ВВЕДЕНИЕ

В этой небольшой монографии излагаются математические основьГодного из возможных аспектов теории управления полетом баллистических ракет без какой-либо внешней информации (радиосигналов, излучения звезд и др.). Исходными данными для подобного управления являются показания приборов, расположенных на борту ракеты. Они регистрируют как ориентацию ракеты по отношению к неизменным направлениям (на неподвижные звезды), так и отличие ее движения от свободного полета без сопротивления среды. Действие таких приборов основано на явлении инерции. Вследствие этого упомянутое управление называется инерциальным. Помимо приборов, использующих законы механики, в системах инерциального управления возможно применение приборов, основанных на иных физических принципах (спины элементарных частиц, стоячие волны когерентного излучения лазеров и др.).

Построение рассматриваемого в монографии варианта теории инерциального управления исходит из предположения, что на борту ракеты имеется стабилизация (в частности, гироскопическая) направлений осей чувствительности измерителей кажущихся ускорений ——ньютонометров или приборов, непосредственно измеряющих интеграл по времени от текущих значений кажущегося ускорения. Последние называются ниже интеграторами ускорений; их можно также именовать импульсометрами. Выбор именно этих чувстви-

тельных элементов определялся многолетним интересом автора к гироскодическим приборам и другим механическим измерительным устройствам.

Приборам присущи различного рода погрешности. Влияние последних на точность полета ракеты требует особого исследования, выходящего за рамки настоящей монографии. Здесь принимается, что приборы систем инерциального управления идеальны, т. е. функци онир у ют как бы без ошибок. То же относится к следящим приводам и считывающим п рисп ос об л ениям, а также счетно-решающим устройствам, совершающим, в частности, арифметические действия и интегрирование текущих значений различных параметров.

Бортовые приборы и устройства не должны быть излиш - не сложными и громоздкими. Поэтому, имея в виду применение упрощенных схем, при4 решении задач инерциального управления можно допустить некоторые принципиальные иеточности. Последние, однако, не должны повлечь за собой большие отклонения ракеты от ее цели. Выбор соответствую- щего компромисса (при котором и отклонения невелики, и система инерциального управления не слишком сложна) составляет одну из основных задач конструктора конкретной системы инерциального управления.

Независимо от вида системы управления при ее проектировании следует исходить из того, что в одну и ту же цель— конец пассивного участка — баллистическая ракета может попасть, не обязательно двигаясь по программной траектории, а и по бесконечному множеству других соседних траекторий. Поэтому для точного попадания в цель не нужно, чтобы в мгновение окончания активного участка полета ракеты ее координаты и составляющие скорости в некоторой системе координат, неподвижной относительно Земли, были бы равны расчетным, предусмотренным программой управле-

ния. Последнее замечание весьма существенно, так как обеспечение только что упомянутых равенств ставит перед системой регулирования полетом ракеты очень трудные, не всегда вг полнимые задачи. Достигнуть же достаточно точного определения текущих значений самих координат движущейся ракеты и проекций ее скорости значительно проще. Можно поэтому прервать активный участок полета ракеты как раз в то мгновение, когда совокупность отклонений ее текущих координат и проекций скорости от соответствующих рас- четных значений обеспечит дальнейшее движение по одной из траекторий, приводящих к цели. Определение соотношений, которым должны удовлетворять упомянутые отклонения в мгновение выключения двигателя, и составляет главную задачу излагаемой теории инерциального управления полетом баллистических ракет. При этом без заметного ухудшения точности попадания ракеты в цель могут быть произведены значительные упрощения систем управления за счет раздельного управления дальностью и боковым движением ракеты, а также выбора особых направлений осей чувствительности инерционных приборов и формирования сигналов от них.

При гироскопической стабилизации осей чувствительности ньютонометров и интеграторов ускорений естественно производить построение расчетных уравнений и формул инерциального управления в системе координат, не принимающей участия во вращении Земли. Заметим, однако, что дальность полета ракеты определяется в этом случае не только значениями ее координат и составляющих скорости относительно такой системы в мгновение окончания активного участка, но и продолжительностью последнего.

В счетно-решающем устройстве данной системы инерциального управления дальностью полета по текущим пока-

заниям ньютонометров и интеграторов ускорений образуется некоторая переменная величина, однозначно связанная в каждое мгновение с величиной дальности полета ракеты. Под последней понимается та величина дальности полета, которая получится, если тяга двигателя в текущее мгновение времени внезапно обратится в нуль. Для обеспечения точного попадания ракеты в цель выключение двигателя должно производиться в мгновение достижения упомянутой переменной величиной заданного значения. Так как эта величина определяется фактическим ходом изменения координат и проекций скорости ракеты, то она называется функционалом. Как будет показано ниже, можно предложить различные виды функционалов. При их построении в счетно-решающих устройствах в дальнейшем не будут учитываться квадраты и произведения отклонений фактических координат и проекций скорости ракеты в мгновение конца работы двигателя от расчетных. То же относится и к отклонениям текущих координат и проекций скорости ракеты, а также к интервалу времени между необходимым и расчетным мгновениями выключения двигателя. Задача управления дальностью решается, таким образом, в линецном приближении. Это не должно приводить к б о л ьшим' оши бкам при полете на заданную дальность ракеты с хорошо регулируемой тягой двигателя и с возможностью выключения последнего после подачи соответствующей команды с минимальным импульсом последействия. В случае, когда регулирование тяги затруднено, требуются дальнейшие уточнения уравнений, определяющих окончание активного участка. Эти вопросы, а также проблема инерциального управления без выключения двигателя в настоящей монографии не рассматриваются.

Результаты исследований, изложенных в настоящей ■монографии, показывают, что при полете ракеты на боль-

шие дальности целесообразно располагать на гироскопическом стабилизаторе два интегратора ускорения. Оси чувствительности этих интеграторов должны быть определенным образом ориентированы по двум различным направлениям. В счетно-решающее устройство, определяющее мгновение выключения двигателя, подаются текущее значение одного интегратора и результат дополнительного интегрирования показаний другого. Можно, в принципе, обойтись и одним интегратором ускорений, если в процессе полета ракеты надлежащим образом изменять как параметры интегратора, так и направление оси его чувствительности.

Применение двух стабилизированных интеграторов ускорений или одного, но с переменными параметрами, позволяет построить так называемый полный функционал, наиболее точно решающий задачу управления дальностью полета ракеты. Дальнейшее развитие теории приводит, в частности, к обоснованию расположения интеграторов ускорений непосредственно на борту ракеты при условии введения в систему управления так называемого нормального интегратора ускорений с точным исполнением его команд.

Ускорение силы земного тяготения зависит от расстояния между ракетой и центром Земли, а также от географических координат ракеты. Следовательно, силы тяготения, действующие на ракету, в ее фактическом и расчетном движениях не одинаковы. Это обстоятельство может обусловить ошибку в определении необходимого мгновения выключения двигателя даже при точной работе интеграторов ускорений и гироскопов системы инерциального управления. Для полного устранения этой ошибки бортовое счетно-решающее устройство должно быть дополнено некоторым сравнительно сложным интегрирующим устройством. Однако значительное уменьшение этой ошибки может быть достигнуто и более

простыми средствами ——за счет небольшого изменения ориентации интегратора ускорения.

Отклонение ракеты от цели в боковом направлении можно устранить при помощи введения в систему инерциального управления так называемого бокового интегратора,управляющего движением ракеты по направлению нормали к заданной программной плоскости ее полета. Отличие фактической величины продолжительности пассивного участка от расчетного ее значения приводит к дополнительным боковым отклонениям ракеты из-за вращения Земли. Однако в принципе можно избежать ошибок подобного рода, если использовать текущие значения интеграторов ускорения системы управления дальностью. *

Содержание книги следующее. В первой главе приводится решение задачи об инерциальном управлении баллистическими ракетами в упрощенной постановке с целью пояснить основные идеи и методы, подробно рассматривающиеся в последующих главах. Здесь Земля принимается плоской и не вращающейся. Влияние атмосферы не учитывается, а сила тяготения считается постоянной по величине и направлению. Естественно, что при таких упрощающих предположениях движение ракеты на пассивном участке ее полета полностью описывается известными уравнениями теоретической механики о движении материальной точки в пустоте в однородном поле силы тяготения. Далее выясняется, какому соотношению должны удовлетворять малые изменения параметров конца активного участка, т. е. координат ракеты и проекций ее скорости в мгновение выключения двигателя, чтобы она попала в заданную цель с ошибкой не более второго порядка малости. Это соотношение служит исход ным пунктом для образования некоторой переменной вели чины, названной баллистической функцией. В рассматриваем

мом случае значение этой функции в какое-либо фиксированное мгновение времени представляет собой приближенное выражение для ошибки в дальности полета ракеты, которая возникнет, если выключить двигатель ракеты именно в это мгновение. Естественно, что для попадания ракеты в цель двигатель должен выключаться в мгновение прохождения текущих значений этой функции через нуль.

Для построения баллистической функции на борту ракеты в виде некоторой электрической или механической величины при выбранном в монографии варианте инерциальной системы предполагается наличие специальных чувствительных элементов ——ньютонометров и счетно-решающего устройства, содержащего в своем составе интегрирующие, множительные и суммирующие элементы. На примере простейшего измерителя кажущегося ускорения устанавливается связь между измеряемой им величиной, действительным ускорением ракеты и ускорением силы тяготения. Вводятся понятия кажущейся скорости и кажущегося пути ракеты и показывается, в частности, что для непосредственного измерения кажущейся скорости необходимо, чтобы ось чувствительности интегратора ускорений была стабилизирована. Оказывается, что баллистическую функцию, относящуюся к данному случаю движения ракеты в однородном поле тяготения без учета сопротивления со стороны атмосферы, моя.- но построить на борту ракеты, используя единственный интегратор ускорения с последующим интегрированием его текущих показаний посредством счетно-решающего устройства. В конце главы дается исследование этого вопроса как с аналитической, так и с геометрической точки зрения. Указывается, что дальность полета ракеты изменится на величину второго порядка малости, если вектор ее фактической скорости в конце активного участка окажется таким же, как

и в расчетном случае, а положение ракеты несколько сместится в некотором определенном направлении или же, на- против, при неизменном положении ракеты разность между действительным и расчетным векторами ее скорости в то же мгновение времени окажется направленной определенным образом. В рассматриваемом случае упомянутые направления совпадают друг с другом. Они, в частности, параллельны вектору скорости ракеты в мгновение попада- ния ее в цель при расчетном движении. В общем же cnyqae, когда учитываются криволинейность формы Земли, влияние атмосферы на нисходящей ветви пассивного участка траек- тории и неоднородность поля земного тяготения, такие направления также существуют, однако они не параллельны. Перпендикуляры к ним——так называемые 九-и |л-направ- ления могут служить, как более подробно показывается в третьей главе, для ориентации осей чувствительности интеграторов ускорений соответствующей системы автономного управления дальностью полета ракеты.

Во второй главе приводятся различного рода баллистические функции для общего случая полета ракеты, т. е. без дополнительных упрощающих предположений, имевших место в первой главе. Здесь уже невозможно выразить величину дальности полета ракеты в виде определенной формулы, которая содержала бы параметры конца активного участка, например в стартовой системе координат. Тем не менее с точностью до малых второго порядка относительно разностей между текущими параметрами действительного движения ракеты и параметрами конца активного участка ее расчетного движения можно (при помощи использования тех же приборов, что и в первой главе) определить ошибку в дальности, которая имела бы место при выключении двигателя в текущее мгновение времени. Выражение для такой условной

ошибки в дальности и может быть принято в качестве баллистической функции. Входящие в эту функцию производные от величины дальности полета ракеты по параметрам конца активного участка, т. е. по координатам и проекциям скорости, берутся при расчетных значениях последних. Таким образом, они представляют собой постоянные количества, которые можно определить заранее для каждого заданного случая полета ракеты.

При инерциальном управлении дальностью текущее значение баллистической функции должно определяться на самом борту ракеты. Это ведет к необходимости непрерывного определения посредством счетно-решающих устройств текущих координат ракеты и проекций ее скорости по показаниям ньютонометров или, в иных случаях, интеграторов кажущихся ускорений. Стартовая система для этой цели оказывается мало пригодной из-за необходимости учета переносных и кориолисовых ускорений. Поэтому целесообразнее перейти от координат и проекций скорости ракеты в стартовой системе координат к соответствующим величинам, относящимся к невращающейся системе с началом в центре Земли. В результате после отбрасывания членов второго порядка малости и членов, зависящих от движения ракеты в направлении, перпендикулярном к плоскости полета, образуется так называемая исходная баллистическая функция, линейная по отношению к текущим координатам, проекциям скорости ракеты и времени. Выражение для исходной баллистической функции в невращающейся системе координат содержит производную от величины дальности полета ракеты по продолжительности активного участка. Однако эта производная может быть исключена из рассмотрения посредством использования некоторого вспомогательного соотношения. Последнее следует из равенства фактической дал】「

ностй ее расчетному значению, если координаты и проекции скорости конца активного участка точно совпадают с текущими значениями координат и проекций скорости какой- либо точки расчетного пассивного участка. В итоге получается основное баллистическое уравнение для определения необходимого мгновения выключения двигателя при полете ракеты на заданную дальность. Определение текущих координат и проекций скорости ракеты, входящих в левую часть этого уравнения, требует непрерывного интегрирования на борту ракеты с о отв етств ующи х нелинейных дифференциальных уравнений, связывающих вторые производные координат с соответствующими проекциями кажущегося ускорения и ускорения силы тяготения. Однако можно существенно упростить такую задачу, если в основное баллистическое уравнение подставить выражения координат и проекций скорости, полученные в результате интегрирования приближенных линейных дифференциальных уравнений относительно так называемых изохронных вариаций координат ракеты. Последние представляют собой разности между фактическими и расчетными значениями соответствующих координат ракеты, относящихся к одному и тому же мгновению времени. При надлежащем условном продолжении расчетного активного участка полета ракеты за расчетное мгновение выключения двигателя изохронные вариации координат, проекций скорости и проекций кажущегося ускорения можно считать малыми величинами в течение всего интервала времени, соответствующего действительному активному участку. -

Дифференциальные уравнения для изохронных вариаций координат выводятся в третьей главе, а приближенное интегрирование их с учетом членов, возникающих вследствие неоднородности поля земного тяготения, развивается в

четвертой главе. В третьей же главе в дифференциальных уравнениях для изохронных вариаций координат упомянутые члены опускаются вовсе, после чего вариации проекций скорости становятся равными вариациям проекций кажущейся скорости ракеты, а сами вариации координат —— вариациям проекций кажущегося пути. Это позволяет преобразовать основное баллистическое уравнение к одному из видов, допускающих построение текущих значений его левой части непосредственно на борту ракеты по текущим показаниям интеграторов ускорений.

Возможны различные ориентации осей чувствительности интеграторов ускорений. В зависимости от этого изменяются счетно-решающая часть системы инерциального управления дальностью и число входящих в нее элементов. Например, при ориентации осей чувствительности по неизменным 九-и(x-направлениям, о которых уже упоминалось выше, можно обойтись лишь одним элементом повторного интегрирования ускорений в отличие от случая с использованием двух подобных элементов, необходимых при расположении осей чувствительности параллельно осям невраща- ющейся системы координат.

Оказывается возможным построить баллистическ ое уравнение и при помощи единственного измерителя ускорений, если по заранее заданному закону изменять ориентацию его оси. В счетно-решающем устройстве должно быть предусмотрено в таком случае интегрирование текущих показаний этого измерителя, предварительно умноженных на коэффициент, также изменяющийся с течением времени.

Указанную выше задачу о построении баллистического уравнения можно решить приближенно также и при помощи одного интегратора ускорений, как это показывается в конце главы на примере построения системы инерциаль- 2 А. Ю. Ишлинский

ного управления дальностью при точном регулировании направления тяги двигателя по показаниям нормального интегратора ускорений. В этом случае оси чувствительности нормального интегратора и интегратора системы управления дальностью располагаются перпендикулярно одна другой. Наконец, если считать отклонение силы тяги двигателя от продольной оси ракеты незначительным, то для решения задачи об управлении дальностью можно использовать текущие показания интегратора, корпус которого непосредственно укреплен на борту ракеты, а ось чувствительности параллельна ее продольной оси (так называемый продольный интегратор).

В четвертой главе производится интегрирование совокуп- ности дифференциальных уравнений для изохронных вариаций координат ракеты с приближенным учетом в них членов, характеризующих изменения проекций силы тяготения, при движении ракеты по закону, отличному от расчетного. Соответствующее этому основное баллистическое уравнение, выведенное во второй главе, преобразуется к видам, аналогичным рассмотренным в третьей главе. Благодаря особому методу интегрирования упомянутой совокупности уравнений, задача об инерциальном управлении дальностью решается теми же средствами, что и ранее, т. е. при помощи текущих показаний интеграторов ускорений и счетно-решающих устройств, содержащих только интегрирующие, множительные и суммирующие элементы. Этот метод основан на предварительной замене уравнений упомянутой системы эквивалентными им интегро-дифференциальными и интегральными соотношениями с последующим введением в интегрируемые члены вместо искомых функций, представляющих текущие значения координат ракеты, аппроксимирующие их полиномы второй или третьей степени. Коэффициенты ап-

пр оксимирующих полиномов второй степени подбираются так, чтобы полиномы удовлетворяли тем же начальным условиям, что и искомые функции, и, кроме того, совпадали с последними для мгновения окончания активного участка. При более точном решении задачи следует аппроксимировать изохронные вариации координат посредством полиномов третьей степени. В этом случае приравниваются также их производные по времени к соответствующим проекциям скорости ракеты в мгновение окончания активного участка. В результате для определения вариаций координат и проекций скорости ракеты получаются алгебраические уравнения с коэффициентами, зависящими от времени. Последние с достаточной точностью могут быть заменены постоянными величинами, равными значениям этих вариаций в мгновение окончания активного участка полета ракеты. В конечном счете искомые вариации выражаются через показания интеграторов ускорений и интегралы их показаний по времени. Тем самым дальнейшее построение различных видов баллистических функций, аналогичных приведенным в третьей главе, принципиальных затруднений не представляет и сводится в основном к некоторым изменениям коэффициентов и направлений осей чувствительности интеграторов ускорений.

Наконец, пятая глава книги посвящена общим вопросам инерциального управления боковым движением баллистических ракет. Устранение бокового отклонения ракеты от цели требует иных приемов, чем обеспечение заданной дальности ее полета, где требуемая точность может быть получена за счет своевременного выключения двигателя. Продолжительность активного участка при полете на одну и ту же дальность зависит для ракет одной и той же конструкции от ряда случайных обстоятельств, а следовательно, сама является случайной величиной, математическое ожидание которой

близко к величине продолжительности активного участка расчетного движения. Поэтому достаточно, чтобы регулирование боковым движением ракеты было бы особо точным лишь в течение интервала времени, в котором может произойти выключение двигателя.

Текущее удаление ракеты от программной плоскости (;вязано с проекциями на нормаль к этой плоскости кажуще- 1ося ее ускорения и ускорения силы тяготения посредством дифференциального уравнения второго порядка. Для управления боковым движением ракеты необходимо знать текущие значения этого удаления и его производной по времени. Их можно получить посредством так называемого бокового интегратора ускорений и простейшего счетно-решающего устройства. В первом приближении можно в упомянутом дифференциальном уравнении отбросить член, содержащий проекцию силы тяготения, после чего оно немедленно интегрируется. Боковое удаление ракеты оказывается равным проекции ее кажущегося пути на нормаль к программной плоскости полета, а значение скорости этого удаления ——соответственно проекции кажущейся скорости. При получении более точных выражений для упомянутых искомых величин используется приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, изложенный в четвертой главе.

В главе пятой показывается также, как можно использовать показания приборов инерциального управления дальностью, чтобы устранить дополнительное боковое отклонение ракеты от цели из-за несовпадения фактического и расчетного ее движений в проекции на программную плоскость.

В приложении к книге дается аналитический вывод косинусов углов между осями систем координат при конечном повороте. Таблица косинусов используется во второй главе.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ТЕОРИЯ ННЕРП1MAПЬН❶Г❶ УПРАВЛЕНИЯ

МАПВН❶СТЬЮ II❶ЛЕТА БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ В УПРОЩЕННОЙ II❶СТАН❶ВНЕ

Формула, выражающая дальность иопета ракеты через координаты и пр❶ен口皿皿 ее скорости в конце a>RT3ii❶го участка

Общую постановку задачи об управлении дальностью полета баллистической ракеты удобнее всего выяснить на следующем простейшем примере.

Предположим, что Земля плоская и не вращается, атмосфера, окружающая Землю, отсутствует, а ускорение силы земного тяготения /, совпадающее в этом случае с ускорением силы тяжести g, постоянно по величине и по направлению. Уравнения движения ракеты 1 на пассивном участке ее траектории при таких упрощающих предположениях полностью интегрируются, и тем самым все решение задачи удается провести в общем виде до конца.

Пусть активный участок полета ракеты исходит из начала О неподвижной системы координат /у, ось х которой горизонтальна, а ось у направлена по вертикали вверх (рис. 1). Начальная скорость ракеты считается равной нулю. -

Расчетным или программным движением ракеты назовем такое, при котором ее координаты изменяются в точном соответствии с их предвычисленными значениями.

Здесь и всюду далее под термином «движение ракеты» понимается движение (屮 центра масс.

Координаты действительного движения ракеты в мгновение ст — окончания активного участка ее полета, т. е. в мгновение полного выключения двигателя, обозначим через хиу, атеже координаты в расчетном движении ——через %* и у* (рис. 1). Через их и vy обозначим проекции на оси х и у скорости ракеты в мгновение окончания активного участка ее действительного движения и соответственно через vx и vy — их расчетные значения. Величина продолжительности активного участка фактического полета ракеты ст в общем случае отличается от ее расчетного значения о*.

