Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
До появления электронных вычислительных машин основное применение математических методов было связано с физическими науками, где эти методы оказались высокоэффективными для количественного анализа систем, поведение которых описывается конечно-разностными, дифференциальными и интегральными уравнениями.
Способность вычислительных машин обрабатывать информацию большого объема с высокой скоростью и высокой надежностью открыла широкие возможности для анализа сложных систем, описываемых посредством сотен и даже тысяч взаимосвязанных переменных; это, например, системы управления запасами, резервирования, управления транспортными потоками, экономического планирования и т. п. Тем не менее все еще спорным остается вопрос о том, могут ли обычные количественные методы анализа систем быть действительно эффективными при анализе гуманистических систем, т. е. систем, в которых существенная роль принадлежит суждениям и знаниям человека. Как правило, такие системы гораздо более сложны и далеко не столь хорошо определены, как механистические системы, поведение которых допускает численное описание.
Точка зрения, развиваемая в этой монографии, состоит в том, что огромная сложность гуманистических систем требует подхода, в корне отличного от общепринятых количественных методов анализа систем. В частности, в ней содержится мысль о том, что для реалистического моделирования поведения таких систем может оказаться необходимым несколько сократить использование количественных методов и применять вместо этого лингвистический подход, в соответствии с которым в качестве значений переменных допускаются не только числа, но и слова или предложения естественного или искусственного языка. Такие пере-
менные составляют основу нечеткой логики и приближенных способов рассуждений, которые могут оказаться более созвучными сложности и неточности гуманистических систем, чем обычные численные методы анализа.
Советские ученые внесли большой вклад в развитие количественных и качественных методов анализа систем. Автор высоко ценит возможность представить свои идеи в этом издании и надеется, что они явятся вкладом в дело международного сотрудничества в области научных исследований»
Л. 4 ЗаОе Беркли, Калифорния
Март 1975 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ 1）
Лингвистической мы называем переменную, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Например, Возраст — лингвистическая переменная, если она принимает лингвистические, а не числовые значения, т. е. значения молодой, не молодой, очень молодой, вполне молодой, старый, не очень старый и не очень молодой и т. п., а не 20, 21, 22 и т. д.
Более точно лингвистическая переменная описывается набором （宏，Г （盟，[/, G, M）f в котором 贸一название этой переменной; Г （宏）—терм-множество 勿,т. е. совокупность ее лингвистических значений; U — универсальное множество; G — синтаксическое правило, порождающее термы множества Т （幺*）; М — семантическое правило, которое каждому лингвистическому значению X ставит в соответствие его смысл М （X）, причем М （X） обозначает нечеткое подмножество множества U.
Смысл лингвистического значения X характеризуется функцией совместимости с: U [0,1], которая каждому элементу 〃告 U ставит в соответствие значение совместимости этого элемента с X. Так например, совместимость возраста 27 лет со значением молодой может быть равна 0.7, а возраста 35 лет — 0.2. Назначение семантического правила — связать совместимости так называемых первичных термов в составном лингвисти* ческом значении с совместимостью составного значения, например, первичных термов молодой и старый в составном лингвисти* ческом значении не очень молодой и не очень старый. Неопределенности, такие, как очень, вполне, чрезвычайно ит. п., а также союзы и и или понимаются при этом как нелинейные операторы, преобразующие смысл соответствующих термов.
Эту работу финансировали Подразделение электронных систем Военно-морских сил США по контракту N00039-71 -С-0255, Отдел исследований Вооруженных сил США в Дерэме, Сев. Каролина, по соглашению DA- ARO*D-31-124*71-G174 и Национальный научный фонд США по соглашению GK-10656X3. Написание этой книги было закончено в период участия автора в Совместной программе Отдела исследования систем и Исследова* тельской лаборатории фирмы IBM в Сан-Жозе, Калифорния, США.
С помощью лингвистических переменных можно приближенно описывать явления, которые настолько сложны или плохо определены, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, если понимать Истинность как лингвистическую переменную со значениями истинно, очень истинно, совершенно истинно, не очень истинно, не истинно и т. п., то мы приходим к так называемой нечеткой логике. На такую логику могут опираться приближенные (т. е. не строгие, но и не очень нестрогие) рассуждения, и она, таким образом, может служить более реалистической схемой человеческих рассуждений, чем традиционная двузначная логика.
Показано, что вероятности тоже можно считать лингвистическими переменными со значениями вероятно, очень веро- mnxo, невероятно и т. п. Вычисления с лингвистическими вероятностями сводятся, как правило, к решению задач нелинейного программирования и дают результаты столь же неточные, что и исходные значения вероятностей.
Основные приложения рассматриваемого лингвистического подхода находятся в сфере гуманистических систем, особенно в таких областях, как искусственный разум, лингвистика, процессы принятия решений человеком, распознавание образов, психология, право, медицинская диагностика, поиск информации, экономика, и связанных с ними областях.
ВВЕДЕНИЕ
Один из фундаментальных принципов современной науки состоит в том, что явление нельзя считать хорошо понятым до тех пор, пока оно не описано посредством количественных харак・ теристик 1).
С этой точки зрения многое из того, что составляет сущность научного знания, можно рассматривать как совокупность принципов и методов, необходимых для конструирования математических моделей различных систем, позволяющих получать количественную информацию об их поведении. При существующем уважении ко всему точному, строгому и количественному и пренебрежении ко всему неточному, нестрогому и качественному неудивительно, что появление вычислительных машин вызвало широкое распространение количественных методов во многих областях человеческого знания. Несомненно, вычислительные машины оказались высокоэффективными при работе с механистическими системами, т. е. с системами, поведение которых определяется законами механики, физики, химии и электромагнетизма. К сожалению, то же самое нельзя сказать о гуманистических системах ), которые, по крайней мере до сих пор, оказывали весьма стойкое сопротивление математическому анализу и моделированию с применением ЭВМ. В самом деле, многими признается, что использование вычислительных машин не пролило
В 1883 г. Лорд Кельвин писал [1]: «В физической науке при изучении любого объекта первый и наиболее существенный шаг состоит в том, чтобы найти принципы численной оценки и практические методы измерения некоторого качества, присущего этому объекту Я часто говорю, что когда вы можете измерить то, о чем вы говорите, и выразить это в числах, вы уже знаете кое-что об этом, но когда вы не можете измерить это, когда вы не можете выразить это в числах, ваше знание недостаточно и неудовлетворительно • оно может быть началом знания, но вы лишь слегка, мысленно, продвинулись к научному пониманию вопроса, о -чем бы ни шла речь».
много света на основные проблемы, возникающие в философии, психологии, литературе, праве, политике, социологии и в других гуманитарных областях знаний. Вычислительные машины не продвинули нас сколько-нибудь значительно в понимании процесса мышления, за исключением, быть может, некоторых примеров из области искусственного интеллекта и смежных областей.
Можно утверждать, как мы делали в работах [6] и [7], что неэффективность вычислительных машин в изучении гуманистических систем является подтверждением того, что может быть названо принципом несовместимости — принципом, утверждающим, что высокая точность несовместима с большой сложностью х) системы. Таким образом, быть может именно по этой причине обычные методы анализа систем и моделирования на ЭВМ, основанные на точной обработке численных данных, по существу не способны охватить огромную сложность процессов человеческого мышления и принятия решений. Отсюда напрашивается вывод о том, что для получения существенных выводов о поведении гуманистических систем придется, по-видимому, отказаться от высоких стандартов точности и строгости, которые мы, как правило, ожидаем при математическом анализе четко определенных механистических систем, и относиться более терпимо к иным подходам, которые являются приближенными по своей природе. Вполне возможно, что лишь при использовании таких подходов моделирование на ЭВМ станет действительно эффективным методом анализа систем, которые настолько сложны или некорректно определены, что не поддаются обычному количественному анализу.
Жертвуя точностью перед лицом ошеломляющей сложности, естественно изучить возможность использования так называемых лингвистических переменных, т. е. переменных, значениями которых являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке.
Использование слов и предложений, а не чисел, мотивировано тем, что лингвистическое описание, как правило, менее конкретно, чем описание числами. Например, фраза «Джон молод» менее конкретна, чем фраза «Джону 25 лет». В этом смысле слово молодой можно рассматривать как лингвистическое значение переменной Возраст, имея в виду при этом, что лингвистическое значение играет такую же роль, как и численное значение 25, но является менее точным и, следовательно, менее информативным. То же самое можно сказать о лингвистических значениях очень молодой, не молодой, чрезвычайно молодой, не
Более конкретно, сложность системы и точность, с которой ее можно анализировать, обратно пропорциональны в первом приближении.
очень молодой и т. д, если их сопоставить с численными значениями 20, 21, 22, 23.
Если значения численной переменной изображают графически точками на плоскости, то значения лингвистической переменной можно изобразить графически как площадки с нечетко очерченными границами. Именно благодаря такой интерпретации —— использованию площадок, а не точек — лингвистические переменные могут служить средством приближенного описания явлений, которые настолько сложны или некорректно определены, что не поддаются точному описанию.
Следует отметить также, что благодаря использованию так называемого принципа обобщения большая часть существующего математического аппарата, применяющегося для анализа систем, может быть приспособлена к лингвистическим переменным. Таким образом, имеется возможность развивать приближенное исчисление лингвистических переменных, которое, по-видимому, найдет широкое практическое применение.
Совокупность значений лингвистической переменной составляет терм-множество этой переменной. Это множество может иметь, вообще говоря, бесконечное число элементов. Например, терм-множество лингвистической переменной Возраст можно записать так:
Т (Возраст) = молодой + не молодой + очень молодой + + &е очень молодой + очень очень молодой + ・・• + старый + не старый + + очень старый + не очень старый^ очень молодой и не очень старый-^ ...+среднего возрастав не среднего возраста +・.・ + #а старый и не среднего возраста + •・・ + чрезвычайно старый.
Знак + обозначает здесь объединение, а не арифметическое суммирование. Аналогично, терм-множество лингвистической переменной Наружность можно записать следующим образом:
Т (Наружность) = прекрасная + хорошенькая+миловидная + красивая + привлекательная + +не прекрасная + очень хорошенькая + + очень очень красивая + более или менее хорошенькая + с сильно хорошенькая + довольно красивая + безусловно красивая + не очень привлек кательная, но и не очень непривлекательная + …
В случае лингвистической переменной Возраст числовая переменная возраст, принимающая значения 0, 1, 2, 3, ...» 100,
является так называемой базовой переменной лингвистической переменной Возраст. При этом такое, например, лингвистическое значение, как молодой, можно интерпретировать как название некоторого нечеткого ограничения на значения базовой переменной. Именно это ограничение мы и считаем смыслом лингвистического значения молодой.
Нечеткое ограничение на значения базовой переменной характеризуется функцией совместимости, которая каждому значению базовой переменной ставит в соответствие число из интервала [0,1], символизирующее совместимость этого значения с нечетким ограничением. Например, значения функции совместимости
Рис. 1.1. Функция совместимости для значения молодой.
таких численных значений переменной возраст, как 22, 28 и 35 с нечетким ограничением молодой, могут быть 1, 0.7 и 0.2 соответственно. В этом случае смысл лингвистической величины молодой можно представить кривой (рис. 1.1), являющейся трафиком функции совместимости лингвистического значения молодой относительно базовой переменной возраст.
Обычная интерпретация высказывания «Джон молод》состоит в том, что Джон принадлежит классу молодых людей. Однако, принимая во внимание, что класс молодых людей — нечеткое множество, т. е. что не существует резкого перехода от молодости к «немолодости», утверждение о том, что Джон принадлежит классу молодых людей, не соответствует точному математическому определению понятия «принадлежит». Концепция лингвистической переменной позволяет обойти эту трудность следующим образом.
Имя «Джон» рассматривается как название составной лингвистической переменной, компонентами которой являются лингвистические переменные Возраст, Рост, Вес, Внешность и т, п*
|Д*。"
Возраст РостВозраст Ростммодой низкийммодой низкий/гингвистическоезначение/гингвистическоезначение
Возраст Рост
Возраст Рост
ммодой низкий
ммодой низкий
/гингвистическоезначение
/гингвистическоезначение
Возраст (Джоц)» мо/юдой
& ма^ый—^ /?(л) = малый
l ограничение на 必
Рис. 1.2. Назначение лингвистических значенийхарактерным признакам Джона и %
广—「АинзВистииеска負Возраст / переменная广—「АинзВистииеска負Возраст / переменная2025303550556065 возраст2025303550556065 возрастбазовая переменна只」базовая переменна只」Рис. 1.3. Иерархическая структура лингвистической переменной.Рис. 1.3. Иерархическая структура лингвистической переменной.
广—「АинзВистииеска負
Возраст / переменная
广—「АинзВистииеска負
Возраст / переменная
2025303550556065 возраст
2025303550556065 возраст
базовая переменна只」
базовая переменна只」
Рис. 1.3. Иерархическая структура лингвистической переменной.
Рис. 1.3. Иерархическая структура лингвистической переменной.
Тогда высказывание «Джон молод» интерпретируется как уравнение назначения (рис. 1.2)
Возраст = молодой,
которое предписывает значение молодой лингвистической переменной Возраст. В свою очередь значение молодой интерпретируется как название некоторого нечеткого ограничения на базовую переменную возраст, причем смысл этого ограничения определяется его функцией совместимости. Для того чтобы лучше
понять, что такое лингвистическая переменная, можно обратиться к рис. 1.3, на котором изображена иерархическая структура связи между лингвистической переменной Возраст, нечеткими ограничениями, представляющими смысл ее значений, и значениями базовой переменной возраст.
Существует несколько основных аспектов понятия лингвистической переменной, которые нуждаются в уточнении.
Во-первых, важно уяснить, что понятие совместимости отлично от понятия вероятности. Так, высказывание о том, что совместимость, скажем, численного значения 28 с лингвистическим значением лго〃о0о近 равна 0.7, не имеет никакого отношения к вероятности того, что значение переменной возраст равно 28. Правильная интерпретация значения совместимости, равного 0.7, состоит в том, что оно есть лишь субъективная мера того, насколько возраст 28 лет соответствует в представлении субъекта слову «молодой». Как мы увидим в последующих параграфах, математические операции, применяемые к значениям совместимости, отличны от операций, применяемых к значениям вероятностей, хотя между ними и существует некоторая аналогия.
Во-вторых, мы будем обычно предполагать, что лингвистическая переменная имеет структуру в том смысле, что она связана с двумя правилами: первое — синтаксическое правило — определяет способ порождения лингвистических значений, принадлежащих терм-множеству этой переменной. При этом мьь будем обычно предполагать, что элементы терм-множества порождаются бесконтекстной грамматикой.
Второе — семантическое правило ——определяет способ вычисления смысла любой лингвистической переменной. Отметим в связи с этим, что типичное значение лингвистической переменной, например не очень молодой и не очень старый, включает в себя то, что можно было бы назвать первичными термами, например молодой и старый, смысл которых субъективен и зависит от контекста. Предполагается, что смысл таких термов определен заранее.
Кроме первичных термов лингвистическое значение может включать в себя связки, такие, как и, или, ..., ни и т. п.; отрицание &е, такие неопределенности, как очень, более или менее, совершенно, совсем, безусловно, чрезвычайно, отчасти и т. п. Как мы увидим далее, связки, неопределенности и отрицание можно трактовать как операторы, которые видоизменяют смысл первичных термов особым, независимым от контекста образом. Так, если функция совместимости лингвистического значения молодой изображается кривой, показанной на рис. 1.1, то смысл лингвистического значения очень молодой может быть получен возведением в квадрат значений функции совместимости лингвистического значения молодой» Смысл лингвистического
значения не молодой можно получить, вычитая из 1 значения этой функции совместимости (рис. 1.4). Прй^ениыОва правила являются частными случаями более общегсУсемантического правила, опйоащюго в § 5. "
В-третьих, когда мы говорим о лингвистической переменной, такой, как Возраст, соответствующая базовая переменная возраст является по своей природе числовой переменной. В этом случае мы можем определить смысл лингвистического значения, такого, как молодой, функцией совместимости, которая ставит в соответствие каждому значению базовой переменной из интервала [0, 100] число из интервала [0,1], представляющее совместимость данного возраста с понятием молодой,
Рис. 1.4. Функции совместимости значений молодой, не молодой, очень молодой.
С другой стороны, для лингвистической переменной Внешность мы не имеем четко определенной базовой переменной, т. е. не знаем, как выразить степень красоты в форме функции тех или иных физических величин. Мы могли бы и в этом случае приписать каждой женщине из рассматриваемой группы степень принадлежности классу прекрасных женщин, например Фэй — степень 0.9, Адели — 0.7, Кетти — 0.8 и Вере — 0.9. Но эти значения функции совместимости были бы основаны лишь на наших впечатлениях, которые мы не в состоянии точно формализовать.
Другими словами, мы определяем функцию совместимости не на множестве математически точно определенных объектов, а на множестве обозначенных некими символами впечатлений. Такие определения имеют смысл для человека, но не, по крайней мере непосредственно, для вычислительной машины г).
Основная проблема, возникающая здесь, — проблема абстрагирования от множества выборок элементов нечеткого множества Обсуждение этой проблемы можно найти в [8].
Как мы увидим в последующих параграфах, в первом случае, когда базовая переменная — численная по природе, лингвистическими переменными можно оперировать некоторым достаточно точно определенным способом, а именно путем использования принципа обобщения для нечетких множеств. Во втором случае способ обращения с лингвистическими переменными носит
QQРис. 1.5. а. Функции совместимости значений малый, очень малый, большой, очень большой и не очень малый 〃 не очень большой. б. Задача лингвистического приближения —это задача нахождения приближенного лингвистического описания данной функции совместимостиРис. 1.5. а. Функции совместимости значений малый, очень малый, большой, очень большой и не очень малый 〃 не очень большой. б. Задача лингвистического приближения —это задача нахождения приближенного лингвистического описания данной функции совместимости
Q
Q
Рис. 1.5. а. Функции совместимости значений малый, очень малый, большой, очень большой и не очень малый 〃 не очень большой. б. Задача лингвистического приближения —это задача нахождения приближенного лингвистического описания данной функции совместимости
Рис. 1.5. а. Функции совместимости значений малый, очень малый, большой, очень большой и не очень малый 〃 не очень большой. б. Задача лингвистического приближения —это задача нахождения приближенного лингвистического описания данной функции совместимости
более качественный характер. Однако в обоих случаях, в большей или меньшей степени, присутствуют вычисления. Итак, следует понимать, что лингвистический подход не является по своей природе целиком качественным. Вернее, вычисления совершаются «за кулисами», а затем уже используется лингвистическое приближение для преобразования чисел в слова (рис. 1.5).
Особенно важной областью приложения понятия лингвистической переменной является область приближенные рассуждений, % е・ рассуждений, ^которые не являются ни очень точными, ни
очень неточными. В качестве иллюстрации приведем следующую цепочку приближенных рассуждений:
% мало, х п у примерно равны.
Следовательно, более или менее мало.
Понятие лингвистической переменной появляется в приближенных рассуждениях в результате толкования понятия Истинность как лингвистической переменной, значения которой образуют такое терм-множество:
Т (Истинность) — истинный + не истинный + очень истинный + полностью истинный + ^ более или менее истинный + + совершенно истинный + существенно истинный 4-... + ложный + очень ложный-^ни истинный, ни лож・ #出近+....
Предполагается, что соответствующая базовая переменная является числом из интервала [0,1], а смысл первичного терма, такого, как истинный, отождествляется с нечетким ограничением на значения базовой переменной. Как обычно, такое ограничение характеризуется функцией совместимости, которая каждому численному значению истинности ставит в соответствие число из интервала [0,1]. Например, совместимость численного значения истинности 0.7 с лингвистическим значением истинности очень истинный может быть равна 0.6. Таким образом, в случае значений истинности функция совместимости является отображением единичного интервала в себя (рис. 6.1).
Трактование истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой логике, которая вполне может оказаться лучшим приближением к логике, управляющей принятием решений человеком, чем классическая двузначная логика ')・ В нечеткой логике вполне может иметь смысл то, что в классической логике является недопустимо неопределенным, например:
значением истинности высказывания «Беркли близок к СанФранциско» является совершенно истинно,
значением истинности высказывания «Поло Алто близок к Сан-Франциско» является весьма истинно.
1) Описание других подходов к понятию неопределенности можно найти в работах〔9 — 18]
Следовательно, значением истинности высказывания «Поло Ал то более или менее близок к Беркли» является более или менее истинно.
Другая важная область приложения понятия лингвистической переменной — теория вероятностей. Если вероятность рассматривать как лингвистическую переменную, то ее терм-множество могло бы, например, иметь следующий вид:
Т (Вероятность) = правдоподобно + очень правдоподобно + + неправдоподобно + чрезвычайно правдоподобно + весьма правдоподобно+ ...+ вероятно + невероятно + более или менее вероятно + …•
Допустив использование лингвистических значений вероятности, мы получаем возможность на вопрос: «Какова вероятность того, что ровно через неделю будет теплый день?» ответить следующим образом: весьма высокая^, вместо, например,《0・8》・ Лингвистический ответ, вообще говоря, более реалистичен, принимая во внимание, во-первых, что теплый день — нечеткое событие, и, во-вторых, что мы еще недостаточно понимаем динамику погоды и не можем делать определенных выводов о значениях вероятностей подобных событий.
Более подробно понятие лингвистической переменной и ее приложения обсуждаются в последующих параграфах. Чтобы представить понятие лингвистической переменной в должной перспективе, мы начнем изложение с формализации понятия обычной (не нечеткой) переменной. Нам будет полезно уподобить такую переменную саквояжу с жесткими стенками (рис. 2.1) с прикрепленным к нему ярлыком. Поместить некоторый предмет в саквояж означает приписать соответствующей переменной определенное значение, а ограниченное множество предметов, которые можно поместить в саквояж, соответствует подмножеству полного множества, содержащему те элементы, которые могут быть использованы в качестве значений данной переменной.
Аналогично нечеткую переменную, определение которой дано в§4, можно уподобить саквояжу не с твердыми, а мягкими стенками (рис. 4.1). В этом случае множество предметов, которые можно поместить в этот саквояж, является нечетким по своей природе и определяется функцией совместимости, которая ставит в соответствие каждому предмету число из интервала [0,1], символизирующее степень легкости, с которой этот предмет можно поместить в саквояж. Пусть, например, имеется саквояж X; совместимость пальто с X может быть равна 1, тогда как совместимость проигрывателя с X может быть равна 0.7.
Как будет показано в § 4, существенным при рассмотрении нечетких переменных является понятие невзаимодействия, ана-
логичное понятию независимости для случайных переменных. Необходимость в этом понятии возникает, когда мы имеем дело с двумя или большим числом нечетких переменных, каждую из которых можно уподобить отделению в мягком саквояже. Нечеткие переменные являются взаимодействующими, если присвоение значения одной из них влияет на нечеткие ограничения, налагаемые на другие переменные. Этот случай можно уподобить взаимодействию между предметами, помещенными в различные отделения саквояжа (рис. 4.3).
Лингвистическая переменная определяется ^§^5 как переменная, значениями которой являются нечеткие переменные. Пользуясь все той же аналогией, уподобим лингвистическую переменную твердому саквояжу, в который можно поместить мягкие саквояжи с ярлыками. На каждом из этих ярлыков приведено описание нечеткого ограничения на множество предметов, которые можно поместить в соответствующий мягкий саквояж (рис. 5.2).
Применение понятия лингвистической переменной для описания «истинности» обсуждается в § 6. Описываются методы вычисления лингвистических значений истинности для конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний и закладываются основы нечеткой логики.
В § 7 понятие лингвистической переменной применяется к вероятностям и показывается, что с лингвистическими вероятностями можно производить вычисления. Однако из-за того, что численные значения вероятностей в сумме должны давать 1, вычисления с лингвистическими переменными свя* заны с решением задач нелинейного программирования и, следовательно, не так просты, как вычисления с численными значениями вероятносте й •
Последний параграф посвящен обсуждению так называемого композиционного правила вывода и его применения в приближенных рассуждениях. Это правило вывода интерпретируется как процесс решения системы уравнений назначения в отношениях, в которых нечетким ограничениям назначаются лингвистические значения. Так, если высказывание 《尤——малый» интерпретируется как назначение лингвистического значения малый нечеткому ограничению на х, а высказывание «х и у приближенно равны» интерпретируется как назначение нечеткого отношения приближенно равны нечеткому ограничению на упорядоченную пару (х, у), то вывод《у более или менее малый» можно рассматривать как лингвистическое приближение решения следующей системы уравнений:
R (%) = малый,
R(%, у) = приближенно равны.
в которой R(%) и R(%, у) обозначают ограничения на % и (х, у) соответственно (рис. 8.3).
Композиционное правило вывода приводит к обобщенному правилу modus ponens, причем его можно рассматривать как обобщение известного правила вывода: если Л истинно и Л влечет В, то В истинно. Параграф заканчивается примером нечеткой теоремы из элементарной геометрии и коротким обсуждением использования нечетких блок-схем для представления нечетких алгоритмов определения.
Материал § 2—4 предназначен для того, чтобы заложить математическую основу понятия лингвистической переменной, вводимого в § 5.
Те читатели, которых, возможно, не интересуют математи* ческие аспекты этой теории, могут сразу перейти к § 5 и по мере надобности обращаться к предыдущим параграфам за необходи* мыми определениями и результатами»
2 ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
Обсуждение понятия лингвистической переменной в предыдущем параграфе носило неформальный характер. Чтобы подготовить почву для формального определения, сконцентрируем внимание в этом параграфе на понятии обычной (не нечеткой) переменной. После этого в § 3 мы обобщим понятие переменной на случай нечеткой переменной и определим лингвистическую переменную как переменную, значениями которой являются нечеткие переменные. Хотя понятие обычной (не нечеткой) переменной элементарно по сути, оно ни в коем случае не тривиально.
В дальнейшем нам будет удобно пользоваться следующей формализацией понятия обычной переменной.
Определение 2.1. Обычная (не нечеткая) переменная характеризуется тройкой (X, U, R (X; 〃))，где
X — название переменной,
U — универсальное множество (конечное или бесконечное), и — общее названиех) элементов множества U,
R(X; и) — подмножество множества U, представляющее собой ограничение) на значения элементов 弘 обусловленное названием X.
Для удобства будем вместо R (X; и) писать сокращенно R(X), R(u) или R (х), где х обозначает общее название значений переменной X, и называть R (X) просто ограничением на 〃 или ограничением^ обусловленным переменной X.
Кроме того, переменной соответствует уравнение назначения
% = 〃：R(X), .(2.1)
или, что эквивалентно,
х = 〃，〃wR(X)・(2.2)
Общее название —это название, единое для всех элементов множества. Для простоты мы будем часто пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и общего названия его элементов, полагаясь в спорных случаях на контекст.
222 Понятие МременноИ
Это уравнение отражает тот факт, что переменной х назначено значение и с учетом ограничения R (X). Таким образом, уравнение назначения удовлетворяется тогда и только тогда, когда 〃三 R(X)・
Пример 2.2. Проиллюстрируем сказанное на примере переменной возраст. В этом случае в качестве U можно взять множество целых чисел 0, 1, 2, 3, a R (X) может быть подмножеством 0, 1, 2, ..., 100.
Вообще пусть Х^, ..., Хп — переменные с соответствующими универсальными множествами Ui, ..., Un. Упорядоченный набор X = (Xl Х〃) будем называть п-арной составной переменной. Универсальным множеством для X является декартово произведение
U = UiXU2X・・・xU〃,(2.3)
а ограничением R (Х1? ..., X九)является n-арное отношение в U1X...XU几.Это отношение можно определить характеристической функцией (функцией принадлежности) rr： UiX・・・xU；1f -> {0, 1}, причем
/, если (Uj, • • •» 〃/г) w R (Xi,.・.，Xj,
=если 伍，…，痂)#(%,…，X J
a at — общее название элементов множества Uh i=l, ..., n. Соответственно этому n-арное уравнение назначения имеет вид
х} = (〃1, • • • , 〃/г)： R (X],・..，X/,(2.5)
которое следует понимать как
Х[Uif ^ = 1, •••» ^>(2.6)
при ограничении (® ип) еR (Х1? ..., Х〃), где xh i = ==1, .・・,п, — общее название значений переменной X/.
Пример 2.3. Предположим, что Хг4 возраст отца% Х?2 возраст сына, и U1^U2 = {\, 2, ..., 100}. Далее предположим, что Xi ^ х2 + 20 (尤1 и х2 — общие названия значений переменных Хх и Х2). Тогда R (Хх, Х2) можно определить так:
[1 при 21W〃iV100, 〃i^〃2 + 20,
卩欠Л(2.7)
广貝' 丄， 〃 I 0 в остальных случаях.'
) Символ 金 употребляется в смысле «обозначает» или «равно по определению».
МАРГИНАЛЬНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
Подобно вероятностным распределениям, ограничение R(Xl .・・,X/, обусловленное набором (Xi, ...» X/, индуцирует маргинальные ограничения R 0k ..., Х〃), обусловленные наборами вида (Х^, ..., X%), где последовательность индексов q = g ..., f左)есть подпоследовательность последовательности индексов (1, 2,..., п)). В сущностиR(X“,・・・,X%)— минимальное (т. е. наиболее «ограничительное») ограничение, обусловленное набором (Xq, ..., XQ, которое удовлетворяет импликации
(〃i, •・・，〃九)三 R (Xj_, • •・，X/ —^
：^(旬，〃Q三R(X/,..・，X%)・(2.8)
Так, данный набор 〃9)含(〃乙,...,uQ есть элемент ограничения R(Xq, ..., X%) тогда и только тогда, когда существует n-набор 〃2(〃i, ...» ил) еR (Хъ ..., X/, li-я, ..., ik-n компоненты которого равны 〃纟,...,щк соответственно. В терминах характеристических функций ограничений R (Х^ ..., Х〃) и R(X( ..., XQ это утверждение можно выразить следующим равенством:
Kr(х«,…，Х5)(〃з …，"％)= V KR(X]хд)(^i> • • • > ^я), (2.9) или более компактно:
R?(x())(〃g))= V Kr(x)(〃)，(2.10)
где / — дополнение последовательности индексов q=® …,%) до (1,・・・,п), 〃“) — дополнение ^-набора и{д}^(ulv
до п-набора u4(ub ..., и^, Х^^^Х^, ..., XQ, а V обо
значает операцию взятия sup по и из 〃匂，).Всюду в этой работе символы V и А обозначают операции взятия шах и
min соответственно; так, для любых действительных а, & (а, если
QVb = max(a, Ь) = [ь, еслиа<А 伍⑴ {а, если а^Ь,
В соответствии с этими обозначениями символ V следует 2
читать как sup. Так как м может принимать лишь два значения 0 или 1, выражение (2.10) означает, что 卩R(Xg))(〃加=1 тогда и только тогда, когда существует такое 〃“)， что Kr(X)(〃) = 1 •
Замечание 2.4. Существует простая аналогия, которая помогает уяснить смысл переменной и связанных с ней понятий. А именно, обычную (не нечеткую) переменную, в смысле определения 2.1, можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющему твердые стенки. В этом случае X соответствует названию, имеющемуся на ярлыке, U — списку предметов, которые в принципе умещаются в саквояже, a R (X) — части этого списка, в которой перечислены предметы, обычно помещаемые в саквояж. (Например, такой предмет, как лодка, не может быть в списке U, такой предмет, как пишущая машинка, может быть в U, но не быть в R(X), а такой предмет, как пачка сигарет или пара ботинок, может быть в R (Х)・)
В такой интерпретации уравнение назначения
х = и: R (X)
соответствует тому, что предмет и, удовлетворяющий ограние чению R (X) (т. е. находящийся в списке предметов, которы- помещают в саквояж X), помещен в саквояж Х、(рис. 2.1).
Некоторая n-арная составная переменная X金(Xi, ..., X九) соответствует саквояжу с ярлыком X, имеющему п отделений, обозначенных Xi, Х〃, причем перегородки между этими отделениями можно устанавливать по своему усмотрению. Ограничение R (Хъ ...» Х〃) соответствует списку из п-набо- ров предметов (их, ..., таких, что иг можно поместить в отделение Xi, и2 —в отделение Х2,... и 〃九— в отделение Хп одновременно (рис. 2.2). При этом следует учесть, что различные наборы этого списка можно связать с различными расположениями перегородок между отделениями. Например, если п = 2, то при заданном положении перегородок мы можем п( местить пальто в отделение X】，а костюм — в отделение Х2, в то время как при другом положении перегородок мы можем поместить пальто в отделение Х2, а коробку с туфлями — В ртделение Хх. В этом случае обе пары (пальто, костюм) и
(туфли, пальто) окажутся в списке R (Х^, Х2) предметов, которые умещаются в саквояже X. В терминах проводимой аналогии с саквояжем n-арное уравнение назначения
(Х1, ..., %л) = ("л,・• •，〃九)：R(X], ..., Х〃)
соответствует помещению предметов 〃i в Хх, ...» ип в Хп одновременно при условии, что n-набор предметов (〃i, ..., “〃)
Рис. 2,1. Иллюстрация аналогии с саквояжем для унарной обычной (не нечеткой) переменной.Рис. 2,1. Иллюстрация аналогии с саквояжем для унарной обычной (не нечеткой) переменной.
Рис. 2,1. Иллюстрация аналогии с саквояжем для унарной обычной (не нечеткой) переменной.
Рис. 2,1. Иллюстрация аналогии с саквояжем для унарной обычной (не нечеткой) переменной.
имеется в списке R (X】,..., X/. Более того, маргинальное ограничение вида R (欠女，•.., X/J можно интерпретировать как список 屏наборов предметов, которые можно поместить
названиеназваниепреЗмет，преЗмет，передбижнаи перегородкажесткийX саквойпередбижнаи перегородкажесткийX саквойназвание названиеназвание названиеРис. 2.2 Аналогия с саквояжем для бинар* нод обычной (не нечеткой) переменной.Рис. 2.2 Аналогия с саквояжем для бинар* нод обычной (не нечеткой) переменной.
название
название
преЗмет，
преЗмет，
передбижнаи перегородка
жесткий
X саквой
передбижнаи перегородка
жесткий
X саквой
название название
название название
Рис. 2.2 Аналогия с саквояжем для бинар* нод обычной (не нечеткой) переменной.
Рис. 2.2 Аналогия с саквояжем для бинар* нод обычной (не нечеткой) переменной.
