ПРЕДИСЛОВИЕ

В предлагаемом сборнике учитель математики средней школы найдет разнообразные устные упражнения и задачи по всем разделам школьного курса геометрии, предназначенные в основном для классных занятий с учащимися.

Эти упражнения целесообразно использовать для проверки знаний учащихся, составления самостоятельных и контрольных работ и повторения ранее пройденного материала. Некоторые из них послужат дополнительным заданием для наиболее способных и интересующихся математикой учащихся.

Правильно организованное упражнение учащихся в решении задач ——важное средство активизации мыслительной деятельности учащихся и воспитания их творческих способностей.

Основной принцип, которого придерживались авторы, заключался в том, что каждая задача должна не только закреплять полученные знания, но и расширять их, обогащать учащихся новыми свойствами геометрических фигур, заставлять их думать, сравнивать, классифицировать. Поэтому в сборнике мало задач вычислительного характера. В основном это упражнения, развивающие логическое мышление и пространственное воображение учащихся, вырабатывающие у них навыки в исследовании решения задач и способствующие привитию строгости в рассуждениях. Задачи позволяют устанавливать различные связи между вновь изучаемыми и ранее известными фактами. Это дает возможность рассматривать одни и те же свойства геометрических фигур с различных точек зрения. Решение предлагаемых задач требует нешаблонного применения полученных знаний, что будет содействовать развитию математической культуры учащихся.

Устные упражнения и несложные задачи, не требуя большого времени для решения, позволяют в сочетании с другими упражнениями сделать уроки геометрии более разнообразными по содержанию, повышают эффективность этих уроков.

Что касается раздела стереометрии, то мы не стремились расширить его объем за счет включения в сборник вычислительных задач. Подобные задачи, широко представленные в различных сборниках, не соответствуют поставленным перед сборником целям.

Некоторые задачи по стереометрии могут быть использованы при изучении стереометрии в восьми летней школе. Применение таких упражнений будет способствовать развитию пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.

Многие вопросы сборника предполагают короткий ответ, но во всех этих случаях от ученика требуются обоснования, ссылки на соответствующие теоремы, определения. Желательно, чтобы некоторая часть задач решалась учащимися устно, без чертежа. В задачах на построение, если нет специальных указаний, используются при решении циркуль и линейка.

Задачи, отмеченные звездочкой (*), либо повышенной трудности, либо рекомендуются для решения при повторении данной темы в старших классах.

Первая часть «Планиметрия» написана В. А. Жаровым и 3. А. Скопецом, вторая часть «Стереометрия» — П. С. Мар- голите. Общая редакция выполнена 3. А. Скопецом.

АВТОРЫ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ПЛАНИМЕТРИЯ

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. Прямая линия. Луч. Отрезок

Сколько прямых линий можно провести: 1) через одну точку; 2) через две точки?

Сколько кривых линий можно провести через две точки?

Могут ли: 1) две различные прямые, 2) два различных луча, 3) два различных отрезка иметь две различные общие точки?

Сколько можно провести прямых линий, проходящих одновременно через три различные точки?

На прямой взяты три точки. Сколько этими точками определилось лучей, отрезков, принадлежащих прямой?

1) На отрезке АВ взята точка С・ Какое соотношение существует между данным и образовавшимися отрезками? 2) Выяснить, сколько образуется отрезков и какие существуют соотношения между ними, если на отрезке /В взяты две точки С и D?

Изобразить: 1) два различных отрезка, имеющих всего три конца; 2) три различных отрезка, имеющих всего три конца; 3) четыре различных отрезка, имеющих всего пять концов.

1) Сколько точек пересечения могут иметь три различные прямые, лежащие в одной плоскости? 2) Определить наибольшее и наименьшее число точек пересечения четырех различных прямых.

. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку. Сколько отрезков образуется на всех прямых в результате их попарного пересечения? Решить задачу для и прямых.

Какое заключение можно сделать о сравнительной величине отрезков а н》？

1) Как записать условие того, что точка М лежит на отрезке ЛВ?

Как записать условие того, что точка М является серединой отрезка ДВ?

Как записать условие того, что точка М лежит на продолжении отрезка АВ?

§ 2. Углы. Смежные и вертикальные углы

Построить: 1) развернутый угол с вершиной в данной точке; 2) полный угол с вершиной в данной точке.

Записать, что: 1) угол Л не меньше угла В, 2) угол Л не больше угла В, 3) угол А не равен углу В.

Изобразить три различных луча, выходящих из одной точки. Назвать все углы, которые при этом образовались. Чему равна их сумма?

На какой угол нужно повернуть луч, чтобы конечное положение его и начальное: 1) образовали прямую линию; 2) образовали один луч; 3) были перпендикулярны?

Построить биссектрису развернутого угла.

Какой угол опишет: 1) часовая стрелка за 2 часа; 2) минутная стрелка за полчаса?

Сколько раз в промежуток времени от 8 часов до 12 часов того же дня стрелки часов образуют развернутый угол?

Начертить на бумаге острый, тупой и развернутый углы. Перегибанием разделить эти углы пополам и на четыре равные части.

Перегнуть листок бумаги по любой начерченной на нем прямой. Затем перегнуть его еще так, чтобы часть линии старого сгиба совпала с другой ее частью. Если вновь расправить листок, то линии сгиба образуют четыре угла. Доказать, что эти углы прямые.

Начертить произвольно несколько прямых. При помощи чертежного треугольника опустить на них перпендикуляры из точки, не принадлежащей ни одной из этих прямых.、

Даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и каждые две пересекаются. Сколько углов, меньших 180°, образуется в результате взаимного пересечения этих прямых?

Как построением определить, будет ли данный угол острым или тупым?

Изобразить два равных угла с общей вершиной (ЛОВ и COD). Назвать на чертеже еще одну пару равных углов.

Два угла аир имеют общую сторону. Чему равен угол, образованный несовпадающими сторонами этих углов?

1) Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми? 2) Может ли один из смежных углов быть тупым, а другой — прямым?

Один из двух смежных углов увеличился на 10Q. На сколько градусов изменилась разность полученных смежных углов?

Определить угол между биссектрисами двух смежных углов.

Разность двух смежных углов равна 90Q. Найти величину этих углов и построить их.

Может ли сумма двух вертикальных углов быть равной 2d?

§ 3. Окружность. Хорда. Диаметр

Построить точки, которые находятся на данном расстоянии от данной точки О. Что образует множество всех таких точек?

На окружности взяты точки Л, В и С. Назвать дуги, которые при этом образовались. Указать дуги: 1) меньшие 90°, 2) меньшие полуокружности, 3) большие полуокружности (оценить на глаз).

На окружности даны последовательно четыре точки А, В, С, Dt такие, что дуги АВ и CD равны. Указать другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотреть специальные случаи.

Как записать условие того» что точка М лежит внутри, вне или на окружности радиуса R с центром в точке О?

Построить точки, находящиеся внутри данного угла и удаленные от его вершины на данное расстояние. Что образует множество всех таких точек?

Указать внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечное множество равных между собой хорд.

Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы при любом их положении эти хорды пересекались?

АВ и MN — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Сколько градусов в дуге АМ. в дуге АМВ^ Разделить на глаз дугу 8N пополам точкой С. Какую часть окружности составляет дуга ВС? Как разделить окружность приблизительно на 12 равных частей?

Из общего центра О двух- концентрических окружностей выходят три луча, один из которых является биссектрисой угла, образованного двумя другими лучами. Какая зависимость существует между образовавшимися дугами, если эти лучи пересекают внутреннюю окружность последовательно в точках Д, В и С, а внешнюю — в точках 4，&, &?

1) Какой угол (меньший развернутого) составляют между собой направления на север и юго-запад?

Какой угол (больший развернутого) образуют между собой направления часовых стрелок в 3 часа, в 13 часов, в 16 часов?

На какой угол повернется Земля около своей оси за 2 часа?

Начертите на глаз углы в 4 5°, 30°, 60Q, 90°, 14 5°, 200°. Проверьте транспортиром правильность построения и установите допущенную при этом погрешность.

Глава II. ТРЕУГОЛЬНИК. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

§ 4・ Треугольник и его элементы. Равнобедренныйтреугольник

Дан треугольник АВС. Между какими сторонами заключен угол Д? Против какого угла лежит сторона 46? Какие углы прилежат к стороне ВС?

Чем отличается биссектриса угла треугольника от биссектрисы угла?

Какие из линий треугольника (высоты, медианы, биссектрисы) всегда лежат внутри треугольника? Какие из них могут совпадать с его сторонами?

Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что этот треугольник: 1) равнобедренный; 2) равносторонний.

Можно ли утверждать, что: 1) равносторонний треугольник является равнобедренным; 2) равнобедренный треугольник является остроугольным; 3) прямоугольный треугольник является разносторонним?

Может ли медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадать с его высотой?

Может ли биссектриса острого угла прямоугольного треугольника совпасть с его медианой, проведенной из той же вершины?

§ 5. Осевая симметрия

Сколько осей симметрии имеет: 1) фигура, состоящая из двух точек; 2) прямая линия; 3) окружность?

Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?

Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из: 1) двух данных прямых; 2) трех данных прямых? Рассмотреть различные случаи расположения этих прямых.

Сколько осей симметрии имеет треугольник?

На сторонах угла S взяты точки Л и В, отстоящие от вершины S на равных расстояниях. Доказать, что эти точки симметричны относительно биссектрисы угла 5.

На сторонах угла S на равных расстояниях от его вершины взяты точки Л и В. Доказать, что отрезки, соединяющие эти точки с произвольной точкой Р биссектрисы угла S, равны между собой.

Через произвольную точку Р биссектрисы угла S проведен к ней перпендикуляр, встречающий стороны этого угла в точках А и В. Доказать, что точки А и В симметричны относительно биссектрисы угла S.

Построением определить расстояние от точки, расположенной на стороне угла, до вершины угла, если этой вершиной из-за ее недоступности нельзя пользоваться.

§ 6. Равенство треугольников

Доказать, что середины сторон равнобедренкого треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника.

На окружности с центром О отложены равные дуги АВ и CD. Доказать, что треугольники АО В и COD равны.

Доказать, что хорды AD и ВС, соединяющие концы диаметров АВ и CD окружности, равны.

Для сторон треугольников АВС и MNK справедливы неравенства: АВ 芸 MN, ВС 芸 NK, СА 金 驳而, а треугольники все же равны. Возможно ли это?

Построить два неравных треугольника так, чтобы две стороны и угол одного треугольника были соответственно равны двум сторонам и углу другого.

Для каждой стороны одного треугольника имеется равная ей сторона в другом треугольнике. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?

一 63. Привести примеры использования свойства жесткости треугольника в технике и строительстве.

Требуется изготовить пластинку треугольной формы. Какими ее размерами необходимо располагать, чтобы можно было разметить эту пластинку?

“ 65. Каждая из точек М и N одинаково удалена от концов отрезка АВ (AM = MB, NA = NB). Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к отрезку АВ?

Найти в треугольнике АВС на стороне АВ (или ее продолжении) точку, одинаково удаленную от вершин Л и С. Отметить особый случай.

Сколько существует точек, равноудаленных от трех данных точек?

I 68. Найти на стороне ВС треугольника АВС точку, одинаково отстоящую от сторон АВ и АС или их продолжений.

Соотношения между сторонами и угламитреугольника

Могут ли стороны треугольника относиться как 1 : 2 : 3; 2 : 3 : 6; 1 : 2 : 2?

Доказать, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то гипотенуза того треугольника больше, у которого второй катет больше.

Доказать, что средней по величине стороне треугольника противолежит средний по величине угол.

В треугольнике против наименьшей его стороны лежит острый угол. Сформулировать обратное предложение и выяснить, верно ли оно.

Могут ли любые неравные отрезки а и 6 (а > 6) служить сторонами 1) равнобедренного, 2) прямоугольного треугольника?

74*. Доказать, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.

§ 8- Проекция отрезка на прямую.Перпендикуляр и наклонные

В двух прямоугольных треугольниках АВС и АуВ^ (NC = 2 & = 90°) имеем АС = 4&・ Доказать, что АВ > /1Вь если ВС〉Bi&.

Может ли проекция отрезка быть равной самому отрезку? Может ли она быть бэльше отрезка?

При каком условии проекция отрезка вдвое меньше самого отрезка?

В каком треугольнике одна из его сторон является проекцией другой стороны?

Чему равна сумма (или разность) проекций двух сторон треугольника на его третью сторону?

Доказать, что медиана (биссектриса), проведенная к катету прямоугольного треугольника, меньше его гипотенузы.

Доказать, что основание биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника делит его катет на два отрезка, из которых больший прилегает к гипотенузе.

Катеты одного треугольника меньше соответствующих катеров другого треугольника. Доказать, что гипотенуза первого треугольника меньше гипотенузы второго треугольника.

83*. Точка М находится от сторон угла ASB на таких же расстояниях, как и точка N. Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к углу ASB?

Точно ли сформулирована теорема: «Все точки биссектрисы угла одинаково удалены от сторон этого угла»?

На стороне угла ASB взяты точки М и N. Охарактеризовать множество точек, каждая из которых равноудалена от сторон данного угла и от точек М и N. Обратить внимание на случай, когда 1) SM = SN, 2) ZЛSB = 180°.

§ 9. Параллельные прямые. Сумма угловтреугольника

Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Каково взаимное расположение двух прямых, если они имеют: 1) по крайней мере одну общую точку; 2) не более одной общей точки?

Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой?

Выяснить, может ли при пересечении двух прямых третьей оказаться, что внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов не равна 180°?

Можно ли утверждать, что две прямые параллельны, если они при пересечении с третьей прямой образуют с нею равные углы?

Охарактеризовать множество прямых, равноудаленных от двух данных точек Л и В (расстояние от прямой до точки, по определению, равно расстоянию от этой точки до прямой).

На плоскости даны две точки. Много ли пар параллельных прямых можно провести через эти точки?

Две параллельные прямые пересечены двумя прямыми, пересекающимися на одной из параллельных прямых. Обозначить образовавшиеся при этом углы и указать соотношения между ними.

При каком положении прямой равны все углы, образуемые двумя данными параллельными прямыми с этой прямой?

Обосновать, почему биссектрисы двух соответственных углов при параллельных прямых не могут пересекаться.

Прямые а и 6 параллельны. Прямая р перпендикулярна прямой а, а прямая q перпендикулярна прямой Ь. Что можно сказать о взаимном расположении прямых р и 9?

Три точки равноудалены от одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что эти точки расположены на одной прямой?

Можно ли утверждать, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой?

Запишите условие того, что точка М лежит: 1) внутри полосы между двумя параллельными прямыми а и Ь\ 2) вне этой полосы.

Построением определить углы между двумя прямыми, если их точка пересечения находится за пределами чертежа.

Пользуясь линейкой и транспортиром, построить прямую, параллельную данной прямой.

Могут ли всякие три угла (отличные от нулевого), сумма которых равна 180Q, быть углами треугольника?

В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Чему равен острый угол между ними?

Обосновать, почему биссектрисы двух- внутренних углов треугольника не могут быть параллельны.

Верно ли определение: «Углы, сумма которых равна 90°, называются дополнительными»?

Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым? Прямым?

Могут ли два угла треугольника быть： 1) прямыми;

2) тупыми?

Основание равнобедренного треугольника вдвое больше соответствующей высоты. Определить углы этого треугольника.

В тупоугольном треугольнике ABC (ZЛ > 90°) проведена медиана ВМ. Доказать, что эта медиана больше стороны АВ и меньше стороны ВС.

Внутри треугольника АВС взята точка М. Доказать, что угол АМС больше угла АВС.

Каков вид треугольника, если один из его внутренних углов больше смежного с ним внешнего угла? Равен своему смежному?

Назовите тип треугольника, если один его угол равен сумме двух других углов? Больше суммы двух других углов?

. Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что треугольник: 1) прямоугольный; 2) тупоугольный; 3) остроугольный.

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

1) Может ли больший угол треугольника быть меньше 60°? 2) Может ли меньший угол треугольника быть больше 60°?

Как построить циркулем и линейкой угол в 30°, 120°, 60°?

Запишите условие того, что: 1) угол А треугольника АВС не тупой; 2) угол Л треугольника АВС не острый.

Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенных из вершины прямого угла, равен 15°.

Из вершины треугольника проведены биссектриса и высота. Выразить угол между ними через углы треугольника.

Чему равна сумма внешних углов треугольника, пятиугольника, семиугольника?

Могут ли все три внешних угла треугольника быть равными?

Могут ли быть три (два, один, ни один) внешних угла треугольника острыми?

В треугольнике АВС проведена биссектриса ССР Доказать, что угол СС】В равен полусумме угла А и внешнего угла В.

Сформулировать обратную теорему и доказать ее справедливость.

х/ 124. Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

U125. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, не превосходит половины гипотенузы.

§ 10. Углы с соответственно параллельнымии перпендикулярными сторонами

Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная проти во лежащей стороне. Доказать, что углы треугольника, образованного этими прямыми, равны углам данного треугольника.

Точка Р не лежит на сторонах угла. Сколько можно построить углов с вершиной в точке Р и со сторонами, соответственно параллельными сторонам данного угла?

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р, через которую проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и встречающие их в точках М н N. Назвать равные образовавшиеся углы.

Из точки Р, взятой внутри углаХ, опущены перпендикуляры РА и РВ на стороны этого угла или их продолжения. Каким соотношением связаны углы АР В и 4SB?

Высоты ААГ и В& треугольника АВС пересекаются в точке Н. Указать углы с соответственно перпендикулярными сторонами: 1) равные между собой; 2) составляющие в сумме 180°.

В вершине S данного угла ASB восставлены к его сторонам перпендикуляры SM и SN. Определить угол MSN, если угол ASB равен: 1) 130°; 2) 75°; 3) 3(5°： Рассмот-

реть различные случаи взаимного расположения сторон углов MSN и ASB (ограничиться углами, меньшими 180°).

Из основания D высоты BD треугольника АВС опущен перпендикуляр DE на сторону АВ. Доказать, что углы ВАС и BDE равны.

Известны углы прямоугольного треугольника. Определить углы, образуемые катетами с высотой, опущенной на гипотенузу.

Найти зависимость между углами Л5В и /pSiBo если SA И S1yli и SB 丄 S/l

Глава III. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

§ 11. Сумма углов выпуклого четырехугольника.Равенство четырехугольников

Может ли один из углов выпуклого четырехугольника быть больше суммы трех остальных его углов?

Доказать, что всякие четыре угла, не равные нулю и меньшие 185, сумма которых равна 360Q, могут быть углами выпуклого четырехугольника.

1) Может ли меньший угол четыр ехуго л ьни ка быть больше 90°? 2) Может ли больший угол четырехугольника быть меньше 90°?

1) Могут ли три угла четырехугольника быть тупыми? 2) Могут ли два угла четырехугольника быть тупыми, а два других — прямыми? .

В четырехугольнике проведены диагонали. Назвать все треугольники, которые при этом образовались.

Четаре точки, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, соединены попарно. Сколько образовалось при этом отрезков? Написать неравенства, связывающие длины этих отрезков.

Диагональ АС четырехугольника ABCD делит его углы Л и С пополам. Какое заключение можно сделать о сторонах четырехугольника?

Сколько острых углов может иметь выпуклый л-угольник?

Верна ли теорема: «Если стороны одного четырехугольника равны соответствующим сторонам другого, то четырехугольники равны»?

Сформулировать несколько признаков равенства четырехугольников.

Дан четырехугольник ABCD. Как найти точку, одинаково удаленную от вершин Л и В и от вершин С и D? Всегда ли такая точка существует? Может ли быть несколько таких точек?

146*. Чему равно число диагоналей л-угольника?

147*. На сколько диагоналей у (и + 1)-угольника больше, чем у и-угольника?

148*. При каком п число диагоналей и-угольника равно числу его сторон?

§ 12. Параллелограмм

Начертить пар а л л ело гр амм общего вида и провести его диагонали. Сколько пар равных треугольников при этом образовалось?

Могут ли два заданных острых угла быть углами одного и того же параллелограмма?

Какая зависимость существует между двумя углами параллелограмма?

Ученик определил пар а л лелогр амм как четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны. Объяснить, чем неудачно такое определение параллелограмма.

Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Доказать, что периметр получившегося параллелограмма равен сумме боковых сторон треугольника.

Доказать, что прямая, соединяющая середины двух противоположных сторон пар а л ле логр амм а, параллельна двум другим его сторонам.

Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках?

Определяется ли пар а л л ело гр амм: 1) своими сторонами; 2) своими углами; 3) своими диагоналями; 4) стороной, углом и диагональю?

§ 13. Центральная симметрия

Сколько центров симметрии имеют следующие фигуры: 1) две точки; 2) прямая линия; 3) две прямые?

Назовите известные вам фигуры, имеющие центр симметрии.

Диагонали АС и BD параллелограмма А В CD пересекаются в точке О. Назвать пары центрально симметричных треугольников.

Рассечь параллелограмм прямой на два равных четырехугольника.

Фигура, состоящая из трех прямых, имеет только один центр симметрии. Как должны быть расположены эти прямые?

Можно ли в окружность вписать два треугольника с соответственно параллельными сторонами?

Доказать, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то этот четырехугольник — пар ал лелогр амм.

Построить параллелограмм по его центру симметрии и двум несимметричным вершинам.

Определяется ли параллелограмм своим центром симметрии и двумя своими вершинами?

Доказать, что две параллельные прямые, проходящие через две симметричные относительно центра точки, симметричны относительно того же центра.

Три окружности имеют общий центр. Л и Alt В и Br, С и Сх — пары их диаметрально противоположных точек, причем Л, В и С не лежат на одной прямой. Доказать, что треугольники АВС и АхВуСг равны.

Используя центральную симметрию, доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Две равные окружности касаются в точке К・ Доказать, что эти окружности симметричны относительно точки К. Сформулировать аналогичную задачу для двух равных окружностей, которые не касаются.

§ 14. Прямоугольник^ Ромб

Один из углов параллелограмма прямой. Определить остальные его углы. Какое определение прямоугольника следует отсюда?

Точка лежит внутри прямого угла. Доказать, что ее расстояние до вершины этого угла меньше суммы расстояний до его сторон.

Середины сторон четыр ехуго льни ка являются вершинами ромба. Выяснить вид этого четыр еху го л ьни ка.

Сторона ромба с углом 120Q равна а. Найти меньшую диагональ ромба.

В ромбе опущены высоты из вершины его тупого угла. Определить углы ромба, если угол между высотами равен 40°.

Может ли диагональ ромба образовать с одной из его сторон прямой угол?

Доказать, что вершина С ромба ABCD одинаково удалена от прямых АВ и AD.

Что можно сказать о параллелограмме, высоты которого равны?

