Предисловие редактора перевода

Американское издание кннгн вышло в свет в связи с 65-летием известного популяризатора математики Мартина Гарднера, хорошо знакомого русскому читателю по целому ряду его книг и статей (см. список в конце предисловия). Форма такого рода изданий, приуроченных к юбилею того или иного выдающегося лица или к какому-либо другому торжествен ному дню, достаточно обычна в западной, да и в отечественной научной литературе. В истории математики навсегда осталась память о томе, выпущенном Гёттингенским научным обще- ствэм по поводу открытия в 1899 г. в Гёттингене памятника К. Ф. Гауссу н В. Веберу и состоявшем всего из двух статей: Д. Гильберт «Основания геометрии» и Е. Вихерт «Основание электродинамики» (бессмертным этот том сделала его первая часть, впоследствии выдержавшая бессчетное число переизданий почти на всех языках мира). В списке дополнительной литературы в конце настоящей книги читатель найдет ссылки на тома, посвященные юбилеям двух ее авторов: 70-летию Г. С. М. Коксетера и 60-летию У. Т. Татта. И своеобразие настоящей книги, отличие ее от всех других в значительной степени связано лишь с определенной уникальностью того лица, которому этот том посвящен.

Советскому читателю известны многие зарубежные выдающиеся популяризаторы математики, переводы книг которых он имел возможность читать: Ганс Радемахер и Отто Теплиц, авторы книги «Числа и фигуры» (последнее русское издание ——М.: Наука, 1966); Рихард Курант и Герберт Роббинс, авторы обстоятельного сочинения «Что такое математика?» (последнее русское издание — М.: Просвещение, 1967); Дьердь Пойя, в замечательных книгах которого «Математика и правдоподобные рассуждения» (последнее русское издание — М.： Мир, 1975) и «Математическое открытие» (последнее русское издание ——М.: Наука, 1977) глубоко анализируется сущность исследовательской работы в области математики на любом, в том числе и на школьном, уров-

не. Однако всех этих авторов никак нельзя назвать профессионал ьными популяризаторами — это известные ученые, которые создавали свои научно-популярные труды, так сказать, «в свободное от основной работы время».

По-иному сложилась судьба Мартина Гарднера. Кажется даже удивительным, что этот человек, глубоко уважаемый всем математическим миром, всем международным математическим содружеством, никогда не вел серьезной математической работы в области математики —он не имел никаких ученых степеней (и даже, как будто, не пол^'чил законченного высшего математического образования),— и в науке после него не останется ни одной «теоремы Гарднера». Но Мартин Гарднер оставит миру нечто иное, возможно, гораздо более ценное: неисчислимое множество людей, которых именно ему удалось заинтересовать математикой и побудить к серьезной работе в этой области.

У меня нет ни малейшего сомнения в том, что при своих ярких математических способностях и обостренном научном эстетическом чутье, при изобретательности и остроумии, умении ценить чужие результаты и личной научной инициативе, в полной мере проявляющихся во всех его публикациях, Гарднер вполне мог бы стать серьезным ученым-математиком. Однако он избрал другой путь ——путь популяризатора математической науки, И здесь Гарднер в полной мере является профессионалом.

Более двадцати лет Мартан вел рубрику «Математические игры» (Mathematical Games) в широко известном американском научно-популярном журнале Scientific American , и в каждом номере этого ежемесячника появлялись подготовленные им статьи. Нетрудно представить себе, какого титанического труда требовала работа над этой рубрикой от составителя; более подробное описание характера этой работы читатель найдет в настоящей книге, в статье Дорис Шаттшнайдер «Хвала любителям».

21 октября 1979 г. Мартину Гарднеру исполнилось 65 лет. Юбилей Гарднера его друзья и поклонники решили ознаменовать изданием сборника посвященных ему статей, перевод которого и лежит сейчас перед вами.

читатель. Оригинальное название этой книги «The Mathematical Gardner», обыгрывающее сходство фамилии «героя» книги со словом gardener (садовник), на русский язык в буквальном смысле непереводимо — принятое нами название «Математический цветник» передает смысл английского заголовка лишь частично. Условия, в которых создавалась книга, описаны в предисловии ее редактор а-составителя Дэвида А. Кларнера. Эти условия, как и спешка, вызванная стремлением выпустить книгу ко дню рождения юбиляра (что, впрочем, так и не удалось осуществить!), определили некоторую разноплановость и пестроту предлагаемого читателю, безусловно, яркого и интересного сборника, статьи которого имеют разную степень трудности, разный стиль и характер.

Совсем не обязательно читать все статьи сборника подряд ——каждый читатель может выбрать в нем те статьи, которые ближе ему по теме и уровню трудности. Стремясь облегчить читателю пользование книгой, мы дополнили ее Приложением, содержащим комментарии к отдельным статьям и целым темам, затронутым в сборнике, а также список дополнительной литературы. В Приложение включены также краткие сведения об авторах сборника, многие из которых являются всемирно известными учеными с громкими именами и авторами книг и статей, уже ранее переведенных на русский* язык.

В заключение мне хочется выразить благодарность одному из авторов книги — моему коллеге Бранко Грюн- бауму (США) за присылку использованных в комментариях материалов.

КНИГИ И СТАТЬИ ГАРДНЕРА,ИЗДАННЫЕ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ

Л. Книги

Математические чудеса и тайны (последнее, 3-е изд.),——М.: Наука, 1977.

Математические головоломки и развлечения.— М.: Мир, 1971. 3. Математические досуги.— М.: Мир, 1972.

Математические новеллы.— М.: Мир, 1974.

Есть идея! — М.: Мир, 1982.

Теория относительности для миллионов (последнее, 3-е изд.).-~• М.: Атомиздат, 1979.

Этот правый, левый мир.— М.; Мир, 1967.

Б. Статьи 〃 публикации

Иерархия бесконечностей и проблемы, которые она создает.—— Математика в школе, 1969, № 2, с. 85—88.

Числа Каталана.— Квант, 1978, № 7, с. 20—26.

Предисловие к книге: Сэм Лойд, Математическая мозаика.—— М.: Мир, 1980, с. 7—11.

Примечания к сказкам Льюиса Кэрролла — в кн.: Кэрролл Л. Алиса в стране чудес. Алиса в Зазеркалье.——М.: Наука, 1978, с. 9——100 и 107—227. Обстоятельные, яркие примечания Гарднера (иногда одно примечание занимает несколько страниц петита) к этому изданию вполне можно рассматривать как самостоятельные публикации.

Аннотированная «Алиса». Введение к книге Л. Кэрролла (см. (111), с. 250—258.

Нульсторонний профессор.——В кн.: Трудная задача.——М.: Мир, 1982, с. 121—136.

Остров пяти красок.— В кн.: Трудная задача.— М.: Мир, 1982, с. 136—157.

Ряд статей М. Гарднера был опубликован в разные годы б журна- лах «Наука и жизнь》,《Знание — сила» и других научно-популярных изданиях, но по существу они перекрываются изданными позже книгами Гарднера.

Я. М.夕乙?ом

От составителя сборника

Настоящий сборник статей посвящен Мартину Гарднеру ——замечательному популяризатору математики. Каждая статья сборника относится к одной более или менее узкой теме, тогда как интересы Гарднера и его работы необычайно разносторонни. Поразмыслив, мы решили назвать свой сборник «Математический цветник» в надежде, что когда-ни(?удь появятся и другие «цветники» — литературный, философский, физический. Такой выбор названия таит в себе намек на каламбур, так как фамилия Gardner близка к английскому слову gardener — садовник. В мировом содружестве математиков Мартин Гарднер действительно играет роль садовника, который бережно выращивает в своем саду удивительные цветы. Авторы сборника составляют лишь малую часть того поистине необъятного множества математиков, деятельность которых в немалой степени сти- мулнровалась публикацией их результатов или близких им идей в руководимом Мартином Гарднером разделе «Математические игры» журнала Scientific American. Мартин Гарднер ——это не просто журналист, который пишет на математические темы: он объединяет и связывает читателей, предлагая им различные задачи, сообщая ценную информацию и всячески поощряя их творческую деятельность. Роль Мартина Гарднера в популяризации науки — порою незаметная, скрытая ——чрезвычайно велика и заслуживает огромной признательности.

При составлении сборника особую помощь мне оказали два человека: Рональд Грэхэм и Дональд Кнут не только выступили здесь как авторы статей, но н привлекли к участию в сборнике многих других математиков. Наш проект создания сборника осуществлялся в глубокой тайне, и поэтому мы вынуждены были подбирать авторов главным образом на основе личных контактов, а не путем открытого призыва присылать нам свои работы. В этой связи я приношу извинения всем тем, кто, желая принять участие в сборнике, не получил возможности

сделать это. В свое оправдание замечу, что публичный призыв к участию в юбилейном сборнике не только лишил бы его характера сюрприза, но и вызвал бы такой обильный поток материалов, в котором составители сборника наверняка бы захлебнулись.

Мне хотелось бы поблагодарить всех тех, кто разделил со мной тяготы создания книги, прежде всего Днна Хоффмана. Многие из его идей реализованы в отредактированных нм статьях. Благодаря его поддержке мне удалось довести наш проект до успешного завершения, несмотря на то что издательская деятельность отнимала слишком много времени от моей исследовательской работы. Я хотел бы также выразить искреннюю благодарность моей жене за помощь и терпение. При подготовке изданий такого рода приходится вести обширную переписку —здесь просто неоценимой была помощь моего секретаря Элизабет Ньютон. Наконец, я хотел бы выразить глубокую признательность Сьюзен Грэхэм и другим сотрудникам издательства «Приндл, Вебер энд СИмндт» (среди которых я особенно хотел бы отметить Терон Шрив) за проявленный ими интерес к книге и не* оценимую помощь..

Дэвид А. Кларнер

Игры

Сыграем в тупинз?Ричард К. Тай

Тупинз (от англ. Тwopins — две кегли) — одна из разновидностей игры в кегли. Играют в тупинз вдвоем, кегли выстраивают колонками в ряд подобно тому, как изображено на рис. 1. Каждая колонка состоит из одной

или двух кеглей. Расстояния между колонками таковы, что игрок, бросающий шар, может сбить любую отдельную колонку или любые две соседние колонки. Если сбита колонка из двух кеглей, то падают обе кегли. После броска и перед броском противника сбитые кегли снова не ставятся. Игра заканчивается, когда падает последняя кегля, — и тот, кто ее собьет, объявляется победителем. При хорошем броске должны упасть по крайней мере две кегли — сбивать колонку, состоящую только из одной кегли, не разрешается, поэтому игра может закончиться, когда останутся стоять лишь разъединенные (не соседние) одиночные кегли. Например, бросая шар в начальной позиции, изображенной на

рис. 1, вы по правилам игры в тупинз имеете право сбить любую колонку из двух кеглей (q, d, / и g), ни вам не разрешается сбивать колонку из одной кегли (&, с, е и 力)：колонку из одной кегли можно сбивать только вместе с соседней колонкой. Если вы, допустим, сбили колонку d, то ваш противник не может сбить одним броском колонки с и е, поскольку они не являются соседними.

Тупинз игра беспристрастная: в любой позиции оба игрока независимо от того, кому из них предстоит бросать шар, могут сделать одни и те же ходы; этим она отличается, скажем, от шахмат ——игры пристрастной, где в любой позиции возможные ходы черных отличаются от ходов белых. Теория беспристрастных игр, в которых побеждает тот, кто делает последний ход, известна далеко не так широко, как она того заслуживает. Ее независимо разработали Шпраг [211 и Гранди [12], а впоследствии и другие математики. Создатели этой теории установили, что каждая позиция в любой беспристрастной игре имеет определенное ним-значенис, т. е. эквивалентна какой-то кучке фишек (пуговиц, камушков, бобов и т. д.) в известной игре ним [4, 2, 15]. Ним-значение позиции находится по весьма простому правилу:

нужно образовать тех от ним-значений позицийt которые возникают при всех допустимых ходах.

Мех (минимум исключенных значений — minimum excluded value) множества неотрицательных целых чисел равен наименьшему неотрицательному целому числу, не принадлежащему данному множеству. Например, тех {5, 3, 0, 7, 1 }=2, а тех 0=0. Следовательно, ним- значение конца игры (когда в игре невозможно сделать ни одного хода и поэтому игра заканчивается) равно нулю.

Важность ним-значения, или функции Шпрага —— Гранди, связана с тем обстоятельством, что все беспристрастные игры (точнее, все позиции во всех беспристрастных играх) образуют аддитивную абелеву (коммутативную) группу. На самом деле аддитивную абелеву группу образуют все позиции всех (в том числе и пристрастных) игр, в которых победу одерживает тот, кто делает последний ход, но теория Шпрага — Гранди применима только к подгруппе беспристрастных игр.

Сумма (пли дизъюнктивная комбинация) двух или большего числа позиций (не обязательно в одной и той же игре) — это позиция в новой («составной») игре, получаемая объединением всех «позиций-компонент» со следующими правилами игры:,

игрок, которому надлежит делать ход, выбирает одну из игр-^слагаемьт и демет ход по правилам этой игры. Составная игра (игра-«сумма») заканчивается, когда заканчиваются все игры-вслагаемые^,——н тот из игроков, кто делает последний ход, оказывается в ней победителем. Нетрудно видеть, что такое «сложение» игр ассоциативно и коммутативно.

Нулевым элементом нашей аддитивной группы, разумеется, служит конец игры; элементом, противоположным любой позиции, можно считать ту же позицию, в которой ход делает другой игрок. (В беспрнстрастных играх любая позиция противоположна самой себе.) Последнее у тверждение вытекает из того, что можно назвать принципом Твидлдума и Твидлди, с различными примерами применения которого приходилось сталкиваться боль> шинству людей: этот принцип декларирует возможность победы с помощью симметричной стратегии — простого повторения ходов противника.

Аддитивная группа беспристрастных игр, в которых побеждает тот, кто делает последний ход, не только математически красива, но и важна, так как многие игры, проводимые по обычным правилам, распадаются на суммы отдельных игр. Например, ход при игре в тупинз чаще всего разбивает ряд кеглей на два более коротких ряда ——и, делая следующий ход, игрок должен выбрать один из новых рядов.

Основной результат теории Шпрага — Гранди беспристрастных игр, в которых выигрывает тот, кто делает последний ход, можно сформулировать в виде следующей теоремы:

ним-значение суммы двух игр равно ним-сумме их ним- значений.

Чтобы найти ним-сумму двух неотрицательных целых чисел, нужно записать эти числа в двоичной системе счисления и затем сложить их «по цифрам» без переноса в старший разряд. Именно эту операцию применил Боутон [4] в своей пионерской работе, посвященной анализу .игры ним (см. также 12, 151). Теперь, когда мы распола-

гаем теорией Шпрага ——Гранди, нам ясно, что ним можно рассматривать как архетип всех беспристрастных игр: типичная позиция в игре ним есть дизъюнктивная сумма позиций в «ним-играх», каждая из которых проводится с одной кучкой фишек.

Игра тупинз была открыта Элвином Берлекампом в процессе весьма тонкого анализа ([3], гл. 16) известной игры «точки и клетки» (или «точки и квадраты») [10]. Эта игра, для которой необходимы только листок бумаги и карандаш, охватывает как частные случаи такие игры, как кегли [8, 19, 9] и кегли Доусона [6, 7], описание которых будет дано ниже и математический анализ которых также известен. Гай и Смит [14] исследовали обширный класс игр типа «взять и разбить», где используются ряды или кучки фишек. Все эти игры можно назвать восьмеричными, поскольку их правила допускают описание с помощью кодового названия в восьмеричной системе

где do=O или 4 (значение d°=4 символизирует возможность разбить ряд или кучку на два непустых ряда или две непустые кучки, не взяв при этом ни одной фишки) и O&dW? при г>1. Смысл отдельных знаков кодовой записи объясняется в табл. 1. Например, кодовое обозначение игры в кегли, описанной в книге Дьюдени [8J, и игры Рипа ван Винкля (датской игры, положившей начало современной игре в кегли) Сэма Лойда [19, 91 —— 0,77. Это — частный случай игры тупинз, где каждая колонка состоит из двух кеглей. Правила такой игры сформулировать очень просто: при каждом ходе надо сбить либо 1 колонку, либо 2 соседние колонки.

Поводом для анализа восьмеричных игр послужила задача, поставленная известным специалистом по «нетрадиционным шахматам» Т. Р. Доусоном [6, 71. Мы называем предложенную им игру шахматами Доусона. Играют шахматами Доусона на шахматной доске с 3 горизонталями и п вертикалями (рис. 2). Белые и черные пешки расставляются на первой и третьей горизонталях. Игра ведется «на проигрыш» (или «в поддавки»), т. е. взятие фигур обязательно, и тот, кто делает последний ход, проигрывает. Тот, кто знает, как ходит и бьет фигуры шахматная пешка, легко заме-

ТАБЛИЦА I

Смысл знаков dr восьмеричной кодовой записи игры

%

Игра с фишками.

выстроенными б ряды%仃ра с кучками фишек

0

Не существует хода, при котором, следуя правилам игры, можно было бы взять г фишек

1 = 2。

Можно взять целиком Можно взять целиком ряд из / фишеккучку из г фишек

2 = 2】

Можно взять г соседних Можно взять г фишек из фишек с любого конца кучки, содержащей > г ряда, содержащего >г фи- фишек шек

3 = 2【卜2°

Можно взять г фишек либо способом, отвечающим значению d? = l, либо способом, отвечающим значению d「 2

(оставив 0 рядов или(оставив 0 кучек или 1

1 ряд)кучку)

43

Можно взять г фишек Можно взять г фишек из подряд из ряда длины кучки, содержащей ^г + 2 >了十2, оставив 2 непу- фишек, разложив остав- стых «остатка» этого ря- шиеся в этой кучке фиш- да (т. е. 2 новых ряда) ки в 2 новые непустые кучки

5 二 22 + 2°

Можно взять г фишек Можно взять г фишек из подряд из одного ряда, кучки, состоящей из г или оставив 0 рядов или 2 ря- же >了+2 фишек; в пос- да (ср. со значениями леднем случае оставшиеся d? = i и % = 4)фишки надо разложить в

2 непустые кучки

6= 23+21

Можно взять т фишек Можно взять т фишек из подряд из ряда длины кучки, содержащей >г > г, оставив 1 новый ряд фишек, либо сохранив или 2 ряда (ср. со зна- остаток в виде 1 кучки, чениями dr~- 2 и dr — 4) либо разложив его в 2 кучки

7 = 22+

Можно взять г фишек любым из указанных

+ 21+ 2。

выше способов

(оставив 0, 1 или 2 ряда) (оставив 0, 1 или 2 куч- кн)

тит, что пары пешек оказываются запертыми на одной вертикали, если на соседних вертикалях пешки поменялись местами. Таким образом, в шахматы Доусона можно играть, выстроив в ряд фишки. Делая очередной ход, игрок имеет право брать любую фишку, но вместе с ней он должен брать ее «ближайших соседей» (если таковые существуют). Нетрудно проверить, что шахматы Доусона имеют восьмеричный код 0,137.

Доусон с самого начала предложил так называемую мизерную форму своих шахмат, т. е. считал проигравшим того, кто делал последний ход. Анализ мизерных игр по сложности намного превосходит анализ тех же игр в нормальной форме, где тот, кто делает последний ход,

Рис. 2. Первоначальная расстановка пешек при игре в шахматы Доу* сона.

выигрывает. Мизерная разновидность ним требует лишь небольших изменений стратегии в конце игры; поэтому многие думают, что стратегии для мизерных форм других беспр истрастных игр также удастся получить путем незначительной модификации стратегий их нормальных форм. Однако для большинства игр это совсем не так. (См. 113] или 15, гл. 12] — в последней книге (см. с. 145) дан обзор нескольких первых позиций мизерной формы шахмат Доусона (в форме 0,4) и игры в кегли; более подробный анализ см. 12, гл. 16].)

Нетрудно показать, что игры 0,137, 0,07 и 0,4 тесно связаны между собой (см. [141). Назовем игру 0,07 кеглями Доусона. Для игры в нее можно взять один ряд фишек; ход состоит в том, чтобы забрать две соседние фишки. Таким образом, кегли Доусона можно рассматривать как частный случай игры тупинз, где каждая колонка состоит из единственной кегли и поэтому в каждом броске нужно сбить две соседние колонки. В работе [14] показано, что последовательности ним-значе-

нпя для игры в кегл» к для кеглей Доусона, когда позиция такова, что в ряд выстроены п кеглей, являются (за исключением нескольких малых значений 〃)периодическими с периодами 12 и 34 соответственно.

Полный анализ игры тупинз ——задача нереальная, так как количество возникающих в игре различных позиций огромно. Каково, например, число существенно различных позиций из п колонок? Так как у нас есть колонки двух видов, то сразу приходит в голову простой ответ: 2〃 позиций. Однако нам не нужно исследовать все 2〃 позиций, поскольку Берлекамп обнаружил ряд отношений эквивалентности между позициями, которые нетрудно проверить:

(1) ⑵(3)(1) ⑵(3)o叫к…=*ijk…二OOij4…， …ijh*O 虱tnn ...= ...ijk^-\-^lmn …i/А*00*0 加ijk^^lmn

(1) ⑵

(3)

(1) ⑵

(3)

где 0 обозначает колонку из одной кегли (такую колонку в отдельности, без соседней, не может сбить ни один игрок, и она может ознаменовать конец игры);死 соответствует колонке из двух кеглей (такую колонку может сбить каждый из игроков, поэтому она эквивалентна кучке из одной фишки при игре в ним); многоточия и буквы соответствуют колонкам любого типа [5, с. 72], а плюс в правой части соотношения (2) означает введенную нами выше дизъюнктивную сумму.

Итак, нам достаточно проанализировать лишь такие позиции, возникающие в игре тупинз, которые начинаются и кончаются звездочкой [ср. с соотношением (1)], а нули (колонки из одной кегли) не входят иначе чем по крайней мере по три подряд [ср. с соотношениями (2) и (3)]. Двоичные последовательности такого типа *были перечислены Остином и Гаем [1], использовавшим и обозначения 0 и 1 вместо наших 舞 и 0. Число /„ таких позиций, возникающих в игре тупинз, Остин и Гай обозначили символом。燃2： при этом замена индекса п в обозначении tn на п——2 в записи q們2 обусловлена двумя безусловными звездочками — в начале и конце ряда. Величина tn удовлетворяет рекуррентному соотношению 方пи 2，拉_1九-会+九—4"

Действительно,

лллл1. пл

лл

лл

~sin —, К з /з

где Fn— л-е число Фибоначчи:

⑷⑷

⑷

⑷

Кроме того, нет необходимости в анализе позиций, симметричных уже рассмотренным, т. е. получающихся из ннх переменой порядка букв на обратный. В связи с этим сразу же возникает задача определения числа s^ симметричных себе позиций.

…*

*

♦ •••

/ ••• ♦

1…*

♦ ♦ ♦

000

* •••

*・・•

4

g

方

・・•率0

0

0 ♦ •••

••• * 0

000

0 * •••

с

с

•••♦0 0

0

0 0 *…

・•，* о о

0?0

0 0 ♦ •••

л

(•••ООО

0?0

0 00 —

D

D

•••ООО

?

0 0 0 ••• 1

一

1 …000

* * *

ООП —

я

Рис. 3. Четыре типа центров для симметричной позиции.

Центр симметричной позиции может быть одного из четырех типов: А, В, С п D^ изображенных на рис. 3 слева (общее число и символов нечетно； ? означает О или *). Если л четно, то центральный символ следует заменить двумя одинаковыми символами. Если п нечетно, то, заменив центральный символ на

(а) ***, (Ь) 0*0 или (с) ООО,

мы получим симметричные позиции с числом колонок, на 2 большим, чем в исходной позиции [триаду (а) нельзя использовать в позициях типа В и С, триаду (Ь) — в позициях Л или В]. Если п четно, то центральная пара символов заменяется на

(а) »***, (Ь) 0**0 или (с) 0000.

Пусть Ап ——число симметричных позиций типа А сп коленками, Вп ——число симметричных позиций типа

8 с 孔 колонкам^ и т. д. Тогда

4=4-a+Dn-2，

Cn~Bn_2f

^n=Cn^^-\-Dn_^

Так как символ ? в центре позиции D имеет 2 значения* 垃 уместно ввести коэффициент 2; поэтому

^=An+Bn+Cn+2Dn^«=7(Лп-24-йл_24-Сп_2+2Рй_2)+

. 十 ,4-2 丄以-2，，_2)==(｛一名+区_?+以亠+勿П_2)+

* +(4т+8—+2。…).

Таким образом, sn удовлетворяет рекуррентному соотношению

^П~^П-2~Ь5п_4,(5)

откуда следует, что s»=Fh〃+d/2L где прямыми скобками обозначена целая часть числа, a F — соответствующее число Фибоначчи (4).

Следовательно, число ип несимметричных позиций, возникающих при игре в тупинз (где симметричные друг другу позиции, т. е. позиции, переходящие одна в другую при зеркальных отражениях, не считаются различными), таково:

"力=!(九-sn)= T^h_.尸Н〃 + 1)/2]+ 2;]sin"^»

а общее число позиций (с точностью до отражения) составляет

% = g(O+sJ = ；尸也 + Jf[(什D/2] +^^ sin号.

Более общий случай

где в записи позиции допустимы блоки, состоящие не менее чем из kнулей подряд, рассмотрен в [1]. Мы пойдем Далее и изучим последовательности s/‘, 〃乎)и 吸)，где k — любое натуральное число. Общие формулы верны Для всех 々＞1, где значение 々=1 отвечает отсутствию всяких ограничений (кроме требования о символе *

на каждом конце ряда). Нетрудно видеть, что при 几》2 (и I)

tn = 2“-2, s〃 = 2〔(" П/2], 〃“ = 2〃т—2К〃 -з)/2],

Vn = 2-7 + 2((« - 3)/2].

Верхний индекс (А) мы далее будем опускать.

Прежде всего, следуя II], воспользуемся тем, что t m = 2t тт — t т-2 + t И(6)

ИЛИ

= ^-1 -人一/mf-1 + "-比一2+ • • • +^2 + ^1-

А так как /1—/2=- . . — tk=tk+1=l, то мы получаем удобный алгоритм для вычисления последовательности {〃}：.…

»т — ^/л-J = £，广(7)

Просуммировав формулы (7), отвечающие последовательным значениям т, получим

т —Л—1

。=1 + £ (tn-k-i^i，(8)

(Формулы (7) и (8) в [1] отсутствуют.)

Обобщим далее формулу (5):

s〃 = s— + s吁….(9)

Случай A: k—2l—1 (нечетно), n=2zn—1 или 几=2m.

Из рис. 4 видно, что число симметричных позиций равно

S= = S25 — 1 = S2m = 〃 + '像T + 'm一2-1 + "+厶，

S〃一2 §27〃一3 §2wz— 2 :~ £切一1 ~f~ ^in — Z —1 HF /胆一Z— 2 + • • * + f 1， rn-2l

S以 S〃一 2 =。‘血-l +力

x= 1

(при замене разности fm—О— суммой мы воспользовались формулой (7)]. Таким образом,

.S〃 — S〃—2 = S2(m~l)-1 ~ $2(5—D = Sqf-D：

что и требовалось доказать.

Случай Б:尼=2/ (четно). Случай Б аналогичен случаю А, но значения п=2т и п=2т—1 необходимо рассматривать отдельно:

S2m — 'm +'mT + &-Е-1 + • ■ * +»£,

1 = J +‘加-Z-1 +。-2-2 十■，+，［,hJ-i + 'z»—Ет + '/я —£-2 + ■ * - +匕,

S2m-3 —+ ^z/j-Z-2 +^-Z-3 + - •+，丄，

t щt т-1 + t т

т т — 1 ~b* т— 1—1*

Подставляя вместо разности /т——/т_г сумму 右 по формуле (7), получаем в обоих случаях, как и прежде, соотношение (9).

4 2加—I ►*• • a « * •• • f *« * •• • ■• « «*«-—加""一'.—>速••« * о о о о 0 承•• • * -加一/ f —左=2/—1T* …* 0 0 00 0 00 *…+ 一也一/- 1 - — 2/+ 1 • ■ >4 2加—I ►*• • a « * •• • f *« * •• • ■• « «*«-—加""一'.—>速••« * о о о о 0 承•• • * -加一/ f —左=2/—1T* …* 0 0 00 0 00 *…+ 一也一/- 1 - — 2/+ 1 • ■ >- 2肌T* ** •・• ••• ••• *- 2肌T* ** •・• ••• ••• **•••* 0 0 0 0 0 0 * …*-制一/ — 一人 + 1 =2/ +* …* о о о о о о 0 0 * …*—w-/—1 f <— 2/+2"—T*•••* 0 0 0 0 0 0 * …*-制一/ — 一人 + 1 =2/ +* …* о о о о о о 0 0 * …*—w-/—1 f <— 2/+2"—T

4 2加—I ►

*• • a « * •• • f *« * •• • ■• « «*

«-—加""一'.—>

速••« * о о о о 0 承•• • * -加一/ f —左=2/—1T

* …* 0 0 00 0 00 *…+ 一也一/- 1 - — 2/+ 1 • ■ >

4 2加—I ►

*• • a « * •• • f *« * •• • ■• « «*

«-—加""一'.—>

速••« * о о о о 0 承•• • * -加一/ f —左=2/—1T

* …* 0 0 00 0 00 *…+ 一也一/- 1 - — 2/+ 1 • ■ >

- 2肌T

* ** •・• ••• ••• *

- 2肌T

* ** •・• ••• ••• *

*•••* 0 0 0 0 0 0 * …*

-制一/ — 一人 + 1 =2/ +

* …* о о о о о о 0 0 * …*

—w-/—1 f <— 2/+2"—T

*•••* 0 0 0 0 0 0 * …*

-制一/ — 一人 + 1 =2/ +

* …* о о о о о о 0 0 * …*

—w-/—1 f <— 2/+2"—T

*000*0000 0 0 *0 0 0 *琳 0 0 0 00 0 *琳 0 0 0 00 0 *

*000

*000

0 0 0 *

0 0 0 *

琳 0 0 0 00 0 *

琳 0 0 0 00 0 *

Рис. 4. Симметричные позиции при игре в тупннз с блоками из A k

нулей подряд.

Производящие функции для tn и sw имеют следующий вид:

7(z,公=工芈3 = &^%,

S(Z,田=£s汐^互9r.

i=0

Формулы (7) и (9), а также соотношения un—(tn—sft)/2, vn= (Zn+sn)/2 позволяют вычислить значения, приведенные в табл. 2. Многоточия означают, что при мень-

ТАБЛИЦА 2

Значения r（3 s（3 〃‘3 疗）при fe=2, 3,…，9

Л ... 3 4

567891011121314

/п . . 1 2 e s必…:？

"以…10

勿..1 2

4712213765114200351616

23457912162128

124815285192165294

35813223763108186322

15

16

17

18

19

20

21

22

23

1081

1897

3329

5842

10 252

17 99】

31 572

55 405

97 229

37

49

65

86

114

151

200

265

351

522

924

1632

2878

5069

8920

15 686

25 570

4 8 439

559

973

1697

2964

5183

9071

15 886

27 835

48 790

24

25

26

27

28

29

30

A=2

170 625

2 9 9 4 26

5 25 4 56

922 111

1 618 192

2 839 729

4 983 5 77

465

616

616

1081

1432

1897

2 513

85 080

262 320

262 320

460 515

80 8 380

I 418 916

2 4 90 4 32

85 545

263 136

263136

461 596

809 812

1 420 813

2 4 92 94 5

•

4 5 6

78

9

10

11

12

13

14

15

16

..124

7 11

17

27

44

72

117

189

305

493

I *

1 2 2

33

5

5

8

8

13

13

21

21

0 0 1

24

6

И

18

32

52

86

142

236

1 2 3

57

11

16

26

40

65

101

163

257

17

18

19

20

21

22

23

24

25

798

1292

2091

3383

5474

8855

14 328

23 184

37 513

34

34

55

55

89

89

144

144

233

382

629

1018

1664

2692

4383

7092

11 520

18 640

416

663

1073

1719

2781

4472

7236

11 664

18 873

26

27

28

29

30

31

32

60 697

98 209

158 905

257 1 14

416 020

673 135

1 089 155

233

377

377

610

610

987

987

30 232

48 916

79 264

128 252

207 705

336 074

5 4 4 0 84

30 465

49 293

79 641

128 862

208 315

337 061

545 071

...5 6 7

89 10 1112 13 1415161718

…12 4

...122 Л = 4 . . 0 0 1

…1 2 3

7111623345281126194296450

334568912141822

24691422365790139214

5710142030456910415723G

192021222324

252627

68510461601245237535739

273441526379

比329507780120018452830

355540821125219082909

877113 404204 89

97120149

4337664210170

4434676210319

28

29303132333435

31 323

I183

I" 15 572

15 755

47 904732521 12 004171245261 813400 285612009

228280348429513657811

23 83836 48655 82885408130 641199 814305599

24 0663676656 17685837131 172200 4713064】。

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

2

4

7

11

16

22

30

42

61

91

137

205

303

1

2

2

3

3

4

4

6

6

9

9

13

13

19

.0

0

1

2

4

6

9

12

1 8

26

41

62

96

142

.1

2

3

5

7

10

13

18

24

35

50

75

109

161

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

443

644

936

1365

1999

2936

4316

6340

9300

13 625

I 19

28

28

41

41

60

60

88

88

129

-212

308

454

662

979

1438

2128

3126

4606

9910

231

336

482

703

1020

1498

2188

3214

4694

10 039

30

31

32

33

34

35

36

37

19 949

29 209

42 785

62 701

91 917

131 758

197 5 28

289 547

129

189

189

277

277

406

406

595

9910

14 510

21 298

31 212

45 820

67 176

98 571

1344 76

10 039

14 699

21 487

31 489

46 097

67 5 82

98 977

145 071

.7

8

9

10

И

12

13

14

15

16

17

18

19

1

2

4

7

11

16

22

29

38

51

71

102

149

1

2

2

3

3

4

4

5

6

7

9

10

13

. 0

0

1

2

4

6

9

12

16

22

31

46

6&

1

2

3

5

7

10

13

17

22

29

40

56

81

20

21

22

23

24

25

26

27

£8

29

30

218

316

452

639

897

1257

1766

2493

3536

5031

7165

14

18

20

25

29

35

42

49

60

69

85

102

149

216

307

434

611

862

1222

1738

2481

3540

116

167

236

332

4 63

64 6

904

1271

1798

2550

3625

k—Q

31

32

33

34

35

36

37

38

10 196

14 484

20 538

29 085

41 168

58 282

82 561

117 036

98

120

140

169

200

238

2 &5

336

5049

7182

10 199

14 458

20 484

29 022

58 350

58 350

5147

7302

10 339

14 627

20 684

29 260

41 423

58 686

..89

)0 11 12 1314151617181920

…1 2

. ~12

I…о о

...12

471 116222937476182114

2334455771010

12469121620273652

3571013172127344662

2122

2324252627282930

162232

._71414

-74109

88123

3314676508941220166022623096

1919262636365050

1562243124 3459281211061523

1752433384606288481 1561573

3132

33343536373839

4261 5893

6969

2096 2912

2165 2981

81751 1 35115 747218033012141 53557 210

959513113118118F2ЯО

40405628780810836И97020 6"28 480

413557237939109671515120 85828 730

• 9

10

11

12

13

14

15

.16

17

18

19

20

21

,..

1

2

4

7

11

16

22

29

37

46

57

72

94

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

8

10

0

Q

1

2

4

6

9

12

16

20

25

32

42

i

2

3

5

7

10

13

17

21

26

32

40

52

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

127

176

247

347

484

667

907

1219

1625

2158

2867

11

14

15

19

20

25

27

33

37

44

51

58

81

116

164

232

321

440

593

794

1057

1408

69

95

131

183

252

346

467

626

831

1101

1459

33

34353637383940

-'823

59

i 1882

)941

51266913936712 72817 3082351331876

707995106128143172

252834174636631 】85901168515852

259834 964731641787181 182816 024

..10 11

12 13 14 15 16 17 1819202122

…12

…12

…00

…12

47111622293746566884

23344556688

12469121620253038

3571013172126313846

23

242526272829303132

107

X И

48

59

14119126335450268692612341626

И1515202026263434

6588124172241330450600796

76103139192261356476634830

33

3435363738394041

2125

★=945

1040

1085

2765359646906148810810 75414 32619 132

4560608080106106140

13601768231530344014532471109496

1405)828237531 144094543072169636

тих положительных значениях 〃 последовательности постоянны.

Из этих последовательностей в «Справочнике» Слоуна [20] представлены только степени двойки t^=2n~2, числа Фибоначчи s^3), последовательность *102 : s俨.

Последовательность {s；j)} приведена в [11] как пример суммы, взятой по обобщенным диагоналям 3尤+2g=〃一1 треугольника Паскаля. Она приведена также в [16, 17, 18] с разложениями на множители и обсуждением свойств делимости. Например,

числа s/2＞，eTHbi только в том случае, если п=7т——3, 7m—2 или 7/n;

наивысшая степень числа 2, которая делит число s^^4t есть «функция линейки» — наивысшая степень числа 2, содержащаяся в 2m;

'***000**・

Рис. 5. «Колесо» для нахождения ним-значений позиций, возникающих при игре в тупинз, где число колонок не превышает восьми.

s%》делится на 3 только в том случае, если п=13/и—3, 13加一°, 13/л или 13/и+б.

Однако мы далеко ушли от игры в тупинз. Какой бросок может считаться наилучшим при начальной расстановке кеглей (рис. 1)? Соотношение эквивалентности (1) Берлекампа говорит нам, что колонкой h можно пренебречь. Соотношение эквивалентности (2) позволяет утверждать, что колонку е можно удалить, не повлияв на позицию. Наконец, соотношение экви валентности (3) дает нам возможность объединить кегли Ь и с в одну колонку, после чего начальная позиция перейдет в позицию

券头十夭我.

Даже не вычисляя ним-значений, можно заключить, что хорошими ходами будут такие, при которых окажется сбитой колонка d или колонка а.

На рис. 5 изображено «колесо», позволяющее находить ним-значения любой позиции, возникающей при игре в тупинз, с восемью или меньшим числом колонок, если известны, ним-значения ряда из кеглей при игре в кегли или кегли Доусона (при игре в шахматы Доусона ним-значения следует сдвинуть на одно место влево):

п

0

1

2

3

4

5 6

7

8 9

10

11

12

К€ГЛИ

0

1

2

3

1

4 3

2

1 4

2

6

4

кегли Доусона

0

0*

1

1

2

0 3

1 0

3

4

2

Пусть, например, вы хотите найти ннм-значение позиции, изображенной в верхней части рнсунка. Двигаясь от «12 часов» к《3 часам» по внешнему ободу колеса, найдите такую позицию. Двигаясь по спирали к центру от первой и последней звездочек, вы обнаружите, что обе ветви спиралей пересекаются в клетке с числом 4. Это и есть ним-значение интересующей вас позиции.

Каков наилучший ход при начальном расположении пешек в шахматах Доусона (рис. 2)? Наш совет: предо-

ставьте противнику право первого хода. Дело в том, что позиция, изображенная на рис. 2, принадлежит к числу так называемых P-позиций (проигрышных позиций выигрывает тот, кто сделал предыдущий ход) и имеет ： нулевое ним-значение.

Austin, Richard, and Guy, Richard. 1978. Binary sequem “ without isolated ones. Fibonacci Quart. 16.

Ball, W. W. Rouse, and Coxeter, H. S. M. 1974. Mathematical Recreations and Essays. 12th ed. Toronto: Univ, of Toronto Pre«>, pp- 36—39.

Berlekamp, E. R.; Conway, J. H.; and Guy, R. K- 1980. Winning ways. New York: Harcourt, Brace Jovanovich.

Bouton, Charles L. 1901 —2. Nim, a game with a complete matht- mathical theory. Ann. Math. Princeton (2) 3: 35—39.

Conway, J. H. 1976. On Numbers and Games. New York: Acad<•- mic Press.

Dawson, T. R. 1934. Problem 1603. Fairy Chess Review, p. ')4.1

Dawson, T. R. 1935. Caissa's Wild Roses. Fairy Chess Revieisul p. 13.

Dudeney, H. E. 1958. Canterbury Puzzles. N. Y.: Dover, pp. 118r 119, 120; Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки.— Мир, 1979, с. 110—111.

Gardner, Martin. 1960. More Mathematical Puzzles of Sam Loydl N. Y.: Dover, pp. 5, 122; Лойд С. Математическая мозаика.-! M.: Мир, 1980, с. 140.

Gardner, Martin. 1974. Mathematical Games: Cram, crosscram 32d quadraphage： new games having elusive winning strategies, ScL Amer. 230 2:106.

Green, Thomas M. 1968. Recurrent sequences and Pascal's tridfw gle. Math. Mag. 41:13—21.

Grundy, P. M. 1964. Mathematics and games. Еигека. 27:9—11 j

Grundy, P. M., and Smith, С. A. B. 1956. Disjunctive games with the last player losing. Proc. Cambridge Philos. Soc. 52: 527—533；! M. R. 18: 546.

Guy, Richard K-, and Smith, Cedric A. B. 1956. The G-values for various games. Proc. Cambridge Philos. Soc. 52; 514—526; M. R・ 18: 546.

Hardy, G. H., and Wright E. M. 1960. An Introduction to the Theory Numbers. 4 th ed. Oxford: Oxford Univ. Press, pp. 117—120.1

Jarden, Dov. 1966. Recurring Sequences. Riveon LetnatematiKOA 2nd ed. 86—9L

J arden, Dov. 1946—47. Third order recurring sequences. RiveoA LetnatematiKa 1: 74; 1952—53 6： 41—42.

Jarden, Dov. and Katz, A. 1947—48. Table of binary linear third] order recurring sequences. Riveon LetnatematiKa 2: pp. 54——55.

Loyd, Sam. 1914. Cyclopedia of Tricks and Puzzles. New Vorks Dover, p. 232; Лойд С. Математическая мозаика.— M.: Мир, 1980,1 с. 344.

Sloane, N. J. А. 1973. A. Handbook of Integer Sequences. Ne* York: Academic Press. ..

Sprague, R. P. 1935—36. Uber mathematische Kampfspiele. To A hoku Math. /.41: 438—444; Zbl. 13: 290.J

Претцель—забавадля одинокого математика

Н. Г. де Брейн

Карточные игры типа «солитер» — занятие не из веселых. Вы начинаете с того, что раскладываете в определенном порядке тщательно перетасованные карты и, руководствуясь определенными правилами, пытаетесь найти последовательность ходов, ведущих к заранее поставленной цели. Обычно ходы необратимы, и поэтому могут возникать тупиковые позиции, в которых нельзя сделать ни одного хода. Если вам сопутствует удача и удается достичь заветной цели, то вы испытываете некоторое удовлетворение. Если же раскладка солитера завершается тупиковой позицией, то вас обычно охватывает грусть. Причина разочарования вовсе не в том, что фортуна обернулась против вас: просто вам хотелось бы знать, так ли неизбежна постигшая вас неудача. Вам грустно от мысли, что игра, быть может, была испорчена по вашей вине. Как правило, к концу игры вы забываете начальную позицию ——и проследить игру ход за ходом оказывается невозможным. Особенно неприятно и обидно, когда не удается проанализировать ход игры с полной информацией, т. е. в том случае, когда карты раскладываются рубашкой вниз.

Математикам не свойственно гордиться случайным решением задачи: они стремятся иметь общий метод, позволяющий находить решение во всех случаях, когда 0Ho существует (или же доказать, что решения нет, если 0Ho не существует).

Математик стремится к тому, чтобы суметь проанализировать любой расклад карт, и, не прикасаясь к картам,

либо указать решение задачи, либо доказать его отсутствие. Ясно, что реализовать такую программу удается； только для не слишком сложных карточных игр. Мы хотим предложить для исследования игру с двумя цело] численными параметрами, которые игрок может выбирать по своему вкусу (или по своим способностям) с тем, чтобы игра не была ни слишком простой, ни слишком * сложной. Нашу игру мы назовем (& X п)-претцель. Игр， эта давно известна (по крайней мере ее вариант, отвечающий значениям 々=4, я—13; описание обычной игры в (4х 13)-претцеаь приведено в п. 5), н проследить ее про、 исхождение трудно. Название игры предложено нами —оно заимствовано от сорта печенья, имеющего форму узла.

Для игры в (йх/г)-претцель требуется колода карт, содержащая 论 мастей, по п карт каждой масти. Для простоты условимся, что 4=4 и будем обозначать масти буквами П, Ч , Б и Т (пики, червы, бубны и трефы). Карты каждой масти условимся нумеровать числами от 1 до п (карту со значением единица обычно называют тузом) и обозначать символами П1, . . ., Пп; . . .; Т1,

Тщательно перетасовав карты, разложим их на столе в виде прямоугольника из 4 рядов и п столбцов. Затем] выберем тузы и расположим их отдельным столбиком слева от прямоугольника в последовательности (сверху вниз)Ш, 41, Б1, Т1. Мы получим прямоугольник размером 应 X (п+0 с четырьмя пустотами, которые назовем ла-| кунами. Каждая лакуна по размеру совпадает с играль-] ной картой. Мы называем лакунами и «зияющие пустоты», возникающие в том случае, если все четыре лакуны

сосредоточены в одном последнем столбце. Полезно представлять себе, что все карты (и лакуны) заключены в рамку размером ^Х (п+1), что позволяет отличать лакуны от бесконечного внешнего пространства. В процессе игры выкладывать карты вне рамки не разрешается. Изображенная на рис. 1 позиция является одной из возможных позиций в (4х4)-претцеле.

Теперь мы можем приступить к игре. Ход состоит в заполнении лакуны такой картой, что карта (той же масти), имеющая номер на единицу меньший, соседствует с лакуной и лежит слева от нее. Например, в позиции рис. 1 первый ход можно сделать, переложив любую из карт П2, 43, 42, Б2. Сделав первый ход, мы заполним одну лакуну; однако при этом образуется одна новая лакуна, заполнение которой явится нашим вторым ходом. В конце игры мы должны получить позицию, изображенную на рис. 2. Назовем ее финишем игры.

Позиция называется разрешимой, если существует последовательность ходов, ведущая к финишу (сама финишная позиция также считается разрешимой). Если же такой последовательности не существует, то позиция называется неразрешимой. Отличная от финишной позиция, в которой нельзя сделать ни одного хода, называется тупиковой. Ясно, что ^пиковые позиции неразрешимы.

Правила игры мы пояснили для случая, когда 央=4, 几=4, но они остаются такими же и при всех значениях 无и п.

Позиция рис. 1 разрешима; от нее можно прийти к финишу, например, с помощью последовательности ходов

П2, П4, Т4, ТЗ, Б4, Б2, БЗ, Т2, 44, 42, ПЗ, П4, Б4, ТЗ, Т4 (1)

Изменим теперь наши обозначения. При игре в прет- Пель столбцы в позиции не играют никакой роли; поэтому нашу позицию можно задать линейной записью, обозначая концы рядов звездочками:

П1—4442—^41—43 Т2 Т4*Б1—Б4 ПЗ П2*Т1В2 БЗ ТЗ ГШ. ⑵

(4x2) -претцель и (4хЗ)-претцель ——игры, весьма скучные. В отличие от них игра в (4 х 4)-претцель может

быть захватывающе интересной. Увлекательно также; раскладывать (4x5)- и (4х6)-претцели (по правилам^ указанным в п. 2).

При больших значениях п имеющегося у автора опьь та недостаточно, чтобы сказать, под силу ли среднем^ * игроку разрешить возникающие позиции, не прикасаясь к картам, без карандаша и бумаги н без использования ЗВМ.

Пусть р (七忆)——вероятность того, что случайная позиция при игре в (/гхп)-претцель разрешима. За нс/ ключением случаев 〃&2, точное вычисление вероятно-! стен 〃伍，л) весьма затруднительно. Если 〃=2, то не-1 разрешимы только позиции с циклической блокадоиЛ В циклической блокаде часть мастей (или все масти) че-| редуется в циклическом порядке, например Ч->Б->П- Ч, так, что, скажем, (Б1 42), (П1 Б2) и (41 П2) — пары со-1 седних карт. При 饱=4, /z=2 существует 40 позиции | с 3-циклом, 168 с одним 2-циклом и 6 с двумя 2-циклами, т. е. всего 214 неразрешимых позиций. Общее число по-| зиций равно 1680.

Л!ожно считать, что р(4, 4) по порядку величины! близко 0,45. Автор в течение длительного времени сыгЛ рал в (4х4)-претцель несколько сотен раз. Во всех слу-Я чаях ему удавалось определить (нередко с нарушением! правила о «неприкосновенности» карт — делая «безо-1 пасные ходы», о которых пойдет речь в п. 14). разрешив ма ли возникшая позиция или неразрешима. Кроме того, 1 2473 случайные позиции были проанализированы с| помощью ЭВМ, 1123 из них оказались разрешимыми, остальные 1350 неразрешимыми.

Не столь богат опыт, накопленный автором при игре! в претцель, где 几=5 или п=6. Как показывает весьма I грубая оценка, р(4, 5) имеет величину порядка 0,1.

(4Х13)-претцель также содержит немало разреши-! мых позиций. Обычно, играя в него, ставят перед собой I задачу не достичь финиша, а продвинуться как можно I дальше. Играющий стремится получить длинную после-1 довательность П1, П2, . . ., Пр в первом ряду и анало| гично 41, . . ., Ч^, Б1, . . ., Br, Т1, . . .. Ts в после-1 дующнх рядах. Если позиция оказывается тупиковойл играющий изымает все карты, не принадлежащие этим! поапедовательностям, перетасовывает колоду и снова

заполняет прямоугольник, оставляя лакуны рядом с картами Пр, q，， Er, Ts справа от них, после чего приступает к игре еще раз. Возможно, что после второго тура придется сыграть третий. Игрок может считать, нто ему повезло, если ему удастся достичь финиша в третьем туре.

Иногда финиша удается достичь в первом туре. Это происходит примерно в одном случае из 1000. Наши наблюдения позволяют оценить р (4, 13) только снизу, так как неизвестно, сколько разрешимых позиций оказывается загубленными неудачными ходами. Судя по имеющемуся опыту, вероятность р (4, я) не убывает экспоненциально при л->оо.

В п. 5 мы упомянули о том, что (4 X4)-претцель проигрывался на ЭВМ. В основу программы было положено изучение графа игры. Вершинами графа служили все возможные позиции. Если из позиции Р в позицию Q можно перейти одним ходом, то на графе игры эти вершины соединены ориентированным ребром, ведущим из Р в Q. Обозначим через S (Р) множество всех вершин, достижимых из вершины Р за конечное число ходов. Анализ игры сводится к нахождению ответа на вопрос о том, принадлежит или не принадлежит финишная позиция Ро множеству S (Р), где Р ——фиксированная исходная позиция.

Для любой позиции Р множество S (Р) легко закрепить в памяти ЭВМ путем перебора всех вершин, достижимых за один ход из вершин, уже включенных в S (尸). Перебор вершин завершается, когда очередной шаг не приводит к расширению множества 5 (Р) (позиция Р неразрешима) или когда финиш Р° включается в S(P). В последнем случае позиция Р разрешима, и необходим мость в построении всего множества S(P) отпадает.

Если позиция Р неразрешима, то число элементов в S(P) редко превышает 60, но в отдельных случаях оно Достигало 380. Если же позиция Р разрешима, то, прежде чем удавалось достичь финиша 戸°, приходилось про* сматривать около 150 вершин, а максимальное число просмотренных вершин оказалось равным 802. Однако сама по себе мощность множества S (Р) не представляет особого интереса. Если это множество очень велико или °чень мало, то проанализировать позицию Р удается»

не прибегая даже к карандашу и бумаге, не говоря уже! о ЭВМ.

От одной позиции к другой в претцеле могут вести I множество различных последовательностей ходов: нног・] да одни и те же ходы можно совершить в различном по] рядке, порой же возникают полностью различные после-1 довательности ходов, не имеющие общих позиций, кроме начальной и конечной. Это означает, что составлять программу для ЭВМ на основе ретроспектмвного проела! жпвания ходов нерационально.

При игре в (4х4)-претцель и произвольной разре-| шимой начальной позиции Р обычно нетрудно найти решение «в уме», хотя нередко встречаются и довольно! головоломные случаи. Но как доказать, что та или иная позиция неразрешима? Найти целиком все множестве S (尸)— чаще всего непосильная задача для человеческого (не электронного) мозга. Но существует множестве» других способов, позволяющих доказать неразрешимость! позиции.

Один из них связан с понятием циклической блокады В п. 5 мы у;ке касались этого понятия в его простейшем варианте. Но часто циклическая блокада имеет сложную форму, как, скажем, в следующем примере. Рассмотрим какую-ннбудь карту q. Докажем, что если в процессе перекладывания карта q когда-нибудь сдвинется с места, то перед тем, как это произойдет в первый раз, должна сдвинуться с места карта с?. Затем заметим, что карта Сз не может сдвинуться с места до того, как в первый раз сдвинется с места карта г2. Следовательно, в любом решении непременно наступит момент, когда карта & впервые сдвинется с места, а карты q и q по- прежнему будут оставаться на местах. Далее найдем карту q, которая должна сдвинуться с места до того, как впервые сдвинется с места карта с^, и т. д. Продо.1- жая рассуждать таким же образом, мн получаем все возрастающее множество карт, которые не успеют ни разу сдвинуться с места к определенному моменту в ходе игры, и это обстоятельство все более подкрепляет нашу аргументацию. Если рано или поздно нам удастся замкнуть петлю, заметив, что карта q должна сдвинуться с места до того, как сдвинутся с места все остальные карты,

мы тем. самым докажем, что исходная позиция неразрешима.

Разумеется, математик, играющий в претцель, откроет немало трюков, облегчающих доказательство неразрешимости различных позиций.

Такие трюки иногда бывает довольно трудно сформулировать словесно. Нередко они сводятся к смешанному анализу позиции, проводимому в двух направлениях — вперед и назад. С анализом в обратном направлении мы только что познакомились при рассмотрении циклической блокады. Анализ «вперед» сводится к рассмотрению всех возможных первых ходов в начальной позиции: если от позиции Р за один ход можно перейти В любую ИЗ ПОЗИЦИЙ Ph Р2, Рз ИЛИ Р4 и если позиции Pi, Pg, Рз, Р4 неразрешимы, то позиция Р неразрешима. Необходимо тщательно следить за тем, чтобы не смешивать тот и другой анализы, так как нетрудно принять желаемое за действительное и получить неверное доказательство неразрешимости, а это хуже, чем не иметь доказательства вообще. Обычно от возможной ошибки в доказательстве можно застраховаться, заменив его более надежным вариантом, основанным на теореме об «усечении» из п. 8.

Неудачи, постигшие вас при попытке найти реиение, могут оказаться полезными при доказательстве неразрешимости соответствующей позиции, и, наоборот, неудачи, постигшие вас прн попытке доказать неразрешимость, могут навести на решение. И то и другое не может не заинтересовать математика!

Пусть р — целое число, удовлетворяющее неравенству 1&р<〃，Еп(р) — множество карт масти пики (П) со значениями &р (т. е. {ГП, П2, . . ., Пр}). Множества Eq, /, £т определим аналогичным образом и обозначим через 尸 加 q, г, s) их объединение:

■尸(р, % г, s) = Еп (р) и >q (д) и Ее (г) U Ет (s).

Объединение 尸(р, д, г. s) назовем вместилищем. При 力芒丄 вместилище определяется аналогичным образом.

Пусть Р — позиция, возникающая при игре в {kXn)- Претцель и 尸——вместилище. Назовем усеченной по вместилищу F позицию, возникающую из Р при отбра- снванни всех карт, не принадлежащих 尸.Заметим, что

усеченная позиция не является позицией в смысле опре? деления, приведенного в п. 2 [за исключением тривиаль ного случая F=F(n, п, п, и)]. Тем не менее в претцель можно играть, рассматривая вместо полных позиций усеченные, если определять ход так же, как в п. 2. Условимся, что какое бы ни было вместилище 尸.в усеченный (й\п)-претцель надлежит играть, раскладывая карты в исходной рамке размера йх (п+1) [поэтому (^Хп)-претцель отличается от Ikx (п+1)]-претцеля, усе-| ченного по вместилищу F(n, п, п, п)]. Финишем усе-| ченного Претцеля называется позиция Р； исходного (неуч сеченного) претцеля, полученная нз финиша Р° усечением по F, Как н прежде, будем называть усеченную позицию разрешимой, если существует последовательность ходов, переводящая ее в финишную позицию Р；.

Пусть Р и Р? — такие позиции (или усеченные позиции), что Pf преобразуется в Р2 за один ход;尸 ——I вместилище н 尸；——позиция, возникающая из 尸)при усечении по 尸.Если карта, перекладывание которой переводит Pi в Р?, принадлежит F, то тем же ходом Р； можно перевести в 立;.Если же карта, перекладывание которой переводит Pi в Р2, не принадлежит 尸,то Р； =Р] Применяя это рассуждение к последовательности ходов с заданным вместилищем F, мы получаем теорему/ которая может служить необходимым признаком разрешимости:

Теорема. Если позиция Р разрешима, то любое ее усечение также разрешимо.

В наиболее простых случаях теоремы об усечении из п. 8 одно из усечений рассматриваемой позиции заперто. Например, позиция

П1 Б4 ПЗ Б2 42*5 БЗ—Ч4—*Б1 43 Т2 П2—х-Т1 Т4 П4 ТЗ—*

неразрешима, так как ее усечение по вместилищу F(l, 3, 3, 1) приводит к тупиковой позиции

П1—Б2 Ч2Л1 БЗ*Б143洋 Т1

----一*,

не допускающей ни одного хода.

В более сложных случаях нам удается показать, что усеченная позиция неразрешима, но не является тупи-

ковой или что каждый ход из исходной позиции переводит ее в позицию, для которой можно указать неразрешимое усечение, и т. д.

Ход называется безопасным, если он не переводит разрешимую позицию в неразрешимую. В неразрешимой позиции все ходы по определению считаются безопасными, но во многих разрешимых позициях могут существовать и небезопасные ходы.

Нередко безопасность хода удается доказать. Рассмотрим, например, позицию Р, где карта с лежит на месте р. Перекладывание карты с с места р на место q ——заведомо безопасный ход, если выполняются два следующих условия:

место справа от р (рядом с，) либо находится за рамкой, либо занято картой той же масти со следующим по величине «значением», либо же с — старшая карта в своей масти;

при любой последовательности ходов, ведущих от Р к финишу Ро, место q может быть занято только картой с.

Условие 1 гарантирует, что от карты & лежащей на месте 〃，«не будет проку», а условие 2 — что от карты с, лежащей на месте д, «не будет вреда».

В связи с условием 2 следует заметить, что довольно часто удается без особого труда предсказать, какие карты не могут оказаться на том или ином месте. Например, рассмотрим пять левых карт в ряду П1 43 Т2 Б4 ПЗ Б2 БЗ. Мы вправе утверждать, что кандидатами на второе место справа (занимаемое картой Б2) могут быть только карты П6, 47, Т5, Б6 и П4.

Безопасные ходы получают еще одним способом. Если в последовательности ходов перекладываются только карты бубновой масти и по завершении последовательности все эти карты оказываются на тех местах, которые 0HH занимают в финишной позиции, то вся последовательность состоит из безопасных ходов. Утверждение остается в силе, если слова «бубновой масти» заменить словами «бубновой и пиковой мастей» или «бубновой, пи- ковой[ н трефовой мастей». '

Все эти утверждения легко выводятся из теоремы об Усечении. ——

Если в позиции Р существует только один ход, то он заведомо безопасен.

Предположим теперь, что в позиции Р существуют два хода: при одном ходе мы перекладываем карту &, при другом — карту с2, причем если q и q— карты одной масти, то «значение» (или номер) карты с? отличается от номера карты q по крайней мере на два. (Это условие исключает «взаимосвязь» рассматриваемых ходов: после перекладывания карты q старый ход для с2 по-преж нему остается возможным и наоборот.) Кроме того, ма предполагаем, что первый ход (перекладывание карта G)переводит Р в позицию, в которой возможен только ход картой q. В этом случае можно утверждать, что) ход картой 匸2 безопасен для позиции Р.

Эта простая идея доказательства безопасности ходов допускает обобщение на случай более чем двух невзанмо^ связанных ходов или невзаимосвязанных последователь] ностей ходов. Математик, играющий в претцель, несом彳 ненно придет к рассуждениям такого же рода.

Наконец, нельзя не упомянуть и о том, что в любой позиции безопасность хода удается доказать, если мы убеждаемся, что все остальные ходы небезопасны, т. е приводят к неразрешимой позиции.

В п. 1 мы говорили о том, что анализ игры в прет< цель следует проводить, не прикасаясь к картам. Иног* да все усилия провести анализ в уме могут не увенчаты ся успехом. В таких случаях разумно модифицировать! правила и разрешить себе делать ходы до тех пор, пока удается доказывать, что они безопасны.

Можно позволить себе еще одно отступление от правил при анализе циклической блокады (см. п. 7): оцени^ вая возможные последствия первого перекладывания той или иной карты, класть монетки или пуговицы на тё карты, которые нельзя сдвинуть с места раньше.

До сих пор наш Претцель удовлетворял следую^ щим условиям:

карт каждой маета было поровну;

все ряды в рамке (см. позицию (1)) имели однна： новую длину;

число свободных мест было равно числу мастей. Нарушив все три условия, мы тем не менее получим игру, к которой относится почти все, что было 'сказано о

претцеле в предыдущих пунктах. В качестве примера можно привести позицию с линейной записью

П1 Б4 БЗ—ПЗ П5*Ч1 42 П4 Б2^Б1—П2 43s,

допускающую решение

Б2, П5, П4, 43, Б4, П2, БЗ, ПЗ, Б4, П4, П5.

Предлагаем вниманию читателя несколько задач, почерпнутых из набора случайных позиций. Задачи, отмеченные звездочкой, очень трудны: запас трюков, имеющийся у автора, по-видимому, недостаточен, чтобы пред^ дожить их изящное решение. Задачи 1——9 относятся к (4x4)-претцелю, задачи 10—16 ——к (4х5)-претцелю.

П1 Б2—БЗ n3*Ul—Т2 42 В4*61—П4 ТЗ 44* Т1 П2 43—Т4^.

П1—42 43 ПЗ*Ч1 44 П4—Б2-：Б1—ТЗ ПЗ Т2蒲 Т1 Б4 БЗ Т4—*.

3・ П1 ТЗ—Т4 44*91—64 42 Т2*Б1 БЗ П4 П2 ЧЗ^Т1—Б2—ПЗ*.

ГП П2 Б4 ТЗ E3*qi Т4—43 Ч4*Б1 П4 42—* Tl—52—ПЗ*.

П1 Т4 Т2 БЗ—* 41 42 43 44—*Т1 П4 ПЗ ТЗ Б4-Т1 Б2—П2—*.

П1 Т4 44—42*41 БЗ Б4 ТЗ П4-Б1 ПЗ—43—* Т1 П2—Т2 62*.

7*. П1 Б2 Т2—42*41 ПЗ Б4 Б2—*Б1 44 ТЗ 43 Т4*Т1—П4 П2—*.

П1 Т2 ТЗ П2—*41Б2 Ч4^Б1 БЗ 43 П4

Ч2^Т1 Т4 ПЗ—Б4*.

Ш Б4 П4 П2 44*41 Т4 БЗ 42 Т2*Б1—ТЗ—43* Т1 ПЗ—В2—

П1 Б4 Т4 БЗ—Т5»Ч1—Б5—45 Ч2*Б1 Т2 ПЗ 44 43 ПЗ *Т1 П2 П5—ТЗ Б2«.

П1 П5 Б2 42—64Л1 44 П4 ПЗ—63*61 45 Т5 Т2 БЗ—Т1 П2—ТЗ 43 Т4*.

П1 Т4 Б5 БЗ П5 Т2*Ч1—Б4—ТЗ П2*В1 Т5 44 43—44* Т1.Б2 42 П4—ПЗ*.-

-13. П1—Т4 44 Т5 Б4*Ч1 БЗ 42 П2 42 Ч5*Б1 Б5—Б2—ЧЗ*Т1 ТЗ ПЗ П5—П4*.

14*. П1 П5 П2 БЗ 43 Е4*91—Т2 БЗ ПЗ 44*5」 42 Т4 45 ТЗ*Т1 Т5—П4 Б2—*.

П1 Т4—В2 Т5 П4Л1 П5 Б5 45 Б4 ЕЗ*Е1 45 П2 44—ТЗ*Т1 ПЗ 43—Т2—».

П1 Т4 42 Б4—Б2Л1 ТЗ Т5 БЗ П5 Ч5»Б1—44 П4—Т2*Т1—Б5 43 ПЗ П2*.

Решения

Позиция разрешима: БЗ, Б4, 43, ПЗ, П4, Б2 БЗ, 42, П2, ПЗ, Т2, ТЗ, Б4, П4, Т4, 43, 44.

Позиция неразрешима: после усечения по 尸(1, 1

3, 3) она двумя ходами переводится в тупиковую позицию

Позиция неразрешима. После усечения по 尸(4, 1 3, 4) ход БЗ безопасен, после чего Б2, Т2, ТЗ, П2, ПЗ — последовательность безопасных ходов, приводящая к тупиковой позиции.

Позиция неразрешима: после усечения no F(4, L 4, 1) она одним ходом переводится в тупиковую позицию

неразрешима: 43 и Б4 блокируютнеразрешима: 43 и Б4 блокируютПозиция разрешима: Б4, Т4, БЗ, ТЗ, П4, ПЗ, Б2. БЗ, Т2, ТЗ, П2, ПЗ, П4, Т4, Б4.

неразрешима: 43 и Б4 блокируют

неразрешима: 43 и Б4 блокируют

неразрешима.неразрешима: проведите усечениенеразрешима.неразрешима: проведите усечениеПозиция друга.

неразрешима.

неразрешима: проведите усечение

неразрешима.

неразрешима: проведите усечение

Позиция

разрешима: Т4, 42, Б4, П2, П4,разрешима: Т4, 42, Б4, П2, П4,Позиция 尸(2, I, 1, 4).

разрешима: Т4, 42, Б4, П2, П4,

разрешима: Т4, 42, Б4, П2, П4,

Позиция

П4, Б2, Т2, ТЗ, Т4, БЗ, Б4, 43, 44.

Позиция неразрешима: ход 43 безопасен, каждый из следующих 14 ходов единствен, а все вместе приводят к тупиковой позиции.

Позиция разрешима: Б4, 43, 44, 42, Т4, Т5. БЗ, ТЗ, ПЗ, П4, 43, 44, 45, Б4, Т4, Б2, БЗ, П5, П2. ПЗ, П4, Т2, Б4, П5, ТЗ, Т4, Т5, Б5.

Позиция неразрешима: после усечения пс 尸(4、1, 1, 4) она двумя ходами переводится в тупиковую позицию.

Позиция неразрешима. Ход П2 безопасен, та¥ как ход БЗ приводит к неразрешимой позиции [усечение по F (1, 1, 5, 1)]. По той же причине безопасны ходы

ТЗ, Т2, В4. бледующие 13 ходов. единственны (с точностью до перестановки 10-「о и 11-го ходов) и приводят к тупиковой ПОЗИЦИИ.

Позиция неразрешима.

Позиция разрешима: 44, ТЗ, ПЗ, П4, П5, Т5, Т2, 4 2, БЗ, 43, ТЗ, 45, 44, Б4, 45, Т4, П2, ПЗ, Б2, БЗ, Б4, П4, П5, Б5.

Позиция разрешима: Б2, Т2, П5, Б4, 43, 44, 45, БЗ, Б5, ТЗ, Т4, 42, П2, ПЗ, Т5, 43, 44, П4, П5, Б4, Б5, 45.

Несколько замечаний по поводуодной задачи из игры в гекс

Клод Берж

Любители занимательной математики по достоинству оценили глубину и красоту игры в гекс 審，предложенной почти одновременно Питом Хейном в Дании и Джоном Нэшем в США. Особенно привлекателен гекс для мате- мати ка- п рофессион ал а. Играют в гекс вдвоем. Игроки поочередно делают ходы, вставляя фишки в отверстия («лунки») специальной доски, изображенной на рис. 1. Первый из двух соперников играет черными фишками и выигрывает, если ему удается выстроить (сколь угодно извилистую, но непрерывную) цепочку черных фишек от «восточного» края доски до «западного». Второй участник игры пытается выстроить цепочку белых фишек от «северного» края доски до «южного». Оптимальные размеры доски 14х 14. Рассуждая от противного, можно доказать, что для того, кто делает первый ход, существует выигрышная стратегия. Чтобы уравнять шансы, по требованию второго игрока место для первой фишки может быть локализовано в определенном участке доски. Еели снлы игроков неравны, для их уравнивания может быть использован гандикап (преимущество, или фора, предо-

ставляемое более слабому игроку) любого типа — игра при этом почти не утрачивает своей эстетической привлекательности.

Я хочу предложить одну задачу из игры в гекс, которую посвящаю Мартину Гарднеру. Желательными осо-

Себер

А В С D Е F G Н I J К L М NА В С D Е F G Н I J К L М NABCDEFGHI J К L М NABCDEFGHI J К L М N初初Рис. 1. Доска для игры в гекс.Рис. 1. Доска для игры в гекс.

А В С D Е F G Н I J К L М N

А В С D Е F G Н I J К L М N

ABCDEFGHI J К L М N

ABCDEFGHI J К L М N

初

初

Рис. 1. Доска для игры в гекс.

Рис. 1. Доска для игры в гекс.

бенностями игровой «задачи», будь то шахматная задача или задача на игру в гекс, могут быть, например, единственность решения, неожиданность заложенной в задаче идеи и т. д. (Напомним, что один из величайших, мастеров шахматной композиции Сэм Лойд видел главную цель своего творчества в составлении шахматной задачи, в которой первый ход был бы противоположен предлагаемому 999 шахматистами из 1000.)

Мы хотели бы избежать излишних усложнений н иметь несколько ходов в «миттельшпиле», поэтому откажемся от критерия единственности ключевого хода и требования, чтобы на диаграмме белых и черных фишек было поровну: позиция с неравным количеством черных и белых фишек может возникнуть при уравнивании сил противников с помощью гандикапа. Задача, которую я предлагаю (см. рис. 2), трудна не сложностью по

зиции и не большим числом подлежащих просчету вариантов. Белые легко могут выстроить цепочку от северной стороны доски до южной, заняв лунку J9 или лунку Л18. Так как черные не могут занять обе эти лунки одновременно, кажется, что их позиция безнадежна. Задача формулируется так: черные начинают и выигрыш вают!

УО (белые)

Рис. 2. Черные начинают и выигрывают.

Как показывает несложный анализ позиции, черные фишки можно разбить на две группы, примыкающие к западному краю доски и не доходящие до восточного ее края. Обе группы окружены стенками из белых фишек с проходами (каждый «проход» указан в приводимой ниже «описи» стенок своим началом и концом, например fill—СЮ).

Первая стенка:

ЛИ,В10,ВИ—СЮ, Cl 1,D\ 1—DI 1,£10,£11—F10, 尸 11, 611—GIO, 〃10, "11—/10, /И, J11—/10, К10, ^ll—110, Lil, L12—АШ, ЛИ2, N12, ^13, ЛЧ4;

вторая стенка:

/8, 38, С8, C9—D8, D9, £8—£9,尸8,尸9—G8, 09, Н9—Н8, /8, /9—J8, J9, K9—K8, L8, L7, 丄6—Мб,財5, N4, N3, N2, Nl.

Как нетрудно видеть, ни одна из критических лунок (например, С9, D8 и т. д.) не принадлежит ни одной из двух стенок. Следовательно, рассчитывать на то, чта какая-то комбинация позволит пройти《по крайней мере сквозь одну из стенок», не приходится. Кто бы мог подумать, что только черная фишка L9 станет началом новой цепочки, идущей от западной стенки к восточной? После того как черные займут лунки Л46, Л411 и L10, цепочка черных фишек пройдет через лунки К9, J10, /10, /9,日9, GIO, F10, F9, ЕЮ и т. д.

Было бы интересно решить несколько задач из игры в гекс, используя нетривиальные теоремы о комбинаторных свойствах множеств (состоящих из групп критических лунок). Не следует забывать, что знаменитая шахматная задача Сэма Лойда («комета») основана на понятии четности ——н ее легко решит любой математик, знающий теорему Кёнига о двудольных графах. В шах матах теория сопряженных квадратов Марселя Дюшампа и Альберштадта служит красивым примером применения алгебраической теории изоморфизма графов (задаваемых ходами королей).

Использование того или иного математического метода может быть неожиданным и поэтому придает игре еще больший интерес, но гекс —— игра увлекательная и сама по себе, и для математика-профессионала, и для человека, не сведущего в математике.

Эндшпиль в игре „кригсшпиль*4

Джим Бойс

Игра кригситиль * — одна из наиболее увлекательных разновидностей игры в шахматы. Каждый из двух партнеров стремится поставить мат противнику, играя обычными шахматными фигурами по обычным правилам. Отличие от традиционных шахмат состоит в том, что ни один из играющих не знает, как расставил фигуры его

противник: каждый из двух партнеров играет своим комплектом фигур на своей доске, сохраняя все происходя- ,щее на ней в тайне от противника. Кригсшпнль отличается от шахмат еще одной особенностью: в этой игре принимает участие третий игрок, исполняющий роль посредника между сторонами. На своей доске посредник расставляет еще один (третий) комплект шахматных фигур в соответствии с ходами, сделанными двумя основными игроками. Например, дождавшись своей очереди, белые сообщают посреднику предполагаемый ход. Если в позиции, сложившейся на доске, белые по правилам игры в шахматы могут совершить этот ход, то посредник принимает их предложение п записывает очередной ход белых, переставляя фигуры на своей доске. Если же в сложившейся позиции предлагаемый ход недопустим, то посредник отвергает его — и белые ищут другой ход, кажущийся им целесообразным. Так продолжается до тех пор, пока очередная попытка белых не увенчается успехом, и предлагаемый ими ход не будет принят посредником. После того как белые сделают свой ход, таким же образом совершают очередной ход черные и т. д. Если кто-нибудь из партнеров ставит шах королю противника, то посредник объявляет об этом обоим (основным) игрокам. В кригсшппле существуют и другие правила (которые, однако, нас не интересуют), регламентирующие взятие фигур п ходы пешек. Подробное изложение всех правил игры в кригсшпиль содержится в [1].

Наша статья посвящена анализу эндшпиля в кригс- шпиле: король и ладья против короля. В обычных шахматах, как хорошо известно, такой эндшпиль завершается элементарной постановкой мата [2]*, нов кригсшпилепоставить в этой позиции мат далеко не так просто, как в шахматах. Даже опытные шахматисты часами бились над этой задачей, безуспешно пытаясь найти решение. Мы надеемся, что читатель захочет испробовать свои силы и попытается самостоятельно решить задачу до того； как познакомится с предлагаемым нами решением.

Ходы и обозначения

Будем считать, что белые имеют короля и ладью, а черные ——только одного короля. Ходы записываются в

традиционно» («алгебраической») системе шахматной записи (шахматной нотации): доска располагается так, что в правом нижнем углу находится белое поле, вертикали обозначаются слева направо малыми латинскими буквами а, Ь,・• •，h, горизонтали нумеруются снизу

Рис. 1. Стандартная («алгебраическая») шахматная нотация.Рис. 1. Стандартная («алгебраическая») шахматная нотация.Рис. 2. Прпмер'позиции в криге- шпиле.Рис. 2. Прпмер'позиции в криге- шпиле.вверх по порядку цифрами от 1 до 8. В исходной позиции белые занимают две нижние горизонтали (рис. 1). На всех последующих рисунках (шахматных диаграммах) доска изображена так, как ее видит играющий белымщвверх по порядку цифрами от 1 до 8. В исходной позиции белые занимают две нижние горизонтали (рис. 1). На всех последующих рисунках (шахматных диаграммах) доска изображена так, как ее видит играющий белымщ

Рис. 1. Стандартная («алгебраическая») шахматная нотация.

Рис. 1. Стандартная («алгебраическая») шахматная нотация.

Рис. 2. Прпмер'позиции в криге- шпиле.

Рис. 2. Прпмер'позиции в криге- шпиле.

вверх по порядку цифрами от 1 до 8. В исходной позиции белые занимают две нижние горизонтали (рис. 1). На всех последующих рисунках (шахматных диаграммах) доска изображена так, как ее видит играющий белымщ

вверх по порядку цифрами от 1 до 8. В исходной позиции белые занимают две нижние горизонтали (рис. 1). На всех последующих рисунках (шахматных диаграммах) доска изображена так, как ее видит играющий белымщ

на ней указано (точное!) расположение белых фигур н поля, на которых может находиться черный король. Правила и условности нотации, принятой в криге- шпиле, станут яснее, если мы рассмотрим один или два

простых примера. Предположим, что в позиции, изображенной на рис. 2, белые пытаются сделать королем ход на d7・ Если посредник объявит, что предлагаемый

белыми ход невозможен (противоречит шахматным пра-белыми ход невозможен (противоречит шахматным пра-Рис. 5. .Позиция после хода бе- лых Крсб и хода черных.Рис. 5. .Позиция после хода бе- лых Крсб и хода черных.Рис. 6. Позиция после хода белых Ле8Х.

белыми ход невозможен (противоречит шахматным пра-

белыми ход невозможен (противоречит шахматным пра-

Рис. 5. .Позиция после хода бе- лых Крсб и хода черных.

Рис. 5. .Позиция после хода бе- лых Крсб и хода черных.

Предположим, что затем белые попытаются пойти ладьей на е2; если при этом посредник объявит шах черному королю, то выяснится, что черный король находится на поле е8. В соответствии с шахматными правилами черные уйдут с поля е8 ——и перед следующим ходом белых позиция на доске станет такой, как это показано на рис. 4, Белые делают ход королем на сб, заведомо зная, что этот ход вполне допустим. После того как черные сделали ход, их король не может находиться на поле(18. Если бы черный король до хода находился на поле f8, то ему также пришлось бы с этого поля уйти; однако он mof бы занимать поле 17 и перейти с него на f8. Позиция “осле очередного хода черных показана на рис. 5. Если черный король находится на поле с8, то белые могут поставить ему мат, пойдя ладьей на е8 ——на рис. 6 показа- н°, к чему приводит такой ход. Но, разумеется, белые скорее всего не рискнут так играть: ведь в случае, когда ^рный король стоит на f7 или на 18, он мог бы взять 俣"ую ладью и обеспечить ничью.

Последовательность ходов на рис. 2—6 в обычной Алгебраической) нотации выглядит так: 1. Kpd7, Ле2+ 厶 Крсб 3. Ле8Х. Прежде всего обратите внимание на

то, что перед ходом Ле2+ нет порядкового номера. Это объясняется тем, что предыдущая попытка белых (ход Kpd7) не была принята посредником как противореча- щая правилам, н белым пришлось предпринять еще одну попытку. Знак + означает шах, знак X ——мат. Ничью мы будем указывать знаком =, ставя его на том же месте, как и знаки 4- и X.

Король и ладья против короля

Как будет показано, белые почти всегда могут рассчитывать на выигрыш в таком эндшпиле, даже если речь идет не о шахматах, а о кригсшпиле. Черным удается свести игру к ничьей только при определенных исходных позициях, не позволяющих"белым объединить короля и ладью до того, как ладья будет взята черными. Следует заметить, что даже в тех случаях, когда черные могли бы взять белую ладью (как полагают белые, которым, как мы здесь считаем, позиция известна), они обычно этого не делают по понятной причине: если белые и сдач лают ход ладьей на соседнее с черным королем поле! то черным еще необходимо угадать, как именно пошел! их противник и на какое поле должны они пойти, чтобьи взять фигуру противника. Однако мы рассмотрим здесь только такие позиции, в которых белые могут форсировать мат против любой (сколь угодно проницателм ной) защиты черных.

План игры белых складывается из нескольких частей. Прежде всего белым необходимо надежно уберечь свою ладью. Затем белые создают на доске такую позицию, чтобы все доступные для черного короля поля находились в прямоугольнике, один из углов которого совпадает с углом доски, а противоположный угол занят ладьей. Своего короля белые стремятся ввести в этот прямоугольннк с таким расчетом, чтобы он защищал белую ладью от черного короля. Затем белые отте(Ч няют черного короля к краю доски, после чего становится уже несложным поставить ему мат.

В настоящей статье излагается простой (хотя и до* вольно медленный) способ, позволяющий форсировать мат черным, на основе анализа позиций трех типов：

оба короля находятся в одном квадранте доски п"

отношению к ладье, от которой отсчитываются чс^щ- ранты (ладья здесь играет роль «начала коорда«я^;

черный король может находиться в одном ия« в двух из квадрантов доски;

белая ладья находится (или может находиться) вне полей, которые могут быть побиты черным королем.

Позиции типа 1 мы проанализируем более подробив, различая следующие варианты:

1 а) черный король может находиться только на одной горизонтали (или вертикали);

16) черный король может находиться только на двух горизонталях;

1в) черный король может находиться только -на «трех горизонталях;

1г) черный король может находиться только на четырех горизонталях;

1д) черный король может находиться более чем на четырех горизонталях.

Оба короля находятся в одном 〃 том же квадранте— так, на рис. 7 черный и белый короли расположены выше и левее ладьи. Белые стремятся запереть черного короля, оставляя ему все меньшие и меньшие прямоугольники доски. Преследуя эту цель, белые пытаются пойти королем на е4 и ладьей на f3. (Белых еще более устраивало, если бы им удалось продвинуть свою ладью на четвертую горизонталь.) Игра могла бы продолжаться так: 1. Кре4, ЛГЗ (или если посредник примет ход Кре4, то можно воспользоваться вариантом А, который приведен ниже), 2. Кре4, КреЗ, Kpf5 (или воспользоваться вариантом В), 3. Кре4, JIf4. Эта последовательность ходов укорачивает меньшую из сторон квадранта и приводит к позиции, аналогичной той, которая возникла на доске после первого хода белых. Если ход Кре4 был принят на втором илн третьем ходе, то белые укорачивают более длинную сторону квадранта и получают позицию, аналогичную изображенной на рис. 7. На некоторые из попыток белых посредник может реагировать и по-другому. Если ход белых Кре4 принят, то возникает вариант Л: 2. JIf3 н〃н 2. ЛГЗ, 3. ЛГ4. Второй вариант приводит к позиции, в которой меньшая йз сторон возникающих квадрантов сокращается, но зато черный король может находиться в одном из двух квадрантов. Другая возможность состоит в том, что посредник принимает ход 2. . . .КреЗ. Ва-

риант В продолжает этот ход следующим образом： 3. Кре4, ЛГ4. С первым ходом мы уже встречались. Второй ход сокращает меньшую сторону, но приводит к позиции, в которой черный король заведомо находится в одном определенном квадранте, тогда как белый король находится вне этого квадранта. Подобную же последовательность ходов можно проделать, взяв за исходную любую аналогичную позицию (за исключением того случая, когда вдоль меньшей стороны умещается только одно поле). Как будет показано дальше, белого короля во всех случаях удается ввести в тот же квадрант, где находится черный король, не увеличивая меньшую сто-, рону прямоугольника. Следовательно, белые всегда могут оттеснить черного короля к краю доски.

Черный король находится в одном определенном квадранте или в одном из двух соседних квадрантов (соседними мы называем квадранты, имеющие общую сторону). На рис. 8 показана позиция, в которой черный король может находиться в любом из двух соседних квадрантов. Белые стремятся создать позицию, аналогичную изображенной на рис. 7, например, белый король — на Ь4, ладья на аЗ, а черный король — где-то на горизонталях 4——8. Прежде всего белые делают ход ладьей (а в случае необходимости и королем) так, чтобы вдоль стороны одного из квадрантов, где может находиться черный король, умещалось два поля. Из рис. 8 видно, что белые могли бы сделать ходы 1. КрЬ2, 2. ЛсЗ. Затем белые вводят в этот квадрант своего короля: 3. КрЬЗ, 4. КрЬ4. Если вмешивается черный король, то белые просто отводят свою ладью. Итак, оба коро/щ находятся в одном квадранте, вдоль стороны которого укладываются два поля. Наконец, белые передвигаю^ свою ладью к краю квадранта ходом 5. ЛаЗ. На протяжении всей последовательности ходов белые заведомо знают, что каждый их ход правилен, и не нуждаются ни в каких проверках. Белые могут действовать по тому ж€ плану и в том случае, если известно, что черный король находится в одном определенном квадранте. Иногда Се・ лым не приходится передвигать короля и ладью на вторую и третью полосы от края. На рис. 9 белые веду額 игру так, чтобы их король оказался на поле сб, а ладья j на поле с5; в этом случае возникает такая же позиция, как после первого хода в случае 1). Ход 1. Jld4 привел

6н к позиции, в которой оба короля находятся в одном кВадранте, но меньшая сторона квадранта оказалась 6н несколько длиннее. В случае позиции, изображенной рис. 9, игра протекала бы следующим образом:

[Kpd4, 2. Крс5, 3. Крсб, 4. ЛЬ5.

Ладья находится (или может находиться) 6 безо- пасности. Если король и ладья находятся вместе в цент-

Рис. 7. Оба короля находятся в одном квадранте (относительно ладьи). Белые делают ход.Рис. 7. Оба короля находятся в одном квадранте (относительно ладьи). Белые делают ход.Рис. 8. Белые делают ход.Рис. 8. Белые делают ход.

Рис. 7. Оба короля находятся в одном квадранте (относительно ладьи). Белые делают ход.

Рис. 7. Оба короля находятся в одном квадранте (относительно ладьи). Белые делают ход.

Рис. 8. Белые делают ход.

Рис. 8. Белые делают ход.

ре доски, а местонахождение черного короля не ограничено, как в предыдущих случаях, то белым желательно каким-то образом сузить свободу перемещений черного короля. В одной из позиций, несколько напоминающей те, которые мы рассматривали в связи с ситуацией 1), ладья находится в углу доски, например на поле hi, а белый король ——«по соседству», например на поле g2. Белые в этом случае двигают свои фигуры в угол. Если вмешивается король черных, то белые, зная, что свобода ег。передвижений ограниченна, продолжают игру так, как описано в случаях 1) и 2). Если же черный король не мешает перестройке фигур, то король и ладья белых собираются в углу, и белые могут продолжать игру по схеме, приведенной в случае 1).

Если ладья находится под ударом, то белым прежде всего необходимо защитить ее. Обычно это делается «в лоб». Иногда ладью можно защитить не одним, а не- сколькими способами. На рис. 10 показана неприкры- та珏 ладья. Удастся ли читателю найти все способы,

позволяющие защитить ее? (Решение задачи приведено в конце статьи.)

1а) Черный король находится на одной определенно^ горизонтали. Предыдущий анализ неприменим к пози

Рис. 9. Белые делают ход.Рис. 9. Белые делают ход.Рис. 10. Задача 1. Скольким! способами белые могут защн тить ладью?Рис. 10. Задача 1. Скольким! способами белые могут защн тить ладью?

Рис. 9. Белые делают ход.

Рис. 9. Белые делают ход.

Рис. 10. Задача 1. Скольким! способами белые могут защн тить ладью?

Рис. 10. Задача 1. Скольким! способами белые могут защн тить ладью?

циям, в которых оба короля находятся в одном квадранте, если этот квадрант имеет вид полосы шириной в одно поле вдоль края доски. Такая позиция показана н[ рис. 11. Белые могут быстро поставить мат черным, вы-

Рис. 11. Белые делают ход.Рис. 11. Белые делают ход.Рис. 12. Белые делают ход.Рис. 12. Белые делают ход.

Рис. 11. Белые делают ход.

Рис. 11. Белые делают ход.

Рис. 12. Белые делают ход.

Рис. 12. Белые делают ход.

нудив черного короля отступить в угол и угрожая ему ладьей, но они должны проявлять известную осторожность, чтобы избежать вечного шаха (пата). Окончание игры могло бы быть следующим: 1. Kpd8, JIg7, 2. Kpd8, 3. Крс7 (а не 3. Крс8=), 4.力g6, 5. ЛабХ. Если черный

король мешает белому королю совершить ход, то белые делают ход ладьей, и черному королю не остается ничего другого, как отступить.

Черный король находится на одной из двух горизонталей. Белые могут улучшить свое положение, действуя по схеме, изложенной в 1), если перемещения черного короля ограничены двумя полосами. Загоняя черного короля в угол, совершенно необязательно продвигать вперед ладью вместе с королем. Как видно из рис. 12, игра могла бы происходить следующим образом: 1. Кре7, 2. Kpd7, Kpd6, 3. Kpd7, 4. Крс7, Крсб, Kpd8, 5. Крс7, 6. Крсб, Крс8, 7. Лаб <. Если посредник отклоняет ход 5. Крс7 как недопустимый в сложившейся позиции, белые могут сыграть 5. . . . <ЛЬ7. Два хода спустя ход 7. ЛЬ7= был бы серьезной ошибкой, которую, однако, легко избежать. (Схема, изложенная в 1), показывает, что белые могут сужать «территорию», доступную черному королю. Однако тогда мы не упомянули о том, что белые при этом могут реализовать вечный шах. Нетрудно видеть, что в последнем примере у белых имеется

еще один ход, которым они ставят черным мат; именно

1в) Черный король находится на одной из трех гори- талей. Если передвижения черного короля ограни- 'ень】 тремя горизонталями или вертикалями, то рассмотренные в 1) и 2) тактические схемы допускают лишь нез- ^ачительные усовершенствования. На рис. 13 показана

позиция после хода белых ЛГ54-. Черный король находится в одном из двух квадрантов. Белым не обязательно подходить своими фигурами к краю доски. 0HH могут сыграть 1. J]f6, 2. kpe7. Если посредник сочтет ход Кре7 допустимым, то черный король находится в квадранте справа. Если же посредник отклонит ход Кре7, то черный король находится в квадранте слева.

На рис. 14 показан еще один вариант, позволяющий белым «экономить» ходы в некоторых позициях. В ответ на ход белых 1. JId5+ черные могут «сбежать» к другом! краю доски и пребывать там вплоть до двенадцатого хода белых. Могут ли белые выбрать более удачный ход? (Ответ см. ниже.)

1г) Черный король находится на одной из четырех горизонталей. Рисунок 15 аналогичен рис. 13. Белые хотят сыграть J]f4. Если они сделают такой ход и посредник объявит шах черным, то черный король находится в одном из двух квадрантов, и белые слишком далеки от края доски, чтобы и в этом случае можно было восполь-s зоваться основной идеей позиции, изображенной на рис. 13. Тем не менее белые могут сэкономить силь| и время, необходимые для развития тактики, изложенной в 2), сыграв 1. Креб. Если посредник отклонит такой ход, то белые сыграют . . . J]g5 и еще более сократят меньшую сторону квадранта. Если же ход L Креб при% нят, то белые делают следующий ход 2. J]f4. Если 0H приводит к шаху, то белые могут воспользоваться идеей; заложенной в рис. 13. 一 .

1д)Черный король может находиться более чем на четырех горизонталях. Если для короля доступна доста- тоЧНо обширная, но ограниченная область шахматной д0СКи, то белые стремятся как можно быстрее сузить ее пределы. На рис. 16 показан случай, когда область доски, доступная черному королю, имеет максимальные размеры. Если область, находящаяся в пределах досягаемо- стн черного короля, достаточно велика, белые могут попытаться сократить меньшую [а не большую, как в 1)1

Рис. 17. Задача 3. Белые делают ход.Рис. 17. Задача 3. Белые делают ход.Рис. 18. Задача 4. Белые делают ход.Рис. 18. Задача 4. Белые делают ход.

Рис. 17. Задача 3. Белые делают ход.

Рис. 17. Задача 3. Белые делают ход.

Рис. 18. Задача 4. Белые делают ход.

Рис. 18. Задача 4. Белые делают ход.

сторону квадранта, в котором находится черный король. Так, в позиции, изображенной на рис. 16, белые могли бы сыграть I. hgl, 2. КеЗ, 3. «Hfl. Если какой-то ход ладьи приводит к шаху, то белые следующим ходом ставят свою ладью на два поля влево и получают позицию, в которой оба короля находятся в одном квадранте и вдоль меньшей стороны этого квадранта умещается не более четырех полей. Более трудная позиция показана на рис. 17. И в этом случае цель белых состоит в том, Чтобы запереть черного короля не более чем на четырех горизонталях, не доводя своего короля и ладью до края Доски, как в ситуации, рассмотренной в 2).

Позиция на рис. 18 возникает из позиции рис. 10, ес〃и посредник отклоняет ход белых Kpf2. Как должны сыграть белые, чтобы черный король оказался запертым не более чем в четырех полосах? (Обратите внимание на т°，что прямоугольник 3x4 содержит все поля, на ко- т°Р*х может находиться черный король, но края этого

прямоугольника не определяются -кра^и доски и лйдь. ей.)

В нашей статье показано, что белые, действуя коро- лем и ладьей против короля черных, могут поставить в кригсшпиле мат черным. В 1а) и 16) мы показали, “tg белые могут поставить мат, если нм удается оттеснить черного короля к краю доски. Сказанное в 3) позволяет утверждать, что белые с легкостью могут создать позицию, в которой все доступные для черного короля поля заполняют прямоугольник, ограниченный краями доски и горизонталью и вертикалью, находящимися под уда- ром белой ладьи. В 1) и 2) доказано, что от такой позиции белые могут перейти к другой, в которой поля, дося гаемые для черного короля, заключены в меньшем прямоугольнике (мн говорим, что прямоугольник 力 меньше прямоугольника В, если более короткая сторина прямоугольника меньше короткой стороны прямоугольника Л или если их короткие стороны равны, но более длинная сторона прямоугольника Д меньше длинной стороны прямоугольника В). Приведенных нами apiy ментов достаточно, чтобы утверждать: белые могут дать мат черному королю, исходя из весьма обширного множества позиций не только на стандартной, но и на прямоугольной шахматной доске произвольных размеров.

Как показывает тщательный анализ предлагаемой нами стратегии, исходя из позиции, показанной на рис. 10, белые могут ставить мат не более чем за 39 ходов. Следовательно, в кригсшпиле можно не опасаться партий, автоматически считающихся ничейными в силу правила «50 ходов без взятия фигуры» *.

Настоящая статья появилась на свет в результате задачи, поставленной перед группой CS204 студентов Станфордского университета осенью 1978 г. Я хотел бы поблагодарить проф. Дональда Э. Кнута, поставившего f задачу об эндшпиле в кригсшпиле, о которой он узна： от одного пз своих друзей в ФРГ, и ассистента Крт

Ван Вика, участвовавшего в подробном обсуждении проблемы и подготовке статьи к печати, а также студентов группы CS204, внесших несколько ценных предложений.

Решения

Ладью спасают три хода: ЛН, Kpfl и Kpf2. После каждого из двух последних ходов черные не могут взять ладью, так как в противном случае посредник отверг бы ход белых как противоречащий правилам. Если предложенный ход отвергнут, то белые могут просто поставить свою ладью куда угодно на другое поле.

Белые ставят мат, сделав следующие ходы: 1 Крс7, Леб (если ход 1<рс7 отвергнут, то к выигрышу ведет еще более короткая цепочка ходов), 2. Kpd7, Kpd6, 3. Кре7. Мат ставится через девять ходов, аналогичных описанным в 16).

Белые вынуждают черного короля оставаться в пределах «малого» прямоугольника, сделав ходы 1. Ле4, Лс4. Если первый ход приводит к шаху, белые отвечают ходом 2. Ле2. Если к шаху приводит второй ход, то белые продолжают 3. Ле4.

Белые для большей безопасности сначала делают ходы ладьей: 1. Jlh5, 2. Лаб. Затем белые ставят короля рядом с ладьей: 3. Kpd2, 4. КрсЗ. Если посредник отвергает второй ход королем, то белые для безопасности делают снова ход ладьей JIg5 и пытаются поставить короля рядом с ладьей: 5. КеЗ, КсЗ, 6. Ла5. Если ходы КреЗ и КрсЗ не приняты посредником, то черный король должен находиться на поле d4. Белые выгадывают в темпе, 耻《лая ход 6. JIh5, направленный на то, чтобы вынудить верного короля сдвинуться с d4, и предпринимают новую попытку, которая на этот раз должна увенчаться успехом. Предположим, что ход 3. Kpd2 отвергнут. Тогда белые нграют Ла4, 4. ЛЬ4, чтобы создать позицию, аналогич- той, которая возникла бы на доске, если бы ход 'Kpd2 был принят.

1* ^mpayne, Charles. 1976. Kriegspiel. Games and Puzzles 50: 12—15.

'Nne, Reuben. 1941. Basic Chess Endings. David Ale Kay.

15 Покер без карт

Ади Шамир, Рональд Л. Райвест» Леонард М.Адельман

Случается, что игрок в карты может и сплутовать. Могут ли два игрока, играя в покер без карт, например по телефону, быть уверенными, что игра ведется честно? В предлагаемой вниманию читателя статье на этот вопрос даются два ответа:

нет (приводится строгое математическое доказательство того, что невозможна игра в покер без карт, где было бы гарантировано, что она ведется честно);

да (дается внутренне непротиворечивый и полный алгоритм честной игры в покер без карт).

Однажды двум любителям игры в шахматы вслепую наскучило это занятие. «Не сыграть ли нам для разнообразия в покер вслепую?» ——предложил один из них. «Идет,——согласился другой,— только, чур, я буду сдавать карты».

«Возможна ли честная игра в покер без карт?» —— этот вопрос был поставлен Робертом У. Флойдом. Мы дад!1м на него полный (хотя и парадоксальный ответ): сначала докажем, что проблема внутренне неразрешима, а затем опишем способ, позволяющий вести честную игру в покер без карт.

Что означает «играть в покер без карт»?

Вслепую (без карт) в покер играют так же, как обычно (см., например, Хойл [2]); только в этом случае карты как таковые отсутствуют. Весь обмен информацией меж- ду партнерами происходит с помощью сигналов, передаваемых по тому или иному каналу связи, скажем по телефону. Правила игры станут понятнее, если мы представим на двух концах телефонной линии двух игроков, Боба и Элис, пожелавших сразиться в покер без карт.

Пересылать игральные карты по телефонным проводам, конечно, невозможно; поэтому всю игру (включая раздачу карт) необходимо свести к обмену словесными (или цифровыми) сигналами между партнерами.

Мы предполагаем, что ни один из игроков не собнра- ется жульничать. Играть краплеными картами, конечно, просто, если все карты — невидимки! Честная игра в покер без карт, должна полностью исключать возможность любого жульничества.

Честная игра должна начинаться с честной «раздачи» карт. Чтобы «раздать» карты, игроки должны обменяться некоторой последовательностью сигналов, производимых заранее обусловленным способом. (Например, каждый нз игроков может броеать игральную кость или прибегнуть к помощи какого-нибудь устройства, создающего случайные сигналы и позволяющего выяснить, какие карты он получил «при раздаче», и указать сигналы, которые необходимо передать по каналу связи другому игроку.) Каждый игрок должен знать, какие имеются карты у него на руках, но не должен располагать никакой информацией о картах, доставшихся его партнеру, помимо тривиального соображения о том, что противник имеет иные карты, чем он сам. Способ честной раздачи карт должен также гарантировать, что расклад на руках одного партнера никак не связан с раскладом у другого (но никакая карта не может входить в оба расклада) и что для каждого игрока все расклады равновероятны.

В ходе игры у партнеров может возникнуть необходимость прикупить из «оставшейся колоды» новые карты или сдать те или иные карты противнику. Игроки должны иметь возможность брать прикуп или сдавать карты без опасности «показать» противнику другие свои карты.

В конце партии каждый из игроков должен иметь возможность проверить, что игра велась честно и его партнер не плутовал. Так, если один из партнеров заявил во время раздачи карт, что ему достались четыре туза, то по окончании игры другой партнер должен иметь возможность проверить, что это было действительно так.

Приведенный нами перечень требований может создать впечатление, что вести честную игру в покер без карт — дело весьма непростое. Предположим, что у каждого из игроков имеется «под рукой» своя ЭВМ. Это хотя бы несколько облегчит игру и позволит ис-

пользовать сложные алгоритмы (включающие, например, кодирование). Мы отнюдь не предполагаем, будто один игрок должен с доверием относиться к ЭВМ дру. гого игрока — ведь ЭВМ можно запрогр аммировать так, что она будет плутовать не хуже профессионального шулера.

Мы надеемся, что задача отыскания стратегии честной игры в покер без карт покажется читателю увлекательной и он попытается решить ее самостоятельно прежде, чем дочитает нашу статью до конца.

Сводка полученных результатов

Мы предлагаем вниманию читателя два решения проблемы честной игры в покер без карт.

Строгое доказательство теоретической неосуществимости честной «раздачи» карт с одновременным соблю* дением двух условий: а) ни один набор полученных «при раздаче» карт не должен быть связан с любым другим на4 бором; б) ни один из игроков не должен располагать информацией о картах, доставшихся противнику (кроме самой общей информации о том, что карты противника отличны от имеющихся у него самого).

Точный алгоритм раздачи карт, позволяющий сти честную игру в покер без карт с соблюдением вс. требуемых условий.

Вопиющее противоречие между этими двумя результатами обусловлено не трюками и не допущенными ошибками. Мы предоставляем читателю самостоятельно решить интересную, хотя и непростую, задачу о том, каким образом эти результаты оказываются возможны, н найти различия в исходных предположениях, которые и приводят к столь явно противоречивым результатам,.

Доказательство отсутствия алгоритмачестной раздачи карт

Для простоты рассмотрим минимальный нетривиальный случай раздачи двух различных карт (по одной кар” те каждому игроку) из колоды, состоящей из трех карт {X, У, Z}. Доказательство отсутствия алгоритма честд ной раздачи карт, полученное для этого случая, легко 60；

обобщается на любое число карт и на любое количество карт на руках у игроков.

Если для рассматриваемого случая существует ал- гориш, удовлетворяющий всем требованиям, то после обмена конечным числом сигналов Элис и Боб узнают, какие карты достались им, но не будут знать, какие карты находятся на руках у партнера. Эти сигналы должны так координировать выбор карт каждым из двух партнеров, чтобы оба они не смогли выбрать одну и ту же карту.

Предположим, что в рассматриваемом нами случае: Элис и Боб обменялись сигналами 7ИЪ ...,川冷； Элис получила карту X;

Боб получил карту У.

Пусть 5Э — множество карт, которые могла бы получить Элис во всех случаях, когда имел место обмен теми же сигналами 7И1, . . ., Мп. (Так как игрок должен иметь возможность воспользоваться случайным выбором карты, непредсказуемым для его противника, то одна и та же последовательность сигналов, которыми обмениваются партнеры, может приводить к разным наборам карт у Элис.) Ясно, что карта X принадлежит множеству 5Э.

Очевидно, что множество 5Э никак не может не содержать карт, отличных от X,— ведь в противном случае Боб знал бы, какая карта досталась Элис. Если 5Э содержит одну карту (карту X), то последовательность сигналов Al】，...，Мп однозначно определяет карту Элнс; поэтому Боб располагает (полной) информацией (с точки зрения теории информации) о том, какая карта досталась его партнерше. Ясно, что при любом физически реализуемом (н завершающемся за конечное число Шагов) процессе «раздачи» карт для Элис будет возмож- но лишь конечное число случайных выборов карты; поэтому Боб может определить, какая карта досталась 3«лнс, рассмотрев все варианты выбора, согласующиеся с последовательностью сигналов, переданной по каналу СВЯЗИ.

С другой стороны, если множество 5Э содержит все трн карты, то Бобу не достанется ни одной карты: неза- внснмо от того, какая карта попадает ему в руки, последовательность переданных сигналов согласуется с тем,

та же карта могла достаться Элис. Значит, множество должно содержать две карты.

Аналогичным образом определяется и множество SB карт, которые может получить Боб. Множество SB так弊 должно содержать ровно две карты. Но полное число карт в колоде равно трем, поэтому множества Ss и S^ не могут не пересекаться (в нашем примере карта Z принадлежит и множеству S3, и множеству 5Б). Следо вательно, может случиться так, что, обменявшись сигналами 府 1, • . ., МП9 и Боб, и Элис получат при раздаче одну и ту же карту Z. Значит, алгоритм раздачи не гарантирует, что игроки получат различные карты. От- сюда мы заключаем, что при игре в покер «вслепую» даже честная раздача карт невозможна.

Алгоритм честной раздачи карт

Приводимое ниже решение удовлетворяет всем требованиям задачи. Прежде всего Боб и Элис договор ива- ются о двух функциях Е (кодирующей функции) и D (декодирующей функции), обладающих следующими свойствами:

Е«(Х) — закодированный вариант сигнала X в коде К；

DA(£A(X))—X при любых сигналах X и кодах К;

Ек (Ej(Х))=£j(EK (X)) при любых сигналах X и -кодах J и К;

если X и Er(X) заданы, то никакой самый искус ный криптоаналитик не сможет раскрыть код К при I любых X и К;

при любых (разных) заданных сигналах X и У невозможно подобрать коды J и К так, чтобы бьпо £/(Х)=Ек(Х).

Свойство 3 (коммутативность кодирования) несколько необычно, но вполне реализуемо. Свойства 4 и 5 (особенно 4) по существу означают, что кодирующая функция £ криптографически надежна, или нераскрываема.

В качестве примера функции, обладающей всеми требуемыми свойствами, рассмотрим

ЕК(М)^МК (mod п),

где п — некоторое большое число (простое или составное с заданным разложением на простые множители), ”з- вестное Бобу и Элис, и НОД [К, <jp(«)]=l 1<₽(«) — теоре・

тико-числовая функция Эйлера, легко вычисляемая по разложению числа п на простые множители *].

Соответствующая декодирующая функция имеет вид DK(C)=CL (mod n),

где L・K三 1 (mod 屮(〃)). Так как

Ek(EjW))=Ej(J(M))=MM (mod и),

тоЕ обладает свойством 3. (Более подробные сведения о криптографической надежности и важности этой функции см. в [1, 3, 4].) Мн упомянули эту кодирующую функцию только для того, чтобы доказать существование кодирующих функций с требуемыми свойствами. Никакие другие свойства функции Е, кроме 1—5, нам не понадобятся.