в отделения Х^,・.・,X% одновременно при условии, что в остальные отделения можно при этом поместить любые из допустимых предметов*
Замечание 2.5. Следует отметить, что выражение (2.9) аналогично выражению для маргинального распределения вероятностей, при этом символ V соответствует операции суммирования (или интегрирования). Однако эту аналогию не следует истолковывать так, что R(火纟,・・.，文%)——действительно маргинальное распределение вероятностей.
Правую часть уравнения (2.9) удобно рассматривать как характеристическую функцию проекциих) отношения R (Хх,... ...,Х〃) на Ui]X・・・xU% Таким образом,
R(X,j ・・・，XG = Pn)jR(XL ・・・，Xj на G]X・・・XU%, (2.12) или сокращенно
R(X4，…，XQ = PqR(X工，…,X)
где Pq обозначает операцию проектирования на и^х...*。%, q=(н> • • • >，也).
Пример 2.6. Для примера 2.3 получаем
R(Xi) = 7\R(Xl Х2) = {21,100}
R(Xz) =尸2R(Xi, Х2) = {1,80}.
Пр имер 2.7. На рис. 2.3 показаны ограничения на 〃i и %, индуцированные ограничением R (%, X?).
Другой способ описания проекций состоит в следующем. Будем рассматривать ограничение R (Хх, ...» X也)как отношение в UxX...xUn, и пусть </'= (/1, ..., jm) — дополнительная к q =* (ii, ...» 厶) последовательность индексов. Пусть R(£j ..., Xik I Ujv ..., uQ, или в более компактной записи R (X(g) \u{q^9 — ограничение в U^x…xU% при условии u/p ... ..., Ujm. Xарактеристическая функция этого условного ограничения определяется выражением
nr(х4，х% ] %,…，"/m)(",],...,〃/j =
=Kr(X],, x〃)伍，・• •，〃/?), (2.13)
или сокращенно [см. (2.10)]
KR(Xq 1〃“))(〃⑺)=Wr(X)(〃)，
i) Применяемый в литературе термин «проекция» несколько двусмыс* Лен, поскольку он может означать либо операцию проектирования, либо результат этой операции. Чтобы избежать подобной неоднозначности в случае нечетких отношений, мы будем иногда пользоваться термином тень [19] для обозначения отношения, являющегося результатом применения операции проектирования к другому отношению.
причем аргументы 〃/尸...» uJm входят в правую часть этого выражения как параметры. Тогда, несмотря на то, что характеристическая функция условного ограничения численно равна характеристической функции ограничения R (X】,...» Х〃), она определяет отношение в U^X-^xU%, а не в U工义...xUn・
Учитывая (2.9), (2.12) и (2.13), проекцию R (Хх, ...» Хд) на Ug><・・・XU% можно записать в виде
PqR (Хх, ..., Х〃)= U R(X“，・・・，Xik I Uj^ ..., и^.(2.14)
辽“)
причем знак |J обозначает объединение семейства ограниче-
нни R(X/j ..., X% I 〃/],・.・，〃/优)，г“е 〃(夕，)全(〃厶，• • •，"％)— набор параметров. Следовательно, (2.14) означает, что маргинальное ограничение R(X( ..., в 〃幺乂・・・乂〃“ можно выразить как объединение условных ограничений R(X(, ... • • • > X/, I с%,..., 〃/优)，т，е・
R(Xgj ・・・，Х%)= U R(Xgj ・・・，Х%|〃4，・.・，〃％), (2.15)
или сокращенно
R(x(g))=UR(x(g)l%，))・
Пример 2.8. Пусть & = 〃2纟{3, 5, 7, 9}, и пусть отношение R (Xi, Х2) характеризуется следующей матрицей. (В этой матрице элемент (% /) равен 1 тогда и только тогда-, когда
упорядоченная пара (t-й элемент из U、/-й элемент из с/2) принадлежит R (Хх, Х2). В сущности матрица отношения А представляет собой таблицу значений характеристической функции R.)
7? 3 5 7 9
35793579ооооооооОО 11ОО 11
3579
3579
оооо
оооо
ОО 11
ОО 11
В этом случае
R(Xi, X2|〃i = 3) = {7},
R(Xl X2|〃i = 5) = {3, 7},
R(X], X2|〃i = 7) = {3, 7, 9},
R(Xl X2|〃i = 9) = {3, 9}, и, следовательно,
R(X2)= {7}U{3, 7}U{3, 7, 9}U{3, 9}= = {3, 7, 9}.
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮ ЩИЕ И НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮ ЩИЕПЕРЕМЕННЫЕ
Основным понятием, которое нам понадобится в дальнейшем, является понятие взаимодействия двух или большего числа переменных — понятие, аналогичное понятию зависимости случайных величин. Пусть переменная X = (Xlt...» Хл) связана с ограничением R(Xi, ・・・, Х〃), которое индуцирует ограничения R(X】), ...,R(XJ на 〃i,, ип соответственно.
Введем /
Определение 2.9. Переменные Хх, …，Хп называются невзаимодействующими при ограничении R (Х^, X/ тогда
и только тогда, когда R (Х〔, ..., Х〃) сепарабельно, т. е.
R(Xi, ・・・，X〃) = R(X0x・・・xR(XJ (2.16) где для i = 1, п
7?(X/) = Proj/?(X1, Хл) на (// =
=U R(x/〃《));(2.17)
здесь и⑺乌 期 и 〃”)2 дополнение 〃》в (〃厶 〃J
Пример 2.10. На рис. 2.4,а представлены графически две невзаимодействующие переменные X】и Ха, ограничениями R (Х0 и R (Х8) для которых являются интервалы; в этом с л у-
чае R (Xi, X?) есть декартово произведение этих интервалов. На рис. 2.4, б ограничение R (Х^ Х2) — собственное подмножество множества 欠(Xi)xR(X2)и, следовательно, X】и X?— взаимодействующие переменные. Отметим, что в примере 2.3 переменные 文】и Х3 — взаимодействующие.
Рис. 2.4. а X] и Х2 ~невзаимодействующие переменные.
6 X] н Х2"" взаимодействующие переменные
Как будет показано в § 4 в более общем случае, если Xi, • •・, Хп — невзаимодействующие переменные, то п-арное уравнение назначения
(%i, хЛ) == (uj, • • • 9 〃/1)： R(Xj_, ••・，Х〃)(2.18)
можно разложить в последовательность 九 унарных уравнений назначения:
х^и^ R(X0,
尤2 = 〃2： R (Xz),(2 [9)
хЛ = ип* R (X)
где R (Х0, i = 1,…,% — проекция ограничения R (Хь ...» X/ на U” причем по определению 2.9
R(Xi, XQ=R(Xi)X・・・xR(XQ. (2.20)
В случае взаимодействующих переменных Хх, ..., Хп последовательность п унарных уравнений назначения принимает следующий вид [см. также (4.34)]:
%i = 〃i： R (Х0,
%2 = 〃2： R(X2〔〃1),@2])
%〃 = 〃〃： R(X九|〃i, ・..,〃九т),
где R (XgI 〃1,..., 〃卜i) обозначает индуцированное ограничение на uz при данных 〃i, ..., и^. Характеристическая функция
庆
Рис. 2.5 R (Х21 «О — ограничение на 〃？ при условии 每
этого условного ограничения выражается следующим образом [см. (2.13)]:
Н?(X/|% ...，"口)(〃0 = |^(X1，.…勺)("1,・・・，"t), (2.22) причем аргументы 〃力...» 〃卜i в правой части этого выражения играют роль параметров.
Замечание 2.10. Система (2.21) означает, что в случае взаимодействующих переменных, как только переменной хг назначено значение и1? ограничение на 〃2 становится зависимым от 〃1. Ограничение на и3 становится зависимым от значений, назначенных переменным л^ и х2, и, наконец, ограничение на ип становится зависимым от 〃i, ..., ип^. Более того, из (2.22) следует, что ограничение на 〃/ при заданных 〃】,... • ・・, U/_i по существу то же, что и маргинальное ограничение на 〃i, ..., uh при условии, что 〃力...» 〃，一i рассматриваются как параметры. Иллюстрацией этого служит рис. 2.5.
В аналогии с саквояжем (см. замечание 2.4) X】,・..,Хп — невзаимодействующие переменные, если дерегородки между
отделениями саквояжа, обозначенными через X】,..・,X九,не податливые. В этом случае то, что помещено в одном отделении, не влияет на предметы, которые можно поместить в другие отделения.
Если же перегородки между отделениями податливые, то переменные Хь ..., Хп становятся взаимодействующими в том смысле, что помещение какого-либо предмета, скажем 〃》, в X, влияет на то, что можно поместить в остальные отделения. С этой точки зрения последовательность унарных уравнений (2.21) есть описание того, каким образом помещение предметов 〃i, ...» 〃卜 1 в отделения Хъ ...» Х»т влияет на ограничение для отделения 火厶
Определяя понятия невзаимодействия, маргинального огра* ничения, условного ограничения и т. п. для обычных (не не* четких) переменных, мы ставили своей целью а) показать, что понятия, аналогичные понятиям статистической независимости, маргинального распределения, условного распределения и т. п. применимы также к неслучайным, не нечетким переменным; и б) получить основу для введения подобных понятий в случае нечетких переменных.
Прежде чем перейти к этим понятиям, мы рассмотрим некоторые свойства нечетких множеств и сформулируем принцип обобщения, который будет играть важную роль в дальнейшем изложении.
3 НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВАИ ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
Как мы увидим в § 4, нечеткая переменная X отличается от переменной в обычном смысле (не нечеткой) тем, что ей соответствует некоторое ограничение R (X), представляющее собой нечеткое подмножество универсального множества. Поэтому, прежде чем приступить к обсуждению понятия нечеткой переменной, рассмотрим некоторые характерные свойства нечетких множеств и сформулируем принцип обобщения, который позволяет расширить область определения преобразования или отношения в U, включив в нее наряду с точками из U произвольные нечеткие подмножества множества U.
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ!)
Нечеткое подмножество 4 универсального множества U характеризуется функцией принадлежности 世貝：U +[0, 1], которая ставит в соответствие каждому элементу 〃三 U число 卩貝(“) из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента и подмножеству Л).
Носителем нечеткого множества Л называется множество таких точек в U, для которых величина |хл (и) положительна. Высотой нечеткого множества Л называется величина sup 世貝(«).
Точкой перехода нечеткого множества / называется такой элемент множества U, степень принадлежности которого множеству Л равна 0.5.
Пример 3.1. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал [0,100], и переменная “，принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «возраст».
Нечеткое подмножество универсального множества U, обозначаемое термином《cmapbi® можно определить функцией принадлежности вида
'0при 0w〃w50,
НАW = Л . /м^50\-2\-1S 一(3.1)
(1+(—g—) ) при 50V 100.
В этом примере носителем нечеткого множества старый является интервал [50, 100], высота множества старый близка к 1, а точкой перехода является значение 〃 = 55.
Чтобы упростить представление нечетких множеств, мы будем использовать следующие обозначения.
Обычное (не нечеткое) конечное множество
U =, 〃/1}(3.2)
будем записывать в виде
U = %+ …+〃加(3.3)
или
U = 2 〃九(3・4)
/ = 1
где знак + обозначает объединение, а не арифметическое суммирование. Таким образом, запись (3.3) можно рассматривать как представление множества U в виде объединения составляющих его одноточечных множеств.
Обобщая (3.3), нечеткое подмножество А универсального множества U будем записывать следующим образом:
4 =阿〃 1 + ・・・ + |хл«л,(3.5)
или
п
4=2 М/，(3.6)
t = i
где 卩九 / = I, ..., п, — степень принадлежности элемента 〃/ нечеткому множеству 4 В случаях когда U/ —числа, может возникнуть двоякое толкование записи 卩》〃厶 связанное с невозможностью различить компоненты 卩》и щ. Чтобы избежать этого, будем разделять такие значения 卩/ и щ чертой:
А = Hi/Ui + ... + %/〃/и(3.7)
или
% = £ 卩J心.(3.8)
t = 1
Л. Заде«
Пример 3.2. Пусть U = {〃, 6, с, d}, или в принятых обозначениях
(7 = a + ь +e+ 丛(3.9)
В этом случае нечеткое подмножество Л универсального множества U можно записать в виде
Л = О.Зо + b + 0・9с + 0・5d,(3.10)
причем эта запись понимается вполне однозначно. С другой стороны, если
U = l+2+・・.+100,(3.11)
то во избежание неопределенностей А следует записать в виде
4 = 0.3/25 + 0.9/3.(3.12)
Пример 3.3. Если универсальное множество состоит из чисел от 1 до 10, т. е.
[/ = 1+…+10,.(3.13)
то его нечеткое подмножество, обозначаемое словом несколько、 можно определить следующим образом:
несколько = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8. (3.14)
Пример 3.4. В случае счетного универсального множества
1/ = 0+Ц-2+ ...(3.15)
нечеткое множество, обозначаемое словом малыйможно записать так:
ОО
малый = 2 (1 + 儒))7 〃・(3.16)
Подобно записи (3.3), запись (3.5) можно интерпретировать как представление нечеткого множества в виде объединения составляющих его нечетких одноточечных множеств 固〃二(или Kt/〃»・ Из определения операции объединения нечетких множеств [см. (3.34)] следует, что в случае, когда 〃尸〃〃 запись нечеткого множества А можно преобразовать следующим образом:
К制 + 同〃/ ==(R V Mv) 〃厶(3.17)
Так, например, запись
4 = 0・ Зо+0・8а + 0.5b(3.18)
можно преобразовать в
А = (0,3 V 0・8)а + 0.5^ = 0・8а + 0・5А(3.19)
Если носитель нечеткого множества Л имеет мощность континуума, то будем использовать такую запись:
А = \ М (〃)/〃，(3.20)
и
имея в виду, что 以(〃)一степень принадлежности элемента и множеству Л, а знак \ обозначает объединение нечетких одноточечных множеств 卩力(〃)/〃，〃三 U.
Пример 3.5. Пусть универсальное множество представляет собой интервал [0,100], а переменная 〃，принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как возраст. Тогда нечеткое подмножество, определяемое словом старый (функция принадлежности которого дается формулой (3.1)), можно записать как
100
старый =(1 + (■^2^)一)〜/(3.21)
50、
Отметим, что точкой перехода для этого нечеткого множества, т. е. значением и, для которого
^старый (“)= 0.5,(3.22)
является и = 55.
Будем говорить, что нечеткое множество Л нормально, если его высота равна единице, т. е.
sup |хд (w) = 1.(3.23)
В противном случае нечеткое подмножество Л субнормально. Так, нечеткое множество старый, определяемое формулой (3.21), нормальнох), нормально и нечеткое множество несколько, определяемое формулой (3.14). С другой стороны, нечеткое подмножество не малое и не большое универсального множества t/= 1 4-2+ .+10, имеющее вид:
не малое и не большое = 0.2/2 4- 0.3/3 +
+ 0.4/4 + 0.5/5 + 0.4/6 + 0.3/7 + 0.2/8 (3.24)
субнормально. Следует отметить, что субнормальное нечеткое множество можно нормировать, поделив функцию 世幺 на величину sup卩4(").
Нечеткое подмножество универсального множества U может быть подмножеством другого нечеткого или обычного подмножества т) множества Л. Более точно, 4 есть подмножество В или содержится в В тогда и только тогда, когда 卩幺(“)V 卩в (〃) для любого 〃三 U, т. е.
4 и 8 о 卩а (〃)V 卩в (〃)， 〃三 U.(3.25)
Пример 3.6. Если
JJ = a + b^c + d,
А = 0・5о + 0.8 匕 + 0.3d,(3.26)
B = Q.7a + b + Q.3c + d, то Ad В.
МНОЖЕСТВА УРОВНЯ НЕЧЕТКОГО ПОДМНОЖЕСТВАУНИВЕРСАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА
Множеством a-уровня нечеткого множества Л является множество (в обычном смысле) 4a всех таких элементов универсального множества U, степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна а:
•4а = {«I На (〃) N а}・(3.27)
Нечеткое множество 4 можно следующим образом разложить по его множествам уровня):
1
A=\aAat(3.28)
о
или
A^^aAat(3.29)
где аЛа — произведение числа а на множество 4a (в смысле
а , или £ I — знак объединения множеств Ла по а 0 \ а /
от 0 до 1.
Разложение (3.28) или (3.29) можно рассматривать как результат группирования членов выражения (3.5) по подмножествам, каждое из которых соответствует определенному множеству уровня. Допустим, например, что нечеткое множество А имеет вид
Д = 0.1/2 + 0.3/1 + 0.5/7 + 0.9/6 + 1/9.(3.30)
То есть нечеткого подмножества с функцией принадлежности, принимающей значения 0 или 1 . — Прим ред.
Тогда, используя (3.17), А можно представить следующим образом:
4 = 0.1/2 + 0.1/1+0.1/7 + 0.1/6 + 0.1/94+ 0.3/1 + 0.3/7 + 0.3/6 + 0.3/9 + + 0.5/7+ 0.5/6+ 0.5/9 +
+ 0.9/6+ 0.9/9+、
+ 1/9, или
Л = 0.1 (1/2+I/I + 1/7+ 1/6 + 1/9) 4-
+ 0.3(1/1 + 1/7+1/64-1/9) +
+ 0.5(1/7 4-1/64-1/9) +
+ 0.9 (1/6+ 1/9) +
+1 (1/9),(3.31)
т. е. в виде (3.29) с множествами уровня [см. (3.27)]
Л0.1 = 2+1+7 + 6 + 9,
= 1 + 7 + 6 + 9,
Ло.б = 7 + 6 + 9,(3.32)
= 6 + 9, Д1 = 9.
Как будет показано в последующих параграфах, разложение по множествам уровня в комбинации с принципом обобщения удобно для обобщения различных понятий теории обычных множеств на нечеткие множества. Такое обобщение лежит в основе многих из приведенных ниже определений.
ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
Ниже приведены некоторые из основных операций, которые Можно осуществлять над нечеткими множествами.
Дополнение нечеткого множества 4 обозначается символом ~| Л (или иногда 4') и определяется следующим образом:
\ (1一陷(〃))/〃•(3.33)
Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Так, например, если А — название нечеткого множества, то 《не 4》понимается как ~| А (см. пример 3.8).
Объединение нечетких множеств А и В обозначается 4 + В (или, что более привычно, Д J ^) и определяется еле-
дующим образом:
▲ + В = \(К4(〃)V 卩в (〃))/〃・(3・34)
и
Объединение соответствует логической связке《или》. Так, если, например, Л и В — названия нечетких множеств, то запись «Л или В》понимается как А + В.
Пересечение 4 и В обозначается 4 rls и определяется следующим образом:
Д П В = J (На (^) Л 卩в (〃))/〃・(3.35)
и
Пересечение соответствует логической связке «и», т. е.
4 и В = ЛПВ.(3.36)
Замечание 3.7. Следует иметь в виду, что
V (2 max) и - Д (4 min)
—не единственные операции, посредством которых можно определить операции объединения и пересечения (по этому вопросу см. [25] и [26]). В связи с этим важно отметить, что если операция 《и》определяется с помощью операции min, как в (3.36), то она является «жесткой» в том смысле, что в ней недостаточно учитываются функции принадлежности обоих множеств г). В противоположность этому операция《и》, определяемая с помощью арифметического произведения, как в (3.37), является «мягкой». Какое из этих двух, а возможно, и других определений является наиболее подходящим, зависит от смысла, вкладываемого в эту операцию в каждом конкретном случае.
Произведение Л и В обозначается АВ и определяется формулой
/в 匸 § 財(“)卩8 (〃)/〃・(3.37)
и
Таким образом, любое нечеткое множество Ла, где а — положительное число, следует понимать так:
肥=,(財(“у/”.(3.38)
и
Крайним случаем такого определения является пересечение нечетких множеств Л и В, таких, что А и В, т. е.
卩4 ⑴ V 卩в (х) V г е X.
При этом
卩 4 fl8(Х)=卩4(X)Y XWB,
т. e. функция принадлежности множества В фактически не участвует в этом определении. —Прим, ред
Аналогично, если а — любое неотрицательное число, такое, что a sup 卩4 (“)W 1, то
а4 = , а卩a (〃)/〃•(3.39)
и
Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.38)] являются операция концентрирования, определяемая следующим образом
CON (Д) = Л2,(3.40)
и операция растяжения
В1Ь(Л) = Л°Л(3.41)
Как будет показано в § 6, операции концентрирования и растяжения полезны в представлении лингвистических неопределенностей.
Пример 3.8. Если
U=l+2+ …+10,
4 = 0.8/3+ 1/5 +0.6/6,(3.42)
В = 0.7/3+1/4 +0.5/6, то
】4 = 1/1 + 1/2 4- 0.2/3 + 1/4 4- 0.4/6 + 1/7 +
+ 1/8+1/9+1/10,
А + В = 0.8/3 4-1/4+1/54- 0.6/6,
4nB = 0.7/3 +0.5/6,
ЛВ = 0.56/3+ 0.3/6,(3.43)
匿=0.64/3+1/5+ 0.36/6,
0.4Л = 0.32/3 + 0.4/5 + 0.24/6,
CON (В) = 0.49/3 + 1/4 + 0.25/6,
DIL (В) = 0.84/3 + 1/4 + 0.7/6.
Если Дх, ... ,• Ап — нечеткие подмножества универсального множества U, а шх, ..., шл — неотрицательные весовые коэффициенты, сумма которых равна 1, то выпуклой комбинацией нечетких множеств 4Ь Ап называется нечеткое множество Л с функцией принадлежности вида
Ид =侬码％ +・・・+侬4Mzp(3.44)
где знак + означает арифметическое суммирование. Понятие выпуклой комбинации полезно в представлении таких лингви*
стических неопределенностей, как существенно, типично и т. п. [27].
Пусть 41,・・・,Ап — нечеткие подмножества универсальных множеств U^ ..., Un соответственно. Декартово произведение этих подмножеств обозначается Дхх ... хАп и определяется как нечеткое подмножество множества UiX ・・・ xUn с функцией принадлежности
卩％ х ... х Лд (〃i,・♦・，〃九)=К& (〃i) Л • • • Л 卩/几(〃 J (3.45)
Таким образом [см. (3.52)],
"1X ・・・ X Ап =， (卩4 (〃i) /\ • • • А ИArt (〃/i))/(〃i, • • •, 〃/1).
и】X • •» хи九
(3.46)
Пример 3.9. Если [/1== [/2 = 3 + 5 + 7, 4 = 0.5/3+1/5 + + 0.6/7 и 4= 1/3 +0.6/5, то
Л1ХЛ2== 0.5/(3,3) + 1/(5,3) + 0.6/(7,3) + 0.5/(3,5) +
+ 0・6/(5,5) + 0.6/(7,5). (3.47)
Оператор увеличения нечеткости используется обычно для преобразования обычного (не нечеткого) множества в нечеткое или для увеличения нечеткости нечеткого множества. Так, результатом действия оператора увеличения нечеткости F на нечеткое подмножество Л множества U является нечеткое подмножество F (Л; К) вида
F(4; Q=，卩4(〃)К (端(3.48)
и
где нечеткое множество К (и) является ядром оператора 尸,т. е. результатом действия оператора F на одноточечное множество 1/〃：
K(〃) = F(l/〃； К)；(3.49)
Ил (^) К (w) — произведение (в смысле определения (3.39)) числа |1貝(〃)и нечеткого множества К (以),а § —знак объединения семейства нечетких множеств 卩％ (〃)К⑷，〃 w U. В сущности выражение (3.48) аналогично интегральному представлению линейного оператора, в котором К (и) играет роль импульсной переходной функции.
Пример 3.10. Пусть Uf А и ^ (и) определены следующим образом:
U = l+2 + 3 + 4,
Д = 0.8/1 +0.6/2,
К⑴=1/1+0.4/2,(3.50)
К⑵= 1/2 + 0・4/1+0.4/3・
Тогда
尸(/ ； К) = 0.8 (1/1 + 0.4/2)+ 0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3)=
=0.8/1 + 0.6/2 + 0.24/3.(3.51)
Операция увеличения нечеткости играет важную роль в определении таких лингвистических неопределенностей, как более или менее, слегка, несколько (в какой-то степени), много и т. д. Например, если класс положительных чисел обозначить символом: Л А положительный, тогда словосочетание слегка положительный является названием нечеткого подмножества множества действительных чисел, функция
Рис 3 1. Функции принадлежности значений положительный и слегка положительный
принадлежности которого имеет вид, показанный на рис. 3.1. В этом случае нечеткое понятие слегка есть оператор увеличения нечеткости, который преобразует нечеткое множество положительный в нечеткое множество слегка положительный. Однако не всегда возможно выразить результат действия оператора увеличения нечеткости в форме (3.48), причем оператор слегка как раз и представляет такой случай. Более подробное обсуждение этого и других вопросов, связанных с этим оператором, можно найти в [27].
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Если U — декартово произведение п универсальных множеств Ui，•…，и〃, то n-арное нечеткое отношение R в U определяется как нечеткое подмножество универсального множества U. Как и в (3.20), R можно представить в форме объединения составляющих его нечетких одноточечных множеств 卩r(〃i,.・・ .•., 〃九)/("1, • • • , "/г), T.巳
R= \卩R (以 1, • • • , 〃/г)/(〃1, • •・，^n)>(3.52)
%X …X U n
где ^ — функция принадлежности нечеткого множества R・
123 4123 4ООО оООО о30.0 о о30.0 о оОО о оОО о о1.8В")0.3 о(厶 /)-й элемент которой есть значение 卩r/〃l w2) для i-ro значения 〃i и /-го значения и2.Если R — отношение U f 丿(или, что то же самое, отношение в [/ х V), a S ~ отношение V -^W, то композицией R и S является нечеткое отношение U-^W, обозначаемое R。S и определяемое формулой 1)R。S = \ V (世r(〃，S A Ns(6 3))/(〃，侬).(3.55)uxw vЕсли U, V и W — конечные множества, то матрица отношения R。S есть максминное произведение2) матриц отношений R н S. Пример такого максминного произведения:R S R°S"0.3 0.80.6 0.91.8В")0.3 о(厶 /)-й элемент которой есть значение 卩r/〃l w2) для i-ro значения 〃i и /-го значения и2.Если R — отношение U f 丿(или, что то же самое, отношение в [/ х V), a S ~ отношение V -^W, то композицией R и S является нечеткое отношение U-^W, обозначаемое R。S и определяемое формулой 1)R。S = \ V (世r(〃，S A Ns(6 3))/(〃，侬).(3.55)uxw vЕсли U, V и W — конечные множества, то матрица отношения R。S есть максминное произведение2) матриц отношений R н S. Пример такого максминного произведения:R S R°S"0.3 0.80.6 0.90.5 0.910.4 0.810.5 0.910.4 0.810.4 10.4 10.5 0.90.5 0.9(3.56)(3.56)
123 4
123 4
ООО о
ООО о
3
0.0 о о
3
0.0 о о
ОО о о
ОО о о
1.8В")
0.3 о
(厶 /)-й элемент которой есть значение 卩r/〃l w2) для i-ro значения 〃i и /-го значения и2.
Если R — отношение U f 丿(или, что то же самое, отношение в [/ х V), a S ~ отношение V -^W, то композицией R и S является нечеткое отношение U-^W, обозначаемое R。S и определяемое формулой 1)
R。S = \ V (世r(〃，S A Ns(6 3))/(〃，侬).(3.55)
uxw v
Если U, V и W — конечные множества, то матрица отношения R。S есть максминное произведение2) матриц отношений R н S. Пример такого максминного произведения:
R S R°S
"0.3 0.8
0.6 0.9
1.8В")
0.3 о
(厶 /)-й элемент которой есть значение 卩r/〃l w2) для i-ro значения 〃i и /-го значения и2.
Если R — отношение U f 丿(или, что то же самое, отношение в [/ х V), a S ~ отношение V -^W, то композицией R и S является нечеткое отношение U-^W, обозначаемое R。S и определяемое формулой 1)
R。S = \ V (世r(〃，S A Ns(6 3))/(〃，侬).(3.55)
uxw v
Если U, V и W — конечные множества, то матрица отношения R。S есть максминное произведение2) матриц отношений R н S. Пример такого максминного произведения:
R S R°S
"0.3 0.8
0.6 0.9
0.5 0.910.4 0.81
0.5 0.910.4 0.81
0.4 1
0.4 1
0.5 0.9
0.5 0.9
(3.56)
(3.56)
Распространенными примерами (бинарных) нечетких отношений являются много больше чем, имеет сходство, имеет отношение, близко ^ и т. д. Например, если lh = Uz = =(—оо, оо), то отношение близко к можно определить следующим образом:
близко к 4 \ е-ам-м/м，匆)， (3.53) 一 6Л Xu2
где а — масштабный коэффициент. Аналогично, если Ui — U^^ =1+2 + 3 + 4, то отношение много больше чем можно определить матрицей отношения
RR34
R
R
ПРОЕКЦИИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Если R есть n-арное нечеткое отношение в U^x ... xU〃, то его проекция (тень) на U〃x ... хUik есть Парное нечеткое отношение Rq в U, которое определяется следующим образом
(ср・ с (2.12)):
R/ProjR на U“x ・・・(3.57)
QPqR 冬
где <7 — последовательность индексов (&,・・・，％)； 〃句)纟(〃“，・・* • ・・，〃〃)；/ — дополнение q; а
V“R(〃L ・・・， 〃J = supnr(〃l・・・,〃)
где верхняя грань берется по значениям всех тех 〃/, которые входят в и(『卜 Следует отметить, что если R — обычное (не нечеткое) отношение, то (3.57) сводится к (2.9).
Пример ЗЛ1. Для нечеткого отношения, определенного матрицей отношения (3.54), имеем
&= 1/1+0.8/2 +0.3/3 и
/?2 = 0.3/2+ 0,8/3+1/4.
Ясно, что различные нечеткие отношения в Jx…xU^ могут иметь идентичные проекции на U^x.^xU^. Однако для дан- ного нечеткого отношения Rq в U厶x.・・xU% существует един* ственное наибольшеех) отношение в UiX.-xU%, проекция которого на Uf[X・・・xU% есть &. Из (3.57) следует, что функ* цня принадлежности отношения Rg имеет вид
卩％("1，…，〃厶)=NRg (〃q, • • •, 〃Q,(3.58)
при этом следует учитывать, что равенство (3.58) справедливо для всех 〃力 …，以，таких, что 厶・й,・・・g 勿й аргументы % Равны соответственно первому, второму...々・му аргументу 卩％• Отсюда следует, что значение функции % в точке (〃l •・,・,〃〃)равно значению этой функции в точке (山,... ・•・, 〃〃), если только 〃厶=〃力,...,〃%= 〃{・ Исходя из этого будем называть отношение R。цилиндрическим продолжением отношения Rq、причем само RQ является основанием отношения R。(см. рис. 3・2)・
I) То есть отношение, содержащее все другие отношения, проекции которых на U&X…XU“ равны Rq.
Предположим, что R есть n-арное отношение в <Лх.・・ ・・・xU%, Rg —его проекция на U&x.・・xU%, а ^ — цилиндрическое продолжение отношения Rq. Поскольку R, — наиболь- шее_отношение в t/ix...xf7n, проекция которого равна Rq、 то Rg удовлетворяет отношению вложенности
R и 凡(3.59)
для всех g и, следовательно,
RuRq,nRQ・.nRqr(3.60)
для произвольных 01,.・・,qr (подпоследовательностей индексов из (1,…，〃))•
3 основание %
Рис. 3.2. &—основание цилиндрического множества Ri・
В частности, если положить gi=l, ..., g，= /x, то выражение (3.60) примет вид
Ки8пП2П・・・П8,(36)
гд^ Ri, ..., /?я — проекции R на Ulf ..., Un соответственно, a Ri, ...,友％— их цилиндрические продолжения. Но из определения декартова произведения [см. (3.45)] следует, что
8П・・・ПН〃 = К1Х・・・хК〃,(3.62)
откуда вытекает
Предложение 3.12. Если R есть пиарное нечеткое отношение в 厶又…乂力 и Ri, .・・, Rn — его проекции 阳 几 ・・・，U〃，团。(см. рис.3.3)
R uRiX…xRn.(3.63
С помощью понятия цилиндрического продолжения можн( дать интуитивную интерпретацию композиции нечетких отно шений. Так, предположим, что R и S —бинарные нечетки!
отношения в tAx% и U2xU3 соответственно. Пусть R н S — цилиндрические продолжения R и S в UixUzXU?* Тогда из определения композиции R-S (см. (3.55)) следует, что
RoS = Proj R П S на Ui х(3.64)
Если R н S таковы, что
Proj R на U2 = ProjS на U?、(3.65)
то ^Г|5 становится соединением') R и S. Основное свойство соединения R н S можно сформулировать следующим образом.
Рис. 3.3. Декартово произведение и пересечение цилиндрических множеств.
Предложение 3.13. Если R 〃 S —^ечеткие отношения 8 U'XUz 〃 U2XU3 соответственно, а ^ Q 5 — соединение R и S, то_ _
R = Proj Й{\8 на(Л х &(3.66)
и_ _
S = Proj R Г) S на а X 〃з・(3.67)
Таким образом, R и S можно восстановить, зная соединение R 〃 S.
Доказательство. Пусть 釈 и 卩s обозначают функции принадлежности нечетких отношений R и S соответственно. Тогда правые части выражений (3.66) и (3.67) можно записать в виде
V (Kr(〃l 〃2)Л Ks(〃2, 〃з)),(3.68)
V (釈伍1, 〃2)Л Ks(〃2,以з))・(3.69)
1) Понятие соединения (join) обычных (не нечетких) отношений введено в работе [28].
В силу дистрибутивности и коммутативности операций V и Д,
(3.68) и (3.69) можно переписать в виде
Kr(〃l %) А (у 卩S(〃2, 〃8))
(3.70)
И
网(〃2, 〃8)А & 卩R(〃l, 〃2))・
(3.71)
Более того, из определения соединения следует (3.65) и, значит,
равенство
V Nr(〃i, 〃2)= V “S(〃2, 〃8)・ 必"3
(3.72)
Из этого равенства и определения операции V получаем
釈(〃L 〃2)V\J Nr 31, 〃2)= V Ns (〃2, 〃з)
(3.73)
и
財(〃2, 〃з) V V Ms 他，啕=V 限(〃l 〃2)・
Следовательно,
(3.74)
跳（"L 〃2）A（yKS（"2, "8））=跳（〃1, "2）
(3.75)
и
Ms(〃2, 〃3)A(yKR(〃L 〃2)) = KS(〃2, 〃)
(3.76)
что и означает выполнение (3.66) и (3.67). Предложение доказано.