Интегрирование уравнений движения ракеты на пассивном участке движения

啜2 = о,挈(i.i.i)

немедленно приводит к следующим выражениям для текущих проекций] скорости % (力)и % (%)：

% (力)=^^ = %,% (力)= "^^ = % — gt, (1-1-2)

и ее текущих координат х (%) и у (0：

%(力)=%十％力yC) = y + uyt—岑. (1.1.3)

Время t отсчитывается здесь заново, т. е. от мгновения окончания активного участка и, следовательно, от начала пассивного участка движения ракеты. Произвольные постоянные при интегрировании выбраны так, чтобы имели； место очевидные равенства

匕(0)：=%,乙(°)：=爲，优(0) = £, У(О) = у. (1.1.4)

Считая, что пассивный участок оканчивается в мгновение ^ = т в точке С — пересечения траектории ракеты с осью /, нетрудно определить связь между дальностью ее полета I и соответствующими параметрами 力,у, рх и vv —

Рис. 1Рис. 1

Рис. 1

Рис. 1

конца активного участка. Полагая прежде всего во второй формуле (1.1.3)力= t и у{х) = 0, получаем следующее квадратное уравнение для определения продолжительности пассивного участка т:

gd — 2%с — 2у = 0.(1.1.5)

Отсюда

с =；仇 + 丿嗚 + 2gy),(1.1.6)

так как следует взять положительный корень уравнения (1.1.5). Подставив теперь найденное значение т в первую формулу (1.1.3), получим искомое выражение для дальности полета ракеты как функции параметров 优,^, рх и ру — конца активного участка, а именно:

Z =比⑴=с + 子■仇 + /% + 2gy)・(1.1.7)

§ 2. Условие неизменности 丛勃《иьностп п<ыета> при м臨《лом отеиниш! ноор丛ПНЯ,!1

п проекций скорости ракеты от их расчетных значений в мгновение онониа11111H mitriiRiioPo участка

Пусть фактические значения параметров активного участка полета ракеты 〃, у, vx и vy отличаются от их расчетных значений на малые величины

An =况—况*， Ду = у —у\ Аи% = 〃х —и：, А% = 0и——и；・

(1.2.1)

Дальность полета ракеты I, в соответствии с изложенным в § 1, и, в частности, согласно формуле (1.1.7), является функцией величин 力，у, vx и >гу, т. е.

"% (瑞 У, ^х» ^у) •(1.2.2)

В соответствии с равенствами (1.2.1), имеем

Z = Z (%* + А力，疗 + А% % + А%, % + А%)・ (1.2.3)

Разлагая теперь правую часть формулы (1.2.3) в строку Тейлора для функции многих переменных, получаем с точностью до малых первого порядка относительно величин △力, Ay, А% и А%

% = /(£*,，,£,心 +^A力+今 A沙+/A%+ ^а旳.

(1.2.4)

Частные производные' функции I \х, ^,订不,Vy) по переменным 力,5, vx и Vy сами являются функциями тех же переменных. В данном случае они могут быть представлены в явном виде в результате дифференцирования функции (1.1.7)

по соответствующим переменным, а именно:

^\(125)

Согласно правилам составления строки Тейлора, в формуле (1.2.4) аргументы упомянутых выше частных произ- водных следует положить соответственно равными величинам 力*, у*, рх и и?. Они являются, таким образом, для выбранного расчетного движения ракеты некоторыми постоянными величинами. Принимая во внимание, кроме того, что выражение

广=*炉，у\ £, Vy)(1.2.6)

является расчетной дальностью полета ракеты, преобразуем формулу (1.2.4) к виду

似=a“ + 无)^方△“ +3(%+ /(%户 +2g"+

g [V(^ + 2gl/y(1.2.7)

где разность

М = 1 — Г(1.2.8)

представляет собой изменение дальности полета ракеты из-за несовпадения величин параметров конца активного участка z, у, их и ру с их расчетными значениями /*, //*,。工 и %.

Выражение для AZ с учетом формулы (1.1.6) можно представить теперь в виде

AZ = Ас + 友厶沙 + 丁 (А% + 友А%),(1.2.9)

где *

Л = 丁…％ • (1.2.10)

/(沙市2g，

Заметим, что коэффициент к имеет простой геометрический смысл.! Нетрудно показать, пользуясь формулами (1.1.2) и (1.1.6), что он равен величине углового коэффициента нормали V к расчетной траектории движения ракеты в точке С, ее пересечения с осью 力(рис. 1). Таким образом,

^ = tga, (1.2.11)

где а — угол между упомянутым направлением v и осью 力 (а также между вертикалью и вектором скорости ракеты в мгновение падения ее на Землю).

Из формулы (1.2.9) следует,что с точностью до малых первого порядка включительно дальность полета ракеты остается той же самой, если изменения параметров А爲 Ay, А% и А% — конца 'ее активного участка по сравнению с их расчетными значениями будут подчинены условию

Дж + 力Ау + т* (А% + 力Аи/ = 0. (1.2.12)

Существенно, что это условие представляет собой линейное соотношение с постоянными коэффициентами, заранее известными, для выбранного полета ракеты.

Продолжительность активного участка полета о в отличие от параметров его конца 力,沙,vx и иу не играет никакой роли при определении величины дальности I. Поэтому нет смысла стремиться при исполнении конкретной программы движения ракеты к расчетной величине продолжительности о* активного участка. Напротив, несколько удлиняя или укорачивая активный участок, можно добиться выполнения только что приведенного условия (1.2.12) и, следовательно»

обеспечить расчетную дальность полета ракеты при не совсем точном следовании фактических координат их программным значениям.

§ 3. Ошибка в дальности полета ранеты, представленная в виде функции продолжительности активного участка

Пусть, как и в § 1,力(%) и // (力)一функции, представляющие собой фактическое (а не расчетное) изменение во времени координат ракеты на активном участке, а % (方)и иу (方)， соответственно, проекции ее скорости, причем мгновение 力 = 0 на этот раз соответствует началу активного участка.

Заменим в формуле (1.2.9) для AZ величины А/, А//, △ ??* и А〃и соответственно разностями

:Га) - n*, y(方)—g*, %⑴一点 %(方)—%.(1.3.1)

В результате получим функцию времени

£«) = /(/) - X + "[y(力)一У ] + t [% (力)一%I +

+ 狂 口沙⑴一％],(1.3.2)

которую назовем баллистической функцией.

В мгновение выключения двигателя 力=и* эта функция, согласно формуле (1.2.9), обращается в AZ и, следовательно, определяет ошибку в дальности полета ракеты из-за неточного исполнения программы активного участка, но точного соблюдения его продолжительности. Однако, если прервать активный участок в то мгновение, когда баллистическая функция 8 (方)обращается в нуль, то ошибка в дальности окажется величиной второго порядка малости и требуемая точность полета ракеты будет достигнута. Отсюда следует, что задача инерциального управления дальностью

полета ракеты может быть сведена к построению текущих значений баллистической функции непосредственно на борту ракеты и выключению ее двигателя при прохождении функции £ (力)через нуль. Для этой цели помимо суммирующих и множительных устройств необходимо наличие на борту ракеты специальных приборов, измеряющих кажущееся ускорение с последующим интегрированием их текущих показаний, или приборов, непосредственно регистрирующих интеграл по времени от кажущихся ускорений —— интеграторов ускорений. Измерители кажущихся ускорений будут в дальнейшем называться ньютонометрами.

§ 4-. Связь между ускорением ракеты в ее движении относительно неподвижной системы координат и показанием установленного на ней ньютонометра

При использовании в системе управления дальностью полета баллистической ракеты ньютонометров следует иметь в виду, что последние могут измерять только кажущееся, а не действительное ускорение того места ракеты, где они расположены. Кажущимся ускорением обычно называется разность между ускорением какой-либо точки относительно неподвижной системы координат и ускорением силы тяготения. В частности, обычные одноосные ньютонометры должны измерять проекцию av кажущегося ускорения на свою ось чувствительности v, т. е. величину

«V = ^v — Л,(1.4.1)

где w~ ——проекция на ось v действительного ускорения ньютонометра относительно неподвижной системы координат и /у — проекция на ту же ось ускорения силы земного тяготения.

Поясним формулу (1.4.1) на примере ньютонометра, чувствительным элементом которого является грузик массы т, прикрепленный к концу пружины жесткости с (рис. 2). Другой конец пружины заделан в корпусе ньютонометра. Грузик может перемещаться внутри корпуса по прямой v, которая и является осью чувствительности такого измерителя кажущегося ускорения.

Уравнение движения грузика относительно корпуса ньютонометра, если пренебречь массой пружины и трением грузика о внутреннюю цилиндрическую поверхность корпуса, можно представить в виде

—m + 加就=巾力 + c°・ (1.4.2)

Здесь 6 — перемещение грузика от того положения Е, при котором пружина не натянута; w^ —— проекция на направление V переносного ускорения, т. е. ускорения по отношению к неподвижной системе координат того места корпуса, где в данное мгновение грузик находится (проекция кориолисова ускорения на направление v равна нулю).

При поступательном перемещении корпуса ньютонометра

恥，(1.4.3)

где IV» — ускорение места крепления пружины к корпусу.

Если же корпус ньютонометра имеет, кроме того, угловые движения, то равенство (1.4.3) следует рассматривать как приближенное. Однако из-за сравнительно малых размеров ньютонометров разница между 必：и w^ несущественна 1.

Пусть частота р собственных колебаний грузика, определяемая формулой

Р= /糸’(1・4・4)

достаточно велика. Тогда амплитуда этих колебаний, обусловленная в основном изменениемускорения корпуса ньютономет- pa^v, будет мала. В этом случае член — т 而- в уравнении (1.4.2) можно опустить и с учетом равенства (1.4.3) получить соотношение

mwv = mfv + cb.(1.4.5)

Член сб уравнения (1.4.5) представляет собой упругую

2

Можно показать, что эта разность равна произведению(оор, где Wq — проекция угловой скорости корпуса ньютонометра на плоскость, перпендикулярную к оси V и р ——расстояние между грузиком и точкой крепления пружины.

силу пружины. Деформацию 6 (см. рис. 2) будем считать положительной, если грузик смещается в отрицательном направлении оси у. При 6 = 0 пружина не натянута, и грузик находится в положении Е (см. рис. 2). Наблюдаемое смещение грузика от положения Е можно проградуировать так, чтобы оно непосредственно измеряло некоторую величину 〃v, связанную с деформацией пружины, соотношением

% =号3・(1.4.6)

Заменяя здесь величину деформации пружины 6 ее выражением, следующим из уравнения (1.4.5), придем к формуле (1.4.1). Таким образом, смещение грузика пропорционально проекции его кажущегося ускорения на направление v, т. е. на ось чувствительности ньютонометра.

Текущее показание интегратора кажущихся ускорений или просто интегратора ускорений (его можно также называть импулъсометром) представляет собой интеграл по времени от проекции кажущегося ускорения на его ось чувствительности, т. е. величину t

几(力)=\a“)dt・(1.4.7)

о

Если ось чувствительности интегратора ускорения сохраняет неизменное направление по отношению к неподвижной системе координат, то

w、=w、=忆⑴dt ，忆⑴dt ，(1.4.8)(1.4.8)

w、=

w、=

忆⑴

dt ，

忆⑴

dt ，

(1.4.8)

(1.4.8)

где % (力)一 проекция на направление v скорости корпуса интегратора относительно той же неподвижной системы. Поэтому, подставляя в формулу (1.4.7) выражение для 〃v

из формулы (1.4.1) и используя равенство (1.4.8), получаем соотношение

几(方)=历⑴一%(0) — \九⑴dt,(1.4.9)

о

связывающее проекцию скорости %(%) с показанием интегратора ускорения- Kv (力).Последнее называется в этом случае проекцией кажущейся скорости на направление v.

Функция /v (0, которая стоит под знаком интеграла в правой части соотношения (1.4.9), в тех случаях, когда Земля не предполагается плоской; изменяется с течением времени из-за изменения положения ракеты относительно Земли.

При переменной ориентации оси чувствительности v, например, когда интегратор ускорения расположен непосредственно на борту ракеты, формулы (1.4.8) и (1.4.9), разумеется, не применимы, и показание интегратора ускорения уже не равняется соответствующей проекции кажущейся скорости.

Построение баллистической функции посредством двух интеграторов ускорений и счетно-решающего устройства>

В настоящем параграфе рассмотрим использование в системе инерциального управления дальностью полета двух интеграторов ускорений. Пусть интеграторы стабилизированы так, чтобы ось чувствительности одного из них в течение всего активного участка полета ракеты оставалась параллельной горизонтальной оси 力，а ось чувствительности другого была направлена параллельно вертикальной оси у.

В рассматриваемом случае, т. е. в предположении не- вращающейся плоской Земли, проекции ускорения силы

тяготения на оси % и ^ выражаются формулами

Лс = °, /у== —g・（1.5.1）

Следовательно, в соответствии с формулой （1.4.1）, проекции кажущегося ускорения на те же оси составят величины

% =以к （*）,“и = ^у @） + g，（1.5.2）

где

w= 阳⑺=T-=-iU， （153）

cootbетствующие проекции действительного ускорения ракеты относительно неподвижной системы координат ху. Здесь % （力）и g （方），как и ранее,— текущие координаты ракеты на активном участке ее полета.

Текущими показаниями интеграторов с осями чувствительности, параллельными осям координат % и 沙,согласно формуле （1.4.7）, являются величины

兀:=\ %（力）也， Vy = ^ av（t）dt,（1.5.4.）

оо

которые представляют собой проекции кажущейся скорости ракеты соответственно на оси неизменной ориентации % и 沙. В силу формул （1.5.2）, （1.5.3） они связаны с проекциями 分（£） и vv （力）действительной скорости ракеты относительно системы координат ху соотношениями

限（力）千%（£）,ри（力）=%（/）+ g九（4.5.5）

В последних отсутствуют постоянные интегрирования, так как проекции действительной скорости ракеты в начальное мгновение активного участка, т. е. при 力= 0, равны нулю. Координаты ракеты 力（力）и 沙（力）в это мгновение также равны 3 А. Ю. Итплинский

нулю. Поэтому в результате интегрирования по времени текущих показаний Vx （力）и Vy （力）соответствующих интеграторов ускорений придем на основании формул （1.5.3.） и （1.5.5） к следующим соотношениям:

Sx（t） = х ⑴， Sy ⑴=у （力）+ 等.（1.5.6）

В них функции времени

0⑴=\匕⑺成， 邑⑴=\%,（方）dt（1.5.7）

о0

могут быть названы проекциями кажущегося пути ракеты.

Посредством соотношений （1.5.5） и （1.5.6） можно выразить координаты 力（力）и у （力）через функции Sx （力）и Sy （力）， а проекции vx （力） и vy （力） ее действительной скорости —— через текущие показания интеграторов ускорений Vx （力） и Vy （%）. Если далее подставить эти результаты в формулу （1.3.2） для баллистической функции е （方），то после простейших преобразований получим для нее следующее выражение:

6（0 =邑（方）+加邑⑴+ T* [Vx（t） +加г"（方）1 -

— £* — ky — т* （и： + А：Уу） — xkgt —加粤，（1.5.8）

где коэффициент к по-прежнему определяется формулой （1.2.10）.

Для построения на борту райеты текущего значения баллистической функции £ （力）в виде переменной механической или электрической величины в рассматриваемом случае требуется наличие двух интеграторов ускорений, часов и счет-

но-решающего устройства. В состав последнего, в частности, должны входить два элемента дополнительного интегрирования показаний интеграторов ускорений.

§ в. Управление дальностью попета ракеты

посредством единственного интегратора ускорений с наклонной ормента11vle輔 его оси

Внимательное рассмотрение выражения^(1.5.8) для баллистической функции 8 (Z) приводит к выводу, что суммы

匕с⑴+ kV期①,邑⑴十kSy(t\(1.6.1)

входящие в ее состав, можно образовать на борту ракеты посредством единственного интегратора ускорений с последующим д оп о л нит ел ьным интегрированием по времени его текущих показаний. Ось чувствительности у такого интегратора должна быть в течение всего времени активного участка полета ракеты наклонена к горизонтальной оси 力 под постоянным углом а, величина которого связана с коэффициентом к соотношением (1.2.11). Таким образом (см. § 2 настоящей главы), направление оси чувствительности упомянутого интегратора перпендикулярно вектору скорости ракеты в мгновение достижения ею цели С при расчетном движении (рис. 1).

Заметим прежде всего (рис. 3), что для проекций на направление у ускорения силы тяготения и действительного ускорения ракеты имеют место формулы

九=—gsina, w、=飨％ (%) cosa + 飨廿(力)sin а. (1.6.2)

Следовательно, согласно формуле (1.4.1), имеем

М =飨V (力)一/v (力)=^x(0 cos a + ［飨у (%) + g】sin a (1.6.3) 3*

или, учитывая равенства (1.5.2),

av (0 = % (%) cos а + ay(t) sin а.(1.6.4)

Последнее соотношение показывает, что кажущееся ускорение является вектором, составляющие которого, параллельные осям координат ж и у, соответственно равны величинам & (%) и ау (力.

Интегрируя выражение (1.6.4) для проекции кажущегося ускорения на направление v по времени и учитывая формулы (1.4.7) и (1.5.4), получаем равенство

兀(力)=Vx(t) cos а + 几(力)sin а,(1.6.5)

которое показывает, что величина 卩丫(力) представляет собой в данном случае проекцию да направление v некоторого вектора с составляющими Vx (力)и 几(力 вдоль осей хну.

Функция Vv (Z) является текущим показанием интегратора ускорения, ось чувствительности которого имеет направ-

ление V. Интегрируя эту функцию по времени и учитывая формулы (1.5.7), получаем новое соотношение

Sv ⑴=邑⑴ cos a + 5^ (%) sin a,(1.6.6)

в котором величина t

凡(方)=\гY(方)或(1.6.7)

о

может быть названа проекцией вектора кажущегося пути ракеты на направление v.

Соотношениям (1.6.5) и (1.6.6) можно придать с помощью формулы (1.2.11) следующий вид:

7v(0 = cos a [Fx (0 + ^(01(1.6.8)

и

Svp) = cos a [Sx«) +",%(%)]•(1.6.9)

Из полученных соотношений следует, что суммы (1.6.1), а следовательно, и выражение (1.5.8) для баллистической функции £ (力)можно построить на борту ракеты посредством использования текущих показаний единственного интегратора ускорения и его интеграла по времени. Действительно, на основании соотношений (1.6.8) и (1.6.9) выражение (1.5.S) преобразуется к виду

Е ⑴=急 Av (0 + tK (»-(%* + 包*)-

—т* е： + 乃%)—^kgt—k 等・(1.6.Ю)

Как уже было упомянуто выше, продолжительность активного участка определяется уравнением е (Z) = 0. В соответствии с формулами (1.6.10) и (1.2.11) это уравнение, которое в дальнейшем будет называться 6。мистическим.

приводится к следующей, более удобной форме:

]**

Vv (0 + —^v ⑴=% cos a + (% + g%) sin a +

+ "^" [“* cos a + 仅* "^—^-) since].(1.6.11)

Преобраз ование баллистического уравнения с использованием новой прямоугольной системы координат

Баллистическое уравнение (1.6.11) приобретает более прозрачную форму, если ввести новую неподвижную систему координат Еп с тем же началом, что и у системы ху. Ось Е этой системы координат направим^параллельно прямой v, т. е. под таким же углом а к горизонту (к оси /), под которым должна располагаться ось чувствительности интегратора уско- рений^рис. 4). Тогда ось 刀 будет антипараллельна вектору скорости ракеты в мгновение падения ее в цель при расчетном движении (см. рис. 1).

Координаты конца расчетного активного участка траект о- рии ракеты в новой системе координат обозначим через V и т]*. Они связаны с координатами 力* и в* той" же точки в системе ху формулами преобразования

У = ж* cos a + у* sin a, - rf = — £* sin'a 十岁 cos a.

(1.7Л) Проекции скорости ракеты на оси Е и 刀 при ее расчетном движении в мгновение выключения двигателя, обозначим через и? и и；. Они связаны с проекциями той же скорости на оси re и г/, т. е. с величинами 以 и 沙⑺ аналогичными формулами

注=у* cos a + y^sina, % = — и； sin a + Уу cos a.

(1.7.2)

Для текущих координат ракеты в системе 自刀,относящейся к ее действительному движению, введем обозначения 自(力) и т](力)，для проекций ее скорости на эти оси — v^ и 乙(t) и, наконец, для проекций ускорения ——м匕(力)и w^ (方)•

Так как ось 自 и направление v параллельны, то проекция ускорения ракеты на направление v представляется формулой

%(%) =收⑴= (1.7.3)

и, следовательно, согласно формулам (1.4.1) и (1.6.2), получаем

"需-=〃v ⑴ + 汀=〃v (0 — g Sin a.(1.7.4)

В начальное мгновение (方=0) активного участка полета координаты ракеты 己 Q) и Т)(办，а также проекции ее скорости у^ (£) и и，(方)равны нулю. Поэтому, последовательно ин- тегрируя выражение (1.7.4) для 忌厶 по времени, получаем

формулы

&⑴=§"=匕(方)一g/sinoc,

e (方)=凡⑴一等 sin a, (1.7.5)

где P\ (力) и Sy《)， как и прежде, — проекции кажущейся скорости ракеты и ее кажущегося пути на направление V или, что то же, на ось J. Они связаны с проекцией кажущегося ускорения 〃v (%) соотношениями (1.4.7) и (1.6.7).

При использовании формул (1.7.5), (1.7.2) и (1.7.1) баллистическое уравнение (1.6.11) для определения мгновения выключения двигателя приводится к следующему простому виду 1：

% (力)Н—Vw«) = &H—~ &*• (1.7.6)

В уравнение (1.7.6) не входят ни координата ракеты т](力), ни проекция и* (力)ее скорости на ось т]. Это означает, что малое отличие упомянутых величин в конце активного участка от расчетных их значений 刀* и и； с точностью до малых второго порядка не должно влиять на дальность полета ракеты. В сущности этим и объясняется тот факт, что для управления дальностью полета ракеты достаточно использовать единственный интегратор ускорений, ось чувствительности которого параллельна оси g или, что то же, направлению V. *

1 Уравнение (1.7.6) можно получить и непосредственно из баллистического уравнения £ (力)= 0, в котором функция £ (0 берется в исходной форме (1.3.2). Чтобы в этом убедиться, достаточно заменить в выражении (1.3.2) коэффициент h его значением, следующим из соотношения (7.2.11), и восполъзоватъся^формулами (1.7.1), (1.7.2), а также им аналогичными, для величин 三(/) и。匕(力.