Условившись о функциях Е и D (в нашем примере это означает — о числе п), Боб и Элис втайне друг от друга выбирают коды Б и Э. Эти коды они хранят у себя до конца игры, после чего каждый открывает свой код партнеру, чтобы тот мог убедиться, что игра велась честно.

Боб составляет 52 сигнала (по числу карт в колоде): «двойка треф》， «тройка треф»,

«туз пик»

и кодирует каждый сигнал (цепочка двоичных цифр рассматривается как одно двоичное число) своим кодом Б (т. е. вычисляет £Б («двойка треф»), . . . ). Затем Боб «тасует» кодированную колоду (случайным образом перераспределяет кодированные обозначения карт) и передает ее целиком Элис.

Элис выбирает пять карт (сигналов) случайным образом и посылает их назад Бобу. Тот декодирует получен- нме сигналы и узнает, какие карты достались ему при раздаче. Элнс ничего не знает об этих картах, так как X。конца игры код Б известен только Бобу.

審 Если п=р^ 喏、..-,р?, где Pi, р2, • • . , % ——различ-

"Не простые числа и а1? а2, . . . , ct*——произвольные натуральные

@8) —@8) —：：°咀 Т0 叭")=“ (1 -刃(1 натуральных чисел, меиьших п и взаимно-простых с 九；см.

@8) —

@8) —

。族 курс теории чисел, например названные на с. 486 книги 【《])•—〃р〃м.р成•・•，

Затем Элис выбирает еще пять сигналов, кодирует нх своим кодом Э и посылает Бобу. Каждый из этих пяти сигналов кодирован дважды: £э(^б(Л^))> или, что эквивалентно, Еб(Еэ(^1)) при любом /И. Боб декодирует полученные сигналы, получает ЕЭ(М) и отправляет их снова Элис. Та декодирует их по своему коду Э н узнает, какие пять карт достались ей при раздаче. Боб, не зная кода Э, не может установить, какие карты выпали Элис.

Рис. 1. Боб кодирует карты и посылает их Элис в случайном порядке.Рис. 1. Боб кодирует карты и посылает их Элис в случайном порядке.Элис выбирает одну карту для Боба, кодирует другую карту для себя и посылает обе карты Бобу.Элис выбирает одну карту для Боба, кодирует другую карту для себя и посылает обе карты Бобу.

Рис. 1. Боб кодирует карты и посылает их Элис в случайном порядке.

Рис. 1. Боб кодирует карты и посылает их Элис в случайном порядке.

Элис выбирает одну карту для Боба, кодирует другую карту для себя и посылает обе карты Бобу.

Элис выбирает одну карту для Боба, кодирует другую карту для себя и посылает обе карты Бобу.

Боб декодирует обе карты и возвращает Элис закодированную карту.

Майкл Рабин предложил изящную физическую реа" лизацию описанного нами алгоритма. Кодирование м°»' но наглядно представить себе как навешивание замк& на ящик с картой. Боб первоначально запирает кажДУю карту в отдельном ящике. Все ящики неотличимы н "°

всем подходит один и тот же ключ Б. Элис выбирает пять ящиков и возвращает их Бобу. Открыв их своим ключом, Боб получает свой расклад. Затем Элис посылает Бобу еще пять ящиков, предварительно навесив на каждый из н” н по второму замку, открываемому ее ключом Э. Боб открывает те замки, к которым подходит его ключ, и отсылает Элис ящики, запертые только на вторые замки. Открыв их своим ключом, Элис получает свой расклад. Заметим, что в этой модели неявно используется коммутативность кодирующей функции: Боб и Элис запирают замки не в том порядке, в каком их отпирают.

Рис. 2. Элис декодирует свою карту, после чего они с Бобом сравнивают карты, чтобы узнать, кто из них выиграл.

Если кому-нибудь из игроков в ходе игры понадобится прикупить дополнительные карты, то описанную нами процедуру можно повторить для каждой карты.

В конце игры оба участника раскрывают свои коды, которые до того хранились в тайне. После этого каждый нгрок получает возможность удостовериться в том, что его партнеру действительно были «сданы» те карты, ко- торнмн тот играл. Свойство 5 исключает возможность «подмены кода»: каждый игрок может предъявить своему партнеру только тот код, которым он действительно поль- а°вался (а не тот, который обеспечил бы ему лучший рас-

Предложенная нами процедура без труда обобщается "а случай, когда число игроков больше двух (подробности предоставляем читателю). Другое очевидное обобще- Hif 一 использование коммутативных кодирующих функ- в секретных системах связН для передачи пропзволь- :сигналов (а не только названий карт) по каналам в*зн，подслушиваемым противником.

Заключение

Сначала мы доказали, что задача о честной раздаче при игре в покер без карт неразрешима, а затем привели эффективный алгоритм ее решения. Предоставляем тателю разгрызть сей твердый орешек и примирить столь противоречивые результаты. (Указание: информа* ция, имеющаяся у каждого игрока, вполне достаточна для того, чтобы он мог определить, какие карты достались партнеру, если бы не огромные вычислительные труд! ности, мешающие раскрыть код партнера и тем сачым выведать все его «секреты».)

Мы хотели бы поблагодарить Роберта У. Флойда, Майкла Рабина и Альберта Мейера за обсуждение и ценные предложения.

Diffie, Whitfield and Hellman, Martin E. 1976. New Directions in

Cryptography. IEEE Trans. Info. Theory IT—22: 644—654. 1

Morehead, A. H., Frey, R. L. and Mott-Smith, G. 1947. The New Complete Hoyle. New York: Garden City Books.

Pohlig, Stephen C. and Hellman, Martin E. 1978. An Improved Algorithm for Computing over GF (p) and its Cryptographic Sigriifi* cance. IEEE Trans. Info. Theory IT—24: 106—110.

Rivest, Ronald L., Shamir, Adi and Adelman, Leonard M. 1978. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key. Cryptosystems. CACM 21： 120—126.

1-6. Дешево, дорого или no сходной цене?Вашек Хватал

На стр. 128 книги Р. Ч. Мак-Лэгэна «Игры и развлечения Ардаайлшнра», изданной в 1901 г. в Лондоне Дэвидом Наттом, приведено следующее описание одной старинной шотландской игры.

Дешево, дорого или по сходной цене

В эту игру играют вдвоем. На грифельной доске「口皿户 буквы Дш, Др и С, означающие соответственно «дешево,《川: рого» и «по сходной цене». Между этими словами следует вить промежутки. Под Дш записывают числа 1, 2, 3, под С —

числа 4, 5, 6 н под Др — числа 7, 8, 9:

Дш С Др1, 2, 34, 5, 67, 8, 9

□「рок А, начинающий игру, задумывает в тайне от игрока Б какое-нибудь одно из записанных под обозначениями чисел. Игрок Б должен отгадать задуманное число. Обращаясь к Б, игрок А. произносит: «€)тец купил на ярмарке лошадь». «Дешево, дорого или по сходной цене?» ——спрашивает Б. Отвечая Б, А называет ту группу, к которой принадлежит задуманное им число. Например, если А задумал число 5, то он отвечает:《По сходной цене». После этого Б называет наугад одно из чисел в группе С. Если Б называет 5, т. е. угадывает загаданную А цену, то он получает 5 очков. Если же Б называет числа 4 или 6, то 5 очков получает игрок А. И в том, и в другом случае число 5 стирается с доски. Следующее число задумывает игрок Б. Водят (задумывают числа) игроки по очереди до тех пор, пока с доски не будут стерты все числа. Каждый нз игроков подсчитывает, сколько очков он избрал. Побеждает тот, кто наберет больше очков.

Мы изложим здесь анализ игры «Дешево, дорого или по сходной цене». Для удобства читателей, не знакомых с теорией игр, приведем сначала краткий обзор основных сведений о так называемых матричных играх.

Начнем с игры «Монетку под пару», в чем-то близкой игре «Дешево, дорого или по сходной цене», но зна- чительно более простой. Играют в «Монетку» вдвоем. Каждый из игроков прячет в кулаке или в кармане монетку в 5, 10 или 25 центов; затем по команде оба игрока одновременно показывают свои монетки друг другу. Если монетки оказываются одинаковыми, то они пере ходят к первому игроку, а если различными — то ко второму. Ясно, что стратегии, заведомо гарантирующей выигрыш, нет ни у одного игрока: в случае неудачи лю” 阮 из них может проиграть подряд какое угодно число партий. И все же мы утверждаем, что, по крайней мере «в статистическом смысле», шансы второго игрока предпочтительнее: если он действует правильно, то может твер' 4。рассчитывать на'выигрыш б длинной серии игр. Разу- меется, монету второй игрок каждый раз должен выби- Рать случайным образом, чтобы его противник не мог предсказать исход очередного выбора. В то же время ееронтноста выбора монеты того или иного достоинства Должны быть фиксированы: б длинной серии игр веррят* ℃тн выбора монеты в 5, 10 и 25 центов у второго игро* 、а Аоткнм соответственно равняться 7/34, 12/34 и 15/34, 3十

Предположим, что второй игрок неукоснительно сл炒 дует указанной стратегии игры. Рассмотрим длннну!| серию игр. На каждую монету в 5 центов, поставленную первым игроком, второй игрок в 7/34 общего числа иг] отвечает монетой в 5 центов, в 12,34 ——монетой в 10 центов “ в 15/34 ——монетой в 25 центов. Ясно, что незавц. симо от избранной первым игроком стратегии он не может преодолеть элемент случайности, вносимый в игру вт《 рым игроком (который выбирает свою монету случайным образом). В той группе игр, в которой первый нгро* прячет монету в 5 центов, второй игрок проигрывает монету в 5 центов в 7/34 и выигрывает в 27/34 общего чнс» ла игр. Аналогично в той группе игр, в которой первый игрок выбирает монету в 10 центов, второй игрок проигрывает монету в 10 центов в 12/34 и выигрывает в 22.34 общего числа игр. Наконец, в той группе игр, в которой первый игрок прячет монету в 25 центов, второй игрок проигрывает монету в 25 центов в 15/34 и выигрывает в 19 34 общего числа игр. В каждой из этих трех групп средний выигрыш второго игрока составляет 100/34 центов за игру. Разумеется, такой выигрыш м, гарантируется: речь идет лишь о математическом ожпл дании, пли среднем значении, выигрыша так же, как в длинной серии бросаний (не фальшивая) монета в среднем (хотя строго это и не гарантируется) в половнне случаев падает вверх гербом. В том же смысле первый игрок может защитить себя от больших, чем 100/34 центов за игру проигрышей, если будет выбирать в 10/17 общего числа всех игр монету б 5 центов, в 5/17 — монету в 10 центов, и в остальных 2/17 — монету в 25 центов^ Независимо от избранной вторым игроком стратегии всякий раз, когда он будет ставить монету в 5, 1。W 25 центов, максимальный средний (ожидаемый) выигрыш первого игрока будет составлять соответственно

10 к . 5 I 25010 г- 5 1八 2 "5° (

一方 5+"・25="，^-5-n10+n 25

IP.5.10 _±_.25 =—171717 “17

центов за игру (отрицательный выигрыш — это, раз, меется, проигрыш).

Такой игре соответствует матрица

/ 5 — 5 — 5\

(—Ю 10 —10 )

25 —2525/

Первый игрок выбирает одну из трех строк (в зависимости от того, какую монету — 5, 10 или 25 центов — он прячет), второй игрок независимо от первого выбирает один из трех столбцов. Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранной строки и выбранного столбца, указывает величину выигрыша первого игрока. В общем случае каждая матрица А^(а^ задает игру, в которой первый игрок выбирает (скажем, z-ю) строку, второй — (например, /-й) столбец; при этом элемент。门 матрицы указывает величину выигрыша первого игрока. («Дешево, дорого или по сходной цене» можно рассматривать как игру того же типа: каждая строка матрицы соответствует набору четких инструкций, которых игрок А должен неукоснительно придерживаться на протяжении девяти туров, а каждый столбец — аналогичному набору инструкций для игрока Б. Число строк и столбцов матрицы игры «Дешево, дорого или по сходной цене» огромно.)

Единственная разумная стратегия для каждого игрока и в общем случае состоит в случайном н поэтому непредсказуемом для противника выборе строки. Пусть первый игрок выбирает каждую строку г^-1, 2, . . ., /и с относительной частотой 尤〃 а второй игрок выбирает каждый столбец /—1, 2, . . ., п с относительной частотой yf. Тогда средний выигрыш первого игрока за одну игру составляет

i= 1 / = t

В матричных обозначениях эту величину можно записать в виде хАу. Вектор-строка х с компонентами 尤如 х2, • . ., хт и вектор-столбец у с компонентами ylf ^2, . . ., уп обладают одной общей характеристической особенностью: все их компоненты неотрицательны и в сумме равны единице. Такие векторы называются сто- каапнческими или случайными. В конце двадцатых годов нашего века Джон фон Нейман (Zur Theorie der Gesell-

schaftsspiele, Alath. Ann. (1928), 100, 195—320 ) д0. казал знаменитую теорему о минимаксе. Эта теорема утверждает, что

max minx/ly = minmax хАууЛ уу Л

где Л — произвольная матрица, максимум берется по всем стохастическим вектор-строкам х, а минимум 一 по всем стохастическим вектор-столбнам у. Теорему о минимаксе можно сформулировать и иначе: для любой мат・ рицы Л найдутся такие стохастические векторы х* что %〃〃 любых стохастических векторах х и у

хАу* < х*Ау* & х^Ау.

Стохастические векторы %* и у* можно рассматривать как оптимальные стратегии в игре, задаваемой матрицей Л: первый игрок может рассчитывать выиграть за игру не менее

min л* Л у = х*Ау*,

второй — проиграть за игру не более

max хАу* = х*Лу*.

Величина х*Ау* называется ценой игры. (Цена miры «Монетка под пару» отрицательна и равна ——50/17.)

Но довольно предварительных замечаний. Обратим! ся снова к игре «Дешево, дорого или по сходной цене». Чтобы покончить с неизвестностью, сразу откроем, что в этой игре большие шансы на выигрыш имеет игрок Б. цена игры составляет около ——3,8 (иначе говоря, если оба игрока будут придерживаться своих оптимальных стратегий, то игрок Б может рассчитывать набрать 24,4 очка, а игрок А — только 20,6 очков). Любая позиция, какая только может возникнуть в игре «Дешево, дорого или по сходной цене», определяется множеством чисел 5, оставшихся на грифельной доске. Если число элементов множества S нечетно, то очередное число на доске выбирает игрок А; если же число элементов множества S четно, то очередное число выбирает игрок Б.

Если нгрОк при выборе числа придерживается своей оп- тнмальной стратегии, то за оставшуюся часть игры он может рассчитывать набрать не менее v очков независимо от того, какую стратегию изберет его противник. Аналогично если игрок при отгадывании числа придерживается своей оптимальной стратегии, то за оставшуюся часть игры он может рассчитывать набрать не менее w очков независимо от того, какую стратегию изберет его противник. По теореме о минимаксе сумма v+w равна числу всех элементов множества S. Разность о——w будем называть ценой множества S. Мы хотим предложить вниманию читателя способ, позволяющий легко вмино лять цену любого множества S, оптимальные способы выбора числа из S и оптимальные способы угадывания числа в заданной подгруппе элементов множества S. Наши утверждения можно доказать методом индукции по числу элементов множества S, но мы опускаем доказательства из-за их громоздкости.

Каждый тур начинается с того, что один из игроков называет группу, в которой находится выбранное им число. При выборе числа оптимальная стратегия состоит в соблюдении следующих правил:

чем обширнее группа чисел, тем она предпочтительнее;

из групп, содержащих по три числа, группа «Дорого» предпочтительнее группы «По сходной цене», а та в свою очередь предпочтительнее группы《Дешево»;

все группы, содержащие по два числа, одинаково привлекательны;

из групп, содержащих по одному числу, группа «Дешево» предпочтительнее группы «По сходной цене», а та предпочтительнее группы «Дорого».

Выбор числа должен иметь случайный характер. Оптимальная стратегия для этого сводится к следующему:

из группы, содержащей два числа х и у, выбирать число х с вероятностью у/ (х+у), выбирать число у с вероятностью 尤/卜+g);

из группы, содержащей три числа 尤，у н z、 выбирать число 尤 с вероятностью yz/(xy+xz+yz}t выбирать число у с вероятностью %?/ (xy+xz+yz}, выбирать z с вероятностью ху! (xy+xz+yz).

Эти правила дают полное описание оптимальных стра- тегн" для игрока, которому предстоит выбрать число.

Почти любой оптимальный выбор можно сформулировать как одно из правил 1—6. Единственное исключение составляет случай, подпадающий под правило

в позициях, когда группа «Дешево» содержит одно число, а каждая из групп «По сходной цене» и «Дорого» по два числа, не будет ошибкой выбрать единственное число из группы «Дешево».

Займемся теперь оценкой различных позиций. Предположим сначала, что две из трех групп полностью стерты с доски. В этом случае множество {г} имеет цену —х, множество {尤,у} — цену (x2+f/2)/(x+f/), а множество {尤，У, z} — иену

], z _ *，(炉 + 炉)血(*2_)_-必(-+号)\ I

1 X*yx + zу+z~ '

Последняя формула приводит к следующим значения；!； цена множества {1, 2, 3} равна 一靄〜一1,85757575; цена множества {4,5, 6} равна -^~|j| 七一3,544253344;； 9 1OQ 474

цена множества {7,8,9} равна ——奈。—5,465232009.

Правила 1——6 в сочетании с вычисленными нами ценами множеств (их 21) позволяют просто находить ц\ ны и других множеств. Например, рассмотрим множество S={1, 2, 3. 4, 5, 7, 9}. Так как S содержит нечетное число элементов, выбирать число должен игрок А. Оптимальная игра протекает следующим образом:

А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает число из группы «Дешево», А выбирает число из группы «По сходной цене», Б выбирает число из группы «Дорого», А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает число из группы «По сходной цене», А выбирает число нз группы «Дорого».

Два игрока могли бы по обоюдному согласию разыграть партию в следующем порядке:

А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает число из группы «Дешево», А выбирает число из группы «Дешево», А выбирает число из группы «По сходной цене», Б выбирает число из группы «По сходной цене», В выбирает число из группы «Дорого», А выбирает число из группы «Дорого».

Мн заключаем, что цена множества S такова:

цена множества {1, 2, 3} + цена множества {4, 5}— —цена множества {7, 9}=

比一5,4270202.比一5,4270202.613 4113021491

比一5,4270202.

比一5,4270202.

/б 十 36~ = —3960

Чтобы аналогичным образом вычислить цену каждой из 512 позиций, необходимо заготовить несколько дополнительных «строительных блоков». Пусть S — снова позиция, в которой полностью стерты две из трех групп. Под игрой со сбоем на множестве S={v,g} мы будем понимать игру, в которой А в обоих турах выбирает число, а под игрой со сбоем на множестве S={x, у, z}— игру, в которой А выбирает число только в первом туре и угадывает число, задуманное игроком Б, в двух остальных турах. При игре со сбоем цена множества {х, у} равна —(г2+у2) (х+у), а цена множества {х, у, г} составляет

冲士 力24步 V y '^^X Z *^+2~丿

Последняя формула приводит к следующим значениям пены множеств {尤,у, г} в случае игры со сбоем:

{1,2,3}-鶉-2,94 8484848,

{4, 5, 6}—為^比 6,787496587,

{7, 8, 9} 一 ^^ а 10,74271892.

Теперь мы знаем все, что необходимо для быстрого вы- числения цены произвольной позиции. Например, рас- :мотрнм множество S={1, 2, 3, 5, 6}. Оптимальная игра т проходить следующим образом:

А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает 产о нз группы «Дешево», А выбирает число из группы ；о? сх°Дной цене», Б выбирает число из группы «Деше-

%А выбирает число из группы «По сходной цене». Но обоюдному согласию игроки могли бы сыграть У партию и так:

q“ А выбирает число из группы «Дешево», Б выбирает "о из группы «Дешево», Б выбирает число из группы

«Дешево», А выбирает число из группы «По сходно! цене», А выбирает число из группы «По сходной 嗚❷

Следовательно, цена множества S равна сумме 1цена в игре со сбоем множества {1, 2. 3} 4-ценав игре со сбоем множества {5, 6}=97361857 分 cncncnr

= ^-П =-就右—2,5969696.

Наконец, обратимся к оптимальным стратегиям от. дывания выбранного числа. Предположим, что один игроков выбирает число из группы, содержащей тр< числа {х, у, z}. Пусть а, b н с — цены множеств Х—{х' S—{у}, S—{г}. Ясно, что оптимальная стратегия отга- дывания числа для другого игрока совпадает с оптималь ной стратегией второго игрока в игре с матрицей <

Этому игроку необходимо

отгадывать число 尤 с вероятностью

2(х川：%4■丽®(x+c—a) + z(x + b — a)],

отгадывать число у с вероятностью

__L_[x(y+c_6)+z(y+a_^

отгадывать число г с вероятностью

..4丄+扃[尤(z + b_c)+y(z + a — c)}

Аналогично если один из игроков выбирает число 二 группы, содержащей два числа, и а, 6 — цены мно*&； S—{尤}, S—{y}t то оптимальная стратегия отгадывав1 для другого игрока совпадает с оптимальной стратег" второго игрока в игре с матрицей

-х - а х — a

y—b —y—b

Этому игрку надлежит

отгадывать число х с вероятностью 年")(х+ у—а+ ft), отгадывать число у с вероятностью 外„ (尤+y+〃——b).

1,7. Задача об одной игре в „классыЛ,имеющей случайный характер,или как добиться,чтобы Джонни больше читал

Дэвид Беренгат

Многие из наиболее распространенных игр сочетают элемент случайности, вносимый бросанием игральной кости, запуском волчка или сдачей тщательно перетасованной колоды карт, с еще одной особенностью: игра ведется на какой-нибудь поверхности или специальной доске, расчерченной на клетки («классы»). Эти клетки располагаются в определенном порядке в виде либо замкнутой петли (как в игре «Монополия»), либо цепочки с раздельными началом и концом (как в криббедже или триктраке). Перемещения фишек в таких играх при некоторой доле воображения можно было бы назвать «слу- "@应'。立》игрой 8 классы. Как специалист по математиче- ской статистике я питаю непреходящий интерес к веро- ятностным аспектам таких игр«

Наша статья берет начало от одной задачи, которую "не сообщил Дэвид Кларнер. Стремясь пристрастить св°нх питомцев к чтению, учительница начальной шко- прндумала следующую игру в классы с элементами Тайности. На доске начерчена цепочка клеток с раз- "ьнммн началом и концом. В одни клетки вписаны раз- К^нме。задания по чтению, другие клетки пустые. 耻｝叫也 ученик по очереди проходит от начала до конца вр °"км，Делая ходы в соответствии с исходами бросания ро俨^змененно自 игральной кости, на двух гранях кото- стонт по одному очку, на двух других — по два оч-

ка и на последних двух ——по три очка. Каждый соответственно позволяет продвинуться на одну, или три клетки, причем эти три исхода равновероятна Если клетка, на которую ученик попадает, сделав Qq, редкой ход, содержит задание по чтению, это задан|> должно быть выполнено, прежде чем будет сделан ду ющий ход.

Выдумка оказалась удачной: вводя элемент снуча* ности (и подзадоривая своих учеников: «Интересно, к) сумеет бросить кость так, чтобы выпало нужное ин(.；) оиков?》), учительница смогла долго удерживать вн. мание своих подопечных. В связи с этой игрой у уч. тельницы возник вопрос: в какие клетки следует вписывать задания по чтению, чтобы среднее число заданий, выполняемых учеником за один проход, было максимальным? Разумеется, неявно предполагается, что и число клеток, и число заданий по чтению фиксированы.

От слов к числам

Ключ к решению многих математических задач л；- м^нт просто в том, чтобы их правильно сформулировать В значительной степени так обстоит дело и с вопрос* заданным нашей учительницей. Поскольку математические задачи часто легче решать в общем, чем в чайном виде, я буду считать число клеток на игральна i доске и число заданий произвольными и обозначу их， ответственно буквами п и /.

Чтобы решить задачу, нужно прежде всего точно знать, в чем, собственно, она состоит. Какой смысл вк# дывается в выражение вреднее число заданий, еыпол^Л^ мых за один прохода Среднее значение, или матемапиш ское ожидание случайной величины — стандартное ■ нятие теории вероятностей. Не вдаваясь в подробное^ математическое ожидание можно определить как взве шенное среднее случайной величины, где каждое ее зн чение берется с весом, равным вероятности этого зна依 ния. Если Т ——число заданий, выполненных за один М потетический проход по доске, то Г — случайная & личина, которая может принимать любое целое значен]*; от 0 до Z (включитвпьно), каждое — с определенк°* (пока неизвестной) вероятностью. Пусть Р (/) — взро— ность того, что Т принимает значение /, где / — лк)(М

цеЛое число, такое, что 0&j<£. Математическое ожида- нне Е(Т) случайной величины Т вычисляется по формуле

Е{Т) 0-Р(0Н1-Р(1)+ ・ +«—1)屮(%—1)+Z・P(Z).

Клетки на доске удобно перенумеровать по порядку от начала к концу так, чтобы начальная клетка имела номер I, следующая клетка ——номер 2 и т. д., а последняя клетка — номер 〃. Пусть ", /2, . . ., i±— номера клеток (в порядке возрастания) с заданиями по чтению. Для любого прохода значение Т есть просто число клеток из множества {/ъ /2, . . ., ij, на которое попадает игрок. Здесь удобно воспользоваться известным математическим приемом и ввести переменные-индикапюры, принимающие только значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит некоторое событие. Пусть в нашем случае Л— индикатор события, состоящего в том, что игрок попадает на клетку R, т. е.厶=I, если игрок при проходе вступит на клетку G, и /1=0, если игрок клетку ii минует. Аналогично пусть /2— индикатор события, состоящего в том, что игрок попадает на клетку i? н т. д. вплоть до /р Ясно, что сумма /1+/2+ . . . +/< служит своего рода счетчиком, показывающим, сколько раз за проход игрок попадает на клетки с заданиями. Это число мы обозначим через Т.

Таким образом, вычисление математического ожидания случайной величины Т эквивалентно вычислению математического ожидания суммы /1+/2+ •・• +/»• Воспользуемся фундаментальным свойством среднего зна- чения (математического ожидания) — его аддитивно- стью: математическое ожидание суммы равно сумме ^тематических ожиданий слагаемых. (Например, математическое ожидание числа дождливых дней в году для Данной местности равно м атематическому ожиданию чнс- ла Дождливых дней в январе плюс математическое ожн- Знпе числа дождливых дней в феврале и т. д.) Кратко ◎то свойство математпческого ожидания можно записать так:

Е(Т)=Е(1^+Е(1^+ •・• +Ed)・

Как нам вычислить, например, £ (Л)? Из определения Математического ожидания следует, что E(/i)=0・P(0)+

+ 1 *P(l)~P(l). Ho P(l) — вероятность того, что / принимает значение 1, т. е. что игрок попадает на клетку с номером &. Аналогично £ (/2) совпадает с вероятностью попасть на клетку ц и т. д. Если обозначить через /" вероятность того, что игрок ступит на клетку i, где l<t<九，то

Е (Т)=『厶+Pg+ - • • +%•

Итак, задача сводится к вычислению величин 『2* . . м Рп- Коль скоро они известны, мы можем решить задачу, поставленную учительницей: выбрать клетки h, /2» ・・・，% так, чтобы максимизировать £ (Т). Ясно, что мы должны выбрать / клеток, которым соответствуют t наибольших величин из числа чисел /^, р2, • . р”: для вписывания заданий по чтению учительнице нужно выбрать те t клеток, на которые с наибольшей вероятностью будут попадать ученики!

Найти эти клетки ——нетривиальная задача. Чтобы пояснить основную идею предлагаемого метода решения, рассмотрим сначала упрощенный вариант игры.

Более простая задача

Предположим, что правила игры несколько изменены: делая очередной ход, игрок может продвинуться вперед на одну или две клетки (в зависимости от того, какой стороной вверх упадет подбрасываемая им монета). Можно ли вычислить для упрощенного варианта игры вероятности /%, 「2， . . ., Ра попасть на первую, вторую, .n-ю клетки?

Вычислить вероятность 网 достаточно просто: это не что иное, как вероятность попасть при первом ходе на клетку 1, т. е. 1/2. Величина『2—вероятность попасть на клетку 2. Это может произойти двумя способами: если при первом ходе игрок сдвинется на две клетки и если при первом и втором ходах он сместится на одну клетку- Вероятность первого события составляет х/2. Вероятность второго события равна вероятности получения двух цифр при двух последовательных бросаниях монеты Так как каждое бросание монеты производится независимо, то принцип умножения утверждает, что интересующая нас вероятность равна произведению вероятностей получить цифру при первом бросании и полу^йТЬ

ее При втором бросании, т. е. что она равна (力。％)—%- Так как других способов попасть на клетку 2 не сущест- вует, а два рассмотренных нами способа различны, пол- нан вероятность р2 попасть на клетку 2 равна сумме вычисггенных вероятностей

02=1/2+1/4=3/4.

Те же рассуждения, требующие перебора всех «путей», ведущих к данной клетке, позволяют вычислить р3 и все остальные вероятности, хотя по мере продвижения от начала доски задача становится все более громоздкой. К счастью, эту трудность удается преодолеть с помощью более тонких рассуждений, позволяющих вычислять вероятности рекуррентно.

Рекуррентный подход

Предположим, требуется вычислить вероятность 卩匚 попасть на Вю клетку, где i>2. Любой ход, позволяющий попасть на 力ю клетку, должен начинаться либо с 口——2)-瓶 либо с (i——1)-й клетки. Следовательно, попасть на 厶ю клетку можно двумя различными способами (см. рис. 1):

Рис. 1. Два различных пути к i-й клетке.

попасть на (i—2)-ю клетку и следующим ходом пРодвинуться на две клетки (перешагнув через (i—1)-ю клетку)；

попасть на (i—1)-ю клетку “ следующим ходом продвинуться на одну клетку.

Последовательные ходы независимы, поэтому вероят』 ность попасть на клетку t в первом случае равна произведению вероятности попасть на (i—2)-ю клетку (т. Pi) и равной % вероятности продвинуться следующим ходом на две клетки, иначе, вероятность попасть на г-ю клетку первым путем равна Хр—，Аналогично верояг-1 ность попасть на гю клетку вторым путем равна 1/2pz^1, Вероятность попасть на i-ю клетку любым путем состав-) ляет '/2Р/т+'/2р”2・ Таким образом, каждый .член последовательности ръ「2,・• •，Р«, начиная с третьег®! равен среднему арифметическому двух предыдущих членов:

Pi^ ^ Pi-i^~ ^Pi - 2»i》3・(1)

Зная, что『1=〃2 и 「2=?/船 получаем рз=*2 (V2-H +3/4)=б/в. То же рекуррентное соотношение позволяет вычислить р4=11/16, Р$=2'/з2 н т. д. Разумеется, для ТОГО чтобы ВЫЧИСЛИТЬ ЭТИМ способом 丛о，нам пришлось бы сначала вычислить числа ръ 夕义，• • •, р19. Но вычисление 19 вероятностей — занятие довольно утом《 тельное. А нельзя ли вывести явную формулу для ph справедливую при любом i?

Оказывается, можно. Более того, эта формула получается удивительно простой:

(из (2), в частности, следует, чтор20=2 097 152'3 145 728).

Формула для pi непосредственно следует из рекур* рентного соотношения (1) для вероятностей, если заметить, что арифметическое среднее двух чисел находится точно посредине между ними. Например, 〃 на* ходится посредине между pz_2 и p^v Следовательно* разность между 〃 и р_ по величине равна половина разности между р— и pz_2. Нетрудно видеть также, что эти разности п рот и во положи ы по знаку. Таким образом если обозначить 山=『,一рц (где i》2), то

&—%&_i(3)

(ср. рис. 2).

Повторно применяя соотношение (3), получаем |

& -L一1 2)(-%)或_2=.. •—"2)‘一2虑.]

Но

虑=/2-"1 = 3/ 4-1/ 2 = 1/4.

Следовательно,

山=(%) (—%)$&_%)，.

Наконец, воспользуемся тем, что р, можно представить в виде суммы

(Pi-，i-i) + (〃i-i-用-2)+ •。. + (〃2-〃1)+〃1 =

=&+&_i+・• .+d2+〃.

Прямой подстановкой получаем

『2 = (—%)■(—%)1+.・• + (」/-+%・

Преобразуя правую часть по известной формуле для суммы конечной геометрической прогрессии, приходим

Рн?・ 2. Соотношения между последовательными вероятностями р】, Рг» •••• Рп-

к окончательному ответу (2):

〃严 ％ + '/з(—%)、

Приближенные значения 12 первых величин pt собраны в табл. 1.

Обращают на себя внимание правильные колебания последовательности вероятностей 〃》вокруг значения 2/3. С увеличением г амплитуда колебаний убывает. Кроме т°『о, подпоследовательность с нечетными индексами fb Рз,『5, • . монотонно возрастая, сходится к пределу ь в то время как дополнительная подпоследователь- "ость г?, о# рв, . . . сходится к тому же пределу, моно-

ТАБЛИЦА 1

Значения 川 при 1 W i《12・Упрощенный вариант игры

1234561234560,5000 0,75000,62500,6875 0,65630,67190,5000 0,75000,62500,6875 0,65630,67190,66410,66800,66600,66700,66650,66670,66410,66800,66600,66700,66650,6667

123456

123456

0,5000 0,7500

0,6250

0,6875 0,6563

0,6719

0,5000 0,7500

0,6250

0,6875 0,6563

0,6719

0,6641

0,6680

0,6660

0,6670

0,6665

0,6667

0,6641

0,6680

0,6660

0,6670

0,6665

0,6667

тонно убывая. Ясно, что 『？ — наибольший член пс следовательности, р4 — второй по величине, рх — наг меньший член последовательности, 〃з — следующий за ним по величине член последовательности и т. д. I

Теперь мы уже в состоянии ответить на вопрос учительницы (по крайней мере при упрощенном вариант игры). Чтобы максимизировать математическое ожидание числа выполненных заданий, задания следует вписывать в клетки с четными номерами. Начать следует с клетки 2 и заполнять последующие четные клетки』 тех пор, пока либо (а) мы не исчерпаем всех заданий, либо (б) не дойдем до конца доски. В случае (б) оставшиеся задания следует вписывать в пустые к легки (с нечетными номерами), начав с конца доски и двигаясь от конца к началу.

Стоит ли очень стараться?

Будучи математиком с прикладным уклоном, я pf шил выяснить, много ли проку от оптимального размещения заданий на доске. Вопрос, который меня интересовал, более точно следует сформулировать так: ве・ лика ли разность математических ожиданий числа в, полненных заданий в случае оптимальной и наихудшей из возможных схем размещения (наихудший вариант получается из оптимальной схемы, если четные и нечет- ные клетки поменять ролями)? Ответ требует только несложных алгебраических вычислений и зависит того, будет ли п (число клеток на доске) вдвое больше«

(чнсла заданий). Если 几=2。то разность математиче- 5Hx ожиданий равна (1—4~勿3, если n^2t, то разность равна (1—単一门)/3・ Независимо от того, сколь веЛйки 孔 и А разность математических ожиданий ни- к0Гда не превышает V3, но в большинстве случаев мало отличается от ~\. Например, если имеется всего пять заданий, а число клеток на доске не меньше десяти, то математическое ожидание числа выполненных заданий прн оптимальной схеме их размещения примерно равно 3,4443, а при наихудшей схеме — всего лишь 3,1113. Разность этих значений составляет 0,3330 (или, если 0ыть точным, 341/1024). Хотя эта разность может показаться не очень существенной, она становится тем ощутимее, чем чаще проводится игра. Например, если в классе из 30 человек каждый ученик сыграет по одному разу, то различие между оптимальной и наихудшей схемами размещения заданий обернется примерно десятью дополнительно выполненными заданиями.

Исходный вариант задачи

Решив упрощенную задачу, попытаемся применить те же методы к решению исходного варианта задачи, поставленной учительницей, в котором равновероятны ходы с продвижением на одну, две и три клетки. Ясно, что, рассуждая по аналогии с упрощенным вариантом, мы получим рекуррентное соотношение, которое на зтот раз имеет вид

Pi=(Pi-i+Pi-2+Pi-^> i>3. (4)

Чтобы формулой (4) можно было пользоваться, необходимо ВЫЧИСЛИТЬ Pt, 02 М Рз. Ясно, что р1=1/3. Чтобы попасть на клетку 2, необходимо либо первым ходом продвинуться на две клетки, либо сделать два хода с продаижением на одну клетку каждый; поэтому 卩2= ='/з+(1/з)2=*/о. Попасть на клетку 3 можно четырьмя способами: 1) продвинуться первым ходом на три клет- кн； 2) продвинуться первым ходом на две клетки, а вторым на одну клетку; 3) продвинуться первым хо- Аом на одну клетку, а вторым на две клетки; 4) тремя последовательными ходами с продвижением каждый 肾 на одну клетку. Следовательно» Рз=1/з+(1/з)2+ *'(1Л)2+(1/3)3—16/27. Рекуррентное соотношение с тремя

начальными значениями позволяет в принципе вычяс^ лять 〃] при любом I. Приближенные величины 12 nepJ вых значений 死 приведены в табл. 2.

Однако в отличие от упрощенного варианта игры неОднако в отличие от упрощенного варианта игры несуществуетсуществуетторый быторый бысколько-нибудь элементарногосколько-нибудь элементарногоспособа,способа,к<к<позволял вывести из рекуррентногопозволял вывести из рекуррентногосоотн(>соотн(>шения явную формулу дляТем не менее мы можемсделать кое-какие интересные наблюдения. Рекурре城шения явную формулу дляТем не менее мы можемсделать кое-какие интересные наблюдения. Рекурре城ное соотношение устанавливает, что любой член пос* довательности вероятностей 『〃 начиная с иетвертоп* равен среднему арифметическому трех предыдущих членов. Следовательно, вероятность 仍 при любом ^3 должна быть больше наименьшего, но меньше наибольное соотношение устанавливает, что любой член пос* довательности вероятностей 『〃 начиная с иетвертоп* равен среднему арифметическому трех предыдущих членов. Следовательно, вероятность 仍 при любом ^3 должна быть больше наименьшего, но меньше наибольшего из этих трех членов. Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что наибольший из любых тр(' членов『；_2，Pi-ь Pi последовательности ｛『力 р2, . Л превосходит все остальные члены последователь^ ности, которые в свою очередь превосходят наименьший из тех же трех членов. Непосредственно из 9To замечания следует, что наибольшая из трех вероя1' ностей『],р2, 〃з, а именно 〃з, является наибольшей 鳩шего из этих трех членов. Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что наибольший из любых тр(' членов『；_2，Pi-ь Pi последовательности ｛『力 р2, . Л превосходит все остальные члены последователь^ ности, которые в свою очередь превосходят наименьший из тех же трех членов. Непосредственно из 9To замечания следует, что наибольшая из трех вероя1' ностей『],р2, 〃з, а именно 〃з, является наибольшей 鳩

Однако в отличие от упрощенного варианта игры не

Однако в отличие от упрощенного варианта игры не

существует

существует

торый бы

торый бы

сколько-нибудь элементарного

сколько-нибудь элементарного

способа,

способа,

к<

к<

позволял вывести из рекуррентного

позволял вывести из рекуррентного

соотн(>

соотн(>

шения явную формулу дляТем не менее мы можемсделать кое-какие интересные наблюдения. Рекурре城

шения явную формулу дляТем не менее мы можемсделать кое-какие интересные наблюдения. Рекурре城

ное соотношение устанавливает, что любой член пос* довательности вероятностей 『〃 начиная с иетвертоп* равен среднему арифметическому трех предыдущих членов. Следовательно, вероятность 仍 при любом ^3 должна быть больше наименьшего, но меньше наиболь

ное соотношение устанавливает, что любой член пос* довательности вероятностей 『〃 начиная с иетвертоп* равен среднему арифметическому трех предыдущих членов. Следовательно, вероятность 仍 при любом ^3 должна быть больше наименьшего, но меньше наиболь

шего из этих трех членов. Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что наибольший из любых тр(' членов『；_2，Pi-ь Pi последовательности ｛『力 р2, . Л превосходит все остальные члены последователь^ ности, которые в свою очередь превосходят наименьший из тех же трех членов. Непосредственно из 9To замечания следует, что наибольшая из трех вероя1' ностей『],р2, 〃з, а именно 〃з, является наибольшей 鳩

шего из этих трех членов. Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что наибольший из любых тр(' членов『；_2，Pi-ь Pi последовательности ｛『力 р2, . Л превосходит все остальные члены последователь^ ности, которые в свою очередь превосходят наименьший из тех же трех членов. Непосредственно из 9To замечания следует, что наибольшая из трех вероя1' ностей『],р2, 〃з, а именно 〃з, является наибольшей 鳩

ТАБЛИЦА 2

Значения вероятностей р/ при

1 W i W 12. Исходный вариант игры

1

Pi

1

Pi

1

0,3333

7

0,4902

2

0,4444

8

0,5013

3

0,5926

9

0,5024

4

0,4568

10

0,4980

5

0,4979

11

0,5006

6

0,5158

12

0,5003

* Более подготовленному читателю будет интересно узн-丁‘ что р/ можно представить в виде

：+(_ JJ . ；[(1 +1 —2)х + (1 — ^—2)[. Н

I Попытайтесь сами вывести эту формулу- (А для ленивых ук£>；« брошюру Маркушевича [10], названную на с. 485.) — Ред.]

всех вероятностей ph в то время как наименьшая из эТИх же трех вероятностей, вероятность рь является наименьшей ^из всех вероятностей.

Существуют ли в последовательности 〃廿 р2, . . . закономерности, аналогичные тем, которые нам удалось заметить в последовательности вероятностей упрощенного варианта игры? Возможно, читатель заподозрит, что наибольшие 〃厶 расположенные в порядке убывания, образуют последовательность 〃з, рв, р0,., Увы, это не так! Чтобы опровергнуть подобную гипотезу, достаточно взглянуть на табл. 2: предполагаемую схему нарушает значение р12^0.5003. Это не четвер- тая, а лишь шестая по величине вероятность, так как и Pq0,5013, и 得1=0,5006 больше ее. Не обладает пе- риодичностью и подпоследовательность вероятностей, расположенных в порядке возрастания: р1? р2, р4, /?7, Ps，Р10» • • • •

Табл. 2 позволяет предположить, что последовательность 『》сходится к “2・ Это предположение удается доказать, хотя доказательство требует известных математических ухищрений. Из существования предела последовательности ,равного V2, следует, что никакие три вероятности pz_2, pz_x, р, не могут лежать по одну сторону от %. Действительно, если бы такие вероятности 広広-и Рс нашлись, то в силу сделанных ранее замечаний все остальные вероятности с большими номерами былн бы заключены между наибольшей и наименьшей из трех вероятностей рТ_2, 〃；_], 〃； и поэтому отличались бы от ^2 больше, чем ближайшая к *、из этих вероятностей. Но тогда последовательность 〃》 не могла бы сходиться к〔厶,т. е. мы пришли бы к противоречию.

Вероятности 『》совершают бесконечные колебания °ксшо значения %, причем по одну сторону от V2 находится не более двух соседних членов последователь- н°сти. Заметить какую-нибудь закономерность в колеба- ннях не удается. Общий ход колебаний первых 25 чле- нов последовательности 〃》представлен в табл. 3.

Предположим, мы применили все, чему научились, :рассмотренному ранее примеру. Если на доске требуется разместить пять заданий, а клеток не менее °Диннадцатп, то по оптимальной схеме задания следует впнсать в клетки 3, 6, 8, 9 и И. Математическое ожида-

ТАБЛИЦА 3

Положение первых 25 членов поеледовательности р» относительно 0,5 (плюс означает, что 〃 больше 0,5, минус—что『£ меньше 0,5)・ -

j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

pi относительно 0,5

—

一

+

—

——

+

——

+

+

一

+ +

j

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23 24 25

Pi относительно 0,5

—

+

+

——

+

—

—

+

—

—

+ -> —

ние числа выполненных заданий при этом будет првг.ер- но равно 2,6127. В худшем случае задания вписываются в клетки с номерами 1, 2, 4, 5 и 7, что соответствует математическому ожиданию 2,2226. Разность математических ожиданий оптимальной и наихудшей схем размещения заданий составляет 0,3901. Интересно отметить, что эта разность больше, чем в упрощенном варианте игры.

Несколько слов в заключение

Рассмотренная нами задача служит примером того, что одни свойства решения допускают обобщение на все случаи, другие носят частный характер. Вывод рекуррентного соотношения для 〃* остается в силе для всех вариантов игры, схема решения существенно зависит от числа возможных ходов. Разумеется, мы не рассмотрели два наиболее распространенных варианта игры в «классы» — с ходами, сопровождающимися про- двнжением от 1 до 6 или от 2 до 12 клеток, но, воор丿 жившись микрокалькулятором, читатель сумеет проанализировать и эти варианты.

Разобравшись в нашей статье, читатель может забавиться на досуге и попытаться обобщить полученные нами результаты: не следует забывать о том, если Джонни "все время будет проводить на уроках и 嗎 выполнением заданий по чтению, совсем позабыв Q игра\ то ему станет нестерпимо скучно.

Геометрия

・ Венки из касающихся круговСоломон В. Голомб

Хорошо известно, что любой круг можно точно окружить шестью другими кругами того же самого радиуса (рис. 1). В общем случае для того, чтобы точно окружить круг радиуса г нужно взять п одинаковых кругов (〃>§) радиуса s, где, как следует из элементарной тригонометрии (рис. 2),

sin g = 7： j (или г— s (cosec (л/n) —-1)).

При фиксированном г=1 радиус s с увеличением п9 естественно, убывает (табл. 1).

Р”с. [. Круг, который точно ок- Рис. 2. Круг данного радиуса, Ружают шесть равных ему кру- который точно окружают п оди- гов.каковых кругов (〃=7).

Рассмотрим теперь случай, когда внутренний круг н 〃 внешних кругов, точно его окружаквдих, различ- н* (рис. 3). Такая ситуация возникает, например, если У нас имеются круглые монеты различных диаметров :呼 хотим выложить вокруг одной из них не содержа- пробелов венок из нескольких других не перекрьь а^нхся между собой монет. Прежде всего необходимо

ТАБЛИЦА 1

Радиус s каждого из п одинаковых кругов, которые точно • окружают единичный круг

ЛS

5

3

6,46410: 3+2/W

0,76642

4

2,41421 = 1+ /2

8

0,61991

5

1,42592

9

0,51980

6

1,00000

С】。

0,44721

дать строгое определение такого венка (или точного окружения круга известного радиуса п другими кругами).

Определение. Мы говорим, что круг С* точно окружен кругами С\, С2, . . ., Сп (или круги Cv С2, . . ., Сп образуют венок вокруг С*), если каждый круг & внешне касается кругов С*, Су_х и C^t (где считается, что C„+1=Cj).

Существует ли простая формула, выражающая величину радиуса г центрального круга С* через нзвест-1 ные радиусы г】,г2, . . ., гп кругов, образующих венок вокруг С*?

Пытаясь ответить на этот вопрос, мы сразу же сталкиваемся с первой неожиданностью: при п>3 радиус， центрального круга зависит не только от радиусов И,『2，. •・，/*п окружающих его кругов, но и от того, в каком порядке эти круги окружают центральный круг С*. В общем случае при заданном п существуют (力貝〃一 венков “з 九 кругов заданных (различных) радиусов, причем величина радиуса центрального круга 3aBiз г от того, в каком порядке следуют друг за другом круги радиусов rn 『2, . . ., rn, образующие венок вокруг С* (Если п радиусов кругов, образующих вокруг С* ве- нок,—— алгебраически независимые вещественные числа, то радиус г круга С* может принимать (V-) (я—О- различных значений.) В том, что порядок расположения кругов &, С2, . . ., Сп, окружающих С*, существен, нетрудно убедиться на примере (рис. 4).

Раднусы кругов С6 и & на рис. 4 одинаковы,кругу Сс, расположенному между & и С5, отведена

более значимая роль в венке, окружающем С*, чем кругу С] Увеличив немного радиус круга С^, мы могли бн нарушить касание кругов Ct и & — но и тогда ве- лпчина радиуса круга Q влияла бы на С* далеко не ；толь сильно, как в том случае, когда входящий в ве- нок круг заключен между двумя кругам” почти того же радиуса, что и его собственный.

Рис. 3. Круг, окруженный семью кругами разных ра^мусов.Рис. 3. Круг, окруженный семью кругами разных ра^мусов.Рис. 4. Круги Сб и Се имеют одинаковые радиусы, но играют существенно разные роли в венке вокруг круга С *.

Рис. 3. Круг, окруженный семью кругами разных ра^мусов.

Рис. 3. Круг, окруженный семью кругами разных ра^мусов.

「нс. 5. МаксиМнзирующая и минимизирующая стратегии размещения п неравных кругов вдоль прямей.「нс. 5. МаксиМнзирующая и минимизирующая стратегии размещения п неравных кругов вдоль прямей.Не вдаваясь в излишние подробности, можно сказать, что радиус центрального круга достигает максимума, если каждый из кругов, образующих вокруг него венок, расположен как можно ближе к кругам, мало отличающимся от него по размерам. Наоборот,

「нс. 5. МаксиМнзирующая и минимизирующая стратегии размещения п неравных кругов вдоль прямей.

「нс. 5. МаксиМнзирующая и минимизирующая стратегии размещения п неравных кругов вдоль прямей.

“нус центрального круга минимален, если в окру- ющем его венке соседние круги отличаются по разме・ ■； максимально возможным образом! Если бы п кру- Ма требовалось расположить вдоль прямой, то указать сос；"мнзнрующую и минимизирующую стратегии не звляло бы никакого труда (рис. 5). (Прямую до-

пустимо рассматривать как границу полуплоскости, т. & так сказать, круга С* бесконечного радиуса. Разумеется* «окружить» полуплоскость С* конечным числом кр] гов конечного радиуса невозможно — и здесь минимн. зируется и максимизируется не радиус С*, а величин. отрезка прямой между самыми далекими точками( касания с С「 С2, . . .» Сп^ Далее мы будем нумеровать

・.,Сп в таком порядке, что^

Рис. 6. Эвристический ал- горитм максимизации радиуса круга С *.Рис. 6. Эвристический ал- горитм максимизации радиуса круга С *.их радиусы удовлетворяли ие равенствам г^г^. .

Рис. 6. Эвристический ал- горитм максимизации радиуса круга С *.

Рис. 6. Эвристический ал- горитм максимизации радиуса круга С *.

Замечание. Понятие миними* зации утрачивает определенность, если Сп меньше круз. касающегося одновременно 忙 вне кругов G，С2 и С* (с<. рис. 4); однако нам нет необходимости рассматривать эгл «особый» случай.

ооРис. 7. Эвристический алгоритм минимизации радиуса круга С *.Рис. 7. Эвристический алгоритм минимизации радиуса круга С *.Рис. 8. Три круга, оЗр" зукедне веиок, одиозна^ но определяют радиус центрального круга С *•Рис. 8. Три круга, оЗр" зукедне веиок, одиозна^ но определяют радиус центрального круга С *•Если обратиться к задаче размещении п образующих

о

о

Рис. 7. Эвристический алгоритм минимизации радиуса круга С *.

Рис. 7. Эвристический алгоритм минимизации радиуса круга С *.

Рис. 8. Три круга, оЗр" зукедне веиок, одиозна^ но определяют радиус центрального круга С *•

Рис. 8. Три круга, оЗр" зукедне веиок, одиозна^ но определяют радиус центрального круга С *•

венок кругов в таком порядке, при котором рад®' центрального круга С* максимален, то эвристическ^ алгоритм (рис. 6) рекомендует начать оцепление — с круга G наибольшего радиуса и пристроить к 呼期 с одной стороны круги С2,С6, а с другой-^

круги С3, СБ, С7Эвристический алгоритм 川峭 мизации радиуса центрального круга С* (рис. 7) тует начать снова с максимального круга & и 叩次

с0Ить к нему с одной стороны круги &, С2, Си_2, &, ? С6, . - , а с другой —круги Сп_» С3, С6, Си_5, ... Оптимальность обоих алгоритмов при всех возможных наборах радиусов кругов Сп С2,・・.,Сп не доказана.

При п=3 существует только одно (с точностью до евклидовых движений — поворотов, отражений и па- раллельных переносов) расположение трех кругов G, С? и С3, при котором каждый круг касается двух дру- гих. Это расположение однозначно определяет радиус центрального круга С* (рис. 8), такого, что круги。力 С2 и Сз образуют вокруг С* венок. Если а, b и с — радиусы кругов С\, С2 и С3, то радиус г центрального круга С* выражается формулой

abc

必十加十理十2/而"0+b+0’

При 〃=4 из кругов Ci, С2, С3 и & различных радиусов можно составить % (4—1)!=3 существенно различных венка (рис. 9).

Рассмотрим частный случай, когда образующие венок четыре круга имеют только два разных радиуса. Предположим, что круги & и С2 имеют радиус о, а круги С3 и & — радиус Ь. Существуют только два существенно различных варианта расположения наших четырех кругов в венок; они показаны на рис. 10.

В случае 1 по теореме Пифагора (с+Ь)2=(л+г)2+ +3+г)2, откуда 2аЬ=2аг+2Ьг+2г3 или га4-(й+Ь)г— т^=6. Решая это квадратное уравнение, получаем

—-十—卜庐—(a +ь)

-2・

При многих ний радиус г принимает целые значе- 上旧 Например, r(3, 2)=i,r(10, 3)=2, г(12, 5)=3 и т. д_ значения а, Ь и г связаны с пифагоровыми тройками ；。правилу: если г (а, Ь)—г, то (6+г, q+г, а+Ь) — тк 方горова тройка (рис. 10, случай 1). Наоборот, если

В, С) — пифагорова тройка, т. е.力碧+中二。、то получаем «диофантово» (целочисленное) решение 磐 случая 1 с а^(А—В+С)/2, Ь=(—4+В+С)/2, 0(4斗占一С)/2.] Интересно отметить, что монету ра- 丁Уса 1 можно точно окружить двумя монетами ра- :Уса 2 и двумя монетами радиуса 3, если монеты рас- л°жены так, как показано на рис. 10, случай 1. С дру-

гой стороны, если монеты расположить так, как по2 зано на рис. 10, случай 2, то оцепление не будет 巾； нем, хотя и кажется таковым.Пусть в случае 2 h=hi+h2. По теореме Пцфагл 片=®+R)2—o2=2aR+R\ ft^ (b+R)2—b^=2bR~ R】；гой стороны, если монеты расположить так, как по2 зано на рис. 10, случай 2, то оцепление не будет 巾； нем, хотя и кажется таковым.Пусть в случае 2 h=hi+h2. По теореме Пцфагл 片=®+R)2—o2=2aR+R\ ft^ (b+R)2—b^=2bR~ R】；Рис. 10. Два различных венка, образованных двумя кругами ра#， са а и двумя кругами радиуса Ь.Рис. 10. Два различных венка, образованных двумя кругами ра#， са а и двумя кругами радиуса Ь.Рис. 9. Три существенно различных венка из 孔二 4 кругов фнк.. ванных (различных) радиусов.Рис. 9. Три существенно различных венка из 孔二 4 кругов фнк.. ванных (различных) радиусов.

гой стороны, если монеты расположить так, как по2 зано на рис. 10, случай 2, то оцепление не будет 巾； нем, хотя и кажется таковым.

Пусть в случае 2 h=hi+h2. По теореме Пцфагл 片=®+R)2—o2=2aR+R\ ft^ (b+R)2—b^=2bR~ R】；

гой стороны, если монеты расположить так, как по2 зано на рис. 10, случай 2, то оцепление не будет 巾； нем, хотя и кажется таковым.

Пусть в случае 2 h=hi+h2. По теореме Пцфагл 片=®+R)2—o2=2aR+R\ ft^ (b+R)2—b^=2bR~ R】；

Рис. 10. Два различных венка, образованных двумя кругами ра#， са а и двумя кругами радиуса Ь.

Рис. 10. Два различных венка, образованных двумя кругами ра#， са а и двумя кругами радиуса Ь.

Рис. 9. Три существенно различных венка из 孔二 4 кругов фнк.. ванных (различных) радиусов.

Рис. 9. Три существенно различных венка из 孔二 4 кругов фнк.. ванных (различных) радиусов.

(заметьте, что отрезок, показанный штриховой /шнн— имеет длину h) /?2^(«+6)2—(а—Ь)2- 4аЬ. Поэтому ■

4ab = ft3 =(小+七产=h{ +用+ 2力丿% = i = 2(qR + W? + R? +瓦力 2),

откуда /у% =2而一(“R 十。R+R2) и

(2a R 十 R?) (2bR + R?)=儿坛=[2ab-(aR + bR + G)F (2a + R)(2D+R)= ^-(a+b)-Ry ,

4曲+ 2 (q+S R+8 =行+(" + 庁 + 7?2一40b十十2("+。) 一生哭出，

吗 значит,

R2 (q2 —命匕 + 匕2) — 4ab (Q + » R + 4Q汕2 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим

4аь (a + 0) 士 / 160汕2 {(a + ь尸—(必—Gab + №)} £(-2_6曲 +产)-

Учитывая, что нас интересует только положительный корень уравнения, окончательно получаем

о — 2дб{2 二阪一(〃十 b)}2ab

~8必一К+Ь)2— (а.Ь) —2—5而'

Мы видим, что при целых а и Ь радиус R — рациональное число в том и только том случае, если 2аЬ — точный квадрат. В частности, /?(3,2)=12/(5+4『8)= ^(12/2з)(4)/3—5)^1,006019, что примерно на 0,6% больше, чем г(3,2)=1. Эта разность слишком мала, чтобы с ней приходилось считаться «на практике». Но с увеличением отношения а/b растет и отношение R/r. На- 叩им吼 г (10,3)=- 2, в то время как R (10,3)=60/(13+ +4] 15)^60/71 (4J/ 15—13)^2,10586. Превышение ра- А”уса R центрального круга С* над г составляет здесь около 5%.

Если венок вокруг круга С* составлен из одного круга радиуса b и п кругов радиуса а, то радиус г центрального круга С* естественно не может зависеть от 貞Р^дка в расположении образующих венок кругов.

〃二 2 мы получаем частный случай четырех касаю- 卜“хся извне кругов (круг С* радиуса г, точно окру- :енннй тремя кругами радиусов а, Ь, с). Как уже упо- ；；налось (и доказано в [1]), формула для этого более 也е『。случая имеет вид

/ _ 一QbC S3

f?b -|-br I ca-\~2\^abc (a-\-b-\-c)524-2 У5jS3 '

где Sl=q+6+c, S2=ab-\-bc+cat S3=abc — злемент/. ные симметрические функции от а, 6 и с

Наш частный случай (при q=c) более прост: q, & и г связаны здесь соотношением

4〃 g + 广）传一了4〃 g + 广）传一了方＞ 心方＞ 心

4〃 g + 广）传一了

4〃 g + 广）传一了

方＞ 心

方＞ 心

Из рис. И видно, что (о+г)2=а%+炉，(叶妍=球一卜 ^(x+r+by. Таким образом, х+г+Ь=У2а&+Ь\ i>

Рис. 11. Венок из двух кругов радиуса а и одного круга раднусаб.Рис. 11. Венок из двух кругов радиуса а и одного круга раднусаб.

Рис. 11. Венок из двух кругов радиуса а и одного круга раднусаб.

Рис. 11. Венок из двух кругов радиуса а и одного круга раднусаб.

*=!/2Q广+/.Следовательно,

Г 4-6 =/2〃匕 +b2 - V&r + - т. е.

г2 4- 2# + 〃 = (2аЬ + Ь2)十(2аг + г2)—

-2 / (2"b +-2)(20厂十厂 2)； и, значит,

(ab+ar — г}. = (2ab + b2) (2ar+产)， откуда

。汕2 + a>2 = 2a2br 十 4曲产 + ^arb^9 или

e-r)2 = (］卜4%)他十 г) и q = 4% (b+ 沙3一'户

Кажущаяся симметрия между О и г не реализуется геометрически, так как ясно, что》>г. Если а и b за- “анн, то по формуле для корней квадратного уравнения находим

广_Ь(a+2b)—2 )<b2+2,力

Прн Q=4匕 мы имеем «устранимую 'особенность», так как в этом случае г=МзЬ. Но в аналогичном выражении

& Г (а+2г)+2У^ + 2аг

一a-4r

при а—4г возникает самая настоящая (неустранимая) особенность, соответствующая значению 0=8. В частности, при г=1 и q=4 из пифагорова треугольника со сторонами 3, 4, 5 (рис. 12) видно, что три круга, каждый

Р“с. 12. Венок вокруг круга единичного радиуса, образованный дву- "8 кругами радиуса 4 и полуплоскостью («кругом радиуса со»).-

产 которых касается двух других, касаются прямой ⑴ «окружают» полуплоскость — круг《радиуса》Ъ—

Существует много целочисленных троек (г, &, а): 瞪 24)，(1，3, 12), (5, 7, 420), (6, 14, 105) и т. д Их но получать по таким формулам, как:

г=”，b=n+l, o=4rt(n+l)(2n+l);

；г=〃，匕=九+2, а=2п(«+1)(п+2);

可 r=2“，匕=2〃+8, Qu^Z(71+ 2)(几+4) и т. д.

风I^S^yeM，4T°6bi круг С*, венок вокруг которого ан одним кругом радиуса Ь и п кругами радиу-

ca q, имел радиус r=b. При любом 冷》3 эта конфн^ рация однозначно, определяет отношение Qn=alb. р^ смотрим значения Q^ при 门=3, 4, 5, 6 несколько 仆.. робнее. 、

Рис. 13. Венок вокруг круга радиуса 仇 образованный тремя крутэд радиуса а и одним кругом радиуса 6.

На рис. 13 показан случай 九=3, когда

(20)2=炉十(q+2b)2, (a+b)2=x2+b\ поэтому

(2o)2—(0+Ь)2=(q+ 2 b )2—川 И q2—3аь—2b2=0.

По формуле корней квадратного уравнения получав

Q3=a/b=(3+] 17) 2-3,5615528....

При п=Ь получаем Qs=L так как соответствующе конфигурация сводится к изображенной на рис. 1. Но при п=4 мы сталкиваемся с несколько более сложней случаем. Из рис. 14 видно, что

(0+ь产=力2十炉，g+亦=出+十,(2办=■+一叶(1尸.

Следовательно, 3 =/傍+2a伉g=K勿十2批11出②「 —岳==〃 "b±+2ab—口/废十2аЬ, откуда

За2 — ab — b2 = К (o2 + 2ab) (b2 + 2ab) h9出一8必8一10"2匕2 +加=0

Следовательно, Q&=aJb — корень уравнения 9工’一胃二 —10х2+1^0, численное значение которого равно

Рис. 14. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный четырьмя кругами радиуса а и одним кругом радиуса Ь.Рис. 14. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный четырьмя кругами радиуса а и одним кругом радиуса Ь.

Рис. 14. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный четырьмя кругами радиуса а и одним кругом радиуса Ь.

Рис. 14. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный четырьмя кругами радиуса а и одним кругом радиуса Ь.

[,5684897…• (В принципе все корни любого урав- нен'只 четвертой степени можно выразить в радикалах, но в рассматриваемом нами случае явная формула для корн* слишком сложна, чтобы ее можно было здесь привести.)

Случай 〃=6 (рис. 15) был впервые сформулирован в качестве задачи в неопубликованном письме Гэри А. форда Мартину Гарднеру в 1973 г. Задача родилась из

Рис. 15. Венок вокруг круга радиуса Ь, образованный п кругами радиуса а и одним кругом радиуса Ь. Ясно, что п=8+(〃一l)<jp, где 8= —arccos [Ь/(а-|- Ь)] и (р= =arcsin [«/(а+ Ь)].

попыток расположить соответствуют им образом мо『 нет* в Ю и 25 центов. Форд сообщал в письме о том, 'т° ему и его коллегам по Университету штата Мэри- "ен“ удалось представить Qe в виде корня многочлена Десятой степени. (Впоследствии Форд опубликовал свок> |^ачУ в журнале Technology Review [2], издаваемом <зссачусетским технологическим институтом.) Сможем мы продвинуться дальше, используя наши методы, „ность которых ясна из рассмотренных примеров? в более общем плане интересующий нас вопрос ста- т「а так: можно ли выразить Qn алгебраически или ^,гонометрически как функцию л при всех 餌>3? Как

Увнднм, существует общее тригонометрическое вы-

4

ражение, из которого всегда можно вывести алгебр^ ческое уравнение, имеющее корнем Qn. В частност Qg момно представить в виде корня многочлена воен.； степени.

Из рис 15 видно, что развернутый угол с вершин^( в центре круга радиуса Ь, вокруг которого мы стрс” наш венок, равен сумме угла 6 и пяти углов 屮，где О =arccos [匕7(a+b)J и <p=arcsin [а/(а+Ь“. При про^ вольном п

к = arccos (备)十(n-l)arcsin (^).

Если обозначить а/(а+Ь)=а и Ь/(«+&)—р, то а 卜 0 и Qn=alb=aip, где

л = arccos (1 — а) + (п— l)arcsina.(])

Для практических вычислений эта формула вполне достаточна, так как позволяет находить а —— а следовательно, и Qn — с любой степенью точности. Однако при произвольном п соотношение (1) можно заменить алгебраическим уравнением, имеющим число а своя-： корнем. Кроме того, мы всегда можем составить алгеС раическое уравнение с корнем Qn=a/(1——а). Действ? тельно, если /(х)=0 имеет корень %=а, то, как нетрудно проверить прямой подстановкой, g(%)=/ [х/(14-л)1 имеет корень а/(1—а).

Наш метод вывода алгебраического уравнения состоит в следующем. Записав соотношение (1) в виде (п—1) arcsin а=л—arccos (1—а) и взяв косинус от обе:；' сторон частей последнего уравнения, получим

cos [(几一1) arcsin а] = cos [л — arccos (1 — а)] = а — 1 ・

Пусть arcsin a—zt Тогда, как известно, cos (%—l)z — многочлен, имеющий относительно cos =cos (arcsin z)=рл 1—аа степень (п—1). Следовательно в худшем случае а может быть корнем многочлена степями 2 (п——1). В действительности при нечетных и отношен^ Qn — корень многочлена степени《几一1 при всех，信3 а при четных п отношение Qn — корень многочлен степени《2(〃一2) при всех п^4.

Проиллюстрируем соответствующие вычисления утке рассмотренных выше случаях п=3 и n^4.1

ТАБЛИЦА 2

Многочлены и значения Q^ при 3《〃w9

n

Степень многочлена

Многочлен, корнем которого является Q^

Qn

3

2

х2—Злг—2

3,56155

4

4

9公一8炉-10户十1

1,56849

5

4

炉一11代+/+7k-2

1,00000

6

8

25球—188X?+236炉 + 436砂-

-2d—180/—68/—4*十 1

0,73403

7

6

炉一31/+40炉+42炉-7炉—11尤一2

0,58027

8

12

49х12 - 956Х11 + 5090%3—3036х0—

—П121х8+ 1800л7 + 10140х« +

+4200*5-865/一972炉-222炉一 — 12x4-1

0,48015

9

8

炉 一55 /+ 259尤 6+77炉— 215/一 — 101/十17炉+15囂十2

0,40977

Примечания к таблице 2.

1» По-видимому, при 紆=4左十1 получаемый нами многочлен степени а — 1 всегда имеет корень х = 1. При п = 5 это соответст^ вует значению Q5= 1. Однако при 〃 = 9, 13, 17,... число Qn — корень многочлена степени ^ п — 2.

Пр.и п > 4 ни один из наших многочленов не оказался неприводимым. Прн 紆=5 многочлен разлагается в произведение линейного множителя (х—1) и неприводимого кубического многочлена #з — Юл3 — 9л: — 2; при п = 9 — в произведение

(X - 1)(/ - 54心+205%3+282炉+67无3 _ 34/ — 17x — 2).

При п=3 получаем cos 2г=а—1, 2cos®z—1=а—1, 2cos2?=&, 2(1—а2)=а, 2а2+а—2=6, и а—корень многочлена f (*)=2炉+*—2. Следовательно, Q3 — корень Функции g(xj=f [х/(14~х)1 и удовлетворяет уравнению

(1+冷哲(%)=2炉+%(1+%)-2 (1 +%)2=炉一3%-2=0.

Нетрудно видеть, что Q3=(3+/17)/2.^3,56155.

■ Аналогично при 〃=4 получаем cos Зг=а——1. 4cos3z— 7cosn=<jc—1, И1——a2 (4(1—a2)—3}=a—1, (1—a2)x

X(l—4a2)2=(a—1)2, (l+a)(16a4—8a24-i)~ 1—а, 16аЦ -pl6a4—8a3—8a&十2a 0. Так как корень a—0 в на&. задаче не нмеет смысла, то интересующее нас значение a должно быть корнем уравнения

/ (%)=8 炉+8炉—4х2—4%+1 =0.

Следовательно, Q《 a/(l——а) удовлетворяет уравненм. g(*)=f [W(l+x)l=0, а это означает, что и уравнен】

(1 +%)4g(%)=8炉+8炉(1 +х)—4х2 (1 +х)2—4%(1 +х)з - + (1+*尸 9х4—8х3^-10х2+1-0

имеет своим корнем Q4—1,56849....

В таблице 2 приведены многочлены для Q” пр( 3《九《9 и соответствующие значения Q^. Бросаюкз в глаза закономерности в распределении коэффициентс-Е этих многочленов. В частности, отчетливо видно, что четные и нечетные 〃 соответствуют различным семейс вам многочленов.

Наконец, упомянем еще один изящный результат, если три круга радиусов а. b п с «о>0》с) внешне к， саютск друг друга и одной и той же прямой, то (gm. 13В l/K^+l KF— 1 К с. (Этот результат можно рассматрп вать как обобщение ситуации, изображенной на рис. 12 )

Beecroft, Philip. 1842. Properties of circles in mutual cunt*11

Lady's and GetUlctnan's Diary, pp. 91 二96.

Ford, Gary A. 19Z4. Technology Review, problem June 5, vol 7» 57—8. (See also problem NS 13, vol. 81, November 1978, p. 84.)

Trigg, C. W. 1940. Problem E432, American Math. Monthly, 4 487.

Trigg, C. W. 1941. Solution to Problem E432, American Math.册 ihly 48: 267—68.

2・2・ Как вывернуть велосипедную камеру

Герберт Тейлор

Традиционная геометрия резиновых поверхности занималась изучением поверхностей, которые м°*н было как угодно изгибать, растягивать или перекрУ" 100

вать, лишь бы они оставались целыми и невредимыми. 0〃н6 из любимых топологических развлечений состоит в том, чтобы попытаться представить себе, как выглядит вывернутая наизнанку велосипедная камера. Насколько мне известно, подобные курьезы не имели сколько- нибудь серьезного значения для математики, но они могут быть полезны как действенное средство развития наглядного п ростр а нствен ного воображения.

Для начала превратим поверхность, изображенную 胃 рис. 1,絞，в поверхность, показанную на рис. 1, 6. Попробуйте, читатель, мысленно представить себе или нарисовать цепочку последовательных превращений по- верхности рис. 1, q в поверхность рис. 1, 6, при этом поверхность нельзя разрезать и ни одна ее часть не Должна касаться другой. Одна из возможных цепочек последовательных превращений показана на рис. 1, в.

Следующее упражнение состоит в том, чтобы вре- 'енн。проделать в поверхности дыру. Что если вместо

выворачивания обычной велосипедной камеры мы за讯 мемся выворачиванием какой-нибудь более сложно京 поверхности? Довольно скоро выяснится, что вывора- чивание даже довольно простой поверхности, изображенной на рис. 2, а,— задача весьма сложная. Чтобы легче было следить за всеми перипетиями решения, выкрасим внутреннюю сторону поверхности в черный цвет, а наружную — в серый. Кроме того, прорежен временно в поверхности дыру н закроем ее крышкой, чтобы не потерять из виду.

На рис. 2, 6 показаны последовательные этапы выворачивания этой поверхности: сжимание сложной пи своей структуре части поверхности и продевание ее сквозь дыру.

После того как мы закроем дыру, вся поверхность окажется выкрашенной снаружи в черный цвет, в ю время как до выворачивания черной краской была покрыта внутренняя сторона поверхности. Преимущество предлагаемого нами способа выворачивания поверх ностей видно на рис. 3: он позволяет проследить во вес деталях, что происходит при выворачивании нанзнанк; сферы со многими «ручками» н велосипедной камерн，

На рис. 4 показано, как будет выглядеть поверхность состоящая из двух сцепленных кренделей, после выво” рачивания одного из кренделей наизнанку, и представлены последовательные этапы этой операции.

Задачи на выворачивание, о которых мы рассказали в статье, не новы. Некоторые из них я придумал 工图 25 назад. Вполне вероятно, что кому-нибудь они пр" ходили в голову и раньше. Задачу, нзо6ра“ннУ： на рис. 5, предложил Деннис Л. Джонсон, прнзнан吗 специалист в теории узлов. В заключение мы предоста^ -ляем читателю проделать несложное упражнение

Рис. 3.

J03

Рис. 4.

Рис. 5.

превратить поверхность рис. 5, а в поверхность рис. 5, 6 так же, как мы превратили поверхность на рис. 1, “ в поверхность на рис. 1, б.

Изгибаемые поверхностиРоберт Конелли

Предположим, что из плоских кусков плотного картона, склеенных липкой лентой вдоль общих границ, построена замкнутая многогранная (полиэдрическая) поверхность. Изгибаема ли такая поверхность? Другими словами, сможет ли она непрерывно изменять свою форму так, чтобы ее грани оставались плоскими и не расходились вдоль ребер? В качестве примера рассмотрим октаэдр (рис. 1). Если построить его из кар-

тона, то конструкция окажется очень жесткой и не бу- кт изгибаться. Но если верхняя часть октаэдра меньше ьижней, то ее можно будет протолкнуть внутрь большей "Мти (рнс. 2). Однако в процессе такого проталкивания картоннне грани октаэдра будут искривляться: поверх- рис. 1 не переходит в поверхность рис. 2 без де-

Зрманин граней.

В 1813 г. известный французский математик Коши указал, что любая выпуклая многогранная поверх- ；°сть жесткая. (Мы считаем, что плоские грани поверх- °^Ти сделаны из картона и шарнирно соединены вдоль Р, так что двугранные углы многогранника в прин- ЧтПе могут меняться.) Естественно было предположить, жесткость присуща всем многогранным поверх- ст^м j как выпуклым, так и невыпуклым. К сожале-

нию, эта «гипотеза жесткости» оказалась неверной. Существуют вложенные в трехмерное пространство % самопересекающиеся многогранные поверхности, котб- рые могут изгибаться . В этой статье я опишу некоторые примеры изгибающихся поверхностей, найденные мной и последующие модификации, принадлежащие другим авторам. Эти примеры опровергают гипотезу жесткости.

Построение

Чтобы понять, почему изгибаются поверхности,] которые мы намереваемся построить, рассмотрим некоторые изгибаемые октаэдры, открытые французским инженером Р. Брикаром в 1897 г. Поверхности Брикара самопересекаьрщиеся, и мы будем рассматривать их как конструкции из жестких (сохраняющих длину) стержней, соединенных гибкими резиновыми шарнирам产 Построение октаэдрических «рам» Брикара мы начнем с косого (т. е. не плоского) четырехсторонника abab1 (рис. 3), каждые две противоположные стороны кото

рогорогоравны. В трехмерном пространстве существуй прямая L, относительно которой четырехсторонний аЬ^Ь" симметричен; иначе говоря, четырехсторон^ abdb' переходит в себя при повороте вокруг L на 吗 (можете вы это доказать?). Представим себе, что 轟 четырехсторонник abdb9 — «экватор» ” октаэдрическ

рого

рого

рамы. Выберем точку с, не принадлежащую оси симметрии 4 и соединим ее стержнем с каждой из вершин Ь, 〃'，Ь'. Нетрудно проверить, что построенная нами рама изгибается. Будем изгибать ее, объединяя в каж- дый момент времени c(abcibf) с конгруэнтной рамой с (a brab), симметричной первой относительно L (получающейся из первой рамы поворотом на 180° вокруг 厶)；ясно, что наша точка с симметрична относительно 厶

точке t\ То, что у нас при этом получится, и есть оанн из изгибаемых октаэдров Брикара. Сделать его совсем нетрудно. На рис. 4 показано, как выглядит полностью собранная рама. Заметим, что если эту раму дополнить всеми входящим» в нее треугольниками, то поверхность, которая при этом； получится, будет самопересекающейся. Наша цель coctojit в том, чтобы максимально умень- п#г& имело самопересечений поверхности и упростить ее.

,На рис. 5 изображен другой вариант октаэдра Бри- кара, в котором все стержни в исходном положении 口^ат в одной плоскости. Ось симметрии 丄 перпенди- к^лярна этой плоскости. При изгибании, рамы вершады остаются в одной плоскости, тем не :менее начинать Удобнее именно с плоского варианта «многогранника».

Другая незначительная модификация нашей конст- РУкинп состоит в том, что мы начинаем с точек а и 〃'， ёжащих в горизонтальной плоскости Н, как это изоб- на рис. 5. Затем выбираем точки “ Ь' на высоте над плоскостью " и точки с, с' на высоте 6>£ над ^оскостью Н так, чтобы ортогональные проекции всех :нх точек на плоскость Н образовывали конфнгура- изображенную на рис. 5. Ось симметрии 2 остается ^рп^ндикулярной плоскости Н, октаэдрическая рама

"Раннему изгибаема, :и границы треугольников abrc .ио?

D a be связаны, т. e. их йёльзя развести в стороны, не поломав.

Построение вложенной изгибаемой поверхности мы начнем с поверхности； изображенной на рнс. 5. Вместо того чтобы заполнять всё треугольные отверстия плос-

Рис. 12

кпмн гранями, займемся кое-какнми переделками, со- хранив старую раму в качестве каркаса нашей поверх- ностн. Будем считать, что наша октаэдрическая поверх- н°сть состоит из двух частей: крышки и дна. Дно изображено на рис. 6. Продавив вниз все треугольные 『Ранн, мы получим новую поверхность, которая выгля- так, как показано на рнс. 7: каждая треугольная с^ань предыдущей поверхности заменена тетраэдром вершиной, обращенной вниз, и тетраэдром без осно- н肾一своеобразным тетраэдрическим «колодцем».

Крышку (рис. 8) мы аналогичным образом преобра- 〉‘м в поверхность, изображенную на рис. 9, заменив

Рис. 14

каждую треугольную грань тетраэдром без основан, с вершиной, обращенной вверх. Изображенные на и 9 поверхности с дополнительными вершинами "3「

Рис. 18

баются так же, как поверхности, представленные на рис. 6 и 8： вершины тетраэдров остаются на постоянном расстоянии от плоскостей оснований.

Склеив поверхности, изображенные на рис. 7 и 9, вДоль их общей границы, мы получим поверхность рнс. 10. Она изгибается так же, как поверхность на Рнс. 5, но, к сожалению, имеет две точки самопересече- нмя s “ s'. На рис-. И показаны пересекающиеся части поверхности, изображенной на рис. 10: точки s и s' соответствуют точкам пересечения на рис. 5.

Избавиться от точек самопересечения s и s нам jiq- 、,ожет конструкция, которую мы назовем складкой можно также назвать зарубкой]. Эта конструкция

также основана на построении изгибаемого октаэдра Брикара. Выберем плоский четырехсторонник defg с равными противоположными сторонами de=fg, e/=g& как показано на рис. 12; здесь отрезок de пересекает отрезок fg. Затем выберем точку Л точно над центром окружности, проходящей через точки d, е, /, g. Пусть 百'——точка, находящаяся под центром этой окружности на таком же расстоянии от плоскости окружности, как и точка й, под центром. Тогда hd=he=lif=hg=h'd= =hfe=hff=hfgt и рамы h {defg} и 力'(defg}r взятые вместе, изгибаются. (Четырехсторонник defg остается при изгибании плоским.) Совокупность треугольных граней hef,hfg, &'ef, "fg, h'gd образует складку (октаэдр с двумя треугольными гранями удален, рис. 13) с границей hdlie. Расстояние от точки d до точки е при изгибании остается неизменным. Построение складки показано на рис. 14.

Наконец, чтобы построить требуемую изгибаемую поверхность, вложенную без самолересечений в обычное (трехмерное) пространство, возьмем поверхность, изображенную на рис. 10, и вырежем вокруг каждой точки самопересечения по небольшой четырехсторонней дыре, как показано на рис. 15. Вставим в каждую из дыр складку соответствующих размеров. Если складка расположится правильно, то поверхность, которая при этом возникает, не имеет самопересеченпй (рис. 16). Так как 加 сохраняет в складке фиксированное положение, то поверхность вместе со складкой и двумя заполненным» дырами изгибается. Следовательно, «складчатая» поверхность в целом также изгибается; она выглядит примерно так, как показано на рис. 17.

Эта была первая из найденных мной изгибаемых поверхностей, и при ее построении я не обращал внимания на простоту и не стремился свести к минимуму число вершин. Позднее Ннколаа Кёйпер и Пьер Делинь, модифицировав мой пример, получили поверхность с 11 вершинами и 18 гранями. В качестве исходной они выбрали раму, которую мы описали ранее (после ссылка на рис. 5). Вместо четырех колодцев они пристроили к нижней части поверхности только один колодец (к* показано на рис. 18), оставив три остальные треуг。"" ные грани плоскими. К верхней части поверхности 吗 пристроили только две «горы» (на рис. 19 получившаяс

a

Рис. 19

поверхность изображена в двух ракурсах). Если 恥 вые верх и низ склеить по 疝 общей границе, то отрезу db пересечет склоны двух пристроенных гор над Так как точки с, с\ Ь, V приподняты на небольшую высоту, это единственное место, где поверхность пере секает себя. Затем Кейпер и Делинь удалили отрезу ш и внутренности двух треугольников, имеющих .

в качестве общей стороны, и в образовавшееся отверст' вставили складку надлежащих размеров (см. рис.

точки d н е на рис. 13 совместились с точками с и [ а вершины двух гор ——с точками h и "). На рис. ■ показаны в двух ракурсах склеенные верх и низ \ верхней поверхности изъят отрезок ш). На рис. 21 так： в двух ракурсах представлен окончательный вид гибаемой поверхности с отверстием, заполненным ск』“ кой.с

Превзойдя достижение Кёйпера и Делиня, 覇 Штеффен построил изгибаемую поверхность всего 吗. с девятью вершинами. В качестве исходных детален взял две одинаковые складки? аналогичные нзобра* ”

—** Сгибы-долиш

—■ Сги^ы-1феб1И

Рис. 22

ной. на рис. 14, соединил их двумя другими треуголь никами,- как на рис. 22 (где поверхность симметрична относительно вертикальной оси, вследствие чего от. резки, переходящие друг в друга при повороте на 18n вокруг оси, имеют одинаковую длину), и получил 品卜 гибаемую поверхность, аналогичную изображенной на рис. 23.

Некоторые гипотезы

Приведенные выше примеры изгибаемых поверхнс— тен обладают интересным свойством: объем, огранпч] ваемый такими поверхностями, сохраняется при из* бании. Однако мне неизвестно доказательство того, что объем, ограниченный любой изгибаемой поверхностью, сохраняется при ее изгибании.

Гипотеза 1. Если многогранная поверхность с тр( угольными гранями изгибаема, то ограничиваемый Ш объем при изгибании не меняется.

По-видпмому, верны и более удивительные утверждения. Пусть 户 и 户'——два трехмерных многогранник」 в трехмерном пространстве. Назовем многогранники Р и 尸'рабносоставленными (戶〜Р), если Р можно р① резать на конечное число многогранных частей 戶2, . ... Рк, из которых, сложив их в другом поряа* можно получить многогранник Р'. [Другими словам]* Р=Р] U Pg и • • и р兑,Pi n Pj=(граница Pf)D (грани!» 巳)при 后d Р 匕 U Е U • • U Р众 R П Р；』(гран/ ^•) П.(граница Р；) при i^-j и Rd尸；при 2二 1, . . , \ где 4 есть знак конгруэнтности.] Прпнадлежаш,ч> Максу Дену решение третьей проблемы Гильберта 謳 ключало в себе доказательство следующего факта (к торый подозревал еще Гильберт): правильный куб ” правильный тетраэдр того же объема не равносиЛ^К лены (см. Гарднер М. Математическне головоломка : развлечения.— М.: Мир, 1971, с. 112). Предп。/。亦"; теперь, что Pt — трехмерное тело, ограниченное。川♦ из описанных выше изгибаемых многогранных п°в/' ностей, какой она является в момент времени /. Пз зультата Дж.-П. Сидлера следует, что при всех 7， вечающих процессу изгибания, Ро〜戶加[Третьей 黑 леме Гильберта, и в частности обсуждению нетрнв】,；.. Ного результата Сидлера, посвящена книга В. Г

тЯнского («Третья проблема Гильберта».——М.: Наука, (977.1 Тем не менее остается открытым общий вопрос о том, справедлива ли следующая •

Гипотеза 2, Пусть Pt —тело, ограниченное (произвольной) изгибаемой многогранной поверхностью, какой ма является 8 момент времени /; тогда P^Pt при всех £.

Было бы интересно рассмотреть хотя бы какие-либо примеры, иллюстрирующне равносоставленность тел, ограниченных многогранными поверхностями, полученными одна из другой изгибаниями.

Как сажать деревьяСтефан Барр

Задача простая: деревья в саду.

Девять деревьев. По три в ряду. Их посадить нужно в десять рядов. Задача простая... Ответ ваш готов?

В 1821 г. Джон Джексон опубликовал это математическое четверостишие в своем сборнике занимательных задай «Умственные развлечения для зимних вечеров» 14]. В наши дни стихи не столь популярны, и современный составитель задач и головоломок скорее всего пожерт- вовал бы даже деревьями, сформулировав задачу еле- Дующим образом: Расположить на плоскости девять 胴。〃旣 勿〃к, чтобы через них можно было провести десять пР^мых, каждая из которых содержала бы три из наших Столкнувшись с такой задачей, истинный мате- Jthk，естественно, испытывает потребность обобщить ：придав задаче более полный и точный вид. Тогда он и ходит к следующему варианту задачи: Дано целое р 何貝〃те〃ь〃о0 число р. Как расположить на плоскости 打"广°2汇(〃>3) так, чтобы никакие четыре из них не 4u：HQ0几©贺а〃и °^°й прямой 〃 чтобы было максимально 必改d прнммх, проходящих через три из наших точек We产？ Интересующее нас максимальное число «трех- мх» прямых мы обозначим символом /(р). '.：;

Замечательный математик Дж. Дж. Сильвестр 国 прошлом веке пытался вычислить неуловимое /(р)— “ на какое-то время эта задача привлекла внимание 1nb бителей математики и математиков-профессионалов, g прошлом любители не раз вносили ценный вклад в рр шение математических проблем. Весьма досадно, %, ныне поле деятельности любителей математики предельно сузилось. Отчасти это обусловлено недоступностью для них большинства разделов современной математики. Однако и сегодня имеется немало областей, особенно связанных с комбинаторикой, в которых любитель вполне может рассчитывать на успех. К сожалению, широкому кругу любителей математики не часто npj' ходатся встречать доступные им по сложности задачи. Обычно любителям становятся известны какие-либо абсолютно для них неприступные проблемы типа великой теоремы Ферма, где и у профессионала шансы н. успех минимальны. Одна из привлекательных особен- йостей комбинаторной геометрии состоит в том,痴 здесь любители имеют широкие возможности внести cj щественный вклад в ее развитие — примером тому как раз и может служить задача о деревьях в саду, с (Rp% лировки которой мы начали эту статью.

На рис. 1 показаны некоторые варианты решек.^ задачи, отвечающие значениям р=3, 4, . . ., 11. Все он* оптимальны, т. е. содержат в точности /(р) прямых, проходящих через три. точки каждая. Кроме выписанных на рис. 1 значений функции «〃)1/(3)=^ 1, /(11)=16) достоверно известны еще только два значения этой функции, о которых мы скажем ниже. Пока же 什 метим, что четыре точки в нашей проблеме ничем в- лучше трех, ибо /(4)=«3), и что иногда одно решен， «содержится» в другом ——так, иллюстрирующий 3Hz哦 ние /(10) чертеж составляет часть чертежа, указывав щего величину числа /(11).

Естественно возникает вопрос: единственны ли ре"' ния, проиллюстрированные на рис. 1. Нет, не единс^ венны: на рис. 2 показано другое расположение " J прямых, полученное из расположения, отвечаюше1' значению /(7)=6. Разумеется, дополнительную 丁°4卜 можно поставить на новой прямой где угодно.

Полученные решения неединственны еще в 续 смысле: их можно' подвергать проективным преобр^'

зависимости отзависимости от内〃兄м. Нам не хотелось бы подробно объяснять, что та- кое проективное преобразование, но один тип таких преобразований можно продемонстрировать весьма наглядно. Наклоните страницу и взгляните на все изображенные конфигурации под углом, отличным от пря- моГо: углы и расстояния изменятся в

зависимости от

зависимости от

…]■ JQЖ…]■ JQЖии

…]■ JQ

Ж

…]■ JQ

Ж

и

и

наклона страницы, но прямые останутся прямыми； ^озтому преобразованная конфигурация по-прежнему У幫 обладать всеми требуемыми свойствами.

При рассматривании полученных решений под углом 『никает одно затруднение: подобно железнодорожным ；“ьсам, параллельные прямые могут теперь казаться оцнгцнмися, что изменит характер относительного ^положения точек и прямых (и наоборот — сходя- пРямые могут теперь казаться параллельными).

'ко математикам, когда они встречаются с какими-

либо осложнениями, свойственно —— и это очевъ )两. но — делать вид, что никаких осложнений здесь нет/ и считать, что осложнения отсутствуют по определению* Именно так они давным-давно поступили с проектив нымн преобразованиями. Математики взяли обычну» плоскость и дополнили ее воображаемой бесконечно уЗ■- ленной прямой, которой принадлежат все бесконечно удаленные точки. Это позволило нм рассматривать параллельные как прямые, пересекающиеся в какой-то (бесконечно удаленной!) точке, принадлежащей новей (бесконечно удаленной!) прямой. Каждую точку бесконечно удаленной прямой математик» отождествил» «диаметрально ей противоположной» точкой ——поэтому любое семейство параллельных они считают сходящимся только в одной (бесконечно удаленной) точке,— но не е двух точках, отвечающих двум направлениям вдоль прямой. После этого ничто уже не мешает нам утверждать, что любые две прямые пересекаются в одной (r только одной) точке. Тем самым была создана так называемая расширенная евклидова или евклидово-проективт^ плоскость, а затем проективная геометрия, ставшая плодотворным источником новых математических идей и понятий.

В нашем случае пополнение плоскости бесконечно удаленными точками очень полезно, поскольку позволяет упростить многие сложные конфигурации и придать им более симметричный вид. Более того, проективная геометрия помогла найти некоторые конфигуранп!* п доказать часть результатов, о которых речь пойдет дальше. В качестве примера присоединения бесконечно удаленных точек устремим в бесконечность точки н& верхней прямой конфигурации, иллюстрирующей ^н»* чение /(9) (рис. 2). При этом мы придем к (более 叩卜 стой!) конфигурации, изображенной на рпс. 3.

Стрелки с буквами а, b и с указывают направления на три «бесконечно удаленные точки» нашей конфиП' рации. Любая из стрелок с тем же успехом могла указывать и противоположное направление. Разу、*' ется, бесконечно удаленная прямая сама также прмн心 лежит рассматриваемой конфигурации.

На рис. 4 показаны еще два решения, отвечают116 значениям 〃=12 и р= 16,— которые (вместе с pew, ниями, проиллюстрированными на рис. 1) исчерпыв310

е известные на сегодняшний день точные значения ^личины /(『)• Заметим, что отвечающая /(16) конфигу- ваЦИЯ содержит конфигурацию, иллюстрирующую зна- (енне /(7). Каждая конфигурация на рис. 4 содержит трН бесконечно удаленные точки и бесконечно удален

ную прямую. Их можно спроектировать так, что бесконечно удаленные точки и прямые каждой конфигурации попадут в конечную часть плоскости,——однако при этом чертежи сталн бы менее симметричны и их было бы трудно начертить на небольшом листе бумаги.

с市А что мы знаем о других значениях р? В табл. 1 к Ран。все, что известно о /(『)при р 3, 4, . .25,—

азаны лучшие из известных ныне нижних и верхних Двенадцать точных значений /伪)отмечены в Точками (значения верхней границы, совпадающие 』ij"x случаях со значениями нижней границы, в таб- Рез； опУ^енн). Табл. I и почти все приведенные в ней

Ультаты заимствованы из статьи «Фруктовый сад» [1],

ТАБЛИЦА 1

Нинсняи граница для / (р)

Верхняя граница

Для / (р)

3

1*

4

1*

5

2*

6

4*

7

6*

8

7*

9

10*

10

12*

11

16*

12

19*

13

22

24

14

26

27

15

31

32

16

37*

17

46

18

46

19

52

20

57

21

64

22

70

23

77

24

85

25

92

написанной мной в соавторстве с Б. Грюнбаумом Н. Дж. А. Слоуном, но многие*из этих данных были 佇 черпнуты из более ранней работы.

Начиная со значения 〃=20, все верхние и ннм/ границы в табл. 1 вычислены с помощью двух обт" теорем.

Теорема 1. Пусть L%」—целая часть х, т. е.

большее целое число, не большее 尤；тогда /(p)>L〃S—3)/6」+l

Теорема 2. Пусть「尤1—наименьшее целое qhg ' не меньшее 无；тогда при всех р》3

@)& L Р(р-1)/2- Г Зр/71 /3」・

(Разумеется, /(3)=1.)

Рис. 5U—1)10+2)2—3巾=8Рис. 5U—1)10+2)2—3巾=8Мн не станем приводить доказательство теоремы 1, но наметим в общих чертах, каким образом ее утвержде- нне следует из теории кубических кривых^ или кубик, т е. кривых, задаваемых алгебраическим уравнением ^тьей степени. На рис. 5 показана симметричная ку- 6±ка, задаваемая уравнением (х—1) [(х+2)2—3t/2]=8 вместе с 12 ее точками, включая три бесконечно удален- нь1е точки. Эти 12 точек образуют конфигурацию, совпадающую с конфигурацией «деревьев» в «саду》из 12t точек (рис. 4, а).

Рис. 5

U—1)10+2)2—3巾=8

Рис. 5

U—1)10+2)2—3巾=8

Почему кубические кривые порождают столь хорошие конфигурации точек? Ключ к этой тайне кроется в том, что некоторые кубики можно задать параметрически с помощью так называемых эллиптических функций Вейерштрасса. В таком представлении каждой точке кривой соответствует какое-нибудь неотрицатель- ное вещественное число, меньшее 360, причем три точки

Hei]Hei]』ежат на одной прямой в том и только том случае, если сумма соответствующих им чисел кратна 360. (Мы моглн бы выбрать в качестве магического какое угодно "нс』。，но выбор числа 360 удобен тем, что он позволяет Читать значения параметра чем-то вроде угловых гра- АУсов.) На рис. 6 показана та же кубика, что и на рис. 5, I "° большинство прямых удалено и у нескольких точек фазаны соответствующие им значения параметра. Не- РУАно проверить, что любая (в том числе и бесконечно Удаленная) прямая на рис. 5 удовлетворяет сформули- Р°в普ному выше условию.

Hei]

Hei]

P”UanP”UanРУДно понять, как при любом р выбрать р неот-

P”Uan

P”Uan

Ильных и меньших 360 чисел так, чтобы возможно

больше сумм (по три) из них оказывались кратными 36Q Такой выбор чисел приводит к «саду» и, следовательно' к нижней границе для /(р). Именно этом путем показы： вается теорема 1. В 1868 г. Сильвестр получил [6J 总

Рис. 7Рис. 7щую всем значениям 亿щую всем значениям 亿ННЖНКйо отвечуННЖНКйо отвечукр 讶кр 讶ваемую теоремой 1 границу для /(『)，

Рис. 7

Рис. 7

щую всем значениям 亿

щую всем значениям 亿

ННЖНКйо отвечу

ННЖНКйо отвечу

кр 讶

кр 讶

границаграницакратным 3. Если но 3, то нижняя

граница

граница

uyuurСигuyuurСигоремы 1 на единицу той, которую получил

uyuurСиг

uyuurСиг

вестр. (Всегда приятно xot,i бы немного улучшить результат, полученный столь 蜘&

стящим математиком, к"

Сильвестр!)

Теорема 1 позволила на『

получить все нижние гр& ни цы, приведенные в табл. 1, кроме тех, которые со” ветствуют значениям 〃=7, 11, 16 и 19. В каждом i этих последних случаев оказалось возможным воспользоваться конфигурацией из р—1 точек на специальи подобранной кубической кривой и, присоединив к ни'

одну точку, не принадлежащую рассматриваемой к” вой, получить лучший «сад», чем тот, к которому при воднт теорема 1. Например, на рис. 7 показано построй ние 16-точечной конфигурации, изображенной на рм， 4, б. Подчеркнем, что дополнительная точка 0 не со「 ветствует нулевому значению параметра: так как з■ точка не принадлежит рассматриваемой кубике," параметризация «обошла ее стороной». Для упрощен 1 всей конфигурации на рис. 7 изображены топько 口

мые, проходящие через точку 0.

Обратимся теперь к верхним границам для /(/), в числе и к тем, которые дает теорема 2. В этом случ^с подход к получению оценки будет совершенно Полезным инструментом для получения верхних гр ниц оказался так называемый граф конфигурации-'： ставим точки конфигурации (вершины графа) и 囁& ним отрезком прямой (ребром графа) любые две из которые не лежат на одной прямой ни с какой вершиной. Например, на рис. 8 показаны графы, 口“. ветствующие семи- и восьмпточечным конфигуРац

□нс. 1 и (второй) восьмпточечной конфигурации рис. 2. фундаментальное различие между двумя восьмиточеч- ^yjvni конфигурациями отчетливо видно на их графах: так, например, один граф содержит треугольник, а

другой его не содержит.

Предположим, что через какую-то точку конфигура- wni проходят k прямых, каждой из которых принадлежат по три точки конфигурации. Тогда в графе такой конфигурации эта вершина (точка) принадлежит р—1— —2А ребрам, так как k прямых исключают 2尼 точек, которые в противном случае были бы соединены реб-

Рис. 8Рис. 8

Рис. 8

Рис. 8

рами с рассматриваемой точкой. (Число ребер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины.) Следовательно, при четном р каждая вершина графа должна иметь нечетную степень, а при нечетном р каждая вершина графа должна иметь четную степень (быть может, равную нулю), так как р и р——1——2左 имеют противоположную четность.

Рассмотрим теперь число ребер в графе конфигура- ннн. Если никакие три точки конфигурации не принадлежат одной прямой, то любая пара точек порождает в графе конфигурации ребро. Нетрудно видеть, что такой гРаф (называемый полным графом) содержит р(『一1)/2 Ребер. А всякий раз, когда три точки конфигурации 肥жат на одной прямой, из полного графа исключаются трн ребра.

Следовательно, если конфигурация состоит из I Рямых, то ее граф содержит р(р—1)/2—3Z ребер. Та- 阳 образом, если

е =吗曰—3/

атнсло ребер, то

，=(中—№ .

Так как 咤0, то отсюда вытекает следующее значение для верхней границы величины /(,):

屮1屮1

屮1

屮1

Но если р четно, то степень любой вершины графа не- четна, а значит, степень каждой вершины не меньше единицы. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство е>р/2, откуда

/ < I 次戸)I при четном р.

Немного потрудившись, мы можем объединить два приведенных выше неравенства для /(р) в одно:

/(р) &图宁

Этот результат уступает результату теоремы 2. Доказательство теоремы 2 существенно опирается на теорему Келли ——Мозера [51, утверждающую, что 8 любой кон- фигурации из р точек, не принадлежащих одной прямое- найдется по крайней мере「Зр/7 ] пар точек, не лежащих на одной прямой ни с какой третьей точкой. Для конфигурации, состоящей не менее чем из четырех тоь чек, это означает, что в соответствующем ей графе чис' ребер удовлетворяет неравенству о>「3夕/71 ・ 口°丁 ставляя эту оценку в полученную выше верхнюю границу для /, мы приходим к неравенству

У [(咤一圍)/3].

по существу эквивалентному теореме 2.

Заметим, что это доказательство теоремы 2 не использует нетривиальное построение графа по за咚 ной конфигурации. Однако понятие графа конфигУР^ ции очень полезно при рассмотрении частных в тех редких случаях, когда известна более точная в爲。 няя граница, чем та, которую дает теорема 2, конфигураций оказались весьма полезны. Мн " 卜 в виду значения р=8? 10, 12 и 14. В каждом нз

^учаев верхняя грань, приведенная в табл. 1, лучше, чем та, которую дает теорема 2. Приведем доказательно этого утверждения для р=8 (в остальных случаях доказательство проводится аналогично, но оказывается более громоздким).

Мы докажем неравенство / (8)^7 (в действительности чйСло 7 служит точной верхней границей для /(8), так как существует конфигурация с семью прямыми), если

Рие 9Рие 9А扌А扌ВВРмс. 10Рмс. 10нам удастся показать, что конфигурация с восемью точками н восемью прямыми не существует. Будем рассуждать от противного. Предположим, что такая конфигурация существует. Рассмотрим ее граф. Число ребер в нем равно

Рие 9

Рие 9

А扌

А扌

В

В

Рмс. 10

Рмс. 10

e=吗w一3? =号一3 8 = 4.

Так как 〃=8 — четное число, то степень любой вершины этого графа нечетна. Единственный граф с четырьмя ребрами, все вершины которого имеют нечетную степень, состоит из четы-

рех несвязных ребер (рис. 9).

какие вершины соотносительное рас-какие вершины соотносительное рас-(На рис. 9 граф изображен «абстрактно»: на нем показано только,

какие вершины соотносительное рас-

какие вершины соотносительное рас-

еанненн ребрами, но не отражено положение вершин.)

Рассмотрим вершины А и В графа. Обращаясь к нс- х°Дной конфигурации, мы можем с помощью проектв- "°г。преобразования превратить прямую АВ в беско- ；е“но удаленную. Анализируя граф, нетрудно заметить, остальные шесть его вершин должны лежать на 俨 прямых, выходящих из вершины Л, и трех прямых, водящих из вершины В. Несколько схематически это в "азан。на рис. 10 (схематизм заключается только

ЗДинаковых расстояниях между прямыми).

8в山ес вернин графа (отличных от Л и В) должны На :咖"с какими-то из девяти точек пересечения 獻俨 10. Мы насчитали пока в нашей (гипотетической) 耿гураиин только шесть прямых. Две остальные

прямые должны проходить через какие-то из девяти тзек пересечения. Единственный способ добавить 貝 новые прямые — это считать, что они проходят иер© точки 1, 5, 9 и 3, 5, 7. Но это дает только семь вершин- Л, В, 1, 3, 5, 7 и 9. (Кроме того, прямые /5 и 65 прохо' дят только через две точки гипотетической конфигурации.) Следовательно, конфигурация с восемью точками и восемью прямыми не существует, и /(8)=7.

Хотя о рассмотренной нами задаче, а тем более о ро* ственных задачах можно было бы рассказать горазд больше, подробное обсуждение технических деталей не в силах передать всю привлекательность затронутой нами области комбинаторной геометрии. Мы предпочи таем завершить нашу статью кратким перечнем того, что можно было бы еще сделать. Ясно, что лучше все“ было бы вычислить точно 1(р) при любых р. Это труд ная, но, насколько можно судить, вполне разрешимая задача. В [11 мы высказали следующую гипотезу: npi всех 〃声7, 11, 16, 19

"p) = S(p —3)/6]+L

Иначе говоря, мы думаем, что теорема 1 дает «почти точные» значения величины 1(р).

Было бы хорошо, если бы удалось получить точное значение /(р), по крайней мере уменьшить разрыв

между оценками сверху и снизу, даваемыми теоремам11 1 и 2. Пренебрегая скобками и вычитая из верхней границы нижнюю, мы убеждаемся, что разрыв между этими оценками при любом р составляет примерно (4'21)户一口 Следовательно, величина разрыва с ростом р растм довольно медленно, что и подтверждает табл. 1.

Во всяком случае, было бы интересно либо вн?к‘ лить / (р) точно, либо сузить разрыв между верхней ' нижней оценками при небольших значениях р. Нен" что начать следовало бы с "=13, 14 или, возможно. с/=15. Если исходить из высказанной выше гипотезы, то более перспективны будут попытки понизить вер'黑 границы» приведенные в табл. 1. Помимо других со ражений, вычисление верхних границ не требует ширных познаний в теории кубических кривых И чих сложных вопросах, тогда как при вычислении них границ без таких познаний обойтись не 〉画^ & Попытка понизить верхние границы, возможно, '

Сует детальной разработки каких-то новых подходов [加I более тщательного анализа старых. Начать можно 6bin。бы с подхода, использованного нами при рассмотрении случая 〃=8, но многие альтернативные подслучаи следовало бы разобрать отдельно. Возможно, что при осуществлении такого проекта может оказаться полез- ной искусно составленная программа для ЭВМ.

Цель нашей статьи состояла в том, чтобы пролить свет на одно из интересных «темных пятен» комбинаторной математики. Я надеюсь также побудить любителей математики, интересующихся затронутыми проблемами, испробовать свои силы в решении задачи о вычислении / (р) или родственных задач. (Некоторые другие задачи из той же области можно найти в превосходной книге Бранко Грюнбаума (31.) Названные задачи особенно уместны в таком сборнике, как «Математический цветник», потому что сегодня, кажется, никто не сделал больше для популяризации математики, чем Мартин Гарднер. В одном из выпусков журнала Scientific American он обсуждал и некоторые аспекты посадки деревьев [21. Впрочем, нужно ли удивляться тому, что человек, создавший великолепный математический цветник, является искусным садовником, умело рассаживающим деревья в своем (математическом) саду?