Основное свойство проекций, которое нам понадобится в § 4, следующее.
Предложение 3.14. Если R — нормальное отношение (см. (3.23)), то и каждая из его проекций — нормальное отношение.
Доказательство. Пусть R есть n-арное отношение в U1x...xUn, и пусть 凡一его проекция (тень) на U“ х… ・・.xU% где g =(厶,...» &)• Поскольку R нормально, то, согласно (3.23), имеем
V Kr(〃l •••, 〃戒) = 1,(3.77)
(厶，…，/)
или в сокращенной записи
V Kr(〃) = Lи
С другой стороны, по определению Rg [см. (3.57)]
卩勺(勺，・・・，〃％)= V卩R(〃I, ・・・，〃)
или
跳⑷)=V卩R⑷，
и, следовательно, высота Rq равна
VNRg(〃(g))= V V Nr (")(3.78)
"⑷"g)"("
=V卩R®=L
Предложение доказано.
ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения U отображения или отношения, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества U. Более конкретно, предположим, что / — отображение U~> 匕 а Л — нечеткое подмножество вида
А =卩i〃i +・・・+卩% 〃加〈3.79)
Тогда принцип обобщения утверждает, что)
f (4) = / (卩i〃i + ・・• + 此〃/О = Rif (〃0 + ・・・ + %〃〃/• (3.80)
Итак, образ множества 4 при отображении / можно получить, зная образы элементов «х, ..., ип при этом отображении.
Пример 3.15. Пусть
'U=l+2 +…+10,
и пусть / — операция возведения в квадрат. Пусть малый — нечеткое подмножество множества U вида
малый =1/1 + 1/2+ 0.8/3 +0.6/4 +0.4/5.(3.81)
Тогда, учитывая (3.80), имеем)
малый2 = 1/1 + 1/4 + 0.8/9 + 0.6/16 + 0.4/25.(3.82)
Если носитель подмножества А имеет мощность континуума, т. е.
4 =，“貝(〃)/〃，(3.83)
то принцип обобщения принимает следующий вид
f(A)=^f^ нд (〃)/〃)三 \ На (〃力(吟 (3.84)
при этом необходимо учитывать, что / («) — точка множества V, а 財(и) — степень принадлежности / (и) нечеткому подмножеству / (Л) множества V.
В некоторых случаях удобно использовать принцип обобщения в другой форме, которая получается из выражения (3.84) путем разложения 4 не на одноточечные нечеткие множества, а на соответствующие ему множества уровня [см. разложение (3.28)]. Таким образом, написав
1
Л =^аЛа,(3.85)
о
где Да — соответствующее Л множество а-уровня, получим принцип обобщения в следующей форме:
/⑷= 三儲(4)(3.86)
если носитель Л — континуум, или •
f^^f/^aA^^afiA^(3・87)
\ а / а.
если либо носитель множества А — счетное множество, либо множества уровня, соответствующие Д, образуют счетное, семейство.
Замечание 3.16. Принцип обобщения в форме (3.84) позволяет расширить область определения U отображения /, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества U. Принцип обобщения в форме (3.86) позволяет расширить область определения отображения /, включив в нее наряду с обычными (не нечеткими) подмножествами U произвольные нечеткие подмножества U. Следует подчеркнуть, что выражения (3.84) и (3.86) эквивалентны, поскольку (3.86) вытекает из (3.84), если перегруппировать члены в разложении множества Л.
Замечание 3.17. Принцип обобщения аналогичен принципу суперпозиции для линейных систем. Согласно последнему, если L — линейная система и и* ..., un — входные сигналы, то откликом системы L на любую линейную комбинацию
Q=侬1〃1 + ...十侬""小
(3.88)
где Wi — постоянные коэффициенты, является
厶(〃)=厶(g〃i + ・・・ + wnUn)=耽厶(〃i) + ・・• + wnL (〃 J (3.89) Существенное различие между (3.89) и (3.80) состоит в том, что в (3.80) знак + обозначает объединение, а не арифметическую сумму, и / не ограничивается только линейными ото- бражениями.
X
1
2
3
4
1V2
2V4
1
1
2
3
4
W2
2V4
2
2
4
6
8
2V4
4V8
3
3
6
9
12
3V6
6V12
4
1
8
12
16
4V8
8V16
1V2
1V2
2V4
3V6
4V8
1V2V4
2 V4 V8
3V5V6 х
2V4V6
6V10VU
12V20V24
18V30V3S
6V10V12Vl8 V20V24V30V36
Рис. 3.4, Обобщение таблицы умножения намножества целых чисел; 1V2 обозначает 1или 2
Замечание 3.18. Следует заметить, что, когда А = =〃i + •・・ + 〃九,результат применения принципа обобщения аналогичен результату образования n-кратного декартова произведения алгебраической системы (U, /) самой на себя. Обобщение таблицы умножения на подмножества чисел показано на рис. 3.4.
Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция п переменных f: U^x... ...X^n~> V и нечеткое множество (отношение) Л в U工乂…xUn, характеризующееся функцией принадлежности 卩厶(〃力..., 〃〃),
где Ui^Ui, i=l, ..・,п. Непосредственное применение принципа обобщения (3.84) в этом случае дает
f (4) = f (，n貝("1, • • ., "九)/("1.,...，〃/1)) n
\u1x...xun/
=，|Va (〃i, • • •, "〃)/f (〃i, • • •, 〃/1)；(3.90)
однако во многих случаях нам известно не само множество Д, а его проекции 4,…，Ап на 4, ..., Un соответственно (см. (3.57)). В связи с этим возникает вопрос: какое выражение для |хл следует использовать в (3.90)?
В таких случаях, если особо не оговорено, будем предполагать, что функция принадлежности отношения А имеет вид
к貝(^i, • • •, 〃/1)=卩4 (〃i) Л 卩人(〃2)Л» • 'Л ри% (〃/О, (3.91) где 卩4j, / = I, ..., n —функция принадлежности отношения 4g. Если учесть равенство (3.45), то (3.91) эквивалентно предположению о том, что Л — декартово произведение своих проекций, т. е.
Л = Л1Х*. .X Лл,
откуда в свою очередь следует, что Л — наибольшее множество, проекции которого на иъ ..., Un суть 4], ...» Ап соответственно (см. (3.63)).
Пример 3.19. Предположим, что, как и в примере 3.15, Ui = [；2= 1 + 2 + 3 + ...+ 10
и
4 = 22 примерно 2= 1/2+ 0.6/1+0.8/3,(3.92)
Л2 = 6 А примерно 6= 1/6+ 0.8/5 +0.7/7,(3.93)
/(〃i, «2) = «1X ^2 = арифметическое произведение 〃】и 〃®.
Используя (3.91) и применяя принцип обобщения в форме (3.90), имеем
2х6 = (1/2 + 0.6/1 + 0.8/3) X (1 /6 + 0.8/5 + 0.7/7)=
' ~ = 1/12 + 0.8/10 + 0.7/14 + 0.6/6 + 0.6/5 +
+ 0.6/7 + 0.8/18 4- 0.8/15 + 0.7/21 =
=0.6/5 + 0.6/6 + 0.6/7 + 0.8/10+ 1/12 +
+ 0.7/14 + 0.8/154- 0.8/18 + 0.7/21.(3.94)
Таким образом, арифметическое произведение нечетких чисел примерно 2 и примерно 6 есть нечеткое число? выраженное формулой (3.94).
Вообще пусть символ * обозначает некоторую бинарную операцию, определенную на U х 匕 со значениями в 取.Так, если 〃三 U и。巨 V, то
Предположим теперь, что А и В — нечеткие подмножества множеств U и V соответственно, причем
4 = Ki〃i + ・・・ + lW^
и(3.95)
8 =支以+…+ %%.
Используя принцип обобщения и предполагая, что выполняется равенство (3.91), операцию * можно обобщить на нечеткие подмножества множеств U и 匕 определив отношение
4*8 =芋 К叫* g 师/)=力(山 Л W) (〃 J 崂.(3.96)
Легко проверить, что в случае, когда Д = 2, 8 = 6 и * = х, как в примере 3.19, применение выражения (3.96) приводит к выражению для 2x6.
Замечание 3.20. Важно отметить, что применимость (3.96) зависит существенным образом от предположения (3.91), т. е. от того, верно ли равенство
К4в(〃，и) = К4(〃)Л 跳(。)・
Следствием этого равенства является то, что и и о — невзаимо* действующие переменные в смысле определения 2.9. Если же существует ограничение на (и, и), которое выражается отношением R с функцией принадлежности 世欠，то выражение для Л * В имеет вид
4*8 =停卩也)*停v成f] R =
=2 (闷 А V/ A Nr (〃厶 и》也i * s)・(3.97)
Заметим, что если R — обычное (не нечеткое) отношение, то правая часть (3.97) будет содержать только те члены, которые удовлетворяют ограничению R.
Простой иллюстрацией случая, в котором и и и — взаимодействующие переменные, служит выражение
侬= zx(«r + y),(3.98)
в котором арифметическое суммирование обозначено знаком +, а арифметическое произведение — знаком Х・ Если xt у и г —
невзаимодействующие, то мы можем применить принцип обобщения в форме (3.96) для вычисления 4x(8 +С), где Л, В и С — нечеткие подмножества действительной прямой. С другой стороны, если (3.98) переписать в виде
® = zx% + zxy, то члены гхх и гху — взаимодействующие благодаря наличию в них общего множителя г и, следовательно,
Ах(В + С)^АхВ + АхС.(3.99)
Из этого факта можно сделать важный вывод о том, что произведение нечетких чисел не дистрибутивно, если оно вычисляется по формуле (3.96). Чтобы получить равенство в (3.99), мы можем применить принцип обобщения в форме (3.96) к левой части (3.99) и должны применить его обязательно в форме (3.97) к правой части (3.99).
Замечание 3.21. Принцип обобщения можно применять не только к функциям, но также и к отношениям, или, что эквивалентно, к предикатам. Мы не будем останавливаться здесь на этом вопросе, так как применение принципа обобщения к отношениям не играет значительной роли в этой работе.
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА С НЕЧЕТКИМИ ФУНКЦИЯМИПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Причиной рассмотрения нечетких множеств с нечеткими функциями принадлежности служит близкая связь, которая существует между понятием лингвистической истинности с такими значениями, как истинно, вполне истинно, очень истинно, более или менее истинно и т. п., с одной стороны, и нечеткими множествами, степень принадлежности которым описывается такими лингвистическими терминами, как низкий, средний, высокий, очень низкий, не низкий а не высокий и т. п. — с другой.
Итак, предположим, что Л — нечеткое подмножество универсального множества U, а значениями функции принадлежности могут * быть нечеткие подмножества интервала [0, 1]. Чтобы отличить такие нечеткие множества от нечетких подмножеств, рассмотренных ранее, будем называть их нечеткими множествами типа 2, а нечеткие множества, функции принадлежности которым являются отображениями t/~> [0, 1], — нечеткими множествами типа 1. Введем более общее
Определение 3.22. Нечеткое множество есть множество типа п, /1 = 2, 3, если значениями его функции принадлежности являются нечеткие множества типа n— 1. Функция
принадлежности нечеткого множества типа 1 принимает значения из интервала [0, 1].
Чтобы определить такие операции, как дополнение, объединение, пересечение и т. п. для нечетких множеств типа 2, естественно использовать принцип обобщения. Удобно, однако, выполнить это в два этапа: сначала обобщить соответствующие определения для множеств типа 1 на нечеткие множества с функциями принадлежности, значениями которых являются интервалы, а затем, используя принцип обобщения в форме множеств уровня (3.86), перейти от интервалов к нечетким множествам〉、
Ниже этот метод иллюстрируется на примере обобщения на нечеткие множества типа 2 понятия пересечения, которое определено выше (см. (3.35)) для нечетких множеств типа 1.
Отправной точкой является выражение для функции принадлежности пересечения Л и В, где 4 и В — нечеткие подмножества типа 1 множества U,
Мпв (〃) = Ид (〃)А Нв (吟 〃已 U・
Если |хл (^) и |хв (и) — интервалы в [0, 1], а не точки в [0, 1], т. е. если для фиксированного 〃
нA (我)=[%,闻，林8 (")=[瓦，，2]，
где а】，“2,瓦，％2 зависят от и, то, применив принцип обобщения (3.86) к функции Д (min), получаем)
[%,勾Л电，匕2】 = [〃1 Л瓦，〃2 Л匕2】・(3.100)
Таким образом, если значения функций принадлежности подмножеств А и В — интервалы в [0, 1], как показано на рис. 3.5, то пересечение этих множеств описывается функцией принадлежности, значения которой (интервалы) для каждого и даются формулой (3.100).
Рассмотрим теперь случай, когда для каждого “ множества 卩貝(〃)и р,в (и) — нечеткие подмножества интервала [0, 1]. Для простоты предположим, что эти подмножества выпуклы. т. е. множества уровня — интервалы. Другими словами, будем
Рис. 3.5. Пересечение нечетких множеств, значениями функций принадлежности которых являются интервалы.
Рис. 3.6 Множества уровня нечетких функций принадлежности n4и也.
предполагать, что для каждого aw (0, 1] множества а-уровня нечетких подмножеств Д и В описываются функциями принадлежности 威,崂,значениями которых являются интервалы (см. рис. 3.6)1).
1) Точное определение функций 財 и 曲 приведено ниже [см. (3.101) и (3.102)]. —/7рил<, р疝
Применяя принцип обобщения в ф рме (3.86) к множествам a-уровня нечетких подмножеств А и В, придем к следующему определению пересечения нечетких множеств типа 2
Определение 3.23. Пусть Л и В — нечеткие подмножества типа 2 множества U, такие, что для каждого и ^U множества 出貝(〃)и (хв (〃) 一 выпуклые нечеткие подмножества типа 1 интервала [0, 1], т. е. для каждого aw(0, 1] множества a-уровня нечетких функций принадлежности |хл (и) и 財(〃)описываются функциями принадлежности 吟 и 處，значения которых суть интервалы.
Обозначим множество a-уровня нечеткой функции принадлежности пересечения Л и В через 成侔，причем множества a-уровня 成 и 曲 определяются для каждого и следующим образом:
財 2{оI匕⑼Na},(3.101)
隰 2 {屮в ⑺ Na},(3.102)
где гл (и) “в ®)) обозначает степень принадлежности точки и 三[0, 1] нечеткому множеству 卩^色)(2в(〃))・ Тогда для каждого и
Ндрв = Нл Л 崂，(3.103)
Другими словами, множество a-уровня нечеткой функции принадлежности пересечения Л и В есть минимум (в смысле определения (3.100)) множеств a-уровня нечетких функций принадлежности подмножеств А и В. Используя разложение (3.28), |хлп^ можно выразить в виде
1
|Мпв =\。(阳 А 啕.(3.104)
о
Рассмотрим случай, когда носители нечетких множеств 財， (лв —конечные множества, т. е.財 и 卩口 представимы в виде
同=融力+・・・+加％, Vi e[0, 1],/=1, ..., n (3.105)
и
Нв = Pl^l + - • • + Pm^m,吗三[0, 1], / = 1, . .. , //I. (3.106)
Здесь a； и p； — степени принадлежности s и 幼 множествам 阳 и 卩冃 соответственно. Применяя принцип обобщения в форме (3.96) к операции Д (min), получим требуемое выраженц^
ДЛЯ 卩4ng 1)：
НДПв = Нл А 卩3 = (ai”++«〃％) Д (伝侬 1++ 阮侬加)=
=2(%・八6)也八叫＞.(3.Ю7)
Пример 3.24. Проиллюстрируем равенство (3.104), предположив, что в точке и степени принадлежности и множествам Л и В обозначаются как высокий и средний соответственно, причем термины высокий и средний определяются как нечет- кие подмножества множества Y = 0 + 0.1+0.2+.・.+1 выражениями:
высокий = 0.&0.8 + 0.8/0.9 + 1/1(3.108)
средний = 0.6/0.4 + 1/0.5 + 0.6/0.6.(ЗЛ09)
Множества уровня нечетких подмножеств высокий и средний выражаются следующим образом:
высокищ^ = 0.8 + 0.9 + 1,
8Ь4СОМ〃/о.8 = 0・9+1,
высокий\ = 1, средний^ = 0.4 + 0.5 + 0.6, средний^ =0.5
и, следовательно, множества a-уровня пересечения 4nB имеют вид
財％в (〃)= высокий^ Д с редкими $
=(0.8+0.9+1) /\ (0.4+ 0.5+ 0.6) =
= 0.4 + 0.5 + 0.6,(3.110)
卩將 в (〃) = высокий^ Д средний^ =
= (0.8 + 0.9+1)Д0.5 =
= 0.5(3.111)
и
眩 пв (〃)= высокий^ Д средний* ==1 А 0.5 =
= 0.5.(3.112)
Комбинируя (3.110), (3.111) и (3.112), получаем выражение для нечеткого множества, описывающего степень принадлежности точки и пересечению подмножеств Л и В:
1M П в (〃) = 0.6/(0.4 + 0.5 + 0.6) + 1/0.5 =
==средний,(3.113)
что эквивалентно утверждению
высокий /\ средний = средний.(3.114)
На самом деле определение (3.107) можно вывести и из (3.90).
Этот же результат можно получить более коротким способом, используя равенство (3.107):
высокий Д средний = (0.8/0.8 + 0.8/0.9 + 1/1) Д
Л (0.6/0.4+1/0.5+ 0・6/0・6) =
=0.6/0.4 + 1/0.5 + 0.6/0.6 = (3.115) =средний.
Аналогичным образом можно обобщить на случай нечетких множеств типа 2 операции дополнения, объединения, концентрирования и т. п. Это сделано в § 6 при обсуждении нечеткой логики, в которой значения истинности являются лингвистическими по своей природе.
Замечание 3.25. Результаты, полученные в примере 3.24, можно рассматривать как частный случай общего вывода, который можно получить из (3.1С0), об обобщении неравенства V на случай нечетких подмножеств числовой оси. В частности, в случае действительных чисел а и b имеем
owboa 八匕=о.(3.116)
На основе этой эквивалентности, учитывая выражение (3.100), получаем для интервалов:
[的，%]=[瓦，匕2]C"1.V 瓦 И 02M匕2.(3.117)
Отсюда в свою очередь следует
Определение 3.26. Пусть А и В — выпуклые нечеткие подмножества числовой оси, и пусть 4a и Ва — множества a-уровня этих подмножеств соответственно. Тогда обобщение неравенства V на выпуклые нечеткие подмножества действительных чисел выражаетсях) в виде
А^В^>А \В^А<^>(3.118)
о Aq !\Bq = Aq для всех а е [0, 1], (3.119)
где множество Аа Д Ва определяется согласно (3.100).
В случае, рассмотренном в примере 3.24, легко проверить» что
среднийа ^ высокий^ для всех а (3.120)
в смысле (3.119), откуда мы сразу приходим к выражению средний Д высокий = средний^
которое полностью согласуется с (3.114).
Легко проверить, что отношение W, определенное в (3.117), является частичным упорядочением.
ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теперь мы можем обобщить понятия, введенные в § 2, на так называемые нечеткие переменные. Нам будет удобно формализовать понятие нечеткой переменной аналогично тому, как это было сделано в определении 2.1 понятия обычной (не нечеткой) переменной.
Определение 4.1. Нечеткая переменная характеризуется тройкой (X, U, R(X; 〃))， где X — название переменной, U — универсальное множество (конечное или бесконечное), и — общее название элементов множества U, R (X, “)一 нечеткое подмножество множества U, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной и, обусловленное Х・[Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, вместо R (X; “)мы будем, как правило, писать сокращенно R (X), R (“)или R (%), где х — общее название значений переменной X, и будем называть R(X; и) ограничением на и или ограничением, обусловленным X.] Неограниченная обычная (не нечеткая) переменная и является для X базовой переменной.
Уравнение назначения для X имеет вид
% = 〃： R(X) (4.1)
и отражает то, что элементу х назначается значение и с учетом ограничения R (X).
Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем называть совместимостью значения и с R (X) и обозначать ее через с (и). По определению
c(u) = iiR(x)(«), 〃已 U, (4.2) где 卩r(X)(〃) 一 степень принадлежности и ограничению R (X).
Замечание 4.2. Важно отметить, что совместимость значения и не есть то же самое, что вероятность значения и. Совместимость 〃 с R (X) — это лишь мера того, насколько значение и удовлетворяет ограничению R (X); она не имеет никакого отношения к тому, насколько вероятно или невероятно ото значение*
Замечание 4.3. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 2.4), нечеткую переменную можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющему мягкие стенки. Тогда X — надпись на ярлыке (название саквояжа), U — список предметов, которые в принципе можно поместить в саквояж, а А (X) — часть этого списка, в которой для каждого предмета и указано число с(〃)， характеризующее степень легкости, с которой предмет 〃 можно поместить в саквояж X (рис. 4.1).
Рис 4.1. Аналогия с саквояжем для менной.Рис 4.1. Аналогия с саквояжем для менной.
Рис 4.1. Аналогия с саквояжем для менной.
Рис 4.1. Аналогия с саквояжем для менной.
Чтобы упростить обозначения, удобно использовать один и тот же символ для X н % н положиться на контекст для разрешения возможных неопределенностей. Покажем это на следующем примере.
Пример 4・4・ Рассмотрим нечеткую переменную, именуемую бюджет. Пусть U = [0, оо), a R (%) определяется следующим образом (см. рис. 4.2):
10008
R (бюджет)« ) 1/"+ § (1 +("盡吋厂/ “• (4・8) О1000
Тогда в уравнении назначения
бюджет =1100: 7? (бюджет)(4.4)
совместимость значения 1100 с ограничением R (бюджет) равна
с (1100) = |х^ (бюджет) (1100) = 0.80.(4.5)
Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, если Xi, •・・,Хп — нечеткие переменные в Uu ..., Un соответственно, то X 金(X],・，・,Хд) есть п-арная составная переменная 8 U 工
=Ui X •・・ х U九. Соответственно этому в п-арном уравнении назначения вида
(%i,.・・，лг〃) = (〃i, • • •, 〃/г)： R (Xi,・.・，Х〃)(4.6)
%t, i=l, ..., n, — общее название значений переменной X?, и； — общее название элементов множества Q;
R (X)^R (X], XJ — n-арное нечеткое отношение в U, представляющее собой ограничение, обусловленное переменной X金(Xi, ・・・,XJ
Рис. 4.2 Функция совместимости нечеткой переменной бюджет.
Совместимость (иъ ..., 〃/ с R (Хх, ..., X/ определяется так:
С(〃1，.・・，〃/г) = R/?(X) (〃1, • • • , 〃/г),(4・7)
где ^ (х)— функция принадлежности ограничения на 〃纟("1, ••・，〃/1).
Пример 4.5. Предположим, что U1 = U2 = (—оо, оо); Х12 близость по горизонтали; Х2^ близость по вертикали; и ограничение на и имеет вид
R (X) =，(1 + 〃； + 爲尸/®, 〃2)・(4.8)
UiXUa
Тогда совместимость значения 〃 = (2, 1) в уравнении назначения
(修，也) = (2, 1)： R(X)(4.9)
равна
с(2, 1)=釈(х)(2, 1) = 0.16.(4.10)
Замечание 4.6. В аналогии с саквояжем (см. замечание 4.3) n-арную составную нечеткую переменную можно упо-
добить мягкому саквояжу X, имеющему п отделений Хх,...
Хп. Функция совместимости с(иь ..., 〃九)характеризует степень легкости, с которой предметы 〃i,・・・,ип можно поместить в соответствующие отделения Хх, ..., Хп одновременно (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Аналогия с саквояжем для бинарной нечеткой переменной.
Основной вопрос, который возникает при рассмотрении п-арного уравнения назначения, связан с разложением этого уравнения на последовательность п унарных уравнений назначения, как в (2.21). В случае нечетких переменных процесс разложения несколько более сложен и мы займемся им после того, как определим маргинальные и условные ограничения.
МАРГИНАЛЬНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
В § 2 понятия маргинального и условного ограничений были специально определены таким образом, чтобы их можно было легко обобщить на случай нечетких ограничений. Благодаря
этому в более общем случае нечетких переменных эти понятия можно сформулировать почти так же, как это было еде* лано в § 2.
Замечание 4.7. Как мы уже видели в наших прежних обсуждениях понятий маргинального и условного ограничений, в целях упрощения удобно пользоваться следующими обозначениями.
Пусть
译回..•，公(4.11)
—упорядоченная подпоследовательность последовательности индексов (1, ..., 〃)• Например, q= (2, 4, 5) при п = 7. Упорядоченное- дополнение подпоследовательности q обозначается через
д'2(3 ・・・，(4.12)
Например, для д = (2, 4, 5) имеем /== (1, 3, 6, 7).
Набор k переменных (。“，・•・,sj обозначается через 。⑷：
%囹％,・・・，％)(4.13)
и аналогично
。⑺ 2(%,…，％)・(4.14)
Например, если
3g=(02, S, %), то
。⑺=(厶 ％ %, у7)-
Если 也=п, то будем писать просто
。工(九・・・，％).(4.15)
В дальнейшем эти обозначения применяются без специальных пояснений.
Определение 4.8. n-арное ограничение R(X「 ..., X/ в UiX・・.xU〃 индуцирует Парное маргинальное ограничение R(X“, ..., XQ, которое определяется как проекция (тень) R・・・，Х〃) на U“x；・.xUt尼. Используя определение проекции (см. (3.57)) и применяя обозначения, введенные в замечании 4.7, функцию принадлежности маргинального ограничения R(X“，..., XQ можно записать в виде
»&х@)(〃(?))= V 跳(х)(〃)・(4.16)
Пример 4.9. Для нечеткой бинарной переменной, определенной в примере 4.5, получаем
R揑 R(X，
R2£R(%),
卩R (〃1) = V (1 + 呜 + 喲т = «2
=(1+呜尸，
Пример 4.10. Предположим, что 力=“ =〃 =0+1+2 и R (%, %, Х8)— тернарное нечеткое отношение в U工义U^xUs вида
R(Xi, Х2, Хз) = 0,8/(0, 0, 0) + 0.6/(0, 0, 1) + 0.2/(0, 1, 0) + + 1/(1, 0, 2) + 0.7/(1, 1, 0) + 0.4/(0, 1, 1) + + 0.9/(1, 2, 0) + 0.4/(2, 1, 1) + 0.8/(1, 1, 2).
(4.17)
Применяя (4.16) к (4.17), получаем
R(Xl Х2) = 0.8/(0, 0) + 0.4/(0, 1) + 1/(1, 0) +
+ 0.8/(1, 1) + 0.9/(1, 2)+0・4/(2, 1)(4.18)
и
R(X0 =0.8/0+1/1+0.4/2,
R(X2)= 1/0+ 8/1+0.9/2.( •)
Определение 4.11. Пусть R (Хх, ..., Хя) — ограничение на (〃l ・・・,〃〃),и пусть 〃{,・・.,и?Л — некоторые значения переменных 〃“, ...» uik соответственно. Если в функции принадлежности ограничения R (Xlf ..., Хя) значения переменных 〃“，…,〃埔 положить равными 峭，...,碌,то результирующая функция аргументов 〃/】,..., uim, где последовательность индексов 0 = (/1, ..., /т) является дополнением последовательности д = "：ь ..., i左)，определяется как функция принадлежности условного ограничения R (Х^,・.・,X/由 | %,・・・〃厶} или сокращенно R (Х“)| %).
Таким образом,
"qзй1叱，…,%)(%・・・, "仇)=
二卩а(% …2 XQ ("L • ♦ •)〃〃丨 〃11 = "外一.，"%="％),
или сокращенно
卩r (х⑺[%))(〃"))hRrix) (〃 I 〃g)= %))•(4.20)
Простота связи между условным и безусловным ограничениями становится более ясной, если 〃？ записывать без верхнего индекса. При этом выражение (4.20) примет вид
М (乜х^ I 气〃勿)(％，…山加)2 KqX]勺)(％,…,〃)
или сокращенно
KR(Xg,)1〃g))(〃5))企卩r(x)(〃)•(4.21)
Замечание 4.12. В некоторых случаях предпочтительно использовать другое обозначение для условных ограничений. Например, если п = 4, д = (1, 3) н д' = (2, 4), то может оказаться проще писать R (% X?,唸 Х4) вместо R (X?, X/胤喲. Это особенно существенно, когда в качестве аргументов с верхними индексами используются числовые значения, например 5 и 2 вместо 〃； и 〃卜 В таких случаях, для того чтобы избежать разночтений, приходится писать более подробно:
R(Xz, Х/〃； = 5,爲= 5), или проще R (5, Х2> 2, XJ
Пример 4.13. В примере 4.10 имеем
R(Xl Х2, 0) = 0.8/(0, 0) + 0.2/(0, 1) +
+ 0.7/(1, 1) + 0.9/(1, 2),(4.22)
R(X], Х2, 1) = 0・6/(0, 0)4-0.4/(0, 1) + 0.4/(2, 1),
R(Xi, Х2, 2) = 1/(1, 0) + 0.8/(1, 1),
а, используя (4.16),
R& 0) = 0.8/0+1/1,
R(Xi, 1) = 0.4/0+ 0.8/1+0.4/2,(4.23)
R& 2) = 0.9/1.
Полезно отметить, что из определений маргинального и условного ограничений немедленно вытекает
Предложение 4.14. Пусть R(X/{ •・・，Х^ —маргинальное ограничение, индуцированное ограничением R(Xl ... ...,Хя), и пусть R(X/у ・・・，火也|气，…，〃％) или, более просто R (X(g，)I и(^)) — условное ограничение при фиксированных 〃厶,... ...,〃片,где <7 = (/1, ...» ^) и qr = (/х, ..., /т) — взаимно дополнительные последовательности индексов. Тогда из (4.16), (4.21)
и из определения объединения (см. (3.34)) следует, что
R^})=^R(X{qf}\u^(4.24)
где символ £ обозначает объединение (а не арифметическую "(и)
сумму) по значениям 〃(夕).
Пример 4.15. Принимая во внимание примеры 4.9 и 4.12, легко проверить, что
R^ X2)= R(Xl Х2, 0) + R(X], Х2, 1) + R(X], %, 2) и
R(X]) = R(X「0) + R(%, 1) + 7?(爲，2).
СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ
И НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Определение 4.16. парное ограничение R(Xi, ..., X九) сепарабельно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде декартова произведения унарных ограничений:
R(Xi, ・・・，X^^RiX^x.^xR^X^ (4.25)
или, что то же самое, как пересечение цилиндрических продолжений [см. (3.62)]:
R(Xi, ・.・，爲)= R(%)n・・・flR(XJ (4.26)
Следует отметить, что если R(XU ..., Хя) — нормально, то нормальны и соответствующие маргинальные ограничения (см. предложение 3.14). Отсюда вытекает, что множества R(X0 в выражении (4.25) — маргинальные ограничения, индуцированные ограничением R (文工,...,Xj. Действительно, из (4.25) следует, что
卩R"ix# (〃i, •・・，〃九)=卩r(Xi)(〃i)/\・・・/\kr(x〃)(〃J(4.27)
и поэтому, используя (3.57), получаем
BR(Xi, .・・，X〃) = R(X3 i=l, •…n. (4.28)
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что ограничение R (Хъ ..., Х〃) нормально.
Пример 4.17. Матрицу отношения ограничения, приведенную ниже, можно представить как максминнбе произведение х) вектор-столбца (унарное отношение) и вектор 二 строки
1) Определение максминного произведения матриц приведено на стр. 42. — Прим, ред.
3 Л. Заде
(унарное отношение). Отсюда следует, что ограничение, о котором идет речь, сепарабельно:
гО.З
0.8
0.8
0.1 и
г0.8 -
0.3
0.8
1
0.1
1
0.2
0.2
0.2
0.1
=02 [0.3 0.8 1 0.1]
-0.3
0.6
0.6
0.1-
L0.6-
Пр имер 4.18. Ограничения, определенные в примерах 4.8 и 4.9, не сепарабельны.
Прямым следствием сепарабельности является
Предложение 4.19. Если R(X[, .・・，Xj сепарабельно, mo сепарабельно 〃 любое маргинальное ограничение, индуцированное ограничением R (Хх, ..., X/.
Следствием соотношения (4.25) является также
Предложение 4.20. Сепарабельное ограничение R (Х0 х.・・ ・・・ X R (Х〃) 一 наибольшее i) из ограничений, которым соответствуют маргинальные ограничения R(X) ・・・,R (Хя).
Понятие сепарабельности тесно связано с понятием невзаимодействия нечетких переменных:
Определение 4.21. Нечеткие переменные Хх, ..., Хп являются невзаимодействующими тогда и только тогда, когда ограничение R (Хх, •…£) сепарабельно.
Напомним, что обычные (не нечеткие) переменные Хъ .... Хп мы называем невзаимодействующими потому (см. (2.18)), что при выполнении равенства
R(Xi,…，Xf^ = R(Xi)x^.xR(Xn) (4.29)
n-арное уравнение назначения
(%i, •.., xn) = (^i, • • •, 〃J R (Xi, ..., X九)(4.30)
можно представить в виде последовательности п унарных уравнений назначения
无1 = “г R (Х0, (4.31) %〃 = 〃〃： R (XJ
Приведем основное следствие невзаимодействия нечетких переменных, частным случаем которого является разложе ние (2.19).
1) Наибольшее по отношению включения, если учесть что R(Xi)x...
Предложение 4.22. Если нечеткие переменные невзаимодействующие, mj пиарное уравнение назначения (4.30) можно представить в виде последовательности п унарных уравнений назначения (4.31), имея в виду, что если с (и1? …,ия) — совме^ стимостъ (〃】,...,〃九)с R (Xi, ...» XJ a q(u；), f = I,..., n,— совместимость 山 c 艮(Х0, то
с (〃:Ь • • • , "〃) =。1 (〃1) Л • • • Л^д (〃/г)・(4.32)
Доказательство. Из определений совместимости, невзаимодействия и сепарабельности сразу получаем
С (〃l • •., 〃九)=|Х/? ^Xj, ..., X%) (〃1, • • • , 〃/г)=
=KR(X0 (〃1) Д ... Л ^ (%) (〃/г)=
=。1 (〃工)/\ • • • /\ % (〃/г)•(4.33)
Предложение доказано.