TeDMCTpinecicoe ртссмотрешке условия

□(Шаранин ракеты в заданную цель

С геометрической точки зрения баллистическому уравнению (1.7.6) предыдущего параграфа можно дать следующее толкование. Пусть движение ракеты таково (рис. 5), что в мгновение выключения двигателя она оказывается в точке Л \ сдвинутой относительно точки А ——конца расчетной траектории активного участка на малый отрезок, параллельный оси г]. Если ее скорость в это мгновение окажется такой же, как и в конце активного участка расчетного движения, то траектория ракеты на пассивном участке будет иметь такую же форму, как и в расчетном случае. Чтобы получить эту траекторию, достаточно сдвинуть на величину отрезка AAf всю расчетную траекторию поступательно в направлении оси т] или, что то же, в направлении касательной к траектории в точке С ее пересечения с осью х (см. рис. 5). Очевидно, что точка пересечения «сдвинутой» траектории с осью х будет отстоять от точки С, т. е. от расчетной точки падения ракеты, на малую второго порядка.

Пусть, напротив, в конце активного участка ракета приходит точно в расчетную точку Л, однако со скоростью, несколько отличающейся от расчетной и по величине, и по направлению (рис. 6 и рис. 7). Форма траектории окажется иной и в общем случае ракета в заданную цель уже не попадет.

Тем не менее, как это следует из б а л листическ ого уравнения в форме (1.7.6), если скорость ракеты будет отличаться от расчетной на малый вектор, параллельный оси 刀(рис. 8), то отклонение ракеты от цели также будет величиной второго порядка малости. Таким образом, в случае невращающейся плоской Земли, лишенной атмосферы, можно указать такие

совпадающие направления малых векторов изменения скорости или смещения ракеты в конце активного участка, при наличии которых изменение дальности полета ракеты имеет величину второго порядка малости. Подобные же направления можно указать и в общем случае при учете вращения Земли, ее несферичности и при наличии атмосферы. Однако они оказываются различными, и для решения задачи о выборе надлежащего мгновения выключения двигателя одного интегратора ускорений с осью чувствительности постоянного направления в общем случае уже недостаточно. Упомянутая задача (также с точностью'до малых^второго порядка) наиболее просто решается при помощи двух интеграторов ускорений (см. § 3 третьей главы) с дополнительным интегрированием показаний одного из них.

ГЛАВА ВТОРАЯ

ТЕОРИЯ ИНЕРЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНОСТЬЮ ПОЛЕТА БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ В ❶ЕЩЕ诡 ПОСТАНОВКЕ

Выражение ошибки в дальности полета ракеты при малых изменениях параметров конца активного участка. Баллистическая функция

Теория инерциального управления становится несравненно более сложной, если при движении ракеты, в отличие от принятых в первой главе упрощающих предположений, учитывать изменение ускорения силы тяготения как по величине, так и по направлению, Землю уже не считать неподвижной, а при расчете пассивного участка полета учитывать сопротивление атмосферы. Основная трудность заключается при этом в подборе некоторой достаточно простой функции параметров, измеряемых на борту ракеты инерциальными чувствительными элементами. Функция должна быть такова, чтобы при достижении ею заранее заданного значения можно было произвести выключение двигателя, обеспечив расчетную дальность полета ракеты. Пример подобного рода был приведен в главе 1. Эта функция, называемая в дальнейшем, как и в главе 1, баллистической (иногда ее называют управляющей, а также управляющим функционалом), строится на борту ракеты посредством счетно-решающего устройства, использующего текущие показания интеграторов ускорений. Величина баллистической функции должна быть непосредственно связана с ошибкой в дальности полета ракеты, которая возникла бы, если бы выключение двигателя про-

изошло в текущее мгновение времени. Система инерциального управления в свою очередь должна выдавать сигнал на прекращение работы двигателя при достижении баллистической функцией значения, соответствующего обращению упомянутой ошибки в нуль.

Одной из баллистических функций является сама ошибка в определении дальности полета ракеты, выраженная через ее текущие координаты / (力)，у (Z), z (力)и проекции их (/), vy (Z), vz (i) скорости относительно так называемой стартовой системы координат xyz, связанной с вращающейся Землей. При этом предполагается, разумеется, что именно в мгновение t происходит полное выключение двигателя.

Начало стартовой системы удобно расположить в центре Земли, направив ось у по радиусу Земли через точку старта О, а ось х так, чтобы координатная плоскость су, именуемая программной, содержала заданную точку падения ракеты С. Если ось / направить в сторону точки & то направление оси z тем самым полностью определится (рис. 9). Полезно заметить, что траектория ракеты не лежит в плоскости /沙,проходя тем не менее в расчетном случае и через начало координат Q и через точку С.

За величину дальности полета ракеты I можно принять кратчайшее географическое расстояние между точкой старта О и фактической точкой падения ракеты D, а за ее боковое отклонение b — расстояние точки D до программной плоскости, т. е. плоскости ху (рис. 9).

Введем краткие обозначения

况(о) = %, у (о) == у, z (о) = z,

/2.1.1)

% 9) = %, vy (^) = и”， Vz (б) = Vz

для значений координат ракеты и проекций ее скорости

относительно стартовой системы координат xyz в мгновение выключения двигателя 力=о. При этом считается, что мгновение 力=0 относится к началу движения ракеты со старта. При неизменных значениях х,у, zn ух,订沙 vz дальность I зависит от широты места старта и от расположения плоскости ху относительно стран света. От положения в мгновение окончания активного участка небесных светил — Луны и Солнца относительно Земли дальность полета ракеты практически не зависит. Некоторое небольшое влияние на величину Дальности полета ракеты оказывает состояние атмосферы, особенно вблизи точки ее падения, которое в дальнейшем, однако, не учитывается.

Имея в виду какое-либо конкретное положение старта ракеты и ее заданную точку падения, примем, что дальность I является только функцией координат х, у, z л проекций скорости %, vy, vz ракеты в конце активного участка полета

и не зависит от продолжительности последнего. Таким образом, будем считать, что

/ = 2 (优，у, z, %, %, %).(2.1.2)

Построение функции I (/, у, z, %, vyi uj в общем случае в виде явной функции своих переменных невозможно, так как, в отличие от изложенного в главе 1, уравнения движения ракеты на пассивном участке в квадратурах не интегрируются. Тем не менее математические машины с большой точностью позволяют сравнительно быстро вычислить величину дальности полета ракеты 2 по данным ее координатам х, у, z ^ проекциям скорости %, %, %, с о отв етств ующим концу активного участка в стартовой системе координат xyz.

Обозначим через %*,矿，z* и £,乙，и； те значения координат и проекций скорости ракеты в стартовой системе координат xyz, которые соответствуют концу активного участка в расчетном движении, и через Z* расчетную дальность ее полета. В согласии с формулой (2.1.2), имеем

I = Z(%,y,z, %, Уу, %)•(2.4.3)

Составим выражение

А/ = / [^ (力 У ⑴,z (0, % (力 ％ (力 ％ (%)]—

—1^\ /, z； 〃£ %,注)・(2.1.4)

Оно может быть принято за баллистическую функцию, упомянутую в начале настоящего параграфа. Действительно, если выключить двигатель в какое-либо произвольное мгновение 力 то соответствующее этому мгновению значение выбранной функции непосредственно является ошибкой в дальности полета ракеты. Если же двигатель выключить в то мгновение 力=о, в которое эта функция обращается в нуль, то, естественно, ошибки в дальности полета не будет.

Из-за отсутствия формулы, выражающей функцию (2.1.2) в явном виде через свои аргументы, практическое использование разности (2.1.4) в качестве баллистической функции затруднительно. Значительно проще другая баллистическая функция, получающаяся из разложения функции I в строку Тейлора около расчетных значений ее аргументов, т. е. около совокупности величин 力*, у*, z*, %, % и vz. Согласно выражению (2.1.4), удерживая лишь малые первого порядка, имеем

厶/ = [x (%)一%*] -^ + [у (0 -矿]為 + Iz (*)一z*] ^~十

+ [% (力)一vx] ^- + [у^ (0 - %] ^■十[% (%) - %]券•

(2.1.5)

сЭ/ dl dl dl dl dl

з4есь частцые производные ^，万，方，灰，阮，厄， именуемые баллистическими коэффициентами, берутся при значениях своих аргументов, соответственно равных 力*, Z/*， z*, 〃；, Vy, 〃z, и, следовательно, для заданного полета ракеты являются постоянными величинами. Баллистические коэффициенты могут быть вычислены, в частности, на быстродействующих вычислительных машинах.

Очевидно, что при малом отклонении движения ракеты от расчетного в качестве баллистической функции можно принять выражение

6 (0 =[£(力)一叫*£ +[沙(力)-/] % +[z (0 一 z*]掛+

+ [%(上) - %]煮十[%(%)-園 券 + [% (力)-%]券・ %и(2.1.6)

Действительно, при выключении двигателя в мгновение, когда это выражение становится равным нулю, разность между 4 А. Ю. Ишлинский

действительной и расчетной дальностью полета ракеты окажется величиной второго порядка малости L При этом отклонения параметров действительного движения ракеты от расчетного в конце активного участка ее полета принимаются за малые первого порядка.

30PMy«лы, связывающие координаты ракеты в стартовой и невращающейся системах координат

Для решения задач инерциального управления стартовая система координат представляет некоторые неудобства. В частности, определение координат и составляющих скорости ракеты в этой системе по показаниям ньютонометров или интеграторов ускорений усложняется необходимостью учета переносных и кориолисовых сил инерции. Введем поэтому невращающуюся систему координат ^т)^ с тем же началом в центре Земли, как и у стартовой системы xyz, вращающейся вместе с Землей. Пусть в мгновение начала движения ракеты 力=0 оси систем координат 自刀乙 и xyz соответственно совпадают.

Обозначим через U& U^ U^~ проекции угловой скорости Земли на соответствующие оси системы координат ±т)С и через U%, Uy, Uz ——на оси системы xyz. Для произвольного мгновения времени справедливы равенства

Uz = Ux = IU, 〃刁=и” = mU,

U： = Uz = nU, (2.2.1) где Z, m, n —— направляющие косинусы земной оси и, следовательно, вектора U в системе координат 占r)g или, что то же, в системе координат xyz.

Если не учитывать, разумеется, других обстоятельств, нарушающих точность полета ракеты, в частности влияние атмосферных условий в конце пассивного участка.

Спустя время t после старта ракеты система координат xyz повернется против часовой стрелки на угол

(2.2.2)(2.2.2)Q = Ut

(2.2.2)

(2.2.2)

относительно системы 自從，если наблюдать за вращением со стороны положительного направления вектора угловой скорости Земли U (т. е. со стороны звезды Полярной).

Наряду с текущими координатами ракеты х (/), у (Z) и z (0 в стартовой системе координат xyz введем ее координаты 占(力)，Л «), 4 (力)в системе ЕпС・ Оси последней, как следует из упомянутого выше, не меняют своей ориентации относительно направлений на неподвижные звезды.

Таблица косинусов углов между осями систем координат ^т] и xyz 1 такова:

х (1 — cos 屮)Z2+

(1 —cos 屮)ml +

工

(1 COS ф) Til：

+ coscp

十 n sin Ф

—msincp,

у (1 - cos屮)4加一

(1 — coscp) m2 +

(1 — cos 屮)nm-\-

-汽sin屮

+ cos(p

+ I sin 屮，

Z (1 -COS 中)勿 +

(1 - cos 屮)mn -

(1 —COS<P)n2 +

+ m sin 屮

-I sin 屮

+ cosq).

(2.2.3)

Согласно таблице (2.2.3), можно определить координаты ракеты в системе 占期白，т- е・ величины 占(方)，т](方)，白 «), если известны направляющие косинусы Z, т,九，угол 屮 и координаты х (力)，у (力)，z&). Соответствующие формулы имеют вид Е (力)=[(1 — cosф) Z2 + coscp]力(t) + [(1 — cos屮)2пг —

—тг sincp] g (£)十[(1 — cos <p) In -}-m sin 屮]z (力

См,y в частности, приложение на стр. Z30.

т] (%) = [(1 — coscp) ml + тг sin(p] 2 (t) + [(1 — cos <p)疗 +

+ cos (р] у (方)+ [(1 — cos 屮)тп — I sin 屮]z (力)，

g (力)=[(1 — cos (p) nl ~ m sin(p] z (方)+ [(1 — cos (p) mn +

+ I sin(p] У (力)+ [(1 — COS (p)孔2 + C0S(p] Z (力).

(2.2.4)

Обратное преобразование, выражающее координаты ж (^), у ⑴ и 么(力 через 占(力)，刀 ⑴，已(%), соответствует конечному повороту системы координат 己刀已 относительно системы xyz на тот же угол ф, но в противоположном направлении. Оно, в частности, получается из предыдущих формул (2.2.4), если заменить в них угол (р на —ср и поменять местами величины Е и 啰,г) и у, а также g м z. В результате получаем формулы х (力=[(1 — cos(р)得 + coscp]三(力)十[(1 — cos(p) ml-]

+ " sin ф] i] (0 4- [(1 ——cos ф) nl — т sin ф] g ⑺，

у (力=[(1— cos(p) Im — n sin(pl E (力)+ [(1 — cos(p) m2+

+ cos ф I T)«) +【(1 — cos (p) "/я I sin ф]《(力)，

Z ⑴一二[(1 — coscp) In + in sin<p]己(0 -|- [(1 — cos屮)〃2〃——

—Z sin 屮 I n (力)+ [(1 一 cos 屮)"2 十 cos(p] C ⑴，(2.2.5) которые, конечно, можно получить и непосредственно, используя таблицу (2.2.3).

§ 3. Проекции скорости ракеты относительно невращающейся системы кв ординат

Ранее были введены обозначения vx (办，vy (%) и vz (%) для текущих значений проекций на оси х, у и z скорости ракеты относительно стартовой системы координат xyz, вращающейся вместе с Землей. Проекции скорости ракеты относительно невращающейся системы координат 占刀已 на оси этой

системы обозначим соответственно через 瓏（力），〃力（力）и u^（t）. Очевидно, что

"ё⑴=幣"，人（力）=黑义此⑴=号^， подобно тому как

%⑦ = 喇…⑦=陪,分（力）=粤・（2・3.2）

Величины % ⑴，vy ⑴ и vz （力）можно выразить через 〃匕（方）, 〃г ⑴，〃w （力）и обратно. Согласно формулам кинематики относительного движения точки, имеем

% ⑺=vx （0 + %z （0 — Uzy （О,

%⑴=人 （力）+и雜⑴-Q （0,

% ⑴=% （力）+ Uxy （0 — Uyx （力），（2.3.3）

где их （力），ии （力），uz （力）——проекции на оси х, у ^ z скорости ракеты относительно невращающейся системы координат 己刀甘.

В формулах （2.3.3） в соответствии с равенствами （2.2.1） заменим UX1 Uy и Uz на 〃匕,〃力 и 〃二,а координаты х （/）, у （力），z （力） выразим посредством соотношений （2.2.5） через координаты 自 «）, п （方），甘（力.Если далее проекции их «）, м〃 （力）,uz （%） выразить, используя таблицу （2.2.3）, через проекции 〃已（力），乂力（£） и и^ （^）, то придем к следующим искомым формулам:

%传）=1（1 — cos ф） Z2 + coscp］ 〃匕（力）+

+ ［（1 — coscp） Im -\-n sinq）l 〃力（力）+

+〔（1 — cos（p） In — m sin q）l 〃已（力）—U^ ｛1（1 — cos ^）nl -］-

+ m sing）］己（力）+ ［（1 一 cos（p） mn — I sin ср］刀（力）+

+ ［（1 — cos ф） t^ + cos ф］ С （%）｝+ U^ （［（1 — cos（p） 1т —

—n sin（pl E （力）+ ［（1 — cos ср） тп2+ cos ф］刀（%） +

+ ［（1 — cos ф） mn + I sin（p］ S （£）｝,

甩(力)=1(1 — cos(p) Im — п sin(p] 〃匕(方)+

+ [(1 —— cos ф) m2 4- cos(p] u^ Q) +

+ [(1 — cosф) mn + I sinq)l 〃匕优)一

一入{[(1 — cosф) I2 + cos(p]自(力)+

+ [(1 — cosф) ml -\~ n sin q)l n (力)+

+ [(1 — cos ф) nl — m sin(p] g (》+

+ %{【(1 — cos(p) In -\-m sincp] E (力)+ [(1 — coscp) mn—

—I sin(p] t] «) + [(1 — cos (p)公 +cos(p] C (力)},

%(%) = t(l — cosф) In -\- m sincp]瓏(力 +

+ [(1 — cos ф) mn — I sin(p] 〃力(力 + [(1 — cos <p) n2 + + cos(p] u^ (t) — 4 {[(1 — cosф) Im — n sin(p]己(力)+ + [(1 — cosф)壮2 -|- cos ф] Т](力)+

[(1 — cos ср) mn + I sin(pl 工(力)} +

+ % {[(1 — cosф) Z2 + cos(p]己(力)+

+ [(1 — cos(p) ml -\~ n sin(p] T](力)+

+ 1(1 — cos ср) nl — m sincp] g «)}•(2.3.4)

Последние формулы несколько упрощаются после замены в них проекций угловой скорости Земли U& U小 U< соответственно произведениями ZU, mU и %U, согласно тем же равенствам (2.2.1). В результате получим

%(%) — [(1 — cos ср) Z2 + cos(p] 〃匕(力)+

+ [(1 — cos ф) mZ 4- n sinq?] 〃力(力)+

-f- [(1 — cos ф) nl — m sin ф] u^ (力一

—U {coscp [m£ (%) — nr](力)]—

-I sin(p [疋(方)+ mЛ (力).+ 〃 G (03 + 自 (力)sincp},

%(力)=[(1 — COSФ)Im — п sin(pl 〃匕(力)+

+ [(1 ——COS ф) 7^2 4- cosqp] 〃力(力)+

+ [(1 — cos ф) тпп + Z sin ф]奴(力)——

—U {cos(p [ng (力)一Z C (力)]—m sin(p"J (力)+ wq (力)+

+ 啮(力)]+П (0 sin(p},

%(力)=[(1 — cos ср) In + m sincp]瓏(t) +

[(1 — cos ф) mn — Z sinq)l 〃力(力 +

+ [(1 ——cosф)八2 + cos(p] "号(力)——

—U {coscp [回(Z) — zng (Z)]—

—n sin ф UI (力)+ ^П CO + 就(力 1 + W W sincp}. (2.3.5)

Очевидно, что аналогичным путем можно прийти к формулам, выражающим величины 〃之, 〃巾 и^ через 〃％, иу и %. Имеем

瓏(9= [(1 — coscp) Z2 + cos(p] % (力 4-

+ [(1 — coscp) Im — n sincp] vy (力)+

+ [(1 — coscp) In -{-m sincp] % (Z) +

+ U {coscp [mz (t) — ny (Z)] + Z sin<p [lx (力 +

+ my (力)+ mz ⑴]—力(t) sin ср},

"力(大)=[(1 - cos (р) ml ^-п sincp] % (%)+

+ [(1 — cos ср)疗 + cos ср] vy (力)+

十[(1 — cos(p) mn — I sin(p] % (£) + U {coscp山/ (£)—

-2z (力)]+ m sin 屮"力(力)+ ту (大)+九2(力)]—5 (力)sin(p},

以(*)= t(l — cosф) nl — т sincp] % (力)+

+ [(1 — cos(p) nm + Z sinqj % (£)十

十[(1 — COS ф) n2 +cos(p] vt (t) +

. + a {cos 屮[ly (土)一 mx Q)J +

+ ^ sin ср [lx (t) +〃％ &) +%z (01 — z (9 sin(pf. (2.3.6) ;,

§ 4・ Ошибка в дальности полета ракеты как функция изменений параметров конца активного участка в невращающейся системе координат.

Исходная баллистическая функция

Координаты и проекции скорости ракеты относительно невращающейся системы координат МС в мгновение конца активного участка ее полета 力=Q будем обозначать соответственно буквами Е, % g и 瓏，忆，〃и Они аналогичны введенным ранее обозначениям (2.1.1) для величин 力，g, z и %, %, %, относящихся к стартовой системе xyz. Таким образом,

W(o) = £ 刀(0) = % G(o) = g,

女(б) = 〃& 〃刀(б) = %, 叱(б)=收.(2.4.1)

Полагая в формулах (2.2.5) и (2.3.4) 屮=Us、получим выражения величин х, у, z через g, г], ^ и а, а также величин 分，％， vz через 瓏，к,收，占，％ Си и. Это позволяет считать величину дальности 2 функцией значений координат ракеты 己(力)，Л (%), С (力)в мгновение 力=о, проекций ее скорости 碗(力)， ％ (力)， иу (力)относительно невращающейся системы координат ^г]С (в это же мгновение времени) и, наконец, самой продолжительности активного участка о. В соответствии с формулой (2.1.2) имеем теперь

2=2 (%, у, z, %, %, %) = 2 (Е, % & 瓏，〃т],| 〃W；。)・(2.4.2)

Нетрудно пояснить, почему в данном случае дальность 2 явно зависит от переменной и. В самом деле, положение ракеты относительно Земли при одних и тех же значениях ее координат в невращающейся системе |т)^ существенно зависит от положения последней по отношению к связанной с Землей стартовой системе координат xyz9 т. е. отуглаф = С/(Уа

То же относится и к величинам проекций вектора скорости ракеты относительно стартовой системы в мгновение окончания активного участка.

Расчетным значениям параметров конца активного участка в стартовой системе координат 力*, у*, z*, vx, vy, vz соответствуют расчетные же значения параметров 自*, т]\ 簟，总 〃；，и^ в невращающейся системе 自*. Они связаны между собой формулами (2.2.5), (2.3.4) или (2.2.4), (2.3.6), в которых следует положить ср = Ug*, считая о* за обозначение расчетной продолжительности активного участка полета ракеты. Очевидно, что в соответствии с формулой (2.1.3)

z* = z(炉,у\ z*, £,脸 力=%(&*, R 匕 晚,w*, 〃:； о*),

(2.4.3) где %* — по-прежнему расчетная величина дальности.

Разность А/ между величиной фактической дальности полета ракеты Z и ее расчетным значением 2* можно представить, аналогично формуле (2.1.5), в виде разложения

А"=（自—&*）赍 + ⑺—刀*）^+（° —' °*）% 十（碎— 〃!）£ +А"=（自—&*）赍 + ⑺—刀*）^+（° —' °*）% 十（碎— 〃!）£ +(2.4.4)(2.4.4)

А"=（自—&*）赍 + ⑺—刀*）^+（° —' °*）% 十（碎— 〃!）£ +

А"=（自—&*）赍 + ⑺—刀*）^+（° —' °*）% 十（碎— 〃!）£ +

(2.4.4)

(2.4.4)

где опущены члены второго и более высокого порядка относительно разностей

自--自，Л--Л , С--白,〃匕--〃匕，〃力--〃小 W ——收，0 ■0•

В отличие от разложения (2.1.5) в формулу (2.4.4) входит член первого порядка, содержащий множителем разность о — о* между фактическим временем активного участка полета ракеты о и его расчетным значением о*. Ту же разность содержит и ряд членов разложения (244) более высокого

порядка. Причина этого обстоятельства была уже объясне

на в начале настоящего параграфа.