L Burr, S. A.; Griinbaum, В. and Sloane, N. J. A. 1974. The Orchard Problem. Geometriae Dedicat a 2： 397—424.

Gardner, M. (976. Mathematical Games. Scientific American, 102— l°9； Гарднер M. Математические новеллы.— M.: Мир, 1974, ”16—119.

'“rBnbaum. В. 1972. Arrangements and Spreads. Providence, R. L: Atner. Math. Soc.

Jackson, J. 1821. Rational Amusement for Winter Evenings. Lon- ； 凯:Longman, Hi心t, Rees, Orme, and Brown.

^"ey, L. M. and Moser, W. O. J. 1958. On the Number of Ordinary Lines Determined by n Points, Canada J. Math. 10: 210—219. Y,y Ives ter, J. J. 1886. Problem 2572. Math Questions from the ^caiional Times 45: 127—128.

2・5. Нарежьте потоньше

Говард "вс

Около шестисот лет назад его преосвященство кар- данал Джованни Коломбин и из Сиены основал новый религиозный орден, в задачи которого первоначально входили уход за больными и погребение умерших во время эпидемии бубонной чумы, которая унесла более трети населения Европы. Новый орден, получивший название ордена иезуатов (и не имевший никакого отношения к созданному позднее ордену иезуитов), был утвержден папой Урбаном V в 1367 г. Со временем орден пришел в упадок, и предпринятая в 1606 г. попытка оживить его деятельность лишь отчасти увенчалась успехом: помешали недоразумения, связанные с прон「 водством и продажей монахами-иезуатами ликера в нарушение норм канонического права. Эта и ряд других причин привели к тому, что в 1668 г. папа Клемент IX распустил орден иезуатов, просуществовавший чуть более трех столетий.

В 1613 г. в орден иезуатов вступил пятиадцатнлетннй итальянец Бонавентура Кавальери. До конца свс дней он оставался членом этого ордена. Пострюкег? в монахп-иезуаты, последующий роспуск с рдей а м сильное сходство слова «иезуат» с гораздо более нзвк； ным словом «иезуит» привели к тому, что во мно больших энциклопедиях, биографических словарях, 『ах по истории и справочниках Кавальери ныне °皿卜 бочно называют иезуитом. Ошибки такого рода в吁' чаются отнюдь не редко, н некоторые из них необычан'" живучи.

Бонавентура Кавальери родился в итальянском роде Милане в 1598 г. В юности он был учеником ; ли лея. В 1619 г. Кавальери был назначен профессор

математики Болонского университета и оставался нм до конца своей жизни. Умер Кавальери в 1647 г. сравнительно молодым — ему было тогда всего сорок девять дет. Он принадлежал к числу наиболее влиятельных математиков своего времени и написал ряд работ по геометрии, тригонометрии, астрономии, астрологии и оптике. Поняв одним из первых огромное значение изобретения логарифмов Непером, Кавальери активно способствовал их распространению в Италии. Однако наиболее важным вкладом в развитие математики стал его трактат «Геометрия неделимых», первоначальный вариант которого вышел в свет в 1635 г. В этом трактате Кавальери изложил свой метод неделимых. Подобно многим другим достижениям математики, метод неделимых уходит корнями в античную науку — в труды Демокрита (около 410 г. до н. э.) и Архимеда (около 287—212 гг. до н. э.), хотя непосредственным толчком к его созданию могли послужить попытки разработать метод интегрирования, предпринятые Иоганном Кеплером (1571—1630). Как бы то ни было, выход в свет в 1635 г. «Геометрии неделимых» Кавальери стал знаменательной вехой в истории всей математики, и в особенности интегрального исчисления.

Замечательный трактат Кавальери объемист и на- писан недостаточно ясно. Из него трудно уяснить, что именно понимал Кавальери под «неделимыми». По-види- мому, неделимой данной плоской геометрической фигуры он называл любую ее хорду, а саму фигуру считал состоящей из бесконечного множества параллельных неде- пнмых (хорд). Неделимой геометрического тела Каваль- ерн, насколько можно судить, считал любое плоское сеченме этого тела, а само тело рассматривал как состоя- *^ее из бесконечного множества параллельных недели- м*к. Если каждый элемент множества параллельных ^делимых данной плоской геометрической фигуры сдви- вдоль его оси, рассуждал Кавальери, так, чтобы 『ним неделимых по-прежнему образовывали непре- границу, то площадь новой плоской геометри- ЛСк°й фигуры будет такой же, как у исходной, так как м 2 3TH фигуры составлены из одних и тех же недели- к：х. Аналогично если сдвинуть, не выводя из плос- 改俨1, каждую неделимую какого-нибудь объемного 'так, что границы неделимых по-прежнему будут

образовывать непрерывную поверхность, то новое тело будет, по мнению Кавальери, иметь такой же объем как и исходное тело, поскольку оба этих тела составлены из одних 11 тех же неделимых. Поразительным примером, иллюстрирующим последнее утверждение, может служить колода игральных карт, уложенных сначала по вертикали одна на другую, а затем сдвинутых так, что их короткие стороны образовал» искривленную поверхность: и в том и в другом случае колода имеет один и тот же объем.

Перечисленные выше положения трактата о неделимых в несколько обобщенном виде приводят к так на зываемым принципам Кавальери:

Если две плоские геометрические фигуры заключены между двумя параллельными и отрезки, высекаемые ими на любой прямой, параллельной двум прямым, между которыми заключена фигура, всегда находятся в данном отношении, то площади этих двух фигур на- ходится в том же отношении.

Если два тела заключены между двумя параллельными плоскостями и площади сечений их любой плоскостью, параллельной тем двум, между которыми заключено тело, всегда находятся в данном отношении, то объемы этих тел находятся в том же отношении.

Расплывчатое толкование Кавальери неделимых как мельчайших составных частей геометрических 中нг》Р и тел породило бурную дискуссию. Многие из тех, кто занимался изучением геометрии неделимых, в частности швейцарский ювелир и математик Пауль Гу льдин (1577—1642), подвергли предложенное Кавальери понятие неделимых суровой критике. Кавальери подготовил новое издание своего трактата, в котором полы- тался ответить на возражения своих оппонентов, однако и вторая его попытка не была особенно успешно- Французский геометр и 巾нзпк Жиль Персон де Робер- в аль (1602——1675) оспаривал приоритет Кавальери. нако и поныне трудно разрешить этот спор о приор； тете, так как Роберваль имел обыкновение медлить с лнкацией своих открытий и неоднократно оспарнва" приоритет других ученых в получении различного научных результатов.

Такое поведение Роберваля объяснялось тем, начиная с 1634 г. он на протяжении сорока лет заннм ” 132

профессорскую кафедру в парижском «Коллеж Ройяль». По истечении трех лет кафедра вновь считалась вакантной и занять ее можно было, лишь выдержав открытый конкурс по математике, в котором вопросы соискателям ^адавал профессор, занимавший кафедру в предыдущие ；рп года. Чтобы сохранить кафедру за собой, Робер- ваЛь, по-видимому, приберегал свои открытия, чтобы использовать их для вопросов конкурентам. Во всяком случае, Роберваль действительно искусно использовал метод неделимых для вычисления ряда площадей, объедав и центров тяжести. Метод неделимых или нечто очень близкое эффективно использовали Эванджелиста Торричелли (1608—1647), Блез Паскаль (1623—1662), Пьер Ферма (1601—1665), Грегуар Сент-Винсент (1584— 1667), Исаак Барроу (1630 -1677) и другие.

Два принципа Кавальери значительно облегчают вычисление площадей и объемов. Их строгое обоснование вполне достижимо средствами современного математического анализа. Приняв принципы Кавальери на эвристическом уровне, мы получаем возможность решать многие задачи на измерение геометрических величин, которые в противном случае потребовали бы применения значительно более сложных методов интегрального исчисления. Многие авторы начальных курсов по стереометрии из педагогических соображений считают вполне приемлемым использование второго принципа Кавальери без строгого обоснования, поскольку принятие его существенно облегчает усвоение материала учащимися. Например, при выводе известной формулы объема тетраэдра (И S/z/З) камнем преткно- вення является доказательство утверждения о том, что любые два тетраэдра с равновеликими основаниями и Равннмн высотами в направлениях, перпендикулярных зтнм основаниям, имеют равные объемы. Трудность» 0 которой я говорю, носит принципиальный характер и отражена во всех трактатах по стереометрии, начиная с <(Начал» Евклида. Однако второй принцип Кавальери "Рост。отметает эту трудность.

К Обратимся к примерам использования принципов :学льерн. Некоторые из наших примеров — желай*" орешек для любителей трудных математических за- ц 4 * головоломок. Начнем с одного удобного определе- 0 Две плоские геометрические фигуры, которые

можно расположить так, что они будут высекать отрезки равной длины на любой прямой» принадлежащей семейству параллельных прямых, или два тела, которы， можно расположить так, что их сечения любой плсс- костью, принадлежащей семейству параллельных плоскостей, равновелики （т. е. имеют равную площадь）, называем равновеликими по Кавальери. Из принципов Кавальери следует, что равновеликие по Кавальери плоские геометрические фигуры или пространственные тела равновелики в обычном, смысле^, т. е. имеют соответственно равные площади или равные объемы.

Примеры

Найдем площадь эллипса с полуосями а и &. Рассмотрим （в плоскости с фиксированной системой прямоугольных координат х, у） эллипс

и окружность

炉+ у2三“2

（рис. 1）. Разрешив уравнения эллипса и окружности относительно у, получим

9 = （》/a）（炉一炉）"2, y = （炉—炉产2

Следовательно, соответствующие ординаты эллипса м окружности относятся, как Ыа, Так же относятся и соответс!вующие вертикальные хорды эллипса и °к~ ружности. По первому принципу Кавальери это оз仙- чает, что площадь эллипса относится к площади круг' как Ь/а, и, значит,

площадь эллипса =（勿〃）（плошадь круга）—

=（勿〃）（л。?）= лаА

По существу тем же методом воспользовался и КеплН для нахождения площади эллипса с полуосями 〃 ".

Выведем теперь известную формулу для

шара радиуса г. На рис. 2 слева изображен по』у/[ радиуса г, а справа ——прямой круговой цилиндр диуса г и высоты г. Из цилиндра вырезан конус, с；°

вание которого совпадает с верхним основанием цй- днндрз, а вершина — с центром нижнего основания цилиндра. Полушар и полый цилиндр покоятся на общей горизонтальной плоскости. Рассечем оба тела го

ризонтальной плоскостью, проходящей на расстоянии h над их общим основанием. Сечение полушара имеет форму круга, а сечение полого цилиндра ——форму кольца. В элементарной геометрии доказывается, что

^Щадь каждого из этих сечений равна 冗(产一衿. 0 второму принципу Кавальери оба тела имеют оди- :аковнп объем. Следовательно, объем шара можно вы- 耻"нть по формуле

『=2 (объем цилиндра — объем конуса)=

=2ки——у mz3)=告统.

Весь трюк состоит в том, чтобы найти подходящее《丁^修) сравнения» (в данном случае — полый цилиндр, равнс великий полушару по Кавальери).

В качестве еще одного примера применения прнк. ципов Кавальери в планиметрии рассмотрим плоскую геометрическую фигуру, ограниченную отрезком 叩公 мой и двумя криволинейными дугами (она изображен?

на рис. 3 слева, где два отрезка, обозначенные Оаной “ той же буквой т, равны между собой). В качестве гуры сравнения, как нетрудно видеть, можно выбрать полукруг, к которому пристроен равнобедренный тре? гольник (эта фигура изображена на рис. 3 справа). первому принципу Кавальери площадь левой 巾нгуР" равна

S = Jnr2 + r2=(5+l)尸.

В качестве еще одного примера применения пр】：" ципа Кавальери в стереометрии найдем объем вого кольца^ которое получается, если в шаре раа”)'： просверлить цилиндрическое отверстие радиуса которого совпадает с диаметром шара (шаровое изображено на рнс. 4 слева). Рассмотрим шар,

которого равен высоте шарового кольца. Поместим его центр на ту же горизонтальную плоскость, которой при- надлежит центр шарового кольца （такой шар изобрази на рнс. 4 справа）. Рассечем оба тела горизонталь- ной плоскостью, проходящей на расстоянии h от их центров. Сечение этой плоскостью шарового кольца | Меет форму кольца с площадью

几 （f2—用2）—31 废=л （r2-用2—42）,

а сечение шара — форму круга с площадью

Л （胪一为2） = Л （产—炉—人2）

Следовательно, по второму принципу Кавальери объем V шарового кольца равен объему шара радиуса 瓦 т. е.

V = ~nA9 （=±л（产一废）％}

Интересно, что все шаровые кольца одной 〃 той же высоты R имеют одинаковый объем назависимо от радиуса кольца.

В задаче Е465 из журнала The American Mathematical Monthly （«Американский математический ежемесячник»） за март 1941 г. требовалось найти площадь

ФигФигМть вМть в

Фиг

Фиг

Мть в

Мть в

6、沢辞 ограниченной кривой b2y2=（Jb+x）2（a2—х2）, где 届广График этой кривой （рис. 5） состоит из овала, ьанн°?Ящего дерез точки （0, 士q） и （土а, 0）, и изолиро- т勘ь；“ т°9к“ （—fe, 0）. Кривая симметрична относи- 心*: 0cH х. Рассмотрим окружность х2+у2—а2, По- и“си〃二 ЧТо площадь фигуры, которую требуется вы-

задаче, равна площади круга, ограниченного

окружностью 九2十歹2=。2 в силу симметрии фигуры 0. носительно оси 尤 достаточно доказать, что расположу, ная во втором квадранте серповидная лунка, заключен, ная между нашей кривой и окружностью, равновелн. аналогичной серповидной лунке, расположенной в пе» вом квадранте. Для этого в свою очередь достаток, доказать, что высекаемые лунками отрезки ордий г равноотдаленных от начала координат, равны. Ит-;

пусть 乡1 II 乡2 ——положительные ординаты кривой н ружностн при одном и том же х. Тогда

/—弘=4* S+%) / 出一尤2—/ а♦二：2 = у К

Мы видим, что с точностью до знака разность 玖+厶 川 ннмает одинаковые значения в точках +% и —х. Сед вательно, обе серповидные лунки равновелики по Ка・ вальери — и, значит, площадь фигуры, ограниче»н названной в условии задачи кривой, равна площз】 л^2 круга радиуса а.

Задачи- головоломки

Найти подходящее тело сравнения, которое 】 могло бы применить второй принцип Кавальери к в* числению нужного нам объема, иногда ничуть не лег чем решить хитроумную головоломку. Возможно, ср匕 читателей найдутся любители такого рода задач, ког рые пожелают испробовать свои силы в их решена Для них мы и приводим несколько геометрическнА - дач на вычисление объемов. Указания и советы А'

в конце статьи.

Вычислить с помощью второго принципа Кава' ри объем баранки, или тора, образованной вратен ： круга радиуса г вокруг прямой, лежащей в плоек”

круга на расстоянии с^г от его центра.

Нетрудно показать, что не существует многоугС] ника, равновеликого по Кавальери данному кР? (длина хорды, заключенной между двумя стор°"；., многоугольника, равномерно меняется при равно ном движении содержащей хорду прямой в п®Р嚅* кулярном ей направлении, в то время как для круга это уже неверно). Можно было бы думать：" существует и многогранника, равновеликого по

УУh (U + 4財+ А)h (U + 4財+ А)66(1)(1)

У

У

h (U + 4財+ А)

h (U + 4財+ А)

6

6

(1)

(1)

pH данному шару. Опровергните это утверждение, по (ронв тетраэдр, могущий служить телом сравнения пдя тара.

8・ Наклонная плоскость, проходящая через основа-

нИе прямого кругового цилиндра, отсекает от цилиндра кЛйн, называемый копытом (рис. 6).

Вычислить с помощью второго принципа Кавальери объем к。- пЫта, выразив его через радиус г цилиндра и высоту h копыта.

Обобщенным призматоидом называется любое тело с двумя плоскими параллельными основаниями, у которого площадь сечения плоскостью, параллельной основаниям, задается квадратичной функцией расстояния от одного из оснований.

Доказать, что объемы 〃р〃з・ ж, клина (прямой треугольной

призмы, повернутой так, что она покоится на одной из боковых граней как на основании) н пирамиды определяются призматоидальной формулой

九—высота, U ——площадь верхнего основания, 丄—площадь нижнего основания, М — площадь сред- 肥『° сечения, равноудаленного от верхнего и нижнего кований.

Доказать с помощью второго принципа Кавальери, т° объем обобщенного призматоида определяется приз- матоидальной формулой.

(см» 〃°казать, что 1) сфера, 2) эллипсоид, 3) копыто в задачу 8) и 4) тело Штейнмеца (тело, образованное и? ересеченнн двух прямых круговых цилиндров одп- дИк^ВЫх радиусов с пересекающимися взаимно перпен- то〃，』*Рнь1мн осями) являются обобщенными призма- "ми，и найти выражения для объемов всех этих тел.

з；，в© ：山 Рассказ о принципах Кавальери мы хотели бы ить Одним предостережением и отметить одно

удивительное свойство равносоставленности по Кав. ери. Начнем с предостережения.

В элементарных учебниках принципы Кавад приводятся без доказательств как инту итивно ные. Рассмотрим два тела, заключенные между м параллельными плоскостями и такие, что их ceq®； любой плоскостью, параллельной плоскостям, мы. которыми они заключены, имеют равные пернмегр； Кажется интуитивно ясным, что аналогично (второе принципу Кавальери боковые поверхности двух рассл^.

риеаемых тел должны иметь равные площади. К эти эвристическому заключению можно прийти, прель兩в боковые поверхности двух тел как бы состоящими. бесконечно многих неделимых в форме нанизанных " тела нитяных (состоящих из бесконечно тонкой 川"， петель (периметров поперечных сечений), в простейи^ случае имеющих вид овалов. Так как петли, леж砌" в одной плоскости, имеют одинаковую длину, и мс/М образующими поверхности обоих тел петлями ми赤〔 установить взаимно-однозначное ссютветствие, то 卜 жется, будто боковые поверхности этих тел неизбе^1* должны быть равновеликими. В действительности вые поверхности тел отнюдь не обязательно д°〃>] иметь равные площади (т. е. быть равновелики-^ Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две квадрат、, призмы Р н Р' с одинаковыми основаниями и равн"； высотами, причем Р ——прямая призма, а Р'— ная призма, две противоположные боковые грани

пеНдпкулярны основаниям (рис. 7). Тогда площадь "Вовой поверхности наклонной призмы будет, оче- 【о, больше, чем площадь боковой поверхности пря- 唸 призмы. Этот пример показывает, насколько опасно 'математике полагаться только на интуицию.

в Обратимся теперь к одному удивительному свойству аВНОвеликостн по Кавальери. Прежде всего введем определение. Назовем два треугольника АВС и А'В'С

аффинно-симметричными (или косо<имметричным11)друг "Ругу (с осью симметрии т и направлением симмет- Р〃〃 44) если отрезки ААГ^ВВГ \СС и середины последних трех отрезков принадлежат одной прямой 加 (Рнс. 8). Можно доказать, что справедливы

Теорема 1. Любые два равновеликие треугольника ："℃костн можно перевести один в другой с помощью J более чем трех косых симметрий.

Теорема 2. Любые два треугольника одной площади Р ьновелики по Кавальери.

Обе эти удивительные теоремы были установлены недавно. Стереометрический аналог второй тео- I* места уже не имеет, т. е. два тетраэдра равного 巫 ема не обязательно равносоставлены по Кавальери, казательство этих утверждений мы здесь опустим.

Указания и советы к решению задач

Положите тор на плоскость р, перпендикулярную оси 力屮, В качестве тела сравнения выберите прямой круговой цилиндр ； диуса г и высоты 2лс, уложив его (не поставив, а именно уло» на ту же плоскость р. Проведите теперь сечение тора и цнли1ш( плоскостью, параллельной плоскости р. Сечение 4 тора имеет кольца с внутренним радиусом b и наружным радиусом a, ceq.. 力'цилиндра ——форму прямоугольника длины 2лс и ширины 切.& сечения имеют соответственно площади

Л m2 -冗02=冗(02 一02) m冗(a+ 6) (" - 6) = 2лT 仅-6)

иА' = 2冗匚侬=2лг (а — Ь).

Так как Л—Д\ то по второму принципу Кавальери объем тора / вен объему цилиндра, т. е.

V = л/2 (2лс) — 2n2r込

Пусть АВ и CD — два отрезка прямых в пространству такие, что 1) AB=CD—2r V"n; 2) каждый из отрезков 4В」ЛИ CDj_ MNt где М и N — соответственно середины АВ и CD\ 乂川二匚 3) отрезок AB_[^CD; рассмотрите тетраэдр A BCD,

Разделите копыто на две равные части плоскостью р, п;з「 дящей через ось цилиндра. Пусть S ——площадь сечения копьга плоскостью р. Постройте прямую призму, основанием которой 5・ жит квадрат площадью S (основание лежит в плоскости р). а внет равна радиусу г цилиндра. Вырежьте из этой призмы пирамw основание которой совпадает с основанием призмы, не лежащи* i плоскости р, а вершина ——с точкой другого основания призмы. 1 кая полая призма может служить телом сравнения для одног половин копыта.

В качестве тела сравнения для половины копыта можно вн'у'， также тело, у которого нижним основанием служит прямоупМЬИ^ треугольник с катетами г и Л, высота равна г, а верхним основаы*" служит отрезок прямой, равный и параллельный гипотенузе н，；， него основания.

Объем копыта равен 2九产/3

б. Площадь любого сечения, квадратично зависящая от ■ стояния до одного из оснований, можно представить в виде алг^ ической суммы постоянной площади сечения призмы, пропори нальной расстоянию до выбранного основания площади сечения к” на и пропорциональной квадрату расстояния до того же площади сечення пирамиды. Следовательно, объем обобщен，； призматоида можно представить в виде алгебраической суммы ' емов призмы, клина и пирамиды. Далее воспользуйтесь рет^’ задачи 9а.

в. Сечение эллипсоида

xW+^W+22/c2=1

плоскостью, проходящей на расстоянии z от плоскости ху» преа" ляет собой эллипс

^1с^-\-уг1Ьг— 1 ——

С полуосями

(а/с) Ус — г2 и ——с匸2・

Площадь этого эллипса равна

jwb (са — №)/務

If3 Чего видно, что эллипсоид принадлежит к числу обобщат!пых призматоидов. Его объем равен

V = 4 血匕 с/3.

Для объема тела Штейнмеца получаем У=16,з/3. (Рассказыв.г ют, что выдающемуся электротехнику Карлу Протеусу Штейнмепу (1865—1923) однажды предложили вычислить объем тела, носящего ныне "его имя. Штейнмец поразил всех, мгновенно назвав ответ. (0 том, каким образом ему удалось решить задачу, не прибегая к карандашу и бумаге, Штейнмец предпочел умолчать. Скорее всего он увидел, что пересечение двух цилиндров принадлежит к числу обобщенных призматоидов, н воспользовался призматоидальвой формулой.)

2・6・ Как Папп доказал свою теорему?

Леон Банков

Величайшее наслаждение при занятиях математикой доставляет нам решение задач, а самые захватывающие ощущения мы испытываем, когда решение завершается изящным результатом, особенно если и способы этого Решения столь же изящны. Папп, как свидетельствуют разбросанные по математической литературе многочис- 』еннме «теоремы Паппа», был подлинным мастером ,1£яЩной теоремы. Неудивительно, что именно ему уда- 』℃ь найти остроумное доказательство утверждения, [°т°рое он сам называл «одной древней теоремой». * теорема приведена в IV книге его «Собрания» — 『Sth, содержащей немало красивых результатов, н Рассматриваемо^ теореме говорится о последователь- н J" касающихся окружностей, вписанных в арбелос^ ен" сапожный но.》,一геометрическую фигуру, впер- ли Рассмотренную Архимедом в «Книге лемм». Мы вряд иост°Г₽ешнм против истины, предположив, что в древ-

“ эта теорема об окружностях была действительно

известна на эмпирическом уровне, но до Паппа ее нц. кому не удалось доказать.

Если на отрезках АВ выбрать произвольную точку с и на отрезках ДС, СВ и АВ как на диаметрах описать по одну сторону полуокружности, то криволинейный треугольник, ограниченный тремя полуокружностями, на

зывается арбелос. Одно из трех свойств арбелоса, рас смотренных Архимедом, связано с вычислением диаме: ра вписанной окружности, касающейся каждой нз тре дуг, которые образуют границу арбелоса. Папп нача- с этой вписанной окружности, а затем расширил за-

дачу, присоединив к этой окружности бесконечно ■ последовательность окружностей, каждая из котор. касается соседних окружностей и двух дуг, огран". вающих арбелос (рис. 1). По «древней теореме» РаСС^ ние от центра первой вписанной окружности ДО 曝 ка АВ вдвое больше ее радиуса, расстояние от второй вписанной окружности до отрезка АВ в раза больше ее радиуса, . . расстояние от 城

〃-ii вписанной окружности до отрезка АВ в 2п раз больше ее радиуса.

В показанной на рис. 2 конфигурации, тесно связанной с теоремой Паппа, нет дуги СВ и первая вписанная окружность касается дуг АС и АВ и отрезка прямой СВ. И в этом случае цепочка окружностей, касаю- щихся соседних окружностей, ограничена дугами (крн・ волинейного) треугольника (стороны которого могут быть не только прямыми, но и кривыми). Расстояние от центра 〃-■ окружности такой цепочки до основания Л8 в 2/1—1 раз больше ее радиуса. Например, расстояние от центра седьмой окружности в цепочке до отрезка АВ в 13 раз больше радиуса окружности.

На первый взгляд доказательство этих свойств кажется весьма простым. Мы, математики двадцатого столетия, самонадеянные обладатели обширнейшего математического арсенала, считаем подобные задачи не более чем скучными упражнениями на применение того или иного известного метода. Чтобы доказать теорему Паппа или ее аналог, нам достаточно подвергнуть исходный чертеж инверсии с центром Л и рассмотреть преобразование фигуры: покров таинственности, окутывавший первоначальную конфигурацию, падет и нам откроется сокровенный смысл теоремы Паппа.

Для тех читателей, кто недостаточно знаком с ннвер- снМ, уместно кратко рассказать о ее применении к тео- реме Паппа. Восстановим перпендикуляр к отрезку АВ в точке С, пересекающий дугу АВ б точке D, а за- тем опишем дугу окружности с центром Л п радиусом 4。一 окружность, относительно которой мы будем сражать наш чертеж (ибо инверсию называют также с^метрией относительно окружности)', так как ADZ

^С^АВ, то дуга АВ перейдет при инверсии в перпен- ^икуляр CD, восстановленный к отрезку АВ в точке С ” продолженный за точку D, дуга АС ——в прямую, ка- ^тельную к дуге АВ в точке В. Окружность инверсии еРвсекает дугу СВ ортогонально, поэтому полуокруж- н，ть, построенная на отрезке СВ как на диаметре, при верен。переходит в себя (остается неизменной). Це- в :ка окружностей Паппа переходит при инверсии н^поаку равных касающихся окружностей, заключен- нх ме^ау двумя вертикальными прямыми так же, как пРообразы были заключены между дугами АВ и АС.

Из рис. 3 сразу видно, что расстояние до АВ от центра 〃-й окружности, полученной в результате ннверсцу в 2/1 раз больше ее радиуса. Аналогичная инверсия примененная к конфигурации на рис. 2, приводит к за： висимости Уп=2n——1, где уп — расстояние от центра /1-й окружности до АВ и расстояние между С и В при» нято за 2. 1

А теперь обратимся к вопросу, вынесенному в заглавие нашей статьи: «Как Папп доказал свою теорем)? Не следует забывать о том, что Папп сделал это, не используя инверсию (инверсию математикам предстояло открыть через пятнадцать столетий после Паппа). Ничто в трудах Евклида, Архимеда или Аполлония не могло служить путеводной нитью к замечательному р зультату. Следовательно, Папп мог добиться успех?- лишь проведя определенную подготовительную рабе г а именно предварительно доказав несколько вспомог" тельных утверждений или лемм.

Мы воздаем хвалу Паппу за его замечательное Дс стижение и глубоко признательны за доставшееся на： в наследство сложное, но строгое доказательство теоремы. Мы восхищаемся изобретательностью, с рой он преодолевал трудности, находя новые оригина^ ные способы решения различных проблем. Но даже е подойти к оценке полученного им результата с с0^\^ менными критериями, то нельзя не признать, что 篇 зательство Паппа превосходит то, что можно было

приписать опытному математику-профессионалу, не го- воря уже об ученике старших классов, пусть даже самом талантливом. Это становится очевидным, если мы, подчиняясь нашему естественному стремлению, как можно больше узнать о доказательстве, предложенном самим Паппом, попытаемся найти его и вникнуть во все тонкости. Но где можно найти первоначальный вариант доказательства знаменитой теоремы Паппа? Со времени, когда жил и работал Папп, прошло 16 веков, но полного английского перевода его трудов нет. Однако сокращенный вариант работ Паппа, в том числе доказательство теоремы об окружностях и связанных с пей лемм, был издан на английском языке известным историком науки Томасом Хитом. Перевод вместе с комментариями был опубликован в книге Хита «История древнегреческой математики», выпущенной издательством «Оксфорд юниверсити пресс» в 1921 г. В более сжатом «Руководстве по древнегреческой математике» (Оксфорд, 1931 г.) Хит лишь мельком упоминает теорему Паппа, искусно избегая каких-либо пояснений относительно метода доказательства. Авторы других работ по античной математике, например Джеймс Гау и Айвор Томас, упорно обходят молчанием леммы и доказательства основной теоремы.

Гордостью моей личной библиотеки является экземпляр собрания трудов Паппа на латинском языке, переведенный с греческого Комм ан дно в 1659 г. Чтобы по достоинству оценить доказательство Паппа, необходимо шаг за шагом продираться через одиннадцать страниц очень убористо напечатанного текста, пьь 許нсь постичь глубинный смысл рассуждений Паппа. Правда, существует двухтомное французское издание трудов Паппа в великолепном переводе с подробными комментариями Пайля Фер Эке, выпущенное издатель- 寛ом «Десле де Брауер энд компани» в Париже в 1933 г. Пятнадцать страниц этого издания посвящены опи- 記ню предложенного Паппом доказательства теоремы.

св°их комментариях Фер Эке часто цитирует трех- °мное немецкое издание Фридриха Хюлтша, выпущен- 呢^ Берлине в 1876 г.

в Читатель, дочитавший нашу статью до этого места, сб"Раве потребовать, чтобы мы хотя бы в общих чертах яснили, в чем именно заключается суть избранного

Паппом подхода. Наши пояснения состоят из кратких комментариев и четырех чертежей, представленных на рис. 4——7. Из чертежа на рис. 4, иллюстрирующего первую лемму, с очевидностью следует соотношение, которое часто используется в дальнейшем: KE •EL=EB2.

Рве. 4Рис. 5

На рис. 5 окружность FCH с центром в точке Л — любая окружность, которая касается дуг полуокружностей, построенных на отрезках BD и ВС как на диаметрах (точка D лежит на отрезке ВС). Начиная с диаметра HF, параллельного отрезку ВС, остальную часть чертежа Папп строит так, как показано на чертеж. Установив отношения ВС/В6 и BF/BL в подобных треугольниках BGC, ВКН и BLF, BED, Папп получает отношение 2ВМ KL= (BC+BD)/(BC—BD). Поскольку KL=2r, то это соотношение можно записать в виде BM/r^(BC+BD)(BC—BD).

Прежде чем приступать к основному моменту своего доказательства, Папп устанавливает несколько более существенных лемм. Из подобия треугольников ВКН н FLC он выводит соотношение ВХ •LC=AM2. А так как BCBD=BUBK, то Папп получает еще два соотношения BL *CD=BC*2r и ВК ・CD=BD ・2г.

Обратимся теперь к рис. 6, на котором окружности с центрами Л и Р — любые две касающиеся окружности, расположенные так, как показано на чертеже. Пусть М и N — основания перпендикуляров, опущенных и3 точек Л и Р на ВС. Папп уже установил, что отношения В At AS п BN'PO постоянны и равны(80+8°' /(ВС—BD). Используя другие доказанные им леммы ” устанавливая необходимые отношения в подобных тр^ угольниках, Папп сумел доказать, что (AM+d)d^ =PN/dr, где d и d'— диаметры окружностей с центрам1 в точках Л н Р.

Только теперь у Паппа все готово для доказательства основной теоремы. Опираясь на чертеж (рис. 7), воспользуемся тонкими леммами Паппа, чтобы вывести соотношения ВК•LC^KL2 и BI\ •LC—AM2, из которых следует, что KL=AM или「丄=匕，где 生—рас

стояние от центра Л до прямой ВС. Пусть р2 и 〃2 расстояние от центра второй окружности до ВС и диаметр второй окружности соответственно. Тогда из по- СвПедней леммы мы заключаем, что (p^d^^di^pjdi, откуда『а一2d2・ Продолжая, мы приходим к тому же

Рис. 7

Результату, который получили ранее с помощью ин- Версмн, а именно что расстояние от центра 〃-й окруж- н°стн в цепочке Паппа до основания ВС в 2〃 раз больше Радиуса окружности. Аналогичное рассуждение, при- *ненное к изображенной на рис. 2 конфигурации, при- °4нт к заключению, что расстояние от центра п-й кружностн до основания в 2〃一1 раз больше радиуса окружности.

На этом завершается сокращенный вариант приведенного у Хита «конспекта》подлинного доказательства Паппа, своего рода набросок фундамента, на котором Папп построил свою знаменитую теорему об окружностях. Если запастись изрядным терпением и проследить шаг за шагом доказательство, предложенное самнм Паппом, то не останется ни малейших сомнений в том, что Папп был гением, обладавшим неповторимым даром проникать в глубинную сущность геометрических конфигураций.

Рис. 8Рис. 8

Рис. 8

Рис. 8

Подобно Евклиду и Архимеду, Папп доказывал свои теоремы только средствами элементарной геометрии, лишь изредка прибегая к простейшей алгебре ——не более сложной, чем составление пропорции из двух равных соотношений. В начале статьи мы убедились, с какой легкостью мог бы доказать Папп свою теорему об окружностях, будь он знаком с инверсией и ее основными свойствами. Пофантазируем немного и попытаемся представить, как стал бы Папп доказывать сво' теорему, знай он несравненно более гибкую современную (элементарную) алгебру.

Введем новые обозначения (рис. 8). Пусть D и £ центры двух любых касающихся окружностей, вписз*1' ных в «серп» (радиусами % и у), ограниченный дуг毋丨 АВ и АС (с центрами в точках О и Р), F и Н — ℃ ния перпендикуляров, опущенных из D и £ на II пусть AO=R9 力P=r, DF=mx и ЕН=пу.

Из соотношения FO2—FP2—D02—DP2 получаем

(R—AF)2—(r—AF)2 (^—x)^r+xyf или

(R+—2/F) (R—r)=(R+r) (R—г—2x)

Следовательно,

尤 (R —г) 疗= {^T^

н аналогично

у(R—г)丽一0

откуда

HF^AF-AH^{x-y^4,

'г)

Но DE2 ~HF2~[~(DF—ЕН)2, поэтому

(1)(1)У 1 、2 (К +「)2 (%—I

(1)

(1)

(% + у)2 = -~成- + (тх~пуу.

Запишем теперь площадь треугольника DOP двумя способами: с помощью формулы Герона, выражающей ее через длины сторон треугольника, и с помощью традиционной формулы «полупроизведение основания на высоту»：

1—一"=吧尸

Аналогично для треугольника ЕНО получаем

MR万仅二方二打=鸣二2

Разрешая эти соотношения относительно хну, находим

x=」RYRf ⑵.4—)—

4R，T万便―炉“ ~~4Rr \ n- (R — r)2*

Нз ⑵ и(3) следует, что

* _M(R—-2T 4Rr

У 一 加2 (К —厂)2_|—4Rr‘

Соотношение (1) можно преобразовать к виду

停)[4Rr + 炉(R—r)2] + (l)[4Rr 十紋(R — r)H =

=2[2/?2 + 2/+勿2%(R — f)2].

^^『вляя вместо (х/у) правую часть соотношения (4),

4 (R—广)2=依—「)2 (m^+n2—2mn).

Наконец, заметим, что т——九：±2, а так как 九>切，九. я—ni—2.

Заметим, что за точку D можно было бы выбрать центр исходной или любой другой окружности в Цр. почке Паппа и что отношение ЕН!у и соответствуют))е отношения для последовательных окружностей прр м->оо подчиняются закону п——m=2, т. е. последовав тельные отношения образуют арифметическую прогрессию с общей разностью 2.

Доказанная чисто геометрически, алгебраически ил i с помощью инверсии, теорема Паппа об окружностях и поныне будоражит воображение математиков, пленяя своей загадочной красотой.

Мозаики на плоскости

3・1・ Сплошные разбиения прямоугольниковР. Л. Грэхэм

Представим себе, что у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 2х 1 и мы хотим выложить ими пол прямоугольной комнаты размером рхд. Разумеется, покрыть плитами необходимо все pq кв. единиц площади пола； кроме того, никакие две плитки не должны перекрываться. На рис. 1 показано, например, как можно выложить этими плитками пол в прямоугольной комнате размером 5x6.

Рис. 2. Разбиение (2гХ ^-прямоугольника.Рис. 2. Разбиение (2гХ ^-прямоугольника.

Рис. 2. Разбиение (2гХ ^-прямоугольника.

Рис. 2. Разбиение (2гХ ^-прямоугольника.

прямоугольной комнате разме-прямоугольной комнате разме-ром с"°' что еслн пол в прямоугольной комнате разме- Ктн/ 9 внложен плитками 2х 1, то произведение pq £ Adv ?℃кольку площадь каждой плитки равна 2. нат?'。" сторонн, если произведение pq четно, то ком- А屈с/азмером рхд можно выложить (2 .1)-плитками. ""се? "те'ьно, в этом случае по крайней мере одно из р：處 ° "mi q должно быть четно. Но если, скажем, "ЗоЗ；。комнату размером рХд можно замостить, рас- в плитки так, как показано на рис. 2.

прямоугольной комнате разме-

прямоугольной комнате разме-

Сплошные паркетажи

Присмотревшись внимательнее к паркету, нзобр財 женному на рис. 1, мы обнаружим «линию разрыв， т. е. прямую, пересекающую всю «комнату» от стен； до стены, но не пересекающую ни одной плитки. Назл> вем паркеты без таких линий сплошными паркетов (или паркетами без разрывов); обладающие этим свое, >

вом разбиения прямоугольника на «плитки» назову

сплошным разбиением (разбиением без разрывов). Е.

Рис. 3 Сплошное разбиение (5Хб)-прямо- угольника.Рис. 3 Сплошное разбиение (5Хб)-прямо- угольника.представить себе паркет как п перечный срез кирпичной клад? то станет ясно, почему линий рыва следует избегать. На рис показан «сплошной паркетам (2х 1)-плитками комнаты размер 5x6.

Рис. 3 Сплошное разбиение (5Хб)-прямо- угольника.

Рис. 3 Сплошное разбиение (5Хб)-прямо- угольника.

С любопытным явлением сталкиваемся при попытке спл(，山 ного разбиения на (2x1)-口ли:, прямоугольника (точнее, ква川 та) размером 6x6. (Попроб.

те самостоятельно решить эту задачу, прежде 蹴‘」

мы продолжим наш разговор.) Тот же неприятный ск— приз поджидает нас н при попытке выложить (2 плитками прямоугольник размером 4x6. Оказывается ни в одном из этих случаев невозможно выложить up； моугольники (2 Y 1)-плитками без разрывов. Есте венно, математик не устоит перед искушением 代、 вить вопрос *: при каких р и q прямоугольник размер 『Хд допускает сплошное заполнение (2х \)-плитка^ а при каких『〃 g такое заполнение невозможней

Ответ на вопрос

Прежде всего можно выложитьПрежде всего можно выложитьочевидно, что прямоугольник \ без разрывов (2х 1)'плитками, его вообще невозможно выложить такими 询常評 т. е. если площадь прямоугольника нечетна.丄

Прежде всего можно выложить

Прежде всего можно выложить

воря, необходимым условием существования сплош- 0ro паркетажа (р х ^-прямоугольника (2х 1)-плитками является четность произведения pq.

Однако, как мы уже убедились выше, это условие не достаточно. Попытаемся, например, выложить без разрывов (2х ^-прямоугольник, где д》2. Заполнить

б

рнс. 4. Сплошное разбиение (2Х ^-прямоугольника на (2Х 1)-плит- кн?

левый конец такого прямоугольника можно только двумя способами — как показано на рис. 4, о и б. Но каждый из этих способов приводит к появлению (вертикальной) линии разрыва (так как д》2) — при д=2 линия разрыва в случае б проходит горизонтально. Таким

Р"с 5. Попытка выложить без разрывов ЗХ/Р"с 5. Попытка выложить без разрывов ЗХ/прямоугольник размерапрямоугольник размера"6・ Дальнейшие попытки выложить без разрывов прямоугольник размера 3Xq，"6・ Дальнейшие попытки выложить без разрывов прямоугольник размера 3Xq，

Р"с 5. Попытка выложить без разрывов ЗХ/

Р"с 5. Попытка выложить без разрывов ЗХ/

прямоугольник размера

прямоугольник размера

"6・ Дальнейшие попытки выложить без разрывов прямоугольник размера 3Xq，

"6・ Дальнейшие попытки выложить без разрывов прямоугольник размера 3Xq，

门鼻 зом，прямоугольники размером 2Хд не допускают их —ннх паркетажей с помощью (2х 1)-плиток, хотя 广。也耽卜 и выражается четным числом.

旧常"氏 попытаемся выложить без разрывов (2Х1)・ *мн прямоугольник размером 3；＜д. И в этом слу-

чае левый конец прямоугольника можно запо」р, лишь двумя существенно различными способами (рИс 1

Начало паркетажа, показанное на рис. 5, q, не водит к успеху: здесь при g =2 возникает горизонтали ная линия разрыва, а при д>2 — вертикальная 北此；： разрыва. А что произойдет в случае рис. 5, б? Ра*】； ные варианты начала в этом случае показаны на

Выложив плитки так, как показано на рнс. 6, & снова получили бы линию разрыва, поэтому от ук向 плиток по этой схеме приходится отказаться. Плпт можно уложить иначе — как показано на рис. 6, При такой схеме укладки нам понадобятся дополните* ные плитки 2 и 3 — иначе нечем будет заполнить тоту у нижней границы прямоугольника (см. рис. 6.' Однако, как нетрудно заметить, на рис. 6, в прав «профиль» укладки в точности совпадает с «проф仃「 на рис. 5, б. Следовательно, мы смогли лишь несколь，

отсрочить заполнение уступа, показанного на рис. 5 ' Рано или поздно (ведь сколь ни велико число д,痴 все же конечно!) нам все равно придется заполнить ।『 верстие вертикальной плиткой, как на рис. 5, 6,——а к только мы уложим эту плитку, у нас возникнет《田阻 разрыва!

Итак, прямоугольник 3、〈д также не допуска сплошного заполнения (2 < 1)-плитками.

Аналогичным способом (правда, здесь нам пр■犷 рассмотреть несколько большее число случаев и ■ рядно потрудиться) доказывается, что и прямоугшьь размером 4、'д невозможно выложить (2Ч. 1)-плитк^' без разрывов. [Из соображений симметрии след- что и (〃 4)-прямоугольник невозможно выложить」 разрыва (2 1)-плитками.1 Трудно удержаться от : кушения попытаться доказать, что аналогичное верждение справедливо и для (5 ^)-прямоугапьни'' но побороть искушение необходимо: ведь по кр? мере один контрпример (прямоугольник размер。」' см. рис. 3) нам известен.п

Итак, мы установили еще одно необходимое ТОГО, ЧТО (рv ^-прямоугольник МОЖНО ВЫЛОЖИТЬ ( m плитками без разрывов: каждое из чисел 〃 и 9 быть не меньше 5.

Правда, при этом по-прежнему остается н 川 ным, почему невозможно выложить (2 八 1 尸爪

разрывов квадрат размером 6x6. Этот пробел вос- и 小丁 следующее красивое рассуждение С. В. Го- A；16a к Р- А. Джеветта.

Рис. 7. Возможные линии разрыва в заполнении квадрата размера 6'、. 6.Рис. 7. Возможные линии разрыва в заполнении квадрата размера 6'、. 6.‘ Предположим, что нам удалось какнм-то образом вн- оЖИть без разрывов квадрат размером 6 6. В этом 謳pare существуют 5 вертикаль- ннх и 5 горизонтальных отрез- еоВ— «кандидатов» в линии раз- рЫва. В силу нашего предположе- каждый такой отрезок должна прерывать какая-то плитка (рис. 7).

Рис. 7. Возможные линии разрыва в заполнении квадрата размера 6'、. 6.

Рис. 7. Возможные линии разрыва в заполнении квадрата размера 6'、. 6.

ровно однаровно однаплитка, то площадьплитка, то площадьВ свою очередь каждая плнт- ка прерывает, очевидно, ровно один отрезок, могущий стать ли- Н1юй разрыва. Кроме того (и это имеет решающее значение), если какой-либо отрезок (например, отрезок L на рис. 7) прерывает

ровно одна

ровно одна

плитка, то площадь

плитка, то площадь

каждой из фигур, дополняющих

эту плитку до полного квадрата справа и слева от отрезка, нечетна, так как эти фигуры суть прямоугольники размером 6х/, из которых изъято по одному квад- рату* Но ведь такую фигуру невозможно выложить <2л1)-плиткамп! Следовательно, каждый из 10 отрез- h°B — кандидатов в линии разрыва — должен прерьь ваться по крайней мере двумя плитками. Таким обра- 3oy мы насчитываем 5・2+5・2=20 плиток, разрываю- 5+5 (вертикальных и горизонтальных) линий :"}трн квадрата. Но полная площадь квадрата 6x6 всего лишь 36 квадратным единицам, в то время ^^^Щадь 20 плиток составляет 40 квадратных еди- кв； "°』У“енное противоречие и доказывает, что (6x6)- ка\；Ра' Не R0nускает сплошное заполнение (2х 1)-плнт- рез^се, °т。нам удалось установить до сих пор, можно Srah "Р°вать, перечислив необходимые условия сущест- ‘2 戸‘； сплошного покрытия (р X ^-прямоугольника

% Pq Делится на 2, ；尸 £5, )仇 9)*(6, 6).

Как ни странно, но эти условия оказываются так乐 и достаточными: если р н q удовлетворяют условия 1—3, ТО (р X ^-прямоугольник МОЖНО ВЫЛОЖИТЬ би разрывов (2х 1)-плитками. Один из способов док^, тельства достаточности условий 1—3 состоит в 瓶 чтобы, начав с небольших прямоугольников, допуска汴 щих сплошное покрытие (2х 1)-плитками (наприме(

р + 4

9 + 49 + 4Рис. 8. «Расширение» прямоугольника, выложенного без разрмо ： (2Х 1)-плитками.Рис. 8. «Расширение» прямоугольника, выложенного без разрмо ： (2Х 1)-плитками.

9 + 4

9 + 4

Рис. 8. «Расширение» прямоугольника, выложенного без разрмо ： (2Х 1)-плитками.

Рис. 8. «Расширение» прямоугольника, выложенного без разрмо ： (2Х 1)-плитками.

с пр ямоу гол ьн и ков 5x8, 6x8 и ——это наш более рм ний пример — с прямоугольника 5x6), строить нз ■心 более крупные прямоугольники, которые также мо乐加 выложить без разрывов. Например, имея (рх^)-пря^г угольник, выложенный без разрывов (2х 1)-плитк^1 мы можем построить [(р+4) X (什4)]・прямоуголн”， также выложенный без разрывов (рис. 8). Аналогпч^,; образом, сплошное разбиение на (2х 1)-плитки (р ： прямоугольника можно дополнить до сплошного р：『 биения [(p+2r+2) X (^+$+2)]-прямоугольника, где ' s—любые целые положительные числа.

Плитки других размеров

Естественно спросить, какие прямоугольники пускают сплошное разбиение на плитки другие Р ров, например на (Зх 1)^плитки или на (7乂5尸吗;巾 На первый взгляд кажется, будто установление т°[@. критерия, позволяющего определять, какие 1 (р Х9)-прямоугольники можно выложить без 黑、 плитками данного размера, представляет собой

水но сложную задачу. Но оказывается, что на зтот ；опр℃ существует удивительно красивый ответ.

Предположим, что нам требуется выложить прямо- угольннк размером pXq (аХй)-плитками. Изменяя в ^лучае необходимости единицу измерения длин, мы всегда можем добиться того, чтобы числа q н b были бы взаимно-простыми, т. е. не имели общего делителя, большего 1*. (Кроме того, мы всегда можем считать, чт0 не выполняется равенство а-0=1： ведь ясно, что никакой прямоугольник нельзя выложить без разрывов квадратными (1 - 1)-плитками, за исключением того тривиального случая, когда весь паркет состоит из одной-единственной плитки!) Как и в случае с (2х1> плитками, существуют два основных необходимых ус- повн£ возможности сплошного разбиения (р、〈 д)-прямо- угольника на (аХ》)-илнткн ——одно из них относится к делимости чисел р, q, а и Ь, другое ——к размерам прямоугольника и плиток.

Начнем с условия на делимость. Чтобы прямоугольник размером ,Хд можно было выложить (с разрывами или без разрывов) плитками размером пХ瓦 разумеется, необходимо, чтобы площадь ^прямоугольника делилась на площадь плитки. Но этого мало: должны быть выполнены и другие требования. Раскрашивая плитки и прямоугольник в ab цветов в определенной циклической последовательности, можно доказать следующее необходимое у слов не:

「)каждое из чисел а и b должно делить по крайней

мере "а одно из чисел р и q (это условне, разумеется, сильнее требования, чтобы площадь afe-плитки делила площадь pq прямоугольника).

"то же касается относительных размеров прямоуголь- 铀ка и плитки, то в общем случае должен иметь место °пРеделенный аналог установленному ранее условию 2: ' 験5. Этот аналог несколько неожидан:

с®：) каждое из чисел р 〃 g должно быть представимо ме^ММ1 XQ+pb (с натуральными 尤〃 у) 〃о крайней р£ оеУмя способами.

—J^^RTBy второе условие гарантирует определен-

■мн А°н°，что если (рХ д)-прямо5^голъник заполнен (аХ^)-плит- • чцс* Де (натуральные) числа q и А имеют общий множитель d, то е')о 夕门""。Должны делиться на d ——и мы можем принять d за но- 即ннцу длины.-^ Прим. ред.

ную свободу в размещении плиток вдоль сторон пряг угольника, т. е. позволяет в известных пределах вар：； ровать число плиток, укладываемых по вертикали и ； горизонтали. При а=2, Ь=1 условие 2' сводится к в- денному ранее условию 2, так как числа 2, 3 и 4 眠氏 можно представить в виде %・2+у・1:尤,у>0 двумя собами в отличие от любого целого числа》5, допуску щего по крайней мере два таких представления (напр|| мер, 5=1 <2+3X 1=2х2Т 1 х 1 и т. д.).

Любопытно, что невозможность выложить (6，% квадрат (2х 1)-плитками остается единственным ан мальным исключением. Во всех остальных случаях 孙 тоды, аналогичные приведенным выше, позволяют bi дожить без разрывов (р (^-прямоугольник (а •：6)-пл ками, если только размеры прямоугольника и плит удовлетворяют перечисленным выше необходимым ■ лови ям 1 и 2. Окончательно наше заключение можг сформулировать так:

Теорема. Прямоугольник р、q можно выложить 6 разрывов (о >.Ь)^плитками (предполагается, что 〃§〉一 и (a, b)=l) 6 том 〃 только том случае, если'.

Г) каждое из чисел а и b делит р или %

2') каждое из чисел р и q по крайней мере двумя с собами представимо в виде xa-^-yb, где к и у — натура， ные чисм^в частности, х>0 и у>0);

3') если {а, Ь}={1, 2}. /по (〃，д)=#(6,6).

Доказательство этой теоремы проводится без тру- и мы предоставляем его читателю. Заметим лишь, ♦ число т в том и только том случае по крайней двумя способами представимо в виде суммы ха когда разность m—ab представима по крайней одним способом в виде xa+yb (предполагается, “ (а,方)1). В общем случае такие числа не идут п砒Р'： как это имеет место при 〃=2, Ь=1. Например. (3 ： плитками можно выложить без разрывов (11 (14>; 15)-прямоугольннки, но не (12х 12)-квадрат (в * ности, 11=3・3+2・1=3・1+2・4, но 12 -3-2 2・3-"' все!).

Что же дальше?

В задачах такого рода, как рассмотренная . один найденный ответ обычно порождает п новых^, •росов, где 〃 достаточно велико. Например, можно ■

(ТЬ： сколько сплошных разбиений на плитки задан- ；0「о размера допускает данный прямоугольник? Что мы пОлучим, если вместо плиток одного размера взять п/ткн двух (пли большего числа) разных размеров? цт0 можно сказать, если аналогичные вопросы отно- сйТСя к пространству трех измерений (или даже боль- wero числа измерений)? Как скажется на ответах до- папннтельное требование о том, чтобы каждую линию разрыва пересекали по крайней мере две плитки? Не менее чем п плиток?

Мы достигли границ известного на сегодня в этой об- ластн и желаем читателю успеха в исследовании затро- нутого нами увлекательного раздела геометрии (хотя и не лежащего в основном ее русле). Не сомневаемся, что он откроет для себя сокровища, которые пока пребывают в неизвестности, ожидая своего часа.

3・2・ Разбиенияна равносторонние треугольникиУ. Т. Татт

Я счастлив предоставившейся мне возможностью при- ннть участие в настоящем сборнике, посвященном Мар- тнну Гарднеру. Некогда я написал статью о разбиениях прямоугольников на квадраты для редактируемого им Раздела журнала Scientific American (см. [7]). Возмож- еще одна статья о разбиениях будет уместной в этом Лилейном сборнике.

В статье 17J речь шла о «квадрируемых прямоуголь- "ках》，т. е. о разбиениях прямоугольников на квад- тн. Прямоугольник или квадрат, разбитый на по- Рн。неравные квадраты, часто называют совершенным Од моУгольником или квадратом. Статья [71 основы- на работе Брукса, Смита, Стоуна и Татта ⑵ Kr 『г в которой был приведен пример совершенного н*：Рата и изложен метод построения других совершен- 1ноквадратов, использующий симметричные подграфы.

Рнлось в статье и о возможных обобщениях. Одно J "36

из них — исследование разбиений равносторонних т. угольников на попарно неравные равносторонние 丁 ： угольники. На эту тему впоследствии были опубл и Г ваны две мои статьи (6, 81 и одна совместная Брукса, Смита, Стоуна и Татта I3J.

У меня нет оснований жаловаться на то, что стац. о квадрируемых прямоугольниках были плохо принят, математиками и учеными других специальностей. Вскр.： тая нами связь между правилами (законами) Кирлп^ для электрических цепей н геометрическими задача1 на разрезание пр я моу гол ьн и ков вызвала большой терес и одобрение профессионалов и математиков-лк/н, телей. Но, насколько я могу судить, задача о рагбиекии на равносторонние треугольники не произвела особ』 впечатления. И все же я глубоко убежден, что те.н” триангулируемых треугольников представляет со(р । вполне достойное ——простое и изящное ——ебобще}г.1( теории квадрируемых квадратов. В этой статье я папи таюсь обосновать свое утверждение в надежде пр/ дить к проблеме разбиения на равносторонние треугон пики тот интерес, которого, как мне кажется, она . служивает.

При рассмотрении разбиений на равностор— треугольники несущественно, является ли нсх(山нзх фигура треугольником или параллелограммом « Y лами 60 и 120°). От разбиения треугольника mwj перейти к разбиению параллелограмма, если отсечь ' треугольника примыкающую к вершине треугольт часть и дополнить его другой треугольной частью. 6 разбиения параллелограмма можно перейти к ра— мню треугольника, пристроив к двум смежным стор("" параллелограмма по треугольной части соответствуй--11' размеров.

Именно триангулированный параллелограмм ется естественным аналогом квадрированного пр"， угольника. Предположим, что, взяв квадрироваИ，1, прямоугольник А, мы перекосим его, превратив в лелограмм, разбитый на ромбы. Каждый ромб 化■' лами 60 и 120°), если его разрезать вдоль меньшей 川 гонали, распадается на два одинаковых равное”/''

н1|Х треугольника. Тем самым квадрированный прямо- угольник R превращается в триангулированный парал- делограмм Р・ Следовательно, теорию квадрируемых п рямоу гольн и ков можно рассматривать как частный c.qafi теории триангулируемых параллелограммов.

Пусть R — совершенный прямоугольник. Имеет ли смнсп утверждать, что Р ——«совершенный» параллелограмм? * Условимся считать одну из сторон исходного (тр н ан гул 11 руемогб) треугольника или параллелограмма «горизонтальной». Тогда любой из составляющих его треугольников Т также имеет горизонтальную сто- рону. Назовем треугольник Т положительно или отрицательно ориентированным (или просто положительным или отрицательным) в зависимости от того, расположен ли он над или под своей горизонтальной стороной. Определим «размер» Т как длину его горизонтальной стороны, взятую со знаком плк^с, если треугольник Т положителен, и со знаком минус, если Т отрицателен. Мы будем говорить, что триангуляция «совершенна», если никакие два треугольника разбиения не имеют одинаковых размеров. При таком определении мы можем утверждать, чго перекос * переводит совершенный прямоугольник R в совершенный параллелограмм, так как любые два конгруэнтные треугольника, входящие в триангуляцию пар а л лелограмма, возникающего при перекосе одного из квадратов, на которые разбит совершенный прямоугольник R, ориентированы противоположно и, следовательно, имеют разные (различающиеся знаком) размеры.

На рис. 1, а показан совершенный параллелограмм, который невозможно получить перекосом совершенного прямоугольника. В [6] устанавливается, что изображенная на рис. 1, а совершенная триангуляция парал- авограмма состоит из наименьшего возможного (для совершенного параллелограмма) числа составляющих треугольников (здесь их 13). Для сравнения с более пРнвычными квадрированными прямоугольниками ука-

Преобразование, несколько фамильярно именуемое здесь z Р'к°сом», геометры называют сдвигом; сдвиг в направлении оси Ох с Картовой (не обязательно прямоугольной) системы координат ^Л^ФФ«цпентом сдвига k можно записать так: М (х, у)-> '(尤+帆 у).— Прим. рсд.

жу, что совершенный параллелограмм, разбитый 啪 попарно неравные треугольники, можно условно со*；

ставить с совершенным п ря моу гол ьн и ком, так сказать «разбитым на 13 2(=6"?) квадратов», поскольку Прп перекосе квадрируемого прямоугольника каждый квадрат

переходит в пару различающихся по знаку треугольна

ков. (Совершенный параллелограмм порядка 13 отвечает совершенному прямоугольнику порядка 6,5, как будем мы говорить далее.) На рис. 1, а число внутри каждого треугольника означает его размер.

Далее в статьях о квадрированных прямоугольниках возникают диаграммы, иллюстрирующие связь между квадрированным прямоугольником и соответствующей ему электрической цепью. В теории триангулпруемыл треугольников той же цели служит рис. 1, б. Но на этот раз термин «электрическая цепь» следует поннмигь в несколько условном (обобщенном) смысле. Дело в том. что (насколько мне известно) в физике электрнческпе цепи такого рода, по которым течет ток со знаками «плнх9 и «минус», не встречаются. Тем не менее мы будем считать, что наши «электрические заряды» текут по ребр^'л ориентированного графа и подчиняются законам, аналогичным правилам Кирхгофа.

Параллелограмм Р изображен на рис. 1, 〃, а знв】/ валентная ему электрическая цепь N ——на рпс. Каждый узел N цепи (вершина графа) соответствует некоторому максимальному гор и зонта л ьному отрезку： составленному из сторон треугольников, которые вх°-

т в триангуляцию параллелограмма Р (на рис. 1, а :6 узел и соответствующий ему горизонтальный отре- находятся на одной высоте над краем страницы). Граф рис. 1,6 — ориентирован (см. стрелки на ребрах Графа). Каждый из проводников, по которым течет 《{к» (каждое из ребер графа), соответствует одному из треугольников в триангуляции параллелограмма Р; 莉 этом ребро ориентировано в направлении от вер- шиНы треугольника к его основанию. Размер каждого треугольника указан на схеме рядом с соответствующим треугольнику ребром графа; мы будем его называть силой тока, текущего по данному проводнику. Узлы схемы, соответствующие верхней п нижней горизонтальным сторонам параллелограмма Р, называются положительным и отрицательным полюсами схемы. Вместо термина «ориентированный граф» (англ, directed graph) мы далее будем часто употреблять более короткий термин диграф.

Схема N представляет собой уравновешенный диграф. Слово «уравновешенный» здесь означает, что в каждой вершине графа число входящих в нее ребер равно числу выходящих из этой вершины ребер. Нетрудно видеть, что N —— плоский граф (для любого параллелограмма Р): его можно начертить на плоскости так, что порядок, в котором следуют ребра вокруг каждой вершины, будет воспроизводить порядок, в ковром следуют соответствующие им треугольники вдоль горизонтального отрезка в Р. На таком чертеже в каж- Аой вершине чередуются входящие и выходящие ребра. Плоек} ю фигуру, обладающую этим свойством, мы бу- называть ориентированным графом с правильным Че^доес1нием входящих и выходящих ребер или, короче, аль^рнированным графом.

Назовем сумму токов в ребрах, направленных к вер- 山"не и схемы А「выходящим током в вершине f, а та- к^ю 尔е сумму, взятую со знаком минус,——входящим то- :独 в вершине V. Таким образом, входящий ток в поло- ^тельном полюсе схемы А' равен выходящему току вот- Р^Цательном полюсе, причем сила каждого тока равна 『"не горизонтальной стороны параллелограмма Р. с любой же другой вершине схемы N, не совпадающей Положительным или отрицательным полюсом, входя- '"н выходящий ток равен нулю, так как выходящий

нз N ток в любой вершине, отличной от папюса схемы равен сумме размеров треугольников с горизонтальном основаниями, принадлежащими соответствующему горч зонтальному отрезку триангуляции параллелограмм^ р Это «правило токов» в отличных от полюсов верши является нашим аналогом первого правила Кирхгофа

Назовем потенциалом горизонтального отрезка ； триангуляции параллелограмма Р расстояние от 切 отрезка до нижнего горизонтального основания 〃〃. лелограмма Р, измеренное вдоль гюбой наклонной 什 вой) стороны Р. То же число, перенесенное на схему назовем потенциалом соответствующей вершины. В р： шины графа N, пр11надлежащие ребру D, назовем 门於 цом и началом ребра (направление ребра указн.： путь от его начала к концу). Теперь уже все готово। того, чтобы сформулировать, как обычно, второе правило Кирхгофа: полное падение напряжения вдоль / замкнутой цепи С в ^ всегда (независимо от ориентапи । ребер) равно нулю. Заметим, что ток в ребре D раз.： падению напряжения между началом ребра и его к— цом. Отсюда уже вытекает наше второе правило К“р、 гофа, утверждающее, что сумма токов в любой замкнутой цепи С равна нулю, если только токи в ребрам * ориентированных против направления обхода гепм, условиться брать с обратным знаком.

В теории тр и ан гул и руемых треугольников мааи» цированные правила Кирхгофа можно использсбзн так же, как в теории квадрируемых прямоугольник»^ используются обычные правила Кирхгофа. Начер71 г ориентированный альтернированный граф, у коти卩“口 каждая вершина принадлежит не менее чем че1г ：' ребрам, мы можем выбрать положительный и итр "」 тельный полюсы, инцидентные общей внешней 如" графа, решить уравнения для системы токов и, 06Pz полученную схему типа рис. 1, 6, получить соответ1 вующий этой схеме триангулированный нараах”： грамм (см. рис. 1, о). Если нам особенно повезет/ триангуляция окажется совершенной. Полное теир'[ ческое обоснование такого алгоритма может оказзть^ достаточно сложным, но самый принцип ясен н не 现 зывает никаких сшнений.

Свойства триангуляции следуют из свойств &〃匕"；仪 нированных схем. Например, из формулы Эйлера 工'

оГОгранников или для карт на плоскостн, т. е. для графов, можно вывести, что альтернированная схема, соответствующая триангулированному параллелограм- м¥，должна содержать либо «двусторонник» (двусторон- ню— грань), либо отличную от полюса вершину, инци- пентную только четырем ребрам. И в том и в другом сЛучае два из образующих триангуляцию параллело- Грамма треугольников должны быть равны (конгруэнт- нн). Этот результат приводит к утверждению, которое в статье [21 дано с использованием принятой здесь терминологии: "° существует совершенного равностороннего треугольника

Рассмотрим квадрированный прямоугольник R и отвечающую ему обычную (не модифицированную) электрическую цепь G. Перекосив R, получим триангулированный параллелограмм 尸,которому соответствует обобщенная (модифицированная) схема N. Оказывается, W можно получить из G, заменив каждое ребро двумя противоположно ориентированными ребрами. На соответствующей альтернированной схеме эти ребра ограничивают двуугольннк. Нетрудно видеть, что обобщенные правила Кирхгофа для N эквивалентны обычным правилам Кирхгофа для G, если сопротивление каждого ребра считать единичным. Таким образом, теория квадрированных прямоугольников входит как частный случай в теорию тр и ан г j\q и р уемых треугольников.

Опыт, накопленный при исследовании квадрирован- ннх прямоугольннков, казалось бы, достаточен для составления исчерпывающего каталога триангулирован- нкх параллелограммов. Увы, такого каталога пока не существует.

Подробный анализ уравнений Кирхгофа для неорн- енурованного графа G вряд ли был бы уместен в на- 山е» статье. Ограничимся замечанием, что всю теорию "ается развить на основе матрицы Кирхгофа Л (G) Рассматриваемого графа. Предположим, что вершины Рафа с перенумерованы: s,厶，• • 』• Тогда K(G) "еет л строк и п столбцов. Число, стоящее на j-м месте

к” * Различие в формулировке этой теоремы в работе [2] и в основ- 方& тексте настоящей статьи является весьма существенным: в [2] На°'"'勿＜，называется разбиение равностороннего треугольника тре\；"арн。не равные треугольники, т. е. различие в ориентациях

)°льников разбиения не принимается во внимание.— Прим. ред.

на главной диагонали матрицы K(G), показывает, сколь, ко ребер соединяют вершину 力 с другими вершина^ графа. Элемент, стоящий на пересечении z-й строки /-го столбца, где i#j, равен взятому со знаком №狙、 числу ребер, соединяющих вершину s с вершиной и Следовательно, К (G) — симметричная матрица, и сум* элементов ее каждой строки и каждого столбца равна нулю.

Теорема о деревьях для матрицы ^(G) утверждап. что если из матрицы ^(G) вычеркнуть j-я? строку 〃 /-й столбец, то определитель det K『(G) усеченной 力。川. рицы Kj(G) равен числу T(G) максимальных дерева графа G. Условимся считать сопротивление любого ребра единичным и выберем одну вершину за положи тельный у а другую за от ри цательный полюс. Величину Т(G) удобно принять за величину входящего тока в по ложительном полюсе схемы G и выходящего тока в 氏 отрицательном полюсе, так как тогда силы токов в pz， личных ребрах будут выражаться целыми числами. Эти токи образуют полный поток электричества (н; полную систему токов) в G относительно выбранных п люсов. Разности потенциалов при таком полном потоы можно представить в виде некоторых миноров матрицы K(G), взятых со знаками плюс или минус. В частиосг разность потенциалов между полюсами равна определи телю подматрицы, которая получается из K(G) пр вычеркивании двух строк и двух столбцов, соответс вующих полюсам.

Все сказанное хорошо укладывается в рамки теорг' несимметричных электрических цепей в ориентиров^ ных графах. Пусть G — любой (не обязательно уравн вешенный) ориентированный граф. Определим матр" К (G) так же, как это было сделано выше: пусть /-й 讣 мент на главной д|1агонали задает число ребер, о ел»' няющих вершину Vj с другими вершинами, и пусть э мент, стоящий на пересечении t-й строки и /-го столба где 段j, равен взятому со знаком минус числу ре/? направленных от су к vj. Заметим, что теперь матрпь * K(G) не обязана быть симметричной. Сумма злемен； в каждой ее строке равна нулю. Сумма элементов ст° ца может быть и отлична от нуля.

Усеченную матрицу K/(G) можно определить так д как в предыдущем случае. Ее определитель по-прежн

аеен числу, максимальных деревьев графа G. Но на *от раз прн подсчете следует учитывать не все максимальные деревья графа G, а только такие, у которых каждое ребро направлено от вершины 力・ Назовем их уходящими древовидными остовами графа G в вершине О，Максимальное дерево графа G, у которого каждое

ребро направлено к Vj, назовем входящим древовидным остовом графа G в 十.(Если граф G неорнентирован, то значение det Kj(G) не зависит от /, но если граф G ориентирован, то значение det Kj(Gj уже может зависеть от /.)

Выберем положительный полюс *, отрицательный полюс vQ и воспользуемся обобщенными правилами Кирхгофа для вычисления токов в ребрах. Входящий ток схемы G в вершине % теперь уже не обязательно ?，вен выходящему току той же схемы G в вершине q?. “Р" таком полном потоке силы токов и разности по- тенш121noв задаются соответствующими минорами мат~ P"Ubi K(G). Эти силы токов н разности потенциалов “казнваются целыми числами. Правило для разности потенциалов между полюсами остается прежним.

? качестве примера рассмотрим ориентировэнный Раф, изображенный на рис. 2. За его положительный "юс примем вершину 5, а за отрицательный ——вер- 口,】以 ％，Снлн тока, отвечающие выбранному в соот- ствим со сказанным выше полному потоку электри- “ указана у ребер.

K(G) имеет .&K(G) имеет .&Нетрудно проверить, что матрица дующий вид:

K(G) имеет .&

K(G) имеет .&

2-1-1О о о2-1-1О о оо1—1оо1—1о—1о3 оо—1о3 оооо—1оо1 о о—1оо1 о оо о—1о1—1о о—1о1—10、ОО—1О2丿.0、ОО—1О2丿.

2

-1

-1

О о о

2

-1

-1

О о о

о

1

—1

о

о

1

—1

о

—1о

3 о

о

—1о

3 о

о

о

о

—1о

о

1 о о

—1о

о

1 о о

о о

—1

о

1

—1

о о

—1

о

1

—1

0、

О

О

—1

О

2丿.

0、

О

О

—1

О

2丿.

Пусть Т/ (G)——число исходящих древовидных а товов графа G в вершине 力.Непосредственно из рис или вычисляя det Ki (G) и det K6(G), находим, чт 7\(G)=6, Г6 (G)=3. Следовательно, поток электричеств. на рис. 2 будет полным при входящем токе 3 в вершине s и выходящем токе 6 в вершине уе. То, чт сила токов в ребрах, идущих из 5 в у2 и из 厶 в %, ра图 нулю, следует из обобщенного первого правила Кирхгофа.

А что произойдет, если мы перейдем к новому』？ графу G\ изменив ориентацию каждого ребра на противоположную? Что касается элементов матрицы K(G), не принадлежащих главной диагонали, то переход от G к G' сводится к транспонированию матрицы ^(G). Н диагональные элементы K(G) при этом могут нз・м ниться. Если G——граф, изображенный рис. 2, то K(G имеет вид

2

—1

—1

0

0

0

0

2

—1

0

—1

0

—1

0

2

0

0

—1

-1

0

0

1

0

0

0

0

—1

0

2

—1

0

0

0

—1

0

1

Диграф G' изображен на рис. 3 (вместе с полной снс' мой токов).Л

Нетрудно видеть, что Ti(G7)=8 н Te(Gr)—9. исходящими древовидными остовами графа G' в 为

входящими древовидными остовами графа G в % существует очевидное взаимно-однозначное соответствие.

Ограничив нашу теорию уравновешенными днгра- 山ами, мы избежим многих осложнений. Например, если У 一 уравновешенный диграф, то сумма элементов лю- ，而 строки и любого столбца матрицы Kg равна

нулю. С помощью элементарной теории определителей )жно показать, что отсюда следует независимость величины det К/(М от /. Число исходящих древовидных остовов графа N в данной вершине и одинаково для всех вершин и, что позволяет ввести для графа N единую характеристику Т (N) — число максимальных деревьев.

Рассмотрим в качестве примера уравновешенный ди- :Раф, изображенный на рис. 1. Если вершины перену- "еровать сверху вниз, то матрица К (К) будет иметь в唄

2 —10 —10、

13—1—10

—1 —130—1

О —1 —13—1

0 О —1 —12

Следовательно, при заданной полной системе токов па-

дение потенциала между

полюсами составляет

3

-1

-1

—1

3

—1

=20.

Мы заключаем отсюда, что система токов на рис. 1 действительно полна. Но тогда T{N) равно входяще/у току в положительном полюсе, т. е. равно 19.

Изменив ориентацию всех ребер данного уравнов. шейного диграфа N на противоположную, мы получим новый диграф Nr. Ясно, что диграф " также уравновешен. Кроме того, если плоский диграф 7V является альтернированным, то то же самое справедливо и 囲.工首 графа 7V'・ Матрица K(N') совпадает с матрицей, пол\ ченной транспонированием матрицы К (府).Следовательно, T(A") = T(W), и для каждой вершины графа А число исходящих древовидных остовов равно чме/ входящих древовидных остовов.

Выберем две вершины в качестве положительного г. отрицательного полюсов графа 7V и графа N' и рассмотрим две полные системы токов. В силу равенства чи( деревьев входящий ток в положительном полюсе одинаков в обеих системах. Кроме того, падение напряжения между полюсами в обеих системах также одинаково, поскольку в диграфе N оно определяется минором, симметричным относительно главной диагонали, а в 川卜 графе N'— тем же мннором транспонированной рицы.

Если диграф N соответствует триангулнрованн。"' параллелограмму, то диграф N' также соответствует триангулированному параллелограмм、. Эти паран”ь лограммы Р и Р\ как следует из предыдущего абзац'- имеют одинаковые размеры и форму. К сожалению, совпадение размеров и формы не очень отчетливо вн」“" на примере диграфа, изображенного на рис. 1： изменений ориентации каждого ребра на противоположную гюр°[ дает граф, изоморфный исходному. Если N соответ% вует квадрированному прямоугольнику R, то Р " отвечают двум возможностям разбиения R. Перекосу прямоугольник, мы можем сместить его верхнее гор зонтальное основание влево или вправо по отношен

нижнему горизонтальному основанию, что, однако, Зо скажется на геометрическом существе дела.

* ‘В ⑹ С 478) приведены два совершенных триангу- 1йрованных параллелограмма, которые являются па- раллелограммами 尸 н Р, отвечающими альтернирован- ；ому диграфу N. Каждый параллелограмм имеет горизонтальные стороны длиной 3441 и наклонные боковые стороны длиной 2999. Каждый из параллелограммов разделен на 36 попарно различных треугольников. Триангуляция каждого параллелограмма содержит по дВа конгруэнтных треугольника со стороной 129; остальные элементы триангуляции не повторяются.

Теория «асимметричных» электрических цепей (теория электрических цепей с утечками), тесно связанная с теорией триангулируемых п ар ал лелогр аммов, более подробно изложена в работах [3], [6] и 191. В наиболее общем варианте теории проводимость каждого ребра (величина, обратная сопротивлению) не обязательно равна 1: она является неопределенной величиной, которая может принимать любые целочисленные значения.

Стороны квадрированного прямоугольника R имеют два взаимно перпендикулярных направления. Любое из этих направлений можно принять за горизонтальное. Два различных выбора горизонтали приводят к двум электрическим схемам G н G. Разумеется, между ними существует простая связь: если каждую из схем дополнить новым проводником (ребром), соединяющим их полюсы, то полученные при этом полные схемы (с- схемн ——от англ, completed — полный) будут плос- кнмн и двойственными (дуальными) друг другу. По- скольку две соответствующие системы уравнений для токов порождают одну и ту же систему разбиения пря- ч°угольника R на квадраты, то есть основания ожидать, определители det%(G) и det Kj (G) будут равны, ас^етн подтверждают правильность такого предпо- ення. Можно показать, что двойственные дуальные ，℃кне связные графы имеют одинаковое число мак- "¥」ьннх деревьев.

н Существует ли в теории разбиений на равносторон- н е треугольники объект, соответствующий паре дуаль* 叩：Полных схем? Оказывается, существует, но, чтобы Демонстрировать его, нам придется перейти от три- У""рованнь1х параллелограммов к триангулирован-

нмм треугольникам. Например, присоединив две новы треугольные части к изображенному на рис. 1 лированному параллелограмму Р, мы получим раженный на рис. 4 триангулированный треугольник Соответствующая модификация электрической схем изображенной на рис. 1, 6, очевидна. Новый треуго^；

ник размера 20 должен представлять ребро слева, нт правленное от старого положительного полюса X к старому отрицательно^^ полюсу Y. Чтобы представить треугольник размера 19, нам понадобятся новая вершина Z и новое ребро, идущее нз Z в X. Можно сказать, что Z соответствует вершине триангулированного т『 угольника, хотя, строго говоря, эта вершина и не является горизонтальным отрезком триангуляции. I

Токи в новой электрической схеме (с положительным полюсом Z и отрицательным полюсом У) по工圖卜 няются обобщенным правилам Кирхгофа. Можно показать, что число исходящих из Z древовидных остов равно 39 — длине стороны триангулированного тр< угольника. Число исходящих из Y (и любой дрУг" вершины, кроме Z) древовидных остовов равно, как 出 трудно видеть, нулю. Это соответствует тому, что в〉 дящий ток в вершине Z равен нулю.

По некоторым причинам удобно, чтобы вершина й совпадала на электрической схеме с вершиной Y. Е、： такое совпадение имеет место, то электрическая с*'、， порождает новый ориентированный альтернированнь*' граф М. Ребро, которому первоначально 咁也彻・鳩*。［ вершина Z, называется полюсным} на графе его пометить поперечной чертой. На рнс. 5 показан 夕

граф, соответствующий триангуляции на рис. 4. рершины графа представляют максимальные горизон- та4тьные отрезки триангуляции.

На рис. 4 и 5 показан лишь один частный пример общего подхода. Если задан любой ориентированный альтернированный граф Л1, то, отметив в нем полюсное ребро О, мы можем рассчитывать, что нам удастся построить некий триангулированный треугольник. Для по

строения соответствующей электрической схемы мы отсоединяем ребро D от его начала — вершины У — и подключаем к новому началу — вершине Z, не принадлежащей ни одному другому ребру. Затем выбираем вершину Z за новый положительный полюс, а вершину Y за новый отрицательный полюс. Токи, силу которых мм найдем, произведя необходимые вычисления, интерпретируются как размеры треугольников в триангуля- Н"н. (Осложнения возникают в тех случаях, когда не- которые токи оказываются равными нулю.)

Возвращаясь к рис. 4, заметим, что стороны тре- 附。』ьннков образуют три семейства параллельных пря- мь? и что каждое из соответствующих трех направле- 町而 мы можем принять за горизонтальное. Например, мн могли бы считать горизонтальными максимальные ГоРизонтальные отрезки, параллельные левой боковой стороне триангулнрованного треугольника на рнс. 4, ” доставить им в соответствие вершины другой электри- :еск。，схемы. Эга схема представлена на рис. 6 (попе- ^еЧнрй чертой помечено полюсное ребро). Оставшееся 葬е^ьво максимальных отрезков, соответствующее пра- 011 боковой стороне триангулированного треугольника,

порождает электрическую схему, изображенную 【購― рис. 7.

На рис. 5—7 мы видим три различные электрические схемы с одной и той же системой токов. Такие триаду., альтернированных ориентированных графов можно сматривать как аналоги пар двойственных графов в те»

рии квадрируемыхрии квадрируемыхпрямоугольников.прямоугольников.рии квадрируемых прямоугольников. Такой ана；； двойственности называется триальностью (triality) I или тройственностью (trinity) [8]. Три ориентированньв графа, образующих триаду, тройственны друг другу

рии квадрируемых

рии квадрируемых

прямоугольников.

прямоугольников.

Если задан любой ориентированный альтернировз» ный граф, то тройственные ему графы можно построй непосредственно, минуя связанный с ними триангу-

аНный треугольник. В 18] показано, каким образом Р бикубическому графу /И можно построить триаду 力./И； Мз альтернированных диграфов к каким обра- зо；； по триаде, соответствующей любому триангулированному треугольнику, можно восстановить ее бикубический граф М.

Вершины бикубического графа подразделяются на черные и белые, причем каждое ребро соединяет белую вершину с черной. Грани бикубического графа могут быть трех цветов (например, красные, зеленые и синие), прПчем каждое ребро разделяет грани двух раз<чичных цветов. Раскраска в три цвета единственна с точностью 八 перестановки цветов. Альтернированный диграф Mi (первый член триады) можно построить следующим образом. Отнесем к Mi по одной вершине на каждой красной грани бикубического графа М. К ребрам графа Mi причислим ребра графа Л1, отделяющие зеленые грани от синих. Каждое из ребер ориентировано от черной вершины к белой и каждое продолжено в обе стороны через примыкающую к вершине красную грань графа М до вершины графа Mit принадлежащей этой грани. Остальные члены триады определяются аналогично —— каждый при своей перестановке трех цветов, в которые окрашены грани. (В [81 определение триады дано не *<ерез бикубический граф /И, а через двойственный ему гРаФ- Этот двойственный граф есть не что иное, как эйлерова триангуляция сферы.)

Пусть Mi получается из неориентированного пло- ског。графа N при замене каждого ребра двумя ребрами ' противоположными ориентациями. Оказывается, что :'том случае один из двух остальных членов триады (^пример, /Ио) может быть получен аналогичным спо-

из графа, двойственного графу N. Третий член рнащя — ориентированная разновидность графа ^, кс- ^^няющего роль своего рода посредника между всеми членами триады. Эта взаимосвязь служит обосно- нем нашего утверждения о том, что тройственность 等ту истинным обобщением двойственности.

А Двойственные плоские графы обладают равным ч»с- тр* максммальнмх деревьев. Можно ожидать, что и £「веннне графы обладают равным числом макси- Каза"** деревьев. Эту гипотезу удалось доказать. (До- теньства приведены в работах [6] и 181. Более -про-

стое доказательство недавно было предложено К. А. б€. маном 11 ].)

Одинаковое для трех тройственных альтернироЬс„ ных графов Л!】，/И2 м Мз с правильным чередован；1ем входящих и выходящих ребер-число максимальные 如 ревьев можно рассматривать как свойство связанна, с триадой бикубического графа М. В 13] это свойси । интерпретировано непосредственно в терминах стр) туры графа М ——как число совпадений, а не деревь в

На этом мы можем закончить рассказ о построении триангулированных треугольников. Те, кому затрок тая здесь тема покажется интересной, смогут почер： нуть недостающие подробности из работ, указан, в приведенном ниже списке литературы. Однако следует предупредить читателей об одной тонкости. П「 разбиении на правильные треугольники может ст, читься так, что шесть треугольников из числа обращу щих триангуляцию имеют одну общую точку. Так точка называется точкой встречи. Она соответст®*ст точке встречи в теории квадрируемых прямоуголы ков, т. е. точке, принадлежащей одновременно четыр квадратам, на которые разделен прямоугольник. 1卜 в теории квадрируемых прямоугольников, ни в тси.屮 триангулируемых треугольников точки встречи в ннтерг ных примерах, как правило, не попадаются, за нс— чением тех случаев, когда возникновение тоикн в три связано с той или иной симметрией графа. Но если ти，」 встречи возникают, то необходимо уточнить соответ вующие определения, чтобы мы могли по-пре^.нг-У говорить о парах двойственных полных схем или о тр| дах тройственных альтернированных диграфов с Ш вильным чередованием входящих и выходящих ри】！ Для этого мы подразделяем некоторые из макскмальв-1 отрезков в точках встречи и считаем, что вери‘"$ электрической цепи соответствуют подотрезки. К&с』’ точка встречи в случае триангуляции — это точка сечения трех максимальных отрезков. Ровно два^ из (выбрать можно любые) следует разделить точкой вс/ чи на подотрезки.

Дополнение

работа над этой статьей вновь пробудила во мне ин- epeC к триангулируемым параллелограммам, н я при- нЯЛСя за вычисления с намерением найти один или два

Рис. 8Рис. 8Рис. 9Рис. 9

Рис. 8

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 9

Новнх трнангНовнх трнанг

Новнх трнанг

Новнх трнанг

примера триангуляции. Мне удалось найти два

Те -'•'Улированных параллелограмма, достаточно ин- чтобы о них стоило сообщить. В обоих слу- тРиангуляция совершенна, и каждая имеет поря-

док IlJ/2. Каждый параллелограмм имеет горизонталь, ные стороны длиной 401 н боковые стороны длиной 26*1 Ни один треугольник в триангуляции одного пара」〕； лограмма не конгруэнтен никакому треугольнику в тр^. ангуляции другого параллелограмма. Это единственный известный мне случай двух совершенных триангуляц^ одного и того же параллелограмма, не включающих Н)1 одной пары треугольников одного и того же размера

Электрические схемы двух параллелограммов отличаются противоположной ориентацией токов в cogp ветствующих ребрах. Эти схемы и токи показаны на рис. 8 и 9. Я проверил, что обе системы токов полны. В обоих случаях X ——по ложител ьн ый, а У ——отрмца- тельный полюс. Входящий ток в X и выходящий топ в У равны 401, падение потенциала от X к У составляет 264. Думаю, что для читателя не составит труда восстановить триангуляции по приведенным электрические схемам.

Berman, К. А. 1978. Spanning trees, arborescences and 4-valer graphs. Thesis. Waterloo.

Brooks, R. L.; Smith, С. A. B.; Stone, A. H. and Tutte, W. T 1940. The dissection of rectangles into squares. DtiKe Math.,； 312—340.

—- —1975. Leaky electicity and triangulated triangles. P用3, "s. Reports 30: 205—219.

Duijvestijn, A. J. W. 1978. Simple perfect squared square of lo»«l order. J. Combinatorial Theory В 25： 240—243.

Sprague, R. 1939. Beispiel einer Zerlegung des Quadrats in la verschiedene Quadrate. Math. Zeitschrift 45: 607.

Tutte, W. T. 1948. The dissection of equilateral triangles into e ♦ lateral triangles. Proc, Cambridge Phil. Soc, 44 : 463—482.丨

—》一1961. Squaring the Square. In The 2nd Scientific

Book of Mathematical Puzzles and Diversions, ed. Martin GaE 门 New York: Simon and Schuster; Гарднер M. Математические гс/ воломки и развлечения.— AL: Мир, 1971, гл. 32, “Квадр11Р°"" ние квадрата», с. 305—326.

— 一 1973. Duality and trinity. Colloquia Mathematica Sot • tis Janos Bolyai. 10: 1459—1472.

н ‘н ‘—''— 1976. The rotor effect with generalized electrical Ars Combinatoria 1: 3—31.

н ‘

н ‘

Хвала любителямДорис Шаттшнайдер

Одна из наиболее привлекательных особенностей возглавляемой Мартином Гарднером рубрики «Математические игры» ж) риала Scientific American — постановка математической проблемы в такой форме, которая увлекала бы любителей математики п поощряла их к самостоятельным поискам решения. Сам Гарднер считает себя любителем математики, а не профессионалом и не придает особого значения формальному математическому образованию. В его рубрике воздается должное

трэдам как «сильных» математического мира, так и людей, совершенно не известных в математических кругах. Их имена нередко стоят рядом без указания титулов и ^ваний, по которым их можно было бы отличить. Любители математики принадлежат к числу наиболее ревностных поклонников Гарднера. Они с радостью встречают любую возможность посоревноваться в решении рудных задач. Интересно, что отсутствие формального

v тематического образования часто из недостатка лре- 1 ращается в преимущество. Остроумные решения, пред- жженные любителями, иногда превосходят результаты, стигнутые усилиями профессионалов.

Яркий пример тому ——события, начало которым по- 3»uuia статья А1артнна Гарднера «О замощении плос- стн плитками, имеющими форму выпуклых много- '^льнцков», опубликованная в июльском номере жур- ；：а Scientific American за 1975 г. Прочитав статью, :"дРА Джеймс решил испробовать свои силы в решении ^Р°олемы и, руководствуясь наглядными соображе- qi：M” н пользуясь известными результатами, полу- 世 Решение, которого в формальной математической Me/' ЯВно недоставало. Сообщение об открытии Джей- 口озв вызвало острый интерес у Марджори Райс, что "Г "нл° е負 с неослабевающей энергией выполнить &V “а「°м (гпавньлм образом за кухонным столом) исследование» принесшее огромное количество

новых результатов. Предложение написать эту СТат предоставило мне удобный случай рассказать рых подробностях событий, начавшихся с памя.： публикации статьи Гарднера и до сих пор врем； времени дающих о себе знать. Своей статьей я хсг( выразить уважение многотысячной армии любчтеЛ|

математики, энтузиазм и усилия которых предоп^. лили грандиозный успех гарднеровской рубрики.

Проблема разбиения плоскости ——излюбленная те Гарднера, к которой он обращался множество ? За двадцать лет им опубликовано более двадцати е тей, в основном посвященных этой теме. Собрать и < q стей определенной формы заданную фигуру — одна 卩

забав, с которой многие из нас знакомятся в раннем дм стве. Став взрослыми, мы продолжаем решать ан；—

гичные задачи либо для собственного удовольствия, л

бо по необходимости: выкладываем полы и стены пли-

кам% кирпичами и т. д. Один нз наиболее важных им росов теории разбиений плоскости можно сформрн.： вать так: «Какой формы должна быть плитка, чтоби ■ копиями можно было заполнить плоскость сплошь 6tl

пробелов и двойных покрытий?» На ум сразу же нрн ходит довольно много очевидных форм: чтобы <хи， вить сбширный список примеров, вовсе не нужно математиком. Некоторые плитки удивительно красть、 очертаний, найденные в древних мозаиках, ра доточенных по всему миру, делают честь хуло7KHi декораторам, по-своему решавшим в прошлом пр — му разбиения плоскости. Наиболее общий ответ на вопрос неизвестен. Частные ответы зависят от усзо»| ' налагаемых на форму плиток. Именно эти частные ♦ ■ чп о разбиении плоскости мы и пытаемся обычно 口 шать. Что можно сказать о заполнении плоскости 帆 ками, которые составлены из квадратов, прнмнкак""' друг к другу сторонами (полимино)? А если плитк»^ ставлены из примыкающих друг к другу равносто. них треугольников (полиамоды)? Правильных 晔* угольников (полнгексы)?

В статье Гарднера, опубликованной в июльском . мере Scientific American за 1975 г., речь шла о「円"仆：| имеющих форму выпуклых многоугольников. выпуклыми многоуголъниками можно покрыть без ; белов и изложений всю плоскость? Указать в явном

какнм условиям должен удовлетворять выпуклый 0royгольннк, чтобы им можно было замостить плос- м а В своей статье Гарднер затронул проблему, над h шением которой математики трудились более полуве- Р Считалось, что проблема разбиения плоскости на вы- ：к/не многоугольники полностью решена. Нетрудно проверить, что любым треугольником или любым четы- ^хуГОЛЬН»КОМ можно вымостить плоскость, в то время выпуклый многоугольник с пятью или большим чис- 』ом сторон не всегда позволяет выложить плоскость без пробелов и наложений. Например, невозможно выло- Апъ плоскость правильными пятиугольниками, хотя пятиугольники с двумя параллельными сторонами позволяют вымостить плоскость. Правильными шестиугольниками можно выложить плоскость, а многие другие разновидности шестиугольников для этого непригодны. Невозможно выложить плоскость выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или рав- ным семи. Последнее утверждение, которое, по словам Гарднера, «нетрудно доказать», принадлежит к числу теорем, относящихся к так называемому «математическому фольклору»: все на них ссылаются, но обычно никто не приводит полного и строгого их доказательства. К счастью, статья Айвена Нивена, опубликованная в декабрьском номере журнала American Mathematical Monthly за 1978 г., восполняет этот пробел в математической литературе и содержит тщательно аргументированное

н вполне убедительное доказательство.

「Нов】「Нов】В своей статье Гарднер опирался на работу Р.Б. 乎山呷十32 1968 г., давшего обзор ответов на вопрос: 《Какнм выпуклым многоугольником можно выложить носкость?» Полный ответ для шестиугольников (3 типа) Этичный для пятиугольников (5 типов) был получен ，Рейнхардтом в 1918 г. Обширные исследования, про- ^енные Кершнером, позволили дополнить этот пере- тремя новыми типами пятиугольников. Кершнер К；тал дополненный список полным (рис. 1). Энтузиазм Ранера и его восхищение задачей отчетливо ощуща- раСя ® его письме, которое цитируется в статье Гардне- н _,<(По причинам, которые мне самому трудно объяснить, 必；"захвачен этой проблемой на протяжении тридца- -в ЯТи лет. Каждые пять или десять лет я предпринимал [УЮ попытку решить ее. Лишь два года назад мне уда-

「Нов】

「Нов】

лось, наконец, найти более удебный способ клаее”》 капни допустимых пятиугольников, чем тот, который ； пользовал Рейнхардт... Проведенное мной исследован! позволило установить, что помимо открытых Рейнхарлось, наконец, найти более удебный способ клаее”》 капни допустимых пятиугольников, чем тот, который ； пользовал Рейнхардт... Проведенное мной исследован! позволило установить, что помимо открытых РейнхарТлп 5Тлп 5Тип 4Тип 41. ^ + В + С = 360 е.2. Л 4 В + D = 360°,1. ^ + В + С = 360 е.2. Л 4 В + D = 360°,5. Л = 60°. С « 120°, а - Ь, с = d.6. Л + В + D = 360°. А = 2G а - b = е„ с = d.7. 2B+C^2D + A^ 360°, а — b = с = d.8. 2A+B = 2D + C^ 360°, а = ,b = с = d.5. Л = 60°. С « 120°, а - Ь, с = d.6. Л + В + D = 360°. А = 2G а - b = е„ с = d.7. 2B+C^2D + A^ 360°, а — b = с = d.8. 2A+B = 2D + C^ 360°, а = ,b = с = d.А = С ^ D =】20。， a - b, d-c^-e

лось, наконец, найти более удебный способ клаее”》 капни допустимых пятиугольников, чем тот, который ； пользовал Рейнхардт... Проведенное мной исследован! позволило установить, что помимо открытых Рейнхар

лось, наконец, найти более удебный способ клаее”》 капни допустимых пятиугольников, чем тот, который ； пользовал Рейнхардт... Проведенное мной исследован! позволило установить, что помимо открытых Рейнхар

Тлп 5

Тлп 5

Тип 4

Тип 4

1. ^ + В + С = 360 е.

2. Л 4 В + D = 360°,

1. ^ + В + С = 360 е.

2. Л 4 В + D = 360°,

5. Л = 60°. С « 120°, а - Ь, с = d.

6. Л + В + D = 360°. А = 2G а - b = е„ с = d.

7. 2B+C^2D + A^ 360°, а — b = с = d.

8. 2A+B = 2D + C^ 360°, а = ,b = с = d.

5. Л = 60°. С « 120°, а - Ь, с = d.

6. Л + В + D = 360°. А = 2G а - b = е„ с = d.

7. 2B+C^2D + A^ 360°, а — b = с = d.

8. 2A+B = 2D + C^ 360°, а = ,b = с = d.

Л == С = 90°,

Рис. 1. Восемь типов выпуклых пятиугольников, которым» замостить плоскость. О них сообщил Л1артин Гарднер в июле

том существуют еще только три типа прямоугольник которыми... можно выложить плоскость. Получают1 при этом разбиения плоскости весьма необычны. тие их явилось для меня источником глубокого У^° творения». Восторг, который вызывала у Кертнера 卜

6?e、ia разбиения плоскости, оказался весьма заразитель- Hb【v. Статья Гарднера извлекла проблему с пыльных страниц старых математических журналов (где она на протяжении долгих лет пребывала без малейшего про- дВИжения на пути к полному решению) и сделала ее достоянием широкой читательской аудитории, в рядах которой было немало любителей головоломных задач. Т)тто и начинается наша история.

Когда Ричарду Джеймсу Ш попала в руки статья Гарднера, он, прочитав только первую ее часть, захотел испробовать свои силы в решении каверзной проблемы, прежде чем дочитает статью до конца. В своем письме (любезно предоставленном мне Г. С. М. Коксете- ром) Р. Джеймс так рассказывал о том, что произошло: “Прежде чем прочитать приведенное в статье Гарднера описание восьми найденных Кершнером пятиугольников, которыми можно выложить плоскость, я решил попытаться найти их самостоятельно. Мне пришло в голову взять восьмиугольники с квадратными отверстия- in (а оставшиеся дыры заполнить квадратами) и расположить восьмиугольники так, чтобы квадраты можно было заменить пятиугольниками (разъяв паркет из восьмиугольников на «параллельные» полосы). Сами восьмиугольники также распалась на четыре пятиугольника. Форма пятиугольников определялась следующими данными: А В= Е=90\ C—D= 135и и а^Ь^2с~2е. Разбиение плоскости оказалось интересным ——но полу- Ченный мною пятиугольник не представлял собой ничего особенного. Поворачивая внутри пятиугольника разбивающий его на 4 части крест (и прибегая к некоторым дРУП1м ухищрениям), я получил то, что требовалось Пятиугольник it разбиение плоскости, показанные на 2)». Джеймс известил о своем открытии Мартина 1apiцнера, задав ему одновременно важный вопрос: «Сог- М?н ли Вы с тем, что Кершнер пропустил найденный пятиугольник?» О потрясающей новости Гарднер Медленно сообщил Кершнеру и нескольким другим ма- е^атнкам. С доброжелательным ответом Кершнера и иДенным Джеймсом разбиением плоскости читатели ранеровскоП рубрики смогли познакомиться в де- с：°Рьском номере Scientific American за 1975 г. Любитель д0^Моц1ью одного-единственного примера неопровержимо &зал, что составленный ранее список пятиугольни-

Рис. 2. Открытие Р. Джеймса: новый тип пятиугольника, поролиа- ющего разбиение плоскости.

Хорошо знакомый всем паркет из восьмиугольников и квадратов (штриховыми линиями показана лежащая в его основе квадратная решетка) разъят, и полосы раздвинуты, что позволяет выяснить, нельзя ли заменить квадраты пятиугольниками. Удача — получился новый паркет! Дальнейшее изменение восьмиугольников и пятиугольников привело к ранее неизвестному семейству пятиугольников, порождающих разбиение плоскости.

ков, которыми можно выложить плоскость, неполон. Но, может быть, другие пятиугольники еще ожидали своего открытия?

Здесь уместно прервать наше повествование и окинуть взглядом взращенный трудами Мартина Гарднера «математический цветник». Хлопотливое это дело —— быть садовником такого цветника! Круглый год не ис-

Рис. 3. «Математический цветник» Мартина Гарднера.

：якает поток писем, телефонных разговоров, личных зстреч. Занимаясь решением какой-нибудь задачи или работая над очередной статьей, Мартин Гарднер устанавливает связь с теми, кто глубоко разбирается в ин- ?ересующей его проблеме или по крайней мере располагает свежей информацией о ней. Прежде чем представить рукопись в редакцию, он собирает отзывы о ней специалистов, стремясь проверить каждую деталь. Наоборот, когда Гарднер получает корреспонденцию о на- юй-то проблеме, то, прежде чем отложить ее в папку с материалами для будущих статей, он рассылает копии тем, кого затронутая в письмах тема живо интересует. Тем самым последние новости становятся известными всем, для кого они представляют серьезный интерес. Точность полученной информации проверяется, коммен-

более важно, все работающие над одной проблемой посредничестве Гарднера вступают в контакт друг сболее важно, все работающие над одной проблемой посредничестве Гарднера вступают в контакт друг старпи специалистов поступают к Гарднеру, и, что

более важно, все работающие над одной проблемой посредничестве Гарднера вступают в контакт друг с

более важно, все работающие над одной проблемой посредничестве Гарднера вступают в контакт друг с

- - - - -- ДПу. гом. Г. С. М. Коксетер был одним из тех, кому Гард$ направил копню письма с сообщением об открыт：：

о.о.Джеймса. Именно от Коксетера я узнала об этом

о.

о.

крытии. Мне трудно было устоять от искушения попы таться решить проблему самостоятельно: незадолго

этого я получила общее описание класса пятну годы：；

ков, которыми можно выложить плоскость. Прнсланн\* Джеймсом Гарднеру пример был частным случаем пят? угольников этого класса. Если воспользоваться ме.

дом описания, предложенным Кершнером, то общий 加

тиугольник найденного Джеймсом типа характеризуете

следующими данными: 4=90, Е= 180—В, D 90'

十В/2, С二 180 — В/2, а b ^с+е. Вскоре после toi как я сообщила об этом Гарднеру и Коксетеру, мне быч

присланы копии корреспонденции Гарднера о «пробе ме пятиугольника», и я вступила в прямое общение <

всеми, кто активно работал над этой проблемой. Пухл

папки с материалами о «проблеме пятиугольника».:、

громоздившие мою комнату, могут служить показан

лем объема корреспонденции, вызванной только о%也 публикацией Гарднера. Его архив, должно быть,:

нимает не одну комнату!

Когда в декабре 1975 г. очередной номер журнал： Scientific American был разослан подписчикам, еще з 丨 ревностный поклонник Гарднера жадно впился в р)

рику «Математические игры». Марджори Райс, дома

няя хозяйка, из Сан-Диего и мать пятерых детей, обьт

статьястатьяео первой в доме читала журнал, который выписыв：!

статья

статья

номереномереее сын. Опубликованная в июльском

номере

номере

пятиугольниках, которыми можно выложить плоск℃"

глубоко заинтересовала Марджори Райс. Она «по〃У、‘ ла, как чудесно было бы открыть новые типы так

пятиугольников». Теперь же, когда она прочитала 1 открытом Джеймсом новом разбиении плоскости на ' тиугольники, ее интерес возрос еще больше, и °н& I шила сама попытаться найти новые пятиугольники, торыми можно выложить плоскость. «Я подумала. . в этих удивительных узорах следовало бы разоб 噂. поглубже, и захотела посмотреть, не удастся ли "

найти еще один тип пятиугольника. Для менянайти еще один тип пятиугольника. Для меня-—зЗДа

найти еще один тип пятиугольника. Для меня

найти еще один тип пятиугольника. Для меня

а своего рода увлекательной головоломкой, и я прп- 6%сь обдумывать, как лучше всего подступиться к "沁 Райс начала свои исследования совсем не так, как 几%мс, и вскоре развернула планомерное наступление 乙 проблему, длившееся около двух лет.

Х，И 大？ +J?二m6。° a=w

3, A = e=I> 二丝0° g：b d-ct £>

夕4=已:g0° л-^ eh力

[人二600C-iaj^ 0，u金

/ 4十月十0二34。。斤5己0=/6 户比

7.力3 十巴二老力 / А = 36。° «*£ с =а

К 2< 土6 二,0，c = j£00qu/ = e к必

/ R. 900 С尸0 二及,0。贝t二；SLG + з =3600@±&三6夕2

с 4. Информация о пятиугольниках типов /——8 и открытии Джеймса в обозначениях Л1арджори Райс.

Марджори Райс не получила специального матема- 1,ческого образования, если не считать обычного курса -тематики, который проходили выпускники средней ель% окончившие ее в 1939 г. Столкнувшись с проб- cioii поиска новых пятиугольников, которыми можно "°田нть плоскость, Райс не только разработала ори- ^^ьный подход к решению, но и изобрела свои соб- ；“；ннне обозначения. Прежде всего она представила

K6hov для использования виде всю информацию, со- 耿 автуюс只 в двух статьях Гарднера о пятиугольни- 〔.которыми можно замостить плоскость (рис. 4). 盟р]в”'' свою таблицу, Марджори Райс надеялась об- *£”ть какие-нибудь общие соотношения между пяти- :н «《"ками н образуемыми ими разбиениями плоеко-

'Р^жде всего мне было необходимо зрительно пред-

〃к抄 ZiDF〃к抄 ZiDF%金作0力Y 就"立" 3 =3勿V 3 SEW C.L3 =/.0。Y jг弥:;琴个"芻т 尸 2 SameЖI »t S^ftti^^f 〃“{/〃、♦.‘：%金作0力Y 就"立" 3 =3勿V 3 SEW C.L3 =/.0。Y jг弥:;琴个"芻т 尸 2 SameЖI »t S^ftti^^f 〃“{/〃、♦.‘：ставить себе 9 типов пятиугольников, чтобы посмотр^, чем они отличаются. Я выписала формулы (соотношен: между сторонами и углами) на одной карточке разм." 3x5, а на другой карточке начертила 10 пятиугольР. ков. Чтобы перенести на рисунки информацию, 萌二 жавшуюся в формулах, я воспользовалась разной.；

〃к抄 ZiDF

〃к抄 ZiDF

%金作0力Y 就"立" 3 =3勿V 3 SEW C.L

3 =/.0。Y jг

弥:;琴个"芻

т 尸 2 Same

ЖI »t S^ftti^^f 〃“{/〃、♦.‘：

%金作0力Y 就"立" 3 =3勿V 3 SEW C.L

3 =/.0。Y jг

弥:;琴个"芻

т 尸 2 Same

ЖI »t S^ftti^^f 〃“{/〃、♦.‘：

。不。5 of占f”/исл；；；： cecessa 叮 го 户“ 9" S9审/0/$。d ds『e - .：

со"厂

з士&e "fcessofy〜户- l\_%心初义0土,修, ' Ь 力<2 M，/tZ，砲'

fs，讶？№必-m ♦■■♦•« beiatiO^sh^/s <2/ ■”，

Рис. 5. РисуночныеРис. 5. Рисуночныеооозначения,ооозначения,придуманные Марджори Р-

Рис. 5. Рисуночные

Рис. 5. Рисуночные

ооозначения,

ооозначения,

этих рисунках содержится вся информация о 9 типах пятиуЕй ков, порождающих разбиение плоскости) и предопределившие ус ее работы.