Замечание 4.23. Продолжая аналогию с саквояжем (см. замечание 4.6), невзаимодействующие нечеткие переменные x2(%, >2)
Рис. 4.4. Аналогия с саквояжем для невзаимодействующих нечетких переменных.
X], ..., Хп можно уподобить п отдельным мягким саквояжам с ярлыками Xl ..., Хп. Ограничение, связанное с саквояжем X/, характеризуется функцией совместимости &(%)・ Тогда полная функция совместимости для саквояжей Хг, ..., Хп записывается в виде (4.32) (рис. 4.4).
Замечание 4.24. (См. определение 4.1.) Невзаимодействие переменных Xi, ... , Хп подразумевает отсутствие каких бы то ни было ограничений, в которых присутствуют все величины их,..., 〃九,где щ — базовая переменная для X厶 i=l, ..・,п. Например, если 〃/ связаны ограничением
〃:1 + • • • + 〃〃 = 1,
то Xi, ・・・,Хп — взаимодействующие переменные, т. е. переменные, не являющиеся невзаимодействующими (см. замечание 3.20).
Если Xi, ..., ХЛ — взаимодействующие переменные, то по- прежнему можно представить n-арное уравнение назначения в виде последовательности п унарных уравнений назначения. Однако в этом случае ограничение на 〃厶 как правило, зависит от значений переменных 〃i, ..., Up. Поэтому п уравне” ний назначения принимают вид (см. (2.21))
打=〃1： R (X0,
%2 == 〃2： R (X? I 〃1),
%з = 〃з： К(Хз|〃1, 〃2),(4.34)
%〃 = "〃： R (Хп\и^ ..., 〃”т), где R (Xg|〃i, ・・・, u；^i) — ограничение на щ при фиксированных 〃l ..., и— (см. определение 4.11).
Пример 4.25. Рассмотрим пример 4.10 и положим «1=1, 〃2 = 2 и 〃з = 0・ Тогда
R(X0 = 0.8/0+1/1+0.4/2,
R (Х21 〃i = 1) = 1/0 + 0.8/1 + 0.9/2,(4.35)
R (Х31 〃] = 1, 〃2 = 2) = 0.9/0, так что
G ⑴=1,
e2(2) = 0.9,(4.36)
Q (。)=。.9.
Как и в случае системы (4.31), справедливость системы (4.34) подтверждает
Предло жение 4.26. Если Хъ ...» Хп — взаимодействующие нечеткие переменные при ограничении R (Х^ ...» Хл), a S (〃3 i=l,…，ti, — совместимость щ с условным ограничением R (X/1 иъ …，О 8 (4.34), то
с (〃:Ь • • • , 〃/г) =。1 (〃:1) Д • • • Д^п (^я)»(4.37)
где с (〃l uj — совместимость (ux,..., ия) с R (X】,...,Х〃)・
Доказательство. По определению условного ограни - чения [см. (4.20)] имеем для всех i, IWiW他
MR(Xji〃「…，气_1)(〃t) = |XR(Xi，…，x.)(«i,..., 〃儿 (4 38)
С другой стороны, из определения маргинального ограничения (см. (4.16)) следует, что для всех i и всех 〃:ь …，〃》выполнено
卩R (АX/)(〃i,・•.，〃,) =^ Rr(X],…，X/+i)(〃i, • • •, 〃，十 1), (4.39)
откуда следует, что
卩R(々+1,勺)(〃i+О А М( х/ 勺，…，勺 _ ° (以)=
= KR(x»ii 勺切(〃t+i)・ (4.40)
Объединяя (4.40) с определением
S (%)=NR(Xji 4,…$_i)(/)，(4.41)
получаем
с (〃i, • • •, 〃/1) = с】 (〃i) A • • •八勿(〃〃)•(4.42)
Предложение доказано.
На этом мы заканчиваем обсуждение некоторых свойств нечетких переменных, имеющих отношение к понятию лингвистической переменной. В следующем параграфе мы сформулируем понятие лингвистической переменной и рассмотрим некоторые ее свойства.
5・ ПОНЯТИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
При неформальном обсуждении понятия лингвистической переменной в § 1 мы сформулировали, что лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, представляющее собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное красивый отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, представляющего собой ограничение, обусловленное нечеткой переменной красивый. С этой точки зрения термины очень красивый, некрасивый, чрез^ вычайно красивый, вполне красивый и т. д. — названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов очень^ яе, чрезвычайно, вполне и т. п. на нечеткое множество красивый. В сущности эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством красивый играют роль значений лингвистической переменной Внешность.
Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Возраст могут быть： молодой, немолодой, старый, очень старый, не молодой и не старый, вполне старый и т. п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если X — название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл
нечеткой переменной X. Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной старый, представляет собой нечеткое подмножество множества U = [0, 100] вида
юо
R (старый) = ^u，〃еu，(5.1)
50
то это нечеткое множество можно считать смыслом нечеткой переменной старый (рис. 5.1).
Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной соответствуют два правила: (1) синтаксическое правилоу которое может
Рис. 51 Функции совместимости для значений старый и очень старый.
быть задано в форме грамматики, порождающей названия значений переменной; (2) семантическое правило, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения. Эти правила составляют существенную часть описания структуры лингвистической переменной i).
Поскольку лингвистическая переменная — переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, то и ее описание должно быть сложнее данного в определении 4.1 описания .нечеткой переменной.
Определение 5.1. Лингвистическая переменная характеризуется набором (勿，Т (幺*), U, G, М), в котором 勿一название леременной; Т (勿)(или просто Т) обозначает терм-множество переменной 勿,т. е. множество названий лингвистических зна^ чений переменной 寅，причем каждое из таких значений является нечеткой переменной X со значениями из универсального множества U с базовой переменной и; G — синтаксическое правило
1) В первую очередь именно семантическое правило отличает лингвистическую переменную от более распространенного понятия синтаксической переменной.
(имеющее обычно форму грамматики), порождающее названия X значений переменной 修，а М — семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной X ее смысл M (X), т. е. нечеткое подмножество М (X) универсального множества U. Конкретное название X, порожденное синтаксическим правилом G, называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом. Конкатенация некоторых компонент составного терма 1) является подтермом. Если Хъ Х2,... — термы в 7\ то Т можно представить в виде объединения
Т = ХГ + Х2+ ... (5.2)
При необходимости явно указать на то, что Т был порожден грамматикой G, будем писать T(G)・
Смысл М (X) терма X определяется как ограничение R (X) на базовую переменную “，обусловленное нечеткой переменной X:
М (X)叁 R (X), (5.3)
имея в виду, что R (X) и, следовательно, М (尤)можно рассматривать как нечеткое подмножество множества U, имеющее название X. Связь между 勿,ее лингвистическим значением и базовой переменной иллюстрируется на рис. 1.3.
Замечание 5. 2. Для того чтобы избежать большого количества символов, целесообразно присваивать несколько значений некоторым символам, встречающимся в определении 5.1, полагаясь при этом на контекст для разрешения возможных неопределенностей. В частности:
Символ 勿 мы будем часто использовать для обозначения как названия самой переменной, так и общего названия ее значений. Аналогично, X будет обозначать как общее название значений переменной, так и название самой переменной.
Будем пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и его названия. Так, символы X, М (X) и R (X) будут взаимозаменяемыми, хотя, строго говоря, X как название М (X) (или R (X)) не то же самое, что нечеткое множество М (X). Другими словами, когда мы говорим, что терм X (например, молодой) есть значение переменной 6 (например, Возраст), то имеем в виду, что действительное значение есть М (X), а X — просто название этого значения.
1) То есть результат приписывания друг к другу цепочек-компонент составного терма. —Прим ред.
Пример 5.3. Рассмотрим лингвистическую переменную Возраст, т. е. ^ = Возраст, и пусть U = [0,100]. Лингвистическим значением переменной Возраст может быть, например, старый, причем значение старый является атомарным термом. Другим значением может быть очень старый, т. е. составной терм, в котором старый — атомарный терм, а очень и старый — подтермы.
Значение более или менее молодой переменной Возраст — составной терм, в котором терм молодей — атомарный, а более или менее — подтерм. Терм-множество переменной Возраст можно записать следующим образом:
Т (Возраст) = старый + очень старый + не старый ++ более или менее молодой ++ вполне молодой + не очень старый
и не очень молодой +...(5.4)
Здесь каждый терм является названием нечеткой переменной в универсальном множестве U = [0, 100]. Ограничение, обусловленное термом, скажем R (старый}, есть смысл лингвистического значения старый. Таким образом, если R {старый} определяется согласно (5.1), то смысл лингвистического значения старый определяется выражением
100、
М(старый) =(〔 + (〃”。'厂厂/〃,(5.5)
или проще (см. замечание 5.2)
100
старый = \ (1 + (I〃・(5.6)
Аналогичным образом смысл такого лингвистического значения, как очень старый, можно выразить так (см. рис. 5.1): юо
М (очень старый} = очень старый = \ (1 + (鼻。, )®/ 〃• 50
(5.7) Уравнение назначения в случае лингвистической переменной принимает вид**
X = терм в Т (勿)=
=название, порожденное грамматикой G, (5.8) откуда следует, что смысл, назначенный терму X, выражается равенством
M(X) = R (терм в「(勿))・(5.9)
Другими словами, смысл терма X получается путем применения семантического правила М к значению терма X, назна^ ценному согласно правой части уравнения (5.8). Более того, из определения (5.3) следует, что М (X) идентично ограничению, обусловленному термом X.
Замечание 5.4. В соответствии с замечанием 5.2(а) уравнение назначения будет обычно записываться в виде
勿=названия в 7(勿)，(5.10)
а не в форме (5.8). Например, если 宏=Возраст, а старый — терм в Т (勿)，мы напишем
Возраст = старый,(5.11)
понимая 4это так, что старый — ограничение на значения базовой переменной “, определяемое (5.1), — назначается лннг- мистической переменной Возраст. Важно отметить, что знак равенства в (5.10) не обозначает симметрического отношения^ как в случае арифметического равенства. Так, бессмысленно записывать (5.1 J) в виде .
старый = Возраст.
Чтобы проиллюстрировать понятие лингвистической переменной, мы рассмотрим сначала очень простой пример, в котором Т (勿)содержит лишь небольшое число термов, а синтаксическое и семантическое правила тривиальны.
Пример 5.5. Рассмотрим лингвистическую переменную Число, конечное терм-множество которой имеет вид
Т (Число) = немного + несколько + много, (5.12)
где каждый терм представляет собой ограничение на значения базовой переменной 〃 в универсальном множестве
[/=1+2 + 3+ ... +10.(5.13)
Предполагается, что эти ограничения — нечеткие подмножества множества U и определяются они следующим образом:
немного =0.4/1 +0.8/2 + 1/3+ 0.4/4,(5.14)
несколько = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8, (5.15) много = 0.4/6 + 0.6/7 + 0.8/8 + 0.9/9 + 1/Ю.(5.16)
Таким образом,
R (немного) = М (немного) = 0А/1 +0.8/2 + 1/3+ 0.4/4 (5.17)
и аналогично для других термов в Т. Смысл равенства (5.17) в том, что немного есть название нечеткой переменной, .которая является значением лингвистической переменной Числа
Смысл лингвистического значения немного или, что то же самое, ограничение, обусловленное этим термом, есть нечеткое подмножество универсального множества U и определяется правой частью равенства (5.17).
Чтобы назначить такое значение, как немного, лингвистической переменной Число, мы напишем
Число = немного.(5.18)
Пример 5.6. В этом случае мы предполагаем, что имеем дело с составной лингвистической переменной Q (勿，乡)， которой поставлена в соответствие базовая переменная (〃，у), принимающая значения из универсального множества UxVf где
UX у = (1+2 + 3 + 4) х(1+2 + 3 + 4)=(5.19)
н(1,1) + 32) + (1,3) + (1,4) +
+ (4,1) + (4 ⑵+ (4,3)+ (4,4),(5.20)
причем
以/ П(厶/),厶 /=1, 2, 3, 4.(5.21)
Кроме того, мы предполагаем, что терм-множество переменной (6,约 состоит лишь из двух термов:
Т = приближенно равны + более или менее равны、(5.22)
где приближенно равны и более или менее равны — названия бинарных нечетких отношений, определенных матрицами
~1
0.6
0.4
0.2-1
0.6
1
0.6
0.4
приближенно равны =
0.4
0.6
1
0.6(5・23)
0.2
0.4
0.6
1 _
и
более или менее равныболее или менее равны10.80.60.410.80.60.40.810.80.60.810.80.60・60.8 10.80・60.8 10.80・4~0.60.8 10・4~0.60.8 1(5.24)(5.24)
более или менее равны
более или менее равны
1
0.8
0.6
0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.8
1
0.8
0.6
0.8
1
0.8
0.6
0・6
0.8 1
0.8
0・6
0.8 1
0.8
0・4~
0.6
0.8 1
0・4~
0.6
0.8 1
(5.24)
(5.24)
В этих матрицах отношения 0, /)-й элемент есть значение совместимости пары & /) с рассматриваемым ограничением. Например, элемент (2,3) в матрице приближенно равны.
Более подробно составные лингвистические переменные обсуждаются в § 6 в связи е лингвистическими переменными истинности.
равный 0.6, есть значение совместимости упорядоченной пары
（2,3） с бинарным ограничением приближенно равны.
Чтобы назначить значение, скажем, приближенно равны лингвистической переменной （勿，乡），мы напишем
（勿，3/） = приближенно равны,（5.25）
где, как и в （5.18）, имеется в виду, что в качестве значения переменной （英，乡）назначается бинарное нечеткое отношение
Мягкий, саквояжМягкий, саквояжЖесткий саквояжЖесткий саквояжРис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменнойРис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной
Мягкий, саквояж
Мягкий, саквояж
Жесткий саквояж
Жесткий саквояж
Рис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной
Рис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной
приближенно равны, являющееся бинарным ограничением на значения базовой переменной （“，у） в универсальном множестве （5.20）.
Замечание 5.7. Используя аналогию с саквояжем （см. замечание 4.3）, лингвистическую переменную в смысле определения 5.1 можно уподобить жесткому саквояжу, в который можно помещать мягкие саквояжи, как показано на рис. 5.2. Мягкий саквояж соответствует нечеткой переменной, которая является лингвистическим значением переменной 勿,а X играет роль ярлыка на мягком саквояже.
СТРУКТУРИРОВАННЫЕЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В обоих рассмотренных выше примерах терм-множество состояло лишь из небольшого числа термов, так что целесообразно было просто перечислить элементы терм-множества Т （勿）и установить прямое соответствие между каждым элементом и его смыслом. В более общем случае, однако, число элементов в 7（勿）может быть бесконечным, и тогда как для порождения элементов множества Т（勿）,так и для вычисления
их смысла необходимо применять алгоритм, а не просто процедуру просмотра элементов терм-множества.
Будем говорить, что лингвистическая переменная ^ структурарована, если ее терм-множество Т (勿)и функцию М, которая ставит в соответствие каждому элементу терм- множества его смысл, можно задать алгоритмически. Из этих соображений синтаксическое и семантическое правила, связанные со структурированной лингвистической переменной, можно рассматривать как алгоритмические процедуры для порождения элементов множества Т (^) и вычисления смысла каждого терма в Т (勿)соответственно. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что рассматриваемые лингвистические переменные являются структурированными.
Пример 5.8. В качестве очень простой иллюстрации той роли, которую играют синтаксическое и семантическое правила в случае структурированной лингвистической переменной, рассмотрим переменную Возраст, элементами терм- множества которой являются термы типа старый, очень старый, очень очень старый, очень очень очень старый и т. п. Таким образом, терм-множество переменной Возраст можно записать в виде
Т (Возраст) = старый + очень старый + очень очень старый + . •..(5.26)
В этом простом случае легко проверить, что каждый терм множества Т (Возраст) имеет вид старый или очень очень ..・ очень старый. Чтобы вывести это правило в более общем виде, поступим следующим образом.
Пусть ху обозначает конкатенацию символьных цепочек х и у, например, % = о〃е*ь, у^старый, ху = очень старый. Если Л и В — множества цепочек, например
/ =%i + %2+ ...,(5.27)
В = У1+%+ ・・・，(5・28)
где %力 и у^ — символьные цепочки, то конкатенация Л и В обозначается АВ и определяется как множество цепочек вида
4В = (%1 + %2+ ・・・)(勿+%+ ・・・) = 2%g勿.(5.29)
Например, если Л = очень и В = старый + очень старый, то
очень (старый + очень старый}=
^ очень старый + очень очень старый. (5.30)
Используя эти обозначения, данное представление для Т (Возраст) можно рассматривать как решение уравнения')
Т = старый + очень Т,(5.31)
которое означает, что множество Т состоит из терма старый и. термов, состоящих из слова очень и некоторого терма из Т. Уравнение (5.31) можно решать итеративным способом, используя рекуррентное соотношение
Тм = старый + очень Т\，= 0, 1, 2, ...,(5.32)
и взяв пустое множество 6 в качестве начального значения Т\ Тогда Т° = 6, г = старый.岱 3
Г? = старый + очень старый,''
「з = старый + очень старый + очень очень старый,
и решение уравнения (5.31) имеет вид
7 =，8 = старый + очень старый + очень очень старый + + очень очень очень старый +....(5.34)
Для рассматриваемого примера синтаксическое правило выражается уравнением (5.31) и его решением (5.34). Эквивалентным образом синтаксическое правило можно охарактеризовать следующей системой подстановок:
Т старый,(5.35)
Т -> очень Т,(5.36)
для которой (5.31) играет роль алгебраического представления ). В этом случае терм в Т может быть порожден при помощи стандартной процедуры ([36], [37]), включающей в себя последовательное применение правил (5.35) и (5.36), начиная с символа Т. Таким образом, если Т заменить на очень Т и затем Т в очень Т заменить на старый, мы получаем терм очень старый. Аналогично терм очень очень очень
старый можно получить из Т по следующей цепрчке подста- НОВОЕ：
Т т очень Т f очень очень 7 -кочень очень очень Т ->
-кочень очень очень старый. (5.37)
Возвращаясь к семантическому правилу для переменной Возраст, отметим, что для вычисления смысла такого терма, как очень... очень старый требуется знать смысл терма старый и модификатора очень. Терм старый играет роль первичного терма, т. е. терма, смысл которого должен быть задан заранее с тем, чтобы можно было вычислять смысл составных термов в Т. Что касается модификатора очень, то он действует как лингвистическая неопределенность, т. е. как мо・ дификатор смысла следующего за ним терма. Если в качестве очень простого приближения мы предположим, что модификатор очень действует как оператор концентрирования (см. (3.40)), то
очень старый = CON (старый} = старый. (5.38)
Следовательно, семантическое правило для переменной Возраст можно записать в виде
М (очень …очень старый} = старый, (5.39)
где и — число вхождений слова очень в терм очень ... очень старый, М (очень ... очень старый} — смысл терма очень... ...очень старый. Далее, если определить первичный терм старый по формуле
100
старый = \ (】+(气也广厂/〃，(5.40)
50
то получимМ (очень ... очень старый)==то получимМ (очень ... очень старый)==1001001 +(^)'2рд,几==1, 2, • • •.1 +(^)'2рд,几==1, 2, • • •.(5.41)(5.41)
то получим
М (очень ... очень старый)==
то получим
М (очень ... очень старый)==
100
100
1 +(^)'2рд,
几==1, 2, • • •.
1 +(^)'2рд,
几==1, 2, • • •.
(5.41)
(5.41)
Это уравнение выражает в явном виде семантическое правило для вычисления смысла составных термов, образованных по формуле (5.31), если известны смысл первичного терма старый и смысл неопределенности очень.
БУЛЕВЫ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Лингвистическая переменная, рассмотренная в примере 5.8, является частным случаем того, что может быть названо булевой лингвистической переменной. Обычно такой переменной
соответствует конечное число первичных термов, конечное число неопределенностей, союзы и и или и отрицание не. Например, терм-множество булевой переменной Возраст может иметь вид
7 (Возраст) = молодой + старый + не молодой +
+ &е старый + очень молодой +
+ очень очень молодой +
очень молодой и не очень старый + + вполне молодой + более или менее старый^ чрезвычайно старый +...(5.42)
Более формально булеву лингвистическую переменную можно определить следующим образом.
Оп ределение 5.9. Булевой лингвистической переменной называется такая лингвистическая переменная, термы X которой являются булевыми выражениями в переменных вида Хр, hXp, X или 九X, где h — лингвистическая неопределенность, Лр — первичный терм и ЛХ — название нечеткого множества, являющегося результатом действия h на X.
Например, в случае .лингвистической переменной Возраст, терм-множество которой определяется соотношением (5.42), терм не очень молодой и не очень старый имеет вид (5.9), где Л =очень, Хр = молодой и Хр = старый. Аналогично, в случае терма очень очень молодой, й = очень очень и Хр = молодой.
Булевы лингвистические переменные особенно удобны, поскольку многое из нашего опыта в обращении с булевыми выражениями можно перенести на переменные этого типа. Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим простой пример, в котором участвуют два первичных терма и одна неопределенность.
Пример 5.10. Пусть Возраст — булева лингвистическая переменная с терм-множеством вида
7 (Возраст) = молодой + не молодой + старый +
+ &е старый + очень молодой +
+ &е молодой и не старый + молодой или старый + молодой или (не очень молодой и не очень старый) +..・•
(5.43)
Если отождествить союз и с операцией пересечения, или —— с операцией объединения, отрицание хе —с операцией взятия дополнения и модификатор очень — с операцией концентриро-
вания (см. (5.38)), то нетрудно выписать смысл типичного значения переменной Возраст. Например:
М (ме молодой) = П молодой,
М (не очень молодой) == 1 (молодой^),
М (не очень молодой и не очень старый) =(5.44)
=1 (молодой) П П (старый).
М (молодой или старый} = молодой U старый.
Эти уравнения выражают, по сути дела, смысл составного терма как функцию смысла составляющих его первичных термов. Так, если термы молодой и старый определить в виде
25юо
(5.45)(5.46)(5.45)(5.46)молодой = , 1/〃+、卜 +(" Y■『厂/〃,025 '
(5.45)
(5.46)
(5.45)
(5.46)
100
старый = 卜+(^^)一2)t/"，
то (см. рис. 5.3)
2550
М. (молодой или старый) = \ 1/〃 + \ (1 +("；?号)，/〃 + О25 '
100
+ ЦХ^Г^+^Г/и.(5.47) 50
Лингвистическая переменная, рассмотренная в этом примере, включает в себя лишь один тип неопределенности, а именно неопределенность очень, В общем же случае булевой переменной может соответствовать конечное число неопределенностей, как, например, в (5.42). Однако если операции, соответствующие лингвистическим неопределенностям, определены, то процедура вычисления смысла составного терма остается такой же.
Вопрос о подходящем представлении для той или иной неопределенности, например, более или менее, вполне или существенно ни в коем случае не является простымх).
Более подробное обсуждение лингвистических неопределенностей с точки зрения теории нечетких множеств можно найти в работах [27] и [28] Идея толкования различных типов лингвистических неопределенностей как операторов, действующих на нечеткие множества, возникла в ходе совместной работы автора с проф. Г. Лакоффом»
В некоторых контекстах действие неопределенности более или менее можно приближенно выразить следующим образом (см. (3.41)):
М (более или менее X) = DIL(X) = X0-5. (5.48)
Например, если X = старый и терм старый определяется выражением (5.46), то
юо
более или менее старый = j (1 +(^=^)т)-"5/〃・ 俗・49)
Во многих случаях, однако, неопределенность более или менее действует как оператор увеличения нечеткости, согласно
Рис. 5.3. Функция совместимости для значения молодой или старый
формуле (3.48), а не как оператор растяжения. Предположим для иллюстрации, что смысл первичного терма недавно определяется выражением
недавно = 1/1974 + 0.8/1973 + 0.7/1972(5.50)
и что терм более или менее недавно определяется как результат действия оператора увеличения нечеткости 尸 на терм недавно, т. е.
более или менее недавно = F (недавно; К), (5.51)
Где ядро К оператора F определяется следующим образом:
К (1974)= 1/1974 + 0.9/1973,
К (1973) = 1/1973 + 0.9/1972,(5.52)
К (1972) = 1/1972 + 0.8/1971.
Подставив значение К в (3.48), получим смысл терма более или менее недавно, т. е.
более или менее недавно =
= 1/1974 + 0.9/1973 + 0.72/1972 + 0.56/1971. (5.53)
С другой стороны, если предположить, что неопределенность более или менее является оператором растяжения, то мы получим
более или менее недавно = (1/1974 + 0.8/1973 + 0.7/1972)0-5 = =1/1974 + 0.9/1973 + 0.84/1972,
(5.54) что отличается от (5.53) главным образом отсутствием члена 0.56/1971.
Таким образом, если бы этот член играл важную роль в определении терма более или менее недавно, то приближение неопределенности более или менее оператором растяжения не было бы хорошим.
В примере 5.10 при выводе семантического правила мы воспользовались тем, что знаем, как обращаться с булевыми выражениями. Чтобы проиллюстрировать более общий метод, рассмотрим ту же лингвистическую переменную, что и в примере 5.10, но применим метод [39], который представляет собой модификацию описанного Кнутом [40] подхода для определения семантики контекстно-свободных языков.
Пример 5.11. Легко проверить, что терм-множество в примере 5.10 порождается контекстно-свободной грамматикой G = =(Ут, Yn、Г, Р), в которой нетерминальные символы (синтаксические категории) обозначаются через Т, Д, В, С, D,…,т. е,
VN=，T + A + B + C + D + Et (5.55) в то время как множество терминальных символов (компоненты термов в Т) выражается в виде
Ут = молодой + старый + очень + не + и + или + ( + ),
(5.56) а система подстановок Р имеет вид
т-
>4
CfD,
7-
>Т или А,
Л-
D очень D,
4-
>А и В,
Ef о〃е*ь Е,
(5.57)
Вт С,
D -> молодой,
В-
а не С,
Е -> старый.
Ст (Т),
Систему Р можно представить и алгебраически в виде следующей системы уравнений (см. сноску на стр. 78)
Т — А -\-Т или Д, Л = В + Л или В, В = С+не С,(5.58)
D = очень D + молодой,£ = очень £ + старый.
Решением этой системы уравнений относительно Т является терм-множество Т, описываемое выражением (5.43). Аналогично, решениями системы (5.58) относительно А,瓦 С, D н £ являются множества термов, которые составляют синтаксические категории, обозначаемые через А, В, С, D и Е соответственно. Решение системы (5.58) можно получить итеративно, как в случае уравнения (5.31), используя рекуррентное соотношение
(7, 4 В, С, D, Е尸= 〃(Т, 4 В, С, R Е)) i = 0, 1, 2, (5.59)
(7, Л, В, С, D, Е)о = (8,…，》
где (Т, А, В, С, D, Е) — набор нетерминальных символов системы (5.58), / — отображение, определяемое системой уравнений (5.58), 6 — пустое множество, а (Т, Л, В, С, D, £*)» —〃я итерация для (7\ 4 В, С, D, Е). Решение системы (5.58), представляющее собой неподвижную точку отображения 厶 имеет вид (7\ Д, В, С, D, Е)8. Однако для всех i выполняется
(Т, 4, В, С, О, Е> и (Т, 4 В, С, D, Е),(5.60)
е. каждая компонента набора в левой части (5.60) является подмножеством соответствующей компоненты в правой части (5,60). Смысл выражения (5.60) состоит тогда в том, что итерирование по i порождает все больше и больше термов в каждой из синтаксических категорий Т, Д, В, С, D, Е.
В боЛее общепринятой процедуре терм в Т, скажем, не очень молодой и не очень старый порождается грамматикой G путем последовательных замен (подстановок) с использованием системы Р, причем каждая цепочка подстановок начинается с Т и заканчивается термом, порожденным грамматикой G. Например, цепочка подстановок для терма не очень молодой и не очень старый имеет вид (см. также пример 5.8)
Т ^А^ А и В-В и Bf не С а В-> не D и Вт т&е очень D и В->-не очень молодой и Bf —не очень молодой и не С-^не очень молодой и &е Е f не очень молодой и не очень Е f f не очень молодой и не очень старый. (5.61)
Эту цепочку можно получить, используя синтаксическое дерево, (рис. 5.4), представляющее структуру терма не очень моло・ дой и не очень старый с использованием синтаксических категорий Т, Л, В, С, Д, Е. В сущности описанная процедура порождения термов в Т грамматикой G составляет синтаксическое правило для переменной Возраст.
Семантическое правило для переменной Возраст индуцируется описанным выше, синтаксическим правилом, в том смысле, что смысл терма в Т частично определяется его синтаксическим деревом.
В частности, каждому правилу подстановки в (5.57) ставится в соответствие некоторое отношение между нечеткими множествами, обозначенными соответствующими терминальными и нетерминальными символами. Результирующая двойственная система подстановок и связанных с ней уравнений имеет вид
т—4П 7\ = 4r,тfT илиA=^Tl = Tr + AR9Ат В-/2=Br,Л—>■ В it В=> 4 = 4r fl Br,Вf сП Bl = Cr,BfHe С^>BL = ~\CR.С-(Г)П Cl = Tr、СfD= Cl = Dr,СП & = Er,D -> оченьDn5 = g)2,-> оченьE ^Е1 = (Е^\т—4П 7\ = 4r,тfT илиA=^Tl = Tr + AR9Ат В-/2=Br,Л—>■ В it В=> 4 = 4r fl Br,Вf сП Bl = Cr,BfHe С^>BL = ~\CR.С-(Г)П Cl = Tr、СfD= Cl = Dr,СП & = Er,D -> оченьDn5 = g)2,-> оченьE ^Е1 = (Е^\D-^ молодой п。上=молодой.D-^ молодой п。上=молодой.Е — старый =El = старый.Е — старый =El = старый.^> \и/ л/ \|/ \|/ \|/ \iz \|/ ^ц/ \|/ \|/ \|/ \|/ 20Ю456789О1234 6666666677777 /|\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\^> \и/ л/ \|/ \|/ \|/ \iz \|/ ^ц/ \|/ \|/ \|/ \|/ 20Ю456789О1234 6666666677777 /|\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\
т
—4
П 7\ = 4r,
т
fT или
A=^Tl = Tr + AR9
А
т В
-/2=Br,
Л
—>■ В it В
=> 4 = 4r fl Br,
В
f с
П Bl = Cr,
BfHe С
^>BL = ~\CR.
С-(Г)
П Cl = Tr、
С
fD
= Cl = Dr,
С
П & = Er,
D -> очень
Dn5 = g)2,
-> очень
E ^Е1 = (Е^\
т
—4
П 7\ = 4r,
т
fT или
A=^Tl = Tr + AR9
А
т В
-/2=Br,
Л
—>■ В it В
=> 4 = 4r fl Br,
В
f с
П Bl = Cr,
BfHe С
^>BL = ~\CR.
С-(Г)
П Cl = Tr、
С
fD
= Cl = Dr,
С
П & = Er,
D -> очень
Dn5 = g)2,
-> очень
E ^Е1 = (Е^\
D-^ молодой п。上=молодой.
D-^ молодой п。上=молодой.
Е — старый =El = старый.
Е — старый =El = старый.
^> \и/ л/ \|/ \|/ \|/ \iz \|/ ^ц/ \|/ \|/ \|/ \|/ 20Ю456789О1234 6666666677777 /|\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\
^> \и/ л/ \|/ \|/ \|/ \iz \|/ ^ц/ \|/ \|/ \|/ \|/ 20Ю456789О1234 6666666677777 /|\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /(\ /|\ /(\
Здесь нижние индексы L и R введены для различения символов в левой и правой частях подстановки ( + = объединение).
Эта двойственная система используется для вычисления смысла составных термов из Т следующим образом.
Рассматриваемый терм, например, не очень молодой и не очень старый подвергается грамматическому разбору при помощи подходящего алгоритма грамматического разбора для G [37], в результате чего получается синтаксическое дерево типа показанного на рис. 5.5. Конечным вершинам этого синтаксического дерева соответствуют I) первичные термы, смысл которых определяется априори, 2) названия модификаторов (т. е. неопределенностей, союзов, отрицания и т. п.) и 3) маркеры, такие, как скобки, которые облегчают грамматический разбор.
Сначала первичным термам, соответствующим конечным вершинам дерева (рис. 5.4), назначается их смысл и затем с помощью уравнений (5.62) — (5.74) вычисляется смысл ближайших к ним нетерминальных символов. После этого дерево урезают так, чтобы вычисленные терминальные символы оказались конечными вершинами оставшегося поддерева. Этот
мо/годоймо/годойРис. 5.5. Вычисление смысла значения 附е очень молодой и не очень старый.Рис. 5.5. Вычисление смысла значения 附е очень молодой и не очень старый.очень Р старыйочень Р старыймолодой
мо/годой
мо/годой
Рис. 5.5. Вычисление смысла значения 附е очень молодой и не очень старый.
Рис. 5.5. Вычисление смысла значения 附е очень молодой и не очень старый.
очень Р старый
очень Р старый
Рис. 5.4. Синтаксическое дереводля значения не очень моло-дой и не очень старый.
процесс повторяется до тех пор, пока не будет вычислен смысл терма, соответствующего корню исходного синтаксического дерева.
Применяя эту процедуру к синтаксическому дереву, пока* данному на рис. 5.5, мы сначала приписываем термам моло^ Оо近 и старый смысл, выраженный формулами (5.45) и (5.46). Затем, используя (5.73) и (5.74), находим
D7 = молодой (5.75)
£и = старый.
Далее по (5.71) и (5.72) получаем
(5.76)(5・77)(5.76)(5・77)А = D； = молодой^
(5.76)
(5・77)
(5.76)
(5・77)
8)^^о^^^ 7 7 8 8 8 8 88)^^о^^^ 7 7 8 8 8 8 8£*io = £h = старый^.
8)^^о^^^ 7 7 8 8 8 8 8
8)^^о^^^ 7 7 8 8 8 8 8
Следуя этой процедуре, получаем
С5 = О6 = молодой^. С9 = Ею = старый^, & = 1 С5 = ~] (молодо说2), & = 1С9 = 1 (старый^), Аз = & = 1 {молодой^), %2 = "з П ^8 = 口 (молодой2) П1 (старый) и, следовательно,
не очень молодой и &с очень старый = =1 (молодой) f| ~\(старый^\
что согласуется с ранее полученным выражением (5.44).
