ПРЕДИСЛОВИЕ

Данный практикум представляет собой попытку создания учебного пособия, ориентированного на специфику преподавания эконометрики в экономических вузах. Его структура и содержание базируются на опыте преподавания этой дисциплины в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов и изучении зарубежного опыта.

Большое влияние на формирование методики преподавания эконометрики 审 вузах России, как известно, оказало проведение в 1998-2000 гг. двух международных школ по преподаванию этой дисциплины (руководители - С.А. Айвазян, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий, Я. Магнус), в которых прошла обучение подавляющая часть отечественных преподавателей.

Практикум ориентирован на начальный курс эконометрики.

Изучение этой дисциплины предполагает приобретение студентами опыта построения эконометрических моделей, принятия решений о спецификации и идентификации модели, выбора метода оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок. Студенты должны также научиться давать статистическую оценку значимости таких искажающих эффектов, как гетероскеда- стичность остатков зависимой переменной, мультиколлинеарность объясняющих переменных, автокорреляция. В связи с этим курс эконометрики обязательно включает решение задач. Соответственно методическое обеспечение курса должно состоять из учебника и практикума.-”

Предлагаемый практикум является дополнением к учебнику «Эконометрика», подготовленному тем же коллективом авторов. Практикум охватывает основные темы курса. Главное внимание уделяется построению эконометрических моделей на основе пространственных данных и временньгх рядов. Все разделы практикума имеют идентичную структуру:

краткие методические положения, включающие основные понятия, определения, формулы;

решение типовых задач;

указания по реализации типовой задачи на компьютере с помощью пакетов прикладных программ (ППП) Excel, Statgrapnics или Statistica;

задачи, предлагаемые студентам для тренировки и для контроля.

Разделы практикума корреспондируют с главами учебника: I раздел практикума соответствует главе 2 учебника, П раздел - главе 3, Ш раздел - главе 4, IV раздел - главам 5, 6 и 7.

Формулировки практически всех заданий нацелены на применение результатов эконометрического анализа.

Данные, используемые в задачах, охватывают широкий спектр направлений применения эконометрики. Данные могут обновляться и расширяться прежде всего за счет привлечения материалов официальных статистических публикаций, например статистического сборника «Регионы России», содержащего сведения о потреблении, ценах, доходах и т.д. в субъектах Российской Федерации.

Большое число задач составлено таким образом, чтобы обеспечить индивидуализацию работы студента: предусмотрена возможность различных комбинаций объясняющих переменных, выбор различной объясняемой (зависимой) переменной, предлагаются дифференцированные зад羽дя. Такая гибкость формулировок заданий позволяет преподавателю учесть вкусы студентов при распределении упражнений, организовать работу в малых группах. Кроме того, каждый раздел практикума содержит упражнения разной степени сложности.

Наличие в практикуме таких рубрик, как «Методические указания», «Решение типовых задач» и «Реализация типовых задач на компьютере», дает возможность студентам освоить материал с минимальными затратами. Эти рубрики полезны и преподавателям для планирования содержания практических занятий, выделения главных понятий, подходов к измерению.

В конце практикума находятся основные статистико-математические таблицы, необходимые для решения задач.

Практикум может быть полезен при освоении не только эконометрики, но и курса «Математическая статистика»..

Труд авторов распределился следующим образом: д-р экон, наук И.И. Елисеева - предисловие, разд. 1.1, 1.4 и 3.1; д-р экон, наук С.В. Курышева - разд. 1.1, 1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 4.2 и 4.4; канд. экон, наук Б.А. Михайлов 一 разд. 1.2, 1.4, 3.3 и 4.4; канд. экон, наук Н.М. Гордеенко - разд. 1.4, 2.4 и 3.3; канд. экон, наук Т.В. Костеева - разд. 1.4, 2.2 и 2.4, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2 и 4.4; И.В. Бабаева - разд. 1.3, 2.3, 4.2, 4.3 и 4.4. Работа Т.В. Костеевой выполнена при частичной поддержке гранта института Открытое Общество.

Замечания и пожелания по совершенствованию практикума просим направлять в издательство.

И. И. ЕЛИСЕЕВАИ. И. ЕЛИСЕЕВАНаучный редактор член-корреспондент РАН

И. И. ЕЛИСЕЕВА

И. И. ЕЛИСЕЕВА

РАЗДЕЛ

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯИ КОРРЕЛЯЦИЯ

U. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у ил: У = /(х),

!7je у - зависимая переменная (результативный признак);

х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: у = 〃 + Ь・х + £.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным'.

полиномы разных степеней у = а^Ьхх + Ь2'Х2+Ь3'Х3^-^

равносторонняя гипербола у а + — + &

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

степенная у = q • х^ •匕

показательная y = a bx-^

экспоненциальная у = еа+Ьх ■ е.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров* Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МЯК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ух минимальна, т.е.

£ у - Ух£ у - Ух—> min.—> min.

£ у - Ух

£ у - Ух

—> min.

—> min.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно аиЬ:

м+б£х = Е%а^х+Ь^х2 = ^Ух.

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

а = у-ь-х,ь空中=匹工1^х2-х2

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции гху для линейной регрессии (-1 <Гху < 1):

с\ cov(x,j) ух-у-х

гху = 0=

Gy 6fGy ^x^^

и индекс корреляции рху 一 для нелинейной регрессии (0<рху < 1):

R1WR1W

R1W

R1W

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксгшации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

才」eп才」eп^^ •100% .^^ •100% .

才」e

п

才」e

п

^^ •100% .

^^ •100% .

Допустимый предел значений Л -неболее 8- 10%.

Средний коэффициент эластичности Т показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

э =г(х)

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

6

^(у-у)2 =Цух-у)2+-L(y~ у x)2,

где Ъ(у-у)2 %-у)2 ха-%)?где Ъ(у-у)2 %-у)2 ха-%)?-общая сумма квадратов отклонений;

где Ъ(у-у)2 %-у)2 ха-%)?

где Ъ(у-у)2 %-у)2 ха-%)?

-сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

-остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R :

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы % о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического 匾皿 и критического (табличного)尸^ значений F-критерия Фишера.尸期 определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Ъ{у-уУ !{п-т-Х) 1

где п - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х.

/бп - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если /бп < 尸中акт, то % 一 гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если ГтабЛ > ^aKT, то гипотеза Яо не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью /-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

bаг

% = ； Q = ； L—•

т ьm a mr

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

т _ I £ 3 - /х У 厶"2)_ I s* _ SgT .

У£(Х-文)2NeG-文 У "х 石'

mamaV (”2)V (”2)加2 吟（x-亍）2加2 吟（x-亍）2

ma

ma

V (”2)

V (”2)

加2 吟（x-亍）2

加2 吟（x-亍）2

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения Е-статистнки - гтабл и /期-принимаем или отвергаем гипотезу Н»

Связь между F-критерием Фишера и r-статистикой Стьюдента выражается равенством

^ =(ь= VF.

Если /табл <《акт, то Hq отклоняется, т.е. а, b н гху не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если ^л > t^, то гипотеза Hq не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Д для каждого показателя:

Aq =，та6п加а， 厶6 工 ^табл ^6•

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

〃=а±%；ЧпЬ

Ya=a + M；

maxJ

max

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение ур определяется путем подстановки в уравнение регрессии ух =а + Ь х соответствующего (прогнозного) значения хр. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза тУР :

и строится доверительный интервал прогноза'.

где А% 二 %а6Т т’р •

1.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 7

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Район

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у

Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х

Удмуртская респ.

68,8

45,1

Свердловская обл.

61,2

59,0

Башкортостан

59,9

57,2

Челябинская обл.

56,7

61,8

Пермская обл.

55,0

58,8

Курганская обл.

54,3

47,2

Оренбургская обл.

49,3

55,2

Требуется:

Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а)линейной;

степенной;

показательной;

равносторонней гиперболы.

^Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации 才 и F-критерий Фишера.

Решение

1а. Для расчета параметров а и Z> л инейной регрессии у-а-^Ь-х

решаем систему нормальных уравнений относительно аиЬ:

力 〃 + Ь£х二£у, а£х+Ь£/ 二£у・х.

По исходным данным рассчитываем Еу, Lr, Еух, Ех： Еу2.

Таблица 1.2

У

X

卢

*

Ух

у- Ух

4

1

68,8

45,1

3102,88

2034,01

4733,44

61,3

7,5

10,9

2

61,2

59,0

3610,80

3481,00

3745,44

56,5

4,7

7,7

3

59,9

57,2

3426,28

3271,84

3588,01

57,1

2,8

4,7

4

56,7

61,8

3504,06

3819,24

3214,89

55,5

1,2

2,1

5

55,0

58,8

3234,00

3457,44

3025,00

56,5

-1,5

2,7

6

54,3

47,2

2562,96

2227,84

2948,49

60,5

-6,2

11,4

7

49,3

55,2

2721,36

3047,04

2430,49

57,8

-8,5

17,2

Итого

405,2

384,3

22162,34

21338,41

23685,76

405,2

0,0

56,7

Среднее значение

57,89

54,90

3166,05

3048,34

3383,68

X

X

8,1

о

5,74

5,86

X

X

X

X

X

X

32,92

34,34

X

X

X

X

X

X

工 у^х-у'Х 3166,05-57,89-54,9 八亚b = ^——=z= -0,35,

a^5,862

a = y-bx^ 57,89 + 0,35 • 54,9 二 76,88.

Уравнение регрессии: ^ = 76,88-0,35 х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxv = b^- = -0,35 • — = -0,357.

'%5,74

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

& =(-0,35y =0,127.

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией факторах.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ух. Найдем величину средней ошибки аппроксимации А :

=% =®7；。。％ =8,1%.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем F-критерий:

%m=硒。5 =。，7，

поскольку 1 < F < со, следует рассмотреть 尸-I.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Hq о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимое™ параметров уравнения и показателя тесноты связи.

Построению степенной модели у-а^ предшествует процедура линеаризации переменных. Б примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lgy = lga + b・lgx;

У = С + "

где У = 1g у, X = 1g х, С = 1g а

Для расчетов используем данные табл. 1.3.

Таблица 1.3

Y

X

ГУ

产

Ух

У-Ух

(У-%)?

4

1

1,8376

1,6542

3,0398

3,3768

2,7364

61,0

7,8

60,8

11,3

2

1,7868

1,7709

3,1642

3,1927

3,1361

56,3

4,9

24,0

8,0

3

1,7774

1,7574

3,1236

3,1592

3,0885

56,8

3,1

9,6

5,2

4

1,7536

1,7910

3,1407

3,0751

3,2077

55,5

1,2

L4

2,1

5

1,7404

1.7694

3.0795

3,0290

3/308

56,3

7,3

1,7

2,4

6

1,7348

1,6739

2,9039

3,0095

2,8019

60,2

-5,9

34,8

10,9

7

1,6928

1,7419

2,9487

2,8656

3,0342

57,4

-8,1

65,6

16,4

Итого

12,3234

12,1587

21,4003

21.7078

21Л355

403;5

17

197,9

56,3

Среднее значение

1,7605

1,7370

3,0572

3,1011

3,0194

X

X

28,27

8,0

а

0,0425

0,0484

X

X

X

X

X

X

X

0,0018

0,0023

X

X

X

X

X

X

X

Рассчитаем С и 占:

厶 Y X-Y X 3,0572一 1,7605 1,7370 八

b =zX= -0,298;

喙0,04842

C^Y-bX= 1,7605 + 0,298 1,7370 = 2,278.

Получим линейное уравнение: Y = 2,278-0,298-X

Выполнив его потенцирование, получим:

. = 102,278.х-0,298 =189>7.х-0,298

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации 石：

РхуРху£ у-ух一、e8-田2£ у-ух一、e8-田2= 0,3758,= 0,3758,А = 8,0%.А = 8,0%.

Рху

Рху

£ у-ух

一、

e8-田2

£ у-ух

一、

e8-田2

= 0,3758,

= 0,3758,

А = 8,0%.

А = 8,0%.

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой у = а-Ьх предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Igy = lga + x・lgb;

Y^C + Bx,

где Y=lgy,C = lgatB-lgb.

Для расчетов используем данные табл. 1.4.

Таблица 1.4

Y

X

Yx

产

№

Ух

У- Ух

(У-Ух)2

4

1

1,8376

45,1

82,8758

3,3768

2034,01

60,7

8,1

65,61

11,8

2

1,7868

59,0

105,4212

3,1927

3481,00

56,4

4,8

23,04

7,8

3

1,7774

57,2

101,6673

3,1592

3271,84

56,9

3,0

9,00

5,0

4

1,7536

61,8

108,3725

3,0751

3819,24

55,5

1,2

1,44

2,1

5

1,7404

58,8

102,3355

3,0290

3457,44

56,4

Т4

1,96

2,5

6

1,7348

47,2

81,8826

3,0095

2227,84

60,0

-5,7

32,49

10,5

7

1,6928

55,2

93,4426

2,8656

3047,04

57,5

-8,2

67,24

16,6

Итого

12,3234

384,3

675,9974

21,7078

21338,41

403,4

-1,8

200,78

56,3

Среднее значение

1,7605

54,9

96,5711

3,1011

3048,34

X

X

28,68

8,0

а

0,0425

5,86

X

X

X

X

X

X

X

0,0018

34,3396

X

X

X

X

X

X

X

96,5711-1,7605-54,996,5711-1,7605-54,9=4),0023,=4),0023,Значения параметров регрессии Л и В составили:

96,5711-1,7605-54,9

96,5711-1,7605-54,9

=4),0023,

=4),0023,

A = Y-Bx = 1,7605 + 0,0023 • 54,9 = 1,887.

Л

Получено линейное уравнение: У = 1,887 - 0,0023 • х

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обьпшой форме:

= 101,887 1О-о,0023-х =77Д. 0,9947 х.

Тесноту связи оценим через индекс корреляции р^ :

厶 28,27У " 32,92厶 28,27У " 32,92=0,3589.=0,3589.

厶 28,27

У " 32,92

厶 28,27

У " 32,92

=0,3589.

=0,3589.

Связь умеренная.

А = 8,0%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы у = а + Ь —

линеаризуется при замене: z = — , Тогда y = a + b-z .

Для расчетов используем данные табл. 1.5.

Таблица 1.5

У

Z

К

z2

Ух

у-%

(У - Ух)2

4

1

68,8

0,0222

1,5255

0,000492

4733,44

61,8

7,0

49,00

10,2

2

61,2

0,0169

1,0373

0,000287

3745,44

56,3

4,9

24,01

8,0

3

59,9

0,0175

1,0472

0,000306

3588,01

56,9

3,0

9,00

5,0

4

56,7

0,0162

0,9175

0,000262

3214,89

55,5

1,2

1,44

2,1

5

55

0,0170

0,9354

0,000289

3025,00

56,4

-1,4

1,96

2,5

6

54,3

0,0212

1,1504

0,000449

2948,49

60,8

<5

42,25

12,0

7

49,3

0,0181

0,8931

0,000328

2430,49

57,5

—8,2

67,24

16,6

Итого

405,2

0,1291

7,5064

0,002413

23685,76

405,2

0,0

194,90

56,5

Среднее значение

57,9

0,0184

1,0723

0,000345

3383,68

X

X

27,84

8,1

а

5,74

0,002145

X

X

X

X

X

X

X

W

32,9476

0,000005

X

X

X

X

X

X

X

Значения параметров регрессии а и 6 составили:

a = y-b z= 57,89-1051,4• 0,0184二 3 8,5;

y-z-y-zb =56y-z-y-zb =56«1051,4.«1051,4.1,0723-57,9 ・0,01840,0021452

y-z-y-z

b =5

6

y-z-y-z

b =5

6

«1051,4.

«1051,4.

Получено уравнение: у = 38,5 + 1051,4-—.

Индекс корреляции: рхуИндекс корреляции: рху= 0,3944.= 0,3944.

Индекс корреляции: рху

Индекс корреляции: рху

= 0,3944.

= 0,3944.

4=8,1%. По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: рху =0,3944 (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). А остается на допустимом уровне:

2

Рух п-т-1 0；1555 < лпп

5- о,92, 1-р^х m 0,8445

ГДе 尸табл =6,6 > 尸巾am 仪=0,05.

Следовательно, принимается гипотеза % о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Пример 2

По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (табл. 1.6).

Таблица 1.6

Номер региона

Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х

Среднедневная заработная плата, руб.，У

1

78

133

2

82

148

3

87

134

4

79

154

5

89

162

6

106

195

7

67

139

8

88

158

9

73

152

10

87

162

11

76

159

12

115

173

Требуется:

Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5，Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7).

Таблица 1.7

#

У

А

?

У- Ух

4

1

78

133

10374

6084

17689

149

-16

12,0

2

82

148

12136

6724

21904

152

-4

2,7

3

87

134

11658

7569

17956

157

-23

17,2

4

79

154

12166

6241

23716

150

4

2,6

5

89

162

14418

7921

26244

159

3

1,9

6

106

195

20670

11236

38025

174

21

10,8

7

67

139

9313

4489

19321

139

0

0,0

8

88

158

13904

7744

24964

158

0

0,0

9

73

152

11096

5329

23104

144

8

5,3

10

87

162

14094

7569

26244

157

5

3,1

И

76

159

12084

5776

25281

147

12

7,5

12

115

173

19895

13225

29929

183

-10

5,8

Итого

1027

1869

161808

89907

294377

1869

0

68,8

Среднее значение

85,6

155,8

13484,0

7492,3

24531,4

X

X

5,7

0

12,95

16,53

X

X

X

X

X

X

W

167,7

273,4

X

X

X

X

X

X

, У'Х-у'Х13484-85,6-155,8151,8_

£/-(Н)27492,3-85,62164,94''

а = у-Ьх = 155,8 一 0,92 • 85,6 = 77,0.

Получено уравнейие регрессии: у - 77,0 + 0,92 ■ х.

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

г砂=Ь旦= 0,92= 0,721; Л =0,52.

Dy16,53产

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией факторах-среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

7=“ 4 =7=“ 4 =68 ,91268 ,912=5,7%.=5,7%.

7=“ 4 =

7=“ 4 =

68 ,9

12

68 ,9

12

=5,7%.

=5,7%.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как А не превышает 8 - 10%.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью r-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу % о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a = b = rxy = Q.

гтабл для числа степеней свободы df= п-2 = 12-2=10иа = 0,05 составит 2,23.

Определим случайные ошибки та,加岳 加%:

叫"6 叵i = 24,3；个宀_。,281；

°12-12,95% 1295•阮

fl^2 =0,219.12-2fl^2 =0,219.12-2

fl^2 =0,219.12-2

fl^2 =0,219.12-2

Тогда

З_=3,2“ 丄=3,3; rr

24 ,30,281『冷 0,219

Фактические значения ^статистики превосходят табличные значения:

% = 3,2 > Ардбл = 2,3 ；〔ь = 3,3 > /уабл = 2,3 ； %歹 иЗЗАЕтаб^и^З,

поэтому гипотеза % отклоняется, т.е. а, b и % не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для а и Ь. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

△а = 2,23 • 24,3 = 54 ; Д^ = 2,23 • 0,281 = 0,62 .

Доверительные интервалы:

% = а± Ла = 77 ± 54 ；

%min =77-54 =23；

Yamax = 77 + 54 = 131 ；

у^ = Z? ± Д^ = 0,92 ± 0,62;

力 min =。，92-0,62 = 0,30;

Ybmax =0,92 + 0,62 = 1,54 .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностьюр= Т _ а = 0,95 параметры а и 6, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4・ Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: хр = х 1,07 = 85,6-1,07 =91,6 тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

ур = 77 +0,92 -91,6 = 161 тыс. руб.

Ошибка прогноза составит:

= 12,6-J1 + —уР V 12= 12,6-J1 + —уР V 12(91,6-85,6)2и

= 12,6-J1 + —

уР V 12

= 12,6-J1 + —

уР V 12

+ = 13,2 тыс. руб.

12 -12,952

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

А^ = /бл fp = 2,23 13,2 = 29,4.

Доверительный интервал прогаоза:

у% =91,6 ±29,4;

Ус =91,6-29,4 = 622 руб.;"mm

ур = 91,6 + 29,4 = 121 руб.'Ртах

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным (р = 1 — а = 1 - 0,05 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dy составляет 1,95 раза:

П =22щах =121=195

丫 4min 62

Пример 3

По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Признак-фактор

Уравнение парной регрессии

Среднее значение фактора

Объем производства, МЛН руб., X]

yXi =062 + 58,74 •丄

五 1 二 2,64

Трудоемкость единицы продукции, чел.-час, х2

九2 = 9,30 +9,83 Х2

豆=1,38

Оптовая цена за 1 т энергоносителя, млн руб., Хз

% =11,75 + х产81

х3 = 1,503

Доля прибыли, изымаемой государством, %, л4

%4 =14,87 1,016х4

Хд = 26,3

Требуется:

Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение

Для уравнения равносторонней гиперболы ух. =0,62 + 58,74- — :

6XI6XIa + b/x^a + b/x^6ах\+Ь6ах\+Ь58,740,62 ■ 2,64 + 58,7458,740,62 ■ 2,64 + 58,74=-0,973% •=-0,973% •

6

XI

6

XI

a + b/x^

a + b/x^

6ах\+Ь

6ах\+Ь

58,74

0,62 ■ 2,64 + 58,74

58,74

0,62 ■ 2,64 + 58,74

=-0,973% •

=-0,973% •

Для уравнения прямой уХ2 = 9,30 + 9,83 • х2 :

Э/2Э/29,83-1,389,83-1,382 а + Ь-х2 9,30 + 9,83-1,382 а + Ь-х2 9,30 + 9,83-1,38= 0,59%.= 0,59%.

Э

/2

Э

/2

9,83-1,38

9,83-1,38

2 а + Ь-х2 9,30 + 9,83-1,38

2 а + Ь-х2 9,30 + 9,83-1,38

= 0,59%.

= 0,59%.

Для уравнения степенной зависимости уХз = 11,75+ %з 6281:

Эух = f\x3)~ = а-Ъ-%з4 ■= 6 = 1,63% .

