенциометры с двумя и более выходами, как,напри мер, (а), то перед преобразованием программы решения исходногоуравнения в программу решения сопряженного уравнения их следуетизобразить так, как показано на схеме (б).
уравнения (рис. 3.19,6). Выражения G (р), Н (р), Q (夕)——линейные дифференциальные операторы. G (р) — выражение, которое мы получим после замены переменной t на /?—— t в выражении, сопряженном с G (р). Строго говоря, мы не можем называть оператор G (р) сопряженным с оператором G (р). То же соотношение связывает Н (〃)с " (р), так же как Q (р) с Q (р). Если, например, Я (р) имеет только постоянные коэффициенты, то Н (〃) в точности равно Я (р) х). —
Так как Н ⑺=Н (р), мы не должны для получения ” (°) обращать каждый элемент в " (р). Вместо этого мы поворачиваем блок как единое целое.
Несмотря на то что Н (р)=方(р), нельзя утверждать, что Н (р) — самосопряженный оператор. И (р) будет самогопряженным только в том случае, если Я (р)= =Н (р) без замены переменной.
б
Рис. 3.19. Блок-схемы программ решения исходного дифференциального (а) и сопряженного (б) уравнений.
может быть произведен в случае оператора любого порядка с постоянными коэффициентами при условии, что пи вынуждающая функция, ни выход не заключены внутри блока [44, стр. 237—239」.
Рис. 3.20. Блок-схемы программ решения исходного дифференциального (а) и сопряженного (6) уравнений в случае, если один из элементов Н (р) содержит только постоянные коэффициенты.
Блок-схема программы решения дифференциального уравнения изображена на рис. 3.20, а, а блок-схема программы решения сопряженного уравнения — на рис. 3.20, б.
Для завершения составления программы мы должны на рис. 3.17 заменить дельта-функцию 8(£——0) эквивалентными начальными условиями. Это преобразование можно выполнить, воспользовавшись следующим правилом.
Дельта-функция переносится через все элементы блок-схемы 工),за исключением интеграторов； при этом выполняются указанные в каждом случае
1) Допустимыми элементами являются потенциометры, усилители и умножители.
операции. На выходе первого интегратора, через который переносится дельта- функция, устанавливаются начальные условия, равные значению коэффициента при дельта-функции в момент времени, когда дельта-функция отлична от нуля.
Рис. 3.21 иллюстрирует исключен не дельта-функции, отличной от нуля, при t = а. Это выполняется следующим образом.
Входом интегратора / является функция bQ^ (t — а). Она может быть заменена начальным условием на выходе, равным ——bQ. Интегратор также меняет свой знак. Входом интегратора 2 является функция 犬台(/ —。). QHa может быть заменена начальным условием на выходе, равным ——а?. Аналогично
Рис. 3.22. График изменения во времени функции и сопряженного ей эквивалента е‘2TРис. 3.22. График изменения во времени функции и сопряженного ей эквивалента е‘2T
Рис. 3.22. График изменения во времени функции и сопряженного ей эквивалента е‘2T
Рис. 3.22. График изменения во времени функции и сопряженного ей эквивалента е‘2T
вход интегратора 3 может быть заменен выходом с начальным условием, равным —е°. Таким образом, в схеме на рис. 3.21 можно избавиться от дельтафункции, заменив ее соответствующими начальными условиями. В обоих случаях решение будет одним и тем же.
Как мы уже установили, АВМ решает задачу при возрастании времени 九 Однако сопряженное уравнение вследствие замены переменной t на t2 — f решается в обратном времени по сравнению с решением исходного уравнения. Итак, для получения функции К (£?, а【)с помощью исходного уравнения П/)оцесс решения задачи начинается в момент времени а* и продолжается до момента £?. В случае сопряженного уравнения процесс решения начинается в момент 0 (при этом £ = 0) и продолжается при росте значений времени, что эквивалентно уменьшению а, до момента времени 九 удовлетворяющего условию 九 —— t — а「 График весовой функции, получаемой при решении сопряженного уравнения, иллюстрируется рис. 3.14 (траектория /). Траектория начинается от точки К (£?, а =方2)口 продолжается в направлении уменьшающихся значений а.
На рис. 3.22 приведены для сравнения графики изменения коэффициента d и его сопряженного аналога。厶一才，как функций времени t.
В одном случае, когда система имеет несколько входов и один выход, можно, решая сопряженное уравнение, получить все весовые функции путем однократного решения. В качестве типичного примера рассмотрим блок-схему на рис. 3.23. Функции "(f), % ⑺ и f3 (^) являются входными величинами, а у ⑺—— выходной. Выражения G(p), Н (р) и 0 (р) представляют собой линейные дифференциальные операторы. На мгновение допустим, что имеется только один вход, скажем 启(f). Для получения весовой функции, соответствующей вынуждающей функции в этой точке, мы заменим величину “(/) дельта-функцией. Пользуясь методикой, описанной в разд. 3.3, можно найти дискретную апро- ксимацию весовой функции, которую обозначим через К (力 а). Аналогичным
образом, если мы будем подавать дельта-функцию вместо входной величины 厶(力，то найдем весовую ф}нкцию К? (Л а), и, наконец, если будем подавать дельта-функцию на вход f3 ⑺，то найдем весовую функцию К3 (厶 а). Ввиду линейности можно сложить результаты воздействия этих вынуждающих функций и при этом соответствующий выход представится выражением
у«2)=；【凡⑸，а)/1(汽)寸 К2«2, а)『2(а) + Кз«2, а) f (а)] da, (3.61) to
где £ 二 0 ——начальное значение переменной /.
Предположим, что вместо только что описанного способа мы подадим дельта-функции одновременно на все входы. Можно ли в этом случае получить
Рис. 3.23. Блок-схема с тремя входами и одним выходом.
дискретные приближения весовых функций при использовании меньшего числа повторений решения? Этот метод дал бы нам сложную весовую функцию G (/, а), равную сумме рассмотренных выше функций, а именно
G(厶 a)=Ki (九 口)厂К2(А а) + Кз«, &)•(3.62)
В общем случае не существует способа, позволяющего использовать для полу- н’ння интеграла уравнения (3.61) одн) весовую функцию G (厶 а) в сочетании
с вынуждающими функциями. Следовательно, получение выходной величины для более чем одной входной дельта-фупкции ——пустая трата времени. Мы не можем получить никакой полезной информации, если не выполнено условие
/1 ⑺=/2 ⑺=/з О
Построим теперь сопряженное уравнение для уравнения, блок-схема которого представлена на рис. 3.23. Черта над знаком исходного оператора означает, что оператор преобразован в сопряженный. Блок-схема программы решения сопряженного уравнения дана на рис. 3.24. В этом случае блок-схема имеет только один вход и три выхода, а именно:
у1 (0 - Ki (方2,友一/),
重⑺工k2 G2, % —(3.63)
Уз (0 ~ Ki (^2, ‘2—О-
Все три выходных величины могут регистрироваться одновременно. Следовательно, с помощью программы для сопряженной системы можно получить на АВМ все весовые функции, соответствующие единственному входу.
3.5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1)
В гл. 2 мы имели дело только с задачей Коши. Однако дифференциальное уравнение можно решить и в том случае, когда условия на зависимую переменную и ее производные задаются при нескольких различных значениях независимой переменной. Задача с такими условиями называется краевой задачей. Наиболее часто встречающейся краевой задачей, называемой собственно краевой задачей, является задача с условиями, налагаемыми при двух значениях независимой переменной. Мы ограничимся рассмотрением этого случая, хотя решение краевой задачи в общем виде не связано с дополнительными трудностями принципиального характера.
Краевую задачу решить значительно труднее, чем задачу Коши. В этом случае отсутствуют удобные критерии, позволяющие установить существование решения или его единственность. Мы располагаем только необходимым условием, а именно: число независимых краевых (граничных) условий должно равняться порядку уравнения.
Рассмотрим следующее уравнение, задача Коши для которого не представляет никаких трудностей:
鹄+ 9 = 0.(3.64)
Общее решение этого уравнения имеет вид
у = q sin / + с2 cos /.(3.65)
Выберем следующие краевые условия:
9(о)=1, ?т)=о.
Тогда мы должны иметь возможность найти значения коэффициентов 臼 и с?〉 удовлетворяющие следующей системе уравнений:
у (0)= 1 = q sin 0 + & cos 0,
/ 、八,(3.66)
у (覚)=0 = / sin г 十 cos
Пытаясь решить эту систему уравнений, мы обнаружим, что для коэффициента с2 получаются два противоречивых значения, а значение коэффициента С] неопределенно (он может принимать любые значения). Следовательно, уравнение (3.64) при выбранных граничных условиях не имеет решения.
Если для уравнения (3.64) выбрать граничные условия
沙(0) = 0，9(")-0，
то решение системы уравнений (3.66) даст значения коэффициентов:
Ci неопред елен, с2 = 0.(3.67)
Эта краевая задача также не имеет решения ).
На АВМ можно решать уравнения только для заданных начальных, но не для граничных условий. АВМ может решить краевую задачу только при условии задания начальных условий, при которых получаемое решение проходит через точки, соответствующие гран ичным значениям. Линейная краевая
задача должна решаться в два этапа 】).Сначала мы должны определить, существует ли решение и единственно ли оно, затем должны вычислить начальные условия, которые следует задать для пол)чения решения краевой задачи. Если мы располагаем нормализованной системой решений уравнения, то можно выполнить оба шага. Предположим, нам нужно решить уравнение третьего порядка с граничными условиями, заданными при значениях переменной t =0, 1:
需+ 电需黑+ a()g = 0,(3.68)
9(0)二0; 00』=j(l)=l,川) = 2.
Сначала мы составляем уравнения для определения начальных условий. Используя нормализованные решения уравнения (3.43), получаем систему уравнений:
9 (0) ； О = аоГ (0)п а,/^ (0) + а2f俨⑼，(3.69a)
y(1)-1-m芷⑴丁闻产⑴，a2片⑴，(3.696)
9(1)=2 г a 朮。)(1) +a/р(1)十a2产>(1).(3.69b)
Любое нормализованное решение и его производные при начальном значении независимой переменной (в данном случае при £ = 0) принимают значения, удовлетворяющие следующему условию:
f『(0)— 0 при s^ п,(3.70)
队 и а?. В резуль-队 и а?. В резуль-Следовательно, можно разрешить уравнение (3.69а) относительноа0 и получитьCtg — 0.
队 и а?. В резуль-
队 и а?. В резуль-
Уравнения (3.696) и (3.69в) можно разрешить ст тате получим
；1 /УС) II 2 沙(1)I
毋) (1)产⑴
(3.71)(3.71)#) (1) /p⑴
(3.71)
(3.71)
。 _е>(1)2；
用⑴fp⑴:
Если определитель, стоящий в знаменателе выражений (3.71), отличен от нуля, то система уравнений (3.69) определяет начальные условия, при которых решение уравнения (3.68) удовлетворяет граничным значениям.
На АВМ с высокой частотой периодизации решения для быстрого отыскания начальных условий, удовлетворяющих заданным граничным условиям, можно использовать метод проб и ошибок. Однако трудности, возникающие при применении этого метода, резко возрастают с увеличением числа начальных условий, подлежащих отысканию.
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЛОК-СХЕМ, ВЫБОР МАСШТАБОВИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ)
ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3 мы показали, что структурная схема, пред ста в л яющая математические операции символически и в требуемой последовательности, определяе! программу решения задачи. Эти данные о переменных на входе и выходе каждого элеменга существенны для правильной и точной работы аналоговой вычислительной машины. Однако структурную схему программы можно использовать не только в качестве средства для изображения соединений между элементами.
Программа решения, составленная непосредственно но уравнениям задачи, часто может не содержать в явном виде некоторых интересующих нас переменных или может поставить аналоговую вычислительную машину в та кой режим работы, при котором не обеспечивается необходимая точность. В любом из этих случаев нет необходимости возвращаться к первоначальным уравнениям. Любые недостатки в схеме программы можно устранить со значительно меньшей затратой труда, манипулируя только со структурной схемой программы.
В случае задачи большого объема структурная схема программы ее решения содержит много взаимосвязанных элементов, что иногда затрудняет выделение главных составных частей задачи. Блок-схема, объединяя несколько элементов машины в один эквивалентный, позволяет представить решение задачи меньшим числом операций. Если блок-схема была бы просто стенограммой структурной схемы, это было бы удобством и пе больше.
Однако, выделяя главное в структурной схеме, блок-схема часто позволяет упростить анализ задачи. На основе блок-схемы могут быть определены некоторые свойства решения, в том числе: 1) устойчивость; 2) а сим птоти че ское поведение и в некоторых случаях 3) чувствительность решения к изменению параметров. Кроме того, пользуясь блок-схемой, можно переставить, добавить или устранить ряд операций. Это можно проделать и на структурной схеме. Преобразование блок-схемы связано с меньшей вероятностью появления ошибки, так как в таких схемах используется меньшее число элементов. В случае когда в схему входит большое число элементов, может оказаться выгоднее сначала преобразовать блок-схему, а затем соответствующим образом изменить структурную схему программы.
Мы рассмотрим в этой главе некоторые правила преобразования и свойства блок-схемы и ее более детального эквивалента, структурной схемы. Мы будем иметь дело только с теми частями задачи, которые могут быть представлены линейными операциями. Нелинейные операции, свойства которых заметно отличаются от свойств линейных, рассматриваются отдельно в гл. 5.
Преобразования структурной схемы эквивалентны изменению масштаба времени или масштаба зависимых переменных в программе решения задачи (или и того и другого одновременно). Эти два приема позволяют расширить пределы работы АВМ, а следовательно, и повысить точность решения. Поэтому
они являются двумя важнейшими инструментами аналоговой вычислительной техники и вследствие этого обсуждаются более подробно.
Конец главы посвящен операционному усилителю. Мы покажем, как на основе этого элемента строятся сумматор и интегратор и также как в сочетании с резисторами и конденсаторами такой усилитель позволяет реализовать широкий класс передаточных функций.
СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ】)
Понятие блок-схемы связано с понятием математического оператора. Если £ — оператор, то в случае уравнения
心 9(4.1)
мы говорим, что у —— результат применения оператора L к переменной х (или что L преобразует х в у). При использовании операторов L* и 厶 уравнение L丄?у； z(4.2)
означает, что к у применен оператор Л2» а к полученному результату ——оператор Если
L浊二职(4.3)
то Ь{Ь2у 一 3吼(4.4)
Бессмысленно говорить, что оператор L} применен к L2 H результирующий оператор применен к переменной у. Оператор может применяться только 尤 переменной, а не к другому оператору.
Если уравнение (4.2) —дифференциальное, то 厶 и L2 называются дифференциальными операторами. Линейный оператор L, т. е. оператор, соответствующий линейному уравнению, обладает свойством суперпозиции (см. 2.3.3):
L (ах+ 因)=aLx + 0L〃(4.5)
где а и 0 —постоянные.
Свойство коммутативности двух различных операторов определяется равенством
L、L 2y 乙2七小(4.6)
В общем случае дифференциальные операторы коммутативны только тогда, когда они линейные и имеют постоянные коэффициенты. Однако постоянный множитель коммутативен с любым линейным оператором. Используя соотношение (4.5), можно записать
L1l2 (a04)= & [a 厶 2 (вD)]=L t[0厶(a?)] - al(6厶D)=BL (a厶?/)=
—aL也2 (ВD)一二 0厶厶？ (a4)= cL^L，iL.2y•(4.7)
Основной дифференциальный оператор ——оператор дифференцирования р — имеет вид
Р《")
так что py=w-(4・86)
Тогда, по определению,
(4.9a)
Дл'я дальнейшего ознакомления см. статью Каплана в работе [49, стр. 8—01 + ~-8—20], а также [50]. Более детальное математическое рассмотрение этого вопроса дано в работе [51 ].
рпУ =噥.(4.96)
Обратный оператор, или оператор интегрирования, определяется следующим образом:
\ [ ] da(4.10а)
и
卩-寸⑴=\ j(a)da.(4.106)
В случае интегрального оператора /г~「о порядка
i Хп-1贫2 XL
\ \] da dx2 . .. dxn-2 dxn-i (4.11а)
п-кратный
И
/X77- 1&2 ^1
〃-"/(/)=、 \ ・•• j j f(a) dad 修壮珍…・ dx?” 2 d 办一加(4.116)
b b
Дифференциальное уравнение
dny , dn~^y. dy .
済十纵r 曲号十• • • + &右十4必=
dmxdmx(4.12)(4.12)% dm-1xA dx J ;
dmx
dmx
(4.12)
(4.12)
°m~i d*"] 一 1' ^1 ^7~ 丁 yo^
может быть переписано в операторных обозначениях
卩％ 十 В—"т》+ ... + arpy + aQy = ртх + bm-ip^x ++bipx + b()x (4.13)
или
(Рп + а^р11-1о/ JraQ)y^(pm 十 Ьт^рт-Х ч- .. . + 仇卩十 b^x. (4.14).
Уравнение (4.14) можно записать в следующем эквивалентном виде:
且”(4.15У
Переход от уравнения (4.14) к уравнению (4.15) может показаться алгебраической операцией. Читатель должен помнить, что левая и правая части уравнения (4.15) никоим образом не равны в обычном смысле. В отличие от алгебраического уравнения мы не можем заменить правую часть уравнения (4.15) левой.
Отношение операторов само по себе функционального значения не имеет. Уравнение (4.15) имеет смысл лишь как форма записи уравнения (4.14).
Любой линейный оператор /г-го порядка может быть записан в виде произведен ия операторов первого порядка или, в общем случае, операторов более высокого порядка. Так, уравнение (4.14) может быть разложено на множители следующим образом:
[(p+ r)(0+ 3 --- (p + Cn)l У = [{p + di) (p + d2) ...(0十踹)]爲(4.16)
где ct и dt либо постоянные, либо функции независимого переменного. Величины с и di можно рассматривать как коэффициенты при дифференциальном операторе нулевого порядка 夕"• Если все & и df постоянные, т. е. если в уравнении (4.14) все коэффициенты постоянны, то все операторы первого порядка коммутативны. Если же они не постоянны, порядок операций не может быть изменен. В то же время можно переставлять любые соседние операторы с постоянными коэффициентами при операторе пулевого порядка. Уравнение
[(р十е* (р十 3) (р — 5)(〃-|-2)]у = х(4.17)
можно переписать в виде
х [(ре~')(р + 3) (р 2) (р — 5)1 у.(4.18)
Можно также произвести любые другие перестановки операторов (р + 3), (卩-卜 2)(夕 ——5). (Всего возможны четыре такие перестановки.) Однако оператор (р + £—") ни в коем случае нельзя менять местами ни с одним из трех ■остальных.
Уравнение (4.16) по внешнему виду очень похоже на разложенный на множители многочлен. Предположим, что некоторые из коэффициентов с и di равны друг другу. Можем ли мы в таком случае сократить на эти множители обе части уравнения и посредством этого понизить его порядок? Мы знаем, что операторы ——это не алгебраические величины, и все-таки значительное формальное сходство между этими случаями делает такую операцию весьма соблазнительной.
Вот достаточные условия, которые позволяют произвести такое сокращение:
все начальные условия нулевые;
сокращаемые операторы являются крайними слева.
Обратим внимание на то, что крайний слева оператор применяегся в последнюю очередь. Так как операторы с постоянными коэффициентами коммутативны, любой из них можно сделать крайним слева. Следовательно, в этом случае можно сокращать в обеих частях уравнения подобные множители независимо от места их расположения.
Если начальные условия ——нулевые, порядок уравнения
(〃 Hsin /) Е aipy +sin t)为 brprx(4.19)
£=0r=0
■может быть понижен па единицу：
2 сцр%= 2 Ь「戸х・(4.20)
Однако порядок уравнения
[(р + sin /) (р + 1)] z/ = [(р + 1) (р + sin /)] х(4.21)
понизить нельзя. Из равенства
р2у =夕％(4.22)
следует, что y^x только в том случае, если одновременно равны начальные значения производных dx/dt = dyldt 】).
Блок-схема, пред ста в л яющая уравнен не (4.15), показана на рис. 4.1. Стрелка показывает, что с помощью выражения в блоке сигнал х преобразуется в у. Функция х называется входной величиной^ а у——выходной. Входная величина в блок-схеме всегда преобразуется в выходную. Так как сигнал
распространяется в одном направлении, то говорят, что блок-схема представляет собой однонаправленное изображение. Однако однонаправленной блок- схемой характеризуются и системы, сигналы в которых могут распространяться в обоих направлениях, как, например, в задаче, связанной с нахождением токов в цепях четырехполюсника. Мы можем соединять блоки последовательно, как показано на рис. 4.2, для которого можно написать следующее соотношение:
(4.23)(4.23)z = G(p)Q (р)久—"(，)R(P)
(4.23)
(4.23)
где G (卩)，Н (卩)，Q(p) и R (р)—дифференциальные операторы, которые являются рациональными многочленами от р. Дифференциальные операторы всегда
上上рт+ +bjP+b0 р"十 +а】р+^рт+ +bjP+b0 р"十 +а】р+^УУ
上
上
рт+ +bjP+b0 р"十 +а】р+^
рт+ +bjP+b0 р"十 +а】р+^
У
У
Рис. 4.1. Блок-схема линейного оператора.
можно представить в таком виде. Когда мы изображаем операторы последовательно, мы подразумеваем, что ни один из операторов ни в коей мере не нагружает систему, т. е. не изменяет характеристики любого другого оператора. Если бы мы изменили порядок операторов на рис. 4.2, их вид не изменился бы.
Рис. 4.2. Последовательное соединение двух операторов.Рис. 4.2. Последовательное соединение двух операторов.
Рис. 4.2. Последовательное соединение двух операторов.
Рис. 4.2. Последовательное соединение двух операторов.
Если бы эти операторы описывали некоторые материальные системы, то влияние нагрузки могло бы серьезно изменить характер оператора.
Блок-схема программы решения задачи на АВМ обладает свойствами, поразительно сходными со свойствами блок-схем, используемых инженерами, которые работают в области систем автоматического управления ) В случае уравнения с постоянными коэффициентами опер атор - выч ислитель и инженер- автоматчик представляют задачи, по существу, в одной и той же топологической форме, в связи с чем они могут легко понимать друг друга. В частности, большой объем знаний, накопленных в теории систем управления, может быть непосредственно использован специалистами, работающими на аналоговых вычислительных машинах.
Если, предполагая все начальные условия пулевыми, мы применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (4.12), то получим уравнение вида
(s，丄 Gb-iS” 1 十- o^s 十 о。)У (s)=
=g Т 力 o)X(s). (4.24)
Блок-схема, соответствующая уравнению (4.24), показана на рис. 4.3. Выражение, записанное внутри прямоугольника, называется передаточной функцией. Если мы сравним рис. 4.1 и 4.3, то увидим, что обе схемы одинаковы, за исключением того, что в одном случае применен оператор р, а в другом s. Эта эквивалентность обусловлена характером преобразования членов урав-
Имеется много книг по системам управления Среди них следует отметить работу [52] — книгу, заслуживающую внимательного прошения.
нения (4.12) по Лапласу. Это преобразование имеет вид
(4.25)(4.25)2[明021 42ТУ(5).
(4.25)
(4.25)
Такое прямое преобразование р в s возможно только тогда, когда коэффициенты аг ——постоянные и начальные значения производных р Y равны нулю.
区⑸*嗯卢-~—内⑶
S +・・・+%S+C70
Рис. 4.3. Линейный оператор, использующийоператор преобразования Лапласа.
В разд. 3.3 мы рассматривали весовую функцию для уравнения типа (4.12) при 加 = 0. Мы теперь можем обобщить это понятие на случай любого произвольного т. Такая видоизмененная весовая функция 丄)будет удовлетворять уравнению
У ⑺二、К (/, ct)x(a) da. оУ ⑺二、К (/, ct)x(a) da. о(4.26)(4.26)
У ⑺二、К (/, ct)x(a) da. о
У ⑺二、К (/, ct)x(a) da. о
(4.26)
(4.26)
Уравнение (4.15) мы можем переписать в виде
(4.27}(4.27}"/八—Рт + ^m-iPm~ + •…+ %Р + 瓦 /八
(4.27}
(4.27}
"⑴一p_a1P咿十a。小
Приравнивая правые части уравнений (4.26) и (4.27), получаем
(4.28)
о
Так как и интегральный и дифференциальный операторы преобразуют функцию х (/) в одну и ту же функцию у (^), то они равны, и мы можем записать
ооК (厶 ct) [ ] da =К (厶 ct) [ ] da =р171 + ЬтТР7n~~] + . . . +%р 丄匕О 戸十aziTP"T+・•.十％р十40р171 + ЬтТР7n~~] + . . . +%р 丄匕О 戸十aziTP"T+・•.十％р十40(4.29)(4.29)
о
о
К (厶 ct) [ ] da =
К (厶 ct) [ ] da =
р171 + ЬтТР7n~~] + . . . +%р 丄匕О 戸十aziTP"T+・•.十％р十40
р171 + ЬтТР7n~~] + . . . +%р 丄匕О 戸十aziTP"T+・•.十％р十40
(4.29)
(4.29)
Преобразование Лапласа функции К (厶 а) есть передаточная функция Я (s). Таким образом,
(4.30)
Между прочим, все наши замечания, касающиеся использования преобразования Лапласа для видоизменения весовой функции, применимы к любым дифференциальным уравнениям как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.
4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЛОК-СХЕМ 2)
В этом разделе мы перечислим правила, используя которые можно изменять структуру блок-схемы. Рассмотрим используемые в этих правилах термины на примере рис. 4.4.
Элемент, или 6几ок,——оператор, который может быть представлен отношением многочленов от /? и обозначаемый на схеме как одно целое, например 尸(〃)•
Вход. Этот термин имеет два значения. Он относится как к функции, над которой производится операция, так и к точке, в которой функция посту-
абабРис. 4.5. Контуры блок-схемы на рис. 4.4.Рис. 4.5. Контуры блок-схемы на рис. 4.4.
аб
аб
Рис. 4.5. Контуры блок-схемы на рис. 4.4.
Рис. 4.5. Контуры блок-схемы на рис. 4.4.
пает в блок. Следовательно, вход является сокращением термина «входная точка» или термина 《входной сигнал (входная величина)» блока.
Выход. Термин, относящийся либо к результату операции блока над входом (входным сигналом), либо к точке, в которой эта функция выводится из блока.
Суммирующий узел (точка). Точка сложения или вычитания двух или более сигналов, например точка Д. Знак плюс или минус на входе суммирующего узла указывает на то, прибавляется ли или вычитается сигнал. Так,
&(/) = /(/) +，(/) —g (力&(/) = /(/) +，(/) —g (力(4.31)(4.31)
&(/) = /(/) +，(/) —g (力
&(/) = /(/) +，(/) —g (力
(4.31)
(4.31)
Два или более входов усилителя или интегратора образуют суммирующий узел.
Разветвление. Точка, в которой сигнал разветвляется в двух или более Направлениях, например точки В и С. Два или более выходов всякого элемента вычислительной машины образуют разветвление.
Прямой путь. Путь сигнала от суммирующей точки до разветвления или от одного разветвления до другого.
Прямая цепь. Все элементы, образующие прямой путь.
Путь обратной связи. Путь сигнала от разветвления до суммирующего узла, например путь от В до Л, через оператор G (р).
Цепь обратной связи. Все элементы, образующие путь обратной связи.
Контур. Любой замкнутый путь, по которому может пройти сигнал. Так как блоки являются однонаправленными, сигнал может распространяться только в одном направлении. Два контура схемы, изображенной на рис. 4.4, показаны на рис. 4.5. Предупреждение: это определение контура отличается от определения, используемого в теории управления.
Вынуждающая функция. Любой вход суммирующей точки, не являющийся результатом воздействия какого-либо блока схемы. В схеме может быть более одной вынуждающей функции.
Регистрируемая величина. Любая функция на блок-схеме, последова- гельные значения которой измеряются и записываются. Эта функция является решением задачи, представленной блок-схемой. Может быть несколько регистрируемых величин и соответственно точек их считывания.
ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ]
Правило 1. Для оператора G (р) введем обратный оператор G-1 (р), где
G(p)G-^p) G4p)G(P)-1-(4.32)
Тогда
1
когда выполнено одно из следующих условий: а) коэффициенты G (р) постоянны;
числитель или знаменатель G (р) является единицей.
Правило 2. Вынуждающая функция может быть смещена в новый суммирующий узел четырьмя возможными способами. Они показаны на рис. 4.6. а) Если вынуждающая функция переносится через блок по ходу распространения сигнала, то в нашем узле ее следует прибавить, преобразовав предварительно блоком, одинаковым с тем, который она миновала при переносе.
Если вынуждающая функция переносится за разветвление, то она должна быть введена со знаком плюс во все ветви разветвления, кроме той, из которой она перенесена.
Если функция переносится через блок против хода распространения сигнала, то ее следует умножить на оператор, обратный оператору этого блока.
Если вынуждающая функция переносится через разветвление против хода распространения сигнала, она должна быть введена со знаком минус во все ветви разветвлений, кроме той, из которой она перенесена.
Если вынуждающая функция переносится через точку считывания, то последнюю следует считать ветвью разветвления.
Пример 1. На блок-схеме рис. 4.7, а имеется одна точка считывания А, в которой получается переменная у. Чтобы перенести вынуждающую функцию на вход оператора G (р), мы должны выполнить такую последовательность шагов. (Эти шаги показаны на рис. 4.7, б и 8).
Шаг 1. По правилу 2а перенести f (f) через оператор F (р).
Шаг 2. По правилу 26 сместить вынуждающую функцию за точку разветвления А.
Пример 2. Мы хотим запрограммировать уравнение
Р2У+^1РУ+ аоУ = р尤十力 о/(4.33)
где иам дана лишь функция х. Сначала мы составим схему уравнения (4.33) по общему методу (рис. 4.8, а). Входы интегратора / образуют суммирующий узел, а его выход —- точку разветвления. По правилу 2а мы переносим рх через интегратор J (рис. 4.8, б). Затем по правилу 26 мы переносим вынуждающую функцию за точку разветвления А (рис. 4.8, 8). Исключив суммирующие узлы, мы получим на рис. 4.8, г желаемую структурную схему. В результате преобразования вынуждающей функции изменился выход интегратора 1. Поэтому нужно соответственно изменить начальтгые условия для этого интегратора так, чтобы они равнялись — ру + х.
В этом примере стоит обратить внимание на два момента.
При составлении схемы задачи мы не пользовались ни методом вспомогательной переменной, ни методом канонической формы. Однако для производных х, порядок которых выше первого, процедура, рассмотренная в этом примере, слишком громоздка. Метод канонической формы предпочтительнее, особенно если все начальные условия нулевые.
Примененная в этом примере процедура может быть использована в блок-схемах, содержащих нелинейности и переменные коэффициенты, если только мы не должны переносить функцию через интегратор после ее прохождения либо через нелинейность либо через оператор с переменными коэффициентами.
Правило 3. Порядок операторов можно изменять только в том случае, если операторы коммутативны. Постоянные множители линейных операторов всегда можно менять местами. За исключением особых случаев, свойством 6 Л. Левин
Исходная схемапреобразованная
ST “—
pwp-1~卜叶
J-1-学^咖
*®F{p)A苏F (p)厅
28-一卜似卜
Рис. 4.6. Иллюстрация правил изменения точки приложения вынуждающей функции.
他
■*0—G(P)
H(p}
6
F(P)什г1
1 "P)卜」'»息~[ G(p)厂
1 H仅丿~1-
Рис. 4.7. а—блок-схема системы; б — первый шаг переноса вынуждающей функция в блок-схеме (о) за точку считывания; в — преобразованная блок-схема (а), в которой точка приложения вынуждающей функции перенесена за точку считывания.
8383преобразования блок-схем, выбор масштабов
83
83
коммутативности обладают только операторы с постоянными коэффициентами. Коммутативные операторы можно преобразовывать так, как показано на рис. 4.9.
Правило 4. Порядок прохождения сигналом суммирующих узлов можетПравило 4. Порядок прохождения сигналом суммирующих узлов можетР и с. 4.8. Последовательность преобразования вынуждающей функции с целью избежать необходимости образования производных (см. пример 2).Р и с. 4.8. Последовательность преобразования вынуждающей функции с целью избежать необходимости образования производных (см. пример 2).
Правило 4. Порядок прохождения сигналом суммирующих узлов может
Правило 4. Порядок прохождения сигналом суммирующих узлов может
Р и с. 4.8. Последовательность преобразования вынуждающей функции с целью избежать необходимости образования производных (см. пример 2).
Р и с. 4.8. Последовательность преобразования вынуждающей функции с целью избежать необходимости образования производных (см. пример 2).
Правило 5. Правило постоянства коэффициента усиления ]) контура. В многоконтурной блок-схеме, содержащей только линейные дифференциаль' ные операторы с постоянными коэффициентами, при преобразовании можно
едТ-*у с=^> ^т g仞 Н 尸仞 Q?
Р н с. 4.9. Перестановка операторов.
изменить положение любого числа элементов, если обеспечивается сохранение коэффициента усиления каждого контура.
Коэффициент усиления контура равен произведению всех операторов контура. Позже в этой главе мы воспользуемся этим правилом для выбора масштабов переменных.
Рис. 4.10. Перестановка суммирующих узлов.Рис. 4.10. Перестановка суммирующих узлов.
Рис. 4.10. Перестановка суммирующих узлов.
Рис. 4.10. Перестановка суммирующих узлов.
Рассмотрим на примере, что означает это правило. Объяснив основные понятия, мы покажем, как это правило может быть распространено на блок- схемы с нелинейностями и переменными коэффициентами.
На рис. 4.11 имеются два контура, обозначенные стрелками. Коэффициенты усиления этих двух контуров таковы
контур 1=l]=-KG (p).
Контур 2 = ^2=—К1К2G (р)//(р).(4.34)
Здесь и далее коэффициент усиления рассматривается как оператор.——Прим. ред.
6*
Другая схема программы решения той же задачи приведена на рис. 4.12. Сравнение рис. 4.11 с рис. 4.12 показывает, что коэффициенты усиления контуров одинаковы в обоих случаях. Следовательно, на рис. 4.11 и 4.12 представлены две эквивалентные структурные схемы программы решения на АВМ
Рис. 4.11. Блок-схема (см. рис. 4.12).
определенной задачи. Однако переменные е2 и Сз на рис. 4.11 и их аналоги ео и % на рис. 4.12 не совпадают.
Изменение положения блока меняет переменную на его выходе. Далее, выходная величина каждого интегратора, связанного с этим блоком, также
Рис. 4.12. Другое изображение блок-схемы рис. 4.11. Эти две схемы эквивалентны в соответствии с правилом постоянства коэффициента усиления контура.
изменяется. Таким образом, при перенесении блока мы должны вычислять новые начальные условия для соответствующего интегратора.
Мы теперь покажем эвристически, что данное правило преобразования обоснованно и может быть применено для перехода от схемы программы на рис. 4.11 к схеме на рис. 4.12. При этом станет понятным, как масштабируются переменные после перестройки контуров и как определяются новые начальные условия. Хотя мы будем рассматривать двухконтурную систему, мы покажем, что это правило преобразования остается в силе для многоконтурных систем любого порядка.
Сначала мы вычислим передаточную функцию для отношения Сз/е^ на рис. 4.11 и покажем, что она не меняется при преобразовании, оставляющем коэффициент усиления контура постоянным. Это легко можно сделать, определив сначала передаточную функцию внутреннего контура. Внутренний контур — это контур, коэффициент усиления которого может быть установлен без разрыва обратных связей. Рассчитанная таким образом передаточная функция становится оператором следующего контура, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет получена общая передаточная функция.
Выполняя эту процедуру, мы начнем с контура 1, который показан отдельно на рис. 4.13. Используя основы теории обратной связи, мы найдем передаточную функцию
с? —/QG (р) — Коэффициент усиления прямой цепи, д .)(-
(р)=Г+Li-・(.)
Рис. 4.11 теперь можно представить в эквивалентной форме, показанной на рис. 4.14, откуда получаем
—КВ (р) " (р) Коэффициент усиления
办14-^1G (р)прямой цепи伍、6)
Уравнения (4.35) и (4.36) определяют начальные члены рекуррентных соотношений, которые даю г нам общий результат для системы с любым числом
рис. 4.11.рис. 4.11.
рис. 4.11.
рис. 4.11.
контуров. Это важное общее уравнение показывает, что для сложной системы с коэффициентами усиления контуров 厶厶 L2,...,厶沱 передаточная функция от любой точки & к какой-либо другой точке Cj равна
(4.37)(4.37)е/ — Коэффициент усиления прямой цепи
(4.37)
(4.37)
G1(L1，l2, ，^n)
Коэффициент усиления прямой цепи есть передаточная функция участка схемы от & до 马 с разомкнутой обратной связью от е, ди ^. Если все коэффи-
Рис. 4.14. Представление блок-схемы, изображенной на рис. 4.11, после замены контура / его эквивалентом.Рис. 4.14. Представление блок-схемы, изображенной на рис. 4.11, после замены контура / его эквивалентом.
Рис. 4.14. Представление блок-схемы, изображенной на рис. 4.11, после замены контура / его эквивалентом.
Рис. 4.14. Представление блок-схемы, изображенной на рис. 4.11, после замены контура / его эквивалентом.
циенты усиления контуров неизменны до и после преобразования, то уравнение (4.37) показывает, что знаменатель передаточной функции остается постоянным и отношение выходной величины е3 к входной ei пропорционально только коэффициенту усиления прямой цепи. Таким образом, некоторая переменная останется на схеме после преобразования только в том случае, если не изменится коэффициент усиления прямой цепи между точкой считывания этой переменной и заданным входом &.
Теперь мы можем установить соотношение между переменными, фигурирующими в схемах на рис. 4.11 и 4.12. Из схемы на рис“ 4.11
и
К№ (Р)
兴(4.38)
611十/ (LhL2)
К№ (р) н (р)
e, X+f^Lz)'
Из схемы на рис. 4.12
И
% — 1 +К№(р)(4 401
%f i，厶2)—丿
К2G (р)
丝—1 + К№ (р)(4 41 \
勺1 十〃％,厶2)**'
Из уравнений (4.38) и (4.40)
3隔电（4・42）
Из уравнений (4.39)
и (4.41)
分= ^fc&・(4.43)
(P)
Если переписать уравнение (4.43) в виде
KW ⑺ еь = К2%(4.44)
то увидим, что в этом случае % Исходя из начальных условийто увидим, что в этом случае % Исходя из начальных условийи & связаны дифференциальным уравнением,задачи, мы либо будем иметь, либо сможем
то увидим, что в этом случае % Исходя из начальных условий
то увидим, что в этом случае % Исходя из начальных условий
вычислить начальное значение переменной Сз в правой части уравнения (4.44). Однако мы не можем получить начальное значение для переменной е6, так как левая часть уравнения содержит не только г6, но и ее производные. Однако в нашем распоряжении будет достаточное количество уравнений типа уравнения (4.44), связывающих известные начальные значения с начальными значениями преобразованных величин, так что мы сможем вычислить начальные значения для всех интеграторов преобразованной схемы.
Иногда с помощью правила сохранения коэффициента усиления контура можно изменить структурную схему так, чтобы получить непосредственно производные переменной. Предположим, что рис. 4.15 изображает структурную
схему в первоначальном виде. Кроме переменной у, мы хотим иметь производные dy !dt и (Pyldt2. Производная dy/dt без труда находится на входе интегратора 3 и равна
ру = — (3勺十 10(o2z/) •(4.45)
Однако производная d^yldt2 может быть получена только в виде суммы переменных схемы. Запишем соотношение, связывающее 白 и ”
pа = ■-(2ё2T 40)13).(4.46)
Дифференцируя уравнение (4.45), получаем
炉//= — (3用 + 1Оо)ару)・(4.47)
Производя подстановку в уравнение (4.47) на основе использования уравнений (4.45) и (4.46), получаем
р2y = 6е2+ 12(0通 + 30gq + 100з：〃 = 6е2+ 12s4 — lOgp/A (4.48)
Более простой способ получения этих двух производных показан на видоизмененной схеме,И приведенной на рис. 4.16. Обратите внимание на то,
рис. 4.15. Преимущество этой схемы перед схемой, изображенной на рис. 4.15, в том, что в ней легче получить dy/dt.
что коэффициенты усиления контуров в схемах на рис. 4.15 и 4.16 совпадают. Теперь величина ——ру равна напряжению на входе интегратора / (или на выходе интегратора 3). Производная р2у получается на входном суммирующем узле интегратора 3 и равна
咼=十3%—lOgpy.(4.49)
В заключение следует подчеркнуть, что критерий сохранения коэффициента усиления контура является достаточным, но не обязательно необходимым условием допустимого преобразования схемы. Рассмотрим неколебательное дифференциальное уравнение второго порядка:
嘉+ 2a 黑+ 片=0,(4.50)
где а>|Ь|. Для такого уравнения структурные схемы, приведенные на рис. 4.17, будут правильными, если
Q 十 3 n 2а, eg = б?.(4.51)
Оба контура на рис. 4.17, а имеют коэффициенты усиления, отличные от коэффициентов усиления контуров на рис. 4.17, б.
Пример 3. На этом примере мы покажем, как можно составить программу задачи, пользуясь общим методом, и затем привести ее к канонической форме. Для уравнения
需十a2 嗡"等+。。9=配霊令+ Ь/(4.52)
на рис. 4.18 приведена структурная схема, составленная по общему методу. Сначала переместим интегратор 3 так, как показано на рис. 4.19, а затем интегратор 2, как показано на рис. 4.20. В блок-схемах на рис. 4.18 и 4.20 контуры имеют одни и те же коэффи-
Р и с. 4.17. а ——блок-схема; б ——блок-схема, имеющаяте же коэффициенты усиления контуров, что и блок-схе-ма (а). Этот пример является иллюстрацией того, чтоправило сохранения коэффициента усиления контураприменимо только при условии сохранения структурыконтуров.
циенты усиления. Однако мы должны определить выходы интеграторов /м2 (рис. 4.20). Используя метод, рассмотренный ранее на примере уравнений (4.45) (4.49), мы найдем
(4.53)(4.53)酬=一(р + а?)У； zf (р2 + «2p + ai) у.
(4.53)
(4.53)
Затем, как показано на рис. 4.21, мы переносим производные переменной х через интегратор 3 (см. пример 2). И, наконец, перенося 61Px через интегратор 2 и объединяя
Рис. 4.18. Блок-схема, составляемая с помощью общего метода.Рис. 4.18. Блок-схема, составляемая с помощью общего метода.
Рис. 4.18. Блок-схема, составляемая с помощью общего метода.
Рис. 4.18. Блок-схема, составляемая с помощью общего метода.
все члены, содержащие переменную х, мы находим (рис. 4.22) каноническую форму для уравнения (4.52).
Переменная на вы ходе интегратора 3 равна
0=(p2十。2P十a1) У + (ь2P十瓦)%(4方4)
и на выходе интегратора 2
辽=~(Рт^у + Ь2х.(4.55)
По этим уравнениям мы можем определить начальные условия на интеграторах.
Для читателя, который не любит подобных вычислений, заметим, что начальные условия большинства технических задач этого типа —— нулевые и единственная интересующая нас переменная ——у.
Преобразования над операторами с постоянными коэффициентами можно проводить в схеме, содержащей нелинейные операторы и линейные операторы с переменными коэффициентами. Здесь порядок операции должен сохраняться, за исключением операторов с постоянными коэффициентами. Правило сохранения коэффициента усиления контура останется в силе, если переменная на
Рис. 4.19. Шаг на пути приведения блок-схемы, изображенной на рис. 4.18, к схеме, имеющей каноническую форму.
Рис. 4.20. Шаг на пути приведения блок схемы, изображенной на рис. 4.18, к схеме, имеющей каноническую форму.
Рис. 4.21. Шаг на пути приведения блок-схемы, изображенной на рис. 4.18, к схеме, имеющей каноническую форму.
Рис. 4.22. Шаг на пути приведения блок-схемы, изображенной на рис. 4.18, к схеме, имеющей капопическую форму.
входе каждого нелинейного оператора сохраняется неизменной и после преобразования, а переменная на входе оператора с переменными коэффициентами после преобразования отличается от соответствующей переменной до преобразования только на постоянную.
Рис. 4.23. а ——блок-схема, где Q (р) м 尸(р)；'не являются операторами с постоянными коэффициентами; 6 ——блок-схема, эквивалентная (а).
Пример 4. На рис. 4.23, a Q (р) — оператор с переменными коэффициентами и F (р)——нелинейный оператор. Предположим, что мы преобразуем контур }, внеся Kt в обратную связь, и контур 2, введя М (р) в прямую цепь. Тогда схема на рнс. 4.23, 6 будет представлять ту же самую систему, что и схема на рис. 4.23, а.
ПРЕДПОСЫЛКИ ДЛЯ ВВЕДЕНИЯ МАСШТАБОВ ВРЕМЕНИ И ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1,з)
В гл. 3 мы уже видели, что напряжения на выходах усилителей АВМ и время решения являются соответственно аналогами зависимых переменных задачи и независимой переменной задачи. Более того, если программа для АВМ составлена непосредственно по уравнениям задачи, то между машинными переменными и переменными задачи имеет место соотношение один к одному, т. е. один вольт равен одной единице зависимой переменной задачи и одна единица машинного времени равна одной единице независимой переменной
Эта тема с несколько другой точки зрения превосходно освещена в работе [43, стр. 72——115]. Дополнительные сведения можно почерпнуть в работах [44, стр. 127——128] и [46, стр. 98 — 100, 379—382].
Масштабирование в случае нелинейных элементов будет рассмотрено в разд. 5.2.2. Масштабирование шума обсуждается в гл. П.
задачи. АВМ обладает свойственными ей ограничениями, сужающими диапазон точной работы каждого элемента. Для обеспечения условий, при которых напряжения на элементах машины не выходят за пределы установленного рабочего диапазона, нам часто приходится видоизменять первоначальное простое соотношение между машинными и исходными переменными.
Для преодоления недостатков машины в нашем распоряжении имеется два средства — изменение масштаба зависимых переменных и изменение масштаба времени. Введение масштабов для зависимых переменных изменяет уровень напряжения на элементах; введение временного масштаба изменяет время, затрачиваемое машиной на решение задачи. В этой главе описывается методика масштабирования, которую довольно просто применять и на практике и которая в какой-то степени гарантирует от ошибок. Первоначально программист составляет программу непосредственно по исходным уравнениям, описывающим задачу. Переход от масштабного соотношения один к одному к любому другому можно осуществить прямо на структурной схеме программы решения задачи, применяя небольшое число правил преобразования блок-схем.
В этой главе мы рассмотрим масштабирование множителем, сохраняющим постоянное значение при решении задачи. Переменный масштаб рассмотрен в разд. 7.2.
4.5・ МАСШТАБИРОВАНИЕ ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В машине имеются функциональные элементы, не способные выполнять соответствующие математические операции, если величина напряжения, возникающего при решении задачи, слишком велика или слишком мала. Выходное напряжение операционного усилителя имеет верхний предел, так как выходной ток может изменяться только в пределах от нуля до некоторого значения, определяемого конструкцией усилителя. Напряжение на входе сервоумножителя не может превысить значения напряжения, подаваемого на потенциометр следящей системы, подключенный к выходу этого сервоумножителя .Такой же список ограничений может быть составлен для всех элементов АВМ.
Напряжения в процессе решения задачи машиной не могут оставаться ниже определенного уровня в течение длительного интервала времени. Шум усилителя и дрейф напряжения интегратора становятся сравнимыми с напряжением, определяющим решение. Электромеханические устройства, такие, как реле и сервоумножители, обладают пороговым напряжением: при более низких напряжениях они не выполняют своих операций достаточно точно. Допустимый нижний уровень напряжения на элементах АВМ в значительной степени определяется характером задачи. Необходимо дать ответ на вопрос: насколько решение задачи чувствительно к искажениям напряжения, возникающим из-за шума и дрейфа? Отсутствие воспроизводимости результатов при повторных решениях задачи на машине может указывать на то, что в ходе решения задачи уровень напряжения в каком-то месте схемы оказывается слишком низким. Хорошим эмпирическим критерием точности работы современных прецизионных АВМ (в случае отсутствия у программиста других соображений, позволяющих сделать противоположные выводы) является следующий критерий: если максимум напряжения на элементе АВМ в ходе решения задачи не превышает 1 % то это может привести к появлению ошибок в работе этого элемента.
Масштабирование амплитуды напряжения можно производить, либо видоизменяя уравнения задачи, либо путем непосредственного изменения структурной схемы. Из этих двух методов заслуживает предпочтения второй. Изменение математических уравнений требует затраты столь многих усилий, что его можно рекомендовать только для тех, кто получает удовольствие от самого процесса такой работы. Однако мы рассмотрим и методику необходимого изме-
нения уравнения, так как это может пролить некоторый свет на процесс масштабирования. Мы покажем, как выбрать масштаб с таким расчетом, чтобы напряжение на элементе АВМ при решении задачи не вышло за допустимые пределы. При этом мы предполагаем, что одновременно исключается падение напряжения ниже минимального рабочего уровня. Как выбирать масштаб, если последнее не имеет места, мы подробно обсудим в гл. 7.
Следует сначала внести ясность в обозначения, которые мы будем использовать. Как показывает рис. 4.24, входным сигналом потенциометра является
Л
Xa #£
Рис. 4.24. Применение потенциометрадля выбора масштаба.
напряжение, соответ сгвующее переменной х, а его выходным сигналом - напряжение, соответствующее произведению kx. Допустим переменная х представляет собой расстояние и масштаб на входе потенциометра выражается соотношением
1 m=1s.(4.56)
Тогда можно сказать, чго машинное напряжение и исходная переменная связаны масштабным соотношением один к одному, так как
единица исходной переменной = 1 единица напряжения.
Рассмотрим случай, которому соответствует 1 s на входе и ^ в на выходе, причем расстояние х осталось равным 1 м. Уровень напряжения изменился, но никакой операции над исходной переменной выполнено не было. Итак, на выходе k в представляют 1 м по переменной х. Теперь масштаб имеет вид
ж — 1 s.(4.57)
Коэффициент k имеет размерность м/в или, в общем случае, размерность исходной переменной /в.
Такая процедура масштабирования применима ко всем элементам АВМ. Итак, в общем случае, масштаб физической величины изменяется следующим образом:
Коэффициент усиления элемента '
Этот метод амплитудного масштабирования имеет два преимущества. Во-первых, масштабирование выполняется при составлении программы для АВМ. Во-вторых, масштаб на структурной схеме определяется на выходе каждого элемента.
Множитель 々 должен выбираться таким образом, чтобы напряжение не превышало своего максимально допустимого значения. Если максимальное значение исходной переменной равно хмакс и максимальное напряжение Умакс, тогда имеет место соотношение
丄1吟(4.58) ! ^макс] 1
Преобразуя математическое уравнение, мы можем обеспечить появле ние надлежащего множителя на выходе каждого из элементов машины следующим образом. Предположим, мы должны запрограммировать уравнение
需+ 。 黑+也=/(/),(4.59)
где а и & —постоянные. Пусть даны максимальные значения переменных задачи:
Во всех случаях максимальное напряжение равно V*MaKc. Поэтому масштабные множители соответственно равны
b I Ь'макс I ь I ^макс II ^макс I/л 仆八、
I 山2 |максI 山 |макс
Тогда уравнение （4.59） мы можем переписать в следующем виде:
春（后一需）十言（①黑'）+标砧）= /（/）•（4・61）
Величины в скобках — переменные, которые мы хотим запрограммировать. Применяя обычную технику программирования, мы получаем структурную
схему, изображенную на рис. 4.25. На этой схеме мы видим, что переменная у и ее производные имеют разный масштаб. Чтобы завершить составление программы, остается только добавить начальные условия. При начальных условиях для исходной переменной
（乳0 =九（办=a получаем
一自（穿）。м ~kim 8
и（4.62）
备热）二々0孔S，
Такой же выбор масштабов можно произвести и с помощью структурной схемы программы. Мы начинаем с составления программы для АВМ, используя уравнения в масштабе один к одному （масштабный множитель повсюду взят равным единице）. Затем в каждой точке мы изменяем масштабный множитель до любой желаемой величины. Наконец, применяя правило постоянства коэффициента усиления контура （разд. 4.3）, мы добиваемся того, чтобы после изменения масштабных множителей коэффициент усиления каждого контура остался бы таким же, каким он был до изменения. В данном случае мы производили амплитудное масштабирование уровня переменной, изменяя масштаб только в постоянное число раз. Поэтому мы используем правило постоянства коэффициента усиления контура для случая, когда коэффициенты усиления являются постоянными величинами, а не операторами.
Пример 5. Для уравнения
d3q , d2ydy I 八
r+ a丽+0石"+也=°
с начальными условиями
u = 5，票=一3,需=2,5
(4.63)(4.63)величину 10 dy/dt. масштабе один к одному Как показано стрелками.величину 10 dy/dt. масштабе один к одному Как показано стрелками.Рис. 4.26. Структурная схема, составленная непосредственно по уравнению (4.63).Рис. 4.26. Структурная схема, составленная непосредственно по уравнению (4.63).нужно составить программу таким образом, чтобы получить Мы начинаем с программирования уравнения (4.63) в и получаем структурную схему, приведенную на рис. 4.26.
(4.63)
(4.63)
величину 10 dy/dt. масштабе один к одному Как показано стрелками.
величину 10 dy/dt. масштабе один к одному Как показано стрелками.
Рис. 4.26. Структурная схема, составленная непосредственно по уравнению (4.63).
Рис. 4.26. Структурная схема, составленная непосредственно по уравнению (4.63).
В качестве промежуточного шага, которому соответствует схема ваем 10 руВ качестве промежуточного шага, которому соответствует схема ваем 10 руРис. 4.27. Первый шаг при масштабировании зависимых переменных схемы рис. 4.26.Рис. 4.27. Первый шаг при масштабировании зависимых переменных схемы рис. 4.26.
В качестве промежуточного шага, которому соответствует схема ваем 10 ру
В качестве промежуточного шага, которому соответствует схема ваем 10 ру
Рис. 4.27. Первый шаг при масштабировании зависимых переменных схемы рис. 4.26.
Рис. 4.27. Первый шаг при масштабировании зависимых переменных схемы рис. 4.26.
имеется три контура со следующими коэффициентами усиления:
(4.64)(4.64)K2=一专,
(4.64)
(4.64)
3一紹
на рис. 4.27, записы- 1 Н —у
на выходе интегратора 3. Поэтому схема может быть правильной только в том случае, если цепь между выходами интеграторов / и 2 характеризуется коэффициентом усиления 10, а цепь между выходами интеграторов 2и 3 — коэффициентом усиления 0,1. После введения таких коэффициентов усиления, мы находим, что контур 3 имеет тот же коэффициент усиления, что и контур на рис. 4.26. Мы должны, однако, ввести коэффициент
усиления и в контур 2. Проделав это, как показано на рис. 4.28, мы получаем схему с измененным масштабом на выходе интегратора 2. Начальные условия для схемы на рис. 4.28 равны
%2= —(Р2y)о= —2,5 8,
〃=10 (ру)о= — 30 %(4.65)
го—一(РУ)о~ 一5 в.
Основная и, в сущности, непреодолимая трудность, с которой сталкиваются при масштабировании новой, незнакомой задачи, заключается в почти
Рис. 4.28. Схема с измененными масштабами зависимых переменных, эквивалентная схеме, изображенной на рис. 4.26.
полном отсутствии способов определения максимальных значений переменных. В своей книге В Джексон ссылается на разработанный им остроумный эмпирический метод, который он с успехом использовал.
Для уравнения с постоянными коэфф ициентам и вида
塞 + 因一1 ^- + ... + а^ + аоу = Ви (/),(4.66)
где Ви (f)——ступенчатая вынуждающая функция величиной В?), и все начальные условия ——нулевые, максимумы переменных можно приближенно определить с помощью соотношений
I 齧 Lkc = B
I 窯以="£ 1WY-1,(4.67)
I У I мак с ~ - а。•
Не существует аналитических методов нахождения максимальных значений переменных для нелинейных и нестационарных линейных задач с большим числом переменных. Здесь мы должны р у ко водство ваться результатами решен - ной ранее подобной (будем надеяться, что это так) задачи. В случае физической задачи мы можем знать границы изменения некоторых переменных, почти ничего не зная о других переменных. Если, например, рассматривается задача о потреблении бензина автомобилем при определенных дорожных условиях, мы знаем, что количество использованного бензина не может превысить его запаса в бензобаке в начале испытаний.
Как же поступать в том случае, когда нет аналитического метода, подобная задача ранее не решалась и отсутствуют какие-либо соображения относительно определения пределов изменения переменных? При решении сложных задач такое положение возникает довольно часто. В таком случае нам остается высказать более или менее обоснованные предположения о границах изменения
[43, стр. 101 ——103] Джексон называет свой метод правилом равных коэффициентов.
См. приложение 1.
переменных и, исходя из этого, выбрать масштабы. На основе этого составляется программа и задача решается на ABM. С вероятностью, близкой к единице, мы обнаружим, что в ходе этого первого процесса решения некоторые напряжения будут слишком велики, а другие слишком малы. (Мы предполагаем, что машина обладает предохранительными устройствами для защиты элементов от повреждения повышенным напряжением, например, у потенцио^ метров имеются плавкие предохранители.) Напряжения в цепях АВМ можно быстро проконтролировать с помощью вольтметра или осциллографа. Кроме того, каждый усилитель снабжен индикатором перегрузки, фиксирующим существенные отклонения напряжения в суммирующем узле от нуля. Светящаяся лампочка на передней панели усилителя указывает, что он перегружен и не может работать как линейный элемент, так как требуемое выходное напряжение слишком велико.
Когда выявлены все выходящие за допустимые пределы напряжения, их можно промасштабировать на структурной схеме по методике, проиллюстрированной примером 5. Никакого обращения за помощью к уравнениям задачи не требуется. При выборе масштабов для некоторых переменных мы изменяем также уровни напряжения в других частях электрической схемы. Напряжение, которое ранее удовлетворяло техническим требованиям, после масштабирования может выйти за пределы рабочего диапазона элемента. Мы должны масштабировать методом проб и ошибок, придерживаясь следующего порядка:
Решать задачу на машине, наблюдая в процессе решения за всеми напряжениями.
Изменить масштаб переменных, если соответствующие им напряжения выходят за пределы диапазона точной работы элементов АВМ.
Повторно решить на машине задачу с новыми масштабными множителями.
Вновь изменить масштабы переменных в соответствии с результатами п. 3.
Таким путем следует продолжать чередование решений задачи на машине с изменением масштабов. В конечном счете мы найдем масштабы, которые позволяют решить задачу с достаточной точностью. На первый взгляд может показаться, что этот метод масштабирования требует больших затрат труда. Практически дело обстоит иначе. При наличии некоторого опыта можно очень быстро изменить масштаб на выходе любого элемента, так как структурная схема показывает, параметры каких элементов следует затем изменить, чтобы сохранить коэффициент усиления контура постоянным. Более того, для большинства задач после первого пробного решения следует изменить только некоторые из переменных. Еще более существенно то, что оператор не совершает эту предварительную работу напрасно; он изучает структурную схему программы решения, а также получает довольно много сведений о свойствах решения задачи.
ВЫБОР МАСШТАБА ВРЕМЕНИ
Из всех проблем, возникающих при программировании на АВМ, выбор масштаба времени ——самая трудная задача как для начинающего, так и для опытного оператора. Положение еще более усугубляется ввиду того, что трудности носят в основном семантический характер и происходят от путаницы, связанной с употреблением слова время. При работе на АВМ употребляют выражения исходное время, машинное время и реальное время. Исходное время соответствует независимой переменной задачи. Происхождение термина объясняется тем, что на заре развития аналоговой техники независимой переменной в большинстве задач было время. Машинное время — это независимая переменная решения, получаемого на АВМ. Реальное время — время окружающего нас физического мира. При обсуждении выбора масштаба времени оно
будет встречаться лишь в тех случаях, когда мы должны соединять машину с устройствами, поведение которых можно описывать только в реальном времени. К таким устройствам относится оборудование, используемое при физическом моделировании, и записывающие устройства с приводом от двигателей, скорость которых выражается числом оборотов в единицу реального времени.
Масштабирование времени представляет собой простое изменение времени решения задачи на машине. Такое изменение влияет на соотношение между независимой переменной задачи, в дальнейшем называемой исходным временем, и машинным временем. Всегда следует выбирать масштаб времени таким образом, чтобы АВМ работала как можно быстрее при сохранении точности решения. Чем больше время однократного решения задачи, тем больше потребуется времени для получения необходимых данных. Для некоторых больших статистических задач сжатие масштаба времени вдвое может привести к экономии нескольких недель общего времени работы на машине. Однако существует наивысшая скорость, с которой машина может решать задачу. Элементы машины выполняют математические операции, для которых они сконструированы, лишь приближенно. Серводвигатели обладают ограниченной скоростью и могут точно обрабатывать только такие сигналы, темп изменения которых не превышает максимальной скорости двигателя. Усилители и интеграторы вносят паразитные временные запаздывания, которые могут привести к тому, что устойчивой задаче будет соответствовать неустойчивая машинная структура. Такая система может быть стабилизирована только путем изменения коэффициентов усиления контуров 丄).Нельзя стабилизировать схему одним изменением масштабов зависимых переменных, так как при этом сохраняются неизменными коэффициенты усиления контуров. Однако выбором масштаба времени можно изменить коэффициент усиления любого контура, содержащего хотя бы один интегратор. Обычно для стабилизации схемы необходимо понизить коэффициент усиления контура, что эквивалентно замедлению решения задачи в результате изменения масштаба времени. Возможно также, что задача решается слишком медленно; в этом случае дрейфы нуля усилителей и интеграторов могут привести к ошибкам в решении.
Для большинства сложных задач фактически невозможно заранее установить, отвечает ли данный масштаб времени условиям нормальной работы машины. В таком случае, так же как и в случае масштабирования уровней напряжения, следует, исходя из достаточно обоснованных предположений, выбрать масштаб времени и в соответствии с ним составить программу для машины. Сначала решают задачу в этом масштабе времени, а затем со скоростью вдвое меньшей 2). Если оба решения одинаковы, то сильнее сжатый масштаб времени не является слишком сжатым.
Как мы видели в гл. 3, независимая переменная задачи соответствует машинному времени. Если, например, мы начинаем с масштаба 1 единица независимой переменной задачи = 1 единица машинного времени, то мы можем ускорить или замедлить процесс решения задачи в зависимости от того, как мы изменим этот масштаб. Обратите внимание на то, что АВМ обладает своей собственной единицей бремен% и машинное время измеряется только этой единицей.
Эталон машинного времени задает интегратор, единственный элемент, в размерность выходной величины которого входит время ). За единицу машинного времени принимается время, в течение которого напряжение на выходе интегратора с единичным коэффициентом усиления изменяется на одну
Обширные выводы относительно устойчивости систем с обратной связью см. в [49, стр. 21-01+21-81].
Такая возможность предусмотрена конструкцией некоторых машин.
единицу при подаче на вход интегратора напряжения, равного одной единице I). Для машин общего назначения одна единица времени равна 1 сек, но следует подчеркнуть, что можно сконструировать аналоговую машину с любой другой временной базой ). Эталон машинного времени можно также определить через длину периода эталонного синусоидального колебания. Определение, которое мы используем, несколько лучше, так как оно связывает непосредственно эталоны времени и напряжения. Почти всегда эталон напряжения равен 1 в, однако в принципе он может быть и любым другим.
Связь интегратора с временной базой можно показать на следующем простом примере. Предположим, что тело движется с постоянной скоростью V = 1 м/сек. Путь, пройденный телом, равен
d — V dt -=V t^.(4.68)
о
Теперь предположим, что имеет место соотношение
1 8=1 м/сек.(4.69)
Для нахождения пройденного телом пути машина настраивается так, как показано на рис. 4.29. Если V = 1 仇 то через 1 сек напряжение на выходе
Рис. 4.29. Интегрирование.
интегратора будет равно 1 в. Однако рассмотрим интегратор, у которого RC = 4. В этом случае выход интегратора будет равен ?)
费 ^山=；打山=?(4.70)
оо
Для АВМ, у которой все RC 4, временная база равна 4 сек. Если 厶4, тогда Vt{/4 = d. На такой АВМ задача набирается точно таким же образом, как и на машине с RC = 1. Если бы оператор располагал только эталоном машинного времени, решения, полученные на этих двух машинах, были бы неразличимы. В действительности АВМ с RC = 1 решит задачу в четыре раза быстрее машины с RC = 4.
Теперь мы изложим математические основы масштабирования времени. Затем мы укажем, как можно произвести такое масштабирование, пользуясь непосредственно структурной схемой и не возвращаясь к системе исходных уравнений. Методика, применяемая для изменения масштаба времени, совсем проста. Если исходная независимая переменная обозначается через х, то производится следующее линейное преобразование:
х = £,(4.71)
где t — машинная независимая переменная.
Если а〉1, то процесс решения замедляется в а раз; если а < 1, то процесс решения ускоряется в а раз. Рассмотрим уравнение
+ 九寨 + 62y = f (%)•(4.72)
Если произвести преобразование
то получим
или иначеили иначе(4.73а)(4.736)(4.73а)(4.736)
или иначе
или иначе
(4.73а)
(4.736)
(4.73а)
(4.736)
На рис. 4.30 приведена структурная схема решения уравнения (4.736), где
ии2/ = ТJ dx2/ = ТJ dxP『R p"y = iP『R p"y = i(4.74)(4.75)(4.74)(4.75)
и
и
2/ = Т
J dx
2/ = Т
J dx
P『R p"y = i
P『R p"y = i
(4.74)
(4.75)
(4.74)
(4.75)
Применяя правила масштабирования переменных для преобразования коэффициентов усиления контура, из структурной схемы, изображенной на
Р и с. 4.30. Структурная схема программы с выбранным масштабом времени, составленная непосредственно по уравнению (4.736).Р и с. 4.30. Структурная схема программы с выбранным масштабом времени, составленная непосредственно по уравнению (4.736).
Р и с. 4.30. Структурная схема программы с выбранным масштабом времени, составленная непосредственно по уравнению (4.736).
Р и с. 4.30. Структурная схема программы с выбранным масштабом времени, составленная непосредственно по уравнению (4.736).
рис. 4.30, можно получить структурную схему, приведенную на рис. 4.31. Рассматривая рис. 4.31, мы формулируем следующее важное правило масштабирования времени по структурной схеме: для введения масштабного коэффициента а надо умножить коэффициент усиления каждого интегратора на
Рис. 4.31. Структурная схема, эквивалентная схеме 'на рис. 4.30. Элементы, заключепиые в пунктирных прямоугольниках, представляют собой интеграторы, все входы которых изменены для получения нового масштаба времени.Рис. 4.31. Структурная схема, эквивалентная схеме 'на рис. 4.30. Элементы, заключепиые в пунктирных прямоугольниках, представляют собой интеграторы, все входы которых изменены для получения нового масштаба времени.
Рис. 4.31. Структурная схема, эквивалентная схеме 'на рис. 4.30. Элементы, заключепиые в пунктирных прямоугольниках, представляют собой интеграторы, все входы которых изменены для получения нового масштаба времени.
Рис. 4.31. Структурная схема, эквивалентная схеме 'на рис. 4.30. Элементы, заключепиые в пунктирных прямоугольниках, представляют собой интеграторы, все входы которых изменены для получения нового масштаба времени.
множитель 1 /а. Если это проделано, то переменная на выходе каждого интегратора после масштабирования останется неизменной (вычерчивая графики выходных величин интеграторов, мы должны каждой единице независимой
переменной % поставить в соответствие 1/а единиц машинного времени t). При таком способе масштабирования начальные условия на каждом интеграторе представляются одним и тем же напряжением до и после масштабирования. Заметьте, что входная величина f (tf吟 также должна подвергнуться масштабированию по времени. Если эта входная величина получается в результате операций интегрирования, то правильное изменение коэффициентов усиления во входных цепях соответствующих интеграторов автоматически обеспечивает масштабирование этой входной величины по времени. Однако, если сигнал на вход поступает от некоторого внешнего источника, его следует вначале записать, а затем уже изменить масштаб времени. Если при физическом моделировании в сочетании с АВМ используется соединенный с ней электронный или электромеханический прибор, то обычно в этот прибор нельзя внести изменения. При этих условиях изменение масштаба времени решения на АВМ оказывается невозможным.
Тот факт, что задача изменения масштаба времени может быть решена путем введения в каждую входную цепь интегратора коэффициента усиления 1 /а, означает больше, чем случайное стечение обстоятельств. Давайте рассмотрим АВМ, интеграторы которой имеют коэффициенты усиления в 1/а раз большие, чем интеграторы в схеме на рис. 4.31. Таким образом, новый интегратор можно было бы представлять как блок, который на рис. 4.31 выделен пунктирной линией. Такой интегратор можно было бы построить, увеличив в а раз емкость конденсатора в исходном интеграторе. При желании мы можем с помощью этого нового интегратора составить программу решения уравнения (4.72), сохраняя соотношение один к одному между переменной х и новой временной базой машины, которая теперь равна первоначальной, умножен- но访 на а. (Как было сказано выше, эталон времени определяется интегратором.) Снова подчеркиваем, что если входной сигнал формируется в результате операций, выполняемых АВМ, то правильность его временного масштаба будет обеспечиваться автоматически. Если же на вход поступает сигнал от внешнего источника, то необходимо изменить его масштаб времени для согласования с машинным.
Решение задачи в «обратном» времени
АВМ решает задачу при возрастании машинной независимой переменной, т. е. времени. Таким образом, начальные условия задачи должны задаваться при наименьшем значении независимой переменной. Если нас интересует решение для значений независимой переменной в пределах х@ V % V с начальными условиями, заданными при % 亠尤匕 удовлетворяющей неравенству то, задавая начальные условия и решая задачу при возрастании машинного времени, мы получаем решение на отрезке
Однако получение решения на интервале
хо < х <
представляет собой совсем другую задачу. Этой цели можно достигнуть, только решая задачу от точки 修 в обратном направлении. Чтобы решить задачу в обратном направлении, мы должны произвести следующее изменение масштаба времени:
—х.(4.76)
Из уравнения (4.76) мы видим, что возрастание машинного времени соответствует убыванию исходной переменной x^ Сравнивая это уравнение с уравне-
нием (4.71), мы замечаем, что
а = — 1.(4.77)
Следовательно, программа для решения задачи на АВМ в «обратном» времени получается умножением каждого входа интегратора на множитель ——1.
Предположим, мы должны решить задачу на интервале V % V %ь и имеем два набора начальных условий: в точке х@ н в точке хь. Возникает вопрос, в прямом или обратном времени нужно решить задачу? Мы решаем задачу в направлении, в котором решение сходится. Поступая таким образом, мы получим более точное решение задачи на АВМ х). Если при возрастании независимой переменной решение сходится, то при уменьшении значений независимой переменной оно расходится, и наоборот.
Однако мы свободны решать по своему усмотрению задачу в прямом или обратном времени только в том случае, если задача является обратимой. Чтобы
задача была обратимой, она должна удовлетворять следующему критерию. Мы начинаем решение задачи при одном значении независимой переменной х& и снимаем график решения до второго значения хь. В точке хь процесс решения останавливается, причем значения переменных на выходах интеграторов сохраняются, и АВМ начинает решать задачу в обратном направлении. Задача обратима, если график от точки хь до точки х& повторяет график от точки % до точки /•
Задача обратима, если все элементы машины выполняют однозначные операции. К однозначным мы относим такие операции, для которых при каждом значении входа имеет место однозначное соотношение между входным и выходным сигналами. График на рис. 4.32 иллюстрирует неоднозначную операцию. Здесь переменная и является входом и переменная у — выходом, причем стрелки определяют значения переменной у как функции направления изменения переменной и. На двух интервалах у > ос и и< ——а эта операция является однозначной. Если задача рассматривается внутри одного из этих двух интервалов, она обратима. На среднем интервале ——а V и V а значение переменной у зависит не только от входной величины и, но также и от направления ее изменения. Следовательно, задача, включающая этот интервал, не является обратимой. Для необратимой задачи правильное решение на АВМ будет получено лишь при изменении независимой переменной только в том направлении, которое характерно для этой задачи.
Мы постараемся обосновать это утверждение в разд. 7.4.
МАСШТАБИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ
Правила составления сопряженной структурной схемы, рассмотренные в разд. 3.4, применимы и когда схема исходного уравнения составлена в масштабе один к одному, и когда она промасштабирована. Если весовая функция для исходной схемы промасштабирована, то весовая функция сопряженного уравнения масштабируется таким же образом.
Пусть на рис. 4.33, а изображена блок-схема программы решения исходной системы. В блок-схеме на рис. 4.33, 6 мы вводим масштабный множитель а^а^зу
Рис. 4.33. а ——блок-схема программы вычисления на АВМ весовой функции; б ——блок-схема (а) после введения масштаба для зависимых переменных; в ——блок-схема, сопряженная со схемой (б).
воздействующий на весовую функцию. Если мы построим сопряженное уравнение, используя в качестве модели схему на рис. 4.33, 6, результатом будет схема на рис. 4.33, 8, весовая функция которой имеет те же масштабные множители, что и раньше.
Так как сопряженному уравнению не соответствуют те же самые машинные напряжения, что и исходному, оптимальное масштабирование этих двух структурных схем программы решения будет различным.
Дельта-функция может быть заменена путем введения необходимого начального условия на выходе соответствующего интегратора (см. разд. 3.4). Из того факта, что изменение масштаба времени не оказывает влияния на начальные условия, следует, что после изменения масштаба времени дельта- функция заменяется тем же начальным условием, что и до масштабирования. Таким образом, коэффициент усиления интегратора, через который должна пройти дельта-функция, при масштабировании времени изменяется, а амплитуда дельта-функции претерпевает такое компенсирующее изменение, чтобы выход интегратора остался прежним х). Следовательно, па начальные условия интегратора может повлиять только масштабирование переменных.
См. приложение 1.
ВЫВОДЫ
Масштабырование зависимых переменных и времени можно производить непосредственно на структурной схеме программы решения задачи на АВМ. Сначала нужно составить структурную схему программы прямо по уравнению задачи в масштабе один к одному для зависимых переменных и времени. Затем можно изменить масштаб, соблюдая следующие правила.
Масштабирование зависимых переменных
Измените масштабные множители тех элементов, которые требуют этого.
Введите коэффициенты усиления, с тем чтобы согласовать величины машинных переменных с масштабными множителями на схеме.
Там где необходимо, введите коэффициенты усиления так, чтобы коэффициенты усиления контуров имели те же значения, что и на схеме с масштабом один к одному для зависимых переменных.
Введите новые обозначения для всех переменных на структурной схеме, которые изменились в результате масштабирования. Отношение двух 【кре-
QD3DWднхандАQD3DWднхандА。 1а 2а За 4a Измененный масштаб。 1а 2а За 4a Измененный масштабРис. 4.34. График, иллюстрирующий как влияет на координаты выбора масштаба времени и зависимых переменных. Обратите внимание на то, что при масштабировании зависимых переменных мы изменяем ординаты, а при масштабировании времени—абсциссы.Рис. 4.34. График, иллюстрирующий как влияет на координаты выбора масштаба времени и зависимых переменных. Обратите внимание на то, что при масштабировании зависимых переменных мы изменяем ординаты, а при масштабировании времени—абсциссы.
QD3DWднхандА
QD3DWднхандА
。 1а 2а За 4a Измененный масштаб
。 1а 2а За 4a Измененный масштаб
Рис. 4.34. График, иллюстрирующий как влияет на координаты выбора масштаба времени и зависимых переменных. Обратите внимание на то, что при масштабировании зависимых переменных мы изменяем ординаты, а при масштабировании времени—абсциссы.
Рис. 4.34. График, иллюстрирующий как влияет на координаты выбора масштаба времени и зависимых переменных. Обратите внимание на то, что при масштабировании зависимых переменных мы изменяем ординаты, а при масштабировании времени—абсциссы.
менных определяется коэффициентом усиления цепи между точками, где эти переменные считываются.
На рис. 4.34 показано, как масштабирование множителем К влияет на величину напряжения, соответствующего некоторой машинной переменной (ось ординат).
Масштабирование времени
Для изменения масштаба в а раз измените все входы каждого интегратора в 1 /а раз.
Начальные условия, задаваемые интеграторам, остаются без изменения. Переменная на выходе каждого интегратора та же, что и до масштабирования. Однако а единиц машинного времени £ равно одной единице независимой переменной %.
Если на вход подается сигнал от внешнего по отношению к АВМ источника, то этот вход должен иметь тот же масштаб времени, что и АВМ.
На рис. 4.34 показано, как масштабирование множителем а влияет на процесс воспроизведения переменной (ось абсцисс).
ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИ м ЕЛЬ1)
Составляя программу дифференциального уравнения, мы должны использовать столько интеграторов, чтобы их число было по меньшей мере равно порядку дифференциального уравнения. Мы можем даже использовать большее число интеграторов, если они необходимы для воспроизведения либо вынуждающей функции, либо некоторых коэффициентов. Таким образом, если все
Рис. 4.35、Операционныйусилитель.
коэффициенты постоянны, то количество интеграторов, требуемых для моделирования передаточной функции, равно порядку ее знаменателя. Как поступать в таком случае, когда число интеграторов, требуемых для решения задачи, превышает число всех интеграторов нашей АВМ? Если нам не хватает порядка 100 интеграторов, то мы можем сказать лишь несколько слов о нереальности решения задачи и забыть ее. Ни что если нам не хватает лишь нескольких интеграторов или, по злой иронии судьбы, всего одного? В таких случаях
о6
Рис. 4.36. а ——схема операционного усилителя, на которой показаны все соединения входного элемента и элемента обратной связи; 6 ——схема, эквивалентная схеме (а), на которой отсутствуют все соединения с землей.
к нам на помощь приходит операционный усилитель, который мы можем запрограммировать таким образом, чтобы он выполнял работу нескольких интеграторов.
Операционный усилитель, символически изображенный на рис. 4.35, является сердцем АВМ. На его основе построены усилитель, интегратор и инвертор. Операционному усилителю свойственны следующие отличительные черты:
Он является усилителем напряжения с высоким отрицательным коэффициентом усиления с несколькими входами и одним выходом.
Имеет высокое входное сопротивление. Для любого входного напряжения ток, текущий через входную цепь в усилитель, пренебрежимо мал.
Отличается низким выходным сопротивлением. При подключении любой нагрузки выход не перегружается.
Подсоединяя к операционному усилителю, как показано на рис. 4.36, а, пассивные четырехполюсники, состоящие из линейных элементов (постоянные резисторы и конденсаторы), мы можем получить передаточные функции первого и более высокого порядка. Так как два полюса из четырех заземлены, цепь всегда рисуется в более простой форме, как это показано на рис. 4.36, б. Четырехполюсник, скажем R (") на рис. 4.37, описывается двумя различными группами характеристик, каждая из которых однозначно определяет свойства этого четырехполюсника.
1) См、[43, стр. 37—48, 514—550], [46, стр. 35—67, 4 58—493] и [54].
Первую группу составляют импедансы разомкнутой цепи 巧】3), z?? (р), 之12 (р),之21 (")• Подсоединяя источник тока Ц к клеммам 1а—— \b и измеряя на тех же клеммах напряжение Е^ при разомкнутой цепи 2a ——26, мы получаем входной импеданс ги = EJI、. Аналогично, если подключить источник тока к клеммам 2a —— 26 и измерить на них напряжение при разомкнутой цепи
斤包斤包ю2ао2Ью2ао2Ь/а о
斤包
斤包
ю2а
о2Ь
ю2а
о2Ь
1Ь о
Рис. 4.37 Четырехполюсник.
1а——16, получим другой входной импеданс ”〉= EJI?. Если источник тока /] подключен к клеммам 1а —— 1 b, а напряжение 七之 измеряется на клеммах 2a —— 26 при разомкнутой цепи между ними, результирующее отношение %i2Ez//】 называется передаточным импедансом. Так как мы рассматриваем
четырехполюсники с линейными пассивными элементами, всегда выполняется соотношение ^i2 = г2Р
Вторая группа функций, которая однозначно описывает четырехполюсник,——полные проводимости，“，у^, у^, У2b Они определяются через напряжение, прикладываемое к одной паре клемм при коротком замыкании другой пары клемм. Представляют интерес результирующие токи, протекающие через входные и выходные клеммы четырехполюсника. Напряжения и токи, относящиеся к одной и той же паре клемм, связаны следующими соотношениями:
力2 = g,(4.78)
/ 2/i
Величинами, обратными полным проводимостям короткозамкнутой цепи, являются импедансы короткозамкнутой цепи.
Импедансы разомкнутой цепи и полные проводимости короткозамкнутой цепи связаны системой уравнений：
二学， 电一#\ 乙2ЬT当 y = y11p22一y：2，
У22 匚 ~^一， У12= ~У^， Z = Z]]212 — Z；2・(4.79)
Так как напряжение е^ почти равно нулю, пара клемм, подключаемая ко входу усилителя в схеме на рис. 4.36, а, по существу, замкнута накоротко. Если через 务 и 之,обозначить передаточные импедансы короткозамкнутой цепи четырехполюсников R (р) ь F (〃) соответственно, то в данном случае передаточная функция е^/ел равна
号=—导•(4.80)
Обратите внимание на то, что передаточная функция есть отношение передаточных импедансов д).
Для более общей схемы соединения операционного усилителя, показанной на рис. 4.38, соотношение между входами и выходом хорошо апроксими- руется уравнением
/1,1 ,,/1,1 ,,+ 暑■ (4.81)+ 暑■ (4.81)
/1,1 ,,
/1,1 ,,
+ 暑■ (4.81)
+ 暑■ (4.81)
Далее в этой книге термин передаточный импеданс будет обозначать передаточный импеданс короткозамкнутой цепи.
Между прочим, общепринято, что символ Zj внутри прямоугольника обозначает передаточный импеданс соответствующего четырехполюсника.
Уравнение (4.81) показывает, что эффективная передаточная проводимость параллельно соединенных четырехполюсников равна сумме проводимостей отдельных четырехполюсников. Однако за некоторыми исключениями мы не
Рис. 4.38. Операционный усилитель с несколькими входными элементами и несколькими элементами обратной связи.
можем просто складывать импедансы при последовательном соединении четырехполюсников. Для четырехполюсников, изображенных на рис. 4.39, полный передаточный импеданс Zab удовлетворяет условию
Z@b = Zi + Z?,
если выполняется равенство
厶=，2=2з・
Это условие удовлетворяется, если элементы каждого четырехполюсника
входу и одному выходу и ни одинвходу и одному выходу и ни одинРис. 4.40. Последовательное соединение передаточного импеданса и потенциометра.Рис. 4.40. Последовательное соединение передаточного импеданса и потенциометра.подсоединены к двум клеммам, одному
входу и одному выходу и ни один
входу и одному выходу и ни один
Рис. 4.40. Последовательное соединение передаточного импеданса и потенциометра.
Рис. 4.40. Последовательное соединение передаточного импеданса и потенциометра.
Рис. 4.39. Последовательноесоединение двух передаточныхимпедансов.
внутренний элемент не связан с землей х). В такой цепи все входные передаточные импедансы равны между собой.
Потенциометр, соединенный последовательно с передаточным импедансом, приводит к умножению его на постоянный множитель (масштабный множитель потенциометра является его передаточной функцией). Передаточный импеданс цепи от точки а к точке b равен ZJh. Последовательно соединенный потенциометр изменяет передаточный импеданс обратно пропорционально своему масштабному множителю.
Уравнение (4.80) показывает, как можно использовать операционный усилитель для реализации широкого класса передаточных функций, определяемых передаточными импедансами, которые мы можем выбирать для Z» и Например, если Z^ и Z/ отличаются только постоянным множителем, то рис. 4.38 изображает усилитель. В усилителях в качестве Z* и Zf используются
См. табл. 3.1 в [35, стр. 168], в которой приведены передаточные функции для нескольких различных четырехполюсников.
резисторы, и в этом случае передаточная функция равна
В типичных высокоточных АВМ обычно/?；二一 10е ом, a R( принимают значения в зависимости от выбираемых коэффициентов усиления. Эти коэффициенты усиления обычно равны 1, 4, 5 и 10.
Мы можем построить интегратор, если взять
Z『 = M ⑺,Zi — pM (р).(4.83)
Типичный интегратор АВМ состоит из конденсатора С; в цепи обратной связи и резистора, используемого в качестве входного элемента. Тогда
Z 产-a
и(4.84)
Коэффициент усиления интегратора равен произведению 1/&R「Типичное значение емкости такого конденсатора 1 мкф.
Применяя входные импедансы и импедансы обратной связи, содержащие более одного конденсатора, мы можем получить передаточные функции более
Рис. 4.41. Четыре эквивалентные цепи.Рис. 4.41. Четыре эквивалентные цепи.
Рис. 4.41. Четыре эквивалентные цепи.
Рис. 4.41. Четыре эквивалентные цепи.
высокого порядка и заменить соответствующее число интеграторов. Таблица различных передаточных импедансов приведена в приложении 3. Таблица построена для случаев использования только конденсаторов и резисторов. Приложение 3 можно использовать и для вычисления передаточных импедансов цепей, содержащих индуктивности. Мы можем заменить сопротивление R или емкость С индуктивностью L и произвести следующие преобразования в передаточном импедансе:
R —> pL,
(4.85)
pL
Четырехполюсн и к, реализующий передаточный импеданс, имеет две пары клемм. На рис. 4.41 входным элементом и элементом обратной связи являются соответственно четырехполюсники с импедансами Z? и Z/, клеммы которых обозначены соответствующими буквами. Имеется четыре различных способа соединения этих четыреvпoлюcникuв с операционным усилителем (что иллюстрируется рис. 4.41). Все эти структурные схемы имеют одну 〃 ту же передаточную функцию, так как выходной импеданс в точке е# почти равен нулю. Как мы уже установили, передаточный импеданс, измеряемый между двумя точками, не зависит от того, какая точка является входом и какая выходом, если все элементы имеют двустороннюю проводимость. Так как нагрузка на входе и выходе каждого блока имеет приблизительно нулевой импеданс, вход и выход такого блока можно менять местами.
ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ В ЯВНОМ ВИДЕ
ВВЕДЕНИЕ
Эта и следующая главы посвящены задаче моделирования на АВМ нелинейных функций. В этой главе рассматриваются явные функции, а в следующей ——неявные. Переменная г, как функция переменных х и у, может быть выражена в явном виде
f (х, д) (3.1) либо задана в неявной форме уравнением
g (х,£/, г) -= 0 (5.2)
Различие между этими формами задания функции будет рассмотрено в главе, посвященной неявным функциям.
Главой 6 мы завершим обсуждение всех существенных аспектов программирования на АВМ. Остальная часть книги посвящается технике решения задач и методам повышения точности решения, получаемого на АВМ.
Явная функция может быть найдена либо как решение дифференциалыюго уравнения, либо с помощью устройства, хранящего в своей памяти функциональную зависимость. Если решение дифференциальных уравнений является сильной стороной АВМ, то для хранения зависимостей она приспособлена менее всего. Всюду, где это возможно, следует использовать первый способ образования функций.
Мы начнем главу с рассмотрения метода решения дифференциальных уравнений, который применим только в случае функции одной переменной. Для обычного интегратора эта переменная ——время х), но интегратор можно видоизменить таким образом, чтобы получать функции и других переменных задачи. Мы называем эту операцию обобщенным интегрированием. Далее будет показано, как можно осуществить эту операцию и как построить дифференциальное уравнение для получения желаемой функции в качестве его решения.
Затем мы рассмотрим применение устройств памяти сначала для функций одной переменной, а потом и для функций нескольких переменных. Это деление произвольно и основано на сравнительной трудности получения функций. Функцию одной переменной можно воспроизвести точно или со сколь угодно малой ошибкой. Хотя функция двух или многих переменных в некоторых частных случаях может быть воспроизведена точно, обычно удается получить лишь ее приближение и притом весьма дорогой ценой. Мы обсудим различные возможные способы получения функций. Рассматривая функции нескольких переменных, особое внимание мы уделим упрощению задачи и методам апрок- симации.
Получение функций представляет собой нелинейную операцию. Поэтому при масштабировании зависимых переменных возникают трудности, не встречающиеся в линейных задачах, рассмотренных в гл. 4. Масштабирование нелинейных зависимостей будет рассмотрено во всей полноте.
Мы и в дальнейшем будем использовать термин время в качестие синонима выражения независимая переменная задачи.
Мы закончим главу рассмотрением временных запаздываний. Они имеют место в реальных задачах, например в задачах, связанных с процессами, используемыми на химических предприятиях. Особое внимание мы уделим методу, носящему название апроксимации Поде, который в случае его применения для решения задач на АВМ упрощает программирование в большей степени, чем любой другой метод.
52 ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Получение функций методом решения дифференциальных уравнений
Функция одной переменной может быть представлена либо графически, либо равенством типа (5.1). В последнем случае можно получить функцию как решение однородного дифференциального уравнения 孔-ro порядка 】), если выполнены такие условия:
функция и ее первые п производных непрерывны;
производные можно вычислить.
Наша методика сводится к следующему: необходимо получить некоторое число производных, которые при надлежащем выборе коэффициентов позволят составить однородное дифференциальное уравнение ). Построенное таким образом уравнение может быть как линейным, так и нелинейным. В любом случае при соответствующих начальных условиях решение будет представлять искомую функцию.
имер 1. Чтобы получить функцию
4 = е-叫(5.3)
сначала находим ее производную
專=_a6-叫(5.4)
Объединяя уравнения (5.3) и (5.4), получим
备+旳=0.(5.5)
Структурная схема рис. 5.1 является программой решения уравнения (5.5).
Рис. 5.1. Схема для получения экспоненты /С ——начальные условия.Рис. 5.1. Схема для получения экспоненты /С ——начальные условия.
Рис. 5.1. Схема для получения экспоненты /С ——начальные условия.
Рис. 5.1. Схема для получения экспоненты /С ——начальные условия.
(5.6)(5・7)(5.6)(5・7)
(5.6)
(5・7)
(5.6)
(5・7)
Из соотношения (5.3) получаем начальное условие у = 1 при / = 0.
имер 2. Для функции
У = Т^у ,—1 ＜；У 8
первая производная равна
dy —1
Из соотношений (5.6) и (5.7) получаем нелинейное д равнение
掛 R = 0(5.8)
с начальным >словием
у=1 при / —0.
Любая функция является решением некоторого дифференциального уравнения минимального порядка, т. е. не существует уравнения более низкого порядка, решением которого будет данная функция. Это уравнение минимального порядка единственно, если коэффициент при высшей производной равен единице.
Однако можно построить неограниченное число уравнений, порядок которых выше минимального, причем для каждого порядка——два или более уравнений.
Пусть /а (0 —— решение дифференциального уравнения
£ агргу -0.(5.9)
? —О
Тогда, если умножить это дифференциальное уравнение на любой линейный дифференциальный оператор, для полученного в результате этого дифференциального уравнения
(£ 6тР") ( $ 〃/力 丁0(5.10)
функция % ⑺ будет решением.
Между прочим, в случае дифференциального уравнения второго и более высокого порядка для установления правильных начальных условий знание других решений не обязательно. Для уравнения /?-го порядка с желаемым решением
у- /(/)(5.11)
начальными условиями являются значения функции у н ее первых п ——1 производных, вычисленные в начальной точке (Z = а).
Степени переменной /. Для получения целых степеней / можно использовать блоки умножения. Гораздо более удобный метод основан на последователь-
Рис. 5.2. Схема для получения степенен переменной t.
ном соединении интеграторов. Окончательная схема для этого случая приведена на рис. 5.2. Начальные условия при % — 0, задаваемые каждому интегратору, нулевые.
Синусы и косинусы. Синусы и косинусы зависимой переменной используются так часто, что для получения их существует специальное устройство, называемое тригонометрическим блоком х). Эти тригонометрические функции являются также решениями дифференциальных уравнений. Мы будем строить такое уравнение, хотя вскоре и столкнемся с трудностями, которые можно обойти, только используя обобщенное интегрирование. Мы хотим получить решение
р二sing (0 или 〃 = cosg (/). (5.12) Так как решением одного и того же уравнения может быть как синус, так и косинус, найдем уравнение, воспроизводящее функцию sin g (/). Итак,
1) Применение тригонометрического блока рассматривается в разд. 6.6.
получаем соотношенияполучаем соотношенияdydtdydt二需COS g⑺,二需COS g⑺,需=醤8sg（/）一（器户山m⑺.需=醤8sg（/）一（器户山m⑺.(5.13)(5.13)Объединяя эти соотношения, получим
получаем соотношения
получаем соотношения
dydt
dydt
二需COS g⑺,
二需COS g⑺,
需=醤8sg（/）一（器户山m⑺.
需=醤8sg（/）一（器户山m⑺.
(5.13)
(5.13)
也也+「^_；20
d£2 dg/dt dt ' \ dt 丿，
ИЛИ
需一手A(g)咏о.
В частном случае, когда
у h sin(о/, имеем
g С) Н % L 3,鵠=0，
и уравнение (5.14) принимает более простой вид: 羽+得=0.
(5.14)(5.15)(5.16)(5.17)(5.14)(5.15)(5.16)(5.17)Структурная схема программы его решения на АВМ приведена на рис. 5.3. В зто访 программе переменная у может представлять либо функцию sin со/,
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
либо функцию cos(о£ в зависимости от начальных услови访 на интеграторах. Для блок-схемы, приведенной на рис. 5.3, имеем
z = cosco/
(5.18) при условии, что
у = sin со/.
В другой программе решения может отсутствовать потенциометр / и с помощью потенциометра 2 будет установлен коэффициент со2. Тогда, если у = sin з九 на выходе интегратора / получим функцию (cos(oZ)/(o.
Этот частный случай ——далеко не самый распространенно访 среди встречающихся тригонометрических функций, хотя эта функция ——одна из тех, которые АВМ легко воспроизводит. Положение усложняется, если мы пытаемся смоделировать уравнение (5.14). Трудности связаны с выражением gig. Если производная g стремится к нулю, то даже в том случае, когда одновременно стремится к нулю и производная g, АВМ не может точно выполнить операцию деления g/g. Следовательно, при воспроизведении этой функции на АВМ мы должны потребовать, чтобы производная g имела один и тот же знак в течение всего процесса решения и по величине значительно отличалась от нуля. К сожалению, введение такого ограничения исключает возможность использования
данного метода для получения функнн访 при решении некоторых важных задач, например исследовании систем с частотной модуляцией. Мы обходим эти затруднения с помощью другой программы решения, которая использует обобщенное интегрирование и требует только непрерывности производно访 g.
Обобщенное интегрирование [56, 1331， Переменно访 интегрирования для интеграторов АВМ является время. Следовательно, мы можем составить программы решения только таких дифференциальных уравнений, решения которых——функции этой переменной. Если требуется получить функции любой другой переменно访，необходимо преобразовать интегратор так, чтобы он интегрировал по зт。访 переменно访.Это можно сделать, видоизменяя интегратор таким образом, чтобы он генерировал функцию люб。访 зависимой переменной задачи. Мы назовем этот тип интегрирования обобщенным интегрированием.
Рис. 5.4. И нтегратор.Рис. 5.4. И нтегратор.
Рис. 5.4. И нтегратор.
Рис. 5.4. И нтегратор.
Это название выбрано не совсем удачно, так как подлинно обобщенным интегрированием было бы интегрирование по люб。访 переменной, зависимо访 или независим。访，которое позволило бы нам получать функции более чем одно访 переменно访(например, решать уравнения в частных производных). Так как мы не можем на访тн лучшего названия для обозначения этой операции, будем пользоваться этим термином.
Чтобы проследить, как выполняется операция обобщенного интегрирования, начнем с рассмотрения отдельного интегратора, показанного на рис. 5.4. Если входная величина и имеет вид
и =и =1一"<dxnT1一"<dxnTто выходная величина и равнато выходная величина и равна)或=)或=(5.19)(5.20)(5.19)(5.20)
и =
и =
1一"
<dxnT
1一"
<dxnT
то выходная величина и равна
то выходная величина и равна
)或=
)或=
(5.19)
(5.20)
(5.19)
(5.20)
Но мы также можем написать
и тогда получими тогда получимd / d^^yd ( 0Ту \ d尤—dny dxd / d^^yd ( 0Ту \ d尤—dny dxUUdny dx dxn dtdny dx dxn dtdt =—dt =—(5.21)(5.22)(5.21)(5.22)
и тогда получим
и тогда получим
d / d^^yd ( 0Ту \ d尤—dny dx
d / d^^yd ( 0Ту \ d尤—dny dx
U
U
dny dx dxn dt
dny dx dxn dt
dt =—
dt =—
(5.21)
(5.22)
(5.21)
(5.22)
Про! рамму решения уравнения (5.22) можно составить,Про! рамму решения уравнения (5.22) можно составить,как показанокак показано
Про! рамму решения уравнения (5.22) можно составить,
Про! рамму решения уравнения (5.22) можно составить,
как показано
как показано
Рис. 5.5. Обобщенный интегратор.Рис. 5.5. Обобщенный интегратор.
Рис. 5.5. Обобщенный интегратор.
Рис. 5.5. Обобщенный интегратор.
на рис. 5.5, где блок, выделенный пунктирной лнние访，представляет собо访 интегратор, выполняющий интегрирование по переменно访 х.
Если необходимо получить функцию
(5.23)(5.23)у = sin х,
(5.23)
(5.23)
мы решаем уравнениемы решаем уравнениеd2g鉤d2g鉤■Н = 0.■Н = 0.(5.24)(5.24)
мы решаем уравнение
мы решаем уравнение
d2g鉤
d2g鉤
■Н = 0.
■Н = 0.
(5.24)
(5.24)
Структурная схема программы для уравнения (5.24) приведена на рис. 5.6,
причем 尤 является функцией времени:
Эта схема воспроизводит функцию, описываемую соотношениями (5.12). Обратите внимание на то, что схемы на рис. 5.3 и 5.6 совпадают, если выполнено условие
尤九(5.25)
Пример 3. Уравнение частотно-модулированной волны имеет вид
sin (со。/ 十 a sin з").(5.26)
Коэффициенты со。,①】и а являются постоянными. Для получения этой функции приме
(5.27)(5.27)ним метод обобщенного интегрирования, причем x~(s)Qt^-a sin OjZ,
(5.27)
(5.27)
= о。+ ад cos 3#.
Структурная схема программы приведена на рис. 5.7. Если решение задачи начинается в момент / — 0, то начальные условия на интеграторах соответственно равны
(5.28)(5.28)/С| = 0, /(?2 — — ао)[, /С4— — 1, /e5 = 0.
(5.28)
(5.28)
8 Л. Левин
Масштабирование. Правила масштабирования, описанные в гл. 4, непосредственно приложимы к методу получения функций путем решения дифференциального уравнения. Масштабирование зависимых переменных изменяет величину функции. Масштабирование времени влияет на аргумент функции и используется в тех случаях, когда изменен масштаб времени остальной части задачи.
Элементы, хранящие функциональную зависимость 1)2)
Если функциональная зависимость задана только графически или если применение метода, основанного на решении дифференциальных уравнени访， связано с использованием оборудования, необходимого для других целей, то мы программируем функцию с помощью запоминающих элементов, называемых функциональными преобразователями. Каждый запоминающий элемент сохраняет запрограммированную функцию до тех пор, пока не произведено изменение его состояния. Функциональные преобразователи подразделяются на два основных класса:
повторители кривых, которые точно воспроизводят функцию;
функциональные блоки, которые выполняют кусочно-линейную апрок- симацию функции.
Повторители кривых. На графике функции у = f (尤)абсцисса представляет переменную х, а ордината —— переменную у. Повторитель функции сконструирован таким образом, что точка, перемещаемая в направлении 尤,отыскивает и регистрирует соответствующие значения у. Двумя основными типами повторителей кривых являются фотоэлектрическое устройство и ^//-построитель.
Фотоэлектрическое устройство состоит из электронно-лучевой трубки, экран которой разделен на две области: прозрачную и непрозрачную. Граница между этими областями представляет заданную функцию. Схема электрического смещения этого устройства отклоняет электронный луч в направлении прозрачной области. В этой области луч воспринимается фотоэлементом, который управляет перемещением луча в сторону непрозрачной области. В результате противоположных действий смещения и сигнала, вырабатываемого фотоэлементом, светлое пятно останавливается в положении равновесия на границе, которому соответствует отклоняющее напряжение у.
В xz/-построителе используется нанесенная на плоскую поверхность линия из материала с высокой электропроводностью. Через эту линию проходит переменный ток, образующий магнитное поле. Над линией располагается индукционная катушка, чувствительная к магнитному полю. При перемещении в направлении % катушка движется по направлению у таким образом, что все время остается непосредственно над кривой.
Построитель кривых воспроизведет заданную функцию, если скорость движения по направлению оси % достаточно мала для того, чтобы отслеживание по оси у йроисходило без ошибки. Если скорость изменения 尤 слишком велика, то можно изменить масштаб кривой с целью уменьшения ее крутизны. Этого можно достичь изменением масштаба либо по оси х, либо по оси у. Методике изменения масштаба посвящен конец данного раздела, Можно также изменить масштаб времени задачи, понизив при этом скорость решения задачи таким образом, чтобы она соответствовала возможностям построителя кривых.
Блоки кусочно-линейной апроксимации. При желании можно апрокси- мировать функцию ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков. Такая ломаная, как показано в разд. 2.2.4, удовлетворяет условию Липшица, которое является необходимой предпосылкой существования единственного реше-
Подробное описание некоторых устройств см. в работе [46, стр. 331—357].
Генераторы шума, воспроизводящие случайные функции, рассматриваются в гл. 11.
ния. Для вос произ веден и я ломаных линий используются следующие устройства: 1) диодный функциональный преобразователь; 2) потенциометр с отводами и 3) реле, используемое главным образом для построения разрывных функций. Из этих устройств наиболее широко применяется диодный функциональный преобразователь. Его предпочитают повторителям кривых, так как он проще с точки зрения программирования и может работать на более высоких частотах по переменной 尤，позволяя таким образом решать задачу в сжатом масштабе времени.
Выбор апроксимирующей ломаной. Любую ограниченную кривую можно апроксимировать прямолинейными отрезками с произвольной степенью точности, если число используемых отрезков, достаточно велико х). Увы, на практике число используемых отрезков ограниченно. Как бы мы ни разместили отрезки, ломаная будет отличаться от истинной кривой. Построение апроксимирующей кривой зависит от выбираемого способа оценки погрешности воспроизведения. Естественно выбрать такую оценку, при которой ошибка в решении задачи будет минимальной. Существует несколько критериев оценки погрешности, причем каждый из них будет наилучшим для задач определенного класса.
Перед тем как приступить к исследованию отдельных критериев, рассмотрим некоторые общие вопросы апроксимации одной кривой с помощью другой. Решая эту задачу, строим апроксимирующую кривую так, чтобы она проходила через некоторое число точек, лежащих либо на самой истинной кривой, либо вблизи нее. Термин вблизи означает, что точки выбираются с целью минимизации погрешности определенного вида. Апроксимирующая кривая характеризуется параметрами, величины которых можно подобрать.
Предположим, что функциональный вид апроксимирующей кривой известен; тогда задача сводится к нахождению коэффициентов, называемых здесь параметрами, которые обеспечивают наилучшее соответствие апроксимирую- щей и истинной кривых. Так, например, при кусочно-линейной апроксимации параметрами являются абсциссы концов и углы наклона отдельных отрезков, в то время как при апроксимации многочленами, т. е. функциями вида
g(X)= Оо + &1炉 + • •. Ч апхп, параметрами являются коэффициенты при степенях переменной х.
Возможны три случая:
Число параметров превышает число точек. В этом случае задача подбора кривой недоопределена, так как мы не можем получить единственные значения для всех параметров. Задачу можно решить при условии, если для части параметров выбрать произвольные значения таким образом, чтобы оставшееся число параметров равнялось числу точек.
Число параметров равно числу точек. Задача точно определена, так как мы получаем систему алгебраических уравнений, решение которой дает един - ственные значения параметров.
Число параметров меньше числа точек. Задача переопределена. Ее можно решить, либо используя число точек, равное числу параметров, либо используя все точки и подбирая значения параметров таким образом, чтобы функция ошибки, которая устанавливает связь между точками и апроксимирующей кривой, приняла минимальное значение. Если по каким-либо существенным причинам апроксимирующая кривая должна пройти через определенные точки, то задачу следует определить точно, выбрав желаемые точки и достаточное количество других точек, чтобы общее число точек равнялось числу параметров. В противном случае следует использовать максимально возможное число точек.
Отбрасывая точки, мы преднамеренно не пользуемся частью информации, которой располагаем; такой подход расточителен, что не всегда можно себе
1) Это утверждение доказано в теореме Вейерштрасса ——Стоуна.
позволить Поэтому мы минимизируем некоторую функцию ошибки, что позволяет найти параметры в зависимости от значений такого числа точек, которое желательно использовать. Из всех методов минимизации функции ошибки наиболее распространен метод наименьших квадратов 〉
Метод наименьших квадратов 2). С древних времен астрономов удручало их неумение обращаться с избыточной информацией. Получение решений переопределенных задач стало острой необходимостью, и побуждаемые этим Лежандр (в 1806 г) и Гаусс (в 1809 г ) открыли независимо друг от друга метод наименьших квадратов. Между ними разгорелся спор, разжигавшимся в основном Лежандром, по поводу приоритета этого открытия. Исторические документы показывают, что честь его в равной степени принадлежит обоим ученым.
Вкратце метод наименьших квадратов заключается в следующем. Предположим, функция у = f (х) задана в п точках,尤「х2,..尤九.По этим данным подберем функцию fa (х), характеризуемую тремя параметрами а, § н у. Метод наименьших квадратов заключается в том, что мы минимизируем по параметрам функцию £：
£ = S [f(xr) — fa(xT)]2. (5.29)
Находим первые частные производные по всем параметрам и приравниваем каждую из них нулю. Таким образом получаем систему уравнений
警=。=一£ {^lf^r)~fa(x,)]^L},
翁= 0 = —S {2[f®)f(Xr)]**■卜 (5.30)
亲=0 = — g { 2 [f (Xr) Ta (*,)] ^^ }.
В этой системе уравнений число уравнений равно числу неизвестных параметров Метод наименьших квадратов преобразует переопределенную задачу в точно определенную с единственными значениями параметров.