Основное назначение описанной выше процедуры состоит в том, чтобы связать смысл составного терма со смыслом составляющих его первичных термов посредством системы уравнений, определяемой грамматикой, порождающей термы в 7\ В случае булевой лингвистической переменной примера 5.10 это сделать довольно просто. В общем случае природа неопределенностей в лингвистической переменной и ее грамматика могут быть таковы, что вычисление смысла значе^ ний переменной окажется нетривиальной проблемой.
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Лингвистическую переменную можно представить графически аналогично графическому представлению объекта в вeн^
Рис. 5.6. Представления лингвистической переменной как объекта венского языка.Рис. 5.6. Представления лингвистической переменной как объекта венского языка.
Рис. 5.6. Представления лингвистической переменной как объекта венского языка.
Рис. 5.6. Представления лингвистической переменной как объекта венского языка.
ском языке [41], [42], [43]. Переменная 0 при этом представляется кустом с корнем (см. рис. 5・6), обозначенным 奧,и
Рис. 5.7. Представление лингвистической переменной Возраст как объекта венского языка.
3
Рис. 5.8 Представление лингвистической переменной Внешность с помощью дерева
ребрами, обозначенными названиями значений переменной 勿, т. е. Xi, Х2, ... • Объект, приписанный ребру Хь есть смысл значения X/. Например, в случае переменной Возраст ребра можно обозначить как молодой, старый, не молодой и т. п., а смысл каждого такого названия можно представить в виде графика функции принадлежности нечеткого множества, которая является смыслом этого названия (рис. 5.7). Важно отметить, что в случае структурированной лингвистической
переменной как названия ребер, так и названия приписанных к ним объектов порождаются алгоритмически синтаксическим и семантическим правилами, соответствующими этой переменной.
В более общем случае граф лингвистической переменной может иметь вид не одиночного куста, а более сложного дерева (см. рис. 5.8). При этом название значения переменной порождается путем последовательного приписывания (конкатенации) названий ребер, составляющих цепь, которая соединяет с корнем соответствующую этому значению конечную вершину дерева.
Например, для дерева, изображенного на рис. 5.8, состав* ным названием, соответствующим цепи от узла 3 к корню дерева, является очень высокий, совсем толстый, очень умный.
Этим мы заканчиваем обсуждение основных аспектов понятия лингвистической переменной. В следующих параграфах мы концентрируем наше внимание на некоторых приложениях этого понятия.
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИ И НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
В каждодневных разговорах мы часто характеризуем степень истинности утверждения посредством таких выражений, как очень верно, совершенно верно, более или менее верно, ложно, абсолютно ложно и т. д. Сходство между этими выражениями ：и значениями лингвистической переменной наводит на мысль (о том, что в ситуациях, когда истинность или ложность утверждения определены не достаточно хорошо, может оказаться ^целесообразным трактовать истинность как лингвистическую переменную, для которой истинно и ложно — лишь два первичных терма в терм-множестве этой переменной, а не пара крайних точек в множестве значений истинности. Такую переменную будем называть лингвистической переменной истинности, а ее значения — лингвистическими значениями истинности.
Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой лингвистической логике, или просто нечеткой логике, которая совершенно отлична от обычной двузначной или даже многозначной логики. Эта нечеткая логика является основой того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями, т. е. видом рассуждений, в которых значения истинности и правила вывода являются нечеткими, а не точными. Приближенные рассуждения во многом сродни рассуждениям, которыми пользуются люди в некорректно определенных или не поддающихся количественному описанию ситуациях. В самом деле, вполне возможно, что многие, если не большинство человеческих рассуждений по своей природе приближенны, а не точны.
В дальнейшем будем пользоваться термином высказывание для обозначения утверждений вида: «и есть Л», где и — название предмета, а А — название нечеткого подмножества универсального множества U, например «Джон — молодой»,《X — малый», «яблоко — красное» и т. п. Если интерпретировать Л как нечеткий предикатг), то утверждение《〃 есть 力》можно перефразировать как «и имеет свойство 4》.Эквивалентно этому высказывание «и есть 4》можно интерпретировать как урав-
Более точно, нечеткий предикат можно рассматривать как эквивалент функции принадлежности нечеткого множества. Чтобы упростить терминологию, будем считать А и 以 одним и тем же нечетким предикатом
нение назначения, в котором лингвистической переменной,, обозначающей какое-либо свойство элемента 〃， назначается в качестве значения нечеткое множество Д, например
Джон — молодой с Возраст (Джон) = молодой}X — малый с Величина (X) = малый\яблоко — красное с Цвет (яблоко) = красный.
Будем предполагать, что высказыванию типа《〃 есть Л» соответствуют два нечетких подмножества: 1) М (Л) — смысл Л, т. е. нечеткое подмножество с названием А универсального множества [/, и 2) значение истинности утверждения《〃 есть Л», или просто значение истинности Л, которое обозначается как V (Л) и определяется как возможно нечеткое подмножество универсального множества значений истинности 匕 В случае двузначной логики V = T + F (7全 истинно,尸全 ложно). В дальнейшем, если не будет оговорено противное, будем предполагать, что V = [0, 1].
Значение истинности, являющееся числом в [0, 1], например и (4) = 0.8, будем называть числовым значением истинности. Числовые значения истинности играют роль значений базовой переменной для лингвистической переменной Истинность. Лингвистические значения переменной Истинность будем называть лингвистическими значениями истинности. Более точно будем предполагать, что Истинность — название булевой лингвистической переменной, для которой первичным является терм истинный, а терм ложный определяется не как отрицание терма истинный, а как его зеркальное отражение относительно точки 0.5 в [0, I]). Обычно будем полагать, что терм- множество переменной Истинность имеет вид
Т (Истинность) = истинный + не истинный +
+ очень истинный+
+ более или менее истинный +
+ очень очень истинный +
+ существенно истинный +
+ очень (&е истинны协 +
+ не очень истинный +
+...-}-ложный + не ложный +
+ очень ложный^...
•.斗 не очень истинный и не очень ложный + ・・・，(6.1)
где термы являются названиями значений истинности.
Предполагается, что смысл первичного терма истинный является нечетким подмножеством интервала V = [0, I] с функцией принадлежности типа показанной на рис. 6.1. Более точно терм истинный следует рассматривать как название нечеткой переменной, ограничением для которой является нечеткое множество, изображенное на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Функции совместимости для лингвистических значений истинности истинный и лож* ный
Одно из возможных приближений функции принадлежности значения истинный определяется выражением
0 при Owuwa,i…®= 2 при(6.2)
при
Здесь точка и = "^^ является точкой перехода. (Отметим, что носителем нечеткого множества истинный является интервал [а, 1 ].)Соответственно для терма ложный имеем (см. рис. 6.1)
Сложный(У)= Шастанный (1 —。)，。V。V 1 •
В некоторых случаях проще полагать, что терм истинный является подмножеством конечного универсального множества значений истинности
V«0 + 0.1+0.2 + ... + 0.94-1,(6.3)
а не единичного интервала V = [0, 1]. При таком предположении нечеткое множество истинный можно определить, например, так:
истинный = 0.5/0.7 + 0.7/0.8 + 0.9/0.9 + 1/1,
где такая пара, как, например, 0.5/0.7, означает, что совместимость значения истинности 0.7 с термом истинный равна 0.5.
В последующем изложении мы будем интересоваться главным образом общими соотношениями вида、
у (и — лингвистическое значение булевой лингвистической переменной 勿)= =лингвистическое значение
булевой лингвистической переменной истинности 夕，(6.4) как, например,
V (Джон — высокий и темный и красивый)=
=&е очень истинный и не очень ложный^
где высокий а темный и красивый — лингвистическое значение переменной 勿 А Внешность, а не очень истинный и не очень ложный — лингвистическое значение переменной истинности 夕.Сокращенно (6.4) будем записывать в виде
^(Х) = Л
где X — лингвистическое значение переменной 勿，а Т — лингвистическое значение переменной 夕.
Далее предположим, что Хх, Х2 и XJX2, где * обозначает бинарную связку, — лингвистические значения переменной 勿 со значениями истинности и(Х0, у (Х2) и у (Xj * Х2) соответственно. Основной вопрос, возникающий в связи с этим, состоит в следующем: можно ли выразить у (X】* Х2) как функцию v (Х0 и 0(X2), т е. можно ли писать
0(Х「Х2)= и(Х])*"(Х2),(6.5)
где *' обозначает бинарную связку, соответствующую лингвистической переменной истинности 次 i). Именно этот вопрос лежит в основе последующего изложения.
С алгебраической точки зрения и можно рассматривать как гомоморфное отображение 7 (勿)т 7 (夕)，где Т (勿)，Т 位)—терм-множества соответствующих переменных, а *' обозначает операцию в множестве 7(歹), индуцированную операцией *.
ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ В НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ
Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания А и В, зная лингвистические значения истинности высказываний Д и В.
При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если Л — нечеткое подмножество универсального множества U и 〃三 U, то два следующих утверждения эквивалентны:
Степень принадлежности элемента и нечеткому множеству А есть 財(〃).
Значение истинности нечеткого предиката Л есть( * 丿 卩4 (〃) •
Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания А и В, если заданы лингвистические значения истинности Л и В?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента 〃 множеству 力 П В, если заданы степени принадлежности элемента и множествам А и В?》
Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не, а также связок 〃, или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.
В частности, если у (Д) — точка в У = [0, 1], представляющая значение истинности высказывания «и есть 4》(или просто Д), где и — элемент универсального множества U, то значение истинности высказывания не А (или [ Л) определяется выражением
о(*е 4) = 1—и(/)・(6.7)
Предположим теперь, что о (4) —не точка в [0, 1], а нечеткое подмножество интервала [0, 1], представленное в виде
и (4) = &/力 + ・・・ + %/%,(6.8)
где Vt — точки в [0, 1], а |“一 их степени принадлежности множеству v(A). Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для v(ne А) как нечеткого подмножества интервала [0, 1], т. е.
и(аe 用=""(1-⑷ + …+ 卩〃/(1 - %).(6.9)
В частности, если значение истинности 4 есть истинно, т. е.
V (Л) = истинно.(6.10)
то значение истинности ложно можно записать в виде ложный ^ у (яе 4).(6.11)
Например, если
истинный = 0.5/7 + 0.7/0.8 + 0.9/0.9 + 1/1,(6.12)
то значение истинности высказывания не А имеет вид ложный = V (не А) = 0.5/0.3 + 0.7/0.2 + 0.9/0.1 + 1/0. Замечание 6.1. Следует отметить, что если истинный = jxi/yi + ・・・ + к"%,(6.13))
то согласно (3.33), имеем
не истинный = (1 —卩0/力 + ・・・ + ( 1 — к〃)勿公(6.14'))
Однако если
V (Л) = истинный ~ 阿/力 + ・・・ + 此/%, 一 (6.15))
то
ложный = о (&е А)=卩"(1 — %) + ・・・ + 卩"(1 — %).《6.16)
То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),
очень истинный =卩;/力 +，.. + 威/%•(6.17)
С другой стороны, значение истинности высказывания очень А равно
、 V (очень 4)=阿/货 + ... + %/哈(6.18)
Перейдем к бинарным связкам. Пусть и (/) и и (В) — лингвистические значения истинности высказываний Л и В соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда v (Л) и у (В) — точки в [0, 1]:
火用八0(B)
вместо
и(4 〃 В),
(6.19}
。(用 V"B)
вместо
у (Л или В),
(6.20)
у (/)=>и(В)
вместо
и(4пВ),
(6.21)
1。⑷
вместо
V (не Д),
(6.22)
имея при этом в виду, что в случае, когда。⑷ и v (В)— точки в [0, 1], операции V， А и 1 сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.
Далее, если у (Л) и v (В) — лингвистические значения истинности, заданные выражениями
и (4) = %/内 + …+ а〃/%,(6.23)
о (В)=伝/g + ・・• + 8m恤т,(6・24)
где s и а»； —точки в [0, 1], а % и pz — соответствующие им степени принадлежности множествам Л и В, то, применяя принци п сбобще ния "к и(/ 〃 В), получим
и(4 〃 8) = и(4) А 0(8) =
=Qj/S + ・・• + а〃勿)Л (₽1/^1 + ・・・ + ₽m/^m)=
=2 (% 八 s)/(s Л g)・(6.25)
Таким образом, значение истинности высказывания А и В есть нечеткое подмножество интервала [0, 1], носитель которого состоит из точек вида
S Л 侬/，力=1,・・・,n, /= 1, ..., т,
с соответствующими степенями принадлежности (а； Д р；). Отметим, что выражение * (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.
Пример 6.2. Предположим, что
и (Л) = истинный = 0.5/0.7 + 0.7/0.8 + 0.9/0.9 +1/1 (6,26) и
и(В) = %е истинный ==
=1/0+ 1/0.1 + 1/0.2+ 1/63+ 1/04+ 1/0.5 +
+ 1/0.6 + 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 0.1/0.9.(6.27)
Тогда, используя (6.25), получаем
о(4 〃 В) = истинный Д не истинный =
= 1/(04-0.1+0.2 + 0.3 + 0.4 4-0.5 + 0.6) +
+ 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 0.1/0.9 =
=&е истинный.(6.28)
Аналогично, для значения истинности высказывания А или В получим
V (Л или В) == у (Л) V и (В)=
=@1/” + …+ а〃/嗚 V (Р1/^1 + ・•・ + Pm/^m)=
= 2(% VPj)/(sV/・(6.29)
Значение истинности высказывания 4 п 5 зависит от того, как определена связка п для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда у (Л) и v (В) — точки в [0, 1], мы положим (см. (8.24))
и (4 => В) = [и⑷ V。(А) Л и (В),(6.30)
то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20) и (/ п В) = ((S/S + …+ а"%) П (伝耽 + …+ Pm^m))=
(6.31)
для случая, когда у (Л) и у (В) — нечеткие подмножества интервала [0, 1].
Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом Д в высказывании истинный Д не истинный. В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный, и связка и определяется отношением
М (истинный а не истинный)=
=М (истинный) ПМ(*е истинный}, (6.32)
где Л1 (Л) — смысл терма Л (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный Д не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный Д не истинный, которое получается из равенства (см. (6.19))
v(A и В) = у (Л) /\°(В)・(6.33)
Таким образом, в (6.32) символ П обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ 八 обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть V = 0 + 0.1 +•••+ h а Р и Q — нечеткие подмножества множества V, определяемые следующим образом:
Р = 0.5/0.3 + 0.8/0.7 + 0.6/1,(6.34)
Q = 0.1/0.3 + 0.6/0.7+ 1/1.(6.35)
Тогда .
р П Q = 0.1/0.3 +0.6/0.7 + 0.6/I,(6.36)
в то время как
Р Л Q = 0.5/0.3 + 0.8/0.7 + 0.6/1.(в.37)
Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отри* цания не и операции ~], как указывалось в замечании 6.1.
Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя прин* цип обобщения (3.96) к вычислению значений и(А 〃 В),
4 Л. Заде
V (Л или В) и и(/пВ), мы молчаливо предполагали, что V (Д) и у (В) — невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если у (Д) и у (В) — взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и ⑷ и у (В) возникает даже в том случае, когда v (Л) и v (В) — точки в [0, 1], а не нечеткие переменные.
Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций V， /\, п и ] применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматри-
Рис. 6.2. Множества уровня значений истинности вы* сказываний 4 и В.
ваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трехзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64)).
Приведенные выше выражения для у (яе Л), v (А и В) и V (А В) становятся более ясными, если мы сначала разложим и(4) и у (В) по множествам уровня и затем применим принцип обобщения в форме множеств уровня (см. (3.86)) к операциям 1, Д, V н П・ Это дает нам простое графическое правило вычисления значений истинности (см. рис. 6.2). Пусть интервалы [的，饱]и [瓦，员]суть множества a-уровня для о (4) и и (В). Тогда, используя обобщения операций 1, 人 н V на интервалы (см. (3.100))
1 [%, 0г]и[1—02, 1 —^1]» (6.38)
[%,闻 A [瓦，匕2]=а л а，& A 显], (6.39) a,m V I厶，员]=[% V 瓦，"2 V ，2L (6.40)
можно легко найти множества a-уровня для у («е Л), v{A и В) и V (А или В). После того как эти множества уровня найдены, легко определить и(*е Л), v(A и В) и у (Л или В), варьируя а от 0 до 1.
В качестве простой иллюстрации рассмотрим определение конъюнкции лингвистических значений истинности у (Л) А £ истинный и у (В) 4 ложный, функции принадлежности которых имеют вид, показанный на рис. 6.1.
юнкции значений истинный и ложный^
Видно (рис. 6.3), что для всех значений а
[&,饱]八[瓦，М = [Ьъ 匕2],(6.41)
откуда следует, что (см. (3.118))
[瓦，匕2〕а[а：ь 做工(6.42)
Таким образом, зная лишь форму функций принадлежности значений истинный и ложный, можно заключить, что
истинный А ложный = ложный.(6.43)
что согласуется с (6.25).
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИИ ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
В двузначной, трехзначной и вообще n-значной логиках бинарные связки Д, Vй обычно определяются таблицей значений истинности высказываний А и В, А или В или А=> В в терминах значений истинности высказываний А и В.
Поскольку в нечеткой логике число значений истинности, вообще говоря, бесконечно, операции /\, V и п нельзя определить табулированием. Однако может быть желательным 4*
протабулировать, скажем, операцию Д для некоторого представляющего интерес конечного множества значений истинности, например: истинный, не истинный, ложный, очень истинный, очень (не истинный), более или менее истинный и т. п. Если каждый элемент f-й строки такой таблицы соответствует, скажем, значению не истинный, каждый элемент /-го столбца — значению более или менее истинный, то
(i, /)-й элемент = значение элемента i-й строки (4 не истин^
ный) Д значение элемента /-го столбца (纟 более
или менее истинный}. (6.44)
При заданном определении первичного терма истинный и определениях модификаторов не и более 必44 менее можно вычислить правую часть выражения (6.44)
не истинный Д более или менее истинный, (6.45)
используя (6.25). Однако трудность состоит в том, что в большинстве случаев результатом вычисления будет нечеткое подмножество универсального множества значений истинности, которое может не соответствовать ни одному из значений истинности в терм-множестве переменной Истинность. Таким образом, если мы хотим иметь таблицу лингвистических значений истинности, нам придется довольствоваться приближенным значением (£, /)-го элемента таблицы, т. е. выражения (элемент i-й строки Д элемент /-го столбца). Такое приближение будем называть лингвистшьеским приближением (см. рис. 1.5).
Предположим для иллюстрации, что универсальное множество значений и стинности имеет вид
У = 0 + 0.1+0.2 +…+ 1(6.46)
и что
истинный = 0.7/0.8 + 1/0.94-1/1,(6.47)
более или лгеяе^ = 0.5/0.64-0.7/0.7+1/0.8+1/0.9+1/1, (6.48) почти истинный = 0.6/0.8 + 1/0.9 + 0.6/1.(6.49)
Предположим, что в таблице истинности для связки V 1-й строке соответствует значение более или менее истинный, а /-му столбцу — почти истинный. Тогда для (i, /)-го элемента таблицы получаем
более или менее истинный V почти истинный =
=(0.5/0.6 + 0.7/0.7+ 1/0,8 + 1/0.9 +
+ 1/1) V (0.6/0.8+ 1/0.94-0.6/1) =
= 0.6/0.8+1/07.9+ 1/1.(6.50)
Теперь видно, что правая часть (6.50) приближенно равна значению истинный, определенному выражением (6.47). Следовательно, в таблице истинности для связки V лингвистическим приближением (i, /)-го элемента будет значение истинный.
ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИнеизвестно и не определено
Среди возможных значений истинности лингвистической переменной Истинность два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество 6 и единичный интервал [0, 1], которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала [0, 1]. Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности не определено и неизвестно) соответственно. Для удобства будем обозначать эти значения истинности символами Он?, понимая при этом, что би? определяются выражениями
1
©£\0勿(6.51)
о
? £ У = универсальное множество значений истинности =
= [0, 1]= 1
= \1/®・(6.52)
о
Значения неизвестно и не определено, интерпретируемые как степени принадлежности, используются также в представлении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три возможности выражения степени принадлежности точки 〃 в U: 1) число из интервала [0, 1]; 2) 9 (〃е определено)', 3) ? (неизвестно).
Рассмотрим простой пример. Пусть
U = а + 匕 + с + d + е・(6.53)
Возьмем нечеткое подмножество множества U вида
4 = 0.1 а + 0.9 匕 + ?с+6d・(6.54)
В этом случае степень принадлежности элемента с множеству Л есть неизвестно, а степень принадлежности d есть не определено. В более общем случае А может быть
4 = 0」о + 0.9匕 + 0・8?с + %,(6.55)
где имеется в виду, что степень принадлежности элемента с множеству А частично неизвестна, причем член 0.8? с интерпретируется следующим образом:
0.8?c = q0・8/"/c.(6.56)
Важно четко понимать разницу между 0 и 6. Когда мы говорим, что степень принадлежности точки 〃 множеству А есть 8, мы имеем в виду, что функция принадлежности 卩厶：U->[0, 1] не определена в точке и. Предположим, например, что U — множество действительных чисел, а Цд —функция, определенная на множестве целых чисел, причем 卩斗(〃)=1, если и — четное, и 卩力(〃)= 0, если и — нечетное. Тогда степень принадлежности числа 〃=1.5 множеству А есть 0, а не 0. С другой сторсны, если бы 財 была определена на множестве действительных чисел и 卩貝(и) = 1 тогда и только тогда, когда и — четное число, то степень принадлежности числа 1.5 множеству Л была бы равна 0.
Поскольку мы умеем вычислять значения истинности высказываний А и В, А или В и не В по заданным лингвистическим значениям истинности высказываний 4 и В, нетрудно вычислить и значения v(A и В), у (Д или В), и (яе В), когда у (В) = ?. Предположим, например, что -1
v(A) = ^(v)/v,(6.57)
о
1
о (В) = ? =，1/侬.(6.58)
о
Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим
111 I
О ⑷ А ? = \ N ®)/и А р/^ = Ин (S/e А е)，(6.59)
ооо о
где
逗宁•(6.60)
00[0, 1]х[0,1]
После упрощения (6.59) сводится к выражению
1
и ⑷/\?=§(V 卩 е))/®・(6.61)
0 [叫И
Другими словами, значение истинности высказывания А и В, где V (В) = неизвестно, есть нечеткое подмножество интервала [0, 1], степень принадлежности которому точки w равна sup |х (0 (функции принадлежности Д) на интервале [叫 1].
Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания 4 со значением истинности неизвестно (=?)•Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания 4 со значением истинности неизвестно (=?)•
Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания 4 со значением истинности неизвестно (=?)•
Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания 4 со значением истинности неизвестно (=?)•
Аналогично находим, что значение истинности высказывания Л или В выражается в виде
1 11
v(A или В) = ^ |х (у)/(у V с^) = J (V М。))/叽 (6.62) о оо L。，叨
Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) легко получить с помощью описанной выше графической процедуры (см. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан на рис. 6.41).
Обращаясь к случаю и (В) = 6, находим
1 11
и(4) Д 8 = ,，0/(и/\ ®) = \0/@ = 8(6.63)
о оо
и аналогично для и (Л) V ®・
0 Wu Wsup 卩(叫[о, i]
j 卩(и), v(A или В) = <j 卩(и), v(A или В) = <G > sup 卩(и),[0> 1]
j 卩(и), v(A или В) = <
j 卩(и), v(A или В) = <
0 W и W sup 卩(о),[0, 1]
Поучительно проследить, что происходит с приведенными выше соотношениями, когда мы применяем их к частному случаю двузначной логики, т. е. к случаю, когда универсальное множество имеет вид
U = 0+l,(6.64)
или в более привычном виде
V^T + F,(6.65)
где Т означает истинный, a F — ложный. Поскольку ? есть 匕 мы можем отождествить значение истинности неизвестно со значением истинный или ложный, т. е.
? = Т +尸.(6.66)
Результирующая логика имеет четыре значения истинности 6, 7\ 户口 丁4•尸(纟？) и является обобщением двузначной логики в смысле замечания 6.5.
Поскольку универсальное множество значений истинности состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы истинности для операций V， /\ и П в этой четырехзначной логике непосредственно, т. е. без использования общих формул (6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения к операции Д, сразу получаем
7 Л 6 = 8，(6.67)
Т /\(T + F)^=T ^F + T ^F^
= T + F,(6.68)
F /\(T + F) = F /\T + F =
=尸 + F =
=£(6.69)
(T + F) MT + F)=^T ^T + T /\F + F ^T + F ^F^=T +尸+尸+尸=
= T + A(6.70)
и поэтому расширенная таблица истинности для операции Д имеет следующий вид (см. табл. 6.5).
Таблица 6.5
人1
Iе
7
F
7斗尸
0
0
е
е
F
t+尸
6
尸
8
7+尸
尸
T+F
Выбросив из нее элементы 9, получаем табл. 6.6.
Таблица 6.6
Д г Г T-\-F
7尸+7尸+尸7 尸Г+尸7 尸Г+F尸尸F尸尸尸 尸4-尸+тт尸 尸4-尸+тт
7尸+
7尸+
尸
7 尸Г+
尸
7 尸Г+
F尸尸
F尸尸
尸 尸
4-尸+
тт
尸 尸
4-尸+
тт
Аналогично, для операции V получаем табл. 6.7.
Таблица 6.7
VVт 尸т+尸т 尸т+尸尸F т ++ тт尸TF + т т тт尸т尸 + 7尸F т ++ тт尸TF + т т тт尸т尸 + 7
V
V
т 尸т+尸
т 尸т+尸
尸F т ++ тт
尸
TF + т т тт
尸
т尸 + 7
尸F т ++ тт
尸
TF + т т тт
尸
т尸 + 7
Как и следовало ожидать, эти таблицы согласуются с таблицами истинности для операций Д и V в обычной трехзначной логике [46].
Описанный выше подход проливает некоторый свет на определение операции п в двузначной логике —в некотором смысле спорный вопрос, который мотивировал развитие модальной логики [45], [47]. В частности, вместо общепринятого определения связки = мы можем определить ее как связку в трехзначной логике с помощью неполной таблицы истинности (табл. 6.8), которая отражает интуитивно понятную
Таблица 6.8
q、T+尸
T
F
T
идею о том, что если Л => В 〃ст〃&но и 4 ложно, то значение истинности высказывания В неизвестно. Теперь можно поставить вопрос: как следует заполнить пустые клетки в табл. 6.8, чтобы в результате применения принципа обобщения получить значение (2,3)-го элемента, равное Т? Итак, обозначая неизвестные (2,1)-й и (2,2)-й элементы через хну соответственно, мы должны получить
Fn(T + F) = HnT) + (FnF) =
(6.71)
(6.72)(6.72)На этом связки п в истинности:На этом связки п в истинности:откуда с необходимостью следует, что х = у = Т.
(6.72)
(6.72)
На этом связки п в истинности:
На этом связки п в истинности:
пути мы приходим к обычному определению двузначной логике в виде следующей таблицы
т
尸
т
т
尸
尸
т
т
Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значения истинности неизвестно в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые из понятий и соотношений обычных двузначной и трехзначной логик. Эти логики, конечно, можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности неизвестно является весь единичный интервал, а не множество 0+1.
СОСТАВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ИСТИННОСТИ
В предыдущем изложении мы ограничились рассмотрением унарных в смысле определения 2.1 лингвистических переменных истинности. Ниже мы определим понятие составной переменной истинности и коротко остановимся на некоторых его свойствах.
Итак, пусть
人 八…,/\) (6.73)
обозначает n-арную составную лингвистическую переменную истинности, где 夕厶 i = 1, ...,〃, 一 унарная лингвистическая переменная истинности с терм>множеством 7\, универсальным множеством Vi и базовой переменной а (см. определение 5.1). Для простоты будем иногда пользоваться символом 夕；для обозначения как названия г-й переменной в (6.73), так и общего названия значений истинности переменной 夕厶 Кроме того, будем предполагать, что Т1 = Т2 = ... ==ТП и (\ = = 旷2= •・• = Ь〃==[0, 1]. Если рассматривать 夕 как составную переменную, компоненты которой — переменные 夕ъ ..., 夕厶 —— принимают значения из соответствующих множеств 夕i,..., Tq то 夕 является /z-арной обычной (не нечеткой) переменной (см. (2.3) и далее). Таким образом, ограничение R (/), обусловленное переменной 夕\ есть обычное (не нечеткое) отношение в декартовом произведении Лх ... хТл, которое
можно представить как неупорядоченный перечень упорядоченных наборов вида
R(^)= (истинный, очень истинный, лож- &从近,・・•, вполне истинный) + (вполне истинный, истинный, очень истин-礼 74) ный, ... , очень истинный} + (истин- ( * 丿 ный, истинный, более или менее истинный. ..., истинный) + ...
Наборы из п термов в R (夕)будем называть списками назначенных значений истинности, так как каждый такой набор можно интерпретировать как результат назначения значений истинности списку высказываний {^ ... , Ап, причем
А^АЪ ... , Ап)(6.75)
представляет собой составное высказывание. Если, например, 4 金(Скотт высокийу Пэт темноволосый.
Тина очень хорошенькая),
то тройка значений в R (夕)вида (очень истинный, истинный, очень истинный} соответствует следующим уравнениям назначения:
V (Скотт высокий}= очень истинно, (6.76)
у (Пэт темноволосый}= истинно,(6.77)
у (Тина очень хорошенькая) = очень истинно, (6.78)
Основываясь на этой интерпретации наборов в R (夕)， мы будем часто называть R (夕) распределением, значений истинности. Соответственно этому ограничение R(k*,・・• ...,歹%), обусловленное Л-арной переменной (夕§,・・•，炉%), где q = (fi, ... , ik) — подпоследовательность последовательности индексов (1, ... , п), будем называть маргинальным распределением значений истинности, индуцированным распределением R (к 1,..., 夕九)(см. (2.8)). Далее, используя обозначения, принятые в § 2 (см. также замечание 4.7), соотношение между
R吟,...，，%) и 吋1,...，夕〃)
сокращенно можно выразить формулой
RbQ = PqR6,(6.79)
где Ря обозначает операцию проектирования на декартово произведение Т^х ... xTik，
Пример 6.6. Предположим, что R (夕)имеет вид
R4 R (夕^ 1,夕2, ^з)—
=(истинный, вполне истинный, очень истинный) + {очень истинный, истинный, очень очень истинный) + {истинный, ложный, вполне истинный} + + (ложный, ложный, очень истинный}.(6.80)
Чтобы получить R (夕i, 夕2), вычеркнем компоненту 夕3 в каждой тройке и получим
R (夕 1,夕2)= (истинный, вполне истинный) + + (очень истинный, истинный) + {истинный, ложный) + (ложный, ложный}.(6.81)
Аналогичным образом, вычеркивая компоненты 夕2 в R-(夕х, 夕2), получим
R (^ 1) = истинный + очень истинный + ложный. (6.82)
Если рассматривать 夕 как n-арную обычную (не нечеткую) переменную, значениями которой являются лингвистические значения истинности, то для случая лингвистических переменных истинности определение невзаимодействия (определение 2.9) примет следующий вид.
Определение 6.7. Компоненты n-арной лингвистической переменной истинности 夕=(夕* ..., 夕九) являются ^-невзаимодействующими (X обозначает «лингвистический») тогда и только тогда, когда распределение значений истинности Rg!,..., 夕〃)сепарабельно в том смысле, что
R('i，…,夕〃)=R (夕i)x ... xRO (6.83)
Смысл этого определения в том, что если 夕八...,夕％ суть ^-невзаимодействующие переменные, то назначение конкретных лингвистических значений истинности переменным 夕(.・・,夕ik не влияет на значения истинности, которые могут быть назначены дополнительным компонентам в (夕х,... ...,夕п), т. е. компонентам 吟•］，...，歹加
Прежде чем иллюстрировать понятие Х-невзаимодействия на примерах, определим другой тип невзаимодействия, который будем называть р -невзаимодействием (Р означает базовую переменную).
Определение 6.8. Компоненты n-арной лингвистической переменной истинности 夕=(夕х, ... , /〃) являются ^-невза-
имодействующими тогда и только тогда, когда соответствующие им базовые переменные ^1, ... , vn — невзаимодействующие в смысле определения 2.9, т. е. переменные и» не связаны общими ограничениями.
Чтобы проиллюстрировать определенные выше понятия невзаимодействия, рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 6.9. Для распределения значений истинности примера 6.6 имеем
R (夕 1) = истинный + очень истинный + ложный,
R (夕2)= вполне истинный + истинный + ложный, 伶 84) R (夕з) = очень истинный + очень очень истин-('丿
ный + вполне истинный
и, таким образом,
R (夕О xR (夕2)xR (夕з) = (истинный, вполне истинный, очень истинный) + (очень истин* ный, вполне истинный, очень истинный} +
+ (ложный, ложный, вполне истинный)丰 R Ь1,夕2,夕з),
(6.85)
откуда следует, что R (夕i,夕2,夕з) —не сепарабельно и, следовательно, 夕力 2, 夕 з суть ^-взаимодействующие переменные.
Пример 6.10. Рассмотрим составное высказывание вида (Л, не А) и предположим для простоты, что Т (е^) = истинный -}- ложный. С точки зрения (6.11), если значение истинности высказывания Л есть истинно, то значение истинности высказывания не / есть ложно, и обратно. Следовательно, распределение значений истинности для рассматриваемого высказывания должно иметь вид
R (夕 1,夕2)= (истинный,ложный^} + (ложный, истинный).
(6.86)
Это распределение индуцирует маргинальные распределения R (夕 0 = R (夕 2)= истинный + ложный.(6.87)
Далее,
R (夕i)xR (夕2)= (истинный + ложный) х (истинный + ^-ложный} = (истинный, истинный) + + (истинный, ложный) + {ложный, истинный} + (ложный, ложный). (6.88)
и поскольку
R (夕 1,/2)声 R ("i)xR (夕2), то отсюда следует, что 夕i и 夕2 являются Х-взаимодейст- вующими переменными.
Пример 6.11. Пример, рассмотренный выше, можно использовать и в качестве иллюстрации р-взаимодействия. В частности, независимо от значений истинности, назначенных высказываниям А п не А, из определения отрицания не (см. (3.33)) следует, что базовые переменные 以 и s связаны между собой уравнением
01 + ^2= 1・(6.89)
Другими словами, в случае составного высказывания вида (Л, не А) сумма численных значений истинности высказываний А и яе Д должна равняться единице.