Каким еще свойством должен обладать четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, чтобы можно было утверждать, что он ромб?

Что можно сказать о четырехугольник, если известно, что при перегибании его по одной диагонали и по другой диагонали проти во лежащие им вершины совмещаются?

1) Равны ли два ромба, если их стороны (углы) равны? 2) Равны ли два ромба (прямоугольника), если их соответственные диагонали равны?

Необходимо изготовить четырехугольную пластинку данного образца. Какими для этого ее элементами (в минимальном количестве) необходимо располагать при условии, что данная пластинка имеет форму: 1) ^парал- лелограмма; 2) пр ямоуго льни ка; 3) ромба; 4) произвольного четырехугольника?

§ 15. Квадрат

Что можно сказать о ромбе, диагонали которого равны?

Может ли один и тот же четырехугольник быть ромбом и прямоугольником?

Можно ли утверждать, что: 1) квадрат есть ромб; 2) прямоугольник есть квадрат; 3) параллелограмм есть ромб?

Начертите квадрат и проведите его диагонали. Сколько пар равных треугольников при этом образовалось?

Постройте квадрат по двум заданным его соседним вершинам. Сколько решений имеет задача?

Сколько можно построить квадратов с вершинами в двух данных точках М и ^?

Постройте квадрат по его центру и вершине.

Равны ли два квадрата, если их диагонали равны?

Используя соотношения равенства между отрезками, записать условия того, что четырехугольник АВ CD есть: 1) прямоугольник; 2) ромб; 3) квадрат.

Как иначе назвать следующие фигуры: 1) равноугольный треугольник; 2) равноугольный четырехугольник; 3) равносторонний четырехугольник; 4) прямоугольный ромб; 5) прямоугольный параллелограмм?

Можно ли утверждать, что четырехугольник с равными и перпендикулярными диагоналями есть квадрат?

§ 16. Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Средняя линия треугольника

На стороне АВ пар аллело гр амма ABCD дана точка М так, что /М = g /В. Доказать, что отрезок MD отсекает от диагонали АС отрезок /Р, составляющий четвертую часть этой диагонали.

Через данную точку Л, расположенную внутри угла О, провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на сторонах угла делился в данной точке пополам.

195*. Через данную точку, расположенную внутри угла, провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на сторонах угла делился в данной точке на части, из которых одна вдвое больше другой.

На боковых сторонах АС и ВС равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки АМ и CN. Доказать, что середина отрезка MN принадлежит средней линии данного треугольника, параллельной его основанию.

Сторона ВС треугольника АВС разделена на 4 равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ. Определить отрезки параллельных прямых, заключенные внутри угла Л СВ, если сторона АВ треугольника равна с

§ 17, Трапеция

Доказать, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ и высоту пополам.

Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные а и 6. Определить основания трапеции.

Выяснить, может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения ее диагоналей?

Даны четыре точки Л, В, С, О, причем АВ = CD ВС II AD. Можно ли утверждать, что четырехугольник параллелограмм?

Противоположные углы трапеции равны аир. Чему равны остальные ее углы?

Сколько тупых углов может быть у трапеции?

Используя соотношения равенства между углами, записать условие того, что выпуклый четырехугольник АВ CD есть: 1) параллелогр амм; 2) трапеция.

К какому типу принадлежит четырехугольник, если его четыре угла представляют собой две пары равных углов?

Используя соотношения равенства между отрезками, записать условия того, что четырехугольник АВ CD — равнобедренная трапеция.

§ 18. Замечательные точки треугольника

Сколько существует точек, равноудаленных от трех попарно пересекающихся прямых?

Всегда ли две: 1) высоты, 2) медианы, 3) биссектрисы треугольника пересекаются?

209*. Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?

Могут ли две биссектрисы треугольника быть: 1) перпендикулярны; 2) параллельны?

Известны середины двух сторон треугольника. Одной линейкой построить середину третьей стороны.

Доказать, что три пары вертикальных углов, образованных высотами треугольника при точке их пересечения, соответственно равны углам треугольника.

Из четырех точек, одна является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими. Доказать, что этим свойством обладает каждая из данных четырех точек.

Медианы ААг и ВВХ треугольника АВС пересекаются в точке G под прямым углом. Доказать, что АВ = GC.

Глава IV. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

§ 19. Площадь квадрата, четырехугольника

Как изменится площадь квадрата, если: 1) его диагональ уменьшить в два раза, в три раза? 2) Во сколько раз уменьшится периметр квадрата?

Диагонали АС и BD квадрата ABCD пересекаются в точке О. Отрезки 40, ВО, СО, DO точками М, N, К, L разделены пополам. Определить площадь четырехугольника MNKL, если сторона квадрата равна а.

Площади квадратных сечений двух стержней соответственно равны 100 мм2 и 64 мм2. Как относятся стороны сечений?

Могут ли быть равновеликими два неравных: 1) параллелограмма; 2) квадрата?

219*. Построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.

§ 20. Теорема Пифагора

Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и &. Определить расстояние точки от вершины угла.

Дан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Доказать, что суммы квадратов^противопо- ложных сторон этого четырехугольника равны.

Определить площадь квадрата, если его диагональ равна т.

1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен а. Определить второй катет этого треугольника.

2) Найти высоту р авностороннего треугольника со стороной а.

Один из углов прямоугольного треугольника равен среднему арифметическом у двух других его углов. Найти его катеты, если гипотенуза равна с

Основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 1209 равно &. Определить боковую сторону треугольника.

Сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

Узнав, что стороны треугольника равны 3, 4 и 5, ученик, сославшись на теорему Пифагора, сделал заключение, что треугольник прямоугольный. Обоснованным ли было заключение ученика?

1) Определить тип треугольника, если его стороны равны 2, 3, 4; 1, ]/"2; ]ЛЗ.

2) Определить вид треугольника со сторонами Q, & и с, если а = т2+ и2, 6 = т? — и2 и с = 2mn (m > и).

Доказать, что разность квадратов проекций двух сторон треугольника на третью его сторону или ее продолжение равна разности квадратов этих двух сторон.

§ 21. Площадь параллелограмма, треугольника,трапеции

Одной прямой разделить параллелограмм на две равновеликие части. Охарактеризовать все прямые, обладающие этим свойством.

Через вершину параллелограмма провести прямую так, чтобы она отсекла от него треугольник, площадь которого составляет g площади параллелограмма.

Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон параллелограмма?

Назовите фигуры, из р авновел и кости которых следует их равенство.

Пользуясь понятием площади, установить равенство высот ромба.

Среди всех ромбов с заданным периметром указать такой, у которого наСибольшая площадь.

Доказать, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на равновеликие части, то четырехугольник есть параллелограмм.

Как относятся между собой площади треугольников, имеющих равные основания?

На сторонах СА и СВ треугольника АВС даны тон кн Л4 и N такие, что СМ = МА и 2CN = NB. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника MCN?

Чему равна площадь равнобедренного прямоуголь- ного треугольника, гипотенуза которого равна а?

Площадь треугольника равна произведению его медианы и высоты, проведенных из одной вершины. Найти угол треугольника при этой вершине.

Древние египтяне находили площадь равнобедренного треугольника умножением его основания на половину боковой стороны. Правильный ли получается при этом результат? Больший или меньший истинного?

Точка М лежит на медиане ССт треугольника АВС. Установите, что площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

Доказать, что медианы треугольника рассекают его на шесть равновеликих треугольников.

Провести прямую, параллельную медиане треугольника, так, чтобы она отсекала от него треугольник, площадь которого составляет ： площади данного треугольника.

В каком отношении находятся площади； треугольника и четырехугольника, на которые рассекается данный треугольник своей средней линией?

246*. Через произвольную точку медианы треугольника проведены прямые, параллельные заключающим ее сторонам. Доказать, что треугольники, отсеченные этими прямыми ,равновелики.

Прямая, проведенная через центроид треугольника параллельно его стороне, образует со сторонами треугольника трапецию и треугольник. Определить отношение площадей образовавшихся фигур.

На сторонах угла О отложить соответственно отрезки ОД, АВ и ОС, CD, такие, что ОА = /В,СО = CD Доказать, что площади треугольников OAD и ОВС равны.

Установить, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.

Точки М и N являются серединами сторон АВ и AD квадрата ABCD. Определить площадь треугольника AMN, если площадь квадрата равна единице.

Вершина А квадрата ABCD соединена с середнна- мм М н N его сторон СВ и CD. Определить площадь треугольника AMN, если сторона квадрата равна а.

252・ Доказать, что площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на его катетах.

Выразить площадь четырехугольника через его диагонали q н Ь, если известно, что они образуют угол в 30°.

Диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны. Определить площадь четырехугольника, если диагональ его равна а.

Пользуясь понятием площади, доказать, что сумма расстояний любой точки основания равнобедренного тре-

угольника от его боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

256*. Построить равносторонний треугольник, равновеликий данному треугольнику.

Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит ее площадь пополам.

258*. Середина Л4 боковой стороны ВС трапеции ABCD соединена с ее вершинами А и D. Доказать, что площадь треугольника MDA вдвое меньше площади трапеции.

Доказать, что площади двух треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее боковыми сторонами, видны из центра под равными углами.

260*. Диагонали АС и BD трапеции АВ CD (Л В |] СО) пересекаются в точке О. 1) Найти отношение площади треугольника АО В к площади треугольника COD, если АВ = =о, CD = Ь. 2) Доказать, что квадрат площади треугольника AOD равен произведению площадей треугольников АОВ и COD.

Глава V. ОКРУЖНОСТЬ

§ 22. Диаметр, хорда и ее расстояние от центра

Сколько окружностей можно провести через две данные точки Л и В? У какой из этих окружностей наименьший радиус?

Доказать, что две различные окружности не могут иметь более двух общих точек.

Прямая пересекает две концентрические окружности. Доказать, что отрезки этой прямой, заключенные в круговом кольце, видны из центра под равными углами.

Одной линейкой провести какие-нибудь две па- раллельные хорды окружности, если центр окружности задан.

Доказать, что если через концы хорды данной окруж- ности провести перпендикулярные к ней хорды, то последние будут равны.

На окружности отложены равные дуги NM и МК- Доказать, что диаметр ML является биссектрисой угла

Могут ли три параллельные друг другу хорды окружности быть равными между собой?

Известна теорема: «Дуги, заключенные между па-

раллельными хордами, равны». Сформулировать обратную теорему и доказать ее справедливость.

Построены равные хорды в двух неравных окружностях. Какая из двух меньших дуг, стягиваемых этими хордами, больше (по угловой мере)?

Дана окружность и ее диаметр. Охарактеризовать все хорды окружности, которые этим диаметром делятся пополам.

Радиус окружности равен т, а ее хорда и. Определить расстояние d хорды от центра окружности.

Угол между радиусами ОА и ОВ окружности равен 60°. Определить хорду АВ и ее расстояние d от центра О, если, радиус окружности равен R.

Радиус R окружности равен 4, а угол между ее радиусами ОА и ОВ равен 90°. Определить длину хорды АВ и ее расстояние d от центра.

§ 23- Взаимное положение прямой и окружности.Касательная к окружности. Две окружности

Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?

Верно ли определение: «Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с ней одну общую точку》？

Можно ли из одной точки провести к окружности более двух касательных?

Из точки, лежащей вне окружности, проведены к ней две касательные, образующие угол в 60°. Определить вид треугольника, вершины которого совпадают с данной точкой и точками касания.

Определить величину угла между касательными, проведенными к окружности из точки, кратчайшее расстояние которой от окружности равно ее радиусу. ,

Касательные, проведенные из точки А к окружности радиуса R, перпендикулярны. Определить отрезки этих касательных, ограниченные данной точкой и точками касания.

Касательные, проведенные из некоторой точки к окружности радиуса R, перпендикулярны. Определить расстояние этой точки от окружности.

281*. Можно ли через точку, лежащую внутри окружности, провести три равные хорды?

Каково взаимное расположение двух окружностей, если они имеют: 1) по крайней мере две общие точки; 2) не более двух общих точек?

Две равные окружности расположены так, что каждая из них проходит через центр другой. Определить угол, под которым видна общая хорда окружностей из центра одной из них.

Общая хорда АВ двух пересекающихся окружностей радиусов R и г равна 2о. Определить расстояние d между центрами этих окружностей.

Является ли фигура, состоящая из двух равных окружностей, симметричной: 1) относительно прямой; 2) относительно точки?

Верно ли утверждение: «Две окружности, касающиеся третьей, касаются между собой»?

Через середину Р общей хорды двух равных окружностей проведены две секущие. Первая из них встречает окружности последовательно в точках 4, В, С, О, а вторая — в точках М, N, К, L・ Доказать, что прямые 24 KM DN параллельны. Назвать равные параллельные отрезки, концами которых являются различные пары указанных точек пересечения.

Отыскать в учебнике несколько предложений, в которых содержатся необходимые и достаточные условия для формулируемых в них фактов.

Охарактеризовать множество прямых, удаленных от данной точки О на расстояние d.

§ 24. Углы, связанные с окружностью

В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда: 1) из центра окружности; 2) из произвольной точки окружности?

Из общей точки двух пересекающихся окружностей выходят два луча, встречающие первую окружность в точках А и В, вторую — в точках С и D. Что можно сказать о градусной мере дуг АВ и СО?

Одной линейкой провести в окружности две перпендикулярные хорды, имеющие общий конец в данной точке. Центр окружности задан.

На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре описана окружность. Доказать, что угол С острый» если

вершина С лежит вне окружности, и тупой, если вершина С лежит внутри окружности.

Из точки Р окружности проведены два взаимно перпендикулярных луча, встречающие окружность в точках М н N. Охарактеризовать множество прямых MN при условии, что прямой угол Р вращается около своей вершины.

Из точки Р окружности О проведены два луча, образующие угол а и встречающие окружность в точках М м N. Охарактеризовать множество прямых MN при условии, что угол Р вращается около своей вершины.

1) Что можно сказать о величине угла, под которым виден диаметр из точки, лежащей вне окружности?

Диаметр окружности виден из некоторой точки под тупым углом. Охарактеризовать расположение этой точки по отношению к окружности.

。297*. Даны две равные окружности, каждая из которых проходит через центр другой, и пересекающиеся в точках Л и В. Через точку А проведена произвольная секущая, встречающая окружности в точках С и D. Доказать, что треугольник BCD равносторонний.

Из вершины угла треугольника проведены биссектриса и диаметр описанной окружности. Выразить угол между ними через углы треугольника.

Из вершины угла треугольника проведены высота и диаметр описанной окружности. Выразить угол между ними через углы треугольника.

Используя соотношение (типа неравенства) между стороной С и соответствующей медианой тс треугольника, записать условие того, что треугольник: 1) прямоугольный; 2) остроугольный; 3) тупоугольный.

301*. Отрезок АВ виден из точек С и О под разными углами. В каком случае точки Ау В, С, D лежат на одной окружности?

§ 25. Длина окружности и площадь круга

На сколько увеличится длина окружности, если ее радиус увеличится на 1?

На сколько увеличится площадь круга радиуса R, если радиус увеличится на 1?

Определить зависимость между площадями кругов, построенных на сторонах пр ямоугольного треугольника как на диаметрах.

Как относятся площади кругов вписанного и описанного около данного равностороннего треугольника?

Разделить пополам участок, имеющий форму круга радиуса а, окружностью, центр которой совпадает с центром данного участка. Чему равен радиус делящей окружности?

Две водопроводные трубы одинаковых диаметров d заменены одной трубой с той же пропускной способностью. Вычислить диаметр D этой трубы.

Может ли сектор круга быть его сегментом?

Глава VI. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР

§ 26. Пропорциональные отрезки. Биссектрисаугла треугольника

Через точку пересечения медиан треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая стороны АС и ВС соответственно в точках Аг и Bl Найти: 1) отношение А^В^ АВ; 2) отношение площади треугольника Л1В1С к площади трапеции ЛВВ1Л1.

Диагонали четыр ехуго л ьни ка точкой их пересечения делятся на пропорциональные части. Назвать тип этого четырехугольника.

311*. Прямая, проведенная через середины двух протн- воположных сторон четырехугольника, проходит через точку пересечения продолжений двух других его сторон. Доказать, что четырехугольник ——трапеция.

На стороне угла А даны точки В и С, а на другой стороне ——точки Вг и С1Э причем АВ : ВС = АВГ : 51cl. Можно ли утверждать, что прямые 5sl и ССХ параллельны между собой?

Два последовательных отрезка АВ и ВС одной прямой пропорциональны двум последовательным отрезкам А1В1 и BG другой прямой. Следует ли отсюда, что прямые AAlt BBlt CCi параллельны?

Сторона ВС треугольника АВС разделена на три равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ. Определить отрезки этих прямых, заключенные между сторонами АС и ВС. если сторона АВ треугольника равна 18.

Отрезки АВ и MN точкой О их пересечения разделились на части так, что АО : ОВ = МО : ON. Доказать, что прямые АМ и BN параллельны.

Одно плечо шлагбаума равно 1 м、а второе ——5 м. На сколько поднимется конец большего плеча, если конец меньшего плеча опустится на 0,5 м?

Дайте определение биссектрисы угла; сформулируйте свойство точек биссектрисы угла и свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса ССХ угла С треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки А^ = т, ВСХ = п. Доказать, что

В треугольнике сумма двух сторон равна 14, а третья сторона делится биссектрисой проти вол ежащего угла на отрезки 3 и 4. Определить стороны треугольника.

В каком отношении центр。вписанной в треугольник АВС окружности делит-его биссектрису ААЪ если стороны треугольника равны Q, &, с?

321*. Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного его средними линиями.

Установить, что если ВВг — биссектриса угла В треугольника АВС, то Ъ : 2р.= 5工0 : ВгВ, где О — центр окружности, вписанной в треугольник, 2P ——его периметр, Ь = АС.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторон треугольника. Является ли это свойство достаточным признаком биссектрисы угла треугольника?

§ 27. Подобие фигур

Пояснить, почему два равносторонних треугольника подобны (признаками подобия не пользоваться).

Доказать, что два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны. (См. замечание к задаче 324.)

Из точки М проведены четыре луча, пересекающие две параллельные прямые а и &: первую прямую — в точках А, В, С и О, вторую — соответственно в точках &, В* С1? D^ Назвать подобные треугольники и указать их сходственные стороны. Что можно сказать о коэффициенте подобия всех этих пар подобных треугольников?

В равнобедренном треугольнике АВС проведены неравные высота АМ и BN. Доказать, что треугольники АМС и ABN подобны.

Хорды АВ и CD окружности。пересекаются в точке Mt Доказать, что треугольники AMQ и BMD подобны.

Окружность пересекает стороны угла S в точках А, В, С, D. Найти на чертеже подобные треугольники с вершинами в указанных выше точках.

Продолжения противоположных сторон АВ и DC вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Р. Установить вид треугольника ADP. если треугольник В СР равносторонний (прямоугольный, равнобедренный).

В каком отношении делятся диагонали трапеции их точкой пересечения, если основания трапеции равны а и &?

Стороны треугольника относятся как 2:5:6. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 6. Найти остальные стороны второго треугольника.

Стороны треугольника равны 6, 9, 12; произведение сторон подобного треугольника равно 24. Определить стороны второго треугольника.

В треугольнике АВС проведены высоты ААГ и ВВЪ пересекающиеся в точке Н. Указать четыре подобных между собой треугольника.

Доказать, что медианы, проведенные к двум соответственным сторонам подобных треугольников, рассекают их на соответственно подобные треугольники.

Доказать, что все прямые, проходящие через данную точку отрезка, имеют постоянное отношение расстояний от его концов.

Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой, непараллельной третьей его стороне, так, чтобы отсе- ченнн員 треугольник был подобен данному?

Через точку, лежащую на стороне треугольника, провести прямые, отсекающие от него треугольники, подобные данному.

Сформулировать признаки подобия двух равнобедренных треугольников.

Пользуясь признаками подобия треугольников, доказать, что медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2 : 1,

Доказать, что соответственные стороны подобных треугольников относятся как периметры этих треугольников.

Доказать, что если треугольники подобны, то биссектрисы, медианы и высоты одного из них пропорциональны соответствующим биссектрисам, медианам и высотам другого.

Доказать, что два треугольника подобны, если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника пропорциональны соответствующим элементам другого треугольника.

Установить, что высоты треугольника делятся ортоцентром на отрезки, произведения которых равны между собой.

Существует ли треугольник, медиана которого рассекает его на два неравных подобных треугольника?

Определить углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании отсекает от него треугольник, подобный данному.

Доказать, что два треугольника с взаимно перпендикулярными сторонами подобны.

Доказать, что два треугольника с соответственно параллельными сторонами подобны.

349*. Медиана С& треугольника АВС образует со сторонами СА и СВ такие же углы, как медиана С(： треугольника ArB'Cf со сторонами С'4' и СВ< Доказать подобие этих треугольников.

Подобны ли два четырехуго льни ка, если углы одного из них соответственно равны углам другого?

Доказать, что четырехугольники ABCD и A1BlC1D1 подобны, если 2Д = Z^b /8 = ZBb NC = /& и АВ : ВС = 5工瓦：В^^.

Доказать подобие двух четырехугольников по четырем сторонам и одному углу.

Назвать какие-нибудь два четырехугольника с соответственно пропорциональными сторонами, но не подобные между собой.

Подобны ли два произвольных: 1) прямоугольника;

ромба; 3) квадрата?

Доказать, что два прямоугольника подобны, если углы между их диагоналями равны.

В каких случаях два пр ямоуго льни ка подобны?

Доказать, что два ромба подобны, если их диагонали пропорциональны.

Сформулировать несколько признаков подобия двух ромбов.

Доказать, что параллелограммы подобны, если их диагонали пропорциональны и углы между ними равны.

Сформулировать и доказать несколько признаков подобия параллелограммов по их угловым элементам (по углам между сторонами, между диагоналями, между сторонами и диагоналями).

Подобны ли две трапеции, у которых соответственные основания и боковые стороны пропорциональны?

Сформулировать и доказать несколько признаков подобия двух равнобочных трапеций по угловым элементам.

В каком случае две фигуры, каждая из которых состоит из окружности и хорды, подобны?

Сформулировать признак подобия двух секторов.

Дан круговой сектор. Построить сектор, ему подобный.

Сформулировать признак подобия двух сегментов.

Дан сегмент. Построить сегмент, ему подобный.

Как относятся площади двух треугольников, на которые делится прямоугольный треугольник высотой, опущенной на гипотенузу?

Доказать, что высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам прилежащих катетов.

