Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВ' НИЯ СССР В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ффВЫСШИХ ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ф
ф
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА* 19В0
22.16
Е01
УДК 517
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
кафедра высшей математики Московского янергетиче- скоро института (зав. -кафедрой — проф. С. И Похо. *ац); в. К. Тр • к or и н— д-р физ.-мвт. наук (Мос- иовсмий институт стали н сплавов)
Ефимов А. В.
Е91 Математический анализ (специальные разделы). Ч. I. Общие функциональные ряды и их приложение: Учеб, пособие для втузов. -— М.: Высш, школа, 1980. — 279 с., ил,
В пер.: 65 к.
В книге излагаются основные понятия комплексных чнсел; теории функций комплексной переменной; числовые, общие функциональные н степенные ряды в комплексной области; общие ортогональные и тригонометрические ряды Фурье; теория вычетов и операционное исчисление.
Предназначается для студентов втузов,
= S^ M-W ITO2OS0O0O
ББК 22 16
517.2
Г ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА. t«8C
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время математика превратилась в повседневный инстру- f нт исследований не только таких наук, как механика, физика, химия, астрономия, но и таких, как экономика, биология, медицина, языкознание. Вторжение математики во все области научной и практической деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Идет прогрессирующий процесс математизации всех наук. Этому значительно способствует быстрое развитие вычислительной техники и ее применений в самых различных областях науки и техники. Для точного решения большинства задач технического, экономического или биологического характера необходимо прежде всего, чтобы эти задачи были переведены на математический язык, после чего они уже получают какое-либо решение. И совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой цепи является именно «перевод» задачи на математический язык. Это объясняется тем, что для правильной математи- ч, ской формулировки инженерно-технической или какой-либо другой п облемы необходимо знание не только той науки, из которой возникла эта проблема, но необходимы также и определенная математическая культура, математические познания.
Требования к математической подготовке современного инженера постоянно возрастают. Это предъявляет ряд новых требований к его научной квалификации. Кроме хороших знаний по своей специальности инженер)-исследователю необходимо знать и уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы. Следует иметь в виду, что применение быстродействующих вычислительных машин сделало в сьма актуальным усовершенствование и развитие численных методов решения задач, привело к их переоценке. Многие вычислительные методы, приводящие к громоздкому счету и считавшиеся при ручном счете непрактичными, оказались сейчас вполне рабочими. Ценным оказывается тот метод, который допускает простую реализацию па ЭВМ. Напротив, метод, основанный на частных особенностях задачи и и на искусстве вычислителя, оказывается мало пригодным для использования на ЭВМ. Поэтому инженер в своей практической деятельности должен уметь выбирать комбинации различных известных методов и осуществлять их реализацию и i ЭВМ. В целях более прочного изучения возможностей математических методов и вычислительной техники большинство дисциплин учебного плана подготовки инженера сейчас ориентируется на использование математических и вычисли-
■ ельных средств как современного инструмента решения задач инженерной и научно-исследовательской практики.
Данное пособие представляет собой обработку курса лекций, которые автор на протяжении ряда лет читал студентам отдельных специальностей Московского института электронной техники. Пособие может быть использовано как студентами вузов с повышенной математической подготовкой, так и студентами, занимающимися по утвержденной в 1979 г. программе по высшей математике. Пособие может быть использовано также при изучении таких спецкурсов по высшей математике, как, например, теория функций комплексного пере- leHHoro.
В отличие от ряда втузовских учебных пособий в настоящем пособии приближенные методы решения многих задач приводятся не в разделе вычислительных методов, а в тех разделах, к которым относятся данные задачи. Так, методы убыстрения сходимости рядов Куммера, Эйлера и Малиева даны при изложении применения рядов; быстрый алгоритм реализации дискретного преобразования Фурье приводится непосредственно за спектральными характеристиками интеграла Фурье; методы Ритца, Галеркина и Канторовича изложены в разделе вариационного исчисления. К целому ряду численных методов приведены программы их реализации на ЭВМ, разобраны примеры решения конкретных задач на ЭВМ «Наири» или ЕС-1020. Теория рядов излагается в комплексной области. Такой подход позволяет избежать ряда повторений, обойтись без оценки остаточных членов при разложении в ряды Тейлора.
При написании пособия использовалась в основном литература, рекомендованная в программе по высшей математике. При использовании другой лигературы сделаны соответствующие ссылки.
Содержание пособия разбито на главы, параграфы и пункты. Нумерация формул н теорем сделана по параграфам. При ссылках на теоремы и формулы в данном параграфе указывается один номер, при ссылках на другой параграф той же главы указывается двойной номер, например (2.11) — первая цифра указывает номер параграфа, а при ссылках на другую главу указываются номер главы, параграфа в этой главе и формулы, например (IV.2.1), или теоремы, например IV.2.1.
Начало доказательства теорем и различных предложений отмечается значком ^ . конец доказательства—значком ►. а в конце решения примеров в некоторых случаях (там, где не сразу видно, что решение примера или задачи окончено) ставится значок *.
Автор благодарен Л. В. Лапенко и С. А. Фоминой за подготовку рукописи настоящего пособия, в также сотрудникам кафедры высшей математики, принявшим участие в обсуждении рукописи.
Автор выражает признательность профессорам В. А. Треногину и С. И. Похожаеву и доцентам МЭИ А. И. Киселеву, М. Л. Краснову, А. Л. Павлову и А. М. Седлецкому за сделанные ими при рецензировании замечания, способствующие улучшению настоящего пособия.
Автор
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИЙКОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Определение комплексных чисел. Хорошо известно, что в области вещественных чисел извлечение корня не всегда выполнимо. Поэтому возникает необходимость расширения понятия числа, необходимость введения новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются обычные вещественные числа. Естественно при этом потребовать, чтобы вновь введенные числа удовлетворяли всем основным законам действий вещественных чисел. Такое расширение возможно либо за счет введения «мнимой» единицы /, являющейся корнем уравнения *2 + 1=0, либо из геометрических соображений. Мы воспользуемся вторым путем.
Рассмотрим взаимно-однозначное соответствие между множеством вещественных чисел и множеством отрезков вещественной оси Ох, имеющих начало в начале координат. Если вместо одной оси Ох рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным векторам Ох и Оу, то каждому вектору, имеющему начало в начале координат, т. е. каждой точке (х, у) плоскости, можно поставить в соответствие число г, которое будем называть комплексным числам, а плоскость — комплексной плоскостью (г). Таким образом, комплексное число г— это парт (х, у) вещественнчх чисел, взятых в определенном порядке г = (х, у), причем х называется uiyecme иной частью числа г и обозначается х = Рег, а у — .•;..и чой частью, которая обозначается через Imz. т- е. у = Imz. Условимся при этом, что началу координат соответствует число 0, т. е. (0,0)=0, вектору длины 1 и имеющему направление п. - ложительной оси Ох ставится в соответствие вещественное число I, ■ е. (1,0)= 1, а вектору длины 1, направление которого совпадает с по- ожительным направлением оси Оу, сопоставим символ ^называемый л нимой единицей, т. е. (0,1) = i. Условимся также, что каждому век- юру Ох на вещественной осн.т. е. комплексному числу (х, 0), соответствует вещественное число х : (х, 0) = х.
Введем следующие определения:
Два комплексных числа г, = (xu у,) и г, = (х,, i/e) считаются рав- ними (гх = 2g) тогда и только toi^, когда xt = ха и yt = уг.
Суммой двух комплексных чисел гх и гг называется комплексное число гх + z2=(X! + х41 ijx + УгЛ а их произведением — комплексное ЧИСЛО 2x2-1 = (Х^, — УхУг, Ххуй + Хгух\
Из этих определений очевидны следующие равенства:
z + 0 = (х, у) + (0,0) = (х, у) = г,
г • 0 = (х, у) • (0,0)=(0,0)=0,
.2 • 1 = (X, у) • (1,0) = (X, у) = 2,
i - i = ? = (0,1) • (0, 1)=(—1, 0)= - 1.
Далее, в силу тех же определений и условия (х, 0) = х имеем (0, у)=(0, 1) • (у, 0) = iy, а это означает, что любое комплексное число г = (х, у) может быть записано в так называемой алгебраической форме г = х + iy. В самом деле,
г = (X, у) = (х, 0)+(0, у) = х + iy.
Нетрудно проверить, что введенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел удовлетворяют законам арифметики вещественных чисел.
Комплексное число х — iy называется сопряженным к комплексному числу г = х -V iy » обозначается через г, т. е. z = х — iy. Очевидны следующие свойства операции комплексного сопряжения:
(г ) = 2, 2j + 2г — ?1 + 2г, Zi*Z2— Zy-Zy
г + г = 2Re г = 2х, г —г = 2/ Im г = 2гу, г*г = х® + у2>0.
Операции вычитания и деления комплексных чисел вводятся как операции, обратные соответственно сложению и умножению комплексных чисел. Именно разностью гх — г2 комплексных чисел гх и г2 называется число г3, определяемое из условия 2г + г3 = г,, а частным :J22 при г2 Ф 0 называется комплексное число гч такое, что г2 • zt = = zv Нетрудно видеть, что если г, = хг + iyx, г2 = х2 + iy-г., то
2a= Zy — 2г = Ху — Хг + i (yt — уг),
= ?1 _ г(78 _ Xi х2+уху2 . х2 ух—Ху у»
4х-;+у»х^*,
Модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая и показательная формы. Между множеством всех комплексных чисел г и векторами с началом в точке (0, 0) имеется взаимно-однозначное соответствие. Однако каждый вектор с началом в точке (0, 0) можно определить не только координатами конца (х, у), но и его полярными координатами — модулем и аргументом. Таким образом, каждое комплексное число г = х + iy может быть определено с помощью его модуля, обозначаемого через | z |, и аргумента, обозначаемого через Argz и определяемого с точностью до слагаемого 2£л, k = 0, ± 1, ...
Очевидно (рис. 1), что числа х, у, г = |г| = ]'х2 + у2 и ф = Arg? связаны между собой соотношениями
О)О)х = г cos ф, у = г sin ф, г2 = х3 + у2 = гг.
О)
О)
cos ф = х - , sin ф = —5— , ф = Arg tg — е I хг ,-у1| х2+уах
Из этих соотношений видно, что по заданному числу г его модуль г
лире юляется однозначно, а аргумент — с точностью до слагаемого
Ри< lРи< l2 кп, к = 0, ±1причем для точки г = О аргумент не определен. Главным шачгнием ар- тента числа г, обозначаемым через arg., называется значение аргумента, удовлетворяющее условиям
Ри< l
Ри< l
—л < arg? ^ л пли 0 < arg? < 2 л.
Используя формулы (1), получим так называемую тригонометрическую форму комплексного числа г = х + iy, а именно
г = х + iy = г (cos ф + i sin ф).
Условимся выражение cos ф + г sin ф обозначать символом е'ф, т. е. е^ = cos ф + i sin ф,(2)
не придавая этой записи пока никакого другого смысла., кроме как обозначение. Ниже мы покажем, что символ е'ф обладает свойствами показательной функции, а в дальнейшем (в § 3, гл. I), установим справедливость формулы (2), называемой формулой Эйлера, в которой под е'ф понимается уже показательная функция. Используя обозначение (2), комплексное число г запишем в форме
г = ге* ф,(3)
которую будем называть показательной формой комплексного числа. Заметим, что при сложении и вычитании комплексных чисел целесообразнее использовать алгебраические формы этих чисел. Геометрически сумму комплексных чисел гх и ?2 можно изобразить как век- Т0Р Q?8« являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах Огх и О?2 (рис. 2, а), а разность гх — г» — как вектор Ог4, параллельный вектору г^х (рис. 2, б).
При умножении комплексных чисел, делении, возведении в степень и извлечении корня более рациональные вычисления будут с тригонометрической формой. Действительно, пусть
zi ■= rx (cos ф2 + t sin q ,) = rv^' , г2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2) == г2е'ф».
Тогда в силу определения умножения комплексных чисел имеем 2^ = Vs (СО8ф, COS ф2 — sin ф, sin ф2) 4- 1ГхГг (cos Ф, sin ф2 +
+ sin ф, cos ф2) = v2lcos (ф( + ф») + 1 sin (ф[ + Ф2)1 = Vs е/(ф,+’’,).
Отсюда следует, что при умножении комплексного числа гх на комплексное число г2 вектор 0гх поворачивается около начала О на угол ф3 =
а)а)Рис. 2Рис. 2
а)
а)
Рис. 2
Рис. 2
Zj г,... гтZj г,... гтmememl.ml.
Zj г,... гт
Zj г,... гт
me
me
ml.
ml.
= argz2= argz2и подвергается операции растяжения в г2 раз (рис. 3). При происходит только поворот вектора гх на угол argz2.
= argz2
= argz2
Используя определение частного двух чисел, при г2 Ф 0 найдем
it 21 г2 _ rx (cos ф! + i sin ф,) ra (cos ф2 — i sin фа) _
za г, г,rf
= -^—[cos (ф1 —ф2) + i sin (ф, — ф2)] = -у- е* №»-»•>.
Таким образом, модуль произведения двух j<om- плексных чисел равен произведению модулей сомножителей, модуль частного — частному модулей (при г3 Ф 0), аргумент произведения двух комплексных чисел равен (с точностью до 2 £л) сумме аргументов сомножителей, а аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя. Это свойство показывает, что определяемые соотношением (2) символы е/ф- и е,ф» можно перемножать и делить по правилу показательной функции. Очевидно также, что е'(ф+2*л* = е1 ф для любых к = ±1, ±2, ...
По индукции нетрудно проверить, что если
2ч = rv (cos ф„ + i sin ф^), v = 1, 2, .... т.
то
Полагая здесь гх = г, = ... = гт = ге'4’, получим
^ш —— 1*т^1тф
т. е. для возведения комплексного числа в целую степень пг необходимо модуль этого числа возвести в эту степень т, а аргумент числа увеличить в т раз. Последнее обстоятельство показывает, что символ е'» возводится в степень по правилу возведения в степень показательной функции. Из сравнения тригонометрических записей левой и правой части равенства (4) сразу выводится так называемая формула Муавра
(5)(5)(cos Ф 4- z sin ф)т = cos тф + i sin тф.
(5)
(5)
Определим корень натуральной степени п из комплексного числа г = re'4*, г =/= 0, как такое комплексное число ьу = ре'♦, которое при возведении в степень п дает число г, т. е. uf = г. Из этого определения выводим, что
(6)(6)ри е1пф _ ^ф,
(6)
(6)
степени п из комплексногостепени п из комплексногогде ф удобнее записать в форме ф = ф0 + 2 6л, ф0 = argz. Сравнивая модули и аргументы левых и правых частей в равенстве (6), находим:
степени п из комплексного
степени п из комплексного
Р = 1 Г , ф = — =,
пл
6 = 0,± 1, ...
Таким образом,
, ф,+ 2ел
Л —л г — 1
цу = > г = г г е п ,
6 = 0, ±1,...(7)"
Так как символ е'т имеет период 2л, то заключаем, что корень степени п из числа г будет принимать точно п различных значений, соответствующих значениям 6 = 0, ., .... п — 1. Геометрически это означает, что все значения корня
числа г лежат на окружности радиуса V7, и аргументы у соседних корней отличаются друг от друга на 2 л/и (рис. 4).
Заметим также, что операция извлечения корня из символа е'® также удовлетворяет правилу извлечения корня из показательной функции.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
■ e-окрестность. Расширенная плоскость, е-окрестностью точки z0 называется множество точек г комплексной плоскости таких, что чрпр г° ГДе е ^ ^ — заданное число. Условимся обозначать ее _ Р® г° ‘ ^окрестность рв (г0) есть внутренность круга радиуса е с центром в точке г0. . j j
сферысферыМножество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию | z | > R > 0, назовем R-окрестностью pR (оо) бесконечно удаленной точки. Бесконечно удаленную точку г будем обозначать через оо, а комплесную плоскость (г) вместе с точкой г = оо будем называть расширенной плоскостью. Такие символы, как х ± «оо, ±оо + iy, ooe1», будем употреблять
сферы
сферы
ЛИШЬ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, обозначает координат Ох угол ф.ЛИШЬ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, обозначает координат Ох угол ф.задания направлений на Так, запись (0, оо е,т) луч, идущий из начала и составляющий с осью
ЛИШЬ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, обозначает координат Ох угол ф.
ЛИШЬ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, обозначает координат Ох угол ф.
Единственность бесконечно удаленной точки г = оо можно объяснить следующим образом. Точки комплексной плоскости (г) поставим во взаимно-однозначное соответствие с точками так называемой сферы Римана с помощью стереографической проекции. Именно: если южный полюс (точку S) поместить в начало координат (рис. 5) и точку М (х, у), лежа-
щую в плоскости (г), соединить с северным полюсом сферы, т. е. с N, то отрезок пересечет сферу в точке Mt, которая и ставится в соответствие точке М. Таксе соответствие взаимно однозначно для всех конечных М комплексной плоско-
сти (г). Однако при удалении точки М в бесконечность по любому направлению :оответствующие точки Л^ на сфере будут стремиться к точке /V. Таким обра- ’.ом, точка N является изображением на сфере бесконечно удаленной точки плоскости (г) и эта бесконечно удаленная точка единственна
Множества, области, кривые. Пусть в комплексной плоскости задано некоторое множество точек Е. Точкаг0 называется внутренней точкой этого множества Е, если г0 С Е и для некоторого е> 0 з е-окрестность ре (г0) такая, что ре (г0) с: Е.
Точка zL называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки имеются точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие Е.
Под областью D в комплексной области понимается множество точек Е такое, что а) каждая точка этого множества является внутренней; б) любые две точки этого множества можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, целиком лежащих в множестве Е.
Область D вместе с ее границей L, т. е. объединениеО (J А, будем называть замкнутой областью и обозначать через D = D + L.
Примером области может служить внутренность круга с центром в точке г0 радиуса г, т. е. r-окрестиость рг (г0), а замкнутой областью будет круг Кг (г0) = Рг (го) + Сг, где С, — окружность | г — г01 = г.
Пусть ф (/) и ф (/) — вещественные непрерывные функции переменной /, изменяющейся на участке /1 ^ ( ^/2. Тогда уравнение
г = г (/) = ф (/) + /ф (/), /j < / < /2,
дает параметрическое представление непрерывной кривой L на комплексной плоскости.
Кривая L в плоскости называется гладкой, если определяющие ее функции х = ф (/) и у = ф (/), /1 С ^ С /е- непрерывны вместе со своими производными, причем [ср' (012 + 1ф' (/)Г2 ^= 0 во всех точках этой кривой. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа Гладких кусков, называется непрерывной кусочно-гладкой.
Замкнутая кривая у, не имеющая точек самопересечения, называется замкнутым контуром или просто контуром. Область, ограниченную замкнутым контуром у, будем обозначать через О v.
Область D называется односвязной, если любой замкнутой контур у, целиком лежащий в D, ограничивает область DvcD (рис 6, с). Это требование обеспечивает отсутствие «дырок» в области D. В противном случае область называется многосвязной (рис. 6, б). Это означает, что в области D найдутся контуры уь у2, ... такие, что точки из областей DVl, Dvне входят в область D.
Заметим, что с помощью дополнительных разрезов 1Ъ /2, ... многосвязная область (как на рис. 6, б) может быть сделана односвязной (рис. 7), так как в области с разрезами любой замкнутый контур у не будет содержать внутри себя точек из областей Dvl, От2, ...
Предел последовательности. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел гп = хп + iyn, п = 1, 2, ...
Комплексное число а = а + ф, а =/= оо, называется пределом числовой п< следовательности {;„} и записывается a = limzn, если у е> > 0 a N = N (е) такое, что неравенство | гп — с | < е справедливо ДЛЯ ВСЯКОГО П >» ,V.
Комплексное число a = оо называется пределом числовой последовательности {г„} и записывается Нт гп = оо, если у 2?>»0 е N = п-*ос
= N (/?) такое, что неравенство |гп|>>7? выполняется для любого я > Д’
Существование конечного предела a = a + ф = ле'ф последовательности комплексных чисел гп = хп + iyn = гпе11$п, где фп = arg гп, Равносильно существованию как двух пределов вещественных последовательностей {х„) ь {^п},а при специальной оговорке относительно Равных значений аргументов аге г„, так и пределов последователь- носгщ ге и {q?'}
Теорема 1. Если существует конечный npedei последовательности {?„}, т. е.
lim г„ = Пт (хп + iyn) = o = a+ Ф»т
«-►оо И -►оо'
то существуют и пределы
Итхп = а и Нту„ = р.(2)
«-►ОО«-►»
Обратно; из существования пределов (2) последовательностей {х„} и {уп} следует существование предела (I) последовательности (гп = = *п + н/п}. причем
lim г„= Umxn +/limi/n.
Л—►ЭСП-*О0п->оо
Пусть g lim гп = • а = а + гр =/= оо. Тогда у е > 0 g N = N (е) такое, что |гп — а | < е для всех п > N (е); но по определению модуля комплексного числа |гп — а| = ^(х,, — а)2 + (уп— Р)2> a потому (х„ — а)2 + (у„ — Р)2 < е2 при п > N (е).
Отсюда следуют неравенства
|х„ — а|<е и |уп — Р!<е при п> N (е), а это означает, что
lim хп = а и limyn = p. л-*осИ—►«
Обратно: пусть существуют пределы (2). Это означает, что у_е > > 0 g N = N (е) такое, что | х„ — а | < е/]/2 и | уп — Р К &/К2 для всех п> N (е). Но тогда для п > N (е) имеем
I гп — а | = /(Хл-о^ + ^п —Р)2 < е,откуда и счедует выполнение соотношения (1). ►f
Теорема 2. Если существует конечный предел а = а + г'Р = re т. г Ф 0, пхХ 1едовательности г„ = xn + iyn = гпе ф", п = 1, 2, .... то lim гп = г,(3)
п-*оо
а при надлежащем выборе области главных значений аргументов {<Рп} и {<₽*} и
Итфп = ф*.
Обратно: из существования пределов (3) и (4) следует существование предела последовательности {гп} и равенство
||тгп = ге,ф*.(5)
^ Используя свойства предела последовательности вещественных чисел и применяя теорему 1, получаем
Itm rn = lim/x^+^ = V[lim xn\ +(lim</nV =1^+^ = r.
П-»'»п-^хГ \П-*СЮ / \п-нх> /
Далее, если точка а не лежит на отрицательной вещественной полуоси, то для п> п0 можем считать, что
—л < фи ^ л и —л < ф* < л,
а если а = — а, а > 0, то считаем
О С (Гп С 2л и <(* = л.
Из этих предположений следует непрерывность arg2 в указанных пределах и равенство Игл ф„ = ф*; первая часть теоремы установлена.
П-*оо
Пусть теперь существуют пределы (3) и (4). Тогда очевидно существование пределов
im rn cos ф„ = li m xn = r cos Ф* = a n~*OOn-*oo
и
lim rn sin фп = lim yn = r sin ф* = p, П-*ооn-*oo
а это в силу второй части теоремы 1 означает существование предела последовательности {?п} и равенства
Пт гп = аф = ге1»'. ► П-*со
Замечание. Утверждения теорем 1 н 2 справедливы для любого конечного предела а = а + ф. Это связано с тем обстоятельством, что имеется только одна точка г = оо и стремление к ней может быть как по любому лучу (например, хп -► оо, уп — О у П1 хп" 0 у п, ун -► — оо и т. п.), так и по множеству лучей (например, г„ -» оо, а Нт ф* не существует),
Кроме того, утверждение теоремы 2 справедливо при г Ц= 0, так как аргумент нуля не определен.
Пример. Доказать существование предела последовательности ип ■= (^ \п
1 при п -» оо и установить связь этого предела с символом е'^.
В силу теоремы 2 имеем
•’■-"--'-(И 1+-^] -(ч-^)
и
(
iy уи
I + —n arc tg - .
Л /II
Отсюда находим, чтоОтсюда находим, чтоНт Рп,— НтП-.ООи-*ооНт Рп,— НтП-.ООи-*оо1 п4/уе1 п4/уеЯ*2п =ео = 1Я*2п =ео = 1ии
Отсюда находим, что
Отсюда находим, что
Нт Рп,— Нт
П-.ООи-*оо
Нт Рп,— Нт
П-.ООи-*оо
1 п4/уе
1 п4/уе
Я*
2п =ео = 1
Я*
2п =ео = 1
и
и
Нт arg un = Пт и arctg — =у.
П-*осП-*^П
Следовательно, можно записать, что
Нт (| 4- — У al (cos^+Zsin^ae'*'.
П-*оо \ п )
Сравнивая это выражение с пределом
НтП-юоНтП-юо
Нт
П-юо
Нт
П-юо
видим, что символ е^ = cos ^ + i sin у действительно можно рассматривать в качестве определения значения показательной функции с основанием е и с чисто мнимым показателем iy.
1■ е, tg// = -i-1■ е, tg// = -i--е-'»-е-'»Очевидна следующая связь между тригонометрическими функциями аргумента у и показательной функцией с чисто мнимым аргументом;
1■ е
, tg// = -i-
1■ е
, tg// = -i-
-е-'»
-е-'»
е^+е-'".е^-е-'6-
COS U = -^, Sin у = -
2Л
Как и для вещественных чисел, для комплексных последовательностей имеет место критерий Коши.
Теорема 3. Для того чтобы последовательность {гп} комплексных чисел была сходящейся, неЬбходимо и достаточно, чтобы у е > > 0 д N = N (е) такое, что у n~> ^ и всех р = 1, 2, ... выполнялось неравенство |гп+,, — гп| < е.
^Необходимость. Пусть Вт г„ = а = а + ф. Тогда по- следователыюсти {хп} и {уп} сходятся и для них имеет место критерии Коши, а потому
I гп + Р-гп | = Их^ — хпР +(Ул+р-Уп)3 < 8 Дл всех n>N (е) и всех р = 1,2,....
Достаточность. Пусть |гп+р — гп I < е для у п > Л (е) и всех р = 1,2,... Это означает, что
/(Xn+p-xJ2 -(Z/m+p—t/n)‘<e V n>/V (е), р = 1.2,„.
Отсюда следует, что |хп+р — х„| < г и |^„ „ — уп | < е при л> > N (е) для всех р = 1, 2, .. Поэтсзп в силу критерия Коши для последовательностей f- дественных 1 исет последовательности {х„} и {//„} имеют пределы. По теорем^ 1 эг-ключасм отсюда, что 11 m in существует. ►
Из теорем 1 и 2 видно, чтд все действия с пределами последовательностей комплексных чисел аналогичны действиям с последовательностями вещественных чисел, поэтому на их доказательстве мы не будем оста на вл и ва ться,
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение функции. Геометрический смысл. Понятие функции комплексной переменной вводится по аналогии с понятием функции вещественной переменной.
Величина w называется функцией комплесной переменной г в области D, если задан закон, согласно которому каждому значению г, взятому из области D, ставится в соответствие одно или несколько значенийw.
Это соответствие обозначается, как и для функций вещественной переменной, в виде w = f (г). Переменную г называют независимой переменной или аргументом, a w — зависимой переменной или функцией. Так как при каждом значении г £ D w есть комплексное число, то можно записать, что
w = f (г) = и + iv = и (х, у) + iv (х, у), (1)
где и (х, у) = Ref (г), и (х, у) = Imf (г).
Если каждому значению г 6 D соответствует только одно значение to, то функцию to = f (г) называют однозначной, а если несколько значений — то многозначной.
Совокупность значений f (г), соответствующих всем значениям г ED, называется областью значений функции f (г') и обозначается через G. Геометрически заданную на D функцию f (г) можно рассматривать как отображение области D плоскости (г) в некоторую (однозначную или многозначную) область G плоскости (ш) (рис. 8). Обратное отображение G -* D определяет обратную функцию г = g (и).
Если функция^ = /(г) отображает область D плоскости (г) на область Сг плоскости (^), а функция w = ф (^) отображает область Gx на область G плоскости (до), то сложная функция
W = Г (2) = ф I/ (2)1,
осуществи яющая отображение D на О, называется суперпозицией отображений [ и ф.
Рассмотрим некоторые примеры отображений.
Примеры. Iй. Исследовать отображение осуществляемо#» линейно функцией су = аг + Ь.
Это отображение можно рассматривать как суперпозицию грех простейших отображений Действительно, положим
^•,=1012, t. = e/arg ?уь а‘ = ^9-Ь^.
Тогда вз геометрического смысла произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отг^р жен не * ] есть шобрая* *ние растяжения (сжатия при 0 < I а | < U отображен ie w2 пред т зляет собой поворот всей плоскости су, относительно начала на угол q> = arg и и, наконец, отображение ю есть параллельный перенос плоскости су2 на вектор Ь.
Заметим что точка 2 в О отображается в точку н ™ b гочка г ■ оо — в тчку су = оо. Это означает что точка 21 ■= оо переходит в себя. Другой неподвижной точкой является точка г2, определяемая из условия г2 ■ ог., + ^ т. е. при а Ф 1 точка г2 = Ы (1 - а). Если же а в I, то имеем гх — г2 = л
2°. Исследовать отображение, осуществляемое функцией су * / (г) ° А
Данная функция является однозначной функцией комплексной перемычной. Для изучения свойств отображения, осуществляемого этой функцией ч i- пишем в показательной форме г » ге1ф; тогда имеем а — г’е|2ф. Отсюда види-, ню точки, лежащие на луче arg г = ф0, перейдут в $ >чки расположенные на луче arg су = 2qc. а гочки. лежащие на окружности | г | = г0, — в точки окр\ ж- н юти |су|= /■§ Таким образом, точкам г и —г, аргументы которых отличаю! я на л, а мо улн одинаковы соответствует одно н то же значение су. Эго означа ег, что обратная функция г=» "V^будет многозначной Если рассмотрим точки л, лежащие в верхней полуплоскости, т. е. точки, для которых arg г £ (0, л) то я нх образов в плс эти (су) будем иметь arg су £ (0, 2л). Это означает, • о каждой точке г, ^жащей в верхней полуплоскости, будет соответствовать <дннствепная точка а, а верхняя полуплоскость (г) отображается в полную птоскость (су) с разрезом по вещественной полуоси соответствующей лучам arg г = 0 и arg г == л. Ус юсимся при этом, что лучу arg г ■ 0 соответству ет верхний «берег» разр за -• лучу с arg г в л — иижний берег разреза
Аналогично убе :дас 1ся в том, что точки нижней полуплоскости (?) (*rg г £ (л 2л) ) приобр дуются снова в полную плоскость (tyj с разрезом иг существенной полуоси, пр м лучу arg г ™ л будет соответствовать верхний - ерег разреза, а лучу arg г = 2л — нижний берег разреза.
^ Расс отрим теперь два листа плоскостей (су), одни из которых соответствует точкам 2 в верхней полуплоскости, а второй — точкам г в нижней полуплоскости. Произведем склейку этих листов плоскостей (гу) по размерам следующим образом: нижний берег разреза первого листа склеим с верхним берегом разреза второго листа, а нижний берег разреза второго листа через бесконечность ск„ * им с верхним берегом разреза первого листа (рис. 9). Получим так называемую двулистную риманову поверхность соответствующую значениям функции су'= = 2®. Так, точкам су, лежащем на I листе, соответствуют точки г. лежащие в верхней полуплоскости, а точкам су, лежащим на И листе — тэчки ’ в нижней гчлуплоскостн Рассматриваемая на это*" лвучи тной римановоп поверхности обратная функция г «= Vw становится >жь однозначной.
Заметим, что если в плоскости (?) мы рассмотрим окружность |?| ■■ г, то соответствующая ей кривая на римановой поверхности будет состоять из двух разрезанных окружностей на I и 11 листах н склеенных по правилу склеивания отих листов (рис. 10), т. е. при переходе точкой г отрицательной вещественной полуоси окружность переходит с I листа на II я при переходе точкой г вещественной положительной полуоси — со 11 листа иа I (через бесконечность).
Рис. 10Рис. 10Рис. 9Рис. 9
Рис. 10
Рис. 10
Рис. 9
Рис. 9
Таким образом, функция w = V2 двузначна во всех точках плоскости кроме точек г* 0 н ?™ оз, в которых она однозначна; такие точки принято называть точками ветвления многозначной функции
Дадим еще следующее определение, необходимое при дальнейшем изложении.
Функция / (г) называется однолистной в области О, если любым различным значениям гх Ф г^ взятым из области D, соответствуют различные значения функции / (г^ ^ f (г2У
Предел и непрерывность функции. Как и для функции вещест- генной переменной, введем понятия предела и непрерывности функции комплексной переменной.
Число Л =/= оо называется пределом функции / (?) при г -> г0 и обозначается А = lim / (2), если у е>0д6 = 6(е)>0 такое,
Z-»20
что для всех г Ф 20, удовлетворяющих неравенству
(2)(2)(3)(3)|г — г0|< 6,
(2)
(2)
(3)
(3)
выполняется неравенство
\f (г) — А I < е.
Число А = оо называется пределом функции f (г) при г-> г0 и of означается lim / (г) = оо если у R > 0 g б = 6 (R) >• 0 такое, -*2
41 j для всех г Ф г0 и удовлетворяющих неравенству |г — г01 < * bi полняетея неравенство |/ (г) | > R
Аналогично форм) шруются и определения пределов lim / (г) = Л ^ ^jn
и lim I у) = оо.
Z-*oo
Заметим, что существование предела функции f (г) при г -* z0 по любому направлению еще не гарантирует существования общего предела. Например, для функции
'' 2i \ 7 г /
при г -+ 0 по любому лучу ге<ф (г -► 0) существуют пределы
1 / ге,ф re-*4 \
эти пределы заполняют сплошь отрезок (—1, 1], следовательно, общего предела для всех направлений ие существует, а потому при г -» 0 не существует и предел функции / (г)
П 1 f zz
Urn — — — — .
М 2' \ Zz )
Функция f (г) называется непрерывной в точке г0, если она определена в этой точке и lim f (г) = / (ze). Другими словами, если справед- г->1* либо соотношение
lim Af(z0) = lim (f(z0 4-Аг) — f(zo)] = O, Дг->0Дг-»0
где Аг — приращение аргумента, то функция f (г) непрерывна в точке г0.
Функция / (г), непрерывная в каждой точке области О, называется непрерывной в этой области.
В терминах е и 6 это определение можно записать следующим образом. Функция f (г) называется непрерывной в области О, если у е > 0 и любой точки z0 6 D g 6 = 6 (в, гс) > 0 такое, что I/ (г0 4- Аг) — / (г0)| < е, если только | Аг| < 6.
Отметим, что как правила действий с пределами функций в вещественном анализе, так и правила действий с непрерывными функциями вещественной переменной сохраняются для пределов функций и для действий с непрерывными функциями комплексной переменной. Приведем только определение равномерной непрерывности и используемую в дальнейшем теорему Кантора.
Функция / (г) называется равномерно непрерывной в области D, если уе>0дб = 6(е)>0 такое, что для любых двух точек гх и г2 из области D, удовлетворяющих условию I?! — zt| < 6, выполняется неравенство | f (z^ — $ (г2) | < е.
Теорема Кантора. Если функция [ (г) непрерывна в замкнутой области D, то она равномерно непрерывна.
Элементарные функции. Под элементарными функциями комплексной переменной понимаются обычно следующие функции;
I (2) = аг 4- b — линейная,
f (z) = zn (/i — целое) — степенная,
f (z) = аг^ь—дробио-линейная,
сг -J-d
/(z) = „"o^+aiz'1 *+••l+".Oобщая рациональная,
'b^^bx^A-... А-Ьт
f^j = -L(Z +—\ —функция Жуковского,
V * ]
а также показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические функции, к определению которых мы и перейдем.
Показательную функцию е1 = ех+,у определим с помощью равенства
е1 = ехе‘« — е* (cos у + i sin у\(4)
Символ е1у обладает свойствами показательной функции, поэтому очевидны следующие свойства функции е*:
ег* ez* = е'1 е^* е** е,у* = е'1 + Xi е1 ^* +0i> = ег> 4"г>,
(ez)n = (ех)п (е'Пп = е™ е,п« = е'11.
Далее, так как ёу имеет по у период 2 л, то ez, имеет чисто мнимый период 2 iu. Из определения (4) видим, что модуль показательной функции ez равен е*. а аргумент — у.
Логарифмическую функцию определим как обратную к показательной. Именно: натуральным логарифмом, обозначаемым Ln г, комплексно; о числа г = /^’назовем показатель степени w, в которую надо возвести число е, чтобы получить число г, т. е.
е" = г, го « u + iv.
Записывая это равенство в виде eu+,D = re? ^ и приравнивая модули и аргументы, найдем, что
е" = г, и = <р 4- 2 /гл, к = 0, ±1, ...» т. е.
и = In г, и? = и 4- iv = In г 4- i (ф 4- 2 Ал);
следовательно,
w = Ln г = 1пг 4- i (arg г 4- 2&л).(5)
Выражение In г = )п г 4- i arg г называется главным значением на- in сального логарифма числа г.
Из формулы (5) видим, что натуральный логарифм любого числа г Имеет бесконечное множество значений, причем логарифм нуля не су шествует.
С помощью логарифма может быть определена любая степень комплексного числа. Именно: если и и и — два комплексных числа, и т^ 0, то полагаем и” = с' Ln", пр;гчем для вещественных и > 0 Счи- тием, что Ln и = In и.
Тригонометрические и гиперболические, функциии определяются с помощью показательной функции равенствами
е'2-е-'2е'Че 11
sinz =—, cosz = ,
. е2—e*"z . . ..ez + e—2
sh z == — i sin tz, ch z = —~= cos iz.
Нетрудно проверить, что для введенных таким образом функций sin z, cos ?, sh z, ch z справедливы формулы тригонометрии и соотношения между гиперболическими функциями вещественной переменной.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Производная. Аналитичность функции. Как и для функций вещественной переменной, рассмотрим выражение
Inn BL+M-tW , Zi2 + ^Z^D.дг->0Дг
Если в точке г этот предел существует и не зависит от способа стремления Аг к нулю, то он называется производной от функции f (г) в точке г и обозначается через f (г) или Цу^, т. е.
fW- W_= нтЦ£±Мл^,dz&2—0Аг
Если в точке г у функции / (z) существует производная f (z), то функцию f (z) назовем дифференцируемой в точке z.
Функция / (z), дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную Г (z), называется аналитической в области D.
Замечания. 1. Условие непрерывности производной /'(г), входящее в определение аналитичности функции / ((г), может быть заменено более слабым условием дифференцируемости в каждой точке (х, у) области D функций и (х, у) и v (х, у), т. е. условием представимости полных приращений этих функций в виде
диси
Ди«=и (х+Дх, у + Ау) —и(х, у)=—~ Дх + “— Ду + 81 А*-На Ау, dxду
дидо
Ad = u(x+Ax, v+Ay)—о(х, у} — -^ Дх+“^- Ау + еа Ах+е4 Ду,
w elt et. еа, и ₽4 стремятся к нулю при Ах и Ду, стремящихся к нулю. Однако мы будем предполагать непрерывность /'(г), так как иначе в целом ряде доказательств потребовались бы более сложные рассуждения.
2 Заметим также, что можно было бы дать определение аналитичности функции и через сходящиеся степенные ряды, но, как мы покажем в дальнейшем, ати определения эквивалентны.
Требование аналитичности функции / (г) в области D накладывает весьма важные условия на поведение вещественной и мнимой частей этой функции в области D.
Теорема. Для того чтобы функция Цт^ * и (х, у) + № (х. у) была аналитической в области D, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и (х, у) и v (х, у), удовлетворяющих условиям Коши — Римана (С. R.)
ди^х, у) _ ^(Л^^ ди(х,у) = дЩх, у) .щ
дхду* Оудх
В случае выполнения условий (С. R.) производная f (г) может быть представлена в одной из следующих форм*.
м. . ди. ду ди. и_ ди дцду. ^ др ^х
дх дху ду дхдуду дх
^Необходимость. Пусть / (г) — аналитическая в области D функция, т. е. в каждой точке z^D существует непрерывная производная
ги-ит'^-^-ш,Az->0 Az
Так как предел не зависит от способа стремления Az к нулю, то, выбирая Az = Дх, получаем, что
/' (г) = lim JiiLd^liJ!l±21LLd^£Ljd2^^=
йх-^ОДх
_ цт j^JH^^^lilL^L^/lim-^-^,
Дл—ОДхДл-»0Дх
т. е.
f^-^lJ”(8)
дх
Анапогично, выбирая Дг = <Ду, найдем
/' W = lim ^_l±Z^22Z^1Lj_^1+L^,
Ду-^Оiky
Т. е.
Г^=-‘^^'№
Сравнивая (3) н (4), имеем дрди др дх дудудх
Непрерывность частных производных функций и (х, у) и и (х, у) есть ^е^твие непрерывности производной f (г). Представление /' (г) в одной из форм (2) следует из (3), (4) и (1).
Достаточность. Пусть частные производные -^-, ^-, -^- и -^ функций и(х, у) и v(x, у) непрерывны в области D и удовлетворяют условиям (1). Тогда полные приращения функций и (х, у) и о (х, у) представимы в виде
Ли = и (х 4- Дх, у 4- Ду) — и (х, у) = -и ^ у — Дх 4- ■ ди ■ Лгу + dxду
4-е^х.у, Дх, Ау) (5)
И
Др = о (х + Дх, у 4- Ду)—о (х, у) = -^-^-i_^L Дх 4- _^L^_yL д^ _j_ дхду
4- е2 (х, у, Дх, Ду), (6) где величины е, и еа стремятся к нулю быстрее, чем величина р = = | Аг j = К(Дх)^ 4- (Ду)2, т. е.
1jm е, (х, у, Дх, Ду) = hm еа (х,у,Дх,Ду) = а(?)
р-*оро-»ор
Используя представления (5) и (G), находим
)(г + Дг) —/(г) и (х+ Ух, у + Ду)—и (л , у) । . о(х+Дх, у+Лу)—о(х, у)_ ДгДх-рДуДх + ^Ду
и; Дх + t^ Ду+е, . с* Дх4-у» Ду + Ег Дх-рДуДх+гДу *
и принимая во внимание равенства (1), получаем соотношение
/(г+Дг) — / (г) _Дг/(г+Дг) — / (г) _Дг^Дх+и^Ду -л;Ду + орД. е, + <е2
/(г+Дг) — / (г) _Дг
/(г+Дг) — / (г) _Дг
Дх4-/ДуДх-рДу ^x-f-iДy
=у; (х,у)4-<у;(х, у)4-т^;-
Дл 4-*Ду
Учитывая далее выражения (7), имеем
lim -^±^_ =о, дг-»0 Дх-рДу
поэтому существует предел отношения ~^р^ ПРИ Аг -► 0, т. е. существует /' (г), причем
/* (г) = i im _£<£±M=Z1?L = u; (,Y| y) 4. (-y; (x, y).
t Дг-*0 Дг
Производные и, (х, у} и и, (х, у) по условию непрерывны в области D, значит непрерывна и производная f (г), а это и означает, что функция / (?) — аналитическая в области О функция ►
Часто для проверки аналитичности функции удобнее пользоваться условиями Коши — Римана (1), выраженными не через декартовы координаты, а через полярные координаты. Применяя правила дифференцирования сложной функции (и (х, у) = и (г cos ф, г sin ф), v (х, у) = v (г cos ф, г sin ф)) и используя условия (1), нетрудно получить и условия Коши—Римана в полярных координатах:
(8)(8)ди 1до до 1ди
(8)
(8)
дггдф* дггдф
^Действительно, имеем
дидидх, дидидодо
== COS фSin ф
дгдхдг дудгдудх
И
до до дхдо ду _дфдх дфду дфдо до дхдо ду _дфдх дфду дфдо . .до—г —— эшф-рг — созф; дудо . .до—г —— эшф-рг — созф; ду
до до дхдо ду _
дфдх дфду дф
до до дхдо ду _
дфдх дфду дф
до . .до
—г —— эшф-рг — созф; ду
до . .до
—г —— эшф-рг — созф; ду
таким образов,
ди 1 додгг дф
Аналогично устанавливается и второе из равенств (8). Доказательство его предоставляем читателю. ►
Нетрудно получить и выражение призводной f'^ через частные производные функций и (г, ф) и и (г, ф) по переменным г и ф. В самом д^ле, г = J гхг + У~ и ф = arctg -^-, поэтому
/'(?) =/'(?) =диЛгдиЛг। ди дфСф дх। ди дфСф дхдо дф дф дхдо дф дф дх. до ди дг дхдгдх. до ди дг дхдгдхдг дхдг дхди , . до \ Зг Т дг }ди , . до \ Зг Т дг }
/'(?) =
/'(?) =
ди
Лг
ди
Лг
। ди дф
Сф дх
। ди дф
Сф дх
до дф дф дх
до дф дф дх
. до ди дг дхдгдх
. до ди дг дхдгдх
дг дх
дг дх
ди , . до \ Зг Т дг }
ди , . до \ Зг Т дг }
Г^ = -2Г^ = -2(Ю)(Ю)
Г^ = -
2
Г^ = -
2
(Ю)
(Ю)
т е.
(9)
Аналогично можно показать, что f (?) можно представить и в следующем виде:
Примеры 1°. Доказать, что степенная функция щ = гп является ана- нтической во всей комплексной плоскости (кроме z = оо).
Действительно, нме-м го = zn = rne,n<? = rn cos nq + <fn sin «ф, причем dll и .^„ , •
—— =nrn-‘ cos пф, —— =ЛГп~> SIH Пф,drdr
диди
—— = —лгп sin лф, ——= пгпсо$пт, дфдф
е. при любом конечном г = ге,<р выполнены условия (8),
2е. Доказать, что показательная функция w = ег — аналитическая во всей плоскости.
В самом деле, из определения функции ег — е* (cos у + i sin у) находим, что и = ех cos у, о = е* sin у. Поэтому условия (C.R) выполняются во всей плоскости:
дидодидо
—— = ех cos у^~— , ~v = — е* sin у= — —— .дхдудудх
Подставив значения и'х и и', найдем, что, как и для вещественной функции е\ производная от е1 есть снова ег. т. е.
(ez)' =е'cos y-A-iex sin у = ех е,у = ег.
3°, Установить аналитичность логарифмической функции w = Ln г и доказать, что во всех конечных точках, кроме точки г = 0, выполняется соотношение (Lnz)' = 1/г.
Так как Ln г — In г + i (ф + 2*л), то выполнены условия (8):
ди 1 ди ди до
дг г ’ дф " дф дг
Подставив эти выражения в (9), находим выражение для производной ЩгУ.
4е. Показать, что функция w = z не является аналитической.
Для этой функции не выполнены условия (С. R.); действительно, ди . до . ди до
—-«!, — = -1, — = — = 0.охоуду дх
Свойства аналитических функций. Определение производной функции комплексной переменной аналогично определению производной функции вещественной переменной, поэтому все правила дифференцирования и ряд свойств аналитических функций аналогичны правилам дифференцирования и свойствам дифференцируемых функций вещественной переменной. Такими свойствами являются, например, следующие.
Свойство I. Если функции fx (z)uf2(z)— аналитические в области D, то их алгебраическая сумма fx (г) 4- ft (?) и произведение fx (z) f, (г) являются аналитическими в области D, а частное является аналитической функцией во всех точках области D, в которых ft (г) ^0
Свойство 2. Если функция w = f(z), аналитическая в области D, имеет область значений G и если в области G функция <p (w) является
аналитической, то сложная функция F (?) = <р Vf (z)l является аналитической в области D функцией.
Доказательства этих свойств очевидны, и мы их опускаем.
Однако аналитические функции обладают и рядом свойств, не характерных свойствам функций вещественной переменной. Докажем из них следующие.
Свойство 3. Если функция f (z) — аналитическая в области и и р (г) gt 0 у z£D,mo в области значений функции f (?) существует об- I атная функция г = <р (го), являющаяся аналитической, причем в каждой точке z0£D имеем
f (z0) = 1/ф' (и'о), где w0 = f (z0).
4 Если обозначить и (х, у) = и, у (х, у) = о, то относительно х и у можно рассматривать систему уравнений
и (х, у) = и, и (х, у) = у.(И)
Для разрешимости этой системы достаточно потребовать, чтобы был отличен от нуля якобиан этой системы
/ (х, у} =/ (х, у} =и, (X. у) «X (X, у)и, (X. у) «X (X, у)Uу (X. У) Vv (X, у)Uу (X. У) Vv (X, у)— и* Оу — Uy Ух-— и* Оу — Uy Ух-
/ (х, у} =
/ (х, у} =
и, (X. у) «X (X, у)
и, (X. у) «X (X, у)
Uу (X. У) Vv (X, у)
Uу (X. У) Vv (X, у)
— и* Оу — Uy Ух-
— и* Оу — Uy Ух-
Применяя условие Коши—Римана, найдем
I =UxVy —и'у и, = (Ux¥ + (у*)2 = I f' М Р» а потому в силу условия f (?) ^= 0 имеем соотношение
1 (х, у) Ф 0, у г Е D.
Это означает, что система (11) разрешима: х = х (и, о) и у = у (и, у). Таким образом, существует обратная функция
z = х + iy = х (и, о) + iy (и, у) = <р (wV
Далее, при Л? -* 0 имеем Ди» ->- 0, поэтому при Ди» -* 0 имеет предел выражение -^ = -^^-, и при /' (г0) =# 0 получаем <₽' (и>0) = = 1
Свойство 4. Заданием вещественной или мнимой части аналитическая в области D функция определяется с точностью до произвольной постоянной.
◄ Пусть известно, что и (х, у) есть вещественная часть аналитической в области D функции / (г). Тогда из условий Коши—Римана имеем do = v^dx + v’ydy = — Uydx + u'xdy,
а это означает, что
U. «1v(x,y)= J — Uy dx-^-Uxdy,(*.. к.)
где (x0, y0) — произвольная точка в области D. ►
Свойство 5. Если функция f (г) = и (х, у) + го (х, у) — аналитическая в области D, то функции и (х,у) и о(х, у) — гармонические е этой области.
◄ В самом деле, имеем
* о= и , д1 и д ( ди \ , д / ди X д / ди \ , ixu —=1I II 114-
дх1 ду* дх \ дх ) ду \ ду ) дх \ ду )
। д /до \ д’одРи q
ду \дх )дхдудудх
т. е. Ан = -^ + -^— = 0, а это и есть определение гармоничности функции и (х, у) в области D.
Аналогично получаем, что
ду==_^_ + _^ = 0. ►дх* ду*
Геометрический смысл аргумента производной. Пусть в области D плоскости (г) задана аналитическая функция, принимающая значения в области G плоскости (ш). В области D возьмем точку z0, ь которой f (z0) ^ 0, и образ этой точки обозначим через к.'о, т. е. к'о = / (го)- Пусть 1Х — произвольная кривая в плоскости (z), проходя-
Р с. 11Р с. 11
Р с. 11
Р с. 11
щая через точку z0, a Lx — ее образ в плоскости (и>), проходящий через точку ю0 (рис. 11). Обозначим через фп угол, составленный касательной к 1Х в точке z0 с осью Ох, а через Oj — угол, составленный касательной к ^ в точке w.. с осью Ои. Полагая
Р (г0) = йе'°, т. е. ke‘ ‘ = h m
Аг -. О Аг
можем ап..^ать, что
а= arg hm-^-= lim arg —л-= Um arg Аю— lim arg/z. (12) дг-.о Аг Дг.О Аг д. ,vaz-.o
Пусть точка z0 + Az лежит на /v Тогда точка и>0 4- Aw лежит на ц. Это означает, что argAz и argAiw являются углами секущих Az и kw с осями Ох и Ои соответственно; поэтому ясно, что
lim arg Az = ф2 и lim arg Агу = Ф1.
Д1 *0Дг-»0
Подставив эти значения в (12), получим а = arg f (z0) = Ф, - ф„(13)
т. е. аргумент производной геометрически представляет собой разность между углами, образованными касательными к кривым Lx и 1г в точках wouz6c осями соответственно Ои и Ох.
Угол а не зависит от выбора кривой lv а зависит только от точки z0, поэтому, выбирая другую кривую /2, проходящую через точку г0, и обозначая ее образ в плоскости (су) через L^, для разности углов, образованных касательными к ним в тех же точках г0 и к'о, аналогично равенству (13) можем записать
а = Ф2 — ф2(14)
(на рис. 11 кривые /а и £2 не проведены, чтобы не загромождать чертеж). Сравнивая равенства (13) и (14), найдем, что Ф1 — ф2 = Ф2— ф2, или
Ф1 — $t = Ф1 — <Га-(15)
Но 1Х п /2 — произвольные кривые, проходящие через точку z0, поэтому равенство (15) показывает, что утлы между прообразами кривых, проходящих через точку z0, совпадают с углами между образами этих кривых, проходящих через точку w0 плоскости (ty). При этом сохраняется не только величина угла, но и направление обхода.
Таким образом, преобразование, осуществляемое с помощью аналитической функции ю,= f (z), имеющей в точке z0 производную f* (z0) ^=0, обладает свойством сохранения, или консерватизма, углов. При ■-том сохраняется не только величина угла, но и направление обхода.
Геометрический смысл модуля производной. Пусть снова /' (?о) = £е'а, k = If (z0)| ^ 0. Тогда из равенства
A = |f(z0)l = lim
Дг-» 0 Д?
д®Агд®Агили | Аю | = £ | Az |;или | Аю | = £ | Az |;-мключаем, что с точностью до величин более высокого порядка ма- эсти, чем | Аг |, можно записать
д®
Аг
д®
Аг
или | Аю | = £ | Az |;
или | Аю | = £ | Az |;
это соотношение также не зависит от выбора кривой I, проходящей ^рез точку г0. Это означает, что осуществляемое с помощью функции I (г) отображение бесконечно малые круги преобразует подобным образом, т. е. обладает свойством постоянства растяжения.
Таким образом, отображение окрестности точки г0 на окрестность точки ^.осуществляемоеаналитической функцией w=f (z)с/' (z0)^=0,o6 ia- лает в точке ze свойством сохранения углов и постоянством растяжений. 1акое отображение называется конформным отображением в точке г6.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
I. Определения. Основные свойства. В конце гл. I было отмечено, что осуществляемое аналитической функцией f (z) с f (z0) =# 0 отображение окрестности точки z0 на окрестность точки ty0 обладает в этой точке г0 свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений и называется конформным отображением в точке z0. Дадим определение конформного отображения области на область.
Взаимно-однозначное отображение области D комплексной плоскости (z) на область G плоскости (и?) называется конформным в области D, если во всех точках z^D оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.
Из геометрического смысла аргумента и модуля производной ясно, что если функция w = f (z) однолистна в области D « аналитическая в этой области, причем f (z) =^ 0, у z Е D, то / (г) конформно отображает область D на некоторую область G плоскости (iy).
Встает вопрос о выяснении свойств функций, осуществляющих конформные отображения областей. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
,. Теорема I. Если отображение области D на область G, осуществляемое функцией f (г), конформно, то f (г) является однолистной и аналитической в области D функцией, причем f (г) 5^= 0 у г С D.
4 Однолистность функции f (z) в области D следует из взаимной однозначности отображения области D на область G. Следовательно, необходимо установить аналитичность функции f (г) в области D, т. е. существование непрерывной в области D производной f (2). и соотношение f (2) ^= 0 у £ О. Заметим при этом, что методы доказательства непрерывности f' (г) выходят за рамки настоящего курса, а потому ограничимся доказательством существования f (г) в области D. Так как отображение f (2) конформно в D, то в любой точке z0£D выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Это означает, что для любых двух точек zx = z0 + A?i и г, = г0 +
. Дг2 из окрестности точки г0 и их образов ^ = ty0 + &wx и wt
-. w0 A- Aw2 (рис. 12) выполнены соотношения
(1)(1)arg Дгу2 — егё ku\ = arg Дг2 — arg &zx
(1)
(1)
и с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем max {| А?11. | Aza I}. имеют место равенства
(2)(2)I ^_l= ^l|=^o.
(2)
(2)
I Дга I Д*1 J
Если обозначить arg -т-2- через а, то из (1) следует, что и arg -г?-^ • а, и из (2) вытекают соотношения (с точностью до бесконечно малых)
Д№ _ _^l = ^е/а;
Дга Дг,
1есь точки гх и гг произвольны, поэтому
li m — = ke*a, т. е. с> шествует Г (z0) =£ 0.
Дг-I Дг
Но г0 — произвольная точка области D, т. е. для любых г Е D существует I* (г), причем f (г) ^ 0. ^
По определению, конформное отображение сохраняет как углы между кривыми, так и направление отсчета этих углов. Если же рассмотреть отображение w = г, являющееся зеркальным отображением
относительно осп абсцисс, то оно сохраняет величину угла, а направление отсчета меняется на противоположное. Оказывается, что таким свойством обладает любое отображение, являющееся сопряженным к аналитическому. Отображение ТЙ. где f (г) — аналитическая в области D функция, называется конформным отображением второго рода.
Приведем без доказательства теорему, характеризующую некоторые свойства конформных отображений. Часть ее доказательства будет приведена позднее (в качестве примера на применение теоремы о логарифмическом вычете).
Теорема 2 (принцип соответствия границ). Пусть в конечной области D, ограниченной контуром у, задана однозначная аналитическая
33 Н. Конформные отображ., осуществляемые элементарн. функциями
функция f (z), непрерывная в замкнутой области D ■= D + V и осуществляются взаимно-однозначное отображение контура у на контур Г в плоскости (iw). Тогда если при данном отображении контуров сохраняется направление обхода, то f (2) осуществляет конформное отображение области D на область 6, ограниченную контуром у. t
Существование заданных конформных отображений. Вопрос о существовании конформного отображения односвязной области D иа заданную одпосвяз- ную область G можно свести к существованию суперпозиции двух отображений: отображению D на круг и отображению круга на область G. Однако второе отображение будет известно в силу свойства 3 аналитических функций (см. §4, гл. I), если известно отображение области G иЪ круг. Таким образом, задача о существовании конформного отображения области D на заданную область G сводится к задаче существования конформного отображения заданной области D на единичный круг |ш! < 1. Положительное же решение этой задачи вытекает из следующей теоремы.
Теорема Римана. Всякою односвязную область D комплексной плоскости (г), грант 1 которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга |аЦ< 1 плоскости (wb причем отображение будет единственным при выполнении условий f (г0) =* О и urgf* (г0) = а, где ^ £ D и а — вещественное число.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса*,
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНОЙ
И ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЯМИ
Линейная функция w = az + b. Заметим, что о/ = а Ф 0 и z = = ^Ma^w — b/a. Это означает, что отображение, осуществляемое линейной функцией, взаимно-однозначно, а потому конформно во всей плоскости. Свойства отображения, осуществляемого линейной функцией при различных значениях параметров а и b рассмотрены выше (см. пример 1 § 3 гл, I).
Функция w = \fz. Инверсия. Если положим z = ге^, a w = = р е'Ф, то можем записать, что
w — ре'Ф = —е-’ф, т. е. р=1/г и ф = — ф.
Т
Из этих соотношений ясно, что преобразование w = 1/z можно рассматривать как суперпозицию двух конформных второго рода преобразований
С»!^ 1/5 И W=Ule (1)
Обратимся сначала к первому из этих преобразований. Рассмотрим бэлее общее преобразование и\ — R^lz, которое называют инверсией относительно окружности Ср радиуса R. Исследуем прежде всего
•Ознакомиться с этим доказательством можно по учебникам по теории аналитических функций длч университетов (см , например: Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М. — Л., 1&о0. гл. V, §2).
геометрический смысл инверсии. Пусть точка z = ц лежит внутри круга радиуса R, т. е. |п |<₽ (рис. 13). Через точку i] проведем дуч ON и на нем отложим точку К так, чтобы выполнялось равенство
|ОП| ЮЖ = R4
Для этого из точки *) восставим перпендикуляр до пересечения с окружностью Ср в точке М (или M'Y В точке М проведем теперь касательную к окружности Ср. Касательная пересечет луч ON в точке К.
ОК _ ом о.и Оч ’ОК _ ом о.и Оч ’т. е. OK-Or\ = R4т. е. OK-Or\ = R4Действительно, из подобия треугольников ОтуЛ! и ОМ К имеем
ОК _ ом о.и Оч ’
ОК _ ом о.и Оч ’
т. е. OK-Or\ = R4
т. е. OK-Or\ = R4
Точки ч и К, удовлетворяющие соотношению (2) и лежащие на одном луче, называются симметричными относительно окружности Ср.
Из равенства а^ =■-=- = — ® заклю- 2 Г
чаем, что гочка а\ лежит на том же луче, что и точка ?, а так как | wt | | z I = 1, то отображение ю, есть инверсия относительно единичной окружности.
Второе отображение и? = tt\ есть обычное комплексное сопряжение, т. е. зеркальное отображение относительно вещественной оси плоскости (tyj. Будем считать, его также инверсией относительно пря- юй, т. е. окружности бесконечного радиуса.
Таким образом, функция к = 1/? отображает каждую точку, лежащую в круге |г| < 1, в точку, комплексно сопряженную к симметричной с ней точке огиосительнс единичной окружности. Внешние к единичному кругу точки 2 также отображаются в комплексно сопря- енные к симметричным к ним точкам, лежащим внутри единичного круга.
Обратная функция z = 1/w совпадает с исходной; кроме того, i' = — 1/г2 Ф 0 у г, поэтому функция ш = 1/г конформна по всей плоскости, кроме точки г = 0 Отображение w = 1/г имеет неподвижные точки, определяемые из условия Zj = 1/гь т. е. точки z12 = ± 1.
Теорема 1. Преобразование ю = 1/г отображает окружность в плоскости (г) в окружность в плоскости (гу).
< Пусть
А (х2 + у2) + 2Вх + 2Су + D = 0(3)
— уравнение окружности в плоскости (г), причем считаем, что прямая (случай Л = 0) есть окружность, проходящая через бесконечно удаленную точку. Так как
^А-^-ы, х = ^-»9i"^*
то уравнение (3) запишется в форме
Azz + B(z + z)— iC(z—z) -V-D = 0 или Azz + Bt z + Btz+D = 0, где Bt = В + iC. Если произведем преобразование w = 1/z, т. e. положим z = \!w, то пойдем к уравнению
Л-1- + В!— +Bi -1 + ^ = 0,tyzytoto
или
Dww 4- BiW 4- Bx tc + A = 0,(4)
а это есть уравнение окружности в плоскости (ty). ►
Замечанн е. Сравнивая уравнения (3) и (4), видим, что прямая (Л =• 0) преобразуется в окружность, проходящую через начало координат и обратно: окружность, проходящая через начало координат (D — 0), отображается в прямую.
Отображение w = 1/z назовем простейшим дробно-линейным отображением.
Дробно-линейная функция. При исследовании общей дробно- линейной функции w = (аг + bV(cz + d) можем считать, что:
с Ф 0 (иначе имели бы линейную функцию),
ad — be Ф 0 (в случае ad — be отображение сводится к постоян- „а bсаг -da _
нои, так как если — = — = а, то zy = cz,d = а = const).
Обратная функция г = (Ь — dwV(cw — а) также дробно-линейна, поэтому, учитывая соотношение
ad — be , р(cz+dV ’ad — be , р(cz+dV ’, а (cz-4-d)—с(аг-|-Ь)
ad — be , р
(cz+dV ’
ad — be , р
(cz+dV ’
ГУ =
icz+d)1
заключаем о конформности отображения, осуществляемого дробнолинейной функцией во всех точках, кроме z = — die.
Условимся под углом между кривыми в точке z = сю понимать угол в точке z* = 0 между образами этих кривых попученными отображением z* = 1/z. Выполняя эту подстановку найдем, что
w = (а + bz*Wc + dz*^
В точке z* = 0 эта функция аналитическая и ее производная во всех точках г*, кроме г* = — cfd, отлична от нуля»
, bc—ad ,гу ' Ф 0.
(с + dz* i1
Таким образом, отображение, осуществляемое дробно-линейной функцией, является конформным и в точке z = оо.
Заметим, что дробно-линейная функция зависит от трех параметров: а'= а!с, V = Ь.с и d'= die, поэтому она вполне определяется
заданием отображения трех точек: zx -* щь z2 -> ща и г3 -> щ3. Действительно, это отображение можно задать в форме
w—ox to,—to, г —Zi г3—г, к>—wj to3 —totг — zt z3—zl
Иногда удобна запись дробно-линейной функции в виде
w = g^-^-,(5)
г— ?!
где g = а'с, z0 = — b'a, zx — — d/c, а=^0.
Георема 2. Дробно-линейное преобразование отображает окружности в плоскости (г) в окружности плоскости (щ) N Представим отображение w в виде
w = az+b = <а'с> (« + </)—^/6)4-6 _ а * be — ad
сг-Мсг-t-dс c\cz—d\ ’
и положим юх = cz -V d, w4 = 1 су, и w = (а/с) + ^Ьс — а4^с^хуг.
Отсюда заключаем, что дробно-линейное отображение являете суперпозицией трех отображении: линейного, простейшего дробно линейного и линейного. Но каждое из этих отображений окружность преобразует в окружность. ^
Лемма. Пусть М и N — точки, симметричные относительно ок
ААККNNРис 14Рис 14ружности С радиуса R (рис. 14). Тогда любая окружность К. прохо дящая через точки И и N, ортогональна окружности С. Обратно; если любая окружность К, проходящая через точки М и N, ортогональна
А
А
К
К
N
N
Рис 14
Рис 14
к окружности С, то М и N — точки, симметричны0 относительно окружности С.
Ч Пусть точки М и N симметричны относительно окружности С (Л A1J_A4<V и AN — касательная к С) и пусть Р—точка пересечения окружностей Си К (рис. 14). Из симметричности следует, что ОМ-ON = R2 = (ОРУ, т. е. произведение секущей на ее внешнюю часть равно
квадрату касательной. Следовательно. ОР — касательная к К и ОР — радиус окружности С, перпендикулярны* касательной к С в точке Р, т. е. К ортогональна к С.
Обратно: пусть любая окружность, проходящая через точки Л* и N, ортогональна к С. Тогда, в частности, и луч MN ортогонален к С т. е. он проходит через центр О окружности С. Если К — любая ок р жность, проходящая через точки М и N, то из ортогональности К и С следует, что касательная к К в точке пересечения Р проходит через центр О. Поэтому имеем равенство (ОРУ = ОМ-ON, а это и означает, что Д1 и N — симметричные относительно С точки. ►
Теорема 3. При дробно-линейном отображении точки, симметрчч- нье относительно окружности С, преобразуются в точки, симметричные отн кительно окружности Г, являющейся образом С.
2 «к и»#
4 Пусть точки /VI и N, симметричные относительно окружности С, отображаются дробно-линейным преобразованием в точки ЛГ и N*. Тогда и пучок окружностей, проходящих через точки М и N и ортогональных к окружности С, преобразуется в пучок окружностей, проходящих через ЛГ и /V'. В силу конформности отображения окружности этого пучка ортогональны к окружности Г являющейся образом С. По обратному утверждению предыдущей леммы заключаем, что точки М' и N* симметричны относительно окружности Г. ►
Теорема 3 находит большое применение в отыскании конкретных отображений областей. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1°. Найти отображение круга [г| < I в себя такое, чтобы точка г = а отображалась в центр круга су ■= 0.
Воспользуемся представлением дробно-линейной функции в виде (5). Тогда из соотношения г = а —» су ■= 0 следует, что г0 = а. "Точкой, симметричной с точкой а является точка 1/а. а точкой, симметричной с точкой су ™ 0, — точка су = оо. Применяя теорему 2, находим, что г, = I а. и формула (5) принимает вид
г—а _ - г—а
Замечая, что точки окружности fz|= 1 преобразуются в точки окружности I te | = I, для г = е,ф имеем
В точках единичной окружности г™ е,ф справедливо равенство
1 ^"^2 =(е'ф-а)(е~'ф-а)= 1 -Ц а |2-/' а-е~'ф а )
е/фа- 1= (е‘»о- 1)(е-‘фа-|) ~ | а Р+1-е"” а —е~ ,ф а
поэтому | ga I = I, т. е. ga = е/0, и искомое отображение запишется в форме
w = etow = etoг—аг—ага— 1га— 1(6)(6)
w = eto
w = eto
г—а
г—а
га— 1
га— 1
(6)
(6)
гу величина 0 определяется дополнительным заданием величины arg w' (а).
П р и м е р 2°. Найти отображение верхней полуплоскости 1ш г > 0 в круг I • | < I такое, чтобы точка г = а отображалась в центр круга су —• 0.
Снова воспользуемся представлением дробно-линейной функции в виде (5). Точка ?! = а является симметричной с точкой г = а относительно вещественной оси, поэтому имеем соответствие г *= а -» су = 0. гх = а -* w— оо Пре- разование (5) запишется тогда следующим образом: су = g ( (г — а)/ (г — а)). Так как точки вещественной оси (г = х) преобразуются в окружность | су | = 1, то
1=|Д11=|Д1х— ах —ах— ах —а
1=|Д1
1=|Д1
х— а
х —а
х— а
х —а
По „ля ,|юоых вещественных г™ х справедливо соотношение х—а 2(х—а)(х— а)(
х—а(х—а)(х—а)
Сл*^ штельно, (81= 1, т. е. g = е/е, и искомое преобразование принимает вид г — а ’
где 0 может быть определено дополнительным заданием величины arg w' (а).
§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ И ФУНКЦИЕЙ ЖУКОВСКОГО
Степенная функция w = 2п, п > 2. Мы уже исследовали отображение, осуществляемое функцией щ = г2 (см. пример 2 § 3 гл. I). Исследование отображения w = гп при любом и ^ 2 проведем аналогично. Заметим только, что w* — тп-х обращается в ноль в точке z = 0, т. е. в этой точке конформность нарушается.
Из представления ш = гп = гпе?"^ видим, что угол К : {0 < г < оо, О ". ф < 2 л/н} с вершиной в точке z = 0 и величиной 2л/п конформно отображается на полную плоскость ту. Если же рассматривать угол ср в пределах 0 ^ <р ^ 2 л/и, то точкам вещественной полуоси [0, оо) плоское!и (щ) соответстуют в плоскости (г) как точки вещественной полуоси, так и точки луча 10, оо • енгяп)} Поэтому в плоскости (zy) пров* тем разрез ио вещественной полуоси и будем считать, что верхний берег разреза соответствует лучу [0, оо) плоскости (г), а нижний берег разреза—лучу [0, оо • е'" t2”"^)- Вся плоскость (?) отображается на пт ос кость (.у) n-кратно. Получаем и-лнетную риманову поверхность, склеенную из п листов, разрезанных по положительной полуоси. Аналогично римановой! поверхности для функции ту = г2, склеивание проводится следующим образом: нижний берег разреза 1-го листа склеивается с верхним берегом разреза 2-го листа; нижний берег разреза 2-го листа склеивается с верхним берегом разреза 3-го листа и т. д. Наконец, нижний берег разреза п-го листа склеивается через бесконечность с верхним берегом разреза 1-го листа. Таким образом, функция w = гп отображает всю плоскость (г) взаимно-однозначно на n-листную риманову поверхность и рассматриваемая на этой поверхности обратная функция г = v w будет однозначной. При этом точки и’ = 0 и су = оо являются точками ветвления.