Уа%з

Для уравнения показательной зависимости уХ4 = 14,87 + 1,016*4 :

Зум = fXx^)^--a-b^4 In6-―^―- = In6• x4 = In 1,016• 26,3 = 0,42%

''Уа • Ъх^

Сравнивая значения 3丿修,ранжируем 巧 по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а)^ = 1,63% ;в)%? =°，59% ；

б) ЭуХ1 = 4),973% ; г) ЭуХ4 = 0,42% .

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на-0,97%.

Пример 4

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии ух =2-х0,3;

индекс корреляции рху = 0,9;

остаточная дисперсия а^ = 0,06 .

Требуется:

Провести дисперсионный анализ полученных результатов. Решение

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Вариация результата у

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений, S

Дисперсия на одну степень свободы, D

尸факт

^табл а = 0,05, & =1,左2 - 18

Общая

力*="一1 二 19

6,316

-

Факторная

kt т = 1

5,116

5,116

76,7

4,41

Остаточная

左2 二〃 一т-1 = 18

1,200

0,0667

-

$ост 二仃工■几-0,06- 20 = 1,2 ;

So6m =5。仃:(1 -p^) = 1,2: (1 -0,81) = 6,316 ;

5факт =6,316-1,2 = 5,116；

= $¥ = 76,7.1-0,92 1= $¥ = 76,7.1-0,92 1

= $¥ = 76,7.1-0,92 1

= $¥ = 76,7.1-0,92 1

В силу того что %акт 二 76,7 > /б” = 4,4, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта Л от среднедушевого дохода.

РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Решение с помощью ППП Excel

Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии у-а + Ь-х. Порядок вычисления следующий:

введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

22

выделите область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1x2 - доя получения только оценок коэффициентов регрессии;

3)активизируйте Мастер функций любым из способов:

в главном меню выберите Вставка/Функция;

на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

в окне Категория (рис. 1.1) выберите Статистические, в окне функция 一 ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

Мастер функций * шаг 1 из 2

Функция：Функция：^тесория

Функция：

Функция：

1 и иедаено использовавши <ся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и времяМатематические1 и иедаено использовавши <ся Полный алфавитный перечень ФинансовыеДата и времяМатематическиеКОВАР КОРРЕЛ КРИТБИНОМ ЛГРФПРИБЛКОВАР КОРРЕЛ КРИТБИНОМ ЛГРФПРИБЛ‘址些1h‘址些1h匸丁&TNCTHU之口:Н 日匸丁&TNCTHU之口:Н 日(Ссылки и массивы Работа с базой данных Текстовые(Ссылки и массивы Работа с базой данных Текстовые1 ЛОГНОРМОБР、 ЛОГНОРМРАСП МАКС▼I МАКСА1 ЛОГНОРМОБР、 ЛОГНОРМРАСП МАКС▼I МАКСА

1 и иедаено использовавши <ся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время

Математические

1 и иедаено использовавши <ся Полный алфавитный перечень Финансовые

Дата и время

Математические

КОВАР КОРРЕЛ КРИТБИНОМ ЛГРФПРИБЛ

КОВАР КОРРЕЛ КРИТБИНОМ ЛГРФПРИБЛ

‘址些1h

‘址些1h

匸丁&TNCTHU之口:Н 日

匸丁&TNCTHU之口:Н 日

(Ссылки и массивы Работа с базой данных Текстовые

(Ссылки и массивы Работа с базой данных Текстовые

1 ЛОГНОРМОБР

、 ЛОГНОРМРАСП МАКС

▼I МАКСА

1 ЛОГНОРМОБР

、 ЛОГНОРМРАСП МАКС

▼I МАКСА

ЛИНЕЙН(юв_?нач_уд<эв_энач^жканстант^стат)

Возвращает параметры линейного приближения по мтбдунан*Мших квадратовf卡 4

曳曳0n«« I0n«« I

曳

曳

0n«« I

0n«« I

Рис. 1.1. Диалоговое окно «Мастер функций»

заполните аргументы функции (рис, 1,2): Известные^начения_у - диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные^наченияус - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа - логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа =1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация

выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК;

Mmi>W4Js{b2 Bl^iKoHCTtarijiСтатрMmi>W4Js{b2 Bl^iKoHCTtarijiСтатр3-₽яйв>^ед 'а

Mmi>W4Js{b2 Bl^i

KoHCTtariji

Статр

Mmi>W4Js{b2 Bl^i

KoHCTtariji

Статр

习.итмА

Ut・t логкмецтсАмМйн* kdtksm vmomvmtj требуется ирнутьдск1О^влы^О№мстикул0#м1»(хии{ИП1*<^ш^

Рис. 1.2. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем - на комбинацию клавиш vCTRL>xSHIFT>yENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b

Значение коэффициента а

Среднеквадратическое отклонение b

Среднеквадратическое отклонение а

Коэффициент детерминации R2

Среднеквадратическое отклонение у

/'-статистика

Число степеней свободы

Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Для вычисления параметров экспоненциальной кривой у = а • 0 * в MS Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

24

Длям данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕЙН представлен на рис. 13, функции ЛГРФПРИБЛ - на рис. 1.4.

■]"5 )итории региона■]"5 )итории регионаСреднемесячная зарплата - уСреднемесячная зарплата - у173173F3 二 87fF3 二 87fН5~Н5~Территорвирегиона112Территорвирегиона112Прожиточныйминимум X788287^8910667Прожиточныйминимум X788287^8910667ЛинейнЛинейн0 320431 上79716 615198T7101820Pl 170sl3280 320431 上79716 615198T7101820Pl 170sl3287619764g五2向 121s4959 ' 10 1574 9^7619764g五2向 121s4959 ' 10 1574 9^Lr dOl® *j£w]>il&£L^FLr dOl® *j£w]>il&£L^F1зз 一 -——148—]34.]54""162-195 —139—158—]52—162-159—1зз 一 -——148—]34.]54""162-195 —139—158—]52—162-159—Рис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙНРис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН1=31=3Прожиточный минимум XПрожиточный минимум XТерритории三孝12Территории三孝1278ITIF守ITF 爾 "тГ "87~ "7? IK78ITIF守ITF 爾 "тГ "87~ "7? IKСреднемесячная3叩плата - у133一148—154—一一 162一195—139“158-152~162一159—173Среднемесячная3叩плата - у133一148—154—一一 162一195—139“158-152~162一159—1731X)0566495 53277ОДЛ 79101549970 496671одаозд9 346979100 0642020 0645441X)0566495 53277ОДЛ 79101549970 496671одаозд9 346979100 0642020 064544ЛгрфприблЛгрфприбл

■]"5 )итории региона

■]"5 )итории региона

Среднемесячная зарплата - у

Среднемесячная зарплата - у

173

173

F3 二 87f

F3 二 87f

Н5~

Н5~

Территорвирегиона112

Территорвирегиона112

Прожиточныйминимум X788287^8910667

Прожиточныйминимум X788287^8910667

Линейн

Линейн

0 320431 上79716 615198T7

101820Pl 170sl328

0 320431 上79716 615198T7

101820Pl 170sl328

7619764g

五2向 121s4959 ' 10 1574 9^

7619764g

五2向 121s4959 ' 10 1574 9^

Lr dOl® *j£w]>il&£L^F

Lr dOl® *j£w]>il&£L^F

1зз 一 -

——148—

]34.

]54""

162-

195 —

139—

158—

]52—

162-

159—

1зз 一 -

——148—

]34.

]54""

162-

195 —

139—

158—

]52—

162-

159—

Рис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Рис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

1=3

1=3

Прожиточный минимум X

Прожиточный минимум X

Территории三孝12

Территории三孝12

78ITIF守IT

F 爾 "тГ "87~ "7? IK

78ITIF守IT

F 爾 "тГ "87~ "7? IK

Среднемесячная

3叩плата - у

133一

148—

154—

一一 162一

195—

139“

158-

152~

162一

159—

173

Среднемесячная

3叩плата - у

133一

148—

154—

一一 162一

195—

139“

158-

152~

162一

159—

173

1X)05664

95 53277

ОДЛ 791

0154997

0 496671

одаозд

9 346979

10

0 064202

0 064544

1X)05664

95 53277

ОДЛ 791

0154997

0 496671

одаозд

9 346979

10

0 064202

0 064544

Лгрфприбл

Лгрфприбл

Рис. 1.4. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности Порядок действий следующий.

проверьте доступ к пакету анализа В главном меню последовательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);

Надстройки

Г" Мастер преобразования файлов

Г Мастер суммирования

Г" Мастер шаблонов

厂 Надстройка AccessLinks

Г Надстройка М5 Query для Е ^се! 5

厂 Обновление связей

Г Поиск решения

厂 Программы дм шаблонов

Пзгет анализа

Рис. 1.5. Подключение надстройки Пакет анализа

в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия Щелкните по кнопке ОК;

заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 1 6)

Входной интервал У - диапазон, содержащий данные результативного признака,

Входной интервал л - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК

Рис. 1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента РегрессияРис. 1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Рис. 1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Рис. 1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных из примера 2 представлены на рис. 1 7

P»»wccuowm cffwnw^nu*»P»»wccuowm cffwnw^nu*»GQ869B5GQ869B51705327706 1ЛК32770Б ЮДООГ 0ДВН18431705327706 1ЛК32770Б ЮДООГ 0ДВН1843Кмффицмч Ст»ОлртмлКмффицмч Ст»Олртмл2102s2142102s214Y rwp*cn«MM Прожиточный нииннум XY rwp*cn«MM Прожиточный нииннум XМиожасгмнннА RНормиромннЫй RСпнд(рпмяМиожасгмнннА RНормиромннЫй RСпнд(рпмя■A J，・.■■A J，・.■157,4922294157,4922294ЗмкимостьЗмкимостьcnwnucmun с Wwwue 954 Зимниеcnwnucmun с Wwwue 954 ЗимниеРис. 1.7. Результат применения инструмента РегрессияРис. 1.7. Результат применения инструмента РегрессияПриотчиый минимум х Г>а*икПриотчиый минимум х Г>а*ик76黒64852~~24^1156138 3 179327594 ОДО9831 23Д297552в 130^232 23рЭ976 1301s23276黒64852~~24^1156138 3 179327594 ОДО9831 23Д297552в 130^232 23рЭ976 1301s232ОдаМЗОИЗ. 01yg715687 313p694434. ОДИ 142 0 397185279 115436T8 0 39Л85 115436T6ОдаМЗОИЗ. 01yg715687 313p694434. ОДИ 142 0 397185279 115436T8 0 39Л85 115436T6

P»»wccuowm cffwnw^nu*»

P»»wccuowm cffwnw^nu*»

GQ869B5

GQ869B5

1705327706 1ЛК32770Б ЮДООГ 0ДВН1843

1705327706 1ЛК32770Б ЮДООГ 0ДВН1843

Кмффицмч Ст»Олртмл

Кмффицмч Ст»Олртмл

2102s214

2102s214

Y rwp*cn«MM Прожиточный нииннум X

Y rwp*cn«MM Прожиточный нииннум X

МиожасгмнннА R

НормиромннЫй R

Спнд(рпмя

МиожасгмнннА R

НормиромннЫй R

Спнд(рпмя

■A J，・.■

■A J，・.■

157,4922294

157,4922294

Змкимость

Змкимость

cnwnucmun с Wwwue 954 Зимние

cnwnucmun с Wwwue 954 Зимние

Рис. 1.7. Результат применения инструмента Регрессия

Рис. 1.7. Результат применения инструмента Регрессия

Приотчиый минимум х Г>а*ик

Приотчиый минимум х Г>а*ик

76黒64852~~24^1156138 3 179327594 ОДО9831 23Д297552в 130^232 23рЭ976 1301s232

76黒64852~~24^1156138 3 179327594 ОДО9831 23Д297552в 130^232 23рЭ976 1301s232

ОдаМЗОИЗ. 01yg715687 313p694434. ОДИ 142 0 397185279 115436T8 0 39Л85 115436T6

ОдаМЗОИЗ. 01yg715687 313p694434. ОДИ 142 0 397185279 115436T8 0 39Л85 115436T6

Решение с помощью ППП Statgraphics

Порядок вычислений при использовании функции Simple Regression следующий:

введите исходные данные (рис. 1.8) или откройте существующий файл, содержащий исходные данные;

в главном меню последовательно выберите Relate/Simple Regression;

заполните диалоговое окно ввода данных. В поле «У» введите название столбца, содержащего зависимую переменную, в поле «X» - название столбца, содержащего значения факторного признака. Щелкните по кнопке ОК;

f Simple Rr■中产，、沁门f Simple Rr■中产，、沁门№(Sebct) ИГ№(Sebct) ИГYYEFEFР SoriР SoriDeE 匕］Transform | HelpDeE 匕］Transform | Help

f Simple Rr■中产，、沁门

f Simple Rr■中产，、沁门

№

(Sebct) ИГ

№

(Sebct) ИГ

Y

Y

EF

EF

Р Sori

Р Sori

DeE 匕］Transform | Help

DeE 匕］Transform | Help

Рис. 1.8. диалоговое окно ввода данных

в окне табличных настроек поставьте флажок напротив Analysis Summary,

Результаты вычислений появятся в отдельном окне.

Для данных из примера 2 результат применения функции Simple

Regression представлен на рис. 1.9.

28

Ам1Е・

of Variance

Su» of SctUKtS

D£ M**n SquK*

Г-Ratio

»-W*lU*

юЗ

1705,33

11705,33

10.83

0,0081

kcsidual

1574,92

10157,492

Гос*1 (Corr >

3280,Z5

^ ：OMr3«C±g Cc«tticl.«nt ■ 0,721025

:r“^mkZ ■ 51,9677 p«cc«nc

:BeaMAKd Ixror ot Be ■ 12,5496

9g т - • ♦ ь・х9g т - • ♦ ь・хvariable уvariable уvariable xvariable x■ cndepew**116■ cndepew**116IseiaaccIseiaaccSCKiseicSCKiseic0,00960,00960,9204310,920431StandardStandardIb^Lg^ J^■Ivl VI I' IIb^Lg^ J^■Ivl VI I' I[nc*rc«p® Slop*[nc*rc«p® Slop*

9g т - • ♦ ь・х

9g т - • ♦ ь・х

variable у

variable у

variable x

variable x

■ cndepew**116

■ cndepew**116

Iseiaacc

Iseiaacc

SCKiseic

SCKiseic

0,0096

0,0096

0,920431

0,920431

Standard

Standard

Ib^Lg^ J^

■Ivl VI I' I

Ib^Lg^ J^

■Ivl VI I' I

[nc*rc«p® Slop*

[nc*rc«p® Slop*

Рис. 1.9. Итоговое окно функции Simple Regression

Как видим, результаты вычислений вручную и с помощью компьютера совпадают.

1-4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1

Получены функции:у = а + Ьх3 + £,у = а + 6!пх + Е,1пу = а+61пх + £,у-а + Ьхс +е,Получены функции:у = а + Ьх3 + £,у = а + 6!пх + Е,1пу = а+61пх + £,у-а + Ьхс +е,уа = 6 + сх2 + £,у = 1 + а(1-/) + 2,у = а + Ь— + е,10уа = 6 + сх2 + £,у = 1 + а(1-/) + 2,у = а + Ь— + е,10

Получены функции:

у = а + Ьх3 + £,

у = а + 6!пх + Е,

1пу = а+61пх + £,

у-а + Ьхс +е,

Получены функции:

у = а + Ьх3 + £,

у = а + 6!пх + Е,

1пу = а+61пх + £,

у-а + Ьхс +е,

уа = 6 + сх2 + £,

у = 1 + а(1-/) + 2,

у = а + Ь— + е,

10

уа = 6 + сх2 + £,

у = 1 + а(1-/) + 2,

у = а + Ь— + е,

10

Задание

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам. '

Задача 2

Исследуя спрос на телевизоры марки N, аналитический отдел компании АВС по данным, собранным по 19 торговым точкам компании, выявил следующую зависимость:

1” = 10,5 - 0,8 Inx + £,

(2,5) Ю)

где у - объем продаж телевизоров марки ^ в отдельной торговой точке;

х - средняя цена телевизора в данной торговой точке;

в скобках приведены фактические значения /-критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии.

Задание

До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет -0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования?

Задача 3

Для трех видов продукции А, В п С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:

Уа = 600,

Ув =80 + 0,7%

Задание

Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл.

Сравните при х = 1000 эластичность затрат для продукции Л и С. 3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции Л и С были равны.

Задача 4

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость у от х:

7 = 8-7х + е.

Известно также, что гху 二-0,5; п 二 20.

Задание

Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

а)с вероятностью 90%;

б) с вероятностью 99%.

Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Задача 5

Изучается зависимость потребления материалов у от объема производства продукции х. По 20 наблюдениям были получены следующие варианты уравнения регрессии:

у = 3+ 2 х + £.

(6,48)

In у = 2,5+ 0,2 1пх + £, г2 =0,68.

(6,19)

1пГ = 1Д+ 0,8-lnJT + E, г2 =0,69.

(6,2)

У = 3+ 1,5・Х+ 0,1 • *2, г2 =0,701. (3,0)(2,65)

В скобках указаны фактические значения г-критерия.

Задание

Определите коэффициент детерминации для 1-го уравнения.

Запишите функции, характеризующие зависимость у от х во 2-м и 3-м уравнениях.

Определите коэффициенты эластичности для каждого из уравнений.

Выберите наилучший вариант уравнения регрессии.

Задача 6

По совокупности 30 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: х - цена на товар А, тыс. руб.; у - прибыль торгового предприятия, млн руб.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

£(力-%)2 = 39 000；

^(7;-7)2 = 120 000.

Задание

Поясните, какой показатель корреляции можно определить по этим данным.

Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.

Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Задача 7

Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью: у-a^bx + cx1. Ее использование привело к результатам, представленным в табл. i.iO.

Таблица 1.10

№ п/п

Производительность труда рабочих, тыс. руб., у

№ п/п

Производительность труда рабочих, тыс. руб., у

фактическая

расчетная

фактическая

расчетная

1

12

10

6

11

12

2

8

10

7

12

13

3

13

13

8

9

10

4

15

14

9

11

10

5

16

15

10

9

9

Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Задача 8

Моделирование прибыли фирмы по уравнению у = abx привело к результатам, представленным в табл. 1.11.

Таблица 1.11

№ п/п

Прибыль фирмы, тыс. руб.,у

№ п/п

Прибыль фирмы, тыс. руб” у

фактическая

расчетная

фактическая

расчетная

1

10

11

5

18

20

2

12

11

6

11

И

3

15

17

7

13

14

4

17

15

8

19

16

Задание

Оцените качество модели. Для этого: а) определите ошибку аппроксимации; б) найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

в) рассчитайте F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 9

Изучалась зависимость вида у = ахь. Для преобразованных в логарифмах переменных получены следующие данные:

£ху= 4,2087;£х = 8,2370；

£/= 9,2334;£”3,9310;

£ (У-1^)2=0,0014.

Задание

Найдите параметр Ь.

Найдите показатель корреляции, предполагая Оу =0,08. Оцените его значимость.

Оцените его значимость, если известно, что п = 9.

Задача 10

Зависимость объема производства^ (тыс. ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна характеризуется следующим образом:

Уравнение регрессии

у = 30-0,4х + 0,04—

Доля остаточной дисперсии в общей

20%

Задание

Определите:

индекс корреляции;

значимость уравнения регрессии;

коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых составляет 30 человек.

Задача 11

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.): у = 20 + ^^. Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19.

Задание

Определите:

коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.;

индекс корреляции;

F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 12

Зависимость спроса на товар К от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: 1g у = 1,75-0,351gx. Доля остаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

Определите индекс корреляции.

Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 13

По 20 фермам области получена информация, представленная в табл. 1.12.

Таблица 1.12

Показатель

Среднее значение

Коэффициент вариации

Урожайность, ц/га

27

20

Внесено удобрений на 1 га посева, кг

5

15

Фактическое значение F-критерия Фишера составило 45.

Задание

Определите линейный коэффициент детерминации.

Постройте уравнение линейной регрессии.

34

Найдите обобщающий коэффициент эластичности.

С вероятностью 0,95 укажите доверительный интервал ожидаемого значения урожайности в предположении роста количества внесенных удобрений на 10% от своего среднего уровня.

Задача 14

Для двух видов продукции А и Б зависимость расходов предприятия у (тыс. руб.) от объема производства х (шт.) характеризуется данными, представленными в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Уравнение регрессии

Показатели корреляции

Число наблюдений

УА = 160 + 0,8х

0,85

30

УВ = 50х°'6

0,72

25

Задание

Поясните смысл величин 0,8 и 0,6 в уравнениях регрессии.

Сравните эластичность расходов от объема производства для продукции А иБ при выпуске продукции А в 500 единиц.

1. Определите, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность ее расходов совпадала с эластичностью расходов на продукцию Б.

Оцените значимость каждого уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера.

Задача 15

Зависимость объема продаж у (тыс* долл.) от расходов на рекламу% (тыс. долл.) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:

Уравнение регрессии

у = 10,6 + 0,6х

Среднее квадратическое отклонение х

О% =4,7

Среднее квадратическое отклонение у

Оу = 3,4

Задание

Определите коэффициент корреляции.

Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

з*

Найдите стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии.

Оцените значимость коэффициента регрессии через г-критерий Стьюдента.

Определите доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,95 и сделайте экономический вывод.

Задача 16

По 20 регионам страны изучается зависимость уровня безработицы у (%) от индекса потребительских цен х (% к предыдущему году). Информация о логарифмах исходных показателей представлена в табл. 1.14.

Таблица 1.14

Показатель

1пх

In у

Среднее значение

0,6

1,0

Среднее квадратическое отклонение

0,4

0,2

Известно также, что коэффициент корреляции между логарифмами исходных показателей составил r^ iny = 0,8.

Задание

Постройте уравнение регрессии зависимости уровня безработицы от индекса потребительских цен в степенной форме.

Дайте интерпретацию коэффициента эластичности данной модели регрессии.

Определите значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.

Задача 17

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (табл. 1.15).