ными линиями. Красным цветом я отметила ко 面 ции трех углов, дающих в сумме 360°, синим 一 par* по длине стороны, черным — комбинации из четырех лов, дающих в сумме 360°, зеленым — другие свецея» \ ...Мне бросилось в глаза, что в пятиугольниках tw* и 8 каждой вершины дважды касается красная или 屮 ная линия (крючки означали двукратное касание) и 1 если бы на пятиугольниках типа / или 2 я соедини линиями углы, дающие в сумме 180°, то каждой вер，工 касалась бы одна линия. Дойдя до пятиугольника 3, я воспользовалась значком V» чтобы отметить сх°“・ ние трех одинаковых углов в одной вершине разб叫 (таких вершин в пятиугольнике оказалось 3). Тр нни понадобились между вершинами В и £• вершины линии касались три раза. Я увидела, любом разбиении каждой вершины пятиугольник^ ния или значок должны касаться одинаковое чнс'°/； •

Это важное наблюдение (все вершины пятиугоЛ*

з порождающего разбиение плоскости, должны участ- :：ать в разбиении одинаковое число раз) стало ключе- внм в ходе дальнейших исследований Марджори. После- кщее усовершенствование ее рисуночных обозначе- 油 позволило отбросить все второстепенное и сохра- ннть лишь наиболее существенную информацию (рис. 5). 9 придумала такие обозначения пятиугольников, кото- рУе было гораздо проще рисовать». Линии соединяли те вершины пятиугольников, которые сходились в од- нОй тоиьв разбиения. «Эти обозначения стали ключевыми во всей моей дальнейшей работе. Обозначив вершины буквами (начинать можно с любой вершины), я получила возможность записывать каждую разновидность пятиугольника в виде определенной последовательности букв и пояснять записи небольшими схемками».

Марджори самостоятельно открыла метод «кодирования» огромного количества информации, возникающей при кропотливом исследовании допустимых комбинаций углов (и сторон), позволяющих получать пятиугольники, которые порождают разбиения плоскости. Матема- тркн используют специальные обозначения для большей объективности, точности н ясности. Хорошее обозначение должно сочетать в себе выразительность н однозначное описание «кодируемого» объекта. Рисуночные гбозначения Марджори напоминали по виду иероглифы, но позволяли записывать допустимые комбинации 尹лев с простотой, не достижимой с помощью более тра-

^щионных математических обозначений. «Иероглифы» Марджори Райс полностью исключали неоднозначность

11 путаницу, возникающую из-за приписывания различ- "нх букв вершинам пятиугольника.

Начав с двух экземпляров одного и того же пяти- ~°』ьннка, соединенных вдоль общей стороны, Мар^жо задалась целью выяснить, сколько таких же пяти- Угольников межно было бы добавить, чтобы возникло Разб»ение плоскости. Изобретенная Марджори система Жвенннх обозначений позволяла фиксировать инфор- о вершинах пятиугольника, сходящихся в одной Р^ине разбиения, и о сторонах, вдоль которых одни Чт^иУгольники примыкают к другим. Если выяснялось, ра какая-то комбинация невозможна (не приводит к Кл^ненню плоскости), то соответствующий случай но

"а，сн. Если же некоторая комбинация пятиуголь-

ников казалась допустимой, то Марджори набрасыв^й контуры «многообещающего» пятиугольника и схему рождаемого им разбиения плоскости.

Чтобы ускорить вычисления и проверку новых пятиугольников (углы при вершинах пятиугольника должны позволять их копиям укладываться вокруг вершины ра биения), Марджори ввела собственную единицу 氏 мерения углов, равную 18 , н нанесла соответствующе, метки на дугу небольшого транспортира. В новых ед}- ницах угол 36’ был равен 2, угол 108’一 6 и т. д. «Пытаясь построить пятиугольник, я обычно начинала с дв： углов, дававших в сумме 180 (на транспортире им со<?： ветствовали деления 4 (72J) и 6 (108 )), и укладывал, их так, как мне было нужно. Было время рожден за (1975 г.), и праздничные хлопоты отнимали у меня mi го времен", но, как только выпадала свободная мин/ я возвращалась к захватившей меня задаче. Когда i кухне никого не было, я чертила пятиугольники пря на столе и быстро закрывала их, как только кто-ннб}. входил: мне не хотелось никому объяснять, чем я зая маюсь. Вскоре я поняла, что существует довольно мна интересных разбиений, но не стала разрабатывать более подробно, так как была занята поиском пя~( угольника нового типа. Через несколько недель мне ］】 лось найти его».

В середине февраля 1976 г. Марджори сообщил^ своем открытии Гарднеру и послала ему набросок ие爪 семейства форм, которые мог принимать новый пя 1 угольник, вместе со схемой разбиения плоскости ■■ двух различных представителей этого семейства (рис. и В своем письме Марджори сообщала Гарднеру: сылаю Вам пятиугольник, порождающий, как мне ■ жется, разбиение плоскости совершенно иного типа, те, которые Вы привели в своей статье, хотя и неско-' ко напоминающий пятиугольники типа 7 M 8. Одни i прилагаемых пятиугольников со сторонами, образ】」 щими золотое сечение, порождает, как мне кажете- очень изящное разбиение плоскости». По обычаю Гар нер известил об открытии Марджори Райс заннтере；〜 ванных лиц, в том числе Кершнера и меня. Все гласно согласились, что Райс действительно на новый пятиугольник, дополнивший известный список пятиугольников, порождающих разбиения п』°，

36Q«36Q«

36Q«

36Q«

тнп & Первое открытие Марджори Райс (февраль 1976 г.) — новый раз ПятиУгольника, порождающего разбиение плоскости. Показаны иСп Ичные варианты форм пятиугольника и разбиение плоскости с - 丁ьзованнем одного из пятиугольников нового типа. Если отноше- пОр^Ин сторон такого пятиугольника образует «золотое сечение», то в осн ^аемое им разбненне плоскости совпадаете решеткой, лежащей °ве «мозаики» Марджорн Райс «Пчелы в клевере» (рис, 16, а), напоминающей знаменитые рисунки Эшера.

сти. Кершнер обратился к Марджори с просьбой с(., щить подробности о том, как был открыт новый ng угольник, и признал, что в предложенной им классик кации был по ошибке допущен досадный пробел. От；1 тие Марджори Райс не сразу появилось на странн； гарднеровской рубрики: как это часто бывает с ми читателей, оно сначала было отложено в стор( । и ожидало своего часа. (Среди прочих откликов на「 тью о разбиении плоскости, предложенном Джейигь ' Гарднер получил не только письмо от Марджори Р. но и по крайней мере одно стеганое одеяло и крау 口 ковер с узорами, навеянными новым разбиением пл кости — см. фото V.)

Изучив материалы, присланные Марджори Гар^ ру, и сравнив ее пятиугольники с пятиугольник 7 и 8 по классификации Кершнера, я заметила, что， три типа пятиугольников (пятиугольники Райс я несла к типу 9) являются частными случаями еще 6с широкого класса пятиугольников. Я высказала следд ； щую гипотезу, сообщив о ней Гарднеру: «Любой пял угольник с четырьмя равными сторонами и четырь различными углами Р, Q, R, S, удовлетворяющими ловиям 2P+Q=360° и 2/?+Х=360°, порождает разбиение плоскости». Менее чем через две недели я получило письмо от Марджори, в котором сообщалось, что гипотеза при проверке оказалась неверной. «Как bw из приводимых ниже буквенных обозначений,——пне? Райс,— существует всего только 8 возможных(:工户＜ (8 способов расположить вокруг одной точки плоек вершины пятиугольника, удовлетворяющие только ловиям 2P+Q=360° и 2欠+М=360°). Четыре из ни* /, 5, 6 и 8 — порождают разбиения плоскости, а тальные, по-видимому, не подходят для этой пели причинам, которые ясны из моих рисунков. Пнтиу" ником 6 можно выложить плоскость только в том чае, когда два соседних угла в сумме равны 180 позволяет отнести его к типу 1. Однако, как вндн° прилагаемого чертежа, пятиугольник 6 приводит к интересным разбиениям плоскости типа /» (рис.

Это было первое письмо, полученное мной от， жори, и мое первое знакомство с разработанным11 системой обозначений и методом проверки презп°* ； мых вариантов разбиения прямым построением.

嗝，'Рисуночное «доказательство» ошибочности гипотезы Шатт- "с\£? Г1ятиугольники типа 6 с четырьмя равными сторонами 嘔丿°” 〃вух ]г』ов, примыкающих к одной стороне, равной 180°, К нзм собрать в блоки двумя различными способами (что приводит 殳ненню разбиения вдоль штриховой прямой).

чения Райс настолько отличались от традиционных тематических обозначений, что я довольно долго ^ov голову над ее схемками, пытаясь понять, о чем она ворит, и доказывают ли схемы что-нибудь. «Причин^ по которым, по ее мнению, некоторые из рассмотрен” пятиугольников не могли порождать разбиение плести, были крохотными эскизами, а не алгебраическ или геометр ическ им и доказательствами, имеющими с в глазах математиков. Рисуночные обозначения М жори не сопроводила никакими пояснениями — наст<. ко все казалось ей очевидным. В ее обозначениях 用！ ный знак > ——,напоминающий отпечаток птичьей л«| соответствовал соотношениям 2P+Q=360°, 2R+S=。 позволявшим уложить соответствующие углы пятнугс. ника вокруг общей вершины разбиения, а более свет二 линии, соединяющие вершины пятиугольника,— у.- вию на последний (пятый) угол, необходимому для т(“ чтобы пятиугольники можно было расположить вок вершины разбиения. Напомню, что сумма внутренн) углов пятиугольника равна 540е; поэтому, если учес два соотношения на углы Р, Q, R, S, недостающее,- ношение примет вид Q+S+2T=360°, где 7' ——пят угол пятиугольника. Марджори предположила, что и каким другим условиям углы пятиугольника не д< * ны удовлетворять; поэтому в порождаемом пятиуголы： ком разбиении следует использовать только те соот шения между углами, которые представлены ее уст ными обозначениями. Например, пятиугольники 2 и по классификации Марджори были исключены пото*' что, как она показала стрелкой на чертежах под дым из этих пятиугольников, разбиение приводило к возникновению еще одного условия на углы.

угольники 3 н 4 не позволяют построить разбиение, видно из приведенных под ними эскизов. Мне не с叱 вило особого труда проверить алгебраическим "У" что ни один пятиугольник не мог бы удовлетворить ловиям на углы в случаях 2, 7, 3 и 4. Марджори ла несколько примеров пятиугольника 6 (по ее фикации)——и во всех случаях сумма углов, npn；J щих к одной стороне, была, по-видпмому, равна Но сколь ни правдоподобно выглядели ее 曙%. строгого доказательства они не обеспечивали.】 доказать замеченное Марджори свойство, я обнар'^

ито оно не следует из предполагаемых условий на углы. Изящное доказательство впоследствии предложил Керш- нер. Оно основано на найденных им обобщениях тео・ ре； синусов и косинусов. Это весьма яркий пример того, интуиция любителя и наблюдение, произведенное на основе самых элементарных геометрических средств, приводят к правильному заключению, но для получе- нмя строгого математического доказательства необходи- мы более изощренные математические средства и тренированный математический ум.

В остальных четырех случаях пятиугольники порож- дали разбиение плоскости и были уже известны: рассмотренные Марджори случаи / и S в классификации Кершнера соответствовал и пятиугольникам типов 8 и 7, Случай 5 был новым открытием Марджори (я назвала его пятиугольником типа 9), а ее случай 6 соответствовал кершнеровскому пятиугольнику типа /. Итак, моя гипотеза была полностью опровергнута.

К этому времени Марджори установила прямой контакт с Кершнером н со мной, необходимость в посредничестве Гарднера отпала, но каждый из нас считал своим долгом информировать его о продвижениях в работе над проблемой. Высокая оценка достижений Марджори, о которой она узнала из кор респонден ци и, придала ей новые силы, но главным стимулом по-прежнему оставалась сама проблема, которую Марджори находи- 』а необычайно увлекательной. Обремененная многочисленными домашними обязанностями, Марджори в ред- кие свободные минуты снова и снова обдумывала проб- "ему, вычерчивала различные варианты разбиений плос- костн и в бессчетный раз возвращалась к неоднократно пР°аналвзнрованным случаям. Проблема чем-то напоми- на“а не до конца сложенную головоломку на составле- "не картинки или фигурки из отдельных кусочков: вы ^которое время усердно трудитесь над ней и даже полу- ете небольшое удовлетворение, когда вам удается до- Ичь частичного успеха, а затем забрасываете ее. Но ^оцчательно забыть головоломку вам не удается: она 6 °вь влечет вас и вы время от времени пытаетесь до- н："ть еще несколько кусочков, чтобы увидеть, как воз-

*^ет все более полная картина.

曲 乂 попросила Марджори написать мне обо всем, что Удалось сделать в решении проблемы, и сообщать о

новых результатах, так как редакция журнала Mat] matics Magazine заказала мне статью о проблеме биения плоскости на пятиугольники. В марте 1976 я получила от Марджори подробный «рассказ в тинках» о том, как она рассматривала возможные ； рианты заполнения плоскости пятиугольниками. На пр； сланной ею схеме были изображены группы рассмотри ных пятиугольников. Каждая группа соответствовал определенному набору условий на пятиугольник.

ACC-CDACD-BE

Рис. 8. Обозначения Марджорн Райс для пятиугольников, v ♦ рых каждый внутренний угол «используется» в вершинах разбилип только один раз.

соотношения на внутренние углы (только на них) пятг угольника надлежало учитывать при попытке выложит1 плоскость пятиугольниками каждого вида. От того, кап располагались вокруг общей вершины разбиения углы пятиугольника, зависели условия на длины сторон. В первую группу, которую Марджори назвала «/7/» (от «пятиугольник /»), входили пятиугольники, в которн каждый угол «использовался» в вершине разбиения только один раз. Следовательно, три различных угла, «сойдясь вместе», образовывали угол 360°, а два остальны угла, оказавшись «по соседству», в сумме давал» у「°" 180°. К этой группе относились только два пятиуголь- инка: типа / и типа 2 (рис. 8). Следующие 12 групп (на присланной мне схеме они значились под номерами / до 12 под общим заголовком «/72») содержали пяти угольники, в которых каждый угол «использовался дважда, если одновременно рассматривать различна вершины разбиения. Двенадцатой в этом списке 吗 коллекция пятиугольников, о которых Марджори сооО щила мне раньше в ответ на мою гипотезу. В приме” нии к группе П2 Марджори поясняла: «Каждая из надцати подгрупп подлежит трем проверкам. Прежде го необходимо удостовериться в том, может ли суЩ^ вовать данная подгруппа (подгруппы 5 и 6 вообще 前 существуют). Затем я набрасываю эскизы комбинат '

丄曲л Pv-ecfl RK-PE丄曲л Pv-ecfl RK-PE

丄曲

л Pv-ecfl RK-PE

丄曲

л Pv-ecfl RK-PE

〃Y|y 工呻。SS，£&

A*照嗯0后A*照嗯0后〃囹，自0居乃£斤9 " SPD 'QQrg〃囹，自0居乃£斤9 " SPD 'QQrg削.9. Двенадцать подгрупп пятиугольников, образующих группу 0 В перечне соотношений на углы, возникающих в вершинах раз- каждый внутренний угол любого из этих пятиугольников «нс- пользуется» дважды. Для каждой комбинации углов, порождающих Разбиение, эскизы соответствующих разбиений показаны на рис. .° н 9, 6. Перечень пятиугольников, образующих группу П2, и кнзм разбиений плоскости также составлены Марджори Райс.削.9. Двенадцать подгрупп пятиугольников, образующих группу 0 В перечне соотношений на углы, возникающих в вершинах раз- каждый внутренний угол любого из этих пятиугольников «нс- пользуется» дважды. Для каждой комбинации углов, порождающих Разбиение, эскизы соответствующих разбиений показаны на рис. .° н 9, 6. Перечень пятиугольников, образующих группу П2, и кнзм разбиений плоскости также составлены Марджори Райс.

A*照嗯0后

A*照嗯0后

〃囹，自0居

乃£斤9 " SPD 'QQrg

〃囹，自0居

乃£斤9 " SPD 'QQrg

削.9. Двенадцать подгрупп пятиугольников, образующих группу 0 В перечне соотношений на углы, возникающих в вершинах раз- каждый внутренний угол любого из этих пятиугольников «нс- пользуется» дважды. Для каждой комбинации углов, порождающих Разбиение, эскизы соответствующих разбиений показаны на рис. .° н 9, 6. Перечень пятиугольников, образующих группу П2, и кнзм разбиений плоскости также составлены Марджори Райс.

削.9. Двенадцать подгрупп пятиугольников, образующих группу 0 В перечне соотношений на углы, возникающих в вершинах раз- каждый внутренний угол любого из этих пятиугольников «нс- пользуется» дважды. Для каждой комбинации углов, порождающих Разбиение, эскизы соответствующих разбиений показаны на рис. .° н 9, 6. Перечень пятиугольников, образующих группу П2, и кнзм разбиений плоскости также составлены Марджори Райс.

"Y~ 7物05S%&

2仰

.d包圆您施您,0虛直丿禽⑥您

И0 0-Л££/00-Лсо上。卜gA Л*с-С«< д ^в.еге. £сс-п»£* ссе-И>д QBfYO

№3 J>£-A行QE-QQ 4cM A A。-" AR-AU ЛВ->« 鳥0”£

ИГк

0 /密応“盒ё禽角，@危

в^с-е£1>оае-сФ»/»re-*b —

44-срЛА-Э£，A-ce

f П^

0，鱼侬"0

йд«-д»рь-ec^-PDBtc л -DJ>A

4A-RAA-f«■G-ZV

"MX

电土盒詹，鱼

〃例

里1届，盒"建^，备

人器-产8пре ссе/er-сс/эалт>~^л —od es

a/£DXAB^^ADHEAPE£AP

Называемые каждым членом группы, чтобы посмотреть, м°*но ли состыковать соответствующие внутренние уг- *• Если с углами все обстоит благополучно, то стано- "тся ясно, какие отрезки (стороны пятиугольников) ：°』Жнн быть равны. Последняя проверка сводится к ахождению углов, удовлетворяющих всем условиям.

Если такие углы удается найти,Если такие углы удается найти,. 一 то разбиение осушает- внмо》. Рядом с каждым пятиугольником, не прошедидим все три проверки, Марджори написала в своем списка «не?》，а рядом с пятиугольниками, порождаютимИ разбиение плоскости, указала номер их типа по к』аЕ： фикации Кершнера. Кроме того, для каждого пятиуго^ь

Если такие углы удается найти,

Если такие углы удается найти,

Рис. 9, 6Рис. 9, 6

Рис. 9, 6

Рис. 9, 6

замощения плоскости, она нари-замощения плоскости, она нари-ннка, пригодного для ?С二二二二二:二二二二二:二二二二，二二二二二；:二 совала, как примерно выглядит порождаемое им разбие- н”е плоскости, возможность которого установлена тремя пР°веркамн (рис. 9, а и 9, б). В составленном Марда<о- списке встречаются пятиугольники типов /, 2, 4, ，7, & 9, и она построила 26 различных разбиений

замощения плоскости, она нари-

замощения плоскости, она нари-

П ℃костн. Некоторые из разбиений оказались новыми. нГ^го/ьннкн типов 5 и 5, а также разбиение, найден- в е Джеймсом (которое я назвала типом /0, не вошли ^писок Л1арджори по вполне понятной причине: если "сать все соотношения на углы, возникающие в вер-

шинах разбиений, порождаемых пятиугольниками эти? типов, то каждый внутренний угол пятиугольника окажется «использованным» трижды.

Через несколько недель после того, как я получила столь богатую информацию, Марджори прислала мне ещ, более обширный список. «Просматривая посланные ранее разбиения, порождаемые пятиугольниками из груп. пы 772,—— говорилось в письме,—— я обнаружила при пи- вторной проверке, что пропустила несколько типов, и просмотрела всю классификацию еще раз более тщательно. Посылаю вам дополненный список с примерами». В дополненном варианте списка по-прежнему содержалось 12 подгрупп, но некоторые подгруппы насчитывали гораздо больше пятиугольников. Марджори обнаружила на этот раз 35 пятиугольников с условиями на углн, пригодных для заполнения плоскости. Некоторые комбинации углов порождали по два различных разбиения и больше, поэтому к новому списку были приложены эскизы 45 разбиений. И хотя новые типы разбиений обнаружить не удалось, диапазон возможных типов разбиений необычайно расширился. В своем письме Марджори сообщала, что работает над пятиугольниками группы ПЗ (каждый из внутренних углов таких многоугольников удовлетворяет трем условиям на углы в вершинах разбиения). «Большинство пятиугольников этой группы приводит, как легко проверить, к неосуществимым разбиениям..., поэтому я надеюсь, что просмотр остальных не отнимет много времени... Среди них пятиугольники типов 5 и 5, а также новый пятиугольник Джеймса [типа /0]».

В октябре 1976 г. я получила от Марджори еще один объемистый конверт. Она составила новый список все' пятиугольных разбиений плоскости, которые ей лось построить к тому времени (всего 58 разбиений) По-новому был построен и сам список: на этот раз Мар； жор и разделила пятиугольники (и связанные с ни"" разбиения плоскости) на 12 классов в зависимости того, какие стороны пятиугольника должны быть Р?в Шесть страниц эскизов соответствующих разбиений дительно свидетельствовали о тщательности проделанной работы. Классификация Л1арджори включала все сять типов пятиугольников, пригодных для замощени плоскости, и среди разбиений было много новых. Пмсь'

Марджори заканчивалось словами: «Вот и все, что мне удалось пока сделать на основе моих скромных позна・ дИй. Но поиск продолжается».

В середине ноября я послала Марджори препринт статьи Бранко Грюнбаума и Джеффри Шепарда, доказавших существование 24 «индивидуально-транзитивных» разбиений плоскости на пятиугольники типов /——5, и первоначальный вариант моей статьи о проблеме раз- бления плоскости на пятиугольники, предназначенной для журнала Mathematics Magazine. Текст статьи был расширенным вариантом доклада, с которым я выступила на конференции по занимательной математике в Университете Л\айами (Оксфорд, шт. Огайо). Среди уча* стников конференции был и Джон Г. Конуэй. Он очень заинтересовался и самой проблемой, и результатами Джеймса и Райс. По признанию Конуэя, он и сам пытался перечислить все пятиугольники, порождающие разбиение плоскости, но отказался от своего намерения, поняв, как много времени понадобилось бы для перебора всех вариантов. В конце своей статьи я поставила несколько вопросов: полон ли список пятиугольников, порождающих разбиения плоскости, если прямоугольники примыкают только сторонами, а не частью сторон? Можно ли перечислить все равносторонние пятиугольники, порождающие разбиения плоскости?

Разумеется, Марджори не могла оставить мои вопросы без внимания. В декабре 1976 г. я получила от нее письмо, в котором говорилось: «Думала, что не стаНУ больше тратить время на пятиугольники, но расстаться с ними оказалось не так-то просто». На этот Раз Марджори с присущей ей энергией принялась за мои вопросы. Отвечая на последний вопрос, Марджори набросала эскизы всех найденных ею разбиений плос- к℃тн на равносторонние пятиугольники и перечислила Условия на углы, вытекающие из существования разбиений. Попыталась она ответить и на мой первый воп- Р℃. В своей статье я рассказала о «блочно-транзитив- разбиениях плоскости на пятиугольники, отметив, все недавние открытия (Кершнера, Джеймса и са- "ой Марджори) относились к случаю, когда пятиуголь- не могли образовывать изоэдрическое разбиение ：』℃костн и разбиение порождал блок из двух или трех нтнугольнмков. Понятие «блочно-транзитивного» раз-

биения оказалось новым для Марджори. Она рассмотрела заново все свои разбиения, которые начиналнСь с двух «состыкованных» пятиугольников, и заметила что «большинство из них порождено блоками из 4 пятиугольников, образующих 2 шест и угол ьни ка, которыми можно выложить плоскость одним из шести способов» Сосредоточив внимание на одном разбиении такого блока на четыре конгруэнтных пятиугольника, Марджори открыла несколько новых разбиений плоскости на пя- тиугольники, примыкающие целыми сторонами. Чере. две недели (27 декабря 1976 г.— рождественские праздники, по-видимому, были для Марджори самой творческой порой!) пришло потрясающее известие. «Продолжая носиться с той же идеей,——сообщала Марджори Райс,——я получила несколько новых разбиений плоскости и, к своему удивлению и восторгу, два новых тесно связанных между собой типа пятиугольников». Марджори удалось открыть пятиугольники типов 11 и порождающие необычные разбиения плоскости (рис. 10).

Открытие новых типов замощений плоскости было нежданной наградой за последовательно и методично проведенный Марджори анализ транзитивных схем разбиения на блоки из двух фигур. Она обнаружила, что блоки из двух шестиугольников можно разрезать на четыре конгруэнтных пятиугольника девятью различными

R=9Q。B+E80Q А+А+Е=360° С"+8=ЗМ° а =ь в+е^с=ЬR=9Q。B+E80Q А+А+Е=360° С"+8=ЗМ° а =ь в+е^с=ЬА+А+Еи380° С +6 十£ 二 J60。А+А+Еи380° С +6 十£ 二 J60。а*с=Ь е/e н力а*с=Ь е/e н力

R=9Q。

B+E80Q А+А+Е=360° С"+8=ЗМ° а =ь в+е^с=Ь

R=9Q。

B+E80Q А+А+Е=360° С"+8=ЗМ° а =ь в+е^с=Ь

А+А+Еи380° С +6 十£ 二 J60。

А+А+Еи380° С +6 十£ 二 J60。

а*с=Ь е/e н力

а*с=Ь е/e н力

f angles о丹he 2ре 欣agon寸个

-力。-留 °-^°-so J126，)

Рис. 10. Пятиугольники типов 11 н 12 и порождаемые ими ?瓏"； ния плоскости, обнаруженные Марджори Райс в декабре

Рис. 10 (продолжение).

Рис. 1!. Девять способов разрезания блока из двух шестиугольн»1 ков на четыре одинаковых пятиугольника. Варьируя замощение скости блоками из двух шестиугольников, Марджори Райс получи*1 много новых разбиений плоскости на пятиугольники.

б

Рис. 12. Серебряный брелок, орнамент которого повторяет центральное разбиение плоскости на равносторонние пятиугольники, установленное Майклом Хиршхорном.Рис. 12. Серебряный брелок, орнамент которого повторяет центральное разбиение плоскости на равносторонние пятиугольники, установленное Майклом Хиршхорном.

Рис. 12. Серебряный брелок, орнамент которого повторяет центральное разбиение плоскости на равносторонние пятиугольники, установленное Майклом Хиршхорном.

Рис. 12. Серебряный брелок, орнамент которого повторяет центральное разбиение плоскости на равносторонние пятиугольники, установленное Майклом Хиршхорном.

способами (рис. 11). Эти разрезания вместе с различ- нн、ш вариантами замощения плоскости 2-блоками породили свыше 50 разновидностей разбиения плоскости на пятиугольники («2-блочно- транзитивные» разбиения). Всю весну Марджори продолжала развивать ту же Идею и обнаружила несколько способов разрезания, порождающих разбиения на пятиугольники посредством 3-блоков и даже 4-блоков.

«Математический цветник» Мартина Гарднера вступил в пору буйного цветения. Обмен информацией по проблеме разбиения плоскости на пятиугольники происходил уже между тремя континентами. Еще одна группа любителей — одиннадцатилетних школьников из Нового Южного Уэльса в Австралии — в течение неде

ли занималась поиском выпуклых равносторонних пятиугольников, которыми можно было бы ВЫЛОЖИТЬ ПЛОСКОСТЬ, и способов разбиения плоскости на такие пятиугольники. Под руководством своих учителей Джорджа Секереша и Майкла Хиршхорна ребятам удалось основательно продвинуться в решении проблемы. Найденный нмн равносторонний пятиугольник (частный случай пя- /“ольника 6 из группы П1, о котором Марджори 访с сообщала в своем первом письме ко мне) порож- огромное число различных разбиений плоскости. Используя этот пятиугольник, Хиршхорн открыл много необычных разбиений, в том числе два центральных разбиения с осью симметрии 6-го порядка (рис. 12).

Летом 1977 г. я отправила Марджори статью Вранко Рюнбаума и Дж. Ч. Шепарда «81 тип изоэдрических Разбиений плоскости»*. В статье были приведены тща-

з * По поводу точных ссылок на упомянутую литературу см. Ключительную часть статьи 3.1.— Прим. ред.

тельно выполненные схемы разбиений 81 различного ти. па ——и я не сомневалась, что Марджори сумеет отыс кать среди них разбиения, элементарные области которых удастся разрезать на конгруэнтные пятиугольники и тем самым найти новые разбиения плоскости на пятиугольники. Всю осень Марджори продолжала свои прежние изыскания. Статье Грюнбаума и Шепарда она нашла гораздо более остроумное применение, я думала. «Изоэдрические разбиения Грюнбаума и Ше- нарда представляют большой интерес. Чтобы ими было удобнее пользоваться, я скопировала их на четырех страницах». Марджори перечертила фиг^фные разбиения Грюнбаума — Шепарда в своих условных обозначениях, сохранив только топологическую схему разбиения и действие группы симметрии на элементы разбие* ния (рис. 13). Разбиения Грюнбаума —— Шепарда позволили Марджори заново проанализировать все найден- ные ею разбиения и обнаружить несколько новых.

На рождество 1977 г. я получила от нее толстый кон、 верт с объемистой работой. И снова меня ожидал рождественский подарок! «Недели две назад мне посчастливилось найти этот новый тип пятиугольника (а я-то думала, что другнх пятиугольников не существует). У этого пятиугольника (рис. 14) так же, как и у пятиугольника типа 4, два противоположных угла равны 90 . но длины сторон удовлетворяют другим условиям». Разбиение плоскости на пятиугольники типа /3, которое нарисовала Марджори Райс, обладало одной забавной особенностью: оно казалось составленным из галстуков- бабочек, каждый из которых был сложен из четыре^

пятиугольников. Незадолго перед тем я получила верстку своей статьи о проблеме разбиения плоскости на пяти- угольники и могла вставить в нее сообщение о последнем открытии в этой области. (Моя статья, опубликованная в январском номере журнала Mathematic Magazine за 1978 г., содержит более подробный отчет о математических деталях разбиения плоскости на п * тиугольники.) Но и новым открытием работа Мард^Р над проблемой не завершилась. Марджори решила и пробовать доказать, что все пятиугольники, спосоон порождать разбиения плоскости, уже найдены. П " _

ёе доказательство не было полным, тем не менее данный ею тщательный перебор всех разбиении

"с. 13. Несколько разбиений плоскости на фигурные «плитки» (верх- половина), предложенных в статье Бранко Грюнбаума и Джеф- Шепарда «8! тип изоэдрических разбиений плоскости» (Math.

Cambridge Philos. Soc., September, 1977, pp. 190 —191). Те же збненнн в обозначениях Марджори Райс (нижняя половина).

и 3-блоки существенно облегчил восполнение оставшег. ся пробела. К тому времени, когда рассказываемая история будет опубликована, ответ на вопрос о том, ~ ществуют ли неизвестные еще типы пятиугольников, рождающих разбиения плоскости, скорее всего бу工丁

В=Е=90° 2А+1J ^36OQ 2, + D=360

а=е 々"="

Рис. 14. Пятиугольник типа /3, порождающий разбиение плоскость который Марджори Райс обнаружила в декабре 1977 Г-

получен. Хиршхорн убежден, что все равносторонние выпуклые многоугольники, порождающие разбнен叫 плоскости, уже найдены (их описание приведено в статье, опубликованной в Mathematics Magazine). В под тверждение своего мнения Хиршхорн ссылается на Р

дьТаты расчетов с помощью ЭВМ, исключавшие одно другим возможные соотношения на углы многоуголь- ннков*

qTo заставляет человека искать решение проблемы с таким упорством, какое проявила Марджори? Она не обладала необходимой специальной подготовкой, ее труд 他 оплачивался, но терпеливая и настойчивая работа

即J 15. Изящное симметричное разбиение плоскости, предложенное Марджори Райс. Начинаясь от центра, оно как бы расходится кру- 沪н и может заполнить всю плоскость. Это разбиение порождается "вумя пяти^тольниками, каждый из которых имеет по два угла 90° и три угла 120°.即J 15. Изящное симметричное разбиение плоскости, предложенное Марджори Райс. Начинаясь от центра, оно как бы расходится кру- 沪н и может заполнить всю плоскость. Это разбиение порождается "вумя пяти^тольниками, каждый из которых имеет по два угла 90° и три угла 120°.

即J 15. Изящное симметричное разбиение плоскости, предложенное Марджори Райс. Начинаясь от центра, оно как бы расходится кру- 沪н и может заполнить всю плоскость. Это разбиение порождается "вумя пяти^тольниками, каждый из которых имеет по два угла 90° и три угла 120°.

即J 15. Изящное симметричное разбиение плоскости, предложенное Марджори Райс. Начинаясь от центра, оно как бы расходится кру- 沪н и может заполнить всю плоскость. Это разбиение порождается "вумя пяти^тольниками, каждый из которых имеет по два угла 90° и три угла 120°.

"‘工 проблемой, несомненно, доставляла ей глубокое ^Овлетворение. Биография Марджори Райс типична для 『о门【X любителей математики, черпавших вдохновение I Сатьях Мартына Гарднера.

^арджори Райс родилась в 1923 г. в небольшом го- Р°Аке Санкт-Петербург (шт. Флорида) и была первым

ребенком в семье. Когда Марджори исполнилось 5 лет ее отдали в школу, в которой около двух десятков ников с 1-го по 8-й класс занимались в одном помещении

Рис. 16. Три рисунка Марджори Райс, заполняющих плоскость, к в известных рисунках Эшера. Они основаны на геометрических 卩 тетках, создаваемых некоторыми из найденных Марджори Райс обычных разбиений плоскости на пятиугольники. (Эшер в своих суиках, заполняющих плоскость, также использовал некотор • «решетчатые» разбиения плоскости на пятиугольники.)

а — решетка, лежащая в основе рисунка «Пчелы в клевере» жор и Райс (см. фото I).

«Моя мама хотела, чтобы у меня были прочные основу знаний, и занималась со мной дома, поэтому меня в% ре перевели во второй класс». Марджори росла застенчивым ребенком. Она «легко могла зачитаться

задуматься, позабыв обо всем, что происходит вокруг», училась Марджори хорошо. «Арифметика давалась мне 1еГКо, и я любила докапываться до причин, по которым оДНи задачи нужно решать так, а другие этак... Меня

J Решетка, лежащая в основе рисунка «Рыбы» Марджори Райс (см. фото П).

^влекали краски, формы и линии природы, я мечтала А］，художницей...» Последующие годы пребывания У РАЖорн в школе были «скрашены двумя прекрасными Ильницами, мисс Кр「н и мисс Тиммонс..., которые

помогли мне восполнить недостатки образования, полученного в небольшой деревенской школе».

«Когда я была в шестом или седьмом классе, учитель однажды сказал нам, что пропорции картинной рамы совпадают с золотым сечением. Это сразу же захватило

мое воображение и, хотя учитель упомянул о золотом

s ——решетка, лежащая в оснсве рисунка «Гибискус» Марджори Pai (см. фото III).s ——решетка, лежащая в оснсве рисунка «Гибискус» Марджори Pai (см. фото III).

s ——решетка, лежащая в оснсве рисунка «Гибискус» Марджори Pai (см. фото III).

s ——решетка, лежащая в оснсве рисунка «Гибискус» Марджори Pai (см. фото III).

сечении мимоходом, навсегда врезалось мне в память. Я продолжала много читать. Особенно меня интересовала архитектура и идеи таких архитекторов и градостроителей, как Бакминстер Фуллер. В книгах мне снова встретилось золотое сечение. Я поняла, сколь большую роль оно играет в живописи и архитектуре. Особенно полезной и увлекательной была для меня книга «Геометрия искусства и жизни» Матилы Гика.» Интерес Марджори к искусству не иссякал. Ее особенно привлекали рисунки на тканях и работы М. К. Эшера. Размышляя

Фото I. «Пчелы в клевере» Мар工жорн Paiic.

над проблемой разбиения плоскости на пятиугольники,

Марджори создала несколько изящных геометрических решеток и серию рисунков в духе Эшера (рис. 15, 16).

ограничены общеобразоограничены общеобразочто ее познания в математикечто ее познания в математикеКогда Марджори училась в старших классах, ее семья переехала в Пайн-Кастл, неподалеку от Орландо (шт. Флорида). В Орландо Марджори изучала стенографию и машинопись, чтобы овладеть какой-нибудь профессией на будущее, но не достигла сколько-нибудь заметных успехов ни в том, ни в другом. Она сожалела,

ограничены общеобразо

ограничены общеобразо

что ее познания в математике

что ее познания в математике

вательным курсом. После окончания средней школы

Фото 11. «Рыбы» Марджори Райс.

Марджори с 16 лет работала сначала в конторе пра, ной, а затем в небольшой типографии. В 1945 г. она шла замуж за Джилберта Райса и с тех пор занимаете домашним хозяйством. «Я стала прилежной читатель" ° цей городской библиотеки и много узнала из кн"「

Фото III. «Гибискус» Марджори Райс.

естественных науках, психологии и о многом другом, 0 ием мне не довелось узнать в школе. Я записалась также на заочные коммерческие курсы...» После рож- 此ння первого сына семья Райсов переехала в Сан-Диего 仙。Калифорния). «Это были трудные годы и для меня, “ Для мужа — у нас не было ни единой свободной ми- нутн》,— вспоминала Марджори. Всего у Райсов роди- ；°сь пятеро детей. Когда дети немного подросли, Джил- :Рт открыл шрифтолитейную мастерскую. К занятиям ，тематикой Марджори вернули ее дети. «Когда мой ТаРший сын Дэвид учился в четвертом классе, в школе '■^2^вводить «современную математику» *. ...Я захо- 几 * Т'к на Западе называют (модное, но, кажется, не особенно ■澤’верное) увлечение в школе элементами теории множеств, ” е“Р°Н высказываний, бинарными отношениями и пр.——Прим. ред.

Фото IV. «Пчелы и осы» Z. К. Эшера.

Фото V. Ковер ручной работы (соткан жительницей Канберры, Авст. ралня, А. Дж. Бомфорд) по мотивам разбиения плоскости на пяти- угольники, найденного Р. Джеймсом. Размеры ковра 2,03Х 1,31 м2; для изготовления ковра понадобилось сделать 46 986 узлов.

тела узнать, что это такое, и сначала не отставала от сына, выполняя вместе с ним все задания. Сын всячески помогал мне. Но свободного времени у меня было мало. Вскоре я отстала, и мне пришлось бросить эти занятия. Однако мой интерес к урокам Дэвида не иссяк, и мне нередко удавалось решать задаваемые ему задачи своими, необычными методами, так как я не знала, как решать задачи «по правилам». Дэвид играл со мной в математические игры, о которых узнавал в классе, например в гекс или трехмерные крестики-нолики...

Я люблю задачи на смекалку, кроссворды, разные игры-головоломки, математические игры и за многие годы собрала неплохую библиотечку по занимательной математике. Особенно мне нравятся геометрические задачи. Когда нам приносят журнал Scientific American, который выписывает мой сын, я прежде всего прочитываю «Математи ческ не игры» Мартина Гарднера». Страсть Марджори к геометрическим головоломкам и острое восприятие форм, пропорций и линий ощущается в ее рассказе о недавней поездке. «В ноябре 1974 г. мы с мужем отправились в кругосветное путешествие... Мне особенно бросались в глаза необычные пропорции и формы, столь отличные от того, что окружает нас дома. Всюду, где бы нам ни приходилось бывать, я искала необычное и находила его в пропорциях зданий, дверей, окон, в разбиении пространства, в рисунке решеток на окнах... Особенно мне понравились яркие рисунки на тканях, нередко очень крупные, которые носят жители Ганы и Нигерии. ...Наш багаж был сведен до минимума, но все же я нашла местечко для небольшой книжки в мягкой обложке «Реши задачу» Л. Г. Лонгли- Кука—сборника из 105 задач-головоломок. Размышления над этими задачами помогали мне коротать время в тех случаях, когда нам приходилось ждать...»

Разум и дух — сильные стороны всех любителей математики; им присуща неуемная любознательность и острота в восприятии всего, с чем им приходится сталкиваться. Формальное образование не способно наделить человека такими способностями. От «профессионалов» «любителей» отличает только отсутствие ученых степеней. Но острая любознательность и способность находить оригинальные способы решения поставленных проб-

лем делают «любителей» истинными математиками. Мартин Гарднер пробудил активность многих таких математиков.

3.4. Некоторые проблемы,связанные с плоскими мозаиками

Бранко Грюнбаум

Дж. Ч. Шепард

Хотя искусство мозаики столь же древнее, как и сама история человечества, наука о мозаиках вплоть до недавнего времени почти не развивалась.

О высоком уровне искусства в средние века свидетельствуют замечательные мозаики в многочисленных мечетях и других зданиях мавританской архитектуры. Один из наиболее выдающихся примеров такого рода - испанский дворцовый комплекс Альгамбра, построенный в XIII—XIV вв. (рис. 1 и 2). Можно почта с уверенностью сказать, что именно посещение Альгамбры вдохновило голландского художника Мориса Эшера на создание некоторых из его известных произведений (рис. 3).

Первая попытка проанализировать мозаики с математической точки зрения была предпринята великим астрономом Иоганном Кеплером (1571—1630) в его пятитомном сочинении «Гармония мира» (Harmonice Mundi), вышедшем в свет в 1619 г. (рис. 5). Открытия Кеплера в области астрономии и небесной механики настолько заслонили его геометрические работы, что последние на протяжении почти трех столетий были преданы почти полному забвению. После Кеплера вплоть до конца XIX в. в теории мозаик было сделано очень мало; поэтом) можно считать, что наука о мозаиках, под которой мы понимаем активное изучение математических свойств мозаик, или разбиений плоскости, насчитывает немногим более ста лет. В нашем веке о мозаиках и их свойствах было опубликовано огромное количество работ, выпол-

Рис. 1. Один из залов дворца Альгамбра в Гренаде (Испания). Построенный в XIV в., этот дворец, подобно другим зданиям мавританской архитектуры, приобрел широкую известность благодаря пышности мозаик, украшающих его полы, потолки и стены.

Рис. 2. Восемь мозаик из Альгамбры. Эти рисунки выполнены голландским художником М. К- Эшером, посетившим Альгамбру в 1936 г. Богатство и разнообразие мозаик Альгамбры оказали заметное влияние на творчество Эшера.

Рис. 3. Одна из малоизвестных мозаик Эшера. Среди произведений Эшера немало таких, в которых отдельные элементы мозаики имеют вид животных или каких-нибудь предметов.

Рис. 4. Знаменитый астроном Иоганн Кеплер. Его основополагающее исследование мозаик в течение почти трехсот лет пребывало в забвении.

ненных главным образом кристаллографами, инженерами и другими математиками-непрофессионалами. Теория мозаик и поныне изобилует нерешенными проблемами; цель нашей статьи заключается в том, чтобы привлечь внимание к некоторым из них.

Рис. 5. Иллюстрации из работы Кеплера «Гармония мира» (1619 г.)—— первого математического исследования, посвященного мозаикам. На рисунках представлены некоторые исследованные Кеплером мозаики, состоящие из правильных и звездчатых многоугольников.

В последнее время в связи с возросшим признанием общеобразовательной ценности геометрии изучению мозаик стали уделять внимание в курсах математики различных школ и колледжей. Периодические издания, предназначенные для преподавателей математики, начали отводить «мозаичной тематике» все больше места на своих страницах. Возрождение интереса к мсзанкам отчасти вызвано великолепными статьями Мартина Гард-

нера в Scientific American. Сообщениями о новых . крытиях Гарднер стимулировал интерес читателей k всему, что связано с мозаиками. Мы еще неоднократ］： будем упоминать некоторые из статей Гарднера и ц деемся, что читатель сможет в полной мере ощутить〕 благодарность, которую испытывает к Мартину Гар. неру, первоклассному популяризатору науки, все тематическое сообщество.

Что такое мозаике^ С математической точки зр ния мозаика — это семейство 歹={Г1т Т2,. . .} замкнутых множеств Тi (элементов мозаики), покрывающих плоскость без существенных (имеющих ненулевую площадь) пробелов и перекрытий. Подобное определение мо^ заики носит слишком общий характер, и в нашей статье мы ограничимся рассмотрением мозаик, элементы Ть / =1, 2. . которых топологически эквивалентны дискам, т. е. могут быть получены непрерывной деформацией i круглых дисков. В частности, каждый элемент мозаик, о которых будет идти речь, связен и односвязен. Т,

Рис. 6. Три правильные мозаики. Эти хорошо знакомые всем 风。制 ки известны с незапамятных времен.

самым мы исключаем случаи, когда элементы состоят из двух или большего числа отдельных час

или имеют дыры.百朗

. Наиболее часто встречаются мозаики, составлен ^^ из ограниченного числа элементов различной формьь кого рода мозаики обычно допускают следующее °

YYСМ2》СМ2》(4612)(4612)

Y

Y

СМ2》

СМ2》

(4612)

(4612)

加 7. Восемь типов однородных, но неправильных мозаик. От- rovr Ь1е Дементы каждой мозаики имеют форму правильных мно-

m；k°"b1fHков; при этом существует операция симметрии» переводя- м°занку в себя и отображающая любую выбранную вершину 福;к, на любую другую также указанную нам вершину. Одна из мС(3“・6) может иметь два зеркально-симметричных друг другу

'Читается, что такие мозаики (точнее, их группы симметрии) были открыты в начале XVII в. Кеплером.

ние. Пусть F={Pi,. . .,Рк)——(конечное) семейство「 кнутых множеств, таких, что каждый элемент Tt Мс(^" ки (^) конгруэнтен одному из множеств 匕(/=1,. Тогда 夕 называется множеством прототипных эле тов (или прототипов) мозанкн 夕，и говорят, что 3^ лизуется в виде мозаики 炉.Если 学 содержит ровн различных (попарно неконгруэнтных) множеств (фИг и все эти фигуры используются в 夕，то мозаика 七 зывается k-эдрической.

При 4=1 мозаика называется моноэдрической. Та. мозаики хорошо известны. Примером могут служить i вестные с незапамятных времен правильные мозцц^ (рис. 6). Однородные мозаики (рис. 7), знакомые ( Кеплеру (см. рис. 5) и, по-видимому, им открытые, ц<.. разделяются на 2-эдрнческие (диэдрические) и 3-эдриче- ские (триэдрическиё). Известны также и многие другио ft-эдрические мозаики при небольших значениях 6 Таковы, например, кеплеровские мозаики К, Т, X и /ц на рис. 5.

Можно подумать, что моноэдрические мозаики, все элементы которых имеют одинаковую форму, тривиа-- ны с математической точки зрения и вряд лн заслуживают серьезного изучения. Однако те, кто так счнт^ глубоко заблуждаются. О богатстве и разнообразии фо) моноэдрических мозаик можно судить даже по немн гим их образцам, изображенным далее на рис. 21, 2 28 и 29. В том, что математический анализ моноэдриче кнх мозаик представляет собой отнюдь не легкую 笃丄 чу, читатель может убедиться, взглянув на пзображ» ные на рис. 8 кандидаты в прототипы таких мозаи Для некоторых из представленных на рисунках фиг： р достоверно не известно, реализуются ли они как пр(二 типы моноэдрических мозаик. Во всяком случае, тить на этот вопрос достаточно трудно. Проблемы так’ рода обсуждались в статье Мартина Гарднера в август ском номере Scientific American за 1975 г. Ochobi- 11 вопрос состоит в следующем:

Проблема 1. Существует ли вполне определен способ (или алгоритм), позволяющий, не прибегая " тоду проб и ошибок, проверить, реализуется 〃,ш j лизуется данная фигура Р как прототип моноэдр理* мозаики?

Это очень трудная проблема, н обсуждение ее во ”

Н。,Н。,削.8. Шесть «кандидатов» в прототипы моноэдрических мозаик. Являются ли они прототипами мозаик в действительности ——вопрос сложный.削.8. Шесть «кандидатов» в прототипы моноэдрических мозаик. Являются ли они прототипами мозаик в действительности ——вопрос сложный.[ноте 11 сложности завело бы нас слишком далеко в математической логики. Хотя здесь это и неумест- 限 в п. 5 мы все же кратко упомянем о связи между ^бдемой 1 и проблемой нахождения апериодических

Н。,

Н。,

削.8. Шесть «кандидатов» в прототипы моноэдрических мозаик. Являются ли они прототипами мозаик в действительности ——вопрос сложный.

削.8. Шесть «кандидатов» в прототипы моноэдрических мозаик. Являются ли они прототипами мозаик в действительности ——вопрос сложный.

吗анк. Заметим, что одно из немногих известных усло- 8就 для проверки того, реализуется или не реализуется 血нная фигура как прототип моноэдрической мозаики, называется критерием Конуэя (рис. 9). Этот критерий "ахо^нт удивительно широкое применение, но содержит достаточное, но никак не необходимое условие су- ^ствования мозаики. Следовательно, критерий Конуэя

I 股脈丁 решения проблемы 1.

Глубина этой проблемы (и глубина нашего незнанн видна хотя бы из того, что нам даже не известны многоугольники, которые могут служить прототипа^ реализуемых моноэдрических мозаик. «Любой треуг/

Рис. 9. Можно ли выложить плоскость плитками, мзображенннj вверху (а)? Утвердительный огвет на этот вопрос дает критерий К нузя, утверждающий, что данная фигура реализуется как протоклп моноэдрическон мозаики, если ее границу можно разбить на 山久" таких частей (показанных черными кружками, б), что части а и d переводятся друг в друга параллельным переносом, а остальные четыре части bt с, е и f суть центрально-симметричные линии (центры симметрий изображены светлыми кружками, б). В мозаике четыр- элемента из шести, примыкающих к центральному элементу, ются поворотом центрального элемента на 180° вокруг светлых кру^ ков, а остальные два — параллельным переносом центральнс^ элемента. Критерий Конуэя применим к элементу любой формы. не только к многоугольнпкам, подобным изображенному па р*1С-

ник и любой четырехугольник так же, как и три семейства шестиугольников (рис. 10), реализуются как тотипы моноэдрических мозаик. (Под семейством мы ： нимаем множество многоугольников, внутренние Уг^ п стороны которых удовлетворяют определенным с0 ношениям.) Но число семейств пятиугольников все 池 остается неизвестным. Мы знаем тринадцать ^'此^巾 п ятиугольн и ков, допускающих мозаики (рис. И), н°

0c о том, полон ли этот список семейств пятнугольни- или его необходимо дополнить, остается пока нере・ 出енннм *. Мартин Гарднер внес важный вклад в реше- няе. и этой проблемы, опубликовав в июльском номере Scientific American за 1975 г. список пятиугольников, в то время считавшийся полным (в список входили пятп-

j Рис. Ю. Три типа шестпугольнпков, допускающих мопоэдрические мозаики. В действительности каждый из шести угол ьннков допускает изоэдрическую мозаику. Эти типы шестиугольннков были открыты К. Рейнхардтом в 1918 г. (Указаны соотношения между углами, обозначенными буквами х, у, г, Г, и между сторонами а, Ь, с шестпуголь- ников.)

I угольники, открытые Рейнхардтом в 1918 г, и Кершне-

I ром в 1968 г.). Некоторые читатели указали на неполноту списка. Были открыты новые пятиугольники, допуска-

I «Щне мозаики (рис. 11). Именно с этими пятиугольниками и связан наш второй вопрос.

Проблема 2. Существует ли какое-либо семейство вы- I Цклых пяти угольников f отличных от изображенных на Р〃с //, которые допускают моноэдрические мозаики на Носкости?

Недавно Д. Ч. Хант и М. Д. Хиршхорн заявили, что "м удалось доказать полноту составленного в 1978 г. 4°рнс Шаттшнайдер списка равносторонних пятиуголь- "мков, допускающих мозаики на плоскости; однако их

I доказательство пока нигде не опубликовано.

2・ Даже если данный прототип допускает моноэдрн- 览ск^ю мозаику на плоскости, не существует апрнор- н°г° метода, позволяющего решать, сколько при этом

п_ * Моноэдрпческим мозаикам из (выпуклых) п ятиугольни ков 欄：山曰12 в этом сборнике специальная статья Д. Шаттшнайдер.——

другие примеры мозаик.

Р"с. 12. Девять примеров мономорфных прототипов моноэдрических мозаик.Р"с. 12. Девять примеров мономорфных прототипов моноэдрических мозаик.возникает различных мозаик. Назовем элемент моно- 川0P力"”4, если он допускает единственную мозаику. Нан- бопее известным примером мономорфного элемента мо- ^ет служить правильный шестиугольник. Он допускаетвозникает различных мозаик. Назовем элемент моно- 川0P力"”4, если он допускает единственную мозаику. Нан- бопее известным примером мономорфного элемента мо- ^ет служить правильный шестиугольник. Он допускает

Р"с. 12. Девять примеров мономорфных прототипов моноэдрических мозаик.

Р"с. 12. Девять примеров мономорфных прототипов моноэдрических мозаик.

возникает различных мозаик. Назовем элемент моно- 川0P力"”4, если он допускает единственную мозаику. Нан- бопее известным примером мономорфного элемента мо- ^ет служить правильный шестиугольник. Он допускает

возникает различных мозаик. Назовем элемент моно- 川0P力"”4, если он допускает единственную мозаику. Нан- бопее известным примером мономорфного элемента мо- ^ет служить правильный шестиугольник. Он допускает

『"нственную мозаику — ту правильную мозаику, кото- 俨 изображена на рис. 6. В то же время квадрат не I н°морфен. Действительно, ряды квадратов можно kr "гать друг относительно друга, из чего следует, что I 哪ат допускает бесконечное множество различных мо-

занк. На рис. 12 приведены некоторые менее известные примеры мономорфных элементов. При рассмотрении возникает важный вопрос. Каждый из элементов (й) и (е) на рнс. 12 допускает по две мозаики (рис. 13), но 痴

Рис. 13. Мозаики, реализуемые в прототипах д пе рис. 12. Пос кол1- Ау каждая из двух возможных мозаик зеркально-симметрична :иг гой, прототипы мозапки считаются мономорфными.

мозаики зеркально-симметричны. Следует ли считать нх различными? Правильнее всего было бы сказать, что это «дело вкуса», но по разным причинам, на которых здесь неуместно останавливаться, мы предпочитаем не различать зеркально-симметричные мозаики и поэтов} утверждаем, что элементы (5) и (е) мономорфны.

Существуют ли элементы, которые диморфны, т. допускают ровно две моноэдрнческие мозаики? Оказывается —существуют. Примеры такого рода изображены на рис. 14. Триморфный прототип н три реализующиеся мозаики представлены на рис. 15. Этот единствен в том смысле, что все остальные нзвестнь нам триморфные прототипы тривиально получаются м него. Обнаружить диморфные или триморфные пр°т°т, пы нелегко, поэтому мы предлагаем следующие лемы

ветствующие реализации мозаик.

Проблема 3. Найти новые примеры диморфных и триморфных прототипов моноэдрических мозаик, существенно отличных от уже известных.

Проблема 4. При любом ли конечном г》4 существуем r-морфный прототип моноэдрической мозаики?

Следующей наш вопрос имеет более технический характер, но представляет большой теоретический интерес:

Проблема 5. Существует ли прототип, реализующий ся лишь в счетном множестве моноэдрических мозаик

Проблемы 4 и 5 по существу сводятся к вопросу ° том, велик ли разрыв между (известными нам) значением г=3 и несчетной бесконечностью и насколько можно сузить этот пробел.

При попытке распространить эти идеи на й-эдричес-

кне мозаики (выложенные из элементов k различных форм) мы сталкиваемся с необходимостью ввести новые соображения. Рассмотрим й-эдрические r-морфные прототипы (左》2, /*》1)・ Существование таких прототипов было установлено Г. Харбортом в 1977 г. Харборт обнаружил, что ромб с надлежаще выбранным углом и элементы, сложенные из нескольких ромбов (рис. 16), по、

8

Рнс. 16. Конструкция Харборта для пары прототипов, допускающих ровно г мозаик (в предположении, что в каждой мозаике встречают- сп элементы обоих типов). На рисунке г =4. Один элемент имеет Ф°рму ромба с углами 2л/р и (р——2) л7р, где р=6г—7, а другой получается склеиванием 2r——2 ромбов, как показано на рисунке.

зволярт решить проблему при 左=2, а следовательно, н при 々与2. (Харборт получил решение, разрезав оба Бемента мозаики на специально выбранное число час- Teii так, что эти части подходили друг к другу только в том случае, если восстанавливались исходные элемен- тн мозаики.) Однако конструкция, представленная на ?нс. 16, не дает полного решения проблемы. Такое ре- едение мы получим, только потребовав, чтобы во всех

Рис. 17. Две диэдрические мозаики, использующие в качестве пр(ь тотинов два одинаковых пятиугольника. Поскольку других мозаик с теми же прототипами не существует, пара представленных на рисунке пятиугольников образует диморфную систему прототипов. Подчеркнем, что в данном случае ни один из прототипов сам по себе не реализуется в (моноэдрической) мозаике.

Рпс. 18. Мозаика с отмеченными (в левой части рисунка) операциями симметрии (отличными от тривиальных параллельных переносов)- Темными треугольниками выделены линии — оси зеркальной 二 метрик; штриховые линии суть оси скользящей симметрии. (Любой вектор, соединяющий два темных треугольника, задает napa"』5. ный перенос, также принадлежащий к числу операций, входящих в группу симметрии мозапкн).

“озанках непременно использовались копии всех прототипов —без этого условия наш пример утрачивает си- U，поскольку ромб сам по себе допускает несчетно бесконечное множество мозаик. Так мы приходим к следующей проблеме:

Проблема 6. При любых ли 尼》2 и г》1 существует множество 俨，состоящее из k таких прототипов, что 沙 реализуется ровно г различными мозаиками, даже если разрешается использовать в мозанках копии не всех элементов из %"

Пример решения проблемы 6, отвечающий значениям A l2, показан на рис. 17.

В 1900 г. Давид Гильберт сформулировал своп знаменитые проблемы, оказавшие огромное влияние на развитие современной математики. Одна из проблем Гильберта ——восемнадцатая — имеет самое непосредственное отношение к мозаикам. Уместно поэтому дать краткий обзор попыток решения этой проблемы.

Прежде всего необходимо объяснить, что означает термин ^изоэдрическиш>. Определяется это понятие следующим образом. Каждая мозаика 歹 обладает группой S J"-симметрий (или самосовмещений мозаики), т.* е. группой движений плоскости как целого, отображающих мозаику 歹 на саму себя. (Так, на рнс. 18 указаны несколько элементов группы симметрий различного тапа.) Неформальное описание группы симметрий (с точки зрения математики не совсем свободное от дефектов) предложил в 1907 г. Фурре. Представим себе, что мозаика перенесена на лист кальки. Каждой симметрии мозаики соответствует какое-то движение кальки (с переворачиванием листа кальки или без подобного переворачива- ннн), в результате которого чертеж совмещается с самим собой. Мозанка 歹 называется изоэдрической, если 覇у любых двух элементов Ть Ту из 歹 существует опе- Рзция симметрии, отображающая Ti на ТКаждая изо- эДрическая мозаика должна быть моноэдрической. Обратное утверждение неверно: различие между понятия- Х1и нзоэдрни и моноэдрии проиллюстрировано на рис. 19.

Восемнадцатую проблему Гильберта можно сформу- (нровагь следующим образом: существует 〃〃 прототип, Пускающий моноэдрическую мозаику, но не допускающей ни одной изоэдрической мозаики? Первоначально речь

шла о трехмерных «мозаиках», должно быть, потому что в плоском случае Гильберт считал отрицательный ответ очевидным. Но он заблуждался! В 1935 г. Г. Хе- еш нашел элемент (рис. 20), являющийся прототипом для бесконечно многих (моноэдрических) мозаик, ни

Рис. 19. Две моноэдрические мозаики, использ^^ющие один и тот же прототип. Правая мозаика изоэдрическая, так как для любых элементов существует операция симметрии мозаики, отображающая один элемент в другой. Левая мозаика не изоэдрическая, так как не существует операции симметрии, которая бы отобразила элемент И в элемент

одна из которых не является изоэдрической. Впоследствии были обнаружены и другие примеры. Некоторые из выпуклых пятиугольников, изображенных на рис. допускают моноэдрические, но не изоэдрические мозаики.

На первый взгляд может показаться, что различие между моноэдрнческими и изоэдрическими мозаиками несущественно. Такое впечатление обманчиво. Напрнмер’ если ограничиться рассмотрением изоэдрических мозаик, то становятся разрешимыми проблемы 1, 2, 4 и 6. В частности, в связи с проблемой 2 Г. Хееш и О. Кинцле в 1963 匚 дали полный список, многоугольников, допускающих эдрические мозаики. Они смогли решить эту задачу &

года р я тому, что математикам j^ дал ось описать все изо- эдрпческие мозаики. Доказано, что всего существует 81 тмп таких мозаик, 47 из которых можно построить, используя многоугольники. Некоторые примеры изоэдри- ческих мозаик показаны на рис. 21. Метоп, позволяющий

Рис. 20. Прототип Хееша (а) — первый из обнаруженных элементов, реализующихся как прототип моноэдрическон мозаики, но не реализующихся ни в одной изоэдрической мозаике. В настоящее вре- мя известны и многие другие примеры такого рода. Например, этим свойством обладают некоторые из пятиугольников, изображенных на Рис. 11. Показано, каким образом элемент Хееша составлен из квад- Ратов н половин квадратов (а). Приведены также примеры (какнх- т° из бесконечно многих возможных) мозаик (б, в), использующих этот элемент как прототип.

построить классификацию изоэдрлческих мозаик по ти- 喻，осложнен множеством технических деталей, и его 'Ряд ли стоит здесь приводить. Лишь недавно этот ме- т°4 удалось удовлетворительным образом обобщить. (От- сутствнем такого обобщения, по-видимому, объясняют- 8 многочисленные неясности и ошибки в более ранних Работах по проблемам классификации мозаик.)

Рис. 21. Двенадцать примеров пзоэдрпческнх мозаик.

Одной из наиболее замечательных теорем о мозаиках с полным основанием считается теорема о расишр^ н〃〃 (мозаики). Ее частный случай известен под ?азва・ нием теоремы Ванга (по имени автора), но общий с」У чай был доказан совсем недавно, н это доказательству еще не опубликовано. Пусть 俨一заданное (конечное) множество прототипов, топологически эквивалентньп диску. Предположим, что при любом сколь угодно шом R круглый диск Dr радиуса R можно покрыть 弘 ментами множества 5\ Теорема о расширении УТвеРу^ дает, что в этом случае мозаики можно расширнть ； всю плоскость, т. е. что элементами множества 夕

покрыть ьсю плоскость. Слова «можно покрыть» требуют некоторых пояснений. Они означают, что конеч- 疝м числом элементов множества 俨 можно полностью выложить участок плоскости, содержащий диск Ря, н 呻н этом площадь всех общих частей элементов (их

Рис. 22. Каждый изображенный здесь элемент — бесконечная нал广 полоса, с одной стороны завершающаяся полукругом. Элементы такого рода, разумеется, покрывают любой сколь угодно большой круглый диск, но выложить ими всю плоскость не удается Как показывает приведенный пример, теорема о расширении требует выполнения необходимого условия — ограниченности образующих мозаику элементов.

перекрытий) будет равна нулю ——эти фигуры будут соприкасаться, но не перекрываться. Теорема о расширении верна при соблюдении следующего существенного условия: все прототипы (элементы множества 贸)должны быть ограниченными по своим размерам, а число нх Должно быть конечно. На рис. 22 мы видим копии од- ного «прототипа», покрывающие сколь угодно большие Диски, но покрыть этими фигурами всю плоскость, оче- внпно, нельзя. Теорема о расширении в этом случае не Работает, так как рассматриваемый нами «прототип» не- 0rpаннчен.

Некоторые следствия из теоремы о расширении до- в。门ьно неожиданны. Например, из нее следует, что если 汕ементы множества 疗 позволяют выложить мозаику, заполняющую квадрант плоскости, то ими можно выло- 次нть и всю плоскость. На первый взгляд может пока- :атьс» очевидным, что если можно покрывать мозаикой °е большие участки плоскости, то, продолжая неогра- ,1"енно расширять выложенный мозаикой участок, мы коьще концов вымостим всю плоскость. Однако это ут-

верждение становится менее очевидным, если прння， во внимание, что по мере увеличения R нам может 胸； добиться непрерывно перестраивать элементы и что, можно, ни один из выложенных мозаикой участков н войдет в окончательную мозаику, покрывающую 叫 плоскость.

Рис. 23. Элe^feнт Хееша (〃) обладает замечательным свойством: хат« его можно полностью окружить тождественными ему копиями В он все же не пригоден для построения мозаики на всей плоскости Тем не менее этот элемент позволяет покрывать обширные участь i плоскости (в). Строение элемента показано слева вверху： он состоит из объединенных квадрата, равностороннего треугольника и и。，；， вины равностороннего треугольника (на рисунке они отделены ” квадрата штриховыми линиями).

Возникающая в этой связи проблема называется проблемой Хееша. Известно, что существуют прототипы Р не реализующие мозаику на всей плоскости, хотя их можно полностью окружить тождественными им копиями (рис. 23). Окружить полностью элемент Р — это значит построить вокруг него (без просветов) кольцо R так, чтобы каждая точка элемента Р была удалена °т любой точки плоскости вне R на расстояние, превышав- щее некоторое заданное положительное число. Полно^ сгпью дважды окружить Р означает построить вокрУ' Р кольцо /?, окруженное другим кольцом А'.

Проблема 7. Существует 厶〃 прототип Р, не р"； зующшся е заполняющей всю плоскость мозаике,刊°

j что его можно полностью дважды окружить тож- ^венными ему копиями?

伊 Проблема допускает обобщение. Рассмотрим элемент р который можно г раз полностью окружить тожде- [венньши ему копиями (что это означает, конечно, яс- с)Наибольшее из таких целых чисел 厂 назовем числом для элемента мозаики Р.

Проблема 8. Существуют ли фигуры с числом Хееша г=3, 4, 5…？

Мозаика 歹 называется периоди^ской, если среди симметрий 夕 существуют два сдвига (параллельных переноса) в непараллельных направлениях. Примерами пе- I риодических мозаик могут служить мозаики на рис. 13, 15 it 18. В каждом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложен- I кого из элементов в узлах некоторой решетки. Множество прототипов 俨 называется апериодическим, если оно I реализуется в каких-то мозаиках на плоскости, но все эти мозаики не являются периодическими. До недавнего времени апериодические множества прототипов не были 1 известны. Первый пример обнаружил Р. Верджер в 1966 г. Позднее примеры предложили Робинсон, Пенроуз, Амманн и другие авторы. На рис. 24 показана мозаика, построенная на основе первого апериодического I множества, открытого Р. Пенроузом.

I Мартин Гарднер посвятил апериодическим мозаикам I Пенроуза, известным под названием «воздушные змеи» ]и «стрелы», увлекательную статью, опубликованную в ян- I варском номере журнала Scientific American за 1977 г.

Элементы этих мозаик обладают многими замечательными I н неожиданными свойствами, не все из которых получи-

Ли адекватное объяснение. С 1977 г. несколько новых ап^риодаческих множеств были открыты Робертом Ам~ манном. С его любезного разрешения мы воспроизводим элементы этих множеств на рис. 25.

I Апериодические мозаики ——слишком обширная тема 口门兄 того, чтобы ее можно было сколько-нибудь полно Раскрыть в нашей статье. История апериодических мо- анк и их связь с математической логикой — одна из

I преснейших, но еще не дописанных глав в науке о мо- ,нках. Д1ы упомянем лишь несколько фактов, посколь-

I У нн одна статья, претендующая на обзор свойств мо-

б

g

Рис. 24. Первый набор апериодических мозаик, открытый Р°哈 Пенроузом. Прототипы изображены слева вверху (а). Справа 巾 (б) показано, каким образом выступы и впадины можно 制 числами, сохранив эквивалентное «условие зацепления»： О, 1, 2 должны прийтись против сторон б, Т, 2. Внизу ® 1130 卩

один из примеров мозаики.

к не была бы полна без упоминання об основной рррблеме> связанной с построением апериодических мо- ''"Проблема 9. Существует ли апериодическое множе- 偷so, состоящее из единственного прототипа Р?

0наче говоря, Р может допускать много моноэдричес- кнх мозаик на плоскости, но ни одна из них не будет не~

ооРнс. 25. Два набора апериодических элементов мозаики, недавно от- :Рытых Р. Амманном. Каждый набор из трех фигур содержит не- ^ьшую «ключевую фнгуру», заполняющую отверстия в более круп- WK фигурах и тем самым огра и и чивающую варианты их относитель- - иого расположения.Рнс. 25. Два набора апериодических элементов мозаики, недавно от- :Рытых Р. Амманном. Каждый набор из трех фигур содержит не- ^ьшую «ключевую фнгуру», заполняющую отверстия в более круп- WK фигурах и тем самым огра и и чивающую варианты их относитель- - иого расположения.

о

о

Рнс. 25. Два набора апериодических элементов мозаики, недавно от- :Рытых Р. Амманном. Каждый набор из трех фигур содержит не- ^ьшую «ключевую фнгуру», заполняющую отверстия в более круп- WK фигурах и тем самым огра и и чивающую варианты их относитель- - иого расположения.

Рнс. 25. Два набора апериодических элементов мозаики, недавно от- :Рытых Р. Амманном. Каждый набор из трех фигур содержит не- ^ьшую «ключевую фнгуру», заполняющую отверстия в более круп- WK фигурах и тем самым огра и и чивающую варианты их относитель- - иого расположения.

РиодиЧескодж Можно показать, что проблема 9 удиви- ：“ьным образом связана с проблемой 1. По крайней Г. Ванг показал связь между апериодичностью н Млемой существования мозаики, т. е. проблемой пост- 曲:нн» алгоритма, позволяющего решать, реализуется Данное множество 部 прототипов в некоторой мозаике к 由 Нет. Полученный Вангом результат применим только 『"гурам весьма специального вида — «квадратам с JH&MH сторонами». Неизвестно, в какой мере ана-

I |"нме соображения применимы к элементам произ-

вольной формы. Тем не менее весьма правдоподоб#, что утвердительное решение проблемы 9 повлечет за со/ отрицательный ответ на вопрос, поставленный в блеме 1.

6. В заключение статьи упомянем несколько люг- пытных случаев. Первый из них связан с так называем.

Рис. 26. Элемент мозапкн Фодерберга, обладающий замечате.П' сеойством: две копии такой фигуры могут образовать зам к «колыдо, внутри которого помещается третья копня 4"|叮「七 или даже две другие копии (б). Вверху (а) показана периоднч мозаика, использующая фигуру Фодерберга в качестве протот

проблемой замыкания. В 1934 г. К. Рейнхардт 黑，. задачу: могут ли две фигуры, конгруэнтные

Р, образовать замкнутое кольца вокруг еще °^胃①弱评 той же фигуры Р. В 1936 г. эту задачу решил Г-

г, предложивший пример прототипа, допускающего 便А^днческую мозаику (рис. 26). Найденная им фигура Задала необычным свойством: две ее копии образевыва- замкнутое кольцо не только вокруг третьей копии, но I вокруг двух копий фигуры Р. Это свойство фигуры Фо-

Рис. 27. Построение прототипа мозаики, обладающего свойством ^-замыкания (на рисунке г=8). Сначала строится ломаная A BCD с I прямыми углами при вершинах В и С. Сами вершины А, В, С и D располагаются на четырех параллельных прямых, удаленных друг т Друга (точнее, от соседней прямой) на одно и то же расстояние;нн изображены штриховыми линиями. Пусть DE——дуга окружное- 彳с Центром в точке Л, FA — дуга окружности с центром D, ЕЕ'— /ТВеРть дуги ED. Обозначим AFBCE через S, и пусть S' — образ S повороте вокруг Л, при котором Е переходит в Е'. Тогда прото-I м°занкн, ограниченный S, S' и ЕЕ', обладает свойством 8-замы- ；弋垣，как видно из нижнего рисунка. При значениях г, отличных построение проводится аналогично, только точка Е' выбирает- так, чтобы д\та DE по длине была в [р/2) (г+1)] раз больше дугиЕЕ.Рис. 27. Построение прототипа мозаики, обладающего свойством ^-замыкания (на рисунке г=8). Сначала строится ломаная A BCD с I прямыми углами при вершинах В и С. Сами вершины А, В, С и D располагаются на четырех параллельных прямых, удаленных друг т Друга (точнее, от соседней прямой) на одно и то же расстояние;нн изображены штриховыми линиями. Пусть DE——дуга окружное- 彳с Центром в точке Л, FA — дуга окружности с центром D, ЕЕ'— /ТВеРть дуги ED. Обозначим AFBCE через S, и пусть S' — образ S повороте вокруг Л, при котором Е переходит в Е'. Тогда прото-I м°занкн, ограниченный S, S' и ЕЕ', обладает свойством 8-замы- ；弋垣，как видно из нижнего рисунка. При значениях г, отличных построение проводится аналогично, только точка Е' выбирает- так, чтобы д\та DE по длине была в [р/2) (г+1)] раз больше дугиЕЕ.]jSpra мы назовем 2-замыканием. Обобщая, можно на- фигуру 尸 обладающей свойством г-замыкания, еелн 飞 ее копии образуют замкнутое кольцо вокруг облас- ;с°вп а дающей с объединением ее г неперекрывающих- 〃к°г!нй. Замечательно, что обладающие свойством г- 〃兄 фигуры существуют при сколь угодно боль- I 二 Построить фигуры со свойством r-замыкания при

Рис. 27. Построение прототипа мозаики, обладающего свойством ^-замыкания (на рисунке г=8). Сначала строится ломаная A BCD с I прямыми углами при вершинах В и С. Сами вершины А, В, С и D располагаются на четырех параллельных прямых, удаленных друг т Друга (точнее, от соседней прямой) на одно и то же расстояние;

нн изображены штриховыми линиями. Пусть DE——дуга окружное- 彳с Центром в точке Л, FA — дуга окружности с центром D, ЕЕ'— /ТВеРть дуги ED. Обозначим AFBCE через S, и пусть S' — образ S повороте вокруг Л, при котором Е переходит в Е'. Тогда прото-

I м°занкн, ограниченный S, S' и ЕЕ', обладает свойством 8-замы- ；弋垣，как видно из нижнего рисунка. При значениях г, отличных построение проводится аналогично, только точка Е' выбирает- так, чтобы д\та DE по длине была в [р/2) (г+1)] раз больше дуги

ЕЕ.

Рис. 27. Построение прототипа мозаики, обладающего свойством ^-замыкания (на рисунке г=8). Сначала строится ломаная A BCD с I прямыми углами при вершинах В и С. Сами вершины А, В, С и D располагаются на четырех параллельных прямых, удаленных друг т Друга (точнее, от соседней прямой) на одно и то же расстояние;

нн изображены штриховыми линиями. Пусть DE——дуга окружное- 彳с Центром в точке Л, FA — дуга окружности с центром D, ЕЕ'— /ТВеРть дуги ED. Обозначим AFBCE через S, и пусть S' — образ S повороте вокруг Л, при котором Е переходит в Е'. Тогда прото-

I м°занкн, ограниченный S, S' и ЕЕ', обладает свойством 8-замы- ；弋垣，как видно из нижнего рисунка. При значениях г, отличных построение проводится аналогично, только точка Е' выбирает- так, чтобы д\та DE по длине была в [р/2) (г+1)] раз больше дуги

ЕЕ.

любом г можно так, как показано на рнс. 27. Однако э： фигуры не позволяют ответить на следующий (по-вн；^ мому, не очень трудный) вопрос:

Проблема 10. Существует ли фигура Р, обладаю^ свойством r-замыкания (г》3) и реализующаяся код тотип мозаики на плоскости?

Рис. 28. Спиральная мозаика Фодерберга. В ней использован же прототип, как н в мозаике на рис. 26.

В своей статье Фодерберг заметил, между пр。4*"， что предложенный им элемент допускает «сппра^еШ ную» мозанку (рнс. 28). Необычная мозаика внзва значительный интерес. В январе 1977 г. Мартин「卯“ нер опубликовал рисунок спирали Фодерберга с ментариями Майкла Гольберга, объяснявшего, как 小 строена такая мозаика. Из метода построения было 'сн( что спиралевидность мозаики не имеет отнотен"： свойству замыкания. Кроме того, оказалось нетрУ%”. найти многие другие элементы, также допускающпе L ральные мозаики.

Однако все спирали, построенные по методу 1 ％武 га, обладали четным числом рукавов, т. е. ряЗ°» * 248奇

ментов, раскручивающихся от центра наружу. Недавц( удалось обнаружить спирали с нечетным числом руКа вов. Примеры таких спиралей показаны на рис. 29. гура, использованная в этих спиралях, была названа

«гибкой», так как она реализуется в большом числе др}- гих необычных мозаик (рис. 30). Однако осталось несколько нерешенных проблем. Например, на рнс. 29м°~ но заметить, что половина копий прототипа зеркальн, симметрична другой половине. Всегда ли так будет

Проблема И. Существует ли моноэдрическая а" ральная мозаика с нечетным числом рукавов, выложу ная только из собственных (но не зеркальных прототипа?

Нельзя не упомянуть п о том, что спиральные мозаи- при всех их эстетических достоинствах с математи- чеСкой точки зрения обладают существенным недостат- ком： до сих пор так и не ясно точно, что же такое сПпральная мозаика ——является ли это понятие математическим или оно принадлежит к разряду чисто эстетических категорий? Поэтому мы заканчиваем нашу статью проблемой, более пригодной для общего обсуждения, чем для математического исследования:

Проблема 12. Лайте точное определение спиральной мозаики.

Литература и краткие рекомендациик дальнейшему чтению

Помимо статей Мартина Гарднера, упоминавшихся в тексте, представляют интерес следующие книги и статьи, которые мы распре- делили по разделам нашей статьи.

Введение. Опубликовано несколько альбомов AI. К- Эшера. Наиболее полным собранием его работ считается издание The World of М. С. Escher (New York, Abrams, 1971). Очень интересно обсуждение творчества Эшера, н в частности его мозаик в книге: Ernst В. The Magic Mirror of M. C. Escher (New York, Random House, 1976).

Теоретико-групповому анализу мозаик Альгамбры посвящена работа: Muller Е. Gruppentheoret ische Ornamente aus der A Iha mb re in Grenada (Zurich, ETH Dissertation, 1944). Работа Кеплера «Гар^ иония мира», первое издание которой вышло в 1619 г. в Линце, воспроизведена в полном собрании трудов Кеплера, изданном под редакцией AI. Каспара (Kepler J. Gesammelte Werke, Band VI, Miin- chen, Beck, 1940). Оригинал работы Кеплера написан по-латыни.

Каспар опубликовал также немецкий перевод «Гармонии мира» (Kepler J. Weltharmonik, Munchen, Oldenburg, 1967).

Три типа шестиугольников, реализуемых в плоских мозаи- ках, были найдены К- Рейнхардтом в его диссертации «О разбне- :плоскости на многоугольники», представленной в 1918 г. Франкфуртскому университету (Leipzig, Noske, 1918). По поводу результа- Тов Кер.цнера о разбиении плоскости на пятиугольники см. Kersch-

R. В. On paving the plane, American Mathematical Monthly, 吼 1968, pp. 839——844. Наш список пятиугольников базируется на е： Schattschneider D. Tiling the plane with congruent pentagons, #师01疽心 Magazine, 51, 1978, p. 29—44. В том же журнале Mathe- ；atics Magazine, 51, 1978, p. 312 M. Д. Хиршхорн и Д. Ч. Хант еде- 俨н предварительное сообщение о том, что список равносторонних Ятиугольников полностью завершен.

т 2. Различные проблемы, связанные с Л-морфнымп мозаиками, ^смотрены в работе авторов： Patch-determined tilings, Mathematics zette, 61, 1977, p. 31—38; пример Харборта приведен в его статье:

Prescribed numbers of tiles and tilings, Mathematical Gazeth 祈 1977, p. 296-299.'

Знаменитые проблемы Гильберта были изданы на апглийск языке еще в 1902 г. и переизданы в комментированном издан Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, pr Symp. Pure Math., 28 (Amer. Math. Soc., Providence, R. I.,‘1976* Книга Хееша и Кинцле, о которой шла речь,——Heesch und Kienzle Flachenschuf?» Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer-Verla< 1963. По поводу последних результатов, касающихся изоэдрнческ1^ мозаик, см. Griinbaum В., Shephard G. С. The eighty-one types J isohedral tilings in the plane, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc 82, 1977, p. 177—196.I

Доказательство теоремы о расширении будет приведено в упоминаемой ниже книге авторов настоящей статьи. Проблема X&ewa поставлена в книге: Heesch, Regulares Parkettierungsproblem, Koln — Opladen, Westdeutscher-Verlag, 1968.

Теории апериодических элементов посвящена статья： Robin- son R. M. Undecidability and nonperiodicity of tilings of the plane, Inventiones Math., 12, 1971, p. 177—209, а также работы: Penrose R. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. Bull. Inst. Math. AppL. 10, 1974, pp. 266—271; Pentaplexity, Eureka, 39, 1978, pp. 16—22. Наиболее современный обзор по апериодическим мозаикам содержится в статье Мартина Гарднера, упоминавшейся в тексте. Более подробное изложение приведено в книге авторов, которая вскоре должна выйти из печати. Связь между апериодичностью и проблемой существования мозаики рассмотрена в статье Робинсона, а также в работе: Wang Н. Proving theorems by pattern recognition II, Bell Systems Techn. Journ., 40, 1961, p. I —42.

Результаты Фодерберга изложены в его статьях: Zur Zerle- gung der Umgebung eines ebenen Bereiches in kongruente. Jahre ber. Deutsch. Math. Verein., 46, 1936, S. 229—231; Zur 屮卿映也 Ebene in kongruente Bereiche in Form ein er Spirale, ibid., 47. 1937, S. 159—160. Принадлежащее Гольдберг}7 объяснение структуры cnii ральных мозаик опубликовано в статье: «Central tesselations»» Script’ Math.. 21. 1955, p. 253—260. Спиральным мозаикам посвящена " краткая статья авторов: Spiral tesselations and versatiles, Alathenia- tics Teaching, 88, 1979, p. 50—51.

Мы указали здесь лишь малую долю обширной литературы мозаикам на плоскости. Более подробную информацию н 弟皿叩唠 перечень проблем вы сможете найти в кннге авторов: Tilings ап Patterns, которая вскоре выйдет в свет (\V・ Н. Freeman and San Francisco).

參 См. также (коммент»рованное) русское издание: Проб"' Гильберта.— М.： Наука, 1969.— Прим, /^»

Ангелы и демоныГ. С М. Коксетер

Около сорока лет назад (в 1936 г.) Абрахам Синков н я написали сходные статьи о группах, задаваемых периодами двух образующих элементов (двух генераторов) S н 7 н нх коммутатора S~xT~rST (см. Ill и 112J), не подозревая о том, что через двадцать лет М. К. Эшер (сам того не зная) независимо от нас придет к таким группам и использует их как группы симметрии резных шаров и четырех других художественных орнаментов ([191, рис. 112, 115, 226, 235, 244, 247; [111, р. /5). Эти работы воспроизведены в моей статье с разрешения Фонда Эшера Гаагского городского музея.

Орнаменты на евклидовой плоскости

На обоях обычно основной мотив (основной элемент, раппорт) монотонно повторяется, причем повторы идут в двух независимых направлениях, т. е. порождаются ^умя (параллельными) переносами, что соответствует группе симметрии pl. Теоретически более интересный орнамент можно было бы получить с помощью других операций симметрии, например центральной симметрий (полуоборота), переворачивающей раппорт «вверх тфмашками», т. е. так, как латинская буква q получается I нзЬ, или осевой силшетрией (зеркальным отражением), I Зияющей местами правое и левое (т. е. так, как латнн- ская буква b преобразуется в d или р). Центральная сим- "етрня — это поворот с периодом 2, но мы можем также I ^пользоваться поворотами с периодами 3, 4 или 6. Комбинируя все эти «изометрии» всеми возможным» спо- с°6амн, Е. С. Федоров доказал в 1891 г., что сущест- вует семнадцать (и только семнадцать) плоских групп Вмметрнн на плоскости, включающих параллельные 弋Реносн в двух разных направлениях. Одиннадцать из -"х семнадцати групп симметрии задолго до Федорова I Н』н интуитивно открыты безымянными мавританскими

Рис. 1. Эскиз Эшера к работе «Ангелы и демоны».

мастерами, создавшими великолепные мозаики Альгамбры. Некоторые из этих одиннадцати и пять дополнительных групп симметрии используются в росписи гончарных изделий, тканей и в плетении корзин, изготовленных племенами бакуба и бен ин в Африке (на юге Сахары) [6], [7]. Последняя оставшаяся из 17 групп симметрии плоскости, обозначаемая р31т, встречается в китайском орнаменте ([10], р. 40, Plate II.1).

Орнаменты Эшера более выразительны, так как в качестве основных мотивов (раппортных элементов) художник использует фигурки людей или животных, подогнанные столь хитроумно, что они покрывают всю плоскость без малейшего зазора. Например, на рис. 1 каждая точка плоскости занята изображением либо ангела, либо демона, либо линии, отделяющей одну фигу-

ру от другой. Группа симметрии орнамента, мысленно продолженного так, чтобы он заполнил всю плоскость, включает тетвертьобороты» (повороты на четверть полного угла — на угол л 2,—— или повороты с периодом 4); центрами таких четвертьоборотов являются все точки, в которых концы крыльев четырех ангелов смыкаются с концами крыльев четырех демонов. Орнамент переходит в себя и при зеркальных отражениях относительно некоторых вертикальных и горизонтальных прямых; его переводят в себя, разумеется, также и всевозможные произведения поворотов и отражений. Все это можно выразить более кратко: группа симметрии орнамента порождена одним поворотом S периода 4 и одним отражением Т периода 2. Например, если Г — отражение от одного из вертикальных зеркал, aS — четвертьоборот с центром, расположенным ближе всего к этому зеркалу, то S преобразует Т в отражение 7\= S-1TS от одного кз горизонтальных зеркал. Степени Sk 他=0, 1, 2, 3) поворота преобразуют Т в отражения S~kTSk относительно сторон квадрата.

Повороты S^ образуют циклическую группу С4 порядка 4, порожденную элементом S. Два отражения Г н А порождают диэдрическую группу D2 порядка 4, внутри которой произведение 7\Т порождает цикличес- кую подгруппу С2 (так как полуоборот 7\Т имеет период 2).

Соотношения

S4hi h 丁:=T2=(T;7尸 1(1)

служат абстрактными определениями, или образующими отношениями соответственно групп С4 и D2 в том смысле, что любое соотношение, которому удовлетворяют образующий элемент S или два образующих элемента Ti и Т группы Z)2, является алгебраическим следствием соотношений (1). Полагая Ti=S~1TS1 мы легко получим образующее соотношение

S& 二丁2=(ST「ST)2=1

бесконечной группы, порожденной поворотом S и отражением Т.

Эта бесконечная группа p4g ([5], с. 74) есть частный случай [41, 4] группы [/+, 2р] с образующими соотно-

шенпями

（乡（乡S，=T2 (S^TST) (/》2, 〃=1).

（乡

（乡

Здесь S — поворот с периодом / (т. е. поворот на yroq 2л//), Т — отражение от зеркала, расположенного та； что произведение TiT, где 九二 SfTS, имеет период р Иначе говоря, степени поворота S преобразуют зерк. ло ——ось симметрии Т — в стороны правильного 厶

Рис. 2. Фрагмент двойственных разбиений плоскости {3,6}餌 линии) {6, 3} (тонкие линии).Рис. 2. Фрагмент двойственных разбиений плоскости {3,6}餌 линии) {6, 3} (тонкие линии).

Рис. 2. Фрагмент двойственных разбиений плоскости {3,6}餌 линии) {6, 3} (тонкие линии).

Рис. 2. Фрагмент двойственных разбиений плоскости {3,6}餌 линии) {6, 3} (тонкие линии).

угольника, и угол между двумя соседними стор?н,； (между зеркалами, являющимися осями отражений / * 7\) равен л/р. Следовательно группа [/+, 2р] отвечае простейшей правильной мозаике — разбненню плоек сти на правильные /-угольники, причем вокруг вершины разбиения группируются по 2P таких ^Уг0* ника. Подобное разбиение плоскости принято обозн% символом {/, 2р) ([51, с. 148). Например, {4, 4} 一 嘘 ное разбиение плоскости на конгруэнтные кваДратьМ

мага «в клеточку»). Евклидова плоскость допускает еще только одно разбиение {3, 6}, показанное жирными ли- днями на рис. 2.

На кристаллографа Мак-Джиллаври (111], рис. 8) про- нзвел сильное впечатление тот факт, что Эшер заново открыл почти все федоровские группы симметрии на плос- ностн, пропустив, однако, как и африканские мастера, группу р31т [3+, 6] (ошибочно обозначенную рЗт1 вработах [31, с. 411, и [5], с. 199). По просьбе Мак-Джил- лаври Эшер восполнил этот пробел, создав «мозаику» If3 красных пчел и желтых ос (фото IV). На этой мозаике границы областей лежащего в ее основе разбиения {3, 6} служат осями симметрии насекомых. Под прямыми углами к границам этого разбиения проходят границы областей двойственного разбиения {6, 3} (на рис. 2 они показаны тонкими линиями), вершины которого располагаются в точках, где «локти» трех пчел соприкасаются с «локтями» трех ос. Образующим элементом S группы 13+, 6] служит поворот на угол 2л/3 вокруг каждой из таких точек. Нетрудно проверить, что выполняются образующие соотношения

ХЗ=Г2=^Г17)3=1>

где Л= S-'TS.

Смысл обозначения 1/+, 2р] можно расширить так. чтобы оно охватывало и случаи [2+, оо] и [8+, 2] как пятую и шестую из семи групп фризов ([3], с. 83). Группа [2+, оо], порожденная полуоборотом и зеркальной симметрией, есть группа симметрии синусоиды и фриза

...VAVAV....

「Руппа |оо + , 2], порождённая параллельным переносом "отражением (параллельный перенос происходит в направлении, параллельном плоскости зеркала), есть груп- "а симметрии фриза

...DDDDD....

Резные шары

Более интересное обобщение евклидовых разбиений °зннкает, если обычную евклидову плоскость заменить '兜клндовой ——сферой или гиперболической плоскб-

Рис. 3. Работа Эшера «Шар с рыбами».

Поверхность сферы можно рассматривать как плоскость, на которой роль прямых играют дуги больших кругов. Эта идея встречается у Абу-ль-Вафы (940—998 гг.) ([13], р. 352-357). Поворот сферы вокруг диаметра рассматривается как поворот вокруг любой из двух точек, в которых этот диаметр «прокалывает» поверхность сферы. Вписанный в сферу правильный тетраэдр {3, 3} симметричен относительно поворотов периода 3 с центрами в вершинах тетраэдра. Эти повороты порождают тетраэдрическую группу порядка 4, обозначаемую Л4, так как она является знакопеременной группой порядка 4 — группой четных перестановок четырех вершин. В ту же сферу можно вписать еще четыре тетраэдр3 так, что все множество из 20 вершин будет принадлежать правильному додекаэдру {5, 3} ([5], с. 57). Прис0" единяя к Л4 поворот периода 5, мы получаем эдрическую группу порядка 60, обозначаемую Л5, как она является знакопеременной группой порядка ‘ группой четных перестановок пяти тетраэдров.

Рис. 4. Многогранник с цветами.

Эшер создал резные шары с группами симметрии Л4 (рнс. 3) и Л5 (рис. 4). Цветы на втором шаре расположе- нн по спирали, как у вьюнка. Концы лепестков находят- Ся в вершинах додекаэдра. В основе этой резьбы лежит Многогранник, составленный из пяти тетраэдров, о котором мы уже упоминали (рис. 4А). Его принято обо- значать {5,3} [5{3,3}] {3,5}, так как двадцать его вершин принадлежат додекаэдру {5, 3}, а двадцать гра- 肥百 лежат в тех же плоскостях, что и грани двойствен- Ног。икосаэдра.

Более непосредственное отношение к интересующей "ас группе [/+, имеет другой резной шар Эшера

Рис. 4А. Пять тетраэдров. Рисунок Дж. Ф. Петри.

(рис. 5), симметричный относительно поворота S периода 3 с центром в любой из точек, в которых концы крыльев трех ангелов соприкасаются с концами крыльев трех демонов. Этот шар симметричен также относительно отражения Т в зеркале, плоскость которого совпадает с любой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Таким образом, S н 7 порождают группу [3+, 4]— и отвечающее этой группе разбиение сферы {3, 4} есть октаэдр, гранями которого служат сферические треугольники, высекаемые на сфере тремя плоскостями симметрии. Труппу [3+, 4] иногда называют пиршпоэдр^ ческой, поскольку она является также группой с】】мме『 рии кристаллов пирита, имеющих форму не ^вполне правильных додекаэдров.. С чисто математической зрения эта группа порядка 24 есть прямое произведен” Л4хС2 ([5], с. 63).' Действительно, перестановки

S=(〃bc), T=(ab) (cd) @),

Рис. 5. Шар с ангелами и демонами.

Урождающие прямое произведение группы Л4 с обра- 3УК)ЩИМИ

(abc)=Sf (ab) (cd)=STSTS

н Циклической группы порядка 2 с образующей

(*=(ST)\

Удовлетворяют образующим соотношениям

S3=T2=(s-itsT)2=1.

Для полноты упомянем также тривиальные группы [2+, 2p\^Dtp и [/+, 2]4axe2

(порядков 4P и 2Z), напоминающие группы [2+, оо] [оо+,2], с тем, однако, различием, что фризы на этот навернуты на цилиндр. Иначе говоря,(2+, 2р] — группа симметрии р-угольной антипризмы ([3], с. 223).

Предельные окружности

В 1958 г. я послал Эшеру оттиск статьи, в которо- была приведена схема, аналогичная изображенной н рис. 6. В ответном письме Эшер писал： «[Присланна

Вами] иллюстрация поразила меня. Дело в том, что я уже давно интересуюсь орнаментами, раппорты кот°рн непрерывно убывают, покуда не достигают предела, новясь бесконечно малыми. Строить такие орнамен 卫 сравнительно просто, если пределом служит точка центре орнамента. Не нсва для меня и предельная мая, но мне никогда не удавалось построить орнам；] в котором раппорты постепенно убывали бы от к внешней предельной окружности, как на вашем сунке. Я попытался понять, как геометрически

построена изображенная на нем фигура, но смог найти только центры и радиусы наибольших внутренних окружностей. Не могли бы Вы объяснить мне, как строятся последующие окружности, центры которых постепенно сближаются извне, пока не доходят до предела? Я был бы необычайно признателен Вам за такое объяснение. Существуют ли другие системы окружностей, также стремящихся к предельной окружности?»

Я сообщил Эшеру, что {4, 6} и {6, 4} — лишь два из бесконечно многих правильных разбиений {р,办 состоящих из тщательно пригнанных конгруэнтных правильных р-угольников (по q «штук» вокруг каждой вершины разбиения). Если р и ^ слишком велики для того, чтобы разбиение существовало на сфере или на плос^ кости, необходимо взять гиперболическую поверхность, на которой внутренние углы при вершинах правильного р-угольника меньше. В одной из моделей Пуанкаре «прямыми» на гиперболической поверхности служат дуги окружностей, ортогональные предельной окружности Q, проведенной на плоскости. Углы в этой модели передаются точно, а расстояния искажаются. Точки предельной окружности Q соответствуют бесконечно удаленным точкам. Хотя правильные четырехугольники на рис. 6, образованные жирными линиями, «постепенно убывают от центра к внешней предельной окружности», мы постигнем самый дух гиперболической геометрии, если, напрягая наше воображение, попытаемся представить себе, что все эти четырехугольники правильные и конгруэнтны между собой.

В записных книжках Эшера сохранились эскизы, показывающие, с каким упорством он пытался усвоить мден гиперболической геометрии, прежде чем ему уда- л℃ь создать «Предельную окружность IV» (рис. 7) с гРУппой симметрии (понимаемой в смысле гиперболичной геометрии) [4+, 6]:

S』T2=(sttsT)3=L

Образующим элементом S здесь (как и на рис. 1) служит поворот на четверть окружности вокруг одной из точек, в которых концы крыльев четырех ангелов соприкасают- S с концами крыльев четырех демонов, т. е. поворот ，н℃нтельно одной из вершин разбиения {6, 4} (тонкие "ннн на рис. 6). Другим образующим элементом слу-

жит отражение относительно одной из жирных линий на рис. 6 (каждая такая линия составлена из бесконечно многих сторон элементарных областей разбиения {4, 6}). Если зеркалом для Т служит одна из прямых, проходящих через центр, то S преобразует эту прямУ10 в одну из дуг, проведенных жирными линиями, и гиперболическое отражение T1=S~1TS исполняет в модели Пуанкаре роль инверсии относительно окружности, к0' торой принадлежит эта дуга. Рис. 7 отличается от рис. о тем, что поворот 7\Т (относительно точки, в кот°Р°" соприкасаются ноги трех ангелов) имеет период не 2, как ранее.

В «Предельной окружности II» (рис. 8) Эшер нсп。” зовал аналогичную группу [3+, 8], представляюшУ10 меньший математический интерес, хотя Бруно

Рис. 8. Работа Эшера «Предельная окружностьРис. 8. Работа Эшера «Предельная окружностьII».II».

Рис. 8. Работа Эшера «Предельная окружность

Рис. 8. Работа Эшера «Предельная окружность

II».

II».

шутливо отверг ее ([8], р. 109). Вершины разбиения {3,8} (pg 9), лежащего в основе всей композиции, расположены в центрах крестов. Точки, в которых соприка- саются области трех различных цветов, будучи центра- треугольных областей разбиения {3, 8}, являются веРшинами двойственного разбиения {8, 3} ([4], р. 23, Рнс. 5). В то же время центры крестов одного цвета слу- 終 вершинами разбиения на четырехугольники {4, 8}.

рис. 9 вершины разбиения {3, 8} изображены круж- черными, белыми или с черной точкой внутри в ав”снмостн от того, соответствуют ли они черным, бе- или серым кружкам.) В этом смысле можно утверж- ‘ть, что Эшер предвосхитил мое открытие правильного 壊ног。разбиения {3, 8} [3{4, 8}] 2{8, 3} ([2], содержащего суперпозицию из трех раз- 哺{4, 8}, вершины которых совпадают с вершинами

Рис. 9. Фрагмент двойственных разбиений {3, 8} (жирные линии/ н {8, 3} (светлые линии).

одного и того же разбиения {3, 8}, а центры элементарных областей совпадают с центрами элементарнг областей двойственного разбиения {8, 3} (каждый центр области двойственного разбиения используется дваждм)-

Заключение

Для любых двух целых чисел / и р(/>2, р>1) ществует группа 〃+, 2р], порожденная поворотом S риода / и отражением Т периода 2, коммутатор которь 夕Sr есть поворот периода р. Разбиение с групп симметрии [/+, 2р] осуществляется на зллнптнчес，'； плоскости (на сфере), на евклидовой плоскости на гиперболической плоскости (плоскости Лобачевск^^ в зависимости от того, будет ли число (/一2) меньше 2, равно 2 или больше 2. Конечная「РУ；/ [3+, 4J (порядка 24) есть группа симметрии 口。^。^ Эшера «Шар с ангелами и демонами». Он использ также две евклидовы группы [4+, 4] и [3+, 6]. Интере

из бесконечно многих г и пербол ически х групп 『2卩1 с (/——2) (р—1)>2 Эшер инстинктивно выбрал две (*^йшие: [4+, 6] и [3+, 8].

1严

[Coxeter, Н. S. М. 1936. The groups determined by relations S‘= '= (S~1T~1ST)P= 1. DuKe Math. Journal. 2: 61—73.

_》一1964. Regular compound tesselations of the hyperbolic pla- 'ne. Proc. Royal Soc. London A 278: 147—167.

_ » — 1969. Introduction to Geometry. 2nd ed. New York: Wiley; Коксетер Г. С. M. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966.

_ » — 1979. The non-Euclidean symmetry of Escher's picture «Circle Limit III». Leonardo 12: 19—25, 32.

—》— and Moser, W. O. J. 1980. Generators and Relations for Discrete groups 3rd ed. Berlin： Springer; Коксетер Г. С. M., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие отиоше- ния дискретных групп.— М.： Наука, 1980.

Crowe, D. W. 1971. The geometry of African art I. J. Geom. 1: * 169—182.

— » — 1975. The geometry of African art II. Historia Math. 2: 253—271.

.Ernst, Bruno. 1976. The Magic Mirror of M. C. Escher. New York: Random House.

Escher, M. C. 1971. The World of M. C. Escher. New York: Abrams. .Fejes Toth, L. 1964. Regular Figures. New York: Pergamon.

IL MacGillavry, Caroline. 1976. Fantasy and Symmetry — The Periodic Drawings of M. C. Escher. New York： Abrams.

，.Sinkov, Abraham. 1936. The Groups Determined by the Relations Sl~Tm= (5丁叮一157)卩=1. DuKe Math. Journal 2: 74一83.

R Woepke, F. 1855. Recherches sur Fhistoire des sciences mathema- tiques chez les orientaux, d'apRs des traites inedits arabes et persans. J. Asiatique 5: 309—359.

Мозаики в пространстве

Задачи по упаковке и неравенства Д. Дж. Гофман

Земельные угодья, имеющие в плане форму квадрата со стороной 15 миль, требуется разделить на четыре прямоугольных участка размером 7x8 кв. миль каждый. Как это сделать? (Попробуйте решить задачу самостоятельно, прежде чем посмотрите в ответ, данный на рис. 1, Q).

Заметим, что площадь угодий составляет 15^=225 кв. миль, а площадь каждого участка 56 кв. миль. След вательно, после того, как участки будут нарезаны, останется 225—4 (56)=1 кв. миля «ничейной» земли.

Рассмотрим более общую задачу. Пусть х и — положительные числа. Можно ли нарезать четыре прямоугольных участка площадью хХу кв. миль каждый из надела, имеющего в плане форму квадрата со стороной %+у миль? На этот раз площадь угодий составляет (%+У)2 кв. миль, а площадь каждого участка ку кв миль. Чтобы задача была разрешима, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

4%у< (х+")2 ]

——ведь суммарная площадь четырех участков не м°*ет превышать площади надела.

Эта более общая задача всегда имеет решение, и я сомневаюсь, что вы нашли его, если решили перву задачу, отвечающую значениям х=7 и у=8. РешеН д первой задачи показано на рис. 1, а, а варианты pewe 載 более общей задачи в зависимости от относительн размеров хну — на рис. 1, 6 — а

Среднее арифметическое (или просто среднее) чисел хну равно их полусумме: С・А.= 0/2)(”

Существует другое среднее чисел х и / которое при роложительных % и у также используется. Оно назы- вается средним геометрическим чисел % н у н равно произведения: С. Г^^ху.

квадратному корню из ихквадратному корню из ихНапример, если х=у, то С. А・=(，〃尤十力二尤 и С. Г.= " и хх=х. Следовательно, при х—у оба средних —— аРифметическое и геометрическое — совпадают. Но если *工4, у=16, то С. А.=10, а С. Г.=8. Оказывается, что среднее геометрическое всегда меньше среднего арифме- ^ческого или в крайнем случае равно ему, т. е.

квадратному корню из их

квадратному корню из их

/而《m(Х +办J⑵

Неравенство (2) легко доказать, используя приве. денную ранее задачу о четырех участках земли. Ка； показано на рис. 1, эта задача разрешима, следовательно, должно выполняться неравенство (1). Извлекая из обеих частей неравенства (1) квадратный корень получаем неравенство 2|^ху^х+у, которое переходит в (2), если обе части разделить на 2.

Задачи, в которых те или иные предметы требуется разместить в заданном контейнере, называются задачам； об упаковках. Они хорошо известны всем, кто читал статьи и книги Гарднера, любителям занимательной математики, а также... контрабандиетам.

Суть приведенного нами примера состоит в том, что любое решение задачи об упаковке сводится к доказательству какого-нибудь неравенства: если все предметы разместились в контейнере, то их суммарная площадь (или суммарный объем) не превосходит площади (объема) контейнера. А что если поступить наоборот, т. е начать с какого-либо неравенства, о котором мы знаем, что оно верно, и попытаться превратить его в какую- нибудь занимательную задачу об упаковке? Приведем пример такого рода.

Среднее арифметическое трех чисел х, у и z равно одной трети их суммы: С. А. = 1/з(х+р+；г). Средне геометрическое трех положительных чисел %, g н ? равно кубическому корню из их произведения: С. Г.

я / =)/ xyz.

Неравенство (2), доказанное нами для двух чисел, справедливо и для трех чисел:

xyz & J (х + g+z)・

Чтобы превратить это неравенство в задачу об упаковке, умножим обе части на 3 и возведем в куб, т. е. преобразуем неравенство (3) к виду

27xyz^ (x+g+z)3.

Произведение xyz — это объем «кирпича» размер*： xXyXz, a (%+y+z)3 — объем куба с ребром x+y+z. А теперь задача об упаковке:., ①

Войдут ли 27 одинаковых кирпичей, каждый из 券。村 рых имеет размеры xxyxzt в кубический ящик с Ре°Р ' длиной x+y+z>

разумеется, если эта задача об упаковке имеет ре- ^ение, то оно доказывает, что неравенства (4), а следо- вательно, и (3) действительно выполняются.

( Мы уже упоминали о том, что неравенство (3) спра- ведлнво при любых положительных числах %, у и г. Однако само по себе это еще не гарантирует, что кир- пнчи удастся уложить в ящик; мы можем лишь утверж- “ать, что суммарный объем кирпичей не превосходит

I объема ящика. (Объем моей удочки для рыбной ловли меньше объема моего портфеля, но уложить удочку в портфель мне все равно не удастся!)