Функция гу = г" имеет п неподвижных точек, определяемых из уравнения zv = г", из которого находим z0 = 0 и zv =n VT для v = 1, 2п — 1
Примеры. 1°. Найти отображение двуугольника, т. е. фигуры, заключений между двумя пересекающимися в гочках ?i и z2 под углом о окружностями С, и Сг (рис. 15) на единичный круг (а — угол между касательной к в точке г1 и отрезком г,г,).,
3.метим, что функция wt = —(г — г^/ (г — г^ переводит точку г = = (г1 + г2)/2 в точку w, (г*) = -^ ^ 2" = I- Следовательно, отре
зок. соединяющий точки гк и г4, преобразуется отображением uij в положитель- 2*
О*Рис. 15О*Рис. 15
О*
Рис. 15
О*
Рис. 15
ную вещественную полуось. Углы- межлу лучами в точке г, при конформном отображении сохраняются. Поэтому функция to, (?) преобразует заданный двуугольник в угол arg to, с (—а, 6 — а) (рис. 16). После этого заданное отображение to = w (г) получим как суперпозицию отображений to,2=e‘ato1. to, = •= to"/e и, наконец,
ш=е'е((щ3—г.-'0|)/(ш3 —to^0»)).ш=е'е((щ3—г.-'0|)/(ш3 —to^0»)).Рис 17Рис 17Полученные при этих отображениях области имеют вид, указанный на рис. 17. П"т этом величина ь.^1 может быть определена из т< го ус.1оьня, что точка г — г0 переходит в точку to = 0. т. е. to^0» определяется равенствомПолученные при этих отображениях области имеют вид, указанный на рис. 17. П"т этом величина ь.^1 может быть определена из т< го ус.1оьня, что точка г — г0 переходит в точку to = 0. т. е. to^0» определяется равенствомPul 18Pul 18-( — е'а(г0—г1)/(2»-( — е'а(г0—г1)/(2»2°. Найти отображение сеатора, изображенного ня рмо. 18. на единичный круг.3 данное отображение ису.цествляетоя о помощью следующей супер.изиции отобгажений|2°. Найти отображение сеатора, изображенного ня рмо. 18. на единичный круг.3 данное отображение ису.цествляетоя о помощью следующей супер.изиции отобгажений|их=г^а, и.их=г^а, и.цу -—— , tog = to?, u.,— R^'aцу -—— , tog = to?, u.,— R^'aта »,—и ш = е та »,—и ш = е tog -to*,0»tog -to*,0»
ш=е'е((щ3—г.-'0|)/(ш3 —to^0»)).
ш=е'е((щ3—г.-'0|)/(ш3 —to^0»)).
Рис 17
Рис 17
Полученные при этих отображениях области имеют вид, указанный на рис. 17. П"т этом величина ь.^1 может быть определена из т< го ус.1оьня, что точка г — г0 переходит в точку to = 0. т. е. to^0» определяется равенством
Полученные при этих отображениях области имеют вид, указанный на рис. 17. П"т этом величина ь.^1 может быть определена из т< го ус.1оьня, что точка г — г0 переходит в точку to = 0. т. е. to^0» определяется равенством
Pul 18
Pul 18
-( — е'а(г0—г1)/(2»
-( — е'а(г0—г1)/(2»
2°. Найти отображение сеатора, изображенного ня рмо. 18. на единичный круг.
3 данное отображение ису.цествляетоя о помощью следующей супер.изиции отобгажений|
2°. Найти отображение сеатора, изображенного ня рмо. 18. на единичный круг.
3 данное отображение ису.цествляетоя о помощью следующей супер.изиции отобгажений|
их=г^а, и.
их=г^а, и.
цу -
—— , tog = to?, u.,— R^'a
цу -
—— , tog = to?, u.,— R^'a
та »,—и ш = е
та »,—и ш = е
tog -to*,0»
tog -to*,0»
Полученные при ятих отображениях образы исходного сектора имеют вид ука данной на рис. 19 Точка и**), определяемая из условия г0 -♦ 0, выражается рав- оста эм
^•^((^/a^pjr/a^t^/a-p"/»)^.
Функция Жуковского. Функция Жуковского W = -у (z + -у) является аналитической во всей плоскости, кроме точек z = 0 и z = = оо, причем производная w' = у (1 — у.) обращается в ноль в
Рис. 19Рис. 19
Рис. 19
Рис. 19
точках z = ± 1, т. е. в этих точках нарушается конформность отображения. Для определения области взаимной однозначности отображения заметим, что равенство
при ?! Ф ?2 возможно только в случае, когда (г, —z^ ft—) = О, ' г1г2 '
т. е. когда гггг = 1. Огсюда следует, что область однолистности функции Жуковского не содержит точек, удовлетворяющих условию ziz2 — 1. Такими областями будут, например, внутренность единичного круга |z| < 1 или его внешность |z| > 1.
Для исследования отображения, осуществляемого функцией Жуковского, полагаем z = re1*®; тогда имеем
w — u 4-ш =-L/ге'ф 4-— е-,ф^ = —fr 4- —Vos 4-
2 \')2 \ г )
. 1 /1 \ ■
4-i— гsin <р.
2 \г )
т. е.
(1)
(2)
Отсюда при г Ф 1 получаем соотношения
Это означает, что окружности |z| = г радиуса г ^ 1 отображаются в эллипсы с полуосями
а = — (г +— 1 b =— (гприг>1
2 V г /2 V г )
и с полуосями
а = — fr + — 1 b = — г1) при0<г<1,2 \ г I 2 \ г/ 1
а лучи ф = const в плоскости (г) преобразуются в гиперболы (4) плоскости (мф
Заметим, что как фокусные расстояния эллипсов (3) равны единице:
С1=Гпа-б2 = 1/4-'+- —4 '-- =*•
V 4 \ г /4 \ г 1
так и фокусные расстояния гипербол (4) также равны единице:
C2 = J (а')2+ (ft')2 = ] ^COS2 ф Н~ Sin2 ф = 1, .
т. е. соотношения (3) и (4) — уравнения семейства софокусных эллипсов и гипербол.
Если r*> 1, то при /•->! + полуось b эллипса стремится к нулю. Отсюда заключаем, что окружность |г| = 1 преобразуется в отрезок 1—1, 11, проходимый дважды, причем, как следует из знаков величин и и и, определяемых из соотношений (1) и (2), верхней полуокружности соответствует верхний берег отрезка, а нижней — нижний берег (рис 20). Лучи ф = const; 1 < г< <х>, преобразуются в ветви гипербол, ортогональных к эллипсам и софокусных с ними (отмечены сплошными линиями для 0 < ф < чт).
При 0< г < 1 окружности |z| = г преобразуются в эллипсы, обход у которых совершается уже по часовой стрелке, окружность | г | = 1 преобразуется снова в отрезок [—1,1], проходимый дважды, но верхней полуокружности соответствует уже нижний берег отрезка, а нижней — верхний берег (рис. 21). Отрезки лучей ф = const, заключенные внутри единичного круга, также отображаются в ветви гипербол (сплошные линии для 0<ф<у-]. Таким образом, как внешность единичного
круга так и внутренность его отображаются на полную плоскость to) с разрезом по отрезку [—1,1). ' '
Возьмем теперь два листа плоскости (ау), один из которых соответствует внешности круга |г|> 1, а другой — внутренности |г|<1 и склеим эти листы поразрезам вдоль отрезка 1—1,11 так, чтобы соответствующие лучу ф = const гиперболы при переходе отрезка 1—11)
переходили с одной плоскости на другую, т. е. склеиваем берега разреза крест-накрест (одно склеивание через бесконечность). Склеивание хорошо проследить по расположению гиперболы, соответствующей лучу ф = const. Именно: когда точка по лучу из бесконечности доходит до окружности единичного радиуса, соответствующая ей ветвь
гиперболы лежит на нижием листе и переходит затем на верхний лист, когда точка по лучу движется от единичной окружности к центру круга (рис. 22), Если же точка движется по лучу с углом ф + л от начала координат до единичной окружности, гипербола лежит на верхнем листе и пос-i перехода точкой, движущейся по лучу, единичной окружности гипербола переходит на нижний лист.
Обратной к функции Жуковского является функция
2 = ^ + 1^ то2—1.(5)
которая имеет две точки ветвления w = ± 1, причем на построенной выше римановой поверхности она однозначна.
"'.Каждая ветвь функции (5) отображает плоскость (ш) с разрезом по отрезку!—1,1] на внешность илина внутренность единичного круга | г| < 1:Эту ветвь можно определить, например, значением г при w — оо. Так, при отбражении на внутренность круга |z| < 1 в (5) следует <7 взять ту ветвь, которая обращается в ноль при ш = оо.
у (2,1)
Рис 23
внутренность* единичного круга[0, 4] и по отрезку, сосдиняюше-внутренность* единичного круга[0, 4] и по отрезку, сосдиняюше-Рис 24Рис 24Пример 3°. Найти отображение на | uv I < 1 плоскости (?) с р зрезами но отрезку му точки (2. 0) и (2, i) (рис. 23)
внутренность* единичного круга[0, 4] и по отрезку, сосдиняюше-
внутренность* единичного круга[0, 4] и по отрезку, сосдиняюше-
Рис 24
Рис 24
Искомое отображение может быть осуществлено с помощью суперпозиции < тображений
«, = z — 2, ш2 = Ш^, tt>s = Ц>2 — *-5. щ4 ■ «3 2,5 И W = tt'4 + Ук'< — *•
причем выбирается та ветвь этой функции, которая при щ4 = со обращается в ноль. Полученные при этих отображениях образы исходных разрезов имеют вид, показанный на рис. 24.
§ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЯМИ
I. Показательная и логарифмическая функции. В примере 2° §4 гл. 1 было по- к . юно, что функция ez — аналитическая во всей плоскости; (е1)' = е‘ причем ,#z)' =£ о во всех точках плоскости (z). Для выяснения конформности отображения осущ . твляемого этой функцией, необходимо выделить области однолистности, т. е. области, которые не содержат различных точек г, и г2 таких, что
ег* = ег», Zj^zg.(1)
Из периодичности функции ег, т. е. из равенства ег+2""'=е», п= ± 1, ±2 следует, что соотношение (1) не будет выполняться в любой горизонтальной поле -е шириной меньшей 2л, поэтому областью конформности функции w — ег явл ^тся любая горизонтальная полоса, ширина которой меньше 2л.
-ccnst-ccnstXXРиРи
-ccnst
-ccnst
X
X
Ри
Ри
Для H‘v ния отображения, осуществчяемого функцией ez, рассмотрим полос) —со < х < со, 0 < у < 2л Полагая и = ре'^ = ед е'у имеем
р = ед и ф = у. <2)
Из ран । (2) >аключяем, что прямые у = const в плоскости (г) преобразу- * тея в п и 'Кисти (ш) в лучи ф= const, 0 < р < до причем прямым у = 0 и ■ = 2л б) тут с- ответствовать верхний и нижний берега разреза (0, со) положи- »• льноь вс Цптвенной полуоси (рис. 25).
Отрезкам х = const, 0 >у < 2л будут cootbctctbi вать окружности радиу- г= р = ех, а заштрихованному прямоугольнику — заштрихованное полуколь- Ци. Пс туполоса —оо < х ^ 0, 0 < и < 2л отобразится в единичный круг с раз- У'Зом по отрезку (О, Ц а полуполоса — со < х С 0. 0 <^ у т»' л — в верхний п лукпуг.
Таким обрь_юм каждая полоса — оо < х < оо 2/гл < у -^ 2 (k Ч- 1)л, *ж0. ± ], ,,, преобразуется в полную плоскость (ш) с разрезом по положи- ' ■’ >й веществе нои полуоси. Риманова поверхность бесконечно-листна: по- **х 2<л < Im z < 2 (А + 1 )л соответствует лист с номером к, к = 0, ±1, .... • кл* ивгние по разрезам этих листов проведено так что при переходе прямой • •= !■ nst = р через прямую у = 2£л в сторону возрастания соответствующая окружность р = е' переходит с t-ro чиста на ^к + 1)-и (рис. 26). Точки ц> «= 0 ю™ " являются точками ветвления бесконечного порядка.
Рис. 26
Обратная к показательной логарифми-
ческая функция
г = Ln ш = 1п ш + 2kni, к — 0, ± 1, является однозначной на построенной римановой поверхности функции ег. Ее ное значение, функция
In w = In । w | + i arg to,
выше глав-
всей
Пример. Найти раллельной вещественной оси
Искомое отображение плп
определяет конформное отображение плоскости (щ) с разрезам вдоль положительной вещественной полуоси (0, со) на полосу О < Im г,< 2л шириной 2л, параллельную вещественной оси Ох.
отображение полосы шириной Н, 0 <. Im z <. Н, па- оси, па единичный круг |ш| < 1 плоскости (ш). получим, например, с помощью суперпозиции отобра
жений:
Ш1 , ^-е"-, to3 - V ^. ^ =е ^_^оГ-
При этих отображениях заданная полоса преобразуется ласти, показанные на рис. 27.
2. Тригонометрические функции. Функцию
е + е
to = cos г =
последовательно в
об-
можпо рассматривать как суперпозицию отображений
Рис. 27
Найдем область однозначности D функции ш = cos г. Отображение wx = = 1г однозначно во всей плоскости, поэтому область однозначности cos г оп- |н деляется областями однозначности функций ew* и ■2'(“'2 + ^")- Функция е®" однозначна в области, не содержащей точек ы>,,0> и mJ11 таких, что
л4°’—ш]1 =2л&. к=» ± 1, ±2,..., а это означает, что область однозначности D не должна содержать точек г<°> и г<*> таких, что
г(0> _ гц) = 2л», к = ±1, ±2, .,,(3)
Такой областью в плоскости (г) может быть любая полоса шириной 2л, параллель
не должне должная мнимой оси. Далее, область однозначности функции -т
не долж
не долж
на содержать точек ш*2е> и ш^1’ таких, что ш2е,ш21,= 1. Переходя к переменной г, видим, что область D ие должна содержать точек г<°) и г<*). для которых е,г<е)Х X е'г*11 =• 1. Это означает, что область D не содержит точек, удовлетворяющих соотношению
(4)(4)г(0) + г(1) = 2л*, * - о, ±1„.
(4)
(4)
Последнее условие не будет выполняться, если D не содержит точек с симметричными мнимыми частями.
Рис. 28Рис. 28
Рис. 28
Рис. 28
Таким образом, в качестве области ”^-™^
*-), не удовлетворяющих условиям (3) и (4), будет, н пр н i
О - {0 < х < 2л, 0 < у < со}-(5)
Заметим, что отображение wj “ <г переводит область D в область
Dt - {— оо < х < 0, 0 < у < 2л}.
Функция ш4 = е®1 отображает область D( на внутренность единичного кру
<1 с разрезом по отрезку (0, 11. Наконец, функция ш— о ^2+ s>2) 'сажает единичный круг |ш2| < ' на ПОЛНУЮ плоскость (ш!i с Разрезом по ,г,ку l-i.il, а отрезок [0.1] в плоскости (»,) преобразуется функцией ш • вещественную положительную полуось.
С..сювательно, определенная соотношением (5) область D преобразуется функцией w =» cos г взаимно однозначно в полную плоскость (ш) с разрезом по лучу [—1, со) вещественной осн (рис. 28).
Риманова поверхность функции ш = cos z является более сложной, чем у предыдущих функций, так как склейка производится отдельно по отрезкам 1—1, Ц И [1, 00).
Область однолистности функции
е,г—е~,г ы> — sin г =—
может быть исследована аналогично, а также путем замены sin г = cos (л/2 — г) = cos (г — п/2).
Функции, обратные к тригонометрическим функциям, могут быть определены из формул Эйлера. Например, функцию, обратную для косинуса найдем из уравнения z = (e'w + e—lwV2, которое записывается в виде е81®— 2ze,w + + 1 = 0. Решая его, находим е™ = г + У г4 + I т. е.
w- Arc cos z=i Ln (z + Vi1— 1) =— In (г—Jz— 1). i
IllIll
Ill
Ill
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ аНалИ1ИЧсСПИХ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение. Основные свойства. Важным понятием в теории функций комплексной переменной является понятие интеграла по комплексной переменной. Так как метод введения интеграла по комплексной временной аналогичен методу введения обычного интеграла функции ^-шественной переменной, то мы наметим лишь схему этого метода, обращая особое внимание на особенности, характерные только для комплексной переменной.
Пусть в каждой точке г, заданной непрерывной кусочно-гладкой кривой у, определена однозначная функция f (z). Разобьем кривую у на п частичных кривых точками По. Ль •••• Лп и составим сумму:
п —I
^П ~^(*lv)(4v+I Hv),(1)
v = 0
где г,; — точки на частичных кривых, заключенных между точками 'В и Hv+ь v = О, I .., п — 1.
Если при max |i]v+i — i|v| -> 0 существует предел сумм (1), не V
зависящий ни от способа разбиения кривой у на частичные кривые, нн от выбора точек т]С на этих частичных кривых, то этот предел на- зиелется интегралом от функции / (2) по кривой у и обозначается через U^dz.
l/(z)d2 = lim v /(п')(%+1 —nv). (2) mBx]riv+l-nvl-O-v = o
П.ля выяснения вопроса о существовании интеграла f /(2)62 v заметим, что если / (г) = и + iv, t]v+i — Hv = kxv + i^Уv1 то суммы (1) могут быть записаны в виде
Ь ** * У [“(^v)-, ф(РС)1(Д^-г 12ЧМ = V [«(^v) A-Vv—и^ОАууЦ-
4- < V l« (PC) Ayv 4- У (P;) Axvl, (3)
v = 0
где Pv — точки на кривой у с координатами х; и yV Действительная и мнимая части в равенстве (3) представляют собой интегральные суммы криволинейных интегралов второгорода. Следовательно, интеграл (2) существует, если существуют два криволинейных интеграла:
f «dx—udy и J«di/ + udx. vv
Но эти интегралы существуют, в частности, для непрерывных на -у функций и и и. Таким образом, если, / (г) непрерывна на у, то интеграл (2) с у щест в у е 1, причем имеет место равенство
J / (z) dz = J «dx — udy + t ^ udy + udx.(4)
V?V
Из (4) ясно, что свойства интеграла (2) аналогичны свойствам криволинейных интегралов второго рода. Приведем (без доказательства) лишь некоторые из них.
1°. Пусть у+ — контур у с заданным положительным направлением, а у — он же с противоположным направлением, тогда
(7(z)dz = —J/(z)dz.(5)
v+ v-
2°. Если у = У! + у2. то
f /(z)dz = J/(z)dz+ ^ / (z) dz.(6)
Vl + V,V,V,
3°. Справедлива оценка интеграла
| Jf(2)dz|< J|/(z)|do,(7)
V1 v 1
где do — дифференциал дуги и интеграл справа рассматривается уже как криволинейный интеграл первого рода.
4°. Если г = ф (*]) — аналитическая функция, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между кривыми Г и у = <р (Г), то
(8)
VVГ
V
V
В частности, если г = г (t) — параметрическое представление кривой Г, соответствующей значениям параметра / 6 [a, 0], то
6
(9)(9)p(2)dz = /[г(Щг' (/)d/.
(9)
(9)
vvа
v
v
Примеры. 1 . Вычислить интеграл J z d г, где у — отрезок, соединяю, v
Глий точки г = 0 и г = 2 + Z, Используя представление (4) получаем соотношение
fzdz=j (х —zy)(dx+<dy) =J xdx + z/dy + i J xdy—ydx.
?vvv
Учитывая, что уравнение прямой, соединяющей точки г = 0 и г = 2 + i, есть у =■ х/2, находимУчитывая, что уравнение прямой, соединяющей точки г = 0 и г = 2 + i, есть у =■ х/2, находим2°. Вычислить интеграл от функции f (г) — по окружности ряпиуса р с центром в точке г0.2°. Вычислить интеграл от функции f (г) — по окружности ряпиуса р с центром в точке г0.
Учитывая, что уравнение прямой, соединяющей точки г = 0 и г = 2 + i, есть у =■ х/2, находим
Учитывая, что уравнение прямой, соединяющей точки г = 0 и г = 2 + i, есть у =■ х/2, находим
2°. Вычислить интеграл от функции f (г) — по окружности ряпиуса р с центром в точке г0.
2°. Вычислить интеграл от функции f (г) — по окружности ряпиуса р с центром в точке г0.
Производя в интеграле замену г—г0=ре/ф, учитывая при атом, что ср £ (0, 2л] и dz = pie* ф d<p по формуле (9) получаем
2л,2Л
Pd?Грге'ф d<pС
I = I =i ] d<p = 2nZ.
J г—?оJре11*J
vоо
Заметим, что интеграл не зависит ни от радиуса р, который может быть произ- жзьным, пи от точки z0.
Теоремы Коши. Как известно, криволинейным интеграл второго рода
(10)(10)J Р(х, у) dx + Q(x, у) бу V
(10)
(10)
.-■ висит, вообще говоря, от формы кривой у, соединяющей начальную (-1), у0) и конечную (хь у,} точки. Однако при определенных условиях на функции Р (х, у) и Q (х, у) интеграл (10) зависит только от выбора точек (х0, у0) и (хъ yj, а не от формы кривой у, их соединяющей. Условие независимости интеграла (10) от пути интегрирования состоит в том, что в области D, в которой bi |бираются кривые у, должно выполняться соотношение
(Н)(Н)дР!ду = dQldx.
(Н)
(Н)
Это утверждение является следствием так называемой ф о р му- л ы Грина. Если функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в замкну- т* ч области D = D + L, где L — кусочно-гладкий контур, а част- н*‘ производные функций Р и Q непрерывны в D, то имеет место ра- * <тво
pdx+^=Л (■$■ -5-) ^
D
Под положит- льным направлением обхода контура L+ понимается напг 1влепие, при котором область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения.
Можно получить условия независимости от формы пути интегрирования у и интеграла (4) от функции /(г) комплексной переменной г. Оказывается, что если функция / (г) непрерывна в области D, то необходимым и достаточным условием независимости интеграла (4) от формы пути усО является аналитичность функции / (г) в области D. Мы докажем сначала достаточность (теоремы Коши), а необходимость будет установлена в следующем параграфе (теорема Морера).
Теорема I (Коши). Пусть функция f (г) — аналитическая в односвязной области D. Тогда для любого замкнутого контура Г с: D имеем
ptotdn-O.
г
Если, кроме того, f (г) непрерывна в замкнутой, области D = D + Д, то
J f(n)dn = O.
L
Используя равенство (4), получаем соотношение
| V(il)dr} = J ийх—vdz/+ i j udy + udx. rrг
Если Пр — область, ограниченная контуром Г, то, применяя формулу Грина (12) и учитывая условия Коши — Римана, находим
^-«^(-^---^.Jdxdjz-O ГDv
и
J^+Mv-JJ^-^.)d^ = 0.
ГDr
В случае непрерывности f (z) в D = D 4- Ь вместо контура Г с Р можно взять контур L. ►.
Для многосвязных областей имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть функция f (г)—аналитическая в многосвязной обюсти D с границей Lo и внутренними контурами ^х, уг, ..., у„ и непрерывна в замкнутой области D=D+ Lo + Yi + ...+ уп- Тогда имеет место соотношение
[/(>]) di] = О, Г[/(>]) di] = О, Гл
[/(>]) di] = О, Г
[/(>]) di] = О, Г
где Г = L^ + v у-
V= I
(знак минис в индексе означает, что обход контура yv совершается по чисоьой стрелке).
^ Соединим контуры Уп Y>Yn соответственно отрезками /и / /п с контуром Ltt так, чтобы полученная область D с разпе-
з *мй lv /,1п я тялась односвязной (рис. 29). Тогда по теореме 1 д -я ее полной границы
L = L^ — Г, 4 у г Л 4 (^ 4 V» 4 / 4 ■•■ 4 In 4* Yn — In =
= Г 4" К 4 к 4" Ц 4I» 4... 4 In A-In
можно записать равенство
J / (i]) d»i = 0.
Но в силу свойства (5) имеем
J /01) dr] = — p(t|)dn;
'vtv
следовательно,
J/(•)) dn= J / (rj) di] = 0. ►
Неопределенный интеграл в комплексной области. Из доказанной в предыдущем пункте теоремы 1 вытекает следующее важное утверждение.
Следствие. Если функция f (г) — аналитическая в односвязной об- мк-пи D и точки z0 и г, — произвольные точки из D, то интеграл
(13)(13)Ф(гя, z) = p(n)dn
(13)
(13)
но зависит от формы пути, соединяющего точки г0 и г, целиком ле- хащего в области D
При фиксированном г0 интеграл (13) является функцией переменной г. Встает вопрос о свойствах этой функции. Они характеризуются следующей теоремой.
Теорема 3. Пусть функция [(г) определена и непрерывна в одно- а^зь >я области D, причем интеграл от нее по любому замкнутому копиру y^D равен нулю. Тогда при фиксированном z0ED функция
Ф(г)" p(n)dn
явится аналитической в области D функцией, для которой ^ (4— = f (г).
N В силу независимости интеграла от пути интегрирования спра- вс."иво равенство
г+Дг
= _L С /(n)dn, г-V^D.
Д:Дг J
Пусть путь интегрирования есть отрезок, соединяющий точки г и z + Дг (обозначим его условно через lz, г + Дг], и предположим, что весь отрезок принадлежит области D, ибо Дг может быть скольку годно малым). Используя непрерывность функции / (г), равенство— J dt] = = 1 и свойство (7), получим оценку
т +Дг
I ^^=^__П^ = f l/(n)-/f2)ldrik | ДгДг J|
< max |f(i])—/(г)| —если |Дг|<6 = б(Е).
Т) е (г, г+Дг]Дг |
Отсюда заключаем, что существует предел
1||П ^U+AfcOW /(Д Дг-*0Дг
который по условию непрерывен. Следовательно, Ф (г) — аналитическая в области D функция, причем Ф' (г) = f (г). ►
Введем следующее определение.
Аналитическая в области D функция Ф(г) называется первообразной пли неопределенным интегралом от функции f (г), если для всех г£ D справедливо соотношение Ф' (г) = f (г).
Как и для функций вещественной переменной, ясно, что первообразные от функции f (г) могут отличаться только на постоянное слагаемое. Поэтому, если F (г)—одна из первообразных функции /(г), то
Jf(n)dn = f (г2) — F^.
Пример. Вычислить интеграл
г
f — =fW-F(l).(14)
I
Подынтегральная функция f (г) = 1/г является аналитической всюду, кроме точки г = 0, поэтому интеграл (14) имеет смысл во всех точках г кроме г ■=■ = 0, и при условии, что контур интегрирования не проходит через ноль. Если контур интегрирования не охватывает точку г0 “ 0. т. е. если —л < arg г <, л, то функция F (г) является однозначной аналитической функцией. В примере 3 § 4 гл. 1 показано, что в качестве одной из первообразных функции 1/г можно взять однозначную функцию 1п г. Учитывая, что In 1 = 0, получаем равенство
f dn
Inz=l, —n<argz<;n.
При г = х > 0 выводим отсюда известную формулу
In х =In х =duduии
In х =
In х =
du
du
и
и
Если же не требовать того, что контур интегрирования не охватывает точку О, то полученная функция F (г) будет многозначной и
Ln г = I —L.
§ 2. ИНТЕГРАЛ КОШИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Доказательство интегральной формулы Коши. Используя теорему Коши, можно установить связь между значениями аналитической функции в любой внутренней точке области со значениями этой функции на контуре, охватывающем эту точку.
Теорема 1. Пусть функция f (г) — аналитическая в области D и точка г0 € D. Тогда для любого замкнутого контура у с D, содержащего внутри себя точку г0 и такого, что DvcD, справедлива формула Коти
?^ = Т" — d,b0)
2л1 J 1)—г0v+
Если же дополнительно f (г) непрерывна в замкнутой области D = = D + Г, то в качестве контура у можно брать и границу Г, т. е. для любых г С D имеет место формула
(2)
2л1 J г)— гГ
Замечание!. Если точка г0 лежит вне контура у, то функция ф (ц) = =является аналитической в замкнутой области, ограниченной кон
туром у, а тогда, применяя теорему Коши, получаем соотношение
П—?оП—?оdq=O.dq=O.
П—?о
П—?о
dq=O.
dq=O.
V
◄ Так как функция f (г) — аналитическая в D и г0 6 D, то функция ^ ^ = f (г)/ (г— г0) является аналитической в области D, за исключением точки г0. Пусть у с D — произвольный контур, содержащий внутри^себя точку г0. Выберем р > 0 столь малым, чтобы замкнутый кРУг КР = Кр + Ср с центром в точке г0 радиуса р целиком лежал бы внутри контура у. Тогда в замкнутой двусвязной области DV1P, ограниченной внешним контуром у и внутренним — окружностью Ср
Рис. 80Рис. 80(рис. 30), функция q(z) является аналитической. Применяя к функции q (г) теорему Ко- ши для многосвязной области (см. теорему 2 § 1), приходим к равенству
Рис. 80
Рис. 80
С q (Ч) di) = f , (11) dt)=O.
JJ Ч—го
y+4-Cp*' + +Cp
Отсюда следует равенство интегралов
| 1O1L dn = f -^ dn- (3) J Ч—«о J ч—го
Преобразуем интеграл, стоящий в правой части этого равсства.
Производя замену переменной i] — z0 = pe'*, d>] = pTe,<Pdq, имеем
C ±WL d4 = f HM^L pie-ч dq = i f f (z0 + pe'4) dq =
J Ч-го J ре'фJ
= ij [/(Zo+pe^)—/(z0))dq + 2n«7(z0). (4) о
Из непрерывности функции j (z) в точке z0 следует, что у е > 0 g Л = = 6 (е) такое, что при р < 6 для всех q С Ю, 2 л] справедливо неравенство
|/ (z0 + ре'Ф) — f (z0)|< е.
Отсюда следует, что 2л
и, следовательно,и, следовательно,limР-0limР-02Яj" l/Uo + pe’4)—f(zo)]dq = O. о2Яj" l/Uo + pe’4)—f(zo)]dq = O. о(5)(5)J I/ (го + ре'ф)— /(Zo)ldq о
и, следовательно,
и, следовательно,
lim
Р-0
lim
Р-0
2Я
j" l/Uo + pe’4)—f(zo)]dq = O. о
2Я
j" l/Uo + pe’4)—f(zo)]dq = O. о
(5)
(5)
Подставив в правую часть равенства (3) выражение (4), получим ра
венство
2Л
ItiL dn = 2ш7 (z0) + i f If (Zo + pe'*)—f (z0)J dq. (6) n—ZpJ
1121Ldn. Ч—?u1121Ldn. Ч—?uЛевая часть этого равенства не зависит от р, поэтому, переходя в (6) к пределу при р-* 0 и учитывая соотношение (5), пол\чим интегральною формул} Коши
1121Ldn. Ч—?u
1121Ldn. Ч—?u
/ (^о) = 7—
В случае, когда функция { (2) непрерывна в замкнутой области у = Z? + Г, в качестве контура у можно взять границу Г, и тогда 2о — любая точка области D, т. е. имеет место формула (2). ►
вычислении контурных чтовычислении контурных чтоФормула Коши находит большое применение при интегралов. Например, используя (1), ле| ко находим.
вычислении контурных что
вычислении контурных что
6 , dz=2nie*$ г—41-26 , dz=2nie*$ г—41-2Замечание 2. Формула (2) имеет место и для многосвязной облаои D, причем под Г понимается полная граница области D с положительным направлением обхода, т. е. точки области D остаются слева при обходе каждого отдельного контура границы Г.Замечание 2. Формула (2) имеет место и для многосвязной облаои D, причем под Г понимается полная граница области D с положительным направлением обхода, т. е. точки области D остаются слева при обходе каждого отдельного контура границы Г.
6 , dz=2nie*$ г—4
1-2
6 , dz=2nie*$ г—4
1-2
Замечание 2. Формула (2) имеет место и для многосвязной облаои D, причем под Г понимается полная граница области D с положительным направлением обхода, т. е. точки области D остаются слева при обходе каждого отдельного контура границы Г.
Замечание 2. Формула (2) имеет место и для многосвязной облаои D, причем под Г понимается полная граница области D с положительным направлением обхода, т. е. точки области D остаются слева при обходе каждого отдельного контура границы Г.
Свойства аналитических функций. С помощью формулы Коши можно установить ряд свойств, характерных только для аналитических функций.
Теорема 2 (теорема о среднем). Пусть функция / (г) — аналитическая в области D и круг Kr = {| г — г01С R } целиком принадлежит области D. Тогда значение f (г0) выразится следующим образом •
2л
/(?o) = v- f fUo + ^e^dy»-^- [ /(n)ds,2л J2nR J
0CR
здесь Cr — граница круга Kr u ds — дифференциал дуги.
Учитывая, что Kr c D, значение / (г0) можно записать с помощью формулы Коши;
fllSLdi.
J П — ?о
CR
Производя в интеграле замену г] — г0 = /?е/ф, dq = Z^re'^dq?, имеем
гяс
f (г0) = -L С Л£о±£е_) д^ф dv = -L / (г0 + Re'^ dy,кш J Ке«»2л J
и обозначая через ds = К dtp дифференциал дуги окружности Cr, получаем
,ы~^ ?1х№-k
CR
Теорема 3 (принцип максимума модуля). Пусть функция Цг^ — аналитическая в области D и непрерывна в замкнутой области D = = D + Г. Тогда либо f(z) = const в области D, либо max |/(г)| достигается только на границе Г области D. _
N Функция |/ (г) | = V»4 (х, у) + и* (х, у) непрерывна в О^ поэтому опа достигает своего максимума в некоторой точке z^D, т. е. max | f (г) | = Л1 = If (гп)|.
-Со
Предположи^, что z^^D. Тогда будет существовать круг Ко радиуса г с центром в точке г0 такой, что Ко = Ко + Cr с D. Ис
пользуя теорему о среднем, можем записать соотношение
2л2л
(7)(7)|f(z0)l = -^- f I f (z0) | dtp = —^— С f (г0+re1'*') dtp
(7)
(7)
ОО
Замечая, что
из (7) получаем неравенство
2л
(8)(8)J [|/(го+ге'ф)|—|/<Zo)|]d<p>O.
(8)
(8)
Но на контуре СГ имеет место оценка
If (г0 + re-f)| ^ |f (г0)| = М,
из которой заключаем, что в соотношении (8) возможен только знак равенства, причем в том случае, когда | f (г0 + гё ф) | = |f (г0) | для всех точек г0 + re* € СТ. Аналогичное равенство будет иметь место и на любой окружности Сг„ гх<. г, с центром в точке г0. Это означает, что | f (г) | ^ /И = | f (го) | во всех точках круга Ко.
Пусть теперь г* — произвольная точка области D. Соединим г0 и г* спрямляемой кривой L с D, расстояние которой от границы Г области_О больше d*> 0. Пусть zx — точка пересечения L с границей круга_К0. т. е. с Ст; тогда имеем равенство | f (zj | = М. Возьмем круг Кх с D с центром в точке гх и радиусом, не превосходящим d. Рассуждениями, аналогичными предыдущим, убеждаемся, что |/ (г) | = /И для всех г € Кх. Кривая L спрямляема, поэтому через ко-
нечное число шагов получится кр\г KncD_c центром в точке гп такой, что г* ^Кп » I/ (г) | ^ М для всех г € Кп- Но г* — произвольная точка области D. Следовательно, |f (г) | = М у z^D.
Запишем f (г) в виде
f(z) = |/ (z)| e,ars11г) = Ме19'-*-^ = М cos 6 (х, у) + iM sin 6(х, у)
н применим условия Коши — Римана
— М sin 6 — = М cos 0, —Mcos6-^-= — MsinB-^-. (9)
дхдудхду
Из (9) заключаем, что
М sin20-^- =М cos26-^-, т. е. — sOсЪдхдх
в области D. Подставляя это значение в (9), находим, что дв/ду = О в области D, откуда следует тождество 6 (х, у) = const в области D, т. е. /(г) s const в области D.
Итак, предположение, что max |/ (г) | достигается во внутренней гЕО
точке области D, приводит к тому, что / (г) = const. Следовательно, либо max | f (г) | доспи ается только на границе области D, либо
2(;D
f (г) = const. ►
Замечание 3. Если функция f (г), аналитическая в области D и непрерывная в замкнутой области D, такова, что / (г) Ф 0 у г £ D, то и min |/(г)| = т достигается только на границе области.
гЕО
Это следует из того факта, что для функции <₽ (г) = 1// (г), аналитической в области D и непрерывной в D
max I ф (г) | =
zп”£ I H*> I
г Е О достигается только на границе D.
Дифференцирование интеграла по параметру. Интеграл Коши (1) или (2) представляет собой интеграл, зависящий от параметра. Поэтому для дальнейшего изучения свойств аналитических функций докажем предварительно теорему о дифференцируемости интеграла по параметру.
Теорема 4. Пусть ц = ц + zv — точка непрерывной кусочногладкой кривой I и г = х + iy — точка области D. Пусть функция Ф 01, г) для любой точки х\^1 является аналитической функцией для всех z£D, причем как сама функция ф (т), г), так и ее производная — непрерывны по совокупности переменных ^£ I и z £D. Тогда Функция
L^(z) = j\’(il, z)dn(10)
шляется аналитичен эй в t6.te.xrui D и ее nj печеная F' (г) пред- стаи-иипся в виде
F4?) = \ ^^dn-(Н)
J иг
N Запишем функции ф и F в виде
ф Оъ г) = и (р, v, х, у) + iv (р, V. х, у) и F (г) = U (х, у) + IV (х, уУ
Тогда из равенства (10) находим, что
U (х, у) = j udp— udv, V (х, у) = J udu ■*■ udv. (12) i
По условию теоремы, частные производные функций и и и по переменным х и у непрерывны по совокупности переменных р, v, х и у. Поэтому интегралы (12) можно дифференцировать по параметрам х и у под знаками интегралов, т. е.
ди _ Г
' ди , du—
до д dv,
6U _ Г
^dP-
до , ■dv,
дх J i
дх Р
дх
ду J
ду
ду
дУ _
С ди , 1dp Н
дч , dv,
дУ Г
до , , du +-
ди , — dv.
дх ,
J дх
дх
ду J
ду Р
ду
Функции и и v по переменным х и у удовлетворяют условиям Коши — Римана, следовательно, последние два интеграла можно записать в виде
ди , dU — dv=. дхдх
Из этих равенств заключаем, что функции U (х, у) и У(х, у) в области D удовлетворяют условиям Коши — Римана. Замечая также, что ди ди dV dV,
частные производные -^-, -др -^, -^ непрерывны в D, убеждаемся в аналитичности F (г).
Далее, имеем равенства
Сх дхСх дхН-у^р+ / дх / VН-у^р+ / дх / Vди . : ди \ Д — +1 dv =■
Сх дх
Сх дх
Н-у^р+ / дх / V
Н-у^р+ / дх / V
ОХ' X )
-Wxr^Y^-W^
т. е. справедлива формула (11). ►
Интеграл типа Коши и его применение. Интеграл Коши устанавливает зависимость между значениями в точке z0£D аналитической в D функции f(z) со значениями этой функции на контуре, охватывающем точку г0, причем / (г) на контуре может быть ие аналитической, а только непрерывной. Поэтому естественно поставить вопрос об изучении свойств функции
^И-^-ГЛДЙ-о»(13)
где /—непрерывная кусочно-гладкая (не обязательно замкнутая!) кривая, q 01) непрерывна на кривой I, а г С I- Определенную соотношением (13) функцию F (г) называют интегралом типа Коши.
Теорема 5. Если функция <р(п) непрерывна на непрерывной кусочногладкой кривой I, то определяемый соотношением (13) интеграл типа Коши является аналитической функцией во всякой односвязной области D, не содержащей точек кривой I. При этом для производной F' (г) им^т Mt сто формула
Г<14>
2л1 J (т)— г)’' '
Foiee того, у F (г) в области D существуют производные любого по- рч-'.ц, определяемые по формуле
/чл) (г) = f _£l!l!—dq, п= 1, 2, ...(15)
2л( J (ц—г)п+*’v ’
N Учитывая, что функции
Фа (11, г) = ^"V’y . &= 1, 2,...
(П-г)»
для всех точек q Е Z и всех г из любой односвязной области D, не содержащей точек кривой /, удовлетворяют условиям теоремы 4,* можем вписать, что
Г'(г)Г'(г)dn.dn.= _L PoihOb?) d _ 1 Г g (ip
Г'(г)
Г'(г)
dn.
dn.
2m j г2га' J (п—г)г
V7
е. верна формула (14). Далее, замечая, что
У2ГШ1^=^Ч<!1!_, й = 2, 3дг (ч—г)*+'
^^цн" убеждаемся и в справедливости формулы (15) при любом Так как формула Коши
fH =fH =12л/12л/Ж di!, Т1—ZЖ di!, Т1—Z
fH =
fH =
1
2л/
1
2л/
Ж di!, Т1—Z
Ж di!, Т1—Z
где z^D^cD, является частным случаем интеграла гида Коши, то из теоремы 5 вытекает следующее важное во всей теории аналитических функций следствие.
Следствие. У аналитической в области D функции [(г) существуют в этой области производные любого порядка, являющиеся анилшпи- ческими в D функциями и представимые формулами
РЧг) = -^ Г '-{Ь1^ " = 1.2(16)
2л/ J (т)—г)"+’
где г £ D и у — контур, охватывающий точку 2 и такой, что ограниченная им область Dv с D.
Применим формулу (16) к выяснению дальнейших свойств аналитических функций.
Теорема 6 (Морер). Пусть функция { (г) непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее по любому замкнутому контуру, целиком лежащему eD, равен нулю. Тогда j (г) — аналитическая в области D функция.
<3 По теореме 1.3 неопределенный интеграл
F(z) = j/(4)dT).г(„ z^D
Zo
является аналитической в области D функцией, причем F* (г) = / (г).
В силу следствия к теореме 5 F' (г) = f (г) есть аналитическая в D функция. ►
Теорема 7 (Лиувилль). Если функция / (г) — аналитическая во всей плоскости (г) и | [ (г) | ^ М для всех г, то { (г) = const.
4 Пусть z — произвольная точка комплексной плоскости. Пс формуле (16) можем записать, что
f(z) = J_ [ -ZOlLdn,2л/ J(т)—г)1
| и—Z| = R
где R — любое положительное число. По условию, | f (г) | ^ М для всех г, поэтому справедлива оценка
2л2л'''м'-к у'''м'-к уооШ±Е£1 R,e., ,|ФR* е2*1Ш±Е£1 R,e., ,|ФR* е2*12л1/(г+^)ИфС 4-2лК JRО2л1/(г+^)ИфС 4-2лК JRО
2л
2л
'''м'-к у
'''м'-к у
о
о
Ш±Е£1 R,e., ,|Ф
R* е2*1
Ш±Е£1 R,e., ,|Ф
R* е2*1
2л
1/(г+^)ИфС 4-
2лК JR
О
2л
1/(г+^)ИфС 4-
2лК JR
О
Так как R произвольно, то, устремляя R к бесконечности, получим
1Г (г)К1Г (г)КмRмRО при R-* оо.О при R-* оо.
1Г (г)К
1Г (г)К
м
R
м
R
О при R-* оо.
О при R-* оо.
Это означает, что f (г) = 0 в любой точке г, т. е. f (г) = 0, а потому f (?) = const. ►
ЧИСЛОВЫЕ И ОБЩИЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ сходимость
(1)(1)Основные понятия сходимости числового ряда. Пусть задана бесконечная числовая (вещественная или коплексная) последовательность иь иг, .... ип, ... Рассмотрим выражение
(1)
(1)
°1 + ыг + •■• +“п + ... = У, tin,
которое называется числовым рядом. Выражения
si — tiu
$2 = “1 + «2,
Sn = U, + «2 + ... + tin.
(2)(2)называют частными суммами ряда (1). Эти суммы образуют числовую последовател ьность
(2)
(2)
$1» $2> •■•> $П, •••
Будем говорить, что ряд (!) сходится и его сумма равна s, если существует конечный предел последовательности частных сумм (2), равный s, т. е. если g lim s„ = s.
Л->ОО
Примеры. Г. Для числового ряда
1,1,1
Ь2 + 2-3 ++ п(п + 1)
>становить схочимость и найти его сумму
Заметим, что при х Ф 0, х + 1 4 0 име"т место разложение
111
X (х+ 1) X <4-1 *
поэтому частные суммы sn можно записать в виде
1 , 1 , . 11 1 1 1 , . 1 1
Ь2 + 2.3 +‘"+n(n+l) - 12 "23 ++ п п+1"
и+ Г
Отсюда следует, что llm sn = llm fl——3= 1 существует, т. е. ряд (3) П-*эс n-.no \ П Т.1/
сходится и его сумма равна единице.
2й. Исследовать на сходимость числовой ряд
I+q+q^ - + qn4-...= ^ о"-1.(4)
и = 1
Если q = I, то $n = I + I + ... + I = п -► оо при п —• со и в силу определения ряд из единиц расходится.
Пусть теперь q^ 1. Предсавим »п в виде
Полагая q = г (cos ф + i sin ф) и применяя формулу Муавра, имеем q" = = г" ( cns nq + i sin иф). Отсюда заключаем что если ' = |q| < I. то hm qn —
= 0; если » = |q| > I. q ^ I, го конечный предел lim qn не существу?. Таким образом, при |<71 < I ряд (1) сходится н его сумма равна 1/(1—q), а при |q|> I ряд (4) расходится.
В примерах 1° и 2° мы не только установили сходимость рядов (3) и (4), но и нашли их суммы. Однако на практике частные суммы ряда принимают за приближенное значение суммы ряда, причем такая замена суммы ряда его частной суммой возможна только для сходящихся рядов. Поэтому представляет значительный интерес выяснение вопроса о сходимости или расходимости числового ряда. Наиболее общий критерий сходимости числового ряда сразу же следует из критерия Коши для сходимости последовательности.
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы у е> 0 g N = Л (г) такое, что неравенство
I Ип+1 "Н^п+г +■•• + ип+р I < е
имело бы место для любого«> Ми всех р = 1, 2
4 Доказательство сразу же вытекает из критерия Коши для сходимости числовой последовательности (см. теорему 3 § 2 гл. I), ибо
I $n+p S„|=|Un+| + ... +un+p|. ►
Следующая теорема вытекает как следствие из критерия Коши. Теорема 2 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (D сходится, то
Нт ип = 0.(5)
П"*30
и Действительно, полагая в критерии Коши р = 1, получаем утверждение (5). ►
Заметим, что условие
limwn ^ 0(6)
является достаточным для расходимости ряда.
Условие же (5), будучи необходимым для сходимости, не является, однако, достаточным условием сходимости ряда. Действительно, рассмотрим так называемый гармонический ряд
1+4-+-+4-+-—2т-,7)
Л— I
Для этого ряда имеем
S2n sn - k > 2n n 2n 2 . Л=п+1t=n+l
Эго означает, что для ряда (7) при р = п не выполняется критерий
Кеши. Счедовательно, ряд (7) расходится, хотя и Нт -^- = 0.
Свойства сходящихся рядов. Отметим некоторые свойства сходящихся рядов, которые будут часто использоваться при дальнейшем и1 1 )жешш.
Свойство 1. Отбрасывание любого конечного числи членив ряда не шлихт на его сходимость (но не на суммуТ).
Рассмотрим ряды
ul + «2"t •■•+ UN + UN+I +••• + WN4-n + —
И
^+| + -+ИК + Л-
н. обозначая через sm и oh соответственно их частные суммы, находим, что
Sn+6 + р — SN+k = °*+р — °h-
Отсюда видим, что малость одной части влечет малость другой, т. е. выполнение или невыполнение критерия Коши для одного ряда влечет аналогичное и для другого ряда. ►
Свойство 2. Сходимость ряда не нарушится при умножении всех Ч-- * рлоа на одно и то же число, отличное от нуля.
В само I деле, если
о„ = сиг + ... + сип, и = 1, 2
частные суммы ряда 2 сип и sn — частные суммы ряда (1), то п = I
°п — us I. Л Ом У
limo„ = с lim sn,
П-*ОСn-*OL
т. е. из существования правого предела вытекает существование ле-
• вого, и наоборот. ►
Свойство 3. Если ряды (1) и
У1 +^+ - + у>|+ -= 2 ип(8)
п= I
гходятся, то сходится и ряд 2 (un ± уп), причем его сумма равна ал- П= I
гебриичьской сумме исходных рядов, т. е.
У («п±Уп)= у «,,± 2 у»-(9)
И = *П= 1п= 1
Действительно, из существования пределов лл
lim V uh и lim У uh
n-^oo^ — iл-мод^
следует и существование предела
lim V (uh + v^
П—оо е=1
и равенство (9). ►
Заметим, что из сходимости ряда, стоящего в левой части равенства (9), не следует сходимость рядов, стоящих в правой части этого равенства. В самом деле, если рассмотренный выше ряд (3) записать в виде
ПП
П
П
то видим, что ряды, полученные отдельно из уменьшаемых и отдельно из вычитаемых членов исходного ряда, т. е. ряды
ИИV 1^+*V 1^+*
И
И
V 1^+*
V 1^+*
расходятся, так как являются гармоническими рядами (7),
Исследование вопроса о возможности перемножения рядов мы рассмотрим ниже.
Свойство 4. Если ряд (1) сходится и его сумма есть s, то члены ряда (1) можно, не переставляя их, группировать произвольным образом, причем сумма полученного ряда будет снова равна s.
Это утверждение следует из того, что при любой группировке членов исходного ряда, например
“1 + («2 + «з) + (и4 + и6) + («ь + ... + ие) + ....
частичные суммы полученного ряда будут иметь последовательность частных сумм, являющуюся подпоследовательностью сходящейся последовательности частных сумм ряда (1). ►
Еспи в свойстве 4 не требовать сохранения порядка членов исходного сходящей :я ряда прн группировке, то аналогичного утверждения уже сделать нельзя. В самом деле, по признаку Лейбница ряд
001
V ( — !)*-> —
к = I
сдидшси (см. § 3). Обозначим его сумму череч А. т. е.
Д=1~4"+Т”~г+-"+(-1/+‘Т + ";(10)
1
Умнп^пп все члены ряда на -у, получим ряд
— Л = -- + -1)*+’—+..Г(И)
224 т 68 т т2t
Так как добавление нулевых членов не влияв! на предел частичных сумм ряда т. е и на его сумму, то вместо ряда (11) рассмотрим ряд
2-л=°+-1-+о—L+o+-L+...+° + (_i)*+i-L+o+... (12) ZZ4оZR
Применив свойство 3, сложим ряды (10) и (12). Тогда получим
—д^1+и+-1--^- + -^+о+у—L+-L+o+...+ _L_ +
+ °+4fe—12Г+“’’
т. е.
2-Д=1+т--+т+т—?^...4-_ +
4й-1 2к П
но ряд справа есть переставленный ряд (10). Это означает, что перестановка членов в ряде можсг изменить сумму ряда.
. Абсолютная и условная сходимость. Предыдущий пример показывает, что от перестановки членов сходящегося ряда сумма ряда также может измениться. Встает вопрос о выяснении условий, при выполнении которых с рядами можно обращаться как с конечными Эммами. Оказывается, что таким условием является так называемая олютная сходимость ряда.
Числовой ряд Sun называется рядом абсолютно сходящимся, если П= !
сходится ряд из модулей ип, т. е. если сходится ряд S | un |.
п* 1
Теорема 3. Если ряд 2 ип сходится абсолютно, то он сходится. П=1
4 Обозначая через s„ частные суммы ряда (1), а через) пп — частные суммы ряда 2 | и„ |, имеем
п= I
I ®п+р ®л I = I «п+1 4" ■■• 4” «п+р I ^ | «п+1 I 4" — 4" | «п+р I =
= °п + р °п-
Из выполнения критерия Коши для ряда из модулей следует выполнение критерия Коши для исходного ряда. ►
Сходящийся числовой ряд 2 ип называется рядом условно сходя-
И = 1
ш,имся, если ряд из модулей 2 | ип | расходится.
п = I
Оказывается, что с абсолютно сходящимися рядами можно обращаться, как с обычными конечными суммами: перемножать их почленно, переставлять слагаемые. Для условно сходящихся рядов, как мы видели из приведенного выше примера, это уже неверно
Теорема 4. Пусть ряд 2 ип сходится абсолютно и его сумма равна s.
п= 1
Тогда при любой перестановке членов ряда он сходится снова к той ш сумме s."
Так как ряд (1) сходится абсолютно, то для каждого е > 0 3 N = = N (е) такое, что при т^ п^ N выполняется неравенство
£ Ы<е.(13)
k = n
Пусть (&п) — некоторая перестановка последовательности натуральных чисел. Положив Ukn = и^, п = \, 2рассмотрим ряд
частные суммы которого обозначим через Sn- Выберем число р столь большим, чтобы множество къ к2, .... кр содержало все целые числа ог 1 до выбранного по е числа N = N (е). Если sn — частные суммы ряда (1), то при н > р разность sn — $„ содержит члены ип, номера которых строго больше N (е), а поэтому, учитывая условие (13), получаем оценку
1$п—$пК V l«J<e,(И)
k=N
где m > n "> p, m = max kx. Из (14) следует, что частные суммы sn I V n
и sn имеют один и тот же предел, т. е. переставленный ряд (1) сходится к той же сумме s.
Введем теперь понятие произведения рядов. Произвеоением рядов ееоосю
un и 2 уп называется ряд 2 сп, члены которого сп определяются п = 0п=(п = 0
следующим образом:
сп= ^ uhun_h, п = 0, 1,...
t = 0
Теорема 5. Если хотя бы один из двух сходящихся рядов 2 ип и п =
ОО
ип сходится абсолютно, то произведение этих рядов сходится, п = 0
причем его сумма равна произведению сумм исходных рядов.
Пусть ряд 2 ип сходится абсолютно. Обозначим его сумму через и = 0
, а через sn — частные суммы. Частные суммы ряда 2 уп обозна- п = 0
чим через оп. а через о — его сумму. Частную сумму произведения 6П запишем в виде
^п = ^ с„ :=
»=•
= «0Уп+(«0У| + «| у„)4-... +(U„уп + Щ Уп-1 + ... + «„ Уп =
— Uq О„ 4" Щ Оп—। т ... 4* Уп ^» ■*
= U„ (О 4- (Оп — о) j 4- U, |О + (оП _t — о)] 4-... + ип I о -Р (о0 —о)] =
= чпо + ип( |п—01-гУ|(0п-1 —о) + - + “п(ои—О).05)
Покажем, что выражение
ул = ип (оп — о) 4- Щ (пп_х — о) 4- ...+ ип (пп — о) стремится к нулю при п -* оо. Действительно, из сходимости ряда 2 уп следует, что •=о
I ок — о К Л1 для всех k = 1, 2, ... и
| о,, — о | < е для k > N (е).
Далее, из абсолютной сходимости ряда 2 ип заключаем, что
п = 1
V |un| = L<oo
п = 0
И п
5 1»л|<е для всех п^ N = N(еУ, k=N
следовательно.
lYnlCI«ol 1°п — O| + - + I«n-N| |ON—О|+ |Un_N+l | |On-1—О| + n — Nn
+ ... +|Un||Oo — do 2 I«ftn-Af2|«fc|.
*=06=n—N+l
Можно считать, что n —N+1^N,тогда справедливаоценка
| Yn I < e L + M e = e (L + M).
Это означает, что Um yn = 0, а потому из (15) находим П-> ОО
Iiin 6n = lim (s„ о + yn) = so. ► n-»oo n-*oo•
Для условно сходящихся рядов утверждения теорем 4 и 5. вообще говоря, не верны. Справедлива, например, следующая теорема.
Теорема Римана. Пусть S ап — условно сходящийся ряд с веществ иными п» 1
членами и а < 0—два вещественных числа (которые могут быть равными ± со).
Тогда сущестиует перестановка членов ряда 51 а^ и частными суммами >„ такая,
что__
lim s' = g и lims„ = Pя-»«п-»оо
(i м пример к свойству 4 § 1).
§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Признаки сравнения. В § 1 мы видели, что условие lim ип = О,
П-*со
будучи необходимым для сходимости ряда, не является достаточным. Проверка достаточного условия критерия Коши в большинстве случаев связана со значительными трудностями. Поэтому встает вопрос об отыскании эффективных достаточных условий, характеризующих сходимость рядов. Мы докажем ряд признаков абсолютной сходимости числовых рядов. Для знакоположительных числовых рядов эти признаки дают обычную сходимость.
Признак сравнения. Пусть члены числового ряда
«1+«2+•■• + Нп + — = 2“пШ
И в I
д^я всех п > п0 ^ 1 удовлетворяют условию
(2)(2)I ип К Ьп
(2)
(2)
§ 2. Достаточные призн. абсолютной сходим, числовых рядов 67 Тогда из сходимости знакоположительного ряда
5 Ьп(3)
п= I
следует абсолютная сходимость ряда (1).
Если же члены ряда (1) положительны и un>bn>0 v п>п0>1,(4)
то и из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (1).
4 Пусть выполнено условие (2) и ряд (3) сходится. Тогда в сил критерия Коши у е > 0 g N = N (е) такое, что
6n+i + — + ^п+р < е у n > W (е) и всех р = 1, 2, .„
Учитывая условие (2), найдем
I untl I + ••• + I ^n+p | ^ ^п+1 4* ••• 4* ^п+р < в
для всех п > N (е) и всех р = 1,2,...
Это означает, что для ряда из модулей членов ряда (I) выполнен критерий Коши, т. е. ряд (1) сходится абсолютно.
Если же выполнено условие (4) и ряд (3) расходится, то для п > пв имеем оценку снизу:
Sn+P—Sn = Wn+1 +••• 4-“п+р ^ ^п+1 4* — 4-^п+р.
Но для расходящегося знакоположительного ряда при любом п справедливо соотношение
6п+1 4- ... 4- Ьп+р -* оо при р -► оо.
Следовательно, sn+p — sn -► оо при р -> оо, и ряд (1) расходится. ►
Пример 1°. Исследовать на сходимость ряд £ :——.
П=о(л + 1р
Так как члены ряда un “j^qrjyr для всех п= 1, 2, ... удовлетворяют со1
условию l/(n + I)2 < 1/n (n + 1) а ряд£ ——,—- сходится (см. ряд (3j j 1),
Л = 1 п т оо]
то и заданный ряд S —— сходится,
п=о (п+ I)4
При исследовании сходимости числовых рядов находит большое применение следующий достаточный признак сходимости.
п00
Предельный признак сравнения. Если числовой ряд S оп сходится абсолютно и для членов числового ряда (1) имеет место соотношение
UmUmI UnI «пI UnI «п= q = const < oo,= q = const < oo,(5)(5)^ ряд (1) сходится абсолютно.3*^ ряд (1) сходится абсолютно.3*
Um
Um
I Un
I «п
I Un
I «п
= q = const < oo,
= q = const < oo,
(5)
(5)
^ ряд (1) сходится абсолютно.
3*
^ ряд (1) сходится абсолютно.
3*
4 Из условия (5) следует, что ye>0g/V=Ait) iu..w, чю
I — 1— у<е для n>/V(t),
I Уп I
т. е.
I и» I < (<7 + е) | оп | для п > N (в).
Из абсолютной сходимости ряда S ип следует, что
п= I
П + р
V |оп|<Е ДЛЯ n>*t(E) И И = 1,2, ...
t-n+ f
Используя эту оценку, получаем, что при n > max (,V (в), L\ (е)}
П+Рп + р
У |uh|<(<74-e) V |uh|<E(<7 + e) = e1, t=n+lк—n+'
е выпопнен критерий Коши абсолютной сходимости ряда (I).
Пример 2й. Исследовать на сходимость ряд
X1”а + 5
Зл«—2^+^’(Ь)
п = I
Зная, что ряд X -- сходится, и учитывая, что
П=1 П2
:<п*—2п*-\-п „hm —-—-—-— = 3,П-^оо П®(И2 + 5)
по предельному признаку сравнения заключаем, что ряд'6) сходится абсолютно.
Признак даламбера. Если для членов числозоео ряда (1) существует конечный преиел
Нт] Л2+2-1 = /,- п-»«| ип I
то при 0 ^ / < 1 ряд (1) сходится абсолютно, при I > I ряд (1) расходится, а при I = 1 требуется дополнительное исследование.
4 Пусть 0 ^ / < 1. Выберем число г так, чтобы I < г < 1. Пусть теперь е = г — /. Согласно определению предела, по данному е = = г — / выберем число No = N (е) = Д' (г — /) такое, что для всех п ^ N6 выполняется соотношение
—г+/<|21д±к|_/<г_/.
Из правой части этого соотношения находим, что
|ti,. ti |<Ии» I -м!Я n>N0.
Пи—1чн в лом неравенстве п = Nn, Nn + 1, ..., получаем;
|UNn+l|<r|Uv, I.
(7)(7)|UN,+ 2|<r2|UN I,
(7)
(7)
|un„+»I<''*,I“n |,
Рассмотрим теперь ряд
| Un,+ \ 1+ I Un,+ 2|+ ... +| UN„+k | 4-....
члены которого в силу (7) не превосходят членов сходящегося ряда (ибо г < 1)
Г | Un, 14- Г21 Un„ | +... 4- rk | uNa 14-...
Применяя признак сравнения, заключаем, что ряд (1) сходится абсолютно.
Пусть /> 1. Выберем число q так, чтобы / > q > 1; возьмем е = I — q, тогда найдем число Nv = N U — <7) такое, чтобы при п> Л, выполнялось неравенство
_/+(7<1±"±к|_ l<l-q.
1 “n I
Из зевой части этого неравенства получаем
I “п+1 I > </1 un I для всех п > Nx,
а это означает, что
|UNl+m|><7'nIUN1| для т = 1,2,...
Так к-к <7> 1 то из последнего неравенства следует, что |u/v,+m| -* -* -до нои т -*• оо, т. е. не выполнено необходимое условие сходимости
ряда и ряд (I) расходится.
Пси / = 1 могут быть различные случаи. Так, гармонический ряд
00 I30 1
- — ри-ходится, а ряд 2 — сходится (см. пример Г к признаку срав- = 1 <п= 1 ^"
Нен 14), X 1ГЯ для этих рядов / = 1. ►
ОО Л1
Примеры 3й Исследовать на сходимость ряд
П - 1я признак Даламбера найдем
11mk—oo11mk—oo(<■+!)! 2*2*+* к'(<■+!)! 2*2*+* к'^"hm (<■ + !)== со.^"hm (<■ + !)== со.С« ••. течснл заданный ряд расходится.С« ••. течснл заданный ряд расходится.4". И.слеА^в-'ТЬ »а абсолютную сходимость ряд4". И.слеА^в-'ТЬ »а абсолютную сходимость ряд
11mk—oo
11mk—oo
(<■+!)! 2*
2*+* к'
(<■+!)! 2*
2*+* к'
^"hm (<■ + !)== со.
^"hm (<■ + !)== со.
С« ••. течснл заданный ряд расходится.
С« ••. течснл заданный ряд расходится.
4". И.слеА^в-'ТЬ »а абсолютную сходимость ряд
4". И.слеА^в-'ТЬ »а абсолютную сходимость ряд
Применяя признак Даламбера и заменяя sin In по формуле Эйлера, получаем:
I (n + hsim (п+1) Qn I 1 „e-(n+,,—en+1
hm — =—— I Im =
n-»oo| v-Hnsinin |3 n-»oo e~n—e"
t. e. чячяппнп pm точн-тя абсолютно,
признак Коши. Для числового ряда (1) положим
1= НтИи, |.п—>оо
Тогда если 0 ^ Z <1, то ряд (1) сходится абсолютно, если Z > 1 — ряд (1) расходится. При Z = 1 требуется дополнительное исследование.
^ Из определения верхнего предела следует, что v 6> О Н ^ = = N (е) такое, что
п
| ип | —Z<e для всех п*> N кг\(8)
причем существует подпоследовательность индексов {пд} такая, чю
"h
е<К|н„к| —Z<e для nh > Л/(s).(9)
Пусть теперь Z< 1. Выберем г так, чтобы Z< г< I, и возьмем е — г — Z. Тогда из неравенства (8) заключаем, что
"ГП<Г|"—Кг—Z для п> N(r—h= Nn,
т. е. | ип |< гп для /i> Nn. Это означает, что члены ряда (1) по модулю на иная с номера Nn не превосходят членов сходящегося числового
ряда 2 гк. По признаку сравнения ряд (1) сходится абсолютно. k=N
Если же Z > 1, то, взяв 1 < q < Z и е = Z — q, из левой части нера- венсгва (9) найдем
пк
Z+9</|i/nh|—Z для nh> NU— q)= Nx, т. е.
для nh > N^ имеем | u„h | > у”6 -* со при п^ -* оо.
Таким образом, необходимый признак сходимости ряда не выполнен и ряд (1) расходится.
При / = 1 ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся что можно проверить на тех же рядах 2 — и 2 —-, на которых ’П= I Л п= I П*
проверялось аналогичное утверждение для признака Даламбера. ►
Замечание. Отметим еще раз, что в признаке Даламбера стоит обычный предел, а в признаке Коши — верхний предел. Оказывается, что если в признаке Даламбера брать верхний предел, то в случае, когда он больше единицы, сделать заключение о расходимости ряда нельзя. В этом можно убедиться на слетующем примере.
Пример 5°. С помощью признака Коши установить сходимость ряда
1 , 1 , 1 , 1 , , 1 1
2 + 3 + 2» + З12" "^ 3“ ’^,"(*°)
Имеем
п 2п-1/,
limV|un|=Iim 1/—=< J
П-»ООП-МО у 2П у2
т. е. ряд (10) сходится, хотя для него
I “n+1 I 1 / 3 \П
1пп = hm — ( — I =СО. •
п->оо | ип | п-*оо 2 \ 2 /
Заметим также, что если применять признак Коши к рядам, члены которых содержат факториалы чисел, последние удобнее заменять по формуле Стирлинга
и1 = 1/2лй(—) е0/,2п. О < 0 < 1,(11)
\ е )
Пример 6°. Исследовать на сходимость ряд
^ и!
пп * п= 1
(12)
Применим признак Коши:
/—п1 е
2(2л«) 2П / П \ П TSZT 12п 12п* I
hm 1 / —1. = Ijm I — I e,2n =— lim (2nn) e = — < 1,
n->oo ^n n-*oo ^\ ^ Je л->ооC
Предел меньше единицы; значит, ряд (12) сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть неотрицательная на [ 1, оо) функция / (д) монотонно убывает при х -► оо и такова, что при целых к = 1,2,... имеем f (6) =» | uh |. Тогда ряд
£ 1 “fc I(13)
*=i
сходится или расходится вместе с несобственным интегралом lf(x)dx, а>1, /(а)— конечное.(19)
4 Произведение |uh|- 1 есть площадь прямоугольника высотой 1ьа| — / № и основанием 1 (рис. 31). Сумма площадей прямоугольников, выходящих за кривую у = f (х) в пределах 1 ^ х < п + 1, больше площади криволинейной трапеции ограниченной функцией / (х), т. е.
п
а сумма заштрихованных площадей, т. е. сумма 2 |и6 |, метите пло- к=2
щади криволинейной трапеции, ограниченной / у.) ь пределах 1 С х < п, г. е.
оп= 2 lH*l< ^W^+HgI-(16)
t=i।
Замечая, что как последовательность оп, так и последовательность п
интегралов j/(x) dx монотонно возрастают, применяя теорему Вейер- штрасса о существовании предела у ограниченной монотонно возрастающей последовательности, получаем следующие утверждения:
Если интеграл (14) сходится, то из (16) следует сходимость последовательности {о,,}, т. е. сходимость ряда (13). Если же ряд (13) сходится, то из (15) следует сходимость интеграла (14).
Далее, так как члены ряда (13) положительны, то его расходимость означает, что оп -*- со при п -► со. Аналогично, если интеграл (14) расходится, то и lim ?/(х) dx = со.
П->оо J
Поэтому, если ряд (13) расходится, то из (16) слетеет расходимость интеграла (14).а еспи "нтег; ял (14) расходиня, ю по (15) еЛсдуи рас- хцимисть }*^ (1 «1 О
Пример /. Исследовать на сходимость ряд Дирихле
1 + —= V-L.(17)
~ 2» ~~ kPкР' '
к— ।
Члены ряда (17) являются значениями функции / (х) = -^ в точках х = к, т с j ^j^—, к = 1, 2, . Функция f (х) монотонно убывает (если р > 0) при , —. оо поэтому ряд (17) сходится или расходится вместе с несобственным ии- х d х
,upwWM |— При р = 1 имеем ооN
Г dx , р dx I = hm |— <л,
J X N-»oo J X II
а при 0 < p < 1 получаем
p dr .,x-”+I N
I = hm =co.
JN-»oo —p+1 I
Таким образом, при 0 < р < 1 ряд Дирихле расходится. Если же р > 1, то
Р di1^1
I = lim —;——-=-.
J xP N-*oo (p—1)хр-* X—1 p—I I
Следовательно, при p > 1 ряд Дирихле сходится. Точно так же можно показать, что ряды
V 1n(In и)“ п=2V 1n(In и)“ п=2у! v1....
V 1
n(In и)“ п=2
V 1
n(In и)“ п=2
n^3 n Inn (Inin п)“** и inn In In и (In in In и)а
сходятся при а > 1 и расходятся при а < 1
Замечание Рассуждениями, анало1ичиыми проведенным при доказательстве интегрального признака Коши, нетрудно установить оценку остатка
ряда Т | ид) полезную в приближенных вычислениях. Действительно, как и при t=i
(18)(18)дикав_тельс1ве иеравеиства (1Ь), имеем
(18)
(18)
У lUfcK f f(x)dx.
к е- *4- Iп
Для салящегося ряда Дирихле (р > I) можно даже получить асимптоти- ■*’••• . .венс1во для „статна в левой части неравенства (16). В самом деле, ’•к ка*
вычисляя иты ралы, находим:
С d.t1
J хр ~ (p_l)nP-i *(20)
п
Г dx 1 1 1
J хР (р—1)(« + 1)р-1(р— 1)пР~* /1 \р_|
Используя биномиальный ряд (ряд (8) §3 гл. V) и применяя доказанный в § 3 признак Лейбница, получаем соотношение
Подставив в (19) вместо интегралов вырахсения (20) и (21). найдем, чтоПодставив в (19) вместо интегралов вырахсения (20) и (21). найдем, что(22)(22)
Подставив в (19) вместо интегралов вырахсения (20) и (21). найдем, что
Подставив в (19) вместо интегралов вырахсения (20) и (21). найдем, что
(22)
(22)
НЕКОТОРЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ НЕАБСОЛЮТНОЙ
СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Знакочередующиеся ряды. Исследования на неабсолютную сходимость мы начнем с простейших числовых рядов с вещественными членами — так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, представимых в виде 2 (—1),,+1 ап, где все о„ > 0.
л = I
Признак Лейбница, Пусть члены знакочередующегося ряда
°i — о2 + а3 — о4 + ... + (—l)n+1 ап + ..., (1)
положительны и монотонно убывают, т. е. а1'> а2~> ... > ап"> .... причем lim ап = 0. Тогда ряд (1) сходится и для его суммы s имеет место оценка s< av
< Рассмотрим частные суммы ряда (1) четного порядка, которые запишем в виде
$2п — («1 — О2) + (о3 — О4) + ... + (о2п-| — О2„).
Выражение в каждой скобке положительно, поэтому имеют место неравенства
(2)(2)$2 < S4 < ... < S^ < ...,
(2)
(2)
т е. последовательность четных частных сумм монотонно возрастает. Если же s2n представить в виде
S2n = О1 — (О2 — Од) — (я4 — Оз) ••• (Огп-2 О2п-1) О2П, то увидим. ЧТО
s2n <С Ор(3)
Применяя теорему Вейерштрасса, заключаем, что монотонно возрастающая, ограниченная сверху последовательность (s2,J имеет предел lim $2n = s- Если теперь учесть выражение s2n+l = s2n + a2n+i п равенство lim o2n+1 = 0, то можно убедиться в том, что
lims2„ +i — lim s2n т limo2,,+i s. П-*ООП^-ООП-Н»
Эго означает, что ряд (1) сходится и его сумма равна s, причем из не- р„венства (3) следует, что s < av ►
Ряды с произвольными членами. Сначала докажем часто применяемое в теории рядов преобразование.