Глава VII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА

§ 28. Определение и свойства тригонометрическихфункций острого угла

На каждой стороне острого угла произвольно взято по точке. Из этих точек опущены перпендикуляры на другую сторону данного угла. Доказать, что отношения катетов, лежащих против данного угла, к соответствующим гипотенузам, в каждом из полученных прямоугольных треугольников, равны между собой.

Дан остроугольный треугольник АВС, у которого угол А равен 60°, а заключающие его стороны — b и с. Вычислить высоту С& и отрезок ВСГ

Вычислить значение синуса 60°.

Вычислить значение тангенса 22°,5.

Доказать, что tg 15° = 2 — ]/ 3.

В прямоугольном треугольнике АВС опущена высота С& на гипотенузу АВ. Доказать, что коэффициент подобия треугольников АСС± и ВС& равен tgB.

В прямоугольном треугольнике АВС опущена высота CG на гипотенузу АВ. Доказать, что коэффициент подобия треугольников ЛССГ и АВС равен sin В.

Доказать, что для острого угла а имеют место неравенства: I) tg а > Sin а; 2) ctga > cos а; 3) tg а > >ctga(a>45。)； 4) :將 <0(а>45。).

В прямоугольном треугольнике АВС проведена биссектриса ААг его острого угла Л. Доказать, что ВЛ . Л 丽=ctg亍

Дан равнобедренный треугольник АВС (СД = СВ). Из середины М основания АВ на высоту ААХ опущен пер- . с пендикуляр MN. Доказать, что: 1) MN = Л С sin2-^-; 2) 84 = 4С (1 — cos С); 3) sin2 等=} (1 — cos С).

Дан равнобедренный треугольник АВС (СЛ = =СВ). Из середины М основания АВ опущен перпендикуляр MN на сторону ВС. Доказать, что: 1) CN = В С cos2 у； 2) BN = ВС sin2 冬；3) В& = ВС (1 — cos С) (AAt 丄 BQ; 4) cos2 导=2(1 + cos C).

Дать геометрический вывод формулы tg 多 =j~^：£

для острого угла а.

Дан остроугольный треугольник ЛВС, у которого N 4 = 45°. Высота С& делит сторону АВ на отрезки HCj = =т, ВС* = п. Вычислить: 1) tgB; 2) CH (Н — точка пересечения высот треугольника); 3) tgC; 4) Л С; 5) ВС Найти зависимость между tgB и tgC.

Высота С& треугольника АВС расположена внутри треугольника н образует с его сторонами СА и СВ углы a и р. Вычислить отрезки 4G，BClf AAlt СДЬ если CCt = 1

33332 Вопросы н задачи по геометрии

33

33

(4 — основание высоты, опущенной из вершины Л). Вывести формулу

tg( + 份—匸 tga • tgp'

Глава VIII. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

§ 29. Треугольник

Используя соотношение равенства между отрезками, записать условия того, что точка М является центром окружности, описанной около треугольника АВС.

Построить треугольник по двум углам и радиусу описанной окружности.%

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Определить расстояние между ортоцентром треугольника и центром описанной окружности.

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен а. Определить углы, под которыми виден каждый катет из центра описанной около него окружности.

К какому типу принадлежит треугольник, если: 1) центр описанной окружности расположен на одной из его сторон; 2) центр расположен вне треугольника?

Назовите тип треугольника, если расстояние от его ортоцентра до центра описанной окружности больше радиуса этой окружности.

Во сколько раз радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, больше радиуса вписанной в него окружности?

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40°. Определить углы, под которыми видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности.

Дан треугольник АВС и центр О окружности, вписанной в треугольник. Доказать, что углы АОВ, ВОС, СОА тупые.

§ 30. Четырехугольник

Сумма двух углов четырехугольника равна 180°. К какому типу относится четырехугольни к?

Доказать, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

Стороны прямоугольника равны а и 6. Определить радиус описанной около прямоугольника окружности.

Как одной линейкой вписать прямоугольник в окружность с заданным центром?

Две противоположные стороны вписанного в окруж- / ность четырехугольника равны. Указать возможные виды таких четырехугольников.

Некоторый четырехугольник пересечен окружностью так, что на всех его сторонах получились равные хорды. Доказать, что в этот четырехугольник можно впи- сать окружность.

Некоторый четырехугольник пересечен окруж- ностью так, что на всех его сторонах получились равные хорды. Доказать, что суммы противоположных сторон этого четыр ехуго л ьни ка равны.

Отрезок CD виден из точек Л и В под равными углами. Можно ли утверждать, что точки Л, В, С, D лежат на одной окружности?

К какому типу относится четырехугольник, если у него: 1) только два прямых угла; 2) три прямых угла?

Что можно сказать о равностороннем четырехуголь* нике, вписанном в окружность?

Что можно сказать о#четырехугольнике с равными сторонами, описанном около окружности?

Около параллелограммов каких видов можно описать окружность?

В какие параллелограммы можно вписать окружность?

Определить сторону квадрата, вписанного в полукруг радиуса R, если две вершины квадрата лежат на диа- метре, а две другие — на полуокружности, ограничивающей полукруг.

I) Что можно сказать о трапеции, если она вписана в окружность?

Какое соотношение существует между средней линией трапеции и ее боковыми сторонами, если трапеция описана около окружности?

В окружность вписан четырехугольник с равными диагоналями. Установить вид этого четырехугольника.

§ 31. Правильные многоугольники

Определить число сторон правильного п-угольника, если центральный угол, опирающийся на дугу, стягиваемую стороной правильного многоугольника, равен 18°, 36°,72°.

Какой наибольший центральный угол может быть у правильного многоугольника?

Чему равен наименьший внутренний угол правильного многоугольника?

У какого правильного многоугольника центральный угол его равен внутреннему углу?

Доказать, что в любом треугольнике сторона, лежащая против угла в 30°, равна радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Из каких равных правильных многоугольников можно сложить паркет?

Можно ли утверждать, что два правильных одноименных многоугольника подобны?

Доказать, что середины сторон правильного л-угольника являются вершинами другого правильного л-угольника.

Можно ли утверждать, что выпуклый многоугольник будет правильным, если он вписывается в окружность и его стороны равны между собой?

Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы?

Можно ли утверждать, что выпуклый многоугольник будет правильным, если он вписывается в окружность и его углы равны между собой?

420*. Правильный треугольник повернут около своего центра на угол а (% < 120°). Доказать, что шесть сторон обоих треугольников образуют в пересечении равносторонний шестиугольник.

Определить сторону квадрата, вписанного в равносторонний треугольник со стороной а, если две вершины квадрата лежат на одной его стороне, а две другие — на остальных сторонах треугольника.

Доказать, что диагонали правильного пятиугольника параллельны его соответствующим сторонам.

Пятиугольник имеет две оси симметрии. Доказать, что он правильный.

424*. n-угольник с нечетным числом сторон имеет две оси симметрии, проходящие через середины двух смежных сторон. Доказать, что он правильный. Убедиться, что если л-угольник имеет четное число сторон, то указанное выше утверждение несправедливо.

425*. Около окружности радиуса г описан правильный двенадцати у го льни к 义工人 … 力便 Доказать, что AtA2 + + 44 = 2r.

Построить различными способами отрезки а /2, а /3, а 丿5.

Построить с помощью транспортира правильный девяти угол ьник.

В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса г. Определить площадь треугольника.

Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности, описанной около правильного шестиугольника, до его вершин есть величина постоянная.

430*. В окружность радиуса R вписан правильный двенадцатиугольник Д1Л2...Л12. Вычислить: 1) площадь треугольника A1A2A3f 2) площадь четырехугольника А1А2А3А4, 3) площадь пятиугольника Д1Л2ЛзЛ4Л5.

Глава IX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 32. Параллельный перенос

При каком условии могут быть совмещены параллельным переносом два отрезка, две прямые, два луча, две окружности?

При параллельном переносе точка А переходит в точку 5'. Построить окружность, в которую данный параллельный перенос преобразует данную окружность.

Даны две пары параллельных прямых: а || а', b И У. Всегда ли существует параллельный перенос, переводящий прямую а в а', а прямую b в У?

Острый угол равнобедренной трапеции равен 60°. Доказать, что меньшее основание трапеции равно разности большего основания и боковой стороны.

Доказать, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Основания трапеции равны а и &, а боковые стороны при продолжении образуют прямой угол. Определить отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

Доказать, что если отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, образует с ее боковыми сторонами (при продолжении) равные углы, то трапеция равнобочная.

Доказать, что треугольники равны, если медиана

и две стороны, исходящие из одной вершины, одного из них равны сходственным элементам другого.

Доказать, что трапеции равны, если четыре стороны одной из них соответственно равны сходственным элементам другой.

Доказать, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной из них соответственно равны сходственным элементам второй.

Доказать, что трапеции равны, если основание, диагонали и угол, заключенный между диагоналями, одной трапеции соответственно равны сходственным элементам другой трапеции.

Две равные окружности касаются внешним образом в точке К・ Секущая, параллельная линии центров 0г02, встречает эти окружности последовательно в точках Л и В, С и D. Доказать, что угол АКС не зависит от выбора секущей.

443*. Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Секущая, параллельная их линии центров О】。？， встречает первую окружность в точках М и ^, а вторую — в точках К и £. Доказать, что величина угла NBL или угла, смежного с ним, не зависит от выбора секущей.

Даны две пересекающиеся окружности равных радиусов. Секущая, параллельная линии центров, встречает первую окружность в точках Л и В, а вторую — в точках Си D, Определить отрезок ЛС, если расстояние между центрами равно т.

Две окружности равных радиусов касаются внешним образом в точке К； в одной из них проведена хорда К4 а в другой — хорда КВ, перпендикулярная первой. Определить отрезок АВ, если радиусы окружностей равны г.

На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из точки D на BS и из точки С на Л5, пересекаются на высотеSSX треугольника ABS или ее продолжении.

§ 33. Осевая симметрия

Какая взаимосвязь существует между параллельным переносом и осевой симметрией?

Даны две прямые. Сколько существует осей симметрии, относительно которых точки одной прямой симметричны точкам второй прямой?

Доказать, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.

Сколько осей симметрии имеет правильный л-угольник?

Из точки Р, расположенной на оси симметрии, выходят два луча РА и РЛ\ проходящие через симметричные точки А и Л\ Доказать, что эти лучи образуют с осью симметрии равные углы.

Доказать, что две прямые, проходящие соответственно через точки Л и А\ симметричные относительно некоторой оси, и образующие с отрезком AAf равные внутренние односторонние углы, симметричны относительно той же оси.

Доказать, что симметричные отрезки (или их продолжения), не параллельные оси симметрии, пересекаются на оси симметрии и образуют с ней равные углы.

Построен треугольник А'ВСу симметричный данному треугольнику АВС относительно биссектрисы BL угла В. Доказать, что: 1) стороны АС и /'С' этих треугольников пересекутся на биссектрисе угла В; 2) отрезки ААГ и СС параллельны; 3) отрезок АС равен разности сторон АВ и ВС треугольника.

Окружность с центром на биссектрисе угла S встречает одну сторону угла в точках Л и В, а другую — в точках Си。. Доказать, что хорды АВ и CD равны.

Построить прямую, по которой следует направить луч света из данной точки Л, чтобы он, отразившись от данного плоского зеркала, прошел через данную точку В.

В четырехугольниках А В CD и A^^Dx сходственные стороны равны, а диагонали АС и / 1cl являются биссектрисами углов Л и А±. Доказать, что четырехугольники равны, если АВ Ф AD.

Доказать, что если одна из диагоналей четырехугольника является биссектрисой одного из его углов и делит пополам его периметр, то она рассекает четырехугольник на два равных треугольника.

Средние линии некоторого четырехугольника являются его осями симметрии. Доказать, что четырехугольник —прямоугольник.

В некотором параллелограмме одна средняя линия является его осью симметрии. Доказать, что параллело

грамм есть прямоугольник.

Доказать, что если диагонали четырехугольни ка являются его осями симметрии, то четырехугольник —— ромб.

Доказать, что если одна диагональ н одна средняя линия четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник — квадрат.

Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований равнобедренной трапеции, является ее осью симметрии.

Четырехугольник имеет только одну ось симметрии. Установить тип этого четырехугольника.

Доказать, что окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

Точки А и В расположены внутри окружности и одинаково удалены от ее центра. Доказать, что концы хорды, проходящей через точки А и В, одинаково удалены от А и В.

Доказать, что прямая, соединяющая середины двух параллельных хорд одной окружности, проходит через ее центр.

Из середины хорды по одну сторону рт нее и под равными углами к ней выходят два луча. Доказать, что отрезки этих лучей, заключенные внутри окружности, равны.

Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, перпендикулярны.

Доказать, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно их линии центров.

Доказать, что если две концентрические окружности пересечены прямой, то отрезки этой прямой, заключенные между окружностями, равны.

Две концентрические окружности пересечены третьей окружностью. Доказать, что получившиеся при этом четыре точки пересечения являются вершинами равнобедренной трапеции (непараллельные стороны которой пересекаются на линии центров) или, в частности, вершинами прямоугольника или квадрата.

Даны две концентрические окружности. Через две точки, лежащие на этих окружностях и на одной прямой с центром, проведена произвольная окружность. Доказать, что две другие ее точки пересечения с данными окружностями лежат с центром также на одной прямой.

Даны две концентрические окружности. В каждой из них проведено по хорде, причем хорды параллельны и равны. Доказать, что концы хорд являются вершинами прямоугольника.

Окружность, концентрическая с вписанной в треугольник окружностью, пересекает стороны треугольника соответственно в парах точек А и В, С и Dt Е и F. Доказать, что хорды АВ, CD и EF равны.

Из точки М проведены к прямой т три наклонные МА, МВ, МС Доказать, что окружности, построенные на отрезках МА. МВ, МС как на диаметрах, имеют еще одну общую точку.

В окружности, центр которой не указан, проведены две параллельные, но не равные между собой, хорды. Пользуясь одной линейкой, разделить эти хорды пополам.

478*. Три прямые проходят через одну точку и образуют попарно равные углы. Точка Р, не принадлежащая этим прямым, отражается относительно первой прямой в точку Pi, точка Рг отражается относительно второй в Р2, а Р2 отражается относительно третьей прямой в точку Р3. Доказать, что РР1P2Р3 ——равнобочная трапеция и определить ее углы.

Точка М отражается от одной из двух перпендикулярных прямых в точку Мх, а точка Мх отражается от другой прямой в точку Л42. Доказать, что точка М2 симметрична М относительно точки пересечения прямых.

480*. Вершина С треугольника АВС отражена от биссектрисы углов А и В в точки & и С2. Доказать, что середина отрезка СХС2 есть точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной АВ.

Центральная симметрия

При каком расположении трех различных прямых образованная ими фигура имеет бесконечное множество центров симметрии?

Доказать, что две пересекающиеся прямые, проходящие через две симметричные относительно центра точки, не симметричны относительно того же центра симметрии.

Доказать, что две прямые, проходящие через центр симметрии, отсекают от двух симметричных относительно этого центра прямых равные отрезки.

Доказать, что если поотнощению к двум прямым имеется точка, через которую можно провести по крайней мере две секущие, встречающие данные прямые в точках, симметрично расположенных относительно данной точки, то данные прямые параллельны.

Произвольная точка М отражается относительно данной точки А в точку 此，а точка Мх отражается относительно другой данной точки В в точку М2. Доказать, что отрезок ММ2 имеет постоянную длину и постоянное направление.

Точка М последовательно отражается относительно трех точек Д, В, С. Доказать, что полученная точка М3 и данная точка определяют отрезок ММ3, середина которого М。не зависит от выбора точки 7И. Охар актеризовать положение точки М。относительно точек А, В и С.

Точка М отражается последовательно от вершин параллелограмма в точки 此，M2f М3, М4. Доказать, что точка М4 совпадает с точкой М.

Доказать, что если многоугольник обладает центральной симметрией, то он имеет четное число сторон.

Доказать, что любая секущая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма и отличная от них, рассекает его на два равных четырехугольника.

Из точки пересечения диагоналей параллелограмма опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что четырехугольник, вершины которого совпадают с основаниями этих пер пендик ул яров, является параллелограммом и что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма АВ CD отложены от вершин А и С равные отрезки АМ и CN. Доказать, что точки М, N и точка О пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

На продолжениях сторон АВ, ВС, CD, DA параллелограмма АВ CD отложены отрезки ВМ = ABf CN = =ВС, DK = CD, AL = DA. Доказать, что четырехугольник MNKL — параллелограмм.

Доказать, что шестиугольник с параллельными и равными противоположными сторонами имеет центр симметрии.

Угол В четырехугольника АВ CD равен углу D, а диагональ АС делится другой диагональю пополам. Доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

495*. Только одна из диагоналей четырехугольника делится другой диагональю пополам. Доказать, что тот отрезок второй диагонали больше, который выходит из вершины меньшего угла.

Медианы AAlt BBX и С& треугольника АВС пересекаются в точке М. Отрезки АМ, ВМ и СМ делятся точками Р, Q н R пополам. Доказать, что треугольники А^В^Сх и PQR равны.

На каждой медиане треугольника построена точка, делящая ее в отношении 1 : 2, считая от вершины. Доказать, что прямые, проведенные через эти точки параллельно соответствующим сторонам треугольника, образуют треугольник, равный данному.

Постройте шестиугольник, имеющий центр симметрии.

Всякий ли правильный м-угольник имеет центр симметрии? ■

На какой угол надо повернуть одну из двух равных и касающихся окружностей около точки их касания, чтобы она совпала с другой окружностью?

Через концы А и В диаметра АВ окружности О проведены касательные, на каждой из которых отложены по разные стороны от прямой АВ равные отрезки АМ и BN. Доказать, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

Даны две концентрические окружности с общим центром в точке О. А и At — диаметрально противоположные точки внутренней окружности, точки В и Вг — диаметрально противоположные точки. Доказать, что прямые АВ и А1В1 параллельны или совпадают.

Две окружности равных радиусов касаются внеш- ним образом в точке К； в одной из них проведена хорда К4 а в другой ——хорда ^B, пер пен ди кул яркая первой. Доказать, что отрезок АВ параллелен линии центров.

Две окружности равных радиусов касаются внешним образом в точке К, через которую проведены две секущие А КВ и CKD, встречающие одну окружность в точках Л и С, а другую — в точках В и D. Доказать, что прямые АС и ВО параллельны.

Точка А принадлежит прямой а. Произвольная точка Р отражается от точки А в точку Рх, а точка Р^ от-

ражается затем от прямой а в точку Р2- Доказать, что положение точки Р2 не зависит от порядка произведенных отражений. Сформулировать и доказать справедливость обратной теоремы.

Точка А поеледовательно отражается от четырех данных точек в точку 4. Доказать, что вектор ДЛ£ равен постоянному вектору при любом выборе точки Д.

Точка А отражается последовательно от пяти данных точек. Доказать, что середина отрезка АА19 где Аг соответствует Л после указанных отражений, не зависит от выбора точки А.

508*. Доказать, что если фигура имеет два центра симметрии Д и В, то прямая АВ является для этой фигуры осью симметрии.

Какая взаимосвязь существует между осевой симметрией и центральной симметрией?

§ 35. Вращение вокруг точки

Даны две точки А и В. Построить точку М так, чтобы поворотом около нее на 90° (а) можно было совместить точку А с точкой В,

Привести примеры фигур, которые совмещаются сами с собой поворотом около некоторой точки на угол 45°, 60°, 120°.

На какой наименьший угол следует повернуть правильный п-угольник, чтобы он совместился сам с собой?

Две равные окружности с центрами 0】и О2 пересекаются в точках А и В. На какой угол следует повернуть около точки А (или В) одну окружность, чтобы она совместилась с другой?

1) Даны две пересекающиеся прямые. На третьей прямой, не проходящей через их точку пересечения, найти такую точку, вращая около которой одну из данных прямых можно совместить ее со второй.

Даны два равных отрезка. Построить точку, вращая около которой один отрезок можно совместить его со вторым.

Даны два равных квадрата. Построить точку, вращая около которой один квадрат можно совместить его с другим.

Какая существует взаимосвязь между вращением вокруг точки и осевой симметрией?

516*. Три прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке. Точка М отражается последовательно относительно этих прямых. Полученная точка М3 в свою очередь повторно отражается последовательно от тех же прямых и в том же порядке. Доказать, что вновь полученная точка Мв совпадает с исходной точкой М. Установить справедливость этой теоремы для п (п ^ 2) прямых, пересекающихся в одной точке.

Через центр О квадрата проведены две взаимно перпендикулярные секущие. Доказать, что отрезки секущих, заключенные внутри квадрата, равны.

Вершины Д, В, С, D квадрата АВ CD соединены с серединами М, ^, К, Ь сторон ВС, CD, DA и АВ. Доказать, что четырех угол ьни к, образованный пересечением отрезков AM, BN, СК и DL, есть квадрат.

519*. Стороны АВ и ВС треугольника АВС после их поворота вокруг вершины В на 90° (одну сторону поворачиваем по часовой стрелке, а другую против) определяют новый треугольник А^С^ Доказать, что медиана ВМ треугольника АВС пер пенди к ул яр н а к стороне 41cl треугольника AyBCx и медиана ВМг треугольника АуВСх перпендикулярна к стороне ВС. Рассмотреть два направления поворота.

Дан равносторонний треугольник АВС, На сторонах СА и СВ отложены отрезки СМ и СМ сумма которых равна АВ. Доказать, что концы этих отрезков одинаково удалены от центра треугольника (от точки пересечения его осей симметрии), и найти угол, под которым виден из этого центра отрезок, соединяющий эти точки,

Через центр О равностороннего треугольника АВС проведены две секущие, образующие между собой угол, равный 60°. Доказать, что отрезки секущих, заключенные внутри треугольника, равны.

522*. На прямой g взяты последовательно точки А, В и С. На отрезках АВ и ВС построены по одну сторону от g равносторонние треугольники АМВ и BNC. Доказать, что точка В, середина отрезка /N и середина отрезка МС являются вершинами равностороннего треугольника. Обобщить теорему для произвольно расположенных точек Л, В и С.

На каждой из двух концентрических окружностей взяты по две точки А и Bt At и 5工，причем так, что углы АО В и AfiBy равны и одинаково направлены. Доказать,

что отрезки ААг и ВВ* равны и образуют угол, равный углу ДОВ.

Отрезки двух секущих, заключенные между парами проти воположных сторон квадрата, пер пенди кул яр - ны. Доказать, что эти отрезки равны.

Вписать в окружность два треугольника с соответственно перпендикулярными сторонами.

§ 36. Гомотетия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГОМОТЕТИИ

Как расположены гомотетичные точки по отношению к центру гомотетии при положительной и отрицательной гомотетии?