Может возникнуть необходимость апроксимации функции не на некотором числе дискретных точек, а на всем интервале & ^х ＜； 6. В этом случае функция ошибки принимает вид интеграла
此 da=0 =— g 2 {[/(*)_/% (х)]嘉} dx,次］ 帮=0= 7 2 {[/⑴_几⑴由} dx,(5.32)d% ду—0—、2{lf(x) fa^x)] @丫 ^ dx.此 da=0 =— g 2 {[/(*)_/% (х)]嘉} dx,次］ 帮=0= 7 2 {[/⑴_几⑴由} dx,(5.32)d% ду—0—、2{lf(x) fa^x)] @丫 ^ dx.1) В гл 8 мы рассматриваем методы нахождения с помощью АВМ параметров, минимизирующих функцию ошибки В этой и последующих главах вместо термина функция ошибки используется термин функция расстояния2) Часть материала этого раздела заимствована из работы [57].1) В гл 8 мы рассматриваем методы нахождения с помощью АВМ параметров, минимизирующих функцию ошибки В этой и последующих главах вместо термина функция ошибки используется термин функция расстояния2) Часть материала этого раздела заимствована из работы [57].q=]【/(*) —/% (Х)】2 dx (5.31) и уравнения, которые должны быть разрешены относительно параметров, имеют вид
此 da
=0 =— g 2 {[/(*)_/% (х)]嘉} dx,
次］ 帮
=0= 7 2 {[/⑴_几⑴由} dx,
(5.32)
d% ду
—0—、2{lf(x) fa^x)] @丫 ^ dx.
此 da
=0 =— g 2 {[/(*)_/% (х)]嘉} dx,
次］ 帮
=0= 7 2 {[/⑴_几⑴由} dx,
(5.32)
d% ду
—0—、2{lf(x) fa^x)] @丫 ^ dx.
1) В гл 8 мы рассматриваем методы нахождения с помощью АВМ параметров, минимизирующих функцию ошибки В этой и последующих главах вместо термина функция ошибки используется термин функция расстояния
2) Часть материала этого раздела заимствована из работы [57].
1) В гл 8 мы рассматриваем методы нахождения с помощью АВМ параметров, минимизирующих функцию ошибки В этой и последующих главах вместо термина функция ошибки используется термин функция расстояния
2) Часть материала этого раздела заимствована из работы [57].
Метод наименьших квадратов —не единственно возможный метод минимизации функции ошибки. Другим критерием ошибки является следующий:
£? = \ I / (%) — f& (%) I dx.Чтобы получить уравнения для параметров, мы выполняем цирование так же, как и в случае системы уравнений (5.32).Если мы положим£? = \ I / (%) — f& (%) I dx.Чтобы получить уравнения для параметров, мы выполняем цирование так же, как и в случае системы уравнений (5.32).Если мы положим(5.33)(5.33)дифферен-дифферен-I/（尤） 一 一儿（"=/（"）ьI/（尤） 一 一儿（"=/（"）ь(5.34)(5.34)
£? = \ I / (%) — f& (%) I dx.
Чтобы получить уравнения для параметров, мы выполняем цирование так же, как и в случае системы уравнений (5.32).
Если мы положим
£? = \ I / (%) — f& (%) I dx.
Чтобы получить уравнения для параметров, мы выполняем цирование так же, как и в случае системы уравнений (5.32).
Если мы положим
(5.33)
(5.33)
дифферен-
дифферен-
I/（尤） 一 一儿（"=/（"）ь
I/（尤） 一 一儿（"=/（"）ь
(5.34)
(5.34)
то получим
b\小，b\小，(5.35)(5.35)однако по правилу дифференцирования сложной функции имеем0丨e d丨g丨dgоднако по правилу дифференцирования сложной функции имеем0丨e d丨g丨dgдадаdg да 'dg да '(5.36)(5.36)гдегдеd|g| _[ Id|g| _[ Idgdg一一一一1,1,dg даdg даесли g〉0, если gVO, 吼2даесли g〉0, если gVO, 吼2да(5.37)(5.37)
b
\小，
b
\小，
(5.35)
(5.35)
однако по правилу дифференцирования сложной функции имеем0丨e d丨g丨dg
однако по правилу дифференцирования сложной функции имеем0丨e d丨g丨dg
да
да
dg да '
dg да '
(5.36)
(5.36)
где
где
d|g| _[ I
d|g| _[ I
dg
dg
一一
一一
1,
1,
dg да
dg да
если g〉0, если gVO, 吼2
да
если g〉0, если gVO, 吼2
да
(5.37)
(5.37)
Следовательно, уравнение (5.35) принимает вид
呢 да呢 да小。，小。，(5.38)(5.38)
呢 да
呢 да
小。，
小。，
(5.38)
(5.38)
dx = О,dx = О,dx = 0.dx = 0.а уравнения для других параметров—
dx = О,
dx = О,
dx = 0.
dx = 0.
(5.39)
Результаты минимизации критерия ej или критерия е2 можно сравнивать, исследуя ошибку, связанную с отклонением аппроксимирующей кривой от истинной, f (尤)——fa (x). В методе наименьших квадратов выражение для погрешности возводится в квадрат, поэтому большие ошибки имеют больший вес, чем малые. Если используется абсолютная величина ошибки, то большие и малые ошибки имеют одинаковый вес. Следовательно, если мы начертим два графика зависимости ошибки от х, соответствующие минимизации по критерию ej и отдельно по критерию е2, то кривая, относящаяся к критерию 8П будет иметь более низкий максимум. Однако на большей части интервала 〃V 尤 V 6 вторая кривая будет обладать меньшей ошибкой. Поэтому, если решение чувствительно к большим ошибкам, мы склоняемся к использованию критерия £i, а если хотим уменьшить общую ошибку, отдаем предпочтение критерию е2.
Пример 4. Мы хотим апроксимировать функцию sin х прямой линией а -V Ьх на интервале 0 V х V п/2, используя критерии ошибки &】и s2. Рассмотрим сначала критерий
л72
q= \ (sin х —出一力％)2 d尤， (5.40) о
тогда получим уравнения
л/2
(5.41)(5.41)2 ， (sin 尤一。［b^x) dx ~ 0,
(5.41)
(5.41)
n/2
-^-=—2 \ 尤(sin 尤a^ — b^x) —0.
10
Выполнив интегрирование и разрешив алгебраические уравнения относительно коэффициентов а】и 仇，получаем 824
а£ =及"(n一3), 力合(4 -冗).(5.42)
Затем для критерия е2 имеем л/2
8=，I sin х —а2 —Ь2х I dx(5.43)
о
я
л/2
架丄=弋 土 dx = 0,(5.44a)
0
л/2
黑=弋 士 xdx = 0(5.446)
0
Мы можем переписать уравнение (5.446) в виде ал/20
\,尤 d尤二 \ 尤 d尤，(5.45)
Ора
где аир соответствуют корням уравнения sin 尤——а2 — Ь^ -二 0* Из уравнения (5.45) получаем'
(5.46)
Выполняя необходимые алгебраические операции, находим а2=0,109,坛=怨2・(5.47)
На рис. 5.8 представлены две кривые ошибок, полученные при минимизации по критериям % И%.
Хотя можно предложить много различных критериев ошибки, каждый из которых обладает своими преимуществами, метод наименьших квадратов занимает среди них специфическое положение, что обусловлено чисто вычислительными особенностями его использования. Это объясняется не только тем, что математические операции легче выполнять аналитически 工),но и тем, что этот метод обладает уникальным свойством в том случае, когда апрок- симирующая функция состоит из ортонормированных функций.
Если для класса функций 屮；(х), i 1,2,- ., п имеют место соотношения
(рг (х)(ps (х) dx = I нрн Г 二S,(5.48)
I 0 при r^s,
то при fe = 1 эти функции составляют ортонормированную систему, а при k # 1 ортогональную.
Как мы покажем в гл. 8, эти операции минимизации можно выполнять на АВМ; при использовании аналоговой машины метод наименьших квадратов особых преимуществ не имеет.
Предположим, что апроксимирующая функция fa (х) представляет собой сумму функций, принадлежащих классу @ункни访 力(х),力= 1, 2,—九, а именно
fa (%) = £ а"г (%)， (5.49) г=1
где ar — постоянные.
При построении апроксимирующей функции желательно использовать наименьшее возможное число функций 力(х). Предположим, например, что
Рис. 5.8. Сравнение двух методов минимизации [см. соотношения (5.40) и (5.43)].
мы а проксимир уем истинную функцию f (г) комбинацией двух функций 厶(х); при этом выражение для ошибки имеет вид
& = f (%) — *丄力(%) — W% (尤)•(5.50)
Минимизируя некоторый критерий ошибки, можно получить значения параметров а^ и а^. Если обнаружим, что ошибка слишком велика, можно добавить еще один член и получить новое выражение для ошибки:
闻=f (%) - a，* (%)-%2方(%)一 a；方 (%).(5.51)
Выполняя операцию минимизации, мы, кроме коэффициента а3, снова получаем значения коэффициентов а? и а『.Как связаны эти величины с коэффициентами а：> и а；*? Если функции 力(尤)составляют ортонормированную систему и если критерий минимизации ——метод наименьших квадратов, то имеют место равенства
а?) = а『*吗° = «22>-(5.52)
Итак, при этих условиях, если мы, достраивая апроксимирующую функцию, добавляем каждый раз лишь один член, нам необходимо вычислять только коэффициент при члене, добавленном последним. Все остальные коэффициенты остаются без изменения. Это свойство имеет место только для орто- нормированных функций. В других случаях при добавлении нового члена нужно пересчитывать все члены. Однако любую систему функций можно преобразовать в ортонормированную с помощью метода ортогонализации Грама — Шмидта [58, стр. 427 j.
По ряду причин кусочно-линейную апроксимацию кривых иногда целесообразнее производить иначе, чем по методу минимизации критерия ошибки.
На рис. 5.9 показаны некоторые примеры апроксимации двумя отрезками. Прямолинейные отрезки проведены с учетом следующих условий:
Рис. 5.9. а. Конечные точки прямолинейных отрезков лежат на кривой. Схема построения гарантирует, что при определенных зкачениях переменной х апроксимирующая кривая принимает истинные значения, кроме того, ошибка в этом случае имеет всегда один и тот же знак. Это простейший метод кусочно-линейной апроксимации.
Рис. 5.9Ч б. Прямолинейные участки касаются кривой в точках х = 0 н 尤=1. Если в задаче величина х имеет тенденцию к изменению в относи-
Рис. 5.9. Кусочно-л инейная апроксима- ция по различным критериям.
тельно малой окрестности одной из точек касания, прямолинейный участок явится хорошим приближением к кривой.
Рис. 5.9, 6. Кривая пересекается апроксимирующими отрезками в точках х = 1 и х — 2. Применение этого способа целесообразно при минимизации некоторого критерия ошибки или при необходимости обеспечения постоянства знака ошибки, характер изующей отклонение апроксимирующей кривой от истинной на интервале 1 <2.
Эти три случая ——наиболее важные среди почти бесконечного числа возможных способов построения кусочно-линейной кривой.
Диодные функциональные преобразователи ')• Диодный функциональный преобразователь состоит из нескольких диодных элементов и вспомогательного оборудования, сочетание которых позволяет воспроизводить прямолинейные отрезки. Для одного интервала значений входного напряжения хвыходное напряжение идеального диода равно нулю, а все другие значения л связаны с выходными величинами линейной зависимостью (постоянным углом наклона). На рис. 5.10 приведена характеристика идеализированного диода, используемого в функциональном преобразователе; пунктирной линией изображена кривая, отражающая поведение реального диода. Область постоянного угла наклона называется областью проводимости диода, а точка Л, в которой происходит переход от нулевой выходной величины к проводимости, называется точкой отпирания. У несмещенного диода точке отпирания соответствует 尤=0. В функциональном преобразователе эта точка сдвигается цепью смещения. Положение точки отпирания и знак тангенса угла наклона
1) См. некоторые ранние работы [59—61 ].
определяют положение диодного участка в одном из четырех квадрантов, как показано на рис. 5.11. В первом и четвертом квадрантах диодные элементы проводят, если входное напряжение х >0 и, кроме того, % превышает
Рис. 5.10. Сравнение идеаль- Рис. 5.11. Диодная характеристика в четырех ной и реальной диодных харак-квадрантах.теристик. идеальная,—•—一 一 一 реальная.Рис. 5.10. Сравнение идеаль- Рис. 5.11. Диодная характеристика в четырех ной и реальной диодных харак-квадрантах.теристик. идеальная,—•—一 一 一 реальная.
Рис. 5.10. Сравнение идеаль- Рис. 5.11. Диодная характеристика в четырех ной и реальной диодных харак-квадрантах.
теристик.
идеальная,—•—一 一 一 реальная.
Рис. 5.10. Сравнение идеаль- Рис. 5.11. Диодная характеристика в четырех ной и реальной диодных харак-квадрантах.
теристик.
идеальная,—•—一 一 一 реальная.
напряжение отпирания. Во втором и третьем квадрантах эти элементы проводят в том случае, если х <0 и, кроме того, % меньше напряжения отпирания. Напряжение отпирания и наклон участка в любом квадранте можно изменять непрерывно при помощи потенциометров.
Участки, образуемые диодными элементами, объединяются таким образом, что при общем входе выходная величина равна сумме выходных величин
冬4§0 §^в_冬4§0 §^в_""
冬4§0 §^в_
冬4§0 §^в_
"
"
Входная величинаВходная величинаР и с. 5.12. Кусочно-линейная функция.Р и с. 5.12. Кусочно-линейная функция.
Входная величина
Входная величина
Р и с. 5.12. Кусочно-линейная функция.
Р и с. 5.12. Кусочно-линейная функция.
Рис. 5.13. Участок функции, изображенной на рис. 5.12, образованный одним диодным элементом.
всех элементов. Как же установить точки отпирания и углы наклона отдельных участков, чтобы в результате получить ломаную, показанную на рис. 5.12? В качестве первого шага берем диодный элемент с точкой отпирания при % = 0。 Затем устанавливаем такой наклон диодной характеристики, образующей первый участок, чтобы функция f (%) принимала нужное значение в начальной точке следующего линейного участка, х = а. Характеристика этого элемента, “ (х), приведена на рис. 5.13 и, очевидно, расположена в первом квадранте. При % = а устанавливаем точку отпирания второго диодного элемента и регулируем наклон таким образом, чтобы получить f (%) в точке отпирания следующего элемента (% = 6).
Первый диодный элемент воспроизводит функцию, которая экстраполируется продолжением первого участка ломаной на рис. 5.12 за точкой л = а. Мы замечаем, что функция f (%)〉f i (%) на интервале 6. Следовательно, второй диодный элемент должен иметь характеристику с положительным наклоном, ввиду чего она расположена также в первом квадранте. Точку отпирания третьего диодного элемента мы совмещаем с точкой % =氏
Регулировка наклона его характеристики выполняется с таким расчетом, чтобы три диодных элемента позволяли получить значение функции f (х) при % = & а это означает, что третий диодный элемент работает в четвертом квадранте [так как f (х)< % (%) на интервале 6< %< с]. Последний диодный элемент с точкой отпирания % = с работает также в четвертом квадранте
Аналогичным образом можно воспроизводить функции при х < 0. Мы начинаем в точке х — 0 и строим функцию в направлении уменьшения х.
Квадрант, в котором должна быть расположена характеристика диодного элемента с данной точкой отпирания, определяется по табл. 5.1
Таблица 5.1
Входная величина
Поведение функции на данном участке
Квадрант, в котором располагается характеристика добавляемого диодного элемента
0
Увеличение наклона
I
Уменьшение 》
II
х< 0
Увеличение 》
IV
Уменьшение 》
ш
Мы уже видели, что точки отпирания диодных элементов соответствуют конечным точкам прямолинейных участков. Остается лишь определить надлежащий угол наклона характеристики каждого элемента. Легко показать, что сумма углов наклона характеристик проводящих диодов должна быть равна углу наклона апроксимируемого ими прямолинейного участка 】).
Потенциометр с отводами [62, 63]. Другой метод, менее гибкий в смысле легкости перехода от одной функции к другой, чем метод, основанный на использовании диодного функционального преобразователя, базируется на применении потенциометра с отводами. Характеристика этого устройства отличается от характеристики линейного потенциометра, у которого сопротивление между любой точкой и движком меняется линейно с перемещением движка. Отводы размещаются с таким расчетом, что сопротивление между смежными отводами одинаково. Концам линейных участков апроксимируе- мой функции также должны соответствовать точки отводов; это накладывает ограничение на вид функции, которую можно воспроизвести. Движок потенциометра перемещается сер водви гателем. В линейном варианте (без отводов) потенциометр используется для получения произведений. Итак, преимущество этого метода функционального преобразования состоит в том, что потенциометр может выступать также в роли множительного устройства. Схематически потенциометр с серводвигателем изображен на рис. 5.14.
В качестве первого шага программирования мы выделяем все экстремальные значения на кривой, включая две крайние точки. Затем, допустив существование экстремумов, мы определяем сопротивления шунтирующих резисторов, которые должны быть включены между последовательными узловыми точками. Мы руководствуемся тем, что через все узловые точки между точками, соответствующими двум соседним экстремумам, протекает одинаковый ток. Поэтому участку с наибольшим наклоном должно отвечать наибольшее сопротивление и, следовательно, соответствующая секция потенциометра остается незашунтированной. Другие меньшие падения напряжения получаются с помощью шунтирующих резисторов, включаемых между узловыми точками.
См. уравнение (5.78), которое описывает диодный функциональный преобразователь.
Наконец, чтобы получить необходимые напряжения в точках экстремума, допустим, что мы располагаем тремя опорными напряжениями:丄 100 в и нуль (земля). Соединим затем источники этих напряжений через ряд резисторов с точками экстремума, причем источник напряжения + 100 8
Рис. 5.14. Условное обозначение потенциометра с отводами.Рис. 5.14. Условное обозначение потенциометра с отводами.
Рис. 5.14. Условное обозначение потенциометра с отводами.
Рис. 5.14. Условное обозначение потенциометра с отводами.
соединяется с точкой, отвечающей положительному максимуму, а источник напряжения ——100 8 ——с точкой, отвечающей отрицательному минимуму. Земляная шина присоединяется к точкам, соответствующим положительному минимуму и отрицательному максимуму. Величина тока, направленного к точке, отвечающей экстремуму, или текущего от нее, уже известна. Поэтому мы
Р и с. 5.15. Условное обозначениереле.
используем последовательно включенные резисторы с такими сопротивлениями, падение напряжения на каждом из которых обеспечивает нужное напряжение в точке, отвечающей экстремуму.
Менее экономичный с точки зрения аппаратурных затрат способ —— подавать в точку каждого отвода напряжение, соответствующее истинному значению воспроизводимой функции в этой точке.
Реле 1). Реле ——это переключатель, состояние которого определяется соотношением величины двух входных переменных. На рис. 5.15 реле изображено схематически. Входные величины хну, которые могут быть либо фиксированными, либо переменными, подаются на вход дифференциального усилителя, называемого релейным усилителем. Выходная величина этого усилителя управляет двухпозиционным реле с двумя парами переключающих контактов Ai и Л2. При условии х — у》0 подвижный контакт Ах соединяется с контактом +1, а подвижный контакт Л 2 ——с контактом +2. Оба контакта, —1 и —2, разомкнуты. Это, как и противоположное действие, можно символически представить следующим образом:
<—■~> + 2.<—■~> + 2.』24』24(5.53)(5.53)<-> --1, ~> — 2.<-> --1, ~> — 2.Если % — у > 0, то
<—■~> + 2.
<—■~> + 2.
』2
4
』2
4
(5.53)
(5.53)
<-> --1, ~> — 2.
<-> --1, ~> — 2.
Если % — у V。，то
Для дальнейшего ознакомления с реле и их применением см. работы [46. стр. 261—290] и [44, стр. 428—434].
Обратите внимание на то, что позиции а и 6 на входе реле неодинаковы. Если величина % на входе а и величина у на входе 6 включают реле в состояние <1 —f + 1, то величина у на входе а и величина % на входе 6 включает реле в противоположное состояние (Л1 > ——1).
Непрерывные и разрывные функции, составленные из отрезков прямых, можно воспроизвести с помощью группы реле, каждое из которых переключается в различных конечных точках линейных участков. Однако реле выполняет и более важную роль. Оно принимает решения, так как может выбирать между двумя альтернативами. Благодаря этому реле подходит ближе, чем все
q KFe2 "^q KFe2 "^Рис. 5.16. Схема выбора мгновенного максимума (а) и схема выбора мгновенного минимума (б).Рис. 5.16. Схема выбора мгновенного максимума (а) и схема выбора мгновенного минимума (б).
q KF
e2 "^
q KF
e2 "^
Рис. 5.16. Схема выбора мгновенного максимума (а) и схема выбора мгновенного минимума (б).
Рис. 5.16. Схема выбора мгновенного максимума (а) и схема выбора мгновенного минимума (б).
e, -kJ
другие машинные элементы, к моделированию процессов мышления. С помощью реле можно в ходе решения задачи изменять параметры и даже вид решаемого уравнения, добавить или удалить вынуждающую функцию, запрограммировать ряд последовательных операций. Реле является одним из наиболее ценных компонентов АВМ, так как придает ей гибкость, недостижимую другими средствами. Ниже перечислим и опишем некоторые из наиболее важных применений реле.
Принятие решений. Мы уже видели, что реле может производить выбор на основе определения большей из двух переменных. Две диодные цепи, одна из которых выбирает максимум, а другая минимум нескольких переменных (см. рис. 5.16, а и б), расширяют наши возможности принятия решений. Вместо того чтобы ограничиваться подачей на входы реле одной переменной (или постоянных), можно также использовать максимум или минимум нескольких переменных.
Получение волн треугольной и прямоугольной формы. На рис. 5.17, а приведена схема релейной системы, воспроизводящей волны треугольной и прямоугольной формы. Графики выходных величин для интегратора 7 и усилителя 2 даны на рис. 5.17, б и в. Чтобы описать работу схемы, будем считать, что в момент £ = 0 начальными условиями для реле являются At —— + 4- 1 и Л2 —f + 2. Итак, мы начинаем при условии у — (— BJ > 0. На входе
интегратора 7 действует положительное напряжение Ln которое интегрируется с обратным знаком так, что величина у уменьшается. В момент t =九 происходит переключение реле, так как у ——(——В。V 0. В результате этого: 1) на вход реле подается напряжение В2 и 2) на вход интегратора ——напряжение ——厶2・ Величина у начинает возрастать, и это продолжается до момента,
6
Рис. 5.17. Схема, воспроизводящая волны прямоугольной и треугольной форм (а); волна треугольной формы (6); волна прямоугольной формы (в).
—Li, 十 ％ — тангенсы углов наклона.
при котором выполняется условие у〉В2- В этой точке (/ = /2) вновь происходит переключение реле, и цикл повторяется.
График на рис. 5.17, б показывает, что тангенсы углов наклона для волны треугольной формы равны ——Li и 厶2，а максимальные отклонения —Bi и В2- Максимальные отклонения для волны прямоугольной формы равны 丄金 и ——上2・ Обе волны имеют один и тот же период колебаний:
т = (& + &)(小 + 圭)•(5.54)
Хотя ради упрощения мы предположили все напряжения на реле постоянными, они могут быть и переменными. Так, в случае волны прямоугольной формы можно модулировать ширину и высоту импульсов.
М одел ирован ие импульсных систем. Имеются задачи, в которых некоторые переменные представляются последовательностью чисел, каждое из
которых появляется в некоторый дискретный промежуток времени. Примером такой системы является цифровое управление непрерывным процессом. Дискретные переменные называются импульсами, и система, в которой они используются, называется импульсной системой х).
На рис. 5.18 показана система, в которой только одна переменная представлена последовательностью чисел. Здесь этой единственной дискретной
Звено
Рис. 5.18. Импульсная система.
переменной является е3. Операция перехода от переменной е2 к переменной & называется выборкой с фиксацией, причем переключатель Sq играет роль импульсного элемента. Контакты переключателя Si поочередно замыкаются и размыкаются, при этом
63 = 62, если Sr замкнут, &』0, если S[ разомкнут.
Ввиду наличия цепи фиксации сигнал е3 запоминается на такой срок, что и при разомкнутом переключателе Sq переменная е& имеет ненулевые значения.
Импульсный элемент легко моделируется с помощью реле, подвижный контакт которого поочередно переключается из одного положения в другое. Одной входной величиной для релейного усилителя может служить импульс.
Р н с. 5.19. График, иллюстрирующий работ) схемы фиксации нулевого порядка.
вырабатываемый другой релейной цепью, или сигнал любой другой подходящей формы, например синусоидальная волна. Другой входной величиной является постоянное напряжение.
Используется фиксация данных нескольких типов. Мы рассмотрим только схему фиксации (звено временного запаздывания) нулевого порядка, свойства которой иллюстрируются рис. 5.19. Сплошная кривая соответствует переменной е?, импульсы ——переменной е3. Предполагается, что используются импульсы бесконечно малой ширины. Схема фиксации нулевого порядка,
1) Имеется обширная литература по линейным импульсным системам, например работы [33—35, 167]. Описание моделирования этих систем на АВМ см. в работах [46, стр. 1259—1264] и [66].
выходной величиной для которой является переменная &, сохраняет значение g，соответствующее моменту размыкания ключа Si, до момента его очередного замыкания. Схема фиксации нулевого порядка дана на рис. 5.20.
Рис. 5.20. Структурная схема цепи выборки и фиксации нулевого порядка.Рис. 5.20. Структурная схема цепи выборки и фиксации нулевого порядка.
Рис. 5.20. Структурная схема цепи выборки и фиксации нулевого порядка.
Рис. 5.20. Структурная схема цепи выборки и фиксации нулевого порядка.
При замкнутом ключе St цепь представляет собой апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией
еоеоС№1Р + 1 *С№1Р + 1 *(5.55)(5.55)
ео
ео
С№1Р + 1 *
С№1Р + 1 *
(5.55)
(5.55)
В противном случае величина е0 равна значению выходной величины в момент размыкания ключа S「Эта величина только приблизительно равна значению ㈢， так как, согласно соотношению (5.55), переменные & и е0 не совпадают при замкнутом положении ключа 5加 Однако, когда постоянная времени R© достаточна мала, ошибка будет невелика. Если, например, переменная eL — ступенчатый сигнал, приложенный в момент времени 7 = 0, то тогда в момент / = 4,6Ri&
(5.56)(5.56)eо= 0,99修.
(5.56)
(5.56)
Чтобы ошибка была меньше 0,01^, ширина импульса должна примерно в 5 раз превышать постоянную времени. Обратите внимание на то, что цепь на рис. 5.20 объединяет операции выборки и фиксации.
Между прочим, эту цепь можно использовать для запоминания значения машинной переменной. Если g ——переменная, то ключ Si будет оставаться замкнутым в течение процесса решения и при условии достаточной малости постоянной времени выходная величина е0 будет копировать переменную ег. В определенный момент времени ключ будет разомкнут и е0 останется равным значения переменной &, соответствующему этому моменту.
Считывание максимального значения. Пусть переменная задачи х (£) имеет максимальное значение х (т) на интервале времени а К 工 总九 Хотя обе величины ан/ могут быть переменными одновременно, мы рассмотрим случай, когда мгновенное максимальное значение записывается в течение всего времени решения задачи. Итак, а — 0 и / ——независимая переменная задачи. Введем обозначение
(5.57)(5.57)Хт (£)—尤(Р).
(5.57)
(5.57)
Наша схема должна выполнить «), когдаНаша схема должна выполнить «), когдадве задачи: 1) продолжать сохранять в памятидве задачи: 1) продолжать сохранять в памятии 2) записывать % (/), еслии 2) записывать % (/), еслиx(t)<xm(t).x(t)<xm(t).(5.58)(5.58)
Наша схема должна выполнить «), когда
Наша схема должна выполнить «), когда
две задачи: 1) продолжать сохранять в памяти
две задачи: 1) продолжать сохранять в памяти
и 2) записывать % (/), если
и 2) записывать % (/), если
x(t)<xm(t).
x(t)<xm(t).
(5.58)
(5.58)
ии(5.59)(5.59)%(/) =%т«)
и
и
(5.59)
(5.59)
dt > и.
Точный метод, позволяющий удовлетворять условиям (5.58) и (5.59), 7ребует наличия производной dx/dt и иллюстрируется схемой на рис. 5.21.
Некоторые специальные диодные схемы. Существует несколько особых кусочно-линейных функций, которые часто бывают необходимы для опнса-
ния физических систем. Мы рассмотрим подробно только ограничитель, так как он имеет интересные разновидности. Схемы образования нелинейностей
типа модуля функции, зоны нечувствительности и идеальной релейной характеристики приведены на рис. 5.22. Схемы для формирования других кусочнолинейных функций можно найти в работах [44] и [46].
ФункцияФункцияГрафикГрафик-厶-厶Диодный вариантДиодный вариантРелейный вариантРелейный вариантпмян-quzGWпмян-quzGWпотенциометр f регулирует Lf, а поте叫иометр 2 регулирует Lzпотенциометр f регулирует Lf, а поте叫иометр 2 регулирует LzneQ0sl:3EngEQ-haH входneQ0sl:3EngEQ-haH вход
Функция
Функция
График
График
-厶
-厶
Диодный вариант
Диодный вариант
Релейный вариант
Релейный вариант
пмян-quzGW
пмян-quzGW
потенциометр f регулирует Lf, а поте叫иометр 2 регулирует Lz
потенциометр f регулирует Lf, а поте叫иометр 2 регулирует Lz
neQ0sl:3EngEQ-haH вход
neQ0sl:3EngEQ-haH вход
Р и с. 5.22. Три специальные кусочно-линеиные функции, воспроизводимые с помощьюдиодов и реле.
Ограничитель 丄).Предположим, что область изменения переменной у ограничена отрезком ——а у b, где а и 6 —— положительные постоянные. Если производная dy/dt положительна в течение достаточно длительного
1) Мы рассматриваем схемы ограничителей, построенных на диодах. Существуют эквивалентные релейные схемы. Проводящему диоду соответствует замкнутый контакт замещающего реле, и наоборот.
промежутка времени, то переменная у достигнет своей верхней границы. Однако, если у = 6, производная dy/dt 0. Более того, переменная у начнет уменьшаться от своего граничного значения, как только наступит момент,
когда dy/dt < 0. Подобным же образом можно охарактеризовать поведение переменной у у ее нижней границы,——а.
Рассмотрим два примера, в которых программирование ограничения на АВМ производится по-разному. Сначала предположим, что мы прикладываем положительную или отрицательную силу постоянной величины к движущейся в воздухе массе. Со временем вследствие сопротивления воздуха
Рис. 5.24. Схема ограничения с производной выходной величины.
масса достигнет конечной скорости Vt- Более того, скорость будет сохранять значение % до тех пор, пока сила не изменит знак; в этот момент скорость уменьшится.
Схема, иллюстрирующая это явление, приведена па рис. 5.23. До момента отпирания одного из диодов схема работает как интегратор. В этот момент конденсатор обратной связи шунтируется очень низким сопротивлением и выходное напряжение остается на уровне ограничения. Когда входная величина е? меняет знак, выходная величина е0 уменьшается, диод запирается и схема снова начинает работать как интегратор.
Если нас также интересует производная ограничиваемой выходной величины, мы получаем ее, добавляя два усилителя, как показано на рис. 5.24. Эта схема позволяет также независимо вводить ограничение производной dy/dt.
В качестве второго примера рассмотрим случай, когда мы прикладываем силу к той же самой массе и производим измерение скорости; результат измерения обозначим через Vm. Измерительное устройство имеет ограниченную шкалу с максимальным значением М, которое меньше установившейся скорости. Какова бы ни была скорость V М, показание прибора будет Vm = М и производная dVm/dt = 0. Однако при скорости V < Л4 имеем равенство 9 Л. Левин
dV/dt = dVm/dt. Следовательно, если положение стрелки прибора соответствует предельному значению, Ут, его показания начнут уменьшаться, когда скорость V станет меньше значения М, Это явление отражено на рис. 5.25,。
ббпунктирная линия соответствует
б
б
плавному ограничению, сплошная — жест кому; диодный ограничитель (б).
как жесткое ограничение, которое может быть получено с помощью релейной схемы. Пунктиром (плавное ограничение) представлена работа диодной схемы, изображенной на рис. 5.25, б.
匈匈нечувствительности Идеальное реленечувствительности Идеальное реле66Рис. 5.26. Два примера сложных ф) нкций.Рис. 5.26. Два примера сложных ф) нкций.&&己己Сложные функции. Иногда с помощью последовательного или параллельного соединения относительно простых нелинейных элементов можно
匈
匈
нечувствительности Идеальное реле
нечувствительности Идеальное реле
6
6
Рис. 5.26. Два примера сложных ф) нкций.
Рис. 5.26. Два примера сложных ф) нкций.
&
&
己
己
построить более сложные нелинейные элементы. Два подобных примера приведены на рис. 5.26. При некоторой изобретательности читатель может придумать много других примеров.
Масштабирование. В гл. 4 мы подробно рассматривали масштабирование времени и зависимых переменных в случае линейных операторов. Масштабирование времени в случае нелинейных операторов не представляет трудности. Их также можно масштабировать, изменяя коэффициенты усиления входных величин интеграторов. Однако непосредственное влияние на нелинейные элементы сказывается при изменении масштабов величин на их входах. Здесь при масштабировании следует быть особенно внимательным, так как иначе могут быть допущены серьезные ошибки.
Рассмотрим ряд основных особенностей масштабирования. Предположим, мы хотим изменить масштаб входной и выходной величин линейного элемента, изображенного на рис. 5.27, а, так, как показано на рис. 5.27, б.
линейный операторлинейный операторлинейньш операторлинейньш операторааббРис. 5.27. Масштабирование линейного оператора.Рис. 5.27. Масштабирование линейного оператора.Если входная величина % масштабируется множителем а, то вследствие линейности оператора получимy = azЕсли входная величина % масштабируется множителем а, то вследствие линейности оператора получимy = azР = -^ ИЛИ pct — 1.Р = -^ ИЛИ pct — 1.(5.60)(5.60)Предположим теперь, что оператор нелинейный, и зададим вопрос, можно ли изменить масштаб входной величины % и получить постоянный масштабный множитель для выходной величины z? Если да, то можно менять масштаб,Предположим теперь, что оператор нелинейный, и зададим вопрос, можно ли изменить масштаб входной величины % и получить постоянный масштабный множитель для выходной величины z? Если да, то можно менять масштаб,宏 Нелинейный оператор宏 Нелинейный операторНелинейный операторНелинейный операторббР и с. 5.28. Масштабирование нелинейного оператора.Р и с. 5.28. Масштабирование нелинейного оператора.не изменяя оператора. Ответ получаем положительный, но с оговоркой: при определенных условиях это может быть сделано. Пусть оператор на рис. 5.28, а представляет нелинейную операцию. Теперь определим, когда допустимо масштабирование в соответствии со схемой на рис. 5.28, 6.Схема на рис. 5.28, а предполагает наличие соотношенияz = / “)•(5.61)не изменяя оператора. Ответ получаем положительный, но с оговоркой: при определенных условиях это может быть сделано. Пусть оператор на рис. 5.28, а представляет нелинейную операцию. Теперь определим, когда допустимо масштабирование в соответствии со схемой на рис. 5.28, 6.Схема на рис. 5.28, а предполагает наличие соотношенияz = / “)•(5.61)Из схемы на рис. 5.28, 6 видно, что функция у имеет видy=f (ах).(5.62)Из схемы на рис. 5.28, 6 видно, что функция у имеет видy=f (ах).(5.62)Постоянный масштабный множитель § должен удовлетворять соотношениюПостоянный масштабный множитель § должен удовлетворять соотношениюрУ = z.рУ = z.откуда получаемоткуда получаемРРf (%)7 (ах)f (%)7 (ах)Const.Const.(5.63)(5.64)(5.63)(5.64)
линейный оператор
линейный оператор
линейньш оператор
линейньш оператор
а
а
б
б
Рис. 5.27. Масштабирование линейного оператора.
Рис. 5.27. Масштабирование линейного оператора.
Если входная величина % масштабируется множителем а, то вследствие линейности оператора получим
y = az
Если входная величина % масштабируется множителем а, то вследствие линейности оператора получим
y = az
Р = -^ ИЛИ pct — 1.
Р = -^ ИЛИ pct — 1.
(5.60)
(5.60)
Предположим теперь, что оператор нелинейный, и зададим вопрос, можно ли изменить масштаб входной величины % и получить постоянный масштабный множитель для выходной величины z? Если да, то можно менять масштаб,
Предположим теперь, что оператор нелинейный, и зададим вопрос, можно ли изменить масштаб входной величины % и получить постоянный масштабный множитель для выходной величины z? Если да, то можно менять масштаб,
宏 Нелинейный оператор
宏 Нелинейный оператор
Нелинейный оператор
Нелинейный оператор
б
б
Р и с. 5.28. Масштабирование нелинейного оператора.
Р и с. 5.28. Масштабирование нелинейного оператора.
не изменяя оператора. Ответ получаем положительный, но с оговоркой: при определенных условиях это может быть сделано. Пусть оператор на рис. 5.28, а представляет нелинейную операцию. Теперь определим, когда допустимо масштабирование в соответствии со схемой на рис. 5.28, 6.
Схема на рис. 5.28, а предполагает наличие соотношения
z = / “)•(5.61)
не изменяя оператора. Ответ получаем положительный, но с оговоркой: при определенных условиях это может быть сделано. Пусть оператор на рис. 5.28, а представляет нелинейную операцию. Теперь определим, когда допустимо масштабирование в соответствии со схемой на рис. 5.28, 6.
Схема на рис. 5.28, а предполагает наличие соотношения
z = / “)•(5.61)
Из схемы на рис. 5.28, 6 видно, что функция у имеет вид
y=f (ах).(5.62)
Из схемы на рис. 5.28, 6 видно, что функция у имеет вид
y=f (ах).(5.62)
Постоянный масштабный множитель § должен удовлетворять соотношению
Постоянный масштабный множитель § должен удовлетворять соотношению
рУ = z.
рУ = z.
откуда получаем
откуда получаем
Р
Р
f (%)
7 (ах)
f (%)
7 (ах)
Const.
Const.
(5.63)
(5.64)
(5.63)
(5.64)
Если выполняется это условие, можно масштабировать отдельно входную и выходную величины нелинейного оператора. Для контуров, содержащих такие нелинейные операторы, при масштабировании зависимых переменных можно также применять правило постоянства коэффициента усиления контура (гл. 4).
Обратите внимание на то, что для нелинейных операторов в общем случае выполняется условие
«Р 老 1.«Р 老 1.(5.65)
«Р 老 1.
«Р 老 1.
9*
Пример 5. Исследуем, какие из операторов
z=//2,
z = iw,
z =
могут масштабироваться по схеме, приведенной на рис. 5.28.
a) z = %з/2. Если входная величина масштабируется множителем а, получаем
p =⑻耽产竺(5.66)
Продолжая алгебраические выкладки, находим
?=削=6£/2九 з/2.(5.67)
Таким образом,
] - = Const(5.68)
а /2
и, следовательно, схема допускает внешнее масштабирование.
w0w0Множительное устройствоМножительное устройство
w
0
w
0
Множительное устройство
Множительное устройство
Рис. 5.29. Масштабированиеумножителя.
6) z = uv. Схема для этой операции приведена на рис. 5.29. При аа = «ь =
=р = 1
операция определяется соотношением
(5.69)
Масштабируя, получаем
y = daabuv
(5.70)
и
2 =削=触a郁辽0.
(5.71)
Таким образом,
В =— Const
(5.72)
и, следовательно, схема допускает внешнее масштабирование.
в) z =Масштабируя, получаем
и
z=^y = ^e~ax.
(5 73)
Таким образом, имеем
(5-74)
Это уравнение показывает, что коэффициент р -— функция переменной х и, следовательно, не является постоянной. Поэтому масштабный множитель р нельзя получить с помощью фиксированной установки потенциометра.
Если масштабный множитель не проходит через нелинейный оператор как постоянная, то при масштабировании мы вынуждены изменять нелинейность. Если нелинейность представляется кривой, изображенной на рис. 5.30 а, то ее можно полунить с помощью функционального преобразователя. Однако мы можем масштабировать либо входную величину, либо выходную просто путем построения новой кривой, отвечающей этому масштабу. Если входная величина должна выражаться величиной а% вместо &, то мы образуем новую кривую, умножая все значения на оси входной величины (горизонтальной) на множитель а. Если масштаб по вертикали остается неизменным, ось выходной величины будет по-прежнему характеризоваться единичным масштабом. На рис. 5.30, 6 приведена та кая кривая с входной величиной, масштабированной множителем 2, и немасштабированной выходной величиной. Мы также
можем изменить масштаб только одной выходной величины или масштабировать и входную и выходную величины, при желании каждую по-разному.
Особый интерес для нас представляет масштабирование кусочно-линейных кривых. В этом случае при изменении масштаба входной величины смещаются точки отпирания диодов. Читатель может доказать справедливость следующих утверждений:
Если входная величина диодного фун кцион а льно го преобразователя масштабируется множителем то напряжения отпирания диодов следует увеличить в k раз. Тогда: а) если наклоны всех диодных участков останутся
7 8 Входная величина7 8 Входная величинаООРис. 5.30. Произвольная функция (а); та же функция, но при масштабированной входной величине (б).Рис. 5.30. Произвольная функция (а); та же функция, но при масштабированной входной величине (б).
7 8 Входная величина
7 8 Входная величина
О
О
Рис. 5.30. Произвольная функция (а); та же функция, но при масштабированной входной величине (б).
Рис. 5.30. Произвольная функция (а); та же функция, но при масштабированной входной величине (б).
без изменения, выходная величина масштабируется множителем й; б) если тангенсы всех углов наклона умножаются на множитель т, выходная величина масштабируется произведением km.
Если масштаб входной величины не меняется, а тангенсы углов наклона элементов изменяются в т раз, то масштабный множитель для выходной величины будет равен
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Как мы уже установили, АВМ очень хорошо выполняет арифметические операции. Однако ее запоминающие элементы относительно неудобны для применения и не обладают достаточной гибкостью. Нигде это не проявляется так явно, как при воспроизведении функций двух и более переменных. Функции двух переменных могут быть получены либо с помощью специально сконструированных устройств, либо путем представления их в виде комбинации функций одной переменной. За исключением особых случаев, функции двух переменных нельзя воспроизвести точно. Поэтому интересующие нас функции следует апроксимировать. Мы опишем различные методы получения функций двух переменных и предоставим читателю выбор того метода, который лучше других подходит для конкретного применения.
Не существует устройств (за исключением экспериментальных), которые воспроизводят функции трех и более переменных. Эти функции находятся в настоящее время за пределами возможностей аналогового моделирования, если их нельзя апроксимировать комбинацией функций одной или двух переменных.
Сначала мы рассмотрим технические средства, с помощью которых можно воспроизводить эти функции, а затем математические методы апроксимации их комбинацией функций одной переменной.
Технические средства
Разработало несколько устройств, которые могут использоваться для воспроизведения функций двух переменных. Мы рассмотрим только три из них: 1) проводящий лист, 2) потенциометр с отводами и 3) диодный функциональный преобразователь х).
Проводящий лист. На проводящем листе напряжения прикладывают к линиям, нанесенным серебряной краской. Они представляют собой эквипотенциальные линии вследствие их низкого сопротивления по сравнению
Р и с. 5.31. Функция двух переменных, заданная линиями уровня.Р и с. 5.31. Функция двух переменных, заданная линиями уровня.Р и с. 5.32. Функция двух пер сменных, заданная кривым и, соответствующими дискретным значениям одной из переменных.Р и с. 5.32. Функция двух пер сменных, заданная кривым и, соответствующими дискретным значениям одной из переменных.
Р и с. 5.31. Функция двух переменных, заданная линиями уровня.
Р и с. 5.31. Функция двух переменных, заданная линиями уровня.
Р и с. 5.32. Функция двух пер сменных, заданная кривым и, соответствующими дискретным значениям одной из переменных.
Р и с. 5.32. Функция двух пер сменных, заданная кривым и, соответствующими дискретным значениям одной из переменных.
с сопротивлением материала проводящего листа. Зонд, который можно перемещать по всему листу в соответствии с изменением двух независимых переменных, х и у, снимает напряжение в точке, определяемой текущими значениями этих переменных. Если эта точка располагается между эквипотенциальными линиями, напряжение есть результат интерполяции на основе решения уравнения Лапласа ). Если экви потен циал ьн ые линии, представляющие собой линии постоянного уровня функции f (%, у), нанесены, как показано на рис. 5.31, то зонд считывает непосредственно значение функции. Для перемещения зонда можно использовать модифицированный хг/-построитель, у которого координаты хну задаются извне. В стандартном ху-построн- теле, используемом в случае функций одной переменной, извне задается только координата %. Координата у определяется внутренним механизмом построителя.
Довольно часто ф} нкция задается в форме, представленной на рис. 5.32. Тогда ее можно либо перестроить по форме, данной на рис. 5.31 (что связано иногда с трудоемкими вычислениями), либо получать функцию, решая уравнение, задающее ее в неявном виде ). Схема на рис. 5.33 показывает, как это можно выполнить с помощью xz/-построителя. По оси х откладывается переменная 〃，а по оси у — функция f (〃，и). На проводящий лист наносятся эрсвипотенциальные линии переменной и.
Перемещение зонда в направлении оси х определяется переменной щ. Напряжение, снимаемое зондом, является переменной и「・ Разность между этим напряжением и входным напряжением и； подается на вход усилителя с высоким коэффициентом усиления. Выход этого усилителя соединяется с серводвигателем, который перемещает зонд в направлении оси у. Зонд будет
5.33. Получение функции двух переменных5.33. Получение функции двух переменныхРис.Рис.функций.функций.методом неявныхметодом неявных
5.33. Получение функции двух переменных
5.33. Получение функции двух переменных
Рис.
Рис.
функций.
функций.
методом неявных
методом неявных
перемещаться до тех пор, пока разность vp -— и? = 0 не обратится в нуль; на выходе усилителя / получим значение функции f （以厶 uj.
При воспроизведении неявно заданной функции с помощью схемы, показанной на рис. 5.33, для установления равновесия в требуемой точке необходимо, чтобы напряжение на листе или монотонно убывало, или монотонно возрастало. Если это условие не выполняется, мы иногда можем преобразовать функцию следующим образом:
/' （u, u） = f（〃，^） + kv. （5.75）
В этом случае для получения функции f （堂，и） мы будем из выходной величины вычитать kv, т. е. смещать функцию. Смещение можно также использовать для исключения пересечения эквипотенциальных линий между собой, так как в этом случае устройство оказывается неработоспособным. При использовании других методов получения функций двух переменных мы с этой проблемой не сталкиваемся.
Можно изменить характер интерполяции между линиями на проводящем листе, к которым приложено напряжение, нанеся между ними серебряной краской линии, к которым никакого напряжения не прикладывается. Эти добавочные линии также будут эквипотенциальными.
（5.76）（5.76）Потенциометр с отводами. Потенциометр с отводами имеет такую же конструкцию, как и потенциометр, применяемый для получения функций одной переменной. Различие состоит в том, что в каждую точку отвода подается переменное напряжение вместо постоянного. Схема потенциометра изображена на рис. 5.34. Отметим, что в точке каждого отвода мы получаем функцию одной переменной %, в то время как другая переменная у сохраняет фиксированное значение у” Переменная у определяет положение серводвигателя, и подвижный контакт потенциометра считывает значение функции f （х, у）. Так как отводы потенциометра расположены через равные приращения сопротивления, значения функции, считываемые с отводов, соответствуют равным приращениям переменной у. Если пренебречь выходной нагрузкой, можно считать, что между отводами производится линейная интерполяция. Для значений у в интервале у < имеем
（5.76）
（5.76）
/（%，У）= /（% 山）В—% 5）1 +f （爲〃宀）兀（У）,
гдегде九3九3у一场Pi+l — У1у一场Pi+l — У1
где
где
九3
九3
у一场
Pi+l — У1
у一场
Pi+l — У1
В нашем распоряжении имеется другая схема, в которой потенциометр с отводами заменен другим устройством 丄).При этом методе функция ，(％, у) получается в виде суммы
f(x, у)= £ S(y)f(x,场).(5.77)
г—1
График коэффициента % (у) дан на рис. 5.35. Рассмотрение уравнений (5.76) и (5.77) показывает, что эти коэффициенты одинаковы для всех значений пере-
У —У —
У —
У —
&У = Уг -* hJ/з $ = % - Уз
Рис. 5.34. Получение функциидвух переменных с помощью сер-водвигателя и потенциометра сотводами.
менной у. Операция суммирования по уравнению (5.77) требует использования реле, функциональных преобразователей и множительных устройств- Если применяются электронные множительные устройства, эта схема допускает более быстрые изменения переменной у, чем потенциометр с отводами.
Р и с. 5.35. График зависимости коэффициента а/ (у), используемого в выражении (5.77).Р и с. 5.35. График зависимости коэффициента а/ (у), используемого в выражении (5.77).
Р и с. 5.35. График зависимости коэффициента а/ (у), используемого в выражении (5.77).
Р и с. 5.35. График зависимости коэффициента а/ (у), используемого в выражении (5.77).
Диодный функциональный преобразователь с переменными точками отпирания диодов. Как мы показали при обсуждении диодного функционального преобразователя (разд. 5.2.2), тангенс угла наклона участка выходной характеристики функционального преобразователя равен сумме тангенсов углов наклона всех линейных характеристик проводящих диодов. Этот принцип можно использовать, если напряжения отпирания диодов будут переменными ).
Предположим, что напряжения отпирания диодов больше не являются фиксированными, а становятся функцией переменной у, переменная же х представляет собой входную величину функционального преобразователя. Тогда уравнение для выходной величины преобразователя при %〉0 имеет вид
f(x, //)= 3 k^x — x^uix — h^y)],(5.78)
где 瓦(у) (i = 1, 2, . •『2)— напряжения отпирания диодов, k — тангенсы углов наклона диодных характеристик
и
[1 при
0 при 瓦(О
Теперь при соблюдении условия
九(у) V %2 (g) V …V hn 匂)независимо от характера изменения переменной у диоды при возрастаниипеременной % будут отпираться в том же порядке. На рис. 5.36 показан типич-ный пример функции, которую можно получить этим способом. Здесь линии
Рис. 5.36. График, иллюстрирующий получение функций двух переменных с помощью диодного функционального преобразователя по методике Мейсингера.
/г? — геометрические места точек отпирания отдельных диодов и одновременно траектории граничных точек прямолинейных участков. Отрезки ломаных, заключенные между двумя любыми соседними траекториями, параллельны.
Обычно следует изменить исходную форму задания функции двух переменных, чтобы воспроизвести ее с помощью диодного функционального преобразователя. При этом следует проделать следующие операции:
Перечертить каждую кривую семейства f (%, у), f (%, у^, . . ., f (х, уп) так, чтобы она состояла из прямолинейных отрезков, каждый из которых параллелен аналогичному отрезку других кривых.
Построить графики напряжения отпирания диодов как функции переменной у,
Запрограммировать необходимый наклон для каждой диодной характеристики. Получить кривые напряжения отпирания диодов и связать их с соответствующими диодами.
Математические методы упрощения функций
Все три рассмотренных устройства можно использовать для получения функций двух переменных. Каждое из них имеет недостатки, которые часто нельзя игнорировать. Проводящий лист — громоздкое устройство, которое
трудно перестраивать при переходе от одной функции к другой. Кроме того, поскольку зонд перемещается серводвигателем, он представляет собой относительно медленно действующее устройство, которое ограничивает скорость решения задачи, а следовательно, и возможные пределы изменения масштаба времени. За исключением некоторых особых случаев, потенциометр с отводами и диодный функциональный преобразователь требуют дополнительного функционального преобразователя на каждый отвод или диод. Как и в случае проводящего листа, потенциометр с отводами используется совместно с серводвигателем. В этом разделе мы уделим внимание методам упрощения функций двух и более переменных путем их представления в виде комбинации функций одной переменной. Некоторые возможные комбинации функций двух переменных выражаются следующими уравнениями:
f(X，9)= g(X)十似，)，(5.79)
f (^> У)= ё (^) h (//),(5.80)
f(x, y) = A*g(x)h(y),(5.81)
y) = r(x) + g(x)h(y),(5.82)
f(x, y) = gi (-V)^ (y) + g2 W h2 {у}.(5.83)
Природа, однако, не столь милостива, чтобы позволить любой функции двух переменных удовлетворять одному из этих уравнений. Но иногда таким способом можно добиться хорошего приближения. В этом случае мы выбираем наилучшее представление и «подгоняем» его под исходную функцию с помощью некоторой операции минимизации, обычно методом наименьших квадратов. Как определить, какое представление будет лучшим?
Мы начинаем с допущения, что функция задана в виде графиков, приведенных па рис. 5.32. Если кривые близки к параллельным, используется уравнение (5.79). Если имеет место пропорциональная зависимость между кривыми, можно воспользоваться уравнением (5.80). Так, если для значений функций 厶 в двух произвольных точках хг и Xj справедливо соотношение
3(%)： /2 (%) : /3 (/)：h (%)::九(，•)： % (打)：% (/)：%(/)，
то мы имеем пропорциональную зависимость, из которой следует, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению членов с теми же индексами в правой части.
Если имеет место пропорциональность после вычитания постоянной, то следует использовать уравнение (5.81). Между прочим, для уравнений (5.79)—— (5.81) можно принять
g(x) = 〃x，У»(5.84)
где i = 1, 2, 3, 4. Если функция g “)уже выбрана при некотором у〃 то для интересующего нас уравнения можно вычислить функцию h (у).
Если пропорциональная зависимость получается после вычитания функции одной из переменной, удовлетворяется уравнение (5.82). К сожалению, значительно легче записать такую функцию, как г (х), чем найти ее.
Если все другие уравнения не подходят, пробуем уравнение (5.83). Наиболее общее выражение для этого уравнения имеет вид
/(х, г/)= 2 gi^h^y).(5.85)
2=1
Это слишком общее выражение, и едва ли им можно воспользоваться, так как не существует способа определения функционального вида отдельных функций 且匕(х) и /“ (%). Во многих случаях (например, при расчете аэродинамических коэффициентов) применима следующая форма представления:
Для многих функций достаточно взять 几 =3, т. е. найти только три функции переменной % —内，&, 〃з・ Они могут быть вычислены с помощью любого метода подбора кривых, включая способ наименьших квадратов.
Левит [69] предлагает другую форму представления уравнения (5.85), преимущество которой заключается в точном воспроизведении семейства непрерывных кривых, задаваемых графически с помощью рис. 5.32. Апроксими- рующая функция для семейства из п кривых имеет следующий вид:
厂(％，У)=④(％)力 1 ®) -； g2 (尤)后(У)十•…+ gn (%) hn (x).(5.87)
Мы начинаем с подбора функции 力/ (%) по следующему правилу:
hAy^{ &i{y~yh} g(5.88)
Для семейства трех кривых имеем
厂(％，») = gi (%) + (〃…У1)&(%)*(У — ?/i)(У —炊)备(％)•(5.89)
Полагая
Г(尤，yx，勿)，』1, 2, 3,(5.90)
можно получить выражения для функций
gi(x) = /(居物)，
,(5.91)
g (х)Ь / (居 州)一◊") f2 ⑴3®3—У1)(方―У2)y? — yj
Этот метод можно распространить на случай семейства из большего числа кривых. В этом случае выгодно использовать несколько апроксимирующих функций, каждая из которых подбирается по трем последовательным кривым. Этим обеспечивается параболическая интерполяция между кривыми и уменьшается число требуемых операций перемножения.
Так, для семейства из пяти кривых, в котором функция & (%) является средней, для значений у > уз выбираем
г(х，У) ^3(X)- (у — у3)g式Х) + (у—уз)匂一у&) gs ⑺,(5.92)
а для у уь принимаем
r(x, g)=g3(x)「(g —%)g2(x)十匂一Рз) ®-，2)gi(x)・(5.93)
Методика Левита требует только графического задания апроксимируе- мой функции, и, как он показывает в своей статье, этот метод может быть распространен на функции трех переменных.
Если известно аналитическое выражение функции, можно использовать либо разложение в ряд Тейлора, либо методику Этермана. В принципе разложение в ряд Тейлора можно применять без ограничений, но оно представляет интерес только в случае быстрой! сходимости ряда. Это имеет место только в том случае, если производные высшего порядка равны нулю или если мы ограничиваемся малой окрестностью номинального значения каждой переменной. Если можно пренебречь членами высшего порядка, разложение в ряд Тейлора функции двух переменных принимает вид
f（X，"）hf（x。，现）十（必）…（X —网）«ЮС。,"。匂_勿）+
+ （籍）X。, V。（X 一 贫户 * 2 （爲）X。, "。（X 7。）（У -。）+
(5.94)(5.94)
(5.94)
(5.94)
Этерманг) для апроксимации функции /(修，&, …，％Q —М получил выражение в замкнутой форме:
/(修，x2,….，%九)一m = gi (/)+ g2 (%2)+…+ gn (%几).(5.95}
Функции gi (хг) определяются по методу наименьших квадратов. Член М — постоянная, равная среднему значению апроксимируемойфункции /(л\, х2, • •- ...,%几)и определяемая как
气 ь2
Л1 =— 八 ■ \ \ ” * ” \ j / (%i‘ -^2? • • • 1 %n) d%i dx2... dxn.(5.96)
口(b左一明з。2%_1〜
Выражения для функций g» (%» имеют вид
blЬ^-1^ + 1匕几
g° (修)~ —^^ • • • \ \ • • • \【/(%l, %2,.…，％тг)
П (峭一你)°1%T%+1an
—M] dxi，. .dxt-i dxt+l.. .dxn. (5.97)
Пример 6. Пусть f (七,尤2)— ?—к/2 в области 0 & 七 & 1, 0 V 尤2 W 丄 Тогда
11
"=\ \，一з"2 "/""2= \ ： (I -，一曾""i =。"毁(5.98}
о оо
gi “О = \—0,799) d%2 = —0,799.(5.99)
о
g2(%2)= \ (е-ж^ — 0,799) dxj = —0,799.(5.100)
0
Следовательно,
丿(修，彳2)Sgl(Xl)+g2(%2)+M・(5.101)
Можно применять метод Этермана и тогда, когда функция задана в отдельных точках. В этом случае соотношения (5.96) и (5.97) заменяются эквивалентными суммами. Для функции двух переменных f (%九尤？) при наличии г точек по переменной .口 и s точек по переменной х? они принимают вид
^ = ^2 2 f^^ х^'(5-102)
j—1 А—1
gl(Xlj)=}£ fgj，%2А),(5.103)
g2 (%2万)=；E f (Хlj，%2万)
nm(5-104)
H/(%1, %2)=■ E gl (%lj) + 2 82(无2万)。
При описании этого метода и в примере 6 мы используем материал, изложенный в работе [18], содержащей очень хорошее описание методов апроксимации функций нескольких переменных.
£4. ВРЕМЕННОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ
Временное запаздывание возникает в том случае, когда измерение производится спустя некоторое время после того, как произошло измеряемое собы- гие.
Для моделирования на АВМ представляют интерес задачи, в которых для регулирования некоторой переменной используются данные, измеряемые с запаздыванием. Очень часто с запаздыванием измеряется сама эта переменная. Примером недалекого будущего может служить бороздящий лунную поверхность аппарат, движением которого управляет земная станция. Датчики аппарата собирают информацию об окружающей обстановке и передают ее на Землю, где эта информация обрабатывается, а затем передается команда на Луну. В этой последовательности операций появляются два временных запаздывания, каждое несколько больше 1 сек. Первая задержка ——запаздывание сигнала, передаваемого с Луны на Землю, и вторая — запаздывание сигнала с Земли на Луну.
Более земные примеры можно найти на химическом предприятии. Здесь в определенной пропорции непрерывно смешиваются химикалии. Выходной продукт контролируется некоторое время спустя. На основе этого измерения может быть изменена пропорция, в которой используются химикалии с целью улучшения выходного продукта.
К этим примерам можно добавить управление ядерными реакторами, регулирование производственных процессов, управление нефтеперегонным заводом. В любом примере временное запаздывание приводит к уменьшению степени устойчивости систем с обратной связью. Следовательно, запаздывание играет важную роль в работе системы, и его следует моделировать точно.
Для этой цели подходит устройство магнитной записи i). В этом устройстве с помощью одной магнитной головки производится запись переменной на магнитную ленту, а некоторое время спустя эта переменная считывается с ленты другой магнитной головкой, расположенной на некотором расстоянии от первой. Время запаздывания является функцией скорости движения ленты и расстояния между головками ). Устройству магнитной записи свойствен один серьезный недостаток: в нем нельзя в широких пределах легко изменять величину времени запаздывания.
Для большей гибкости при моделировании запаздывания можно использовать программу для элементов АВМ (потенциометров, интеграторов и усилителей), апроксимирующую это явление при данных конкретных условиях с высокой степенью точности.
Функция g (/) характеризуется временем запаздывания Т относительно функции / (/), если имеется соотношение
g ⑺= /(/-Г). (5.105)
Возможно, мы сможем лучше понять особенность временного запаздывания, которое нужно смоделировать на АВМ, рассматривая его характеристики в частотной области.
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (5.105), получим
力[g ⑺】 = /[/(£ —Т)〕， (5.106а)
G (s) = 戶(s), (5.1066)
гдеX [/(/)] =戶(s).
Полагая s = j(o, имеем
G (/со) =6—打3 戶(j(o)・(5.107)
Выражение (5.107) показывает, что при задержке сигнала любой частоты его амплитуда не меняется, а фаза сдвигается на отрицательную величину, равную произведению частоты и времени запаздывания sT.
Итак, если
/⑺二/sing/,(5.108)
то
g (方)=/sin(co/ —(O[T) = /sin (co J —叫).
При попытке моделирования запаздывания на АВМ наше первое побуждение ——разложить функцию ^г& в ряд Маклорена:
+—(5.109)
Умножение функции 戶(s) на n-ю степень переменной s соответствует n-кратному дифференцированию функции / (/) [см. уравнение (4.25) ]. Поэтому обратное преобразование Лапласа выражения (5.1066) имеет вид.
g «)=[1 -T齐卜丁2 +(一t)" 為'"⑺，(5.110)
следую-(5.111)следую-(5.111)Это разложение обладает несколькими нежелательными свойствами. Поскольку при больших s ряд в выражении (5.109) быстро не сходится, то на высоких частотах, или при значениях времени вблизи % = 0, н амплитудная g (t)/f (0 и фазовая характеристики отличаются от соответствующих характеристик звена запаздывания ^. Как показывает соотношение (5.110), разложение требует определения производных высокого порядка функции f (z). Поскольку дифференцирование является ахиллесовой пятой аналоговой вычислительной техники, мы стараемся избежать его, если только представляется такая возможность. К счастью, можно обратиться к другому методу, называемому апроксимацией Падё ). Он приводит к дробнолинейной передаточной функции с одинаковым порядком числителя и знаменателя ), если запаздывание, выражаемое передаточной функцией 6一?"， апроксимировать щим образом:
следую-
(5.111)
следую-
(5.111)
〜 £【九 ⑺](p) 〜Z[/(f)「Q"(卩)’ где h(t)^ g(i).
北⑺2 [ 2孔(2几一1)2!寸…I (2/:)!( 〃丿，
(5.112)(5.112)Q" S) = 1十考十就僚%嗜十…十费 и в общем случае
(5.112)
(5.112)
Q" S)=-Pn( —")•
В табл. 5.2 приведены многочлены 尸几(°), используемые для апроксимации передаточных функций до 6-го порядка включительно по методу Падё.
Таблица 5.2
Порядок/1 = 0п = 1и —2/г = 3п=4п = 5п=6Порядок/1 = 0п = 1и —2/г = 3п=4п = 5п=6Р"(卩)1Р"(卩)1Апроксимация Падё для моделирования временного запаздывания
Порядок/1 = 0
п = 1
и —2
/г = 3
п=4
п = 5
п=6
Порядок/1 = 0
п = 1
и —2
/г = 3
п=4
п = 5
п=6
Р"(卩)
1
Р"(卩)
1
Тр (Тр)2
Тр (Тр)2 (Тр^
2 十 10120
Тр 3(7>)2 (7»з I(7>)&2 十 2884 1680
.丄(『PFК” I (力尸(Тр/
2 十 972 Г 16807560
Тр 5(7>)2 (7»з(7> 尸(7>)5 (Тр)б
不■十 44132 十 15845080 十 665 280
Как видно из рис. 5.37 ■—5.39, апроксимация Падё дает хорошие результаты при и = 2 в диапазоне частот 0 W соТ W 2 H при и = 4 в диапазоне 0 < ①丁 < 6. Апроксимация 6-го порядка, несмотря на излишнюю сложность, не так точна, как две предыдущие. Моррил [71 ] предложил «корректирующий» компенсатор в качестве средства повышения точности апроксимации выше 4-го порядка. По этой методике вычисляется ошибка в сдвиге фазы сигнала, прошедшего через идеальное звено запаздывания и через звено, представленное разложением Падё 4-го порядка. Передаточная функция корректирующего компенсатора определяется с целью минимизации ошибки. Последовательное включение компенсатора в сочетании с разложением Падё 4-го порядка образует приближение звена запаздывания. Точность этого Mei ода иллюстрируется рис. 5.39, где для компенсатора 2-го порядка в диапазоне О W соТ ^ 12 ошибка составляет менее 2% .
В то время как с помощью стандартного оборудования АВМ запаздывание непрерывного сигнала можно только апроксимировать, задержку импульсного сигнала можно воспроизвести точно. Все что для этого необходимо,—— это правильная последовательность операций переключения напряжения с одной части элемента схемы на другой с требуемым запаздыванием. Рассмотрим моделирование звена запаздывания первого порядка i), чтобы показать, как осуществляются такие запаздывания. Работа звена запаздывания первого порядка показана на рис. 5.40. На вход устройства подается серия импульсов, следующих через равные промежутки времени. Величина каждого импульса представлена высотой стрелки. Звено запаздывания 1-го порядка обеспечивает экстраполяцию от одной точки выборки до следующей при использовании значения в последней точке и наклона линейного участка между последней и предыдущей точкой. Выходная величина представлена сплошной линией, которая является продолжением пунктирной линии, отражающей тенденцию изменения входной величины в предыдущий интервал.
Уравнение для звена запаздывания 1-го порядка в интервале NT V V 方 V (N + 1) Т имеет вид
№ = №Т) 丁 U(NT) Т [(N — 1) т】｝匕尹. (5.113)
中中
中
中
иис. 5.37. Сравнение апроксимации Падё второго порядка с характеристикой идеаль-ного звена запаздывания*
и
и
Л — идеальное звено запаздывания; Б — апроксимация Падё 2-го порядка.
РДРД2424а)Т681012 加 1618а)Т681012 加 1618仞咖协0(7500550 2 3 4 5 6-5S^ ^вдз仞咖协0(7500550 2 3 4 5 6-5S^ ^вдзS00S00700700
Р
Д
Р
Д
24
24
а)Т
681012 加 1618
а)Т
681012 加 1618
仞咖协0(7500550 2 3 4 5 6
-5S^ ^вдз
仞咖协0(7500550 2 3 4 5 6
-5S^ ^вдз
S00
S00
700
700
с. 5.38. Сравнение нескольких апроксимации Падё с характеристикой идеального звена запаздывания.
идеальное звено запаздывания; Б — апроксимация Падё 6-го порядка; В — апроксимация Падё 4-го порядка; Г — апроксимация Падё 2-го порядка.
Рис. 5.39. Сравнение некоторых апроксимирующих звеньев с характеристикой идеаль-ного звена запаздывания.
Д — идеальное звено запаздывания; Б — апроксимация Падё 6-го по-рядка, В ——апроксимация Падё 4-го порядка плюс компенсация 2-гопорядка, Г ―■ апроксимация Тейлора 6-го порядка.
На рис. 5.41, а приведена схема реализации выражения (5.113) на АВМ. Рассмотрение пос^педовательности операций начинаем с момента f = NT; в этот момент все ключи разомкнуты и величины напряжений в цепи соответствуют обозначенным на схеме. Запаздывание 1-го порядка воспроизводится
ния (фиксации) 1-го порядка.ния (фиксации) 1-го порядка.
ния (фиксации) 1-го порядка.
ния (фиксации) 1-го порядка.
на выходе усилителя 6. Выражение t— NT представляет собой волну пилообразного напряжения g (», изображенную на рис. 5.41,6, и может быть апроксимировано при помощи схемы, приведенной на рис. 5.17, а, или
07 2T07 2T37(АН)7 NT 便+犷伊+2)737(АН)7 NT 便+犷伊+2)7
07 2T
07 2T
37(АН)7 NT 便+犷伊+2)7
37(АН)7 NT 便+犷伊+2)7
Р и с. 5.41. 。——схема звена запаздывания (фиксации) 1-го порядка;
6 —пилообразные колебания.
воспроизведено с помощью специального генератора пилообразного напряжения. В момент времени 厶，удовлетворяющий условию NT<； /1 < (А^ + 1) Т, ключ 2 замыкается и величина на выходе усилителя 2 становится равной f (NT), а величина на выходе усилителя 4 равна f (/) — f〈NT). В момент в ре- 10 Л. Левин
мени ", удовлетворяющий условию 友< 看2<(乂 卜 1) 丁，ключ 2 размыкается. В момент времени " = (N+ 1)不 оба ключа, / и 3 , замыкаются, а затем вновь размыкаются через короткий интервал. Величина на выходе усилителя / будет тогда равна ——f (N + 1) Т, а величина на выходе усилителя 5 будет равна f [(N 十 1) Т]——f (NT). Величина на выходе усилителя 6 будет соответствовать выходной величине звена запаздывания 1-го порядка в интервале (N + i) Т t (N + 2) Т. Итак, если повторять последовательность замыкания и размыкания ключей, мы всегда сможем получить с выхода усилителя 2 импульс, задержанный на время одного периода. Если мы хотим получить сигнал, задержанный на два или большее число периодов выборки, нам необходимо только включить последовательно за усилителем 2 другие запоминающие элементы. На выходе каждого элемента будет сохраняться сигнал, задержанный на один период выборки по отношению к выходному сигналу элемента, который включен на его входе (например, выходной сигнал усилителя 2 запаздывает относительно выходного сигнала усилителя /).
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ1)
ВВЕДЕНИЕ
Функциональная связь между переменными может быть выражена как в неявной, так и в явной форме. В случае трех переменных величин х, у, z, где z ——зависимая переменная, функциональная связь в неявном виде выражается следующим образом:
/(尤，у, z) = 0, (6.1) а в явном виде —
z = g(%, У)・ (6.2)
До сих пор мы рассматривали методы решения только таких уравнений, в которых зависимая переменная была представлена в явном виде. Как мы уже отмечали, дифференциальное уравнение вида
3 ahphy - 2, bj^x (6.3) fe—0
решается с помощью представления переменной рпу в виде функции остальных переменных, входящих в уравнение (6.3). Таким образом, мы переписываем уравнение (6.3) в явном виде
р"у = g (у, РУ，• • •, Рп^у, х, рх, ртх) (6.4) и затем программируем его. Уравнение (6.3) можно также записать в неявном виде
/ (у, х, рх, . . ., ртх) = 0. (6.5)
Процесс программирования уравнения (6.5) отличается от процесса программирования уравнения (6.4). Однако нет ничего удивительного в том, что окончательные структурные схемы программ в обоих случаях одинаковы.
Несмотря на приведенный выше пример решения дифференциального уравнения, мы не всегда можем программировать для АВМ выражения, заданные в явном виде. Так, одна из причин, вызывающих необходимость решать уравнения в неявном виде, связана с тем, что этот способ записи является единственно возможным. Именно так обстоит дело в случае уравнения
% + sin z/ + е_у 0, (6.6) в котором у не может быть записан в виде явной функции от х. Другой причиной, которая, вероятно, встречается чаще, является то, что АВМ может не иметь решающих элементов, необходимых для решения задачи в явном виде.
АВМ имеет блоки, предназначенные для выполнения специальных задач, например блоки умножения и генераторы синусоидальных колебаний. Если такие операции необходимо выполнить, то это можно сделать в явном виде. Однако, если необходимо произвести обратную 2) операцию, АВМ выполняет ее, решая уравнение, выраженное в неявном виде.
В этой главе мы будем рассматривать функции только действительных переменных. 2) Если г/ — / (х), то обратной операцией будет получение % = /-1 (у).
Например, чтобы совершить операцию деления
Z = j(6.7)
АВМ решает уравнение, заданное в неявном виде, т. е.
2х — у = 0.(6.8)
для чего требуется произвести операцию умножения, а не деления.
Другим примером является вычисление арксинуса
y = sinT%(6.9)
на АВМ, имеющей только генератор синусоидальных колебаний.
В этом случае такая АВМ решает уравнение
尤一siny = 0.(6.10)
Глава начинается с обсуждения условий, при которых существует решение неявного уравнения i). Далее мы намечаем процедуру программирования неявных функций на АВМ, которая существенно отличается от программирования явных функций. Также будет выведено приближенное уравнение для определения ошибки решения.
Нашей следующей темой является обсуждение неявных уравнений, которые имеют много решений. Только одно из этих решений правильно, в то время как на АВМ можно получить любое из них. Обсуждение проблемы множественности решений имеет целью выяснение способа, пользуясь которым АВМ будет выделять единственно правильное решение из многих.
Затем мы покажем, как с помощью описанного метода неявных функций можно осуществить операцию, обратную любой операции, выполняемой АВМ. Конечно, можно создать решающий элемент, который будет выполнять операцию, обратную операции, выполняемой каким-либо другим решающим элементом. Однако при небольших дополнительных затратах, определяемых стоимостью усилителя с высоким коэффициентом усиления, любую операцию, выполняемую АВМ, можно запрограммировать таким образом, чтобы совершалась обратная операция. Использование метода неявных функций для выполнения обратных операций более предпочтительно как с точки зрения уменьшения затрат, так и с точки зрения расширения возможностей АВМ.
Далее мы рассмотрим, каким образом АВМ может решать систему неявных } равнений в случае двух и большего числа переменных величин. Пытаясь решить эти уравнения, мы встречаемся с проблемой устойчивости модели, которая намного сложнее подобных же проблем, возникающих при программировании одного уравнения. Существуют методы, которые позволяют разрешать эти проблемы. Мы обсудим их после того, как перечислим условия, при которых существует решение, и опишем метод программирования.
В конце главы мы покажем, что одним из многих применений метода неявных функций является использование его для перехода от прямоугольных координат к полярным. Для нас это явится подходящим случаем ввести понятие тригонометрического блока — устройства, которое, образуя функции синуса и косинуса, может осуществлять поворот системы координат. Необходимость в таких поворотах возникает при исследовании проблем, связанных с динамикой полета твердых тел. Так как эта тема входит в число наиболее важных проблем, исследуемых с помощью АВМ, мы рассмотрим поворот осей координат довольно подробно, хотя обычно выполнение этой операции не требует уравнений в неявном виде.
Неявным уравнением мы будем для краткости называть уравнение, определяющее неявную функцию [например, (6.1) или (6.10)].— Прим. ред.
62 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧ И 1)
Если уравнение (6.1) имеет решение, то оно должно выражаться в явной форме в виде уравнения (6.2), где g (%, у)——непрерывная однозначная функция. Термин однозначная функция здесь использован в узком смысле, что требует некоторых пояснений. Обычно этот термин означает, что каждому значению переменных хну соответствует единственное значение переменной г; в том же смысле функция g (х, у) является однозначной, если для всего диапазона значений переменных хну функциональная связь между величиной г и переменными хну может быть описана одной непрерывной функцией ).
Чтобы проиллюстрировать это положение, рассмотрим выражение
у ~ sin х.
Для любого значения величины у существует несколько значений переменной %, которые удовлетворяют этому уравнению. Однако для любого произвольно
Р и с. 6.1. График уравнения г2 ~ х.
малого диапазона значений х существует только одно значение %, соответствующее определенному значению величины у (за исключением окрестности точек у = 士 1). Мы называем эту функцию однозначной в малом. Для сравнения укажем, что если существует единственное значение величины % для любого значения величины у, то мы имеем просто однозначную функцию, называемую также функцией, однозначной в большом.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение
F(x, z) = z2_% = 0.(6.11)
В этом случае г ——многозначная ) функция, так как
z= ± |/尤*(6.12)
Однако, если исключить точку х = 0, можно рассматривать z как однозначную непрерывную функцию переменной 尤.
На рис. 6.1 представлена графически зависимость (6.12). Рассматривая ее, мы используем некоторые эвристические аргументы, чтобы объяснить, почему точка х = 0 является особой.
Предположим, что мы начинаем со значения % = 4 Можно спроектировать эту точку на кривую, в результате чего мы попадем в точку В или в точку С.
Мы выбираем точку, определяя, какое из решении уравнения (6.11) нам нужно. Пусть мы выбираем ветвь z = \ х и, исходя из этого, точку В. Кстати, как мы покажем в разд. 6.4, АВМ может быть запрограммирована так, чтобы производить подобный выбор самостоятельно.
Если 尤 начинает изменяться от своего начального значения, то z будет смещаться по кривой от исходной точки В. До тех пор пока 尤 остается больше нуля, z всегда будет определяться однозначной непрерывной функцией вида У"%.
Однако, если позволить величине 尤 принять значение, равное нулю, возникнут определенные осложнения, так как при % = 0 функциональная связь может быть представлена как в виде выражения z =Ух, так и в виде выражения г =——М%. Кроме того, если после прохождения нулевой точки величина % будет возрастать, величина z может стать как положительной, так и отрицательной. Попав в окрестность точки 尤=0, мы больше не можем представлять величину г однозначной функцией а：, В теореме 6.1 сформулированы достаточные условия существования однозначного непрерывного решения неявного уравнения. Эта теорема строго математически доказывает, почему в этом случае следует избегать значения 尤=0.
Теорема 6.1.丄).Пусть значения % — %0, g = у。, z = 之。удовлетворяют уравнению
F(x, у, z) = 0(6.13)
и пусть функция 戶 и ее частные производные первого порядка непрерывны в области
1% — I I у——Zo|v& где а, > с ——положительные постоянные. Тогда если производная Fz (戶乞= =dFIdz) не равна нулю при z — z0, у — y^ z = z。，то существует одна и только одна непрерывная функция независимых переменных х и у, например описываемая уравнением (6.2), которая удовлетворяет уравнению (6.13) и принимает значение z = когда 尤=工。и у = yQ.
Применяя эту теорему к уравнению (6.11), видим, что
(6.14)
of] 0, когда х 5^ 0,(6.15а)
火[=0, когда х = 0.(6.156)
Условия существования единственного решения выполняются в том случае, когда справедливо уравнение (6.15а). Однако мы должны отметить, что условие 戶z 次 ° является лишь достаточным условием. Для уравнения
戶(z, %) = (z —%)3 = 0(6.16а)
имеем
竺5г"_&竺5г"_&= 3(z —х)2,
竺5г"_&
竺5г"_&
(6.166) =0 при х =
Однако в любой точке, включая точку х = 0, справедлива следующая явная зависимость:
z = х.(6.17)
СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ АВМ
Уравнения, выраженные в неявном виде, программируются методом, который несколько отличается от метода программирования уравнений, заданных в явном виде. Следует запомнить важное правило: все уравнения, заданные
Эта формулировка теоремы взята из работы [27, т. 1, стр. 35].
в неявном виде, решаются на АВМ с помощью усилителя с высоким коэффициент том усиления, включенного в замкнутый контур.
Обратное положение формулируется так: если программа решения на АВМ составлена таким образом, что все члены уравнения подаются на входы какого- либо операционного усилителя, то это уравнение представлено в неявном виде.
Рис. 62 Первый шаг в программировании уравнения (6.19).Рис. 62 Первый шаг в программировании уравнения (6.19).Рис. 6.3. Структурная схема программы решения уравнения (6.20).Рис. 6.3. Структурная схема программы решения уравнения (6.20).
Рис. 62 Первый шаг в программировании уравнения (6.19).
Рис. 62 Первый шаг в программировании уравнения (6.19).
Рис. 6.3. Структурная схема программы решения уравнения (6.20).
Рис. 6.3. Структурная схема программы решения уравнения (6.20).
Составление програмы для АВМ производится следующим образом:
Предполагается, что в нашем распоряжении имеется зависимая переменная.
Все члены уравнения суммируются на входе усилителя с высоким коэффициентом усиления.
Выходной величиной усилителя с высоким коэффициентом усиления является зависимая переменная, которая используется как сигнал обратной связи, замыкающий контур.
имер 1. Наша задача ——составить программу выполнения операции деления
2 =丁(6.18)
для АВМ, которая имеет только блоки умножения. Так как АВМ не может выполнить
Рис. 6.4. График уравнения (6Л8) приРис. 6.4. График уравнения (6Л8) при
Рис. 6.4. График уравнения (6Л8) при
Рис. 6.4. График уравнения (6Л8) при
операцию деления непосредственно ), уравнение должно быть решено в неявном виде:
F (х, у, г) =zy — x=0.(6.19)
Здесь х и у ——известные входные величины; кроме того, предположим, что имеется и величина г. В таком случае мы начинаем с подачи на вход усилителя с высоким коэффициентом усиления соответствующих величин, как показано на рис. 6.2.
Все, что остается сделать,—— это определить значение выхода усилителя / и замкнуть контур. Когда величина у положительна, на выходе образуется (——г) и структурная
схема программы имеет вид, представленный на фиг. 6.3. Используя эту схему, мы легко можем убедиться в том, что на выходе усилителя / получается правильный результат. Полагаем, что у —— положительная постоянная величина. Тогда эта схема совпадает со схемой обычного усилителя с обратной связью, передаточная функция которого известна (см. разд. 4.9). Если бы величина у оказалась отрицательной, то с помощью схемы на рис. 6.3 нельзя было бы получить решение уравнения (6.18). Этот случай обсуждается в разд. 6.4, в котором рассматривается проблема множественности решений.
Дифференцируя уравнение (6.19), имеем
(6.20)(6.20)Fz = y,
(6.20)
(6.20)
& = 0 при у = 0.
На рис. 6.4 мы построили график уравнения (6.18) при х — о. Этот график показывает, что в окрестности точки у = 0 величина z не может быть однозначной функцией величин л: н у.
Анализ ошибок 】)
При нахождении с помощью АВМ функций, заданных в неявном виде, всегда имеют место определенные ошибки, даже если считать, что все элементы
Рис. 6.5、Общая блок-схема про-грамм ы получения неявной функции.
идеальны, т. е. при работе не вносят ошибку. Сейчас мы получим приближенное уравнение для определения ошибки решения. Поскольку недостатки решающих элементов неизбежно увеличивают ошибки, это уравнение определит наименьшую ошибку, которая возникает при решении уравнений для неявных функций.
Решение идеальной АВМ неточно потому, что коэффициент усиления операционного усилителя является конечной величиной. На рис. 6.5 представлена блок-схема программы решения на АВМ уравнения
尸(％ 必 z) = 0(6.21)
относительно величины z. Блок использован для представления операции, которая при входных величинах %, у, z вьтрабатывает значение функции 尸(％, у, z). Если коэффициент усиления усилителя равен ——4, а выходной величиной является ——Zi, то на вход подается значение Zi /А вместо правильного значения входной величины, равного нулю.
Для значений % = %(), У = Уо схема на рис. 6.5 дает решение уравнения
尸(%0,见，乙)=修(6.22)
вместо уравнения
尸(％о，У^ Zo) = O・(6.23)
Между правильным значением z0 и решением 乞储 полученным на АВМ, неизбежно будет существовать некоторое отличие. Мы дадим оценку этой ошибке, разложив выражение F (х0, у。,乙)в ряд Тейлора в окрестности
Обсуждение ведется на основе подхода, использованного в работе [75, стр. 15— 21, 160—162].
значения z = z():
N =尸(%0, д0，21),
*=『№' Zo) 丁…(z_2。)十
+ 打(薯工…(4-Zo)2] •(6.24)、
Если мы предположим, что ошибка Aze = z1 —z0 мала, то все члены, содержащие более высокие степени ошибки Лге, пренебрежимо малы по сравнению с величиной Zi — z0. При этих условиях достаточно хорошим приближением для равенства (6.24) является выражение
号工尸(%, 见,"(6.25)，
Используя уравнение (6.23), получаем
Aze^― .(6.26)，
〈& 丿区о, у。, 20
Так как ошибка мала, то
%1г0,(6.27)!
и мы можем переписать уравнение (6.26) в виде
Как уравнение (6.26), так и уравнение (6.28) показывают, что чем больше коэффициент усиления А усилителя, тем меньше ошибка. Если производная dF!dz конечна и значение коэффициента усиления 4 f 8, то Azf 0.
Приближенное равенство (6.27), хотя оно применяется только в том случае, когда ошибка мала, может быть также использована для качественного выявления условий, при которых величина ошибки становится чрезмерной. При конечном значении коэффициента усиления А ошибка Az? перестает быть малой, когда производная dF/dZf 0. Как мы уже видели при рассмотрении теоремы 6.1, это условие совпадает с условием, при котором решения может не существовать. Если решение неоднозначно, ошибка при решении на АВМ становится большой вблизи точки, в которой производная dF Idz = 0.
Если в окрестности этой точки решение однозначно, как, например, в случае уравнения (6.16а), ошибка может по-прежнему быть малой. Произведя разложение в ряд Тейлора, мы оставляем член низшего порядка с отличным от нуля коэффициентом. Если этот коэффициент имеет вид NFIdz”, то уравнение (6.24) принимает следующую форму:
(6.29} или
(6.30) i>
В качестве примера применения этого анализа ошибок см. уравнения (6.58)—— (6.61).
Прямые и обратные функции
Если между двумя переменными существует функциональная связь вида 〃％)，(6-31)
то в этом случае соотношение, обратное соотношению (6.31), определяется как Х =尸出.(6.32)
АВМ, которая может генерировать некоторую функцию, способна также производить ее обращение, решая уравнение в неявном виде:
—У = 6(6.33)
Блок-схема, представленная на рис. 6.6, иллюстрирует правило получения обратных функций на примере решения этой задачи для уравнения (6.33).
Рис. 6.6. Блок-схема программы получения обратной функции.Рис. 6.6. Блок-схема программы получения обратной функции.
Рис. 6.6. Блок-схема программы получения обратной функции.
Рис. 6.6. Блок-схема программы получения обратной функции.
Правило: Если АВМ может воспроизводить заданную функцию f (х), то она может воспроизводить и обратную функцию, что достигается при помощи включения функционального преобразователя в цепь обратной связи операционного усилителя. В этом случае при подаче на вход усилителя переменной ——у на выходе будет получаться функция 尸(у).
Применение этого правила иллюстрируется примером 1; в этом примере операция деления была выполнена с помощью включения в цепь обратной связи блока умножения.
Пример 2. При решении задачи на АВМ может потребоваться возвести некоторую переменную в дробную степень. Если нам нужна функция вида
г=ха/ь,(6.34)
где а и b — целые числа и
то мы должны составить схему программы таким образом, чтобы АВМ воспроизводила функцию
z=x"b(6.35)
или функцию
Поступая таким же образом, мы получим все члены вида
%2/Ь,%3/Ь%(b一1)/ь.
"Структурная схема в том случае, когда Ь четно, несколько отличается от структурной схемы в случае, когда b нечетно, как это можно видеть на рис. 6.7. В качестве характер-
Р и с. 6.7. Возведение в дробную степень.а~п нечетно; б — л четно.
Рис. 6.8. Получение функции х1^3 и х2^3.
田ого примера мы приводим на фиг. 6.8 схему для получения функции
z=J/3.(6.36)
Когда в уравнении (6.34) а > Ь, мы снова, как и в случае а V 瓦 начинаем с составления программы для получения
Чтобы получить функцию 尤Q/b, надо произвести дополнительные операции умножения в прямой цепи.
ПРОБЛЕМА МНОЖЕСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
Уравнение для неявных функций со многими решениями внушает беспокойство начинающему программисту. Из всех решений, которые будут удовлетворять уравнению, его, по-видимому, интересует только одно. Рассмотрим, как нужно составлять программу для АВМ, чтобы она выбирала решение, интересующее программиста, и отбрасывала остальные. Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим пример уравнения, которое имеет много решений.
Чтобы решить относительно угла 0 уравнение
O = arctg^,(6.37)
мы программируем соответствующее уравнение для неявных функций, исходя из наличия генераторов, вырабатывающих синусоидальные и косинусоидаль- .ные величины 】).
Поэтому мы переписываем уравнение (6.37) в виде
尤丄 sin 0i у】 cos 0Р(6.38)
В неявной форме это уравнение имеет вид
Xi sin 01 — у】 cos 0t = 0.(6.39)
Если мы ограничимся областью значений угла —冗< 8< л, то сможем убедиться, что решением является не только значение 0Ь но также и значение
%= “ —п.(6.40)
Задачи, возникающие при программировании АВМ в случае существования многих решений, лучше всего проиллюстрировать, рассматривая функцию произвольного вида F (х, у, z). Примером такой функции может служить функция, график которой приведен на рис. 6.9, в случае, когда переменные х и у принимают значения % = /, у = yQ. Точки A, Bf Ct D и Е дают решения уравнения
尸“，弘 z) = 0(6.41)
относительно неявной функции z. Однако любая программа АВМ сможет обеспечить получение лишь альтернативных значений z (или А, С м Е, или
Метод программирования АВМ для решения уравнения 6.37 обсуждается в разд. 6.6.
В и D). Это объясняется тем, что при одних значениях корня z уравнения (6.41) решение, получаемое на модели с использованием замкнутого контура, будет сходиться к нулю, в то время как при других значениях z оно будет расходиться.
Рассматривая рис. 6.9, будем считать, что АВМ нашла одно из решений, скажем решение z = В. Не будь при решении использован замкнутый контур, небольшое изменение значения функции F привело бы к большому изменению переменной z. Мы будем рассматривать подобное поведение переменной z как тенденцию ее изменения при изменении функции F.
Эта тенденция определяется конкретным видом программы АВМ. При рассмотрении рис. 6.9 мы допустили, как это показано с помощью стрелок, что переменная z имеет тенденцию возрастать, когда функция 尸 положительна. Следует отметить, что включение инвертора непосредственно перед усилителем
F 伤 о，уу)
Рис. 6.9. График функции, на котором стрелками указаны направления изменения значений зависимой переменной г, производимые АВМ. Решения существуют в точках z ① В, D.
с высоким коэффициентом усиления или после него превратит эту тенденцию в противоположную (т. е. при положительных значениях функции F переменная г будет уменьшаться).
Стрелки на рис. 6.9 отчетливо показывают, почему одни решения возможны, а другие ——нет. Получение решения с помощью АВМ возможно только в тех случаях, когда как при положительных, так и при отрицательных значениях функции F стрелки направлены к точке, в которой функция 尸 = 0. На рис. 6.9 такому случаю соответствуют только точки В и D. Если при решении задачи начальное значение переменной z находится в интервале А V z< С, то решение, получаемое на АВМ, будет сходиться к точке z = В, а в случае С< Е решение будет сходиться к точке z = D* Используя данную программу, мы ни при каких обстоятельствах не сможем получить решения г = А, z = С и z 二 Е 1).
Если мы хотим получить любое из этих «невозможных» решений, то, как мы уже указывали, нужно непосредственно перед операционным усилителем или после него включить инвертор. В этом случае можно получить решения в точках Л, С или £ и нельзя получить решения в точках В или D. В тех случаях, когда существует много решений, мы составляем программу таким образом, чтобы найти часть их, исключая при этом остальные. Этот ограниченный результат не столь уж неприемлем, как может показаться, ибо мы составляем программ}, чтобы найти одно частное решение задачи.
Для определения того, может ли данная программа дать нужное решение неявного уравнения, воспользуемся следующим критерием 】).
Если функция 尸(х0, у。，z) является входной величиной, а переменная z ——выходной величиной операционного усилителя, то процесс решения на АВМ сходится к нулю в точке 石，в которой частная производная dFIdz ^> 0.
Если функция —— 尸(х0, Уо, z) является входной величиной, а переменная z——выходной величиной операционного усилителя, то процесс решения на АВМ сходится к нулю в точке 石,в которой частная производная dFIdz V 0.
Рассмотрим рис. 6.5, где частная производная dFIdz > 0. Выходная величина усилителя z〔 является решением уравнения
F (%о, Уо, Z0 =力•
Следовательно,
F а0,丸，乙)^ 0.
Предположим, что выходная величина усилителя / изменилась и стала равной 厶 + Az. Так как частная производная dF〕dz> 0, то величина z^/A становится положительной, и, следовательно, величина 石 + Az будет уменьшаться. С помощью подобных рассуждений можно показать, что если % принимает значение 石 + Az, то процесс, происходящий в замкнутом контуре, приведет к изменению выхода усилителя в положительном направлении. Следовательно, 巧 —— устойчивое решение. Аналогично можно показать, что решения также будут устойчивы и при выполнении критерия 2.
Уместно спросить, можно ли вообще извлечь какую-либо пользу, применяя такой критерий до составления программы, если оставить в стороне моральное удовлетворение, которое дает выполнение теоретических расчетов? Проще составить структурную схему на основе предположения о том, что в результате получится правильное решение. Если это предположение оказывается неверным, то мы просто дополнительно вводим в замкиутый контур инвертор, ибо нам не остается ничего другого. При этом, как говорится, оператору «не нужно думать», но простота метода с лихвой компенсирует это не для всех приятное обстоятельство ).
Если функция 尸 непрерывна, то, как это можно видеть из рис. 6.9, «возможные» и «невозможные» решения чередуются. Следовательно, если общее число решений уравнения равно и, то с помощью одной определенной программы можно получить 几/2 丄 1 решений в случае нечетного и и п/2 решений при четном п. Очевидно, что в случае определенной программы «возможные» решения могут быть использованы для определения области, в которой находятся «невозможные» решения. Между любыми двумя найденными значениями z должно находиться по крайней мере одно решение неявного уравнения, которое нельзя получить на АВМ. (Их может быть и больше одного, если мы пропустили одно или несколько «возможных» решений.)
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Функциональную связь между несколькими переменными можно задать в неявном виде с помощью системы уравнений. Функциональную связь между зависимыми переменными х и у и независимыми переменными w и у можно
Впервые этот критерий был разработан Менгелем и Миланом (см. работу [76]), когда они нашли условия устойчивости получаемого на АВМ решения неявного уравнения.
записать в неявном виде
尸(弘 v, %, у) = О, G (弘 V, х, у) = 0・(6.42а>
При каких условиях существует в явном виде решение
х = г(弘 и), y = s(u, и)?(6.426)
В теореме 6.1 указываются достаточные условия, при которых гарантируется существование однозначного решения одного неявного уравнения. Мы распространяем эту теорему на случай системы неявных уравнений следующим образом: если функции F и G непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области значений переменных и, и, х, у и якобиан J 1) не обращается в нуль во внутренней точке этой области 以口， 方，尤，у^ причем
dF dF
ду ду и
^(«0, Vo, %о, %) = о, Gm，%, х0,先)二二0,(6.44)
то в некоторой окрестности точки (w0, %) существует единственная пара значений х0 у。，таких, что
хо = г(〃о, %), 〃o = s(%), %),(6.45)
где функции г и s непрерывны.
Как решаются уравнения (6.42а) относительно переменных х и у, если условия теоремы выполнены? Мы можем разрешить любое из уравнении
Рис, 6.11. Структурная схема программы решения системы (6.47).Рис, 6.11. Структурная схема программы решения системы (6.47).Рис. 6.10. Структурная схема программы решения системы (6.46).Рис. 6.10. Структурная схема программы решения системы (6.46).
Рис, 6.11. Структурная схема программы решения системы (6.47).
Рис, 6.11. Структурная схема программы решения системы (6.47).
Рис. 6.10. Структурная схема программы решения системы (6.46).
Рис. 6.10. Структурная схема программы решения системы (6.46).
относительно х, а затем использовать другое уравнение для нахождения у” Другими словами, если условия теоремы выполняются в точке uQt и。, х°, у。, то мы можем решить уравнения
尸(〃0,方，X], У1) =普，G(〃o，方，4，%)=普(6.46)
или уравнения
F (^о,方，工2, //2)=号，G (uq, vq, х2, у2) — -j- .(6.47)
На рис. 6.10 изображена программа решения на АВМ системы уравнений (6.46) ). Для сравнения на фиг. 6.11 приведена программа решения системы уравнений (6.47).
:GF~Лх + Ay);dG A , dG Ad% dy J:GF~Лх + Ay);dG A , dG Ad% dy JДля программы, изображенной на рис. 6.10, можно получить оценку ошибки решения с помощью разложения функций F в ряд Тейлора в окрестности номинальных значений переменных х0 и у0. Если мы пренебрежем членами высшего порядка, то получим
:GF
~Лх + Ay);
dG A , dG A
d% dy J
:GF
~Лх + Ay);
dG A , dG A
d% dy J
(6.48)(6.48)F （u0, и。，看，弘）匸—尸（〃o, 5,^o） + ~g7
(6.48)
(6.48)
人力=（小2霏一备票）.人力=（小2霏一备票）.(6.50)(6.50)G（〃o, и。，％i, Pi）=—и。，x（）, Уо）十：
人力=（小2霏一备票）.
人力=（小2霏一备票）.
(6.50)
(6.50)
где Ах「Х[ — Xo, А^1 = у]—鄧，а все частные производные вычислены в точке («о, и。, у。，yj. Выражения для величины ошибки по каждой переменной имеют вид
1 /dG . dF\1 / dGdG\
А/ =——/ , Az/i = —j— •(6.49)
Для программы, представленной на рис. 6.11, выражения для ошибок имеют вид
(6.51)
Как можно видеть, величины ошибок для каждой схемы различны. Следовательно, с этой точки зрения одна из схем может быть предпочтительнее. Однако при программировании систем уравнений главным условием выбора схемы решения является устойчивость. Вполне вероятно, что из-за несовершенства решающих элементов одна из этих схем устойчива, а другая —— нет.
В случае двух неизвестных, который был только что рассмотрен, мы располагаем лишь двумя способами составления программы решения для АВМ. Вообще, если имеется 九 уравнений с п неизвестными, количество вариантов структурной схемы программы будет равно /г! В случае, когда 几 > 3, определение того, какая из возможных схем решения будет устойчивой (если вообще существует такая схема), является далеко не тривиальной задачей.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ БЛОК)
Так как при решении задач на АВМ часто встречаются тригонометрические функции, было создано специальное устройство для получения значений синуса и косинуса произвольного угла, называемое тригонометрическим блоком. В разд. 5.2.1 мы показали, что тригонометрические функции можно воспроизводить с помощью метода обобщенного интегрирования. Основным преимуществом тригонометрического блока является то, что в большинстве случаев для его создания требуется значительно меньше элементов, чем для других устройств, выполняющих аналогичные операции.
Для решения неявных уравнений тригонометрический блок применяется сравнительно редко. Однако, чтобы дать о нем полное представление, мы обсудим все основные возможности его применения.
На рис. 6.12 приведена структурная схема тригонометрического блока. Если заданы переменные В, х и у, этот блок может генерировать четыре функции:
xsinO, xcos0, у sin 0, у cos 0.(6.52)
Причина, заставившая нас выбрать специальный блок для получения функций вида (6.52), станет очевидной, когда мы будем обсуждать методы поворота координатных осей. Обычно тригонометрические блоки строятся таким обра-
(6.53)(6.53)зом, чтобы диапазон возможных значений угла составлял
(6.53)
(6.53)
Когда диапазон изменения угла больше диапазона, определяемого неравенством (6.53), и значение производной dQ/dt известно, удобнее всего получать
Рис. 6.12. Условное обозначение, принятое для изображения тригонометрического блока.
значения синуса с помощью метода обобщенного интегрирования '). Кроме тс「о, можно обеспечить работу тригонометрического блока при любом изменении угла с помощью реле.
Преобразование координат
Вид выражений (6.52) показывает, что тригонометрический блок без каких-либо изменений можно использовать для осуществления перехода ст полярных координат к прямоугольным. Если вектор задан с помощью полярных координат г и 8, как показано на рис. 6.13, то его проекции на оси % и у .дают его прямоугольные координаты
(6.54)(6.54)%1 = г cos 0, Ух^г sin 0.
(6.54)
(6.54)
Уравнения (6.54) показывают, достаточно просто. Для обратнойУравнения (6.54) показывают, достаточно просто. Для обратнойчто при заданных г и 0 определить 整 и у* операции это утверждение несправедливо.
Уравнения (6.54) показывают, достаточно просто. Для обратной
Уравнения (6.54) показывают, достаточно просто. Для обратной
Рис. 6.13. График, используемыйпри выводе соотношений для пере-хода от прямоугольных координатк полярным.
Если значения л^ и у{ известны, определить полярные координаты непосредственно с помощью тригонометрического блока нельзя. Вместо этого необходимо решать неявное уравнение. Чтобы получить основное уравнение, проведем линию d перпендикулярно вектору г, как показано на рис. 6.13. Обратив внимание на то, что перпендикуляр d является общей стороной двух треугольников, получим
d =修 sin 8 =：弘 cos 0. (6.55)
Перпендикуляр d делит вектор г на две части:门 и r2- С помощью простых три- гоно метр ических соотношений
(6.56)(6.56)г Н Q+г2, r = Xi cosO + % sin 0
(6.56)
(6.56)
Тригонометрические блоки иногда конструируются таким образом, что на их вход можно подавать как В, так и dQ/dt\ производная d^/dt может быть использована в качестве входной величины в том случае, если значения 0 выходят за пределы диапазона, определенного неравенством (6.53).
можно получить из (6.55) уравнение х)
(6.57)(6.57)—修 sin 9 -(- yi cos 8 = 0,
(6.57)
(6.57)
которое в неявном виде может быть решено относительно величины 9. Когда это выполнено, величина г может быть выражена в явном виде из уравнения
Рис. 6.14. Структурная схема программы для перехода от прямоугольных координат к полярным.Рис. 6.14. Структурная схема программы для перехода от прямоугольных координат к полярным.
Рис. 6.14. Структурная схема программы для перехода от прямоугольных координат к полярным.
Рис. 6.14. Структурная схема программы для перехода от прямоугольных координат к полярным.
(6.58)(6.59)(6.60)(6.58)(6.59)(6.60)(6.61)(6.61)
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.61)
(6.61)
Используя методику, изложенную в разд. 6.3, получаем структурную схему, показанную на рис. 6.14.
Чтобы определить величину ошибки по 9 и качественно оценить диапазон, в котором эта ошибка может быть чрезмерной, мы применяем уравнение (6.26). Так как
尸(％i, У» 9) = yi cos 9 — %i sin 0,
°尸(尤^8硏'В，= —У2п8 —%i cos 9,
то, исходя из уравнения (6.56), имеем
黑=一—(炉 + 歹)1/2.
Следовательно,
。几尸Г0при п четном,
[( —1 严+1)/2厂 11PH п нечетном.
Используя уравнение (6.26), получаем
Уравнение (6.61) показывает, что хотя ошибка и возрастает с увеличением 0, однако определяющей является величина г. Наиболее неблагоприятная область — это окрестность точки г = 0. Серийные тригонометрические блоки, которые могут работать в режиме вычисления полярных координат ?), проектируются таким образом, чтобы этот эффект компенсировался системой автоматического регулирования коэффициента усиления, увеличивающей коэффициент усиления А операционного усилителя, когда величина г становится малой. Коэффициент усиления регулируется таким образом, что произведение Аг остается достаточно большим и практически постоянным. Однако, когда г = 0, уравнение (6.57) не даст единственного значения координаты 9, потому что в этой точке нашему уравнению будет удовлетворять любое значение координаты 9.
Обсуждение некоторых вопросов, связанных с программированием этого уравнения, см. в разд. 6.4.
работа в режиме вычисления полярных координат заключается в переходе от прямоугольных координат к полярным. При постановке переключателя в определенную позицию к тригонометрическому блоку присоединяются схемы, позволяющие ему работать в режиме вычисления полярных координат. Когда переключатель находится в другой позиции, тригонометрический блок подсоединяется к схеме, реализующей выражения вида (6.52).
11 Л. Левин
Наиболее распространенными трехмерными координатными системами являются прямоугольная с координатами (%, у, z), цилиндрическая с коорди-
Р и с. 6.15. Сферические координаты.Р и с. 6.15. Сферические координаты.
Р и с. 6.15. Сферические координаты.
Р и с. 6.15. Сферические координаты.
натами (р,屮，z) и сферическая с координатами (г, 9,中).Зависимость между прямоугольной системой координат и другими системами показана на рис. 6.15 и 6.16.
Уравнения для перехода от сферических к прямоугольным координатам имеют вид
х — г cos 0 sin 9,
у = г sin 0 sin 0,(6.62)
= Г COS0.
Из этих уравнений выводятся следующие уравнения, определяющие обратное преобразование:
Г =(炉+“十严户2,
X. у
Ф arccos~ arcsin,
(6.63)(6.63)*(尤2+g2)1/2(x2+/)〃2
(6.63)
(6.63)
9 = arccos丁 .(尤2十川十步产
Переход от цилиндрических к прямоугольным координатам выражается следующими соотношениями:
% = р cos ф,
.y = psincp,(6.64)
Обратное преобразование в этом случае имеет вид
p =(炉 + ")1/2,
ср = arccos"-= arcsin~.(6.65)
(n+仪产2(/十严)1/2
= 2.
Краткое ознакомление с уравнениями и блок-схемами программ показывает, что, добавив к обеим системам одну и ту же координату z, мы перешли от двухкоординатного преобразования прямоугольные полярные координаты [(%, у) (р, 中)1 к трехкоординатному преобразованию прямоугольные — цилиндрические координаты [(х, g, z)— ч—> (р, ср, г) ]. Следовательно, все, что говорилось относительно преобразования
прямоугольные > полярные координаты, в равной степени относится к пре- образованию прямоугольные цилиндрические координаты.
Обратившись к взаимному преобразованию прямоугольной и сферической систем координат, мы видим, что с помощью двух тригонометрических
блоков, изображенных на рис. 6.17, можно легко осуществить переход от сферических к прямоугольным координатам.
С другой стороны, при переходе от прямоугольных к сферическим координатам углы (р и 0 определяются в неявном виде, а длина вектора г определяется
явно. Уравнения, которые должны быть решены, имеют вид ％ sin屮十 g cos屮 =О,
(6.66)(6.66)尤 cos 屮 cos 0 + // sin cp cos 0 ——z sin 8 = О,г == xcos ср sin у sin cp sin 0 + z cos 0.
(6.66)
(6.66)
На рис. 6.18 изображена схема программы решения на АВМ уравнений (6.66) относительно (ср, 0, г).
Читателя, возможно, интересует, почему для определения этих переменных не использованы уравнения (6.63). Если переписать эти уравнения в виде, принятом при программировании для АВМ, то получим
Г 二(炉十“十”y/%
(6.67)(6.67)(尤2 + 夕2卢2 COS (p — % = О,rcosQ —z —0.