Таблица 1.15

Показатель

Материалоемкость продукции по заводам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Потреблено материалов на единицу продукции, кг

9

6

5

4

3,7

3,6

3,5

6

7

3,5

Выпуск продукции, тыс. ед.

100

200

300

400

500

600

700

150

120

250

Задание

b

Найдите параметры уравнения 歹二 а + —.

Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.

Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции.

Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.

Задача 18

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.16).

Таблица 1.16

Район

Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах,займах, сертификатах и на покупку валюты,в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у

Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., х

Брянская обл.

6,9

289

Владимирская обл.

8,7

334

Ивановская обл.

6,4

300

Калужская обл.

8,4

343

Костромская обл.

6,1

356

Орловская обл.

9,4

289

Рязанская обл.

11,0

341

Смоленская обл.

6,4

327

Тверская обл.

9,3

357

Тульская обл.

8,2

352

Ярославская обл.

8,6

381

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 19

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.17).

Таблица 1.17

Район

Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., у

Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., х

Брянская обл.

240

178

Владимирская обл.

226

202

Ивановская обл.

221

197

Калужская обл.

226

201

Костромская обл.

220

189

г. Москва

250

302

Московская обл.

237

215

Орловская обл.

232

166

Рязанская обл.

215

199

Смоленская обл.

220

180

Тверская обл.

222

181

Тульская обл.

231

186

Ярославская обл.

229

250

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

38

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 20

По территориям Центрального и Волго-Вятского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.18).

Таблица 1.18

Район

Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., у

Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс. руб., X

Центральный

Брянская обл.

615

289

Владимирская обл.

727

338

Ивановская обл.

584

287

Калужская обл.

753

324

Костромская обл.

707

307

Орловская обл.

657

304

Рязанская обл.

654

307

Смоленская обл.

693

290

Тверская обл.

704

314

Тульская обл.

780

304

Ярославская обл.

830

341

Волго-Вятский

Респ. Марий Эл

554

364

Респ. Мордовия

560

342

Чувашская Респ.

545

310

Кировская обл.

672

411

Нижегородская обл.

796

304

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 21

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.19).

Таблица 1.19

Район

Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у

Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., X

Волго-Вятский

Респ. Марий Эл

302

554

Респ. Мордовия

360

560

Чувашская Респ.

310

545

Кировская обл.

415

672

Нижегородская обл.

452

796

Центрально-Черноземный

Белгородская обл.

502

.777

Воронежская обл.

355

632

Район

Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у

Средняя з 叩 аботная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., %

Курская обл.

416

688

Липецкая обл.

501

833

Тамбовская обл.

403

577

Поволжский

Респ. Калмыкия

208

584

Респ. Тат却стан

462

949

Астраханская обл.

368

888

Волгоградская обл.

399

831

Пензенская обл.

342

562

Саратовская обл.

354

665

Ульяновская обл.

558

705

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и де- •рРПМЫНЯции

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп= 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости (X = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 22

По территориям Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.20).

Таблица 1.20

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., X

Северный

Респ. К叩елия

596

913

Респ. Коми

417

1095

Архангельская обл.

354

606

Вологодская обл.

526

876

Мурманская обл.

934

1314

Северо-Западный

Ленинградская обл.

412

593

Новгородская обл.

525

754

Псковская обл.

367

528

Центральный

Брянская обл.

364

520

Владимирская обл.

336

539

Ивановская обл.

409

540

Калужская обл.

452

682

Костромская обл.

367

537

Московская обл.

'328

589

Орловская обл.

460

626

Рязанская обл.

380

521

Смоленская обл.

439

626

Тверская обл.

344

521

Тульская обл.

401

658

Ярославская обл.

514

746

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Рассчитайте средний (общий) коэффициент эластичности.

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

42

Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 23

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.21).

Таблица 1.21

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., X

Восточно-Снбнрскин

Респ. Бурятия

408

524

Респ. Тыва

249

371

Респ. Хакасия

253

453

Красноярский край

580

1006

Иркутская обл.

651

997

Усть-Ордынский Бурятский авт. округ

139

217

Читинская обл.

322

486

Дальневосточный

Респ. Саха (Якутия)

899

1989

Еврейская авт. обл.

330

595

Чукотский авт. округ

446

1550

Приморский край

642

937

Хабаровский край

542

761

Амурская обл.

504

767

Камчатская обл.

861

1720

Магаданская обл.

707

1735

Сахалинская обл.

557

1052

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 24

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.22).

Таблица 1.22

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., X

Уральский

Респ. Башкортостан

461

632

Удмуртская Респ.

524

738

Курганская обл.

298

515

Оренбургская обл.

351

640

Пермская обл.

624

942

Свердловская обл.

584

888

Челябинская обл.

425

704

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., X

Западно-Сибнрскнй

Респ. Алтай

277

603

Алтайский край

321

439

Кемеровская обл.

573

985

Новосибирская обл.

576

735

Омская обл.

588

760

Томская обл.

497

830

Тюменская обл.

863

2093

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4? 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 25

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.23).

Таблица 1.23

Район

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у

Средняя з^аботная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., X

Уральский

Респ. Башкортостан

461

912

Удмуртская Респ.

524

809

Курганская обл.

298

748

Оренбургская обл.

351

847

Пермская обл.

624

1087

Свердловская обл.

584

1074

Челябинская обл.

425

1008

Западно-Снбнрскнй

Респ. Алтай

277

682

Алтайский край

321

697

Кемеровская обл.

573

1251

Новосибирская обл.

576

967

Омская обл.

588

898

Томская обл.

497

1263

Тюменская обл.

863

3027

Задание

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности.

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

46

Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 26

Имеются данные по странам за 1994 г., представленные в табл.

1.24.

Таблица 1.24

Страна

Душевой доход*, долл., у

Индекс человеческого развития (ИЧР),片

Индекс человеческой бедности (ИНЕ),%

Объединенные

Арабские Эмираты

1600

0,866

14,9

Таиланд

7100

0,833

11,7

Уругвай

6750

0,883

11,7

Ливия

6130

0,801

18,8

Колумбия

6110

0,848

10,7

Иордания

4190

0,730

10,9

Египет

3850

0,514

34,8

Марокко

3680

0,566

41,7

Перу

3650

0,717

22,8

Шри-Ланка

3280

0,711

20,7

Филиппины

2680

0,672

17,7

Боливия

2600

0,589

22,5

Китай

2600

0,626

17,5

Зимбабве

2200

0,513

17,3

Пакистан

2150

0,445

46,8

Уганда

1370

0,328

41,3

Нигерия

1350

0,393

41,6

Индия

1350

0,446

36,7

* По паритету покупательной способности валют.

Задание

Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения.

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.

Постройте парные линейные уравнения регрессии, принимая душевой доход в качестве объясняющей переменной. Постройте графики остатков. Сделайте выводы.

Оцените значимость уравнений регрессии в целом и их параметров. Сравните полученные результаты, выберите лучшее уравнение регрессии.

РАЗДЕЛ

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯИ КОРРЕЛЯЦИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

у = /(Х1，Х2，..”Хр),

где угде у-зависимая переменная (результативный признак);

где у

где у

修，不2,…，/ - независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

линейная - у-а + & * 修 + % •出 + …+ % •工卩 + 匕

степенная - у=а •х?

экспонента - у = ер р ;

а + b； • %] + 方2 • Хп + ... + Ьр • хр + £а + b； • %] + 方2 • Хп + ... + Ьр • хр + £гипербола - у-.

а + b； • %] + 方2 • Хп + ... + Ьр • хр + £

а + b； • %] + 方2 • Хп + ... + Ьр • хр + £

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

£у = “а +瓦 Ex】 +/>2£х2 + ... + %£х?,

.£彩=a£xi + bi£x；+b2£xiX2 + ... + b/,£xpXi，

2»? = а^х р + b^x\x Р + hYx2x Р + - + bp^Xp.

а-, th =—- Л ' Ла-, th =—- Л ' ЛДля ее решения может быть применён метод определителей:

а-, th =—- Л ' Л

а-, th =—- Л ' Л

п

£%2■■

где △=

£х/2

• £%р%2

-определитель системы;

Ex/?

£%2%р

Р Л

Аа, Ab?,.. , А% - частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии s стандартизованном масштабе'.

F 二 Blki + 02^2 +…+ BpGp，

у-у

где ty =, tXi = 一 стандартизованные переменные;

比 -стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (p-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

2 2пр в2 2пр впр пр + + + + 3 2 人大 3 3 пр в + +пр пр + + + + 3 2 人大 3 3 пр в + += ₽1+

2 2пр в

2 2пр в

пр пр + + + + 3 2 人大 3 3 пр в + +

пр пр + + + + 3 2 人大 3 3 пр в + +

= В/”] +

гух р = Bl^pX] + В2rxpХ2 + Вз「хзхр + •■• + Рр •

Связь коэффициентов множественной регрессии bt со стандартизованными коэффициентами 匡 описывается соотношением

Параметр а определяется как a = y-b{x\ -й2^2 一…一%亏•

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

Э,= Ь,—.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

RyxlX2, ,Хр ryXi (i = l,p).

Индекс множественной корреляции для уравнения s стандартизованном масштабе можно записать в виде

及户1x2, - j£В1Г网•

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

『歹同ryx2• ryxp1%x2…rх\хp『歹同ryx2• ryxp1%x2…rх\хpгде

『歹同ryx2• ryxp

1%x2…rх\хp

『歹同ryx2• ryxp

1%x2…rх\хp

Ar= ryX2 厶2%i 1- 厶2北 _ определитель матрицы

『УХр 厶Ml G*2 …1 парных коэффициентов корреляции;

大2x1大2x1% *21% *21-определитель матрицы-определитель матрицы

大2x1

大2x1

% *2

1

% *2

1

-определитель матрицы

-определитель матрицы

0 Pxi rxpx2

межфакторной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х, при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

ух I Х]Х2 …Xj — ]Х[ + ].. хрух I Х]Х2 …Xj — ]Х[ + ].. хр-火-火户产2 х】-а】 + 1 X户产2 х】-а】 + 1 X

ух I Х]Х2 …Xj — ]Х[ + ].. хр

ух I Х]Х2 …Xj — ]Х[ + ].. хр

-火

-火

户产2 х】-а】 + 1 X

户产2 х】-а】 + 1 X

или по рекуррентной формуле:

户工 х/2 хр-\户工 х/2 хр-\У^1 х/2 хрУ^1 х/2 хрГУхр ^1^2 хр~1Гх1Хр Х1Х2 无尸一1

户工 х/2 хр-\

户工 х/2 хр-\

У^1 х/2 хр

У^1 х/2 хр

I 22

(1 一^尸工1工2 хр-\)(1 ' Гх1хр Х1Х2 хр-\

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации Коэффициент тожественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

/М2，*

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

где п - число наблюдений, т- чиспо факторов

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

_R2 п-т-\1-R2 m •

Частный Р^критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора % частный F-критерий определится как

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью r-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

где т ь〔 — средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии 团，она может быть определена по следующей формуле

m以=m以=Xi V х/1 ХрXi V х/1 Хр1^п-т-\1^п-т-\

m以=

m以=

Xi V х/1 Хр

Xi V х/1 Хр

1^п-т-\

1^п-т-\

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мулътиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.

Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если гхх >0,7 .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы г

j （х, # 巧）были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения

у = а + b^X^ + 方2x2 + 方3%3 +E

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный 1:

DD^ ^ ^^ ^ ^1 о о1 о оо 1 оо 1 оо о 1о о 1

D

D

^ ^ ^

^ ^ ^

1 о о

1 о о

о 1 о

о 1 о

о о 1

о о 1

так как 八 一 == 1 и「丫,丫С二 厶…。= 0 .

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:

1Det |А| = 11Det |А| = 11 1

1

Det |А| = 1

1

Det |А| = 1

1 1 =0.

1 1

Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Проверка мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных Hq : Det|A| = 1. Доказано, что величина 孔 一 1 一 京2 • ли + 5)lgDetR имеет приближенное распределение х2 с (^•小(”1)) степенями свободы. Если фактическое значение х превосходит табличное (критическое) %факт > 先？абл(耽а)，то гипотеза % отклоняется. Это означает, что Det図 н 1, недиагональные ненулевые коэффициенты корреляции указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарность считается доказанной.

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора Xj остатки Е, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичностъ.

При нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства

а2 ^а2 ф а2, j £i.

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда - Квандта. Основная идея теста Гольдфельда 一 Квандта состоит в следующем:

упорядочение л наблюдений по мере возрастания переменной 工；

исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (孔-С): 2 > р, где р - число оцениваемых параметров;

разделение совокупности из (n - Q наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии;

определение остаточной суммы квадратов для первой (Si) и второй (S2) групп и нахождение их отношения: R = S】：S>

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы ((и - С - 2р) : 2) для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регио*- ны и т.&). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразовать в количественные.

55

Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

0 - мужской пол,

-〔О - женский пол.

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе г-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.

22 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 7

По 30 территориям России имеются данные, представленные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Признак

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Линейный коэффициент парной корреляции

Среднедневной душевой доход, руб., у

86,8

11,44

—

Среднедневная заработная плата одного работающего, руб.,为

54,9

5,86

Гу%] = 0,8405

Средний возраст безработного, лет,

33,5

0,58

Гух 2 = 一。，2101

仅 1"2 =一。」160

Требуется:

Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить ихс Pi и р2, пояснить различия между ними.

Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

56

Решение

Линейное уравнение множественной регрессии у от х】и Х2 имеет вид: у-а+1\ 門 十打也.Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty =氏 " +口2 % •

Гух] —『ух?%^Гух] —『ух?%^Расчет p-коэффициентов выполним по формулам

Гух] —『ух?%^

Гух] —『ух?%^

02 :

ryx2 ~ryxirXlX2 - 0,2101 + 0,8405 0,116- 0,1126仆

=ос-- 0,1141 .

1 - г1 - 0,116 20,9865

₽1 =

0,8405 - 0,2101 0,116

1 - 0,116

0,8161

0,9865

=0,8273 ;

Получим уражение

ty = 0,8273k]-0,1141k2.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем 仇 и 力2, используя формулы для перехода от 氏 к 瓦：

“ OWL44 r6151； % =3工竺= -2,2505.5,860,58

Значение а определим из соотношения

a = y-brx}-b2-x2 = 86,8-1,6151-54,9 + 2,2505 • 33,5 = -73,52276,

Ух\х>2_ = —73,52 +1,62 • Xj — 2,25 • X2.

Для характеристики относительной силы влияния 打 и х2 на ^ рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

"炳=^^^ = L°246%;家2 =:2；型5 =-0,8684%.00,0оО)о

С увеличением средней заработной платы Х］ на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход у возрастает на 1,02% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного 历 на 1% среднедушевой доход у снижается на 0,87% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы Xi на средний душевой доход у оказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений Pi и р2'

|Р1| = |0,8273|>|₽2| = 1-0,1141 |.

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении Эух и Д, объясняются тем, что коэффициент элас

тичности исходит из соотношения средних: 3VXа

р-коэффициент - из соотношения средних квадратических отклоне- НИЙ： Pz =^—

Пу

Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

М Х2М Х2гух\ - гух2 %^2J(一笈2)("九2)гух\ - гух2 %^2J(一笈2)("九2)0,8405 - 0,2101 0,116Та-0,2101 2 )(1 -0,1162)0,8405 - 0,2101 0,116Та-0,2101 2 )(1 -0,1162)二 0,8404,二 0,8404,

М Х2

М Х2

гух\ - гух2 %^2

J(一笈2)("九2)

гух\ - гух2 %^2

J(一笈2)("九2)

0,8405 - 0,2101 0,116

Та-0,2101 2 )(1 -0,1162)

0,8405 - 0,2101 0,116

Та-0,2101 2 )(1 -0,1162)

二 0,8404,

二 0,8404,

А2 XiА2 XiГ/2 Т/］入］Х2Г/2 Т/］入］Х2（1т£）（「彳皿）р儿 I"1人2（1т£）（「彳皿）р儿 I"1人2- 0,2101 + 0,8405 0,1163==‘一= = -0,2092,'(1- 0,8405 2 )(1 - 0Д162)- 0,2101 + 0,8405 0,1163==‘一= = -0,2092,'(1- 0,8405 2 )(1 - 0Д162)

А2 Xi

А2 Xi

Г/2 Т/］入］Х2

Г/2 Т/］入］Х2

（1т£）（「彳皿）

р儿 I"1人2

（1т£）（「彳皿）

р儿 I"1人2

- 0,2101 + 0,8405 0,116

3==‘一= = -0,2092,

'(1- 0,8405 2 )(1 - 0Д162)

- 0,2101 + 0,8405 0,116

3==‘一= = -0,2092,

'(1- 0,8405 2 )(1 - 0Д162)

=0,1144=0,1144XjX2 ~ ^Xj ryx2 -0,116 + 0,8405 0,2101

=0,1144

=0,1144

31 X2 у =厂 ％2一一一=厂-2 一 一^2-

J(1 - ^1 )(1 - r^) «I - 0,8405 / )(1 - 0,2101 2)

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (厶］Х2 二-0J16) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают: 58

F/] = 0,8405; ryX2 =-0,2101; rX}X2 = 0,1160;

况2 2 =°，8404;夕无2%i =_°，2092; ^1Л2 y =0,1144.

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов ryXj и Р;:

勺屮2 =，「叩 瓦+「户2°2 = л/0,8405 0,8273+0,2101 0,1141 = =-УО,7193 = 0,8481.

Зависимость у от 修 и х2 характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28% от общей вариации у.

Общий 足критерий проверяет гипотезу % о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (К = 0):

Мr2

_Ух1^2^_ УХ1Х2 п~т-1 _

Факт =二幅 :『=户产2户产2

0,7193 27

==34,6;

0,2807 2

%абл = 3,4; а = 0,05.

Сравнивая 仆6口 и 时鹏 приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу 瓦,так как Гтабл = 3,4 < 尸^ = 34,6. С вероятностью 1 一 а = 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи RyXix2，которме сформировались под неслучайным воздействием факторов Xi их2.

Частные F-критерии -尸无]и FX2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов X] и х2 в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. FX} оценивает целесообразность включения в уравнение фактора 修 после того, как в него был включен фактор 工2・ Соответственно FX2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора хр

^222

F 一 叩工2 ух? ш-1 _ 0,8481' -0,2101/ 30-2-1 _ Нфакт >r211-0,848121

= 64,9.

%6п = 4,21; а= 0,05.

Сравнивая 尸табл и /акт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора 修 после фактора х2. так как &факт = 64,9 > 尸табл • Гипотезу Но о несущественности прироста

Ry за счет включения дополнительного фактора X] отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения факторах] после факторахг.

Целесообразность включения в модель фактора 乃 после фактора X] проверяет FX2 :

22

F _ 卢/2勿一加一1 _ 0,8481' -0,8405’ 30-2-1 二

“2факт ] — r211 — 0,848121

уху?

= 1,234.

Низкое значение 厶2(^ (немногим больше 1) свидетельствует j2

о статистической незначимости прироста гух^ за счет включения в модель фактора х2 после фактора хь Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза % о нецелесообразности включения в модель фактора х2 (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор Х2 (средний возраст безработного).

Пример 2

По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл. 2.2): зависимость среднегодового душевого дохода у (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности занятых xi (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения 也(%).

60

Таблица 2.2

一 Признак

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Характеристика тесноты связи

Уравнение связи

У

112,76

31,58

R= 0,773

yY у =-130,49 +

+ 6,14 • X] + 4ДЗ ■ %2

修

5,40

3,34

гухy =0，746

Ухх = 74,4+ 7,1 у 1

Х2

50,88

1,74

гyх2 М。，507

гх\Х2 =。，432

/д：2 =-355,3 +9,2 • л:?

Требуется:

Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости а = 0,05 статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

С помощью частных F-критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора X)после фактора х2 и насколько целесообразно включение х2 после хь

Оценить с помощью r-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных X] и х2 множественного уравнения регрессии.

Решение

Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы % о статистической незначимое™ уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений Акритерия Фишера /бЛ и F^^. F^^ определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Ши - /77 -1Sg[加Ши - /77 -1Sg[加

Ши - /77 -1Sg[加

Ши - /77 -1Sg[加

где п - число единиц совокупности;

т - число факторов в уравнении линейной регрессии; у - фактическое значение результативного признака;

ух х - расчетное значение результативного признака.

Рсзультаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Вариация результата, у

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений, S

Дисперсия на одну степень свободы, $2

■^факт

■^табл а = 0,05, 火 1 =2, к = 17

Общая

df = п - 1 = 19

19945,9

-

-

一

Факторная

k\ = т = 2

11918,3

5959,15

12,62

3,59

Остаточная

火2=几一加一1 = 17

8027,6

472,21

-

-

^Общ =磋，"=(31,58)2.20 = 19945,9;

“акт =内小耳х/2 = 19945,9 • (0,773)2 = 11918,3;

Sqct = °у •" • (1 — Ryx]X2)= ^общ ^факт = 8027,6；

11918,3 17

X 碎••万 $62.

Сравнивая Гтабл и F^, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Hq и сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии в целом и значения 火^卩？, так как они статистически надежны и сформировались под систематическим действием неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

Частный F-критерий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора 修 в модель после того, как в нее включен фактор х2. Частный F-критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дисперсии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с включенными факторами Х] и х2:

口_ S0aleг ух/? $0aleг ух? и — /И — 1

? частиJ •

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Вариация результата, у

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонений, S

Дисперсия на одну степень свободы, J

尸факт

尸табл

а 二 0,05, & =2,、

Общая

df^n-\ = 19

19945,9

-

-

-

факторная

В том числе:

за счет х?

за счет дополнительно включенного х{

к、= т = 2

1

1

11918,3

5127,1

6791,2

5959,15

5127,1

6791,2

12,62

10,86

14,38

3,59

4,45

4,45

Остаточная

кг-п-т-\~\1

8027,6

472,21

-

-

S°6m =才■" =(31,58)2.20 = 19945,9;

“акт =才•" •母ах? = 19945,9 • (0,773)2 = 11918)3;

，=19945,9・(0,507)2 =5127,1;

^факТд.^ = ^факт — ^факТд.^ = 11918,3— 5127,1 = 6791,2;

Sqct 二才■ и ■ (1 — Ryxp?)二 S05m — SgaKT 工 8027,6.