Произвести преобразование гомотетии данного треугольника ДВС, если заданы центр гомотетии О и коэффициент гомотетии 左 = 2. Рассмотреть два случая, когда центр гомотетии О лежит внутри треугольника и вне его.

Произвести преобразование гомотетии данного треугольника с центром гомотетии в одной из его вершин и с коэффициентом, равным 万,守・ Сравнить результаты при ^ > 1, ^ < 1.

Найти фигуру, гомотетичную данному четырехугольнику при 应=—2, приняв за центр гомотетии точку пересечения его диагоналей.

530來.Сколькими и какими данными может быть определена гомотетия?

Гомотетия задана ее центром S и коэффициентом k. Преобразовать:

данный параллелограмм, если S совпадает с центром параллелограмма и ^ = —1; 2;

данный треугольник, если S лежит на одной из его сторон н 左=±3; —~;

N1

пятиугольник, если S лежит внутри его н 左=万；1.

1) Дана фигура, состоящая из четырех точек. Построить фигуру, ей подобную, с коэффициентом подобия, 1

равным万・

На прямой дана фигура, состоящая из трех точек. Построить фигуру, подобную данной и расположенную на той же прямой.

Даны две пары гомотетичных точек А и А\ В и 8'. Что можно сказать о взаимном расположении этих четырех точек? Где расположен центр гомотетии?

Сколько центров гомотетии имеют: 1) две точки; 2) две прямые; 3) два угла с соответственно параллельными и одинаково направленный! сторонами?

Сколько центров гомотетии имеют два отрезка? Могут ли два отрезка иметь только один центр гомотетии?

Найти фигуру, гомотетичную углу, приняв его вершину за центр гомотетии. Рассмотреть случай, когда коэффициент гомотетии положителен, и случай, когда коэф^ фициент гомотетии отрицателен.

Общая вершина смежных углов принята за центр гомотетии. Преобразовать фигуру, образованную этими углами, при ^ > 0 и ^ < 0. Аналогично выполнить преобразование вертикальных углов.

Дана фигура, состоящая из прямой и окружности. Построить фигуру, ей гомотетичную, с коэффициентом гомотетии 2.

Прямая, параллельная основанию АВ треугольника 4ВС, отсекает от последнего треугольник 24rBiС. Доказать, что медиана CD треугольника АВС делит сторону 4出 1 пополам.

Из точки S к прямой т проведен ряд наклонных, причем каждая из них разделена в одном и том же отношении. Доказать, что точки деления лежат на одной прямой.

На прямой даны точки Д, В, С и D. Отрезки DA, DB и DC разделены соответственно точками М, N н К пополам. Доказать, что MN : NK =』В ： ВС

Середины сторон треугольника являются вершинами нового треугольника. Доказать, что эти треугольники гомотетичны. Определить центр и коэффициент гомотетии.

Используя преобразование гомотетии, доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения продолжений ее боковых сторон.

Можно ли расположить два квадрата так, чтобы они были гомотетичными относительно двух центров?

Могут ли равновеликие треугольники (многоугольники) быть гомотетичными?

546*. Верно ли утверждение: «Два треугольника, гомотетичные третьему, гомотетичны между собой»?

ГОМОТЕТИЯ ОКРУЖНОСТИ 1

Сколько центров гомотетии имеют две неравные окружности? Могут ли две окружности не иметь центра гомотетии?

В каком случае две окружности имеют только один центр гомотетии?

Как найти центры гомотетии двух неравных окружностей произвольного расположения?

Чему равно произведение пар коэффициентов гомотетии двух неравных неконцентрических окружностей?

Гомотетия задана своим центром S и коэффициентом k. Преобразовать: 1) данную окружность, если S лежит вне окружности н 々=土 木；

круговой сектор АОВ, если S лежит в точке О и

данную окружность, если S лежит на окружности и ^ = ±2.

Средние линии данного треугольника образуют другой треугольник, около которого описана окружность. Доказать, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса окружности, описанной около данного треугольника.

Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, отсекает от него треугольник MCN. Доказать, что окружности, описанные около треугольников АВС и MCN, касаются.

Две окружности касаются. Используя гомотетию, доказать, что если через точку касания провести две секущие, встречающие вторично первую окружность в точках А и В, а вторую — в точках С и О, то хорды АВ и CD параллельны. Рассмотреть два случая, соответствующие внутреннему и внешнему касанию.

Через точку касания двух окружностей проведена произвольная секущая, встречающая вторично данные окружности в точках, в каждой из которых к соответствующей окружности проведена касательная. Доказать, что эти касательные параллельны.

Две окружности касаются внутренним образом. В произвольной точке внутренней окружности проведена

1 Решение задач этого раздела требует дополнительного знакомства лишь с тем, что окружность при гомотетии переходит в окружность и отношение радиусов окружностей равно коэффициенту гомотетии.

к ней касательная, отрезок которой, заключенный внутри внешней окружности, делится этой точкой на два отрезка. Доказать, что оба эти отрезка видны из точки касания окружностей под равными углами.

Даны две пары окружностей: 0、и 02, 03 и 04. Первые две окружности, а также вторые две окружности касаются внешним образом, причем все четыре окружности касаются сторон некоторого угла. Доказать, что отношение радиусов первой пары окружностей равно отношению радиусов другой пары окружностей.

Сторона AD шарнирного параллелограмма А В CD закреплена неподвижно. Найти геометрическое место точек М пересечения диагоналей параллелограмма, когда сторона АВ делает полный оборот около точки А.

559*. Доказать, что окружность, проходящая через основания высот треугольника, делит отрезки высот, прилежащие к вершинам, пополам.

СВЯЗЬ ГОМОТЕТИИ С ДРУГИМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

Какое известное преобразование представляет собой гомотетия, когда & = —1?

При каком условии два подобных треугольника не являются гомотетичными? Могут ли два гомотетичных треугольника не быть подобными?

Даны два подобных треугольника, две стороны одного из них параллельны двум сторонам другого. Выяснить, будут ли треугольники гомотетичными.

Назовите фигуры, которые при гомотетии переходят в себя.

В гомотетии с центром S】и коэффициентом k* отрезок АВ преобразуется в отрезок А—, в гомотетии с центром Х2 и коэффициентом ^2 отрезок А1В1 преобразуется в отрезок Л2В2, равный АВ. Доказать, что отрезок Д2Ва может быть получен из АВ параллельным переносом или центральной симметрией и что 后】•力2 = 土 1.

Доказать, что отрицательную гомотетию можно заменить положительной гомотетией с последующим отражением от центра гомотетии.

Точка А принадлежит прямой а. Произвольная точка Р отражена относительно прямой а и полученная точка Pi переходит в преобразовании гомотетии с центром А в точку Р% Доказать, что положение точки Р? не

зависит от последовательности выполненных преобразований.

Даны два треугольника с соответственно параллельными сторонами. Доказать, что эти треугольники либо гомотетичны (в частности, центрально симметричны), либо могут быть совмещены параллельным переносом. Выяснить, при каком условии имеет место каждое из этих геометрических преобразований.

Даны два четырехугольника с соответственно параллельными сторонами и диагоналями. Доказать, что эти четырехугольники либо гомотетичны (в частности, центрально симметричны), либо могут быть совмещены параллельным переносом. Выяснить, при каком условии имеет место каждое из этих геометрических преобразований.

569*. Доказать, что: 1) две параболы, вершины и оси которых совпадают, гомотетичны; 2) любые две параболы подобны.

Векторы. Сложение, вычитание,умножение на число

Изобразить вектор а Построить векторы — а, 2成 _|_石，у2a,у5a.

Доказать, что сумма векторов /В, АС, СВ не зависит от положения точки С.

Могут ли векторы АВ н В А быть равны между собой?

Даны два вектора а и &. Построить векторы Q + 26, 23+3瓦｝)+瓦峙互.

Даны три вектора а, b и с・ Построить векторы W+26 + 工 5+5+3鼻｝石十■^А.

Даны векторы а и 0. Построить векторы а — 6, 一^十瓦一Q-也 Q --2瓦，" + 反

Даны векторы а9 Ьи с. Построить векторы а — b + +2方+7一22,亨十三

Точка М является серединой отрезка АВ. Доказать, что 20M = ОА + ОВ (О — любая точка плоскости).

Дан треугольник АВС и точка G пересечения его медиан. Доказать, что 3CG = СА + СВ.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Доказать, что для любой точки М имеет место равенство МА + МС = МВ 十 MD.

На отрезке АВ даны последовательно точки С и D, разделяющие его на три равные части. Выразить: 1) вектор AD через ВС; 2) вектор АС через 45; 3) вектор АВ через BD.

Даны точки О и Л и вектор а. Построить точку М такую, чтобы: 1) ОМ = ОА + 2а; 2) ОМ = ОД — а; 3) ОМ = ОЛ + —а?

Точки М н N являются серединами сторон АС и ВС треугольника АВС. Доказать, что MN = }(С5 — СЛ).

Точки М и N являются серединами боковых сторон ВС и DA трапеции ABCD. Доказать, что

而=} (ВА — DQ.

Даны три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой. Построить точку М такую, чтобы

СМ = СЛ + 2JCB — CA).

Отрезок АВ разделен последовательно точками С и £> на три равные части. Выразить: 1) векторы ОС и 6Ь через векторы ОА и ОВ; 2) векторы ОА и ОС через векторы ОВ и OD (О — произвольная точка плоскости).

В параллелограмме ABCD точки М и N являются серединами сторон ВС и CD. Выразить вектор MN через векторы АВ и AD.

Точки М и N являются серединами' сторон СА и СВ треугольника АВС. Выразить вектор MN через: 1) ЛВ и ЛС; 2) ВС~и ВЛ; 3) СА~и 更

Разложить вектор CG, соединяющий вершину С и точку пересечения медиан G треугольника ЛВС, по векторам: 1) АВ и АС; 2) ВС и ВЛ; 3) С А и СВ?

Разложить вектор ССЪ соединяющий вершину С с серединой протавоположной стороны треугольника ЛВС, по векторам: 1) АВ и ЛС; 2) ВС и ВА\ 3) СА и СВ,

В окружность вписан правильны^шестиугольник ABCDEF. Разложить векторы Л С, AD9 АЕ по векторам: 1) OF и ОВ\ 2) ОА и OBf 3)АВ и AF.

Написать условие того, что векторы а и &: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены; 3) противоположны.

Записать условие того, что точки А, В, С принадлежат одной прямой.

Записать условие того, что точки А, В, С, D принадлежат одной прямой.

Записать условие того, что четырехугольник ABCD: 1) параллелограмм; 2) трапеция.

Доказать, что прямая, проходящая через середину оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей.

596*. В окружность вписан правильный пятиугольник ABCDE. Доказать, что ОА -г ОВ + ОС + OD + + ОЕ = 0, где О — центр окружности.

Записать условие того, что точка С лежит между А и В.

598*. Дан треугольник АВС. Записать условие того, что точка М лежит внутри треугольника.

Даны четыре вектора О/, ОВ, ОС, OD. Записать условие того, что точка О есть точка пересечения диагоналей АС и BD выпуклого четырехугол ьни ка A BCD.

§ 38. Геометрические места точек

Может ли быть геометрическим местом точек одна точка, несколько линий, целая область? Приведите примеры.

・ Найти геометрическое место точек, расположенных внутри треугольника и равноудаленных от всех его сторон.

Можно ли утверждать, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, представляет собой прямую, параллельную данной?

Что является геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под данным углом?

Можно ли. утверждать, что ось симметрии двух точек — это геометрическое место точек, равноудаленных от этих данных точек?

Что является геометрическим местом вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

Указать геометрическое мёЬто точек, равноудаленных от двух данных прямых.

Охарактеризовать множество точек, равноудаленных:

от двух смежных сторон квадрата;

от двух противоположных сторон квадрата;

от всех четырех сторон квадрата;

от двух смежных вершин квадрата;

от двух противоположных вершин квадрата;

от всех четырех вершин квадрата.

Охарактеризовать множество точек, удаленных от точки Л на расстояние т, а от точки В — на расстояние и.

Сколько существует точек, отстоящих от данной точки А на расстояние m и от данной прямой а на расстояние и?

Сколько существует точек, равноудаленных от трех прямых, из которых две параллельны, а третья их пересекает?

Что будет являться геометрическим местом точек, равноудаленных от трех точек, не лжащих на одной прямой?

Определить геометрическое место середин параллельных отрезков с концами на сторонах некоторого угла.

Найти геометрическое место точек, которые могут служить центрами вращения для совмещения одной из двух пересекающихся прямых с другой.

Даны две равные окружности 0工 и О2. Найти геометрическое место точек, которые могут служить центрами вращений, переводящих одну окружность в другую.

615*. Найти геометрическое место точек пересечения пар равных хорд, проходящих через данные точки Л и В, расположенные на окружности.

616*. Прямые тип симметричны относительно точки О, из которой под прямым углом исходят два луча, встречающие данные прямые в точках М н N. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на прямую MN, если стороны прямого угла вращаются вокруг точки О.

617*. Вершины треугольников, имеющих общее основание, расположены на некоторой прямой. Найти геометрическое место центроидов этих треугольников.

На сторонах угла С взяты соответственно точки Л и В, в которых восставлены перпендикуляры, пересе-

кающиеся в точке М. Найти геометрическое место точек М при условии, что перпендикуляры к сторонам угла восставлены в точках, являющихся концами отрезков, параллельных АВ.

Глава X. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

§ 39. Скалярное произведение векторов

Доказать, что (ab)2 <а 2 Ь2*—_

Охарактеризовать угол между векторами а и Ь, если: 1)万•力 >0;2)或。6<0;3)或• b = - \a\ - \ b\.

Записать условие того, что треугольник АВС остроугольный.

Вычислить скалярные произведения векторов р и д, еди: _

р = а 十 6,，= а—力；

_/\_

р = а, а— а — 6 при | а | = 1, (а, Ь) = 60°, | & | — 2;

р = а —匕+ с, д = а+ Ь — с при (6, с) = 90°.

Вычислить скалярные произведения двух векторов аи 6, если:

一

1) I а I = 3, I I = 5, (,R = 45°;

2)向=4,历|=2, &历= 60。;

3)

冋=2,

冋=2,

(а, 6)=0°； /\

4)

冋=1,

|3) = 1,

(a, b) = 150°;

5)

冋=5,

|万1 = 3,

/、 。

(a, b) = 90°.

Пользуясь векторной символикой, записать условие того, что четырехугольник ABCD: 1) ромб; 2) квадрат; 3) прямоугольник.

Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказать, что параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник.

Доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями есть ромб.\

Доказать, что ромб с равными диагоналями есть квадрат.

Выразить длину каждой медианы треугольника через длины его сторон.

Построить два вектора ОА и 08, чтобы ОЛ2 = =ОА • ОВ.

Доказать, что если векторы а н 万 удовлетворяют условию (а — 6) (b ・ а 十 а ・ b) = 0, то эти векторы либо коллинеарны, либо равны по модулю.

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Записать условие того, что точка М лежит на окружности радиуса R с центром в точке О.

Записать условие того, что точка М является центром окружности, описанной около треугольника АВС.

Записать условие того, что точка Р лежит на касательной к окружности в точке Л, если центр М окружности принять за начало радиус-векторов.

Записать условие того, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.

Записать условие того, что треугольник АВС равносторонний.

Записать условие того, что точка М лежит на высоте ССХ (или ее продолжении) треугольника АВС.

Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Боковые стороны трапеции равны. Доказать, что углы трапеции, прилежащие к основанию, равны между собой.

Найти зависимость между длинами сторон треугольника АВС, если его медианы ААГ и ВВХ перпендикулярны.

Записать условие того, что точка М лежит на серединном пер пенди куля ре стороны АВ треугольника АВС.

Доказать, что если медианы ААГ и ВВг треугольника АВС равны, то треугольник равнобедренный.

Записать условие того, что точка М принадлежит биссектрисе ССХ (или ее продолжению) угла С треугольника АВС.•

Записать условие того, что точка М принадлежит внешней биссектрисе ССг (или ее продолжению) треугольника АВС.

§ 40. Теоремы косинусов и синусов.Формула Герона

Две стороны треугольника равны а и Ь. Выразить третью сторону с треугольника через аи Ь, если она равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

Определить диагонали параллелограмма, стороны которого равны а н 6, а заключенный между ними угол — 120°.J

Пользуясь теоремой синусов, доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике АВС проведена медиана СС「 До- • казать, что АС : ВС = sinZ CjCB : sinN&C4

Используя теорему синусов и свойство функции синуса, доказать, что против большего угла треугольника лежит большая сторона и обратно.

Доказать, что sin (Л + В) =sin A-cosB +sin В• cos/, пользуясь теоремой синусов (А и В углы треугольника).

Доказать, что расстояние между основаниями Ах и В】 высот А41 и ВВ] треугольника АВС равно АВ ； cos С|.

Пользуясь формулой Герона, вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной а.

Выразить радиус г окружности, вписанной в треугольник, через его стороны а, b н с.

Определить площадь четырехугольника ABCD, если А8 = 4, ВС = 6, CD = 7, AD = 3, BD = 5.

Вычислить площадь треугольника, если две его стороны равны а и 6, а угол, заключенный между ними, равен: 1) 4 5°; 2) 60°; 3) 30°; 4) 120°; 5) 150°.

Определить площадь четырехугольника, если его диагонали равны е и f, а угол между ними равен: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°; 4) 120°; 5) 150°.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Глава XI. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ

§ 41. Аксиомы принадлежности и следствия из них

Можно ли утверждать, что всякие: 1) три точки, 2) четыре точки лежат в одной плоскости?

Можно ли утверждать, что все точки окружности принадлежат плоскости, если эта окружность имеет с данной плоскостью: 1) две общие точки; 2) три общие точки?

В плоскости а даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Что можно сказать о расположении сторон треугольника АВС относительно плоскости а?

Три вершины параллелограмма лежат в некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и четвертая вершина этого параллелограмма лежит в той же плоскости?

Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Можно ли утверждать, что и две другие вершины пар ал лелогр амма лежат в плоскости 久？

Справедливо ли утверждение: «Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, является касательной к окружности в этой точке».

Прямые а и b пересекаются в точке С. Через прямую а проходит плоскость а, а через прямую b — плоскость Р， отличная от а. Как проходит линия пересечения этих плоскостей?

Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Даны две параллельные прямые. Можно ли утверждать, что прямые, пересекающие каждую из параллельных прямых, лежат в плоскости данных прямых?

Даны прямая и точка, не принадлежащая этой прямой. Лежат ли прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, в одной плоскости?

Можно ли утверждать, что всякая прямая, пересекающая каждую из двух данных пересекающихся прямых, лежит в плоскости, проходящей через эти прямые?

§ 42. Прямые и плоскостн

Даны плоскость а и точка А. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямой, проходящей через точку Л, и плоскости а, если: 1) точка Л лежит в плоскости а и 2) точка Л не лежит в плоскости а?

Могут ли две различные плоскости иметь: 1) одну общую точку; 2) две общие точки; 3) три и большее число общих точек?

Даны плоскость а и прямая Ь, имеющая с а общую точку. Каковы возможные случаи взаимного расположения плоскости а и плоскости р, проходящей через прямую fe?

Плоскости аир пересекаются. В плоскости а проведена прямая а, пересекающая плоскость р. Где должен лежать след прямой а на плоскости р?

Плоскости аир пересекаются. В плоскости а проведена прямая а. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямой а и плоскости р?

Точки Л и В являются следами на плоскости а двух пересекающихся прямых МА и МВ. Где лежит след прямой МС на плоскости а, если известно, что МС, МА и МВ лежат в одной плоскости?

Каково взаимное расположение диагоналей косого четырехугольника?

Справедливо ли утверждение, что через любые две стороны косого четырехугольника можно провести плоскость?

Прямая а лежит в плоскости. Сколько прямых, скрещивающихся с прямой а, проходит через точку, взятую в той же плоскости?

Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Верно ли это предложение для пространства?

Охарактеризовать все возможные случаи взаимного расположения трех попарно пересекающихся прямых.

Даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Сколько плоскостей можно провести через каждые три из них?

В пространстве даны две параллельные прямые и дана точка, не лежащая на этих прямых. Как установить, лежит ли точка в плоскости этих прямых?

Даны две параллельные или пересекающиеся прямые а и Ь. Точки А и Аг лежат на прямой а, точки В и 8工——на прямой Ь. Будут ли прямые АВ и А1В1 лежать в одной плоскости?

Даны две скрещивающиеся прямые а и 6. Точки А и At лежат на прямой а, точки В и Вх ——на прямой Ь. Как будут расположены прямые АВ и ///

Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все прямые?

Прямая а скрещивается с прямой 6, а прямая b скрещивается с с. Следует ли из этого, что прямые а н с скрещиваются?

Даны две пересекающиеся плоскости а и р. В плоскости а лежит прямая а, а в плоскости В — прямая Ь. Лежат ли прямые а н 6 в одной плоскости, если известно, что они пересекают линию пересечения плоскостей аир： 1) в одной точке； 2) в разных точках?

Даны две пересекающиеся плоскости а и р. В плоскости а проведена прямая а, в плоскости р — прямая Ь. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямых а и &?

В плоскости двух параллельных прямых а и b дана точка С, не лежащая на этих прямых. Прямая с проходит через точку С. Как может быть расположена прямая с относительно прямых ан》？

В плоскости двух пересекающихся прямых а и 》 дана точка С, не лежащая на этих прямых. Прямая с проходит через точку С. Как может быть расположена прямая с относительно прямых а и Ь?

Прямая m пересекает сторону АВ треугольника АВС. Каким может быть взаимное расположение прямой т и прямой ВС?

Прямая Q пересекает по крайней мере одну из двух пересекающихся прямых. Каковы возможные случаи взаимного расположения этих трех прямых?

Глава XII. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 43. Прямая, параллельная плоскости

Правильна ли приведенная ниже формулировка признака параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости»?

Прямые а и 6 параллельны. Какое положение мо・ жет занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую Ь?

Даны прямая и пара пересекающихся плоскостей. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения.

Верно ли утверждение, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны менаду собой?

Дана прямая, параллельная плоскости. Доказать, что в этой плоскости всегда можно построить прямые, параллельные данной.

Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм. Каково взаимное расположение прямой пересечения плоскостей граней SAB и SCD и плоскости основания АВ CD?

Даны две скрещивающиеся прямые. Можно ли через одну из этих прямых провести плоскость, параллельную другой?

Можно ли построить плоскость, проходящую через данную прямую и параллельную другой данной прямой?

В плоскости а даны две пересекающиеся прямые аи Ь. Точка С не лежит в плоскости а. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых а и 6?

Даны две прямые а и 6 и точка М, не лежащая на этих прямых. При каком взаимном расположении прямых

а и 6 и точки Л4 через М можно провести плоскость, параллельную обеим прямым?

Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь, с Построить прямую, пересекающую все три прямые.

§ 44. Параллельные плоскости

Через всякую ли прямую можно провести плоскость, параллельную данной плоскости?

Две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Можно ли утверждать, что плоскости параллельны?

Даны две плоскости, параллельные одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что плоскости параллельны?

Даны две различные плоскости, параллельные двум данным прямым. Будут ли эти плоскости параллельны между собой?

Две плоскости ан? параллельны. В плоскости a проведена прямая а, а в плоскости р — прямая Ь. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямых а н Ь?

Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях аир. Что можно сказать о взаимном расположении прямых AD и ВС? При каком условии они пересекутся или будут параллельны?

Через точку одной из двух параллельных плоскостей проведена прямая, параллельная другой плоскости. Доказать, что прямая лежит в той плоскости, с которой она имеет общую точку.

Даны две параллельные плоскости и прямая, параллельная одной из них. Будет ли эта прямая параллельна второй плоскости?

Каким образом провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, через точку, не лежащую в этих плоскостях?

Каковы возможные случаи взаимного расположения трех различных плоскостей в пространстве, если две из них параллельны?

Каковы возможные случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, если две из них пересекаются?

Определить величину угла между ребром куба и диагональю, лежащей в противоположной грани.

Даны две скрещивающиеся прямые а и b и прямая с. Каковы возможные случаи взаимного расположения различных прямых а, 6 и с?

§ 45. Параллельные проекции

Сколько точек на плоскости проекций можно получить при проектировании на нее: 1) двух точек; 2) трех точек?

Верно ли утверждение: «Параллельная проекция прямой есть прямая»?

В какую фигуру проектируется прямая пересечения двух проектирующих плоскостей?

Справедлива ли теорема: «Параллельные прямы©, не параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные прямые»?

Справедливо ли утверждение: «Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую»?

Могут ли две пересекающиеся прямые проектироваться: 1) в пересекающиеся прямые; 2) в параллельные прямые; 3) в одну прямую; 4) в прямую и точку, лежащую на этой прямой; 5) в прямую и точку, не лежащую на данной прямой?

Какие геометрические фигуры можно получить на плоскости проекций при проектировании двух скрещивающихся прямых?

На плоскости проекций даны две точки. Проекциями каких основных геометрических образов точек или прямых могут служить эти точки?

Привести примеры геометрических фигур, расположенных в пространстве, которые проектируются в прямую, в отрезок прямой.

Как должны быть расположены: 1) две прямые, 2) прямая и точка, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, лежащую на этой прямой?

Каково должно быть взаимное расположение: 1) двух прямых, 2) прямой и точки, чтобы они проектировались в прямую и точку, не лежащую на этой прямой?

Может ли проекция прямой быть параллельной самой прямой, данной в пространстве?

В пространстве даны две перпендикулярные прямые, не лежащие в проектирующей плоскости. Можно ли

утверждать, что они проектируются также в перпендикулярные прямые?

При каком условии равносторонний треугольник проектируется: 1) в равносторонний треугольник; 2) в равнобедренный треугольник?

Можно ли утверждать, что в треугольнике, плоскость которого не параллельна направлению проектирования: 1) медианы треугольника проектируются в медианы треугольника-проекции; 2) высоты —в высоты треугольника- проекции; 3) биссектрисы — в биссектрисы?

Плоскость параллелограмма не параллельна направлению проектирования. Доказать, что его проекцией является параллелограмм.

Можно ли утверждать, что проекцией ромба, если он не проектируется в отрезок, также является ромб?

При каком условии квадрат проектируется: 1) в квадрат; 2) в ромб; 3) в прямоугольник?

Глава XIII. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 46. Перпендикуляр и наклонные к плоскости

Можно ли утверждать, что прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная: 1) диаметру; 2) двум диаметрам, перпендикулярна плоскости круга?

Справедливо ли утверждение, что прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная: 1) радиусу; 2) двум радиусам, перпендикулярна плоскости круга?

Дан перпендикуляр а к плоскости а. Через след прямой а на плоскости а проведен перпендикуляр b к прямой а. Доказать, что прямая Ь лежит в плоскости а.

Точки А и В равно удалены от плоскости а. Как расположена прямая АВ и ее проекция на плоскость а?

Из двух различных точек, не лежащих в плоскости, к этой плоскости проведены две равные наклонные. Можно ли утверждать, что их проекции тоже равны?

К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восставлен перпендикуляр. Можно ли утверждать, что произвольная точка М этого перпендикуляра находится на одинаковом расстоянии от вершин прямоугольника?

Где расположены точки, находящиеся на равном расстоянии от вершин некоторого прямоугольника?

Точка М равно удалена от всех точек окружности. Можно ли утверждать, что она лежит на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенном через центр окружности?

Из точки М, не лежащей в плоскости а, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонная. Как в плоскости а провести прямую, перпендикулярную наклонной?

На окружности с центром в точке О дана точка Л. К плоскости окружности восставлен перпендикуляр ОМ. Как проходит наклонная МА по отношению к касательной, проведенной к окружности в точке 4?

К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр SB. Точка S соединена с вершинами квадрата Л и С. Определить величину углов SAD и SCD.

Найти геометрическое место прямых, удаленных от данной плоскости на расстояние h.

Прямая и-плоскость параллельны. Можно ли утверждать, что прямая, перпендикулярная данной прямой, перпендикулярна данной плоскости?

Прямая и плоскость параллельны. Можно ли утверждать, что прямая, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна данной прямой?

§ 47. Угол между прямой и плоскостью

Из точки А, не лежащей в плоскости а, проведена к плоскости наклонная. Определить угол между этой наклонной и плоскостью а, если расстояние точки Л от плоскости а равно: 1) проекции наклонной; 2) в два раза меньше самой наклонной.

Дан прямоугольный параллелепипед. Найти на чертеже угол, который: 1) диагональ боковой грани составляет с основанием; 2) диагональ основания составляет с одной из боковых граней; 3) диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания; 4) диагональ параллелепипеда составляет с одной из боковых граней.

Доказать, что диагональ куба образует равные углы с каждой гранью куба.

Доказать, что равные наклонные, проведенные к плоскости из точки, не лежащей в этой плоскости, образуют равные углы с плосксстью.

Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания? Сформулировать обратное предложение и проверить его справедливость.

Диагональ параллелограмма (ромба) лежит в плоскости а. Можно ли утверждать, что стороны параллелограмма (ромба) образуют равные углы с плоскостью а?

Две плоскости образуют с данной прямой равные углы. Охарактеризовать взаимное расположение этих плоскостей.

Какую фигуру на плоскости а образуют основания наклонных, проведенных к плоскости а из точки, не принадлежащей плоскости, и образующих равные углы с плоскостью а?

Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости а. (Плоскость треугольника не совпадает с плоскостью а.) Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости а или угол наклона высоты основания треугольника к плоскости а?

Глава XIV. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

§ 48. Двугранный угол. Трехгранный угол

Сколько двугранных углов в треугольной призме, в четырехугольной призме, в л-угольной призме?

Сколько двугранных углов в треугольной пирамиде, в четырехугольной пирамиде, в п-угольной пирамиде?

Какой угол образует ребро двугранного угла с любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла?

Как провести две полуплоскости, чтобы образовать двугранный угол, линейный угол которого задан?

В кубе проведено диагональное сечение. Построить на чертеже линейный угол двугранного угла, образованного этим сечением и одной из боковых граней, и определить его величину.

Плоскости двух равнобедренных треугольников с общим основанием образуют двугранный угол. Можно ли утверждать, что высоты, проведенные к общему основанию треугольников, образуют линейный угол двугранного угла?

Доказать, что все прямые двугранные углы равны.

Через биссектрису линейного угла двугранного угла и ребро двугранного угла проведена пол уплос кость.

65653 Вопросы и задачи по геометрии

65

65

Доказать, что эта полуплоскость делит данный двугранный угол на два разных двугранных угла.

Сколько трехгранных углов: 1) в л-угольной призме; 2) в n-угольной пирамиде?

В трехгранном угле плоские углы прямые. Доказать, что и двугранные углы его прямые.

Дан прямоугольный трехгранный угол с гранями Н, V, W. В грани " дана точка А. Каким образом можно построить перпендикуляр к плоскости ", проходящий через точку Л?

Плоскость а отсекает на ребрах прямоугольного трехгранного угла равные отрезки. Какая фигура получается при этом в сечении?

§ 49. Перпендикулярные плоскости

Построить на чертеже линейный угол двугранного угла, образованного диагональными сечениями куба, проходящими через его боковые ребра, и доказать, что плоскости сечений взаимно перпендикулярны.

Каково взаимное расположение граней двугранного угла и плоскости линейного угла?

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную ирнмую?

Где расположено основание высоты пирамиды, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию?

Даны две перпендикулярные плоскости аир. В плоскости р проведена прямая а так, что она является наклонной к плоскости а. Где расположена проекция наклонной а к плоскости а?

Даны две перпендикулярные плоскости. В одной из них проведена прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке М. Каким образом во второй плоскости построить прямую, перпендикулярную данной?

Как построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям? Сколько таких плоскостей можно построить?

Из некоторой точки А, взятой внутри двугранного угла, опущены перпендикуляры АВ и АС на грани этого

угла. Доказать, что плоскость, проходящая через АВ и АС пер пенди кул яр на граням двугранного угла и его ребру.

Доказать, что любая точка биссектора двугранного угла (см. сноску к задаче № 766) равноудалена от его граней.

Даны две взаимно перпендикулярные плоскости а н р. Плоскость т пересекает каждую из данных плоскостей и перпендикулярна плоскости 0. 1) Каким образом расположена линия пересечения плоскостей а и у по отношению к плоскости р? 2) Какой угол образуют линии пересечения плоскостей а и у и плоскостей § н 丁？

Какие углы образует плоскость, параллельная одной из граней прямоугольного трехгранного угла, с двумя другими его-гранями? Какой угол образуют следы плоскости а на этих гранях и как они расположены по отношению к ребрам трехгранного угла?

Можно ли утверждать, что прямая и плоскость, перпендикулярные другой плоскости, параллельны между собой?

Можно ли утверждать, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?

Доказать, что две плоскости, перпендикулярные третьей и пересекающие ее по параллельным прямым, параллельны.

Два плоских угла трехгранного угла прямые. Доказать, что противолежащие им двугранные углы прямые.

Сформулировать предложение, обратное предложению задачи № 785, и доказать справедливость его.

Доказать, что плоские углы трехгранного угла прямые, если двугранные углы его прямые.

Плоскость н прямая параллельны. Можно ли утверждать, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, пер пенди ку л яр на и данной прямой?

Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение, что плоскость, пер пендикуляр на я прямой, перпендикулярна и данной плоскости?

Глава XV. МНОГОГРАННИКИ

§ 50. Призмы

Как должна быть проведена плоскость, чтобы в сечении куба этой плоскостью получился равносторонний треугольник. Какое из этих сечений будет наибольшим по величине?

Можно ли пересечь куб плоскостью так, чтобы получить в сечении равнобочную трапецию?

Можно ли пересечь треугольную призму плоскостью так, чтобы в сечении образовался: 1) треугольник; 2) четырехугольник; 3) пятиугольник; 4) шестиугольник?

Может ли одна из боковых граней наклонной призмы быть перпендикулярной плоскости основания?

Можно ли утверждать, что параллелепипед, две боковые грани которого пер пенди ку л яр ны плоскости основания, прямой?

Может ли существовать наклонная призма, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

Сколько диагональных сечений можно провести в параллелепипеде?

Можно ли утверждать, что линия пересечения двух диагональных сечений параллелепипеда параллельна ребрам, через которые проведены эти сечения?

Всякие ли два диагональных сечения параллелепипеда пересекаются по его диагонали?

Можно ли утверждать, что в прямом параллелепипеде все диагональные сечения — прямоугольники?

Доказать, что призма прямая, если два пересекающихся диагональных сечения призмы перпендикулярны основанию.

Можно ли утверждать, что параллелепипед прямой, если два диагональных сечения его, проведенных через диагонали одной грани, пр я моугол ьни ки ?

Какое условие необходимо дополнительно наложить на диагональные сечения параллелепипеда, рассмотренного в предыдущей задаче, чтобы пар а л л елепи пед был прямоугольным?

Может ли одно из диагональных сечений наклонного параллелепипеда быть перпендикулярным плоскости основания?

Одно из диагональных сечений наклонного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания. Какой четырехугольник должен лежать в плоскости основания, чтобы второе диагональное сечение, проведенное через боковые ребра, было прямоугольником?

Можно ли утверждать, что среди диагональных сечений параллелепипеда есть прямоугольники, если две его

противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания?

В каком параллелепипеде прямоугольной проекцией диагонали является диагональ основания?

Можно ли утверждать, что па р а ллелепи пед прямой, если две его диагонали равны?

В каком пар а л лелепи педе все диагонали равны?

Найти отношение суммы площадей диагональных сечений куба* к его поверхности.

Одно из измерений прямоугольного параллели пипеда увеличивается в 2, 3, ..., и раз. Можно ли утверждать, что боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда также увеличивается в 2, 3,…，п раз?

Прямоугольный параллелепипед деформируется так, что высота и одна из сторон основания остаются неизменными, в то время как вторая сторона основания изменяется. Как относятся объемы прямоугольных параллелепипедов, получаемых в результате деформации?

Имеем модель наклонной призмы. Какие размеры необходимо определить, чтобы вычислить боковую поверхность и объем призмы?

В призме проводятся сечения, параллельные ее основаниям. В каком отношении находятся объемы данной и вновь полученных призм?

Призма деформируется, оставаясь призмой, так, что одно из ее оснований перемещается в содержащей её плоскости, а положение второго основания закреплено. Будут ли призмы, получаемые в результате .такой деформации, равновеликими?

§ 51. Пирамиды

Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной усеченной пирамиды плоскостью?

Как нужно провести плоскость, чтобы в сечении четырехугольной пирамиды этой плоскостью получить пятиугольник?

Сколько боковых граней, перпендикулярных плоскости основания, может иметь пирамида?

Доказать, что существует треугольная пирамида, пять ребер которой равны данному отрезку а. В каких пределах изменяется ее шестое ребро?

Существует ли усеченная пирамида, все ребра которой равны?

В основании пирамиды лежит параллелограмм. Высота пирамиды совпадает с одним из боковых ребер ее. Определить линейный угол двугранного угла, составленного гранями пирамиды, проходящими через это ребро.

Доказать, что если каждые два противоположных ребра треугольной пирамиды равны между собой, то все грани пирамиды равны.

В четырехугольной пирамиде диагональные сечения перпендикулярны плоскости основания. Какая точка является прямоугольной проекцией вершины пирамиды?

Высота четырехугольной пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. Какой четырехугольник может быть основанием пирамиды, если диагональные сечения взаимно перпендикулярны?

Через середины трех последовательных боковых ребер пирамиды проведена плоскость. Доказать, что эта плоскость параллельна плоскости основания и проходит через середины остальных боковых ребер пирамиды.

Плоскость, проходящая через боковое ребро н высоту треугольной пирамиды, перпендикулярна противоположной боковой грани. Как эта плоскость проходит по отношению к ребру пирамиды, противоположному данному?

Прямоугольная проекция одного из боковых ребер треугольной пирамиды лежит на биссектрисе основания. Что можно сказать о двугранных углах, составленных плоскостью основания и боковыми гранями, проходящими через указанное ребро?

В треугольной пирамиде прямоугольные проекции двух боковых ребер лежат на соответствующих биссектрисах основания. В какую точку основания проектируется вершина пирамиды при прямоугольном проектировании? Какими особенностями обладает такая пирамида?

Какие многогранники получаются, если треугольную усеченную пирамиду рассечь плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания?

Имеется модель правильной пирамиды. Какие измерения надо произвести, чтобы вычислить площадь поверхности и объем этой модели?

Имеется модель правильной усеченной пирамиды Какие измерения надо произвести, чтобы вычислить боковую поверхность и объем этой модели?

Можно ли утверждать, что пирамиды, имеющие общее основание и вершины, расположенные в плоскости, параллельной основанию, равновелики?

Через каждое ребро треугольной пирамиды проводится плоскость, параллельная противолежащему ребру . Какое геометрическое тело образуют проведенные таким образом шесть плоскостей?

Параллельно основанию пирамиды проведено сечение. В каком отношении находятся объемы данной пирамиды и вновь полученной?

Глава XVI. КРУГЛЫЕ ТЕЛА

§ 52. Цилиндр. Конус

Можно ли утверждать, что прямая, имеющая с цилиндрической поверхностью: 1) одну общую точку, 2) две общие точки, 3) три общие точки, является образующей этой цилиндрической поверхности?

Можно ли утверждать, что прямая, имеющая с конической поверхностью: 1) одну общую точку, 2) две общие точки, 3) три общие точки, является образующей этой конической поверхности?

Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и образующих равные углы с данной плоскостью.

Каково взаимное расположение оси цилиндра и плоскости, касающейся цилиндра?

К конической поверхности проведены две плоскости, касающиеся этой поверхности. Как проходит прямая пересечения этих плоскостей?

Через всякую ли точку пространства можно провести плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности?

Как провести плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности, через точку, не лежащую внутри этой поверхности? Сколько таких плоскостей можно провести?

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой в пространстве. Сравнить его с аналогичным геометрическим местом на плоскости.

Найти геометрическое место прямых в пространстве, находящихся от данной прямой на данном расстоянии.

Через всякую ли прямую в пространстве можно провести плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности?

Через всякую ли прямую в пространстве можно провести плоскость, касающуюся конической поверхности?

В плоскости дана прямая. Где расположены оси цилиндрических поверхностей, касающихся этой плоскости по данной прямой?

Где расположены оси конических поверхностей, касающихся плоскости по данной на плоскости прямой?

Цилиндрические поверхности касаются граней двугранного угла. Каково расположение осей цилиндрических поверхностей по отношению к элементам двугранного угла? Найти геометрическое место осей этих цилиндрических поверхностей.

Каково расположение осей конических поверхностей по отношению к двум пересекающимся плоскостям если поверхности касаются этих плоскостей? Найти геометрическое место осей конических поверхностей.

Найти геометрическое место осей цилиндрических поверхностей, касающихся двух данных параллельных плоскостей.

Может ли коническая поверхность касаться двух параллельных плоскостей?

Как должна быть расположена плоскость, чтобы можно было провести плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности, параллельную данной плоскости? Как провести указанную касательную плоскость? Сколько таких плоскостей можно провести?

Каково должно быть взаимное расположение двух прямых, чтобы через эти прямые можно было провести цилиндрические поверхности? Сколько цилиндрических поверхностей можно провести через две параллельные прямые? Где лежат оси этих цилиндрических поверхностей?

При каком условии через две прямые можно провести конические поверхности? Где лежат оси конических поверхностей, проходящих через пересекающиеся прямые?

Сколько конических поверхностей можно провести через три прямые, пересекающиеся в одной точке?

Цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью. Какие фигуры могут получиться в сечении?

Коническая поверхность пересечена плоскостью. Какие фигуры могут получиться в сечении?

Оси двух цилиндрических поверхностей параллельны. Сколько общих касательных плоскостей можно провести к этим поверхностям? Сравнить эту задачу с задачей планиметрии о проведении общих касательных к двум окружностям.

Можно ли провести к двум цилиндрическим поверхностям общую касательную плоскость, если их оси не параллельны?

Угол осевого сечения конуса равен 120Q, а его образующая равна /. Чему равна наибольшая площадь сечения конуса плоскостью, проведенной через его вершину? Построить это сечение.

Верхнее основание усеченного конуса заданного радиуса перемещается, оставаясь пер пенди ку л ярным высоте конуса. Как изменяется угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости нижнего основания. В каком отношении находятся объемы получаемых усеченных конусов?

§ 53. Шар

Можно ли утверждать, что через две точки шаровой поверхности проходит один большой круг?

Через всякие ли три точки можно провести шаровую поверхность? Как провести шаровую поверхность через три точки, не лежащие на одной прямой? Сколько шаровых поверхностей можно провести через четыре точки, не лежащие в одной плоскости?

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проведен шар радиуса R. Какой величины должен быть радиус шара, чтобы задача имела решение? При каком условии через эти точки проходит: I) хотя бы один шар; 2) только один шар радиуса R?

Можно ли утверждать, что окружность, имеющая с шаровой поверхностью: 1) две общие точки, 2) три общие точки, лежит на ее поверхности?

Сколько общих точек может иметь шаровая поверхность и прямая?

Сколько общих точек может иметь шаровая поверхность и плоскость?

Сколько общих точек могут иметь две шаровые поверхности?

Найти геометрическое место прямых в пространстве, находящихся на равном расстоянии т от данной точки 而.

Можно ли к любым двум шарам провести общую касательную прямую?

Центры трех шаров, ни один из которых не находится внутри другого, лежат на одной прямой. В каких случаях к ним можно провести общую касательную прямую?

Можно ли провести общую касательную плоскость к двум шарам, если ни один из шаров не лежит внутри другого?

Найти геометрическое место центров шаров, касающихся плоскости в данной на ней точке. Сравнить эту задачу со сходной задачей планиметрии о геометрическом месте центров окружностей, касающихся данной прямой в данной на ней точке.

Найти геометрическое место центров шаров, касающихся данного шара в данной на нем точке. Сравнить с геометрическим местом центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке, на плоскости

Где расположены центры шаров, касающихся двух: 1) параллельных плоскостей; 2) пересекающихся плоскостей?

Где расположены центры шаров данного радиуса R, касающихся данной прямой?

Как найти положение центра шара, если известна окружность, через которую проведен шар, и положение плоскости касательной к этому шару в точке, лежащей на окружности?

Как провести прямые, касающиеся данного шара и параллельные данной прямой? Сколько таких прямых можно провести? Что собой представляет геометрическое место этих прямых?

На шаровой поверхности радиуса R задана точка. Доказать, что точки шаровой поверхности, находящиеся на равном расстоянии 加(0 < m < 2R) от данной точки, лежат на окружности.

§ 54. Задачи на комбинацию тел

В цилиндр вписана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Как расположена ось цилиндра по отношению к граням прямой призмы? Можно ли утверждать, что две боковые грани прямой призмы взаимно перпендикулярны?

В конус вписана пирамида, в основании которой лежит прямоугольный ' треугольник. Как расположена ось конуса по отношению к граням пирамиды? Можно ли утверждать, что две боковые грани этой пирамиды взаимно перпендикулярны?

В каком отношении находятся объемы правильных четырехугольных призм (пирамид), из которых одна вписана в цилиндр (конус), а другая описана вокруг него?