(6.67)
(6.67)
Для решения этой системы уравнений требуется не только два тригонометрических блока, но и несколько блоков умножения.
Поворот системы координат х)
При обсуждении преобразований координат мн показали, что положение точки в пространстве может быть описано с помощью различных групп пере、 менных. Теперь рассмотрим соотношение между координатами точки в двух прямоугольных системах, когда одна система вращается относительно другой. Такая ситуация возникает при анализе движения твердого тела, положение которого удобно выражать в инерциальной системе координат, а угловые скорости —в системе координат, связанной с телом. В задачах, рассматривающих полет самолета, ракеты и космического корабля, используются, как правило, две системы координат.
Мы будем применять правую систему координат, которая определяется следующим образом: если мы представим, что правая рука держит ось (рис. 6.19)
Рис. 6.19. Определение правой системы координат.Рис. 6.19. Определение правой системы координат.
Рис. 6.19. Определение правой системы координат.
Рис. 6.19. Определение правой системы координат.
таким образом, что большой палец указывает направление увеличения положительных значений, то остальные пальцы будут указывать положительное направление вращения, т. е. направление увеличения положительных значений угла. Принято также, что при вращении в положительном направлении относительно оси г ось % перемещается в сторону положения, которое перед началом вращения занимала ось у. При вращении относительно оси х ось у перемещается в сторону положения, занимаемого осью г до начала вращения, а при вращении относительно оси у ось z перемещается в сторону положения, которая до начала вращения занимала ось %.
Рассмотрим теперь вращение вокруг какой-нибудь одной оси. В трехмерной системе, изображенной на рис. 6.20, ось г, которая не показана, перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя. При повороте относительно оси г в положительном направлении на угол 0 ось % переходит из положения 尤1 в %2, а ось у ——из положения в у2- Ось г находится в одном и том же положении до и после поворота. Составляющие вектора г вдоль осей у{ и z, (не показанной) обозначены соответственно xir,协厂，z^r. Проекции вектора на оси второй координатной системы выражаются через эти составляющие следующим образом:
尤2r 二修г COS 0 + У1Г sin 0,
У2r ——尤仃 sin 0 十 yir cos 0T (6.68)
3d дополнительными сведениями по этому вопросу следует обращаться к учебникам по динамике твердого тела. Прекрасно изложен материал в работах [74, стр. 93—— 184] и [77, стр. 288—290, 308—333]. В работе [78] этот вопрос рассматривается очень подробно, причем затрагиваются проблемы, связанные с работой АВМ.
Уравнения для перехода от координатной системы, обозначенной индексом 2, к системе, обозначенной индексом 1, имеют вид
(6.69)(6.69)%ir ：=尤2厂 cos 9 — у2Г sin 0, yir = %2r sin 0 十 g2r cos 0, 2ь~z2Г*
(6.69)
(6.69)
Систему уравнений вида (6.68) можно записать в матричной 丄)форме. Поскольку матрицы пригодятся нам в дальнейшем, мы прервем ненадолго нить нашего изложения, с тем чтобы попытаться дать некоторое представление о матрицах читателю, который впервые с ними сталкивается. Система уравнений (6.68) в матричной форме имеет вид
%2rУ 2r dr%2rУ 2r drcos 0— sin 0Оcos 0— sin 0Оsin 9 cos 0Оsin 9 cos 0ООО1ОО1yirZiryirZir(6.70)(6.70)
%2r
У 2r dr
%2r
У 2r dr
cos 0
— sin 0О
cos 0
— sin 0О
sin 9 cos 0
О
sin 9 cos 0
О
О
О
1
О
О
1
yir
Zir
yir
Zir
(6.70)
(6.70)
или C = AZ (Q)-B, где А, В и С —матрицы).
Для того чтобы объяснять, как производится умножение матриц, обозначим каждый элемент матрицы двумя индексами, указывающими его положение в матрице. Например, элемент 〃订 матрица Л находится в i-访 строке и в j-м столбце. Если нам нужно найти произведение двух матриц вида (6.70)
то, по определению,то, по определению,Qj ~ S ^ik^kj*Qj ~ S ^ik^kj*(6.71)(6.71)(6.72)(6.72)
то, по определению,
то, по определению,
Qj ~ S ^ik^kj*
Qj ~ S ^ik^kj*
(6.71)
(6.71)
(6.72)
(6.72)
Это соотношение показывает, что мы умножаем элементы 〔访 строки первой матрицы А на элементы /-го столбца второй матрицы В, чтобы получить элемент, стоящий в 1-й строке и /-м столбце. В частности, имеем
e21 = &1九1 + a22b21 十 &363f.(6.73)
Попутно отметим, что А-В ^ В-А.
Матрицу Л можно рассматривать как линейный оператор, воздействующий на матрицу В и дающий в результате матрицу С. Обозначения, введенные нами при записи уравнения (6.70), показывают, что матрица Л получена при исследовании поворота системы координат на угол 0 относительно оси z. Операция, характеризующаяся матрицей Л, называется ортогональным преобразованием. Преобразование считают ортогональным, если величина и направление вектора до и после преобразования одинаковы. В таком случае мы можем записать уравнение
尤彳「十齿尸十2；r = ^2г + У2т + 2凱(6.74)
Преобразования типа матрицы Л ортогональны, если
з
2 吟=1,』1, 2, 3;
(6.75)(6.75)2 ^iflhj =。， i — l, 2, 3; /г=^1, 2, 3; i^k.2 ^iflhj =。， i — l, 2, 3; /г=^1, 2, 3; i^k.7-1
(6.75)
(6.75)
2 ^iflhj =。， i — l, 2, 3; /г=^1, 2, 3; i^k.
2 ^iflhj =。， i — l, 2, 3; /г=^1, 2, 3; i^k.
Ортогональным преобразованием является поворот вокруг любой оси. Следовательно, соотношения (6.75) являются необходимыми условиями, которые можно использовать для проверки правильности уравнений, описывающих поворот системы координат.
Рис. 6.21. Структурная схема программы для перехода от одной системы координатных осей к другой с помощью одного поворота.Рис. 6.21. Структурная схема программы для перехода от одной системы координатных осей к другой с помощью одного поворота.
Рис. 6.21. Структурная схема программы для перехода от одной системы координатных осей к другой с помощью одного поворота.
Рис. 6.21. Структурная схема программы для перехода от одной системы координатных осей к другой с помощью одного поворота.
Система уравнений (6.70) описывает поворот относительно одной оси и предусматривает использование лишь одного тригонометрического блока, что отражено на рис. 6.21. Только при особых обстоятельствах для перехода
от одной системы координат к другой достаточно поворота вокруг одной коор динатной оси. Леонард Эйлер (1707——1783) показал, что это преобразование можно всегда выполнить с помощью трех поворотов. Углы, на которые совершаются эти три поворота, называются эйлеровыми углами и определяются следующим образом.
Рассмотрим рис. 6.22, на котором имеются две системы координат: (хь у^ z^) и (%2, у2,之2)・ Мы начинаем с поворота относительно оси 厶 на угол 屮，что дает промежуточную систему координат (£,式，石).Далее мы совершаем поворот на угол 0 вокруг оси у' чтобы получить систему координат (心，式，/)• И, наконец, мы совершаем поворот на угол ср вокруг оси х2. Этот последний поворот завершает преобразование, потому что теперь получена координатная система С осями (心，у2, &)：
гдегдеyi =c^（（p）・B"i（e）・4i（2）.yi =c^（（p）・B"i（e）・4i（2）.修 ，i 乙修 ，i 乙(6.76)(6.76)4i(屮)-当1 (8)=4i(屮)-当1 (8)=cosip sinip О—sinip cos 屮 ОО 01— sin 0 0 cos0О 1 Оcos0 0 sin 0cosip sinip О—sinip cos 屮 ОО 01— sin 0 0 cos0О 1 Оcos0 0 sin 01 ОСт (屮)=0 coscpО —sin срCipC0СХ2 (ф) • %i (0) • 41 (屮)=С^8В8ц)— SxpCcp CipSOCcp 十 SipScp1 ОСт (屮)=0 coscpО —sin срCipC0СХ2 (ф) • %i (0) • 41 (屮)=С^8В8ц)— SxpCcp CipSOCcp 十 SipScpоsin 屮,COS фCBS屮SxpSQScp — СхрЗфSxpSOCcp — CxpScpоsin 屮,COS фCBS屮SxpSQScp — СхрЗфSxpSOCcp — CxpScp— SB CQS^ CQCcp— SB CQS^ CQCcpЗдесь введены сокращения: C屮=cos 屮；5屮=sin 屮 и т.工Нами указана отнюдь не единственно возможная последовательность поворотов. Единственное ограничение, налагаемое на эйлеровы углы, состоитЗдесь введены сокращения: C屮=cos 屮；5屮=sin 屮 и т.工Нами указана отнюдь не единственно возможная последовательность поворотов. Единственное ограничение, налагаемое на эйлеровы углы, состоитРис. 6.23. Структурная схема программы для перехода от одной системы координат к другой с помощью эйлеровых углов.Рис. 6.23. Структурная схема программы для перехода от одной системы координат к другой с помощью эйлеровых углов.
где
где
yi =c^（（p）・B"i（e）・4i（2）.
yi =c^（（p）・B"i（e）・4i（2）.
修 ，i 乙
修 ，i 乙
(6.76)
(6.76)
4i(屮)-
当1 (8)=
4i(屮)-
当1 (8)=
cosip sinip О
—sinip cos 屮 О
О 01
— sin 0 0 cos0
О 1 Оcos0 0 sin 0
cosip sinip О
—sinip cos 屮 О
О 01
— sin 0 0 cos0
О 1 Оcos0 0 sin 0
1 О
Ст (屮)=0 coscp
О —sin ср
CipC0
СХ2 (ф) • %i (0) • 41 (屮)=С^8В8ц)— SxpCcp CipSOCcp 十 SipScp
1 О
Ст (屮)=0 coscp
О —sin ср
CipC0
СХ2 (ф) • %i (0) • 41 (屮)=С^8В8ц)— SxpCcp CipSOCcp 十 SipScp
о
sin 屮,
COS ф
CBS屮
SxpSQScp — СхрЗф
SxpSOCcp — CxpScp
о
sin 屮,
COS ф
CBS屮
SxpSQScp — СхрЗф
SxpSOCcp — CxpScp
— SB CQS^ CQCcp
— SB CQS^ CQCcp
Здесь введены сокращения: C屮=cos 屮；5屮=sin 屮 и т.工
Нами указана отнюдь не единственно возможная последовательность поворотов. Единственное ограничение, налагаемое на эйлеровы углы, состоит
Здесь введены сокращения: C屮=cos 屮；5屮=sin 屮 и т.工
Нами указана отнюдь не единственно возможная последовательность поворотов. Единственное ограничение, налагаемое на эйлеровы углы, состоит
Рис. 6.23. Структурная схема программы для перехода от одной системы координат к другой с помощью эйлеровых углов.
Рис. 6.23. Структурная схема программы для перехода от одной системы координат к другой с помощью эйлеровых углов.
в том, что нельзя совершать два последовательных поворота вокруг одной и той же оси. Так, например, можно было бы выбрать следующую последовательность поворотов: вокруг оси 乙，вокруг оси уг и вокруг оси z'; можно было бы начать и с поворота вокруг оси %Р Значения трех эйлеровых углов будут зависеть от порядка выполнения поворотов и в общем случае будут разными.
Возвращаясь к преобразованию (6.76), мы на рис. 6.23 показываем, каким образом можно выполнить необходимые повороты с помощью трех тригонометрических блоков. Чтобы не загромождать схему ненужными подробностями, в ней не показаны инвертирующие усилители на входах решающих устройств.
скоростискоростискоростискоростиЕсли система координат с осями %ь д^ Zt неподвижна и угловые относительно осей %2, //2, z2 обозначены соответственно через wx2, то уравнения, описывающие динамику системы, связывают эти с эйлеровыми углами следующим образом:
скорости
скорости
скорости
скорости
или
@*2 '
dt
——才sin仇
叫2：
—dip dZ
cos 8 smcpcos 屮，
吗2：
_ dip 一 dt
Пde .
cosB cos cp——smcp
dip dt
=(R
№ sin cp 迎％2cos 屮)sec 9
dO dt
,cos 屮一⑵Z2 sin 屮，
dtp at
，+ -^7- sinQ.
1 at
(6.77)
(6.78)
МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ ОШИБОК ПРИ РЕШЕНИИЗАДАЧ НА АВМ
Определение. За исключением тех случаев, когда делаются специальные оговорки, термин ошибка употребляется в этой главе для обозначения разности между точным значением переменной и ее значением, полученным при решении задачи на АВМ.
ВВЕДЕНИЕ
В первых шести главах мы рассмотрели основные элементы АВМ. Мы обсудили также методы использования этих элементов для решения различных задач. Очевидно, что АВМ весьма удобна для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем не менее, хотя эти уравнения и не вызывают математических затруднений, программа для них может быть составлена таким образом, что ошибка решения окажется недопустимо большой.
Причина этого неприятного явления вполне понятна. Решающие элементы АВМ выполняют математические операции лишь приближенно. Таким образом, АВМ является устройством, обладающим ограниченной способностью решать даже те задачи, на которые оно рассчитано, причем эти ограничения связаны с принципом действия АВМ.
Первый шаг к повышению точности АВМ — выбор соответствующих масштабов для независимой и зависимой переменных. Эта задача была достаточно подробно рассмотрена в гл. 4. Выбор масштабов для переменных этих двух типов является наиболее широко применяемым методом из числа тех, которыми мы располагаем, и в большинстве задач он позволяет добиться необходимой точности. Встречаются, однако, случаи, когда одного выбора масштабов оказывается недостаточно. В этой главе приводится ряд таких примеров и указываются методы, с помощью которых повышается точность решения.
К сожалению, не существует метода, который мог бы быть панацеей от всех «недугов» вычислительной машины, осложняющих ее использование. Скорее при решении каждого частного типа задачи находится специфический способ «исцеления». К счастью, все АВМ независимо от прецизионности имеют сходные ограничения, влияющие на уменьшения их точности. Таким образом, любой метод, уменьшающий влияние этих о гр ан ичений на ошибку решения, окажется полезным при работе с любой АВМ, хотя и в разной степени. Ни в коем случае не следует относиться к тому обзору методов, который мы проведем, как к исчерпывающему обсуждению данного вопроса, ибо очень многое в этой области еще предстоит сделать. Остается надеяться, что содержание данной главы может стать для некоторых наших читателей необходимым стимулом в их работе.
Существуют две основные причины возникновения ошибок.
Напряжение становится слишком большим или остается слишком малым на протяжении большей части решения задачи.
Оборудование не соответствует решаемой задаче.
Мы начнем главу с рассмотрения методов, которые могут быть применены в тех случаях, когда напряжение выходит за пределы используемого диапа-
зона. Прежде всего будет рассмотрен метод переменного масштаба. В гл. 4 мы рассмотрели масштабирование, при котором масштаб остается постоянным в процессе всего решения данной задачи. Здесь мы расширим эту концепцию так, чтобы стало возможным нужным нам образом изменять масштабный множитель в процессе решений задачи. Переменный масштаб может быть запрограммирован непосредственно на структурной схеме.
Далее мы обсудим два метода, которые предусматривают изменение машинных уравнений. Этими методами являются метод возмущений и метод коэффициентов влияния параметров. Как мы увидим, оба этих метода могут применяться не только для уменьшения ошибки, но и для решения ряда других задач.
Довольно часто возникает необходимость считывать значения напряжения в определенный момент времени. Наиболее доступный способ осуществить эту операцию —— использовать блок выборки и фиксации (см. разд. 5.2.2.). Однако неспособность реле переключаться мгновенно приводит к ошибкам считывания. Нашим следующим предметом обсуждения являются ошибки считывания и методы, с помощью которых они могут быть уменьшены.
И наконец, мы заканчиваем главу обсуждением недостатков ряда решающих элементов АВМ, таких, как умножители, тригонометрические блоки и делители. Все рассматриваемые нами методы предусматривают улучшение точности АВМ с помощью изменения программы, а не внутренней структуры решающего элемента.
ТРУДНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ, НАЛАГАЕМЫМИ
НА ДИАПАЗОН ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
В гл. 4 мы оправдывали необходимость введения масштабов для зависимых переменных, показывая, что величина напряжения, представляющего любую переменную, имеет верхнюю и нижнюю границы. Верхняя граница Умакс определяется тем значением напряжения, при котором нарушается работа решающего элемента, т. е. решающий элемент перестает выполнять операцию, для которой он был предназначен. Нижняя граница 几Ин определяется менее точно и отчасти зависит от вида конкретной задачи. Если при решении задачи напряжение, представляющее переменную, остается меньшим Умии в течение значительного промежутка времени, то отношение шума АВМ к сигналу становится достаточно большим и может вызвать значительные ошибки.
Предположим, что переменная %, заданная в диапазоне %мин < х < Хмакс, представлена машинной переменной У, причем Умин V Р V VM^c- Возвращаясь к гл. 4, напомним, что переменная % может быть представлена как
V —々尤，(7.1а)
где
(7.16) 无МКН
При выборе масштаба в данном случае мы подразумевали, что снижение напряжения до нижней границы Умин не вызывает затруднений. Более полно условие для выбора постоянного масштаба может быть сформулировано следующим образом: масштаб должен быть таким, чтобы выполнялись соотношения (7.1а) и (7.16), при условии что
Х“акс / Vмакс八廿минИЛИ
厂мин W kx《Vма
Отношение Рмакс/^мнн можно рассматривать как показатель добротности любой АВМ, так как это отношение определяет диапазон значений переменной, которые АВМ может точно воспроизводить. В настоящее время лучшие АВМ (REAC, РАСЕ и EASE) имеют верхнюю границу Умакс 弋 100 в
и нижнюю границу VMHH ^ 0,1 в. Из уравнения (7.2) следует, что они имеют показатель добротности, равный
макс ]уУ мин
Чтобы подтвердить приведенные выше замечания относительно важности показателя добротности, рассмотрим следующий утрированный пример. Пусть ДЛЯ ОДНОЙ АВМ V1 макс 厂 10 丄仇 Vl мин = 10 § & а ДЛЯ другой АВМ У2макс = -107 в и V2 мин 工 Ю5 仇 Показатель добротности первой АВМ выше и эта АВМ Лучше, НеСМОТрЯ На ТО, ЧТО /макс — V2 мин > 匕 м/кс —匕 мнн・
Максимальное и минимальное значения напряжения определяют длину прокрустова ложа, в которое должны быть втиснуты наши переменные. Масштабный множитель при использовании постоянного масштаба определяется из уравнения (7.16). Для того чтобы решение задачи было точным, необходимо использовать как можно большую часть допустимого диапазона напряжения. Это требование основано на том, что величина многих ошибок АВМ приблизительно постоянна и не зависит от величины полезного сигнала. Следовательно, масштабный множитель k должен быть как можно больше. Однако если соотношение (7.2) несправедливо, то задачу нельзя решить при постоянном масштабе. Мы переходим к изучению переменного масштабирования, которое может быть применено в тех случаях, когда методы, основанные на использовании постоянного масштаба, приводят к неудаче.
7.2.1. Переменное масштабирование 】)Простейший вариант переменного ществлен при решении задачи по частям, быть решена на АВМ двумя способами:7.2.1. Переменное масштабирование 】)Простейший вариант переменного ществлен при решении задачи по частям, быть решена на АВМ двумя способами:масштабирования может быть осу- Как мы видели в гл. 2, задача может либо могут быть введены начальныемасштабирования может быть осу- Как мы видели в гл. 2, задача может либо могут быть введены начальные
7.2.1. Переменное масштабирование 】)
Простейший вариант переменного ществлен при решении задачи по частям, быть решена на АВМ двумя способами:
7.2.1. Переменное масштабирование 】)
Простейший вариант переменного ществлен при решении задачи по частям, быть решена на АВМ двумя способами:
масштабирования может быть осу- Как мы видели в гл. 2, задача может либо могут быть введены начальные
масштабирования может быть осу- Как мы видели в гл. 2, задача может либо могут быть введены начальные
Рис. 7.1. Произвольная функция, используемая для иллюстрации метода переменного Л1асштабирования.Рис. 7.1. Произвольная функция, используемая для иллюстрации метода переменного Л1асштабирования.
Рис. 7.1. Произвольная функция, используемая для иллюстрации метода переменного Л1асштабирования.
Рис. 7.1. Произвольная функция, используемая для иллюстрации метода переменного Л1асштабирования.
условия и задача решается полностью, либо процесс решения может быть прерван и затем продолжен, причем напряжения, наблюдаемые на выходах интеграторов в режиме фиксации, становятся новыми начальными условиями. При использовании второго метода решение может быть прервано и вновь начато произвольное число раз.
При использовании второго метода каждая часть исходной задачи с точки зрения выбора масштаба может рассматриваться как отдельная задача. При этом требуется, чтобы неравенство (7.2) выполнялось для каждого отрезка программы.
Рассмотрим график изменения некоторой переменной, приведенный на рис. 7.1, и предположим, что показатель добротности АВМ равен 103 (VMaKC =
Большая часть материала по методам переменного масштабирования * считывания получена в результате совместного труда К，Гиза, Ш, Мацуно, Р. Маги, Г. Мейсин- гера и автора.
—100 в). Отмечаем, что отношение
%макс = ] 05
Таким образом, решить эту задачу, используя постоянный масштабный множитель, невозможно. Мы должны разбить задачу на такие отдельные части, в пределах которых отношение хмакс/хмин 式 Ю3. Процесс решения начинается в момент времени % и ведется до момента времени ^ с масштабным множителем 々！ = 1()-工. Для следующего отрезка %макс = Ю5. Следовательно, диапазон, для которого мы выбираем масштаб, равен 10? V % V 105, а масштабный множитель 広2 = 10-3. Эта часть решения заканчивается в момент времени Для оставшейся части задачи хмакс = Ю, и третий масштабный множитель
Выбор этих кусочно-постоянных масштабных множителей связан с некоторой предварительной работой. Чтобы определить диапазон изменения переменных, следует провести несколько пробных решений задачи. Затем можно разделить задачу на отдельные части и выбрать масштабные множители. После этого уже не составляет труда запрограммировать релейные цепи, которые будут в соответствующие моменты времени выполнять переключения с целью изменения масштабного множителя.
Обсуждение проблемы кусочно-постоянных масштабных множителей велось на примере выбора масштаба для зависимой переменной. Эти множители, однако, могут быть также использованы и при выборе масштаба времени. Следуя методике, описанной в гл. 4, в начале каждого отрезка программы изменяем коэффициенты усиления всех интеграторов по входу.
Если напряжение на входе электромеханического устройства, например следящего множительного устройства, в результате перехода к новому масштабному множителю изменяется скачком, то этот решающий элемент не сможет немедленно реагировать на такое изменение. В связи с этим желательно изменять масштабы тогда, когда АВМ находится в режиме фиксации, и, прежде чем перейти к выполнению следующей части программы, выждать время, достаточное для того, чтобы все элементы пришли в соответствующие рабочие состояния. Когда детерминированная задача решается на АВМ полностью, режим фиксации может длиться достаточно долго, и результат при этом не изменяется х). Однако если при решении задачи необходимо учитывать влияние случайных процессов 2) или это решение связано с какой-либо формой физического моделирования, то режим фиксации вообще недопустим.
Процесс решения задачи можно не прерывать, если вместо кусочно-постоянного используется непрерывно изменяющийся масштаб. В этом случае отрезки времени, соответствующие определенному значению масштаба, становятся бесконечно малыми. При использовании масштабных множителей, изменяющихся во времени, следует, однако, проявлять некоторую осторожность в связи с тем, что некоторые процессы не являются коммутативными. Таким образом, введение масштабных множителей до интеграторов может привести к некоторым затруднениям.
Пусть масштабный множитель имеет вид k = f (Z). Тогда после интегрирования
у= \ kxdt.(7.3)
Для того чтобы эффективно вое пол ьзоват ься таким введением масштаба, мы должны иметь возможность вынести член, зависящий от масштабного множителя, из-под знака интеграла и записать результат в виде
J/ = g ⑺ gxdf.(7.4)
Так как коэффициент k не является постоянным, то
g
При таких условиях мы можем найти g (/) только в том случае, если известен закон изменения переменной 尤 и уравнение (7.3) может быть проинтегрировано.
Рис. 7.2. Схема для непрерывного изменения масштаба на входе интегратора.
Это затруднение можно, однако, преодолеть. Если мы хотим, чтобы величина на выходе интегратора была равна ky, то
占(期/) = g(7.5)
На рис. 7.2 приведена простая схема для.решения уравнения (7.5).
Примечание. Если отношение k/k > 0, то структурная схема программы решения, приведенная на рис. 7.2, дает расходящееся решение. Следовательно, эта схема очень чувствительна к ошибкам АВМ, и, используя ее, оператор должен быть весьма осторожен.
Выбор способа изменения множителя k должен определяться с учетом поведения переменных. Так, в случае монотонно уменьшающейся переменной использование монотонно возрастающего множителя обычно оказывается лучшим способом сохранения напряжения большим чем 1/мин. Можно применить переменный масштабный множитель с самого начала программы; возможен и такой вариант, что сначала масштабный множитель поддерживается постоянным, а в некоторый момент происходит переход к переменному масштабу. Какой из этих вариантов лучше? Ответ определяется видом задачи. Мы умышленно не даем определенного ответа, так как нельзя сформулировать в общем виде соотношение между ошибками, свойственными решающему элементу, и ошибкой решения, не обладая конкретными сведениями о задаче и элементе.
На рис. 7.3 показаны три схемы, которые могут использоваться, когда переменная у монотонно убывает 工).
Эти схемы применимы и в случае монотонно возрастающих функций, если положить k VO. Когда функция у не является монотонной, эти схемы не подходят. В таком случае может оказаться необходимым генерировать производную dk/dt с помощью функционального преобразователя и определять масштабный множитель k путем интегрирования.
В тех случаях, когда переменное масштабирование не связано с изменением размерности времени, оно не вызывает каких-либо специфических трудностей. Однако нужно следить за тем, чтобы масштабирование было инвариантным,
Эти схемы были предложены Ш. Мацуно.
е. чтобы после масштабирования процесс имел тот же характер, что и до введения масштаба. Этот момент можно проиллюстрировать на примере перехода от прямоугольных координат к полярным (см. разд. 6.6). Уравнения, описывающие это преобразование, имеют вид
(7・6)(7・6)R = (%2 + у2)1/20 arctg -у .
(7・6)
(7・6)
Тригонометрический блок, используемый для осуществления этого преобразования, начинает работать неточно, когда напряжение, представляющее
Рис. 7.3. Схемы получения монотонно возрастающего (5 бывающего) масштабного множителя при 龙 > 0 (^ с 0)./С — начальные условия.Рис. 7.3. Схемы получения монотонно возрастающего (5 бывающего) масштабного множителя при 龙 > 0 (^ с 0)./С — начальные условия.
Рис. 7.3. Схемы получения монотонно возрастающего (5 бывающего) масштабного множителя при 龙 > 0 (^ с 0).
/С — начальные условия.
Рис. 7.3. Схемы получения монотонно возрастающего (5 бывающего) масштабного множителя при 龙 > 0 (^ с 0).
/С — начальные условия.
радиус-вектор R, мало. Ошибки можно минимизировать, увеличив масштаб по координате R. Если выбрать масштаб таким образом, что величина R заменяется величиной, равной kR (Rf 々R), то координата 尤 будет представлена величиной 々尤(％f 々х), а координата у — величиной ky (у^ ky). В результате мы получаем
® = arctg 2； &一 必("「殆*(7.7)
причем угол 0t тот же, что и угол 0, при условии, что масштабный множитель k выбран положительным. Однако
R = hR,
и если на каком-либо этапе решения задачи потребуется знать R, то & необходимо будет умножить на масштабный множитель 1 /々.
Характерной особенностью метода переменного масштабирования является то, что он предусматривает изменение программы без изменения исходных уравнений. Действительно, если программист определенно не знает, где могут
возникнуть затруднения при использовании постоянного масштаба, он сначала может составить для АВМ программу с постоянным масштабными множителями и затем ввести переменные масштабные множители там, где это окажется необходимым.
Существует, однако, один потенциальный источник затруднений: может оказаться необходимым ввести масштабный множитель вида k (/) не для одной, а для нескольких переменных. Кроме того, обычно для остальных переменных, входящих в задачу, должен быть выбран масштабный множитель, обратный первому, т. е. вида 1/々«). Единственным исключением из этого правила является схема считывания, в которой требуется лишь одна масштабированная переменная. При наличии двух или больше го числа переменных изменение их масштабов должно быть синхронизировано, так как в противном случае будут внесены ошибки. Иногда из-за небольших различий у масштабных множителей в решении возникают большие ошибки. Если дела обстоят именно так, то нас постигает возмездие за наши ухищрения: лекарство переменного масштабирования оказывается опаснее болезни, вызванной ограниченностью рабочего диапазона по напряжению. Чтобы обойти эти трудности, мы переходим к рассмотрению двух других методов, основанных на изменении собственно машинных уравнений. Этими методами являются метод возмущений и тесно с ним связанный метод коэффициентов влияния параметров.
7.3. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
При использовании метода возмущений, широко применяемого для решения различных задач в физике и прикладной математике, уравнения приводятся к та кому виду, что каждая существенная переменная может измеряться относительно некоторого номинального значения. После того как эта операция
Р н с. 7.4. Функция, возмущаемая относительно фиксированного номинального значения.
выполнена, система нелинейных уравнений может быть сведена к такому виду, который облегчает ее аналитическое решение и дает возможность повысить точность ее решения на АВМ. Иногда уравнения, которые нужно решить, могут стать линейными со всеми вытекающими из этого обстоятельства преимуществами 1).
Чтобы дать простое объяснение того, каким образом разложение в окрестности номинальной величины может способствовать повышению точности решения задачи на АВМ, рассмотрим график изменения переменной у, приведенный на рис. 7.4. Чтобы предохранить машину от перегрузки, вызываемой 5
этой переменной (К1акс = ЮО б), надо от у перейти к переменной j у. С другой стороны, если принять
У = Уи +、У，(7*8)
гдеу° = 100 %
тото0<|Лу|<20 &
то
то
и новая переменная может иметь масштаб, равный 5Ау.
1) См. разд. 2.3.3.
Такой способ выбора масштаба дает особые преимущества, когда величина ошибки на выходе решающего элемента не зависит от напряжения на его входе. Дрейф и шум на выходе таких линейных элементов, как усилители и интеграторы, имеют именно такой характер. Предположим, например, что 5 на выходе усилителя в соответствии с программой образуется переменная у, к которой добавляется помеха л (/). При этом суммарное значение напряжения на выходе равно
w = ~y + n(t).(7.9)
Из машинных уравнений следует, что у = ~ w. Следовательно, ошибка 6t составляет
6 =—у = !■〃«).(7.10)
Если же вместо этого мы воспользуемся уравнением (7.8) и введем в программу Ау, то можно выбрать такой масштаб, чтобы величина на выходе усилителя была равна 5Ау. В результате истинная величина напряжения на выходе усилителя будет равна
и = 5Ау 十九(/).(7.11)
Если же мы не образуем переменную у, суммируя величину у0 и Ау с помощью решающих элементов х), то ошибка моделирования определяется только точностью вычисления вариации Ау. Таким образом, в нашем случае б2> ошибка воспроизведения переменной у на машине, равна
^2 = Уо + -|—4=^^^ •(7.12)
Сравнивая уравнения (7.10) и (7.12), мы видим, что применение метода возмущений уменьшило ошибку в 6 раз.
Аналогичным образом метод возмущений уменьшает ошибки подобного рода и в нелинейных устройствах. Он может увеличить точность решения даже в тех случаях, когда ошибка является функцией входного напряжения. Рассмотрим, например, сигнал на входе таких устройств, как диодный функциональный преобразователь, электродвигатель сервоумножителя или электродвигатель тригонометрического блока. Во всех этих элементах ошибка зависит от напряжения на входе. Однако ошибка изменяется в каждом элементе по своему закону. Сделаем вполне достоверное допущение, что при изменении входного напряжения в пределах всего допустимого диапазона ошибка изменяется примерно так же, как при изменении входного напряжения в некотором меньшем диапазоне. В таком случае при разработке метода снижения уровня ошибок на выходе можно исходить из предположения, что влияние любого входного напряжения одинаково. Конечно, если ошибка для одного диапазона изменения входного напряжения существенно меньше ошибок для всех других диапазонов, то выгоднее всего может оказаться ограничение входного напряжения этим диапазоном. Опыт, однако, показал, что метод возмущений действительно уменьшает ошибки решения в случае использования упомянутых выше трех нелинейных устройств.
Чтобы показать, какие преимущества дает применение метода возмущений в случае следящих множительных устройств, рассмотрим программу, приведенную на рис. 7.5. Здесь величина ky является входной величиной сервоэлектродвигателя, а ошибка е считается постоянной. Точнее, ошибка имеет вид 寸(у), где функция f (у) ведет себя приблизительно одинаково во всем диапазоне допустимых значений переменной у. Если переменная у изменяется
Более детальное разъяснение см. в примере 3.
так, как показано на графике рис. 7.4, то масштабный множитель 々=《 и величина на выходе множительного устройства равна (^ + е/%). При этом величина на выходе потенциометра равна
2 —^ £% = Z + £](7. 1 3)
N6
и ошибка Ei равна е.
Уравнение (7.8) моделируется несколько иначе, как это показано на рис. 7.6. Так как величина у0 постоянная, то она может быть установлена
(kz^s^^lhy + ^x(kz^s^^lhy + ^x互Г互Г
(kz^s^^lhy + ^x
(kz^s^^lhy + ^x
互
Г
互
Г
Рис. 7.5. Статическая ошибка следящего множительно го устройства.
на потенциометре с очень малой ошибкой. Можно, следовательно, считать зна-чение zQ точным. Тогда ошибка е2 связана только с вариацией Ау. Сравнивая
Рис. 7.6. Схема для уменьшения статической ошибки следящего множительного устройства.Рис. 7.6. Схема для уменьшения статической ошибки следящего множительного устройства.
Рис. 7.6. Схема для уменьшения статической ошибки следящего множительного устройства.
Рис. 7.6. Схема для уменьшения статической ошибки следящего множительного устройства.
схемы на рис. 7.5 и 7.6, мы видим, что во второй схеме ошибка равна ех/5, а в первой — 6е%/5. Таким образом, с помощью разумного выбора номиналь-
Р и с. 7.7. Возмущение функции относительно переменного номинального значения
Тангенс угла наклона прямой равен а.
но го значения ошибка была уменьшена в 6 раз. Вообще говоря, можно показать, что степень уменьшения ошибки удовлетворяет уравнению
(7-14)(7-14)£] — I Умакс 丨е2 I Алманс I
(7-14)
(7-14)
Эти положения будут рассмотрены подробнее в разд. 7.6 при обсуждении сервомеханизмов х).
Фиксировать номинальное значение нет необходимости. Если переменная у изменяется так, как это показано на графике, приведенном на рис. 7.7, то фик_
1) В процессе написания раздела, посвященного уменьшению ошибок множительных устройств, автор нашел в работе [82] сведения о том, что уже создано множительное устройство, построенное на основе использования излагаемого материала.
12 Л. Левин
сированное значение у0 ~ 50 6 оказывается вполне приемлемым. Однако было бы даже лучше, чтобы величина у。изменялась по линейному закону, как это показано пунктиром. В этом случае вариация Ау будет меньше, чем в случае фиксированной величины у。， и соответственно уменьшится ошибка решения. Позже мы уделим больше внимания проблеме переменной номинальной величины, а сейчас рассмотрим некоторые математические аспекты метода возмущений.
Математические основы метода возмущений В
Методом возмущений изучается влияние, оказываемое на решение задачи вариацией важнейших параметров и переменных относительно некоторых номинальных значений, которые могут быть как фиксированными, так и переменными. При этом предполагается, что можно пренебречь всеми членами, кроме членов наименьшего порядка, так как их влияние на результат пренебрежимо мало. Это равносильно утверждению того, что все вариации (возмущения) являются малыми.
Порядок членов разложения )
Во избежание путаницы определим понятие «порядок» следующим обра - зом». Пусть функция f (尤)представлена разложением в степенной ряд
f (х) = ао + ахх + ,.. +апх'\(7.15)
В этом случае по мере того, как переменная 尤 асимптотически приближается к некоторой величине, одна из степеней переменной 尤 приобретает гораздо большее значение, чем все остальные. Говорят, что эта степень является «порядком» х.
Когда переменная х в уравнении (7.15) становится очень значительной, член высшего порядка оказывается намного больше, чем все остальные. При изменении переменной 尤 в этом диапазоне для описания поведения функции f (%) достаточно члена высшего порядка 尤也.При %f оо справедливы неравенства
хп》/т > ...» х.
Таким образом, уравнение (7.15) можно записать в виде
/(x) = 0(xft)尤一>8.(7.16)
Уравнение (7.16) означает, что при стремлении переменной 尤 к бесконечности (х— оо) порядок функции f (尤)равен порядку члена %。
При движении в противоположном направлении, когда переменная 尤 становится малой, определяющими являются члены с меньшими степенями, т. е.
%。》炉》％2 ... %пт》％" при % — 0.(7.17)
Тогдаj(%) = 0 (尤о) х —> 0.(7.18))
Продолжение рассмотрения математических аспектов метода возмущений
Возвращаясь снова к методу составления уравнений в возмущениях, мы видим, что при принятии допущения о малости вариаций в разложении каждой переменной в степенной ряд остаются лишь члены наименьшего порядка. При этом измененное решение состоит из двух членов. Первым членом является решение уравнения, содержащего номинальные значения переменных. Второй член является решением нового уравнения, содержащего вариации переменных, которые являются разностями между новыми и номинальными значениями возмущаемых величин; это уравнение может также содержать и некоторые номинальные величины. Последнее уравнение, называемое уравнением 6 возмущениях, будет, за редким исключением, линейным.
Подытожим сказанное: если дано уравнение
S = f(w, х, у, z)(7.19)
и положено, что
侬=侬0十厶侬,х х0 + Ах у = уо + А“ z = то
S = f (叫，％,先，z(j) + % (A侬，A芻 Ay, Az; ^'o, 丸，％),(7.20)
где SQf (侬°, x0, y^ zj ——исходное уравнение.
Если уравнение (7.19) является дифференциальным уравнением, то его коэффициенты, вынуждающую функцию и начальные условия можно варьировать как одновременно, так и поочередно. В результате этого будет также производиться возмущение зависимой переменной и ее производных.
Для решения уравнения (7.20) всегда используется почти в два раза больше решающих элементов АВМ, чем для решения уравнения (7.19). Поскольку вариации малы по сравнению с номинальными величинами, мы можем выбрать масштаб с таким расчетом, чтобы увеличить точность решения задачи. Уравнения в возмущениях как будто созданы для решения на аналого-цифровой вычислительной машине. На цифровой вычислительной машине можно решить номинальное уравнение (переменные которого должны изменяться медленно), и одновременно аналоговая вычислительная машина будет решать уравнение в возмущениях г).
Эффективность метода можно продемонстрировать, приняв, что АВМ, решая уравнение (7.19), определяет решение S с ошибкой, составляющей 1 %. Чтобы расчет, который мы проведем, был типичен, примем, что
Si-0,0150.(7.21)
Если бы на АВМ определялось непосредственно S, то в решении содержалась бы ошибка в 1%. Теперь предположим, что известно точное значение S() и для нахождения S на вычислительной машине необходимо определять только величину S. В этом случае величина Si представляется на машине в увеличенном масштабе, что повышает точность решения. В худшем случае ошибка решения уравнения в возмущениях также будет равна 1 %. Так как уравнение в возмущениях является линеаризованным и для его решения требуется минимальное число нелинейных элементов, которые являются наиболее неточными элементами АВМ, то, в общем случае, ошибка решения этого уравнения будет меньше ошибки решения исходного уравнения. Пусть S'—решение, содержащее ошибку.
Этот метод уже используется Лабораторией контрольно-измерительных приборов Массачусетского технологического института (Кембридж, шт. Массачусетс) для расчета траекторий ракеты «Поларис». Цифровая вычислительная машина рассчитывает основную траекторию, а аналоговая вычислительная машина решает уравнения в возмущениях.
Тогда
S' = So十 S](l 土 OtO1) = So-^OtO1Sq(1 土0,01);
S=l,OlSo (1 土 0,0001);(7.22)
s」s(l 4- 0,0001).
Зная величину S。，мы можем уменьшить ошибку в 100 раз.
До сих пор мы подчеркивали точность метода возмущений, однако этот метод обладает еще одним свойством, которое не следует упускать из виду: уравнение в возмущениях обычно линейно. Когда дело обстоит именно так, мы сводим решение задачи к решению одного нелинейного уравнения (номинального и одного линейного уравнения в возмущениях). В этом случае для нахождения решения в окрестности номинальной величины можно использовать принцип суперпозиции и весовую функцию.
Так, например, при непосредственном решении нелинейного уравнения для каждого набора начальных условий и каждой вынуждающей функции нужно решать задачу заново. При использовании метода возмущений мы путем однократного прохождения программы решаем номинальное уравнение. После этого для линейного уравнения в возмущениях можно получить нормализованную систему решений х), которую можно использовать для нахождения решений при отклонении начальных условий от номинальных. Кроме того, для уравнения в возмущениях определяется весовая функция, используемая при отклонении возмущающей функции от номинальной.
Пример 1. Пусть уравнение
Ly = g (/)(7.23)
является дифференциальным уравнением второго порядка с начальными условиями 必严,а0//(0) 2), где L ——дифференциальный оператор. Используя номинальные значения начальных условий 6iyQ> и 6оу(°) и номинальное значение вынуждающей функции f (£), получаем номинальное уравнение
〃Т(£)(7.24)
и уравнение в возмущениях
L2y2 = gU) — / (0*(7.25)
где
У = У1 + У2
Мы считаем, что уравнение (7.25) линейное и имеет нормализованные решения /&)(/), /产(/)и весовую ф) нкцию Л2 (%,厶)• Тогда решение уравнения (7.23) может быть записано в виде
t
乡⑺=打(£) + (因一Во)附" + 31—Bi)用)(£)+ \ [g (^~~f(^]h2(t, T)dr. (7.26) о
Два способа получения уравнения в возмущениях, основанные 1) на замене переменных суммой их номинальных значений и вариациями и 2) на разложении в ряд Тейлора, приводят к одной и той же системе уравнений. Чтобы проиллюстрировать метод возмущений на примере, предположим, что
z = /(x, у)=^ху.(7.27)
Когда номинальные значения переменных % и у равны
% = №«), у = уо ⑴, номинальное уравнение имеет вид
2о(/) = %оУо・(7.28)
Если мы хотим теперь рассмотреть влияние, оказываемое на зависимую переменную z вариациями переменных х и у относительно их значени访 х0 и yQ,
Определение нормализованной системы уравнений см. в разд. 3.2.
Эти символы расшифрованы в разд. 32
в том случае когда
修+ Дх;弘=丸十 Ay,(7.29)
го, вводя возмущения, получаем
21 =修％ 二(ХО -4- Дх) (Vo + Ay),(7.30)
^XqVo + xoAv + Vo^^, Дх—>0, АутО.(7.31)
В уравнении (7.31) член Ах八у опущен, поскольку он является величиной высшего порядка малости по сравнению с линейными членами, содержащими возмущения Ах и Ау. Кроме того, делается допущение, что Ах《％。м Ау《у0. Сравнение уравнений (7.28) и (7.31) показывает, что зависимая переменная может быть выражена в виде суммы двух членов
z1==z0 + Az,(7.32)
где z0 ——номинальное значение, а
Az =尤 °Ау + у^^х(7.33)
уравнение в возмущениях, которое линейно относительно возмущений Дх и Ау. Заслуживает внимания то обстоятельство, что в уравнении в возмущениях появляются номинальные значения независимых переменных 工。и у0.
Рис. 7.8. Структурная схема программы решения дифференциального уравнения с учетом возмущения его коэффициентов.Рис. 7.8. Структурная схема программы решения дифференциального уравнения с учетом возмущения его коэффициентов.
Рис. 7.8. Структурная схема программы решения дифференциального уравнения с учетом возмущения его коэффициентов.
Рис. 7.8. Структурная схема программы решения дифференциального уравнения с учетом возмущения его коэффициентов.
Одна или несколько номинальных величин неизбежно появятся в уравнении. Как мы покажем в примере 2, решение исходного дифференциального уравнения может стать вынуждающей функцией для уравнения в возмущениях.
(7.34)(7.34)Пример 2. Дано уравнение
(7.34)
(7.34)
—bfli ~^^~aoyo~f (0-
Увеличим коэффициент а。так, чтобы он стал равен а。+ Аа. При этом уравнение (7.34) превратится в уравнение
^ + ^ ^ + ^ + ^ yi = f(0-(7.35)
Предположим, что влияние возмущения на решение мало, тогда мы можем записать <^^~А" +。1 "^ (Уо + Ау) + (а()+Аа°) (% + 厶力=『(0-(7.36) Так как
(ао +А。。)(加+Ау) ^ аоуо^-аоЛ.у^уоАао А。。f 0, Ay f 0,(7.37)
то
d2yo I d I 工小 d2Ay I d(Ay) (..OO4
y+ 4 粛加 +。吆0 = /«)，-^^ + % l +°0甸=-yМ. (7 38)
Структурная схема программы решения уравнения (7.38) приведена на рис. 7.8.
В табл. 7.1 приведены первые приближения некоторых функций, которые можно использовать в случае применения метода возмущений. В третьем столбце приводится оценка ошибки апроксимации.
Таблица 7」
Первые приближения некоторых функций
№
Функция
Апроксимация при х《1
Следующий член ряда
1
ех
宀
X2
2
sin х
X
X3
3
cos X
1
X2
4
tgx
X
亘
5
1п(1+х)
X
_炉 2
6
а*)”
1 +〃Х
и (п —1)х2 2
7
1
1一X
X2
8
(1+/) (1 + %2) (X] н — малые величины)
1 +%1 + %2
Х/2
9
sin (y十。)
(а ——постоянная)
х cos a+sin a
X? si 口 a
10
cos (х + а)
cos a—xsina
X2
2- cos a
11
tg (% +a)
tg 仪+尤 sec2 a
—%2 sec2 a
Люди неопытные обычно спрашивают, каким образом следует проводить апроксимацию. Часто раздаются горькие сетования: «Откуда мне знать, каков высший порядок члена, который должен входить в уравнение в возмущениях?» На это нет готового ответа, так что единственно, что можно посоветовать: «Делайте порядок члена, содержащего вариацию, как можно ниже, однако
помните, что он должен быть достаточно высоким для того, чтобы решение имело смысл с точки зрения условий задачи».
Предположим, что мы хотим найти уравнение в возмущениях для выражения
—sinx, когда 尤тО.(7.39)
Из табл. 7.1 имеем
sin х х—gj—F • • •(7.40)
Возможны две следующие апроксимации выражения (7.39):
/ ^尤一尤=0(7.41)
и
/ 尤 ——(尤 —— 券)=善 .(7.42)
Уравнение (7.41) показывает, что, когда переменная % очень мала, переменная / ведет себя как постоянная, т. е. / — 0 (0). Когда независимая переменная 工 несколько больше, уравнение (7.42) показывает, что
/-0(х3).
Для апроксимации можно применить уравнение (7.41), но это не всегда приведет к правильному ответу. Предположим, например, что зависимая переменная / используется следующим образом. Как только зависимая переменная в первый раз превысит постоянную Mt релейный переключатель замыкает свои контакты и изменяет величину одного из параметров задачи. Если используется уравнение (7.41), переключатель никогда не сможет включиться, и решение, полученное на АВМ, будет правильно только на протяжении начального интервала времени, когда зависимая переменная /V /И.
Составляя уравнения в возмущениях, мы должны использовать апроксимации, ведущие к достоверному результату. Во многих случаях получить правильный результат нам поможет наше знание о физическом содержании задачи. Если мы не знаем, какой должна быть апроксимация, начинать нужно с того, что вводить в уравнение лишь возмущения первого порядка. Далее мы решаем полученное таким путем уравнение в возмущениях на АВМ. Затем к каждой из возмущенных величин добавляем члены второго порядка и снова решаем уравнение на АВМ. Если добавление членов второго порядка не изменяет решения, то мы имеем достаточное веское доказательство того, что уравнение в возмущениях первого порядка достаточно точно. Конечно, вполне возможно, что некоторые возмупхенные величины должны содержать члены второго порядка, в то время как остальные не должны их содержать.
нальных значений независимых переменных х0 и у。： a。十 Az = /十 Ах, уо + Ау).Пренебрегая всеми членами порядка Д2 и выше, получимf (Хо + Дх, у0 + Ду) / (Х0,勿)+ (%)*。, у。Ах + (留ВАх —> 0, А у —0нальных значений независимых переменных х0 и у。： a。十 Az = /十 Ах, уо + Ау).Пренебрегая всеми членами порядка Д2 и выше, получимf (Хо + Дх, у0 + Ду) / (Х0,勿)+ (%)*。, у。Ах + (留ВАх —> 0, А у —0(7.43)(7.43)(7.44)(7.44)В качестве альтернативного метода получения уравнения в возмущениях рассмотрим разложение зависимости (7.27) в ряд Тейлора в окрестности номи
нальных значений независимых переменных х0 и у。： a。十 Az = /十 Ах, уо + Ау).
Пренебрегая всеми членами порядка Д2 и выше, получим
f (Хо + Дх, у0 + Ду) / (Х0,勿)+ (%)*。, у。Ах + (留ВАх —> 0, А у —0
нальных значений независимых переменных х0 и у。： a。十 Az = /十 Ах, уо + Ау).
Пренебрегая всеми членами порядка Д2 и выше, получим
f (Хо + Дх, у0 + Ду) / (Х0,勿)+ (%)*。, у。Ах + (留ВАх —> 0, А у —0
(7.43)
(7.43)
(7.44)
(7.44)
Zo = f (%о, Vo)»
(7.45)
где при z = %yгде при z = %y
где при z = %y
где при z = %y
(7-46)(7-46)2()— %0丸，
(7-46)
(7-46)
Az = yoA% + %oAy・
Уравнения (7.31) и (7.44) идентичны. Метод возмущений и разложение в ряд Тейлора всегда приведут к одному и тому же результату при любом числе возмущаемых переменных.
Пример 3 1). Движение материальной точки в вязкой среде при отсутствии силы
тяжести описывается уравнением
(7.47)
где V — скорость материальной точки, m — ее масса и k ——величина силы сопротивления, приходящейся на единицу скорости.
(7.48)(7.48)Для начальной скорости и» решение имеет вид
(7.48)
(7.48)
Если бы мы определяли изменение скорости, вызванное изменением массы, предположим на 0,1% , то решения, полученные на АВМ для этих двух масс, нельзя было бы отличить друг от друга. Вместо этого составим уравнение в возмущениях, используя разложение в ряд Тейлора.
Переписываем уравнение (7.47) в виде
專= F(。,砂(7.49)
Тогда на основании приближенного равенства (7.44) получаем
(7.50)(7.50)d （哈。）一=（需［m.А。+^^озm/m + 口。。，恤）,
(7.50)
(7.50)
где и0 и ^о — номинальные значения, а вариация А 优= 0,001mo.
Определив значения частных производных, получаем
如оdt如оdtk加0k加000,00,dAudtdAudtkkAo +膿A九Ao +膿A九(7.51a)(7.516)(7.51a)(7.516)
如оdt
如оdt
k
加0
k
加0
00,
00,
dAudt
dAudt
k
k
Ao +膿A九
Ao +膿A九
(7.51a)
(7.516)
(7.51a)
(7.516)
Схема для моделирования уравнений (7.51) на АВМ показана на рис. 7.9. Обратите внимание иа то, что решение уравнения (7.51а) является вынуждающей функцией для уравнения в возмущениях (7.516), Хотя и а схеме и показано, что решения номинального уравнения и уравнения в возмущениях суммируются на входе усилителя 4 с целью
Рис. 7.9. Структурная схема программы решения системы уравнений в возмущении (7.51).Рис. 7.9. Структурная схема программы решения системы уравнений в возмущении (7.51).
Рис. 7.9. Структурная схема программы решения системы уравнений в возмущении (7.51).
Рис. 7.9. Структурная схема программы решения системы уравнений в возмущении (7.51).
получения окончательного решения, сделано это только для того, чтобы продемонстрировать читателю связь между этими переменными. В реальных условиях такой способ получения решения ничего нам не даст. Номинальное решение с。 настолько больше вариации решения Ду, что представляющее А? напряжение на входе усилителя 4 будет
1) Этот пример взят полностью из работы [84]. В этой работе автор также очень подробно рассматривает пример, в котором метод возмущений используется для анализа полета ракеты.
слишком мало для того, чтобы его можно было наблюдать. Именно это обстоятельство побудило нас и обратиться к методу возмущений. Пользуясь этим методом, мы должны регистрировать значения номинального решения f0 и решения уравнения в возмущениях Аи по отдельности, с тем чтобы иметь возможность выбрать для Аи достаточно большой масштаб. Если мы хотим объединить два этих решения, чтобы получить искомое общее решение, мы не должны выполнять эту операцию на аналоговой вычислительной машине.
В данном случае решения уравнения (7.51), определенные, исходя из уравнения (7.48), имеют вид
。0 =也0-(%。"，
厶。=—(7・52)
и общее решение и равнои общее решение и равноу—у0-|-Ау— ( 14у—у0-|-Ау— ( 14а^~ Л ⑦е-(丸/mo"а^~ Л ⑦е-(丸/mo"(7.53)(7.53)
и общее решение и равно
и общее решение и равно
у—у0-|-Ау— ( 14
у—у0-|-Ау— ( 14
а^~ Л ⑦е-(丸/mo"
а^~ Л ⑦е-(丸/mo"
(7.53)
(7.53)
На рис. 7.10 приведены графики решений (7.52), причем по осям координат отложены относительные единицы. Обратите внимание на то, что максимальная вариация не превышает 0,04% величины начальной скорости. Такое отклонение ни в коем случае нельзя было бы обнаружить при непосредственном решении уравнения (7.47) на АВМ.
Рис. 7.10. График решения (7.52) системы уравнений (7.51), иллюстрирующий степень увеличения точности решения на АВМ при использовании метода возмущений.
а — номинальное решение; 6 — решение уравнений в возмущениях.
Метод возмущений может быть распространен даже на те функции, которые не выражаются аналитически. Разложение в ряд Тейлора (7.45) показывает, что необходимо знать только значения, лежащие в окрестносги номинальных величин. Предположим, что функция z = f (%, у) задана графиком, приведенным на рис. 7.11, а. Считая х2 и У2 номинальными значениями, мы можем опре-
Р и с. 7.11. Применение метода возмущения к функциям, заданнымтолько графически.
делить частную производную (dz/dx)X2, У2 как тангенс угла наклона касательной к кривой с индексом у2 в точке х2. Другая частная производная может быть найдена из графика, приведенного на рис. 7.11, 6, который представляет ту же функцию z = f (х, у), перестроенную в координатах ⑵ у).
Пример 4. Метод возмущений полезно применять при решении задач, связанных с полетом управляемых снарядов по заданному курсу. При этом номинальные уравнения описывают полет по заданному курсу, а уравнения в возмущениях определяются ошибками, вызванными отклонениями от этого курса. В этом примере мы будем рассматривать управляемый снаряд, который перехватывает цель, совершая полет по траектории пропорционального наведения.
Рис. 7.12. Система координат, ис-пользуемая для задания положениясамо наводящегос я снаряда.
Запишем упрощенную систем〉 уравнений, которая позволяет уменьшить ошибки вычислительной машины и тем самым дает нам возможность точнее изучить динамику полета управляемого снаряда. В примере 5 мы покажем, что можно сделать для увеличи- ния точности измерения отклонения снаряда от цели, т. е. минимального расстояния между целью и управляемым снарядом.
При такой схеме наведения〔)управляемый снаряд летит по траектории, обеспечивающей уменьшение угловой скорости линии визирования (линии, соединяющей снаряд и цель) до нуля. Используя систему обозначений, введенную на рис. 7.12, получаем два основных уравнения, связывающих движение управляемого снаряда и цели:
= sin Y-sin p,
A = —cos у—Vf cos 卩，
где и ——угловая скорость линии визирования, измеренная в инерциальной системе координат.
Из уравнений (7.54) следует, что и = 0 только в том случае, когда проекции скоростей снаряда и цели, нормальные к линии визирования R, равны между собой. Если предположить, что управляемый снаряд летит точно по заданной траектории, то на протяжении всего полета, за исключением его заключительной части, направление линии визирования не претерпевает существенных изменений. Мы, следовательно, можем рассмотреть возмущения относительно угла, характеризующего начальное положение линии визирования, и, кроме того, относительно номинальных значений скоростей цели и снаряда, а также углов, характеризующих их направление.
В качестве номинальных величин мы принимаем значения начальных скоростей %。и VTq и начального угла 卩。.Допустим, что цель летит по прямолинейной траектории и что возмущения по углу 0 отсчитываются относительно положения линии R; невозмущенное положение этой линии определяется углом и。， который предполагается фиксированным; таким образом,
₽ = Ро-
Далее мы принимаем, что
Y = Yo + Ay, о=Оо + Ао, причем
Roo = Vm0sin yo—Vt0 sin 卩=0,(7.55)
и, кроме того, мы считаем, что
1) Этот и другие типы само наводящихся снарядов довольно подробно рассмотрены в работе [85].
Это неравенство основывается на предположении о том, что величина скорости 匕л много больше составляющей вариации скорости цели A V^ sin Р, перпендикулярной линии визирования.
Теперь уравнения (7.54) после введения в иих возмущений приобретают следующий вид.
RA(y = (%。+ AVm) sin (уо 十厶丫)一(Кг。+ AUt) sin %(7.56a)
R = 一 (V^-p ^^m) cos(Yo + ^Y)—(丿Tq + AUt) cos P-(7.566)
Разлагая уравнения (7.54) в ряд и используя приближения, приведенные в табл. 7.1, получаем
RAo 弋 Vmo sin уо +AyVmo cos Yo +AI/福 sin Yo—VTq sin 卩一AI/丁 sin R. (7.57) Применяя уравнение (7.55), имеем
КАо = АуРт cos уо +AVm sm 丫。一厶卩丁 sin 卩.(7 58)
Подобным же образом можно упростить уравнение (7.566), приведя его к виду
А = —cos у。一 Vm^y sin у。一 Vt cos R.(7.59)
Если величина угла 丫。мала, т. е. Vm》丿丁，можно провести дальнейшее упрощение и получить в качестве окончательного результата
RAo = AY%h cos у。一 AI/丁 sin 卩，(7.60a)
A = — Vm cos ye —卩丁 cos 卩.(7.606)
Если вообразить линию, проходящую через цель и движущуюся в пространстве параллельно невозмущенному положению линии визирования, то уравнение (7.60а) Дает выражение для относительной скорости управляемого снаряда, перпендикулярной этой линии. Таким образом, мы вводим величину Vp как
Vp = RA%(7.61)
и длину перпендикуляра ур, определяющего расстояние между точкой, в которой находится снаряд, и этой линией, как^
Ур=\ 0Pd九(7.62)
b
Это позволяет нам ввести возмущения по углу До, что показано на рис. 7.13. Обратите внимание на то, что возмущения Да и Ло используются исключительно для выработки команд, определяющих ускорение перехватчика. Они не изменяют направления линии визирования R.
(7.63)(7.63)Мы изобразили относительное положение снаряда и цели в некоторый момент времени / после начала полета. Линия £ ——текущее положение линии визирования. Длина этой линии ——расстояние между целью и управляемым снарядом — равна
(7.63)
(7.63)
L = (d + y 犷/2・
Из рис. 7.13 видно, что вариация положения линии визирования, обусловленная возмущением Да, равна
Но так как Ао《1, тоНо так как Ао《1, тоjp = R tg Ао.jp = R tg Ао.(7.64)(7.64)勿 ^RAo.勿 ^RAo.(7.65)(7.65)На этом введение возмущений в геометрические соотношения завершается.Прежде чем составлять блок-схему программы решения на АВМ, следует составить уравнение, описывающее реакцию снаряда на изменеиня положения линии ирице- ливания. Это уравнение имеет видНа этом введение возмущений в геометрические соотношения завершается.Прежде чем составлять блок-схему программы решения на АВМ, следует составить уравнение, описывающее реакцию снаряда на изменеиня положения линии ирице- ливания. Это уравнение имеет видAy = KG (р) *Ay = KG (р) *(7.66)(7.66)где .1. Ау — скорость поворота выполняется с помощью несущих перпендикулярный направлению случае команда будет относиться своему начальному значению.где .1. Ау — скорость поворота выполняется с помощью несущих перпендикулярный направлению случае команда будет относиться своему начальному значению.вектора скорости управляемого снаряда. Поворот плоскостей. Снаряд может также совершать маневр, линии визирования, используя двигатель. В этом к скорости Ут, а угол Ау будет оставаться равнымвектора скорости управляемого снаряда. Поворот плоскостей. Снаряд может также совершать маневр, линии визирования, используя двигатель. В этом к скорости Ут, а угол Ау будет оставаться равнымРис. 7.14. Структурная схема программы решения уравнений в возмущениях, описывающих процесс самонаведения снаряда.Рис. 7.14. Структурная схема программы решения уравнений в возмущениях, описывающих процесс самонаведения снаряда.
Но так как Ао《1, то
Но так как Ао《1, то
jp = R tg Ао.
jp = R tg Ао.
(7.64)
(7.64)
勿 ^RAo.
勿 ^RAo.
(7.65)
(7.65)
На этом введение возмущений в геометрические соотношения завершается.
Прежде чем составлять блок-схему программы решения на АВМ, следует составить уравнение, описывающее реакцию снаряда на изменеиня положения линии ирице- ливания. Это уравнение имеет вид
На этом введение возмущений в геометрические соотношения завершается.
Прежде чем составлять блок-схему программы решения на АВМ, следует составить уравнение, описывающее реакцию снаряда на изменеиня положения линии ирице- ливания. Это уравнение имеет вид
Ay = KG (р) *
Ay = KG (р) *
(7.66)
(7.66)
где .
1. Ау — скорость поворота выполняется с помощью несущих перпендикулярный направлению случае команда будет относиться своему начальному значению.
где .
1. Ау — скорость поворота выполняется с помощью несущих перпендикулярный направлению случае команда будет относиться своему начальному значению.
вектора скорости управляемого снаряда. Поворот плоскостей. Снаряд может также совершать маневр, линии визирования, используя двигатель. В этом к скорости Ут, а угол Ау будет оставаться равным
вектора скорости управляемого снаряда. Поворот плоскостей. Снаряд может также совершать маневр, линии визирования, используя двигатель. В этом к скорости Ут, а угол Ау будет оставаться равным
Рис. 7.14. Структурная схема программы решения уравнений в возмущениях, описывающих процесс самонаведения снаряда.
Рис. 7.14. Структурная схема программы решения уравнений в возмущениях, описывающих процесс самонаведения снаряда.
ат —— измеренная величина угловой скорости линии визирования. Она является выходом системы слежения за целью, и отличается от истинной скорости изменения положения линии визирования о.
KG (р)——оператор, описывающий поведение снаряда без системы слежения за целью.
Окончательная структурная схема приведена на рис. 7.14. Следует отметить, что если система слежения описывается линейным оператором и оператор KG (р) также линейный, то вся модель является линейной.
Для повышения точности в схему моделирования могут быть внесены изменения. Они будут рассмотрены в разделах, посвященных считыванию и делению, и использованы в примере 5.
7.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ 1)
Из уравнения (7.44) видно, что в уравнение в возмущениях входят частные производные функции по возмущаемым переменным. Эти частные производные не зависят от вариаций переменных. Рассматривая уравнение (7.44), мы видим, что с помощью частных производных можно получить возмущенное решение, соответствующее любым вариациям, приводящим к линейному уравнению в возмущениях.
Мы остановимся на этом вопросе подробнее в разд. 8.5.
Эти частные производные называют коэффициентами влияния параметров или коэффициентами чувствительности. Поскольку уравнение в возмущениях дает решение при определенной вариации каждой переменной, то, располагая значениями всех коэффициентов влияния, можно находить решения, соответствующие полному линейному диапазону изменения переменных. Как будет показано в следующем примере х), коэффициенты влияния параметров можно получать на АВМ.
Рассмотрим следующее неоднородное линейное дифференциальное уравнение:
爲+ п 小版= 〃/),(7.67)
где 1) коэффициенты п 口 九 могут быть постоянными или изменяющимися во времени величинами, а 2) начальные условия имеют вид
х(0)=。；(需)。=人
Начнем с определения коэффициента, характеризующего влияние возмущения по параметру А. Для этого продифференцируем каждый член уравнения (7.67) по параметру А?). Итак,
备（4^）+^ （n 窑）+"（版）=^"（‘）】
илиили(7.68)
или
или
Изменяя порядок дифференцирования и вводя обозначение и = дх[дХ, получаем
д2иЖд2иЖ3〃 dt3〃 dtXu = — х.Xu = — х.(7.69)(7.69)
д2иЖ
д2иЖ
3〃 dt
3〃 dt
Xu = — х.
Xu = — х.
(7.69)
(7.69)
Обратите внимание на то, что начальные условия для уравнений (7.69) имеют вид
так как начальные условия для переменной х не зависят от параметра А.
Аналогично коэффициент влияния параметра 刀 можно найти из уравнения
(7.70)(7.70)dv ди - дх
(7.70)
(7.70)
丽+""^+a0= 一^，
^х 而^х 而V (0)二 0V (0)二 0где
^х 而
^х 而
V (0)二 0
V (0)二 0
при начальных условиях
Решения уравнений (7.69) и (7.70) дадут коэффициенты влияния параметров. Полное решение уравнения (7.67) записываем в следующем виде:
%(厶 А, п) = % (九入о no) + uAn + 〃AA，(7.71)
где 1) % (九 九°, По)——решение невозмущенного уравнения, 2)九=九。+ AX и n = По + M・
Если назвать невозмущенное уравнение номинальным, а уравнения, определяющие коэффициенты влияния параметра,——вторичными, то можно сделать следующее заключение относительно их связи:
Вынуждающая функция каждого вторичного уравнения является членом невозмущенного уравнения.
Левые части номинального и вторичного уравнений совпадают только в том случае, когда исходное уравнение является линейным.
Рис, 7.15. Схема для воспроизведения коэффициентов влияния параметров.
На рис. 7.15 приведена структура программы для одновременного определения нескольких коэффициентов влияния. Для получения каждого коэффициента требуется приблизительно столько же решающих элементов, сколько их используется при решении номинального уравнения. В тех случаях, когда требуется одновременно находить несколько коэффициентов, необходимое количество элементов может превысить возможности машины. В таком случае можно определять коэффициенты влияния последовательно, решая задачу несколько раз.
Линейный пример, который мы рассмотрели, особенно легко решается методом последовательного решения. Все, что для этого нужно,—— номинальное решение и схема для решения вторичного уравнения. Тогда каждое прохождение программы даст один коэффициент. Схема программы решения вторичного уравнения остается неизменной, и от одного раза к другому изменяется только вынуждающая функция.
Результаты применения метода, основанного на использовании коэффициентов влияния, показаны на графиках, приведенных на рис. 7.16 и 7.17. На этих графиках производится сравнение точного решения с решением, полученным посредством экстраполяции, когда варьируется один параметр. В этих примерах величина ошибки возрастает по мере увеличения независимой переменной. Это обстоятельство должно привлечь внимание читателя к тому
факту, что величина вариации параметра, при которой уравнения в возмущениях все еще остаются линейными, отчасти определяется диапазоном изменения независимой переменной.
Однако и при наличии этого ограничения метод, основанный на использовании коэффициентов влияния, имеет ряд важных приложений. Мы уже
Рис. 7.16. Сравнение точного решения уравнения (7.67) с решением, полученным путем экстраполяции, основанной на использовании коэффициентов влияния параметров.
а — решение, полученное экстра пол яцией; б ——точное решение.
Р и с. 7 17. Сравнение точного решения уравнения (7.67) с решением, полученным путем экстраполяции, основанной на использовании коэффициентов влияния параметров.
а — решение, полученное экстра пол яцией, б —— точное решение.
установили, что в сочетании с методом возмущений он может быть использован для увеличения точности АВМ. В разд. 8.5 мы покажем, каким образом коэффициенты влияния параметров могут оказать существенную помощь при отыскании максимума и минимума функции.
Не следует пренебрегать и тем, что эти коэффициенты содержат важную информацию относительно характера решения, близкого к решению, которое соответствует номинальным значениям параметров. Для того чтобы сделать эти коэффициенты как можно меньше, системы управления необходимо тщательно отрабатывать. Так как в реальных устройствах всегда наблюдаются отклонения параметров от номинальных значений, мы хотим минимизировать влияние этих отклонений.
И наконец, эти коэффициенты важны с точки зрения точности вычислительной машины. Если коэффициент чувствительности для какого-либо параметра имеет достаточно большое значение, то изменения величины этого параметра из-за погрешности АВМ приведут к значительной ошибке решения. Совершенно очевидно, что, начиная решать задачу, оператор должен слегка проварьировать каждый параметр, например на 5%. Если при этом выяснится, что какому-либо параметру соответствует большой коэффициент чувствительности, оператор должен попытаться изменить программу, с тем чтобы предельно уменьшить его влияние на результат. Для этого он может, например, воспользоваться более точными решающими элементами.
Точность решения при выполнении программы в «прямом»
и «обратном» направлениях 丄)
Если некоторому направлению изменения независимой переменной соответствует устойчивое решение, то решение этой же задачи в «обратном» направлении приведет к неустойчивости. Коэффициенты чувствительности по начальным условиям, связанным с неустойчивым решением, обычно бывают больше, чем коэффициенты чувствительности, соответствующие устойчивому решению. Ошибки, возникающие при задании и воспроизведении параметров задачи, можно рассматривать как результат вариации точных (номинальных) значений. Если предположить, что эти ошибки более или менее независимы от величины параметров, то, в каком бы направлении ни решалась задача, величины ошибок будут практически одинаковы. Однако ошибки неустойчивого решения будут больше, так как ему соответствуют большие коэффициенты чувствительности. Следовательно, когда имеется возможность выбора, следует составлять программу, обеспечивающую устойчивое решение.
МЕТОДЫ СЧИТЫВАНИЯ
Часто при решении задачи основной интерес представляет величина зависимой переменной, соответствующая определенному значению независимой переменной. В частности, это относится к задачам, связанным с расчетом траектории управляемых снарядов. В этом случае нас больше всего интересует, насколько близко от цели пролетает снаряд, т. е. где он находится в определенный момент времени. Другим примером служит весовая функция, определяемая непосредственно из дифференциального уравнения. Мы получаем дискретное значение весовой функции, измеряя со ответствующее напряжение в некоторый момент времени после начала процесса решения.
Существуют два основных источника ошибок, возникающих при измерении мгновенного значения напряжения. Либо его значение может быть искажено из-за погрешностей считывания, вызванных чрезмерно большим или малым значением измеряемой величины, либо напряжение может изменяться столь быстро, что небольшая ошибка в измерении независимой переменной приведет к значительной ошибке при измерении напряжения. Такие ошибки могут быть устранены введением переменного масштаба. Существуют, однако, другие методы, которые могут оказаться точнее, причем они используются лишь в точке считывания, не влияя на остальную часть программы.
Эта тема обсуждается довольно подробно в разд. 4.6.
Метод экстраполяции
Вначале рассмотрим случай, когда напряжение на интервале измерения становится либо слишком большим, либо слишком малым. В этом случае можно применять метод экстраполяции.
Когда функция является аналитической 丄)，то она может быть однозначно представлена в области аналитичности с помощью разложения в ряд Тейлора. Для выполнения этого разложения нужно знать только значения функции и ее производных в одной точке. Другими словами, если функция аналитическая, то можно зарегистрировать значения функции и ее производных в точке Xt и с помощью экстраполяции, основанной на разложении в ряд Тейлора, определить ее значение в точке х2. Мы не определяем значения функций таким способом, поскольку вычисления в случае бесконечных рядов трудоемки, если только ряды не сходятся быстро. Всегда проще решить задачу прямо на вычислительной машине; к тому же функция не всегда будет аналитической.
Если, однако, интервал между точками %i и %? мал и функция ведет себя должным образом, при экстраполяции можно ограничиваться лишь несколькими членами ряда. Простейшей апроксимацией является линейная экстраполиция
f 弋 f (打)+ (7.72)
Чтобы увеличить точность, можно добавить еще один член
嘉)ц(4一厶)2. (7.73)
Экстраполяция, которая требует больше членов, чем содержит уравнение (7.73), является слишком неудобной для практического использования. В этом случае нужно найти новое значение независимой переменной %з (такое, что 打 V %3 V %2), при котором уравнение (7.73) сохраняет силу. Теперь мы будем экстраполировать в точку х2, исходя из значения в точке /•
Мы можем либо зарегистрировать значение функции и ее производных и посредством экстраполяции найти ее значение в интересующей нас точке, либо можем ввести экстраполяцию решения в программу АВМ.
Пренебрегая при экстраполяции членами высшего порядка, мы вносим некоторую погрешность. Однако, если величина второй производной d2f/dx2 в уравнении (7.73) ограничена, ее можно использовать для определения границ, в пределах которых лежит ошибка.
Предположим, например, что функция и ее производные имеют следующие значения:
Подставив эти величины в уравнение (7.73), мы получим значение функции "(%2)・ Значение второй производной d^ldd ограничено следующим образом:
а"爲WP・(7.74)
Используя величину нижней границы а в качестве значения второй производной d2f/dx2 и сохраняя прежние значения функции 厶(％J и ее первой производной (力/厶卜二口，мы получаем значение функции & (х2) как решение уравнения (7.73). Верхней границе 0 соответствует решение % (х2). Если точное решение в точке х? равно f (尤2), то оно, а также и ^ (х2) должны лежать в интервале между решениями, которые соответствуют границам.
Функция считается аналитической в диапазоне изменения независимой переменной, если сама функция и ее производные непрерывны в этом диапазоне.
13 Л. Левин
Следовательно,
/а(л：2Х[/ {Х^,九(&)]＜： %(&)•(7.75)
Исходя из уравнения (7.75), можно определить максимальную величину ошибки апроксимации 8, определяемой как максимальная разность между значениями точного и экстраполированного решения
е = IЛ (-^2)— / Ua) I ＜；макс [ | ft (х2) — fa (х2) |, | Л (х2) — fp (х2) | ]. (7.76)
Метод, основанный на уменьшении тангенса угла наклона кривой в точке
Одним из способов считывания и регистрации величины напряжения в определенный момент времени является использование блока выборки и фиксации, схема которого приведена на рис. 5.20. Известно, что при этом вносится некоторая ошибка, вызванная тем, что входное и выходное напряжения интегратора не одинаковы. Если это отличие существенно, то можно уменьшить ошибку, изменив масштаб времени таким образом, чтобы решение задачи протекало медленнее. В данном разделе мы коснемся ошибки, возникающей в связи с тем, что реле несвоевременно размыкает свой контакт.
Ради определенности будем считать, что реле должно размыкать контакты, когда подаваемое на него напряжение % равно нулю. Из-за наличия индуктивности в обмотке и инерционности механических частей контакт реле размыкается с некоторым небольшим запаздыванием. Кроме того, входное напряжение % может быть искажено помехами, в связи с чем напряжение % может стать равным нулю ранее или позже заданного момента времени. Совместное влияние запаздывания реле и входного шума может привести к преждевременному или запоздалому срабатыванию реле. Если величина помехи незначительна, то вероятнее всего, что реле разомкнет контакты слишком поздно.
Можно допустить, что это запаздывание будет малым, и тогда разложение в ряд Тейлора в окрестности точки 九，соответствующей заданному моменту размыкания, будет иметь вид
片d2)=匕(乙)十自(% -厶)，(7.77)
где Vt — значение измеряемой переменной в момент 乙； 財 —— тангенс угла наклона кривой “(%) в точке 九；t2 ——момент размыкания контакта реле. Ошибка измерения равна
自《2-友)
и зависит от двух величин:万^ —— тангенса угла наклона кривой & (/) в точке 匕 и от разности /2 —— 匕，определяющей то запаздывание, с которым реле размыкает контакты. Мы почти ничего не можем сделать для улучшения характеристик реле, но можем изменить тангенс угла наклона функции, значение которой фиксируется.
Предположим, что мы воспроизводим функцию, разложение которой в окрестности точки 匕 имеет вид
/2(/2)=，2(乙)+ 后(/2 - 方)(7.78)
причем значение функции У2 (勿)известно точно. Если на вход блока выборки и фиксации подается разность напряжений 3 (友)——/2(方2)，то
/з (4) - A (^2)一 % 42)=%(九) -，2 (乙)+ 住1 -尼2)(% -乙)(7.79)
После выполнения этой операции прибавим к полученному результату величину У2 (/1), с тем чтобы получить
九(4) = /з «2)+，2 (厶)=匕(/) + (財一尼2)«2 —乙).(7.80)
(7.81)(7.81)На рис. 7.18, а и б приведены программы решения уравнений (7.77) и (7.80). Точность считывания при использовании программы, изображенной на рис. 7.18, 6, выше точности в случае применения программы, приведенной на рис. 7.18, а, когда
(7.81)
(7.81)
I局一自IV尼卜
Условие, задаваемое неравенством (7.81), может быть записано в другом виде:
0<fe2<2^2 財 V A V。0<fe2<2^2 財 V A V。при припри при自》0, 爲V自》0, 爲V(7.82)(7.82)
0<fe2<2^
2 財 V A V。
0<fe2<2^
2 財 V A V。
при при
при при
自》0, 爲V
自》0, 爲V
(7.82)
(7.82)
Обычно величина тангенса угла наклона 財 неизвестна до решения задачи на АВМ Один из способов составления программы, приведенной на рис. 7.18, б, заключается в том, что процесс решения повторяется несколько раз и при этом
Регистрация производится 彳⑺в момент /2Регистрация производится 彳⑺в момент /2Схемавыборки ификсацииСхемавыборки ификсации化亿н к,仇一切"色)化亿н к,仇一切"色)
Регистрация производится 彳⑺
в момент /2
Регистрация производится 彳⑺
в момент /2
Схемавыборки ификсации
Схемавыборки ификсации
化亿н к,仇一切"色)
化亿н к,仇一切"色)
f⑴一-+% ⑴一!■f⑴一-+% ⑴一!■冇⑴-⑴冇⑴-⑴Схемавыборки ификсацииСхемавыборки ификсации-优什1)-%⑴+他力)出T川工⑴-优什1)-%⑴+他力)出T川工⑴
f⑴一-
+% ⑴一!■
f⑴一-
+% ⑴一!■
冇⑴-⑴
冇⑴-⑴
Схемавыборки ификсации
Схемавыборки ификсации
-优什1)-%⑴+他力)出T川工⑴
-优什1)-%⑴+他力)出T川工⑴
"(〃 =俏"+("广初屮丿
殴片2)
Рис. 7.18. а ——блок выборки и фиксации, регистрирующий величинунапряжения в момент времени /2; б — модифицированная схемасчитывания, обеспечивающая большую точность, чем схема, приве-денная на рис. 7.18, а.
значение тангенса угла наклона k2 подбирается таким образом, чтобы тангенс угла наклона, определяемый разностью k2——自，был минимален в течение отрезка времени, содержащего момент считывания. Другой метод состоит в том, чтобы вычислительная машина сама генерировала функцию % «)• Этот метод особенно удобен при решении стохастических задач, когда тангенс угла наклона кривой 自 при повторных решениях задачи будет изменяться. В примере 5 показано, как можно составить программу, чтобы АВМ сама генерировала функцию f2 (/).
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Мы уже несколько раз подчеркивали, что, помимо тех ошибок, которые могут быть устранены путем соответствующего выбора масштаба, всем решающим элементам свойственны некоторые специфические ошибки. Эти ошибки можно уменьшить, либо изменяя уравнения, либо вводя в АВМ компенсацию. Что касается последнего способа, то мы будем рассматривать только такие методы, которые позволяют осуществить компенсацию при помощи коммутации на наборном поле и не требуют изменения самого решающего элемента.
При решении на АВМ любой задачи мы можем с полным основанием считать, что ошибки, вносимые линейными элементами (потенц иомет рами, усилителями, интеграторами), на порядок меньше (коэффициент отношения 10 "/" больше) ошибоку обусловленных нелинейными элементами. В методе возмущений мы уже использовали это преимущество линейных элементов,
когда точность повышалась как за счет линеаризации, так и за счет правильного выбора масштаба. Теперь мы покажем, что точность выполнения нелинейных операций можно увеличить путем перехода к эквивалентному им сочетанию линейных и нелинейных операций. Назовем этот метод расчленением и рассмотрим его на примере операции возведения в квадрат.
Предположим, что, имея величину У, мы хотим воспроизвести величину У2. При этом, как указывалось в разд. 7.3, ошибка по переменной У, вносимая серводвигателем, более или менее независима от величины переменной У.
Рис. 7.19. Схема для возведения переменной в квадрат на основе следящего множительного устройства.Рис. 7.19. Схема для возведения переменной в квадрат на основе следящего множительного устройства.
Рис. 7.19. Схема для возведения переменной в квадрат на основе следящего множительного устройства.
Рис. 7.19. Схема для возведения переменной в квадрат на основе следящего множительного устройства.
процедуры, принятой в методе (7.83). Заметим, что члены V。процедуры, принятой в методе (7.83). Заметим, что члены V。Рис. 7.20. Схема, обеспечивающая уменьшение ошибки следящего множительного устройства при возведении в квадрат.Рис. 7.20. Схема, обеспечивающая уменьшение ошибки следящего множительного устройства при возведении в квадрат.-/<2 AV-/<2 AV
процедуры, принятой в методе (7.83). Заметим, что члены V。
процедуры, принятой в методе (7.83). Заметим, что члены V。
Рис. 7.20. Схема, обеспечивающая уменьшение ошибки следящего множительного устройства при возведении в квадрат.
Рис. 7.20. Схема, обеспечивающая уменьшение ошибки следящего множительного устройства при возведении в квадрат.
-/<2 AV
-/<2 AV
Ниже мы покажем, что поскольку переменная V подается как на вход серводвигателя, так и на вход потенциометра следящего множительного устройства, то соответствующий выбор масштаба зависимой переменной приведет к повышению точности. Это повышение не будет, однако, столь значительным, как при совместном использовании масштабирования и расчленения.
На рис. 7.19 приведена схема получения величины У2 непосредственно с помощью следящего множительного устройства. Отметим, что
Р = (% + АР)2 - % + 2VqAV十(АР)?,(7.83)
где величина Уо — постоянная. В отличие от возмущения, сохраним все члены уравнения
и 2У0АУ можно получить с помощью потенциометра и, по существу, без ошибки. Вызывает ошибку лишь член (AV)2< Схема программы решения уравнения (7.83) на АВМ приведена на рис. 7.20.
В схеме, приведенной на рис. 7.19, ошибка е2 на выходе усилителя / равна
电=¥，(7.84)
а в схеме, приведенной на рис. 7.20, ошибка е3 на выходе усилителя 2
равна
Таким образом,
kiW
(7.86)
Из уравнения (7.86) видно, что даже при одинаковом масштабе в обеих схемах (尼【=尼2) программирование уравнения (7.83) вместо непосредствен^ ного возведения величины V в квадрат приводит к уменьшению ошибки, если ДУ < V. Если же мы выберем масштаб, учитывая меньшую величину переменной ДУ (ДУмакс < VMaKC)> то можно добиться дальнейшего повышения точности, так как
(7.87)(7.88)(7.87)(7.88)А _ 100/100
(7.87)
(7.88)
(7.87)
(7.88)
и, следовательно,и, следовательно,产Тмат^； 2= АРмакс
и, следовательно,
и, следовательно,
% — Алманс АРе2^ макс У
Следящее множительное устройство
Так как следящее множительное устройство является электромеханическим, то ему свойственны динамические ошибки. Эти ошибки можно устранить, выбрав такой масштаб времени, чтобы задача решалась медленнее. Мы, однако,
Рис. 7.21. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности следящего множительного устройства.Рис. 7.21. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности следящего множительного устройства.
Рис. 7.21. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности следящего множительного устройства.
Рис. 7.21. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности следящего множительного устройства.
предпочитаем решать задачи по возможности быстрее. Это можно сделать, применяя простую схему с компенсацией, приведенную на рис. 7.21. Обычно для получения произведения ху используется только следящая система 1. Однако при установке подвижного контакта следящего потенциометра (и всех других связанных с ним потенциометров) в заданное положение возникнет динамическая ошибка q. Эта ошибка мала, но в задачах, требующих высокой точности, она может существенно повлиять на результат. Кроме того, существует еще так называемая статическая ошибка, характеризующая отклонение положений потенциометров, связанных с подвижным контактом следящего потенциометра, от соответствующего положения этого контакта. Этой ошибкой мы будем в дальнейшем пренебрегать.
Разность % —修=q (где xf — напряжение на подвижном контакте следящего потенциометра) подается на один из потенциометров следящей системы 2, в то время как величина у подается на ее вход. Ошибка £? отлична ст ошибки %, но является величиной того же порядка.
После подачи выходных сигналов следящих систем на вход усилителя 4 величина на его выходе равна (—ху —%%), причем в общем случае
入貶《У^^(7.89)
Хотя этот метод предусматривает использование двух следящих систем вместо одной, он может быть очень эффективным. Для случая, когда переменная 尤 является ступенчатой функцией, а у——постоянная, это иллюстрируется рис. 7.22. Ступенчатая функция — это наиболее «неприятная» форма изменения переменной х. В следящей системе 2, на вход которой подается постоянная величина у, будет наблюдаться лишь статическая ошибка воспроизведения
Рис. 7.22. Характерные результаты, полученные в случае применения схемы, приведенной на рис. 7.21. Ступенчатая входная величина х показана иа осциллограмме 丿，причем у = — 50 8. Выходная величина должна быть равна 无у/100 = 30 в. На осциллограмме 2 приведена выходная величина, полученная в схеме без компенсации. Выходная величина в схеме с компенсацией довольно близка к ступеньке； она приведена на осциллограмме 3.
этой величины. Если бы у была переменной, то это привело бы к появлению динамических ошибок в следящей системе, причем ошибка £2 возросла. Использование постоянной величины у оправдывается тем, что при этом облегчается сравнение ошибок в множительных устройствах с компенсацией и без нее.
Тригонометрический блок. В тригонометрических блоках возникают ошибки двух типов; в этом разделе будут описаны отдельные способы их частичного устранения. Этими ошибками являются: 1) статические и динамические
ошибки, возникающие при воспроизведении функций синуса и косинуса; 2) шум, возникающий в схеме из-за малости величины R при выполнении перехода от прямоугольных к полярным координатам. Одна из схем с компенсацией (рис. 7.23) построена по принципу, изложенному ранее применительно к следящему множительному устройству. Мы использовали на этой схеме
(y+£z)3(\(y+E2)SC05(£+£]) 7论、/j〉一!!—(y+£z)3(\(y+E2)SC05(£+£]) 7论、/j〉一!!—-У\_丿 yC06(N+£f)/~-У\_丿 yC06(N+£f)/~Рис. 7.23. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности тригонометрического блока.Рис. 7.23. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности тригонометрического блока.
(y+£z)3(\(y+E2)SC05(£+£]) 7论、/j〉一!!—
(y+£z)3(\(y+E2)SC05(£+£]) 7论、/j〉一!!—
-У\_丿 yC06(N+£f)/~
-У\_丿 yC06(N+£f)/~
Рис. 7.23. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности тригонометрического блока.
Рис. 7.23. Схема, обеспечивающая повышение динамической точности тригонометрического блока.
нестандартное изображение тригонометрического блока для того, чтобы показать, каким образом возникает ошибка q. Тригонометрический блок / при отсутствии компенсации воспроизводил бы функции вида
у sin (% + с。 и у cos (х + а),
где q ——ошибка решающего устройства по углу. Считая ошибку % малой, выполним следующие преобразования:
(7.90)(7.90)у sin (л： + ^1) ^ у smx^-y&Y cos х,у cos (х + £0 ^ у cos х — yq sin %.
(7.90)
(7.90)
Добавив к тригонометрическому блоку следящее множительное устройство, ошибка которого равна £?， и используя схему, приведенную на рис. 7.23, мы пол)7чим на выходе усилителей 4 п 6 функции “(/) и % (0 соответственно, где
厶(%) = (" +场)Seos (尤+ q)—4 sin (%+ 白)；
%(£)= —® + £2)qsin(% 十 а) —ycos(%+白).'
Используя ту же апроксимацию, что и в уравнении (7.90), которая основана на малости углов, получим
"(£)= —у^пх — ^{у + 82) sinX + 8^2COSX；
% С) = —у COS 芯 _q£2Si 口芯一"(у+ %) £； COS%.I .
При сравнении тригонометрических блоков с компенсацией и без нее весы склоняются в пользу первых, если при воспроизведении синуса
У》£2,
ycosx》£1 sinx,
а при воспроизведении косинуса
У》£2,
у sin%》白 cosx.
Шум при осуществлении перехода от прямоугольных к полярным координатам
При переходе от прямоугольных к полярным координатам мы сталкиваемся с затруднениями, когда значения координат в прямоугольной системе малы (см. разд. 6.6). При этом в контуре, воспроизводящем величину
угла, уровень шума может стать чрезмерно высоким. Шум возникает из-за движения контактов по виткам проволочных потенциометров тригонометрического блока. Существуют два способа уменьшить этот шум. Один из них предусматривает введение интегратора в контур, моделирующий неявную функцию. Интегрирование шума резко уменьшает его влияние. Эта схема изображена на рис. 7.24.
В том случае, когда известны значения производных х и у, можно применить другой способ. Рассмотрим на плоскости вектор скорости R. Его составляющие х и у направлены вдоль координатных осей х и у, как это показано на рис. 7.25.
На АВМ мы хотим получить
и(7.93)
Составим уравнения в координатной системе, одна из осей которой совпадает с направлением вектора А, а другая, обозначенная W, перпендикулярна вектору R. При этом составляющие скорости по осям R и W, обозначенные соответственно через R и Ro, равны
R = xcosa + ysina, д^
R。= — % sin ст + у cos а.
На рис. 7.26 приведена схема определения R и о и。уравнениям (7.94). Хотя эта схема и предусматривает деление на R, она обладает значительно большей устойчивостью и меньшим уровнем шума, чем обычная схема для выполнения перехода от прямоугольных к полярным координатам. Улучшение достигается
Рис. 7.26. Структурная схема программы при переходе к полярным координатам, обеспечивающая уменьшение влияния шума.Рис. 7.26. Структурная схема программы при переходе к полярным координатам, обеспечивающая уменьшение влияния шума.
Рис. 7.26. Структурная схема программы при переходе к полярным координатам, обеспечивающая уменьшение влияния шума.
Рис. 7.26. Структурная схема программы при переходе к полярным координатам, обеспечивающая уменьшение влияния шума.
в результате того, что шум, вызываемый движением контактов потенциометров- тригонометрического блока, интегрируется интегратором /, а шум, вызываемый движением контактов потенциометра следящей системы, интегрируется интегратором 2・ Схема, следовательно, позволяет оперировать с меньшими значениями радиуса R
Деление
Известно, что всякий раз, когда мы включаем в программу вычислительной машины операцию деления на нуль, ей предлагается невыполнимая задача. Даже такая функция, как (sin х)/х (которая с математической точки зрения не расходится ни в одной точке), не может быть воспроизведена на вычислительной машине в окрестности точки % = 0. Если особая точка, выявляющаяся при делении, встречается в начале процесса решения, мы можем заставить АВМ обойти пре пятствие.
Если требуется выполнить операцию
(7.95)(7.95)=У «)
(7.95)
(7.95)
一尤(/),
где переменная %т 0 при /— 0, то к переменной % можно прибавить дополнительный член, характеризующий ошибку, таким образом, что
(7.96)
Если значение коэффициента а велико, функция е^а/ быстро уменьшится до величины, близкой к нулю, и ошибка в определении величины г будет малой.
Уравнение Бесселя
d^y dyd^y dy
d^y dy
d^y dy
имеет особую точку при f = 0.
Мы можем исключить эту особую точку, начав процесс решения с некоторого другого момента времени. Если АВМ начинает процесс решения с момента времени £ = 0, то она должна быть запрограммирована для решения следующего уравнения, являющегося апроксимацией уравнения Бесселя:
需十一'1=(7.98)
Прибавлять дополнительный член для устранения особенности можно и в том случае, когда особая точка возникает не в начале процесса решения. Задача делится на части, и решение каждой из них начинается с момента, соответствующего появлению особой точки.
Предположим, что мы решаем задачу на отрезке времени от tl до £? и в момент ts встречается особая точка, причем t{ <Z ts <Z 方沙 Мы делим задачу на две части и решаем ее в «прямом» направлении от момента времени 4 до момента времени Z2 и в «обратном» направлении от момента времени ts до момента if.
Облегчить выполнение операции деления можно также путем выбора переменного масштаба. Этот метод применяется для сохранения значения знаменателя вблизи нуля как можно большим, но он не приносит пользы в самом нуле. Шире всего переменное масштабирование используется в том случае, когда особая точка встречается в конце процесса решения. Часто бывает так, что, если удается сохранить ошибку деления малой почти до самого конца решения, эта ошибка не повлияет на результат. Такой случай иллюстрируется примером 5, который служит продолжением примера 4. В нем показано, как можно увеличить точность решения путем выбора переменного масштаба в сочетании с преобразованием координат.
Пример 5. Продолжим исследование задачи, начатой в примере 4. Мы покажем как можно повысить точность решения, уменьшая производную переменной в момент €члтывания и изменяя масштаб при делении.
Р н с. 7.27. График решения для задачи о самонаведении (см. пример 5) и график номинального решения % (3Р н с. 7.27. График решения для задачи о самонаведении (см. пример 5) и график номинального решения % (3
Р н с. 7.27. График решения для задачи о самонаведении (см. пример 5) и график номинального решения % (3
Р н с. 7.27. График решения для задачи о самонаведении (см. пример 5) и график номинального решения % (3
На рис. 7.27 приведен типичный график зависимости переменной ур от дальности R. Расстояние d между снарядом и целью равно
d = (R^+y^.
Когда, как мы считаем в данном случае, dR/dt》dyp/dt, расстояние d принимает минимальное значение вблизи точки R = 0. В действительности минимум имеет место, когда отрезок d перпендикулярен вектору относительной скорости Vr —— Vm. При этих значениях R тангенс угла наклона кривой у^ приблизительно постоянен.
Чтобы увеличить точность считывания, мы воспроизводим функцию % (D, также показанную на рис. 7.27 и описываемую уравнением
f2*)=~^R ПРИ R《Rs，
(7.99)
где R$ ——фиксированное известное значение величины R ^ ys =- Ур при R = Rs. Тогда
Ур = У2+ 卜=У^ при R = 0.(7.100)
При использовании переменной у2 точность считывания повысится, так как в окрестности точки R = 0 dy^/dt V 弘歹7济.Однако, чтобы избежать переходных процессов, воз-
^р)о^р)оРис. 7.28. Схема, обеспечивающая повышение точности измерения промаха снаряда путем учета возмущения относительно номинального значения, показанного на рис. 7.27.Рис. 7.28. Схема, обеспечивающая повышение точности измерения промаха снаряда путем учета возмущения относительно номинального значения, показанного на рис. 7.27.
^р)о
^р)о
Рис. 7.28. Схема, обеспечивающая повышение точности измерения промаха снаряда путем учета возмущения относительно номинального значения, показанного на рис. 7.27.
Рис. 7.28. Схема, обеспечивающая повышение точности измерения промаха снаряда путем учета возмущения относительно номинального значения, показанного на рис. 7.27.
никающих при переключениях, удобнее воспроизвести производную dy^ldt, а затем ее проинтегрировать. Дифференцируя уравнение (7.100), получаем
dy2 dyp df2 ys dRdy2 dyp df2 ys dR(7.101)(7.101)
dy2 dyp df2 ys dR
dy2 dyp df2 ys dR
(7.101)
(7.101)
Мы можем, кроме того, изменить масштаб в контуре, выполняющем операцию деления, использовав переменную у2. В этом случае
0к粤='^^_^ =号 +费 Для °wRWR$.(7.102)
Так как отношение ys/Rs — постоянная величина, можно записать, что
6=贵十。3-(7.103)
Далее, умножим числитель и знаменатель на масштабный множитель k и получим в результате уравнение, для которого и будем составлять программу
6 =戮(7.104)
Сравнивая это уравнение с уравнением, в котором масштаб вводится по переменной у и где
仃=7£ ,(7.105)
мы замечаем, что использование уравнения (7.103) дает следующее преимущество: поскольку у? V Рр，то стоящий на выходе блока деления усилитель с внсокнм коэффи- диентом усиления достигнет своего верхнего предела по напряжению при меньшем зна-
чении R, если числителем является переменная у^- Следовательно, этот метод получения частного о позволит нам при сохранении достаточной точности подойти ближе к крайней точке R = 0.
На рис. 7,28 приведен окончательный вариант структурной схемы, на котором отражены рассмотренные выше приемы повышения точности решения задачи на АВМ. В начале решения задачи все перекл[Очатели находятся в положении 1, В этом положении рассматриваемая схема идентична схеме, приведенной на рис. 7.14. Обратите внимание на то, что переключатели Sb S? и S3 входят в состав схемы программы решения задачи, а переключатель S4 стоит в цепи считывания. При определенном значении величины R, равном Rs，реле переведут переключатели Sj, S2 и S3 в положение 2. Перейдя в новое положение, переключатель S3 (на выходе интегратора 4) обеспечит поддержание на выходе блока выборки и фиксации значения у$. Поскольку значение Rs известно, можно использовать настраиваемый заранее потенциометр, выходное напряжение которого равно ys/Rs. Переключатель S2 участвует в воспроизведении переменной у2. Переключение приведет к возникновению переходного процесса на вы ходе множительного устройства 11. Однако этот переходной процесс сглаживается интегратором 12 и не оказывает влияния иа переменную г/2- В момент переключения ключа Sj напряжение на обоих его контактах одинаково. Следовательно, переходный процесс, который мог бы исказить сигнал, не возникает.
В момент времени, которому соответствует R = 0, переключатель S4 переводится в положение 2, и на выходе блока выборки и фиксации запоминается величина у — минимальное расстояние между снарядом и целью (промах). При рассмотрении примеров 4 и 5 все наши усилия были направлены на то, чтобы точно измерить эту единственную величину.
Ограничитель
Иногда можно умышленно внести в решение задачи малую ошибку, чтобы предотвратить появление значительно большей. Если при этом точность решения остается приемлемой, то мы выходим из этого рискованного предприятия с очевидной выгодой. Устройством, обеспечивающим поддержание величины ошибки в заданных пределах, является ограничитель, который предотвращает чрезмерное увеличение напряжения.
Рис. 7.29. Схема, содержащая ограничитель, который используется для коррекции расходящихся колебаний.
Одно из назначений этого устройства состоит в исключении перегрузки выхода усилителя. Усилитель обладает крайне неприятным свойством оставаться в состоянии перегрузки в течение некоторого времени после снижения входного сигнала до значения, которое уже не вызывает перегрузки. В результате на выходе усилителя в течение некоторого времени может сохраняться высокое напряжение и решение будет существенно искажено. Ограничитель, включенный параллельно усилителю, будет предохранять его от перегрузок. Конечно, верно, что при работе с ограничителем выходное напряжение усилителя искажается. Однако, если выходной сигнал ограничивается лишь в течение короткого времени, ошибка решения может быть малой. Во всяком случае, ограничение выходной величины предпочтительнее перегрузки. Между прочим, схемой, где целесообразно применить ограничитель, является усилитель, используемый в схеме деления, как, например, усилитель 4 в схеме на рис. 7.14.
Другой способ применения ограничителя иллюстрируется схемой на рис. 7.29. При отсутствии ограничителя эта схема воспроизводит функции sin ①t и cos sf. В действительности, когда мы программируем АВМ таким образом, чтобы на выходе интегратора 2 воспроизводилась функция Л sin ①f, влияние паразитных емкостей наборного поля и несовершенство решающих элементов могут привести к получению решения вида
(7.106)(7.106)у — Ае^ sin со九
(7.106)
(7.106)
Так как коэффициент а мал, то величина у будет отличаться от точного решения только при больших значениях времени £. В этом случае при положительном коэффициенте а величина у станет большой. Однако ограничители не допустят, чтобы это произошло. Действительно, о гран ичители можно настроить
Рис. 7 30. а ——график кривой, воспроизводимой в схеме, приведенной на рис. 7.29. При отсутствии ограничителя кривая описывалась бы уравнением 尤—左@出 cos з九 причем а = ОД (см. рис. 7.30, б); 6 — график функции х = ke^ cos st при а = 0,1.Рис. 7 30. а ——график кривой, воспроизводимой в схеме, приведенной на рис. 7.29. При отсутствии ограничителя кривая описывалась бы уравнением 尤—左@出 cos з九 причем а = ОД (см. рис. 7.30, б); 6 — график функции х = ke^ cos st при а = 0,1.
Рис. 7 30. а ——график кривой, воспроизводимой в схеме, приведенной на рис. 7.29. При отсутствии ограничителя кривая описывалась бы уравнением 尤—左@出 cos з九 причем а = ОД (см. рис. 7.30, б); 6 — график функции х = ke^ cos st при а = 0,1.
Рис. 7 30. а ——график кривой, воспроизводимой в схеме, приведенной на рис. 7.29. При отсутствии ограничителя кривая описывалась бы уравнением 尤—左@出 cos з九 причем а = ОД (см. рис. 7.30, б); 6 — график функции х = ke^ cos st при а = 0,1.
таким образом, чтобы величина у не превышала значения А. Мы несколько искажаем величину у, а именно вводим высшие гармоники функции sin со厶 но при малых значениях коэффициента а эта ошибка будет мала. Графики функции у, полученной при наличии ограничителя и без него, приведены на рис. 7.30, а и 6 соответственно. Мы умышленно гиперболизировали влияние ограничения, выбрав большое значение коэффициента а, с тем чтобы можно было легко обнаружить воздействие ограничения на результат.
Когда коэффициент а отрицателен, ограничитель не приносит пользы. Соединив, однако, выход усилителя 3 со входом интегратора 2, можно, выбрав соответствующий коэффициент усиления, сделать коэффициент а положительным.
Диодный функциональный преобразователь
Характеристики диодов у используемых диодных функциональных преобразователей изменяются при изменении окружающей температуры. В основном эти изменения характеристик выражаются в изменении напряжения отпирания диодов. Это затруднение можно преодолеть, помещая диоды в камеру с регулируемой температурой. Однако если диоды все же подвергаются воздействию произвольных изменений температуры, то можно минимизировать ошибку, используя для представления входной величины функционального преобразователя максимально возможный масштаб. При этом процентное отношение сдвига характеристики диода ко входному сигналу будет минимальным.
Напряжения отпирания диодов задаются с помощью делителей напряжения, которые подают на диоды в качестве напряжения смещения некоторую долю опорного напряжения. Таким образом, в случае изменения опорного напряжения изменится также и напряжение отпирания диодов, что будет сопровождаться соответствующим изменением абсолютного значения напряжения на входе и выходе функционального преобразователя. Если в процессе решения величина дрейфа будет значительна, то это вызовет ошибку решения. Однако источники опорного напряжения хорошо стабилизированы, и дрейф обычно происходит медленно, сказываясь только на протяжении большого промежутка времени. Следовательно, можно считать, что опорное напряжение имеет квазистатический характер, причем в течение однократного прохождения программы оно остается постоянным. В таком случае дрейф опорного напряжения не оказывает влияния на решение.
Это объясняется тем, что все напряжения, полученные от источника опорного напряжения (например, напряжение отпирания диодов или напряжения, представляющие начальные условия), задаются и измеряются с помощью опорного напряжения. Любое изменение опорного напряжения приводит к изменению в таком же процентном отношении остальных напряжений, в том числе и соответствующих окончательным результатам. Таким образом, если результаты решения измеряются по отношению к опорному напряжению, то их значения в размерностях переменных задачи не зависит от величины опорного напряжения. Если на протяжении всего решения задачи используется одна и та жг величина опорного напряжения, то по отношению к этому напряжению решение будет инвариантным.
8. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАДИЕНТНЫХМЕТОДОВ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах мы рассмотрели методы программирования некоторых классов задач для решения их на АВМ. Запрограммировав АВМ для решения задачи, мы должны приступить к следующему важному этапу решения ——изменению параметров. В результате получим ряд значений, составляющих решение. В принципе при правильном наборе программы всегда можно найти решение задачи. Однако при неудачном плане постановки опытов на АВМ будут сведены на нет преимущества любой искусно составленной программы. Бессистемные попытки найти решение приводят к перерасходу машинного времени, получению чрезмерного количества информации и даже к тому, что решение так и не удается найти.
Решая многие задачи, можно, изменяя параметры, управлять поведением двух или большего числа переменных. При переходе от одной группы значений параметров к другой характер изменения одной из переменных может стать ближе к тому, что мы хотим получить, в то время как поведение другой переменной заметно ухудшится. Какой из групп параметров соответствует «лучшее» решение? Очевидно, ответить на этот вопрос можно только в том случае, если имеется некоторой! конниественнн访 эталон, позволяющий сравнивать два результата. Для того чтобы удовлетворить этому требованию, мы должны представить результат в виде однозначной функции соответствующих параметров. По причинам, изложенным в разд. 8.2, эта функция называется функцией расстояния. Процесс изменения параметров задачи, с помощью которого достигается максимально возможное приближение функции расстояния к экстремальному значению (максимуму или минимуму), назовем оптимизацией.
Для того чтобы из множества возможных функций выбрать некоторую функцию расстояния, удовлетворяющую условиям конкретной задачи, может потребоваться определенное искусство и значительный опыт. Однако после того, как выбор сделан, мы имеем дело с задачей, которая вполне соответствует возможностям АВМ. В случае отыскания максимума (минимума) АВМ должна изменять параметры таким образом, чтобы значение функции расстояния после изменения было больше (меньше) прежнего. Можно составить программу таким образом^ что АВМ будет выполнять оптимизацию без всякого участия оператора.
Эта глава начинается с обсуждения понятия «расстояние». Здесь мы используем такое математическое понятие расстояния, которое отличается от характеризуемого тем же термином геометрического понятия. Мы установим, в чем различаются эти понятия. Далее будет показано, каким образом можно получить функцию расстояния для любой задачи, решаемой на АВМ.
Затем мы кратко рассмотрим аналитические методы нахождения экстремума. Будут обсуждены основные области применения двух наиболее полезных методов ——вариационного исчисления и метода множителей Лагранжа, а также присущие им ограничения.