Замечание 6.12. Следует отметить, что в примере 6.11 р-взаимодействие является следствием того, что высказывание Л2 связано с высказыванием Дх отрицанием. Вообще же 夕i,... ・..,夕九 могут быть ^-взаимодействующими переменными, не будучи р -взаимодействующими.
Полезное применение понятия взаимодействия связано со значением истинности неизвестно (см. (6.12)). Полагая для простоты У = Т +尸，предположим, что
Лх А Пэт живет в Беркли,(6.90)
Л2 4 Пэт живет в Сан-Франциско,(6.91)
причем одно и только одно из этих высказываний истинно. Отсюда вытекает, что хотя значения истинности высказываний 41 и Л2 суть неизвестно (纟? = 7 + 尸),т. е.
(6.92)(6.92)(6.93)(6.94)(6.93)(6.94)0⑷=7 +尸,u(4) = T + F,
(6.92)
(6.92)
(6.93)
(6.94)
(6.93)
(6.94)
они связаны между собой соотношениями
и (4) Л и(4) = Е
Распределение значений истинности для соотношений (6.90) и (6.91) можно рассматривать как решение системы уравнений
v^A^v^^T,(6.95)
v^^v^^F.(6.96)
Это реше ние имеет вид
R(/\,夕2)= (7，尸)+ (尸，7).(6.97)
Отметим, что из (6.97) вытекает
и(4) = R (夕О^T + F.(6.98)
и (4) = R (夕2)= 7 + 尸，(6.99)
что согласуется с (6.92). Отметим также, что 夕工 н "? суть Р-взаимодействующие переменные в смысле определения 6.8,
где V = T + F.
Далее, если 4 и Л2 заменить на
41 = Пэт жил в Беркли,(6.100)
4 2 Пэт жил в Сан-Франциско(6.101)
и допустить, что и 4], и Д2 могут быть истинными, то мы по- прежнему будем иметь
0(4) = ? = 7 + 尸，(6.102)
u(4) = ? = 7 + F,(6.103)
но уравнение связи примет вид
矶 4) Vo (4) = Г(6.104)
В этом случае распределение значений истинности является решением уравнения (6.104) и имеет вид
R (歹 1, о^2)^ (истинный, истинный) 4
+ (истинный, ложный) + (ложный, истинный}. (6.105)
Важный вывод, который можно сделать из рассмотренных выше примеров, состоит в том, что в некоторых случаях распределение значений истинности может быть задано в неявном виде, например как решение системы уравнений, а не как список упорядоченных наборов п значений истинности. Как правило, это бывает в том случае, когда лингвистические значения назначаются не каждому высказыванию 4； в А = (Ль ..., Дл), а булевым выражениям, содержащим две или большее число компонент 4
Следует также отметить, что распределения значений истинности могут быть вложенными. Так, в случае унарного высказывания мы можем иметь вложенную последовательность высказываний вида
《《《Вера очень очень умна》—очень истинное — истинное.
(6.106)
Ограничения, индуцированные высказываниями такого типа, можно вычислять следующим образом.
Пусть базовой переменной в (6.106) является КИ】)，и пусть Ro (КИ) обозначает ограничение на переменную КИ. Тогда высказывание «Вера очень очень умна» означает, что
Ro (КИ) = очень очень умна. (6.107)
Далее, утверждение ««Вера очень очень умна» — очень истинно» означает, что значение степени принадлежности Веры нечеткому множеству R。(КИ) есть очень истинно (см. (6.6)). Пусть ^онень истинно обозначает функцию принадлежности нечеткого множества очень истинно (см. (6.17)) и пусть к% обозначает функцию принадлежности RQ (КИ). Будем рассматривать 卩& как отношение2): [область значений КИ] [0, I], и пусть 卩戾: обозначает обратное отношение. Тогда 闽 индуцирует нечеткое множество Rr (КИ), определяемое равенством
Ri(KH) = n反；(очень истинно), (6.108)
причем R】(КИ) можно вычислить при помощи принципа обобщения в форме (3.80). Нечеткое множество Ri (КИ) представляет собой ограничение на КИ, индуцированное высказыванием ««Вера очень очень ум*。》—очень истинно».
Продолжая рассуждать аналогичным образом, приходим к выводу о том, что ограничение на КИ, индуцированное высказыванием «««Вера очень очень умна^> — очень истинно^ — истинно^, можно выразить следующим образом:
R2 (КИ) = ^； (истинно), (6.109)
где 卩Е обозначает отношение, обратное к р,^ — функции принадлежности ограничения 7?1(КИ), имеющего вид (6.108). Итак, мы получили способ вычисления ограничения, индуцированного вложенной последовательностью высказываний типа (6.106).
Основная идея изложенного выше метода состоит в том, что высказывание вида ««и есть 4》есть 7》,где А — нечеткий предикат и Т — лингвистическое значение истинности, видоизменяет ограничение, связанное с Л, в соответствии с выражением
4=卩才(7),
где \j^ — функция, обратная функции принадлежности 4 а А — ограничение, индуцированное высказыванием ««и есть 4» есть 7》.
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИИ УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ
В классическом теоретико-вероятностном подходе событие А определяется как элемент a-поля ^/ подмножеств пространства элементарных событий Q. Так, если Р — нормированная мера над измеримым пространством (Q, з^), то вероятность Р(А) события А определяется как мера множества А и является числом из интервала [0, 1].
Существует много реальных проблем, в которых нарушается одно или больше предположений, неявно присутствующих в приведенном выше определении. Во-первых, часто бывает плохо определено само событие Л, как, например, в вопросе «Какова вероятность того, что завтра будет теплый 0е*ь?》В этом случае событие теплый день — нечеткое событие в том смысле, что не существует резкой грани между его появлением и непоявлением. Как показано в [48], такое событие можно охарактеризовать как нечеткое подмножество А пространства элементарных событий R с измеримой функцией принадлежности 卩若.
Во-вторых, даже если Л — вполне определенное обычное (не нечеткое) событие, его вероятность Р (Д) может быть определена плохо. Например, на вопрос《Какова вероятность того, что через месяц средняя цена на акции фирмы 《Доу Джонс» будет выше?» было бы, по-видимому, неразумно однозначно отвечать числом, например 0.7. В этом случае неопределенный ответ типа «вполне вероятно» более соответствовал бы нашему нечеткому пониманию динамики цен на акции и, следовательно, более реалистично, хотя и менее точно, характеризовал бы рассматриваемую вероятность.
Ограничения, обусловленные предположением о том, что Л — вполне определенное событие, можно устранить по крайней мере частично, если допустить, что 4 может быть нечетким событием, как это было сделано в [48]. Другой и, возможно, более важный шаг, который можно предпринять с целью сделать теорию вероятностей применимой к плохо определенным ситуациям, состоит в допущении того, что вероятность Р может быть лингвистической переменно访 в смысле определения, данного в § 6. Ниже мы изложим в общих чертах, каким
образом это можно сделать, и исследуем некоторые элементарные следствия, вытекающие из того, что вероятность Р — лингвистическая переменная.
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Чтобы упростить изложение, будем рассматривать переменную X с конечным универсальным множеством
U = % + 〃2 + • • • + 〃九.(7.1)
Кроме того, будем предполагать, что ограничение, обусловленное X, совпадает с U. Иными словами, любая точка в U может быть выбрана в качестве значения переменной X.
Каждому элементу uh f = 1, ..., п, мы поставим в соответствие лингвистическую вероятность 加,,которая является булевой лингвистической переменной в смысле определения 5.9; pt, О W р? W 1,—базовая переменная для 仔厶 Для определенности предположим, что универсальное множество соответствующее 砂厶 представляет собой либо единичный интервал [О, 1], либо конечное множество '
V^0 + 0.1+... + 0.94-1. (7.2)
Будем употреблять 仔 в качестве общего названия переменных 辭»; типичное терм-множество для имеет такой вид:
Т @) = правдоподобно + не правдоподобно +
+неправдоподобно+
+ очень правдоподобно + более или менее правдоподобно + очень неправдоподобно + …
・・• + вероятно + невероятно + очень вероятно + + ни очень вероятно, ни очень невероятно +.・・ ...+близко м 0 + близко м 0」+ •.・ + близко м 1 丄.・. ... + очень близко 巾 0+очень близко к 0.1 + ...,
(7.3)
где термы правдоподобно, вероятно и близко к играют роль первичных термов.
Будем считать, что функция принадлежности нечеткого множества правдоподобно имеет тот же вид, что и функция принадлежности нечеткого множества истинно (см. (6.2)), а функции принадлежности нечетких множеств не правдоподобно и неправдоподобно определим следующим образом:
(7.4)(7.5)(7.4)(7.5)К胤е правдоподобно(Р)=1 一 ^правдоподобно(Р), ^неправдоподобно(Р)= ^правдоподобно (1 — Р), где р — общее название переменных &・
(7.4)
(7.5)
(7.4)
(7.5)
Пример 7.1. Графический пример смысла, приписываемого термам правдоподобно, не правдоподобно, очень правдоподобно и неправдоподобно, приведен на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Функции совместимости значений правдоподобно, не правдоподобно, неправдоподобно и очень правдоподобно.
Численное выражение первичного терма правдоподобно имеет вид
правдоподобно = 0.5/0.6 + 0.7/0.74-0.9/0.8+1/0.9+1/1» (7.6) откуда
не правдоподобно =« 1/(0 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5) +
+ 0.5/0.6 + 0.3/0.7 + 0.1/0.8,(7.7)
неправдоподобно = 1/0+1/0.1 + 0.9/0.2 + 0.7/0.3 + 0.5/0.4,
(7.8)
очень правдоподобно = 0.25/0.6 + 0.49/0.7 +
+ 0.81/0.8+1/0.9+1/1.(7.9)
Будем предполагать, что терм вероятно более или менее синонимичен терму правдоподобно. Терм близко к а, где а — число из интервала [0, 1], будем записывать сокращенно как а или 《а》1), считая, что а —«наилучший пример» нечеткого
В некоторых случаях в связи с типографскими трудностями вместо символа а будет употребля ться символ «а».
множества «а». Имея это в виду, можно записать
правдоподобно △ близко к 1 △ «I»,(7.10)
маловероятно 全 близко л: 0 △ «0»,(7.11)
близко к 0.8 纟 «0.8» = 0.6/0.7 + 1/0.8 + 0.6/0.9, (7.12)
отсюда следует, что
очень близко л: 0.8 = очень《0.8》=
= («0.8»)2 (в смысле (5.38)) = = 0.36/0.7+1/0.8 + 0.36/0.9.
Терм в 7(加)будем обозначать через Р, или 尸戸 в случае, когда двойной индекс необходим. Так, если 尸《△ очень правдоподобно, то Р43 обозначает, что терм очень правдоподобно назначен в качестве значения лингвистической переменной 仔3.
Введем n-арную лингвистическую переменную (Рх,..., Р〃), которая представляет собой список значений лингвистических вероятностей, соответствующий X. Саму переменную X будем называть при этом лингвистической случайной переменной. По аналогии с распределениями значений истинности (см. (6.74)) совокупность списков значений лингвистических вероятностей будем называть распределением лингвистических вероятностей.
Назначение переменной ^i значения 尸/ можно выразить равенством
呪=?，(7.13)
где 砂,используется как общее название нечетких переменных, составляющих 仔入 Например, можно писать
仔з =尸4 = очень правдоподобно,(7,14)
где очень правдоподобно можно отождествить с Р43 (т. е. со значением 尸4, назначенным переменной 毋з).
Важное свойство лингвистических вероятностей Ръ ..., Рп состоит в том, что они являются p-взаимодействующими в смысле определения 6.8. Взаимодействие между 尸/ есть следствие ограничения (+ △ арифметическая сумма)
Pi + 02 + …+ Р/г = 1,(7.15)
в котором pi — базовые переменные (т. е. числовые вероятности), связанные с р.
Более конкретно, пустьR(pi + .^ + pn=^) обозначает нечеткое n-арное отношение в [0, 1]х...Х[0, 1], представляющее (7.15). Пусть, кроме того,欠(А) обозначает ограничение на значения переменной р厶 Тогда ограничение, обусловленное
n-арной нечеткой переменной (/\, ..., Pj можно записать в виде
R(P“… 巳)=R(尸i)x.・・xR(P〃)nR(Pi + ・・・ + p九=1). (7.16)
Откуда следует, что без ограничения (7.15) нечеткие переменные Ръ ..., Рп были бы невзаимодействующими.
Пример 7.2. Допустим, что
А = правдоподобно = 0.5/0.8 + 0.8/0.9 + 1/1,(7.17)
Р2 = неправдоподобно = 1/0 +0.8/0.1 +0.5/02 (7.18) Тогда
R (尸 О х R (尸 2)= правдоподобно х неправдоподобно == (0.5/0・8 + 0・8/0・9+1/1)х
、х(1/0 + 0.8/0.14-0.5/0.2) =
= 0.5/(0.8, 0) + 0.8/(0.9, 0)+1/(1, 0) +
+ 0.5/(0.8, 0.1) + 0.8/(0.9, 0.1) + 0.8/(1, 0.1) + + 0.5/(0.8, 0・2) + 0・5/(0・9, 0.2)+ 0.5/(1, 0.2).
(7.19)
Что касается отношения R ("т+・ ・• + /?〃= 1), то его можно выразить в виде
r(〃 + P2=1) = £1/3, 1—田，儿=0, 0.1, ..., 0.9, 1, (7.20) k
и, образуя пересечение (7.19) и (7.20), получаем
R(Pi, Р2)=1/(1,0) + 0.8/(0.9^1) + 0.5/(0.8, 0.2), (7.21) т. е. выражение для ограничения, обусловленного составной переменной (尸匕尸2)・ Ясно, что R {Ръ 尸2)состоит из тех членов выражения для R(PjxR(PG, которые удовлетворяют ограничению (7.15).
Заме ча н и е 7.3. Следует отметить, что ограничение R(Pi, 「2) вида (7.21) является нормальным ограничением (см. (3.23)). Это справедливо также и в более общем случае, когда Р[ имеют вид
Pi =《qm, i=l,…，九，(7.22)
и % + ・・・ + %i=L Заметим, что в примере 7.2 мы имеем Л-«1»,(7.23)
Р2 = «0»,(7.24)
1+0=1.(7.25)
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЛИНГВИСТИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ
Во многих приложениях теории вероятностей, например, при вычислении средних значений, дисперсий и т. п., часто встречаются линейные комбинации вида (+ = арифметическая сумма)
z = OiPi + ・・・ + o歩〃，(7.26)
где щ — действительные числа, a pz — значения вероятностей из интервала [0, 1]. Если р/ — числа из интервала [0, 1], то вычисление значения комбинации z при заданных & и 卩 не представляет труда. Однако оно становится нетривиальным, когда рассматриваемые вероятности являются лингвистическими по своей природе, т. е. когда
Z = a^i + …+ 0諸〃，(7.27)
где Pt — такие лингвистические значения вероятностей, как правдоподобно, неправдоподобно, очень правдоподобно, близко я: а и т. п. Соответственно Z —не действительное число, как в (7.26), а нечеткое подмножество действительной оси W = (—оо, оо), причем функция принадлежности подмножества Z зависит от функций принадлежности р.
В предположении, что нечеткие переменные Рь ..., Рп — невзаимодействующие (не считая ограничения (7.15)), ограничение, обусловленное набором (Р^, ...» Р九),принимает вид (см. (7.16))
R (尸и, PQ = R (Р0х…xR (尸%)DR (Pi + ・・・ + P〃= 1). (7.28)
Пусть |x(Pl ..., Pn) — функция принадлежности ограничения R (Pn …，尸J и пусть 卩二⑵)一функция принадлежности ограничения R (А), г = 1, ..., и. Тогда, применяя принцип обобщения (3.90) к (7.26), можно выразить Z в виде нечеткого множества (+ △ арифметическая сумма)
Z=，|x(pi, ..., рМ^ + ^. + апРп),(7.29)
которое с учетом (7.28) можно записать как
z= § hi (Pi) A• • • АНл (pM^iPi+• • •+^nPn),(7.30)
понимая при этом, что р» в (7.30) удовлетворяют ограничению
Pi +…+ Р〃=1・(7.31)
Таким образом мы можем представить линейную комбинацию значений лингвистических вероятностей нечетким подмножеством действительной оси.
Выражение для Z можно записать другим более удобным для вычислений способом. Так, пусть 卩(z) обозначает функцию принадлежности множества Z, причем z w 取.Тогда из (7.30) следует, что
(7-32)(7.33)(7.34)(7-32)(7.33)(7.34)卩(z)= V 阿(〃)А・・・А阿(Р/
(7-32)
(7.33)
(7.34)
(7-32)
(7.33)
(7.34)
при ограничениях
2 = 0/1+ ・・・ + &"〃，Р1 + …+ Р〃 = 1 •
В этом случае вычисление Z сводится к решению задачи нелинейного программирования с линейными ограничениями. Более точно эту задачу можно сформулировать следующим образом: максимизировать z при следующих ограничениях (+ △ арифметическая сумма):
阿（〃）Az,
卩〃 (P〃)^z,(7.35)
N = OiPi +…+ 0求小
Pl + • • • + Рл = 1 •
Пример 7.4. Проиллюстрируем изложенное следующим очень простым примером. Предположим, что
尸 1 = правдоподобно,(7.36)
А = неправдоподобно,(7.37)
где
1 правдоподобно = \ ^правдоподобно (р)/р(7.38)
о
и
неправдоподобно = ~\правдоподобно. (7.39)
Тогда [см. (7.5)]
OwpwL (7.40)
Предположим, что мы хотим вычислить математическое ожидание (+ = арифметическая сумма) вида
Z = а】 правдоподобно + & неправдоподобно, (7.41)
Используя (7.23), получаем
卩(2)= V ^правдоподобно ^Р1) /\\^не правда подобно(Рз) (7.42)
Рх» Р2
при ограниченияхпри ограничениях2 = 0/1 +О2P2,Р1+「2= 1.Теперь с учетом (7.40), если Pi + Рг = 1, имеем ^правдоподобно(Pl) = ^неправдоподобно (「2),и, следовательно, (7.42) сводится к卩(％) = ^правдоподобно(Р1)，2 = %几 + %(1 一网)，2 = 0/1 +О2P2,Р1+「2= 1.Теперь с учетом (7.40), если Pi + Рг = 1, имеем ^правдоподобно(Pl) = ^неправдоподобно (「2),и, следовательно, (7.42) сводится к卩(％) = ^правдоподобно(Р1)，2 = %几 + %(1 一网)，(7.43)(7.43)(7.44)(7.44)(7.45)(7.45)
при ограничениях
при ограничениях
2 = 0/1 +О2P2,Р1+「2= 1.
Теперь с учетом (7.40), если Pi + Рг = 1, имеем ^правдоподобно(Pl) = ^неправдоподобно (「2),
и, следовательно, (7.42) сводится к
卩(％) = ^правдоподобно(Р1)，
2 = %几 + %(1 一网)，
2 = 0/1 +О2P2,Р1+「2= 1.
Теперь с учетом (7.40), если Pi + Рг = 1, имеем ^правдоподобно(Pl) = ^неправдоподобно (「2),
и, следовательно, (7.42) сводится к
卩(％) = ^правдоподобно(Р1)，
2 = %几 + %(1 一网)，
(7.43)
(7.43)
(7.44)
(7.44)
(7.45)
(7.45)
или, в более явной форме,
41 — &41 — &(7.46)(7.46)卩⑵=[^правдоподобно
41 — &
41 — &
(7.46)
(7.46)
Из этого результата следует, что нечеткость нашего знания вероятности рх приводит к соответствующей нечеткости математического ожидания (см. рис. 7.2)
z = alp1 + a2p2^
Если предположить, что универсальное множество значений вероятности есть У = 0 + 0. i +..・ + 0.9 + 1, то выражение для Z
Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной агр1 + а^Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной агр1 + а^
Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной агр1 + а^
Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной агр1 + а^
можно получить непосредственно, используя принцип обобщения в форме (3.97). В качестве иллюстрации предположим, что 尸1 = «0.3» = 0.8/0.2+ 1/0.3 + 0.6/0.4,(7.47)
% = «0.7» = 0.8/0.6 十 1/0.7 十 0.6/0.8(7.48)
и (㊉ 2 арифметическая сумма)
2 = а^г ф ^2,(7.49)
где символ ㊉ используется во избежание путаницы со знаком объединения.
Подставляя (7.47) и (7.48) в (7.49), получаем
Z = 01 (0.8/0.2 + 1/0.3 + 0.6/0.4)㊉ а2 (0.8/0.6 + 1/0.7 + 0.6/0.8)=
=(0.8/0.2的 + 1/0.3^ + 0.6/0.4^)㊉
㊉(0.8/0.6а2+ 1/0.7а2 + 0.6/0.8^2). (7.50)
Раскрывая скобки в правой части (7.50), следует иметь в виду ограничение 厶 + 〃=1, которое означает, что член вида
Hi/Pi^i ㊉ К2/Р2&(7.51)
сводится к
Н1/p1^1 ㊉卩2勿2& =
=[阿 А 卩2/(〃的㊉Р2@2), если Р1 + р2=1,52)
[0в противном случае. *
Таким образом, мы получаем
Z = 1/(0.3^1 ㊉ 0♦7^2)+ 0.6/(0.2a1 ㊉ 0.8a2)+
+ 0・6/(0・4al ㊉ 0・6d2), (7.53)
т. е. выражение для Z как нечеткого подмножества действительной оси 呼—оо, оо).
УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ
Отправной точкой предшествующего изложения было предположение о том, что каждому элементу щ конечногог) универсального множества U ставится в соответствие значение 科 лингвистической вероятности, являющееся компонентой списка значений лингвистических вероятностей (Рх,...,尸〃).
В данном контексте нечеткое подмножество Л множества U играет роль нечеткого события. Пусть (хл (uz) — степень принадлежности щ подмножеству А. Тогда если Р/ — обычные вероятности ph 0wp»Wl, то вероятность Р(4) события Л определяется как (см. [48]) (+ 4 арифметическая сумма)
Р (Л) = р,д (〃i) Pi + …+ 財(ип) рп. (7.54)
Предположение о том, что {/ — конечное множество, делается исключительно в целях упрощения изложения. Вообще же U может быть счетным множеством или континуумом.
Естественно обобщить это определение на лингвистические вероятности, определив лингвистическую вероятностьх) события Л как
Р(Л)= |Хд («1)Р1+ ... + 財(〃jPn (7.55) понимая при этом правую часть выражения (7.55) как линейную форму типа (7.27). В связи с выражением (7.55) необходимо отметить, что из ограничения
Pi+ • •• +Pn= 1(7.56)
на рассматриваемые вероятности и того, что
0W卩貝同 W1, /= 1, ..., n,следует, что Р (Л) —нечеткое подмножество интервала [0, 1].
Пример 7.5. Проиллюстрируем сказанное очень простым примером. Предположим, что
U^a + b+c,(7.57)
А = 0.4а + Ь + 0.8с,(7.58)
Ра = «0.3» = 0.6/0.2+ 1/0.3 + 0.6/0.4,(7.59)
рь = «0.6» = 0.6/0.5 + 1/0.6 + 0.6/0.7,(7.60)
Рс = «0.1» = 0.6/0 + 1/0.1 + 0.6/0.2.(7.61)
Тогда (㊉ 2 арифметическая сумма)
Р (А) = 0.4 (0.6/0.2 +1/0.3 + 0.6/0.4)㊉(0.6/0.5 +
+ 1/0.6+ 0.6/0.7)㊉ 0.8 (0.6/0 + 1/0.1+0.6/0.2) (7.62) при ограничении
Pi + Р2 + Рз = 1 •(7.63)
Выбирая такие члены в (7.62), которые удовлетворяют (7.63), получаем
р ⑷=0.6/(0.4 х 0.2 ㊉ 0.6 ㊉ 0.8 х 0.2) + + 0.6/(0.4 х 0.2 ㊉ 0.7 ㊉ 0.8 х 0.1) + + 0.6/(0.4 X 0.3© 0.5 ф 0.8 X 0.2) + + 1/(0.4 X 0.3 ㊉ 0^0.8 X 0.1) + + 0.6/(0.4 X 0^0.7) + + 0.6/(0.4 X 0.4 ㊉ 0.5 ㊉ 0.8 x0.1) + + 0.6/(0.4 X 0.4 e0.6),(7.64)
Следует отметить, что выражение (7.55) определяет Р (Л) как нечеткое подмножество интервала [0, 1]. В общем случае для того, чтобы выразить Р (Л) как значение лингвистической вероятности, требуется лингвисти* ческая аппроксимация.
откуда
Р (Д) = 0.6/(0.84 + 0.86 + 0.78 + 0.82 + 0.74) + 1/0.8. (7.65)
Выражение (7.65) можно грубо аппроксимировать равенством
Р(Д) = «0.8».(7.66)
Лингвистическую вероятность нечеткого события, выраженную формулой (7.55), можно рассматривать как частный случай более общего понятия, а именно лингвистического среднего, или, что то же самое, лингвистического математического ожидания функции (определенной на U) по нечеткому подмножеству множества [/. Более конкретно, пусть/—определенная Hat/функция, принимающая действительные значения; пусть Л — нечеткое подмножество множества U, и пусть Pl ..., Рп — лингвистические вероятности, соответствующие их, ..., ип. Тогда лингвистическое среднее функции f по А обозначается как Ср (f; Л) и определяется следующим образом (+ 4 арифметическая сумма):
Ср (/; Л) = f (ux) |хл (Ui) Pi + ... 4-/ (ия) |хл (и^ Рп. (7.67)
Рассмотрим следующий конкретный пример выражения (7.67). Предположим, что люди с именами 〃i, ..., ип выбираются в соответствии с лингвистическими вероятностями Pi, ...,尸九, где Р/ —ограничение на 加 г = 1, ..., п. Предположим, что на щ накладывается штраф в размере /(〃》), уменьшенном пропорционально степени принадлежности щ классу А. Тогда лингвистический средний (ожидаемый) размер штрафа выражается формулой (7.67).
Замечание 7.6. Отметим, что (7.67) по существу является линейной комбинацией вида (7.27), где
S = f (吟卩貝 Q0.(7.68)
Таким образом, чтобы вычислить (7.67), можно использовать метод, описанный ранее для вычисления линейных форм в лингвистических вероятностях. В частности, следует отметить, что, в случае когда f(〃g) = l, правая часть (7.67) имеет вид
На (ui) ^i + …+ Нл (^п) Рп(7.69)
и Ср (/; А) сводится к Р(」4).
Кроме выражения для Р (А) выражение (7.67) содержит в себе в качестве частных случаев и выражения для других типов средних, встречающихся в различных приложениях. Среди них существуют два типа, которые можно рассматривать как вырожденные формы (7.67) и которые часто встречаются во многих задачах, представляющих практический интерес. Ниже мы кратко остановимся на этих типах средних и для
удобства сформулируем их определения в форме ответов на вопросы.
Вопрос 7.7. Каково число элементов в данном нечетком множестве Д? Очевидно, этот вопрос поставлен некорректно, поскольку в случае нечеткого множества не существует четкой границы между п р и надлежностью и непринадлежностью элемента множеству. Тем не менее понятие мощности нечеткого множества [49], определяемое как
(7.70)(7.70)\А\^11А(и^
(7.70)
(7.70)
является естественным обобщением понятия числа элементов 4.
Для иллюстрации предположим, что U — универсальное множество жителей в городе, а А — нечеткое множество безработных в этом городе. Если интерпретировать(лл (и；) как степень принадлежности человека щ классу безработных (например, 卩力(〃0 = 0・5, если Ui занят половину рабочего времени и ищет работу с полным рабочим днем), то | Л | можно интерпретировать как эквивалентное число полностью безработных.
Вопрос 7.8. Предположим, что / — функция, принимающая действительные значения и определенная на U, Каково среднее значение / на нечетком подмножестве Л множества U?
Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в выражении (7.67). Пусть Cp(f;4) обозначает среднее значение функции f на /. Если бы Л было обычным (не нечетким) множеством, то Ср (/; А) выражалось бы формулой
Ср (Л л)=Ср (Л л)="售 A/(%14一"售 A/(%14一(7.71)(7.71)
Ср (Л л)=
Ср (Л л)=
"售 A/(%
14一
"售 A/(%
14一
(7.71)
(7.71)
где 2 обозначает суммирование по тем и】, которые при・ 勺三4
надлежат Л, а | Л | — число этих элементов. Чтобы обобщить (7.71) на нечеткие множества, заметим, что (7.71) можно переписать так:
Cp(f； Л)=Cp(f； Л)="Дде)以(匕)ufu^A(Ui)"Дде)以(匕)ufu^A(Ui)(7.72)(7.72)
Cp(f； Л)=
Cp(f； Л)=
"Дде)以(匕)ufu^A(Ui)
"Дде)以(匕)ufu^A(Ui)
(7.72)
(7.72)
где р,д — характеристическая функция множества А. Тогда (7.72) можно принять в качестве определения Ср (/; А) для нечеткого множества Л, если интерпретировать(хл (uz) как степень принадлежности щ множеству А. При этом мы приходим к выра-
жению для Ср (/; Л), которое можно рассматривать как частный случай выражения (7.67).
Проиллюстрируем (7.72) следующим примером. Предположим, что U — полное множество жителей в городе и Л — нечеткое подмножество молодых жителей; кроме того, предположим, что / (〃0 ——заработок жителя 〃八 Тогда средний заработок молодых жителей города выражается формулой (7.72).
Замечание 7.9. Поскольку выражение для | А | есть линейная форма переменных 卩力(〃$), мощность нечеткого множества типа 2 (см. определение 3.22) можно легко подсчитать методом, которым мы пользовались ранее для вычисления Р (Л). В случае Ср (/; Д), однако, мы имеем дело с отношением линейных форм, и, следовательно, вычисление Ср (/; Л) для нечетких множеств типа 2 представляет собой более трудную задачу.
Целью предыдущего изложения было показать, что понятие лингвистической переменной служит основой для определения вероятностей и в сочетании с принципом обобщения может быть использовано для вычисления линейных комбинаций таких вероятностей. Мы не будем больше останавливаться на этом вопросе и в последующем изложении обратим внимание на основное правило вывода в нечеткой логике.
КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДАИ ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы можем судить об истинности высказывания В по истинности высказывания А и импликации А^В. Например, если А — высказывание «Джон в госпитале», В — высказывание «Джон болен», то если истинно высказывание «Джон в госпитале», то истинно и высказывание «Джон болен».
Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так, обычно мы знаем, что А истинно и что Л* =>В, где А* есть, в некотором смысле, приближение В. Тогда из А П В мы можем сделать вывод о том, что В приближенно истинно.
Ниже мы обрисуем способ формализации приближенных рассуждений, основанный на понятиях, введенных в предыдущих параграфах. Однако в отличие от традиционной логики нашим главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, весьма частным случаем которого является правило modus ponens.
КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДА
Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Обращаясь к рис. 8.1, предположим, что имеется кривая ^ = f(%) и задано значение х = а. Тогда из того, что У = f ⑺ и % = а, мы можем заключить, что y^b = f(a).
Обобщим теперь этот процесс, предположив, что а — интервал, а / (х) — функция, значения которой суть интервалы, как на рис. 8.2. В этом случае, чтобы найти интервал у£Ь, соответствующий интервалу а, мы сначала построим ^цилиндрическое множество а с основанием а (см. (3.58)) и найдем его пересечение / с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось OY и получим желаемое значение / в виде интервала Ь.
Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что Л — нечеткое подмножество оси 0Х9 a F —
нечеткое отношение в ОХ х OY. Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество Л с основанием Л и его пересечение с нечетким отношением 尸(см. рис. 8.3), мы получим нечеткое
Рис. 8.1, Вывод у = Ь из предпосылок х=а и У = /(%)•
множество ЛИГ, которое является аналогом точки пересечения / на рис. 8.1. Проектируя затем это множество на ось ОУ, получим значение у в виде нечеткого подмножества оси ОУ. Таким образом, из того, что у = /(%) и х Л Л = нечеткое под-
Рис. 8.2. Иллюстрация композиционного правила вы* вода в случае переменных со значениями-интервалами.
множество оси ОХ, мы получаем значенье у в виде нечеткого подмножества В оси OY.
Более конкретно, пусть %,山％,卩尸 и 世® обозначают функ； ции принадлежности множеств А9 A, F и В соответственно*
Тогда по определению множества Л (см. (3.58))
困(招勿=因(%)(8.1)
и, следовательно,
Нлпр (居 у) = Ид (%，у) А 卩戶(％，у)= =m(%) А卩尸(%，办(8.2)
Проектируя множество Л QF на ось ОУ, получаем из (8.2) и (3.57):
卩3 (加=V眼(灯А卩尸(乂力 ，(8.3)
2 е. выражение для функции принадлежности проекции (тени) A[\F на ось ОУ. Сравнивая это выражение с определением
Рис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменныхРис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменных
Рис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменных
Рис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменных
композиции А и F (см. (3.55)), видим, что множество В можно представить как
8 = 4。£(8.4)
где знак。обозначает операцию композиции. Как утверждается в § 3, если нечеткие множества А и F имеют конечные носители, то операция композиции сводится к максминному произведению матриц.
Пример 8.1. Предположим, что А и F имеют вид
ии4 = 0.2/1 +1/2 +0.3/3(8.5)
и
и
尸=0.8/ (1,1) + 0.9/ (1,2) + 0.2/ (1,3) + + 0.6/(2,1)4-1/(2,2) + 0.4/(2,3) + + 0.5/ (3.1) + 0.8/ (3,2) + 1/(3,3).
Выражая 4 и 尸 с помощью матриц и образуя матричное произведение (8.4), получаем
А[0.2 1 0.3]。А[0.2 1 0.3]。2 4О.О.1 9 8 О.1О..8.6.5 о.о.о.2 4О.О.1 9 8 О.1О..8.6.5 о.о.о.В= [0.6 1 0.4].В= [0.6 1 0.4].(8.7)(8.7)
А[0.2 1 0.3]。
А[0.2 1 0.3]。
2 4
О.О.1 9 8 О.1О.
.8.6.5 о.о.о.
2 4
О.О.1 9 8 О.1О.
.8.6.5 о.о.о.
В
= [0.6 1 0.4].
В
= [0.6 1 0.4].
(8.7)
(8.7)
Вышеизложенные замечания и примеры помогают обосновать следующее правило вывода.