Возможно, что, дочитав до этого места, вы захотите изготовить набор из 27 кирпичей и попытаться решить задачу об упаковке «экспериментально», а не теоретически. Позволю себе дать вам несколько советов относительно выбора размеров х, у и z. Дело в том, что при многих значениях х, у и z задача об упаковке решается слишком просто. Например, смешно выбирать х=у=1, I 2=100: 27 кирпичей размерами 1X1X100 см войдут в ящик, имеющий форму куба с ребром длиной 102 см, да еще останется столько свободного места, что там поместится басовая туба *! Другой крайний случай: I х=у 二z. Ясно, что 27 кубиков полностью заполнят ящик. Во избежание таких тривиальных решений все три размера следует выбрать различными, причем так, чтобы сумма двух больших размеров была меньше утроенного меньшего размера, т. е. чтобы выполнялись неравенства

0V%V"Vz (5) и y+zv3x. (6) Если изготовить набор кубиков, нарушив при этом ⑴16о неравенство (5), либо неравенство (6), то найти Решение задачи об упаковке скорее всего окажется Достаточно легко.

Помимо соблюдения неравенства (5) и (6) при выборе Размеров х, у и г следует руководствоваться только соображениями удобства, сообразуясь с подручными Материалами и инструментами. Ни один набор значений % У н z, удовлетворяющих неравенствам (5) и (6), не

抽 * "тобн оценить выразительность этого примера, напомним телю, что басовая туба ——это самый большой из духовых ин- РУМентов современного симфонического оркестра.— Прим. ред.

приводит к задаче об упаковке, которая была бы труд。 нее или легче, чем при любом другом наборе значений, удовлетворяющих тем же неравенствам; исключение составляет единственный случай: при y=(l/2)(x+z) задача об упаковке все же может оказаться чуть более трудной! Возьмем такой пример: х=4, у=5, z=6. Войдут ли 27 кирпичей размером 4x5x6 в кубический ящик размером 15х 15х 15?

Поверьте, что эта задача об упаковке разрешима. Более того, от Дж. Г. Конуэя и У. Катлера я узнал, что существует всего 21 решение, не считая поворотов + и отражений ящика (разумеется, при условии, что неравенства (5) и (6) выполнены).

Найти решение, по-видимому, трудно. Я потратил несколько часов, пытаясь решить эту задачу с помощью карандаша и бумаги. Наконец, отчаявшись, я призвал на помощь своего друга Дэвида Кларнера, у которого была мощная пила. По его словам, он стал выпиливать бруски, складывая их по мере готовности в ящик, и сразу, не передвигая ни одного бруска, получил решение, которое приведено ниже. Так Дэвид стал первым человеком в мире, кому удалось решить мою задачу (см. фотографии). Впоследствии мне приходилось встречать людей, которые решали эту задачу кто за 20 мин, а кто за несколько дней. Если вы изготовили комплект «кубиков» и хотите уложить их в ящик, то это легче будет сделать по «подсказке», которая на рис. 2 приведена для случая х—4, у =5, z=6. Истинные размеры в действительности не играют роли: рис. 2 можно использовать при любых %, у и z, удовлетворяющих неравенствам (5) и (6) [подобно тому, как рис. 1, б сохраняет силу при любых 尤VyL

Итак, 27 кирпичей уложены в три слоя ——по девять кирпичей в каждом. На рис. 2 показаны поперечные сечения каждого из этих трех слоев. А теперь попробуем проанализировать нашу задачу более подробно.

Пусть xt у и г — числа, удовлетворяющие неравенствам (5) и (6). Куб с ребром длиной х+y+z можно разрезать на 64 куба с ребрами длиной (1/4)(%+什z) девятью разрезами (рис. 3, а). Эти девять разрезов определяют девять плоскостей, которые мы будем называть выделенными плоскостями (рис. 3,6). Девять выделенных плоскостей распадаются на три семейства, каждое

Фото 1

Фото 2

и

爻後裁，

Первым, кто построил набор «кубиков» и сумел уложить их рящнк, был Д. А. Кларнер. На снимках вы видите первый комплект кубиков 7Х 8Х 10 см3. Его укладывает в ящик Карл Кларнер. (Фото Кары «Линн Кларнер.):

из которых содержит три параллельные плоскости Средняя плоскость каждого семейства удалена от дву； остальных плоскостей на расстояние (1/4) (x+y+z), а каждая из двух крайних плоскостей удалена на расстояние (1/4) (x+y+z) от ближайшей к ней (и параллельной ей) стенки ящика. Любые две непараллельные

Нижний слой

Рис. 2

выделенные плоскости пересекаются по прямой. Таким образом, всего существует 27 линий пересечения выделенных плоскостей, которые мы будем называть выделенными прямыми (рис. 3, в). Любые три попарно непараллельные выделенные плоскости пересекаются в одной точке. Всего существует 27 таких точек пересечений» которые мы будем называть выделенными точками (рис. 3, г). 鋼

Предположим теперь, что в наш куб упаковано(хХ//Хг)-кирпичей. Рассмотрим какое-нибудь из

семейств выделенных плоскостей. Они делят куб на четыре слоя толщиной (l/4)(x+“+z). Может ли какой-то (любой) из 27 кирпичей нашей упаковки находиться целиком внутри одного из этих четырех слоев, удивительным образом не задетый ни одним из трех проведенных ножом разрезов?

Рнс 3. Распиленный куб (а). Девять специальных плоскостей (6). Двадцать семь специальных прямых (в). Двадцать семь специальных точек (г).

Так как y+zv3%, то x+y+z<^x, или (1/4)(х+у+ +z)Vx. Следовательно, уже наименьший из размеров ^auiero кирпича х больше толщины (1/4) (х+^/+^) слоя. Е отличие от очаровательной ассистентки иллюзио- ннста, р асп и ливающего ящик, в котором она сидит, ни °"ному кирпичу не удается избежать всех трех парал- "ельннх разрезов ножом!

Итак, мы доказали, что в нашей упаковке для любого из 27 кирпичей найдется по крайней мере одна пересекающая его плоскость в каждом из трех семейств выделенных плоскостей. Но тогда выделенная точка, в которой пересекаются проходящие через данный кирпич плоскости из трех различных семейств выделенных плоскостей, должна лежать внутри кирпича.

Зазоры между «кубиками» на специальной прямой.

Таким образом, мы доказали, что g каждом из 27 кирпичей нашей упаковки находится по крайней мере одна выделенная точка. Но так как выделенных точек всего 27, то каждый кирпич содержит внутри себя ровно одну специальную точку и каждая выделенная точка находится внутри ровно одного кирпича. (Заодно мы доказали безнадежность любой попытки втиснуть в кубический ящик 28 и больше кирпичей: для ннх просто не хватит выделенных точек.)

Каждая выделенная прямая проходит через три выделенные точки. Значит, часть выделенной прямой лежит внутри трех кирпичей, которым принадлежат эти три выделенные точки. А могут лн иметься зазоры между кирпичами подобно тому, как это показано на рис. 4?

Докажем, что никаких зазоров между двумя кирпичами или между кирпичем и стенкой быть не может. Подсчитаем, какова суммарная длина отрезков любой выделенной прямой, лежащей внутри кирпичей (длина выделенной прямой внутри ящика равна

Пусть / ——сумма 27 таких чисел (по одному для кажл°" из 27 специальных прямых). Внутри каждого из 27 кир・ пичей лежит одна выделенная точка, через эту точку проходят три взаимно перпендикулярные выделенные прямые. Следовательно, каждый кирпич «охватывает от1 выделенных прямых отрезки суммарной длиной менее x+y^'z, а все кирпичи вместе «проглатываю

длину 27 (咒+乡+?)<厶 С другой стороны, поскольку внутрь ящика от каждой выделенной прямой попадает отрезок длины Х+財+厶 то &27(%+〃義).Сравнивая полученные неравенства, получаем /= (%+〃 jz). Следовательно, каждая выделенная прямая внутри ящика проходит целиком внутри трех кирпичей, которые содержат принадлежащие этой прямой три выделенные точки — никаких зазоров, показанных на рис. 4, на

Рис. 5

выделенной прямой нет. Итак, вдоль каждой выделенной прямой кирпичи располагаются так, как показано на рис. 5, где a+b+c=x+y-\-z и каждое из чисел а, & и с совпадает с одним из чисел х, у или г. Так как xV»<? то равенство может достигаться только в двух случаях: либо а, Ь, с ——некоторая перестановка чисел %, у, z, либо а=Ь=с=у. В свою очередь второй случай может иметь место только при условии, если y+y+y—x+y-\-zt или у^= (1/2) (х+г).

Можно доказать, что второй случай (а—Ь=с=^у) полностью исключается. В самом деле, внутри ящика каждая выделенная прямая делится тремя кирпичами на три отрезка. Таких отрезков всего 81. В числе этих отрезков должны быть ровно 27 отрезков длины х, ровно 27 отрезков длины у и ровно 27 отрезков длины z, так как каждый из 27 кирпичей высекает на выделенных прямых по одному отрезку длины %, по одному отрезку Длины у н по одному отрезку длины z. Как было доказано, из трех отрезков каждой выделенной прямой либо ровно один отрезок, либо все три имеют длину у. Но всего должно быть 27 отрезков длины у — откуда заключаем, что на каждой выделенной прямой имеется ровно один отрезок длины у. Следовательно, случай а=Ь=с=у не может иметь места.

Итак, мы доказали, что каждая из 27 выделенных прямых в ящике проходит целиком внутри трех кирПичей, которые делят ее на три разных по длине отрезка

хг у и z. Знать это очень полезно. Например, если вы пытаетесь решить нашу задачу об упаковке, укладывая первые девять кирпичей в один слой на дне ящика так как показано на рис. 6, то вас неизбежно ожидает не： удача. Почему?

Следует также знать, что ни одна выделенная плоскость не может содержать «углов» подобно тому, как показано на рис. 7. Действительно, если какой-нибудь

кирпич попадает в центр выделенной плоскости, то он должен упираться как в кирпич Л, так и в кирпич В — чему препятствует кирпич С. Все эти сведения помогают решать задачу об упаковке, но, разумеется, на пути к решению возникает немало других трудностей, тупиков и ловушек.

Заметим, что каждая из 9 выделенных плоскостей содержит 9 выделенных точек и, следовательно, пересекает 9 кирпичей. Это означает, что выделенная плоскость «забита» 9 прямоугольниками, каждый из которых имеет либо размер хХу, либо размер xXz, либо размер 〃xz. Нетрудно доказать, что среди этих 9 прямоугольников имеются ровно по 3 прямоугольника каждого размера: xXyt xXz и 〃Xz. Примером может служить рис. 2. Заодно мы доказали неравенство

3 s/+依+勿)= (x+y+z)2, так как слева стоит суммарная площадь 9 прямоугольников, а справа ——площадь квадрата, в который они «упакованы».

Если выполняются условия (5) и (6), то с точностью до поворотов и отражений 3 прямоугольника хХу, 3 прямоугольника xxz и 3 прямоугольника yXz можно упаковать в квадрат со стороной %+q+z ровно 78 способами.

Неравенства (2) и (3) — частные случаи известного неравенства, связывающего среднее арифметическое 〃 среднее геометрическое. Согласно этому неравенству, если %i, %2, . . ., хп — положительные числа, то

/л:/? %〃&к(，к+*2+ ••• +%) (8)

Число, стоящее в левой части неравенства (8), называется средним геометрическим чисел %, х2, . . &, ч^сло, стоящее в правой части,— их средним арифметическим.

Превратим неравенство (8) в задачу об упаковке. Для этого умножим обе его части на п и возведем в п-ю степень:

_(4 х2 ...厶)&(/1+%2+・• •+%/• (9)

Но хх, %2， - • •, %п — n-мерный объем n-мерного кирпича с размерами XiXx2X. . .Ххп, а (石年х%+. • • + +%п)" — n-мерный объем n-мерного куба с ребром длиной (%!+%2+. . .+%„). Итак, войдут ли пл (%1Хх2Х > ...Хг^-кирпичей 8 п-мерный куб со стороной %i+x2+ + . . .+хп?

Позволю себе заверить читателей, не привыкших мыслить четырех- и более «мерными» образами: что вопреки р асп ростр ан ен ным п редставлен и ям, размышления над многомерными задачами, если не увлекаться ими чрезмерно, наш мозг переносит без особого ущерба. Попытаюсь убедить вас в этом с помощью следующего краткого пояснения.

Подобно тому как прямоугольник имеет два измерения (длину и ширину), а коробка для обуви — три измерения (длину, ширину и высоту), n-мерный «кир- 口нч》или «ящик» имеет п измерений %】,х2, . • •, %〃• Каждое измерение 修一некоторое положительное число. Обозначим n-мерный «ящик» вектором (修，х2» .…，％九)・ Например, (3, 5) — прямоугольник 3x5, (4, 6, 2, 6)— Четырехмерный «ящик» 4х6х2х6, (2, 3, 9) и (2, 9, 3)— Дынные трехмерные прямоугольные параллелепипеды («ящики») 2x3x9. (В случае одного-единственного из-

мерения, т. е. при п=1, (%0 означает отрезок прямой длиной в %! единиц.)

Мерой вместимости n-мерного «ящика» (х「х2,.

力)служит произведение xt х2 ^ . . хп его размеров' Оно называется гиперобъемом данного ящика. При n^ i гиперобъем ——это длина, при м=2 ——площадь, при п=3 — обычный объем.

Вопрос, на который, насколько известно, пока не удалось получить ответ, состоит в следующем：

при каких положительных целых п 8 п-мерный

куб с ребром длины Xi+x2+- • -+л：п можноупаковать пл кирпичей (%卜 х2 . . . х„),где %i, %2，. . •，*п — любые

положительные числам(Ю)

При п= 1 проблема тривиальна — ее попросту нет! Решения при 孔=2 и 几=3 [(%i, х2) и (%工,х2, %з) — любые!! показаны на рис. 1 и 2. А что можно утверждать при 〃>4?

Хочу напомнить читателю, что выполнение неравенства (9) не гарантирует успеха в решении задачи об упаковке кирпичей в кубический ящик, но и не обрекает нас на заведомую неудачу. (Если бы неравенство (9) не выполнялось, то упаковать кирпичи в ящик^было бы невозможно.)

Назовем размерности п, при которых задача об упаковке допускает решение, хорошими. Например, к чиачу хороших принадлежат размерности 1, 2 и 3. Как сообщил мне Дж. Селфридж, Р. Робинсон доказал следующую теорему:

если т и п — хорошие размерности, то тп — также хорошая размерность.

В частности, так как 2 и 3 — хорошие размерности, то 4, 6, 8, 12 и 181398528-210 -З11 — также хор。雅 размерности. Следовательно, 4’=64 четырехмерных к劣 пича Е х2, %з, xj при любых 抬>0, х2>0, Хз>°‘ можно упаковать в четырехмерный куб с ребром 力+也+也十%."

Возможно, что все положительные размерност ^j0 хорошие. Если это так, то доказательство необх 睜 провести лишь для всех простых л, так как

родительное целое число п представимо в виде произ- ведения простых чисел и решение при составном п по теореме Робинсона (11) разлагается в «произведение» решений при простых 〃. Таким образом, наименьшее п, относительно которого у нас могут быть сомнения,— зто число 5.

Думаю, что кто-нибудь из наиболее честолюбивых читателей захочет попытаться решить задачу об упаковке

в пятимерном пространстве, т. е. ответить на вопрос: 川0冗兄。力〃 уложить 5^=3125 пятимерных кирпичей (Xi,厶，• • •，％) 6 пятимерный куб с ребром длиной х^+ * + . •.+%5'

Камнем преткновения в понимании доказательства теоремы (11) служит приведенное далее утверждение (12). Если вы поняли это утверждение, то доказательство теоремы (11) не представит для вас особого труда.

Прежде чем сформулировать утверждение (12), приведем один пример. На рис. 1 показано, что четыре прямоугольника (7, 8) можно упаковать в квадрат (15, 15). Следовательно, четыре кирпича (7, 8, 100) войдут в ящик (15, 15, 100), а четыре пятимерных кирпича (7, 8, 100, 14, 47) можно уложить в пятимерный ящик (15, 15, 100, 14, 47).

А теперь сформулируем наше утверждение.

Пусть k п-мерных кирпичей (尤i〃，%i,2,...,修，“)，(*2，1，%2,2，• • • ? %2,n)，- • • 5 (*%，1，%白,2, ■ ■ • » %左,n)можно упаковать в ящик (弘，»2, • . •, 〃『)

Тогда k (n-\-t)-мерных кирпичей (хь1,打丛• • •

-» %1,n,n1, "2, • • •, "才)，("2,1，*2,2，• - •

,■ ., %2,/I, n1，%2，• • ., 2/),• • .，(/白,1, %兑,2, • . •

.,工乱 〃，а, %2, • • •,引)войдут в ящик

®1； "2, ， • 外，马，?2，• •马)・(12)

г Теперь все готово для доказательства теоремы Ро- ^а (11). Дано, что тип — хорошие размерности. Р^оуется доказать, что тп ——также хорошая размер- у：т，Иначе говоря, требуется найти способ, позволя- V и упаковать (тп)* 加〃)-мерннх кирпичей ^н,

r %1，？2, x2，1，x2,2， • • ■» %2，М,% 3,1， • • •» "771 -1，Л, 2，• • •，Х/ип) в кубический(Аип)-мерный ящик

)м длины /, где / — сумма тп размеров 与,“..., ，\；Спе五нть за ходом доказательства будет легче, если е станем выписывать тп размеров кирпича в строку,

а расположим их в виде матрицы

Прежде всего разделим (mti]mn кирпичей на группы по тп кирпичей в каждой. Таких групп у нас наберется (А7Ш严叨22〃=机тУ-1)紋叫 ПуСТЬ Si=%i,i+%2,i+・.「 +%m，i・ Так как m ——хорошая размерность, mn кирпичей (%1，о %2，i，• • •，％m,i) МОЖНО упаковать В ящик (si. Si, . . ., Si). Из (12) заключаем, что тп кирпичей в каждой из групп тт(п~1}птпт^кже можно упаковать в ящик, размеры которого образуют матрицу

S1，%1,2，• • •» ^1,п '

Sj.,%2,2，• • • » %2,门

зu尤m，2，* • , »尤切切，

Таких ящиков *57〃叫 Разделим эти новые ящики на группы по mw ящиков в каждой. Всего таких групп получится тт{п~1}ппп/т=тт{п~2}птп. В свою очередь тт ящиков в каждой группе можно упаковать в ящик, размеры которого образуют матрицу

S], S2, %1,з，• • • > %[,〃

Si，S2, %2,3，• • • > 犬2,厶

S1，S2, %m,3， • • • » Хт、п , где s2=^i,2+x2,2+- . .+^m,2. [Здесь мы воспользовал! тем, что тт кирпичей (х1>2, х2,2, . . ., хт,^ можно у】* ковать в ящик (s2,s2), а затем снова обратились

к утверждению (12).]

Эти операции мы повторим п раз — по одному для каждого столбца. При каждом повторении ‘ получившиеся на предыдущей стадии, делятся на групп ； содержащие по тт ящиков, и из ящиков, попавши^ одну группу, мы собираем один новый ящик. Раз,：© новых ящиков (каждый из которых вмещает группу) получаются при замене каждого элемента Р

сматрпваемого столбца на сумму всех элементов этого столбца. В результате мы упаковываем (пгп)тп кир- пИчей, которые были у нас первоначально, в тт{гг~п}птп= 二俨п ящиков, размеры которых образуют матрицу

S], $2，• • • » S紅

Sj., §2，• • • , S以

S[, S2，• • • > S 乩

ГДе S?二-尤1，i+%2, i + ・•・+%m, i Пр И 力=1, 2, . . ., fl.

Повторим теперь все с самого начала, но на этот раз не со столбцами, а со строками. Разделим 九勿" ящиков на группы по 俨 ящиков в каждой. Таких групп будет I 濟卜展】二加тт. Так как п — хорошая размерность, 〃"кирпичей (Si, s2, . . ., sn) можно упаковать в ящик (厶 /,..., /), где E=Si十$2十・.・+sn. (Заметим, что, как и следует из определения 力 приведенного после утверж- 'дения (12), эта величина равна сумме всех тп размеров I хР1, %1，2， . • ., Хщ,п исходного множества кирпичей. I Таким образом, / — длина ребра /пп-мерного куба, в который мы пытаемся упаковать.) Утверждение (12) I позволяет нам считать, что пл ящиков в каждой группе I войдут в новый ящик, размеры которого образуют I матрицу

7,九.…/

§1，与，• • • • s〃

^1> $2，• • • > S%

Всего таких ящиков будет 〃(旗一對厶.Повторяя весь провес для каждой из m строк, мы в конце концов упакуем все в п^т~т)п^\ ящик с размерами

I Но именно это и являлось нашей целью! Итак, все № кирпичей из первоначального набора упакованы, т тп — хорошая размерность. На этом доказательство «Ремн завершается.

В нашей статье мы привели несколько выразител| ных примеров связи между неравенствами и задачам^ упаковки: известные неравенства иногда порождав интересные задачи об упаковке, и, наоборот, бывает' что какое-нибудь неравенство удается доказать, ре. соответствующую задачу об упаковке.

Приведенное выше доказательство теоремы обнару. живает еще одну связь. В некоторых стандартных зательствах неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим на одном из этапов доказывается, что если это неравенство верно для тип чисел по отдельности, то оно верно и для тп чисел. Такого рода доказательства можно сформулировать так, что каждый их шаг будет соответствовать вполне определенному шагу в доказательстве теоремы Робинсона, которое мы только что завершили. Иначе говоря, в некоторых случаях известное доказательство неравенства можно использовать для решения задачи об упаковке.

Неравенства в изобилии встречаются в математике и многие из них заведомо приводят к интересным задачам об упаковке. Я беру на себя смелость порекомендовать читателю превосходную книгу: Kazarinoff N. D. Geometric Inequalities, N. Y., Random Hause, 1961. Она составляет 4-й выпуск рассчитанной на учащихся старших классов серии New Mathematical Library, легко читается (как, впрочем, и все выпуски этой серии) и доступна любому вдумчивому читателю, владеющему математикой в объеме средней школы.

Если вам в будущем встретится какое-либо неравенство, приложите все усилия к тому, чтобы превратить его в задачу об упаковке — вы не пожалеете!

4・2・ Могут ли кубы избежать встречи

„лицом к лицу"?

Рафаэль М. Робинсон

В этой статье мы займемся изучением разбие пространства на одинаковые (равные, или кон「Р%西 нне) кубы. Будем говорить, что кубы образуют ра

наковые квадраты.наковые квадраты.Рис. 2. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми ряда-Рис. 2. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми ряда-Рис. 3. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми столбцами.Рис. 3. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми столбцами.

наковые квадраты.

наковые квадраты.

Рис. 2. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми ряда-

Рис. 2. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми ряда-

Рис. 3. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми столбцами.

Рис. 3. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты со сдвинутыми столбцами.

н“е пространства, если они заполняют все пространство без пробелов и перекрытий. Ребра кубов мы будем счи-

тать параллельными осям коор- дйНат. Не ограничивая общно- mi, можно считать кубы еди- нпчными ——так мы обычно и бу- дем поступать.

Начнем с более простого двумерного случая ——с разбиений плоскости на одинаковые квадраты со сторонами, параллельными координатным осям. Простейшее разбиение такого рода изображено на рис. 1. В этом стандартном разбиении каждый квадрат имеет по одной общей стороне с четырьмя другими (соседними) квадратами. Мы будем говорить, что два квадрата расположены сторона к стороне, если они имеют полную общую сторону. Разбиение плоскости на одинаковые квадраты мы получим и в том случае, если сдвинем по-разному различные ряды изображенного на рис. 1 стандартного разбиения (см. рис. 2). При этом мы получим разбие- нн% в которых каждый квад- Рат расположен сторона к сто- Р°не только с двумя другими квадратами. Вместо того чтобы

Двигать ряды, можно сдвинуть Голбцы (рис. 3.) Нетрудно ви-

I что при любом разбиении л℃кости на одинаковые квад- сами квадраты должны ^полагаться либо рядами, ли- н столбцами, либо и рядами, 1 р ^лбцами, т. е. в любом ко："неНнн плоскости на одина- сто'е квадраты каждый квадрат должен встретиться

I Р°на к стороне по крайней мере с двумя другими

квадратами. Стандартное разбиение на квадраты 的 получим, расположив единичные квадраты так, Что бы их центры совпадали с узлами решетки на пло кости. (Узлом или точкой решетки на плоскости【加 в пространстве называют точки (х, у) или (х, у, J , целочисленными координатами.)

Обратимся теперь к трехмерному случаю. Совместив центры единичных кубов с узлами трехмерной решетки мы получим стандартное разбиение пространства. В 3TlM разбиении каждый куб встречается «лицом к лицу,, т. е. грань к грани, с шестью другими кубами. (Мь； скажем, что два куба встречаются грань к грани, если они имеют целую общую грань.) Стандартное разбиенш пространства на одинаковые кубы можно разложить на слои, параллельные плоскости ху. Сдвинув по-разному эти слои вдоль осей х и у, мы получим различные нестандартные разбиения пространства на одинаковые кубы. В каждом слое мы можем по-разному сдвинуть либо ряды вдоль оси х, либо столбцы вдоль оси у, как и в плоском случае. В одних слоях можно сдвинуть ряды, в других — столбцы. В результате мы получив разбиения, в которых каждый куб встречается грань к грани только с двумя другими кубами.

Аналогичное построение можно выполнить, начав со слоев, параллельных любой координатной плоскости. Но кубы не обязательно должны выстраиваться слоями. Мы приведем несколько примеров нерасслое： ных разбиений. При их описании удобно называть столбом множество кубов, выложенных один за другим в направлении любой из координатных осей.

Простейшие примеры нерасслоенных разбиений можно получить, взяв за исходное стандартное разбиение выбрав по одному столбу в направлении каждой из координатных осей так, чтобы эти три столба не имели общих кубов, и сдвинув каждый столб вдоль его

Обобщая ту же идею, мы получим разбиение странства, в котором один фиксированный куб 匕 гает» встречи грань к грани с любым другим 弋 Возьмем стандартное разбиение за исходное и выбере^ куб, который должен избегать встреч грань к грани всеми другими кубами. Шесть примыкающих к 皆百 кубов могут входить в шесть столбов (по два столо направлении каждой из координатных осей). Ка*“

толб можно сдвинуть независимо параллельно самому не изменяя положения остальных столбов или ^трального куба. Например, кубы, примыкающие к антральному кубу в направлении оси %, можно сдви- нуть в направлении оси у, кубы, примыкающие к центральному кубу в направлении оси у, можно сдвинуть в направлении оси z, а кубы, примыкающие к централь- ному кубу в направлении оси 2, можно сдвинуть в направлении оси %. В каждом случае мы передвигаем в соответствующем направлении целиком весь столб. В результате передвижений центральный куб не будет встречаться грань к грани ни с каким другим кубом.

Аналогичным образом можно построить разбиение I пространства, в котором встречи грань к грани с другими кубами избегают бесконечно много кубов. Раз- I биение, о котором пойдет речь, открыто в 1909 г. Гансом Янсеном. Выберем в качестве исходного стандартное разбиение пространства, возникающее при совмещении центров единичных кубов с узлами (х, у, а) решетки. Затем сдвинем кубы с центрами (х, у, z) на 1/2:

в направлении оси х, если у — четное, az ——нечетное число;

в направлении оси у, если z ——четное, а х ——нечетное число;

в направлении оси г, если х — четное, а у — нечет- I ное число.

Четное zНечетное Z

4. Поперечные сечения открытого Янсеном разбиения трехмерного пространства.

Поперечные сечения разбиения Янсена z=c для У^аев, когда с — четное и нечетное число, показаны ? Рнс. 4. Проведенные плоскости проходят через центры "ьтннства кубов. Но если кубы сдвинуты вдоль оси z.

то поперечное сечение проходит через их грани, н рис. 4 эти грани заштрихованы. Стрелки указывав направления, в которых сдвинуты другие кубы. Куб* у которых координаты центра %, “，г либо все четные' либо все нечетные, остаются на месте и поэтому 那 заштрихованы и не отмечены стрелкой. Они не ветре чаются ни с каким другим кубом грань к грани. Ясно что они составляют ровно одну четверть от всех кубо；

С другой стороны, если задано какое угодно разбпе ние пространства на одинаковые кубы, то, как нетрудна видеть, для любой грани выбранного куба, не принадлежащей целиком другому кубу, непременно найдутгя два куба, касающиеся этой грани и встречающиеся друг с другом грань к грани. Таким образом, хотя некоторые кубы избегают встречаться с другими грань к грани, не все кубы могут уклониться от таких встреч.

Рассмотрим теперь кратные покрытия плоскости одинаковыми квадратами или пространства одинаковыми кубами. Здесь мы имеем в виду, что каждая точка плоскости или пространства покрыта конечное число раз и что точки, не принадлежащие границе никакого квадрата или куба, покрыты одинаковое число раз. Если это число равно 尼，то мы говорим о h-кратном покрытии. Рассмотренные нами разбиения относятся к числу {-кратных, или простых (не кратных), покрытий. Кратнне покрытия плоскости не представляют особого интереса: нетрудно видеть, что любое "кратное покрьь тие плоскости можно получить наложением k простых покрытий. Следовательно, и здесь каждый квадрат встречается сторона к стороне по крайней мере с двумя квадратами.

С новой ситуацией мы сталкиваемся в пространстве не все кратные покрытия представляют собой результа1 наложения простых покрытий. Более того, в этом случа- встречи грань к грани с другими кубами могут избежать все кубы. Это было доказано в 1974 г., когда ' открыл 25-кратное покрытие пространства одинак выми кубами, любая пара которых не встречается к грани.

При описании этого покрытия удобно пользова § .не единичными кубами, а кубами с ребром Изменение масштаба никак не сказывается на з明紋 Все центры участвующих в покрытии кубов совпад

с узлами решетки. Мы выбираем только узлы, удовле-творяющие одному из следующих четырех условий:с узлами решетки. Мы выбираем только узлы, удовле-творяющие одному из следующих четырех условий:x=y=z (mod 2), x+l=^=z (mod 2), x=y+l=z (mod 2), x=y=z~Y 1 (mod 2),x=y=z (mod 2), x+l=^=z (mod 2), x=y+l=z (mod 2), x=y=z~Y 1 (mod 2),х+«/+г=0 (mod 5);х+«/+г=1 (mod 5); x+y+z=2 (mod 5); %+»+2=3 (mod 5).х+«/+г=0 (mod 5);х+«/+г=1 (mod 5); x+y+z=2 (mod 5); %+»+2=3 (mod 5).

с узлами решетки. Мы выбираем только узлы, удовле-творяющие одному из следующих четырех условий:

с узлами решетки. Мы выбираем только узлы, удовле-творяющие одному из следующих четырех условий:

x=y=z (mod 2), x+l=^=z (mod 2), x=y+l=z (mod 2), x=y=z~Y 1 (mod 2),

x=y=z (mod 2), x+l=^=z (mod 2), x=y+l=z (mod 2), x=y=z~Y 1 (mod 2),

х+«/+г=0 (mod 5);

х+«/+г=1 (mod 5); x+y+z=2 (mod 5); %+»+2=3 (mod 5).

х+«/+г=0 (mod 5);

х+«/+г=1 (mod 5); x+y+z=2 (mod 5); %+»+2=3 (mod 5).

Символ。三力(mod m) означает сравнение no модулю m: числа а в b, связанные знаком сравнения, отличаются на целое кратное т. Следовательно, первая строка I означает, что координаты х, у, z либо все четны, либо все нечетны и что их сумма кратна 5. Вообще, первое условие в каждой строке зависит только от того, четны ли координаты или нечетны, в то время как второе условие задает остаток от деления суммы %+〃+<? ко- I ординат на 5. Первое условие в каждой строке мы будем называть условием четности. Все точки, удовлетворя- I ющие одному условию четности, образуют класс чет- I пости. Покажем, что все заданные нашими четырьмя I условиями кубы образуют 2^кратное покрытие про- I странства и что никакие два из этих кубов не ветре- I чаются грань к грани.

Чтобы показать, что построенное покрытие 25- кратно, нам необходимо проверить, что каждый узел решетки покрыт 25 раз. Заметим, что центры кубов с ребром 5, содержащих узел (/,式,zz) решетки, совпа- d破m с узлами (х, у, z) решетки, принадлежащими кубу I с ребром 5 и центром (х\ у', 2). Начнем с (х\ у', /)=

= (0, 0, 0). Итак, рассмотрим куб с ребром 5 и центром в начале координат. В этом кубе лежат 125 узлов (左 / г), решетки, координаты которых принимают зна- I Чения —2, —1, 0, 1, 2. Они образуют решетку 5x5x5.

Рассмотрим сначала класс четности, образуемый срав-

Рис. 5. Наклонные сечения (ЗХЗХЗ)-решетки.

^ниями x=r/=z(mod 2). Он состоит из двух частей: / Узлов с тремя четными координатами х, у, «г, образую- решетку 3x3x3, и 8 узлов с тремя нечетными °°РДинатами, образующих решетку 2x2x2.

遍 1136289

Проведем,сечения а：+|/|-^=g. перпендикулярные ан% гонали куба. Сечения (3 X 3 X 3)-решетки содержат ] 3, 6, 7, 6, 3, 1 узлов, как показано на рис. 5. Сечения (2Ж 2х2)-решетки содержат 1, 3, 3, 1 узлов. Рассмат. ривая все эти 35 узлов решетки, мы заметам, что °нн лежат на параллельных и следующих друг за другом на одном и том же расстоянии плоскостях, содержащих соответственно 1,0, 3, 1, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 3, 0, 1 узлов. Подсчитывая, сколько из них имеют одинаковые значения x+y+z (mod 5), мы получим следующие суммы:

10 3 1

6 3 7 3 6

13 0 1

7 7 7 7 7

Таким образом, в заданном кубе имеется ровно 7 узлов решетки с х=^=г(тос1 2) с любым заданным значением %+y+z(mod 5).

Все узлы решетки в заданном кубе образуют (5> 5 Х5)-рететку, о которой мы уже упоминали. Рассмотрим

Рис. 6. Наклонные сечения (5Х 5Х 5)-решетки.

снова ее сечения плоскостями x-^-y+z^c. Три таких сечения показаны на рис. 6. Приведем число точек во всех сечениях, точки объединены в группы по значениям x+y+z (mod 5):

13610

1518191815

10631

25 25 25 25 25

Каждое значение встречается 25 раз. Это можно было бы предвидеть заранее, если учесть, что хну могут прини* мать любые значения из множества —2, —1, 0, 1, 2» а z

однозначно определяется выбранным значением х+у+ (mod 5). Каждое заранее выбранное значение х+у+ 十z (mod 5) для точек с x=y=z (mod 2) встречается 7 раз И| следовательно, 18 раз для остальных точек. Три других класса четности при циклической перестановке координат х, р, z также меняются местами; иначе говоря, узлы решетки, образующие три других класса четности, меняются местами при повороте на 120° вокруг прямой 尤=y=z・ Следовательно, в каждом из этих классов четности любое значение %+y+z (mod 5) должно встречаться в заданном кубе ровно 6 раз.

Рассмотрим теперь куб с ребром 5 и центром в любом узле решетки (%', р', z'). Если, совершив параллельный перенос, мы совместим узел (/, К, z') с началом координат, то узел решетки (%, у, г), лежащий в первоначальном кубе, перейдет в узел решетки (х—х\ g—/, z—z'), лежащий внутри куба с ребром 5 и центром в начале координат. Если узел (%', y',z') задан, то его класс четности определяется классом четности узла (%, 7 * н наоборот. В частности, если (х, g, z) принадлежит тому же классу четности, что и (%', у", z'j, то

х—хг^=у—g'^^z—z' (mod 2).

Из доказанного следует, что в заданном кубе существует 7 таких точек с заранее заданным значением %+у+ +г (mod 5). Но в любом из трех остальных классов четности в заданном кубе найдется лишь 6 узлов с заранее выбранным значением %+g+z (mod 5).

Итак, мы видим, что кубы с центрами, удовлетворя- юЩими любому из четырех условий в определении покрытия, образуют 7-кратное покрытие всех узлов ре- 山еткн, удовлетворяющих тому же условию четности, н 6-кратное покрытие остальных узлов решетки. Следовательно, четыре класса кубов вместе покроют все узлы решетки 25 раз и образуют 25-кратное покрытие. Все ^азанное не зависит от того, какие значения %+у+ (mod 5) выбирались в каждом из четырех случаев. Убедимся теперь, что никакие два куба не встреча- грань к грани. Если бы два куба встретились грань *「рани, то центр второго куба получался бы из центра 『рвого куба при изменении одной координаты на 5 еди-

Такая замена изменила бы класс четности, но Хранила бы значение x+y+z(mod 5), что невозможно, 10*

так как для четырех классов четности были нсполь& ваны различные значения %+g+z(mod 5). Следовател но, мы получили 25-кратное покрытие, в котором какие два куба не встречаются грань к грани.

Заметим, что покрытие пространства кубами с реб ром 5 переходит в себя при параллельном переносе на 10 единиц вдоль любой оси координат или на вектор t компонентами (5, 5, 5). Эти свойства, как нетрудНо показать, следуют из того, что никакие два куба не встречаются грань к грани.

Рис. 7. Поперечные сечения 25-кратного покрытия пространства.

Нарисовать хотя бы схематично построенное 25- кратное покрытие весьма трудно. Максимум, что можно сделать, это провести поперечные сечения и указать на них центры используемых кубов. На рис. 7 показаны два таких поперечных сечения — плоскостями z=0 и z=5. Изображенные на рис. 7 части содержат сечения единичных кубов с центрами в узлах решетки (х, у, z), где хну принимают значения от 0 до 9. Точками указаны центры кубов с ребрами 5, образующих 25-кратное покрытие. Каждое из двух сечений повторяется и по горизонтали, и по вертикали. Аналогично выглядят и другие сечения.

Для кратности покрытия необходимо, чтобы 5x5 квадратов, взятых в одинаковом положении в обоих сечениях, содержали одно и то же число точек, а того, чтобы никакие два куба не встречались грань к грани, точки на двух сечениях должны быть расположены по-разному и расстояние по горизонтали или вертикали между любыми двумя точками в каждом сечений не должно быть равно 5.

Несколько иное описание того же 25-кратного покрытия было опубликовано недавно (см. [1], п. 12). /Статья [1] посвящена главным образом проблеме построения кратного покрытия кубами, не встречающи- мнся грань к грани, в многомерных пространствах с дополнительным условием: центры кубов должны об- разовывать решетку.) Аналогичные результаты и некоторые исторические сведения приведены в работе Стейнз 〔2L

Остается открытым вопрос о том, существует ли k- кратное покрытие пространства одинаковыми кубами при 々＜25, в котором никакие два куба не встречаются грань к грани.

Robinson, R・ М. 1979. Multiple tilings of /г-dimensional space by unit cubes. Mathematische Zeitschrift 166: 225—264.

Stein, S. K. 1974. Algebraic tiling. American Mathematical Monthly 81: 445—462.

Когда эта статья была уже написана, Базиль Гордон доказал, что такое покрытие существует при А—2, т. е. что существует 2-кратное покрытие пространства кубами с ребром 2 (каждый из которых составлен из 8 единичных кубов стандартного разбиения), в котором никакие два куба не встречаются грань к грани.

Упаковка зеркальных пентакубовK・ Й. Баукэмп

Напомним, что существует 29 различных трехмерных ^нщакубов (пентакубом называется геометрическое тело, составленное из пяти единичных кубов так, что соседние кУбы имеют общую грань и у каждого единичного куба, входящего в пентакуб, имеется по крайней мере один сосед). Двенадцать из них — плоские пентакубы» называемые объемными пентамино,— хорошо известны любителям занимательной математики. Их суммарный °бъем равен 60 единичным кубам. Объемные пентамино

можно упаковать в коробки различных размеров: 2、」 X 10； 2x5x6, 3X4X5 (см. Н], [2], [3]). Среди неплоски пентакубов пять обладают по крайней мере одной скостью симметрии. Каждый из таких пентакубов 篇； падает со своим зеркальным отражением1. Остальные пентакубов распадаются на 6 пар. Каждая пара состоит

Рис. 1. Зеркальные пентакубы (число иа каждом пентакубе означает его номер).Рис. 1. Зеркальные пентакубы (число иа каждом пентакубе означает его номер).

Рис. 1. Зеркальные пентакубы (число иа каждом пентакубе означает его номер).

Рис. 1. Зеркальные пентакубы (число иа каждом пентакубе означает его номер).

из пентакуба и его зеркального отражения. Пентакубы, образующие одну пару, находятся между собой в таком же соотношении, как правая перчатка к левой (а левая ——к правой), и мы будем называть их зеркальны^ пентакубами. Полный набор зеркальных пентакубо^ изображен на рис. 1 (каждый из этих пентакубов имеет свой порядковый номер от 1 до 12). Как и у плоских пентакубов, суммарный объем зеркальных пентакубо0 составляет 60 единичных кубов. Естественно спросить» можно ли упаковать полный набор зеркальных пентакубов, например, в коробку 3x4x5?

С этим вопросом я столкнулся в июле 1973 г., п°л^ чив письмо Дж. В. Бэддли из Школы химии при Ун

[верснтете Нового Южного Уэльса (Австралия). Автора I интересовала главным образом стереохимия. I в своем письме он спрашивал: «Если я знаю, как со- ставнть из зеркальных пентакубов блок 3x4x5, то...

I едИнственно ли найденное мной решение?»

Между прочим, если у читателя имеется под рукой набор зеркальных пентакубов, то я настоятельно ре- I комендую ему попытаться самостоятельно сложить из

Рис. 2. Четыре пианино, построенных одновременно иг зеркальных пентакубов.Рис. 2. Четыре пианино, построенных одновременно иг зеркальных пентакубов.

Рис. 2. Четыре пианино, построенных одновременно иг зеркальных пентакубов.

Рис. 2. Четыре пианино, построенных одновременно иг зеркальных пентакубов.

，них блок 3x4x5 прежде, чем читать дальше. Хотя упра- I вляться с зеркальными пентакубами не так просто, I как с плоскими, не следует быстро сдаваться, поскольку, I как теперь известно, задача об их упаковке допускает много различных решений.

Необычайно остроумный и в то же время простой I способ получения одновременно большого числа реше- н喻 был открыт Дж. М. М. Фербакелем из Научно- исследовательской лаборатории фирмы «Филипс» в Эйнд- ховене. Фербакель разделил набор зеркальных пента- кубов на четыре подмножества, по три пентакуба в I каждом, так, чтобы из них можно было составить од- I н°временно четыре блока, которые мы будем называть I兄〃но. Одно из построений Фербакеля показано на

Р"с・ 2. Заметим, что два пианино слева зеркально- симметричны (двойственны, или дуальны) двум пианино Зрава. Ясно, что из четырех пианино можно собрать I Повременно два блока 2x3x5 (причем тремя раз- I "H^HbiMH способами) и, следовательно, блок 3x4x5, I Ре山нв тем самым вопрос о составлении такого блока,

поставленный Бэддли. Полученное решение далеко Не единственно. В качестве «побочного продукта» из 妹 строения Фербакеля следует, что из зеркальных пента： кубов можно составить блоки 2хЗх 10 н 2x5x6 причем, как и в случае плоских пентакубов, не единственным способом.

С помощью ЭВМ я нашел все возможные способы построения одновременно четырех пианино из набора зеркальных пентакубов. С точностью до поворота и параллельного переноса существуют 8 различных решений (или 6 с точностью до отражения, поворота и параллельного переноса). Все они перечислены в табл. 1. Первые четыре решения принадлежат Фербакелю и называются двойственными себе или самодвойственными. Решения 5 и 6 двойственны одно другому. Другую пару двойственных решений образуют решения 7 и 8. (Предлагаем читателю собственными руками собрать из четырех пианино в каждом случае прямоугольный параллелепипед — блок. Это великолепный способ приобрести практические навыки в манипулировании зеркальными пентакубами.) От внимания читателя не ускользнет, что существуют два различных пианино (5, 6, 9) и два различных пианино (5, 6, 10).

ТАБЛИЦА 1

Восемь различных разбиений набора зеркальныхпентакубов на четыре части. Из пентакубов,принадлежащих каждой части, можно сложитьпианино

2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8/I. ( /|\ /IX z(\ /IX zik /IX/I. ( /|\ /IX z(\ /IX zik /IX\/ \/ \/ \/ \/1 19 9 9 9 9 9 1 66776781\/ \/ \/ \/ \/1 19 9 9 9 9 9 1 66776781-к^^-о^о^о^-к^о^л 9^-9^9^9^9^9^9^9^ (/к /( ( /I- ( /\ (-к^^-о^о^о^-к^о^л 9^-9^9^9^9^9^9^9^ (/к /( ( /I- ( /\ (\/ \/ \/ о/ \/ \|/ и 2 1 2 7)8)&&5,6,5,&4,4, ^^^^^^^^\/ \/ \/ о/ \/ \|/ и 2 1 2 7)8)&&5,6,5,&4,4, ^^^^^^^^9D4D 刀40)> и 11 JIJ - - 11 ^1 - - 7,7,6,5,7,6,9D4D 刀40)> и 11 JIJ - - 11 ^1 - - 7,7,6,5,7,6,Я ограничусь пока рассмотрением составныхЯ ограничусь пока рассмотрением составныхблоковблоков3x4x5, т. е. блоков, построенных из3x4x5, т. е. блоков, построенных изпрямоуголь^^прямоуголь^^что,что,блоков меньших размеров. (Замечу попутно, нетрудно видеть, составной (Зх4х5)-блок долженблоков меньших размеров. (Замечу попутно, нетрудно видеть, составной (Зх4х5)-блок долженбытьбыть

2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 6 7 8

/I. ( /|\ /IX z(\ /IX zik /IX

/I. ( /|\ /IX z(\ /IX zik /IX

\/ \/ \/ \/ \/1 1

9 9 9 9 9 9 1 66776781

\/ \/ \/ \/ \/1 1

9 9 9 9 9 9 1 66776781

-к^^-о^о^о^-к^о^л 9^-9^9^9^9^9^9^9^ (/к /( ( /I- ( /\ (

-к^^-о^о^о^-к^о^л 9^-9^9^9^9^9^9^9^ (/к /( ( /I- ( /\ (

\/ \/ \/ о/ \/ \|/ и 2 1 2 7)8)

&&5,6,5,&4,4, ^^^^^^^^

\/ \/ \/ о/ \/ \|/ и 2 1 2 7)8)

&&5,6,5,&4,4, ^^^^^^^^

9D4D 刀40)> и 11 JIJ - - 11 ^1 - - 7,7,6,5,7,6,

9D4D 刀40)> и 11 JIJ - - 11 ^1 - - 7,7,6,5,7,6,

Я ограничусь пока рассмотрением составных

Я ограничусь пока рассмотрением составных

блоков

блоков

3x4x5, т. е. блоков, построенных из

3x4x5, т. е. блоков, построенных из

прямоуголь^^

прямоуголь^^

что,

что,

блоков меньших размеров. (Замечу попутно, нетрудно видеть, составной (Зх4х5)-блок должен

блоков меньших размеров. (Замечу попутно, нетрудно видеть, составной (Зх4х5)-блок должен

быть

быть

непременно построен из двух меньших (2хЗх5)-6локов.) С помощью ЭВМ я нашел компоненты всех составных (ЗХ4х5)-6локов. Полученные результаты собраны в табл* 2.

ТАБЛИЦА 2

Типы составных блоков 3x4x5

Тип

Пента кубы в первом блоке

Число решений для

Общее число решений (S-самодвойственное решение)

первого блока

второго блока

1

(1, 2, 5, 6, 9, 10)

1

3

3s

2

(1, 2, 5, 7, 9, 10)

1

1

1

3

(1, 2, 7, 8, 9, 10)

3

4

12s

4

(1, 2, 7, 8, 11, 12)

1

1

J s

5

(1, 2, 7, 10, 11, 12)

1

2

2

6

(1, 3, 4, 5, 9, И)

3

1

3

7

(1, 3, 4, 6, 7, 10)

1

1

1

8

(1, 3, 4, 6, 8, 9)

1

2

2

9

(1, 3, 4, 7, 8, 11)

1

2

2

10

(1, 3, 5, 6, 8, 10)

1

1

1

11

(1, 3, 5, 6, 9, 11)

4

1

4

12

(1, 3, 5, 7, 9, И)

2

2

1+2S

13

(1, 3, 5, 8, 10, 12)

1

1

1 S

14

(1, 3, 6, 7, 9, 12)

1

1

1 s

15

(1, 3, 6, 7, 10. 12)

2

2

1+2S

16

(1, 3, 6, 8, 9, И)

1

1

1 s

17

(1, 3, 6, 8, 9, 12)

2

2

1+2S

18

(1, 3, 6, 8, 11, 12)

2

1

2

19

(1, 4, 5, 7, 9, 11)

1

1

1 S

20

(1,4, 6, 7, 9, 10)

[

1

1

21

(1, 4, 6, 7, 9, 11)

1

1

1 S

22

(1, 4, 6, 7, 9, 12)

3

3

3 + 3S

23

(1, 5, 6, 8, 9, 10)

1

1

1

24

(1, 5, 6, 8, 10, 11)

2

1

2

Итого 28 + 30 S

只 различаю 24 типа составных блоков в зависимости 6’ Шести различных пентакубов, образующих первый (блок, содержащий пентакуб 1). В табл. 2 указано

также число различных (2 х 3 х 5)-блоков, которые можно составить из этих пентакубов, а также число решений для второго блока, составленного из не вошедших в

Рис. 3. Основные (2ХЗХ5)-блоки типа 3 для построения составног0 (ЗХ4Х5)-блока.Рис. 3. Основные (2ХЗХ5)-блоки типа 3 для построения составног0 (ЗХ4Х5)-блока.

Рис. 3. Основные (2ХЗХ5)-блоки типа 3 для построения составног0 (ЗХ4Х5)-блока.

Рис. 3. Основные (2ХЗХ5)-блоки типа 3 для построения составног0 (ЗХ4Х5)-блока.

первый блок пентакубов (их номера в явном внде указаны). Общее число различных (с точностью 标。 отражения и поворота и, разумеется, параллельн переноса, как подразумевается в дальнейшем)

наций каждого типа приведено в последнем столбце 痴几 2, где S означает самодвойственные решения. gcero было получено 28+30S решений. Это означает, 1rго существует 2x28+30=86 различных (с точностью д0 поворотов) комбинаций двух одновременно составленных блоков 2x3x5. Некоторые (но не все) блоки составлены из пианино. Например, на рис. 3 показаны блоки типа 3 с тремя решениями для первого блока и четырьмя — для второго. Как обычно, каждый блок представлен двумя прямоугольными поперечными сечениями: одним (слева) для нижнего слоя, другим (справа) —для верхнего. Ясно, что только три из семи блоков построены из пианино. Интересно отметить, что все семь блоков симметричны, т. е. каждый из них обладает центром симметрии.

Общее число различных (с точностью до поворота и отражения) составных (3 X 4 X 5)-блоков равно 372. Из них 28 блоков обладают плоскостью симметрии и столько же ——центром симметрии. Множество из 28 блоков, имеющих плоскость симметрии, полно, так как (3x4x5)- блок не может не быть составным. Чтобы построить симметричные составные блоки, читателю необходимо обратиться к рис. 4, на котором изображен (2x3x5)-

Рнс. 4. Два двойственных блока, из которых можно собрать (ЗХ4Х 5)-блок, обладающий либо центром, либо плоскостью симметрии (каждый вариант Допускает два различных решения).Рнс. 4. Два двойственных блока, из которых можно собрать (ЗХ4Х 5)-блок, обладающий либо центром, либо плоскостью симметрии (каждый вариант Допускает два различных решения).Рис. 5. Простой (не составной) (ЗХ4Х5)-блок, собранный из четырех пианино (одного полного набора зеркальных пентакубов).Рис. 5. Простой (не составной) (ЗХ4Х5)-блок, собранный из четырех пианино (одного полного набора зеркальных пентакубов).

Рнс. 4. Два двойственных блока, из которых можно собрать (ЗХ4Х 5)-блок, обладающий либо центром, либо плоскостью симметрии (каждый вариант Допускает два различных решения).

Рнс. 4. Два двойственных блока, из которых можно собрать (ЗХ4Х 5)-блок, обладающий либо центром, либо плоскостью симметрии (каждый вариант Допускает два различных решения).

Рис. 5. Простой (не составной) (ЗХ4Х5)-блок, собранный из четырех пианино (одного полного набора зеркальных пентакубов).

Рис. 5. Простой (не составной) (ЗХ4Х5)-блок, собранный из четырех пианино (одного полного набора зеркальных пентакубов).

построенный из пентакубов (1, 3, 5, 8, 10, 12).

ственный ему блок можно построить из остальных ,нтакубов (2, 4, 6, 7, 9, 11). Соединяя два блока (двумя ^^личными способами), мы получаем (Зх4х5)-6лок,

обладающий плоскостью симметрии. Два блока, обпа зующие большой блок, можно расположить и так, чТо^ы последний обладал центром симметрии (также двумя способами). Пианино, собранные так, как показано на рис. 4, позволяют построить много других видов симметричных (Зх4х5)-блоков.

Обратимся теперь к простым, т. е. не составным (Зх4х5)-блокам. В том, что простые блоки действительно существуют, нетрудно убедиться, взглянув на рис. 5, на котором изображен блок, построенный из четырех пианино (полного набора зеркальных пентакубов). Так как пианино (рис. 5) можно переставить несколькими способами и набор пентакубов можно разделить на четыре пианино восемью способами (см. табл. 1), очевидно, что и простых блоков имеется немало.

Хотя я часто пытался построить простой блок «наугад», не размышляя, мне ни разу не удалось сделать этого. Поэтому с моей стороны было бы нечестно обращаться к читателю с призывом испытать счастье в поиске самостоятельного решения. В то же время я всегда был глубоко убежден, что сотни известных решений составляют лишь небольшую долю от общего числа решений. Я оказался прав!

Одно дело запрограммировать ЭВМ так, чтобы получить с ее помощью одно или несколько решений, и совсем другое получить все решения. Исключить повороты и симметрии в рассматриваемом случае нелегко, поэтому программа ЭВМ была составлена так, чтобы можно было получать и решения, отличающиеся поворотом и отражением, но симметрия решений отмечалась в выходных данных. Используя общую и специальную программы, мне удалось установить, что общее число различных центрально-симметричных (Зх4х5)-блоков равно В это число входят и 28 составных блоков, о которых мы уже говорили. Их вклад в общее число блоков составляет менее 4 процентов.

На рис. 6 показаны все возможные решения, в кото рых пентакубы 1 и 2 расположены так, как показа в правом нижнем углу. Каждое решение представлю тремя поперечными сечениями (слева направо)： него, среднего и верхнего слоев. Пять блоков — стые, два блока — составные (тип 15).

Изящный центрально-симметричный блок пок

на рис. 7. Он распадается на две «лесенки», из котопы (Зх4х5)-6лок можно составить различными способами Это не единственный блок с такой структурой.

Последний пример центрально-симметричного блока представлен на рис. 8. Он обладает несколькими при, мечательными особенностями. Читатель, возможно, за.

Рис. 8. Пример блока, переходящего в свое зеркальное отражение при параллельном переносе четырех из 12 пента кубов. (Подробности см. в тексте.)Рис. 8. Пример блока, переходящего в свое зеркальное отражение при параллельном переносе четырех из 12 пента кубов. (Подробности см. в тексте.)

Рис. 8. Пример блока, переходящего в свое зеркальное отражение при параллельном переносе четырех из 12 пента кубов. (Подробности см. в тексте.)

Рис. 8. Пример блока, переходящего в свое зеркальное отражение при параллельном переносе четырех из 12 пента кубов. (Подробности см. в тексте.)

метит, что на трех сечениях этого блока не указаны пентакубы (7, 8, 9, 10). Дело в том, что «зияющие пустоты» можно заполнить двумя различными способами, что объясняется существованием двух одинаковых (конгруэнтных) пентакубов (7, 8) и (9, 10), изображенных на рис. 8 внизу. При заполнении пустот этими двумя комбинациями возникают зеркально-симметричные блоки (с точностью до поворота). Блоки с такой структур。" встречаются чрезвычайно редко: всего их существует

только десять.

На этом можно поставить точку и сообщить, сколько всего (Зх4х5)-блоков можно построить из 12 зеркальных пентакубов. Не знаю, поверит ли мне читатель, но с точностью до отражений и поворотов полное число различных (Зх4х5)-блоков равно 29 162, а с то^нос^а только до поворотов полное число равно 57 554.弋 результата получены на ЭВМ примерно за два г0^ за время, отведенное для профилактики машин •

I Bowkamp, C. W- Catalogue of solutions of rectangular 3x4x5 so- lid pentamino,problem. 1967. the Netherlands: Technische Hogesc*- hool Eindhoven, Department of Mathematics, Eindhoven.

_》一Packing a rectangular box with the twelve solid pentomino- > es. 1969. J. Combinatorial Theory 7: 278—280.

_》一 Catalogue of solutions of the rectangular 2x5x6 solid pen- 'tomino problem. 1978. Ken. Ned. Акай. Wetensch., Proc., ser. A 81: 177—186.

Моя жизнь среди полимино

Дэвид А. Кларнер

Математиком я стал, должно быть, благодаря отцу. Он отличался научным складом ума, был творческой натурой и считал, что для него не существует ничего невозможного. В школе мне повезло: превосходный учитель Немо Дебели горячо поддерживал мой интерес к естественным наукам и математике. Именно он посоветовал мне следить за публикациями Мартина Гарднера, когда в конце пятидесятых годов они стали появляться в журнале Scientific American. Вдохновленный примером отца, я тоже считал, что в математике мне по плечу любая задача. Когда Деб задавал мне какую- нибудь классическую задачу по геометрии, теории чисел, комбинаторике или еще какому-либо разделу математики, я принимался размышлять в твердой уверенности, что с задачей непременно справлюсь. Разумеется, мне так и не удалось доказать Великую теорему Ферма, доказать гипотезу (ныне — теорему) четырех красок или установить, что множество простых чисел- близнецов бесконечно, но я многому научился, пытаясь справиться с этими знаменитыми проблемами. Именно в этот период и произошла моя первая встреча с Мар- тнном Гарднером.

Вообразите охвативший меня восторг, когда Мартин 「арднер ответил на мое письмо и свел меня ——тогда еще Школьника ——с другими людьми, интересовавшимися ПоДобными же проблемами. (Через Гарднера, например, я ^первые познакомился с Соломоном Голомбом, который

включил многие из моих результатов и придуманных мной задач в свою книгу «Полимино» .)

Превосходные учителя были у меня в то время, когда происходило мое «посвящение в математика»: Немо Де. бели — в старших классах школы, Джеймс Э. Хаусхолдер ——в колледже, Лео Мозер — в университете Дик де Брейн ——в аспирантуре. Мартин Гарднер бесспорно также принадлежит к числу моих учителей, но его роль отличается от роли остальных моих наставников: на протяжении двадцати лет Мартин Гарднер поддерживал мое вдохновение и помогал находить друзей, с которыми я мог бы разделить мои математические увлечения.

В этой статье я хочу попытаться изложить некоторые из моих математических открытий в области полимино —предмета, который может показаться чересчур специальным для популярного издания. Тем не менее я намерен рассказать о полученных мной результатах, причем сделать это я хочу так, чтобы эти результаты стали понятны и неспециалисту. Несколько первых разделов касаются проблем перечисления. Математические статьи, посвященные этим проблемам, занимают не один десяток печатных страниц, усыпанных формулами самого устрашающего вида. Я опустил все доказательства, а сами результаты упростил до предела. Заключительные разделы статьи содержат очень краткий обзор некоторых точных результатов замощения (разбиения) плоскости. Они более доступны и, вероятно, более привлекательны для широкого круга читателей; к тому же эти темы неоднократно затрагивал в своих статьях и книгах Мартин Гарднер. Разумеется, я далек от мысли попытаться превзойти Гарднера в мастерстве популяризации.

Растущие полимино

Полимино «обитают» среди точек с целочисленным!^ координатами на плоскости, отнесенной к декартово системе координат. Состоят полимино из клеток. т- _ единичных квадратов, вершины которых расположе в точках с целочисленными координатами. Объединение

п клеток, внутренность которого представляет собой связную фигуру, мы назовем п-мино. Соломон Голомб определяет п-мино как такое множество полей бесконечной шахматной доски, где любые два принадлежащих

'Рнс. 1. Единичная клетка, два трансляционных и один поворотный тип F-пентамино и гептамино с дыркой внутри.

этому множеству поля можно связать ходом ладьи, пролегающим только по клеткам n-мино. На рис. 1 'показаны единичная клетка, три пентамино (или 5-

мино) и одно гептамино (т. е. 7-мино). В связи с этим I гептамино обнаруживается одно важное обстоятельство: I "-мино не обязательно односвязно, т. е. внутри него

могут иметься дыры.

Рисунок 1 иллюстрирует еще один важный факт: Хотя при любом фиксированном и существует лишь • ^^чное число форм n-мино, самих п-мино имеется ^конечно много. Различные типы п-мино выделяются Из этого бесконечного множества с помощью соотно- I "ений эквивалентности, задаваемых некоторыми груп-

□амн движений плоскости. Трансляционный тип по- ；"мнно мы получим, если условимся считать одинако- "мн два n-мино, эквивалентные относительно группы 『раллельных переносов, т. е. такие, что некоторый I р'Ренос отображает одно из них на другое. Например, 仁 трансляционные типы тетрамино (4-мино) показаны

на рис. 2. Вращательный тип возникает, если считать одинаковыми два n-мино, эквивалентные относительно группы (собственных) движений (поворотов и переносов) т. е. такие, что некоторая последовательность поворот^ отображает одно из них на другое. (Так как параллельный перенос можно осуществить с помощью двух специально подобранных поворотов, то трансляционная эквивалентность представляет собой частный случай

Рис. 2. Девятнадцать трансляционных типов тетр амино.

вращательной эквивалентности.) Интуитивное представление о вращательном типе n-мино можно получить, если вообразить, что n-мино имеет только одну сторону и его можно как угодно передвигать по плоскости, но только не переворачивать. Наконец, изометрический тип возникает, если считать одинаковыми (эквивалентными) любые два конгруэнтные n-мино. Так как любая изометрия представляет собой композицию отражений, два 〃-мино конгруэнтны, если существует последовательность зеркальных отражений (осевых симметрий), отображающая одно 〃~мино на другое. Конгруэнтные n-мино образуют изометрические классы. Пять изометрических типов тетрамино указаны на рис. 4.

Для составления полных каталогов n-мино при больших п (например, при 几＜24) были использован современные ЭВМ. Но с увеличением и число "片 растет так быстро, что даже при не слишком ших я (например, при м》30) для полного сП^ n-мино не хватило бы места во всей Солнечной снст

Рональд Райвест предложил остроумный алгоритм, позволяющий строить корневые трансляционные типы 'а・мнно. Наделить трансляционный тип n-мино корнем —— зто просто означает выделить одну из п образующих

Рис. 3. Семь вращательных типов тетрамино.

11EF3 ЧЪ □

Рис. 4. Пять изотермических типов тетр амино.

и-мино клеток, пометив ее в центре точкой или кружком. Соответственно корневых трансляционных типов п-мино ровно в и раз больше, чем просто трансляционных типов. Основная идея предложенного Райвестом алгоритма состоит в том, чтобы задать такой процесс роста, при котором каждый корневой трансляционный тип n-мино порождается один и только один раз.

Чтобы вырастить корневой трансляционный тип п- мино, начнем с клетки, помеченной кружком; этой клетке мы присвоим номер 1. Затем, начав с клетки, расположенной над клеткой /, перенумеруем по часовой стрелке числами 2, 3, 4 н 5 клетки, имеющие с клеткой 1 общие стороны. Клетки, примыкающие к клеткам по- 口имнно (имеющие с ними общие стороны), будем называть соседними клетками. Процесс роста разбивается на несколько стадий. Каждая стадия состоит в нумерации соседних с полимино клеток наименьшими (из еще не ^пользованных) положительными целыми числами, большее полимино вырастает из уже построенного за счет 叩^соединения тех из перенумерованных клеток, ко- торме принадлежат выращиваемому n-мино. Обычно каждом этапе появляются новые ненумерованные клетки. Их следует перенумеровать наименьшими по- ^°Жительными целыми числами, не встречавшимися в качестве номеров. Вписывать новые номера над- 氷нт по часовой стрелке, начиная сверху, с новой

14145510102121991616роста одного из 9-мино по алго-роста одного из 9-мино по алго-Рис. 5. Поеледовательные стадииРис. 5. Поеледовательные стадииритму Райвеста.ритму Райвеста.5 пока- 9-мино.5 пока- 9-мино.заны последовательные стадии роста одного иззаны последовательные стадии роста одного из

14

14

5

5

10

10

21

21

9

9

16

16

роста одного из 9-мино по алго-

роста одного из 9-мино по алго-

Рис. 5. Поеледовательные стадии

Рис. 5. Поеледовательные стадии

ритму Райвеста.

ритму Райвеста.

5 пока- 9-мино.

5 пока- 9-мино.

заны последовательные стадии роста одного из

заны последовательные стадии роста одного из

■я,■я,клетки, ближайшей к помеченной. Может случитьс

■я,

■я,

что перенумеровать все новые соседние клетки

удастся лишь после того, как мы совершим вокруг меченной клетки несколько оборотов. На рис.-

Алгоритм Райвеста задает «генеалогическое прево》 корневых трансляционных типов 〃-мнно. Множество номеров р ⑷，приписанных клеткам корневого п-мино Л, называется его именем. Например, корневое 9・мнн° на рис. 5 имеет имя {1, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 21}. Корневое полимино В называется потомком корневого полимино Л, если имя полимино Л составляет часть имени пол^ мино В, т. е. если р(Л)^р(В). Часть генеалогическог древа корневых трансляционных типов полимино пока

зана на рис. 6.

Если п больше единицы, то (Зи—1) — наиболыпсе целое число, встречающееся в имени любого корневого л-мино. Это можно пояснить, рассуждая следу10111""

образом. Наибольшее целое число, используемое для

нумерации клеток, соседних с корневым мономино (1-мнно), равно 5. Добавление одной клетки к корневому полимино увеличивает число соседних клеток (не более чем) на 3. Следовательно, наибольшее целое число,

Рис. 6. Генеалогическое древо корневых трансляционных типов

полимино.

вышает Зи——2. При 〃>1 корневое n-мино вырастает (путем добавления какой-то соседней клетки) из некоторого корневого (п—1)-мино. Целое число, которым занумерована новая клетка, не больше (т. е. меньше "лн равно), чем 3(п—1)+2=3〃一1. Так как корневое п'Мино растет с прибавлением соседних клеток со все возрастающими номерами, наибольшее целое число, I которое может использоваться в нумерации клеток

"-Мнно, равно Зп——1. Таким образом, имя каждого корнетрансляционного типа n-мино представляет собой пОДмножество множества {1, 2, . . ., Зп—1}, содержащее Ровно и элементов. А так как единица входит в имя каж- А°「о n-мино, то корневые трансляционные типы п-мино

взаимно-однозначно соответствуют (п^1)-членным Пс множествам множества {2, 3,.・.，Зп—1}, содержащего (Зм—2) элементов. Число же таких подмножеств, 0Че. видно, равно

q—15吋：q—15吋：(Зм—2)!(Зм—2)!(2九一l)!(n—1)!'(2九一l)!(n—1)!'

q—1

5吋：

q—1

5吋：

(Зм—2)!

(Зм—2)!

(2九一l)!(n—1)!'

(2九一l)!(n—1)!'

где С^ — число сочетаний из р элементов по q.

Если t(n)——число трансляционных типов п-мино то л/(п)——число корневых трансляционных типов и- мино. Из приведенного выше рассуждения следует, что

Е (几) 0С嘉&.(1)

Но, как нетрудно проверить,

° 11 — — 一 3(9-—1)27

(几十 1) c3Л+l/ n — 2 (2h2 + 3n + 1) < 4

при всех n=l, 2, . . ., так что элементарным методом индукции получаем

f ⑺ < 停)"二 или и (叨十 <? = 6,75.(3)

Методы получения экспоненциальных нижних границ для /(〃) приведены в следующем разделе. Наилучшая из когда-либо опубликованных оценок для /(〃) снизу впервые была приведена в моей диссертации. Мне удалось показать, что при всех достаточно больших и выполняется неравенство

(3,72)"</(м), или 3,72<[/(初"J ⑷

Границы (3) и (4) показывают, что число трансляционных типов п-мино растет экспоненциально. Заметим, что если г(п)——число вращательных типов п-мино, с (и) — число изометрических типов п-мино, то

t (п)/8 &с (几)Q (〃)&/ (〃)-

Таким образом, число п-мино каждого типа возрастает экспоненциально с одной и той же скоростью. Это означает, что даже самые эффективные алгоритмы, пр№ назначенные для построения всех трансляционных^^ пов п-мино, при очень больших и (например, при 々 оказались бы малоэффективными, так как во всем м не хватило бы места для хранения каталога 九-мн *

Подсчет числа полимино

Итак, множество трансляционных типов n-мино даже при умеренно больших п слишком обширно, чтобы его можно было перечислить по элементам. Но даже в этом I сЛучае мы могли бы пересчитать, сколько элементов одержит такое множество при различных п. Напомним, ЧТо /(п), г(п) и с(п) означают соответственно число трансляционных, вращательных и изометрических типов п-мино. Так как /(п), г(п) и с(п) ограничены сверху некоторой экспонентой, например числом 8", десятичная запись каждого из этих чисел содержит не более п знаков. Иногда существуют хорошие алгоритмы для вычисления членов поеледовательностей, растущих экс- 'поненциально. Например, десятичную запись 2M можно вычислить, произведя около 21og2n умножений. Существует алгоритм, требующий порядка log2n основных 'операций для вычисления п-го члена Fn последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . (Напомним, что каждый член этой последовательности, начиная с третьего,, равен сумме двух предыдущих.) ]Члены последовательности Фибоначчи растут экспоненциально*, поэтому "в десятичной записи n-го члена около и знаков.

После этих предварительных замечаний спросим: I существует ли хороший алгоритм для вычисления £(〃)？ Тот же вопрос можно сформулировать даже не столь определенно: существует ли какая-нибудь формула I Для /(п)?

В некотором смысле формула для f (п) существует. Например, можно было бы, воспользовавшись предло- венным Райвестом процессом роста, построить множество всех корневых трансляционных типов п-мино, Пересчитать элементы в этом множестве, а затем разде- ■ "нть полученное число на 〃. Результат деления был бы Р『ен /(〃). К сожалению, такой алгоритм требует около шагов, а величина nt(n) растет экспоненциально. I [асколько мне известно, все существующие ныне алго- ；"тмн для вычисления r(n), / (п) или с(〃) упираются в I У 氷е проблему, т. е. время вычисления для этих алго- [Рнтмов ограничено снизу элементарными функциями

См. формулу (4) на с. 18.— Прим. ред.

от г (и),工(〃)или с(/г), а не сверху каким-нибудь много членом от п. Вполне возможно, что хорошего алгорит для вычисления этих чисел не существует, но недавно созданная теория сложности алгоритмов еще не д0. стигла того уровня совершенства, на котором можно было бы решить этот вопрос.

Рис. 7. Трансляционные типы д-мино, умещающиеся в полоске шириной в 2 клетки.Рис. 7. Трансляционные типы д-мино, умещающиеся в полоске шириной в 2 клетки.

Рис. 7. Трансляционные типы д-мино, умещающиеся в полоске шириной в 2 клетки.

Рис. 7. Трансляционные типы д-мино, умещающиеся в полоске шириной в 2 клетки.

Удивительно, но даже при использовании весьма изящного алгоритма, предложенного Р. Ч. Ридом, время, затрачиваемое на расчеты, экспоненциально растет с п. Алгоритм Рида предназначен для вычисления tk(n) — числа трансляционных типов n-мино, умещающихся в полоске шириной k клеток. Этот алгоритм можно приспособить к вычислению t(n), r(n) и с (и), и Риду удалось найти значения этих функций примерно А-ля десятка различных значений п, не прибегая к ЭВМ и даже микрокалькулятору. На рис. 7 показаны трансляционные типы n-мино, умещающиеся в полоске риной в 2 клетки при 几=1, 2, 3, 4. Значения，2(〃)叩止 ведены в следующей таблице:

п12345678910

%(〃)2 3 6 II 20 27 68 125 230 423 778 1431

Возможно, кто-нибудь из читателей, разглядев эту таблицу, заметит важную особенность: каждый последовательности 力2(九),начиная с четвертого,

сумме трех предыдущих, т. е.

/2(n+3)-/2(n+2)+^(n+l)+/2(n)

при n=l, 2, 3, ... . Эта формула означает, что последовательность *2(1), h(2), h(3),・ _} удовлетворяет разностному уравнению третьего порядка*. Рид доказал более общее утверждение: при любом k последовательность {^(1), ^(2), . . .} удовлетворяет разностному

уравнению^ порядок которого зависит от k. В доказательстве Рида неявно содержится алгоритм для вывода

Рис. 8. Типичный «штабель досок».Рис. 8. Типичный «штабель досок».

Рис. 8. Типичный «штабель досок».

Рис. 8. Типичный «штабель досок».

этого разностного уравнения. Рид свел также свой алгоритм к вычислению степеней некоторой квадратной I матрицы Mk: чтобы найти tk(и), требуется вычислить

必，М%, . . ., 7Wft~A+1. К сожалению, матрица Mk 1 имеет порядок 3Л, а степени ее М* приходится вычислять при fe и /, достигающих почти половины п. Это означает, что алгоритм Рида с увеличением и требует экспоненциально возрастающих затрат времени. Полагаю, что машинная реализация алгоритма Рида позволила бы вычислить ，(〃), г(п) и с(几)при многих значениях п.

Были исследованы и другие подмножества трансляционных типов п-мино. Например, один из пионеров в этой области Мюррей Иден рассмотрел Ь(гг) — число 1 трансляционных типов n-мино, составленных как бы 'из горизонтальных полосок. Такие м-мнно по виду напоминают штабеля досок (рис. 8); поэтому их можно I было бы назвать штабельными n-мино. Значения Ь(п) приведены в следующей таблице:

п12345678910

Ь(п)1 2 6 19 61 196 529 1517 4666 14827

— "«Цену удалось доказать, что при всех достаточно боль- т“х и выполняется неравенство

(3,14)У(〃)・

I 「 Когда я прибыл в университет Альберти, чтобы при- Iсвоей дипломной работе, Лео Мозер пред-

4

0 * Ср. брошюру Маркушевича [10], указанную на с. 485.— 刀"儿.red.

ложил мне улучшить оценку Идена. Я сумел доказать что

Ь (м+4)=5Ь (л+3)—7Ь (n+2)~4b(n+1)(?)

при п=1, 2, •・・• Отсюда следовало, что при всех д0« статочно больших п выполняется неравенство

(3,20)«<Ь(п).

Примерно через десять лет Дональд Кнут предложил называть штабельные n-мино выпуклыми 〃。 рядам. (Просто выпуклыми n-мино следовало бы называть штабельные n-мино, выпуклые по рядам и по столбцам.) Рональду Райвесту и мне удалось найти способ вычислить d(〃) (число выпуклых трансляционных типов п-мино). Мы доказали, что (.(力尸加 стремится к 2, 309 148 .... Исходя из нашей формулы, Эд Бендер вывел асимптотическую формулу для d(n).

Оценки числа л-мино

Мы уже упоминали о том, что f (〃)[так же, как т(п) и с (и)] — число трансляционных типов п-мино ——экспоненциально растет с ростом п. Кроме того, доказано, что затраты времени, требуемые всеми известными алгоритмами для вычисления /(и), экспоненциально возрастают с увеличением и. Возможно, причиной тому растущий с возрастом пессимизм, но я вполне допускаю, что хорошей формулы для f (п) вообще не существует. Число f(〃)при п, например, равном 30, может оказаться «непознаваемым». Что это означает? Любое утверждение о том, что /(30) равно тому или иному десятичному (менее чем тридцатизначному) числу, должно подтверждаться каким-то до к азател ьством. А что если короткого доказательства не существует? Что если все доказательства этого утверждения настолько длинны, что на проведение их понадобились бы тысячи лет беспрерывной работы самых быстродействующих ЗВМ с огромной памятью? Перспектива не из блестящих.

Когда нам не удается найти ключ к трудной задаче, нередко бывает полезно попытаться решить более пр； стую (связанную с ней) задачу. В своей диссертации доказал, что(/(п))1/л при п-> оо стремится к некоторому

пределу 6. Более того, последовательность {/(1), (/(2))1/2, (/(3))1/3, • • •}, возрастая, сходится к 6; поэтому 6 можно аппроксимировать снизу, вычисляя (/(п))1/п для ряда значений п. К сожалению, для этого требуется вычислять / (п), а для получения значении этой функции хороший алгоритм пока неизвестен. Кроме того, последовательность оценок снизу {f (〃)""} сходится к 0 очень медленно, поэтому для того, чтобы превзойти нижнюю границу 3,72ve, полученную мной совершенно другим методом, понадобилось бы очень большое значение п.

Райвест и я предложили метод вычисления убывающей последовательности оценок сверху для 0. Стоимость вычисления этой убывающей последовательности оценок сверху возрастает экспоненциально, и нам не удалось показать, что наша последовательность действительно сходится к 6. Наша лучшая оценка сверху 0<4,65. Недавно Пэту Вудворту и мне удалось уточнить эту схему. Новый метод, по-видимому, порождает убывающую последовательность оценок сверху, сходящуюся к 6. Реализовать наш метод на ЭВМ нам пока не удалось.

Таким образом, предел 6 — величина в какой-то мере иллюзорная: ни один знак десятичной записи 6 до сих пор не известен! Возможно, что для вычисления 6 не существует хорошего алгоритма и что, кроме двух- трех первых цифр, все остальные знаки десятичного разложения 6 «непознаваемы», т. е. невычислимы за время жизни многих поколений людей. (Иногда в разговорах на эту тему я в шутку называл 0 «постоянной Кларнера». Хороша постоянная, все знаки которой пребывают в неизвестности! Если бы удалось доказать, "о, например, 8=4, то детей можно было бы обучать счету так: «один, два, три, постоянная Кларнера, Мть,・•.》.)

В заключение этого раздела приведем таблицу из- ^тных значений с (и) (числа изометрических типов п- мнн。). Эти значения (а также огромный объем другой ^формации о полимино) были получены на ЭВМ

Г. Редельмайером. Существует весьма интересная гипотеза, согласно которой последовательность отноше- Ннй с(2)/с(1), с(3)/с(2),・・・ возрастает, т. е

Г(^Т)< ・・・•

Если эта гипотеза верна, то последовательность отношений {с(〃+1)/с(〃)},孔=1, 2,.・.,возрастая, стремится к пределу, равному постоянной Кларнера 6. Каждое и3 отношений могло бы служить нижней границей для 6 В частности, c(24)/c(23)V0, т. е. 3,8977...<0, что побивает конкурирующую оценку снизу 3,72...<0. Разу, меется, об этом улучшении оценки мы будем вправе говорить лишь после того, как гипотеза будет доказана.

ТАБЛИЦА I

Число различных 〃-мнно

л

с (я)

л

с⑺

п

С (П)

С⑷

1

1

7

108

13

238591

19

742624232

2

1

8

369

14

901971

20

2870671950

3

2

9

1285

15

3426576

21

11123060678

4

5

10

4655

16

13079255

22

43191857688

5

12

11

17073

17

50107909

23

168047007728

6

35

12

63600

18

192622052

24

654999700403

Головоломки, сложенные из полимино

Статья Мартина Гарднера о полимино , опубликованная в 1958 г., ввела меня в эту область, когда я был еще школьником. Особенно интересными были задачи и доказательства, придуманные Соломоном Голомбом.

лечения-лечения-В частности, в статье говорилось, что из 12 вращательных типов пентамино (которые мы в дальнейшем будем называть просто пентамино) можно построить различные по форме прямоугольники площадью 60 (единичны^) клеток. Тогда речь шла о прямоугольниках (3 皆 (4Х 15),(5х 12)и(бХ 10).Через несколько лет Ч. Дж. кэмп составил с помощью ЭВМ полный каталог тений всех задач об упаковке 12 пентамино в 叩黑 угольную коробку. Помимо четырех двумерных коро° • названных в статье Гарднера, Баукэмп сумел 寛 нить также коробки (2ХЗХ 10), (2x5x6) и (3> 4

лечения-

лечения-

Но в 1958 г. читатели гарднеровской рубрики были еще лишены возможности пользоваться каталогами Бау- кзмпа и его остроумными программами. Помню, что мне пришлось изрядно поломать голову, прежде чем удалось двумя способами заполнить двенадцатью пен- ^аМино прямоугольник 3X20. Я также был одним из многочисленных энтузиастов, приславших свои решения рарднеру. Эти два решения (других не существует) показаны на рис. 9.

Рис. 9. Два способа составить (ЗХ 20)-прямоугольник из пентамино. Второе решение получается при повороте заштрихованной части на 180° вокруг ее центра.

При подготовке статьи к печати я неожиданно обнаружил, что никто не рассматривал задачи с вращательными типами пентамино, т. е. с восемнадцатью «односторонними» пентамино, изображенными на рис. 10. Оказалось, однако, что Голомб упоминает об этом наборе фигурок пентамино в своей книге «Полимино»: в одной из задач требуется сложить из них прямоугольник 9х 10. Возможно, что и другие задачи, о которых пойдет речь в этом разделе, также приходили в голову Голомбу. Если вы захотите сделать для себя набор из 18 односторонних пентамино, то лучше всего изготовить нх из картона, выкрасив его с одной стороны в черный, а с другой в белый цвет. Играя фигурками, необходимо Цедить за тем, чтобы все они были одного цвета, на- 11PHMер, черного.

Так как всего существует 18 вращательных типов Пентамино, из них можно было бы попытаться сложить прямоугольники площадью 90 единичных клеток. Эта :Аа“а оказывается разрешимой для прямоугольников 『мрех форм, а именно (3x30), (5Х 18), (6х 15) и (9Х 10). еа^ачи на составление прямоугольников решить легче, от «стройных» прямоугольников перейти к «тол- м；1м》. Например, составить прямоугольник (ЗХ 10) ° е Удалось примерно за два часа, а на составление Рямоугольника (9х 10) ушло только две минуты.

I " 一一」

灯初卩口圻%

Рис. 10. Восемнадцать поворотных типов пентамино.

Рис. 11. Прямоугольники, составленные из односторонних “е" МИНО.

Столь сильные различия в трудности задач, по-види- мому, в какой-то мере св^занн с тем, что задача на составление прямоугольника 3x30 допускает немного решений, в то время как составить из односторонних Антамнно прямоугольник 9х 10 можно тысячами различных способов. Решения обеих задач показаны на

Перестановка

Поворот

呪• 12. Разбиение (ЗХ 30)-прямоугольника на односторонние пен- 1aMнн。，полученное из разбиения, которое изображено на рис. 9.

Выложить односторонними пентамино прямоуголь- 吗к Зхзо может оказаться не так-то просто. Но коль ：°Ро одно разбиение прямоугольника найдено, его ，едко удается преобразовать в другие решения с м°Щью поворота и перестановки блоков. Объясним, .:Действует поворот. Рассмотрим блок из пентамино j工整рамп от 6 до 13 в разбиении прямоугольника

‘°， показанном на рис. 11. Повернув этот блок на

180° вокруг его центра, мы получим первое из решений представленных на рис. 12. Но это еще не все. Восполь' зуемся разбиением, изображенным на рнс. 11. Переста вив два блока, состоящих из пентамино с номерами 歸 6 до 11 и от 15 до 17, получим второе решение из числа представленных на рис. 12. Преобразуя разбиение показанное на рис. II вверху, можно получить вс； пять различных разбиений, изображенных на рнс. 12 Два преобразования сводятся к поворотам, остальные к перестановкам блоков. Разумеется, ничто не мешает нам применить те же преобразования к разбиениям на рис. 12 и получить девять новых разбиений. Продолжая, мы получим много новых разбиений. Думаю, что читателю будет интересно самому проследить, сколько новых разбиений возникает из уже известных с помощью поворотов и перестановок. Разумеется, отразив любое разбиение в зеркале, мы также получим новое

сле-сле-решение, но зеркально-симметричные разбиения

сле-

сле-

дует считать одинаковыми, хотя в техническом смысле они и различны.

Когда моя жизнь среди полимино только начиналась, я пытался найти фигуры, допускающие изящные определения, а затем принялся размышлять над тем, что можно было бы из них сделать. Такого рода занятия можно проиллюстрировать на примере односторонние пентамино. Изящество этого набора фигурок отчасти объясняется простотой их определения. На протяжении нескольких лет я пытался найти ответ на вопрос, не существуют ли еще более простые наборы фигурок, которые бы порождали не менее сложные задачи. Мои собственные изобретения представляли конструкции из нескольких экземпляров одной и той же фигуры мино или поликуба (поликубом я называю трехмерный аналог полимино). Задача, которую я рассматривал, всегда была одной и той же: перечислить все прямоугольные коробки, которые можно заполнить несколько； экземплярами одной и той же фигуры. Пример так° рода задачи мы рассмотрим в следующем разделе.

Мпентакуб-

На рис. 13 изображен ^-пентакуб. Мы специальна расположили его так, чтобы подчеркнуть ^сходст очертаниями латинской буквы N, от которой и ЛР

伽о его название. В действительности N-пентакуб пред- 口如〃只ет собой ^пентамино, все пять единичных клеток которого заменены единичными кубами. Очень легко доказать, что из N-пентамнно нельзя выложить без пролетов прямоугольник. Действительно, фигурами ^- пентамнно невозможно выложить один конец прямо

Рис. 13. Л^-пентакуб.

угольника. Следовательно, N-пентакубамн невозможно заполнить без просветов ящик в форме пр ямоугол ьного параллелепипеда, одно из ребер которого имеет единичную длину. А можно ли вообще заполнить какие-нибудь прямоугольные ящики ^-пeнтaкyбaми? Оказывается, можно! Я начну с описания ящиков, у которых одно из ребер имеет длину 2.

Если ящик axbxc плотно упакован N-пентакубами, то объем каждого пентакуба (равный 5) должен делить объем abc ящика. Это означает, что одно из чисел а, b или с кратно 5. Рассмотрим частный случай о=2. Тогда Ь или с кратно 5 (пусть с кратно 5). Не- ФУДно показать, что ^пентакубы невозможно уложить без промежутков у стенки ящика 2xbxc при b =1, 2, 3, Дзже если третье ребро с имеет длину, кратную 5. ОдНако, как видно из рис. 14, ^пентакубами можно за- й°лнить ящики (2x4x5), (2x5x5), (2x6x5) и (2x7义 5). Из этих ящиков можно составить более вмести- ^льные ящики, сплошь заполненные %・пентаку6амн. "трудно показать, что любое целое число》＞3 пред- ставнмо в виде Ь=4 侬-|-5%+6y+7z, где 叫 x,y, z — неотри- ^тельные целые числа. Следовательно, ящики ш(2х4х 5), %(2х5х5), »(2х6х5) и z(2x7x5) можно прн- ；тронтъ один к другому стенками 2x5, образовав ящик 4X6x5, сплошь заполненный А^-пентакубами. Склеив х^Ких ящиков стенками 2хЬ, мы получим ящик 2xbx J瓦 Следовательно, множество S2 всех (2хЬхс)-ящи- Ов» Которые можно сплошь заполнить А^-пентакубами, ”№"36321

Рис. 14. Четыре основных «ящика» для Л^-пентакубов. Пента J , помеченные кружками в верхнем слое, в нижнем слое помечены г тиками.

рис. 15. Ящик размером ЗХ 5X8, сплошь заполненный Л'-пентакуба-ми.

"с. 16. Ящик размером 3X4X15, сплошь заполненный N-пентаку- Если заштрихованные пентакубы удалить, а свободные грани Двинуть вместе, то получится ящик размером ЗХ4Х 10, по-прежнему сплошь заполненный TV-пентакубами.

；стонт из всех ящиков с 匕＞3 и с кратным 5. Базисом божества служат четыре бруса, изображенные на 14. Это означает, что любой ящик, заполненный

А'-пента-кубамн, можно составить из четырех бруС{ показанных на рис. 14.

Множество S2 состоит из всех двухслойных ящикс которые могут быть сплошь заполнены %・пентакубам『

Из таких ящиков в свою очередь можно составить с четным числом слоев (больше двух). Это означает, 4 четыре ящика, изображенные на рис. 14, служат сом для ящиков, имеющих размеры 2ахЬХ 5с, где 〃，° 一 2, 3, ... и b=4, 5, 6, .... Ни один из этих ящиков^^ имеет в толщину ровно 3 слоя. Можно ли заполн^ сплошь TV-пентакубами трехслойные ящики? Д°

“op мне удалось заполнить ^пентакубами ящики 3x5X1 ^8 (рис. 15) иящики 3x4x5fe при 々=2, 3, . . . (рис. 16). указано, что ящик 3x4x5 невозможно заполнить 『пентакубами. Неизвестно, какие ящики Зх5хп мож~ но заполнить ^-пeнтaкyбaми, но алгоритм решения этой задачи существует.

Каждый четырехслойный ящик, допускающий раз- ^иение на TV-пентакубы, может быть составлен из двух- {1 трехслойных ящиков, заполненных N-пентакубам乩 А что можно сказать о пятислойных ящиках? Ключевая проблема в этом классе задач состоит в следующем: как сложить из ^пентакубов куб с ребром 5? Немалых усилий стоило мне собрать его из ^пентакубов (рис. 17). Прилаживая последний 7V-пентакуб, я едва держался на ногах от усталости!

Ящиков, сплошь заполняемых 7V-пентакубами, достаточно много, чтобы попытаться доказать общее утверждение: любой ящик axbxc можно заполнить N・ пентакубами, если произведение abc кратно 5 и а, Ь9 с — достаточно велики. Как показано в следующем разделе, чего-то подобного действительно можно ожидать. Ящики, которые можно заполнить ^пентакубами, но нельзя разрезать на меньшие ящики, также заполняемые пентакубами, называются основными или примитив- ными. Множество примитивных ящиков конечно, но (для задачи заполнения 7V-пентакубами) неизвестно.

Заполнение ящиков брусками

двухлетнегодвухлетнегоОдним из многих преимуществ моего

двухлетнего

двухлетнего

пребывания в Нидерландах, где я работал с де Брёйном, бнла встреча с еще одним «обитателем страны полими- н。》一Фрицем Гёбелем. Он не расставался с блокнотом, в Который заносил всю информацию и различные ги- Потезы о полимино. Гёбель напомнил мне об одной задаче Голомба, которую я в свое время решил (мое решение было опубликовано в журнале American Mathematical Monthly). Суть ее сводилась к следующему. Каждый прямоугольник, который можно выложить из ^'тетрамино, допускает покрытие прямоугольниками 'Х4 и 3x8. Такие прямоугольники также можно со- :тавнть из L-тетрамино. Другой результат такого рода “《и получен Дэвидом Уокапом. Он доказал, что любой

Рис. 18. Основные «ящики» для L-тетрамино и 7-тетраминРис. 18. Основные «ящики» для L-тетрамино и 7-тетраминпрямоугольник, допускающий разбиение на Т-Тег мино, можно выложить квадратами со стороной 4. квадраты также допускают разбиение на 7-тетрамин. (Разбиения прямоугольников 2/.4 и 3x8 на 厶-тетрамнр и разбиение квадрата 4>z4 на Т-тетрамнно пока на рнс.

Рис. 18. Основные «ящики» для L-тетрамино и 7-тетрамин

Рис. 18. Основные «ящики» для L-тетрамино и 7-тетрамин

позволили Гёбелю высказать гипотезу о том, что множество R п р я моу гол ьн и ков, допускающих разбиение на заданное полимино, имеет конечный базис В, т. е. что в R существует конечное подмножество В прямоугольников, которыми можно покрыть любой прямоугольник из R. Гёбель также предположил, что если площади двух прямоугольников Л и В выражаются взаимно-простыми числами, то любые прямоугольники, обе стороны которых достаточно велики, допускают покрытие прямоугольниками А и В. Гёбель намеревался воспользоваться этим утверждением для доказательства первой гипотезы, но оказалось, что вторая гипотеза неверна.

Вдохновленный гипотезами Гёбеля, я нашел необходимое и достаточное условие того, что прямоугольник aXb допускает разбиение на квадраты р〉、р и ^ q： либо прямоугольник допускает разбиение на квадраты одного размера, либо его можно разрезать на два прямоугольника, каждый из которых допускает разбиение на квадраты одного размера. Мое условие означает, что выполняется одно из следующих утверждений:

оба числа а и b делятся на р;

оба числа 〃 и 匕 делятся на д;

либо а, либо b (пусть, например, а) делится на р и на 仏 в то время как b=px-\-qy, где х и у 一 неоТ" рицательные целые числа.

Это означает, что если р=2, д=3, то ни один из квадратов 5x5, 25X25, 125x125, . . 5々义5勺•・• невозможно выложить из квадратов 2x2 и 3x3.

Опровергнув тем самым вторую гипотезу Гёоел^ перейдем к доказательству его первой гипотезы.

казалась верной, но мне удалось получить более опре- Ценный результат.

° Пусть R ——бесконечное множество прямоугольниксв целочисленными сторонами. Задавая каждый прямо- гольник, мы будем указывать его положение на пло- /остн и ориентацию. Под прямоугольником axb ми 〈дем понимать прямоугольник со стороной 〃，парал- ；ельной оси у, и другой стороной, параллельной оси х.

Рнс. 19. Разбиение прямоугольника, которое невозможно построить по методу «разделяй и властвуй».

Это означает, что если а^Ь, то axb и ЬХа — разные прямоугольники. Прямоугольники, переходящие друг в друга при параллельных переносах, считаются оди- каковыми (эквивалентными). Разбиения мы также задаем не произвольно, а с помощью метода «разделяй и властвуй», т. е. исходный прямоугольник разрешается только разрезать на два меньших прямоугольника, каждый из которых подвергается разбиению тем же методом. Например, моя теорема о разбиении прямо- угольников на квадраты двух размеров утверждает, что прямоугольник допускает разбиение на квадраты Двух размеров в том и только том случае, если он допускает разбиение по методу «разделяй и властвуй». Разбиения такого типа, как показано на рис. 19, невозможно построить по методу «разделяй и властвуй».

Моя теорема относится к разбиению ориентированных прямоугольников с использованием метода «разделяй н властвуй». Она утверждает, что каждое бесконечное Множество R ориентированных прямоугольников содер- 米нт конечное подмножество В, такое, что любой элемент Множества R допускает разбиение на элементы подмно- *ества В по методу «разделяй и властвуй». Более того, алогичное утверждение справедливо и в 々-мерном пространстве.

Изящную теорему о разбиении ящиков на бруски ^Формулировал и доказал Дик де Брёйн. Он назвал г°Р^оническим брусок размерами axabx abc, где 〃，力

с ——целые числа. (Аналогичное определение вводится, и для многомерных брусков.) Теорема де Брейна верждает, что ящик допускает разбиение на гармони ческие бруски в том и только том случае, если допуска^ также разбиение, при котором все бруски уложены 鼠 раллельно (т. е. когда ящик имеет размеры ap^abq xabcr). Это означает, что ящик допускает разбиение гармонические бруски в том и только том случае, когда разбиение достижимо по методу «разделяй и властвуй... Другая доказанная мной теорема утверждает, что прямоугольник больших размеров можно выложить меньшими прямоугольниками в том и только том случае, если разбиение большего прямоугольника можно построить по методу «разделяй и властвуй». Я начал было думать, что и в общем случае одинаковыми брусками можно выложить ящик в fe-мерном пространстве в том и только том случае, если соответствующее разбиение ящика можно построить по методу «разделяй и властвуй», но Дэвид Сингмастер привел контрпример. Бру сками 1x3x4 можно выложить ящик 5х5х 12, но как разбить ящик на такие бруски по методу «разделяй и властвуй»? Из моего доказательства первой гипотезы Гёбеля следует, что, за исключением конечного множества ящиков, все ящики, допускающие разбиение на конгруэнтные бруски заданного размера, могут бь1ть разделены на эти бруски методом «разделяй и властвуй».

С днем рождения, Мартин!

Задачи и забавы

5・1・ Исчезновения

Дональд 3・ Кнут

Перед вами короткое — в восемь строк — «стихотворение в прозе». Если правые части первых трех строк переставить с правыми частями пяти заключительных строк, то получится «стихотворение в прозе» всего в семь строк. Какая строка исчезает при такой перестановке?

Волшебные слова вроде «фокус- покус» законы наукиВолшебные слова вроде «фокус- покус» законы наукиМанипуляторы творят чудеса, На удивление непосвященнымМанипуляторы творят чудеса, На удивление непосвященнымЯ хотел знать, куда исчезают кролики нз шляпы фокусника.

Волшебные слова вроде «фокус- покус» законы науки

Волшебные слова вроде «фокус- покус» законы науки

Манипуляторы творят чудеса, На удивление непосвященным

Манипуляторы творят чудеса, На удивление непосвященным

нс отменяют ясные математические истины.

заставляют предметы летать, словно во сне, и те парят.

‘Ут какая-то тайна:‘Ут какая-то тайна:Как быКак быведь трюкиведь трюкипо мановению волшебнойпо мановению волшебнойпалочкипалочкиповисают в воздухе, лишенные опоры.создают (по крайней мере такова видимость)силу, перед которой не устоит ничто.повисают в воздухе, лишенные опоры.создают (по крайней мере такова видимость)силу, перед которой не устоит ничто.

‘Ут какая-то тайна:

‘Ут какая-то тайна:

Как бы

Как бы

ведь трюки

ведь трюки

по мановению волшебной

по мановению волшебной

палочки

палочки

повисают в воздухе, лишенные опоры.

создают (по крайней мере такова видимость)

силу, перед которой не устоит ничто.

повисают в воздухе, лишенные опоры.

создают (по крайней мере такова видимость)

силу, перед которой не устоит ничто.

Волшебные слова вроде «фокус- покус»Волшебные слова вроде «фокус- покус»законы науки，аНИГ1Уляторы творят чудеса. Удивление непосвященнымзаконы науки，аНИГ1Уляторы творят чудеса. Удивление непосвященнымКак бы:какая-то тайна: ведь трюки мановению волшебнойпалочкиКак бы:какая-то тайна: ведь трюки мановению волшебнойпалочки

Волшебные слова вроде «фокус- покус»

Волшебные слова вроде «фокус- покус»

законы науки

，аНИГ1Уляторы творят чудеса. Удивление непосвященным

законы науки

，аНИГ1Уляторы творят чудеса. Удивление непосвященным

Как бы

:какая-то тайна: ведь трюки мановению волшебной

палочки

Как бы

:какая-то тайна: ведь трюки мановению волшебной

палочки

заставляют предметы летать, словно во сне. н те паряг.

повисают в воздухе, лишенные опоры.

создают (по крайне員 мере такова видимость) силу, перед которой не устоит ничто.

я хотел знать, куда исчезают кроликн из шляпы фокусника.

не отменяют

ясные математические истины

Неевклидова гармонияСкотт Ким

Евклид

Одним из выдающихся достижений древних грек( ：1 было создание дедуктивной системы гармонии тон，,в построенной на основных звуках, которые окру^кали людей в их повседневной жизни. Эта система подробно изложена в 13 книгах евклидовых «Начал гармонии* известных также под названием «Гармонический ряд-

Сначала Евклид вводит 5 аксиом (постулатов):

От всякой ноты к другой ноте можно перейти, выдержав паузу (аксиома Арпеджио).

Конечную паузу можно продолжить неограниченно (аксиома Ферма(та)).

Развитие мелодии может быть описано посредством задания тональности и звена секвенции (аксиома секвенции).

Все тритоны равны между собой (демоническая аксиома).

Если мелодическая линия сопровождает две да- гие мелодические линии, отстоящие на квинту, таким образом, что с одной стороны они образуют два внутренних односторонних интервала, в сумме меньшие двух тритонов, то эти две мелодические линии, если продолжить их неограниченно, разделяются с той стороны, где односторонние интервалы составляют меньше двух тритонов (квинтовый, или пятый, постулат).

Из этих аксиом Евклид сумел вывести некоторь1е теоремы, в частности следующую:

Сумма интервалов триады равна двум тритонам-

Евклид исследовал аполлоновы прогрессии и казал, что для каждого пункта в квинтовом круге ществует обратимый контрапункт.册

Евклид, по-видимому, не был удовлетворен форм〉 ровкой своего пятого постулата, которому явно ставало четкого изящества первых четырех. можно судить хотя бы на основании того, что ЕвК£ в полной мере используя первые четыре постул

порно воздерживался от введения в «Начала» пятого ,оСтулата. В одном месте он использовал еще одно ,|аВило, назвав его «расширенным пятым постулатом» )11И «постулатом увеличенной квинты», но потом отка- ；』ся от него, убедившись, что «увеличенная квинта» ■впадает с «малой секстой».

° В последующие века немало людей прикоснулись к «Началам», придирчиво выискивая у Евклида малей・ шИе изъяны. Стали поговаривать о том, что пятый по- сТулат лишний. По мнению многих, все созданное на основе пятого постулата можно было бы сочинить и без него — используя только четыре первые постулата. Кое-кто пытался доказать это с помощью весьма обманчивых каденций — метод «разрешения путем доказательства теорем».

В XVII в. итальянский теоретик музыки Джироламо Саккери сочинил целую сюиту из пьес, противоречивших пятому постулату. Он ожидал, что возникнет какое-либо противоречие — этого не случилось. Труды Саккери — один из самых ранних примеров неевклидовой композиции. Недостаточная музыкальная подготовка не позволила Саккери оценить важность совершенного им открытия. Неспособный к восприятию новых созвучий, он объявил свои сочинения «несовместимыми с природой мелодической линии», тем самым лишив себя места, которое по праву принадлежало ему в истории музыки. Пятый постулат оставался неразрешенным долгие годы.

Греческий идеал

Неудача, постигшая Саккери и его предшественни- к°в, была обусловлена господством в теории музыки Оческих идей. Греки считали, что все в мире подчи- унется числовым соотношениям, которые установлены °°гом. Одни и те же соотношения правят и орбитами "манет, и гармонией геометрических фигур, и музы- Кальными построениями. Греки обнаружили много примеров таких простых соотношений. Так, теорема Пифа- устанавливала связь между высотой тона, «издава- м°г°» гипотенузой, и длиной катетов. Если длина ка- :т°в удваивалась, высота тона падала в два раза. Пи- ■ корейская шкала тонов была основана на отношении

3/2, которое называлось золотым интервалом, так считалась наиболее благозвучным.

В конечном счете греки свели все пропорции к обертонов; через много веков это нашло отражение изречении: «Бог сотворил ряд обертонов, все остальн дело рук человека». Исходя из ряда обертонов, гре； создали различные музыкальные шкалы, или мо^Ь1 Модальные логики считали, что настройка оказывав сильное влияние на человеческий темперамент. Пр0, порция и реальность в понимании греков были нераз1 лимы, а музыка служила отражением порядка, царя. щего во Вселенной.

Поскольку существовала только одна музыка,耻 возникало необходимости давать точное определение понятию «музыка». Современному музыканту евклидовы общие понятия типа «часть всегда меньше целого» могут показаться наивными. Они основываются на дру гих столь же неясных понятиях, которые никак не могут служить самостоятельными (независимыми) определениями. Многие композиторы евклидова направления, признавая необходимость правильного ведения голоса, ограничивались в своих сочинениях указанием только тех мест, где могли возникнуть неясности.

Тенденция к аббревиатурам породила ряд «темных мест» в нотном письме; математику факта, генерал-6-v и орнаментику. Исполнителю приходилось «на свой страх и риск» восстанавливать недостающие части музыкального произведения. Великого математика И. С. Баха считали старомодным за его пристрастие подробно выписывать всю орнаментику. Особенно трудни было реконструировать инструментовку. Создавая свои произведения, композиторы нередко имели в виду тембры определенных инструментов, и в тех случаях, когда исполнителю приходилось восстанавливать звучание m обрывочным пометкам, имевшимся в его распоряжений» информация обычно оказывалась недостаточной.

Греческая теория музыки вызывала возраже11^^ музыкантов. Некоторые из фундаментальных пр亜 интерпретации музыкального письма, поднятых КРИ^ ками греческой гармонической системы, удалось Р 卜 решить только в современно員 исполнительской тике. Зенон Элейский усомнился в правильности терпретации нот с точками, означавшими увел"

наполовину их длительности. По его мнению, целая нота не существует, так как в противном случае поло- вннную ноту пришлось бы снабдить бесконечно многими точками. Критик Эпименид весьма самокритично зая- в“л, что «все критики лжецы». В более современной J форме парадокс Эпименида «эта песня неисполняема» I в конечном счете привел к «Симфонии Вселенной» Гё- деля, которая либо некритикуема, либо неполна. Од- нако вопрос о том, насколько универсальна евклидова 1 гармония, никем из критиков греческой теории так и не был задан.

Неевклид

Проблема диссонанса была окончательно разрешена лишь через 2000 лет Неевклидом (1874—1951). В конце июля 1921 г. он сказал одному из своих учеников: До декабря еще долго, и я успею совершить открытие, которое обеспечит превосходство немецкой геометрии на ближайшие 100 лет». Свое обещание он выполнил. Открытая им геометрия стала называться додекафонической —по первым двум словам произнесенной им фразы, которая сразу стала крылатой.

Додекафоническая геометрия строилась исключительно на 12 соотнесенных между собой интервалах (двенадцатитоновая система), доставлявших в прошлом немало беспокойства. Сторонники додекафонии объявили все интервалы разрешенными. За образец Неевклид принял циферблат часов. Мелодические линии он отождествил со стрелками часов. Так как стрелки всегда Пресекаются в центре циферблата, в додекафонии не могло быть параллельных интервалов. В неевклидовой гармония каждый тон, или, как предпочитали говорить приверженцы нового направления, атон, получает свой номер от 1 до 12, как на циферблате часов. Затем на ,нове этой шкалы от 1 до 12 строится атональный ряд. Зональные ряды можно суммировать, дифференциро- вать. Для двух атональных рядов можно построить

сумму или разность. Атональное дифференцирован! представляет особый интерес для психоакустика. е

Неевклидова гармония разрушила греческий идеал простого отношения. Атональность требует полной симметрии равнотемперации — музыкальной шкалы, / торая не может быть выражена простыми целочислен- ными отношениями, сглаживающими неравномерности распределения звуков по высоте. Неевклидова гармония порвала связи с темперацией и тем самым утратила непосредственный контакт с реальностью.