И наконец, мы изложим методы, которые могут быть использованы для нахождения экстремума с помощью АВМ. Этими методами являются: 1) метод
наискорейшего спуска; 2) релаксационный метод; 3) метод случайного поиска. Все перечисленные методы относятся к категории градиентных методов. Мы рассмотрим их как в случае, когда параметры могут принимать любые значения, так и при наличии ограничений. Диапазон применения градиентных методов очень широк и включает такие области, как алгебраические уравнения, краевые задачи, задачи о собственных значениях, управление процессами и молодую, но бурно развивающуюся теорию адаптивных систем управления.
ФУНКЦИЯ РАССТОЯНИЯ х)
Пусть параметрами задачи, связанной с получением некоторого химического вещества, являются соотношение двух реагентов R и температура процесса К, в то время как решение представляется двумя переменными: временем получения некоторой единичной порции вещества Т и процентным
Рис. 8,1. а — траектория в пространстве параметров; 6 ——траектория в пространстве решений, определяемая изменениями параметров на рис. 8.1, а.Точке одного пространства соответствует точка другого пространства, имеющая тот же числовой индекс.Рис. 8,1. а — траектория в пространстве параметров; 6 ——траектория в пространстве решений, определяемая изменениями параметров на рис. 8.1, а.Точке одного пространства соответствует точка другого пространства, имеющая тот же числовой индекс.
Рис. 8,1. а — траектория в пространстве параметров; 6 ——траектория в пространстве решений, определяемая изменениями параметров на рис. 8.1, а.
Точке одного пространства соответствует точка другого пространства, имеющая тот же числовой индекс.
Рис. 8,1. а — траектория в пространстве параметров; 6 ——траектория в пространстве решений, определяемая изменениями параметров на рис. 8.1, а.
Точке одного пространства соответствует точка другого пространства, имеющая тот же числовой индекс.
содержанием коррозионного побочного продукта Z. Эти величины могут быть использованы как координаты прямоугольной системы в пространстве параметров и пространстве решений. Упорядоченной паре значений параметров (Ri, К【)，изображенной в виде точки в пространстве параметров, будет соответствовать результат, представленный точкой пространства решений с координатами (Ti, Z). На рис. 8.1 показан ряд точек в пространстве параметров и пространстве решений. Точке одного пространства соответствует точка другого пространства, имеющая тот же числовой индекс. Стрелки указывают направление изменения. Положения точки в пространстве решений можно определить полярными координатами d и 0. Величина d ——это расстояние от начала координат; в некоторой точке, например в точке /, оно равно
d, = (Z； + T；)y(8.1)
где
ZlZ(&, К。； Т.Т®КЗ
Мы видим, что функция расстояния содержит две величины, которые мы хотели бы сделать возможно меньшими. Минимизируя величину d, мы достигнем желанной цели. Обратите внимание на то, что мы свели всю имеющуюся информацию к одной скалярной величине в пространстве решений, называемой функцией расстояния.
Мы никоим образом не обязаны выбирать функцию расстояния именно в виде выражения (8.1). Если переменные Z и Т приближаются к нулю не
В литературе эту функцию называют также целевой функцией, функцией критерия или функцией риска.
одновременно, то минимизация других функций расстояния может привести к другим значениям параметров и другим решениям задачи. Выбирая определенную функцию расстояния и утверждая, что минимуму этой функции соответствует оптимум, мы определяем предельные значения переменных Z и Т даже раньше, чем задача решена. Естественно, что определенным конечным значениям переменных Z и Т соответствуют некоторые определенные значения параметров.
Одной из возможных функций расстояния является функция вида (8.1), в которую решения входят с разными весами. Например,
d = [Z2 + (aT产产，(8.2)
где а —— постоянная.
В качестве другой функции расстояния (ее преимущества рассматриваются в примере 1) можно взять и сумму модулей
d^\Z\ + \T\.(8.3)
Эти и другие подходящие для наших целей функции расстояния удовлетворяют математическому определению понятия «расстояние», формулируемому следующим сбразом. Пусть 〃，и и 陋——точки некоторого пространства, действительная функция d (〃, и) называется расстоянием между точками и и v, если она обладает следующими свойствами:
d (〃，〃) = 0.
d (〃，и) W d (〃，⑫)十 d (и, ©).
Свойство 2 называется неравенством треугольника. Из двух первых свойств можно вывести еще два свойства:
d (и, и) > 0.
d (u, v) = d (и, 〃).
Пространство, обладающее этими свойствами, называется метрическим пространством.
Прежде чем расстаться с функцией расстояния, выскажем некоторые заслуживающие внимания соображения. Во-первых, пространство параметров и пространство решений могут иметь любое число измерений. Более того, каждое пространство может обладать большим или меньшим, чем другое, числом измерений. Хотя функция расстояния теряет физический смысл при переходе к пространству с четырьмя или большим числом измерений, составление функций расстояния для многомерных систем не вызывает принципиальных затруднений. Например, для переменных %：,无2, • • •,工九 функция расстояния, аналогичная функции, определенной уравнением (8.1), будет иметь вид
d = (%；+ %；+•• • +%п)1/2.(8.4)
Во-вторых, расстояние можно отсчитывать от любой точки, а не только от начала координат. Пусть значения Zo и То будут оптимальными. Если мы минимизируем функцию расстояния такого типа, которая описывается выражением (8.3), то она приобретает вид
d, = |Z —Zo| + |7 —То|.(8.5)
И наконец, функцию расстояния можно как максимизировать, так и минимизировать. Так, если бы функциями, составляющими решение, являлись выход и прибыль за цикл работы, то мы стремились бы к тому, чтобы расстояние, отсчитываемое от начала координат, было как можно большим.
Один важный вопрос остался без ответа. Как надо изменять параметры, чтобы в результате этого функция расстояния достигла экстремума? Мы посвятим этой проблеме остальную часть главы, но предварительно кратко обсудим некоторые аналитические методы.
14 Л. Левин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ!)
Если функция одной переменной имеет экстремум в любой не крайней точке диапазона изменения этой переменной, то в такой точке должно выполняться условие
学=0.(8.6)
dx\ 丿
Из графика, приведенного на рис. 8.2, видно, почему это условие является лишь необходимым. Функция имеет максимумы в точках ^, х3, х0 и х； и мини
мумы в точках %2,支4 и %7. В точке х5 выполняется условие, выражаемое уравнением (8.6). Однако в небольшой окрестности точки && значение функции f (.г5) не является ни наибольшим, ни наименьшим. Такая точка называется точкой перегиба.
Эта точка ——одно из посторонних решений, появляющихся при использовании условия (8.6) для нахождения экстремумов. Когда имеется несколько максимумов и минимумов, наибольший из максимумов и наименьший из минимумов называются абсолютными или глобальными. Все остальные максимумы и минимумы называются локальными или относительными2,3). Отыскивая абсолютный максимум, мы можем получить в качестве решения уравнения (8.6) относительный максимум. Больше того, глобальный экстремум может не накладывать никаких условий на значение функции. Пусть / (,г0)——наименьшее значение функции f (%), но, так как оно достигается в точке, лежащей на границе диапазона изменения переменной %, мы не можем найти это значение аналитически. Это один из самых существенных недостатков аналитических методов определения наибольшего и наименьшего значения функции, причем в случае использования вычислительных машин это ограничение отпадает.
Для функции /z переменных f (%丄,％?, . . ., %几)необходимое условие существования относительного экстремума в точке %i = аь 尤2 = 仪2, • • •» 汇几 = 仪冷 состоит в том, что все первые частные производные обращаются в этой точке в нуль, т. е.
筹=0; 复=0；…；若=0. (8.7)
В работе [87, стр. 23十53] приведено краткое, но весьма занимательное обсуждение недостатков этих математических методов, которое читается с большим интересом. В остальной части этой книги ее автор, Беллман, рассматривает динамическое программирование —метод, разработанный им для нахождения экстрем умов с помощью цифровых вычислительных машин. Более детальное рассмотрение задач на максимум и минимум можно найти в работе [88]; вариационное исчисление изложено в работе [101 ]- (По теории оптимальных систем см. также работы [165, 166]. — Прим, ред.)
Функция одной или большего числа переменных, имеющая только один экстремум, называется вогнутой поверхностью, если это экстрем ум ——максимум, и выпуклой поверхностью, если это экстремум ——минимум.
з)Во избежание путаницы эти поверхности называют также выпуклой кверху и выпуклой, книзу соответственно.——Прим. ред.
Если величина
Z дх^ dxj i—1 j=lZ дх^ dxj i—1 j=lA修 Ах/A修 Ах/(8-8)(8-8)
Z дх^ dxj i—1 j=l
Z дх^ dxj i—1 j=l
A修 Ах/
A修 Ах/
(8-8)
(8-8)
положительна при всех вещественных ненулевых значениях Ах^ и 厶工)(т. е. G положительно определенная квадратичная форма), то значение f (а〔, а2,... ..ап) является максимумом. Когда форма G отрицательна при всех действительных значениях Axf и Дх7 (т. е. G отрицательно определенная квадратичная форма), то значение функции f (аъ а2, . . ., ап) является минимумом. В остальных случаях форма G является неопределенной, и значение функции f (а「 а?，• . •，仪孔)не является ни максимумом, ни минимумом.
Ограничения и множители Лагранжа
В тех случаях, когда параметры условный максимум. Если мы ищем при двух следующих условиях:
g(X],无2，• ♦ •,无九):zzz °；
не являются независимыми, мы находим экстремумы функции f (修，х2, •… 今)
无(*1，%2，，一，工")=°，(&9)
то можно в принципе исключить два параметра и затем найти для каждого из остальных значение, удовлетворяющее условиям (8.7). Очень часто, однако, исключить соответствующие параметры не удается. В таких случаях обращаются к методу множителей Лагранжа.
Сначала составляется новая функция, подлежащая минимизации:
Q (打，x2, .一，^n 5 入 i,入 2)= f (无1，无2, . . • , X?2)+
+ 3g (打，无2, • •^п) + ^ (^Ь 也，…％n), (8.10)
где коэффициенты Xi и 入2 называются множителями Лагранжа. Далее решается система уравнений
¥ = 0,笋=0,卓=0(8.11)
'дх2' дхп'/
вместе с уравнениями (8.9). Очевидно, что число уравнений равно числу параметров плюс число множителей Лагранжа.
Этот метод можно использовать при любом числе уравнений связи при условии, что их меньше, чем параметров. Очевидным недостатком метода множителей Лагранжа является то обстоятельство, что ограничения, налагаемые на параметры, должны задаваться в виде равенств. Ограничений вида g(修，厶)》0(8.12)
при использовании метода множителей Лагранжа задавать нельзя.
Вариационное исчисление [101J
Необходимое условие экстремума определенного интеграла вида
(8.13)(8.13)F(y 乎.. Л dx
(8.13)
(8.13)
)dx ， dxn 丿
…+（-1）嘘（饴）=6（8」4）…+（-1）嘘（饴）=6（8」4）состоит в том, что функция у (х) должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера
…+（-1）嘘（饴）=6（8」4）
…+（-1）嘘（饴）=6（8」4）
Когда мы ищем экстремальное значение интеграла (8.13) при наличии ограничения вида
工2
Jr= \ G (у,黑，...，%% х) dx, r= 1, 2, . . . m; m<n, (8.15)
乙對d电乙對d电мы опять используем метод множителей Лагранжа. При этом надо составить новую функцию:
乙對d电
乙對d电
，储，入2, • • •,入小丿=尸("'^ > • • • > ^Д ) +
十n儿G,(〃m，…，需).(8.16)
2=1
В результате получаем уравнение, из которого можно определить экстремальное значение интеграла (8.13) при наличии ограничений, определяемых системой уравнений (8.15). Это уравнение имеет вид
(8.17)(8.17)
(8.17)
(8.17)
8.33 Выводы
Мы кратко изложили важный раздел прикладной математики. Рассмотренные методы, в частности, очень полезны в математической физике. Тем не менее они почти совершенно бесполезны при отыскании экстремумов функции расстояния любых видов, за исключением простейших. Обычно уравнения, из которых должны быть определены экстремальные значения, не решаются аналитически. В связи с этим мы с чувством благодарности и облегчения обращаемся к аналоговой вычислительной машине, которая может помочь нам найти решения.
8・4. ФИЗИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Сейчас будет дан ответ на вопрос, содержание которого составляет суть этой главы. Этот вопрос можно сформулировать так: «Каким образом АВМ должны менять параметры, чтобы минимизировать функцию расстояния?» х) Для изложения ответа лучше всего подходит язык геометрии. Функцию расстояния, зависящую от п параметров, можно изобразить в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве, в котором п координат соответствуют параметрам, а (п + 1)-я координата ——самому значению функции расстояния. Для того чтобы читателю было легче следить за нашими рассуждениями, мы будем рассматривать минимизацию функции расстояния, зависящей от двух параметров х и у; в связи с этим мы будем оперировать в трехмерном пространстве с прямоугольной системой координат (х, у, d). Развиваемые здесь идеи будут позже распространены на случай оптимизации системы с большим числом параметров.
Если величина, отложенная по вертикальной оси (высота), является функцией расстояния, то можно считать, что чертеж, представленный на рис. 8.3, выполнен в пространстве, по осям координат которого отложены параметры задачи и функция расстояния. Этот чертеж напоминает типичное изображение холмистой местности, и чтобы подчеркнуть эту аналогию, мы поместим на холм человека. Когда «занавес поднимается», мы видим человека, желаю-
Далее в этой главе мы покажем на примерах, каким образом каждый из методов может быть использован для нахождения минимумов. Кроме того, в каждом случае будет указана процедура определения максимумов.
щего спуститься в долину (к точке минимальной высоты). К сожалению, из-за густейшего тумана наш путник не может определить, куда ему нужно идти. Для того чтобы достичь долины, заблудившийся путник должен выбирать только такой путь, при котором высота непрерывно уменьшается)). При этом условии его путь в любом случае окончится в точке минимума ). Больше того, минимум будет достигнут при любом числе параметров, если только их изменение производится таким образом, что величина функции расстояния всегда уменьшается. Такой способ минимизации называется методом градиента).
Рис. 8.3. Человек на холме, пытающийся найти дорогу домой.Рис. 8.3. Человек на холме, пытающийся найти дорогу домой.
Рис. 8.3. Человек на холме, пытающийся найти дорогу домой.
Рис. 8.3. Человек на холме, пытающийся найти дорогу домой.
На рис. 8.4 приведена проекция пути на плоскость 九у, показывающая, каким образом производится изменение параметров, обеспечивающее минимизацию. На этом чертеже сплошные линии представляют собой линии уровня (линии постоянной высоты), а пунктирные ——линии градиента (они указывают направление, в котором сечение поверхности вертикальной плоскостью даст кривую с наибольшим тангенсом угла наклона в данной точке). Линии градиента всегда перпендикулярны линиям уровня. Путь, показанный на чертеже,——лишь один из бесчисленного множества путей, которые можно выбрать для достижения минимума, отмеченного звездочкой (рис. 8.5). Однако путь, направление которого в каждой точке совпадает с направлением градиента, является единственным и называется путем наискорейшего спуска ). Это удивительно подходящее название. При малом изменении параметров функция расстояния уменьшается в наибольшей степени в том случае, когда путь идет вдоль линии градиента.
Основное преимущество метода градиента заключается в том, что он дает АВМ вполне определенное задание: «Изменяй параметры как угодно, но каждое изменение должно сопровождаться уменьшением функции расстоя-
Он может достичь вершины, выбирая путь, при котором высота непрерывно возрастает.
ния». Это простейшее правило, и мы покажем, что на его основе можно составить для АВМ программу автоматического изменения параметров по направлению к минимуму.
в порядкев порядкеспуска последовательно пересекает линии уровня убывания их уровня.спуска последовательно пересекает линии уровня убывания их уровня.
в порядке
в порядке
спуска последовательно пересекает линии уровня убывания их уровня.
спуска последовательно пересекает линии уровня убывания их уровня.
Методу градиента свойствен один недостаток, который можно пояснить с помощью объемного чертежа, выполненного в координатах параметры — функция расстояния (рис. 8.5). На этом чертеже имеется три минимума (они отмечены крестиками). Нельзя гарантировать, что при произвольном выборе
начальных значений параметров решение, полученное на АВМ, даст именно тот минимум, который мы хотим найти.
Метод наискорейшего спуска, релаксационный метод и метод случайного поиска являются основными градиентными методами. Мы рассмотрим по очереди каждый из них, обращая особое внимание на то, каким образом можно воспользоваться этим методом при решении задачи на аналоговой вычислительной машине.
8.5. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКАЙ)
Мы уже обсудили вопрос о том, каким образом можно изменять параметры, чтобы минимизировать функцию двух переменных. Можно легко обобщить этот принцип на случай минимизации функции F (无匕...,修)в области R3)и-мерного пространства параметров, начав процесс минимизации в точке, произвольно выбранной в этой области, и следуя пути, который ведет к уменьшению значения функции F.
Скорость изменения dF Idt дос1 игает наибольшего значения в том случае, когда выбранная траектория в пространстве параметров касается вектора градиента в этом пространстве.
Для доказательства этого утверждения запишем выражение для скорости изменения значения функции
dF — dF djq J dF dx2 dt dxj dt 十 dx2 dtdF — dF djq J dF dx2 dt dxj dt 十 dx2 dtdF dxn дхп dtdF dxn дхп dt(8.18)(8.18)
dF — dF djq J dF dx2 dt dxj dt 十 dx2 dt
dF — dF djq J dF dx2 dt dxj dt 十 dx2 dt
dF dxn дхп dt
dF dxn дхп dt
(8.18)
(8.18)
Используя векторную запись, можно представить уравнение (8.18) в виде скалярного произведения
雾=(g「adF)(併)，(8.19)
где
gradF = ^H+瓦 S丁 丽 5；
ds — Mds — M"+右12十•••十"+右12十•••十
ds — M
ds — M
"+右12十•••十
"+右12十•••十
Скалярное произведение максимально, когда два вектора параллельны (коллинеарны) и направлены в одну сторону. Минимум, который всегда отрицателен, соответствует точке, в которой направления двух коллинеарных векторов противоположны.
Для того чтобы векторы скорости dsldt и градиента grad F были коллинеарны, их составляющие должны удовлетворять следующим соотношением:
илиили.也..虫工 _ OF • dF .*dt * dt 力—d_q °.也..虫工 _ OF • dF .*dt * dt 力—d_q °dFdFдхпдхпdxjdt _ dF：dx[ dXj df — dF[dxjdxjdt _ dF：dx[ dXj df — dF[dxjУравнение (8.206) можно записать и &q — dF dt — C dxi JУравнение (8.206) можно записать и &q — dF dt — C dxi Jв другом виде/ = 1 т 2, ..., м.в другом виде/ = 1 т 2, ..., м.(8.20а)(8.206)(8.21)(8.20а)(8.206)(8.21)
или
или
.也..虫工 _ OF • dF .*
dt * dt 力—d_q °
.也..虫工 _ OF • dF .*
dt * dt 力—d_q °
dF
dF
дхп
дхп
dxjdt _ dF：dx[ dXj df — dF[dxj
dxjdt _ dF：dx[ dXj df — dF[dxj
Уравнение (8.206) можно записать и &q — dF dt — C dxi J
Уравнение (8.206) можно записать и &q — dF dt — C dxi J
в другом виде
/ = 1 т 2, ..., м.
в другом виде
/ = 1 т 2, ..., м.
(8.20а)
(8.206)
(8.21)
(8.20а)
(8.206)
(8.21)
Подход, использованный намн для изложения идеи наискорейшего спуска, предложен в работе [93]. Дополнительный материал по этому вопросу можно также найти в работах [94] и [95].
Когда с —— отрицательная постоянная, dF〕dt vG, получаем траекторию наискорейшего спуска. В противном случае получаем траекторию наискорейшего восхождения.
Проиллюстрируем применение метода наискорейшего спуска на примере определения корней многочленов n-й степени и решения общего квадратного уравнения. Эти два примера выявят некоторые характерные особенности метода, которые не затрагивались до сих пор. Таким образом, рассматривая эти примеры, мы продолжаем изложение метода наискорейшего спуска, и читатель, стремящийся получить полное представление о предмете обсуждения, не должен их пропускать.
Пример 1. Определение корней многочлена л-й степени [96]. Многочлен л-й степени можно записать в виде
W (z)~anzn-\- ... -|-^i^4~^o=w + ^I(8.22)
где г ——комплексная переменная
z = x-\-iy=re^ t
Корни полинома z» должны удовлетворять следующему уравнению:
步⑵)= 0,z = l,2,…，/г.(8.23)
Из основной теоремы алгебры известно, что существует совершенно определенное количество (п) значений 2, удовлетворяющих уравнению (8.23).
В этом примере пространство решений имеет два измерения:
fi —w；,2 = 0，(8.24》
где и и V являются функциями переменных хну или г и 0. Выберем следующие подлежащие минимизации функции расстояния:
山=红2+u2;(8.25а)
d? = ! 〃 | + | о ].(8.256)
Совершенно очевидно, что как для функции расстояния d〕，так и для функции расстояния ^2 минимальным значением является нуль. Оно может быть достигнуто только тогда, когда мни одновременно становятся равными нулю, что в свою очередь, как показывает уравнение (8.23), происходит только при тех значениях комплексной переменной
Рис. 8.6. Траектории наискорейшего спуска для функций расстояния, рассматриваемых в примере 1.
которые являются корнями многочлена. Можно показать, что при конечных значениях г обе функции расстояния 山 и J2 не имеют других минимумов г). Следовательно, минимизация любой из функций расстояния d〕и d? методом наискорейшего спуска даст возможность определить один из корней многочлена.
Исчерпывающее представление о виде и направлении путей наискорейшего спуска для функций расстояния di и J2 можно получить из рассмотрения отображений линий уровня и градиента на плоскость решения, представленных на рис. 8.6, а и б. В данном случае использовано представление на плоскости решения, а не на плоскости параметров в связи с тем, что для вычерчивания линий уровня и градиента не нужно знать величины коэффициентов многочлена. В случае функции расстояния d] линии уровня и градиента представляют собой соответственно ряд концентрических окружностей и радиусов. Для функции расстояния d? лнннн уровня представляются рядом вложенных друг в друга квадратов, пересекаемых в каждом квадранте плоскости решения W рядом
параллельных линий градиента. В данном случае пути наискорейшего спуска к началу координат состоят из двух участков: первого, совпадающего с линией градиента и заканчивающегося в точке пересечения этой линии с любой из осей координат и или у, и второго, проложенного по оси координат от точки пересечения с линией градиента до начала координат. Не имеют излома только те пути к началу координат, которые совпадают с линиями, описываемыми уравнением и = 士
Чертежи, на которых даны отображения линий уровня и градиента, иллюстрируют одну важную характеристику градиентных методов: решение может быть получено различными способами, зависящими от вида функции расстояния.
Уравнения наискорейшего спуска. С первого взгляда ничто не препятствует использованию прямоугольных координат % и у в качестве параметров, оптимизируемых в процессе движения по пути наискорейшего спуска. Однако уравнения существенно упрощаются при использовании вместо прямоугольных координат полярных (г и 9). Если использовать в уравнении (8.22) представление г = ге^ и произвести разделение действительной и мнимой частей, то мы получим г)
2 口互网 cos/гб, (8.26а)
и=』а^гк sin ^0. (8.266)
Для траектории наискорейшего спуска условие, выраженное уравнением (8.206), приобретает вид
dr；dt — "7力/ & 271
rdQ/dt~ (l/r)df/dO 'i >
паре совместных уравнений: dB — a dFS = -7而'паре совместных уравнений: dB — a dFS = -7而'(8.28)(8.28)Это уравнение эквивалентно следующей dr dF
паре совместных уравнений: dB — a dF
S = -7而'
паре совместных уравнений: dB — a dF
S = -7而'
(8.28)
(8.28)
где коэффициент а—произвольная положительная постоянная, определяющая скорость спуска. Как мы уже подчеркивали, отрицательный знак является гарантией того, что выбранный путь как раз и является путем минимизации.
Применяя уравнения (8.27) к функциям расстояния с^ и d?, мы получаем машинные уравнения пути наискорейшего спуска. В случае функции расстояния di они имеют вид
dr
Гdt
ddiс / 必 106、
:。дг2a勿)，
g0心2a广 ди 1 加\
расстояния d?
машинные уравнения записываются следующим
dr _
型〃(°仙丨丄
dt
力dr 1 dr J *
dB
а %а д\и\ 0|и|\
广山一
厂泌一 г 1 08 1 дб )'
правила дифференцирования сложных функций находим
д_
〃0辽0江, .、 дu
3—(sign и).
力диdr4 ь/ 力
dr
・一а [(sign u) ~|^ + (sign。)* ]，
[ (sign”)黑 + (sign。)糸]•
(8.29)
(8.30)
(8.3П
Следовательно,
(8.32)
Для функции
образом:
На основании
° ') Уравнения (8.26а) и (8.266) правильны только тогда, когда все коэффициенты ад— действительные числа. Если какой-либо из коэффициентов 耿 является комплексным числом, уравнения имеют несколько иной вид (см. [96]).
На основании уравнении Коши — Римана для аналитических функций комплексной переменной имеем
п
厂/еа&№ cos 々В,(8.33)
需■=-= 一 2 々a炉'sin 々8。(8.34)
a=1
Подставив выражения (8.26а), (8.266), (8.33) и (8.34) в } равнение (8.29) или в уравнение (8.32), получим уравнения, необходимые для программирования задачи на АВМ.
Рис. 8.7. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния 必，определяемой уравнением (8.25а).Рис. 8.7. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния 必，определяемой уравнением (8.25а).Множите- ЛЫ10Е устройствоМножите- ЛЫ10Е устройствоРис. 8.8. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния d?, определяемой уравнением (8.256).Рис. 8.8. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния d?, определяемой уравнением (8.256).Множительное устройство (возведение 8 степень /ОМножительное устройство (возведение 8 степень /ОТригонометрические блокиТригонометрические блоки
Рис. 8.7. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния 必，определяемой уравнением (8.25а).
Рис. 8.7. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния 必，определяемой уравнением (8.25а).
Множите- ЛЫ10Е устройство
Множите- ЛЫ10Е устройство
Рис. 8.8. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния d?, определяемой уравнением (8.256).
Рис. 8.8. Структурная схема программы для определения на АВМ корней многочленов с использованием функции расстояния d?, определяемой уравнением (8.256).
Множительное устройство (возведение 8 степень /О
Множительное устройство (возведение 8 степень /О
Тригонометрические блоки
Тригонометрические блоки
Обратите внимание на то, что при использовании уравнения (8.32) выражения (8.26а) и (8.266) служат только для определения знака каждого члена уравнения. Сходство уравнений (8.26а) и (8.266) с уравнениями (8.33) и (8.34) соответственно существенно уменьшает потребность в множительных устройствах и тригонометрических блоках.
На рис. 8.7 и 8.8 показаны блок-схемы программы для минимизации функций расстояния di и d? на АВМ. С целью упрощения программы положим, что с = г2c加 Исходные
значения координат г и 0 задаются как начальные условия для соответствующих интеграторов.
На рис. 8.9, а и 6 показан ряд траекторий наискорейшего спуска в плоскости параметров (%, у), полученных для функций расстояния di и d2 применительно к уравнению многочлена
имеющего корниимеющего корни呼=z3—5# +82 - 6 = 0,4 = 3, 0% з=1，。土 j 1, 0.呼=z3—5# +82 - 6 = 0,4 = 3, 0% з=1，。土 j 1, 0.(8.35)(8.35)
имеющего корни
имеющего корни
呼=z3—5# +82 - 6 = 0,
4 = 3, 0% з=1，。土 j 1, 0.
呼=z3—5# +82 - 6 = 0,
4 = 3, 0% з=1，。土 j 1, 0.
(8.35)
(8.35)
На рис. 8.9, а изображены траектории минимизации функции расстояния d【，сходящиеся к точкам Z] и %2，которые представляют кор ни многочлена. Эти траектории, вычерченные на сетке линии уровня функции расстояния d「 можно рассматривать как линии градиента.
На рис. 8.9,6 представлены траектории минимизации ф\ нкцпи расстояния d2. Две группы линий уровня 〃 = const я и = const помогают уловить характер траекторий
Плоскость zПлоскость z66
Плоскость z
Плоскость z
6
6
Рис. 8.9.。一 траектории минимизации функции расстояния di в пространстве параметров (пример 1)； б —траектории минимизации функции расстояния d2 в пространстве параметров (пример 1); в — сравнение траекторий минимизации функций расстояния d] и d2 в пространстве параметров.
8
спуска, которые пересекают сетку линий уровня приблизительно ио диагоналям ее клеток, пока не достигнут линии 〃 = 0 или и = 0, после чего они совпадают с этой линией и приходят в точку, изображающую корень.
На рис. 8.9, в для сравнения приведены одновременно траектории минимизации функций расстояния ^ и d?. В одном случае траектории, начинающиеся в одной и той же точке Ро' заканчиваются в разных точках минимума из-за того, что поверхность, образуемая функцией расстояния 也，отличается по форме от поверхности, образуемой функцией расстояния d?・
Функция расстояния d? больше подходит для отыскания минимума, чем функция расстояния 山.То обстоятельство, что траектории наискорейшего спуска для функции расстояния d2' приведенные на рис. 8.9, % кажутся длиннее траекторий для функции расстояния di， не имеет значения. Минимизации с помощью функции расстояния di свойствен органический порок, заключающийся в том, что по мере приближения к точке минимума скорости изменения параметров dr/dt и dB/dt становятся все меньше, так как производные первого порядка функции расстояния с^ стремятся к н)Лю. Минимизация с помощью функции расстояния d? не сопровождается столь неприятным явлением. В окрестности точки минимума градиент функции расстояния d? всегда больше
градиента функции расстояния 必.Следовательно, программа для АВМ, составленная на основе минимизации функции расстояния d?, обеспечит определение значений параметров в точках минимума с меньшими ошибками, чем программа на основе минимизации функции расстояния
Слежение за движущимися точками минимума (построение корневых годографов). До сих пор мы рассматривали функции расстояния 必 и d? только в качестве функций параметров хну или г и 9. Графики изменения этих функций и параметров, изображенные в трехмерной системе координат, сохраняли свою форму неизменной, поскольку коэффициенты многочленов поддерживались постоянными. Если бы мы теперь изменили один или несколько коэффициентов, то изменилась бы форма всех графиков и, в частности, изменилось бы положение точек минимума.
Предположим, что на АВМ производится минимизация какой-либо функции расстояния с некоторыми начальными значениями параметров г и 9, причем коэффициенты
234234
234
234
X
Рис. 8.10. Корневой годограф, построенный путемминимизации функции расстояния d?.
—— —————корневой годограф, полученный численным путем;О корни, определенные путем минимизации функции расстоя-ния d2.
многочлена сохраняются постоянными. Если вид функции расстояния останется без изменения, то по окончании процесса минимизации машина будет сохранять значения параметров, соответствующие минимуму. Это объясняется тем, что точки минимума являются устойчивыми решениями дифференциальных уравнений наискорейшего спуска.
Предположим, что после окончания процесса минимизации вследствие изменения коэффициентов многочлена произошло изменение значений минимумов. АВМ будет осуществлять поиск нового минимума, изменяя параметры в процессе движения по пути наискорейшего спуска. Если коэффициенты многочлена изменяются непрерывно, но в то же время достаточно медленно, то АВМ, определяя последовательно значения параметров для каждого нового минимума, вычертит в плоскости параметров траекторию минимумов. Подобно этому, в пространстве параметров с любым числом измерений может быть определена траектория экстремумов, если выполняется единственное условие, что каждому экстремуму соответствует дискретная точка.
Этот способ определения траектории экстремумов применительно к многочленам называется построением корневого годографа. Инженеры, работающие в области систем управления, используют специальные виды корневых годографов при проверке следящих систем на устойчивость г). Корневые годографы, которыми пользуются инженеры, получаются в результате изменения коэффициента 左 в многочлене вида
口戸體 +。几一15Tlт + • • • +口1$ +。()+ 々(bmsmbm^^sm~^ -]- ... +力/ +力о) = О. (8.36)
Корневые годографы, которые строятся по методу наискорейшего спуска, могут применяться при любом изменении коэффициентов.
На рис. 8.10 изображен корневой годограф для уравнения
(8.37)(8.37)步—5# + &—К=0,
(8.37)
(8.37)
полученный с помощью минимизации функции расстояния d?, и там же для сравнения приведен корневой годограф, вычисленный непосредственно. В этом уравнении изменялся коэффициент К.
1) Почти во всех вышедших в последнее время книгах, посвященных системам управления с обратной связью, имеется описание применения метода корневого годографа к исследованию следящих систем. См., например, [52].
Пример 2】).В очень многих задачах прикладной математики, а также и в чисто технических задачах встречаются функции вида
f (xj, %2，• • • > X/i) = «о + 2。》修 + W W а»//力(8 38)
г=1г=1 j=l
Эта функция называется неоднородной квадратичной формой ) или квадратным уравнением общего вида от /г переменных, когда
f (*, 4，...,说)=0・(8.39)
Примерами квадрат кого уравнения общего вида являются уравнения ко нических сечений, квадратичного регрессионного анализа, потенциальной и кинетической энергии в консервативной системе с двумя степенями свободы.
Нашей задачей является применение метода наискорейшего спуска для определения из уравнения (8.33) таких значений переменных хь х2, ■ . •, хп, которые будут удовлетворять уравнению (8,39). Обозначим эти решения как х「，х»>,...,斗?. Между этой задачей и задачей, рассмотренной в примере 1, имеется вполне очевидное и очень -существенное различие. В то время как при определении корней многочлена имелось п дискретных точек минимума, в данном случае существует бескопечное число точек минимума, расположенных на некоторой линии в плоскости любых двух параметров (%», х». В обоих примерах для достижения минимума используются уравнения наискорейшего спуска. Любой минимум, однако, является устойчивым решением уравнений наискорейшего спуска. Следовательно, необходимо ввести в уравнение ряд дополнительных членов для того, чтобы АВМ, достигнув линии минимумов в одной из точек минимума с помощью метода наискорейшего спуска, затем строила эту линию в плоскости параметров (%/, х>).
В пространстве решений функция расстояния имеет только одно измерение и, следовательно, записывается в следующем виде:
山=[， (修，X2,片i)F(8・40)
Тогда, используй уравнение (8.21), записываем
右一'0打，右一'0打，*2 _z 讲.方，一' dx2，*2 _z 讲.方，一' dx2，df / дхпdf / дхп(8.41)(8.41)
右一'0打，
右一'0打，
*2 _z 讲.
方，一' dx2，
*2 _z 讲.
方，一' dx2，
df / дхп
df / дхп
(8.41)
(8.41)
Мы уже отмечали, что с помощью уравнений (8.41) можно, задавшись набором произвольных исходных значений параметров, найти набор определенных значений параметров %?), х$1), . . ., х^\ которые составляют решение уравнений (8.39). Если значения всех параметров, входящих в это частное решение, за исключением каких-либо двух (%i， ％j), фиксированы, то минимуму функции расстояния, определяемому равенством % = 0, соответствует линия в плоскости параметров (勺，灯).АВМ построит график решения уравнений (8.41) в плоскости параметров (%厶 ％力 при условии, что мы введем в выражения для скоростей изменения параметров dxJdd и Зхjdt соответствующие члены с тем, чтобы эти скорости не обращались в нуль в точках, расположенных вдоль кривой di = 0 (или в точках, расположенных вдоль кривой f (片储 ％2， • ■ ■,片冷)— 0)，
Мы получим эти дополнительные члены, используя одно важное свойство кривых. Мы начинаем с того, что определяем s как длину дуги кривой di = 0 в плоскости параметров (%t，Xj). Так как f (х；,片力 = 0 в любой точке кривой di = 0, то
(8.42)(8.42)df — df dxt 丄 df Ox?—dt dxi dt ' dxj Gt —
(8.42)
(8.42)
Из уравнения (8.42) следует, что значения производных dxjdt и dx,dt в точках, расположенных вдоль кривой s, связаны следующим уравнением:
dxi/dt —°//°Xj
dxj/dt0//d",
Уравнение (8.43) можно записать также и в виде двух уравнений:
(8.44)(8.45)(8.44)(8.45)g 0/
(8.44)
(8.45)
(8.44)
(8.45)
公) I dfdf —土 dxi '
В уравнениях (8.44) и (8.45) не определен знак. Так как эти уравнения используются для определения пути вдоль линии уровня f = 0, то следует руководствоваться простым правилом: если в одном уравнении использован знак «плюс», то в другом уравнении должен стоять знак «минус». Определенное сочетание знаков обусловит выбор направления движения вдоль линии f — 0. Обратите внимание на то, что уравнения (8.44) и (8.45) можно также использовать для определения пути вдоль любой линии уровня / = с при с # 0.'
Короче говоря, мы используем уравнения (8.41) для минимизации функции f (%i,汇2， • • •，片九)，начиная свое движение из произвольной точки в пространстве параметров. Чтобы построить кривую минимумов в плоскости параметров (%订 ％)), мы после достижения минимизируемой функцией значения f = 0 изменяем параметры х； и х» так, как это предписывается уравнениями (8.44) и (8.45), сохраняя значения остальных пар аметров таким и, какими они были в момент достижения значения / = 0.
Ограничения на область изменения параметров 】)
Двум примерам, только что нами рассмотренным, свойственна одна очень существенная особенность. При движении по пути наискорейшего спуска допускалось ничем не ограниченное изменение параметров. Однако параметры не всегда могут изменяться столь свободно, особенно в материальных системах. Ограничения налагаются на отдельные параметры или же они выражаются в виде их функциональных связей с другими параметрами и могут быть заданы равенствами или неравенствами. Вначале мы займемся ограничениями, которые выражаются в виде неравенств, поскольку такие ограничения воспринимаются легче. Далее будет показано, как можно распространить эти методы на случай ограничений типа равенств.
Предположим, что нужно минимизировать функцию расстояния f (%i, %2，• • •，x『J, на которую наложены следующие ограничения:
gig,x2,…，%九)》0；
g2(/，x2,右)》0；(8 46)
Следует заметить, что мы не ограничиваемся теми случаями, когда в правой части неравенства, выражающего ограничение, стоит нуль. Если ограничение задано в виде
從今)》4,(&47)
то его можно переписать как
…。,x几):=:儿(*L, %2? . • •,%九)"t》0.(8.48)
Если функция расстояния и ограничения выражается с помощью линейной комбинации параметров, то мы имеем дело с так называемой задачей линейного программирования. В противном случае возникает задача нелинейного программирования 2). В задаче линейного программирования имеется только один оптимум, к которому сходится процесс решения на АВМ, причем его можно начать с произвольной точки. Нелинейному программированию это свойство обычно не присуще. Любое из ограничений может содержать как все параметры, так и лишь некоторые из них. С другой стороны, на некоторые параметры ограничений может и не быть.
Ряд идей, излагаемых в данном разделе, был развит в работе [99]. Можно^также обратиться к работе [100], являющейся одной из первых работ, посвященных этой теме.
В задачах линейного и нелинейного программирования функция расстояния обычно называется целевой функцией.
Геометрическая интерпретация
Оптимизируемые параметры 尤储 х2, . . ., хп являются координатами n-мерного евклидова пространства. Каждое ограничение является поверхностью, называемой границей, в некотором подпространстве данного пространства. Граница задается уравнением, с помощью которого выражается ограничение, например gt = 0, и параметры, входящие в это уравнение, являются координатами подпространства, в котором находится граница. По одну сторону этой границы, там, где справедливо неравенство> 0, расположена область подпространства, содержащая допустимые значения параметров. По другую сторону границы, где g, < 0, находится запрещенная зона. Наложенное ограничение исключает возможность того, чтобы какая-либо из точек, расположенных в этой части подпространства, входила в решение. Любая граница, которая полностью заключена в запрещенной части подпространства, определенной двумя или большим количеством других ограничений, является излишней.
Когда исходная точка траектории решения находится в области допустимых значений /i-мерного пространства, эта траектория совпадает с путем наискорейшего спуска до тех пор, пока он не пересечет границу. Если бы этот путь был продолжен через границу, то он бы привел в запрещенную зону. В связи с этим после достижения границы траектория решения пролегает вдоль границы. Таким образом, в подпространстве, заключающем границу, траектория направлена по касательной к граничной поверхности, определяемой уравнением g« = 0, в то время как в остальной части пространства параметров направление траектории совпадает с направлением касательной к градиенту функции расстояния f (хь х2, . . хп).
Траектория решения будет проходить вдоль границы до тех пор, пока путь наискорейшего спуска не перейдет снова в область допустимых значений. Начиная с этого момента, траектория будет удаляться от границы, следуя вдоль линии градиента, и снова будет выполняться неравенство g^〉0. В процессе движения по траектории, касательной к поверхности gly конечно, могут встретиться границы, существование которых вызвано другими ограничениями. В таком случае эти ограничения деформируют траекторию точно так же, как ее деформировало ограничение g” Траектории, определенные при наличии ограничений, характеризуются следующими особенностями: 1) когда решение находится на границе, найденное оптимальное значение не является экстремумом в математическом смысле [см. уравнение (8.6)]; 2) когда решение находится в области допустимых значений, а траектория наискорейшего спуска проходит вдоль одной или нескольких границ, найденный оптимум не обязательно будет таким, каким он был бы получен при минимизации функции расстояния в случае отсутствия ограничений.
Описанная нами картина движения в гиперпространстве помогает определить вид программы, которую следует составить для АВМ. Программа должна удовлетворять следующим требованиям: 1) при удовлетворении неравенств, задающих ограничения, АВМ должна решать обычные уравнения наискорейшего спуска; 2) по достижении путем наискорейшего спуска границы АВМ не должна допускать того, чтобы параметры принимали запрещенные значения； 3) если исходные значения параметров были таковы, что у одного или нескольких задающих ограничения неравенств изменился знак, то АВМ должна как можно быстрее изменить параметры так, чтобы они перешли в область допустимых значений.
Все эти требования можно выполнить следующим образом. Во-первых, составим функцию расстояния, зависящую от ограничений и имеющую следующую форму:
d(? = I [pz (-Vi5 工氾)]2, (8.49)
где
川=0 при gt》O;
Pi^gt при ©VO;
£ = 1, 2, ..., /п.
Далее составляем программу минимизации новой функции расстояния d», имеющей следующий вид:
必」af %2,一.，%衣)十ь或,(8.50)
где коэффициенты а и 6 —постоянные и по причинам, которые вскоре станут очевидны, необходимо, чтобы выполнялось условие b》а.
Таким образом, для минимизации нужно запрограммировать следующую систему дифференциальных уравнений:
.или.илиdt _dt _ddtddt/ — 1, 2, .,., /71/ — 1, 2, .,., /71(8.51)(8.51)也=—adt也=—adtг—1г—1〃需，/= 1，2, .. яг.〃需，/= 1，2, .. яг.(8.52)(8.52)
.или
.или
dt _
dt _
ddt
ddt
/ — 1, 2, .,., /71
/ — 1, 2, .,., /71
(8.51)
(8.51)
也=—a
dt
也=—a
dt
г—1
г—1
〃需，/= 1，2, .. яг.
〃需，/= 1，2, .. яг.
(8.52)
(8.52)
Если бы оптимизация производилась вдоль пути наискорейшего восхождения, то знак члена уравнения (8.52), содержащего коэффициент а, изменился бы с минуса на плюс. Систему уравнений (8.52), используя векторную запись, можно представить как одно уравнение
象=一明f - 2b»0n凡,象=一明f - 2b»0n凡,(8.53)(8.53)
象=一明f - 2b»0n凡,
象=一明f - 2b»0n凡,
(8.53)
(8.53)
гдегде(8.54)(8.55)(8.56)(8.54)(8.55)(8.56)df — дх3df — дх32匕〃2匕〃@Р1@Р1(8.57)(8.57)
где
где
(8.54)
(8.55)
(8.56)
(8.54)
(8.55)
(8.56)
df — дх3
df — дх3
2匕〃
2匕〃
@Р1
@Р1
(8.57)
(8.57)
dx _ dxr . dx2 -dxn .
= 十这广12十
Vlgradf=彩 L +，2+ • +談 i“,
a ij, i2, . . ., in —единичные векторы вдоль осей координат х^ х2, .. ., хп соответственно.
Уравнение (8.53) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к программе АВМ для нахождения условного минимума. Если начальные значения параметров удовлетворяют ограничениям, то процесс решения вначале идет по траектории наискорейшего спуска, так как функция dc при этом равна нулю. В тот момент, когда неравенство, выражающее какое- либо ограничение, скажем g^ изменяет знак, уравнение наискорейшего спуска, определяющее поведение параметра х3, к которому относится данное ограничение, также изменяется и принимает следующий вид:
Теперь уже два члена управляют скоростью изменения параметра dx3/dt. Первый из них,——adf/dx3i будет управлять изменением параметра х3 вдоль пути наискорейшего спуска функции f таким образом, чтобы уменьшать функцию gi (или р* Другой член,——2 bpQp/дхз, будет изменять параметр х3 вдоль траектории наискорейшего спуска функции g； с тем, чтобы увеличить функцию gj до нуля. Совместное воздействие этих членов дает суммарный эффект,
выражающийся в том, что параметр х3 принимает значение, соответствующее какой-нибудь точке, расположенной вне допустимой области, т. е. там, где gi V 0. Если выполняется условие b 》а, то влияние второго члена превалирует и характер изменения dx3 Idt таков, что параметр х3 принимает только те значения, которые лежат, по сути дела, на границе gx 工 0. Характер изменения всех остальных параметров, на которые распространяется ограничение gi，аналогичен описанному выше изменению параметра х3.
Траектория решения будет проходить вдоль границы до тех пор, пока путь наискорейшего спуска функции f не войдет в пространство допустимых значений параметров. При этом производная dx3/dt, характеризующая изменение параметра х3, а также остальные производные будут такими, что станет справедливо неравенство ^ > 0 и, следовательно, будет выполняться и равенство 〃 =0. В результате программа АВМ снова будет обеспечивать построение траектории решения вдоль градиента функции f. С помощью подобной процедуры, которая предусматривает возможность и других ограничений, АВМ определит значения параметров, соответствующие условному экстремуму.
Задача решается на АВМ столь же успешно и в том случае, когда исходные значения параметров таковы, что одно или несколько неравенств, выражающих ограничение, изменяют знак. Однако из-за того, что величина коэффициента b выбирается очень большой (она обычно представляется коэффициентом усиления операционного усилителя), значения напряжений в АВМ в процессе минимизации функции расстояния dc могут оказаться недопустимо большими. Для того чтобы защитить оборудование от повреждения, используются ограничители. Они должны обеспечить выполнение следующего условия:
0<|2Ь £ 〃欝 |wK,(8.58)
где К——постоянная величина, равная наибольшему допустимому значению напряжения на выходе решающего элемента АВМ.
Рассмотренный метод отказывает в том случае, когда на границе градиент Vgw = 0 1)， причем даже и тогда, когда функция расстояния ^определяется уравнением (8.256). В этом случае не выполняется условие, согласно которому второй член в уравнении (8.52) значительно больше первого. В результате параметр х3 движется за границу допустимой области, при этом функции gt становятся отрицательными: это движение происходит до тех пор, пока градиент \gi не примет отличное от нуля значение.
Ограничения, задаваемые в виде равенств
Если необходимо минимизировать функцию расстояния f (хР х2,...,尤九), на которую наложены ограничения вида
gi (%1, %2,…•，玄)= 0， i=\,2,…、т; m<Zn,(8.59)
то мы составляем для АВМ программу минимизации функции расстояния d“ выражающейся уравнением
dt^af (х15 %2,+ Ь 2 需(修，％2,厶)，(8.60)
где b》а.
В данном случае траектория, приводящая к условному экстремуму, на всем своем протяжении прилегает к границе, задаваемой уравнением (8.59).
1) Градиент уд^ равен нулю только при условии, что
т. е. когда все частные производные одновременно равны нулю.
15 Л. Левин
Слежение за минимумом при наличии ограничений
После того как АВМ закончила процесс решения, в результате которого определена точка минимума с учетом наложенных ограничений, функция расстояния f и функция ограничения g% могут быть изменены, и АВМ будет искать новый минимум в пространстве параметров. В примере 1 было показано, как АВМ отслеживает движущийся минимум при отсутствии ограничений на параметры. В принципе при наложении ограничений в данном случае ничего не изменяется, за исключением того, что траектория может не всегда совпадать с путем наискорейшего спуска. Поэтому мы не будем заново описывать механику слежения АВМ за минимумом. Естественно, что, как и в примере 1, функции расстояния и ограничения должны изменяться достаточно медленно, так чтобы АВМ успевала следить за этими изменениями.
Пример 3. Мы продемонстрируем влияние ограничений, рассматривая тот же, что и в примере 1, многочлен ш (г):
(8.61)(8.62)(8.63)(8.64)(8.65)(8.61)(8.62)(8.63)(8.64)(8.65)w (г) = г3-5г2 + 8г — 6=a+2, причем
(8.61)
(8.62)
(8.63)
(8.64)
(8.65)
(8.61)
(8.62)
(8.63)
(8.64)
(8.65)
x=r cos 0, у —r sin 0.Мы будем минимизировать функцию расстоянияd=a2+02при ограниченияхgi》0，g2>°，
гдеg[ = (x—1,5)2 +4 (у— I)2 —1; 敢=0,4工 + 0,5斗一1.
Используя эти ограничения, составляем новую функцию расстояния d^d+k (hl+hf)殺》1, где
110при^ > 0;
,J&при敢V0；
I0приg2r>0・
Выполнение математических операций облегчается в том случае, если члены, входящие в функцию расстояния и в уравнения, задающие ограничения, выразить через полярные координаты г и 0. В этом случае из уравнений (8.26а) и (8.266) получим
(8.66)(8.67)(8.68)(8.66)(8.67)(8.68)e=广3 Cos 30—5厂2 cos 29+8r cos 0—6, v~r3 sin 30 — 5r2 sin 29十8厂 sin 0 и
(8.66)
(8.67)
(8.68)
(8.66)
(8.67)
(8.68)
备=(厂 cos 0— 1,5)2 十4 (r sin 0 — l)2— 1, 傲=0,4厂 cos 0 + 0,5r sin 0—1.
Уравнения наискорейшего спуска приобретают следующий вид:
Определим выражения для членов, входящих в уравнения (8.68):
dd3〃du
3 =2〃廿2。…
(8 69)
du dr
=3/"2 cos 30— 10r cos 2')+ 8 cos 0,
(8.70)
dv
= 3r2 sin 30— 10г sin 23十8 sin 0,
(8.71)
-^^-=-^t = 2 cos 0 (г cos 0 —1,5)-]-8 sin 0(rsin 0 — 1) прн gi V О,
槊=0при ^>0,
-^2-=：-^?- = 0,4 cos 0—0,5 sin 0 при g2 V。，
醬=0при叁》0，
dd 2 /dv \
初” Y而而)，
黑=—3「з sin 30 +10r2 sin 29 —8r sin 0,
■^■ = 3声 cos 30— 10厂2 Cos 20-]-8r cos 0,
~^~ = ~^~ = 2r sin 0 (r cos 0— 1,5) +8厂 cos (r sin 0—1)при 曰 V 0
黑=0при gi》0,
■^― — —0,4?* sin 0 + 0,5 cos 0 при g2 -< 0,
* = 0при 敛〉°・
(8.72)(8.73)(8.74)(8.75)(8.76)(8.77)(8.72)(8.73)(8.74)(8.75)(8.76)(8.77)Чтобы показать,Чтобы показать,привепривекак на АВМ программируются ограничения, на рис. 8.11
(8.72)
(8.73)
(8.74)
(8.75)
(8.76)
(8.77)
(8.72)
(8.73)
(8.74)
(8.75)
(8.76)
(8.77)
Чтобы показать,
Чтобы показать,
приве
приве
дена часть структурной схемы, составленной на основе выписанных выше уравнений.
-100в
Рис. 8.11. Структурная схема программы оптимизации при наличии ограничений (см. пример 3).
На вход операционкого усилителя / подается величина (—g». При отсутствии ограничителя на выходе этого усилителя мы получили бы 2gl. Однако диод / ограничивает выходное напряжение некоторой достаточно большой положительной величиной, а диод 2 предотвращает появление на выходе отрицательного напряжения, что точно соответствует ограничениям, наложенным на величину 2/%. Следует отметить, что на вход множительного устройства / вместо производной dh^/dr подается производная д^/дг. В связи с этим следует обратить внимание на то, что всегда выполняется равенство
(8.78)(8.78)噜=也号
(8.78)
(8.78)
Остальная часть схемы состоит из блоков, соединенных таким образом, чтобы обеспечивалось получение параметров г и 0 на выходе интеграторов 4 н 5 соответственно. В полной схеме программы величины, показанные на данной схеме как входы решающих элементов, но не показанные в виде выходов некоторых других решающих элементов, воспроизводятся как функции переменных г и 0 (например, 0d/(rd9) и (dg^/dr)).
Р и'с. 8.12. Траектории наискорейшего спуска при наличии ограниче- 'ний (см. пример 3).
На рис. 8.12 показаны линии уровня, а также границы, определяемые наложенными ограничениями, и траектории решений в некоторой области пространства параметров. Заштрихованные области являются запрещенными зонами. (См. также рис. 8.9, а, на котором приведены траектории решения, пол ученные при отсутствии ограничений на значения параметров.)
Дискретная апроксимация траектории наискорейшего спуска
Мы рассмотрели методы составления системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая решается посредством непрерывного изменения параметров, осуществляемого до тех пор, пока не наступит состояния равновесия (этому состоянию соответствует достижение оптимума). Эти дифференциальные уравнения нельзя получить по меньшей мере в двух важных случаях:
если не известно аналитическое выражение функции расстояния;
если значение функции расстояния нельзя определить немедленно после момента изменения параметра.
Если не известно аналитическое выражение функции расстояния, то мы не можем найти выражения для частных производных, входящих в уравнение градиента. Очевидно, что, когда неизвестны эти частные производные, нельзя составить программу решения уравнений наискорейшего спуска. Теперь обратимся ко второму случаю. Предположим, что имеется функция расстояния
F (%1?工2，• • •，工几，/)， определенная соотношением
尸(汇1,工2,尤Q = \ I g (工1,工2, 工几/) ； d/,(8.79)
о
где верхний предел интегрирования t、— постоянная величина. Для вычисления нового значения функции расстояния F после того, как произведено изменение параметра, необходимо прежде проинтегрировать функцию 也(修, %2, . • 工卩/) I в пределах от / = 0 до / = 〃. Для определения частных производных функции F, входящих в выражение градиента, также необходим отрезок времени той же продолжительности. Так, для параметра %г
黑(sign g)岩"(8.80)
о
Нет никакого смысла записывать соотношение
(8.81)(8.81)dx[с dF
(8.81)
(8.81)
ибо невозможно совместить необходимость затраты определенного промежутка времени 厶 на вычисление производной dx〃d£ с непрерывным изменением этой величины. Можно, однако, получить приближенную траекторию наискорейшего спуска, если выбрать масштаб времени при решении на АВМ таким образом, чтобы интегрирование в уравнении (8.79) выполнялось значительно быстрее, чем дифференцирование в уравнении (8.80).
Не имея возможности изменять параметры непрерывно, мы должны перейти к их изменению посредством дискретных приращений. Примем следующую процедуру вычисления дискретных изменений параметров. Сначала определяются частные производные (dF/dxt)Ai (。尸/。也)八，• • •，(dF/дхп)л в точке Л пространства параметров. Затем предполагаем, что градиент не изменяется. В результате этого можно считать, что движение из точки А в точку В в пространстве параметров происходит по прямолинейной траектории, г. е. по такой траектории, на протяжении которой вектор dx/dt не изменяет направления, и, следовательно, в точке В параметры принимают следующие значения:
(8.82)(8.82)
(8.82)
(8.82)
где индексами Л и В отмечены значения соответствующих величин в точках Л и В соответственно. В точке В описанная процедура повторяется и процесс решения продолжается таким образом до тех пор, пока траектория, состоящая из отрезков прямых линий, не приблизится к точке минимума. Величина коэффициента k определяет длину отрезка прямой линии и степень приближения к точке минимума. Для последних шагов величина коэффициента k выбирается существенно меньшей, с тем чтобы функция расстояния приняла значение, лежащее ниже определенного заранее уровня.
Применение уравнений (8.82) можно оправдать следующим образом. Примем для простоты, нисколько не умаляя при этом общности рассуждения, что функция расстояния F зависит только от двух параметров % и у. Уравнение, связывающее дискретное изменение А尸 функции расстояния с дискретными изменениями параметров Ах и Ау, имеет следующий вид 】)：
AF = ^Ax + ^Ay |-е(|Ах| + |А川)， (8.83а)
Предполагается, что функция F дифференцируема. Свойства дифференцируемой функции рассматриваются в работе [102, стр. 163].
где в —0, когда (Ах, Ay) f 0. Если изменения параметров Ах и Ау существенно малы, то уравнение (8.83а) можно записать в такой форме:
△广 而-a% 画-Ay.△广 而-a% 画-Ay.(8.836)(8.836)
△广 而-a% 画-Ay.
△广 而-a% 画-Ay.
(8.836)
(8.836)
С помощью рассуждений, аналогичных тем, что приводились при выводе уравнения (8.21), получим уравнения для определения дискретной траектории наискорейшего спуска
А% =祭； Az/= —/г -^ . (8.84а)
Таким образом, если xiA и у1Л — значения параметров в точке Л, то в точке В они равны
打 в 二 Ма + (А%)а； Угв = У1А + (&/)а,(8.846)
где дискретные изменения параметров (А%)а и (Ау)^ вычислены в точке А, Функция расстояния, на вычисление нового значения которой после изменения параметра уходит определенное время, является решением дифференциального уравнения. Функция g (х「х2, . . -, хя, /), входящая в уравнение (8.79), явно относится к системе решений дифференциальных уравнений. Поэтому можно применить метод коэффициентов влияния параметра (см. разд. 7.4) и составить программу АВМ, обеспечивающую получение частных производных функции g (%], . . .,/) по любому параметру. Поэтому такие зави
симости, как dF/dxt [уравнение (8.80)), можно получать непосредственно на АВМ. Если мы не склонны использовать дополнительные решающие элементы, что необходимо в случае применения метода коэффициентов влияния параметров, или не можем выразить уравнения в аналитическом виде, то следует апро- ксимировать частные производные, входящие в выражение градиента. Для удобства записи мы опять будем рассматривать методику определения приближенных значений частных производных на примере функции, зависящей от двух параметров.
Предположим, что значение функции 尸仇，％) уже известно. Далее определяем еще два значения функции 尸,которые она принимает в точках (ха, Уи) и “о，九)，близких к точке (х0, у^). Апроксимируя частные производные с помощью отношения конечных разностей, получим
F (%, !/о)—尸(№，「о)
ха一А0
УЪ —у0\也丿北Q, Уо
Новые значения параметров (xi, у» находим, двигаясь от исходной точки (х0, у。) в плоскости параметров (х, у) по прямолинейному пути, что выражается соотношениями
%[ ==- %。— с%[ ==- %。— сМ УоМ Уо(8.856)(8.856)
%[ ==- %。— с
%[ ==- %。— с
М Уо
М Уо
(8.856)
(8.856)
Положительная постоянная с имеет произвольную величину. Так как число шагов, необходимых для достижения минимума, непосредственно зависит от величины с, то ее следует выбирать возможно большей. Если, однако, выбрать величину с слишком большой, то решение, получаемое на АВМ, может стать неустойчивым, причем траектория будет совершать колебания вокруг точки минимума, так и не достигая ее. Вероятно, лучшее решение этой проблемы состоит в том, чтобы уменьшать величину с при приближении к точке минимума.
На рис. 8.13 для сравнения приведены непрерывная и дискретная траектории минимизации функции расстояния методом наискорейшего спуска в пространстве двух параметров. Замкнутые кривые изображают линии уровня этой функции расстояния.
Минимизация на АВМ функции расстояния F дискретным методом наискорейшего спуска при наличии ограничений вида неравенств связана с определенными трудностями, однако их можно преодолеть. До тех пор пока дискретные изменения параметров не приводят к тому, что они начинают принимать значения, лежащие за пределами допустимой области, траектория минимизации определяется уравнением (8.82). Однако на одном из шагов параметры могут пересечь границу и перейти в запрещенную зону. На рис. 8.14 показан переход из точки Л в точку В, причем заштрихованная область является запрещенной. В этой точке мы прекращаем использовать функцию расстояния F и далее применяем одну из двух возможных стратегий возвращения параметров в область
Рис. 8.13. Сравнение дискретного и непрерывного вариантов наискорейшего спуска.
Л — дискретная траектория; 6 — непрерывная траектория.
допустимых значений. Одна из возможностей заключается в том, чтобы определить в точке В градиент новой функции расстояния, минимум которой находится на границе. Уравнение (8.49) задает именно такую функцию расстояния. Затем делается достаточно большой шаг вдоль траектории, определяемой выбранной функцией расстояния, чтобы вернуться в область допустимых значений.
Если учесть, что, попав в запрещенную зону, мы стремимся лишь пересечь границу в обратном направлении, то этого можно добиться, используя следующую функцию расстояния:
G= £ %,(8.86)
г—1
где
! 0, когда gt^O,"- { 0, когда &>0・
Неравенства, задающие ограничения в виде ^ >0, нарушаются, когда их левая часть становится меньше нуля. Таким образом, мы покидаем запрещенную зон〉，увеличивая функцию G. Это означает, что изменение функции G происходит по дискретной траектории наискорейшего подъема, начинающейся в точке В, При задании ограничений в виде g^WO возвращение параметров в область доп\с1 имых значений происходит по дискретной траектории наискорейшего спуска. Попав в эту область, точка, характеризующая значения параметров, возвращается на траекторию наискорейшего спуска, определяемую функцией расстояния F ). Начиная с точки Л, точка, характеризующая значения пара-
метров, может двигаться зигзагами, многократно пересекая границу, как это показано на рис. 8.14.
Этот метод требует выполнения значительного объема вычислений. Ниже описывается более простой метод, позволяющий добиться тех же результатов. Этот метод называется релаксационным.
Дискретный вариант метода наискорейшего спуска дает, однако, полезную дополнительную информацию. В процессе использования этого метода
4
Рис. 8.14. Дискретная траектория наискорейшего спуска при наличии ограничений. Вступление в заштрихованную зону запрещено ограничениями.
можно оценить влияние параметров, т. е. определить чу вствительность минимизируемой функции к изменению параметров в тех дискретных точках, в которых вычисляются значения частных производных.
РЕЛАКСАЦИОННЫЙ МЕТОД 1)
Релаксационные методы, которые были известны математикам уже в начале XIX в., были разработаны Гауссом примерно в 1823 г. Однако, несмотря на многообещающее начало, этот метод вскоре был предан забвению. Когда в 30-х годах XX в. Саусвелл (Англия) вновь «открыл» этот метод, он не имел ни малейшего понятия о соответствующей работе Гаусса. С тех пор этот метод используется математиками, занимающимися прикладными вопросами, в частности для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Когда траектория минимизации состоит из ряда дискретных прямолинейных отрезков, при использовании релаксационного метода требуется значительно меньше вычислений, чем в случае применения метода наискорейшего спуска, и, следовательно, пользоваться этим методом проще. В релаксационном методе, как и в методе наискорейшего спуска, начальным участком траектории служит прямая, являющаяся касательной к линии градиента в исходной точке. Однако в отличие от дискретной траектории наискорейшего спуска, где на каждом участке параметры изменяются сравнительно мало, при использовании релаксационного метода прямолинейная траектория продолжается до тех пор, пока не достигается точка локального минимума). Из точки локального минимума траектория следует по прямой, ортогональной исходной прямой, которая также продолжается до точки, соответствующей некоторому
другому локальному минимуму lj ). Эта процедура продолжается до тех пор, пока не достигается действительный минимум. При использовании модифицированного релаксационного метода, который дает те же результаты, но лучше подходит для применения на АВМ, начинают с изменения одного из параметров, сохраняя значения остальных неизменными. Изменение параметра прекращается, когда достигается локальный минимум. Итеративный процесс, при котором происходит последовательное изменение каждого параметра, продолжается до тех пор, пока не достигается минимум). Часто минимизация может быть выполнена за меньшее число шагов, если после определенного
Рис. 8.15. Сравнение релаксационного метода с модифицированным релаксационным методом. Л ——релаксационный метод; Б — модифицированный релаксационный метод.Рис. 8.15. Сравнение релаксационного метода с модифицированным релаксационным методом. Л ——релаксационный метод; Б — модифицированный релаксационный метод.Рис. 8.16. Векторный многоугольник.Рис. 8.16. Векторный многоугольник.
Рис. 8.15. Сравнение релаксационного метода с модифицированным релаксационным методом. Л ——релаксационный метод; Б — модифицированный релаксационный метод.
Рис. 8.15. Сравнение релаксационного метода с модифицированным релаксационным методом. Л ——релаксационный метод; Б — модифицированный релаксационный метод.
Рис. 8.16. Векторный многоугольник.
Рис. 8.16. Векторный многоугольник.
числа шагов переходить к изменению следующего параметра, несмотря на то что локальный минимум еще не достигнут).
На рис. 8.15 для сравнения приведена траектория минимизации, полученная методом релаксации для функции расстояния, траектория минимизации которой, найденная методом наискорейшего спуска, показана на рис. 8.11.
Пример 4. Определение корней многочленов методом релаксации [106]. Один из способов нахождения корней многочлена основан на применении метода релаксации для минимизации функций расстояния d[ или d?, заданных уравнениями (8.25а) и (8. 256), где переменные 辽 н и определяются уравнениями (8.26а) и (8.266). Это выполняется с помощью ведущей непосредственно к цели операции, которая заключается в последовательном изменении переменных гиб вплоть до достижения точки минимума (корня). В данном примере мы используем несколько иную постановку задачи, когда в качестве минимизируемой функции расстояния вметупает амплитуда несущего синусоидального сигнала.
Многочлен, определенный уравнением (8.22), при записи в полярных координатах может быть представлен как сумма п векторов
w(z) = anrneinQ + an_irn^ei^-i^+...+a1re^ + aQ^Ne^,(8.87)
где
z — x-^iy — re1^ N=(辽2 + "2 尸/2, ф —arctg-^-.
На рис. 8.16 показано, как, суммируя отдельные векторы, входящие в многочлен четвертой степени, можно получить результирующий вектор Ne°①，модуль которого N должен
быть уменьшен до нуля. Обратите внимание на то, что модуль N удовлетворяет требованиям, предъявляемым к функции расстояния, и аналогичен функции расстояния с^.
Векторы получаются на АВМ следующим образом. Синусондальное напряжение определенной частоты пропускается через п идентичных контуров, соединенных последовательно. При прохожценни через каждый контур фаза этого сигнала изменяется
на угол 0, а его амплитуда умножается на величину г. Эти контуры, следовательно, можно рассматривать как комплексные операторы 】)вида г = гегф = % + £д, на которые умножаются снгналы, поступающие на входы соответствующих контуров. Основными элементами контура, как видно из схемы на рис. 8.17, являются два усилителя и интегратор, включенный параллельно первому из усилителен по направлению распростра-
Р и с. 8.18. Схема, обеспечивающая определение корней многочленов мето-дом релаксации.
нения сигнала. В этой схеме на вход потенциометров подается напряжение sin ①九 а на выходе усилителя 2 напряжение равно
z — a± sin ①/—崇 cos co/ —sin (也 + 6) = ri%in <o/= (%十£幻 sin ①力 (8.88) где
* ［呜十(鲁『arctg三汽.
Таким образом, компонентами оператора для контура, показанного на рис. 8.17, являются
Если сложить соответствующим образом напряжения на выходе п промежуточных контуров (см. фиг. 8.18), то величина на выходе будет равна Ne"① sin со/. Эта величина равна нулю, еслн только N = 0, т. е., как показывает уравнение (8.87), только в том случае, если величина х A- iy является корнем многочлена. Из схемы, приведенной на рис. 8.18, видно, что величина N получается как амплитуда синусоидального напряжения на выходе схемы, моделирующей уравнение многочлена.
Величина N уменьшается до нуля путем поочередного изменения параметров 无 и д, представляемых в каждом контуре коэффициентами усиления усилителя н интегратора. Так, например, если процесс минимизация начинается в точке г0 = х0 -h iyOt то параметр х изменяется вплоть до достижения относительного минимума, причем все это время велнчнна параметра у сохраняется неизменной. Амплитуда N может регистрироваться с помощью измерительного прибора, записывающего устройства или любого другого приспособления для считывания амплитудных значений синусоидальных вели-
1) Понятие оператора подробно обсуждается в гл. 3.
чин. Затем фиксируется значение параметра %, и параметр у изменяется до тех пор, пока не достигается новая точка относительного минимума; этот процесс продолжается до тех пор, пока величина N не примет нулевого значения. Обратите внимание на то, что угол Ф, характеризующий фазу напряжения, в процессе минимизации не используется и, следовательно, измерять его не нужно.
Величина шага х)
При использовании дискретных вариантов градиентных методов всегда существует возможность того, что после очередного конечного изменения параметров функция расстояния возрастает. Это имеет место тогда, когда шаг вдоль траектории оказывается достаточно большим, так что изображающая точка проскакивает точку минимума функции расстояния. В связи с этим мы займемся сейчас установлением критерия для величины шага при использовании модифицированного релаксационного метода. Этот критерий должен всегда обеспечивать выбор достаточно малого шага, так чтобы после каждого такого шага значение функции расстояния стало меньше.
Рассмотрим функцию расстояния
d=S 疗.(8.89)
Координаты 力 пространства решений могут быть функциями многих переменных. Однако для того, чтобы сосредоточить внимание на самом методе, будем считать эти координаты функциями одного параметра а, который мы будем изменять так, чтобы обеспечивать уменьшение значения функции расстояния d. Величину F (а) можно определить как вектор в пространстве решений, а именно
F (а) = Л (сс) ii + h («) 12 + . ■ • + fn (а) i小(8.90)
Чтобы построить траекторию, движение по которой приведет к уменьшению функции расстояния, мы должны обеспечить ортогональность вектора F (а 4 -Ь Аа) (после изменения параметра на величину Аа) и градиента вектора F、 вычисленного для значения параметра, равного а. Это условие может быть выражено через скалярное произведение двух векторов
£ 吟伉(а + Аа) = 0.(8.91)
В качестве первого шага решения уравнения (8.91) относительно величины Асе разложим функцию 厶(а 十 Act) в ряд Тейлора и сохраним в этом разложении члены только первого порядка. Таким образом:
2 乘[力(а：И Аа^%]=0.(8.92)
Решая уравнение (8.92) относительно Аа, получаем выражение для приращения параметра
Аа 二——.(8.93)
Исходя из уравнения (8.92), считаем, что вектор F (а) + Aa3F/3a ортогонален вектору OF/Oa. Соответствующий векторный многоугольник приведен
1) Концепции, изложенные в данном разделе, в основном взяты из работы [107].
на рис. 8.19. Так как катет прямоугольного треугольника не может быть больше гипотенузы этого треугольника, то
(8.94)
Равенство в выражении (8.94) имеет место при условии, что OF/dct = O,
Рис. 8.19. Векторный многоугольник, показывающий, что критерий величины шага [выражение (8.93)] обеспечивает уменьшение значения функции расстояния.
которое соответствует минимуму функции расстояния при движении вдоль данной траектории.
Мы можем также показать, что функция расстояния уменьшается, так как при принятии параметром значения а + Да
d(a + Aa) = £ (仆 Аа器)2 =
=2 "2 S 鑒(% + Аа 筹)Аа—S (驚)2® 产(8.95) г=1i—1г—1
Учитывая уравнение (8.92), получаем
d(a + Aa) = d(a) + 0—% (-^-J (Да)2.(8.96)
Из уравнения (8.96) следует, что
d (а + Аа) W d (а).(8.97)
Отметим в заключение, что уравнение (8.93) получается в результате разложения в ряд Тейлора функции 厶(а + Аа), при котором отбрасываются все члены выше первого порядка. Следовательно, вообще говоря, это уравнение справедливо только при достаточно малых приращениях параметра Аа. Обратите внимание на то, что вблизи точки, соответствующей значению d = 0, величина Да становится малой.
8.62 Ограничения
Ограничения, налагаемые на значения параметров, не сказываются при использовании модифицированного релаксационного метода до тех пор, пока параметры находятся в области допустимых значений. Стоит изменить параметр таким образом, что он пересечет границу, движение по траектории минимизации немедленно прекращается. Далее параметр изменяется на величину, знак которой противоположен знаку предыдущего изменения (величины этих изменений не обязательно одинаковы). Эта процедура продолжается вплоть до возвращения параметра в область допустимых значений. Уменьшение функции расстояния продолжается затем вдоль траектории изменения следующего параметра 工).
1) В работе [108] приводится описание задачи, решенной этим методом.
СЛУЧАЙНЫЙ ПОИСК |Ю9]
Метод случайного поиска с математической точки зрения является простейшим методом оптимизации. Он предусматривает обследование значительного района вместо движения по определенному пути и может показаться очень неизящным. Однако методы, используемые при решении задач на АВ及4, следует оценивать исходя не из их математического изящества, а прежде всего с точки зрения простоты получения ответа. Любой метод, исключающий непосредственное участие оператора в решении задачи, заслуживает внимания, так как вычислительная машина действует всегда быстрее и точнее, чем человек.
Рис. 8.20. а — типичный вид траектории в пространстве параметров при их случайном изменении; 6——траектория, на которой сплошными линиями изображены участки, соответствующие уменьшению функции расстояния.Рис. 8.20. а — типичный вид траектории в пространстве параметров при их случайном изменении; 6——траектория, на которой сплошными линиями изображены участки, соответствующие уменьшению функции расстояния.
Рис. 8.20. а — типичный вид траектории в пространстве параметров при их случайном изменении; 6——траектория, на которой сплошными линиями изображены участки, соответствующие уменьшению функции расстояния.
Рис. 8.20. а — типичный вид траектории в пространстве параметров при их случайном изменении; 6——траектория, на которой сплошными линиями изображены участки, соответствующие уменьшению функции расстояния.
Когда значение функции расстояния F может быть вычислено сразу же после момента изменения параметра, метод случайного поиска дает возможность быстро приблизиться к точке минимума. В начале процесса минимизации производится выбор некоторых номинальных значений параметров, а значение функции расстояния 尸。запоминается машиной. Затем величина каждого параметра изменяется случайным образом вокруг номинального значения. Всякий раз когда значение функции расстояния 尸(становится меньше введенной в память АВМ величины Fo, АВМ переходит от номинальных значений параметров к тем их значениям, которые соответствуют а сама величина 尸^ запоминается. И тогда параметры изменяются случайным образом вокруг новых номинальных величин. Эта «чехарда» продолжается до тех пор. пока не достигается минимум.
Этот метод работает столь же успешно и тогда, когда на параметры налагаются ограничения в виде неравенств. В этом случае, однако, АВМ перейдет к новым значениям параметров только тогда, когда функция расстояния уменьшится по сравнению с предыдущим значением при одновременном удовлетворении всех неравенств, определяющих ограничение.
Траекторию минимизации, построенную на рис. 8.20, а в плоскости двух параметров, можно считать типичной. В процессе решения на АВА4 точка, характеризующая значения параметров, начинает движение из точки А и перемещается по случайной траектории в точку В (см. рис. 8.20). Участки, показанные на рис. 8.20, 6 сплошными линиями, соответствуют значениям параметров, введенным в память АВМ, т. е. функция расстояния F уменьшается при движении вдоль этих участков. На том же чертеже пунктирными линиями показан скачкообразный переход к новым значениям параметров; вдоль этих участков функция расстояния F возрастает.
Метод случайного поиска целесообразно применять при минимизации функций, которые можно записать в виде алгебраического уравнения. Однако, когда для оценки влияния изменения параметра требуется конечный интервал времени, этот метод явно не выдерживает сравнения с методом наискорейшего спуска или с релаксационным методом. Действительно, з то время как в последних авух методах направление изменения параметров определяется с помощью некоторой логической процедуры, метод наискорейшего спуска основан на простом угадывании значений параметров. Поэтому на каждый однократный процесс решения на АВМ, приводящий к уменьшению функции, может приходиться по нескольку бесполезных шагов. Когда каждый однократный процесс решения на АВМ длится несколько секунд или даже больше, такой способ минимизации требует использования недопустимо большого количества решающих элементов и приводит к перерасходу машинного времени.
Метод случайного поиска отличается от других рассмотренных нами градиентных методов двумя важными свойствами. Во-первых, траектории, исходящие из одних и тех же заданных начальных точек, будут различными в каждом отдельном процессе решения на АВМ. В других методах каждой исходной точке соответствует единственная траектория. Во-вторых, поскольку все траектории различны, АВМ, имея в качестве исходной точки заданные значения параметров, может закончить процесс решения в точке, соответствующей любому из минимумов.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Основной принцип оптимизации с помощью градиентных методов состоит в том, что функция расстояния должна уменьшаться при каждом изменении параметра. Это правило равно справедливо как для статистических, так и для детерминированных задач. В статистических задачах, однако, функция расстояния является случайной величиной, что вызывает определенные затруднения. Эти затруднения связаны с тем, что при фиксированных значениях параметров отдельные измерения дадут различную величину функции расстояния. Характеристики случайных величин и способы их измерения подробно описаны в гл. 9—11. В данном разделе мы очень кратко продемонстрируем методику оптимизации функции расстояния такого вида.
Мы всегда можем составить функцию расстояния таким образом, чтобы оптимизируемая случайная величина являлась математическим ожиданием или средним значением. Эта характеристика выражается некоторым числом, которое остается постоянным при данных значениях параметров. Однако для того, чтобы вычислить среднее, необходимо выполнить бесконечно большое число измерений значения случайной величины, поскольку средние значения изменяются от измерения к измерению. В реальных условиях среднее обычно определяется с ошибкой, величина которой уменьшается по закону 1/]/〃， где п ——число измерений.
Предположим, что началу процесса оптимизации соответствует некоторая точка в пространстве параметров. Прежде всего по результатам измерений случайной величины вычисляем выборочное среднее. Поскольку число выполненных измерений ограниченно, выборочное среднее отличается от истинного среднего. Затем мы переходим в другую точку пространства параметров и производим новую серию измерений. Допустим, что во втором случае выборочное среднее больше, чем в первом. Что же можно в связи с этим сказать относительно соотношения величин истинных средних? Существует определенная вероятность того, что истинное среднее во второй точке действительно больше истинного среднего в первой точке ——вот самое большее, что мы можем утверждать в данном случае. Очевидно, что степень этой вероятности зависит от ошибок, допущенных при оценке средних. Следовательно, при решении статистических задач направление изменения параметров, указанное нами вычислительной маши-
не, будет иногда неверным. Частота подобных ложных шагов зависит от ошибоку допущенных при оценке средних.
Так как каждое измерение случайной величины связано с определенной затратой машинного времени, то основным требованием при решении статистической задачи на АВМ является определение оптимального значения функции расстояния за минимально возможное число однократных процессов решения. Это не означает, что уменьшение числа ложных шагов являет ся единственным путем к цели, ибо существенно полное количество измерений значения функции расстояния, которое необходимо выполнить для нахождения минимума.
Один из способов достижения поставленной цели заключается в уменьшении расстояния между отдельными точками траектории решения в пространстве параметров и увеличении числа измерений. Если в точке 1 параметры имеют значения а”, й12, ..., а1п, а в точке 2 их значения равны соответственно а21, 〃22，• • ♦, 〃2孔，т° расстояние между этими точками равно [(〃” 一 а2^ + + @2 — 〃22戸 +• • *+ (〃m — a2n) 1-1/2 Преимущество данного метода состоит в том, что по мере приближения к оптимуму точность измерений увеличивается при одновременном уменьшении интервала между измерениями.
Еще более простую методику предложили Кейфер и Вольфовитц [112]. Мы опишем этот метод для одномерного пространства параметров, хотя он столь же справедлив и для многомерного случая. Рассмотрим функцию расстояния f (%), зависящую от параметра х. Некоторое частное измерение величины функции расстояния даст нам следующее значение:
y (/)=/(/)+ 立，(8.98)
где в» ——ошибка измерения. Предположим, далее, что мы находимся в точке хп и производим два измерения величины функции расстояния в окрестности этой точки 尤孔 土 Сп. С помощью итерации находим следующее значение параметра 今士 e储
■^n + l = %71 +1" ("” + С") —' У (%北—С")],
где коэффициент ап положителен при максимизации и отрицателен при мини- зации функции расстояния f (%), а величина Сп — положительна. Кейфер и Вольфовитц показали, что функция расстояния f (%) с вероятностью, равной единице, примет оптимальное значение при п —> оо, если выполняются следующие условия:
а 鹿―> 0』cin —> 8,2 V 8 *
При других способах оптимизации измерения выполняются в нескольких точках пространства параметров. На основе этих данных методом регрессионного анализа для функции расстояния строится поверхность, являющаяся функцией параметров. Используя это аналитическое выражение, можно получить уравнения наискорейшего спуска (подъема) и составить для АВА4 программу определения оптимума. Метод построения такой поверхности рассмотрен в гл. 10.
ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕЛ1
До сих пор мы описывали градиентные методы, пригодные для оптимизации таких функций расстояния, экстремумы которых имеют место при некоторых постоянных значениях параметров. Значения параметров, которые соответствуют оптимальному значению функции расстояния статической системы, постоянны. В частности, коэффициенты многочлена, рассматривавшегося в примере 1, фиксированы, и ввиду этого оптимальные значения параметров г и 仆 постоянны.
Рассмотрим теперь функцию расстояния вида (8.79). Требование постоянства параметров в течение всего процесса интегрирования обусловливает появление ряда ограничений, налагаемых на значения параметров, что в свою очередь определяет характер экстремальных значений функции расстояния. Если же расширить класс величин, которые могут служить параметрами, перейдя от постоянных значений к непрерывным переменным, то можно ожидать появления меньших минимумов и больших максимумов.
Недавно Брайсон [146, 147] и Кели [55, 148] независимо друг от друга получили уравнения для определения значений непрерывно изменяющихся параметров, оптимизирующих функцию расстояния динамической системы. Используя аппарат вариационного исчисления, они вывели уравнения, решениями которых является набор оптимальных значений параметров. Так как получить устойчивые решения этих уравнений с помощью аналитических методов невозможно, они использовали градиентные методы, причем функция расстояния в их работах оптимизируется дискретными шагами.
К сожалению, для реализации этих методов необходим такой объем памяти, которым современные АВМ не обладают. В связи с этим оптимизация, основанная на использовании данных способов, в настоящее время выполняется исключительно на цифровых вычислительных машинах. Однако если исходить из того, что память, которой в конечном счете будут обладать аналого-цифровые вычислительные машины, позволит решать подобные задачи и на аналоговых машинах, мы дадим здесь самое общее понятие об этом методе г).
Уравнения оптимизации
Рассмотрим систему уравнений, записанную в матричном виде:
(8.100)(8.100)”[修，...，Xn； % ⑺，…，〃m(/)； /「
(8.100)
(8.100)
дхп[-^i? • • * ?修土，…，um (£); /]_
Это уравнение можно переписать в более компактном виде
(8.101)векторами, а(8.101)векторами, а亲= [〃％(£); 口⑴；5,х (^о), <Т — начальные условия.
(8.101)
векторами, а
(8.101)
векторами, а
Переменная х (/) и ее производная dx/dt являются 〃-мерными
и (%) представляет 『^-мерное множество параметров оптимизации. Система
задана в диапазоне £。V 7 V Т, причем начальными условиями служит вектор
В качестве функции расстояния выбираем скалярную величину
d =(p [х (Т), Т] + ； 9 [л: (/), и (£), /]力，(8.102)
где ф [х (Т), Т] характеризует конечное состояние, которое требуется оптимизировать.
Рассматривая далее уравнение (8.101) как ограничение и используя метод множителей Лагранжа, получаем оптимизируемую функцию расстоя-
В данном изложении мы следуем докладам, представленным и а семинаре по оптимизации динамических систем, который проводился в Гарвардском университете с 22 июля по 2 августа 1963 г.
ния в виде
d=T[x (/), e+] @%«), a ⑴，订十『'⑴{f [x ⑺,a ⑴，订一需})必，(8.103) где 厶'(/)=[厶1,厶2, . . ., А-n] получено с помощью транспозиции вектора Х(/).
Введем для удобства записи обозначение
Н [х (/), 〃(/), Т] = 8 [尤(/), 〃(/),订一卜厶‘(f) f [х (/), 〃(/),/].(8.104)
Интегрируя последний член уравнения (8.102) по частям, имеем d = ср [х (Т), Т] 一厶‘ (Т) х (Т)十厶‘(/о) х (/о) +
+ J {Я|х(/), и(/), /]+^-х (/) } dt.(8.105)
Теперь определим приращение функции расстояния d, вызванное малыми вариациями относительно номинальных значений вектора параметров и (/):
嘗 6a〕dt.嘗 6a〕dt.3d=[(累一/)6%]з + [产6可1 +
嘗 6a〕dt.
嘗 6a〕dt.
(8.106)
где частные производные д^!дх и дН!дх являются n-мерными векторами, а частная производная 5Я/5и —m-мерный вектор. Обратите внимание на то, что все эти частные производные вычислены для номинальных значений 力(/) и 〃 (/).
Величина вариаций 6х (/) нам пока что неизвестна. В связи с этим выбираем множители Лагранжа таким образом, чтобы коэффициенты при вариации 6x(/) в уравнении (8.106) обратились в нули. Исходя из этого требования, получаем систему уравнений
吧_dн — —厶dt дх ~ дх дх吧_dн — —厶dt дх ~ дх дх(8.107)(8.107)
吧_dн — —厶
dt дх ~ дх дх
吧_dн — —厶
dt дх ~ дх дх
(8.107)
(8.107)
с граничным условием при t = Т
В результате уравнение (8.106) сводится к следующему уравнению:
6d -广(Zo) 6%(加 + \ 駕 6" 力.(8.108)
Рассматривая это уравнение, можно установить, что постоянная 厶丁 (/0) является градиентом функции расстояния d в пространстве начальных условий. Функции дН/ди являются весовыми функциями для дифференциальных уравнений, в которых вариация 6d является решением, а вариация 6辽 ——вынуждающей функцией.
Экстремуму соответствует выполнение равенства 6d 二 0 при произвольной вариации Su. Если допустить, что дх (/0) = 0, экстремум может наступить только в том случае, когда
^^ = 0, /о</<Т,(8.109)
т. е.т. е./ дН >2I 0"т 丿/ дН >2I 0"т 丿=0.=0.
т. е.
т. е.
/ дН >2
I 0"т 丿
/ дН >2
I 0"т 丿
=0.
=0.
16 Л Левин
Порядок выполнения оптимизации на АВМ
Программа решения задачи на АВМ, обеспечивающая выполнение условий (8.109), состоит из следующих этапов:
Выбирается вектор-функция 卫(/), компоненты которого представляют собой функции времени.
Определяется вектор-функция х (f) путем интегрирования уравнения dx/dt = f (х, tz, f) в пределах от f0 до Г при заданных начальных условиях % «о).
Путем интегрирования системы уравнений (8.107) в «обратном» времени в пределах от Т до ^0 с учетом соответствующих граничных условий при t = Т определяются множители Лагранжа. Частные производные дО/дх и df /дх определяются из решения системы dx/dt = f (х,卫，力)в «обратном» времени от момента Т, что дает значения х.
Определяются значения частной производной дН/ди =。8/0卫 十 + ^(t)df/dx.
Оценка вектора-функции параметров и (£) изменяется на величину
Производная дН/ди рассматривается в данном случае как градиент. Положительная скалярная величина К (0 выбирается по усмотрению программиста. Подставив \и в уравнение (8.108), получим
”=Тк«)幫(黑(8.110)
Эта операция приводит к уменьшению значения функции расстояния d, так как вариация 6d всегда является неположительной величиной.
Величина 〃(£)十 Atz(f) запоминается и используется в качестве следующей оценки вектора параметров.
Операции с первой по шестую повторяются до тех пор, пока функция дН/ди не станет малой при всех значениях t или пока не станет малым функционал
т
9. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ1)
ВВЕДЕНИЕ2)
Успешное применение в течение последнего десятилетия математической статистики для решения различных технических задач привело к тому, что эта дисциплина стала существенной частью инженерной математики. Показателем ее важности может служить то, что в большинстве университетов статистика теперь включена в учебные программы инженерных факультетов и ее знание рассматривается как необходимое условие полезной и творческой работы во многих областях.
Введение этого раздела математики в учебные программы инженерных специальностей можно лишь частично объяснить его важной ролью при решении технических задач; частично оно обусловлено также и пониманием того факта, что познания в области статистики полезны при математической постановке большого числа задач. Каких-нибудь 30 лет назад инженеры ограничивались в основном математическими моделями детерминированных систем. В настоящее время стало обычным, что инженеры часто используют такие понятия, как корреляция, дисперсия, спектральная плотность, и это позволяет им формулировать новые принципы и строить очень сложные модели, работа с которыми часто завершается созданием новых систем, как детерминированных, так и недетерминированных.
Ввиду этого специалистам в области моделирования, использующим на практике одно из наиболее эффективных математических средств исследования сложных систем, приходилось все настойчивее вникать в этот новый для них круг идей и задач, так как они все чаще сталкивались с моделированием случайных систем, т. е. систем со случайными входными или выходными сигналами. Примеры таких систем многочисленны; к ним относятся системы, рассматриваемые при исследовании движения управляемых снарядов, в задачах из области океанографии, при моделировании полета самолета, при определении надежности оборудования и в последнее время при определении характеристик нелинейных систем [122]. Мы коснемся роли моделирования при решении задач в некоторых из этих областей. Однако перед этим мы должны усвоить и научиться применять основные понятия статистики ——математики анализа и интерпретации экспериментальных данных.
ОГРАНИЧЕНИЕ КРУГА ЗАДАЧ
Математическая статистика накопила к настоящему времени весьма солидный объем знаний, слишком большой, чтобы его можно было полностью изложить в нескольких главах элементарного текста. Поэтому мы должны определить те разделы статистики, которые наиболее важны для обычной инженерной практики и моделирования. Для того чтобы проиллюстрировать те разделы математической статистики, которые излагаются в настоящей книге, рассмотрим обычную задачу анализа выходного сигнала системы, на вход которой
Эта глава написана А. Левиным.
Некоторые основные понятия теории вероятностей и математической статистики обсуждаются в приложении 4.
поступает сигнал от генератора шума. Выход такой системы может иметь вид, показанный на рис. 9.1.
>
Предположим, что нас интересуют значения выходного сигнала 尤 в м моментов времени Ti, Т2, . . ., Тп. Тогда мы получаем выборку х =（尤厶 х2,... ..Хп）, где хг —— величина выходного сигнала в момент Т» Если мы повторим моделирование, то новая выборка выходного сигнала системы х7 = （х；,%；,... ...,Хп） в моменты времени Т1т Т2, • . ., Тп не будет обязательно совпадать с первой выборкой х （хь х2, . . ., хп）. Если мы повторим эксперимент несколько раз, то мы можем с равным успехом получать каждый раз различные выборки, несмотря на то, что никаких изменений в установке не производилось.
Такой тип эксперимента ставит перед исследователем две важные проблемы. Первая связана с проверкой модели этой системы. Исследователь предлагает некоторую математическую модель, которая может быть задана как в виде
Время
Рис. 9.1. Реакция системы.
уравнений, так и в виде диаграммы прохождения сигналов через систему. Его теория показывает, что при заданных условиях система должна вести себя определенным образом. Он хочет использовать модель, чтобы получить экспериментальное подтверждение своей теории. В детерминированном случае решение о том, принять или отклонить теорию, принимается довольно легко. Исследователь проводит эксперимент и сравнивает выходной сигнал системы с предсказанным выходным сигналом. Если эти два сигнала достаточно близки друг к другу, а именно их расхождение лежит в пределах точности эксперимента, то теория принимается. При случайных выходных сигналах задачу о соответствии модели и эксперимента решить не так легко. Выборка выходного сигнала （%], %2, • • •，尤г） различна при каждом новом эксперименте. Как в таком случае следует интерпретировать данные, чтобы подтвердить или опровергнуть теорию? Эта задача чрезвычайно важна, так как ясно, что теория подтверждает ся или отвергается характером экспериментальных данных. При моделировании это обстоятельство часто теряют из вида, поэтому при истолковании результатов моделирования огромная важность интерпретации данных часто недооценивается, и многое теряется в случае применения неудачных методов интерпретации.
Вторая проблема связана с надежностью （или ненадежностью） аналоговой машины. Если при детерминированном эксперименте происходит, например, случайное нарушение требуемой коммутации, то результирующую ошибку легко обнаружить, повторяя эксперимент несколько раз. Выходной сигнал системы окажется случайным, т. е. не таким, каким он должен быть, и оператор поймет, что АВМ работает неправильно. Когда мы имеем дело со случайными выходными сигналами, то решить задачу оказывается значительно труднее, так как ^случайный характер выходного сигнала часто маскирует ошибки, вызываемые
ненадежными компонентами. Эти ошибки могут быть тем не менее достаточно важны и могут привести к неправильному решению при принятии или отклонении теории.
Итак, можно указать следующие две важные задачи:
Интерпретация данных, позволяющая проверить справедливость математической модели или обнаружить некоторые ее особые свойства.
Обнаружение случайных сбоев АВМ при проведении экспериментов со случайными выходными сигналами.
Последняя проблема будет исследоваться в гл. 10. Настоящая глава посвящена обсуждению вопроса об интерпретации данных.
Задача 9.1. г) По определению, статистикой tn называется любая функция выборки
х, где и равно числу экспериментальных точек в выборке х. Например, пусть х = 一(打，尤2，. ， ，，打0).
Предположим, что
—Г 0 с вероятностью /2,
—X 1 с вероятностью 飞*
Величины х? могут характеризовать исход i-ro бросания монеты, где xt = 0, если выпадает герб, и хг 1, если выпадает цифра. Одним из примеров статистики является
Ю
£九=男=』e一,вы6орочное среднее.
Другой пример：
tn — -^-^- , среднее по полусумме крайних значений,
где х； ■— наибольшее из чисел, входящих в выборку, a xs ——наименьшее из чисел той же выборки.
Является ли х случайной переменной? При /г — 3 приведите возможные исходы для переменной х вместе с вероятностями их появления.
Является ли /п случайной переменной? Повторите вычисления по пункту (а) для среднего, определяемого как полусумма крайних значений.
Всегда ли статистика является случайной переменной? Если да, то почему? Если нет, то почему?
Ответ, а) Величина х действительно является случайной переменной, так как каждое из ее возможных значений появляется с заданной вероятностью. Например, при и = 3, всевозможные исходы для х таковы：
у(0 + 0 + 0) = 0
1-3 1-31-3 1-31-3 1-31-3 1-3
1-3 1-3
1-3 1-3
1-3 1-3
1-3 1-3
百（1 +。+。） =，={ 1（0+1+1）=百（1 +。+。） =，={ 1（0+1+1）=1-3 2-31-3 2-3
百（1 +。+。） =
，={ 1
（0+1+1）=
百（1 +。+。） =
，={ 1
（0+1+1）=
1-3 2-3
1-3 2-3
12-у (1 +()十 1)—у12-у (1 +()十 1)—у可(1 + 1 + 1) = 1可(1 + 1 + 1) = 1
12
-у (1 +()十 1)—у
12
-у (1 +()十 1)—у
可(1 + 1 + 1) = 1
可(1 + 1 + 1) = 1
Заметим, что имеется три возможных способа получить х — 1/3; следовательно, вероятность того, что х = 1/3,
Аналогичным образом,Аналогичным образом,—1p (男=0)=百,—1p (男=0)=百,一 1Р (х ~ 1) = — . Следует一 1Р (х ~ 1) = — . Следует
Аналогичным образом,
Аналогичным образом,
—1
p (男=0)=百,
—1
p (男=0)=百,
一 1
Р (х ~ 1) = — . Следует
一 1
Р (х ~ 1) = — . Следует
подчеркнуть, что до эксперимента х ——случайная величина; после эксперимента, когда моделирование закончено, х является числом. Аналогичным образом, до эксперимента выборочное значение х；——случайная величина; после эксперимента оно является числом.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И МОДЕЛЬ
На практике наиболее часто встречаются следующие задачи, связанные с интерпретацией выходных данных случайных процессов: оценка параметров, определение доверительных интервалов и проверка гипотез. Ниже следуют разделы, в которых предполагается рассмотреть эти задачи и сравнить их между собой.
Оценка параметров
Задача оценки параметров ставится следующим образом: вид функции плотности вероятностей известен, однако параметры этой функции не известны и подлежат определению по экспериментальным данным. Например, во многих случаях хорошо известно, что выходные сигналы системы распределены нормально, а именно функция плотности вероятностей выходного сигнала имеет вид
р(х； и, О2)= 1 е-~2^~.(9.1)
Однако параметры этой функции, а именно теоретическое среднее 卩 и теоретическая дисперсия о, во многих случаях неизвестны и должны быть определены. Если не имеется априорных сведений относительно этих параметров, тогда единственным источником информации о них являются экспериментальные данные. Нужно попытаться оценить р, и о2 по этим данным. Цель анализа данных состоит в том, чтобы получить оценки, которые близки к истинным значениям параметров, а не равны им в точности. Такие оценки называют точечными оценками х). Например, хорошо известная оценка арифметического среднего 卩 ——это выборочное среднее х. Вообще обозначим оценку некоторого параметра 9 через 0. Тогда оценка величины 卩 обозначается через ц, и одна из таких возможных оценок имеет вид
_3 xi
R = x=^— ,(9.2)
>
где X ==(尤1,尤2，• • 修，• • •,尤л.)
%t — f-й выход системы или i-я точка выборки, п — число наблюдений.
Другой оценкой величины 卩 является оценка по полусумме крайних значений 卩2：
7 =卫声，(9.3)
--наи---наи-где 尤/ ——наибольшее из наблюденных значений выходного сигнала, xs меньшее из наблюденных значений выходного сигнала.
--наи-
--наи-
Можно еще привести такую оценку:
(9.4)
где 尤z и п определены выше. Цель теории оценки параметров состоит в том, чтобы помочь нам выбрать «наилучшую» оценку среди всех возможных.
Задачу оценки параметров можно сформулировать в общем случае. Пусть вид функции плотности вероятностей f (х, 6, 6Ь 02, . . ., 0^) известен, причем имеется k неизвестных параметров 0Ь 02> • • •，®左.Задача состоит в том, чтобы определить «наилучшие» оценки 。丄,。2, • • •,。丸 величин ®i, 02> - • •, ®丸,соот- ветственно используя выборку 尤.Нам остается в следующих разделах определить, что мы понимаем под словом «лучшая».
Задача 9.2. Пусть известно, что выходной сигнал системы имеет плотность вероятностей
pО 口口 + 二3)厂 8 <Х<С0.
Какую из величин, входящих в функцию р (х), вы бы оценили с помощью экспериментальных данных, чтобы полностью определить р (х)?
Является ли параметр 6 моментом функции р (х)?
Примечание: р (尤)известна как плотность вероятностей распределения Коши. Ответы, а) 0; б) нет.
Задача 9.3. Дано х = (1, 2,——3, 5, —1). Подумайте о том, как бы вы использовали х для оценки параметра 9 в задаче 9.2?
Задача 9.4. Является ли точечная оценка статистикой. (См. задачу 9.1.)
9.32 Доверительные интервалы
Важно подчеркнуть, что оценка параметра б не обязательно равняется параметру 0. Вместо этого имеем
8 = 6 十 £,
где 8 неизвестно. Таким образом, 0 —— это оценка, однако неясно, насколько она хороша. Цель теории доверительных интервалов состоит в том, чтобы определить границы 土6 для значений величины 8, так как если
—6 V £ V 6,где 6 — некоторое известное число, то можно утверждать, что
О_-6<0<0 + 6.
Следовательно, S можно считать мерой близости 0 и 0. Только тогда точечная оценка 0 приобретает инженерный смысл.
>
Задача 9.5. Пусть х「я точка выборки х = (Xi, х2- - - ♦, 修о)・ Предположим, что точки Xi взаимно независимы и
(看一以)2
епри любом I.
Пусть
10
—1= 1
—оценка теоретического среднего 卩.Покажите, что:
V (х)——дисперсия среднего 尤=历.
Ответ.
£ (х)二氏 Ответ.
月沁）=卩月沁）=卩
月沁）=卩
月沁）=卩
Пусть о=1； покажите, что (в)
Р1,95 <р=^< 1,95^-95%.
p (x —0,617Vm<% 寸 0,617) = 95%.
Найдите такое д, чго с 95% -ной вероятностью выполняется условие % ——6 < 卩 <尤卄 i (e) Найдите такое d, что с 50*% -ной вероятностью выполняется)^словие х ——6 Vll <尤-卜6.
Заметьте, что мы не можем с полной уверенностью утверждать, что 卩 лежит межд) х — д и х + д, а утверждаем это лишь с некоторой вероятностью.
〉
Пусть дано х = (1, 2, 0,——3, 6,——2, 0,——1, 4, —3). Найдите такие границы L〕и 厶2, что с 95%-ной вероятностью выполняется условие L【V 卩 v L?・
Ответы, (в) Пусть
—% 一卩 —x 卩o/~l/n O~|/n O~l/几
Гогда среднее значение £ (у) переменной у равно
=Е(b 卩=卩一卩=0o/]/na/"|/nо7]/几
Дисперсия V (у) переменной g равна
Однако из пункта (а) следует, что V (х) = 6п. Следовательно,
V 匂)=L
Так как каждая из точек 尤工 распределена нормально, то величина х распределена также нормально. Следовательно, у распределена нормально. Таким образом, распределение для у имеет вид N (0, 1); а именно у обладает нормальным распределением с нулевым средним и единичной дисперсией. Функция плотности вероятностей для переменной у имеет поэтому вид
Из таблиц функции ошибок найдем (приложение 6)
Р (—1,95 < г/< 1,95) —0,95.
В данном случае о = 1, п = 10. Следовательно,
Р(—1,95<4<〕,95) = Р ( —1，95<^^^ <1,95)=0,95
(г)
0,95 = Р(7,95<^-<1,95)=Р(-,95*<х—“<1,95*) =
^Р( —х —0,617 <|1<-^г 4-0.617) = Р(х+0,617 >р〉х—0,617). (Д)
6 = 0,617.
Проверка гипотез
Методы проверки гипотез существенны при проверке теории или модели системы. Например, на основании теории мы можем утверждать, что выходной сигнал системы характеризуется непрерывной плотностью вероятностей со средним значением 5 8, или мы можем утверждать, что одна система лучше, чем другая, и т. д. Эти утверждения образуют гипотезы, которые подлежат проверке- Предметом некоторых разделов статистического анализа является проверка таких гипотез 工).
Задача 9.6. Пусть справедливы условия задачи 9.5. Предположим, что мы вводим гипотезу 卩=0. Подумайте, как бы вы проверили эту гипотезу по данным задачи 9.5 (ж)? В каком отношении эта задача отличается от задачи оценки параметров и задачи вычисления доверительных интервалов?
9.4. оценка ПАРАМЕТРОВ
Так как определение «доверительных границ» и «проверка гипотез» не могут быть отделены от задачи оценки параметров, мы сначала рассмотрим задачу оценки параметров.
Оценки по критерию максимума правдоподобия
Выше было показано, каким образом возникает задача оценки параметров. Дополним эти замечания примером, взяв десять выборок из таблицы случайных чисел ). Эта таблица в свою очередь образуется путем выборки чисел из некоторого множества, имеющего нормальное распределение, с теоретическим средним 卩，равным нулю, и теоретической дисперсией о?, равной 1, т.巳 7V (0, 1).
Выборка чисел из таблицы эквивалентна поэтому выборке чисел из нормального распределения. Чтобы получить в таблице случайную выборку, выберем наугад страницу, затем выберем наугад строку и столбец и начнем считывать числа сверху вниз.
Возьмем типичную выборку из десяти чисел:
>
^10-(0,241, 0,022, —0,853, —0,501, +0,439,
— 1,85, —0,255, —0,423, +0,857, —0,260)(9.5)
Предположим, что мы столкнулись с задачей, обычно встречающейся на практике, когда известен вид распределения; например, в данном случае мы знаем, что генеральная совокупность нормальна, однако один из параметров распределения, например 卩，нам не известен. Задача состоит в том, чтобы оценить теоретическое среднее 卩 на основании экспериментальных данных Хю- Существует много возможных оценок. Мы привели две из возможных оценок среднего 卩 в разд. 9.3.1, а именно выборочное среднее % и среднее, вычисляемое по полусумме крайних членов. Имеется и много других оценок. Мы хотим найти наилучшую оценку среднего ц из всех возможных оценок этого
параметра. Для того чтобы решить, какая из оценок «наилучшая», мы должны установить некоторый критерий или критерии, по которым можно сравнивать оценки. Начнем с замечания, что наша оценка среднего 卩，обозначаемая через 卩,должна зависеть от нашей выборки = Xi0. Заметим также, что 科 ——случайная переменная （задача 9.1）, в то время как 卩 —— это некоторое конкретное число, хотя и неизвестное. Конечно, мы должны приписывать различные значения параметру 卩 при различных выборках. Например, рассматриваемая нами выборка х10 имеет приведенный выше вид, однако при выборе некоторого другого положения в таблице случайных чисел мы могли бы получить выборку в виде Хю （1,6; 0,9; 2,4； 0,8; 3; 9,2; 0,2; 1,9; 0,5; 1,3）. Для первой выборки наша оценка параметра 卩 была бы где-то вблизи нуля, в последней выборке мы, по-видимому, получили бы оценку параметра 卩 вблизи 1 или 2. Таким образом, если дана выборка хп, то ясно, что неопределенность относительно величины 卩 отчасти уменьшается, причем некоторые значения параметра 卩 кажутся более подходящими （или более вероятными）, чем другие. Следовательно, можно приписать некоторую условную плотность вероятностей параметру 卩，при условии, что известна хп. Пусть эта условная плотность вероятности обозначена через р （jli | В нашу задачу входит выбрать величину 卩,оценку параметра, такой, чтобы она максимизировала бы эту условную плотность вероятности. Читатель может сразу же спросить, почему мы хотим так поступить — ведь именно на этом этапе определяется критерий для выбора оценки параметра 卩.Причина такого подхода состоит в том, что мы хотим выбрать наиболее вероятное значение параметра 卩 на основе выборки хп. Это в высшей степени разумный подход, так как только на основании экспериментальных данных мы можем оценивать параметр 卩.Следовательно, вполне ясно наше желание выбрать наиболее вероятное значение параметра 卩 при условии, что задана выборка хп, а это эквивалентно тому, что мы хотим найти значение параметра ц, для которого р （卩 1%九）максимальна. Используя формулу Бейеса, найдем
Р3|；“）= р （"学⑷,（9.6）
P（无П）
где р （ц）——априорная плотность распределения параметра 卩；р （хп） — априорная плотность распределения выборки хп; р （尤北 | 卩）——условная вероятность выборки хп при заданном 卩.На основании формулы полной вероятности имеем >>
Р （尤/г） = 2 Р За） Р （今 I 卩а）・（9・7）
а
Допустим, что до эксперимента мы не имеем ни малейшего представления о том, каково может быть 卩，т. е. априори все значения 卩 одинаково возможны. Тогда р （卩仪）=р （卩）=const при всех а. Следовательно,
>p （从I%）=>p （从I%）=>>>
>
p （从I%）=
>
p （从I%）=
p （卩）p （无n丨卩） 一 p （卩）p （无几丨卩） = p （无九I卩）（9 8）
2 P （ма） р ⑴卩a）2 P （卩）p （^n I мa）
аа
Заметим, что С — это постоянная, не зависимая от ц. Следовательно, априор- >
ное условное распределение выборки х пропорционально апостериорному условному распределению параметра ц.