Правило 8.2. Пусть U и V — два универсальных множества с базовыми переменными и и v соответственно. Пусть R (〃)，R (u, V) и R ⑺ обозначают ограничения на 〃，(〃，о) и и соответственно и представляют собой нечеткие отношения в U, UxV и V. Пусть А и F — нечеткие подмножества множеств U и UxV, Тогда композиционное правило вывода утверждает, что решение уравнений назначения
&(〃) = /,(8.8)
R 他，и)=尸(8.9)
имеет вид
R(u) = 4。尸，(8.10)
где А °F — композиция 4 и 尸.В этом смысле мы можем делать вывод R (v) = А。F из того, что R (〃)= 4 и R (“，о)=尸.
В качестве простой иллюстрации применения этого правила предположим, что
[/=17=1+2 + 3 + 4,(8.11)
Л = малый = 1/1 +0.6/2+ 0.2/3(8.12)
и
F = примерно равны =
=1/ (1,1) + 1/ (2,2) + 1/(3,3) + 1/(4,4) +
+ 0.5/((1,2) + (2,1) + (2,3) + (3,2) + (3,4) + (4.3)). (8.13)
Другими словами, А — унарное нечеткое отношение в U, названное малый, 尸一бинарное нечеткое отношение в UxV, названное примерно равны.
Уравнения назначения в этом случае имеют вид
R (〃)= малый,(8.14)
R(〃，у) = примерно равны,(8.15).
и, следовательно,
R (0 = малый。примерно равны =
1
0.5
0
0 一
=[1 0.6 0.2 0]о
0.5 0
_0
1
0.5 0
0,5
1
0.5
0
0.5
1 _
=[1 0.6 0.5 0.2],
(8.16)
(8.17)оператор(8.18)(8.17)оператор(8.18)что можно аппроксимировать следующим образом:
(8.17)
оператор
(8.18)
(8.17)
оператор
(8.18)
R (и) = более или менее малый,если терм более или менее определяется какувеличения нечеткости (см. (3.48)), где^(l)= 1/1+0.7/2,К⑵=1/2+ 0.7/3,К(3)= 1/3+ 0.7/4,К⑷=1/4.
Заметим, что применение этого оператора к R (и) дает
[1 0.7 0.42 0.14](8.19)
в качестве аппроксимации набора [1 0.6 0.5 0.2].
Итак, используя композиционное правило вывода, из того, что R (и) = малый и R (〃，у) = примерно равны, мы вывели, что
欠(S = [l 0.6 0.5 0.2] точно(8.20)
и
R (у) = более или менее малый — в качестве лингвистического приближения. (8.21)
Словами этот приближенный вывод можно записать в виде
〃 —малыйпредпосылка化 2о\
〃 и V — примерно равныпредпосылка2・的
V — более или менее малый приближенный вывод
Основная идея этого схематически описанного метода состоит в следующем. Каждый факт или предпосылка записывается в виде уравнения назначения в отношениях, содержащего одно или большее число ограничений на базовые переменные. Эти уравнения решаются относительно желаемых ограничений при помощи композиции нечетких отношений. Получаемые решения и представляют собой вывод из данного ” набора предпосылок.
ПРАВИЛО MODUS PONENS КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАИКОМПОЗИЦИОННОГО ПРАВИЛА ВЫВОДА
Как мы увидим ниже, правило modus ponens можно рассматривать как частный случай композиционного правила вывода. Чтобы установить эту связь, мы сначала обобщим понятие материальной импликации с пропозициональных переменных па нечеткие множества.
В традиционной логике материальная импликация => определяется как логическая связка для пропозициональных переменных. Так, если А и В — пропозициональные переменные, то таблица истинности для или, что эквивалентно, ЕСЛИ Л, ТО В, записывается в таком виде (см. табл. 6.8):
В обычных рассуждениях, однако, выражение ЕСЛИ Ау ТО В употребляется в ситуациях, в которых Л и В — нечеткие множества (или нечеткие предикаты), а не пропозициональные переменные. Например, в случае высказывания ЕСЛИ Джон болен, ТО Джон капризен, которое можно сокращенно записать как болен ==> капризен, болен и капризен в сущности —названия нечетких множеств.
То же самое справедливо по отношению к высказыванию ЕСЛИ яблоко красное. ТО яблоко спелое, где красное и спелое играют роль нечетких множеств.
Чтобы обобщить понятие материальной импликации на нечеткие множества, предположим, что U и У —два возможно различных универсальных множества, а Л, В и С — нечеткие подмножества U, V и V соответственно. Сначала определим смысл высказывания ЕСЛИ 4, ТО В, ИНАЧЕ С и затем определим ЕСЛИ Л, ТО В как частный случай высказывания ЕСЛИ 4 ТО В, ИНАЧЕ С.
Определение 8.3. Высказывание ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С есть бинарное нечеткое отношение в U xV, определяемое следующим образом:
ЕСЛИ Д, ТО В, ИНАЧЕ C = AxB + ^AxC. (8.23)
То есть если Л, В и С — унарные нечеткие отношения в U, 7 и V, тогда ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С —бинарное нечеткое отношение в U х У, которое является объединением декартова произведения Л и В (см. (3.45)) и декартова произведения отрицания Л и С.
Далее высказывание ЕСЛИ Л, ТО В можно рассматривать как частный случай высказывания ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С при допущении, что С — полное множество 廿.Таким образом,
ЕСЛИ Л, ТО В4 ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ V =
= 4хВ + 14хУ・(8.24)
В сущности это равнозначно интерпретации высказывания ЕСЛИ Л, ТО В высказыванием ЕСЛИ 4, ТО В, ИНАЧЕ безразличнох).
Полезно заметить, что в терминах матриц отношения Л, В п С равенство (8.23) можно выразить как сумму попарных произведений, содержащих Ап В(и^Аи С) в виде вектор-столбца и вектор-строки соответственно. Так,
ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С = [А][В] + [^А][С]. (8.25)
Пример 8.4. Проиллюстрируем (8.23) и (8.24) следующим примером. Предположим, что
6)с8)9) .2.2.2.2 ^ ^ ^ ^6)с8)9) .2.2.2.2 ^ ^ ^ ^U=y=l+2 + 3,
6)с8)9) .2.2.2.2 ^ ^ ^ ^
6)с8)9) .2.2.2.2 ^ ^ ^ ^
А = малый = 1/1 + 0.4/2,
В = большой = 0.4/2 + 1/3,
С =не большой = 1/1 + 0.6/2.
Тогда
ЕСЛИ 4 ТО В, ИНАЧЕ С = (1/1 + 0.4/2) х (0.4/2 + 1/3) +
+ (0.6/2 + 1/3) X (1/1+ 0.6/2)=
= 0.4/(1,2)+1/(1,3) + 0.6/(2,1) +
+ 0.6/(2,2)+ 0.4/(2,3) +
+ 1/(3,1)4-0.6/(3,2),(8.30)
что можно представить в виде матрицы отношения
00.4I
ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С =ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С =0.6 0.6 0.4 • (8.31)
ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С =
ЕСЛИ Л, ТО В, ИНАЧЕ С =
10.60
Другая интерпретация, которая согласуется с определением импликации Лукасевича [46], имеет вид: ЕСЛИ 4 ТО В Д ~| (Л X V) © (i/ х В), где операция ㊉(ограниченная сумма) так определяется для нечетких множеств 户，Q: Цр^р= 1 A(Hp + p-Q), где знак + обозначает арифметическую •сумму. В общем случае ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ СА(~](力>< 丿)㊉(Ux8)) П П((4хи)+(ихс)). -
Аналогично
ЕСЛИ Л, ТО В = (1/1 + 0.4/2) х (0.4/2 + 1/3) + (0.6/2 + 1/3) х х (1/1+ 1/2+1/3) =
=0.4/ (1,2) + 1/(1,3) + 0.6/(2,1) + 0.6/ (2,2) ++ 0.6/ (2,3)+1/(3,1)+ 1/(3,2) + 1/(3,3).
или, эквивалентно,
0.4 10.6 0.6110.4 10.6 0.611(8.32)(8.32)0
0.4 1
0.6 0.6
11
0.4 1
0.6 0.6
11
(8.32)
(8.32)
ЕСЛИ Л, ТО В= 0.6
1
Замечание 8.5. Следует отметить, что в определении высказывания ЕСЛИ 力， ТО В мы неявно предполагали, что Л и В — невзаимодействующие в том смысле, что не существует ограничения, содержащего одновременно базовые переменные и и V, Этого не будет в случае обычного (не нечеткого) высказывания ЕСЛИ 〃三 4, ТО 〃 м В, которое можно выразить как ЕСЛИ 〃三4 ТО。已8 при выполнении ограничения 〃 =5 Если обозначить это ограничение через R (〃 = у), отношение, представляющее рассматриваемое высказывание, будет иметь вид
ЕСЛИ 〃w4, ТО и^В^(АхВ + 1А х 7) П (R(〃 = u)). (8.33)
Замечание 8.6. В определении отношения 4nB мы полагали, что ЕСЛИ Л, ТО В есть частный случай высказывания ЕСЛИ Д, ТО В, ИНАЧЕ С при С=К Если мы положим С равным 6 (пустое множество), а не 匕 то правая часть (8.23) сведется к декартову произведению АхВ, которое можно интерпретировать как А СПАРЕННОЕ С В (а не Д ВЛЕЧЕТ В).
Так, по определению
А СПАРЕННОЕ С В^АхВ(8.34)
и, следовательно, А^В^А СПАРЕННОЕ С В плюс П Л СПАРЕННОЕ С У (8.35)
В общем случае выражение вида
41X В】+ ... + Ап х Вп(8.36)
описывается словами следующим образом:
Ai СПАРЕННОЕ С В1? плюс ... плюс Ап СПАРЕННОЕ С Вл. (8.37)
Следует заметить, что выражение типа (8.37) можно использовать для представления нечеткого графика как объединения
нечетких точек (см. рис. 8.4)・ Например, нечеткий график G можно представить в виде
G =《〃1》X «У1» +《〃2》X《6》+ • • • +《4九》X «V, (8.38) где 〃/ и Vi — точки в U н V соответственно, a «zzz» и《s», i=l, ..., п, представляют собой нечеткие множества с названиями близко К Щ П близко К Vi (см. (7.12)).
Замечание 8.7. Связь между выражением (8.24) и общепринятым определением материальной импликации становится яснее, если учесть, что
1 ЛхВС] Дх V,(8.39)
и, следовательно, выражение (8.24) можно переписать в виде
ЕСЛИ Л, ТО В = ДхВ + ПДхВ + ПЛхУ =
= (/ + 14)хВ + 14хК (8.40)
Далее, если А — обычное (не нечеткое) подмножество U, то
4 + l4 = U,(8.41)
и, следовательно, ЕСЛИ Л, ТО В сводится к
ЕСЛИ Д, ТО B = UxB + ~\AxV. (8.42)
Это выражение аналогично по форме известному выражению для 4пВ в случае пропозициональных переменных, а именно
/ПВ 三 14 VA(8.43)
Переходя к рассмотрению связи между правилом modus ponens и композиционным правилом вывода, определим сначала обобщенное правило modus ponens.
Определение 8.8. Пусть Лх, Л2 и В — нечеткие подмножества множеств U, U и V соответственно. Предположим, что значение 4 назначено ограничению R ⑷，а отношение 42 nB (определенное по формуле (8.24)) назначено ограничению R (“， у), т. е.
欠⑷=4,(8.44)
R (и, v) = A2=^ В.(8.45)
Как было показано раньше, эти уравнения назначения в отношениях можно разрешить относительно ограничения на и следующим образом:
R(v) = A10(A2=>B).(8.46)
Выражение этого вывода в форме
7引4 4(8.<8-7引4 4(8.<8-4предпосылка
7引
4 4(8.<8-
7引
4 4(8.<8-
/2 => Вимпликация
Л1° (Д2 ==> В) выводЛ1° (Д2 ==> В) вывод(8.49)(8.49)
Л1° (Д2 ==> В) вывод
Л1° (Д2 ==> В) вывод
(8.49)
(8.49)
и составляет формулировку обобщенного правила modus ponensг).
Замечание 8.9. Приведенная формулировка отличается от традиционной формулировки правила modus ponens в двух отношениях: во-первых, здесь допускается, что А^ Л2 и В — нечеткие множества, и, во-вторых, Л1 необязательно идентично Л2. Чтобы рассмотреть случай, когда Аг = А2 = А и Л —не нечеткое множество, подставим выражение для 242nB в уравнение (8.46). В результате получим
A^A^B) = A^AxB + ~\AxV)^
^ArAcBr + Ar(~\Ac) Уг, (8.50) где вместо обозначений строка и столбец употребляются обозначения гис соответственно; Аг и Ас обозначают матрицы отношения для Л, имеющие вид вектор-строки и вектор-столбца соответственно; произведение матриц понимается как максмин- ное произведение.
Далее, поскольку Л — обычное (не нечеткое) множество, то
(П^с) 0,(8.51)
и поскольку 4 — нормальное множество (см. (3.23)),
44=1・(8.52)
1) Обобщенное правило modus ponens, определение которого дано здесь, нс имеет отношения к вероятностным правилам вывода. Обсуждение таких правил и связанных с ними вопросов можно найти в работе [50].
(8.53)(8.53)Следовательно,
(8.53)
(8.53)
4 «> (4 => В) = В,
что находится в соответствии с выводом, который получается по правилу modus ponens.
Пример 8.10. Проиллюстрируем (8.49) простым примером.
Предположим, что
U=V= 1+2+3,(8.54)
4 = малый = 1/1 + 0.4/2,(8.55)
дх = более или менее малый = 1/1 + 0.4/2 + 0.2/3, (8.56)
1 一 0.61 -1 一 0.61 -(8.57)(8.58)(8.57)(8.58)В = большой = 0.4/2 + 1/3.
1 一 0.6
1 -
1 一 0.6
1 -
(8.57)
(8.58)
(8.57)
(8.58)
Тогда (см. (2.32)) "00.4
малый => большой = 0.6 0.6
11
и
более или менее малый»(малый => большой)=
'0
0.4 1 一
=[1 0.4 0.2]。
0.6
0.6 0.6
= [0.4 0.4 1], (8.59)
_1
1 1 _
грубым приближением которого может быть более или менее большой. Таким образом, в рассматриваемом случае обобщенное правило modus ponens дает
и более или менее малыйпредпосылка
если и —малый, то v — большой импликация
и —万о/zee или менее большой приближенный вывод
(8.60)
Замечание 8.11. Вследствие определения Л =>В в виде
А=^ В = A>^B + ~]AxV
степень принадлежности точки (и, у) нечеткому множеству А=>В будет высокой, если мала степень принадлежности 〃 множеству Л. Это приводит к тому, что если Л — нечеткое множество, то множества АхВ и ^]AxV перекрываются, причем вывод из предпосылок А и А=^ В есть не В, а2)
А。(Л =8) = B + A^AxV),(8.61)
где член Д «(ПЛхУ) появляется в связи с этим перекрытием.
) Мы предполагаем, что Л нормально, так что ArAc = 1.
Чтобы избежать этого явления, возможно придется определить 24 nB способом, при котором различаются численные значения истинности из интервала [0, 1] и такое значение истинности, как неизвестно (см. (6.52)). Следует отметить также, что для высказывания Л СПАРЕННЫЙ С В (см. 8.34)), мы имеем
4。(4 СПАРЕННЫЙ С 8) = 8, (8.62)
если Л — нормальное нечеткое множество.
НЕЧЕТКИЕ ТЕОРЕМЫ
Под нечеткой теоремой или утверждением мы понимаем утверждение общего вида ЕСЛИ Л, ТО В, значение истинности которого есть истинный в приближенном смысле и которое можно вывести из системы аксиом при помощи приближенных рассуждений, например путем повторного применения обобщенного правила modus ponens или аналогичных правил.
Рис. 8.5. Теорема из элементарной геометрии.Рис. 8.5. Теорема из элементарной геометрии.Рис. 8.6. Нечеткая геометрическая теорема.Рис. 8.6. Нечеткая геометрическая теорема.
Рис. 8.5. Теорема из элементарной геометрии.
Рис. 8.5. Теорема из элементарной геометрии.
Рис. 8.6. Нечеткая геометрическая теорема.
Рис. 8.6. Нечеткая геометрическая теорема.
В качестве неформальной иллюстрации понятия нечеткой теоремы рассмотрим теорему элементарной геометрии, которая утверждает, что если М19 М2 и М3 — середины сторон треугольника (см. рис. 8.5), то прямые АМ19 ВМ^ и СМ3 пересекаются в одной точке.
Нечеткую модификацию этой теоремы можно представить следующим образом:
Нечеткая теорема 8.12. Пусть 48, ВС и С А — примерно прямые линии, которые образуют примерно равносторонний треугольник с вершинами Д, В, С (см. рис. 8.6), Пусть Ml М2 〃 М3 — примерно середины сторон ВС, СА 〃 АВ соответственно. Тогда примерно прямые линии АМЪ ВМ2 “ СМ3 образуют примерно треугольник Т^Т^Тз, который
Л. Заде ,
более или менее (более или менее маЛ) относительно треугольника АВС.
Прежде чем приступить к «доказательству» этой нечеткой теоремы, мы должны уточнить смысл выражений примерно прямая линия, примерно середина и т. п. Под примерно прямой линией АВ мы будем понимать любую кривую, проходящую через точки Д и В, такую, что расстояние любой точки кривой от прямой линии АВ мало по отношению к длине АВ. Если обратиться к рис. 8.7, то сказанное означает, что
88Рис. 8.7. Определение примерно прямой линии.Рис. 8.7. Определение примерно прямой линии.Рис, 8.8. Иллюстрация приближенного доказательства нечеткой теоремы.Рис, 8.8. Иллюстрация приближенного доказательства нечеткой теоремы.
8
8
Рис. 8.7. Определение примерно прямой линии.
Рис. 8.7. Определение примерно прямой линии.
Рис, 8.8. Иллюстрация приближенного доказательства нечеткой теоремы.
Рис, 8.8. Иллюстрация приближенного доказательства нечеткой теоремы.
мы назначаем лингвистическое значение малый расстоянию а, интерпретируя d как нечеткую переменную.
Пусть (АВ^ обозначает прямую линию ЛВ. Тогда под примерно средней точкой АВ мы понимаем точку на АВ, расстояние которой от М； — середины (ДВ)° — мало.
Вернемся к формулировке нечеткой теоремы. Пусть О— пересечение прямых линий (АМ^ и {BM^f (рис. 8.8). Поскольку предполагается, что THi —примерно середина ВС, то расстояние от 加工 до М[ мало. Следовательно, расстояние от любой точки на (АМ^ до (4М；)° мало. Далее, так как расстояние от любой точки на АМг до (/〃0° мало, то расстояние от любой точки на АМХ до (%М；)° более или менее
Те же рассуждения применимы к расстоянию от точек на ВМ2 до (BM^)Q. Затем, принимая во внимание, что угол между (AM^Q и (В7И2)° составляет примерно 120°, заключаем, что расстояние от точки пересечения линий 4Ml и ВМ? До точки О (более или менеё^ мало (т. е. более или менее (более или менее мало)). Отсюда следует, что расстояние между любой вершиной треугольника Т^Г^Г3 и точкой О (более или менеё^ мало. Именно в этом смысле треугольник ТЬПз (более или менеё^ мал по отношению к треугольнику АВС.
Приведенное выше рассуждение является приближенным и качественным по своей природе. В качестве отправной точки в нем используется тот факт, что прямые АМ19 ВМ2 и СМ3 пересекаются в точке О, а рассуждение опирается на качественное представление о непрерывности. Ясно, что «доказательство» было бы длиннее и сложнее, если бы нам пришлось начинать с основных аксиом евклидовой геометрии, а не с теоремы, которая служила нам отправной точкой.
То, что мы на данном этапе в состоянии сказать о нечетких теоремах, имеет весьма предварительный и незавершенный характер. Тем не менее они представляются нам весьма заманчивой областью исследований и могут оказаться полезными в различного типа плохо определенных процессах принятия решений.
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЛОК-СХЕМАМИ
Как отмечалось в работе [7], при описании и реализации нечетких алгоритмов часто бывает очень удобно определять
Рис. 8.9. Нечеткий блок решения.Рис. 8.9. Нечеткий блок решения.отношения между переменными и присваивать им конкретные значения с помощью блок-схем.
Рис. 8.9. Нечеткий блок решения.
Рис. 8.9. Нечеткий блок решения.
В дальнейшем мы не будем касаться многих сложных вопросов, связанных с описанием и реализацией нечетких алгоритмов. Наша цель — лишь уяснить роль, которую играют блоки решений применительно не к обычным (не нечетким), а нечетким предикатам, связав их с назначением ограничений на базовые переменные.
В обычной блок-схеме блок решения типа блока А на рис. 8.9 соответствует одноместному。)предикату Л (%). Так, переход из точки 1 в точку 2
Для простоты мы не будем рассматривать блоки решения более чем в одним входом и двумя выходами.
6*
означает, что А (%) — истинно, в то время как переход из точки 1 в точку 3 означает, что А 出一ложно、
в виду рис.в виду рис.77如如Понятия, введенные в предыдущих параграфах, лежат в основе обобщения понятия блока решений применительно к нечетким множествам (или предикатам). В частности, имея 八八 предположим, что А — нечеткое подмножество множества U и что вопрос, соответствующий блоку решения, имеет вид: «Является ли х Л?», например «является ли х малым^ъ, где х —общее название входной переменной. Блок-схемы с блоками решения такого типа будем называть нечеткими блок-схемами.
в виду рис.
в виду рис.
7
7
如
如
Если ответом является просто ДА, то мы назначаем ограничению на х значение Л, т. е. полагаем
R(» = 4(8.63)
и переводим х из 1 в 2.
С другой стороны, если ответом является НЕТ, мы полагаем
К&) = Т4(8.64)
и переводим х из 1 в 3.
О /) + 1Рис. 8.10. После-довательное соеди-нение блоков ре-шения.О /) + 1Рис. 8.10. После-довательное соеди-нение блоков ре-шения.Если, например, Л А малый, то уравнение (8.63) примет вид
О /) + 1
Рис. 8.10. После-довательное соеди-нение блоков ре-шения.
О /) + 1
Рис. 8.10. После-довательное соеди-нение блоков ре-шения.
R (х) = малый. (8.65)
Если ответом является ДА/(х, где Ow(iw W1, то мы переводим х в точку 2, заключив, что степень принадлежности х множеству Л равна 卩・ Кроме того, мы пе
реводим % в точку 3, заключив, что степень принадлежности % множеству ~]А равна 1—(х・
Если степень принадлежности 卩 принимает лингвистические, а не числовые значения, то мы представляем эти значения как лингвистические значения истинности. В этих случаях типичными будут ответы типа ДЛ[истинно, ДА/о〃е咒ь истинно, ДА/более или менее истинно и т. п. Как и раньше, мы будем полагать, что степень принадлежности 尤 множеству А равна |х, где |х — лингвистическое значение истинности, и переводить % в точку 3, заключив, что степень принадлежности х множеству ~]А равна 1 —(х・
Если имеется цепочка блоков решений, как на рис. 8.10, то последовательность ответов ДА переведет х из точки 1 в точку (〃 + 1) и результатом ее будет то, что ограничению
R(х) дано в качестве значения пересечение множеств Ль ...» Ап. Таким образом, в этом случае
R (无) = 4П・・・П4, (8.66) где символ П обозначает пересечение нечетких множеств (см. также рис. 8.11).
Для иллюстрации предположим, что х = Джон, Дх = высокий и А2 = толстый. Тогда, если ответом на вопрос ^Высокий ли»Джон?» является ДА, и ответом на вопрос ^Толстый
Рис. 8.11. Ограничения, соответствующие различным выходам нечеткой блок-схемы.Рис. 8.11. Ограничения, соответствующие различным выходам нечеткой блок-схемы.
Рис. 8.11. Ограничения, соответствующие различным выходам нечеткой блок-схемы.
Рис. 8.11. Ограничения, соответствующие различным выходам нечеткой блок-схемы.
ли Джон?» является ДА, то ограничение, обусловленное переменной Джон, выражается в виде
R (Джон) = высокий fl толстый. (8.67)
Следует отметить, что «Джон» — по сути дела, название бинарной лингвистической переменной, имеющей две компоненты Высота и Вес. Таким образом, выражение (8.67) эквивалентно уравнениям назначения
Высота = высокий.(8.68)
Ъ^с.^ толстый.Ъ^с.^ толстый.(8.69)(8.69)
Ъ^с.^ толстый.
Ъ^с.^ толстый.
(8.69)
(8.69)
что последовательное соединение блоковчто последовательное соединение блоковИз (8.66) следует, решения соответствует пересечению нечетких множеств (или,
что последовательное соединение блоков
что последовательное соединение блоков
что эквивалентно, конъюнкции нечетких предикатов),- связанных с ними. В случае обычных (не нечетких) множеств4 объединение можно представить схемой, показанной на рис. 8.12.
Рис. 8.12 Графическое представление дизъюнкции нечетких предикатов.
Ясно, что при таком расположении блоков решения переход из 1 в 2 означает, что
R{u) = A + ^A(]B9
(8.70)
а поскольку
4 [В и 4
(8.71)
то (8.70) можно
переписать в следующем виде:
R(u) = A + A(]B + ^A(]B = = / + (4 + 14)ПВ = ^А+В,
(8.72)
так как
А + ~\А^и,
(8.73)
ипв=в.
(8.74)
Такая же схема
не даст объединения нечетких
множеств, так
как для таких множеств равенство
A + ^A^U, (8.75)
вообще говоря, не выполняется. Тем не менее мы можем согла^ ситься интерпретировать блок-схему на рис. 8.12 как схему, соответствующую объединению множеств А и В. Благодаря этому мы можем по-прежнему иметь дело со знакомыми нам блок-схемами, содержащими обычные (не нечеткие) блоки решения. Блок-схема, показанная на рис. 8.14, иллюстрирует использование этого соглашения в определении понятия Хиппа.
Рис. 8.13. Применение последовательного соединения блоков решения.
Соглашения, описанные выше, можно использовать для представления в графической форме назначения лингвистического значения лингвистической переменной. Особенно полезно в этой связи последовательное соединение блоков решения, которое соответствует последовательности уточняющих вопросов х), предназначенных для сужения области возможных значений переменной. Для иллюстрации предположим, что
*) В английском тексте — bracketing questions.—Лри-и. р®・
х = Джон и (см. рис. 8.13)
Л1 = высокий,
(8.76)(8.76)Л2 = очень высокий,
(8.76)
(8.76)
Л3 = очень очень высокий,
Д4 = чрезвычайно высокий^
Если ответ на первый вопрос —ДА, то
R (х) = высокий.R (х) = высокий.(8.77)(8.77)
R (х) = высокий.
R (х) = высокий.
(8.77)
(8.77)
Если ответ на второй вопрос —ДА, а на третий вопрос — НЕТ, то
/?(Джон) = о^еяб высокий и не очень очень высокий,
(8.78)
е. значение высоты Джона заключено между значениями очень высокий и не очень очень высокий.
При наличии механизма, такого, как в случае уточняющих вопросов, для назначения переменным лингвистических значе* ний поэтапно, а не за один шаг нечеткие блок-схемы могут оказаться весьма полезными для алгоритмических определений нечетких понятий.
Основная идея при этом состоит в том, чтобы определить сложное или новое нечеткое понятие посредством более простых или более знакомых понятий. Поскольку нечеткое понятие можно рассматривать как название некоторого нечеткого множества, то эта идея означает фактически разложение нечеткого множества на комбинацию более простых нечетких множеств.
Проиллюстрируем это следующим примером. Предположим для иллюстрации, что мы хотим определить термин Хиппи, который можно рассматривать как название нечеткого подмножества полного множества людей. Для этого мы воспользуемся нечеткой блок-схемой, приведенной на рис. 8.I4). В сущности эта схема определяет нечеткое множество Хиппи в терминах нечетких множеств, имеющих названия Длинноволосый, Лысый, Бритый, Работа и Наркотики. Более точно оно определяет нечеткое множество Хиппи как (+2 объединение).
Хиппи ^ (Длинноволосый + Лысый + Бритый} f|
Наркотики ГП Работа. (8.79)
Предположим, что мы ставим следующие вопросы и получаем указанные ответы:
Длинные ли волосы у %? —ДА.
Есть у х работав — НЕТ.
Употребляет ли х наркотики^ — ДА.
Тогда мы налагаем на переменную х ограничение
R (х) = Длинноволосый f| 1 Работа f| Наркотики, и поскольку это ограничение содержится в правой части выражения (8.79), мы заключаем, что х—Хиппи.
Рис. 8.14. Алгоритмическое определение понятия Хиппи, представленное в форме нечеткой блок-схемы.
Модифицируя нечеткие множества, входящие в определение Хиппи, при помощи таких неопределенностей, как очень, более или менее, чрезвычайно и т. п., и допуская ответы вида ДА/(х или НЕТ/(х, где р, —численное или лингвистическое значение истинности, можно получить определение Хиппи9 точнее отражающее наше понимание этого понятия. Более того,
мы можем использовать мягкое и (см. замечание 3.7) и допустить тем самым некоторое взаимодействие между характеристиками, которые определяют Хиппи. И наконец, мы можем рассматривать блоки решения со многими входами и выходами. Таким образом, понятие, такое, как Хиппи, можно определить как угодно полно в терминах составляющих понятий, каждое из которых в свою очередь можно определить алгоритмически. Используя нечеткую блок-схему для определения такого нечеткого понятия, как Хиппи, мы в сущности разлагаем высказывания общего вида
и(〃 есть лингвистическое значение булевой лингвистической переменной 勿)=
=лингвистическое значение булевой лингвистической переменной 诊 (8.80) на уравнения назначения значений истинности такого же вида, но содержащие более простые или более знакомые переменные в левой части.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этом и предыдущих параграфах мы уделяли основное внимание развитию понятий, лежащих в основе так называемого л ингвистического подхода к анализу сложных или плохо определенных систем и процессов принятия решений. Существенные отличия этого подхода от обычных количественных методов системного анализа рождают много вопросов и проблем, которые являются новыми по своей природе и решение которых требует поэтому большого объема дополнительных исследований и экспериментирования. Это относится, в частности, к основным аспектам понятия лингвистической переменной, на котором мы лишь коротко остановились в нашем изложении: лингвистическим приближениям, представлению лингвистических неопределенностей, нечисловым базовым переменным, X- и р-взаимодействиям, нечетким теоремам, лингвистическим вероятностным распределениям, нечетким блок-схемам и др.
Несмотря на то что лингвистический подход является, по сути дела, отказом от существующих позиций в научном исследовании, он вполне может оказаться шагом в нужном направлении, т. е. в направлении меньшего увлечения точным количественным анализом и большего допущения важной роли неточности в мышлении и восприятиях человека. Мы убеждены в том, что, приняв это направление, мы сможем больше продвинуться в понимании поведения гуманистических систем, чем это возможно в рамках традиционных методов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Thomson W., Popular Lectures and Addresses, McMillan and Co., London, 1891.
Feigenbaum E., Computers and Thought, McGraw-Hill Book Co., New York, 1963.
Минский M., Пейперт С., Персептроны, «Мир», M., 1971.
Arbib M., The Metaphorical Brain, Wiley-Interscience, New Vork, 1972.
Newell A. and Simon H., Human Problem Solving, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1972.
Zadeh L. A., Fuzzy Languages and Their Relation to Human and Machine Intelligence, Proc of Inter. Conference on Man and Computer, Bordeaux, France, pp. 130—165, S. Karger, Basel, 1972.
Заде Л. А., Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений; в сб. «Математика сегодня», «Знание», 1974, стр. 5—49.
Bellman R. Е., Kalaba R. E. and Zadeh L. A., Abstraction and Pattern Classification, Journ. Math. Analysis and AppL, 13, pp. 1—7, 1966.
Black M., Reasoning with Loose Concepts, Dialoguet 2, pp. 1—12, 1963.
[101 Wittgenstein L., Logical Form, Proc, of the Aristotelian Society, 9, pp. 162—171, 1929.
Scriven M., The Logic of Criteria, Jour, of Philosophy, 56, pp. 857— 868, 1959.
Khatchadourian H , Vagueness, Meaning and Absurdity, Amer. Phil. Quart., 2, pp. 119—129, 1965.
Verma R. R., Vagueness and the Principle of Excluded Middle, Mind, 79, pp. 67—77, 1970.
Goguen J. A., The Logic of Inexact Concepts, Synthese, 19, pp. 325— 373, 1969.
Adams E., The Logic of «Almost All», Jour, of Philosophical Logic, 3, pp 3—17, 1974.
Fine K・，Vagueness, Truth and Logic, Department of Philosophy, University of Edingburgh, 1973.
van Frassen B. S., Presuppositions, Supervaluations and Free Logic, in the Logical Way of Doing Things, K. Lambert, ed., Yale Univ. Press, New Haven, 1969.
Lakoff G., Linguistics and Natural Logic, in Semantics of Natural Languages, D. Davidson and G. Harman (eds.), Dordrecht, The Netherlands, D. Reidel, 1971。
Zadeh L. A., Shadows of Fuzzy Sets, Prob, in Trans, of Information, 2, pp. 37—44, 1966.
Kaufmann A., Theory of Fuzzy Sets, Masson, Paris, 1972.
Goguen J., «L-Fuzzy Sets», Journ. Math. Analysis and Appl., 18, pp. 145-174, 1967.
Brown J. G., A Note on Fuzzy Sets, Inf. Control, 18, pp. 32—39, 1971.
Mizumoto M., Toyoda J. and Tanaka K・，General Formulation of Formal Grammars, /〃/• Sci., 4, pp. 87—100, 1972.
Zadeh L. A., Similarity Relations and Fuzzy Orderings, /"・ Sci,9 3, pp. 177—200, 1971.
Bellman R. E. and Zadeh L. A., Decision-Making in a Fuzzy Environment, Management Science, 17, pp. B-141-B-164, 1970.
Bellman R. E. and Giertz M., On the Analytic Formalism of the Theory of Fuzzy Sets, /〃f. Sei., 5, pp. 149—156, 1973.
[27J Zadeh L. A., A Fuzzy-Set-Theoretic Interpretation of Linguistic Hedges, Jour, of Cybernetics, 2, pp・ 4—34, 1972.
Codd Е. F., Relational Completeness of Data Base Sublanguages, in Courant Computer Science, Symposia, 6, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1971.
Zadeh L. A., Fuzzy Sets, Inf. Control, 8, 338—353, 1965.