Поеобразование Абеля. Пусть sft = 2 ах и (6Й}— произвольная v = 0
ш» •■■^овательность. Тогда для любых т> п ^ 0 выполняется соот- но-ис ate
У, Chbh= ^L sh ^h— bh+1) +sm bm — S„_! bn. k = n<t = r
Имеем ah = sh — sh_i, s_i = 0, поэтому можно заметить, что mmmm—I
У «h1 h = 22 sh bh — 2 s*-»bh = 5 ь* bh — 2 Sh-bh -vv. kankanкаПkank'atl—l
Отсю '.а выводим требуемое соотношение
у Ofc bh = У sh (^h— ^h+l) + sm bm —Sn_, bn. ► k=nkan
Признак Дирихле—Абеля. Если члены последовательности {Ьп} поло- хит«льны и монотонно стремятся кнулю т. е. Z>t > 62 > ••• > Ьп > ... н lim b„ = 0, и если частные суммы ъп ряда 5 ан ограничены в совокуп- 1-»а*=.1
мести, т. е.
|Snl = | v ofc
"io ряд из произведений
^ L для всех п = 1, 2,...,
СЖ*)ип1йя.СЖ*)ип1йя.^Qhbh 6 = 1
СЖ*)ип1йя.
СЖ*)ип1йя.
4 Применяя преобразование Абеля, для любых т^ п имеем
^ ^А ^А = ^ $ft (^h^h+l)4“ ^m ^m $n-l ^n*
k=u*=n
По заданному e > 0 выберем N = N^ так, чтобы при т > п > N выполнялась оценка Ьп < в. Так как | sk |< L для любых к, то, учитывая монотонное убывание последовательности {&*}, находим
— ^ (^п—bm +hm + bn^ <^ ^f.L.
Это означает, что для ряда (4) выполнен критерий Коши. ►
Пример. Длях, 0 (mod 2л) исследовать на сходимость ряд
fc—i
Обозначим cos kx = ад. \!к = Ь^ ясно, что Ьх > Ь2 > ,.. > Ь^ > ..* и 11m Ьц = 0. Далее, для х Ф 0 (mod 2л) имеем:
#?-*оо
. 2п + 1 х sin —-— х —sin —. 2п + 1 х sin —-— х —sin —
. 2п + 1 х sin —-— х —sin —
. 2п + 1 х sin —-— х —sin —
. . А2 sin —
2
Отсюда видим, что для каждого фиксированного х ^ 0 (mod 2л) справедлива оценка
15,1115,111
15,11
15,11
= для всех ц — 1, 2
21 sin-- sin —
I 2 J 2
Следовательно, выполнены условия признака Дирихле — Абеля, т. е. при х ф 0 (mod 2л) ряд (5) сходится.
Замечания. 1. Утверждение признака Лейбница о сходимости знакочередующего ряда с монотонно убывающими к нулю членами можно было бы получить и из признака Дирихле—Абеля. Действительно, запишем ряд (1) в виде ОО
S (~1)п+1^п, где bx> bt> ... и lim bn = 0. Если положим ah = (—1)*+С п = 1п-ню
то имеем
Sn= У (-1)»+-= f °' ^ " ЧеТН0'
I 1, если п нечетно.
(>•, •.. 1ЬНО, |sn| i для всех п= 1. 2, ... и по признаку Дирихле—Абеля
-бнниа I (—U +1»п сходится.
Мы одна ко, привели непосредственное доказательство признака Лейбни- „а пг - 1 мв ходе доказательства получили оценку для суммы ряда, т. е. оценку • < 51. которая находит больше? применение в приложениях; именно: остаток ^аь 'чередующегося ряда Лейбница не превосходит первого отброшенного члени,
и. е.
2 (-1)"Оп л =*6 4-12 (-1)"Оп л =*6 4-1<°Ь+1»<°Ь+1»
2 (-1)"Оп л =*6 4-1
2 (-1)"Оп л =*6 4-1
<°Ь+1»
<°Ь+1»
Ес ан Нт ап Ф 0, то не выполнен необходимый признак сходимости ря- л-*оо
* я потому ряд (1) расходится. Условие же монотонного убывания членов зн.
kt ’ередующегося рядя (ah > on+i) при выполнении условия Ит ап ■» О
Л-м»
ярпя-тся достаточным условием сходимости ряда (1), но не необходимым. В самом д^ле, знакочередующийся ряд
сходится (по признаку Коши он сходится абсолютно), а условие монотонного \ тываиня членов не выполняется.
С другой стороны, для подпоследовательности четных частных сумм ь^ ря-
■ ,.г > Cl ^а <С1 > 0), п=2 ”■ ,.г > Cl ^а <С1 > 0), п=2 ”(6)(6)имеет место оценкаимеет место оценка
■ ,.г > Cl ^а <С1 > 0), п=2 ”
■ ,.г > Cl ^а <С1 > 0), п=2 ”
(6)
(6)
имеет место оценка
имеет место оценка
re. s^ —# со при & -♦ со. Это означает, что ряд (6) расходится.
§ 4. ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
L Основные понятия. Пусть члены ряда
(1)(1)/i (г)+ /8(?) + .••+/,.(?) + ■.. = 5 /„(г)
(1)
(1)
п = 1
представляют собой некоторые функции переменной г (вещественной или комплексной) и пусть функции /„ (г) у п = 1,2,... определены в точке г0. Будем говорить, что ряд (1) сходится в точке г0, если сходится числовой ряд S /„(г0).
пп= I
Пусть теперь функции fn(z) определены в некоторой области D.
i (1) называется сходящимся в области D^ если он сходится в каж- точке этой области.
Из критерг > К< щ пля сходимости числовых рядов cp?w же вы- 1<а,« ; е. иа кри.ерии схсдимости функциональных рядов.
Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1) бы г сходящимся в области D, необходимо и достаточно, чтобы у е > и и у г € D можно было указать зависящее от е и от г число N = N (е, г) такое, что для всех п "> N(e, г) и всех р = 1,2.. выполняется неравенство
1/пн (г) + /п+8(г) + ...+/п+р (г)| < е. (2)
В частности, для сходящегося в области D ряда (1) из неравенства (2) при р -> оо получаем следующую оценку остатка ряда (1):
|1^п(г)| =|1^п(г)| =2 №t = а + 12 №t = а + 1^ е,^ е,
|1^п(г)| =
|1^п(г)| =
2 №
t = а + 1
2 №
t = а + 1
^ е,
^ е,
если только п > МЕ> г), г € D.
Заметим, что область абсолютной сходимости ряда (1) может быть найдена с использованием признаков Даламбера или Коши. Действительно, определяя предел (если он существует)
lim 1^±^LL = <р (г), q (г)>0, П-*О0 I tn W I
или верхний предел
miF" 17^)1-ГО. Ф(г)>о, П->ОО г
из неравенств <р(г) < 1 пли ф (г) < 1 определяем область D абсолют, ной сходимости ряда (1).
Пример 1°. Найти область сходимости функционального ряда
у Г г+ п 1пA L 2nz J
п= I
Используя признак Коши, имеем
lim 1”А\ г+- I" = —— Пт I — + 1 = —1—п -♦ оо | 2nz J 2 | г | n-»oo | л21 г |
и нз неравенства 1/2|г|^ 1 находим, что ряд сходится для всех г, удовлетворяющих условию |г|> 1/2.
Если ряд (1) сходится в области D,io его суммой будет некоторая функция / (г).Встает вопрос о свойствах этой функции в зависимости от свойств функций /п(г). Из сходимости вещественных функциональных последовательностей известно, что последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции. А так как сходимость ряда есть сходимость последовательности частных сумм этого ряда, то аналогичное утверждение справедливо и для рядов. Оказывается, что даже аналитичность функций fn (г) не влечет непрерывности суммы ряда, т. е. функции / (г). Поясним это на примере.
Пример 2V. И<_ следовать на непрерывность сумму ряда
V -2г (!+?)*-■
^, П+и+г^-ЧП + П +г)Ч '
Чтены ряда, т. е. функции
-2г(1-Гг)6-*1-(1+г)й _ I—(1+г)»-
,‘w'r |1Ч1Н)‘-Ч!+И + г)‘Г l+O+z)»l+d+z)»"1*
являются аналитическими во всей плоскости, кроме точек
. д2±-1п
?m= —Ч-е *, m=0, 1, .... к— 1
в
(-М-лг,п—— 1+е 6-1т=0, 1к — *’,
лежащих на окружности |1 + г| =■ 1, причем в точке г=о каждая из функций fh (г) аналитическая.
Частные суммы ряда (3) имеют вид l-d+г)"
SntZ 1+(Ц-г)" '
Сгсюда находим, что sn (0) = 0 и, следовательно,
/(0)= hm sn (0) = 0.
П-*оо
Цмее, если 11 + г| < 1, то lim (1 + г)п = 0, а потому
1 —(Ц-г)пf(z)= Пш яп(г) = lim=1 при | l + zl< 1.
П-*ооп-*оо *т(^тг)
Г г ли же | 1-,г| : 1, то lim (1 +-г)"= оо и
/(г)= limП-»оо/(г)= limП-»оо_LzlL±£ll = 1|т '/(1+?)''-1H-d ;-г)"„^ 1/(1+?)"+!
/(г)= lim
П-»оо
/(г)= lim
П-»оо
Я» окружности z = —1 + е'° при 0^0 предел выражения (1 + г)" = е,п0 ушегтвует, т. е. ряд (3) расходится.
1^ =1^ =0 прн0 прнг = 0,г = 0,Таким образом, суммой ряда (3) является функция
1^ =
1^ =
0 прн
0 прн
г = 0,
г = 0,
— 1 при | 1 4-г | > 1 ,
а это означает, что в точке г =» 0, являющейся точкой аналитичности членов Р<ла, сумма ряда является разрывной функцией.
Равномерная сходимость. Из примера 2° становится естественной "‘становка вопроса о том, при каких же условиях на функциональ- 1 ^й ряд (1) сумма этого ряда будет функцией непрерывной или даже «алитической. Как и для последовательностей вещественных функций, ’аким условием будет так называемая равномерная сходимость ряда,
которую мы определим не в терминах равномерной сходимости последовательности частных сумм ряда (1), а в терминах остатков этого ряда.
Сходящийся в области D функциональны» ряд (1) называется ря- дои, равномерно сходящимся в этой области, если у е >• О, существует не зависящее от г £ D число N = W(e) такое, что для остатка Rn (z)=
= S fh(z) ряда (1) имеет место неравенство |/?n(z)| < 8 для всех 6 = п+ I
п > N и всех г £ D.
Так же как и для обычной сходимости ряда (1), для равномерной сходимости имеет место критерий Коши.
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости). Для того чтобы функциональный ряд (\) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы у е > 0 и у г С D у -Vo = No (е) такое, что неравенство
l/n+i (г) + ... + fn+p (г) | < 8(4)
выполняется для всех г £ D, если только п"> /Vn (е) up — любое натуральное число.
Необходимость. Пусть ряд (1) сходится равномерно в области D, т. е. у е > 0 э Wn = Wo (f) такое, что yz € D и всех п > > Wn имеем неравенство | Rn (г) | < е. Если f (г) — сумма ряда (1), a sn (г) — его частные суммы, то можно заметить, что
I fn+l (2) ~Ь ••■ *Ь in+p (^) I I ^nVp (z) Sn (г) I ^ I Sn+p W
- f (2) | + I fH - s„ (z) | = | Rn+P (z) I + 1 Rn (z) 1 < 2e
для всех n "> No и всех ?£ D и необходимость установлена.
Достаточность. Из выполнения критерия Коши, т. е. из (4), следует, что ряд (1) сходится в области D. Обозначим его сумму через f (г), тогда
limsn+p (г) =/(г) для всех z^D.
Р-*х>
Переходя к пределу при р -► оо в неравенстве |sn+.p (z) — sn (z)| <8, получаем утверждение теоремы:
| /(г) — sn (г) | = I 7?п(г) I < f у г £ D и у п > Wo (е). ►
Условия равномерной сходимости. Как мы видели выше, проверка критерия Коши затруднительна даже для числовых рядов, поэтому встает вопрос об эффективных признаках равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема 2 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если знакоположительный числовой ряд S ап сходится и для членов функцио-
П=1 нального ряда (1) справедливы оценки
I In (г) I С Un V г £ D и всех п > п0 > 1,(5)
то ряд (1) сходится равномерно в области D.
При выполнении условия (5) ряд (1) называется мажорируемых* в v^mi mu D.
4 Используя неравенства (5) и учитывая сходимость числового ряда 5 j„, находим для всех z С D
п + р|/п+1(г) + •••+/n+Hz)IC У 1ШК*= 4 I
"Ар
^ V <+ < е, если п> N (е), р = 1,2....
Это означает, что выполнен критерий Коши равномерной сходимости, т. е. ряд (1) сходится равномерно в области D. ►
ПримерЗ0 Покачать, что в полуплоскости Re г > а > О ряд S е~”г п=0 схо |тся равномерно.
Для Re г .- » > ^ имеем соотношения
le'^l-le-^e-'^^e-”^——.
1е«а
ос / 1 \П
Но числовой ряд S 1 — 1 сходится, поэтому по причнаку Вейерштрасса в об- n=o\ej
ла.ги Re г > а > 0 ряд S е~пг сходится равномерно. п — 0
Замечание. 1. Условие мажорируемое™ (5) ряда (!) является достаточным „ля равномерной сходимости этого ряда, однако оно не является необходимым ^ В самом деле, для членов ряда
(—Пп п+1гМ
(6)
п| и «««'-ых г справедлива оценка
I (-1)" I 1с (г)
| л4-1 гр I п-Цг1г п
с (г) > 0.
(7)
Это означает что при каждом г сходящегося мажорирующего ряда нет, а потому, г >льзуясь признаком Вейерштрасса, о равномерной сходимости ряда (б) ннчею .»«,ать иечьзя
Но, используя признак Лейбница, найдем, что
1Я„(г)1 =
V (-1)П
1
< ——— для всех г , п+1
т. е. pii (ь) сходится равномерно во всей комплексной плоскости. ►
Е< и члены ряда (1), т. е. функции fn (г), являются аналитике! ими в области D функциями и непрерывными в замкнутой области D == о^_ l^ то для проверки равномерной сходимости ряда (1) в обвести D достаточно проверить его равномерную сходимость на границе L. Так, справедливо следующее утверждение.
Теорема 3 (второй признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если функции fn (z) — аналитические в области D и непрерывны в замкнутой области D — D . L и если функциональный ряд (1) сходится равномерно на границе L, то он сходится равномерно и во tveu замкнутой области D.
4 Пусть т] С L. Из равномерной сходимости ряда (1) на L следует, что
I Sn+p (П) — Sn (п) I -‘ I /п+1 01) + /п+2 01) +...+ /п + р (П) I < 8,
Vn € L, если только п > N (е) и р = 1,2, ...
Отсюда заключаем, что
max | sn+P (л) —s„ 01) I = I s„+p Olo)—s„ (По) | < e, По E L.(8)
T]6t
Так как функция sn+p(z) — sn (z) — аналитическая в D и непрерывная в D, то_по принципу максимума модуля можем записать, что для любых г £ D выполняется неравенство
I sn+p (г) — sn (г) | С | sn+p 0]п) — s„ Oln) |,
а потому в силу (8) для ряда (1)в области D выполнен критерий Коши равномерной сходимости. ►
Замечание. Не следует путать абсолютную сходи-юсть ря :з с равномерной. Так, ряд (6) сходится равномерно во всей плоскости, по в силу неравенства (7) абсолютно расходится в каждой точке г. Однако возможно н обратное соотношение. Для подтверждения этого утверждения рассмотрим ряд
п^о (1^^П ’ .
который сходится абсолютно в точке г = 0 и при всех г, удовлетворяющих условию | I + г2| > I. Условие | I + z21 > I выполнено, в частности, для г< чек г = ре'^ расположенных в угле D : {0 < р < со, | <р | < л 1}. При г Ф 0 имеем
VI г3/|4-г2)п-1г.-,
Sn (?)Sn (?)> — = г2v 7= (1 4- г2) 1
Sn (?)
Sn (?)
*±о (1+z2)।1I (Н г2)п+1 J
1 г3
a sn (0) = 0 для всех п = 0,1, ... Поэтому можем записать, что
/ (г)= lim sn (г) =Л~*ОО/ (г)= lim sn (г) =Л~*ОО1 +г2, если г 6 D, 0, если г - - 0 .1 +г2, если г 6 D, 0, если г - - 0 .
/ (г)= lim sn (г) =Л~*ОО
/ (г)= lim sn (г) =Л~*ОО
1 +г2, если г 6 D, 0, если г - - 0 .
1 +г2, если г 6 D, 0, если г - - 0 .
Итак, члены ряда, т. е. функции fn (г) = ^-qr^ijn, непрерывны в области D, = = D + {0}, а сумма ряда — функция разрывная, ибо hm (1 + г2) = 1 + 0.
г -> 0
Учитывая, что /п (г) —• 0 при г-► 0, и применяя теорему 3 § 5, убеждаемся в неравномерной сходимости ряда (9) в области D.
§ 5. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Теоремы о непрерывности суммы и предельном переходе. Функциональные ряды, равномерно сходящиеся в некоторой области D, обладают в этой области целым рядом свойств, используемых как в теории рядов, так и в их приложениях.
Теорема 1. Если функциональный ряд
(1)(1)оо
(1)
(1)
V /пМ
п = 0
сходится равномерно в области D и функция ф (г) ограничена в этой области, т. е. | ф (г) | С М для всех г € D, то функциональный ряд
%ЧШМ(2)
п=0
также сходится равномерно в области L
п+рУ кНк = п*1п+рУ кНк = п*14 Из равномерной сходимости ряда (1) следует неравенство
п+р
У кН
к = п*1
п+р
У кН
к = п*1
<eyn>jV(e), р = 1, 2, ... и у z^ D
Это значит, что
п+рУ Ф (г) к (г) к=п + 1п+рУ Ф (г) к (г) к=п + 1= |ф(г)1= |ф(г)1п+р.2 кНА=п+1п+р.2 кНА=п+1•< Me у п "> N (е), р == 1,2,.., и у г£ D,•< Me у п "> N (е), р == 1,2,.., и у г£ D,
п+р
У Ф (г) к (г) к=п + 1
п+р
У Ф (г) к (г) к=п + 1
= |ф(г)1
= |ф(г)1
п+р
.2 кН
А=п+1
п+р
.2 кН
А=п+1
•< Me у п "> N (е), р =
= 1,2,.., и у г£ D,
•< Me у п "> N (е), р =
= 1,2,.., и у г£ D,
е. для ряда (2) выполнен критерий Коши равномерной сходимости. ► Теорема 2. Если члгны fn (г) функционального ряда (1) непрерывны в области D и ряд сходится равномерно в этой области, то его сумма f (г) непрерывна в области D.
Пусть точки г0 и г0 + Аг принадлежат области D. Тогда из равномерной сходимости ряда (1) в D следует, что у е > О g N = N (е) такое, что у п >> N (е) выполняются неравенства
I Rn (го) I = I / (г0) - sn (г0) | < е/3(3)
и
| Rn (г0 + Аг) | = | / (г0 + Аг) — sn (г0 + Аг) | < е/3.(4)
где sn (г) — частные суммы ряда (1).
Из непрерывности функций к И в области D следует и непрерывность в этой области частных сумм ряда (1). Поэтому по выбранному 8 > 0 и фиксированному пг > N (е) выберем б = 6 (в) >- 0 так, чтобы при | Az I < б выполнялось неравенство
| s„, (г0 + Аг) — s„, (г0) | < е/3.(5)
Считывая неравенства (3)—(5), найдем
I/ (г0Д2) - / (гп) |< | / (г0 + Аг) - s„, (гп + V) | +
+ I sn, (г0 + Az) — sn, (г0) | + I s„, (г0) — f (г0) | < в,
если только | Дг | ^ 6, а это и означает, что / (г) непрерывна в произвольной точке z0 € D. ►
Теорема 3. Пусть функциональный ряд (1) сходится равномерно в области D и точка г0 — предельная для области D, причем существуют конечные пределы
lim/д (z) = ch, /г = О, 1, ...
1-^0 геО
Тогда. 1) Числовой ряд
(7)
сходится; 2) для функции f (г), являющейся суммой ряда (1), существует предел при г -► zn (г £ Q). равный сумме ряда (7). Другими слонами, имеет место равенство
г-*"^ п=0 kDг-*"^ п=0 kDn^CZ-»!, Z6Dn^CZ-»!, Z6D(8f(8f
г-*"^ п=0 kD
г-*"^ п=0 kD
n^CZ-»!, Z6D
n^CZ-»!, Z6D
(8f
(8f
4 Из равномерной сходимости ряда (1) в области D следует, что V в > 0 a N = N (е) такое, что у г € D, у «> W (е) и р = 1, 2,... выполняется неравенство
lfn+i (г) + ... + k+р (г) | < в.
Переходя в этом неравенстве к пределу при г -> г0 (г € О), получим
kn+i + ... + t-n+p I < е V п > N (е)|, р = 1, 2, ....
т. е. для числового ряда (7) выполнен критерий Коши и ряд (7) сходится. Обозначим сумму ряда (7) через с и оценим разность | f (г) — — с | при г £ D:
|/(г)-с| = |/(2)—sn(z)+sH(z)—v Clt +|/(г)-с| = |/(2)—sn(z)+sH(z)—v Clt +пV ск — СпV ск — С<|^п(г)| +<|^п(г)| +
|/(г)-с| = |/(2)—sn(z)+sH(z)—v Clt +
|/(г)-с| = |/(2)—sn(z)+sH(z)—v Clt +
п
V ск — С
п
V ск — С
<|^п(г)| +
<|^п(г)| +
(9)(9)+ |4п(г)— V Сц + v ck — С|» = о
(9)
(9)
Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что для и > ^(e) и всех z £ D первое слагаемое меньше г 3. Далее, из сходимости ряда (7) следует, что и третье слагаемое в (9) при п>\ (е) также меньше е/3. Наконец, из условий (6) следует, что при фиксированном щ > N (е) для всех 2 € О и удовлетворяющих неравенству | г — 20 | < 6 (е) справедлива оценка
п, |
' .W— ct '<^3
I
Таким образом, для | г — г01 < б (в), z£D, имеем
а это и означает, чтоа это и означает, что|/(г)—сК|Яп,(г)||/(г)—сК|Яп,(г)|V cn= V hmfn(z).1 = 0п = Э г->А"V cn= V hmfn(z).1 = 0п = Э г->А"Um V /п(г) =г-^п = 0 zsDUm V /п(г) =г-^п = 0 zsD
а это и означает, что
а это и означает, что
|/(г)—сК|Яп,(г)|
|/(г)—сК|Яп,(г)|
V cn= V hmfn(z).
1 = 0п = Э г->А"
V cn= V hmfn(z).
1 = 0п = Э г->А"
Um V /п(г) =
г-^п = 0 zsD
Um V /п(г) =
г-^п = 0 zsD
2. Теоремы об интегрируемости и дифференцируемости рядоо. В теории рядов и в их применениях важную роль играют следующие свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема 4. Если функциональный ряд (1) сходится равномерно в области D и функции fn kz), п = 0, 1интегрируемы по любой кусочно-гладкой кривой у с D, то ряд (1) можно почленно интегрировать, т. е. имеет место равенство
-4 Из равномерной сходимости ряда (1) следует, что у е>0 справед- лньа оценка
I Rn ИI =I Rn ИI =/а (г)/а (г)< е у п > N (е) и у г g D.< е у п > N (е) и у г g D.(10)(10)6 =п +6 =п +
I Rn ИI =
I Rn ИI =
/а (г)
/а (г)
< е у п > N (е) и у г g D.
< е у п > N (е) и у г g D.
(10)
(10)
6 =п +
6 =п +
Пугть у—любая кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D, I — длина этой кривой. Представим интеграл от ряда в следующе.. виде:
= J sn(z)dz + J Rn^dz = VV
V ^(z)dz + ^Rn(z)dz. (11)
6 = 0 VV
Принимая во внимание свойство 3 интеграла (см. § 1 гл. III) и учитывая соотношение (10), для интеграла от остатка ряда получаем оценку
Rn (z) dz С J | Rn (г) | do < в/ у п > N (в).
vvV
v
v
П^пехотя в правой части соотношения (11) к пределу при л->оо, получаем равенство
f V /„ (г) dz = £ f fn (г) dz
j |_п = 0n=0 Z
Теорема 5. Пусть функции }п (х), п = 1, 2вещественной переменной х непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке 1а, 61 и пусть ряд
5 fn (.V)(12)
п= I
схочипся на отрезке 1а, 61, а ряд из производных
5 №(13)
и = О
равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма ряда (12), т. е. функция f (х), дифференцируема, причем.
Г^=Г^=2 /п W/1 = 12 /п W/1 = 1' V /-(X).' V /-(X).
Г^=
Г^=
2 /п W
/1 = 1
2 /п W
/1 = 1
' V /-(X).
' V /-(X).
Ф (u) duФ (u) duJ ф(и) d« _лJ ф(и) d« _л►►
Ф (u) du
Ф (u) du
J ф(и) d« _л
J ф(и) d« _л
►
►
4 Обозначим через ф (х) сумму ряда (13). По теореме 4 этот ряд можно почленно интегрировать, т. е.
= 5 [/»(«)du = V [/„(х)—/„(a)J=/(x) -/(а) п— I иП=1
Дифференцируя это равенство, находим
Теорема 6 (Вейерштрасс). Пусть члены р.чда^, т. е. функции fn (г), являются однозначными аналитическими функциями в области D, а ряд (1) сходится равномерно в любой замкнутой односвязной подобласти D' С2 D к функции f (г). Тогда 1) f (г) является аналитической в области В функцией; 2) ряд (1), мочено почленно дифференцировать любое число раз, т. е. \ г^О имеет место равенство
£ /»(2)Л = 0£ /»(2)Л = 0( 'о= Z Гп’Н. к л=0( 'о= Z Гп’Н. к л=01.2, ...;1.2, ...;(14)(14)
£ /»(2)
Л = 0
£ /»(2)
Л = 0
( 'о
= Z Гп’Н. к л=0
( 'о
= Z Гп’Н. к л=0
1.2, ...;
1.2, ...;
(14)
(14)
) полученное после к-кратного дифференцирования (к = 1, 2, ...)» ряды (14) сходятся равномерно в люим замкнутой одноевчзной подобласти В’ с В.
1) Пусть усО — произвольный замкнутый контур, Dv — ограниченная им область и пусть Dv с В. Применяя теорему 4 об интегрируемости равномерно сходящихся рядов, получаем равенство
р (Н) di] =Vр (Н) di] =VМ f/n(n)d’b п = и*М f/n(n)d’b п = и*
р (Н) di] =
V
р (Н) di] =
V
М f/n(n)d’b п = и*
М f/n(n)d’b п = и*
По теореме Коши равны нулю интегралы j /„ ui)d ц = и для п = v
= 0, 1. .... поэтому
J/(n)dH = O.(15)
v
По теореме 2 функция f (г) непрерывна в области D, у — любой замкнутый контур, лежащий в области D, а потому, применяя теорему Морера, из равенства (15) заключаем, что функция f (г) — аналитическая в области D.
Пусть z0£D и у — замкнутый контур такой, что г0 € D^ с D. Обозначим через d минимум расстояний от точки г0 до точек я Суи рассмотрим функцию <р(п)= (|) _ ^)A+I . П С У- Ясно, что
^Г = Л1А для tie у. Рис'82
Применяя теорему 1, заключаем, что функциональный ряд
(16)(16)f (п). v ^п (п)
(16)
(16)
(ч—го)*+1^ (п—го)^1
сходится равномерно на контуре у и в силу теоремы 4 ряд (16) можно почленно интегрировать. Умножив эти интегралы на kWZni, получим
к1 Г f W л V А| С ^п ^ а
2л/ J (я-го)^1~ 2га J (i|-z0)ft+l
Но интегралы являются интегралами Коши от функций fW (г0) и /л (?о)> т. е. имеем равенство
РЦг0)= В f"4z»Y.
п = 0
а так как г0 — произвольная точка области D, то второе утверждение теоремы Вейерштрасса установлено.
Пусть у — замкнутый контур такой, что ограниченная им область Dv с: D. Если d — минимум расстояния от контура у до границы области D, то проведем контур у„ охватывающий контур у и такой, что расстояние от контура у! до контура у не меньше, чем d/2 (рис. 32). Остаток ряда (1) Rn (?) есть аналитическая в области D функция, поэтому, применяя формулу (16) (см. § 2 гл. III), можно записать, что для г С Dу = Dx + у выполняется равенство
Rn (?) = fm (?) = 2л/ J (п — z)fc+l ^^’^^
1Л—Л -|- I
где R^' (?) — остаток ряда (14) Из равномерной сходимости ряда (1) на контуре ух следует, что у е >• 0 g ^ = Л' (е) такое, что V И € Ti и у п > ^ (е) справедлива оценка | А?п (ц) | < е. Обозначая через Z длину контура ух, из (17) выводим неравенства
I nt»)f _JjRn_21L_ —61
I ^л (z) I С 2л J I Ч- г 1*+* do ^ 2л (d/2)»+i ~ Е1
V,
для всех п >• N (е) = N (е^ и для всех г из замкнутой области D. Это означает, что ряд (14) сходится равномерно в Dv, причем Dv — произвольная замкнутая область из D. ►
Замечание. Отметим, что исходный ряд (1) может сходиться равномерно в замкнутой области D = D + L, тем ие менее ряд из производных (14) может быть даже расходящимся на L. Например, рассмотрев два ряда:
заметим, что первый сходится равномерно в круге 1 г ] С 1. а ряд из производных в точке г = 1 (второй ряд) расходится и равномерная сходимость этого ряда будет иметь место только в любом круге | г | ^ г < 1.
VVСТЕПЕННЫЕ РЯДЫСТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
V
V
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Степенной ряд. Теорема Абеля. В гл. IV мы рассмотрели общие функциональные ряды, когда вид функций /п(г) конкретно не задавался. Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
У сигп —ряд по степеням г, (1) п= О
V сп (г — 20)п —ряд по степеням (г— г0). п— ь
^десь функции /п (г) имеют вид с,,2я или с„(г— г0)я, где сп и г0 — комплексные числа. Ряд по степеням (г — г0) можно свести к ряду по степеням новой переменной Z путем замены г— z0 = 2, т. е. путем параллельного переноса плоскости (г) на вектор гп- Поэтому для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рядом (1).
Для выяснения характера области сходимости степенного ряда установим следующую теорему.
Теорема 1. (Абель). Пусть степенной ряд (1) сходится в точке <4 ф 0. Тогда он сходится абсолютно в любой точке г, для которой | г I < | 20 |, и равномерно в любом круге | г | С г < | г0 |.
Если степенной ряд (1) расходится в точке г„ то он расходится и * всех точках г таких, что | г | > | 2Х |.
N Пг условию, ряд S с„гя сходится, следовательно, Ншспг? = 0, п = Пп-юо
а иному из ограниченности сходящейся последовательности выводим, что
| < „г“ | ^ Л1 для всех п = 0, 1, ...(2)
Рид (I) запишем в виде
и учтем неравенства (2), тогда найдем
5 сп z" с V |сп?" | = V |с„ ?"| 2- Г ^ Л1 v I— Г.
~0 п^Г^ г" I _^01 ^ I
Здесь — < 1, поэтому последний ряд сходится, а это означает, г°СО
что сходится ряд S | cnz" I, т. е. при | г | < | г0 | исходный степенной п = 0
ряд (1) сходится абсолютно.
Если же г рассматривать только из замкнутого круга | г | С С ' < I ?о I, то I г/г0I С f/1 *о |, а это означает, что степенной ряд (1) мажорируется сходящимся числовым рядом S (г/ | ?0 |)" и по при- П=0
знаку Вейерштрасса (см. IV.4.2) исходный степенной ряд (1) сходится равномерно в круге I г | ^ г < ] г0 |.
Пусть теперь ряд (I) расходился в точке гх. Предположим, что в точке ?2 такой, что I г21 > | г, |, ряд (1) сходится. Тогда по предыдущему утверждению ряд (1) сходится и в точке гп что противоречит условию. Итак, для всех г таких, что | г | > | ?! |, ряд (1) расходился. ►
Область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Ясно, что точка ? = О всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки ? = 0 и от всей плоскости (?), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда (1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.
Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.
Для каждого фиксированного г рассмотрим числовой ряд
(3)(3)X Kznlп-Э
(3)
(3)
и применим к нему признак Даламбера. Именно: если существует предел
то ряд (3) сходится, если | z | L < 1, и расходится, если | ? | L > 1. Отсюда заключаем, что если выполнено соотношение
I zl <т"=—Н hm I ""^ I_ Цт Сп + |Л-»оо| Cn+! |
рНд ^ сходшин абсолютно, а если имеет место неравенство| г J > 1/L = lim I—^ I,
п-»оо I Сп+1 I
го ряд (1) как и ряд (3), расходится.
Таким образом, для определения радиуса круга сходимости стеленного ряда получаем формулу
/? = -L==lim(5)
L Л->оо Cjl+1 I
Если же к ряду (3) применим признак Коши, то получим равенство
lim v7‘knz'4 = |z|limv7r|cn| = |z|/,
Л-*оо fn-»oo F
из которого заключаем, что ряд (3) сходится, если |г|<у =^,
Tim /[с^
и расходится, если |г|2>-т-. Таким образом, радиус круга сходимости
К ряда (1) определяется по формуле
R = 1 -(6)
lim ^|с„|
Л->ею У
которая носит название формулы Коши — Адамара.
Рассмотрим несколько примеров на применение формул (5) и (6)
“ п!
Примеры. 1°. Найти область сходимости ряда S -гт гп при а > 1, n = I а
•ю•юПрименяя признак Даламбера, аналогично соотношениям (3) и (4) найдем,
•ю
•ю
П!а,п + П‘а2п+*
R = lim —;= lim —— = оо,
Л-»ОО Qn (n-pl)! П-»ОО n-f- I
в это означает, что ряд сходится во всей плоскости (г).} ОО /] \п*
2'. Найтн круг сходимости ряда S [1 + —I г”. л=1\п/
Исш зьзуя формелу Коши—Адамара (6), находим
111
R = ■—:— == — ,
Tim -У (1 + 1/п)п‘ Hm(l+l/n,n е П->оо 'л-»оо
т е. ряд сходится в круге | г | < 1/е.
Замечание. Необходимо отметить, что формула (5) выведена в предпо- *>*»нни существования конечного предела lim ^n+- , т. е. в предположении, п-»оо сп I
• степенной ряд (1) содержит все степени переменной г. В самом деле, для ряда
2п+1
л = 0
равны нулю коэффициент при чешых пепенях г, г. е. ь2п = 0, а ноюму
. Cln + ||^1П+1 Л
hm —=>оо, hm =0,
n—оо С,„11—30 С2п+>
ПтПт^^^.±22.(2п + 3) (Zz)8"*1^^^.±22.(2п + 3) (Zz)8"*1т. е. формулу (5) для данного ряда применить нельзя. Однако непосредственное применение признака Даламбера приводит к соотношению
Пт
Пт
^^^.±22.
(2п + 3) (Zz)8"*1
^^^.±22.
(2п + 3) (Zz)8"*1
= 2* । г I2 lim= 281 г I8 < I .
п-» 2п+^
Это означает, что ряд (7) сходится, если | г |2 < -j-, т. е. в круге | г| < -у-. Пример 3°. Набпи область сходимости ряда
” гп*
Степени г входят в ряд с пропусками, поэтому непосредственное применение формулы (5) невозможно. Используя признак Даламбера. можно записать чю ряд сходится, если
|гГ‘+2п+1п!|г|8п+‘
lim —= lim ■— < I .
n—” (n + l)l (г" ) n-oo n+1
Но это неравенство возможно только в том случае, когда |г| ^ 1. т е ряд сходится в замкнутом круге | г | ^ 1
Теоремы о свойствах степенных рядов. Члены степенного ряда, т. е. функции fn (г) = сп (г — г0)'*, являются аналитическими функциями во всей плоскости. Кроме того, в силу теоремы Абеля в любом замкнутом круге, лежащем в круге сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Поэтому к степенным рядам применима теорема Веи- ерштраеса (IV.5.6). из которой выводится следующее утверждение
Теорема 2. Если степенной ряд (1) сходится в круге \z\<_R^ функции f (г), то: 1) [ (г) — аналитическая функция в круге | г | < R, 2) степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус круга сходимости продифференцированных ряд * также равен R.
Точно так же, принимая во внимание утверждение теоремы Абеля о равномерной сходимости степенного ряда в замкнутом круге | 2 | ^ г < R, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема 3. В круге сходимости | г | < R степенной ряд (1) можно почленно интегрировать, причем полученный от интегрирования ряд 2 ■ С — гп+1 сходится в том же круге | г | < R, что и ряд (1).
П=«1 л Т *
п--1 -^п--1 -^^ Последнее утверждение теоремы следует из равенства
п--1 -^
п--1 -^
hm 1/ —Сп - = lim
Л~*Х у П-|~ I п-*х>
П Р н ч е у 4W« используя свойства степенных рядов, нлйги сумму рядаП Р н ч е у 4W« используя свойства степенных рядов, нлйги сумму рядап —ОО^лтяячая сумму ряда черезп —ОО^лтяячая сумму ряда через2п+12п+1<р (г) и применяя утверждение теоремы 2, по-<р (г) и применяя утверждение теоремы 2, по-<р' (Z) = V<р' (Z) = V22П —22П —п= оО!#1 цкльно. для |z| < 1 имеемп= оО!#1 цкльно. для |z| < 1 имеем при I г | < I .Х — г1 при I г | < I .Х — г1Ч (г) = } оЧ (г) = } оd-/— и;d-/— и;11- - In -2j11- - In -2j
П Р н ч е у 4W« используя свойства степенных рядов, нлйги сумму ряда
П Р н ч е у 4W« используя свойства степенных рядов, нлйги сумму ряда
п —О
О^лтяячая сумму ряда через
п —О
О^лтяячая сумму ряда через
2п+1
2п+1
<р (г) и применяя утверждение теоремы 2, по-
<р (г) и применяя утверждение теоремы 2, по-
<р' (Z) = V
<р' (Z) = V
22П —
22П —
п= о
О!#1 цкльно. для |z| < 1 имеем
п= о
О!#1 цкльно. для |z| < 1 имеем
при I г | < I .
Х — г1
при I г | < I .
Х — г1
Ч (г) = } о
Ч (г) = } о
d-/
— и;
d-/
— и;
11
- - In -
2j
11
- - In -
2j
§ 2. РЯДЫ ТЕЙЛОРА
|Ч|ЧI. Связь коэффициентов степенного ряда с его суммой. Пусть степенной ряд
|Ч
|Ч
(1)
и = 0
сходится в круге |г—г0 I < R- Обозначим через f (г) его сумму Согласно теореме 2 предыдущего параграфа, в круге | г — г0 I < R р- д (1) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е.
/<*>(г) =п(п—1)...(и—6 + 1)сп (г—г0)п'*, 6 = 0, 1,...(2)
Полаия в равенствах (2) г = г0, получаем:
/ С?о) = Со» f (го) = с1» / (2о) = 1 • 2 • с8.
(3)
$W (2^ = п!сп, ...
Эти равенства показывают, что значения всех производных функции / (г) в точке г0 однозначно определяются коэффициентами ряда (1).
венства (3) можно также рассматривать и как выражение коэе^и- нтов степенного ряда (1) через его сумму / (г), г. е.
^^.^0,,....^^.^0,,....(4)(4)
^^.^0,,....
^^.^0,,....
(4)
(4)
Выражения (4) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой в точке г0 функции f (г). Эти выражения сп называются коэффициентами Тейлора функции f (г) в точке z0. Формально составленный степенной ряд с этими коэффициентами (4), т. е. ряд
” Г<П) I,/(г) - V '- °-(г-г0)п,(5)
^ П1
п = ।
называется рядом Тейлора функции ) (г) по степеням (г — г0). В случае го = О этот ряд называется также рядом Маклорена функции / (г).
Теорема Тейлора. Эта теорема исследует, когда в круге сходимости ряда Тейлора в соотношении (5) вместо соответствия можно поставить знак равенства. Из теоремы 2 § 1 следует, что функция / (г) должна быть аналитической в круге сходимости ее ряда Тейлора, а не только бесконечно дифференцируемой в точке z0. Это подтверждает следующий пример Коши.
Пусть функция ф (х) определена следующим образом:
, х (е-*/*' при х^=0,
Оприх = 0.
Ее производная в точке х = 0 равна нулю:
Ф* (0) lim —— е " <Д*)! =0.
&Z-.0 Дх
Таким же образом можно показать, что ф1м (0) = 0 для всех А = 1, 2, ... Следовательно, формально составленный ряд Тейлора по степеням х функции ф (х) имеет все коэффициенты, равные нулю, т. е. сходится к тождественному нулю, хотя ф (х) ^ 0.
Возможность поставить знак равенства в соотношении (5) устанавливается следующей теоремой Тейлора.
1. Если функция / (г) — аналитическая в круге | г — то она однозначно представляется в нем своим рядомfw= V сп (z—z0)n. I г—г01 < R,(6)п = О1 Г /(п).1. Если функция / (г) — аналитическая в круге | г — то она однозначно представляется в нем своим рядомfw= V сп (z—z0)n. I г—г01 < R,(6)п = О1 Г /(п).Теорема
1. Если функция / (г) — аналитическая в круге | г — то она однозначно представляется в нем своим рядом
fw= V сп (z—z0)n. I г—г01 < R,(6)
п = О
1 Г /(п).
1. Если функция / (г) — аналитическая в круге | г — то она однозначно представляется в нем своим рядом
fw= V сп (z—z0)n. I г—г01 < R,(6)
п = О
1 Г /(п).
гдегде— z01 < R, Тейлора
где
где
n! 2ni J (n—zo)n+* ""
I n—z, I—f
4 Пусть г — произвольная точка из круга | z — z0 | < R. Выберем число г, 0 < г <. R, так, чтобы точка z лежала в круге | г — г01 < г и обозначим через уГ окружность | г — z0 | = г. Функцию f (г) запишем с помощью формулы Коши:
/(г)/(г)
/(г)
/(г)
Представляя отношение -^-777 в виДеПредставляя отношение -^-777 в виДеЧ— гЧ— г\»|—Zo\»|—Zoи учитывая,и учитывая,2—го2—го11П—го I (г—г0)6П—го I (г—г0)6< 1, имеем< 1, имеем(7)(7)
Представляя отношение -^-777 в виДе
Представляя отношение -^-777 в виДе
Ч— г
Ч— г
\»|—Zo
\»|—Zo
и учитывая,
и учитывая,
2—го
2—го
1
1
П—го I (г—г0)6
П—го I (г—г0)6
< 1, имеем
< 1, имеем
(7)
(7)
Лг = ОЛг = О6=06=0Л-г
Лг = О
Лг = О
6=0
6=0
При каждом фиксированном г из круга | г — г0 | < R ряд (7) сходится равномерно для всех »] С Тг, поэтому по теореме 3 § I его можно почленно интегрировать. Производя почленное интегрирование, получаем соотношение
v,v,v,v,L» = oL» = o6 = 06 = 0Ch = 1V.Ch = 1V.(г—го)*(г—го)*1 f2ni J1 f2ni Jdr) =dr) =LW—dr]= (n—Zo)ft+1LW—dr]= (n—Zo)ft+1V сцг-г0)й, 6=0V сцг-г0)й, 6=0LWdn = -^^-, h=0, 1, ...LWdn = -^^-, h=0, 1, ...(8)(8)
v,
v,
v,
v,
L» = o
L» = o
6 = 0
6 = 0
Ch = 1
V.
Ch = 1
V.
(г—го)*
(г—го)*
1 f
2ni J
1 f
2ni J
dr) =
dr) =
LW—dr]= (n—Zo)ft+1
LW—dr]= (n—Zo)ft+1
V сцг-г0)й, 6=0
V сцг-г0)й, 6=0
LWdn = -^^-, h=0, 1, ...
LWdn = -^^-, h=0, 1, ...
(8)
(8)
Таким образом, при любом г из круга | г — г01 < /? справедливо равенство (6).
Предположим, что в круге | г — г0 I < R Для / (г) имеет место другое представление:
(9)
t=o
Так как ряд (9) в круге | г — г0 | < R сходится к аналитической функ- кии / (г), то его коэффициенты с» выражаются через сумму с помощью формул (4), т. е.
c,= /^ ^ = o, 1, ...
Тогда из (8) заключаем, что с'к = ch, т. е. разложение аналитической в круге | г — z01 < R функции f (г) в ряд Тейлора единственно. ► Замечание. Теорема Тейлора доказана в предположении, что функция / (?) — аналитическая в круге |г — z0 | < R. Используя теорему Тейлора, получаем следующее следствие.
Следствие. Если I (г) — аналитическая в некоторой области D и г0 С D, то} (г) можно разложить в ряд по степеням {г — г0), который будет сходиться к f ^ е круге | г — г01 < Rz,, где Rz, определяется как наименьшее расстояние от точки гп до точек границы области О, т. е. если L — граница D, то
/?,и = min | tj—г01.п 6 с
РЯДЫ ТЕЙЛОРА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Непосредственное разложение функций в ряд Тейлора. Получим разложения некоторых функций по степеням г, находя непосредственно коэффициенты
пП'
Показательная функция f (z^ = ег. Функция ег — аналитическая во всей плоскости и (егУк^ = ег, k = 0, 1поэтому
Fk>(0) = 1, k = 0,1, ...
и формально имеем ряд
котовый, согласно теореме Тейлора, сходится во всей плоскости к функции ег, т. e.j
00 к
ez = V доя всех г.(I)
При вещеш венных г = х получаем отсюда
е* = V при х f (— со, оо).(2)
еь _е-ь
Тригонометрические функции sinz = и
Zi
е<гц_,е — 1г
cosz =. Учитывая, что t = е 2 , находим:
(sin г)' =(sin г)' =ie,z+e-k еie,z+e-k е— е— е2<2<2i2i= sin( г + — 1к 2 J= sin( г + — 1к 2 J
(sin г)' =
(sin г)' =
ie,z+e-k е
ie,z+e-k е
— е
— е
2<
2<
2i
2i
= sin( г + — 1к 2 J
= sin( г + — 1к 2 J
(sin z)'= [sinfz+—)]'=sin/z+2.—У
\2 Л к 2 /
(sin г)* = [sin f ;+(/?— 1)) — 1 = sinfz + к- —\
Отсюда заключаем, что
/ (0) = Г№ = ... = Рм (0) = ... = 0ир^) (0) = (— !)<*), k = 0, 1, ...
Функция f (г) = sin г является аналитической во всей плоскости, поэтому по теореме Тейлора можем записать, что
”2*4-1
sinz= > (—I)4 для всех г.(3)
^0(2<г+1)|
В частности, для действительных г = х ”,1*4-1
sinx= У (—I)4ДЛЯ х С (-00 , 00)(4)
*±о(2k -Г 1)1
Аналогично находим, что 30lb
cosz= У (— I)4 —■ для всех z(5)
cosx = У (—I)4 — — для xf (—со, оо).(6)
^(2k)l
Биномиальная функция f (г) = (1 + г)“. Если а — целое положительное число, то / (г) является аналитической во всей плоскости функцией и ее рядом Тейлора является обычное разложение бинома Ньютона (все сп = О для п > а). Если же а отлично от целого числа, то производные от/ (г) записываются в виде
Г (г) - а (1 + г)»-', Г (г) = а (а — 1) (1 + г)"-2, ...,
fw (г) = а (а — 1)... (а — k + 1) (I + z)«-* ...
Отсюда заключаем, что начиная с некоторого к0 имеем к0 — а > 0 и fw (z) представится дробью
к > к0.к > к0./*4> (г) = к<а~В •■• (а—/?+'!) (1+а)6-°
к > к0.
к > к0.
Следовательно, в точке z = — 1 производные f(W (z) при & ^ #0 не существуют, т. е. точка г = — 1 не является точкой аналитичности функции / (z). Поэтому радиус сходимости степенного ряда этой функции по степеням z будет определяться расстоянием от тючки z0 = 0 до точки гх = — 1, т. е. равен единице. Учитывая, что
/ (0) = 1, f (0) = а, Г (0) = а (а - 1)f» (0) =
=а (а — 1)... (а — £ 4- 1), ..., получаем так называемый биномиальный ряд, сходящийся в круге И< 1,
(1 + Z)» = 1 + 2 ^21L^Z2*±IL гк. (7)
При действительных z ™ х имеем ряд
(1+х)°=1+ V “(“-Ч :.;:(“-*+'Lx* при _1<х<1.(8)
Вопрос о сходимости последнего ряда в точках х = ±1 должен рассматриваться отдельно. Можно, например, показать, что этот ряд при а > 0 сходится равномерно на отрезке |х|< I. Однако из-за больших технических трудностей мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.
Ряды Тейлора, получаемые интегрированием рядов. Испольвуя теорему о возможности почленного интегрирования степенного ряда внутри его круга сходимости, найдем разложения для функций / (z) =
In (1 + z) и / (z) = arctg z.
Логарифмическая функция. Рассмотрим функцию / (z) = In (1 + z), которую представим в виде интеграла
где контур интегрирования не охватывает точки z — — 1. Замечая, что при j Т) | < 1
,-L-= v (-1)*^,
и учитывая, что при 0 < 11] | С I z | < 1 ряд сходится равномерно, кмеем
1п(1 +z)= j*1п(1 +z)= j*V (-1 )ft i?l dn = V (_ 1)*, | г | < 1.(9)
1п(1 +z)= j*
1п(1 +z)= j*
6 = 0J * = о
Таким образом,
и при действительных г = х получаем разложение 1П(1 +Х)= У (-1)»-£1 (дгК
Последний ряд сходится при х = 1 (по признаку Лейбница) и расходится при х =* — 1 (гармонический ряд), т. е.
1п(1+х)= У (-1)етт71п(1+х)= У (-1)етт7при — 1<х<1.(10)при — 1<х<1.(10)
1п(1+х)= У (-1)етт7
1п(1+х)= У (-1)етт7
при — 1<х<1.(10)
при — 1<х<1.(10)
Разложение arctg z. Представим arctg 1 в виде интеграла
/(г) = arctg z = f —^L_j 14-П* *
где контур интегрирования не охватывает точку г ■■ ^i. При 0 С I >11 < I г |<1 ряд
11 + п211 + п2= у (-1)»п2»= у (-1)»п2»»=о»=о
1
1 + п2
1
1 + п2
= у (-1)»п2»
= у (-1)»п2»
»=о
»=о
сходится равномерно, поэтому после почленного интегрирования найдем искомое разложение:
arctg z- У (-l)*--^'■■при|г|<1.(11)
4^о26 + 1
При действительных z = х, принимая во внимание сходимость ряда в точках х = ± 11 получаем
arctg х = У (— 1)*fr=0arctg х = У (— 1)*fr=0_Х^Ц26+1_Х^Ц26+1при | X | С * •при | X | С * •(12)(12)
arctg х = У (— 1)*fr=0
arctg х = У (— 1)*fr=0
_Х^Ц26+1
_Х^Ц26+1
при | X | С * •
при | X | С * •
(12)
(12)
Замечание. Ряды (2), (4), (6), (8) получены нами как значения соответ- с вующих рядов аналитических функций на действительной оси Если бы зти ды получать составлением ряда Тейлора для действительной функции, т. е. * ставлен нем ряда
у. .^.L х»
»^о
для справ дливосгн < ютношений (2), (4), (6) и (8) потребовалась бы оценка гаточных чле юв в формулах Тейлора для соответствующих функций. Как по- ■ -зевает приведенный в предыдущем параграфе пример Коши существование кон чного числа производных )(*) (0) еще не гарантирует сходимость ряда
-. >ра с этими коэффициентами к функции / (х) при х =£ 0.
Искусственные приемы разложения функций в ряд Тейлора. Вычисление коэффициентов Тейлора по формуле (8) § 2 для многих функций / (?) связано со значительными техническими трудностями. Поэтому представляют интерес те приемы разложения в ряд Тейлора, которые позволяют избежать вычисления производных /<*> (г0). Поясним это на примерах.
Примеры. Iе. Разложить в ряд Маклорена функцию f (г) = е*",
Если для функции / (г) = ег искать последовательно производные, то будем иметь:
V (г)= 2zez', /• (z) = (4z2 + 2) ег‘, /” (z)<=(&3+ I2z)ez* и т.д
Отсюда видно, что с каждым дифференцированием вид производиой усложняется и для получения общего закона к-й производной требуется проявить некоторую изобретательность. Найдем разложение для е’’ без отыскания этих производных. Для этого заметим, что если ряд (I) запишем в виде
е — Л»=ое — Л»=оикик
е — Л»=о
е — Л»=о
ик
ик
где и—любое комплексное число и возьмем и = г2, то получим искомое пазло- нм ние
, ос 2'^
е' = 1 —, г—любое комплексное число Из этого разложения можно, иолри- *-о*1
мер, заключить, что
(ez'),2A+*> |t=c =0, к=0, 1
(И<2Ч=о —^. *=0,1,...
2* Найти разложение функции f (z) = In (8 + 2s) в ряд по степеням г. Воспользуемся рядом (9 ) Для этого представим / (г) в виде
/(г) = In 8+ 1пП+ (z/2)sJ
и тогда пре |г/2| < 1, т. е. при |г| < 2, имеем
”г3#»+п
1п(8фг*) = 31п2Ч-1п(1 + г«/8) = 3 In 2 + \ (—П* e^i ^'^•
1 -ф- z
3е Разложить в ряд по степеням г функцию in ।
Используя разложение (9), можем записать, что при |z| < 1
г2 г* z*и г**1
)П(1 +г) -+ — т + - +-
г* г* г*г6+*
,„0_,)__,_т_т_—— _...
Вычитая из первого равенства второе, найдем 14- г / г****+*\
*7=7-2(' + Т+- + 1^ + -)''" « b <w
4е Получить ряд Тейлора для интегрального сяяуея
Воспользовавшись формулой (4) и теоремой о почлеявом итграрееаяяя степенного ряда, получим искомый ряд
(2*4-1) I (*+D * (М)
причем г — любое вещественное число.
g 4. ТЕОРВМА ЕДИНСТВЕННОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Теорема единственности аналитических функций. Неле функция f \Д- аналитическая в области D и непрерывна в замкнутой области D — D + Г, то из интегральной формулы Коши
f (z) ——^— С-f — dn- *60.
2ni J i|— гг
видим, что значения аналитической функции в любой внутренней точке г Е D вполне определяются значениями этой функции на границе области. Множество точек кривой Г имеет мощность континуума, поэтому естественна постановка следующей задачи.
Каково наименьшее множество, вполне определяющее аналитическую функцт I?
Ясно, что конечное множество точек не удовлетворяет этому условию. Действительно, прибавляя к заданной функции / (z) многочлен Р (г), обращающийся в ноль в точках конечного множества, мы полу- 4 юм новую аналитическую функцию ф (z) = / (z) 4- Р (ж) с ааданны- ма значениями на этом конечном множестве, определяемыми функцией f (г).
Для ответа на поставленный вопрос докажем предварительно еле- Дующую лемму.
Лемма I. Пусть функция / (г) — аналитическая е области D и что f (г„) = 0, n = 1,2где гп — различные точки области ^ и такие, что lim zn а £ D. Тогда f (г) а 0 а области D.
<1 Разложим функцию / (г) в ряд Тейлора по степеням (?— а):
Цг^ V ch(z-a)\(b
fc = 0
Ясно, что этот ряд сходится в круге Kr = {? : |? — °| < Я}» радиус которого R равен расстоянию от точки а до границы области D. По
°$°$। tic. 33। tic. 33а*а*условию, f (?п) = 0, поэтому из непрерывности / (?) выводим, что с0 = = / (о) = lirn / (?п) = О. следова
°$
°$
। tic. 33
। tic. 33
а*
а*
тельно,
fi^= V Сп+1(г-п)".fi^= V Сп+1(г-п)".п = 0п = 0j (?) = (г - о) /, (г), (2) где /, (?) — аналитическая в круге Kr (ЬУНКЦИЯ и
fi^= V Сп+1(г-п)".
fi^= V Сп+1(г-п)".
п = 0
п = 0
По условию, ?п, и = 1, 2 — различные точки и можно считать,
что ?п ^ а ни при каком п. Поэтому из соотношения (2) получаем равенства
0 = / (zn) = (?п — а) /, (?п).
т. e.f, (?п) = 0 для л = 1,2, ... Учитывая непрерывность функции /j (?), выводим отсюда, что
Ci = f (а)=Пт)/,(?п) = 0.
Продолжая неограниченно этот процесс, убеждаемся в равенстве нулю всех коэффициентов ch, т. е. ch = 0, к = 0,1, ..., а потому из (1) заключаем: / (?) = 0, в круге Kr.
Пусть теперь г* — произвольная точка области D. Если z* ^ Kr, то соединим точки ?* н а спрямляемой кривой L, удаленной от границы D не менее чем на d (рис. 33). Пусть at — точка пересечения кривой L с окружностью |? — а| = R. Проведем окружность Сд, ей с центром в точке а, радиуса RT ^ d. Выберем бесконечную последовательность точек {т^11} с Kr такую, что Нтт^11 = av Тогда аналогично
Л-*оо
предыдущему убеждаемся, что / (?) = 0 в круге Kr, = {? : |? — Ci I < < ^J. Покрывая всю кривую L конечным числом пересекающихся кругов с радиусами, превышающими d, убеждаемся в том, что/ (?*)=0. А так как ?* — произвольная точка области О,то / (?) ^ 0 в области D. ►
В качестве следствия из леммы легко выводятся следующие утверждения.
Теорема I (теорема единственности). Если функции f (z) и g^, аналитические в ooiacmu D, совпадают на бесконечном множестве различных точек, г» € D, п = 1, 2, ...» таких, что Нт гл = а € D, те
П-*«е
f (z^sg (z) в области D.
Действительно, утверждение теоремы мы получим, если лемму I применим к функции ч> (г) =f (г) — g (z), которая удовлетворяет условиям этой леммы. ►
Теорема 2. Если функция { (z) ф const — аналитическая в облает» D, то в люб^й замкнутой подобласти DtcD функция / (z) не может npuHttv.ir :■ бесконечного числа одинаковых значений.
N В самом деле, если / (z„) =■ а = const на множестве s = {zn}£Li а с. 3, cr. D, тофункции f (г) и <р (г) = а совпадают на бесконечном множеств S с D^cD, а тогда по теореме 1 имеем f (г) =з <p(z) ss а, а это противоречит предположению. ►
Замечание. В теореме единственности требовалось; чтобы предел по- юдовательности (г„) лежал строго внутри области аналнтичностя функция 1^ и g(z) Если же отказаться от этого ограничения, то, вообще говоря, теоремы единств нностн может не быть В этом случае для справедливости теоремы един- венно^ти необходима определенная скорость- стремления точек г„ ж границе Г обл„-тн D Достаточно наглядно это можно представить в случае, когда D — единичный круг |г| < 1. Так если последовательность {?„}, |гп|< 1 такова, что расхид тся ряд
У (1 — |?п |)=оо,п= 1
то доказано, что в круге |г|< 1 для таких последовательност-'й справедлива теорема единственности
Если же для последовательности {гп}, I гп | < I сходится ряд
У (l-I^IX®”.(3)
П — 1
1) теорема единственности не имеет места. Более того, существует аналитичес- 1 я в круге | г| < 1, ограниченная в замкнутом круге | г К 1 функция, которая в последовательности точек {гп}, | гп | < 1, удовлетворяющей условию (3), об- р щается в ноль Это так называемая функция Бляшке b (г), определяемая с помощью бесконечного произведения
Ь^= П -^г- г*.
t-l
Аналитическое продолжение. Теорема единственности аналитических функций позволяет ввести новое понятие, так называемое аналитическое продолжение. Рассмотрим сначал* пример. Очевидно, что функции
аналитические соответственно в кругах Ki= V2 • |z| < Ч и Ке = = (г: |z-(l + ОКО. причем в общей части этих кругов функции <f (г) = ]~~ и ф (г) = р^ совпадают. Поэтому мы можем говорить
об одной аналитической функции в области Кх U Кг. Аналитически эга функция может быть записана в виде 1/ (1 — г).
Дадим теперь следующее определение. Пусть функция /\ (г) — аналитическая в области' Dx, а /2 (г) — аналитическая в области D2, причем пересечение Dx f| D2 = D есть некоторая область или кривая.
Если в области D функции fx (г) и /2 (г) совпадают, то функция
( ”’F = Р1 (г) ПрИ г е Db
j/\|/г (?) при 2 С о2|
/^~/) являющаяся единственной аналитической
\ ^г / функцией, совпадающей с}хи) в Dx и с /2 (г)
•х./ в D2, называется аналитическим продолже-
"/ нием функции fx (г) с области Dx на область Р..с. 34Da или аналитическим продолжением функ
ции f2 (г) с области Da на область Dx.
Пересечение D = Dx f| D2 может быть даже бесконечной последовательностью точек с предельной точкой внутри области.
Исходя из данного определения введенные выше функции е3, sin z, cos z, In z можно рассматривать как аналитическое продолжение аналитических функций вещественной переменной е\ sin х, cos х, In х с вещественной прямой (с полупрямой для In х) на плоскость комп
лексного переменного.
Если же функции fx (г) и f2 (г) совпадают не на всем пересечении областей D = Dx f| D,, а лишь на части его, то аналитические продолжения могут быть различными. Например, пусть функции jx (г) и и /2(z) совпадают в области DX1 (рис. 34), а в 6*х1 различны. Тогда аналитическое продолжение функции ^(г) в область D\i можно получить двумя путями:
^(г) = Р(г) при г^°"
*к(?) при ге О2\ Dxa
или
F ^ = р<г) ПРИ 2с DX\D12.
V2(?) при ZED,.
Таким образом, на области DX1 имеем двузначную аналитическую функцию, значения которой в каждой точке z € D*, зависят от способа аналитического продолжения.
В связи с этим вводится понятие ветви аналитической функции, причем каждая ветвь связана как бы с отдельной областью и эти области склеены друг с другом вполне определенным образом. Такие геометрические многообразия называют римановыми поверхностями многозначных аналитических функций. Римановы поверхности некоторых функций были нами рассмотрены в гл. II.
Правильные и особые точки. Теорема о границе круга сходимости. Пусть функция / (г) — аналитическая в области D, границу которой обозначим через Г. Точка г0 € О = О + Г называется правильной точкой функции / (г), если существует ряд с положительным радиусом сходимости
4>».(z) = 2 Мго) (z—го?,»=о
который в общей части области D и своего круга сходимости
К (Р, г0) = (г : |г — г01 < р (г0), р (г0) > 0} сходится к функции
Точки, не являющиеся правильными, называются особыми.
Ясно, что все внутренние точки области аналитичности функции f (z) являются правильными точками. Действительно, в силу теоремы Тейлора можно получить разложение аналитической функции в ее ряд Тейлора в окрестности любой внутренней точки. Граничные точки области аналитичности могут быть как правильными, так и особыми.
Теорема 3. На границе круга сходимости степенного ряда
5 с* (г—го)"0)
*-о
лежит по крайней мере одна особая точка аналитической функции / (г), являющейся суммой втого ряда
◄ Пусть ряд (4) сходится в круге KR = { г 1 | г — г0| < Я} и Ся—окружность, |г—г0|«=Я Предположим противное утверждению теоремы, т. е что все точки П £ Ср являются правильными точками. Это означает, что для любой точки Л € Ся существует р (rj) > О такое, что ряд
^(г = 5 ^(^ lz-’l)*(5)
4*0
сходится в круге К (р,ц) = (г : |1 — т)| < р (т))}, причем в области KR П К (р.п) имеем «р^ (?) -_ f (г) Докажем прежде всего, что при сделанном предложении Функция р (г)) на замкнутой кривой CR удовлетворяет условию Липшица, т. е Для любых Л1 ^ CR и т), ^ CR справедливо неравенство
I Р Oh) — Р (Пт) К I П1 — П| I-(6)
самом деле, если (6) не выполнено, то существуют точки ty £ CR и т), £ CR такие, что выполняется соотношение
Р (Ui) — Р Oli) = I П1 — th I + 6i 6 > °-
На это равенство означает, что яруг
К (р, 41) = {* : I » — 41 i < Р (41)}лежит внутри круга (рис. 36)
К (Р, Лг) - (* 1 I » - Ча I < Р (Ча)}.
В обшей (заштрихованной) часта ат и ж кругов и круга KR соответствующие ряды (8) я ряд (4) сходятся к одной н той же аналитической функции / (?) Отсюда следует, что в яруге I» — 411< < Р (41) + 6 определена аналитическая функция, которая н круге I ? — 411 < Р (41) совпадает о функцией
^п, (?)= 21 bh (4i) (z—4i)ft•
А = 0
Но тогда в силу теоремы Тейлора радиус сходимости ряда для ф^ (?) должен быть р (4i) -f- 6, что противоречит предположению.
Итак, выполнено условие Липшица (6) Из него следует, что функция р (4) равномерно непрерывна на CR Замечая, что р (4) > 0 для всех 4 £ CR, и учи- тыпя, что непрерывная на замкнутом множестве функция принимает на этом множестве значение точной нижней грани, заключаем!
inf р (т]) = р 140) =Ро > 0ПеСд
(Ро нулем быть не может, так как для любой правильной точки р > 0).
Таким образом, функция f (?) может быть аналитически продолжена в круг 1? — te| < R + Ро» причем, в круге KR продолженная функция F (?) совпадает с / (?). По теореме Тейлора функция F (?) может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в круге } ? — ?0 | < R + Ро, причем в круге ) ? — ?0 ] < R этот ряд должен сходиться к функции / (?) В силу единственности коэффициентов ряда Тейлора коэффициенты ряда для F (?) совпадают с коэффициентами {с^} исходного степенного ряда (4) Но это означает, что исходный ряд (4) сходится в круге [? —?G|< /?+ро, что противоречит предположению. Значит, на границе круга сходимости степенного ряда имеется по крайней мере одна оеобая точка его суммы. ►
ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вычисление значений функций. Как уже известно, в приближенных вычислениях сумма ряда заменяется частной суммой этого ряда. На этом основано применение рядов к приближенному вычислению значений функций: если известно разложение функции / (х) в степенной ряд
IW= v с^х-х^,(1)
б=о
то для любого числа х, взятого из области сходимости степенного ряда (1), будет иметь место равенство
/(а) = V ск(х-х6}\(2)
6 = 0
из которого выводится приближенная формула
/ (л ) ^ V ^ (х — Х^.
6=0
При каждом фиксированном п можно получить и точность этого при ближения, т. е. оценить величину
|WI = 2 ^^-^У|б-п+ I|WI = 2 ^^-^У|б-п+ I(3)(3)
|WI = 2 ^^-^У|б-п+ I
|WI = 2 ^^-^У|б-п+ I
(3)
(3)
Оценка величины (3) особенно проста, если ряд (2) является знакочередующимся. В этом случае справедлива оценка |₽nWl^ С 1сп+1Н X — х0|п+1. Если же ряд (2) не является знакочередующимся, то при оценке величины (3) могут быть использованы геометриче- гкая прогрессия, оценка остатка ряда Дирихле (см. IV. 2.20) или какие-либо другие соображения.
Примеры. Iе. Вычислить со» 10й с точностью до 10—*, Используя ряд для cos х при х = п/18, нейдем
0° =- cos — = 1—1I 4II —.., -(-
1821 к 18 J 41 I 18 / т
-к f--к f-I)" — (2п)1I)" — (2п)1/ я \,п к 18 // я \,п к 18 /
-к f-
-к f-
I)" — (2п)1
I)" — (2п)1
/ я \,п к 18 /
/ я \,п к 18 /
Т как ряд знакочередующийся, то остаток не превосходит первого отбрасыва- е чо числа. По заданной точности (в = 10~4) находим л из условия
< 10-*.< 10-*.
< 10-*.
< 10-*.
Это неравенство выполнено уже при л = 2. Производя вычисления на клавишной ЭВМ, получаем
л*
cos 10е-Г,-—=0.9848 .
2е Вычислить с точностью до 10_* выражение I/V20.
4
Запишем 1/V20 в виде
1
I|1J_/4"
‘/20 “ I Т^Н - у |+ _L = 2 V + 4 /
и, применяя затем биномиальный ряд, имееми, применяя затем биномиальный ряд, имеем
и, применяя затем биномиальный ряд, имеем
и, применяя затем биномиальный ряд, имеем
2U У-М
1-5.9 ... (4А—3)
Учитывая, что< 4-10-» при А > 5, получаем
1I Г, I 8455-9 - IS 1
/20 = 2 ['” 16+^Г~Т^+ 4»-24 I-0'6381’
Следует отметить, что не всякий ряд, имеющий суммой интересующие нас число А, пригоден для фактического вычисления этого числа. Именно здесь играет роль быстрота приближения частно. суммы к числу А. Например, из ряда для In (1 + х) при х — I поучаем
1п2^1—L+_L_... + (_1)n+1_L+i-.
*п
О^ ода пилим, что для вычисления In 2 с точностью до 10~8 следует в^лть тысячу членов ряда! Это, конечно, неосуществимо.
С учетом сказанного д 1Я вычисления значений "огарифмов цел: л чисел используется разложение функции In p^-^, полученное на и в§ 3 гл. V. Действительно, положим в этом разложении г * gp-r Считывая равенство
1 +г 2л 2. = " *'
I —г2» л
на, дем, что
In ,п +1) _ 1п П = 2 (——++... +!Г— + -
''\2п+13(2n-M)s(2#г+1)(2»+ !)=*+>/
Отсюда при п = 1 для вычисления 1п 2 получаем ряд, сходящийся Ci ictj ее геометрической прогрессии:
1п2 = 2[—+ —— + ...+ —г- +...]
[ 33.3s(264-1) 3«*+» J
Если оценить остаток этого ряда следующим образом:
ь.-“1 VZk + 1) 3^ *3 (2/1 +3) »=н-1 ^
I1I
3(2л43)9"+* " I 24(2/1 |- 3)9" *
зо по заданной погрешности приближения е можем легко вычислить необходимое для этого число членов ряда п из неравенства 1/(24 (2л + 3) 9") < е.
Вычисление пределов и интегралов с помощью рядов. Довольно часто приходится выяснять вопрос о том, является ли какая-либо величина бесконечно малой или нет. В этом случае удобно исследовать на сходимость ряд с надлежащим образом подобранными членами и использовать необходимый признак сходимости.,
Пример 3е. Вычислить пределы
апапс" ,. а(а—1) ... (а—п+1)hm —— и Пт
ап
ап
П->оо п! л-*оо
Рассматривая соответственно ряды
п = Iп = Ig(g—1)... (а—л Ь 1) п1g(g—1)... (а—л Ь 1) п1о"о"
п = I
п = I
g(g—1)... (а—л Ь 1) п1
g(g—1)... (а—л Ь 1) п1
о"
о"
и применяя я ним признак Даламбера, май дек
при любом опри любом оlar+^ihm =0
при любом о
при любом о
иил—<ю (п +1 )11 о |"
и
и
llm|-^=lLL^^tlH^2^^^Дд^_|и1^|0,
п^>« I nl(n-pl)g(g — I) ... (g—п ь 1) о" |в-»* л + ‘
Отсюда заключаем, что ап lim=0 при любом а, n-*oo nA
и
|а(а —1) ..(а—n + DI ,,
hm 1 а р=оо при | а | > I.