Вспомним, что наша задача состоит в том, чтобы выбрать значение параметра р,, обозначаемое через р,, которое максимизирует р (р, | %п). Если 人>
в соответствии с уравнением (9.8), найдем р,, которое максимизирует р (х | р.), то мы достигнем нашей цели. Давайте посмотрим, как можно подойти к решению этой задачи на примере, рассмотренном в начале этого раздела. Вспомним, что мы брали выборку из нормальной совокупности с неизвестными средним р. и дисперсией п2. Для простоты допустим, что мы знаем о н о? = 1. Мы имеем выборку из десяти членов, причем случайные величины {xj взаимно независимы. Поэтому
-10■
>2(乙—n)2
р(х“ -(9.9)
Мы хотим найти значение р., которое максимизирует функцию р (хп | 卩).Заметим, что ю
>3(/一n)2
In р (xn I 卩)=—~1п2л ——~^.(9.10)
Если мы найдем 卩, максимизирующее 1п р (хп | р.), то это эквивалентно нахождению значения, которое максимизирует р (хп | р.). Разрешим относительно 也 уравнение
蚩 Ер“711M) = 0.(9.11)
Сделав это, получим
口 =『「=北(9.12)
>
Заметим, что для х10 в соответствии с уравнением (9.5)
卩=—0,259.
Оценка, полученная с помощью указанной выше процедуры, называется оценкой по критерию максимума правдоподобия. Такие оценки предпочитаются статистиками не только потому, что они удовлетворяют критерию наилучшей оценки, приведенному выше, но также и потому, что они имеют другие желательные свойства. Одно из этих свойств рассматривается в разд. 9.4.2.
>
Задача 9.7. Пусть х4 — (1, 7, 1, 0). Найдите и оцените по критерию максимума правдоподобия параметр 0, если
в) р (х)- и 9.3).
Ответ.
р (х) =—е 202 —8 V 尤 V 8, у2пв
р (х) — —0—х >0・
——функция плотности вероятностей распределения Коши (см. задачи 9.2 (а)
442
р(打，*2, Хз, Х4)= Ц P(Z)= T^^exp(-2 蚩).
1=1i=l
Следовательно,Следовательно,443-3-1пр(/,尤2，尤3，％) = Е (2冗)т1пр(/,尤2，尤3，％) = Е (2冗)т41п0~-41п0~-f=l~2g2f=l~2g2^gUnp （打，尤2，%3，/）=^gUnp （打，尤2，%3，/）=4t= 1百十酸—4t= 1百十酸—Приравнивая частную производную нулю и сительно 0, получимПриравнивая частную производную нулю и сительно 0, получимразрешая полученное уравнение отно-разрешая полученное уравнение отно-2= 12= 1(х-ц)2(х-ц)2
Следовательно,
Следовательно,
4
4
3-
3-
1пр(/,尤2，尤3，％) = Е (2冗)т
1пр(/,尤2，尤3，％) = Е (2冗)т
41п0~-
41п0~-
f=l~2g2
f=l~2g2
^gUnp （打，尤2，%3，/）=
^gUnp （打，尤2，%3，/）=
4t= 1
百十酸—
4t= 1
百十酸—
Приравнивая частную производную нулю и сительно 0, получим
Приравнивая частную производную нулю и сительно 0, получим
разрешая полученное уравнение отно-
разрешая полученное уравнение отно-
2= 1
2= 1
(х-ц)2
(х-ц)2
Задача 9.8. Если р (х; ц, а2) — ду^д и если значение ц не известно, то оцен
ка параметра ст2 по критерию максимума правдоподобия равна
』1
Найдите з2 для данных, приведенных в задаче 9.7.
Задача 9.9. Предположим, что мы стреляем снарядом по цели. Пусть произведено л таких выстрелов. Для каждого выстрела z введем числа
{
О при промахе,
1 при попадании.
Пусть результаты десяти выстрелов образуют выборку хю = (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0). Оцените рд, вероятность попадания в цель при некотором заданном испытании, по критерию максимума правдоподобия.
Ответ. Пусть п — число выстрелов или число членов выборки. Тогда вероятность у попаданий для данной конкретной последовательности из п выстрелов равна
f (У)= Р&(1 —PH『f，
Заметим, чтоЗаметим, чтоп
Заметим, что
Заметим, что
由 / ® = В In "н十(几一勿 in (1 —"н)・
Чтобы найти оценку по критерию максимума правдоподобия для 卩五，решим уравнение
——In f ⑺=w;—=0
илиилиилиилиЗрнРн 1 —Ph
или
или
или
или
У (1 —Рн) —(门一у) Рн=^
Следовательно, х совпадает с оценкой по критерию максимума правдоподобия >
величины рн. Для данной выше выборки хю имеем
Эффективность
Кроме критерия максимума правдоподобия, имеются и другие критерии, по которым можно выбирать оценку 0 для параметра 0. Можно сравнивать оценки на основании того, какая из них наиболее часто оказывается ближе всего к истинному значению 0. Выражаясь более точно, пусть р,1Hp— оценки параметра р., теоретического среднего совокупности, распределенной по закону 乂(卩，J) Предположим, чтох)
Е (щ)=卩 Е (卩2)~ N
при всех размерах выборки п, а именно обе оценки в среднем равны р., так что мы не делаем никакого различия между ними на этой основе. Предположим теперь, что дисперсия V (山)оценки 因 меньше V (р.2) дисперсии оценки р,2. Если p，i и р,2 распределены нормально, то выполнение условия
и (Hi) < V 血)
означает, что 卩工 будет подходить к р, более часто, чем р,2 (почему?) ). В этом смысле говорят, что оценка рц более эффективна, чем р,2. Предположим на минуту, что Q —— наименьшая величина дисперсии, которую можно получить при любой несмещенной оценке параметра р.. Тогда мы можем определить эффективность оценки р, параметра р, соотношением
Эффективность .(9.13)
V (р.) дисперсия оценки р,. В частности, при выполнении условий задачи 9.5 будем иметь
Е (%)р,,(9.14)
где N ——число членов (объем) выборки; х ——выборочное среднее (оценка параметра р.); р. — теоретическое среднее; п2—дисперсия совокупности. Другая возможная оценка параметра р., удобная при обработке данных,— это выборочная медиана, пред ста вл я ющая собой центральный член любой группы наблюдений. Например, если
>
尤и = (0, 5, 5, 7, 10, 10, 10, 8, 5, 5, 0),
то, производя перегруппировку членов выборки в соответствии с их величиной (0, 0, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 10, 10), получим, что медиана равна 5 (именно это число стоит в середине выборки). Если
>
x6 = (1, 3, 4, 2, 3, 2),
то, производя перегруппировку членов в соответствии с их величиной, получим
1, 2, 2, 3, 3, 4
и медиана равна
丁 2,5.
Дисперсия медианы равнаДисперсия медианы равна[136, стр. 72]1V£，[136, стр. 72]1V£，
Дисперсия медианы равна
Дисперсия медианы равна
[136, стр. 72]
1V£，
[136, стр. 72]
1V£，
где 。2 ——дисперсия совокупности; N ——число членов выборки; Е ——число, большее или равное единице, которое является функцией числа членов выборки (см. приложение 5).
Хорошо известно, что дисперсия любой несмещенной оценки параметра 卩 должна быть больше или равна дисперсии среднего х [124]. Следовательно, для Q в уравнении (9.13) мы можем использовать выражение (см. также уравнение (9.14))
Q = 3・(9.15)
Следовательно, эффективность медианы равна
Эффективность 工= Е.(9.16)
Таблица зависимости величины Е от N дана в приложении 5.
Заметим, что в приведенных выше примерах объемы выборок при расчете выборочной медианы и выборочного среднего принимались одинаковыми, а именно равными N. Теперь предположим, что размеры этих выборок неодинаковы:
У1 ——объем выборки, когда находится выборочная медиана, У2 — объем выборки, когда находится выборочное среднее.
Тогда отношение дисперсий этих двух оценок равно
(9.17)(9.17)d/%2 — N±EG^NgE =
(9.17)
(9.17)
Предположим, что мы хотим выбрать М и N2 так, чтобы две оценки (выборочное среднее и медиана) были бы одинаково точными, т. е. чтобы были равны дисперсии этих двух оценок
В этом случае величина £ характеризует дополнительную долю испытаний, необходимых для вычисления медианы, по сравнению с их числом, необходимым для вычисления выборочного среднего, при условии получения двух этих оценок одинаково точными.
Важность величины Е становится очевидной, если уяснить себе, что критерий выбора оценки может основываться не на выборе наиболее точной оценки при наименьшем объеме выборки, а характеризовать цену вычисления оценки. Например, хотя х и является наиболее точной оценкой теоретического среднего, однако вычислить ее значительно труднее (при больших выборках), чем медиану. Может оказаться целесообразным взять большее количество членов выборки для вычисления медианы, чтобы получить такую же заданную точность, какую мы получаем в случае среднего. Это может быть целесообразным в том смысле, что стоимость определения дополнительных точек выборки более чем компенсируется уменьшением стоимости обработки данных. В качестве примера рассмотрим следующую задачу ')•
Если данные, собранные для определения медианы, характеризуются ценой 8 центов за каждую экспериментальную точку, а данные для вычисления среднего обходятся нам в 15 центов за точку, то будет ли экономно взять выборку из 100 точек и измерять х или лучше взять достаточно большую выборку, чтобы обеспечить медиану такой же точности, как х?
Чтобы получить ответ на этот вопрос, мы должны определить число членов выборки, требуемое для того, чтобы обеспечить медиану такой же точности, как х. В соответствии с уравнением (9.17)
где N2 ——число членов выборки при определении х, N七 —— число членов выборки при определении медианы. В данном примере
“2= 100,
a 7Vl неизвестно, однако в соответствии с приведенным выше соотношением мы требуем, чтобы
N、Е — TV? ~ 100.
Используя приложение 5, замечаем, что для выборок, объем которых больше двадцати, Е = 0,637. Следовательно,
м (0,637) = 100 или
М = 157.
Стоимость получения среднего х
0,15-100= 15 долл.
Стоимость получения медианы
0,08-157 = 12,56 долл.
Следовательно, в отношении стоимости в этом примере медиана предпочтительнее среднего.
Доверительные интервалы
Продолжим рассмотрение примера разд. 9.4.1, где
Р(%)=—2.
1/2Я
Мы нашли, что % является оценкой по критерию максимума правдоподобия параметра р. и для выборки, полученной из таблицы случайных чисел, % = —0,259. Это число является нашей оценкой теоретического среднего 卩. Естественно задать вопрос: «Насколько хороша эта оценка?» или «Насколько мы уверены в том, что эта оценка близка к истинному значению 卩?》Вопрос о том, насколько мы уверены в величине х как оценке параметра р, или, по сути дела, вообще в значении 0 как оценке параметра 0, является чрезвычайно важным, так как оценка может быть наилучшей возможной оценкой и при этом, однако, лежать далеко от истинного значения. Именно при определении «степени уверенности» возникает задача об определении доверительных интервалов.
Понятие «степени уверенности» характеризует нашу уверенность в том, что оценка лежит вблизи истинного значения. Мы переведем это понятие на математический язык.
Пусть “ 一 вероятность того, что 0, истиное значение оцениваемого параметра, лежит в интервале (0 ——ё, б + ё) или
рб = Р(0-ё<0<О^ 6).(9.18}
Теперь зададим вопрос: «Какова должна быть величина ё, чтобы 戶6 二 95%?». Другими словами, нам нужно найти интервал (6 ——ё, 6 十 6) такой, чтобы с вероятностью 95% мы могли бы утверждать, что число 0 находится в этом интервале. Иначе говоря, если мы берем 100 различных выборок {%}, для каждой из них находим 3 и при этом каждый раз утверждаем, что 0 лежит в интервале (0 —— ё, 0 + ё), тогда мы будем ошибаться «в среднем» в пяти случаях из ста. Другими словами, если мы осуществим указанную выше процедуру определения ё, тогда при большом числе испытаний, в которых мы находим 6, утверждение, что «0 лежит в интервале (9 —— ё, 0 + ё)», будет неправильно в 5% случаев. На примере анализируемой задачи посмотрим, как найти такое 6, чтобы & = 95%, когда в качестве оценки параметра 卩 выбрано х.
В этом случае
А 二 Р(х — 5Vp■VxT-5).
Чтобы определить Р0} заметим, что
Р (— 5Vx—卩 V 6)-— Р(尤一6 v 卩 V 无十 3).(9.19)
Следовательно, все что мы должны сделать,——это определить вероятность в левой части уравнения (9.19). Из центральной предельной теоремы мы знаем, что среднее х распределено по закону N (卩,и2 /«), где о^ ——дисперсия исходной нормальной совокупности, а п —— число членов выборки х. В данном частном примере % имеет распределение N (р., l/孔). Отсюда следует, что величина 丫 = %—— 卩 имеет распределение N (0,1 М)丄).Так как 95%-Р(-ё<у<6),(9.20)
то задача сводится к определению такого 6, что
°'95-=5 吆/Г』=\ %〃(9.21)
Величина ё легко находится из таблиц приложения 6; 6 = 0,62 при п = 10. Следовательно, две доверительные границы для р. с 95% уровнем вероятности равны
L［二无一0,62,Lg — х -\- 0,62.
>—
Однако по данным выборки 修。(см. разд. 9.4.1) мы нашли, что —0,259. Следовательно, & =一 0,879, 5 = 0,361. Теперь мы можем утверждать с 95°о-ной вероятностью, или уверенностью, что 卩 лежит между 丄工 и L2.
Заметим, мы выбрали такой интервал, что с 95%-ной вероятностью мы можем утверждать, что 卩 лежит в этом интервале. Вероятность Р§ является мерой нашей «уверенности» и называется доверительной вероятностью, или уровнем значимости. Интервал (0 — ё, 0 卜 6) или более часто число ё называется 95°о -ным доверительным интервалом. Если нам необходима большая уверенность, например 99/6-ный доверительный интервал, тогда, конечно, ё будет другим (большим). Выбор уровня доверительной вероятности, например 95%, отражает, насколько мы хотим быть уверенными, что теоретическое среднее находится в доверительном интервале.
Задача 9.10. а) Нормальное распределение. Рассмотрите приведенный в тексте пример в случае, когда
丿2r
задана выборка %ю их———0,259. Найдите 99%-ные границы доверительных интервалов для ц.
Нормальное распределение. Величина
**=21()1)/ Р (心)="(因 2‘=1, 2, ..n
распределена по закону %訳).
Следовательно, можно найти два таких значения %^а/2 и %^(1-а/2)， чт0 (2q2 2、
Р ( %?ш/2<< Хп(1—а/2) )=1 —а,
или, что эквивалентно,
Р Г—з—5V 仃2 V —I) =1—а,
' »п(1—а/2)Хпа/2 丿
где с2q2
Al — 2Л2 2
Х^(1—а/2)Хпа/2
характеризуют граничные точки доверительного интервала для ст? с уровнем значимости 1 — а. Найдите 95 и 99% -ные доверительные интервалы для ст2, используя приведенные выше данные. (Таблица распределения %^ приведена в приложении 7.)
Пусть известно, что 卩 = 2. Найдите 95%-ный доверительный интервал для о2, используя приведенные выше данные. (Вспомните, что если 卩 известна, то величина
ст2 no2 распределена по закону %洞
Вспомните, что величина
(%一卩)"几 一1s
имеет ^-распределение. Используя таблицы /-распределения для данных, приведенных в примере 9.4, найдите границы 95%-ных доверительных интервалов для 卩，предполагая, что о2 известна.
Указание: используйте таблицу /-распределения (приложение 11) для определения двух чисел, fo,Q5/2 и ^о,975 (0,975 工 1 ——0,05/2), таких, что
尸 «0,025 < / V %,975)= 1 '~。,05, где
尸(切V3二Р О 片-8)= 1一仇
Используйте это равенство для нахождения двух чисел а и b таких, что 尸(а V 卩 V Ь) = 1 —0,05.
Задача 9.11. Дихотомическая совокупность. Пусть [1 с вероятностью р, [0 с вероятностью 1—р,
х = (1, 0, 0, 1, 0).
Найдите доверительные интервалы, используя три различных уровня вероятности по вашему выбору.
Ответ. См. приложение 8.
Пример: дихотомическая совокупность. Доверительные интервалы для р в случае биномиального распределения при больших объемах выборок
Наиболее типичный пример, с которым встречаются в задачах моделирования,——это установление доверительного интервала для вероятности благоприятного исхода, в случае когда имеются только два возможных исхода эксперимента. Величина р может представлять собой вероятность попадания
См. [125, стр. 219], где приведен вывод этого распределения
снаряда, вероятность перегрузки системы и т. д. Перед тем как приступить к рассмотрению общих аналитических методов, важно подчеркнуть, что существуют таблицы и кривые, которые позволяют найти доверительные интервалы для заданной выборки и для определенного уровня. Эти кривые получены почти таким же образом, как значения величины ё (задача 9.11). В качестве примеров можно рассмотреть две кривые (рис. П8.1 и П8.2). Их использование иллюстрируется в приложении. Мы хотим предупредить, что описанные ниже методы могут применяться только тогда, когда общее число элементов выборки больше 30. Это ограничение обусловливается тем обстоятельством, что в качестве приближения биномиальной плотности используется нормальная плотность вероятностей [115]. Если объем выборки становится больше 30, то в случае обычных применений ошибки от такой замены становятся пренебрежимо малыми. При меньшем объеме выборки нужно применять непосредственно биномиальное распределение [125]. Следовательно» описанными в этом разделе методами можно пользоваться лишь в том случае, когда объем выборки большой (> 30) и когда не существует кривых, соответствующих интересующему нас доверительному уровню.
Максимальные доверительные интервалы и оценка объема выборки. Для начала опишем формальную процедуру получения такого д, что р лежит в интервале (х —S, х + 6) по крайней мере в 95% случаев. Длина такого «консервативного» интервала меньше, чем длина обычного доверительного интервала.
Чтобы найти этот ^консервативный» доверительный интервал, используем следующий метод〉
Пусть х — оценка параметра р. Пусть Умакс (х) -максималь
ное значение дисперсии, где N —— общее число элементов выборки. Тогда при доверительном уровне У % находим граничные точки из соотношения б/ ]/"v макс(^)£2
昱/ fё 2山=:霜，(9.22)
используя стандартные таблицы функции ошибок (см. приложение 6).
В качестве примера положим У = 95%, N = 100. Тогда ё определяется соотношением
6/0^05 /з
—\ 厂斤山= 0,95.(9.23)
" " 一6/0：05
Используя приложение 6, найдем ё = 10". Если эта «ошибка», или «уровень уверенности», приемлема, то дальнейшие вычисления не нужны. Однако предположим, что вычисленная ошибка слишком велика. В таком случае нам хотелось бы найти точный 95?6 ~ный доверительный интервал, который, по всей видимости, будет меньше или равен найденному выше ё. Метод определения более точных доверительных интервалов дан в форме рецепта ниже, однако, перед тем как приступить к его изложению, возникает епественный вопрос относительно того, почему мы должны заниматься изложенной выше процедурой, когда мы имеем в своем распоряжении лучший метод. Ответ будет довольно простым. Заметим, что найденное выше значение ё не зависит от действительно взятой выборки, т. е. не зависит от р, а зависит только от N ——общего числа элементов выборки. Следовательно, мы установили метод приближенного вычисления количества экспериментальных точек, которые требуются нам при заданном размере доверительного интервала. Предположим, например, что мы собираемся начать эксперимент, и хотим знать, насколько длинным он должен быть, если нам известно, что получение одной точки на АВЛА займет
Подробности в приложении 9.
приблизительно секунду. Мы хотим получить 95%-ный доверительный интервал, в котором ё = 0,01. Безусловно, сто экспериментов не позволят нам удовлетворить этим условиям. Используя выражение (9.23) при Y 工 95%, 6 = 0,01, где N——неизвестно, найдем, что N равно приблизительно 104. Если мы знаем, что для получения каждой точки нужна одна секунда, то общее время моделирования приближенно можно оценить величиной порядка восьми минут. Именно таким образом изложенный выше метод находит свое применение.
Для удобства на рис. П.9.1 приведены кривые зависимости дмакс от «количества данных» при определенных доверительных интервалах.
Более точный метод определения доверительных интервалов. Теперь приступим к рассмотрению более чувствительного метода определения доверительных интервалов. Продемонстрировать этот метод удобно на примере с конкретными данными. Тот факт, что наеденное выше д не зависит от экспериментальных данных, позволяет предположить, что мы, конечно, можем получить лучшие оценки, если принять в расчет конкретные экспериментальные данные. С помощью таблицы случайных чисел 1136, стр. 219——225] мы получили искусственную совокупность данных. Результаты приведены в табл. 9.1——9.4.
Тактическая ситуацияИсгиниая вероятность попада-Опыт1234567891010,9111111111120,8111111111130,95111111111140,75011110010150,9110111111160,85111111010170,8111111110180,7111101001190,651011101110100,91111101111Тактическая ситуацияИсгиниая вероятность попада-Опыт1234567891010,9111111111120,8111111111130,95111111111140,75011110010150,9110111111160,85111111010170,8111111110180,7111101001190,651011101110100,91111101111Таблица 9.1Случай 1. Новый метод, Р^ = 0,82Таблица 9.1Случай 1. Новый метод, Р^ = 0,82Тактическая ситуацияИстинная вероятность попадания /'Опыт1234567891010,9111110111120,8100100111130,9111111111140,65011001011150,9111111101160,8101111011070,8111101111180,65101001111090,651010011110100,851111111111Тактическая ситуацияИстинная вероятность попадания /'Опыт1234567891010,9111110111120,8100100111130,9111111111140,65011001011150,9111111101160,8101111011070,8111101111180,65101001111090,651010011110100,851111111111Таблица 9.2Случай 2. Старый метод, Р/. = 0,79Таблица 9.2Случай 2. Старый метод, Р/. = 0,79
Такти
ческая ситуация
Исгиниая вероятность попада-
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
0,95
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,75
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
5
0,9
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
6
0,85
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
7
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
8
0,7
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
9
0,65
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
10
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Такти
ческая ситуация
Исгиниая вероятность попада-
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
0,95
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,75
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
5
0,9
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
6
0,85
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
7
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
8
0,7
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
9
0,65
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
10
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Таблица 9.1
Случай 1. Новый метод, Р^ = 0,82
Таблица 9.1
Случай 1. Новый метод, Р^ = 0,82
Тактическая ситуация
Истинная вероятность попадания /'
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
0,8
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
3
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,65
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
5
0,9
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
6
0,8
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
7
0,8
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
8
0,65
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
9
0,65
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
10
0,85
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Тактическая ситуация
Истинная вероятность попадания /'
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
0,8
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
3
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,65
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
5
0,9
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
6
0,8
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
7
0,8
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
8
0,65
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
9
0,65
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
10
0,85
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Таблица 9.2
Случай 2. Старый метод, Р/. = 0,79
Таблица 9.2
Случай 2. Старый метод, Р/. = 0,79
Тактическая ситуацияИстинная вероятность попадания Р,Опыт1234567891010,9111110111120,8111100110130,95111101111140,751]1010111150,9111111111160,85001111111170,8110111011080,7101101111090,650111111111100,91111110111Тактическая ситуацияИстинная вероятность попадания Р,Опыт1234567891010,9111110111120,8111100110130,95111101111140,751]1010111150,9111111111160,85001111111170,8110111011080,7101101111090,650111111111100,91111110111Таблица 9.3Случай 1. Новый метод, Р“ = 0,82Таблица 9.3Случай 1. Новый метод, Р“ = 0,82Тактическая ситуацияИстинная вероятность попада-Опыт1234567891010,9101111111120,8011111110130,9111111111140,65111001001150,9011111111160,8111111110070,8111111110080,65010100011190,651100010101100,851111011111Тактическая ситуацияИстинная вероятность попада-Опыт1234567891010,9101111111120,8011111110130,9111111111140,65111001001150,9011111111160,8111111110070,8111111110080,65010100011190,651100010101100,851111011111Таблица 9.4Случай 2. Старый метод, Р/2~0,79Таблица 9.4Случай 2. Старый метод, Р/2~0,79
Такти
ческая ситуация
Истинная вероятность попадания Р,
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
0,8
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
3
0,95
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
4
0,75
1
]
1
0
1
0
1
1
1
1
5
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
0,85
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
7
0,8
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
8
0,7
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
9
0,65
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
0,9
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
Такти
ческая ситуация
Истинная вероятность попадания Р,
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
0,8
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
3
0,95
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
4
0,75
1
]
1
0
1
0
1
1
1
1
5
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
0,85
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
7
0,8
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
8
0,7
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
9
0,65
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
0,9
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
Таблица 9.3
Случай 1. Новый метод, Р“ = 0,82
Таблица 9.3
Случай 1. Новый метод, Р“ = 0,82
Тактическая ситуация
Истинная вероятность попада-
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0,8
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
3
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,65
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
5
0,9
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
7
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
8
0,65
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
9
0,65
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
10
0,85
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Тактическая ситуация
Истинная вероятность попада-
Опыт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,9
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0,8
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
3
0,9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
0,65
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
5
0,9
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
7
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
8
0,65
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
9
0,65
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
10
0,85
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Таблица 9.4
Случай 2. Старый метод, Р/2~0,79
Таблица 9.4
Случай 2. Старый метод, Р/2~0,79
Чтобы изложение было более понятным, вообразим следующую ситуацию: предприниматель, занимающийся производством управляемых снарядов определенного типа, не уверен, стоит ли ему произвести изменения в системе управления снарядом. Нужно ли оставить старую систему или следует перейти на новую систему? Он решает выбрать ту систему, которая обеспечивает большую вероятность поражения цели. Однако вероятность попадания снаряда изменяется при изменении тактической ситуации, например она зависит от того, выпускается снаряд с движущего объекта или со стационарного, движется вражеская цель к ракетоносцу или от него и т. д. Предположим, что имеется десять различных тактических ситуаций. В таблицах приведены истинные вероятности попадания, соответствующие каждой тактической ситуации. Конечно, предприниматель не знает этих истинных вероятностей. Если бы он их знал, то никакой дилеммы не было бы. Он бы выбрал снаряд, который имеет самую большую общую истинную вероятность 尸力：
1
(9.24)(9.24)где Pj — истинная вероятность попадания в /-й тактической ситуации х). Решение поставленной задачи связано с проверкой гипотез, к чему мы перейдем в следующем разделе. Здесь же будем исходить из того, что нам нужно найти лишь оценку 戶叮 общей истинной вероятности попадания модернизированного снаряда и вычислить доверительный интервал для этой вероятности. Допустим, что в каждой тактической ситуации произведено по десять выстрелов и получены данные, приведенные в табл. 9.1, причем единица обозначает попадание, а нуль ——промах. Заметим, что в табл. 9.1 = 100. Чтобы найти 95%-ный доверительный интервал, используем следующее выражение:
(9.24)
(9.24)
]/L (1 —L) У ~N
где 尤 —— выборочное среднее, N —— число элементов выборки, у —— такое число, что
儡 2 山=忐，(9.25)
a Y ——доверительный уровень в процентах. Чтобы найти доверительный интервал, разрешим приведенное выше квадратное уравнение (9.24) относительно L. Найденные значения " и £? образуют доверительный интервал (厶3 丄2)2)・ Для примера найдем 95%-ный доверительный интервал для данных, приведенных в табл. 9.1. Вычислим
2 2
х = хтабл.9.1--~^о=”,85,(9.26)
где Хи представляет собой f-й опыт для /-й тактической ситуации. При У = 95% из таблиц функции ошибок найдем, что у = 1,96. Используя уравнения (9.24), получим
г 2-0,85-100+ 1,962 , 1 , /]-27О5Л00 4^1796^2""―
厶"[100+ 1,962]— 土 万 P L100+1, 962 — ] — & -而亦试 工
(9.27)(9.27)= 0,835 土 0,07.
(9.27)
(9.27)
Таким образом, S = 0,07. Сравнивая этот результат с результатом, найденным с помощью описанного в начале раздела метода, убедимся в том, что 6 = 0」
】)Предполагается, что все тактические ситуации равновероятны.—— Прим ред.
Вывод этих соотношений приведен в приложении 10.
на самом деле является консервативной оценкой. Теперь мы сравним приближенный результат 6 = 0,07 с результатами, полученными точными методами. Здесь окажутся полезными рисунки, приведенные в приложении 8. Кривые на этих рисунках были рассчитаны с использованием точных методов (а именно биномиального распределения для х, а не нормального распределения) и, следовательно, могут быть использованы для проверки наших результатов. Походу дела мы научимся пользоваться этими кривыми. Заметьте, что на рис. П8.1 написано «доверительный коэффициент, 1—а = 0,95〉〉・ Это означает, что данный рисунок должен использоваться только для нахождения 95%-ных доверительных интервалов. Обозначения на рис. П8.2 аналогичны обозначениям на рис. П8.1, только вместо 0,95 стоит 0,99. Этот рисунок может быть использован только для нахождения 99%-ных доверительных интервалов. Для проверки наших результатов мы используем, естественно, рис. П8.1. Так как у нас 100 опытов, используем кривые с индексом 100. Процент попаданий в нашем случае был равен 85. В соответствии с этим находим столбец, соответствующий с/м = 0,85. Находим точки пересечения прямой с!п = 0,85 с двумя кривыми с индексами 100. В нашем случае получим 0,07 и 0,24. Доверительный интервал 6 равен
6亏。，76
Следовательно, нами получено очень хорошее приближение 】). Кроме того, вычисленный центр интервала равен 0,835, а из рисунка получаем 0,84. Соотношение (9.27) хорошо апроксимируется формулами
= х —/пх (I —x)
厶二%+今/孔%a - %).(9.28)
Это приближение может использоваться, когда л》у (см. приложение 10). В приведенном выше примере (y/孔) Мл% (1 ——％) = 0,0699. Следовательно, длина доверительного интервала получена в очень хорошем приближении, однако центр интервала оказался сдвинутым.
Важно еще раз подчеркнуть тот факт, что все приведенные выше приближенные методы применимы для выборок большого объема, а именно в случае когда и >30. В случае малых выборок можно непосредственно применять биномиальное распределение.
9.5. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
В задаче о производстве управляемых снарядов, рассмотренной в предыдущем разделе, требовалось найти оценку вероятности попадания РН- Однако во многих задачах моделирования нас интересует не оценка параметров, а изучение влияния двух различных способов организации системы на качество ее работы. Так, например, при производстве снарядов желательно знать, какая из систем, старая или новая, обеспечивает большую вероятность попадания снаряда в цель. Мы должны принять решение о выборе одного из трех предположений:
• Рнг> Рл2
Рнг<^ Рн2
рн「尸н2.
Каждое из этих предположений связано с характером биномиальной функции плотности вероятностей, характеризующей частоту заданного числа успешных
Рекомендуем читателю для практики, а скептику для убеждения найти 95%-ный доверительный интервал для данных, приведенных в других таблицах.
попаданий. Мы будем называть эти предположения гипотезами и введем понятие статистической гипотезы следующим образом.
Определение: статистическая гипотеза — это некоторое предположение относительно функции плотности вероятностей случайной величины.
Положение снарядаПоложение снарядаКакие из гипотез мы будем принимать в качестве «истинных», зависит от исхода эксперимента. Например, если мы нашли, что старая система управления снарядами обеспечивает тридцать попаданий в тридцати опытах, в то время как при новой системе управления число попаданий меньше тридцати, то мы, конечно, предпочтем первую гипотезу другим. Однако этот пример соответствует некотором)^ крайнему случаю. Ясно, что в случае, когда экспериментальные данные не позволяют нам сделать столь явный выбор, мы должны располагать определенной процедурой для выбора гипотезы. Эта процедура связана с выбором критерия проверки гипотезы.
Положение снаряда
Положение снаряда
Рис, 9 2. Относительное положениесамолета и управляемого снаряда ввертикальной плоскости.
Определение: критерий проверки статистической гипотезы —— это совокупность правил, позволяющих решить вопрос о том, принять или отвергнуть гипотезу на основании экспериментальных данных.
Мы вернемся к дилемме, связанной с задачей о производстве снарядов, в следующем разделе. Однако, чтобы упростить изложение, рассмотрим нормально распределенную случайную величину % с неизвестным средним 卩 и ст2 = 1. В качестве конкретного примера рассмотрим самолет, изображенный на рис. 9.2. Обозначим через % расстояние вдоль оси абсцисс от центра самолета до точки пересечения траектории снаряда с вертикальной плоскостью, проходящей через центр самолета. Ради простоты предположим, что среднее 卩 переменной % равно либо нулю, либо 3 км. Мы обозначим эти две гипотезы через "о и % соответственно. Если среднее равно нулю, то, конечно, мы будем продолжать производить старый снаряд. Если ц = 3 км, то мы должны прекратить производство снарядов, выпускаемых в настоящее время, и начать разработку лучших снарядов. Таким образом, нельзя сказать, что перед нами стоит просто задача, связанная с выбором одной из двух совершенно одинаковых для нас альтернатив, так как последствия, к которым приводит выбор гипотезы "о и выбор гипотезы 儿，весьма различны. Принятие гипотезы Яо соответствует сохранению status quo; принятие гипотезы 修 означает большие дополнительные затраты времени и средств. Следовательно, мы должны опасаться возможности отклонения гипотезы Но, когда она справедлива. Этот тип ошибки, ошибка отклонения гипотезы "о， когда она справедлива, называется ошибкой первого рода. Мы хотим сделать вероятность этой ошибки малой. Как мы выполним эту задачу, описывается в следующих разделах.
Мы можем сделать и другую ошибку, называемую ошибкой второго рода, которая состоит s принятии гипотезы Н^ когда она не верна. Однако, так как отклонение гипотезы %, когда она справедлива, приводит к катастрофе, в то время как принятие гипотезы Яо, когда она не верна, приводит лишь к недовольству заказчика, то мы можем не волноваться, если вероятность ошибки второго рода велика, пока вероятность ошибки первого рода мала. Поэтому, какие бы критерии значимости гипотез ни выбирались, мы требуем, чтобы вероятность ошибки первого рода была малой фиксированной величиной, впредь обозначаемой через а.
Наша задача состоит в выборе «наилучшего» критерия проверки гипотезы. Чтобы решить эту задачу, мы должны прежде всего знать, что мы понимаем под проверкой гипотезы. Приведенное выше определение сформулировано в общем виде; оно помогает нам осмыслить это понятие, однако не указывает, как применять его. Чтобы понять, что мы конкретно понимаем под понятием проверки гипотезы, предположим, что мы вводим гипотезу, согласно которой георетическое среднее распределения равно нулю. Если бы у исследователя имелась выборка 尤3 (О, О, 10-6) из этой совокупности, то он склонен был бы принять эту гипотезу; с другой стороны, если бы полученная выборка была х； = (106, 1010, 1012), то можно было бы сомневаться в справедливости этой гипотезы. Заметим, что %з и %； — две точки в трехмерном пространстве. Если задана одна из этих точек, то выбор между отклонением и принятием гипотезы не труден. Идея, которую мы хотим здесь подчеркнуть, состоит в том, что в этом трехмерном пространстве имеются две области 】).Одна из них называется областью принятия гипотезы: при попадании выборки в эту часть пространства гипотеза принимается. Кроме того, имеется область отклонения гипотезы', при попадании выборки в эту область гипотеза отвергается. Эта последняя область обычно называется критической областью. Вопрос, который остается решить: где граница между этими областями? Установление границы определяет критическую область. Выбор критерия проверки гипотезы эквивалентен выбору критической области. Чтобы проиллюстрировать то обстоятельство, что можно выбирать любую из многих возможных критических областей, рассмотрим пример, в котором попутно содержатся важные дополнительные идеи относительно проверки гипотез.
Пример 1. Предположим, что (всегда при одних и тех же условиях) стреляют но некоторой наземной цели. Цель представляет собой большой участок земли, ограниченный окружностью. Важно знать, какова вероятность того, что снаряд попадет в цель. Предположим, что выстрелы взаимно независимы.
р — вероятность попадания, q — вероятность промаха, р 十 q = L Предположим, что
P(S = x)=(2)。х严一二太品矿严一Х，P(S = x)=(2)。х严一二太品矿严一Х，(9.29)(9.29)
P(S = x)=(2)。х严一二太品矿严一Х，
P(S = x)=(2)。х严一二太品矿严一Х，
(9.29)
(9.29)
где п ——число выстрелов, х ——число попаданий.
На основании этих данных (или из каких-либо других соображений) выдвигается статистическая гипотеза Яо, что р = /4. Это эквивалентно предположению (статистической гипотезе), что q — з/& или что Е (S) = п/4.
Предположим, что /г = 3. Введем обозначения: Н — попадание, М — промах;
〃 = 1, Л1 = 0. Пространство выборок, состоящее из всевозможных исходов трех выстрелов, имеет вид ООО, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111. Так как Р (И 1) меньше, чем вероятность любой другой выборочной точки, мы можем условиться отвергать гипотезу, если в результате эксперимента получается эта точка. Мы также можем принять решение отвергать гипотезу, если S = 1. Какой бы критерий мы ни выбрали, точки, при которых
гипотеза отвергается, образуют критическую область.
Определение: критическая область —это та часть пространства выборок, которая соответствует отклонению проверяемой гипотезы.
Рассмотрим задачу про-Рассмотрим задачу про-Пусть Hi обозначает конкурирующую гипотезу (尸=-^ верки гипотезы Но по отношению к гипотезе 儿.
Рассмотрим задачу про-
Рассмотрим задачу про-
Для того чтобы решить, разумно ли выбрана конкретная критическая область, рассмотрим последствия такого выбора. Если гипотеза Но справедлива и экспериментальная точка (х) попадает в критическую область, то гипотеза Но будет отвергнута. Как отмечалось выше, этот тип ошибки называется ошибкой первого рода. Если справедлива гипотеза 儿 и точка % не попадает в критическую область, то будет принята
гипотеза Но. Как и выше, эта ошибка называется ошибкой второго рода. В табл. 9.5 сведены последствия возможных решений.
Таблица 9.5
Но справедлива
Hi справедлива
х в критической области
Ошибка 1-го
Правильное
(гипотеза Hq отвергается)
рода
решение
х вне критической области
Правильное
Ошибка 2-го
(гипотеза Hq принимается)
решение
рода
Определение: величина ошибки первого рода —это вероятность того, что выборочная точка попадет в критическую область, когда справедлива гипотеза //0; величина ошибки второго рода — это вероятность того, что выборочная точка не попадет в критическую область, когда справедлива гипотеза 儿.
Критерий 1. Предположим, что критическая область определяется неравенством %《1. Тогда
а —ошибкаа —ошибкапервогопервого11родарода/3、3-х27/3、3-х27р —ошибка второго родар —ошибка второго рода3—к 1=2・3—к 1=2・
а —ошибка
а —ошибка
первого
первого
1
1
рода
рода
/3、3-х27
/3、3-х27
р —ошибка второго рода
р —ошибка второго рода
3—к 1
=2・
3—к 1
=2・
Критерий 2. Предположим, что критическая область определяется равенством % = 0. Тогда
27 D 7
Р=3Р=327 a=64，27 a=64，Критерий 3. Предположим, что критическая область определяется равенством х = 1. Тогда
Р=3
Р=3
27 a=64，
27 a=64，
Легко видеть, что имеется возможность выбора из большого числа критических областей. Предположим, что мн ограничим этот выбор, и будем искать критическую область только среди тех областей, которые характеризуются определенной ошибкой первого рода. Например, если мы примем
то при этом вхбор критерия 1 немедленно исключается. Ясно, что могут остаться еще много различных возможностей выбора критической области, даже после того как мы наложим ограничения иа наш выбор. В приведенном выше примере останется две возможности использовать критерий 2 и 3. Наша задача ——выбрать «наилучший» критерий из этих двух. В общем cjiyqae наша задача сводится к выбору наилучшего критерия из всех возможных критериев с одним и тем же а. Немедленно приходит в голову такое условие, которому должен удовлетворять наилучший критерий: при заданном а он должен иметь наименьшую соответствующую ему вероятность ошибки второго рода.
Принцип в Ь! б о р а критерия. Среди всех возможных критериев, характеризуемых одной и той же величиной ошибки первого рода, выбираем тот критерий, для которого величина ошибки второго рода минимальна.
Итак, мы хотим выбрать критерий ，такой, что Pz《В/ при любом другом критерии /, что эквивалентно выбору критерия £ таким, что 1 —仇》1 — р/ при всех других критериях /.
Продолжая рассмотрение приведенного выше примера, примем в качестве альтернативной гипотезы Н± гипотезу, согласно которой 1Для этой более общей гипотезы необходимо рассмотреть метод вычисления величины ошибки второго рода в функции от р. Величина этой ошибки будет обозначаться через р (р). Заметим, что ф (р) ~ 1 — р (р). Таким образом, нахождение критерия, при котором минимизируется ошибка второго рода р (р), эквивалентно нахождению критерия, который максимизи-
рует функцию 6 （卩）
Критерий 2:% （р） = （1—卩）％（9.30）
Критерий 3:力з （卩） = 3р （1—卩）2.（9.31）
Функция ф （卩）называется функцией мощности критерия. От этого частного случая перейдем к общему определению.
Определение: функция мощности критерия 力（0） — это функция параметра 0, которая определяет вероятность того, что выборочная точка попадет в критическую область, когда О представляет собой истинное значение параметра.
Рис. 9.3. Кривые функции мощ-ности критерия.
В соответствии с изложенным выше принципом выбора критерия рассмотрим рис. 9.3. Кривая мощности критерия для критерия 3 лежит над кривой мощности критерия для критерия 2 при всех 卩〉1/4; следовательно, критерий 3 следует предпочесть критерию 2 в этом диапазоне изменения 卩.
Так как гипотеза % состоит в том, что 1》卩〉彳，то критерий 3 предпочитают
критерию 2.
Во многих задачах нецелесообразно или невозможно находить функции мощности всех возможных критериев. Поэтому мы должны иметь некоторый общий метод нахождения «наилучшей^ критической области, т. е. критической области £ такой, что кривая мощности критерия ，лежит выше соответствующей кривой для любого другого критерия /.
Такие общие методы разработаны. Не будем испытывать терпение читателя, развивая теории, лежащие в основе выбора этих критериев. Вместо этого мы приведем важ-
ные теоремы, применяются рекомендуем идеи.Задачаные теоремы, применяются рекомендуем идеи.Задача9.12. Пусть9.12. Пустьр（%）=_р（%）=_%!%!Это распределение называется распределением Пуассона. Зададимся гипотезами //0: а）九 = 0,2; 6）九 = 2; в）九=20 и //< ц = 4. Найдите различные критические области для фиксированного а при различных р при объеме выборки /г = 3. （Указание. Заметьте, что если каждая из 勺 распределена по закону Пуассона, то сумма У =打 十 & 十 尤3 также распределена по закону Пуассона, а именноЭто распределение называется распределением Пуассона. Зададимся гипотезами //0: а）九 = 0,2; 6）九 = 2; в）九=20 и //< ц = 4. Найдите различные критические области для фиксированного а при различных р при объеме выборки /г = 3. （Указание. Заметьте, что если каждая из 勺 распределена по закону Пуассона, то сумма У =打 十 & 十 尤3 также распределена по закону Пуассона, а именноР（У）=Р（У）=?一 3为（3九产?一 3为（3九产Если положить % — у/3, тоЕсли положить % — у/3, то〃（£） =〃（£） =6一3々3 九）зК（Зх）!6一3々3 九）зК（Зх）!и, следовательно, мы можем определить нашу критическую область некоторыми числами q и с2 такими, что мы отвергаем "о, еслии, следовательно, мы можем определить нашу критическую область некоторыми числами q и с2 такими, что мы отвергаем "о, еслиилиилиилиилиС2qС2qи т. д）.и т. д）.X < CiX < Ciиллюстрируя их подходящими примерами, и затем расскажем, как они в задачах моделирования. Перед тем как приступить к дальнейшему, решить следующие задачи, которые помогут усвоить изложенные выше
ные теоремы, применяются рекомендуем идеи.
Задача
ные теоремы, применяются рекомендуем идеи.
Задача
9.12. Пусть
9.12. Пусть
р（%）=_
р（%）=_
%!
%!
Это распределение называется распределением Пуассона. Зададимся гипотезами //0: а）九 = 0,2; 6）九 = 2; в）九=20 и //< ц = 4. Найдите различные критические области для фиксированного а при различных р при объеме выборки /г = 3. （Указание. Заметьте, что если каждая из 勺 распределена по закону Пуассона, то сумма У =打 十 & 十 尤3 также распределена по закону Пуассона, а именно
Это распределение называется распределением Пуассона. Зададимся гипотезами //0: а）九 = 0,2; 6）九 = 2; в）九=20 и //< ц = 4. Найдите различные критические области для фиксированного а при различных р при объеме выборки /г = 3. （Указание. Заметьте, что если каждая из 勺 распределена по закону Пуассона, то сумма У =打 十 & 十 尤3 также распределена по закону Пуассона, а именно
Р（У）=
Р（У）=
?一 3为（3九产
?一 3为（3九产
Если положить % — у/3, то
Если положить % — у/3, то
〃（£） =
〃（£） =
6一3々3 九）зК（Зх）!
6一3々3 九）зК（Зх）!
и, следовательно, мы можем определить нашу критическую область некоторыми числами q и с2 такими, что мы отвергаем "о, если
и, следовательно, мы можем определить нашу критическую область некоторыми числами q и с2 такими, что мы отвергаем "о, если
или
или
или
или
С2q
С2q
и т. д）.
и т. д）.
X < Ci
X < Ci
Задача 9.13. Изобразите наил'чшую из этих критических областей в трехмерном пространстве.
Задача 9.14. Используя наил^ чшую критическую область, найденную при решении задачи 9.12, проверьте гипотезу Но, воспользовавшись такими данными:
x3=2, 6, 1）.
Задача 9.15. Изобразите функцию мощности критерия 力（九）для задачи 9.13.
Простые гипотезы
В примере 1, рассматривая вероятность попадания снаряда в цель, мы ввели несколько гипотез. В частности, согласно одной из гипотез,
"о : Р =彳•
Заметим, что р ——это параметр биномиального распределения. Эта гипотеза полностью определяет биномиальную функцию распределения вероятностей, так как она определяет величину единственного параметра этого распределения. Гипотеза, которая полностью определяет функцию распределения вероятностей, называется простой гипотезой. В противоположность этому рассмотрим гипотезу
儿：彳W Р & L
Эта гипотеза не является простой, так как она не определяет величину р, а только диапазон, в котором лежит эта величина. Такая гипотеза называется сложной. В качестве другого примера рассмотрим плотность распределения вероятностей
._ （优一卩）2
P （招卩，0） =- е~ 2N
Гипотеза
"о: ц — О,
когда величина о известна, является простой гипотезой. Однако гипотеза"о ： [1 = и
—— сложная гипотеза. Сначала мы будем изучать простые гипотезы. Рассмотрим снова простую гипотезу
"о ： Р =彳•
Заметим, что на рис. 9.3 кривая % （р） не лежит над кривой ^2 （р） при всех значениях параметра р. При значениях параметра р V ； критерий 2 лучше.
Если бы 0з （р） была бы больше, чем ^2（Р）при всех значениях параметра р, тогда критерий 3 назывался бы наиболее мощным критерием. Следующая теорема, называемая леммой Неймана ——Пирсона, дает основу для выбора критической области, которая соответствует наиболее мощному критерию.
Л е м м а Неймана — Пирсона. Если существует такая критическая область С. характеризуемая ошибкой первого рода а, и такая положительная постоянная 右,что внутри области С
и вне области С（9 32）
где ро и р!—— функции плотности вероятностей в предположении, что справедливы соответственно гипотезы "о и Яь то выбор области С дает наиболее мощный критерий.
Пример 2. Пусть рассматриваемая совокупность имеет плотность вероятностей
у 2л'
Пусть
//q ： |1 йд,Н^ ' ^1 61,
где 6。и 6]——два действительных числа.
Пусть л обозначает число независимых элементов выборки. Тогда
п（Х- —бо）2
*口工克ё，（9-33）
n（看一出）2
Р1=П у= •（9.34）
Следовательно, п
— О 二 ёхp [ （60 — 6" 2 看"] ^3扌一63）] •（9.35）
Из неравенства
In & < In 尼（9.36）
следует, что
А 丄 S % w Г 平 + 弟d •（9.37）
几 Q do —L 21 n （di—do） J''
Выбор параметра k определяет величину правой части уравнения. Следовательно, правая часть может принимать любое значение. Таким образом, найдется такое k, при котором вероятность того, что х будет меньше, чем правая часть, может быть сделана равной а
Рис. 9.4. Плотность вероятностей распределения выборочного среднего х для нормальной совокупности. Ci — критическая область при 61 < 62； С2 — критическая область при 6】 > б2.
при 卩 = 6°. Следовательно, условие теоремы, что критическая область размера а существует, удовлетворено; более того, критическая область определяется правым хвостом функции плотности вероятностей перемен ной х （см. рис- 9.4）. Так как неравенство будет иметь место при всех Si〉6°, то отсюда следует, что при
"о：Н=6о "] ： “ = 6] 6]〉瓦
нужно выбирать правый хвост кривой для х. Если 6】 V до, то знак неравенства меняется, н следует выбирать левый хвост кривой для х.
Пример 3. Пусть.
f （支）=（;）严（1一p严7,
где х соответствует числу благоприятных исходов при /г испытаниях, ар — вероятность благоприятного исхода.
ПустьПустьHq ' р =卩о,Н1: р 卩「Тогда/о (%)=(； ) Ро (1—卩о产后(％)=(；)片(1—(9.38)Следуя методу, разобранному в примере 2, полагаем也(9.39)илиPif(l-Po)f —Ргв-Р1)п-Х .Hq ' р =卩о,Н1: р 卩「Тогда/о (%)=(； ) Ро (1—卩о产后(％)=(；)片(1—(9.38)Следуя методу, разобранному в примере 2, полагаем也(9.39)илиPif(l-Po)f —Ргв-Р1)п-Х .Прологарифмировав обе части этого неравенства и разрешив полученное соотношение относительно %, найдемПрологарифмировав обе части этого неравенства и разрешив полученное соотношение относительно %, найдемIn 左一/1 In J——-I 卩 0 (1 -卩 1) (1 一卩0)卩1In 左一/1 In J——-I 卩 0 (1 -卩 1) (1 一卩0)卩1(9.40)(9.40)Замечая, что х соответствует числу благоприятных исходов при п испытаниях, заключаем, чтоЗамечая, что х соответствует числу благоприятных исходов при п испытаниях, заключаем, что4 0, если исход z-ro испытания неудачен,1, если исход Z-ro испытания удачен.Следовательно, наилучшая критическая область, если таковая существует, является плоскостью в /г-мерном пространстве, у довлетворяющей условию4 0, если исход z-ro испытания неудачен,1, если исход Z-ro испытания удачен.Следовательно, наилучшая критическая область, если таковая существует, является плоскостью в /г-мерном пространстве, у довлетворяющей условию1=11=1In k — n In ；——~in 卩 0(1—卩 1)1n 7^)7ГIn k — n In ；——~in 卩 0(1—卩 1)1n 7^)7Г(9.41)(9.41)Вполне возможно, что в этом случае наилучшая критическая область при выбранном а не существует, потому что наше выборочное пространство в данном примере дискретно, а не является непрерывным, как в предыдущем примере. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, предположим, что а = 0,05. Можно видеть, что при /г = 3, 卩о = 1 /2 критической области этого размера нет; следовательно, при а = 0,05, не может быть наилучшего критерия.Пример 4.Вполне возможно, что в этом случае наилучшая критическая область при выбранном а не существует, потому что наше выборочное пространство в данном примере дискретно, а не является непрерывным, как в предыдущем примере. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, предположим, что а = 0,05. Можно видеть, что при /г = 3, 卩о = 1 /2 критической области этого размера нет; следовательно, при а = 0,05, не может быть наилучшего критерия.Пример 4.卩⑺=卩⑺=入Ae—九尤！入Ae—九尤！Hq ：九=九0， 权］:九=九］.Hq ：九=九0， 权］:九=九］.Чтобы найти наилучшуюЧтобы найти наилучшуюкритическуюкритическуюкритерия проверки гипотезы, заметим, чтокритерия проверки гипотезы, заметим, чтообласть (объем выборки равен п) для этогообласть (объем выборки равен п) для этого卩o=U卩o=UР1Р1
Пусть
Пусть
Hq ' р =卩о,Н1: р 卩「
Тогда
/о (%)=(； ) Ро (1—卩о产
后(％)=(；)片(1—(9.38)
Следуя методу, разобранному в примере 2, полагаем
也(9.39)
или
Pif(l-Po)f —
Ргв-Р1)п-Х .
Hq ' р =卩о,Н1: р 卩「
Тогда
/о (%)=(； ) Ро (1—卩о产
后(％)=(；)片(1—(9.38)
Следуя методу, разобранному в примере 2, полагаем
也(9.39)
или
Pif(l-Po)f —
Ргв-Р1)п-Х .
Прологарифмировав обе части этого неравенства и разрешив полученное соотношение относительно %, найдем
Прологарифмировав обе части этого неравенства и разрешив полученное соотношение относительно %, найдем
In 左一/1 In J——-
I 卩 0 (1 -卩 1) (1 一卩0)卩1
In 左一/1 In J——-
I 卩 0 (1 -卩 1) (1 一卩0)卩1
(9.40)
(9.40)
Замечая, что х соответствует числу благоприятных исходов при п испытаниях, заключаем, что
Замечая, что х соответствует числу благоприятных исходов при п испытаниях, заключаем, что
4 0, если исход z-ro испытания неудачен,
1, если исход Z-ro испытания удачен.
Следовательно, наилучшая критическая область, если таковая существует, является плоскостью в /г-мерном пространстве, у довлетворяющей условию
4 0, если исход z-ro испытания неудачен,
1, если исход Z-ro испытания удачен.
Следовательно, наилучшая критическая область, если таковая существует, является плоскостью в /г-мерном пространстве, у довлетворяющей условию
1=1
1=1
In k — n In ；——~
in 卩 0(1—卩 1)1n 7^)7Г
In k — n In ；——~
in 卩 0(1—卩 1)1n 7^)7Г
(9.41)
(9.41)
Вполне возможно, что в этом случае наилучшая критическая область при выбранном а не существует, потому что наше выборочное пространство в данном примере дискретно, а не является непрерывным, как в предыдущем примере. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, предположим, что а = 0,05. Можно видеть, что при /г = 3, 卩о = 1 /2 критической области этого размера нет; следовательно, при а = 0,05, не может быть наилучшего критерия.
Пример 4.
Вполне возможно, что в этом случае наилучшая критическая область при выбранном а не существует, потому что наше выборочное пространство в данном примере дискретно, а не является непрерывным, как в предыдущем примере. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, предположим, что а = 0,05. Можно видеть, что при /г = 3, 卩о = 1 /2 критической области этого размера нет; следовательно, при а = 0,05, не может быть наилучшего критерия.
Пример 4.
卩⑺=
卩⑺=
入Ae—九尤！
入Ae—九尤！
Hq ：九=九0， 权］:九=九］.
Hq ：九=九0， 权］:九=九］.
Чтобы найти наилучшую
Чтобы найти наилучшую
критическую
критическую
критерия проверки гипотезы, заметим, что
критерия проверки гипотезы, заметим, что
область (объем выборки равен п) для этого
область (объем выборки равен п) для этого
卩o=U
卩o=U
Р1
Р1
Тогда
e-n(X0-Xi)e-n(X0-Xi)
e-n(X0-Xi)
e-n(X0-Xi)
Используя рассмотренный выше метод, найдем область, для которой справедливы неравенства
In —- М In 瓦
Так как
m—九 1) +(2 修)in ，
成=1 го при наилучшим выборе области удовлетворяются неравенства
В порядке упражнения опишите наилучшую область в случае,когда 入°》入］.При /1=2 изобразите наилучшую критическую область при заданном а.
Задача 9.16. Распределение времени безотказной работы системы описывается выражением
卩(Е) = е—^'/》О. Вводим гипотезы
Яо : Л = 4 час~^ Нг: %= 10 ча^1.
Найдите нанлуишн自 критерий при а = 0,05.
Испытывались десять систем. Их время безотказной работы было: 1, 15, 2. 29, 18. 7, 4, 6, 18, 12 час. Проверьте гипотезу Но относительно гипотезы Н&.
Сложные гипотезы
Во многих задачах моделирования нас интересует не оценка качества работы системы как таковой, а оценка того влияния, которое оказывает на систему ее модификация, или сравнительные показатели работы системы в двух различных режимах. В качестве примера в разд. 9.4.4 мы поставили задачу о производстве управляемых снарядов, где нужно было выбирать одно из двух решений: сохранение системы в существующем виде или ее модификация. При этом желательно выбрать систему, которая обеспечивает большую вероятность поражения цели. Однако вероятность попадания снаряда в цель изменяется при изменении условий перехвата цели. На первый взгляд может показаться, что нужно выбрать систему, которая характеризуется наибольшей полной вероятностью попадания. Однако это не обязательно. Если вероятность попадания, обеспечиваемая системой до ее модификации (尸由，равна 0,5, а вероятность попадания, обеспечиваемая системой после ее модификации, равна 0,505, то можно все еще предпочесть Рд так как разность Ptl — Pt2 может быть недостаточной для оправдания затрат, необходимых, чтобы модифицировать систему. Мы проиллюстрируем решение этой задачи ниже. В начале, однако, следует заметить, что проводимый ниже анализ применим к любой дихотомической совокупности, то есть к совокупности, в которой при одном испытании могут быть только два исхода. В случае, который будет рассмотрен, исходами являются попадание либо промах при одном выстреле. При исследовании поточных линий исходом может служить пригодность или непригодность изделия на выходе линии (определяемая техническим контролем); в общем случае применительно к задачам моделирования исходами могут быть благоприятные или неблагоприятные реакции системы на заданный входной сигнал.
Вернемся к дилемме, возникшей в связи с задачей о производстве управляемых снарядов. Нужно проверить гипотезу
Яо :В】С % относительно гипотезы
Н*・.р 卩 Р%.
Гипотеза Яо утверждает, что система без модификации эквивалентна модифицированной системе или лучше ее. Уместно спросить: почему бы нам не проверить гипотезу "о : Pfi > 尸土2 относительно гипотезы Н^ 尸打 WPt2 или
〃0：尸/1上>尸心 относительно гипотезы Hj PtYP%
Как мы условились, в качестве "о используется гипотеза, отклонение которой, в случае когда она справедлива, обойдется нам дороже, чем отклонение конкурирующей гипотезы, когда она справедлива. Ясно, когда в рассматриваемом выше случае мы будем считать, что системы работают различно и модифицированная система работает лучше^ в то время как на самом деле это не так, то это обойдется нам значительно дороже, чем если мы отвергнем гипотезу Ри V 尸⑵ когда она справедлива, особенно если разность | Ри — Pt2 | мала. Следовательно, если мы принимаем гипотезу 尸〃 > Р^, то это означает, что мы должны изменить систему, подвергнув ее определенной модификации. Такие изменения чрезвычайно дороги. Следовательно, принимать гипотезу 尸м > Pt2 мы можем лишь с большой осторожностью; в таком случае ее следует считать гипотезой 儿 }
Из табл. 9.1 и 9.2 нам уже известно, что
Л1 = 0,82,22 = 0,79.
Таким образом, у нас то преимущество, что мы знаем о гипотезе //0, что она неверна, а справедлива гипотеза ЯР Следовательно, любой критерий, который мы используем, должен привести к этому же заключению. Мы теперь опишем формальным образом очень чувствительный критерий проверки таких гипотез. Нам также придется указать па его ограничения ).
Сначала используем табл. 9.1 и 9.2 для иллюстрации. Мы уже нашли, что [см. уравнение (9.26)]
% = %та6п. 9.1 ~ 0,85.
Теперь вычислим выражение
f— ,(9.42)
где
а %订 соответствует i-му опыту при /-й тактической ситуации,咒「——число опытов для одной тактической ситуации и п；— число тактических ситуаций. Для данных табл. 9.1 имеем
5Х — 0? 108.
(9.43)(9.44)(9.43)(9.44)Работая с данными, приведенными в табл. 9.2, получим ю ю e 2奶
(9.43)
(9.44)
(9.43)
(9.44)
= °，8。，
“ = ]/&%# = °，⑶，
где
10
a yjj ——исход Z-го опыта при /-й тактической ситуации, согласно табл. 9.2. Мы используем формулу 刀
t = 尤一gnxny (^x + ^y一2)(9 45)
где nx — число опытов на одну тактическую ситуацию, согласно табл. 9.1; & = 10.
Пу — число опытов на одну тактическую ситуацию, согласно табл. 9.2; пу = 10. Следовательно,
/-0,885.
Прежде чем перейти к дальнейшему, мы должны решить вопрос о том, в какой степени мы хотим быть уверенными в наших результатах. А именно, если мы отвергнем гипотезу Яо в пользу гипотезы 修，то в какой степени мы хотим быть уверенными в правильности нашего выбора? Можем ли мы пойти на риск, допуская одну ошибку в десяти таких задачах, одну ошибку в ста, в двухстах и т. д.? Заметим, что наибольшая вероятность отклонения гипотезы "о，когда она справедлива, имеет место в том случае, когда 夕仆=Р%・ Как упоминалось, вероятность отклонения гипотезы Н^ когда Р% = Р%, называется уровнем значимости. Для иллюстрации мы будем использовать 5%-ный уровень значимости; а именно нам нужно посмотреть, что случится, если мы хотим избежать отклонения гипотезы Яо, когда она справедлива, по крайней мере в 95% случаев.
Теперь мы используем таблицу распределения Стьюдента (см. приложение 11). Если У обозначает уровень значимости, то мы используем столбец К Например, если наш уровень значимости равен 0,05, тогда мы используем столбец, отмеченный индексом 0,05, а именно /0195 или ——tQ^ Далее мы находим строку, обозначенную через df, что обозначает число степеней свободы, которое равно пх + пу — 2; в иллюстрирующем примере число степеней свободы равно 18. На пересечении выбранных столбца и строки стоит число 1,734. Мы принимаем гипотезу Яо, если вычисленное значение критерия / меньше, чем 1,734. Мы отклоняем гипотезу Яо в пользу гипотезы Яь если вычисленное значение / больше, чем 1,734. Так как в рассматриваемом случае / = 0,885, мы принимаем гипотезу Яо. Заметим, что при этом мы ошибаемся. Это означает, что для выявления различия между работой модифицированной и немодифици- рованной систем было взято недостаточно данных ). Конечно, следовало ожидать, что после проведения лишь двухсот экспериментов будет принята гипотеза так как разность Pi2 —— 夕厶 равна только 0,03.
Теперь посмотрим, что случится, когда имеется 400 данных. Рассмотрим дополнительные данные из табл. 9.3 и 9.4, комбинируя эти данные с данными табл. 9.1 и 9.2 соответственно. В этом случае мы найдем, что
х = 0,84, sx — 0,061, у = 0,79, 力= 0,888
/ =0^05 /Т00Й8 = ] 9Я
у 10^0,0037 4- 0 Г0079) «20 -，’
Используя таблицу ^-распределения (Стьюдента), мы найдем, что различие между работой немодифицированной и модифицированной систем 工)все еще неразличимо при уровне значимости 0,05, однако различие явно выступает при уровне значршости 0,1. А именно, используя эти данные, мы можем по крайней мере с 90/о-ной вероятностью утверждать, что между этими двумя режимами работы системы имеется существенное различие. Чтобы выявить различие при уровне 0,05, следует взять большее количество данных.
Имеются определенные ограничения по применению описанного выше критерия, однако они не являются серьезными, когда число элементов выборки достаточно велико, как в данном примере. Эти ограничения подробно рассматриваются в работе 1125], разд. 11. 5.1 и 11.5.2. Упомянем здесь лишь об одном ограничении: данный критерий нельзя применять в тех случаях, когда одна из вероятностей Pt близка к нулю или к единице, а другая близка к 0,5. В таких необычных случаях различия между немодифицированной и модифицированной системами будут очевидны из наблюдений и могут быть количественно оценены с помощью грубого, но эффективного критерия различия, приведенного в приложении 12. Этот метод не будет здесь рассматриваться, так как он применим в частном случае и, кроме того, полностью описывается в приложении 12.
Мы обещали рассказать, как можно проверить гипотезу
HQ: Рц > 匕2 относительно 1ипотезы Н{: Ри < Р^.
Чтобы совершить такую проверку, произведем обращение положений переменных х и у в уравнении (9.45). Опять-таки, если Z меньше, чем число, которое можно найти в таблице ^-распределения (Стьюдента), то принимаем гипотезу "о・ Если оно больше, чем это число, то отвергаем гипотезу % в пользу гипотезы ЯР
Оценка необходимого количества данных
Другая важная проблема состоит в оценке минимального количества данных, необходимого для проверки гипотезы при заданном уровне значимости. На рис. П13.1 —— П13.3 и П13.5 изображены графики зависимости Р ст 0У пг при различных значениях параметра пг и различных уровнях значимости; на этих рисунках
Р ——вероятность принятия гипотезы Но как функция ог бУпг；
0 — истинная разность Рй —— 夕^；
П] — число тактических ситуаций;
пг ——число опытов на одну тактическую ситуацию (одно и то же для любой тактический ситуации).
Заметим, что существуют две абсциссы — одна для гипотезы 修 :Рц> Р2 и другая для гипотезы Нг : Р〃 <； Рг2. Чтобы использовать эти графики, необходимо до эксперимента установить вероятность Р при заданном几/.
Например, предположим, что вы хотите проверить гипотезу Яо : Pti^Ptz относительно гипотезы "丄：Рп > Pt2 при уровне значимости 0,025. Используем рис. П13.1, т. е. меньшую абсциссу. Предположим, что вы хотите избе-
Подчеркнем, что понятие «модификации» системы здесь используется только с иллюстративной целью; можно рассматривать любые другие случаи изменения параметров системы.
жать принятия гипотезы Яо по крайней мере в 909о случаев, когда истинная разность 0 равна 0,20 и когда пт = 9. Используя рис. П13.1, найдем, что п「= 16. Следовательно, если мы хотим избежать отклонения 0, равной 0,20, с 〜 90%-ной вероятностью при уровне значимости 0,025, у нас должно приходиться приблизительно 16 опытов на каждую тактическую ситуацию lj ).
Неравное количество опытов
До сих пор мы рассматривали только случаи, когда число пг в каждой тактической ситуации имело одну и ту же величину. Легко рассмотреть и случаи, когда число опытов не одно и то же. Предположим, что мы имеем совокупность данных, приведенных в табл. 9.6.
Число опытов на одну тактическую ситуацию мы легко можем сделать одним и тем же, отбрасывая опыты с номерами, большими трех, и затем рассматривая отброшенные опыты как составляющие новой тактической ситуации. Например, мы можем взять опыты, находящиеся в столбцах 4——9 для тактической ситуации 1, и сгруппировать их в две новые тактические ситуации, 6 и 7, как это показано в табл. 9.7.
Аналогичным образом мы можем рассматривать опыты 4, 5 и 6 тактической ситуации 2 как составляющие новой тактической ситуации 8, что отражено в табл. 9.8.
Таким образом, мы можем использовать всю теорию, развитую для случая равного количества опытов, также и при неравном количестве опытов. В табл. 9.9 представлен другой возможный пример. Используя описанный ниже процесс редукции, мы получим один опыт для каждой из тринадцати тактических ситуаций ).
Когда тактические ситуации рандомизированы, можно сказать, что имеется лишь одна тактическая ситуация, так как в этом случае мы ищем лишь среднюю вероятность попадания. Следует заметить, что подобный метод полезен при оценке количества данных, необходимых для проверки гипотез. В этом случае нужно использовать рис. П13.1 —П13.3. Предположим, что мы хотим найти такое пг в случае, когда В = 0」，/2T = 9, уровень значимости
0,025, чтобы Р = 10%. Обратившись к рис. П13.1, мы обнаружим, что для этого случая кривая не приведена. Предположим, что 几『，^ 36. Тогда получим пг ^ 16. Полное число опытов пт，几「= 576, так что мы можем теперь распределить это число среди девяти тактических ситуаций, так чтобы пг было одним и тем же для каждой тактической ситуации. Если этого сделать нельзя, то число опытов, оставшихся неразделенными, следует распределить среди тактических ситуаций случайным образом.
Другой вид проверки гипотез
При априорном определении числа опытов пГу необходимого для обнаружения при заданном доверительном уровне различия 0О, когда оно существует, выше мы рассматривали случаи, когда гипотеза Яо была более важной, чем гипотеза Яь в том смысле, что отклонение гипотезы HQ в случае ее справедливости приводит к более серьезным последствиям, чем отклонение гипотезы /Л в случае справедливости последней. Предположим, мы имеем гипотезы
"о 1 % < Л2, 仇：Ai > Л2,
причем ни одна из этих гипотез не является более важной, чем другая, в указанном выше смысле. В этом случае к решению такой задачи можно подойти по-другому. Наш вопрос состоит в следующем: «Какова вероятность принятия гипотезы Яо, когда имеет место соотношение 0 = Pt2 —戸力=90 (^о — некоторая численная величина)?» Следует заметить, что
p(修1备)=1 一p(%|®, где
Р (Но I 00)——вероятность принятия гипотезы Яо 几夕〃 условии, что 0 = 0О, Р (Hi ( 0О) — вероятность принятия гипотезы Hi при условии, что 0 = Оо-
Заметим, что мы здесь не устанавливаем уровень значимости, т. е. мы предполагаем, что гипотеза Яо будет принята, если х (оценка величины Pt^ меньше, чем у (оценка величины PQ. Другими словами, гипотеза Яо принимается, если 无——у V 0; в противном случае принимается гипотеза ЯР Очевидная опасность такого подхода состоит в том, что если величина 0 достаточно мала, то вероятность принятия неправильного решения будет близка к 0,5. Тем не менее данный подход полезен в том случае, когда нежелательно приписывать незаслуженный вес гипотезе Яо.
На рис. П13.5 приведен график зависимости Р (Яо | 0О) от ^Уnrt где пт является параметром 】).
Замечания
В связи с примером, рассмотренным в разд. 9.5.2, необходимо сделать одно замечание. Мы описали методы проверки гипотез частного вида. Эти методы были развиты для специально спланwрованкого эксперимента, а именно такого, когда & одинаково для всех тактических ситуаций, когда случайные величины распределены по закону биномиальному распределения, когда 几т 几г》30 и т. д. Конечно, когда величины 〃「для разных тактических ситуаций неодинаковы, то можно найти способ сделать их равными, как это было проиллюстрировано выше. Метод исследования, выводы и критерии проверки гипотез справедливы только для тех экспериментов, которые удовлетворяют этим допущениям. Практически, чтобы эти допущения выполнялись, необходимо соответствующим образом планировать эксперимент.
Как пользоваться этими кривыми, объясняется в разд. П13.2.
ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПРИ НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
В разд. 9.5.1 обсуждались методы проверки гипотез "о •卩卩0， "1 •卩н卩1
при
（а 卩）2/202 р （х） = '~
когда величина о была известна. Однако во многих представляющих интерес практических случаях о не известна. Чтобы проверить приведенные выше гипотезы, в случае когда о не известна, следует применять следующую процедуру:
Установить сс.
Вычислить f =（X — 口0）/（s/夕2）.
Найти величину параметра £仪 для （几——1）-й степени свободы в таблице /-распределения Стьюдента （приложение 11）.
Рис. 9.5. Плотность вероятностей/-распределения, если справедливагипотеза Яо.
При 卩 1 > Цо гипотеза % отвергается, если t > Q. При 卩i < ц0 гипотеза Hq отвергается, если
В случае, когда конкурирующей гипотезы Н» нет, гипотеза "о отвергается, если I 1
Откуда получились эти правила, можно понять, если заметить, что распределение величины （%——^^{s/^ti） является /-распределением, график
Рис. 9.6. Плотность вероятностей /-распределения.Рис. 9.6. Плотность вероятностей /-распределения.л — если справедлива гипотеза 儿；б — если справедлива гипотеза "о н 卫1 > “о； 8 — критическая область.л — если справедлива гипотеза 儿；б — если справедлива гипотеза "о н 卫1 > “о； 8 — критическая область.
Рис. 9.6. Плотность вероятностей /-распределения.
Рис. 9.6. Плотность вероятностей /-распределения.
л — если справедлива гипотеза 儿；б — если справедлива гипотеза "о н 卫1 > “о； 8 — критическая область.
л — если справедлива гипотеза 儿；б — если справедлива гипотеза "о н 卫1 > “о； 8 — критическая область.
которого приведен на рис. 9.5. Теоретическое среднее этого распределения равно нулю, если справедлива гипотеза "卜 Если справедлива гипотеза Н{ и 卩丄 > 卩о，то среднее сдвигается вправо, как указано пунктиром на рис. 9.6. Критическая область заштрихована. Ясно, что ошибка второго рода 卩 определяется соответствующей площадью под пунктирной кривой. Если бы мы
18*
выбрали в качестве критической области противоположный хвост, то величина 卩 была бы больше. Поэтому в данном случае в качестве критической области необходимо выбирать правый хвост. Если конкурирующей гипотезы не имеется,
Рис. 9.7. Равномерное распределение критической области между обоими хвостами распределения, если справедлива гипотеза Hq.
т. е. если мы не имеем априорных сведений о том, какая из величин 卩储 卩。 больше, то этот недостаток информации отражается в том, что мы распределяем а между обоими хвостами (рис. 9.7).
ЕЩЕ ОДИН ПОДХОД
В предыдущих разделах были изложены элементы теории, которую теперь обычно называют классической теорией проверки гипотез, хотя эта теория возникла лишь 60 лет назад. При элементарном классическом подходе рассматриваются гипотезы Яо и Яь причем гипотезе Яо приписывают больший вес, устанавливая до проведения экспериментов величину ошибки первого рода. Решение склоняет в пользу Яо, устанавливая малую ошибку первого рода; чем меньше ошибка первого рода, тем больше мы склоняемся к тому, чтобы в конце концов принять гипотезу 仇.Выбор веса (величины ошибки первого рода) можно произвести, рассмотрев полные потери %, связанные с ошибкой первого рода. Средние потери, обусловленные ошибкой первого рода, будут 取 1(х. Если потери Wia слишком велики, то, конечно, следует уменьшить сс. Аналогично можно установить полные потери W^ обусловленные ошибкой второго рода 卩.Средние потери, обусловленные ошибкой второго рода, будут 历20・ Если эти потери слишком велики, то их можно уменьшить, произведя большее количество опытов.
Чтобы наши утверждения были более точными, следует заметить, что сс — вероятность выбора гипотезы Hi при условии справедливости гипотезы = Р (修 I "о);
В — вероятность выбора гипотезы Н^ при условии справедливости гипотезы Hi = Р (/ I %). Следовательно, 吼сс и 吃卩一это средние потери, при условии, что справедливы соответственно гипотезы Яо и 儿.Предположим, что мы хотим вычислить полные потери, обусловленные нашими действиями, при отсутствии априорной информации, т. е. в случае, когда мы ничего не знаем о справедливости гипотез % и %. После того как получены экспериментальные данные, могут иметь место 4 случая:
Яо справедлива, и мы выбираем Яо.
"о справедлива, а мы выбираем
Я1 справедлива, а мы выбираем Яо.
Я1 справедлива, и мы выбираем 乩.
Предположим, что потери, обусловленные либо случаем 1, либо случаем 4, равны нулю, так как это именно те события, к которым мы стремимся. Тогда полные средние потери W равны
W ~ WtP (Яо справедлива, а мы выбираем /7, +
+ %Р (修 справедлива, а мы выбираем Яо) (9.46) или
W = WtP (Яо справедлива) Р (Ht | Яо) + W2P (Hi справедлива) Р (Яо | /А) или
W = W^P (Яо справедлива) + W720P (修 справедлива)
Заметим, что в этих формулах введены две новые величины, априорные вероятности гипотез Яо и Hi соответственно. Предполагая, что такие априорные вероятности существуют, из уравнения (9.46) можно получить выражение для средних потерь в случае нашего критерия. Следует заметить, что при классическом подходе величины а и 6 устанавливаются до эксперимента. Именно на основе выбора величины а выбирается критическая область. Нет никакой гарантии, что выбранная таким образом критическая область соответствует минимуму полных средних потерь. Различие между таким подходом и «классическим» состоит в изменении понятия «наилучшего критерия проверки гипотез»; а именно, наилучшим будет не тот критерий, который при заданном а обладает наибольшей мощностью, а тот, которому соответствует критическая область, обеспечивающая минимум полных средних потерь. Чтобы показать, как это происходит, допустим, что Ао —— область принятия гипотезы. Через Pq (х) обозначим плотность распределения вероятностей случайной переменной, когда справедлива гипотеза Яо, а через pi (х) обозначим плотность распределения вероятностей, когда справедлива гипотеза Тогда
Р ("о ； Н^= \ р! (х) dx,(9.47)
P(〃/〃0)= l— \ Po(x)dx.
В этом случае уравнение (9.46) принимает вид U7 = WtP (% справедлива) — W±P (仇 справедлива) х
X [ \ ро (%) d%] + W2P (/Л справедлива) g Pi (%) d%. (9.48)
Легко видеть, что полные потери W минимизируются, если критическая область Л 0 представляет собой множество точек, удовлетворяющих неравенству
Ро") . Р 皿 справекива) %/п 45
Pi (х) / Р(〃о справедлива) ^ *I •丿
На практике при таком подходе к задаче проверки гипотез возникает ряд трудностей, как, например, выбор потерь W2 и Wt, и интерпретация априорных вероятностей Р (Hi справедлива) и Р (Яо справедлива). Тем не менее принцип «минимизации средних потерь» при выборе наилучшего критерия проверки гипотез постепенно вытесняет классический подход, основанный на выборе критерия наибольшей мощности. Следует подчеркнуть, что существует много различных принципов проверки гипотез; из них надо выбирать такой, который наилучшим образом соответствует рассматриваемой задаче.
10. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ВЫЯВЛЕНИЕОШИБОК АВМ)
ВВЕДЕНИЕ
В гл. 9 был рассмотрен ряд основных методов, применяющихся при оценке и проверке гипотез. Тем самым частично был дан ответ на поставленный в начале главы вопрос о соответствии или несоответствии экспериментальных данных некоторой теоретической гипотезе. При этом, однако, была лишь слегка затронута одна очень важная с точки зрения техники моделирования проблема. Речь идет о том, как можно установить, что в процессе многократного повторения решений на АВМ собрано достаточное количество экспериментальных данных для получения статистически достоверных результатов. Ставя этот вопрос, мы стремимся исключить возможность получения лишней информации, т. е. сберечь машинное время, но не в результате уменьшения количества извлекаемой в процессе решения информации. Обсуждению этого вопроса посвящена первая часть главы.
Одновременно мы обсудим еще одну задачу: как определить, не искажена ли полученная информация из-за сбоев в работе машины? Такие сбои возможны при решении на АВМ статистической задачи, но как их выявить? Случайные процессы не имеют ничего общего с задачами других видов, которые решаются на АВМ. Наиболее существенное различие между ними заключается в том, что при решении статистической задачи два однократных процесса решения, соответствующие одним и тем же условиям, не могут быть одинаковыми. Подобное положение при решении на АВМ задач других типов свидетельствует о нарушении режима работы АВМ. Для задач, связанных со случайными процессами,— это нормальное явление. Закономерность в решении начинает выявляться только после многократного повторения процесса решения, когда выборочное среднее стремится к измеряемому статистическому параметру.
При решении на АВМ детерминированных задач повторение процесса решения необходимо для того, чтобы обнаружить ошибку, внесенную машиной. Однако такой способ бесполезен при анализе случайных процессов, когда не бывает даже двух одинаковых однократных процессов решения одной и той же задачи. Иногда ошибка, возникающая в результате отказа какого-либо из основных решающих элементов, становится очевидной, так как статистические характеристики решения изменяются коренным образом. В большинстве же случаев эти ошибки столь незначительны, что неопытный оператор не в состоянии выделить их из решения, имеющего статистический характер. Ниже будет описан ряд статистических критериев, которые могут быть использованы для выявления ошибок, вносимых АВМ.
Последняя задача вводит нас в область непараметрической статистики с ее характерными методами, которых мы до сих пор не касались. Тем не менее при ее решении используются те же основные понятия, с помощью которых анализировалась задача, описанная несколько выше. И эти идеи, которые были развиты в предыдущей главе, позволят разработать единый метод решения обеих задач. Чтобы придать нашему изложению конкретность, ответы на по-
ставленные выше вопросы будут даны применительно к построению гипотетической специализированной вычислительной машины в виде небольшой и недорогой приставки к АВМ. Эта специализированная вычислительная машина в процессе моделирования автоматически обрабатывает полученные на АВМ экспериментальные данные.
Все операции по обработке этих данных, которые должна выполнять специализированная вычислительная машина, могут быть также выполнены с помощью тех логических и запоминающих систем, которыми располагает выпущенная недавно аналого-цифровая вычислительная машина (см. разд. 11.4). В процессе последующего обсуждения будут указаны логические операции, которые нужно запрограммировать на аналого-цифровой вычислительной машине, чтобы она могла выполнять функции специализированной машины.
Применение такой специализированной вычислительной машины позволяет предотвратить потери времени, вызываемые остановками машины для выполнения промежуточного статистического анализа с целью определения достаточности полученной информации или выяснения того, не было ли сбоев у АВМ в процессе решения. «Гипотетическая» машина использована при описании методов, которые излагаются в данной главе. Это делается с той целью, чтобы читатель знакомился с применением этих методов непосредственно после того как они будут изложены, причем самым конкретным образом.
Чтобы придать обсуждению большую определенность, введем два термина для обозначения этой вычислительной машины. Каждый термин соответствует одной из ее функций, являющихся предметом дальнейшего обсуждения. Хотелось бы подчеркнуть, что эти названия вводятся исключительно для придания изложению большей ясности и они отнюдь не означают, что речь идет о двух различных вычислительных машинах. Следует четко усвоить, что обе поставленные выше задачи решаются одними и теми же методами. Мы будем называть нашу вычислительную машину сигнализатором резкого изменения вероятностных характеристик в тех случаях, когда она используется для выявления сбоев моделирующей установки. Когда же машина определяет достаточность полученной информации для проведения достоверного статистического анализа, мы называем ее измерителем вероятностных характеристик,
ИЗМЕРИТЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Вычислительная машина, как указано выше, используется как измеритель вероятностных характеристик, когда она определяет достаточность полученной информации для проведения достоверного статистического анализа. Однако к обсуждению данной темы не имеет смысла переходить до тех пор, пока не установлено, что мы понимаем под термином достоверный статистический анализ. Применение термина достоверный закономерно только в том случае, когда точно определено, какого рода анализу мы намерены подвергнуть экспериментальные данные. Мы рассматриваем здесь только задачу, связанную с определением достаточности полученной информации для выбора доверительного интервала, который заключен внутри определенных доверительных границ, а также задачу, связанную с определением достаточности полученной информации для принятия гипотезы с заданным уровнем значимости. Методы, разработанные в результате анализа этих задач, позволяют решать не только их, но могут также использоваться при рассмотрении значительно более широкого круга задач. Прежде всего мы рассмотрим задачу определения достаточности полученной информации для выбора доверительных интервалов определенного размера и уровня.
Для того чтобы предлагаемый нами способ разрешения этой задачи был достаточно общим, начнем с того, что по отдельности рассмотрим типы распределений, которые чаще всего встречаются при моделировании.
Биномиальное распределение. Доверительный интервал для вероятности 夕
Напомним, что биномиальное распределение имеет место в тех задачах, где каждый однократный процесс решения на АВМ приводит либо к «благоприятному исходу», либо к «неблагоприятному исходу». Так, например, при моделировании пуска снарядов класса воздух——воздух исходят из того, что результатом каждого пуска может быть либо поражение цели, либо промах.
Рис. 10.1. Границы критической области при доверительном уровне, равном 95%, и доверительном интервале, равном 0,15, для биномиального распределения.Рис. 10.1. Границы критической области при доверительном уровне, равном 95%, и доверительном интервале, равном 0,15, для биномиального распределения.j 二0Q°-3n x^HEKnduo莒д в^j 二0Q°-3n x^HEKnduo莒д в^
Рис. 10.1. Границы критической области при доверительном уровне, равном 95%, и доверительном интервале, равном 0,15, для биномиального распределения.
Рис. 10.1. Границы критической области при доверительном уровне, равном 95%, и доверительном интервале, равном 0,15, для биномиального распределения.
j 二0Q°-3n x^HEKnduo莒д в^
j 二0Q°-3n x^HEKnduo莒д в^
При исследовании на вычислительной машине работы некоторой технологической линии в результате каждого однократного процесса решения получают «годную» или «бракованную» деталь, а при исследовании устойчивости новой конструкции самолета, управляемого снаряда или, в общем случае, некоторого «черного ящика» в результате однократного процесса решения определяется «устойчивость» или «неустойчивость».
Чтобы проиллюстрировать применение метода, предположим, что мы хотим обеспечить 95%-ную вероятность «благоприятного исхода» каждого испытания при доверительном интервале, равном 0,15. Обратимся снова к рис. П8.1, где изображены кривые, ограничивающие доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности 95% и являющийся функцией С-числа испытаний, завершившихся благоприятным исходом, а также rz-общего числа испытаний. Например, для определенного числа п находим на оси абсцисс такую точку, которой соответствует расстояние между кривыми по оси ординат, равное 0,15. Мы используем нижний ряд чисел для получения точек на кривой и верхний ряд для получения точек на кривой С2 (см. рис. 10.1). Обратите внимание, что для каждой точки этих кривых выполняется соотношение Ci + С2 ^= л. Решение задачи всегда начинается при условии Ci<CcC2. Как только будет выполнено условие С > С2 или С < Сь количество полученных данных гарантирует, что доверительный интервал меньше чем 0,15 и процесс моделирования заканчивается. Чтобы запрограммировать соответствующий датчик, необходимо построить функцию двух переменных С и 几，одна из которых принимает значения, лежащие в диапазоне C1KCWC2, а другая ——п изменяется вдоль всей числовой оси. Методы воспроизведения функций двух переменных были описаны в гл. 5.
Доверительные интервалы для параметра Z-теоретического среднего распределения Пуассона ')
Для распределения Пуассона с помощью табл. 10.1 можно построить кривые, подобные кривым, изображенным на рис. П8.1 и П8.2. Кроме того, и именно это важнее всего для нас в данном случае, с помощью табл. 10.1 для доверительного интервала заданного размера, соответствующего определенному уровню доверительной вероятности, можно построить зависимость количества испытаний с «благоприятным исходом» С от общего количества
7 灯豊纟 xHulnd§D备 о 言h7 灯豊纟 xHulnd§D备 о 言h仿仿Прекращайте ]сксп 廓!JNenm * 叩〃 пересечении I кривой
7 灯豊纟 xHulnd§D备 о 言h
7 灯豊纟 xHulnd§D备 о 言h
仿
仿
20 30 初 50 60 70 во 30 100 ПО 120 130 7勿 150
Объем выборки, л
Рис. 10.2. Критическая область, соответствующая 9э?о-номудоверительному уровню и 20%-ному (±0,1) доверительномуинтервалу для распределения Пуассона.
испытаний п. Так, например, выбрав размер доверительного интервала равным 0,20 и уровень доверительной вероятности равным 0,95, мы получим зависимость С、= f (л), изображенную на рис. 10.2. Кривая & строится следующим образом. Определенному значению количества испытаний с «благоприятным исходом» С соответствует некоторый доверительный интервал АС. Общее количество испытаний п мы определяем из соотношения АС//г = 0,2. Пусть, например, С = 5. Тогда доверительный интервал, соответствующий уровню доверительной вероятности 0,95, равен АС = 11,67 —— 1,62 = 10,05. Следовательно, для доверительного интервала, равного 0,2,
仁号^50.
Очевидно, что график на рис. 10.2 можно использовать в тех случаях, когда выборочное среднее С In мало.
В тех случаях, когда выборочное среднее много больше единицы, пуассоновское распределение приближается к нормальному. В этом случае доверительные интервалы для выборочного среднего можно определить с помощью распределения Стьюдента случайной величины 九 На основе этих данных можно построить кривую, аналогичную изображенной на рис. 10.2.
Процесс моделирования начинается при условии С > ©】,которому соответствует доверительный интервал, значительно больший чем 0,2. Исходя из выбранного нами критерия, считаем, что количество данных достаточно, когда выполняется условие С V СР Следовательно, в данном случае надо иметь датчик, определяющий момент пересечения линии СР
Определение распределения Пуассона см. в приложении 4 и в задаче 9.12.
Если С ——измеренная частота благоприятных исходов, а тА доверительные границы ее математического ожидания т, тоЕсли С ——измеренная частота благоприятных исходов, а тА доверительные границы ее математического ожидания т, тоand Formulas, John Wiley andand Formulas, John Wiley and
Если С ——измеренная частота благоприятных исходов, а тА доверительные границы ее математического ожидания т, то
Если С ——измеренная частота благоприятных исходов, а тА доверительные границы ее математического ожидания т, то
and Formulas, John Wiley and
and Formulas, John Wiley and
1—2a
0,9981
0,99
0,981
0,951
и”
0
1—2a
a
0, 001
0,005
0,01
0,025
0,05
a
C
нижняя
верхняя
нижняя
верх-
нижняя
верх-
нижняя
верхняя
нижняя
верх-
С
0
0,00000
6,91
o,oooool
5,30
0,0000
4,61
0,0000
3,69
0,0000
3,00
0
1
0,00100
9,23
0,00501
7,43
0,0101
6,64 1
0,0253
5,57
0,0513
4,74
1
2
0,0454
11,23
0,103
9,27
0,149
8,41
0,242
7,22
0,355
6?30
2
3
0,191
13,06
0,338
10,98
0,436
10,05
0,619
8,77
0,818
7,75
3
4
0,429
14,79
0,672
12,59
0,823
11,60
1,09
10,24
1,37
9,15
4
5
0,739
16,45
1,08
14.15
1,28
13,11
1,62
11,67
1,97
10,51
5
6
1,11
18,06
1,54
15,66
1,79
14,57
2,20
13,06
2,61
11,84
6
7
1,52
19f63
2,04
17,13
2,33
16,00
2,81
14,42
3,29
13,15
7
8
1,97
21,16
2,57
18,58
2,91
17,40
3,45
15,76
3,98
14,43
8
9
2,45
22,66
3,13
20,00
3,51
18,78
4,12
17,08
4,70
15,71
9
10
2,96
24,13
3,72
21,40
4,13
20,14
4,80
18,39
5,43
16,96
10
11
3,49
25,59
4,32
22,78
4,77
21,49
5,49
19,68
6,17
18,21
11
12
4,04
27,03
4,94
24,14
5,43
22,82
6,20
20,96
6,92
19,44
12
13
4,61
28,45
5,58
25,50
6,10
24,14
6,92
22,23
7,69
20,67
13
14
5,20
29,85
6,23
26,84
6,78
25,45
7,65
23,49
8,46
21,89
14
15
5,79
31,24
6,89
28,16
7,48
26,74
8,40
24,74
9,25
23,10
15
16
6,41
32,62
7,57
29,48
8,18
28,03
9,15
25,98
10,04
24,30
16
17
7,03
33,99
8,25
30,79
8,89
29,31
9,90
27,22
10,83
25,50
17
18
7,66
35,35
8,94
32,09
9,62
30,58
10,67
28,45
11,63
26,69
18
19
8,31
36,70
9,64
33,38
10,35
31,85
11,44
29,67
12,44
27,88
19
20
8,96
38,04
10,35
34,67
11,08
33,10
12,22
30,89
13,25
29,06
20
21
9,62
39,38
11,07
35,95
11,82
34,36
13,00
32,10
14,07
30,24
21
22
10,29
40,70
11,79
37,22
12,57
35,60
13?79
33,31
14,89
31,42
22
23
10,96
42,02
12,52
38,48
13,33
36,84
14,58
34,51
15,72
32,59
23
24
11,65
43,33
13,25
39,74
14,09
38,08
15,38
35,71
16,55
33,75
24
25
12,34
44,64
14,00
41,00
14,85
39,31
16,18
36,90
17,38
34,92
25
26
13,03
45,94
14,74
42,25
15,62
40,53
16,98
38,10
18,22
36,08
26
27
13,73
47,23
15,49
43,50
16,40
41,76
17,79
39,28
19,06
37,23
27
28
14,44
48,52
16,24
44,74
17,17
42,98
18,61
40,47
19,90
38,39
28
29
15,15
49,80
17,00
45,98
17,96
44,19
19,42
41,65
20,75
39,54
29
30
15,87
51,08
17,77
47,21
18,74
45,40
20,24
42,83
21,59
40,69
30
35
19,52
57,42
21,64
53,32
22,72
51,41
24,38
48,68
25,87
46,40
35
40
23,26
63,66
25,59
59,36
26,77
57,35
28,58
54,47
30,20
52,07
40
45
27,08
69,83
29,60
65,34
30,88
63,23
32,82
60,21
34,56
57,69
45
50
30,96
75,94
33,66
71,27
35?03
69,07
37,11
65,92
38,96
63,29
50
Таблица 10.1
Доверительные границы для математического ожидания величины, характеризуемой распределением Пуассона 】）
и тв — нижняя и верхняя
Р （加厶 <m<mB）<l — а.
1） Таблица перепечатана из книги Н а 1 d А., Statistical Tables Sons, New York, 1 952, p 203.
Описание общей методики 工)
После того как построены кривые, аналогичные кривым, приведенным на рис. П8.1 и П8.2, не составляет труда воспроизвести зависимости вида С ~ f (孔).Следовательно, задача заключается в разработке общего метода построения кривых, определяющих доверительный интервал в зависимости от общего числа испытаний п и значения оцениваемого параметра, который мы обозначим через 0. Так, для биномиального распределения 8 = р, а для пуассоновского распределения 0 = Z. Через 0 мы будем обозначать статистику, используемую для оценки параметра 0. Так, например, в разд. 10.2.1 была использована оценка 0 = % = C/孔. Пусть р (х; 0)——рассматриваемая нами функция плотности вероятностей] уровень значимости равен 1 —— а, а функция h (0; 0) — плотность вероятностей оценки 0. (Вспомните, что любая статистика является случайной величиной. Дайте этому объяснение.) Допустим, что 0 = 0О. Поскольку величины BQ и п фиксированы, значение плотности вероятностей Л (0; 0О) определено. Следовательно, можно найти такие значения 0! и 02? что
[Л(0; 0О) d0=l-^ ,
Г(1。」)
,/1(0; 00)do=l-| , 02
если плотность вероятностей й (3; 00)——непрерывная функция. В противном случае в уравнениях (10.1) вместо знаков интеграла появляются знаки суммы (tj. В результате получаются кривые, подобные тем, что изображены на рис. П8.1 и П8.2. Доказательство того факта, что расстояние между линиями, соответствующее определенным значениям /? и 0, определяет величину доверительного интервала, мы предоставляем читателю (см. [125]).
Нормальное распределение. Доверительные интервалы для теоретического среднего jn, когда ст известно
Как было показано в предыдущей главе, размер доверительного интервала, соответствующего уровню доверительной вероятности 1 ——а, определяется выражением
2 w g где ги/9 ——число, удовлетворяющее следующему равенству:
—U \ eY/2d/ = a.(10.2)
"2л;)''
%/2
Следовательно, в данном случае величина доверительного интервала не зависит от оценки 0 = %. Таким образом, если известна величина среднего квадратичного отклонения о, можно априори определить число испытаний п, необхо-
Более подробное рассмотрение вопросов, затронутых в данном разделе, см. в работе [125, разд. 10.2.4].
димое для обеспечения доверительного интервала заданного размера, который будет соответствовать заданному уровню доверительной вероятности. Использовать измеритель вероятностных характеристик в этом случае не нужно.
Нормальное распределение. Доверительные интервалы для дисперсии ст2
Как было показано в гл. 9, доверительные границы для о2, соответствующие доверительному уровню 1 — а, равны
s2s2
^(a/2)df (Л'-l)%(1-а/2) df (N-1)
где индекс df (^ — 1) указывает число степеней свободы.
Величина интервала, следовательно, равна
"(а/2) df (N—1) Х(1—а/2) df (Л'-1)
Очевидно, что размер интервала является функцией s2 и п. При постоянной величине доверительного интервала можно нанести зависимость s2 = f ⑺ на диаграммную бумагу, вставленную в двукоординатный (ху) построитель кривых, и использовать рассмотренный в разд. 10.2.1 метод, который заключается в том, что по достижении заданного размера интервала процесс моделирования прекращается автоматически. Однако в данном случае такая методика приводит к необходимости вычислять значение
в процессе эксперимента, причем этот расчет не является тривиальным. Для выполнения такого расчета измеритель вероятностных характеристик должен быть дополнен значительным количеством элементов, что не отвечает характеру этого устройства. Необходимо найти другую статистическую оценку для дисперсии а2 —— такую, которая, возможно, не будет столь же точной J), но определение которой потребует меньшего объема вычислений. Поиск такой статистической оценки приводит нас в область непараметрической статистики, и мы сейчас отклонимся от основной темы для того, чтобы изложить некоторые из ее основных понятий.
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Вводные замечания
Как в гл. 9, так и выше в данной главе мы предполагали известным вид функции распределения или плотности вероятностей, характеризующей рассматриваемую случайную величину. Чтобы получить сведения о законе распределения, мы пытались получать информацию о его параметрах. Так, при рассмотрении ряда примеров мы полагали, что совокупность имеет нормальное распределение. Мы стремились получить информацию о нормальном распределении, пытаясь оценить среднее значение и (или) дисперсию. Во многих случаях, однако, вид распределения не известен и, следовательно, нельзя оценить параметры распределения. Тем не менее может потребоваться информация относительно некоторых характеристик этого неизвестного распределения. Могут, например, оказаться полезными сведения о том, симметрично ли
Обсуждение проблемы эффективности оценки см. в разд. 9.4.2.
данное распределение относительно некоторой точки, скажем нуля, или нет 工). В таком случае совсем не обязательно пытаться оценить или определить какой- либо параметр распределения. Вместо этого можно воспользоваться другими методами. Так как они не используются при определении параметров, их объединяют под названием «непараметрическая» статистика.
Во многих случаях непараметрические методы обладают таким существенным достоинством, как простота. Даже в тех случаях, когда закон распределения известен и можно использовать параметрические методы, иногда проще воспользоваться непараметрическими критериями, причем последующая обработка информации оказывается легче и дешевле. Размах выборки R является примером «непараметрической» статистики, которая сама по себе проще и которой легче пользоваться, чем ее «параметрическим» двойником 5. Использование этой статистики описывается ниже.
Размах выборки
Выше указывалось, что вычисление выборочной дисперсии s? слишком сложно для того, чтобы выполнять его с помощью измерителя вероятностных характеристик. В других приложениях, таких, как контроль качества в промышленности, объем вычислений, необходимых для определения выборочной дисперсии, с учетом их повторяемости также крайне обременителен. Требуется другая статистика, определение которой сопровождается лишь небольшим количеством вычислений. Такой статистикой является размах выборки R:
R.71 — I ^Ln ~ ^^71 I» (10*4)
где %l几——наибольшее значение случайной величины в выборке; xSn ——наименьшее значение случайной величины в выборке. Применение размаха выборки оказывается наиболее заманчивым при использовании измерителя вероятностных характеристик, так как при малом объеме выборки эта статистика позволяет оценить среднее квадратичное отклонение о почти так же эффективно, как и выборочное среднее квадратичное отклонение s.
Следует отметить, что размах выборки является случайной величиной и, следовательно, ему соответствует некоторое распределение. Мы, однако, не будем заниматься выводом зависимостей, характеризующих закон распределения размаха выборки в общем или одном из частных случаев (см. по этому поводу [125, стр. 238]). Мы ограничимся обсуждением использования этого критерия при работе с измерителем вероятностных характеристик. Рассмотрим пример, который описывает достаточно общую ситуацию: имеется случайная выходная величина, дискретные по времени значения которой распределены нормально, причем среднее значение и может быть как известно, так и неизвестно, а среднее квадратичное отклонение о неизвестно. В этом случае среднее значение Е (R) размаха выборки R равно а几о, а среднее квадратичное отклонение о (R) равно B"O, где коэффициенты art и §几 являются значениями табулированных функций и зависят от объема выборки п (см. табл. 10.2) 2).
Квантили Wp распределения размаха выборких)
п
m W) ап
o(W) %
o/m %
Вероятность, %
п
0,05
о, 1
0,5
2,5
5,0
10, 0
20,0
30,0
40, 0
50,0
60, 0
70,0
80, 0
90,0
95,0
97,5
99, 0
1
99,5
99,9
99, 95
2
1,128
0,893
0,756
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,09
0,18
0,36
0,55
0,74
0,95
1,20
1,47
1,81
2,33
2,77
3,17
3,64
3,97
4,65
4,92
9
3
1,693
0,888
0,525
0,04
0,06
0,13
0,19
0,30
0,43
0,62
0,90
1,14
1,36
1,59
1,83
2,09
2,42
2,90
3,31
3,68
4,12
4,42
5,06
5,31
3
4
2,059
0,880
0,427
0,16
0,20
0,34
0,43
0,59
0,76
0,98
1,29
1,53
1,76
1,98
2,21
2,47
2,78
3,24
3,63
3,98
4,40
4,69
5,31
5,56
4
5
2,326
0,864
0,371
0,31
0,37
0,55
0,66
0,85
1,03
1,26
1,57
1,82
2,04
2,26
2,48
2,73
3,04
3,48
3,86
4,20
4,60
4,89
5,48
5,72
5
6
2,534
0,848
0,335
0,47
0,54
0,75
0,87
1,06
1,25
1,49
1,80
2,04
2,26
2,47
2,69
2,94
3,23
3,66
4,03
4,36
4,76
5,03
5,62
5,86
6
7
2,704
0,833
0,308
0,61
0,69
0,92
1,05
1,25
1,44
1,68
1,99
2,22
2,44
2,65
2,86
3,10
3,39
3,81
4,"
4,49
4,88
5,15
5,73
5,96
7
8
2,847
0,820
0,288
0,75
0,83
1,08
1,20
1,41
1,60
1,83
2,14
2,38
2,59
2,79
3,00
3,24
3,52
3,93
4,29
4,61
4,99
5,26
5,82
6,04
8
9
2,970
0,808
0,272
0,88
0,96
1,21
1,34
1,55
1,74
1,97
2,28
2,51
2,71
2,92
3,12
3,35
3,63
4,04
4,39
4,70
5,08
5,34
5,90
6,12
9
10
3,078
0,797
0,259
1,00
1,08
1,33
1,47
1,67
1 ,86
2,09
2,39
2,62
2,83
3,02
3,23
3,46
3,73
4,13
4,47
4,79
5,16
5,42
5,97
6,19
10
11
3,173
0,787
0,248
1,10
1,20
1,45
1,58
1,78
1 ,97
2,20
2,50
2,72
2,93
3,12
3,32
3,55
3,82
4,21
4,55
1,86
5,23
5,49
6,04
6,25
11
12
3,258
0,778
0,239
1,21
1,30
1,55
1,68
1,88
2,07
2,30
2,59
2,82
3,01
3,21
3,41
3,63
3,90
4,29
4,62
4,92
5,29
5,54
6,09
6,31
12
13
3,336
0,770
0,231
1,30
1,39
1,64
1,77
1,97
2,16
2,39
2,68
2,90
3,09
3,29
3,48
3,70
3,97
4.35
4,69
4,99
5,35
5,60
6,14
6,36
13
14
3,407
0,762
0,224
1 ,38
1,48
1,72
1 ,86
2,06
2,24
2,47
2,75
2,97
3,17
3,36
3,55
3,77
4,03
4,41
4,74
5,04
5,40
5,65
6,19
6,40
14
15
3,472
0,755
0,217
1,46
1,56
1,80
1,93
2,14
2,32
2,54
2,83
3,04
3,23
3,42
3,62
3,83
4,09
4,47
4,80
5,09
5,45
5,70
6,23
6,45
15
16
3,532
0,749
0,212
1,53
1,63
1,88
2,01
2,21
2,39
2,61
2,89
3,11
3,30
3,48
3,67
3,89
4,14
4,52
4,85
5,14
5,49
5,74
6,28
6,49
16
17
3,588
0,743
0,207
1,60
1,69
1,94
2,07
2,27
2,45
2,67
2,95
3,17
3,35
3,54
3,73
3,94
4,19
4.57
4,89
5,18
5,54
5,79
6,32
6,52
17
183,6400,7380,2031,661,752,012,142,342,512,733,013,223,413,593,783,994,244,614,935,225,575,826,356,56
193,6890,7330,1991,721,822,072,202,392,572,793,063,273,463,643,834,034,294,654,975,265,61 5,866,386,59
203,7350,7290,1951,781,882,122,252,452,632,843,113,323,513,693,874,084,334,695,015,305,65 5,896,416,62
18
19
20
Пример： при 孔=10 находим, что m (IF)=3,U78; <т(1Ь)=0,797 и Р (1А< 4,79)=97,5%. 。
Размах выборки з равен разности значений наибольшего и наименьшего членов выборки, т. е. w^wn^x(n)——％«). Нормированный размах определяется как IF=^/a~w(n)——w(i). В таблице приводятся значения математического ожидания нормированного размаха m (IFn)=pn, среднего квадратичного отклонения нормированного размаха ^(W^JnBn, коэффициента уп=рп/ап и квантилей Wp при п=2(1)20. Очевидно, что
<У(^п)^₽пП,Р^<^р)=Р (託<о)=尸・
Имея 总 выборок объема п из совокупностей с одинаковой дисперсией, можно вычислить k значений размахов шп ... , Шд и средний размах з=(д+ ...十⑪九)/瓦 Очевидно, что математическое ожидание среднего размаха определяется как т (^)=апп и среднее квадратичное отклонение как a (w)^pna/}^k . При 5<；九<^1° распределение среднего размаха w близко к нормальному, даже для небольшого количества выборок 力.Следовательно, величина w/an будет являться несмещенной нормально распределен ной оценкой и со стандартным отклонением, равным 丁几仃/]/力.Доверительные границы для и определяются следующим образом：
1 + Up1 + Up<^<<^<2 Vk2 Vk
1 + Up
1 + Up
<^<
<^<
2 Vk
2 Vk
Перепечатано из книги Ы а 1 d A., Statistical Tables and Formulas, p 60, 61, Wiley, New York, 1952.