Включение фактора 修 после фактора 冷 оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора хь так как F4aCTHxi = 14,38 > /бл =4,45 .

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х2 после включенного ранее фактора хь Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи А2 и г2 :

yxi& УХ1

_蹑因一爲"一吁 1_(0,773)2一(0,746)2 17 _

L=1-(0,773)2— •丁一1，73・

В силу ТОГО ЧТО 尸qaCTHx2 = L‘3 V 尸 1a6Л = 4,45 , приходим К ВЫВОду, что включение Х2 после xi оказалось бесполезным: прирост факторной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несуществен статистически незначим, т.с. влияние х? не является устоичи- вым систематическим. Вполне возможно было ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии^ отхь 3・ Оценка с помощью Лкритерия Стьюдента значимости коэффициентов Ь\ и А? связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок:小勿 н т^ • Расчет значений случайных ошибок достаточно сложен и трудоёмок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения ^-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного F-критерия Фишера:

% 二 J尸части $ 二 /14,38 = 3,79;

~ J瑞астн & 二 V^3 = 1,32.

Табличные (критические) значения лкритерия Стьюдента зависят от принятого уровня значимости а (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы (п - т - 1), где 九-число еданиц совокупности, т - число факторов в уравнении.

В нашем примере при а = 0,05;办=20-3 = 17;飞口 = 2,10. Сравнивая Етабп и /фат приходим к выводу, что так как 办］=3,79 > 2,11 = =%6口, коэффициент регрессии Ь\ является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как 方2 - 1,32 < 2,10 = гтабл, приходим к заключению, что величина Ь2 является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факторов. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния Xi (доли занятых тяжелым физическим трудом) на у (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния х2 (доли экономически активного населения в численности всего населения).

ПримерЗ

Зависимость спроса на свинину 修 от цены на нее х2 и от цены на говядину хз представлена уравнением

1g%! = 0,1274 - 0,2143-lgx2 + 2,8254 -lgх3.

Требуется:

Представить данное уравнение в естественной форме (не в логарифмах).

Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что Лкритерий для параметра Ьг при х2 составил 0,827, а для параметра 仇 при х3 - 1,015.

Решен ие

Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

Xi=10°」274.x”2143.旨8254；

修=1，3409х°

Значения коэффициентов регрессии b\ н Ь?в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата X! от х2 их3.

芸=-0,2143%;=2,8254%.

Спрос на свинину xi сильнее связан с ценой на говядину 一 он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

Табличное значение f-критерия для а 二 0,05 обычно лежит в интервале 2 - 3 - в зависимости от степеней свободы. В данном примере 办2 = 0,827,办§ = 1,015. Это весьма небольшие значения /-критерия, которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Пример 4

По 20 предприятиям региона (табл. 2.5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов 修(% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%).

5-327265

Таблица 2 5

Номер предприятия

У

修

%2

Номер предприятия

У

Х1

Х2

1

7,0

3,9

10,0

И

9,0

6,0

21,0

2

7,0

3,9

14,0

12

11,0

6,4

22,0

3「

7,0

3,7

15,0

13

9,0

6,8

22,0

4

7,0

4,0

16,0

14

11,0

7,2

25,0

5

7,0

3,8

17,0

15

12,0

8,0

28,0

6

7,0

4,8

19,0

16

12,0

8,2

29,0

7

8,0

5,4

19,0

17

12,0

8,1

30,0

8

8,0

4,4

20,0

18

12,0

8,5

31,0

9

8,0

5,3

20,0

19

14,0

9,6

32,0

10

10,0

6,8

20,0

20

14,0

9,0

36,0

Т реб уется:

Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и А^^ . Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора X) после ха и фактора х2 после хь

Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

2.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

НА КОМПЬЮТЕРЕ

Решение примера проведем с использованием ППП MS Excel и Statgraphics.

66

Решение с помощью ППП Excel

Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

в главном меню выберите последовательно пункты Сервис / Анализ данных / Описательная статистика, после чего щелкните по кнопке ОК;

Опи< атепьная iI

-Входнью данные Вйрдной интервал*Группирование:口 Метки в первой строкеПараметры вывода-Входнью данные Вйрдной интервал*Группирование:口 Метки в первой строкеПараметры вывода

-Входнью данные Вйрдной интервал*

Группирование:

口 Метки в первой строке

Параметры вывода

-Входнью данные Вйрдной интервал*

Группирование:

口 Метки в первой строке

Параметры вывода

G Выходной интервал: ^^Ду?….….，峯 「Новый рабоч№1 пист: 「Новая рабочая книге

“沙9roe^а статистика Г" Уровень надежности Г" К ый наименьшим 厂 К-ый нд^€ольшии:

Рис. 2.1. Диалоговое окно ввода параметров инструментаОписательная статистика

заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис 2.1):

Входной интервал - диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк (столбцов);

Группирование - по столбцам или по строкам - необходимо указать дополнительно;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона,

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию Итоговой статистики, Уровня надежности, k-го наибольшего w наименьшего значений, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены на рис. 2.2.

，1Г ЙИ «а? лч»в<г ■ - * 1₽ t л wъ о»4 «■%卄en^ms.о. lx3№S9S9%,»^»f)t_-4“*住> -4 4"* 1v—A »4M^^ ^fMr)W^*>^-4 '-一〜>”k^^^i^,^^.^^^^.^^, Чч^й 4s*»« м-ъм и»>«№« “^MvM^M ~4fM«<_„1nMM-4，1Г ЙИ «а? лч»в<г ■ - * 1₽ t л wъ о»4 «■%卄en^ms.о. lx3№S9S9%,»^»f)t_-4“*住> -4 4"* 1v—A »4M^^ ^fMr)W^*>^-4 '-一〜>”k^^^i^,^^.^^^^.^^, Чч^й 4s*»« м-ъм и»>«№« “^MvM^M ~4fM«<_„1nMM-4* 10 ** 10 *•-Вc1D11uxjx22., 17Pзр1叩3 ： 27pзрl<0用' 37,03,71窣5 47,04,016Л6 57Pз/17fo7 ! б7ro<819,0# ‘7即3,419.09 ■ S8*4,420,0抵> 98P"20PoIt 1 1010Л6/20,012 i 119,06fo21,013.12lip6,4210^Щ3_%。6,8R0Hr07r225roMi 1538.02M47 : 161X0率29prt i 1712ro8,130QW . 1812J)“31to兔‘ 1914Д)9,632to21 ： 2014,09,0坟举 25^， 25 iMtlitS3^^MSesl•-Вc1D11uxjx22., 17Pзр1叩3 ： 27pзрl<0用' 37,03,71窣5 47,04,016Л6 57Pз/17fo7 ! б7ro<819,0# ‘7即3,419.09 ■ S8*4,420,0抵> 98P"20PoIt 1 1010Л6/20,012 i 119,06fo21,013.12lip6,4210^Щ3_%。6,8R0Hr07r225roMi 1538.02M47 : 161X0率29prt i 1712ro8,130QW . 1812J)“31to兔‘ 1914Д)9,632to21 ： 2014,09,0坟举 25^， 25 iMtlitS3^^MSeslМедшваСтшд^пио» (лхлоневш цДистрскя выборки^Аошыетркчмость Интервш ；Мшшытм ^МаксимумМедшваСтшд^пио» (лхлоневш цДистрскя выборки^Аошыетркчмость Интервш ；Мшшытм ^МаксимумСреднееСреднее：Стшд^ртки ошибка: 0^45641：Стшд^ртки ошибка: 0^45641772,458069 &042105-1,196054 0,4450967 714 192202,458069 &042105-1,196054 0,4450967 714 19220Среднее Стщдефпш ошибка МедашаСтандцлиое отшонение ДисшрсшвыборхиАсимыетрмчносп Нигер* ап Ммнюцгм МахскиумС\гмшСреднее Стщдефпш ошибка МедашаСтандцлиое отшонение ДисшрсшвыборхиАсимыетрмчносп Нигер* ап Ммнюцгм МахскиумС\гмш袤傲:叮不二3義工£儲匸y Fg袤傲:叮不二3義工£儲匸y Fg6J9 0,433523 草6J9 0,433523 草15387733,758842 -1,331426 '6,1881013,7 9卢 123,82015387733,758842 -1,331426 '6,1881013,7 9卢 123,820СредаееСтшдчинвя ошибка Медаш*Стандцлное отпюнввш Дисперсия >ь1боркн 女g0"Асммметр)1чнопъ Имгервш Мшшыг^м М«КО1Ы]ГМСредаееСтшдчинвя ошибка Медаш*Стандцлное отпюнввш Дисперсия >ь1боркн 女g0"Асммметр)1чнопъ Имгервш Мшшыг^м М«КО1Ы]ГМ31^23673 冲2031^23673 冲206fl4072 46,43158 ■О 風29 0,327801农 кН %446 20*6fl4072 46,43158 ■О 風29 0,327801农 кН %446 20*

，1Г ЙИ «а? лч»в<г ■ - * 1₽ t л wъ о»4 «■%

卄en^ms.о. lx3№S9S9%,»^»f)t_-4

“*住> -4 4"* 1v—A »4M^^ ^fMr)W^*>^-4 '-一〜>”k^^^i^,^^.^^^^.^^, Чч^й 4s*»« м-ъм и»>«№« “^MvM^M ~4fM«<_„1nMM-4

，1Г ЙИ «а? лч»в<г ■ - * 1₽ t л wъ о»4 «■%

卄en^ms.о. lx3№S9S9%,»^»f)t_-4

“*住> -4 4"* 1v—A »4M^^ ^fMr)W^*>^-4 '-一〜>”k^^^i^,^^.^^^^.^^, Чч^й 4s*»« м-ъм и»>«№« “^MvM^M ~4fM«<_„1nMM-4

* 10 *

* 10 *

•

-

В

c1

D

11

u

xj

x2

2., 1

7P

зр

1叩

3 ： 2

7p

зр

l<0

用' 3

7,0

3,7

1窣

5 4

7,0

4,0

16Л

6 5

7P

з/

17fo

7 ! б

7ro

<8

19,0

# ‘7

即

3,4

19.0

9 ■ S

8*

4,4

20,0

抵> 9

8P

"

20Po

It 1 10

10Л

6/

20,0

12 i 11

9,0

6fo

21,0

13.12

lip

6,4

210

^Щ3_

%。

6,8

R0

Hr0

7r2

25ro

Mi 15

3

8.0

2M

47 : 16

1X0

率

29p

rt i 17

12ro

8,1

30Q

W . 18

12J)

“

31to

兔‘ 19

14Д)

9,6

32to

21 ： 20

14,0

9,0

坟

举 25

^， 25 iMtlitS

3^^

MSesl

•

-

В

c1

D

11

u

xj

x2

2., 1

7P

зр

1叩

3 ： 2

7p

зр

l<0

用' 3

7,0

3,7

1窣

5 4

7,0

4,0

16Л

6 5

7P

з/

17fo

7 ! б

7ro

<8

19,0

# ‘7

即

3,4

19.0

9 ■ S

8*

4,4

20,0

抵> 9

8P

"

20Po

It 1 10

10Л

6/

20,0

12 i 11

9,0

6fo

21,0

13.12

lip

6,4

210

^Щ3_

%。

6,8

R0

Hr0

7r2

25ro

Mi 15

3

8.0

2M

47 : 16

1X0

率

29p

rt i 17

12ro

8,1

30Q

W . 18

12J)

“

31to

兔‘ 19

14Д)

9,6

32to

21 ： 20

14,0

9,0

坟

举 25

^， 25 iMtlitS

3^^

MSesl

Медшва

Стшд^пио» (лхлоневш цДистрскя выборки

^Аошыетркчмость Интервш ；Мшшытм ^Максимум

Медшва

Стшд^пио» (лхлоневш цДистрскя выборки

^Аошыетркчмость Интервш ；Мшшытм ^Максимум

Среднее

Среднее

：Стшд^ртки ошибка: 0^45641

：Стшд^ртки ошибка: 0^45641

7

7

2,458069 &042105

-1,196054 0,445096

7 7

14 192

20

2,458069 &042105

-1,196054 0,445096

7 7

14 192

20

Среднее Стщдефпш ошибка Медаша

Стандцлиое отшонение Дисшрсшвыборхи

Асимыетрмчносп Нигер* ап Ммнюцгм Махскиум

С\гмш

Среднее Стщдефпш ошибка Медаша

Стандцлиое отшонение Дисшрсшвыборхи

Асимыетрмчносп Нигер* ап Ммнюцгм Махскиум

С\гмш

袤傲:叮不二3義工£儲匸y Fg

袤傲:叮不二3義工£儲匸y Fg

6J9 0,433523 草

6J9 0,433523 草

1538773

3,758842 -1,331426 '6,188101

3,7 9卢 123,8

20

1538773

3,758842 -1,331426 '6,188101

3,7 9卢 123,8

20

Средаее

Стшдчинвя ошибка Медаш*

Стандцлное отпюнввш Дисперсия >ь1боркн 女g0"

Асммметр)1чнопъ Имгервш Мшшыг^м М«КО1Ы]ГМ

Средаее

Стшдчинвя ошибка Медаш*

Стандцлное отпюнввш Дисперсия >ь1боркн 女g0"

Асммметр)1чнопъ Имгервш Мшшыг^м М«КО1Ы]ГМ

3

1^23673 冲

20

3

1^23673 冲

20

6fl4072 46,43158 ■О 風29 0,327801

农 кН %

446 20*

6fl4072 46,43158 ■О 風29 0,327801

农 кН %

446 20*

Рис. 2.2. Результат применения инструмента Описательная статистика

Решение с помощью ППП Statgraphics

Для проведения многофакторного анализа в ППП Statgraphics используется пункт меню Multiple Variable Analysis. Для получения показателей описательной статистики необходимо проделать следующие операции:

ввести исходные данные или открыть существующий файл, содержащий анализируемые данные;

в главном меню выбрать Describe/Numeric Data/Multiple Variable Analysis;

заполнить диалоговое окно ввода данных (рис. 2.3). Ввести названия всех столбцов, значения которых вы хотите включить в анализ; щелкнуть по кнопке ОК;

M uhiple-Variable Analysis

(Select) Bl(Select) Bl

(Select) Bl

(Select) Bl

I OK ， fancel | Delete | Jranriorm j Holp |

Рис. 2.3. Диалоговое окно ввода данных

в окне табличных настроек поставить флажок напротив Summary Statistics (рис. 2.4). Итоговая статистика - показатели вариации - появится в отдельном окне.

Tabular Options

厂應迺画画 P SurnnayStabibct Г* CtWidence Intervals

Г Cmelatiom

Г Rank Correlations

Г Covanance*

如 I Hdp I如 I Hdp IГ PettidCoiielatior»

如 I Hdp I

如 I Hdp I

DK I Cancel |

Рис. 2.4. Окно табличных настроек Multiple Variable Analysis

Для данных примера 4 результат применения функции Multiple Variable Analysis представлен на рис. 2.5.

ISIATGRM^ICS Hlus - UiMitted SiatFoSU) |M«tliple VafiaWe Analyns]

|№ И EM gte Cmpn 偉* А» I 5m Цф

гого6」922,33,7588446/3161,938776,814073,710,09,636,00,3434240,59848-1,21542-0,489782123,8446,0гого6」922,33,7588446/3161,938776,814073,710,09,636,00,3434240,59848-1,21542-0,489782123,8446,0

го

го

6」9

22,3

3,75884

46/316

1,93877

6,81407

3,7

10,0

9,6

36,0

0,343424

0,59848

-1,21542

-0,489782

123,8

446,0

го

го

6」9

22,3

3,75884

46/316

1,93877

6,81407

3,7

10,0

9,6

36,0

0,343424

0,59848

-1,21542

-0,489782

123,8

446,0

6,04211 deviation 2,45807

7,0

«n♦“0,81263

8山-1,09104

192,0

Рис. 2.5. Итоговая статистика

Сравнивая значения средних квадратических отклонений и средних величин и определяя коэффициенты вариации:

% = Яг 100% = 2产58。7 100% = 25,6%,

УУ9,6

V =%- 100% = I'93877 100% = 31,3%;

$互6,19

F =里竺 100% = 6'81407 100% =30,6%,X2i х222,3

приходим к выводу о повышенном уровне варьирования признаков, хотя и в допустимых пределах, не превышающих 35%. Совокупность предприятий однородна, и для ее изучения могут использоваться метод наименьших квадратов и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

70

Решение с помощью ППП Excel

К сожалению, в ППП MS Excel нет специального инструмента для расчета линейных коэффициентов частной корреляции. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

в главном меню последовательно выберите пункты Сервис / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (см. рис. 2.1);

результаты вычислений - матрица коэффициентов парной корреляции -представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Матрица коэффициентов парной корреляции

Решение с помощью ППП Statgraphics

При проведении многофакторного анализа - Multiple Variable Analysis - вычисляются линейные коэффициенты парной корреляции и линейные коэффициенты частной корреляции. Последовательность операций описана в п.1 этого примера. Для отображения результатов вычисления на экране необходимо установить флажки напротив Correlations и Partial Correlations в окне табличных настроек (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Окно табличных настроек Multiple Variable Analysis

В результате получим матрицы коэффициентов парной и частной корреляции (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Матрицы коэффициентов парной и частной корреляции

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных фондов-хь так и с долей рабочих высокой квалификации - х2 (弓%1 = 0,9699 и гуХ1 = 0,9408). Но в то же время межфакторная связь 厶 1工2 二 0,9428 весьма тесная и превышает тесноту связи х? су. В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор %2 как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны у и xf 〃九 Л2 = 0,7335, связь у и %2 гораздо слабее: з& 勺=0,3247, а межфакторная зависимость xi и %2 выше, чем парная у и х2:勺& 八=0,3247 < %& у = 0,3679. Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор 也一доля высококвалифицированных рабочих 一 из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

ГУХ[ = 0,9699; Г/1Х2 = 0,7335;夕初=0,9408;

，%2 xi = 0,3247.

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Решение с помощью ППП Excel

Эта операция проводится с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Она аналогична расчету параметров парной линейной регрессии, описанной в 1-м разделе практикума, только в отличие от парной регрессии в диалоговом окне при заполнении параметра входной интервал X следует указать не один столбец, а все столбцы, содержащие значения факторных признаков. Результаты анализа представлены на рис. 2.9.

3. > 电 J

i |“н 〃力工‘оё~ 1

^з"сионная статистика^з"сионная статистика4 \1н-чсвстэ«нный R卜 фОвамкыйН-тшд фши ошибка>дехкх4 \1н-чсвстэ«нный R卜 фОвамкыйН-тшд фши ошибка>дехкх0,973101182 0946925910,973101182 0946925910,9406819 0,598670364 200,9406819 0,598670364 20Диспер сметный аншпоДиспер сметный аншпоSSSSMSMSЗначимоЗначимоУ-первсаченкеУ-первсаченкеИтогоИтого108,707094534J53M726151^5351.45Е-116,092905478033806205114.8108,707094534J53M726151^5351.45Е-116,092905478033806205114.8“,СтандартнаяКоэффициенты ^^^“,СтандартнаяКоэффициенты ^^^статистика Значениестатистика ЗначениеНижние95%Нижние95%Нижние Верхние95,0%95,0%Нижние Верхние95,0%95,0%即30694 0.471064W71 够硝儿54 0gli 任~0^41445' 2^29169 ' 0,841445 ■―^^而‘ QM5947723 812576487 4,4«917001 “000351 0,«745 「94446 0.W45 1Д944И 0JBX17787. 0,060483309. 1,415560577 0,17 第 64 一 ©(Ml”. 0力3227. ■O.tMI”. Q.213ZH即30694 0.471064W71 够硝儿54 0gli 任~0^41445' 2^29169 ' 0,841445 ■―^^而‘ QM5947723 812576487 4,4«917001 “000351 0,«745 「94446 0.W45 1Д944И 0JBX17787. 0,060483309. 1,415560577 0,17 第 64 一 ©(Ml”. 0力3227. ■O.tMI”. Q.213ZH

^з"сионная статистика

^з"сионная статистика

4 \1н-чсвстэ«нный R

卜 фОвамкыйН-

тшд фши ошибка

>дехкх

4 \1н-чсвстэ«нный R

卜 фОвамкыйН-

тшд фши ошибка

>дехкх

0,973101182 094692591

0,973101182 094692591

0,9406819 0,598670364 20

0,9406819 0,598670364 20

Диспер сметный аншпо

Диспер сметный аншпо

SS

SS

MS

MS

Значимо

Значимо

У-первсаченке

У-первсаченке

Итого

Итого

108,707094534J53M726151^5351.45Е-11

6,092905478033806205

114.8

108,707094534J53M726151^5351.45Е-11

6,092905478033806205

114.8

“,Стандартная

Коэффициенты ^^^

“,Стандартная

Коэффициенты ^^^

статистика Значение

статистика Значение

Нижние95%

Нижние95%

Нижние Верхние95,0%95,0%

Нижние Верхние95,0%95,0%

即30694 0.471064W71 够硝儿54 0gli 任~0^41445' 2^29169 ' 0,841445 ■―^^而‘ QM5947723 812576487 4,4«917001 “000351 0,«745 「94446 0.W45 1Д944И 0JBX17787. 0,060483309. 1,415560577 0,17 第 64 一 ©(Ml”. 0力3227. ■O.tMI”. Q.213ZH

即30694 0.471064W71 够硝儿54 0gli 任~0^41445' 2^29169 ' 0,841445 ■―^^而‘ QM5947723 812576487 4,4«917001 “000351 0,«745 「94446 0.W45 1Д944И 0JBX17787. 0,060483309. 1,415560577 0,17 第 64 一 ©(Ml”. 0力3227. ■O.tMI”. Q.213ZH

Рис. 2.9. Результат применения ийструмента Регрессия

Решение с помощью ППП Statgraphics

Для вычисления параметров множественной регрессии можно использовать процедуру Multiple Regression. Для этого:

введите исходные данные или откройте существующий файл;

в главном меню последовательно выберите Relate / Multiple Regression;

заполните диалоговое окно ввода данных. В поле Depended Variable введите название столбца, содержащего значения зависимой переменной, в поле Independed Variable - названия столбцов, содержащих значения факторов. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты вычисления функции Multiple Regression появятся в отдельном окне (рис. 2.10).