Thomasian A., The Structure of Probability Theory With Applications, McGraw-Hill Book Co., New York, 1969.
Moore R. E., Interval Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1966.
Brzozowski J. A., Regular Expressions for Linear Sequential Circuits, IEEE Trans, on Elec Comp., EC-14, pp. 148—156, 1965.
Shamir E., Algebraic, Rational and Context-Free Power Series in Noncommuting Variables, in M. Arbib*s Algebraic Theory of Machines, Languages and Semigroups, pp 329—341, Academic Press, New York, 1968.
Blikle A., Equational Languages, /〃/. Control, 21, pp. 134—147, 1972.
Rosenkrantz D. J., Matrix Equation and Normal Forms for Context-Free Grammars, Jour. Assoc. Comp. Mach., 14, pp. 501—507, 1967.
Hopcroft J. E. and Ullman J. D., Formal Languages and Their Relations to Automata, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969
Aho A. V. and Ullman J. D., The Theory of Parsing, Translation and Compiling, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973
Lakoff G., Hedges: A Study in Meaning Criteria and the Logic of Fuzzy Concepts, Proc. 8th Regional Meeting of Chicago Linguistic Society, Univ, of Chicago Linguistics Dept., April 1972.
Zadeh L. A・，Quantitative Fuzzy Semantics, Inf. Sci.t 3, pp. 159—176, 1971.
Knuth D., Semantics of Context-Free Languages, Ma统.Systems Theory^ 2, pp. 127—145, 1968.
Lucas P. et al, Method and Notation for the Formal Definition of Programming Languages, Report TR 25.087, IBM Laboratory, Vienna, 1968.
Wegner P., The Vienna Definition Language, ACM Computing Surveys, 4, pp. 5—63, 1972.
Lee J. A., Computer Semantics, Van Nostrand-Reinhold, New York, 1972.
Kohavi Z., Switching and Finite Automata Theory, McGraw-Hill Book Co., New York, 1970.
Hughes G. E. and Cresswell M. J., An Introduction to Modal Logic, Methuen, London, 1968.
Rescher N., Many-Valued Logic, McGraw-Hill Book Co., New York, 1969.
Barkan R・，A Functional Calculus of First Order Based on Strict Imlica- tion, Jour. Symbolic Logic, 11, pp. 1—16, 1946.
Zadeh L. A., Probability Measures of Fuzzy Events, Jour. Math. Analysis and Appl., 23, pp. 421—427, 1968.
DeLuca A. and Termini S., A Definition of Non-Probabilistic Entropy in the Setting of Fuzzy Set Theory, Inf. Controlt 20, pp. 201—312, 1972.
Hintikka J. and Suppes P., eds., Aspects of Inductive Logic, North- Holland PubL Co., Amsterdam, 1966.
Winograd T., Understanding Natural Language, Academic Press, New York, 1972.
DeLuca A. and Termini S., Algebraic Properties of Fuzzy Sets, Jour. Math. Analysis and Appl.t 40, pp. 373—386, 1972.
Rosenfeld A., Fuzzy Groups, Jour. Math Analysis and AppLt 35» pp. 512—517, 1971.
Zadeh L. A., Fuzzy Algorithms, /". Control, 12, pp. 94—102, 1968.
Santos Е.» Fuzzy Algorithms, /"・ Control, 17, pp. 326—339, 1970.
Chang S. К・，On the Execution of Fuzzy Programs Using Finite State Machines, IEEE Trans. Elec. Comp., C-21, pp. 241—253, 1972.
Chang S. S. L and Zadeh L. A., Fuzzy Mapping and Control, IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, SMC-2, pp 30—34, 1972.
Lee E. T., Fuzzy Languages and Their Relation to Automata, Dissertation, Dept, of Elec Eng and Computer Sci , Univ of Calif., Berkeley, 1972.
Lee R. С, Т.» Fuzzy Logic and the Resolution Principle, Jour. Assoc. Comp Mach.t 19, pp. 109—119, 1972.
Colby К. M., Weber S. and Hilf F. D., Artificial Paranoia, Jour. Art, Intelligence. 2, pp. 1—25, 1971.
ДОБАВЛЕНИЕ
С. А. Орловский
Это добавление не является подробным обзором литературы по применению идеологии и языка теории нечетких множеств в различных областях человеческого знания. Цель его — дать читателю представление лишь о некоторых применениях, которые не отражены в книге Л. А. Заде. В конце добавления приведен список дополнительной литературы, причем ссылки на работы из этого списка помечены буквой Д.
§ 1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ И ИГРЫВ НЕЧЕТКО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ
Нечетко определенной обстановкой называется приближенное описание реальной ситуации на языке нечетких множеств. Задача принятия решений в нечетко определенной обстановке была впервые сформулирована и подвергнута анализу Беллманом и Заде [25].
Множество допустимых выборов в этой задаче описывается нечетким множеством Л в некотором полном классе выборов. Задана функция f: X —У, значение f(x) которой описывает результат выбора конкретного элемента из X без учета допустимости или недопустимости этого выбора. Цель принятия решения описывается нечетким множеством С в полном классе исходов 匕 При таком понимании цели ее можно описать нечетким множеством Сх в полном классе выборов X, которое есть прообраз нечеткого множества цели С при отображении 尸).
Прообразом А нечеткого множества В при отображении /: X f У называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
Образ В нечеткого множества А при отображении / описывается функцией принадлежности вида
(sup m(z) при [尸1(外]#0,
I опри [尸 ®)] = 0,[尸 a)] = {z|〃z)p}・
© Издательство «Мир», 1976
Решение задачи выполнения нечеткой цели определяется при этом как пересечение нечетких множеств выборов и цели. Иными словами, решение есть максимальное (по включению) нечеткое множество О в X, такое, что
\. Da А (допустимость решения),
f(D) az С (выполнение нечеткой цели),
где /(О) —образ D при отображении /.
Это решение можно рассматривать как нечетко сформулированную инструкцию, исполнение которой обеспечивает выполнение нечетко определенной цели. Нечеткость получаемого решения есть следствие нечеткости исходной задачи. При таком представлении решения остается неопределенность, связанная со способом исполнения полученной нечеткой инструкции. Такая неопределенность возникает, например, когда исполнить инструкцию означает выбрать конкретное значение х. Различные, но не единственно возможные способы разрешения этой неопределенности предлагаются в работе Заде [54]. В работе [25] понятие нечеткого решения используется для анализа динамической задачи принятия решений в нечетко определенной обстановке.
Более общей является задачах) принятия решений, в которой результат конкретного выбора элемента 尤三X оценивается не значением функции /(х), как в [25], а нечетким множеством Вх в Y (полный класс исходов) с функцией принадлежности “в： Хх 声->[0, 1]. Нечеткая цель принятия решения описывается, как и прежде, нечетким множеством С в Y.
По аналогии с [25] решением этой задачи называется максимальное (по включению) нечеткое множество 0 в X, такое, что
0и4 (допустимость решения),
D°B иЗ (выполнение цели),
где D» В —образ множества О в У при нечетком отображении В: X -> У, которое описывается функцией принадлежности 卩». Введем
Определение. Прообразом нечеткого множества С при нечетком отображении В: X -> У называется максимальное (по включению) нечеткое множество С%, такое, что
С*°8иС・
Из определения решения получаем
D = А{\ С*.
Нахождение решения сводится, таким образом, к нахождению нечеткого множества Сх. Введем множества
" = {(% У)1(修 У) ^XxYt 跳(招力＞此®)}, Nx={y\y^Y, (x, y)wN}, X° = {x|%wX, N.S，
Можно показать [2Д], что во введенных обозначениях нечеткое множество Сх описывается функцией принадлежности вида
• inf Rc(S при хе Х°,
при х 三 Х\Х°.
Отсюда и из определения решения следует, что решением сформулированной общей задачи принятия решений является нечеткое множество D с функцией принадлежности вида
min {р-д (х), inf |хс (у)} при хеХ°,
®(%) = “y^Nx
悶(％)при хеХ\Х°.
Описанный выше подход к задачам принятия решений можно применить для анализа игр в нечетко определенной обстановке. Формулируется такая игра следующим образом 】)・
Пусть X и У — множества элементов, которые могут выбирать игроки 1 и 2 соответственно (полные множества выборов). Допустимые выборы (стратегии) игроков 1 и 2 описываются нечеткими множествами в X и У соответственно с функциями принадлежности 囱:X [0, 1] и р,2*[0, 1]. Заданы функ
ции ", %： ХхУ—R、причем значение 方"，у) есть оценка игроком i ситуации (х, у) без учета допустимости или недопустимости выборов хну. Цель игрока i описывается нечетким множеством & в Ri с функцией принадлежности ^с： Rif [0, 1]. Следует заметить, что цель, поставленная игроком, может оказаться плохо или вообще несовместимой с его возможностями (например, с множеством его стратегий). Ниже этот вопрос рассматривается несколько подробнее.
По аналогии с рассмотренной выше задачей принятия решений целью игрока i можно считать нечеткое множество в XxY с функцией принадлежности
心(х, у) = ^с (Д (х, у)) V(x, у)^Хх У・
Образом этого нечеткого множества при отображении Д является заданное нечеткое множество цели игрока ，.
Введем нечеткие множества А и Ав ХхУ, определив их функции принадлежности следующим образом:
叱(招 ^) = min {|xi (x),用(无，g)},
НЬ (x,加=min 仙2 (%), I? (x, у)} V(x, у)^Хх Y.
Если способом исполнения нечеткой инструкции считать выбор такого значения х, для которого соответствующая функция принадлежности принимает максимальное значение (предполагая, что такое значение существует), то можно более точно сформулировать цели игроков в рассматриваемой игре. Можно полагать, что игрок i (i = 1, 2) стремится к достижению по возможности большего значения функции |х^ (х, у). Рассматриваемая игровая ситуация формулируется при этом обычным образом: X и У — множества стратегий игроков, |хЬ и 卩方一их функции выигрышей. Заметим, что если принять другой способ исполнения нечетких инструкций, то и формулировка игры окажется другой.
Если игрок полагается целиком лишь на свои возможности, то естественной является его ориентация на получение наибольшего гарантированного выигрыша. При этом важную роль играет имеющаяся в его распоряжении информация об интересах и ограничениях игрока 2, от которой существенно зависит величина наибольшего гарантированного выигрыша [Гермейер, 1Д]. Если, например, игрок 1 имеет возможность первым выбрать свою стратегию и сообщить этот выбор игроку 2, то наибольший гарантированный выигрыш игрока 1 равен
Mi = max min 叱(匕 g) = max min min {|xx (x),卩工(爲 g)}・ xsX ^еУ(г)*еХ9ЕУ(%)
Наличие в этом выражении множества У (х), зависящего от х, отражает степень информированности игрока 1 об интересах и ограничениях игрока 2 (по этому поводу см. монографию НД])・
Если величина Mi слишком мала, то это означает, что цель, к выполнению которой стремится игрок 1, слишком завышена (с учетом его возможностей). В связи с этим естественным образом возникает следующая задача. Пусть задана нечеткая цель игрока 1 с функцией принадлежности |хс« Каково должно быть нечеткое множество его стратегий, гарантирующее этому игроку (при заданной информированности об игроке 2) выполнение цели со степенью, не меньшей некоторого заданного числа а е [0, 1]? Иными словами, какова должна быть функция ® описывающая нечеткое множество стратегий игрока 1, чтобы
max min {|хх (х), min *(%, р)}*：а?
%®хЮ<(%)
Имеет смысл и обратная задача: задано нечеткое множество стратегий игрока 1. Какие цели игрок 1 может гарантированно выполнить со степенью не менее а? Подробнее эти задачи рассматриваются в работе [ЗД].
По аналогии с антагонистическими можно ввести и игры с противоположными целями в нечетко определенной обстановке.
Определение. Игрой с противоположными целями 8 нечетко определенной обстановке называется игра, в которой функции принадлежности нечетких целей игроков и функции 厶，/= 1, 2, таковы, что
Нс ⑵)> Нс (&) о 庇⑵)V Нс (&),
而⑵)=屹⑵)о нg⑵)=нg⑵)Vzi, 22三Ri fi (匕！/)=%(%,切 V(x, у) w Xx К
Используя введенные выше обозначения, пару х°, у° назовем ситуацией равновесия игры, если для любых % 三 X н любых у ^Y выполняются неравенства
min {卩i(%。)，М(х°, {/°)}>min{(xi(x), ^(х, yQ)}9 min{(x2(/), h2(^% 护)} ^min {卩2(切，卩2(%О，勿}.
Заметим, что это определение опирается на принятый выше способ исполнения нечетких инструкций. Некоторые свойства ситуаций равновесия в таких играх рассмотрены в работе [ЗД].
В работе Обена [4Д] анализируются игры п лиц с нечеткими коалициями, представляющими собой нечеткие подмножества множества игроков. Показана эквивалентность различных понятий решения такой игры (равновесие, ядро, значение).
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ: КЛАССИФИКАЦИЯ И УПОРЯДОЧЕНИЕ
Нечеткое отношение R в универсальном множестве U определяется как нечеткое подмножество декартова произведения Некоторые свойства нечетких отношений и операций над ними описаны в основном тексте данной книги (§ 2); более подробно они обсуждаются в работе Заде [29]. Здесь мы кратко изложим лишь две задачи, основанные на использовании нечетких отношений: задачу классификации [5Д] и задачу упорядочения [6Д].
Рассмотрим сначала задачу классификации [5Д]. Пусть имеется набор X фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой группе оказались портреты членов только одной семьи. Пусть fi (х, у) — функция принадлежности
нечеткого бинарного отношения ”сходство" на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий хну значение fi (х, у) есть субъективная оценка человеком степени сходства х п у. Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода „экспериментальные данныеи, отражающие понимание человеком понятия „сходство** в данной задаче. Следующий этап — использование этих „данных" для требующейся классификации фотографий. Для выполнения этого этапа и предназначен алгоритм классификации, предложенный в работе [5Д].
Заметим, что нечеткое отношение /1 (х, у) обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется в работе [5Д] одношаговым отношением в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для ^ (х, у) вводится п-шаговое отношение fn (х, у) следующим образом:
%(招 S= sup min仇(拓无О, ・・・，А(хя_ь у)].
Это отношение является n-арной композицией исходного „экспериментального** отношения ^ (х, у) и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых х, у ^Х выполняется цепочка неравенств
。^^/1(%, U)^^ % (%, У)V： ♦・• W： f 汽(х, у) W • • • W 1,
из которой следует, в частности, что для любых 尤，g 三 X последовательность {fk (х, у)} имеет предел при 々一＞8. Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством
/(% у)= lim%(无，g) Vx, y^X. 也f 8
В соответствии с алгоритмом, описанным в [5Д], это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений /\(%, у) и следующим образом используется для классификации.
Для произвольного числа X (OV%V1) вводится обычное (не нечеткое) отношение &:
乐梦of(/加
Нетрудно показать, что для любого 入(О V 入 V 1) R九 есть отношение эквивалентности в X, т. е. для любых 无,pwX выполняются обычные аксиомы эквивалентности
а)东冰，б) xR科 nyR/, в) xR立,y&znxR/,
Заметим, что в) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение / (х, р) обладает свойством'
f(%, z)^min[/ (х,力 f®, z)] Vx, y, zwX, которое называют свойством транзитивности нечеткого отношения, причем исходное отношение /\(х, у) этим свойством не обладает.,
Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества X на классы эквивалентности по полученному отношению R九.
Выбор величины порога % в этом алгоритме осуществляется исходя из условий исходной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину 九 выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получились 3 класса эквивалентности по отношению R九.
Перейдем теперь к задаче упорядочения элементов множества, в котором задано нечеткое отношение (например, отношение предпочтения). Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно указать лишь нечеткое отношение предпочтения, т. е. указать для каждой пары альтернатив х и у лишь степени, с которыми выполняются предпочтения х”уиуМх. В таких случаях задача принятия решений становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Способы раскрытия этой неопределенности предлагаются в работе [6Д]. Для двух типов нечетких отношений в этой работе предлагаются способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.
Пусть f(x, у) — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве X (например, отношения нестрогого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества Т = {尤匕 х2,... ..・, хп}. В работе [6Д] предлагается осуществлять это упорядочение по значениям следующей функции:
f 3|7) = m：nf ⑴闻，
где X；巨 7\ а функция
Imax [/⑴，巧)，，国 m)「
Для вычисления значений функции /(修 |Т) удобно пользоваться следующим равенством:
gfn隈哥…，偿制.
По отношению к этому упорядочению максимальным в множестве Т является элемент х?, такой, что
f (叫 Т) = тах〃/|Т).
Еще одна задача упорядочения, рассмотренная в работе [6Д], иллюстрируется следующим примером.
Требуется решить, кто из детей: старший сын (%i), младший сын (尤2) или дочь (&) больше всего похож на отца (г). Заданы „результаты измерений**: Xi и х2, взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0.8 и 0.5 соответственно; х2 и %з, взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0.4 и 0.7 соответственно; наконец, %】и х3, взятые отдельно, похожи на отца со степенями 0.5 и 0.3 соответственно.
Таким образом, в этой задаче в отличие от предыдущей имеется стандартный элемент (шаблон) для упорядочиваемого множества Т, т. е. элемент, обладающий свойствами, общими для всех элементов этого множества. Иначе говоря, если /(х, у) — нечеткое отношение в ХпТ (например, отношение сходства), то
f(z,为)=1 V/三T.
При наличии стандартного элемента для каждой пары элементов % и у множества Т задаются величины f(x, у: * f(y, %: г), т. е. степени отношения (например, сходства) х и у, взятых отдельно, к г. Упорядочение элементов множества Т с таким образом заданным нечетким отношением предлагается осуществлять в соответствии со значениями функции
f(Xj\T: z) = min田.
Максимальным в смысле этого упорядочения является элемент 4, такой, что
/ 図 IТ: z) = max f(xk | 7: z)・
Для задачи о сходстве отца и детей значения этой функции таковы:
(Т = {修，&, %з})： f(%i|T： г) = 1, f(x2\T: z)=今，
〃%з|Т： г) = |,
откуда следует заключить, что наиболее похож на отца старший сын (xi), затем следуют дочь (х3) и младший сын (х2).
В заключение отметим, что предложенные в [6Д] способы упорядочения следует рассматривать лишь как в той или иной степени приемлемые или разумные, но отнюдь не единственные способы. Дело в том, что сами рассматриваемые задачи являются нечетко определенными по своей природе и говорить об их однозначном решении, по-видимому, не имеет смысла.
НЕЧЕТКИЕ АВТОМАТЫ
Еще одной областью применения языка нечетких множеств являются так называемые нечеткие автоматы и их использование для моделирования самообучающихся систем в задачах распознавания образов, управления и т. п. (см. [7Д], [8Д], [9Д], [12Д], [13Д]). В этом параграфе мы ограничимся описанием нечетких автоматов, основанных на двух определениях композиции нечетких отношений.
Определение [7Д]. Конечный нечеткий автомат описывается набором (/,匕 Q,厶 g), в котором
/ — непустое обычное (не нечеткое) множество (значения входа),
V — непустое обычное множество (значения выхода),
Q — непустое обычное множество (внутренние состояния), / — функция принадлежности нечеткого множества в декартовом произведении Q X / X Q, т. е. отображение Qx/xQ->[0, 1],
g —функция принадлежности нечеткого множества в декартовом произведении Ux/xQ, т. е. отображение VxZxQ->[0, 1].
Смысл функции 厶 например, можно пояснить следующим образом. Пусть А — нечеткое множество в Qx/xQ, описывающее возможные (допустимые) переходы из состояния в состояние для различных значений входа. Тогда / = /д — функция принадлежности этого множества. Пусть, например, I = {ilf ... …，％}, V = {^i,…，叫，Q={%, ...» 讣 Тогда величина £а® 5 0m) есть степень принадлежности тройки qh % qm нечеткому множеству А или степень возможности перехода
(или просто степень перехода) автомата из состояния ，/ или q ® = qi в состояние qm или 9(%+1)==夕加,если значение входа i = i, или 力他)=".Иными словами,
[A 回、打9加)=f(0 他)=% i 优)=打? (^ ~h 1) = 9m)> где k — целочисленный параметр («дискретное время»).
，Если, например, fA (qh ", ^w) = 1, то это означает, что данный переход определенно (четко) возможен. Если же fA (qh “, 0加) = 0, то данный переход определенно невозможен. В промежуточном случае 0 V f貝 V i можно ввести пару чисел (порогов) а, р е (0, 1) и руководствоваться следующим (% = н(9/，0» Ст))：
переход % определенно возможен, если fA (х)^а,
переход х определенно невозможен, если f/(%)VB,
возможность перехода х не определена если В V/n(%) Va.
Пусть lj(k) — последовательность значений входа длины /, т. е. последовательность вида G 他)，为 但+1), …，*伍 + /—1)・ Тогда 屮(勿，Ip® 柒)一степень перехода из состояния qi или g3) = g? в состояние qs или '(々+1) = % под действием последовательности значений входа i (力) = i〃 i(k+ l) = /o,・・・ ...,i(a + p—1) = 〃・ Таким образом, получаем
屮(外，/2他)，分)=中(例，打际分)==中(%，*/, 0m； qm,，0,分)，Qm 三 Q,
屮(仇，%他)，依)=屮(例，打9m； Qm, io,分；分，%, 0s), Qm、分三Q.
Для того чтобы выразить функцию <р через заданную нечеткую функцию переходов автомата, можно воспользоваться одним из следующих определений композиции 8。4 нечетких отношений В и Д:
[29]. фвол(х, г/) = sup min [fA (х,办后(〃切]・
[7Д].屮区。/(居 y) = inf max [/л (х,明后(〃 у)]
Пользуясь, например, определением 1, получаем
9(% 厶伍)，qm)= max min[f(%,必俏)，・・•，『伉，ih q^ ^ qP%wQ
Частными случаями так определенного нечеткого автомата являются детерминированные и недетерминированные автоматы. Например, если множество Л (см. выше) является не нечетким, а обычным множеством, т. е. функция / принимает лишь значения 0 или 1, причем так, что возможен лишь единственный переход из данного состояния, то соответствующий автомат является детерминированным. Аналогичным образом в рамках
введенного выше определения нечеткого автомата можно описать и недетерминированный автомат.
В работе [7Д] описано применение нечетких автоматов, основанных на определениях 1 и 2 композиции нечетких отношений, для моделирования самообучающейся системы и рассмотрены применения этой модели в задачах распознавания образов и управления. Различные свойства и связь этих типов автоматов друг с другом подробно анализируются в работе [7Д].
Еще одна область применения нечетких множеств — так называемые нечеткие топологические пространства (НТП), т. е. пространства, элементы топологий которых суть нечеткие множества. Имеющиеся работы в этой области ([20Д] — [25Д]) посвящены главным образом перенесению основных понятий и определений обычной топологии на НТП.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Гермейер Ю. Б.» Игры с непротивоположными интересами. Теория принятия решений при неполном единстве, Изд. МГУ, М., 1972.
Орловский С. А., Об одной задаче принятия решений в нечетко определенной обстановке, в сб. «Вопросы прикладной математики», вьпь 1, Иркутск, 1976 (в печати).
Орловский С. А., Игры в нечетко определенной обстановке,丛ВМ 〃 ЖФ, 16, № 6, 1976.
Aubin J. Р” Fuzzy games, Technical summary report 1480, Univ. Wisconsin-Madison Math. Res. Center. USA.
Tamura S., Higuchi S., Tanaka K・，Pattern classification based on fuzzy relations, IEEE Trans., SMC-1, 1, 1971, 61—66.
Shimura M., Fuzzy sets concepts in rank-ordering objects, J. Math. Anal. Appl., 43, 1973, pp. 717 — 733.
Wee W. G., Fu K・ S., A formulation of fuzzy automata and its application as a model of learning systems, IEEE Trans. SSC-5, 1969, pp. 215—223.
Mizumoto M., Toyoda J., Tanaka K., Some considerations on fuzzy automata, /・ Compute Syst. Sci.t 3, 1969, pp. 409 — 422.
Wee W. G., On generalisation of adaptive algorithms and application of the fuzzy set concepts to pattern classification, Techn. Rept. TR —EE— —67—7, Purdue Univ, Lafayette, Indiana, July 1971.
Nasu M., Honda N., Fuzzy events realised by finite probabilistic automata, Control, 12, 1968, pp. 284 — 303.
Борисов A. H., Некоторые обучающиеся алгоритмы диагностики систем с размытыми классами состояний, Техн, кибернетика, Рига, 1970, стр. 1—21.
Asai К., Kitajima S., Learning control of multimodal systems by fuzzy automata. Pattern recognition and machine learning, Plenum Press, 1971, pp. 195—205.
Asai K., Kitajima S., A method for optimising control of multimodal systems using fuzzy automata, Inf. sei., No4, 1971, pp. 343 — 353.
Mamdani E. Н.» Application of fuzzy algorithm for control of simple dynamic plant, Proc. IEE Control & Science, 121, 1974, pp. 1585—1588.
Борисов A. H・,Эрнштейн P. X., Сопоставление некоторых четких и размытых алгоритмов распознавания, в сб, «Методы и средства техн, кнберн» Рига, 1970, стр. 35 — 40.
Адамович П. Н.» Борисов А. Н., Голендер В. Е., Адаптивный алгоритм распознавания размытых образов, в сб. «Кибернетика и диагностика», вып. 4, Рига, 1970, стр. 149—156.
Борисов А. Н., Осис Я- Я., Поиск наибольшей разделимости размытых множеств, в сб. «Кибернетика и диагностика», выпуск 3, Рига, 1969, стр. 79-88.
Борисов А. Н・，Голендер В. Е・，Оптимальное разделение размытых образов, в сб. «Методы и средства техн, киберн.», вып. 5, Рига, 1969, стр. 32—38.
Борисов А. Н., Осис Я Я., Методика оценки функций принадлежности элементов размытого множества, в сб. «Кибернетика и диагностика», вып. 4, Рига, 1970, стр. 125 — 134.
Chang S. S. L., Fuzzy topological spaces, J・ Math. Anal. Appl., 24, Nol, 1968, pp・ 182 —190.
Wong С. K., Covering properties of fuzzy topological spaces, J. Math. Anal. Appl・,43, No3, 1973 pp. 697 — 704.
Wong С. К.» Fuzzy points and local properties of fuzzy topology, J. Math. Anal. Appl., 46, 1974, pp. 316 — 328.
Goguen J. A., L-fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl・,18, 1967, pp. 145—174.
Goguen J. A., The fuzzy Tychonoff theoiem, J. Math. Anal. Appl., 43, No3, 1973, pp. 734 — 742.
25・ Wong С. K., Fuzzy topology: product and quotient theorems, J. Math. Anal. AppLt 45, 1974, pp. 512—521.
предметный указатель
взаимодействие 19 высказывание 90
значения истинности 91
лингвистические 90, 91
назначенные 107
компоненты р-невзаимодействующие 108
—^-невзаимодействующие 108
лингвистическая вероятность 114
—неопределенность 79
—нечеткая логика 90
—переменная 11, 71
булева 80
истинности 90
случайная 116
структурированная 77 лингвистическое значение 10, 71 —математическое ожидание (сред
нее) 123
— приближение 16, 100
множество а-уровня 36
невзаимодействие 18
нечеткая блок-схема 140
—логика лингвистическая 90
—переменная 18, 58
—теорема 137
нечетких множеств выпуклая комбинация 39
объединение 37
пересечение 38
произведение 38
декартово 40
нечеткого множества высота 32
дополнение 37
мощность 124
носитель 32
нечеткое множество типа 〃 52
нормальное 35
субнормальное 35
—ограничение 12
—отношение 41
—событие ИЗ
нечеткой переменной смысл 71, 72
область значений 23
—определения 23
ограничение 21
—маргинальное 23, 62
—нечеткое 58
—сепарабельное 28, 65
—условное 26, 63
оператор увеличения нечеткости 40
операция возведения в степень 39
—концентрирования 39
—растяжения 39
отношение вложенности 44
—нечеткое 41
отношений соединение 45
отношения основание 43
переменная базовая 12, 58, 71
—лингвистическая 11, 71
булева 80
истинности 90
структурированная 77
—нечеткая 18, 58
—обычная (не нечеткая) 21
—n-арная составная 22
переменные взаимодействующие 28, 67
—невзаимодействующие 28, 66
подтерм 72
правило вывода композиционное 19, 126
—семантическое 14, 71
—синтаксическое 14, 71
—modus ponens 131
обобщенное 2a 135
приближение лингвистическое 16, 100 приближенные рассуждения 16,90 принцип обобщения 47 продолжение цилиндрическое 43 проекция (тень) 42
распределение значений истинности 107
маргинальное 107
——лингвистических вероятностей 116
степень принадлежности 32
структура 14, 71
терм 72
—атомарный 72
—первичный 14
терм-множество 11, 71
точка перехода 32
уравнения назначения 13, 21, 58
в отношениях 19
системы гуманистические 9
—механистические 9 совместимость 58
функция принадлежности 32
—совместимости 12
212328323237414247525861657076798790949910110613114118121212328323237414247525861657076798790949910110613114118121
212328323237414247525861657076798790949910110613114118121
212328323237414247525861657076798790949910110613114118121
ОГЛАВЛЕНИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
Маргинальные и условные ограничения Взаимодействующие и невзаимодействующие переменные
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
Нечеткие множества. Обозначения и терминология Операции над нечеткими множествами
Нечеткие отношения
Проекции и цилиндрические нечеткие множества
Принцип обобщения
Нечеткие множества с нечеткими функциями принадлежности ..
ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Маргинальные и условные ограничения
Сепарабельность и невзаимодействующие переменные
ПОНЯТИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Структурированные лингвистические переменные
Булевы лингвистические переменные
Графическое представление лингвистической переменной
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИ И НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
Логические связки в нечеткой логике
Таблицы истинности и лингвистическая аппроксимация
Значения истинности неизвестно и не определено Составные переменные истинности и распределения значений истинности
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ
Лингвистические вероятности
Вычисления с лингвистическими вероятностями
Усреднения по нечетким множествам
8・ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ* 126
Композиционное правило вывода 126
Правило modus ponens как частный случай композиционного правила вывода 131
Нечеткие теоремы 137
Графическое представление блок-схемами ..139
Заключительные замечания 146
Список литературы 147
Добавление. С. А Орловский: 150
Предметный указатель 162
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
ВАШИ ЗАМЕЧАНИЯ О СОДЕРЖАНИИ КНИГИ, ЕЕ ОФОРМЛЕНИИ, КАЧЕСТВЕ ПЕРЕВОДА И ДРУГИЕ ПРОСИМ ПРИСЫЛАТЬ ПО АДРЕСУ: 129820, МОСКВА, И-110, ГСП, ЬЙ РИЖСКИЙ ПЕР., Д. 2, ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР%
Л. ЗадеПОНЯТИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙИ ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ПРИНЯТИЮПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИИРедактор И. А. МаховаяХудожник А. В. ШиповХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Л. П. ЧуркинаКорректор В. И. Постнова
Сдано в набор 22.08.76. Подписано к печати 20.08.76. Формат 60X90!/iee5,25 бум. л. Бумага кн. ■ журн. Усл, печ. л, 10,50. Уч.-изд. л. 8,46. Изд. № 1/8639. Цена 58 к. Зак. № 116.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва» 1-й Рижский пер” 2Набрано и сматрицировано в ордена Трудового КрасногоЗнамени Ленинградском производственно-техническомобъединении «Печатный Двор» имени А. М. ГорькогоСоюзполиграфпрома при Государственном комитете Сове-та Министров СССР по делам издательств, полиграфиии книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчин-ская ул., 26.
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
1) Более подробное обсуждение нечетких множеств и их свойств можно найти в работах, приведенных в списке литературы (Подробный анализ основных понятий, а также много иллюстративных примеров имеются в работе [20J.)
1) Выражение (3.55) определяет maxrnin-композицию R н S; аналогично определяется rhax-композиция, только в ней вместо операции минимизации производится арифметическое умножение. Более подробное обсуждение этих композиций имеется в работе [24].
2) В максминном произведении матриц вместо операций сложения и умножения используются операции у н 八 соответственно.
1) Мы молчаливо предполагаем, что рассматриваемые нечеткие мно- жества выпуклы и, следовательно, их множества уровня суть интервалы [29]. В случае невыпуклых множеств требуются лишь незначительные изменения в этой процедуре.
V > sup 卩(о)“[0. 1】
2) В нашей литературе для таких объектов применяется термин «отображение» —Прим ped.
МАГЕМАГИНА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕПАНТОРЫ СЕРИИ： А.Н.КОЛМОГОРОВ, С.П.НОВИНОВ
ПОНЯТИЕ
ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙПЕРЕМЕННОЙ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕН ПРИНЯТИЮПРИБЛИЖЕННЫХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО НМ И Ри МОСКВА
THE CONCEPT OF A LINGUISTIC VARIABLEAND ITS APPLICATION TO APPROXIMATEREASONING
L. A. ZADEH
Computer Science Division, Department of Electrical En( and Computer Sciences, and the Electronics Research Lal University of California, Berkeley, California, 94720.
American Elsevier Publishing Company, New York, 1973
МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ； А.Н.КОЛМОГОРОВ, С.П.НОВИ.НОВ
Л. ЗАДЕ
ПОНЯТИЕ
ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙПЕРЕМЕННОЙ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕК ПРИНЯТИЮ
ПРИБЛИЖЕННЫХРЕШЕНИЙ
Перевод с английскогоН. И. РИНГО
Под редакцией
Н. МОИСЕЕВА и С. А. ОРЛОВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО《МИР》МОСКВА 1976
УДК 517.11+519.92
Книга посвящена новому математическому аппарату для изучения ситуаций, столь сложных или неопределенных, что они не поддаются точному количественному описанию. Вводится понятие «нечеткого» множества и лингвистической переменной, значения которой ——не числа, а слова и предложения естественного или искусственного языка. Этот подход находит важные приложения в задачах принятия решений в сложных условиях.
Книга будет интересна студентам и специалистам по прикладной математике, а также инженерам и лицам, занимающимся математической экономикой, теорией систем и общими проблемами управления.
Редакция литературы по математическим наукам
3320204-03 35——76041(01)-7620204-03 35——76041(01)-76© 1973, American Elsevier Publishing Company
3
3
20204-03 35——76
041(01)-76
20204-03 35——76
041(01)-76
© Перевод на русский язык, «Мир》》1976