Таблицу co значениями математического ожидания нормированного размаха а^ и диаграмму для определения значений среднего квадратичного отклонения нормированного размаха “ можно найти в статье Типпета: Tippett L. С. Н. On the Extreme- Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Popula- tion, Biometrika) 17, p. 364—387 (1925). Таблица значений Pn {U/} при n = 2 (1)20 и W = 0,00 (0,05) 7,25 была опубликована Пирсоном (Pearson E. S.) в журнале Biometrica, 32, p. 301 — 308 (1942). (Значения для n > 20 см. у Типпета.)
Нормированную случайную величину
можно приближенно считать распределенной по нормальному закону N (0, 1). Следовательно, из таблиц нормального распределения можно найти два таких числа Га/2 И 门—а/2, ЧТО
илиилиp ( %/2 A —^^—式гl-a/2 )=1 一 ap ( %/2 A —^^—式гl-a/2 )=1 一 a(10.6)(10.6)
или
или
p ( %/2 A —^^—式гl-a/2 )=1 一 a
p ( %/2 A —^^—式гl-a/2 )=1 一 a
(10.6)
(10.6)
< an l + q_a/2Vn %i 1 十%/2%г
Таким образом, величина доверительного интервала для среднего квадратичного отклонения о, соответствующего уровню доверительной вероятности (1 — a/100), равна
I ] +%/2%-帀?l-a»
Если мы хотим, чтобы размер интервала был меньше некоторой заранее определенной величины S, то в момент, когда выполняется условие
RWRW5an5an(Ю.7)(Ю.7)
RW
RW
5an
5an
(Ю.7)
(Ю.7)
1十%/2Y君 1十大一g1/2Y也
мы прекращаем решение на АВМ. При использовании измерителя вероятныххарактеристик зависимость Sn =/(〃), полученная из табл. 10.2, наноситсяна диаграммную бумагу, вставленную в двухкоординатный построитель
力ВхоО力ВхоОблокблоксравнениясравнения期 при ® >УеJiT叩U工i '『Lf期 при ® >УеJiT叩U工i '『Lf亚f亚fНа считывающую головку wjwcmpou- теля кривыхНа считывающую головку wjwcmpou- теля кривыхБлоксравненияБлоксравнения妇 при т；£ Zi-jZiT при Xi > 分7妇 при т；£ Zi-jZiT при Xi > 分7Рис. 10.3. Блок-схема размахаРис. 10.3. Блок-схема размахареализации критерия выборки.реализации критерия выборки.кривых. Величина напряжения по оси у пропорциональна размаху выборки R, а величина напряжения по оси 尤 пропорциональна числу выполненных однократных процессов решения. Процесс моделирования прекращается, когда считывающая головка, содержащая чувствительный элемент, пересекает кривую Sn = / (и). Для того чтобы воспроизводить по оси координат у напряжение, пропорциональное размаху выборки R, измеритель вероятностных характеристик должен выполнять лишь операции «сравнение», «запоминание» и «вычитание». Последовательность выполнения этих операций показана на блок-схеме, приведенной на рис. 10.3.кривых. Величина напряжения по оси у пропорциональна размаху выборки R, а величина напряжения по оси 尤 пропорциональна числу выполненных однократных процессов решения. Процесс моделирования прекращается, когда считывающая головка, содержащая чувствительный элемент, пересекает кривую Sn = / (и). Для того чтобы воспроизводить по оси координат у напряжение, пропорциональное размаху выборки R, измеритель вероятностных характеристик должен выполнять лишь операции «сравнение», «запоминание» и «вычитание». Последовательность выполнения этих операций показана на блок-схеме, приведенной на рис. 10.3.
力
ВхоО
力
ВхоО
блок
блок
сравнения
сравнения
期 при ® >Уе
JiT叩U工i '『Lf
期 при ® >Уе
JiT叩U工i '『Lf
亚f
亚f
На считывающую головку wjwcmpou- теля кривых
На считывающую головку wjwcmpou- теля кривых
Блоксравнения
Блоксравнения
妇 при т；£ Zi-j
ZiT при Xi > 分7
妇 при т；£ Zi-j
ZiT при Xi > 分7
Рис. 10.3. Блок-схема размаха
Рис. 10.3. Блок-схема размаха
реализации критерия выборки.
реализации критерия выборки.
кривых. Величина напряжения по оси у пропорциональна размаху выборки R, а величина напряжения по оси 尤 пропорциональна числу выполненных однократных процессов решения. Процесс моделирования прекращается, когда считывающая головка, содержащая чувствительный элемент, пересекает кривую Sn = / (и). Для того чтобы воспроизводить по оси координат у напряжение, пропорциональное размаху выборки R, измеритель вероятностных характеристик должен выполнять лишь операции «сравнение», «запоминание» и «вычитание». Последовательность выполнения этих операций показана на блок-схеме, приведенной на рис. 10.3.
кривых. Величина напряжения по оси у пропорциональна размаху выборки R, а величина напряжения по оси 尤 пропорциональна числу выполненных однократных процессов решения. Процесс моделирования прекращается, когда считывающая головка, содержащая чувствительный элемент, пересекает кривую Sn = / (и). Для того чтобы воспроизводить по оси координат у напряжение, пропорциональное размаху выборки R, измеритель вероятностных характеристик должен выполнять лишь операции «сравнение», «запоминание» и «вычитание». Последовательность выполнения этих операций показана на блок-схеме, приведенной на рис. 10.3.
Критерий, основанный на использовании среднего размаха выборки
В общем случае совокупность, из которой делается выборка, не подчиняется нормальному распределению. Если, однако, первый и второй моменты распределения конечны 工)，то можно считать, что распределение суммы элементов выборки близко к нормальному, причем по мере увеличения объема выборки степень этого приближения возрастает. Имея это в виду, определим новую случайную величину R(幻一■ значение размаха выборки, состоящей из результатов k наблюдений. Затем определим средний размах для и выборок, каждая из которых получена в результате k наблюдений, как
(Ю.8)
Теоретическое среднее величины R равно апо, а среднее квадратичное отклонение величины 友 равно рпо/ /"k, где о — среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности. Распределение среднего размаха R можно считать нормальным при м > 5 даже при сравнительно малых k [115]. Предположив, что
=N(0, 1)
из таблиц нормального распределения можем найти такие значения ra/2 И fi-a/2，При КОТОрЫХ
Р (尸а/2式尸l—a/2)= 1—a(10.9)
'YnO/V也丿
ИЛИ
Таким образом, доверительный интервал для о, соответствующий доверительной вероятности (1 ——a/100), равен
Если мы хотим, чтобы размер этого интервала был меньше некоторой определенной величины S, то в момент, когда выполняется условие
R Wi^——j(10.10)
+fn/21+q a/2
и одновременно и > 5, мы прерываем последовательность однократных процессов решения на АВМ. Если измеритель вероятностных характеристик должен работать по критерию среднего размаха, то в схему, приведенную на рис. 10.3, нужно внести некоторые изменения. Модифицированный вариант блок-схемы изображен на рис. 10.4. Коэффициент потенциометра R выби рается с таким расчетом, чтобы выборочные значения выходной величины
Это условие почти всегда выполняется в реальных экспериментах. В частности, когда мы имеем дело с совокупностью электрических сигналов, второй момент пропорционален величине мощности, которая в реальных устройствах всегда ограничена.
19 Л. Левин
ABM 尤》уменьшились. При этом необходимо такое уменьшение, чтобы средний размах выборки R не вызвал переполнения счетчиков и перегрузки усилителей. Каждый раз после того, как зафиксировано k выходных величин, команда, посылаемая счетчиком, вызывает отпускание реле 6 так, что значение
用力 eс用力 eсааТТРе〃е DРе〃е D至 К至 КНа считывающую головку_ ху-построителяR кривых (координата у)На считывающую головку_ ху-построителяR кривых (координата у) fia рычаг fia рычагСчетчик —^~ построителя кривыхi(координата ^Счетчик —^~ построителя кривыхi(координата ^
用力 eс
用力 eс
а
а
Т
Т
Ре〃е D
Ре〃е D
至 К
至 К
На считывающую головку
_ ху-построителя
R кривых (координата у)
На считывающую головку
_ ху-построителя
R кривых (координата у)
fia рычаг
fia рычаг
Счетчик —^~ построителя кривых
i(координата ^
Счетчик —^~ построителя кривых
i(координата ^
Рис. 10.4. Блок-схема реализации критерия среднего размаха.
R(左)поступает в сумматор. Кроме того, счетчик, вызывая срабатывание реле С и D после каждых пяти наблюдений, обеспечивает очищение блоков сравнения А п В.
На рис. 10.5 приведены построенные для нормального распределения зависимости г = f (и), соответствующие различным уровням значимости, причем
Объем выборки, лОбъем выборки, лРис. 10.5. Кривые критических значений критерия размаха выборки для нормального распределения N (0, 1) при различных значениях уровня значимости. SL — уровень значимости.Рис. 10.5. Кривые критических значений критерия размаха выборки для нормального распределения N (0, 1) при различных значениях уровня значимости. SL — уровень значимости.=пнз皂п^^^£^=пнз皂п^^^£^
Объем выборки, л
Объем выборки, л
Рис. 10.5. Кривые критических значений критерия размаха выборки для нормального распределения N (0, 1) при различных значениях уровня значимости. SL — уровень значимости.
Рис. 10.5. Кривые критических значений критерия размаха выборки для нормального распределения N (0, 1) при различных значениях уровня значимости. SL — уровень значимости.
=пнз皂п^^^£^
=пнз皂п^^^£^
А = 5 [115, гл. 12]. Для того чтобы построить зависимость, соответствующую какому-либо конкретному случаю, следует выбрать величину уровня значимости и затем умножить г на выбранную величину доверительного интервала 6
(например,尸'=dr, где 0 <； 6 < 1). Если головка двухкоординатного построителя кривых пересечет линию г таким образом, что будет выполнено условие R V г\ то процесс моделирования прекращается.
СИГНАЛИЗАТОР РЕЗКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Вводные замечания
В следующих разделах мы опишем статистические критерии, служащие для выявления ошибок, которые возникают при проведении статистических исследований на АВМ из-за машины, а также обсудим методы использования этих критериев. Выявление ошибки неправильного функционирования, допущенной АВМ, мы рассматриваем здесь как задачу, относящуюся к области проверки гипотез. Предположение о том, что АВМ функционирует правильно, мы принимаем в качестве нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза формулируется таким образом на основе концепции, установленной нами в предыдущей главе и заключающейся в том, что гораздо выгоднее принять гипотезу об истинности «status quo», даже если положение не вполне удовлетворяет поставленным требованиям, чем отвергнуть эту гипотезу, когда в действительности «status quo» им удовлетворяет. Другими словами, очень невыгодно прекращать моделирование, чтобы заняться выявлением ошибок АВМ, которые в действительности отсутствуют, вместо того чтобы продолжать процесс решения, не обращая внимания на наличие ошибок, мало влияющих на результаты. Все описываемые ниже методы проверки гипотез относятся к разряду непараметрических критериев. Каждый критерий служит для выполнения определенных задач и возможности его применения ограничены. Исследователь должен внимательно относиться к выбору критерия и применять его в соответствии с его возможностями. Вообще говоря, чем уже назначение критерия, тем он лучше.
Критерий размаха выборки
Мы начнем наше изложение с описания применения критерия размаха выборки при работе с сигнализатором резкого изменения вероятностных характеристик. Читатель в какой-то степени уже знаком с размахом выборки R как со случайной величиной, и, кроме того, этот критерий является моделью для критериев, которые будут рассмотрены далее. Поэтому мы здесь подробно не будем останавливаться на этом критерии. Напомним лишь, что размах выборки R определен как абсолютная величина разности между наибольшим %厶 и наименьшим xs значениями случайной величины в выборке
R = \ Xl-—xs |. (10.11) Очевидно, что если бы был известен закон распределения выходной величины, мы могли бы предсказать «среднее» значение размаха выборки выходных величин. Если бы полученные выходные величины существенно отличались от этого среднего значения, мы могли бы предположить, что либо наше представление о виде функции распределения ошибочно, либо возникает ошибка при работе АВМ. Во многих случаях мы знаем закон распределения совершенно точно. Исходя из этого, мы можем определить, допускает ли АВМ ошибку в течение однократного процесса решения. Следует отметить, что в данном случае размах используется вместо какой-либо другой характеристики распределения в связи с тем, что его значение легко определить.
Прежде чем использовать этот критерий, необходимо установить такое значение размаха (обозначим его через г), чтобы вероятность получения размаха R, меньшего чем г, была равна 1 ——а, где а ——некоторое число. То есть мы хотим найти такое г, что
Р (R V 尸)=1 — а.
Величина 1 ——а называется уровнем значимости критерия. Пусть, например, а = 0,05. Плотность вероятностей размаха равна
匕一Rtt+R
g(R)=九(九一1) \ f{u)f(u + R) ^ j /(x)dx『~da,(10.12)
au
где n ——объем выборки; / (х) — известная плотность вероятностей выходной величины. (Важно отметить, что плотность вероятностей величины, выборку значений которой мы производим, должна быть известна, причем эта функция должна быть непрерывна.) Таким образом, мы должны найти такое значение г, чтобы было справедливо уравнение
1 —\ g(R)dR(10.13)
о
Допустим, что можно выразить г в качестве функции объема выборки п. Мы хотим прекращать эксперимент, когда будет выполнено условие R> г. В таком случае мы строим зависимость г = / (п) и воспроизводим с помощью двухкоординатного (尤у) построителя кривых величину R в качестве координаты у до тех пор, пока не будет выполнено условие 7? > г, Схема для осуществления проверки по этому критерию на АВМ аналогична той, которая применялась в случае измерителя вероятностных характеристик.
Построение зависимости r = f(n). Значение г, соответствующее некоторому п, в случае двустороннего критерия определяется из следующего уравнения:
1 — а = Уровень значимости = , g (R) dR,
Первая часть этой задачи состоит в определении уровня значимости. Величина уровня значимости выбирается исследователем в зависимости от того, насколько он хочет быть уверенным в правильности своих результатов. Так, если а 0,05, то вероятность того, что ^ > г2 или R V г^ равна 5%. Следовательно, если в течение эксперимента воспроизводимая кривая R пересечет линию 尸 1 или 尸2, то вероятность появления ошибки равна 95%. Если а = 0,01, то эта вероятность равна 99%, если а = 0,2—80%, и т. д.
После того как величина уровня значимости выбрана, следует найти интеграл функции g (欠).Выполнение интегрирования может вызвать затруднения во всех тех случаях, когда выражение для плотности вероятностей /(尤)не является простым. Единственной альтернативой будет тогда численное интегрирование. Но даже и оно может оказаться слишком сложным; в таком случае можно использовать один из критериев, которые рассматриваются ниже. Для некоторых важных случаев уже имеются готовые результаты. Например, для случая, когда совокупность имеет равномерное распределение в диапазоне от 0 до 1, т. е.
/ (х) = с
' '0 вне этого диапазона,
плотность вероятностей размаха R равна
g(R) = M(”-l)Rf(i—R).(10.14)
При заданных значениях а и 孔 определить г весьма несложно.
Для наиболее распространенного случая, когда совокупность имеет распределение вида N (0, о*), имеются готовые нормированные графики зависимостей 门 ^= f (п) и г2 = f (п), соответствующие различным уровням значимости (см. рис. 10.6). Если считывающая головка оказывается в области, расположенной выше линии г2 или ниже линии 门，то это свидетельствует об ошибке
Р и с. 10.6. Кривые нормированного размаха выборки, соответствующие различным уровням значимости, для нормального распределения. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.Р и с. 10.6. Кривые нормированного размаха выборки, соответствующие различным уровням значимости, для нормального распределения. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.АВМ. Следует заметить, что графики построены только для 九 W20. Кривые могут быть продолжены в область больших значений п с помощью линейной экстраполяции или на основе метода, описываемого ниже.
Р и с. 10.6. Кривые нормированного размаха выборки, соответствующие различным уровням значимости, для нормального распределения. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.
Р и с. 10.6. Кривые нормированного размаха выборки, соответствующие различным уровням значимости, для нормального распределения. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.
Критерий среднего размаха выборки
Очевидно, что трудности, возникающие при использовании критерия размаха выборки, связаны с определением плотности вероятностей размаха g (R). Причина этих затруднений в сложной зависимости плотности вероятностей
5
Рис. 10.7. Кривые нормированного среднего размаха выборк]!, соответствующие различным уровням значимости. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.Рис. 10.7. Кривые нормированного среднего размаха выборк]!, соответствующие различным уровням значимости. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.246 8fo /2 74/6 /8 二。22 24Объем выборки, л246 8fo /2 74/6 /8 二。22 24Объем выборки, л4422размаха g (R) от плотности вероятностей выборки /(尤).Критерий среднего размаха не зависит от функции / (尤)，если первый и второй моменты / (х) конечны и известно значение дисперсии. Схема для осуществления проверки по этом у критерию на АВМ аналогична той, которая использовалась в случае измерителя вероятностных характеристик.
Рис. 10.7. Кривые нормированного среднего размаха выборк]!, соответствующие различным уровням значимости. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.
Рис. 10.7. Кривые нормированного среднего размаха выборк]!, соответствующие различным уровням значимости. Определение нормированного размаха выборки приведено в разд. 10.3.3.
246 8fo /2 74/6 /8 二。22 24
Объем выборки, л
246 8fo /2 74/6 /8 二。22 24
Объем выборки, л
4
4
2
2
На рис. 10.7 приведены графики нормированного среднего размаха выборки, которые наносятся на диаграммную бумагу двухкоординатного построителя кривых, Если головка построителя в процессе моделирования не остается в пределах зоны, ограниченной линиями 门 и г2 (при условии, что масштаб выбран правильно), то можно считать с вероятностью, равной 1 ——а, что АВМ допускает ошибку.
Следует заметить, что в данном случае не нужно знать плотность вероятностей элементов выборки. Единственное, что требуется,——это среднее значение и дисперсия. Кроме того, следует иметь в виду, что применение этого критерия дает надежный результат только при близости распределения среднего размаха к нормальному.
Биномиальный критерий
В разд. 10.2.1 мы рассматривали ситуацию, при которой результат каждого однократного процесса моделирования на АВМ мог быть лишь «благоприятным» или «неблагоприятным», т. е. результат моделирования относился к одному из двух -
Рис. 10.8. Границы критической области для биномиального критерия при р0 = 1/2, соответствующие различным уровням значимости.Рис. 10.8. Границы критической области для биномиального критерия при р0 = 1/2, соответствующие различным уровням значимости.что результат каждого опыта принадлежит к одному из нескольких известных классов, или по крайней мере известно значение верхней границы этой вероятности. Следовательно, можно вычислить вероятность того, что выборка будет
Рис. 10.8. Границы критической области для биномиального критерия при р0 = 1/2, соответствующие различным уровням значимости.
Рис. 10.8. Границы критической области для биномиального критерия при р0 = 1/2, соответствующие различным уровням значимости.
содержать некоторую долю р' членов, относящихся к определенному классу. Точно так же мы можем найти такое р\ что будет справедливо неравенство
P(G>") Са,
где а ——некоторый заданный уровень вероятности, а р ——случайная величина, п р едста в л яюща я долю членов данного класса в данной выборке. Если
Рис. 10.9. Границы критической области для биномиального критерия при ро = I/&, соответствующие различным уровням значимости.
Для того чтобы сформулировать задачу точнее, предположим, что вероятность «бл а гоп р и ят но го» исхода до моделирования равна р°. Это допущение выражает нулевую гипотезу Яо. На основе нулевой гипотезы и заданной величины ошибки первого рода а определяем величину критической области. Величина этой области является функцией объема выборки 孔.Если величина р (^с/п), представляющая долю благоприятных исходов в выборке, попадает в эту область, гипотеза "° должна быть отвергнута. Мы знаем, однако, что гипотеза "° верна, если АВМ работает правильно. Признание гипотезы HQ неверной означает, следовательно, что в процессе работы АВМ возникают сбои. Итак, определение того, допускает АВМ в процессе моделирования ошибку или нет, сводится к проверке гипотезы Hq.
Схема для осуществления проверки по этому критерию в случае сигнализатора резкого изменения вероятностных характеристик подобна аналогичной
схеме, составленной для измерителя вероятностных характеристик. Отличны лишь кривые, наносимые на диаграммную бумагу двухкоординатного построителя кривых. При двухстороннем критерии эти кривые представляют собой верхнюю и нижнюю границы критической области и построены как функции объема выборки п. Методика определения критической области при фиксированном значении а в функции объема выборки п была рассмотрена в гл. 9. При этом были получены таблицы биномиального распределения, с помощью которых на диаграммную бумагу построителя кривых можно нанести верхнюю и нижнюю границы, которые соответствуют заданным значениям а и р0. В результате при пересечении головкой построителя любой из кривых можно утверждать, что вероятность сбоя АВМ в процессе решения равна а. В случае выборок большого объема (п > 30) потребность в подобных таблицах обычно отпадает, так как при этом случайная величина
У«Ро(1 —Ро)
распределена по закону N (0, 1). Когда вероятность р0 близка к г/2, апроксимация становится очень хорошей при п > 25. В случае близости вероятности Ро к 0 или 1 значение выражения пр0 (1 ——pj должно быть больше 9. Можно внести еще ряд дополнительных уточнений, в результате которых данная апроксимация станет чрезвычайно полезной 】).На рис. 10.8 для часто встречающейся вероятности р0 = г/2 приведены верхние и нижние границы, полученные с помощью рассмотренной апроксимации. На рис. 10.9 приведены границы для случая р0 = г/4. Мы предлагаем читателю в качестве упражнения построить эти кривые.
Критерий знаков
Когда совокупность не является дихотомической, что бывает очень часто, то применяем биномиальный критерий, называемый критерием знаков. Пусть, например, нам известно, что совокупность, из которой производится выборка, имеет распределение, симметричное относительно некоторой точки с. Если зафиксированное значение случайной величины %艺 больше с, то мы обозначаем его символом 《+》； если же 左 W2 то такое значение случайной величины обозначается символом «——». Так как распределение симметрично относительно точки с, то вероятность получения случайной величины /(, принадлежащей к классу «Ч-», равна г/2- Следовательно, нулевая гипотеза Яо состоит в том, что ро = 1/2, где р0 —— вероятность появления случайной величины, принадлежащей к классу «+». Очевидно, что критерий обязан своим названием классификации информации с помощью знаков «+» и «——» вместо использования для этой цели чисто количественного принципа. Появление очень большого или очень малого количества знаков «+» означает, что гипотеза Яо неверна, т. е. полученная информация искажена в результате неправильного функционирования АВМ в процессе решения. Ясно, что процедура отыскания критической области, а также способ осуществления проверки по критерию на АВМ и кривые, определяющие границы критической области в функции объема выборки п, для критерия знаков и биномиального критерия идентичны.
Следует подчеркнуть, что при использовании критерия знаков вид закона распределения / (х) знать не нужно. Нужно лишь иметь такую точку с, чтобы вероятность появления случайной величины, большей чем с, была известна ).
Критерий серий
В разд. 10.4.5 мы занимались сравнением общего количества положительных разностей с общим количеством отрицательных разностей, которые были получены в результате некоторой последовательности опытов. Во многих случаях, однако, важнее знать не соотношение положительных и отрицательных разностей, а последовательность их появления. Например, при некотором уровне значимости последовательность, состоящая из 10 членов, семь из которых имеют знак «—一》，могла бы оказаться приемлемой, однако если все члены со знаком «+» были получены в результате 7 последних опытов, то можно усомниться в истинности полученных результатов. Для того чтобы учесть последовательность появления событий, относящихся к противоположным классам^ предусмотрим возможность осуществления проверки по критерию серий на сигнализаторе резкого изменения вероятностных характеристик. Серией называется любая группа разностей, имеющих один и тот же знак и появляющихся подряд. Например, последовательность
一 一 — + + + + + + +
содержит две серии, а последовательность
-+一+ + + — + + +
——шесть серий, хотя обе они содержат по 10 членов, 7 из которых имеют знак «+». Если известно значение медианы распределения выходной величины, то фиксируемые значения выходной величины, которые больше медианы, можно обозначать знаком «+», а значения, меньшие медианы,—знаком «—». Если число положительных или отрицательных серий оказывается больше или меньше числа, ожидаемого на основе случайного выбора из совокупности, имеющей известное распределение, то мы отвергаем гипотезу о правильной работе АВМ.
С помощью табл. 10.3 можно построить кривые, аналогичные кривым, полученным при использовании других критериев i). В этой таблице символами Mt и 孔2 обозначено соответственно количество положительных и отрицательных разностей. Таблица дает критическое значение г — числа серий при а = 0,05. Если наше значение г лежит между этими критическими значениями, мы считаем, что АВЛ1 функционирует правильно. Если нет, мы прекращаем процесс моделирования и приступаем к поиску ошибки.
Двухкоординатный построитель кривых может быть использован для индикации положения точки с координатами (%, м2)- В табл. 10.3 дается зависимость критических значений 彳 и 厶 от (пь п2)-
Блок-схема для осуществления проверки по этому критерию приведена на рис. 10.10. Значение случайной величины 尤订 полученной в i-м опыте, сравнивается со значением медианы а в блоке сравнения. На выходе блока сравнения появляется 1 при 尤之 > а н 0 в противном случае. Сумма этих выходных значений 笈^ определяет количество положительных членов во всех сериях. Используемый в АВМ счетчик регистрирует общее количество опытов м. Разность п2 = п ——Пх определяет количество отрицательных результатов. Величины «! и м2 в качестве координат хну поступают на входы двухкоординатных построителей кривых, на проводящие поверхности которых нанесены соответственно кривые 尸;н 尸；в функции от переменных 九i и п2. (Методы воспроизведения функций двух переменных рассмотрены в гл. 5.)
Итак, на выходе двухкоординатных построителей воспроизводятся зависимости 尸;и 尸;，соответствующие подаваемым на вход значениям щ и 九？. Вели-
Табл. 10.3 составлена для выборок малого объема. Таблицы для выборок большего объема имеются в работе [136].
Таблица 10.3
Критические значения количества серий для критерия серий 1)
В табл. 10.3, а н 6 приведены критические значения 厂 в зависимости от количества положительных п^ и отрицательных п2 результатов отдельных опытов. Уровень значимости любого значениям г, равного значениям, содержащимся в таблице а, или меньшего их или равного значениям, содержащимся в таблице б, или большего их, составляет 0,05.
八2
九1
2
3
4
5
G
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
6
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
5
6
7
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
8
2
3
3
4
4
5
6
6
6
6
7
7
9
2
3
3
4
5
5
6
7
7
7
8
8
10
о
3
3
5
5
5
7
7
7
8
8
8
8
11
2
3
4
5
5
6
7
8
8
8
9
9
9
12
2
3
4
5
6
6
7
8
8
9
9
9
10
10
13
2
3
4
5
6
6
8
9
9
9
10
10
10
10
14
2
3
4
5
6
7
8
9
9
10
10
10
11
11
15
3
3
4
6
6
7
8
9
10
10
11
11
11
12
16
3
4
4
6
6
7
9
9
10
10
11
11
11
12
12
17
3
4
4
6
7
7
9
10
10
11
11
11
12
12
13
18
3
4
5
6
7
8
8
9
10
10
11
11
12
12
13
13
19
3
4
5
6
7
8
8
10
10
11
11
12
12
13
13
13
20
3
4
5
6
7
8
9
10
10
11
12
12
13
13
13
14
б
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1G
17
18
19
20
9
9
10
10
11
11
9
10
11
12
12
13
13
13
13
11
12
13
13
14
14
14
14
15
15
15
11
12
13
14
14
15
15
16
16
16
16
17
17
17
17
17
13
14
14
15
16
16
16
17
17
18
18
18
18
18
18
10
13
14
15
16
16
17
17
18
18
18
19
19
19
20
20
11
13
14
15
16
17
17
18
19
19
19
20
20
20
21
21
12
13
14
16
16
17
18
19
19
20
20
21
21
21
22
22
13
15
16
17
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
14
15
16
17
18
19
20
20
21
22
22
23
23
23
24
15
15
16
18
18
19
20
21
22
22
23
23
24
24
25
16
17
18
19
20
21
21
22
23
23
24
25
25
25
17
17
18
19
20
21
22
23
23
24
25
25
26
26
18
17
18
19
20
21
22
23
24
25
25
26
26
27
19
17
18
20
21
22
23
23
24
25
26
26
27
27
20
17
18
20
21
22
23
24
25
25
26
27
27
28
1) Составлено на основе таблиц, приведенных в публикации F г i е da S; Swed and Eisenhart, Tables for Testing Randomness of Grouping in a Sequence of Alternatives, Ann, Math. Statist., 14,83—86, 1943.
чина yt подается на вход триггера (мультивибратора с двумя устойчивыми состояниями), на выходе которого появляется 1, если поданное на его вход очередное значение у^ отличается от предыдущего. В противном случае выход-
Р и с. 10.10. Блок-схема реализации критерия серий на сигнализаторе резкого изменения вероятностных характеристик.
ное значение этого триггера равно нулю. Сумма 办(выходных значений триггера) представляет общее число серий г. И, наконец, вычисляются разности 尸;—— г и г —— 尸;. Процесс моделирования прекращается, когда одна из этих разностей становится отрицательной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСКОВ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В предыдущих разделах мы рассматривали задачу определения количества экспериментальных данных, достаточного для проведения достоверного статистического анализа. Этот вопрос очень важен, но он является лишь частью значительно более общей задачи об установлении способа получения элементов выборки. Рассмотрим, например, задачу определения путем моделирования (эксперимента) характеристики Р некоторой системы как функции от двух параметров р{ и р2- Например, Р может быть характеристикой установившегося режима системы с постоянной времени т и коэффициентом затухания С. Тогда pi = т н р2 M L Если на входную величину системы накладывается случайная ошибка, то в выходной величине также будет присутствовать случайная ошибка. Следовательно, определение Р как функции параметров т и ? не сводится к обычной процедуре, когда выбирается несколько значений для т и ?, на АВМ определяются соответствующие величины Р и через эти точки проводится поверхность. Это связано с тем, что в результате моделирования мы получаем не значения характеристики Р, а = =Р Т— £, где £ ——случайная величина, представляющая собой разность величины 夕8, полученной в результате моделирования, и «истинного» значения Р. Важно установить, какое количество экспериментальных данных необходимо иметь для каждого из выбранных значений т н W, чтобы произвести достоверную оценку каждого значения Р, и сколько значений т " W следует рассматривать. Последний вопрос особенно важен, так как при выборе слишком большого числа точек возникают затруднения, связанные с обработкой полученных данных, а при выборе недостаточного числа точек результаты анализа могут оказаться недостоверными. Существенно также и то, какие значения т и ? выбрать. В качестве простой иллюстрации этого положения рассмотрим следующий пример. Пусть Р является функцией одной переменной т и пусть
известно, что их связывает соотношение вида Р = тт + Ь, где m и й — постоянные, величина которых неизвестна (следовательно, зависимость линейная). Пусть цель моделирования состоит в определении величин, характеризующих прямую, тангенсы угла наклона 团 и величины отрезка Ь, отсекаемого прямой на координатной оси. Если мы возьмем лишь одно значение т, очевидно, что мы не сможем найти ни т, ни Ь. Совершенно ясно, что необходимо выбрать два значения т, но какие? В таком случае для того, чтобы получить наилучшую оценку т и Ь, следует использовать крайние значения т, т. е. половина данных должна быть выбрана при минимально допустимом значении т и половина ——при максимально допустимом т. Если выбирать точки равномерно расположенные между максимальным и минимальным значениями т, то это не будет наиболее эффективным способом использования экспериментальных данных.
Рассмотренный выше пример подчеркивает ту мысль, что существенно не только количество экспериментальных данных, но и метод выбора точек считывания информации, а также и другие аспекты, такие, например, как определение момента прекращения опытов для анализа полученных данных перед продолжением экспериментов (последовательный анализ) ^). Все это вместе взятое составляет содержание новой дисциплины, получившей название «планирования эксперимента».
Мы не будем здесь обсуждать эту область подробно, поскольку ее место в специальных курсах, требующих основательной общей подготовки в области статистики. Однако сама эта область столь важна, что здесь предпринята попытка познакомить читателя хотя бы с простейшими ее идеями. С этой целью рассмотрим важную практическую задачу, з аключающуюс я в определении путем моделирования оптимальных допусков для промышленной продукции. Эта задача иллюстрирует использование некоторых методов планирования эксперимента, а также ряда концепций, уже рассмотренных в настоящей и предыдущей главах. Кроме того, будет изложен ряд общих статиста- ческих методов, играющих важную роль в решении поставленной задачи, которых мы однако до сих пор не касались ).
Введение
Обычно процедура определения оптимальных значений параметров системы управления при помощи моделирования на АВМ сводится к установлению структуры системы на основе какого-либо из упрощенных методов и последующему составлению программы для АВМ, в которую включаются все существенные нелинейности и воздействующие на вход системы случайные возмущения. Затем выбирается какой-либо критерий для оценки качества работы изучаемой системы, после чего ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени и т. п.) изменяются до тех пор, пока не будет получена оптимальная система. На этом стадия моделирования обычно заканчивается и к ней возвращаются лишь в тех случаях, когда реальная система управления с найденными значениями параметров не может быть построена или когда построенная система работает хуже, чем это следовало из результатов предварительного моделирования.
Хотя этот подход и позволил создать ряд хороших систем управления, ему свойствен один существенный недостаток: он полностью игнорирует статистический характер реальной системы управления, определяемый про-
цессом производства. Представление системы управления в виде дифференциального уравнения с известными коэффициентами не соответствует действительности. Чтобы моделирование дало точные результаты, следует рассматривать ансамбль систем управления (т. е. дифференциальное уравнение со случайными коэффициентами), характеризуемый параметрами с обычными статистическими свойствами. Такие статистические характеристики обычно принимают вид производственных допусков. Эти допуски должны учитываться при поиске оптимальных параметров, если исследователь хочет получить надежную оценку работы системы.
Учет случайности значений параметров при моделировании систем управления позволяет не только определять более реалистично качество работы системы, но также и обеспечивает возможность более систематической и рациональной оценки допусков. Обычно средние значения параметров выбираются в первую очередь исходя из требуемого качества работы системы, в то время как допуски выбираются в основном из экономических соображений. Эти тенденции в определенной степени противоречат друг другу. Например, если стоимость не имеет значения и доминирует желание получить от системы максимальный эффект, то идеальным был бы выбор всех допусков равными нулю. Если, с другой стороны, желательно просто минимизировать стоимость каждой единицы продукции, то правильная стратегия заключается в выборе допусков неограниченного размера (100%-ная приемка продукции). На практике приходится идти на компромисс между качеством работы системы и ее стоимостью. Однако слишком часто этот компромисс зиждется на сомнительной основе интуиции и «инженерного опыта». Крайне нежелательно, чтобы подобные методы использовались при принятии решений, которые в значительной степени обусловливают окончательные свойства и стоимость изделия, тем более что, используя моделирование на аналоговых машинах, можно найти более объективное компромиссное решение. Применяя модель для определения зависимости качества работы от размеров допусков, можно выбрать допуски таким образом, чтобы обеспечить оптимальное качество работы системы при фиксированных затратах или минимизировать затраты, обеспечивая определенное качество работы системы. Переходя на язык статистики, можно сказать, что применение моделирующей установки позволяет получить оптимальные величины как среднего значения (номинал), так и среднего квадратичного отклонения (допуски) каждого существенного параметра х).
10 5 2. Предлагаемый метод оптимизации допусков
Определение функции, характеризующей качество работы системы. Чтобы получить оптимальную систему допусков, прежде всего необходимо найти зависимость P(Q)^yhkuhh, характеризующей качество работы системы, от набора значений допусков Q. Мы предлагаем определять P(Q) с помощью моделирования, руководствуясь следующей методикой:
Определяются оптимальные номинальные значения параметров (см. гл. 8).
Выбирается группа допусков Q, элементами которой являются соответствующие каждому параметру средние квадратичные отклонения. Этот вектор вместе со средними значениями, найденными в п. 1, используется для настройки фильтров, подключаемых к источнику стационарного шума для получения напряжений с теми же, что и у рассматриваемых параметров, средними значениями и дисперсиями.
Эти напряжения задаются в качестве начальных условий для интеграторов, когда АВМ находится в исходном состоянии. Каждый интегратор в свою очередь образует входную величину для множительного устройства,
1) Первый шаг в этом направлении был сделан Дэвисом [130].
представляющую случайное значение коэффициента в процессе моделирования. Когда АВМ находится в режиме решения, на входы интеграторов ничего не подается. Таким образом, значение коэффициента фиксировано в процессе решения дифференциального уравнения и случайно, когда АВМ находится в исходном состоянии. Благодаря этому в процессе каждого однократного процесса решения на АВМ моделируется новый образец продукции.
Для данной фиксированной группы допусков производится многократное решение задачи на АВМ. По результатам всех этих опытов определяется среднее значение функции, характеризующей качество работы системы (например, вероятность поражения цели для управляемых снарядов).
Составляющие вектора допусков систематически изменяются, причем для каждой новой группы их значений выполняется большое количество однократных процессов решения на АВМ.
Полученные результаты используются для составления методами регрессионного анализа [125] многочлена, представляющего решение в функции параметров задачи; если в процессе моделирования на АВМ собрано достаточное количество данных, то можно использовать многочлен произвольно высокой степени. Пусть, например, Q — (аь . . ., п71) характеризует средние квадратичные отклонения п параметров, для которых надо определить допуски. При этом функцию, характеризующую качество работы системы, можно записать следующим образом:
п п п п п п
Р (Q) = а0 + 3 仇仿 + 2 2 Cij°i°j + 2 2 2 dijkOtGjGk +
*=1 2=1 3=1 j=l /г—1
+ Члены высшего порядка, где 〃о, &н с订,dtjk ——коэффициенты, определяемые с помощью регрессионного анализа. Порядок членов, входящих в уравнение, зависит от характера поверхности P(Q) и количества данных, полученных при моделировании.
Рассмотренная выше методика позволяет определить функцию 尸(Q), характеризующую качество работы системы, не пользуясь каким-либо априорными представлениями о виде функциональной зависимости критерия качества работы системы от значений параметров.
Следует отметить, что количество однократных процессов решения в п. 5 может достигать сотен тысяч. Поэтому очевидно, что предлагаемый метод моделирования может быть осуществлен только (хотя бы по экономическим причинам) при использовании быстродействующей АВМ (см. разд. 11.4), например такой, как GPS (General Purpose Simulator фирмы Instrument Со). Эти АВМ способны выполнять до 50 процессов решения в секунду, вычисляя средние значения функции, характеризующей качество работы системы, одновременно с решением дифференциальных уравнений системы управления.
Определение функции стоимости. После того как найдена функция 尸(Q), необходимо определить зависимость C(Q) стоимости системы от величины допусков. Это сложная задача, которая в значительной степени относится к производственной сфере. Моделирование на АВМ вряд ли может помочь при определении C(Q). Однако зависимость C(Q) необходима для оптимизации величины Q, и, следовательно, нужно обсудить проблему оценки стоимости достаточно подробно, чтобы читатель получил представление о возможных затруднениях при таких расчетах и об общем характере функции стоимости.
Среди факторов, которые должны быть приняты во внимание при определении C(Q), следует отметить стоимость сырья на одно готовое изделие, количество годных для дальнейшего использования отходов, эксплуатационные расходы при очень малых и очень больших допусках, срок службы и т. д. Предварительная оценка C(Q), базирующаяся на перечисленных факторах, может быть, вероятно, лучше всего выполнена, если опираться на производственный опыт, накопленный ранее при выпуске аналогичной продукции.
Когда начинается выпуск рассматриваемой продукции, то можно будет получить новую оценку, основанную на действительных ценах. В дополнение к опыту, накопленному различными промышленными организациями, можно обратиться к обширной литературе, посвященной проблеме оценки стоимости [128, 129].
Хотя эта проблема слишком обширна для того, чтобы рассматривать ее здесь, заметим, что, как показывает опыт, функция C(Q) имеет в общем случае гиперболический характер. Это означает, что уменьшение до нуля любой из независимых переменных, входящих в функцию Q(c4, о?, . . oQ, ведет к бесконечному увеличению стоимости, в то время как минимальной стоимости соответствует неограниченность всех допусков.
Выбор оптимального набора допусков. После того как определена функция 尸(Q), можно рассмотреть оптимизацию значений допусков Q. В качестве первого шага необходимо выбрать критерий оптимизации. Одним из очевидных критериев является критерий оптимизации качества работы при фиксированной стоимости. Это означает, что на поверхности постоянной стоимости, построенной в пространстве Q. отыскивается точка, соответствующая наилучшему качеству работы системы. С другой стороны, может оказаться желательным минимизировать стоимость при определенном качестве работы системы. Возможно использование и более сложных критериев оптимизации, которые позволяют учесть допустимую стоимость в функции качества работы системы и т. д.
Подобная оптимизация может быть выполнена на АВМ с помощью градиентных методов, описанных в гл. 8. Процедура оптимизации функции, характеризующей качество работы системы, или функции стоимости, которая предусматривает поддержание другой функции в процессе оптимизации постоянной, относится к оптимизации при наличии ограничений в виде равенств. Этот тип оптимизации подробно рассмотрен в разд. 8.5.
По мере увеличения количества данных оценка функции стоимости изменяется, сдвигая тем самым точку оптимума. Однако исходная функция P(Q), характеризующая качество работы системы, остается при этом неизменной. Поэтому распределение допусков, соответствующее новому оптимуму, можно определить, не прибегая к дальнейшему моделированию.
Пример 1)
Описание моделирования. Для того чтобы продемонстрировать возможности предложенного метода, смоделируем некий гипотетический управляемый снаряд с радиолокационным самонаведением. Кроме случайных параметров, при моделировании мы будем также учитывать помехи канала радиолокационного сопровождения и случайную ошибку по курсу, возникающую при пуске снаряда. Критерием качества работы системы примем вероятность поражения снарядом идеализированной цели. Для того чтобы ограничить количество собираемых экспериментальных данных, будем изменять по случайному закону только два параметра. Этими параметрами являются коэффициент усиления контура наведения К и основная постоянная времени снаряда т. Сигналы управления для снаряда, поведение которого моделируется, вырабатываются на основе данных об угловой скорости поворота линии визирования. Коэффициент К определяется следующим образом:
* __Установившаяся скорость поворота снарядап . ^,
Угловая скорость изменения положения линии визирования '' 丿
На рис. 10.11 приведена блок-схема самонаведения управляемого снаряда, являющегося объектом моделирования.
Рассмотрение других аспектов моделирования задачи о самонаведении управляемого снаряда см. в гл. 7, примеры 4 и 5.
Помехи канала радиолокационного сопровожденияПомехи канала радиолокационного сопровожденияИстинный угол пинии визированияИстинный угол пинии визированияУгол линии визирования, вводимый 6 блок наведенияУгол линии визирования, вводимый 6 блок наведенияИстинная скорость поворотаИстинная скорость поворотаКинематическая модель снарядаКинематическая модель снарядаРис. 10.11. Блок-схема плоского движения управляемого снаряда с радиолокационным самонаведением.К — коэффициент усиления контура наведения; т — основная постоянная времени снаряда.Рис. 10.11. Блок-схема плоского движения управляемого снаряда с радиолокационным самонаведением.К — коэффициент усиления контура наведения; т — основная постоянная времени снаряда.
Помехи канала радиолокационного сопровождения
Помехи канала радиолокационного сопровождения
Истинный угол пинии визирования
Истинный угол пинии визирования
Угол линии визирования, вводимый 6 блок наведения
Угол линии визирования, вводимый 6 блок наведения
Истинная скорость поворота
Истинная скорость поворота
Кинематическая модель снаряда
Кинематическая модель снаряда
Рис. 10.11. Блок-схема плоского движения управляемого снаряда с радиолокационным самонаведением.
К — коэффициент усиления контура наведения; т — основная постоянная времени снаряда.
Рис. 10.11. Блок-схема плоского движения управляемого снаряда с радиолокационным самонаведением.
К — коэффициент усиления контура наведения; т — основная постоянная времени снаряда.
Для того чтобы оценить вероятность 尸九 с достаточной точностью, необходимо промоделировать по 500 пусков для каждого набора значений допусков Q ь (or, cFt)- Выбрав для каждого допуска 4 различных значения и получив
[Аэродинамическая 'модель cuapf10a
Блок наведения \ Заданная угловаяскорость поворота
Случайная ошибка
Положениепо курсу при
целипуске снаряда
в результате 16 вариантов возможных значений допусков, мы видим, что полное число моделируемых пусков достигает 8000. Время, необходимое для моделирования всех этих атак на АВМ, работающей в натуральном масштабе
Постоянно работающийПостоянно работающийРис. 10.12. Программа АВМ для случайного изменения коэффициента контура наведения.Рис. 10.12. Программа АВМ для случайного изменения коэффициента контура наведения.
Постоянно работающий
Постоянно работающий
Рис. 10.12. Программа АВМ для случайного изменения коэффициента контура наведения.
Рис. 10.12. Программа АВМ для случайного изменения коэффициента контура наведения.
/С — начальные условия; SJ — сигнал от суммирующего узла; No — спект-ральная плотность, соответствующая низкочастотному спектру, в^гц；0 ——кажущийся угол визирования.
времени, составляет около недели. Таким образом, этот пример со всей очевидностью показывает, что для решения задачи, сложность которой соответствует реальным условиям, необходима быстродействующая АВМ.
Таблица 10.4
Измеренная вероятность поражения цели в зависнмостн от средних квадратичных отклонений параметров
%,%
0rК，%
0
10
20
30
0
0,34
0,30
0,31
0,29
10
0,30
0,31
0,31
0,29
20
0,30
0,26
0,30
0,30
30
0,24
0,22
0,28
0,27
При рассмотрении данного примера мы приняли, что совокупности обоих параметров Кит имеют гауссовые статистики, причем их средние значения равны соответственно Ко и т0, а средние квадратичные отклонения ак и ах. Поэтому выборочные значения получаются для каждого параметра
Д' о/s 0/4Д' о/s 0/4乌弘аз。 £^8 0,26 0,24 a22 0,20 0,18乌弘аз。 £^8 0,26 0,24 a22 0,20 0,1820201010Среднее квад ратин ног ст^лснение козсрсрициента усиление контура наведения^ % %Среднее квад ратин ног ст^лснение козсрсрициента усиление контура наведения^ % %~=79汁 KnHB'BdQ亡 ^£«§e^^~=79汁 KnHB'BdQ亡 ^£«§e^^303020201010仞203040仞203040Рис. 10.13. Зависимость вероятности поражения цели самонаводящимся снарядом от величины допусков. (J, — среднее квадратичное отклонение основной постоянной времени снаряда.Рис. 10.13. Зависимость вероятности поражения цели самонаводящимся снарядом от величины допусков. (J, — среднее квадратичное отклонение основной постоянной времени снаряда.*% 宁 снпн-2g庭b-EHON н書一fn- DEH--~-禽 DX ВГНЗНО^ЕО ё^ёо^оё ¥篦3*% 宁 снпн-2g庭b-EHON н書一fn- DEH--~-禽 DX ВГНЗНО^ЕО ё^ёо^оё ¥篦3
Д' о/s 0/4
Д' о/s 0/4
乌弘
аз。 £^8 0,26 0,24 a22 0,20 0,18
乌弘
аз。 £^8 0,26 0,24 a22 0,20 0,18
20
20
10
10
Среднее квад ратин ног ст^лснение козсрсрициента усиление контура наведения^ % %
Среднее квад ратин ног ст^лснение козсрсрициента усиление контура наведения^ % %
~=79汁 KnHB'BdQ亡 ^£«§e^^
~=79汁 KnHB'BdQ亡 ^£«§e^^
30
30
20
20
10
10
仞203040
仞203040
Рис. 10.13. Зависимость вероятности поражения цели самонаводящимся снарядом от величины допусков. (J, — среднее квадратичное отклонение основной постоянной времени снаряда.
Рис. 10.13. Зависимость вероятности поражения цели самонаводящимся снарядом от величины допусков. (J, — среднее квадратичное отклонение основной постоянной времени снаряда.
*% 宁 снпн-2g庭b-EHON н書一fn- DEH--~-禽 DX ВГНЗНО^ЕО ё^ёо^оё ¥篦3
*% 宁 снпн-2g庭b-EHON н書一fn- DEH--~-禽 DX ВГНЗНО^ЕО ё^ёо^оё ¥篦3
Среднее квадратичное отклонение основной постоянной врежиснаряда,耳 %
Рис. 10.14. Оптимизация значений допусков по кри-терию минимальных затрат или критерию наилучшегокачества работы системы.
отдельно посредством непрерывного пропускания случайных сигналов, воспроизводимых специальным генератором шума, через фильтр низких частот; этот фильтр реализуется с помощью интеграторов, находящихся постоянно в рабочем режиме. На рис. 10.12 изображена программа АВМ, предназначенная для случайного изменения величины коэффициента наведения К при каждом переходе к новому однократному процессу моделирования. (Подробное описание моделирования случайных процессов см. в гл. 11.) В табл. 10.4 приве- 20 Л. Левин
дены результаты моделирования. Таблица дает измеренные значения вероятности Ph в функции от выраженных в процентах значений средних квадратичных отклонений рандомизированных параметров Кит. Материал таблицы, полученный с помощью моделирования, был подвергнут квадратичному регрессионному анализу, выполненному на цифровой вычислительной машине. Сглаживание эмпирической зависимости вероятности Ph от средних квадратичных отклонений Ок и пт было осуществлено методом наименьших квадратов (см. [125, гл. 7]) при использовании уравнения
尸九=尸0 + aQk + a2q + a110左十 ai20Koi + a22d。 (10.1 6) Полученные кривые приведены на рис. 10.13. На рис. 10.14 показаны кривые, образующиеся при сечении поверхности Ph горизонтальными плоскостями; там же приведены гипотетические кривые стоимости и указаны оптимальные точки, соответствующие минимальной стоимости и наилучшему качеству работы системы.
Обсуждение результатов эксперимента. Первый и совершенно очевидный вывод, который можно сделать на основе кривых, приведенных на рис. 10,13, заключается в невозможности линеаризации зависимости вероятности Ph от средних квадратичных отклонений ок и о『При линейной зависимости кривые рис. 10.13 представляли бы собой прямые линии, расположенные через одинаковые промежутки. Если перестроить эти кривые, откладывая по оси абсцисс величину дисперсии о&, то можно сделать вывод, что и зависимость 尸а к / (о先，近)не поддается линеаризации. Дальнейший анализ кривых позволяет установить следующий примечательный факт: выбор очень жестких допусков может привести к ухудшению качества работы системы. Так, например, при От = 30% уменьшение допуска по с 20% до 0 приводит к уменьшению вероятности поражения цели с 0,28 до 0,24. Этот результат расходится с распространенным мнением, заключающемся в том, что при ослаблении требований к допускам в одной части системы необходимо для сохранения качества ее работы уменьшить все остальные допуски. Этот явно аномальный эффект определяется взаимной компенсацией влияния, оказываемого значительными отклонениями обоих параметров ^ и т от их номинальных значений на характеристики системы.
Значительно более общий и очень существенный вывод, который можно сделать на основании рассмотренного примера, относится к виду математической модели, выбранной для представления зависимости показателя качества работы системы от значений параметров. Обычно анализ допусков начинают с того, что выбирают в качестве этой модели какую-либо конкретную зависимость [128]. Так, инженер, разрабатывающий систему, может, например, на основании опыта оптимизации номинальных значений параметров решить, что адекватной моделью зависимости вероятности Ph от значений параметров Кит является квадратичное выражение вида
Р/1 = Уо + У1 (К — Ко) 丫2 (т — то) +
十 (К — Ко)2 + Y12(Т — То) (К — Ко) + У22 (Т — Т0)2' (10.17)
Так как значения параметров Кит были в процессе эксперимента независимы (что бывает на практике очень часто), то среднее значение, или математическое ожидание вероятности Р^ измеренное для ансамбля управляемых снарядов, определяется с помощью следующего выражения:
Р靜二 Е (办) = Уо亠 YwE[(K — Ko)2] + Y22E[(T — %2], (10.18) где символом Е обозначено математическое ожидание (теоретическое среднее), получаемое при многократной оценке величины 尸九.Остальные члены исчезают, так как их математические ожидания равны нулю. Замечаем, что, по определению, средние значения параметров, входящие в выражение (10.18),
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ВЫЯВЛЕНИЕ ОШИБОК АВМ 307 являются дисперсиями, а именно
Е [(К — Ко)3] =(7к — дисперсия параметра К；(10.19)
£ [(т — т0)3] = Ст~ дисперсия параметра т;(10.20)
и таким образом
&Р — Yo + Yu% + 丫22碍(10.21)
Выражение (10.21) является аналитической основой известного положения, что качество работы системы линейно зависит от дисперсий. Если принять это допущение, то остается лишь провести эксперимент, состоящий в выборе большого количества различных значений переменных и регистрации значений показателя качества работы системы, соответствующего этим значениям переменных. С помощью регрессионного анализа можно затем определить коэффициенты у。，Yu и Y22 уравнения (10.17).
Хотя продемонстрированный выше подход и приведет к успеху, если выбранная математическая модель (уравнение 10.17) действительно верна, однако уже было показано, что вывод о линейной зависимости показателя качества работы системы от дисперсии параметров, по-видимому, несправедлив для рассматривавшегося примера. Причина этого явления заключается в том, что члены О[, а2 и о^о2 не входят в уравнение (10.21), в то время как регрессионный анализ результатов эксперимента, проведенный с помощью уравнения (10.16), показал, что в действительности наибольшее значение имеет член а^г. Этот член отражает взаимное влияние параметров, которое для данной системы является наиболее существенным. Пренебрежение этим членом может обойтись очень дорого, так как использование уравнения (10.17) ведет к неоправданно жестким допускам для параметра Кик ухудшению характеристик системы при больших значениях 仃丁，
К определению влияния допусков на математической модели зависимости показателя качества работы системы от значений параметров можно подходить и по-другому. А именно, если коэффициенты уравнения
Р/1 =的十仪口区十 а?0*!：十 〃12 无 + %20Ko^22°*Т (10.16)
известны, то можно дать оценку влияния параметров (хотя и не однозначную). Например, если бы модель
Р拉=а。+ 4 ； К — Ко [十 а；[工一to I + 〃u (К — Ко)" +
+ a12 1K — Ko 111 — to ] + &2 (t — To)9 (10.22)
была правильна, то было бы справедливо уравнение (10.16) и удалось бы определить коэффициенты уравнения (10.22) с помощью регрессии на допуски, как это было сделано в рассмотренном выше примере.
Подводя итоги проведенного выше обсуждения, можно отметить, что следует полностью изменить обычный подход к анализу допусков и проводить его следующим образом:
Выполнение моделирования с рандомизированными коэффициентами выполняется точно так же, как и в случае оптимизации допусков (см. соответствующий раздел выше).
Математическую модель следует строить с помощью регрессионного1 анализа зависимости показателя качества работы системы от вектора допусков.
Эта процедура позволяет получить более точное представление о связи качества работы системы со значениями ее параметров и дает возможность избежать серьезных ошибок при выборе значений допусков.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Значение проблемы планирования эксперимента
В эксперименте, который был только что рассмотрен, мы имели дело лишь с двумя параметрами. Весьма вероятно, что в действительности при установлении оптимальных размеров допусков должно учитываться значительно большее количество параметров. Если пренебречь тщательным планированием экспериментов, то применение изложенного выше метода ведет при увеличении количества параметров к катастрофическому росту числа однократных процессов моделирования на АВМ, необходимых для решения задачи. Определение способа сбора экспериментальных данных, обеспечивающего получение максимального количества информации при минимальных затратах, относится к области статистического планирования эксперимента. Эта область настолько обширна, что невозможно, да и нежелательно рассматривать ее здесь подробно. К тому же имеется несколько прекрасных учебников, посвященных этому предмету, в которых содержатся описания множества способов постановки экспериментов [131] г).
Хотя мы и не намерены обс^ ждать проблему планирования эксперимеН' тов, двум ее аспектам будет уделено внимание, так как они играют важную роль при экспериментах, подобных описанному выше. Во-первых, необходимо до начала эксперимента уметь оценивать общее количество экспериментальных данных, необходимое для определения функции Р (Q). Во-вторых, на случай, если это количество окажется чересчур большим, очень желательно иметь метод выбора точек сбора экспериментальных данных в векторном пространстве допусков, позволяющий уменьшить необходимое количество информации. Обе эти задачи обсуждаются ниже применительно к нашему примеру.
Оценка необходимого количества экспериментальных данных
Измеренные значения показателя качества 尸八 моделируемого управляемого снаряда распределены по биномиальному закону, поскольку они получены в результате многократного повторения одного и того же эксперимента. Следовательно, можно оценить вариабельность последовательных измерений вероятности 尸九[125]. При этом оказывается, что с вероятностью не меньше 0,25 выполняется неравенство
厶一+(10.23)
где Ph — истинное значение вероятности поражения цели;
Ph ——измеренное отношение числа попаданий к общему числу пусков снаряда;
п ——общее количество промоделированных пусков снаряда.
Так как для получения каждой цифры, приведенной в табл. 10.4, было промоделировано по 500 пусков, то неравенство (10.23) можно переписать следующим образом:
А1А1
или(10.24)
Ph — 0,045 W 尸九 К 尸无 + 0,045.
Таким образом, с доверительной вероятностью, равной по меньшей мере 95%, можно считать, что истинная вероятность поражения цели 尸九 отличается
См. также работы [ 161, 162].— Прим. ре。.
от значений, приведенных в табл. 10.4, не более чем на ±0,045 > Применение метода квадратичной регрессии уравнения (10.16) позволяет существенно увеличить надежность окончательных результатов, получаемых из табл. 10.4.
Если бы мы считали, что 95?6-ный доверительный уровень вероятности с доверительными интервалами, равными ±0,045, должен быть гарантирован в каждой точке и что следует рассматривать т различных значений каждого из k параметров, то количество необходимых для этого однократных процессов моделирования было бы равно
n = 500m11. (10.25)
Эта величина может оказаться настолько большой, что прямая оценка Р (Q) станет практически невозможной даже при использовании быстродействующей АВМ. В этом случае для уменьшения необходимого количества опытов можно использовать другие методы планирования эксперимента, например описываемый ниже метод.
Факторный эксперимент
В примере, рассмотренном в разд. 10.5.3, точки сбора экспериментальных данных были распределены в пространстве о% равномерно (см. табл. 10.4). Определение квадратичной зависимости между 尸(Q) и Q облегчается тем, что при этом не требуется учитывать данные, соответствующие всем этим точкам. Одним из методов планирования эксперимента, позволяющим ограничиться меньшим числом точек, является частичный факторный эксперимент [132 ]. Этот метод п ред у сматр и вает последовательное определение точек, в которых должны считываться экспериментальные данные, и особенно удобен для оценки значений Р (Q). Общее количество однократных процессов решения на АВМ, которые необходимо выполнить для определения значений Р (Q), может быть уменьшено очень существенно, в некоторых случаях даже на несколько порядков. Хотя полная теория частичного факторного эксперимента достаточно сложна, для пояснения ее основной идеи можно воспользоваться табл. 10.4.
Снова обращаясь к нашему примеру, отмечаем, что если при определении величины Р (Q) известна относительная важность членов о^, и вк аг, то можно выбирать их значения более обоснованно. Оценку же относительного влияния параметров на значения Р (Q) можно произвести по крайним значениям параметров в табл. 10.4. Относительное влияние каждого из упомянутых выше членов определяется следующим образом:
Относительное влияние члена о^ равно разности между средними значениями Ph в правом и левом столбцах, а именно (0,29 + 0,27)/2 —— —(0,34 0,24)/2 = —0,01.
Относительное влияние члена о< равно разности между средними значениями 尸万 в нижней и верхней строках, а именно (0,24 + 0,27)/2 —— —(0,34 + 0,29)/2 = —0,06.
Относительное влияние члена око^ (эффект взаимодействия) ) равно разности средних разностей Р九 в нижнем и верхнем рядах, а именно (0,2 7 — 0,24) /2 — (0,29 — 0,34)/2 = 0,04.
Таким образом, ясно, что влияние «эффекта взаимодействия» больше, чем влияние параметра и почти равно влиянию параметра ох. Хотя этот результат получен из рассмотрения лишь четырех точек, качественно он
Известны методы оценки доверительных интервалов и для тех случаев, когда распределение переменных отли чаете я от биномиального. См. в связи с этим работу [125, гл. 10].
совпадает с результатами регрессионного анализа (см. рис. 10.13). Проведенный эксперимент показывает, что нельзя исключать член 0氏0工 из уравнения регрессии (10.16), но зато можно исключить из него линейный член о^. Если сделать это, то для оценки остальных коэффициентов уравнения регрессии потребуется меньшее количество экспериментальных данных. В общем случае при использовании метода частичного факторного эксперимента для определения возможности исключения какого-либо члена из уравнения (10.16) применяются доверительные интервалы и другие характеристики.
Когда элементами вектора Q является значительное число параметров, исключение хотя бы одного члена из уравнения может привести к существенной экономии усилий, необходимых для определения Р (Q). Если же из уравнения регрессии нельзя исключить ни одного члена, то не следует распределять экспериментальные точки равномерно, ибо такой способ определения Р (Q) не является оптимальным. Оптимальное распределение точек выборки в пространстве допусков параметров позволяет найти } совершенствованный метод проведения частичного факторного эксперимента.
11. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НААНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ)
ВВЕДЕНИЕ
В двух предыдущих главах мы рассмотрели некоторые способы получения статистических оценок и проверки статистических гипотез, остановились на планировании экспериментов и описали ряд методов, которые можно использовать для анализа экспериментальных данных, полученных при моделировании стохастических задач. Кроме того, в этих главах было ясно показано, что решение статистических задач на АВМ существенно отличается от решения детерминированных задач. В этой главе мы остановимся на задачах, связанных с моделированием на АВМ случайных процессов.
Мы называем стохастической такую задачу, решение которой может иметь только вероятностный смысл. При этом мы различаем случайный процесс (шум), являющийся одной из неотъемлемых характеристик рассматриваемой задачи, и шум, вносимый элементами АВМ, например такими, как операционные усилители. В данной главе мы будем в процессе обсуждения полагать, что масштаб всегда можно выбрать таким, чтобы влияние, оказываемое на решение шумом, который создается элементами машины, было пренебрежимо мало.
Тремя основными стадиями решения стохастической задачи на ЛВЛ1 являются:
Точное воспроизведение статистических характеристик задачи.
Регистрация и статистическая оценка полученных в результате решения данных.
Выявление и устранение ошибок АВМ, искажающих решение (методы выявления ошибок такого рода рассмотрены в гл. 10).
Глава начинается с рассмотрения важнейших аспектов правильного воспроизведения случайного процесса на моделирующей установке. Воспроизведение является правильным, если статистические характеристики машинных переменных идентичны статистическим характеристикам соответствующих физических переменных задачи. Мы, следовательно, должны удостовериться в том, что каждый источник шума, используемый при моделировании, имеет аналог в условиях задачи. Источники шума могут потребоваться для воспроизведения непрерывно изменяющихся вынуждающих функций, случайных начальных условий и случайных параметров системы, которые могут в течение однократного процесса решения оставаться фиксированными или изменяться.
Наиболее простые источники шума могут генерировать непрерывные сигналы, у которых либо амплитуды распределены по нормальному ) закону, либо число переходов сигнала через нулевой уровень имеет пуассоновское распределение. Мы коротко остановимся на устройстве этих генераторов шума, а затем обсудим некоторые особенности их использования. Генератор
шума должен иногда воспроизводить белый шум, для чею требуется бесконечная выходная мощность. В реальной системе это осуществить нельзя, но мы покажем, что во многих случаях можно получить вполне адекватное приближение белого шума.
Так как гауссов шум встречается чаще всего, то достаточно снабдить АВМ только генераторами, воспроизводящими гауссов шум с известной спектральной плотностью. Мы покажем, каким образом шум, воспроизводимый любым генератором, можно трансформировать в шум одного из следующих видов: 1) гауссов шум с различными спектральными плотностями; 2) негауссов шум с заданной одномерной плотностью вероятностей (на спектральную плотность никаких ограничений не накладывается); 3) негауссов шум с заданными спектральной плотностью и плотностью вероятностей. Отметим, что второй метод можно использовать для преобразования распределения произвольного вида в заданное.
При решении стохастических задач мы снова встречаемся с проблемой выбора масштаба для независимой и зависимой переменных. Мы особо остановимся на выборе масштаба для спектральной плотности, поскольку эта процедура существенно отличается от выбора масштаба, с которым мы позна комились при рассмотрении детерминированных задач.
Нашей следующей темой будет сбор эксперимен!альных данных при моделировании на АВМ. Обычно при решении стохастической задачи на АВМ для оценки статистического параметра используется среднее значение, определяемое по конечному числу выборочных данных. В гл. 10 уже был рассмотрен важный вопрос об определении количества экспериментальных данных, достаточного для получения результата с заданной точностью. Здесь же мы сосредоточим внимание на установлении доверительных границ для этих оценок. Сначала рассмотрим непрерывные сигналы, обладающие эргодическими свойствами. Мы покажем, как измерять и оценивать получаемые путем усреднения по времени такие характеристики, как математическое ожидание, дисперсия, спектральная плотность, корреляционная функция и одномерная плотность вероятности. Следует отметить, что используемые при моделировании источники шума необходимо периодически проверять, измеряя некоторые из этих величин.
Так как дисперсия, спектральная плотность и корреляционная функция связаны со вторым моментом, то эти величины можно определять достаточно просто, подобно тему как мы усредняем произведение двух переменных. Действительно, при некоторых предположениях дисперсия и спектральная плотность вычисляются одним и тем же способом. В том частном случае, когда имеется гауссов шум, его дисперсию можно вычислять так же, как среднее значение обычных сигналов. Все эти вопросы вместе с рядом методов вычислений будут обсуждены достаточно подробно. Затем мы рассмотрим способы определения доверительных интервалов для средних по множеству значений.
При получении экспериментальных данных на АВМ часто оказывается полезным то обстоятельство, что решение задачи, содержащей несколько случайных величин, может быть получено, если одна (или несколько) переменных изменяются неслучайным образом. Это свойство позволяет определять компоненты решения, получение которого, казалось бы, абсолютно невозможно. Предположим, что статистические характеристики некоторого параметра неизвестны и для их определения необходимо провести физический эксперимент. Можно, не дожидаясь выполнения этого эксперимента, получить решение, изменяя параметр детерминированно, и затем учесть статистические характеристики, когда они станут известны.
Покончив с этой важной темой, мы обсудим затем методику измерения вероятностных характеристик для многомерного случая при известной условной вероятности. Мы рассматриваем в связи с этим две возможности: использование функционального преобразователя и сравнивающего устройства»
Последней темой, относящейся к сбору экспериментальных данных, является часто упускаемый из вида вопрос о систематических ошибках, вносимых в результат самим исследователем. Мы покажем, как он может стать невольным истопником ошибки, и дадим рекомендации по устранению таких ошибок.
Решение большинства статистических задач связано с громоздкими вычислениями, которые отнимают много времени. Доверительные интервалы для больших выборок сужаются в 1/頂九 раз, где 九 —— число однократных процессов решения на АВМ. От величины этих интервалов зависит точность оценки статистических параметров. Следовательно, для того чтобы, например, удвоить точность, необходимо увеличить количество однократных процессов решения на АВМ (а следовательно, и используемое машинное время) в 4 раза. Поэтому оператор всегда пытается определить, оправдывает ли повышение точности те дополнительные затраты времени, ценой которых оно достигается. Мы покажем, что в частном случае, когда рассматривается линейная задача со случайными вынуждающими функциями и случайными начальными условиями, некоторые статистические параметры (например, средние и среднеквадратичные значения) можно получать, совсем не применяя источники шума. Используя входящие в подынтегральные выражения весовые функции, полученные с помощью метода сопряженных уравнений, можно вместо приближенного значения статистического параметра, определяемого в результате ряда однократных процессов решения на АВМ, найти его точное значение всего за несколько однократных процессов решения. Такой метод позволяет достичь весьма с\ ществеиной экономии времени.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Прежде чем приступить к изложению различных аспектов программирования статистических задач, отметим некоторые их особенности, существенные с точки зрения использования АВМ. Обычно при решении статистической задачи на АВМ некоторый i-济 параметр принимает значение 力=厶 + £(, где /\ ——его номинальное или желаемое значение, а ег характеризует некоторую случайную ошибку, т. е. разность 厶——厶=勺 представляет собой отклонение истинного значения параметра от желаемого. Следовательно, решение задачи будет иметь вид S + 6, где S — решение задачи при 叽二 0, а 6 — случайная величина. Статистические методы позволяют оценить S, зная величину S + Величина S оценивается с помощью усреднения по времени пли по множеству реализаций х).
Если берется среднее по времени, как, например, при вычислении корреляционной функции, то для получения оценки параметра с заданной точностью необходимо лишь решить задачу на АВМ один раз, pei истрпруя решение в течение достаточно длительного промежутка времени. Среднее по множеству используется в качестве оценки в тех случаях, когда искомbiii результат соответствует определенному моменту случайного процесса, и определяется как средний результат ряда аналогичных однократных процессов решения на АВМ. Мы употребляем здесь термин аналогичный в том смысле, что в каждом однократном процессе решения значения детерминированных параметров системы одинаковы, а случайные переменные изменяются в соответствии со своими статистическими свойствами. Обычно считают, что результат каждого такого эксперимента статистически независим по отношению к результатам всех остальных экспериментов ).
Другими словами, результат любого однократного процесса решения никак не влияет на результаты последующих экспериментов. Таким образом, АВМ
должна воспроизводить ряд независимых экспериментов. Этот момент заслуживает дальнейшего рассмотрения.
Предположим, что мы хотим оценить параметр с помощью 九 экспериментов. Если этот параметр является решением системы уравнений, его можно оценить, запрограммировав 九 идентичных систем и использовав по одному генератору шума для представления каждой случайной величины во всех системах. Эго гарантирует статистическую независимость каждого из 九 выборочных значений случайной величины. С помощью такой программы можно за время, необходимое для выполнения одного эксперимента, получить 九 выборочных значений решения. Хотя подобный «параллельный» метод и ускоряет получение экспериментальных данных, требующееся в этом случае значительное количество элементов АВМ делает этот метод явно неприемлемым.
Обычно п ^ 100 и никакая АВМ не обладает таким количеством генераторов шума, которое необходимо для воспроизведения всех ста случайных величин. Вместо этого мы получаем 九 требуемых выборочных значений, решая систему, представляемую АВМ, последовательно 九 раз, причем случайные величины принимают в каждом однократном процессе решения новые значения. В отличие от варианта, обеспечивающего получение 九 выборочных точек в результате однократного решения, в последнем случае количество используемых решающих элементов АВМ уменьшается в 九 раз, но зато возрастает приблизительно в 九 раз машинное время. АВМ, предназначенная для работы в таком режиме, способна многократно воспроизводить процесс решения, автоматически выполняя цикл «возврат в исходное состояние ——решение —— считывание результата». Такой режим называется работой с периодизацией решения.
В этом режиме один и тот же генератор шума изменяет случайную величину в процессе многократного воспроизведения решения. Как мы уже отмечали, все выборочные значения каждой случайной величины должны быть статистически независимы.
Однако лишь в случае использования источников белого шума статистическая независимость любых выборочных значений случайной величины не связана с длиной разделяющего их промежутка времени ——это обстоятельство мы еще рассмотрим с другой точки зрения в разд. 11.2.2. Так как белый шум —— это идеализация, то можно надеяться лишь на то, что корреляция между выборочными значениями параметра будет достаточно мала. Если мы полагаем, что процесс, воспроизводимый генератором шума, непериодический, то по мере увеличения отрезка времени, разделяющего выборочные значения, коэффициент корреляции уменьшается. Таким образом, наибольшая корреляция будет существовать между значениями параметра, полученными в результате процессов решения, следующих непосредственно друг за другом. Чтобы обеспечить необходимую при решении данной задачи степень статистической независимости, исследователь должен убедиться в том, что это наибольшее значение корреляции достаточно мало.
Мы проиллюстрируем приведенные выше замечания относительно статистической независимости, рассмотрев два способа использования генератора шума для моделирования случайных величин. Величина может изменяться непрерывно на протяжении каждого однократного процесса решения или же принимать новое значение при переходе к каждому следующему однократному процессу решения, оставаясь в то же время постоянной в ходе самого процесса. В режиме работы с периодизацией решения каждый цикл состоит из процесса решения задачи, за которым следует период исходного состояния, когда экспериментальные данные обрабатываются, а машина подготавливается к следующему процессу решения. Предположим, что генератор шума воспроизводит сигнал, изображенный на рис. 11.1, причем там же отмечены последовательные отрезки времени, соответствующие режимам решения и исходного состояния АВМ. Если генератор шума используется для воспроизведения
непрерывного сигнала, то наибольшая корреляция в последовательных процессах решения существует между значением случайной величины, соответствующим концу одного процесса решения, и значением, соответствующим началу следующего процесса, например корреляция между значениями у (^) и у (/2). Эту корреляционную связь можно ослабить, увеличивая продолжительность периода исходного состояния АВМ. Когда генератор шума воспроизводит случайную величину, остающуюся постоянной на протяжении всего однократного процесса решения, выбор значения случайной величины производится один раз в течение цикла. Отрезок времени между выбором значений
Рис. 11.1. Сигнал, воспроизводимый генератором шума.
Л — период решения, В ——исходное состояние.
случайной величины составляет длину цикла. Увеличивая продолжительность цикла, можно уменьшить корреляционную связь между выборочными значениями случайной величины. Здесь мы можем выбирать между увеличением продолжительности периода исходного состояния и увеличением масштаба времени, т. е. удлинением периода решения.
Когда две или несколько случайных величин, остающихся постоянными в процессе каждого однократного процесса решения, имеют одинаковые плотности вероятностей и отличаются лишь масштабными множителями, их можно воспроизводить с помощью одного и того же генератора шума при соблюдении, однако, некоторых специальных мер предосторожности. При этом дополнительная сложность связана с тем, что должна быть сведена к минимуму корреляция не только между выборочными значениями одной случайной величины, но также и между выборочными значениями двух случайных величин. Таким образом, для того чтобы минимизировать степень корреляционной связи, моменты выборки должны разделяться возможно большими промежутками времени. Если воспроизводятся только две случайные величины, то их независимость можно обеспечить с помощью преобразования, которое мы рассмотрим ниже, в разд. 11.2.3.
Источники шума 屮)
Чтобы моделировать статистическую задачу, необходимо иметь источники шума для воспроизведения случайных величин, причем их характеристики должны удовлетворять условиям, определяемым эргодической теоремой 3).
Более подробно источники шума рассмотрены в работе [ 113, стр. 26-01 + 26-23]， где к тому же приведена и обширная библиография по этому вопросу.
В отечественной литературе источникам шума посвящен целый ряд работ. См., например, [169 — 171 ].— Прим, не рев.
北)Эргодическая теорема рассматривается в приложении 4.
Генерируемый источником шума непрерывный сигнал, изображенный на на рис. 11.1, разделен на ряд участков, каждый из которых характеризует случайный процесс на протяжении процесса однократного решения на АВМ. Эргодические свойства сигнала гарантируют, что его статистические характеристики будут одними и теми же для каждого участка. Источники шума мы будем характеризовать с помощью одномерной плотности веро51тностей и спектральной плотности. Роль этих характеристик в моделировании случайных процессов будет рассмотрена в одном из последующих разделов этой главы.
Процесс, имеющий гауссово распределение, которое в физических задачах встречается чаще, чем любое другое, можно получить с помощью тиратронов типа 6D4 или 2D21 с газовым наполнением, помещаемых в поперечное магнитное поле. Это поле сглаживает высокочастотные резонансные пики спектральной плотности, порождаемые колебаниями ионов газа. Эти приборы позволяют получить приблизительно постоянную спектральную плотность в широком диапазоне частот. Однако спектральная плотность резко уменьшается в области низких частот, которая при моделировании на АВМ обычно представляет наибольший интерес.
Усовершенствованный низкочастотный генератор шума построен на основе тиратронов типа 5727 или 2D21, работающих в диодном режиме г). Выходной сигнал газоразрядного прибора демодулируется и пропускается через фильтр, в результате чего получается равномерная спектральная плотность в диапазоне частот приблизительно 土40 гц. Среднее значение выходного сигнала очень близко к нулю, а сам сигнал благодаря наличию системы автоматического регулирования усиления является практически стационарным. Вид спектральной плотности на выходе генератора определяется способом фильтрации шумового сигнала.
Счетчик Гейгера——Мюллера является еще одним генератором шума, получившим широкое распространение. Находясь вблизи источника радиоактивного излучения, он вырабатывает импульсы, которые распределены по закону Пуассона. Их плотность вероятности равна
р(Е = ") =―研—， (11-1)
где t ——продолжительность времени наблюдения; п ——число импульсов, выработанных счетчиком; 九 ——среднее число импульсов в единицу времени; р (Е =几)——вероятность того, что за время t появится ровно п импульсов. Если каждый поступающий от счетчика импульс переключает триггер, выходное напряжение которого может принимать значения Л или ——Л вольт, то спектральная плотность этой выходной величины равна
1
Очевидно, что плотность вероятностей числа переходов выходного напряжения триггера через нулевой уровень будет определяться тем же уравнением (11.1).
Белый шум
Источником белого шума называется генератор, который воспроизводит шум с постоянной спектральной плотностью во всем диапазоне частот (——8 V / V 8). Одномерная плотность вероятности такого источника должна быть определена особо, так как термин «белый шум» ее никак не характеризует.
Этот генератор был построен Беннетом и Лоу (фирма Hughes Aircraft Company} в начале 50-х годов, и сейчас фирма ELGENCO (Санта Моника, шт. Калифорния) поставляет его крупнейшим фирмам, выпускающим вычислительные машины.
Выходная мощность источника белого шума равна бесконечности и реально такой источник создать нельзя. Но так как белый шум весьма удобен для анализа, то он является очень полезной идеализацией при решении ряда математических задач х), а также может быть использован и при изучении некоторых аспектов реального мира. Существует эмпирический критерий, называемый правилом относительной ширины частотного диапазона, который позволяет определить, можно ли считать данный источник апроксиматшей источника белого шума.
Р и с. 11.2. Схема, иллюстрирующая примеиеиие критерия относительной ширины полосы частот к нелинейной системе.Р и с. 11.2. Схема, иллюстрирующая примеиеиие критерия относительной ширины полосы частот к нелинейной системе.
Р и с. 11.2. Схема, иллюстрирующая примеиеиие критерия относительной ширины полосы частот к нелинейной системе.
Р и с. 11.2. Схема, иллюстрирующая примеиеиие критерия относительной ширины полосы частот к нелинейной системе.
Вот это правило: Если ширина частотного диапазона ) источника, s котором его спектральная плотность постоянна, много больше (порядка 10 : /) ширины полосы пропускания исследуемой реальной или воспроизводимой на АВМ системы, то этот источник можно считать эквивалентом источника белого шума. Эта эквивалентность выражается в том, что первый и второй моменты решения будут приблизительно одинаковы при использовании двух различных источников, эквивалентных источнику белого шума.
Р и с. 11.3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев.Р и с. 11.3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев.Рис. 11.4. Апериодическое звено.Рис. 11.4. Апериодическое звено.
Р и с. 11.3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев.
Р и с. 11.3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев.
Рис. 11.4. Апериодическое звено.
Рис. 11.4. Апериодическое звено.
Это правило применимо не только к линейным, но при удовлетворении некоторых требований и к нелинейным системам. Предположим, что при моделировании системы, изображенной на рис. 11.2, необходимо, чтобы сигнал 尤(г) являлся белым шумом. Правило относительной ширины частотного диапазона можно использовать в этом случае, если G (р)——дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, причем ширина его полосы пропускания много меньше, чем у сигнала 尤(/).
Покажем, что при этих условиях существует достаточно хорошая апрок- симация источника белого шума. Для этого нам нужно доказать, что после прохождения идеального белого шума и фильтрованного белого шума через систему, представленную апериодическим фильтром, получаются сигналы с практически одинаковыми корреляционными функциями. На рис. 11.3 х (/)——белый шум, у (/)——сигнал на выходе фильтра, а 乙(/) — сигнал на выходе системы.
Если постоянная спектральная плотность сигнала 尤(/) равна N^、то спектральная плотность сигнала у (см. разд. 11.2.5) равна
邑(力=号斫(g)
а спектральная плотность сигнала г равна
0=包 /1 1 4i
51一|①产一(1十T徇2)(1+唠①2) -I丄丄
Корреляционная функция переменной 石 имеет вид
心=[sy 嗤.(11-5)
Подставляя выражение для спектральной плотности Sq в уравнение (11.5)т получаем
兄1(Т)= ^Й^|У (пе-ЕЕ — %-Е/Т1)・(Н.6)
Предположим для сравнения, что белый шум подается непосредственно на вход системы, как показано на рис. 11.4, В этом случае спектральная плотность переменной г2 равна
SW=V済，IQ
а его корреляционная функция имеет следующий вид:
% =击! s^dw(11.8а)
ИЛИ
=(11.86)
Сравнивая уравнения (11.6) и (11.86), убеждаемся, что в пределе, когда т2 становится много больше т», корреляционные функции && и R^ становятся равными~
Щn必 =。产 2 T(H.9)
Мы показали, что при выполнении критерия относительной ширины частотного диапазона белый шум и фильтрованный белый шум (пропущенный через апериодический фильтр), пройдя через систему, представленную апериодическим звеном, дадут на ее выходе весьма близкие корреляционные функции. Подобным же образом, но с помощью гораздо более сложной процедуры можно показать, что это правило справедливо и для того случая, когда фильтры имеют более высокий порядок.
Пример 1. При исследовании системы необходимо пропустить белый шум со спектральной плотностью ^o = 10 б2/е“ через фильтр так, как показано на рис- 11.5, причем
~& ^=Ю6ом
Бельш шум 一о z2
i0图5勿岬
Рис. 11.5. Фильтрация белого шумас помощью /?С-цепи.
выходная величина фиксируется в функции времени. Источник шума, используемый в АВМ, дает фильтрованный белый шум (пропущенный через апериодический фильтр) с шириной полосы частот 40 рад/сек.
Передаточная функция системы имеет вид
72(①) /(①)72(①) /(①)11 二FrC/co *11 二FrC/co *(11.10)(11.10)
72(①) /(①)
72(①) /(①)
1
1 二FrC/co *
1
1 二FrC/co *
(11.10)
(11.10)
Для определения различия между корреляционными функциями сигнала 2?, полученными при подаче на вход белого шума и фильтрованного белого шума, соответственно воспользуемся уравнениями (11.6) и (11.86). Используя уравнение (11.86), находим, что при подаче на вход системы белого шума корреляционная функция равна
此=100-e/"5吟(11.11)
где ^o = 10 炉/叫，т2 = RC = 0,5 сек.
При подаче на вход системы сигнала от генератора шума АВМ определяем корреляционную функцию 7? с помощью уравнения (11.6)：
-(°，5еТ 工"°'5_0,О5еТ "/°'°5),(11.12)
где
2 Ширина частотного диапазона генератора шума40 радjсек '
1
Т1 ~ 2Q сек.
Преобразование характеристик источников шума
Перед вычислительной лабораторией обычно ставятся задачи, для решения которых требуются источники шума с весьма разнообразными статистическими характеристиками. При желании для воспроизведения каждой характеристики можно иметь отдельный источник, используя его в случае необходимости непосредственно, т. е. не прибегая к каким-либо преобразованиям.
Рис. 11.6. Блок-схема перехода кновой плотности вероятностей по-средством функционального преоб-разования.Рис. 11.6. Блок-схема перехода кновой плотности вероятностей по-средством функционального преоб-разования.虞什丿虞什丿Функциональный преобразовательФункциональный преобразовательУ⑴У⑴
Рис. 11.6. Блок-схема перехода кновой плотности вероятностей по-средством функционального преоб-разования.
Рис. 11.6. Блок-схема перехода кновой плотности вероятностей по-средством функционального преоб-разования.
虞什丿
虞什丿
Функциональный преобразователь
Функциональный преобразователь
У⑴
У⑴
Это второстепенное в общем удобство обеспечивается довольно высокой ценой — необходимостью иметь целое семейство генераторов, каждый из которых используется достаточно редко.
Мы считаем, что в общем случае вычислительная лаборатория должна иметь несколько источников шума с известными статистическими характеристиками, которые с помощью стандартных элементов АВМ могут быть изменены в соответствии с условиями конкретной задачи. Кроме того, мы будем считать, что все эти источники воспроизводят сигнал, имеющий гауссово распределение, поскольку его проще всего генерировать и преобразовывать, да и к тому же при анализе реальных систем гауссово распределение встречается чаще всего. Во введении к этой главе указывалось, что мы рассмотрим три вида преобразований гауссова сигнала, спектральная плотность которого известна:
Сигнал после преобразования имеет заданную произвольною одномерную плотность вероятностей, а на его спектральную плотность не налагается каких-либо ограничений.
Сигнал после преобразования имеет нормальное распределение, а вид его спектральной плотности отличается от известной спектральной плотности источника шума.
Сигнал после преобразования имеет произвольную заданную одномерную плотность вероятностей и заданную спектральную плотность.
Для того чтобы перейти от одной плотности вероятностей к другой, требуется только функциональный преобразователь. Рис. 11.6 иллюстрирует общий случай, когда 尤(/) является сигналом исходного шума с известно/г
(11.13)(11.13)плотностью вероятностей р (х), а у (/)——сигнал с заданной плотностью вероятностей р (у). Какой же должна быть характеристика функционального преобразователя, чтобы с его помощью можно было осуществить переход от р (х) к р (у)? Другими словами, мы хотим определить зависимость
(11.13)
(11.13)
у = /(х).
где у ——однозначная функция %. Для определения этой зависимости мы воспользуемся основным соотношением, связывающим функции распределения одной случайной величины г)
P(X<x) = P(Y<y).P(X<x) = P(Y<y).(Н-14)(Н-14)
P(X<x) = P(Y<y).
P(X<x) = P(Y<y).
(Н-14)
(Н-14)
Входящие в это уравнение случайные величины X и У относятся к сигналам х (/) и у (/) соответственно ). Зависимость, определяемую уравнением (11.14), можно выразить и с помощью плотностей вероятностей рх (х) и ру 他)сигналов хну.
р=/ (х)Xр=/ (х)X\ pr (a) da= \ рх(Р)сф.\ pr (a) da= \ рх(Р)сф.(11.15)(11.15)
р=/ (х)X
р=/ (х)X
\ pr (a) da= \ рх(Р)сф.
\ pr (a) da= \ рх(Р)сф.
(11.15)
(11.15)
Чтобы определить зависимость (11.13), мы должны найти такие значения у, когорые при каждом заданном значении х будут удовлетворять уравне
нию (11.15).
Пример 2. Генератор шума вырабатывает напряжение х (/), которое имеет гауссову плотность вероятностей
(11.16)
Мы хотим преобразовать это напряжение в напряжение у (/) с равномерной плотностью вероятностей
1PY (р) =〈五'、01PY (р) =〈五'、0—а СУ《。,—а СУ《。,(И-П)(И-П)вне этого диапазона.вне этого диапазона.
1
PY (р) =〈五'
、0
1
PY (р) =〈五'
、0
—а СУ《。,
—а СУ《。,
(И-П)
(И-П)
вне этого диапазона.
вне этого диапазона.
Используя уравнение (11.15), находим
о1/2ло1/2л「"^=状邙,「"^=状邙,(11.18)(11.18)1о~|/2л1о~|/2лL2/2。2九匸^④十矶L2/2。2九匸^④十矶(11.19)(11.19)
о1/2л
о1/2л
「"^=状邙,
「"^=状邙,
(11.18)
(11.18)
1о~|/2л
1о~|/2л
L2/2。2九匸^④十矶
L2/2。2九匸^④十矶
(11.19)
(11.19)
(11.20)
График функциональной зависимости между хи//) приведен на рис. 11,7. Можно совершить и обратное преобразование, перейдя от сигнала с равномерной плотностью вероятностей к сигналу с гауссовой плотностью вероятностей. Функциональная зависимость, приведенная на рис. 11.8, связывает равномерную плотность вероятностей 〃 и гауссову плотность вероятностей и. Зависимость, приведенную на рис. 11.8, воспроизвести на АВМ гораздо сложнее, чем зависимость, приведенную на рис. 11.7. Это связано с тем, что ее крутизна вблизи точек у = 土а очень велика.
преобразование для перехода от равномерной плотности вероятностей к гауссовой.преобразование для перехода от равномерной плотности вероятностей к гауссовой.преобразование для перехода от гауссовой к равномернойпреобразование для перехода от гауссовой к равномернойплотности вероятностей.плотности вероятностей.
преобразование для перехода от равномерной плотности вероятностей к гауссовой.
преобразование для перехода от равномерной плотности вероятностей к гауссовой.
преобразование для перехода от гауссовой к равномерной
преобразование для перехода от гауссовой к равномерной
плотности вероятностей.
плотности вероятностей.
Существует другой способ получения равномерной плотности вероятностей, требующий, однако, использования значительно большего числа решающих элементов АВМ. Если выходные напряжения % (/) и у (/) двух независимых источников гауссова шума используются для задания прямоугольных координат (х, у) точки Р, то одна из полярных координат (г) этой точки имеет распределение Рэлея, а другая (9) — равномерное. При этом источники гауссова шума должны воспроизводить сигналы с нулевым средним значением и одинаковыми средними квадратичными отклонениями ст. Переход от прямоугольной системы координат (х, у) к полярной (г, 9) может быть легко выполнен с помощью тригонометрического блока, используемого для вычисления полярных координат ).
Таким образом, если два источника гауссова шума воспроизводят сигналы с плотностями вероятностей вида
石 exp 翔)，(11.22)
то полярные координаты имеют соответственно распределение Рэлея:
"(r)」7^exp( — ^0r) , 0WY8,(п.23)
(0вне этого диапазона
и равномерное распределение
p(9)^[i(Ц.24)
где
г^Ух^ + у^-, 0 = arctg^-.
Заметим, кстати, что мы могли бы взять в качестве исходных источники, воспроизводящие шум с распределением Рэлея и с равномерным распределением, и, воспользовавшись переходом от полярных координат к прямоугольным, получить два независимых источника гауссова шума. На рис. 11.9 качественно показан вид графиков плотности вероятностей для упоминавшихся выше трех видов распределений.
Если сигналы двух источников гауссова шума коррелированы, то можно воспользоваться преобразованием, которое позволит получить две гауссовы
Рис. 11.9. Плотности вероятностей при различных видах распределения.
а — гауссово распределение; б — распределение Рэлея； в — равномерное распределение.
случайные величины, некоррелированные при фиксированном временном сдвиге и, следовательно, независимые > Воспользовавшись общим соотношением для двух переменных, Xi и х2, имеющих различные дисперсии, получим следующее выражение для плотности вероятностей:
八 '2л Vl-p2 F L 2(1—p2) < j2 0^2 I 调丿」 ' '
Мы можем произвести два различных линейных преобразования ), в результате которых получим независимые случайные величины с распределением вида N (ОД) ).
Первый вариант преобразования, в результате которого получаются независимые величины уг и имеет следующий вид:
I、(11.26)
(1—р2)х/2 а2 % 丿
Во втором варианте преобразование, позволяющее получить независимые величины ?1 и ?2, записывается следующим образом:
Zq 匸(Xi cos a -|! %2 sin a),
21(11.27)
々=—(—%1sin a + x2 cos a),
где
0Z02 = СТЖ СТх К1 —Р2, О'? + СТ?=唸十 СТх„.
Дискретные случайные величины
Если заданы случайные начальные условия или постоянные коэффициенты, принимающие дискретные значения, то можно приписать им необходимые вероятностные характеристики, воспользовавшись генератором шума, вырабатывающим непрерывный сигнал, в сочетании с реле или каким-либо другим устройством для сравнения напряжений. Предположим, что начальные условия могут с равной вероятностью принимать два значения, а и Ь,
Рис. 11.10. Схема воспроизведения случайных начальных условий.
/С — начальные условия.
и что используемый нами источник шума вырабатывает гауссов шум со средним значением, равным нулю. Схема, которую можно использовать для ввода этих начальных условий, изображена на рис. 11.10. Под влиянием сигнала, поступающего на обмотку реле от генератора шума, подвижный контакт реле оказывается соединенным поочередно с клеммами (41) и (——1). В один из моментов времени на протяжении периода исходное состояние блок выборки и фиксации срабатывает и фиксирует значение а или b в зависимости от того, с какой клеммой в момент выбора соединен подвижный контакт Л р Зафиксированное таким образом значение становится начальным условием для очередного однократного процесса решения АВМ.
Проявив некоторую изобретательность, можно воспроизводить равновероятные дискретные события, даже не зная характеристик генератора шума. Единственное, что для этого требуется, это возможность производить в течение периода исходного состояния независимый выбор положения подвижного контакта реле. Будем считать, что положению подвижного контакта реле (+1) соответствует вероятность р, а положению (——1) ——вероятность q. Отсюда следует, что вероятность последовательной фиксации положений (+1) и (——1) равняется произведению вероятностей pq. Ту же самую вероятность имеет событие, состоящее в последовательной фиксации сначала положения (——1), а затем положения (十 1)・ Таким образом, в данном случае равную вероятность задания обоих параметров можно обеспечить, рассматривая сложные события.
В режиме исходного состояния мы последовательно производим ряд фиксаций положения контакта, рассматривая результаты в виде упорядоченных пар. Эти пары являются взаимно исключающими, т. е. они не пересекаются. Первая пара, имеющая вид (+,——)или (——,+), определяет, какое из двух значений, а или Ь, примут начальные условия. Прежде чем получить нужную пару, мы, возможно, получим ряд пар вида (+, +) или (——，——)，которые 2口
мы отбросим. Следовательно, в данном случае для определения начальных условий может потребоваться несколько выборочных точек, в то время как при известных характеристиках генератора шума для этого нужна лишь одна точка.
Преобразование спектральной плотности гауссова шума
Простое соотношение позволяет установить связь спектральной плотности шума Sx (/), подаваемого на вход системы, со спектральной плотностью сигнала на выходе системы:
Sy (/) = Sx (/) I У (河『=Sx ⑺[У (/砌[У ( —/砌，(11.28)
где Y (/(о)——преобразование Фурье импульсной переходной функции системы.
Пример 3. Напряжение 尤(/) генератора шума со спектральной плотностью
следует преобразовать в напряжение у (/), имеющее спектральную плотность
"⑺一(1+吗б)(1十崎⑴2) •
Используя уравнение (11.28), находим:
1— Sx(/) 一(1 十侬2)(1 十侬2)・
Следовательно, передаточная функция системы имеет вид
U 丿(1 + т2/ш)(1+т3П-
Схема программы АВМ приведена на рис. 11.11.Схема программы АВМ приведена на рис. 11.11.(11.29)(11.30)(11.31)(13.32)(11.33)(11.29)(11.30)(11.31)(13.32)(11.33)Далее находим воспроизводим^ ю на АВМ передаточную функцию фильтра т):
Схема программы АВМ приведена на рис. 11.11.
Схема программы АВМ приведена на рис. 11.11.
(11.29)
(11.30)
(11.31)
(13.32)
(11.33)
(11.29)
(11.30)
(11.31)
(13.32)
(11.33)
Преобразование нормального распределения в распределение произвольного вида с произвольной спектральной плотностью
Вероятностные и спектральные характеристики генератора шума взаимосвязаны. Мы не можем обычно преобразовать одну из этих характеристик, не изменив вида другой. Наиболее важным исключением из этого правила является гауссов шум, пропущенный через линейный фильтр. Только в этом случае шум, проходя через фильтр, остается гауссовым, а его спектральная
Связь между величинами je и р = d/dt как операторами рассмотрена в гл. 4.
плотность изменяется. Так, если в преобразовании, рассмотренном в разд. 11.2.5, подававшийся на вход системы шум х «) являлся гауссовым, то таким же был и шум у «) на выходе системы.
Пусть, например, гауссов шум пропускается через блок с квадратичной характеристикой, как показано на рис. 11.12 】).Если плотность вероятностей сигнала х равна
^ХР (一森)，QI，*)
а его спектральная плотность имеет вид, показанный на рис. 11.13, то плотность вероятности сигнала у равна
"(у) = /£ехр(_謚(11.35) 1 0//<0,
а его спектральная плотность показана на рис. 11.14.
Рис. 11.13. Спектральная плотность.Рис. 11.13. Спектральная плотность.КвадраторКвадратору=6а：2у=6а：2Рассмотренный пример, так же как и материал предыдущего раздела, иллюстрирует два типа задач, которые мы можем решить:
Рис. 11.13. Спектральная плотность.
Рис. 11.13. Спектральная плотность.
Квадратор
Квадратор
у=6а：2
у=6а：2
Рис. 11.12. Квадратор.
Зная плотность вероятности и спектральную плотность входного сигнала, можно определить плотность вероятностей и спектральную плотность сигнала на выходе нелинейного блока без памяти.
Если на вход линейного фильтра подается гауссов шум, то можно определить вероятностные характеристики и спектральную плотность выходного сигнала, который также является гауссовым шумом.
квадратор.квадратор.
квадратор.
квадратор.
Эти две задачи представляют два этапа перехода от источника гауссова шума к источнику, вырабатывающему шум с распределением, отличным от гауссова, но с определенной спектральной плотностью. Блок-схема для осуществления такого перехода приведена на рис. 11.15.
Этот пример взят из работы [116], где самьш подробным образом обсуждается проблема прохождения шума через нелинейные системы.
Плотность вероятностей и спектральная плотность сигналов % (/) и z (/) заданы. Предположим для начала, что сигнал у (/) имеет гауссово распределение с заданной дисперсией. Затем мы определим характеристики нелинейного блока, преобразующего сигнал у ⑴ в 2 (f). Зная 2 «) и вид функционального преобразования, определяем спектральную плотность у (/). Й, наконец, зная спектральные плотности сигналов х (t) и у «), можно с помощью уравнения (11.28) определить характеристики линейного фильтра.
Рис. 11.15. Схема получения сигнала с произвольными заданными плотностью вероятностей и спектральной плотностью.
Хотя в принципе процедура перехода от % (/) к 2 (0 проста, ее осуществление может оказаться достаточно сложным. Характеристики случайного процесса 2 (/) могут быть такими, что функциональное преобразование для перехода от у «) к z «) не выражается аналитически в замкнутой форме. В таком случае следует с помощью цифровой вычислительной машины получить приближенное численное решение, которое послужит основой для программирования на АВМ линейного фильтра и нелинейного блока с целью воспроизведения сигнала, апроксимирующего z (/)•
11.2.7. Выбор масштаба переменных и времени
В этом разделе, говоря о выборе масштаба, мы имеем в виду настройку потенциометра, который регулирует амплитуду выходного напряжения генератора шума. В случае, когда характеристики шума выражены не в виде амплитуды напряжения, такой способ задания масштаба не имеет смысла.
Генераторшума
Рис. 11.16. Введение с помощьюпотенциометра масштабного коэф-фициента для изменения амплитудывыходного сигнала генератора шума.
Если, например, мы хотим, воспользовавшись счетчиком Гейгера ——Мюллера и источником радиоактивного излучения, получить шум в виде импульсов, амплитуды которых имеют распределение Пуассона, то среднюю продолжительность промежутка времени между импульсами можно регулировать, либо изменяя интенсивность излучения источника, либо расстояние между источником и счетчиком. Мы, однако, расцениваем подобные операции как модификацию оборудования и считаем, что они выходят за пределы тематики этой книги.
Наиболее интересные задачи, встречающиеся при выборе масштаба, связаны с изменением уровня спектральной плотности. Далее мы подробно рассмотрим эту тему, по прежде остановимся на выборе масштаба для представления моментов. В большинстве практических задач встречаются лишь первый и второй моменты, но мы рассмотрим общий случай момента n-го порядка, т. е. математическое ожидание величины хп. Рассмотрим приведенною на рис. 11.16 простую структурную схему, в которой нужно выбрать значения коэффициента k.
Пусть моменты м-го порядка для переменных % и у будут равны соответственно
(11.36)(11.36)Е (хч)=贝，=а,Е”)*=Ь.
(11.36)
(11.36)
Тогдаи, следовательно,Тогдаи, следовательно,(11.37)(11.38)(11.37)(11.38)
Тогда
и, следовательно,
Тогда
и, следовательно,
(11.37)
(11.38)
(11.37)
(11.38)
Как мы скоро увидим, выбор масштаба спектральной плотности имеет много общего с выбором масштаба для второго момента.
Прежде чем обратиться к рассмотрению выбора масштаба для спектральной плотности, остановимся на некоторых важных свойствах шума. Когда двумерная плотность вероятностей полностью характеризуется вторым
Полосовой (рильтрПолосовой (рильтрРис. 11.17. Спектральные плотности двухРис. 11.17. Спектральные плотности двухисточников шумаисточников шумаи частотная характеристика полосового фильтра.и частотная характеристика полосового фильтра.
Полосовой (рильтр
Полосовой (рильтр
Рис. 11.17. Спектральные плотности двух
Рис. 11.17. Спектральные плотности двух
источников шума
источников шума
и частотная характеристика полосового фильтра.
и частотная характеристика полосового фильтра.
моментом, аналитическую зависимость для нее можно вывести из выражения спектральной плотности. Нормальное распределение ——типичный пример такой ситуации. Однако не существует однозначной связи между одномерной плотностью вероятностей и спектральной плотностью нормального распределения. Это важное обстоятельство можно проиллюстрировать весьма просто. Рассмотрим два источника гауссова шума с одинаковыми дисперсиями и нулевыми средними значениями (рис. 11.17). Тогда на основе сделанного допущения можно записать, что
о? = NiB{ = N ?В2・
Если источники шума характеризуются частотными диапазонами различной ширины, то их спектральные плотности также не одинаковы. Пропустим шум от каждого источника через фильтр нижних частот с шириной полосы пропускания В3 и единичным коэффициентом передачи в этой полосе. Характеристики фильтра и шума показаны на рис. 11.17, где 83 VB2 V 81 и, следовательно, ^1 < А^. Так как мы имеем дело с линейным фильтром, то в обоих случаях выходной сигнал будет иметь гауссово распределение. При подаче на вход фильтра сигнала от первого источника дисперсия выходной величины будет равна о； = N^B3, Аналогично, при подаче на вход фильтра сигнала от второго источника дисперсия на выходе фильтра составит о； = N^B3. Следовательно, фильтрация шумов, имеющих одинаковые плотности вероятностей, но различные спектральные плотности, приводит к различным результатам.
Выбор масштаба для величины спектральной плотности. Определение масштабов по переменной и по времени, связанное с представлением спектральной плотности, проще всего пояснить с помощью типичного примера, иллюстрируемого схемой на рис. 11.18. Мы считаем, что графики спектраль-
ных плотностей сигналов х (t) и у «) имеют одинаковую форму 〃 отношение значений плотности на всех частотах постоянно.
Рис. 11.18. Схема, иллюстрирующая выбор мае- штаба при воспроизведении шума.
В данном случае сигнал у «) характеризует некоторый угол и измеряется в градусах. Его спектральная плотность, ^0 (/), следовательно, измеряется в единицах градус21 /герц. Масштаб для у «) имеет следующий вид:
b вольт 三 1°.(11.39)
Следовательно, выраженное с помощью выбранного масштаба значение спектральной плотности сигнала у «) равно
M0(/) = feW0 (/)炉/叫.(11.40)
Значение спектральной плотности WQ (/) выходного сигнала генератора шума также измеряется в единицах во儿ьт/еер% С помощью уравнений Винера —— Хинчина определяем спектральную плотность сигнала %(/):
WQ (/) = \ 凡⑴ cos сот dr —
ТОО
=；j 威，％ (/) % (/十 т) cos о)т drГ—>8.(11.41)
—Т— ОО
Аналогично спектральная плотность сигнала у (/) равна
Т 8
检(力=费，力，^(0^(^ + T) cos(от dr.(11.42)
一T —0С
Так как
у = kx,(11.43)
где k — коэффициент, определяющий настройку потенциометра /, то, подставив это выражение в уравнение (11.42), получаем следующую зависимость:
ТОО
此(力=胪];\ 山、:％ (f) % (/十 т) cos сот dr] =々2% (f).(11.44)
Воспользовавшись уравнением (11.40), можем записать
必％ (f) = b2M(力(11.45)
откуда определяем коэффициент настройки потенциометра
爵，"(1L46)
где размерность спектральной плотности No (/) обусловлена характером задачи, в данном случае ——градус2!герц, а спектральная плотность шума 场⑺ измеряется в вольт2/герц.
Выбор масштаба времени. Если задача решается в масштабе времени, отличающемся от того, который был использован при определении спектральной плотности источника шума, то это обстоятельство следует учесть при настройке потенциометра. Спектральная плотность генератора шума имеет размерность времени или точнее произведения вольт2, X время. Шум в исследуемой системе имеет размерность произведения квадрата размерности зависимой переменной и времени, в нашем случае ——градус2 X время. Если временная переменная источника шума равна 厶，а временная переменная исследуемой системы %, то уравнение (11.46) с учетом размерности можно переписать в следующем виде:
(11.47)(11.47)々—匕 вольт / Nq X градус2 X tp— градус У Wq X вольт2 X ts
(11.47)
(11.47)
Если масштаб времени определяется уравнением
tp ~(11.48)
то коэффициент, устанавливаемый на потенциометре, принимает следующее значение:
k = bV^-(И-49)
Из этого уравнения следует, что при решении задачи в растянутом масштабе времени (а > 1) коэффициент потенциометра увеличивается, а при решении в сжатом масштабе времени соответственно уменьшается.