По результатам вычислений составим уравнение множественной регрессии вида

/ 二历+瓦，修+b2x2；

у = 1,8353 + 0,9459 •修 + 0,0856 • х2.

Значения случайных ошибок параметров 方о,仇 и 方2 c учетом округления:

加历=0,4711;加仿=0,2126;加& = 0,0605.

Рис. 2.10. Итоговое окно функции Multiple Regression

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировалось под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета ^-критерия Стьюдента:

仇=3,90;勿］=4,45 ;饱=142.

Если значения f-критерия больше 2-3, можно сделать вывод о существенности данного параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Здесь статистически значимыми являются Ьо и 瓦，а величина Ь? сформировалась под воздействием случайных причин, поэтому фактор Х2, силу влияния которого оценивает 方％ можно исключить как несущественно влияющий, неинформативный.

На это же указывает показатель вероятности случайных значений параметров регрессии: если а меньше принятого нами уровня (обычно 0,1; 0,05 или 0,01; это соответствует 10%; 5% или 1% вероятности), делают вывод о неслучайной природе данного значения параметра, т.е. о том, что он статистически значим и надежен. В противном случае принимается гипотеза о случайной природе значения коэффициентов уравнения. Здесь аХ2 =17,5% > 5%, что позволяет рассматривать х2 как неинформативный фактор и удалить его для улучшения данного уравнения.

Величина bQ оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели факторов хх и х2) факторов на результату

Величины b\ и b? указывают, что с увеличением xi и х2 на единицу их значений результат увеличивается соответственно на 0,9459 и на 0,0856 млн руб. Сравнивать эти значения не следует, так как они зависят от единиц измерения каждого признака и потому несопоставимы между собой.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи 区宀^ дает F-критерий Фишера:

_2（九/2 一刃2т_2（九/2 一刃2т2(尸几*2 №п~ т-12(尸几*2 №п~ т-1

_2（九/2 一刃2т

_2（九/2 一刃2т

2(尸几*2 №п~ т-1

2(尸几*2 №п~ т-1

По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рис. 2.9 и 2.10,尸巾акт =151,65. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%; об этом свидетельствует величина Р - значения из этих же таблиц. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

Значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации приведены на рис. 2.9 и 2.10 в рамках регрессионной статистики.

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации R ；尤]尤2 = 0,9469 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации К；х]Х2 - 0,9407 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и потому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффипиента указывают на весьма высокую (бопее 90%) детерминированность результата / в модели факторами х】и Л2.

Информация для оценки с помощью частных F-критериев Фишера целесообразности включения в модель фактора 修 после фактора х2 и фактора х2 после фактора xi может быть получена в ППП Statgraphics следующим образом:

введите исходные данные или откройте существующий файл;

в главном меню последовательно выберите пункты Relate / Multiple Regression;

заполните диалоговое окно ввода данных. В поле Depended Variable введите название столбца, содержащего значения зависимой переменной, в поле Independed Variable - названия столбцов, содержащих значения факторов, в том порядке, в котором будет проводиться анализ целесообразности включения факторов в модель. Чтобы оценить статистическую значимость включения в модель фактора xi после фактора %2, сначала введите фактор хь затем х2. Для оценки обратного порядка включения факторов в модель 由 после xj введите Х2, затем xj. Щелкните по кнопке ОК;

в окне табличных настроек поставьте флажок напротив поля Conditional Sums of Squares.

Результаты вычисления показаны на рис. 2.11.

Частный F-критерий - ^Частн Х2 показывает статистическую значимость включения фактора 也 в модель после того, как в нее включен фактор хь

Frac™ 尤2 = 2 • Вероятность случайной природы его значения (Р- значение = 0,1750) составляет 17,5% против принятого уровня значимости а 二 0,05, (5%). Следовательно, включение в модель фактора х2 - доля высококвалифицированных рабочих - после того, как в уравнение включен фактор 修一коэффициент обновления основных фондов - статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака 也 оказывается незначи-

мым, несущественным; фактор х2 включать в уравнение после фактора xi не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения xi после х2, то результат расчета частного F-критерия для х】будет иным. F4aCTll Xi = 19,80 . Вероятность его случайного формирования составила 0,04%, это значительно меньше принятого стандарта а = 0,05 (5%). Следовательно, значение частного F-критерия для дополнительно включенного фактора X! не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора xi является существенным. Фактор х】должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора х2.

Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами xi и Х2 с 氏3］尤2 二 0,9469 содержит неинформативный фактор х2. Если исключить фактор хг, то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

3 = а 0 +0cl * % = 1,99 + 1,23 ГуХ = 0,9407, более простым, хорошо детерминированным, пригодным для анализа и для прогноза.

6. Средние частные коэффициенты эластичности Э ух . показывают, на сколько процентов от значения своей средней 及 изменяется результат при изменении фактора 巧 на 1 % от своей средней Fy и при фиксированном воздействии на у всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

Эух.=ь}~,

где bj - коэффициент регрессии при Xj в уравнении множественной регрессии. Здесь

3 yxi3 yxi空言 6，19 =0,6099%,空言 6，19 =0,6099%,3/23/2甯&….甯&….

3 yxi

3 yxi

空言 6，19 =0,6099%,

空言 6，19 =0,6099%,

3/2

3/2

甯&….

甯&….

По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат у признака факто- рахь чем признака фактораХ2： 0,6% против 0,2%.

78

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1

По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализация (у) от размера торговой площади (х 】)и товарных запасов (х 2). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

1.

у = 25 + 15х1

户=0,90 ;

2.

у = 42 + 27^2

г2 = 0,84;

3.

у = 30+ 10 X] + 8 х2

(2,5)(4,0)

尺2 = 0,92;

4.

у = 21 + 14 х« + 20 х2 + 0,6 xj (5,0)(12,0)(0,2)

紹=0,95.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание

Проанализируйте тесноту связи результата с каждым из факторов.

Выберите наилучшее уравнение регрессии, обоснуйте принятое решение.

Задача 2

Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

у = 21,1 - 6,2 Xj + 0,95 х2 + 3,57 х3 ； R? = 0,7, (1,8)(0,54)(0,83)

где у - цена объекта, тыс. долл.;

%1 - расстояние до центра города, км;

х2 - полезная площадь объекта, кв. м;

хг- число этажей в доме, ед.;

产-коэффициент множественной детерминации.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.

Задание

Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии 仇 в генеральной совокупности равен нулю.

Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии Ь? в генеральной совокупности равен нулю.

Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии 方з в генеральной совокупности равен нулю.

Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии 仇，方2。方з в генеральной совокупности одновременно равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).

Поясните причины расхождения результатов, полученных в пп. 1, 2 и 3, с результатами, полученными в п. 4.

Задача 3

В результате исследования факторов, определяющих экономический рост, по 73 странам получено следующее уравнение регрессии:

G = 1,4-0,52Р+ ОД75+11,16Z-0,38/)-4,75/и, А2 =0,60,(-5,9) (4,34)(3,91) (-0,79)(-2,7)

где © - темпы экономического роста (темпы роста среднедушевого ВВП в % к базисному периоду);

Р - реальный среднедушевой ВВП, %;

S - бюджетный дефицит, % к ВВП;

/ - объем инвестиций, % к ВВП;

D - внешний долг, % к ВВП;

In - уровень инфляции, %.

В скобках указаны фактические значения ^критерия для коэффициентов множественной регрессии.

Задание

Проверьте гипотезу о достоверности полученной модели в целом.

До получения результатов этого исследования ваш однокурсник заключил с вами пари, что эмпирические результаты по данной модели докажут наличие обратной связи между темпами экономического роста и объемом внешнего долга страны (% к ВВП). Выиграл ли это пари ваш однокурсник?

Задача 4

По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн ру&.) от количества отработанных за год человеко-часов xi (тыс. чел.-ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн руб.):

80

Уравнение регрессии

у = 35 + 0,06修 + 2,5^2

МноясественныА козффиниент корреляции0,9

Сумма квадратов отклонений расчетных3(ХХ)

значений результата от фактических

Задание

Определите коэффициент детерминации в этой модели.

Составьте таблицу результатов дисперсионного анализа.

Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

Задача 5

Анализируется зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн руб.), Xi - среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел.), Х2-средние затраты чугуна за год (млн т).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этого массива данных.

Матрицы парных коэффициентов корреляции:

для исходных переменныхдля исходных переменныхдля натуральных логарифмовисходных переменныхIn 歹 Inx 1 In х 2для натуральных логарифмовисходных переменныхIn 歹 Inx 1 In х 2

для исходных переменных

для исходных переменных

для натуральных логарифмовисходных переменных

In 歹 Inx 1 In х 2

для натуральных логарифмовисходных переменных

In 歹 Inx 1 In х 2

Q 6Cи оQ 8 6a 7 8 haQ 6Cи оQ 8 6a 7 8 haV- X ^V- X ^008690 la008690 la1 о1 о,00,00

Q 6

C

и о

Q 8 6

a 7 8 ha

Q 6

C

и о

Q 8 6

a 7 8 ha

V- X ^

V- X ^

008690 la

008690 la

1 о

1 о

,00

,00

Задание

Поясните смысл приведенных выше коэффициентов.

Используя эту информацию, опишите ваши предположения относительно:

знаков коэффициентов регрессии в уравнениях парной линейной регрессии^ по Xi (у = а + Ьх1)иупол：2(У = а + Ьх2)；

статистической значимости коэффициентов регрессии при переменных xi и Х2 в линейном уравнении множественной регрессии и в уравнении множественной регрессии в форме функции Кобба - Дугласа.

Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной линейной регрессииy = a + fexiHy = a + fex2. Какое из этих уравнений лучше?

Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.

Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

6-327281

Задача 6

По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х 1 - количество осадков в период вегетации (мм);

х2 - средняя температура воздуха (°C).

Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид:

У

х【

Х2

У 打

1,0

0,6

1,0

Х2

-0,5

-0,9

1,0

Задание

Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции результатов.

Исследователь, анализирующий данную зависимость, намерен определить на основе приведенной выШе матрицы, какое уравнение регрессии лучше строить:

парную линейную регрессию^ нахв

парную линейную регрессию у на %2；

множественную линейную регрессию.

Как бы вы ответили на эти вопросы?

Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

Задача 7

По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

У

/】

Х2

хз

У

1,00

打

0,30

1,00

Х2

0,60

0,10

1,00

Хз

0,40

0,15

0,80

1,00

Задание

Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы.

Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

82

Оцените целесообразность включения переменной xi в модель после введения в нее переменныхх2 их3.

Задача 8

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн руб.) от численности занятых на предприятии xi (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов 也(млн руб.):

Коэффициент детерминации

0,81

Множественный коэффициент корреляции

???

Уравнение регрессии

1пу = ??? + 0,48 In X] + 0,62 In x2

Стандартные ошибки параметров

2

0,06

???

/-критерий для параметров

1,5

???

5

Задание

L Напишите уравнение регресс硏 характеризующее зависимость у от Xi их2.

Восстановите пропущенные характеристики.

С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

Задача 9

По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн руб.) от численности занятых на предприятии xi (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов 冷(млн руб.):

Коэффициент детерминации

???

Множественный коэффициент корреляции

0,85

Уравнение регрессии

у = ??? + 0,48 X] + 20 х2

Стандартные ошибки параметров

2

0,06

???

r-критерий для параметров

1,5

???

4

Задание

Восстановите пропущенные характеристики.

С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

Задача 10

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн руб.) от трех факторов: численности работников 6*83

L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг) и количества осадков в период вегетации 一 R (г). Были получены следующие варианты уравнений регрессии и доверительные интервалы для коэффициентов регрессий (табл. 2.6 и 2.7):

1)/ = -5 + 0,8L + 1,2Л/, 尺2 = 0,75.

Таблица 2.6

Граница

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе

М

Нижняя

0,4

???

Верхняя

???

1,4

Примечание. Доверительные интервалы построены с вероятностью F 二 0,95.

2)R = 2+0,5L + l,7M-2R 尺 2 =0,77.

Таблица 2.7

Граница

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе

М

R

Нижняя

од

???

???

Верхняя

???

2,3

1,5

Примечание. Доверительна】© интервал^】 ностроень】с вероятностью 尸二 0,95.

Задание

Восстановите пропущенные цэаницы доверительных интервалов в каждом уравнении.

Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Каковы ваши предложения относительно значения ькритерия Стьюдента для коэффициента регрессии при факторе R во 2-м уравнении?

Задача 11

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн руб.) от четырех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева А/(кг), количества осадков в период вегетации R (г) и качества почвы Q (баллов). Были получены следующие варианты уравнений репрессии и доверительные интервалы коэффициентов репрессий (табл. 2.8 и 2.9):

1)? = 2 + O,5L + 1,7M-2RЯ2 =0,77.

Таблица 2.8

Граница

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе

М

R

Нижняя

0,1

???

???

Верхняя

???

2,3

1,5

Примечание. Доверительные интервал* построены с вероятностью F 二 0,95.

2)? = 6,4 + 0,7L + l,5M-2R + 0,8Q, R2 =0,81.

Таблица 2.9

Граница

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе

М

R

е

Нижняя

0,3

-0,2

???

0,4

Верхняя

???

???

-1,2

1,2

Примечание. Доверительные интервалы построены с вероятностью F = 0,95.

Задание

Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов.

Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию его параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии на примере одного из факторных признаков.

Оцените целесообразность включения в модель у =/(L, М, R) фактора Q.

Задача 12

Производственная функция, полученная по данным за 1990 - 1997 гг., характеризуется уравнением

Л

1g 尸=0,552 + 0,2761g Z+ 0,5211g К(0,584)(0,065)

R2 = 0,9843, 後=07826, 涂=0,9836,

где 尸-индекс промышленного производства;

Z - численность рабочих;

К - капитал.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Дайте интерпретацию параметров уравнения регрессии.

Оцените значимость параметров регрессии с помощью Г-критерия Стьюдента и сделайте соответствующие выводы о целесообразности включения факторов в модель.

Оцените значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера.

Найдите величины частных значений F-критерия и сделайте соответствующие выводы.

Какова роль факторов, не учтенных в модели, в вариации индекса промышленного производства.

Задача 13

По 30 наблюдениям получены следующие данные:

Уравнение регрессии

у = а + 0,176 х( + 0,014 х2 一 7,75 х3

Коэффициент детерминации

0,65

У

200

亏150

20

元3

100

Задание

Найдите скорректированный коэффициент корреляции, оцените значимость уравнения регрессии в целом.

Определите частные коэффициенты эластичности.

Оцените параметр а.

Задача 14

Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт - ч) от объемов производства продукции А - х\ (тыс. ед.) и продукции Л - х2 (тыс. ед.) характеризуется следующим образом:

Уравнение регрессии в стандартизованном виде

% = 0,79 厶］+0,56%

Коэффициент детерминации

0,95

Коэффициент вариации у, Vу

27%

Коэффициент вариации X), &

45%

Коэффициент вариации х2, VX1

40%

Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат.

Учитывая значения коэффициентов вариации рассматриваемых признаков, определите частные коэффициенты эластичности, сделайте по ним выводы.

Оцените значимость уравнения регрессии, учитывая, что оно построено по 30 наблюдениям.

Задача 15

Имеется информация по 25 наблюдениям (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Признак

Среднее значение

Коэффициент вариации, %

Уравнение регрессии

У

35

20

夕=20 + - 2,0х2

占

16

30

у = 9 + I」/

不

8

10

у = 4-4,1х2

Задание

Оцените значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что %2 =-°，35，

Оцените значимость коэффициентов регрессии уравнения с двумя объясняющими переменными.

Определите показатели частной корреляции.

Найдите частные коэффициенты эластичности.

Задача 16

Имеется информация по 22 наблюдениям (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Признак

Среднее значение

Коэффициент вариации, %

Уравнение регрессии

у

23

20

у = 19-2,0X( -О,5х2

6

40

/ = 9 - 1,0х1

女

8

10

夕= 4 + 0,б%

Оцените значимость каждого уравнения регрессии, если известно, чтогХ1х2 = -0,5.

Оцените значимость коэффициентов регрессии уравнения с двумя факторами.

Найдите скорректированный коэффициент множественной корреляции.

Определите показатели частной корреляции.

Задача 17

По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника xi (ед.) и индекса цен на продукцию 也(%)• Данные приведены в табл. 2.12.

Таблица 2.12

Признак

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

У

250

38

гух{ =。，68

修

47

12

гух2 =0'63

女

112

21

'х/2 = 0,42

Задание

Постройте линейные уравнения парно访 регрессии, оцените их значимость с помощью F-критерия Фишера.

Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частные критерии Фишера и сделайте выводы.

Задача 18

По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт • ч) от производства продукции - Xi (тыс. ед.) и уровня механизации труда -无2 (%)• Данные приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Признак

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

У

1000

27

=°，77

占

420

45

гух2 =0-43

Х2

41,5

18

ГХуХ2 =О»38

Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

Определите показатели частной и множественной корреляции.

3( Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с р-коэффициентами.

Рассчитайте общий и частные F-критерии Фишера.

Задача 19

Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов у (т) от энерговооруженности труда 修(кВт，ч на одного рабочего) и объема произведенной продукции & (тыс. ед.). Данные приведены в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Признак

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

У

12,0

2,0

ГуХ{ =0,52

修

4,3

0,5

гух2 =0-84

Х2

10,0

L8

%打 =。，43

Задание

Постройте уравнение множественной репрессии и поясните экономический смысл его параметров.

Определите частные коэффициенты эластичности и стандартизованные коэффициенты репрессии.

Найдите частные й множественный коэффициенты корреляции.

Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Задача 20

По 50 семьям изучалось потребление мяса - у (кг на душу населения) от дохода - xi (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы - % (к「на душу населения). Результаты оказались следующими:

Уравнение регрессии

夕=-180 + 0,2Xj - 0,4х2

Стандартные ошибки параметров

20 0,010,25

Множественный коэффициент корреляции

0,85

89

Используя r-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.

Рассчитайте F-критерий Фишера.

Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность включения в модель:

фактора Xi после фактора х2;

фактора %2 после фактора хь

Задача 21

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда - у от уровня квалификации рабочих -工】 и энерговооруженности их труда -无2・ Результаты оказались следующими:

Уравнение регрессии

у -а + 10xj + 2х2

Стандартные ошибки параметров

0,5 2?

r-критерий для параметров

3?5

Множественный коэффициент корреляции

0,85

Задание

Определите параметр а и заполните пропущенные значения.

Оцените значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции.

Какой из факторов оказывает более сильное воздействие на результат?

Задача 22

Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в табл. 2.15.

Таблица 2.15

Номер предприятия

Валовой доход за год, млн руб.

Среднегодовая стоимость, млн руб.

основных фондов

оборотных средств

1

203

118

105

2

63

28

56

3

45

17

54

4

ИЗ

50

63

5

121

56

28

6

88

102

50

7

110

116

54

8

56

124

42

9

80

114

36

10

237

154

106

И

160

115

88

12

75

98

46

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.

Рассчитайте частные коэффициенты эластичности.

Определите стандартизованные коэффициенты регрессии.

Сделайте вывод о силе связи результата и факторов.

Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы.

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 23

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г. (табл. 2.16).

Таблица 2.16

№ п/п

Чистый доход, мпрд долл.

США/

Оборот капитала, мпрд допп. США,修

Использованный капитал, млрд долл. США,х2

Численность спужа- щих, тыс. чел., %з

Рыночная капитализация компании, млрд долл.

США,/

1

0,9

31,3

18,9

43,0

40,9

2

1,7

13,4

13,7

64,7

40,5

3

0,7

4,5

18,5

24,0

38,9

4

1,7

10,0

4,8

50,2

38,5

5

2,6

20,0

21,8

106,0

37,3

6

1,3

15,0

5,8

96,6

26,5

7

4,1

137,1

99,0

347,0

37,0

8

1,6

17,9

20,1

85,6

36,8

9

6,9

165,4

60,6

745,0

36,3

10

0,4

2,0

1,4

4,1

35,3

11

1,3

6,8

8,0

26,8

35,3

12

1,9

27,1

18,9

42,7

35,0

13

1,9

13,4

13,2

61,8

26,2

14

1,4

9,8

12,6

212,0

33,1

15

0,4

19,5

12,2

105,0

32,7

16

0,8

6,8

3,2

33,5

32,1

17

1,8

27,0

13,0

142,0

30,5

18

0,9

12,4

6,9

96,0

29,8

19

1,1

17,7

15,0

140,0

25,4

20

1,9

12,7

И>9

59,3

29,3

21

-0,9

21,4

1,6

131,0

29,2

22

1,3

13,5

8,6

70,7

29,2

23

2,0

13,4

11,5

65,4

29,1

24

0,6

4,2

1,9

23,1

27,9

25

0,7

15,5

5,8

80,8

27,2

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью Г-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F- критерия.

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе и по г-критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (а 工 0,05; а = 0,10).

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 24

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г. (табл. 2.17).

Таблица 2.17

№ п/п

Чистый доход, млрд долл. США, у

Оборот капитала, млрд долл. США.Х!

Использованный капитал, млрд долл. США, х?

Численность служащих, тыс. чел.,%3

1

6,6

6,9

的,6

222,0

2

3,0

18,0

6,5

32,0

3

6,5

107,9

56,4

82,0

4

3,3

16,7

15,4

45,2

5

0,1

79,6

29,6

299,3

6

3,6

16,2

13,3

41,6

7

1,5

5,9

17,8

8

5,5

53,1

27,1

151,0

9

2,4

18,8

82,3

10

3,0

35,3

16,4

103,0

И

4,2

71,9

32,5

12

2,7

93,6

25,4

675,0

13

1,6

10,0

6,4

43,8

14

2,4

31,5

12,5

102,3

3,3

.36,7

14,3

105,0

16

1,8

6,5

49」

17

2,4

64,8

22,7

50,4

1,6

30,4

15,8

19

1,4

12,1

9,3

71,0

20

0,9

31,3

18,9

43,0

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью г-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи проверьте с помощью F- критерия.