П-^эоHi
Для вычисления значений интегрального синуса si х, который не выражается через элементарные функции, используется полученный выше (см, пример 4 § 3 гл. V) степенной ряд
si х = V (— 1)**=»0si х = V (— 1)**=»022*+1(2А +1) (2/г + 1)1 ’22*+1(2А +1) (2/г + 1)1 ’х£(— оо, оо).х£(— оо, оо).
si х = V (— 1)*
*=»0
si х = V (— 1)*
*=»0
22*+1
(2А +1) (2/г + 1)1 ’
22*+1
(2А +1) (2/г + 1)1 ’
х£(— оо, оо).
х£(— оо, оо).
При любых х этот ряд является знакочередующимся, поэтому остаток ряда не превосходит первого отбрасываемого члена. Покажем это на следующем примере.
Пример 4°. Вычислить si 2 с точностью до 10-S.
„f 2"
Следует взять всего пять членов (। |"<"(ji < т. е. можно записать; что с точностью до Ю~6
. „ „832128512
3-3! Т 5-5!7-7! Т 9-9!
Вычисление на клавишной ЭВМ дает si 2 = 1,605417,
Рассмотренные примеры показывают, что ряды обладают разной скоростью сходимости. Поэтому возникает вопрос о нахождении каких-либо преобразований с членами ряда, не изменяющих его сумму, ио убыстряющих скорость его сходимости. Решение этой задачи может быть получено либо с помощью использования каких-либо индивидуальных свойств рассматриваемой функции, как это было показано на примере вычисления In 2, либо с помощью общих методов, свойственных рядам. В следующием параграфе мы остановимся на двух таких методах.
УБЫСТРЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
Метод Куммера. Пусть задан медленно сходящийся ряд
(1)(1)(2)(2)s= V ah, r^Qk^r
(1)
(1)
(2)
(2)
и известна :умма ряда
s'= V chah,к= 1
где lim с6 = с. Разделим обе части равенства (2) на о и вычтем полученные выражения из равенства (1). Из найденного соотношения выводим, что
’ = —+ 5 fl-"^
* 1±*Л с '
Так как 1 — — -► 0 при к -* оо, то ряд (3) сходится быстрее ряда (1).
Приведем без доказательства суммы некоторых рядов, которые могут быть использованы для применения метода Куммера!
а)б)в)г)а)б)в)г)V _!_ = — •М я2 6 ’ п= I“ (_|)п+1 _ П . 2я —14 *Ла 1V -^«1п2; п^ ПV (-1>',+1 - "У, п2 12 ’V _!_ = — •М я2 6 ’ п= I“ (_|)п+1 _ П . 2я —14 *Ла 1V -^«1п2; п^ ПV (-1>',+1 - "У, п2 12 ’п^ Щп+Х) ...^п Л-Р) Р pl
а)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
V _!_ = — •
М я2 6 ’ п= I
“ (_|)п+1 _ П . 2я —14 *
Ла 1
V -^«1п2; п^ П
V (-1>',+1 - "У, п2 12 ’
V _!_ = — •
М я2 6 ’ п= I
“ (_|)п+1 _ П . 2я —14 *
Ла 1
V -^«1п2; п^ П
V (-1>',+1 - "У, п2 12 ’
е) V’=1.!-
^ п (п+1)... («+р)р М^-Н) • •• (* гР™■*)
^ cosnx_ = _ 1п/2 9in 2.\ .
' Mi п\2 /
п= I
. sin Л А?Л1 Xлх® х®
э) 1 ”b12 •
п= I
Примеры. 1°. Вычислить приближенно сумму ряда^Е ^ = а.
Учитывая оценку для остатка ряда Дирихле (см. формулу (20) §2 гл. Т\)
а > 0 следуета > 0 следует
а > 0 следует
а > 0 следует
лпкчотппрм, что для получения заданной точности приближения вли1б [~^~j членов исходного ряда Однако используя ряды
, i 1 v ‘
fe(*+D И 4 ^^ *(/?+ 1)<* + 2) к=1
и дважды применяя метод Куммера ^«ь = д^Г} ” Сд = 6 _|_ j }, Для вычяслееее суммы s получим ряд
”.ОО.
^д1»+1 / Й“ Т t„! **<*4-n1
ОО.,-Ж
к2(Л+1)^ ^ Йк2(Л+1)^ ^ ЙWW+ У 1L_\—JА+2 V
к2(Л+1)^ ^ Й
к2(Л+1)^ ^ Й
W
W
*^v6+2 / ь’^1’4»^i
Знак [о] означает целую часть числа а.
Принимая во внимание оценку
^ I 2 V J- < -2—
2 *6*(6+1)(6 + 2) <_^ к1 < Зд» '
нитим, что для получения заданной точности е следует взять уж» [ \ Зе "^ членов полученного ряда (4). Так, при в =» 10™3 следует взять 1(667) *^dJ + 1 = = 9 членов; следовательно;
s=l,25+ 2[~+ -^“+ |80 + 4ДО + |050 +% 5g" +
+!+ :+ 1=2,31004 ~2 311.
Т 49-7264.90 т 81.110 I
I
2° Вычислить интеграл 21 = J <2/3 In (I + V* ) d*с ючностыи до iO-',i взяв не более 20 членов ряда.
Подынтегральная функция раскладывается в ряд
•-*'$+»/*
х2/3 1п(1 +/* )= Y 1 - ||П+‘и^ к
к чорый сходится равномерно на отрезке |0,11 Почленное интегрироваии' при» в .Дит к вычислению ряда
А = V (_(>»+*4 = 1А = V (_(>»+*4 = 166(34 + 10) '66(34 + 10) '
А = V (_(>»+*
4 = 1
А = V (_(>»+*
4 = 1
6
6(34 + 10) '
6
6(34 + 10) '
3»»А*П„’ НТО3»»А*П„’ НТОО п*' = 21 (63+ 10) >О п*' = 21 (63+ 10) >мости uoluv.ivuj емся методом Куммера,мости uoluv.ivuj емся методом Куммера,10~s, ПОЭТОМУ ПЛО у^1.А>гплрчя гтпДИ. используя при ним ул^ .)<10~s, ПОЭТОМУ ПЛО у^1.А>гплрчя гтпДИ. используя при ним ул^ .)<
3»»А*П„’ НТО
3»»А*П„’ НТО
О п*' = 21 (63+ 10) >
О п*' = 21 (63+ 10) >
мости uoluv.ivuj емся методом Куммера,
мости uoluv.ivuj емся методом Куммера,
10~s, ПОЭТОМУ ПЛО у^1.А>гплрчя гтпДИ. используя при ним ул^ .)<
10~s, ПОЭТОМУ ПЛО у^1.А>гплрчя гтпДИ. используя при ним ул^ .)<
Вычисляя значения сд н с, имеем
cft =cft =? 36+ 10) 642? 36+ 10) 6421с = 11m Сь •=- -. Ь-*пс1с = 11m Сь •=- -. Ь-*пс
cft =
cft =
? 36+ 10) 642
? 36+ 10) 642
1
с = 11m Сь •=- -. Ь-*пс
1
с = 11m Сь •=- -. Ь-*пс
Следовательно: вычисление значения А сводим к вычислению ряда
Д =Д =1/, + 5/зк \1/, /1/, + 5/зк \1/, /66(36+ 10)66(36+ 10)
Д =
Д =
1/, + 5/зк \
1/, /
1/, + 5/зк \
1/, /
6
6(36+ 10)
6
6(36+ 10)
= ^- + 20 V (_!)» 1 ---
6 =м Jl-^ilT1^
Рис. 36Рис. 36(6)(6)
Рис. 36
Рис. 36
(6)
(6)
Так как 18-й чле^ ряда имеет оценку 20(18'’ (>4 -|- 10)) < 0,0009, то для прибли- жениог вычисления интеграла с точностью до 10~2 следует подсчитать сумму
17
А-— -г20 У (—1)*—— .(5)
^62(3/?+ 10)
Вычисление производится иа ЭВМ «Наири» Блок-схема программы дана на рис. 36; программа прилагается
Программа вычислений
ап
I вычислим А = ял/6
допустим n = I, а = 1
вычислим А = 4 — 20-(аа (За + 10))
вставим и = n + I
если я > 17, идти к 12
вставим а = а + I
вычислим 4 = А -р 20/(са (За-)- Ю))
вставим я = я + I
если я > 17; идти к 12
вставим а = а + 1
идти к 3
печатаем о 5 знаками А
кончаем исполним 1 А = 0.33Q1Q
2 Метод Эйлера. Предположим, что ряд
-= S
б = о
скопится при некотором х ^ 1 Отсюда следует, что
Од х* -► 0 при k -• оо,(7)
Обозначая
преобр зуем частные суммы ряда (6)1
ял— 1
®п = У амхй=ао+ У ahUh — ih-il ="а, + У ah fh — У Oh+i^ — 6 = 06=16=16 = 0
— X|-Х*+‘1-хп+«1-х
6=1
Iп—1и—I
— —- —(01—аи)— у (Ол+1—аА)-1-ап + х у (аА+1— aft) Xs— ап х”+ х6-16=0
Полагая Дед = Oh+i — ^hi 6 = 0, 1; ..л— 1Полагая Дед = Oh+i — ^hi 6 = 0, 1; ..л— 1можно записать) чтоможно записать) чтохх®п~ 1-х + 1-х®п~ 1-х + 1-хV Дай х* —6 = 0V Дай х* —6 = 0ап хп+'1-хап хп+'1-х
Полагая Дед = Oh+i — ^hi 6 = 0, 1; ..
л— 1
Полагая Дед = Oh+i — ^hi 6 = 0, 1; ..
л— 1
можно записать) что
можно записать) что
х
х
®п~ 1-х + 1-х
®п~ 1-х + 1-х
V Дай х* —
6 = 0
V Дай х* —
6 = 0
ап хп+'1-х
ап хп+'1-х
Принимая во внимание соотношение (7), для вычисления суммы s приходим к вы* ражению^
(6)(6)6= lim sn = ~7~" + y-J 2 Д“А **
(6)
(6)
Л-»ООI —X 1* ^_0
Если ^£1 _ О при А — со; то ряд (8) сходится быстрее ряда (6). Но и ряду: стоящему в правой части равенства (8), можно снова применить формулу Ц, 1. е.
аи , хs = 7—Г+—аи , хs = 7—Г+—+-++- 2«,*,‘1—х* 6^0+-++- 2«,*,‘1—х* 6^0°о— X°о— X
аи , х
s = 7—Г+—
аи , х
s = 7—Г+—
+-++- 2«,*,‘
1—х* 6^0
+-++- 2«,*,‘
1—х* 6^0
°о
— X
°о
— X
(Г^4”"+(Г^4”"+у &2Qk X*6=0у &2Qk X*6=0
(Г^4”"+
(Г^4”"+
у &2Qk X*
6=0
у &2Qk X*
6=0
где \*аь = Даь+1 — Даь. Продолжая последовательно этот процесс н исполь- вуя обозначение Дт+,а#1 = Дтащ.| — &таь, получаем для » представление хт•-^+7^4"1+7^А'а‘+''' + 7^7^4"м'+ ( —— ]V (ДП|-НОб)х». <9)\ 1—Х /6^0где \*аь = Даь+1 — Даь. Продолжая последовательно этот процесс н исполь- вуя обозначение Дт+,а#1 = Дтащ.| — &таь, получаем для » представление хт•-^+7^4"1+7^А'а‘+''' + 7^7^4"м'+ ( —— ]V (ДП|-НОб)х». <9)\ 1—Х /6^0Если I А"Ч-’оь I < I Дтаь I, то ряд, стоящий в (9), сходится, а тогда для любого х, удовлетворяющего условию Ix^l — x)J < 1 при m — со, имеем равенствоЕсли I А"Ч-’оь I < I Дтаь I, то ряд, стоящий в (9), сходится, а тогда для любого х, удовлетворяющего условию Ix^l — x)J < 1 при m — со, имеем равенство,6,6(10)(10)6-1'где стоящий справа ряд может сходиться быстрее исходного ряда (6).6-1'где стоящий справа ряд может сходиться быстрее исходного ряда (6).Пример 3°. Вычислить In 2=^ 6-0Пример 3°. Вычислить In 2=^ 6-0Й-М •Й-М •Полагая х = — I и ah = 6^771 найдем выражения для разностей! I 11Полагая х = — I и ah = 6^771 найдем выражения для разностей! I 11^""й+г /г + 1 =(А+1)(*+2) 'I1^""й+г /г + 1 =(А+1)(*+2) 'I1( — 1 )’• I-2( — 1 )’• I-2k1Qh-- (fe+2)(*+3) + (/г+1)(* + 2)(й+1)(* + 2)(/г + 3) ’Д’аб=(-1)3 (ft+l)(/i + 2) (/г+3)(* + <)•k1Qh-- (fe+2)(*+3) + (/г+1)(* + 2)(й+1)(* + 2)(/г + 3) ’Д’аб=(-1)3 (ft+l)(/i + 2) (/г+3)(* + <)•т!Д">ак=(-1)т (/г+1)1/!т2) ...(6 f m + I) ‘т!Д">ак=(-1)т (/г+1)1/!т2) ...(6 f m + I) ‘
где \*аь = Даь+1 — Даь. Продолжая последовательно этот процесс н исполь- вуя обозначение Дт+,а#1 = Дтащ.| — &таь, получаем для » представление хт
•-^+7^4"1+7^А'а‘+''' + 7^7^4"м'
+ ( —— ]V (ДП|-НОб)х». <9)
\ 1—Х /6^0
где \*аь = Даь+1 — Даь. Продолжая последовательно этот процесс н исполь- вуя обозначение Дт+,а#1 = Дтащ.| — &таь, получаем для » представление хт
•-^+7^4"1+7^А'а‘+''' + 7^7^4"м'
+ ( —— ]V (ДП|-НОб)х». <9)
\ 1—Х /6^0
Если I А"Ч-’оь I < I Дтаь I, то ряд, стоящий в (9), сходится, а тогда для любого х, удовлетворяющего условию Ix^l — x)J < 1 при m — со, имеем равенство
Если I А"Ч-’оь I < I Дтаь I, то ряд, стоящий в (9), сходится, а тогда для любого х, удовлетворяющего условию Ix^l — x)J < 1 при m — со, имеем равенство
,6
,6
(10)
(10)
6-1'
где стоящий справа ряд может сходиться быстрее исходного ряда (6).
6-1'
где стоящий справа ряд может сходиться быстрее исходного ряда (6).
Пример 3°. Вычислить In 2=^ 6-0
Пример 3°. Вычислить In 2=^ 6-0
Й-М •
Й-М •
Полагая х = — I и ah = 6^771 найдем выражения для разностей! I 11
Полагая х = — I и ah = 6^771 найдем выражения для разностей! I 11
^""й+г /г + 1 =(А+1)(*+2) '
I1
^""й+г /г + 1 =(А+1)(*+2) '
I1
( — 1 )’• I-2
( — 1 )’• I-2
k1Qh-- (fe+2)(*+3) + (/г+1)(* + 2)(й+1)(* + 2)(/г + 3) ’
Д’аб=(-1)3 (ft+l)(/i + 2) (/г+3)(* + <)•
k1Qh-- (fe+2)(*+3) + (/г+1)(* + 2)(й+1)(* + 2)(/г + 3) ’
Д’аб=(-1)3 (ft+l)(/i + 2) (/г+3)(* + <)•
т!
Д">ак=(-1)т (/г+1)1/!т2) ...(6 f m + I) ‘
т!
Д">ак=(-1)т (/г+1)1/!т2) ...(6 f m + I) ‘
При й = О находим отсюда значения Дта01
Дта0=( —1)тДта0=( —1)тт1И+1)1т1И+1)1(-1)тт+ 1(-1)тт+ 1
Дта0=( —1)т
Дта0=( —1)т
т1
И+1)1
т1
И+1)1
(-1)тт+ 1
(-1)тт+ 1
х12_~ = ~ у, то получаемх12_~ = ~ у, то получаеми так каки так какт = 1т = 1
х1
2_~ = ~ у, то получаем
х1
2_~ = ~ у, то получаем
и так как
и так как
т = 1
т = 1
11^2 ^ (т+ 1)2™^2 ^ (т+ 1)2™11т-'г,п *т-'г,п *
1
1
^
2 ^ (т+ 1)2™
^
2 ^ (т+ 1)2™
1
1
т-'г,п *
т-'г,п *
т. е. для вычисления In 2 получили ряд, сходящийся быстрее геометрической прогрессии
Замечание. Применение метода Эйлера к бысгро сходящимся рядам может привести к ряду, сходящемуся медленнее исходного, N В самом деле, рассмотрим ряд
а=оа=о
а=о
а=о
Полагая в нем х = — 1 и о^ = -^ч вычисляем разности Ama*f
22*2,п
Л^ = -^ ^-(-D1-^Д"1^-')”-^.
При к = 0 имеем Дтоо = (—I)т (2т/Зт). Подставляя эти значения в формулу (10), получаем для s выражение
т. е. ряд; сходящийся медленнее исходного знакочередующегося ряда ►
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения вида у" = F (я, у, у'). Большое применение степенные ряды находят при решении дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим только несколько специальных видов дифференциальных уравнений второго порядка.
Пусть требуется найти решение уравнения
у" = F (х, у, у'^(1)
удовлетворяющее условиям
У М = у0, у' (*0) = yv(2)
При этом предполагается, что функция F (х, у, у'А в некоторой области D, содержащей точку Р (х0, у0, у^, имеет частные производные по всем переменным любого порядка.
(3)(3)Решение ищем в виде степенного ряда yW=f^=V f(*’<x"L(X-x0)»
(3)
(3)
*=0
Используя условия (2) и уравнение (1), найдем первые три коэффициента ряда (3). Имеем:
f (х0) = У (х0) = Уо. Г (Хо) = У' (х0) = У1»Г (Хо) = У" (х0) = F (Хо, Уо. У1) = F (^)-
Дифференцируя равенство (1) по переменной х, имеем у”' — F^ + 4- Fyyr + Fy. у" н, подставляя сюда х — х0, получаем
Г (х0) = F'x (Р) + yj^ (Р) + F (Р) F-. (Р).
Продолжая этот процесс, найдем /(4) (х0), .... /(п) (х0),... Подставляя эти значения в ряд (3), определяем радиус сходимости R полученного ряда. Тогда для всех х, удовлетворяющих условию I х — х01 < Р и таких, что значения х, у (х). и у’ (х) лежат в области D, ряд (3) будет искомым решением уравнения (1).
Пример 1°. Найти решеине уравнения у* = —х*у, удовлетворяющее условиям у (0) = 1, у* (0) = 0
Решение ищем в виде ряда
„(,)=/(,)= VА —0„(,)=/(,)= VА —0f№ (0)61f№ (0)61хк.хк.
„(,)=/(,)= V
А —0
„(,)=/(,)= V
А —0
f№ (0)
61
f№ (0)
61
хк.
хк.
Из начальных условий и исходного уравнения найдем, что/(0) = 1, Г (0) = = 0. /' (0) = 0. Дифференцируя исходное уравнение, находим последовательно производные у^ (х):
у™ = —х2 у'— 2ху, y,,v, = — х2 у* — \ху* —21/, y,v> = —х1 у1"—бху* —by'.
у(* + 2) — —х1 и^ — Vkxy^ 11—kite— В и'к z\
Подставляя аначение х = С, получаем
у<*+2)(0)=-6(6 - l)^*-2^).
откуда ваилючаем, что
y«tv+!>(())=,(,<<v+8>(0)=y<4v +3) (0) = 0
l/,4v, (0)= —(4v—3)(4v— 2) y‘4v 4) (0),
Т iKiiM образом, значения производных порядка 4д в точке х, = О еы^ажеютее следующим образом:
/ (0) = 1; /W (0) = -2, /<•> (0) - I . 1 . 6 . 6,
/<•”> (0) = (—1)"1 . S . 6 . 6 ...(4п—3) (4л — 2)j
а искомое решение запишется ■ виде
. । , V , ни Ь2-5-6 ... (4л—3)(4п—2) ,
/ (х) = 1 +(—1 > Г^— L *** • W
л^1(4л).
Применяя признак Даламбера, убедимся в том, что ряд (4) сходится еря любом х, т е. определяемая этим рядом функция / (х) является искомым решением ори любом X
Линейные дифференциальные уравнения. Евле вместо уравнения (1) рассматривать линейное дифференциальное уравнение, то его решение может быть несколько упрощено. Это основано на следующих теоремах, доказываемых в аналитической теории дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если в уравнении
Ро Wy" + pv му' + Pt Му = f м(5)
функции рв (х), рх М. Pt М и f {х)~ аналитичегкие я окпеттцости точки х0, причем р0 (х0) ^ 0, то решение уравнении (1) существует и представимо в виде степенного ряда
У(х)= ^ Ол(Х-Хо)».(6,-
*=о
Теорема 2. Если в уравнении
Ро М у" + Pi М у' + р, м у — 0(7)
функции р0 М« Pi М “ Pt W — аналитические в окрестности точки хв, причем точка хв является нулем порядка s функции Рв(х), нулем порядка не ниже $ — 1 функции pv (х) и нулем порядке не ниже s — 2 функции рх (я), то решение уравнения (7) существует и представимо в виде обобщенного степенного ряда
У М = (х—ХоУ V ah (х—*0)\(8)
6 = 0
еде а„ Ф 0 иг — некоторое вещественное число.
Пример 2й. Найти решение уравиеиия
у' 4- хи* 4- v = 0j(9)
Удовлетворяющее условиям
(Ю)(Ю)у (0) = I, у' (0) - 0.
(Ю)
(Ю)
(х) = I, Pt (х) = х « Ра (х) = । удов, искать решение в виде степенного ря.(х) = I, Pt (х) = х « Ра (х) = । удов, искать решение в виде степенного ря.Так как коэффициенты уравнения р0 летворяют условиям теоремы 1, то можно
(х) = I, Pt (х) = х « Ра (х) = । удов, искать решение в виде степенного ря.
(х) = I, Pt (х) = х « Ра (х) = । удов, искать решение в виде степенного ря.
да
UW = 2 а&**'»=е
причем из условий (10) имеем a0 = I, щ = 0; т. е. *с«о*ое решение имеет вид
у(х) = 1 + 2 Qhxb
к=2
Подставив этот ряд в уравнение (9), получим
У k(k—1)яй х*~2 + У Аайх* + 1 + 2 atxft —0.
*=2*=2
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем бесконечную систему уравнений
. 2 . a, + I = С;
• Зйд = 0,
• 4 । а4 + Зае = 0,’
(Л - l)toh + (к - !)aft_s = 0;
—1°8on 1a,^ , Gt= - 4 = —1) 2 4 •a2v 2v+2 2v + 2'Следовательно; искомым решением являетсяОО2^;ОО„ Z — 1 V ZV—1°8on 1a,^ , Gt= - 4 = —1) 2 4 •a2v 2v+2 2v + 2'Следовательно; искомым решением являетсяОО2^;ОО„ Z — 1 V ZV’(2vH"2)!l •функция’(2vH"2)!l •функцияv=3, 4, ..v=3, 4, ..V=1V=1(2v)ll(2v)llv=lv=l= e 2= e 2Из этих уравнений находим, что a2m+i = 0, m = 0, 1;
—1°8on 1
a,^ , Gt= - 4 = —1) 2 4 •
a2v 2v+2 2v + 2'
Следовательно; искомым решением является
ОО2^;ОО
„ Z — 1 V ZV
—1°8on 1
a,^ , Gt= - 4 = —1) 2 4 •
a2v 2v+2 2v + 2'
Следовательно; искомым решением является
ОО2^;ОО
„ Z — 1 V ZV
’(2vH"2)!l •
функция
’(2vH"2)!l •
функция
v=3, 4, ..
v=3, 4, ..
V=1
V=1
(2v)ll
(2v)ll
v=l
v=l
= e 2
= e 2
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ И ЕГО РЕШЕНИЕ
О)О)Общее решение уравнения Бесселя. В качестве примера на применение сформулированной в § 3 теоремы 2 мы найдем решение так называемого уравнения Бесселя
О)
О)
xV + ху* 4- (ха — v2) у = О.
К решению уравнения (1) приводит целый ряд прикладных задач, например задач, связанных с процессами распространения тепла в цилиндрических телах. Коэффициенты уравнения (1) в точке х = 0 удов-
детворяют условиям теоремы 2, поэтому ищем решение этого уравнения в виде обобщенного степенного ряда
tiW=xf 2 ОцХм™ V ah х*+г, во ^G»=01=0
Подставляя этот ряд в уравнение (1), получаем
2 (A-hd(/i±r— ОомХ6*' 4- 2 (* + 0Як**+г4“ t=e*=о
+ 2 Ob^+^-v» У «а**^- 0. »-е»-е
Приравнивая нулю коэффициенты при х*+', находим
а» ^ V — 1) 4- т — v2!=0 — коэффициент прих*,(2)
ах [(/• + 1) /■ + (г + I)—v2] = 0 — коэффициент приx'+l,(9)
U& + Л (к 4- г — 1) +(А+ г) — v8] ац + й»_,= 0 —коэффициент
при х*+', А > 2.(4)
Так как я0 ^ 0, то из равенства (2) выводим соотношение г* — v1 — 0, Следовательно, решением уравнения (1) наш обобщенный степенной ряд может быть только при Гц, = ± v.
Далее, из соотношения (3) при г = ± v вытекает неравенство (г + 1)а ^= V2, а потому аг = 0. Принимая это во внимание, ив равенств (4) делаем заключение о том, что все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю, т. е. ааА+1 = 0, а для коэффициентов с четными номерами получаем рекуррентное соотношение
[(2 к + г)8 - V8 1 а1к + агк_, - 0.(5)
Рассмотрим отдельно случаи г = v и г = — v. Пусть г ■■ v > 0.
Тогда для всех h ^ I имеем
(2А + v) ? — v2 = 2^-2 (А + v) ф 0,
а потому
й26 =^12_ =„. = (_ 1)»5>
2M(ft+v)226M(v+l)(v+2) ... (v + W
Таким образом, одним решением уравнения (1) будет функция
1» (х) = a0 xv У (— 1 )* ^^.(6)
^fcl(v+l)(v + 2)... (v+*'
которая носит название функции Бесселя первого рода положительного попядка. Нетрудно проверить, что ряд (6) сходится при всех х £ (—оо, °°), однако функцию /v (х) будем рассматривать только для х ^ 0, так как при отдельных v значение xv комплексно.
Пусть теперь г = — v < 0. Тогда коэффициент при агк в соотношении (5) запишется в виде
(2 * — v)a — v2 = 2 (Л — v) 2 к.
Отсюда видим, что если v — целое число, то найдется такое k = v, что (2 к — v)2 — V2 = 0, т. е. коэффициенты агк с номерами 2/? > 2v не определяются из формул (5) и для отыскания второго частного решения уравнения (1) следует применить другой метод.
Если же v — не целое, то из (5) находим
л ь = — °2<*-1> = = ( —^
2»А(А—v)* 2=* Л! (l-v)(2-v) ... (A—v)
Следовательно, при дробном v получаем второе решение уравнения (1), называемое функцией Бесселя отрицательного порядка — v:
/ _v (х) = а0 х~v V (—1 )*^^.(7)
^GМ (!— v)(2—v) ... (ft—v)
Э.о решение обращается в оо при х = 0, т. е. неограниченно в окрестности начала координат.
Функции 1 >Дх) и /-v (х) (при дробном v) линейно независимы. Их называют цилиндрическими функциями первого рода. Общим решением уравнения (1) является функция
У (х) = Cj /v (х) 4* Cil—ч (х).
Если же v — целое число, то вторым частным решением уравнения Бесселя будет функция Неймана (или Вебера), определяемая соотношением
.,. /v(x)cosvn— /_ ,(х)
Nn (х) = hm —И:2,
V-»nsin ул
которая является цилиндрической функцией Бесселя второго пода порядка п.
Функции Бесселя пол у нечетных порядков. Асимптотические формулы. Постоянную а0 = а0> v в формулах (6) и (7) удобно взять в форме
со. v = Со *. где Г(v) = f е-4 xv~1 dx
2vP(v+l)
— сомма-функция Эйлера. При таком выборе а0 функции Бесселя /v(x) и /_v(x) в случае v = 2п ^~ 1 , л =0,1, ..., выражаюкя через элементарные функции.
В самом деле, при v = 1/2 из равенства (6) имеем
г 1/2”/.,-М =-^ VУ 2 Г(3/2) ^г 1/2”/.,-М =-^ VУ 2 Г(3/2) ^х2*х2*322*61 —•' 2322*61 —•' 2526+ 1526+ 122226=06=02*61(26+1)112*61(26+1)11X.X.
г 1/2”
/.,-М =-^ V
У 2 Г(3/2) ^
г 1/2”
/.,-М =-^ V
У 2 Г(3/2) ^
х2*
х2*
3
22*61 —•' 2
3
22*61 —•' 2
526+ 1
526+ 1
2
2
2
2
6=0
6=0
2*61(26+1)11
2*61(26+1)11
X.
X.
Здесь использованы равенства
dx = I е-“,и2/^н = «е-и,|"=о+Ге~“’ d« =dx = I е-“,и2/^н = «е-и,|"=о+Ге~“’ d« =
dx = I е-“,и2/^н = «е-и,|"=о+Ге~“’ d« =
dx = I е-“,и2/^н = «е-и,|"=о+Ге~“’ d« =
и
2» k\ (2 к + 1)П = (2/?) !! (2/? + 1) !! = ^к + 1)1
Из равенства (7) аналогичными преобразованиями можно получить явное выражение для / । (х):
1 _ 2 W = V2 г1 _ 2 W = V2 г2— cos х.л*2— cos х.л*Можно также показать, что функции /?п + 1 (х) и /?„+1 (х) при n = 1;... также выражаются через элементарные функции. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта и приведем без доказательства асимптотическую формулуМожно также показать, что функции /?п + 1 (х) и /?„+1 (х) при n = 1;... также выражаются через элементарные функции. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта и приведем без доказательства асимптотическую формулу(V.T х — ——2(V.T х — ——2(8)(8)справедливую при любых v. Из этой формулы видно, что для больших х функция /v (*) ведет себя как косинусоида с убывающей амплитудой 1/)^х. Отсюдасправедливую при любых v. Из этой формулы видно, что для больших х функция /v (*) ведет себя как косинусоида с убывающей амплитудой 1/)^х. Отсюдазаключаем, что /v (х) имеет бесконечное число нулей р^, p^l; ...; pj*» ...; причем lim p^v) = oo. Графики функций le (x) и /| (x) приведены иа рис. 37,заключаем, что /v (х) имеет бесконечное число нулей р^, p^l; ...; pj*» ...; причем lim p^v) = oo. Графики функций le (x) и /| (x) приведены иа рис. 37,В приложениях большое значение имеют системы функций {/^j^p^xjjВ приложениях большое значение имеют системы функций {/^j^p^xjj^ (Mtv>) = 0, на некоторых интересных свойствах которых мы остановимся в еле-^ (Mtv>) = 0, на некоторых интересных свойствах которых мы остановимся в еле-Дующей главе.Некоторые дополнительные соотношения. Докажем, что функция ^v (ах) является решением уравненияXV + ху' + (а2ха — Vs) у = 0. (9)Дующей главе.Некоторые дополнительные соотношения. Докажем, что функция ^v (ах) является решением уравненияXV + ху' + (а2ха — Vs) у = 0. (9)
1 _ 2 W = V2 г
1 _ 2 W = V2 г
2
— cos х.
л*
2
— cos х.
л*
Можно также показать, что функции /?п + 1 (х) и /?„+1 (х) при n = 1;
... также выражаются через элементарные функции. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта и приведем без доказательства асимптотическую формулу
Можно также показать, что функции /?п + 1 (х) и /?„+1 (х) при n = 1;
... также выражаются через элементарные функции. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта и приведем без доказательства асимптотическую формулу
(V.T х — ——
2
(V.T х — ——
2
(8)
(8)
справедливую при любых v. Из этой формулы видно, что для больших х функция /v (*) ведет себя как косинусоида с убывающей амплитудой 1/)^х. Отсюда
справедливую при любых v. Из этой формулы видно, что для больших х функция /v (*) ведет себя как косинусоида с убывающей амплитудой 1/)^х. Отсюда
заключаем, что /v (х) имеет бесконечное число нулей р^, p^l; ...; pj*» ...; причем lim p^v) = oo. Графики функций le (x) и /| (x) приведены иа рис. 37,
заключаем, что /v (х) имеет бесконечное число нулей р^, p^l; ...; pj*» ...; причем lim p^v) = oo. Графики функций le (x) и /| (x) приведены иа рис. 37,
В приложениях большое значение имеют системы функций {/^j^p^xjj
В приложениях большое значение имеют системы функций {/^j^p^xjj
^ (Mtv>) = 0, на некоторых интересных свойствах которых мы остановимся в еле-
^ (Mtv>) = 0, на некоторых интересных свойствах которых мы остановимся в еле-
Дующей главе.
Некоторые дополнительные соотношения. Докажем, что функция ^v (ах) является решением уравнения
XV + ху' + (а2ха — Vs) у = 0. (9)
Дующей главе.
Некоторые дополнительные соотношения. Докажем, что функция ^v (ах) является решением уравнения
XV + ху' + (а2ха — Vs) у = 0. (9)
В самом деле, если произвести замену / = ах, то дл* производных получим выражения
Ух — yttx = ayi, Ух* = (ayiУ, = ayt* <х = а* ук
Подставив эти равенства в уравнение (9), находим
Ра? , tп
—— yt* 4ayt + а’ —г—va I у = О,
а1а\/
ПЛИ
С-у"* + tyl + ^ — V2) у = 0.
Решением полученного уравнения является функция 1Х (/), а поэтому функция Ц (ах) есть решение уравнения (9).
Это означает, что замена в уравнении Бесселя переменной хоре коэффициенте при у величиной ах ведет к аналогичной замен» i решении уравнения.
Установим теперь часто используемые в приложениях формулы
/5(*) = — /1(х'. [x/Hxll^x/otx, ,(КУ
Из формулы (6) имеем (а0 = go р~(ц = 1)1
i»w=- 2 6=ii»w=- 2 6=iХ26-1-2622t 61 • 6!Х26-1-2622t 61 • 6!6=16=1= - —* 2 (-l)ftt = 0= - —* 2 (-l)ftt = 02<А— t,I М(х \8*£2^ - 7t fx)i 6! (к + 1)12<А— t,I М(х \8*£2^ - 7t fx)i 6! (к + 1)1i^i wi;=-ji^i wi;=-jх^+Ч^ + З) 1х^+Ч^ + З) 16=06=022» fel (ft-)- 1)!2 X ^22» fel (ft-)- 1)!2 X ^х^Чх^Ч2»* МЫ ~х1*^'2»* МЫ ~х1*^'
i»w=- 2 6=i
i»w=- 2 6=i
Х26-1-26
22t 61 • 6!
Х26-1-26
22t 61 • 6!
6=1
6=1
= - —* 2 (-l)ftt = 0
= - —* 2 (-l)ftt = 0
2<А— t,I М
(х \8*
£2^ - 7t fx)i 6! (к + 1)1
2<А— t,I М
(х \8*
£2^ - 7t fx)i 6! (к + 1)1
i^i wi;=-j
i^i wi;=-j
х^+Ч^ + З) 1
х^+Ч^ + З) 1
6=0
6=0
22» fel (ft-)- 1)!2 X ^
22» fel (ft-)- 1)!2 X ^
х^Ч
х^Ч
2»* МЫ ~х1*^'
2»* МЫ ~х1*^'
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Основные определения. В двух предыдущих главах мы исследовали ряды, в которых в качестве членов ряда fn (г) рассматривались степенные функции сп (г — го)”. Большое распространение в различных приложениях получили также ряды, членами в которых являются функции так называемых ортогональных систем. Дадим следующие определения.
Система функций (фп (х)}”=0, заданных на отрезке [с, Ы, называется ортогональной на 1с, 6], если:
ь
интегралы J ф„ (х) dx существуют для всех п = 0,1, ...; а
функции ф„(х) и Фт(х) ортогональны на [а, 61, т. е.
С \1 j (° ПРИ л #= №.
<Pn(*Hm(x)dx={
J[dn Ф 0 при т = п.
Система функций (фп (х)}”=0 называется ортогональной на [с, 6) с весом р (х), если:
ь
интегралы Jф’ (х) р (х) dx с^ществ^ют для всех п =■ 0,1, ...; а
функции фп(х) и фт(х) ортогональны на [с, 61 с весом р(х), т. е.
Г 11 х J (° ПРИ ” ^т«
Фп WcPm(x)p(x)dX =
2[dn =/: 0 пра т = п.
Если dn = 1 при всех п = 0,1, ....то система (фп (х)) называется ортонормированной или соответственно ортонормированной с весом Р (х) на отрезке [а, 6).
Убедимся в существовании таких систем.
Тригонометрическая система. Докажем, что система 1, cos х, sin х, ..., cos пх, sin пх, ..., которую мы кратко будем обозначать {1. cos пх, sin лх}”=1, ортогональна на отрезке [— л, л].
cos nxdx = 0 у " ™ L 2,cos nxdx = 0 у " ™ L 2,Действительно, ортогональность различных между собой функций следует из равенств л
cos nxdx = 0 у " ™ L 2,
cos nxdx = 0 у " ™ L 2,
J 1 -sin nxdx = О, — л—л
я f. ll^nX I"-
I cos пх sin nxdx = О,
J2л I*——■
—Л
ля
J sin пх cos тх dx = -^- j* (sin(n4*m)x— sin(n—m)xldx = 0, n^m, — Л—Л
J sin nx sin mx dx =—ЛJ sin nx sin mx dx =—Лл
J sin nx sin mx dx =
—Л
J sin nx sin mx dx =
—Л
J [cos(n—m)x—cos (n + m)x| dx=0, n^m, — Я
ЯJ cos nx cos mxdx — лЯJ cos nx cos mxdx — лЯ
Я
J cos nx cos mxdx — л
Я
J cos nx cos mxdx — л
= -i- J [cos(n—m)x+cos(n+m)xjdx= 0, n^m.
—Я
Интегралы от квадратов функций соответственно равны:
ииI’dx = 2n,I’dx = 2n,sin1 nxdxsin1 nxdxcos2nx]dx = лcos2nx]dx = лcos8 nxdx =cos8 nxdx =4-ccs2nr)dx = л.4-ccs2nr)dx = л.
и
и
I’dx = 2n,
I’dx = 2n,
sin1 nxdx
sin1 nxdx
cos2nx]dx = л
cos2nx]dx = л
cos8 nxdx =
cos8 nxdx =
4-ccs2nr)dx = л.
4-ccs2nr)dx = л.
Таким образом, тригонометрическая системе {1, cos пх, sin пх) ортогональна на отрезке [— л, л|.
Отметим без доказательства, что системы (1, cos лх}”_, и {sinnx}^, являются ортогональными на отрезке [0, nj.
Систему (1, cos пх, sin пх) можно сделать ортонормированной.
Действительно, такой будет система j 1 сош sin пх
I УУ яУ~п
Система функций Бесселя, Рассмотрим систему функций {/v (p^v) х)}j, где р^> — нули /v (х). Покажем, что эта система ортого- нальна на отрезке [0, 11 с весом р (х) — х. Выше было показано (см. (VI. 4.9)), что функция /у (ах) удовлетворяет уравнению х*у" + + ХУ* + (“^ — v2) у — 0. Запишем это уравнение в виде
ху" + у' + (аах — хЧх^у = 0,
из которого в силу равенства ху" + у' =(ху') получим
-^-(*у')+ («2х—^у = о.(1)
Поставив в уравнение (I) функции /v (ах) = Za и Zv (р^’х) = UK. имеем равене та
(xZk) + (a2 X -Za = О
dx\ х I
И
-^т+(W)’ «-^„-.о.
Умножая первое из них на 1^, а второе — на Za и вычитая из первого вгорое, приходим к соотношению
<Л "£ №~ Za 4? ^^ + ь*-м*т) ^^ Z« ” °- (2>
Учитывая, что
4" VU^xZ^-Za^xU'^U^ 4" frWW -Z»4- (xUi)- dxdxdx
- zk № = uh4- m -z„4- №, dxdx
равенство (2) запишем в виде
-А № Zk - xZa W) + [a* - (mV'T] xUk ZQ = 0,(3)
ox
Проинтегрируем соотношение (3) в пределах от 0 до I:
xlUhZ;-ZaUHIUo + [a2-(pH’] j UhZaxdx = 0.
Ho Uh (1) = к (иП = 0 и Ui = £ (к (рр> х)) - к (Р^х) pjv), » тогда проинтегрированный член равен — р^* /v (a) Ik (pjv)); при a ^ pW приходим к равенству
f / v (plvl x) к (ax) xdx = .^ ^^^O^) .(4)
Ич (4) при a = р^):/:^), учитывая соотношение к (Р„’) 3 0, вы- г-' дим ортогональность с весом р (х) = х функций /v(p^v)x) и к^^ х);
1 v(p*v) х) /v (Pm ’ х) xdx = 0,
а переходя в равенстве (4) к пределу при а -* р^*, этом правило Лопиталя, получаем, чтоа переходя в равенстве (4) к пределу при а -* р^*, этом правило Лопиталя, получаем, чтоиспользуя прииспользуя приf [МИб^)]’-^ = оf [МИб^)]’-^ = о^’а3-^’)’-^(рГ) “m "(v) 2а о-Нб^’а3-^’)’-^(рГ) “m "(v) 2а о-Нб22Следовательно,0 прп ^^Iv (p!V> *) ^ v (м-m’ х) xdx = [/у (^ ’X п т — к2т.е. система (МрГ *)}”=! ортогональна на отрезке 10,11с весомСледовательно,0 прп ^^Iv (p!V> *) ^ v (м-m’ х) xdx = [/у (^ ’X п т — к2т.е. система (МрГ *)}”=! ортогональна на отрезке 10,11с весомР W = X.4. Система функций Радемахера. В теории вероятностей и в ряде других разделов довольно часто используется так называемая система функций Радемахера. Функции этой системы определяются следующим об-Р W = X.4. Система функций Радемахера. В теории вероятностей и в ряде других разделов довольно часто используется так называемая система функций Радемахера. Функции этой системы определяются следующим об-rfx)rfx)11г,Мг,Мразом:rn (х) = sign sin 2n+1 пх.разом:rn (х) = sign sin 2n+1 пх.ОО524524х ,где •х ,где •Рис. 38Рис. 38sign а =sign а =1 при а>0, 0 при о = 0,—1 при а < 0.1 при а>0, 0 при о = 0,—1 при а < 0.
а переходя в равенстве (4) к пределу при а -* р^*, этом правило Лопиталя, получаем, что
а переходя в равенстве (4) к пределу при а -* р^*, этом правило Лопиталя, получаем, что
используя при
используя при
f [МИб^)]’-^ = о
f [МИб^)]’-^ = о
^’а3-^’)’
-^(рГ) “m "
(v) 2а о-Нб
^’а3-^’)’
-^(рГ) “m "
(v) 2а о-Нб
2
2
Следовательно,0 прп ^^
Iv (p!V> *) ^ v (м-m’ х) xdx = [/у (^ ’X п т — к
2
т.е. система (МрГ *)}”=! ортогональна на отрезке 10,11с весом
Следовательно,0 прп ^^
Iv (p!V> *) ^ v (м-m’ х) xdx = [/у (^ ’X п т — к
2
т.е. система (МрГ *)}”=! ортогональна на отрезке 10,11с весом
Р W = X.
4. Система функций Радемахера. В теории вероятностей и в ряде других разделов довольно часто используется так называемая система функций Радемахера. Функции этой системы определяются следующим об-
Р W = X.
4. Система функций Радемахера. В теории вероятностей и в ряде других разделов довольно часто используется так называемая система функций Радемахера. Функции этой системы определяются следующим об-
rfx)
rfx)
1
1
г,М
г,М
разом:
rn (х) = sign sin 2n+1 пх.
разом:
rn (х) = sign sin 2n+1 пх.
О
О
524
524
х ,
где •
х ,
где •
Рис. 38
Рис. 38
sign а =
sign а =
1 при а>0, 0 при о = 0,
—1 при а < 0.
1 при а>0, 0 при о = 0,
—1 при а < 0.
Для построения функции гп (х) разделим отрезок [0,11 на 2п+1 равных частей. Введем обозначения
^=(_!_. _Ш\ д=о, 1, ..„г"*1—1, 2п+12^+1 /
и запишем функцию гп (х) в виде
если хе А& w = 0 ,2„_lt
rn(x)= -1. если хеА^+ь
О, ести х = ——, /? = 0, 1, .... 2,,+1— 1. 2п+1
На рис. 38 изображен график функции г3 (х).
Функции Радемахера ортонормированы на отрезке 10,11. В самом деле, для любого п > 0 справедливо равенство
Полагая для определенности т> п, видим, что в каждом интервале д|п> длины 1/2л+1 содержится четное число 2т"" интервалов Д^т> длины 1/2т+1. А это означает, что интервал постоянства функции гп (х) содержит одинаковое число интервалов, в которых rm (х) = 1 и в которых г т (х) = — I, т. е.
S rn М гт (х) dx = ± 1 J rm (х) dx = 0.
Д»Де
Следовательно, при n ^ m имеем
I2л+1 я
^nW^M^=l [ Гп (X) Гт (х) dX = 0. 0*=0 (л)
Таким образом, система {гп(х)} ортонормирована на отрезке [0,1].
Система функций Уолша. В последние годы в вопросах передачи информации, в цифровой обработке изображений, в некоторых вопросах антенной техники находят все большее применение так называемые функции Уолша. Их можно определить с помощью функций Радемахера следующим образом. Для 0 ^ х ^ I полагаем
Uy0 (х) = 1, W^ (х) = rh (х), А = 0, 1
и если имеем двоичное представление числа л ^ 1: п=2л-+2л*+ ...+ 2П\ n1>n2>...>nv>0,
ч функция Уолша с соответствующим номером определяется соотношением
^П (^) = Al, (Д) Al; 00 •»• Aly (^)‘(б)
Условимся при этом, что в двоично-рациональных точках х= т/2л>+1, •ч = 1,2, ..., 2л-+| — 1, значение U^ (х) равно полусумме предельных мачений этой функции слева и справа, т. е.
—— +о') + №п/'—0^
у 2пг+ 1/2 у 2Л,+ 1/\ 2Л1~^~*/
На рис. 39 изображены функции Уолша Uyn (х) для л = 0,1, ...
*••, 16. Вертикальные отрезки в точках разрыва проведены только *1я наглядности.
Докажем ортогональность функций Уолша. Так как для функций Радемахера выполняется соотношение г* (х) = I, то из (5) находим, Что при любом п = 0,1, ... во всех двоично-иррациональных точках Имеем U/n (х) = 1, а потому
wwЕсли и V* m, то в произведении 1ЕП (х) 1Ет (х) имеется по крайней м, ^ Р -а ра~личных множителя: гП) (х) и rm( (х). Пусть гкх (х) и rhi ^j, Ji > кг, — функции Радемахера с наибольшими номерами, входящ-» г, произведение 1Е„ (х) IV m (х). Как отмечалось выше (см. п.4), каждый г 1тервал п >стоянства функции rhi (х) содержит одинаковое число ин- 1 рвалов, в которых гкх (х) = + 1 и гкх (х) = — 1. Поэтому, как и
w
w
01
-/ •
>1
1
ll
'1-j
WZW
о*
h
•"
“1
—
ii
W
ol
J
1
1 11
01
1
J
1
1
111
"I1
—;.^W
1С=Ъ=
>11
-1
1
1
1—
I1
1I—
1
IП-кбИ
i|W6W
01U—
Il_
—
J
1—
i
1i
—i .^W
°’ * 11—, (—।
J
*’
r—! ^
oi—•—}—*^ 1,—,,—,
11
I111 I
:—. .—^
0 •—• • •-
L" 1—*'—i
J 1 i 1 1
l। ! :!
°'L—J1—
_iii "
/ 11]1
11111
° i—j u
1.
1 — 1 I —J
fa—r
1
1™!1
11111111111-^^
0^ir
I
ji J
1, ,,—1 1! I—II—I II W»M
j ""1—
J1 —।
/,—.r
I Г
1Г" -1 r~
Tf—]к^вМ
° i1
^ri n n 7
1 П r
1 ^
1J11
1 n П П n П П
n n n k/№W
0 u u u
Li J
LJ
U U U U U U L
J Li u LJ
01L 1
3216 8
4
8
/53
284
7/
8
1W / * . к/, И
Ри . 39
при доказательстве ортогональности функций Радемахера, найдем, что
[ №„ (х) Гт (л) dx = f гк, (х) гк, (х) П гн М dx =
6оки.
± J ^ (*) 'к, (х) dx = 0 .
Ду
Таким образом, система функций Уолша {1ГП (х)}”=0 ортонормиро- вана на отрезке [0,11.
6. Система собственных функции задачи Штурма—Лиувилля. Под задачей Штурма—Лиувилля понимается следующая задача
На отрезке [a, t>] найти отличное от тождественного нуля решение уравнения
I* (х)у‘ (х))' — q (х)у (х) + Хр (х)у (х) = 0(6)
(X — постоянное число), удовлетворяющее одному из следующих однородных краевых условий:
у (а) = у (Ь) = 0 (условия первого типа),
у’ (а) = у'(Ь) = 0 (условия второго типа),
у (х) ограничено при х-»а+0«х-»6—0 (условия третьего типа).
При этом коэффициенты уравнения, т. е. функции k (х), q (х) и р (х), непрерывны на отрезке [а, Ь), А (х) > 0 и имеют непрерывную производную к (х), q (х) • 0 « р (х) > 0 Кроме того, предполагается, что в случае краевых условий третьего типа 6 (а) = k (b) = 0
Отметим, что краевые условия называются однородными, если из того, что функции ф1 (х), .... фт (х) удовлетворяют этим условиям, следует, что и любая нх линейная комбинация ct Ф1 (х) + .„+ стфт (х) также удовлетворяет этим условиям.
В задаче Штурма—Лиувилля возможен также случай, когда на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = Ь, краевые условия будут разных типов.
К краевым задачам Штурма—Лиувилля приводят решения многих задач математической физики. Ниже мы убедимся, что решение уравнения свободных колебаний закрепленной струны приводит к краевой задаче для уравнения
X" (х) + XX (х) = 0(7)
с граничными условиями X (0) = X (I) = 0; решение задачи о свободных радиальных колебаниях закрепленной по контуру х2+ у2 = R1 круглой мембраны приводит к краевой задаче для уравнения Бесселя
. п'
(ху*)* — — y-VXxy=0,
с граничным условием у (R) = 0, а решение задачи о свободных колебаниях сферы — к краевой задаче для уравнения Лежандра
I (I - х’^'Г + Ху = 0,
с условием у (х) ограничено при х — ±1
Ясно, что нетривиальное решение краевой задачи Штурма—Лиувилля может существовать не при всех значениях постоянной X. Если же при некотором X =7. существует решение у (х) • 0 задачи Штурма—Лиувилля, то X называется собственным числом этой задачи, а у (х) — собственной функцией, соответ- 5 Зэк 1576
130 V1L Ортогональные системы и ортогональные ряды
ствующей собственному числу X. Например, ниже будет показано! что собственными числами задачи (7) являются числа
Xh= ш* =(/гл//)’, Л=1. 2
а собственными функциями, соответствующими этим числам, являются функции fen
Xh (х) = sin у х, £=1,2, ...
Изтеориии самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве следует, что собственных чисел, соответствующих краевой задаче Штурма—Лиувилля, бесконечно много, все они неотрицательны и каждому собственному числу X соответствует единственная (с точностью до постоянного множителя) собственная функция. Мы остановимся на доказательстве того факта, что собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны с весом. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть заданы уравнение
№y'Y — W + Хру = 0(8)
и краевые условия одного изП y,W — У (6) = О,2) у1 (а) = у’ № = О,и краевые условия одного изП y,W — У (6) = О,2) у1 (а) = у’ № = О,типов:
и краевые условия одного изП y,W — У (6) = О,2) у1 (а) = у’ № = О,
и краевые условия одного изП y,W — У (6) = О,2) у1 (а) = у’ № = О,
х-»в+0«х-^£ — 0.
Пусть, далее, функции k (х), q (х), £' (х) и р (х) непрерывны на отрезке [л, ЪА и в окрестностях точек х = о и х = Ъ, причем к (а) = £ (Ь) ^ 0 в случае условия третьего типа, к (х) > 0, q (х) > 0, р (х) > 0 и функция р (х) ограничена для всех х £ (о, Ъ). Тогда собственные функции уп (х) и ут (х) уравнения (8J, соответствующие различным собственным числом Хп и Х^, ортогональны на отрезке [о, М с весом р (х), т. е. при п^т
ь
j Уп W Ут И р (х) dx = 0.
а
И Как при доказательстве в п. 3 ортогональности функций 1^ (р^х), из усло- Ы1Я теоремы имеем равенства
(куп (*))' — ЧУп (х) + К РУп (*) = О,
(Ьу'т wy— Wm(*)+bmPym(*) = 0-
Умножим первое из них на ут (х), а второе— иа уп (х) и вычтем нз первого второе:
ymlkyhY — уп (hymY-HXn— ^m) РУпУт=°_-(9)
Принимая во внимание соотношение
[Z/m ^Уп Уп ^Ут1х = Ут ^Уп)Уп (^Ут) + ^Ущ Уп ^Уп Ут ”
= Ут №~Уп ^УтУ» представим (9) в виде
\Ут ^Уп — Уп ^Ущ^АЧХц— Хт) ру^ Ут —в.
Интегрируя последнее равенство по отрезку [с, £], имеем
b
\ЬУт Уп™ ^Уп УтА |х= а"Н^п—Xm) J р (к) уп (*) Ут (х) dx=0. (10) а
Из краевых условий 1), 2) или из равенства к (а) = £(£)=? 0 в случае краевого условия 3) следует, что проинтегрированный член равен нулю Но так как ^п ^^т» то из (10) и следует утверждение теоремы 1. ►
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Полиномы Лежандра. В этом параграфе мы исследуем такие дифференциальные уравнения, когда собственными функциями задачи Штурма—Лиувилля являются обычные полиномы Р (х)= у ahxb.
»-i
Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лежандра.
Найти решение уравнения
^-((1-х»)у') + ^ = 0,(П
dx
при условии
у (х) ограничено при х ->1 — 0 и х -> — 1+0.(2)
Будем искать решение уравнения (1) в виде ряда
у№ = 5 а* х».(3)
Подставив этот ряд в уравнение (1), получим равенство
У Цк—^акхН— V k^k-\UkXk —
— 2 ка^х* 4- X У аь «* = 0, h = I*■*•
которое запишем в видее
2а, + Ха0-Ц2"За3 — (2— X) at)x+ 2 {(^4" 2)(&+I)ah+1 —
—[А (А+ 1) —X)ah) х* =0.
Отсюда находим, что
ft(A + !)—-Xl а 1,д1
Ок.» =- ак^ к = 0, 1, ...\4)
W (^+ 1)^+2)w
Равенство (4) устанавливает связь между коэффициентами ряда (3) отдельно с четными и отдельно с нечетными номерами, поэтому будем рассматривать отдельно четное и нечетное частные решения уравнения (1):
Учел (*) ° 2 °*ft xU'5)
*=0
и
У неч W = X ^1Л+1 ^lfc ^1 •ъ^)
Рис. 40Рис. 40Так, в частности;Ро(х) з ЬPi (*)=х ,Ps(*)=y (Зх>-1),Так, в частности;Ро(х) з ЬPi (*)=х ,Ps(*)=y (Зх>-1),Р= (х) = у(5х8-3х), Р» (х)=-^-(35х«-30х’+3),Рь (х) = -у (63x8-70x8+ 15х),Р= (х) = у(5х8-3х), Р» (х)=-^-(35х«-30х’+3),Рь (х) = -у (63x8-70x8+ 15х),
Рис. 40
Рис. 40
Так, в частности;
Ро(х) з Ь
Pi (*)=х ,
Ps(*)=y (Зх>-1),
Так, в частности;
Ро(х) з Ь
Pi (*)=х ,
Ps(*)=y (Зх>-1),
Р= (х) = у(5х8-3х), Р» (х)=-^-(35х«-30х’+3),
Рь (х) = -у (63x8-70x8+ 15х),
Р= (х) = у(5х8-3х), Р» (х)=-^-(35х«-30х’+3),
Рь (х) = -у (63x8-70x8+ 15х),
Можно доказать, что если X ^= k (к + 1), к = 0, 1, .... то ряды (4) и (5) с коэффициентами, определенными из рекуррентных соотношений (4), будут расходиться в точках х = ±1, т. е. не будут удовлетворять условию (2).
Если же выбрать X = X* = к (k + 1), где к — целое число, то из соотношений (4) найдем
Ofc+gm = О Для всех m = *• 2, ....
а потому соответствующее частное решение (5) или (6) (в зависимости от четности или нечетности 6) является многочленом степени к, для которого выполнение условия (2) очевидно. Следовательно, числа
X* = к (6+ 1), к = 0, 1 являются
собственными числами краевой задачи Штурма — Лиувилля для уравнения Лежандра, а соответствующие им собственные функции являются многочленами степени к. Эти многочлены называются многочленами Лежандра и обозначаются через Рц (х). В силу теоремы 1 (см. § 1) многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [—1, 1] с весом р (х) s I, т. е.
1
Ph (х) Рт (х) dx = О при к =# т. • — 1
Многочлены Лежандра могут быть вычислены, например, с помощью тан па-^ваемсй формулы Родрига:
n=0, 1, ...n=0, 1, ...о , . (-‘У dnK1-*1)"!
n=0, 1, ...
n=0, 1, ...
” * nl 2" dxn
Графики этих полиномов изображены на рис. 40.
Полиномы Чебышева. Вместо уравнения (1) рассмотрим уравнение
(7)(7)(1 — ха) у" — ху’ + Ку = о,
(7)
(7)
которое можно записать в виде
(8)'(8)'— [^Т^^5-+ -- Х - у = 0.
(8)'
(8)'
dx 1/1 — х*
Найдем решение следующей задачи Штурма — Лиувилля.
Найти ограниченное при х -> ± 1 решение уравнения (8).
Будем искать решение в виде ряда (3). Подставляя ряд (3) в уравнение (7), имеем равенство
J MtHll^-^-W-O
*=о
и для определения коэффициентов ак получаем рекуррентную формулу
°й+2°й+2к1—к(^+ 1) (Л+ 2)к1—к(^+ 1) (Л+ 2)ак, 6 = 0, 1, ...ак, 6 = 0, 1, ...
°й+2
°й+2
к1—к
(^+ 1) (Л+ 2)
к1—к
(^+ 1) (Л+ 2)
ак, 6 = 0, 1, ...
ак, 6 = 0, 1, ...
Отсюда видим, что, как и для уравнения Лежандра, можно рассматривать отдельно четное (5) и нечетное (6) частные решения уравнения (8). Выбирая к = Хк = к1, где к — целое число, находим ал+ат = 0 для всех т = 1,2, .... т. е. соответствующее частное решение (5) или (8) является многочленом степени к.
Таким образом, числа Xh = k*, к = 0,1, .... являются собственными числами краевых задач (8) и (2), а соответствующие им собственные функции являются многочленами степени к. Это многочлены называют многочленами Чебышева и обозначает через Тк (х). Многочлены Чебышева Тк (х) ортогональны на отрезке I —1,11 свесомр(х)^
1
= , . т. е.
У1-х2
j ThWTmW — Ij ThWTmW — Idxdx0 при б^т. •0 при б^т. •
j ThWTmW — I
j ThWTmW — I
dx
dx
0 при б^т. •
0 при б^т. •
Конкретные выражения для полиномов Тк (х) зависят от выбора чисел ае и аг Так, при выборе Со2*’ = (—l)ft для полинома 7ад (х) ■ al26-*"11 = = (—1)6(2А-|~ О Для полинома 7й+1 (х) получаем многочлены ЧебышеваКонкретные выражения для полиномов Тк (х) зависят от выбора чисел ае и аг Так, при выборе Со2*’ = (—l)ft для полинома 7ад (х) ■ al26-*"11 = = (—1)6(2А-|~ О Для полинома 7й+1 (х) получаем многочлены Чебышевас целыми коэффициентами; 70(х) = 1, 71 (х)=х, 7,(х)=2х2—1.Т* (х) = 4х*—Зх,с целыми коэффициентами; 70(х) = 1, 71 (х)=х, 7,(х)=2х2—1.Т* (х) = 4х*—Зх,7<(х) = 8х«—8х*+1,7» (х) = 16х*—20x8 4-5х,7. (х)=32х«—48х*+18х«—1, Т7(х) = 64х7— 112x44-58x8—7*7<(х) = 8х«—8х*+1,7» (х) = 16х*—20x8 4-5х,7. (х)=32х«—48х*+18х«—1, Т7(х) = 64х7— 112x44-58x8—7*
Конкретные выражения для полиномов Тк (х) зависят от выбора чисел ае и аг Так, при выборе Со2*’ = (—l)ft для полинома 7ад (х) ■ al26-*"11 = = (—1)6(2А-|~ О Для полинома 7й+1 (х) получаем многочлены Чебышева
Конкретные выражения для полиномов Тк (х) зависят от выбора чисел ае и аг Так, при выборе Со2*’ = (—l)ft для полинома 7ад (х) ■ al26-*"11 = = (—1)6(2А-|~ О Для полинома 7й+1 (х) получаем многочлены Чебышева
с целыми коэффициентами; 70(х) = 1, 71 (х)=х, 7,(х)=2х2—1.
Т* (х) = 4х*—Зх,
с целыми коэффициентами; 70(х) = 1, 71 (х)=х, 7,(х)=2х2—1.
Т* (х) = 4х*—Зх,
7<(х) = 8х«—8х*+1,
7» (х) = 16х*—20x8 4-5х,
7. (х)=32х«—48х*+18х«—1, Т7(х) = 64х7— 112x44-58x8—7*
7<(х) = 8х«—8х*+1,
7» (х) = 16х*—20x8 4-5х,
7. (х)=32х«—48х*+18х«—1, Т7(х) = 64х7— 112x44-58x8—7*
Графики таких полиномов a 7i (х) по 7« (х) приведены иа рис. 41.
Полиномы, отличающиеся от записанных выше только постоянными множителями, мы получим из формулы Родрига, которая для полиномов Чебышева имеет вид
^(х) _ (-1)" d" 1(1 —х«)л —^н п=0 у 1 _ х< л! 2Лdxn
Особое значение имеют полиномы Чебышева с главным коэффициентом I. Они могут быть представлены в виде
Т; (х) = 1 , Т* (х) = —Д— cos (n arccos х), n = 1, 2, ...
Эти полиномы дают решение следующей задачи, поставленной в 1854 г, П. Л. Чебышевым.
-1-1Рис. 41Рис. 41
-1
-1
Рис. 41
Рис. 41
Среди всех полиномов Пп (х) степени п с главным коэффициентом 1 определить полином, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке 1—1,11.
Именно П. Л. Чебышев показал, что имеет место соотиошеиие
шах |7*(х)|< max |Пп(х)|,"-|<Х<|
причем наименее уклоняющийся от нуля полином единствен.
Полиномы Якоби. Рассмотренные выше полиномы Лежандра и полиномы Чебышева являются частными случаями более общих полиномов Якоби Р“'р (х). К этим полиномам мы придем, решая следующую задачу Штурма- Лиувилля.
Найти ограниченное при х —» ± I решение уравнения
(l-x^'-HP-a-ta-i- 0+W+Xy = 0;(9)
которое можно представить таю
-^-1(1-х), + а(14-х),+р!/'] + Х(1+х)а(1 + л)р1/=0.(И)
Будем искать решение уравнения (9) в виде ряж»
у(х) = 2 а*(х—О* •
4-0
Замечая» что (I — х8) = (1 — х) [2 + (* — 01 = —2 (» - О — (г — 0* " р _ а — (а + Р + 2)х = —2 (а + 1) — (а Ц- ₽ + 2) (» — И полученный к» уравнения (10) ряд запишем следующим образом:
-2 2 Л(*-1)а*(х - I)*-1- 2 А (А—1) а* (х —1)»— '
6 = 2А = 2
-2(а+ I) 2 Лал(*-О*"‘-(а + Р+2) 2 ^А^-О**6=16-1
+ к 2а* (*- о1 - 0. 6—0
Отсюда для определения коэффициентов а^ получаем рекуррентные формулы
Х-А(А + а + Р+ 1)
Оь+1 “Ль, #с = и, 1, ,.
2(А+1)(А4-а+1)
Выбирая X = Xft = fe (fe + а + Р 4- I), где 6 — целое, заключаем; что ящ.га = = 0 для всех m = 1, 2, ...; т. е. соответствующее частное решение уравнения (9) является полиномом степени к. ^го означает, что числа Хд == к (* 4~ а 4* + Р+ I) являются собственными числами задачи Штурма—Лиувилля для уравнения (9) с условием (2), а соответствующие им собственные функции называются полиномами Якоби Р^’^(х). Полиномы Якоби ортогональны на отрезке [—1,11 с весом р (х) = (1 — х)” (1 4- *А т. е.
Г р(а.р > х)Р^*' Р> (х)(1 —х)а(14-х)рdx =0 при кфт . ®
Формула Родрига для полиномов Якоби имеет вид o-w+xWi,,-^^^^6_„.,....
Из этой формулы получим полиномы Лежандра при а = Р = 0; полиномы Чебышева — при а = Р = —1/2. При а = Р имеем так называемые ультрасфе- рические полиномы.
Другие виды ортогональных полиномов могут быть получены либо также из решения отдельных задач Штурма—Лиувилля, либо путем ортогонализации системы степеней 1, х, ха, .., хп, . . на заданном отрезке [а, 61 по заданному весу р (х). Отметим без доказательства, что для любых ортогональных полиномов (PnU)} справедливо рекуррентное соотношение
~^ РА+1 W=(x—^PX (х) —Рк-1 (х),а*+1®*
62 Pv *)Pv(0 v^062 Pv *)Pv(0 v^0Ct*Oft+1Ct*Oft+1где ад — коэффициент при старшей степени полинома рь (х), а у» — некоторая постоянная. Имеет место также так называемая формула Кристоффеля—Дарбу
6
2 Pv *)Pv(0 v^0
6
2 Pv *)Pv(0 v^0
Ct*
Oft+1
Ct*
Oft+1
Ph (X) PA+t (О— PA (Л PA+1 W
t—x
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Неравенство Шварца. Докажем часто употребляемое в ортогональных рядах утверждение.
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемые квадратом на отрезке 1а, 61, т. е. конечны интегралы ь1
А=^РиИх и B=Jg*(x)dx. ао
Тогда выполняется неравенство Шварца *>
ьГъ 6'
JlA U)S (x)ldx< jP(x)dxJg»U)dx.(!)
сг оо
4 Положим, что
C=Jl/(x)5(x)|dx. О
Принимая во внимание неравенство, справедливое при любых вещественных X,
6
ЛР + 2СХ+ В = J[Xf(x)+5(x)Pdx>0,О
выводим, что АВ — О ^ 0, а это и есть неравенство (1). ►
Ортогональные ряды и ортогональные разложения. Пусть на отрезке 1а, 61 задана ортонормированная (или ортонормированная с весом р (х) ) система функций (фп (х)}~_0 и задана последовательность чисел {сп}”=0- Образованный с этими последовательностями функциональный ряд
5 СпФпМ(2)
п = 0
называется ортогональным рядом. Если ортогональный ряд (2) сходится для х С [а, 6], то его сумму обозначаем через / (х), т. е.
/ (х) = 2 сп Фл (Д х^ [а, 61.(3)
п= О
Пусть теперь ортогональный ряд (3) сходится равномерно на отрезке [а, 61. Тогда в силу теоремы 4 (см. § 5 гл. IV) ряд (3) после умножения всех его членов на функцию фт(х) остается равномерно сходящимся и его можно почленно интегрировать на [а, 61. Отсюда,учитывая ортонормированность системы (фп (х)}, найдем
66
р(х)фт(х) dx - ст|ф^ (x)dx = cm, т = 0, 1, ...(4)
са
•> Это неравенство называют также неравенством Буняковского—Коши.
Это означает, что если ряд (3) сходится равномерно, то его коэффициенты {сп} вполне определяются суммой этого ряда Дх) с помощью формул (4).
Обратно: числа ст можно определить для любой функции / (х), для которой существуют интегралы
6
J / (х) фт (х) dx, m = 0, I,...
О
В силу неравенства Шварца (1) для любой интегрируемой с квадратом на [а, 61 функции / (х) эти интегралы существуют. Будем называть эти числа
6
ст = J / (*) Фт (х) d*, т = О, I,..."(5)
О
коэффициентами Фурье или коэффициентами разложения функции / (х) по системе {фп (х)}.
Для ортонормированных с весом р (х) систем коэффициенты разложения определим аналогично соотношениями
6
Cm = J / (х) фт (х) Р (х) dx, т = 0, 1,...(6)
О
Формально составленный с коэффициентами {ст} ряд
/(Х)~ 5 СтФтМ
т= О
называется рядом или разложением Фурье функции f (х) по системе
^ (х)>'„ ггм
Если система {фп (х)}”= ^ортогональна на отрезке [а, о],но не нормирована, то коэффициенты Фурье по этой системе определяются по формулам
сь = ~ьI*/ (х) ф„ (х) dx, £ = 0, 1, ...<7>
Jф^ (х) dx а О
Так, для тригонометрической системы {1, cos пх, sin пх} коэф4ицисн- ты Фурье интегрируемой на 1—л, л] функции / (х) определяются следующим образом:
Л
ah = — f f(x)cosAxdx, А = 0, 1,...,
” -„(8)
Л
6ft = — J / (х) sin/?xdx, k= I, 2,...,
— Л
и функции ( (х) ставится в соответствие формально написанным и У1ими коэффициентами тригонометрический ряд Фурье
I (х)^- -{-(°ь cos ^ + bh s,n кхУ
Если рассматривать систему функций Бесселя {7v(Hiv’х)}“=1, то для интегрируемой на 10,11 с квадратом по весу р (х) = х функции / (х) можно определить коэффициенты Фурье по формулам
।
Си =-Г xf (Х) /v (f4v» х) dx, k = 1, 2 (9)
['U4V’)]‘ j
и записать с этими коэффициентами ряд Фурье — Бесселя функции
fc D О
Если функция f (х) интегрируема с квадратом на отрезке 10,11, то ее коэффициенты Фурье — Уолша определяются соотношениями
On = р W ^п (х) dx, п = 0, 1
и функции f (х) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье — Уолша
fW~ 2 °" ^nl*)*
h = 0
Задача о наилучшем среднеквадратическом уклонении. Коэффициенты Фурье функции f (х) играют важную роль в следующей задаче о приближении функции.
Пусть функция f (х) задана на отрезке [а, 61 и интегрируема с квадратом на этом отрезке и пусть {<pft (х)}^=0 —система орто- нормированных на [а, 61 функций. Для каждого фиксированного п> 0 образуем множество Мп «полиномов» по системе {у,, (х)} порядка не выше п, т. е. множество
пIМп = Ип^ S «^tokпIМп = Ип^ S «^tok(10)(10)»=о»=о
пI
Мп = Ип^ S «^tok
пI
Мп = Ип^ S «^tok
(10)
(10)
»=о
»=о
где а0, ап .... ап — любые вещественные числа. Найти такой полином
*п (*) € Мп. который давал бы минимум выражению
ЦТп)= ^f^-Tn^dx,(Н)
/л, е. такой* чтобы выполнялось соотношение
mm J I/ И—Тп (х)]2 dx = j* [/ И — Тп (х)]’ dx. ^пб^поа
Решение этой задачи дается теоремой 2.