Производные —,—,—, —, ^ 灰 11 石 сами

являются функциями переменных 自,刀,备 〃已,〃叫,и^ и о. В разложении (2.4.4) они должны быть взяты при расчетных значениях перечисленных переменных Е*, г]*,之*, 限 〃力，瓏，о*， и， следовательно, для конкретного заданного полета ракеты являются постоянными количествами — баллистическими коэффициентами, относящимися к невращаю-

щейся системе координат. Покажем, что все они выражаются через баллистические коэффицйенты стартовой системы 质，灰，^；И^；・ Действительно, согласно правилам дифференцирования сложных функций, в частно

сти, имеем:

8/ — dl дх . dl3^ 一 a" 能十 дуdi — a/ a% а/ди^ — 8% ди^ 十 dvy8/ — dl дх . dl3^ 一 a" 能十 дуdi — a/ a% а/ди^ — 8% ди^ 十 dvy.didz а/ а% а/ 北？ ai а%

8/ — dl дх . dl

3^ 一 a" 能十 ду

di — a/ a% а/ди^ — 8% ди^ 十 dvy

8/ — dl дх . dl

3^ 一 a" 能十 ду

di — a/ a% а/ди^ — 8% ди^ 十 dvy

十

十近丽?(2.4.5)

Аналогичные выражения имеют место для производных di di а/ di““ . а/

而’&瓯’亚’а “ля частной производной 石 справедлива формула

do — дх ^б . .ду do dz do 十 8% &0財十尋廿 8b ' &唯 do *

(2.4.6)

Входящие в перечисленные выражения частные производные переменных 爲沙,z, %, %, vz по переменным 己,％ 备 味, 沙力,и 二 и о образуются путем применения с о отв етств ующи х операций дифференцирования к формулам типа (2.2.5) и

в которых следует предварительно положить 力=о

и ср = Uo.

Так,гнапример,

矍喻=cos “ + (1 一 cos Uo)卅

需=系=(1 - COS0<5)配 + 〃 sin。<5 , 患= -0((—〃)^。％

^ = U [— (1 — G) gsin Ug + (Zm sin Uo + 〃cos Ob) “ + + (In sin Ug — mcos Uo)g],

dv

請=。[—(1 — Z2) 〃匕sin Ug + (2加 sin Ua + n cos и<з)и^-^ + (Znsin Ug —加 cos U^) u^] + 0 [(mg — 〃т]) sin。<5 + + 2 UE + 加“ + 八 g) cos Ua — ±cos Uo].

(2.4.7)

Если теперь в формулах (2.4.5), (2.4.6), (2.4.7) и им подобных положить значения всех переменных равными расчетным, то тем самым искомые коэффициенты в выражении (2.4.4) полностью определятся.

Будем предполагать, что в результате малого отклонения действительного движения ракеты от расчетного в разложении (2.4.4) члены, обусловленные так называемым боковым отклонением ракеты (8 — 4*)栄 и (〃匕一〃；)煮，невелики по сравнению с другими членами. В результате разность между фактической и расчетной дальностью по* лета ракеты А/ может быть представлена приближенной

формулой

a2 = (e 一冒)卷 +(n一刀*)"^" + (& 一亚)詣 +

+ (% — 〃力)煮 +(° — °*)"^ ♦(2.4.8)

级 а/ а/ а/ а/彳

r方0循'而'岡'四 и 石'к2к уже было указано выше, числа, которые полностью определяются выбранным расчетным движением ракеты.

Выражению (2.4.8) соответствует следующая баллистическая функция, которую назовем исходной баллистической функцией:

ё«)=[Е«) T*段+m (0 一 "*瑞 +【现(0 一從底+

+【％ (0 — 〃力]券 + (/ — о*) ^ •(2.4.9)

Здесь 己(方)，П (力)，瓏(力)и 〃力(Z), как и прежде,— текущие координаты и проекции скорости ракеты в невращающейся системе координат 酌工.

Если двигатель ракеты выключить в какое-либо текущее мгновение 力=ст, то на основании формул (2.4.1) и (2.4.8) соответствующее этому мгновению значение исходной баллистической функции (2.4.9) с точностью до малых второго порядка определит ошибку в дальности полета ракеты. Во избежание этой ошибки следует выключать двигатель ракеты в мгновение, когда баллистическая функция 8 (Z) обращается в нуль. Таким образом, необходимое мгновение выключения двигателя определяется корнем уравнения

[&«) — &*]备 + [п(0 —л*]-|^ +【辽匕⑴一咱設 +

+[也力(上)- 以川 ^-+ (f - 0*)禺■ = 。、 (2410)

Уравнение (2.4.10) назовем исходным баллистическим уравнением.

Основное содержание дальнейших параграфов данной главы, а также третьей и четвертой глав состоит в построении ряда других баллистических функций, при помощи которых можно по возможности проще решить задачу об инерциальном управлении дальностью полета баллистических ракет. Все они получаются посредством тех или иных преобразований из функции (2.4.9) и различных представлений координат и проекций скорости ракеты относительно невращающейся системы 占刀 С через текущие показания интеграторов ускорений.

§ о. Ди фференциальные уравнения, определяющие текущие координаты движения ракеты

Самым естественным, но, как оказывается, не самым простым, способом построения левой части исходного баллистического уравнения (2.4.10) на борту ракеты представляется предварительное получение самих текущих координат 占(力) и т](力)посредством решения дифф ер енциал ьных уравнений, связывающих эти координаты с текущими показаниями двух ньютонометров. Оси чувствительности последних должны сохранять неизменные направления, соответственно параллельные осям Е и п невращающейся системы координат 三刀 С・ Показаниями упомянутых ньютонометров являются проекции а^ «) и 询(t) кажущегося ускорения ракеты на оси 自 и 斗 Согласно формуле (1.4.1) главы 1, в данном случае имеем

做⑴=g(上)一储"式%)=叫⑴一лИ (2.5.1)

где

僚(%)= W，叫⑴(2-5.2)

являются проекциями на оси g и т] действительного ускорения ракеты относительно неподвижной системы координат 自喈，a

(2.0.3)

普=分化()u小鼠力)；力

соответственно проекции ускорения силы земного тяготения, зависящие в явном виде не только от координат ракеты, но и от времени t. Для объяснения последнего обстоятельства заметим, что даже в точке с постоянными координатами относительно невращающейся системы 三力匕 ускорение силы тяготения меняется с течением времени. Действительно, по отношению к системе координат 自刀白 расположение Земли непрерывно меняется. Вместе с тем поле тяготения Земли не имеет радиальной симметрии, в частности, вследствие отклонения ее формы от сферы. Если последним обстоятельством пренебречь и считать Землю шаром с радиально-симметрическим распределением плотности, то проекции ускорения силы земного тяготения представятся формулами

% = 一 7。/患， 爲=一 %把乎， (2.5.4)

уже не зависящими в явном виде от времени. В них /0 — значение ускорения силы тяготения на земной поверхности, рассматриваемой как шар радиуса R, а

p = U化⑴]244 Tl ⑴户 + %(力 2 (2.5.5)

представляет собой расстояние между ракетой и центром Земли. Из-за малости бокового отклонения ракеты 甘(办 по сравнению с радиусом земного шара R эту координату в формуле (2.5.5) можно опустить. Соответственно можно опус-

тить координату《(力)в формулах (2.5.3), считая влияние этой координаты на величину ускорения силы тяготения несущественным. Тогда соотношения (2.5.1) можно рассматривать как совокупность двух дифференциальных уравнений

g詁"=a^^) + Л [1(0, л(2)；力1,

…(2.5.6)

для отыскания искомых функций ^ (/) и т](力)по данным текущим показаниям 磔(力)и 〃力(Z) двух ньютонометров.

Непосредственное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.5.6) на борту ракеты с целью отыскания текущих значений координат 自(力)и т](力)возможно посредством использования достаточно быстродействующей вычислительной машины. В последующих двух главах рассмотрено приближенное решение этих уравнений, которое в принципе может быть использовано в системе управления дальностью полета баллистической ракеты при наличии на ее борту ньютонометров или интеграторов ускорений и простейших счетно-решающих устройств.

Вспомогательное соотношение, связывающее величины баллистических коэффициентов в невращающейся системе координат

При различных преобразованиях исходного баллистического уравнения (2.4.10) оказывается полезным одно соотно

шение, которое связывает величины баллистических коэффи

циентовциентовв невращающейся системев невращающейся системеdi а/ ы di ы

циентов

циентов

в невращающейся системе

в невращающейся системе

宛，dr]，а и匕，ди^，8о

координат 自勺甘 с проекциями скорости 〃匕，〃力 и проекциями ускорения силы тяготения % （f, “*; о*）, % （Е*, “*; о*）, относящимися к мгновению £ = о* окончания активного участка расчетного движения ракеты.

Введем функции ?（力 и “* （方），представляющие собой текущие координаты ракеты в ее расчетном движении на активном участке. Они удовлетворяют совокупности дифференциальных уравнений （2.5.6）, если в них заменить текущие значения проекций 绥（方），〃力⑺ кажущегося ускорения их расчетными значениями 殁（方） и 〃力 «）. Таким образом,

弯沪=限方）+为点⑴,不⑺；"，

…（2.6.1）

学般=%（力）+ 力E（力Н*（）小

Соответственно введем функции 占** （力 и 刀** （方），являющиеся координатами ракеты на пассивном участке ее расчетного движения. Примем, что в начале движения ракеты на пассив hoai участке сопротивление атмосферы несущественно и, следовательно, кажущееся ускорение отсутствует. В этом случае следует считать, что функции Е**«） и 刀**（方） удовлетворяют совокупности дифференциальных уравнений, которая получается из （2.6.1）, если в уравнениях последней опустить величины 〃匕（力），〃力（t） и заменить переменные 三* «） и /* （方）соответственно на J** «） и if* （力）.Получим

齿尹= /Л）, Г（о；＞],

（2.6.2） 号© = %也**0）,『⑴；力.

Обозначим текущие значения проекций на оси Е и 刀 скорости

ракеты на активном участке при расчетном ее движении че- рез 〃匕(t) и 〃力(t), а через 〃之(力) и 〃刀(t) —— соответствующие величины, относящиеся к пассивному участку. Имеем очевидные равенства

"?⑴="**一，〃:(")=雾粤(2.6.3)

и аналогичные им

成。)=写旦^(^-^Г-(2-6.4)

Активный участок расчетного движения ракеты в мгновение 力=о* переходит в пассивный, откуда следует, что

F 9*) = Г* С) = Г, П* б) = П** (О = П*,(2.6.5)

а также

и{(力=庇* (о*)=危 嗚(о*) = W (о*)=若.(2.6.6)

Согласно уравнениям (2.6.1) и формулам (2.6.5) для конца расчетного активного участка 匕 получим

守=Q? (/) + %(，『'о*),

(2.6.7)

今立(力+九(乩心0.

Аналогичные соотношения можно получить на основании

1 В обозначениях типа следует, конечно, считать, что сначала производит- at

ся операция дифференцирования соответствующей функции, а затем аргументу придается значение, указанное в круглых скобках.

5 А. Ю. Ишлинский

уравнений (2.6.2) и тех же формул (2.6.5) для начала расчетного пассивного участка. Они имеют следующий вид:

(2.6.8)

Рассмотрим теперь на расчетном пассивном участке полета ракеты некоторое мгновение t =力】，следующее за мгновением выключения двигателя 力=о*. С точностью до малых второго порядка имеем разложения в строку Тейлора для координат ракеты £ и %, относящихся к этому мгновению, а именно:/

Ь = &** (力 1) = F* (。*) + (方1 -。*) ^Р,

(2.6.9)

% =不(力 1) = П**(0*) + 仏-0*),

или, учитывая равенства (2.6.4), (2.6.5) и (2.6.6),

£1 = Г + 佑-。*) % Til = n* + 色-。*)吟 (2.6.10)

Аналогично для проекций 〃£ и 〃^ расчетной скорости ракеты в упомянутое мгновение 力=左 имеем

咤=咤传)=空* 9*) + (% 一。*) ^^ ,

** *(2.6.11)

〃尸唠⑷=吟(。*) + (%一。*)

На основании формул (2.6.4) здесь можно произвести следующую замену:

如/ (力一优** (?)/* (0*)饋限* (力

F —一 ~~di ——标一•(2.6.12)

Учитывая, кроме того, равенство (2.6.6), а также соотношения (2.6.8), получим

咤=〃? + (万一o*)%(g,n*； 0*),

(2.6.13) 吗=.% + (厶一0*)九优*,*0)

Представим себе такое движение ракеты на активном участке, отличном от расчетного, в результате которого в мгновение 力=々 она окажется в точке с координатами ^ и “и обладая скоростью, проекции которой на оси и т] соответственно равны величинам 〃七 и 说・ Если в это же мгновение 力=左 двигатель ракеты выключить, то следующий затем пассивный участок ее движения в силу единственности решения задач динамики полностью совпадает с расчетным. Действительно, оба движения таковы, что в одяо и то же мгновение 力=片 у них совпадают положения и скорости ракеты относительно системы координат gr]g. Кроме того, при 力＞力工 они подчиняются одной и той же совокупности дифференциальных уравнений, относящейсяк пассивному участку ее движения. Таким образом, при таком активном участке ракета не будет иметь ошибки в дальности своего полета. Следовательно, параметры конца активного участка ее движения匾，％, 隔 u^j должны удовлетворять исходному баллистическому уравнению (2.4.10), т. е.

(11-1*)-^- + (%—п*喘 + S—成)蟲 +

+ (嗚一"：)說+(*一0*)幫=。。(2.6.14)

Заменяя здесь величины £ и % их выражениями, согласно формулам (2.6.10), а 〃£ и *)в соответствии с формулами (2.6.13), получим после сокращения на общий множитель

% — о* равенство

(2.6.15)Ы dl dl 比，Зт］，ди^，(2.6.15)Ы dl dl 比，Зт］，ди^，〃濃 + 成券+ %(Е*，п*； с*囁 +

(2.6.15)

Ы dl dl 比，Зт］，ди^，

(2.6.15)

Ы dl dl 比，Зт］，ди^，

связывающее баллистические коэффициенты

Ы д1 。

^-, — в невращающеися системе координат 占刀白 с проекциями ускорения силы тяготения % (Е*, rf; о*), % (Е\ rf; о*) и с проекциями скорости ракеты w* ,辽;в расчетное мгновение выключения двигателя.

Исключим из равенства (2.6.15) проекции ускорения силы тяготения посредством соотношений (2.6.7) и используем формулы (2.6.3). В результате получим новое равенство

dg*(b*) dl ~di存

+户終-<H 詣 + 祭=。，（2616）

которое будет использовано в следующем параграфе при преобразовании выражения исходного баллистического уравнения (2.4.10) к виду, удобному для приложений.

Изохронные вариации координат и проекций скорости ракеты. Основное баллистическое уравнение

При сопоставлении действительного и расчетного движений ракеты назовем изохронными вариациями ее координат разности

雄⑴=自⑴一f()，6n«) = n⑴一限()(2.7.1)

Аналогично введем изохронные вариации проекций скорости ракеты

3"Е（力）=we（e） •碇（/）, 6〃力（力）=u^ （^）—呜（方）（2.7.2） и проекций кажущегося ускорения

3佐=做（力）一编（力 ба” = 〃*（%） — 〃；（%）• （2.7.3） Будем считать перечисленные изохронные вариации малыми величинами, квадратами и произведениями которых можно пренебречь. Тем самым предполагается, что регулирование тяги двигателя и по направлению, и по величине производится в достаточной мере точно.

①ункиии ?（力）,刀* （%），〃e⑴,〃力（方）,做（方）m询（方）относятся к активному участку расчетного движения ракеты и, следовательно, определены при значениях аргумента 力 не превышающих продолжительность этого участка о*. Вместе с тем в формулах （2.7.1）, （2.7.2） и （2.7.3） функции g （力），刀（方）， 〃匕（%）, 〃力（力），牝（力）и 彻（%） относятся к активному участку действительного движения ракеты, продолжительность а которого может быть и меньше, и больше расчетного значения о*. Поэтому для полной определенности вариаций 6^ （力），6т）（力），8и^ ⑴，6"力（方），8"匕（力）и 6a^ （方） на всем интервале времени активного участка действительного движения ракеты следует условиться, что надлежит понимать под функциями &* «）, Л* （0, 〃！⑴，“；（力），@； （%）， 〃； （0 при аргументе 方，немного превышающем величину и* （в пределах возможного разброса продолжительности активного участка для конкретного типа ракет）. Если предположить, что тяга двигателя при окончании активного участка снижается постепенно либо ступенями, то за эти функции при 力 >о* естественно принять соответственно функции （力），if* （方），"之 （力），u^ （方）， относящиеся к расчетному пассивному участку, а функции a^（t） и а；（力）положить равными нулю. В этом случае следует

ожидать, что изохронные вариации (2.7.1), (2.7.2), (2.7.3) будут малыми и на небольшом интервале времени, непосредственно следующем за расчетным мгновением выключения двигателя.

Для ракет с внезапным выключением двигателя, напротив, предпочтительнее считать функции g (£), rf (力)，定(О и 〃:(力)при 力 >(/ равными их расчетным значениям, подсчитанным в предположении, что двигатель ракеты в мгновение 方=о* не выключался. При этом изохронные вариации (2.7.1), (2.7.2) и (2.7.3) вновь можно считать малыми.

Воспользуемся теперь формулами (2.7.1) и (2.7.2) для изохронных вариаций координат и проекций скорости, чтобы преобразовать исходнсГе баллистическое уравнение (2.4.10), которым, как уже было упомянуто, определяется необходимое время прекращения работы двигателя ракеты для попадания ее в заданную цель.

Представим сначала уравнение (2.4.10) следующим образом:

店⑴一 自* (切蛋+ ［n⑴- n*⑴喘+ ［气⑴一 口力裁+ +［码⑴一我;⑴］^ = -{［e*(力) -『］卷+ +【限(力)一优］計+网⑴一咽殺+

+ ⑶ @)-«；1Д + ^-°*)#}•(2.7.4)

В левую часть последнего уравнения подставим выражения для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты, согласно формулам (2.6.5), (2.7.1) и (2.7.2). В его правой части разложим каждую из функций Е* (力), П* (0, 乂匕(0， %” (0 в строку Тейлора около значения

t = а*, сохранив в разложении только члены первого порядка малости. Получим

6自《)晋+ /(*喘+ 6友⑴Д + 6码《)詣=

_ m「附9*)笈丄d^^ dl丄

+

I d^(^)di "2刀*((3*)5/ , 5/1

十 瓯十川 M(2.7.5)

Правая часть последнего уравнения может быть значительно упрощена, если учесть равенство (2.6.16) предыдущего параграфа. В результате придем к следующему уравнению:

焚@)養+加⑴券+ 6牝⑴謚+6% (0 + =

= _(—*) [с6) Д+ <(□•)詛，(2.7.6) которое в дальнейшем будем называть основным баллистическим уравнением.

Для фактического использования уравнения (2.7.6) в системе инерциального управления дальностью полета баллистических ракет его левая часть должна быть построена на борту ракеты по текущим показаниям ньютонометров в виде некоторой электрической или механической величины.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО МГНОВЕНИЕ ВЫКЛЮЧЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ

Дифференциальные уравнения

для изохронных вариаций координат ракеты на активном участке ее движения

В предыдущей главе было получено так называемое основное баллистическое уравнение (2.7.6), которому должны удовлетворять параметры конца активного участка, чтобы ракета не имела ошибки в дальности своего полета. Для построения левой части этого уравнения необходимо знать на борту ракеты изохронные вариации координат 奘(力)и 6刀(%), а также вариации проекций скорости 6〃匕(力)и 6询(/). Последние являются, конечно, производными вариаций координат по времени, т. е.

6瓏⑴=竺沪，6叫⑴=智丄(3.1.1)

Сами координаты 己(力)и 刀(力)действительного движения ракеты на активном участке удовлетворяют совокупности дифференциальных уравнений (2.5.6), а координаты расчетного движения — совокупности (2.6.1). Составим разности соответственно левых и правых частей этих уравнений и приравняем их друг другу. Учитывая равенства (2.7.1) и (2.7.3).

получим

嘲2=6^（0 + %因（方）+雄（力n* （方）+如⑴；t]- 一/匕后（力n*⑴；力，

^^ = 6彻⑴ + /иг（о + 6自（%），n*（方）+ W （0； t] -

一分岩⑴不p）；力.（3.1.2）

В правых частях последних равенств можно воспользоваться разложением в строку Тейлора функции по приращениям двух ее аргументов. Сохраняя лишь члены разложения первого порядка относительно вариаций 3g (力)и 3刀 ⑴ и проводя упрощения, придем к следующей совокупности двух линейных дифференциальных уравнений:

装= 6“Е«)+患№⑴ + 奈М(力 (313) 嚼^ = 6а, (0 + 娄• 6Е ⑴ + * М (Z).

Искомыми функциями этих уравнений являются изохронные вариации координат ракеты 3三(力)и 6т)(%). Начальные условия для них могут быть получены из того обстоятельства, что в мгновение старта, т. е. при 力 = 0, координаты и скорости ракеты одни и те же как в действительном, так и в расчетном движениях. Следовательно, согласно формулам (2.7.1) и (2.7.2), имеем

6Е(0) = 0, 6т](0) = 0 (3.1.4)

и далее

瓯（。）=甯=。，

6%(0)=今胃=0.

(3.1.5)

Правые части уравнений （3.1.3） содержат переменные величины ——изохронные вариации проекций кажущегося ускорения ракеты 3牝（力）и 3〃力（力）.В соответствии с формулами （2.7.3） их можно в принципе получить на борту ракеты посредством непрерывного образования разности между действительным показанием соответствующего ньютонометра и его текущим расчетным значением.