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитайте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и на их основе и по ^критерию для коэффициентов регрессии отберите информативные факторы в модель. Постройте модель только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (а = 0,05; а = 0,10).

Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 25

В табл. 2.18 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге (по состоянию на декабрь 1996 г.).

Таблица 2.18

№ п/п

修

%2

Хз

%4

“5

兀

%7

餐

У

1

1

1

39,0

20,0

8,2

0

1

0

15,9

2

3

1

68,4

40,5

10,7

0

1

0

27,0

3

1

1

34,8

16,0

10,7

0

1

12

13,5

4

1

1

39,0

20,0

8,5

0

1

12

15,1

5

2

1

54,7

28,0

10,7

0

1

12

21,1

6

3

1

74,7

46,3

10,7

0

1

12

28,7

7

3

1

71,7

45,9

10,7

0

0

0

27,2

8

3

1

74,5

47,5

10,4

0

0

0

28,3

9

4

137,7

87,2

14,6

0

1

0

52,3

10

1

1

40,0

17,7

11,0

1

1

8

22,0

11

2

1

53,0

31,1

10,0

1

1

8

28,0

12

3

1

86,0

48,7

14,0

1

1

8

45,0

13

4

1

98,0

65,8

13,0

1

1

8

51,0

№ п/п

修

工2

冷

х4

片

兀

“7

%8

У

14

2

1

62,6

21,4

11,0

1

1

0

34,4

15

1

1

45,3

20,6

10,4

1

1

8

24,7

16

2

1

56,4

29,7

9,4

1

1

8

30,8

17

1

1

37,0

17,8

8,3

0

1

0

15,9

18

3

1

67,5

43,5

8,3

0

1

0

29,0

19

1

1

37,0

17,8

8,3

0

1

3

15,4

20

3

1

69,0

42,4

8,3

0

1

3

28,6

21

1

1

40,0

20,0

8,3

0

0

0

15,6

22

3

1

69,1

41,3

8,3

0

1

0

27,7

23

2

1

68,1

35,4

13,0

1

1

20

34,1

24

2

1

75,3

41,4

12,1

1

1

20

37,7

25

3

1

83,7

48,5

12,1

1

1

20

41,9

26

1

1

48,7

22,3

12,4

1

1

20

24,4

27

1

1

39,9

18,0

8,1

1

0

0

21,3

28

2

1

68,6

35,5

17,0

1

1

12

36,7

29

1

1

39,0

20,0

9,2

1

0

0

21,5

30

2

1

48,6

31,0

8,0

1

0

0

26,4

31

3

1

98,0

56,0

22,0

1

0

0

53,9

32

2

1

68,5

30,7

8,3

1

1

6

34,2

33

2

1

71,1

36,2

13,3

1

1

6

35,6

34

3

1

68,0

41,0

8,0

1

1

12

34,0

35

1

1

38,0

19,0

7,4

1

1

12

19,0

36

2

1

93,2

49,5

14,0

1

1

12

46,6

37

3

1

117,0

55,2

25,0

1

1

12

58,5

38

1

2

42,0

21,0

10,2

1

0

12

24,2

39

2

2

62,0

35,0

11,0

1

0

12

35,7

40

3

2

89,0

52,3

11,5

1

1

12

51,2

41

4

2

132,0

89,6

11,0

1

1

12

75,9

42

1

2

40,8

19,2

10,1

1

1

6

21,2

43

2

2

59 2

31 9

11 2

1

1

fi

30,8

44

3

2

65,4

38,9

9,3

1

1

6

34,0

45

2

2

60,2

36,3

10,9

1

1

12

31,9

46

3

2

82,2

49,7

13,8

1

1

12

43,6

47

3

2

98,4

52,3

15,3

1

1

12

52,2

№ п/п

修

%2

“3

%4

%5

%

%7

入8

У

48

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

0

43,1

49

1

3

38,7

20,0

10,2

1

1

6

25,0

50

2

3

56,4

32,7

10,1

1

1

6

35,2

51

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

6

40,8

52

1

3

38,7

20,0

10,2

1

0

0

18,2

53

1

3

41,5

20,0

10,2

1

1

0

20,1

54

2

3

48,8

28,5

8,0

1

0

0

22,7

55

2

3

57,4

33,5

10,1

1

1

0

27,6

56

3

3

76,7

44,7

8,0

1

1

0

36,0

57

1

4

37,0

17,5

8,3

0

1

7

17,8

58

2

4

54,0

30,5

8,3

0

1

7

25,9

59

3

4

68,0

42,5

8,3

0

1

7

32,6

60

1

4

40,5

16,0

11,0

0

1

3

19,8

61

2

4

61,0

31,0

11,0

0

1

3

29,9

62

3

4

80,0

45,6

11,0

0

1

3

39,2

63

1

3

52,0

21,2

11,2

1

1

18

22,4

64

2

3

78,1

40,0

11,6

1

1

18

35,2

65

3

3

91,6

53,8

16,0

1

0

18

41,2

66

1

4

39,9

19,3

8,4

0

1

6

17,8

67

2

4

56,2

31,4

ИД

0

1

6

25,0

68

3

4

79,1

42,4

15,5

0

1

6

35,2

69

4

4

91,6

55,2

9,4

0

1

6

40,8

Принятые в таблице обозначения у — цена квартиры, тыс долл , Xi - число комнат в квартире, 工2 - район города (1 - Приморский, Шувалово - Озерки, 2 - Гражданка, 3 - Юго-Запад, 4 - Красносельский), хз - общая площадь квартиры (м2), М - жилая площадь квартиры (м2), xs - площадь кухни (м2),

Хб-тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой), %7 - наличие балкона (1 - есть, 0 - иет), л.» - число месяцев до окончания срока строительства

Задание

Определите факторы, формировавшие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге в 1996 г. Сгенерируйте фиктивную переменную & отражающую местоположение квартиры и позволяющую

разделить всю совокупность квартир на две группы, квартиры на севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-Запад, Красносельский район).

Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции:

исходных переменных;

логарифмов исходных переменных (кроме фиктивных переменных). Вместо переменной х2 используйте фиктивную переменную z.

Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной и степенной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны. В какой модели мультиколлинеарность проявляется сильнее?

Постройте модель у = f (хз, %б, х7, х8, z) в линейной и степенной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга? Является ли наличие балкона или лоджии преимуществом квартиры на рынке? Как вы объясните этот факт?

Задача 26

По данным, представленным в табл. 2.19, изучается зависимость индекса человеческого развития у от переменных:

Xi-ВВП 1997 г., % к 1990 г.;

х2 - расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП;

х3 - расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

х4 一 валовое накопление, % к ВВП;

х5 — суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения;

хе - ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997 г. число лет.

Таблица 2.19

Страна

У

%1

“2

“3

%4

“5

%6

Австрия

0,904

115,0

75,5

56,1

25,2

3343

77,0

Австралия

0,922

123,0

78,5

61,8

21,8

3001

78,2

Белоруссия

0,763

74,0

78,4

59,1

25,7

3101

68,0

Бельгия

0,923

111,0

77,7

63,3

17,8

3543

77,2

Великобритания

0,918

113,0

84,4

64,1

15,9

3237

77,2

Германия

0,906

110,0

75,9

57,0

22,4

3330

77,2

Дания

0,905

119,0

76,0

50,7

20,6

3808

75,7

Индия

0,545

146,0

67,5

57,1

25,2

2415

62,6

Испания

0,894

113,0

78,2

62,0

20,7

3295

78,0

Страна

У

%1

%2

%з

%4

%5

%6

Италия

0,900

108,0

78,1

61,8

17,5

3504

78,2

Канада

0,932

113,0

78,6

58;6

19,7

3056

79,0

Казахстан

0,740

71,0

84,0

71,7

18,5

3007

67,6

Китай

0,701

210,0

59,2

48,0

42,4

2844

69,8

Латвия

0,744

94,0

90,2

63,9

23,0

2861

68,4

Нидерланды

0,921

118,0

72,8

59,1

20,2

3259

77,9

Норвегия

0,927

130,0

67,7

47,5

25,2

3350

78,1

Польша

0,802

127,0

82,6

65,3

22,4

3344

72,5

Россия

0,747

61,0

74,4

53,2

22,7

2704

66,6

США

0,927

117,0

83,3

67,9

18,1

3642

76,7

Украина

0,721

46,0

83,7

61,7

20,1

2753

68,8

Финляндия

0,913

107,0

73,8

52,9

17,3

2916

76,8

Франция

0,918

110,0

79,2

59,9

16,8

3551

78,1

Чехия

0,833

99,2

71,5

51,5

29,9

3177

73,9

Швейцария

0,914

101,0

75,3

61,2

20,3

3280

78,6

Швеция

0,923

105,0

79,0

53,1

14,1

3160

78,5

Задание

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Рассчитайте коэффициенты множественной детерминации, используя в качестве зависимой переменной каждый фактор. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов.

Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Отберите информативные факторы по пп.1 и 3. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Задача 27

Имеются данные по странам за 1997 г. (табл. 2.20).

Таблица 2.20

Страна

Индекс человеческого развития, У

Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет,修

Суточная калорийность питания населения, ккал на Душу, %2

Австрия

0,904

77,0

3343

Австралия

0,922

78,2

3001

Аргентина

0,827

72,9

3136

Белоруссия

0,763

68,0

3101

Страна

Индекс человеческого развития, У

Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет,修

Суточная калорийность питания населения, ккал на Душу» “2

Бельгия

0,923

77,2

3543

Бразилия

0,739

66,8

2938

Великобритания

0,918

77,2

3237

Венгрия

0,795

70,9

3402

Германия

0,906

77,2

3330

Греция

0,867

78,1

3575

Дания

0,905

75,7

3808

Египет

0,616

66,3

3289

Израиль

0,883

77,8

3272

Индия

0,545

62,6

2415

Испания

0,894

78,0

3295

Италия

0,900

78,2

3504

Канада

0,932

79,0

3056

Казахстан

0,740

67,7

3007

Китай

0,701

69,8

2844

Латвия

0,744

68,4

2861

Нидерланды

0,921

77,9

3259

Норвегия

0,927

78,1

3350

Польша

0,802

72,5

3344

Республика Корея

0,852

72,4

3336

Россия

0,747

66,6

2704

Румыния

0,752

69,9

2943

США

0,927

76,6

3642

Турция

0,728

69,0

3568

Украина

0,721

68,8

2753

Финляндия

0,913

76,8

2916

Франция

0,918

78,1

3551

Чехия

0.833

73.9

3177

Швейцария

0,914

78,6

3280

Швеция

0,923

78,5

3160

ЮАР

0,695

64,1

2933

Япония

0,924

80,0

2905

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.

Постройте парные уравнения регрессии.

Оцените статистическую значимость уравнений и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Постройте уравнение множественной регрессии.

Постройте графики остатков. Сделайте выводы.

Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

Оцените статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Определите, какое уравнение лучше использовать для прогноза:

парную регрессию у на 制；

парную регрессию у на х 2；

множественную регрессию.

Задача 28

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 2.21.

Таблица 2.21

Страна

У

打

%2

“3

%4

Мозамбик

47

3,0

2,6

2,4

113

Бурунди

49

2,3

2,6

2,7

98

Чад

48

2,6

2,5

2,5

117

Непал

55

4,3

2,5

2,4

91

Буркииа-Фасо

49

2,9

2,8

2,1

99

Мадагаскар

52

2,4

3,1

3,1

89

Бангладеш

58

5,1

1,6

2,1

79

Гаити

57

3,4

2,0

1,7

72

Мали

50

2,0

2,9

2,7

123

Нигерия

53

4,5

2,9

2,8

80

Кения

58

5,1

2,7

2,7

58

Того

56

4,2

3,0

2,8

88

Индия

62

5,2

1,8

2,0

68

Бенин

50

6,5

2,9

2,5

95

Страна

У

力

“2

%з

工4

Никарагуа

68

7,4

3,1

4,0

46

Гана

59

7,4

2,8

2,7

73

Ангола

47

4,9

3,1

2,8

124

Пакистан

60

8,3

2,9

3,3

90

Мавритания

51

5,7

2,5

2,7

96

Зимбабве

57

7,5

2,4

2,2

55

Гондурас

67

7,0

3,0

3,8

45

Китай

69

10,8

1,1

1,1

34

Камерун

57

7,8

2,9

3,1

56

Конго

51

7,6

2,9

2,6

90

Шри-Ланка

72

12,1

1,3

2,0

16

Египет

63

14,2

2,0

2,7

56

Индонезия

64

14,1

1,6

2,5

51

Филиппины

66

10,6

2,2

2,7

39

Марокко

65

12,4

2,0

2,6

55

Папуа - Новая Гвинея

57

9,0

2,3

2,3

64

Гватемала

66

12,4

2,9

3,5

44

Эквадор

69

15,6

2,2

3,2

36

Доминиканская Республика

71

14,3 .

1,9

2,6

37

Ямайка

74

13,1

1,0

1,8

13

Алжир

70

19,6

2,2

4,1

34

Республика ЭльСальвадор

67

9,7

2,2

3,4

36

Парагвай

68

13,5

2,7

2,9

41

Тунис

69

18,5

1,9

3,0

39

Белоруссия

70

15,6

0,2

0,2

13

Перу

66

14,0

2,0

3,1

47

Таиланд

69

28,0

0,9

1,3

35

Панама

73

22,2

1,7

2,4

23

Турция

67

20,7

1,7

2,1

48

Польша

70

20,0

0,3

0,6

14

Словакия

72

13,4

0,3

0,7

11

Венесуэла

71

29,3

2,3

3,0

23

ЮАР

64

18,6

2,2

2,4

50

Мексика

72

23,7

1,9

2,8

33

Страна

У

打

工2

хз

工4

Мавритания

71

49,0

1,3

1,8

16

Бразилия

67

20,0

1,5

1,6

44

Тринидад

72

31,9

0,8

1,8

13

Малайзия

71

33,4

2,4

2,7

12

Чили

72

35,3

1,5

2,1

12

Уругвай

73

24,6

0,6

1,0

18

Аргентина

73

30,8

1,3

2,0

22

Греция

78

43,4

0,6

0,9

8

Республика Корея

72

42,4

0,9

1,9

10

Испания

77

53,8

0,2

1,0

7

Нов. Зеландия

76

60,6

1,4

1,5

7

Ирландия

77

58,1

0,5

1,7

6

Израиль

77

61,1

3,5

3,5

8

Австралия

77

70,2

1,1

1,4

6

Италия

78

73,7

0,2

0,4

7

Канада

78

78,3

1,3

1,0

6

Финляндия

76

65,8

0,5

од

5

Гонконг

79

85,1

1,6

1,3

5

Швеция

79

68,7

0,6

0,3

4

Нидерланды

78

73,9

0,7

0,6

6

Бельгия

77

80,3

0,4

0,5

8

Франция

78

78,0

0,5

0,8

6

Сингапур

76

84,4

2,0

U

4

Австрия

77

78,8

0,8

0,5

6

США

77

100,0

1,0

1,1

8

Дания

75

78,7

0,3

0,1

6

Япония

80

82,0

0,3

0,6

4

Швейцария

78

95,9

1,0

0,8

6

Принятые в таблице обозначения:

у - средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

Xi - ВВП в паритетах покупательной способное™；

%2 - темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %; %з - темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %;

%4 - коэффициент младенческой смертности, %。.

Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения.

Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы коллинеарны.

Постройте уравнение множественной регрессии, обосновав отбор факторов.

Постройте графики остатков. Сделайте выводы.

Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

Оцените статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование средней ожидаемой продолжительности жизни в этом уравнении?

Постройте уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

Задача 29

Имеются данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья в Санкт-Петербурге на 01.05.2000 г. (табл. 2.22).

Таблица 2.22

№ п/п

У

打

%2

工3

工4

%5

%6

^7

1

13,0

1

1

37,0

21,5

6,5

0

20

2

16,5

1

1

60,0

27,0

22,4

0

10

3

17,0

1

1

60,0

30,0

15,0

0

10

4

15,0

1

1

53,0

26,2

13,0

0

15

5

14,2

1

1

35,0

19,0

9,0

0

8

6

10,5

1

1

30,3

17,5

5,6

1

15

7

23,0

1

1

43,0

25,5

8,5

0

5

8

12,0

1

1

30,0

17,8

5,5

1

10

9

15,6

1

1

35,0

18,0

5,3

1

3

10

12,5

1

1

32,0

17,0

6,0

1

5

11

11,3

1

0

31,0

18,0

5,5

1

10

12

13,0

1

0

33,0

19,6

7,0

0

5

13

21,0

1

0

53,0

26,0

16,0

1

5

14

12,0

1

0

32,2

18,0

6,3

0

20

15

11,0

0

31,0

17,3

5,5

1

15

16

11,0

1

0

36,0

19,0

8,0

1

5

№ п/п

У

Х1

Х2

Хз

%4

*

Хб

17

22,5

2

1

48,0

29,0

8,0

1

15

18

26,0

2

1

55,5

35,0

8,0

0

10

19

18,5

2

1

48,0

28,0

8,0

0

10

20

13,2

2

1

44,1

30,0

6,0

1

25

21

25,8

2

1

80,0

51,0

13,0

0

10

22

17,0

2

1

60,0

38,0

10,0

0

12

23

18,0

2

0

50,0

30,0

8,7

1

15

24

21,0

2

0

54,6

32,0

10,0

1

20

25

14,5

2

0

43,0

27,0

5,5

1

10

26

23,0

2

0

66,0

39,0

12,0

1

5

27

19,5

2

0

53,5

29,5

7,0

1

15

28

14,2

2

0

45,0

29,0

6,0

1

12

29

13,3

2

0

45,0

30,0

5,5

0

5

30

16,1

2

0

50,6

30,8

7,9

0

10

31

13,5

2

0

42,5

28,0

5,2

1

25

32

16,0

2

0

50,1

31,0

6,0

0

10

33

15,5

3

1

68,1

44,4

7,2

0

5

34

38,0

3

1

107,0

58,0

24,0

0

15

35

30,0

3

1

100,0

58,0

20,0

0

15

36

24,0

3

1

71,0

52,0

7,5

1

15

37

32,5

3

1

98,0

51,0

15,0

0

10

38

43,0

3

0

100,0

45,0

35,0

1

25

39

17,8

3

0

58,0

39,0

6,2

0

10

40

28,0

3

0

75,0

40,0

18,0

1

3

41

32,7

3

0

85,0

59,0

9,0

0

5

42

31,0

3

0

66,0

48,0

6,0

0

2

43

33,0

3

0

81,0

52,0

12,0

0

10

44

28,0

3

0

76,4

49,0

10,0

0

5

45

21,5

3

0

55,0

40,5

6,0

1

15

46

15,3

3

0

53,7

37,6

5,5

1

3

47

21,0

3

0

57,0

38,0

6,3

0

7

48

35,5

3

0

62,0

52,0

8,0

0

3

49

22,0

3

0

74,0

47,0

10,0

0

15

50

29,0

3

0

70,0

45,0

9,0

0

2

№ п/п

У

Х1

工2

хз

工4

工5

工6

灯

51

16,0

3

0

80,0

54,0

8,0

0

3

52

22,0

3

0

62,0

37,0

10,2

1

5

53

23,0

3

0

69,7

42,0

10,8

0

15

54

19,5

3

0

79,0

50,3

9,1

1

25

55

34,0

3

0

96,4

58,0

12,6

1

5

56

24,5

4

1

90,0

64,0

15,0

0

5

57

27,3

4

1

102,0

66,0

11,8

0

7

58

41,0

4

1

87,0

56,5

12,5

0

10

59

31,0

4

1

114,8

74,0

25,6

0

10

60

35,6

4

1

114,3

74,7

12,0

1

5

61

46,0

4

1

90,0

62,0

8,0

1

5

62

35,0

4

1

116,0

81,0

16,5

0

10

63

42,7

4

1

107,0

75,5

9,5

0

10

64

27,0

4

0

93,0

66,0

10,0

0

15

65

75,0

4

0

176,0

129,0

15,0

0

10

66

38,0

4

0

96,0

69,4

9,0

0

8

67

23,5

4

0

92,0

72,5

9,5

0

10

68

65,0

4

0

176,0

110,0

33,0

1

20

69

23,0

4

0

74,0

49,0

6,5

0

15

70

45,5

4

0

106,0

73,7

9,0

0

10

71

34,0

4

0

88,0

61,7

9,0

0

3

72

23,0

4

0

74,0

45,8

9,0

0

10

73

26,5

4

0

74,7

50,8

8,2

1

10

74

37,0

4

0

115,0

76,0

8,5

0

5

75

30,0

4

0

92,0

62,0

9,0

0

15

76

43,0

4

0

110,0

79,5

10,0

0

5

Принятые в таблице обозначения у - цена квартиры, тыс долл , - число комнат в квартире, %2 - район города (1 - центральные, 0 - периферийные), хз - общая площадь квартиры (м2), X* - жилая площадь квартиры (м2), & - площадь кухни (м2), хе - тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой), ху - расстояние от метро, минут пешком.

По этим данным необходимо определить факторы, формировавшие цену квартир на вторичном рынке жилья в Санкт-Петербурге весной 2000 г.

Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции.

Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов. Установите, какие факторы коллинеарны, определив коэффициенты множественной детерминации для каждого из факторов.

Оцените значимость полученного уравнения. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в центральных и в периферийных районах Санкт-Петербурга?

Существует ли разница в ценах квартир разных типов домов?

Постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов.

Задача 30

Изучается зависимость спроса на персональные компьютеры - у от дохода на одного члена семьи - х. Результаты опроса мужчин и женщин представлены на рис. 2.12, а, а результаты опроса всех взрослых в зависимости от жилищных условий приведены на рис. 2.12, б.