Долгое время точный смысл новой системы гармонии оставался излюбленным объектом критики. Разу, меется, никому не возбраняется придумать новую систему аксиом и придерживаться ее при создании произведений. Но сколь осмысленны плоды такого сочинительства? Можно ли их слушать? Тональность и атональность казались взаимоисключающими противоположностями. Если принять новую систему, то какой логический статус обретет евклидова гармония? Не обратятся ли в прах достижения композиторов —— приверженцев евклидовой системы?

Неевклидова гармония вынудила музыкантов расширить их понимание взаимосвязей между музыкой и внешним миром. Было доказано, что существуют гармонии, противоположные евклидовой, но не утрачивающие от этого внутренней непротиворечивости. Это означало, что гармонию надлежит рассматривать как абстрактную игру совершенно независимо от того, сколь мощны ее выразительные средства. Вместо сочинения пьес в уже существующих стилях композиторы начали уделять все больше внимания разработке собственных музыкальных стилей.

Хотя по богатству композиционных возможностей евклидова и неевклидова системы гармонии не уступали друг другу, оставался открытым вопрос о том, какая система точно описывает акустическую реальность. Кроме того, как показали последние работы по психо- акустике, человеческое ухо не различает точные численные отношения. Пространство восприятия 申 мируется под действием многих других факторов, пример громкости звука и скорости, с которой он пространяется. Таким образом, евклидова гармони неверна даже как описание реальных звуков. Евклид0

гармония — всего лишь одна из континуума потенциальных возможностей, охватывающего все мыслимые разновидности атональности. С точки зрения повседневности евклидовой гармонии вполне достаточно, так

как интервалы равнотемперации являются точными аппроксимациями интервалов ряда обертонов. Различие между евклидовой и неевклидовой гармониями становится заметным только в предельных случаях, когда модуляции происходят очень быстро. Не удивительно, что неевклидовы гармонии не были реализованы ранее.

Последние достижения

Следуя атональной системе как образцу, композиторы начали создавать многие другие необычные стили в композиции. Кое-кто стал сочинять пьесы, которые можно было исполнять более чем одним способом, что приводило к композициям двух или более функций. Другие, стремясь подчеркнуть недетерминированную форму своих композиций, отстаивали право на использование случайных элементов. Эта тенденция встретила упорное сопротивление. Широко известно высказывание акустика Эйнштейна, который, создав теорию относительной высоты звуков, внес немалый вклад в теорию музыки: «Бог не играет в кости».

В семидесятых годах прошлого века Георг Кантор приступил к исследованиям сверхзвуковых частот. До Кантора композиторы полагали, что все пьесы, исполняемые в сколь угодно быстром темпе, слышны одинаково. Кантор, исходя из соотношения 2/3 и несчетных ритмов, доказал противоположное. Его исследование увенчалось созданием таких всечастотных мелодий, как кривая Пеано, исполняемых птицами ординалами и кар- Диналами. Хотя эти звуки охватывают все частоты, они недифференцируемы. Метопом «глиссандо» Кантор показал, что скрипка может издавать больше нот, чем фортепиано.

В 1976 г. в исполнении дуэта пианистов Хакена и Аппеля впервые прозвучала «Баллада о четырех красках》， показавшая, что гимн любой страны может быть Нсполнен на четыре голоса. Исполнить «Балладу» уд2・ лось после того, как была составлена программа для ЗВА1, позволившая осуществить систематический пере-

Более подробные сведения о Неевклиде иБолее подробные сведения о Неевклиде ибор огромного числа перестановок из некоторого мн жества, основанного по существу на очень простой 応 зыкальной идее. Своим исполнением Хакен и Аппе" вновь подняли основные проблемы, касающиеся пт роды прекрасного. Можно ли назвать музыкальна ' произведение прекрасным, если никто не может уловить его структуру? Кого следует считать творцом муз^. кального произведения, созданного с помощью ЭВМ? Эти вопросы пока остаются без ответов.

Более подробные сведения о Неевклиде и

Более подробные сведения о Неевклиде и

_обсуж

дение проблем истины в гармонии читатель сможет

найти в книге Д. Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах» (Hofstadter D. Godel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid.——Basic Books, 1979), где в метафорической форме совместно обсуждается синтез работы теоретика музыки Курта Гёделя, музыканта-исполнителя Мориса Корнелиса Эшера и математика Иоганна Себастьяна Баха.

Магические кубооктаэдрыЧарлз К. Тригг

Многогранник кубооктаэдр образован восемью равносторонними треугольниками и шестью квадратами. В каждой вершине кубооктаэдра треугольники и квадраты чередуются так, как показано на рис. 1, представляющем собой ортогональную проекцию кубооктаэдру

Квадраты образуют связную цепь, причем в ка*А°" вершине сходятся по два квадрата. Квадраты разбиваются также на пары параллельных квадратов, т. е квадратов, лежащих в параллельных плоскостях. Плоскость, проходящая между двумя параллельными квадр^' тами на равном расстоянии между ними, называется ср дынной плоскостью; она содержит четыре вершины октаэдра, являющиеся вершинами квадрата — среди ного квадрата кубооктаэдра (не являющегося его ГР нью). Таким образом, вершины кубооктаэдра прин

пеЖат 9 квадратам (каждая вершина принадлежит 3 квадратам).

Если вершины кубооктаэдра занумеровать 12 числа- 砥 сумма которых равна S, так, чтобы по периметру каждой квадратной грани сумма чисел была равна 9, то кубооктаэдр мы назовем магическим кубооктаэдром. Суммируя числа по периметрам шести квадратов, полу-

Рис. 1. Ортогональная проекция кубооктаэдра.Рис. 1. Ортогональная проекция кубооктаэдра.Рис. 2. Диаграмма Шлегеля для кубооктаэдра.Рис. 2. Диаграмма Шлегеля для кубооктаэдра.

Рис. 1. Ортогональная проекция кубооктаэдра.

Рис. 1. Ортогональная проекция кубооктаэдра.

Рис. 2. Диаграмма Шлегеля для кубооктаэдра.

Рис. 2. Диаграмма Шлегеля для кубооктаэдра.

чаем 6*9=22, откуда 田=2/3 (田 называется магической постоянной нашего кубооктаэдра). Из рассмотрения трех параллельных квадратов — двух граней и одного срединного квадрата ——следует, что сумма чисел по периметру каждого срединного квадрата равна 2—2(2/3)二 =2/3, т. е. совпадает с магической постоянной. На диаграмме Шлегеля кубооктаэдра (рис. 2) хорошо видны четверки вершин срединных квадратов: это е,厶 g, h; 〃, G р, m и 0, d,比 n.

Восемь треугольных граней также подразделяются на пары параллельных граней (лежащих в параллельных плоскостях). Приравняв суммы чисел по периметрам трех квадратов, окружающих (параллельные) треугольники afb и hpkf получим после упрощения 〃+『+Ь= —h+p-\-k: у магического кубооктаэдра противоположным (параллельным) треугольным граням отвечают одинаковые суммы чисел по их периметрам.

Если вершинам кубооктаэдра приписать первые 12 капральных чисел, то Х=1+2+. • .+12=78 и -8=2/3= = 2б. Первый этап построения магических кубоокта- а^ров сводится к нахождению 33 разбиений числа 26 на сумму четырех различных натуральных чисел, каждое

из которых

не превышает 12 (для краткости 4口_〔

11 и 12 обозначены символами X, У и Z):

12 Vz

14ХУ 239Z258y 347Z349Х 456y

13AZ

159y248Z267У 356Z358X 457^

1492

168y257Z259X 348y 367X 4589

I58Z

169X 23ХУ 26sx 357y 2689 4679

167Z178Х249y27895678

Если единица приписана заданной вершине а, то ,

распределения чисел по вершинам a, b, с, d m q, е, ? квадратов необходимо взять две четверки чисел, имеющих только одно общее число. Этому требованию у дог летворяют 11 пар четверок: 12VZ, ：69Х; 12XZ, 178；.

13XZ, 159Х; 13XZ, 168У; 149Z, 168У; 149Z, 178Х; 14ХУ, 158Z; 14ХУ, 167Z; 158Z, 169Х; 159У, 167Z и 159У, 178Х. Приписав единицу заданной вершине, распределить остальные числа каждой четверки по вершинам соответствующего квадрата можно 3! способами. Таким образом, всего необходимо рассмотреть 62(П)= =396 исходных вариантов распределения чисел.

Одно из распределений первой пары четверок чисел показано на диаграмме Шлегеля, изображенной на рис. 3 слева. Четверка чисел 457Х, содержащая число Л и не имеющая других чисел, общих с уже нспользован- ными четверками, выбрана доя использования ее в вершинах наружного квадрата. После такого выбора вершин четырехугольника fngb необходимо найти чисел, содержащую 8, 2 и одно из чисел 4, 5 н 7・ выбор пал на четверку чисел 2789. Затем необходим0 брать четверку чисел, содержащую 8, У и одно из чпе 338

I лИ 5. Если в вершинах четырехугольника cgpn стоит I 'етЬерка чисел 348 У, то для завершения магического I кубооктаэдра остается приписать число 5 вершине k.

Таким способом было найдено 40 магических кубоок- I 侬工ров. Они существуют в виде 20 пар двойников, зер- I кально-симметричных друг другу. Один двойник пере- I хо工нт в другой при отражении в плоскости, которой принадлежат вершины т, а, с, р. В табл. 1 из каждой пары двойников фигурирует лишь один кубооктаэдр. I распределения чисел, переходящие друг в друга при по- .воротах кубооктаэдра, различными не считались.

Назовем два целых числа дополнительными, если их сумма равна 13. Два магических кубооктаэдра будем называть дополнительными, если соответственным вер- I шинам кубооктаэдра приписаны дополнительные числа. I Например, два магических кубооктаэдра на рис. 3 дополнительны.

В табл. 1 дополнительными являются следующие ]пары кубооктаэдров: А, В; С, D; Е, F; G, Я и /, J. В каж- I дой из пар четверки чисел а, Ь, с, d являются перестановками одних и тех же четырех целых чисел. То же можно I сказать и о группах чисел е, f, g,力 н 龙，m, n, p этих кубооктаэдров. Исключение составляют пары кубооктаэдров I А, В и If J9 в которых переставлены и сами четверки.

Десять кубооктаэдров от /( до С/ «самодополнитель- ны», т. е. дополнительны самим себе. В парах ^, Р; R, S н Т, U распределения чисел по местам q, bf cf d и k, и, п,『одинаковы. В парах N, Р м R, S вершинам d, Д g, h отвечают четверки чисел, расположенных в таком порядке, что последовательность чисел в одном кубооктаэдре пары противоположна их последовательности в другом. В кубооктаэдрах R, S, Т, U четверки чисел -4 Ь, с, d являются перестановками одних и тех же чи- ;сел—так же, как и четверки чисел е, f, g, Л и 攵，m, n, р.

Так как соответственные треугольники противоположны, суммы чисел по периметрам треугольников, Имеющих общие стороны с наружным квадратом на рис. 2, I совпадают с суммами по периметрам треугольников, веющих общие стороны с внутренним квадратом. Сум- MR по периметрам треугольников, примыкающих к сто- I Р°нам наружного квадрата, представлены в табл. 1 I ° том порядке, в каком они встречаются при обходе диа- I「Раммн Шлегеля по часовой стрелке, начиная с верхнего

ТАБЛИЦА 1

Магические кубооктаэдры с магической постоянной 26

Обозначение магических кубооктаэдров

Расположение чисел на шлегелевско! диаграмме

bcdefghkrnn

Р

~ ——-^

Суммы ЧИС Г.1 перимеТр треугольник 『mn gnp hkp

ейл

1

2

У

Z

6

9

8

3

5

X

7

4

26

19

12

21

1

Z

У

2

X

7

4

5

9

8

3

6

18

13

20

】7

I

3

X

Z

5

У

8

2

7

9

4

6

24

18

15

21

1

Z

X

3

У

8

2

5

7

6

4

9

18

15

21

24

1

9

4

Z

7

8

6

5

2

3

У

21

20

18

19

1

Z

4

9

8

6

5

7

2

3

X

20

18

19

21

1

5

8

Z

4

X

9

3

7

2

6

23

17

16

22

I

Z

8

5

X

9

3

4

7

2

У

17

16

22

23

1

7

6

Z

4

У

3

8

2

5

9

26

17

19

16

1

Z

6

7

5

9

2

X

4

3

8

23

13

22

20

К

1

2

Z

У

6

9

7

4

5

X

8

3

27

18

12

21

L

1

У

Z

2

X

8

3

5

9

7

4

6

19

13

20

26

м

1

9

Z

4

8

X

5

3

У

7

2

6

19

13

20

26

N

1

У

4

X

6

7

5

8

2

Z

3

9

22

17

19

20

Р

1

У

4

X

8

5

7

6

2

Z

3

9

20

19

17

22

Q

1

8

Z

5

6

9

7

4

У

X

2

3

21

12

18

27

R

1

9

У

5

7

6

3

X

4

Z

8

2

26

13

16

23

S

1

9

У

5

X

3

6

7

4

Z

8

2

23

16

23

26

Т

1

У

5

9

7

X

3

6

4

8

2

Z

20

17

22

19

и

1

У

5

9

X

7

6

3

4

8

2

Z

17

20

19

22

треугольника. В каждом случае все четыре суммы различны. Четверки сумм совпадают в парах кубооктаэдров С, О; Е, F; G, Н; К, Q; L, М и R, S, а также в группе ^, Р, Т, U, У кубооктаэдров С, D, Е н F четыре суммы образуют арифметическую прогрессию. У кубооктаэдр^ С, О, Е, F, G, Н, К, L, М в Q первая и третья суммы составляют вместе столько же, сколько вторая и четвертая суммы, а именно 39. У кубооктаэдров ^, Р, R, S, Т " 〃 то же число 39 составляют некоторые рядом стояшие пары сумм.

Кубооктаэдры L, М, R н S супер магические — здесь имеются 9 квадратов и 2 треугольника с суммами чисел по их периметрам, равными 26.

Первые 12 натуральных чисел невозможно распреде- [нть по вершинам кубооктаэдра так, чтобы сумма по периметрам всех восьми треугольников совпадала, так как 2(78)/8=39/2 — не целое число.

5・4・ Игры, графы, галереиРосс Хонсберджер

Выпучивание рельса

Для начала я хотел бы задать Мартину Гарднеру небольшую задачку (принадлежащую Мюррею Кламкину), чтобы проверить силу его математической интуиции. Представьте себе, Мартин, плоский прямой рельс АВ

длиной 5000 футов, жестко закрепленный на концах (рис. 1). Летом в сильную жару рельс удлиняется на 2 фута, что приводит к его выпучиванию. Предположим, что рельс изгибается симметрично. Как велика стрела прогиба в середине: 1 дюйм, 4 фута, 0,1 дюйма?

Так как полная длина удлинившегося рельса составляет 5002 фута, длина каждой его половины равна 2501 футу. Удлинившись, рельс принимает форму некой плавной кривой, но для грубой оценки стрелы прогиба можно предположить, что он имеет форму симметричной ломаной, состоящей из двух прямолинейных звеньев. Тогда оценку стрелы прогиба % нетрудно найти по теореме Пифагора

х =—25012—25002 =

=К(2501—2500) (2501 +2500) =「^Г,

что составляет около 70 футов! Столь большая величин прогиба может показаться неожиданной. С учетом криво линейной формы прогиба рельса эта величина на самом деле оказывается ближе к 67 футам. Насколько близок к этому ваш результат, Мартин?

Арифметический мастермайнд

Около года назад в США необычайной популярностью пользовалась математическая игра под названием мае- термайнд («чемпион по интеллекту»). Играют в нее вдвоем. Один из играющих расставляет четыре разноцветные фишки в ряд, а другой за минимальное число ходов пытается, не глядя, определить цвета и очередность расположения фишек путем соответствующих вопросов и рассуждений. Давайте, Мартин, сыграем в аналогичную арифметическую игру, которая также предложена Мюрреем Кламкином.

Прежде всего задумайте 5 положительных целых чисел, каждое из которых меньше 100 (эти числа не обязательно должны быть все различными!): (&卜 〃J. Я должен как можно быстрее определить задуманные вами числа. Мне разрешается пользоваться вашей помощью ——но только в следующей форме. Я называю вам пятерку чисел (хх, х2, %з, х4, х5), а вы сообщаете мне единственное число

S1^a1x1+a2x2+a3x3+aix4+a&x5.

(В игре мастермайнд расставивший фишки сообщает, сколько среди названных его партнером % фишек угаданы правильно, т. е. называет число совпадений 甚二依； в нашей арифметической игре правила другие.) Зная число Si, я предлагаю вам новую пятерку чисел Од, У^ У31 у4, yj. Если я назвал все числа правильно, то игра заканчивается. В противном случае вы называете мне число

S 2=%У I+a2y 2+〃 3,3 +。#4+а0з.

Так продолжается до тех пор, пока я не угадаю вс задуманные вами числа.Л

Ясно, что после пяти ходов я буду располагать п"」 уравнениями с пятью неизвестными о。〃2, 〃з, “打

* смогу определить, чему эти неизвестные равны. Таким образом, игра длится самое большее пять ходов.

Разумеется, смысл игры для меня состоит в том, чтобы определить задуманные вами числа за минимальное число ходов. Можете ли вы, Мартин, поверить, что я всегда смогу отгадать вс^ задуманные вами числа за 4 хода? За 3 хода, за 2? В действительности я всегда могу устано- внть задуманные вами числа за один ход!

Действительно, так как мне известно, что каждое из задуманных вами чисел меньше 100, я на первом же ходу назову пятерку чисел

(10* io* 10\ Ю2, 1),

]1 вы называете мне величину

Si= 100000000/+1000000%+10000%+100^2+«!.

После этого, разбив полученное значение Si на двузначные «грани» слева направо, я могу определить все пять задуманных вами чисел. Например, если (а» 〃2, «з, "а, /)=(17, 68, 5, 42, 8), то 5Х= 1768054208 — и на этом игра заканчивается.

Первые п натуральных чисел

Хорошо известно (и это легко доказать), что 1+2+...+〃 = ”#.

Дональд Сноу из университета Бригхэма Юнга предложил новый подход к выводу этой формулы.

Пусть

Si(m)=1+2+. • .+紅 и

S2(n) = P+22+. . .+n2.

Тогда

525+m)=产+22+...+m+m)2=

=(产+ 22+...+汨)+他+1)2 +

•+(n+2)2+. . .+(n+m)2=

=S2(n)+(n2+2n+l2)+(^2+4n+22)+...

..，+(n^+2nm+m2)==S2(")；mM+2〃(l+2+・..+团)+

+(产+22+...+加含)=

—S2(n)+/n/r2+2nSi(m)+S2(m),

т. е.

5式九+喇 S?(孔)rS2(m)-L ^iS^mj-rtnn2.

Поменяв местами /и и и, мы получим

S (т 4 /г) ^ S 2 (лг)+5 2 (п)+2/пS J(п)+пт2.

Таким образом, равенство S2(n+/n)^Sz(m+n) уПр0. щается до равенства

^nS-J^^mt^^^mS^^-^nrr^.

Так как 5^1)=!, то, подставляя 加=1, находим

2n+«2=2Si(n)+n,

откуда сразу же следует формула S】(孔)=/:(〃+1)/2.

Я никогда не переставал восхищаться замечательным соотношением

13+23+З3+，. .+п3=(1+2+3+，. .+п)2.

Роджер Эгглтон из Австралии предложил следующее геометрическое доказательство этого соотношения. Пло

щадь k квадратов со стороной k равна 4 •力2=力久 Расположим на плоскости

1 квадрат со стороной 1, 2 квадрата со стороной 2, 3 квадрата со стороной 3, ..., п квадратов со стор ной п

обтей площадью 13+23+33+< .，+/г3. Постараемся построить «слоистый» квадрат. Для этого уложим вдоль сТороны внешнего квадрата квадраты со сторонами 1, 2, 3, ... , п, к ним пристроим новые квадраты н т. д. (рис. 2). Hama затея завершится успешно, если не считать «чет- ных» квадратов со сторонами 2, 4, 6, ... , которые в одних местах (заштрихованные квадраты) покрывают плоскость дважды, а в других (квадраты, помеченные буквой %) оставляют пробелы.

Нетрудно понять, что каждый дважды покрытый квадрат соответствует «пустому», т. е. оставшемуся непокрытым, квадрату тех же размеров. Следовательно, суммарная площадь всех квадратов равна площади квадрата со стороной (1+2+・..+〃).

Маршрут разносчика молока,предложенный Гербом Шенксом

В середине 1974 г. мой коллега Герб Шенке совершил необычное открытие в теории графов. Мне бы хотелось описать это открытие, не останавливаясь на его доказательстве. Чтобы не затруднять изложение использованием технических терминов из теории графов, ограничимся рамками хорошо знакомой всем элементарной геометрии. Однако при этом доказанная Шенксом теорема от- части утрачивает свою общность. Чтобы рассказать всю историю с самого начала, я позволю себе обратиться к читателям, сведущим в элементарной теории графов, с одной фразой:

наша история начинается с рассмотрения любого плоского эйлерова графа с нечетным числом корневых Деревьев.

Предположим, что на плосксйзти из многоугольников, имеющих одну-единственную общую вершину, построена некоторая конфигурация F. Число многоугольников мо- 厳ет быть любым — выбор его мы предоставляем чнта・ тс/ю. Один многоугольник может располагаться внутри Другого. Необходимо, чтобы при этом выполнялись 3 Условия:

каждый многоугольник должен иметь нечетное ■ло сторон;

никакие две стороны многоугольников не должны Пресекаться;

ни один многоугольник не может «прикрепляться» к конфигурации более чем в одной вершине (что позволяет избежать образования «кольца» многоугольников).

Предположим, что области конфигурации F раскрашены через одну в красный и зеленый цвет так, что

области, имеющие более одной общей точки, раскрашены в различные цвета. Условия 1——3 гарантируй» что такая раскраска всегда возможна. Чтобы упростить наш пример, рассмотрим конфигурацию 居 состоящую двух треугольников и одного пятиугольника (рнс二 Буква К означает «красный», буква 3 — «зеленый».

Дополним нашу конфигурацию новыми ребрами, парно соединяющими вершины конфигурации 尸 летворяюигнмн только одному условию: новые должны пересекаться между собой и пересекать J принадлежавшие конфигурации 尸，пока мы не допольг^ ее новыми ребрами (это позволяет исключить из расе

рения кратные ребра, т. е. ребра, соединяющие вершины, \*е связанные ребром). Пусть G — дополненная конфигурация (рис. 4).

Построим по конфигурации G новую конфигурацию Н, называемую двойственным G графом; сделаем это следующим образом:

Н：・ штриховая линия

Рис. 5

L Поместим по одной вершине внутрь каждой обла- конфигурации G (включая сюда н бесконечную

Внешнюю область).

Соединим вершины, лежащие в соседних областях конфигурации G, ребрами, проведя их так, чтобы ребро ^еРесекало общую границу двух смежных областей во ^утренней точке — по одному такому ребру мы прове-

дем для каждого ребра, разделяющего в конфигураци G две смежные области (рис. 5).

Наконец, пометим каждую вершину конфигурации у либо буквой К, либо буквой 3 в зависимости от того какого цвета — красного или зеленого — та область конфигурации G, которой принадлежит наша верщИНа (рис. 6).

В результате получим граф Н с помеченными вершинами, обладающий независимо от выбора вершин внутри областей конфигурации G следующим замечательным свойством:

выберем какую-либо (безразлично какую) вершину Г за исходную и выйдем из нее вдоль какого-то (безразлично какого!) ребра; тогда если в каждой вершине, помеченной буквой К, мы будем неизменно поворачивать направо, а в каждой вершине, помеченной буквой 3「 налево, то мы пройдем по каждому ребру ровно два раза и закончим наш обход в вершине V.

Обход графа можно довольно изящно изобразить графически, если у каждого ребра ставить стрелки с номером, указывающие, в каком направлении и которым п° счету это ребро было пройдено. На рис. 7 изображен^ одна из таких схем.

Кто украл яблоки?

Думаю, что многим из вас в часы досуга прнход решать логические задачи вроде тех, где требуется делить профессию каждого из действующих лиц» иЛЙ

ветить на вопрос: кто на ком женат? С возрастом такого рОда логические игры привлекают нас все чаще, хотя единственным способом решения многих из них остается прямо而 перебор всех априори возможных вариантов н исключение тех из них, которые противоречат усло- вннм задачи. Однако иногда встречаются логические задачи, допускающие весьма остроумные решения. Вот, например, одна из них:

Известно, что из шести мальчиков ровно двое украли I яблоки. На вопрос, кто украл яблоки, мальчики дали I следующие ответы-.

Гарри: Чарли и Джордж, Джеймс: Дональд и Том. Дональд: Том 〃 Чарли. Джордж: Гарри и Чарли. Чарли: Дональд и Джеймс.

I Найти Тома не удалось. Четверо из опрошенных мальчи- I ков назвали одного из участников кражи верно, а другого I неверно^ пятый же назвал неверно оба имени. Кто украл I яблоки?

Особый интерес задаче придают два обстоятельства: то, что Тома искали, но не нашли, и то, что один из on- рошенных оба имени назвал неверно. В моей книге «Ост- I роумные решения в математике» (Ingenuity in Mathema- I tics) я изложил подход к решению этой задачи. А недавно I мой хороший друг и коллега Скотт Вэнстоун показал

"не блестящее решение, сводящее нашу задачу к прос- тенькой задачке из теории графов. С учетом одного за- Меиання, принадлежащего Джону Аннулису из Аркан- 'асского университета в Монтиселло, это решение стано- "тся действительно прозрачным.

Построим граф (рис. 8), каждая вершина которого

соответствует одному из шести мальчиков, а ребра 一 парам имен, названных при опросе (например, Чарли — Джордж соответствует «показаниям»

и т. д.). У всех ребер, кроме одного, одна из вершИн соответствует имени мальчишки, укравшего яблоки, и только у ребра, соответствующего показаниям отъявши, ного лжеца, обе вершины не соответствуют именам тех кто украл яблоки. Иначе говоря, на две вершины, помеченные именами тех мальчишек, которые украли яблоки приходятся 4 конца ребер (по одной вершине от каждого из четырех ребер и ни одной вершины от пятого ребра). Заметим также, что вершины, помеченные нменамн тех кто украл яблоки, не соединены ребром. Сразу видно, что виновниками печального происшествия могут быть только Чарли и Джеймс.

Теорема Хватала о картинной галерее

Глава 11 моей книги «Математические жемчужины, II》(Mathematical gems, П) называется «Теорема Хватала о картинной галерее». В ней рассматривается одна задача, связанная с охраной картин в галерее. Залы в музеях и картинных галереях со всякого рода нишами и поворотами образуют столь причудливый орнамент, что дер

Рис. 9

жать под контролем каждый участок музея весьма затруднительно. Требуется определить, какое минимальное число сторожей необходимо иметь, чтобы они м°г"： контролировать всю площадь галереи. Все сторожа находятся на строго указанных им постах, но могут осмат риваться вокруг. Стены галереи плоские. Хвата доказал, что если галерея имеет п стен (т. е. если °

.еег в плане форму и-угольника, как на рис. 9, где ^довольно велико), то, как бы ни был изрезан периметр, минимальное число сторожей, обеспечивающих охрану всей галереи, никогда не превысит числа [и/3], т. е. цеЛую часть отношения л/З. Док азател ьство теоремы, предложенное Хватал ом, приведено в моей книге; здесь же я хочу привести другое доказательство этой теоремы.

Безусловно, доказательство Хватала очень интересно, но следующее рассуждение, принадлежащее Стиву Фиску из колледжа Боудойна, привлекает меня своей простотой.

Прежде всего галерея разбивается на треугольники непересекающимися диагоналями, проходящими внутри ее (рис. 10). Затем вершины получившегося графа галереи раскрашиваются так, чтобы вершины, соединяемые напрямую ребром, были различного цвета. Методом математической индукции нетрудно доказать, что для такой раскраски достаточно трех красок. Действительно, при 仁3 галерея имеет в плане форму треугольника, и для Раскраски вершин достаточно трех красок. Предположим, что трех красок достаточно для правильной раскраски вершин триангулированной n-стенной галереи т〉3). Рассмотрим галерею G с (п+1) стенами.

Ясно, что недостатка в диагоналях (4В), отсекающих °т галереи G треугольник (ЛВС), нет. По предположению ^дукции вершины триангулированного n-угольника возникающего при отсечении от G треугольника АВС, Можно раскрасить тремя красками так, что любые две 暑еанне вершины будут окрашены в различные цвета, 「ак как вершины Л и /3 могут быть окрашены только в

две краски из трех, то, окрасив вершину С в третий цВет мы получим правильную раскраску триангулированной галереи G. Тем самым существование правильной рас. краски любой галереи G доказано по индукции.

Итак, пусть вершины нашей галереи правильно рас. крашены в три цвета а, b и с. Общее число вершин равно п, поэтому вершин каждого из трех цветов не может быть больше, чем 九/З. Если какой-то цвет (например, Ь) встречается реже (точнее — не чаще) других (например,加 раз), то m^n/З. Так как m — целое число, это неравенство равносильно неравенству m^(n/3], где [ ] — целая часть числа.

Любые две вершины любого треугольника в G не могут быть одного цвета. Следовательно, в каждом треугольнике должно быть по одной вершине каждого цвета at b и с. Ясно, что сторож, находящийся в вершине цвета Ь, может обозревать из нее весь треугольник, a m сторо- жей, находящихся в m вершинах цвета Ь, могут обозревать все треугольники, т. е. всю галерею.

Автотрасса

Рассмотрим теперь следующую интереснейшую задачу, которую, насколько мне удалось выяснить, придумал молодой венгерский математик Ласло Ловас.

Вдоль трассы Т в произвольно выбранных точках г %2,…,%п построены заправочные станции (РиС- : В резервуарах каждой станции имеется какое-то к0Л1 ство бензина. В резервуарах всех заправочных ста имеется ровно столько бензина, сколько необходимо

「о, чтобы автомашина могла объехать всю трассу Т. показать, что независимо от распределения бензина по 廳зервуарам заправочных станций всегда найдется стан- &但,в которой автомашина с пустыми баками может заправиться и, пополняя далее запас горючего из резервуарОв других станций по мере того, как те будут встре- датьс兄 по пути, объехать всю трассу.

Дин Гофман (Обернский университет) сообщил мне следующее решение, которое он узнал от Ловаса.

Предположим, что из произвольной точки трассы отправляется в пробный автопробег автомашина с избыточным запасом горючего. Объехав трассу один раз, машина получит на заправочных станциях ровно столько бензина, сколько необходимо для восполнения расхода горючего; поэтому по окончании пробега в ее баках будет столько же горючего, сколько было до того, как ома отправилась в путь. Следя за показателем уровня бензина, мы заметили, что, когда прибыли на некоторую заправочную станцию хь уровень бензина был намнмз- шим за весь пробег и составлял, скажем, d литров. Это I означает, что во время пробного пробега мы все время имели d лишних литров бензина, которые на самом деле нам вовсе не нужны. Следовательно, с тем же успехом мн могли бы оставить эти d литров бензина дома. Избавившись от лишнего горючего, мы доехали бы до заправочной станции 尤厶 израсходовав бензин до последней 1 капли. Этого состояния мы достигнем, если отправимся в объезд трассы с пункта х〃 не имея ——до заправки ма- шнны на этой станции — в баке машины ни одного литра бензина. Поэтому если мы выберем за исходную точку ^правочную станцию хь то показатель уровня бензина

d литров.d литров.никогда не опустится ниже нуля, поскольку при пробном автопробеге показатель уровня бензина никогда не

d литров.

d литров.

Решеточные кубы%) в трехмерном пространстве с тремя координатами называются точками ре-Решеточные кубы%) в трехмерном пространстве с тремя координатами называются точками ре-Пускался ниже

Решеточные кубы

%) в трехмерном пространстве с тремя координатами называются точками ре-

Решеточные кубы

%) в трехмерном пространстве с тремя координатами называются точками ре-

Точки (х,", ^очисленными J加长〃 или узлами решетки. Их можно считать верши- единичных кубов, на которые делят пространство •Носкости х=а, у=Ъ, z=c, где а,》，с — целые числа, 'но, что существует бесконечно много кубов, все 8 вер-

кубмкубмшин которых совпадают с узлами решетки. Эти

кубм

кубм

кого куба выражается целым числом.кого куба выражается целым числом.расположены в пространстве так, что их грани параллел^ ны координатным плоскостям. Длина ребра каждого

кого куба выражается целым числом.

кого куба выражается целым числом.

Существует также бесконечное множество кубов вершинами в узлах решетки, не находящихся в «стан： дартном» положении, т. е. как-то повернутых (отно(: тельно элементарной ячейки решетки). Однако ма у кого интуиция развита настолько, чтобы не удивить- я

следующему утверждению, которое охватывает все в(卜 можные варианты расположения кубов относительно элементарной ячейки:

длина s ребра любого куба С с вершинами s уз^иХ решетки всегда выражается целым числом.

Поскольку безразлично, какой узел принять за на чало координат О, примем за него одну из вершин куба С Пусть три ребра, выходящих из вершины О, ведут к вершинам V^,劣，z) V2(x2, %, &) и V3(x3, y3,与. Объем V куба С с ребром длиной s равен s3. Хорошо известная из курса аналитической геометрии формула позволяет выразить объем куба через координаты концов

трех ребер, сходящихся в одной вершине

-见■

гV = ± %2 »2 & •

.Уз Z3

Так как все вершины имеют целочисленные координаты, объем V также должен быть целым числом, т. е. s3 —誕一 лое число. Но длина ребра 0% равна

s = J 0% I =，х； + 尤 + 若=/целое число, поэтому s2 — также целое число. Таким образом, длина ребра s должна быть рациональным числом, так как s =s3/s2 рационально. Но s= |/целое число, а если корень квадратный из какого-либо целого числа не иррационален, то это число не только рациональное, но и не』0c ‘ Следовательно, s — целое число.卅

Полученный результат допускает непосредствен 冠 обобщение на кубы в n-мерном пространстве, где ” четно.

* См., например, названную на с. 488 книгу Нивена [52卜 Прим. ред.

Занимательное столоверчение

Уильям 7. Лаазер, Лайл Рэмшоу

В этой статье мы рассмотрим обобщенный вариант задачи о вращающемся столе. Стол имеет форму правильного я-угольника. В каждом из п углов стола имеется углубление, в которое вставлен стакан — в нормальном положении или вверх дном. Игрок имеет k рук. Цель игры состоит в том, чтобы поставить все стаканы в одинаковое положение ——либо все вверх дном, либо все вниз дном. Как только игроку — который различает стаканы на- ощупь ——удается повернуть все стаканы в одинаковое положение, зазвенит колокольчик. Существует ли при заданных kun алгоритм, гарантирующий, что после конечного числа ходов колокольчик непременно зазвенит. Как показано в нашей работе, такой алгоритм существует в том и только том случае, если числа k п п таковы, что 厶》(1——1/〃)〃， где р ——наибольший простой делитель числа 〃.

Введение

В февральском номере журнала Scientific American за 1979 г. Мартин Гарднер сформулировал задачу о вер- тнщемся столе следующим образом.

«Начну с новой замечательной комбинаторной задачи неизвест- 」"。происхождения. Мне сообщил ее Роберт Таппей из Торонто, )мнению которого задача пришла к нам из Советского Союза.

Представьте себе квадратный стол, который может вращаться “круг вертикальной оси, проходящей через его центр. В каждом ；ГлУ столешницы имеется гнездо, в которое вставлен стакан — либо ? нормальном положении вниз дном, либо вверх дном. Вы ие видите "аканов, но можете дотянуться до любого из них и иаощупь опреде- "ть, в каком он находится положении ——дном вверх или дном вниз. 一 Ход состоит в следующем. Вы раскручиваете стол и, когда он ЛТаНавливается, дотягиваетесь руками до двух различных гнезд. ,аходящимся в гнездах стаканам вы можете придать любое поло- ?не： оставить оба стакана в тех положениях, в которых они были, Ревермуть один стакан или перевернуть сразу оба стакана.

吋 Затем вы делаете второй ход: раскручиваете стол снова и по- Рнете все сначала. Гнезда, в которых стоят стаканы, неотличи-

МЫ； поэтому поступить МОЖНО ТОЛЬКО двумя способами： oil (и оставить в прежнем положении) или перевернуть стаканы ' соседних гнездах или в двух гнездах, расположенных по диаго Цель игры состоит в том, чтобы установить все стаканы одинаков" либо вверх дном, либо вниз дном. Как только это будет . зазвенит колокольчик.

В исходной позиции все четыре стакана расставляются или вниз дном случайным образом. Если все четыре стакана ся расположенными одинаково, то сразу же зазвенит звонок -2 Цель игры будет достигнута прежде, чем вы сделаете первый Поэтому предполагается, что в исходной позиции не все стаканы ходятся в одном положении.

Существует ли алгоритм, который позволил бы достигнуть игры за конечное число ходов? Большинство людей после должительного размышления отвечают на этот вопрос отрицатет но. По их мнению, число шагов ——величина случайная, и если , повезет, то играющий может совершать ходы неограниченно долго Однако это неверно: для достижения цели игры всегда достаточ о сделать некоторое конечное число ходов, не превосходящее опр - деленного я. Каково минимальное число л и каким должен быть алгоритм, чтобы колокольчик, возвещающий о достижении цели зазвонил не более чем через п ходов?

Рассмотрим стол с двумя углами и, следовательно, с двумя гне дам и. Ясно, что в этом случае колокольчик зазвенит после того, как играющий сделает один ход. Если число гиезд равно трем (и они расположены по углам треугольного стола), то для достижения цели игры достаточно сделать следующие два хода.

Ощупайте стаканы, находящиеся в любых двух гнездах. Если они находятся в одинаковых положениях (т. е. оба поставлены либо вверх дном, либо вниз дном), то переверните их, и колокольчик зазвенит. Если стаканы расположены по-разному, то переверните стакан, вставленный вверх дном. Если колокольчик не зазвенит, то приступайте к следующему ходу.

Поверните стол и протяните руки к любым двум гнездам. Если вставленные в них стаканы обращены дном вниз, переверните их, и колокольчик зазвенит. Если один стакан обращен дном вверх, а другой —— дном вниз, то переверните стакан, обращенный дном вверх, и колокольчик зазвенит.

Хотя задача может быть решена за конечное число ходов, когда имеется четыре гнезда (и четыре стакана), оказывается, что прн числе стаканов (и углов стола), большем или равном пяти, не существует алгоритма, гарантирующего достижение цели игры за “ ходов, где л ——какое-то фиксированное число. В следующем номере журнала я приведу одно решение для случая четырех стаканов, и мы обсудим некоторые обобщения задачи, предложенные РонаJb дом Л. Грэхэмом и Перси Диаконисом».

В правилах игры есть несколько заслуживают1^ особого пояснения нюансов относительно типов допуст： мых алгоритмов, которые «на законном основании» м жет использовать играющий. Во-первых, прежде протянуть руки и ощупать стаканы, играющий 1aom冰

объявить вслух, к каким гнездам он намерен прнкоснуть- сЯ Не разрешается ощупывать какой-нибудь один ста- 期 и затем в зависимости от того, в каком положении — в11Из или вверх дном — он окажется, решать, к какому стакану следует протянуть другую руку. Во-вторых, если иГрающий ощупал стаканы и перевернул один или оба мз них, то колокольчик не зазвенит до тех пор, пока играющий не отнимет руки от стаканов. Иначе говоря, 1 драющему не разрешается, не отнимая рук от гнезд, перебирать один за другим несколько вариантов ориентации стаканов в надежде, что по крайней мере при одном мз них колокольчик зазвенит.

Алгоритм для случая четырех гнезд и четырех стаканов, приведенный А1артнном Гарднером в мартовском номере журнала Scientific American за 1979 г., заставляет колокольчик звенеть не более чем через пять ходов. Если читатель ранее не был знаком с задачей о вращающемся

I столе, ему будет небезынтересно попытаться найти это решение самостоятельно.

В том же мартовском номере также упоминаются два обобщения задачи о вращающемся столе, предложенные Рональдом Л. Грэхэмом и Перси Диаконисом. Они впервые рассмотрели игру для «многорукого игрока», имеющего более двух рук. При любых 左 н 〃 рассмотрим игрока с k руками и п-угольный стол с п углами, п гнездами н и стаканами. Задача состоит в том, чтобы указать алгоритм, позволяющий достигать цель игры за конечное число ходов, или доказать, что такой алгоритм не существует. Грэхэм и Диаконис предложили еще один обобщенный вариант игры, заменив стаканы предметами, которые могут находиться в гнездах более чем в двух положениях. Возможны и другие интересные обобщения. Например, Скотт Ким рассмотрел игру для случая, когда квадратный стол заменен столом с более богатой группой симметрии, например столом, обладающим группой симметрии куба.

В нашей статье рассматривается лишь одно первое % этих обобщений. В частности, для любого п^2 мы °пределим f(n) как наименьшее целое число k «рук», клацающее следующим свойством: k-рукий игрок, сидя 3" п-угольным столом, в гнезда которого вставлены ‘таканн, могущие находиться только в двух положениях, м。宛ст найти алгоритм, за конечное число ходов застаз-

ляющий колокольчик зазвенеть. Требуется найти зна ния функции /.

Рис. 1. Ожерелье с шестью бусинами.Рис. 1. Ожерелье с шестью бусинами.Правила игры «Столоверчение» достаточно хитроу ны — и трудно быть уверенным в том, что они всегл' могут быть истолкованы однозначно. Мы уже останав^ вались на некоторых нюансах этих правил. Это дает нас сформулировать задачу о вертящемся столе более абстрактно в надежде, что это по.

Рис. 1. Ожерелье с шестью бусинами.

Рис. 1. Ожерелье с шестью бусинами.

может сделать постановку задачи более точной. Задачу о вращающем^ столе, сформулированную в термина теории игр, можно назвать асимметричной антагонистической игрой между Играющим и Столом, сводящейся к определенным манипуляциям над связанными в кольца нитями.

Упоминая далее о многоугольниках, мы всегда будем иметь в виду правильные многоугольники, которые

можно поворачивать вокруг центра, но нельзя переворачивать на другую сторону. Вершины п-угольннка мы назовем ожерельем с п бусинами. Ожерелье с п бусинами очень напоминает замкнутую нить с п бусинами^ различие заключается лишь в том, что все нити с циклически переставленными бусинами соответствуют одному и тому же ожерелью. Ожерелье мы будем задавать либо с помощью рисунка, либо выписывая в угловых скобках нить, получающуюся при обходе бусин ожерелья по часовой стрелке, начиная с любого места. Надример, ожерелье из шести бусин, изображенное на рис. 1, можно было бы записать в виде (010011) или (100110) (и еще четырьмя способами) — но запись (101100) означает уже другое ожерелье.

Положение стаканов в гнездах в любой момент времени соответствует ожерелью из п бусин над алфавитом {в, н}, где буквы «в» и «н» означают «верх» и «нн^ ” соответствуют стаканам, стоящим вверх дном и в нормальном положении. Первый ход в игре «Столоверчение совершает Стол. Именно Стол определяет начальное положение стаканов, выбирая ожерелье над {в, н)・ Обозначим это состояние через S> Я

Затем свой первый ход делает Игрок, сообщая воуслышанье о том, как располагаются по периметру ст°'

к”，которыми он ощупывает стаканы. Схему располо- ^Н11я рук по периметру стола назовем схемой испыта- н〃月.Формально схему испытания можно представить как ожерелье из 九 бусин над алфавитом {р, п}, где «р» 1《рука》)——означает гнездо, которое Игрок желает про- Щерить, а «п» («пробел») — гнездо, не проверяемое при данном испытании. Игрок имеет право выбирать такие схемн испытаний, в которой символ «р» встречается не более 力 раз, поскольку у Игрока есть только k рук. Обоз- яачим первую схему испытаний через Р>

Затем свой очередной ход делает Стол. Он выбирает однн из п возможных способов совмещения ожерелий Sj и Рх. По существу этот ход моделирует верчение стола. После того как Стол сделает свой ход. Игроку сообщают относительно каждого символа «р» в схеме испытания 尸方 является ли соответствующий символ ожерелья S】буквой «в» или «н». По требованию Игрока любой или даже все символы «в», находящиеся в проверяемых позициях, могут быть заменены символами «н»; точно так же любые (или все) символы «н» могут быть заменены символами 《в». В результате операций мы получаем следующее состояние стола — новое ожерелье 5纟 над алфавитом {в, н}. Назовем ожерелье S2 монотонным, если оно состоит только из символов «в» или только из символов «н». Если ожерелье S2 монотонно, то колокольчик звенит и Игрок выигрывает за один ход (одно испытание).

Далее все операции игры циклически повторяются. Предположим, что задано немонотонное состояние S” Игрок останавливает свой выбор на схеме испытаний Р^ Стол устанавливает соответствие между S» и Ph после чего Игрок получает информацию о содержании S» в позициях, соответствующих символам «р» в R. Игрок принимает решение относительно изменений в этих позициях — и это решение задает следующее ожерелье ^i+i. Если Si+1 — монотонное ожерелье, то колокольчик звеннт и Игрок выигрывает за i испытаний. Задача Стола состоит в том, чтобы не допустить выигрыша Игрока. Стол выигрывает в том и только том случае, если игра пРодолжается неограниченно долго. Напомним, что f(n) ? определению — наименьшее целое А, при котором ^Рукий Игрок может выиграть. Выигрышная стратегия 期兄 Игрока существует, если 力》，(〃)，тогда как выигрыш- "аа стратегия для Стола существует, если 力</(，)・

Остальная часть нашей статьи посвящена доказать ству того, что справедлива следующая

№)=(Т№)=(Ти.и.Теорема 1. Пусть при любом целом 北》2 величин / (п) означает наименьшее целое число, такое, “团。& ° =f (и) рук достаточно для того, чтобы игра закончил^ 6 пользу Игрока; далее, пусть р — наибольший простои делитель числа п. Тогда значение /(〃)задается формулой

№)=(Т

№)=(Т

и.

и.

Некоторые частные случаи этой общей формулы были установлены ранее нас. Мы уже указывали, что / (力=2 при 2<п<4 и /(〃)>2 при 〃》5. В мартовском номере журнала Scientific American за 1979 г. Гарднер сообщил, что Рональд Л. Грэхэм и Перси Диаконис доказали, что /(〃)=〃一1, если п — простое число, и f(п)г 《〃一2 при составном п. Скотт Ким доказал, что прп всех q》1 и Ь》2 для f(n) существует оценка снизу

f(Qb)》Q「"2"l，

где「％] означает число %, округленное до ближайшего целого числа. Формула для /(〃)，приведенная в теореме 1, впервые была предложена в качестве гипотезы Джеймсом Бойсом.

Из теоремы 1 следует любопытный вывод: за исключением случая л=2, минимальное число рук, необходимых Игроку для выигрыша, всегда четно.

Нижняя граница

В этом разделе мы докажем, что формула, приведенная в теореме 1, задает нижнюю границу истинного значения /(〃). Другими словами, справедлива следующая

Лемма 1. Пусть 几》2 — целое число и р — наибольший простой делитель числа п. Если число рук у Игрока меньше (1—1/р)п, то для Стола существует выигрыш ная стратегия.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если п допускает разложение на множители вида п -〃〃，т0 “-угольник можно рассматривать как наложение / Раз- личных m-угольников. Например, так как 6=23 т° шестиугольник можно рассматривать как объединение двух треугольников (рис. 2).

Пусть р — наибольший простой делитель целого чис- на 〃》2, / — целое число, определяемое соотношением 『Ip. Мы могли бы ограничиться рассмотрением любого простого делителя р числа п, но выбор наибольшего про- стого делителя позволяет получить наиболее сильный результат. Как уже говорилось, состояния и схемы нс- рытаний в игре «Столоверчение» можно считать состоя- на друга р-угольников.

результат наложения двух треугольников (слева).

Наша цель состоит в построении выигрышной стратегии для Стола в случае, когда число рук у Игрока меньше чем (1—\1р)п. Основная идея состоит в доказательстве того, что при всех i по крайней мере один из p-угольников, образующих состояние S,, будет немонотонным, т. е. стаканы в гнездах будут стоять и вверх, и вниз дном.

Такое состояние нетрудно установить первоначально, так как Стол выбирает состояние Si произвольно. Нам необходимо доказать, что в ходе игры Стол может добиться сохранения этого условия. Пусть состояние Si содержит немонотонный р-угольник, который мы обозначим символом S^, и пусть Pt — схема испытания, которую Игрок собирается применить на i-м ходу. Так как рук У игрока меньше чем (1——Мр)п=1(р——1), то по крайней мере один из / различных /?-угольников схемы Р» должен содержать не менее двух пробелов «л». Пусть 戶；一такой Р-угольннк. Зафиксируем два входящих в Р； пробела н предположим, что расстояние между ними (при цикли- Кеком обходе вершин многоугольника Р*) равно / (расстояние между соседними вершинами считается рав- Нмм единице). Обойдем периметр S* шагами в / единиц Каждый. Так как р — простое число, то независимо от значения /, прежде чем вернуться в исходную точку, мы добываем в каждой вершине многоугольника S：. При ком, совершая обход вершин, мы непременно встретим Как символы «в», так и символы «н», так как многоуголь-

ник S； является немонотонным. Следовательно, как 。 то символ «н» мы встретим сразу после того, как ветрев символ «в», т. е. S； содержит по крайней мере одну 口 символов «в》и «н», расстояние между которыми^точн равно /.

Теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы посоветовать Столу, как он должен играть Ему следует совместить ожерелья S» и Р» так, чтобы р-угольники S； и Р* наложились и чтобы, кроме того, сим» волам «в» и «н», отстоящим в S； на расстояние /, в соответствовали два пробела «п», удаленных на расстояние j друг от друга. Так как Игрок не может изменить положение стаканов, соответствующих пробелам п, то возникающее состояние Si+1 содержит по крайней мере один немонотонный р-угольник. Неоднократно повторяя эти операции. Стол может гарантировать, что состояние St при всех i будет содержать немонотонный р-угольник. Такова выигрышная стратегия для Стола.

Точные степени

Лемма 1, устанавливающая нижнюю границу для f (и), составляет сравнительно простую часть доказатель- ства теоремы 1. Чтобы завершить доказательство этой теоремы, нам осталось выполнить гораздо более трудоемкую часть работы — построить выигрышные стратегии для Игрока с минимальным числом рук. Мы начнем выполнение этой задачи с одной идеи, которая позволит нам использовать метод математической индукции и манипулировать ранее созданными для меньших столов стратегиями как «подпрограммами» при построении выигрышных стратегий для больших столов.

Введем одно новое определение. Предположим, что количество углов стола (размер стола, как мы уже говорили ранее и будем говорить далее) разлагается в произведение двух множителей: п—1т. Напомним, что в этом случае n-угольник можно рассматривать как объединен ние / различных /п-угольников. Пусть некоторое ожерелье Т длины п таково, что все m-угольники монотонны. Заметим, что в этом случае ожерелье 7 должно состоять из tn последовательных экземпляров одной и той же незамкнутой нити длины /, т. е. Т должно иметь вид' где X — некоторая нить длины I. Такие ожерелья м будем называть точными т-ми степенями. Например’

ожерелье четной длины 2左 называется точным квад- раТом, если символы у концов каждой главной (диа- Тральной, большой) диагонали одинаковы, из чего следует, что это ожерелье прёдставимо в виде(XX), где у 一 некоторая нить длины k. Утверждение о том, что ；*ере』ье длины п есть точная 九-я степень, равносильно утверждению о монотонности ожерелья.

” Предположим, что мы занимаемся построением стратегии для Игрока против Стола размера п, где п ——чис- до, допускающее нетривиальное разложение м=^/т, и в игре наступил такой момент, когда текущее состояние S стола стало точной т-й степенью. Тогда мы легко можем завершить построение стратегии, так как располагаем по крайней мере tnf (/) руками. Наша основная идея состоит в подражании оптимальной стратегии для Игрока при игре против Стола размера I (эту стратегию мы будем называть «меньшей») и т-кратном повторении ее. Такой процесс вполне можно было бы назвать возведением в степень стратегии. Возьмем первую схему испытаний «меньшей» стратегии и, повторив ее m раз подряд, образуем схему испытаний для большей стратегии. Так как текущее состояние S стола есть точная m-я степень, каждая из т групп по f (/) рук нашего Игрока нащупает одну и ту же последовательность стаканов, обращенных дном вверх или вниз. Затем мы инструктируем Игрока внести каждой группой рук те изменения в состояние стола, которые рекомендуются «меньшей» стратегией. Независимо от того, в чем состоят эти изменения, следующее состояние большего стола также будет точной m-й степенью ——так что и после перехода к следующему состоянию мы продолжаем подражать «меньшей» стратегии. Тем самым доказана

Лемма 2. Предположим, что игра ^Столоверчение» ее- deme兄 за столом размера 〃 и что текущее состояние S стопа есть точная g兄 степень, где 加》2 — делитель "〃с4a и, отличный от пи от 1. Тогда существует страте- ?〃％ которая гарантирует Игроку выигрыш за конечна е "〃с〃о ходов и использует при этом mf (л/zn) рук. Игрока.

Прежде чем применять лемму 2, необходимо предварительно заставить Стол перейти в состояние, являющее- ся точной m-й степенью. Следующая лемма утверждает, "то существуют стратегии, не требующие для выполне- ння этой части работы слишком большого числа рук.

Лемма 3. Если р ——Наибольший простой делите целого числа м》2, то 8 игре ^Столоверчение^ со сто證 размера п для Игрока существует стратегия, котопп использует не более (1—1/р)и рук Игрока и за конечное число ходов либо приводит к выигрышу Игрока, вынуждает Стол перейти 6 состояние, являющееся точной р-й степенью.

Лемму 3 мы докажем несколько позднее, а сейчас продемонстрируем, что леммы 1, 2 и 3 вместе позволяют завершить доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 1. Теорема 1 утверждает, что /(〃)=(】——1/夕)孔，где р — наибольший простой делитель числа п. Из леммы 1 следует, что f (и)^(1——1/р)п. Остается доказать обратное неравенство: /(孔)&(1——1/р)и. Мы проведем доказательство индукцией по и, т. е. будем предполагать, что для всех столов, размер которых меньше и, наша теорема уже доказана — и покажем, что тогда она справедлива и для стола размера п.

Требуется доказать, что существует выигрышная стратегия для Игрока, использующая только (1——1/夕)九 рук. Прежде всего применим стратегию леммы 3. Она либо позволяет Игроку добиться выигрыша, либо вынуждает Стол перейти в состояние S, которое является точной р-й степенью. Если п ——простое число, то р равно п — и любое состояние, которое является точной р-й степенью, уже монотонно. Таким образом, в рассматриваемом случае стратегия леммы 3 всегда приводит к выигрышу Игрока — а большего нам и не надо.

С другой стороны, если п — не простое число, то р — собственный делитель числа п и, следовательно, применима лемма 2. Используя стратегию леммы 2, Игрок может выиграть — прийти в состояние, при котором звенит колокольчик. Надо лишь проверить, что у Игрока хватает рук для осуществления этой стратегии, т. проверить, выполняется ли неравенство

Докажем неравенство (1) методом математической индукции. По индуктивному предположению при размере стола nlpVji доказываемая теорема справедлива. Пусть g ——наибольший простой делитель числа 〃/夕—: следовательно, второй по величине простой делп^л

числа и. Из предположения индукции следует, что

Так как д<р, то из неравенства (2) следует неравенство (1) — и, значит, у Игрока хватит рук, чтобы воспользоваться стратегией леммы 2.

Оставшаяся часть нашей статьи посвящена доказательству леммы 3. Оказывается, оно сводится к рассмотрению двух несколько различных случаев. Если наибольший простой делитель числа 几 не меньше 3, то достаточно воспользоваться сравнительно простой стратегией, известной под названием «вверх — вниз». Она рассмотрена в следующем разделе. В заключение мы проанализируем более хитроумную стратегию «все наоборот», которую необходимо применять в тех случаях, когда и ——степень числа 2.

Стратегия «вверх — вниз»

Докажем лемму 2 для всех столов, размер п которых не является целой степенью двойки. Чтобы развить интуицию, необходимую для общего случая, начнем с рассмотрения частного случая м= 12.

Доказательство леммы 3 для значения л=12. Наибольший простой делитель числа 12 равен 3. Следова

тельно, утверждение леммы 3 для и—12 сводится к сле-

Рнс. 3. Часовое ожерелье (а) и структурная диаграмма часового ожерелья (б).

■「рок может воспользоваться при игре против 12-уголь-

ного Стола. Эта стратегия позволяет Игроку либо д0 биться выигрыша, либо перевести Стол в состояние, ляющееся точным кубом.

Итак, мы считаем, что м=12, т. е. что Стол имеет фОр, му правильного двенадцатиугольника. Стратегия, которую мы собираемся построить, станет более понятной если этот двенадцатиугольник рассматривать как образованный объединением двух различных шестиугольников каждый из которых в свою очередь возник при на ложе* нии двух треугольников. На рис. 3, 〃 изображен двенадцатиугольник, нумерация вершин которого напоминает часовые отметки на обычном циферблате часов. Такой двенадцатиугольник можно было бы также назвать часовым ожерельем:

С= ((1)(2) (3)(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)).

На рис. 3, б часовое ожерелье С изображено в виде диаграммы, отражающей разложение двенадцатиугольника в шестиугольники и треугольники. Каждый прямоугольник на рис. 3, б соответствует (правильному) «подмногоугольнику» часового циферблата. Внутри прямоугольника указаны номера его вершин. У левой верхней вершины каждого прямоугольника указано число вершин соответствующего многоугольника. Такого рода схематические изображения ожерелий мы будем называть их структурными диаграммами. Аналогичные диаграммы можно построить для любого ожерелья с 12 бусинами, в частности для состояний и схем испытаний, возникающих при построении нашей стратегии.

Эта стратегия использует три схемы испытаний Pi, и /%. На рис. 4 показаны структурные диаграммы, которыми должны обладать схемы Pt. Схема Pi требует шести рук, чтобы получить полную информацию относительно стаканов в вершинах одного из двух шестиугольников. Схема 尸2 также требует шести рук, но позволяет получить полную информацию относительно стаканов в каждом из двух треугольников, принадлежащих Ра^ ным шестиугольникам. Наконец, схема испытании Р3 требует восьми рук для ощупывания стаканов, Рас' положенных в двух вершинах каждого из четырех треугольников. Информация относительно того, какие вершины подвергаются ощупыванию при каждом испытании» остается в силе независимо от того, как повернут стол-

Мн не знаем, какой из двух шестиугольников будет подвергнут проверке при испытании Р1э но можем с уверенностью утверждать, что один из них заведомо будет проинспектирован. То же верно и относительно схем испытаний 戶2 и Р3- Именно такая инвариантность относительно поворотов и делает структурные диаграммы полезными.

Какую бы структурную диаграмму мы ни начертили, всегда найдется по крайней мере одно ожерелье, обладающее именно выбранной нами структурной диаграммой, причем таких ожерелий может быть несколько. В случаях схем Pi и Р2 существует ровно одно ожерелье. Если 尸工 и Р2 должны иметь такие структурные диаграммы, как на рис. 4, то следует выбрать Р1=(прпрпрпрпрпр> н Р2二(ппррппррппрр). В случае Р3 выбор неоднозначен: Два разных ожерелья (ппппрррррррр) и (пррпррпррпрр) обладают одной и той же структурной диаграммой, ко- торая необходима нам для Р3. В действительности существует еще шесть ожерелий с той же структурной ди а- граммой, но мы не станем приводить их здесь. Оказывает- ся, что в качестве Р» можно выбирать любые схемы испьь таннй, лишь бы они обладали нужными структурными

диаграммами. Какие именно схемы испытаний мы вы берем, не играет роли.

Прежде чем приступить к изучению того, что позволяют сделать эти схемы испытания, расширим наши обозначения состояний. Напомним, что любое точно заданное состояние стола можно представить ожерельем длн-

Рис. 5. Структурные диаграммы состояний S> .... S4.

ны п над алфавитом {в, н}. Введя символ «л» («либо») для обозначения позиции, в которой стакан находится либо вверх, либо вниз дном, мы получим возможность представлять не только полную, но и частичную информацию о состоянии Стола. Например, начальное состояние Si Стола имеет формулу 51^(лп>, так как Стол выбирает начальное состояние произвольно.

В качестве первых трех схем испытаний в нашей стратегии мы рекомендуем Игроку выбрать схемы Pi,尸2 н 入 (именно в этом, а не в каком-либо другом порядке)" устанавливать вверх дном каждый ощупываемый стакан независимо от того, в каком состоянии тот находился ранее. Результаты таких испытаний показаны на рис. на котором представлены структурные диаграммы состояний Si, . . . , S《.Испытание со схемой А приводит тому, что в состоянии S2 один из шестиугольник становится монотонным. Шесть рук в схеме испытан

尸2 ощупывают стаканы, расположенные в вершинах од・ но「о треугольника в каждом шестиугольнике. Следова- тельно, второе испытание приводит к тому, что в состоя- ннн S3 будет монотонным также и третий из четырех треугольников. Схема Р3 позволяет получать информацию о положении стаканов в двух из трех вершин каждого треугольника. Следовательно, третье испытание обращает в «в» два из трех оставшихся «л». Таким образом, после трех испытаний состояние S《Стола будет таково： Si^^b11).

Может случиться так, что после одного из трех испытаний все оставшиеся «л» будут соответствовать стаканам, обращенным вверх дном, колокольчик зазвенит — и Игрок выиграет.

Этим вариантом можно пренебречь — и сосредоточить внимание на случае, когда последний символ «л» соответствует стакану в нормальном положении (т. е. обращенному дном вниз), в силу чего состояние S4 будет таково: S4=(hbu).

Этап стратегии, о котором речь шла до сих пор, мы назовем первым заходом. Суммарное действие трех испьь тан ий в первом заходе состоит в том, чтобы перевести стол в состояние, которое лишь одной позицией отличается от монотонного. Назовем единственный стакан, стоящий вниз дном, исключительным, а треугольник, в вершине которого тот находится,——исключительным треугольником.

К чему мы клоним? Какова наша цель? Нам необходимо перевести стол в состояние, которое является точным кубом. Это можно сделать не более чем за три новых испытания, образующих второй заход. Эти испытания также используют схемы Pi, Р2 и Рз (именно в таком порядке!). Прежде всего рассмотрим, как происходит испытание состояния S4 по схеме Рг. Напомним, что схема испытания Pi позволяет установить, в каком положении находятся стаканы в вершинах одного из двух шестиугольников. Если Стол повернется так, что Игрок нащу- □ает исключительный стакан, то Игроку останется перевернуть этот стакан — после чего зазвенит колокольчик и игра закончится. Следовательно, нам остается выяснить, как поступить, если руки Игрока попадут на ВеРшины монотонного шестиугольника. Мы советуем Иг- 「Року сделать так: перевернуть все стаканы, которые

станут ему доступны, поставив их вниз дном. СтруКт ная диаграмма возникающего при этом состояния •представлена на рис. 6.

Перейдем теперь ко второму испытанию из btodci захода. Напомним, что схема испытаний Р2 позволяет определить, в каком положении — вверх или вниз дном

12:12:6Рис. 6. Структурные диаграммы состояний S5 и 56.6Рис. 6. Структурные диаграммы состояний S5 и 56.

12:

12:

6

Рис. 6. Структурные диаграммы состояний S5 и 56.

6

Рис. 6. Структурные диаграммы состояний S5 и 56.

находятся стаканы в вершинах одного треугольника нз каждого шестиугольника. Если один из треугольников, ощупываемых Игроком, немонотонный, то он должен быть исключительным треугольником (см. рис. 6). В этом случае Игроку достаточно перевернуть исключительный стакан —— после чего все треугольники станут монотонными или, что равносильно, возникнувшее состояние будет являться точным кубом. Но ведь мы стремимся достичь именно этого! И тогда последующую часть второго захода можно престо опустить. Больших усилий требует случай, когда Игрок при ощупывании стаканов обнаружит только монотонные треугольники. При этом, очевидно, в вершинах одного треугольника все стаканы стоят вниз дном, в вершинах другого — вверх дном. В этом случае Игроку следует оставить в прежнем положении все стаканы, стоящие вниз дном, а стаканы, стоящие вверх дном, перевернуть. При этом возникнет состояние S6, структурная диаграмма которого изображена на рис. 6.

Перейдем теперь к третьему и последнему испытанию второго захода, проводимому по схеме Р*. Напомним, что схема испытания 尸岩 позволяет определить, как стоят стаканы, расположенные в двух из трех вершин каждого четырех треугольников. Но в состоянии S6 исключительный треугольник — это треугольник (нвв), в то время как три другие треугольника являются монотонными (все

таканн в их вершинах стоят вниз дном). Игрок не мо- перепутать исключительный треугольник с неисклю- чительным: если стаканы в двух вершинах треугольника оказываются обращенными вниз дном, то треугольник не является исключительным： это есть монотонный тре- угольник<н3). Такие треугольники игрок оставляет в по- не переворачивая ни одного стакана. Но еще две руки Игрока ощупывают стаканы, находящиеся в вершинах исключительного треугольника. Эти руки нащупывают либо два стакана, стоящие вверх дном, либо один стакан, стоящий вверх дном, и один стакан, стоящий вниз дном. В первом случае следует перевернуть оба стакана (и колокольчик зазвенит!), а во втором случае ——только тот стакан, который стоит вниз дном. В результате в следующем состоянии S7 исключительный треугольник также становится монотонным. Но в состоянии S7 все остальные треугольники также будут монотонными («вниз дном»). Таким образом, Игроку, как того требовала лем- ма 3, удалось заставить Стол перейти в состояние, которое является точным кубом.

Назовем построенную нами стратегию Стратегией 俗верх — 8打〃з», так как при первом заходе мы переворачиваем все стаканы, кроме исключительного, вверх дном, а во втором заходе мы переворачиваем все треугольники, кроме исключительного, «вниз дном». Разумеется, лемму 3 необходимо доказать при всех п, а не только при 〃=12. Однако оказывается, что стратегия «вверх — вниз» позволяет справиться со всеми значениями я, отличными от целых степеней числа 2. Единственное, что может привести к недоразумениям,——это обозначения. С другой стороны, стратегия «вверх ——вниз» непригодна для степеней двойки; поэтому рассмотрение этого «плохого» случая мы отложим до следующего (заключительного) раздела статьи.

Доказательство леммы 3 для случая 〃*2： где 尼一 Целое. Пусть п — размер Стола, р ——наибольший простой делитель числа п. Так как п ——не степень числа 2, т° Р>3・ Требуется построить стратегию для Игрока, Задающую следующими свойствами: она либо гаран- тнрует выигрыш, либо переводит Стол в состояние S, Которое является точной р-й степенью и использует не g〃ee чем (1—1/р)九 рук.

Начнем с выбора обозначений. Предположим, что ло м имеет j простых делителей, из которых р 一 个 больший. Расположив простые делители числа 几 в рядке возрастания, получим

"〃ip2 • • • р/, где j扌 1, Pi^^Pz^^，・WPj=p. Это разложение позволяет ввести вспомогательные обо значения 厶 и rf. Пусть 厶一произведение простых делителей числа и от pi дор»_1 (включительно), о ——Пр0- изведение простых делителей числа п от р» до р, (включительно). Более точно величины 厶 и 八 при l<vj_] определяются так:

厶=n рё н公=п外1< ft < iiW^Wj

Заметим, что при всех Z, разумеется, 5=п.

Чтобы разобраться в стратегии «вверх — вниз» в общем случае, 几-угольннк необходимо представить довольно сложным образом. Если начать извне, то мы имеем /ьугольник, или, что то же самое, /『угольннк, образованный наложением /ь переплетенных (образующих звезду) г2-угольников. Каждый из г2-угольников в свою очередь представляет собой композицию из 〃2 переплетенных Гз-угольников. В общем случае каждый гругольник образован из pt переплетенных Г/+1-угольников. Наконец, г；-угольник образован р, вершинами, так как 今=рр Эти р；-угольники лежат в основе нашей иерархической структуры и играют ту же роль, какая в случае 几=12 была отведен а треугольникам.

Смысл величин 心 ясен из сказанного: они указывают размеры различных многоугольников, на которые мы разбиваем м-угольннк. Величины 厶 играют дополнительную роль — указывают число ггугольников в разбиении. В частности, при любом i исходный 〃-угольник содержит ровно 厶 различных т■厂угольников.

Теперь мы уже можем представить себе, как выглядит структурная диаграмма в общем случае. Образующие ее прямоугольники разбиваются на / уровней. Каждый из Ц разных ггугольников каждого уровня подразделен на 〃z различных Гг+гугольников. На рис. 7 показано, как примерно выглядит i-й уровень структурной дна- граммы.

Стратегия «вверх — вниз» в общем случае используй / различных схем испытаний, которые мы обозначим

А，尸2, • • •,尸八 Как и в случае п =12, здесь не сущест- венно, какие именно схемы испытаний обозначены этими символами. Важно лишь, чтобы они обладали правиль- ннмн структурными диаграммами. Структурную диаграмму, которой должна обладать схема испытания Рь можно описать в терминах ьго уровня, представленного

Рис. 7. Примерный вид i-ro уровня структурной диаграммы в общем случае.

на рис. 7. В частности, схема Pg должна проверять все, кроме одного, г/+1-угольники, составляющие каждый 厶-угольннк. Встречаясь с подобной ситуацией, мы будем для краткости говорить, что соответствующая схема испытаний разрешает i-й уровень структурной диаграммы.

Выберем произвольно схемы испытаний Р», следя лишь за тем, чтобы схема Р» разрешала Ай уровень «укладки» прямоугольников. Затем необходимо проверить, хватит ли у Игрока рук, чтобы воспользоваться выбранными нами схемами испытаний Р〃 Для этого заметим, что любая схема испытаний, разрешающая Z-й уровень, использует ровно

h(pi-1)g+1 = (1 ——

Рук. Так как нашему Игроку разрешается пускать в дело (1—1/р)тг рук, где р p^piy то этого числа рук будет Вполне достаточно для осуществления схем испытаний Р^.

Мы рекомендуем Игроку начать с первого захода, т. е. применить по очереди схемы испытаний от Pi до Р% переворачивая каждый ощупываемый стакан. Схема испытания Pi охватывает весь Стол (n-угольник), за йс- к*лючением одного г2-угольника. Схема испытания Р? °хватывает все, кроме одного, г3-угольники в каждом

г2-угольнике. Продолжая процесс, мы с каждой схем， испытания Р суживаем часть стола, на которой мог " находиться стаканы, расположенные вниз дном, 1Ho до одного-единственного Гг+1-угольника. Следовательно после того как произведено испытание по схеме р' на столе останется не больше одного стакана, обращенного вниз дном, т. е. ни одного такого стакана (а это с、 начает, что Игрок уже выиграл!) или ровно один такой стакан — и рассмотреть нам надо лишь последний случай. Единственный стакан, стоящий в гнезде вниз дном и р；-угольник, в вершине которого находится гнездо с этим стаканом, мы будем называть исключ и тельными. Первый заход осуществил ту часть стратегии «вверх — вниз», которая соответствует первой половине ее названия: позволил перевернуть вверх дном все стаканы, кроме одного исключительного.

Из нашего выбора схем испытаний Р/ следует, что при испытании по схеме Р/ проверке подвергаются все вершины любого Гг+1~угольника, если в число проверяемых попадает хотя бы одна из его вершин. Это означает, что при любом 々＞i схема испытаний Pj должна подвергать проверке либо все вершины каждого гд-угольника, либо не подвергать проверке ни одной вершины. Это позволяет объяснить выбранную нами терминологию: для проверки лишь части гл-угольника, т. е. для разрешения 々-го уровня структурной диаграммы, необходимо воспользоваться схемой испытаний Рь где》k・ В частности, заметим, что все схемы испытаний Pg — кроме последней, т. е. испытания Р,,— должны подвергать проверке либо все вершины каждого г；-угольника, т. е. каждого ргугольника, либо не подвергать проверке ни одну из них. Последнее замечание можно было бы сформулировать и как утверждение о том, что схемы испытаний Р^ при iVj являются точными р^-ми степенями.

Перейдем теперь ко второму заходу. Игроку следует вновь воспользоваться упорядоченной последовательностью схем Pi, Р2, • • • , Pj испытаний с несколько более сложными инструкциями по их применению. рассматривать Стол как наложение сплетенных рг угольников. К тому моменту, когда мы приступаем ко второму заходу, все р^-угольники станут монотонными» кроме одного лишь исключительного ргугольника, торый содержит один стакан, обращенный вниз дном-

К концу последнего испытания второго захода мы про- вернм все вершины каждого ргугольника, если хотя бы одна вершина его подвергается проверке по ходу испы- таннй. Для проведения всех испытаний, кроме послед- него, мы дадим Игроку следующую инструкцию: «Если вн нащупали исключительный р；-угольник, то перевер- ннте исключительный стакан вверх дном. Тем самым вы переведете стол в состояние, которое является точной р「負 степенью,——и удовлетворите требованиям леммы 3. При этом оставшуюся часть второго захода можно будет просто опустить. Если вы нащупали монотонный 夕尸 угольник, в вершинах которого все стаканы стоят вверх дном, то он не исключительный и еще не был перевернут. Переверните все стаканы в вершинах такого ^угольника вниз дном. Если вы нащупали монотонный 夕尸 угольник, в вершинах которого все стаканы обращены вниз дном, то эти стаканы уже были перевернуты — и более вам здесь делать нечего!»

Можно показать, что только один р)-угольннк может остаться не проверенным после того, как будут проведены первые /——1 испытаний второго захода. Рассуждения при этом по существу те же, которые мы использовали при анализе первого захода. Испытание, проводимое по схеме Р, позволяет проверить все 刁-угольннки, кроме принадлежащих какому-то г2-угольнику. Испытания по схеме Р2 позволят проверить все еще не проверенные Py-угольники, кроме тех, которые принадлежат какому-то г3-угольнику, и т. д. После того как будет проведено испытание по схеме 尸小，окажутся проверенными все ргугольники, кроме тех, что принадлежат какому-то ггугольнику, где т》=р> Кроме того, можно пред- положить, что исключительный р；-угольник избежит проверки. Если Игрок окажется достаточно удачливым и сумеет проверить исключительный ргугольник, то наши инструкции дадут возможность свести на нет зто исключение. Таким образом, первые /—1 испытаний второго захода позволяют проверить все неисключительные ргугольники и перевернуть стаканы в их вершинах вниз дном. Так осуществляется вторая фаза стратегии 《вверх — вниз».

Переходим к последнему испытанию второго захода. К этому моменту Стол содержит один исключительный Руугольник, в вершинах которого р,——1 стаканов обра-

щены вверх дном и один стакан стоит вниз дном, в то в мя как все остальные р>-угольники монотонны и стак『& в их вершинах стоят вниз дном. Для проведения 口℃耻" него испытания Игроку следует воспользоваться 龍 尸力 подвергающей проверке pj—1 из pj вершин каждого ргугольника. Однако здесь есть ода а тонкость. До СИх

пор мы нигде не использовали предположение о ТОм что 〃j》3; теперь же оно приобретает решающее значение —именно потому, что 刁》3, Игрок ощупает по крайней мере два стакана из каждого р^угольннка и, следовательно, по крайней мере один из стоящих вверх дном стаканов в исключительном р；-угольнике. Это позволяет

Игроку понять, какая из групп по ,j——1 рук занята ощупыванием исключительного рругольника. Случай，尸 2 необходимо исключить именно здесь, так как для него

наши рассуждения не проходят. При 刀=2 исключительный pj-угольник вырождается в диагональ, находящуюся в состоянии (нв). Если Игрок проверяет лишь один конец этой диагонали, то ему может попасться стакан, стоящий вниз дном,— к тогда Игрок не сможет

отличить этот стакан от всех остальных стаканов, постав

ленных вниз дном.

Но если предположить, что 刀》3, то Игрок всегда сможет отличить исключительный р；-угольник. Игрок должен оставить в прежнем положении все неисключительные ргугольники. Что же касается исключительных ./-угольников, то возможны два случая: либо Игрок нащупает единственный стакан, стоящий вниз дном, и перевернет его вверх дном, либо он нащупает все Pi—1 стаканов, стоящих вверх дном, и перевернет их все вниз дном. И в том н в другом случае исключительный 夕尸угольник в следующем состоянии становится монотонным. Следовательно, требованиям леммы 3 всегда можно удовлетворить.

Этим и завершается доказательство леммы 3 для любого натурального числа и вершин стола, отличного от целой степени числа 2.

Стратеги я « все наоборот»

Последнее, что нам осталось сделать,— это построить удовлетворяющую условиям леммы 3 стратегию случая, когда размер стола есть точная степень двойки-

Как уже отмечалось, стратегия «вверх — вниз» в этом сЛучае становится неприменимой, потому что Игрок, Производя последнее испытание во втором заходе, воз- можно, не сумеет определить, где находится исключи- тельная диагональ. В этом разделе мы построим для сте- пеней двойки стратегию «все наоборот», аналогичную стратегии «вверх — вниз», но отличающуюся от нее более сложным вторым заходом. Перевернуть стакан означает поставить его вверх дном, если он стоял вниз дном, и поставить его вниз дном, если он стоял вверх дном. Придерживаясь стратегии «все наоборот», мы на втором заходе порекомендуем Игроку при каждом испытании переворачивать стаканы на концах любой неисключительной диагонали вместо того, чтобы ставить их вниз дном. При неоднократных переворачиваниях Стол перейдет в состояние, при котором множество стаканов, обращенных и дном вниз, и дном вверх, распределятся по гнездам самым причудливым образом. Оказывается, что осторожный Игрок может извлечь немалые преимущества из возникающей в результате переворачиваний структуры. Чтобы пояснить тонкости стратегии «все наоборот», нам понадобятся некоторые сведения о периодах в ожерельях.

Пусть k —— любое целое число, Т — ожерелье. Мы скажем, что ожерелье Т k-периодическое и назовем число R периодом ожерелья Т, если каждый символ в Т и символ, отстоящий от него на k шагов вправо по Т、обязательно совпадают. Иначе говоря, ожерелье называется ^периодическим, если после поворота на А позиций вправо оно переходит в себя. Каждое ожерелье можно считать О-периодическим. Если ожерелье /- пер ио дичес кое, то оно и (—/) - пер иоди ческое; если ожерелье одновременно и /-периодическое и т- пер и о ди ческое, то оно и (/-| т)- периодическое. [Выражаясь более высоким стилем, можно сказать, что множество всех периодов ожерелья Т об- Разует подгруппу аддитивной группы целых чисел.}

Так как ожерелье с п бусинами всегда м-периодиче- ское, любое ожерелье обладает некоторым положительным периодом. Наименьший положительный период ожерелья мы будем называть его основным периодом. Очевидно, справедлива следующая

Лемма 4. Все периоды ожерелья кратны его основному

периоду.

Доказательство. Ясно, что любое кратное основног периода есть период ожерелья, так что надо лишь д0Ка зать, что любой период совпадает с одним из кратных основного периода. Пусть k — основной период ожере. лья, т — некоторый другой период и q — наибольцц^ общий делитель (НОД) чисел k и т. Напомним, что о можно представить в виде q^ak-^-bm, где 〃 н 匕一некоторые целые числа. Следовательно, g二НОД(А,团)〜 тоже один из периодов ожерелья. Но число 々 есть основной период, т. е. наименьший из положительных периодов ожерелья; поэтому q~k. А так как q делит т, тот должно быть кратно основному периоду. [Читатели с не- которой алгебраической подготовкой должны воспринимать это как (стандартное) доказательство того, что пе« риода ожерелья образуют главный идеал А

Понятие периода вполне обычно — оно тесно связано с понятием точной степени. Заметим, что если ожерелье из 打 бусин имеет основной период ^, то k — делитель п и ожерелье есть точная (м/^)-я степень. Нам понадобится еще одно несколько более экзотическое понятие. Оно имеет смысл только для ожерелий над алфавитом ровно из двух букв. В нашем случае этими символами могут быть символы «в» и «н». Каждый из этих двух символов мы назовем противоположным другому или дополнением другого. Мы назовем ожерелье k-альтернирующим, если каждый символ в ожерелье противоположен символу, стоящему от него на k шагов справа (по часовой стрелке). Иначе говоря, поворот ожерелья на k шагов вправо приводит к такому же результату, которого мы бы достигли, не поворачивая ожерелье, а просто заменив каждый символ противоположным.

Если ожерелье k-альтернирующее, то оно должно быть 2k-пер ио ди ческим, так как переход от символа к дополнению дополнения эквивалентен возвращению к исходному символу. Иногда ожерелье обладает и периодами, которые меньше 2A. Так, например, ожерелье из шести бусин (010101) является 3-альтернирующим 6-периодическим, но оно обладает также и периодом 2 • Следующая наша лемма устанавливает, что в том случае, когда 々——целая степень двойки, меньшие периоды воз-

Никнуть не могут. (Возможно, этот результат покажется кое-кому из читателей не имеющим отношения к делу — но не будем торопиться с выводами.)

Лемма 5. Если ожерелье является ^-альтернирующим, 加о его основной период равен 2/+1 (иначе говоря, 2г-аль- тернирующее ожерелье не имеет нетривиальных периодов).

Доказательство. Ясно, что 2Н1 ——период нашего ожерелья. Следовательно, основной период ожерелья должен делить число 2/+1 и поэтому должен быть степенью двойки. Но если основной период равен 2", где &i, то число 2" также является периодом ожерелья. Но ожерелье не может быть одновременно и 2'・пернодн- ческим, и 2Z-альтернирующим; поэтому основной период здесь обязательно должен быть равен 2'+L

Закончив с леммой 5, мы можем приступить к построению стратегии «все наоборот».

Доказательство леммы 3 для случая, когда 〃=2‘, где J — целое. Предположим, что Игрок имеет дело со Столом размером п=2^. Требуется разработать страте- гию, использующую не более rz/2 рук, которая либо обеспечивала бы выигрыш Игроку, либо позволяла бы перевести Стол в состояние, являющееся точным квадратом. При м—2 существует тривиальная стратегия, сводящаяся к единственному испытанию. Случай 九=4 не столь тривиален, однако здесь существует стратегия, сводящаяся к проведению четырех испытаний, которая приводит к нужному результату: достаточно взять первые четыре хода решения первоначального варианта задачи о крутящемся столе, опубликованнога Мартином Гарднером в мартовском номере журнала Scientific American за 1979 г.* Следовательно, мы можем сосредоточить наше внимание на случаях, когда 〃》8, или, что равносильно, когда /》3. Несколько удивительно, что случай п=4 приходится рассматривать особо, хотя это, по-видимому, Действительно вызывается необходимостью: стратегия Ке наоборот», которую мы намереваемся построить, сказывается неприменимой к квадратному столу.

Первое различие между стратегиями «вверх — вниз» н «все наоборот» возникает в определении / схем испытаний Р], Р2, . . . , Pj. В случае стратегии «вверх — вниз»

См. ниже с. 484.— Прим. ред.

мы согласились выбирать эти схемы испытаний про вольно с тем лишь условием, чтобы схема Р^ разреща " /-й уровень структурной диаграммы. В случае стратеги3 «все наоборот» мы выбираем вполне конкретный набо" схем, обладающих этим свойством и наделенных простой структурой. Точнее говоря, мы требуем, чтобы схема испытания Р] состояла из 2/一’ блоков по 2/-1 рук в каждом, разделенных 2/一『блоками по 2/-1 последовательных пробелов. Более формально ожерелье Р» можно задать соотношением

п/— 1—1/ — 1

(3)(3)?•=<(『р- )2>•

(3)

(3)

Схема испытания Рх составлена из чередующихся символов «п》и «р», в то время как схема Р； проверяет одну полуокружность и оставляет непроверенной другую. Рассмотрим А-ю руку в каждом блоке символов «р» в схиме при некотором k в интервале 1<力《2『一1. Эти 2/ рук вместе проверяют один из двух 2，—"угольников, составляющих 2/_/+1-угольник. Другой 2/'/-угольник ос тается непроверенным, так как попадает в fe-й промежуток в каждом блоке из символов «п» в схеме Р». Это оз> начает, что задаваемая соотношением (3) схема испытания Р» действительно разрешает i-й уровень структурной диаграммы.

Первый 3Q%od в стратегии «все наоборот» совпадает с первым заходом в стратегии «вверх — вниз»; мы рекомендуем Игроку испробовать каждую из схем Р? и перевернуть каждый ощупываемый стакан. Анализ, полностью повторяющий тот, который был проведен нами в случае стратегии «вверх — вниз», показывает, что Игрок либо заканчивает игру в свою пользу, не успев довести до конца второй заход, либо в конце второго захода один стакан на столе будет обращен вниз дном и (п——1) стаканов будут стоять вверх дном. Назовем единственный стакан, стоящий вниз дном, исключительным стаканом, ? диагональ, которой он принадлежит, исключительной диагональю. Так как самое интересное в нашем доказательстве должно произойти во время второго захода, отойдем от наших обычных обозначений и будем считать, что S] — состояние стола в начале второго захода, т. то состояние

S1 = <HB2/-，>,в которое переводит стол первый заход.

Первое испытание во втором заходе остается прежним, “bi рекомендуем Игроку воспользоваться схемой испытания 尸「Если ему удастся нащупать стакан, стоящий вниз дном, то Игрок может сразу же отпраздновать по・ беду, ибо знает, что это исключительный стакан н ему остается лишь перевернуть его. Поэтому мы можем, не ограничивая общности, считать, что Игрок ощупывает только стаканы, стоящие вверх дном, и, следуя нашей инструкции, переворачивает их вниз дном. В результате этой операции стол переходит в состояние

S2 =〈hh(bh)2‘Tt〉.(4)

Прежде чем Игрок сделает следующий шаг, относящийся к тому же второму заходу, попросим его отмечать на листке бумаги состояния Стола. Первая запись, которую сделает Игрок, относится к состоянию S?, задаваемому соотношением (4). Вооружив Игрока листком с записями состояний, дадим ему инструкции, которыми Игрок сможет руководствоваться от второго до предпоследнего испытания второго захода включительно. Цель наших инструкций состоит в том, чтобы проследить за выполнением некоторых условий. Пусть S» — состояние стола непосредственно перед i-м испытанием второго захода, где 2与'&/・ Будем поддерживать следующие условия:

Состояние S» отличается ровно одной позицией [,耳、 от 2・2-альтернирующего ожерелья丿

Сразу после (i—1)-го испытания второго захода 、 Игрок может записать на листке бумаги состоя- (6) ние Sj.

Оба этих условия выполняются при i=2, так как состояние S2 задается в явном виде соотношением (4) и отличается только одной исключительной позицией «н》 от 1-альтернирующего ожерелья. Наша задача заключается в том, чтобы проследить за тем, чтобы и далее Условия (5) и (6) на протяжении всего второго захода ни Разу не нарушались. Рассмотрим i-e испытание второ-го захода, где 50Vj, и предположим, что во всех предыдущих испытаниях условия (5) и (6) были выполнены. Для проведения i-ro испытания мы рекомендуем Игроку Воспользоваться схемой испытания Р「Поскольку tvj.

мы, рассуждая так же, как в случае стратегии «вверх — вниз», заключаем, что схема Р^ ——точный квадрат, т ； она проверяет оба конца любой диагонали, коль скор。 подвергает контролю хотя бы один ее конец. Прежде всего мы просим нашего Игрока классифицировать дИа. гонали, которые он обнаружит.

В силу (5) проверяемое Игроком состояние стола Si отличается от 2『~2_альтерннрующего ожерелья Т только в одной исключительной позиции. Ожерелье должно быть еще и 2г-1>периодическим, и, поскольку iVj, по крайней мере точной четвертой степенью. Из этого мы заключаем, что в состоянии S» все диагонали, кроме одной исключительной диагонали, должны быть монотонными. Следовательно, Игрок, добравшись до исключительной диагонали, сразу же определит, что проверяет именно исключительную диагональ. В этом случае мы рекомендуем Игроку превратить диагональ в монотонную любым из двух способов: либо перевернув вниз дном стакан, стоящий вверх дном, либо перевернуть вверх дном стакан, стоящий вниз дном. Стол при этом перейдет в состояние, которое является точным квадратом. Тем самым требования леммы 3 будут выполнены, и остальную часть второго захода можно опустить.

Предположим теперь, что Игрок не попал на исключительную диагональ, т. е. что он проверяет только монотонные диагонали. В стратегии «вверх — вниз» мы рекомендовали Игроку перевернуть вниз дном стаканы в вершинах всех инспектируемых им монотонных ргугольнн- ков. Но в стратегии «все наоборот» Игрок должен перевернуть вниз дном стаканы, стоящие вверх дном на концах монотонных диагоналей, а стаканы, стоящие вниз дном на концах монотонных диагоналей, перевернуть вверх дном, т. е. попросту перевернуть «наоборот» все стаканы, стоящие на концах любой проверяемой Игроком монотонной диагонали. Это объясняет название 《все наоборот» нашей стратегии, но оставляет без ответа вопрос, для чего эта стратегия нужна. Состояние S^ было 2/'"2-альтернирующим с единственным «дефектом》一-исключительным стаканом; поэтому оно является 2'一丄口「・ риодическим с тем же единственным изъяном — исключительным стаканом. Переворачивание каждого стакана при использовании схемы испытания 2 сводится к переходу от каждого символа к противоположному ему 11

сохраняет альтернирующие блоки длины 2/-1. Следовательно, таксе переворачивание гарантирует, что следующее состояние Sz+i будет 2Z'~ ^альтернирующим с единственным сбоем в том месте, где находится исключительный стакан. Иначе говоря, переворачивание — операция «все наоборот» — обеспечивает выполнение условия (5) на (2 1)-м шаге.

А что можно утвер^кдать относительно условия (6)? Напомним, что по предположению наш Игрок не проверяет исключительную диагональ и переворачивает каждый стакан, который ощупывает. Так как состояние S? уже записано на листке бумаги, достаточно показать, что Игрок может однозначно указать, какие из стаканов в St подвергаются проверке или в каких вершинах исходного многоугольника находятся руки Игрока. Рассмотрим сначала ситуацию, которая возникла бы, если бы 11грок испытывал ожерелье по схеме 尸八 Результаты испытаний каждого блока из 2/'*-1 рук имели бы вид XX, где X — некоторая последовательность символов длиной 2'-2, а X ——последовательность, полученная из X заменой каждого символа противоположным, так как ожерелье 7^ является 2/-2-альтернирующим. Предположим теперь, что последовательность XX встречается при обходе ожерелья 7\ дважды и что места, в которых находятся (незамкнутые) нити вида XX, получаются одно из другого поворотом на / позиций. Так как ожерелье Тj обладает периодом 2, -1, все ожерелье Tt при повороте на I позиций должно переходить в себя, т. е. число / должно быть периодом ожерелья Tf.

Наконец-то нам становится ясно, для чего понадобилась лемма 5! Из полученного результата следует, что число 2i-i в действительности должно быть основным периодом ожерелья и, значит, / должно быть кратно числу 2，т. Учитывая структуру схемы Рь отсюда можно сделать вывод, что только две различные комбинации ожерелий Р, и привели бы к результатам испытаний XX. Действительно, 7\ состоит из 2/-' + 】 копий последовательности символов XX — и руки Игрока должны ощупать либо все четные, либо все нечетные копии. Любой Другой вариант привел бы к появлению у ожерелья Т» Нетривиального периода ——но это противоречит лемме 5.

Однако Игрок подвергает проверке ожерелье Sh а не Г Так как по предположению Игрок не проверяет исклюй читальный стакан, одна из двух возможных схем распо： ложен и я его рук по Sf исключается, а это означает, что руки Игрока располагаются noSf единственным возмож- ным образом. Следовательно, по результатам i-ro испытания Игрок сможет сказать, где именно находятся его руки на ожерелье 5г. Располагая этими сведениями Игрок может легко вычислить вид ожерелья S^^ н записать его на листке бумаги.

Итак, мы доказали, что Игрок может поддерживать условия (5) и (6) на «внутренней» стадии второго захода ——на фазе переворачивания. Обратимся теперь к заключительному испытанию второго захода —— проверке одной из полу ок ружностей. Прежде всего покажем, что Игрок будет в состоянии различить, ощупывает ли он исключительный стакан или не ощупывает. На этот раз Игрок не сможет выделить исключительную диагональ как немонотонную, поскольку проверяет только один конец каждой диагонали. Но из условия (3) при i =j следует, что состояние S： стола в начале /-го испытания второго захода только одной позицией отличается от 2^-2-альтернирующего ожерелья 7\. Следовательно, Игрок сможет установить, ощупывает он исключительный или неисключительный стакан, по тому признаку, будут или нет результаты испытаний иметь вид XX, где X —— некоторая последовательность символов длины 2/-2. Если Игрок не ощупывает исключительный стакан, jro результаты испытаний можно представить в виде ХХ・ Если же Игрок ощупает исключительный стакан, то результаты испытаний примут вид YhZYhZ, где один из двух символов «н» соответствует исключительному стакану.

Предположим, что Игрок нащупал-таки исключите/与 ный стакан. Следующая его задача — определить, какой из двух символов «н» соответствует исключению, и устранить это исключение. Именно здесь решающее значение приобретает наше предположение о том, что 彦3. Если бы мы попытались применить стратегию «все наоборот» к квадратному столу, то мы столкнулись бы с необходимостью выяснить, какой из символов «н» в блоке соответствует исключительному стакану, т. е. встали 6bl

перед неразрешимой проблемой. Именно поэтому случай "=4 приходится рассматривать особо. Это позволяет нам заключить, что по крайней мере одна из двух последовательностей символов У н Z непустая. Значит, Игрок может проверить некоторую окрестность каждого из «кандидатов в исключительные стаканы». Заметим, что окрестности двух символов «н» дополнительны. Из ус- новня (6) нам известно, что на листке бумаги у Игрока записано ожерелье S” Располагая этой записью, нетрудно заключить, какие состояния находятся слева и справа от исключительного стакана, что позволяет Игроку определить, который из двух «кандидатов» соответствует исключительному стакану. Следуя инструкции, Игрок переворачивает исключительный стакан. Исключительная диагональ переходит в монотонное состояние (вв>, и, следовательно, условия леммы 3 нами удовлетворены.

Теперь нам осталось рассмотреть только один случай. Предположим, что, выполняя последнее испытание вто- рого захода. Игрок не нащупал исключительный стакан, т. е. что результаты проведенных испытаний можно представить в виде XX. Тогда ожерелье Tj, от которого состояние S/ отличается только в той позиции, где находится исключительный стакан, должно определяться формулой Tj=(XXXX〉. Повторяя по существу доказательство леммы 5, можно показать, что последовательность символов XX войдет в「только в двух местах. Следовательно, в S； последовательность символов XX встретится только один раз. Это означает, что Игрок сумеет одно- значно определить расположение рук на Sj. Так как Игрок проверяет полуокружность и не ощупывает исключительный стакан, он подвергает проверке другую Вершину исключительной диагонали. Следуя инструкции, Игрок заглядывает в свои записи и выясняет, какой нз стоящих вверх дном стаканов ему удастся ощупать на Другом конце диагонали от исключительного стакана. После того как этот стакан будет перевернут вниз дном, исключительная диагональ перейдет в монотонное состояние (нн) — и требования леммы 3 будут полностью Удовлетворены.

Итак, мы исчерпывающим образом описали интересу- ^Щую нас функцию『(〃)，Но это, отнюдь не означает, что задачу о «столоверчении» можно считать решенной до 13 № 1136 385

конца. Наоборот, мы упоминали во введении о несколь ких других заслуживающих внимания обобщениях За' дачи. Более того, углубленный анализ даже рассмотрен ного нами варианта задачи может сторицей вознаградит^ за усилия. Например, можно было бы попытаться построить короткие выигрышные стратегии для ^-рукого Игрока, где Л^/ (п).

Избранный нами метод построения стратегий позволяет составить предварительные представления о длине стратегий одного семейства. Пусть п=а1а2 ...的 _ разложение числа п на множители, где каждый множитель а” разумеется, удовлетворяет неравенству Перенумеруем все。乞 так, чтобы все двойки, если они среди。巨 имеются, шли первыми. Используя стратегию «вверх — вниз» при 的>2 и стратегию «все наоборот» при а_/=2, мы можем не более чем за 2/ испытаний свести задачу о построении стратегии для стола размером п к задаче о построении стратегии для стола размером n/ajt для чего нам потребуется не более

К = max1 <i</К = max1 <i</Т)”Т)”

К = max

1 <i</

К = max

1 <i</

Т)”

Т)”

рук. Таким образом, мы можем построить выигрышную стратегию для стола размером п, требующую только А рук и использующую не более /2+/ испытаний, о которые мы уже говорили. Существует своего рода свобода выбора. Мы можем выбрать большие а», тогда число / будет мало и стратегия получится короткой, но для осуществления ее понадобится много рук. Но мы можем выбрать малые 七；тогда, напротив, число / будет велико и стратегия получится длинной, но для осуществления ее понадобится меньшее число рук. Кроме того, эти стратегии сравнительно легко, по крайней мере немного, сократить. Например, часто число испытаний удается уменьшить за счет переноса информации от одной стадии стратегии «вверх — вниз» к другой. Но мы не знаем, существуют ли стратегии, которые в наименее благоприятных случаях обходятся гораздо меньшим числом испытаний, чеМ построенные нами стратегии.

Примечание при корректуре. Тед «Льюис и Стивен У" нашли f(n) независимо от нас и опубликовали свои результа статье «Крутящийся стол» (Lewis Т., Willard S. «The Rotating 1е», Mathematical Magazine, 1980, 53, № 3 pp. 174—179.) В

оГда п не является степенью двойки, эти авторы использовали Совершенствованный вариант стратегии «верх — вниз», в котором перенос информации от одного этапа к другому позволяет Игроку обходиться примерно вдвое меньшим числом испытаний. Кроме того, [ьюис и Уиллард обнаружили близкий вариант стратегии «вверх —— рНйз», применимый в тех случаях, когда 〃 совпадает со степенью двойки. В первом заходе стаканы переворачиваются вверх дном, а на протяжении почти всего второго захода Игрок поворачивает их внИз дном. Переворачивание «наоборот» происходит только в пред- юследнем испытании второго захода, во время которого поворачи- взются «наоборот» стаканы, расположенные на концах одной-единст- венной диагонали.

6. Числаи теория кодирования

Сверхъестественные числаДональд Э. Кнут

По словам Леопольда Кронекера, «господь бог создал целые числа, все остальное ——дело рук человеческих» [10]. Если Кронекер прав, то было бы ересью называть любые нецелые числа сверхъестественными, т. е. считать что они обладают волшебными свойствами. С другой стороны, математики обычно называют неотрицательные целые числа {0, 1, 2, ...} натуральными (т. е. естественными) числами; поэтому, если число можно назвать сверхъестественным, то оно тем более должно являться естественным, или натуральным, числом. В настоящей статье мы обсудим представление естественных (натуральных) чисел, к которым можно приписать приставку «сверх», потому что они необычайно велики ——и для записи их в обычной десятичной системе (с помощью степеней числа 10) понадобились бы многозначные показатели.

Чтобы ох а р актер изовать размеры известной части Вселенной, вовсе не требуется брать очень большие числа. Например, если взять куб с ребром длиной 40 миллиардов световых лет и заполнить его крохотными кубиками с ребром длиной 10-13 см (каждый такой кубик п° размеру меньше протона или нейтрона), то общее число кубиков окажется меньше 10125. Такое число можно назвать гигантским лишь с известной натяжкой: ведь его десятичная запись содержит всего лишь 126 цифр-

Великий Архимед, по-видимому, был первым, кт° всерьез задумался над существованием особенно больших чисел. Знаменитое сочинение Архимеда «Исчисление песчинок» [1] завершается доказательством того, чт0 для заполнения известной в его времена Вселенной понадобится менее 1063 песчинок. Кроме того, Архимед Раз' работал систему названий, позволявшую ему говорить о числах вплоть до 108С °°° 000 000 °°° с0°.

В английском языке нет названий для столь больших величин. Поэтому было бы полезно разработать систему, позволяющую оперировать гигантскими числами. В периоды инфляции такие названия могли бы пригодиться для выражения цен. Известно, например, что в 1923 г. в Германии находились в обращении почтовые марки достоинством в 50 миллиардов марок — но ценность этих клочков бумаги была почти нулевой.

Если критически подойти к традиционным названиям чисел, то станет ясно, что все эти названия — дело рук человеческих, и их можно было бы придумать гораздо разумнее. Например, о тысячах можно было бы полно- стью забыть и сразу после сотен ввести мириады (104). Ведь такие числа, как 1984, читать «девятнадцать (сотен) восемьдесят четыре» гораздо удобнее, чем «тысяча девятьсот восемьдесят четыре». Использование мириадов дало бы десятичные названия числам до 108. Например, простое число 9999 9989 читалось бы как «девяносто де

вять сотен девяносто девять мириадов девяносто девять сотен восемьдесят девять».

Следующая единица, которая понадобилась бы нам после мириадов, 108. Назовем ее мильюн (однокорневые слова, например мильюнер — обладатель мильюнного состояния, также были бы удобны в обращении). После мильюнов идут бильюны, один бильюн равен 1016. Иметь название «бильюн», допускающее однозначное толкование, было бы чрезвычайно удобно, поскольку прежде оперировали словом бил ион, относительно которого никак не могли прийти к единому мнению, что же собственно оно означает. (Так, англичане и немцы считают, что биллион — это миллион миллионов, тогда как американцы и французы полагают, что биллион ——это всего тысяча миллионов.) Не без удовлетворения замечу, что национальный долг США составляет лишь малую Долю бильюна долларов. Список названий больших чисел можно продолжить следующим образом:

1032трильюн101 6384дуодецильюн

1064квадрильюн1032768тредецильюн

10128квинтильюн1066536кваттуордецильюн

10256 секстильюн10512 септильюн101024 октнльюн102048 нонильюн104096 децИЛЬЮН ]08192 ундецильюн10256 секстильюн10512 септильюн101024 октнльюн102048 нонильюн104096 децИЛЬЮН ]08192 ундецильюн1013Ю72 квиндецильюн 10262144 сексдецильюн 10524288 сентдецильюн

10256 секстильюн

10512 септильюн

101024 октнльюн

102048 нонильюн

104096 децИЛЬЮН ]08192 ундецильюн

10256 секстильюн

10512 септильюн

101024 октнльюн

102048 нонильюн

104096 децИЛЬЮН ]08192 ундецильюн

JQ1048576 октодецильюн

JQ2097152 НОвемдецильюн 10419430' ВИГИНТИЛЬЮН

Например, карточную колоду в 52 листа можно перетасовать 52! различными способами. Если мы условимся отделять знаками препинания группы по четыре, восемь шестнадцать и т. д. цифр, то это число можно записать в виде: 8065:: 8175, 1709; 4387, 8571: 6606, 3685; 6403 7669;; 7528, 9505; 4408, 8327: 7824, 0000; 0000, 0000： Следуя предложенной нами системе, его можно было бы назвать так: «восемьдесят сотен шестьдесят пять квад- рильюнов восемьдесят одна сотня семьдесят пять мири- адов семнадцать сотен девять мильюнов сорок три сотни восемьдесят семь мириадов восемьдесят пять сотен семьдесят один бильюн шестьдесят шесть сотен шесть мириадов тридцать шесть сотен восемьдесят пять мильюнов шестьдесят четыре сотни три мириада семьдесят шесть сотен шестьдесят девять трильюнов семьдесят пять сотен двадцать восемь мириадов девяносто пять сотен пять мильюнов сорок четыре сотни восемь мириадов восемьдесят три сотни двадцать семь бильюнов семьдесят восемь сотен двадцать четыре мириада мильюнов». В современном американизированном английском языке для этого числа не существует названия, разве что мы прибегнем к какой-нибудь искусственной конструкции типа «восемьдесят тысяч шестьсот пятьдесят восемь ви- гинтиллионов сто семьдесят пять нониллионов 一 • во семьсот двадцать четыре триллиона», так как самые полные словари не приводят названий для чисел, превышающих один вигинтиллион (=1063), за исключением цента л л ион а (=10303).

Нам же необходимо превзойти вигинтильюны и иен- тнльюны, если мы хотим иметь названия для всех «чисел, сотворенных господом богом». Следующим за вигин- тильюном большим числом, требующим особого названия, был бы «унвигинтильюн», если мы экстраполируем принятую нами схему построения названий и углубимся в номенклатуру, построенную на основе латинского языка. Так, разложение

80 ООО 000 000 000 000-25б+252+251+250+245+244+ 2^+241+240+239+2^+233+232+23(>+229+22S+22'i+ 22б_|_225+219

дозволит читателю, понявшему предлагаемую систему, назвать «последнее число» Архимеда 1080 000 000 °°° 000 °00. (Для проверки название «последнего числа» приведено в конце статьи.)

Рано или поздно мы обнаружим, что латинской номенклатуры недостаточно. Это вполне понятно, так как римляне не вели счет до очень больших чисел. Даже если бы римские ученые приняли схему, предложенную Архимедом, нам было бы трудно назвать, например, такое число, как

]0 2】°8° 000 000 °°° 000 003

Однако эту трудность можно было бы обойти, назвав каждую основную единицу 1。2“+2 прИ всех больших п словом «латин {название числа п}ильюон>. Например, число К?" о。。000 °°° °°° 002 следовало бы назвать «латинбилью- нильюн». Такая номенклатура позволила бы нам называть все натуральные числа, сколь бы большими они ни были. Например, одно из чисел называлось бы «латин- латинлатинбильюнильюнильюнильюн». Сможете ли вы указать, сколь велико это число? (Ответ см. в конце статьи.)