Пример 4. В схеме, приведенной на рис. 11.18, спектральные плотности сигналов % и 4, измеренные при нулевой частоте, равны соответственно: % = 4,21 公/叫； ^o — 0,001 градус2!гц. Мьг замечаем, что для определения масштабного множителя из уравнения (11.49) необходимо знать лишь отношение спектральных плотностей. Следовательно, единственное, что требуется для расчета масштаба,—— это значения обеих спектральных плотностей на какой-нибудь частоте.
Скорость решения задачи должна быть увеличена в 5 раз (а = 0,2), масштаб зависимой переменной на усилителе / выражается соотношением 25 8 三 1°. Подставляя все эти значения в уравнение (11.49), находим величину коэффициента, который должен быть установлен на потенциометре:
左=25)/ O,O?^O,2q0/7.(Ц.50)
ИЗМЕРЕНИЕ И ОЦЕНКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В этом разделе мы займемся некоторыми методами, с помощью которых можно выявить статистические свойства решения на основе собранных экспериментальных данных. Эти свойства выражаются через некоторые характерные величины, например такие, как среднее значение и дисперсия, которые называют параметрами совокупности. Существующие ограничения в отношении стоимости и времени решения задачи заставляют нас удовлетворяться определением средних значений по промежутку времени ограниченной длительности и по множеству, состоящему из ограниченного числа элементов. Следовательно, среднее выборочное значение будет изменяться от выборки к выборке, являясь случайной величиной с определенной плотностью вероятностей. Мы начнем с рассмотрения порядка выполнения измерения нескольких величин и назначения доверительных границ для результатов каждого измерения. Для удобства разделим наши измерения на две категории: определение средних по времени и средних по множеству.
Оценка параметров с помощью средних по времени значений
Измерения, о которых далее пойдет речь, могут быть выполнены при любом сигнале, являющемся стационарным случайным процессом. Хотя может оказаться, что этот сигнал представляет решение задачи, вероятнее всего, он будет являться выходной величиной генератора шума. Поэтому описываемый ниже способ определения средних по времени значений можно рассматривать как средство контроля качества работы источника шума.
Во всех случаях среднее по времени значение будет являться оценкой некоторого параметра. Мы будем предполагать, что длина отрезка времени, на котором производится усреднение, достаточна для того, чтобы выполнялась центральная предельная теорема, и, следовательно, распределение выборочных средних значений будет близко к нормальному 丄).
Таким образом, чтобы установить доверительные границы ) для значения параметра, нужно знать только дисперсию среднего по времени, т. е. один параметр совокупности. Пусть 修(Т) обозначает среднее по времени значение для одной выборки, о\]—■ дисперсию Xi (Т), где Т ——отрезок времени, на протяжении которого усредняется функция 修(f). В этом случае 95%-ный доверительный уровень (его называют также и уровнем значимости) соответствует интервалу %〔 (Т) 土 1,96 crj^ а 99%-ный доверительный уровень —— интервалу Xi (Т) 士 2,58 о•向.Иногда доверительные границы задаются с помощью интервалов, соответствующих удвоенному и утроенному среднеквадратичному отклонению. В этом случае интервалы определяются как 修 土 2о； (уровень значимости 95,5%) и 打 士 3(Ц (уровень значимости 99,7%).
Основная трудность, возникающая при использовании уровней значимости, состоит в том, что дисперсия среднего по времени значения обычно неизвестна. Это препятствие можно преодолеть двумя способами. Можно взять несколько средних по времени значений, причем время каждой выборки должно быть одинаково. Затем для этих выборочных значений вычисляется дисперсия, называемая выборочной дисперсией. Одна из возможностей заключается в том, чтобы использовать для определения доверительных интервалов выборочную дисперсию вместо дисперсии. Однако, хотя выборочная дисперсия отличается от дисперсии среднего по времени значения, среднее значение их разности уменьшается по мере увеличения количества выборок.
Вторая возможность состоит в использовании ^-распределения (распределения Стьюдента), которое связано с распределением Гаусса. При этом используется выборочная дисперсия, а не истинная дисперсия (дисперсия совокупности). Таким образом, используя ^-распределение, можно получить точное значение доверительного интервала, зная только выборочную дисперсию среднего по времени значения. Более подробно свойства этого распределения обсуждаются в разд. 11.3.2.
Так как введение терминов выборочная дисперсия и дисперсия может вызвать определенную путаницу, мы сделаем небольшое отступление, чтобы дать необходимые пояснения. Если имеется и значений среднего по времени, то выборочная дисперсия является оценкой дисперсии совокупности, вычисленной по и выборочным точкам. Дисперсия среднего, полученного путем однократного усреднения по времени (ее называют также дисперсией генеральной совокупности),——это величина, которую мы получили бы, взяв бес-
конечное число выборок по п элементов каждая и определив среднее значение выборочной дисперсии. Отметим, что дисперсия является числом, а выборочная дисперсия ——случайной величиной.
Оценка среднего значения 丄).Оценкой среднего значения случайной величины может служить среднее по времени. Эта оценка называется выборочным средним. На рис. 11.19 приведены две простые схемы, используемые для получения такой оценки. Выключатель Si (схема на рис. 11.19, а) замыкается в момент £ = 0 н размыкается в момент £ = 7\ Выходная величина интегратора в то время, когда выключатель разомкнут, служит оценкой среднего значения. В схеме же на рис. 11.19, 6 выключатель S? замыкается в момент
Генератор uiyjviaГенератор uiyjviaРис. 11.19. Схемы для получения средних значений.Рис. 11.19. Схемы для получения средних значений.
Генератор uiyjvia
Генератор uiyjvia
Рис. 11.19. Схемы для получения средних значений.
Рис. 11.19. Схемы для получения средних значений.
/ — 0 и далее остается в этом положении. Исходный сигнал подается при замыкании выключателя на вход фильтра нижних частот, и после затухания переходного процесса величина %' (/) служит непрерывной оценкой среднего значения. Хотя эта схема и привлекательна, так как позволяет постоянно контролировать работу генератора шума, мы все же вынуждены отказаться от ее использования. Мотивы нашего решения излагаются ниже.
Хороший источник шума вырабатывает шум с очень малым средним значением. Поэтому для того, чтобы удержать дисперсию величины %’ (/) в разумных пределах, мы вынуждены использовать фильтр нижних частот с очень большой постоянной времени, что эквивалентно очень узкой полосе пропускания (постоянная времени т велика). Так как постоянная времени велика, то соответственно велико и время установления переходного процесса. В результате при изменении среднего значения выходной величины генератора шума приходится долго ждать, прежде чем оказывается возможным точно оценить влияние этого изменения. В связи с этим для измерения среднего значения больше подходит схема, изображенная на рис. 11.19, а. Однако в тех случаях, когда среднее значение достаточно велико, применение схемы, в которой измерение ведется непрерывно, дает хорошие результаты. Поэтому мы уделим внимание этой схеме при рассмотрении методов оценки дисперсии.
Дисперсия о； выборочного среднего, получаемого с помощью схемы, приведенной на рис. 11.19, а, определяется следующим уравнением:
# = \ ^^-【&«) —加2】dT,(11.51)
где Rx (т) — корреляционная функция сигнала х (/), m ——среднее значение входного сигнала 尤(£).
Как видно из этого уравнения, дисперсию выборочного среднего можно определить, зная корреляционную функцию и среднее значение. Но совершенно очевидно, что нам неизвестно среднее значение, поскольку мы используем выборочное среднее для его оценки! Теперь предположим, что среднее значение мало по сравнению со значением корреляционной функции, и попытаемся выяснить, что произойдет в этом случае.
Формулы, которые мы используем для определения дисперсий оценок среднего значения и дисперсии, выведены в работе [114, т. 2, стр. 233—255].
Если корреляционная функция точно не известна, а можно считать, что почти всегда будет именно так, оценку для нее можно найти, использовав АВМ. В следующем разделе мы покажем, что измерение с помощью АВМ величины R (т) для произвольных значений т вызывает некоторые затруднения. Определение R (т) при достаточно большом количестве различных значений времени запаздывания, необходимых для решения уравнения (11.51), вызывает дополнительные затруднения, связанные с обработкой большого количества экспериментальных данных. К тому же эти дополнительные усилия неоправданны, поскольку мы располагаем лучшими способами определения доверительных границ.
Когда неизвестна корреляционная функция, существует практически только один метод определения доверительных границ для выборочного среднего. Мы интегрируем сигнал % (f) п раз, причем время каждого процесса интегрирования равно Т. Результат каждого процесса интегрирования регистрируется на выходе интегратора и обозначается как%» (Т), где i = 1, 2, . . ., п. На основе всех полученных результатов мы определяем новое значение оценки выборочного среднего, используя принцип усреднения по множеству
М = £ 乎. (11.52)
Выборочная дисперсия при этом равна 丄)
Используя все выборочные точки для определения выборочного среднего, можно уменьшить размер доверительного интервала. В отличие от дисперсии выборочного среднего о匕，определяемого по результатам одной выборки [см. уравнение (11.51)], дисперсия среднего по множеству, состоящему из п выборок, равна
嗚二 (И >54)
Значение этой дисперсии апроксимировано в уравнении (11.53) ее выборочным значением. Когда дисперсия(J& мала, что бывает при больших Т или п, размеры доверительных интервалов оказываются почти такими же, как и при использовании точных значений дисперсии. Во всех остальных случаях для определения доверительных интервалов следует, как будет показано в разделе, посвященном среднему по множеству, использовать /-распределение Стьюдента.
Пример 5. Рассмотрим на примере процедуру определения доверительных интервалов. Пусть приведенные в табл. 11.1 значения »? представляют собой величины, полученные на выходе интегратора в результате пяти однократных процессов решения на АВМ.
Исходя из полученных результатов находим: выборочное среднее значение
*=» 学= ^ = 1，8； (11.55)
Обратите внимание на то, что в знаменателе появился сомножитель (/г — 1). Это необходимо для того, чтобы S^ 2 была несмещенной оценкой дисперсии. Если бы выборочная дисперсия вычислялась не на основе выборочного среднего х (Т), а через истинное среднее, то в знаменателе вместо п (п ——1) стояла бы величина п2.
выборочную дисперсию
(11.56)(11.56)2 _,(/)2 -(塞)2_43 - 5*3,24./г(гг—1[=5X4；
(11.56)
(11.56)
г—1
среднее квадрэтичное отклонение:
。嚏= 1，17・
Если имеется только пять выборочных значений, то надо использовать для определения доверительных интервалов /-распределение. В данном случае, однако, мы сохраняли объем выборки малым, что объясняется желанием сократить количество вычисле-
Таблица 11.1
Результаты решения на АВМ
г—номер процесса2
однократногоxi勺
решения
13 2 2 513 2 2 519 4 45219 4 452
13 2 2 5
13 2 2 5
19 4 45
2
19 4 45
2
Суммарный ре-зультат943
ний. Мы будем определять доверительные границы с использованием нормального распределения; при этом мы апроксимируем истинную дисперсию выборочной. Однако читатель должен иметь в виду, что использование этого метода допустимо лишь в тех случаях, когда выборка состоит не менее чем из тридцати элементов.
Используя значение выборочной дисперсии, найденное выше [см. (11.56)], определяем доверительный интервал для истинного среднего знач ення х, соответствующий 95%-ному уровню значимости:
х—1,96(т. <Г<х4-1,96а^(11.57)
или
—0,49<Г<4,09.
При 99%-ном уровне значимости доверительный интервал равен
х—2,58叱 <%V^+2,58叱(11.58)
или
-1,22<х<4,82.
Если же при изучении случайного процесса производить периодически выбор дискретных точек, то выборочное среднее определяется как
爲=三七一，(11.59)
где п ——объем выборки, £ —— период квантования. Дисперсия среднего хп в этом случае равна
唸=寸+ 2(11.60)
k=—(n—i)
где Ох ——дисперсия случайного процесса % (/)•
Среднее квадратичное отклонение сц, определяемое уравнением (11.51), пропорционально величине 1 !Т при больших Т. Аналогично дисперсия о^п, задаваемая уравнением (11.60), пропорциональна величине 11п. Это крайне неприятное свойство присуще дисперсиям любых оценок, полученных с помощью выборки большого объема, независимо от того, относятся ли они к среднему значению или какому-либо другому параметру. Это свойство указывает, какие меры нужно предпринять для увеличения точности измерений. Мы уже отмечали, что размер доверительного интервала пропорционален среднему квадратичному отклонению. Следовательно, если мы хотим изменить размер интервала в а раз, то время измерения необходимо изменить в 1 /а раз. Так, чтобы уменьшить интервал в 10 раз, время измерения нужно увеличить в 100 раз. Короче говоря, в статистике действует непреложный закон, который гласит, что мы всегда теряем во времени больше, чем выигрываем в точности. Следовательно, аксиомой является то, что параметр всегда должен оцениваться с минимально допустимой для конкретной задачи точностью.
у⑴*" Квадратору⑴*" КвадраторБлок усредненияБлок усредненияОценка дисперсии и спектральной плотности. Оценка спектральной плотности источника шума в окрестности некоторой частоты является эквивалентом оценки дисперсии шума. Чтобы продемонстрировать эту эквивалентность.
у⑴*" Квадратор
у⑴*" Квадратор
Блок усреднения
Блок усреднения
УбУбБлока абсолютнойвеличиныБлока абсолютнойвеличиныZ⑴
Уб
Уб
Блока абсолютнойвеличины
Блока абсолютнойвеличины
曳L《~а®~а ус^днения —а 弘什丿б
Рис. 11.20. Схемы для определения дисперсии гауссова рас-пределения.
рассмотрим процедуру оценки спектральной плотности. Сигнал % (/), воспроизводимый генератором шума, пропускается через полосовой фильтр; сигнал на выходе фильтра обозначен как у (/). Ширина полосы пропускания этого фильтра достаточно мала для того, чтобы в области малого затухания спектральная плотность ^o сигнала % (/) была практически равномерной. Если % ⑦—среднее значение входного сигнала % (/) — равно нулю, то у (?) также равно нулю и среднее значение величины у? (/) является оценкой дисперсии как выходного сигнала у (/), так и спектральной плотности входного сигнала х (/).
Если нас интересует спектральная плотность сигнала х (/) в окрестности нулевой частоты, то для спектральной плотности и дисперсии сигнала у (/) можно записать соответственно
邑(/)= TV；(1L6D
Е【“(/)] = * [任綜鑒，(И.62)
где Ti —— постоянная времени апериодического фильтра. Мы видим, таким образом, что в данном случае оценки дисперсии сигнала у (f) и спектральной плотности сигнала х (0 отличаются лишь масштабным множителем х).
Когда шум имеет нормальное распределение N (0, V), дисперсию Z2 можно оценить двумя различными способами (рис. 11.20). В схемах на этом рисунке
имеют место следующие соотношения:
(11.63)
Мы отмечаем, что схема, в которой используется блок абсолютной величины, дает вместо оценки дисперсии оценку среднего квадратичного отклонения. Предположив, что корреляционная функция сигнала у (f) определяется выражением
Ru(/) = N°er"門，(11.64)
дисперсиидисперсиипроведем сравнение обоих методов. Уравнение (11.64) эквивалентно утверждению, что сигнал у (f) является белым шумом со спектральной плотностью ^0, пропущенным через апериодический фильтр с постоянной времени 工厂 Применив в качестве блока усреднения интегратор, выбрав время интегрирования равным Т и установив на потенциометре / коэффициент 1 /7, а на потенциометре 2 коэффициент (1 /7) Ул/2, мы получаем выборочные средние 21 (Т) и Wi (Т), которые являются несмещенными оценками и среднего квадратичного отклонения 九 соответственнох):
дисперсии
дисперсии
(11.65)(11.65)。氧7)=/半炉；
(11.65)
(11.65)
* (7) =3
Будем считать, что выборочные средние 24 (Т) и 侬i (Т) распределены нормально, и, сравнивая два метода, определим, какой из них позволяет при заданном уровне значимости получить меньший доверите1nbнн访 интервал. Мы будем сравнивать относительные размеры доверительных интервалов с 95,5%-ным уровнем значимости.
Доверительные интервалы для Z2 и X, определенные на основе полученных выше оценок этих величин, равны соответственно
&(7)-2炉 /号y 九2v云(7)+ 2炉/爭(11.66)
И
® (7)-2 九 I/竺簪 V 九 v®(7) + 2 九/嘗旦.(11.67)
Будем ради упрощения процедуры сравнения считать, что отрезок времени, на котором производится усреднение, достаточно велик для того, чтобы оценка была приблизительно равна значению измеряемого параметра. В таком случае
2(Т)^ 炉(11.68)
и
®(Т)^ 九.(11.69)
Подставляя 巧(Т) и 侬 1 (Т) из уравнений (11.68) и (11.69) в уравнения (11.66) и (11.67), имеем
炉(1—2/祭)VMV炉(1+2 ]/禦)(11.70)
И
九(1一2]/堂戶)V 大 V 九(l + ]/°^j^).(11.71)
Чтобы доверительные интервалы, определяемые неравенствами (11.70) и (11.71), относились к одному и тому же параметру, возведем все члены неравенства (11.71) в квадрат:
炉炉(1 十2 /(11.72)
Раскроем выражение ?для верхнего интервала в неравенстве (11.72) /2一2(1+2]/一竺*)2一炉=炉(1+4 /叫 J4彗包).炉.
При больших Т наименьший член последнего выражения (4 х 0,531т；/Т) близок к нулю и им можно пренебречь. Тогда выражение для интервала /2 приобретает следующий вид:
厶=2,92炉/^. (11.73)
Неравенство (11.66) дает для верхнего интервала Z2 значение 2,83 Z2 y\f/T. Мы видим, таким образом, что метод, основанный на возведении в квадрат, позволяет получить доверительный интервал, несколько меньший, чем метод, предусматривающий получение абсолютного значения.
При использовании дисперсии для оценки спектральной плотности величина 勺 существенно влияет на значение доверительных границ. Напомним, что 工/ ——постоянная времени фильтра, формирующего спектральную плотность, и ее величина обратно пропорциональна полосе пропускания этого фильтра. Таким образом, чем меньше полоса частот, в пределах которой измеряется спектральная плотность, тем больше относительные доверительные границы. Относительную доверительную границу мы определяем как
E[zx(T)]
На основании этого определения заключаем, что, чем меньше ширина полосы частот, используемая для оценки спектральной плотности, тем больше время интегрирования, необходимое для обеспечения приемлемой точности.
Мы приведем сейчас несколько цифр, заимствованных у Миддлтона [114, т. 2, стр. 244], чтобы дать читателю некоторое представление о действительной величине времени интегрирования. Допустим, что = 103 ?%, где % = 1 /2 冗工尸 и что нужно получить 2% (T)/E[zi(T)] = 0,01. Из неравенства (11.66) следует, что Т при этом должно быть не менее 12 сек. Если f｝工 1 叫， то Т = 200 мин. При /у = 10-2 гц необходимое значение Т становится равным 1600 суткам—■ времени, которое во много раз превосходит как допустимый с точки зрения точности АВМ период непрерывного интегрирования, так и реальные сроки решения задачи.
Серьезный недостаток использования интегратора как механизма усреднения при получении оценки дисперсии заключается в невозможности контролировать параметры шума непрерывно. Как мы уже указывали, наиболее часто приходится определять средние по времени оценки для сигнала генератора шума. Источники шума работают в процессе решения задачи без перерывов, и поэтому желательно иметь возможность регулярно контролировать их характеристики. Постоянно включать и выключать для этой цели интегратор по меньшей мере неудобно. Если же вместо интегратора использовать в качестве блока усреднения фильтр нижних частот и считывать величину сигнала на его выходе с помощью обычного или цифрового вольтметра, то процесс усреднения протекает непрерывно, а отсчет можно произвести в любой момент времени. В этом случае относительная доверительная граница очень полезна
как критерий, указывающий размах колебаний стрелки прибора или разброса показаний цифрового вольтметра. Чем меньше эти флуктуации относительно среднего значения, тем легче протекает процесс считывания. В схеме на рис. 11.20 эти выходные величины обозначены через г (0 = г2 (/) и w (/) = 皿2 (f). Относительные доверительные границы для оценок дисперсии и среднего квадратичного отклонения равны соответственно
⑴.74)
資些-1,03 Л(11.75)
где Д)— - ширина полосы пропускания фильтра нижних частот;
// ширина частотного диапазона генератора шума;
之2 (0 — среднее значение г2 (/) в установившемся режиме;
о^2 (0 дисперсия среднего г2 (/);
侬2 (0 — среднее значение w2 (/) в установившемся режиме; 点(/)——дисперсия среднего w2 ⑴.
Можно отметить, что разброс показаний прибора значительно меньше при измерении среднего квадратичного отклонения. Однако ошибка оценки дисперсии будет больше при использовании ^2 (0 вместо з2 (/), так как соответствующий доверительный интервал несколько больше. Чтобы сделать пределы совместными, т. е. основанными на оценке одного и того же параметра, возведем в квадрат обе части уравнения (11.75), определяющее относительную доверительную границу, и сравним полученный результат с (11.74).
После замыкания контактов выключателя S〕 среднее значение и дисперсия сигнала г2 (/) будут монотонно возрастать от нулевых значений, асимптотически приближаясь к некоторым окончательным величинам. Аналогичным образом ведут себя и кривые дисперсии и среднего квадратичного отклонения для 皿2 (£)• Окончательные значения, к которым стремятся оба параметра, называются установившимися значениями. При f；5/2 л/0 текущие значения среднего и дисперсии отличаются от установившихся значений не более чем на 1 %.
Уравнения (11.74) и (11.75) справедливы в том случае, когда пронесс усреднения продолжается длительное время, достаточное для того, чтобы все переходные процессы закончились 3). Таким образом, в установившемся режиме на выходе фильтра имеется стационарный шум. Следует иметь в виду, что относительный доверительный интервал сходится к постоянной величине, в то время как доверительный интервал для выходного значения интегратора непрерывно уменьшается в процессе интегрирования. Относительный доверительный интервал можно уменьшить, сузив полосу частот /0 сглаживающего фильтра. Однако при изменении дисперсии генератора шума новое значение на выходе фильтра устанавливается за время, примерная продолжительность которого определяется выражением t = 5/2研 с0K. Таким образом, мы снова сталкиваемся со злым гением измерений статистических характеристик —— необходимостью выбора между точностью и временем использования АВМ.
Мы показали выше, что исследователь имеет возможность выбора между двумя различными методами измерения дисперсии. Схема, предусматривающая возведение в квадрат, позволяет получить результат более точный, но всего лишь на несколько процентов. Следует, однако, отдать предпочтение схеме, содержащей блок для получения абсолютной величины, так как сам по себе он проще и точнее, чем квадратор.
Поведение среднего и дисперсии в переходных режимах рассматривается также в разд. 11.5.
22 Л. Левин
Оценка корреляционной функции. Если при определении статистических характеристик мы ограничиваемся лишь использованием стандартных элементов АВМ, то наиболее трудоемким оказывается процесс измерения корреляционной функции. На рис. 11.21 изображена схема программы АВМ для получения оценки г (т) корреляционной функции Ry (т) сигнала у (/). Основным элементом схемы является звено запаздывания. В разд. 5.4 мы описали ряд способов введения запаздывания в электрические схемы. Однако только апроксимация Падё оказывается состоятельной при использовании стандартных элементов АВМ, причем ее точность достаточна лишь в случае малого времени запаздывания. Когда используются дискретные значения сигнала, очень хорошие результаты дает использование блоков выборки и фиксации.
Если гауссов белый шум у (f) с дисперсией Z пропустить через апериодический фильтр нижних частот с постоянной времени 1 /а, то дисперсия сигнала 2 (£) будет определяться следующим выражением х):
О式Т) = {2аТ— 1 +2е-2П+ [(2аТ + 1) (2аТ— 1)-2 (аТ)2] е—аТ;.仙,(〔]?$)
где т ——время запаздывания. При т = 0 и больших значениях Т получаем
叫0")=誉，(Н.77)
что аналогично выражению в неравенстве (11.66).
Когда у (0 является гауссовым шумом с произвольной спектральной плотностью, для дисперсии (т, Т) справедливо следующее выражение:
т
。弘 Т, т)= * \ (Т —6)[鋁偉)十兄(t + 6)R〃T-6)]d6，(11.78)
О
где
RJD =七伍G)y(f十初•
Допустим, что мы имеем блок выборки и фиксации, который используется для получения выборочных точек вида у (&L) у (kL +т) и оценки корреляционной функции
冗⑺2 g伊乙)9 餌+ т)，(11-79)
儿=0
где L — промежуток времени между соседними измерениями. Тогда дисперсия оценки Л равна 2)
^ =' д/Т 2(“ 一 к、IR； (hL\ 工-R；j (hL + к) Rg (hL—т)],(11.80)
k — — (n— 1 )
где
Ry (kL) = E [у (t) у (t \-kL)].
Оценка плотности вероятностей. Плотность вероятностей случайного сигнала (рис. 11.22) можно определить как среднюю продолжительность интервала времени, в пределах которого значения напряжения ограничены достаточно узким диапазоном. Так, плотность вероятностей в диапазоне у^ V У Vy?
Рис. 11.22. Случайный сигнал.
можно оценить на интервале времени Т с помощью следующего выражения: 0 = * [(4 —友)十(4 — 4) + (% — ％) + «8 — b)l・(11.81)
Оценку типа (11.81) можно получить на АВМ с помощью схемы, изображенной на рис. 11.23. Контакты выключателя Si, управляемого реле, замкнуты,
Р и с. 11.23. Схема для определения плотности вероятностей распределения амплитуд непрерывного сигнала.
когда У > а контакты выключателя S?, управляемого другим реле, раз- мв1каюТся, когда У > у?. Если произвести п экспериментов продолжительностью Т и оценить вероятность рСр как
"ср = $ 普， (11.82)
то при больших значениях Т распределение рг будет нормальным. Оценка дисперсии .ср имеет при этом следующий вид:
誌=£ 乎詰*• (1L83)
Для назначения доверительных интервалов можно использовать либо гауссово распределение выборочного среднего рср, либо более точное /-распределение.
11.3.2. Оценки параметров, полученные путем усреднения по множеству
В разд. 11.3.1 было показано, как оценивать среднее значение и плотность вероятностей, комбинируя средние по времени и по множеству. Однако во многих задачах решение является нестационарной случайной величиной, и усреднение по времени выполнить нельзя. Решение может быть определено только с помощью усреднения по множеству при всех значениях независимой
22*
переменной. Средние по множеству можно получить только путем многократного решения на АВМ одной и той же задачи.
Допустим, что мы определяем среднее значение нестационарной случайной величины х (f) в функции времени. Положим для простоты, что нас интересуют m дискретных моментов времени 厶，Z2, . . ., tm и что для оценки среднего производится /2 экспериментов. Результаты экспериментов приведен!»!
Таблица 11.2
Матричная запись экспериментальных данных, предназначенных для определения средних по множеству
Порядковый номер одно-
Время
кратного процесса решения на АВМ
/1
/2- ■ •
1
%1(%)
勺(％)•
打（/m）
2
%2（匕）
%2（*2）
*2('m)
п
хз九）
巧(/щ)
в матричном виде в табл. 11.2. Выборочное среднее, соответствующее произвольному моменту времени 力，равно
Х(%) = £ 屮.
h=i
Этот пример показывает, что для определения средних по множеству требуется запоминать и обрабатывать значительно больше экспериментальных данных, чем при определении средних по времени. В большинстве случаев необходимо запоминать все элементы матрицы, т. е. приходится хранить п X т отдельных результатов. Обработка экспериментальных данных существенно упрощается при решении одного специального вида задач, называемых задачами о конечном значении, в которых определяется состояние случайной величины в заданный момент времени. Приведем ряд примеров случайных величин, встречающихся в задачах о конечном значении:
толщина стали на выходе из прокатного стана;
параметры бензина, полученного с помощью процесса ректификации;
отклонение баллистического снаряда от цели.
Мы обсуждаем здесь получение средних по множеству для какого-либо одного момента времени, так что все результаты можно непосредственно использовать при решении задач о конечном значении. Прн определении в одной задаче средних по множеству для ряда моментов времени используются те же статистические приемы, причем оценка, относящаяся к каждомх моменту времени, рассматривается как отдельная случайная величина.
Оценка среднего значения. Если в результате n-кратного процесса решения на АВМ для определенного момента времени получены выборочные значения X? (Т), где i = 1, 2,..孔，то выборочное среднее равно
^(T) = S^(11.84)
и выборочная дисперсия равна
S2 (7) 2 -^^Т^~ ■(11.85)
Если исходная совокупность, из которой производится выбор, подчиняется нормальному распределению, то независимо от объема выборки также будет распределено и выборочное среднее. Мы уже отмечали, что довери- гсльный интервал для истинного среднего зависит от выборочного среднего и истинной дисперсии. Обычно нам известна только выборочная дисперсия. Следовательно, доверительный интервал, полученный на основе этой оценки, является некоторой апроксимацией. При подобных обстоятельствах необходимо использовать ^-распределение, с помощью которого можно определить доверительный интервал точно, несмотря на то, что выборочная дисперсия неизвестна. Критерий Стьюдента позволяет получить точный результат, когда исходная совокупность подчиняется нормальному распределению. Опыт показывает, что этот критерий позволяет получить хорошие результаты и для распределений, которые отклоняются от нормального, но не очень существенно.
Результаты, которые дает применение критерия Стьюдента к подобным распределениям, улучшаются по мере увеличения объема выборки. Допуская независимость или слабую коррелированность выборочных точек, мы на основе центральной предельной теоремы можем утверждать, что при увеличении объема выборки распределение суммы выборочных значений приближается к нормальному. Пусть мы имеем л выборочных точек %厶...,n北.Разделим их на k групп по т выборочных значений в каждой (km — п) и определим средние суммы уу.
2 号， = 1, 2,月
i—l+(j—l)m
По мере увеличения количества экспериментов л будет увеличиваться и количество выборочных значений т, по которым определяется средняя сумма у. При этом распределение величин у『будет приближаться к нормальному и доверительные интервалы для у/, полученные с помощью критерия Стьюдента, будут приближаться к истинным.
Воспользуемся приложением 11 для определения доверительных интервалов при заданных уровне значимости и объеме выборки. Число степеней свободы и и объем выборки п связаны следующим соотношением: и = л——1.
Используя выражения (11.84) и (11.85), находим для среднего значения х симметричные пределы:
貿 Т)--^*У(Т) +『， (11.86)
где 8單—процентиль, соответствующая данному л и заданному уровню значимости. Если бы мы использовали выборочную дисперсию для непосредственной оценки истинной дисперсии нормального распределения, то при 95 %-ном уровне значимости 0管 была бы равна 1,96, а при 99%-ном уровне —— 2,58. Используя точное ^-распределение при больших и, мы получим почти такие же результаты.
Симметричные пределы в случае /-распределения обеспечивают минимальный доверительный интервал. Так как обычно желательно минимизировать диапазон, в котором определяется истинное среднее, то чаще всего используются симметричные доверительные границы.
При определении симметричных доверительных границ в приложении 11 предполагается, что при уровне значимости 1 ——а среднее будет в течение а/2% времени решения принимать значения, лежащие ниже нижней границы, и в течение такого же времени ——выше верхней. Если мы хотим, чтобы уровень значимости составлял 95%, то берем процентиль, соответствующую /0,975 (——/о,025 )• Так, если мы хотим, чтобы среднее оставалось меньшим некоторой заданной величины при 95%-пом уровне значимости, величина 0&
берется из столбца /0j95 (——/o,os) и соответствующий интервал равен
—8 V % V 无(T) + pD /—'-
Аналогично определяются несимметричные доверительные границы. Значения 自]и 饱2 берутся из столбцов 厶975 (—/0,025)и /0,99(~^о,о1) соответственно. Неравенство
% (「)—饱1 _у- V х V % (「) + 饱2
определяет 96,5%-ный [1——(0,025 + 0,01)] доверительный интервал.
Пример 6. В примере 5 в качестве оценки дисперсии выборочного среднего мы использовали выборочную дисперсию и затем, пользуясь этой апроксимацией, определяли доверительные интервалы. Чтобы выявить, насколько мы при этом ошибались, определим, опираясь на те же экспериментальные данные, точные значения доверительных интервалов с помощью /-распределения.
Используя приложение 11, находим, что для 95% -ного уровня значимости при пяти однократных процессах решения на АВМ ру = 土2,78. Обращаясь к данным примера 5, мы с помощью неравенства (11.86) находим
—2,12<7 <5,72.
При 99% -ном уровне значимости 卩^ = 土4,60 и интервал определяется следующим неравенством:
—4,69 <7< 8,29.
Сравнивая результаты, полученные в примерах 5 и 6, приходим к выводу, что применение выборочной дисперсии и нормального распределения всегда дает интервал меньшего размера, чем получающийся при использовании точного /-распределения.
Оценка дисперсии. Когда выборочная дисперсия для нормальной совокупности определяется уравнением (11.85), величина (л ——1) S2/o2 имеет распределение %3. Доверительные границы, обеспечивающие минимальный интервал для среднего квадратичного отклонения и, имеющего оценку и, определяются следующим неравенством:
—< о < (金十6^|^) ,(11.87)
причем (особенно в случае малых объемов выборки) коэффициенты а и & не равны, а их вычисление является довольно трудоемкой задачей 工).Хорошей апроксимацией минимального доверительного интервала является такой интервал, что при уровне значимости 1 ——с^ среднее квадратичное отклонение а в среднем будет в течение а】/2 % времени решения принимать значения, лежащие ниже нижней границы, и в течение такого же времени — выше верхней.
Используя приложение 7, можно определить эти границы, которые задаются следующим образом:
1(11.88) ли, 1—щ/2X”，ai/2
Так, при объеме выборки, равном 11, и 95%-ном доверительном интервале имеем
и 二-zi — 1 = 10；
1 —а— 0,95;
a 厂二 0,05;
一学= 0,975;
学= 0,025.
Процедура расчета коэффициентов а и b приведена в работе [120, стр. 2 60—263].
Следовательно, для и = 10 в столбце 100а = 97,5 находим /10; 0,975 =2,05 и в столбце 100а = 2,5 находим %210； 0,025 = 0,325. Подставляя эти значения в неравенство (11.88), получаем двусторонний доверительный интервал, весьма близкий к минимальному.
Когда выборка состоит более чем из 30 элементов, распределение %2 приближается к нормальному. Тогда при 95%-ном уровне значимости можно использовать симметричный интервал
*)svov(l+*)s, (11.89) а при 99 %-ном уровне значимости — симметричный интервал
0一(119。)
Отметим, что в случае выборок большого объема доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения в ]/'2 раз меньше доверительного интервала для среднего значения.
Критерий %2 дает хорошие результаты и для распределений, значительно отклоняющихся от нормального. По тем же причинам, которые оправдывают применение критерия Стьюдента для распределений, отличных от нормального, результаты использования критерия %2 улучшаются по мере увеличения объема выборки.
Оценка вероятности. Вероятность нахождения случайной величины в некотором замкнутом диапазоне оценивается с помощью рада однократных процессов решения на АВМ, состоящих в подсчете количества попаданий выборочного значения в заданный диапазон. Если считать попадание выборочного значения в заданный диапазон «благоприятным исходом», то оценка вероятности имеет следующий вид:
人 Количество благоприятных исходов
~ Количество однократных процессов решения на АВМ *
Величина р имеет биномиальное распределение, при котором доверительные интервалы, соответствующие некоторому уровню значимости, зависят только от измеренной вероятности и количества экспериментов на АВМ х). Читатель должен иметь в виду, что биномиальный характер распределения обусловлен процедурой счета в процессе оценки. Таким образом, оценка р будет иметь одно и то же распределение независимо от вида распределения вероятности исследуемой совокупности.
Вероятность р обладает одним весьма приятным свойством, отличающим ее от ряда других обсуждавшихся выше параметров,——поскольку распределение оценки р одинаково для всех случайных величин, можно определить точные значения доверительных интервалов для р. В приложении 8 приведены графики доверительных интервалов при 95 и 99%-ных уровнях значимости. Каждому значению л объема выборки соответствуют две кривые, указывающие верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала. Зная измеренную величину вероятности р, мьг определяем по верхней и нижней кривым соответствующие границы для истинной вероятности р, что непосредственно дает доверительный интервал. Например, при р = 0,35 н л = 100 95 9о-ный доверительный интервал для р имеет вид 0,23 V р V 0,45.
Рассматривая линию р = р, отмечаем, что доверительные интервалы несимметричны относительно р, за исключением окрестности точки р = 0,50. Левая ордината графика представляет доверительные интервалы для диапазона 0 & р & 0,50, а правая — для диапазона 0,50 W р《1,0. Подобное
представление можно использовать в связи с тем, что, измеряя величину р мы одновременно получаем и значение 1 — р. Следовательно, параметры р и 1 — р должны иметь одинаковые доверительные интервалы. Таким образом, при р > 0,50 можно найти эквивалентные доверительные границы для величины 1 ——р, подставляя значения 1 ——р. Обозначим эти границы через аир, так что интервал задается следующим образом: а & 1 ——р W р. При этом доверительные пределы для р равны: 1 ——р W р W 1 ——а.
11.3.3. Получение экспериментальных данных
Информативность экспериментальных данных. Некоторые характеристики случайной переменной, например среднее значение, плотность вероятностей, спектральная плотность и корреляционная функция, поддаются изме^ рению. В детерминированных задачах мьг выбираем интересующие нас переменные и регистрируем их поведение. При решении статистических задач появляется новая область выбора —— отбор существенных статистических характеристик, подлежащих измерению. Кроме того, поскольку мы должны оценить эти параметры, необходимо выбирать доверительные интервалы, соответствующие заданной точности. Мы уже показали, что выбор доверительного интервала однозначно определяет время решения на АВМ, необходимое для оценки данного параметра.
Решая задачу, обычно мы хорошо представляем себе, что именно нас интересует, и можем выделить те статистические характеристики, которые хотим зафиксировать, назначив для них доверительные интервалы. В то же время, если мы и ошиблись в своих предположениях, то, пока программа решения задачи остается набранной на машине, можно легко вернуться к интересующему нас моменту и повторить процесс решения, чтобы получить результаты, соответствующие поставленным требованиям. Хуже обстоит дело в тех случаях, когда неполноценность полученных результатов выясняется уже после того, как схема программы решения на АВМ разобрана. Очень часто в процессе неизбежной эволюции наших взглядов на исследуемую задачу мы обнаруживаем, что область наших интересов изменилась. Поэтому характеристики, привлекающие наше внимание в настоящий момент, могут отличаться от тех, которые мы захотим знать си、ст只 несколько месяцев. На повторное программирование и решение сложной задачи тратится значительно больше усилий, чем потребовалось бы для сбора определенного количества дополнительных данных, будь это сделано при первоначальном программировании задачи.
Задача определения адекватных доверительных интервалов может оказаться весьма неприятной. Не являясь ясновидцами (а многие из нас действительно лишены этой черты), мы редко предполагаем, что в будущем нам потребуется оценка, более точная, чем нужная в данный момент. Зачем же в таком случае выполнять больше однократных процессов решения на АВА1* чем это требуется в данный момент? В частности, если на очереди стоит еще ряд задач, то исследователь должен проявить определенную твердость духа, чтобы задержать их решение, добиваясь точности, которая в настоящий момент кажется чрезмерной.
Проще обстоит дело, когда рассматривается вопрос о выборе характеристики, которую надо регистрировать. Если имеется соответствующее оборудование, следует зарегистрировать как можно больше данных, причем они должны представляться в максимально удобном для использования виде. Так как подобная методика не изменяет общего машинного времени, то, используя ее, мы не жертвуем ничем.
В связи с этим представляет интерес измерение вероятности попадания в некоторую замкнутую область. Рассмотрим прилунение космического летательного аппарата, причем поверхность Луны будем считать плоской. Область,
Рис. 11.24. К методу определения вероятности попадания в область, ограниченную прямоугольником, когда значения функции распределения в его вершинах известны.Рис. 11.24. К методу определения вероятности попадания в область, ограниченную прямоугольником, когда значения функции распределения в его вершинах известны.интересующая нас в данный момент, имеет некоторые иррегулярные границы. Если нужно определить вероятность попадания внутрь этой области, мы просто решаем задачу на АВМ несколько раз и подсчитываем количество решений, соответствующих попаданию.
Рис. 11.24. К методу определения вероятности попадания в область, ограниченную прямоугольником, когда значения функции распределения в его вершинах известны.
Рис. 11.24. К методу определения вероятности попадания в область, ограниченную прямоугольником, когда значения функции распределения в его вершинах известны.
Но вот спустя несколько месяцев, когда решение задачи на машине давно закончилось и результаты были переданы в другой отдел, было решено, что прилунение должно произойти в другой области. Мы неизбежно обнаружим, что полученные ранее результаты в данном случае бесполезны. Выходом из этой затруднительной ситуации является регистрация распределения вероятностей во многих точках поверхности вместо определения вероятности попадания в определенную область. Зададим
область лунной поверхности прямоугольными координатами (рис. 11.24).
Значение функции распределения вероятности прилунения летательного
аппарата в точке с координатами (尤储 у。равно
(11.91)(11.91)匕(修，Pi) = Р (X V %, У < У1)・
(11.91)
(11.91)
(11.92)(11.92)Следовательно, вероятность попадания аппарата в заштрихованную на чертеже область равна
(11.92)
(11.92)
Р = Р& + В—2—尸3・
Если измерять распределение вероятностей в точках, лежащих на координатной сетке, то нашу область можно разделить на ряд прямоугольных участков, один из которых изображен на рис. 11.24. Функция распределения монотонно возрастает в направлении увеличения значений координат х и у. Поэтому для определения вероятностей в вершинах прямоугольников, лежащих на границе, но не совпадающих с сеткой, можно использовать простую интерполяционную схему.
Исключение одного или нескольких случайных параметров. Когда имеется два или несколько случайных параметров, которые не являются случайными процессами (например, начальные условия, коэффициенты дифференциальных уравнений, начальная фаза вынуждающей функции), то один или несколько из них можно рассматривать детерминированными н считать, что величина таких параметров выбирается оператором. Подобный способ решения статистической задачи весьма целесообразен, когда свойства этих параметров точно неизвестны. Описанная ситуация может иметь место в тех случаях, когда исследование задачи ведется параллельно со сбором экспериментальных данных. В ожидании получения этих данных можно исследовать задачу на АВМ. Сейчас мы рассмотрим случай, когда неизвестны статистические характеристики одной случайной величины. Эта методика может быть распространена и на случай нескольких случайных величин, но обычно она оказывается слишком громоздкой для практического использования.
Пусть необходимо измерить математическое ожидание решения / (X, У, Z), являющегося функцией случайных параметров X, У, Z, причем плотности их вероятностей связаны следующим соотношением:
丛(％, у, 2)= 02(х) Рз 匂，z|x).
Член уравнения р3 (у, г | %) характеризует плотность условной вероятности, т. е. плотность вероятностей параметров ум гпри X 二％. Если параметры у и z независимы от параметра 尤，то рз (у, z | х) = р3 (у, z). Когда они к тому же независимы и друг относительно друга, то рз (у, z) = р4 (у) р5 ⑵.Поскольку все математические ожидания определяются аналогично, используем в качестве примера среднее значение:
ОО СЮ ОО
E[f(X,Y,Z)]=f(X,Y,Z)= ^ \ \ f (х, у, z) /?! (х, у, z) dx dy dz =
—oo — ОО —ОО
=J E[f(X,Y,Z)\X = x]Pl(x)dx,(11.93)
где
E[j(X, У, Z)|Xh \ ^ f (x, y, z) p3 (y, z\x)dy dz. (11.94)
Уравнение (11.94) определяет условное математическое ожидание, т. е. то среднее значение, которое было бы получено при X = %• Обычно условное среднее находится для ряда значений случайной величины X = %%. i = 1, 2, . . ., п. Далее мы каждому значению %% ставим в соответствие плотность вероятностей р (%) и получаем дискретную апроксимацию уравнения (11 93):
/(X, Y,Z) = ^E[f (X, У, Z) I X 二 х,] р (%),(11.95)
г—1
где E[f (X, У, Z) I X 二 xj является оценкой E[f (X, Y. Z) | X 二％J основывающейся на среднем результате по конечному числу однократных процес^ сов решения на АВМ, а / (X, У, Z) —оценкой / (X, У, Z).
Пусть, например, в дифференциальном уравнении
оба начальных условия и коэффициент а。一 статистически независимые случайные величины. Решением является среднее значение переменной у в момент f = /2, Т. е. 7W・
Пусть статистические характеристики коэффициента а。неизвестны. Выбираем какое-либо значение а。, скажем a0 = 1, и выполняем на АВМ п однократных процессов решения. Значения начальных условий в каждом процессе решения задаются генераторами шума, имеющими соответствующие плотности вероятностей. Усреднив выборочные значения 九 ％, . . у^ получаем
方[У⑸)]的=n = e*•
Затем повторяем эту процедуру для ряда значений о。. Отметим, что плотности вероятностей начальных условий не изменяются при каждом новом значении а。，поскольку они статистически независимы. Если такая независимость не имеет места, то их плотности вероятностей являются функциями а0 и должны меняться при каждом изменении а。. Наконец, поставив каждому значению а。，для которого проводилось решение на АВМ, в соответствие некоторую вероятность и используя уравнение (11.95), находим Е [у (^)!-
Изложенная выше методика может быть распространена и на измерение величины Elg (X, У, Z) 1, где g (X, У, Z) — некоторая функция от / (X, У, Z), например g (X, У, Z) — [/ (X, У, Z)]n.
Когда выходной величиной является оценка вероятности, те же мотивы позволяют нам исключить одну из случайных величин. Рассмотрим некоторую частную задачу, в которой X, Y и Z ——входные случайные величины, a U и V — выходные (т. е. решение) и также случайны. В таком случае полученная на выходе двумерная вероятность Р (辽i v U V 辽2； и】V У V uj характеризует попадание случайных величин U и V в область (辽i V U V w2, 5 V V V и?). Естественно, что при этом обе выходные случайные величины являются функциями от входных случайных величин.
Если мы хотим исключить случайность по переменной Z, то вероятность на выходе получается как функция случайных величин X и У при каждом заданном значении z. Если записать эту вероятность как
р式U, V) — Р [(wt < У < w2, ^ < V < f2) I ^], (11.96) то
Р (UiCU <u2, t>i < V < t>2) = j pz (U, V) p (г) dz, (11.97) где p (z)——плотность вероятностей Z.
Если найти pZi(U, У) для ряда значений г； и задать каждую вероятность О ⑵)，то уравнение (11.97) можно апроксимировать следующим образом:
А ("1 V и V 〃2,办 V V V 02)= Е iz (U, U) Р ⑵)， (11.98)
где 〃,(U, V) —оценка р式U, V), полученная в результате конечного числа однократных процессов решения на АВМ, а 户(良i V U V u2, 5 Vlz V S)—— оценка для P(Z7j < У < 他，s V 丿 出)・
Измерение многомерной вероятности при известных условных вероятностях. Мы уже показали, что многомерную вероятность можно оценить, подсчитывая относительную частоту попадания результатов, полученных при
Рис. 11.25. Проекция цели на горизонтальную плоскость.
решении на АВМ, в соответствующую область. Если связанные с многомерной вероятностью условные вероятности априорно известны, то изложенная методика может быть модифицирована.
Рассмотрим в качестве примера задачу определения вероятности поражения цели противосамолетным управляемым снарядом. В этом примере мы будем пользоваться двумерным представлением цели. Та область, в которую должен попасть снаряд, чтобы запуск считался успешным, на рис. 11.25 заштрихована. Однако одного попадания в самолет еще недостаточно. Вероятность поражения цели не одинакова при попадании в различные части самолета. В этой задаче вероятность поражения цели является трехмерной. Кроме двух
случайных величин X и У, характеризующих точку на плоскости, имеется случайная переменная К, представляющая две возможности ——поражение или непоражение цели. Таким образом, К может принимать два значения, и мы условимся, что поражению цели будет соответствовать единица, а непора- женшо — нуль. Плотность вероятностей поражения цели равна
。(/< = 1,爲！/) ”i(K=l ；兀，у)р2(尤，У), (И.99) где: 1)卩2 (х, у)——плотность вероятностей, зависящая от положения точки на плоскости; \ р2 (尤,у) dxdy ——вероятность попадания в заштрихованную область R; 2) pt (К = 1 I х, у)——условная плотность вероятностей поражения цели при X =尤，Y = у. Когда точка с координатами (х“ у) находится вне заштрихованной зоны, р (К = 1 | 芻，yj = 0.
Вероятность поражения цели равна
р(К= 1) = \ \ р(К=1, х, у) dxdy. (11.100)
Координаты (х, у) точки вводятся в функциональный преобразователь, воспроизводящий функцию двух переменных / (х, у) = р (К = 1 | %, у). Таким образом, величина / (хг, у) которую мы фиксируем в некотором
Рис. 11.26. Блок-схема определения двумерной вероятности при известной условной вероятности.
см однократном процессе решения на АВМ, является условной вероятностью поражения цели р (К = 1 | %「， у，・ В результате выборки, образованной п-кратным экспериментом на АВМ, мы получаем оценку вероятности поражения цели в виде
i(K—l) = ；t力). (11.101)
Другой вариант схемы, приведенный на рис. 11.26, предусматривает применение дополнительного генератора шума и блока сравнения и обладает определенными достоинствами х). Применение этого метода целесообразно только в случае двумерной вероятности, хотя в принципе он пригоден и для многомерного случая. При использовании этого метода должны быть известны только условная плотность вероятностей 〃(/<=1|х), соответствующая решению 尤 уравнений системы, и выходная плотность вероятности генератора шума.
Действие блока сравнения характеризуется тем, что 侬=1, когда z ——у > 0, и 侬= 0во всех остальных случаях. Если плотность вероятностей выходного сигнала генератора шума определяется выражением
Р ⑶=”石 о °ХР [ °2(j2)- ， (11.102)
i) Этот метод и рис. 11.27 заимствованы из работы [121 ].
го р (w ~ 1 \ у)——условная плотность вероятностей появления на выходе блока сравнения сигнала w 二二 1 при определенном значении у равна
Р 侬=1w)=^^/ \ eхр( -/新)dz.(Й.Ю3)
Отметим, что так как у является функцией %, то вероятность появления сигнала р (^ 二二 1) и вероятность поражения цели соответственно имеют вид
° 侬= 1)= \ р ® = 1 |у) р (х) dx;(11.104)
р(К=1)= \ р (К=-1 丨 ％) р (%) d%.(11.105)
Гак как мы хотим использовать сигнал, появляющийся на выходе блока сравнения, как меру вероятности поражения цели, приравняем выражения (11.104) и (11.105) друг к другу
р 侬=1)=р (К = 1).(11.106)
Чтобы удовлетворить этому уравнению, необходимо найти такую функциональную связь
(11.Ю7) которая для любого заданного значения х определяет значение у, удовлетворяющее условию р (&丿=1 I У)= Р (К = 1 I %), поскольку зависимость
б
Рис. 11.27. К методу определения функциональной связи между двумя перемениыми при известных условных вероятностях.
валяется однозначной. Однако не обязательно, чтобы в свою очередь каждому значению у соответствовало одно значение х (см. рис. 11.27,6).
Мы можем найти эту зависимость графически, изобразив обе кривые условных вероятностей на одном графике. Этот метод иллюстрируется рис. 11.27, Q, причем принято, что плотность вероятностей р (К = 1 | х) имеет вид, соответствующий треугольному распределению. Далее выбираем некоторое значение %】и находим у】, удовлетворяющее уравнению
p(w=\ \у^ = р{К- 1 |%1).
Мы переносим эту точку на рис. 11.27, 6 и повторяем процедуру до тех порг пока не будет построена функциональная зависимость между х и у.
Итак, мы видим, что каждое значение Xj порождает у^ такое, что
Р侬丨力)=p(k= 1丨学).
Обратите внимание, что для определения у мы подвергли 尤 функциональному преобразованию.
Оценка вероятности р (К = 1), полученная на основании п-кратного эксперимента на АВМ, определяется следующим выражением:
6(К=1)=：£%(11.108)
где 叫一результат i-ro эксперимента.
Преимуществом второго метода является получение измеряемой вероятности в процессе суммирования. При этом, как следует из уравнения (11.108) и из того факта, что ©^ может принимать только два значения, 0 или 1, требуется простейшая счетная схема, состоящая из ряда триггеров. С другой стороны, чтобы определить вероятность в двумерном случае с помощью уравнения (11.105), приходится складывать ряд чисел, каждое из которых может принимать несколько значений.
Можно также получать величину р (К = 1), вводя значения 尤 непосредственно в блок сравнения и преобразуя выходную величину источника шума z в новую переменную и так, чтобы при любом 尤 было справедливо следующее уравнение:
J p(u)du^p(K=^ U).(11.109)
Определив функцию р (辽)，удовлетворяющую уравнению (11.109), мы можем осуществить переход от переменной z к переменной и с помощью метода， изложенного в разд. 11.2.3.
Интерпретация результатов измерения статистических характеристик. Исследователь, неискушенный в статистике, способен приписать доверительным интервалам значимость, которой они на самом деле не соответствуют* и вследствие этого может получить искаженные результаты.
Обычно мы хорошо представляем порядок измеряемой величины. Действительно измерение может даже служить проверкой правильности функционирования АВМ. Что нам делать в том случае, когда значения параметров совокупности выходят за пределы доверительного интервала, определенного по результатам серии, состоящей из л опытов? Мы знаем, что при 95 %-ном уровне значимости такое положение может наблюдаться в 5% опытов. И хотя событие, происходящее один раз из двадцати, является редким, тем не менее этого оказывается достаточным, чтобы заставить пас задуматься, вызвано ли О1Ю статистической природой задачи или сбоем АВМ. Лучший выход из столь неопределенной ситуации ——повторение эксперимента, т. е. выполнение новой серии из п опытов на АВМ.
Если доверительный интервал, рассчитанный по результатам второй серии опытов, содержит и ожидаемые значения параметров, то это свидетель-
ствхет о меньшей вероятности машинной ошибки. В подобной ситуации некоторые исследователи ошибочно пренебрегают данными, полученными в первой серии опытов, опираясь лишь на результаты второй серии. Это аргументируется тем, что оценка, дающая значение параметра, лежащее вне доверительных пределов, подозрительна. В данном случае при отсутствии дополнительной информации единственно правильной стратегией является объединение двух серий опытов в одну, состоящую из 2п опытов, и назначение интервалов на основе всех данных. Поступить иначе, означает пренебречь 5% результатов без всяких на то оснований и позволить субъективным предубеждениям исказить статистические характеристики задачи.
Никогда не следует пренебрегать никакими результатами, получаемыми при измерении статистических характеристик, за исключением тех случаев, когда они неверны или когда подобное пренебрежение не исказит решения.
Параметр задачи хПараметр задачи хРис. 11.28. Построение непрерывных доверительных интервалов по дискретным экспериментальным данным.Рис. 11.28. Построение непрерывных доверительных интервалов по дискретным экспериментальным данным.5 ^S3^ dE3sDd0u5 ^S3^ dE3sDd0u
Параметр задачи х
Параметр задачи х
Рис. 11.28. Построение непрерывных доверительных интервалов по дискретным экспериментальным данным.
Рис. 11.28. Построение непрерывных доверительных интервалов по дискретным экспериментальным данным.
5 ^S3^ dE3sDd0u
5 ^S3^ dE3sDd0u
Ничто не мешает нам игнорировать результаты каждого второго или третьего эксперимента на АВМ. Но нельзя, однако, выделяя с целью исключения экспериментальные данные, имеющие определенные статистические свойства, использовать только оставшиеся данные. Увеличение точности оценки по мере увеличения количества опытов означает, что следует использовать результаты всех выполненных на АВМ экспериментов.
Рис. 11.28 иллюстрирует еще одну довольно распространенную проблему —построение непрерывных оценок по дискретным данным, полученным в ходе эксперимента. На этом рисунке 尤 представляет параметр задачи, у — параметр решения. Для пяти различных значений 尤（％九..х5） измерено пять значений у, которые на рисунке обозначены точками. При каждом значении 尤 можно определить для у размер доверительного интервала, который также показан на рисунке. Задача состоит в определении поведения у при значениях 居 отличных от тех, для которых проводилось решение на АВМ.
Прежде всего следует помнить, что построить непрерывные кривые доверительных интервалов довольно трудно. Вообще мы можем лишь утверждать, что размер доверительного интервала увеличивается по мере удаления от того значения %, для которого был получен экспериментальный результат. На рис. 11.28 это показано качественно. Мы не будем рассматривать здесь общую задачу определения доверительных интервалов для непрерывных величин. Соответствующий материал читатель может найти в работе [122]. Область, ограниченная кривыми, представляющими доверительные границы, дает оценку величины у в функции %. Для большинства инженеров, стремящихся получить однозначную связь между двумя переменными, подобная оценка является заклятым врагом.
Иногда измеренное значение весьма точно совпадает со значением параметра, однако это не всегда верно и в значительной степени обусловливается видом распределения. Руководствуясь подсознательным чувством, некоторые инженеры считают, что если такое совпадение и не имеет места, то оно должно быть, и проводят кривую так, чтобы она проходила через все экспериментальные точки, как, например, кривая / на рис. 11.28. Если неизвестно, какой должна быть эта кривая на самом деле, то кто может утверждать, что проведенная нами не лучшая? С другой стороны, возможно, что мы располагаем дополнительной информацией, свидетельствующей о монотонном возрастании кривой. В таком случае кривая 2 может оказаться лучшей.
!!.4. РАБОТА С ПЕРИОДИЗАЦИЕЙ РЕШЕНИЯ
Л1ы называем работой с периодизацией решения такую, при которой циклы, состоящие из основных режимов АВМ, автоматически повторяются без каких-либо перерывов между ними. Обычно цикл состоит из режима возврата в исходное состояние и режима решения, но могут быть запрограммированы и другие операции, в частности режим фиксации. В процессе работы с периодизацией решения АВМ функционирует без всякого вмешательства со стороны оператора.
АВМ, работающая с периодизацией решения, идеально приспособлена для определения средних по множеству, когда необходимо произвести ряд опытов, в которых в каждом однократном процессе решения новые значения принимают только статистические параметры. Рассмотрим типичный цикл. Он начинается с режима исходного состояния, когда установлены точные значения всех параметров. Затем АВМ переводится в режим решения, который продолжается вплоть до окончания решения задачи. Затем происходит возврат в исходное состояние, причем на этот режим отводится время, достаточное для того, чтобы все элементы АВМ вернулись в состояние, соответствующее исходному. Статистические величины, такие, как начальные условия и коэффициенты, задаются генераторами шума. Остальные величины возвращаются к тем значениям, которые они имели в начале предыдущего однократного процесса решения. Выборочные значения, которые запоминаются в цифровой форме, можно регистрировать либо в режиме исходного состояния, либо непосредственно после режима решения. Так как печатание результатов занимает определенное время, мы сокращаем продолжительность цикла, печатая результаты во время режима решения. Когда хранение экспериментальных данных обеспечивается с помощью электронных устройств (как в случае подсчета вероятности), нет никакого смысла вводить задержку при регистрации выборочных значений.
Во всех новейших моделях АВМ типа EASE, РАСЕ и DYSTAC') предусмотрена возможность работы с периодизацией решения. То же относится и к АВМ типа GPS ), самая первая модель которой, созданная 15 лет назад, представляла собой машину с периодизацией решения. АВМ типа GPS имеет временную базу от 1 сек до 0,3 мсек, в то время, как возможности остальных заключены в диапазоне от 1 сек до 5 мсек.
Временная база —— это промежуток времени, необходимый АВМ для решения задачи на единичном интервале изменения независимой переменной при использовании натурального масштаба времени.
Заметим, кстати, что все упомянутые АВМ могут работать также и в итеративном режиме, когда часть интеграторов находится в режиме интегрирования, в то время как остальные остаются в исходном состоянии. Итеративный режим АВМ 1) можно использовать для вычисления кратных интегралов, оптимизации параметров и решения дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, он может быть полезен при использовании методов теории статистических решений.
Важной характеристикой АВМ при работе с периодизацией решения является минимальная продолжительность цикла. При решении задачи, содержащей несколько различных вариантов, часть машинного времени тратится на набор и настройку каждого варианта. Наибольшее количество времени, однако, занимает получение выборочных данных для каждого случая, т. е. процесс решения. Минимальное время цикла определяется не максимальной скоростью периодизации, а минимальной временной базой.
Цикл, продолжительность которого равна t, слагается из двух частей —— времени решения ^ и времени нахождения в исходном состоянии /2. Хотя меньшая временная база обычно предполагает меньшую продолжительность исходного состояния, мы будем считать, что величина t2 —— постоянна. Минимальная величина 〃，однако, непосредственно зависит от временной базы и определяется следующим уравнением:
min /1 二左а,(11.110)
где a ——временная база АВМ и k ——максимальный диапазон изменения независимой переменной задачи. Из этого уравнения следует, что цикл решения у АВМ типа GPS много меньше, чем у остальных трех машин.
Так как остальные АВМ в 5——10 раз точнее GPS, ее быстродействие не дает ей видимых преимуществ. Однако если решать задачу на всех АВМ в течение одного и того же времени, то при определенных обстоятельствах GPS может дать более точные статистические результаты. Допустим, что, измеряя среднее квадратичное отклонение, мы хотим иметь такой доверительный интервал, чтобы его границы отклонялись от измеренной дисперсии не более чем на 15%. Чтобы обеспечить такую точность, используя АВМ типа EASE, РАСЕ и DYSTAC, необходимо произвести 100 опытов.
АВМ типа GPS, работая почти в 10 раз быстрее остальных АВМ, может за время, которое они затрачивают на получение 100 необходимых результатов, определить 1000 выборочных значений. Проиллюстрируем это цифрами. Пусть о обозначает точное выборочное значение среднего квадратичного отклонения и пусть АВМ типа GPS при определении выборочного значения допускает ошибку в 5%, а остальные машины — в 1 %. Таким образом, при получении на АВМ типа GPS 1000 выборочных значений 95%-ный доверительный интервал определяется следующими неравенствами:
(1-^) V。V(2 +。,。5(；) (1 +^ )(11.111)
ИЛИ
l,003o<a< 1,097a.
Доверительный интервал при использовании АВМ других типов и наличии в связи с этим только 100 выборочных значений имеет следующий вид:
而+ 吩 0 -怯) <。<而 + °，°向 c 十^0 (5112) ИЛИ
0,896о Vo V 1,151 о.
Некоторые сведения об итеративной АВМ имеются в работе [123].
23 Л. Левин
Если бы не ошибка, доверительный интервал при использовании GPS был бы равен
0,953(?<п< 1,047а,(11.113)
а в случае использования остальных машин ——
0,859о Vo V 1,141п.(11.114)
Сравнивая результаты, полученные на АВМ, с соответствующими точными значениями, мы на основе неравенств (11.113) и (11.111) устанавливаем, что максимальная разность между результатом GPS и точным значением равна 0,144п = 1,097п — 0,953п. В случае же остальных АВМ эта разность равна 0,292о = 1,151о — 0,859о.
Мы видим, таким образом, что, решая на менее точной АВМ типа GPS задачу столько же времени, как и на остальных машинах, мы можем тем не менее получить более точные результаты, поскольку большее число выборочных значений позволяет оценивать параметр с меньшей статистической неопределенностью. По мере увеличения количества экспериментов это преимл - щество машины типа GPS уменьшается, а затем и вовсе исчезает ввиду уменьшения доверительного интервала и возрастания в связи с этим роли ошибки, вносимой АВМ.
УСРЕДНЕНИЕ ПО МНОЖЕСТВУ БЕЗ ВЫБОРОЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
В одном частном случае, а именно когда исследуется линейная система со случайными начальными условиями и случайной вынуждающей функцией, для получения среднего по множеству не обязательно прибегать к выборочным экспериментам. Больше того, для определения точных значений среднего, дисперсии и моментов высшего порядка решения дифференциального уравнения п-го порядка, когда его начальные условия статистически независимы, требуется самое большее (и Т- 1)-кратное решение задачи на АВМ.
Решение линейного уравнения
羽:卜修曾 卜а砂一g(/),(11.115)
где g (/) - 0 при £ < 0, определяется следующим выражением: t
у (0 - ^о/о (£) Т С力 1 (£) + Cifi (^) ' • • • I сп-1Аг 1 (Z) + \ 无(厶 t) g (T) dT.
6
(11.116) Через fi (f) в этом уравнении обозначено решение однородного дифференциального уравнения с единичным начальным условием для t-й производной и нулевыми начальными условиями для всех остальных производных 2). Коэффициенты © равны начальным значениям производных dy/dtl и являются, следовательно, случайными величинами;无(J т)——весовая функция уравнения.
Среднее значение
Из уравнения (11.116) следует, что среднее по множеству Е[у (/)] имеет вид Е [//⑴]-% (0 Е &) + А (0 Е向ТМЕ С)巾…⑴Е (с『)」
+ \ h (^, т) Е [g (т)] di;.(11.117)
Мы можем, таким образом, определить среднее по множеству Е[у (/)1 с помощью всего лишь однократного процесса решения на АВМ, используя средние значения вынуждающей функции и каждого из начальных условий. Обратите внимание, что к вынуждающей функции не предъявляется требова- ние стационарности.
11.52 Дисперсия
Среднее по множеству вычисляется без наложения каких-либо ограничений на случайные величины. При определении дисперсии и моментов высшего порядка должны выполняться следующие условия:
вынуждающая функция должна быть белым шумом;
средние значения вынуждающей функции и всех начальных условий должны быть равны нулю.
Когда все начальные условия являются независимыми случайными величинами, дисперсия Е[у (/)] определяется следующим выражением:
Е©2⑴]Е陋)产⑴；-No\公储工)也，(И.И8)
где N* ——двусторонняя спектральная плотность белого шума, выступающего в роли вынуждающей функции.
Когда начальные условия коррелированы, выражение для дисперсии принимает другой вид:
п—1п— 1 п—1t
Е[У(/)] =工 Е 储)#(/)Т £ 工 Е(с®)%(/)力(/) ' No] h^t,^dr. (11.119) t —0i =0 j=0О
Ту часть выражения (11.118), которая определяется случайными начальными условиями, можно воспроизвести, если использовать уравнение (11.115). Можно воспроизвести 厶(/) при некотором /, а с помощью дополнительных решающих элементов АВМ при соответствующих начальных условиях — величину Е (с?) /7 (/). За и однократных процессов решения на АВМ можно получить все члены. Если мы хотим, чтобы АВМ суммировала все эти члены, то можно, использовав очень большое количество решающих элементов, запрограммировать на АВМ и идентичных уравнений системы. Каждая система будет иметь единичные начальные условия. Для получения результата будет достаточно однократного процесса решения на АВМ. Программа для этого случая изображена на рис. 11.29, о.
Воспроизведение членов уравнения (11.119), отражающих влияние случайных начальных условий, сложнее из-за наличия взаимных произведений 力(0 Л (0- Если мы хотим, чтобы АВМ воспроизводила эти члены, то, как показано на рис. 11.29, 6, следует запрограммировать по меньшей мере два уравнения системы. Если же мы решим вычислять произведения & (0 方(f) без помощи машины, то при этом можно использовать метод, который был применен для уравнения (11.118). Он дает нам ft (/) и 戶(/) при каждом однократном процессе решения. Тогда одно уравнение можно использовать для получения /? (/), а другое ——для получения 力(f). Далее можно определить 广(Е) и 方⑴.Получая по два члена вида 厶(/) при однократном процессе решения, мы можем найти все члены, решая уравнение (и2 ——/г)/2 раз.
Член, зависящий от вынуждающей функции, содержит весовую функцию, которую можно воспроизвести с помощью уравнения, сопряженного с уравнением (11.115) 1). Так как весовая функция является функцией двух пере-
менных, интеграл можно вычислить только при дискретных значениях Л Это означает, что мы получим только дискретные значения Е[у2 (0], хотя члены, определяемые начальными условиями, вычислялись во всем диапазоне изменения t.
Несмотря на то что может потребоваться целый ряд однократных процессов решения для определения дисперсии в некотором диапазоне значений t при наличии случайной вынуладающей функции, их количество значительно
Рис. 11 29. Схема определения дисперсии решения, когда все начальные условия независимы (а), схема определения дисперсии решения, когда начальные условия коррелированы н z 并 j (6).
меньше того, которое необходимо для оценки дисперсии с помощью выборочных экспериментов. Следует отметить также и то, что в данном случае мы получаем в результате точное значение дисперсии при тех значениях /, для которых выполнялось решение на АВМ. Контраст между двумя методами становится еще более явным, когда случайны только начальные условия или только вынуждающие функции, и особенно тогда, когда последнее имеет место при решении задачи о конечном значении. В такой ситуации для определения точного значения дисперсии достаточно однократного решения.
Это довольно легко установить для начальных условий, но в случае вынуждающих функций проблема приобретает некоторые интересные особенности, которые вполне заслуживают рассмотрения. Как указывалось выше, задачей о конечном значении называется такая задача, в которой интерес представляет значение решения в некоторый момент /, например / = Т. Весовую функцию системы, исследуемой в такой задаче, можно найти с помощью однократного процесса решения на АВМ сопряженной системы. Больше того, при наличии нескольких случайных вынуждающих функций, подаваемых на входы системы от независимых источников шума, их совместное влияние
на дисперсию также можно определить путем однократного решения задачи на АВМ. Пусть на входы системы, изображенной на рис. 11.30, а, подаются сигналы от источников шума g〕(/), g2 (0 и g3 (/) со спектральными плотностями "% ”2 и N3 соответственно. Дисперсия Ely2 (/)1 сигнала у (/) на выходе системы равна при этом
/zf
Ely^t^^Ni \ 居(/, a) da*W? \ 擋& а) da -； № \ 优(J a) da, (11.120)
о6b
где 儿(/, a), h2 (/, а) и 自(/, a)——весовые функции для входных сигналов gi (力)，&2 (0 и &з (/) соответственно, а также выходного сигнала у (Z).
6
Рис. 11.30. Схема, в которой шум подается на три входа системы (а); схема для определения дисперсии выходного сигнала схемы на рис. 11.30, a (6).
На рис. 11,30, б изображена сопряженная система. Если контакты выключателя размыкаются в момент / - 7, то с выхода интегратора / считывается значение Е[у2 (£)], используемое в задаче, решение которой начинается в момент / = 0, а конечное значение фиксируется в момент f = Т.
«Отбеливание» шума
Когда шум, подаваемый на вход системы, не является белым, мы все же можем определить £炉(£)] с помощью уравнения (11.118), несколько изменив систему. Мы должны сделать шум, подаваемый на вход системы, белым. На рис. 11.31 показан способ осуществления такого преобразования. При
Рис. 11.31. Блок-схема для «отбеливания» шума.
подаче белого шума w (/) в точку Л затруднений при определении Е[у2 (/)] не возникает. Из схемы совершенно очевидно, что эта оценка совпадает с оценкой для фильтрованного белого шума х (/), подаваемого в точку В.
В этом и состоит ключ к использованию метода весовой функции, когда подаваемый на вход шум не является белым. Мы вводим дополнительный фильтр, через который теперь подается шум. Этот фильтр имеет такую передаточную функцию, что при подаче на его вход белого шума спектральная плотность выходного сигнала равна спектральной плотности шума, который должен подаваться в систему по условиям задачи. Далее определяется весовая функция для системы с учетом дополнительного фильтра. Эта весовая функция аналогична тем, что использовались в уравнениях (11.118) и (11.119).
Пример 7. Требуется определить Е[у2 (/)] для системы, изображенной на рис. 11.32. Спектральная плотность сигнала х «) равна
Sx • (11.121)
Первым шагом при использовании метода весовой функции является определение передаточной функции фильтра У\ (р), через который следует пропустить белый шум ⑵(/), чтобы получить сигнал % (/).
Рис. 11.32. Система, рассматриваемая в примере 7.
Если спектральная плотность белого шума w (/) равна N。，то на основании )равнения (11.28) имеем
1^^|2=^--1+^^'⑴」22)
1 (世)— или, используя оператор р,
Модифицированная система, весовую функцию которой следует подставить в уравнение (11.118), изображена на рис. 11.33. Заметим еще раз, что спектральная плотность белого шума w (/) равна tV0.
Весовая функция модифицированной системы, входным сигналом которой является w (0, а выходным у (/), равна ® (J т). В таком случае, учитывая, что спектральная плотность х (0 определяется уравнением (11.121), находим г
E[y2(t)]=N0 ^ h[(t, T)dr.(11.123)
О
Чтобы вычислить эту величину, необходимо воспроизвести весовую функцию 風(/, т) с помощью системы, которая является сопряженной для системы, изображенной на рис. 11.33.
ПРИЛОЖЕНИЕ /ПРИЛОЖЕНИЕ /
ПРИЛОЖЕНИЕ /
ПРИЛОЖЕНИЕ /
СВОЙСТВА ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ)
Определение. Дельта-функция (6-функция) играет важную роль в операционном исчислении, а также в граничных задачах и в задачах с точечными источниками (например, в задачах, где рассматриваются импульсные силы и точечные электрические заряды). Эта функция также встречается в задачах, связанных с учетом шумов, и при вычислении весовой функции. Существует много задач, где мы сталкиваемся с дельта-функциями, и поэтому нужно знать способы программирования таких функций на АВМ. Их свойства настолько необычны, что оператор АВМ должен тщательно изучить их свойства, чтобы правильно программировать соответствующие задачи на АВМ.
Впервые S-функция была использована физиком Дираком для апроксимации физических явлений. Он определил S-функцию 3(% — а) следующим образом:
[0 %
''[8 % = а
и
\ 8 (х —a) dx^l.(П1.2)
Из этого определения видно, что S-функция равна нулю везде, кроме одной точки, в которой она бесконечна. Несмотря на это, площадь, ограни-
ЙгЙгхх
Йг
Йг
х
х
Рис. Ш. 1.
чиваемая S-функцией, равна единице. Наиболее часто эта функция изображается в виде прямоугольного импульса, как показано на рис. Ш.1. В пределе при i —> 0 условия (П1.1) удовлетворяются, если площадь поддерживать равной единице.
Несмотря на всю свою простоту, S-функция была проклятием для классических математиков из-за ее разрывности и недифференцируемости в обычном смысле. Применение б-функции всегда связано только с интегрированием и,
по сути дела, она не имеет смысла без связи с этой операцией. Если математики сталкиваются с интегрированием S-функции, то они предпочитают обойти его, используя эквивалентный интеграл Стильтьеса. В последнее время Шварц дал строгое математическое обоснование способам обращения с S-функцией т).
Основные свойства. Прежде чем перечислить некоторые формальные операции с S-функцией, рассмотрим некоторые из ее свойств:
Функция S (х ——а) зависит от двух переменных, хна. При а = 0 эта функция часто записывается в виде 6 (х).
В выражении сЗ (х——а) величина с относится к площади S-функции. Бессмысленно говорить, что это величина S-функции, так как она бесконечна
Рис Ш 2.
при % = а м равна нулю во всех других точках при любом конечном с. Принятое графическое изображение S-функций иллюстрируется рис. П1.2, причем высота стрелки соответствует площади функции.
Величина [6(х —— а)]" не определена при п^0,1.
Свойство выделения. Основная причина для введения б-функции состоит в том, что она может производить операцию выделения некоторои другой функции
\ 6 (t — a)f(t) dt — f(a). (П1.3)
При этом интегрировании выбирается единственное значение функции / (/), а именно значение этой функции в точке, где 6 (/ —— 〃) не равна нулю. Предполагая, что функция /(/) непрерывна в окрестности точки а, можно доказать соотношение П1.3, обратившись к рис. П1.1. Имеем
ооа+ b
\ f(/)3(/ —&)近=击 g /(о dt.
(П1.4)
По теореме о среднем значении
\ НО dt = 2bf (а+ 06), -1<0<1.
(П1.5)
Подставляя (П1.5) в (П1.4) и производя соответствующую дельного перехода, получим
операцию пре-
Г[ lim / (a 卜例)，
(П1.6а)
\ 〃f)3(f — a)df= { Е
-оо(f(a).
(П1.66)
Тождества. Справедливы следующие тождества:
3 (х) = 3( — %),
(П1-7)
3 (ах)工 ^ 3 (х),
(П1.8)
1) См. [138] Кроме того, работа Шварца обсуждается в [45, стр 135 — 145]
6 (й —x) 6 (x —й) = 6 (о —力)，
(П1.9)
(П1.10)
j f^^x-a'fdx-^-iy^ ,—а) = -^,
(П1.11)
06(%) _ (一 1 产几!6(尤) d%71xn'
(П1.12)
(П1.13)
3 [ II (x 期)]- 2 n8(% "J
I?=I⑷一％)
(П1.14)
Уравнение (П1.7) доказывается путем замены переменной 尤
в интег-
рале \ 6 (х) dx на —х, а соотношение (П1.8) доказывается путем замены
переменной 尤 на а% в этом же интеграле. Соотношение (П1.8) особенно важно при моделировании, так как оно показывает, как вводить масштаб времени при наличии 6-функции. Ниже мы вернемся к этому вопросу.
Тождество (П1.11) доказывается путем интегрирования по частям. При п = 1 имеем
ОООООО
J f^^^dx^f^dix-a^ 一\膿6(尢一。)厶.(П1.15) —ОО- ОО — ОО
Так как 8(х — а) 0 при 尤二 ± 8,
f (х) 6 (% —а) |°° = 0.(П1.16)
Следовательно,
\ f(x)“(x —a)dx = (—1)瞎.(П1.17)
Аналогичным путем можно показать, что соотношение (П1.11) справедливо при всех 孔.Тождество (П1.12) можно также доказать, вычисляя интеграл
по частям и учитывая при этом, что
\ 6g (x)dx = &f(%).
Соотношение (П1.13) получается из преобразования Фурье
(П1.18)(П1.18)(П1.19)(П1.19)击f尸(3)絞吟3,
(П1.18)
(П1.18)
(П1.19)
(П1.19)
尸(s)= \ f (/) e~^x dx.
Если положим f(x) = 6(x) и произведем соответствующую подстановку в (П1.19), то получим
尸(①)= 1.(П1.20)
Подставляя (П1.20) в (П1.18), получим тождество (П1.13). Это соотношение очень важно при решении задач, связанных с учетом шумов. Доказательство соотношения (Ш .14) сводится к демонстрации того, что
6 [(X — %)(X — а2) (х — %)】=(at—。2)；%—аз) 6 (х — а。+
(a2~ai)(«2—a3) ' T (a3-fll) (аз —«2) '"'‘
Как мы уже видели, б-функция не равна нулю только тогда, когда ее аргумент равен нулю. В случае уравнения (П1.21) это имеет место при
% = %, х — 〃2, х = 〃з・ Рассмотрим, что происходит в области % —£/2《х& М〃&+е/2. В этом случае мы видим, что х — а2 Й1 — ^2 при произвольно малом е. Аналогично в этой области х ——a3—>ai — a3. Следовательно, можно написать
6【(％ — %) (% — 〃2)(% — 〃з)] > § 1(尤一％) (& — 〃i)(备 一 &)]■
%—+斎；8-0.(n1.22)
В соответствии с уравнением (П1.8)
5 [(% —%)(& - %) (а3 -融)1 = (。2-%/@二& 6(" -"力(Ш .23)
Аналогичным образом можно получить два других члена в правой части уравнения (П1,21). Подобным же путем можно показать, что соотношение (П1.14) справедливо в общем случае.
Производные. В некоторых из уравнений (П1.8) —(П1.14) встречались производные 6-функции. Хотя производные менее важны, чем сама 6-функ- ция, они все же приносят определенную пользу. Как мы скоро увидим, существует эквивалентная связь между начальными условиями и 8-функцией и ее производными. Поэтому мы должны точно определить производные от разрывной 6-функции.
Если мы определим 8⑴(х) соотношением
5 ⑴(х) =；[? (х+4)—4)1，d 〜0,(П1.24)
где d = 2b, причем в качестве модели функции 6 (х) будем рассматривать график на рис. П1.1, то получим изображение производной Ь(^ (х), приведенное на рис. П1.3. Функция 6С1) (х) называется дублетом, а следующая
производная, называемая триплетом, определяется выражением
5 ⑵(х)二;[即(х+^) — 6 ⑴(x-4)] , d—>0.(П1.25)
Графическое изображение этой функции дано на рис. П1.4.
В общем случае можно показать, что
71十1
6g (%)=冗2士(一1)W Хт“〃Т l—2A;)],d—>0, (П1.26) 丸一
(П1.27).важной из функций, называемый единичной(П1.27).важной из функций, называемый единичнойсвязанныхступенькойсвязанныхступенькойгде 〃(尤——龙)определяется выражением
(П1.27).
важной из функций, называемый единичной
(П1.27).
важной из функций, называемый единичной
связанныхступенькой
связанныхступенькой
Единичная ступенька. Наиболее с 6-функцией, является ее интеграл, и определяемый соотношением
〃(:г — а) = \ 6 (/ — а)山=]；〃(:г — а) = \ 6 (/ — а)山=]；при /〉а, при / < а.при /〉а, при / < а.(П1.27)(П1.27)
〃(:г — а) = \ 6 (/ — а)山=]；
〃(:г — а) = \ 6 (/ — а)山=]；
при /〉а, при / < а.
при /〉а, при / < а.
(П1.27)
(П1.27)
Поведение единичной ступеньки определяется знаком ее аргумента. Когда разность t — a положительна, значение единичной ступеньки равно еди-
LIf ⑴ —g ⑴
Р и с. П1.5.Рис. П.1.6.
нице. В противном случае единичная функция равна нулю, за исключением точки / — a = 0. По этой причине единичная ступенька не является четной функцией, а именно 〃(/—— а) *〃(〃 —— /). Однако
〃 (/ - a) ^11 — u (a -/) и, кроме того,
〃(/— a) 〃(/— b) = 〃 (f — b) при b〉a.
Единичная ступенька иногда записывается в виде 1 [х ——а] и изображается так, как это показано на рис. (П1.5). Эта функция также обладает свойством выделения. Предположим, что на рис. (П1.6) ключ замыкается при / 丁 а н размыкается при / = Ь.
В этом случае можно записать
(П1.28а)(П1.28а)_ I /(0
(П1.28а)
(П1.28а)
* '丿 0 в остальных точках
или
g (/) = / (/) [u(t — a)— u (/ — b)]』/(/)[〃 (t — a) и (b — t)],(П1.286)
Соответственно мы можем написать интеграл в следующем виде:
(П1.29)(П1.29)\ f (х) dx = \ f (х) и (х — a) dx.
(П1.29)
(П1.29)
Теперь покажем, что при ведении масштаба для времени начальные условия остаются инвариантными. Если наша цепь изображена на рис. (П1.7, а), то 6-функцию на входе можно в соответствии с уравнением (П1.27) заменить
начальным условием у =——а (/). Если, однако, мы вводим масштаб времени в схему, изображенную на рис. (Ш.7, 6), устанавливая коэффициент усиления т на входе интегратора /, то мы должны изменить 6-функцию на 6 (mt). В соответствии с соотношением (П1.8) у остается без изменений.
В⑴В⑴〉У b(mt)―Q~~tQ\
В⑴
В⑴
a6
P и с. П1.7.
Соотношение между начальными условиями и 6-функциями. Определенный интерес представляет эквивалентная связь между начальными условиями и производными 8-функции разного порядка в линейных дифференциальных уравнениях. Заде решил эту задачу для уравнения с постоянными коэффициентами [1391 1). Его работа была позднее обобщена на дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами Солодовым [141 I; результаты, полученные в последней работе, приводятся ниже.
Пусть нам дано дифференциальное уравнение
(П1.30)(П1.30)2 а*р1у「- О
(П1.30)
(П1.30)
1 — 0
с начальными условиями при / = а, у。，//九...,yn_i, где
Альтернативная форма этого уравнения при всех нулевых начальных условиях имеет вид
£ aiP%“-Go6(/ —а) , Gel/ —а)+. . . I Ьет> (Г — а),(П1.31)
1 = 0
где
В этом случае можно показать, что
Go= lai (a)一碍)似)+ …+( - 1)-%『1)(a)] УО 4[&(а)一吋)(a)二…
•(― 1)"一'忌沱7)(a)] Di + • • •+■沱(a)(П1.32а)
G@ = — {]& (■) — 2a?)(a) + 3疗)(ct) — • • • + (l)n '(孔一 1) 〃俨小(a)] Uo十
4 小 (а)一2af)(a)十….十(- 1 )n ~ (也-2) a^ " (a)]办厂….十aП(a)拠-2},
(П1.326)
= (― au (a) %.(П1.32в)
Произвольный коэффициент выражается в следующем виде:
m— 1 п~т~г— 1
(П1.32г)(П1.32г)Gm= 22(-1 )"滥+^+? 十 1 D"
(П1.32г)
(П1.32г)
i = 0丸=0
где
呼）（a）=呼）（a）=d!iaj (a)da'，d!iaj (a)da'，
呼）（a）=
呼）（a）=
d!iaj (a)da'，
d!iaj (a)da'，
i) Простой вывод этих соотношений см. в работе [140, стр. 26].
Лапласа. Можно использовать определения весовой функцииЛапласа. Можно использовать определения весовой функцииооР и с. 111.8.Р и с. 111.8.
Лапласа. Можно использовать определения весовой функции
Лапласа. Можно использовать определения весовой функции
о
о
Р и с. 111.8.
Р и с. 111.8.
В случае уравнения с постоянными коэффициентами это соотношение упрощается и приобретает вид
п— 1
Gh = 2(П1.32д)
Единичный импульс и преобразование д-функцию и преобразование Лапласа для
уравнения с постоянными коэффициентами. Весовая функция является решением уравнения
$ а&р% = 0(Ш.ЗЗ)
々=0
при всех нулевых начальных условиях, за исключением одного
1
Уп~1 = — - •
Та же самая весовая функция может быть найдена как решение уравнения п
£ акрку = №■(П1.34)
Однако если выполнить преобразование Лапласа для уравнения (П1.34), то мы найдем, что мы решаем уравнение (П1.33) с начальным условием 112a….
Причина этого состоит в том, что преобразование Лапласа относится к области О V £ V 8. Следовательно, используется только половина 6-функции (см. рис. П1.1). Инженеры преодолевают эту трудность, вводя новое определение для 6-функции и называя ее единичным импульсом (рис. П1.8).
СВОЙСТВА ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ, ФУНКЦИИ ГРИНАИ СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ12)
В разд. 2.4.1 мы показали, что весовую функцию можно использовать в интеграле-свертке для получения решения неоднородного дифференциального уравнения. Имеются три сходные между собой функции: односторонняя функция Грина, весовая функция, также называемая импульсной переходной функцией, и классическая функция Грина,—— которые используются в интеграле-свертке. Так как все эти функции относятся к одному и тому же дифференциальному уравнению, то неизбежно возникает вопрос относительно области применения каждой из них. Это приложение написано в основном для того, чтобы рассеять неопределенность, связанную с применением этих функций.
Односторонняя функция Грина. Односторонняя функция Грина ——это решение неоднородного уравнения
五步、■几Т 而二差+十色苏十a。" 6 (% -а) (n2.1)
с нулевыми начальными условиями уЗ)(а), г/ (а), . .у7^1 (а), или, что
эквивалентно, решение однородного уравнения
需丄仆結黑 + аоу = О(П2.2)
с нулевыми начальными условиями для функции у и ее (п- 2) производных при
.
J J On (а)
Решение
у = К (х, а)
является функцией двух переменных а и х, где:
а —значение независимой переменной, при котором заданы начальные условия (или при котором 6-функция не равна н)лю);
х —значение независимой переменной, при котором вычисляется функция 〃.
Приведем важнейшие свойства функции Грина:
При л а
К (х，а) = 0 при 厂=0, 1, .. ., 〃 一 2,
а.КкК(х, а)=
Производные -^ [К (х, а)] непрерывны при всехг = 0, 1, . . ., n— 1.
Функция К(х, а) единственна.
Нет никаких ограничений на значение а по отношению к величине .г. Функция К(х, а) может не равняться нулю при а>%, так же как и при ct V х.
Свойство 4 отличает одностороннюю функцию Грина от импульсной переходной функции.
Импульсная переходная функция (весовая функция). Лучше всего описать импульсную переходную функцию, показав, чем она отличается от функции Грина. Из уравнения (П2.1) мы получаем функцию Грина К (х, а), прилагая 6-функцию при х = а н решая задачу как при возрастании переменной х, так и при ее уменьшении. В противоположность этому мы получаем импульсную переходную функцию W (х, а), решая задачу только при возрастании х.
Линейная система
〃 「переменными /丿
параметрами
Р н с. П2.1.
Если обе эти функции соответствуют одному и тому же дифференциальному уравнению, соотношение между односторонней функцией Грина и импульсной переходной функцией имеет вид
W (х, ct) = K(x, а) х> а,(П2.3а)
Г(х, а)-0 х<а.(П2.36)
Следовательно, за исключением приведенного выше свойства 4, функция W (х, а) обладает теми же свойствами, что и функция Грина.
Свойство 1 представляет особый интерес, поскольку оно может быть использовано для определения порядка дифференциального уравнения, которому соответствует функция W (尤,а) или К (%, а)工)・
Импульсную переходную функцию можно также определить, исслед\ я поведение линейной системы с переменными коэффициентами, изображенной на рис. П2.1. Когда входной сигнал а представляет собой 6(/ ——а), выход и является импульсной переходной функцией W (九 а). Из физических соображений ясно, что когда независимой переменной служит время, и = 0 при а > £, так как выходной сигнал не может появиться до того, как мы подали входной сигнал. Такая система называется системой без предсказания, и как следствие этого импульсную переходную функцию называют иногда функцией Грина без предсказания.
Линейная система с переменными коэффициентами может также иметь следующий вид:
=啞翁一+…亠九З 瓦" (^Wa) или в операторной форме
L(S)= М (и).(П2.46)
Пусть 〃 = 6 (/ — а). Тогда для уравнения (П2.46) функция Грина определена только при m 0, а именно для уравнения
L 付2)= 6 (/ — а).(П2.5)
Однако импульсная переходная функция не связана этим ограничением. Между импульсной переходной функцией уравнения (П2.46) и импульсной переходной функцией уравнения (П2.5) существует определенное соотношение, которое мы выведем ниже при исследовании сопряженных уравнений.
生亿a)生亿a)%什,a)%什,a)%",词%",⑨%",词%",⑨^(t-a)^(t-a)
生亿a)
生亿a)
%什,a)
%什,a)
%",词%",⑨
%",词%",⑨
^(t-a)
^(t-a)
Рис. П2.2.
Перед тем как переходить к этому разделу, рассмотрим вопрос о том, как преобразуются весовые функции при параллельном и последовательном соединении. На рис. П2, а и П2.2, б эти случаи показаны символически. Тогда
% (厶岂)-犷丄信 а) + Г2(/, а)(П2.5а)
и
^4 а，а) = \ 取2 G，₽)取1 (% а) d₽.(П2.56)
Сопряженные операторы и их свойства 工).Пусть дан линейный дифференциальный оператор
Ь = ап + an-i ^n-i + .. . + ^i + ^о-(П2.6а)
Сопряженный оператор имеет вид )
L* н (— 1)"% 十(一1)"т石^~ 篇-丄 •••+( — 1) -jy ^i + ^o-(П2.66)
Наш основной интерес к сопряженным операторам обусловлен тем, что, как мы показали в гл. 2, на АВМ более удобно получать импульсную переходную функцию дифференциального уравнения, используя сопряженное уравнение, а не само исходное уравнение. Однако сопряженное уравнение имеет и некоторые другие свойства, которые стоит рассмотреть.
Если для уравнения (П2.5) импульсная переходная функция имеет вид ^2 = К (力 ct),
то для уравнения (П2.46) при произвольном а можно записать
У! (/) = \ W{t, a)M[u]da.(П2.7)
После некоторых преобразований получим 工)
S(/)= \ Al* [W (/, а)] а (а) da.(П2.8)
Таким образом, мы видим, что интеграл представляет собой свертку входного сигнала a (а) и эквивалентной импульсной переходной функции М* [W (/, a)L где
М* 用亿 а)] = 0( — 1)Т% [丛⑴囚 «, а)].(П2.9)
г—О
Заметим также, что если одностороннюю функцию Грина в уравнении (П2.5) обозначить через
и? = К (Л а), то решение уравнения (П2.46) будет иметь вид
力(方)=\ К (/, а)М [и] da — \ М* [^ (/, a)] a (a) da. (П2.10)
—ОО—ОО
Однако М*[К (乙 а)] не является функцией Грина, так как она не удовлетворяет свойству 1.
Другое интересное свойство сопряженной системы следует из уравнения Грина. Пусть а и V — произвольные дифференцируемые функции, а L и L* — дифференциальный оператор и сопряженный с ним оператор. Тогда в соответствии с уравнением Грина
vL (и) — uL*(V)=寄 \Р (и, и)].(П2.11)
Функция Р(〃, и) представляет собой билинейную форму. Если оператор L определен соотношением (П2.6а), то
Р (ич v) = и 々卫—寄(做0)+ • • • +(— 1 )“т ^启工(a/)] +
+ 魯[“2° —(〃зО)+ • • • + ( — 1 )'f ^?2-(0図)]+ • * • + anV [九;•(П2.12)
С помощью уравнения (П2.11) можно показать, что любое решение однородного сопряженного уравнения
L*(u) = 0
является интегрирующим множителем для неоднородного уравнения
L (〃) = f (/).
Возьмем одно из этих решений в качестве ^ (/). Так как 七力=0, то соотношение (П2.11) можно записать в виде
u丄⑷二备『(",им=。/ (0-(П2.13)
Положим все начальные условия 〃⑴),и(1\ ..., 〃(也亠工)равными нулю при / = 0. Тогда, интегрируя соотношение (П2.13), получим
\ 烹【Р(…М "т= \。丿⑴"т(П2.14а)
оо
Этот результат получен в [143]. В той же статье Борский также доказывает некоторые другие важные свойства.
24 JI. Левин
ИЛИ
Р(〃, S)j=, sf ⑴dt.(П2.146)
о
Так как при』0 Р(〃，s) = 0, то можно написать
Р(〃, 5)= \ vj (т) dr.(П2.14в)
о
Как видно из уравнения (П2.12), функция Р(〃, и) содержит первые n — 1 производные а. Таким образом, уравнение (П2.14в) представляет собой уравнение (п ~ 1 )-го порядка относительно и. Если бы мы имели все п решений, 口丄,и?, •…,vn, однородного сопряженного уравнения, то можно было бы получить п уравнений:
Р (〃, 5)= g vj (т) dr,
Р (…2)T*T)dT,
戶(我,勿)=) %f⑹丸
0
В этом случае мы могли бы тогда найти а из этой системы уравнений. Аналогичным методом можно также решить однородное уравнение с переменными коэффициентами (см. [23, стр. 124)1.
Чтобы читатель не принял этот метод за удобный способ решения уравнения с переменными коэффициентами, подчеркнем, что получить решения однородного сопряженного уравнения ничуть не легче, чем решить первоначальное однородное уравнение.
Классическая функция Грина. Классическая функция Грина отличается от уже описанных двух функций в том отношении, что она соответствует двухточечной граничной задаче, в то время как другие функции соответствуют задаче с начальными условиями. Для уравнения (П2.1) классическая функция Грина Я (尢，а) должна удовлетворять граничным условиям при а и Ь, которые имеют вид
G(q) = a(h办①⑺+ s也⑴伍)+ •…+a几一i〃67 (q) = o, i = o, 1, 2,..厂
Uj・仅)—a0;«c0)(力)+ a力办"(分)++<Xrt,w及7(力)=0,
j =厂十 1, г + 2, . • ., /I — 1 -
Приведем основные свойства классической функции Грина:
Производные 丽 Н (х, а) непрерывны при г — 0, 1, . . ., п — 2.
Н (无，а) = дхп~^ '，/ ап(а)
Функция Н (х, а) единственна.
Единственное ограничение на х и а состоит в том, что должны выполняться условия q W х, а W 匕.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ИМПЕДАНСЕ! ПРИ КОРОТКОМЗАМЫКАНИИ ')
Функция передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соотношения
А
R
А~ R
А
4 = R
Т 二 RC
R = А сМ
4(1+")
R R
4 = 2R
「4T
4 1十呻
В<1
&
A — Rl-{-R2
T = R2c
Ri + R2
Ri = Л0
R2=4(i—e)
4(1—0)
Ri
~^-W\<HH
A=Rt
T^^ + R^C
№ + &
Ri = 4
№1-0
r —)
c=)
А 1 十 р7
1+呻
3。
尼
俘，
л — 2&R2
2R + &
n 一 2&
47(1-9)
GA '
Л = 2&
т=(а+，：с
2R2+&
“2 4(1 — 0) r —4T(1—G) C 4
ip#
А ~ 2R
T=冬(&十С2)
&十e2
R= Г
r _2T(2 —0)
1A
「 2TG
1) Эта таблица составлена С. Годе (S. Godet) из фирмы Reeves Instrument. Воспроизводится по статье Bradley F. R., М с г о у, Driftless D—С Amplifier, Electronics, Apri 1 1 952.
Продолжение
Функция передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соотношения
1 (1-ЬрТ1)(1+"з)
рв1 十"2
&V「2＜「3
7*
В — Ci
T2=(R1 + R2)G
^1Т，з = ^1/?2С1С2
7；十73=%a十
十 R2c2 +R£2
0т1十73 -「2
Т(Г^^Т9-Т^
С^ — В
• ■В(Тз-Т2〉(Т2—&)
2(C十73一72)2
LwHP
& e2
8=&十6
К C) + C2
T1T3 = R1R2cle2
& 十「3=Ri&
十 R2c2+R1Q
Ri^~btT
(&Т2+Т2Тз — Т"з)2
К2 ВТ^Тз-Т^Т^Т^
「8(T3-乙)(72-
2一7&2 + 丁2T3-7"3
T2 — R2P2
TJ^R^C^ 「i 十 73 Н /& + 十 R2c2 十 R2cl
р «3-乙乂厶一a)
L2~(г3-т^ (乙一А)
1 (1+叫)(1+叫)
рв1+р「2
「2 = R2c2
TlT3^=RlLR2CiC2
A十73 = &&十
+ R2c2+%С2
&8「2
R^~B(T3-T^(т2-л)
& = 5
「8(73_а)(厶一窗)
1"з
表（1+叫）（1+Р「2）
А #2
у\л-р^л\"4 s— 工仿
T"2=R1R2cle2
「1+T2 = %a 十
+ R2Q + RiQ
1 (УЛ-У^)2
« = 8
1 (1+"1)(1+叫)
Р8 р"哂
7172= R1R2&C2
「1+T2 = 以& 卜
十 R2c2 + R1C2
1 (УЛ-W2
G = 8
Функция передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соогношен ия
1 (1十"1)(1+〃2)
p5犀71T2
Л<^2
С} G а ннннчн
& +2c2
A = R&
Т? = R (&十2c2)
К —28「2
&=当7
,1 1+叫一
1+綻中2
% С]二 4 “2‘2
4 = 2R]
& = ^^=2R2c2
3R&
R2 4%
- A
С
If
8 = C
С— В
表(1+P7)
8 = C
T = RC
c T
C=B
1 1±рТ pB pT
ту—
„ C
T = 2RC
Г
C = 2B
11十"
pg 1 十 per
R
8=&
T=R(& + Q)
& + °2
C] = в
R Q
8 = & +e2
& + Q
Г
B~ В (1—0) & =80
С2=В (1 —0)
]_ (1十”1) (1十"3)
pB1十"2
А<「2<Гз
8 = &十02
7\ = &&
「2 — (^1 + ^2)C] + Q
T3 = /?2e2
. &禽一乙) 旧 в (& —3) R /3 (北一号)
1ТзТ
г一B (T3—72)
2 一&
Ф ункцня передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соотношения
41 土吟
l+pTt + p^T^
&
1Wv1
7\ = 2&С
2一 2
& =4
4 = 2R
/i+p&_
H”l + p27；Q
7；=2/?c2
X 1
R - 2
自AП
'QR1+R2)
T _% (a。1+2/?2。2)
2 Cd — Q)
12R十/?2
4 [為一acg—TM
1AT3
2 凡。1 + 2&e2
?3 - 2
<1+Р?з
1十"1十户7172 J
4 = 2弋
A=R2cl 十 2R1Q
「凡(凡+2/?2)*。2
2R2cl + 2%。2
T3=(R24舟&
%=等
?2〉乎(комплексные корни) 73〉丁2
2 4[Т|-Т1 (Т3-г2)]
C 4 6f (Qf)】
АТГ
4 = 2R
к 2
T^R^C^C^
2[2* — С(Тз—Т2)}
G-АТ3
中专
_2А(Тз-Т2)
G -АТ3 '
73=今(C1TС2)
e3-而丁
Функция передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соотиошеиня
1+рТз 1+p*+户7"2 а〉? (комплексные корни)
с^с'
，4 = &
& = 2RQ] R2c2
二 R1R2& (& +2c2)
22R1& + R2c2
T3=2%&
оATI
1 4[T"2—Тз(Т，—Тз)]
R2 = 4
「[У]%—Тз(看一Тз)]
Cl 小
—3
“2 - A
，2
飞审
4 = R2
&(2RQ2+R2&)
12cl+G
т — RfR2cle2
2 2&Q+R2&
T — 2RQQ2
3- 2& + G
1 4[7江2-73(?-3))
% = 4
2^ AT.
e2 =
—4&Г2【АГ2-Тз(П-Гз)】 ЛГ32(Л-Г3)
.11+"з
i+pA+^nR
Г?〉，(комплексные корни)
可
4 = R3
7 — Rf(2R2 + R3) C
1& + R2
т — R2R3C
2 2R2+R3
т — 2RfR2c
3% + R2
12[2T—з(ТТз)】
о _ ATS
22(7—3)
Кз = 4
r .27江2
4(1 + рЛ)(1 + р?'2) т<2
凡及凡 Vе
/4 = 2Rj + Rz
12&+R2
「2 = RfC
/ 2
2簟
4(72 一 * )
11+р0Т
рВ 1 + "
6<1
B~C2
T = r&_2 号&
2Q + &
4B (1-0) _ 25(1-0)
5 -e 一
如2 部
2& + G t=rc2
48(1 — 6)
一48(1—0)
С202
~t[4r
T = R2c
% + R2
_га
1 28 (2—价
-4
Функция передаточного импеданса
Цепь
Соотношения
Обратные соотношения
(1 十р7\) (1 十р『з)
凡 & r*VW-| pW\q
чннн
Л ~ R】十R2
A = RC
& =(C1 + C2)
4十k2
t3=r2c2
4 C —A) 凡’%一 A
& - Тз—П
4 ■ A(TZ-T^
A) 仇―4(Тз—Т2)
A1+叫
(1+pA)(1 十"з) A CVA
R， С,
A = R2
T2 =%&
т Кз=R^R2cte2
A +「3=RC +
+ R2C2+R2&
1 (Тз —「2)(72 —A)
/^2 = Д
Г _ (T3 - 厶)(Г2-а)
1472
G дг2
Д = /?1 + ^2
△凡+%2
TiTg^R^C^
А + Тз=&&+
+ R2c2 十 R2&
07\a +「273-"3
R _4(T3一%)(Г2—n)
2 AG 十厶「3 —А「3
1 4&
2 ДТ2(Т3-Т2)(Т2-Т1)
R,
匕2
4 = Ri
「2 = R2 G + G)
Т/з=&К2cle2
A+「3=R© + +R2c2+R2&
飞=4
我 _4(г3—г2)(Г2 - A)
2(A十г3 —г2)2
Г 一 A +Г3 - %
Зз (П + Тз —丁2)
2 А(Т3-Т^ (T2-Tt)
*1+叫
吋
4 = 2%+等
T^RiCi
厶-*2(a+G)
「3=%e2
‘- а + гз
2 (Т1+Т3)(Г1+Т3-2Т2) r А (А+Тз)_
5 - дт2
г 一 Тз(г6「з)
(1+叫)(1+"3)
& W「3
(1+pA) (】+"з)
A《「3 &「2
Яй
4 = Ri + R2
A=RC
△ У*2(2&+C2)
^3 — ^2^1
n4Т1
2 А + Тз
№ А +「з
G=屮儀琮-2)
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ)
Два события Л и В называются взаимно несовместимыми, если появление одного из событий исключает возможность появления другого события. Например, события «выпадение герба» и «выпадение цифры» при одном бросании монеты являются взаимно несовместимыми событиями. Функция Р от события Л называется вероятностью, если:
Аксиома 1.0《Р(4)《1, где Р (Л)——вероятность того, что произойдет событие Л.
Аксиома 2. Р (Л или В) = Р (А) + Р (В), если события Л и В взаимно несовместимы.
Аксиома 3. Р (Q) = 1, где Р (Q)——вероятность появления какого-нибудь одного из числа возможных событий ).
Пример 1. Рассмотрим множество событий S, состоящее из 36 возможных исходов при бросании двух игральных костей. Вероятность Р (В) любого события В равна пв/36, где пв——число исходов, в результате которых реализуется событие В. Если, например, взять частное событие Л, состоящее в том, что на обоих костях выпадает одно и то же количество очков, то Р (Л) = 6/36.
Заметим, что функция распределения вероятностей имеет те же характерные особенности, что и функция, выражающая массу физического тела; отличие состоит лишь в том, что функция распределения вероятностей нормируется единицей. Следовательно, мы можем интерпретировать закон распределения вероятностей как «меру массы (множества)» событий. Эта интерпретация поможет нам легче ввести понятия среднего значения и дисперсии функции. Сейчас, однако, давайте рассмотрим другую возможную интерпретацию.
Понятие эксперимента. Слово вероятность отражает идею неопределенности. Это понятие неопределенности весьма широко, и, для того чтобы можно было развить некоторую математическую теорию вероятностей, необходимо провести грани между различными видами неопределенности. Попытка сделать это в настоящей книге увлекла бы нас далеко от нашей основной темы. Поэтому мы кратко обсудим лишь два вида выражений, характеризующих неопределенность. Эти два вида выражений можно иллюстрировать следующими типичными утверждениями:
Имеется 50%-ная вероятность того, что если я буду ждать Джона на углу улицы Гаусса и улицы Евклида 26 мая 1984 г., то он придет к двум часам дня.
Имеется 50%-ная вероятность того, что если я брошу монету, то выпадет герб.
Утверждения 1 и 2 выражают неопределенность относительно исхода событий А и В соответственно, где
—событие, состоящее в том, что Джон придет на угол улиц Гаусса и Евклида 26 мая 1984 г. к двум часам дня;
В — событие, состоящее в том, что при бросании монеты выпадает герб.