В усеченный конус вписаны правильные усеченные треугольная, четырехугольная, шестиугольная пирамиды. Можно ли утверждать, что: 1) углы наклона боковых ребер к основанию и 2) углы наклона боковых граней к основанию в этих пирамидах равны?

Можно ли описать шар вокруг: 1) куба; 2) прямоугольного параллелепипеда; 3) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; 4) прямого параллелепипеда; 5) наклонного параллелепипеда?

Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно было вписать шар?

Можно ли в куб вписать два шара так, чтобы каждый шар касался боковых граней куба, одного из оснований и другого шара?

Можно ли два шара, о которых говорится в предыдущей задаче, вписать в правильную призму?

Справедливо ли утверждение, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар?

Можно ли описать шар вокруг любой четырехугольной пирамиды?

Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы вокруг нее можно было описать шар?

В шар вписана пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно основанию. Как найти центр шара?

Центр шара лежит на оси цилиндрической поверхности. Какую фигуру образуют общие точки шаровой и цилиндрической поверхностей?

Центр шара лежит на оси конической поверхности. Какую фигуру образуют общие точки шаровой и конической поверхностей?

Можно ли описать шар вокруг цилиндра, конуса, усеченного конуса?

Во всякий ли цилиндр можно вписать шар? Какими свойствами должен обладать цилиндр, в который можно вписать шар?

Во всякий ли конус можно вписать шар? Как определить положение центра шара, вписанного в конус?

Какими свойствами должен обладать усеченный конус, чтобы в него можно было вписать шар?

ОТВЕТЫ

Часть первая. ПЛАНИМЕТРИЯ

ГЛАВА I

1) Бесконечно много; 2) только одну.

Бесконечно много.

1) Нет; 2) да; 3) да.

Одну или нн одной.

Шесть лучей и три отрезка.

1) АС + СВ = АВ\ 2) шесть отрезков; АС + CD + DB = =АВ или AD + DC + СВ = АВ; AD + ВС = АВ + CD и др.

1) Не более трех; 2) шесть точек и ни одной.

4 • 3 = 12; п .(" — 1?" 一 2).

а〉6, а < 6 н а= Ь.

1) АМ + МВ= ЛВ; 2) АМ = МВ и АМ + МВ = АВ или АМ = МВ и 2АМ = ЛВ; 3) АМ — ВМ =- АВ или ВМ ^ АМ = АВ.

1) А》5; 2) А《8; 3) А # В.

1080°.

1) Развернутый; 2) полный; 3) 90° или 270°.

1) 60°; 2) 180°.

Четыре раза.

24 угла.

/ AOD = /ЗОС или / АОС =乙BOD.

1) a + R; 2) а — р, если а > р； В 一 ％ если а < ₽ (или же углы, дополняющие их до 360°).

1) Могут быть только прямыми; 2) нет.

На 20°.

90°.

135°, 45°.

Да.

Окружность.

АВС и BCD, BAD и ADC, CBAD и BCDA и др.

Рассмотреть такие случаи: 1) точка В является серединой ДС; 2) дуги АВ, 8С, CD и DA равны.

ОМ < R ОМ 〉R, ОЛ4 = R.

Дугу окружности, радиус которой равен данному отрезку, а центр совпадает с вершиной угла

Центр окружности.

2R.

90°, 180°; восьмую часть; вначале разделить окружность двумя перпендикулярными диаметрами на четыре равные дуги, а затем каждую из этих дуг приблизительно разделить на три равные части

\уАВ = 7 ВС, о А] В]=〜51cl.

^АС = 2^>ЛВ. Дуги АВ и А^В^ содержат одно и то же число дуговых градусов.

1) 135°; 2) 270°, 330°, 240°; 3) 30°.

ГЛАВА II

В первом случае биссектриса — отрезок, во втором — луч.

Медиана и биссектриса треугольника лежат внутри него; высота треугольника может совпасть с его стороной.

1) /Л = /В; 2) /А = /В = /С

1) Да; 2) нет; 3) нет.

Может — в прямоугольном равнобедренном треугольнике.

Нет.

1) Две; 2) бесконечное множество; 3) бесконечное множество.

Две.

1) Если прямые пересекаются, то две; если прямые параллельны —бесчисленное множество; 2) ни одной, одну, две, три нли бесчисленное множество.

Разносторонний — ни одной, равнобедренный — одну, равносторонний —три.

Рассмотреть равнобедренный треугольник 4sB.

Через данную точку провести прямую, перпендикулярную другой стороне угла, и принять построенную прямую за ось симметрии

Воспользоваться симметрией относительно оси симметрии данного треугольника или же первым признаком равенства треугольников

Да. Если соответственные стороны равных треугольников равны, то не соответственные стороны нх, вообще говоря, не равны. В уело вин задачи указаны не соответственные стороны.

На основании равнобедренного треугольника взять точку

Нет.

Например: тремя сторонами, стороной и двумя углами и др.

АВ и MN перпендикулярны.

Построить серединный перпендикуляр отрезка АС.

Одна, ни одной.

Построить биссектрису угла Л

Нет; нет; да.

Нет.

1) Да, если с < 26 и а — основание треугольника; если же а — боковая сторона, то всегда можно; 2) да.

Наложить треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы катет А© совместился с катетом АС и угол G с углом С. Далее воспользоваться теоремой о сравнительной длине проекции и наклонной.

Да, нет.

Когда отрезок образует с осью проекций угол равный 60°, или 120°-

В прямоугольном.

Если углы, прилежащие к третьей стороне, не тупые, то она равна сумме проекций, в противном случае 一 их разности.

Из основания биссектрисы опустить на гипотенузу перпендикуляр и рассмотреть образовавшийся прямоугольный треугольник.

Наложить один треугольник на другой так, чтобы прямые углы совпали. Провести диагональ в образовавшемся четырехугольнике и воспользоваться теоремами о наклонных и их проекциях.

Прямая MN перпендикулярна биссектрисе угла AS В или па раллельна одной из его сторон.

Нет: «Каждая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон этого угла».

В общем случае 一 одна точка; в случае 1 — бесчисленное множество точек; в случае 2 — точек нет, если SM 卢 SN, и бесчисленное множество при SM = SN.

Одну, ни одной, бесконечное множество.

1) Пересекаются или совпадают; 2) пересекаются или параллельны.

Эти прямые параллельны или совпадают.

Не может.

Нельзя. Если равные углы являются внутренними односторонними, отличными от 90°, то прямые пересекаются.

Все прямые, параллельные прямой АВ, и все прямые, проходящие через середину отрезка АВ.

Бесчисленное множество.

Прямая должна быть перпендикулярна данным параллельным прямым.

Биссектрисы образуют равные соответственные углы с секущей.

Прямые р н g параллельны или совпадают.

Нет, так как две точки могут лежать по одну сторону от прямой, а третья точка — по другую*

Нельзя, так как прямые могут совпасть.

1) MAt + MBt = d, где MAt 丄 а Л4& 丄 b.乙吕=d;

MAt > d или MBi > d.

Через точку, лежащую иа одной прямой, провести прямую, параллельную другой.

Да.

60°.

04. Биссектрисы образуют со стороной треугольника внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 180°.

Нет. Необходимо добавить, что речь идет о двух углах.

Нет.

Нет.

45。，45° и 90е.

Рассмотреть тупоугольные треугольники АВМ и МВС.

ПО. Продолжить сторону ЛМ; воспользоваться теоремой о внешнем угле треугольника.

Тупоугольный, прямоугольный.

Прямоугольный, тупоугольный.

из. 1) N А = /В + /С; 2) z Я > Z в + ZC 3) N4V/8 + + ZC NBv/4 + NC /С</” + /В

1) Нет; 2) нет.

Построить равносторонний треугольник и его высоту.

1) /4 < 90°; 2) 90°《Z^

60° и 30°.

Искомый угол равен пол у разности углов при двух других вершинах треугольника.

4d.

Да

Острых внешних углов у треугольника не более одного.

Дважды воспользоваться теоремой о внешнем угле треугольника.

Воспользоваться результатом задачи № 124.

Четыре.

Углы в сумме составляют 180° или равны между собой.

1) Z АСВ = Z 4〃殳 Z 44c = Z В^С; 2) / AlHBl + + / ACB = 180°.

1) 50° (130°); 2) 105° (7 5°); 3) 150° (30°).

Углы равны острым углам данного треугольника.

/ 4s[& = 90° + Z.ASB или /.А^^ = 190。一 £ASB |.

ГЛАВА III

Нет.

1) Нет; 2) нет.

1) Да; 2) нет.

Всего восемь треугольников.

Шесть отрезков; АВ < АС + CD + DB, ВС < BA + BD + + DC и другие.

AB == AD н BC = CD.

He более трех.

He верна.

He всегда; одна, ни одной или бесчисленное множество в зависимости от взаимного расположения серединных перпендикуляров отрезков АВ и CD.

На л — 1.

При 九=5.

Четыре пары.

Если углы не равны — нет; если углы равны — да.

Они либо равны, либо в сумме составляют 180°.

Равенство противоположных сторон параллелограмма вытекает нз параллельности обеих пар противоположных сторон, а поэтому требование равенства сторон в определении является лишним.

Трн; ни одного, если точки лежат на одной прямой.

1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) два параллелограмма, один, ни одного.

1) Один; 2) бесчисленное множество; 3) один, если прямые пересекаются, и бесчисленное множество, если прямые параллельны или совпадают.

Напрнмер, отрезок, окружность, две параллельные прямые, параллелограмм.

АО В и COD; ВОС и DOA; АВС и СОЛ; ABD и CDB.

Провести произвольную прямую через центр симметрии параллелограмма, отличную от его диагоналей.

Две параллельные прямые, пересеченные третьей; три прямые, проходящие через одну точку.

Да. Треугольники симметричны относительно центра окружности.

Построить две точки, симметричные с данными двумя вершинами относительно данного центра.

Да, если вершины прилежащие; нет, если вершины противолежащие.

Прямоугольник — параллелограмм, в котором по крайней мере один угол прямой.

Диагонали равны н средние линии перпендикулярны.

Меньшая диагональ равна а.

40° и 140°.

81814 Вопросы и задачи по геометрии

81

81

Нет.

Такой параллелограмм является ромбом

Четырехугольник является ромбом.

1) Нет; 2) ромбы равны, прямоугольники нет.

1) Две смежные стороны н угол между ними; 2) две смежные стороны; 3) сторону и один угол; 4) четыре стороны и диагональ; четыре стороны н угол н другие.

Ромб является квадратом.

Да.

1) Да; 2) нет; 3) нет.

12.

Два.

Три.

Да.

1) АВ = CQ, ВС = АО, АС = ВО; 2) /В = ВС = СО = =ЛЛ; 3) АВ = ВС = CD = AD, AC = BD.

1) Равносторонний треугольник; 2) прямоугольник; 3) ромб; 4) квадрат; 5) прямоугольник.

Нет.

Построить середа ну N отрезка МВ и провести через точки N и 5 прямые, параллельные MD, встречающие диагональ АС в точках М и В】. Очевидно, АР — PN、= А\% В силу параллельности отрезков DP н ВВ[ точки Р н В】 симметричны относительно центра параллелограмма, откуда следует, что АР = 8c Итак, АР = PN、= N&B工—

=В1cl АС.

На луче ОД построить точку В, чтобы ОА = ЛВ; через точку В провести прямую, параллельную одной из сторон угла.

Через точку N провести прямую, параллельную АВ, встречающую АС в точке А\. Из того, что CN = CNX и CN = /А。следует CN、= АМ, т. е. середина Р стороны АС является так же серединой отрезка ММ・ Через точку Р провести прямую PQ — среднюю линию треугольника ЛВС, разделяющую отрезок MN пополам. 一

,3 0c

197-4 с, 2’ 工

2a и 2b.

Не может, так как основания трапеции не равны.

20L Нет.

180° — а, 180° — ₽.

Два.

1) /4 = /С и /В = /О или /4 + /В = 180° и N 4 + N О = 180°; 2) / ▲ + N В = 180°, a Z Л + Z Г> ^ 180°.

Параллелограмм, равнобочная трапеция.

AB = CD н AC = 80, BC * DA.

Четыре, если прямые не проходят через одну точку; одна — в противном случае.

1) Две высоты треугольника (илн их продолжения) пересекаются, ибо в противном случае две стороны треугольника были бы параллельны, чего быть не может. 2) Две медианы образуют с соответствующей стороной углы, сумма которых меньше 180°, следовательно, они пересекаются н притом внутри треугольника. 3) См. пункт 2.

Нет. Воспользоваться признаком равнобедренного треугольника н теоремой о внешнем угле треугольника.

Построить медиану GC\ треугольника 4BG.

ГЛАВА IV

1) В 4 раза, в 9 раз; 2) в 2 раза, в 3 раза.

216.

10 : 8.

1) Да; 2) нет.

За сторону искомого квадрата принять диагональ данного.

『江+戸.

1) а /Г; ^}аУ\

Острые углы треугольника равны 30° и 60°, а поэтому катеты равны е н ——.

У^-b.

3

Нет. Заключение основано на обратной теореме Пифагора.

1) Тупоугольный, так как 42 > 2а + З2; прямоугольный; 2) прямоугольный..

Любая прямая, проходящая через центр симметрии параллелограмма, делит его на равновеликие части.

Сторону ВС параллелограмма ABCD разделить точкой М на отрезки ВМ и МС так, чтобы ВМ = 2МС. Прямая DM искомая.

В два раза.

Фигуры, которые определяются заданием одного своего линейного элемента, например квадрат, равносторонний треугольник.

Квадрат,

Установить, что диагонали четырехугольника при пересечении делятся пополам.

Как соответствующие им высоты.

Провести среднюю линию МР, параллельную ЛВ. Заметить,

1

что площадь треугольника СМР составляет 彳 площади треугольника 2

АВСу а площадь треугольника CMN 至 площади треугольника СМР, а значит, : площади треугольника АВС.

а2

90°. Использовать результат задачи № 114.

Нет. Результат больше истинного.

Задача имеет два решения, прямые проходят через середины сторон треугольника, заключающих медиану.

1 : 3.

Рассмотреть три пары равновеликих треугольников, используя для этого свойства диагонали параллелограмма и медианы треугольника.

4 : 5.

Площадь каждого нз указанных треугольников равна удвоенной площади треугольника О АС.

250.

256*. Преобразовать треугольник АВС в равновеликий с углом G = 60°. Установить, что если х — сторона искомого треугольника, то "=G& • &В]. Трехкратным применением теоремы Пифагора вывести соотношение о среднем геометрическом (Ла =。1匕1 в прямоугольном треугольнике н воспользоваться нм для построения х.

Провести через точку М прямую, параллельную AD.

260*. 1) Провести CQ параллельно AD и рассмотреть треугольник AOQ. S △ лов ： S △ D0C — а2 : Ь2. 2) Учесть, что S △ AOD : :S △ odc = S △ лов : S △ вое =力0 : ОС = а : Ь. Отсюда -曰”今烈^х

S △ АОВ絞S △ АОВ。2S △ AOD ・

S △ ВОС匕S △ ODC匕S △ ВОС

S2 △ a。。= S △ odc • S △ aob. Равновеликость треугольников AOD н ВОС можно установить геометрически.

ГЛАВА V

Бесчисленное множество. Окружность с диаметром АВ.

Опустить перпендикуляр из центра окружности на прямую.

Провести два диаметра и соединить их концы.

Нет. Воспользоваться теоремой, что равные хорды одинаково удалены от центра.

Дуга большей окружности меньше

Хорды, перпендикулярные диаметру, и все остальные диаметры.

d = ]/—•

4B = R, d =竺」.

ЛВ = 4/汇 d = 2/Г

Нет. Через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность,

Нет. Необходимо в определении добавить: ... и только одну •“

Нельзя, потому что три точки касания находились бы от данной точки на равных расстояниях и проходящая через них окружность пересекала бы данную в трех точках (что невозможно).

Равносторонний треугольник.

278 60°.

Отрезки касательных равны R.

R (/М— 1).

- Можно, если данная точка совпадает с центром. В противном случае нет. Установить, что общая точка равных хорд делит хорды на соответствен но равные отрезки.

1) Пересекаются или совпадают; 2) пересекаются, касаются, не имеют общих точек.

120°.

d ~ 了 R2 —。2 土 y>a — q2 при R > г,

Эта фигура имеет один центр симметрии и две оси симметрии.

Нет.

Учесть симметрию этой пары окружностей относительно точки Р.

Касательные к окружности радиуса d с центром в точке О.

1) 60°; 2) 30° или 150°.

Дуги содержат равное число градусов.

Данную точку соединить с концами диаметра.

Прямые проходят через центр дан но л окружности.

Прямые касаются окружности с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию хорды MN от центра окружности.

1) Угол меньше прямого; 2) точка лежнт внутри окружности, исключая точки данного диаметра.

Установить, что угол ADB равен 60°, а угол АСВ — 120°. ・ 298. Искомый угол равен пол у разности углов прн двух других вершинах.

Искомый угол равен разности углов при двух других вершинах.

Построить на отрезке С как на диаметре полуокружность и воспользоваться теоремами об углах, связанных с окружностью.

Сумма углов АСВ и ADB должна быть равна 180° и точки С

и О лежат по разные стороны от прямой АВ.

На 2 冗.

На 冗(2R 十 1),

Площадь большего круга равна сумме площадей двух других кругов.

1 ： 4.

R =匕匕

D = d KI

Да, только в том случае, когда центральный угол сектора

равен 180°.

ГЛАВА VI

1) 2 : 3; 2) 4 : 5.

Трапеция, параллелограмм.

311*. Воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках, рассуждая методом от противного.

Нет. Они будут параллельны, если точки С н Q лежат по одну сторону от прямой ВВХ.

Нет.

6 н 12.

На 2,5 м.

7, 6, 8.

АО : ОАг = (6 + с) : а.

Воспользоваться результатом задачи № 320.

См. задачу № 320.

Воспользоваться определением подобных треугольников.

Воспользоваться теоремой Пифагора и определением подобных треугольников.

SAC и SDB, SAD и SCB н др.

Равносторонний; прямоугольный; равнобедренный.

Отношение указанных отрезков диагонали равно отношению

оснований.

15 и 18.

Стороны равны 2, 3, 4.

AHBV 劣”氏 AAtC и ВВ、С・

Воспользоваться признаком подобия треугольников по двум сторонам н углу между ними.

Искомое отношение расстояний равно отношению отрезков, на которые делится данный отрезок данной точкой.

Да. Секущая должна составлять с одной из указанных сторон треугольника угол, равный углу, который образует основание со второй его стороной.

Таких прямых можно провести по крайней мере дае, но не более четырех. См. задачу № 337.

Воспользоваться свойством производных пропорций.

Дополнить оба треугольника до параллелограммов и воспользоваться признаком подобия треугольников по трем сторонам.

Рассмотреть две пары образовавшихся подобных треугольников.

Нет. В противном случае подобные треугольники должны быть тупоугольными, что быть не может.

36°, 72°, 72°.

Наложить треугольник А'В'С" на треугольник ЛВС, совместив равные углы С н С'. При доказательстве использовать метод от противного.

Нет. Например, два прямоугольника.

Провести диагонали АС н А^С] и установить подобие двух пар треугольников АВС и А^В^С^ ACD н A^D^

Разбить каждый нз четырехугольников одной из диагоналей на два треугольника н установить их подобие.

Квадрат и ромб; прямоугольник и параллелограмм с соответственно пропорциональными сторонами.

Нет; нет; да.

Установить пропорциональность сторон прямоугольников.

Например, если стороны нх пропорциональны; если углы между нх диагоналями равны.

Если диагонали их пропорциональны; если они имеют по равному углу н др.

1) Параллелограммы подобны, если диагональ одного делит его угол на углы, соответственно равные углам, образованным соответствующей диагональю второго параллелограмма с его сторонами; 2) параллелограммы подобны, если равны их углы и углы между диагоналями.

Да. Для установления этого разбить каждую нз трапеций на параллелограмм н треугольник, выяснив затем их подобие попарно.

Две равнобочные трапеции подобны, если угол одной трапеции равен углу второй, а соответствующие основания видны из точек пересечения диагоналей под равными углами; две равнобочные тра-

пецни подобны, если углы, образованные диагональю с двумя сторонами, имеющими с нею общую вершину, равны соответствующим угловым элементам другой трапеции.

Фигуры подобны, если расстояния хорд от центров окружностей пропорциональны длинам хорд или радиусам соответствующнх окружностей; если хорды — диаметры.

Секторы подобны, если их центральные углы равны или если их дуги содержат равное число дуговых градусов.

Сегменты подобны, если нх дуги содержат равное число дуговых градусов.

Как квадраты катетов данного треугольника.

ГЛАВА VII

2，с —

372.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетом 1 провести биссектрису острого угла н воспользоваться свойством биссектрисы угла треугольника, tg 22,5° =必讶一1.

Воспользоваться теоремой о биссектрисе угла для прямоугольного треугольника со сторонами 1У /5 и 2.

Сходственные стороны СС【 и СдВ треугольников АСС* и BCQ имеют отношение, равное tg В.

Отношение сходственных сторон АС и АВ треугольников АССг и АВС равно sin В.，

Воспользоваться теоремой о биссектрисе внутреннего угла

треугольника.

В прямоугольном треугольнике с острым углом а провести биссектрису этого угла.

1) m:n; 2) m — n; 3) . — “; 4) AC = m/2 ; 5) ВС =

二"科左,tgc=黑斗二"科左,tgc=黑斗383. tg a； tg ₽； (tg a + tg 0)・ COS ₽；383. tg a； tg ₽； (tg a + tg 0)・ COS ₽；(tg a +tg 份 COS В~tg(a + F)'(tg a +tg 份 COS В~tg(a + F)'

二"科左,tgc=黑斗

二"科左,tgc=黑斗

383. tg a； tg ₽； (tg a + tg 0)・ COS ₽；

383. tg a； tg ₽； (tg a + tg 0)・ COS ₽；

(tg a +tg 份 COS В~tg(a + F)'

(tg a +tg 份 COS В~tg(a + F)'

ГЛАВА V1H

MA = MB= MC.

Построим окружность данного радиуса и впишем в нее угол, равный одному из данных углов, чем определим сторону искомого треугольника.

-g—.

2a и 180° —2a.

1) Прямоугольный; 2) тупоугольный.

Тупоугольный.

В два раза.

115° и 110°.

Трапеция, параллелограмм, вписанный четырехугольник.

R=白匕^+*.

Концы любых двух диаметров окружности являются вершинами прямоугольника.

Равнобочная трапеция, прямоугольник, квадрат.

Центр данной окружности равноудален от сторон четырехугольника.

Воспользоваться результатом задачи 398.