Дочитав нашу статью до этого места, читатель может подумать: «Ну и что? Зачем наделять специальными названиями гигантские числа, если обычная десятичная или двоичная запись дает более простое представление, гораздо более удобное для вычислений?» Вы совершенно правы, дорогой читатель: названия чисел представляют больший интерес для «лингвистических отделов» нашего мозга, чем для тех клеток серого вещества, которые ведают вычислениями, и тот факт, что такой великий Ученый, как Архимед, писал на эту тему, не может служить аргументом в пользу ее научной значимости. Однако затеянный нами разговор о больших числах не столь Уж бесполезен, поскольку он подготавливает нас к обсуждению более важной проблемы, решение которой связано с аналогичными понятиями.

Проблема, рассмотрению которой мы посвятим остальную часть статьи, состоит в следующем: как пред-

ставить в виде последовательностей нулей 〃 един сколь угодно большие числа, причем так, чтобы

представление любого числа не входило s качестве триставки» в представление любого другого q〃以 Иначе говоря, если какое-то число представлено последовательностью «01101», то никакое другое число не должно начинаться с «01101》. Кроме того, запись чисел

должна удовлетворять условию

представление каждого числа должно быть ^лексикографически меньше» представления любого боль

шего числа.

Число «лексикографически меньше» другого, если оно раньше, чем последнее, встречается в словаре. Например, число 01101 лексикографически меньше всех последовательностей, начинающихся с 1, 0111, 011010 или 011011.

Важность предлагаемой задачи связана с тем, что нередко нам бывает необходимо ввести в ЭВМ последовательность чисел. Такой последовательностью могут быть, например, команды программы, сообщающие ЭВМ, какие операции следует произвести. Основная трудность состоит в том, что ЭВМ должна знать, где заканчивается одно число и начинается следующее. Условие (1) гарантирует, что ЭВМ всегда сумеет отличить конец предыдущего числа от начала следующего числа, так как при считывании последовательности нулей н единиц слева направо никакой неоднозначности не возникает. Условие (2) не имеет столь решающего значения, однако благодаря ему запись чисел обладает весьма удобным свойством: представление, о котором идет речь, сохраняет порядок, т, е. если одна последовательность чисел лексикографически меньше другой, то представление первой последовательности лексикографически меньше представления второй последовательности.

Условиям (1) и (2) легко удовлетворить, если нам ну*” но представить не очень много чисел. Например, если требуется записать только числа от 0 до 7, то можно воспользоваться представлениями одинаковой длины: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Однако мы должны иметь возможность закодировать все натуральные числа, а не только малые числа.

Первое правильное решение, которое приходит в。用 лову,— «единичная» система счисления, в которой

записывается в виде «О», 1 — в виде《10》，2 — в виде 《110》и т. д. Число п в единичной системе счисления представимо последовательностью «1^0», т. е. п единицами, за которыми идет один нуль. Этот нуль служит своего рода конечной меткой, или «запятой», разделяющей последовательные числа, которые считывает ЭВМ. Единичная система счисления удовлетворяет условиям (1) и (2), но вряд ли удобна для представления даже не очень больших чисел, так как требует 九+l битов для записи числа п. Нам же необходимо найти как можно более компактный способ представления чисел, удовлетворяющий условиям (1) и (2).

Простейшим решением проблемы после «единичной» системы счисления, по-видимому, можно считать обычную двоичную систему записи целых чисел: {0, 1, 10, 11, 100, 101, . . .}. В том виде, как вы ее знаете, двоичная система счисления не удовлетворяет условиям (1) или (2), но ее можно усовершенствовать, если условиться указывать перед двоичной записью числа ее длину еле- дующим образом:

0 —^ 001-- 012 T 1003—> 1014 —^ 110005 一 110016—110107Tli0110 —^ 001-- 012 T 1003—> 1014 —^ 110005 一 110016—110107Tli0118—> 11100009— 111000110—111001015—* 111011116— 11110000031 — 11110111132 —► 11111000000 63—>111110111118—> 11100009— 111000110—111001015—* 111011116— 11110000031 — 11110111132 —► 11111000000 63—>1111101111164—^1111110000000

0 —^ 00

1-- 01

2 T 100

3—> 101

4 —^ 11000

5 一 11001

6—11010

7Tli011

0 —^ 00

1-- 01

2 T 100

3—> 101

4 —^ 11000

5 一 11001

6—11010

7Tli011

8—> 1110000

9— 1110001

10—1110010

15—* 1110111

16— 111100000

31 — 111101111

32 —► 11111000000 63—>11111011111

8—> 1110000

9— 1110001

10—1110010

15—* 1110111

16— 111100000

31 — 111101111

32 —► 11111000000 63—>11111011111

127—* 1111110111111

128T 111111100000000

255—>111111101111111

256—>11111111000000000

511—^11111111011111111

512 — ] 111111110000000000

1000—* 1111111110111101000

В общем случае при 九>2 если двоичное представление числа п имеет вид 1а, где а — любая последовательность нулей и единиц, то новое представление числа п имеет вид .,

1 岡 Оа,

где I а I означает длину последовательности а. Если двоичная запись числа и требует т битов, то новое представление требует 2т—1 битов. Грубо говоря, мы удвоили число битов, необходимых для записи числа п, чтобы однозначно указать, где заканчивается каждое представление.

Предлагаемое нами решение проблемы допускает Дальнейшее усовершенствование, но, прежде чем мы углубимся в его деталй, небезынтересно отметить, что наша

проблема по существу эквивалентна игре 6 отгадывани в которой один задумывает, а другой пытается произвольное натуральное число. Правила этой аналогичны правилам игры в двадцать вопросов： отгада вающему разрешается задавать только вопрос: «Задуманное число меньше /г?» (и — неотрицательное целое число), на который партнер, задумавший число, отвечает только «да» или «нет». Разумеется, игра может длиться и дольше 20 вопросов, поскольку задумывать разрешается бесконечно много чисел, а с помощью 20 вопросов, до

пускающих только ответы «да» и «нет», мы можем различить не более чем 220 чисел. Но общая идея игры состо- ит в том, чтобы как можно быстрее отгадать задуманное

число.

Нетрудно понять, как связаны между собой игра в отгадывание и наше представление чисел в виде последовательностей нулей и единиц. Любая стратегия, позволяющая отгадывающему установить любое задуманное число, приводит к решению проблемы, удовлетворяющему условиям (1) и (2): в качестве представления числа п достаточно выбрать последовательность ответов при

отгадывании этого числа, заменив нулями положительные ответы («да») и единицами отрицательные ответы («нет»). Наоборот, если известно решение проблемы, удовлетворяющее условиям (1) и (2), мы можем построить соответствующую ему стратегию отгадывания, действуя по тому же правилу, если разрешим отгадывающему задавать помимо вопроса: «Задуманное число меньше и?» один глупый вопрос: «Задуманное число меньше бесконечности?» (Ответ на этот вопрос всегда будет положительным, тогда как некоторые решения, удовлетворяющие условиям (1) и (2), имеют представление, начинающееся с нуля.)

«Единичное» представление, с обсуждения которого мы начали, соответствует стратегии, при которой отгадывающий число просто спрашивает:

Задуманное число меньше 1?

Задуманное число меньше 2?

Задуманное число меньше 3?

и так далее, пока в ответ на свой вопрос не услышит впер* вые «да». Наше второе решение более хитроумно. Он°

начинается с вопросов:

Задуманное число меньше 2? Задуманное число меньше 4? Задуманное число меньше 8?

н так далее, после чего использует «двоичный поиск», пли «дихотомию», чтобы «поймать» задуманное число, как только первый ответ «да» откроет порядок его величины.

При наличии эквивалентности между игрой в отгадывание и представлением чисел хорошая стратегия для отгадывающего задуманное число соответствует компактному представлению чисел, и проводимый нами поиск хороших представлений чисел по существу сводится к поиску хорошей системы вопросов в задаче отгадывания задуманного числа.

Заметим, кстати, что игра в отгадывание задуманного числа — не пустая забава, она находит важные практические применения. Например, пусть известно, что многочлен f(x) имеет ровно один положительный корень, причем /(0) меньше нуля, а значение /(х) положительно при всех достаточно больших х. Тогда этот положительный корень меньше п в том и только том случае, если f(ti) положительно. Так, хорошая стратегия для отгадывания чисел приводит к эффективному методу локализации корней многочлена, не требующему вычисления производной.

Наше второе решение можно улучшить, если заметить, что оно по существу представляет собой не что иное, как использование «единичной» стратегии для представления длины двоичной записи числа п, и, следовательно, в этом месте единичную стратегию можно заменить более рациональной двоичной стратегией! Иначе говоря, последовательность I1 а,0, применяемая для кодирования длины последовательности а, может быть заменена более компактным представлением числа |а |. Повторно используя ту же идею, мы получаем все более -короткие представления больших чисел. В результате Мы приходим к тому, что можно было бы назвать рекурсивной стратегией, согласно которой сначала следует отгадать, сколько знаков содержит двоичное представление числа 九,а затем воспользоваться двоичным поиском (дихотомией) для нахождения точного значения числа п. Для отгадывания числа знаков в записи числа 〃

Используется та же рекурсивная стратегия: сначала м отгадываем число знаков в числе знаков числа 几，а зат： пытаемся отгадать число п. Приведем несколько первых вопросов рекурсивной стратегии:

Задуманное число меньше 1?

Задуманное число меньше 2?

Задуманное число меньше 4?

Задуманное число меньше 16?

Задуманное число меньше 65 536?

и так далее, пока мы не получим первый утвердительный ответ. (Заметим, что 2=2匕 4=2?, 16=2’ и 65 536=21в. Следующий вопрос должен был бы относиться к числу 26553 6)по рекурсивной стратегии мы продолжаем задавать вопросы такого рода до тех пор, пока не установим верхнюю границу для задуманного числа, после чего «развернем» рекурсивную стратегию в обратную сторону и получим для задуманного числа нижнюю границу. Если задуманное число достаточно велико, то отгадывающему довольно скоро придется иметь дело с большими числами.

Рекурсивное представление числа, соответствующее такой рекурсивной стратегии отгадывания, можно задать очень просто. Пусть R(孔)——последовательность нулей и единиц, служащая представлением числа и. Тогда

r(0)=0,

R((la)2)= lR(|a|)a,

где (la)? — число, записываемое в двоичной схеме в виде 1а, и |а| — длина последовательности а. В качестве примера приведем представления нескольких небольших чисел:

0

—0

8-

■>11101000

64-

-> 1110010000000

1

—> 10

9-

一 11101001

127-

->11110010111111

2

— 1100

10-

■>11101010

128-

，111100110000000

3-

f 1101

15 —

->11101111

255 一

一 111100111ШН1

4-

一 1110000

16-

-111100000000

256-

-> 11110100000000000

5-

f 1110001

31 一

f 111100001111

511 -

f 1Н101000111П1П

6

— 1110010

32 —

•> 1111000100000

512-

-> 111101001000000000

7

->1110011

63 -

-> 1111000111111

1000-

十 11110100111П01000

Нетрудно видеть, что это представление удовлетворяет условиям (1) и (2). Специалистам по вычислитель-

ной математике, предпочитающим преобразовывать рекурсивные методы в интеративные, приятно найти простую нерекурсивную процедуру, позволяющую оценивать п, коль скоро известно представление числа п. (Найденную ими процедуру желающие смогут сравнить с приведенной в ответах в конце статьи.)

Рекурсивное представление большого числа 九 примерно вдвое короче его представления по двоичной схеме. Например, представлением числа 26--36——1 по двоичной схеме служит последовательность

165535()165535

длины 131 071, в то время как представление того же числа по рекурсивной схеме

15016^4

имеет длину только 65 560 «0,1 единиц», или битов. С другой стороны, при малых п рекурсивная схема «срабатывает» лишь ценой больших усилий: при всех значениях и от 2 до 127 включительно двоичная схема порождает более короткое представление (рекурсивная схема дает заметный выигрыш по сравнению с двоичной схемой только при 几=0 или 几》512). Таким образом, для многих приложений двоичная схема предпочтительнее рекурсивной.

Рекурсивную схему при малых п можно улучшить, если заметить, что все последовательности, кроме той, которая соответствует нулю, начинаются с единицы. Следовательно, если нам требуется представить строго положительные числа, то первую единицу заведомо можно отбросить. Натуральные числа находятся во взаимнооднозначном соответствии со строго положительными числами, поэтому существует представление Q(〃)，такое, что

iQm)=/?m+i).

Следуя этой модификации рекурсивной схемы, получаем

0 — 03 — 110000

1 — 100 4— 110001

2 — 101

и т. д. Двоичная схема предпочтительнее этой модификации рекурсивной схемы лишь при 〃=1, 3, 4, 5, 6, 7

и 15&几《63. Аналогично преобразование в силу сходны причин применимо также и к схеме Q; оно порождав схему Р, где

1P5)=QS+1), откуда

0 — 003—> 10001

1 — 014—10010

2 一 10000

и т. д. Схема Р уступает двоичной схеме только при п^ 2, 3, 6, 7, 62, 63 и 14&У31.

Нам хотелось бы найти в некотором смысле наилучшую из всех возможных стратегий, но сказать, что означает здесь слово «наилучшая», довольно трудно. Например, можно считать, что двоичная стратегия намного лучше единичной, но даже единичная стратегия превосходит двоичную при 孔=0. Как мы увидим в дальнейшем, такая ситуация неизбежна: ни одна стратегия для игры в отгадывание не имеет преимуществ перед другой в том смысле, что при использовании первой стратегии для отгадывания задуманного числа 几 при любом п требуется не больше, а в ряде случаев даже меньше вопросов, чем при использовании второй (разумеется, мы не рассматриваем случай, когда худшая стратегия задает глупые вопросы, допускающие ответы типа «да» и «нет», которые полностью следуют из предыдущих ответов). Если одна неглупая стратегия лучше другой при одних 〃，то она заведомо хуже второй стратегии при других п. В чем-то вы выигрываете, в чем-то проигрываете — так уж устроена жизнь.

Чтобы проанализировать, насколько хороши предложенные стратегии, необходимо придать нашим оценкам более количественный характер. (Считаю своим долгом предупредить читателя, что остальная часть статьи содержит математические детали технического характера. Они вполне элементарны, но иногда содержат кое-какие тонкости.) Пусть 九》上 Обозначим через Хи единственное натуральное число, такое, что 2Х/г^и<21+Лп. Например, если п= (1а)2 в двоичных обозначениях, то 入〃=|а|, где I а I —— длина последовательности а. Удобно считать, что по определению 九0=0; тогда 入几一натуральное число, коль скоро п—натуральное число. Число 入(入д) услсвим-

ся обозначать через ХХп и т. д. Символом Х^п обозначим 加-кратную итерацию функции X. Тогда Х°п=п,入з孔=壮入〃 и т. д. Наконец, обозначим через 九*孔 наименьшее целое число 加,такое, что 入加几=0.

Введенные нами функции позволяют без труда выразить длину представления числа п. Пусть с (и) — эта длина, т. е. «цена» представления числа п. В игре на отгадывание с (и) — число вопросов, которые необходимо задать, чтобы определить задуманное число. Единичная стратегия U отгадывания обладает весьма высокой ценой /(也)=也+1

Цена двоичной стратегии В ниже:

,、[2 при п = 0 или 〃 = 1,

св (и) =°

I 2九九+ 1 при /г > 1.

Цена рекурсивной стратегии А такова:

cr (")=入" +入入孔+入入加2+ +入*" + 1.

Бесконечный ряд, указанный многоточием, в действительности обрывается после конечного числа членов, так как 入加〃=0 при пг>т Наконец, цена модифицированных рекурсивных стратегий составляет

Cq(〃)=Cr (н+1)—1, Ср(п)=св (п+2)—2.

Эти формулы подтверждают наше замечание о том, что при больших п рекурсивные стратегии стоят примерно вдвое меньше двоичной схемы.

Будем называть схему представления неизбыточной. если в соответствующей игре на отгадывание спрашиваю- щий не задает глупых вопросов (глупым по определению считается вопрос, ответ на который известен заранее или может быть определен из того, что нам уже известно). Это означает, что если а —— любая последовательность нулей и единиц, не являющаяся представлением ни одного числа п, но входящая в качестве «префикса» (приставки) в какое-нибудь представление любого целого числа, то м а0, и al входят в качестве префиксов в представления. Все разумные схемы представлений неизбыточны. Действительно, если а0 входит в качестве префикса в какое-то представление, a al не входит, то, не нарушая условий (1) и (2), мы можем сократить представление не-

вмнеркн，вмнеркн，которых целых чисел: для этого нам достаточно

вмнеркн，

вмнеркн，

выступаетвыступаетвать следующий за а нуль всякий раз, когда а в качестве префикса.

выступает

выступает

Функции цены неизбыточных представлений удовлет воряют важному арифметическому соотношению. -

112c(о)I 2c ⑴ 2c ⑵2c(о)I 2c ⑴ 2c ⑵+ ・• • = 1.+ ・• • = 1.Утверждение 1. Пусть с(п) — цена представления числа п е неизбыточной схеме представления. Тогда

1

1

2c(о)I 2c ⑴ 2c ⑵

2c(о)I 2c ⑴ 2c ⑵

+ ・• • = 1.

+ ・• • = 1.

Доказательство. Если а —— представление числа 〃 то в двоичных обозначениях при любом п справедливо соотношение

2c(о)Т2c(1)丁 • • • I 2е(«-1)— V

Эта формула остается в силе и при п=0, так как в неизбыточном представлении нуля не может быть единиц. Пусть р — представление числа и4-1. Требуется доказать, что

(»a)2+^j = ( »Р)2-

Ни одно число не представимо в виде последовательности одних лишь единиц, так как при лексикографическом упорядочении за последовательностью 1 Смогут идти только последовательности, в которые она входит в качестве префикса. Следовательно, (,а)2+2-1а【меньше единицы. В действительности ( ,а)2+2~, а1=( 皎必』…卜一 наименьшее двоичное число, которое больше (,а)2 и не содержит а в качестве префикса. Если (，Р)2=( ，(，〃1〃2〃3・・)2, то пусть / — наименьший из индексов, при которых bj^aj, a k — наибольший из индексов, таких, что aе=1. Из неравенства (力也&…卜>(以g%…卜 следует, что 力=1 и 的=0. При Avj последовательность 瓦• •・％_i — избыточный префикс, так как 瓦.・・bj_J входит в качестве префикса в представление числа n+h но последовательность Ьг. . .fcj_iO никогда не встречается в качестве префикса. При 3>j последовательность Qi・..ak_t — избыточный префикс, так как 〃】• •・例一1°

входит в качестве префикса в представление числа п, но последовательность。…g_J никогда не встречается в качестве префикса. (Заметим, что k — положение са- мого правого нуля в последовательности а.)

Нетрудно проверить, что 1 少 встречается в качестве префикса при всех k. Но если lft ——префикс представления числа и, то сумма 2~C{Q}+2~C{1}+. . .+2~с(п~1> заключена между ( ,1Л)2=1—2f н 1. Следовательно, при 及—8 эта бесконечная сумма стремится к единице, что и требовалось доказать.

(В приведенном доказательстве мы использовали и условие (1), и условие (2). Одного условия (1) для получения окончательного результата было бы недостаточно. Например, следующая процедура порождает неизбыточные представления длины n+k для каждого целого числа п при любом /г^2. Числу 0 требуется поставить в соответствие последовательность 0й, а для п=1, 2, 3,... найти последовательность а, такую, что (а) а входит в качестве префикса в представление некоторого числа V", но не совпадает со всем представлением; (б) последовательности аО и al не встречались ранее в качестве префиксов; (в) a ——кратчайшая из последовательностей нулей и единиц, удовлетворяющая условиям (а) и (б). В этом случае представлением числа п может быть любая последовательность длины n+k, содержащая аО или al в качестве префикса, который не встречался ранее. Например, при 归=2 одна такая схема представления начинается с

0 — 001 — 1002—^01000 — 001 — 1002—^01003—> 110004 — 0110005 —> 10100003—> 110004 — 0110005 —> 1010000611100000

0 — 00

1 — 100

2—^0100

0 — 00

1 — 100

2—^0100

3—> 11000

4 — 011000

5 —> 1010000

3—> 11000

4 — 011000

5 —> 1010000

7 一 010100000

8 — 0111000000

С другой стороны, нетрудно доказать, что для всех представлений, удовлетворяющих условию 1, выполняется неравенство

2c (°)• 2cС) ' 2c(2)

известное под названием «неравенство Крафта» ⑼.) Следующее утверждение обратно утверждению 1.

Утверждение 2. Пусть с(0), с(1), с ⑵,…一неубывающая последовательность положительных целых чисел.

такая, что

2c(0)2c(1)T2,(2)丁 . . • 一 人，

Тогда существует неизбыточная схема представления с функцией цены с(п).

Доказательство. Пусть представление а числа п за. дано формулами 2~f(0)+2"t(1,+. .，+2~г(/2-1)= (, а)2 и Iа|=с(л). Тогда оно обладает всеми нужными свойствами, что и требовалось доказать.

Если X ——неизбыточная схема представления с немонотонной функцией цены сх, то, переставив целые числа, мы можем получить другую схему представления с теми же ценами, расположенными в неубывающем порядке. Из утверждений 1 и2следует, что существует неизбыточная схема, обладающая такими у пор я дочен н ыми ценами. Схемы представления с немонотонными функциями цены можно было бы назвать стандартными, так как в большинстве приложений желательно, чтобы при всех п выполнялось неравенство 仆(紅)&Сх(紅+1)・

В заключение мы попытаемся найти наилучшую из возможных схем, причем особенно нас будет интересовать асимптотика (связанная с представлением очень больших чисел л). Ясно, что двоичный метод более эффективен, чем единичный. Кроме того, мы отдаем предпочтение рекурсивному методу перед итеративным, поскольку при больших числах рекурсивный метод обладает некоторыми преимуществами. Эти примеры приводят нас к следующему определению: схема представления X с функцией цены Сх(〃) доминирует над схемой У с функцией цены Су(п), если сх(п)^сг(п) при всех больших п и при бесконечно многих п имеет место строгое неравенство Сх(п)<су(л). Если X доминирует над У, а У — над Z, то, как следует из определения, X доминирует над Z.

Ясно, что все рекурсивные методы 户，Q, R доминируй ют над двоичным методом В, а тот в свою очередь доминирует над единичным методом U. Однако если мы попытаемся сравнить между собой три рекурсивные схемы, то окажется, что ни одна из них не доминирует над ДРУ* гой. Метод Р почти всегда наилучший; в частности, при 入孔=入(孔+2) мы получаем j(紆)=cQ(九)—1=“(")一2， Но существует бесконечно много п, при которых метод Q превосходит и метод 尸，и метод R /пн

=22,一2 и 归》1), и бесконечно много п, при которых ме- 2k

-год R превосходит и метод Р, и метод Q (при п=22 —1). Следует ли отсюда, что ни один метод не может доминировать над методом R, который в этом смысле «оптимален»? Нет, надеждам тех, кто так считает, не суждено сбыться: справедливо следующее

Утверждение 3. Если X ——любая стандартная схема представления, то существует другая стандартная схема представления У, доминирующая над X 〃 удовлет' еоряющая неравенству °у(孔)<°貳孔)пРи всех значениях п, кроме одного.

Доказательство. Общая идея доказательства состоит в выборе последовательности длины сив замене ее бесконечно многими последовательностями длин с+1, с+2, с+3 и т. д., так как 2~с=2~с-1+2~с~2+2"г~3+....

Более строго утверждение 3 доказывается следующим образом. Пусть X ——неизбыточная схема представления, о&伍>1) —число таких 〃，для которых。眞孔)=左，и j — наименьший из индексов, таких, что а/>0. Введем обозначения bj=cij——1 и b*=a*-(-l при всех fe>/. Тогда существует единственная неубывающая функция с?(п), такая, что cy(ti)=^k ровно при bk значениях п и что 2~ск(0)+ +2-汨1)+…=2-%(0)+2-%(1斗….Из утверждений 1 и 2 следует, что существует единственная схема представления с функцией цены ". Кроме того, нетрудно видеть, что Су(〃)<Сх(〃)ПРИ всех значениях п, кроме одного, при котором cx(n)=j и сх(п+1)>/, и что су (п)< <сх(п), если /+Ксх(я—1)之Сх(〃)・ Тем самым утверждение 3 доказано.

Поиск строго оптимальной схемы — занятие безнадежное, так как, используя неоднократно рассуждения, приведенные при доказательстве утверждения 3, мы будем получать бесконечное семейство все лучших и лучших схем, каждая из которых доминирует над предшествующими схемами. Оказывается, однако, что ни одна схема Не может быть намного лучше нашей рекурсивной схемы R, несмотря на все явные усовершенствования, гаранта^ Руемые утверждением 3.

Утверждение 4. Пусть Ал— следующая функция: Ап = Ал + 入入孔 + ХХАп + …•.

Каждая функция цены с(〃), соответствующая некоторой с^еме представления, при бесконечно многих п удовлет-

воряет неравенствуворяет неравенствуc(n) > A〃+入入*n.

воряет неравенству

воряет неравенству

Доказательство. Пусть d(M)=An+%%*n. Покажем что ряд £2") расходится. Этого достаточно для доказа- тельства утверждения, так как если неравенство с (九)<d(n) выполняется при всех n^mf то мы приходим к неравенству ]=£2-。<")?£(2-ё<">—2一4"))+£2_4<，，>

心 0OWnV/n心 0OWnV/nп》0п》0В общем случае если / (п)=Лп+^(Х*п) для любой функции g, то

心 0OWnV/n

心 0OWnV/n

п》0

п》0

п》О/1》О

так как левую часть можно представить в виде

£ 2g (一)£2A"

zn》0九*〃 =m

и при /п》1 мы получаем

£正=£2九〃 + лХ0

入* п =тК*^п = т— I

=£ 总

九*左=m一I

у у 1Х*^= m— 1 Х« =Лу у 1Х*^= m— 1 Х« =ЛТаким образом, ряд £2-：(〃)расходится в том и только том случае, если расходится ряд 工2-入〃,а этот ряд действительно расходится, что и требовалось доказать.

у у 1

Х*^= m— 1 Х« =Л

у у 1

Х*^= m— 1 Х« =Л

Используя тот же сами員 метод, можно доказать, что при бесконечно многих значениях п при любой фиксированной схеме представления и любом фиксированном m выполняется неравенство

с (п)〉Ам + ЛХ*п + АА*%*М + •・• + А (А*产孔 ++X(V)w+1n.

В заключение мы покажем, как, усовершенствуя схему R, можно получить «предельные» схемы, мало отли-

чающиеся от нижней границы, задаваемой правой частью последнего неравенства. Последовательность R (孔)начинается с 1凡*〃0 ——последовательности длины Х*п+1, позволяющей идентифицировать Х*п, вслед за которой идет последовательность длины Лп, задающая при известном Х*п число п. В этом смысле R-метод начинается с использования единичного подхода для отгадывания Х*п, и мы знаем, что можем сделать это лучше: применим метод R к определению Х*п, после чего найдем п так, как мы на- ходили раньше, и обозначим новый метод RR. Новая функция цены определяется соотношением

Crr(孔)=Am + cr (A*n) = Лп + ЛХ*п + ^*^*^ + L

и представление RR числа п начинается с последовательности 1礼*a"0.

Но подождите: начнем с отгадывания 入*入*孔,тогда мы получим метод RRR с функцией цены

Crrr (п) = Ап + ЛХ*п + cr (X*Z*n)=

= аn + ЛЛ*n + А九*入% +入*入*入〜+ 1.

Продолжим этот процесс; общий метод 欠初十1 будет обладать функцией цены

с(п) = А〃 + АА*п+ ・・.+А (九*)"п +(入*严+工孔+ 1,

и эта верхняя граница почти совпадает с нашей нижней границей.

Филип Дэвис [4] написал великолепное введение в круг вопросов, связанных с большими числами. Проблема схем представления была впервые рассмотрена Ле- венштейном [111, изложившим метод R и доказавшим, что с (п)>Ап——Х*п при бесконечно многих п. Он также рассмотрел представления, содержащие более двух символов. Проблему представления независимо рассматривали также Элиас [5] и Ивен и Роде [6]. Игру в отгадывания для неограниченного поиска предложили Бентли и Яо [2]. Методы Р и Q были предложены Джимом Бойсом и Дэвидом Фуксом во время недавней беседы с автором.

Числа, гораздо большие, чем те, о которых шла речь в нашей статье, были рассмотрены в 181. В обозначениях этой работы к*(2]]т)—т-\-1 и 九*(2叶什团)=(2竹t(zn—1))+1, из чего следует, что выведенные нами верхняя и нижняя границы не столь близки, как могло бы показаться. Возможно» что введение функций X**n, Z***n

и т. д. позволит достичь большей ясности в «оптимальные» схемы представления, когда нам приходится иметь дело со сверхъестественными числами.

Древнекитайский математик Сю Ио (около 200 г) в трактате «Шу шу чи и» (см. [12]) рассмотрел номенклатуру для больших чисел, включавшую такие единицы, как шн=104, 〃=1()8, 2о=1()б н чин=10Я2. Этой ссылкой я обязан Туну Юнмею.

Красивая связь существует между рассмотренной нами проблемой представления и теоретико-информационным понятием сложности алгоритма, введенным независимо Л. А. Левиным в СССР и Г. Хаитином в Аргентине. Некоторая функция /(п), обозначенная Левиным [7] крез КР(〃)и Хаитином [31 через //(п), обладает следующими двумя свойствами: а) существует схема представления для натуральных чисел, удовлетворяющая условию (1) и обладающая ценой /(九)；б) для каждой схемы представления, удовлетворяющей условию (1) и обладающей ценой /(〃), существует постоянная С, та- кая, что /(п)^с(п)+С. Интуитивно ясно, что /(л) означает длину «простейшего» описания алгоритма для вычисления п. Функция / (л) невычислима, но полувычисли- ма сверху в том смысле, что если /(〃)действительно меньше заданного числа т, то мы сумеем доказать это за конечное время. Если с (и)——функция цены для любой схемы представления, удовлетворяющей условиям (1) и (2), то существует постоянная С, такая, что 入〃+ 十/ (入〃)(п)+С. Кроме того, существует постоянная Со, такая, что |Хп+/(Хп)—max /(Л)|^С0. Таким образом, наши рассуждения позволяют устанавливать границы для max 2(少).Выражаю свою признательность Петеру iw比《门

Гачу, сообщившему мне эти результаты.

Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит).— М.—Л.: Гостехиз- дат, 1932; Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962, с. 358366.

Bentley, J. L. and Yao, А. С. 1976. An almost optimal algorithm for unbounded searching. Inf. Proc. Letters 5: 82—87.

Chaitin, Gregory J. 1975. A theory of program size formally ioen- tical to information theory. Journal of the ACM 22: 329—340.

Davis, Philip J. 1966. The Lore of Large Numbers. New Alathema- tical Library, vol. 6, New York: Random House..『

Elias, P. 1975. Universal codeword sets and representations the integers. IEEE Trans. Inform. Theory IT—21: 194—川•

Even, S and Rodeli, AL 1978. Economical encoding of commas between strings. Comm, of the ACM 21: 315—317.

Гач П. О симметрии алгоритмической информации. Доклады АН СССР, 1974, 218, №6, с. 126^-1267.

Knuth, D. Е. 1976. Mathematics and computer science: coping with finiteness. Science 194： 1235—1242.

Kraft, L. G. 1949. A device for quantizing, grouping and coding amplitude modulated pulses. M. S. thesis, Electrical Eng. Dept., Mass. Inst, of Technology.

Kronecker, L. 1893. Remark in a lecture at the Berlin scientific congress, 1886: «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk». Quoted by H. Weber in Math. Annalen 43: 15.

Levenstein, V. E. 1968. On the redundancy and delay of decodable coding of natural numbers. Systems Theory Research 20: 149—155.

Needham, Joseph. 1959, Science and Civilization in China 3, Cambridge University Press.

Ответы

«Последнее» число Архимеда читается так: один септенде- цильюн тревнгинтильюн кватторвигинтильюн квинвигиитильюн сексвигинтильюн септенвигиитильюн октовигиитил ьюн тригин- тильюн унтригинтильюи кваттортр игинтильюн септентр игиитил ьюн октотригинтил ьюн иовемтригинтилыон квадрагинтильюн дуоквад- рагинтильюн треквадрагинтильюн октоквадрагинтильюн новем- квадр аги итил ьюн кви нкваги итил ьюн кватторквинквагинтильюн. (Название, предложенное самим Архимедом, было гораздо короче, но новая система во многих случаях обладает несомненными преимуществами.)

Залгечу попутно, что американские названия больших чисел основаны не на хорошей латыни (число сексдециллион правильнее было бы называть «седециллиоиом», а новемдециллиои — уидевигин- тиллионом), поэтому неясно, сколь далеко удастся экстраполировать американскую номенклатуру.

Один латинлатинлатиибилыонильюнильюнильюн — это число

102102([02(102([02(1021000000000000000210000000000000002+ 2〉+2)+ 2〉+2)

102

102

([02(102

([02(102

10000000000000002

10000000000000002

+ 2〉+2)

+ 2〉+2)

Для краткости мы могли бы назвать его амптильюном.

Итеративная процедура декодирования для метода R Пусть $1$2sз・・・，где каждый знак s『означает нуль или единицу,——последовательность на входе, k ——число уже сосчитанных на входе битов, 』一длина вводимого числа, т ——глубина стэка (группы входных Данных) при рекурсивной реализации и п — возвращаемый ответ. Следующая рекурсивная процедура соответствует непосредственно °пределению. Начальное значение k равно нулю. Используются только глобальные переменные.

Процедура R

龙*-右+1.

Если Sg=0, то 74-0 и выйти из R.

В противном случае обратиться к R (рекурсивно).

/•*—Л, 71—1.

До тех пор пока />0, повторно выполнять 左~々+1,…

4-5k，/<-Z-1-

Выйти из R.

Несложные преобразования позволяют превратить рекурсивную процедуру R в следующую чисто итеративную процедуру； 為•<—1, т~0-

До тех пор пока s^=l, выполнять повторно т^-т+\,左*々+] ЛЧ-О

До тех пор пека т〉0, выполнять повторно следующие операции: т~т—1,』*〃，〃~1.

До тех пор пока />0. выполнять повторно 在—左+1, 〃—2〃+ +6比，n - L

Соответствующую процедуру декодирования можно построить аналогичным образом.

Что и как считают специалистыпо теории графов

Рон Рид

Что такое граф? Когда речь заходит о графе, большинство людей представляют себе график, т. е. нечто вроде диаграммы, отражающей производственную деятель

ность какого-нибудь предприятия (рис. 1), или гладкую

кривую (рис. 2), позволяющую наглядно представить свойства какой-нибудь математической функции.

для огромного (и все возрастающего) числа математиков слово «граф» означает нечто совсем иное. Мы имеем в виду математиков, которые в той или иной мере соприкасаются в своей деятельности с новым разделом математики, получившим название «теория графов». Когда речь заходит о графах, эти математики имеют в виду диаграмму.

состоящую из нескольких точек, или вершин, и отрезков

прямых или кривых, соединяющих некоторые из этих вершин. Линии, соединяющие вершины, называются ребрами. Один из графов изображен на рис. 3 (на большинстве других рисунков к этой статье также изображены графы). То, что математики называют графами, несведущий человек назвал бы сетями (термин «сеть» применяется и в теории графов, но в несколько более узком смысле).

Первоначально теория графов, которая занимается изучением графов и их свойств, была одним из разделов топологии. В ту пору она находилась на «задворках топологии», но затем обрела достаточную «респектабельность» (впрочем, в ней всегда было «что-то такое»!) и ныне имеет немаловажное значение, находя многочислен

ные приложения как в математике, так и в других науках.

Почему наука, которая на первый взгляд представляет собой не что иное, как своего рода игру с карандашом и листком бумаги, нашла столь широкое применение? Ответ на этот вопрос мы получим, стоит лишь нам оглядеться и увидеть, что многое в окружающем нас мире по существу является графами или может быть представлено в виде графов. Первое, что приходит в голову,— это различного рода коммуникации: междугородные телефонные линии, шоссейные и железные дороги, маршруты авиарейсов и т. д. Во всех этих примерах мы имеем дело с физическими объектами, которые по самой своей природе родственны графам: провода, дороги и т. п. служат ребрами этих графов, города — вершинами.

Теория графов применима также и к таким объектам, Которые сами по себе ничем не напоминают граф. Граф

возникает при выделении некоторых свойств таких объек тов. Рассмотрим, например, группу людей, собравшихся по какому-либо поводу. Мы можем построить граф, По_ ставив каждому из людей в соответствие вершину и соединив попарно вершины, если их «владельцы» как-то общались между собой (или просто знакомы). В результате у нас получится граф, напоминающий те, которы,* изображены на рис. 4. Глядя на такой граф, можно доста-

Рис. 4.

точно ясно представить себе отвечающую ему встречу ряда лиц. Так, в случае 4, а встреча проходила необычайно скучно, в случае 4, 6 была в меру оживленной, но присутствовавшие разбивались на небольшие группы, а в случае 4, в на встрече, по-видимому, творилось нечто невообразимое!

Не всякий граф можно построить на плоскости так, чтобы ребра его не пересекались во внутренних (отличных от вершин) точках. Примером графа с неизбежным пересечением ребер во внутренней точке может служить граф, изображенный на рис. 3. Чтобы отличать вершины от точек пересечения ребер (например, точки пересечения ребер АВ и CD на рис. 3), мы условимся изображать вершины маленькими кружками. Существуют и такие графы, которые можно изобразить на плоскости без дополнительных точек пересечения ребер. Их принято называть плоскими графами. Мы встретимся с ними в дальнейшем.

В качестве примера практической задачи из теории графов представим себе диверсанта или вражеского агента, проникшего к нам с заданием нарушить работу сложной телефонной сети. Диверсанту хотелось бы знать минимальное число Телефонных проводов, которые не-

Рис. 5Рис. 5обходимо перерезать, или минимальное число телефонных узлов, которые необходимо взорвать, чтобы вывести из строя линии связи между несколькими ключевыми пунктами. Эта задача затрагивает такое свойство графа, как его «связность». Понятие графа можно расширить, приписав каждому ребру какое-либо число. То, что при этом получится, называется сетью. Пример сети изображен на рис. 5. Числа могут означать расстояния между узлами, стоимость транспортировки грузов из одного населенного пункта в другой и т. д. Структуры и ситуации, представимые сетями (или в сетях), распространены настолько широко, что большой и все расширяющийся раздел исследования операций занимается изучением сетей и их свойств.

Рис. 5

Рис. 5

По тем же причинам почти все работы по теории гра

фов таят в себе семена возможных практических применений или по крайней мере потенциально полезны. Однако существуют и исключения. Забившись в темные закоулки величественного здания теории графов, не видя яркого света реального мира, некоторые специалисты по теории графов в поте лица трудятся над решением задач, которые даже отдаленно не напоминают все, что имеет хотя бы какое-то практическое значение. Речь идет о приверженцах перечисления графов —— раздела теории графов, занимающегося поиском ответов на вопрос: «Сколько существует различных графов такого-то и такого-то вида?». Свое время «перечислители» проводят, подсчитывая графы или изыскивая новые, все более эффективные способы пересчета графов. Занятие странное, но совсем не лишенное интереса.

Кто же эти люди и что они считают? К концу статьи я надеюсь хотя бы в общих чертах ответить на эти вопросы.

Кэли и перечисление деревьев

Основоположником перечисления графов по праву считается Артур Кэли, который начиная с 1857 г. поставил и решил много задач о перечислении графов

особого вида ——так называемых деревьев. По определе нию деревом называется связный (т. е. состоящий одного《куска》)граф, не содержащий замкнутых цИк. лов. Понять интуитивно, что такое цикл, можно следую. щим образом. Представим себе, что наш граф — это схема дорог. Тогда цикл；— это маршрут, по которому мы fможем вернуться в исходную точ_

\ Т/ ку, побывав во всех вершинах

М не более одного раза. Отбросив

-/ Т условие возвращения в исходную /точку, мы получим то, что по

терминологии специалистов по те-

•一•—X—е—• ории графов принято называть /\«путем» между двумя вершинами.

\ •Другое определение дерева гла-

'■ сит: дерево — это граф, в кото-

Рнс. 6ром между любыми двумя вер

шинами существует единственный путь. Граф на рис. 3 не является деревом, так как содержит, например, цикл ABCDEFGA. Наоборот, граф на рис. 6 — дерево (нетрудно понять, почему такого рода графы называются деревьями).

В любом дереве число ребер всегда на единицу меньше числа вершин. Докажите это (задача 1). Следовательно, основной вопрос перечисления деревьев можно поставить так: «Сколько существует деревьев с и вершинами?» Ответ на него (и на многие другие вопросы) был получен Кэли.

В задачах на перечисление графов очень важно ясно представлять себе, что именно требуется сосчитать. Если мы спрашиваем: «Сколько существует различных графов такого-то и такого-то вида?», то нам необходимо точно знать, какие два графа следует считать одинаковыми и какие различными. Понятия тождественности и различия могут варьироваться от задачи к задаче. Обычно мы считаем два графа одинаковыми (или, если воспользоваться техническим термином, изоморфными). если их вершины можно перенумеровать целыми числами 1, 2,.・.,尸 так, что для любых двух номеров нх носители либо соединены ребром на обоих графах, либо- не соединены ребром также на обоих графах.

Два графа на рис. 7 на первый взгляд могут показаться различными, но в действительности они нзомор申нн，

Рис. 7

8

Рис. 8

Один из способов нумерации вершин, позволяющей обнаружить изоморфизм этих графов, показан на рис. 7 (Задача 2. На рис. 8 изображены четыре графа с 10 вершинами. Три из них изоморфны, а четвертый отличен о трех остальных. Какой из графов имеет особую струкТУРУ?)

Итак, задавая вопрос: «Сколько существует различных графов?», мы должны всякий раз указывать, что имеется в виду под словом «различные». Часто «различные» означает «неизоморфные», но такое толкование вовсе не обязательно — мы можем иметь в виду и нечто совсем иное.

Перечисление двоичных деревьев

Чтобы лучше прочувствовать, какого рода методы применяются при перечислении графов, рассмотрим более подробно одну очень простую задачу: займемся перечислением двоичных деревьев. Двоичное дерево — это прежде всего дерево с корнем (или корневое дерево). Под этим мы понимаем, что одна из его вершин, называемая корнем, каким-то образом выделена из остальных вершин. На диаграмме корень можно указывать, обводя его кружком (как на рис. 6), или изображать деревья так, чтобы корень был самой нижней вершиной. Из каждой вершины двоичного дерева выходят вверх (т. е. по направлению от корня) не более двух ребер: одно ребро идет направо» другое — налево. Если из вершин выходит только одно ребро, то оно может быть направлено влево или вправо. Эти две возможности считаются различными. Если из вершины не выходит ни одного ребра, то дерево не растет из этой вершины. Такая вершина называется концом (к°~ нечной вершиной) или листом дерева. На рис. 9 изображены все двоичные деревья с 4 вершинами. Заметим, что, поскольку различие между правым и левым (в силу определения двоичного дерева) существенно, все эти ревья различны. Если бы мы не отличали правое от левого, то первые два дерева (так же, как и многие 即У「】【е пары деревьев) на рис. 9 пришлось бы считать одинаковыми, поскольку они изоморфны.

Приступая к перечислению двоичных деревьев, метим, что из корня любого дерева, обладающего вершинами, выходят две ветви ——одна налево, АРУ'', направо. Их удобно назвать поддеревьями (соответст-

ренно правым и левым, как на рис. 10). Пусть Вп — число двоичных деревьев с п вершинами. Предположим, что нам известно, чему равны числа Въ В2,・• •, Вп. Чтобы

найти Вп+1, рассмотрим, каким образом можно было бы построить двоичные деревья с n+1 вершинами. Для этого нам понадобится выбрать два поддерева (одно правое и

Корень

Рис. 10

одно левое), насчитывающие вместе и вершин. Соединив их корни в одну новую вершину — корень нового дерева, мы получим дерево с п+1 вершинами. Сколькими способами это можно сделать? Если левое поддерево имеет / вершин, а правое г вершин, то свой выбор мы Можем произвести В，В「способами: каждому из Bt деревьев с I вершинами можно выбрать в пару любое из деревьев с г вершинами.

Повторяя это построение при различных I и г (напом-

ним, что l+r=n) и суммируя полученные результаты мы получаем число двоичных деревьев с п+1 вершина мн. Впрочем, постойте! Мы предположили, что из корня выходят непременно две ветви и, следовательно, всегда существуют ровно два поддерева. Но встречаются и деревья, у которых из корня выходит только одна ветвь К счастью, мы можем без труда избежать этой трудности с помощью простого трюка: если при подсчете деревьев нам встретится дерево, обладающее только одним поддеревом, то мы сделаем вид, будто оно имеет два поддерева: одно «настоящее», а другое «призрачное», не обладающее ни одной вершиной!

Эта уловка позволяет нам утверждать, что каждое двоичное дерево порождает ровно два поддерева. Так как существует ровно одно дерево-«призрак», мы полагаем 5о=1 и включаем 0 в число допустимых значений для / и г. Суммируя произведения В1ВГ по всем возможным парам значений / и г, мы получим число деревьев с 几+1 вершинами:

Bn+i=BG-Вп-{-В1 Bn_f+B2 &一2+…十8打一1 В^Вп В。

(1)

(эта формула позволяет нам вычислить Bn+lj если все числа 5о(=О), Bi…，Bn уже известны).

Читатель может проверить, что первые числа Вп нме- ют следующие значения:

«012345678910

Вп 1 1 2 5 14 421324291430486216796

Величины Вп известны как числа Каталана. Они возникают во многих комбинаторных задачах. Число Каталана Вп — это не только число двоичных деревьев с и вершинами, но и число способов разбиения п-угольни- ка на треугольники, попарного соединения 2п точек окружности непересекающимися хордами, правильной расстановки и пар скобок. Интересную статью о числах Каталана н их свойствах опубликовал Мартин Гардаер ? июньском номере журнала Scientific American за 1976 г.

Решение задач на перечисление принято ——и не без основания ——формулировать в терминах производят^

функций. Чтобы построить производящую функцию та кой последовательности, как числа Каталана {Вп}, не・ обходимо взять степенной ряд, у которого коэффициент при %" равен Вп. Таким образом, производящая функция 8(%) для чисел Каталана имеет вид

B(%)=Зo+Bl无+82/2 + Bз%3 + JB4尤4+….

Нетрудно видеть, что правая часть равенства (1) есть коэффициент при хп в разложении [З/Р % следователь、 но, совпадает с коэффициентом при 炉+】в разложении 力]В(х)]2. Левая же часть равенства (1) есть не что иное, как коэффициент при 犬“+工 в разложении В(х). Следовательно,

В(х)=1+х [笈(х)]2,(2)

где единица в правой части добавлена, чтобы учесть “е、 рево-«призрак», к которому неприменимо равенство (1).

Равенство (2) — это квадратное уравнение относителЬ' но неизвестной функции 6(х). Решая его, получаем

BN」—

Отсюда с помощью нескольких громоздких, но несложных алгебраических преобразований находим явное выражение для числа Ката晔на с произвольным номером:

А = (2 一■ 一(〃十1)!〃]

Соотношение (2) иллюстрирует традиционный метод, применяемый при счете деревьев. Отбросим корень ц приглядимся к тем деревьям, которые при этом получа* ются. Многое может случиться при отбрасывании корня, ибо много различных типов деревьев ожидают подсчетай Мы можем получить более двух деревьев (возможно, что число деревьев может даже быть переменным). Под^ Деревья могут быть упорядоченными (поскольку мы ввели различие между правым и левым) или неупорядоченны-

ми. Но каждое поддерево непременно имеет корень То« вершине, которой поддерево было «прикреплено» к ню большого дерева), и, если поддеревья принадлежат к тому же типу, что и исходное дерево, мы можем надеять*

ся вывести рекуррентную зависимость для числа деревьев с различным количеством вершин. Почти все подсчеты деревьев производились по этой схеме.

В частности, Кэли пересчитал так называемые «обычные» корневые деревья, в которых число ребер, выходя

щих из вершины, ничем не ограниченно и не придается значения порядку в расположении ребер и тому, как дерево изображено на плоскости. Кэли показал, что если Тп ——число обычных деревьев с 几 вершинами, то выпол

няется следующее весьма интересное соотношение:

7\% + T2产 + T3 炉+ • •.=

= х(1—工)-厶(1—x2)-r2(l—%3)-Тз....

Как н прежде, зная значения 7\ вплоть до некоторого п и подставляя их в правую часть этого соотношения, мы можем «извлечь» следующее число из формального ряда, стоящего в левой части соотношения.

Кэли сосчитал также некорневые деревья. Это более трудная задача, поскольку в ней нет корня, позволяющего разделить задачу на части н свести к задачам при меньших значениях п. Кэли нашел число различных химических соединений некоторых типов, открыв тем самым одну из немногих областей, в которых перечисление графов находит практическое применение. Структурные формулы этих соединений (насыщенных углеводородов, или парафинов, и некоторых их производных) по существу представляют собой деревья весьма специальных типов.

Перечисление графов

Для графов общего вида не существует такого простого соотношения между числом вершин и числом Ре* бер, какое характерно для деревьев. У графа с р верил, нами число ребер может принимать любые значения от ° (у «пустого» графа) до р(р—1)/2 (у «полного» графа, каждая вершина которого соединена с каждой из остальных). Применительно к графам разумно поэтому поставить вопрос: «Сколько существует различных графов с

「вершинами и q ребрами?», где ряд — заданные чис- ；а (причем естественно q<p(p一1)/2 — иначе ответом “дет число 0).

” Кэли не пытался решить эту задачу, а если бы он и предпринял такую попытку, то вряд ли она увенчалась 5bi успехом, так как в его время инструмента для реше- ння подобной задачи еще не существовало. Таким инструментом стала теорема, опубликованная Д. Пойа в 1938 г. [91, хотя неявно она содержалась в его более ранних работах. Теорема Пойа имеет фундаментальное значение для решения многих комбинаторных задач. И хотя здесь у нас нет возможности вдаваться в детали, мы хотим дать хотя бы общее представление о сфере ее применимости и пользе, которую она приносит при решении задач на перечисление графов.

Теорема Пойа

Многие комбинаторные задачи можно сформулировать как задачи о «р аскл адыван и и предметов по ящикам». Предположим, что у нас имеется несколько неотличимых ящиков, в каждый из которых можно положить один предмет (обычно называемый фигурой}. Пусть каждой фигуре поставлено в соответствие некоторое неотрицательное целое число — ее стоимость. Для каждого ящика существует набор фигур, одна из которых должна быть помещена в ящик. (Чаще всего выбор фигур для всех ящиков одинаков, но это не обязательно.) Поместив в каждый ящик по одной из предназначенных для него фигур, мы получим конфигурацию——набор ящиков, каждый из которых содержит по фигуре. Стоимость конфигурации по определению равна сумме стоимостей фн- гур, помещенных в ящики.

Прежде всего можно задать следующий вопрос: «Предположим, что мы располагаем всей информацией относительно того, какие фигуры могут быть помещены в тот или иной ящик. Сколькими способами можно создать конфигурацию, обладающую заданной стоимостью?» В качестве примера задач этого типа рассмотрим задачу о расстановке 21 свечи на прямоугольном пироге, нспе- венном по случаю дня рождения. Верхняя корка пирога Разделена на шесть участков так, как показано на рис. 11. Предполагается, что на каждом участке мы можем по-

местить любое число свечей и что несущественно г именно находится свеча в пределах каждого участ^ (важно лишь, сколько всего свечей находятся на упас； ке). В нашем примере фигура состоит из некоторого (возможно, нулевого) числа свечей. Стоимость фигуры считается равной числу свечей. Требуется определить число конфигураций, имеющих стоимость 21.

Рис. 11Рис. 11Оказывается, что решить эту задачу совсем нетрудно поэтому мы сразу же усложним ее. Предположим, что ящики не вполне отличимы, и поэтому некоторые конфигурации неотличимы друг от друга.

Рис. 11

Рис. 11

Например, если бы мы вместо прямоугольного праздничного пирога взяли круглый пирог, разделенный на шесть оди- наковых секторов, то две кон- фигурации, изображенные на

рис. 12 и 13, вряд ли было бы допустимо считать различными, так как при повороте на 60° по часовой стрелке одна из них переходит в другую. Две конфигурации, отличающиеся только тем, что одна повернута относительно другой, в рамках нашей задачи допустимо рассматривать как одну и ту же конфигурацию. В общем случае мы выбираем некоторое множество перестановок (образующих группу) и считаем две конфигурации, переходящие друг в друга под действием перестановок этого множества, одинаковыми, или экеивалентными. Поскольку нас интересует число различных конфигураций, мы должны найти число неэквивалентных конфигураций. Для круглого пирога группа состоит из перестановок секторов» соответствующих поворотам пирога на 60°. Заметим, что конфигурация свечей на изображенном на рис. 14 пироге отлична от тех, что показаны на рис. 12 и 13: как бы мы ни поворачивали последний пирог, он со своими свечами все равно будет выглядеть иначе, чем пироги на рис. 12 н 13.

Мы не будем подробно разбирать теорему Пой а и даже не станем формулировать ее. Заметим лишь, что она позволяет решать любую задачу на распределение фигур по ящикам. Если известно, какие фигуры могут быть помещены в ящики и их стоимость, и задана группа перестановок, позволяющая ответить на вопрос, вквпва-

лентны две конфигурации или неэквивалентны, то теорема Пойа позволяет решать задачу. Более того, теорема Пой а дает не один ответ, а ответы, поскольку позволяет получить производящую функцию для числа конфигураций при различных значениях стоимости.

Каким образом задачу о перечислении графов можно сформулировать как задачу о раскладке фигур по ящи- кам? Сделаем это следующим образом. Рассмотрим граф ср вершинами, занумерованными числами 1, 2, 3,.・•, р. Из р вершин можно выбрать р(р—1)/2 пар, каждая из которых может быть соединена или не соединена ребром. Будем рассматривать пары вершин как «ящики», в которые разрешается помещать только одну из двух фигур： фигуру «нет ребра» с нулевой стоимостью и фигуру «есть ребро» с единичной стоимостью. Распределение фигур по ящикам очевидным образом соответствует графу: вершины I и j соединены ребром, если ящик & /) содержит фигуру «есть ребро». Стоимость конфигурации (графа) равна числу ребер в нем. Однако построенный нами граф будет помеченным, так как каждая его вершина имеет специальную метку — число из множества {1, 2, . . ., р}. Это еще не совсем то, что нам требуется. Если два графа изоморфны, то мы не хотели бы считать их различными только потому, что их вершины перенумерованы по-раз- ному. Нам необходимо учесть, что не все вершины и, следовательно, не все пары вершин (ящики) различны. Любая перестановка номеров вершин автоматически порождает перестановку ящиков. Например, если мы изменим номера вершин / н 2 на 5 и 9, то ящик (/, 2) перейдет в ящик (5, 9) и т. д. Каждая перестановка вер- Юин порождает некоторую перестановку ящиков, а

множество перестановок ящиков образует группу, д0. пускаемую рассматриваемой задачей. Решение

нам дает теорема Пойа.

В 1955 г. Фрэнк Харари из Мичиганского университета, специалист по теории графов с мировой известностью, воспользовался этой схемой для перечисления графов. Производящая функция, дающая решение зада

чи, оказалась весьма сложной (чтобы не сказать устрашающе сложной). Тем не менее она позволяет находить число различных графов, в особенности если расчеты производить с помощью ЭВМ. Ч. А. Кинг н Э. М. Палмер получили полное число графов до р=24. Оказалось, что число неизоморфных графов с 24 вершинами выражается следующим сверхастрономическнм числом:

195 704 906 302 078 447 922 174 862 416 726 256004 122 075 267 063 365 754 368.

(Весьма полезная информация, не правда ли?)

Этим же методом удалось перечислить многие вариации обычных графов, из которых наиболее важными являются так называемые направленные графы, или диграфы (от англ, direct graph). От обычных графов диграфы отличаются тем, что каждое их ребро снабжено направлением (указанным стрелкой) и проходимо только в одну сторону (а иногда и в обе стороны, если на ребре сразу две стрелки). Типичный диграф изображен на рис. 15. Задача о перечислении диграфов отличается °т задачи о перечислении графов только второстепенными деталями, и теорема Пойа также позволяет получить ее решение. Задача о перечислении диграфов была решена

Харари в той же работе [5], в которой он решил задачу о перечислении графов.

Несмотря на всю силу теоремы Пойа, ей подвластна не любая задача на перечисление графов. Задачей, подрывающей веру во всесилие теоремы Пойа, может слу-

Рис. 16Рис. 17

/кить, например, задача о перечислении «самодополни- тельных» графов. «Дополнением» графа G по определению называется граф & обладающий теми же вершинами, что и граф G, и ребрами, которые соединяют две вершины графа G в том и только том случае, если эти вершины не соединены ребром в графе G. На рис. 16 изображен граф (сплошные линии) п его дополнение (прерывистые линии).

Рис. 18

наложенные на одно и то же множество вершин, чтобы показать, что суперпозиции графа и его дополнения образуют полный граф с максимальным числом ребер р(р—1)/2, возможным у графа с р вершинами.

Иногда дополнение графа изоморфно самому графу. Простейшим примером таких самодополнительных графов может служить граф с четырьмя вершинами и тремя ребрами, изображенными на рис. 17. При числе вершин.

равном 5, существуют два различных самодополнитель- ных графа, изображенных на рис. 18. Эти примеры сам» дополнительных графов с небольшим числом вершин были легко построены «методом проб и ошибок», но уже при восьми вершинах этот метод не позволяет надежно уста

(Задача 3・ Сколько(Задача 3・ Скольконовить число различных самодополнительных графов.

(Задача 3・ Сколько

(Задача 3・ Сколько

существует самодополнительных графов с шестью и семью вершинами?) Что нам действительно нужно, так это теоретически обоснованная формула для числа самодополнительных графов при любом значении р.

Решение этой задачи требует более мощных средств, чем теорема Пойа, поскольку здесь имеется дополнительная сложность： граф и его дополнение отличаются тем, что при переходе от одно

го к другому мы заменяем каждую фигуру«нет ребра» фигурой «есть ребро》и наоборот. Таким образом мы приходим к общей задаче нового типа, в которой для выяснения эквивалентности конфигураций разрешается производить не только перестановки ящиков но и перестановки фигур. Таким образом, возникают две группы перестановок (одна для ящиков и одна для фигур), что существенно усложняет задачу. Метод решения этого более общего типа задачи был впервые предложен голландским математиком Н. Г. де Брейном [11 в 1959 г. незадолго до того, как было получено перечисление самодополнительных графов [10]. Дополнение диграфа определяется по аналогии с дополнением соответствующего графа. На рис. 19 изображен диграф, изоморфный своему дополнению. Перечисление таких самодополнительных диграфов было получено одновременно с перечислением самодополнительных графов.

Выяснилась одна весьма любопытная подробность： число самодополнительных диграфов при четном числе вершин всегда совпадает с числом самодополнительных графов при удвоенном числе вершин! Столь простая зависимость не может быть случайной —— она наводит на мысль (разумеется, на эвристическом уровне, н0 трудно усомниться в ее правильности!) о том, что между

графами и диграфами существует какая-то простая связь. .Должен же существовать какой-то простой способ, позволяющий увидеть, что рассматриваемые числа совпадают, и понять, почему так происходит. Возможно, что такой способ действительно будет найден, но пока он, увы, неизвестен.

Со временем были доказаны и более сильные теоремы перечисления, обобщающие теоремы Пойа и де Брейна или прокладывающие путь в совершенно других направлениях. К числу наиболее важных обобщений принадлежит «теорема перечисления степенной группы» Харари и Палмера, слишком сложная для того, чтобы приводить ее здесь. Более подробные сведения по всем затронутым нами вопросам читатель может почерпнуть в книге «Перечисление графов» Харари и Палмера [71 — наиболее полному руководству по этому разделу теории графов.

Странный случай, происшедший с Дж. Г. Редфилдом

Нельзя не рассказать об одном необычном действующем лице, появившемся на сцене перечисления графов. Правильнее было бы сказать «вновь появившемся» — впрочем, не будем забегать вперед, расскажем все по порядку... В начале 60-х годов Фрэнк Харари обратил внимание своих коллег, занимавшихся перечислением графов» на замечательную работу [11], о которой ему сообщил один из его студентов. Называлась она «Теория распределений для разложения группы» и была опубликована в 1927 г. никому не известным математиком Дж. Г. Редфилдом. Харари обнаружил (а остальные математики, занимавшиеся перечислением графов, к величайшему своему удивлению, убедились, что он не ошибся) в статье Редфилда теорему, эквивалентную теореме Пойа. Редфилд решил (по крайней мере отчасти, хотя было ясно, что при желанииjoh мог продвинуться дальше) задачу о перечислении графов, предвосхитив целую серию других «последних достижений» в области перечисления графов, и увенчал свою работу доказательством новой мощной теоремы. Я хорошо помню «повторное открытие» работы Редфилда, так как один из его результатов (о перечислении графов, получаемых при суперпозиции нескольких графов на одном и том же множестве

вершин) предвосхитил теорему, бывшую краеугольным камнем защищенной мною за несколько лет до того докторской диссертации! На протяжении примерно тридцати лет математики, занимавшиеся перечислением графов, ценой огромных усилий решали задачи и доказывали теоремы, о которых давно знал и писал еще в 1927 г. Редфилд! И все же его статья осталась незамеченной. Как такое могло случиться?

Опубликована она была не в каком-то завалящем журнальчике — American Journal of Mathematics, в котором появилась статья Редфилда,— это широко известный математический журнал с солидной репутацией. Возможно, что недоставало некоторых факторов, которые обычно привлекают внимание к публикации. Редфилд не был известным автором. Его статья была единственной опубликованной им математической работой. Название статьи не давало ни малейшего представления о ее содержании, а избранные им весьма необычные обозначения не позволяли установить, о чем идет речь. Сыграло свою роль и то, что для идей Редфилда «время еще не наступило».

Редфилд не был профессиональным математиком —— он работал в области лингвистики. Тем не менее его единственная математическая работа была подлинным шедевром, и будь она признана по достоинству раньше, весь ход развития теории перечисления графов несомненно был бы совсем иным. После того как работа Редфилда — наконец-то! — была замечена специалистами, она послужила стимулом для ряда новых достижений. Так, Р. У. Робинсон из университета в Ньюкасле (Австралия), восприняв и развив некоторые идеи Редфилда, сумел решить некоторые проблемы, ранее считавшиеся неразрешимыми.

Перечисление плоских графов

Как мы уже знаем, плоским называется граф, который можно начертить на плоскости так, чтобы его ребра не пересекались во внутренних точках. Рассмотрим несколько задач на перечисление плоских графов. Вполне естественно спросить: «Сколько существует плоских графов с р вершинами и q ребрами?», и ответить на этот вопрос не слишком трудно. Рассмотрим «кубические плоские графы» (кубическими мы называем плоские графы»

у которых в каждой вершине сходятся ровно по три ребра). У кубического графа число р вершин связано с числом q ребер соотношением 2д=3р. (Задача 4. Почему?) Поэтому порядок графа (число вершин; оно здесь должно быть четным) является единственным параметром. Л1ожно было бы ожидать, что это обстоятельство облегчит решение задачи перечисления, но, к сожалению, она остается столь же трудной. Такое положение характерно для плоских графов. Задачи на перечисление плоских графов обычно отличаются чрезвычайной сложностью, однако обычно, когда задача допускает решение, ее оказывается проще решить для графов общего вида.

В этом мы можем убедиться, если несколько сузим нашу задачу и поставим вопрос так: «Сколько существует плоских кубических графов с фиксированным гамильтоновым циклом?» [Гамильтонов цикл графа (своего рода «кругосветное путешествие») —— это цикл» который проходит через все вершины графа.] Под «фиксированным» гамильтоновым циклом мы понимаем цикл, начерченный раз и навсегда на плоскости. Изменять свое положение могут только остальные ребра. Они-то и «достраивают» гамильтонов цикл до тех графов, которые подлежат перечислению. Таким образом, мы рассматриваем объекты, аналогичные графу, изображенному на рис. 20. Ребра, •не принадлежащие гамильтонову циклу, изображены прерывистыми линиями. Они расположены либо целиком внутри, либо целиком снаружи гамильтонова цикла, так как если бы они пересекались с никлом в какой-

нибудь внутренней точке, то граф не был бы плоским Кроме того, в каждой вершине заканчивается ровно одно ребро, проведенное сплошной линией. Следовательно задачу перечисления графов е фиксированным гамильтоновым циклом можно было сформулировать и так- «Пусть задан многоугольник с 2〃 вершинами. Сколькими способами можно соединить попарно некоторые его вершины непересекающимися хордами, лежащими внутри многоугольника, а остальные вершины соединить попарь но непересекающимися «хордами» (за неимением лучшего термина воспользуемся тем, который существует), лежащими вне многоугольника?»

Наиболее изящное решение этой задачи было предложено У. Т. Таттом, заслуженным профессором университета Ватерлоо, интенсивно изучавшим плоские графы и внесшим немалый вклад в их перечисление. Рассмотрим кратко полученный Таттом результат и его доказательство (подробности см. в [121).

Прежде всего заметим, что задача несколько упростилась бы, если бы все хорды лежали внутри многоугольника: мы получили бы одну из многих задач, ответ которых дается, как уже упоминалось, последовательностью чисел Каталана. Например, если мы условимся, что 2r вершины служат концами «внутренних» хорд, то число способов, которыми можно попарно соединить эти вершины, выражается числом Каталана

(2「)！

-!(-十 1)!.

Аналогичный результат справедлив для остальных 2s вершин (напомним, что r+s=〃)и «внешних» хорд.

Поскольку любой вариант расстановки внутренних хорд может сочетаться с любым вариантом расстановки внешних хорд, мы берем произведение соответствующих чисел Каталана. Это произведение необходимо умножить на число способов, которыми можно выбрать два множества вершин. Но это число равно числу способов, которыми можно отобрать 2r вершин первого множества из общего числа 2几 вершин, т. е. совпадает с биномиальным коэффи циентом

М —(2〃)！

_(2г)! (2$)!.

Суммируя произведения при различных значениях г и s, мы получим

V (2—⑵)！(2s)!

乙 (2г)! (2s)!・ /Т(「+!р ・ s! (s十 1)， r+s=n

т. e. величину

V伽)！

乙 г! (r + l)!s! (s+l)f

r+s—n

После несложных преобразований это выражение приводится к окончательному — притом достаточно простому —виду:

(2п)! (2л+ 2)!

-Пт 十 I)：2 m 十 I〉—

Именно этой формулой и определяется число интересующих нас графов.

При 几=2 это выражение принимает значение равное 10. Может показаться странным, что существует так много разновидностей графов, обладающих только 4 верцш- уамм, но из рис. 21 видно, почему так происходит. Га-

и □

Мильтонов цикл имеет форму квадрата. Поскольку поворачивать его не разрешается, графы 1 и 2 считаются раз- личными. Кроме того, хотя графы 3 и 5 изоморфны (даже с учетом ребер различного рода), они также считаются различными, так как по-разному начерчены на плоскости.

Заметим, что между двумя вершинами мы разрешаем проводить два ребра. Такие «двойные ребра» иногда вполне допустимы, иногда запрещены в зависимости от характера решаемой задачи. В нашем случае более разумно было бы считать, что двойные ребра недопустимы,— но

стоит лишь принять такой запрет, как мы немедленно столкнемся с примером «капризности» задач перечисления: незначительное, казалось бы, изменение условий задачи приводит к резкому усложнению. Задача перечисления, в которой двойные ребра заранее исключаются насколько мне известно, пока еще не решена.

В теории перечисления графов существует много нерешенных проблем. Одни из них находятся у самых пределов возможного, и кажется, недостает лишь какого-то трюка или соответствующего обобщения существующих теорем и методов, чтобы сломить их «сопротивление». Другие проявляют все признаки упорного сопротивления и успешно противостоят самым изощренным попыткам решить их. И те, и другие бросают вызов изобретательности математиков и сулят многие часы чистой радости тем, кто любит такого рода занятия!

Решения

Задача 1. Число ребер в деревьях на единицу меньше числа вершин.

Дерево мы можем начертить, начав с одной вершины и добавляя по одному ребру так, чтобы каждое новое ребро соединяло новую вершину со старой. С каждым шагом мы увеличиваем число вершин и число ребер на единицу. Следовательно, поскольку утверждение задачи было верно, когда мы начали строить дерево (число ребер было равно нулю, а число вершин — единице), оно останется в силе, когда мы достроим дерево до конца.

Задача 2. Графы на рис. 8.

Неизоморфен трем остальным граф (б). Изоморфизм графов (а), (б) и (?) станет ясен, если вершины перенумеровать так, как показано на рис. 22. Граф (б) содерлспг

четырехвершинный цикл A BCD, в то время как остальные графы содержат не менее чем пятивершинные циклы. Эго показывает, что граф(8)не может быть таким же, как три остальных графа.

Задача 3. Самодополнительные графы с 6 или 7 вершинами.

Такие графы не существуют. Граф и его дополнение вместе образуют так называемый полный граф, содержащий все 〃(〃——1)/2 ребер. Кроме того, так как самодопол- нительный граф и его дополнение изоморфны, каждый из них имеет одинаковое число ребер. Следовательно, 『(〃- 1)/2 должно быть четным числом, что неверно при 〃=6 или 〃=7. В общем случае самодополнительные графы могут существовать только в том случае, если р(р——1),4——целое число, а это возможно, только когда р при делении на 4 дает остаток 0 или 1.

Задача 4. Соотношение2q=3p для кубических графов.

Так как каждое ребро имеет 2 «конца», весь граф содержит 2g концов. Но каждой вершине отвечают по 3 конца — откуда и следует требуемое соотношение.

de Bruijn, N. G. Generalization of P61ya*s fundamental theorem in enum era five combinatorial analysis. Indag. Math. 21: 59—69.

Caley, A. 1857. On the theory of analytical forms called trees. Phil. Mag. 13: 172—176.

Caley, A. 1874. On the mathematical theory of isomers. Phil. Mog. 47: 444—446.

Caley, A. 1875. On the analytical forms called trees, with applications to the theory of chemical compounds. Rep. Brit. /ss. 257— 305.

Harary, F. 1955. The number of linear, directed, rooted and com nected graphs. Trons. Amer. Math. Soc. 78: 445—463.

Harary, F. 1969. Graph Theory. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley; Харари Ф. Теория графов.— М.. Мир, 1973.

Н ar ary, F. and Palmer, E. M. 1973. Graphical enumeration.

New York: Academic Press; Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов.— М.: Мир, 1977.

King, С. A. and Palmer, Е. М. Calculation of the number of graphs of order p 1(1)24 (не опубликовано).

Polya, G. 1937. Kombinatorische Anzahlbestimmungen fiir Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen. Acta Math. 68: 145—254.

Read, R. C. 1963. On the number of self-complementary graphs and digraphs. J. London Math. Soc. 38: 99—104.

Redfieid, J. H. 1927. The theory of group-reduced distributions. Amer. J. Math. 49: 433—455.

Tutte, W. T. 1976. Hamiltonian circuits. Colloquio Internazionale sulle Teorie Combinatore. Atti de Convegni Lincei. 17: 194—199.

Коды, исправляющие ошибки,и криптография

〃・ Дж. А. Слоун

Эта статья задумана как введение в теорию кодирования и криптографию, бурно развивающиеся на протяжении последних десятилетий. Увлекательная книга Дэвида Кана [29] вышла в свет в 1967 г., к сожалению, не- задолго до того, как фирма ИБМ сообщила о разработанной ее сотрудниками схеме кодирования «Люцифер» [11, 20, 51] и тем самым стимулировала развитие событий, о которых я хочу рассказать.

Математические статьи по криптографии, опубликованные до 1967 г., на редкость скучны и невыразительны (поговаривают, что им умышленно придавали малопривлекательную форму, дабы не поощрять интерес к этой тематике). Надеюсь, что к концу статьи читатель согласится с точкой зрения автора и признает последние достижения в этой области захватывающе интересными. Мне кажется, что наиболее яркие идеи в теории информации на протяжении вот уже долгого времени появлялись именно в связи с разработкой систем кодирования (поскольку большинство достижений в этой области принадлежит другим авторам, мне нет необходимости как- то оправдывать свой энтузиазм). Чтобы не загромождать текст превосходными степенями, позволю себе заявить, что многое из того, о чем пойдет речь в моей статье, почерпнуто из шести классических, глубоких по содержанию и блестящих по форме работ, принадлежащих Шеннону (1949, 149]), Файстелю, Нотцу и Смиту (1975, П31), Винеру (1975, [56]), Диффи и Хеллману (1976, [5]), Ра* весту, Шамиру и Адельману (1978, 144]), Меркле и Хеллману (1978, [38]).

Моя статья не содержит новых результатов, кроме, быть может, моей собственной оценки того, что уже известно. Однако я намерен хотя бы бегло упомянуть о столь различных типах схем кодирования, что для боль-

ргинства читателей по крайней мере некоторые из них неизвестны.

Мне хотелось бы особенно подчеркнуть, что я «вольный криптолог» и никогда не имел и не имею дела с засекреченными работами в этой области. К сожалению, те нз читателей, которые должны хранить профессиональную тайну, не смогут поправить меня, если я в чем-то допущу ошибку. Все схемы кодирования, о которых

Передать 0 или 1Передать 0 или 1Принять 0 или 1Принять 0 или 1

Передать 0 или 1

Передать 0 или 1

Принять 0 или 1

Принять 0 или 1

ШумРис. 1ШумРис. 1Рис. 2. Двоичный симметричный канал. Если на одном конце линии связи передан нуль, то в 99 случаях из 100 на другом конце будет принят нуль, но в 1 случае из 100 на другом конце линии ошибочно принимают единицу (аналогичная ситуация, возникает и при передаче единицы). Счедовательно, вероятность ошибки для этого качала связи равна 1/100.Рис. 2. Двоичный симметричный канал. Если на одном конце линии связи передан нуль, то в 99 случаях из 100 на другом конце будет принят нуль, но в 1 случае из 100 на другом конце линии ошибочно принимают единицу (аналогичная ситуация, возникает и при передаче единицы). Счедовательно, вероятность ошибки для этого качала связи равна 1/100.

Шум

Рис. 1

Шум

Рис. 1

Рис. 2. Двоичный симметричный канал. Если на одном конце линии связи передан нуль, то в 99 случаях из 100 на другом конце будет принят нуль, но в 1 случае из 100 на другом конце линии ошибочно принимают единицу (аналогичная ситуация, возникает и при передаче единицы). Счедовательно, вероятность ошибки для этого качала связи равна 1/100.

Рис. 2. Двоичный симметричный канал. Если на одном конце линии связи передан нуль, то в 99 случаях из 100 на другом конце будет принят нуль, но в 1 случае из 100 на другом конце линии ошибочно принимают единицу (аналогичная ситуация, возникает и при передаче единицы). Счедовательно, вероятность ошибки для этого качала связи равна 1/100.

пойдет речь в моей статье, опубликованы в открытой печати. Тем не менее все оценки и мнения, приведенные здесь, принадлежат мне, а не авторам, на работы которых я ссылаюсь, и не фирме «Белл телефон систем».

Статья состоит из пяти разделов. Все они посвящены единой теме —— проблеме передачи информации по линии связи (рис. 1). Предположим, что мы можем передавать по линии связи точки и тире или, если воспользоваться математическим языком, нули и единицы. Если мы передаем нуль, то на дальнем конце линии связи обычно принимают нуль, но иногда (из-за помех, ошибок, шума) принимают н единицу. Наоборот, если на ближнем конце линии связи передана единица, то на дальнем конце обычно принимают единицу н в более редких случаях нуль. Такую линию связи иногда называют двоичные симметричным каналом связи н изображают схематически так, как показано на рис. 2.

Данные, которые требуется передать по линии свя л предварительно записываются (возможно, выдаются ЭВМ) в виде последовательности нулей и единиц. Проблема состоит в следующем:

ПЕРЕДАТЬ ПО ЛИНИИ СВЯЗИ КАК МОЖНО БОЛЬШЕ ИНФОРМАЦИИ, ПРИЧЕМ СДЕЛАТЬ ЭТО ВОЗМОЖНО БЫСТРЕЕ И НАДЕЖНЕЕ, ЗАЩИТИВ ИНФОРМАЦИЮ ОТ ПЕРЕХВАТА.

I Коды, исправляющие

Б Канги с подслушиЕаюшнм устройством

V Криптосистема

с обпестксикым ключом(~)Ключ

Без клк ча(

Рис. 3. Пять различных систем связи, рассмотренных в нашей стат’

Я опишу пять различных типов решения этой проб- лемы во все более сложных условиях (рис. 3). В перв, разделе мы рассмотрим канал, изображенный на рис.

Он использует коды, исправляющие ошибки. В следующем разделе мы рассмотрим такой же канал с шумом и с отходящей от него подозрительной второй линией связи (см・ также далее рис. 10): к нашему каналу на этот раз подключено подслушивающее устройство! Сначала мы будем предполагать, что тот, кто подслушивает, работает с плохим оборудованием, и покажем, каким образом его можно легко перехитрить. В третьем разделе мн рассмотрим случай, когда против нас действует лицо, располагающее самой совершенной аппаратурой. Именно из таких условий исходит традиционная криптография, использующая секретный код, известный отправителю и принимающему сообщение, но не известный «плохому мальчику». Четвертый раздел посвящен рассмотрению чрезвычайной ситуации: наше сообщение попадает в руки «плохого мальчика», который передает его за нас. Несмотря на бсю сложность положения, мы можем выйти из него победителями. Заключительная часть посвящена описанию так называемых криптосистем с общественным ключом, представляющих собой модификации схемы, которую мы рассматриваем в третьем разделе. Во всех случаях нам удается одержать верх над «плохим мальчиком» и передать сообщения, не дав ему понять (или исказить) их.

Коды, исправляющие ошибки

Проблема состоит в том, чтобы передать информацию по каналу, изображенному на рис. 1 и 2, как можно быстрее и надежнее. Решение, предлагаемое специалистами по теории кодирования, состоит в том, чтобы передавать по каналу связи не произвольные последовательности нулей и единиц, а только последовательности спецналь- ного вида, называемые кодовыми словами. Список всех допустимых кодовых слов называется кодом. Он известен отправителю сообщений и их получателю, которые сотрудничают между собой, чтобы исключить ошибки, могущие возникнуть при передаче сообщения.

Сообщения представлены кодовыми словами. Всякий раз, когда требуется послать то или иное сообщение, по каналу связи передается соответствующее кодовое слово. Получатель принимает некий (возможно, искаженный) вариант кодового слова, и декодирующее устройство

должно определить, какое кодовое слово было послано 卜 тем самым восстановить переданное сообщение. На рнс' 4 показан простой пример кода: имеются всего два ко/5 вых слова 00000 и 11111 длиной 5, соответствующих например, сообщениям «да» и «нет». Предположим, что передано «да». Ему соответствует кодовое слово 00000

Сообщение Кодовое слово

Рис. 4. Простой код с исправлением ошибок, состоящий из двух кодовых слов 00000 и 11111. Принятая последовательность 01000 правильно декодирована как сообщение «да .

которое (из-за шума) принято как 01000. Декодирующее устройство учитывает малую вероятность ошибок (см. рис. 2) и поэтому решает, что было передано кодовое слово 00000, соответствующее сообщению «да». В общем случае декодирующее устройство выбирает кодовое слово, в каком-то смысле «наиболее близкое» к принятой п ос ледов ател ьности нулей и единиц.

Сказанному можно придать точный смысл, если ввести понятие расстояния между двумя последовательностями сигналов. Расстоянием Хэмминга 夕х(〃，^) между двумя последовательностями 〃=(〃「w2,..., 〃门) и t =(心,。2,・•，v«) длиной и называется число мест, в которых они различаются. Например,

Рх(0Ю000, 00000)=1,Рх(01000, 11111)=4.

Введя расстояние Хэмминга, мы получаем возмотк- ность дать тому, кто занимается декодированием, более точные инструкции: принятую последовательность нулей н единиц следует декодировать как ближайшее к ней (в смысле расстояния Хэмминга) кодовое слово. Именно оно с наибольшей вероятностью совпадает с переданным кодовым словом. Эта процедура изображена на рис. 4. Мн видим, что декодирующее устройство смогло исправить одну ошибку. В действительности такой код позволяет исправить любые две ошибки. Например,

если передана последовательность 00000, а принята последовательность 01100 (с ошибками во втором и третьем знаках), то последовательность 01100 все же ближе к истинному кодовому слову, чем к последовательности 11111. В то же время ясно, что такой код не может исправить три ошибки (приняв последовательность 11100, мы декодировали бы ее неправильно как 11111). Таким образом, рассматриваемый нами код позволяет исправить а。более двух ошибок.

Причина этого вполне понятна: расстояние Хэмминга между самими кодовыми словами равно 5. Как показы

оооо 0 0 11 0 10 1 10 0 1 0 110 10 10 110 0оооо 0 0 11 0 10 1 10 0 1 0 110 10 10 110 0вают те же рассуждения, для любого кода наиболее существенным параметром является минимальное расстояние Хэмминга между кодовыми словами

оооо 0 0 11 0 10 1 10 0 1 0 110 10 10 110 0

оооо 0 0 11 0 10 1 10 0 1 0 110 10 10 110 0

d = min 厶(п, V), U # V

Рис. 5. Код £4» состоящийиз восьми «векторов' дли-ны 4, каждый из которыхсодержит четное числоединиц.Рис. 5. Код £4» состоящийиз восьми «векторов' дли-ны 4, каждый из которыхсодержит четное числоединиц.где минимум берется по всем парам различных кодовых слов и и и. Действительно, если число ошибок не превышает е =l(d——1)/2], то принятый «век- тор» (последовательность сигналов ——«координат» вектора) ближе к истинному кодовому слову, чем к любому другому, и декоди

Рис. 5. Код £4» состоящийиз восьми «векторов' дли-ны 4, каждый из которыхсодержит четное числоединиц.

Рис. 5. Код £4» состоящийиз восьми «векторов' дли-ны 4, каждый из которыхсодержит четное числоединиц.

рующее устройство выдает правильное сообщение (1x1 означает наибольшее целое число, не превосходящее 尤).

Резюмируя, можно утверждать, что код с минимальным расстоянием d между кодовыми словами есть код, исправляющий е 【(d—1), 2] ошибок. Так возникает задача поиска кодов с большим d (исправляющих много ошибок) и малой длиной слов / (чтобы время передачи сообщении не было велико).

Следующие примеры кодов представляют больший интерес, чем примитивный код, изображенный на рис. 4:

Код Еп с четным весом, состоящий из всех двоичных слов длиной 〃. каждое из которых содержит четное число единиц (мы будем говорить, что эти слова имеют четный sec). На рис. 5 изображен код £4. Код Еп содержит 2п~х кодовых слов; минимальное расстояние между

кодовыми словами равно(1^ 2. Пользоваться w^.^ для исправления ошибок нецелесообразно, хотя 《卄】」 обнаруживает единичную ошибку. С этим кодом мы встретимся в разд. 2.

Код Хэмминга длиной 7. Один из многих ксасв допускающих геометрическое построение. Проектиеи；

Рис. 6. Проективная плоскость порядка 2. Содержит семь течек, перенумерованных цифрами от 1 до 7, и семь прямых (одна из 叮― изображена в виде окружности). Каждая прямая проходит и± ре，три точки, а каждая тс :ка принадлежит трем прямым.

/I носкостью порядка р (геометрический объект, с которым мы познакомимся в разд. 4) называется набор из р2+ +р+1 точек и р2+р+1 прямых, расположенных так, что каждая прямая проходит через р+1 точек и каждая точка принадлежит 〃+1 прямым; при этом через каждые две точки проходит единственная прямая н каждые две прямые пересекаются в единственной точке. На рис. 6 изображена проективная плоскость порядка 2.

Чтобы описать проективную плоскость, вовсе не пу^- но прибегать к чертежу. Достаточно указать, Кс-кие точки принадлежат каждой прямой (что можно сделать и по телефону). Например, на рис. 6 изображены пря- мые 1, 2, 4; 2, 3, 5; 3, 4, 6; 4, 5, 7; 1, 5, 6; 2, 6, 7; 1,3,7 Ту же конфигурацию мы могли бы описать матрицей, строки которой соответствуют прямым, а столбцы 一 точкам (рис. 7).

Код Хэмминга, который мы хотим построить, состоит из дополнений к строкам этой матрицы (получаемых при замене нулей единицами и единиц нулями) и нулевого кодового слова. Этот код изображен на рис. 8. Ми-

「шальное расстояние между кодовыми слова ми .公есь с сгавляет d 4. Код исправляет любую единичную (н【н6ку (и обнаруживает двойную ошибку).

Все описываемые hzuu коды обладают о」ннм особым гг яством, облегчающим их кодирование it декодирова- ■二а: они линейны. Это означает, что покомпонентная сум- ■а двух слов, взятая по mod 2 (т. е. такая, что сумма I十 1

12 3 4 5 6 7

0 0 0 0 9 9 0

0 0 1 0 1 I 1

10 9 10 1 1

I 10 0,01

Е 1 1 0 0 1 0

0 1110 0 1

10 1110 0

0 10 1119

II0 1О0 0

0I1010 0

0011010

000 110 1

100 0110

010 001 1

101 000 1

Гис. и ед трое* изобр В час матр】 сущее КОДЯ1

7. Матрица из и ул иниц, описывающг :тивную плоскост аженную на рис. тности, перваястро» тцы показывает, ч гтвует прямая, пр цая через точки 1, и 4.

shРис. 8. Код Жмммнга дли-

мяной 7, содержащий восемь

ь,кодовых слов, помимо ну-

6.левого кодового слова со-

<адержит дополнения к стр(-

шкам мптрнцн. изэбражен-

о-ной иа рис 7.

о

понимается равной 0), всегда совпадает с одним из кодо- 1>ых слов. Например, взяв сумму по mod 2 второго и третьего кодовых слов, представленных на рис. 5, мы получим ОНО. Эта последовательность, разумеется, та;:- л<е является кодовым словом.

Линейный код можно однозначно задать, указав для него так называемую проверочную матрицу (】ля проверки на четность). Так называется матрица Н, обладающая следующим свойством: вектор 〃 (〃丄,...,〃门)принадлежит коду в том к только том случае, если

№/г^0 (mod 2),

где Т — операция транспонирования. Чтобы объяснить, какое отношение матрица Н имеет к проверке на четность, нам потребовалось бы слишком длинное отступление (см. [35], гл. 1). Для кода, приведенного на рис. 5, проверочная матрица имеет вид

[ШИ,

так как вектор (必，w2, %, 〃J принадлежит коду в том п только том случае, если

〃1+〃2+〃з+〃『。(mod 2).

Для кода, изображенного на рис. 8, в качестве проверочной можно было бы выбрать матрицу

1

0

1

0

0 0一

0

1

1

0

1

0 0

0

0

1

i

0

1 0

_0

0

0

i

1

0 1_

В ЗО-е годы и несколько позже теория кодов с исправлением ошибок по существу представляла собой огромное число удачно подобранных примеров. Ныне это обширная теория. Ф. Дж. Л1ак-Вильямс и я посвятили теории кодов с исправлением ошибок весьма объемистую книгу [35]. Мноте из кодов задаются хитроумно выбранной проверочной матрицей. Особенно мощное семейство образуют коды Г on па. К сожалению, для их описания требуются некоторые познания в теории конечных нолей; поэтому те, кто этими познаниями не обладает, могут при чтении опустить конец этого раздела.

Коды Гоппа длиной 几二 2‘". Выберем неприводимый многочлен G(z) степени f над полем Галуа 6尸(2所)порядка 2m (поле с 2m элементами). Построим проверочную матрицу

Г 1 1 п

G (ai) ' * G (a„) 网%H= G(aJ …G(a〃)G (ai) ' * G (a„) 网%H= G(aJ …G(a〃)/ 畐)G(%j_/ 畐)G(%j_(1)(1)

G (ai) ' * G (a„) 网%

H= G(aJ …G(a〃)

G (ai) ' * G (a„) 网%

H= G(aJ …G(a〃)

/ 畐)G(%j_

/ 畐)G(%j_

(1)

(1)

где «1, а2, . . ., «п — элементы поля Галуа 6尸(2'3). Все кодовые слова имеют вид двоичных векторов “，таких, что Нит=0. Свойства такого кода представлены на рис. 9.

Свойства кода Гоппа

Длина 北一2m

Число кодовых слов не меньше М-Е

Минимальное расстояние d》2f+l Код с исправлением t ошибок

Рис. 9

Коды Гоппа (такие, как ко。Боуза — Чоудхури — Хиквингема, код Рида ——Мюллера н другие не упоминавшиеся нами коды) обладают эффективным алгоритмом декодирования, т. е. существует алгебраический метод, позволяющий по принятой последовательности нулей и единиц находить ближайшее кодовое слово. Для боль- тннства кодов эффективный алгоритм декодирования заведомо отсутствует. Именно несуществование такого алгоритма положено в основу криптосистем с общественным ключом, описанных в разд. 5д. Дальнейшие све- д^ния о кодах с исправлением ошибок читатель сможет найти в [35].

Канал связи с подслушивающим устройством

Вместо канала связи, изображенного на рис. 1, рас- 4итрим теперь канал связи, изображенный на рис. 10.

Передать 0 или 1HI умПринять 0 или 1

Рис. 10. Линия связи с подслушивающим устройством.

Вторая линия связи ведет к «плохому мальчику», который подслушивает все, о чем говорят по первой линии связи. Наша задача изменяется: теперь мы должны не

только по возможности быстро и надежно nepi дать ц0 каналу связи сообщение, но и свести до минимума то, ч.о может понять «плохой мальчика.

В этом разделе мы рассмотрим случай, когда поде л v- шивающий вынужден пользоваться несовершенной аппа>

Рис. 11. Простейший вариант канала связи с подслушивающи** устройством. В основном канале связи шума нет. Канал связи, ведуний к подслушивающему устройству, работает как двоичный симуетр ый канал (см. рис. 2) с рероятностью ошибки р0.

р ату рой. Иначе говоря, мы предполагаем, что и канал связи, ведущий от основной линии связи к подслушивающей аппаратуре («плохой мальчик» подслушивает по двоичному симметричному каналу связи, аналогичному тому, который изображен на рис. 2), есть линия связи с помехами (шумами). Основной работой по кругу вопросов, рассматриваемых нами в этом разделе, служит статья Уинера 1561. (См. также [1, 31, 32, 551.) Простейший случай, когда в основном канале связи нет шума, схематически изображен на рис. 11.

Существует изящное и удивительно простое решение наскй проблемы. Основная идея этого решения заключается в следующем:

ЗАКОДИРОВАТЬ НУЛЬ ДЛИННОЙ СЛУЧАЙНО ВЫБРАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ С ЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ.

ЗАКОДИРОВАТЬ ЕДИНИЦУ ДЛИННОЙ СЛУЧАЙНО ВЫБРАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ.

Последовательность следует выбрать достаточно длинной с тем, чтобы помехи в канале, ведущем к подслушивающему устройству, с ненулевой вероятностью приводили к появлению нескольких ошибок. Например, нуль можно было бы закодировать последовательностыо

У-101110100000011111010100

(последовательность длиной 24, содержащая четное число единиц), но к тому времени, когда эта последовательность достигнет подслушивающего устройства, она может превратиться в последовательность

Z= 100110100110011111010100.

Х< тя тот, кто подслушивает, знает и правило, по кото- р 爪iy производится декодирование (но, разумеется, ос- I ается в неведении относительно того, какая последова- —льность У выбрана), он не сможет восстановить переданное сообщение. Твердо зная, что Z — искаженный вариант поеледовательности У, «плохой мальчик» не > -ложет узнать, какое число нулей (четное или нечетное) содержала последовательность У.

С другой стороны, законный получатель сообщения ,рнннмает последовательность У такой, какой она была передана,—— и ему остается только сосчитать, четно или нечетно число единиц в У. Это он может сделать, составив сумму (по mod 2) всех битов (т. е. двоичных знаков), ЕЛОДЯЩНХ В У.

Идея, что и говорить, остроумная — но не лишена едного бросающегося в глаза недостатка: передача информации осуществляется чрезвычайно медленно. Действительно, скорость передачи информации по каналу почти равна нулю, так как, чтобы сообщить получателю один бит информации, нам приходится передавать всю последовательность У.

Впрочем, этот недостаток легко исправить, но сначала позвольте мне привести еще одно описание нашей схемы. Пусть Fn означает множество всех двоичных векторов длиной 〃. Разделим Fn на два подмножества: подмножество Еп (см. разд. 1), состоящее из всех векторов с четным числом единпн, и множествэ остальных векторов (обозначим его QJ содержащих нечетное число единиц:

Полезно воспользоваться языком теории групп. Действительно, Fn есть группа (относительно покомпонентного сложения), £п — ее подгруппа (напомним, что речь идет о линейном коде), a Dn ——смежный класс группы 尸 по подгруппе £п, так как

"=100-.0+马.

Соотношение (2) можно рассматривать как своего ро. иллюстрацию общего принципа, согласно которому гр)“ пу всегда можно разложить в теореиiко-множественную сумму смежных классов. Наша схема кодирования сводится к следующему. Производим разложение 尸〃 = £nUDn・ Чтобы передать нуль, посылаем случайный вектор, принадлежащий Еп Чтобы передать единицу посылаем случайный вектор, принадлежащий Dr..*

Теперь мы уже в состоянии сформулировать общее решение задачи о передаче сообщений по каналу связи с подслушивающим устройством. Надо выбрать хороший линейный код G с исправлением ошибок, содержащий 2,…论 кодовых слов длиной п (см. разд. 1). Произвести разбиение Fn на 2上 смежных классов по Ci：

F = Ct U С2 U С3 U .. - U С2л.

Перенумеровать возможные сообщения, подлежащие передаче по каналу связи, целыми числами от 1 до 2〃. Наконец,

ЗАШИФРОВАТЬ t-е СООБЩЕНИЕ СЛУЧАЙНО ВЫБРАННЫМ ВЕКТОРОМ ИЗ С/.

Законному получателю сообщения нетрудно определить» какое сообщение было передано: для этого достаточно установить, какому из смежных классов по & принадлежит принятый вектор (для чего в свою очередь достаточно вычислить характеристики вектора (см. 135], р. 16)). Но «плохой мальчик» останется в полном неведении относительно переданного сообщения. Скорость передачи при такой схеме равна h'n (〃 битов необходимо передать, чтобы задать одно из 2力 сообщений)- Уинер [56] доказал следующую теорему:

Теорема 1. Если『° ——вероятность ошибки подслушивающего устройства, то по каналу можно передавать информацию с любой скоростью ниже

—R»log2『и—(1—Po) Sg2(l —『о), оставляя подслушивающего 6 полном неведении относительно передаваемого сообщения.

Для доказательства теоремы вводится функция 〃， называемая энтропией или мерой неопределенное^ (116], гл. 1; [361, гл. 2). Определяется она таким образом, что если X — передаваемое сообщение, У ― зашифро-

ванное сообщение X, Z — искаженный вариант сообщения У, поступивший на подслушивающее устройство, то "(X) служит мерой неопределенности сообщения X до того, как подслушивающему становится известным сообщение Z, a 〃(X|Z) является мерой неопределенности сообщения X после того, как подслушивающему становится известно сообщение Z. Разумеется,

H(X\Z)^H(X).

Доказательство теоремы 1 сводится к проверке приближенного равенства

"(X|Z)七"(X),

т. е. к доказательству того, что установка подслушивающего устройства по существу ничего не дала (рис. 12). С тем же успехом «плохой мальчик» мог бы сидеть дома.

Рис. 12. Полная секретность достигается в том случае, еслч неопределенность Н(Х \Z) сообщения Л для «плохого мальчика： пос. > того, как он подслушал сообщение Z, остается по существу равной неолределеннисти Н(Х) сообщения X до того, как было установлено п одел уши вающее устройство.

Доказательство теоремы 1 читатель найдет в статье [56]. Улнер рассматривает также и более общий случай, когда помехи имеются и в прямом канале связи от отправителя к получателю.

Традиционная криптография

В предыдущем разделе мы без особого труда одолели подслушивающего, использовавшего несовершенное оборудование. А как быть, если против нас выступает профессионал, располагающий1 первоклассным оборудованием, которое позволяет ему подслушивать без искажений любое сообщение, передаваемое по каналу связи? В этой ситуации применимы методы традиционной криптографии. Начнем с рассмотрения шифровальных схем, ос-

нованных на использовании ключа, известного отправителю и получателю, но не известного «плохому мальчику» (рис. 13). В разд. 5 мы опнтем недавно открытые схемы в которых ключ необходимо знать только получателям：

Рис. 13. Схема традиционной криптографии, использующая ключ, известный отправителю и получателю, но не известный «плохому мальчику».

За. Схема одноразового пользования

Простейшей и наиболее надежной из всех схем является схема одноразового пользования (рис. 14). (С изобретением ее связывают несколько имен, в особенности

Рис. 14. Схема одноразового пользования. Ключ прибавляется по mod 2 к передаваемому сообщению. Ключевая последовательность имеет такую же длину, как сообщение, и используется только один раз.

Г. С. Вернама, в то время работавшего в исследовательском отделе фирмы «Американ телеграф энд телефон», см. [291, гл. 13; [54].)

Составляется (например, с помощью многократного бросания монеты) длинная случайная последовательность нулей и единиц. Эта пос ледовател ьн ость служит ключом. Ключ набивают на бумажной ленте и вручают отправителю и получателю. Отправитель производит бит за битом сложение ключа и сообщения н получает

зашифрованный текст. Например, если сообщение представляет собой последовательность

...0100001101,

а ключом служит последовательность

...1101110011,

то зашифрованный текст есть их сумма ...1001111110.

(Суммирование производится по mod 2 бит за битом без переноса в старший разряд.) Получатель также прибавляет к переданному ем丁 сообщению ключевую последовательное i ь, тем самым восстанавливая исходное сообщение:

Зашифрованное сообщение.. .1001111110

+ Ключевая поеледовательность.. .1101110011

Исходное сообщение.. .0100001101

Ключевая последовательность используется только один раз, после чего уничтожается. Это идеальный не раскрываемый шифр. Действительно, пусть X ——сообщение, К ——ключевая последовательность и

Y Х+К(3)

——зашифрованное сообщение. «Плохой мальчика знает Y, но так как Есе различные ключевые последовательности К возможны и равновероятны, то возможны и любые сообщения. И на этот раз, подключив свою подслушивающую аппаратуру, «плохой мальчик» не узнает по существу ничего (см. рис. 12).

Единственный недостаток описываемой схемы состоит в том, что она требует столько ключей, сколько сообщений нужно передать по каналу связи. Тем ие менее она широко используется для передачи важных сообщений.

Однако для менее важных дел желательно иметь схему, которая использует меньшее число ключей. Искусство построения хорошей шифровальной схемы состоит в том, чтобы изыскать способ продолжения ключевой последовательности, т. е. использования небольшого фрагмента ключа как зародыша, порождающего гораздо более длинную ключевую последовательность. Осущест-

вить продолжение можно многими способами (см., на- пример, 18. 15, 29]). Мы упомянем лишь некоторые методы, использующие регистры сдвига.

36. Линейные регистры сдвига с обратной связью

Первый простейший и наиболее уязвимый метод состоит в использовании в качестве ключа последователь- ности на выходе линейного регистра сдвига с обратной связью (рпс. 15).

Рис. 15. Выходная последовательность линейного регистра сдвига с обратной связью используется в качестве ключевой (а). Пример р^" гистра сдвига с четырьмя состояниями, показывающий последовательно содержимое регистра и выходную последовательность (6). Начальное содержимое регистра (0101) представляет собой секретный четырехзначный ключ и порождает вьгходную последовательность

...1110101100100011110101

периода 15, которая бит за битом суммируется с сообщением.

Если регистр сдвига может находиться в 〃？ состояниях, то при подходящем выборе обратных связей мы получаем выходную последовательность периода 2т一1・

£м., например, 1221 пли 134].) Следует упомянуть и о том, что все эти выходные псследсвательности являются кодовыми словам!! в некотором коде с исправлением ошибок, Рида — Мюллера (1351, р. 406). При больших т (например, при tn= 100) период выходной последователь- костн становится астрономически большим (21。0- 1 〜 ^1030).

Несмотря на это, шифр легко раскрывается. Действительно, предположим, что «плохой мальчик» знает алгоритм дешифровки (конструкцию регистра сдвига) и располагает несколькими ларами:

(сообщение X, соответствующеезашифрованное сообщение У),

т. е. открытый текст н тот же текст в зашифрованном виде, и пытается определить ключевую последовательность /\. В случае линейного регистра сдвига сделать это очень просто. Если известно т соответствующих друг другу битов последовательностей X и У, то их разности дают содержимое регистра сдвига. Прослеживая работу регистра, «плохой мальчик» полностью определяет ключевую последовательность (см. [18, 391). Несмотря на то что эта схема шифровки легко раскрываема, она широко применяется. Возможно, что большие периоды создают иллюзию нераскрываемости.

Зв. Нелинейные регистры сдвига

Ситуация резко изменяется, если в схеме -обратной связи мы используем нелинейные компоненты (рис. 16). Поеледовательности на выходе нелинейного регистра со сдвигом можно сделать сколь угодно надежными.

Число возможных функций f обратных связей в этом случае равно 22m. 口卩“ больших tn это число весьма велико. Требуется найти подмножество допустимых /, которые

эффективно стирают сообщение, т. е. производят на выходе последовательность, напоминающую ту, которая возникает при бросании монеты (разд. За);

просто вычисляются;

легко заменяются (т. е. при изменении ключа мы гложем перейти к другой функции /).

Один ИЗ спссобов СОСТОИТ В построении СЛОЖНЫХ фикций из простых компонент. Схемы шифровки такого типа называются шифрами-произведениями. Их действие ана-

Рнс. 16. Шифровка с помощью нелинейного регистра сдвига. Зд«：<ь 「［ дс!ивлена только шифровальная схема. Вторая схема, пев； .；- Ь' J ссрвую, служит для дешифровки. Регистр сдвига может « 厂 д (ться в т состояниях. Первопачазьно регистр содержит секрет ный л/-знач\ыя ключ 〃巾,〃巾一i，・••, 〃？, 〃【• Поступающее сева ((//:-) 1)—^/)-значн</е сообхцение и,л + 1 является сложной нелинейном функцией erz/j,..., ит, в^пример «w + i=/(«i〃腐)・ Тогда um^t -

~/(1г2> ilm^i) Н Т- Д・

лопиа о клзсспче^кому ^алгоритму», к которому прибегают пекг； к, кс-да месят тесто:

Г上，FTATb слоями lb РАСКАТАТЬ сложить РАСКАТАТЬ

Иначе говоря, над куском теста необходимо выполнить некоторую последовательность некомму тнруюищх операций. Например, мы могли бы взять комбинацию двух операций над элементами последовательностей: перестановки и какой-нибудь простой функции. Удобной компонентой при построении нелинейных функций служит элемент памяти УПТС-2 с двумя состояниями, предназначенный только для считывания (рис. 17).

Каким образом эти операции могут быть объединены в шифровальной схеме, станет ясно, если мы рассмотрим в качестве примера регистр сдвига с 32 состояниями (рис. 18, внизу). Основными операциями служат переста-

новка 32 битов (рис. 18, 8 середине) и нелинейная функция, построенная из восьми элементов памяти с двумя состояниями, аналогичных изображенному на рис. 17 (рис. 18, вверху}.

а

4 вхмих 珏芯用 4 выходныхбигаs~бита

Управляющий /ключе-з^й/ бит

Таблица истинно:tv

Рис. 17. Широко распространенный элемент памяти ЭПТС-2 с двумя состояниями, предназначенный только для считывания с четырьмя выкодными битами и одним управляющим, или ключевым, битом (а). Выходные биты задаются как функция от входных битов и ключевого бита с помощью таблицы истинности (б). (В действительности используются гораздо более сложные компоненты. См., например, схему, приведенную на с. 79 июльского номера журнала Scientific American за 1979 г.)

3 ключевых3 ключевых8 элементов памятис 2 состояниями, предназначенными только для считыванияПерестановкаРегистр8 элементов памятис 2 состояниями, предназначенными только для считыванияПерестановкаРегистрРис. 18. Две некоммутирующие операции, примененные к 32 битам данных. Первая операция — перестановка, вторая — нелинейная функция, реализованная на восьми элементам ЭПТС-2, изображенных на рис. 17, и управляемая восемью битами ключа.Рис. 18. Две некоммутирующие операции, примененные к 32 битам данных. Первая операция — перестановка, вторая — нелинейная функция, реализованная на восьми элементам ЭПТС-2, изображенных на рис. 17, и управляемая восемью битами ключа.

3 ключевых

3 ключевых

8 элементов памяти

с 2 состояниями, предназначенными только для считывания

Перестановка

Регистр

8 элементов памяти

с 2 состояниями, предназначенными только для считывания

Перестановка

Регистр

Рис. 18. Две некоммутирующие операции, примененные к 32 битам данных. Первая операция — перестановка, вторая — нелинейная функция, реализованная на восьми элементам ЭПТС-2, изображенных на рис. 17, и управляемая восемью битами ключа.

Рис. 18. Две некоммутирующие операции, примененные к 32 битам данных. Первая операция — перестановка, вторая — нелинейная функция, реализованная на восьми элементам ЭПТС-2, изображенных на рис. 17, и управляемая восемью битами ключа.

Операции повторяются последовательно 15 раз, после чего получившиеся 32 бита возвращаются в регистр (рис. 19) и одновременно используются в качестве 32 битов ключевой последовательности ——суммируются покомпонентно с 32 битами сообщения (рис. 20).

Можно поступить иначе: сначала просуммировать

32 бита сообщения и ввести сумму в регистр сдвига затем 15 раз применить перестановки и нелинейные функции и, наконец, принять 32 получившихся бита зашифрованный текст.