Теорема 2. Пусть функция f (х) интегрируема с квадратом на отрезке [о, 61, {<рЛ (х)}”=0 — система ортонормированных на этом отрезке функций. Тогда среди всех полиномов Тп (х) € Мп интеграл (II) достигает своего наименьшего значения, если Тп (х) есть частные суммы разложения Фурье функции f (х), т. е. если
Тп (X) = S„ (X) = V С„ (р„ (х),
6 = 0
гйе
Ck = j/ (х) <рь (х) dx, к = 0, 1,...О
◄ Используя ортонормированность системы {«р^ (х)} и определение (5) коэффициентов Фурье, выражение (11) представим в ы.д<.
bк*
1 (U = j Р (х) dx—2 j /(х) Тп (х) dx + J Тй (х) dx = иоа
£пв5
= P^dx—2 V акск + 2 al = | Р(х) dx + х*=о>=о*
пп
4- 2 (ак-СнУ- V сь (12) 6=06=о
Отсюда видим, что выражение / (Тп) принимает минимум при ак = = ск1 т. е. когда в качестве ТДх^ берутся частные суммы sn (х) разложения Фурье функции / (х) по системе {фй (х)}. ►
Наилучшее среднеквадратическое приближение нашло большое применение в вопросах статистики и теории вероятностей, где отдельные единичные выбросы не влияют на вероятность события в целом. Среднеквадратическое приближение может быть значительно меньше равномерного. Покажем это на примере.
fn-1 (*) —fn-1 (*) —Пример 1°. Пусть
fn-1 (*) —
fn-1 (*) —
при 0 < х < 1/л,
I2
при — <х<—, п =2, э, пп
0 при 2/л < х < L
Найти I W = lim tn (*) н сравнить равио- Л-*ав
мерное я среднеквадратическое приближенна tn U) к / (х).
Ясно (рис. 42), что
11m /п(х)=0 для всех хб[0, 1], П-*ОО
НО
max lfn (х)—0] = 1 для всех п = 1,2, ...
Э<^ж ^ 1
(13)
Вычисляя среднеквадратическое уклонение; найдем, что
I1/л2/п
1/п (х)—О]2 dx = f nxdx + n f —^dx = 1 ,
0IM
откуда следует соотношение
lfn(*)~op dx = — -*0 при п-* оо.(14)
п
0
Это показывает^ что среднеквадратнческое приближение (14) может быть значительно меньше равномерного приближения (13)
ааНеравенство Бесселя. Запишем равенство (12) для частных сумм sn (х) разложения f (х) по системе {<рй (х)};
а
а
п
/2(x)dx — c*>u(15)
* = 0
Отсюда заключаем, что при любом п = 0,1, ..,
Ch С ^ГМ^х, аCh С ^ГМ^х, а»
Ch С ^ГМ^х, а
Ch С ^ГМ^х, а
ооа это означает, что справедлива оценка
о
о
ОО
* = 0* = 0аа(16;(16;
* = 0
* = 0
а
а
(16;
(16;
Неравенство (1G) называется неравенством Бесселя.
Если система {фА (х)) ортогональна, но не нормирована, то неравенство Бесселя представится в виде
ф* (х) dx < Р (х) dx.Оф* (х) dx < Р (х) dx.О(17)(17)
ф* (х) dx < Р (х) dx.
О
ф* (х) dx < Р (х) dx.
О
(17)
(17)
Так, для тригонометрической системы (1, cosnx, sin их} неравенство Бесселя имеет вид
(18)
Замечание. Для так называемых полных ортогональных систем {фй to} неравенство Бесселя (17) обращается в равенство которое называют равенством Парсеваля. При этом система {фд (х)}”в0 называется полной не \и, 6], если не существует функции, отличной от нулевой и ортогональной всем функциям системы (фд (*))”= о» Та е* если из равенств
ь
J/(*Hk(*)d*=0, 6=0, 1
О
следует, что / (х) = 0.
Из рассмотренных выше ортогональных систем полными являются тригонометрическая система (1, cos пх, sin пх) на отрезке [—л, л], система Уолша { №п (*)} на отрезке [0,11, системы собственных функций краевых задач Штурма-Лиувилля на соответствующих отрезках ортогональности [о, 6]. Система Радемахера не является полной, так как для любой функции Уолша Wn (х) с номером п #= 2* равны нулю интегралы
1
£U7n (х) rm (х) dx=0 для всех т=0, 1,2, ...
Будем говорить, что разложение Фурье по ортонормированной системе {ерь tol^Q, интегрируемой с квадратом на [о» 61 фуи^ии / (х), сходится в среднем к / (х), если
/(sn) = Jl/(x)—sn(/.х)]1 dx-*0 при п->оо.(19)
а
Условимся записывать это в виде
(Lt) со
/ (х) = 2 Ch Фь (х), х € [а, 6].
к«0
Оказывается, что для полных ортонорм и рован иых систем (фд to}”=o сходимость в среднем имеет место. Действительно, из неравенства Бесселя (16) сле- оо
дует, что для любой интегрируемой с квадратом функции / (х) ряд 2 с^ сходится, к= о
а потому из (15) и равенства Парсеваля выводим, что
/(Snl-fPWdJt- 5 с1 = 2 с1"*° "Р" п-°°-
Ок=0 Ляа»Л+1
В примере Г (см. п. 3) мы видели, что среднеквадратнческое приближение может быть значительно меньше равномерного. Однако следует заметить, что равномерная сходимость последовательности fn (х) к функции / (х) еще не гарантирует сходимости в среднем втой последовательности к f (х). Это подтверждает следующий пример.
Пример 2°. Для заданной на отрезке [О, Ц последовательности фуик» ций /п (х) = V2nx e~nxl/2i п = 1; 2/ „л сравнить равномерную и среднеквадратическую сходимости.
Очевидно, что имеет место соотношение
max ln^ = fn | -т=|=^27уПх£[0. 1]\У2п/
Отсюда следует равенство нулю равномерного предела) Нт /п(х)“»0 для всех х^ [О, 1J. П-*«
Вычислив интеграл 1i
f Un (х)—oj- dx = f 2пле~”х* dx= 1-е-", оо
видим, что
(I — е”л) -* 1 пря п-*оо}
а это означает, что последовательность /п (х) не сходится в среднем на [О, Ц к функции f (х) = 0.
VIII ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ. VIII ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДАХ ФУРЬЕ
I. Некоторые замечания о коэффициентах Фурье. Наиболее распространенной из ортогональных систем является введенная выше тригонометрическая система {1, cos пх, sin пх)”-г К исследованию свойств рядов Фурье по тригонометрической системе мы и перейдем. Выражение
ак cos кх + bh sin кх
можно записать в виде так называемой гармоники
ah cos кх + Ьн sin кх = A h cos ^кх — ф*)
с амплитудой Ah =Ия1+ bl, фазой ф» = arctg ^- и частотой ®л ■■ = к. Поэтому частные суммы ряда Фурье представляют собой сумму гармоник с частотами coh = к ^ п, амплитуды которых Л, и фазы фА определяются коэффициентами Фурье аь и Ьк.
Пример. Найти разложение Фурье функции
1 при 0<х<я,— 1 при —л<х<0
и изобразить графически первые две частные суммы пoлvчewпnro пяла.
Имеем / (—х) = —/ (х), т. е. / (х) — нечетная функция, ии^юму, исполь- еуя формулы (VII.3.8), находим, что
для всех t=0, 1, ..для всех t=0, 1, ..я
для всех t=0, 1, ..
для всех t=0, 1, ..
од = — I / (х) cos кх dx = О л J
—л
и
— [cos як — 1J •» як— [cos як — 1J •» яклл
— [cos як — 1J •» як
— [cos як — 1J •» як
hi = — 1 / (х) sin кх dx = — I / (х) sin кх dx » — nJnJ
пО
•^гП—(—D*h
4/(х) л —- т = 04/(х) л —- т = 0sin (2m 4- 1)х2m +1sin (2m 4- 1)х2m +1
4
/(х) л —- т = 0
4
/(х) л —- т = 0
sin (2m 4- 1)х2m +1
sin (2m 4- 1)х2m +1
следовательно^ Опри 4 = 2m,
.»+!Л|,И *-« + '.
а поэтому разложение Фурье имеет вид
44
Изобразим первые две частные суммы s< (х)=— sin г п % М =— (sin г 4- , sin 3jt \
43— J этого ряда графически (рис. 43 и 44). Из »тих ।рафиков замечаем,
что как $i (х); таи и $, (х) колеблются относительно исходной функции fix), причем е прибавлением дальнейших гармоник эти колебания будут еше более частыми
Интегралы от периодической функции f (х) периода Т по любому отрезку длиной Т совпадают, т. е. справедливо следующее утверждение.
Лемма I. Если функция f (х) имеет период 7, т. е. f (х + 7) = = / (х), то для любого вещественного а
ТПо + Т
С /(x)dx = С /(x)dx.
-TDо
< Разобьем интеграл на три интеграла следующим образом:
а + Т— ПНПНа + Т
/(x)dx=/(X)dx+/(x)dx+ f(x)dx. (1)
аа—Г/2Г/1
Производя замену х=7+« и учитывая периодичность функции f (х), найдем
а+Та— Т/1
( /(x)dx= t f(T+uWu=- С f(M)da T'lЛи
и из (1) получаем утверждение леммы. ►
Геометрически утверждение леммы 1 очевидно (рис.45).
Используя лемму 1, формулы для коэффициентов Фурье функции / (х) периода 2л можно представить в виде
лj + Зл
aft= — f /(x)cos6xdx= — f f(x)coskxdx, 6 = 0,1,...;(2)
—л0
лu + 2n
Ьк= — у f(xlsin6xdx = — J f(x)sin6xdx. 6 = 1,2,....
—лa
гл? a — любое вещественное число. Если же / (х)— четная функция, то
л 9 р
ah = — / (х) cos 6х dx, Ьк = 0, 6 = 0,1,....
Л J
а если f (х) — нечетная функция, то
Л
9 р
Ьк = — I / (х) sin6x dx, ак = 0, 6=0,1,...
Л J
Лемма Римана—Лебега. В связи с дальнейшими задачами о сходимости рядов Фурье введем следующие определения.
У
Рис 45
Функция f (х) называется кусочно-непрерывной на отрезке 1а, 6], если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков [xv, Xv+iL v =0,1, .... N — 1, х0 = a, xn = b, на каждом из которых / (х) непрерывна и существуют конечные предельные значения
/ (о + 0), f (6 - 0) и f (xv± 0), v = 1,2N - 1.
Функция * (х) называется кусочно-гладкой на отрезке [а, 61, если она кусочно-непрерывна и в каждом интервале непрерывности имеет кусочно-непрерывную производную (сравните с определением в § 2 гл I).
Лемма 2 (Риман—Лебег). Если функция f (х) кусочно-гладкая на отрезке la, 6], то для любого вещественного <р справедливо соотношение
1 i m \Цх) cos (Хх + у) dx = 0.
1—ос J
◄ Пусть ха = a, xn = Ь и xt < х, < ... < xn_i — точки разрыва как функции / (х), так и ее производной /' (х). Тогда справедливы равенства
bN—\Xh+,
Г f (x)cos (Хх+<р) dx = у Г f(x)cos(Xx+<p)dx =
'к 4-1
^<Х^|.„, _л Г /.(x)sin(Xx+v)dx _
1 N~*
= — 2 I/ (X* +1 — 0) sin (Кхк+1 4- <р)—f (х» + 0) sin (kxh + ф)] —
sin (Xx 4 (p)dx.sin (Xx 4 (p)dx.
sin (Xx 4 (p)dx.
sin (Xx 4 (p)dx.
1ак как функция f (x) кусочно-гладкая на [a, 6], то существует такое Л1>0, что
(На + 0)| <Л1, |f (Ь-0)| СМ, |/(х„ ±0)1С М Vk =1.2, ...A'-i,|f (х)|С М для х G (*h. хь-н» 6 = 0, 1Л' — 1.
J / (х) cos (Хх 4- ф) dx аJ / (х) cos (Хх 4- ф) dx аУчитывая эти оценки, получаем следующую оценку интеграла:
J / (х) cos (Хх 4- ф) dx а
J / (х) cos (Хх 4- ф) dx а
^^г^+т 5^-м-^)=т12^+(б-с)1.
Здесь М и N— конечные числа, поэтому и следует утверждение леммы. ►
Следствие. Коэффициенты Фурье аь и Ьк кусочно-гдадкой функции f (х), стремятся к нулю при k-> со,
Замечание. Утверждение леммы 2 доказано Лебегом не для кусочногладких функций, а для интегрируемых на отрезке [в; 61 функций, однако доказательство основано на ряде новых понятий, которых мы не приводим.
Формулы для частных сумм ряда Фурье. Используя выражения (2) для коэффициентов Фурье, найдем
s„(А х) = у + V (aft cosfcx + bh sin йх) = -^-
пп6=-|6=-|л
п
п
6=-|
6=-|
ku cos hx 4- sin ku sin кх^ du =ku cos hx 4- sin ku sin кх^ du =-L J /(и) [cos
ku cos hx 4- sin ku sin кх^ du =
ku cos hx 4- sin ku sin кх^ du =
-Л
-Т S,w—л-Т S,w—л£2£2п4-с°8 ^ (о—х)»=1п4-с°8 ^ (о—х)»=1d«.d«.
-Т S,w
—л
-Т S,w
—л
£
2
£
2
п
4-с°8 ^ (о—х)
»=1
п
4-с°8 ^ (о—х)
»=1
d«.
d«.
Принимая во внимание равенство 2 sin^ •С05Й/ = $1п^й4--^-)/ —— sin (й—0 I, преобразуем сумму, называемую ядром Дирихле*.
Оп (0 = у-4- 2 cos ы = —п-[sin Т + sIn "Г ~sin Т + ’" +
2smT
^sin-^lLz-sin-^l^sin-^lLz-sin-^l2n+.L2sinT2n+.L2sinT
^sin-^lLz-sin-^l
^sin-^lLz-sin-^l
2n+.L
2sinT
2n+.L
2sinT
Теперь для частных сумм s„ (/, х) получаем представление
™2«4-1 ,
М/. х) =М/. х) =d«.d«.1 С 51112(и-Х^ Ци)Пп^и—х)ди = — I Ки>——
М/. х) =
М/. х) =
d«.
d«.
П J9tin —
(3)
Выражение (3) называется интегралом Дирихле, где
. ?«+1 ,sin(к—х)
Dn (и - х) =—
2 sin —g—
— ядро Дирихле.
Производя в (3) замену и — х = t и принимая во внимание лемму 1, для функции f (х) периода 2 л имеем
П — XП — X2n +1 ,sm—/
П — X
П — X
d/fc
2sin-~-
пп2п + 1 sm 22$inT2п + 1 sm 22$inTd/ =d/ =ОО— п— п2n+1 sin —/- d/-),2 sin -y2n+1 sin —/- d/-),2 sin -y
п
п
2п + 1 sm 2
2$inT
2п + 1 sm 2
2$inT
d/ =
d/ =
О
О
— п
— п
2n+1 sin —/
- d/-),
2 sin -y
2n+1 sin —/
- d/-),
2 sin -y
2n+l
psin —— t
•¥— f(x+0d/.
n ]_ , i
t2ып —
Заменяя в первом интеграле / на гралы, приходим к выражениюЗаменяя в первом интеграле / на гралы, приходим к выражению— /' и объединяя полученные HHie-— /' и объединяя полученные HHie-
Заменяя в первом интеграле / на гралы, приходим к выражению
Заменяя в первом интеграле / на гралы, приходим к выражению
— /' и объединяя полученные HHie-
— /' и объединяя полученные HHie-
Л $»(/.*)= — СЛ $»(/.*)= — С. 2n+Jsin —-t
Л $»(/.*)= — С
Л $»(/.*)= — С
d/, n = 0, 1,...(4)
2tinT
ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
Основные задачи о рядах Фурье. Как уже отмечалось выше, каждой интегрируемой функции / (х) периода 2л мы можем поставить в соответствие ее ряд Фурье
f (х)—у + 2 VQn cos кх + bk sin kxV0)
А = 0
гдеак и 6h, к = 0,1,..., определены по формулам (1.2). Как показал в 1871 г. Дюбуа-Реймонд, существуют непрерывные функции / (х), для которых ряды Фурье (I) расходятся в отдельных точках или сходятся неравномерно. Поэтому естественна постановка следующих задач.
При каких условиях на функцию / (х) ее ряд Фурье представляет эту функцию и, стало быть, в соотношении (1) можно поставить знак равенства?
Как свойства функции } (х) влияют на характер сходимости ее ряда Фурье?
Имеется целый ряд условий, накладываемых на функцию I (х), при выполнении которых в (1) можно поставить знак равенства.
Мы докажем две теоремы, в первой из которых доказывается только сходимость ряда Фурье в каждой точке, а во второй теореме при дополнительных условиях на функцию f (х) устанавливается уже равномерная сходимость ряда Фурье.
Теорема о сходимости ряда Фурье кусочно-гладкой функции. Одним из условий, при которых дается положительный ответ на задачу 1, является кусочная гладкость функции f (х)
Теорема 1. Если функция f(x) имеет период 2л и является кусочногладкой на периоде, то ее ряд Фурье сходится к f (х) в каждой ее точке непрерывности и к значению ^ If (х + 0) + f (х — 0)) в точке разрыва, т е. для кусочно-гладкой функции имеет место равенство
Дх+0)4-Цх— 0) = .Со. + X (Оц COS kx +ЬШ sin kx)t= I
Ч Учитывая соотношение
и принимая во внимание выражение (1.4). для разности sn (/, х)— L (^ (Л 4- 0) + / (х —0)1 получим выражение
Л
8„ (/. х)-у I/ <х + °) + / (х -0)1 = у J [/ (*+«)+/(*-“)! Dn (u) du - о
—(/(X +0) I-/(X —0)1— СоДи^и-— С {{f(x + u)-f(x+O)l +
2nJn J
о0
+ (/ (X—u)—f (x—0)]} Dn (u) d u.
Выберем число 6, 0 < б < л, так, чтобы производная f (ы) была непрерывна в промежутках (х — 6, х) и (х, х + 6). Тогда, применяя теорему Лагранжа и полагая М =* sup \Г (х) [, получаем неравенства
I /1! =I /1! ={[f(x + u)-f(x+0)]4-{[f(x + u)-f(x+0)]4-
I /1! =
I /1! =
{[f(x + u)-f(x+0)]4-
{[f(x + u)-f(x+0)]4-
2п 4-1sinп-Н/(х-«)-/(х-0)|}-du2 sin -у2п 4-1sinп-Н/(х-«)-/(х-0)|}-du2 sin -у2 n2 n{«/' (х + 01 u)_{«/' (х + 01 u)_
2п 4-1sinп
-Н/(х-«)-/(х-0)|}-du
2 sin -у
2п 4-1sinп
-Н/(х-«)-/(х-0)|}-du
2 sin -у
2 n
2 n
{«/' (х + 01 u)_
{«/' (х + 01 u)_
—uf (х—6а и)}du2sm ——uf (х—6а и)}du2sm ———du = M6, 2 и——du = M6, 2 и
—uf (х—6а и)}du
2sm —
—uf (х—6а и)}du
2sm —
——du = M6, 2 и
——du = M6, 2 и
o<eb es<i.
По заданному е > 0 выберем б > 0 столь малым, чтобы производная У ЦА была непрерывна в указанных выше промежутках и чтобы 0 < б < ^; получим оценку
(2)(2)1А|<е/2.
(2)
(2)
Далее, так как 0<б С и < л, то функция
фд (ti) = /(* + “)-/(* + °) + /(*-и)-/(х-0)
является кусочно-гладкой, а потому в силу леммы Римана — Лебега для выбранного е > 0 существует N = N (е) такое, что для всех п > N (е) справедливо соотношение
|/al= — fofc(u)sin|/al= — fofc(u)sinudu <-у.udu <-у.(3)(3)
|/al= — fofc(u)sin
|/al= — fofc(u)sin
udu <-у.
udu <-у.
(3)
(3)
Учитывая оценки (2) и (3), заключаем, что для всех п > N (е) имеет место оценка
[s„(Ax)—Lt/(jc + 0) + /(x-0)) <e.k
Теорема о равномерной сходимости. Если кроме кусочной гладкости от функции / (х) потребовать ее непрервности, то оказывается, что утверждение теоремы 1 можно усилить.
Теорема 2. Если функция [(х) периода 2л непрерывна на всей оси и кусочно-гладка, то ее ряд Фурье сходится к ((х) равномерно.
Установим прежде всего связь коэффициентов Фурье ап ф и бп (/) функции / (х) с коэффициентами Фурье ап(/') и Ьп ([') ее производной f (х). Интегрируя по частям, находим связь между ап (/) и бп (/'):
(Л=— С f(x)cosnxdx= — fWnJл
f (х) sin их dxf (х) sin их dxMl, ,1 = 1,2,... (4)Ml, ,1 = 1,2,... (4)
f (х) sin их dx
f (х) sin их dx
Ml, ,1 = 1,2,... (4)
Ml, ,1 = 1,2,... (4)
Используя вытекающее из непрерывности и периодичности функции f (х) на всей оси равенство f (— л) = f (л), найдем вависимость между ЬпЦ) и а„ (/'):
Г (х) cos пх dxГ (х) cos пх dxап (Л ,лап (Л ,лп = 1,2,...(Б)п = 1,2,...(Б)^^^Т J f (х) sin nx dx = — Л
Г (х) cos пх dx
Г (х) cos пх dx
ап (Л ,л
ап (Л ,л
п = 1,2,...(Б)
п = 1,2,...(Б)
Из соотношения (|«I - 4Г = •“’’ ~ ^ + ^ >0 ^^ ^'
венство ^'< у (|ар +-^-). Используя это неравенство, из равенств (4) и (5) получаем, что при п = 1,2,... справедливы оценки
l=»V>K^-(l^V'>P+-^-)l=»V>K^-(l^V'>P+-^-)и 1»„ОТ1<^-(|0"<Г,|,+ т)-и 1»„ОТ1<^-(|0"<Г,|,+ т)-
l=»V>K^-(l^V'>P+-^-)
l=»V>K^-(l^V'>P+-^-)
и 1»„ОТ1<^-(|0"<Г,|,+ т)-
и 1»„ОТ1<^-(|0"<Г,|,+ т)-
Таким образом, для членов исходного ряда Фурье имеют место неравенства
| ап ф cos пх + Ьп Ш sin пх | С-у {| «п (f') Г +1 ^n (П I1} + ~
п=1,2,...
В силу неравенства Бесселя для функции f (х) (см. неравенство (VI.3.18)
Л
У (I ап(/')Р + 1 МП I2} Су У l/Wdx. П=1—я
сумма |ап (/')р + |6П (/')Р является членом сходящегося чио- лового ряда, а 1/па есть член сходящегося ряда Дирихле (р — 2 > 1). Применяя признак Вейерштрасса (см. теорему IV.4.2), убеждаемся в том, что ряд Фурье функции f (х) сходится равномерно. Сходимость к функции f (х) вытекает из теоремы 1. ►
Замечание. В теореме 2 можно отбросить требование периодичмостш и непрерывности на всей оси функции / (х), а рассматривать непрерывные ми I—л, я] функции, удовлетворяющие условию / (—л) = / (л).
РЯДЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ I И НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ряды Фурье функций периода I. Пусть функция ф (х) имеет период /, т. е. ф (х + Z) = ф (х). Тогда, полагая t = 2nx/Z, можем записать равенства ф (х) = ф /) = / (/), причем справедливы также соотношения
f(/+2n) = vf-L у + 2л)) = ФМ- z+a = vf-L Л = м, X zn/ X *л ) у ^л /
е. функция f (г) имеет период 2л. Поэтому этой функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье
f(/)~-y- У (OftCOsAZ + PuStn АО,(1)
i
где
ah= — J / (0 cos А/ d/, pft = — J /(OsinA/dZ, А = 0,1,... — Л—л
Производя в интегралах замену / = 2 лх/Z, получаем, что 1/2 I2лГ, / 2л\2л6,
«6 = f — X COS—— xdx =
лIJ \ I//
-1/21/22Гf I2nX2лА .
—— I <Pxcosxdx,
lI\ 2лIJ I
-42 и пн 1/2
ah=^- у ф (x) cos ~- xdx, A = 0, 1,...(2)
-1/2
Производя аналогичные преобразования, найдем, что и 1/2
₽й=у Ф(х)sin—у—xdx, А = 1,2,...(3)
-1/2
Заменяя в членах ряда (1) Z на 2 лх/Z, имеем
Ф(^)~-у-+У («xcos ~х+P»sin-^-х),(4)
здесь ак и ph определяются по формулам (2) и (3), а это и есть разложение функции у (х) периода / в ряд Фурье по системе (1, cos^ х, . 2А Л । оо
Sin -р Х}*„|.
Очевидно, что условия сходимости ряда (4) к функции <р (х) совершенно аналогичны условиям сходимости рядов Фурье функций периода 2 л.
Комплексная форма ряда Фурье. От тригонометрического ряда Фурье (4) перейдем к комплексной форме. Пусть
т(/.*)=-у- + N cos-у—x4-6h sm —у— xj
— ряд Фурье функции / (х) периода I. Используя формулы Эйлера— ряд Фурье функции / (х) периода I. Используя формулы Эйлера, 2Ал I х2Ал е 14-еСО X = —, 2Ал I х2Ал е 14-еСО X = —2 Ал2 Ал. 2Ал sin——х =. 2Ал sin——х =, 2Ал е 1 —е 2i, 2Ал е 1 —е 2i2 Ал2 АлIIпредставим т (/, х) в видесо /к I ^Л *представим т (/, х) в видесо /к I ^Л *А — IА — I22да 4- «6а2да 4- «6а22 Ал2 Але-'—е-'—«А—i^A«А—i^A•м 2А —О•м 2А —Оее2 Ал12 Ал1* = —1* = —1а - А + <6-ft е'а - А + <6-ft е'222лАИ2лАИ
— ряд Фурье функции / (х) периода I. Используя формулы Эйлера
— ряд Фурье функции / (х) периода I. Используя формулы Эйлера
, 2Ал I х
2Ал е 14-е
СО X = —
, 2Ал I х
2Ал е 14-е
СО X = —
2 Ал
2 Ал
. 2Ал sin——х =
. 2Ал sin——х =
, 2Ал е 1 —е 2i
, 2Ал е 1 —е 2i
2 Ал
2 Ал
I
I
представим т (/, х) в виде
со /к I ^Л *
представим т (/, х) в виде
со /к I ^Л *
А — I
А — I
2
2
да 4- «6а2
да 4- «6а2
2 Ал
2 Ал
е-'—
е-'—
«А—i^A
«А—i^A
•м 2
А —О
•м 2
А —О
е
е
2 Ал1
2 Ал1
* = —1
* = —1
а - А + <6-ft е'
а - А + <6-ft е'
2
2
2лА
И
2лА
И
или, короче,
т(Л х) = 2 С*е 1*^
к= — я
где
Ch= пь^Ьк, при й>0(6)
и
(7)(7)Ch= °-»+;6-й =с_» при h<0.
(7)
(7)
Учитывая выражения (2) и (3) для коэффициентов Фурье ah и Ь^, при А > 0 находим
1/2
Ck = -j- J f(u)[cos-^-u-isin-^-u]du = -f/2 . U2
= — J f(«)e du,
-«/2
Точно так же для А < О получаем 1/2
ск=« -р J / (u) fcos -~^- и +I sin -~^" «1 du —
-z/2J
1/22»Л ,
= 7" J М» ' dw.
-U 2
Таким образом, для всех Л = 0, ± 1,... коэффициенты ск в (5) выража- кмин с помощью формул
. 41_t2^u
ск = —у^е• du, А = 0,±1,...,(8)
— 1/2
и ряд (5) с такими коэффициентами называется рядом Фурье в комплексной форме.
Используя введенные в § 1 обозначения
Лк = /аГ+Н, ns = Ahcos(ph, 6h = 4hsk^fcl из (6) и (7) выводим, что
Ch-—»”**» |Chl =-^ , argck= —Фк-(9}
Записав соотношения ск = c_h, к = 1,2в виде (Ah/2) е”,<р* = = (А_й/2) е,ф-к и учитывая равенства А_к = А к, получаем формулы зависимости фаз от положительности или отрицательности номера:
ф-к = — Фь к = 1,2, ...(10)
Обозначим кН через vft и условимся величину v, = 1// называть основной частотой. Можно считать, что к есть функция от vk, т. е. к = Nk. Поэтому и коэффициенты ск также можно считать функцией от ук, т. е.
1/2
Ch = c(vh) = у J f(u)e-,2”vh°dti.(11)
-1/2
Ряды Фурье непериодических функций. Если функция f (х) задана в промежутке а < х < Ь, то для разложения этой функции в ряд Фурье можно рассматривать периодическое продолжение функции / (х) различными способами. Например, можно считать, что:
Их + (Ь - о)) = f(x)(12)
(продолженная функция имеет период / = b — а);
f ^х + х) ПРИ 0<х<6—а,13)
I—Л(—X) при — (Ь—а)<х<0,
Л (х + 2 (Ь - п)) = к (х)
(продолженная функция К (х) имеет период 2 (1> — а) и нечетна);
(М)(М)/ M=lf(x + a) при 0<х<Ь —а,\М—х) при — ^Ь — а\<х<0,
(М)
(М)
fz(x + 2(b — а)) = f2 (х)
(продолженная функция /2 (х) имеет период 2 (6 — о) и четна).
Ясно, что ряды Фурье функций (12), (13) и (14) будут различными, однако в промежутках а< х <. b для (12) и 0 < х < b — а для (13) и (14) эти ряды будут сходиться к одной и той же функции / (х) (при соответствующих условиях на гладкость функции f (х)).
Выбор продолжения определяется обычно какой-либо поставленной задачей. Если, например, требуется получить ряд Фурье, содержащий только члены с синусами, то следует взять продолжение (13), для которого в силу нечетности fT (х) из (2) и (3) получаем
а» Vi) = О
и
Ь—а
bnUi) = -^— f fl(X)sin -^-xdx, (n = 0,1,...).b— a Jb—o
Следовательно, ряд Фурье для функции /, (х) запишется в виде
fi(x)~ V МА)ып-^-х. пи 1
Если же требуется получить ряд Фурье, содержащий только члены с косинусами, то надо взять продолжение (14), для которого
Ьп № = О,6 —о
anUi)=-r^— f fa(x)cos-^-xdx, п = 0,1b—a Jb—n
e
11 fi (x) представится рядом
fi (x) ~ ^^ + У Cn (fi) cos -^- x.n= 1
Пример. Функцию / (x) = л — x при 0 < x < л разложить в ряд Фурье пс синусам.
Продолжим функцию на промежуток (—я, 0) нечетным образом, т. е. положим.
J я—х при 0<х<л,'* (* — t—(л+х) при —п<х<0.
Коэффициенты Фурье а„ (ft) =» 0 для всех п =. О, I, .... а интегрируя ии чиним, найдем коэффициенты 6П (/,):
п 2 Г2
bn (ft) =• — I (п —х) sin пх dx —nJлп
При 0 < х < л функция f (х) — непрерывная гладкая (/* fr) ■» 01. поэтому ее ряд Фурье будет сходиться в каждой точке к значению функции, г. о. при О < х < л имеем
л—х =л—х =sin пх пsin пх п
л—х =
л—х =
sin пх п
sin пх п
В точке х = 0 ряд сходится я значению ^-^-^^-^—У _ о ®
В приложениях представляет интерес получение такого продолжения функции f (х), чтобы полученные для продолженной функции коэффициенты Фурье имели заданный порядок малости, обеспечивающий определенную скорость сходимости частных сумм ряда к заданной функции f (х) Построением такого продолжения мы и займемся в следующем параграфе.
8 4. МЕТОД МАЛИЕВА РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В БЫСТРО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД ФУРЬЕ
Постановка задачи. В приложениях наиболее удобны ряды Фурье с быстро убывающими коэффициентами, так как в этом случае несколько первых членов ряда достаточно точно определяют его сумму. Быстрота же убывания коэффициентов Фурье периодической функции /ОО
ск= — I /(и)е1 du, А=0. ±1 (1)
-1/2
определяется дифференциальными свойствами этой функции. В самом деле, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция f (х) периода I < 2л непрерывна на всей оси вместе со своими производными до (т — 1)-го порядка, а про- изв' дная т-го порядка кусочно-непрерывна и имеет на периоде конечное число экстремумов. Тогда величины |ск I с ростом |/г| убывают не медленнее чем А! | k |m+l; причем если f(m'(x) имеет хотя бы одну точку разрыва, то |cft| убывает не быстрее чем ВЦЬ\т+х (А и В — положительные постоянные).
◄ Как и при доказательстве теоремы 2.2, после m-кратного интегрирования по частям и использования равенств
''”Ш-'т(-# *-••'"-•
для к Ф 0 имеем равенства
а эго означает, что при к * О
CkU) = (--y-rY ch(№(2)
Используя теорему Лебега о порядке убывания коэффициентов Фурье*1, заключаем, что при наших предположениях справедлива оценка
|ck(/,m|)l<^/|M, ^>0,
причем если jW (х) имеет точку разрыва, то найдется константа В, > 0 такая, что
|ск (/<т>) 1> 61/1*1-
Подставив эти оценки в равенство (2), убедимся в справедливости теоремы ►
Из теоремы 1 следует, что для получения быстро сходящегося ряда Фурье от функции / (х) необходимо потребовать как ее непрерывности, так и непрерывности определенного числа ее производных.
Следует иметь в виду, что если функция f (х) непрерывна вместе со своими производными до m-го порядка на отрезке [0, /], то, будучи периодически продолженной на всю числовую ось, она этими свойствами может и не обладать. На рис. 46 изображена функция f (х), непрерывная на [0,/1, периодическое продолжение которой с периодом I уже не является непрерывной функцией, так как терпит разрывы в точках х = п/.
Метод Малнева. Пусть функция / (х) непрерывна вместе с производными no (т — 1)-го порядка на отрезке [а, 6], а функция /(т> (х) кусочно-ьепрерывна на этом отрезке Продолжим функцию / (х) на промежуток {2а — Ь, а{, симмет- fличный относительна точки х = а, с помощью функции g (х), имеющей на 2a — b, а] производные до m-го порядка. В результате получим функцию
г,и_|е(*) при х^ [20-6, а|,t/(x) при х£ [а, 6],
заданную на отрезке [2a — b, *1 (рис. 47). Для того чтобы функция F (х) и ее производные Flv| (х), v = 1, 2, .... /п — 1, были непрерывны в точке х * о, необ- хоцимо выполнение равенств
g(a) = /(a). g'(«)=•/'(«)g‘m-1>(a)=/<m-|,(a).(4)
См., например, Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965, т. I, с. 83, т. 4.12.
2а-Ь а2а-Ь аРис. 47Рис. 47(7}(7}
2а-Ь а
2а-Ь а
Рис. 47
Рис. 47
(7}
(7}
158 VIII. Тригонометрические ряды Фурье. Интеграл Фурье
Далее, чтобы периодически, с периодом 2 (Ь — с), продолженная на всю числовую ось функция F (х) оставалась непрерывной на всей оси вместе с производными до (т — 1)-го порядка, следует потребовать также выполнения равенств
g(2a-6) = /(6), g'(2a-6) = f (6)<m~11 (2a—ft) =• f<m —1 > (6).(5)
Таким образом, если функция g (х) имеет непрерывные производные до (гп — 1)-го порядка включительно, кусочно-непрерывную производную порядка гл и удовлетворяет условиям (4) и (5), то функция г (х), заданная равенством (3), раскладывается в ряд Фурье, коэффициенты которого имеют порядок убывания не ниже чем А! \п\т*х% А > О,
Ч f О I 21 4
Рис. 46
«Улучшающая* функция g (х), удовлетворяющая поставленным выше условиям, остается достаточно произвольной в отношении своего вида. В частности, независимо от вида функции f (х), в качестве g (х) можно брать многочлен Rs (х) Этот многочлен должен удовлетворять 2m условиям (4) и (5), поэтому должен иметь 2m подлежащих определению коэффициентов, т е. за R8 (х) можно э?ять многочлен степени $ = 2m — 1,
Пример. Функцию f (х) * -j । ^; заданную на отрезке [О, П, продолжить на отрезок [— 1, 0] так, чтобы полученная функция F (х) при разложении в ряд Фурье имела порядок убывания коэффициентов, равный 1/| А1^. Найти первые девять членов разложения функции F (х) в ряд Фурье.
Функцию I (х) = 1/ (1 + х1), заданную на отрезке [0, 1L продолжим на отрезок 1—1, 01 с помощью многочлена Ra (х) степени s = 2(5—1)—1 = 7, т. е. многочлена /?7 (х) = Ле + 4ix4- ... + А^. Коэффициенты А^ v = = 0, 1, ...; 7, найдем из условий
^(0)=/(0), RHO^fW» Rl^T^. R^^^rW.(6)
R^-U=fW. Rl^-rw. Ril-vWO). R^-v^r.O)*
Вычислим производные
я подставим в иих зиачеиия х = 0 в х = h
/(0) = 1, Г (0) = 0, Г (0) = -2, Г (0) = 0.
/(1) = 0,5, Г (1) = -0,5, Г (1) = 0,5, Г (1) = 0.
Из условий (6) сразу находим первые четыре коэффициента многочлена Ri (к):
Aq = 1, А^ = 0, Л^ = — 1, A g = 0е
§ 4. Метод Малиева разложения • быстро сходящийся ряд Фурье 159
Для определения оставшихся неизвестных коэффициентов Av, v g 4, 5, 6, 7 имеем систему уравнений
А0 — A j 4* Ag — A s 4* А4 — А» 4“ ^е — А? и 0,5,Ai — 2Аа 4" ЗА з — 4А4 4“ ЗАь — 6АВ4" 7А7 = —0,5,]
2А2 — 6А84- 12А4 — 20А6+ 30Ав — 42А7 = 0,5,
6А8 — 24 А4 4~ 60Ав - 120Ае4- 210А7 ~ 0.
Подставив сюда значения Ао, Alt А, и А3из (7), для определения коэффициентов А4, Аы Ае и А7 получаем систему
А* — Ав — А а — А 7 = 0,5,4А< — 5АВ4" 6Ав — 7А7 •* 2,5;12А4 — 20Ав 4- 30Ав — 42А7 = 2,5;
12А4 — 30Ав4- 60Ав - 105А7 = 0.
Решаем эту систему по стандартной программе на ЭВМ «Наири»; 64п
1—11—1 0,5
4—5672,5
12—2030422.5
12—30601050
111
. п = 4
*Х1 = —13,75001037
ха = —38,00002908
*х8 = —33,75002717
х4 е —10,00000834
Округляя полученные значения до 0,0001, имеем:
А4 = —13,75, Ав = —38, А| = —33,75, А7 = —10.
Таким образом, искомая функция имеет вид
М — х*— 13,75х* — 38<6—33,75хе— Юх’ при — 1 < х < 0, FM = 11/(1+^) при 0<*< 1
и следует вычислить первые девять коэффициентов ее ряда Ф-урье
ОО
где1где1f(x)=—4- 5 (Qacos лАх+^sin л^х), 2
где
1
где
1
о
—13,75«« - 38««—33,75«« - Юи’) X—13,75«« - 38««—33,75«« - Юи’) Xch ^ j F(u)cos nAudu= J (1—и5
—13,75«« - 38««—33,75«« - Юи’) X
—13,75«« - 38««—33,75«« - Юи’) X
1
о
1
Seos *ли
—Т 14-и1
Jb^O.1.2,3,4,
f F (и) sin n^iidu = f (1 — — 1•"!
о
U2—13,75и*-38иб—33,75и<—Юи’) X
* = 1,2, 8, 4.* = 1,2, 8, 4.
* = 1,2, 8, 4.
* = 1,2, 8, 4.
р sin л*и
X sin n*udu4* \—гч—Г
3 1+и>
о"О” fо"О” fdu_l+u*du_l+u*_113,7538 ~ 33,7510 л3 -5+ 6 ~7+ 8 + 4_113,7538 ~ 33,7510 л3 -5+ 6 ~7+ 8 + 455771.463894,1.463894,
о
"О” f
о
"О” f
du_l+u*
du_l+u*
_113,7538 ~ 33,7510 л
3 -5+ 6 ~7+ 8 + 4
_113,7538 ~ 33,7510 л
3 -5+ 6 ~7+ 8 + 4
5
5
7
7
1.463894,
1.463894,
Легко вычисляется коэффициент а0:
ua— 13.75u‘—38u»—33,75u*— 10u’)du +
Для определения оставшихся коэффициентов предварительно по стандартной программе на ЭВМ «Наири» вычислим интегралы
к.К. h.h. 1»Л и U.h'-
70 п
— 1
0
0.00001
1U
1 1
(I — *а - -13,75** — 38*» — 13,75** — 10*’) cos л* 0,150.7291
Ил
h.hh.h7з к7з к(1 -т®- -13,75*’ — 38*'— 33,75**-10*’) соэ2л* 0,02729243
h.h
h.h
7з к
7з к
Ил
(1 — х* - 13.75х* - 38*5 - 33.75*6 -10*’) cos 3 л * — 0,01830667
Пл
(I — *4 — 13,75*1—38*5 — 33,75*° — 10*’) cos 4л*
0,00339484
Гл
(1— *»— 13.75л4 — 38*« —33,75**—10*’) sin л*
—0,42033807
(1-*«-13.75*б—38*»-33.75*e-10*’) sin 2л*
—0,13'30899
(1 —**— 13.75*1—38*»—33.75**—10*’) sin Зл*
—0,16269136
(I —**—13.75*4—38*5—33,75*в— Ю*’) sin 4л*
—0,03948221.
70 и
0
1
0,0001 ш
Ил
(cosn*)/(l+**) 0,11305477
Ил
(cos 2лх)/(1 Ч-х8) —0,00954019
Ил
(cos Злх)/( 14-х1)
0,00573577
(cos 4лх)/(14-х’)
—0,00315702
^S-h
Ил
(sin лх)/(1 Ч-х1) 0,50439909
Ил
(sin 2лх)/(1 Ч-х8)
0,09269704
Ил
U.h
(sin Злх)/(14-хе) 0,16140816
Ил
(sin 4лх)/(1 4-х8) 0,04015762
Находим теперь коэффициенты од
н 6А; t = I; 2. 3, 4:
at = 0,15027291 4-
0,11305457 = 0,26332748,-
а, = 0,02729243 —
0.00954019 = 0.01775224,
д8 = —0,01830667 4* 0,00573577 = —0,01257090,
а4 = 0,00339484 —
0,00315702 = 0,00023782,
б! = -0,42003807 4- 0,50439909 = 0,08436102,-
Ьа = -0,13730899 4- 0,09269704 = -0,04461195;
6, = -0,16269136 4- 0,16140816 = —0,00128320,
6. = —0,03948221 4- 0,04015762 = 0,00067541.
Округляем коэффициенты до 0,0001 и получаем первые девять членов разложения F (*) в ряд Фурье:
Г(х) = 0.732 4* 0,2633 cos лх4* 0,0844 sin лх-|- 0.0178 cos 2лх —— 0,0446 sin 2лх — 0,0126 cos Злх — 0,0013 sin Злх 4*4* 0,0002 cos 4лх4" 0,0007 sin 4лх.
Первый отброшенный коэффициент имеет порядок^- = ■ 3*25" — 0,0003 ф 6 dan. 1576
ДВОЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Ортогональные системы функций двух переменных. Как и при определении ортогональных систем функций одной переменной, будем говорить, что система {фп (х, у)}”=о заданных в прямоугольнике К = {а ^ х С Ь, с <_у <_d\ функций ортогональна на К, если:
V л = 0,1,... существуют и конечны интегралы
Фп (х, у) dxdy < /И, к
функции ф„ (х, у) и фп (х, у), ортогональны на К, т. е.
Л
,.....0 при п Ф т,
^n(x,y)ifm(x,y)dxdy=\
[Gn Ф 0 при т = п.
db
Здесь через n(-)dxdt/ обозначен интеграл Jf(-)dxdy. Если все Кс а
dn = 1, п — 0,1..., то систему (фп (х, у^ будем называть ортонорми- рованной на К.
Каждой интегрируемой с квадратом на К функции / (х, у) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье по системе (фп (х, у)}:
Цх.у^ V апфп(х, у),
л = 0
коэффициенты которого ап, называемые коэффициентами Фурье, определяются соотношениями
°" = гг "8, 1 "A/Jf f / (^ У) Фп (х, у) dxdy, л = 0,1,...(1)
И фй(*. у)dxdy
Для коэффициентов Фурье (1) интегрируемой с квадратом на К функции / (х, у) справедливо неравенство Бесселя
У а„ J J фп (х, у) dx dy < J J P (x, y) dxdy.(2)
n = 0КК
Двойные ряды Фурье. Примером ортогональных систем функций двух переменных может служить так называемая основная тригонометрическая система
, cos лх, sin пх, cos ту, sin ту, cos лх cos ту,
sin лх cos ту, cos пх sin ту, sin лх sin ту^, л = 1,2,..., m = 1,2,...(3)
Эта система ортогональна на квадрате
К = {— л < х < л, — л ^ у ^ л}
или на любом квадрате вида
Ki = {о С х ^ а + 2л, b С У С b 4- 2л).
Ортогональность системы (3) на квадрате К есть аледствие ортогональности системы {1, cos пх, sin пх) иа отрезке [—л, я]. Действительно, интегралы по квадрату К от функций системы (3) сводятся к повторным интегралам по каждой переменной, которые можно рассматривать как произведение интегралов, а каждый иа сомножителей является интегралом от произведений функций системы {!, сое пх, sin пх) или системы {1, cos ту, sin ту). Интегралы же от квадрата функций системы (3) принимают следующие значения:
J J l2dxd^ = (2n)2, —л —л
cosenxdxay =cosenxdxay =Яя я
cosenxdxay =
cosenxdxay =
J sin2nxdxd^« J J cos*mxdxdy = — Я—Л —л
лJ sin8 mydxdy ■ 2л1 —ллJ sin8 mydxdy ■ 2л1 —л
л
J sin8 mydxdy ■ 2л1 —л
л
J sin8 mydxdy ■ 2л1 —л
и при m > 1 и л > 1
J J cos2 пх cos2 mydxdy = j f sin2 nx cos1 mydxdy — —я —л_я _я
cos2 n x si n2 mydxd у =cos2 n x si n2 mydxd у =si п2 nx sin2 mydxdy = л2.si п2 nx sin2 mydxdy = л2.
cos2 n x si n2 mydxd у =
cos2 n x si n2 mydxd у =
si п2 nx sin2 mydxdy = л2.
si п2 nx sin2 mydxdy = л2.
Для интегрируемой с квадратом на К функции / (х, у) вычислим коэффициенты Фурье:
Опт = -^7 JJ / (X, у) cos пх cos mydxdy,
$ (х, у) sin пх cos mydxdy,
спт = ™ JJ / (х, у^ cos пх sin mydxdy, к
/ (х, у) sin пх sin mydxdy./ (х, у) sin пх sin mydxdy.n=0,1,..., m=0, 1,...,n=0,1,..., m=0, 1,...,
/ (х, у) sin пх sin mydxdy.
/ (х, у) sin пх sin mydxdy.
n=0,1,..., m=0, 1,...,
n=0,1,..., m=0, 1,...,
и функции f (х, у) поставим в соответствие ее ряд Фурье /(х,^)^.^!1 + -1 V^cosnx+4- V a0mcosmy-V
1 ”1 ”"
— S 6nOsinnx+-— У cOmsinmy4 У (anm cos их cn* my + n=lm—Iя,m—I
bnm sin их cos ту + спт cos пх sin ту 4- dnm sin пх ьш ту)-(4)
при припри прип =• т — О,п>1, т = 0 и при л = 0, т>1,п =• т — О,п>1, т = 0 и при л = 0, т>1,Вводя обозначение
при при
при при
п =• т — О,
п>1, т = 0 и при л = 0, т>1,
п =• т — О,
п>1, т = 0 и при л = 0, т>1,
1/4
Х„т= 1/2
1
ряд (4) можем представить в виде
(Б)(Б)fVc,y)~ ^ Xnm [anm cos пх cos ту 4- Ьят sin пх cos ту 4- n,m —О
(Б)
(Б)
4- спт cos пх sin ту 4-dnm sin пх sin myY
п=0т=04- cnmcosпх siпту +dnmsin nxsm ту\\ hррп=0т=04- cnmcosпх siпту +dnmsin nxsm ту\\ hррЧастные суммы Si,h (f, х, у) ряда (Б) запишем следующим образом: U,x,y) = 5 v Xnm[anmcosnxcosrnz/+6nmsmnxcos/ziy4-
п=0т=0
4- cnmcosпх siпту +dnmsin nxsm ту\
\ hрр
п=0т=0
4- cnmcosпх siпту +dnmsin nxsm ту\
\ hрр
cos п (u—х) cos т (у—у) dudu =
ККп=0т=0 Кп=0т=0 КААУ cos т (о—у) dz/dv2—‘1У cos т (о—у) dz/dv2—‘1m= Im= IгдегдеVVИ=1И=1G JL JJ/ (ti,u) Dt (u—x) Dh ip —y) dudv, к. 2v4-1 ,sinfcos ц/ = -(• v = 0,1,....2sin —G JL JJ/ (ti,u) Dt (u—x) Dh ip —y) dudv, к. 2v4-1 ,sinfcos ц/ = -(• v = 0,1,....2sin —
К
К
п=0т=0 К
п=0т=0 К
А
А
У cos т (о—у) dz/dv
2—‘1
У cos т (о—у) dz/dv
2—‘1
m= I
m= I
где
где
V
V
И=1
И=1
G JL JJ/ (ti,u) Dt (u—x) Dh ip —y) dudv, к
. 2v4-1 ,
sinf
cos ц/ = -(• v = 0,1,....
2sin —
G JL JJ/ (ti,u) Dt (u—x) Dh ip —y) dudv, к
. 2v4-1 ,
sinf
cos ц/ = -(• v = 0,1,....
2sin —
— ядра Дирихле. Таким образом, частные суммы имеют видр рsln-^-(u-x)sin^^-(v-y)
s,..v.x,»>-v Н f(“.->—--i^-,"‘,|
JJ»sm —s,n—
Можно также' ввести понятие кусочной непрерывности и кусочной гладкости функции f (х, у) на квадрате Кив этих терминах сформулировать условия сходимости ряда Фурье (5) к функции f (х, у). Мы не будем останавливаться на точной формулировке этого утверждения. Заметим, однако, что сходимость sf,h(/,x,y) к f (х, у) понимается здесь в том смысле, что ye>0a/V=/V(e) такое, что для всех / > > /V (е) и k> N (е) в точке (х, у,) выполняется неравенство I/ (х, У) — Shh (А х, у) | < 8.
Рассматриваются также и другие виды сходимости. Например, сходимость по квадратам означает, что последовательность 5ц (f, х, у) сходится к функции f (х,у); ограниченная сходимость означает, что при условии -^- ^ -р ^Х последовательность sj,h (/, х, у) сходится к / (X, у) и т. п.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Определение. Если функция / (х) имеет период I и кусочно-гладка на периоде, то она представляется в виде ряда Фурье
fW = /(,+<»+/(,-о> =д,^*
6™ —ОО
Используя формулы (3.11) последний ряд преобразуем к виду
К^- V c(vk)e,2nv^ = V /сМе-2^д^,(1)
к= — оок= — оо
где
1/2
Avh=—7= "7 н ,СМ = J f^e-'^^du.
-и»
Ряд (1) по своей структуре напоминает интегральную сумму (по переменной v) для функции S (v) е*2™*, где
S (v) = lim lc (vh) =- (‘ / (u) e~,5MW dui-»”J
(при условии существования последнего интеграла). Однако в обычной интегральной сумме подынтегральная функция не меняется с уменьшением отрезков разбиения, а здесь величина lc (vh) с увеличением I изменяется. Поэтому в ряде (1) нельзя непосредственно переходить к пределу при I -* оо и формальный переход к пределу может
дать только вид того выражения, к которому стремится ряд (1) при / -* оо. Таким пределом является выражение
f(x)~ J J / (//) е'2™ >'-“> dndv= J S (v) e'2"vx dv, (2) — OO —00—00
которое называется интегралом Фурье для функции f (х). При этом внешнее интегрирование по v понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.
ооN
Г S (v) e‘2nv* dv = lim C S (v) e,2nv* dv.
— ocN"*'” — N
Естественна постановка следующей задачи; когда в выражении (2) между функцией / (х) и ее интегралом Фурье можно поставить знак равенство?
Теорема о представимости функции интегралом Фурье. Частично ответ на поставленную в п. 1 задачу дает следующая теорема.
Теорема 1. Если функция / (х) абсолютно интегрируема на всей оси х G (— оо, оо), т. е.
J |f(x)|dx<M,(3)
и кусочно-гладка на любом конечном отрезке вещественной оси, то она представима интегралом Фурье, т. е. имеет место равенство
f U) = 4- I/(Л +0) -ь/ (х—О)] = lim С S (v) е'2™* dv =
— N
= J J /Me'^i'-^dzvdv (4)
◄ Из условия (3) следует, что внутренний интеграл в равенстве (4) сходится равномерно по х. Действительно, оценка
;,2лу(х-а> ди;,2лу(х-а> ди< J I f (и) | du < М< J I f (и) | du < М
;,2лу(х-а> ди
;,2лу(х-а> ди
< J I f (и) | du < М
< J I f (и) | du < М
справедлива равномерно для всех х 6 (— оо, оо). Из равномерной сходимости заключаем, что в интеграле
N оо
/?v(/.x)= J J /(«)e'2nv(*-°'dHdv— N —оо
ДЛЯДЛЯзаконна перемена порядка интегрирования, производя которую, / v (/, х) получаем последовательно выражения
ДЛЯ
ДЛЯ
«N
InV.x)™ j f(u) J e-lnv‘*-“)dvdu =
—«—N
= f /м= f /мe'2nv (Jr —■)2я/ (x—я)e'2nv (Jr —■)2я/ (x—я)d« =d« =ei2nN (*—e)e—/2vN (х—u)ei2nN (*—e)e—/2vN (х—u)Л (х —u) 2iЛ (х —u) 2idu =du =sin 2л^(х—и) ^^ ntx— и) —sin 2л^(х—и) ^^ ntx— и) —sin 2л^ ^ ^sin 2л^ ^ ^sin 2лМ ^sin 2лМ ^Я 8'При любом вещественном / ^0 справедливо равенствоЯ 8'При любом вещественном / ^0 справедливо равенство(Б)(Б)Г sin Aue(l-dtt= I J иJооиз которого выводим соотношениеГ sin Aue(l-dtt= I J иJооиз которого выводим соотношениел2 *л2 *2 J sin 2л.V/ d# — 1 оПринимая во внимание равенство (6) и выражение (5) для In разность In (f, х) — f (х) представим в виде2 J sin 2л.V/ d# — 1 оПринимая во внимание равенство (6) и выражение (5) для In разность In (f, х) — f (х) представим в виде(6)(6)(7,(7,О,О,
= f /м
= f /м
e'2nv (Jr —■)
2я/ (x—я)
e'2nv (Jr —■)
2я/ (x—я)
d« =
d« =
ei2nN (*—e)e—/2vN (х—u)
ei2nN (*—e)e—/2vN (х—u)
Л (х —u) 2i
Л (х —u) 2i
du =
du =
sin 2л^(х—и) ^^ ntx— и) —
sin 2л^(х—и) ^^ ntx— и) —
sin 2л^ ^ ^
sin 2л^ ^ ^
sin 2лМ ^
sin 2лМ ^
Я 8'
При любом вещественном / ^0 справедливо равенство
Я 8'
При любом вещественном / ^0 справедливо равенство
(Б)
(Б)
Г sin Aue(
l-dtt= I J иJ
оо
из которого выводим соотношение
Г sin Aue(
l-dtt= I J иJ
оо
из которого выводим соотношение
л
2 *
л
2 *
2 J sin 2л.V/ d# — 1 о
Принимая во внимание равенство (6) и выражение (5) для In разность In (f, х) — f (х) представим в виде
2 J sin 2л.V/ d# — 1 о
Принимая во внимание равенство (6) и выражение (5) для In разность In (f, х) — f (х) представим в виде
(6)
(6)
(7,
(7,
О,
О,
//v(7,x)—/(x)=-LJ [/(х-Ю+/(х — /)) --"^^ d^ — 0
—7 (/(*+0) -VHx -0)]-l f 2!£22^_ d^
2л J X
0
(7)(7)—7 J Wx+0-7(* + 0) +7(x-o —/(x—0)1 An2nW at.
(7)
(7)
Введем обозначение
Ah =maxfsup|/(x)|, sup,/'I XX
пусть задано е > 0. Выберем число 6 (е) так, чтобы при 0 < / < б санкции f (х + 0 и f (х — /) имели непрерывные производные и что- н 6 < ел/6^И1. Тогда, применяя теорему Лагранжа, получаем соот- ошение
«,=-1 J{/(х-ю-f^-: ф-щх -п-Цх-^ sm^—d/ = V
-L J{f (x + OiD-rix— 020> sin2nMdr. Л
<'тсюда заключаем, что для интеграла по промежутку / С 10,61 спра- длива оценка
6
|Jl|<-Lf2MId*=-^<f.(8)
о
Учитывая сходимость интеграла (6), выберем число 7? > 0 столь большим, чтобы имели место неравенства
2А1_ <„_ел^ b2А1_ <„_ел^ b2М1 Г яп2л.Уы du <J_
2А1_ <„_е
л^ b
2А1_ <„_е
л^ b
Л J U6
R
/^ + б + Дх-П/^ + б + Дх-ПI де Л! — константа в неравенстве (3). Тогда, принимая во внимание уо* овие (3), для таких 7? имеем
/^ + б + Дх-П
/^ + б + Дх-П
sin 2nMd7- — [/ (х + 0) 4-/ (X - 0)1 X л
R
RRsin 2л Vf
R
R
R
J sin 2лМRJ sin 2лМR«L+-L<-L. (9)nR 63«L+-L<-L. (9)nR 63
J sin 2лМ
R
J sin 2лМ
R
«L+-L<-L. (9)
nR 63
«L+-L<-L. (9)
nR 63
Наконец, так как при фиксированных б > 0 и /? > 0 в промежутке I £ [6, /?1, функция’
Д)f(x+n+/(x-n-f(x+0)-/(x-0)
является куеочно-гладкой, то ■ силу леммы Римана-Лебега можно выбрать число N6*N6 (в) столь большим, чтобы при N Ап имеле место неравенство °
.га±±Ш’=2=Д«±а=Ц!^,,п^™ <Л
Падетавляя эту оценку ж оценки (8) и (8) для Jt и Jt в (7), для разности 1» (ft *) —f (*) получаем оценку
| In (f, х) — f (л) | < в для N > Nt (е),
которая н означает выполнение утверждения теоремы!
/(x=lim J J /(ti)e‘2nvu—u,dudv = J J /(ц)e<levt*—■)dudv. ► —N —oo—oo —оо
Преобразования Фурье. Стоящий в соотношении (4) двойной интеграл называют интегралом Фурье в комплексной форме. Если воспользоваться здесь формулами Эйлера и принять во внимание значения интегралов в симметричных пределах (по переменной v) от четных и нечетных функций, то получим для f (х) представление
dv = 2f j* f (u)cos2nv(x—u)dudv. (10)dv = 2f j* f (u)cos2nv(x—u)dudv. (10)/(*)= f l/(u)cos2nv(x—u)duJdv-H Т Г Т f(«)X
dv = 2f j* f (u)cos2nv(x—u)dudv. (10)
dv = 2f j* f (u)cos2nv(x—u)dudv. (10)
X sin 2nv(x4- u)du
Выражение (10) называют интегралом Фурье в вещественной форме.
Производя в (10) замену 2nv = м и вводя обозначения
Л(о))= — С f (u) cos wudu(11)
и
В(ю)= — С /(u)sinwwdu,(12)
выражение (10) можно записать в виде
f(x) = J[?l((i))cosu)x4-B(to)sintox]dto,(13)
который напоминает ряд Фурье, причем суммирование заменено интегрированием.
Соотношения (11), (12), и (13) называют также преобразованиями Фурье в вещественной форме. Эти преобразования для четных или нечетных функций принимают более симметричный вид. Действичельно,
если функция / (х) — четная, то имеем пару так называемых косинус- преобразований Фурье*.
Г^) =Г^) =f (u^costoitdu,f (u^costoitdu,fWfWft (to) cos toxdro.ft (to) cos toxdro.(14)(14)
Г^) =
Г^) =
f (u^costoitdu,
f (u^costoitdu,
fW
fW
ft (to) cos toxdro.
ft (to) cos toxdro.
(14)
(14)
Если же функция f (x) — нечетная, то имеем пару синус-преобразований Фурье*.
fUto) =fUto) =f(u) sin <oudu.f(u) sin <oudu.fWfWf^to) sin toxdto.f^to) sin toxdto.(15)(15)
fUto) =
fUto) =
f(u) sin <oudu.
f(u) sin <oudu.
fW
fW
f^to) sin toxdto.
f^to) sin toxdto.
(15)
(15)
Из соотношения (4) также легко получить и преобразования Фурье в комплексной форме*.
S(v)= J / (ц) е~,2nv“ du,S(v)= J / (ц) е~,2nv“ du,f(x) = J S^ie'^^dv.f(x) = J S^ie'^^dv.(16)(16)
S(v)= J / (ц) е~,2nv“ du,
S(v)= J / (ц) е~,2nv“ du,
f(x) = J S^ie'^^dv.
f(x) = J S^ie'^^dv.
(16)
(16)
В каждой паре преобразований (14), (15) нли (16) одно равенство можно рас’ сматривать как интегральное уравнение относительно неизвестной функции; тогда второе равенство дает решение этого интегрального уравнения
Если конечен интеграл J Р (x)djr, то для преобразований (16) имеет место
—ОО
аналог равенства Ларсеваля
J |S(v)Pdv. •(17)J |S(v)Pdv. •(17)J /2(x)dx =
J |S(v)Pdv. •(17)
J |S(v)Pdv. •(17)
Стоящий слева интеграл в электротехнике, радиотехнике и ряде других дисциплин называют нормализованной энергией Е, которая определяется энергией, рассеиваемой током / (г), протекающим через сопротивление в 1 Ом. Функция IS (v) |я, входящая в интеграл справа, носит название спектра плотности энергии и показывает относительный вклад различных частотных составляющих в общую энергию,
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РЯДА И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Определение спектральных характеристик ряда Фурье. В § 3 гл. VIII для кусочно-гладкой на отрезке [—//2, //2] функции / (х) периода I было получено представление
fWу[/4х4-0)4-Цх—0)1= V c(vji)e,2,,vfc,='’
= 2 k(vfc)|e't2nvt,-l~‘rgC(VkM (i} к™ —оо
где
1/2
v6 = -p и C(vh)=-L J /(u)e~/2"vh"du.(2)
—1/2
Разложение (1) для функции f (х) показывает, что / (х) имеет частотные составляющие с частотами vn 2vt, .... кчъ ... , т. е. периодическая функция обладает своим спектром частот. Таким образом, если функция / (х) известна, то можно определить ее спектр частот и, наоборот, по известному спектру частот можно найти соответствующую периодическую функцию / (х). Поэтому возможны два представления Функции f (х): временнде, при котором f (х) выражается как функция времени х, и частотное, при котором определен спектр, т. е. амплитуды c(vN) различных частотных составляющих e'2лv,t,. В связи с этим вводится понятие спектральной функции ряда Фурье.
Спектральной функцией или спектральной плотностью ряда Фу- рье, обозначаемой через S (vh), называется отношение коэффициентов
., ..<>4-1 A
—, т. е. I—, т. е. I(3)(3)42S<yh)=-^=lc(yh) = f f(ti)e-'2nv*tidM.AvhJ _42S<yh)=-^=lc(yh) = f f(ti)e-'2nv*tidM.AvhJ _Фурье c (Vft) к приращению частоты Avft =—-
—, т. е. I
—, т. е. I
(3)
(3)
42
S<yh)=-^=lc(yh) = f f(ti)e-'2nv*tidM.AvhJ _
42
S<yh)=-^=lc(yh) = f f(ti)e-'2nv*tidM.AvhJ _
-П2
Спектр существует только на частотах vt, 2VJ,..., Iwxv>, Это означает, что его нельзя изобразить непрерывной кривой. Такой спектр можно изобразить графически в виде вертикальных линий на частотах vn 2V!,..., причем высота каждой линии пропорциональна модулю амплитуды соответствующей частотной составляющей.
Так как амплитуды S (vft) частотных составляющих комплексны, то они характеризуются модулем и фазой и изменение их происходит в пространстве. Поэтому строятся два линейчатых спектра: спектр амплитуд и спектр фаз, которые носят названия амплитудного и фазового спектров. Именно: амплитудным спектром p(vft) называется модуль спектральной функции, т. е.
H2
p(vA)=|S(vA)| =p(vA)=|S(vA)| =f f(uV-i№hudu .
p(vA)=|S(vA)| =
p(vA)=|S(vA)| =
-И»
Фазовым спектром Ф (vft) называется взятый с обратным знаком аргумент спектральной функции
Ф (Vh) = — arg S (vN).
Из соотношений (VIII.3.9) и (VIII.3.10) следуе!, что при 6^0 справедливы соотношения
Р(vft) = -7 л (Va). л (vft) = /оЧ^ТЩ^
ф (Vft) = Ф (Vft) = arc tg -^^
и
p (v_„) = p (Vft), Ф (v_ft) = — Ф (Vft).
Используя спектральную функцию S (vft), кусочно-гладкую функцию f (x) периода l можно представить в виде
/(*) = 4-^(х+°>+^-0)1 = 2 -yS^^^.
Пример 1°. Найти спектральные характеристики периодического прямоугольного импульса
ГЕ для 0 < х <т,
*1.0 для т < х < Т,
/(х + Т) = / (х). Функция /(х) изображена на рис. 48.
определение (3); при т<-^определение (3); при т<-^Найдем спектральную функцию, используя ее имеем
определение (3); при т<-^
определение (3); при т<-^
S(ve;S(ve;f^e-^^du^Ee-^tiuоf^e-^^du^Ee-^tiuоЕ—<2яудЕ—<2яуд(е-^_1)в(е-^_1)в
S(ve;
S(ve;
f^e-^^du^Ee-^tiuо
f^e-^^du^Ee-^tiuо
Е
—<2яуд
Е
—<2яуд
(е-^_1)в
(е-^_1)в
2луд2луд[cos 2яуд т —1 —j sin 2nv> «].
2луд
2луд
Отсюда находим амплитудный спектр!
Е
Рivw =|i (vh;|«■2n|Vh|' • sinl^hт + (cos2луд т — !)■
Е г_£
и фазовый спектр!и фазовый спектр!т—1—г у 4 sina луд т = —;Зл|уд|* п|Уд|
и фазовый спектр!
и фазовый спектр!
, COS 2.T Уд г— 1
Ф (Ул; = —arg о куд) — — arctg=
sin 2пуд т
arcfg (tg ПУд t)e=nvA т +лл.arcfg (tg ПУд t)e=nvA т +лл.COS Л Уд ICOS Л Уд Isin луд т =arctg -
arcfg (tg ПУд t)e=nvA т +лл.
arcfg (tg ПУд t)e=nvA т +лл.
COS Л Уд I
COS Л Уд I
Но так как для 6 > О
sin arg S (уд)= - ^^1=2-,sin® пуд т .
.' 1Уд О (Уд)| sin ПУд т |*
то sin Ф (Уд) > 0, а это означает, что 0 < Ф(Уд) < я. Следовательно, амп. литуднын и фазовый спектры можно представить в виде
Е Р(Ул)—| sin луд т |, *>0,/4)
ЛУдУ '
и
Ф (Уд) = лудт + «л, О С Ф(Уд) < л.(5)
Псстронм графики функций р (уд) и Ф (Уд), полагая для определенности т = Т-^. Тогда в точках Уд = 6 -у имеем
P<Vhla-nr| $,П~Т| И Ф^=~ + /1Л- 0^Ф(Уд)<п.
На графике (рис. 49) даны сплошные вертикальные линии в точках v = —~^—, m = U, 1, ,.., и значения пиль в точках v = т = 1, 2, ... ®
174 IX. Применения ортогональных рядов и интеграла Фурье
Рис. 49
Отметим, в частности, что длина периода Т исходной функции в выражения (4) и (5) для р (v^) и Ф Ьь) входит только через величину v>, = ^vlf причем в данном случае vt ■ I Г Поэтому если рассмотреть функцию
lxW =lxW =Е при 0 < х <т,
lxW =
lxW =
О при т < х < 27,
h (* + 27) в ft (х), то для нее выражения (4) и (5) имеют место, ио в них уже vj1’ = 1/27 Снова полагая т = 7/2. для амплит>дного и фазового спектров получим выражения
p(V^))=-p(V^))=-2ЕТлк2ЕТлкпкпкф(^у >) = ——+пл. О < Ф^УЧ < я.ф(^у >) = ——+пл. О < Ф^УЧ < я.
p(V^))=-
p(V^))=-
2ЕТлк
2ЕТлк
пк
пк
ф(^у >) = ——+пл. О < Ф^УЧ < я.
ф(^у >) = ——+пл. О < Ф^УЧ < я.
Из этих формул нетрудно заключить, что в спектре функции /1 (х) кроме сплошных линий, соответствующих спектру функции /(х) (рис. 49), появятся еш вертикальные линии в точках v = (2m + 1)/27; m w 0,1; „•., отмеченные на том же рисунке пунктиром
Точно так же, рассматривая спектр для фуикцик
/а (х) =/а (х) =Е при 0 < х < т=>
/а (х) =
/а (х) =
О при т < х < 47,
fa (* 4* 47) = /t (х).
§ 1. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье 17*
; >полнительио к линиям, соответствующим спектру функции ft (х), получим линии в точках (2m + 0^47, m = 0, 1; ...; они отмечены на рис 49 точками
Продолжая увеличивать период функции, замечаем, что спектральные линии в спектре будут располагаться все гуще и гуще и при увеличении периода „) бесконечности (для одиночного импульса) спектральные линии заполнят весь график.
Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье. Как и для введенного в п. 1 определения спектральной функции ряда Фурье, спектральной функцией или спектральной плотностью интеграла Фурье назовем выражение
S(v)= J f^e-11^” du, — ОО
причем функция
Р (v) = |S (v) |
называется амплитудным спектром, а функция
ф (v) = — arg S (v)
— фазовым спектром.
Учитывая, что частоты v входят в выражения р (v) и Ф (v) непрерывно, амплитудный и фазовый спектры целесообразно изображать непрерывными линиями, которые являются огибающими спектров ряда Фурье периодической функции при увеличении периода / к бесконечности. Действительно, если вместо рассмотренных выше функций f W. fi W. U (*) рассмотреть функцию
<р(х) =<р(х) =Е при 0<х<т,
<р(х) =
<р(х) =
О при — оо<х<0 и Т<Х<ОО, то для нее спектральная функция имеет вид т
S (v) =» ^ ge—/2nv« ди -. /. (cos 2nvr— 1 — i sin 2nvr)e
b
Отсюда для амплитудного и фазового спектров получаем выражения £
р (v) =»|sinhvt|f Ф(v) = nvc+ nn, 0^Ф(v)< л.
nv
Графики p (v) и Ф (v) являются огибающими соответственно ампли- тхдного и фазового спектров рассмотренных выше функций / (х), ^ (х) и /1 И (рис. 49).
Пример 2°. Найти спектральные характеристики функции / (х) = _ е—а 1*1, а > 0.