Рис. 2.12. Зависимость спроса на персюнальные компьютеры 一 у (тыс. руб.) от дохода на одного члена семьи - х (тыс. руб.) по данным опроса, а - мужчин ⑵)и женщин ⑵)；б - всего населения при разных жилищных условиях (16 - хорошие, V2 一 плохие)Рис. 2.12. Зависимость спроса на персюнальные компьютеры 一 у (тыс. руб.) от дохода на одного члена семьи - х (тыс. руб.) по данным опроса, а - мужчин ⑵)и женщин ⑵)；б - всего населения при разных жилищных условиях (16 - хорошие, V2 一 плохие)

Рис. 2.12. Зависимость спроса на персюнальные компьютеры 一 у (тыс. руб.) от дохода на одного члена семьи - х (тыс. руб.) по данным опроса, а - мужчин ⑵)и женщин ⑵)；

б - всего населения при разных жилищных условиях (16 - хорошие, V2 一 плохие)

Рис. 2.12. Зависимость спроса на персюнальные компьютеры 一 у (тыс. руб.) от дохода на одного члена семьи - х (тыс. руб.) по данным опроса, а - мужчин ⑵)и женщин ⑵)；

б - всего населения при разных жилищных условиях (16 - хорошие, V2 一 плохие)

Задание

Определите, в каком случае возможно построение уравнения регрессии с включением фиктивной переменной.

Напишите общий вид уравнения регрессии с фиктивной переменной.

Укажите, как можно ввести в модель фиктивную переменную и как интерпретировать коэффициент регрессии при ней.

РАЗДЕЛ

СИСТЕМАЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

乃=4“ 工1 +用2 々2 +…+ 〃lm+5，, 歹2 = fl21 'xl +022+…+02m，xm +£2，

Уn^аn\ ^1 +a〃2 ，*2+…+0沏•Xm +£〃

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система рекурсивных уравнений 一 когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

Л =«11，Х1 +勺2，x2 + …+ 用щ xw +5，

歹2 =621 •乃+a21，x1 +a22.х2 +…+ a2nl xm +立，

,Уз =^зrуI +今2 у2+aз\ X1 +432 .x2 + …+ 的m хт +£3»

Уп 二院丿1 + 加2 •及 + …+ КшТ • Уп-1 + 仆1 •占 + М2 , *2 + …

Л anm 5m +£〃

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов:

система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

106

乃=瓦2，y2 +瓦3，乃+…+瓦〃 'уn +用1，X1 +a12工2 +…+ ^a\m，xm +S，

y2 =历1 •乃+623)3 +…+力2门 'Уn +а21.占+a22，X2 +…+

'+42nl 'xm +立，

уn =〃1 •乃 + 九2 •及++ anl ,X1 + 阳2 *2 +…+

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы)^.

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные 一 экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты аиЬ при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели'.

,1 =6“ ・占 +512 '%2 +…+ gm=S2i %i +622，x2 +…+ 52m .Х现，

Л： =31 ・修 +$〃2 —2 + …+ $м ・％掰，

где 5 - коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации 一 выполнение счетного правила:

D + 1 -Н-уравнение идентифицируемо;

D + 1 <Н-уравнение неидентифицируемо;

D+ 1 >Н-уравнение сверхидентифицируемо,

где Н-число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации 一 определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифи- цированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

32 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 7

Т ребуется:

Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

为二瓦3 •乃+例1•修+a13工3，,У2 = ^21 ' У\ +'23 丿3 + a22 •X2，乃=%2丿2 + a31 *修+a33 .*3，

Исходя из приведенной формы модели уравнений

=2-%! +4-х2 +10х3,'У2 = 3. X] _ 6 . %2 + 2 . %з,Уз = —5. X] + 8 • к? + 5 • ,

найти структурные коэффициенты модели.

Решение

Модель имеет три эндогенные (уь 歹2, Уз) и три экзогенные “九 х2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

108

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 3, %）, отсутствующих экзогенных - 1（Х2）.

Выполняется необходимое равенство: 2=1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у2 и Х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

У2

历

Второе

-1

々22

Третье

匕32

0

Det А 二一1 • 0 — 632 • 〃22 千 0.

Определитель матрицы не равен 05 ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 3 Си，％,乃）， отсутствующих экзогенных - 2 （勺,х3）.

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+ 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют 修 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

修

хз

Первое

а”

用3

Третье

61

азз

Det А = а” •的3-的「〃1з 丈 0・

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных 一 2 5, Уз）,

ОТСУТСТВУЮЩИХ ЭКЗОГеННЫХ - 1（Х2）.

Выполняется необходимое равенство: 2=1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

д： в третьем уравнении отсутствуют у\ и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

乃

Первое

-1

0

Второе

ь21

々22

Det А = —*1 ♦敗2 —力2】，0 # °*

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

Вычислим структурные коэффициенты модели:

из третьего уравнения приведенной формы выразим Х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

— 乃 + 5・Х] —5・хз

-8—•

Данное выражение содержит переменные уз, X! и х3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

歹]=2•占 + 4-+10 п

乃=0,5 •歹3 + 4,5 • X] + 7,5 ■ х3 - первое уравнение СФМ;

во втором уравнении СФМ нет переменных Х] и х3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап', выразим Xi в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

一乃 Ух?-Из _ 八

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х3, которого нет в СФМ.

110

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

хj3+5.修一8.х2

3 ~5

Подставим его в выражение xj：

X] =0,5•乃 一2.х2 一5.(乃 +5 ；_§../2 =o,5.%一乃 + 6.х2 一5.修；

Y _0,5,一乃+6・х2

6•

Второй этап', аналогично, чтобы выразить х3 через искомые у】， уз и х2, заменим в выражении хз значение Xi на полученное из первого уравнения ПФМ:

Уз + 5 • (0,5 .力-2. %2 — 5. %з) - 8. %2

= 0,2 У3 +0,5•力-3,6，х2 一5，х3.

Следовательно,

Хз = 0,033 • у? + 0,083 •力-0,6 •工2 •

Подставим полученные 修 и хз во второе уравнение ПФМ:

У2 二 3 -■—~--- 6 •x2 + 2 •(0,033 . 乃 + 0,083 •乃-0,6 •x2 ) 0

6

歹2 =0,416-^ -0,434 \у3 -4,2-х2 ~ второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.

Суммируя все уравнения, получим

Ух = 2. X] + 4. %2 +10. Хз,

У2 = 3 ♦ X] — 6 •工2 + 2 • %3， 乃=-5+ 8.+ 5. хз 乃+及+乃=6-х2+17-х3

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим хь домножив первое уравнение наЗ, а второе - на (-2) и просуммировав их:

3 •力=6 •修 +12 •工2 + 30 • хз，一2丿2 = _6.X[ +12x2 _4.迎

3 . 力一2 .及=24.+ 26 . x3

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем х3, а именно:

[力 + y2 + У3 = 6 ,x2 + 17 ,Х3- 26,

〔3 •力-2 丿2 = 24 •工2 + 26，Хз17,

一26 • у^ — 26 丿2 -26 •乃=—15 6 ■工2 — 442 • Хз， 51 •乃 一34丿2 =408，x2+442，х3,0

25 •力-60 丿2 - 26 ，乃=252 •x2

60 • у2 = 25 • yi - 26 丿3 — 252 ■冷今

y2 = 0,416・乃 一0,433，乃 一4,2x2；

из второго уравнения ПФМ выразим х2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

x2 = 及士3 2±2.干3 =-0,167 % +0,5.修 +0333 Х3.

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

Уз = -5・Х] + 8-(-0,167 - у2 +0,5・修 +0,333・хз)+ 5・хз о

Уз 二-1,336 • % - 工1 + 7,664 • хз - третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид

У\ = 0,5 •乃 + 4,5 •修 + 7,5 ■ Хз, ■ У2 = 0,416 • у\ — 0,434 •乃-4,2 ■工2' 乃=-1,336 -^2 -修 +7,664 ■ х3.

Пример 2

Изучается модель вида

(y=a1+瓦(C + Q)+ q,

1e = a2 + 52 丿 + b3 * У~\ + £2，

где у - валовой национальный доход;

у— - валовой национальный доход предшествующего года;

С- личное потребление;

D- конечный спрос (помимо личного потребления);

£； и е2 - случайные составляющие.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. З.Г.

Таблица 3.1

Год

D

У-1

У

С

Год

D

У-1

У

С

1

-6,8

46,7

3,1

7,4

6

44,7

17,8

37,2

8,6

2

22,4

3,1

22,8

30,4

7

23,1

37,2

35,7

30,0

3

-17,3

22,8

7,8

1,3

8

51,2

35,7

46,6

31,4

4

12,0

7,8

21,4

8,7

9

32,3

46,6

56,0

39,1

5

5,9

21,4

17,8

25,8

Е

167,5

239,1

248,4

182,7

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

{у^ 8,219 + 0,6688 • Q + 0,2610

[С = 8,636 + 0,33 84 • D + 0,2020 丿二.

Требуется:

Провести идентификацию модели.

Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение

В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и ут). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у, Пере-

Лизер С. Эконометрические методы и задачи: Пер. с англ. - М.: Статистика, 1971.-С. 61.

8-3272

менная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверх- идентифицирована.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение

С = 8,636 + 0,3384 ■ D + 0,2020 •工1

подставим значения D имеющиеся в условии задачи. Получим:

Ci = 15,8 ; С2 = 16,8 ； С3 = 7,4 ; С4 = 14,3 ; С5 = 15,0; С6 = 27,4;

С7 = 24,0 ; С8 = 33,2; С9 = 29,0.

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические С и рассчитываем новую переменную С + D (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Год

D

с

С + D

Год

Р

с

С + D

1

-6,8

15,8

9,0

6

44,7

27,4

72,1

2

22,4

16,8

39,2

7

23,1

24,0

47,1

3

-17,3

7,4

-9,9

8

51,2

33,2

84,4

4

12,0

14,3

26,3

9

32,3

29,0

61,3

5

5,9

15,0

20,9

Е

167,5

182,9

350,4

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную С + Q через Z. Решаем уравнение

y = ai + bi-Z.

Система нормальных уравнений составит: [еy =小勺+瓦・EZ, \^y-Z = ax -LZ + ^i -EZ2,

/248,4 = 9-^+350,4-^1，

[13508,71 = 350,4 • «i + 21142,02 ■ Z>i'

ai = 7,678;瓦= 0,512.

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким: у = 7,678+ 0,512 -(С+ D).

Пример 3

Имеются данные за 1990-1994 гг. (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Год

Годовое потребление свинины на душу населения, фунтов, %

Оптовая цена за фунт, ДОЛЛ.，У2

Доход на душу населения, ДОЛЛ., X]

Расходы по обработке мяса, % к цене, &

1990

60

5,0

1300

60

1991

62

4,0

1300

56

1992

65

4,2

1500

56

1993

62

5。

1600

63

1994

66

3,8

1800

50

Требуется:

Построить модель вида

1力=/(及,占)，

1^2 =/О1，Х2)，

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Решение

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид

= °21 丿1 +^22 х2 +£2*

8*

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1 + 1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

/л = S11 ■ %1 +612 ・工2，1^2 ~ §21* 修 +§22 ・工2，

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений В” и 5^ запишем систему нормальных уравнений:

+ S12

= 5ц • Ех]Х2 + §12 '

При ее решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т. е. матрица исходных данных составит:

-3

-1

2

-1

3

У2内％

0,6-2003

-0,4-200-1

-0,20-1

0,61006

-0,6300-7

Е0

0,000

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

工乃 X] = 1600 ；工乃Х2 = -37 ；工х； =180 000 ；

Ех/2 =-1900 ; Z%2 =96.

Система нормальных уравнений составит:

/1600 = 180 000-5“ -1900-б12, |-37 = -1900-511 +96-512.

Решая ее, получим:

5口 = 0,00609 ; б12 = -0,26481 •

Итак, имеем% = 0,00609 •修 - 0,26481 • х2.

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов 52i и &2：

^У2Х1 = ^21 '^х1 +»2 NX/?，

2y2x2 = 现 Nx/2 +822 ，上老，

工У2修=T60 ；工У2x2 = 1°2

/-160 = 180000-52i -1900-6 22， ［10,2 = -1900-521 +96-522.

Следовательно,

52i = 0,00029 ； б22 =0,11207 ,

тогда второе уравнение примет вид

у2 = 0,00029 •修 + 0,11207 • х2.

Приведенная форма модели имеет вид

/^ = 0,00609 • н - 0,26481 •工2，

［歹2 =0,00029 -%! +0,11207 ・工2・

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

力=0,00609 •修-0,26481 • х2, .у2 ~ 0,00029 • %1

2 ОД 1207

力=0,00609 •修 - 0,26481-结:篙9 Q = -2,36290 丿2 + 0,00678 •修,

72 = 0,00029 • X］十 0,11207 • x2, «_ у\ +0,26481 *工2

修 一 0,00609，

у2 = 0,00029 •"呼"81 *2 + о」】207 • х2 = 0,04762+ 0,12468 • х2.

0,00609

Итак, структурная форма модели имеет вид

[У\ — —2,36290 * у? + 0,00678 • х〔 + £〔,[及二 0,04762 •力 + 0,12468 ■ х? + £2 •

Пример 4

Рассматривается следующая модель:

Cr=a1 +%i •" +瓦2 С/т +6 I 尸 a2 +^21，rt + b22 Л-1 +u2 『尸 “з+”31*Х + ”32 ' Wf + U3 Y-Ct+It^Gt

(функция потребления);

(функция инвестиций);

(функция денежного рынка); (тождество дохода),

где &- расходы на потребление в период f；

匕 -совокупный доход в период f；

乙 一инвестиции в период г;

乃-процентная ставка в период t;

Mt - денежная масса в период f；

G, - государственные расходы в период t;

См - расходы на потребление в период г-1;

&- инвестиции в период t-1;

Uj, &，5 - случайные ошибки.

Требуется:

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решен ие

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (G,厶 匕 и rr) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные -Mt п Gt и две лаговые эндогенные переменные - См и /м).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

{уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (& и 匕)и одну предопределенную переменную (См). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

11 уравнение.

Уравнение II включает две эндогенные переменные (/г и г) и не включает три предопределенные переменные. Как и I уравнение, оно сверхидентифицировано.

П1 уравнение.

Уравнение III тоже включает две эндогенные переменные (匕 и г) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

IV уравнение.

Уравнение IV представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

匕

M

G

I уравнение

-1

di

^12

0

0

0

0

0

II уравнение

0

0

0

-1

历2

0

0

III уравнение

0

b31

0

0

-1

0

b32

0

Тождество

1

-1

0

1

0

0

0

1

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4-1 = 3.

{уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

44-1。1-1。12 ) т^ 112 ) т^ 11о о 123о ь о2^о оо о 123о ь о2^о о

4

4

-1。1

-1。1

2 ) т^ 11

2 ) т^ 11

о о 1

2

3

о ь о2

^о о

о о 1

2

3

о ь о2

^о о

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3x3 этой матрицы не равен нулю:

Det/* 二Det/* 二辛 S но.О 1辛 S но.О 1

Det/* 二

Det/* 二

辛 S но.

О 1

辛 S но.

О 1

Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.

II уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

лл-1。1-1。1瓦％-1瓦％-1о о 123о Л- о 2瓦0 0о о 123о Л- о 2瓦0 0

л

л

-1。1

-1。1

瓦％-1

瓦％-1

о о 1

2

3

о Л- о 2

瓦0 0

о о 1

2

3

о Л- о 2

瓦0 0

Ее ранг равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3 х 3 этой матрицы не равен нулю:

1^- о 11^- о 12о%。2о%。о о 1о о 1

1^- о 1

1^- о 1

2о%。

2о%。

о о 1

о о 1

Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.

П1 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Т о 1Т о 1071 2^о о071 2^о оо о 122< о IO оо о 122< о IO о

Т о 1

Т о 1

071 2

^о о

071 2

^о о

о о 1

22

< о IO о

о о 1

22

< о IO о

Ее ранг равен трем, так как определитель квадратной подматрицы 3 х 3 этой матрицы не равен нулю:

DeL4* =DeL4* =о о 11 о 1о о 11 о 1Н 0.Н 0.

DeL4* =

DeL4* =

о о 1

1 о 1

о о 1

1 о 1

Н 0.

Н 0.

Достаточное условие идентификации для III уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированьь Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый 疝iK.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде:

С/= 4 + % * 2-1 + “3，厶-1 + “4 ' М/ + 力5 • G, + 匕；

/尸 §1 + §2 * CfT + З3 ' //-i + B4 ' М{ + В5 • Gf + % ；

Yt= Dy + 必 * Cf—1 + Q3 ' Л-1 +。4 ' Mt + D^ • Gf + 匕；

『尸 ％ + 七2 * Cf-1 + E3 *厶一1 + £4 • Mt +£5 -Gr +И4 , где 匕，％,匕，％ - случайные ошибки.

120

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных Yt, rt, используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями:

С尸《1 + 如 Е + 瓦2 'Q-i + S , Еде и、=U] +仇1 % ;

/尸a2 +方21 片 +b22 ,Л-1 +и2 , где u2 =u2 +b21 •%；

г尸 〃з + ^31'匕 + 方32 ' Mt + U3, где Uз = Uз +631 "匕■

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры аь 方口，bi2, 〃2, 方21,方22,的，仇1 Иb32.

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная G) Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу - переменная 匕 станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной 4 от эндогенной переменной rt (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной 4-ь Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнения на идентификацию.

3.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание к задачам 7-79

Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

Определите метод оценки параметров модели.

Запишите приведенную форму модели.

Задача 7

Модель денежного рынка:

及尸а1 +瓦 1 ， Mt +方12X + J, 乙 ~a2 +621r£ +622% +£2,

где R - процентная ставка;

У -ВВП;

М ' денежная масса;

/ - внутренние инвестиции;

г - текущий период.

Задача 2

Модель Менгеса:

y尸 "1 +灰 1ybi +瓦2〃 +£"4="2 +621U +622Q[ +£2，

& H"3 +63F + 包2*.1 +ь33尸? +£3,

Q] ="4 +6410-1 +642& +%，

где У- национальный доход;

С- расходы на личное потребление;

/- чистые инвестиции;

Q- валовая прибыль экономики;

尸 -индекс стоимости жизни;

R- объем продукции промышленности;

t- текущий период;

г-1- предыдущий период.

Задача 3

Одна из версий модифицированной модели Кейнса имеет вид

e尸"1 +仇1%+42匕+5，

It =a2 +621%+b22匕.1 +S， 占Пa+"d，

где С- расходы на потребление;

У- доход;

/- инвестиции;

G- государственные расходы;

г-1- текущий период;

г-1- предыдущий период.

Задача 4

Модель мультипликатора-акселератора:

С产a1 +瓦1r£ + 瓦2С片1 + 5，

Л = a2 +621(以 一e.1)+ £2， &£=&+//,

где С- расходы на потребление;

R- доход;

/-инвестиции;

г- текущий период;

z-1 - предадущий период.

Задача 5

Конъюнктурная модель имеет вид

С尸 〃1 +饵1匕 +b12a.i +5，

Л - a2 +b21乙+方22乙.1 +g2， rt =a3 + &1 匕 +b32"£ +£3， Yt^Ct^I^Gt,

где С - расходы на потребление;

У- ВВП;

/- инвестиции;

г- процентная ставка;

М- денежная масса;

G - государственные расходы； г - текущий период;

г-1 - предыдущий период.

Задача 6

Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

Mt-ax +瓦2、+ 瓦3sГ +瓦4吃_1 +bi5Mt_^ +£i， Nf = "2 +62 也 f +%3乂 +方26% +£2,

+ Ьз、М £ + 方32%£ + ЬуХ £ + £3，

где М - доля импорта в ВВП;

^- общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;

S - число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

Е - фиктивная переменная, равная i для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 - для всех остальных лет;

У- реальный ВВП;

X- реальный объем чистого экспорта;

t- текущий период;

J1- предадущий период.

Задача 7

尸一二一尸一二一+ ++ +

尸一二一

尸一二一

+ +

+ +

где С- потребление;

/- инвестиции;

У- доход;

Г一 налоги;

К- запас капитала;

г- текущий период;

J1 - предыдущий период.

Задача 8

Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):

Ct -ах+ bnK + 612Q-i + £1/(функция потребления);

4 = «2 + 多1 匕 + 历3乙 + ^2/(функция инвестиций);

〃二《3 + 方31% + b^Mt + Ьз5，£—1+£зг (функция денежного рынка);

匕匸& + 4 + Gf(тождество дохода),

где С- потребление;

У- ВВП;

/- инвестиции;

г- процентная ставка;

М- денежная масса;

G- государственные расходы;

t- текущий период;

/-1- предыдущий период.

Задача 9

Модель Кейнса (одна из версий):

2 = "1 + 厶1l + 瓦 2匕-1 + еh Л - a2 +621 % + £2ГУ/ — С/ + // + Gf2 = "1 + 厶1l + 瓦 2匕-1 + еh Л - a2 +621 % + £2ГУ/ — С/ + // + Gf(функция потребления);(функция инвестиций); (тождество дохода).(функция потребления);(функция инвестиций); (тождество дохода).

2 = "1 + 厶1l + 瓦 2匕-1 + еh Л - a2 +621 % + £2Г

У/ — С/ + // + Gf

2 = "1 + 厶1l + 瓦 2匕-1 + еh Л - a2 +621 % + £2Г

У/ — С/ + // + Gf

(функция потребления);

(функция инвестиций); (тождество дохода).

(функция потребления);

(функция инвестиций); (тождество дохода).

где С- потребление;

У- ВВП;

/- валовые инвестиции;

G- государственные расходы;

г- текущий период;

г-1- предыдущий период.

Задача 10

Модель денежного и товарного рынков:

Rt=ax^r 灰 2匕 + 许4Mf + 5 (функция денежного рынка); X = «2 + 卜2阳 + b231t + b25Gt + e2 (функция товарного рынка); 乙=〃з + 方31尺£ + е3 (функция инвестиций),

где R - процентные ставки;

У - реальный ВВП;

М - денежная масса;

/ - внутренние инвестиции;

G - реальные государственные расходы.