Шифры-произведения и их аналогия с операциями совершаемыми пекарем, были, по-впдпмому, впервые

Рис. 19. Операции, изображенные на рис. 18, 15 раз подряд применяются к содержимому регистра сдвига, после чего получившиеся 32 бита вводятся снова в регистр сдвига. Каждый элемент памяти требует один бит ключа. Начальное содержимое регистра задается 32(旷 т>ми ключа. Таким образом, вся схема определяется 8 15 3£ 152 битами ключа.

описаны Шенноном [491. Шифровальные схемы, основанные на использовании перестановок н нелинейных цепей, были разработаны несколькими сотрудниками фирмы ИБМ (см., например, статьи Файстеля [11, 12( Файстеля, Нотца и Смита [13, 14], Гирданского 120, и Смита I51L Схемы шифровальных устройств, изображенные на рис. 17—20, представляют собой не более чем сильно упрощенные конструкции такого рода. Чи-

татель без труда сможет предложить свои собственные более сложные схемы.

Внимание многих специалистов привлекли два реально действующих шифровальных устройства этого типа: разработанный фирмой ИБМ шифр «Люцифер»

Рис. 20. Включение шифровальной схемы, изображенной на рис. 19, в систему связи. Смешанный регистр на 152 бита используется для задания регистра сдвига и функции f, как на рис. 19. Передаваемые данные подразделяются на блоки по 32 бита. Прибавив к каждому блоку 32 бита, хранящихся в регистре сдвига, мы получим 32 бита шифрованного текста. Применив 15 перестановок и нелинейных функций, мы получим следующие 32 бита в регистре сдвига. Они суммируются с 32 битами данных и т. д.

и стандарт шифровки данных Национального бюро стандартов. Шифр «Люцифер» 【11, 20, 51] использует ключ из 128 битов (а не из 152 битов, как на рис. 20) н шифрует данные в виде блоков по 128 битов (а не по 32 бита, как на рис. 20). Стандарт шифровки данных [3, 4, 40, 41] использует ключ из 56 битов и шифрует данные в виде блоков по 64 бита.

К сожалению, о надежности этих шифров известно немного, хотя результаты предварительных исследований опубликованы. Если ключ имеет малые размеры, то «плохой мальчик» может раскрыть шифр, просто перепробовав все возможные ключи. На этом основании высказывались критические замечания по поводу стандарта шифровки данных, так как число различных ключей для него составляет лишь 2^^Л011 (см. 16, 7, 27, 41, 53, 571). Остро ощущается необходимость стандар-

тов, позволяющих судить о надежности этого т“п。 шифров.

Во всех схемах дешифровки, описанных в это^1 р,. деле, предполагалось, что канал связи свобод_н от помех. Если же мы имеем дело с линией связи с щу—мн

Рис. 21. Если в канале связи имеются помехи, то код с исправле! • м ошибок надлежит применять после дешифровки, так как д.. ке i ошибка изменяет 0Hoло половины битов в дешифрованном с< -«' и. --

НИИ.

то последствия могут быть самыми неприятными, так как хорошие шифры обладают тем свойством, что изменение одного бита в исходном тексте изменяет примерно половину битов в зашифрованном сообщении. Во избежание этого нежелательного эффекта после шифровальной схемы необходимо включать код, исправляющий ошибки (см. разд. 1), как это показано на р 储.21.

Коды, обнаруживающие подлог

Канал связи продолжает ухудшаться: теперь он всецело находится во власти «плохого мальчика» (см. рис. 3, ч. IV). Правда, он обещал точно передавать наши сообщения, но у нас нет оснований полностью ему доверять. Следовательно, нам необходимо каким-то образом помечать или удостоверять подлинность наших сообщений, чтобы «плохой мальчик» не мог незаметно подменить подлинное сообщение ложным. Э. Н. Джнлберт, Ф. Дж. Л1ак-Вильямс и я исследовали эту проблему в статье, опубликованной в 1974 г. 1191. Такая проблема действительно возникает в ряде ситуаций. Перед нами ее поставил Р. Дж. Симмонс из «Сандиа Корпорейшн» в связи с контролем за производством некоторых стратегически важных материалов. Однако эту задачу проще

Cvj cp ：улкрсвать на языке казино； где играют в азартные игры.

Управляющий казино («плохой мальчик») обманывает владельца казино («хорошего мальчика»), сообщая тому заниженные сведения о дневной выручке и присваивая себе разницу. Чтобы предотвратить хищение, владелец намеревается установить внутри каждого автомата секретный ключ К и устройство, на вход которого посту пает сообщение X о дневной выручке и ключ К, а на выход —— метка, удостоверяющая подлинность сведений

Z = <D(X, К).

Устройство печатает X н Z на бумажной ленте. «Плохому мальчику» вменяется в обязанность пересылать ленту владельцу казино. Получив ленту, владелец счн-

или

сигнал тревоги

Рис. 22. «Хороший мальчик» намеревается вмонтировать в каждый автомат запечатанную коробку. В ней находится аппаратура, производящая подсчет дневной выручки X и записывающая X на бумажной ^енте вместе с меткой Z, зависящей от X и ключа К : Z=3 (X, К). 《Плохому мальчику • известно все, кроме К. Он хотел бы подменить (X, Z) другой парой (Х\ Z'). Если Z' удовлетворяет уравнению Z' =Ф(Х\ К), хозяин казино не сможет уличить «плохого мальчика» в подлоге.

тывает с нее X, вычисляет Z по известным X н К н тем самым проверяет, соответствует ли значение Z напечатанным на ленте. Если вычисленное значение совпЭ' дает с присланным» то владелец казино считает X истинным (рис. 22).

С другой стороны, «плохой мальчик» знает X z и Ф (т. е. ему известно, как работает устройство), но не знает К и хочет подменить X и Z другой парой и Z', Если ему удастся совершить подлог так, что

/ = Ф (犬，k),то подмена останется нераскрытой, и «плохой мальчик»сможет положить в карман разность X’一X.

Рис. 23. Соответствие между сообщениями, ключами и меткам"。

На рис. 23 показано, как примерно может рассуждать «плохой мальчик». Представлены все возможнее сообщения Xi, Х2, Х3, и метки Zi, Z2,・.•, соответствующие различным ключах^. Предположим, что «плохой мальчик» видит, что сообщение Xi сопровождается меткой Z2. Взглянув на схему, он установит, что речь может идти только об одном из ключей 2, 3, 4, 5 или 6. Желая заменить Xj сообщением Л2, «плохой мальчик» должен решить, какую метку (Z』,Z5 или ZJ

еиу выбрать. Шанс не быть пойманным у него нанболь- ипш, если он выберет метку Z3. Эта метка «согласуется» с ключом 2, 5 или 6, т. е. «плохой мальчик» имеет на успех 3 шанса из 5. Если бы он выбрал метку Z4 или Ze, го его шансы на успех составляли бы только 1 из 5.

Как показывает это рассуждение, при проектировании системы, удостоверяющей подлинность сообщений, необходимо стремиться к тому, чтобы каждой паре сообщение ——метка соответствовало большое число ключей. Даже в этом случае трудно понизить шансы «плохого мальчика» на успешный подлог. В [19] мы доказали, что справедлива следующая

Теорема 2. Пусть суи^ствуют М возможных сообщений Xi, . . ., Хм и N возможных ключей Лх, . . ., К*. Если сообщение и ключ выбраны случайным образом^ то при оптимальной стратегии ^плохой мальчика может гарантировать себе вероятность успешного подлога не меньше, чем L/冗.

Доказательство теоремы использует методы теории информации, и я не стану приводить его здесь. Возможно, что, если система спроектирована плохо, вероятность успешного подлога превысит 1,,N. Мы показали также, как следует спроектировать систему, чтобы вероятность успеха «плохого мальчика» была в точности равна 1，М По теореме, это наилучшее из возможных значений. (Для простоты предположим, что N ——точный квадрат.)

В основе нашей конструкции лежит проективная плоскость порядка р=/N, о которой говорилось в разд. 1 (рис. 24).

Напомним, что эта проективная плоскость содержит р2+р+1 точек и『2十"+1 прямых. Выберем произвольно 「дну из прямых и назовем ее экватором. Сообщениям X соответствуют р- 1 точек на экваторе, ключам К— остальные 『？ точек. Наконец, меткой Z=«D(X, К), подтверждающей подлинность сообщения, служит единственная прямая, проходящая через X и К. Наше устройство печатает координаты точки X н уравнение прямой Z на бумажной ленте.

Взглянем на нашу систему глазами «плохого мальчика». Он знает X и Z, но относительно К ему известно лишь, что К — одна из остальных р точек прямой Z.

Если сп хочет i сдменить X сссби；енпем X', то ㈡в лучше всего выбрать один из『ключей случайным зом. Действительно, возможные ключи (точки пря-」н Z) соответствуют меткам (прямым, заведомо прохо^яшич нар、； X'). Таким сбразсм, шансы ^плохого маль*」 на успех равны 1/р 1 J ：V, как нами и утвержлал». ?ь.

Рис. 24. Оптимальная система подтверждения подлигг^гти сообщений, основанная на использовании проективной плоскости пор$ а р. Меткой Z Ф(Х, ^) служит уравнение пря\юй, прох.дящ^и 厂 X и К.

Наша конструкция представляет главным образом теоретический интерес, так как требует огромного числа ключей ——даже больше, чем код одноразового пользования, описанный в разд. За. Тем не менее приятно иметь схему, надежность которой доказана теоретически (в отличие от схем, описанных в разд. Зе н 5).

Следует подчеркнуть, что в рассматриваемой нами теперь ситуации код одноразового действия бесполезен: метка [см. уравнение (3)1 была бы просто суммой сообщения и ключа и «плохой мальчик», зная сообщения, сразу установил бы ключ.

В работе [191 мы описали также другие схемы уста- новлс1П1я подлинности сообщений (основанные на ис- пользивашш прэектизных пространств и случайных ко ^ов), требующие меньшего количества ключей. Весь наш анализ (и, в частности, доказательство теоремы 2) основан на допущении, что «плохому мальчику» разрешается проводить любые вычисления, какие он только ггежелает. Разумеется, на практике он всегда ограничен размерами своего компьютера. Эго ограничение приводит к тому, что описанные в разд. 36 традиционные схемы шифровки, например шифр с Люцифер», также 458

г—жно использовать в качестве датчика меток. Действительно, эти схемы порождают зашифрованное сообщение У, котсрое является сложной функцией сообщения X и ключа К (рис. 25). Эта функция умышленно построена так, чтобы при заданных Л, У "力 найти К было трудно. Такое решение проблемы намного

Зашифровать сообщениеY=^(Xt К)Зашифровать сообщениеY=^(Xt К)

Зашифровать сообщение

Y=^(Xt К)

Зашифровать сообщение

Y=^(Xt К)

грактичнее предложенного нами теоретического варианта, использующего проективные плоскости, но страдает одним недостатком: никому точно не известно, насколько надежна такая схема.

Другое решение проблемы датчика меток может быть тюлучено с помощью функций с закрытыми дверями (см. разд. 5е).

Криптосистемы с общественным ключом

5а. Односторонние функции

Предшественницей схем, с описанием котсрых мы познакомимся в этом разделе, является простая и изящная односторонняя функция. Так принято называть функцию /, отображающую двоичные последовательности одной фиксированной длины (например, 100) на двоичные последовательности какой-нибудь другой фиксированной длины (например, 120):

/ :?IQOf 尸 120

и не имеющую известной обратной функции. Иначе говоря, если вам сообщают, что

/(X) -1010001. . .11011110,

то вы не можете восстановить значение X, даже если вам известно, как вычислено значение /. Последнее утверждение не вполне точно: теоретически X можно

найти, проверяя по очереди все возможные X 乃分 пор. пока f(火)не совпадет с заданной последовательностью. Однако по существу такой метод обращения функции f неосуществим, так как проверять пришло ъ бы слишком много различных X, Итак, мы можем с г а- зать, что f — односторонняя функция, если f (X) легко вычисляется при любом X, в то время как (У) поддается вычислению почти при всех У из области значений функции f.

Односторонние функции заведомо существуют. В качестве примера можно привести одну из традиционных шифровальных схем из разд. Зв (рис. 26).

Ключ • = X

В ход-постоянная —*-—*- Выход Y~f (X)

Рис. 26. Традиционная шифровальная схема (например, шифр «Люцифер») действует как односторонняя функция. Обычно на вход i， дается последовательность, равная произвольно выбранной постг янной, а аргумент X используется в качестве ключа. Создатели шифра принимают специальные меры, чтобы при заданной выходной п 1 следователъности У найти X было невозможно.

Односторонние функции находят широкое применение в ЭВМ [9, 42]. Обычно «пользователи» вычислительных машин выбирают пароли, удостоверяющие их личность при подключении к системе. Хранить эти пароли в массиве данных самой ЭВМ опасно, так как трудно обеспечить секретность. Вместо этого можно взять одностороннюю функцию f и хранить в массиве данных значения f от паролей. Так как функция f не допускает обращения, «плохой мальчик» не может узнать пароль по этим данным. С другой стороны, если кто-нибудь подключается к ЭВМ, то он вводит своп пароль Р, компьютер вычисляет f(P) и сравнивает с последовательностями, хранящимися в массиве да ” ных. Это простая и весьма надежная схема. (Чтобы повысить ее надежность, пользователи должны iuOi” гать коротких парольных слов, напрнмер англнйс1^[^ имен, так как короткие слова легче отгадать ...)

Функции с закрытыми дверями

Одностороннюю функцию по вполне понятным со- <；бражениям невозможно использовать в качестве шифровального устройства, так как, хотя /(X)——надежно зашифрованное сообщение X, никто (даже законный получатель) не сможет восстановить X. Диффи и Хеллман указали в [5] способ, позволяющий обойти эту трудность с помощью так называемой функции с закрытыми дверями. Такова, например, функция

£ ： Р00 -> f120, имеющая обратную функцию

D ：尸 2。—尸О。，

где обе функции Q н Е легко вычислимы. Узнать обратную функцию по Е невозможно: до тех пор, пока вам не сообщат, что функция, обратная Е, существует, £ воспринимается как односторонняя функция. Функ- ]；ию Е можно использовать для шифровки, а обратную функцию D —— для дешифровки, так как при всех X из 尸°°

О(Е(Х))=Х・

Кроме того, свойство закрытых дверей подразумевает, что тот, кто знает, как кодировать, не обязательно должен знать, как декодировать. Примеры функций с закрытыми дверями приведены в разд. 5в — 5д.

Зная, как найти функции с закрытыми дверями, мы можем построить схему, которую Диффи и Хеллман назвали криптосистемой с общественным ключом. Предположим, что существует группа людей, желающих беседовать друг с другом конфиденциально. Каждый член i группы выбирает функцию с закрытыми дверями Еь имеющую обратную функцию，. Функции Еъ £*2, . . . перечисляются в общедосту пн ом справочнике, в то время как «свою» обратную функцию О/ каждый хранит в тайне. Если член / группы желает послать сообщение X члену i группы, он просто передает

У=£(Х)

по общественному каналу связи. Так как обратная функция Di известна только члену i группы, он может

вычислитьвычислить口" 乙（旦5））二 X口" 乙（旦5））二 X

вычислить

вычислить

口" 乙（旦5））二 X

口" 乙（旦5））二 X

и прочитать сообщение. Так мы приходим к сети свя、％ обеспечивающей секретность без использования ключей*

5в. Функции с закрытыми дверями,основанные на простых числах

Райвест, Шамир и Адельман первыми нашли действительно удовлетворительный способ построения функций с закрытыми дверями. Свой метод они сообщили в работе 144], опубликованной в 1978 г., хотя Мартин Гарднер изложил основы их построения в [17]. Поскольку ныне метод Райвеста — Шамира — Адельмана широко известен, мы ограничимся лишь кратким описанием.

Выберем два больших простых числа р н q (например, не менее чем 50-значные числа『н д) н число s, взаимнопростое с числами р—1 и q—1. Вычислим г二 pq и найдем t такое, что

s/=l (mod (р- 1) (^―1)).(4)

Предложенная тремя авторами шифровальная схема выглядит следующим образом:

ЕШОГОВАЛЬНАЯ СХЕМАРАЙВЕСТА — ШАМИРА—АДЕЛЬМАНА

СООБЩИТЕ ВСЕМ ЖЕЛАЮЩИМ г И s.ХРАНИТЕ В ТАЙНЕ р, g, t.

ШИФРОВКА：

Е (同三 Xs (mod г)二 у.

ДЕШИФРОВКА:

D (^) ~yt (mod г) —x.

To, что。(功=刀"=%, следует из (4) н элементарных теоретико-числовых соображений. Е (х) считается фун七 цией с закрытыми дверями, так как единственный способ найти D при известных г и s состоит в том, чтобы разложить на простые множители число г и найти р, 9 н， следовательно, /. Но г — 100-значное число, и в настоящее время нет эффективных методов, позволяющих

разлагать столь большие числ^ на простые множители. Таким образом, основное достоинство схемы Райвеста — Шамира — Адельмана обусловлено тем, что, хотя сравнительно легко находить большие простые числа 151], практически невозможно разлагать очень большие числа на простые множители ([25], [46]).

5а Функции с закрытыми дверямиъоснованные на задачах об укладке рюкзака

Вскоре после того как Райвест, Адельман и Шамир нашли способ построения функции с закрытыми дверями, Меркле и Хеллман [381 открыли еще одно очень простое семейство, основанное на так называемых задачах об упадке рюкзака.

Прототипом любой задачи об укладке рюкзака служит следующая задача. Имеется рюкзак и груда предметов, которые вы хотели бы захватить с собой, отправляясь в поход. Мон<ете ли вы указать подмножество предметов, которые заполнят рюкзак до отказа? Простая числовая задача того же типа формулируется следующим образом:

ПРОСТАЯ ЗАДАЧА ОБ УПАКОВКЕ РЮКЗАКА

МОЖНО ЛИ ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО 31 В БИДЕ СУММЫ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЧИСЕЛ

{10, 17, 9, 12, 40, 60}?

ОТВЕТ: МОЖНО.

31 = 10 卜9+12.

Таким образом, число 31 представимо в виде суммы первого, третьего и четвертого чисел из предъявленного списка. Условимся записывать это сокращенно так:

32(1, 0, 1, 1, 0, 0).

Наоборот, если известна последовательность (1, 0, 1, 1, 0, 0), мы восстанавливаем число 31, суммируя первое, третье и четвертое числа из нашего списка.

Таким образом мы можем использовать список чисел как основу для примитивной шифровальной схемы (рис. 27).

Некоторые числовые задачи об укладке рюкзака решаются очень просто. Так обстоит дело, например, в

том случае, когда числа в списке являются ст< пенял двойки (или просто очень быстро возрастают). '

ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ЗАДАЧА

ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА

ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО 19 В ВИДЕ СУММЫ

РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ СПИСКА

{1, 2, 4, 8, 16, 32}.

ОТВЕТ: 19 = 1+2+16, ИЛИ

i960, 1, 0, 0, 1, 0).

По существу решение задачи сводится к представлению числа в двоичной системе счисления.

Рис. 27. Примитивная шифровальная схема, в которой и отправителю, и получателю известен список чисел [10, 17, 9, 12, 40, 60].

Но существуют и другие задачи, решить которые чрезвычайно трудно. Предположим, напрнмер, что список содержит сто 40-значных чисел 佐,...,。网。и у — 42-значное число :

ТРУДНАЯ ЗАДАЧА ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА

ДАНЫ ЧИСЛА а，%，…，Soo]，的 ~ 10叫 ПРЕДСТАВИТЬ ЧИСЛО у в 10北 В ВИДЕ СУММЫ ЧИСЕЛ Qi

9 = 口3+011+012+a29+・，・・

Если числа в списке выбраны случайным образом, то, по-видимому. не представляется возможным определить» какие из ннх дают в сумме у, так как для ответа на этот вопрос необходимо перебрать 2】。。= 10'。различных подмножеств. Если бы мы воспользовались этим списком чисел в системе связи, изображенной на рис. 27, то она была бы надежной, но, к сожалению, законный пол}г- чатель не смог бы восстановить переданное ему сообщение.

Итак, нам необходима задача с закрытыми дверями с»б упаковке рюкзака, которую мог бы легко решить

законный получатель, ио для всех остальных она выглядела бы неприступной. Меркле и Хеллман [381 предложили несколько методов построения таких задач.законный получатель, ио для всех остальных она выглядела бы неприступной. Меркле и Хеллман [381 предложили несколько методов построения таких задач.Один из вариантов их методов независимо был открыт Грэхэмом [231 и Шамиром [48].Сначала мы составляем легкую задачу об укладке рюкзака, для чего выбираем числа «1, • 4 ., 〃l“” например, содержащие в десятичной записи степени двойки (на рнс. 28 представлен пример из шести чисел).На рис. 29 показано, каким образом эту легкую задачу об укладке рюкзака можно использовать для за- шифровки сообщений. Разу-Один из вариантов их методов независимо был открыт Грэхэмом [231 и Шамиром [48].Сначала мы составляем легкую задачу об укладке рюкзака, для чего выбираем числа «1, • 4 ., 〃l“” например, содержащие в десятичной записи степени двойки (на рнс. 28 представлен пример из шести чисел).На рис. 29 показано, каким образом эту легкую задачу об укладке рюкзака можно использовать для за- шифровки сообщений. Разу-Л» =2 4 1 6 0 1 3Л» =2 4 1 6 0 1 3С гепени Столбецдвойки нулейРнс. 28. Шесть чисел fl,F ... …，％，содержащих в своихС гепени Столбецдвойки нулейРнс. 28. Шесть чисел fl,F ... …，％，содержащих в своихдесятичных записях степенидесятичных записях степенимеется,меется,такой шифр легкотакой шифр легкораскрыть ——и в действитель-раскрыть ——и в действитель-двойки. Эти степени можноиспользовать в задаче об ук-ладке рюкзака.двойки. Эти степени можноиспользовать в задаче об ук-ладке рюкзака.ности мы намереваемся использовать легкую задачу об укладке рюкзака иначе.Выберем два больших числа г и s так, чтобы сущености мы намереваемся использовать легкую задачу об укладке рюкзака иначе.Выберем два больших числа г и s так, чтобы существовало число /, удовлетворяющее сравнениюствовало число /, удовлетворяющее сравнению

законный получатель, ио для всех остальных она выглядела бы неприступной. Меркле и Хеллман [381 предложили несколько методов построения таких задач.

законный получатель, ио для всех остальных она выглядела бы неприступной. Меркле и Хеллман [381 предложили несколько методов построения таких задач.

Один из вариантов их методов независимо был открыт Грэхэмом [231 и Шамиром [48].

Сначала мы составляем легкую задачу об укладке рюкзака, для чего выбираем числа «1, • 4 ., 〃l“” например, содержащие в десятичной записи степени двойки (на рнс. 28 представлен пример из шести чисел).

На рис. 29 показано, каким образом эту легкую задачу об укладке рюкзака можно использовать для за- шифровки сообщений. Разу-

Один из вариантов их методов независимо был открыт Грэхэмом [231 и Шамиром [48].

Сначала мы составляем легкую задачу об укладке рюкзака, для чего выбираем числа «1, • 4 ., 〃l“” например, содержащие в десятичной записи степени двойки (на рнс. 28 представлен пример из шести чисел).

На рис. 29 показано, каким образом эту легкую задачу об укладке рюкзака можно использовать для за- шифровки сообщений. Разу-

Л» =2 4 1 6 0 1 3

Л» =2 4 1 6 0 1 3

С гепени Столбецдвойки нулей

Рнс. 28. Шесть чисел fl,F ... …，％，содержащих в своих

С гепени Столбецдвойки нулей

Рнс. 28. Шесть чисел fl,F ... …，％，содержащих в своих

десятичных записях степени

десятичных записях степени

меется,

меется,

такой шифр легко

такой шифр легко

раскрыть ——и в действитель-

раскрыть ——и в действитель-

двойки. Эти степени можноиспользовать в задаче об ук-ладке рюкзака.

двойки. Эти степени можноиспользовать в задаче об ук-ладке рюкзака.

ности мы намереваемся ис

пользовать легкую задачу об укладке рюкзака иначе.

Выберем два больших числа г и s так, чтобы суще

ности мы намереваемся ис

пользовать легкую задачу об укладке рюкзака иначе.

Выберем два больших числа г и s так, чтобы суще

ствовало число /, удовлетворяющее сравнению

ствовало число /, удовлетворяющее сравнению

s/=l (mod г).

Сотрем числа а, умножив их на s и лрпведа произведения по mod г. Полученные числа

[瓦，&2,...,瓦ooL bi=saj (mod г)

будут казаться случайными числами из интервала от О до г——1, и всякий, кто не знает чисел г, s н /, примет их за очень трудную задачу об укладке рюкзака. Именно эта задача и пркменяется при шифровке. Мы сохраняем в тайне числа air . . ., аи^,尸,s u /, но сообщаем всем желающим числа 瓦,...,Ьюо・ Шифровальная схема действует следующим образом:•

ШИФРОВАЛЬНАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИС ЗАКРЫТЫМИ ДВЕРЯМИ ОБ УКЛАДКЕ РЮКЗАКА

СООБЩАЕМ ВСЕМ ЖЕЛАЮЩИМ ЧИСЛА 玩，Ьш ЗАШИФРОВЫВАЕМ ДВОИЧНОЕ СООБЩЕНИЕ

无(*1，*2，• • •» *^100)

В ВИДЕ ЧИСЛА

1 ооe (*)£%也=多

i=l

ДЛЯ ДЕШИФРОВКИ СОСТАВЛЯЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

100100

也=e 片0= £*网(mod f)

t= 1i— 1

И, РЕШАЯ ЭТУ ЛЕГКУЮ ЗАДАЧУ ОБ УКЛАДКЕ

РЮКЗАКА, ПОЛУЧАЕМ х15修。介

Легкая задачаоб укладке

ЗашифрованноесообщениеЗашифрованноесообщение18302178035124133183021780351241330 10 50 2 0 60 4 0 90 8 0 416 0 13 2 0 70 10 50 2 0 60 4 0 90 8 0 416 0 13 2 0 718 31078932483318 3107893248330105104090160133207801051040901601332078Сообщение рюкзака

Зашифрованноесообщение

Зашифрованноесообщение

183

02

178

035

124

133

183

02

178

035

124

133

0 10 5

0 2 0 6

0 4 0 9

0 8 0 4

16 0 1

3 2 0 7

0 10 5

0 2 0 6

0 4 0 9

0 8 0 4

16 0 1

3 2 0 7

18 3

1

078

9

324

833

18 3

1

078

9

324

833

01051

04090

16013

32078

01051

04090

16013

32078

2 18 5 3 2 3 2

53=10К】1 в двоичной записи. Это и есть сообщение!

Рис. 29. Числа из легкой задачи об укладке рюкзака (рис 28) можно было бы использовать для шифровальной схемы. Как и на рис. 27, зашифрованное сообщение образуется при сложении чисел из списка, соответствующих единицам в сосбщении. Дешифровка производится немедленно： двоичное разложение центральной пары цифр и есть сообщение!

Пример такой шифровальной схемы приведен на рис. 30. Всякий, кто не знает г. s н 厶 сталкивается с необычайно трудной задачей об укладке рюкзака, но законный получатель легко восстанавливает сообщение.

1

8

3 0 !

0 5 1

777

7б 2 9 6 7

513862967

О

2 D 2

0 6 1

6 7 9

273397

1

7

В 0 4

0 9 0

5 1 3

438305

S 1 3 4 3 8 3 0 £

0

3

$08

0 4 9

4 0 2

161783

!

2

4 I 6

0 I Э

4 2 7

S3 1 79 1

427531791

J

3

3 3 2

0 7 8

376

°526"

376032641

Лзгкая задача об укладке

Сообщение рюкзака

Трудная задача об укпадке рюкшка

Зашифрованное сообщение

18)28SS7Q4

Умножить наН1ифр

$= 324358647

и взять произведение по mod

г =785 786053 315

Рис. 30. Легкая задача об укладке рюкзака (рис. 28) становится трудной при умножении чисел на s=324 358 647 и приведении произведений по mod г 786 053 315. Для дешифровки мы возьмем число f=326 072 163, удовлетворяющее условию st— 1 (mod г). Зашифрованное сообщение 1 832 885 704 умножаем на / (ло модулю г) и получаем 21 853 232. Двоичная запись центральной пары цифр 53 (см. рис. 29) дает исходное сообщение.

5д. Функции с закрытыми дверями,основанные на кодах Гоппа

Макэлис [37] построил семейство функций с закрытыми дверями, используя коды Гоппа (см. пример 3 из разд. 1). Зададим два числа 〃= 2巾 и 匕 выберем неприводимый многочлен G(z) степени £ над полем Галуа GF(2m) и составим проверочную матрицу Н соответствующего кода Гоппа, исправляющего t ошибок. Зная", вычислим производящую матрицу кода, т. е. матрицу М размером 左义〃,где 儿=〃一mt, такую, что если х=(Xi,... • 与)—вектор сообщения, то соответствующее кодовое слово c=(，L • • •, Сп) определяется произведением

с=%М (mod 2)..

(Матрица М легко находится по матрице Н (см. [35) гл. 1).1 Основная идея состоит в том, чтобы стереть матрицу М, выбрав случайную обратимую двоичную матрицу S размером k. k п случайную матрицу перестановки Р размером п 〃 и составив новую пронзво- дящую матрицу

Mf^SMP.

Матрицу ЛГ сообщаем всем желающим, матрицы М, S н 尸 храним в тайне. Шифровальная схема имеет следующий вид:

ШИФРОВАЛЬНАЯ「ХЕМА,

ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ КОДЫ ГОППА

ШИФРУЕМ СООБЩЕНИЕ х, СОДЕРЖАЩЕЕ k БИТОВ, В ВИДЕ ВЕКТОРА

ГДЕ 2—СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР С / ЕДИНИЦАМИ, ВЫБРАННЫЙ ОТПРАВИТЕЛЕМ.

ДЛЯ ДЕШИФРОВКИ ВЫЧИСЛЯЕМ

"7《S)/乳十(zP-i).

ДЕКОДИРУЯ, КАК ОБЫЧНО, ПОЛУЧАЕМ xS И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, х.

Отправитель «маскирует» кодовое слово х7И\ изменяя / случайно выбранных битов. Так как код Гоппа может исправить t ошибок, законный получатель может избавиться от этого искажения, например, с помощью процедуры исправления ошибок, описанной в (1351, гл. 12). Но «плохой мальчик», не знающий матриц М, S или Р, должен попытаться раскрыть код, задаваемый производящей матрицей 7И\ Это линейный код, очень похожий на случайный. Считается, что раскрыть такие коды очень трудно.

В качестве примера выберем 〃=1024=2i° и / 50. Многочлен G(n) можно выбрать примерно 10^9 способами, для матриц S м Р выбор еще шире. Размерность кода не меньше £=1024—10-50— 524. Таким образом, подслу in ив ающи й сталкивается с проблемой декодирования кода длиной 1024, исправляющего 50 ошибок и кажущегося случайным. Дальнейшие подробности приведены в [37].

5е. Меченая почта

Некоторые из криптосистем с общественным ключом позволяют пересылать меченую почту, т. е. отправитель i может послать получателю / сообщение, зашифрованное так, что послать его мог только Л Эго свойство становится существенным, когда шифровальные схемы, о которых идет речь, используются при пересылке денег.

Чтобы мы могли переслать меченую почту, функции Е. н D； с закрытыми дверями (см. разд. 56) должны при всех X удовлетворять соотношениям

6(R(X))<X (5) и

Q(Ei(X)) Х・

Этому условию удовлетворяют основанные на простых числах схемы из разд. 5б. Тогда « шифрует сообщение X просто как

z Е, д(х))

н посылает его /, который может восстановить X, вычислив

E^DjiZ)) Е№(Х))=Х.

Отправить это сообщение мог только i, так как только ему известна функция D^. Следовательно. Z ——меченый вариант сообщения X.

Функции с закрытыми дверями, удовлетворяющие соотношению (5), можно использовать для решения проблемы проверки подлинности сообщения, описанной в разд. 4: сообщение X можно просто сопроводить меткой О(Х), подтверждающей его подлинность. Все, кому следует, знают функцию Е н могут удостовериться в подлинности сообщения X, вычислив

E(Q(X))=X.

Но так как функцию D держат в тайне, «плохой мальчик» не может найти метку D (Х7)» которая подходила бы к подмененному им сообщению X'.

Более подробные сведения о меченой почте даны в [30, 44 и 45]. Статья Шамира, Райвеста и Адельмана [47], помещенная в настоящем сборнике, посвящена изящному применению этих идей к・ «покеру без карт».

5ж. Заключение

Были предложены и другие криптосистемы с общественными ключами [26, 331. Однако в каждой из этих систем остается открытым важный вопрос:

НАСКОЛЬКО ОНА НАДЕЖНА?

Все эти системы кажутся надежными — но до сих пор пх надежность не доказана теоретически, и поэтому не исключена возможность, что кому-нибудь удастся изобрести хитроумный метод, позволяющий раскрыть их. Некоторые шаги в этом направлении были предприняты применительно к схемам на основе простых чисел и задач об укладке рюкзака, однако пока угроза не слишком серьезна (см. [28, 43, 48, 50]).

Хочу надеяться, что читателя заинтересовало это введение в увлекательную и быстро развивающуюся область. Мы убедились, что даже в самых неблагоприятных условиях существуют хитроумные шифровальные схемы, позволяющие сохранять тайну передаваемых сообщений.

Carleial, А. В. and Hellman, М. Е. 1977. A note on Wyner's wiretap channel. IEEE T rans. In jo. Theory IT—23: 387—390.

Coppersmith, D. and Grossman, E. 1975. Generators for certain alternating groups with applications to cryptography. SIAM J. Applied Math. 29 : 624—627.

Data Encryption Standart, Federal Information Processing Standard Publication No. 46, National Bureau of Standards, U. S. Dept, of Commerce, January 1977.

Davis, R. M. 1978. The Data Encryption Standard in perspective. IEEE Communications Society Magazine16 (November): 5—9.

Diffie, W. and Hellman, Al. E. 1976. New directions in cryptography, IEEE Гrans. Info. Theory IT—22： 644—654.

—»— 1976. A critique of the proposed Data Encryption Stanc 'd. Ccmm. ACM 19: 164—165.

—»— 1977. Exhaustive analy 】s of the NBS data encryption standard. Computer 10: (June) 74—84.

—»— 1979. Privacy and authentication： ал introduction to cryptography. Proc. IEEE 76: 397—427.

Evans, A. Jr., Kantrowitz, W., Weiss, E. J974. A user autbent .a- tion scheme not requiring secrecy in the computer. Comm, /CM 17: 437—442.

Fak, V. 1979. Repeated use of codes which detect deception. IEEE Trans. Info. Theory IT—25: 233—234.

Feistel, H. 1970. Cryptographic coding for data-bank privacy. Report RC—2827, YcrMcwn Heigbs, N. Y.: IBM Watson Research Center.'

—»— 1973. Cryptography and computer privacy. Scientific American 228 (May): 15—23.

Feistel, H., Notz, W. A. and Smith, J. L. Ю71. Cryptocraphic techniques for machine to machine data 二o;m ui _ations. Report RC-3663. Yorktown Heights, N. Y.: IBM Watson Research Center.

1975. Sotne cryptographic tcclmiques for inachine-to-rnachine

data communications- Proc. IEEE 63: 1545—1554.

Gaines, H. F. 1956. Cryptoanalysis. New York: Dover.

Ga Hager, R. 1968. Informal'on Theory and Reliable Communication. New York: Wiley; Галлагер P. Дж. Теория информации и надежная связь.— М.: Советское ргдно, 1974, 719 с

Gardner, М. 1977. A new king of cipher that would take millions of years to break. Scientific American 237 (August): 120—124.

Gefie, P. R. 1967. An open letter to communication engineers. Proc. IEEE 55: 2173.

Gilbert, E. N., MacWiHianis, F. J. and Sloane, N. J. A. 1974. Codes which detect deception. Bell Syst. Tech. J. 53: 405—424. (For a sequel to this paper see referei ce [ 10]).

8irdansky, M. B. 1971. Data privacy — Cryptology and the computer at the IBM Research. IBM Research Reports 7: (No. 4), 12 pages.

—»— 1972. Cryptology, the computer and data privacy. Computer and Automation 21 (April): 12—19.

Golomb, S. W. ed., 1964. Digital Communications with Space Ap- plications. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall.

Graham, R. L. (личное сообщение).

Grossman, E. K. and Tuckerman, B. 1977. Analysis of a Feistel- like cipher weakened by having no rotating key. Report RC—6375. Yorktown Heights: N. Y.: IBM Watson Research Center.

Guy. R. K. 1975. How to factor a number. Proc. Fifth Manitoba Conference on Numerical Math. pp. 49—89.

Hellmai), M. E. 1978. An overview of public key cryptography. IEEE Communications Society Magazine 16 (November): 24—32.

—»— 1980. A cryptanalytic time-memory tradeoff. IEEE Trans. Info. Theory. IT—26 (July).

Herkstzm. T. 1978. Critical remarks on some public-key cryptosystems BIT 18: 493—496.

Kahn, D. 1967. The Codebreakers. New York： Macmillan.

Kohnfelder, L. M. 1978. On the signature reblocking problem in public-key cryptosystems. Comm. ACM 21: 179.

Leung-Van-Cheong. S. K・ 1977. On a special class of wiretap channels. IEEE Trans. Info. Theory. /Т—23: 625—627.

Leung-Van-Cheong, S. K. and Hellman, M. E. 1978. The Gaussian wiretap channel. IEEE Trans. Info. Theory IT—24. 451—456.

Leung-Van-Cheong, S. I\. and Vacon. G. V. A method for private communication over a public channel, preprint.

Мак-В^гльямс Ф., Счоэн H. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки.—•М「Связь, 1979.

—》一1977. The Theory of Error-Correcting Codes. New York: Elsevier.

McEliece, R. J. 1977. The Theory of Information and Coding. Reading, Mass.: Addison-Wesley.

—》— 197s. A pnblie-key cryptosystem based on algebraic coding

\hyy. Deep Space Network Progress Report 42-44 Pajd— Jet Propulsion Labs (January) pp. Н4—Ц6

Merkle R. C. and Hellman, M. E. 1978. Hiding information and signatures in trapdoor knapsacks. IEEE Trans Info. Theory /Г—2?

Meyer С. H. and Tuchman, W. L. 1972. Pseudorandom codes can be cracked. Electronic Design 20 (November 9)： 74—76.

Morris, R. 1978. The Data Encryption Standard — retrospecrixe and prospects. IEEE Communications Society Magazine 16 (\h- v ember): 11—14.'

Morris, R., Sloance, N. J. A. and Wyner A. D. 1977. As^^sment of the National Bureau of Standards Proposed Federal Data Encryption Standard. Cryptologia 1: 281—306.

Purdy, G. B. 1974. A high security log-in procedure. Communications ACM 17: 442—445.

Rivest, R. L. 1978. Remarks on a proposed cryptanalytic attack on the M. I. T. public-key cryptosystem. Cryptologia 2: 62—65.

Ri vest R. L., Shammir, A. and Adelman, L. M. 1978. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. Comm. ACM 21: 120—126.

Shamir A. 1978. A fast signature scheme. Report TM—107. Laboratory for Computer Science, M. 1. T.

—》一1979. Factoring numbers in 0 (log n) arithmetic steps. Info.

Processing Let ters 8: 28—31.

Шамнр А., Райвест Л. P., Адельман Л. М. Покер без карт.— Настоящий сборник, с. 58—66.

Shamir, A. and Zippel, R. E. 1980. On the security of the Merkk- Hellman cryptographic scheme. IEEE Trans. Info. Theory IT-26 (May).

Shannon, С. E. 1949. Communication theory of secrecy systems. Bell Syst. Tech. J. 28: 656—715; Шеннон К. Э. Работы по теории информации и кибернетики. М.: ИЛ, 1963, 829 с.

Simmons, G. J. and Norris, М. J. 1977. Preliminary comments cn the M. I. T. public-key cryptosystem. Cryptologia 1: 406—414.

Smith, J. L. 1971. The design of Lucifer, a cryptographic device for data communications. Report RC-3326. Yorktoun Heights, N. Y.: IBM Watson Research Center.

Solovay, R. and Strassen, V. 1977. A fast Monte-Carlo test for pri- mality. SIAM J, Computing 6: 84—85 and 7 (1978):

Sugarman, R. et. al., 1979. On foiling computer crime. IEEE Spectra tn 16 (July): 31—41.

5£ Vernam, G. S. 1926. Cipher printing telegraph systems for secret wire and radio telegraphic communications. J. A1EE 45: 109—1

Verriest, E. and Hellman, M. E. 1979. Convolutional encoding for Wyner's wiretrap channel. IEEE Trans. Info. Theory,一 234—237.

Wyner, A. D. 1975. The wire-tap channel. Bell Syst. Tech. J. 54:

1355—1387.. d I I

Yuval, G. 1979. How to swindle Rabin. Cryptologia

Приложение

Настоящая книга представляет собой сборник с гатей, довольно резко отличающихся друг от друга по темам, характеру изложения и уровню сложности; даже сама группировка их по шести главам (разделам: <41гры», «Геометрия» и т. д.) в значительной степени условна. Чтобы помочь читателю правильно сориентироваться в этой книге и облегчить понимание рассматриваемых в ней проблем, мы сочли необходимым дополнить книгу приложением, которое имеет характер краткого комментария как к главам в целом, так и к отдельным сжатьям. В приложение включен также список литературы, ориентированный на советского читателя, поскольку авторские библиографические указатели к отдельным статьям сборника рассчитаны преимущественно на зарубежного (главным образом — англоязычного) читателя.

Игры

Совершенно естественно, что в сборнике, посвященном Мартину Гарднеру, создателю и редактору рубрики ^Математические игры» журнала Scientific American, первым идет раздел «Игры》. Математические игры ——точнее, математические теории тех или иных игр —— традиционно занимали и занимают очень большое место во всех книгах по математическим развлечениям; весьма велик их вес и в названных в предисловии сборниках Гарднера. В научно-популярной литературе на русском языке тема математических игр всегда занимала значительное место (см. [ 1, 2] в списке литературы, а также широко известные книги Я. И. Перельмана. (В дореволюционной литературе эта тема затрагивалась, например, в некогда весьма популярной многотомной «Физико-математической хрестоматии» А. А. Лямина.) Неоднократно обращался к теме о математических играх и наш физико-математический журнал для школьников «Квант».

Разного рода игры с математическим содержанием (или с содержанием, которое можно облечь в математическую форму — а это возможно сделать почти для каждой игры!) издавна пользовались широкой популярностью. Хорошо известно массовое увлечение придуманной Сэмом Лойдом «игрой в пятнадцать» L возникшее на рубеже прошлого и нынешнего столетий во многих странах мира, в том числе в Германии и США. Сегодня во многих странах Запада чрезвычайно популярна игра в так называемый «венгерский кубик» (которой посвящена огромная литература; см., например, [3]), придуманная будапештским архитектором и педагогом Эрнё Рубиком. Имеющие совсем иной характер азартные ит^ы (в карты, в кости и т. д.), как

См. задачу 21 из названного в предисловии сборника С. Лойда (10]. (Специально эюй игре посвящена книга Ковалевского (1 ]; много места уделено ей и в книгах Доморяда [2] и Еленьского [2].)

известно, послужили той шрикладной» базой, на которой в XVII вв. развилась математическая теория сероятностгй (в Tdv-^ Дж. Кардано, П. Ферма, Б. Паскаля, X. Гюйгенса н др.) на|；,. такие игры, как шашки или шахматы, в известной мере явилиа • • 7 делями для разработки общей теории игр.

Последняя фраза имеет в виду явственный рубеж между 〃вумн этапами математической разработки учения об играх, который наметился в середине XX в. Как известно, в XVII—XIX ьв. (дай в вой половине нашего столетия) главными «потребителями матемап - ки являлись астрономия, физика и техника; при этом основу исп< ib- зуемого математического аппарата составляли магпематический c,yq— 力〃з (дифференциальное и интегральное исчисление) и теория дифференциальных уравнений. Однако вторая половина нашего сто- тия ознэменовалась (что, безусловно, связано с созданием ЗВМ)кол сальной математической «экспансией» ——вторжением математики в совершенно новые отрасли науки и интеллектуально访 деятельности, ранее чуждавшиеся математики Прн этом «математизированные» гуманитарные и социальные науки потребовали совсем нового мат;та- тического аппарата, новых постановок задач и мете лов их решен гя — и одним из центральных направлений ново員％ математики, широко используемым в экономике и военном деле, теории управления и психология, социологии и биологических дисциплинах, явилась f atne- матическая теория игр. Эта теория позволила разработать методы для изучения всякого рода конфликтных ситуаций в самом широком понимании этого термина.

Создание теории игр обычно датируют 1928 г., когда была опубликована (воспроизведенная в сборнике [7]) статья выдающегося математика Джона фон Неймана. Однако в то время прикладное значение теории игр еще не могло быть оценено —— и статья Неймана осталась тогда незамеченной. Поэтому справедливее, пожалуй, относить создание теории игр к 1943 г., когда вышла в свет обстоятельная монография Неймаиа и экономиста О. Моргенштерна [6], ориентировочная в первую очередь на приложения теории игр к экономике и социальным наукам. С этого момента рост литературы по теории игр принял поистине лавинообразный характер. Это вполне соответствовало как выдающемуся прикладному значению этой области знаний, сразу занявшей почти ведущее место во всей «новой математике»», порожденной современным научно-техническим прогрессом, так и естественному интересу к ^интеллектуальным играм» типа шахмат как к определенной модели умственной деятельности человека L В этой литературе (см., например, [4,5]) была отработана, в частности, вся основная терминология теории игр: игры с полной информацией t в которых каждая сторона в каждый момент игры полностью знакома с «игровой ситуацией» (пример ——шахматы), и с неполной информацией (пример — карты); симметричные, или беспристрастные, игры, в которых в каждой позиции игровые возможности обеих

Именно последнее обстоятельство определило то огромн внимание, которое уделяется ныне в разных странах мира, кг - лось бы, бесполезной задаче обучения ЭВМ игре в 111axMс

связан рода:игры.связан рода:игры.известный афоризм московского математика А. ХР ' «Все так называемые серьезные задачи — эго

связан рода:

игры.

связан рода:

игры.

Детские игры — вот единственно серьезные зада1 *

с~орон полностью совпадают, и несимметричные, пристрастные', ьсроятнсстные игры, в которых то или иное место отводится случаю (пример — карты ичи кости), и динамические игры, подобные шашкам или шахматам, исключающие роль случая; безобидные игры с равными шансами у обеих партнеров и неб, зобидные игры; понятия страназии (общего плана игры), цены игры и т. д. В настоящей книге эта терминология, как и содержание математической теории игр, в ос-iовном используется достаточно экономно. Заметим, кстати, что кроме статей гл. 1 теоретико-игровую форму имеет также и статья 5.5,

В современной теории игр широко используется также связь этой тематики с теорией графов (см., например, [8], а также статью 6.1 и литературу к ней), находящая отражение в отдельных статьях сборника, например в статьях 1.2 и 1.7. Предположим, чтс рассматриваемая игра имеет конечный набор МУ1М2，义4以 «игровых позиций»

и что она симметрична в том смысле, что в любой позиции каждый из играющих имеет возможность сделать одни и те же ходы. В таком случае мы можем, отметив на плоскости л точек МГч Л/2, . . ., AI门,соединить каждую точку Мf (где i 1,2, . . ., л) со всеми позициями 財/, в которые можно перейти из позиции М( одним ходом. Тем самым мы сопоставим нашей игре граф с п вершинами 財卜 М^ . . ., Мп и ребрами Mi Л4/・ При этом на ребрах (линиях, соединяющих точен Mi и М} стрелкой) указывается направление возможного перехода (в нашем случае стрелка должна указывать направление от вершины Mi к вершине Л1у), т. е. мы будем нметк так называемый ориентиро- Банный граф (в котором всем ребрам приписывается определенное направление, или ориентация). Саму же игру теперь можно описать как осуществляемое последовательно двумя игроками «странствие» по вершинам графа, где возможными «путями» служат ребра графа; при этом мы начинаем с точки Л1Ъ отвечающей начальной позиции, и победителем считается тот, кто раньше достигнет одной или нескольких (чфилишных вершин графа, отвечающих выигрышу.

К теме об играх непосредственно относятся статьи 1.1—1.4 и 1.6—1.7 и имеющая теоретико-игровую форму статья 5.5. Напротив, статья 1.5, хстя ее содержание и описывается в терминах некоторой условной «игры», по существу гораздо ближе к теорет ико-информа- ционным проблемам, затронутым в последней статье сборника, чем к собственно теории игр. Отметим еще； что статьи главы «Игры?, как и все другие статьи сборника, отличаются разной степенью трудности, причем самыми простыми из них, пожалуй, являются статьи 1 6 и 1.7 (и имеющая иной характер краткая заметка 1.3), а наиболее трудны, вероятно, статьи 1.1 и 1,5.

Сыграем в тупинз? Эта содержательная и яркая, но отнюдь нр простая статья настолько существенно связана с известной игрой ним (см., например, книги Аренса [1], Доморяда и Игнатьева [2], а также [9]), что здесь, возможно, следует рассказать об этой игре. Одна пз возможных (и распространенных) формулировок условий игры ним такова. В трех кучках лежат по нескольку (любое число!) камешков или фишек. Каждый из двух играющих своим ходом имеет право взять гюбсе число фишек из одной ——но только из одной ——кучки. Выигравшим считается тот, кто эсберет последнюю фишку. Теория игры ним сводится к записи трех чисел at b и с числа фишек в каждой из трех ку иек в двоичной системе счисления, т. е. в виде а~отат_1 • ♦ • °1〃0, b^bmbm-!_ ... %瓦 И с стст^г •…с“о, где, например.

У—…ар=а*на「21二… a〃—r2"T "„；・2",всечз， ^f^ck равны 0 или 1 и хотя бы одна из трех «цифр» ат 匕 п с на 1. При этом позиция является выигрышной для начинающего е \ ； хотя бы одна «ним-сумма»。内也卜仃(где i=0 J, 2…m, см. c. 13) на 1, н проигрышной, если все эти «ним-суммы> равны 0. Если позщтпя является выигрышной в этом смысле, то начинающий всегда своим ходом сделать позицию проигрышной (почему?)； после этого второй игрок снова неизбежно сделает позицию выигрышной для начинающего и т. д. (Другие варианты теорнн игры ним, нсполь зующие не двоичные, а четверичные, восьмеричные и т. д. представления чисел а, Ь, и с (количество этих чисел может быть любым), намечены в примечании к решению задачи 128 книги |9].|

Доказательство формулы (4) статьи имеется во всех книгах и статьях о числах Фибоначчи (см., например, разд. Б. гл. 14 книги Кордемского [2], или брошюру [ 101).

В известном смысле еще более близкой (чем игра ним) к игре ту- пинз является старинная китайская народная игра цзяныпиц, j (в переводе ——выбирание камней), в американской п западноеврппе ской литературе обычно именуемая игрой Витгофа — по имени голландского математика, указавшего в 1907 г. этот вариант популярной в Европе игры ннм, не зная о китайском происхождении обеих игр： и ним, и цзяньшицзы. Эта игра, как и игра тупннз, тесно связа- a _ числами Фибоначчи. (По поводу теории игры цзяньшицзы см., например, § 10 книги Доморядх (2J, книгу Кордемского [2], а также [9] и [11]. Обобщения этой игры рассматриваются в статьях [12].)

Несколько замечаний по поводу одной задачи из игры в гекс. Эта заметка теснс связана с указанным в ее начале стрывкогг из книги Гарднера (см. подстрочное примечание на с. 41). Фигурирующая в конце статьи теорема Кенига о двудольных графах имеется во многих книгах по теории графов (см., например, с. 32 кнпгн Ф. Харари [6], названной на с. 431). (Граф называется двудольным, если вс」 его вершины можно разбить на две такие непересекающиеся части, что каждое ребро соединяет вершину из 1-й части с вершиной из 2-й части; теорема Кёнига дает условие двудольности графа. Австриец Д. Кёниг является автором первой книги по теории графов, вышедшей в свет еще в 1936 г.; полтора десятка лет эта книга оставалась единственной по данной тематике.) Ряд шахматных головоломок, ключом к решению которых является теория графов, собран в книсе [13].

Покер без карт. Разумеется, чтение этой статьи предполагает хотя бы приблизительное знание условий игры в покер. Сущ ность этой карточной игры состоит в том, что каждый из играющих получает по 5 карт; до начала «с}гщественной» части игры, когда к”」 дын игоок ставит определенную сумму на свои карты, играющие t..or\i по определенным правилам меняться картами или «прикупать карты из колоды. Далее идет «торговля», т. е. назначение ставок; затем t зрты раскрываются и выигравшим объявляется тот, у кого на руках i- ся более «сильная» комбинация карт. Примеры учитываемых в игре в покер комбинаций карт («каре» ——4 карты одного «значения), 《флеш» — 5 карт одной масти; «стриг — 5 последовательны к карт, не обязательно одной масти и т. д.) и вероятности этих комоинаци^ (чем комбинация менее вероятна, тем, как правило, она сильнее) пере~

числены, например, в книге [5} (упр. 11, § 3, гл. IV); при этом надо еще иметь в виду, что одноименные комбинации также разнятся по силе в зависимости от участвующих в них карт (например, каре королей сильнее, чем каре дам или валетов и т. д.). Игра «покер» подробно обсуждается в классической книге I6J; схематизмрованному, «упрощенному» покеру посвящен § 9, гл. VI книги [5].

Мы уже говорили, что настоящая статья по тематике ближе к гп. 6 (в частности, к статье 6.3), чем к другим статьям об играх. Понимание этой статьи мсжет несколько облегчить частичное ознакомление с «общими» разделами названной в связи^со'статьей 6.3 в [57] (§ 3, гл. Ill; § 1 и 2, гл. IV, а также конец § 4 и начало § 5 той же главы). Относительно используемых в статье сравнений (запись Р三Q (mod л) читается: Р сравнимо с Q по модулю п> ——см. любой курс теории чисел, скажем [14]. Здесь же (§ 5, гл. II первой из книг, гл. 10 —— второй, § 23 ——третьей) выводится формула для фигурирующей в статье теорет ико-чнсловой функции Эйлера g(九丿一числа натуральных чисел, меньших данного натурального числа п и взаимно-простых с ним,——и доказываются ее свойства (вывод формулы для числа (р(л) составляет также содержание задачи 12 § 1 разд. I книги ⑼).

Дешево, дорого или ло сходной цене? Как мы уже заказывали, это единственная статья сборника, по своей проблематике непосред- ствеино связанная с математической теорией игр; поэтому для ее понимания полезно ознакомиться с теми или иными из книг и статей 14) (самые простые из них —— брошюра Венцель и кннгн Вильямса и Кофмана ——Фора) или [5]. Существенную роль в этой статье играет также понятие вероятности и связанные с ним понятия, например понятие среднего значения случайной величины; с этими понятиями можно познакомиться в книгах [5] (гл. IV), [9] (§ 7, разд.1) или [15].

Задача об одной игре в «классы^, имеющей случа访ннЛ характер, или как сделать, чтобы Джонни больше читал. Рассматриваемая здесь «игра», как и в случае ситуации, проанализированной в статье 1.6, имеет «случайный» (вероятностный) характер； поэтому здесь также полезны первоначальные знания в области теории вероятностей, которые можно получить из источников, указанных в комментариях к статье 1.6. Однако здесь, по существу, мы встречаемся с понятием вероятностного (случайного) процесса; эти процессы исследованы в книгах [16J; наряду с ними читателю можно порекомендовать ознакомиться с заключительными параграфами гл. IV книги [5J (а также с рядом тем из гл. VII той же книги). В связи с возникающими в этсй статье рекуррентными методами вычисления вероятностей полезно обратиться к брошюре Маркушевича [10).

Геометрия

Сравнительно небольшая по объему и небогатая по содержанию гл. 2 сборника отражает определенный кризис, который переживает ныне геометрия: из шести статей этого раздела лишь две последние можно отнести к области столь популярной в XIX в. элементарной геометрии, тогда как четыре остальные статьи относятся к более современным ее разделам, порожденным тем, что можно было бы назвать «математическим мышлением второй половины XX в.». Особенно поучительно сравнение этой главы с гораздо более цельными по содержанию и объемными главами 3 и 4, относящимися к теме, ко-

торую можно было бы охарактеризовать как -элементарную геом.

Рию 2-芽 половины XX в.» (см. начало комментария к этим главял? я также книгу и статью |37]).завам, а

Венки из касающихся кругов. Эта статья связана с темюй о геометрических оценках и задачах оптимизации в геометрии (со книги [17]), интерес к которой порожден огромной ролью оптимизационных проблем в современной чистой и (особенно») прик^иднон математике; частично эта тема примыкает также к тематике брошюры [18]. относящейся к так называемой комбинаторной геометрии ( комментарии к статьям гл. 3 и 4). Еще одно направление, с которым соприкасается тема настоящей статьи,— вопрос о пифагоровых треугольниках, т. е. прямоугольных треугольника', катеты а,匕 и гни те- нуза с которых выражается целыми числами, и вообще вопрос и так называемых диофантовых, уравнениях, т. е. уравнениях с несколькими неизвестными, для которых требуется отыскать целочиел ннь ° нк решения (в случае пифагоровых треугольников речь идет об уравнении а2+&2 с2, где а, Ь,с — неизвестные). Общее решение «пифагоров3 Уравнения» ^^ Z?2=c2 в целых числах дается формул ими a=2kmnf b=k(m2—九会)，c=A(』+九，где 论，叭 〃 —натуральнк • числа, тип ——взаимно-простые числа, и естественно считать, что /п>л и что одно из этих чисел четное, а второе — нечетное. Приведен - пые формулы (неосновательно) приписываются Платону, хотя их наверняка знали еще пифагорейцы (а может быть, и древние вави> лоняне, поскольку среди дошедших до нас их пись-'енных памятников имеется клинописная глиняная табличка с > списком первых «пифагоровых троек» чисел). Вывод 410PMул для трсек пифагоровых чисел можно найти, например, в книге [19]. трактующей эту тему исключительно широко.

Как вывернуть велосипедную камеру? Эта статья касается топологии (см. о ней книги и статьи [20]), которая в наши дни приобрела статут одной из важнейших математических дисциплин и даже в известной мере потеснила свою «старшую сестру» —— геометрию. По поводу конкретной задачи, рассмотренной в данной статье, см., на- прнмер» ⑵].

Изгибаемые поверхности. Настоящая статья относится к переживающей ныне новый расцвет древней теме—nwopitu 財小一。- гранников (см. в первую очередь статью [22], вторые части учебиикив [23] и задачник [24]; на более подготовленного читателя рассчитана книга [25]). Эта тема интересовала в свое время древнегреческих мудрецов (ведь недаром правильные многогранники мы по сей день называем Платоновыми телами?), и великого I I. Кеплера, но нанбаль- ший вклад в нее внесли ученые XIX — начала XX вв.： француз О. Коши и немецкие математики Г. Минковский и Е. Штейниц. Перзым предвестником нового расцвета теории многогранников в нашем веке по праву можно считать работы А. Д. Александрова и е『° школы, подытоженные в монографии [25], являющиеся продолжением, развитием, а иногда и завершением классических результатов [^°мет" ров XIX — начала XX вв. В то же время Б. Грюнбаум. Г. Шепард (см. сказанное ниже об авторах настоящего сборника) и их коллега В. Кли начали здесь в некотором смысле новую главу. _

Статья Коинелн посвящена результату, полученному им в к •

(и опу бликованному в 1978 г.——см. [26}), который вызвал подлинную сенсацию, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что к числу ученых, п родолживших исследования Конн ели, относятся столь авторитетные математики, как голландец Николаас Кёйпер, возглавь в- мий Институт высших исследований под Парижем (своего рода европейский аналог знаменитого американского Института перспективных исследований в Принстоне), и более молодой Пьер Делинь —— один из самых известных французских ученых младшего поколения. Дело в том, что после появления упоминаемой в тексте теоремы Коши (доказательства которой имеются в статье [22], рассчитанных на школьников книгах Адам ара [23] и [24], а также в монографии [25], вполне доступной и наиболее способным учащимся) большинство геометров были твердо уверены, что и для невыпуклых многогранников (Не самопересекающихся) имеет место аналог теоремы Коши, который неизбежно будет рано или поздно доказан. Таким образом многогранники Конн ели * явились для всех полным сюрпризом. В нашей научно-популярной литературе результатам Коннели посвящена обстоятельная статья [27]. По поводу ссылки автора на Гарднера в конце его статьи см. также научно-популярную брошюру Болтянского |28], примыкающую по теме к более серьезному сочинению того же автора, которое указано в статье Р. Коннели.

Как сажать деревья? Несколько неожиданным результатом современного расцвета «конечной» математики (связанного с развитием ЭВМ), не имеющей дела с непрерывными функциями и предельными переходами, явился повышенный интерес к так называемым конечным геометриям, содержащим конечное число точек и прямых, где, однако (как правило!) считают, что через каждые две точки проводит единственная прямая. Теории таких геометрий сегодня посвящено множество книг и статей (см., например, [29]), и она уже нашла серьезные практические применения. Другое новое направление геометрии, порожденное теми же общими тенденциями, составляет так называемая теория расположений (прямых или кривых) линий иа плоскости и ее стереометрические аналоги. Обе эти ветви геометрии (конечные геометрии и теорию расположений) на Западе часто называют комбинаторной геометриейt тогда как у нас этот термин (который употребляется и в статье [2.4]) имеет другой смысл.

Теория расположений точек и прямых считает своим родоначальником знаменитого Джеймса Сильвестра ——одного из виднейших английских математиков XIX в , который много лет работал в США в университете Джона Гопкинса. От Сильвестра идет знаменитая задача о таком расположении конечного числа точек на плоскости, что каждой прямой^ соединяющей две из этих точек, принадлежит еще хотя бы одна из них (все эти точки должны принадлежать одной прямой, чего Сильвестру доказать не удалось,——см. задачу 106 книги [9]). От также упоминаемых в статье Л. Келли и У. Мозера идет, как будто, задача оценки наименьшего возможного числа 入(р) различных прямых среди прямых, соединяющих р точек плоскости, не принадлежащих одной прямой (доказано, что 入(р)Ар при р2; см. задачу 107 книги [9]). Но истинным создателем теории расположений линий, видимо» следует считать Б. Грюнбаума: этой теме посвящена гл. 18 его книги «Convex Polytopes» (см. с. 490), а также книга [3] в литературе к статье 2.4).

Знания проективной геометрии, желательные для понимания статьи 2.4, заметно меньше тех, которые можно почерпнуть из книги Куранта и Роббинса 120], из простых книг и статьи [30| или из названной на с. 267 книги Коксетера |3].

Нарежьте потоньше. Знаменитый трактат Б. Кавальери 131] переведен и на русский язык. Формула (1) (с. 139) известна всем изучавшим интегральное исчисление как формула Симпсона-, элементарный вывод ее для так называемых призматоидов, включающих все тела, названные автором статьи, имеется, например, в книге [32].

Как Папп доказал свою теорему? Последний великий греческий математик Папп жил и работал в Александрии в начале 1\ в. Его «Математическое собрание» имеет в основном характер комментариев и дополнений к более ранним текстам. Выяснить, что именно сделал Папп самостоятельно, в настоящее время невозможно: к услугам Паппа была великолепная Александрийская библиотека По поводу упоминаемых в тексте теорем Архимеда об арбел-jce см. [ 1] (с. 363—365, в списке литературы к статье 6.1). Свойства инверсии, используемые в современном доказательстве теоремы Паппа, описываются, напрнмер, в первых частях книг [23]; в книге Я гл ом |30|; в книгах (33]: по поводу доказательства этой теоремы (и родственных ей предложений) см., например, Яглом |30] (задачи 224—227 и 399) пли книгу Адамара [23] (ч.1, задача 399).

Мозам км на плоскости

Мозаики в пространстве

Выше в связи со статьей 2.4 мы уже касались своеобразных изменений, происшедших в геометрии во второй половине XX в. и вы- разившихся во взрывоподобном росте интереса к ее разделам, связанным с «конечной математикой» наших дней. Здесь, пожалуй, в первую очередь надо назвать расцвет так называемой дискретной геометрии (см. [34|), созданной во 2-й половине XIX в. в связи с попытками нащупать геометрические подходы к теоретико-числовым проблемам (возникновение геометрической теории чисел связывают с именами немецкого математика Г. Минковского, русского Г. Ф Вороного и норвежца А. Туэ), а также создание комбинаторной геометрии (СМ. [35, 36, 18] н вторую из книг [17]), анализирующей оптимизационные задачи, связанные с кон фигу рациями из конечного чиста точек или фигур (чаще всего выпуклых). Обсуждению причин рас цвета дискретной и комбинаторной геометрии посвящены брошюр и статья [37]; см. также предисловие и послесловие к книгам |38, 39], входящим в серию книг по занимательной математике.

Под дискретной геометрией, сегодня имеющей уже серьезные практические применения, в наши дни обычно понимают совокупность задач, порожденных тремя проблемами: проблемой (возможно более плотного) заполнения (укладки, упаковки) плоскости, пространства или их части (неперекрывающимися) фигурами из д?нног ра фигур; проблемой (возможно более «разрежениого>0 укрытия плоскости, пространства или их частиц проблемой разбие —； мозаики, как мы переводим здесь английский термин 一 '

личное покрытие), которое одновременно является и упаковкой, и покрытием. Заметим еще, что в дискретной геометрии большую роль ：играет различие между решетчатыми н не решетчатыми упаковками, покрытиями и разбиениями, где решетчатым называется расположение фигур, которое может бьпь переведено само в себя движениями 'из (по возможности достаточно богатой) совокупности (группы) движений. Читатели сами без труда установят, какие из рассматриваемых в статьях гл. 3——4 мозаики являются решетчатыми, а какие не являются таковыми.

Разбиения на равносторонние треугольники. Тематика это!» статьи тесно связана с содержанием книги [36], посвященной разбое- ни ям прямоугольников 〃 квадратов на попарно неравные квадраты, и можно только удивляться тому потоку исследований, который посвящен этой, казалось бы, достаточно выспренней задаче. (Вышедшу^ю в свет в 1968 г. книгу [36] сегодня уже приходится считать изрядно устаревшей: см. краткую информацию в «Кванте» [401, и особенно указанный под тем же номером обстоятельный обзор Федерико.) В ]36] доказывается, что разносторонний т^угольнак не допускает разбиения на попарно различные равносторонние треугольники (ср с.167). У. Т. Татт выходит из положения, различая равные, но противоположно ориентированные треугольники. При таком подходе задача о разбиении правильного треугольника (или параллелограмма с углами в 60 и 12(г) на попарно неравные правильные треугольники становится вполне содержательной и близкой к тем построениям, которым посвящена книга [36] и обзор (40]. По поводу литерат^ы по теории графов см., например, книги й статьи [8] и |60l; вполне достаточные для понимания статьи сведения о матрицах читатель может почерпнуть, например, из гл. V книги (5].

Хвала любителям. Тема о мозаиках на плоскости широко представлена, например, в замечательной книге Штейнгауза |41] (см. также, например, статью Колмогорова [41] или разд. 4 книги 124]). В силу совсем простой задачи 82 из последней книги плоскость может быть покрыта произвольными (но равными друг другу?) треугольниками, (выпуклыми или невыпуклыми) четырех)тольниками или центрально-симметричными шестиугольниками; несколько более сложная задача 83 из той же книги утверждает, что площадь нельзя покрыть (одинаковыми или различными) выпуклыми семиугольниками или м ногоугольн и ками, имеющими более семи сторон (ср. с. 183; требование выпуклости здесь существенно). (В [24] все задачи сопровождаются подробными решениями )

Продолжением темы этой статьи является статья 3.4.

Некоторые проблемы, связанные с плоскими мозаиками. Даже доказательство указанного на с. 229 результата Ханта и Хиршхорна все еще не опубликовано, и желающие могут попробовать отыскать новые выпуклые пятиугольники, являющиеся прототипами мо- ноэдрической мозаики. 18-я проблема Гильберта сопровождаете я в указанном на с. 252 комментированном издании гильбертовых проб- лем обстоятельной статьей знаменитого Дж. Мнлнора, известного нашим читателям по переводам многочисленных книг и статей. В русском издании «Проблем Гильберта» эту проблему комментирует ■Б. Н. Делоне, которого, мне кажется, вполне можно считать одним

мз классиков всей теории разбиений или мозаик. Пр— 4ИЯМИ ■мн настоящей статьи являются работы Грюнбаума и Шег. г n 1 Moi (две последние из которых — обстоятельные об. ры, включен л в том, посвященный юбилею Г. С. М- Коксетера) и особенно 乩 ЗВан- ная на с. 252 книга тех же авторов. (По поводу содержащихся вгга.ье ссылок на график) М. К- Эшера см. комментарий к следующей статье.}

Ангелы и демоны. Произведения известного гсллан/.екого «математического графика» Мориса Корнелиуса Эшера воспроизводились в нашей печати не днократно (в частности, в журналах «Квант* и «Знание — сила»); однако из посвященной ему литер, туры можно указать лишь маленькую книжку 143]. Продолж€ни€м цити- р”емнх Коксетером статей Кроуъа, посвященных математическому анализу африканского искусства, является статья [44] (ср. т.жже [45]). Упомянутая в тексте модель Пуанкаре плоской неевклидовой геометрии подробно описана в первой из книг |30] (и в десятках дру- гмх книг и статей); к содержанию настоящей статьи ближе всего § 8 гл. 15 названной на с. 267 книги ^Введение в геометрию» ГС М. Коксетера (Кокстера).

Могут ли кубы избежать встречи лицом к лицу? У читателя этой статьи предполагаются минимальные сведения по теории сравнений ——много меньшие, чем даются любым курсом теории чисел (см. Ц4]).

Упаковка зеркальных пеитакубов. По поводу(BnepBi.it перечисленных составителем настоящего сборника Д. А. Клар ерг-4)29 типов пентакубов см. с. 123—129 книги [38].

Моя жизнь среди полимиио. Настоящая статья тесин связана с книгой С. Голомба [38]; еднако, строго говоря, знание этой книги не обязательно для понимания статьи. (См. также работу Кларнера [46], примыкающую к теме настоящей статьи.) В отдельных свои разделах статья 4.4 имеет также точки соприкосновения со статьей 6-2 и с указанной в конце нее литературой.

Задачи и забавы

Исчезновение. Шутка Д. Е. Кнута пародирует изве тную математическую головоломку, связанную с исчезновением предметов (или фигур). В старых изданиях книг Я- И. Перельмана подробно описывается соответствующая игрушка, представляющая собой подвижный круг, на периферии которого располагались 13 ки^ййцсв в богатых восточных одеждах; тела китайцев частично помещались внутрь круга, а частично располагались вне его; при，пределен ном повороте круга один китаец исчезал. Ныне — увы! — из продажи исчезла сама игрушка, а из книг — ее описание. По поводу математического содержания этой головоломки (достаточно точно, кстати сказать, воспроизведенного автором) см-, например, с. 240 и 5附一 книги Кор деме кого [2] млн с. 243—244 книги Еленьского

Неевклидова гармония. Эта статья может смутить ^итателя; „б<> она вдохновлена нс творчеством Гарднера, а скорее упемяиутои в сборнике талантливой, но далекой от Гарднера по духу 11clM

книгой физика Дугласа Ф. Хофштаттера «Эшер, Гёдель, Бах», а также знаменитым (и увенчанным Нобелевской премией) романом швейцарца Германа Гессе «Игра в бисер» (М.: Худлит, 1969). (Композитора Баха знают все; о художнике М. К- Эшере много говорится в статьях 3.4 и 3.5 настоящей книги; по поводу результатов выдающегося американского (ранее австрийского) логика Курта Гёделя см. книги [47] и особенно статью [48J.)

«Постулаты Евклида», разумеется, копируют подлинные постулаты Евклида [49], так же как его «теорема»——теорему о сумме углов треугольника. (В 4-м постулате Евклида и в его теореме обыгрывае!- ся многозначность слова «тритон» — одновременно музыкального термина» названия семейства хвостатых земноводных ——саламандр и морского божества греческой мифологии.) Исторический Джироламо Саккери (1667——1733) один из п редшествен н и ков неевклидовой геометрии (см., например, [50]). «Золотой интервал» пифагорейцев ——это, безусловно, золотое сечение (ср. 197]). Вера пифагорейцев во всемогущество натуральных чисел, управляющих гармонией Вселенной, нашла своеобразное отражение в часто цитируемой и пародируемой Кимом фразе немецкого математика XIX в. Л. Кронекера： «Бог сотворил натуральные числа; все опальное ——дело рук человеческих^. Здесь Кронекер имел в виду возможность построения всех дальнейших числовых систем» исходя из натуральных чисел (см. (521). Пародирование в статье известных парадоксов Зенона Элейского (начало V в. до н. э.) и критянина Эпименида (высказывание: 《Все гаитяне — лжецы» ——см. разд. 13 книги [53]) является очевидным- Относительно теорем Гёделя см. [47, 48].

Большие затруднения может вызвать у читателя раздел о «Неев- клиде», под которым понимается австрийский композитор и теоретик музыки Арнольд Шёнберг, глава сиовой венской школы». В начале 20-х годов Шёнберг разработал так называемую 12~тоновую систему музыкальной композиции» или додекафонию (об этом см. [57]). (Шёнберг в известной мере послужил прототипом образа композитора Адриана Леверкюна — главного героя знаменитого романа Т. Манна «Доктор Фаустусх). С открытием додекафонии связана фраза Шёнберга, произнесенная им в июле 1921 г.: «Сегодня я от- грыл нечто, что утвердит превосходство немецкой музыки на следующие 100 лет». Конец посвященного еНеевклиду» раздела, разумеется, является пародийным откликом на создание теории относительности и новейшие теории пространства-времени.

Последний раздел статьи, связанный с теорией относительности А. Эйнштейна, канторовской теорией множеств (причем автор обыгрывает канторовские термины: кардинальные и ординальные числа} и решением так называемой проблемы четырех красок американцами К- Аппелем и В. Хакеном (см., например. [55]), не вызовет, вероятно» затруднений у читателя.

Магические кубооктаэдры. Диаграмма Шлегеля многогранника получается при отображении всех его граней на одну какую-либо грань с помощью, например, центрального проецирования из подходяще выбранной точки вне многогранника. В качестве литературы здесь можно указать, пожалуй, лишь названную на с. 491 книгу Коксетера о правильных многогранниках.

Игры, графы, галереи. Теорему Хватала о картинной галерее любопытно сопоставить с теоремой Красносельского^ дающей не-

обходимое и достаточное условие того, что в галерее можно обойтись одним сторожем (см. с. 35 книги [56]). По поводу теоремы о том, что рациональное число /后 где л ——целое, само обязательно явлчется целым, см., например, книгу Нивена [52].

Занимательное столоверчение. См. введение к комментариям к гл. 1 настоящей книги и указанную там литературу по теории игр.

Алгоритм решения при "二 4, приведенный М. Гарднером в мартовском номере Scientific American за 1979 г., о котором говоршся в статье, сводится к следующему:

Ощупать стаканы, расположенные на концах любой диагонали. Если они оба не обращены вверх дном, перевести их в это положение. Если колокольчик не зазвенит, то приступить к операции 2.

Повернуть стол и ощупать стаканы в любых двух соседних гнездах. Если они оба обращены вверх дном, оставить пх в прежнем положении. В противном случае перевернуть вверх дном тот из дв)л стаканов, который был обращен вниз дном. Если колокольчик не зазвенит, то это означает, что три стакана теперь обращены вверх дном- и один стакан обращен вниз дном.

Повернуть стол и ощупать стаканы, расположенные на концах любой диагонали. Если один из ощупываемых стаканов обращен вниз дном, перевернуть его — и тогда зазвенит колокольчик. Если г、6а стакана обращены вверх дном, перевернуть один из них так, чтобы стаканы расположились по схеме:

Вверх (дном)Вниз

ВверхВниз

Повернуть стол и перевернуть стаканы в любых двух соседних гнездах. Если до этого они были оба перевернуты дном в одну сторону, то колокольчик зазвенит. В противном случае стаканы расположатся по схеме

Вверх (дном)Вниз

ВнизВверх

Повернуть стол и перевернуть стаканы на концах любой диагонали. Колокольчик зазвенит.

Числа и теория кодирования

Сверхъестественные числа. 6.3. Коды, исправляющие ошибки, и криптография. Эти две статьи связаны с теорией информации, о которой см., например, 157]; в частности, статья 6.1 имеет некоторые точки сопри косновен и я с гл. III названной книги. В связи со статьей 6.1 могут представлять интерес также статьи [58]. По поводу статьи 6.3 (возможно, наиболее трудной в сборнике) можно указать рассчитанную на школьников книгу [59], принадлежащую к неоднократно упоминавшейся выше сернн «Новая математическая библиотечка», а также существующую на русском 需J罪 литературу по теории кодирования ([35] на с. 471 влн книги

Как и что считают специалисты по теории графов. Эта относящаяся к теории графов (см. [60]) статья теснее всего связанасука- занными в конце статьи (с. 431) и переведенными на русский книгами [6, 7]. По поводу упоминаемых в статье чисел Каталана см. также [62J.

Дополнительная литература

Шуберт Г. Математи чес к ие развлечения и игры-— Одесса: Матезис, 1923; Ковалевский Г. Избранные главы из математической теории игр.— Пгр.: Научное книгоиздательство, 1924; Аренс В. Математические игры и развлечения.— «Л.— М.: Петроград, 1924.

Доморяд А. П. Математические игры и развлечения.— М : Фпзматгнз, 1961; Кордемский Б. А. Математическая смекалка.— М-： Наука, 1965; Игнатьев Е. II. В царстве смекалки.— М-： Наука, 1982; Еленьскнй Щ. По следам Пифагора.— М.: Дет- гиз. 1961.

Залгаллер В., Залгаллер С. Венгерский шарнирный кубнк.— «Квант», 1980, № 12, с. 17—21; Дубровский В. Алгоритм волшебного кубика.— «Квант», 1982, № 7, с. 22—25; он же. Математика волшебного кубика.—《Квант», 1982, №8, с. 22—27 и 48; Hintze *М・ Der ungarische Zauberwiirfel.— Berlin, Dentscher Verlag der Wissenschaften, 1982; Rubik E. My cube. — Penguin Books, 1981.

- Венцель E. С. Элементы теории игр.——М.： Физматгиз, 1961; Вильямс Дж. Д. Совершенный стратег.——М-: Советское радио, 1960: Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр.— М.: Физматгиз, 1960; Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций (гл. 10). — М-： Мир, 1966; Боненбласт Р. Ф. Теория игр.— В кн.: Современная математика для инженеров (под ред. Э. Ф. Беккенбаха).— М・：ПЛ, 1959, с. 216—236.

Кеменн Дж., Снелл Дж-, Томпсон Дж. Введение в конечную математику (гл. VI).— М-： Мир. 1964.

Нейман Дж.» Моргенштерн О. Теория игр н экономическое по- ведение.— М-： Наука, 1970.

Матричные игры (под ред. Н. Н. Воробьева).— М-： Фнзмат- 1из, 1961.

Оре О. Графы и их применения.— М.: Мир, 1965; Уилсон Р. Введение в теорию графов.— М.： Мир, 1977; Болтянский В. Г. Топология графов.——«Квант», 1981, № 6. с. 5——10; он же. Плоские графы.— «Квант», 1981, № 7, с. 11—16.

Я гл ом А. М., Я гл ом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении (задачи 128——129).——М.: Гопехиздат, 1954; Яглом II. М. Две игры со спнчками.— «Квант», 1971, № 2, с. 41—45.

Id Воробьев Н. Н- Числа Фибоначчи-—М-： Наука, 1978; Марку- шевич А. И. Возвратные последовательности.— М.: Наука, 1975.

Беррондо М. Занимательные задачи (гл. 7, задача № 7).——М.: Мир, 1982; Орлов А. Ставь на мнн\с! — «Квант», 1977, № 3. с. 41 —45; Арнольд И. В. Об одном свойстве числа т (『5+1)/2.— Мат. просвещение (старая серия), вып. 8. 1936, с. 16—24; Со- xeter Н. S. М. The golden section, Phylotaxis and Wythoff's game.— Scripta Mathematica, 19, 1953, p. 135—143.

Connel I. G. A generalization of Wythoff's game.— Canadian Math. Bulletin, 2, 1959, p. 181—190; Fraenkel A. S., Borosh I. A generalization of Vythoff's game.— Journal of Combinatorial Theory, 15, 1973, p. 175—191; Fraenkel A. S. How to beat your Wyt-

hcfs gwmes opponent on thrtt rounds. Amti.can M^th thly, 89, №6, 1982. p. 353-S61.

Гик E. Я- Математика на шахматной доске.— М.: На、1976

Виноградов И. М. Основы тз「нн чисел.— М.: Наука/ 1981- Б/хштаб А. А. Теория чисел — М.: Просвещение, ^196t； Арнольд И В. Теория чисел.— М.: Учпедгиз, 1939.

Гнеденко Б. В., Хннчин А. Я- Элементарное введение в к. рию вероятностей.— М.: Наука, 1982; Мсстеллер Ф., Рурка Р., Те- №2c Д. О. Вероятность — М.: Мир, 1969; Колберте .я Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств (гл. Ш).—М.： Просвещение, 1965.

Колмогоров А. Н-, Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятна сти.— М-： Наука, 1982; Дынкин Е. Б., Уо ленский В. А. Математические беседы (раздел 3).— М.— Л.: Гостех издат, 1952.

Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Гегметрические неравенства и задачи на максимум и минимум.— М.: Наука, 1970; они же. Геометрические оценки и задачи из комбппаюр- вой геометрии.— М.: Наука, 1974.

Яглом И. М. Проблема тринадцати шаров.— Киев: В ища школа 1975.

Серпмнскпй В. Пифагоровы треугольники.— М.: Учьедгиз, 1959.

Болтянский В. Г.» Ефремович В. А. Наглядная топология.—— М-： Наука, 1982; они же. Очерк основных идей топологии.— Мат. прссвещение (новая серия). вы~. 2, 1957, с. 3——34; вып. 3, 1958, с. 6—40; вып. 4, 1959, с. 27—52; вып. б, 1961, с. 1 07—138; Александров П. С , Ефпемович В. А. О простейшие понятиях современной топологии —Mm Л-： OHT1I, 1935: они 沥.Очерк основных понятий топологии.—М.*-Л.: ОНТИ, 1936; Гильберт Д., Ксн-Фсссен С. Наглядная геометрия (гл. VI).— М.- Наука, !98; Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? (гл. V).— М.: Просвещение, 1967; Ефремович В. A. Oci овньи т ол( ги- ”ескне понятия.—— В кн.: Энциклопедия элементарной чате л. тики (ЭЭМ), кн. V (Геометрия).— М.: Наука, 1966, с. 47’ 一53 ,

Амеба…в пиджаке.— «Квант», 1981, № 3. с 14—15; Фукс Д- Б., Фоменко А. Т-, Гутенмахер В Л. Гомотопическая топология (рис. на с. 89, правая галерея).— М.: Изд-во МГУ. 1969.

Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранник л.— В кн.: ЗЗМ, кн- IV (Геометрия).— М.: Физматгнз, 】9€3, с ЗБ2—447.

Агамар Ж- Элементарная геометрия (ч. 1—2).— М : ¥ педтз, i957—19Е8; Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии (в I—И).— М.— JL: Гостехиздат, 1948—1949.

Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н- Яглом И. М- Избр.шные теоремы и задачи элементарной математики (ч. 3: геометрия (стереометрия), разд. 2).——М-： Гостехиздат, 1954.

Александров А. Д. Выпуклые многограъ.ннкн.— М.——《Л ； 「℃” техиздат, 1950..f

Onnelly R. A counterexample to the rigidity u n」’ polyhedra.— Puhi. Math-, IHEE, 47, 1978, p- 333—338

Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник.——《Квак:», 197& №9, с. 13—19,

Болтянский В- Г. Равновеликие п равное оставленные фигуры.— М.: Гостехиздат, 1956

Картеси Ф. Введение в конечные геогтетрии.— М.: Наука, 1980; Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование (§ 4).— М.: Сов. радио, 1980.

Я г лом И- М. Геометрические преобразования II.— М.: Гостех- издат, 1956; Больберг О. А. Основные идеи проективной геометрии .—М.: Учпедгиз, 1949; Я гл ом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования.— В кн.: ЭЭМ, кв. IV, с. 49— 158.

Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного.— М.— Л.: Гостехнздат, 1940.

Делоне Б Н , Житомирский А. К- Задачи по геометрии.— М-： Физматгиз, 1959.

Коксетер Г- С. М., Грейтцер С Л. Новые встречи с геометрией.—М・：Наука, 1978; Бакельман И. Я. Инверсия. — М.: Наука, 1966.

Фейеш Тот Л. Расположения и а плоскости, на сфере н в пространстве.—М : Физматгиз, 1958; Роджерс К- Укладки н покрытия.——М : Мир. 1968; Барановский Е. П- Упаковки, покрытия и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны.——В кн.: Алгебра. Геометрия. Топология. 19G7. М-： ВИНИТИ АН СССР, 1969, с. 189—225.

Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.—М-： Наука, 1965; Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Разбиение фигур на меньшие части.— М・：Наука, 1971; они же. Теоремы н задачи комбинаторной геометрии.— М.: Наука, 1965; Данцер Л-, Грюнбаум Б-, К ли В. Теорема Хелли и ее применения.—М-： Мнр, 1968; Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и по теории выпуклых тел-——М-： Наука, 1971; Яглом И. М. О комбинаторной геометрии.— М.: Знание, 1971; Болтянский В. Г- Комбинаторная геометрия.——В кн.: Алгебра. Геометрия. Топология.— М・：ВИНИТИ АН СССР, 1981, с. 209—274.

Яглом И- М. Как разрезать квадрат? — М.: Наука, 1968.

Яглом И. М. Элементарная геометрия прежде и теперь.——М.: Знание, 1972; Yaglom I М. Elementary geometry, Then and Now.— В кн.: Geometric Vein (The Coxeter Festschrift; ed. C. Da- v；s, B. Griinbaum, F. A. Sherk).— N・ Y.: Springe】. 1981, p. 253—270.

Голомб С. В. Полимино.— M・：Мир, 1975.

Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание.— М.: Мир, 1977.

Как разбить квадрат?—《Квант», 1979, № 11, с. 21 (и задняя сторона обложки журнала); Federico Р. J. Squaring Rectangles and Squares (A Historical Review with Annotated Bibliograp- hy).— В кн.: Graph Theory and Related Topics; ed. S. A. Bondy, U. S. Murty (том, посвященный 60-летию проф. У. Т. Татта).—N. Y.: Academic Press, 1979, р. 173—196.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп.— М・：Наука, 1981; Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников.— 《Квант», 1970, № 3, с. 24—27.

Grilnbaum В., Shephard G. К- Patterns on the 2-sphere.— Ma-

thcmati^a, 28, 1981, p. 1- 35; ©ни- же. Tile theurenis of Euk『 and Eberhard fcr tilings of the plane — Resultate der Mathema- tik, 5, 1982 p. 19—44; Danzer L., Griinbaum B-, Shephard G. C. Can all tiles of a tiling have five-fold symmetry? — American Math. Monthly, 89, 1982, p. 568—585; Griinbaum B., Miller J- С- P. Shephard G. C- Uniform tilings with hollow tiles.— The Geometric Vein (cm- 137]), p. 17—64; Griinbaum B., Shephard G- C. Spherical tilings with transitivity properties.— Там же p. 67—98.

Левитан К- Геометрическая рапсодия.——М.: Знание, 1976.

Crowе D. W. The Geometry of African Art III. The Smoktag Pipes of Begho.— The Gecmetric Vein (cm. [37]), p. 177—189.

Белов H. В- Средневековая мавританская орнаментика в рамках групп симметрии.— ^Кристаллография», 1, вып. 5, 1956, с. 610—613.

Клэрнер Д. А. Покрытия п рямоугол ьн и ков конгруэнтными к-ммно.— В кн.: [38], с. 192—203-

Успенский В. Г. Теорема Гёделя о неполноте.——М.: Наука, 1981; Бирюков Б. В., Тростников В. Н.水叩 холодных чисел и пафос бесстрастной логики.— М.: Знание, 1977; Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое.— М.: Советское радио, 1979; он же. Вычислимое н невычислимое.——AL: Советское радио, 1980.

Маннн Ю. И. Теорема Гёделя.——«Природа», 1975, № 12, с. 80—— 87.

Евклид. Начала, кн. I—VI.— М,— Л.: Гостехиздат, 1948.

Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии.——М.: Наука, 1976.

Ппдоу Д. Геометрия и искусство.—М.: Мир, 1979;Тимердинг Г. Е. Золотое сечение.——Пгр.: Научное книгоиздательство, 1924.

Нивен А. Числа рациональные н иррациональные.— М-： Мир, 1966; Блох А. Ш. Числовые системы.— Минск: Вышейшая школа, 1982; Феферман С. Числовые системы.— М.: Наука, 1971.

Байиф Ж--К- Логические задачи-— М.: Мир, 1983.

. Когоутек Ц. Техника композиции в музыке XX в.— AL: Музьь ка, 1976.

Я гл ом II. М. Четырех красок достаточно.— «Природа», 1977, № 6, с. 20—25; Б ел ага Э. Г. Математика на географической карте, или рассказ о том, как решалась проблема четырех красок.— В кн.: Мини-геометрии.— М・：Знание, 1977, с. 5—22.

Я гл ом II. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры.— М.— Л-： Гостехиздат, 1951.

Я гл ом А. М, Я гл ом II. М- Вероятность и информаипя.— М・： Наука, 1973.«

Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации».— Проблемы передачи информации, 1, № 1， 1965, с. 3—11; он же. К логическим основам теории информации и теории вероятное!ей.——Там же, 5, №3, 1969, с. 3"—7; Звонкнн А. К-, Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование понятия информации и случайности с помощью теории алгоритмов.— Успехи математических наук, 25, вып. 6, 1970, с. 85—127.

5Г； Sinkov A. Elementary Cryptanalysis.— N. Y.: Singer, 1968- 6C- 5ерж К- Теория графов и ее применения.— М.: ИЛ, 1962; Оре О«

Теория графов.— М.: Наука, 1968; Зыков А. А. Теория конечных графов I.— Новосибирск: Наука, 1969; Белов В. В., Воробьев Е. М. Шаталов В Е.— Теория графов.— М.: Высшая школа, 1976; Теория графов (под ред. В. В. Алексеева, Г. П. Гаврилова, А. А. Сапожен ко).— М.: Мир, 1974; Studies in Graph Theory I, II (ed. D- R. Fulkerson).— The Mathematical Association of America, 1975.

. Питерсон У., Уэлдой Э. Коды, исправляющие ошибки.——ЛА.: Мир, 1976; Берлекэми Э- Алгебраическая теория кодирования.— М.: Мир, 1971; Касами Т-, Токура Н., Ивадари Е , Инагаки Я- Теория кодирования.— М.： Мир, 1978.

Ширшов А- Об одной комбинаторной задаче.——*.• Квант», 1979, №9, с. 19—20 и 32.

Об авторах сборника

Ричард К. Гай. Профессор университета Калгари (Канада), специалист по теории игр.

Н. де Г. Брейи. Профессор имеющего высокую репутацию Технического университета в Эйндховене (Нидерланды), занимается теорией игр.

Клод Берж. Про(})ессор Парижского университета, специалист по ряду направлений современной прикладной математики. На русский язык переведена его книга по теории графов (см. [60]) и «Общая теория игр нескольких лиц» (М.: Физматгиз, 1961).

Джим Бойс. Преподаватель Станфордского уннверентета в Калифорнии (США), ученик еще одного из авторов сборника Дональда Э. Кнута.

Ади Шамир, Рональд Р. Рай вест н Леонард М. Адельман — высокоавторитетные специалисты по теории кодирования и теории информацни из знаменитого Массачусетского технологического института (Кембридж близ Бостона» США), в котором некогда преподавали создатель теории информации Клод Шеннон и «отец кибернетики» Норберт Винер.

Вашех Хватал. Профессор широко известного Университета Макгилла (англоязычный университет в Монреале, столице франкоязычной провинции Квебек в Канаде), специализируется в области теории игр.•

Дэвид Береи гут. Профессор небольшого университета шт. Нью- Йорк в Бингхэмптоне занимается прикладной математикой, в частности применениями теории случайных (вероятностных) процессов.

Соломон В. Голомб. Высокоавторитетный специалист по теории информации, теории кодирования и математической статистике, профессор небольшого, но пользующегося высокой репутацией Южнокалифорннйского университета в Лос-Анджелесе. О нем можно прочитать в предисловии к переводу его книги Полпмнно» (см. [38]).

Герберт Тэйлор. По профессии тополог, является профессором того же Южнокалифорнийского университета, что и С. Голомб.

Роберт Коннелли. Профессор одного из старейших в США Кор- неллского университета в г. Итака (шт. Нью-Йорк). Наибольшим достижением этого сравнительно молодого ученого, пожалуй, следует считать результат, о котором он рассказывает в своей статье (см. комментарий к ней)..

Стефан Барр. Профессор университета г. Нью Йорка, математическое отделение которого в последние годы приобретает высокую репутацию； занимается проблемами комбинаторной геометрии в широком понимании этого термина (ср. с 479—480).

Говард Иве. Профессор университета шт. Мэи (США), известен как выцающнйся педагог, автор многих весьма популярных книг (на первое место из них, пожал у й, над • поставить «Введение в основания и основные концепции матем тикюд (Н. Eves, С. V. Newsom. Au Introduction to the Foundatioii.-； and Fundainental Concepts of Mathematics N Y.: Holt, Rinehart and Winston, 1961).

Леон Банков. Постоянный сотрудник Американского журнала The American Mathematical Monthly, рассчитанного на широкий круг читателей; хорошо известен всем любителям элементарной геометрии.

Р. Л. Грэхэм. Специалист по прикладной математике и оптимизационным проблемам, работает в известной фирме «Белл телефон лабораторке», где К- Шеннон работал в период создания им теории информации.

Уильям Т. Татт. Ведущий специалист по теории графов и по комбинаторике университета Ватерлоо (Канада). Окончил Кембриджский университет как хнмик; изменил специальность, увлекшись задачей о разрезании прямоугольника на попарно-неравные квадраты, о которой говорится в его статье и в комментариях к ней. Имеет много важных результатов в теории графов; является основателем и редактором первого большого международного журнала по комбинаторике Journal of Combinatorial Theory. (60-летию Татта был посвящен сборник, упоминаемый на с. 487 под номером [40]; оч открывается статьями о научной деятельности юбиляра.)

Дорис Шаттшиайдер. Преподает в Моравском колледже (США); в настоящее время является редактором американского научно-популярного матемэтического журнала Mathematics Magazine.

Брайко Грюнбаум. Профессор Вашингтонского университета в Сиэтле (США), безусловно, является ведущие специалистом в области теории выпуклых тел, комбинаторной геометрии, теории многогранников и в родственных областях геометрии (см., например, комментарий к статье 2.4). На русский язык переведены две его книги, указанные под номером [35] на с. 487; из другнх книг наибольшей известностью пользуется обширная монографич ^Выпуклые политопы» (Convex Polytopes- London: Interscience publ.. 1、67; полито- л ами называют многомерные многогранники).

Дж. К. Шепард. Профессор универе/ тета Восточной Англин (Великобритания), ведущий специалист в теории многогранников. Сенсацией в этой области явилась некогда книга: McMullen Р., Shephard G. С. Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture. (Cambridge: University Press, 1971); зта книга входит в руководимую проф. Шепардом серию «London Mathematical Society Lecture Note Series». (См. также: Грюнбаум Б., Шепард Г. К- Некоторые замечания о работе В. П. Федотова по дискретной хроногеомегрии.— Сибирский мат. журнал. 22, № 1, 1981, с. 220—226.) .

Гарольд С. М. Коксетер (или Кокстер). Одни из старейшин современной геометрии профессор университета в Торонто, член Канадской Академии наук и многих зарубежных академий. Хорошо известен советскому читателю. Кроме указанных книг Коксетера

([3] и【5] на с. 267 и [33} на с. 4 87) на р}^сский язык переведена его «Де йствитель н а я проективная плоскость» (М.: Физматгиз, 1959); из не переведенных книг наибольшей известностью пользуются выдержавшие ряд изданий «Неевклидова геометрия» [Non-Euclidean Geometry. Toronto, University Press, 1965 (5th ed.)J и особенно «Правильные многогранники (политопы)» [Regular Polytopes. N. Y.: Dover, 1973 (3rd ed.)]. Многие питатели, возможно, знают также, что один из переведенных на русский язык томов книги «「руппн и алгебры Ли» Н. Вурбанн специально посвящен группам Кок- ccmepL.

Недавно в США был издан обширный том «The Geometric Vtin», посвященный Кокеетеру (см. с. 487—488, 137, 42, 44J).

Д. Дж. Гофман. Профессор Обернского университета (США), специализируется в области оптимизационных задач.

Рафаэль М. Робинсон. Профессор престижного Калифорнийского ^университета в Беркли (США) широко известен своими работами по теории дискретных групп, по дискретной геометрии и в род- ственьых гбллстях математики.

К. Й. Боукэмп (Нидерланды). Видный специалист в области использования ЗВМ для комбинаторных расчетов, работает там же, где и ле Брейн.

Дэвид А. Клариер. Составитель сбо[ ннка «Математический дЕстчик» работал в ряде университетов Голландии, Англии и США; ныне является профессором того же университета, что и Веренгут. Его научные интересы связаны с широко понимаемой комбииато- рикой.

Дональд Э. Кнут. Профессор Станфордского университета, автор широко известного семнтомного (!) «Искусства программирования для ЭВМ» (на русском языке пока имеются тт. 1—3, М-： Мир, 1976-1978)

Скотт Ким. Профессор Станфордского университета, в круг его научньп интересов входит теория игр.

Чарльз К. Тригг. Профессор Л ос-А нджелесского колледжа в США, ряд лег заведовал отделом задач журнала Mathematics Magazine Русскому читателю он лучше всего знаком по книге «Задачи с изюминкоы (М: Мир, 1975).

Росс Хонсберджер. Преподаватель уже у помин а вшетося унн- ьсрсьтета Ватерлсо в Канами; наиболее широко известен как педагог; большой популярностью пользуются, например, названные на с. 349 и 350 его «Остроумные решения в математике» (N. Y. Random House /Singer, 1970; серия New Mathematica] Library, вып. 23) и «Математические жемчужины, 1, II》(The Math. Association of America, 1973, 1976; серия Dolciani Mathematical Expositions, бып. ly 2).

Уильям T. Лазер и Лайл Рэм шоу. Сотрудники Станфордского уно ситета, С1кци2лиэир5^ются по теории игр.

Рональд Рид. Профессор университета Ватерлоо (Канада), ведущий специалист по теории гргфов, хорошо известный всем ра- бозающим в этой области.

Дж. Слоен. Ве〃ущн访 специалист в области теории кодирования. работает в фирме «Белл телефон лгбораторис». На русский язык перес-едена его кнкга [35] (см. с. 471).

Содержание

Предисловие редактора перевода .5

От составителя . 9

ИГРЫ . "

Тай Р. К・ Сыграем в тупннз? Ц

Ое Брейн И. Г. Претцель — забава для одинокого математика 29

Берж К・ Несколько замечаний по поводу одной задачи из игры в гекс 41

Бойс Д. Эндшпильв игре «кригсшпиль» 44

Шамир Д., Райвест Р. Л., Адельман Л. М- Покер без карт 58

Хватал В. Дешево, дорого или по сходной цене? . . . ,66

Беренгат Д. Задача об одной игре в «классы», имеющей случайный характер, или как добиться, чтобы Джс лчи больше читал 75

2 ГЕОМЕТРИЯ . . . .87

Голомб С. В. Венки из касающихся кругов. .87

Тейлор Г. Как вывернуть велосипедную камеру100

Бонелли Р. 11згибаемые поверхности105

Барр С- Как сажать деревья 117

Иве Г. Нарежьте потоньше .130

Банков 〃. Как Папп доказал свою теорему? 143

МОЗАИКИ НА ПЛОСКОСТИ 181

Грэхэм Р. Л. Сплошные разбиения прямоугольников .153

Татт У. Т. Разбиения на равносторонние треугольники 161 Шаттшнайдер Д. Хвала любителям181

Грюнбаум 6, Шепард Дж. 5 Некоторые проблемы, связанные с плоскими мозаиками . . 220

Коксетер Г. С. М. Ангелы и демоны253

МОЗАИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ268

Гофман Д. Дж. Задачи по упаковке и неравенства . . .268

Робинсон Р. М. Могут ли кубы избежать встречи《лнцом к лицу»? 284

Баукэмп К. /7. Упаковка зерк?л^ных пентакхбов .293

Ксарнер Д. Л. Моя жизнь среди полпмино 303

ЗАДАЧИ И ЗАБАВЫ . 329

Кнут Д. 3. Исчезновения . 329

Ким С. Неевклидова гармония 330

Тригг V. К・ Магические кубооктаэдры .336

Хонсберджер Р. Игры, графы, галереи 341

Лаазер У・ Г., Рэмиоу Л. Занимательное столоверчение 355

ЧИСЛА И ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ 388

Кнут Д. Э. Сверхъестественные числа 388

Рид Р. Что и как считают специалисты по теории графов 408

Слоэн 〃・ Дж. А. Коды, исправляющие ошибки, и криптография 432

ПРИЛОЖЕНИЕ 473

МАТЕЛ1АТИЧЕСКИЙ ЦВЕТНИКСБОРНИК СТАТЕЙ И ЗАДАЧСоставитель и редактор Дэвид А. Кгарнер

Научный редактор А. Н. КондрашоваМл. научный редактор М. А. ХарузинаХудожник Н. Н. ДроноваХудожественный редактор IO. Л МаксимовТехнический редактор М. А. СтрашноваКорректор А- Я- Шехтер

ИБ № 3663

Сдано в набор 03.01.83. Подписано к печати 12.07.83. Формат 84Х lOeVst- Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать wвысокая. Объем 7,75 бум. л. Ус л. печ- л. 26,04. Усл. кр.-отт. 26,24. Уч.-изд. л. 24.76. Изд. № 12/2199- Тираж 30 000 экз.

Заказ № 1136- Цена 1 р= 30 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

129820, Москва, И-110» ГСП, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Октябрьской Революциии ордена Трудового Красного Знамени

Первая Образцовая типография имеяп А. А. ЖдановаСоюзполиграфпромапри Государственном комитете СССР

по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28

В 1984 ГОДУ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»в серии «В мире науки и техники»ВЫПУСТИТ КНИГУ

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА МАТЕРИИ (под ред.

Дж. Малви). Перевод с английского.

Книга знакомит читателя с новейшими достижениями физики элементарных частиц—переднего края современной физической науки. В основу книги положен цикл научно-популярных лекций^ прочитанных крупнейшими американскими и английскими физиками (средн них деа лауреата Небелевсчой премии) в Оксфордском университете. Книга отличается живым, образным языком, увлекательной, свсбодной манерой изложения, рассчитанной на широкий круг читателе», интересующихся достижениями современной науки.

В 1984 ГОДУ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»ВЫПУСТИТ КНИГУ

М・ Клайн. МАТЕМАТИКА. УТРАТА ОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

Перевод с английского.

" Книга крупного американского математика, профессора Ньв- Йоркского университета М. Клайна представляет собой достаточно уникальное явление в научно-популярной литературе по математике. Ориентироваиная на широкий круг читателей с общенаучными интересами, она посвящена не какнм-то конкретным математическим проблемам, а в живой и интересной форме рассказывает об истории развития и становления математики, ее сущности как науки и о месте, занимаемом математикой в современном NupJ

* От нем. Kriegsspiel ——военная игра. Условия этой игры, J основу которой положены обычные шахматы, частично напоминают популярную у нас игру «морской бой».——Прим. ред. • I

* В нашем случае это следует из того, что рассматриваемое °*е релье является также н 1-альтернирующим.—— Прим. ре°・

МОСКВА < МИРМОСКВА < МИР

МОСКВА < МИР

МОСКВА < МИР

THE MATHEMATICALGARDNER

edited byDAVID A. KLARNER

Prindie. Weber and Schmidt Boston, Massachusetts

Wadsworth International Belmont, California

e

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЦВЕТНИК

СБОРНИК СТАТЕЙ И ЗАДАЧ

Составитель и редакторДэвид А. Кларнер

Перевод с английскогоЮ. А. ДАНИЛОВАпод редакциейд-ра физ.-мат. наук, проф.И. М. ЯГЛОМА

МОСКВА «МНР» 1983

ВЕК 22.1

М12

УДК 17.2.1

Авторы: Р. К. Тай, Н. Г. де Брейн, К. Берж и др.

Математическийцветник/ Сост.иред.

М 12 Д. А. Кларнер; Пер. с англ. Данилова Ю. А.;

Под ред.» с предисл. и прилож. И. М. Яглома.— М・：Мир, 1983.— 494 с., ил.

Настоящий сборник статей и задач по занимательной математике составлен специалистами из США, Англии, Канады и ряда других стран. Посвящен 65-летию со дня рождения всемирно иэвестного американского популяри затора математики Мартина Гарднера. Кингу отличают многообразие и оригинальность постановки м атем ати чес км х проблем, высокая научная компетентность авторов.

Представляет интерес для достаточно подготовленных читателей, увлекающихся математикой, а также для математиков-профессионалов.

1702010000-368М 041 (01)-821702010000-368М 041 (01)-82171-83, ч. 1171-83, ч. 1ББК 22.117.2.1ББК 22.117.2.1

1702010000-368

М 041 (01)-82

1702010000-368

М 041 (01)-82

171-83, ч. 1

171-83, ч. 1

ББК 22.1

17.2.1

ББК 22.1

17.2.1

Редакция научно-поп ул яр нойи научно-фантастической литературы

© Copyright 1981 by Wadsworth International 10 Davis Drive, Belmont, California

© Перевод на русский язык, Приложение, «Мир», 1983