Рис. 50
Вычислим спектральную функцию
S(v)= j fUO e-'^du - J eaue-'2nvudu+”e-aue-,2”v#du=*
—ее— oo0
e(a—/2nv)u 0e—(a+,2nv) u oo5»
= a—<2nv-ia+<2nv; „„o " a2"H^v=
Отсюда заключаем, что
PM- „Д.^ ..«Wb 0.
Графики этих функций изображены иа рис. 50.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ СТРУНЫ
МЕТОДОМ ФУРЬЕ
I. Свободные колебания струны. Рассмотрим движение струны, т. е. гибкой материальной нити с линейной плотностью р = const, причем считаем, что концы нити х = 0 и х = I закреплены. Отклонение струны от положения равновесия в точке х в момент времени t обозначим через и (х, tY В предположении, что натяжение струны То постоянно, для малых колебаний струны может быть получено уравнение
?'“<*•J = Q»^i2>+f(x, tydi1дхг
где а» = 70/р и / (х, /) — рассчитанная на единицу массы струны и перпендикулярная ей в момент положения равновесия внешняя сила. Предположим сначала, что внешняя сила отсутствует, т. е. f (х, /) ^0 и будем искать решение следующей задачи.
При 0^ х </ и 0 ^ t < сю найти функцию и (х, 0. являющуюся решением уравнения
8* и _п8 ^(1)
dt1дх1 *
удовлетворяющую граничным условиям
(2)(3)(2)(3)и (О, I) = и (I, /) = О
(2)
(3)
(2)
(3)
и начальным условиям
и (х, 0) = <р (х), ui (х, 0) == -ф (х), 0 < х С U
где функции ф (х) и ф (х) удовлетворяют некоторым условиям гладкости и по крайней мере одна из них отлична от тождественного нуля.
Из последнего требования следует, что тривиальное решение и (х, /) s0 не удовлетворяет условиям (3). Будем искать нетривиальное решение и (х, /) уравнения (1) в виде произведения
и (х, 0 = X (х) Т (0,(4)
где каждый сомножитель зависит только от одной переменной. Подставляя выражение (4) в уравнение (1), получим соотношение
X (х) Т" (/) = агТ (П X” (х),
из которого выводим следующие р'венства.:
(5)(5)1 7" (Q = X- (х)d* 7(0 = Х(х) “
(5)
(5)
Здесь X — постоянное число. Это следует из того, что отношение -^^ есть функция переменной t, а отношение у у есть функция переменной х, а поэтому равенство (5) при произвольных х и t возможно только в том случае, когда каждое из отношений постоянно.
Граничные условия (2) для определяемого в (4) произведения Х(х)7 (/) переходят в условия X (0) = X (Z) = 0, поэтому уравнение (5) с этими условиями приводит к решению задачи Штурма —Лиувилля
(6)(7)(6)(7)(8)(8)X" (х) — X X (х) - 0,
(6)
(7)
(6)
(7)
(8)
(8)
X (0) = X (/) = 0, и к решению уравнения
Т" (П -МТ (П = 0.
Найдем собственные числа и соответствующие им собственные функции задачи Штурма —Лиувилля (6), (7). Покажем прежде всего, что постоянная Х< 0. Действительно, если Х>0, то общим решением уравнения (6) будет функция
X(x) = Cie^4-C2e~^.
Учитывая условия (7), для постоянных Сх и С, получаем однородную систему
Ci -f- Са = 0,еГ1/С.+е-^,С, = 0,
определитель которой Л = е-*^'—е^'^0 при 1^*0. Следова- сльно, Сг —Са— 0, т. е. X (х) sO и нетривиального решения при
Х>0 не существует.
Точно так же, если X =■ 0, то решением уравнения (6) будет функция
X (х) = Ct + С$х,
причем из условия (7) выводим равенства ^ = 0 и CJ = 0, а это означает, что X (х) = 0.
Таким образом, при X > 0 не существует нетривиальных решений задачи (6), (7). Поэтому полагаем X -= — ю2, тогда решением уравнения (6) будет функция
X (х) = Ст cos юх + С, sin юх.
Учитывая условия (7), находим Сх = 0 и С3 sin tol = 0. Отсюда заключаем, что нетривиальные решения уравнения (6) возможны только для тех со, для которых sin со/ = 0. Но это равенство имеет место только в том случае, когда со/ = to, k = 1,2, ... Таким образом, собственными числами задачи (6), (7) будут числа
ХА = — ^ = — (6л//)2, к = 1,2 (9)
а соответствующими им собственными функциями являются функции XA(x) = sin-^-x.
I ipn каждом X = ХА решением уравнения (8) будет функция Тк V) = Cft cos -^ / ф Ьк sin -^ /.
Тогда произведение
uh(x, 0 = 7\(OXfe(x) = (aftcos-^f + 6Asln^^sin-y-x (10)
является решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).
Следовательно, имеем счетное число решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям (2). В силу линейности уравнения (1) сумма этих решений, т. е. формально записанный ряд
и (х, 0 = У /аА cos — t-^bx sin -^ Л sjn -*” х, (11)
при условии законности его двукратного почленного дифференцирования по t и х, также будет решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2).
Потребуем, чтобы определяемая рядом (11) функция и (х, /) удовлетворяла условиям (3), т. е. чтобы
и (х, 0) = <р (х)= V аь sin — х(12)
и
4 (X, 0) = ф (X) = 2 ^L bh sin -^ X.(13)
Из (12) и (13) заключаем, что числа ак и -^- bh должны быть коэффициентами Фурье соответственно функций ф (х) и ф (х) по ортогональной на [0, /1 системе Jsin — хХ” . Другими словами, если ко-
IJк —1
эффициенты ряда (11) определим соотношениями
аА = -у- f ф (х) sin 4 xdx и Ьь = -2— Г ф (х) sin — хйх,
* JIакд J1
h = l, 2 то определяемый этими коэффициентами ряд (II) при условии законности его двукратного почленного дифференцирования по I и х будет решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2) и (3). •
Двукратное почленное дифференцирование ряда (11) по переменным / и х ^у- дет, например, возможно, если функции ф (х) и ф (х) удовлетворяют условиям:
(х) и ф' (х) непрерывны и кусочно-гладки на 10, /) и нх значения в точках х =» 0 и х = / совпадают
Колебания, определяемые формулами (10), т. е. функции
«ккх. 0 = (аксо5-^р Z+^sin-y^Asin-y- х,
являются стоячими волнами с узлами в точках xv = v—y; * = 0,1; „.; Ляс пучностями в точках xv = (v+ 4)2 Амплитуды ЭТИХ СТОЯЧИХ ВОЛН, ИвЛЯЮ-
Шнеся коэффициентами при sin—— х;
7
* ,. акл. , , , • akix *,/ аки ,\
А (0 = «к COS -у- / -Vbk sin -у- Z = Ah COS f —— t— Ф,,1
меняются с течением времени (рис 51)
Таким образом, полное колебание закрепленной на конанх х = 0 и г = Z струны можно рассматривать как суперпозицию стоячих волн, причем стоячую волну с * = 1 называют основным тоном, а все остальные — обертонами.
Вынужденные колебания закрепленной струны. Пусть теперь f (*, /) ^fe 0, т. е. ищется решение следующей задачи.
При 0<x<Zu0C * < 00 найти функцию и (х, Z), являющуюся решением уравнения
— = ai—^f[x, Z),(14)
6Р dx* v
удовл, творяющую граничным условиям
и (0, 0 = и (/, Z) ■= О(2)
и начальным условиям *)
и (х; 0) = ф (х), ut (х, 0) = ф (х), 0 ^ х ^ Z. (3)
Рассмотрим систему собственных функций соответствующего уравнению (14) однородного уравнения (1), т. е. систему I sin -pxl
Функцию / (х, Z) представим в виде ряда по этой системе с переменными коэффициентами, предпола1ая, что/ (х, Z) при каждом t удовлетворяет условиям представимости ее рядом Фурье
/(х, 0=2 bNW sin-y х.
Коэффициенты bk (/) определяются по формулам
bh (Z) = — I /(х, Z)sin-y-xdx, А=1, 2, ...
Будем искать решение уравнения (14) ж жиде ряда
«(х, 0=2 Ch^ sm-^Lx.(15)
t—1
*' Здесь /(* /) * 0 и функции ф (х) и ф (х) могут быть обе тождественно равны нулю.
Подставив этот ряд (предполагая законным его двукратное дифференцирование по (и х) и ряд для f (х, 0 в уравнение (14), имеем равенство
2 [Д W + а» (-^ V cN (0 - Ьк (01 $1п -у * = 0.
Из единственности разложения функции в ряд Фурье еледует, что величины сй (/) должны удовлетворять уравнениям
6 ^ + ^ Ch ф-Ьн (t) = 0, k = 1, Я. ...(18)
Кроме того, для выполнения условий (3) следует потребовать справедливости равенств
и^х, 0) = ф(х)= V ch (0) sin -у х,
ui (х, 0) = ф(х) = V cil(0)sin-y х.
t = i
Из этих равенств заключаем, что для определения протппо"гт1ЧХ постоянных при решении уравнений (16) должны выииащиыя следующие начальные условия:
ец (0) = у J Ф (х) sin -у xdxо
(17)
с» (0) = у J Ф (х) sin у- xdx.о
Решение уравнения (16) о начальными условиями (17) имеет вид ch (0 = «6 cos -^-(4. pfc sin -2^-/4- dh (0. 6=1, 2, ....
где aftl pft и dh (О определяются единственным образом значениями Ch (0), с! (0) и bfe (0- Подставляя величины Ch (х) в (15), получаем искомое решение уравнения (14). •
Решение задачи о вынужденных колебаниях струны дано в общем виде. Конкретное определение величин ah, Ph и dh покажем на следующем примере.
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям и (0; 0 = и (1; /) = 0(19)
(20)(20)и (х, 0) = и,' (х, 0) = 0, 0 < х ^ 1.
(20)
(20)
Разложим функцию / (х, t) = г (х — I) в ряд по системе { sin frnx)i
(x1 — x)(x1 — x)001)cos клхйх = —^— (2x—I)I kn1)cos клхйх = —^— (2x—I)I knsin клх I 1 kn rsin клх I 1 kn r-»o-»oknkn2 sin клхбх2 sin клхбх4 cos кпх 114 cos кпх 11(кл)2(кл)2knkn0 (fenp0 (fenp*h (0 = ^=2 I (x2—*) sin knx dx = 2
(x1 — x)
(x1 — x)
0
0
1)cos клхйх = —^— (2x—I)I kn
1)cos клхйх = —^— (2x—I)I kn
sin клх I 1 kn r
sin клх I 1 kn r
-»o
-»o
kn
kn
2 sin клхбх
2 sin клхбх
4 cos кпх 11
4 cos кпх 11
(кл)2
(кл)2
kn
kn
0 (fenp
0 (fenp
Отсюда находим коэффициенты
’sm — 0 и blm_ ] —’sm — 0 и blm_ ] —88(2m— I)3 л3 *(2m— I)3 л3 *m = 1, 2, ..m = 1, 2, ..
’sm — 0 и blm_ ] —
’sm — 0 и blm_ ] —
8
8
(2m— I)3 л3 *
(2m— I)3 л3 *
m = 1, 2, ..
m = 1, 2, ..
Теперь ищем решение уравнения (18) в виде ряда
“(х, 0= У сь (!) sin клхk=t
причем для определения величин с^ (Л из (16) получаем уравнения С2т (П + ^ПтУ Сгт (/) = ।(21)
И
C?m_, (О + ((2m-1) л)2 с^ (О+- (2— - =0.(22)
Из начальных условий (20) находим X30
У, Ch (0) sin кпх=0 и У с'к (0) sin клх=0. h=ik=l
Из теоремы единственности тригонометрических рядов Фурье следует, что ск (0) = ск (0) = 0 для всех к = 1, 2, Но при этих начальных условиях уравнения (21) имеют единственное решение ст(() = 0, т = 1; 2; ...
Частное решение уравнения (22) будем искать в виде с2т—1 (!) — Улп-р Из уравнения (22) получаем, что
88
Гаким образом, величины с5т_, (!) представляются в виде
Csm-i (/)=o-2m-i cos(2m— 1)nz +₽2m_1 sin (2m— 1)л/——■
(2m— 1)‘ л3
Из условий c-m-t (0) =C2, (0) =0 следует, что a2m_, =8—— ,
Л: (2m— 1)8Psm-i=0. Поэтому имеем
8
esm-i (0 = —7—:— I cos (2m— I) nl— I],
л6 (2m—1)8
и решением исходного уравнения (18) будет функция
,8 cos(2m —1) л/ —1 .
«(х, 0 = — У ——stn(2m — 1)лх.
л? мн(2m —I)!
m^l
Теорема единственности. В предыдущих пунктах мы нашли решение задачи о колебании закрепленной струны методом Фурье. Возникает вопрос, не придем ли мы к какому-либо другому решению, если будем искать его другим методом. Ответ на этот вопрос дает следующая георема единственности решения уравнения колебаний закрепленной струны.
Теорема 1, При 0 ^ х < I, О С / ^ /0 решение уравнении
д' и д* и
-55—“ -№*№- "|Л|
удовлетворяющее граничным условиям
и (О, П = и (1} 0 = 0(2)
и начальным условиям
и (х, 0) = <р (х); и, (х, 0) = ф (х)}(3)
единственно.
•^ Предположим, что имеем два решения данной задачи: п< (г; Л и е, (х, 0- Тогда функция и (х, 0 = и. (х, /) — и* (х; 0 удовлетворяет уравнеимю
и условиями условиямd* оd* од*од*о= ai dt» dx*= ai dt» dx*(23)(23)v (0, 0 = р V. Q = 0)о (х, 0) = vj (х, 0) = 0.оо» множим равенство (23) на и проинтегрируем по х: /Iv (0, 0 = р V. Q = 0)о (х, 0) = vj (х, 0) = 0.оо» множим равенство (23) на и проинтегрируем по х: /I(24)(25)(24)(25)(26)(26)
и условиям
и условиям
d* о
d* о
д*о
д*о
= ai dt» dx*
= ai dt» dx*
(23)
(23)
v (0, 0 = р V. Q = 0)
о (х, 0) = vj (х, 0) = 0.
оо
» множим равенство (23) на и проинтегрируем по х: /I
v (0, 0 = р V. Q = 0)
о (х, 0) = vj (х, 0) = 0.
оо
» множим равенство (23) на и проинтегрируем по х: /I
(24)
(25)
(24)
(25)
(26)
(26)
Преобразуем левую часть равенства (26):
т
vl и^, dx =vl и^, dx =о/ р] dxо/ р] dx
vl и^, dx =
vl и^, dx =
о/ р] dx
о/ р] dx
ооо
о
о
П, авую часть равенства (26) путем интегрирования по частям приведем к виду
о* о;о* о;p^t dx^a11 \v{ p')p^t dx^a11 \v{ p')-Jo; p;, dx л-00-Jo; p;, dx л-00(27)(27)
о* о;
о* о;
p^t dx^a11 \v{ p')
p^t dx^a11 \v{ p')
-Jo; p;, dx л-00
-Jo; p;, dx л-00
(27)
(27)
В точках x = 0 и х = I струна закреплена, а поэтому и скорость в этих точках в любой момент времени равна нулю, т. е о,' (0, П = v'( (I, 6 = 0. Следовательно проинтегрированный член в равенстве (27) равен нулю, поэтому (27) можно записать следующим образом:
°‘ I *>е о;, dx= — я* J oL dx =• оо
i।
а» С д .a* d Г ,
--Tjl7I(0^ld^-Г^Г0^^
оо
[W+o1 (у^1] dx[W+o1 (у^1] dxСледовательно, равенство (26) можно представить в виде
[W+o1 (у^1] dx
[W+o1 (у^1] dx
-О,
отауда следуем we
[(<)’+о» ОД*] dx-С.
Вжаечая гетры чта а? (я; 0) — 0 пря ta 0 щ как следует из (25), ,' (х, 0) ж Су мы мымучаше что С •= 0, а сотому
pt^P+a» ОД’] dx-0.
Так как ножыктегральная функция неотрицательна, то отсюда следуют соотношения
у* (х, 0 * t^ (х, 0 = 0.
Иа втих равенств ааключаем, что у (х, 0 = С. Но у (х, 0) = 0, потому С = 0j т. в. о (х, 0 к 0. Это означает, что
U1 (х. О Ж tig (х, 0)
т. е. решение важачн (14), (2); (3) единственно. ►
Замечания. 1. Обратим внимание, что как при решении задачи о колебаниях струны методом Фурье, так н при доказательстве теоремы единственности мы исходили иа однородных граничных условий
и (0, 0 = и (I; 0 = 0.
Если же рассматривать вада чу с неоднородными граничными условиями и (0. о « а (0, и (ft t) « Р Ш, то непосредственное применение метода Фурье невозможно, хотя доказательство теоремы единственности остается в силе. Однако неоднородные граничные условия можно свести к однородным путем введения новой функции
Р(0—«(0 ty(x, П—«(х, I)—a (О—™ х.
После подстановки этой функции в (14) придем к уравнению d^w d^w „ —oi"d^"+f^-')
с однородными граничными условиями ж (0, 0 = w (ft 0 = 0.
Иснольауя метод Фурье, можно также решать задачу о распространении тепла в конечном стержне, задачу об отысканы гармонической в круге функции, а также целый ряд других задач.
Метод Фурье применим и для решения вадач на бесконечном промежутке, для двумерного к трехмерного пространств. Простейшие на таких вадач рассмотрены в следующем параграфе.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
1. Распространение тепла в бесконечном стержне. Используя формулу Гаусса — Остроградского и условия теплового баланса, можно вывести уравнение теплопроводности ш(х, у, г, t) dt1. Распространение тепла в бесконечном стержне. Используя формулу Гаусса — Остроградского и условия теплового баланса, можно вывести уравнение теплопроводности ш(х, у, г, t) dtа*а*. ( ^ц(хе у, г, Г). ( ^ц(хе у, г, Г)д1 и(х, у, 2, t)д1 и(х, у, 2, t)дх»дх»
1. Распространение тепла в бесконечном стержне. Используя формулу Гаусса — Остроградского и условия теплового баланса, можно вывести уравнение теплопроводности ш(х, у, г, t) dt
1. Распространение тепла в бесконечном стержне. Используя формулу Гаусса — Остроградского и условия теплового баланса, можно вывести уравнение теплопроводности ш(х, у, г, t) dt
а*
а*
. ( ^ц(хе у, г, Г)
. ( ^ц(хе у, г, Г)
д1 и(х, у, 2, t)
д1 и(х, у, 2, t)
дх»
дх»
t-5'"»'»' =•’>)+№, 8, г, ft,
где и (х, у, г, 0 — температура тела в точке (х, у, г) в момент времени /, ст = &/ср, / (х, у, z, t) = F (х, у, г, 0 /ср, р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, 1г — коэ4)фициент теплопроводности и F (х, у, г, 0 — интенсивность источников тепла в точке (х, у, г) в момент времени L Рассмотрим сначала следующую одномерную задачу.
Найти закон распределения температуры и (х, /) в однородном длинном стержне, если известно начальное распределение температуры и (х, 0).
Пренебрегая влиянием на концах длинного стержня, можно считать его бесконечным. Поэтому задача может быть сформулирована следующим образом.
Для хС(—оо, оо), tQ [0, оо) найти функцию и (х, /), являющуюся решением уравнения
(1)(1)ди , д2 и = а2 .
(1)
(1)
dt ох1
и удовлетворяющую условию
и (х, 0) = ср (х),(2)
где функция ср (х) абсолютно интегрируема на оси х £ (— °°. °0).
Будем искать решение и (х, 0 в виде произведения и (х, 0 = = X (х) Т (/) Тогда уравнение (1) преобразуется к виду X (х) Tl (t)= = а2Х"(х) Т (0. Разделив переменные, получим равенства
2L1Z1 = ^ИУ = —оА(3)
а^Т(П Х(х)
Здесь каждое из отношений отрицательно в силу того, что при / -► оо не должна расти к бесконечности функция Т® (0= е—°’“*t, являющаяся решением уравнения Т" (0 + а1 и?Т (0 =0. Полученное из (3) второе уравнение
Xе (х) + со2 X (х) = О
имеет общее решение
X® (х) = А (со) cos сох + В (со) sin сох.
Таким образом, для любого со>О имеем функцию
и® (х, 0 = X® (х) Т® (t) = VA (со) cos сох + В (со) sin сох] e-0'el,,,
являющуюся решением уравнения (1). В еилу линейности этого уравнения сумма таких решений при различных to также является решением Параметр со может изменяться непрерывно, вследствие чего про- цевв вуммирования заменяется интырнрованием. Поэтому рассмотрим функцию
и (х, 0 = «ю (х, 0 dm = М (to) cos toX-V-В (to) sin сох] e~3' •* ‘ dco (4)
и, предполагая A (со) и В (co) абсолютно интегрируемыми на (0, ое), покажем, что она является решением уравнения (1). Дифференцируя (4) по параметрам х и t (возможность дифференцирования следует из абсолютной интегрируемости А (со) и В (со)), имеем равенства
и,- U» 0 = — М Iю) cos сох-~ В (to) sin шх] со2 e—°*0)11 dco
и
СЮ
u{ (x, 0 = — °* J ^ cos toX^ s*n ^ 6)9 e™°'mM ^ю’
из которых заключаем, что и( (х, /) = а2 и£ (х, 0. следовательно, определенная в соотношении (4) функция'действительно является решением уравнения (1). Потребуем теперь, чтобы определенная в (4) функция и (х, 0 удовлетворяла условию (2), т. е. чтобы
ОО
и (х, 0) = ср (х) = ]Z (to) cos сох +В (to) sin сох] dto. (5)
Если выберем
ОО
А (со) = — I ср (и) cos сои du
Л J
—so-
il
се
В (го) = — С <р (v) sin coydy,п J— rr
f) равенство (5) дает представление функции ф (х) в виде интеграла Фурье. Подставляя А (ю) и В (to) в (4), для и (х, 0 найдем выражение
ОО и (X, /) = — f л J оОО и (X, /) = — f л J ооооо<р (и) (cosow cos юх + sin coy sin cor| do<р (и) (cosow cos юх + sin coy sin cor| doe-^ do) =e-^ do) =
ОО и (X, /) = — f л J о
ОО и (X, /) = — f л J о
оо
оо
<р (и) (cosow cos юх + sin coy sin cor| do
<р (и) (cosow cos юх + sin coy sin cor| do
e-^ do) =
e-^ do) =
00 co00 co0 — oo0 — ooФ (uj cos со (u — x) e -=*to*t (j (jco.
00 co
00 co
0 — oo
0 — oo
Изменив порядок интегрирования и воспользовавшись вычисленным ниже значением интегралаИзменив порядок интегрирования и воспользовавшись вычисленным ниже значением интеграла00g (6) = J е-V®' cos бшско = -~ о00g (6) = J е-V®' cos бшско = -~ о2L е-6”/^Т2L е-6”/^Т(6)(6)найдем, чтонайдем, чтои (х, /)и (х, /)се=*— f ФМя Jсе=*— f ФМя J-со| е-а«ш«/ cos ю (р — х) dm du =-со| е-а«ш«/ cos ю (р — х) dm du =(В-х)» е 40 *' du,(В-х)» е 40 *' du,
Изменив порядок интегрирования и воспользовавшись вычисленным ниже значением интеграла
Изменив порядок интегрирования и воспользовавшись вычисленным ниже значением интеграла
00
g (6) = J е-V®' cos бшско = -~ о
00
g (6) = J е-V®' cos бшско = -~ о
2L е-6”/^Т
2L е-6”/^Т
(6)
(6)
найдем, что
найдем, что
и (х, /)
и (х, /)
се
=*— f ФМя J
се
=*— f ФМя J
-со
| е-а«ш«/ cos ю (р — х) dm du =
-со
| е-а«ш«/ cos ю (р — х) dm du =
(В-х)» е 40 *' du,
(В-х)» е 40 *' du,
т. е. получили решение уравнения (I), представимое в виде интеграла Пуассона
00(У—х)1
и^х, 0 =-=- С Ф(»)е 4а*' du.®
2о V л/ J
— 30
Вычислим теперь интеграл (6) Дифференцируя интеграл по параметру 6 я вычисляя его по частям, получаем дифференциальное уравнение
q* (б)= — J sin 6(о-me Vto,(od(O=iо
е Vh)1 cos 6(0 d<o,е Vh)1 cos 6(0 d<o,Iя e”W’ ”6
е Vh)1 cos 6(0 d<o,
е Vh)1 cos 6(0 d<o,
=sin6(o—— —
— 2y2y
to =0 которое можно представить в виде
g' (6) = _ Ад (б).
Решая это уравнение относительно функции q (6); получим, что
<?(б)«Се-^Ч
Учитывая равенство
^идем С = —. I/— н,1 следовательно, искомое значение интеграла 2 г у^идем С = —. I/— н,1 следовательно, искомое значение интеграла 2 г у
^идем С = —. I/— н,1 следовательно, искомое значение интеграла 2 г у
^идем С = —. I/— н,1 следовательно, искомое значение интеграла 2 г у
,(6)-л.|/Ае-««.
Распространение тепла в однородном цилиндре. Рассмотрим
следующую задачу:
Пусть боковая поверхность бесконечного круглого однородного цилиндра радиуса г поддерживается при постоянной температуре и в каждой точке цилиндра температура зависит только от расстояния р этой точки от оси цилиндра. Найти распределение температуры и (х, у, г, () внутри цилиндра, если известно ее распределение в начальный момент времени.
^- = о» dt^- = о» dtДостаточно найти распределение температуры в любом сечении, перпендикулярном оси цилиндра, а это означает, что задача сводится к решению уравнения
^- = о» dt
^- = о» dt
и-и(х, у, 0.
которое удобнее рассматривать в полярных координатах!
ди , / д' и , 1 ди , 1 д2 и \ „ „ Л— = а11Ь — , и = и (р, ф, I).
dt \ ар* р dp р2 Ар2 /
По условию, температура зависит только от расстояния р от оси цилинд- d^ и
ра и не зависит от ф, поэтому = 0. Таким образом, приходим дф2
к следующей задаче.
Найти решение уравнения
(7)(8)(7)(8)= ( 810 11 du ’dt \ др' р др ,
(7)
(8)
(7)
(8)
удовлетворяющее начальному условию
и (р, 0) = / (р)
и граничному условию
и (г, А = 0.(9)
Замечание. Выбор нулевой температуры иа поверхности цилиндра (условие (9)) не ограничивает общности. В самом деле, если и (г, t) = у ф 0, то для функции щ (р, 0 = и (р, !) — у уравнение (7) ие изменится; условие (8) заменится условием щ (р, 0) =• / (р) — у, а граничное условие примет вид «1 (г, 0 = 0.
Решение уравнения (7) будем искать в виде произведения и (р, A - R (р) Т (А, подставив которое в (7) получаем соотношение
Г (0/?(Р)-а*Т(ПрПР)4™Я'(Р)].
Отсюда выводим уравнения
rW ,„р2^(р)+р/?'(Р) „_А1.(Ю)
с2 Т (!)р* R (р)
Здесь отношение отрицательно в силу того, что решение уравнения Т (О + а*Аа 7 (/) — О, т. е. функция
Т^-Се-0*^(11)
ке может расти к оо при / -► со .
Рассмотрим второе из соотношения (10) уравнение:
Ра₽' (р) + рЯ' (р) + (Хар2—О2) /? (р) = 0.(12)
Это есть уравнение Бесселя (см. уравнение (VI.4.9), решением которого является функция Бесселя /? (р) = /0 (Хр). Из граничного условия (9) следует условие
Я (') - /о М = 0,(13)
поэтому заключаем, что собственными числами задачи Штурма — Лиувилля (12) — (13) являются такие числа Xft, что Xhr = uftl ft ■ ■» 1.2где ц* — нули функции /0 (р). Следовательно, Xh «= p.h /г, а соответствующие им собственные функции —функции Бесселя /о^-y-pj. При заданных kh функции (11) запишутся в виде Т^П^е"^'14.
Таким образом, функция
и(р, 0= V che~Vauhln410(-^ р](14)
является решением уравнения (7), удовлетворяющим граничному условию (9).
коэффициенты раз-'0 P > \ Г J ) h = lкоэффициенты раз-'0 P > \ Г J ) h = lИз начального условия (8) приходим к соотношению “(Р. O) = f(P) = ^^^f—р), из которого заключаем, что в качестве сй надо взять ложения функции / (р), 0 С р С Л в ряд по системе Возьмем коэффициенты ch в виде
коэффициенты раз-
'0 P > \ Г J ) h = l
коэффициенты раз-
'0 P > \ Г J ) h = l
c‘=^bpjp,<p,,0("^p)dp(,5)
о
и подставим их в (14) — получим искомое решение.
Пример Найти распределение температуры внутри круглого цилиндра Радиуса г при начальном условии и (р, 0) = 1 — р2/^ и граничном условии “ (г, t = 0.
2
I
2
х4<ИкХ) dx
Ик
о
Xs 4 (Ик) dx =
0s /1 (о)
Ик
Ик
о2 4 (о)
А (Ик)
Л (Пк)
ИА
Необходимо вычислить коэффициенты (15) для данной функции / (р) = 1 — — ^^ т. е. вычислить интегралы:
'оГТ- Р№
Ик
4 С
tk J
О
4* tv/i ^иdy
А
^з А (Ик) •
Ик
1 с
сь " Г2 Л ф6Я*
Ик
**ft — 2 f о4(о) do
o=0 J
d
0й _ ^ (p)] ^Ow do
Ик
I Vй /i (o) du
o2 — (4(0), do do
“" 14 U)1 == — /i (х) н 4~ [х/х <хД =х/0 (х), ахах
r'l/ilM- J '*""*” '"(1“ *>'"*•
Л (Ик) . 2 С
о , do — 4 (о)—
Ик
Ик _2
D=0
pf1?
Л (Ик) 2
ИА + И
Учитывая доказанные соотношения (VI.4 10) и (VI.4.11)
вычислим предварительно интегралы^к
Ик
^-J ^№ада.-д-р,,т
Ик |р=0
Ик
С 1,1
1
“ Hi
Hi J о
ик нг j о
Л (Ик)И*
Л >дставнм значения этих интегралов в выражение для коэффициентов ^. для них получаем формулы
_2| А (Ph) A (Ph) , 4А (Ph) )
Ch Ui(Ph)Ja I Ph Ph ^)
и 8 AQih} =«
“ IA (P*)P ^2№ <Hx) '
Таким образом, искомое решение имеет вид
“(р- 0=8 2 ,W(^e 1 *,o(j?'₽) ■ •
XX
X
X
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭЦВМ
СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Предварительные замечания. Введенные в § 6 гл. VIII преобразования Фурье
S(v)= J /(0e-,2nv'd/,(1)
f(0= J S (v) e,2nvZ dv,(2)
играют большую роль в распознавании образов, в моделировании фильтров, при корректировке изображений и в целом ряде других задач. В соотношении (1) предполагается, что функции f (/) удовлетворяют условиям существования этого интеграла, а интеграл (2) понимается в смысле главного значения по Коши.
Известно, что аналитическое вычисление интегралов (1) и (2) вызывает, как правило, значительные трудности, поэтому представляют большой интерес методы численной реализации этих интегралов. В связи с этим был разработан метод дискретного преобразования Фурье (ДПФ), интенсивное использование которого началось после введения в технику вычислений так называемого алгоритма «.быстрого преобразования Фурье» (БПФ). Этот алгоритм для вычисления ДПФ был предложен Кули и Таки в 1965 г., хотя в других вычислениях он применялся значительно раньше
Под дискретными преобразованиями Фурье понимается пара преобразований, устанавливающих взаимосвязь между конечным числом дискретных выборок как временной функции f (/),так и ее частотного спектра S (v). В случае 2/V равноудаленных выборок в точках
th = t0 + hXt, k = 0, 12N — 1 и
v„ = v0 + n/Xv, n = 0,1, .... 2N — 1;
*) Подробно с историей БПФ можно ознакомиться в статье: Кули, Льюис, Уэлч. Исторические замечания относительно быстрого преобразования Фурье. Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. Mi 10о7, т. 55. № 10, с. 18-21.
эти преобразования записываются обычно в виде
2N- 1
>(уп)=Д/ V /(/fc)e-,2nvn'\ /1 = 0, 1, .... 2^—1,(3)
*=о
2/v-i -
/(M = Av v S(vn)e'5nvn'h, к = 0, 12N— 1.(4)
Свертка преобразований Фурье. Смешение частот. Значения частотного спектра 5” (vn) в соотношении (3) отличны; вообще говоря, от значений спектра S (vn), вычисленных по формуле (1). Характер этого отличия проявляется при переходе от соотношения (1) к соотношению (3) Для осуществления этого перехода используется следующее свойство преобразований Фурье.
Теорема 1. Пусть St (v) и S2 (v) — преобразования Фурье функций Д (/) и/1(0 и
S№= J Si(t)S2(v—T)dT=S,*Sa(V)
— свертка функций Sj (т) и S2 (т). Тогда преобразованием Фурье произведения f(O = k(Oh(O является свертка преобразований St (v) и Sa (v), т. е.
J к (О /а (D e~,2nv' d? =S (v)=S,.S2 (v).
^ Заменяя к (О по формуле (2) и изменяя порядок интегрирования, приходим к требуемому соотношению
S(v)= J ktOe-2^*' J Sl<T)e'2^'dTdZ =
= J ^(т) J MD e~,2n,lv—T‘ d/dT= J SjTiS.fv-Tldr. ► — 00— OO—00
Как принято во многих технических приложениях; будем предполагать; что временная функция / (/) имеет ограниченный спектр частот, т. е. ее спектральная функция S (v) удовлетворяет условию
S (v) = О при | v | > Q.(5)
Рассмотрение функций с ограниченным спектром частот вызвано тем обстоятельством, что при выборках с равноотстоящими узлами может происходить смешение частот, когда несколько разных частот дают один и тот же результат во всех рассматриваемых точках. В этом можно убедиться на следующем примере.
Пример. Показать; что функции
Ф1 tf) = cos (л (л 4- е)/ 4- ф) и ф2 (0 = cos [л (л — е)/ — ф]
нельзя восстановить по их значениям в последовательности точек tm = mln; т = 0, ±1, ...
Действительно, из равенства
Фа (О — Ф1 (0 = 2 $*п лл/ $1п (леЩ- ф)
заключаем, что в точках /т разность функций обращается в ноль!
Фа (<m> — Ф1 (Дп) = 0, т = 0, ± 1, ...
Таким образом, обратное восстановление функций ф| (0 и фо (0 по их значениям даже в бесконечной последовательности точек нт = m/л} невозможно*).®
Однако если функция f (О имеет ограниченный спектр частот, то смешения частот можно избежать Для этого необходимо выбрать интервал между узлами М так, чтобы выполнялось неравенство
2QAt < 1.(6)
Это неравенство означает, что в разложении (4) функции f (0 будут присутствовать по крайней мере два узла с самыми длинными частотами
Переход от непрерывного спектра к дискретному. Введем прежде всего понятие б-фуикции Дирака. Пусть
| 0 при — оо< z < 0 и при h < t <оо,h l/Л при 0 < К h.
Суммарный эффект действия этой функции равен единице, т. е.
оск
гГ dr
I Modt-l—=l
—ООО
Хотя формально 6h (0 при А -* 0 расходится, однако принято предельную функцию iim бь (0 называть импульсной функцией нулевого порядка или Ь-функцц- h—>0
ей Дирака и обозначать через б (0, т. е.
Iim 6h(0 = 6 (0 =h-*oIim 6h(0 = 6 (0 =h-*o(0 при t ч^О,\ + оо при £=0,(0 при t ч^О,\ + оо при £=0,причемпричемJ 6(ndf = L— ООJ 6(ndf = L— ОО
Iim 6h(0 = 6 (0 =
h-*o
Iim 6h(0 = 6 (0 =
h-*o
(0 при t ч^О,
\ + оо при £=0,
(0 при t ч^О,
\ + оо при £=0,
причем
причем
J 6(ndf = L
— ОО
J 6(ndf = L
— ОО
Изопределения б-функции следует, что для любой функции / (0» определенной в точке /, справедливо соотношение
J f(x)6lx — t)dx = H0.(7)
— ОО
Чтобы нз соотношения (I) получить соотношение (3), мы рассмотрим произведение истинной временной функции / (0 на обобщенную функцию
2N—1
А(0= s би-ИДЫ.
6 = 0
Предположим ради простоты выкладок, что /0 = 0 и ^ = AAt Тогда, вычисляя преобразование Фурье от fi (0» получаем
оо2N—1со
S1(V)= J ft(t)e—^v' dt = 2 Д' f 6U — hM) e—l2nvt dt =
— CO6 = 0 —CO
2N— ।।— !2nv2NM
= Ы V в-«™6Д<=д,2_£—— =
i —/2nvA/
_— IlWSNAiJ1W2NM _—hvv2N\t
»=M.—r~ •,— — •
e—mvAt^InvAi e — invAt
*^ Подробнее о влиянии смешения частот можно прочитать в кн.: Хем- минг Р. В. Численные методы. М.; 1968, с. 307—313.
Отсюда заключаем, что
(8)(8)Sj (V) —е—«tv (2N— i) ы sifi ^nvNM sin луД/
(8)
(8)
/ (Of^tO0ЛЬ3^Я соотношенне ^ найдем преобразование Фурье от произведения
SVn = J /(0/iU)e-,2nx"dZ=.
—• CD
2N — I сю
= д< 2£ I KO^U- tK}e-l2™dt=.k»u —oo
2N — 1,
= A« 3 fU^e-,^\(9)
к = 0
а это есть равенство (3) в произвольной точке v.
Оказывается, S (v) имеет период 1/Д/, что легко проверяется непосредственно:
—/2Я e—/2Я eVVI \ 2N—i
—/2Я e
—/2Я e
V
V
SV+"Kij&l 2 /(,ftJ
4 Z k=.Q
2N —I
=Д/ V fU^e-*211^^^^.
6=0
Из периодичности следует, что функция S (v) вполне определяется заданием ес значений на промежутке длины 1/Д/. Отсюда заключаем, в частности, что выборки vn в соотношении (3) должны удовлетворять условию |vn| < "2д/‘ для всех п = 0, 1, ...; 2^ — 1, а это есть не что иное, как условие (6). Заметим при этом, что вместо интервала vn £ (—1/2Д/, 1/2Д/) можно рассматривать интервал vn £ [О, 1/Д/].
Характер различия непрерывного и дискретного спектров. Чтобы выяснить качественное различие спектров S (v) и S (v), определяемых соотношениями (I) и (9), воспользуемся другим представлением S (v) Именно: согласно тсиреме I можем записать равенство
S(v)= J S(t)Si(v—t)dr. — OD
Подставляя под знак интеграла значение Sj (v — т) по формуле (8), получаем для S (v) представление
ОО
оsin 2л(V—т)N&1 .
S(v) = AtS(T) e-in(v-T)(2/v-i>az d,_(10)
Jsinn(v—Т)Д1
— ОО
f/A^10^ выясннть физический смысл соотношения (10), предположим, что Су имеет спектр интенсивности единица, состоящий из одной частоты , т. е. о (V) = 6 (v — Vj) Тогда из равенства (10) приходим к выражению
S (v 1 = д г JIII^L^zl^lL^L е- <л (v - va ( 2а/ -1) д<sinn(v—У|)Д/ *
которое означает, что вместо одного пика в точке v = Vt спектральная функция размазывается по частоте на весь период длины I/Д^ а также получает размазывание по фазе. При этом центральный пик в окрестности точки v = Vj с ростом N становится все #же и изменяется по фазе. Амплитуда первого «ложного» пикаг расположенного в точке у, близкой к v ■» ViH 415 М-’ Дос1нгаст примерно 2/9 высоты основного пика (рис. 52).
Предположим, что спектр функции ) W состоит из конечного числа частот, т. е.
ГП
S(v)= 5 «h6(v—vft).
Тогда р ^илу (10) каждая из частот будет размазываться по частоте и изменяться по фазе da счет множителей
sin 2л (у— уд) NM — m (v—vb) (2N—1) д<
•—eя
Sin Л (V—Уд) А/
и весь спектр частот S (у) представляется в виде суммы таких размазанных пиков!
т8w=M V О6т8w=M V О6sin 2л (у—уд) NMsin Л(У—Уд) Д/sin 2л (у—уд) NMsin Л(У—Уд) Д/ее— 1Л (V — Уд) (2N — 1) Д/— 1Л (V — Уд) (2N — 1) Д/
т
8w=M V О6
т
8w=M V О6
sin 2л (у—уд) NMsin Л(У—Уд) Д/
sin 2л (у—уд) NMsin Л(У—Уд) Д/
е
е
— 1Л (V — Уд) (2N — 1) Д/
— 1Л (V — Уд) (2N — 1) Д/
Наконец, если спектр функции f (/) представляет непрерывную функцию S (у), то ее размазывание происходит согласно формуле (10). Это означает, что замена бесконечного интеграла (1) конечной суммой с равномерными выборками приводит к спектральной функции ? (V) имеющей период 1/Д/ и осуществляющей размазывание по частоте и изменение по фазе пиков исходной спектральной функции S (у)
Матричная форма записи ДПФ. Будем предполагать, что исходная функция / (0 имеет ограниченный спектр част< г | v । < Q, а так как выборки функции / (0 берутся на конечном пром- . ii*r . вмени, то будем предполагать и за-
данным временной интервал О-СЛ^Т. Полагая М«Т!2^ нз условия 2ЙД! < 1 выводим условие на выбор числа № N > 70, и на выбор vn = пДу, 2N1 2N
(2.V— 1) Av < 2й< — , т.е. Av < — ^^у •
Следовательно, t^=>kM= k—~ и уп=»лДу=л — .
Равенство (9) запишем в этих точках!
7_<2л—A — т 2”-1_,2Ln6
S(vn) = -^- 22 tU^e 1 57 2 ^* N .
**0feoQ
л^О, 1, .... 2^-L Если обозначить
Xh™?^, ^=0, 1, ..., 2^—1# yn «* S (vn), л=0, 1, ..., 2N— 1, то соотношения (9) запишутся в виде
7 2N-1( _t2Ln\fc
«п—~^т X xUe N / , л = о, 12W —1.(11)
6 = и
Для получения преобразования,* обратного к (II), умножим n-е уравнение в (II) на \е ) 5 п = 0, 1; ...; 2N—1, и полученные равенства сложим. Тогда легко вычисляются коэффициенты при хд в правой части полученной суммы!
Т 2хп‘ -<-£-« (»-П(0, еепи(^6,
— ев <
2N *dекли 1=к,
Паи
в, разделив иа 7; для хд получаем выражение
, 2.V—1/ , Л Дп
Xh”™ Уп \е / е ^=°i 1. ■•■• 2^—1, П== I
(12)
а это к есть преобразование; обратное к (11),O6odHd4aH о = е N; образуем матрицы
11
д^
д1<7*
q2N~\ q2<2N-X>
... 1
... o2N-f
y2(2N-l)
... (/^-H1
(13)
и
1
<7—
<7~2
tF->=
9—’
<7-
9-( W-l) 9-2(2Л-1)
^„(IN-l) ^-z.TN-l)
^-(гК-П*
п представим преобразования (11) и (12) в виде
y,=^wx- я-y-iw.
где X и У — вектор-столбцы
(14)
АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Постановка задачи. Введенные преобразования (1.11) и (1.12) отличаются друг от друга только знаком в показателях экспоненты. Поэтому численная реализация этих преобразований совершенно аналогична, и мы изложим алгоритм этой численной реализации преобразования (1.11), которое записывается в сиде
где матрицы W, X и Y определены равенствами (1 13) и (1 14) Для непосредственного перемножения матриц W и X требуется произвести 2N (2 А/ — 1) ~ (2^)’ основных операций, состоящих из операций комплексного умножения вместе с комплексным сложением. Следовательно, при использовании прямого метода вычислений необходимое машинное время Т6 равно произведению х (2А')2, где х — константа, зависящая от типе машины и конкретной программы.
Разработанный Кули и Таки алгоритм БПФ опирается ив следующий факт: если 2М = г^д . гп; где г^ — целые числа, го матрицу W можно представить в виде произведения п матриц И^, ..j Uyn порядка 2Л X 2Л* таких, что у каждой матрицы U^h имеется только г* • 2N отличных от нуля элементов. Преобразование (1) записывается тогда в виде
7
^nWn-i ... IT.^X. (2»
Если теперь найдены алгоритмы, согласно которым умножение матриц U”^ иа вектор-столбцы U^-i ... W^X осуществляется только путем r^ 2N основных операций (алгоритмы отбрасывают умножение на нули), то для выполнения преобразований (2) потребуется машинное время в количестве Т6 = х (г, + '*+■•• + rn) 2N, которое при больших значениях N и при болыз<м числе сомножителей у 2N может быть значительно меньше, чем х (2Л)’ Об этом свидетельству-
ют приведенные в следующей таблице данные о необходимом машинном времени для производства вычислений на ЭВМ IBM-7094 (х = 30 мс)*>1
2Л'
Тй
Т6
2<-
«мин
30 с
gin
30ч
1 мии
gis
20 сут
5 мин
2*
1 год
20 мин
(здесь не учитывается время вводе и вывода данных,.
Алгоритм реализации ДПФ. Разложение матрицы № на множители №й. к = 1,2, ..., л, допускающее алгоритмы отбрасывания операции умножения на нули, сопряжено со значительными трудностями. При этом в ряде описанных в литературе случаев компоненты результирующего вектора Y получаются переставленными и требуются дополнительные операции для восстановления нормального чередования компонент.
Укажем один из способов разложения матрицы IF в случае 2N=2n г. дадим алгоритм для проведения соответствующих вычислений. При этом отметим, что получаемые с помощью нашего алгоритма компоненты результирующего вектора Y следуют в обычном порядке.
Учитывая, что 2/V = 2П, матрицу W разложим на п сомножителей ^n l^n-i ••• l^i таких, что каждая из матриц Wm, т= 1,2, ..., л, содержит 2n+1 отличных от нуля элементов. Обозначим через С^) элементы матрицы Wm, т.е.
IV m = ^, V, j = 1,22г
Тогда требуемым условиям удовлетворяют, например, матрицы Wm, элементы которых определены следующим образом: если q =
= е N , то для каждого v = 0, 1, ..., 2n-m— 1 и для всех р = — 1,2, .... 2т-1 имеем:
с'т> т .= с^ т .т_,=1,
v-2+ц; v-2* + ц v-2m4-21+ц; V-2 +ц
с(т)_ с(т)_
v-2m+n; 2п-1+У.2т-,+цv.2m + 2m-1 + ni »П~ 1 +v2т-1 +ц
=ж^Ц-1) 2п~т.
^1 = 0 — для остальных пар (v; /).
Для таких матриц Wm легко указать алгоритм последовательного выполнения операций при умножении lFm HFm_j... (U^X)]. В самом Деле, если б”’, г = 0,1, .... 2" — 1, — компоненты вектор-столбца
*' Таблица приведена в статье: Хуаи, Шрейбер, Третьяк. Обраситка изображений. — ТИИЭР. М.; 1971, т 59, № 11, с. 78.
Рис. 53Рис. 5364> = ль + х2»64> = ль + х2»2-1-12-1-164)2»+164)2»+1— Xh Х^_ 1— Xh Х^_ 1
Рис. 53
Рис. 53
64> = ль + х2»
64> = ль + х2»
2-1-1
2-1-1
64)2»+1
64)2»+1
— Xh Х^_ 1
— Xh Х^_ 1
IVjX, то для каждого & = 0,1 2'l-i—1
они вычисляются таким образом:
Далее, компоненты 6^2>, r=0, 1,..., 2П—1, вектор-столбца IV 2 (U^X) при каждом к = = 0,1, .... 2П~2— 1 и для v = 0 и 1 вычисляются с помощью равенств
6(2)=6(У-J-nv-Sn-26(l) ,
2* *+v 2A+V Т Чu2n— I + 2*+v’
6(2)=64>— OV-2"—=6(1)
2eA*4-24-v2A4-v2n“14-2ft-J-v
Пусть теперь 6<m>, г = 0, .... 2n— 1,— компоненты вектор-столбца lVm[IVm_j... ... (IV]X)1, m = 3, 4, ...,n. Тогда при каждом к = 0,1, .... 2n-m — 1 для всех v = = 0,1, .... 2m-1 — 1 имеем соотношения
6("”= 6(т— V
2mA4-v 2т—1 A*4-v
^9v.2n-m6(w_n
4г^-^гт —1 А-}-*
6(m)^б^-Р_nV-2«-^g(m-I)
2m *+2»»—1 +V 2,n—,*4-v42й”1 +2m—1*4-v
Последовательный переход от вектор-столбца Wm_v..\VxX к век- тор-столбцу tt^m^m-v l^i^ требует проведения 2п основных операций, поэтому для вычисления компонент вектора Y потребуется произвести п • 2п основных операций и умножение компонент последнего столбца на TI2N. Это означает, что применение алгоритма БПФ сокращает число основных операций в 2п/п раз.
Замечания. L Отметим, что при каждом А? = О,1 1? .,.$ 2п~т — 1 соответствующая пачка компонент ^^m_^v» v = 0, 1; ..., 2m — h дает дискрет-
Т
иый спектр функции / (0, квантованной по временному интервалу М= 2%. Однако следует учитывать то обстоятельство; что если при соответствующем т не выполняется условие (1.6), то спектр не будет точным из-за смешения гармоник с высокими частотами.
2. Алгоритм БПФ может быть применен и для вычисления большого числа коэффициентов ряда Фурье. Для этого в преобразование (1 11) необходимо ввести коэффициент, зависящий от величины периода временной функции
Приведем блок-схему этого алгоритма (рис. 53) и программу вычисления ДПФ, написанную на языке ФОРТРАН-4 для ЭВМ ЕС-1020.
Программа вычисления ДПФ
SUBROUTINE FASTET
COMMON N, Nl, KIND, A(N1), B(N1), AA(N1), BB (Nl) INTEGER V
M = 1
K = 0
V = 0
J=(2*»M)»K+V + l
I = (2**(M—1))*K+V+I
G=3.141593*FLOAT(V)/(2**(M— 1))
IF (KIND) 7, 7, 8
SI=SIN(C)
GO TO 9
SI=— SIN(C)
CO = COS (C)
NI=2**(N —1)+ ]
JM = J+2**(M —1)
ASS = A (Nl)
BOB = B(NI)
AA (J) = A (I) + ASS*CO + BOB*S1
В В (J) = В (I)—ASS*S1 + BOB*CO
AA (JM) = A (1)—ASS*CO— BOB*SI
BB (JM) = В (I) + ASS*S1 — BOB*CO
v=v- + i
IF(V— 2**(M —1))3, 4, 4
K = K + 1
1F(K—2**(N—M))2, 5, 5
M = M + 1
DO 13 1=1, Nl
A (1) = AA (1).
13B(1)=BB(1)
1F(M — N)l, 1, 6
11-(KIND) 10, 10, 12
10 DO 11 1=1, N1
АА (1) = АА (D/N1 11BB(I) = BB(I)/N1
12 RETURN
END
Здесь N — показатель степени чисел N1 = 2N, a KIND = 0 для прямого преобразования (см. (1.11)) и KIND = 1 для обратного преобразования (см. (1.12)).
Пример алгоритма реализации ДПФ при 2N = 8. Для большей наглядности приведенного выше алгоритма рассмотрим случай 2П = 8. Тогда имеем q = е—,п/4, q' = —1, g6 = —q, g” = —g* и g7 = —g3, поэтому матрица й7 запишется следующим образом:
/1*
'1q
1g2
1
д’
—1
11
д3 —1 -g^1
1
-q q*
1
-д« — 1
1
—дз
—д2
Ф=|
1g3
л 2
д
—-1
—qs
д2
—д
1 —1
1
1
— 1
1
— 1
I 1 —д
д2
-дз
— 1
д
-д=
дЗ
I 1 —д2
—1
д2
1
—д»
— 1
д2
1 1 —да
—д5
—д
— 1
д3
д’
д
Представим матрицу it7
в виде
произведения трех матриц
if = 1Г81?21Г1; где
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
W1 =
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
—1
о 1
0
0
0
1
0
0
0
1 /
\°
0
0
1
0
0
0
—1 /
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
д‘
0
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
^*=
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
-д* 0
0 1
0 0
0
0
0
1
0
0
0
д*
0
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
0
1
0
0
0
-q*l
1
И
f 1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
д
0
С
0
0
1
0
0
0
д*
0
^= 1
0
1
0
0
0 0
1
0
0
—1
0 0
0 0
9s 0
0
1
0
0
0
—д
0
0
1 о
0
1
0
0
0
—Д«
0
\0
0
0
1
0
0
0
-д»
Граф соответствующих вычислений компонент векторов 6<1>=W1Xj 8<*' = sslFa*1) и К<*) = В^3Л<я> изображен на рис. 54 Сплошные стрелки иа графе означают сложение, пунктирные — вычитание (из компоненты, соответствующей
началу стрелки, компоненты конца). Знак (gv) над стрелкой означает, что слагаемое (вычитаемое), соответствующее концу стрел-
ки; умножается предварительно на множитель gv, v = 1; 2;3. В результате этих вычислений полу- алем вектор К(О, отличающийся от искомого миокителем 8/Т. Его компоненты записываются следующим образом:
IIII-с’-с’^^-f$-f$^1>=<0_q4*!—*»+<?’ y-H«—qax6— **+q’ г7.^1>=<0_q4*!—*»+<?’ y-H«—qax6— **+q’ г7.«V1=|о—<?ч +<72 *2—q3 *з— *« +<№—q* хь-t-q3«V1=|о—<?ч +<72 *2—q3 *з— *« +<№—q* хь-t-q3У*з =jt+<734—<72*» + 5г — *4—«Т^ь-Н2 х%— qx,,У*з =jt+<734—<72*» + 5г — *4—«Т^ь-Н2 х%— qx,,^^ у1^^ у1uV'=x0— q3xt — q'r —qxx—x4-Vq3xl-Vq1x6--qx1, puc. 54uV'=x0— q3xt — q'r —qxx—x4-Vq3xl-Vq1x6--qx1, puc. 54И1 ^o+^i + g’ г^ + ^'а— *4 — <7*s—q1*»— У3
I
I
I
I
-с’
-с’
^
^
-f$
-f$
^1>=<0_q4*!—*»+<?’ y-H«—qax6— **+q’ г7.
^1>=<0_q4*!—*»+<?’ y-H«—qax6— **+q’ г7.
«V1=|о—<?ч +<72 *2—q3 *з— *« +<№—q* хь-t-q3
«V1=|о—<?ч +<72 *2—q3 *з— *« +<№—q* хь-t-q3
У*з =jt+<734—<72*» + 5г — *4—«Т^ь-Н2 х%— qx,,
У*з =jt+<734—<72*» + 5г — *4—«Т^ь-Н2 х%— qx,,
^^ у1
^^ у1
uV'=x0— q3xt — q'r —qxx—x4-Vq3xl-Vq1x6--qx1, puc. 54
uV'=x0— q3xt — q'r —qxx—x4-Vq3xl-Vq1x6--qx1, puc. 54
У»х =*о + <724 — xt— <72*s+*4+<72 г, —г.
зОзОЗдесь стрелками указывается организация компонент столбца 6<'\ а именно *U + *4! *0 — ад *1 + *5 И I. Д.
зО
зО
РЯДЫ ЛОРАНА. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
РЯДЫ ЛОРАНА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Определение и область сходимости. В гл. V в качестве частного случая общих функциональных рядов f^z) + f^z) 4- ... + /п(г) + ... мы рассмотрели ряды по степеням (г— 20)п в случае неотрицательных п > 0. Однако в качестве функций fn (z) можно рассматривать и степени (г — г0)п в отрицательными показателями п < 0. Поэтому естественна постановка вопроса об изучении функциональных рядов вида
v Ch (2—2^,v Ch (2—2^,(1)(1)k« — ООk« — ОО
v Ch (2—2^,
v Ch (2—2^,
(1)
(1)
k« — ОО
k« — ОО
котопые называются рядами Лорана.
Теорема 1. Если коэффициенты {оп} ряда Лорана (1) таковы, что
то областью сходимости ряда (1) является круговое кольцо
(3)
и сумма этого ряда f (z) в кольце (3) является аналитичегкой функцией. Коэффициенты {сп} ряда (1) могут быть выражены через сумму ряда f(z) о помощью интегралов
f- /W di], л-0,±1
(Ч-го)"*1
Т1(2)Т1(2)где y,„ — окружность | и — zB | = rn, r< rB< R. ◄ Представим ряд (1) в виде суммы двух рядов:
Т1(2)
Т1(2)
2 ch (z — г0)* и тг(г) = V ch (2 —г0)е.
6*0
Ряд ^2 (z) является обычным степенным рядом и называется правильной частью ряда Лорана. Его область сходимости есть круг с центром в точке 20 радиуса R = , - -, и в круге |z — 20|< R сумма это-
•lim у |с„|
п-юо
гс ряда fa (г) является аналитической функцией.
Ряд Tj (г) называют главной частью ряда Лорана. Если в нем произ- весги замену г— г0 = 1/и, то придем к степенному ряду Ус_ки6, ко-
,рын сходится в круге | и | < t= г*-. Поэтому исходный ряд
lim /|c_ft й-#оо
т,(г) сходится в области
|г— 201>ТТтп U|c_fc| = -^-=rk-^COГ
и в этой области сумма ряда является аналитической функцией, которую обозначим через fx (г). Следовательно, в круговом кольце
Tim"£ -» соTim"£ -» со
Tim"
£ -» со
Tim"
£ -» со
функция f (г) = ^ (2) + f, (z) является аналитической функцией и
со
r< \z—20\<R.r< \z—20\<R.(5)(5)/(г) = v ch(2—20)», 6= —ОО
r< \z—20\<R.
r< \z—20\<R.
(5)
(5)
Умножим обе части равенства (5) на (г — г0)~'я~1, т = 0, ±1,..., и проинтегрируем по окружности УЧ:|г — г0| = r01 r<.r0<_R. Учитывая значения интегралов
2л2л
J (2—?0)”d2=J г"е,л»/-0iez,Fd<# =</'3't-1С e,(n+,),,ldy = v,,оо
а/(«4* 1) 2л 1
1>S + 1 , . П = 0 ПРН П^ —L
i(n-pi)
2ni при п = — 1,
для коэффициентов ряда (5) получаем выражения
dr),dr),/п = 0, ± 1, .../п = 0, ± 1, ...I Г (Тр
dr),
dr),
/п = 0, ± 1, ...
/п = 0, ± 1, ...
2л/ J (1) —гу)”1*1 vr«
Теорема Лорана. Рассмотрим теперь обратную задачу: пусть < акция / (г) — аналитическая в кольце г < |2 — 20|< R. Каково , I • оженне этой функции по степеням (г — 20)?
Теорема 2 (Лоран). Функция / (г), аналитическая в круговом кольце г < } г — г0 | < R, однозначно представляется в этом кольце сходящимся ряоом Лорана
1^= 2 с„(г —го)",л ее — ОО
коэффициенты которого определяются по формулам
Сп =
1 f Игр
2л< J (У-го)п-Нтр
di).
л = 0, ±1
где ур — любая окружность | г — г0 | = р, г < р < R.
N Функция f (г) — аналитическая в любом замкнутом кольце г < г ^ |г — г01 ^ R' < R (рис. 55). По формуле Коши можем ва« писать равенство
/(*)=“ f -^-dn+^- \^44 = hW+Uzi
2ш J у—г2л/ J ц—z
c7-c^-
где CP. : |2 — 20| = R' и Cr* : |z — 20| — r‘.
Как и при доказательстве теоремы Тейлора (см. § 2 гл, V) для /2(г) получаем разложение
uW-4- f WL4- f —щ—-Ш-
2л/ J т)—г2л/ J т)— г0—(г—ги)
Ct,Ci,
гдегде(г-го)"(1) — г)п 1-1(г-го)"(1) — г)п 1-1(tl-Zo)^1(tl-Zo)^1dn= V Сп^г—г^,п=0dn= V Сп^г—г^,п=0СпСпdr)» fi = 0,1,dr)» fi = 0,1,(6)(6)
где
где
(г-го)"
(1) — г)п 1-1
(г-го)"
(1) — г)п 1-1
(tl-Zo)^1
(tl-Zo)^1
dn= V Сп^г—г^,п=0
dn= V Сп^г—г^,п=0
Сп
Сп
dr)» fi = 0,1,
dr)» fi = 0,1,
(6)
(6)
и последний ряд сходится для всех г из круга |г — г0| < R. Далее, функцию fx (г) представим в виде ряда
/И!dn-
-р-адА-Л^) \ г— го /
(П-го)"-1Vc'/2— 2 Т-п
который сходится вне круга | г — г0 | < г, и
СлСл■ Г — Л ,77 d>]^C-J (л—?o)-“+l
Сл
Сл
с*
Это означает, что при л < 0
СиСи2л/ J с*2л/ J с*fWЩ—?o)n+1fWЩ—?o)n+1di], м= — 1, —2,...di], м= — 1, —2,...(7)(7)
Си
Си
2л/ J с*
2л/ J с*
fW
Щ—?o)n+1
fW
Щ—?o)n+1
di], м= — 1, —2,...
di], м= — 1, —2,...
(7)
(7)
Так как в интегралах (6) и (7) можно взять любой контур у, лежащий в заданном кольце и охватывающий точку г0, то из формул (6) и (7) сле- дхет формула (4). Доказательство единственности коэффициентов о, аналогично доказательству единственности в теореме Тейлора. ►
Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки. В § 4 гл. V были введены понятия правильных и особых точек аналитической функции. Было отмечено, что особые точки могут быть только на границе области аналитичности. Вблизи особых точек аналитическая функция может вести себя по-разному. Например, она может быть неоднозначной (точка г = 0 для функции f (г)= = Кг), неограниченной /точка z = 1 для функции f (г) = ——1
\ 1 — */
или обладает некоторыми другими особенностями. Мы ограничимся рассмотрением так называемых изолированных особых точек однозначного характера.
Точка г0 называется изолированной особой точкой функции / (г), если f(?) является однозначной аналитической функцией в кольце 0< |г — г01 < Я. а г0 — особая точка.
Оказывается, что поведение функции f (г) в окрестности ее изолированной особой точки г0 характеризуется рядом Лорана этой функции в кольце 0< |г — г0|< R. При этом особые точки подразделяются на три вида: а) устранимые особые точки, б) полюса порядка т > 1, в) существенно особые точки. Дадим определения этих точек.
Точка г0 называется устранимой особой точкой функции f (г), если функция f (г) — аналитическая в окрестности точки г0 и существует конечный предел lim f (г) = а.
2-*20
Точка г0 называется полюсом порядка т, т > 1, функции f (г), если г0 является нулем порядка т функции g (г) — У f (г). (Очевидно, что lim f (г) = оо.)
Точка г0 называется существенно особой точкой функции f (г), еспи функция f (г) — аналитическая в окрестности точки г0 и lim f (г) не существует.
Непосредственно из определения устранимой особой точки вытекает следующее утверждение.
Лемма I. Если г0 — устранимая особая точка функции f (г), то функция f (г) ограничена в окрестности этой точки.
N В самом деле, из |/ (г) — а| < е следует, что |/ (г)| < |а| + + е = М при |г — г0 | </?. ►
Установим теперь связь между характером изолированной точки г0 функции / (г) и разложением этой функции в ряд Лорана в некотором кольце 0 < | z — г0 I < R-
Теорема 3. Для того чтобы точка г0 была устранимой особой точкой функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы в разложении f (г) в ряд Лорана в кольце 0 < | г — г0 | < R отсутствовала главная часть, т. е. чтобы ряд Лорана имел вид
f{2)= V Сп(2— 20Г.
N Необходимость. Разложим функцию f (г) в ряд Лорана. Коэффициенты записываются в виде
где Тр — окружность |г — ?0| = Р < R. Так как в силу леммы I на у„ справедлива оценка |/ (т)) | ^ М, то при отрицательных п имеем соотношение
-^- С -2^2- = Мр—п-*-0 при р —► 0.
2л J рп+* рр р
Это означает, что все коэффициенты с отрицательными номерами пав- ны нулю и необходимость доказана.
Достаточность. Если сп = О при всех и С — 1» то функция f (г) представляется в форме ряда
/(?)= V Сп(2-20Т.
Отсюда следует, что предел Нт / (г) = с0 существует и конечен. До
определяя функцию / (г) в точке 20 равенством f (г0) = с0, мы получаем аналитическую в круге |г — z0| < R функцию. ►
Теорема 4. Для того чтобы точка г0 была полюсом порядка т, т"^ 1, функции f (2) необходимо и достаточно, чтобы главная часть разложения f (г) в ряд Лорана содержала бы не более т членов, причем все сп = 0 при п С — (т + 1), а с_т ^ 0.
Необходимость. Пусть г0 — полюс / (г) порядка т. Следовательно, гп — ноль порядка т функции g (г) = 1// (г). По определению /n-кратного нуля функции g (г) имеем
g (г) = (г — г0)т у (г),
где Ф (г) — аналитическая в окрестности точки г0 функция, причем ф (ZJ ф 0. Следовательно, функция 1/ф (г) является аналитической в окрестности точки г0 и может быть представлена в виде ряда Тейлора
= 5 Mz—zo)n<
где ^о = ^-^ ¥= 0, так как ф (г0) ^ °°» Подставляя этот ряд, для f (г) получаем разложение
L- = —1— . _L_ _ v’5»+
V б(г)(г—го/"V (г) ^ (г—гп)от-п
bn(z —гоу-т = V сп(г—гпУ\
п = тп = —т
причем с_т = ф0 =/= 0, и необходимость установлена.
Достаточность. Пусть аналитическая в окрестности точки г0 функция / (г) представляется в виде ряда
/(г)= 2 cn(z—Zo)'1, c-m^0.ib — m
Запишем этот ряд следующим образом:
^ = "(г^7у" tc-m4'c-"i+1 (z—zo) + -"+co(z—г0)т+ ...] —
Ф (г), (г-г0)"'
где ф (г), как сумма степенного ряда, является аналитической в окрестности точки г0 функций, причем ф (г0) = с_т ^ 0. Отсюда следует, что 1/ф (г) — также аналитическая функция. Поэтому, полагая
заключаем, что г0 является нулем порядка т функции g (г) ив силу определения точка г0 есть полюс порядка m функции f (г). ►
Из теорем 3 и 4 в качестве следствия вытекает следующая теорема.
Теорема 5. Если г0 — существенно особая точка функции f(z), то ела чая часть разложения этой функции в ряд Лорана в кольце 0 < < |г — 2П| < R содержит бесконечное число членов.
Теорема 6 (Сохоцкий). Пусть г0 — существенно особая точка функции f (г). Тогда, каким бы ни было комплексное число А, в том числе и А = оо, в окрестности точки г0 найдется последовательность точек гъ г2, ..., гп, ..., Нт гп = г0 такая, что
(8)(8)Нт/(г„) = А
(8)
(8)
Пусть А = оо. Предположим, что не существует посвледоатель- ности точек {zn}, zn -*- z0, для которой выполнялось бы соотношение
Нт/(?„)-= ео.(9)
П->00
Это предположение означает, что функция f (г) ограничена в окрестности точки г6, а потому с помощью преобразований, проведенных при доказательстве необходимости теоремы 3, выводим, что все сп = 0 при п < — 1. Следовательно, в силу теоремы 3 г0 — устранимая особая точка; но это противоречит утверждению теоремы. Значит, существует последовательность точек {zn}, г„ -> гп, для которой верно соотношение (9).
Пусть теперь А ^= оо. Если для некоторой последовательности точек (zn), zn ч^ г0 имеем равенство f (гп) = А, то теорема доказана, поэтому предполагаем, что в некоторой окрестности точки z0 для всех г Ф z0 имеем f(z^A. Тогда функция £ (г) = 1/(/(z) — Д) будет аналитической в некоторой окрестности точки гп. Докажем, что сама точка г0 является существенно особой точкой функции g (г). Действительно, предполагая, что г0 — полюс или устранимая особая точка функции g (z), можем записать соотношение
, х11
p(z) = ,
е fU^-A (z—z0)m [ (z)
где т "> 0 иф (гп) ^ 0. Отсюда получаем равенство
f (г) — А = (г — г0)т Ф (г),
которое означает, что г0 — устранимая особая точка функции / (z), но это противоречит предположению теоремы.
Таким образом, г0 — существенно особая точка функции g (2) и по первой части доказательства этой теорех ы заключаем, что существует последовательность точек {z„}, 2п-*-г0 такая, что llm g (zn) = »1 ОО. Следовательно, для этой последовательности {гп} существует предел
Нт1—- = оо, n-»oo / (Zn)— А
из которого выводим соотношение lirn f (zn) = А. ►
Примеры. Iе. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 < I г 1 < 1 функцию / (г) = 1/ (z (I — г)).
Учитывая равенство
z(l—z)zl—г
и принимая во внимание разложение
в^м^чак», ни при U< I z j < l справедливо представление
»-o»-oZ(1 —Z)
»-o
»-o
т e. главная часть ряда Лорана содержит одни член 1/г и точка г = 0 является полюсом первого порядка. Правильной частью является ряд 1 г*.
»=о
ии2°. Определить характер особой точки г = 0 для функции / (г) = e*^ проверить утверждение теоремы Сохоцкого.
и
и
Используем разложение e'Используем разложение e'* ик\
Используем разложение e'
Используем разложение e'
= 2 —; тогда при | zj > 0 ряд
»=оМ•
eeг 4 2! г’г 4 2! г’
e
e
г 4 2! г’
г 4 2! г’
сходится &то означает; что главная часть ряда Лораиа содержит бесконечное числе членов, т. е. г = 0 — существенно особая точка
Если задано А + О, А ф со, то выберем последовательность ^.„у следующим образом:
г1
г„ = "7; . п = 1,2, .
2лп/ 4-In А
Ясно, что гп -* 0 при п —• со и для этой последовательности имеем равенство hm e'^z^ hm е2пп, + 1пЛ = Д.
П-*аиП^<»
Fenn же выберем последовательности г' = — и г* = ——, п= 1, 2, .,.; то для пил получим соотношения
lim е l,*n = hmen = oo и hm e1/z°= lim е™"=0.
П-*ооП->О0П-*ООП->00
3°. Найти особые точки функции / (z) = ^(е1^ + 1) и определить их характер.
Найдем нули знаменателя для / (г), т. е. корни уравиеиня el/z + 1 = 0. Из равенства el/z = —1 следует, что знаменатель у функции / (г) обращается в ноль в точках гь = l/((2fe-f- B^Of ^ = 0, ±1, ...; которые и будут полюсами первого порядка для / (г) Точка г = 0 ие является изолированной особой точкой, ибо она является предельной для полюсов.
. Поведение аналитической функции в окрестности точки г =оо. Точка г = оо называется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции / (г), если вне круга некоторого радиуса R функция / (г) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от начала координат. В этом случае функцию / (г) можно разложить в ряд Лорана в кольце R < |г| < оо ;
IW = У спг",(Ю)
П — —30
причем главной частью здесь являешя ряд ^£овд“, а араымьнои
частью — ряд 2 сп 2п-
И=10
Как и в случае конечной особой точки, имеется три вида изолированной бесконечно удаленной особой точки. Именно: если lim / (г) =а, то точка г = оо является устранимой особой точкой. В этом случае в ряде (10) все коэффициенты сп = 0 при п > 1.
Если lim f (г) = оо, то г = со является полюсом соответствующего
порядка т (в ряде (10) сп = 0 при п > т, а ст Ф 0).
Наконец, если lim / (г) не существует, то г = оо — существенно
2-* ОО
особая точка функции /(г) и главная часть ее ряда Лорана (10) содержит бесконечное число членов.