Коэффициенты уравнений （3.1.3）

兆'дх\ —优'5т）

следует считать функциями времени, известными заранее для каждого конкретного случая полета ракеты. Чтобы получить эти коэффициенты, надлежит, в соответствии с правилами разложения в строку Тейлора, в частных производных от функций % （占，г|；力） и % （自，г|； Z） по переменным 自 и г] произвести замену последних на функции F （Z） и г|* （力）. Функции f （力）и г|* （力）заранее известны, согласно расчету движения ракеты на активном участке. Таким образом, если на борту ракеты осуществляется непрерывное （без существенного запаздывания） интегрирование уравнений （3.1.3） и тем самым становятся известными величинами функции 3g （力）, 6г]（力），3〃匕（力）и 3〃力（方），то левую часть основного баллистического уравнения （2.7.6） можно построить посредством множительных и суммирующих устройств. Аналогично с использованием часового механизма строится и правая часть этого уравнения.

Приближенные выражения для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты.

Упрощение баллистического уравнения

Простейший прием использования интеграторов ускорений в системе управления дальностью полета баллистических ракет основан на упрощении дифференциальных уравнений (3.1.3). В них отбрасываются члены, содержащие в ка честве множителей сами изохронные вариации координат 6g (方)и б” (方).Это равносильно предположению о том, что действие на ракету сил тяготения при фактическом и при расчетном ее движениях можно считать практически одинаковым. Такое предположение допустимо лишь при достаточно малых отклонениях действительного движения ракеты от расчетного, т. е. при повышенных требованиях к точности движения ракеты по заданной программе. Уравнения (3.1.3) заменяются в этом случае приближенными равенствами

笃a=6%⑴，岑^=6询(方)，(3.2.1)

откуда с учетом соотношений (3.1.1), (1.5.4) и (3.1.5) следуют формулы для вариаций проекций скорости ракеты

64*⑴=嗨竺=wаё⑴dt = 6% () о

t(3.2.2)

6^ (0 = ^^ = J К ⑴ dt = 3 頂⑴」 0

Вэличины 6唳(力)и 67^ (方),которые входят в эти формулы, могут быть названы изохронными вариациями кажущейся скорости ракеты. Согласно формулам (2.7.3), они пред-

ставляются разностями

6/ （0 = /⑴一瞑⑴，6% （%）=% ⑴一吟⑴,（3.2.3） в которых

V^ （^） = ^ a^ （^） dt,卩n （力）=\ 0力（力）力（3.2.4）

оо

проекции кажущейся скорости ракеты при ее фактическом движении и

唯（方）=\ ag （方）山， 吟（力）=^a^ （方）dt（3.2.5）

о0

расчетные значения тех же величин.

Интегрируя в свою очередь выражения （3.2.2） по времени, получим следующие формулы для изохронных вариаций координат ракеты:

6g （方）=\ \ 6生（方）山2 = \ 6卩e（0 dt = 35e（0, о оо

.,（3.2.6）

6" （方）=\ \ 6询（方）出2 = \ SV Д0必=3邑（力 о оо

Здесь 6s匕（方）и 8S^ （力） — вариации проекций кажущегося пути, т. е. разности

&兔⑴=员（0 — Sg （方），65力（0 =当（方）-5；（方）,（3.2.7）

где

tt

S鼠t） =\/⑺弘，邑⑴=\ V^ （方）dt（3.2.8）

о0

проекции кажущегося пути ракеты и

tt

Si (0 = \娱⑴成，S；⑴=\ 吟⑴ dt(3.2.9)

о0

их расчетные значения.

Подставим теперь выражения (3.2.6) и (3.2.2) соответственно для 熒(力，6т］(力)，5〃匕(力)и 5® (力)в основное баллистическое уравнение (2.7.6), определяющее мгновение выключения двигателя. Имеем

岷(力展+帆"喘+硝(0 ^+m (0設=

= _"—*) К (吟费 + % О)閉•(3.2.10)

Заменяя здесь вариации проекций кажущейся скорости и кажущегося пути их выражениями, согласно формулам (3.2.3) и (3.2.7), получаем

［% (方)一S!(方)］受+ ［邑(方)一S；(方)］备+

+ ［/") -吸⑴］謚+ ［匕)⑺一吸(%)］裁=

=i -吟［纯。)栽 + 4 ⑺ Д］ •(32")

Последнее уравнение можно значительно упростить, если заметить, что с точностью до малых первого порядка включительно имеют место следующие разложения в строку Тейлора:

吸(0 =瞑(о*) + (% — О*) 〃! (/)，

(3.2.12)

%(方)=吸(力+ (」/)£(/)•

Посредством этих равенств уравнение (3.2.11) приводится к виду

跳(f) - S:(切登■ +回(t) - s；(力券+ % (力)栽+

+ 内)蒜=4(。*)詣 + 吸(。*)费；，(3213)

где уже отсутствуют члены, зависящие от времени в явном виде.

Таким образом, основное баллистическое уравнение (2.7.6) можно заменить приближенным уравнением (3.2.10) или эквивалентным ему уравнением (3.2.13). Для построения левой части уравнения (3.2.13) требуется наличие на борту ракеты двух интеграторов ускорений, оси которых в течение всего активного участка полета должны сохранять направления, параллельные соответственно осям и т] невращающейся системы координат ^т|£. Кроме того, необходимо счетно-решающее устройство, включающее в свой состав два дополнительных элемента для интегрирования по времени текущих показаний самих интеграторов ускорений и специальный элемент для воспроизведения расчетных текущих значений проекций кажущегося пути

⑴ и S；()

Построение баллистического уравнения посредством использования показаний двух интеграторов ускорений со специальной ориентацией их осе赫 чу вствительности

Существенный интерес может представить возможность сокращения числа элементов счетно-решающего устройства системы инерциального определения дальности полета баллистических ракет посредством надлежащего выбора ориентации осей чувствительности интеграторов ускорений. Оказывается, что можно производить всего одно дополнительное интегрирование текущих показаний интеграторов ускорений, а не два, как в методе построения баллистического уравнения, изложенном в предыдущем параграфе. Для этой цели, как будет показано ниже, оси чувствительности ин* теграторов ускорений должны быть параллельны некоторым неизменным в каждом конкретном случае полета ракеты направлениям (так называемые X- и 卩-направленна).

Другой прием упрощения системы инерциального управления дальностью с применением уже не интегратора ускорений, а измерителя кажущихся ускорений с изменяющейся ориентацией оси чувствительности, излагается в следующем параграфе. Дальнейшее видоизменение этого приема приводится в § 5 настоящей главы.

Итак, расположим ось чувствительности одного из интеграторов ускорений в плоскости 己刀 невращающейся системы координат Eng под некоторым постоянным углом 入 к оси g. Само направление оси чувствительности этого интегратора назовем ^-направлением (рис. 10).

На основании формулы (1.6.5) после замены в ней букв /, у, V соответственно на J, Т), А, а также угла а на угол Z, получим формулу

厶⑴=/(Z)cosA + 7^(0 sin X,(3.3.1)

выражающую проекцию кажущейся скорости ракеты на упомянутое 九-направление через ее проекции на оси Е и гр Разумеется, в соответствии с формулой (1.4.7)

P入⑴=，耿⑴位，(3.3.2)

о

где 〃入(力)一 составляющая кажущегося ускорения вдоль того же 九-направления.

Таким образом, величина 卩入(力)является текущим показанием интегратора ускорений с осью чувствительности, ориентированной по направлению 九.

Выберем угол X, так, чтобы имели место равенства

藹=Wcos" 詣= Wsin%.(3.3.3)

Здесь, как нетрудно видеть (см. рис. 10), величина

представляет собой для каждого конкретного случая полета ракеты заранее известное количество.

Используя формулы (3.3.1) и (3.3.3), преобразуем сумму двух последних членов левой части уравнения (3.2.13). Имеем

唳⑴詣十%⑴粉 =М ［險⑺cos入+ % (0 sin羽=

= MV^t\ ,(3.3.5)

Таким образом, приведенная сумма с точностью до постоянного множителя М определяется показанием интегратора ускорений, ось чувствительности которого расположена по ^-направлению.

Как следствие соотношения (3.3.5), имеем

% 9)煮 + 頂(。)誥=(б )•(3.3.6)

Аналогично соотношению (3.3.5), можно получить следующие равенства

^ (0 第 4- S* (t)^=N [^ (0 cos 卩+Sr (Z) sin 用=ЖД0

&(0费■ + S；(方瑞 =N [良(e) cos卩+ S:⑴sin用= N3；⑺.

(3.3.7)

В них угол 卩(рис. 11) определяется посредством формул

景=N CGSR, m = N sin 卩，(3.3.8)

6 А. Ю. Ишлинский

а постоянный множитель N —— равенством

(3.3.9)

В правых частях формул (3.3.7) S卩(力)—проекция вектора кажущегося пути ракеты на так называемое 卩- направление, образующее постоянный угол 卩 с осью 己 (рис. 11), и S^ (力)一текущее расчетное значение этой проекции. По аналогии с формулами (1.6.7) и (1.4.7),

% «) = \ 1% ⑴ dt = \\ 〃卩⑴ dB (3.3.10) о о о

Обратимся теперь вновь к уравнению (3.2.13). Принимая во внимание равенства (3.3.5), (3.3.6) и (3.3.7), получим

〃&(%) + ”[%⑴一S；⑴]-MVM. (3.3.11)

Правая часть последнего уравнения представляет собой

постоянную величину, определяемую для каждого конкретного случая полета ракеты. Эта величина с точностью до постоянного множителя М равна расчетному значению проекции на ^-направление вектора кажущейся скорости ракеты в расчетное же мгновение выключения ее двигателя t = а*. Если в уравнении (3.3.11) ввести еще обозначение 1

Р =Р =(3.3.12)(3.3.12)

Р =

Р =

(3.3.12)

(3.3.12)

то его можно привести к следующему окончательному виду:

Их (0 + p[S^t)- 5* (01 = И (о*)-(3.3.13)

Заметим, что коэффициент р, подобно мнолсителю 1/t в уравнении (1.6.12), имеет размерность, обратную времени (в частности, сек.-1).

Для построения на борту ракеты левой части баллистического уравнения (3.3.13) требуется дополнительное интегрирование текущих показаний лишь одного интегратора ускорений с осью чувствительности, ориентированной по ц-на- правлению. Кроме того, необходимо воспроизведение расчетных значений 3卩(方)этого повторного интегрирования.

Построение бал л истич еск эго уравнения при помощи специального измерителя кажущихся ускорений и счетно-решающего устройства

Рассмотрим другое преобразование баллистического уравнения (3.2.13), в результате которого выясняется возможность решения задачи инерциального управления дальностью полета баллистических ракет посредством единственного ньютонометра. Его показания в счетно-решающем

6*

устройстве должны интегрироваться после предварительного умножения на некоторую заданную функцию времени. Ось чувствительности ньютонометра в свою очередь должна изменять свою ориентацию относительно невращающейся системы координат по заданному закону.

Обратимся прежде всего к преобразованию первых двух членов баллистического уравнения （3.2.13）. Согласно формулам （3.2.4） и （3.2.8）, а также известной формуле Коши преобразования повторного интеграла в простой, содержащий верхний предел в виде параметра в подынтегральном выражении, имеем tt

凡（方）=,/（方）弘=\\磔（e）"伊=\（" - e）а匕⑺九，（3.4.1） оо о0

где т ——новая переменная интегрирования. Представляя здесь разность t ——т в виде

方 一 т =（力 一 о；） +（Q — Q,（3.4.2）

получим равенство

Возвращаясь в последнем интеграле правой части этого равенства к первоначальной переменной интегрирования t и учитывая формулу （3.2.4）, получим

& （0 =（力 一 о”）％ （力）+ ； （о* — 0 匆⑴山.（3.4.4）

、О

Заметим далее, что с точностью до малых первого порядка включительно можно положить

Приравнивая друг другу разности левых и правых частей последних двух равенств, имеем t

5e(*)-员(*) = \(。— /) @ (方)成—Sg (0 ) + о

+ (方一/)1%⑴一頂9*)].(3.4.6)

Последний член правой части равенства (3.4.6) имеет второй порядок малости и может быть опущен. В самом деле, вследствие близости действительного и расчетного мгновений 力=о и / = о* выключения двигателя величина V^ (力)мало отличается от 卩匕(о*), а эта последняя отличается от Р? (о*) на малую изохронную вариацию 67^ (о*). Поэтому разность V^ (£)——Р； (о*) является малой величиной, которая в формуле (3.4.6) умножается в свою очередь на другую малую разность t — о*.

Итак, с точностью до малых второго порядка

Sr (%) — & (力)=' (о — t) ag(t) dt — 5匕(о )(3.4.7)

о

и совершенно аналогично t

5力(£) — 5力(£) = \ (о —t) cl^ (^) dt — S”(o).(3.4.8)

0

Подставляя разности (3.4.7) и (3.4.8) в уравнение (3.2.13) и заменяя в нем, кроме того, величины 嗅(£) и V^ (力)их пр едставл ениями, согласно формулам (3.2.4), получим после упрощений

V1Д+(С* 一)削他⑺+[設+(。* T)削0" (*或Н

=誌娱(/)+/吟(力+ IH:⑴I*S: 8*).

*'(3.4.9)

Правая часть последнего уравнения для конкретного полета ракеты является некоторой постоянной, которую обозначим буквой С, В соответствии с формулами, подобными (3.3.6) и (3.3.7), эту постоянную можно также представить в виде

备瞑(『)+設吸(6*)十卷S；(力+ ~ (6*)=

=J/玄(6)+NS；8*).(3.4.10)

Преобразование подынтегрального выражения левой части уравнения (3.4.9) можно произвести теми же приемами, какие были использованы в предыдущем параграфе. Представим в этом уравнении переменныемножители перед проекциями кажущихся ускорений 〃g «) и 〃力(力)следующим образом: -

詣十(。*一)强一人)3乂()

(3.4.11)

詣 + (о* —宣* = К (0 sin х (£)•

Согласно последним равенствам,

.k") = 1/盘+(。*一)鼾 + 面+ G一)<r，

tg 乂(£) = ^^~.(3.4.12)

販+(0*一)苑

Вторая формула (3.4.12) определяет изменяющийся во времени угол 乂 (/), между так называемым х-направлением и осью Е (рис. 12).

Рис. 12Рис. 12

Рис. 12

Рис. 12

Используя формулы (3.3.3.), (3.3.8) и (3.3.12), выражение (3.4.12) для переменной величины К (力)после сравнительно простых преобразований можно также представить в виде

K(t) - М]/1 + 2P (о* — %) cos (卩一九)十加(о* —力)2

(3.4.13)

Произведем в левой части уравнения (3.4.9) замену коэффициентов, согласно равенствам (3.4.10) и (3.4.11). Получим соотношение

、r (力)[a匕(力)cos Y (力)+a力(方)sin 乂⑴]d方=c, (3.4.14) о

где в подынтегральном выражении сумма

生(t) cos 乂 (t) + “力(9 sin 乂 (t)= 〃式力)(3.4.15)

представляет собой проекцию кажущегося ускорения ракеты на упомянутое переменное ^-направление (рис. 12), 2 кон-

станта С выражается формулой (3.4.10). В результате получаем баллистическое уравнение в следующей форме:

Jj^(Qax (t)dt = C.(3.4.16)

о

Построение левой части уравнения (3.4.16) на борту ракеты требует наличия высоко прецизионной следящей системы, расположенной на гироскопическом стабилизаторе, для изменения ориентации оси чувствительности измерителя ускорения по заданной программе.

Возможны, разумеется, приближенные приемы образования левой части баллистического уравнения (3.4.16) посредством обычных интеграторов ускорений, например, посредством замены функций 衣(力)и 乂(力)некоторыми их средними значениями.

Инерциальное управление дальностью полета баллистической ракеты посредством продольного и нормального интеграторов ускорений

В системах управления баллистическими ракетами можно применять так называемые нормальные интеграторы кажущихся ускорений, оси чувствительности которых направляются в плоскости 三刀 под заданным углом к оси 己, согласно программе полета. Управление рулями производится при этом так, чтобы наряду с выполнением заданной программы изменения тангажа ракеты (т. е. изменения угла между ее продольной осью и осью &) сводилось бы к нулю и показание нормального интегратора. Угол между осью чувствительяэсти нормального интегратора и осью самой ракеты выбирается близким к прямому.

Рис. 13Рис. 13

Рис. 13

Рис. 13

Применение нормального интегратора кажущихся ускорений в системе управления движением ракеты приводит к стабилизации по заданному направлению результирующей силы тяги двигателя и действующих на ракету аэродинамических сил. Тем самым стабилизируется и направление вектора кажущегося ускорения ракеты (однако, разумеется, не его величина). С известным приближением, отвлекаясь от ошибок системы регулирования, можно считать, что нормальный интегратор управляет рулями ракеты так, чтобы проекция кажущегося ускорения на ось чувствительности этого интегратора равнялась нулю.

Представим в баллистическом уравнении (3.4.16) предыдущего параграфа величину 〃* (/) в виде произведения

лх (0 = а (0 cos 丫(%). (3.5.1)

Здесь 丫(力)一угол, который образует вектор кажущегося ускорения а (力)с “направлением, наклоненным под углом 乂(£) к оси & (рис. 13).

Функция % (%) определяется вторым равенством (3.4.12), а направление кажущегося ускорения изменяется по заданному закону. Вследствие этого величину угла 丫(方)следует считать известной функцией времени.

Произведя в уравнении (3.4.16) замену величины ах «), согласно формуле (3.5.1), придем к следующему видоизменению бал листич еск ог о уравнения:

，Q^a^dt = С, (3.5.2) о

в котором переменный коэффициент

Qd) = K(/)cosYd) (3.5.3) следует считать известной функцией времени для данного расчетного случая полета ракеты.

Для построения текущих значений левой части уравнения (3.5.2) на борту ракеты так же, как и ранее (см. § 4 настоящей главы), требуется интегрирование текущих значений кажущегося ускорения, умноженных на заданную функцию времени. Однако надобность в специальном высокоточном устройстве для изменения ориентации оси чувствительности -измерителя кажущегося ускорения ракеты теперь отпадает. В самом деле, если этот ньютонометр жестко связать с нормальным интегратором так, чтобы оси их чувствительности располагались перпендикулярно друг другу, то при надлежащей точности управления полетом ракеты кажущееся ускорение последней (точнее кажущееся ускорение местоположения этих приборов) будет целиком направлено до оси чувствительности упомянутого ньютонометра.

С некоторой потерей точности полета ракеты ньютонометр можно укреплять непосредственно на борту ракету

направляя ось его чувствительности параллельно продольной оси ракеты. Последняя отклоняется от направления кажущегося ускорения ракеты, т. е. от направления результирующей силы тяги двигателя и сил аэродинамических воздействий, как правило, на малые углы. Вследствие этого можно приближенно положить

〃о(%)公®%),(3.5.4)

где a。(方)——проекция кажущегося ускорения ракеты на ее продольную ось.

Если, согласно последнему приближенному равенству, произвести соответствующую замену в уравнении (3.5.2) и, кроме того, заменить функцию Q (/) ее некоторым средним значением Q, то получим приближенное уравнение

Q \ 〃о ⑴山=QVQ (0 = С(3.5.5)

о

для определения мгновения выключения двигателя ракеты. Здесь выражение

7о(0 = \询(力)山(3.5.6)

о

представляет собой текущее показание интегратора ускорения с осью чувствительности, параллельной продольной оси ракеты L Такой интегратор называется продольным. Как известно, он применялся в системе управления немецкой ракеты У-2.

Заметим, что величина V。(力)в формуле {3.5.6) из-за переменности направления продольной оси не является проекцией на эту ось кажущейся скорости ракеты в не- вращающейся системе координат (подробнее об этом см. § 4 первой гл.).

Вернемся вновь к уравнению (3.5.2) и рассмотрим дополнительно некоторые приближенные способы построения его левой части, исходя из текущих показаний

р (力)=\ 〃 ⑴山 (3.5.7) о

интегратора ускорений с осью чувствительности, расположенной перпендикулярно оси нормального интегратора. С учетом последнего равенства левая часть уравнения (3.5.2) преобразуется к виду

3 Q (%) а (0 山=\ Q (0 ^^ dt (3.5.8) о о

и может быть проинтегрирована по частям. В результате, принимая во внимание, что V (0) = 0, получим, согласно соотношениям (3.5.8) и (3.5.2), баллистическое уравнение в следующем виде:

Q^V^— \ Q'⑴庐⑴近=С. (3.5.9) о

Построение на борту ракеты левой части последнего уравнения уже можно производить посредством лишь одного интегратора ускорений.

Заметим в заключение, что тот же прием интегрирования по частям можно использовать и для построения лев ой части баллистического уравнения (3.4.16).

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

ИНЕРЦИАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДАЛЬНОСТЬЮ II❶ЛЕТА ЕАЛЛПСТ11VlЕСЕ❶Л РАКЕТЫ С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ

Об одном приеме решения дифференциальных уравнений, которыми определяются изохронные вариации координат ракеты при ее движении на активном участке

В предыдущей главе основное баллистическое уравнение (2.7.6) преобразовывалось к такому виду, при котором его левая часть могла быть построена на борту ракеты при помощи интеграторов ускорений. При этом изохронные вариации координат и проекций скорости ракеты, входящие в состав уравнения (2.7.6), выражались приближенными формулами (3.2.6) и (3.2.2). Это соответствовало пренебрежению в дифференциальных уравнениях (3.1.3) членами, содержащими в качестве множителей сами изохронные вариации «) и 6т] «). Как уже указывалось в третьей главе, упомянутые члены уравнений (3.1.3) учитывают при определении текущих координат ракеты изменения ускорения силы тяготения из-за несовпадения фактического ее движения с расчетным. Возникающая от такого упрощения уравнений (3.1.3) ошибка в определении дальности полета ракеты невелика лишь при достаточно малых отклонениях ее действительного движения от расчетного. В противном случае необходимо приближенно решать на борту ракеты дифференциальные уравнения (3.1.3) с учетом членов, отражающих влияние изменения ускорения силы тяготения.

Ниже для решения уравнений (3.1.3) используется удобный приближенный метод, указанный автору членом-кор-

респондентом АН УССР Ю. Д. Соколовым. Посредством этого метода задачу об инерциальном управлении дальностью можно достаточно точно решить способом, изложенным в третьей главе, при помощи применения обычных интеграторов ускорений и простейших счетно-решающих устройств.