Нет. Да, если 乙 CAD = 乙 CBD = 90° или же если точки Л н В лежат по одну сторону от прямой CD.

1) Прямоугольная трапеция, вписанный четырехугольник;

прямоугольник.

Четырехугольник — квадрат.

Четырехугольник — ромб или, в частности, квадрат.

Около прямоугольника, квадрата.

В ромбы.

工■『2・

1) Трапеция равнобочная； 2) средняя линия равна полусумме боковых сторон трапеции.

Равнобочная трапеция, прямоугольник, квадрат.

п = 20, 10, 5.

410 120°.

60°.

У квадрата.

Из правильных треугольников, четырехугольников, шестиугольников.

Да, согласно определению.

Да, так как углы многоугольников равны.

Может, если не все стороны равны.

Нет, например, прямоугольник.

Установить, что этот шестиугольник описан около некоторой окружности.■, Г L

a (2 /5— 3);

425*. Рассмотреть равнобочную трапецию Д^гЛ^Л^ и установить, что 4〃2 + 44 = а (2 +/③，где а — сторона двенадцатиугольника.

а

С другой стороны, а=2, tgl5°= 2r (2 — / 3), откуда 2r = ?—胃-^ или 2r = а (2 十 J 3) (см. задачу 374).

428. 3//京

Соединить противоположные вершины шестиугольника и рас

смотреть три прямоугольных треугольника.

430*. I) Установить, что диагонали четырехугольника ОАгА2Л3 перпендикулярны и равны (О —■ центр окружности). Поэтому его пло-

1R2

щадь равна 万 R2, а площадь треугольника АХА2А3 —彳 (2 一 }^~3).

) Площадь двенадцатиугольника равна 3R2, площадь пятиугольника 3

0Л1Д24зД4 равна 彳 /?2, а площадь четырехугольника АХА2А3А^ равна

к 1

彳 R2 — 2 ИлИ — R2 3) Площадь пятиугольника А^А^А^ равна

2 ? (2 一 /3 + 咚3 или [ (4 — /3・

ГЛАВА IX

Когда отрезки параллельны и равны; когда прямые параллельны; когда лучи сонаправлены； когда окружности равны.

Если прямые а и & пересекаются, то существует единственный параллельный перенос. Если а || Ь, то переноса может и не быть.

Перенести параллельно одну боковую сторону на вектор, определяемый основанием трапеции, и рассмотреть равносторонний треугольник.

Произвести параллельный перенос одной из боковых сторон на вектор, определяемый основанием трапеции, и рассмотреть образовавшийся равнобедренный треугольник

Произвести параллельный перенос боковых сторон трапеции соответственно на два противоположных вектора так, чтобы онн обра- зовывалн треугольник, в котором искомый отрезок являлся бы медианой.

I а — b I Искомый отрезок равен половине гипотенузы, т. е. .

Произвести параллельный перенос боковых сторон трапеции и рассмотреть треугольник, в котором данный отрезок есть одновременно н биссектриса и медиана.

Произвести параллельный перенос равных сторон АС и 41G соответственно на векторы СВ и 6j^i， определяемые двумя другими 90

равными сторонами, и использовать признак равенства треугольников по сторонам.

Посредством параллельного переноса боковой стороны разбить трапецию на параллелограмм и треугольник.

Параллельно перенести окружность 0】и ее хорду АК на вектор О］。？ и установить, что угол КСК'— прямой （О】。？ = КК）

. Произвести параллельный перенос окружности 01 на век- _ А тор 0102

См. указание к задаче № 443 АС = т.

Совместить окружности параллельным переносом на вектор, определяемый их центрами.

Осуществить параллельный перенос треугольника ABS на вектор启и воспользоваться теоремой о пересечении высот треугольника.

Параллельный перенос может быть заменен двумя последовательно выполненными осевыми симметриями относительно двух параллельных прямых.

Две оси симметрии, если прямые пересекаются, одна ось, если они параллельны.

450. п.

Воспользоваться рассуждением от противного.

Установить, что отрезки АВ и CD взаимно симметричны.

Если точка 8' симметрична точке В относительно зеркала, то такой прямой будет АВ'.

Отразить треугольники ACD и 劣&“ соответственно относительно диагоналей АС и А^С^.

Установить, что средняя линия параллельна одной паре противоположных сторон и перпендикулярна второй паре сторон.

Продолжить боковые стороны трапеции до пересечения и рассмотреть образовавшиеся равнобедренные треугольники.

Равнобедренная трапеция или дельтоид.

Принять за ось симметрии диаметр, пер пен ди кул я р ный прямой АВ.

Провести диаметр, перпендикулярный данной хорде, являющийся осью симметрии фигуры.

Использовать решение задачи № 463.

Установить, что эти отрезки симметричны относительно диаметра, пер пен ди кул я р ного заданной прямой.

Четырехугольник имеет своей осью симметрии линию центров данных окружностей.-

См. решение задачи № 460.

См. решение задачи № 455.

Установить, что центры окружностей лежат на одной прямой; точка УИ', симметричная точке М относительно линии центров, является также общей точкой окружностей.

Провести прямые через концы хорд и точки пересечения этих двух пар прямых соединить.

60° и 120°.

480*. Отразить относительно биссектрис углов Д и В точки касания вписанной окружности со сторонами СА и СВ; воспользоваться теоремой о равенстве отрезков касательных, проведенных из точки к окружности.

Три параллельные прямые, две из которых одинаково удалены от третьей.

Рассмотреть среднюю линию АВ треугольника УИУИ^Л^.

Точки Л, В, С и Мо являются вершинами параллелограмма, если Д, В и С не принадлежат одной прямой. В противном случае все четыре точки принадлежат одной прямой, причем АВ = CMQ.

Установить, что сумма двух пар отражений есть тождественное преобразование.

490« Установить, что при преобразовании симметрии относительно точки пересечения диагоналей второй четырехугольник переходит в себя.

Показать, что точки MhN симметричны относительно точки О.

Установить, что этот четырехугольник имеет центр симметрии, совпадающий с центром симметрии данного параллелограмма.

Провести диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, и рассмотреть центры симметрии пар противоположных сторон.

Рассуждение провести методом от противного. Отразить треугольник АВС относительно точки пересечения диагоналей и использовать равенство углов В и D.

Воспользоваться преобразованием симметрии относительно точки пересечения диагоналей.

Установить, что один треугольник переходит в другой преобразованием симметрии относительно точки М.

Установить, что вновь образованный и данный треугольники симметричны относительно точки пересечения медиан данного треугольника.

Центр симметрии имеют лишь те правильные многоугольники, у которых число сторон четно.

Установить, что точки М н N симметричны относительно точки О.

Убедиться в симметрии этих прямых относительно точки О.

Отразить окружность 0】и ее хорду К4 относительно точки К.

Убедиться, что отрезки АС и BD симметричны относительно точки К

Использовать осевую симметрию равнобочной трапеции.

Первые два отражения заменить одним параллельным переносом, а вторые два отражения ——другим.

Первые четыре отражения заменить параллельным переносом.

Сумма двух осевых симметрий относительно перпендикуляр- ных осей есть центральная симметрия относительно точки пересечения этих осей.

512.513514,512.513514,360°

512.

513

514,

512.

513

514,

и '

На угол 014 О? или на угол 0^0^.

Построить точки пересечения осей симметрии каждой из

двух прямых с третьей прямой. Задача имеет одно или два решения.

Построить точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответственные концы данных равных отрезков. Задача может иметь одно решение (общий случай), может иметь бесчисленное множество решений н может вовсе не иметь решений.

Задача имеет четыре решения, определяемые способом установления соответствия между вершинами.

515 Преобразование вращения около точки может быть заменено суммой двух симметрий относительно двух прямых, проходящих через центр вращения и образующих ориентированный угол, вдвое меньший угла вращения.

Воспользоваться решением задачи № 515.

Произвести вращение квадрата около его центра иа 90°.

Убедиться, что при вращении данного квадрата около своего центра на 90° четырехугольник совмещается сам с собой.

Повернуть треугольник АВС вокруг точки В на 90°.

Повернуть треугольник около его центра на 120°.

Повернуть треугольник вокруг его центра на 120° и установить, что отрезки секущих совместятся.

522*. Повернуть треугольник ABN около точки В на 60° до совмещения с треугольни ком МВС

Параллельно перенести отрезки так, чтобы они проходили через центр квадрата, а затем повернуть фигуру около этого центра на 90°.

Вписать в окружность произвольный треугольник и повернуть его около центра окружности на 90°.

а) Центром гомотетии и коэффициентом гомотетии; б) центром гомотетии и парой гомотетичных точек; в) двумя парами гомотетичных точек (Я, 4') н (В, В') при условии, что АВ || Д' Вг и АВ # Д' В1} г) двумя парами гомотетичных точек (Л, Л7) и (В, 3'), расположенных на одной прямой при условии, что АВ # 4'3'.

AB I) 4'8'; центр гомотетии—точка пересечения прямых ДА' н ВВ'.

1) Бесчисленное множество; 2) бесчисленное множество, если прямые параллельны; один, если прямые пересекаются; 3) бесчисленное множество.

Ни одного, когда отрезки не параллельны; один, когда они параллельны н равны; два, когда они параллельны и не равны.

Подвергнуть данную фигуру гомотетии, произвольно выбрав центр гомотетии.

Подвергнуть прямую m преобразованию гомотетии с центром в точке S и коэффициентом гомотетии, равном данному отношению.

При гомотетии с центром в точке D и й = 2 точки Mt N и К преобразуются в точки Л, В и С.

Основания трапеции — гомотетичные отрезки, имеющие два центра гомотетии —— точку пересечения диагоналей и точку пересечения боковых сторон; середины оснований — гомотетичные точки.

Можно, например, когда их сходственные диагонали расположены на одной прямой.

Да. Коэффициент гомотетии равен 土 1.

В общем случае ——да; имеется исключительный случай.

В общем случае — два. Только в том случае, когда окружности концентрические, они имеют один центр гомотетии — общий центр.

Когда окружности концентрические или равные.

Отрезок, соединяющий центры окружностей, разделить внутренним и внешним образом пропорционально радиусам.

R2 〃

±1,—声，一贡(R/ — радиусы окружностей).

Окружности гомотетичны с центром гомотетии в центроиде треугольников и коэффициентом, равным 2.

Окружности гомотетичны с центром гомотетии в их общей точке С.

Установить, что эти хорды гомотетичны.

Подвергнуть внешнюю окружность преобразованию гомотетии с центром в точке касания так, чтобы она преобразовалась во вторую окружность. Тогда отрезок касательной преобразуется в некоторую хорду меньшей окружности, параллельную касательной.

Вершину угла принять за центр гомотетии.

Искомое геометрическое место гомотетично геометрическому

1

месту точек С с центром в точке А и k =玄.

Принять ортоцентр треугольника за центр гомотетии и показать, что указанная окружность гомотетична описанной около треугольника окружности.

Центральная симметрия.

Когда хотя бы две соответствующие стороны этих треугольников не параллельны. Нет.

Если параллельные стороны являются соответственными, то треугольники гомотетичны, в противном случае нет.

Центрально симметричные фигуры; прямая, луч, угол.

Если треугольники не равны, то они гомотетичны; если соответствующие стороны равны и сонаправлены, то они не гомотетичны.

. 1) Если “= ах2 н у =以②一уравнения парабол, то коэффи- а

циент гомотетии k равен—так как формулы преобразования имеют

вид / = kxt у = ky и парабоаа у = ах2 преобразуется в параболу '2aаа

У :走=a斉，y = 石 О откуда b = 亏 Bh=8

Движением обе параболы можно привести к положению 1.

2彳亙

Да, только в случае, если АВ = о.

О7И = ОЛ 4- АМ, ОМ =-О§ + ВМ; 2ОМ = ОА + ОВ+ + (АМ + Мб) = од + ов7

СО"= СА + AG, CG = CF+ BG； -^-Сб = Ц- (G4+GB).

Отсюда3CG = СТ+ СВ-}-AG + BG + G4 + ■, 3CG = СЛ + СВ.

2ЛЮ= МА + МС\ 2МО =调 + MD. Отсюда МА + + / = МВ + MD.

1) AD = — ВС; 2)旅=_|-笳；3)寇=—3訪.

MN ^ CN — CM. Ho CN =-^-CB, GM = i CD.

MN = Л1С+ CD + DN,而疗=祠+ ВЛ*+ 戒 Отсюда 2MN = CD Л- BA, MN = 2- (CD — ДВ) = -i- (BA — DC).

1) 0C = 2。"丁 质=ОД+2ОВ. 2) qc = 2OD — Й, OA = 3OD — WB.

AM = AB^+ Ц- 詞 AN = AD+ A- 5?; MN =^ AN— — AM= -i- (AD —値

\) MN = ^-AB Л-0 > AC\ 2)孙=0 . ВС^就

3)mn = ~2(cb — c1).

1) /=J 裙一9 記:2)而=J 成一名叁 3) CG =

1)帚=义存一就;2)弟=一說+ 2•就 3)居= =2 C4 + ~^- CR

1)就=—2碇一够 赤=—荻一2血 AE= — OF — 一 2质・

1) b =入2 2) b =入a,入 > 0; 3) a = — b.

Д5 = kAC.

AB =右• 'AC = / • ^Ь,

1) а) ДВ = ПС, б) ВС=疵 в) ДС=宿 + 前；2) ДВ = ==入CD,入:/= --1,入 < 0.

Точку пересечения диагоналей принять за полюс, т. е. за начало радиус-векторов.

596*. ^Й + OD =々・б^ 6Ё^ 0С^= / • ОЕ. Значит, О? 4- ОВ + 十 ОС + OD + О£ = тб直 Аналогично находим, что сумма равна п ■ ЙГ. Значит, m ・ б^ = пОА и т== п = 0.

АС = k - СВ, k > 0.

598*.疯=加•, 0 < m < 1, Л > 0,

1十

О^=左］6^ А】< 0; 0^=左2 . OD, k2 < 0.

Да; да; да.

Центр вписанной окружности.

Нет. Это геометрическое место точек есть пара прямых.

Две равные дуги двух (равных) окружностей.

Нет, так как прямая, соединяющая эти точки, также является для них осью симметрии,

Прямая, являющаяся осью симметрии равнобедренного треугольника (за исключением середины основания),

Если данные прямые пересекаются, то — две перпендикулярные прямые, делящие пары вертикальных углов пополам; если прямые параллельны, то — их средняя линия.

1) Диагональ квадрата; 2) средняя линия квадрата; 3) центр квадрата; 4) прямая, определяемая серединами двух противоположных сторон квадрата; 5) прямая, определяемая одной из диагоналей квадрата; 6) центр квадрата.

Две точки, если /и + п > АВ > | т —川.

Четыре; три; две; одна; ии одной.

Две.

Центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках.

Луч, исходящий из вершины угла.

Оси симметрии этих прямых.

Ось симметрии, пер пен ди кул я р ная линии центров.

Диаметр и дуга окружности.

Окружность с центром в точке О.

Прямая, параллельная данной, с исключенной точкой.

Луч с исключенным началом.

ГЛАВА X

(а 6)2=々2.62 . cos2 G，b) v & • Ь2.

1) Угол острый или равен нулю; 2) угол тупой или равен развернутому; 3) угол равен 180°.

де • ДС > 0;訪•溢 >0; СА - СВ > 0.

1) 37= @2 —炉；2) /• j= 0; 3) /• 7= / — (6^-矛= =№ — № — ,2.

15/2~■

1) —2—； 2) 4; 3) 4; 4) — 丁； 5) 0.

1) AB = DC; 公•晶=0; 2) AB =^ DC, 病.晶=0。 ЛВ2 = ДО2; 3) АВ^ DC,痛•病=0.

ДС 1 Бв.ДС 1 Бв.По условию АС = АВ + AD н DB = АВ —■ ЛР; следовательно, АС • DB = 4^2 — ДО2. Но так как iAB| = ]AD|, то АС • DB =0 и поэтому

ДС 1 Бв.

ДС 1 Бв.

По условию ДС> = iBDi или ЛС2 =俞2. Но АС = АВ +

+ AD, BD = АВ — AD. Поэтому (ДВ + ЛО)2 ==+ AD, BD = АВ — AD. Поэтому (ДВ + ЛО)2 ==АВ • аЪ^=АВ • аЪ^=0, т. е. АВ 丄 ДР0, т. е. АВ 丄 ДР629. СС?=629. СС?=СЛ2 + СВ2АВ22 一 4、СЛ2 + СВ2АВ22 一 4、(ЛВ — ADY(ЛВ — ADYилиилигде ОС】一медиана треуголь.где ОС】一медиана треуголь.

+ AD, BD = АВ — AD. Поэтому (ДВ + ЛО)2 ==

+ AD, BD = АВ — AD. Поэтому (ДВ + ЛО)2 ==

АВ • аЪ^=

АВ • аЪ^=

0, т. е. АВ 丄 ДР

0, т. е. АВ 丄 ДР

629. СС?=

629. СС?=

СЛ2 + СВ2АВ2

2 一 4、

СЛ2 + СВ2АВ2

2 一 4、

(ЛВ — ADY

(ЛВ — ADY

или

или

где ОС】一медиана треуголь.

где ОС】一медиана треуголь.

ника АВС. В самом деле, Й = CCt —彳-ЛВ, СВ = CCj + у АВ. Отсюда, возводя оба равенства почленно в квадрат и складывая, полу* чим искомое равенство.

ОА Л. АВ.

b” +。• Z -b— b ^a • b — a 产=°；(。力 + ab)(a — b)= 0.

(Г+ W2 + (二一而2 = 2 (a2 + 〃).

633.俞 2 = R2

634.就 2 =麻 2 =加2 t

MA (MP — МД) = 0

МА ■ MB =0.

1) /京=寿=d?2； 2) AB • AC = ВС • BA = CA - СВ

СЛ1 - ЛВ = 0.

Пусть H ——точка пересечения высот ААТ и ВВ*. Тогда НА (НС — НВ) = 0, 施(НА — НС) = 0. Складывая, получаем: НС (НВ —筋)=О или НС А. АВ.

ДС2 + ВС2 = 5482.

АВ (С“,迫—苏)=о.

= AC 4—工 СВ, 88] = ВС Ч—工 С А. Отсюда АА^ —

豳=S (С* —宓).Если 4% = ВВь то СА = СВ.豳=S (С* —宓).Если 4% = ВВь то СА = СВ.644. 1) СМ =644. 1) СМ =隔+醫)隔+醫)СА ■ СМ2) -—►|СД| - \см\СА ■ СМ2) -—►|СД| - \см\右•晶|СВ| • |СМ|右•晶|СВ| • |СМ|645. 1)丽=645. 1)丽=|СД| > |СВ|; 2)|СД| > |СВ|; 2)СА ■ СМI宓.|С7И|СА ■ СМI宓.|С7И|

豳=S (С* —宓).Если 4% = ВВь то СА = СВ.

豳=S (С* —宓).Если 4% = ВВь то СА = СВ.

644. 1) СМ =

644. 1) СМ =

隔+醫)

隔+醫)

СА ■ СМ

2) -—►|СД| - \см\

СА ■ СМ

2) -—►|СД| - \см\

右•晶

|СВ| • |СМ|

右•晶

|СВ| • |СМ|

645. 1)丽=

645. 1)丽=

|СД| > |СВ|; 2)

|СД| > |СВ|; 2)

СА ■ СМ

I宓.|С7И|

СА ■ СМ

I宓.|С7И|

СВ • СМ

|СВ| . |GM|

с2 = а2 + Ь2 — У歹 ab.

с2 = а2 + Ь2 + ab;炉=炉十〃—仪瓦

653.653.a2MM~4~'a2MM~4~'

653.

653.

a2MM~4~'

a2MM~4~'

654.655.656.657.654.655.656.657.

654.

655.

656.

657.

654.

655.

656.

657.

r=y 3—a)9 —b)(P —c)

6 (1 + ^)-

1) P?2 ; 2) 一叫fl; 3)等；4)匆？3 : 5)?

”)*”)*1)0? ； 2)_q 3 ； 3)_?.； 4)

”)*

”)*

Часть вторая. СТЕРЕОМЕТРИЯ

ГЛАВА XI

1) Да; 2) нет.

1) Нет; 2) да.

66(Х Стороны треугольника лежат в плоскости а.

Да. так как через параллельные прямые всегда можно провести плоскость.

Да, если даны две смежные вершины; нет, если даны две противоположные вершины.

Нет, так как прямая может не лежать в плоскости окружности, но иметь с окружностью только одну общую точку.

Через точку С.

Нет, так как в противном случае плоскости сливаются.

Да, так как прямые имеют с плоскостью две общие точки

Да. Этой плоскостью является плоскость, проходящая через данную прямую и данную точку.

Нет. Можно провести прямую через точку пересечения данных прямых, которая с ними не лежит в одной плоскости.

1) Прямая лежит в плоскости а или пересекает а в точке Д;

прямая параллельна плоскости а .или пересекает а.

1) Да; 2) да; 3) да, если точки лежат на одной прямой; нет. если точки не лежат на одной прямой.

Плоскости а и 3 пересекаются, если Ь имеет с а только одну общую точку; плоскости аир либо пересекаются по прямой Ь, либо сливаются, если b имеет с а больше, чем одну общую точку.

На прямой пересечения плоскостей.

Прямая а может быть параллельна плоскости ?; может пересекать В； лежать в плоскости ?.

След МС на плоскости а лежит на прямой АВ или прямая МС параллельна плоскости а.

Диагонали лежат на скрещивающихся прямых.

Нет, так как противоположные стороны косого четырехугольника лежат на скрещивающихся прямых.

Бесчисленное множество, если данная точка не лежит на прямой а; ни одной, если точка лежит на прямой а.

Нет.

1) Точки пересечения прямых образуют треугольник; 2) три прямые имеют общую точку и лежат в одной плоскости; 3) три прямые имеют общую точку и не лежат в одной плоскости.

1) Только одну плоскость, если точки лежат в одной плоскости и никакие три из них не лежат на одной прямой; 2) бесконечно много.

если три точки лежат на одной прямой и в трех случаях по одной;

по одной, если точки не лежат в одной плоскости.

Через данную точку провести прямую, пересекающую одну из параллельных прямых. Если эта прямая пересекает и вторую прямую, то точка лежит в плоскости параллельных прямых.

Да. Они лежат в плоскости, проходящей через данные прямые.

АВ и А1В1 — скрещивающиеся прямые.

Плоскость можно провести, если: 1) прямые попарно пересекаются и точки пересечения различны; 2) три прямые имеют общую точку и существует прямая, пересекающая их; 3) две прямые параллельны и третья пересекает их; 4) три прямые параллельны и существует прямая, пересекающая их.