Вопрос об исследовании характера особой точки г = оо можно свести к исследованию конечной особой точки. Так, полагая г = 1/»], имеем
Цг^ = $ (— ^ = ф(т]) и lim / (z) — limф (ч)«\ V) /2-* ОС11—>0
При этом характер особой точки не меняется, а потому, раскладывая функцию ф (ч) в ряд по степеням ч и заменяя п = 1/г, получаем разложение для фикции / (?) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
Пример 4е Функцию / (г) = 1/ (г (1 — г)) разложить в ряд Лорана в окрестности точки г = оо
Производя замену г = l/ч, получаем соотношение
\ Ч /1 — 1 /V) ч — 1
Раскладывая полученную функцию в ряд по степеням ч, найдем, чтопри|ч! < < 1 справедливо представление
Ф(Ч) = — п2 т~ “-’i’ 2 ^ = - 2 4 6=06=2
Следовательно; для |z| > 1 имеет место разложение
,<г)=- 2 "г*
» = 2 из которого заключаем, что точка а = ос является правильной точкой.
/ Вычетом аналитической функции f (г) относительно конечной изолированной особой точки г0, обозначаемым выч If (г), г0!, или res If (г), г01, называется комплексное число, равное значению интеграла
V
взятому в положительном направлении по любому контуру у, содержащему внутри себя единственную особую точку г0 и лежащему в области аналитичности функции f (г), т. е.
выч [f (г), г0] = —L- С f (г]) dr],
V
Если сравнить вычет функции с коэффициентом ряда Лорана по степеням (г — г0), то видим, что справедливо равенство
(1)(1)выч [/ (г), г0] = —^— ff(n)dn = o_j.
(1)
(1)
2лг J
v
Из соотношения (1) заключаем, что, зная разложение функции f (г) в ряд Лорана по степеням (г — г0), можно сразу же написать и значение вычета, т. е. значение контурного интеграла. Однако в отдельных случаях вычисление вычета удобнее производить другими способами.
Пусть функция f (г) имеет в точке г0 полюс первого порядка, т. е. представима в виде ряда
/(?)=_£=1_+ V с„(г — г0)*.г“г« »То
Тогда, умножая обе части этого равенства на (г — г0) и переходя к пределу при г -> г0, получаем
0-1 = выч I/(г), г0] = Нт(г — г0) f (г).(2)
г->г
Если функция f(z) представима в виде отношения f (г) = ^у, где ф (г0) Ф 0, ф (г0) = 0, ф1 (г0) #= 0, то, применяя формулу (2) и правило Лопиталя, найдем
о-1 = выч [/ (г), г01 = Нт (г—г0) -^ —
2-»г.ч^)ф(г, -ф(г0)
iim —————— 2-»г,г—zu
т е.т е.выч [f (г), г0) =выч [f (г), г0) =Ф(МФ(МФ' tZo)Ф' tZo)(3)(3)
т е.
т е.
выч [f (г), г0) =
выч [f (г), г0) =
Ф(М
Ф(М
Ф' tZo)
Ф' tZo)
(3)
(3)
Пусть функция / (г) в точке г0 имеет полюв порядка т > 2, т.е. представима в виде ряда
/(г)- V+ Хски-20У.
(г—го) г— z°
Умножая обе части этого равенства на (z — z0)m, дифференцируя т — 1 раз и переходя к пределу при г -*■ гп, найдем для вычисления вычета формулу
выч |f (г), г0] = с_| = -JL_Hm ^^-^1 .
'01(т—1)1 ,-г0dzm~1
Пример 1°. Найти выч [уртр^арГ’ *]
Имеем соотношение
* П+г!)т (г+i)^ * ц используя которое, находим производную
dm~l [I 1(—l)m-1m(m + l) ...(2m —2)
dzm-1 р ([^-гщт](z + i)8'"-*
Подставив это значение, найдем, что
вы„ I! , 1*2ffl-2У_
L(l+za)m’ j v(m —1)1 (m — Ij! z2«‘-it4«i-i
(2m —2)!
”—*2im-i [(m_i)ip’
Вычетом функции f (г) относительно точки г = оо называется величина
выч [/(г), оо] = —— f /(n)dr)=f f(n)dn= — c-i,2л/ J2л/ J
где I — замкнутый контур, вне которого функция / (г) не имеет особых точек, кроме г = оо. Обратим внимание, что коэффициент е_! находится в правильной части ряда Лорана в окрестности точки г = оо.
Например, выч П/г, оо] = — 1, хотя точка г = ос является правильной точкой функции / (г) = 1/г.
Основные теоремы о вычетах. Вычеты функции тесно связаны /^х с контурными интегралами. Об этом свидетельствуют следующие теоремы.
V Теорема I. Пусть функция / (г) — аналитическая в области D, за исключением особых точек гъ гг, .... zN, лежащих 6 этой области. Тогиа справедливо равенства
Рис. 56Рис. 56gog р — контур, лежащий внутри области D и содержащий внутри себя точки 2V z2, .... zN.
Рис. 56
Рис. 56
4Окружим точки гь .... zN контурами Yn .... y,vi лежащими внутри контура Г, и проведем разрезы /п.... In (рис. 56). Рассмотрим контур
L = Г+ -¥Jt + Y? + U + ...
... + ^ + Yn + In,
внутри которого и на нем самом функция f (г) является аналитической. Тогда в силу теоремы Коши имеем равенство J / (г)) dr) = 0. Интегра
лы по разрезам /п ..., In уничтожаются, поэтому
J fW dn = 2 J /(n)dn = Зга" 2 выч [f (г), zhY ►
W Г+k= 1 Y +k= 1
V Теорема 2. Если функция f (z) — аналитическая на вбей комплексной плоскости, за исключением точек ги г2гл_р z,v = °°, то имеет место соотношение
N
V выч [f (г), г„| = 0. »=i
◄ Выберем контур С, охватывающий точки гА/_1. Тогда, ис
пользуя теорему 1, получаем, что
J f (n) dn = 2ju" 2 выч [f(z), zft] = — f f(r])dn =
С+6=1с-
= —2 л/ выч [/ (г), оо].
Из этих равенств и следует соотношение
N
2л/ 2 выч [ f (г), 2^ = 0. ►
6=i
Вычисление интегралов от тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл
2л
J R (cos 6, sin 0) de.
где R — рациональная функция. Произведем замену переменной г = = е‘°, которая приводит к соотношениям
cos0 = — (z + — 1 sin0 = — (г—1 dz = izd0.
2 \ г I2< \z /
И» «слученных равенств заключаем, что искомый интетрал иреибра- •уется к виду
j #i(z)dz,fz Г—I
где Яг— рациональная функция, имеющая только полюса, и интеграл может быть вычислен по теореме о вычетах.
Пример 2*. Для 0 < р < 1 вычислить интеграл Пуассона
2л
^ ^ J 1 — 2р cos 6 + р2
Производя подстановку г = е% приходим к интегрированию рациональной дроби и применяем теорему о вычетах!
Г dz Г dz
)= J2Р L 1 \J , Рга—tP2+ Uz + Р ”
I 2 |— 11+Ра| 12 1=1
-= — 2л выч /, г=гД =
\ рг2 — (р2 + 1)г+р)
=21 I 2л
“” 2рг — (р2 — 1) Iz-p” 1 —р2 '
Интегралы от быстро убывающих на бесконечности функций. Докажем предварительно лемму об оценке интеграла.
Лемма 1. Если функция f (z) — аналитическая в полуплоскости Im z>0, за исключением точек ^, z2, ..., 2N, и если для всех |z| > R имеет место оценка |/ (г)| < M/|z|l+6, (М и 6 >0 — постоянные), то справедливо соотношение
lim J f (n) drj = 0,
R-*~cr
где Cr—лежащая в верхней полуплоскости полуокружность |z| —R радиуса R.
N Производя в интеграле замену i] = Rete, получаем оценку
nл
Г f (n) dt] = f / kRelti) Rie16 de < R C ^^ d6 = crоо
Л1л
R6 ’
из которой и выводим утверждение леммы:
hm ff(ri)di] = O. ►
R-*=o Jcr
Теорема 3. Пусть функция f (х) аналитически продолжима на полуплоскость Im г > 0, причем продолженная функция f (г) имеет изолированные особые точки ги г8..., zN, лежащие в верхней полуплоскости, и удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда справедлива формула
(4)(4)ООn
(4)
(4)
\ f(x)dx=2ni v выч [/(г), гй1.
-с* = '
4 Выбирая число R столь большим, чтобы все особые точки z^ zN лежали внутри контура Cr + [—R, R], и учитывая, что
J /Olldil^O при R-* оо,
CR из соотношения
f-N
j f (n) dn = 2л‘ 2 выч V (z)> zhlСЙ+l-R.R]ft™'
убеждаемся в справедливости равенства (4). ►
Пример 3°. Вычислить интеграл
dx.
Подынтегральная функция четная; а ее вналитическое продолжение на верхнюю полуплоскость, т. е. функция / (г) = (г1 + 1), (г4 + 1), в верхней полуплоскости имеет два полюса в точках гд = }z—1 = e<n* + 2iUA)/4i * — of j, ,,, Поэтому; применяя теорему 3 и формулу (3), имеем
1=ч1=ч= JU= JU^Зп,/*^Зп,/*dx = ш э выч 6=01Iе(Зп</4)2 ++4е(Зш/4) 3dx = ш э выч 6=01Iе(Зп</4)2 ++4е(Зш/4) 3. Zft. Zft^-[(/ + 1)е-я,/2+(-/+П] =^-[(/ + 1)е-я,/2+(-/+П] =2ni(—i+l) /22ni(—i+l) /24422<■-.)- ^<■-.)- ^
1=ч
1=ч
= JU
= JU
^Зп,/*
^Зп,/*
dx = ш э выч 6=01
Iе(Зп</4)2 +
+4е(Зш/4) 3
dx = ш э выч 6=01
Iе(Зп</4)2 +
+4е(Зш/4) 3
. Zft
. Zft
^-[(/ + 1)е-я,/2+(-/+П] =
^-[(/ + 1)е-я,/2+(-/+П] =
2ni(—i+l) /2
2ni(—i+l) /2
4
4
2
2
<■-.)- ^
<■-.)- ^
Лемма Жордана и ее применение. В операционном исчислении большое приложение находит следующая лемма.
Лемма 2 (Жордан). Пусть функция f (г) — аналитическая в полуплоскости Im г > 0, кроме точек гх,..., zN, и равномерно относительно arg г, 0 С arg г ^ л, \f (г)| -> 0 при |г| -* оо. Тогда при а\> 0 имеет место соотношение
lim [ eZtZT1 f(t]) dri = O,
R-» oo JCR
еде Cr — полуокружность | z | = R в верхней полуплоскости радиуса R.
N Из условия леммы можно записать, что |/ (л) I ^ Рл пРи IЧI =К, где цл -* 0 при R -*■ оо. Представим интеграл в виде
f е'»’! / (т)) di) = ( / (Re,ti) е1^ ^ е+' •*■ 61 Rie?" de.
CRО
Используя симметрию sin 0 относительно точки 0 = л/2 и неравенство sin 0 > (2/л) 0 для 0 < 0 < л/2, найдем, что
У /(n)e'“ndTi <Р/?Я саУ /(n)e'“ndTi <Р/?Я са^—аД sin 0 (jQ^—аД sin 0 (jQ
У /(n)e'“ndTi <Р/?Я са
У /(n)e'“ndTi <Р/?Я са
^—аД sin 0 (jQ
^—аД sin 0 (jQ
я/2я/2П/22С —aR^T 0 дл е « dO =П/22С —aR^T 0 дл е « dO =
я/2
я/2
П/22
С —aR^T 0 дл е « dO =
П/22
С —aR^T 0 дл е « dO =
ОWR2a/?ОWR2a/?2aKл2aKлннЛ/2Л/2J= ОJ= ОООпапа1eaR1eaR
О
WR
2a/?
О
WR
2a/?
2aKл
2aKл
н
н
Л/2
Л/2
J= О
J= О
О
О
п
а
п
а
1eaR
1eaR
при Я -> ОО. ►
Вычислить интегралВычислить интегралПример 4е,Пример 4е,Производя учитывая, чтоПроизводя учитывая, чтоsin out .dx, a =^ 0sin out .dx, a =^ 0ооввинтеграле замену <ы = и иинтеграле замену <ы = и иetoetosin х , Im=sin х , Im=ххеIm геIm г
Вычислить интеграл
Вычислить интеграл
Пример 4е,
Пример 4е,
Производя учитывая, что
Производя учитывая, что
sin out .
dx, a =^ 0
sin out .
dx, a =^ 0
о
о
в
в
интеграле замену <ы = и и
интеграле замену <ы = и и
eto
eto
sin х , Im=
sin х , Im=
х
х
е
Im г
е
Im г
искомый интеграл представимискомый интеграл представимв видев виде
искомый интеграл представим
искомый интеграл представим
в виде
в виде
//sin axIdx =“х2sin axIdx =“х2sin иIdu =—и2sin иIdu =—и2e,zIm ze,zIm zdx.dx.
/
/
sin axI
dx =“
х2
sin axI
dx =“
х2
sin иI
du =—
и2
sin иI
du =—
и2
e,z
Im z
e,z
Im z
dx.
dx.
Таж как функция / (z) = e,z/z— аналитическая в области DR г, заключенной между вещественной осью и полуокружностями CR : |z| = R и Сг 11 z| = = г V < R) (рис. 67), то, применяя теорему Коши, получаем равенство
Се<г
— dz=°.
г. е.г. е.totototoппdx=o;dx=o;(5)(5)CRCR—R—RСГСГ
г. е.
г. е.
to
to
to
to
п
п
dx=o;
dx=o;
(5)
(5)
CR
CR
—R
—R
СГ
СГ
Но 1/| z| — О при 1г| -♦ оо, поэтому, применяя лемму Жордана, приходим к соотношению
(6)(6)Г eti
(6)
(6)
dz -»0 при R -• оо,
J г
CR
Делее, преобразуем интеграл по контуру С~:
,л „1Г (COS 6+1 sm 0)
I — “— j —55—"^d0 -
Л
■= — J e*’(cos 0 +z sln 6) d6 ->—/л при r -» 0.(7)
и
Наконец, если r-»0 и R -» co, то*/
R .00
fC e'*
J — dx -» V. p. j — dx”.(8)
Учитывая соотношения (6), (7) и (8), из (5) получаем, чтог е“
откуда следуют равенства ОО.СО.ОО
С е« е Г sinx
V. р. 1 Redx — 0 н 1 Imdx = , dx=n, JJ x J x
—00—00—00
t, e.
/= dx =— . •
J *2
0
Замечание. В приложениях используется часто следующий аналог леммы Жордана Если \f(z)\-»O при |г|—• со равномерно относительно —л 2 < arg 2 < Зл/2, то при а > О
lim I еат1 / tv)) dr) =0 ,(9)
к-*-™-/
CR
#6» Ср — полуокружность | г | = R радуиса R, лежащая в левой полуплоскости.
Применение многозначных функций. Ввиду больших технических трудностей остановимся только на одном примере применения многозначных функций к вычислению интегралов.
Пример 5°, При 0 < а < 1 вычислять интеграл
/”V. р. I о
dx.
где главное значение берется относительно точки х = 1.
Аналитически продолженная с вещественной осн на всю комплескиую
плоскость функция f (z) = za — V (I — г) имеет в точке z ■= 1 полюс первого еорядка, а точка z = 0 является особой точкой многозначного характера. Поэтому функция f (г) является многозначной. В связи с этим рассмотрим эту функцию на всей комплексной плоскости, ризре-
Рае. 58
ванной по вещественной положительной полу- осн, и возьмем ту ветвь функции f (г), которая на верхнем берегу разреза (прк arg г = 0) принимает значения
(10)
1—X
Тогда значения функции f (z) на ннжнем берегу разреза ( arg z = 2л) определятся следующим образом:
, (ле<2л)
ха— 1 е<2л (а —1)
1 - хе*2л
== е,2ла / (х)
П1)
Проведем окружность CR радиуса R с центром в точке z = 0 и окружности С, и ур радиуса р с центрами в точках г = 0 и г = 1 соответственно. Рассмотрим контур (рис. 58)
Г=Сд+(/?, 1+p) + (Vp)-+(l—Pi Р) +Су+
+(Р. 1 — Р) + (Ур)” + (* +р. #).
где (R, 1 -гр) означает отрезок [1 + р; /?] на нижнем берегу разреза, проходимый от точки х = R к точке х ■= 1 + р. Аналогично определены и отрезки (l-pi'p). (Р, 1-^, O+pTfiL
Так как внутри контура Г функция f (z) — аналитическая, то, применяя теорему Коши, кмеем равенство
J/(z)dz = O(12)
Вычислим значения этого интеграла на каждом из участков контура янтегрнро- ваиия Г. Производя замену z = Re1®, на участке СД получаем Соотношение
2Я2л
Р га-1р да— 1 е/0(а— I) n^f»р
I ~1 dz а I — d9 = 1
А 1-2 J 1-RePR^—a о
е/9а
■^Г
Отсюда выключаем.
что
dz — 0 прн /? —со.
(13)
Аналогично, производя замену г = ре'9; на участке С~ получаем соотношение
Р -а—Iл a-lje(a-l)n/J9®7 е<6а
С 4—dz=- f -е— -^-de—ip" f T^-^-do,
1-z J 1—pe'9J 1 —pc9
из которого выводим стремление к нулю и интеграла по контуру С”; f га-1
I ■ 1"г dz-*U прн р-0.(14)
Ср
Далее, полагая г — 1 = ре,ф, замечаем, что прн г £ у'; т. е. при 0 < < Ф ■< л, в силу непрерывности функции za—1 имеем представление
za-l = l+e^p, ф), где ₽! (р, ф) -» 0 при р -» 0 для всех ф £ [0, л]. Подставив это выражение в интеграл по контуру (Ур)" приходим к равенству ~°л
Г Za 1 Р 1+81(Р,ф)С
I 1——dz= I-—piez,pd<p = t |[1+е1(р,ф)] dф,
V 1 —и—ре vи
(Тр)-"О
из которого следует, что Г г»-1
I ~_ dz — л/ при р - 0.(15)
(Vp)~
В силу (11) на контуре Ур имеет место равенство г^-^е^^+ея (р,ф), где ее (р, ф) —» 0 прн р —• С для всех ф £ (л, 2л), поэтому для интеграла по контуру (Ур)~ справедливо равенство
a— I Я л2я
f —dz= f —^^EL$2pie,фdф=^ f |eZ2na+ez(p, ф)^ф, (v*)- Z 2л -Ре‘ф
•9 которого следует соотношение Г га-1 I dz — Л1е,2яа прн р->и.(16)
Наконец, принимая во внимание значения функции (10) и (11), находимНаконец, принимая во внимание значения функции (10) и (11), находим(Я. 1 + P)(1-р.Р)(р. 1-Р)(1+Р.Я)(Я. 1 + P)(1-р.Р)(р. 1-Р)(1+Р.Я)=(1_е<2ла)=(1_е<2ла)
Наконец, принимая во внимание значения функции (10) и (11), находим
Наконец, принимая во внимание значения функции (10) и (11), находим
(Я. 1 + P)(1-р.Р)(р. 1-Р)(1+Р.Я)
(Я. 1 + P)(1-р.Р)(р. 1-Р)(1+Р.Я)
=(1_е<2ла)
=(1_е<2ла)
Так как при р -• 0 и R —• со правая часть этого равенства стремится к выражению
(17)(17)
(17)
(17)
то из (12), учитывая соотношения (13)—(17) при р —» 0 и Я -* оо, получаем соотношение
(]_e^a)v.p.j2120(]_e^a)v.p.j2120dx+л/(1 + е'2яа) = 0.dx+л/(1 + е'2яа) = 0.
(]_e^a)v.p.j2120
(]_e^a)v.p.j2120
dx+л/(1 + е'2яа) = 0.
dx+л/(1 + е'2яа) = 0.
Приравняв здесь вещественную (или мнимую) часть к нулю, найдем искомое
значение интеграла:
V.p.V.p.dx =dx =п sin 2naI—cos 2лап sin 2naI—cos 2ла=л ctg ла.=л ctg ла.
V.p.
V.p.
dx =
dx =
п sin 2na
I—cos 2ла
п sin 2na
I—cos 2ла
=л ctg ла.
=л ctg ла.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Теорема о логарифмическом вычете. Логарифмической производной функции / (г) называется функция
фМ=а||п,(2)1=^>.
Ясно, что особыми точками логарифмической производной могут быть как особые точки самой функции /(z), так и нули этой функции. Исследуем характер этих особых точек функции ф (z), причем из особых точек функции f (z) ограничимся только полюсами.
Пусть г* — полюс порядка р* функции f (z), аналитической в некоторой окрестности точки z*. Это означает, что в окрестности точки г* справедливо представление
1 ^ = h ^y\(z — z*H,
где функция }х (z) — аналитическая в точке г* и ее окрестности, A (z*) ^= 0. Отсюда находим выражение для логарифмической производной
ф (2) = А [ In / (Z)] = А I-Р* 1П (Z -Z*) + In A (Z)] = агаг
p* ■ fl (z)
Z—Z* fl(z)
Отношение A (z)/A(z) есть аналитическая функция в точке z* и ее окрестности, поэтому можем заключить, что полюс г* порядка р* функции / (z) является полюсом первого порядка логарифмической производной ф (г), причем вычет ее относительно этой точки равен — р*, т. е.
выч П ^г) , z*l =—р*.(1)
I /(z) J Р'
Пусть теперь а — ноль функции f (z) целого порядка а, т. е.
/ (z) = (z — а)" A (г).
где А(?) — аналитическая в точке г = а и ее окрестности функция, /, (с) ^0. Тогда для логарифмической производной получим выражение
Ф(г) = А [а in (z— с) + In A(z)] = —— + 1АА ,dzz— а А (г)
а это означает, что ноль функции / (z) порядка а является полюсом первого порядка ее логарифмической производной, причем
выч [ —— , а] = а.(2)
L f (z) J
Используя соотношения (1) и (2),убедимся, что справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть функция f (г)—аналитическая в области D, ла исключением точек zn г2, .... zm, являющихся полюсами порядков Рь Ра, •••, Рт соответственно. Пусть, далее, ах, аг, ..., av— лежащие в D нули функции / (z) соответственно кратностей а1,а2,.... av . Тогда если Гс D — контур, охватывающий все нули и полюса функции f (г), то интеграл от логарифмической производной равен числу нулей этой функции N (f) без числа полюсов Р (/) (считая каждый столько газ, какова его кратность), т. е.
(3)(3)^it^^-'S.p.-^-pw.
(3)
(3)
Г+»=1п=!
< Применяя теорему о вычетах, получаем равенство
—— dz = 3^вычИ?)^—— dz = 3^вычИ?)^
—— dz = 3^вычИ?)^
—— dz = 3^вычИ?)^
в котором zt — особые точки функции ф (z) =f' (г) ff (г). Используя соотношения (1) и (2), убеждаемся в справедливости теоремы:
1Н н?"^"*- vp.-^h-ptf»Г+6=1п=1
Геометрический смысл теоремы о логарифмическом вычете. Оказывается, что теорема 1 может быть сформулирована и в геометрических терминах.
Теорема 2. Если функция f (г) — аналитическая в области D, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на границе Г этой области D и отлична от нуля на Г, то разность между полным числом нулей и полюсов этой функции внутри области D равна числу оборотов вектора w = / (г) при обходе кривой у, соответствующей границе Г при отображении w = f (г).
4 Интеграл, стоящий в левой части равенства (3), представим в виде
Г dln/(z)= —V С dln|f(z)| +
2л< J Цг) 2л< J2л< J
г+г+г+
™1 С
+ 2njJ d(arg^2b- <4) г+
Контур Г — замкнутый, следовательно, при обходе этого контура однозначная функция In | f (z) | вернется к первоначальному значению и для каждого положительного приращения Д In | / (z) | > О найдется обязательно отрицательное Д in | f (z) | < 0, а потому равен нулю интеграл:
р1п|/(г)| = 0
г+
Второе слагаемое в (4) дает полное приращение аргумента функции I (z) при обходе точкой z контура Г, т. е.
j d(argf (г)) = Д arg f (z) |г€г+.
Объясним это равенство геометрически. Пусть w = f (z) отображает область D на область G. Ясно, что если область G, являющаяся образом области D, не содержит точки w = 0 (рис. 59), то при обходе контура этой области arg w не получает никакого приращения.
В общем же случае (рис. 60) arg w получает приращение, определяемое по формуле
■^ d(argf (г)) = Aargf (z)|zsr+ = ^(/)—Р(Л,(5)
г+
т. е. разность между числом лежащих в области D нулей и полюсов функции f (г) равна числу оборотов вектора w = f (г) при обходе кривой у, являющейся образом Г. ►
Теорема Руше и ее применение. Важным следствием теоремы 2 является следующее утверждение.
Теорема 3 (Руше). Пусть функции f (z) и g (z) — аналитические в замкнутой области D = D + Г. причем на границе Г имеет место неравенство
l/(z))|ZGr>l5(z)||ZG,r.(6)
Тогда полное число нулей в области D у функции F^ = f (z) + g (z) равно полному числу нулей в D у функции F (z).
-4 Из условия (6) следует, что F (z) Ф 0 при z (Г . Действительно, Для г ( Г имеем неравенства | F (z) | > | / (z) | — | g (z)| > 0. Обозначая через N (F) и N (f) соответственно число нулей функций F (г) и f (z) в области D и применяя теорему 2, получаем соотношение N^= 77- Д (arg F(z))| r = -LAargJf(z)[l + 777])!=
2л2л X I I (г) Iker
^-^-Aargf(z) -+ -L Aarg( 1 +-^-)
2лzer 2л X f(z) / zer
226 XI. Ряды Лорана. Теория вычетов
Но | g vVt (2) I < 1 для всех 2 ( Г, а потому для этих 2 £ Г значения функции 1 + g (2)// (2) в плоскости (^) опишут кривую, не содержащую внутри точку ю = 0. Это означает, что приращение аргумента равно нулю:
△ arg (1 + g (г)// (z)) |2Gr = 0.
Таким образом, для числа нулей функции F (г) получаем равенство
N(F) = -i- Д argf(z)2ЛN(F) = -i- Д argf(z)2ЛгеГгеГ
N(F) = -i- Д argf(z)
2Л
N(F) = -i- Д argf(z)
2Л
геГ
геГ
В качестве применения этой теоремы докажем основную теорему высшей алгебры.
Теорема 4. Полином п-й степени имеет на комплексной плоскости ровно п нулей.
◄ Представим полином в виде
<1, |2|=R<1, |2|=RРп (2) = аогп + а^1 + ... + ап-х 2 + ап, а0 Ф 0 и положим, что f (2) = ао2п, g (2) = а^1 + ... + ап. Ясно, что при достаточно больших | г | = R справедлива оценка
<1, |2|=R
<1, |2|=R
f(z) |lz!=R Go z Со г” I
поэтому по теореме Руше число нулей полинома Рп (2) в круге радиуса R совпадает с числом нулей функции f (z^=a^n. Но функция f (2) имеет в точке 2 = 0 ноль кратности п. Следовательно, имеем
N (Рп) = N(f) = n.>
Пример 1°. Для функции f (z) = z6 + 5г3 + 2z установить число нулей в круге | z | < 1, в кольце 1 < |zl < 2 и в кольце 2 < |z| < 3.
При |z[ = 1 имеем неравенство
5|z|s=5> |zl6+2|z| = 3.
из которого следует, что в круге |z|<l f(z) имеет три нуля. В кольце 1 *С I z| < 2 нулей нет, а в кольце 2 < I z| < 3 имеется еще два нуля.
Принцип соответствия границ при конформном отображении. В качестве следующего применения теоремы о логарифмическом вычете докажем часть теоремы II. 1.2.
Теорема 5. Пусть в конечной области D, ограниченной контуром Г, задана однозначная аналитическая функция f (z), непрерывная в замкнутой области D = D + Г и осуществляющая взаимно-однозначное отображение контура Г на контур у в плоскости (w). Тогда если при данном отображении контуров сохраняется направление обхода, то f (z) осуществляет взаимно-однозначное отображение области D на область G, ограниченную контуром у.
◄ Пусть даны точки wv и w2, причем ^ ^G, waQtG. В области D рассмотрим две аналитические функции:
Fi (z) = Цг) — ®ь г $ D и F, (г) = f (г) — w,; г £ D
§ 3. Логарифмический вычет и его применение 227
пч1 условию теоремы; положительному обходу • нтура Г соответствует положительное направ- ленис обхода контура у, а это означает, что ^ктор /(z) — Wi (рис. 61) при обходе точкой г контура Г опишет одни полный оборот, т. е.
(Fi)=— X arg [/ (z)—^1 = 1. л
Но это равенство показывает, что каждой точке ю С G соответствует одна точка zx £ D такая, что f fa) = ^if причем различным точкам Г =£ty{ в области G соответствуют различные точки Zi Ф г[ в области D.
Точка w2 лежит вие области G, поэтому при обходе точкой г контура Г вектор Г2 (?) = / (г) — w2 не совершит ни одного оборота вокруг точки м2 (рис. 61), т. е.NVF^ — Aarg Vf (z)—wel =°«Точка w2 лежит вие области G, поэтому при обходе точкой г контура Г вектор Г2 (?) = / (г) — w2 не совершит ни одного оборота вокруг точки м2 (рис. 61), т. е.NVF^ — Aarg Vf (z)—wel =°«Отсюда следует; что внутри области D нет точек; которые отображались бы в область, внешнюю к G; поэтому каждая точка из области D отображается в точку су области G, ограниченную контуром у.
Точка w2 лежит вие области G, поэтому при обходе точкой г контура Г вектор Г2 (?) = / (г) — w2 не совершит ни одного оборота вокруг точки м2 (рис. 61), т. е.
NVF^ — Aarg Vf (z)—wel =°«
Точка w2 лежит вие области G, поэтому при обходе точкой г контура Г вектор Г2 (?) = / (г) — w2 не совершит ни одного оборота вокруг точки м2 (рис. 61), т. е.
NVF^ — Aarg Vf (z)—wel =°«
Таким образом; аналитическая в области D) функция We[0 осуществляет взаимно-однозначное отображение области D на область G. ►
Замечание. Опираясь на теорему Руше, можно было бы доказать, что из взаимной однозначности отображения следует соотношение f (г) ^ 0 во всех точках области D- Это означает, что в теореме 5 осуществляемое функцией f (г) отоЗражеиие области D на область G не только взаимио-однозначио, ио и конформно.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЕГО АНАЛИТИЧНОСТЬ
Исторические замечания. Еще в прошлом веке многие математики занимались так называемым символическим исчислением, в основе которого лежат формальные операции над символом р = d/d/. Например, положительная степень п числа р обозначает n-ю производную функции
рп.х _Мdtn
а отрицательная — интеграл
~ «х = f х (т) dr.
о
^.l=j0о^.l=j0овамПрименение этого символа к функции х (/) = 1 приводит к равенст-
^.l=j
0о
^.l=j
0о
— ... — .]=Л
2 ’ ’ рп nl ‘
Популяризации символического исчисления способствовал инженер-электрик Хевисайд, применивший его в электротехнике. К примеру, уравнение
х — х = 1 о условием х (0) = О заменялось уравнением
рх — х = 1, откуда путем формальных операций над символом р получалось решение исходного уравнения
x=-l-=-L._L_ р—1 р 1—1/рx=-l-=-L._L_ р—1 р 1—1/рIРIРооnlnl
x=-l-=-L._L_ р—1 р 1—1/р
x=-l-=-L._L_ р—1 р 1—1/р
I
Р
I
Р
о
о
nl
nl
Такой метод действий над символом р не обосновывался, хотя иногда он и приводил к неверным результатам. Лишь в 20-е годы нашего столетия метод получил обоснование в работах Бромвича и Карсона и стал называться операционным методом. Идея его состоит в следующем: дифференцирование и интегрирование заменяются алгебраическими операциями, дифференциальные уравнения —алгебраическим i. Находятся решения этих алгебраических уравнений, по которым восстанавливаются н решения исходных дифференциальных уравнени L
Определение оператора Лапласа. Каждой функциии /(О, опр; деленной на действительной оси, поставим в соответствие функцию комплексной переменной р следующим образом:
f (р)-je-*/(/)<tt.(1)
о
Функцию F (р) будем называть преобразованием Лапласа для функции / (0- Функция F (р) может существовать не для всех функций / (О, поэтому на / (/) накладываются определенные ограничения: требуется чтобы она была'оригиналом. Это означает, что функция /(/) удовлетворяет следующим условиям:
/ (/) = 0 при / < 0;
при t ^ 0 функция / (/) имеет на каждом конечном отрезке не более конечного числа точек разрыва первого рода;
при / -* оо функция / (0 имеет ограниченную степень роста, г. е, существуют постоянные а и М = М (f, а), такие, что
I/ (О К Me1* для всех t > 0.(2)
Точная нижняя грань чисел а, для которых имеет место неравенство (2), т. е. величина а0 = inf а, называется показателем роста функции f (f). Заметим, что при а = а0 неравенство (2) может не выполнят^ ся, как, например, для случая, когда / (/) есть многочлен (а0 = 0).
Интеграл (1) является несобственным, причем областью его сходимости является совокупность тех комплексных чисел р, для которых интеграл имеет смысл
Область аналитичности оператора Лапласа Определим прежде всего характер сходимости интеграла (1).
Теорема 1. Пусть а0— показатель роста функции / (/). Тогда интеграл Лапласа (1) сходится для всех р таких, что Re р>а0, причем для р, удовлетворяющих условию Re р > х0 > а0, сходимость равномерна.
•4 Пусть р = х + iy, х > а0. Выберем е > 0 так, чтобы х > а0 + е. Тогда будут выполняться оценки
ООоо
е~" /(/) d/е~" /(/) d/С f е-" 1/(01 d/ С Je-" Afe<’.+e>'d/= оо
е~" /(/) d/
е~" /(/) d/
(3)(3)e(-i+ae4-8Hk»м
(3)
(3)
= М I = *
— л + Ли+ь L=U X — СХу—в
Из этого неравенства заключаем, что при х > а0 функция F (р) мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же х ^ х0 > а0, то
|F (р) | < М ( е< -* +=-+=!' dt -—< —^—, О г0—а0—Угп— а0
а это означает равномерную сходимость интеграла Лапласа ►
Замечание. Из соотношений (3) следует; что если Re р = х —• со. то I F (р) | - 0.
Функцию F (р) называют изображением, а функцию / (0 — оригиналом. Для обозначения этого соответствия применяется запись
f(p) = /(0; Z^) = F(p),fW-*fW, F^rfU)
и т. д.
Преобразпеоныр Хевисайда F* (р) отличается от преобразования Лапласа множителем р, т. е.
F*(p) — p Je-0' f^dt.
о
Докажем теперь, что преобразование Лапласа является аналитической функцией
Теорема 2. Изображение Лапласа F (р) для функции / (/) с показателем роста а0 является аналитической функцией переменной р в области Re р 2> а0.
◄ По теореме 1, интеграл J e-ptf (О dt сходится равномерно для Re р ^ х0> «о. поэтому, разбивая промежуток 10, ос) на отрезки Rv, fv + iL v =0,1, .... t0 = 0, в которых функция f (0 непрерывна, получаем ряд
™ОО 4+ 1по
Je-t/Md^ V J e-n-f^at- Vu^.
0v«.O fvv=u
Последний ряд сходится равномерно вместе с интегралом. Но каждая из функций uv (р) является аналитической в области Re р >а0. В самом деле, производная
e-l&p_\— l&pe-l&p_\— l&p(-/)d/ =(-/)d/ =, , . р “v (Р + Др) — Uv ip, uv(p)= hm = hm f Ц^е-»*
e-l&p_\— l&p
e-l&p_\— l&p
(-/)d/ =
(-/)d/ =
AjD-^OДрДр-*сс J
Ч+»
“- J //(/)c-"'d/
есть непрерывная функция р. Следовательно, и» (р) — аналитическая функция. По теореме Вейерштрасса (см. теорему (1V.5.6)) и сумма ряда, т. е. функция F (р), является аналитической в области Re р > >ав. ► .. „
Изображения некоторых функции. В качестве примеров на вычисление интегралов Лапласа найдем изображения некоторых функций.
Примеры Iе. Найти изображение единичной функции Хеиисанда, определяемой соотношениями
( . при I <0,
-^{шриОО.
Применяя формулу (1) для этой функции; имеем
OoIOt fe-D dT=-— e~DT =4-. Rep,JP |'=o P
и
Г. e.
Oo(0 = I /Р при Re p > 0.
Условимся в дальнейшем под функцией / (Л понимать функцию, равную нулю при К 0, т. е. считать / (0 = fi (0 °о R).
2' Найти изображение показательной функции /№ = е • Применяя формулу (1); получаем
= Се-" еа'dt=—е>-₽+“»' I” =—— иля Re(р —»)>').
* )р—аЬ = о р—-*
и т. е.
еа'——. Re (р -а) > 0,(Б)
Р —^
3° Найти изображение степенной функции / (0 = Р*.
Изображение этой функции найдем путем n-кратного интегрировании по частям;
Таким образом; имеем ("■$ —-— для Rep>0. •(9
Замечание. Для дробной степени а > — 1 имеем соотношение
*„ . Па+Ч
гдеео
Г(а4-1) = je~°ue <toо
— Г функция Эйлера.
Ьь*
В самом деле,
-tUa^/C -»^.^=-L. L-titi=dti= £12+11.
JJ n° P pa+,JPa+'
000
Отметим, что во втором интеграле переменная и = pt является комплексной; а так как функция е"“ иа—аналитическая в плоскости (и) с разрезом п< -учу (— ос, 0], то интеграл не зависит от пути интегрирования и переменную можно считать вещественной.
§ 2. СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
I. Линейность. Пусть Ъ (/) = Fv (р), Re р > av, v = 1,2, ..., N. Тигда изображением линейной комбинации
N
У Tv fv Ю» Tv—постоянные, •V = I
явл.лшсл та же линейная комбинация изображений, т. е.
NN
У Tv/v(0“ YTv^vCP). Rep>maxov. v=lv = iKKN
^ Это свойство сразу же вытекает из свойства линейности интеграла, t>
Используя это свойство и найденное в предыдущем параграфе изображение функции е™ легко найти изображения триюнометрических и Iинсрболичсхких функций Действительно, имеем соотношение
2 v 2 \р — ф Р+Ф/ т. г.
cos ^ ” nPp Re р > I Im РI..и
1очни так же устанавливаются соотношения
chP'^ р1^, . Rep > I Re Р|,
(2)
Slnpt^p= + p=- ^р >1 Im р|,
(3)
£hP' ^рЛрэ- Rep >1 Re fl.
<4/
2 Теорема подобия. Пусть / (0 = F (р) при Rep>a0. Тогда при люГ и постоянном О 0 справедливо соотношение
/ vet) = — 11— 1 оля к с р > сао,
^ Действительно, применяя формулу (1.1), получаем
/(сЛ = I e-"'/(cOd/=— I е ' fl.u)du=—F( —)•►Jс Jе \ с J
о
я Теорема запаздывания. Пусть / (/) = F (р) для Re р "> а0 и пусть
.| 0 при 1<т,
Л !/(/—т) при t>T.
Тогда включение оригинала с запаздыванием на т равносильно умножению изображения на e-rt, т. е.
hW-e^F^.
4 В самом деле, из определения функции /т (/) следуют равенства
UW- рлПе-РоUW- рлПе-Роdz= J Ц1—т)е-с‘ dz тdz= J Ц1—т)е-с‘ dz т= У /(u)e-y“e-^ du =
UW- рлПе-Ро
UW- рлПе-Ро
dz= J Ц1—т)е-с‘ dz т
dz= J Ц1—т)е-с‘ dz т
= e~tn F^p). >
fА — О т М *т 5ТРис. 62fА — О т М *т 5ТРис. 62Примеры 1° Найти изображение функции
f
А —
О т М *т 5Т
Рис. 62
f
А —
О т М *т 5Т
Рис. 62
/(/) = /! {о<, (/>—2оо(Г — т) + ^о0(< — 2т)),
(5)
график которой изображен на рис. 62
Применяя свойство линейности изображения и теорему запаздывания, выводим соотношения
ЦП^Рц»=А^ЦП^Рц»=А^_е-т+_е-^т_РР_е-т+_е-^т_РРе-рт ■1—21 У*е-рт ■1—21 У*
ЦП^Рц»=А^
ЦП^Рц»=А^
_е-т+_е-^т_
РР
_е-т+_е-^т_
РР
е-рт ■
1—2
1 У*
е-рт ■
1—2
1 У*
(t>)(t>)А1—е-р1А.pi
(t>)
(t>)
—ш—.
оl+e'"*Р2
2е, Найти изображение 6-функции Дирака
6(0 =6(0 =°Сб(пб/=1
6(0 =
6(0 =
оо при ( = О, J
R 5 1 гл X мы определили 6-функцию кан предел при К -» 0 импульсной функции
( 0 при I £ ( — со, 0) U (А, со;,
МПМП— при < £ 10, Л),— при < £ 10, Л),суммарный эффект действия которой равен единице Исходя из такого определения Д-фуикции. будем считать, что и ее изображение является предельным для изображения функции 6д (Z), которое вычисляется следующим образомгсуммарный эффект действия которой равен единице Исходя из такого определения Д-фуикции. будем считать, что и ее изображение является предельным для изображения функции 6д (Z), которое вычисляется следующим образомгОд (о = — [<М0Од (о = — [<М0-0V(Z-A)1=y[t--0V(Z-A)1=y[t-— е-Р" Р— е-Р" Р1-е-'"’fie1-е-'"’fie
МП
МП
— при < £ 10, Л),
— при < £ 10, Л),
суммарный эффект действия которой равен единице Исходя из такого определения Д-фуикции. будем считать, что и ее изображение является предельным для изображения функции 6д (Z), которое вычисляется следующим образомг
суммарный эффект действия которой равен единице Исходя из такого определения Д-фуикции. будем считать, что и ее изображение является предельным для изображения функции 6д (Z), которое вычисляется следующим образомг
Од (о = — [<М0
Од (о = — [<М0
-0V(Z-A)1=y[t-
-0V(Z-A)1=y[t-
— е-Р" Р
— е-Р" Р
1-е-'"’fie
1-е-'"’fie
О|сюда находим и изображение б-функцин;
e-ph
6(0 = Пт-=1, т. е. 6(0 = 1.(7)
л-^о ph
Теорема смещения. Умножению оригинала на множитель 6й соответствует запаздывание аргумента изображения на к, т. е. если W^^F (р), то
^'/(0 = ^(р—М для Re р > а0 + Re к.
◄ В самом деле, из определения изображения имеем
е®' / (0 = р (0 е-<о-^' tit = F (р—X). ►
о•
Пример 3°. Найти изображение функций e^cos fit и e^t".
Используя теорему смещения, из соотношения (1) получаем соотношение
eKt cos 0/ =—г.
(Р-Х)= + Р8
Аналогично, из изображения для 1п, найденного в примере 3° § 1; находим, что
ekl tn =.
(p-ky^i
Изображение производной. Пусть функция f (О и ее производные^ (t), k = 1,2п, являются оригиналами, причем f (0 == F(p) для Re р > а0. Тогда справедлива формула
f'^^pF^-f (0)(8)
и вообще, для всех k = 1,2л имеют место соотношения
!«>WTP‘\FW-lSL-l^l.-...-j^Y(9)
LР Р . Рк \
◄ Действительно, после интегрирования по частям приходим к равенству
/' (О = JГ Wе-р‘ & = е-РЧ(П+ p]f (Ое-р* d/ = pF(р)-/(0),
О< = 0 о
а это и есть соотношение (8). Применяя формулу (8) к функции [f (/)Г, получаем выражение (9) при к = 2:
Г (О = If (01' = Р VpF (р) - /(0)1 - Г (0).
Аналогично, методом математической индукции устанавливается справедливость соотношений (9) при любом к = 3,4,..., п. ►
Формула (9) становится особенно простой в случае, когда/<*< (0)=0 для к = 0,1, ..., п—1. Тогда формула (9) записывается следующим образом:
(Ю)(Ю)Р1 (0 *^ Р^ F (р) для всех к = 1,2,..., п.
(Ю)
(Ю)
Формулы (9) и (10) находят широкое применение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
поi/W + ai^"-'^ ...+on y=tUl(••)
с начальными условиями
v(0) = Vn, у' (0)=г/,У<п-'>(0)=yn_v02)
Предположим, что искомое решение у (Л, его производные у' (Л) -••" У^Ч^ и функция / (/) являются оригиналами. Тогда, используя соотношения (9), от уравнения (II) с условиями (12) можно перейти к операторному уравнению во pnY (р)— р"-1 у0— t/n-iJ +Qt [рп-1 У (р)— р4-^ — ...— Уп—э1 +
+ ... + с„И (р) = Р(р),(13)
где К (р) =ь у (Л и Р (р) =ь f (Л Уравнение (13) является уже алгебраическим относительно искомого изображения У (р) Определяя из (13) У (р) = Ф (р), по Ф (р) можем вычислить оригинал у (0 == Ф (р), который и будет искомым решением
Заметим, что формальный переход от уравнений (11)—(12) относительно оригиналов к уравнению (13) между изображениями можно обосновать следующим образом. Домножим уравнение (11) на е—с1 и проинтегрируем его по переменной ( в пределах от нуля до бесконечности Тогда используя условия (12)j придем к уравнению (13)
Пример 4® Найти решение уравнения у" + 2у‘ — Зу = е-1; удовлетворяющее условиям у (0) = у* (0) = 0
Перейдем к операторному уравнению
р»У (р) + 2рУ (pt - ЗУ (р) = 1/ (р + 1).
Отсюда находим искомое изображение:
1р+1)1р'+»-3)= (р+1)(р + 3)(р-1) *
Раскладывая дробь на простейшие, представим это изображение в виде К (р1 = ~ *, (РЧ-1) + В:р-1) + 8(р+3)
п, используя свойство линейности; получаем
y(h=- — е +~ ^+“ е~8 •
Дифференцирование изображения. Противоположным к свойству изображения производной является следующее утверждение. Если F (р) = f (/) для Re р > а0, то дифференцированию изображения соответствует, умножение оригинала на (—/), т. е. F' (р) == ^{-t)f 10 и
F^ (р) = (— tY^f (0 для п = 2,3, ...(14)
4 Действительно, дифференцируя изображение F (р) по р и замечая, что умножение / (() на F при любом /г = 1,2... не увеличивае! показателя роста функции / (/), получаем равенство
F4p)= fe-P'l-OMd/,и
которое означает, что (— 0/ (О т* F’VpY Используя это соотношение, по индукции убеждаемся в справедливости формулы (14) при любом п = 2, 3, ... ►
Пример У. Найти изображения функций t sin pt и Р sin в#.
Зная изображение функции sin Р' (см (3)) и применяя свойство дифференцирования влибражения, получаем последовательно соотношения
/з1пр/=4 — / —. - ] ————
kp’ + Р2/(Р2+Ра)4*
Л sin PtЛ sin Ptр'+Р1—2р-2р _ 6р*Р—?ра
Л sin Pt
Л sin Pt
Р1+Р2)3"" (рИ+^Н *
Интегрирование оригинала. Если ЦП—оригинал и КП =■ Р(р), то функция g (П = f(x)di также является оригиналом, причем интегрированию оригинала соответствует, деление изображения ни р, т. е.
j /(т) dT- L1EL,о
◄ Функция g (И действительно является оригиналом, так как первые два условия очевидны, а третье вытекает из неравенства
18(П|<| о18(П|<| оl/(T)|dT^Al Ce«dT = — е«'Г сМ.ес»
18(П|<| о
18(П|<| о
Jа к-о
где а > «о ^ 0, а0 — показатель роста функции f (t).
Изображение функции g (О обозначим через G (р), т. е. G (р) = T=g (/). Применяя свойство изображения производной и учитывая, что g (0) = 0, приходим к соотношению
Рис 63Рис 63F ^-=1 «) = g' (t) =, pG ^
Рис 63
Рис 63
из которого и выводим наше утверждение
G(p) = -^- - C/(v)dT. ►
о
Пример 6*. Найти изображение «пилы»; т. е. функции h (Л (риа 635; являющейся интегралом от определенной формулой (5) функции / (/)
h(t)h(t)tЦи)йи =tЦи)йи =Функцию h (0 можно записать в виде
h(t)
h(t)
t
Ци)йи =
t
Ци)йи =
А (г—2тт) при 2тт < < < (2т+1)т, A(2im-f 1) x—t) при um + l) t <z < 2(т+ l)t, 'а = , 1, . . .
используя соотношение (bj f (t) ^ — th —у, находим, что
4Pt
h(h = — th — .d’l
Интегрирование изображения. Если функции ^ является ^а- гиналом и t (t) ^ F (р), то интегрированию изоираж.е.шя соотаетстзу* ет деление оригинала на t, т. е.
— = J Р^йи.
◄ Действительно, вводя обозначение
Ф(Р) = Je-^-^dZ,
из замечания к теореме 1 предыдущего параграфа заключим ЦТо ф (оо) = 0. По геореме о дифференцировании изображении справедливо соотношение
Ф'(р)=(-0-^- = -/(П.
Но — f (/) = — F (р), а поэтому Ф' (р) = — F (р), т. е. Ф (о) есть одна из первообразных для функции — F (р), причем та, которая на бесконечности обращается в ноль. Это означает, что
J( — F (и)) би = Ф(оо)—Ф(р) = —Ф(р\
L Из этого равенства и следует утверждение
-22Д-=Ф(р) = jF(a)d«. ►
о
sin t
Пример 70 Найти изображения функций и si f.
Так как в силу соотношения (3) sin I = U tP1+ U> го ни свойству интегрированна изображения имеем
2!LL^f_*L_=2L_3rctgp.
J
Применяя к этому результату свойство интегрирования оригинала, пвйдвм изображение для интегрального сииуса1
Г sint 1 / п . \
si т = Idi = — — — arctfc о .
P \ ^/
G
§ 3. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
. Теорема об изображении свертки. В различных приложениях, например при построении фильтров, в вопросах вычисления функций распределения случайных величин, автокорреляционных функций, в вопросах кодирования и сжатия информации, используется понятие свертки функций. Дадим ее определение.
Сверткой функций f (t) и g (/), 0 ^ f < со, обозначаемой (/ * g), называется интеграл
dr.dr.<р(Л = М(П = у/(т)-?(/-т)
dr.
dr.
о
Это определение не зависит от порядка рассматриваемых функций Н^ и g (/). Действительно, изменяя порядок интегрирования, получаем равенство tо
(/♦g) = KfWe^— T)dT=— ^fu — u)g(zz)du = 0I
t
— Je(r)/(/—T)dT = (R*n.
0
а это и означает, что свертка функций симметрична.
Лемма I. Если функции f (t) и g (/) являются оригиналами с показателями роста «о и рп соответственно, то и свертка (/ * g) также является оригиналом с показателем роста у0 = max (ап, ₽<>}• < Свойства а) и б) из определения оригинала (см. п. 2 § 1) для свертки очевидны, а свойство в) следует из оценки
l(f*g)l = Jf(T)gV—T)dTоl(f*g)l = Jf(T)gV—T)dTоДIх e(a.+ei) 1 М2 е(В.+е.) (»-О dT =ДIх e(a.+ei) 1 М2 е(В.+е.) (»-О dT =
l(f*g)l = Jf(T)gV—T)dTо
l(f*g)l = Jf(T)gV—T)dTо
ДIх e(a.+ei) 1 М2 е(В.+е.) (»-О dT =
ДIх e(a.+ei) 1 М2 е(В.+е.) (»-О dT =
=Л11M2e(^+e•), [е<°«-₽«+е*-Е*>’: dr =—х
JПо — Ро+е1— е»
о
X[e<a«-B«+e'-Eii'—1]^X[e<a«-B«+e'-Eii'—1]^’до^си-ео г Приа0>рп, М4 е(Во+«»)' при ап < Ро- ►’до^си-ео г Приа0>рп, М4 е(Во+«»)' при ап < Ро- ►
X[e<a«-B«+e'-Eii'—1]^
X[e<a«-B«+e'-Eii'—1]^
’до^си-ео г Приа0>рп, М4 е(Во+«»)' при ап < Ро- ►
’до^си-ео г Приа0>рп, М4 е(Во+«»)' при ап < Ро- ►
Следующее утверждение можно рассматривать как девятое свойство изображений.
Теорема 1 (Борель). Если функции f (t) и g (О — оригиналы и fW = F (р) и g (0 == G (р). то изображением свертки (/ * g) является произведение изображений F (р) и G (р), т. е.
U*0 = JfWgQ -T)di=rf (р)С(р).
о
4 Изменяя порядок интегрирования (область интегрирования на рис. 64 заштрихована), находим, что
/ (т) g(<—т) did? = J f (т) dT Je-"' g (t — t) dl.0T
По теореме запаздывания внутренний интеграл равен е_рт G(p). Поэтому, вынося G (р) за знак интеграла, приходим к требуемому соотношению
W = f / (т) е"РТ dTC ^ -WW-
Интеграл Дюамеля. В приложениях операционного исчисления довольно часто найденные изображения приводятся к виду pF (p)G (р), причем оригиналы изображений F (р) и G (р) известны, т. е. F (р) == f (0 и G (р) = g (0- Тогда оказывается, что с помощью оригиналов / (0 и g V) можно найти оригинал и для выражения pF(p)G(p). Действительно, запишем это выра- жение в виде
t«tt«tРис. 64Рис. 64pF (р) G (р) = f (0) G (р) + ^pF (р) -/(0)} G (р,
t«t
t«t
Рис. 64
Рис. 64
pF (р) G (р) = g (0) F (р) + {pG (р)-g (0)} F (р).
По свойству изображения производной справедливы соотношения
pF (р) - f (0) = Г (О, PG (р) - g (0) = g' (П-
Применяя теперь свойство линейности, теорему Бореля и принимая во внимание симметричность свертки функций, оригинал выражения pF (р) G (р) можем представить в одном из четырех видов:
pF (р) G (р) = f (0) g (0 + J f' (т) g V - т) dT = / (0) g (0 + о
J-Jg(T)f'((-r)dT=g(O)f(O + p'(T)/(/-T)dT = оо
= g(O)f(O+ff(x)g'K-T)dT. (1) о
Эти формулы носят название интегралов Дюамеля.
Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений. Формулы (1) находят широкое применение в различных вопросах, в частности при решении следующей задачи.
Наити решение дифференциального уравнения
L Ы = а„ у^ЧахУ^-'Ч-.-ЮпУ-ЦПе.(2)
а<>; ац .; ап — постоянные,'
при нулевых начальных условиях
yfOI-v’(0 =...= i/"-1'(П-0,(3)
причем известно, что функция у (I) является решением уравнения
L\y\ = \(4)
при тех же нулевых начальных условиях (3)_
Предполагая, что искомое решение у (Л и функции / (Л и у (Л являются оригиналами, и обозначая их изображения через Y (р), F (р) и Y (р) соответственно. от уравнения (2) с условиями (3) перейдем к операторному уравнению
Y (р)(а, p,‘ + a1pn-1+... + an>=f(P).(5)
а от равенства (4) для у (Л с условиями (3) — к равенству
¥ (p)(anpn + ai рп~Ч ...+ап)= 1/р.’6)
Разделив уравнение (5) на (6). получим соотношение
¥ ,р)= р¥ (р) F (р)
применив интеграл Дюамеля (I). искомое решение у (0 представим в виде
y(n = j V Wf U— T)dT(7)
оили в вицеt
у(О=у(П f (°)+ }Г (т) и U—A dr.
Пример I. Найти решение уравнения и"' (0+ и" (Л = с*: удовлетворяющее условиям
у (0) = у1 (О) = у* (0) = 0
Заметим. что функция и (Л = t — sin t удовлетворяв! уравнению у" (Л + + у' (О = 1 и условиям (8) Поэтому для отыскания решения можем применить формулу (7), подставив в которую известные функции у Ц) н I (<), получим вы1 ажение
УкО=( У* kDIU — т;Фт = У(1 — cos т) е'~’<1т =е' Je-1dT - ооLo
— У cos т e —1 di о
Принимая во внимание значение интеграла
j е“ u cos и du = — е~ " [sin и—cos ul-P С в производя двойную подстановку, получаем искомое решение уи;“е*-^—с~‘+I^- е-' [sm< — cos/j —^-} =
— 1 j — е-'_ — .sjn (_ cos I). 22
ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Георема Медлина. В предыдущих параграфах мы занимались отысканием изоражений по известным оригиналам и с помощью подбора или таблицы по изображению определяли оригинал. Однако решение ряда практических задач приводит к задаче отыскания оригинала по известному изображению. Частичное решение этой задачи дается следующей теоремой
Георема 1 (Меллин). Пусть аналитическая в области Re р > а0 функция F (р) является изображением кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке луча 10, оо) функции / (?) о показателем роста а0. Тоеда имеет место формула
«4-100
М”-^" J ^‘F W &Р* х> а01(1)
X — /со
называемая формулой Меллина.
4 11) сгь л > а0. Рассмотрим вспомогательную функцию
<р (/) = е-" / (О-
Как и функция / (/), функция ф (О — кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке луча 10, оо). Кроме того, ф (О абсолютно интегрируема. Действительно, справедливо неравенство
рф(01 d/ = j е-л' 1/(01 dt < М Je—d е*“«+е> <d/ = иио
*= М jе-<д-™--е1' dA
I Выберем р столь малым, чтобы выполнялось соотношение х — а0е> >0. Тогда стоящий справа интеграл сходится, а это означает, что
I функция ф (0 абсолютно интегрируема на (0, оо) (она равна нулю при I ' < 0, так как / (/) — оригинал). Представим функцию ф (/) интегра- ; лом Фурье (см. (V111. 6.4)), считая, что / (0 = -g V V + 0) +/ У — U)J;
4(0 = J J Ф(и)е'2л*‘-"• dudv =-L J j ф(н)e,u>u-«)dиdw.
I Подставив в это соотношение вместо функции ф (О ее выражение через t / (01 получим равенство
которое можно переписать в виде
е' <*+'<"> do)е' <*+'<"> do)е—«<*4- 'т' Ду,е—«<*4- 'т' Ду,
е' <*+'<"> do)
е' <*+'<"> do)
е—«<*4- 'т' Ду,
е—«<*4- 'т' Ду,
-»о
Полагая р лениеПолагая р ление= х + tto, dp = trim, получаем для функции / (/) представ-
Полагая р ление
Полагая р ление
e-w du,
X—/оо
т. с.
f (<)=_!_ J eP'F(p)dp.
Замечание. Левая часть в формуле (I) не чявпсит пт х; я все рассуждения в доказательстве справедливы при любом х > а„ Отсюда следует, что и стоящий справа в (1) интеграл Меллина также не зависит от х, т е интегрирование можно вести по любой прямой, параллельной оси Оу и лежащей правее пря
мой х = а„
Применяя формулу Меллина, нетрудно доказать и теорему об умножении оригиналов, двойственную к теореме Бореля об изображении свертки.
Теорема 2. Пусть НО и g (О — оригиналы о показателями роста а, и р0 и НО = F (g), g (/) = G (р). Тогда произведение / (/) g (О является оригиналом с показателем роста а0 + Ро и имеет место соотношение
f F(v)G(p — о) do,
r —Zoo
где х > а0 и Re р > х + р0.
◄ Очевидно, что произведение / (/) g (Z) является оригиналом. Его изображение вычисляется из соотношения
f(Og(O= [f^gtOe-^d/.
Заменяя стоящую под знаком интеграла функцию / (Z) по формуле Меллина, для х > а0 имеем
MOg(O =
^')е”'Ы7
е°' Г (у) dr; dZ = ——
•zju
F (o) do X
g^)^1-"1'ri/ =g^)^1-"1'ri/ =
g^)^1-"1'ri/ =
g^)^1-"1'ri/ =
—— \ F (у) G {р — о) do. ► znv J
"2. Теорема существования оригинала. При выводе формулы Мел- линз мы предполагали, что функция F (р) является изображением некоторого оригинала, и исходя из этого находили этот оригинал. Вста-
ет вопрос о том, какой же должна быть функция F изображением. Некоторые достаточные условия для ответа на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция F (р) удоелетео- ояет условиям".
F (р) — аналитическая для Re р > а0,
в области Re р> а0 равномерно относительно arg р £ (— л/2, л/21 функция F (р) стремится к нулю при | р | -> оо;
для всех х > а0 сходится интеграл ,
J IF (X 4- iy) I бу С Л-1
(2)
(рУ чтобы она была
1)
У
• D,
Рис. 65
С
х
А В
Тогда при Re р > а0 функция F (р) является изображением функции { V}. определяемой интегралом Меллина
Сл/ J Г— /оо
eP'F(p)dp. х>ао.
(3)
4 Докажем прежде всего, что интеграл (3) существует. В самом деле, в силу условия (2)
4-/00ж-|-/оо
У ер'F p)dp С У |ер' F(p)||dp[ =
ext J |f (p)|dz/ < Med, (4)
т. е. интеграл (3) сходится, причем для любого отрезка 0 < Z ^ Т сходимость равномерна. Из (4) видим, что определяемая по формуле (3) функция f (/) имеет ограниченный порядок роста.
Для доказательства того, что определяемая по формуле (3) функция / (Л является оригиналом функции F (р), нужно доказать, что:
интеграл (3) не зависит от х;
f (/) = 0 при t < 0;
изображением для функции f (f) является функция F (р).
1) В области Re р > а0 рассмотрим контур у = АВ + ВС + CDA-
DA, где х2 > Xj > а0 (рио. 65). Из теоремы Коши следует равенствоУ е*" F(p) dp = 0.
V
Устремляя длину прямоугольника 2т] к бесконечности, получаем, что интегралы по прямым CD и АВ в силу условия б) стремятся к нулю, а интегралы по вертикальным отрезкам перейдут в интегралы по вер- flтикальным прямым х = xt и х = х2, только
"^^проходимым в противоположных направле-
Аниях, т. е.
а", 7 Н J еР‘ F (р) dp = у е^ F (р) dp,I1— looк,—too
AL—^г*г а это и означает, что интеграл (3) не зависит
Рис. ббот х.
Рассмотрим контур Yi = Cr + ВЛ (рис. 66). По теореме Коши имеем, что
У е”' F (р) dp = О V.
при всех t, в частности и при всех t < 0. Но при t < 0 интеграл по контуру Ср в силу леммы Жордана стремится к нулю при R -* со. Следовательно, равен нулю интеграл по вертикальной прямой, который после домножения на множитель 1/2л/ равен функции f (/), т.е.
*+/«
/(/) = —— f е^'ffpldpssO при f <0, Rep>a0. 2л/ J
Построим изображение Лапласа для функции / (0, определяй, мой соотношением (3), и рассмотрим его в произвольной точке ро» где Re р0 > а0:
СЮООX + /оо
f(/) = Ce-»-'f(OdZ= —— Се-^М/ С e₽'f(p)dp.J2л/ JJ
ООX— too
Так как внутренний интеграл не зависит от х. то выберем х так, чтобы Re р 0 >*х > а0. Далее, несобственные интегралы сходятся равномерно, поэтому, изменяя порядок интегрирования, получаем
x + lOOОО
/(/)=_L j F(p)dp С е~ <₽•-₽" d/ = X—fooо
— .J— С р^. dp = — выч /-^L, рД = F (ро): J р —рV Ри—Р )
x — too
Таким образом, изображением Лапласа определяемой формулой (3) функции / (/) в произвольной точке р0 являегся значение F (р0)•►
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА
Теорема обращения, использующая лемму Жордана. Выше отмечалось, что отыскание оригинала / (/) по изображению F (р) сводится к обращению интеграла Лапласа, а значит, к вычислению интеграла Меллина. Встает вопрос о способах вычисления этого интеграла. Мы рассмотрим два случая, зависящие от свойств аналитического продолжения функции F (р) на полуплоскость Re р < а0.
Теорема 1. Пусть изображение F (р) аналитически продолжимо на полуплоскость Re р «< а0, причем продолженная функция удовлетворяет условиям леммы Жордана, т. е. функция F (р) при Re р < а0 имеет конечное число изолированных особых точек plt рг, .... pn и равномерно относительно arg р £ [л/2, Зл/2] величина | F (р) | стремится к нулю при |р|->со. Тогда интеграл Меллина вычисляется по формуле т + <«^
1^=-^- f eP'F(p)dp = V выч[еР'F(p), рй]. 2,0^
(1)
4 Рассмотрим контур yR = Ср + АВ (рис. 67), где Ср—левая половина окружности |р — х| = /?. Выберем R столь большим, чтобы все особые точки
жали внутри контура yR. Тогда, применяя основную теорему о вычетах, получим равенство
1 СN
j eP'F(p)dp = V выч[еР'F(p), ph].(2)
VR*= I
В силу леммы Жордана стремится к нулю интеграл по полуокружности Ср
Н.п f ept F(p)dp= О,«■♦“Ср
а потому из (2) при /? -> оо получаем утверждение теоремы:
*4-tcoN
—V С ср'F(p)dp = У выч[еР'F(p), ph], ► z—too
Замечание. Формула (1) будет справедлива и для бесконечного числа изолированных особых точек рц рц ...; р-^, ...; являющихся простыми полюсами и имеющих единственную предельную точку сгущения р = оо, лишь бы только для некоторой последовательности окружностей Ср^ : |р —х| = Rx; pt ^ f£CRj *• ^ = *•’ ^ ■••• выполнялось соотношение
F(p)Ip6CRv-° "PH Fv-oo.
246 XII. Операционное исчисление
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1; и мы не будем на нем останавливаться
Примеры. 1°. Найти решение уравнения у4 — 2/ — Зу = е2ч удовлетворяющее условиям у (0) = у' (0) = 0.
Обозначая через Y (р) изображение искомого решения и используя свойство дифференцирования оригинала, перейдем к операторному уравнению
Y (р) (р« — 2р — 3) = 1/ (р — 2).
Отсюда находим искомое изображение:
У(р) = 1/ ((р+ 1) (р - 2) (р - 3))
и, применяя формулу (1), получаем выражение для определения решения у V):
3xVl
у (<)= 2 выч И' У (Р), р»1 - выч (р+1)---——. Р.= -1
Л=» 1L
ept1epl
+ выч :—• Pa = 2 + выч ■—, рз = 3 .
(p+D(P-2)(p-3)(р+])(р^2)(р-3)]
Так как точки р<; р2, р^ являются полюсами первого порядка функции eplY (р), то; используя соотношение (X 1.2.3), имеем
У(<) = -^-е^ —-^-с21 +-^-е”.
2°. По заданному изображению F (р) = — е"”17^. а > 0, Ре р > 0, найти оригинал /(0
Продолжим функцию F (р) в левую полуплоскость. Заметим при »гом, что V р — двузначная функция. Поэтому выбираем ту ветвь; которая является продолжением функции V* при х > О Продолженная функция F (р) будет иметь точки ветвления: р = 0 п р = оо; рассматриваем ее на плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси При этом на верхнем берегу разреза, т е. при arg р = л, справедливы равенства
р^гет— — г. ^р=)^г е 2=tVr, dp = —dr,
—e-aV»=Le~ta^ (3)
Pr
а на нижнем берегу разреза arg р = —л и справедливы соотношения
p=re w= — r, у^р" =Vr е 2 = — ■ Vr • dp =
= —dr. F(p) = — у- e лУ^. (4)
Выберем теперь контур
у — AS -*- Ср -\- KD-V Ср -}- DK НН Ср,
где АВ — отрезок вертикальной прямой, проходящей через точку х; Ср и Ср — вторая и третья четверти окружности |р — х| = R радиуса R, Ср — окружность |р|=р, а выражения KD и DK означают отрезок RD, проходимый по верхнему и нижнему берегам разреза в указанном стрелкой направлении (рис. 68)
Внутри контура у функция еР£?(р) — аналитическая. Поэтому по теореме Коши имеем равенство
Jep,F(p)dp=O.(5)
V
При Re р < 0 функция F(p) удовлетворяет условиям леммы Жордана В самом деле, так как агц р ^ 1л 2, л| или агор £ [— л, — л, 2], то, полагая р = г^атйР = ге°» получаем
Рис. 68Рис. 68^ -—=""у'*^ -—=""у'*—а/г cos-т- — fa Кг sin-^-е2 е2
Рис. 68
Рис. 68
^ -—=""у'*
^ -—=""у'*
Модуль последнего сомножителя в полученном равенстве равен единице, а модуль первых двух стремится к нулю при г-* оо; значит, выполнено условие леммы Жордана, применяя которую получаем соотношение
J ept F(р) dp + J ept F(p) dp -• 0 при R -• оо. crCR
Далее, производя замену р = ре/ф, найдем интеграл по полуокружности С”: f .„ ^dp-T#»» «-7" ^d,-
ееpfezT — аУр еpfezT — аУр еJ РJре'*
е
е
pfezT — аУр е
pfezT — аУр е
Отсюда убеждаемся в справедливости равенства
Се~а Vp
hm I еР<dp = —2л/.
Р-*0 < р
СР
Учитывая значения функции F (р) на верхнем и иижнем берегах разреза (см. равенства (3) и (4)), вычислим интегралы по отрезкам KD и DK:
KD
eptf(p)dp + I ep! F^P1 dp
DK
R—x
ar= i e -
r J P
p
J ^”гг
R~x
e-ta
R-X
— iaVr(*
dr + I e”rl X
rJ
D
R—X
dr =21 4 р
dr
Таким образом, переходя в равенстве (5) к пределу при р -• 0 и /? -• оо, получаем соотношениеч
j epl F(p) dp — 2ni + 2zj e' X—Zooo
dr=O.
Разделив это равенство иа 2п£ и замечая, что
■~~~ f epl F(p)dp=f(0, 2л< J
x — loo
для функции / (0 найдем представление
'«-'-vj 0
е
..2 f _u,( sin au
dr= 1 —— 1 e du. (6)
nJи
0
Учитывая замену
а sin auР
= I cos uxdx, иJ
о
для интеграла в равенстве (6) получим выражение
О
_ , sin aue
и
а
I cos uxdx
а
О
О
dti = 1 dZ Jо 0
e “’r cos их du .
2Le-f/(4r) t2Le-f/(4r) te “* ‘ cqs их du = —e “* ‘ cqs их du = —оо_u,, sinewe и_u,, sinewe и«^yv4-a/(2 VT)«^yv4-a/(2 VT)22л tл tПодставив это значение в (6), а/(2 УГ) 2 Г цп=\—г-* л jПодставив это значение в (6), а/(2 УГ) 2 Г цп=\—г-* л jj 2/Ге-"* du = /л ополучим выражение для / (0:j 2/Ге-"* du = /л ополучим выражение для / (0:e “’ du = 1 — erfe “’ du = 1 — erfa/(2 Vt)f e — “’dua/(2 Vt)f e — “’duоо
2Le-f/(4r) t
2Le-f/(4r) t
e “* ‘ cqs их du = —
e “* ‘ cqs их du = —
о
о
_u,, sinewe и
_u,, sinewe и
«^yv4-
a/(2 VT)
«^yv4-
a/(2 VT)
2
2
л t
л t
Подставив это значение в (6), а/(2 УГ) 2 Г цп=\—г-
* л j
Подставив это значение в (6), а/(2 УГ) 2 Г цп=\—г-
* л j
j 2/Ге-"* du = /л о
получим выражение для / (0:
j 2/Ге-"* du = /л о
получим выражение для / (0:
e “’ du = 1 — erf
e “’ du = 1 — erf
a/(2 Vt)
f e — “’du
a/(2 Vt)
f e — “’du
о
о
Выше мы вычислили интеграл (см. (XL3.6.))