Идея метода заключается в преобразовании уравнений (3.1.3) к эквивалентным им интегро-дифференциальным и интегральным соотношениям с последующей заменой под знаком интеграла выражений искомых функций их простейшими аппроксимациями, удовлетворяющими, однако, начальным и конечным условиям задачи. В соответствии с этим проинтегрируем правые и левые части уравнений (3.1.3) по времени от начального мгновения 力 = 0 “о неизвестного пока мгновения выключения двигателя 力=о, обеспечивающего попадание ракеты в заданную цель. Учитывая при этом начальные условия (3.1.5) для изохронных вариаций проекций скорости ракеты, получим два интегро-дифференциальных соотношения

综豆=6%(°)书о唳з)+、等装⑴山+1為м(о dt,

О "О

^1 - 3忆(0) =3%(。)十 ］醬熒(0 山 +)^ ^(t) dt, °；(4.1.1)

в которых, аналогично равенствам (3.2.2),

3嗅(о) = \ 6〃匕(£) d厶6% (о) = \ 6〃力(/) dt (4.1.2)

оо

изохронные вариации проекций кажущейся скорости ракеты на оси 己 и п в мгновение 方= о.

Если же правые и левые части уравнений (3.1.3) проинтегрировать по времени дважды: один раз в пределах от 力=0 “о текущего мгновения 力，а второй ——также от 方=О до мгновения выключения двигателя 方=о, то, учитывая начальные условия (3.1.4) и (3.1.5), получаем еще два интегральных соотношения:

(0)="日(0)十 «碧英⑴dt^+3(方)出2,

о оо о

В” (о) = &% (о) +В” (о) = &% (о) +Вт] (%) d£2,

В” (о) = &% (о) +

В” (о) = &% (о) +

()()о о

(4.1.3)

где в свою очередь, в согласии с равенствами (3.2.6),

九宾(0) = \ 6展⑴dС = \ \ B做⑴由2,()о о

(4.1.4) 00方

6^ (о) = \ 67^ (0 d力=\ \ За力(力)d伊оо о

изохронные вариации проекций кажущегося пути ракеты, относящиеся к мгновению 方=о.

В соответствии с упомянутым методом, следует заменить в правых частях соотношений (4.1.1) и (4.1.3) функции 奘(力)и б”(力)какими-либо их приближенными представлениями, обращающимися в нуль в начальное мгновение времени и соответственно в 6^ (о) и 6т] (о) при % = о. Тогда

значения величин 6g (о), 6т] (о), 6〃匕(о) и 6〃力(о), найденные согласно упомянутым соотношениям, оказываются, как правило, более точными, чем вычисленные по формулам (3.2.2) и (3.2.6), основанным на приближенных равенствах (3.2.1).

В качестве приближенных представлений 6三(力)и 6т]⑴ в правых частях соотношений (4.1.1) и (4.1.3) можно взять, например, их линейную аппроксимацию

6占⑺=熒(。)4， дП (0 = g (o)g(4.1.5)

где о —— мгновение времени, для которого производится определение искомых функций; в данном случае о ——мгновение окончания активного участка полета ракеты.

Лучшие результаты следует ожидать при квадратической аппроксимации вида

焚(0 =熒(о) ^-，g ") = g (о) -g-.(4.1.6)

Причина этого заключается в том, что функции (4.1.6) в отличие от функций (4.1.5) удовлетворяют одновременно начальным условиям (3.1.4) и (3.1.5), касающимся как самих вариаций координат, так и их производных по времени в мгновение 方 = 0. Функции же (4.1.5) начальным условиям (3.1.5) не удовлетворяют.

К еще большей точности должно привести задание функций 6三(力)и Вт](力)в виде следующих полиномов третьей степени

熒(0 = 32 (6(3 & — 2 糸)+ 3〃匕(о) • о ^^~),

6т)⑴=6“ ⑹(3 _|^2 余)+ М (о). о (& — 2卜 (4.1.7)

Эти полиномы не только удовлетворяют начальным условиям (3.1.4), (3.1.5), но, кроме того, при 力 = о обращаются соответственно в 6g (о) и 6т] (а), а их производные ——в 6〃匕(а) и 6® (а).

Приближенное решение дифференциальных уравнений для вариаций координат с исисыьзовалшем квадратической аппроксимации9 а также аппроксимации в форме полиномов третьей степени

Рассмотрим сначала решение дифф ер енциал ьных уравнений (3.1.3), соответствующее квадратической аппроксимации (4.1.6). Подставляя в правые части соотношений (4.1.3) выражения для 6g (力)и 6刀(力)，согласно формулам (4.1.6), получаем

雄(0) = 6况9) +響代警#山2 + * 0鲁卢dt\О оо о雄(0) = 6况9) +響代警#山2 + * 0鲁卢dt\О оо обт] (о) = 6邑(а) 4-бт] (о) = 6邑(а) 4-

雄(0) = 6况9) +響代警#山2 + * 0鲁卢dt\

О оо о

雄(0) = 6况9) +響代警#山2 + * 0鲁卢dt\

О оо о

бт] (о) = 6邑(а) 4-

бт] (о) = 6邑(а) 4-

(421)

Введем здесь обозначения

2力2;厩力（0）2力2;厩力（0）伊力2； “#О）= $伊力2； “#О）= $&2・2)&2・2)

2力2;厩力（0）

2力2;厩力（0）

伊力2； “#О）= $

伊力2； “#О）= $

&2・2)

&2・2)

7 А. Ю. И^линский

где, в силу соотношений (3.1.6),

^ ^)=h^Y(4.2.3)

В результате придем к двум алгебраическим уравнениям:

熒(о)=岷(о) + 砧(о) 5g (о) + 忆(о)如(о),

(424)

6" 9) = 6邑(о) + h* (о) 6g (о) + 初力(о) От] (о) относительно искомых величин 熒(о) и 3“(о).

Значения коэффициентов 色匕(о), 色力(о)=无叱(о) и h^ (о) с достаточной для практики точностью можно взять при аргументе о = о*. В самом деле, действительная продолжительность активного участка о лишь на малую величину отличается от расчетной о*. Изохронные вариации 6^(а) и 8" (ст) также следует рассматривать как малые величины. Следовательно, ошибка, происходящая от упомянутой замены в коэффициентах h^ (о), h^ (ст) и h^ (о), стоящих в правой части уравнений (4.2.4), значения аргумента о на о*, имеет второй порядок малости.

Обозначим коэффициенты (4.2.2) при а = а* теми же буквами, но без указания аргумента. При сделанных упрощениях и замене обозначения аргумента о на 力 уравнения (4.2.4) принимают следующий вид:

ЗЕ⑴=6&⑴+砧熒⑴+ h^ (0，

dr) (0 =帆⑴ + h^ (0 + %М (力(425)

где 九鸵,h^ = h^ 无м ——известные для данного расчетного полета ракеты количества, малые по сравнению с единицей (см. § 3 настоящей главы). Вследствие этого совокупность уравнений (4.2.5) удобнее всего решать посредством итераций, принимая для 6J (0 и Вт](力)в правой части уравнений (4.2.5) исходные выражения, представляемые

формулами (3.2.6), а именно

6g⑴=65g(力 g⑴=65小()(4.2.6)

Подставляя эти выражения в правые части уравнений (4.2.5), приходим к следующим формулам для текущих изохронных вариаций координат 奘(t) и 6т)⑴：

m(0=a +晚r)岷(£)+%爾帆(力

(4・2・7)

SG)=*匕6s匕⑴ + (1 + h^ 6S^ (^).

Нетрудно убедиться, что последующие итерации уравнений (4.2.5) приводят к точно таким же формулам для 熒 (0, бл (力)，если только при выкладках отбрасывать члены с квадратами и произведениями 坛幻 h^ =期匕 и 九徊.

Для отыскания вариаций проекций скорости ракеты 6痴(t) и 6乂力(力)подставим в правые части соотношений (4.1.1) выражения для 6三(力)и 6т)⑴,представляемые формулами той же квадратической аппроксимации (4.1.6). Получим для искомых величин формулы

6〃g 9) = % (0) + 雄(0)营)-^"濟成 + 6"(0)备)書 *"*‘

Ьиъ (a) = 6 頂(a) +(

Введем обозначения

1 ° д Ip °

g*(6 =亨)請 m

0

g朮©=4■)翁門

О

00

先⑹“患产山+刖(0)“*2成. 00

(4.2.8)

〃；纟匕叫⑹=声j~^j"#d， 0

°(4.2.9)

0

Тогда формулы (4.2.8) представятся в виде

6% (о) = 6几⑹ + g* (о) 6g (о) + g/(0)6" (о),

(4.2.10)

6〃“о) = 6兀(o)+g*(0)6E(o) +g^ (о) 6斗⑹.

Аналогично предыдущему в формулах (4.2.10) вместо коэффициентов g* (о), g^ (о) = g北(о) и g^ (о) можно взять их значения в расчетное мгновение окончания активного участка полета ракеты а*. Обозначим эти значения соответственно через gw% g&R = grg и g力仆 Подставим далее в формулы (4.2.10) выражения (4.2.5) для вариаций координат 6^ (о) и 6г] (о) и пренебрежем произведениями коэффициентов g и 无 с произвольными индексами. В итоге придем к формулам для искомых изохронных вариаций скорости ракеты 3〃匕(о) и 6и^ (о) по отношению к неподвижной системе координат 己刀厶. Изменяя в них обозначение аргумента о на % получим

(4.2.11)(4.2.11)6理⑴=6/⑴+ gg授5工（力）+ g^GS”⑴,6我"（力）=60力（力）+g力指昆（方）+备笛& （方）•

(4.2.11)

(4.2.11)

Формулы (4.2.7) и (4.2.11) представляют собой приближенное решение совокупности дифф ер енциал ьных уравнений (3.1.3) в форме, удобной для применения в системах инерциального управления дальностью полета баллистических ракет.

Несколько более громоздкими получаются формулы для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты, если за исходные приближения в формулах (4.1.1) и (4.1.3) принять полиномы (4.1.7). В результате, аналогично случаю квадратической аппроксимации, можно прийти к следующим формулам для вариаций координат:

6g （方）=（4 + 3紘-2混）652⑴+ （3& - 2九/6必⑴++ 0* （九2一紘）3%（0 + 。* （// - &） 6%（力）,

6л （力）=（3“匕一2/戒）65匕（/） + （1 + 3%^ — 2JT1Y］） 8S^ （%） +

+ ^*（/^ -九成）3展（方）+ 0* 仇小-%”）6%"），

（4.2.12）

а для вариаций проекций скорости ——соответственно

6аё⑴=（3氈e一2方加6员（方）+ （3氈小一2*）6邑（方）+

+ к + 0*佐ё一陵）］6/（I） +。* （比力-森力）3% （£）,

6也"（方）=（3g延一22戒）岷（方）+ （3帥一2%力6必（方）+

+ o* （z•求一g戒）60匕⑴ + [1 + о* 〃％ — g^）] 3頂（£）.

（4.2.13）

В формулах （4.2.12） и （4.2.13）, помимо обозначений, уже введенных в настоящем параграфе, величины 在匕，i^, ir^ и无匕，九巾 /延，％力 представляют собой значенит интегралов

反2（0）=$ ） "^f" *山，z；力（0） = f t3 成，

6°6（4214）

反力9） = ^^ ^^ ^\亲"父dt

о и

九匕9）=扌t i -^力3d£2, %力9） = g卜』^ 13d步,

которые они принимают при аргументе （J, равном о*, т. е. в расчетное мгновение выключения двигателя.

Упрощение формул для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты при малых, по сравнению с радиусом Земан, протяженностях активног❶ участка

Формулы (4.2.7) и (4.2.10), а также (4.2.12) и (4.2.13), полученные в предыдущем параграфе для вариаций координат и проекций скорости ракеты, можно без большого ущерба для их точности представить в более простом виде, не требующем предварительного вычисления интегралов типа (4.2.2), (4.2.9), (4.2.14) и (4.2.15). В самом деле, участвующие в этих интегралах частные производные ускорения силы 分喻 8九

земного тяготения , 亠,=_2L ,являются

8 еdц 8e 8口

функциями текущих координат расчетного движения ракеты и, следовательно, в конечном счете ——времени. Однако при небольшой протяженности активного участка траектории ракеты, по сравнению с радиусом Земли, эти функции можно заменить их значениями, относящимися к точке старта ракеты, а сами производные вычислить в предположении, что Земля ——шар с радиальным распределением

плотности.

Последнее предположение при учете формул (2.5.4) приводит к следующим выражениям для упомянутых производных ускорения силы тяготения:

恥 ^Т]恥 ^Т](4.3.1)(4.3.1)

恥 ^Т]

恥 ^Т]

(4.3.1)

(4.3.1)

Здесь ^, г) и ^ —— координаты произвольной точки про* странства и р — ее расстояние до центра^Земли.

Для точки старта ракеты (см. § 1 второй главы) имеем

= 0 ит] = р= R、(4.3.2)

и, следовательно, в этой точке, согласно формулам (4.3.1),

/о —2

an

=喬="

2/0 —九2

(4.3.3)

5 т]

где введено обозначение

v^/A. (4.3.4)

В теории гироскопов и инерциальной навигации величина V, определяемая формулой (4.3.4), известна под названием частоты Шулера (v q 0,00125^).

Используя приближенные выражения (4.3.3) для производных 笥.,“賞=患 и •；＜ в равенствах (4.2.2), (4.2.9), (4.2.14) и (4.2.15), приходим к следующим простым формулам;

砧(о)=

V%2

12 '

＞无匕力(0)-九戒(0)=。，

%f (°)=

g^ (о)=

V2C5

Г，

^ (0)= g 艰 9) = 0.

gm (о)=

2V为

(4.3.5)

а также

九29)=

20 '

&力(о) = /^ (о) = 0,

/力力(0)

10 '

濕(о)=

V2C5

瓦力9) ^ М⑹=°,

Z；R (o)—

V2G

(4.3.6)

Пол ожив в этих формулах о = о*, можно представить выражения (4.2.7) и (4.2.11) для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты при исходной квадратической аппроксимации (4.1.6) в следующем окончательном виде:

(4.3.7)(4.3.7)雄(£) = [1-二汽2), бп(О = р +2^-]^(0, 6〃匕(％)= 6/(%)— 2^L 35匕(％),

(4.3.7)

(4.3.7)

6〃*(％) = 6^ (£) h—— 6s力(力).

Аналогично, для случая исходной аппроксимации функций 焚(%) и 6т](力)в форме полиномов (4.1.7), на основании формул (4.2.12) и (4.2.13), получаем

зn ⑴=I1 + 4" W(。*h帆(0 一 击 W (0*)3 恥⑴,

6& (%) = □+ ^g^] 6/ ⑴-^16 凤⑴,

м (0 = [1- ^^] 6頂(力)+ W。* 靦(£)・(4.3.8)

Формулы (4.3.7) или (4.3.8), приближенно учитывающие изменение действия на ракету силы земного тяготения (из-за движения ракеты не по заданному расчетному закону), должны быть более точными, чем аналогичные формулы (3.2.2) и (3.2.6), приведенные в третьей главе.

§ 4. Построение баллистических уравнений, в которых приближенно учитывается влияние изменений ускорения силы земного тяготения

В предыдущем параграфе были получены формулы (4.3.7), а также (4.3.8) для определения вариаций координат и проекций скорости ракеты с приближенным учетом влия

ния изменения силы земного тяготения при движении по закону, несколько отличающемуся от расчетного. Упомянутые формулы позволяют более точно, по сравнению с выражениями (3.3.13) и (3.4.16), полученными в третьей главе, построить левую часть основного баллистического уравнения (2.7.6) на борту ракеты, используя показания тех же интеграторов ускорений. Для этого воспользуемся сначала формулами (4.3.7) и подставим в уравнение (2.7.6) определяемые ими выражения для 3自(力)，6г)(0? 6磔(力)，6^(0;

получим

=一性。）詣+ 46）朗• &4.1）

Далее, подобно тому, как было сделано в § 2 третьей главы, представим вариации проекций скорости 3Pz (力) и 67^ (方)в виде разностей (3.2.3) и воспользуемся формулами (3.2.12). При этом так же, как и при преобразовании уравнения (3.2.Ю), члены, стоящие в правой части равенства (4.4.1), сократятся с подобными же членами его левой части. Учитывая еще формулы (3.2.7), приходим к уравнению

[№(/)-5匕(2)]4e + [Sr (力)一Sr ⑴]4+ V^ (0--^- +

+ %(囁=%0)詣+ 匕⑺許，(4.4.2)

в котором

_ az *(о*)2 di昧j* 里_

(4.4.3) 力—8r)十 68т]十 3 ди^ '

Уравнение (4.4.2) отличается от уравнения (3.2.13) только коэффициентами при изохронных вариациях проекций кажущегося пути 3sg (/) и 35力(/). Такими коэффициентами в уравнении (3.2.13) являются соответственно частные д1 д1〃 ,

производные и — , а в уравнении (4.4.2) — мало отличающиеся от них количества 力匕 и 4力・ Поэтому дальнейшие преобразования уравнения (4.4.2) можно производить точно так же, как и в § 3 предыдущей главы. Тогда вместо уравнения (3.3.13) придем к следующему:

П(о + Р‘ 2н ⑴-%，⑴]=唳(О)(4.4.4)

Левые части уравнений (4.4.2) и (4.4.4) строятся на борту ракеты при помощи тех же технических средств, что и уравнения (3.2.13) и (3.3.13), т. е. двух интеграторов ускорений и с о отв етств ующег о счетно-решающег о устройства, включающего элементы повторного интегрирования. При этом ось чувствительности одного из интеграторов располагается под тем же постоянным углом 九 к оси &, как и при построении на борту ракеты левой части уравнения (3.3.13). Что же касается оси чувствительности другого интегратора,

то последняя должна быть наклонена к оси 自 под углом р/, мало отличающимся от соответствующего угла 卩. Аналогично равенствам (3.3.8) величина угла р/ находится из соотношений

4? = ДГ cos р/, А^ = N" sin [л7,(4.4.5)

где, конечно,

№ = ]/(£)2+(4；)2.(4.4.6)

В свою очередь коэффициент рг мало отличается от коэффициента р уравнения (3.3.13) и определяется формулой

Р =方•(4.4.7)

Здесь количество М то же самое, что и в формуле (3.3.4).

Возможно также преобразование б а л листическ ого уравнения (4.4.4) к виду

\ К«)〃*()&力=С',(4.4.8)

о

аналогичному виду уравнения (3.4.16). Использование уравнения (4.4.8) позволяет решить задачу об инерциальном управлении дальностью полета баллистической ракеты так же, как и в § 4 третьей главы, посредством одного измерителя ускорения с переменным направлением оси чувствительности. В уравнении (4.4.8) переменный коэффициент Kf (/) образуется по тем же формулам (3.4.11), что и коэффициент К (力)в уравнении (3.4.16), но с заменой угла 乂 (Z) ,dl dl

на угол 乂 (力)и производных -— , -— соответственно на ко- личества

Использование при преобразовании основного баллистического уравнения (2.7.6) более сложных формул (4.3.8)

для координат и проекций скорости ракеты приводит, естественно, и к более громоздким результатам по сравнению с уравнениями, приведенными в начале настоящего параграфа. Вместо уравнения (4.4.1) в этом случае приходим к более сложному уравнению

=—"_0*)图g殺 十 % ⑺開.(4.4.9)

В свою очередь уравнение (4.4.2) заменяется следующим：15Е (0 - 5Ё(e)]"e+ [Sr (力)-Sr (力力z力+Vg(力)b之+В свою очередь уравнение (4.4.2) заменяется следующим：15Е (0 - 5Ё(e)]"e+ [Sr (力)-Sr (力力z力+Vg(力)b之+= %9*囁十吸（。*）仓.（441。）= %9*囁十吸（。*）仓.（441。）

В свою очередь уравнение (4.4.2) заменяется следующим：

15Е (0 - 5Ё(e)]"e+ [Sr (力)-Sr (力力z力+Vg(力)b之+

В свою очередь уравнение (4.4.2) заменяется следующим：

15Е (0 - 5Ё(e)]"e+ [Sr (力)-Sr (力力z力+Vg(力)b之+

= %9*囁十吸（。*）仓.（441。）

= %9*囁十吸（。*）仓.（441。）

В нем введены обозначения

4 = [14 = [1зг 9*)2] az Wo* а/20灰，зг 9*)2] az Wo* а/20灰，(4.4.11)(4.4.11)仪8*)3 3/%=30 话仪8*)3 3/%=30 话dldl+ ll+ W+ ll+ W

4 = [1

4 = [1

зг 9*)2] az Wo* а/

20灰，

зг 9*)2] az Wo* а/

20灰，

(4.4.11)

(4.4.11)

仪8*)3 3/

%=30 话

仪8*)3 3/

%=30 话

dl

dl

+ ll+ W

+ ll+ W

或=一二察許+［」午］詣

Аналогично уравнение (4.4.4) при использовании формул (4.3.8) заменяется следующим:

匕〃⑴十 Р” [* (С) — S；〃 ⑴]=匕〃 (о*) +

+[(瓦一詣)成0十(从一穹 * 9*)] •(4.4.12)

Здесь 九" и 卩"——направления осей чувствительности двух интеграторов ускорений, соответственно мало отличающихся от 九-и ^-направлений, введенных в § 3 третьей главы. Углы 九"и 卩〃,которые эти направления образуют с осью J, определяются соотношениями

友=N” cos『， 4； = АГ sin『，(4 4 13)

В{ = М cos 入， 冗=М" sin 九.

Коэффициент р" в уравнении (4.4.12) выражается формулой

N" _ /(4尸+(/了J (吋+ (%)2

Построение правой части баллистического уравнения в виде (4.4.12) на борту ракеты осложняется, по сравнению со случаем уравнения вида (4.4.4), необходимостью введения в счетно-решающее устройство дополнительного члена, линейно зависящего от времени. Наконец, возможны и дальнейшие преобразования уравнения (4.4.12), в частности, к виду, аналогичному ба ллистическ ому уравнению (4.4.8), а также (3.5.2).

В заключение заметим, что выбор для конкретной системы управления дальностью полета одного из баллистических уравнений, приведенных в настоящей и предыдущих главах, должен производиться на основании оценок величин так называемых методических ошибок, присущих

системе инерциального управления ракеты данного типа. Под методическими ошибками понимают обычно те ошибки в определении дальности полета ракеты, которые возникают исключительно из-за упрощений, сделанных при выв оде соответствующего баллистического уравнения. Вследствие этого даже при точном выключении двигателя ракеты в мгновение, указываемое баллистическим уравнением, и при точной работе всех остальных приборов и устройств системы инерциального управления фактическая дальность полета ракеты может несколько отличаться от заданной по расчету. Что же касается технических трудностей создания систем инерциального управления дальностью полета баллистических ракет, то они заключаются в изготовлении измерителей и интеграторов кажущихся ускорений (т. е. ньютонометров и импульсо- метров) с крайне небольшими инструментальными ошибками и гироскопических приборов с предельно малыми уходами их стабилизированных осей относительно направлений на неподвижные звезды. То же относится и к немедленному выключению двигателя по сигналу о достижении баллистической функцией значения, соответствующего заданной дальности полета ракеты.