Задача 11

Для прогнозирования спроса на свою продукцию предприятие использует следующую модель, характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:

+ + + +----+ + + +----Z+3，

+ + + +----

+ + + +----

21匕+出,

2(匕/ -Kf-D + Sc

Sy с/к 1Sy с/к 1一 реализованная продукция в период /;

Sy с/к 1

Sy с/к 1

ВДС региона;

конечное потребление;

инвестиции;

запас капитала;

текущий период;

предыдущий период.

Задача 12

Модифицированная модель Кейнса:

С尸用+小1匕+力，

Л ="2 +b21匕+b22匕.1 +E2,

Yt ~ Ct + It +Gt,

где C - расходы на потребление;

У- доход;

/- инвестиции;

G- государственные расходы;

/- текущий период;

(-1 - предыдущий период.

Задача 13

Макроэкономическая модель:

С尸 〃1 + bnDt +£lz,

/ = «2 + 622K + 方23匕-1 + е2/，

匕二2 +雹,

Dt-Ct+It+Gt,

где С - расходы на потребление;

У- чистый национальный продукт;

D- чистый национальный доход;

/- инвестиции;

Г- косвенные налоги;

G- государственные расходы;

г- текущий период;

£-1 - предыдущий период.

Задача 14

Дана следующая структурная форма модели:

& =囱 + b2St + ЬзВ,

S = "1 + a2кг + 的r" + a4%

兄=£ + В,

где Ct - личное потребление в период г；

Sr - зарплата в период г；

尸г- прибыль в период г;

/?г- общий доход в период г；

/?м - общий доход в период г-1, z-1 - предадущий период.

Задача 15

Предложение и спрос на рынке характеризуются следующей моделью:

01=用+4p+ £1， 02 =«2 +%Р + £2,

4； = q；，

где 矶-спрос на товар;

夕2 - предложение количества товара;

р - цена, по которой заключаются сделки.

Задача 16

Гипотетическая модель экономики:

a 二 "1 +许1匕+许2乙+£"

Jf =a2 +b21"-1 +e2>

£ = «3 +%31Х +е3»

где С - совокупное потребление в период /;

У - совокупный доход в период г；

J - инвестиции в период г;

Г - налоги в период /;

G - государственные доходы в период г.

Задача 17

Модель спроса и предложения кейнсианского типа:

2； = 〃1 + а2 Л + «зЛ-i + е1 (предложение),

。夕=В1 + В2Pt + ВзХ + £2(спрос),

Qt = Qt(тождество),

一 спрос на товар в момент времени £；

-предложение товара в момент времени г;

-цена товара в момент времени г；

一 доход в момент времени г;

一 цена товара в предыдущий период.

Задача 18

Модель спроса и предложения на деньги:

R产％ +仇]Л/[ +瓦2匕+ %, 匕-& + b21rf + £2，

где R - процентные ставки в период г；

У - ВВП в период г;

М - денежная масса в период £.

Задача 19

Модель денежного рынка:

&尸% +瓦也/ +瓦2х+"，

元=a2 +62阳+%2厶+g2，

厶=a3 +633国+S，

где R - процентные ставки;

Y -ВВП;

M - денежная масса;

/ - внутренние инвестиции.

Задача 20

Рассматривается следующая модель:

Sf =用 +瓦1D[ + 瓦2m} + ь^u% + 5, ct=a2+ b212 + 622Se + 623u々一1 + %， 2 = a3 + %lSr + ®2a-1 + %34 + e3，

где St - заработная плата в период г;

Dt - чистый национальный доход в период г;

Мг - денежная масса в период г;

&- расходы на потребление в период /;

С/т - расходы на потребление в период z-1;

Unt 一 уровень безработицы в период г;

Unt_x - уровень безработицы в предыдущий период;

L - инвестиции в период I*

Задание

Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели?

Выпишите приведенную форму модели.

Кратко охарактеризуйте методику расчета параметров первого и второго структурного уравнения модели.

Задача 21

Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эконометрической модели.

Структурная форма модели:

%=-4 + ???%-9,4x2 + 5， 匕=12,83 - 2,67yl + ???看 + e2,

% = 1,36 -1,76yl + 0,828" + £3.

Приведенная форма модели:

% =2 + 4X「3X2+Vi， % =7,5 + 5占+8X2+V2， y3=4 + ???X1+???X2+v3.

Задание

Какими методами получены параметры структурной и приведенной форм модели? Обоснуйте возможность применения косвенного МНК для расчета структурных параметров модели.

Восстановите пропущенные характеристики.

Задача 22

Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х). Ниже представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.

Уравнение

乃

力

Уз

工1

工2

工3

I

-1

0

仇3

仇4

C11

0

0

II

0

-1

^23

0

C21

0

0

III

0

-1

0

3

0

Сзз

IV

^41

^42

%43

-1

0

c42

С43

Задание

Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое уравнение модели.

Задача 23

Для изучения связи между уровнем инфляции и доходностью обыкновенных акций используется следующая система уравнений регрессии:

Rbt = aY+ biiRst + b^Rb*八 + b^Lt + b\^Yt + 仇火 + 仇4 + £ь

&» =敗+ b»Rbt +622及% +历34+方24匕+方2火+方2国+ £2,

где Rb - доходность облигаций;

Rs - доходность обыкновенных акций;

L - доход в денежной форме на душу населения;

У - доход от всех источников на душу населения;

^ - переменная, х叩актеризующая новые выпуски ценных бумаг за период;

Е - ожидаемая доходность акций на конец периода;

/ - ожидаемый уровень инфляции;

/ текущий период;

/-1 - предыдущий период.

В этой модели переменные Rb и Rs являются эндогенными.

Задание

Определите, является ли данная модель системой одновременных уравнений.

Выпишите приведенную форму модели.

Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели? Обоснуйте ответ.

Задача 24

Имеется следующая модель кейнсианского типа:

q ="i +饵1"+许2厶+eiЛ =a2 +621 匕-1 +e2£ =的 + ®］匕+匕=2+人+8q ="i +饵1"+许2厶+eiЛ =a2 +621 匕-1 +e2£ =的 + ®］匕+匕=2+人+8(функция потребления);(функция инвестиций);(функция налогов);(тождество дохода),(функция потребления);(функция инвестиций);(функция налогов);(тождество дохода),

q ="i +饵1"+许2厶+ei

Л =a2 +621 匕-1 +e2

£ =的 + ®］匕+

匕=2+人+8

q ="i +饵1"+许2厶+ei

Л =a2 +621 匕-1 +e2

£ =的 + ®］匕+

匕=2+人+8

(функция потребления);

(функция инвестиций);

(функция налогов);

(тождество дохода),

(функция потребления);

(функция инвестиций);

(функция налогов);

(тождество дохода),

где С - совокупное потребление в период /;

У — совокупный доход в период г;

/- инвестиции в период времени г；

Г - налоги в период времени г； '

G - государственные расходы в период времени г；

Yt_i - совокупный доход в период /-1.

В этой модели переменные С, Z, Г и У являются эндогенными.

Задание

Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Укажите, каким методом вы будете оценивать структурные параметры каждого уравнения (методику оценки параметров излагать не надо).

Напишите приведенную форму модели.

Пусть в правую часть функции инвестиций введена дополнительная экзогенная переменная 乙(процентные ставки). Как это изменение повлияет на идентификацию и методы оценки структурных параметров модели?

Задача 25

Изучается зависимость потребления (С) от доходов (У).

Задание

Каким методом вы будете определять параметры функции потребления, если эконометрическая модель имеет следующий вид: 130

модель A: C=a + bY+e (функция потребления);

модель Б: С=а + ЬУ+г (функция потребления);

Y-C + I (тождество дохода);

модель В: С=а + ЬУ+г (функция потребления); Y= С +1 + G (тождество дохода),

где I - инвестиции; G - госрасходы.

Переменные С, У-эндогенные.

Дайте развернутый ответ по каждой из моделей A-В, включающий обоснование выбранного вами метода и краткое описание методики расчетов.

Предположим, определив по некоторому неизменному по всем моделям массиву исходных данных параметры а и Ь, доя каждой из предложенных моделей вы рассчитали коэффициенты детерминации (назовем их 灭区,火^,灭^ соответственно). Какой из этих коэффициентов будет наиболее высоким? Почему?

Задача 26

Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

%=01 +42匕+Е1» у2 ="2+521% +e21*1 +£2> 匕=匕+x2.

Ей соответствует следующая приведенная форма:

匕=-1,25 + 22X1 +0,67X2 +〉，

% =2-4X1 +IOX2+V2， ?3 =-30 + 12X1 +8X2+v3.

Известны также следующие исходные данные:

п

1

2

3

4

5

6

匕

3

2

4

1

5

3

2

3

5

6

10

8

4

7

3

6

5

5

Задание

Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.

Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Задача 27

Имеется следующая модель:

匕=& +4 + Gt (тождество дохода);

& = 0,09 + 0,43УАт + 0,23Mt + % (функция потребления);

It = 0,08 + 0,40(Хт -乙一2)+ 0,48Zf + O,1Z + 立才(функция инвестиций);

Gt = ОДЗ + 0,67Gf~i + Sf (уравнение госрасходов),

где Yt - валовой внутренний продукт в текущем году 高

С「 - расходы на личное потребление в текущем году Z；

4- валовые внутренние инвестиции в текущем году г;

Gt - государственные расходы плюс чистые иностранные инвестиции в текущем году;

⑦卜 1- располагаемый доход за вычетом налогов в предыдущем

году;

Мденежная масса в текущем году;

Zfдоход от собственности до вычета налогов в текущем году;

匕_1- валовой внутренний продукт в предыдущем году;

匕_2- валовой внутренний продукт два года назад;

Gf_i - государственные расходы плюс чистые иностранные инвестиции в предыдущем году;

г- фактор времени;

У, С, /, G - эндогенные переменные.

Задание

Пусть известно следующее:

Переменная

Среднее значение

Среднее квадратическое отклонение

YD,..

2500

500

3000

200

Какая из этих переменных оказывает наиболее сильное воздействие на расходы на конечное потребление? Ответ подтвердите соответствующими расчетами 9G = 430).

132

Дайте интерпретацию параметров функции инвестиций.

Параметры каждого уравнения этой модели были найдены обычным методом наименьших квадратов (ОМНК). Изложите ваше мнение относительно возможности применения ОМНК к данной модели.

Задача 28

Имеется следующая модель:

匕=〃1 +Ь"Х] +瓦2丫22y2 +е1>

力="2 + 方22丫2 + 方23 爲 + C21K + y3 ="3 +方31占 +方33x3 + £з，

Приведенная форма этой модели имеет вид

К = 6 + 8Х]+10^2 + 4Хз + Vj, % = 16 - 12X1 - 70Х2 + 8X3 + 已， 看=10 — 5Х] — 22Х 2 + 5X3 + v^.

Задание

Определите все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

Обоснуйте возможность применения выбранного вами метода определения структурных коэффициентов.

Задача 29

Имеется следующая модель:

匕=〃1 + ^12^2 + 仇3厶 + Cj2^2 + %，

力=〃2 + 方21yl + ^23^3 + С2]Х] + С22& + 立，

Уз = 〃3 + 岳4y4 + Q2X2 + С33Х3 + £3, R = 〃4 + 方42 y2 + 占43丫3 + C43X3 + Ед.

Этой модели соответствует следующая приведенная форма:

匕=2 + ЗХ] + 4X2 — ЗХ3 + Vj, 力=12 — 6Х] + 2Х? + 4Хз + V2» Уз = 8 + 5Х] + 10% + ЗХ3 + v3, R = 4 - ЗХ] + 5Х? — 6X3 + V4.

Задание

Какие структурные параметры модели можно найти через приведенные коэффициенты. Ответ обоснуйте. В качестве примера найдите параметры какого-либо одного структурного уравнения.

Примечание. Для упрощения расчетов рекомендуется вести их в обыкновенных дробях.

Что изменится в вашем ответе на вопрос п.1, если c2i = О?

Задача 30

Строится модель вида

% =02 +仇n +e2x2 +e2-

Задание

Определите структурные коэффициенты, учитывая, что

£"Xi = 2600;£匕Х2 = 4350;£Х = 350;£% = 25;£Х1 = 750;

£七=350;£肝=1200;£Х^ =1800；" = 30;e看x2 =1500,

а также У2 =2占 +ЗУ2-

Задача 31

Имеется следующая гипотетическая структурная модель:

匕=仇 2y2 +a1凶 + a]2%

A = b21yl + 历3У3 +"22%,

Уз =岳2y2 + 〃3lX] + 033X3.

Приведенная форма исходной модели имеет вид

匕=3x一 6& + %,

У2 = 2X1 + 4修 + 10Х3,厶=-5X1 + 6X2 + 5Хз.

Задание

Проверьте структурную форму модели на идентификацию.

Определите структурные коэффициенты модели.

134

Задача 32

Пусть имеются условные данные, представленные в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Период времени

Темп прироста

% безработных.

заработной платы, Л

цен, %

дохода, Уз

цен на импорт, &

экономически активного населения, Хз

1

2

6

10

2

1

1

2

3

7

12

3

2

2

3

4

8

И

1

5

3

4

5

5

15

4

3

2

5

6

4

14

2

3

3

6

7

9

16

2

4

4

7

8

10

18

3

4

5

Задание

Определите параметры структурной модели следующего вида:

У]=加2 石 + 〃11禹 + a 12-^2 + £], У2 =b21 匕 + ь22% + a2/3 + %，

厶二仿1匕+a3*3 + £3"

Задача 33

В одной из аграрных стран строилась функция потребления за 1988-1997 гг. по данным (в условных денежных единицах), представленным в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Показатель

1988 г.

1989 г.

1990 г.

1991 г.

1992 г.

1993 г.

1994 г.

1995 г.

1996 г.

1997 г.

Совокупное

1900

1980

2000

1800

2000

2100

2200

2100

2050

2100

потребление Объем

100

200

300

200

100

200

300

200

150

300

инвестиций Совокупный доход

2000

2180

2300

2000

2100

2300

2500

2300

2200

2400

Задание

Постройте функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов.

Дайте интерпретацию результатов приведенной формы модели.

Задача 34

Исследуется зависимость спроса и предложения некоторого товара от его цены, дохода и процентной ставки:

Qt =。1 + a2pt + a3Rt + Eit

Qt = ^1 + b2Pt +b^Yt +^4^-1 + £2>

где Q； - предложение в момент времени г;

0? - спрос в момент времени Z；

Pt- цена товара в момент времени Z；

Rt- процентная ставка в момент времени к

匕 -доход в момент времени £；

匕- -доход предшествующего периода.

Отметим, что в этой модели цена и величина спроса- предложения определяются одновременно, в связи с чем эти переменные должны считаться эндогенными.

Информация за восемь лет о приростах всех показателей представлена в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Год

а

&

匕

厶

Pt

1

40

3,0

15

13

6

2

45

3,0

15

15

6

3

40

2,0

18

15

5

4

50

3,5

20

18

8

5

35

2,5

18

20

5

6

45

4,0

22

18

9

7

50

3,5

21

22

10

8

45

3,5

22

21

9

£

350

25,0

151

142

58

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

/0 = 24,4730 + 5,2374 • Rt + 0,1652 ■匕-0,0116 •匕』

I尸尸-4,4268 + 1,9746 • Rt + 0,1915 •匕 + 0,1065 •匕亠

Задание

Проведите идентификацию модели.

Рассчитайте параметры первого уравнения структурной модели.

РАЗДЕЛ

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХИССЛЕДОВАНИЯХ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (7), циклической (5) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддгтивные модели, как произведение - мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: У = Т + 5 + £; мультипликативная модель: Y -Т * S Е. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T,SkE доя каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

расчет значений сезонной компоненты S;

устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + 团 или в мультипликативной (Г • Е) модели;

аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т • Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

расчет полученных по модели значений (力 + 5) или (Г • 5);

расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

п

£(%->!)(『"！ 一歹2)

2 (%一及1 )2 ， e (%7 -及2 )2仁2g2

У力1

где pi = ^^— у2 = ~- - коэффициент автокорреляции уровней ряда

к 一 1 ；л -1

первого порядка;

e（乃-灭3）•（乃-1 一页4）

『2 —，

J£（乃-及3）2 N （力-2 -及4）2% = 3Г = 3

工力m力一1

где 歹з = -^— уд = -^коэффициент автокорреляции уровней ряда к - 2 ；п-2

второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага （порядка коэффициента автокорреляции） 一 коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции （тренда） временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

линейная yt = a + b t;

гипербола yt = 〃 + b 〃 ；

экспонента yt =产力工；

степенная функция yt = a-tb ;

парабола второго и более высоких порядков

力=〃 + 灰 ^^ + b2^"+… + bk • ^•

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2, ..., п, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда yt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации Л2.

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например yt и xz, и расчет отклонений от трендов: 匕-必 и xt - xt. Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

与=%一乃T =方+（j- Jt）；

если параболический тренд - вторыми разностями:

& =今 一 А* = 2 •历 + （J - 2 • £/_j + £/-2）•

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

yt =0 +仇•/ +勿 可+ £广

Параметры anb этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция s остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков % за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина - Уотсона и расчет величины:

Z（£r-£r_l）2

d = ^-^, 0<rf<4.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

=*——， HU f=2

Критерий Дарбина 一 Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

d = 2(l-r『).

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

%=々 + 瓦 看+瓦 Xf—1 +••• + % xr_p +£r

Коэффициент регрессии bq при переменной % характеризует среднее абсолютное изменение % при изменении х, на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (г + 1) воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (方о + Ь\) условных единиц; в момент времени (f + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (方о + bi + Z?2) и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (£ + /) воздействие фактора на результат описывается суммой (6о + bi + ... + 历 二 b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

月=%/瓦)=。，1，

называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты Ь} имеют одинаковые знаки, то для любого /

Ос〉＜ 1 и 23 “

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

，=£/ 瓦

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент г.

Медианный лаг 一 это период, в течение которого с момента времени г будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

，МеТ

ЕВ 广 05

尸о

где 1Ме - медианный лаг

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

Ь】=by X, / = 0,1,2,..., 0 < А < 1.

Уравнение регрессии преобразуется к виду

% = 〃 + 历・Xf +%0—1 +%0 ♦入2—2 +•♦• + £「

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

% = с。+ С j + С2 / +…+ cj

Уравнение регрессии примет вид

yt ~ а + cq zq + t?i -zy + c2 -22 +... + q - +ez,

гдеу1 xt- г ' 丨,左，丿=1, ,p

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

устанавливается максимальная величина лага /;

определяется степень полинома %, описывающего структуру лага;

рассчитываются значения переменных z。,...，Z"

определяются параметры уравнения линейной регрессии % от &;

рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

乃=a + bG xt+cx -^_i+er.

Как и в модели с распределенным лагом, Ьо в этой модели характеризует краткосрочное изменение у под воздействием изменения х, на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

力=历+% .自 + % Y + % * с： + …=% • (1 + с】+ с『+ с； +...) = % /(1 - q).

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

42 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 7

По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия у (млн руб.) от цен на сырье xj (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда х2 (ед. продукции на 1 работника):

j)= 200-L5xi +4,0-х2-

При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1

№

У

函

不2

1

210

800

300

2

720

1000

500

3

300

1500

600

Е咸=10500, E(g - Gt )2 = 40 000.

Требуется:

По трем позициям рассчитать yt, &, £“，&* （耳一 eQ?.

Рассчитать критерий Дарбина - Уотсона.

Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

Решение

1・?г определяется путем подстановки фактических значений Xi и хг в уравнение регрессии:

立=200 -1,5 • 800 + 4,0 • 300 = 200;

у2 二 200 -1,5 • 1000 + 4,0 • 500 = 700;

Уз 二 200 -1,5 1500 + 4,0 • 600 = 350.

Остатки J рассчитываются по формуле

^У1-У1-

Следовательно,

“=210-200 = 10, е2 =720-700 = 20, е3 = 300 - 350 =-50;

扌=100, Е2 = 400, ej = 2500；

£/-1 *-те же значения, что и £/, но со сдвигом на один месяц.

Результаты вычислений оформим в виде табл. 4.2.

Таблица 4.2

№

&

e；-i

（£「％т）

（6/ - £,-i）2

e>2

1

200

10

-

-

-

100

2

700

20

10

10

100

400

3

350

-50

20

-70

4900

2500

Е

40 000

10 500

2. Критерий Дарбина 一 Уотсона рассчитывается по формуле

_Е（£「£1）2 — 40000_з2]

Ее? 10500''

3・ Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При л = 18 месяцев и w = 2 (число факторов) нижнее значение d‘ равно 1,05, а верхнее - 1,53. Так как фактическое значение d близко к 4, можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину:

4-d = 4-3,81 =0,19,

что значительно меньше, чем di Это означает наличие в остатках автокорреляции.

Уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна, а может быть, в рядах динамики имеется общая тенденция.

Пример 2

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар Л (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Показатель

1985 г.

1986 г.

1987 г.

1988 г.

1989 г.

1990 г.

Расходы на товар 4 руб.

30

35

39

44

50

53

Доход на одного члена семьи, % к 1985 г.

100

103

105

109

115

118

Требуется:

Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар А в зависимости от дохода.

Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

Построить линейную модель спроса на товар /, включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

144

Решен ие

Обозначим расходы на товар А через у, а доходы одного члена семьи - через х. Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам

Расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 4.4).

Таблица 4.4

%

4M

%

30

100

35

5

103

3

39

4

105

2

44

5

109

4

50

6

115

6

53

3

118

3

Значения Лу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар Л в зависимости от дохода необходимо устранить тенденцию. С этой целью модель может строиться по первым разностям, т.е. Лу - f (4х), если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией.

Другой возможный путь учета тенденции при построении моделей -найти по каждому ряду уравнение тренда:

yt = /«) н 无=加)

и отклонения от него:

dy^yt-yt; dx = xt-xt.

Далее модель строится по отклонениям от тренда:

dy=f(dx).

При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь учета тенденции - включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в нее в качестве самостоятельного фактора включается время, т.е. 无=f^>tY

Модель имеет вид