Нет, прямые а и с могут быть также и параллельными, и пересекающимися.

1) Да; 2) нет.

Прямые могут быть скрещивающимися, параллельными, пересекающимися, сливающимися.

Прямая с может принадлежать пучку данных параллельных прямых; пересекать каждую из данных прямых; быть скрещивающейся по отношению к каждой из них.

Прямая с может принадлежать пучку данных пересекающихся прямых; пересекать каждую из данных прямых и не принадлежать их пучку; быть параллельной одной из прямых и пересекать другую прямую; быть скрещивающейся по отношению к каждой из них.

Прямая т может пересекать прямую ВС и принадлежать плоскости треугольника; быть параллельной ВС; быть скрещивающейся с прямой ВС; пересекать ВС и не принадлежать плоскости треугольника; совпадать с прямой 8c.

Прямая а может принадлежать пучку или связке, содержащих данные прямые; пересекать каждую из них в различных точках; быть параллельной одной из прямых и пересекать вторую; пересекать одну из данных прямых и быть скрещивающейся по отношению ко второй данной прямой; сливаться с одной из данных прямых.

ГЛАВА XII

Нет, так как прямая может лежать в плоскости.

Прямая а может быть параллельной плоскости или лежать в плоскости.

Выявить семь различных случаев расположения прямой и пары плоскостей.

Нет.

Да, если вторая прямая не лежит в данной плоскости; нет, если прямая лежит в ней.

Да, бесчисленное множество плоскостей, гГараллельных линии пересечения данных плоскостей.

Прямая и плоскость основания параллельны.

Да, эта плоскость будет проходить также через прямую, параллельную второй прямой и пересекающую первую.

Одну плоскость, если прямые скрещиваются; бесчисленное множество плоскостей, если прямые параллельны; ни одной, если прямые пересекаются.

Прямая может скрещиваться с каждой из данных прямых; быть параллельной одной из прямых и скрещиваться с другой прямой; принадлежать связке данных прямых; пересекать одну из данных прямых и скрещиваться со второй прямой.

Если прямые скрещиваются и точка М не лежит в плоскостях, проведенных через одну из прямых параллельно другой прямой; если прямые пересекаются и точка М не лежит в плоскости этих прямых; если прямые параллельны, точка М при этом может лежать в плоскости этих прямых или не лежать в ней.

Через прямую о и точку В на прямой Ь проводим плоскость а. Плоскость а пересекает прямую с или параллельна ей. Если а параллельна прямой с, то на Ь выбираем другую точку Вг и проводим через эту точку и а плоскость В，которая обязательно пересечет с. Пусть на прямой с получаем точку Ct. Прямая В]& либо пересекает а и тогда это искомая прямая, либо параллельна а. В последнем случае через а проводим другую плоскость 7，которая пересечет b л с в точках В2 и С2. 82c2 не может быть параллельна а, так как в противном случае прямые 匕 м с принадлежали бы одной плоскости.

Только через прямую, параллельную данной плоскости.

Нет, если прямые одной плоскости параллельны; да, если прямые в плоскости пересекаются.

Нет.

Да, если прямые скрещиваются или пересекаются; нет, если прямые параллельны.

Прямые могут быть скрещивающимися или параллельными.

Прямые AD и ВС могут быть скрещивающимися, параллельными, пересекающимися. Они параллельны или пересекаются, если отрезки АВ и CD параллельны.

Прямая параллельна второй плоскости или лежит в ней.

Провести прямую, параллельную линии пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются; параллельную произвольной прямой, лежащей в одной из данных плоскостей, если плоскости параллельны.

Третья плоскость либо параллельна двум данным, либо пересекает их.

Третья плоскость может принадлежать пучку данных пло- скостей; пересекать каждую из данных плоскостей по прямым, параллельным линии пересечения данных плоскостей; пересекать одну из плоскостей и быть параллельной другой плоскости; 'пересекать каждую из плоскостей и линию пересечения данных плоскостей; сливаться с одной из плоскостей.

45° или 135°.

Прямая с может скрещиваться с каждой из данных прямых; быть параллельной одной из прямых и скрещиваться со второй прямой; пересекать одну из прямых и скрещиваться со второй прямой; пересекать одну из прямых и быть параллельной второй прямой; пересекать обе прямые.

1) Две точки, одну точку; 2) три, две и одну точки.

Нет, так как прямая, параллельная направлению проектирования, проектируется в точку.

В точку.

Нет, так как прямые могут проектироваться н в одну прямую.

Нет, так как параллельные прямые, параллельные направлению проектирования, проектируются в две точки.

Случаи" 1), 3), 4) возможны, остальные нет.

Пересекающиеся или параллельные прямые; прямую и точку, не лежащую на этой прямой.

Двух точек, лежащих на различных проектирующих прямых; множества точек, лежащих на двух проектирующих прямых; проектирующей прямой и точки, или множества точек, лежащих на другой проектирующей прямой; двух проектирующих прямых.

В прямую или ее отрезок проектируются фигуры, расположенные в проектирующей плоскости, проходящей через данную прямую.

В указанную фигуру проектируются две пересекающиеся прямые, из которых одна параллельна направлению проектирования; прямая, не параллельная направлению проектирования, и точка, не лежащая на этой прямой, принадлежащие одной проектирующей плоскости; прямая, не параллельная направлению проектирования, и точка, лежащая на ней.

В указанную фигуру проектируются две скрещивающиеся прямые, из которых одна параллельна направлению проектирования; прямая, не параллельная направлению проектирования, и точка, не лежащая на этой прямой, при условии, что прямая и точка не принадлежат одной проектирующей плоскости.

Да, если прямая в пространстве параллельна плоскости проекций.

102

Нет. так как при параллельном проектировании величина угла между прямыми не сохраняется.

1) В равносторонний треугольник, если плоскость данного треугольника параллельна плоскости проекций; 2) в равнобедренный или равносторонний, если одна из сторон (высот) данного треугольника параллельна плоскости проекций или лежит в ней и направление проектирования составляет с этой стороной (высотой) прямой угол, но плоскость треугольника при этом не является проектирующей.

1) Да; 2) нет; 3) нет.

Нет, так как при параллельном проектировании равенство непараллельных отрезков не сохраняется.

1) В квадрат, если плоскость данного квадрата параллельна плоскости проекций; 2) в ромб или квадрат, если одна из диагоналей данного квадрата параллельна плоскости проекций или лежит в ней, а направление проектирования составляет с этой диагональю прямой угол, но не параллельно второй диагонали; 3) в прямоугольни к или квадрат, если сторона данного квадрата параллельна плоскости проекций или лежит в ней и направление проектирования составляет с этой стороной прямой угол, но плоскость квадрата при этом не является проекти рующей.

ГЛАВА XIII

1) Нет; 2) да.

1) Нет; 2) нет, так как радиусы могут принадлежать одному диаметру.

I) АВ i] а и параллельна своей проекции; 2) АВ пересекает а в точке, которая делит проекцию АВ пополам.

Нет.

Да. Проекции наклонных AM, MBt МС, MD на плоскость прямоугольника равны, значит, равны и наклонные.

На перпендикуляре к плоскости прямоугольника, проходящем через точку пересечения его диагоналей.

Да.

Провести прямую, пер пенди ку л яр ную проекции наклонной на плоскость а.

Наклонная М4 перпендикулярна касательной-

Углы прямые.

Совокупность всех прямых, лежащих в двух плоскостях, параллельных данной и находящихся на расстоянии h от нее.

Нет.

Да; прямые либо пересекаются, либо скрещиваются и образуют прямой угол между собой.

1) 45°; 2) 30°.

755・ Противоположные стороны — в случае параллелограмма; все стороны — в случае ромба (плоскость четырехугольника не совпадает с плоскостью а).

Если угол отличен от прямого, то плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой, пер пенди кул яр ной данной; если угол прямой, то плоскости параллельны.

Окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.

Угол наклона высоты основания треугольника к плоскости а больше, чем угол наклона боковой стороны треугольника к плоскости а.

ГЛАВА XIV

Зп.

2儿

Прямой угол

Провести полуплоскости через стороны данного угла и перпендикуляр, восставленный к плоскости этого угла в его вершине.

45°.

Да. Высоты пересекаются в середине общего основания.

1) 2п; 2)九 при п > 3 и п + 1 при 九=3.

Через точку Л провести прямую, параллельную ребру, противолежащему грани Н.

Равносторонний треугольник.

Грани перпендикулярны плоскости линейного угла.

Одну, если данная прямая не перпендикулярна плоскости; бесчисленное множество, если прямая перпендикулярна плоскости.

На стороне основания, через которую проходит грань, перпендикулярная основанию.

На прямой пересечения плоскостей аир.

Во второй плоскости через точку М провести прямую, перпендикулярную линии пересечения плоскостей.

Плоскость должна быть перпендикулярна линии пересечения данных плоскостей. Бесчисленное множество.

1) Линия пересечения перпендикуляр на плоскости р; 2) прямой угол.

Прямые углы. Прямой угол; следы плоскости а перпендикулярны ребру, которое пересекает эта плоскость, и пара刀лельнн соот* ветствующим двум другим ребрам трехгранного угла.

Прямая параллельна плоскости или лежит в ней.

Нет.

Нет.

Да.

ГЛАВА XV

Плоскость должна отсекать от ребер, исходящих из одной вершины, равные отрезки. Сечение наибольшее, если плоскость отсекает отрезки, равные стороне куба.

Да. Плоскость должна пересекать четыре грани куба： две параллельные и две смежные грани, однако не должна быть перпендикулярна параллельным граням.

Случаи 1), 2) и 3) возможны; 4) нет.

Да.

Да, если перпендикулярны основанию две смежные боковые грани; нет, если ему перпендикулярны противоположные боковые грани.

Да, если в основании наклонной призмы лежит многоугольник, имеющий по крайней мере две параллельные стороны.

6.

Да, если диагональные сечения проведены через параллельные ребра; нет, если эти сечения проведены через непараллельные ребра.

Нет.

Нет, два сечения—прямоугольники, четыре—пара ллелограммы.

Да. В этом случае ребра параллелепипеда, через которые проходят диагональные сечения, перпендикулярны граням, которые эти ребра пересекают.

Диагональные сечения должны быть равными прямоугольниками.

Да. В таком параллелепипеде прямоугольная проекция одного из боковых ребер на плоскость основания должна лежать иа диагонали основания.

Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Все диагональные сечения, если параллелепипед прямоугольный; два диагональных сечения, если параллелепипед прямой; одно диагональное сечение, если параллелепипед наклонный и в нем диагональ основания перпендикулярна боковым граням, перпендикулярным основанию.

В прямом параллелепипеде.

Нет.

В прямоугольном параллелепипеде.

Отношение равно /2:1.

Да, если увеличивается высота прямоугольного параллелепипеда; нет, если увеличивается одна из сторон основания.

Объемы относятся как изменяющиеся стороны основания.

Объемы относятся как боковые ребра или высоты этих призм.

Да, как призмы с равными высотами и равными основаниями.

Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

Треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиуголь

ник.

Плоскость должна пересекать две смежные стороны основания и боковое ребро, пересекающее две другие стороны основания, и при этом не должна проходить через вершины пирамиды.

Одну или две.

Шестое ребро изменяется в пределах от 0 до а/ 3.

Нет, так как основания трапеции не равны.

Линейный угол равен острому или тупому углу параллелограмма.

Прямоугольной проекцией вершины пирамиды является точка пересечения диагоналей четырехугольника, лежащего в основании.

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Плоскость и ребро пирамиды взаимно перпендикулярны.

Двугранные углы равны.

Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание. Двугранные углы при основании пирамиды равны.

Треугольная и четырехугольная пирамиды.

Да, как пирамиды с равными основаниями и равными высотами.

Параллелепипед, четыре вершины которого совпадают с вершинами пирамиды.

Объемы относятся как кубы высот.

ГЛАВА XVI

1) Нет; 2) нет; 3) да.

1) Нет; 2) да, если одна из данных точек совпадает с вершиной; нет, если ни одна из точек не .совпадает с вершиной конуса; 3) да.

Совокупность прямых, принадлежащих конической поверхности с вершиной в данной точке и осью, перпендикулярной данной плоскости.

Плоскость и ось цилиндра параллельны.

Прямая пересечения касающихся плоскостей проходит через вершину конической поверхности и вне поверхности.

Точка не должна лежать внутри цилиндрической поверхности.

Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную оси цилиндрической поверхности; к полученной в сечении окружности из данной точки провести касательную и построить плоскость, проходящую через эту касательную и параллельную оси поверхности. Две или одну.

Цилиндрическая поверхность, осью которой является данная прямая.

Множество прямых, расположенных в плоскостях, касающихся пилиндрической поверхности, радиус которой равен данному расстоянию, а осью является данная прямая (кроме прямых, параллельных образующим).

Нет. Плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности, можно провести через прямую, параллельную оси цилиндрической поверхности и не проходящую внутри поверхности; через прямую, касающуюся цилиндрической поверхности.

Оси цилиндрических поверхностей лежат в плоскости, проходящей через данную прямую, перпендикулярно данной плоскости.

Оси конических поверхностей пересекают данную прямую и лежат в плоскости, проходящей через эту прямую, перпендикулярно данной плоскости.

Оси цилиндрических поверхностей параллельны ребру дву・ граиного угла и лежат в биссекторе этого угла.

Оси конических поверхностей лежат в плоскостях симметрии данных двух плоскостей.

Множество всех прямых, расположенных в плоскости, параллельной данным плоскостям и находящейся на равном расстоянии от них.

Нет, так как каждые две плоскости, касающиеся конической поверхности, пересекаются по прямой, проходящей через вершину поверхности.

Плоскость параллельна оси поверхности или проходит через ось. Через ось цилиндра провести плоскость, перпенди ку л яркую данной, и через образующие, полученные в результате пересечения поверхности с построенной плоскостью, провести плоскость, параллельную данной. Две плоскости, если данная плоскость ие касается цилиндра; одну, если данная плоскость касается цилиндра.

Прямые должны быть параллельными. Бесчисленное множество. Оси цилиндрических поверхностей лежат в плоскости, перпенди* кулярной плоскости параллельных прямых и отстоящей от этих прямых на равном расстоянии.

Конические поверхности можно провести, если прямые пересекаются. Оси конических поверхностей лежат в плоскостях, проходящих через биссектрисы углов, образованных данными прямыми и перпендикулярных плоскости пересекающихся прямых.

Ни одной, если прямые лежат в одной плоскости; четыре, если прямые не лежат в одной плоскости.

Параллельные прямые, окружность, эллипс.

Пересекающиеся прямые, окружность, эллипс, парабола, гипербола.

В общем случае четыре.

В общем случае нет. Можно, если оси цилиндрических поверх ностей пересекаются и радиусы поверхностей равны; если оси цилиндрических поверхностей скрещиваются и находятся на расстоянии, равном сумме или разности радиусов поверхностей.

Площадь сечения будет наибольшей, если образующие конуса, расположенные в секущей плоскости, перпендикулярны. Наибольшая

尸

площадь сечения равна » . Плоскость, перпендикуляркая к любой образующей конуса и проходящая через его вершину, пересекает конус по двум образующим, каждая из которых перпендикулярна к выбранной образующей.

С увеличением высоты увеличивается угол наклона образующей. Объемы относятся как высоты этих конусов.

Да, если точки не принадлежат одному диаметру; нет, если точки принадлежат одному диаметру,

Нет, точки не должны лежать на одной прямой. Центр шаровой поверхности должен принадлежать геометрическому месту точек, равноудаленных от данных трех точек. Одну.

При R > г, где г ——радиус окружности, проходящей через данные три точки. 1) При R》г; 2) при R = г.

Две; одну; ни одной.

Бесчисленное множество, расположенных на окружности; одну; ни одной.

Бесчисленное множество, расположенных на окружности; одну; ни одной.

Нет. Общую касательную прямую можно провести, если ни один из шаров не лежит внутри другого.

Если шары имеют равные радиусы; если шары имеют общий центр гомотетии.

Да. Касательная плоскость пересекает линию центров в точке, являющейся центром гомотетии двух шаров, либо параллельна линии центров.

Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости.

Прямая, соединяющая центр данного шара с данной точкой.

1) В плоскости, параллельной данным и находящейся на равном расстоянии от них; 2) в биссекторах двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями.

На цилиндрической поверхности радиуса R, осью которой служит данная прямая.

Центр шара находится на пересечении перпендикуляров, один из которых проведен к плоскости окружности через ее центр, а другой ——к данной плоскости через точку, заданную на окружности.

Через центр шара провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, и через точки окружности большого круга, полученного в сечении, провести прямые, параллельные данной. Бесчисленное множество. Прямые образуют цилиндрическую поверхность.

Ось цилиндра лежит в боковой грани призмы, проходящей через гипотенузу основания. Боковые грани, проходящие через катеты основания, взаимно перпендикулярны.

Ось конуса лежит в боковой грани пирамиды, проходящей через гипотенузу основания. Нет.

Объемы относятся как 1 : 2.

1) Да; 2) нет, угол наклона боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды наибольший.

Случаи 1) и 2) возможны, остальные нет.

В основании прямой призмы должен лежать многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота призмы должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности.

Да, если высота призмы в четыре раза больше апофемы правильного многоугольника, лежащего в основании призмы.

Да. Четыре точки общего положения определяют только один шар.

В основании пирамиды должен лежать многоугольник, вокруг которого можно описать окружность.

Центр шара находится в точке пересечения плоскости, проведенной через середину бокового ребра перпендикулярно к нему, и перпендикуляра к плоскости основания пирамиды, проведенного через центр окружности, описанной вокруг основания.

Две окружности радиуса, равного радиусу г цилиндрической поверхности, если радиус R шара больше г; одну окружность, если радиус К = г； общих точек нет, если R < г.

Две неравные окружности (одна из окружностей может выродиться в точку), если радиус R шара больше расстояния центра шара до образующей конической поверхности; две окружности равного радиуса, если центр шара находится в вершине этой поверхности; одну окружность, если R равен расстоянию центра шара до образующей; общих точек нет, если R меньше указанного расстояния.

Да.

Нет. Осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.

Да. Центр шара лежит на пересечении оси конуса и биссектрисы угла наклона образующей конуса к плоскости основания.

Образующая усеченного конуса должна равняться сумме радиусов оснований.

ОГЛАВЛЕНИЕ

33Предисловие

3

3

Часть первая. ПЛАНИМЕТРИЯ

Глава I. Основные понятия

5 675 67Прямая линия. Луч. Отрезок

5 67

5 67

Углы. Смежные и вертикальные углы

Окружность. Хорда. Диаметр

Глава II. Треугольник. Параллельность

8 9 ю U м8 9 ю U мТреугольник и его элементы. Равнобедренный треугольник

8 9 ю U м

8 9 ю U м

Осевая симметрия

Равенство треугольников

Соотношения между сторонами и углами треугольника ..

Проекция отрезка на прямую. Перпендикуляр и наклонные

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника • . •・

Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами.・.・

Глава III. Четырехугольники ■

1516-171819-эд1516-171819-эдСумма углов выпуклого четырехугольника. Равенство четырехугольников

1516-171819-эд

1516-171819-эд

- Параллелограмм

Центральная симметрия

Прямоугольник. Ромб

Квадрат

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Средняя линия треугольника

Трапеция

Замечательные точки треугольника ...・•・・・・・•

Глава IV. Площадь многоугольни ка

一2122一2122Площадь квадрата, четырехугольн ика

一2122

一2122

Теорема Пифагора

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции ・.・•

Глава V. Окружность

Диаметр. Хорда и ее расстояние от центра

Взаимное положение прямой и окружности. Касательная к окружности. Две окружности . .

Углы, связанные с окружностью

Длина окружности и площадь круга

Глава VI. Пропорциональные отрезки. Подобие фигур

Пропорциональные отрезки. Биссектриса угла треугольника

Подобие фигур

Глава VIL Тригонометрические функции острого угла

Определение и свойства тригонометрических функций острого угла

Глава VIII. Вписанные и описанные многоугольники

Треугольник

Четырехугольник

Правильные многоугольники

Глава IX. Геометрические преобразования

Параллельный перенос

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Вращение вокруг точки

Гомотетия. Определение и свойства гомотетии

Векторы. Сложение, вычитание, умножение на число ..・

Геометрические места точек

Глава X. Метрические соотношения между элемгнтамитреугольника

Скалярное произведение векторов

Теоремы косинусов и синусов. Формула Герона

Часть вторая. СТЕРЕОМЕТРИЯ

Глава XL Основные понятия и аксиомы

Аксиомы принадлежности н следствия из них

Прямые и плоскости

Глава XII. Параллельность в пространстве

Прямая, параллельная плоскости

Параллельные плоскости

225262728293234-35373841444650525456225262728293234-3537384144465052545657586061625758606162Параллельные проекции

225262728293234-35373841444650525456

225262728293234-35373841444650525456

5758606162

5758606162

Глава ХШ. Перпендикулярность в пространстве

Перпендикуляр и наклонные к плоскости 63

Угол между прямой и плоскостью 64

Глава XIV. Двугранные и многогранные углы

Двугранныйугол.Трехгранный угол 65

Перпендикулярныеплоскости 66

Глава XV. Многогранники

Призмы 67

Пирамиды 69

Глава XVI. Круглые тела

Цилиндр. Конус 71

Шар 73

Задачи на комбинацию тел 75

Ответы 77

Жаров Виктор Александрович, Марголите Паулина Самуиловна, Скопец Залман Алтерович

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ

Редактор И. С. Комиссарова. Обложка художника Г. С. Богачева. Художественный редактор Н. Л. Володина. Технический редактор Г. А. Семейкина. Корректор Т. М. Графовская

Сдано в набор 26/1И 1965 г. Подписано к печати 29/Х 1965 г. 84Х1О8%2・ Печ. А 3,5(5,88). Уч.-изд. л. 5,80. Тираж 106 тыс. зкз. А10572. Т. п. 1965 г. Afe 214.

Издательство «Просвещение» Гос уда рст венного комитета Совета Министров

РСФСР по печати, Москва, 3-й проезд Марьиной рощн, 41

Полнграфкомбинат им. Я. Коласа Государственного комитета СоветаМинистров БССР по печати, Минск, Красная, 23. Заказ № 78L

Цена 16 коп.

■ A , О В, ирголитЕ, ОП ЕЦ

44ЧИ

В. А. ЖАРОВ, П. G. МАРГОЛИТЕ, 3. А. СКОПЕЦ

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИПО ГЕОМЕТРИИ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ЬНбПМОТЕНАМДТЕМАТМЧССКОГОКОЛЛВАЖА НМУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»Москва 1965

Рукопись рецензировали:доцент Л. ". Маргулис и методист Г."・ Буханов