ГЛАВА ПЯТАЯ

УПРАВЛЕНИЕ БОКОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ

Боковое отклонение ракеты от целиэ выраженное в виде функции изменений параметров конца активного участка в стартовой системе координат

При решении задач об устранении бокового отклонения ракеты от заданной цели возникают дополнительные трудности, связанные с тем, что продолжительность пассивного участка действительного движения ракеты, как правило, несколько отличается от расчетного ее значения. Ввиду этого управление по заранее заданному закону движением ракеты в направлении, перпендикулярном к программной плоскости, т. е. плоскости ху стартовой системы координат xyz или (в другом возможном варианте) к плоскости 自刀 невращающейся системы 己刀白,в общем случае не обеспечивает отсутствия бокового отклонения ракеты от цели. Действительно, в силу законов механики ракета на большей части пассивного участка своего полета движется с весьма малыми отклонениями от некоторой плоскости, не меняющей своей ориентации относительно направлений на неподвижные звезды (упомянутые отклонения связаны в основном с несферичностью Земли). Поэтому, если длительность пассивного участка не равна расчетному ее значению, то из-за вращения Земли непременно возникает боковое отклонение

ракеты от цели L Однако при малом отличии фактического движения ракеты от расчетного это отклонение также должно быть небольшим. Соответственнорегулирование движения ракеты на активном участке в боковом направлении может сводиться только к требованию исполнения заранее заданного (расчетного) закона движения в проекции на ось z (или в другом варианте — на ось g). Однако для более точного устранения бокового отклонения ракеты от цели необходимо учитывать, насколько отличается в текущее мгновение времени ее действительное движение в продольном направлении от расчетного. Для этой цели можно использовать текущие показания приборов управления дальностью полета ракеты. I

Очевидно, что особо точное управление боковым движением ракеты требуется только в течение небольшого интервала времени, когда может произойти отключение ее двигателя при полете на заданную дальность. В остальное время активного участка точность управления боковым движением может быть несколько меньшей. Длительность упомянутого интервала возможных отключений двигателя зависит от качества регулирования движения ракеты по заданной программе.

В стартовой системе координат xyz (см. § 1 второй главы, рис. 9) величина b — бокового отклонения ракеты от цели, как и дальность I, является функцией координат 力,z/, z и проекций 分，乙，vz ее скорости относительно этой системы координат в мгновение окончания активного участка полета. Таким образом,

6 — 6(Z, у» z, Ух» %, %)• (5.1.1)

1 Исключение составляет случай полета ракеты в плоскости экватора и с одного полюса на другой.

Астрономическое время, соответствующее мгновению окончания активного участка, не играет здесь, как и в формуле (2.1.2), никакой роли, если только не учитывать нечтсж- ное влияние таких факторов, как взаимное расположение Земли и Луны или Земли и Солнца.

При замене аргументов функции (5.1.1) их расчетными значениями /*,沙*, z*, и； и；, vz она должна обращаться в нуль, так как боковое отклонение при этом отсутствует. Итак,

6(* 矿,z*,以,％ 吗=0(5.1.2)

и, следовательно,

Ab = bg у, z,幺，％” ％)—少(况*,矿，z\ %, %, ") = b,

(5.1.3)

т. e. ошибка в боковом отклонении Аб равна самому боковому отклонению Ь.

В соответствии со строкой Тейлора для функции многих переменных имеем с точностью до малых первого порядка включительно следующее разложение:

匕=(—£*) ^ + (у-矿喘 +(Z - Z*)翁十

十(% 一以)許+(% _ 十(%一吗£ • (5」⑷

cdb db db db dbдЪ

здесь производные 苏，两，肅，京，匹 и 匹 берутся при расчетных значениях своих аргументов и, следовательно, для каждого расчетного случая полета ракеты являются заранее известными величинами. Они могут быть определены аналогично б ал листич еским коэффициентам, приведенным в § 1 второй главы.

А. Ю. Ишлинский

§ 2. Боковое отклонение как функция параметров копира активного участка

в невращающейся системе координат

При рассмотрении вопросов инерциального управления боковым движением баллистической ракеты стартовая система координат неудобна. Поэтому введем ту же невращаю- щуюся систему координат 占r）G，4To и при рассмотрении теории инерциального управления дальностью （см. § 2 второй главы）. Текущие координаты 力（力），у （力），z （力）и проекции vx （/）, vy （力）и vz （力）скорости ракеты относительно стартовой системы координат xyz выражаются при этом через текущие координаты 自 ⑴，T] 0，а（力）и проекции "е ⑴，"力（力） и 此（力）скорости ракеты относительно невращающейся системы координат &г）匕 формулами （2.2.5） и （2.3.5）. В упомянутые формулы входит также в явном виде （через угол 屮= =U力）время 力 прошедшее с мгновения запуска ракеты. Ввиду этого, в соответствии с формулой （5.1.1）, величина бокового отклонения ракеты от цели может быть представлена в виде функции 1

"=b（士，Л? a, 〃e，"力，7牝；0） （5.2.1） координат ^, т], ^ и проекций 〃％ и^, 〃匕 скорости ракеты относительно системы координат ^т]^ в мгновение 力 = о окончания активного участка, а также самой его продолжительности о.

Расчетным значениям координат 力*, у*, z* и проекций £ 〃；，％ скорости ракеты относительно стартовой системы xyz соответствуют некоторые расчетные значения координат J*, rf, С* и проекций 〃!，〃；， 〃； скорости ракеты

Здесь, как и в § 4 второй главы, приняты обозначения （2.4」）.

относительно невращающейся системы ^г)^. Очевидно, что функция (5.2.1), как представляющая боковое отклонение ракеты от цели, обратится в нуль при этих значениях своих аргументов, если, кроме того, положить продолжительность активного участка также равной расчетному ее значению а*. Таким образом,

(5.2.2)(5.2.2)吟，戈;。・) = 0.

(5.2.2)

(5.2.2)

Разлагая функцию (5.2.1) в строку Тейлора и ограничиваясь в последней только членами первого порядка малости, получим, учитывая равенство (5.2.2), формулу

6 = (& 一 ？)^ + 5 一 n.喘 + (一0^ +

+ (唯_限詣+ (%- %)許+

+ (气一吨)言 +(° - °")^，(5•2•3)

в которой частные производн1яев которой частные производн1яеdb db дЪ дЪdb db дЪ дЪdbdb

в которой частные производн1яе

в которой частные производн1яе

db db дЪ дЪ

db db дЪ дЪ

db

db

-^- и 4-- являются постоянными коэффициентами, так как oUy 0b

их аргументы Е, % 击〃已，и^ ” и о принимаются равными своим расчетным значениям, т. е. соответственно ?, rf,之*,瓏№,

〃: и о*. Величины этих коэффициентов зависят в конечном

счете от выбора того или иного расчетного случая полета

ракеты. Подобно с о отв етствующим частным производным от функции 厶 представляющей дальность полета ракеты, они выражаются формулами типа (2.4.5) и (2.4.6) через частные дЪ дЪ дЪ дЪ дЪ дЪ

производныеа также

величины х*,沙*, z\ %,乙，％.

Формула (5.2.3) с точностью до квадратов и произведений разностей J —— J*, n —— n*, g —— 个, 磔 —— 空，〃力 —— %, и^ — 〃仃 и —— и* определяет боковое отклонение ракеты от цели в том случае, когда величины координат и проекций скорости ракеты в конце активного участка не равны их расчетным значениям.

При действительном движении ракеты заранее не известны ни мгновение выключения двигателя о, ни ее координаты 自，Т)и проекции скорости 〃匕，％“ соответствующие этому мгновению. Поэтому для устранения с упомянутой выше точностью бокового отклонения ракеты от цели необходимо непрерывное изменение величин 之 «) и 〃已(Z), характеризующих ее движение в боковом направлении в течение некоторого интервала времени у конца расчетного активного участка. Целью такого управления является непрерывное сведение к нулю функции

в (方)=[三 (方)一Г] ^ + [" (0 - + 也(0 -單]需 + + ["式力)-限説 + ⑴一叫+ +

+ 网(力)一"口 設 + (力一吟^ (5.2.4)

на всем интервале возможных мгновений выключения двигателя для ракеты данной системы. Действительно, функция В(Е), согласно формулам (2.4.1) и (5.2.3), обращается в величину бокового отклонения ракеты Ь, если положить в ней аргумент 力 равным фактическому значению мгновения выключения двигателя о.

Текущее значение функции Р{/), которую назовем функцией бокового отклонения, можно использовать как управляющий сигнал в системе управления боковым движением ра-

кеты. Эта система должна работать таким образом, чтобы функция Р （方）обращалась в нуль за счет соответствующего изменения текущих величин координаты ракеты g （力）и ее производной по времени и工（力）・

§ 3. Построение членов функции бокового отклонения, зависящих только

от основного движения ракеты

Как было показано в предыдущем параграфе, для инерциального управления боковым движением необходимо воспроизводить текущее значение функции § «） на борту ракеты. Совокупность членов （5.2.4）, из которых состоит эта функция, распадается на две группы 仇 «） и 伝（%）• Первая из них представляет собой сумму

₽i（0 = [&（%） — Г] ^ + [刀（0 — Л*1 "f^ +

+心 （0 -咱詣 +[％ ⑴一%] 許 +（，-0*）S"，

（5.3.1）

величина которой определяется основным движением ракеты, т. е. движением ее проекции на плоскость Е” невращаю- щейся системы координат 己刀軍 Вторая группа

氏（力）=[&（0 - f ] ^ + [^ （0 一 〃口 詣 （5.3.2） состоит из двух членов, содержащих соответственно величины e（力）и ":（力）.

Некоторые методы построения текущего значения функции §2 （力）на борту ракеты будут рассмотрены в следующем параграфе. Что же касается суммы （5.3.1）, то она по своему

строению совершенно аналогична формуле (2.4.9) для исходной баллистической функции е (力).Поэтому приближенное построение суммы (5.3.1) может производиться на борту ракеты теми же методами, что и построение функции е «). Рассмотрим, например, построение этой суммы на борту ракеты посредством использования показаний двух интеграторов ускорений, оси чувствительности которых ориентированы соответственно параллельно осям Е и 刀 невращающейся системы координат 占刀匚・ Аналогично формуле (2.7.4), сумму (5.3.1) можно представить в виде

瓦(0 =伝(力)-Г (01 ^ + In (0 - п* (切 ^ +

十[碎(方)一〃已(力許 + [〃r(0 一 〃r(e)]詣 +

+[Г (0 — V] -fr + [f(0—н*]+ [成(0 —咱名 +

+ [〃力(/)- 〃力】£ +(" - 6)^ •(5.3.3)

При дальнейшем преобразовании суммы 口式方)воспользуемся формулами (2.7.1) и (2.7.2) для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты, а также формулами разложения в строку Тейлора (ограничиваясь лишь членами первого порядка малости)

曰⑴-Г = Г(0 - Г (И*)=(力一 о*) ^Р,

々(5・3・4)

Р* (0=⑴一限(о )=(力一 о*),

и точно так же

空⑺一成="式£) 一 空(0*)=(方一 0*) ^2 ,

du （ь*）

%（£） — % =%⑴一%0=（方一⑺.（5.3.5）

Учитывая, кроме того, что, в соответствии с （2.6.3）, 电! 0*）_阳*（0*）m；d） "2不付*）（5 з 6）

преобразуем выражение для суммы 瓦 «） к виду

瓦（方）=6自（力）登 + 6h（力）"^ + 6〃匕（0言 + 3人（力）詣 +

+"。"）炉登+噌W+"

d^（^）dь d2刀*（0*）db dbi

十山2 販十或2 浜4十石」•（5.3.7）

Как и в третьей главе, пренебрежем вначале влиянием изменения ускорения силы тяготения при движении ракеты не по расчетному закону. В соответствии с формулами （3.2.6）, （3.2.7）, （3.2.2） и （3.2.3） получим при малых значениях разно, сти 力一 о* соотношения

6Е （0 = 6昆（力）=员⑴—^ （t） = S^（t） — [S； （o*） +

+ （力一 о*）県（『）],（5.3.8）

g （0 = 65^ （方）=邑（方）一品（0 =邑（0 -⑶ 9*） +

+ （力一 0 ） % （（5 ）］,

а также

6a⑴=6/⑴=/⑴一唯（方）=V^t） 一 ［喔（0 +

+ （方一a ）生9 ）］»

加‘ （0 = 6%⑴=%（0 -%⑴=乙⑺-［吸9*）+

十 （e 一 0 ）a"9）］.（5.3.9）

Здесь вноХь использованы формулы разложения в строку Тейлора, но уже для проекций S； (£), S；(力)кажущегося пути ракеты и проекций 卩；(力)，卩；(力)ее кажущейся скорости в расчетном движении и учтены формулы (3.2.5) и (3.2.9).

Посредством равенств (5.3.8) и (5.3.9) сумма (5.3.7)

приводится к видуBW)=现⑴^十邑(ё喘+/ a湍十九⑴Дприводится к видуBW)=现⑴^十邑(ё喘+/ a湍十九⑴Д

приводится к виду

BW)=现⑴^十邑(ё喘+/ a湍十九⑴Д

приводится к виду

BW)=现⑴^十邑(ё喘+/ a湍十九⑴Д

+ ［宇「大司墨+Y同設+削.

(5.3.10)

В последней формуле можно произвести дальнейшие упрощения, так как, согласно равенствам (2.6.1), имеем

0靜2—区(方)= %［&*()刀*⑺；小

整亠a:")= %爾⑴7*(0；方］整亠a:")= %爾⑴7*(0；方］(5.3.11)(5.3.11)

整亠a:")= %爾⑴7*(0；方］

整亠a:")= %爾⑴7*(0；方］

(5.3.11)

(5.3.11)

и, как следствие, в результате интегрирования по временив пределах от 力= 0 до 力= о*, с учетом формул (3.2.5).

匀岸一嗯⑺=、 % IF (0 n*⑴；/]dt +礬， 0

±!^— 叱 9*)= ^^^^(^1]^ + ^^. (5.3.12)

Формулы （5.3.11） и （5.3.12） можно использовать при дальнейшем преобразовании выражения （5.3.10） для суммы Pi （力）.В результате получим следующее окончательное выражение для этой суммы:；

В1=见（£展+ a（，嚼十几а）設十%（£）說一

—，+ （/ —о*），.（5.3.13）

Здесь введены обозначения

с =或⑺^ + ^^ + v^*）器+匕0瑞，

（5.3.14）

о *0*,

D = ^h ［r⑺，n*（0;方1成+ ^ 5百⑺,n*⑺;方1弘+ о0

+ Д 百（。*）,不（。*）； 0*］誥 + % E （。）不（。*）; W 华 +

+ 曙党噌］（5315）

Очевидно, что С и D — постоянные количества, которые можно заранее определить для каждого конкретного случая полета ракеты.

Для построения выражения （5.3.13） на борту ракеты можно использовать те же интеграторы ускорений и элементы повторного интегрирования, что и при решении задачи об инерциальном управлении дальностью полета по методу, изложенному в § 2 третьей главы. Кроме того, здесь требуется дополнительное счетно-решающее устройство и часовой механизм.

Если же управление дальностью полета ракеты производится при помощи интеграторов, оси чувствительности

которых параллельны 入-и ^-направлениям, то для образования выражения (5.3.13) потребуется, кроме того, вспомогательное устройство типа преобразователя координат, непрерывно решающее систему уравнений (см. § 3 третьей главы)

/⑴cos九+九(0 sin九=1/入(力

/《) cos 卩 + 乙(方)sin 卩=乙(方) (5.3.16) относительно величин^ (力 и V^ (方)по данным текущих показаний 卩入(力)и V^ (Z) упомянутых выше интеграторов.

§ 里.Построение главных членов функции бокового отклонения

Вторая группа членов формулы (5.2.4) для функции §«), как указывалось в предыдущем параграфе, представляет собой сумму двух членов

售⑴-Cl 亲 и [〃w⑴一%]~^* • (5.4.1)

Их можно назвать главными членами функции бокового отклонения § (%), так как они играют основную роль в управлении боковым движением ракеты.

Для построения текущих значений суммы (5.4.1) на борту ракеты можно воспользоваться показаниями V^ (力) интегратора ускорений, ось чувствительности которого ориентирована параллельно оси g невращающейся системы координат Eng (так называемый боковой интегратор).

Заметим, что, согласно формуле (1.4.1) (§ 4 гл. 1), имеет место соотношение

(0 = 2^^ =伙⑴ + Л* (542)

где 〃匕(Z)——проекция кажущегося ускорения ракеты на ось G, а /；——проекция на ту же ось ускорения силы земного тяготения. Последняя, аналогично формулам (2.5.4), с достаточной точностью может быть представлена в виде

先=一響奴力)・(5.4.3)

Тем самым соотношение (5.4.2) можно считать дифференциальным уравнением относительно искомой функции g (I).

В мгновение £ = 0 оси стартовой системы координат xyz, связанной с Землей, соответственно совпадают с осями невращающейся системы 自刀备 а центр масс ракеты, по предположению, находится в их общем начале. Кроме того, в это мгновение ракета не имеет скорости по отношению к стартовой системе координат xyz. Следовательно, начальные условия уравнения (5.4.2) таковы:

G (0) = 0, 为粵=气(0)=唯(5.4.4)

где “; ——скорость начала стартовой системы координат относительно невращающейся системы ^т)£ в мгновение, когда Z — 0, т. е. в начале активного участка ее полета.

Можно принять, что ускорение силы тяготения оказывает незначительное влияние на ход изменения функции g (力).Поэтому в первом приближении можно не учитывать проекцию /^ в уравнении (5.4.2) и соответственно считать, что

甯=牝()(5.4.5)

Отсюда, учитывая второе начальное условие (5.4.4), имеем

陪=此(方)=九(方)十吗.(5.4.6)

Здесь

0^(，) = § 〃匕(*) "*(5.4.7)

о

текущее значение проекции на ось g кажущейся скорости ракеты относительно невращающейся системы координат grjg. Именно эта величина является показанием интегратора ускорений с осью чувствительности, параллельной оси g. Вторичное интегрирование обеих частей равенства (5.4.5) с учетом также и первого из начальных условий (5.4.4) приводит к формуле

г^^З^^и^.(5.4.8)

в которой 3乙(力) —— проекция на ось g вектора кажущегося пути ракеты в невращающейся системе координат 己刀二

Согласно последней формуле, для построения на борту ракеты текущих значений g (方)необходимо дополнительное интегрирование показаний упомянутого выше интегратора ускорений. В самом деле

Sw«) =，九⑴d九(549)

о

На основании формул (5.4.6) и (5.4.8) выражение для суммы (5.3.2) приводится к виду

% (0 =【s；(力)+ иу 一 甘 *1 ^ + [^ (0 十叱一"[1 "^ •

(5.4.10)

Эту сумму, как и сумму Pj (%), полученную в § 3 настоящей главы, можно построить непосредственно на борту ракеты.

Таким образом, при сделанных допущениях о несущественности величины /м представляется возможным посредством интеграторов ускорений и счетно-решающих устройств получить текущие значения функции бокового отклонения

(5.4.11)(5.4.11)В(С) = %(£) + %(»

(5.4.11)

(5.4.11)

§ б. Учет ускорения силы тяготения при пэстроении функции бокового отклонения

Методы, изложенные в четвертой главе, позволяют, как будет показано ниже, приближенно проинтегрировать уравнение (5.4.2) для функции 储(Z) с учетом проекции ускорения силы земного тяготения Д.

Заметим прежде всего, что с достаточной для практики точностью при не слишком большой протяженности активного участка полета ракеты в формуле (5.4.3) можно расстояние р от ракеты до центра Земли заменить радиусом Земли R. После этого придем к формуле

А =—吸(力 (5.5.4) в которой величина у (частота Шулера) определяется формулой (4.3.4). В итоге уравнение (5.4.2) может быть заменено следующим:

" ^:"=牝(")-"%(")• (5.5.2)

Проинтегрируем по времени правую и левую части этого уравнения в пределах от 0 до Z с учетом второго начального условия (5.4.4). Приравнивая полученные результаты, приходим к интегро-дифференциальному соотношению

制2 =九⑴-v2^(0dt + 叱. (5.5.3) о

Произведем такую же операцию интегрирования вновь, но уже с учетом первого начального условия (5.4.4). В результате получаем интегральное соотношение

g ⑴=S二⑴一у2 § § с ⑴"+ 叱力(5.5.4)

о о

которое является уравнением для определения бокового смещения ракеты g (0 по заданной функции S〈 «). Выражение, представляемое формулой (5.4.8), можно считать первым приближением к решению этого уравнения. Для получения следующего приближения, в котором уже будет учитываться влияние ускорения силы тяготения, можно воспользоваться методом, изложенным в четвертой главе. Прежде всего положим в соотношении (5.5.4) t = о. Тогда оно примет вид a t

g (0)= 5匸(0) - 镉 \ \ g (方)d庐 + "汐.(5.5.5)

о о

Далее заменим в правой части уравнения (5.5.4) функцию С (£) ее аппроксимацией в виде полинома второй степени

5)=呼+吗等卅(5.5.6)

коэффициенты которого подобраны так, чтобы удовлетворя- лись начальные условия (5.4.4) и, кроме того, чтобы полином принимал значение g (о) в мгновение 力 = о окончания активного участка действительного движения ракеты L

Если затем произвести аналогичную замену также и в соотношении (5.5.3) и совершить необходимые операции

1 Возможнааналогично § 1 четвертой главыь аппроксимация посредством полинома третьей степени, у которого еще и производная при 力=о обращается в 〃二(о).

интегрирования, то придем к равенствам

心(0)=九(。)一 и叱4 -叽⑹f+%

。3炉(557)

G (。) = & (。) 一 W 空方一也(。)方 + 叱%

которые можно рассматривать как уравнения для определения значения самой функции g (о) и ее производной по времени 〃二(о) в мгновение 力=о.