о
поэтому
гдегдеerf х=Ф (х)erf х=Ф (х)"“'du"“'du
где
где
erf х=Ф (х)
erf х=Ф (х)
"“'du
"“'du
— функция ошибок; которую называют также интегралом Гаусса*). Окончательно имеем соотношение
FW = —е““ ^ г’ I—erf ( °,- У а > 0, Re р > 0. (7) Р V V /
2 Теорема обращения для правильного на бесконечности изображения. На практике достаточно часто применяется следующая теорема обращения.
(8)(8)Теорема 2. Пусть аналитическое продолжение изображения F (р) на левую полуплоскость является однозначной аналитической функцией, причем точка р = оо является правильной, т. е.
(8)
(8)
Тогда оригинал для F(p) определяется по формуле
НП=НП=cn+t ■^j” при t > о,п = 0
НП=
НП=
0 при t < 0.
4 По условию. F (р) -♦ 0 при | р| -» оо, поэтому коэффициент с0 в разложении (8) равен нулю и (8) можно запивать в виде
(9)(9)
(9)
(9)
Учитывая формулу (1.6), имеем
1/рп+«= ^/л1.
(Ю)(Ю)От ряда изображений (9) формально перейдем к степенному ряду оригиналов
(Ю)
(Ю)
^п П+‘ Л| "
П = 0
Установим. прежде всего сходимость ряда (10), т. е- существование / (Л Обозначим через Ro радиус круга, вне которого ряд (9) сходится. Тогда из сходимости ряда (9) для любого Rt > Ro следует неравенство
М^
|f (р)I <—£при lp|=-R,.
•) Функция9 Зек 1676•) Функция9 Зек 1676ошибок находит большое применение в теории вероятностей.
•) Функция
9 Зек 1676
•) Функция
9 Зек 1676
Поэтому для коэффициентов cn+t ряда (9) справедлива оценка
I р |=Р|I р |=Р|p"dp <-^--^^" R^Ri-aWp"dp <-^--^^" R^Ri-aW
I р |=Р|
I р |=Р|
p"dp <-^--^^" R^Ri-aW
p"dp <-^--^^" R^Ri-aW
Учитывая эту оценку; получаем неравенство
VI I И" ^|c”+l1 „1 п=0VI I И" ^|c”+l1 „1 п=02-^^=?И1е«-''||П®=02-^^=?И1е«-''||П®=0
VI I И" ^|c”+l1 „1 п=0
VI I И" ^|c”+l1 „1 п=0
2-^^=?И1е«-''||
П®=0
2-^^=?И1е«-''||
П®=0
из которого заключаем; что ряд (10) сходится при любом / > 0 абсолютно: причем при | Н-^ N сходимость равномерна.
Для завершения доказательства теоремы осталось показать; что для определяемой рядом (10) функции / (/) имеет место соотношение / (/)о0 (0 = F (р). Умножим обе части равенства (10) на е-Р* и проинтегрируем по i в пределах от нуля до N. Учитывая равномерную сходимость ряда (10) в этом промежутке, для Re р > Ro получаем соотношение
Члены последнего ряда зависят от N. Одиако для Re р = R > Ro справедлива оценка
Учитывая; чтоУчитывая; что
Учитывая; что
Учитывая; что
е“и«п<1и = Г (л 4- 1)=л1,
приходим к неравенству
R«+‘R«+‘
R«+‘
R«+‘
которое означает, что при Re р = R > R, ряд
— п— п№«+...№«+...=z=zF(P) = 2 (~1)nF(P) = 2 (~1)n2n2nа это есть функция Бесселя /0 (0 порядка v = 0. Таким образом, имеем:а это есть функция Бесселя /0 (0 порядка v = 0. Таким образом, имеем:1— —21— —2Ф(г)=г(1+г,)~1/2=?Ф(г)=г(1+г,)~1/2=?I \ /2 Д21I \ /2 Д21Т№-'-(''-Т№-'-(''-л=0Возвращаясь к переменной р; получаем разложение функциил=0Возвращаясь к переменной р; получаем разложение функциип = 0Применяя теорему 2, находим оригиналп = 0Применяя теорему 2, находим оригиналсходится равномерно по N Но при N — оо члены этого ряда стремятся к нулю, поэтому из соотношения (11) при N -♦ оо для Re р > Ro выводим равенствосходится равномерно по N Но при N — оо члены этого ряда стремятся к нулю, поэтому из соотношения (11) при N -♦ оо для Re р > Ro выводим равенствоF(P)=le-p' ЦП« =F(P)=le-p' ЦП« =(2n-l)ll 2" л!(2n-l)ll 2" л!Vi(2л)!Vi(2л)!3232(in(in4^^.12*"(л1)*4^^.12*"(л1)*F (РУ-F (РУ-221р*"+1 '1р*"+1 '5 f 1)П (л!)» п = 0'5 f 1)П (л!)» п = 0'(2п)12*п (л!)*(2п)12*п (л!)*л!л!г»1-31-3-52-П + 2’-21 22s-31 2г»1-31-3-52-П + 2’-21 22s-31 2е.8п=°
— п
— п
№«+...
№«+...
=z
=z
F(P) = 2 (~1)n
F(P) = 2 (~1)n
2n
2n
а это есть функция Бесселя /0 (0 порядка v = 0. Таким образом, имеем:
а это есть функция Бесселя /0 (0 порядка v = 0. Таким образом, имеем:
1— —
2
1— —
2
Ф(г)=г(1+г,)~1/2=?
Ф(г)=г(1+г,)~1/2=?
I \ /
2 Д
21
I \ /
2 Д
21
Т№-'-(''-
Т№-'-(''-
л=0
Возвращаясь к переменной р; получаем разложение функции
л=0
Возвращаясь к переменной р; получаем разложение функции
п = 0
Применяя теорему 2, находим оригинал
п = 0
Применяя теорему 2, находим оригинал
сходится равномерно по N Но при N — оо члены этого ряда стремятся к нулю, поэтому из соотношения (11) при N -♦ оо для Re р > Ro выводим равенство
сходится равномерно по N Но при N — оо члены этого ряда стремятся к нулю, поэтому из соотношения (11) при N -♦ оо для Re р > Ro выводим равенство
F(P)=le-p' ЦП« =
F(P)=le-p' ЦП« =
(2n-l)ll 2" л!
(2n-l)ll 2" л!
Vi(2л)!
Vi(2л)!
3
2
3
2
(in
(in
4^^.1
2*"(л1)*
4^^.1
2*"(л1)*
F (РУ-
F (РУ-
2
2
1
р*"+1 '
1
р*"+1 '
5 f 1)П (л!)» п = 0'
5 f 1)П (л!)» п = 0'
(2п)1
2*п (л!)*
(2п)1
2*п (л!)*
л!
л!
г»1-31-3-5
2-П + 2’-21 22s-31 2
г»1-31-3-5
2-П + 2’-21 22s-31 2
/(/)o0(/)==F(p). ► Приме р 3°. Найти оригинал функции F (р) = 1/Ур* + 1. Разложим функцию F (р) в ряд Лорана в окрестности точки р = оо Положив р = 1/г, разложим по степеням г функцию ф (г) = г /^1 + г*. Используя биноминальный ряд, для|г[< 1 имеем
VIII ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ A111 К РЕШЕНИЮ
НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Используя операционный метод, найдем решение следующей задачи.
Найти распределение температуры и (х, /) в полубесконечном стержне (0 ^ х ^ оо), если на его левом конце поддерживается заданная температура q (t), а начальная температура стержня равна нулю. Другими словами, найти решение уравнения
'"^^^f^^-^^0)
удовлетворяющее условиям
и (х, 0) = 0 И и (0, о = q (0-*2)
Предположим, что искомая функция и (х, Z) и ее производные являются оригиналами (по переменной Z), и введем обозначение
и (х, t) = U (х, р)
Тогда справедливы соотношения
би U, П —^стх ^u(x.t). №Щх,р)
81дх» ~ бх»
и уравнению (1) с условиями (2) соответствует операторное уравнение
pU^.p^a' ™^(3)
с условием
(4)(4)U (0, р) = Q (р) = q (Z).
(4)
(4)
Считая в уравнении (3) р параметром, находим решение уравнения по переменной х. Так как характеристическое уравнение а’Л* — р = О имеет корни Л1Л = -±:Vpla, то
Ус х —Ур X
U(x,p) = C^° + С2е °
— общее решение уравнения (3).
Функция U (х, р) должна быть ограничена при х -* оо, поэтому Ci = 0. Далее, из условия (4) находим постоянную С,:
U (0, р) = Q (р) = С,.
Следовательно, решением уравнения (3), удовлетворяющим условию (4), будет функция
_Vd_x
U(x,p) = Q^e 0 .
которую представим в виде
U (х, р) - pQ (py — e-~Vcр
Тогда, применяя интеграл Дюамеля (см. (XII. 3.1)) и используя соотношение (см. (XI 1.5.7))
1"&*■ 1 f
2а Vt2а Vt— е °= 1 — erf
2а Vt
2а Vt
Р
получаем для решения и (х, Z) выражение
ииоо2а ),ГЧ2а ),ГЧ
и
и
о
о
2а ),ГЧ
2а ),ГЧ
Здесь
Erf (оо) = 1
о
п
Erf
Ча /т
f е~“’ du
L оJw
Таким образом, искомое решение имеет вид
u(x, Z)=
v ' 2а Ил
т3/х
2
— I
-7=-;■ ,_е
р^ л 2а 2 р т*
~4а* t
Уравнение диффузии в непроницаемой трубке. Применим операционный метод к решению следующей задачи.
В полубесконечной непроницаемой трубке, конец которой х = О закрыт непроницаемой перегородкой, в точке х = I находится непроницаемая перегородка. Участок трубки (0, /), имеющий среду с коэффициентом диффузии D^ = = а-1, заполнен веществом с постоянной концентрацией ио- В части трубки (I, оо), имеющей среду с коэффициентом диффузии Dt = bS диффундирующее вещество отсутствует. В момент времени t = 0 непроницаемая перегородка при х — I убирается и начинается процесс диффузии. Определить концентрацию вещества и (х, t) в момент времени t в точке х.
(5)(5)(6)(7)(6)(7)Ради упрощения записей будем считать, что D, = b-a = 1. Запишем уравнения для концентрации и (х, t) отдельно на участках (0, /) и (/, оо). Пусть их (х, 0 при 0<х<1 удовлетворяет уравнению
(5)
(5)
(6)
(7)
(6)
(7)
dt ""°” дх»
условию Ux (х, 0) = и0 и условию
дщ дхдщ дх
дщ дх
дщ дх
а функция ut (х, /) при I -<. х < оо удовлетворяет уравнению
ди^ дг и2с*1 " дх1
и начальному условию и* (х, 0) = 0. Естественно потребовать, чтобы при х -* оо стремилась к нулю концентрация иж (х, <) -* 0. Потребуем, чтобы в точке х = I функции их (х, 0 и и2 (х, 0 удовлетворяли условиям «склеивания»
их (/, П—и^Ц, 0.их (/, П—и^Ц, 0.I дих (I, I) диж у, /)а® дхдх
их (/, П—и^Ц, 0.
их (/, П—и^Ц, 0.
Предположим, что искомые решения их (х, Г) и и2 (х, О и их производные являются оригиналами по переменной /, и положим
их (х, I) ==• Ui (х, р), иж (х, /) = Ut (х, р).
Тогда имеем соотношения
dui ...б1^. ^Ut^x, р)
— -pU1(x.^-u„. —-—^
Stig .^Ug . 6»(X, p)
dt • p '^-P^1 sx» • ax*
От уравнений (5) и (7) перейдем к операторным уравнениям, которые, считая р параметром, представим в виде
da Ux (х, р)
pUx (х, p^=a-i+ ий(9)
и
^(..»>-^^.(10)
Общие решения этих уравнений имеют вид
Vx (х, p)=Achax Vp4- Bsh ax Vp+uoJp
, V,(X, p) = Ceu-,)>^-l-De-tJr-,)>r?
=0, ZdO=0, ZdOИз условия (б) выводим соотношение ^1 (х, р) dx
=0, ZdO
=0, ZdO
из которого следует равенство
(Аа |^р sh ах Vp-p Ва Урch ах Ур) |х==о = Д=О.
Далее, так как решение ut (х, 0 -» О при х -• оо, то изображение Ut (х, р) ограничено при х —» оо, а это означает, что С = 0. Таким образом, решения уравнений (9) и (10) принимают вид
^(х, p)=/ch ах Vp+ ^~ и UwVxtp^ = De ^х 1'^еР
Запишем для этих изображений условия склеивания:
t/i(/, р)»(/,(/. р),t/i(/, р)»(/,(/. р),dtM/.p) AU^L р)
t/i(/, р)»(/,(/. р),
t/i(/, р)»(/,(/. р),
a1 dxdx
Тогда для определения величин А и D получаем систему уравнений
ЛсЬо/ yrp + -^- = D, Hal^psh al Ур = —D у^р»ра1
из которой находим значения А и D:
.иоаn uosh alVp
p(sh al Vp+ach а(Ур) p^sh al Уp+ach al Ур)
Таким образом, решения уравнений (9) и (10) принимают вид
0< х < /,0< х < /,I < х < оо.I < х < оо.х “°Upg Ch дхУр
0< х < /,
0< х < /,
I < х < оо.
I < х < оо.
^1 (X, р)——,
Р p(sh а/УрЦ-а ch aiy р)
и. (,. ,)-^ ^ =-»-'’ Л.
р (sh al у р 4- a ch al Ур)
Функции (/t (х, р) и {/, (х, р) имеют простые_полюса в точке ре = 0 и в точках Ph, являющихся корнями уравнения th aiyр = —а. Это уравнение можно привести к виду
14-а 1+а
из которого можно сделать заключение о том, что полюса рх расположены так; что значения Урх лежат на вертикальной прямой х = — In ^I ^ ^^ * .
Принимая теперь во внимание замечание к теореме XII.5.1, по изображениям Ui (х, р) и (/а (х, р) можно иайти и искомое решение:
и U. 0 =и U. 0 =Ui (х, /) при 0 < х < I.
и U. 0 =
и U. 0 =
и^ (х, 0 при I < х < оо. •
Более подробно метод определения оригинала f(/) по изображению, которое в левой полуплоскости имеет бесконечное число полюсов, будет рассмотрен в следующем параграфе.
РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ
Вывод телеграфных уравнений. Рассмотрим двухпроводную линию как систему равномерно распределенных индуктивностей, сопротивлений, емкостей и утечки. Схематическое изображение этого дано на рис. 69.
Будем в дальнейшем применять следующие обозначения: L — коэффициент индуктивности, С — емкость; R — сопротивление, б — коэффициент утечки (электропроводность изоляции) Величины L; С, R и б будем считать отнесенными к единице длины. Пусть, далее, и (х, /) — напряжение в точках линии в момент времени /, a i (х, /) — ток в точках линии в момент времени I.
х ьх х+вх
► (
Рис. 69
Согласно второму закону Кирхгофа, падение напряжения и (х, /) — — и (х -J- Дх,/) на участке между х и х + Ах составляется из падения иапря- di
жения на индуктивности Ь&х-^- и из падения напряжения на сопротивлении RAxi, т. е.
dt
и(х, i)—ulx+&x, 0=L&x ——4-R&xi.(1)
dt
Из первого закона Кирхгофа (алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю) можно заключить, что
du
Цх, I) — i (х + Дх, /) = СДх —— -f-бДхи,(2)
du
где СДх 5^-— ток через конденсатор, а бДхи—ток утечки Разделке равенства (I) и (2) на Дх и переходя к пределу при Дх —• 0, получим так называемые уравнения длинной линии:
du , dtdt du
-— = —L——Rt, -—=—C———Gu,(3)
^xdtdxdt'
Если из этих уравнений исключить i (х, /), то придем к уравнению
и д1 иdu
"d^ =LC 7T+{LC+RC)ir+RGu‘(4)
а исключая и (x, t) — к уравнению
d* i d* i
^~LC^~+{LG+RC}~+RGi-(5'’
Уравнения (4) и (5) носят название телеграфных уравнений.
Рассмотрим следующую задачу.
Найти решения уравнений (3) и (х, /) и t (х, /), удовлетворяющие нулевым начальным условиям
и (х, 0) = i (х, 0) = О(6)
и граничному условию
«(0, П = <7(0-(7)
Второе граничное условие довольно часто записывается через операторный закон Ома.
Случай длинных линий. Предположим, что искомые решения и (х, 0» i (х, 0i их производные и функция q (0 являются оригиналами по переменной L Полагая
и (х, 0= U (х, р), i (х, t)= / (х. рУ
уравнения (3) с условиями (6) сведем к операторным уравнениям
— (Lp + /?)/(x,p),(8)
ох
-^М. ^-(Cp+G)U(X, р),(9)
ОХ
граничное условие для которых запишется в виде
и (0, р) = Q (р) = q UY(10)
В качестве второго граничного условия принимается обычно ограниченность изображения U (х, р, ) при х-* «, что соответствует ограничению и (оо, /) = 0.
Найдем общее решение уравнений (8), (9) с условием (10). Исключая функцию / (х, р) из этих уравнений, получаем (рассматривая р в качестве параметра) уравнение второго порядка относительно функции U (х, рУ
-^^- в_^р + ^ d'tx^ = (£ + ^ {Ср + С) у (^ ^ (1,} dx2 dx
Введем обозначение X2 = (Lp + RKCp + G), причем под X = = VU-P+RI (Ср + G) понимаем то значение корня, которому соответствует неотрицательная вещественная часть, т. е. полагаем
Re X > 0, — л/2 ^ arg X ^ л/2. (12)
Уравнение (11) запишем в виде
_51^Ых»Щх, р) = 0.dxa
Его решением является функция
L (х, р) = А (р) е^ + В (р) е-Хх.
Из ограниченности функции U (х, р), при х -> <х> и условия (12) следует, что А (р) = 0, а коэффициент В (р) находим из условия (9):
U (0, р) = Q (р) = В (р).
Следовательно, решением уравнения (11) , удовлетворяющим граничным условиям, является функция
U^x, р) = Q (р) е-К(13)
Дифференцируя это выражение по х и подставляя в равенство (8), находим функцию I (х, р):
Z (х, р) =i.dV^l. =А— е - ^ = l/^±°Q(p)e-^. LpA-R dxLp + RV Lp + R
(14)
Воспользовавшись теперь интегралом Меллина, получим искомые решения и (х, /) и t (х, /,) а именно:
о-ь/оо
и^х’^ = ЧЕГ f ^'^(р)6-^^' P=°-Viy,О —/оа0+/оог
^•'’-^-f ^l/^-OWe-^^.
О—loo
(Здесь, как это обычно принято в электротехнике, через / обозначена мнимая единица, т. е. / =У — 0- •
Рассмотрим два частных случая.
Линия без потерь. Пусть R = G = 0; тогда К =рУЬС и решения (13) и (14) операторных уравнений принимают вид
t/(x,p) = Q(p)e-<”/^ и /(x,p)=|/r^-Q(p)e-p^'l
Так как Q (р) = q (/), а от умножения изображения на е_н₽ аргумент оригинала получает запаздывание на р, то решениями исходных уравнений (3) будут функции
и (х, 0 = q (/—х УЕС) а0 (/ -х УЕС),tM-j/"-^ q(t-xyTC)o0(t-xyEC),где а0 (/) — единичная функция Хевисайда.
Л и и и я без иск а ж е н и й. Пусть R/L = G/C = v; тогда ^ = \АL (р + у) С (р + v)= (р + х^УьС и решения (13) и (14) операторных уравнений имеют вид
t/(x,p) = Q(p)e-^+v>^x и /(x1p) = |/r-^-Q(p)e-«₽+*»’/TC'<
Применяя теорему запаздывания, получаем отсюда решение исходных уравнений (3):
и (х, /) = e~v ^^^ q У —х VLC^ о0у—х VTC),
i (х, 0 = р^-^- e~v ^^ q У—х /LC) 0О У—х УЩ.
Общее решение уравнений в случае лнннй конечной длины. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим задачу.
Найти решения и (х, 1) и i (х, 1) уравнений (3), удовлетворяющие начальным условиям (6), граничному условию (7), если условие на втором конце (при х = Z) задано через операторный закон Ома
и у, р) - Z(p) /у, р),(15)
где Z (р) — операторное сопротивление контура, U (I, р)==и (I, /), / (I, р) ^ = i (I, t).
От уравнений (3) снова перейдем к операторным уравнениям (8), (9), из которых получаем уравнение (11)
-X1 U (х, р) = 0, X»=(Lp + R) (Ср+6). dx2
с граничными условиями (10) и (15).
Общее решение уравнения (11) представим в виде
U (х, р) = А(р) ch Хх + fl(p) sb Хх.
Тогда из уравнения (8) находим выражение для изображения Нх; р))
Z(x,p)-=—1/ Ср + - [А (р) sh Xx+fi(p)cn xxj.
V Lp+R
Из граничного условия (10) найдем коэффициент А(р)1
U (0, р) = А(р) = С (р),
а из условия (15) приходим и равенствуа из условия (15) приходим и равенствуQ(p) ch XZ+B(p)sh Xl= — ZWQ(p) ch XZ+B(p)sh Xl= — ZW/Sp±L №(p)$h X(+B(p)rt xz].Lp-YR/Sp±L №(p)$h X(+B(p)rt xz].Lp-YR
а из условия (15) приходим и равенству
а из условия (15) приходим и равенству
Q(p) ch XZ+B(p)sh Xl= — ZW
Q(p) ch XZ+B(p)sh Xl= — ZW
/Sp±L №(p)$h X(+B(p)rt xz].
Lp-YR
/Sp±L №(p)$h X(+B(p)rt xz].
Lp-YR
Полагая ради сокращения записи р = /(Ср + С)/ (Lp + R^ имеем равенство В (р) (sb XZ + р2 (р) ch XZ] = —Q (р) I ch Х( + р2 (р) sb XZ1, из которого определяем коэффициент В (р),
Q(p)fch X(+pZ(p) sh XZ]
В (P)= - Jh w +pZ w ch xi
Подставляя найденные выражения для А (р) и В (р) в общее решение уравнения (11); приведем его к виду
shXx =shXx =Q(p) |ch XZ+pZ (р) sh XZ]
shXx =
shXx =
U (x, p) =Q (P) ch Хх- &ь Xz + p2 ch Kl
ch Xxsh XZ —ch XZsh Ххф-pZ (p) (ch Xxch XZ—sh Xxsh XZ] “QWshXZ+pZ(p)chXZ1
используя соотношения для гиперболических функций, имеем х sh Х(<—x)+pZ(p)ch X(Z—X)
U U1 W sh XZ + pZ(p) chXZ*
Аналогично получим и изображение / (х, р):
(16)
Цх, Р) = — PQ IP) sh Хх —
ch X/+pZ(P)shXI |
sh KZ+pZ(p)ch XI C
. chX(I—x)+pZ(p)shX(I—x)
= pQ (P)'"■'——
sh X/+pZ (p)ch Xl
(17)
Отыскание оригиналов и (х, 0 и I (х, /) по изображениям (16) и (17) в общем случае вызывает значительные трудности, поэтому мы ограничимся только двумя частными случаями.
4 Случай разомкнутой ив конце х ■■ I лнннн без потерь (Я ■■ О = 0) и постоянном напряжении д (t) ™ Е. По условию, контур разомкнут (рис. 70), поэтому для операторного сопротивления имеем равенство Z (р) = оо. Учитывая также условия R = б = 0 и равенство Q (р) п ■■ Е/р. из выражений (16) и (17) путем деления на Z (р) =• со выводим равенства
chX(/—x)
p
Put. 70
где X
Е (7 (х, р)=»— р
ch XI
sh X (/—х)ch XI
Для вычисления исходных решений и (х,Л н t (х; 0 заметим: что зиамена- гель у функций U(xw р) и / (х, р), т. е. функция pch pVTCU имеет простые нули в точке р* = 0 и в точках р8; в которых
ch р8 VTc I «cos lp8 V*^ I ”0,1= рг — L
Из этих равенств находим значения р8:
.2s+l(2«+1)л ,
1P8V LCI —— л. илн ^““^у^" ,е #И°’ * 11 еее
Это означает, что все полюса функций U (х. р) и / (х, р) лежат на мнимой осн. Если выберем числа R8 = (2s + 1/2)л/(2/ VLC^t то на полуокружностях
Ср1=э1р : IpI = ^s. Л/2 < argp < Зл/2)
за счет множителя 1/р стремятся к нулю функции U (х, р) и / (х, р); т. е. при IРI ^ Eg
|М(х,р)|-*0 и |/(х,р)|-*0 при |$|-*оо.
Следовательно, выполнены условия замечания к теореме XII.5.1, а поэтому решения исходных уравнений вычисляются по формулам
U (х, р) == и (х, 0 = выч [е^ U (х, р>, р*=0] +
выч [е^' U (х, р), р «pg) =>
-Е + Е еР*'
—»
ch pg/ZZ(t—х)р, IVTC sh pt VLC I
и, аналогично,
Цх»Р)Цх»Р)вХ\р8У LC y—x> pe I V LC »h pa V LCiвХ\р8У LC y—x> pe I V LC »h pa V LCi
Цх»Р)
Цх»Р)
вХ\р8У LC y—x> pe I V LC »h pa V LCi
вХ\р8У LC y—x> pe I V LC »h pa V LCi
и х, t^ = Eи х, t^ = EООООSee — соSee — соe21/LZ 'e21/LZ '1 —1 —СОСО21 —* ——— л21 —* ——— лсосоCOSCOS(2$+l)n(Z—х)(2$+l)n(Z—х)(2$ +1) sin —~—л(2s+l)n(Z-x)(2$ +1) sin —~—л(2s+l)n(Z-x)coscos2*4-1——= пр2/ V LC2*4-1——= пр2/ V LC42->s»042->s»0212s 4-1212s 4-121 VLC е21 VLC е22— 1— 1coscos(2$ + 1) л(/—х)(2$ + 1) л(/—х)88Л ■$■ —сюЛ ■$■ —сю212s+l212s+l2s 4-12/ VLC е2s 4-12/ VLC е
и х, t^ = E
и х, t^ = E
ОО
ОО
See — со
See — со
e21/LZ '
e21/LZ '
1 —
1 —
СО
СО
2
1 —* ——— л
2
1 —* ——— л
со
со
COS
COS
(2$+l)n(Z—х)
(2$+l)n(Z—х)
(2$ +1) sin —~—л
(2s+l)n(Z-x)
(2$ +1) sin —~—л
(2s+l)n(Z-x)
cos
cos
2*4-1
——= пр
2/ V LC
2*4-1
——= пр
2/ V LC
42->s»0
42->s»0
21
2s 4-1
21
2s 4-1
21 VLC е
21 VLC е
2
2
— 1
— 1
cos
cos
(2$ + 1) л(/—х)
(2$ + 1) л(/—х)
8
8
Л ■
$■ —сю
Л ■
$■ —сю
21
2s+l
21
2s+l
2s 4-1
2/ VLC е
2s 4-1
2/ VLC е
(2s-Н) л ..
Подставляя значения р8 =—у^с И Учитывая Равенства св tu = cos u; sh iu = i sin ы, получаем
COS
-4^ «X vic I sm1 „; ' Л
2i VLC2/ VLC
Производя в последней сумме замену s » —s* — 1, найдем искомое решение и (xt I) а анде ряда
и(х, 0 = Еи(х, 0 = Еcocos- У <-»!—л -*4s=0cocos- У <-»!—л -*4s=0(2s4-1) л((—х)(2s4-1) л((—х)2<2<21 V LC е21 V LC еооооcoscos21212/ VLC е2/ VLC е
и(х, 0 = Е
и(х, 0 = Е
cocos
- У <-»!—
л -*4
s=0
cocos
- У <-»!—
л -*4
s=0
(2s4-1) л((—х)
(2s4-1) л((—х)
2<
2<
21 V LC е
21 V LC е
оо
оо
cos
cos
21
21
2/ VLC е
2/ VLC е
Л s' = 0
ОООО= Е= Еcos8—cos8—(2s-4-l) ли —jr)(2s-4-l) ли —jr)2121Л -ОЛ -О(2s 4* 1) nt cos—■21 > Lt(2s 4* 1) nt cos—■21 > Lt
ОО
ОО
= Е
= Е
cos
8—
cos
8—
(2s-4-l) ли —jr)
(2s-4-l) ли —jr)
21
21
Л -О
Л -О
(2s 4* 1) nt cos—■
21 > Lt
(2s 4* 1) nt cos—■
21 > Lt
Производя аналогичные преобразования, найдем выражение для i (х, /)1
rU, ПrU, Пsinsin(2s+1) л (Z—л)(2s+1) л (Z—л)2121sinsin
rU, П
rU, П
sin
sin
(2s+1) л (Z—л)
(2s+1) л (Z—л)
21
21
sin
sin
Случай линии без потерь с постоянным сопротивлением г на конце лг—Z и постоянном напряжении (^ =з £ «» const). От закона Ома для всей иепн и (*, 0 = rt (х, 0 (рнс. 71) перейдем к операторному уравнению. Тог да получим, что
z (р) = и (х, p^i (х; р) = П
U (х,р) =U (х,р) =РРРис. 71Рис. 71ch X (/—x)+pr sh X (/ — jc) sh X/ + pr ch X/ch X (/—x)+pr sh X (/ — jc) sh X/ + pr ch X/а потому решения (16) и (17) принимают внд
U (х,р) =
U (х,р) =
Р
Р
Рис. 71
Рис. 71
ch X (/—x)+pr sh X (/ — jc) sh X/ + pr ch X/
ch X (/—x)+pr sh X (/ — jc) sh X/ + pr ch X/
sh Xi+рг ch X/sh Xi+рг ch X/£ sh X (I—Jp + pr ch X (I —г)
sh Xi+рг ch X/
sh Xi+рг ch X/
Переходя к показательным функциям; получаем t Е (l+pr)ex и“л,+(рг— 1)е-Ки-л)
V U. Р^=~ст
Р (1 +Р') с ±(Р' — 1)е м
-Ч-Р'
Р 1C-2W
1+рг
и
Цх> Р)->Цх> Р)->W,W,Н +рг) ew—(1—pr) e“wН +рг) ew—(1—pr) e“w
Цх> Р)->
Цх> Р)->
W,
W,
Н +рг) ew—(1—pr) e“w
Н +рг) ew—(1—pr) e“w
еКх । _lzf!L е —*Ш-х)
(18)(18)1 + Р'
(18)
(18)
1— -Lz£Le-2Ml+pr
Так как при наших предположениях р = V^lL н Х = pVLC. то из условия Re р > 0 следует неравенство Re X > 0. Отсюда заключаем, что справедливы неравенства
1=-^|<|. l-j^l<b
и мы имеем представление ’ 1в 7 | -■е •
l_-L=PLe-2W ^о^'+Р'/
Таким образом; изображение U (х, р) запишется в виде
U(x, р) = —(е-^_-1_Я_й-Х<21-хЛ у (±Z2L\* e-»xi Pk 1+Р'/ Нрг /
^| V / ^^ У с-Х(2Я4.х) у LLzELY’+'e-X (2(*+П/-л) Идд^/А^' + Р^^| V / ^^ У с-Х(2Я4.х) у LLzELY’+'e-X (2(*+П/-л) Идд^/А^' + Р^VI / 1 — рг у . -(2М+Х) VLCp _e-(2t(-x)^L5pVI / 1 — рг у . -(2М+Х) VLCp _e-(2t(-x)^L5p
^| V / ^^ У с-Х(2Я4.х) у LLzELY’+'e-X (2(*+П/-л) Идд^/А^' + Р^
^| V / ^^ У с-Х(2Я4.х) у LLzELY’+'e-X (2(*+П/-л) Идд^/А^' + Р^
VI / 1 — рг у . -(2М+Х) VLCp _e-(2t(-x)^L5p
VI / 1 — рг у . -(2М+Х) VLCp _e-(2t(-x)^L5p
Учитывая, что
.(О при / < т,
=М1— т)=<
рЦ при t > т,
и обозначая о = 1/У^С; получаем для оригинала и (х, О представление
U^x, р)==и(х, Ц=Е |с0 — ~1+
/ 1 — рг \* Г / 2feZ4-x\ /2М—х \1
+ У( ——) 0<>г—)—оор—) =•
X Ч"Рг / L \ v / X v /J
ОприЕприЕ (1 — (1 —рАК 1 + Р')) приЕприОприЕприЕ (1 — (1 —рАК 1 + Р')) приЕпри^((1 — »U — PO/U+P'))1) при^((1 — »U — PO/U+P'))1) при/ < xfo.x/v< i < (2/—л)/о, (2Z—jr)/ti < t < (2/4-jr)/o. (2Z + jt)/v < t < (4/—jr)/y, (4/-jr)/u < t < (4/+x)/r,/ < xfo.x/v< i < (2/—л)/о, (2Z—jr)/ti < t < (2/4-jr)/o. (2Z + jt)/v < t < (4/—jr)/y, (4/-jr)/u < t < (4/+x)/r,
Опри
Епри
Е (1 — (1 —рАК 1 + Р')) при
Епри
Опри
Епри
Е (1 — (1 —рАК 1 + Р')) при
Епри
^((1 — »U — PO/U+P'))1) при
^((1 — »U — PO/U+P'))1) при
/ < xfo.
x/v< i < (2/—л)/о, (2Z—jr)/ti < t < (2/4-jr)/o. (2Z + jt)/v < t < (4/—jr)/y, (4/-jr)/u < t < (4/+x)/r,
/ < xfo.
x/v< i < (2/—л)/о, (2Z—jr)/ti < t < (2/4-jr)/o. (2Z + jt)/v < t < (4/—jr)/y, (4/-jr)/u < t < (4/+x)/r,
Таким образом, искомое решение имеет вид
ипри t < xjt),
и(х, п =и(х, п =Епри (2(6— 1)/+х)/о< t< ДО—x)lv9
и(х, п =
и(х, п =
Е|1—((1—рг)/(1+РП)А] при (26/—jr)/v<#<(26/4-x)/v, 6 = 1,2,.
В зависимости от того, будет ли pr< 1 или рг > !, график этой функции (как функции / при фиксированном jt) будет иметь различный вид (рис. 72 для рг < 1 н рнс. 73 для рг > 1).
Производя аналогичные преобразования, из (18) выводим представление для Цх, pY
и
Е •"— I I "Iг——П
111■!*—
£21-х2L*xAl-x4UXбТ-х
v и v v"ДР*17*Рис- 72
U
х_21-х21*х41-хулх61-Х*
VVV V V 1>
Рис. 75Рис. 75
Рис. 75
Рис. 75
х_21-Х2UX41-хулх61-х t
V V и V V и
— х VLCr
je-(2«+*) VT5₽je-(2«+*) VT5₽_|_e-(2»z-*) fLC^jl_|_e-(2»z-*) fLC^jlОтсюда находим выражение искомого решения i (jr, /)>Отсюда находим выражение искомого решения i (jr, /)>На рис. 74 изображен график этой рг > 1.На рис. 74 изображен график этой рг > 1.функции при р< < 1, а на рис. 75 — прифункции при р< < 1, а на рис. 75 — при, v / । — р*’ у.•i'A '+•*/
je-(2«+*) VT5₽
je-(2«+*) VT5₽
_|_e-(2»z-*) fLC^jl
_|_e-(2»z-*) fLC^jl
Отсюда находим выражение искомого решения i (jr, /)>
Отсюда находим выражение искомого решения i (jr, /)>
На рис. 74 изображен график этой рг > 1.
На рис. 74 изображен график этой рг > 1.
функции при р< < 1, а на рис. 75 — при
функции при р< < 1, а на рис. 75 — при
О некоторых других применениях операционного исчисления. Наряду с использованием при решении дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, операционное исчисление находят большое применение н в других вопросах, таких, например, как решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Так, используя теорему Бореля, можно легко найти изображения решений интегральных уравнений Вольтерра в том случае, когда ядром в соответствующем уравнении является функция Kit—т), причем ^(/) — оригинал.
Примеры Iе. Найти решение уравнения Вольтерра первого рода
sin (г—т)х (т) <3т =' sin t,
Пусть х /А—ь Х"(р). Учитывая, что sin / -ь находим * sin #"=4. — Р*4-1
/ i V zp.
— ■ , , I = —- , ,.. . Применяя к стоящей ■ левой частя уравнения свертке Хр'+ч(p*4-1P
X <Р)2р
теорему Бореля, перейдем к операторному уравнению —777— =■ 7~777т •
Р + •-f-1
из которого находим Х(р)_,2р(р+1) и, следовательно, х(/)*2 cos Л
2*. Найтн решение уравнения
1
х* (04-х (()■=■ sin /4-J sin V —т) х (т) deо
при начальных условиях х(0) — 0. х'(0)*“1.
Положим х(0*=^(Р)- Тогда по свойству изображения ппличвояилй п«олм x"iH^pPXlp>—1. Кроме того, имеем sin 1^ ^ _^ и применяя теорему Ьорели,
переходим к операторному уравнению
р* X (Р)-1+Х(р)р* X (Р)-1+Х(р)1Р24-11Р24-1X (р)Р’4-1 'X (р)Р’4-1 '
р* X (Р)-1+Х(р)
р* X (Р)-1+Х(р)
1
Р24-1
1
Р24-1
X (р)
Р’4-1 '
X (р)
Р’4-1 '
Из этого уравнения находим X(pji
Таким образом, получаем искомое решение х(0=*<—sin/.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПриЛОЖОНИР1
Соотношения между гиперболическими функциями
Обозначения
, th z = sh z/ch z, »ech ? = 1 Zch г,
, cthz=chz/shz, cschz= l/shz.
Основные соотношения
ch*г — sh*z=l.
ch*z4-sh* z = ch2z.
sh 2z = 2sh zch z.
th*z=l—sech8z.
cth2z=i+csch*z.
(sh z 4-ch z)n = sh лг 4-ch лг,
chz4-shz = ez.
ch z—sh z=e—»
sh (u ± v) = sh u ch v i ch u sh o.
ch (u ± u) =ch и ch v ± sh и sh o.
sh u ± sh o=2sh — ^ ° ch -■ ^ 14. ch u4-ch v = 2ch “^ch-"^ ,-,.u4-o , u —t
chu—chv=2sh —-—sh
sh* u4-ch* v=ch*u4-sh*o.
Приложение 2
Соотношения между гиперболическими и тригонометрическими функциями
sh iz = I sin z,
ch iz = cos z.
th iz = Z tg z.
sh (u ± io) = sh и cos ц 4- I ch и sin v.'
ch (u ± iv) = ch и cos v ± i sh и sin o.
Приложение 3
Выражения для обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций
Ar sh z = Ar ch VW?7"=^ th 77== = Ln (z + / z* + Г ). V 1
Arch z = ± Ln (z+ ><z- 1 ).
1 ,1+z
Ar thz=—Ln —.
21 —z
1 , z+l
Ar cth z=—Ln — .
2 z—1
Arc sin z= — iLn (iz-Ц 1 +z* )•
Arc cos z = ± i Ln (z+y'z2— 1 ).
Arc tg z=^Ln .
621 — iz
Преобразования Фурье некоторых функций
№
п/п
Временная функция (исходны! сигнал)
Спектральная функция сю
S(V)- J НПе — 2nlvldl
1
<1 при НК 1, м ' (0 при И1 > 1
sin 2лу
лу
2
.... (Sign 1 при НК 1, \ 0 при 1t1 > 1
1—cos 2л у 2 sin2 лу
л/vnix
3
HO=sign (Z—a)—sign (I—6), b>a
^плу(б-п) t_„v(v+A , nv
4
f(0=
h
1 —1 *1 * ) при |t| < а , о )
0при | ZI > с
sin-' ЛУП л* у* а
Б
J 4 sin tot при НК 2лл /®, 1 0 грн П 1 > 2лл /и
4л1 vn to sin
—2Л ;-
1л4 у*—w2
ь
) 5*П ' ГРИ 1,1 < Л' 10 при Н 1 > л
, sin 2п* v
1 - 4л* v2
7
/Н)=
cos 1 при НКл/2, 1 0 при Н1 > л/2
2
, „ „ cos л* у
1 — 4 л2 у2
8
Л_е-2ЛУ0 а
9
nie--nsu
10
ле-я* v‘
11
НП=к-‘’
1 Ул® ve—л*v*
12
H0=e-O|,,, а>0
2g
а*4-4ч* v*
13
/ (Л ае—а1'1 cos pz, а > 0
2a (a + P2 -<- 1л2 v2) (a2 + (2лу — P)2) (a2 + < 2лv -r P)’)
14
/(<) =e_<u sin fl, а>0
SnyaPi
(a* + (2nv — Pj*j (a* + (2лу -p pj*)
Изображения некоторых функций, часто используемых в приложениях
6 e
t
Оригинал
Изображение
1
[1 прн Z^J, °” ^^lo при /<0
1
—, Rep>0 P
2
e"
—, Rep>Rea p—a
3
n>0, целое
Rep>0 pn+i
4
Iе, a>—1
-——, Re p > 0, Г (и) — гамма-
pa+ 1
функция Эйлера
6
cos pz
, , м . Rep>l lmP| р* + Р*
6
sin pz
„4р* ' Rep>|,m^<
7
ch pz
* м • Rep> I Re0> Р — Р
8
shpr
К
. М • Rep> 1 RePl Р'— р
9
zn ea‘, n — целое
п!
, , , Rep>Rea
(p-a)n + l
10
eal cos pz
(„-„,+P' R-1" «»lto»l
li
e0^ sin pi
(p-a)* + P2' ^(Р-«»11т^1
12
06(О+2 V (-1)*о„(<-кт) fc-i
1рт-
—Rep>0
p2
2121аа2УГ2 С •= 1I е*и duК л2УГ2 С •= 1I е*и duК л
21
21
а
а
2УГ
2 С •
= 1I е*и du
К л
2УГ
2 С •
= 1I е*и du
К л
*
Оригинал
Ие^бряжевие
13
6(Г)-|
1
0 при /^0. оо при 1=0,
(/) dz •= 1
1
14
/ si п р /
(p* + ^> Re₽>llmP'
15
tео
J се (0)4-2^ (-1)Ч(и-*т) 0*—1
du
yth-^-, Rep>0
16
sin р t t
лр
"IT—arctg—, Rep>|ImP|
2Р
17
е sin и .
si Г = 1du
J и
1 / л\
— — — arctgp , Rep>U
Р \ 2/
18
^сО, с>0,
^о(А,)а
—функция Бесселя нулевого порядка
, Reр>0 ¥?+<?
19
(Z/a)"/2/„(2 Vat ),
/ mJ-LX V Н)* Р ‘ 2 / ^оА,(л+Л)'' 2
—функция Бесселя порядка п
.2*
1_£_
—— е~ р , а>0, Rep>0 рп*1
— е—al/р а>0 Rep>0
Р
—— In е‘ р, с= — Г (1), Rep>0 Р
Галеркни Б. Г.—Гаусс (Gauss С. F.)-Даламбер (D'AlembertI.)—Дарбу (Darboux G.).—Днрак (Dirac G. А.)Дирихле (Dirichlet Р.)—Дюамель (Duhamel 1.)—Дюбуа-Реймоид (Du Bois-Reymond Р.) —Жордан (Jordan С.)—Жуковский Н. Е.—Кантор (Cantor G.)—Канторович Л. В.—Карсон (Carson J. R.)Кирхгоф (Kirchhoff G.)—Коши (Cauchy А.)—Галеркни Б. Г.—Гаусс (Gauss С. F.)-Даламбер (D'AlembertI.)—Дарбу (Darboux G.).—Днрак (Dirac G. А.)Дирихле (Dirichlet Р.)—Дюамель (Duhamel 1.)—Дюбуа-Реймоид (Du Bois-Reymond Р.) —Жордан (Jordan С.)—Жуковский Н. Е.—Кантор (Cantor G.)—Канторович Л. В.—Карсон (Carson J. R.)Кирхгоф (Kirchhoff G.)—Коши (Cauchy А.)—
Галеркни Б. Г.—
Гаусс (Gauss С. F.)-
Даламбер (D'AlembertI.)—
Дарбу (Darboux G.).—
Днрак (Dirac G. А.)
Дирихле (Dirichlet Р.)—
Дюамель (Duhamel 1.)—
Дюбуа-Реймоид (Du Bois-Reymond Р.) —
Жордан (Jordan С.)—
Жуковский Н. Е.—
Кантор (Cantor G.)—
Канторович Л. В.—
Карсон (Carson J. R.)
Кирхгоф (Kirchhoff G.)—
Коши (Cauchy А.)—
Галеркни Б. Г.—
Гаусс (Gauss С. F.)-
Даламбер (D'AlembertI.)—
Дарбу (Darboux G.).—
Днрак (Dirac G. А.)
Дирихле (Dirichlet Р.)—
Дюамель (Duhamel 1.)—
Дюбуа-Реймоид (Du Bois-Reymond Р.) —
Жордан (Jordan С.)—
Жуковский Н. Е.—
Кантор (Cantor G.)—
Канторович Л. В.—
Карсон (Carson J. R.)
Кирхгоф (Kirchhoff G.)—
Коши (Cauchy А.)—
Абель (Abel Д')
Адамар (Hadamard I.)
Бессель (Bessel F.)
Бляшке (Blaschke W.)
Борель (Borel Е.)
Бромвич (Bromwich Т. J. I. А.)
Буняковский В. Я-
Ребер (Weber Н.)
Вейерштрасс (Weierstrass G.)
Кристофель (Christoffel М, В.) Кули (Cooley J. W.) Куммер (Kummer Е.)
Лагранж (Lagrange J. L.) Лаплас (Laplace Р, S.)
преобразование (75); — признак Дирихле — А. (75); — теорема (89)
формула Коши — А. (91)
уравнение (118);—функции (119, 120) ряд Фурье — Б. (138); — неравенство (140) функция (103) теорема (238) 229
неравенство Б — Кошн (136)
функции (120)
теорема (86); — признак (80); -г- второй признак (82)
метод (3) интеграл (249)
признак (68)
формула Кристофеля — Д. (135) 6-функция (194)
признак Д. — Абеля (75); — ряд (73); ядро, интеграл (147) интеграл (239) (148)
лемма (217)
функция (37)
теорема (18) метод (3) (229)
второй закон (256)
интеграл (51); — интеграл типа К. (57); —теоремы (48, 51); — условия К- —Римана (21);— критерий (14,60)1 признак (70);— интегральный признак (71); — формула К. — Адамара (91); — пример (94); — неравенство Буняковского -- К. (136) формула К. — Дарбу (135) (192) метод (110)
теорема (168)
преобразование, оператор, интеграл (228-230)
Лебег (Lebesgue Н.)Лежандр (Legendre А. М.)Лейбниц (Leibniz G. W.)Липшиц (Lipschitz R.)Лиувилль (Liouville 1.)Лопиталь (de L'Hospital G. F.)Лоран (Laurent P. J.)Льюис (Lewis P.)Маклорен (Maclaurin C.) Мал нее A. C.Меллии (Mellin H.)Морер (Morera G.)Муавр (de Moivre A.)Нейман (von Neumann J.)Парсеваль (Parseval M. A.)Пуассон (Poisson S. D.)Радемахер (Rademacher H.) Риман (Riemann B.)Лебег (Lebesgue Н.)Лежандр (Legendre А. М.)Лейбниц (Leibniz G. W.)Липшиц (Lipschitz R.)Лиувилль (Liouville 1.)Лопиталь (de L'Hospital G. F.)Лоран (Laurent P. J.)Льюис (Lewis P.)Маклорен (Maclaurin C.) Мал нее A. C.Меллии (Mellin H.)Морер (Morera G.)Муавр (de Moivre A.)Нейман (von Neumann J.)Парсеваль (Parseval M. A.)Пуассон (Poisson S. D.)Радемахер (Rademacher H.) Риман (Riemann B.)Родриг (Rodrigues 0.) Руше (Rouche E.)Сохоцкнй Ю. В.Таки (Tukey J. W.) Тейлор (Taylor B.) Третьяк (Tretiac O. J.)Уолш (Walsh J. L.)Уэлч (Welch P.)Фурье (Fourier J.)Родриг (Rodrigues 0.) Руше (Rouche E.)Сохоцкнй Ю. В.Таки (Tukey J. W.) Тейлор (Taylor B.) Третьяк (Tretiac O. J.)Уолш (Walsh J. L.)Уэлч (Welch P.)Фурье (Fourier J.)Хевисайд (Heaviside O.)Хемминг (Hamming R. W.)Хуан (Huang T. S.)Чебышев П. JI.Шварц (Schwartz H. A.)Шрейбер (Schreiber W. E.)Штурм (Sturm R.)Эйлер (Eiier L.)Якоби (Jacobi K. G. J.)Хевисайд (Heaviside O.)Хемминг (Hamming R. W.)Хуан (Huang T. S.)Чебышев П. JI.Шварц (Schwartz H. A.)Шрейбер (Schreiber W. E.)Штурм (Sturm R.)Эйлер (Eiier L.)Якоби (Jacobi K. G. J.)- (199)- (199)— полиномы (132)— полиномы (132)
Лебег (Lebesgue Н.)
Лежандр (Legendre А. М.)
Лейбниц (Leibniz G. W.)
Липшиц (Lipschitz R.)
Лиувилль (Liouville 1.)
Лопиталь (de L'Hospital G. F.)
Лоран (Laurent P. J.)
Льюис (Lewis P.)
Маклорен (Maclaurin C.) Мал нее A. C.
Меллии (Mellin H.)
Морер (Morera G.)
Муавр (de Moivre A.)
Нейман (von Neumann J.)
Парсеваль (Parseval M. A.)
Пуассон (Poisson S. D.)
Радемахер (Rademacher H.) Риман (Riemann B.)
Лебег (Lebesgue Н.)
Лежандр (Legendre А. М.)
Лейбниц (Leibniz G. W.)
Липшиц (Lipschitz R.)
Лиувилль (Liouville 1.)
Лопиталь (de L'Hospital G. F.)
Лоран (Laurent P. J.)
Льюис (Lewis P.)
Маклорен (Maclaurin C.) Мал нее A. C.
Меллии (Mellin H.)
Морер (Morera G.)
Муавр (de Moivre A.)
Нейман (von Neumann J.)
Парсеваль (Parseval M. A.)
Пуассон (Poisson S. D.)
Радемахер (Rademacher H.) Риман (Riemann B.)
Родриг (Rodrigues 0.) Руше (Rouche E.)
Сохоцкнй Ю. В.
Таки (Tukey J. W.) Тейлор (Taylor B.) Третьяк (Tretiac O. J.)
Уолш (Walsh J. L.)
Уэлч (Welch P.)
Фурье (Fourier J.)
Родриг (Rodrigues 0.) Руше (Rouche E.)
Сохоцкнй Ю. В.
Таки (Tukey J. W.) Тейлор (Taylor B.) Третьяк (Tretiac O. J.)
Уолш (Walsh J. L.)
Уэлч (Welch P.)
Фурье (Fourier J.)
Хевисайд (Heaviside O.)
Хемминг (Hamming R. W.)
Хуан (Huang T. S.)
Чебышев П. JI.
Шварц (Schwartz H. A.)
Шрейбер (Schreiber W. E.)
Штурм (Sturm R.)
Эйлер (Eiier L.)
Якоби (Jacobi K. G. J.)
Хевисайд (Heaviside O.)
Хемминг (Hamming R. W.)
Хуан (Huang T. S.)
Чебышев П. JI.
Шварц (Schwartz H. A.)
Шрейбер (Schreiber W. E.)
Штурм (Sturm R.)
Эйлер (Eiier L.)
Якоби (Jacobi K. G. J.)
- (199)
- (199)
— полиномы (132)
— полиномы (132)
— лемма Римана — Л. (145);—георема (157)
— полиномы (131)
— признак (74); — ряд (77)
— условие (105)
— теорема (58); — задача Штурма —
Л. (129)
— правило (126)
— ряд (204); — теорема (206)
- (192)
ряд (94)
метод (157)
— теорема, формула (241)
— теорема (58)
— формула (9)
— функции (120)
— равенство (141)
— интеграл (216)
— система функций (126)
— сфера (10); — поверхность (16, 41); — условия Коши — Р. (21); — лемма Р. — Лебега (145);—теоремы (30, 67)
формула (132, 135)
— теорема (225)
теорема (209)
- (192)
ряд (93); — теорема (94)
- (199)
система функций (136); — ряд Фурье — У. (136)
- 192
— коэффициенты, ряд (137); — тео
рема о сходимости ряда Ф. (149); — ряд Ф. — Бесселя, ряд Ф. — Уолша (138); — интеграл (165); — преобразование (169); — дискретное и быстрое преобразования Ф. (192) — преобразование (230), единичная функция X. (231)
- (194)
неравенство (136)
задача Ш. — Лиувилля (129)
— формула (7);—Г-функция Э. (120)1— метод (113)
— полиномы (134)
Абсолютно СХОДЯЩИЙСЯ ряд 63
Алгебраическая форма комплексного числа 6
Алгоритм «быстрого преобразования
Фурье* 192, 198
— реализации ДПФ 199
Амплитудный спектр интеграла
Фурье 175
ряда Фурье 172
Аналитическое продолжение 103
Аналитическая в области функция
20, 101
Аргумент функции 15
— производной (геометрический смысл) 27
Бесконечно удаленная точка 10
Биномиальный ряд 98
Блок-схема алгоритма БПФ 200
Вычет функции 213—215
Вещественная часть комплексного числа 5
Внутренняя точка множества 10
Гамма-фуикиня Эйлера 120
Гармонический ряд 61
Гиперболические функции 20, 44
Главная часть ряда Лорана 205
Главное значение аргумента 7 натурального логарифма 19
Гладкая кривая в плоскости 11
I раничная точка множества 10
Двулистная риманова поверхность 16
Дискретные преобразования Фурье 192
Дискретный спектр 195
Дифференцируемая функция 20
Дробно-линейная функция 19 32
Задача Штурма-Лиувилля 129, 133, 134
Замкнутая область 10
Замкнутый контур И
Знакочередующиеся ряды 74
Изображение 230
—, дифференцирование 235
— единичной функции Хевисайда 231
—, интегрирование 237
Изображение производной 234 — свертки 238
Изолированная особая точка 207 Z=oo 211 Импульсная функция 194 Инверсия 30 Интеграл Гаусса 249 — Дирихле 147 — Дюамеля 239, 240 — по комплексной переменной 45 кривой 45, 46 — Пуассона 187, 216 — типа Коши 57 — Фурье, 166 в вещественной форме 169
Комплексная плоскость 5 Комплексное число Б , алгебраическая форма 6 , аргумент 6 , возведение в степень 9 , корень натуральной степени 9 , модуль 6 , показательная форма 7 , предел ппск'товательиости 11 сопряженное 6 , тригонометрическая форма 7 Комплексные числа 3—9 , аргумент произведения 8 , — частного 8 , модуль произведения 8 , — частного 8 , равные 5 , разность 6 ,сумма 6 , частное 6 Конформное отображение в точке 27, 28, 29, 30 в области 28 второго рода 29 Коши—Римана условие 21, 23 Коэффициенты разложения функций 137
— Фурье 137, 146
— Фурье — Бесселя 138
— Фурье — Уолша 138
Критерий Коши 14, 60, 78, 80
Кр^уг сходимости степенного ряда Кусочно-гладкая кривая 11
Лемма Жордана 217, 219
— Рнмана — Лебега 145
Линейная функция 19, 30
Линия без искажения 258
Логарифмическая производная 222
— функция 19, 42
Линия без потерь 258, 260, 262
Мажорируемый ряд 81
Метод Куммера ПО
— Малиева 157
— Эйлера 113
Мнимая единица 5
— часть комплексного числа 5
Многочлены Лежандра 132
— Чебышева 133
Модуль производной (геометрический смысл) 27
Натуральный логарифм 19
Неопределенный интеграл 50
Непрерывный спектр 195
Неравенство Бесселя 140
— Буняковского — Коши 130
— Шварца 136
Нормализованная энергия 170
Обертон 179
Область в комплексной плоскости 10
— значеинй функции 15
— многосвязная 11
— односвязиая 11
Однолистная функция 17
Однородные уравнения 129
Оператор Лапласа 229
Операционный метод 229
Оригинал 229, 230
—, ннтегрнрование 236
—, теорема существования 243
Ортогональная система функций 123
, с весом 123
Ортогональный ряд 136
Ортонормированная система функций 123
, с весом 123
Основная частота 154
Основной тон 179
Особая точка 105
изолированная 207, 211
Отображение двуугольника 35
— дробно-линейное 32, 33, 34
— окружности 31, 32
— сектбфа 36
Параметрическое представление кривой 10
Первообразная 50
Показатель роста функции 229
Показательная форма комплексного числа 7
г- функция 19, 41
Полином Лежандра 131
Полиномы Якоби 135
— Чебышева 133
— ультрасфернческие >35
Полные ортогональные системы 141
Полюс целого порядка 207, 208
Правильная точка 105
— часть ряда Лорана 205
Предел последовательности 12
— функции 17
Преобразование Абеля 75
— Лапласа 229
— Фурье 169, 170, 193
дискретное, алгоритм 198—203
— Хевисайда 230
Признак Вейерштрасса 80, 82
— Даламбера 68
— Дирихле — Абеля 75
— Коши 70
интегральный 71
— Лейбннца 74, 76
— сравнення 66
предельный 67
Пример Коши 94
Принцип максимума модуля 54 — соответствия границ. 29 Программа вычисления ДПФ 201 Произведение рядов 65
Производная от функции 20, 2!, 23
Равенство Парсеваля 141
Равномерная сходимость ряда 80
Равные комплексные чнела 5
Раднус круга сходимости 90
Разложение Фурье функции >37
Расширенная плоскость 10
Рациональная функция 19
Римановы поверхности 105
Ряд Днрнхле 73
— Лорана 204
— Маклорена 94
—, сходящийся в области 77, 80
—, — точке 77
— Тейлора 94
, искусственные приемы разложения 100
, разложение биномиальной функции 97
,— логарифмической функции 98
, — показательной функции 96
,— тригонометрических функций 96
, — функции arctgi 99
- Фурье 148, 150, 152, 153, 180
в комплексной форме 154
, основные задачи 148
■, спектральная функция 171,
175
Ряд Фурье— Бесселя 138
— Фурье —Уолша 138
— числовой 59
Свертка функций 238
Свойство постоянства растяжения 27
Символ е,ф 7
Символическое исчисление 229
Симметричные относительно окружности точки 3)
Система, полная на отрезке 141
— функций Бесселя 124
Радемахера 126
Уолша 127
Собственная функция 129
Собственное число 129
Спектр плотности энергии 170
Спектральная функция (плотность)
171
Степенная функция 19, 23, 35
Степень комплексного чнела 19
, произвольная 19
Сумма комплексных чнеел 6
Сумма ряда 59
Суперпозиция отображений 16, 36
Существенно особая точка 207, 209
Сфера Римана 10
Сходимость ряда функционального 77
числового 53
Сходящиеся ряды 61, 62
Телеграфные уравнения 256
Тс< рема Абеля 89
— Бореля 238
— Вейерштрасса 86
— единственности аналитических функций 103
Теорема запаздывания 233
— Кантора 18
— Коши 48
— Лиувилля 58
— Лорана 206
— Меллнна 241
— Морера 58
— обращения 245, 249
— о логарифмическом вычете 223
пределах 12
среднем 53
— (основная) высшей алгебры 226
— Рнмана 30, 66
— Руше 225
— смешения 234
— Соходского 209
— существования оригинала 243
— Тейлора 94
Тригонометрическая система функции 123
— форма комплексного числа 7
Тригонометрические функции 20, 42
Тригонометрический ряд Фурье 138
Точки ветвления 17
—, симметричныеотносительно
окружности 31, 33
Уравнение Бесселя П8
— диффузии 254
— теплопроводности 252
Уравнения длинной линии 256
— линий конечной длины 259
Условно сходящийся ряд 64
Устранимая особая точка 207, 208
Фазовый спектр интеграла Фурье 175
ряда Фурье 172
Формула Коши 51, 53
— Кошн — Адамара 91
— Кристоффеля — Дарбу 135
— Меллина 241
— Муавра 9
— Родрига 132, 134, 135
— Эйлера 7
Функция 15, 19
—, аналитическая в области 24, 25
—,, свойства 24—26
— Бесселя первого рода Н9, 120, 124, 189
второго рода 120
полунечетного порядка 120
— Вебера 120
— Жуковского 19, 37
— комплексной переменной 15
— кусочно-гладкая 145
— кусочно-непрерывная 145
— логарифмическая 19
— многозначная 15
— Неймана 120
—, непрерывная в области 18
—,точке 18
—, обратная к функции Жуковского 40
— однозначная 15
— однолистная 17, 28
— ошибок 249
— показательная 19
— равномерно непрерывная в области 18
Частные суммы ряда 59
Ядро Дирихле 147
А-окрестиость точки 10
6 функция Дирака 194, 233
е-окрестность точки 9, 10
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ•3
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ е •5
§ 1. Комплексные числе и действия нед ними5
Определение комплексных чисел (5). 2. Модуль и аргумент комплексного числа: трнгоио метрическая н показательная формы (6)
Основные геометрические понятия. Предел последовательности
е-Окрестность. Расширенная плоскость <9) 2. Множества, области, кривые (10). 3. Предел последовательности (II)
Функции комплексной переменной
Определение функции. Геометрический смысл (15). 2. Предел и непрерывность функции (17). 3. Элементарные функции (18)
Дифференцирование функций комплексной переменной .
Производная. Аналитичность функции (20). 2. Свойства аналитических функций (24). 3. Геометрический смысл модуля производной (261. 4. Геометрический смысл модуля производной (27)
II КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ28
Некоторые сеойстеа конформных отображений28
Определения. Основные свойства (28). 2, Существование заданных конформных отображений (30)
Отображения, осуществляемые линейной и дробно-линейной функциями 30
Линейная функция w-az+b (30). 2. Функция w—Wz. Инверсия (30). 3. Дробно-линейная функция (32)
5 3. Отображения, осуществляемые степенной функцией и функцией Жуковскогоа35
Степенная функция ш*гп, л > 2 (35), 2. Функция Жуковского (37)
§ 4, Отображения, осуществляемые показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями .. .41
Показательная и логарифмическая функции (4)). 2. Тригонометрические функции (42)
III ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . 45
§ 1. Интеграл по комплексной переменной*45
Определение. Основные свойства (45). 2. Теоремы Коши (47). 3. Неопределенный ните гр я^ а комплексной области (49)
§ Z Интеграл Коши и его применение .••••«•••«61
I Доказательство интегральной формулы Коши (51). 2. Свойства аналятяческик функций (53). 3. Дифференцирование интеграл в по нараметру (55). 4. Интеграл типа Коши и его применение (67)
IV ЧИСЛОВЫЕ И ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ59
5 1. Числовые ряды. Абсолютная сходимость ........ 59
Основные ионятня сходимости числового рядя (59). 2. Свойства сходящихся рядов (61). 3. Абсолютная и условная сходимость (63)
$ 2. Достаточные признаки абсолютной сходимости числовых рядов • 66
Признаки сравнения (66). 2. Признак Даламбера (68). 3. Признак Коши (70). 4. Интегральный признак Кошн (71)
5 3. Некоторые достаточные признаки неабсолютной сходимости числовых рядов74
Знакочередующиеся ряды (74). 2. Риды с произвольными членами (75)
$ 4. Общие функциональные ряды 77
Основные понятия (77). 2. Равномерная сходимость (79). 3. Условия равномерной сходимости (80)
5 5. Свойства равномерно сходящихся рядов ..,83
I Теорема о непрерывности суммы и предельном переходе (83). 2. Теоремы об интегрируемости и дифференцируемости рядов (85)
V СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ89
1, Общие свойства стеленных рядов89
Степенной ряд Теорема Абеля (89). 2. Область сходимости степенного ряда (90). 3. Теорема о свойствах степенных рядов (92)
$ 2. Ряды Тейлора•93
Связь коэффициентов степенного ряда с его суммой (93). 2. Теорема Тейлора (94)
Ряды Тейлора некоторых элементарных функций96
Непосредственное разложенве функций в ряд Тейлора (96). 2. Ряды Тейлора. получаемые интегрированием рядов (98). 3. Искусственные приемы разложения Функций в ряд Тейлора (100)
Теорема единственности и ее применениеj01
1 Теорема единственности аналитических функций (101). 2. Аналитическое продолжение (103). 3. Правильные н особые точки. Теоремы п границе коугв сходимости (105)
VI ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.107
Применение рядов в приближенных вычислениях ■....107
Вычисление значений функций (107), 2. Вычисление пределов и интегралов с помощью рядов (109)
Убыстрение сходимости рядов . , ецо
Метод Куммера (ПО) 2. Метод Эйлера (113)
Интегрирование дифференциальных уравненийЦ5
Дифференциальные уравнения вида yH*FU. и, <Л (115). 2 Линейны? ференцнальпые уравнения (117)ф
Уравнение Бесселя и его решение 118
Общее решение уравнения Бесселя (118). 2. Функции Бесселя полунечетных порядков Асимптотические формулы (120). 3. Некоторые дополнительные соог-
VII ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ . . .123
123123Ортогональные системы функций .,,
123
123
Основные определения (123). 2 Тригонометрическая система (123). 3 Система функций Бесселя (124) 4 Система функций Радемахера (126). 8. Система функция Уолша (127). 6.* Система собственных функций задач* Штурма-Лиувилля (129)
131131
131
131
Ортогональные полиномы
Полиномы Лежандре (131). 2. Полиномы Чебышева (132). 3. Полиномы Яко- бн (134)
6 3. Ортогональные ряды
Неравенство Шварца (136). 2. Ортогональные ряды * ортогональные разложения (13Ь). 3. Задача о нанлучшем среднеквадратнческом уклонении (138).
4 Неравенство Бесселя (НО)
VIII ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.. .143
Общие сведения о тригонометрических рядах Фурье ... .143
Некоторые замечания о коэффициентах Фурье (143). 2. Лемма Римана- Лебега (145). 3. Формулы для частных сумм ряда Фурье (147)
Теоремы о сходимости рядов Фурье ..••••••.148
Основные задачи о рядах Фурье (148). 2. Теорема о сходимости ряда Фурье кусочно-гладкой функции (149). 3. Теорема о равномерной сходимости (150)
Ряды Фурье функций с периодом / и непериодических функций • 152
Ряды Фурье функций периода I (152). 2. Комплексная форма ряда Фурье (153). 3. Ряды Фурье непериодических функций (154)
Метод Малиева разложения функции в быстро сходящийся рнд
Фурье ......••..•■••■•••• 156 1 Постановка задачи (156). 2. Метод Малиева (157)
Двойные ряды Фурье ,....••■••■•• 162
Ортогональные системы функций двух переменных (162). 2. Двойные ряды Фурье (162)
Интеграл Фурье165
L Определение (165). 2. Теорема о представимости функции интегралом Фурье (166). 3. Преобразования Фурье (169)
171171IX НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛА
171
171
ФУРЬЕ
Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье * . . «171
Определение спектральных характеристик ряда Фурье (171). 2 Амплитудный
и фазовый спектры интеграла Фурье (175)
Решение уравнений колебаний закрепленной струны методом Фурье 176
Свободные колебания струны (176). 2. Вынужденные колебания закреплен
ной струны (180). 3. Теорема единственности (183). 4. Замечания (184)
Решение уравнений распространения тепла . 185
Распространение тепла в бесконечном стержне (185). 2. Распространение тепла в однородном цилиндре (188)
X ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭЦВМ* 192
Свойства дискретного преобразования Фурье • • . . « «192
. Предварительные замечания (192) 2 Свертка преобразоваинй Фурье. Сме- шенна частот (193). 3 Переход от непрерывного спектра к дискретному (194).
Характер различия непрерывного и дискретного спектров (195). 5. Матричная форма записи ДПФ (196)
Алгоритм быстрого преобразовании Фурье 198
Постеиовка задачи (198). 2. Алгоритм реализации ДПФ (199), 3. Пример алгоритма реализации ДПФ при 2#-8 (202)
XI РЯДЫ ЛОРАНА. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ$ . , , . 204
§ I, Ряды Лорана и их применение . •204
Определение и область сходимости (204). 2 Теорема Лорана (205). 3. Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки (207), 4. Поведение аналитической функции в окрестности точки г=<» (211)
Вычеты функции и их применение212
Определение вычета в его вычисление (212). 2. Основные теоремы о вычетах (214). 3. Вычисление интегралов от тригонометрических функций (215). 4. Интегралы от быстро убывающих на бесконечности функций (216). 5. Лемма Жордана и ее применение (217). 6. Применение многозначных функций (220)
Логарифмический вычет и его применение ....... 222
Теорема о логарифмическом вычете (222) 2. Геометрический смысл теоремы о логарифмическом вычете (224) 3. Теорема Руше и ее применение (225), 4. Принцип соответствия границ при конформном отображении (226)
XII ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ... .. .... 228
§ L Преобразование Лапласа. Его аналитичности ....... 228
Исторические замечания. (228). 2. Определение оператора Лапласа (229).
Область аналитичности оператора Лапласа (229). 4. Изображения некоторых функций (231)
5 2 Свойства изображений ....,,.•232
Линейность (232). 2. Теорема подобия (232) 3 Теорема запаздывания (233).
4 Теорема смещения (234). Б. Изображение производной (234). 6. Дифференцирование изображения (235). 7. Интегрирование оригинала (236). 8. Интегри
рование нэображе» ня (237)
Свертка функций. Интеграл Дюамеля ......... 238
Теорема об изображении свертки (138). 2. Интеграл Дюамеля (239). 3. Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений (239)
Обращение преобразования Лапласа . . • • . . . • .241
. Теорема Медлина (241). 2. Теорема существования оригинала (243)
5. Вычисление интеграла Меллина ,........• 245
I. Теорема обращения, использующая лемму Жордана (245). 2. Теорема обращения для правильного на бесконечности изображения (249)
XIII ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКО
ТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ .» ... 252
Решение уравнения теплопроводности , .252
Уравнение теплопроводности для полубесконечпого стержня (252). 2. Уравнение диффузии в непроницаемой трубке (254)
Решение телеграфного уравнении ,.256
Вывод телеграфных уравнений (256). 2. Случай длинных линий (2Б7). 3. Общее решение уравнений в случае линий ионечной длины (259). 4. Случай разомкнутой на конце х—1 линии без потерь (fi*C—0) и постоянном вапря- женин у(Ц—Е (260). 5. Случай линии без потерь с постоянным сопротивлением г на конце х—1 и постои ином напряжении q—E* const (262). 6. О некоторых других применениях операционного исчисления (265)
I ПРИЛОЖЕНИЯ,,....266
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ27)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ273
Александр Васильевич Ефимов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (специальные разделы) Ч. I
ОБЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
Зав редакцией Е. С, Гридасове Редактор А. И, Свливврстов® Художественный редактор М Г Мицкевич Технический редактор Л А Муравьева Корректор Г. И Кострикова
ИБ № 2154
Изд N5 ФМ-654». Сдано в набор 24.01.80 Подл в пвчать 25-08.80. Формат 60x90/16
Бум тип. N5 2 Гарнитура янтвратуриае
Пвчать высоквя. Обьвм 17,5 уея. пвч я. @3,39 уч.-изд. я= Тираж 45 000 екз. За*е N5 1576. Цоив 65 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Нвгяиииве ул., д. 29/14
Московская типография Nt 4 Союзпояигрефпрома при Государственном комитета СССР по дела#* издательств, подии рафии и книжном торгомн* 129041, Москва Ь, Переясяввская ул., 46
§ 2. ВЫЧЕТЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
1 —X
р*(р24-1 “ о'P*+t *
iг A-1
8. Arc ctgz=——-Lnr.
А. В. ЕФИМОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (специальные разделы)
Часть I