Основная особенность, которая позволяет выявить различие между событиями Л и В, связана со следующим обстоятельством: вопрос о том, будет иметь место событие Л или нет, можно выяснить раз и навсегда, если просто подождать до двух часов дня 26 мая 1984 г., в то время как событие, касающееся исхода бросания монеты, никогда не может быть окончательно выяснено, так как если монету бросили и получили определенный исход, то исход следующего бросания все равно остается под вопросом. Другими словами, можно думать о последовательности событий типа события В, а именно можно в принципе рассмотреть последовательность
В — В】,^2， &, •.. где
В? —исход t-го бросания монеты.
С другой стороны, нельзя рассматривать последовательность событий типа Л так как при наступлении назначенного срока случится одно из событий: либо «Джон пришел», либо «Джон не пришел». Невозможно еще раз стоять на углу и ожидать Джона 26 мая 1984 г. до двух часов. Короче говоря, различие между событиями Л и В состоит в том, что событие Л нельзя повторить, а событие В можно. Для того чтобы понять, почему эта причина так важна, мы должны определить, что мы понимаем, когда говорим, что вероятность события равняется 5096, или х/2. В случае бросания монеты это утверждение означает, что при большом числе бросаний событие «выпадения герба» будет происходить «приблизительно» в половине случаев. Если вероятность выпадения герба была бы 2/3, то мы интерпретировали бы это утверждение в том смысле, что «выпадение герба» более вероятно, чем «выпадение цифры», а именно, что при большом числе бросаний приблизительно в 2/3 случаев выпадет герб.
Безусловно, мы не можем таким же образом интерпретировать вероятностное утверждение 1. Если мы скажем, что приход характеризуется вероятностью 1/2, то это не означает, что при большом числе испытаний, в которых я буду ждать Джона 26 мая 1984 г. до двух часов дня на углу улиц Гаусса и Евклида, Джон придет только в половине случаев; как только 26 мая 1984 г. наступят два часа дня, исход события, связанного с приходом Джона, будет решен. В качестве другого примера рассмотрим утверждение: «вероятность того, что Луна имеет другую сторону, равна 2/3». Это утверждение не может означать, что при большой серии испытаний, состоящих в том, что мы совершаем полет к обратной стороне Луны, приблизительно в 2/3 случаев у Луны будет обнаружена обратная сторона. Чтобы определить, имеется у Луны обратная сторона или ее нет, нам достаточно слетать туда только один раз. Как только проверка произведена, неопределенность исчезает. Таким образом, «частотная» интерпретация в таких утверждениях, как утверждение (1), не имеет смысла. Мы примем, что число, называемое «вероятностью события», характеризует частоту появления события в длинной последовательности испытаний.
Приведем некоторые важные функции распределения вероятностей. Биномиальное распределение:
P{Sn^x)=^pxqn-\
где Sa = х ——событие, состоящее в том, что при 几 испытаниях имеет место х благоприятных исходов; р ——вероятность благоприятного исхода при одном испытании.
<7=1—Р，
\ х J х\ (п — х)! *
Распределение Пуассона:
где Xt = k — событие, состоящее в том, что за время t имеет место 万 благоприятных исходов;九一■ постоянная.
Нормальное распределение:
Р е-(Х-Ц)2/2о2 \ ― dx,
А” 2no
где a < X < b ——событие, состоящее в том, что величина X лежит между двумя числами а и ц, о2 —— постоянные.
^^распределение:
Р(у%У” 喟^х2>0.
Определение условной вероятности'.
Р (R/H) — вероятность появления события R при условии, что произошло событие Я.
Определение совместной вероятности:
Р (R") —вероятность того, что произошло как событие R, так и собы* гие Н.
Определение статистической независимости'.
Если Р (R/H)三 Р (R), то говорят, что R не зависит от Н.
Между совместной вероятностью и условной вероятностью имеет место следующее соотношение:
Пример 2. ПустьПример 2. ПустьP(R〃) = P(R/)P(〃).P(R〃) = P(R/)P(〃).儿K-чиело 几R——чиело 几"-число riRH — число Тогда儿K-чиело 几R——чиело 几"-число riRH — число Тогдаженщин в некоторой группе, богатых женщин, блондинок, богатых блондинок.женщин в некоторой группе, богатых женщин, блондинок, богатых блондинок.P(R) =P(R) =△R△RТеорема.Теорема.pg =pg =P(R")P(R")P(R|") =P(R|") =пнRRH „ 代RH 孔W =尸(R〃) «Я注W 孔H尸(上0 .пнRRH „ 代RH 孔W =尸(R〃) «Я注W 孔H尸(上0 .Два события А п В независимы тогда и только тогда,Два события А п В независимы тогда и только тогда,когдакогда
Пример 2. Пусть
Пример 2. Пусть
P(R〃) = P(R/)P(〃).
P(R〃) = P(R/)P(〃).
儿K-чиело 几R——чиело 几"-число riRH — число Тогда
儿K-чиело 几R——чиело 几"-число riRH — число Тогда
женщин в некоторой группе, богатых женщин, блондинок, богатых блондинок.
женщин в некоторой группе, богатых женщин, блондинок, богатых блондинок.
P(R) =
P(R) =
△R
△R
Теорема.
Теорема.
pg =
pg =
P(R")
P(R")
P(R|") =
P(R|") =
пн
RRH „ 代RH 孔W =尸(R〃) «Я注W 孔H尸(上0 .
пн
RRH „ 代RH 孔W =尸(R〃) «Я注W 孔H尸(上0 .
Два события А п В независимы тогда и только тогда,
Два события А п В независимы тогда и только тогда,
когда
когда
Р(АВ)^Р(А)Р(В).
Приведем две важные теоремы, в которых используются свойства условных вероятностей:
Формула полной вероятности. Пусть Яь Я2, — взаимно несовместимые события, хотя бы одно из которых непременно должно произойти в результате испытания. Тогда
р(в)= £р(乩)Р ⑶н»
г де В — любое событие.
Формула Бейеса.
Р(А\В} = Р^ =幺^ Р(А)Р(В\А)
Р (切’^P(Hi)P(B\Hl) ^Р(1Ц)Р(В\Н0 '
Случайные величины. Каждому случайному событию Sn S2, .. . можно поставить в соответствие некоторое число. Таким образом, если число х поставлено в соответствие двум событиям S「S2, то
Р (Х = х) = Р (Sf или S2).
Переменная X в дальнейшем называется случайной величиной и может принимать все числовые значения, которые поставлены в соответствие случайным событиям. Мы будем обсуждать вероятности только для случайных величин.
Математическое ожидание. Интерпретируя вероятность P(XVx) как вероятностную массу события (XV%), введем функцию
(если такая производная существует), называемую плотностью распределения вероятностей. Заметим, что (аксиома 3)
Р (X V 8)= 1,
если
\ р (%) dx = 1,
ь
\ р (%) dx = Р (а V X V 方).
Центр масс событий определяется точно так же, как центр массы физического тела:
\ хр (%)dxСМ^~.
\ р (х) dx
В этом случае величина
СЛ4= \ хр (%) dx
называется математическим ожиданием, или средним, случайной величины и обозначается символом Е (X).
Название математическое ожидание возникло из нашей «частотной интерпретации» величины р (х). Если р (%) представляет собой «частоту», с которой значение 尤 появляется в длинной последовательности испытаний, или пропорционально этой частоте, то £ (X) характеризует среднее значение переменной х для всей последовательности испытаний. Ниже приведены средние значения для важнейших распределений.
Биномиальное распределение:
Е(Х) = £ х^рГ = пр.
х=0
Распределение Пуассона:
E(X)=g "胃空
h=0
Нормальное распределение:
0С一曰I2
Дисперсия. Если опять интерпретировать р (х) как плотность вероятностной массы переменной 尤力 то можно определить «момент инерции» (Л1/) событий, так же как это мы делаем в случае физических тел.
М1= \ 空迫31= \ (x-e)2p(x)dx 0 = £ (х).
—00\ р (%) dx -°°
Момент инерции характеризует распределение масс относительно центра масс. Используя частотную интерпретацию, можно сказать, что это распределение отражает среднее рассеяние относительно математического ожидания. В теории вероятностей мы называем эту величину дисперсией и обозначаем ее через V (х). Приведем дисперсии для важнейших распределений.
Биномиальное распределение:
Ь(Х) = £ (х — /гр)О“1 = /г伊
О
Распределение Пуассона:
/X)=g仁中皿一九冗=0*
Нормальное распределение:Нормальное распределение:в、Thв、Th(Х-Ц)2202(Х-Ц)2202~ а2.~ а2.
Нормальное распределение:
Нормальное распределение:
в、Th
в、Th
(Х-Ц)2202
(Х-Ц)2202
~ а2.
~ а2.
Приведем некоторые важные теоремы, касающиеся математических ожиданий и дисперсий.
п
Теорема 1. Пусть S^ = £ Х^ ——сумма случайных величин. Тогда
г—1
Теорема 2.
£ (а) — а, а 二二 const.
Теорема 3.
Е = (X + а) = Е (X) + а, а 二 const.
Приводимые ниже теоремы, которые выражают свойства дисперсии, следуют непосредственно нз теорем 1—3.
Теорема 4а. V (X) = Е (X2) — 02, 0 - Е (X).
Теорема 46. V (аХ)=废V (X), а = const.
Теорема 4в. V (аХ + &) = a2V (X); a, b const.
Теорема 4г. Если X〕，X?, . . . Хп ——независимые случайные величины, то
U(Sa)= $U(Xj).
Теорема 5. Если случайная величина Y распределена нормально со средним 卩 и дисперсией(т2, то величина
(Г
распределена по закону ^ (0, 1), а именно по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией.
Чрезвычайно важна и полезна центральная предельная теорема:
Теорема 6. Если X〕, X?, . . ., Хп ——независмые случайные переменные и каждая переменная имеет конечное среднее и конечную дисперсию, то сумма
распределена приблизительно нормально, характеризуясь средним Е (Sn) и дисперсией V(5孔)，причем апроксимация улучшается при увеличении п.
Теорема 7. Если случайная величина Х{ распределена по закону Пуассона
а случайная величина Х^ обладает тем же самым распределением, то сумма Xi 十 Х2 имеет распределение
「2入2 (2九方产k\ *
Производящая функция моментов. При вычислении математических ожиданий важную роль играет функция Е (^0^)1), которая называется производящей функцией моментов. Так как
еех=£ 叩，
О то получим
£(^) = 2 ^^ .
Тогда
Приведем производящие функции для некоторых важных распределений. Биномиальное распределение:
W= е + р战)
Более часто используется характеристическая функция, равная Е (eUx), где 4 ——мнимая единица, / —— действительная переменная.—— Прим. ред.
Распределение Пуассона:
左=0
Нормальное распределение:
_(Х-Ц)2
Случайные процессы. Случайный процесс ——это временная последовательность случайных переменных. Если n-мерная плотность распределения совместных вероятностей случайного процесса зависит только от временнь'х разностей между переменными, то процесс называется стационарным в узком смысле. Например, если через 仇，％; . . .) обозначить функцию у (/), вычисленную в момент /ь то стационарность в узком смысле означает, что
Р ®1, ，1； “2， *2；"п，^тг) ~ Р(Р1, %1 + %； р2，‘2 + %, ♦ • ♦,"冷，3 + /) "PH BCRX t.
Если
七他(幻以/2)]Ке["(小")"色+切
при всех /, то вторые моменты инвариантны при сдвиге, и процесс называется стационарным в широком смысле. Для распределения Гаусса, которое полностью определяется его вторыми моментами, стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле эквивалентны.
Средние по времени и по совокупности. Среднее по времени получают в результате усреднения функции, соответствующей одной реализации 】)， по всем моментам времени. Среднее по совокупности получают тогда, когда усреднение производится в определенные моменты времени по всем реализациям. Эргодическая теорема утверждает, что если процесс эргодический, то среднее по времени и среднее по совокупности равны между собой. Стационарность является необходимым условием эргодичности ).
Например, второй момент эргодического процесса имеет следующие эквивалентные формы:
СО ООТ
j \ У (^1) У (^2)Р [у (Л) У (^2)] dy (/J dy (/2) = Hm ^ ] У (ti +1) у (t2 +1) dt.
—oo —oo— T
Эргодическое свойство играет важную роль при работах на АВМ. Когда оно справедливо, то данные можно усреднять по времени при однократном решении задачи на АВМ, вместо того чтобы их усреднять по совокупности решений, получаемых одновременно на нескольких одинаково запрограммированных АВМ.
Корреляционная функция и спектральная плотность. К орре ляционная функция Ry (т) стационарного процесса — это действительная функция, определяемая следующим соотношением:
т
Ry (т) = lim ~ \ yit)y(t + ^ dt.
Она связана со спектральной плоскостью Sy (/) соотношением Винера — Хин- чина, так что корреляционная функция и спектральная плотность образуют
Реализацией называется функция времени, представляющая собой один из возможных исходов случайного процесса.— Прим. ред.
пару преобразования Фурье
Sy(/)= j Ry(T)e-^dT,
&⑴=j Sy(f)e^df.
Свойства корреляционной функции (стационарного процесса):
1.r⑴二仆一叫.
R(0)》|R⑴|・
R(0)= lim 嘉 \ “ ⑴威=产
lim Ry (t) = E (d).
Соотношение между коэффициентом корреляции и корреляционной функцией 1)
Свойства спектральной плотности:
Sy(f) = Sg(—/).
?= ；Su(/)d/.
Функция ру (т) называется также нормированной корреляционной функцией.— Прим. ред.
ЭФФЕКТИВНОСТИ СРЕДИННОЙ ОЦЕНКИСРЕДНЕГО И ОЦЕНКИ ПО ПОЛУСУММЕКРАЙНИХ ЗНАЧЕНИЙ')
№
Медиана
Оценка по полусумме крайних знаненнМ
дисперсия
£'
дисперсия
2
0,500
1,000
0,500
1,000
3
0,449
0,743
0,362
0.920
4
0,298
0,838
0,298
0,838
5
0,287
0,697
0,261
0,767
6
0,215
0,776
0,236
0,706
7
0,210
0,679
0,218
0,654
8
0,168
0,743
0,205
0,610
9
0,166
0,669
0,194
0,572
10
0,138
0,723
0,186
0,539
li
0,i37
0,663
0,178
0,510
12
0,118
0,709
0,172
0,484
13
0,117
0,659
0,167
0,461
i4
0,102
0,699
0,162
0,440
15
0,102
0,656
0,158
0,422
i6
0,0904
0,692
0,154
0,392
17
0,0901
0,653
0,151
0,389
18
0,0810
0,686
0,148
0,375
19
0,0808
0,651
0,145
0,362
20
0,0734
0,681
0,143
0,350
oo
1,57/Л-
0,637
0,000
1) Из книги Dixon Statistical Analysis, 2nd
W. J., Massey F. J,, Jr,, ed., New York, 1957г p. 406,
Introduction to
23 Л. Левин
ИНТЕГРАЛЬНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ()
-1,「—® —")2]
①(')у^ } ехр [—— ] dy, где 尤
2
X
ф(^)
2
①(入)
— 3,25
|x—3,25a
0,0006
— 1,50
ц—1,50а
0,0668
—3,20
jx—3,20a
0,0007
— 1,45
ц—1,45а
0,0735
—3,15
jl—3,15 n
0,0008
— 1,40
ц—1,40а
0,0808
-3,10
卩一3,10а
0,0010
— 1,35
1,35а
0,0885
—3,05
卩一3,05а
0,0011
—1,30
|х—1, ЗОп
0,0968
—3,00
卩一3,00<т
0,0013
— 1,25
[х— 1,25п
0,1056
—2,95
jx—2,95а
0,0016
—1,20
1,20а
0,1151
—2,90
jx—2,90а
0,0019
— 1,15
|1—-1,15П
0,1251
—2,85
卩一2,85(7
0,0022
— 1,10
卩一1, Юа
0,1357
—2,80
jx—2,80а
0,0026
— 1,05
|х— 1,05(т
0,1469
—2,75
卩一2,75а
0,0030
— 1,00
|х—1,00а
0,1587
—2,70
jx—2,70(j
0,0035
—0,95
卩一0,95о
0,1711
—2,65
jx—2,65(т
0,0040
—0,90
|х—0f90a
0,1841
—2,60
jx—2,60су
0,0047
—0,85
[1—0,85а
0,1977
—2,55
jx—2,55а
0,0054
—0,80
卩一0,80о
0,2119
—2,50
|х—2,50п
0т0062
—0,75
|х—0,75(т
0,2266
—2,45
ц—2,45(т
0,0071
—0,70
卩—0,70п
0,2420
—2,40
卩一2,40о
0,0082
—0,65
卩一0,65(т
0,2578
―-2,35
科一2,35(т
0,0094
—0,60
|х—0,60(т
0,2743
—2,30
卩一2,30(т
0,0107
—0,55
ц—0,55а
0,2912
—2,25
[1—2,25а
0,0122
—0,50
[л—0,50а
0,3085
—2,20
卩一2,20а
0,0139
—0,45
ц—0,45а
0,3264
—2,15
ц—2,15а
0,0158
—0,40
р—0,40п
0,3446
—2,10
卩一2,10(т
0,0179
—0,35
|х—0,35(У
0,3632
—2,05
r—2,05g
0,0202
—0,30
r—0,ЗОп
0,3821
—2,00
卩一2,00а
0,0228
—0,25
и—0,25п
0,4013
— 1,95
卩一1,95а
0,0256
—0,20
0,20п
0,4207
— 1,90
卩一1,90а
0,0287
—0,15
卩—0,15п
0,4404
— 1,85
|i— 1,85п
0,0322
—0,10
|х—0, Юн
0,4602
— 1,80
卩一1,80(т
0,0359
—0,05
卩一0,05а
0,4801
0,00
М
0T5000
— 1,75
|х—1,75(т
0,0401
0,05
卩十0,05(т
0,5199
— 1,70
"——1,70h
0,0446
0,10
10а
0,5398
— 1,65
卩一1,65о
0,0495
0,15
世+0,15G
0,5596
— 1,60
ц—1,60а
0,0548
0,20
а+0,20п
0,5793
— 1,55
卩一1,55о
0,0606
0,25
卩+0,25(т
0,5987
to Statistical Analysis, 2nd ed.,
1) Из книги Dixon W. J., New Work, 1957, pp. 382 — 383.
Massey F. J, Jr., Introduction
不⑺I
2
X
z
Ф(х)
0,30
ц+0,30а
0,6179
2,80
卩+2,80(т
0,9974
0,35
卩+0,35о
0,6368
2,85
卩，2,85о
0,9978
0,40
卩+0,40о
0,6554
2,90
卩-j~2,9l)o
0,9981
0,45
卩+0,45о
0,6736
2,95
卩+2,95о
0,9984
0,50
卩+0,50о
0,6915
3,00
卩+3,00о
0,9987
0,55 0,60 0,65 0,70 0,75
卩+0,55(7 卩-j-0,60o
卩+0,70o jxjo,75o
0,7088
0,7257
0,7422
0,7580
0,7734
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
卩+3,05о 世+3,1()0 卩-j-3,15o 卩丄3,20о 卩丄3,25о
0,9989 0,9990
0,9992 0,9993 0,9994
—4,265
卩一4,265о
0,00001
0,80
|x-U0,80o
0,7881
—3,719
卩一3,719о
0,0001
0,85
ц+0,85о
0,8023
—3,иУ1)
ц—3,090о
0,001
0,90
|x-j-0,90o
0,8159
—2,576
ц—2,576а
0T005
0,95
jx 丄 0,95o
0,8289
—2,326
卩一2,326о
0,01
1,00
ц-4-l ,00o
0,8413
—2,054
卩一2,054(7
0,02
— 1,960
ц—1,960о
0,025
1,05
卩+l ,05o
0,8531
— 1,881
ц—i,881о
0,03
1,10
g+Uio^
0,8643
— 1,751
N—1,751о
0,04
1,15
1,20
卩+1 , 15(7 "上 1,20(j
0,8749
0,8849
— 1,645
ц—1,645о
0,05
1,25
卩+1,25o
0,8944
—1 ,Ь55
|i— 1, 5ЬЬ(у
0,06
— 1,476
卩一l,476o
0,07
1,30
0,9032
— 1,405
1,405o
0,08
1,3U(T
— 1,341
0,09
1,35
1,4。
卩+1,35o 卩 jl ,40o
0,9115 0,9192
— 1,282
ц—1,282о
0,10
1,45
ц-j-l ,45o
0,9265
—1,036
卩一1,036о
0,15
1,50
卩-j-l ,50o
0,9332
—0,842
卩—0,842о
0,20
—0,674
卩一0,674о
0,25
1,55 lf60
|X-)-1,55o ц-М ,60o
0,9394
0,9452
—0,524
—0,385
卩一0,524о 卩一0,385о
0,30 0,35
1,65
卩+l ,65o
0,9505
—0,253
0,40
1,70
卩+l ,70o
0,9554
—0,126
卩一0,126а
0,45
1,75
卩+1,75o
0,9599
0
卩
0,50
0,126
卩+0,125(7
0,55
1,80
g+l ,80o
0,9641
0,253
ц-|-0,253о
0,60
1,85
1,90
1 95
卩-j-l ,85o p，+l,90o 卩 *1,95o jx 丄 2,00o
0,9678
0,9713
0 9744
0,385 0,524
ц+0,385о 卩+0,524о
0,65 0,70
2,00
0：9772
0,674 0,842
|i*0,674o |х+0,842о
0,75 0,80
1,036
|Х*1 ,036(7
0,85
2,05
ц+2,05о
0,9798
2,10
jx 十 2,10o
0,9821
1,282
卩+1,2820
0,90
2,15
[i+2,15(T
0,9842
1,341
卩丄1,341о
0,91
2,20
jx+2,20o
0,9861
1,405
卩4 ,405о
0,92
2,25
ц+2,25о
0,9878
1,476
叶 1,476о
0,93
1,555
卩,555o
0,94
2,30
2,35
2,40
ц+2,30о h上2,35(1 |x，2,40o 卩上2,45(j |x+2,50o
0,9893 0,9906 0,9918
1,645
1,751
卩+1,645о 卩丄1,751о
0,95 0,96
2；45 2,50
0；9929 0,9938
1 , Ьй 1 1,960 2,054
卩*1,8810
北+1,9€)00 ц-)-2,054о
0,97 0,975 0,98
2,55
|хЦ-2,55о
0,9946
2,326
1叶2,326(1
0,99
2,60
|x*2,60o
0,9953
2,576
|i，2,576o
0,995
2.65
|iJ-2,65o
0,9960
3,090
[i-l-3,090o
0,999
2,70
"%2,70o
0,9965
3,719
卩*3,7190
0,9999
2,75
g-r2,75n
0,9970
4,265
[i*4,265o
0,99999
ПРОЦЕНТИЛИ ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ')
100
df 2)
0,05
0,1
0,5
1,。
2,5
5,0
10
20
30
50
10
0,0639
0,001
0,005
0,016
0,032
0,050
0,069
0,089
0,108
0,126
0,0457 0,001 0,008 0,023 0,042
0,064 0,085 0,107 0,128 0,148
0039 0,005
0,024
0,052
0,082
0,113
0,141
0,168
0,193
0,216
0Q163) 0,010 0,038 0,074 0,111
0,145 0,177 0,206 0,232 0,256
0,0398 0,025
0,072
0,121
0,166
0,206
0,241
0,272
0,300
0,325
0,0239
0,052
0,117
0,178
0,229
0,272
0,310
0,342
0,369
0,394
0,016 0,106 0,195 0,266 0,322
0,367 0,405 0,436 0,463 0,487
0,064 0,223 0,335 0,412 0,469
0,512 0,546 0,574 0,598 0,618
0,148 0,356 0,475 0,549 0,600
0,638 0,667 0,691 0,710 0,727
0,275 0,511 0,623 0,688 0,731
0,762 0,785 0,803 0,817 0,830
0,455 0,693 0,789 0,839 0,870
0,891 0,907 0,918 0,927 0,934
11
0,144
0,167
0,237
0,278
0,347
0,416
0,507
0,635
0,741
0,840
0,940
12
0,161
0,184
0,256
0,298
0,367
0,436
0,525
0,651
0,753
0,848
0,945
13
0,177
0,201
0,274
0,316
0,385
0,453
0,542
0,664
0,764
0,856
0,949
14
0,193
0,217
0,291
0,333
0,402
0,469
0,556
0,676
0,773
0,863
0,953
15
0,207
0,232
0,307
0,349
0,418
0,484
0,570
0,687
0,781
0,869
0,956
16
0,221
0,246
0,321
0,363
0,432
0,498
0,582
0,697
0,789
0,874
0,959
17
0,234
0,260
0,335
0,377
0,445
0,510
0,593
0,706
0,796
0,879
0,961
18
0,247
0,272
0,348
0,390
0,457
0,522
0,604
0,714
0,802
0,883
0,963
19
0,258
0,285
0,360
0,402
0,469
0,532
0,613
0,722
0,808
0,887
0,965
20
0,270
0,296
0,372
0,413
0,480
0,543
0,622
0,729
0,813
0,890
0,967
22
0,291
0,317
0,393
0,434
0,499
0,561
0,638
0,742
0,823
0,897
0,970
24
0,310
0,337
0,412
0 452
0,517
0,577
0,652
0,753
0,831
0,902
0,972
26
0,328
0,355
0,429
0,469
0,532
0,592
0,665
0,762
0,838
0,907
0,974
28
0,345
0,371
0,445
0,484
0,547
0,605
0,676
0,771
0,845
0,911
0,976
30
0т306
0,386
0,460
0,498
0,560
0,616
0,687
0,779
0,850
0,915
0,978
35
0,394
0,420
0,491
0,529
0,588
0,642
0,708
0,795
0,862
0,922
0,981
40
0,423
0,448
0,518
0,554
0,611
0,663
0,726
0,809
0,872
0,928
0,983
45
0,448
0,472
0,540
0,576
0,630
0,680
0,741
0,820
0,880
0,933
0,985
50
0,469
0,494
0,560
0,594
0,647
0,695
0,754
0,829
0,886
0,937
0,987
55
0,488
0,512
0,577
0,610
0,662
0,708
0,765
0,837
0,892
0,941
и, 9ьз
60
0,506
0,529
0,592
0,625
0,675
0,720
0,774
0,844
0,897
0,944
0,989
70
0,535
0,558
0,618
0,649
0,697
0,739
0,790
0,856
0,905
0,949
0,990
80
0,560
0,582
0,640
0,669
0,714
0,755
0,803
0,865
0,911
0,952
0,992
90
0,581
0,602
0,658
0,686
0,729
0,768
0,814
0,873
0,917
0,955
0,993
100
0,599
0,619
0,673
0,701
0,742
0,779
0,824
0,879
0,921
0,958
0,993
120
0,629
0,648
0,699
0,724
0,763
0,798
0,839
0,890
0,929
0,962
0,994
140
0,653
0,671
0,719
0,743
0,780
0,812
0,850
0,898
0,934
0,965
0,995
160
0,673
0,690
0,736
0,758
0,793
0,824
0,860
0,905
0,939
0,968
0,996
180
0,689
0,706
0,749
0,771
0,804
0,833
0,868
0,910
0,942
0,970
0,996
200
0,703
0,7!9
0,761
0,782
0,814
0,841
0,874
0,915
0,945
0,972
0,997
250
0,732
0,746
0,785
0,804
0,832
0,858
0,887
0,924
0,951
0,975
0,997
300
0,753
0,767
0,802
0,820
0,846
0,870
0,897
0,931
0,956
0,977
0,998
350
0,770
0,783
0,816
0,833
0,857
0,879
0,904
0,936
0,959
0,979
0,998
400
0,784
0,796
0,827
0,843
0,866
0,887
0,911
0,940
0,962
0,981
0,998
450
0,795
0,807
0,837
0,852
0,874
0,893
0,916
0,944
0,964
0,982
0,999
500
0,805
0,816
0,У45
0,859
0,880
0,898
0,920
0,946
0,966
0,983
0,999
750
0,839
0,848
0,872
0,884
0,90[
0,917
0,934
0,956
0,972
0,986
0,999
1000
0,859
0,868
0,889
0,899
0,914
0,928
0,943
0,962
0,976
0,988
0,999
5000
0,936
0,939
0,949 1
0,954
0,961
0,967
0,974
0,983
0,989
0,995
1,00
со
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1) Из книги Dixon W. J., Massey F. J., Jr.. Introduction to Statistical Analysis. 2nd ed.,
2) Число степеней свободы.
3) о,оз16 читается как 0,00016 и т. д.
df 2
60
70
80
90
95
97,5
9 9
99,5
99,9
99,95
0,708
1,07
1,64
2,71
3,84
5,02
6,64
7,88
10,83
12,12
0,916
1,20
1,61
2,30
3,00
3,69
4,61
5,30
6,91
7,60
0,982
1,22
1,55
2,08
2,60
3,12
3,78
4,28
5,42
5,91
1,011
1,22
1,50
1,94
2,37
2,79
3,32
3,72
4,62
5,00
1,03
1,21
1,46
1,85
2,21
2,57
3,02
3,35
4,10
4,42
1,04
12
1,43
1,77
2,10
2,41
2,80
3,09
3,74
4,02
6
1,04
1,20
1,40
1,72
2,01
2,29
2,64
2,90
3,47
3,72
7
1,04
1,19
1,38
1,67
1,94
2,19
2,51
2,74
3,27
3,48
8
1,05
1,18
1 ,36
1,63
1,88
2,11
2,41
2,62
3,10
3,30
9
1,05
1,18
1,34
1,60
1,83
2,05
2,32
2,52
2,96
3,14
10
1,05
1,17
1,33
1,57
1,79
1,99
2,25
2,43
2,84
3,01
11
1,05
1/7
1,32
1,55
1,75
1,94
2,18
2,36
2,74
2,90
12
1,05
1,16
1,31
1,52
1,72
1,90
2,13
2,29
2,66
2,81
13
1,05
1,16
1,30
1,50
1,69
1,87
2,08
2,24
2,58
2,72
14
1,05
1,15
1,29
1,49
1,67
1,83
2,04
2,19
2,51
2,65
15
1,05
1,15
1,28
1,47
1,64
1,80
2,00
2,14
2,45
2,58
16
1,05
1,15
1,27
1,46
1,62
1,78
1,97
2,10
2,40
2,52
17
1,05
1,14
1,26
1,44
1,60
1,75
1,93
2,06
2,35
2,47
18
1,05
1」4
1,26
1,43
1,59
1,73
1,90
2,03
2,31
2,42
19
i,05
1,14
1,25
1,42
1,57
1,71
1,88
2,00
2,27
2,37
20
1,05
1,13
1,24
1,40
1,54
1,67
1,83
1,95
2,19
2,30
22
1,05
1,13
1,23
1,38
1,52
1,64
1,79
1,90
2,13
2,23
24
i,05
1,12
1,22
1,37
1 ,50
1,61
1,76
1,86
2,08
2,17
26
1,04
1,12
1,22
1 ,35
1,48
1,59
1,72
1,82
2,03
2,12
28
1,04
1,12
1,21
1 ,34
1,46
1,57
1,70
1,79
1,99
2,07
30
1,04
1,11
1,19
1,32
1,42
1,52
1,64
1,72
1,90
1,98
35
1,04
1,10
1,18
1,30
1,39
1,48
1,59
1,67
1,84
1,90
40
1,04
1,01
1,17
1,28
i,37
1,45
1,55
1,63
1,78
1,84
45
1,04
1,09
1/6
1,26
1,35
1,43
1,52
1,59
1,73
1,79
50
1,04
1,09
1,16
1,25
1,33
1,41
1,50
1,56
1,69
1,75
55
1,04
1,09
1,15
1,24
1,32
1,39
1,47
1,53
1,66
1,71
60
1,03
1,08
1,14
1,22
1,29
1,36
1,43
1,49
1,60
1,65
70
1,03
1 ,08
1,13
1,21
1,27
1,33
1,40
1,45
1,56
i,60
80
i,03
1,07
1,12
1,20
1,26
1,31
1,38
1,43
1,52
1,56
90
1,03
1,07
1」2
1,18
1,24
1,30
1,36
1,40
1,49
1,53
100
1,03
1,06
1,11
1,17
1,22
1,27
1,32
1,36
1,45
1,48
120
1,03
1,06
1,10
1」6
1,20
i,25
1,30
1,33
1,41
1,44
140
1,02
1,06
1,09
1,15
1,19
1,23
1,28
1,31
1,38
1,41
160
1,02
1,05
1,09
1,14
1,18
1,22
1,26
1,29
1,36
1,38
180
1,02
1,05
1,08
1,13
1」7
1,21
1,25
1,28
1,34
1,36
200
1,02
1,04
1,07
1,12
1,15
1,18
1,22
1,25
1,30
1,32
250
1,02
1,04
1,07
1,H
1,14
1/7
1,20
1,22
1,27
i,29
300
1,02
1,04
1,06
1,10
1,13
1,15
1,18
1,21
1,25
1,27
350
1,02
1,04
1,06
1,09
1,12
1,14
1,"
1,19
1,24
1,25
400
1,02
1,03
i,06
1,09
1,U
1,13
1,16
i,i8
1,22
1,23
450
1,01
1,03
1,05
1,08
1,H
1,13
1,15
1,17
1,21
1,22
500
i,0i
1,03
1,04
1,07
1,09
1,10
1,12
1,14
1/7
1,18
750
1,01
1,02
1,04
1,06
1,07
1,09
1,11
1,12
1/4
1,15
1000
1,00
1,01
1,02
1,02
1,03
1,04
1,05
1,05
i,06
1,07
5000
1
1
1
i
i
1
1
1
1
i
8
New York, 1957, pp. 386—387.
Чтобы использовать таблицу ^-распределения для установления доверительных интервалов на и2, поступаем следующим образом.
Предположим, что s2 = 0,2,孔(объем выборки) = 10 и мы хотим найти доверительный интервал для о2 c уровнем значимости 1 ——а. Для иллюстрации положим а = 0,05. Сначала из таблицы найдем
Ха/2 ^Хо,025.
Просматриваем столбец, отмеченный знаком 100а/2 = 2,5, сверху вниз, пока не дойдем до строки, обозначенной через 孔 —— 1 (10 ——1). Находим
Хо,О25 = 0,3.
Далее ищем 臂』просматривая столбец, обозначенный через 100 (1 —刍==97,5, пока не дойдем до строки, отмеченной индексом (п ——1). Находим%： a =成,975 = 2,1 1.
Тогда неравенства
s2. оS2
■^2■ V О2 V
л ала
1一 52
образуют доверительный интервал для и2. В данном случае s2 二 0,2; таким образом, имеем
с 95%-ным уровнем вероятности (или уверенности).
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ УРОВНЯХ0,95 и 0,99。
Точные доверительные интервалы можно найти непосредственно из графиков на рис. П8.1 и П8.2, где с ——число благоприятных исходов, а п——число членов выборки.
Максимальный доверительный интервал. При определении максимальных доверительных интервалов при доверительном уровне 0,95 используется график на рис. П8.1. На этом графике надо взять точки пересечения вертикали
1) Графики перепечатаны из книги Pearson Е. S., Hartley Н.：О., Biome- trica Tables for Statisticians, 2d ed., v. 1, Cambridge Univ. Press, N.* Y・，1958, pp. 204—205.
с!п = 0,5 с кривыми, индексы которых соответствуют числу членов имеющейся выборки. Например, пусть число членов выборки равно 100. Тогда
0,60—0,40,八［
max6= 士 —一尸一■= ± 0,1,
где 0,60 ——это точка пересечения вертикали с In = 0,5 с нижней кривой, соответствующей 100 членам выборки, а 0,40 ——точка пересечения с верхней кривой, соответствующей 100 членам выборки.
Для определения максимальных доверительных интервалов при доверительной вероятности 0,99 используйте график на рис. П8.2.
о,зо0,85о,зо0,85Y с/п0,98 0,94 0,90 0.86 082 38 0,74 优 70 0,66 0,62 0,58 0,54 0,50Y с/п0,98 0,94 0,90 0.86 082 38 0,74 优 70 0,66 0,62 0,58 0,54 0,50：二 Y二N^N 岁5 г：二 Y二N^N 岁5 гРис. П8.2. Доверительный коэффициент 1 一 а =0,99.Рис. П8.2. Доверительный коэффициент 1 一 а =0,99.
о,зо
0,85
о,зо
0,85
Y с/п
0,98 0,94 0,90 0.86 082 38 0,74 优 70 0,66 0,62 0,58 0,54 0,50
Y с/п
0,98 0,94 0,90 0.86 082 38 0,74 优 70 0,66 0,62 0,58 0,54 0,50
：二 Y二N^N 岁5 г
：二 Y二N^N 岁5 г
Рис. П8.2. Доверительный коэффициент 1 一 а =0,99.
Рис. П8.2. Доверительный коэффициент 1 一 а =0,99.
МАКСИМАЛЬНЫЙ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛПРИ ЗАДАННОМ ДОВЕРИТЕЛЬНОМ УРОВНЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ,КОГДА ВЫБОРКА БЕРЕТСЯ ИЗ БИНОМИАЛЬНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)
Каждый элемент выборки 尤订 берется из совокупности, в которой вероятность благоприятного исхода р» (i обозначает номер тактической ситуации). Пусть
где п —— общее число опытов. Так как элементы выборок независимы, то дисперсия средней 尤，обозначаемая через V (%), равна
2v(%j) W%(1—Pi)
一 ZZ 一几 T几T，
где 九广 ——число опытов для каждой тактической ситуации, а пт ——число поражений цели. Поскольку
где pt ——истинная средняя вероятность поражения цели, то можно заметить что максимальное значение величины V (尤)равно
т7 0,25
max и (%) =」一.
Поскольку и〉30, то можно использовать центральную предельную теорему для апроксимации распределения переменной х нормальным распределением. Следовательно,
Р = Р[ — — Е (尤)V3]
—это вероятность того, что 尤，среднее переменной 尤，больше чем ——6 и меньше чем 6. Таким образом,
6 区—E应)卩6/"v(6 —区一 E(初2
尸=丁丄=\d彳2dx.
h叩X)&"2〃 у%
(2).(2).Однако Е (尤)——это истинная средняя вероятность поражения цели Следовательно,
(2).
(2).
尸(一3<Сх — P±V3) = P(x — 3vPV% + 3) =
6/"V 阮)区一修№
—У2л—У2лj е 2 dx,
—У2л
—У2л
—6/”V(H)
Если для нас представляет интерес 95%-ннй доверительный уровень, тогда мы приравниваем написанный выше интеграл к 0,95 и ищем пределы. Однако мы не можем определить 6 до эксперимента, так как величина V (х) не известна. Следовательно, мы не можем получить точные доверительные границы этим методом. Однако мы знаем, что max V (%) = 0,25/〃.
543254320,8 47 0,6 Q5 %0,30,8 47 0,6 Q5 %0,30,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05©%0,030,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05©%0,03Q02Q020 W0 200300400500. 600Объем выборки t п0 W0 200300400500. 600Объем выборки t п纭 XDE so-。5-5ns-q『3End2sQ'~3HqFUW 己 “Dw纭 XDE so-。5-5ns-q『3End2sQ'~3HqFUW 己 “Dw
5
4
3
2
5
4
3
2
0,8 47 0,6 Q5 %
0,3
0,8 47 0,6 Q5 %
0,3
0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05
©%
0,03
0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05
©%
0,03
Q02
Q02
0 W0 200300400500. 600
Объем выборки t п
0 W0 200300400500. 600
Объем выборки t п
纭 XDE so-。5-5ns-q『3End2sQ'~3HqFUW 己 “Dw
纭 XDE so-。5-5ns-q『3End2sQ'~3HqFUW 己 “Dw
Рис. П9.1
Следовательно, мы можем найти max 6 при доверительном уровне 0,95. Чтобы приближенно найти количество данных, необходимых для получения определенного 6 при выбранном доверительном уровне, нужно использовать метод, изложенный в разд. 9.4.4 и кривые на рис. П9.1.
ВЫЧИСЛЕНИЕ БИНОМИАЛЬНОГО ДОВЕРИТЕЛЬНОГО
ИНТЕРВАЛА ПРИ БОЛЬШИХ ВЫБОРКАХ)
Как было указано в тексте, когда число элементов выборки приблизительно равно 30, то нормальное распределение может служить очень хорошим приближением для биномиального.
Принимая во внимание это обстоятельство, получим, что среднее х распределено приблизительно по закону N [р, (1 ——р) р/п], где р ——общая истинная вероятность поражения цели, а 九 一 число элементов выборки (и > 30). Мы хотим определить такое р, что
ЛО-
£ ——厂exp(^х=У=Уровень значимости,
三1/ 2 〃止也2『
где х0 ——измеренное выборочное среднее. Нормализуя, получим
(XQ-P)/ /р(1-р)/п虱2
—； е 2 du =
一(其0-0)/ /?n一力" или, что эквивалентно,
(^о-р)/ Рр(1-0)Лг
Используя таблицы функции ошибок для определения нижнего предела у при заданном У, полагаем
откуда определяем р. Подставляя вместо р величину 厶 и вместо х0 величину %о, получим уравнение (9.24).
Полученные в тексте приближенные формулы находятся путем решения квадратного уравнения и исключения членов у!п.
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
ПРОЦЕНТИЛИ ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 9
df?)
?60
片0
^80
/95
^975
‘99
f j95
1
0,325
0,727
1,376
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
2
0,289
0,617
1,061
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
3
0,277
0,584
0,978
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
4
0,271
0,569
0,941
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5
0,267
0,559
0,920
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
6
0,265
0,553
0,906
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
7
0,263
0,549
0,896
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
8
0,262
0,546
0,889
1,397
1,860
2.306
2,896
3,355
9
0,261
0,543
0,883
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
10
0,260
0,542
0,879
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
11
0,260
0,540
0,876
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
12
0,259
0,539
0,873
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
13
0,259
0,538
0,870
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
14
0,258
0,537
0,868
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
15
0,258
0,536
0,866
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
16
0,258
0,535
0,865
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
17
0,257
0,534
0,863
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
18
0,257
0,534
0,862
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
19
0,257
0,533
0,861
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
20
0,257
0,533
0.860
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
21
0,257
0,532
0,859
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
22
0,256
0,532
0,858
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
23
0,256
3,532
0,858
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
24
0,256
0,531
0,857
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
25
0,256
0,531
0,856
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
26
0,256
0,531
0,856
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
27
0,256
0,531
0,855
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
28
0,256
0,530
0,855
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
29
0,256
0,530
0,854
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
30
0,256
0,530
0,854
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
40
0,255
0,529
0,851
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
60
0,254
0,527
0,848
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
120
0,254
0,526
0,845
1,289
1,658
1,980
2,358
2,617
ОО
0,253
0,524
0,842
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
df 2)
io
-30
—20
一%0
To,5
一/0,25
一必1
一力,005
1) Из книги D i х о
n w. J..
Massey
F. J., Jr.,
Introduction to Statistical Analysi
s, 2nd ed..
New York, 1957, р. 384.
2) Число степеней свободы.
Когда таблица читается по нижнему входу, табличным значениям нужно приписывать знак минус. Интерполяция должна производиться с использованием величин, обратных числу степеней свободы.
ДОСТАТОЧНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫг)
Пусть для каждой тактической ситуации (см. разд. 9.4.4) произведено 10 независимых опытов на АВМ. Результат каждого опыта представляет собой случайную переменную, имеющую два исхода, которые регистрируются только как попадание или промах. Экспериментальные результаты, относящиеся к «новому» и «старому» снаряду, можно сравнивать по нескольким различным показателям. Наиболее очевидный показатель ——число поражений цели каждым из этих снарядов в некоторой конкретной тактической ситуации. Например, используя данные табл. 9.1 и 9.2 в тактической ситуации 8, можно показать, что экспериментальная оценка вероятности поражения цели для старого снаряда равна 0,65, а для нового снаряда ——0,7. Используя рис. П8.1, найдем, что 95%-ные доверительные границы при десяти испытаниях равны
0,35 < вероятность поражения, новый снаряд < 0,93,0,3< вероятность поражения, старый снаряд < 0,9.
Из этого следует, что на основании размеров этих интервалов нельзя сделать вывод относительно преимущества нового или старого снаряда.
Сравнение относительной эффективности двух снарядов можно также произвести, используя представительный набор тактических ситуаций. В качестве примера рассмотрим всю совокупность опытов на АВМ. Рез ультир ующие экспериментальные оценки общей вероятности поражения равны
Экспериментальная вероятность поражения, новый снаряд — 0,85
Экспериментальная вероятность поражения, старый снаряд —0,78
Определение доверительных границ для этих величин осложняется тем фактом, что соответствующие случайные переменные имеют различные ожидаемые значения при различных тактических ситуациях. Излагаемый ниже метод приводит к наиболее консервативным оценкам доверительных границ. Пусть
%“•——случайная величина, обозначающая исход /-го опыта в г-й тактической ситуации;
и — число тактических ситуаций;
tn ——число опытов, приходящихся на данную тактическую ситуацию.
Предполагается, что тактические ситуации обладают одинаковыми весами и представляют собой типичную статистическую выборку. Тогда экспериментальное среднее х случайной величины %订 является несмещенной оценкой вероятности поражения
— та
Это приложение написано А. Левиным.
Доверительные границы на вероятность поражения являются функциями теоретической дисперсии среднего х, которая обозначается через а^:
年匸uа）=u（亲》s х"）=3%
Дисперсия индивидуальной случайной переменной равна
V(xi) = pi(l-pi),
где pt ——ожидаемое значение величины %加 Наибольшее возможное значение дисперсии V (修)имеет место, когда pi = 0,5. Таким образом, наиболее консервативная оценка дисперсии V (х；) равна 0,25. Теперь очевидно, что наибольший возможный доверительный интервал для сложной оценки ожидаемого значения нескольких случайных переменных можно найти из графика на на рис. П8.1 при с!п = 0,5, считывая ординаты кривых для соответствующего количества опытов. Затем можно вычислить размер интервала 23 и расположить его симметрично относительно несмещенной оценки х вероятности поражения. Таким образом получим наиболее консервативную оценку 95%-ных доверительных границ. В приведенном выше примере 3 = 0,09 при объеме выборки 100 элементов, и доверительные границы имеют вид
0,76 < вероятность поражения, новый снаряд < 0,94,
0,69 < вероятность поражения, старый снаряд < 0,87.
Так как оценка консервативна, то для границ могут получиться значения, большие единицы.
Распространить эти результаты на другой уровень доверительной вероятности ,сохранив при этом простую процедуру вычислений, можно в том случае, если общее число опытов достаточно велико, так что можно приближенно заменить биномиальное распределение нормальным.
Таблица П12.1
Таблица для определения доверительных границ нормально распределенной случайной величины
尸
f俨）
Р
f俨）
1,00
со
0,65
0,935
0,99
2,58
0,60
0,842
0,98
2,33
0,55
0,755
0,95
1,96
0,50
0,674
0,90
1,64
0,40
0,524
0,85
1,44
0,30
0,385
0,80
1,28
0,20
0,253
0,75
1,15
0,10
0,126
0,70
1,04
0,00
0,000
где Р ——доверительная вероятность, ^П(Р);
В — разность между доверительной границей и экспериментальным средним;
°^ ——оценка стандартного отклонения величины %;
工——средний результат при ^ опытах в случае нормально распределенной переменной.
Подходящая оценка s^ величины о^ равна i>(0,25) =需.
Используя нормальное распределение, можно найти такое 3, что
W^e * Мх — р) = Р,
где Р ——доверительная вероятность.
Если этот интеграл нормализовать, то отклонение 3 от экспериментального среднего может быть выражено в функции от 代 и Р:
6 = %/(Р).
Используя оценку величины а-, получим
6=卢/仍).
Для удобства мы приводим табл. П12.1, в которой приведены значения функции / (Р). Этот метод можно также применить и в том случае, если первоначально задавать 3. Тогда можно легко рассчитать консервативную оценку вероятности того, что истинная вероятность поражения лежит в пределах % 土 6.
ОЦЕНКА ОБЪЕМА ВЫБОРКИ 2)
П13.1. Оценка объема выборки с целью избежать отклонения гипотезы об отсутствии различий, когда они имеют место
Сначала надо показать, что вероятность отклонения гипотезы Яь когда она справедлива, максимальна, если величины пх^, в уравнении (9.45) принимают свои минимальные значения . Возможны следующие два случая: пг = пг > \ , Мы рассмотрим только случай, когда иг > 1. Другой случай можно рассмотреть путем введения другого определения величины s^, а именно
(и—Х)2
где 尤 ——общее среднее.
Максимальное значение величин s^, s》равно 0,25/ит. Чтобы показать это, введем величины
Отсюда следует, что Е (修)=尸力——истинная средняя вероятность поражения;
где
р； — истинная вероятность поражения цели в /-Й тактической си гуации. Заметим, что
2 (修 7)2
e=1
где % —общее выборочное среднее. Поскольку величина 8"(『&/九t)]s^ распределена по закону % с пг — 1 степенями свободы, то отсюда следует, что
ииИЛИИЛИv(-^ s^^2(nr-l) 叫>1v(-^ s^^2(nr-l) 叫>1
и
и
ИЛИ
ИЛИ
v(-^ s^^2(nr-l) 叫>1
v(-^ s^^2(nr-l) 叫>1
Так как минимальная величина параметра пг равна 30, то из этого следует, что V(5х) ^ 0. Следовательно, в качестве maxs& можно использовать величину max Е (s^：), а именно
max或max或0,250,25
max或
max或
0,25
0,25
Рис. П13.1. Максимальная вероятность принятия гипотезы Но в функции от 0.Рис. П13.1. Максимальная вероятность принятия гипотезы Но в функции от 0.
Рис. П13.1. Максимальная вероятность принятия гипотезы Но в функции от 0.
Рис. П13.1. Максимальная вероятность принятия гипотезы Но в функции от 0.
Аналогично maxs^ <0,25/пт.
Ясно, что чем больше величина f в уравнении (9.45), тем больше вероятность непопадания в критическую область. Так как / принимает
л j, — число тактических ситуаций; пг — число опытов. Уровень значи-мости —0,025.
самые наименьшие значения, когда величины nxs^, nys^ будут наибольшими, то отсюда следует, что при любом значении параметра 0 истинная разность между Р^ и Л2, т. е. вероятность непопадания в критическую область, будет наибольшей, если мы положим
2 _ 0,252 一 0,25
Этим утверждение можно считать доказанным.
Если мы положим, что пх = пу-=п, то уравнение (9.45) примет вид / 二 G—〃)!/二 Т
Д/о,5Мг
Если 9 — истинная разность, то среднее /-распределения равно
0 "门一1
26 / Левин
Используя обычные методы, можно построить графики, показанные на рис. П13.1 — П13.3, а также другие аналогичные графики при различных уровнях значимости.
Интересно отметить, что при 几 > 16 для апроксимации /-распределения можно использовать нормальное распределение. Это нормальное распределение
УровеньУровеньзначимости = 0,05.значимости = 0,05.几丁 ——число тактических ситуаций;几丁 ——число тактических ситуаций;九「一 число опытов.九「一 число опытов.Р !! с. 1113.3. Максимальная вероятност ь принятия i ипотезы Но в фз акции от 0.Р !! с. 1113.3. Максимальная вероятност ь принятия i ипотезы Но в фз акции от 0.8=""一匕 2，%Т ——число гактических ситуаций; пг ——число опытов. Уровень значимости —О, I.8=""一匕 2，%Т ——число гактических ситуаций; пг ——число опытов. Уровень значимости —О, I.
Уровень
Уровень
значимости = 0,05.
значимости = 0,05.
几丁 ——число тактических ситуаций;
几丁 ——число тактических ситуаций;
九「一 число опытов.
九「一 число опытов.
Р !! с. 1113.3. Максимальная вероятност ь принятия i ипотезы Но в фз акции от 0.
Р !! с. 1113.3. Максимальная вероятност ь принятия i ипотезы Но в фз акции от 0.
8=""一匕 2，
%Т ——число гактических ситуаций; пг ——число опытов. Уровень значимости —О, I.
8=""一匕 2，
%Т ——число гактических ситуаций; пг ——число опытов. Уровень значимости —О, I.
имеет среднее /(8) в ^ п——l/丿 0,5пг и единичную дисперсию. Например, если нужно найти вероятность принятия гипотезы //()как функции 9 |/ пт при уровне значимости 0,025, то сначала устанавливают критическую область, а именно находят точку, лежащую на правом хвосте нормального распределения и такую, что вероятность попадания за эту точку равна 1 — 0,025. Исполь-
зуя таблицу функции ошибок, найдем, что эта точка равна 1,96. Затем вычисляем интеграл
I i 上^у2
У 2л Д
пользуясь таблицами функции ошибок. Полеченное 1аким образом значение представляет собой вероятность принятия гипотезы Яо в функции °「7丁，причем п, является параметром.
П13.2. Оценка объема выборки для случая невзвешенных гипотез с целью исключения отклонения гипотезы о наличии различийч когда они имеют место.
11з разд. П13.1 следует, что среднее /-распределения равно
1/0,57^ '
Таким образом, ф\нкиня плотности вероятностей 尸(/) выглядит так, как это показано па рис. П13.4. Следовательно, вероятность принятия гипотезы "о : :尸勺 V %, когда среднее значение параметра / равно д, определяется пло-
р ч с. П13.5. Вероятность принятия гипотезы Но в функции от 0 при невзвешенных гипотезах.
а, — число тактических ситуаций; л「一 число опытов
щадью заштрихованной области. Эту площадь мы можем найти, используя таблицы /-распределения Стьюдента. Путем соответствующей нормализации можно получить семейство кривых, приведенных на рис. П13.5.
Чтобы вычислить вероятность принятия гипотезы "о в функции 0 j尸几т, когда пг > 16, изменим несколько метод, изложенный в конце разд. П13.1. Апроксимируем /-распределение нормальным распределением. Так как вероятность принятия гипотезы Яо равна вероятности получения отрицательного значения переменной /, то отсюда следует, что
, g И⑼]2
P (儿同、 eг"dx,
где
/ (0о) =/ (0о) =00 Д/ 孔—1”0,5/几 700 Д/ 孔—1”0,5/几 7
/ (0о) =
/ (0о) =
00 Д/ 孔—1
”0,5/几 7
00 Д/ 孔—1
”0,5/几 7
Используя приведенные выше соотношения, можно построить кривые при пг = 26, 50 и 100, приведенные на рис. П13.5.
ЛИТЕРАТУРА 1)
Polya В., Mathematics and Plausible Reasoning, vol. I, Induction and Analogy in Mathematics, Princeton Univ. Press, N.J., 1954; см. русский перевод: П о й а, Математика и правдоподобные рассуждения, т. I, Индукция и аналогия в математике, пер ев. с англ., ИЛ, 1957.
К а г р 1 u s W. J., Soroka W. W,, Analog Methods, 2d ed., McGraw-Hill, N.Y , 1959, pp. 4—6.
К a r p 1 u s W. J., Analog Simulation, McGraw-Hill, N.Y., 1958.
E h r i c k e K. A., Space Flight, vol. I, Environment and Celestial Mechanics, D. Van Nostrand Co., Princeton, N.J., 1960; см. русский перевод: Эрике, К. А., Космический полет, т. I, Окружающие условия и небесная механика, перев. с англ.,①нз- матгиз, 1963.
S с о t t N. R_ Analog and Digital Computer Technology, McGraw-Hill, N.Y., 1960; см. русский перевод: Скотт H. Р., Техника аналоговых и цифровых вычислительных машин, перев. с англ., ИЛ, 1963.
Singer С., A Short History of Scientific Ideas to 1900, Oxford Univ. Press, Fair Lawn, NJ, 1959, pp. 236—242.
S 1 u c h i n W., Minds and Machines, Penguin Books, Baltimore, 1960.
Encyclopaedia Britannica, vol. 15, Encyclopaedia Britannica, Chicago, 1958, pp. 69—"3.
Encyclopaedia Britannica, vol. 4, Encyclopaedia Britannica, Chicago, 1958, pp. 548 — 554.
Price D. J. de Solla, An Ancient Greek Computer, Sci. Am., 200, № 6, 60—66 (1959).
Kennedy E. S., Al-Kushi's Plate of Conjunctions, Isis, 38, 56—59 (November 1947).
Kennedy E. S., A Fifteenth Century Planetary Computer, I. Motion of the Sun and Moon in Longitude, /sfs, 41, 180—183 (April 1950).
Kennedy E. S., A Fifteenth Century Planetary Computer, II. Longitudes, Distances, and Equations of the Planets, Isis, 43, 42—50 (April 1952).
Thomson J., On an Integrating Machine Having a New Kinetic Principle, Proc. Roy. Soc.., 24, 262—265 (Febr. 3, 1876).
Thomson W. (Lord Kelvin), On an Instrument for Calculating、屮(%)屮(尤)dx. The Integral of the Product of Two Given Functions, Proc. Roy. Soc.., 24, 266—269 (Febr. 3, 1876).
Thomson W. (Lord Kelvin), Mechanical Integration of the Linear Differential Equation of the Second Order with Variable Coefficients, Proc. Roy. Soc., 24, 269—271 (Febr. 3, 1876).
Thomson W. (Lord Kelvin), Mechanical Integration of the General Linear Differential Equation of Any Order with Variable Coefficients, Proc. Roy. Soc., 24, 271—275 (Febr. 3, 1876).
Этерман И. И., Математические машины непрерывного действия, Машгиз, 1957.
Bus h V., Description of the First Differential Analyzer, J. Franklin hist., 212, 447 — 448 (1931).
Aiken H. H., Hopper G. M., The Automatic Sequence Controlled Calculator, Elec. Eng., 65, 384—391, 449—454, 522—528 (1946).
von Neumann J., The Computer and the Brain, Yale Univ. Press, New Haven, Conn., 1958; см. русский перевод: Нейман Дж., Вычислительная машина и мозг, Кибернетический сборник, № 1, стр. 11—60 (I960), ИЛ.
Paynter А. М. (ed.), A Palimpsest on the Electronic Analog Art, George Philbrick Associates, Boston, 1955.
Hildebrand F. B., Advanced Calculus for Engineers, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1948.
В тех случаях, когда имеется перевод, страницы в ссылках в тексте книги указаны по русскому изданию.
242526.27.242526.27.28293031323334353b37383940414243444546474849505152535428293031323334353b3738394041424344454647484950515253541 11 с e E L Ordinarx Differential Equations, Dover Publications, N Y., 1^56, cm русский перевод А и н с 3 , Обыкновенные дифференциалы!ые уравнения перев с англ изд 1, Гостехиздат, 1939
24
25
26.
27.
24
25
26.
27.
28
29
30
31
32
33
34
35
3b
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
28
29
30
31
32
33
34
35
3b
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
Ford L R , Differential Equations, 2d ed , McGi aw-HiH, N Y , 1955 Greenspa /I D , Theory and Solution of Ordinary Differential Equaho/к The Macmillan Co , N Y , 1960
CoursatE A Course in Mathematical And"、is, i oi 11 part 11 Differential Equati ons, translated by E R Hedrick and () Dunkel, Ds er Publ , N、1959, см русский
перевод Г у p с а Э , Курс математического анализа, перев с франц , т 2, Теория аналитических функции, Дифференциальные уравнения, ОНТИ 1936
S t г u I k D J , 4 Concise History oi Mathematics, Dovei Pubi N、 1948
Bell E T f Fhe Development of Mathematics, 2d ed , McGrau Hill N \1945
pp 400—409
Sokolnikoff 1 S R e d h e f f e I R M , Mathematics ol Pin si is and Modern Engineering, McGraw Hill, N Y , 1958, pp 95—99
Gardner M F, Barnes J L , Transients in Linear Systems, Wiley, N * , 1942 см русский перевод Г a p д н e p M Ф , Б э p н с Дж Л , Переходные процессы *в линейных системах со сосредоточенными постоянными, перев с англ , изд 3, ФиJ
матгиз, 1961
Sneddon I N, Fourier Transforms, McGraw Hill, N、，1951, см русский пере вод Снеддон И Н Преобразование Фурье, перев с англ , ИЛ, 1955 Ragazzini J R (j е п е F F , Sampled data Control Systems, McGraw Hill, N Y , 1958
Jury E I , Sampled data Control Systems W"ey, N、, 1958, см русский перевод Д ж у p и Э , Импульсные системы аьтоматического pei улирования перев с англ , Физмат! из, 1963
Т г и х а 1 J G , Automatic Feedback Control System Synthesis, McGraw Hill, N、， 1955, см русский перевод T p а к с e л Дж , Синтез систем автоматического рег\ лироваппя, перев с англ , Машгиз, 1959
& a 由 k е Е , Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen 3d ed , Chelsea Publ Co N Y , 1944, см русский перевод Камке Э , Справочник по обыкновен иым дифференциальным уравнениям, перев с немец , изд 3, изд во «Наука», 1965 S t о к е 1 J J Nonlinear Vibrations, Interscience Publ , N Y , 1950, см русский перевод С г о к e p Дж , Нелинейные колебания в механических и электрических системах, перев с англ , изд 2, ИЛ, 1953
Cunningham W J , Introduction to Nonlinear Analysis, McGraw Hill, N、， 1958, см русский перевод Канн нн「хам У Дж , Введение в георию нелинейных систем, перев с англ , Госэнергоиздат, 1962
Graham D М с R u е г D, Analysis of Nonlineai ( ontro! Systems Wiley, N Y , 1961
Richards P 1 , A Manual of Mathematical Physics Pergamon Press, N Y , 1959 Von Karman T , Biot M A , Mathematical Methods in Engineering, 1st ed , McGraw-Hill, N Y , 1940, см русский перевод Карман T , Б и о М Матема тические методы в инженерном деле, перев с англ , Гостехиздат, 1946 Андронов А ^ , X а и к и н С Э , Теория колебании, изд 2,Физматги ;, 1Q59 J а с k s о n A S . Analog Computation, McGraw Hi!!, N Y , 1960
Rogers A F Connolly T W , Analog Computation in Pngmeermg Design McGraw Hill, N Y I960
Friedman В Principles <ind Techniques of Applied Mathematics, W11 ev N Y , 1956
Fifer S , \ndtogue Computation, 4 vo!s, McGraw Hill, N Y , 1961
L а п I n g J H, Battin R H , An Application of Analog Computei s to Problems of Statistical Analysis, pp 79一88 in «Project Cyclone, Syrnposiuni II», sponsored b\ Reeves Instr Corp , N Y , Apr 28—May 2, 1952
L a n I n g J H Battin R H, Random Processes in Automatic Control, McGraw Hill, N Y , 1956, см русский перевод Л э н и н г Дж X , Б э т т и н Р Г , Сл\ чайные процессы в задачах автоматического управления, перев с англ , ИЛ, 1958 Grabbe Е M,Ramo Sf Wooldridge D E , Handbook of Automation, Computation, and Control, \ol I Control Fundamentals, Wiley, N Y , 1958 Churchill R V Modern Operational MatheinatiLS in Engineering, McGraw Hill, N Y , 1944
Cooke R G , Linear Operators, St Martin's Pi ess N Y ,1953
G I 1 1 e J С , P e 1 e g r I n M J, Decaulne P , Feedback Control Systems, McGraw Hill, N Y , 1959, см русский перевод Ж н л ь Ж Ш и др t Геория и техника следящих систем, перев с франц , Машгиз, 1961
Smith О J М , Feedback Conti о! Systems McGraw Hill, N、，1958, см русски и перев。】С м и т О Дж М , у\втоматическое pei }лирование, перев с англ , Физмат гиз, 1962
Konigsberg R L f М а г t о п L (ed ), Xdv ance i 1 1 ectronics and Electronic Phjsics, vol 11, Acad Press N Y 1959, pp 225 — 28^
55 I е 1 t in а п п G (ed ), Optnnization Techniques, Acad Pres、N Y , 1962, cm p)c скии перевод Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета под ред Дж Лейтмаиа, при участии Р Беллмана и др , перев с а и гл , изд во «Наука» 1965'
Howe R М , G I 1 b е г t Е G , Trigonometric Resolution in Analog Computers b\ Keans of Multiplier Elements IRE Trans Election Computers, EC-6, 86—92 (June 1957)
L а п c z о s C , Applied Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs N J 1956, cm русский перевод Л а н ц о ш К Практические методы прикладного анализа, перев с англ , Физматгиз, 1961
Korn G А , К о г п Г М Mathematical Handbook for Scientists and Fngineers, AUCiraw Hill, N Y , 1961
Morrill C D , Baum R V , Diode Li miters Simulate Mechanical Phenomena Electronics, 25, 122—126 (No\ember 19 52)
Bennett R R , The Generation of Straight Line Transfer Relationships, pp 145— 148 in «Project Cyclone Symposium I on REAC Techniques», Ree\ es Instr Corp undei sponsorship of US Na\)Special De\ ices Center, N Y , March 15—16, 1951
Burt E G C, Lange О H, Function Generators Based on Linear Interpolation with Applications to Analog Computing, Proc IEE, Monograph 137 M, June 1955
Williams R W, Marchant H Resisti\ e Potentiometers as Function Gene rators, Elec Eng , 30, № 367, 585—597 (October 1958)
Shen D W C , Approximating Nonlinear Functions by Shunt Loading Tapped Potentiometers in Analog Computing Machines Elec Eng , 29 N。355 434—439 (Sep tember 1957)
Alt F L , R u b i п о f f M (eds ), Ad、ances in Computers, \ ol 3 Acad Press, N Y , 1962, pp 156—189
Diendonne J, Foundations of Modern Analysis, Acad Press, N Y , 1960, pp 26 — 74, см русский перевод Д ь e д о и и e Ж , Основы современного анализа, перев с англ , изд во «Мир» 1964
Chestnut Н , D a b u 1 А , L е i b 5 D , Analog Computer Study of Sampled- clata Systems, Proc Computers Control Systems Conf , pp 71—76, Atlantic City, N J , Oct 16 — 18, 1957, published by AIEE, N Y ,1958
Meissinger H F Representation of Functions of Severa! Variables on REA( Equipment, pp 125—130 in «Project Cyclone, Symposium I on RFAC Techniques», Reeves Instr Corp , under sponsorship of U S Na\ v Special De\ ices Center, N Y , March 15—16, 1951
Meissinger H F , An Electronic Circuit for the Generat ion on I unctions of Sex e i al Variables, IRE Conv Record, part IV, 1955
。 1 e \ I t t J R , An Application of Numerical Mathematical Analysis to Analog Сотри tation. Proc 2d Internal Analog Computation Meetings Presses Academiques Euro peennes, Brussels, 1959, pp 3。7—399
70 Tuttle D F , Net woi k Synthesis, \ ol 1, Wiley, N Y 1958
Morrill C D , A Sub Audio Time Del ay Circuit, IRE Trans Electron Comptiters, EC-3, № 2 (J une 1954)
T a \ 1 о г A E , Ad\ anced Calculus, Ginn and Co , Boston, 1955
( о и г a n t R, Differential and Integral Calculus, 2 \ ols, translated from German b\ J McShane, Nordemann Pub! Co , N \ , 1938, см р'сскнн перевод Куран г Р , Курс дифференциально! о и интегрального исчислении перев с немец , ч 1, изд 3, Гостехиздат, 1933, ч II, Гостехиздат, 1931
Goldstein Н, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publ Co Reading, Mass , 1959, см русский перевод Г олдстейн Г , Классическая механика, перев с ан гл изд 1, Г остехизда г, 1957
Greenwood I А , Н о 1 d a in J V , MacRae D , Electronic Instruments MIT Radiation Lab Series, \ol 21, McGraw Hill, N Y , 1948
M e n g e 1 A S , M e 1 a h n W S , Rand REAC Manual R W 525, R AND Coi p Santa Monica, Calif , Dec 1, 1950
S〉nge J L , Griffith В A , Principles of Mechanics, 2d ed McGraw Hill, N \ , 1949
M a)e r A , Rotations and 1 heir Algebra, SIAM Reu , 2 № 2, (Apiil I960)
Frazer R A, Duncan W S, Collar A R, Elementary Matrices and Some Applications to Dxnarnics and Differential Equations The Macmillan Co , N Y , 1946, см русский перевод Фрезер P А и др Теория матриц и ее приложения к дифференциальным \ ра вн ен и ям и динамике, перев с англ , ИЛ, 1950
G li 1 1 1 е ш 1 n Е A The Mathematics of Circuit Analysis, W"e) N Y ,1949
Pipes L A Applied Mathematics for Engineers and Physicists, McGraw Hill, N Y , 1946
Ф и ц н e p Л H, Прецизионное множительное устройство Автоматика “ теле механика, 20, № 1, 62—69 (1959)
Е г d е 1 у I А , A、｝mptohc Expansions, Do\ er Publ , N * , 1956, см русский пере вод Э p д e й и А. Асимптотические разложения, перев с англ Физматгиз, 1962.
Bush L , О г 1 a n d о Р , A Perturbation Technique for Analog Computers IRE Trans Electron Computers, EC-8, № 2 218—221 (June 1959)
Locke A S, Guidance, D Van Nostrand Co , Princeton, N J , 1955, cm русский перевод Локк А С , Управление снарядами При участии Ч Г Доджа и др , перев с англ , Физматгиз, 1958
Meissinger Н F, The Use of Parameter Influence Coefficients in Computer Analysis of Dynamic Systems, Proc Western Joint Computer Conf , May 3—5, 1960
Bellman R I , Adaptive Control Processes, A Guided Tour, Princeton Univ Press, Princeton, N J , 1961, см русский перевод Беллман P , Процессы регу лирования с адаптацией, перев с англ , изд во «Наука», 1964
Hancock Н, Theory of Maxima and Minima, Dover Publ , N Y , 1960
Brown R R , A Generalized Computer Procedure for the Design of Optimum S\s teins, Trans AIEE Commun Electron , pp 285—293 (July 1959)
H e s t e n e s M R , Iterative Computational Methods, Commun Pure Appl Math , 8, 85—96 (1955)
Booth A D An Application of the Method of Steepest Descents to the Solution of Systems of Nonlinear Simultaneous Equations, Quart J Meeh Appl Math , II, part 4 (1949)
Da、】esOL (ed ), Design and Analysis of Industrial Experiments, chap XI Determination of Optimum Conditions Hafner Publ Co , N Y 1956 pp 475—579
Courant R , Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations, Bull Am Math Soc 49, 1—23 (January 1943)
Box G E P, Wilson К В, On the Experimental Attainment of Optimum Conditions, J Rog Statist Soc , 13B, № 1, 1 —43 (1951)
Beckenbach E F (ed ), Modern Mathematics for the Engineer, McGraw Hill, N Y , 1956 , см p5сскии перевод Современная математика для инженеров, под ред Э Ф Беккенбаха, перев с англ , ИЛ 1959
Levine L, Meissinger Н F, An Automatic Analog Computer Method for Solving Polynomials and Finding Root Loci, IRE Conv Record, part IV, pp 164 — 172 (1957)
W а г d J A , The Downhill Method of Solving a Polynomial Equation, paper presen ted at 11th Annual Meeting of the ACM, Los Angeles, Calif , Aug 27—29, 1956
Rubin A, Favreau R Rf Landauer J P , H а у I, Plotting Results of a Quadratic Regression Analysis, Analog Computer Appl Bull 10, Electronic Asso ciates Inc , Princeton, N J
Neustadt L W , Applications of Linear and Nonlinear Programming Techniques, presented at 3d Internal Conf on Analog Computations, Opatiza, Yugoslavia, Sept 4—8, 1961
Pyne I В , Linear Programming on an Electronic Analog Computer, Trans AIEE, Commun Electron , 1956, pp 139—143
Weinstock R, Calculus of Variations, McGraw Hill, N Y , 1952
Graves R L , W о 1 f e P (eds ), Recent Adv ances in Mathematical Programining, McGraw Hill, N Y , 1963
Фельдбаум А А, Автоматический оптимизатор, Автоматика и телемеханика, 19, № 8, 731—743 (1958)
Стаховский Р И , Двухканальныи автоматический оптимизатор, Автома тика и телемеханика, 19, № 8, 744—756 (1958)
Allen D N de Ge , Relaxation Methods, McGraw Hill, N Y , 1954
В u b b F W f A Circuit for Generating Polynomials and Finding Their Zeros, Proc IRE, 39, 1556—1561 (1951)
Brunner W , An Iteration Procedure for Parametric Model Building and Boundary Value Problems, Proc Western Joint Computer Conf , Los Angeles, Calif , May 9 — 11, 1961, pp 519—533
Moser J H , R e e d С О , S e 1 1 a r s H L A Nonlinear Programming Techni que foi Analog Computation presented at the Eastern Simulation Council, December 1960 (available from Shell Oil Co , Houston Research Lab , Deer Park, Tex )
Munson J К Rubin A I , Optimization by Random Search on the Analog Computer, National Simulation Conf , Dallas, Tex , J an 19—21 f 1956
S а г h a n A F, Greenberg В G , Contributions to Order Statistics, WJe\ N Y , 1962
deBruijn N G, As^ niptotic Methods in Analysis Interscience Publ , N Y , 1958
К e i f e r J , Wolfowitz J , Stochastic Estimation of the Maximum of a Regres sion Function, Ann Math Statist , 23, 452—466 (1952)
Grabbe E M,Ramo S R, Wooldridge D E (eds ) Handbook of Auto mation Computation, and Control, vol 2, Computers and Data Processing (chap 26, The Use of Noise and Statistical Techniques in Analog Computers, by H Low), Wilej, N Y , 1957
M 1 d d 1 e t о n D,An Introduction to Statistical Communication Theory, McGraw Hill, N Y , 1960, см русский перевод Миддлтон Д Введение в статистически ю теорию связи, перев с ан гл , изд во «Советское радио» т I 1961, т II, 1962
Н а 1 d А , Statistical Theory with Engineering Applications, Wiley, N Y , 1952, см русский перевод Хальд A , Математическая статистика с техническими при ложениями, перев с англ , ИЛ, 1956
Davenport W В, Root W L , Introduction to Random Signals and Noise, McGraw Hill, N Y , 1958, см русский перевод Давенпор г В Б , Р у т В Л , Введение в теорию случайных сигналов и шумов, перев с англ , ИЛ, 1 960
Blackman R S , Т u к е у J W, The Measurement of Power Spectra, Dover Publ, N Y , 1958
В e n d a t J , Principles and Applications of Random Noise Theor\, Wiley, N * , 1958, см русским перевод Б e н д а т Дж , Основы теории случайных 山)мов и ее применения, перев с англ , изд-во《Наука», 1965
Chang S S L , Synthesis of Optimum Control Systems, McGraw Hill, N Y , 1961, см русский перевод Чанг Ш С Л , Сингез оптимальных систем автоматического управления, Машиностроение, перев с англ (1964)
Wadsworth G Р , В г у а п J G , Introduction to Probability and Random Variables, McGraw Hill, N Y , 1960
Van d e r Velde W E , Make Statistical Studies on Analog Computers, Control Eng , pp 127—130 (June I960)
Acton F S , Analysis of Straight line Data, WHe\, N Y , 1960
Korn G , The Impact of Hybrid Analog-Digital Techniques on the Analog Computer Art, Proc IRE, pp 1077 —1086 (May 1962) см русский перевод Корн Г А , Внедрение аналого-цифровых устройств в аналоговою вычис лительную технику, Труды института радиоинженеров^ 5, 1119—1129 (1962)
Cramer Н , Mathematical Methods of Statistics, Princeton Uni\ Press, Princeton, N J , 1957, см русский перевод Крамер Г , Математические методы статистики, перев с англ изд. 1, ИЛ, 1948
Hoel Р G , Introduction to Mathematical Statistics, Wiley, N Y , 1954
Williams J D , The Compleat Strategyst, McGraw-Hill, N Y , 1954, см русский перевод Вильямс Дж Д , Совершенный стратег, или букварь по теории стра тегических игр, перев с англ , изд-во «Советское ради о», 1960
Siegel S , Nonparametric Statistics, McGraw Hill, N Y , 1956
Evans D H , Optimum Tolerance Assignment to Yield Minimuin Manufacturing Cost, Bell System Tech J , 37, 461—468 (March 1958)
Pike E W,SilverbergT R, Assigning Tolerance for Maximum Economy, Machine Design, 25, 139 (Sept 1953)
Davis R C , A Statistical Metnod for Analyzing the Effects of Missile Guidance Systems Tolerance on Hit Probability, Proc 3d Exploratory Conf Missile Model Design for Reliability Predictions, pp 85—96, White Sands Missile Range, April 1959
Cochran W G,Cox G M , Experimental Design, Wiley, N Y , 1950
Hunter J S , Designing and Interpreting Tests, Control Eng , pp 137 — 141 (Sept 1959)
В e k e у G A , Generalized Integi ation on the Analog Computer, IRE Ttatis Elec tron Computers, EC-8, № 2, pp 210—217 (June 1959)
Huskey H D , Korn G A (eds ), Computer Handbook, McGra* Hill, N Y , 1962, см русский перевод Вычислительная техника (справочник в 2 х томах), под ред Г Д Хаски и Г А Корна, перев с англ , изд-во «Энергия», 1964
Bose A G , A Theory of Nonlinear Systems, MIT Res Lab Electron Tech Rept , 309, May 15, 1956
Dixon W J , Massey F J , Introduction to Statistical Analysis, 2d ed , McGraw Hill, N Y , 1957
Neustadt L W , A Method of Computing Eigenvectors and F igenvalues on an Analog Computer, Math Tables Aids Comput , 13, № 67, 194一201 (1959)
Schwartz L , Theone des distributions, 2 vols , Hermann & Cie, Pans, 1950
Z a d e h L A , The Deterrnination on the Impulsix e Response of Variable Networks, J Appl Phys , 21, 642—645 (July 1950)
A s e 1 t i n e J A , Transform Method in Linear System Analysis, McGraw Hill, N Y , 1958“
Солодов А В , О преобразовании начальных 5 словий на выходе линейной системы с переменными параметрами в эквивалентный входной сигнал, Автоматика и телемеханика, 19, № 7, 654—660 (1958)
Б а т к о в А М , К вопросу о синтезе линейных дш амическлх систем с переменны ми параметрами, Автоматика и телемеханика, 19, № 1, 49—54 (1958)
Б о р с к и и В , О свойствах импульсных переходных функции систем с переменными параметрами, Автоматика и телемеханика, 20, № 7, 848—855 (1959)
Miller К S , Properties of Impulsive Responses and Gi een's Functions, / RE Trans Circuit Theory, pp 26—31 (March 1955)
Z a d e h L A , Time Varying Networks, I, Proc IRE, pp 1488—1503 (Oct 1961), см русский перевод Заде Л А , Системы с переменными параметрами ч I, Труды Института радиоинженеров, № 10, 1731—1 747 (1961)
Bryson А Е , D е n h a m W F , С а г г о 1 1 F J , M i к a m i К , Determind tion of Lift Drag Programs to Minimize Re entrv Heating,丿 Aerospace Sci , 29, № 4 (Apr 1962)
В г } s о n A E , D e n b a m W F,A Steepest ascent Method for Solv mg Optimum Programniing Proolems, / Appl Meeh (Trans ASME, sei E), 29, № 2, 247—257 (June 1962), см русский перевод Брайсон A L , Д e л x э м В Ф , Решение задач on iималыюг)программирования методом быстрейшего подъема, Прикладная механика, 29 сер F (июнь 1962) Tpv」b】 американского общества инженеров меха ников стр 32—44
Kelley Н J Корр R Е , М о \ е г Н Successivе A.pproxnnation Techniques for Irajectorv Optimization, Proc /小£ Aeron Su Symp Vehicle Systems Optinu zation, Garden City, N Y , Nov 29—31, 1961
McGhee R В , L e \ i n e A , Determination of Optunuiii Production Tolei ances by Analog Simulation, Proc Eastern Joint Computer Conf pp 249—254 Boston, Mass , Dec 1 —3, 1959
ДОПОЛНИ ГЬЛЫ! \я ЛИТЕРА I УРА
150 Степанов В В Курс дифференциальных уравнении Г ос [е\и ма г 1953
151 П о н т р я I ни Л С Обыкновенные дифференциальные уравнения Физматгиз, 1961
152 Г утенкЕахер Л И , Электрические модели, Изд во АН СССР, 1949
153 Кобринскии Н Е Математические машины непрерывного действия, Гос техиздат, 1954
154 Коган Б Я Электронные модечир)ющие устройства и их применение д^я исследования систем автоматического регулирования, Физматгиз 1963
155 Корн Г , Корн Т , Электронные моделирующие устройства, ИЛ, 1955
156 Тетельбаум И М , Электрическое моделирование, Физматгиз, 1959
157 Вентцель Е С Теория вероятностей, изд во «Наука», 1964
158 Смирнов Н В , Д у н и п Барковский И В , Курс теории вероятностен и математической статистики, изд во《Наука», 1f)65
159 Пу гачев В С , Теория случайных функции и ее применение к задачам ав го матпческого управления, Физматгиз, 19b2
160 Солодовников В В , Статистическая динаммка линейных автоматических снстем автоматическою управления, Физматгиз, 1960
161 Налимов В В, Чернова Н А , Статистические методы лланировапи i экстремальных экспериментов, изд-во 《Наука》, 1965
162 Кпеннков Н П, Соколов С Н, Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия изд во «Наука» 1964
163 Канторович М И , Операционное исчисление и н естационарпые явченнх в электрических непях, Гостехиздат, 1949
164 Малкин П Г Теория устойчивости движения, изд во «Наука», 196b
165 Фельдба^ \i \ А Основы теории оптимальных автоматических сис1ем, Физматгиз 1966
166 П о н т р я 1 а и Л С н др , Ма 1е\1атическая теория оптима 1ьных процессов, Физматгиз, 1961
167 Ц ы л к и и Я 3 1 еория ичпульсных систем Физмаггиз, 1958
168 К у р о ш А Г , К} рс высшей алгебры, Физматгиз, 1952
169 Т е т е р и ч Н М , Генераторы шума, ГЭИ, 1961
Бусленко Н П , Математическое моделирование производственных процессов, изд во «Наука», 1964
Б о б н е в М П , Генерирование сл\ чапных сш на юв и пзме пение нх параметров, изд во «Э iepr ня» 1966
О Г Л А В Л Е Н И E
Предисловие 5
ВВЕДЕНИЕ
Содержание г^тавы 9
Основные определения 9
Значение вычислительных машин 10
L4.Исторический очерк. 11
Электронный дифференциальный анализатор 13
Мыслят ли вычислительные мапшпы 18
Анализ задачи с помощью вычисл ительной маш ины 19
Построение математической модели 20
Физическое моделирование 21
ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введен не 23
Общие свойства обыкновенных дифференциальных уравнений 23
Определения 23
Уравнения системы 〃-го порядка 24
Начальные условия 26
Существование и единственность решений 28
Вариация начальных условий и параметров 29
Сравнение л инейных и нелияеппых уравнений 30
Введение 3()
Определения 30
Линейные уравнения н принцип суперпозиции ；Н
Аналитическое решен не линейных дифференциальных уравнений 31
Введение 31
Линейные длффере.чцпа.чьные уравнения первого порядка 33
Однородное уравнение с постоянными козф巾нинентахн 34
Однородные уравнения с переменными коэффициентами 35
Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 37
Неоднородные уравнения с переменными коэффппиентаА,!!廿 метод пари- аи“н постоянных 38
Выводы 40
Аналитическое решениепел инейных уравнении 40
Введение 40
Итерационный метод Пикара 41
Метод кусочно-линепной апроксимацнп 43
Метод возмущений 44
Метод описывающих функций 45
Метод фазовой плоскости 46
Выводы 48
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДИффЕРЕНЦИАЛЬПЫХ УРАВНЕНИИ
3 1Составление программы дчяABM49
3 1 1Введение49
3 1 2Общий метод49
3 1 3Метод каноническойформы55
3 1 4Метод вспомогате 1ьноипеременной58
3 2Нормализованные решениялинейного уравнения61
3 3Весовая функция63
3 4Сопряженное уравнение65
3 5Краевые задачи72
4 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЛОК СХЕМ, ВЫБОР МАСШТАБОВ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕН
4 1Введение74
4 2Свойства операторов75
4 3Преобразование блок схем79
4 4Предпосылки для введения масштабов времени и зависимои переменной90
4 5Масштабирование зависимых переменных91
4 6Выбор масштаба времени96
4 6 1 Решение задачи в <обратном» времени100
4 7Масштабирование сопряженного уравнения102
4 8Выводы103
4 8 1 Масштабирование зависимых переменных103
4 8 2 Масштабирование времени1СВ
4 9Операционный усичитель104
5 ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫХ В ЯВНОМ ВИДЕ
5 1Введение108
5 2①}“Кини одной переменной10Q
5 2 1 Получение функции методом дифференциальных х равнении109
5 2 2 Элементы, хранящие ф^ нкционапьиую зависимостьi 14
5 3Функции двух переменных133
5 31Технические средства134
5 32Математ! ческие методы упрощения ф\нкцнн137
厂 4Временное запаздывание141
6 НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
6 IВведение147
6 2Математические аспекты задачи149
6 3Составление программы для АВМ150
6 31Анализ ошибок152
6 32Прямые и обратные функции154
6 4Проблема мтюжественности решении155
6 5Системы уравнении157
6 6Тригонометрический бток159
6 6 1 Преобразование координат160
6 62Поворот системы координат164
7 МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ ОШИБОК ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ Н4 АВМ
7 1Введение169
7 2 Трудности связанные с ограничениями начагаемыми на диапазон изменения напряжения170
7 2 I Переменноемасштабирование171
7 3 Метод возмущении175
7 3 1 Математические основы метода возм^ щении178
7 3 2 Порядок членов разложения178
7 3 3 Продолжение рассмотрения математических аспектов метода возмущении 179
7 4 Коэффициенты влияния параметров188
7 4 1 Точность решения при вьнго тении программы в «прямом» и <ооратном» направлениях192
7 5Методы считывания192
7 5 1 Метод экстраполяции193
7 5 2 Метод, основанный на >меныиении таш епса у i ia наклона кр !В（）п н ^очке 194
7 6Повышение точности решающихэлементов195
7 6 1 Следящее множительноеустройство197
7 6 2 Ш} м при осуществлении перехода от прямох го и’нмх к пи isiрным коорди натам200
7 6 3 Деление. .201
7 6 4. Ограничитель. .204
7.6.5. Диодный фувкциональныи преобразовате пь. . . . 206
8 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИМЕНЕНИЕ ГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯМАКСИМУМОВ и минимумов
8 1Введение207
8 2Функция расстояния208
8 3Математическое отсту пление210
8 3 1Ограничения и множите ;и Ла1 равжа211
8 3 2 Вариационное исчисление211
8 3 3 Выводы212
8 4Физическая ана югия212
8 5Метод наискореишего спуска215
8 5 1Ограничения на область изменения параметров222
8 5 2Геометрическая интерпретация223
8 5 3Ограничения, задаваемые в виде равенств225
8 5 4Слежение за минимумом при наличии ограничении226
8 5 5Дискретная апроксимация траектории наискореншего стека228
只 6Релаксационный метод232
8 6 1Величина mai а235
8 6 2 Ограничения236
8 7Случайный поиск237
8 8Оптимизация при решении статистических задач238
S 9Оптимизация динамических систем239
8 9 1Уравнения оптимизации240
8 9 2Порядок выполнения оптимизации на АВМ242
9. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
9 1Введение243
9 2Ограничение круга задач243
Q 3Экспериментальные данные и модель246
9 3 1 Оценка параметров246
9 3 2Доверительные интервалы247
9 3 3Проверка гипотез249
0 1 Оценка параметров249
9 4 1Оценки по критерию макснм\ма правдоподобия249
9 4 2Эффективность253
9 4 3Доверительные интервалы255
9 4 4 Пример дихотомическая совокупность Доверительные интервалы для
р в случае биномиального распрецепеиия прн больших объемах выборок 25Т
95 Проверка гипотез 261
Простые гипотезы 266
Сложные гипотезы 269
Оценка иеобходнмого количества данных 272
Неравное количество опытов 273
Другой вид проверки гипотез 274
Замечания 274
Важный частный с.пу чай при нормальном распределении 275
Еще одни подход 276
Ю. ПЛАНИРОВЛМИЕ ЭКСПСРИМЦНТОВ И ВЫЯВЛЕНИЕ ОШИБОК ПВМ
0.1. Введение 278
Измеритель иероятностных характеристик 279
().2.1. Биномиальное распределение. Доверительный интервал для вероят- 280 ностн 〃 28(.)
Доверительные интервалы для ^^apa^^eтpa л-теорстпческого среднего распределения Пуассоиа 281
1().2.3. Описание общей методики 283
Нормальное распределение. Доверительные интервалы д.чя теоретического среднего м，когда о известно 283
Нормальное распределение. Доверительные интервалы для дисперсии а2 284
Непараметрнческая статнетика 284
Вводные замечания 284
Размах выборки 285
Критерий, основанный на исио/iьзованип среднего размаха выборки 289
Сигнализатор резкого изменения вероятностных характер；］стик 291
Вводные замечания 291
Критерий размаха выборки 291
Критерий среднего размаха выборки 293
Биномиальный критерий 294
Критерий знаков 296
KpuTepiiii серий 297
Определение допусков н планированиеэксперимента 299
Введение 300
Предлагаемый метод оптимизациидопусков 301
Пример 303
Планирование экспериментов 308
Значение проблемы планирования эксперимента 308
Оценка необходимого количества экспериментальных даниых . . .308
Факториый экспери мент 309
I I. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА АНАЛОГОВЫХВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Введение 311
Моделирование случаиныхпроцессов 313
Источники шума 315
Белый шум 316
Преобразование характеристик источников шума 318
Дискретные сл)7чайныевеличины 323
Преобразование спектральной плотности гауссова шума 321
Преобразование нормального распределения в распределение произвольного вида с произвольной спектральной плотностью 324
Выбор маситтаба переменных и времени 326
Измерен не н оценка экспернментальн ых данных 329
Оценка параметров с помощью средних по времени значений . . .330
Оценки параметров, пол ученные путем усреднения по множеству . .339
Получение экспериментальных данных 344
Работас периодизацией решения 352
Усреднение по множеству без выборомных экспериментов 354
Среднее значение 354
Дисперсия 355
«Отбеливание» шума 357
Приложение/. Свойства аельта-функцмн 359
Приложение2. Свойства весовой функции, функции Грина и сопряженного\ равнения366
Приложение3. Передаточные пмпедансы при коротком замыкании 371
Приложение4. Основы теорнн вероятностей п теории случайных процессов . . .377
Приложение5. Эффективности срединной оценки среднего п оценки нополусч мме385
крайних значений 385
Приложение6. Интегральное нормальное распределение 386
Приложение7. Процентили X2-распределения 388
Приложение 8. Доверительные интервалы для биномиально! о распределения при доверптельных уровнях 0,95 и 0,99 391
Приложение Р. Максимальный доверительный интервал при задаиноа доверительном уровне для случая, когда вь【6орка берется из биномиально!о распределения 393
Приложение 10. Вычисление биномиального доверительного пнгерва.ш при боль- пшх выборках' 395
Приложение //. Процентили /-распределения 396
Приложение 12. Достаточные доверительные ;nriсрва/iы 397
11 риложение 13. Оценка объема выборки 400
Литература 406
Л. Левин
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
АНАЛОГОВЫХВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Редактор М 6 БеликовскийХудожник С. С. Е Винсон
Художественный редактор
". А. Фильчагина
Технический редактор А. Д. ХомяковКорректор О. К Румянцева
Сдано в производство 2/VIII 1966 гПодписано к печати 27/Х 1966 гБумага 70 X I08V16 — 13 бум. лЗЬ,4 усл. печ. л.
Уч.-нзд. л. 31,62 Изд. № 20/3557Цена 2 р. 46 к. Зак. 434(Темплан 1966 г изд-ва «МНР»,пор. № I97)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16ГлавполиграфпромаКомитета по печати при СоветеМинистров СССРМосква, Трехпрудный пер , 9
1) Тривиальных в том смысле, что способ решения задачи известен, хотя решение может быть получено только сложным путем, при значительной затрате времени.
1) Такие задачи в математической литературе обычно называются задачами Коши.— Прим. ред.
з) Для более полного ознакомления с теорией дифференциальных уравнений можно рекомендовать работы [24, 27, 150, 151 ].— Прим. ред.
i) Это уравнение записано в «линеаризованной» форме. В общем случае можно не выделять линейных членов и записывать уравнение в виде = / У> ^ » • • • • • •»丿*— Прим. ред.
1) Типовую систему обозначений см. на рис. 1.1.
1) Напряжения измеряются относительно некоторой точки, имеющей нулевой потенциал, которая обычно отсутствует на блок-схеме (структурной схеме) АВМ.
1) Дополнительные сведения относительно свойств весовой функции см. в приложении 2
5 Л. Левин
1) См. [24, стр. 256—259].
1) Для более глубокого ознакомления см. работу [18].
2) Некоторые из этих правил преобразования блок-схем взяты из работы [53]. См. также [49, стр. 20-614-20-66].
i) Коэффициент усиления каждого интегратора определяется с помощью интегратора, коэффициент усиления которого принят за единицу.
i) Минимальный порядок уравнения зависит от свойств функции.
1) Описание некоторых других функциональных преобразователей двух переменных см. в работе [46, стр. 347—357].
1) Более подробное описание см. в работе [18, стр. 58—62].
1) Другим примером является линия задержки, составленная из пассивных электрических элементов. Это устройство имеет слишком много недостатков и мы не будем его здесь рассматривать.
1) Эти переменные связаны следующим образом: если s f оо, то з f оо ii Z —> 0.
1) Мы можем также выполнить деление, сформировав с помощью функционального
1) Иногда якобиан записывается в виде /三 d (Г, G)/d (〃， и).
1) Матрицы обладают рядом полезных свойств, которые мы не используем при решении систем алгебраических уравнений. Читатель, интересующийся этим вопросом, должен обратиться к работе [79], где этот вопрос рассматривается очень подробно. Более сжато, но очень хорошо, излагается материал в книгах [80, стр. 30—175] и [81, стр. 69—90].
1) Продолжительность этого режима ограничивается дрейфом напряжения интегратора.
1) Более подробное рассмотрение данного вопроса можно найти в работе [49, с стр. 25-07+25-12]. Часть материала настоящего раздела взята из этого источника. В частности, это относится к большей части табл. 7.1 и методу, проиллюстрированному с помощью рис. 7.11.
1) Этот пример и относящиеся к нему иллюстрации взяты из работы [86].
i) Большая часть материала, использованного в этом примере, взята из работы [98]. Мы^следуем оригиналу, минимизируя функцию расстояния d「 хотя использование для этой цели функции d? дало бы более точный результат (см. пример 1).
1) Устройство, минимизирующее функцию при наличии ограничений этим методом,
1) Дополнительный материал, относящийся к релаксационным методам, можно найти в [ 105] и [95, гл. 17].
1) Две прямые называются ортогональными, если скалярное произведение соответствующих им векторов равно нулю.
i) В тексте слово «точечная» будет в дальнейшем в большинстве случаев опу
1) Изложенные выше разделы являются введением к трем разбираемым в данной главе темам. В последующих разделах подробно разбирается каждая из них в отдельности.
1) Если оценка ц параметра 卩 такова, что при всех п (п -— объем выборки) £ (卩)= м，то м называется несмещенной оценкой параметра ц.
17 Л. Левин
i) Следует заметить, что в вопросе о том, какую из гипотез следует считать гипотезой Но, а какую следует считать гипотезой "〕，имеется очень много тонких мест. В последующих разделах мы рассмотрим еще один случай; подробное изложение этого вопроса можно найти в [125, гл. 3].
1) Теория ^-распределения изложена в [125, гл. 11 ].
1) Число тактических ситуаций 门丁 должно быть таким, что 汽^代丁^ 30.
1) Обратите внимание на то, что симметричность распределения относительно некоторой точки q вовсе не означает, что q является теоретическим средним этого распределения. Так, например, распределение Коши, плотность вероятностей которого равна
]
Л (1 + 尤2)'
симметрично относительно нуля, однако его теоретическое среднее не равно нулю. (Правильнее сформулировать эту мысль следующим образом: если теоретическое среднее симметричного распределения существует, то оно равно нулю. Распределение Коши не имеет теоретического среднего.——Прим, ред.)
I) См. по этому поводу работу [115], а также [127, стр. 40, 41 ].
1) Выше мы рассматривали лишь такие эксперименты, при которых выбор экспериментальных точек производился случайно, а объем выборки был фиксирован. Следует отметить, что подобный метод сбора информации не всегда оказывается наилучшим и во многих случаях предпочтение отдается другим методам.
1) Определение средних по времени и по множеству см. в приложении 4.
i) Так как его корреляционная функция является дельта-фуикцией, а спектральная плотность постоянна, то с этими характеристиками легко оперировать при решении статистических задач.
i) Уравнение (11.14) означает следующее: «Вероятность того, что случайная величина X меньше значения х, равна вероятности того, что случайная величина У меньше значения у》. Отметим, что далее мы будем использовать символ Р ( ) для обозначения функции распределения и символ р ( ) для обозначения плотности вероятностей.
i) Напомним, что из некоррелированности двух случайных величин следует их независимость только тогда, когда эти величины распределены по нормальному закону.—Прим. ред.
1) Центральная предельная теорема утверждает, что при некоторых условиях распределение суммы п случайных величин приближается к нормальному, когда число п становится достаточно большим. Более подробные сведения о центральной предельной теореме можно найти в работах (114, т. I, стр. 504—509] и [ 116, стр. 99—103].
1) Мы касаемся лишь части вопросов, связанных с проблемой оценки спектральной
i) Уравнения (11.76) и (11.78) выведены в работе [118, гл. 7].
1) Более подробно доверительные границы для биномиального распределения рас
1) Эти АВМ выпущены американскими фирмами Beckman Instruments, Inc., Ричмонд, шт. Калифорния; Electronic Associates, Inc., Лонг Бич, шт. Калифорния, и Computer Systems, Inc., Монмут Джанкшен, шт. Нью-Джерси, соответственно.
1) Более подробно использование метода сопряженных уравненпй для воспроиз
в этом приложении. В недавней статье Заде [145] излагаются основные достнжени я
в зто員 области начиная с 1950 г.
-)Мы используем те же обозначения, что и Миллер [144]. Мы также используем
здесь некоторые из идей, высказанных в этой его статье.
i) Дополнительную информацию относительно сопряженных операторов и классической функции Грина можно получить в [24] и в [45, стр. 42—44, 134—194].
—.二一二
методы решения технических задач
с использованием аналоговых вычислительных машин
METHODS FOR SOLVINGENGINEERING PROBLEMSUSING ANALOG COMPUTERS
LEON LEVINE
Senior Staff Engineer Hughes Aircraft Company Culver City, California
Chapters 9 and 10 Contributed byARNOLD LEVINEStaff EngineerHughes Aircraft CompanyCulver City, California
MCGRAW-HILL BOOK COMPANYNEW YORK SAN FRANCISCO TORONTO LONDON
1964
Перевод с английского И. Б. Гуревича и Г. О. РозенталяПод редакцией А. Б. Саввина
Л. ЛЕВИН
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМАНАЛОГОВЫХВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХМАШИН
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1 966
УДК 518.5 : 681.142.33
Книга посвящена использованию аналоговых вычислительных машин для решения различных научных и технических задач. В ней описываются методы составления эффективных программ и методы определения масштабов моделируемых параметров и времени, освещаются способы уменьшения влияния ограниченной точности машины на результаты исследования, дается интерпретация полученных результатов. Таким подходом монография отличается от многочисленных книг по аналоговым машинам, где в основном рассматриваются вопросы конструирования и решающие элементы. Ее автор, известный американский специалист по вычислительной технике, главное внимание уделяет вопросам программирования, касаясь элементов конструкции и схемных решений лишь постольку, поскольку они влияют на точность работы.
Книга представляет интерес для инженеров н математиков, работающих с аналоговыми машинами, для ученых-нссле- дователей, использующих машины при обработке результатов исследований, а также для студентов и преподавателей всех технических вузов.
Редакция литературы ло вопросам новой техники
Возникающие в различных областях науки и техники математические задачи, как правило, настолько сложны, что их точное аналитическое решение часто оказывается невозможным. В этих случаях на помощь исследователю приходят вычислительные машины — цифровые и аналоговые, используя которые можно получить приближенные численные результаты. Для того чтобы иметь возможность решить задачу на вычислительной машине, необходимо запрограммировать алгоритм ее решения, т. е. указать последовательность реализуемых машиной операций, выполнение которых приводит к требуемому результату. Предлагаемая вниманию читателей книга Леона Левина посвящена изложению методов программирования задач для их решения на аналоговых вычислительных машинах.
Аналоговые вычислительные машины (АВМ) в отличие от современных ЦВМ являются машинами параллельного действия, т. е. все требуемые математические операции выполняются соответствующими решающими элементами одновременно. Программирование задач для универсальных АВМ осуществляется в следующем порядке: 1) определяется вид и число необходимых решающих элементов; 2) определяется последовательность их соединений; 3) определяются параметры настройки решающих элементов (конкретный вид нелинейных функций, начальные условия на интеграторах, коэффициенты усиления с учетом масштабов различных переменных и т. д.).
Одну и ту же задачу можно решать на АВМ по-разному. Выбор наиболее эффективной программы, использование всех возможностей машины в отношении точности и быстроты решения, представление результатов моделирования в наиболее компактной форме, а также расширение круга задач, решаемых на АВМ,—— все это составляет искусство программирования, овладеть которым помогает данная книга.
В отличие от других работ по электронным моделирующим машинам здесь описанию устройства отдельных блоков отводится немного места и больше внимания уделяется таким теоретическим вопросам прикладной математики, которые наиболее важны для решения задач на АВМ,——теории обыкновенных дифференциальных уравнений и элементам математической статистики.
Книга состоит из 11 глав и 13 приложений. Во введении (гл. 1) обсуждаются общие принципы аналогового моделирования, проводится сравнение возможностей цифровых и аналоговых математических машин, дается краткий исторический очерк развития АВМ.
Основным назначением аналоговых вычислительных машин является решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Знание свойств этих уравнений совершенно необходимо каждому, кто решает задачи на АВМ. Поэтому гл. 2, в которой сжато, но ясно излагаются основные сведения из теории дифференциальных уравнений, весьма уместна в книге по моделированию. Следует отметить, что этот материал не предназначен для начального изучения, а подразумевает предварительное знакомство с дифференциальными уравнениями по учебной литературе.
В первой части книги (гл. 3—6) подробно излагаются основы моделирования на аналоговых машинах. Рассматриваются методы решения на АВМ систем дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, методы составления и преобразования структурных схем, введение масштабов для зависимых и независимых переменных, получение нелинейных зависимостей, заданных в явном и неявном виде. Излагаемый в этих главах материал можно найти и в других книгах по моделированию, но здесь он изложен наиболее компактно и вместе с тем подробно, причем приводится ряд сведений, ранее освещавшихся лишь в периодической литературе.
АВМ выполняет математические операции приближенно, поэтому в решении всегда содержится ошибка. Чем опытнее оператор, тем лучше он может составить программу решения задачи и уменьшить влияние ошибок решающих элементов на результат. В гл. 7 приводятся рекомендации по составлению программ, обеспечивающих повышение точности решения задач на АВМ.
В последнее время все большее значение приобретает проблема оптимизации. Оптимальные задачи возникают почти во всех областях науки, техники и народного хозяйства, и их решение сулит большие выгоды. Интенсивно развивается математическая теория оптимальных систем. Алгоритмы решения оптимальных задач, как правило, очень сложны и включают как вычислительные, так и разнообразные логические операции. Поэтому оптимальные задачи решают обычно на универсальных ЦВМ. Для решения некоторых классов оптимальных задач создаются специальные аналоговые машины с логическими элементами. Перспективны в этом отношении так называемые а на лого- цифровые машины. Однако некоторые простые оптимальные задачи можно решать и на серийных АВМ. В гл. 8 рассматривается одна из важных частных задач оптимизации — автоматический поиск на АВМ экстремума функции нескольких переменных градиентным методом.
При проектировании и расчете на АВМ различных систем нужно учитывать влияние на решение случайных факторов: допусков на основные параметры, погрешностей в измерительных системах, случайных помех и т. д. При этом возникают две задачи: первая связана с отысканием наиболее эффективных методов моделирования случайных систем на АВМ, а вторая —— с истолкованием полученных случайных результатов. Эти вопросы в литературе по моделированию практически не освещались. Потому особый интерес даже для опытных инженеров ——специалистов по моделированию представляют гл. 9——11 настоящей книги, в которых впервые собраны и подробно изложены принципы моделирования и анализа случайных систем.
Гл. 9 посвящена обсуждению методов оценки параметров и истолкованию полученных на АВМ результатов с позиций теории статистических решений. Наибольшее внимание уделяется методам проверки статистических гипотез. Примеры, органически входящие в основной текст главы, существенно облегчают усвоение этого материала.
В гл. 10 рассматриваются некоторые важные аспекты оптимального планирования статистических экспериментов на АВМ. Исследуется вопрос о необходимом количестве экспериментов на АВМ для получения достаточно надежных результатов и выборе значений параметров, при которых наиболее целесообразно проводить статистические исследования. Рассматривается важная задача об обнаружении сбоев в работе АВМ при решении статистических задач. Большое число приведенных в приложении таблиц и графиков различных вероятностных критериев делает книгу хорошим справочным пособием и позволяет доводить до конца статистические расчеты, не обращаясь к другим источникам.
Гл. 11 посвящена описанию методов моделирования на АВМ случайных задач. В ней рассматривается вопрос об адекватности случайного процесса, воспроизводимого на АВМ, реальному случайному процессу; разбираются принципы работы генераторов шума и методы получения случайных функций
с заданными статистическими свойствами; освещается вопрос о масштабировании при решении случайных задач. В заключительной части главы приводятся интересные соображения о наиболее эффективных методах сбора статистических данных и об автоматическом измерении вероятностных характеристик многомерных процессов.
В целом книга весьма удачно сочетает вопросы теории и практики; ее обширный практический материал изложен, как правило, весьма обстоятельно, с подробными выкладками, примерами и задачами (гл. 9). Для понимания теоретических разделов книги достаточно иметь знания по математике в объеме вузовского курса математического анализа и основ теории вероятностей и математической статистики. Книга содержит обширную библиографию, поэтому редактором перевода добавлено лишь небольшое количество дополнительной литературы на русском языке. Замеченные в оригинале опечатки и некоторые неточности исправлены без особых оговорок.
Книга будет полезна специалистам всех профилей, использующим в своей работе аналоговые вычислительные машины, а также студентам высших учебных заведений, изучающим применение АВМ.
Перевод книги выполнен И. Б. Гуревичем (гл. 1,6—8,10, 11), Г. О. Розенталем (гл. 3—5) и А. Б. Саввиным (гл. 2, 9 и приложения).
А. Саввин