Решение второго уравнения (5.5.7) можно получить с достаточной точностью, если в его правой части величину 匚(о) заменить ее первым приближением, согласно формуле (5.4.8), т. е. положить

U (о) = S； (о) + 叱 о.(5.5.8)

В результате получим формулу

G (°) — (1 — ^~) №(°)+ (' — ^"J °'"(5.5.9)

Ту же замену произведем и в первом уравнении (5.5.7). В итоге придем к следующей приближенной формуле для определения проекции действительной скорости ракеты на ось *

〃g(0) = % (0)-号 5w(0)+ (1 — ^!-)空。 (5.5.10)

Считая аргумент о близким к о*, можно без большого ущерба для точности в формулах (5.5.9) и (5.5.10) заменить аргумент о в членах, содержащих малый множитель v2, расчетной величиной продолжительности активного унаст- ка о*. Заменяя в других местах этих формул аргумент о на текущее время 力 получим следующие окончательные

выражения для g (力)и м:(力):

"（1 一今…+"牛Н，

心(力)=灰(力)一^У- № ⑺ + [1 -上^)]空・ (5.5.11)

Формулы (5.5.11) приводят к более точному по сравнению с выражением (5.4.10) кредставлению суммы 围⑺，а именно:

"«）= {"階］凡⑴+『中国T"偿+

十{% （力）一十{% （力）一"%*"%*33英（力）4-英（力）4-*1 8b*1 8b

十{% （力）一

十{% （力）一

"%*

"%*

3

3

英（力）4-

英（力）4-

*1 8b

*1 8b

(5.5.12)

Построение функции р2 (力)на борту ракеты можно произвести посредством интегратора ускорения с осью чувствительности, параллельной оси g (а также, разумеется, и интегрирующего устройства).

* * *

В настоящей книге, как уже указывалось во введении, изложение вопросов теории инерциального управления полетом баллистических ракет производилось в предположении идеальной стабилизации осей чувствительности ньютонометров и интеграторов ускорений и совершенно точной работы последних, т. е. точного указания ими текущих значений проекций вектора кажущегося ускорения ракеты и интегралов от этих значений.

Оценка влияния инструментальных ошибок гироскопических устройств и интеграторов ускорений на величину воз-

можного отклонения ракеты при полете в заданную цель, а также анализ причин возникновения этих ошибок и разработка мер по их устранению представляет самостоятельный интерес и уже выходит за рамки этой книги.

Отметим, наконец, что вопросы инерциального управления космическими ракетами могут решаться теми же методами, что и рассматриваемая выше задача о полете баллистических ракет в пределах Земли.

А. Ю. Итглинскпй

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вывод формул для косинусов yru❶в между ❶сямн двух систем координат^ в[❶вернутых друг 01H❶сптоально друга на конечный угол

В руководствах по аналитической геометрии и по теоретической механике формулы для косинусов углов между осями двух произвольно повернутых одна относительно другой систем координат выводятся обычно при помощи некоторых добавочных геометрических построений. Возможен также вывод этих формул посредством многократного использования таблиц косинусов углов между осями основных и вспомогательных систем координат, каждая из которых повернута относительно предыдущей вокруг одной из общих с ней координатных осей1. В частности, основная ось вращения является одновременно осью координат двух вспомогательных систем, повернутых одна относительно другой на тот же угол, что и основные оси.

Ниже излагается чисто аналитический вывод упомянутых формул, основанный исключительно на простейших теоремах аналитической геометрии, причем некоторые из этих теорем используются в векторной форме.

Пусть система координат 自吨 поворачивается на произвольный угол ср вокруг некоторой оси d, проходящей через

Рис. 14Рис. 14

Рис. 14

Рис. 14

начало этой системы . Конечное положение системы обозначим через xyz. Если I, т а п косинусы углов, которые образует упомянутая ось конечного поворота d с осями системы координат 自刀已,то очевидно, что те же величины являются соответственно косинусами углов между осью d и осями системы 啰z. В частности, имеем

I = cos ос,(1)

где а ——угол, который образует ось вращения d с осью 自 системы координат grjg и одновременно та же ось вращения de осью хсистемы xyz (см. рис. 14).

Обозначим направляющие косинусы оси х относительно системы координат 己刀工 соответственно через а, & и с. Они

являются в данном случае искомыми величинами. Помимо очевидного равенства

а2 + &2 + с2 = 1 (2) направляющие косинусы а, 6 и с удовлетворяют также соотношению

la-\- mb -Ync — Z, (3) которое, в соответствии с известной формулой аналитической геометрии, выражает величину косинуса угла а между осью х и осью вращения d.

Для определения трех искомых величин а, 6 и с требуется еще одно уравнение. В частности, оно может выражать тот факт, что плоскость xd повернута относительно плоскости &d вокруг оси вращения d на заданный угол ср. Тем самым мера двугранного угла между упомянутыми плоскостями также должна равняться углу ф.

Так как двугранный угол измеряется углом между двумя перпендикулярами к образующим его плоскостям, то введем два вектора А и А, первый из которых перпендикулярен плоскости gd, а другой ——плоскости xd. Согласно свойству скалярного произведения двух векторов, имеем

hk cos 屮=h^ + h^k^ + 厩屁， (4) где 九匕，九力，九匕 ——проекции на оси 自，刀，g вектора h и соответственно &, %,屁——проекции на эти же оси вектора 万.

В качестве вектора Л возьмем векторное произведение единичного вектора ^°, расположенного на оси 自，и единичного вектора d°, имеющего направление оси вращения d. Проекции первого из них на оси 自，刀 и 备 разумеется, равны соответственно числам

(5)(5)О, О,

(5)

(5)

а второго

⑹⑹I, т, п.

⑹

⑹

Согласно правилам составления векторного произведения, получаем'

日睢園

无=甲>< 区。=1 0 0 •(7)

I т п

и, следовательно,

/zg = 0,九力=—〃，九匕=ш./zg = 0,九力=—〃，九匕=ш.(8)(8)

/zg = 0,九力=—〃，九匕=ш.

/zg = 0,九力=—〃，九匕=ш.

(8)

(8)

В свою очередь за вектор к примем векторное произведение

—_1° п° С°

к = xQX dQ = а Ь с卜(9)

I т п

Здесь вторую строку детерминанта составляют проекции единичного вектора %° на оси ^, т] и £, равные, конечно, направляющим косинусам оси х в системе координат ЕпС・

Раскрывая упомянутый детерминант, приходим к следующим равенствам:

к^ = пЪ——me, % = 1с—па, к^ = та ——lb. (10)

Модули обоих векторных произведений (7) и (9) одинаковы и равны синусу угла а между осями 三 и d или, что то же, между осями / и d. Таким образом, учитывая еще формулу (1), имеем

k = h = sin а = ]/!——G.(И)

Посредством равенств (8), (10) и (И) соотношение (4) можно представить в виде

(1 — Q)cos 屮=—I {mb + nc) + (〃2 + 炉)。・(12)

Оно и является недостающим третьим уравнением, помимо уравнений (2) и (3), для отыскания трех неизвестных косинусов а? b ис, определяющих направление оси х по отношению к осям системы координат ^т]^.

Согласно уравнению (3), имеем

mb + тгс = Z (1 — а).(13)

Кроме этого, 疗 + 九2 = 1 — /2.(14)

Учитывая последние два равенства в уравнении (12), получаем после приведения подобных членов формулу для одной из искомых величин

仅=COS(p + %2 (1 _ COS 屮).(15)

Для определения величины b исключим из соотношения (2) косинусы а и с посредством формул (12) и (15). В результате придем к квадратному уравнению

卩2 + (1- /2) COST]2 + Ь2 + 备{2- и +

+ (1 — %2) cos ф] I —历г}2 = ],(16)

которое после упрощений с помощью соотношения (14) приводится к виду

"—2b Im (1— cos ср) +Z2zn2 (1—cos 屮尸一川 sin2(p=0・ (17)

Из двух корней этого уравнения

b* = Im (1 — cos ф) + и sin ср,曜

(18)

% = Zm (1 — cos 屮)一孔 sin ф

следует остановиться на первом. Действительно, полагая, в частности,

Z = тп = 0,几=1, Ф = -^- ,(19)

получаем соответственно

% = + 1,力2 = — 1 • (20) Однако, учитывая принятые обозначения (см. рис. 14), имеем в этом случае

b = cos 力т] = + 1 (21)

и, следовательно, второй корень уравнений (18) должен быть отброшен. Таким образом, в общем случае

b = Im (i — cos ф) + n sin(p. (22) Подставляя теперь выражения (15) и (22) для а и 6 в уравне- ние^(З), придем к следующей формуле для определения величины % именно:

(23)(23)с = Zzi (1 — cos ф) — m sin ф.

(23)

(23)

Аналогично определяются косинусы углов между осью у и осями 5, Л， С и Далее между осью z и теми же осями g, % g・ В итоге таблица косинусов углов между осями систем координат xyz и Epg может быть представлена в сле

дующем виде:

х (1 — coscp) Z2 ++ costу (1 — cos ф) 1т ——nsin<pz (1 — cos Ф) In ++ m sin 屮х (1 — coscp) Z2 ++ costу (1 — cos ф) 1т ——nsin<pz (1 — cos Ф) In ++ m sin 屮(1 — cos 屮)ml + + 〃sin 中(1 — cos Ф)加2 ++ cos9(1 - cos 9)mn -—I sin Ф(1 — cos 屮)ml + + 〃sin 中(1 — cos Ф)加2 ++ cos9(1 - cos 9)mn -—I sin Ф(1 — COS Ф) nl —-msin ①(1 — cos 屮)mn ++ 2 sin 屮(1 - cos 屮)八2 ++ cost(24)(1 — COS Ф) nl —-msin ①(1 — cos 屮)mn ++ 2 sin 屮(1 - cos 屮)八2 ++ cost(24)

х (1 — coscp) Z2 ++ cost

у (1 — cos ф) 1т ——nsin<p

z (1 — cos Ф) In +

+ m sin 屮

х (1 — coscp) Z2 ++ cost

у (1 — cos ф) 1т ——nsin<p

z (1 — cos Ф) In +

+ m sin 屮

(1 — cos 屮)ml + + 〃sin 中

(1 — cos Ф)加2 +

+ cos9

(1 - cos 9)mn -

—I sin Ф

(1 — cos 屮)ml + + 〃sin 中

(1 — cos Ф)加2 +

+ cos9

(1 - cos 9)mn -

—I sin Ф

(1 — COS Ф) nl —

-msin ①

(1 — cos 屮)mn +

+ 2 sin 屮

(1 - cos 屮)八2 +

+ cost

(24)

(1 — COS Ф) nl —

-msin ①

(1 — cos 屮)mn +

+ 2 sin 屮

(1 - cos 屮)八2 +

+ cost

(24)

Эта таблица и была использована во второй главе настоящей книги.

ЛИТЕРАТУРА

Апазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управления ракет дальнего действия. М., изд-во «Наука», 1966.

Балк М. П. Элементы динамики космического полета.

М., изд-во «Наука», 1965,

Булгаков Б. В. Колебания. М., ГИТТЛ, 1954.

Бухгольц Я. Я. Основной курс теоретической механики. М., изд-во «Наука», 1966.

Галвери Дж.、Браун С., Вильямс И. Теория автоматической навигации с помощью динамических измерений.——Сб. «Проблемы инерциальной навигации». М., ИЛ, 1961.

Гантмахер Ф. Р., Левин 乙.М. Об уравнениях движения ракеты. Прикл. матем. и мех., т. IX, 1947.

Голдстейн Г. Классическая механика. М., Гостехиз- дат, 1957.

Гордеев А. И, Автономные системы управления баллистических ракет. М., Воениздат, 1964.

Дмитриевский А. Л., Кошевой В. Н. Основы теории полета ракет. М., Воениздат, 1964.

Идельсон Н. И. Теория потенциала и ее приложение к вопросам геофизики. Л.— М., ГТТИ, 1933.

Инерциальные системы управления. М., Военное изд- во Минист. обороны СССР, 1964.

Ишлинский А. Ю, Механика гироскопических систем. М・,Пзд-во АН СССР, 1963.

Л шли некий А, Ю. К теории гирогоризонткомпаса. — Прикл. матсм. и мах., т. XX, вып. 4, 1966.

Ишлинский Л. 10. К теории гироскопического маятника.— Прикл. матем. и мех., т. XXI, вып. 1, 1957.

Ишлинский А, Ю. Определение местоположения движущегося объекта посредством гироскопов и измерителей ускорений.—Прикл. матем. и мех., т. XXI, вьш. 6, 1957.

Коой Дж., Ютенбогард Дж. Динамика ракет. М., ИЛ, 1949.

Космическая техника. М., изд-во «Наука», 1964.

Лахтин Л. М. Свободное движение в поле земного сфероида. М., Физматгиз, 1963.

Лурье А. Я. Аналитическая механика. Физматгиз, 1961.

Мак-Клур. Теория инерциальной навигации. М., изд-во《Наука》，1964.

Погорелов Д. Л. Теория кеплеровых движений летательных аппаратов. М., Физматгиз, 1961.

Russel Ж., Rocket Society. A R S Semi Annual Meeting, San Francisco, California, June 10th — 13 th, 1957.

РиглейВ., Вудбери P., Говорка Дж. Инерциальная навигация. М., ИЛ, 1958.

Wrigley Ж, Schubr. Tuning Characteristics in Navigation Instruments.— J. of the Institute of Mavigation, December, 1950.

Slater T. M. Wich Accelerometers for Spacecraft Guidance.— Aerospace Electronics, October, 1960.

Slater 7. M. Measurement and Integration of Acceleration in * Inertial Navigation.— Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 79, № 7, October, 1957.

Соколов Ю. Д. Про~один метод наближеного розвя- зання л!шйних 1нтегральних та диференщаль- них piBHHHb.— Доп. АН УРСР, 1955, № 2.

Соколов Ю. Д. О методе осреднения функциональных поправок.— Укр. матем. ж., 1957, т. IX, № 1.

Сретенский Л. Я. Теория ньютоновского потенциала. Гостехиздат, 1946.

Стирис Э. Космическая навигация. М., Воениздат, 1966.

Суслов Г. Я. Теоретическая механика. М.— Л., Гостех- издат, 1946.

Уиттекер. Аналитическая динамика. М.— Л., ОНТИ, 1937.

Феодосъев В. Я., Синярев Г. Б. Введение в ракетную технику. М., Оборонгиз, 1961.

❶ГЛАВЛЕННЕ

От автора &

Введение 7

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Теория иаерцнальнФгэ управления длльностью полета Нал•«口стпиеск❶施 ракеты в упро!ценн❶近 п ❶ стал ❶ вне

Формула, выражающая дальность полета ракеты через координаты и проекции ее скорости в конце активного участка 21

Условие неизменности дальности полета при малом отличии координат и проекций скорости ракеты от их расчетных значений в мгновение окончания активного участка 24

Ошибка в дальности полета ракеты, представленная в виде функции продолжительности активного участка•27

Связь между ускорением ракеты в ее движении относительно неподвижной системы координат и показанием установленного на ней ньютонометра 28

Построение баллистической функции посредством двух интеграторов ускорений и счетнорешающего устройства . . • 32

Управление дальностью полета ракеты посредством единственного интегратора ускорений с наклонной ориентацией его оси 35

Преобразование баллистического уравнения с использованием новой прямоугольной системы координат 38

Геометрическое рассмотрение условия попадания ракеты в заданную цель

ГЛАВА ВТОРАЯ

Теория инерциального управления дальностью полета баллистических ракет в общей постановке

Выражение ошибки в дальности полета ракеты при малых изменениях параметров кон

ца активного участка. Баллистическая функция.45

Формулы, связывающие координаты ракеты в стартовой и невращающейся системах координат 50

Проекции скорости ракеты относительно невращающейся системы координат 52

Ошибка в дальности полета ракеты как функция изменений параметров конца активного участка в невращающейся системе координат.

Исходная баллистическая функция 56

Дифференциальные уравнения, определяю - щие текущие координаты движения ракеты . .61

Вспомогательное соотношение, связывающее величины баллистических коэффициентов в невращающейся системе координат 63

Изохронные вариации координат и проекций скорости ракеты. Основное баллистическое уравнение 68

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Приближенные представления баллистического уравнения, определяющего мгновение выключения двигателя

Дифференциальные уравнения для изохронных вариаций координат ракеты на активном участке ее движения 72

Приближенные выражения для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты. Упрощение баллистического уравнения %

Построение ба л листическ ог о уравнения посредством использования показаний двух интеграторов ускорений со специальной ориентаци

ей их осей чувствительности 79

Построение ба л л истическ ог о уравнения при помощи специального измерителя кажущихся ускорений и счетно-решающего устройства 83

Инерциальное управление дальностью полета баллистической ракеты посредством продольного и нормального интеграторов ускорений 88

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

Инерциальное управление дальностью полета баллистической ракеты с учетом изменения силы тяготения

Об одном приеме решения дифференциальных уравнений, которыми определяются изохронные вариации координат ракеты при ее движении на активном участке 93

Приближенное решение дифференциальных уравнений для вариаций координат с использованием квадратической аппроксимации, а также аппроксимации в форме полиномов третьей степени 97

Упрощение формул для изохронных вариаций координат и проекций скорости ракеты при малых, по сравнению с радиусом Земли, протяженностях активного участка юг

Построение баллистических уравнений, в которых приближенно учитывается влияние изменений ускорения силы земного тяготения 1°5

ГЛАВА ПЯТАЯ

Управление боковым движением баллистической ракеты

Боковое отклонение ракеты от цели, выраженное в виде функции изменений параметров конца активного участка в стартовой системе координат 111

Боковое отклонение как функция параметров конца активного участка в невращающейся системе координат 工工4

Построение членов функции бокового отклонения, зависящих только от основного движения ракеты 117

Построение главных членов функции бокового отклонения 122

Учет ускорения силы тяготения при построении функциибокового отклонения125

Приложение 13°

Литература ‘36

Александр Юльевич Игилинский

ИНЕРЦИАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКИМИ РАКЕТАМИ

Утверждено к печати

Отделением механики и процессов управления

Редакторы М. Е. Темченко^ Л, В. Кудрявцева

Художник Л. Т. Кобрин

Техническг1е редакторы

Л, И, Матюхина, Н. Д. Новиикова

Корректоры: Н. Н, Шкуратова, Г. И. Длугач

Сдано в набор 26/IX 1967 з.

Подписано к печати 25/XII 1967 а.

Формат 60x84*he. Бумага, № 1. Усл.-печ. л. 9.

Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 5000 экз.

Т-14897. Тип. зак. 3476

Цена 77 коп.

Издательство «Кадка». Москва, К-62,

Подсосенский пер., д. 21

2-я типография издательства «Наука»

Москва, Г~99, Щг/бипский пер., 10

А Ю. ИШЛИНСКИЙ

ИНЕРЦИАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКИМИ РАКЕТАМИ

В монографии излагаются математические основы автономного управления полетом баллистических ракет без использования внешней информации (радиосигналов, излучения звезд и др.). Автономное управление осуществляется приборами, расположенными на борту ракеты, действие которых основано на использовании инерции.

Интегрируя по времени мгновенные значения ускорений, приборы образуют сигнал своевременного выключения двигателя. При этом обеспечивается заданная дальность полета ракеты с учетом отклонения ее траектории от расчетной. Установление условий, которым должны удовлетворять упомянутые отклонения, и составляет главное содержание книги. Рассматриваются также принципы управления движением ракеты в боковом направлении.

Рассчитана на научных и инженерно-технических работников, специализирующихся в области баллистики, астронавигации, приборостроения

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОТДЕЛЕНИЕ МЕХАНИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

А. Ю. ИШЛИНСКИЙ

ИНЕРЦИАЛЬИОЕ УПРАВЛЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКИМИ РАКЕТАМИ

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

ИЗДАТЕЛЬСТВО < НА У К А»

Москва 1008

УДК 629. 191. 2:62-56

В монографии излагаются машем ат ические основы некоторых возможных вариантов инерциального управления полетом баллистических ракет, т. е. управления без использования какой-либо внешней информации fрадиосигналов, излучения звезд и др.)

Принимается^ что обеспечение заданной, дальности полета ракеты производится а результате своевременного выключения ее двигателя по сигналу, поступающему от счетно-решающего устройства. На вход последнего подаются текущие показания чувствительных элементов система инерциального управления, измеряющих кажущееся ускорение ракеты или интегралы от кажущегося ускорения по времени. Управление должно быть таким, чтобы отклонение фактического движения ракеты от расчетного не оказывало бы влияния на дальность ее полета. Для- этого измерительные приборы системы инерциальной навигации располагаются на борту ракеты вполне определенным образом у в частности, направление их осей чувствительности в ряде случаев стабилизируется посредством гироскопов. Установление нужных направлений, осей чувствительности и отыскание соотношений, которым должны, удовле/пворять текущие показания чувствительных элементов для образования в сче^пно-решающем устройстве команды на выключение двигателяt и составляет главное содержание книги. Рассматриваются также вопросы инерциального управления движением ракеты в боковом направлении.

Монография ^предназначена для специалистов в области теории процессов управления. Она может оказаться полезной, при исследовании новых проблем этой, дисциплины, а также в качестве учебного пособия.

ОТ АВТОРА

Настоящая книга возникла в результате многолетних размышлений над общими вопросами инерциальных систем управления подвижными объектами. Некоторые из них изложены в другой моей монографии, вышедшей в 1963 году под названием «Механика гироскопических систем», в кото рой, в соответствии с ее названием, значительное место уделяется также и теории чувствительных элементов систем инерциального управления ——гироскопу в кардановом подвесе, гироск опическому стабилизатору и гироскопическому интегратору кажущихся ускорений. В этой же книге, напротив, в основном изучается возможность решения задач инер- циального управления баллистическими ракетами посредством различных сочетаний гироскопических и иных механических чувс твительных элементов и счетно-решающих устройств. Разумеется, рассмотренные здесь вопросы отнюдь не исчерпывают всего многообразия идей и возможностей автономного управления баллистическими ракетами. За последние годы в теории конкретных инерциальных систем достигнуты большие успехи. Они не получили пока должного отражения в монографической литературе. Можно надеяться, что для усв оения и развития новых идей инерциального управления предлагаемая книга окажется не бесполезной.

Автор благодарит А. С. Качанова, Д. М. Климова, Д. Ф. Клима, И. С. Ковнера и М. Е. Темченко за ценные советы при редактировании и подготовке рук описи к печати.